solution stringlengths 1 23 | prompt_tr stringlengths 0 3.2k |
|---|---|
673673673 | $a$, $b$ ve $c$ rakamları olmak üzere $abcabc\dots abc$ biçiminde olan $2019$'un en küçük katını bulun. |
111 | Chip ve Dale aşağıdaki oyunu oynuyor. Chip, Dale'in görebileceği şekilde $222$ fındığı iki yığına ayırarak başlar. Buna karşılık, Dale $1$ ile $222$ arasında bir $N$ sayısı seçer. Sonra Chip, hazırladığı yığınlardan yeni (üçüncü) bir yığına fındık taşır; amaç herhangi bir bir veya iki yığında tam olarak $N$ fındık olac... |
329 | Pozitif tamsayılar $n$ için, $c_n$, eğer böyle bir pozitif tamsayı varsa $n^{c_n} - 1$ ifadesinin $210$ ile bölünebilmesini sağlayan en küçük pozitif tamsayı olsun; aksi takdirde $c_n = 0$ olsun. $c_1 + c_2 + \dots + c_{210}$ kaçtır? |
524 | Kaç tane sıralı tamsayı çifti \((x, y)\) vardır öyle ki
\[ 0 < \left\vert xy \right\vert < 36? \] |
6 | REDDER kelimesindeki harflerin kaç farklı permütasyonu vardır ki uzunluğu en az iki olan palindromik bir alt dize içermesin?
(Not: Alt dize, dizenin bir parçası olan ardışık harf bloğudur. Bir dize tersinden okunduğunda aynıysa palindromiktir.) |
2010 | Tahtaya \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{2010} sayıları yazılmıştır. Bir öğrenci bu sayılardan herhangi iki tanesini, örneğin x ve y'yi seçer, onları siler ve yerine x + y + xy yazar. Öğrenci bu işlemi tahtada yalnızca bir sayı kalana kadar sürdürür. Bu sayı nedir? |
133 | $a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olsun; $m$ ve $n$ negatif olmayan tamsayılar olmak üzere, $2009$ pozitif tam sayı hariç tüm pozitif tam sayılar $ma + nb$ biçiminde ifade edilebilmektedir. Eğer $1776$ ifade edilemeyen sayılardan biri ise, $a + b$'yi bulun. |
39 | Tabanları $AB$ ve $CD$ olan ikizkenar yamuk $ABCD$'de $AB=13$, $CD=17$ ve yüksekliği $3$'tür. $E$, $AC$ ile $BD$'nin kesişimi olsun. $\Omega$ ve $\omega$ çemberleri sırasıyla $ABE$ ve $CDE$ üçgenlerinin çevrel çemberleridir. $\Omega$ ve $\omega$'nin yarıçaplarının toplamını hesaplayın. |
72 | Asheville, Bakersfield, Charter ve Darlington bu sırayla düz bir yol boyunca uzanan dört küçük kasabadır. Bakersfield ile Charter arasındaki mesafe, Asheville ile Charter arasındaki mesafenin \( \frac{1}{3} \)'üdür ve Bakersfield ile Darlington arasındaki mesafenin \( \frac{1}{4} \)'üdür. Eğer Bakersfield ile Charter a... |
2 | Gerçel bir \theta için \cos(2\theta) = 2\cos(\theta) olduğuna göre, \cos(2\theta)'nin tüm mümkün değerlerinin toplamı nedir? |
18 | Varsayalım ki $ABC$ bir üçgendir ve $AB = 6$, $BC = 12$ ve $\angle B = 90^{\circ}$. Nokta $D$ $BC$ kenarı üzerinde yer alır ve nokta $E$, $\angle ADE = 90^{\circ}$ olacak şekilde $AC$ üzerinde inşa edilir. $DE = EC = \frac{a\sqrt{b}}{c}$ olduğu verilmiştir; burada $a$, $b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır, $b$ karekökten ... |
217 | Pozitif bir tam sayı $n$'in rakamları, soldan sağa okunduğunda azalan sırada olan dört ardışık tam sayıdır. $n$'i $37$'ye böldüğümüzde olabilecek kalanların toplamı nedir? |
