solution stringlengths 1 23 | prompt_tr stringlengths 0 3.2k |
|---|---|
6171 | Pozitif tam sayılar $a, b, c$ öyle olsun ki $a + 2b + 3c = 100$. $M = abc$'nin en büyük değerini bulun. |
2 | Olya, $6^{100}$ sayısının tüm bölenlerini (birimi ve sayının kendisi dahil) temsil eden $n$ için $\frac{1}{n}$ biçiminde kesirleri kartlara yazdı. Bu kartları bir sıraya dizdi.
Sıraya dizdikten sonra, ilk karttaki sayıyı not etti, sonra ilk ve ikinci kartlardaki sayıların toplamını, sonra ilk üç karttaki sayıların top... |
3651427 | Onluk gösteriminde rakamları $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ birer kez kullanılan tüm olası yedi basamaklı doğal sayıları düşünelim. Bu sayıları artan sırada numaralandıralım. $1995^{th}$ sayı hangisi olur? |
1015057 | Aşağıdaki eşitliği sağlayan pozitif tam sayı $n$'yi bulun:
\[
\underbrace{f(f(\cdots f}_{2013 \ f\text{'s}}(n)\cdots ))=2014^2+1
\]
Burada $f(n)$, tam kare olmayan pozitif tam sayıların $n$'incisini gösterir. |
9089 | Bir çokgenin üçgenleştirilmesi, üçgenlerin kenar kenara buluştuğu şekilde çokgenin üçgenlere ayrılmasıdır; bu üçgenlerin köşe kümesinin çokgenin köşe kümesiyle aynı olması özelliğini taşır. Adam rastgele bir düzenli $180$-gonun üçgenleştirmesini seçer. Bundan sonra Bob, bu üçgenleştirmedeki $178$ üçgenden birini seçer.... |
19 | Pozitif bir tamsayı $n>1$ için $g(n)$, $n$'nin kendisinden farklı en büyük pozitif tam bölenini göstersin ve $f(n)=n-g(n)$ olsun. Örneğin, $g(10)=5$, $f(10)=5$ ve $g(13)=1$, $f(13)=12$. $f(f(f(N)))=97$ olacak şekilde $N$'nin en küçük pozitif tamsayısı olsun. Büyüklüğü $\sqrt{N}$'yi aşmayan en büyük tamsayıyı bulun. |
481 | Pozitif tam sayılar $i$ ve $j$ için $d(i,j)$ şöyle tanımlansın:
- Tüm $j$ için $d(1,j) = 1$
- Tüm $i$ için $d(i,1) = 1$
- $i, j > 1$ için $d(i,j) = d(i-1,j) + d(i,j-1) + d(i-1,j-1)$
$d(3,2016)$ sayısının $1000$ ile bölündüğünde kalanını hesaplayın. |
33725 | Dar açılı $ABC$ üçgeninin $BE$ ve $CF$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişir. EHF üçgeninin yüksekliklerinin $BC$ doğrusu üzerinde kesiştiğini varsayın. Eğer $AB=3$ ve $AC=4$ ise $BC^2=\frac{a}{b}$, burada $a$ ve $b$ aralarında asal pozitif tam sayılardır. $100a+b$ değerini hesaplayın. |
5 | Derecesi $4$'ten küçük bir polinom $p$ olsun; $p(x)$ $x = 1$'de maksimum değer alır. Eğer $p(1) = p(2) = 5$ ise $p(10)$ kaçtır? |
203 | Altı pozitif tam sayıdan oluşan $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ dizilerini ele alın; bunlar için $a_1=1$ ve eğer bazı $j>1$ için $a_j=m>1$ ise, $m-1$ sayısı $a_1,a_2,\ldots,a_{j-1}$ dizisinde yer alır. Bu tür diziler arasında $1,1,2,1,3,2$ ve $1,2,3,1,4,1$ bulunur fakat $1,2,2,4,3,2$ bulunmaz. Bu tür altı pozitif tam sayı di... |
