solution string | prompt_tr string |
|---|---|
401 | Dizideki 101, 104, 109, 116, $\dots$ sayıları $a_n = 100 + n^2$ şeklindedir, burada $n = 1, 2, 3, \dots$. Her $n$ için $d_n$, $a_n$ ile $a_{n + 1}$'in en büyük ortak bölenidir. $n$ pozitif tam sayıları alırken $d_n$'nin alabileceği en büyük değeri bulun. |
122 | Eğer $4 \cos \theta - 3 \sin \theta = \frac{13}{3},$ o zaman $7 \cos 2\theta - 24 \sin 2\theta = \frac{m}{n}$ olur; burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tamsayılardır. $m + n$ değerini bulun. |
6 | Bir dizi $\{a_n\}$ aşağıdaki koşulları sağlar:
- $a_0 = 0$
- $a_1 = a_2 = 1$
- $a_{3n} = a_n$
- $a_{3n+1} = a_{3n+2} = a_n + 1$
tüm $n \geq 1$ için. $a_{2021}$'i hesaplayın. |
250 | Euler'in formülüne göre, $V$ köşesi, $E$ kenarı ve $F$ yüzü olan bir konveks çokyüzlü için $V - E + F = 2$. Belirli bir konveks çokyüzlünün 32 yüzü vardır; her yüz ya bir üçgendir ya da bir beşgendir. Her bir $V$ köşesinde $T$ üçgen yüz ve $P$ beşgen yüz birleşir. $100P + 10T + V$'nin değeri nedir? |
3989 | $f(x) = x^3 + 3x - 1$'in kökleri $a, b, c$ olsun. \(\frac{1}{a^3 + b^3} + \frac{1}{b^3 + c^3} + \frac{1}{c^3 + a^3}\)'in \(\frac{m}{n}\) şeklinde yazılabildiği, \(m, n\) pozitif tam sayılar ve \(\gcd(m, n) = 1\) olduğu verilmişse, \(100m + n\) değerini bulun. |
1016060 | George Washington Köprüsü $2016$ metre uzunluğundadır. Sally köprünün üzerinde, sol ucundan $1010$ metre uzaklıkta durmaktadır. Her adımda, $1$ metre sola ya da $1$ metre sağa hareket eder, her biri $\frac{1}{2}$ olasılıkla. Köprünün bir ucuna ulaşmak için kaç adım atmasını bekleriz? |
4648 | $2014$ ile aralarında asal olan $10000$'e kadar (dahil) pozitif tam sayıların sayısını hesaplayın. |
1 | Masada $2022$ taş var. Oyunun başında Öğretmen Tseng pozitif bir tam sayı $m$ seçecek ve Ming ile LTF'nin bir oyun oynamasına izin verecek. LTF ilk hamleyi yapar ve kendi turunda en fazla $m$ taş kaldırabilir. Daha sonra iki oyuncu sırayla taş çıkarır. Her turda en az bir taş çıkarmak zorundadırlar ve son hamleyi yapan... |
2015000 | $a$, $b$, $c$ polinomu $P(x) = x^3 - 10x^2 + x - 2015$'in farklı kökleri olsun. Kübik polinom $Q(x)$ monik olup kökleri $bc-a^2$, $ca-b^2$, $ab-c^2$ farklıdır. $Q$'nün katsayılarının toplamı nedir? |
5 | Aşağıdaki denklemin çözüm sayısını bulun:
$$6\{x\}^3 + \{x\}^2 + \{x\} + 2x = 2018.$$
$\{x\}$ ile $x$ sayısının kesirli kısmını gösteriyoruz. |
93 | Alfred ve Bonnie, sırayla adil bir madeni para atan bir oyun oynarlar. Oyunu kazanan, ilk yazıyı elde eden kişidir. Alfred ve Bonnie bu oyunu birden çok kez oynarlar; kurala göre bir oyunu kaybeden kişi bir sonraki oyuna ilk başlar. Alfred ilk oyuna başlasın ve onun altıncı oyunu kazanma olasılığı $\frac{m}{n}$ olsun, ... |
8 | Bir sabah, Manjul'un ailesinin her üyesi kahve ve süt karışımından $8$ ons içti. Kahve ve süt miktarları bardaktan bardağa değişiyordu, ancak hiçbir zaman sıfır değildi. Manjul toplam süt miktarının $\frac{1}{7}$'sini ve toplam kahve miktarının $\frac{2}{17}$'sini içti. Manjul'un ailesinde kaç kişi var? |
3 | Bob, küresel bir kişi, huzur içinde yüzüyorken dev turuncu balık Dave onu kuyruğuyla 23 m/s hızla düz yukarı fırlatır. Bob'un yoğunluğu 100 $\text{kg/m}^3$ ise, $f(r)$, Bob yeniden suya indiğinde merkezinin suyun altında ne kadar battığını (fırlatıldığında merkezinin su seviyesinde olduğunu varsayarak) gösteren fonksiy... |
8 | Tüm tam sayılar $x$ için $x^4 + a^2$ asal olmayan en küçük pozitif tam sayı $a$'yı bulun. |
2021 | Broady The Boar, üzerinde $2021$ nokta bulunan ve saat yönünde bu sırayla etiketlenmiş $0$, $1$, $2$, \ldots, $2020$ şeklinde bir çemberden oluşan bir masa oyunu oynuyor. Broady, rastgele $1$ ile $2020$ (dahil) arasındaki tam sayılardan birini veren $2020$ yüzlü bir zar atıyor.
