solution stringlengths 1 23 | prompt_tr stringlengths 0 3.2k |
|---|---|
90 | $ABCDEF$ düzgün bir altıgendir. $P$, $\overline{AC}$ ve $\overline{BD}$'nin kesişim noktası olsun. Üçgen $EFP$'nin alanının 25 olduğunu varsayalım. Altıgenin alanı kaçtır? |
1 | Bulunuz $$\sum^{k=672}_{k=0} \binom{2018}{3k+2} \pmod{3}$$ |
20 | Aşağıdaki ifadeler verilsin:
\[ \begin{array}{ccccccccccc} A &=& 5 \cdot 6 &-& 6 \cdot 7 &+& 7 \cdot 8 &-& \cdots &+& 2003 \cdot 2004, \\ B &=& 1 \cdot 10 &-& 2 \cdot 11 &+& 3 \cdot 12 &-& \cdots &+& 1999 \cdot 2008. \end{array} \]
$A-B$ değerini bulun. |
33 | İki eş olan eşkenar üçgen $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$, $BC$ doğrusunun aynı tarafında ve $B$, $C$, $E$ ile $F$ doğrusal olacak şekilde yer alır, gösterildiği gibi. Bir doğru sırasıyla $\overline{AB}$, $\overline{AC}$, $\overline{DE}$ ve $\overline{EF}$'yi $W$, $X$, $Y$ ve $Z$ noktalarında keser; öyle ki $\frac{A... |
1360 | Tam olarak $10$ pozitif tam sayıdan oluşan bir aritmetik dizi, herhangi iki elemanının birbirleriyle aralarında asal olma özelliğine sahiptir. Bu $10$ sayının mümkün olan en küçük toplamını hesaplayın. |
503 | Son rakamı 2 olan $2010^{2010}$'in pozitif bölenlerinin sayısı $N$ olsun. $N$ 2010 ile bölündüğünde kalan kaçtır? |
100 | Bilgisayarın hafızasında $1$'den $1982$'ye kadar tüm doğal sayılar rastgele bir sırada bir diziye dizilmiştir. Program tüm ardışık çiftleri (birinci ve ikinci, ikinci ve üçüncü, ...) inceler ve çift içindeki daha alt konumdaki sayı diğerinden büyükse sayıları yer değiştirir. Daha sonra program işlemi tekrarlar fakat di... |
90 | Harry, inanılmaz derecede zeki, $C_1, C_2, C_3$ havuçlarını yemeli ve Daily Challenge problemleri $D_1, D_2, D_3$'ü çözmelidir. Ancak, her $C_i$ havucunun yalnızca $D_i$ Daily Challenge problemini çözdükten sonra yenmesi gerektiğinde ısrar ediyor. Bu koşulu sağlayan tüm altı işlemi kaç farklı sırayla tamamlayabilir? |
13446 | Jackson sayı doğrusunda $1$'de başlar. Her adımda, $85\%$ olasılıkla yerinde kalır ve $15\%$ olasılıkla sayı doğrusundaki konumunu $1$ artırır. Bırakalım $d_n$, $n$ adım sonra sayı doğrusundaki konumu olsun ve $E_n$ de $\frac{1}{d_n}$'in beklenen değeri olsun. $\frac{1}{E_n} > 2017$ olacak şekilde en küçük $n$'i bulun. |
114 | Bir küpün köşelerini kırmızı, mavi veya yeşil renklerini kullanarak öyle kaç şekilde boyayabilirsiniz ki hiçbir kenar aynı renkteki iki köşeyi birbirine bağlamasın? Döndürmeler ve yansımalar farklı boyamalar olarak kabul edilir. |
90 | $a > 0$ olsun. Eğer eşitsizlik $22 < ax < 222$ tam olarak $10$ pozitif tam sayı $x$ için sağlanıyorsa, $222 < ax < 2022$ eşitsizliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır? |
15 | O çemberinin yarıçapı $5$ ve $\overline{AE}$ çapı olsun. $F$ noktası $O$ çemberinin dışında olup $\overline{FA}$ ve $\overline{FE}$ doğruları sırasıyla çemberi $B$ ve $D$ noktalarında kesmektedir. Eğer $FA = 10$ ve $m \angle FAE = 30^\circ$, ise $ABDE$ dörtgeninin çevresi $a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}$ şeklind... |
7 | Pozitif bir tamsayı $n$ için $s(n)$ ve $c(n)$, sırasıyla $n$'in tam kare olan ve tam küp olan bölenlerinin sayısı olsun. Pozitif bir tamsayı $n$, $s(n) = c(n) > 1$ olduğunda adil olarak adlandırılır. $100$'den küçük adil tamsayıların sayısını bulun. |
4250 | Öyle bir pozitif tamsayı $n$'nin var olduğu en küçük pozitif tam sayı $M$'yi bulun:
- $M$, bazı ardışık $n$ pozitif tam sayının karelerinin toplamıdır.