47 | Üç küre aynı düzleme ve birbirlerine dıştan teğettir. Bu kürelerin yarıçaplarının $6$, $8$ ve $10$ olduğunu varsayalım. Bu kürelerin düzlemle teğet olduğu noktalar bir üçgenin köşelerini oluşturur. Bu üçgenin çevresinden küçük olan en büyük tam sayıyı belirleyiniz. |
87 | Bir çeşitkenar üçgenin $x$ ve $y$ kenarları $x + \frac{2\Delta}{x} = y + \frac{2\Delta}{y}$ eşitliğini sağlar, burada $\Delta$ üçgenin alanıdır. Verilen $x = 60$ ve $y = 63$ olduğuna göre, üçgenin en uzun kenarının uzunluğunu belirleyin. |
4033 | f: \mathbb{R} \setminus \{-1,1\} \to \mathbb{R} fonksiyonunu şu şekilde tanımlayın:
\[ f(x) = \sum_{a,b=0}^{\infty} \frac{x^{2^a3^b}}{1-x^{2^{a+1}3^{b+1}}} . \]
Varsayalım ki $f(y) - f\left(\frac{1}{y}\right) = 2016$. O zaman $y$'yi en sade biçimde $\frac{p}{q}$ olarak ifade edin. $p+q$'yu bulun. |
30 | Eğer $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olup $3\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}=a\cos\frac{\pi}{b}$ ise, $a+b$ değerini bulun. |
357 | 21 Savage'in 12 araçlık bir garajı var, park yerleri 1, 2, 3, \ldots, 12 şeklinde bir sıra halinde numaralandırılmış. Eğer ardışık numaralı hiçbir üç yer aynı anda dolu olamazsa, 6 özdeş arabasını park etmek için bunlardan 6'sını kaç farklı şekilde seçebilir? |
6561 | $S = \{1, 2, \ldots, 8\}$ olsun. $S$'in iki kesişimsiz alt kümesini seçmenin kaç yolu vardır? |
142 | Verilen bir fonksiyon $p(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$ olsun; her katsayı $a, b, c, d, e,$ ve $f$ ya $1$ ya da $-1$'dir. Eğer $p(2) = 11$ ise, $p(3)$'ün değeri nedir? |
63 | $ABC$ üçgeninde, $AB = 2$, $AC = 1 + \sqrt{5}$ ve $\angle CAB = 54^{\circ}$ verilmiştir. $D$, $AC$'nin $C$ yönündeki uzantısı üzerinde öyle bir noktadır ki $CD = \sqrt{5} - 1$. Eğer $M$ $BD$'nin orta noktası ise, $\angle ACM$'in ölçüsünü derece cinsinden bulun. |
55 | Aşağıdaki diyagramda, \( \overline{AB} \) ve \( \overline{CD} \) paraleldir, \( \angle BXY = 45^\circ \), \( \angle DZY = 25^\circ \) ve \( XY = YZ \). \( \angle YXZ \) açısının ölçüsü kaç derecedir? |
13 | f(x) = x^{2} + ax + b olsun. Tüm sıfırdan farklı gerçek x için:
\[ f\left(x + \frac{1}{x}\right) = f\left(x\right) + f\left(\frac{1}{x}\right) \]
ve $f(x)=0$ denkleminin kökleri tam sayı ise, $a^{2} + b^{2}$ değeri kaçtır? |
1132 | Açıları $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 75^{\circ}$, $\angle C = 45^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeni verilsin, $H$ ortokenteri ve $O$ çevre merkezi olsun. $F$, $AB$ kenarının orta noktası, $Q$ ise $B$'den $AC$'ye indirilen dikmenin ayak noktası olsun. $X$, $FH$ ve $QO$ doğrularının kesişim noktası olsun. $FX$ uzunlu... |
43 | Üçgen $\triangle ABC$'nin kenar uzunlukları $AB = 9$, $BC = 10$, $CA = 11$ olan bir üçgen olsun. $O$, $\triangle ABC$'nin çevrel merkezidir. $D = AO \cap BC$, $E = BO \cap CA$, $F = CO \cap AB$ olarak alınsın. Eğer $\frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{FC}$ ifadesi en sade hâliyle $\frac{a \sqrt{b}}{c}$ şeklinde yazı... |