Broady, $0$ ile etiketlenmiş noktadan ba... |
36 | $3^n$'nin $70! + 71! + 72!$'yi böldüğü en büyük pozitif tam sayı $n$'yi bulun. |
44 | Herhangi bir a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_{2014} \ge 0 şeklinde verilen negatif olmayan reel sayılar için aşağıdaki eşitsizliğin sağlandığı en büyük doğal sayı m'yi belirleyin: $$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_m}{m} \ge \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{2014}^2}{2014}}.$$ |
2 | Sağdan sayarsak, $10000!$'in $2500$'üncü basamağı nedir? |
9 | $5^5 + 6^6 + 7^7 + 8^8 + 9^9$ ifadesinin son basamağını belirleyin. |
132 | Birbirinden farklı gerçek sayılar $a,b,c$ için $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ koşulunu sağlayanlar yokken, bu özelliğe sahip karmaşık sayılar vardır. $a,b,c$ karmaşık sayılar olsun ve $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca$ ile $|a+b+c| = 21$ sağlansın. $|a-b| = 2\sqrt{3}$, $|a| = 3\sqrt{3}$ verildiğine göre $|b|^2+|c|^2$ değerini hesaplay... |
8 | \[2008^{2007^{\cdot^{\cdot^{\cdot ^{2^1}}}}}.\] ifadesinin son üç basamağını bulun. |
71622400 | Wu tam olarak bir madeni parayla başlar. Her yıl, Wu sahip olduğu tüm paraları aynı anda atar. Attığı her yazı için Wu bir madeni para alır, attığı her tura için ise bir madeni para kaybeder. Bu işlemi, $0$ madeni parası olana kadar her yıl sürdürür; bu noktada durur. Wu'nun tam olarak beş yıl sonra durma olasılığı $\f... |
-8 | Üç sıfırdan farklı gerçek sayı $a$, $b$ ve $c$ şu koşulları sağlasın: $a + b + c = 0$ ve $a^4 + b^4 + c^4 = 128$. $ab + bc + ca$'nın alabileceği tüm olası değerleri belirleyin. |
55 | Pozitif gerçek sayılar $a$, $b$, $c$ için:
\[
\frac{5}{a} = b+c, \quad
\frac{10}{b} = c+a, \quad \text{and} \quad
\frac{13}{c} = a+b.