85 | Son iki basamakları sırasıyla $11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,$ ve $19$ olan dokuz pozitif tam sayı $a_1, a_2, \ldots, a_9$ verilmiştir. Bu sayıların kareleri toplamının son iki basamağını bulun. |
133 | Varsayalım ki $P(x)$ katsayıları tam sayı olan, baş katsayısı 1 ve $P(0)=3$ olan bir polinom olsun. Eğer $P(x)^2+1$ polinomu katsayıları tam sayı olan iki sabit olmayan polinomun çarpımı şeklinde çarpanlara ayrılabiliyorsa ve $P$'nin derecesi mümkün olduğunca küçükse, $P(10)$'un alabileceği en büyük değeri hesaplayın. |
1763 | ABC üçgeni verilsin, $AB=4$, $AC=5$, $BC=6$ ve çevrel çemberi $\Omega$ olsun. $E$ ve $F$ noktaları sırasıyla $AC$ ve $AB$ üzerinde yer almakta olup $\angle ABE=\angle CBE$ ve $\angle ACF=\angle BCF$ olacak şekilde seçilmiştir. $\triangle AEF$'in çevrel çemberinin $\Omega$ ile $A$ dışında kalan ikinci kesişim noktası $P... |
54 | Kare $A$, kare $B$'ye bitişiktir; kare $B$ ise kare $C$'ye bitişiktir. Üç karenin de alt kenarları ortak bir yatay doğrunun üzerindedir. Üç karenin üst sol köşeleri kolinerdir. Kare $A$'ın alanı $24$ ve kare $B$'nin alanı $36$ ise, kare $C$'nin alanını bulun. |
101 | $n \geq 1$ olacak şekilde bir pozitif tam sayı alın. Bir tamsayı $k$'ye $n$'in fanı deriz eğer $0 \leq k \leq n-1$ ve öyle tamsayılar $x, y, z \in \mathbb{Z}$ vardır ki
\[
\begin{align*}
x^2 + y^2 + z^2 &\equiv 0 \pmod{n}; \\
xyz &\equiv k \pmod{n}.
\end{align*}
\]
$f(n)$, $n$'in fanlarının sayısı olsun. $f(2020)$'ı be... |
5043 | Bir $S \subseteq \mathbb{N}$ kümesi için $f(S) = \{\lceil \sqrt{s} \rceil \mid s \in S\}$ olarak tanımlansın. $|f(T)| = 2$ ve $f(f(T)) = \{2\}$ koşullarını sağlayan kaç tane $T$ kümesi vardır? |
154 | Problem 1: $S = \{1, 2, 3, \ldots, 2006\}$ kümesi iki ayrık altküme $A$ ve $B$'ye ayrılmıştır öyle ki:
1. $13 \in A$;
2. Eğer $a \in A$, $b \in B$ ve $a + b \in S$ ise, $a + b \in B$;
3. Eğer $a \in A$, $b \in B$ ve $ab \in S$ ise, $ab \in A$.
A'nın eleman sayısını belirleyin. |
233 | Pozitif bir gerçek sayı $a$ verilsin ki:
$$ \left\{ \frac{1}{a} \right\} = \{ a^2 \} $$
$$ 2 < a^2 < 3 $$
$a^{12} - \frac{144}{a}$ değerini bulun. |
17 | $2024^{2023^{2022^{2021 \ldots^{3^{2}}}}} + 2025^{2021^{2017^{2013 \ldots^{5^{1}}}}}$ 19'a bölündüğünde kalanı bulun. |
24 | Bir ikizkenar üçgen $ABC$'yi düşünün; kenar uzunlukları $AB = AC = 10\sqrt{2}$ ve $BC = 10\sqrt{3}$ olsun. Sırasıyla $AB$, $AC$ ve $BC$ çaplı $P$, $Q$ ve $R$ yarım dairelerini oluşturun; her yarım dairenin düzlemi $ABC$ düzlemine dik olsun ve tüm yarım daireler $ABC$ düzleminin aynı tarafında bulunsun. $ABC$ üçgeninin ... |
1 | Yuvarlak bir masada $10$ öğrenci vardır. Her öğrenci bir sayı düşünür ve bu sayıyı hemen yanındaki komşularına (sol ve sağ) diğerlerinin duymayacağı şekilde bildirir. Böylece, her öğrenci kendi sayısı ve iki komşusundan gelen sayılar olmak üzere üç sayıyı bilir.
Daha sonra, her öğrenci komşularından öğrendiği iki say... |
337 | İlk $n$ pozitif tam sayının karekök-ortalaması bir tamsayı olan, 1'den büyük en küçük tam sayı $n$ kaçtır?