- $2M$, bazı ardışık $2n$ pozitif tam sayının karelerinin toplamıdır. |
33 | Bir kelime, $word$ veya $wrod$ gibi harflerin sıralı, boş olmayan bir dizisidir. Listede verilen her harf, listede geçtiği sayıyı aşmayacak şekilde kullanılarak \(c, o, m, b, o\) harflerinden bir alt kümeden kaç farklı 3 harfli kelime oluşturulabilir? |
144 | $9n$'in bir tam kare ve $12n$'in bir tam küp olması için en küçük pozitif tamsayı $n$ nedir? |
2525 | $1, 2, \ldots, 50$ sayılarından yirmi beşi seçilmiştir. Ayrıca $51, 52, \ldots, 100$ sayılarından yirmi beşi seçilmiştir. Seçilen hiçbir iki sayının farkı $0$ veya $50$ değildir. Seçilen tüm $50$ sayıların toplamını bulun. |
861 | 42 nokta $P_1, P_2, \ldots, P_{42}$ bu sırayla bir doğru üzerinde yer almaktadır; $P_n$ ile $P_{n+1}$ arasındaki uzaklık tüm $1 \leq n \leq 41$ için $\frac{1}{n}$'dir. Bu noktalar arasındaki her bir çiftin uzaklıklarının toplamı nedir? (Her nokta çifti yalnızca bir kez sayılmaktadır.) |
40086 | Gerçel sayılardan oluşan $\{a_n\}_{n = 1}^\infty$ dizisi, $n=1,2,...$, aşağıdaki özelliğe sahiptir:
\[
6a_n + 5a_{n-2} = 20 + 11a_{n-1} \quad (\text{for } n \geq 3).
\]
İlk iki terim $a_1=0$ ve $a_2=1$'dir. $a_{2011}$'e en yakın tam sayıyı bulun. |
5 | Kutuda $100$ top bulunmaktadır ve her biri ya turuncu ya da siyahtır. Kutu, içinde $0$ ile $100$ (dahil) arasında herhangi bir sayıda siyah top bulunma olasılığı eşit olacak şekilde seçilmiştir. Rastgele bir siyah top kutudan yuvarlanıp çıkar. Kutudan bir sonraki yuvarlanıp çıkan topun da siyah olma olasılığı, $p$ ve $... |
52 | Üçüncü dereceden polinomlar $p(x)$ ve $q(x)$ aşağıdaki koşulları sağlarlar:
1. $p(1) = q(2)$
2. $p(3) = q(4)$
3. $p(5) = q(6)$
4. $p(7) = q(8) + 13$
$p(9) - q(10)$ değerini bulun. |
9 | Lil Wayne, yağmur tanrısı, havayı belirler. Eğer Lil Wayne herhangi bir günde yağmur yağdırırsa, ertesi gün yine yağmur yağdırma olasılığı $75\%$'tir. Eğer Lil Wayne bir gün yağmur yağdırmazsa, ertesi gün yağmur yağdırma olasılığı $25\%$'tir. Bugün yağmur yağdırmamaya karar veriyor. Bugünden itibaren $n$ gün sonra Lil ... |
13 | 2015'ten küçük, tam olarak 9 pozitif böleni olan kaç pozitif tam sayı vardır? |
2 | Gerçek sayılar kümesinde $a=b=c=0$'dan farklı bir çözümü olacak şekilde aşağıdaki denklem sistemine kaç tam sayı $k$ vardır?
\[
\begin{cases}
a^2 + b^2 = kc(a+b), \\
b^2 + c^2 = ka(b+c), \\
c^2 + a^2 = kb(c+a).