65 | İki karatahtanız var, $A$ ve $B$. Üzerlerine bazı tamsayılar yazmanız gerekiyor; her bir tamsayı 2 ile 20 arasında (dahil) olmalıdır. Koşul: karatahta $A$ üzerindeki her sayı, karatahta $B$ üzerindeki her sayı ile aralarında asaldır. $A$ ve $B$ üzerine yazılan sayıların sayılarının çarpımının alabileceği en büyük değer... |
8 | $201$ ve $9$'un $24$'e bölündüğünde aynı kalanı verdiğini biliyoruz. $201+k$ ve $9+k$'nin $24+k$'ye bölündüğünde aynı kalanı verdiği en küçük pozitif tamsayı $k$ nedir? |
32 | Şekil, kenar uzunluğu $4$ olan iki eşkenar üçgenin kenar uzunluğu $4$ olan bir karenin iki bitişik kenarına yerleştirilmiş hâlini gösteriyor. İşaretli $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık, iki pozitif tam sayı $m$ ve $n$ için $\sqrt{m}+\sqrt{n}$ şeklinde yazılabilir. $m + n$ değerini bulun. |
2039190 | Hesaplayın \(1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots - 2018^2 + 2019^2\). |
622 | $\triangle ABC$ bir üçgen olsun ve $AB = 10$, $AC = 11$ olsun. $I$, $\triangle ABC$'nin iç teğet çemberinin merkezi olsun. $M$, $AI$'nin orta noktası olup $BM = BC$ ve $CM = 7$ ise, $BC$ şu biçimde ifade edilebilir: $\frac{\sqrt{a}-b}{c}$; burada $a$, $b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır. $a+b+c$'yi bulun. |
24 | Her pozitif tam sayı $k \le \frac{n}{2}$ için, farkı $k$ olan iki pozitif böleni bulunan en büyük tam sayı $n$'yi belirleyin. |
166464 | Üç öğrenci karatahtaya üç adet iki basamaklı tam kare sayıyı yan yana yazar. Sonunda ortaya çıkan 6 basamaklı sayının da bir tam kare olduğunu fark ederler. Bu sayıyı bulun! |
70 | Eğer
\[
\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}}} = \frac{x}{36}.
\]
ise x'i bulun. |
55 | m ve n pozitif tam sayılar olsun öyle ki $x = m + \sqrt{n}$, $x^2 - 10x + 1 = \sqrt{x}(x + 1)$ denkleminin bir çözümüdür. $m + n$'yi bulun. |
5 | Kenarları $a$, $b$ ve $c$ olan bir üçgenin aşağıdaki denklemi sağlaması için var olan pozitif tam sayı $p$ değerlerinin sayısını belirleyin: $$a^2 + (p^2 + 9)b^2 + 9c^2 - 6ab - 6pbc = 0.$$ |
19 | Bir çember üzerinde eşit aralıklarla 15 nokta çizilmiştir ve bu noktalardan 3'ü birleştirilerek rastgele üçgenler oluşturulmaktadır. Kaç tane eş olmayan üçgen çizilebilir? |
239 | Aşağıdaki şekil uzunluğu 6 olan bir yürüyüşü gösterir:
```asy
unitsize(20);
for (int x = -5; x <= 5; ++x)
for (int y = 0; y <= 5; ++y)
dot((x, y));
label("$O$", (0, 0), S);
draw((0, 0) -- (1, 0) -- (1, 1) -- (0, 1) -- (-1, 1) -- (-1, 2) -- (-1, 3));
```
Bu yürüyüşün üç ilginç özelliği var:
- $O$ ile etiketlenm... |