Not: $n$ sayıdan oluşan $a_1, a_2, \cdots, a_n$ kümesinin karekök-ortalaması şu şekilde tanımlanır
\[\left(\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}\right)^{1/2}\] |
9 | Dikdörtgen bir bilardo masasının köşeleri $(0, 0)$, $(12, 0)$, $(0, 10)$ ve $(12, 10)$ noktalarında bulunmaktadır. Cepler yalnızca dört köşede vardır. Bir top $(0, 0)$ noktasından $y = x$ doğrultusunda vurulur ve birkaç duvara çarpıp sonunda bir cebe girer. Top bir cebe girmeden önce çarptığı duvar sayısını bulun. |
5 | S'yi $4^x = x^4$ eşitliğini sağlayan tüm gerçek $x$'lerin toplamı olarak alın. S'ye en yakın tam sayıyı bulun. |
1289 | m ve n pozitif tam sayılar olsun. Fuming Zeng James’e bir dikdörtgen verir; dikdörtgenin bir kenar çiftine paralel $m-1$ çizgi ve diğer kenar çiftine paralel $n-1$ çizgi çizilir, böylece dikdörtgen daha küçük dikdörtgenlerden oluşan bir $m \times n$ ızgaraya bölünür. Fuming Zeng, $mn$ küçük dikdörtgenden $m+n-1$ tanesi... |
2014 | Her iki farklı $a$ ve $b$ için en az bir permütasyonda $b$'nin $a$'nın hemen ardından geldiği şekilde $\{1, 2, 3, \ldots, 2014\}$ kümesinin en fazla kaç permütasyonu vardır? |
18 | Varsayalım $a, b, c > 0$ tamsayıları ve şu eşitlik sağlanıyor:
\[
abc - bc - ac - ab + a + b + c = 2013.
\]
Sıralı üçlü $(a, b, c)$ için kaç olasılık vardır? |
144 | Aşağıdaki özelliklere sahip negatif olmayan tam sayılardan oluşan sıkı artan dizilerin sayısını bulun:
1. İlk terim $0$ ve son terim $12$'dir. Bu nedenle dizi en az iki terim içerir.
2. Herhangi iki ardışık terimden tam olarak biri çifttir. |
5050 | f(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{100} olarak tanımlansın. f'(1) değerini bulun. |
8 | Alice, ilk $5$ pozitif çift tam sayıdan eşit olasılıkla rastgele bir sayı seçer ve Palice, ilk $5$ pozitif tek tam sayıdan eşit olasılıkla rastgele bir sayı seçer. Alice'in seçtiği sayı Palice'in seçtiğinden daha büyük olma olasılığı, aralarında asal pozitif tamsayılar $m,n$ olmak üzere $\frac{m}{n}$ ise, $m+n$'yi hesa... |
4 | S = \{ A = (a_1, \ldots, a_s) \mid a_i = 0 \text{ or } 1, \ i = 1, \ldots, 8 \} olsun. S'nin herhangi iki elemanı $A = \{ a_1, \ldots, a_8 \}$ ve $B = \{ b_1, \ldots, b_8 \}$ olsun. $d(A,B) = \sum_{i=1}^{8} |a_i - b_i|$ olarak tanımlansın. $d(A,B)$'ye $A$ ile $B$ arasındaki uzaklık denilsin. Herhangi iki elemanın uzakl... |
-1 | Bir daire etrafına 268 sayı yazılır, öyle ki ardışık 20 sayının toplamı her zaman 75'e eşittir. 17., 83. ve 144. pozisyonlarına sırasıyla 3, 4 ve 9 yazılmıştır. 210. pozisyondaki sayıyı bulun. |
51 | Bir saat kadranında, öğlen $12$ ile $1\,\mathrm{PM}$ arasında saat ibresi ile dakika ibresinin dik açı yaptığı iki an vardır. Bu iki an arasındaki fark dakika cinsinden $a + \dfrac{b}{c}$ şeklinde yazılmıştır, burada $a, b, c$ pozitif tam sayılardır, $b < c$ ve $\dfrac{b}{c}$ sadeleştirilmiş haldedir. $a+b+c$ değeri ka... |
48 | Bir tamsayı dizisi $x_1, x_2, \ldots$ sabit tamsayılar $a$ ve $b$ için her $n\ge 1$ olmak üzere $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n$ yineleme ilişkisini sağlıyorsa "çift-daldırılmış" olarak adlandırılır.
