solution stringlengths 1 23 | prompt_tr stringlengths 0 3.2k |
|---|---|
94 | Shenelle'in bazı kare karoları var. Karoların bazıları kenar uzunluğu $5\text{ cm}$ iken diğerleri kenar uzunluğu $3\text{ cm}$. Karoların kaplayabileceği toplam alan tam olarak $2014\text{ cm}^2$. Shenelle'in sahip olabileceği en az karo sayısını bulun. |
56 | a, b, c gerçek, sıfır olmayan sayılar olsun öyle ki $a + b + c = 12$ ve \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} = 1. \] abc - \left(a + 2b - 3c\right) ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulun. |
90 | Pozitif bir tam sayı $n$, $n=a^b$ olacak şekilde pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ (burada $b>1$) mevcutsa üs şeklinde yazılabilir (base-able) olarak adlandırılır. $729000000$ sayısının kaç pozitif tam böleni üs şeklinde yazılabilir? |
7 | Baş katsayısı 1 olan ve kökleri $a$, $b$ ve $c$ olan bir kübik polinom $P$ verilsin. Eğer $P(1)=91$ ve $P(-1)=-121$ ise, \[ \dfrac{ab+bc+ca}{abc+a+b+c}. \] ifadesinin alabileceği maksimum değeri hesaplayın. |
20 | Alexis, kardeşi Joshua'nın yerde bir şeyi ölçtüğünü fark etti. O, bir kumdan kale tasarlıyordu ve bir spiral merdivenin tabanını ölçmesi gerekiyordu. Kale duvarları bir dikdörtgen oluşturuyordu ve merdivenin merkezi:
- bir köşeden 9 inç,
- başka bir köşeden 15 inç,
- üçüncü bir köşeden 16 inç,
- ve en uzak köşeden tam ... |
5 | Kompleks sayı $\omega$, $\omega^5 = 2$ şartını sağlar. $\omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1$ ifadesinin tüm olası değerlerinin toplamını bulun. |
8 | $1023$'e bölündüğünde $2^{1023}$'ün kalanı nedir? |
324 | Bob'un Rice kimlik numarası altı basamaktan oluşur; her basamak $1$ ile $9$ arasındadır. Basamaklar istediği kadar tekrarlanabilir. Kimlik numarası aşağıdaki bölünebilme koşullarını sağlar:
- İlk iki basamaktan oluşan sayı $2$'ye bölünür.
- İlk üç basamaktan oluşan sayı $3$'e bölünür.
- İlk dört basamaktan oluşan sayı... |
48 | $X = \{(m,n) \mid 0 \leq m,n \leq 4 \}$ noktalar ızgarasını düşünün. $X$ içindeki $\{(a,b),(c,d)\}$ noktalar çiftine atın hamlesine uygun çift deriz eğer $(c = a \pm 2$ ve $d = b \pm 1)$ veya $(c = a \pm 1$ ve $d = b \pm 2)$. $X$ içindeki atın hamlesine uygun noktalar çiftlerinin sayısı: |
168 | İki sadeleştirilmiş kesrin paydaları 600 ve 700'tür. Toplamlarının sadeleştirilmiş biçimde ifade edildiğinde paydasının alabileceği en küçük değeri bulun. |
4 | Ana'nın \(22\) bozuk parası var. Arkadaşlarından ya \(6\) bozuk para ya da \(18\) bozuk para alabilir veya arkadaşlarına \(12\) bozuk para verebilir. Bu işlemleri istediği kadar tekrarlayabilir. Ana'nın sahip olabileceği en az bozuk para sayısını bulun. |
4825 | Altı kişi her biri adil bir madeni para atar. İlk atışta yazı gelen herkes daha sonra parasını tekrar atar. Tüm paraların şimdi tura olması olasılığı sadeleştirilmiş bir kesir $\frac{m}{n}$ şeklinde ifade edilebiliyorsa, $m+n$'i hesaplayın. |
30 | $abc = 2008$ olacak şekilde pozitif tam sayılardan oluşan sıralı üçlüler $(a, b, c)$'nin sayısını bulun. |
245 | Varsayalım $x$, $y$, ve $z$ tam sayıları şu denklem sistemini sağlasın:
\[ x^2y + y^2z + z^2x = 2186 \]
\[ xy^2 + yz^2 + zx^2 = 2188. \]
$x^2 + y^2 + z^2$ değerini bulun. |