\end{cases}
\] |
259 | Öyle bir pozitif gerçek sayı $a$ olsun ki $\frac{a^2}{a^4-a^2+1}=\frac{4}{37}$. O halde $\frac{a^3}{a^6-a^3+1}=\frac{m}{n}$, burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılardır. $m+n$'yi bulun. |
0 | \( \prod_{n=3}^{33} \left( 2n^4 - 25n^3 + 33n^2 \right) \) ifadesi \( 2019 \) ile bölündüğünde kalanını bulun. |
79 | Andrea, Jim'in onların yaşlarının toplamı $47$ olduğunda sahip olduğu yaşın iki katı olduğu zamandaki yaşının üç katıdır. Andrea Jim'den $29$ yaş daha büyükse, şu anki yaşlarının toplamı kaçtır? |
60 | Açılımında \[(1+x^{7}+x^{14}+ \cdots +x^{77})(1+x^{11}+x^{22}+\cdots +x^{77})\] ifadesinin $x^a$ teriminin katsayısı sıfır olan ve $a \le 154$ koşulunu sağlayan kaç pozitif tam sayı $a$ vardır? |
67 | Kenar uzunluğu $n$ birim olan düzgün bir üçgenin her bir kenarında, $n$ bir tam sayı olmak üzere ($1 \leq n \leq 100$), kenarı $n$ eşit parçaya bölen $n-1$ nokta alalım. Bu noktalar boyunca üçgenin kenarlarına paralel doğrular çizerek kenar uzunluğu bir birim olan eşkenar üçgenlerden oluşan bir örgü elde edin. Bu küçük... |
4 | $\mathcal{A}$, tamsayı katsayılı üç değişkenli $x, y, z$ polinomlarının kümesi olsun. $\mathcal{B}$, $P, Q, R \in \mathcal{A}$ olacak şekilde
\[
(x + y + z)P(x, y, z) + (xy + yz + zx)Q(x, y, z) + xyzR(x, y, z)
\]
şeklinde ifade edilebilen tüm polinomlardan oluşan $\mathcal{A}$'nın bir alt kümesi olsun. Tüm negatif olma... |
75 | Varsayalım ki $A$, $B$, $C$ ve $D$ sabitleri vardır öyle ki
\[n^4 = A\binom{n}{4} + B\binom{n}{3} + C\binom{n}{2} + D\binom{n}{1}\]
tüm pozitif tam sayılar $n \geq 4$ için doğrudur. $A + B + C + D$ kaçtır? |
2018 | Bir olay $x$ ardışık yıl boyunca periyodik olarak gerçekleşir, ardından $y$ ardışık yıl ara verilir. Olay 1964, 1986, 1996 ve 2008 yıllarında gerçekleşmiş, 1976, 1993, 2006 ve 2013 yıllarında ise gerçekleşmemiştir. Olayın tekrar gerçekleşeceği ilk yılı bulun. |
19 | Suzie adil bir madeni parayı 6 kez atar. Suzie'nin üst üste 3 kez yazı gelmesi fakat üst üste 4 kez yazı gelmemesi olasılığı \(\frac{m}{n}\) şeklinde verilmektedir; burada \(m\) ve \(n\) aralarında asal pozitif tam sayılardır. \(m + n\) değerini bulun. |
5 | Benji'nin $2 \times 2$'lik bir ızgarası var ve üzerine çipler yerleştirir. Tek tek, ızgaranın birim karelerinden birine rastgele bir çip koyar. Ancak herhangi bir anda aynı karede birden fazla çip olursa, Benji o karedeki iki çipi iki bitişik karenin üzerine taşır; buna çip-ateşi adını verir. Sonsuz bir çip-ateşi döngü... |
-2 | a, b ve c, $x^3 - x + 1 = 0$ denkleminin üç kökü olsun. $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1}$ değerini bulun. |
6 | Bütün bölenlerinin toplamı $2P$ ve çarpımı $P^2$ olan pozitif tam sayı $P$'leri bulun. |
640 | Negatif eğime sahip ve $(20,16)$ noktasından geçen bir doğru $\ell$ olsun. $x$-ekseni, $y$-ekseni ve $\ell$ ile sınırlanan bir üçgenin mümkün olan en küçük alanı nedir? |