Ri, yerine koyma ile $\{1, 2, \ldots, 12\}$ kümesinden rastgele üç tamsayı seçerek bir dizi oluşturmaya başlar. Ri, $\{1, 2, \ld... |
315 | Eli, Joy, Paul ve Sam bir şirket kurmak istiyor; şirketin 4 kişi arasında bölüştürülecek 16 hissesi olacak. Aşağıdaki kısıtlamalar uygulanmaktadır:
- Her kişi pozitif tam sayı adet hisse almalı ve tüm 16 hisse dağıtılmalıdır.
- Hiçbir kişi, diğer üç kişinin toplamından daha fazla hisseye sahip olamaz.
Hisselerin ayır... |
540 | MATHMEET kelimesindeki harflerin aynı harfle başlayıp aynı harfle biten yeniden düzenlemelerinin sayısını bulun, örneğin "TAMEMHET". |
160 | İki çemberin yarıçapları $15$ ve $95$'tir. Eğer çemberlere ait iki dış teğet $60$ derece açıyla kesişiyorsa, çemberlerin merkezleri birbirinden kaç birim uzaktır? |
14499 | Pozitif bir tam sayı $n$ için $S(n)$, $n$'in onluk tabandaki rakamlarının toplamı olsun. $4 \cdot S(n) = 3 \cdot S(2n)$ olan en küçük pozitif tam sayı $n$'yi belirleyin. |
2011 | Pozitif tam sayı $n$'yi bulun; öyle ki $n^2$, $8 + 16 + 24 + \cdots + 8040$ toplamına en yakın tam karedir. |
89 | f(n) bir tamsayı dizisi olarak tanımlansın: $f(1) = 1$, $f(2) = 1$ ve $f(n) = f(n-1) + (-1)^n f(n-2)$ tüm tam sayılar $n \geq 3$ için. $f(20) + f(21)$ değeri nedir? |
23 | $BC = 4$, $CA= 5$, $AB= 6$ olan $\triangle ABC$ üçgenini ve $O$'nun $\triangle ABC$'nin çevre merkezi olduğunu varsayalım. $O_b$ ve $O_c$, sırasıyla $CA$ ve $AB$ doğruları hakkında $O$'nun yansımaları olsun. $BO_b$ ile $CO_c$'nin $T$'de kesiştiğini varsayalım ve $M$, $BC$'nin orta noktası olsun. $MT^2 = \frac{p}{q}$ ol... |
96 | Jerry'nin en sevdiği sayı $97$. He knows all kinds of interesting facts about $97$:
- $97$, iki basamaklı en büyük asal sayıdır.
- Basamaklarının sırasını tersine çevirmek başka bir asal sayı verir.
- $97$'in iki tam karenin farkı olarak yazılabileceği yalnızca bir yol vardır.
- $97$'in iki tam karenin toplamı olarak ... |
66 | $a,b,c,d$ her biri 1 ile 3 (her iki uç dahil) arasındaki tam sayılar olmak üzere, çiftler $(a,b)$ ve $(c,d)$ koordinat düzleminin bir bazını oluşturacak şekilde sıralı dörtlüler $(a,b,c,d)$ kaç tanedir? Bir çift $(a,b)$ ve $(c,d)$ baz oluşturur eğer $ad \neq bc$. |
37 | Toplam \( \sum_{k=1}^{360} \frac{1}{k \sqrt{k+1} + (k+1)\sqrt{k}} \) iki aralarında asal pozitif tamsayı \( m \) ve \( n \) 'nin oranıdır. \( m + n \) 'yi bulun. |
19 | A, asal çarpanları yalnızca 2, 3 veya 5 olan pozitif tam sayılardan oluşan küme olsun. A'nın elemanlarının terslerinin sonsuz toplamı
\[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{18... |
50 | Aşağıdaki yamukta tabanların uzunlukları 7 ve 17 olup alanı 120'dir. Yamukun köşegenlerinin oluşturduğu iki üçgenin alanları arasındaki farkı bulun. |
16 | Pozitif tamsayılar olan ve $a > b$ şartını sağlayan sıralı çift $(a,b)$'ye, $a + b$ ve $a - b$'nin her ikisi de tam kare olduğunda "karemsi" deriz. Örneğin, $(17,8)$ karemsidir çünkü $17 + 8 = 25$ ve $17 - 8 = 9$ her ikisi de tam karedir. $a + b < 100$ olan kaç tane karemsi $(a,b)$ çifti vardır? |