1 | Düzlemde düzenli bir $2n + 1$-gon $P$ düşünün, burada $n$ pozitif bir tamsayıdır. P'nin kenarlarından birindeki $S$ noktasının, $P$'nin dışında kalan bir $E$ noktasından görülebildiğini söyleyelim; bu, $SE$ doğru parçası üzerinde $S$ dışında $P$'nin kenarları üzerinde yatan başka hiçbir nokta bulunmaması demektir. P'ni... |
8000 | Negatif olmayan tamsayılar $n$ için $f(n)$, $n$'in basamaklarından en az $5$ olanların sayısı olsun. $g(n) = 3^{f(n)}$ olarak tanımlansın. Aşağıdaki toplamı hesaplayın:
\[ \sum_{i=1}^{1000} g(i). \] |
232 | Irena, $1$ ile $7$ arasındaki tamsayıları bir sıraya kaç farklı şekilde dizebilir, öyle ki herhangi üç ardışık sayı için en büyük sayı en sağdaki konumda olmasın? |
88 | $a_n$, $\sqrt{n}$'e en yakın tamsayı olsun. Aşağıdaki toplamı bulun: $$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_{1980}}.$$ |
28 | Aşağıdaki şekildeki $9$ küçük çemberin her birine, tekrarsız olarak $10$'dan küçük pozitif tam sayılar yazınız. Ayrıca, bu $3$ çemberin her birinin etrafında bulunan $5$ sayının toplamının her zaman $S$'ye eşit olduğu bilinmektedir. $S$'nin mümkün olan en büyük değerini bulun. |
258 | Eğer $x^{x^4} = 4$ ise, $x^{x^2} + x^{x^8}$'in değeri nedir? |
2 | a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 aşağıdaki denklem sistemini sağlayan gerçek sayılar olsun:
\[
\begin{align*}
2a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 &= 1 + \frac{1}{8}a_4, \\
2a_2 + a_3 + a_4 + a_5 &= 2 + \frac{1}{4}a_3, \\
2a_3 + a_4 + a_5 &= 4 + \frac{1}{2}a_2, \\
2a_4 + a_5 &= 6 + a_1.
\end{align*}
\]
a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a... |
123 | $S$, $I$ ve $T$ harflerini kullanarak kaç tane beş harfli "kelime" yazabilirsiniz, eğer bir "kelime" üç ardışık ünsüz içermeyen herhangi bir harf dizisi olarak tanımlanıyorsa? |
4 | Talithia, beş Cumartesi olan her ayın beşinci Cumartesi günü bir parti verir. Yani, eğer bir ayın beş Cumartesisi varsa Talithia o ayın beşinci Cumartesi günü bir parti düzenler, bir ayın dört Cumartesisi varsa o ay Talithia parti düzenlemez. Ocak $1$, $2010$'in Cuma olduğu verildiğine göre, Talithia'nın $2010$ yılında... |
0 | Üçgen $ABC$'de, $\angle A = 45^\circ$ ve $M$, $\overline{BC}$'nin orta noktasıdır. Doğru $\overline{AM}$, $ABC$'nin çevre çemberini ikinci kez $D$ noktasında keser ve $AM = 2MD$. $O$ üçgen $ABC$'nin çevre merkezidir. $\cos\angle AOD$ değerini bulun. |
277 | Patrick, okuldan parka doğru düz bir yol boyunca sabit hızla yürümeye başladı. Patrick ayrıldıktan bir saat sonra Tanya aynı yoldan okuldan parka doğru koşmaya başladı. Tanya ayrıldıktan bir saat sonra Jose aynı yol boyunca okuldan parka bisiklet sürmeye başladı. Tanya, Patrick'in yürüdüğü hıza göre sabit olarak $2$ mi... |
7 | Moor'un $3$ gömleği var, biri siyah, biri kırmızı ve biri yeşil. Moor'un ayrıca $3$ pantolonu var, biri beyaz, biri kırmızı ve biri yeşil. Tarz sahibi olduğu için farklı renkte bir gömlek ve bir pantolondan oluşan bir kıyafet giymeye karar veriyor. Moor kaç farklı gömlek-pantolon kombinasyonu seçebilir? |
31 | Varsayalım ki bazı pozitif tam sayı $n$ için $5^n$ ve $2^n$'nin ilk iki basamağı aynıdır. Bu ilk iki basamak sırayla $a$ ve $b$ olsun. İki basamaklı sayı $\overline{ab}$'yi bulun. |
342 | Aşağıdakiler bilindiğine göre $3$ basamaklı bir sayı bulunuz:
1. Basamaklarının toplamı $9$'dur.
2. Basamaklarının çarpımı $24$'tür.
3. Sağdan sola okunan sayı, orijinalinin $\frac{27}{38}$ kadarıdır. |
0 | Üç terimli polinom $f(x)$, üç gerçek kökü olan $(f(x))^3 - f(x) = 0$ denklemini sağlar. $f(x)$ fonksiyonunun tepe noktasının y-koordinatını belirleyin. |
1100 | Richard IMO Kısa Listesi'ndeki problemleri çözmeyi sever. 2013'te Richard her Cumartesi $5$ problem ve her Pazar $7$ problem çözer. Hafta içi okulda olduğu için Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe ve Cuma günlerinde sırasıyla sadece $2$, $1$, $2$, $1$, $2$ problem çözer; istisna olarak 3 Aralık 2013'te canı sıkıldığı i... |
9366 | Tanımla
\[A_n=\sum_{k=1}^n \frac{k^6}{2^k}.\]
\(\lim_{n\to\infty} A_n\)'yi bulun. |
63 | Kevin, $1$'den $100$'e kadar üçün katlarını beyaz tahtaya yazar. Kaç rakam yazar? |
1225 | $15^6$'yı bölen birbirinden farklı pozitif tam sayılar $a, b, c, d$ seçmenin kaç yolu vardır öyle ki $a, b, c,$ veya $d$'den hiçbiri diğerini bölmesin? (Sıralama önemli değildir.) |
3 | Aşağıdaki denklemleri sağlayan $x$, $y$, $z$ gerçek sayılar olsun:
\[
(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 8, \\
x^3 + y^3 + z^3 = 1
\]
$x^4 + y^4 + z^4$'ün minimum değerini bulun. |
14 | Pozitif tamsayılar $m$ ve $n$ için $k = 19^n - 5^m$ şeklinde ifade edilebilen en küçük pozitif tamsayı $k$'yı bulun. |
600 | Nokta $P$, $\triangle ABC$'nin içindedir. Üçgen $ABC$'nin kenar uzunlukları $AB = 7$, $BC = 8$, $CA = 9$'dur. $P$'den $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $D$, $E$, $F$'dir. Varsayalım ki ifadenin $\frac{BC}{PD} + \frac{CA}{PE} + \frac{AB}{PF}$ minimal değeri $\frac{a}{b}\sqrt{c}$ şeklin... |
9765 | **İkiye katlanan toplam** fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:
\[ D(a,n) = a + 2a + 4a + 8a + \ldots \]
Bu toplam \( n \) terim içerir. Örneğin,
\[ D(5,3) = 5 + 10 + 20 = 35 \]
ve
\[ D(11,5) = 11 + 22 + 44 + 88 + 176 = 341. \]
1 ile 6 (her iki uç dahil) arasındaki her tamsayı \( i \) için \( D(a_i,i) = n \) olacak şekil... |
2713 | Bir üçgenin kenar uzunlukları $48$, $55$ ve $73$'tür. $a$ ve $b$ aralarında asal pozitif tam sayılar olup $\frac{a}{b}$ üçgenin en kısa yüksekliğinin uzunluğudur. $a+b$ değerini bulun. |
175 | En az 43 sıfırla biten $k!$ ifadesi için en küçük pozitif tam sayı $k$'yı bulun. |
98 | Aşağıdaki diyagramda olduğu gibi, kare $ABCD$ ve kare $CEFG$ yan yana yerleştirilmiştir (yani $C$, $B$ ile $E$ arasında ve $G$, $C$ ile $D$ arasında). Eğer $CE = 14$ ve $AB > 14$ ise, $\triangle AEG$'nin en küçük alanını hesaplayın. |
12 | Will'in önceki atışları hatırlayabilen sihirli bir parası var. Eğer madeni para daha önce $m$ kez yazı ve $n$ kez tura geldiyse, bir sonraki atışın yazı gelme olasılığı tam olarak $\frac{m+1}{m+n+2}$'dir. Madeni paranın $0$ atışla başladığını varsayın. Madeni para $10$ atıştan sonra yazı ve tura her birinin tam olarak ... |
2 | Aşağıdaki koşulları sağlayan kaç tamsayı $x$ vardır?