12 | 2023'ü bir doğal sayı $m$ ile böldüğünüzde kalan $23$ olur. Bu özelliğe sahip kaç tane $m$ vardır? |
8 | Her hücresine bir sayı gelecek şekilde $0$'lar ve $2$'lerle doldurulan bir $3 \times 3$ hücre ızgarasını, öyle ki her bitişik $2 \times 2$ altızgara tam olarak üç $2$ ve bir $0$ içerir, kaç farklı şekilde doldurmak mümkündür? |
277 | Bir dik üçgen $\triangle ABC$ vardır; $\angle A$ dik açıdır. AB kenarı üzerinde $X$, $Y$ ve $Z$ noktaları vardır öyle ki $\angle ACX = \angle XCY = \angle YCZ = \angle ZCB$ ve $BZ = 2AX$. $\triangle ABC$'nin en küçük açısı $\frac{a}{b}$ derecedir; burada $a$ ve $b$ pozitif tamsayılardır ve $\gcd(a, b) = 1$. $a + b$'yi ... |
21 | $ABC$ üçgeni olsun ve $\angle A = 60^\circ$. Doğru $\ell$, $AB$ ve $AC$ parçalarını keserek $ABC$ üçgenini bir eşkenar üçgen ve bir dörtgene ayırır. $X$ ve $Y$, $\ell$ üzerinde olsun öyle ki $BX$ ve $CY$ doğruları $\ell$'e diktir. $AB = 20$ ve $AC = 22$ verildiğine göre, $XY$'yi hesaplayın. |
4 | Pozitif gerçek sayılar $a$, $b$ ve $c$ için $a^2 + b^2 = c^2$ ve $ab = c$ olduğuna göre, aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
\[
\left| \frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{c^2} \right|
\] |
75 | Aynı hızda çalışan bir grup kadın birlikte bir duvarı $45$ saatte inşa edebilir. İşe başlandığında tüm kadınlar aynı anda başlamadı. İşi zaman içinde, eşit aralıklarla, teker teker katıldılar. Bir kez işe başladıklarında, her biri iş tamamlanana kadar çalıştı. İlk kadın, son kadının çalıştığı saatlerin $5$ katı kadar ç... |
260 | Trapez $ABCD$'de, $AD \parallel BC$ ve $\angle ABC + \angle CDA = 270^{\circ}$ ise $AB^2$'yi hesaplayın. Verildi ki $AB \cdot \tan(\angle BCD) = 20$ ve $CD = 13$. |
1037 | Üçü aynı doğru üzerinde olmayan düzlemdeki $100$ nokta arasında tam olarak $4026$ çift doğru parçası bulunmaktadır. Her bir noktaya daha sonra $1$ ile $100$ arasındaki tam sayılardan (her biri eşit olasılıkla) rastgele bir tane atanır; hiçbir tam sayı birden fazla kez atanmaz. Etiketleri arasındaki fark en az $50$ olan... |
189 | PUMaCDonalds, yeni açılmış bir fast food restoranı, 5 menü öğesine sahiptir. İlk 4 müşteri her biri rastgele bir menü öğesi seçerse, 4. müşterinin daha önce sipariş edilmemiş bir öğe sipariş etme olasılığı nedir? Olasılığı $\frac{m}{n}$ şeklinde ifade edin, burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tamsayılardır. $m+n$... |
2005 | Aşağıdaki ifadeyi hesaplayın:
\[
\frac{2005\displaystyle \int_0^{1002}\frac{dx}{\sqrt{1002^2-x^2}+\sqrt{1003^2-x^2}}+\int_{1002}^{1003}\sqrt{1003^2-x^2}dx}{\displaystyle \int_0^1\sqrt{1-x^2}dx}
\] |
12321 | $12345678987654321$ ve $12345654321$ sayılarının en büyük ortak böleni nedir? |
120 | İki taban açısı $x^{\circ}$ olan bir ikizkenar üçgenin çevresine bir çember çizilmiştir. İki nokta çember üzerinde birbirinden bağımsız ve rastgele seçilir ve ikisi arasında bir kiriş çizilir. Kirişin üçgeni kesme olasılığı $\frac{14}{25}$'tir. $x$'in alabileceği en büyük ve en küçük olası değerlerin toplamını bulun. |