21 | Varsayalım $a$ gerçek bir sayı olsun ve $\sin(\pi \cdot \cos a) = \cos(\pi \cdot \sin a)$. $35 \sin^2(2a) + 84 \cos^2(4a)$ ifadesinin değerini bulun. |
120 | $\underline{xyz}$, yüzler basamağı $x$, onlar basamağı $y$ ve birler basamağı $z$ olan üç basamaklı sayıyı temsil etsin. Benzer şekilde, $\underline{yz}$, onlar basamağı $y$ ve birler basamağı $z$ olan iki basamaklı sayıyı temsil etsin. Basamaklarının hiçbiri 0 olmayan kaç tane üç basamaklı $\underline{abc}$ sayısı var... |
65 | $\{1, 2, \dots, N\}$ kümesindeki 3'e bölünen tamsayıların sayısının, 5'e veya 7'ye (veya her ikisine) bölünen tamsayıların sayısına eşit olduğu en büyük pozitif tamsayı $N$'yi bulun. |
130 | Aşağıdaki koşulu sağlayan tüm pozitif tamsayıları bulun:
$$n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2,$$
burada $a < b < c < d$ olan $a,b,c,d$ sayıları $n$'in en küçük bölenleridir. |
625 | Bir örümcek, köşeleri saat yönünün tersine numaralandırılmış eşkenar üçgen $\triangle{ABC}$'nin çevresi boyunca, $A$ köşesinden başlayarak yürümektedir. Her saniye, iki komşu köşesinden birine eşit olasılıkla hareket eder. $A$'da başlayıp $A$'da biten bir yolun rüzgârlılığı, yapılan saat yönünün tersine devrimlerin net... |
28 | $101^6$'in rakamları toplamını hesaplayın. |
209 | Pozitif tamsayılar $a$ ve $b$ olacak şekilde $(a - b)\sqrt{ab} = 2016$ eşitliğini sağlayan tüm $a$ değerlerinin toplamını bulun. |
1349 | Çember $\Gamma$, düzlemde merkezi $(0, 0)$ olan ve yarıçapı $2022\sqrt{3}$ olan bir çemberdir. Çember $\Omega$, merkezi $x$-ekseninde olan, $A = (6066, 0)$ noktasından geçen ve $y > 0$ olmak üzere $P = (x, y)$ noktasında $\Gamma$ ile dik olarak kesişen bir çemberdir. Eğer $\Omega$ üzerindeki küçük yay $AP$'nin uzunluğu... |
30 | 100 ardışık doğal sayı $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ alın. $a_1^8 + a_2^8 + \ldots + a_{100}^8$ sayısının son iki basamağını belirleyin. |
2 | Derecesi en fazla 2 olan $f(x) = ax^2 + bx + c$ polinomunu düşünün.
$f(0)=0$ ve $f(2)=2$ koşulları altında $f$ değişirken $S = \int_0^2 |f'(x)|\, dx$ ifadesinin minimum değerini bulun. |
35 | Denklemi sağlayan tüm gerçek $x$ değerlerinin toplamını bulun:
\[(x+\frac{1}{x}-17)^2 = x + \frac{1}{x} + 17.\] |
118 | Beş kız ve beş erkek rastgele olarak çember etrafına eşit aralıklı on koltuğa oturuyor. Çemberde, çapın karşı uçlarına iki kızın oturmuş olduğu en az bir çapın bulunma olasılığı $\frac{m}{n}$ ise, burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tamsayılardır. $m + n$'yi bulun. |
171 | Rakamlarının her biri 1 artırıldıktan sonra bu rakamlar çarpıldığında sonuç $N+1$ olan, $\left[10, 10^{20} \right]$ aralığındaki kaç tane pozitif tam sayı $N$ vardır? |
1999999 | Bir milyon tam sayının çarpımı bir milyona eşittir. Bu sayıların toplamının alabileceği en büyük değer ne olabilir? |
2 | İkinci dereceden polinom $P(x) = ax^2 + bx + c$'in baş katsayısı $a$, $100$'den büyüktür. $|P(x)| < 50$ olacak şekilde tam sayı $x$ değerlerinin azami sayısını belirleyin. |