1. $|x| + 5 < 7$
2. $|x - 3| > 2$ |
106 | Antik bir matematik elyazmasına rastlıyorsunuz. Metin şöyle diyor:
Bir sayının 17'ye bölünüp bölünmediğini belirlemek için şu prosedürü izleyin:
- Sayının son iki basamağından oluşan sayıyı alın.
- Sondan üçüncü ve sondan dördüncü basamaklardan oluşan sayıyı çıkarın.
- Sondan beşinci ve sondan altıncı basamaklardan ol... |
37805 | 5'e bölünmeyen $\binom{2n}{n}$ ifadesine sahip olan 2019. pozitif tamsayı n'i bulun. |
24 | İki çemberin yarıçapları $2$ ve $3$ olup, merkezleri arasındaki uzaklık $10$'dur. $E$ iki çemberin ortak dış teğetlerinin kesişimi, $I$ ise iki çemberin ortak iç teğetlerinin kesişimi olsun. $EI$'yi hesaplayın.
Ortak dış teğet, iki çembere teğet olan ve çemberlerin doğrunun aynı tarafında bulunduğu bir doğru iken; ort... |
1 | En az 2 farklı pozitif tam sayı çifti $(x,y)$ için $\frac{x^2+y}{xy+1}$ biçiminde ifade edilebilen pozitif tam sayıları belirleyin. |
4 | Aşağıdaki şekilde gri üçgeni içeren farklı boyutlardaki üçgenlerin sayısını hesaplayın.
\[ \text{[asy]} \]
```asy
size(5cm);
real n = 4;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
draw((0.5*i,0.866*i)--(n-0.5*i,0.866*i));
}
for (int i = 0; i < n; ++i) {
draw((n-i,0)--((n-i)/2,(n-i)*0.866));
}
for (int i = 0; i < n; ++i) {... |
23606 | Bir $8$ elemanlı kümenin altkümeleri olan sırasız $\{A,B \}$ çiftlerinin sayısını bulun, öyle ki $A \cap B \neq \emptyset$ ve $|A| \neq |B|$. |
12 | Her pozitif tam sayı $a$ için, $\tau(a)$, $a$'nın pozitif bölenlerinin sayısı olsun. Pozitif tam sayılar $n$ arasında $4\tau(n) - n$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri kanıtıyla birlikte bulun. |
23520 | Jonathan, ideal eşinin Sara Lark olduğunu keşfeder. Bir kız arkadaş bulma şansını artırmak için, adı "Sara Lark,"ın bir anagramı olan herhangi bir kızla çıkmaya açıktır; koşul, adın hem bir ilk isim hem de bir soyadı olacak şekilde en az birer harf içermesidir. Böyle anagramlardan kaç tane mümkündür? |
21150 | Toplamın değerini belirleyin \( \left| \sum_{1 \leq i < j \leq 50} ij(-1)^{i+j} \right|.\) |
21 | Vila Par'da tüm gerçek paraların ağırlıkları çift sayı gramdır, sahte paraların ağırlıkları ise tek sayı gramdır. Elektronik cihaz sadece bir grup paranın toplam ağırlığının paritesini (tek veya çift) bildirir. Eğer $2020$ gerçek para ve $2$ sahte para varsa, elektronik cihazı en fazla $k$ kez kullanarak iki sahte para... |