1005 | Graphistan'da $2011$ şehir var ve Graph Air (GA) bu şehirlerin tüm çiftleri arasında tek yönlü uçuşlar düzenliyor. Uçuşlar nasıl düzenlenmiş olursa olsun, yalnızca GA uçuşlarını kullanarak Graphistan'daki herhangi iki şehir arasında seyahat etmenin her zaman mümkün olması için, her bir şehirde çıkan uçuş sayısı ile gel... |
-6066 | Hesaplayın $2023 \cdot \frac{2023^6 + 27}{(2023^2 + 3)(2024^3 - 1)} - 2023^2$. |
628 | Her kenarı uzunluğu 1 olan eşkenar üçgen $ABC$ verilsin. $X$, kenar $\overline{AB}$ üzerinde üniform (eşit olasılıkla) rastgele seçilmiş bir nokta olsun. $Y$, kenar $\overline{AC}$ üzerinde üniform (eşit olasılıkla) rastgele seçilmiş bir nokta olsun. (Noktalar $X$ ve $Y$ birbirinden bağımsız olarak seçilmiştir.) $p$, $... |
4306 | x, y pozitif gerçek sayılar olsun. Eğer \[129-x^2=195-y^2=xy,\] ise $x = \frac{m}{n}$ olarak yazılabiliyor; burada $m, n$ aralarında asal pozitif tam sayılardır. $100m+n$ değerini bulun. |
180 | Pozitif tam sayılar olan \((n, C)\) çiftlerinin sayısını bulun; \(C \leq 100\) ve \(n^2 + n + C\) bir tam kare olacak şekilde. |
2014 | Pozitif tamsayılardan oluşan ve $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n < \ldots$ şeklinde artan bir dizi verilsin öyle ki, $n = 1, 2, 3, \ldots,$
\[ a_{2n} = a_n + n. \]
Eğer $a_n$ asal ise $n$ de asaldır. $a_{2014}$ değerini bulun. |
9 | Ignus Okulu'nda $425$ öğrenci vardır. Bu öğrencilerin $351$'i matematik, $71$'i Latince ve $203$'ü kimya okumaktadır. Bu derslerin birden fazlasını okuyan $199$ öğrenci ve hiçbirini okumayan $8$ öğrenci vardır. Bu üç dersin tamamını okuyan öğrenci sayısını bulun. |
96 | Dört dikdörtgen şerit, her biri $4$ by $16$ inches ölçüsünde, iki dikey şerit iki yatay şerit ile kesişecek şekilde yerleştirilmiş ve tic-tac-toe desenine benzeyen tek bir çokgen oluşturuyor. Bu çokgenin çevresi nedir? |
9 | Aşağıdaki tablonun her karesine $1$'den $17$'ye kadar farklı bir tam sayı yazılmalıdır; öyle ki sekiz sütunun her birindeki sayıların toplamı aynı olsun ve üst sıradaki sayıların toplamı alt sıradaki sayıların toplamının iki katı olsun. $1$'den $17$'ye hangi sayı dışarıda bırakılabilir? |
273 | A parası atıldığında yazı gelme olasılığı $\frac{1}{3}$, B parası yazı gelme olasılığı $\frac{1}{2}$ ve C parası yazı gelme olasılığı $\frac{2}{3}$'tür. Anna paralardan birini rastgele seçer ve onu dört kez atar; üç yazı ve bir tura elde eder. Anna'nın A parasıyla attığı olasılık aralarında asal pozitif tam sayılar $p$... |
7 | Verilen $40$ sayının toplamını $40$ işlemci kullanarak bulmak istiyoruz. Başlangıçta, her işlemcinin ekranında 0 sayısı gösterilmektedir. Her işlemci, ekranındaki sayıya bir birim zamanda doğrudan girilen (işlemcilere yalnızca verilen sayılar doğrudan girilebilir) veya başka bir işlemciden aktarılan bir sayıyı ekleyebi... |
6 | Mars gezegeninde, ihtilaflı $100$ devlet bulunmaktadır. Barış durumu sağlamak için aşağıdaki iki koşulu sağlayan bloklar oluşturulmalıdır:
1. Her blok en fazla $50$ devletten oluşmalıdır.
2. Her çift devlet en az bir blokta birlikte bulunmalıdır.
Oluşturulması gereken blokların minimum sayısını bulun. |
2004001 | Eğer
\[
\sum_{k=1}^{1000}\left( \frac{k+1}{k}+\frac{k}{k+1}\right)=\frac{m}{n}
\]
ve $m,n$ aralarında asal pozitif tam sayılarsa, $m+n$ değerini hesaplayın. |
27 | Açıları tümü tam sayı (derece cinsinden) olan ve birbirine benzemeyen (yani benzer olmayan) üçgenlerin sayısı $N$ ise, $\frac{N}{100}$ kaçtır? |
64008420 | a_1, a_2, \ldots, a_{18} asal sayılardan oluşan bir liste olsun ve $\frac{1}{64} \times a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_{18}$ bir milyon olsun. Aşağıdaki ifadenin bir pozitif tam sayı olduğu tüm pozitif tam sayı $n$'lerin toplamını bulun: $$\sum_{i=1}^{18} \frac{1}{\log_{a_i} n}$$ |
25 | $f_n$ Fibonacci sayıları olsun; $f_0 = 1$, $f_1 = 1$ ve $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$, $n \geq 2$ için. Her $i$ için, $1 \leq i \leq 200$ olmak üzere, $f_i$ ile $f_{2007}$'in en büyük ortak böleni $g_i$'yi hesaplayın. Farklı $g_i$ değerlerinin toplamını belirleyin. |
2128 | Çapı $500$ olan bir dairesel pist, $A$ noktasında çapı $1700$ olan ikinci bir dairesel piste dıştan teğettir. İki koşucu aynı anda $A$ noktasından başlar ve aynı hızla koşarlar. Birinci koşucu daha küçük pistte saat yönünde koşar; ikinci koşucu ise daha büyük pistte saat yönünde koşar. Koşmaya başladıktan sonra, konuml... |
181 | \(100111011_6\)'in en büyük asal böleninin ondalık formunu bulun. |
1010 | 1'den 2020'ye kadar (her iki sınır dahil) kaç tamsayı $n$ vardır ki, $n$'in yalnızca $5$'lerden oluşan bir katı olsun. |
3 | Hesaplayın $\sum_{i=2}^{\infty} \frac{i^2-2}{i!}$. |
60 | Gerçek sayı doğrusunda sıfırı içermeyen herhangi bir aralık $\mathcal{A}$ için, onun tersi $\mathcal{A}$'daki her $x$ için $\frac{1}{x}$ biçimindeki sayıların kümesi olarak tanımlansın. Pozitif tamsayılar $(m, n)$ şeklindeki ve $m < n$ koşulunu sağlayan sıralı çiftlerin sayısını hesaplayın ki $[m, n]$ aralığının uzunlu... |
1 | n herhangi bir pozitif tam sayı olsun. \( S_n = \sum_{r=0}^n 2^{r-2n} \binom{2n-r}{n} \) ifadesini hesaplayın. |
108 | Üçgen $ABC$ ikizkenar olup $AB = BC$'dir. Kenar $[BC]$ üzerindeki $F$ noktası ile $AC$ üzerindeki $D$ noktası sırasıyla A'dan çizilen iç açıortayın ve B'den çizilen yüksekliğin ayaklarıdır; öyle ki $AF = 2BD$. $\angle ABC$ açısının ölçüsünü bulun. |
7 | $n + 1$, $n + 3$, $n + 4$, $n + 5$, $n + 6$ ve $n + 8$ sayıların her biri bileşik olan tüm pozitif tamsayılar $n$'lerden oluşan küme $S$ olsun. Aşağıdaki özelliğe sahip en büyük tamsayı $k$'yı belirleyin: Her $n \in S$ için, \{$n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8, n + 9$\} kümesinde en az $k$ ardı... |
7 | Hangi tek basamaklı $n$ için $91$, 9 basamaklı $12345n789$ sayısını tam böler? |
61 | Yamuk $ABCD$'de, $AB < CD$, $AB \perp BC$, $AB \parallel CD$ ve köşegenler $AC$ ve $BD$, $P$ noktasında birbirlerine diktir. $A$'nın ötesinde ışın $CA$ üzerinde bir $Q$ noktası vardır öyle ki $QD \perp DC$. Eğer
\[\frac{QP}{AP} + \frac{AP}{QP} = \left( \frac{51}{14} \right)^4 - 2,\]
ise $\frac{BP}{AP} - \frac{AP}{BP}$,... |