578 | Bir çekirge koordinat düzleminde orijinden başlar ve bir dizi sıçrama yapar. Her sıçramanın uzunluğu $5$'tir ve her sıçramadan sonra çekirge her iki koordinatı da tam sayı olan bir noktada bulunur. Böylece çekirgenin ilk sıçramadan sonra olabileceği $12$ farklı nokta vardır. Çekirgenin $(2021,2021)$ noktasına ulaşması ... |
9 | Bir doğru $\ell$ olsun ve $A$, $B$, $C$ noktalarının $\ell$ üzerinde olduğunu, $AB = 7$ ve $BC = 5$ olduğunu varsayalım. $m$, $A$ üzerinden geçen ve $\ell$ ile dik olan doğru olsun. $P$ noktası $m$ üzerinde olsun. $PB + PC$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulun. |
29 | Bilmeyen bir karınca aşağıdaki rotayı izler: A noktasından başlayarak $1$ cm kuzeye, sonra $2$ cm doğuya, sonra $3$ cm güneye, sonra $4$ cm batıya, hemen ardından $5$ cm kuzeye, devam edip $6$ cm doğuya ve böyle devam ederek nihayet $41$ cm kuzeye gider ve $B$ noktasında sona erer. A ile B arasındaki düz uzaklığı hesap... |
0 | $ABCD$ yamukunun tabanlarının uzunlukları $7$ ve $17$ olup alanı $120$'dir. $\triangle ACD$ ile $\triangle CDB$'nin alanları arasındaki farkı bulun. |
5940 | Alice ve Bob bağımsız olarak Cathy'nin bitcoin cüzdanının gizli şifresini çözmeye çalışıyorlar. İkisi de zaten şu bilgileri çözmüşler:
- İlk rakamı $5$ olan $4$ basamaklı bir sayı.
- $9$'un katıdır.
- Daha büyük sayı, daha küçük olana göre şifre olma olasılığı daha yüksektir.
Ayrıca, Alice şifrenin ikinci ve üçüncü ba... |
51 | Kareler $ABCD$ ve $AEFG$, her birinin kenar uzunluğu $12$ olan, $\triangle AED$ eşkenar olacak şekilde üst üste gelmektedir; bu durum şemada gösterilmiştir. Her iki karenin kesişimi olan ve şemada taralı gösterilen bölgenin alanı $m\sqrt{n}$ şeklinde verilmiştir; burada $m$ ve $n$ pozitif tam sayılardır ve $n$ herhangi... |
49 | Toplam \(\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k(k^4-5k^2+4)^2}\) eşittir \(\frac{m^2}{2n^2}\), burada \(m\) ve \(n\) aralarında asal pozitif tamsayılardır. \(m+n\)'yi bulun. |
6 | Carl, James, Saif ve Ted Art of Problem Solving web sitesinde birkaç iki oyunculu For The Win oyunu oynarlar. Eğer bu oyunlar arasında Carl $5$ kazanıp $0$ kaybetmiş, James $4$ kazanıp $2$ kaybetmiş, Saif $1$ kazanıp $6$ kaybetmiş ve Ted $4$ kazanmışsa, Ted kaç oyun kaybetmiştir? |
21 | $a_1$, $a_2$, $\cdots$ bir dizi olsun; $a_1 = a_2 = \frac{1}{5}$ ve $n \ge 3$ için,
\[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n-2}}{1 + a_{n-1}a_{n-2}}.\]
$a_n > 1 - 5^{-2022}$ olacak en küçük tam sayı $n$'yi bulun. |
41 | İki kişi $A$ ve $B$, aynı yerden aynı anda, uzunluğu $100$ m olan bir dairesel pisti zıt yönlerde dolaşmak üzere hareket ederler. Başlangıçta $B$, $A$'dan daha yavaş hareket eder ve onlar karşılaşana kadar bu şekilde devam eder. Karşılaştıktan sonra $B$ hızını iki katına çıkarır ve bir sonraki karşılaşmaları başlangıç ... |
457 | Bir dikdörtgen $57 \times 57$ hücre ızgarasında, hücrelerden $k$ tanesi siyaha boyanmıştır. Izgara kenarlarına paralel kenarları olan ve köşe noktalarının dörtü farklı siyah hücrelerin merkezlerinde bulunan bir dikdörtgenin mutlaka var olmasını sağlayan en küçük pozitif tam sayı $k$ kaçtır? |