104 | $n^2 - 1$ üç farklı asal sayının çarpımı olan ilk 5 pozitif tamsayı $n$'lerin toplamını bulun. |
25 | Gorf adlı kurbağa, soldan sağa $1$'den $20$'ye kadar numaralandırılmış bir sıra nilüfer yaprağının birincisinde duruyor. Tek bir zıplayışta Gorf sağa doğru ya $1$, ya $2$ ya da $3$ nilüfer yaprağı atlayabilir. Maalesef, asal numaralı tüm nilüfer yaprakları ölümcül zehirle kirlenmiştir. Gorf'un zehirden kaçınarak yirmin... |
10 | Öyle bir doğal sayı x'in var olduğu en küçük doğal sayı n'yi bulun ki
\[(x+1)^3 + (x+2)^3 + (x+3)^3 + (x+4)^3 = (x+n)^3.\] |
403791300 | f, tüm $x, y \in \mathbb{R}$ için $f(x + y) = f(x) + f(y)$ olacak şekilde bir fonksiyon olsun ve $f(1) = 100$ verilsin. $\sum_{k = 1}^{10} f(k!)$ değerini hesaplayın. |
100 | Aşağıdaki sayının en soldaki üç basamağını belirleyin \[1^1 + 2^2 + 3^3 + \ldots + 999^{999} + 1000^{1000}.\] |
4 | Bırakın $\mathcal{A}$, $x, y, z$ değişkenli ve katsayıları tam sayı olan tüm polinomların kümesini göstersin. Bırakın $\mathcal{B}$ ise $\mathcal{A}$'nın, şu şekilde ifade edilebilen tüm polinomlardan oluşan altkümesi olsun:
\[
(x + y + z)P(x, y, z) + (xy + yz + zx)Q(x, y, z) + xyzR(x, y, z)
\]
burada $P, Q, R \in \mat... |
12354 | Pozitif tam sayılar $v, w, x, y$ ve $z$ şu denklemi sağlar:
\[v + \frac{1}{w + \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}}} = \frac{222}{155}.\]
$10^4 v + 10^3 w + 10^2 x + 10 y + z$ değerini hesaplayın. |
48 | $5$'in katının $3$ fazlası olan ve $6$'nın katının iki katı olan en küçük pozitif tam sayıyı hesaplayın. |
17 | Ebatları $20\,\text{m}$ ile $15\,\text{m}$ olan bir dikdörtgen tarla var. Kelebek Xiaoyu, tarlanın çevresinde $20\,\text{m}$ olan kenarlardan birinin üzerinde, bir köşeye $6\,\text{m}$ uzaklıkta oturuyor. Tarlanın çevresindeki başka bir noktaya düz bir çizgi halinde uçar. Uçuş yolu tarlayı eşit alanlı iki parçaya böler... |
648 | $s(n)$, $n$'nin ikilik gösterimindeki 1'lerin sayısı olsun. $0 \leq a < 64, 0 \leq b < 64$ ve $s(a+b) = s(a) + s(b) - 1$ koşullarını sağlayan tamsayıların sıralı çiftleri $(a, b)$ sayısını bulun. |
-8 | x, y, z pozitif reel sayılar olsun ve aşağıdaki eşitsizliklerden en az birini sağlasınlar: $2xy > 1$, $yz > 1$. Aşağıdaki ifadenin alabileceği en küçük değeri bulun:
$$xy^3z^2 + \frac{4z}{x} - 8yz - \frac{4}{yz}.$$ |
4 | Tanımlayalım $a_n = \sum_{d|n} \frac{1}{2^{d+ \frac{n}{d}}}$. Başka bir deyişle, $a_n$ $n$'in tüm bölenleri $d$ için $\frac{1}{2^{d+ \frac{n}{d}}}$'in toplamıdır.