\]
Eğer $a+b+c = \frac{m}{n}$ ve $m$, $n$ aralarında asal pozitif tamsayılar ise, $m+n$'i hesaplayın. |
2800 | Soldan sağa bir sırada dizilmiş beş nokta vardır. Her nokta beş renkten biriyle boyanmıştır; hiçbir üç ardışık nokta aynı renkte değildir. Noktaları boyamanın kaç farklı yolu vardır? |
42 | Bir dar açılı üçgen $ABC$'nin kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ olup $a$, $b$, $c$ bir aritmetik dizi oluşturur. Üçgen $ABC$'nin alanı bir tam sayı olduğuna göre çevresinin en küçük değeri nedir? |
75 | Üç basamaklı $999$ sayısı özel bir özelliğe sahiptir: $27$ ile bölünür ve rakamlarının toplamı da $27$ ile bölünür. Dört basamaklı $5778$ sayısı da bu özelliğe sahiptir; $27$ ile bölünür ve rakamlarının toplamı da $27$ ile bölünür. Bu özelliğe sahip kaç dört basamaklı sayı vardır? |
251 | ABC bir üçgen olsun; $AB=6$, $AC=7$, ve $BC=8$ olsun. $H$, $\triangle ABC$'nin ortocentri ve $H'$ ise $H$'nin $BC$'nin orta noktası $M$'ye göre yansıması olsun. İfade $\frac{[ABH']}{[ACH']}$, $\frac{p}{q}$ şeklinde yazılabilir. $p+q$'yi bulun. |
48 | $x^2 + y^2 + z^2 = 34$ olacak şekilde kaç tane sıralı tam sayı üçlüsü $(x, y, z)$ vardır? |
7 | Bir bijektif fonksiyon \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) için, bir fonksiyon \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)'in onun süperinversi olduğunu, aşağıdaki özdeşliği sağlıyorsa söyleriz:
\[(f \circ g)(x) = g^{-1}(x)\]
burada \(g^{-1}\) \(g\)'nin tersidir. Verilen:
\[g(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 81\]
ve \(f\) onun süperinvers... |
149 | Üçgen $\triangle ABC$'de $\angle{A}=90^\circ$ ve $BC=12$. $BCDE$ karesi, $A$ içte kalacak şekilde çizilmiştir. $A$'dan geçen ve $\triangle ABC$'nin çevrel çemberine teğet olan doğru, sırasıyla $CD$ ve $BE$ ile $P$ ve $Q$ noktalarında kesişir. Eğer $PA=4\cdot QA$ ve $\triangle ABC$'nin alanı aralarında asal pozitif tams... |
211 | Yakın zamanda bir matematik yarışmasında, Evan'dan $100 < p < 500$ koşulunu sağlayan bir asal sayı $p$ için $2^{2016} \pmod{p}$'yi bulması istendi. Evan asal sayı $p$'yi unuttu, ancak nasıl çözdüğünü hâlâ hatırlıyor:
- Evan önce $2016$'yı $p - 1$ ile mod almayı denedi, ancak $100$'den büyük bir $e$ değeri elde etti.
-... |
210 | Çiftçi James, her pozitif tam sayı $n \leq 6$ için değeri $n!$ sent olan bir $n$-madeni para olacak şekilde yeni bir para birimi icat eder. Ayrıca her $n$-madeni parasından tam olarak $n$ adet vardır. Bir tam sayı $k$, Çiftçi James her tür madeni paradan en az bir kopya kullanarak $k$ sent yapabiliyorsa *nice* olarak a... |
1018081 | Bir $2018 \times 2018$ boyutlu tahta, $1 \times 1$ boyutunda birim hücrelere ayrılmıştır. Tahtanın bazı hücrelerine siyah pullar, bazılarında beyaz pullar yerleştirilmiştir (her hücrede en fazla bir pul bulunur).
İlk olarak, içinde beyaz pul bulunan sütunlardaki tüm siyah pulları kaldırıyoruz. Sonra, içinde siyah pul... |
49 | Kaç adet tam sayı $n$ değeri $3 \le n \le 99$ için $x^2 + x + 1$ polinomu $x^{2^n} + x + 1$ polinomunu böler? |
511 | Bir tavuk yetiştiricisi geçen yıl her bir civciv için aldığı fiyatı kontrol etmeye gitti. Yarım silinmiş bir fatura buldu; üzerinde şöyle yazıyordu: \(72\) civciv \(*679*\) escudos" (birler ve on binler basamağındaki rakamlar okunmuyordu). Geçen yıl her bir civciv hangi fiyata satılmıştı? |
6 | Aşağıdaki şartları sağlayan tüm pozitif tamsayıları $n$ bulun: $n$ mükemmel sayı ve $\varphi(n)$ $2$'nin bir kuvvetidir. |
3225 | ABCD, kenar uzunluğu $2$ olan bir kare olsun. M ve N sırasıyla $\overline{BC}$ ve $\overline{CD}$ parçalarının orta noktaları olsun ve X ile Y ise sırasıyla $A$'dan $\overline{MD}$'ye ve $\overline{NB}$'ye indirilen dikmelerin ayakları olsun. $\overline{XY}$ parçasının uzunluğunun karesi, $p$ ve $q$ pozitif, aralarında... |
111 | Üç kare toplamı olarak yazılamayan doğal sayıların kümesi $S$ olsun. Legendre'in üç kare teoremi, $S$'nin tam olarak $4^a(8b+7)$ biçimindeki tamsayılardan oluştuğunu söyler; burada $a$ ve $b$ negatif olmayan tam sayılardır. $n$ ve $n+1$ her ikisi de $S$'de olan en küçük $n\in\mathbb{N}$'yi bulun. |
564 | Bir yamukta kenar uzunlukları şekilde gösterildiği gibidir, uzunlukları $11$ ve $36$ olan kenarlar paraleldir. Yamukun alanını hesaplayın.