839 | Jonah yakın zamanda çok sayıda liçi hasat etti ve bunları gruplara ayırmak istiyor. Ne yazık ki, $3 \leq n \leq 8$ olan her $n$ için, liçiler $n$ gruba eşit olarak dağıtıldığında $n-1$ liçi kalıyor. Jonah'ın sahip olabileceği en az liçi sayısı nedir? |
101 | Daeun, orijin merkezli birim çember çizer ve içine düzenli bir altıgen $ABCDEF$ yerleştirir. Daha sonra Dylan, orijin merkezli yarıçapı $2$ olan çemberin içinde bir nokta $P$ seçer. $M$, $|PA| \cdot |PB| \cdot |PC| \cdot |PD| \cdot |PE| \cdot |PF|$ çarpımının alabileceği en büyük değer olsun ve $N$, bu maksimum değerin... |
3024 | Bir dikdörtgenler prizmasının kenar uzunlukları tam sayılar $a$, $b$, ve $c$'dir. Eğer $\text{lcm}(a,b)=72$, $\text{lcm}(a,c)=24$ ve $\text{lcm}(b,c)=18$ ise, prizmanın mümkün olan en küçük ve en büyük hacimlerinin toplamı nedir? |
13 | Pozitif bir $n$ tam sayısı için, $f(n)$, $n$'in basamakları ters çevrilerek (ve varsa en baştaki sıfırlar kaldırılarak) oluşturulan tam sayı olsun. Örneğin, $f(14172) = 27141$. Sayılar dizisi $\{a_n\}_{n \ge 0}$ şu şekilde tanımlansın: $a_0 = 1$ ve her $i \ge 0$ için $a_{i+1} = 11a_i$ veya $a_{i+1} = f(a_i)$. $a_8$ içi... |
84 | Düzenli altıgen $ABCDEF$'nin kenar uzunluğu $2$'dir. Noktalar $M$ ve $N$, sırasıyla $BC$ ve $DE$ üzerinde yer almaktadır. $(AM + MN + NA)^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulun. |
8027 | Sabit bir pozitif tamsayı $n$ olsun. $|m| \le n$ koşulunu sağlayan tamsayı $m$ için
\[ S_m = \sum_{\substack{i-j=m \\ 0 \le i,j \le n}} \frac{1}{2^{i+j}}. \]
O zaman
\[ \lim_{n\to \infty} \left( S_{-n}^2 + S_{-n+1}^2 + \ldots + S_n^2 \right) \]
ifadesi, aralarında asal pozitif tamsayılar $p,q$ için $\frac{p}{q}$ biçimi... |
128 | S'yi $0 \in S$ ve her $x \in S$ için $3x \in S$ ve $3x + 1 \in S$ olacak şekilde tam sayıların en küçük altkümesi olarak tanımlayalım. 2008'den küçük $S$ içindeki negatif olmayan tam sayıların sayısını belirleyin. |
-2013 | A'yı da içeren ardışık tamsayıların toplamı 2014 olan en küçük tamsayı $A$'yı bulun. Bu özelliğe sahip bir tamsayı $A$ "yummy" olarak adlandırılır. |
90 | Varsayalım ki $\overline{ABCD}$ 4 basamaklı bir sayıdır. $\overline{ABCD} - \overline{DCBA}$ ifadesinin alabileceği en küçük pozitif değer nedir? |
9 | $31, 331, 3331, \ldots$ dizisinde $17$ ile bölünebilen ilk terime $x$ diyelim. $x$ kaç basamaklıdır? |
27 | Diyelim ki $w, x, y, z$ aşağıdaki denklemleri sağlasın:
\[
\begin{align*}
w + x + y + z &= 25, \\
wx + wy + wz + xy + xz + yz &= 2y + 2z + 193
\end{align*}
\]
$w$'nin alabileceği en büyük değer bazı tamsayılar $w_1, w_2 > 0$ için en sade hâliyle $\frac{w_1}{w_2}$ şeklinde ifade edilebilir. $w_1 + w_2$'yi bulun. |
2016 | $r_k$, $\binom{127}{k}$ sayısının 8'e bölümünden kalan olsun. $r_1 + 2r_2 + 3r_3 + \cdots + 63r_{63}$ toplamını hesaplayın. |
31 | Pozitif bir tamsayı $x>1$'in $n$ tane böleni olduğu varsayılsın; $f(x)$, $x$'in en küçük $\lceil \frac{n}{2} \rceil$ böleninin çarpımı olarak tanımlansın. $f(x)$'in $x$'in katı olduğu en küçük $x$ değeri $a$ olsun, ve tam olarak $n$ böleni olan bazı $y$ için $f(y)$'nin $y$'nin katı olduğu en küçük $n$ değeri $b$ olsun.... |