Bulunuz
$$\frac{\sum_{k=1} ^{\infty}ka_k}{\sum_{k=1}^{\infty} a_k} =\frac{a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots}{a_1 + a_2 + a_3 + \ldots}$$ |
9 | 10 gerçek sayı $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ verilsin. Bu sayıların ikişerli toplamlarından $a_i + a_j$ ($1 \leq i < j \leq 10$) şeklinde 45 adet toplam elde edilir. Bu toplamların tamamının tamsayı olmadığı bilinmektedir. 45 toplam arasında $k$ tanesinin tamsayı olmayan ve $45-k$ tanesinin tamsayı olduğu durumun mümkün o... |
73 | Bir $12 \times 12$ tahta, kenarlara paralel çizgiler çizilerek $144$ birim kareye ayrılmıştır. İki kalenin iki birim kareye yerleştirilmiş olması, aynı sütunda veya aynı sırada değillerse birbirlerine saldırmayan olarak adlandırılır. Her biri farklı bir birim kareye yerleştirilmiş $N$ kale konulduğunda, her zaman birbi... |
2444 | Stromquist Kuyrukluyıldızı her 61 yılda bir görünür. Kuyrukluyıldız 2017'de görünmüşse, kuyrukluyıldızın tekrar görüneceği sonraki artık yıl hangisidir? |
-24 | f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)(x-5)(x-6) olsun. f''(3) - f'(3) + f(3) değerini hesaplayın. |
2 | Çembere birkaç (en az $5$) tam sayı yerleştirilmiştir; her tam sayı iki komşusunun toplamına tam bölünmektedir. Eğer tüm tam sayıların toplamı pozitifse, bu toplamın alabileceği en küçük değer nedir? |
193 | Kenar uzunlukları $13$, $14$ ve $15$ olan $ABC$ üçgeni verilmiştir. Her bir kenardan en az $1$ birim uzaklıkta olan $\triangle ABC$ içindeki noktalar gölgelendirilmiştir. Gölgelendirilmiş bölgenin alanı en sade biçimde $\frac{m}{n}$ şeklinde ifade edilebilir. $m+n$ değerini bulun. |
288 | $S = \{1, 2, \dots, 9\}$. Tüm $s \in S$ için $f(f(f(s))) = s$ ve $f(s) - s$ ifadesi $3$ ile bölünemez olacak şekilde $f : S \rightarrow S$ fonksiyonlarının sayısını bulun. |
5073 | Eşkenar beşgen $AMNPQ$, $M \in \overline{AB}$, $Q \in \overline{AC}$ ve $N, P \in \overline{BC}$ olacak şekilde üçgen $ABC$ içine çizilmiştir.
Varsayalım ki $ABC$ kenar uzunluğu $2$ olan eşkenar üçgendir ve $AMNPQ$'nin $BC$'ye dik bir simetri ekseni vardır. $AMNPQ$'nin alanı $n - p \sqrt{q}$ şeklinde verilmiştir; bura... |
17 | Basamaklarının çarpımı $n^2 - 15n - 27$ olan tüm mümkün pozitif tam sayılar $n$'nin toplamını bulun. |
7 | Bir asal sayı $p$, herhangi iki pozitif tam sayı $k>1$ ve $m$ için, öyle ki $k$ tane pozitif tam sayı $n_1,n_2,\ldots,n_k$ vardır ve
\[ n_1^2 + n_2^2 + \ldots + n_k^2 = p^{k+m} \]
eşitliği sağlanıyorsa \textbf{orta} sayı olarak adlandırılır.
$q$ en küçük \textbf{orta} sayı ve $q<r$ verildiğine göre, \textbf{orta} olma... |
8 | 6 öğrenciden oluşan bir grup aşağıdaki ilkeye göre "çalışma grupları" ve "hizmet etkinliği grupları" oluşturmayı kararlaştırdı:
- Her grubun tam olarak 3 üyesi olmalıdır.
- Her öğrenci çiftinin, her ikisinin de üye olduğu çalışma grupları ile hizmet etkinliği gruplarının sayısı aynıdır.