16295 | Üçgen $ABC$'de, $AB = 8$, $AC = 9$ ve $BC = 10$. $M$, $BC$'nin orta noktası olsun. Alanı $A_1$ olan çember $\omega_1$, $A$, $B$ ve $C$ noktalarından geçer. Alanı $A_2$ olan çember $\omega_2$, $A$, $B$ ve $M$ noktalarından geçer. O zaman $\frac{A_1}{A_2} = \frac{m}{n}$ olur; burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam... |
60 | Aşağıdaki hedef, çapları $4$, $8$, $12$, $16$ ve $20$ olan ortak merkezli dairelerden oluşmaktadır. Koyu bölgenin alanı $n\pi$'dir. $n$'i bulun. |
13 | Pozitif bir tamsayı $n$ için $p(n)$, $n$'yi tam olarak bölen farklı asal sayıların sayısı olarak tanımlansın. Eşitsizliği $\log_4 n \leq p(n)$ sağlayan pozitif tamsayı $n$'lerin sayısını belirleyin. |
8 | $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$, $1$'den $5$'e kadar olan tam sayıların (dahil) rastgele bir permütasyonu olsun. Aşağıdakinin beklenen değerini bulun:
\[ \sum_{i=1}^{5} |a_i - i| = |a_1 - 1| + |a_2 - 2| + |a_3 - 3| + |a_4 - 4| + |a_5 - 5|. \] |
15 | Eğer $a, b, c$ gerçek sayılar olup $a+b+c=6$ ve $ab+bc+ca=9$ ise, $\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor + \lfloor c \rfloor$ ifadesinin tüm olası değerlerinin toplamını bulun. |
202 | Hesaplayın $1 + 2 + 3 + 4 - 5 - 6 - 7 - 8 + 9 + \cdots - 96 + 97 + 98 + 99 + 100$. |
10 | $3$ tavşanın $9$ delik kazması $5$ saat sürer. $5$ kunduzun $2$ baraj yapması $36$ dakika sürer. Bu orana göre, $1$ tavşanın $1$ deliği kazması, $1$ kunduzun $1$ barajı yapmasına göre kaç dakika daha fazla sürer? |
59455 | Aşağıdaki koşulu sağlayan en küçük pozitif tam sayı $n$'yi bulun: Eğer $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \ldots p_s^{a_s}$ ise
\[ \phi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{p_s}\right) = \frac{2^5}{47}n. \] |
4 | Her pozitif tam sayı $x \leq 29$ için $A$'nın bir altkümesinin elemanlarının toplamı $x$ olacak şekilde, elemanları birbirinden farklı 5 pozitif tam sayıdan oluşan kaç küme $A$ vardır? |
1106 | Altı sandalye bir sıraya dizilmiştir ve altı kişi bu sandalyelerden birini rastgele seçer. Her kişi daha sonra bacakları için üç pozisyondan birini seçer:
1. Ayaklar zeminde
2. Bacaklar sağa doğru çaprazlanmış
3. Bacaklar sola doğru çaprazlanmış
Sadece iki bitişik kişide aşağıdaki bacak pozisyonları varsa bir ... |
7993 | Aşağıdaki koşulları sağlayan, sıfır ve pozitif tam sayılardan kendisine tanımlı $(f, g)$ çiftlerini düşünün:
- $f(0) + f(1) + f(2) + \cdots + f(42) \le 2022$;
- Herhangi tamsayılar $a \ge b \ge 0$ için $g(a+b) \le f(a) + f(b)$.
Böyle tüm fonksiyon çiftleri arasında $g(0) + g(1) + g(2) + \cdots + g(84)$ ifadesinin alab... |
6037 | \phi'yi Euler totient fonksiyonu olarak alalım.
\phi^k (n) = (\underbrace{\phi \circ ... \circ \phi}_{k})(n) ifadesi \phi'nin kendisiyle k kez bileşimini ifade etsin.