1164 | Bir $24$ saatlik dijital saat $h : m : s$ zamanlarını gösterir, burada $h$, $m$ ve $s$ tam sayılardır ve $0 \leq h \leq 23$, $0 \leq m \leq 59$, ve $0 \leq s \leq 59$. Kaç tane $h : m : s$ zamanı $h + m = s$ koşulunu sağlar? |
16 | $P$, ilk $50$ sıfır olmayan kare sayının çarpımı olsun. $7^k$'nın $P$'yi böldüğü en büyük tam sayı $k$'yı bulun. |
95 | Beş deniz feneri, sırasıyla $A, B, C, D$, ve $E$ noktalarında, çapı $10$ mil olan bir gölün kıyısı boyunca yer almaktadır. $AD$ ve $BE$ parçaları çemberin çaplarıdır. Gece, $A$'da otururken, $B, C, D$, ve $E$'den gelen ışıklar ufuk boyunca eşit aralıklarla görünür. Beşgen $ABCDE$'nin çevresi (mil cinsinden) $m + \sqrt{... |
45 | Ortalaması ve medyanı her ikisi de tam sayı olan \( \{20, 42, 69, n\} \) kümesinin tüm pozitif tamsayı n değerlerinin toplamını bulun. |
5 | Eşitsizlikleri sağlayan pozitif tam sayı $n$'lerin sayısını bulun.
\[
2^{n-1} < 5^{n-3} < 3^n.
\] |
0 | Tüm $x, y \in \mathbb{R}$ için $f(x + y) = f(x) + f(y) + f(xy)$ olacak şekilde $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulun. |
20 | Harflar $R$, $M$ ve $O$ tam sayıları temsil etmektedir. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa:
1. $R \times M \times O = 240$,
2. $R \times O + M = 46$,
3. $R + M \times O = 64$,
$R + M + O$ değeri nedir? |
50 | Pozitif bir tamsayı $N \ge 2$ "özel" olarak adlandırılsın eğer her $k$ için $2 \leq k \leq N$, $N$, $N$ ile aralarında asal olan (ancak birbirleriyle aralarında asal olmaları gerekmez) $k$ adet pozitif tamsayının toplamı olarak ifade edilebiliyorsa. 100'den küçük kaç tane "özel" tamsayı vardır? |
35 | Aşağıdaki kongruansları sağlayan en küçük pozitif tamsayı $x$'i hesaplayın:
1. $x^2 - 8x + 1 \equiv 0 \pmod{22}$
2. $x^2 - 22x + 1 \equiv 0 \pmod{8}$ |
795 | S = \{1, 2, 3, \ldots, 19, 20\} kümesinin $3$ elemanlı kaç altkümesi vardır ki, elemanlarının çarpımı $4$'e tam bölünsün? |
61 | $\triangle ABC$ bir üçgen olsun ve $l$, onun iç merkezi ve ağırlık merkezinden geçen doğru olsun. $B$ ve $C$'nin $l$'nin aynı tarafında olduğunu ve $B$'den $l$'ye olan uzaklığın $C$'den $l$'ye olan uzaklığın iki katı olduğunu varsayın. Ayrıca $BA$ uzunluğunun $CA$ uzunluğunun iki katı olduğunu varsayın. Eğer $\triangle... |
3 | İki farklı benzer eşkenar dörtgen bir köşegeni paylaşıyor. Daha küçük eşkenar dörtgenin alanı $1$, daha büyük eşkenar dörtgenin alanı $9$. Daha büyük eşkenar dörtgenin kenar uzunluğunu bulun. |
16808 | Merkezi O olan ABCD dikdörtgeninde AB = 10 ve BC = 8'dir. γ çemberi O merkezlidir ve \overline{AB} ile \overline{CD} kenarlarına teğettir. M ve N noktaları sırasıyla \overline{AD} ve \overline{BC} üzerinde yer almaktadır. \overline{MN} doğru parçası γ ile iki farklı noktada, P ve Q'da kesişir; P, M ile Q arasında yer a... |
21 | 100 ile 200 arasındaki asal sayılardan $x^{11} + y^{16} \equiv 2013 \pmod{p}$ denkliği tam sayılar $x$ ve $y$ için bir çözümü olanların sayısını bulun. |
1008 | Bir çember üzerinde $2018$ nokta işaretlenmiştir. Bu noktalardan her biri bir tam sayıyla etiketlenmiştir. Saat yönünde ilerlerken her bir sayı, kendisinden önce gelen iki sayının toplamından daha büyük olsun. Böyle bir $2018$ tam sayı konfigürasyonunda bulunabilecek en fazla pozitif tam sayı sayısını belirleyin. |