 |
100 | Dört arkadaş bir top satın aldı. Birinci arkadaş topun toplam fiyatının yarısını ödedi. İkinci arkadaş, diğer üç arkadaşın ödediği toplam miktarın üçte birini katkıda bulundu. Üçüncü arkadaş, diğer üç arkadaşın ödediği toplamın dörtte birini ödedi. Dördüncü arkadaş $5 ödedi. Toplamda top ne kadara mal oldu? |
20 | $\binom{200}{100}$'in son iki basamağını bulun. Cevabı $0$ ile $99$ arasında bir tamsayı olarak ifade edin. (ör. son iki basamak $05$ ise, sadece $5$ yazın). |
2011 | \( S = |x + 1| + |x + 5| + |x + 14| + |x + 97| + |x + 1920| \) ifadesinin en küçük değerini bulun. |
0 | \( \sum_{i=1}^{2016} i(i+1)(i+2) \pmod{2018} \) değerini bulun. |
1 | Üçünün de böleni olan en büyük pozitif tam sayıyı belirleyin: \( A=2^{2010}\times3^{2010} \), \( B=3^{2010}\times5^{2010} \) ve \( C=5^{2010}\times2^{2010} \). |
90 | $AB$, çember $O$'nun çapıdır. Çember $O$ üzerinde rastgele bir $P$ noktası seçilir öyle ki $AP = 4$ ve $BP = 3$. Çember $O$ üzerinde $C$ ve $D$ noktaları çizilir; $OC$, $AP$'yi iki eşit parçaya böler ve $OD$, $BP$'yi iki eşit parçaya böler. $\angle COD$ açısının ölçüsü kaç derecedir? |
-1 | Eğer \((2^x - 4^x) + (2^{-x} - 4^{-x}) = 3\) ise, aşağıdaki ifadenin sayısal değerini bulun:
\[
(8^x + 3\cdot 2^x) + (8^{-x} + 3\cdot 2^{-x}).
\] |
11 | Beto bilgisayarıyla aşağıdaki oyunu oynar: başlangıçta, bilgisayar $1$ ile $2015$ arasından rastgele $30$ tam sayı seçer ve Beto bunları bir kara tahtaya yazar (aynı sayıların tekrarlanması mümkün olabilir). Her hamlede Beto pozitif bir tam sayı $k$ ve kara tahtaya yazılı sayılardan bir kısmını seçer ve seçtiği her say... |
112 | Varsayalım ki $a$, $b$, $c$ ve $d$ gerçek sayılardır ve $a+b+c+d=8$. Aşağıdakinin alabileceği en küçük değeri hesaplayın
\[20(a^2+b^2+c^2+d^2)-\sum_{\text{sym}}a^3b,\]
burada toplam tüm 12 simetrik terimi kapsar. |
1006 | Xavier rastgele olarak $1$'den $2011$'e kadar olan sayıların bir permütasyonunu seçer; her permütasyonun seçilme olasılığı eşittir. Daha sonra permütasyonu artan ve ardışık alt dizilere böler; her alt dizi mümkün olduğunca uzun olacak şekilde. Bu tür alt dizilerin beklenen sayısını hesaplayın.