\theta (n) = \min \{k \in \mathbb{N} \mid \phi^k (n)=1 \} olarak tanımlayalım.
Örneğin:
- \phi^1 (13) = \phi(13) = 12
- \phi^2 (13) = \phi (\phi (13... |
1988 | $f(n)$ pozitif tam sayıların kümesi üzerinde tanımlı ve değerleri de aynı kümeye ait olan bir fonksiyon olsun. Tüm pozitif tam sayılar $n,m$ için $f(f(n) + f(m)) = m + n$ olduğunu varsayalım. $f(1988)$ için olası değeri bulun. |
30 | 100 okul öğrencisi 4 problemin verildiği Matematik Olimpiyatı'na katıldı. Birinci problemi 90 öğrenci çözdü, ikinciyi 80, üçüncüyü 70 ve dördüncüyü 60 öğrenci çözdü. Hiçbir öğrenci tüm problemleri çözmedi. Üçüncü ve dördüncü soruların her ikisini de çözen öğrencilere ödül verildi. Kaç öğrenci ödül aldı? |
252 | Bir vidanın birim fiyatı $0.2$ sent olarak listelenmiştir. Bir grup vida müşteriye satıldığında, vidaların toplam maliyeti listelenen fiyat kullanılarak hesaplanır ve sonra en yakın sente yuvarlanır. Al'ın $50$ senti varsa ve yalnızca bir satın alma yapmak istiyorsa, en fazla kaç vida satın alabilir? |
1347 | Bir dizi $\{a_n\}$ şu şekilde tanımlanmıştır: $a_i = i$ için $i = 1, 2, 3, \ldots, 2020$ ve $i > 2020$ için $a_i$ önceki 2020 terimin ortalamasıdır. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ değerine eşit ya da ondan küçük en büyük tam sayı nedir? |
43 | $2003^{2005^{2007^{2009}}}$ ifadesinin son iki basamağı nedir, burada $a^{b^c}$ ifadesi $a^{(b^c)}$ anlamına gelir? |
666 | Öğretmen $37$ öğrencisinin her birine farklı renklerde $36$ kurşun kalem verdi. Her iki öğrencinin aldığı kurşun kalemlerden tam olarak bir tanesi aynı renkteydi. Dağıtılan farklı renk sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyin. |
30576 | 2017 ile $2017^2$ arasındaki, $n^n \equiv 1 \pmod{2017}$ olacak pozitif tam sayıların sayısını hesaplayın. |
540 | Aşağıdaki özelliğe sahip en küçük iki pozitif tam sayı $b$'nin toplamını hesaplayın: $0 \leq n < b$ olmak üzere en az on tam sayı vardır ki $n^2$ ile $n$, $b$ tabanında aynı son basamakla biter. |
6748 | x, y, z reel sayılar olup şu koşulları sağlıyorsa:
\[
\begin{align*}
(x + 1)(y + 1)(z + 1) &= 3, \\
(x + 2)(y + 2)(z + 2) &= -2, \\
(x + 3)(y + 3)(z + 3) &= -1,
\end{align*}
\]
değerini bulun:
\[ (x + 20)(y + 20)(z + 20). \] |
93 | $n^n$'nin 325 pozitif tam böleni olacak şekilde tüm pozitif tam sayı $n$'lerin toplamını bulun. Örneğin, $4^4=256$ sayısının 9 pozitif tam böleni vardır: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. |
30 | E ve F noktaları, kenar uzunluğu 24 olan kare $ABCD$'nin köşegeni $\overline{AC}$ üzerinde yer alır; öyle ki $AE = CF = 3\sqrt{2}$. Foküsleri E ve F olan bir elips karenin kenarlarına teğettir. Elips üzerindeki herhangi bir noktanın iki foküse olan uzaklıklarının toplamını bulun. |
72 | Aşağıdaki gibi tanımlansın: $A = \frac{1}{6}((\log_2(3))^3-(\log_2(6))^3-(\log_2(12))^3+(\log_2(24))^3)$. $2^A$ değerini hesaplayın. |