1033 | 1 ile 2023 (dahil) arasındaki pozitif tamsayı n için, $n^{2023-n}$ biçimindeki kaç tamsayı tam karedir? |
-1 | P, $x>0$ için $y = x + \frac{2}{x}$ fonksiyonunun grafiği üzerinde bir nokta olsun. PA ve PB doğruları sırasıyla $y = x$ ve $x = 0$ doğrularına diktir; A ve B bu dikmelerin ayaklarıdır. $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ değerini bulun. |
2 | $f(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 10$ olsun. x tüm tamsayılar üzerinde değişirken, $f(x)$ tarafından alınan farklı asal değerlerin toplamını bulun. |
126 | Bir plajda $522$ kişi vardır; her biri bir kediye, bir köpeğe, her ikisine veya hiçbirine sahiptir. Eğer kedi sahiplerinin $20\%$'i aynı zamanda bir köpeğe de sahipse, köpek sahiplerinin $70\%$'i kedi sahibi değilse ve kedi sahibi olmayan insanların $50\%$'i ayrıca köpek de sahibi değilse, hiçbirine sahip olmayan kaç k... |
-12 | Bir küp verilsin; her kenara $1$ veya $-1$ olmak üzere bir sayı yazın. Küpün her yüzü için, o yüzün kenarlarındaki dört sayıyı çarpın ve çarpımı bu yüzeye yazın. Son olarak, küpün kenarlarına ve yüzlerine yazılan on sekiz sayının tümünü toplayın.
Elde edilebilecek en küçük toplam nedir? |
61 | Aşağıdaki dizi, önce paydası 2 olan kesri, sonra paydası 3 olanı, sonra artan sırada paydası 4 olan iki kesri ve bu şekilde devam ederek $\frac{1}{2}$'yi aşmayan tüm pozitif rasyonel sayıları listeler. Dizi şu şekildedir:
\[
\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{6}, \fra... |
660 | Fonksiyon $f(n)$ pozitif tamsayılar üzerinde tanımlıdır ve negatif olmayan tam sayı değerleri alır. Verilmiştir ki $f(2)=0$, $f(3)>0$ ve $f(9999)=3333$. Tüm tamsayılar $m$ ve $n$ için aşağıdaki koşul geçerlidir:
\[
f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ or } 1.
\]
$f(1982)$ değerini belirleyin. |
25 | $M = \{1,2,\cdots , 10\}$ olsun ve $T$, $M$'nin 2 elemanlı altkümelerinden oluşan bir küme olsun. $T$ içindeki herhangi iki farklı eleman $\{a,b\}, \{x,y\}$ için, tamsayı $(ax+by)(ay+bx)$ 11'e bölünmez. $T$'nin maksimum eleman sayısını bulun. |
91 | Dizi $(a_n)$ aşağıdaki başlangıç koşulları ve yineleme ilişkileri ile tanımlanır:
- Başlangıç koşulları:
\[ a_1 = 1, \quad a_2 = 0 \]
- $k \in \mathbb{N}$ için yineleme ilişkileri:
\[ a_{2k+1} = a_k + a_{k+1}, \quad a_{2k+2} = 2a_{k+1} \]
$m = 2^{19} + 91$ için $a_m$ değerini bulun. |
36 | \( y = \log_3(\sqrt{x^2+729}+x) - 2\log_3(\sqrt{x^2+729}-x) \) grafiğinin x ekseniyle kesiştiği x değerini bulun. |
10201 | $T$, $2004^{100}$'ün tüm pozitif tam bölenlerinden oluşan küme olsun. $T$'nin bir alt kümesi $S$ için, $S$'deki hiçbir elemanın başka bir $S$ elemanını bölemediği şekilde $S$'nin sahip olabileceği en büyük eleman sayısı kaçtır? |
10 | Kümeler $A$, $B$ ve $C$ aşağıdaki koşulları sağlamaktadır:
- $|A| = 92$
- $|B| = 35$
- $|C| = 63$
- $|A \cap B| = 16$
- $|A \cap C| = 51$
- $|B \cap C| = 19$
$|A \cap B \cap C|$'nin alabileceği olası değerlerin sayısını hesaplayın. |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.