Açıklama: Artan ardışık ... |
40 | Üç doğru $m$, $n$ ve $\ell$ bir düzlemde bulunur ve hiçbiri birbirine paralel değildir. $m$ ile $n$ doğruları $14^{\circ}$'lik bir dar açı yapar ve $m$ ile $\ell$ doğruları $20^{\circ}$'lik bir dar açı yapar. Derece cinsinden, $n$ ile $\ell$ doğruları arasında oluşabilecek tüm dar açıların toplamını bulun. |
60 | İlk kelime bir harflidir, her kelime önceki kelimenin herhangi bir yerine bir harf eklenerek elde edilebilir ve son kelime $\text{CCAMT}$'dir. Bu özellikleri taşıyan kaç kelime dizisi (dilbilgisel olarak doğru olmaları şart değil) vardır? İşte olası dizilere örnekler:
- $C, CA, CAM, CCAM, CCAMT$.
- $A, AT, CAT, CAMT, ... |
105 | İlk $1000$ pozitif tamsayının kaçı $3^0$, $3^1$, $3^2$, $\ldots$ dizisinden seçilen birbirinden farklı sonlu sayıda terimin toplamı olarak yazılabilir? |
90 | $ABCD$ dörtgeni ikizkenar bir yamuktur ve $AB = CD = 1$, $BC = 2$, ve $DA = 1 + \sqrt{3}$. $\angle ACD$ açısının ölçüsü kaç derecedir? |
31 | $pq \mid 15(p-1)(q-1)$ olacak şekilde $p \le q$ olan tüm asal sayı çiftleri için $pq$ toplamını bulun. |
2014 | Aşağıdaki özellikleri sağlayan gerçek katsayılı bir polinomun var olduğu en küçük pozitif tamsayı $n$'yi bulunuz:
\[ P(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_1x + a_0 \]
- $i = 0, 1, \dots, 2n$ için $2014 \leq a_i \leq 2015$ geçerlidir.
- $P(\xi) = 0$ olacak bir gerçek sayı $\xi$ vardır. |
45 | Ailenin yaklaşan tatili için hazırlık olarak, Tony yolculuk için her biri bir güne ayrılmış beş torba jelibon hazırlıyor; her torbada eşit sayıda jelibon var. Tony sonra beş torbadaki tüm jelibonları boşaltır ve onlarla desenler yapmaya başlar. Yaptığı desenlerden biri üst sırada bir jelibon, bir sonraki sırada üç jeli... |
141 | p ve q pozitif tamsayılar olsun; $p$ bir asal sayıdır, $p$ $q-1$'i böler ve $p+q$ $p^2+2020q^2$'yi böler. Olası $p$ değerlerinin toplamını bulun. |
162 | Asal çarpanlarının toplamı $14$ olan en büyük tam sayı nedir? |
7 | $a$'yı $n$ basamaklı bir sayı ($n > 1$) olarak alalım. $a$'nın iki kopyasının ard arda yazılmasıyla $2n$ basamaklı bir $b$ sayısı elde edilir. Eğer $\frac{b}{a^2}$ bir tam sayı $k$ ise, $k$'nin alabileceği değerleri bulun. |
1278 | Bir destede 27 farklı kart var ve her kartın üzerinde üç değer bulunur. Birinci değer $\{\Delta,\square,\odot\}$ kümesinden bir şekil; ikinci değer $\{A,B,C\}$ kümesinden bir harf; üçüncü değer ise $\{1,2,3\}$ kümesinden bir sayıdır.
Desteden sırasız 3 kartlık bir küme kaç farklı şekilde seçilebilir, öyle ki seçilen h... |
4 | Her biri sıfır olmayan rakamlardan oluşan bir $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$ dizisinin var olduğu en büyük $n$'yi bulun; öyle ki her $k$ için, $1 \le k \le n$, $k$ basamaklı sayı $\overline{a_{k-1} a_{k-2} \ldots a_0} = a_{k-1} 10^{k-1} + a_{k-2} 10^{k-2} + \cdots + a_0$, $(k+1)$ basamaklı sayı $\overline{a_{k} a_{k-1}a_{k-... |
14 | Sıfır olmayan rakamlar a ve b olan iki basamaklı $\overline{ab}$ sayılarından a ve b'nin her ikisinin de $\overline{ab}$'i böldüğü kaç tane olduğunu hesaplayın. |
1023 | $\binom{0}{0}, \binom{1}{0}, \binom{1}{1}, \binom{2}{0}, \binom{2}{1}, \binom{2}{2}, \binom{3}{0}, \ldots$ dizisinin ilk $55$ teriminin toplamını bulun.