15 | \( \triangle ABC \)'nin kenar uzunlukları \( AB=20 \), \( BC=15 \) ve \( CA=7 \) olarak verilmiştir. \( \triangle ABC \)'nin yükseklikleri \( AD \), \( BE \) ve \( CF \) olsun. \( \triangle ABC \)'nin ortokenteri (yüksekliklerin kesişimi) ile \( \triangle DEF \)'nin iç merkezi arasındaki uzaklık nedir? |
120 | Toplam $12$ çilek içeren bir kutu çileğin fiyatı $2$'dir. Toplam $48$ yaban mersini içeren bir kutu yaban mersininin fiyatı $3$'tür. Varsayalım ki $12$ karşılığında, Sareen ya toplam $m$ çilek ya da toplam $n$ yaban mersini satın alabilir. $n - m$ değerini bulun. |
48 | Aşağıdaki koşulu sağlayan tamsayı çiftlerinin \((x, y)\) sayısını belirleyin: \((|x| - 2)^2 + (|y| - 2)^2 < 5\). |
872 | Herhangi bir küme $S$ için $P(S)$, $S$'nin tüm alt kümelerinden oluşan kuvvet kümesi olsun. 2015 adet rastgele sonlu kümeden oluşan kümeler $A$'yı düşünün. $N$'yi, $S \in P(A)$, $T \in P(P(A))$, $S \in T$ ve $S \subseteq T$ koşullarını sağlayan sıralı çiftlerin $(S,T)$ mümkün olan azami sayısı olarak tanımlayın. Konvan... |
4 | Eğer $p$, $q$ ve $r$ sıfır olmayan tam sayılar ve $p^2+q^2 = r^2$ ise, $(p+q+r)^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri hesaplayın. |
10 | Bize $1 \times 1$ karelere bölünmüş bir $5 \times 5$ kare ızgarası veriliyor. İki kare, aynı satırda veya sütunda yer alıyorlarsa ve merkezleri arasındaki uzaklık 2 veya 3 ise **bağlantılı** olarak adlandırılır. Örneğin, resimde gri kareler kırmızı kareye bağlı olanlardır.
; $C_3$'ün merkezi $A$ olup çapı $2k$. $k$ sabit kabul edilir. $C_2$ üzerinde bir uç $X$, $C_3$ üzerinde bir uç $Y$ olan ve $B$ noktasından geçen tüm doğru parçaları $XY$'yi düşünün. $XY$ doğru parçasını... |
4 | Şekildeki çemberin yarıçapı $\sqrt{7}$ ve merkezi $O$'dur. Noktalar $A$, $B$ ve $C$ çember üzerindedir. Eğer $\angle BOC = 120^\circ$ ve $AC = AB + 1$ ise, $AB$ uzunluğunu bulun. |
0 | $x^5 - y^2 = 4$ denkleminin tamsayı çözümlerinin toplam sayısını bulun. |
0 | Aşağıdaki polinomları düşünün:
\[ P(x) = (x + \sqrt{2})(x^2 - 2x + 2) \]
\[ Q(x) = (x - \sqrt{2})(x^2 + 2x + 2) \]
\[ R(x) = (x^2 + 2)(x^8 + 16) \]
\( P(x) \cdot Q(x) \cdot R(x) \) ifadesinde \( x^4 \) teriminin katsayısını bulun. |
2013 | SAT'ı çözerken cevap kâğıdınıza dikkatiniz dağılır. College Board'ın sınırlayıcı kurallarına bağlı olmadığınız için, aslında her soru için $32$ farklı şekilde cevap işaretleyebildiğinizi fark edersiniz; çünkü sisteme karşı gelip aynı anda birden fazla harf kabarcığı doldurabilirsiniz: örneğin $AB$, veya $AC$, veya $ABD... |
0 | Karınca Alice, düzenli altıgen $ABCDEF$'nin $A$ köşesinden başlar ve her hamlede eşit olasılıkla sağa ya da sola hareket eder. $35$ hamleden sonra $A$ veya $C$ köşesinde olma olasılığı nedir? |
27 | Bir palaestra içinde bir çember etrafına dizilmiş numaralandırılmış $128$ koltuk vardır. İçeri giren ilk kişi $1$ numaralı koltuğa oturur. Şehirde bulaşıcı bir hastalık yayılmakta olduğundan, palaestraya giren her kişi kendisine en yakın dolu koltuğa olan uzaklığı en büyük olan koltuğa oturur. Böyle birden fazla koltuk... |