En az bir grup olduğu ve hiçbi... |
2000 | Dikdörtgen şeklindeki bir yapboz, hepsi eş dikdörtgen ve büyük dikdörtgene benzer olan $2000$ parçadan oluşmaktadır. Küçük dikdörtgenlerin kenarları büyük dikdörtgenin kenarlarına paraleldir. Her parçanın en kısa kenarı $1$'dir. Büyük dikdörtgenin alanının mümkün olan en küçük değerini belirleyin. |
3465 | 360 ile aynı sayıda pozitif böleni olan en küçük pozitif tek tam sayı nedir? |
51 | f adında, $f(x) + f(x+1) = 2^x$ olacak şekilde bir fonksiyon verilsin ve $f(0) = 2010$ olsun. $f(2010)$'un son iki basamağını bulun. |
1973 | Fonksiyonu $f(x) = \lfloor x \rfloor + \lfloor \sqrt{x} \rfloor + \lfloor \sqrt{\sqrt{x}} \rfloor$ tüm pozitif gerçek sayılar $x$ için tanımlayın. $1$'den $2023$'e kadar (her iki sınır dahil) kaç tamsayı $f(x)$'in görüntü kümesinde yer alır? Not: $\lfloor x \rfloor$ \textit{floor} fonksiyonu olarak bilinir; bu fonksiyo... |
1958 | Tam olarak $n$ elemanı olan bir $S$ kümesinin var olduğu en büyük pozitif tamsayı $n$'yi belirleyin:
- S içindeki her eleman 2002'yi aşmayan pozitif bir tam sayıdır.
- Eğer $a, b \in S$ (farklı olması gerekmez), o zaman $ab \not\in S$. |
47 | Bir üçgende $ABC$, medyan $AD$ ($D$ noktası $BC$ üzerinde) ve açıortay $BE$ ($E$ noktası $AC$ üzerinde) birbirine diktir. Eğer $AD = 7$ ve $BE = 9$, üçgen $ABC$'nin alanına en yakın tam sayıyı bulun. |
171 | $169$'a en yakın $9$ ile bölünebilen sayı nedir? |
6560 | T'yi $T = \{ 1, 2, 3, \dots, 14, 15 \}$ olarak tanımlayalım. $T$'nin bir alt kümesi $S$, içindeki tüm elemanların toplamı $5$'in katı ise \textit{handy} olarak tanımlanır. Örneğin, boş küme \textit{handy}'dir (çünkü toplamı $0$) ve $T$'nin kendisi de \textit{handy}'dir (çünkü toplamı $120$). $T$'nin \textit{handy} alt ... |
243 | $ABCD$ dikdörtgeni olsun ve $AB = 6$ ile $BC = 6 \sqrt{3}$. Çapları $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ olan $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ yarımçemberlerini çiziyoruz. Her $i=1,2,3,4$ için (indeksler modulo $4$ alınmak üzere) $\omega_i$ ile $\omega_{i+1}$, $ABCD$ iç kısmında bir nokta $X_i$'de kesişir. $X_1X_2X_3X_... |
1 | \operatorname{cif}(x), x sayısının onluk sistemdeki rakamlarının toplamı olmak üzere tanımlansın. a_1 = 1997^{1996^{1997}} olarak tanımlansın ve her n > 0 için a_{n+1} = \operatorname{cif}(a_n) olsun. \lim_{n \to \infty} a_n değerini bulun. |
364 | Öyle bir karmaşık sayı $K$ vardır ki ikinci dereceden polinom $7x^2 + Kx + 12 - 5i$ tam olarak bir köke sahiptir; burada $i = \sqrt{-1}$. $|K|^2$ değerini bulun. |
16 | Adil bir $6$ yüzlü zar, $1$, $4$, $5$ veya $6$ gelene kadar tekrar tekrar atılır. Tüm atışların çarpımının beklenen değeri nedir? |
1080 | $\overline{AB}$ doğru parçasının dik ortayı $\overline{CD}$ olup, $C$ $\overline{AB}$'nin orta noktasıdır. Doğru parçalarının uzunlukları $AB = 72$ ve $CD = 60$'tır. $R$, $X$ noktası $\overline{AB}$ üzerinde ve $Y$ noktası $\overline{CD}$ üzerinde olmak üzere, $\overline{XY}$ doğru parçalarının orta noktaları olan $P$ ... |
907200 | Şu şekilde tanımlansın:
\[ f(x) = \cos(x^3 - 4x^2 + 5x - 2). \]
Eğer \( f^{(k)} \) ifadesi \( f \) fonksiyonunun \( k \)ıncı türevi anlamına geliyorsa, \( f^{(10)}(1) \)'i hesaplayın. Bu problem için \( 10! = 3628800 \) olduğu verilsin. |
4045 | Tanımlayalım
\[ S = \tan^{-1}(2020) + \sum_{j = 0}^{2020} \tan^{-1}(j^2 - j + 1). \]
Buna göre $S$, $m$ ve $n$ pozitif, aralarında asal tamsayılar olmak üzere $\frac{m \pi}{n}$ şeklinde yazılabilir. $m + n$'yi bulun. |
624 | $N = \prod_{k=1}^{1000} (4^k - 1)$ olsun. $5^n$'in $N$'yi tam olarak böldüğü en büyük pozitif tamsayı $n$'yi belirleyin. |
21 | Felix başlangıç sayısı olarak pozitif bir tam sayı seçer ve bunu tahtaya yazar. Daha sonra aşağıdaki adımı tekrarlar:
- Eğer tahtadaki $n$ sayısı çiftse, onu $\frac{1}{2}n$ ile değiştirir.