Not: $n$ ve $k$ negatif olmayan tamsayılar ve $0 \leq k \leq n$ olduğunda, $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. |
577 | $S$, $x$, $y$, $z$ birbirinden farklı olan sıfır veya pozitif tam sayılar için $2^x + 2^y + 2^z$ biçimindeki tam sayılardan oluşan küme olsun. $S$'nin en küçük 100. elemanını belirleyin. |
252 | Doğal sırasındaki alfabe $\text{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$, $T_0$'dır. $T_0$'e bir permütasyon uygulayarak $T_1$ elde ediyoruz; $T_1$, $\text{JQOWIPANTZRCVMYEGSHUFDKBLX}$'dir. Aynı permütasyonu $T_1$'e uygularsak $T_2$ elde ederiz; $T_2$, $\text{ZGYKTEJMUXSODVLIAHNFPWRQCB}$'dir. Bu permütasyonu her $T_m$'ye uygulamay... |
99 | 1 \leq n \leq 2017 aralığında ve $(n-2)(n-0)(n-1)(n-7)$ ifadesi $1001$'in katı olan kaç tamsayı $n$ vardır? |
19 | Pozitif asal sayılardan \(p < q < r\) olacak şekilde tek bir üçlü \((p, q, r)\) olduğu verilmiştir ve
\[
\frac{p^3 + q^3 + r^3}{p + q + r} = 249.
\]
\(r\)'yi bulun. |
50 | Tahtada, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir ızgara halinde düzenlenmiş $25$ nokta vardır. Gastón, bir karenin köşelerini oluşturacak $4$ nokta seçmelidir. Bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?
$$
\begin{matrix}
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\... |
457 | \[ \left\lfloor \frac{51525354555657\dots979899}{50} \right\rfloor. \] ifadesinin onluk basamaklarının toplamını bulun. Burada $\left\lfloor x \right\rfloor$, $x$'i aşmayan en büyük tam sayıdır. |
210 | Özdeş boyuttaki bazı küpleri öyle boyamak istiyoruz ki her küpün her yüzü tek bir renkle boyansın ve her küpün altı yüzü birbirinden farklı renklerle boyansın. Seçebileceğimiz yedi farklı renk varsa, kaç ayırt edilebilir küp üretebiliriz? |
720 | Aşağıdaki özelliklere sahip kaç tane sıralı küme çifti \((A, B)\) vardır:
1. \( A \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
2. \( B \subseteq \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
3. \( A \cap B \) tam olarak \(3\) elemana sahiptir. |
2011 | Mertebesi $2011$ olan bir grupta, birinci elemanın karesinin ikinci elemanın küpüne eşit olduğu kaç eleman çifti vardır? |
2365 | Üçgen $\triangle ABC$'nin $\overline{BC}$ kenarının iç kısmından seçilen bir nokta $P$ olsun; kenar uzunlukları $\overline{AB} = 10$, $\overline{BC} = 10$, $\overline{AC} = 12$ olarak verilsin. $X$ ve $Y$, sırasıyla $P$'den $AB$ ve $AC$ kenarlarına indirilen dikmelerin ayakları ise, $PX^2 + PY^2$ ifadesinin alabileceği... |
41 | x, $x^2 - 4x + 2 = 0$ denkleminin en küçük kökü olsun. $\{x + x^2 + \cdots + x^{20}\}$ sayısının ondalık kısmının ilk iki basamağını bulun; burada $\{a\}$, $a$'nın kesir kısmını gösterir. |