1023 | Stacy'nin $d$ doları var. 10 mağazası ve bir piyango standı olan bir alışveriş merkezine girer. İlk olarak piyango standına gider ve parası iki katına çıkar. Sonra ilk mağazaya girer ve $1024$ dolar harcar. Bundan sonra, parası iki katına çıkan piyangoyu oynamak (Stacy her zaman kazanır) ile yeni bir mağazaya girip her... |
3 | $a$ pozitif bir sayı olsun. $2 < xa < 3$ eşitsizliğinin tam sayı çözümleri olan $x$ sayısını bulun; verilmiştir ki $1 < xa < 2$ eşitsizliğinin tam sayı çözümleri sayısı tam olarak 3'tür. Tüm olası durumları göz önünde bulundurun. |
15 | İki basamaklı bir tamsayı, basamaklarının toplamına bölündüğünde oluşabilecek en büyük kalan nedir? |
102 | Üzerinde $102 \times 102$ kare bulunan bir kareli kağıt ve şekli bilinmeyen, 101 hücreden oluşan bağlı bir figür vardır. Bu kareden, şekli ne olursa olsun, böyle figürlerden garantiyle en fazla kaç tane kesilebilir? Hücrelerden oluşan bir figür, herhangi iki hücresi, aralarındaki bitişik hücrelerin ortak bir kenarı pay... |
998 | 2008'den büyük kaç tane dört basamaklı sayı $8$'in katıdır? |
706 | Üç adil altı yüzlü zar atıyorsunuz. Atılan üç zarın en yükseği $5$ olduğuna göre, üç zarın toplamının beklenen değeri en sade hâliyle $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilir. $a + b$'yi bulun. |
17 | $(a_n)_{n \geq 0}$ dizisinin tamsayılardan oluştuğunu ve $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ ve $a_{n+2} = 4a_{n+1} + a_n$ ($n \geq 0$ için) şeklinde özyinelemeli olarak tanımlandığını kabul edelim. $a_{1986}$ ve $a_{6891}$'in ortak bölenlerini bulun. |
16 | Eğer $a, b, c \ge 4$ tam sayılar, hepsi eşit değil ve $4abc = (a+3)(b+3)(c+3)$ ise, o zaman $a+b+c$ kaçtır? |
875 | 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 2009 \cdot 2011 çarpımının son üç basamağını bulun. |
1984 | Tüm tek pozitif tamsayılar $n$ için $529^n + m \cdot 132^n$ ifadesinin $262417$ ile bölünebilmesi için en küçük pozitif tamsayı $m$'yi belirleyin. |
173 | William kara tahtaya $1$ sayısını yazar. Her hamlede, tahtadaki mevcut $N$ sayısını siler ve yerine ya $4N + 1$ ya da $8N + 1$ koyar; bu işlemler sayı $1000$'ü aşana kadar devam eder, aşınca artık hamle yapılmaz. Tahtadaki son sayının alabileceği en küçük değer $M$ ise, $M$'in $1000$ ile bölümünden kalanı bulun. |
82 | Şunu bulun: $ \#\left\{ (x,y)\in\mathbb{N}^2\bigg| \frac{1}{\sqrt{x}} -\frac{1}{\sqrt{y}} =\frac{1}{2016}\right\} $, burada $ \# A $ ifadesi $ A $'nın kardinalitesidir. |
210 | $xy$-düzleminde
\[\min_{1 \le n \le 10} \max\left(\frac{x^2+y^2}{4n^2}, \, 2 - \frac{x^2+y^2}{4n^2-4n+1}\right) \le 1\]
eşitsizliğini sağlayan bölgenin alanı $k\pi$ şeklindedir; burada $k$ bir tamsayıdır. $k$'yı bulun. |
17 | 1 ile 9 (dahil) arasındaki tam sayılar bir $3 \times 3$ ızgaranın karelerine yerleştirilmiştir. Her kare farklı bir tam sayı içerir. Birinci ve ikinci satırlardaki tam sayıların çarpımları sırasıyla $60$ ve $96$'dır. Üçüncü satırdaki tam sayıların toplamını bulun. |
1 | Varsayalım $a, b$ pozitif gerçek sayılardır öyle ki $a + a^2 = 1$ ve $b^2 + b^4 = 1$. $a^2 + b^2$'yi hesaplayın. |
273 | Princeton Matematik Kulübü yakın zamanda bir hisse senedini $\$2$'ye aldı ve on üç gün sonra $\$9$'a sattı. Hisse her gün ya $\$1$ artıyordu ya da $\$1$ azalıyordu ve hiçbir zaman $\$0$'a ulaşmadığına göre, bu on üç gün boyunca hisse fiyatı kaç farklı şekilde değişmiş olabilir? |
217 | Üç torba var:
1. A torbası 3 yeşil şeker ve 1 kırmızı şeker içerir.
2. B torbası 2 yeşil şeker ve 2 kırmızı şeker içerir.
3. C torbası 1 yeşil şeker ve 3 kırmızı şeker içerir.
Bir çocuk rastgele bir torba seçer, o torbadan rastgele bir ilk şekeri seçer ve şekeri yer.
- Eğer ilk şeker yeşil ise, çocuk diğer iki torba... |
14 | Aşağıdaki yıldız şeklindeki figürde, tüm kenar uzunlukları $3$ ve figürün üç en büyük açısı $210$ derece ise, alanı $\frac{a \sqrt{b}}{c}$ şeklinde ifade edilebilir; burada $a$, $b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır, $a$ ve $c$ aralarında asal ve $b$ kare içermeyen bir tam sayıdır. $a + b + c$ toplamını hesaplayın. |
1685 | Verilsin ki $x_{n+2}=\dfrac{20x_{n+1}}{14x_n}$, $x_0=25$, $x_1=11$. Buna göre $\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x_{3n}}{2^n}=\dfrac{p}{q}$ olur; burada $p,q$ pozitif tamsayılar ve $\text{GCD}(p,q)=1$. $p+q$ değerini bulun. |
35 | Camilla, şehir içinde sabit bir hızla $20$ mil ve kırsalda, şehirdeki hızından saatte $20$ mil daha yüksek olan sabit bir hızla $40$ mil sürdü. Tüm yolculuğu bir saat sürdü. Camilla'nın kırsalda kaç dakika sürdüğünü, en yakın dakikaya yuvarlayarak bulun. |
52 | Aşağıdaki koşulları sağlayan üç basamaklı sayıların sayısını belirleyin:
- İlk iki basamaktan oluşan sayı asal olsun.
- Son iki basamaktan oluşan sayı asal olsun. |
0 | n \ge 0 için tanımlı $\{a_n\}$ dizisi $a_0 = c$ olarak verilmiş olsun ve $n \ge 0$ için,
$$a_n = \frac{2a_{n-1}}{4a^2_{n-1} - 1}.$$
$a_{2020}$ tanımlı fakat $a_{2021}$ tanımlı olmayan tüm $c$ değerlerinin toplamını hesaplayın. |
173 | Shrek $5$ topu $5$ boş kutuya atar; her topun hedefi rastgele ve eşit olasılıkla seçilir. Shrek topları attıktan sonra tam olarak bir boş kutu olma olasılığı $\frac{m}{n}$ biçiminde yazılabilir; burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılardır. $m + n$ değerini hesaplayın. |
445 | x gerçek bir sayı olsun öyle ki $3 \sin^4 x - 2 \cos^6 x = -\frac{17}{25}$. O halde $3 \cos^4 x - 2 \sin^6 x = \frac{m}{n}$, burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılardır. $10m + n$ değerini bulun. |
5 | Bu sorunun cevabı $m$ olsun. $2m - 5$'in değeri nedir? |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.