127 | 1, 2, 3, 4, 5 olarak etiketlenmiş 5 köşe vardır. Her iki köşe u, v için kenar uv \frac{1}{2} olasılıkla çizilir. Ortaya çıkan grafın bir ağaç olma olasılığı \frac{p}{q} ile veriliyorsa ve p ile q aralarında asal ise, q^{1/10} + p değerini bulun. |
8 | r sıfırdan farklı bir gerçek sayı olsun. Denklemi
\[ r^4z^4 + (10r^6-2r^2)z^2-16r^5z+(9r^8+10r^4+1) = 0 \]
sağlayan z değerleri karmaşık düzlemde işaretlenir (yani her kökün reel kısmı x-koordinatı, imajiner kısmı y-koordinatı olarak alınır). Bu noktaların köşe olduğu konveks dörtgenin alanının r'ye bağlı olmadığını gö... |
14 | Paydası $< 100$ olan tüm rasyonel sayılar arasında $\frac{p}{q}$, $\frac{22}{7}$'ye en yakın fakat ona eşit olmayan rasyonel sayı olsun. $p - 3q$ değeri nedir? |
7 | Varsayalım ki $x, y, z \in \mathbb{R}$ ve $7x^2 + 7y^2 + 7z^2 + 9xyz = 12$ denklemi sağlansın. $x^2 + y^2 + z^2$'nin minimum değerini bulun; bu değer $\frac{a}{b}$ biçiminde ifade edilebilir, burada $a, b \in \mathbb{Z}$ ve $\gcd(a, b) = 1$. $a + b$ değerini belirleyin. |
3 | Bir üçgende iç açılarının oranı $1 : 5 : 6$ olup en uzun kenarın uzunluğu $12$'dir. En uzun kenara indirilen yüksekliğin uzunluğu kaçtır? |
15001 | Gerçel sayılar için $x$, şöyle tanımlansın:
$$f(x) = \frac{4^x}{25^{x+1}} + \frac{5^x}{2^{x+1}}.$$
O hâlde,
$$f\left(\frac{1}{1 - \log_{10} 4}\right) = \frac{m}{n},$$
burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılardır. $m + n$'yi bulun. |
718 | $712!$ sayısının $719$ ile bölümünden kalan nedir? |
10 | Üçgen $ABC$'nin kenar uzunluklarının $x^3 - 27x^2 + 222x - 540$ polinomunun kökleri olduğunu varsayalım. İç çember yarıçapı ile çevrel çember yarıçapının çarpımı nedir? |
912 | Her pozitif tam sayı $n$ için, $S_n$'yi $n^k - 1$'in 2006 ile bölünebilir olduğu pozitif tam sayılar $k$ kümesi olarak tanımlayalım. Fonksiyon $P(n)$'i şu kuralla tanımlayalım:
$$P(n) = \begin{cases} \min(s)_{s \in S_n} & \text{if } S_n \neq \emptyset, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$$
$d$'yi $\{P(1), P(2), P(3)... |
4 | \(2, 3, 4, 5, 6\) sayılarının kaç farklı yeniden sıralanması, bitişik her çiftin aralarında asal olma özelliğine sahiptir? |
11 | Bazı pozitif tamsayılar $m > n$ için, $a = \text{lcm}(m, n)$ ve $b = \gcd(m, n)$ olup $a = 30b$ sağlanıyor. Eğer $m - n$ $a$'yı bölerse, $\frac{m + n}{b}$ kaçtır? |
1898 | Eğer $x^3 - 3\sqrt{3} x^2 + 9x - 3\sqrt{3} - 64 = 0$ ise, $x^6 - 8x^5 + 13x^4 - 5x^3 + 49x^2 - 137x + 2015$ değerini bulun. |
47 | Varsayalım ki $ABCD$ köşegenleri $E$ noktasında kesişen bir dikdörtgendir. Üçgen $ABE$'nin çevresi $10\pi$ ve üçgen $ADE$'nin çevresi $n$ olsun. $n$'nin alabileceği tamsayı değerlerinin sayısını bulun. |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.