9 | Bir polinom $P(x)$, $a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ biçimindeyse ve her $a_i$ $0$ ile $n-1$ (dahil) arasında bir tamsayı olup $a_d>0$ ise \emph{taban-$n$ polinomu} olarak adlandırılır. Find the largest positive integer $n$ such that for any real number $c$, there exists at most one base-$n$ polynomia... |
9 | İfadenin $$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10$$ en küçük değerini bulun. |
186 | Rakamlarının her ikisi de asal olan tüm iki basamaklı asal sayıların toplamını bulun. |
3 | $10$ adet at vardır; adları At 1, At 2, $\ldots$, At 10'dur. İsimlerini bir dairesel yarış pistinde bir turu tamamlamalarının kaç dakika sürdüğünden alırlar: At $k$ tam olarak $k$ dakikada bir tur koşar. Zaman 0'da tüm atlar pistteki başlangıç noktasında birlikte bulunurlar. Atlar aynı yönde koşmaya başlarlar ve sabit ... |
23 | Bazı doğal sayı n için $2^n + 15$'i bölen ve bazı tam sayılar x ve y için $3x^2 - 4xy + 3y^2$ şeklinde ifade edilebilen en küçük doğal sayıyı bulun. |
172 | Tamsayı $89! + 90!$'in en büyük iki asal çarpanının toplamını bulun. |
1020 | Wat ve Q adındaki iki ördek, $1022$ diğer ördek yavrusuyla birlikte bir matematik sınavına giriyor. Sınav $30$ sorudan oluşuyor ve $n$'inci soru $n$ puan değerinde. Ördekler sınavda birbirlerinden bağımsız çalışıyorlar. Wat, $n$'inci soruyu $\frac{1}{n^2}$ olasılıkla doğru yanıtlıyor, Q ise $n$'inci soruyu $\frac{1}{n+... |
960 | Denklemler sistemi
$$x^2 + y^2 = 80$$
$$x^2 + y^2 = k + 2x - 8y$$
tam olarak bir gerçek çözümü $(x,y)$ olacak şekilde k'nin alabileceği tüm gerçek değerlerin çarpımını bulun. |
-2 | $a$, $b$ ve $c$, $x^3 - x + 1 = 0$ denkleminin üç kökü olsun. $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1}$ değerini bulun. |
90 | Bu problemde, $0$ sembolü sıfır sayısını, $1$ sembolü yedi sayısını, $2$ sembolü beş sayısını, $3$ sembolü üç sayısını, $4$ sembolü dört sayısını, $5$ sembolü iki sayısını, $6$ sembolü dokuz sayısını, $7$ sembolü bir sayısını, $8$ sembolü herhangi derecede büyük bir pozitif tamsayıyı, $9$ sembolü altı sayısını ve $\inf... |
5 | Albert adil bir altı yüzlü zarı 13 kez atar. Her atışta, sayı bir önceki atıştan kesinlikle daha büyükse bir puan kazanır. İlk atış hiçbir puan kazandırmaz. Albert'in alacağı beklenen puan sayısını hesaplayın. |
89 | Perşembe, 1 Ocak 2015'te Anna bir kitap ve bir raf satın alır. Önümüzdeki iki yıl boyunca, her gün bir kitap ve her diğer Perşembe bir raf satın alır, bu nedenle bir sonraki rafı 15 Ocak'ta satın alır. Perşembe, 1 Ocak 2015'ten başlayıp (ve dahil olmak üzere) Cumartesi, 31 Aralık 2016'ya kadar olan dönemde, Anna'nın tü... |
2002 | Her tam sayı $a>1$ için, sonsuz bir tam sayı listesi $L(a)$ şu şekilde oluşturulur:
1. $a$, $L(a)$ listesinin ilk sayısıdır.
2. $L(a)$'da bir $b$ sayısı verildiğinde, listedeki bir sonraki sayı $b + c$'dir; burada $c$, $b$'yi bölen ve $b$'den küçük olan en büyük tam sayıdır.