- Eğer tahtadaki $n$ sayısı tekse, onu $n^2 + 3$ ile değiştirir.
2023'ten küçük kaç farklı başlangıç sayısı için Felix'in tahtaya ... |
4 | AB \neq CD olacak şekilde ve aşağıdaki koşulu sağlayan düzlemde $n+4$ nokta $A$, $B$, $C$, $D$, $X_1,\dots,X_n$ bulunduğunda, bu tür en büyük tam sayı $n$'yi bulun: her $i=1,2,\dots,n$ için $\triangle ABX_i$ ve $\triangle CDX_i$ üçgenleri eşittir. |
40200 | Permütasyonun $LAME$ alt dizisini içermemesi koşuluyla $\{S,C,R,A,M,B,L,E\}$ harflerinin kaç farklı permütasyonu vardır? |
6 | Aşağıdaki özelliğe sahip en küçük pozitif tamsayı $M$'yi belirleyin: Herhangi tamsayılar $a, b, c$ seçimi için, tam katsayılı bir polinom $P(x)$ vardır ki $P(1)=aM$, $P(2)=bM$ ve $P(4)=cM$. |
128 | S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\} olsun. Varsayalım ki
\[ \sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi \]
burada $p$ ve $q$ tam sayılardır, $i = \sqrt{-1}$, ve toplam S'nin tüm $2^{2014}$ alt kümeleri üzerinde alınmaktadır. $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ 1000'e bölündüğünde... |
136 | Tam sayılar $a$, $b$, $c$ bağımsız ve rastgele olarak, yerine koyma ile, $\{ 1, 2, \cdots, 10 \}$ kümesinden seçilir. Eğer $p$ $a^{b-1}b^{c-1}c^{a-1}$'in iki'nin bir kuvveti olma olasılığı ise, $1000p$'yi hesaplayın. |
2024 | Her tamsayı $n$ için $a_{n+2} = 2a_n$ olacak şekilde $a_1, a_2, a_3, \dots$ bir sayı dizisi olsun. Varsayalım $a_1 = 1$, $a_2 = 3$,
\[ \sum_{n=1}^{2021} a_{2n} = c, \quad \text{and} \quad \sum\limits_{n=1}^{2021} a_{2n-1} = b. \]
O zaman $c - b + \frac{c-b}{b}$ ifadesi $x^y$ biçiminde yazılabilir; burada $x$ ve $y$ ta... |
40 | En az bir $C$'nin $A$'dan önce geldiği şekilde $CCAMB$ harflerinin yeniden düzenlenmesinin kaç yolu vardır? |
16 | Denklemin $x^5 - 2x^4 - 1 = 0$ beş karmaşık kökü $r_1, r_2, r_3, r_4, r_5$ vardır. Aşağıdakinin değerini bulun:
\[
\frac{1}{r_1^8} + \frac{1}{r_2^8} + \frac{1}{r_3^8} + \frac{1}{r_4^8} + \frac{1}{r_5^8}.
\] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.