$2002$'nin $L(a)$ listesinde olduğu tüm $a... |
71 | Bir okul atletik etkinliğine katılan öğrenciler arasında, erkeklerin $80\%$'i okul renklerini giyiyordu, kızların $60\%$'ı okul renklerini giyiyordu ve öğrencilerin $45\%$'i kızdı. Etkinliğe katılan öğrencilerin yüzde kaçı okul renklerini giyiyordu? |
974 | Reimu'nun bir tahta küpü var. Her adımda, çokyüzlünün her bir köşesinden bir piramit keserek önceki çokyüzleden yeni bir çokyüzlü oluşturuyor. Bu, köşeye daha yakın olan her bitişik kenardaki üçe bölme noktasından geçen bir düzlem boyunca yapılır. Örneğin, ilk adımdan sonra oluşan çokyüzlünün altı tane sekizgen yüzü ve... |
4 | Jonathan'ın $7$, $8$ ve $9$ adet bozuk parayı kabul eden sihirli bir bozuk para makinesi var. Eğer $7$ koyarsa $3$ bozuk para geri alır; $8$ koyarsa $11$ geri alır; ve $9$ koyarsa $4$ geri alır. Makine aynı miktarın ardışık iki girişine izin vermez. Başlangıçta $15$ bozuk parasıyla, $4$ bozuk para ile bitirmek için en ... |
256 | Her pozitif tam sayı $k$ için $\mathbf{T}_k = (k(k+1), 0)$ olsun ve $\mathcal{H}_k$'yı merkezi $\mathbf{T}_k$ olan homoteti olarak tanımlayalım; oranı $k$ tekse $\frac{1}{2}$ ve $k$ çiftse $\frac{2}{3}$ olsun. Varsayalım $P = (x,y)$ bir nokta olmak üzere
$$(\mathcal{H}_{4} \circ \mathcal{H}_{3} \circ \mathcal{H}_2 \cir... |
1004 | Üç elemanlı bir kümeye aritmetik denir eğer elemanlarından biri diğer iki elemanın aritmetik ortalaması ise. Benzer şekilde, üç elemanlı bir kümeye harmonik denir eğer elemanlarından biri diğer iki elemanın harmonik ortalaması ise.
Tamsayılar kümesinin $\{z \in \mathbb{Z} \mid -2011 < z < 2011\}$ üç elemanlı kaç altkü... |
56 | Jerry ve Hannah Kubik, beş çocuklarıyla birlikte Jupiter Falls'ta yaşıyorlar. Jerry, Southern Company için Yenilenebilir Enerji Mühendisi olarak çalışıyor ve Hannah, Jupiter Falls Üniversitesi'nde bir laboratuvar yürütüyor; burada biyokütle (yenilenebilir yakıt) dönüşüm oranlarını araştırıyor. Michael onların en büyük ... |
105263157894736848 | Pozitif bir tam sayıya, son basamağı alınıp ilk basamak olarak yerleştirildiğinde ve kalan tüm basamakların sırası korunacak şekilde (örneğin, 312 231 olur) elde edilen sayı orijinal sayının tam olarak iki katı ise "nefelibata" denir. En küçük mümkün nefelibata sayısını bulun. |
478 | Bay Jones cebir öğretiyor. Her iki $x$ ve $y$ koordinatı için de $-10$ ile $10$ arasında uzanan önceden çizilmiş bir koordinat ızgarası olan bir beyaz tahtası var. Bu nedenle, bir kuadratiğin grafiğini gösterdiğinde şu özelliklere sahip bir kuadratik kullanmayı sever:
1. Kuadratik tamsayıları tamsayıya gönderir.
2. Ku... |
6 | Birbirinden farklı tam sayı uzunluklara sahip $n$ çubuk vardır. Bunların arasından seçilen herhangi $3$ farklı çubukla dejenere olmayan bir üçgen oluşturmak mümkün olsun. Ayrıca aralarında uzunlukları $5$ ve $12$ olan çubukların bulunduğu biliniyor. Bu koşullar altında $n$'in alabileceği en büyük değer nedir? |
168 | Beş basamaklı bir doğal sayıya *Ekvadorlu* denir eğer aşağıdaki koşulları sağlıyorsa:
- Tüm basamakları birbirinden farklıdır.
- En soldaki basamak diğer dört basamağın toplamına eşittir.
**Örnek:**
- $91350$ Ekvadorlu bir sayıdır çünkü $9 = 1 + 3 + 5 + 0$.
- $54210$ Ekvadorlu değildir çünkü $5 \neq 4 + 2 + 1 + 0$.
... |
25 | Aşağıdaki koşullar verildiğine göre $ABCD$ dörtgeninin alanını bulun: zıt iki açısı dik; dik açıyı oluşturan iki kenarı eşit uzunluktadır; diğer iki kenarın uzunluklarının toplamı $10$'dur. |
7744 | Dört basamaklı bir sayı, ilk iki basamağı aynı ve son iki basamağı da aynı ise "stutterer" olarak adlandırılır. Örneğin, $3311$ ve $2222$ stutterer sayılardır. Kare sayı olan tüm "stutterer" sayıları bulun. |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.