Question stringlengths 1 883 | Solution stringlengths 1 2.27k ⌀ | Answer stringlengths 1 4.34k ⌀ | Themes list |
|---|---|---|---|
Пусть b1, b2, ..., b7 – это целые числа a1, a2, ..., a7, взятые в некотором другом порядке. Докажите, что число (a1 – b1)(a2 – b2)...(a7 – b7) чётно. | (a1 – b1) + (a2 – b2) + ... + (a7 – b7) = 0. Поскольку сумма семи нечётных слагаемых не может равняться нулю, одно из чисел a1 – b1, a2 – b2, ...,
a7 – b7 чётно. Поэтому и произведение (a1 – b1)(a2 – b2)...(a7 – b7) чётно. | null | [
"Четность и нечетность"
] |
На плоскости нарисовано несколько многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая все эти многоугольники. | Рассмотрим проекцию этих многоугольников на некоторую прямую l. Проекция каждого многоугольника – некоторый отрезок. По условию каждые два из этих отрезков имеют общую точку. Это означает, что каждый из левых концов отрезков расположен левее каждого из правых концов. Таким образом, самый правый из левых концов отрезков... | null | [
"Комбинаторная геометрия (прочее)",
"Проекция на прямую (прочее)"
] |
План города имеет схему, представляющую собой прямоугольник 5×10 клеток. На улицах введено одностороннее движение: разрешается ехать только вправо и вверх. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний? | Каждому маршруту можно сопоставить строку из 15 букв "П" и "В" (см. подсказку), причём букв "П" должно быть ровно 5, а букв "В" – ровно 10. Наоборот, по каждой такой строке букв можно однозначно восстановить маршрут. Поэтому число маршрутов равно числу таких строк, которое, в свою очередь, равно | 3003 маршрута. | [
"Сочетания и размещения"
] |
Докажите, что квадрат нечётного числа дает остаток 1 при делении на 8. | (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1. Одно из чисел k, k + 1 чётно, поэтому 4k(k + 1) делится на 8. | null | [
"Арифметика остатков (прочее)",
"Формулы сокращенного умножения (прочее)"
] |
Дано 27 монет, из которых одна фальшивая, причём фальшивая монета легче настоящей.
Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету? | Разделим монеты на три группы по девять монет и сравним массы двух из них. Если при этом на чашечных весах не получилось равенства, то фальшивая монета содержится среди девяти более лёгких монет. Если же получилось равенство, то фальшивая монета может содержаться только среди девяти монет, не принимавших участие во ... | null | [
"Взвешивания"
] |
Существует ли 25-звенная ломаная, пересекающая каждое свое звено ровно три раза? | См. задачу 30426. | Не существует. | [
"Четность и нечетность"
] |
Докажите, что уравнение x² + y³ = z5 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. | Будем искать решение в виде x = 2k, y = 2m, z = 2n. Уравнение принимает вид 22k + 23m = 25n. Положим k = 3s, m = 2s. Тогда 26s + 26s = 25n, или
26s+1 = 25n. Осталось подобрать значения s и n так, что 6s + 1 = 5n. Для этого можно приравнять оба числа 6s + 1, 5n к числу 30t + 25 (числа вида
30t + 25 ... | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая
центр окружности, описанной около противоположной грани, и
перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти 4
плоскости пересекаются в одной точке.
| Заметим, что центр описанной вокруг тетраэдра сферы
при проекции на грань переходит в центр окружности,
описанной
около грани (поскольку и центр описанной вокруг
тетраэдра сферы, и
центр окружности, описанной около грани,
равноудалены от трех вершин этой грани).
Поэтому указанные в условии 4 плоскости проходят ч... | null | [
"Стереометрия (прочее)"
] |
Докажите, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить
непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна
100.
| Пусть a и b - стороны прямоугольника.
Тогда в прямоугольнике легко разместить в виде сетки
[a/s]*[b/s] квадратов со стороной s (знак [x] обозначает
целую часть числа x).
В каждый из этих квадратов впишем круг.
Сумма радиусов всех кругов будет не меньше, чем
s*[a/s]*[b/s]/2, что в свою очередь больше (делаем оценк... | null | [
"Комбинаторная геометрия",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде
суммы нескольких различных членов последовательности Фибоначчи.
(Последовательность Фибоначчи {an} определяется условиями
a1=1, a2=2,
an+2=an+1+an.)
| Будем использовать индукцию по n.
База индукции тривиальна - число 1 само является числом Фибоначчи.
Далее, предположим, что все натуральные числа, меньшие некоторого
числа k, можно представить в виде
суммы нескольких различных членов последовательности Фибоначчи.
Найдем наибольшее число Фибоначчи an, не превосхо... | null | [
"Индукция (прочее)",
"Числа Фибоначчи",
"Системы счисления (прочее)"
] |
Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем
каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка.
Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не
менее, чем в 4 цвета.
| Если некоторая прямая окрашена в 3 или более цветов,
то проведем плоскость
через эту прямую и точку одного из недостающих цветов.
Эта плоскость будет окрашена не менее, чем в 4 цвета.
Далее, предположим, что каждая прямая окрашена не более, чем в 2
цвета.
Фиксируем по одной точке каждого из пяти цветов.
Пусть н... | null | [
"Раскраски",
"Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры",
"Доказательство от противного"
] |
Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед,
чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была
наибольшей?
| Проекция параллелепипеда - шестиугольник (возможно, выродившийся в
четырехугольник), составленный из трех параллелограммов,
являющихся проекциями "видимых" граней.
Обозначим этот шестиугольник A'B'C'D'E'F' (A',B',C',D',E',F' -
проекции вершин A,B,C,D,E,F параллелепипеда), и пусть он составлен из
параллелограммов ... | Параллелепипед должен располагаться так, чтобы
плоскость, проходящая через вторые концы его ребер,
выходящих из некоторой его вершины, была горизонтальна.
| [
"Стереометрия (прочее)",
"Экстремальные свойства (прочее)"
] |
Найдите какое-нибудь такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число будет полным квадратом. | Заметим, что 1011 + 1 = (10 + 1)(1010 – 109 + 108 – ... – 10 + 1) делится на 11². Действительно, второй множитель представляет собой сумму 11 слагаемых, каждый из которых сравним с 1 по модулю 11. Поэтому подходит число
A = (1011 + 1)·16/121 = 13223140496. | Например, 13223140496. | [
"Десятичная система счисления",
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции",
"Разложение на множители"
] |
Можно ли расставить на ребрах 5-угольной пирамиды стрелки, так что
сумма всех образовавшихся 10 векторов была бы равна 0.
| Спроектируем векторы на прямую, перпендикулярную основанию
пирамиды и рассмотрим сумму проекций векторов.
Вклад векторов, принадлежащих основанию пирамиды, равен
0. Каждый вектор, идущий вдоль боковой стороны, проектируется в
вектор длины h, где h - высота пирамиды. Однако сумма пяти
коллинеарных векторов длины h ... | null | [
"Пирамида (прочее)",
"Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число"
] |
Дано 8 действительных чисел: a,b,c,d,,e,f,g,h.
Докажите, что хотя бы одно из 6 чисел
ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh неотрицательно.
| Рассмотрим на плоскости 4 вектора с координатами
(a;b),(c;d),(e;f),(g;h). Указанные 6 чисел - попарные скалярные
произведения этих векторов.
Угол между некоторыми двумя векторами не превосходит
900 (поскольку если отложить векторы от одной точки, то
образуется 4 угла между соседними векторами, дающие в сумме
3600... | null | [
"Геометрические неравенства (прочее)",
"Скалярное произведение. Соотношения"
] |
Можно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый
отрезок своими концами упирался строго внутрь других отрезков.
| Введем систему координат таким образом, чтобы ось Oy не была
параллельна ни одному из отрезков.
Рассмотрите конец некоторого отрезка с наименьшей абсциссой
среди всех концов отрезков. Понятно, что этот конец не может
упираться внутрь ни одного из отрезков.
| null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Системы отрезков, прямых и окружностей"
] |
8 теннисистов провели круговой турнир. Докажите, что найдутся 4
теннисиста A,B,C,D, такие что A выиграл у B,C,D, B выиграл у C и D,
C выиграл у D.
| Теннисист A, выигравший наибольшее число игр
(или один из таких теннисистов),
выиграл по крайней мере
у 4 человек (в среднем в 7 играх одерживается 3,5 победы).
Рассмотрим подтурнир между этими 4 теннисистами без учета игр с
остальными. Один из них (B) выиграл хотя бы у двух других
(в среднем в 3 играх одерживае... | null | [
"Принцип крайнего"
] |
Дано число 100...01, число нулей в нем равно 299.
Докажите, что это число составное.
| Данное число можно записать в виде
10300+1.
Воспользовавшись формулой суммы кубов, получим:
10300+1=(10100)3+13=
(10100+1)(10200 - 10100 +1).
| null | [
"Формулы сокращенного умножения",
"Десятичная система счисления"
] |
Расположите 10 треугольников на плоскости так, чтобы
любые два из них имели общую точку, а любые три - нет.
| Рассмотрим бесконечную полосу шириной 1 на плоскости.
Проведем вторую полосу ширины 1, ось которой непараллельна
оси первой полосы. Общая часть этих полос -
ограниченная фигура (а именно параллелограмм).
Проведем следующую полосу, не пересекающую общую часть
первых двух полос и имеющую ось, непараллельную осям дв... | null | [
"Комбинаторная геометрия (прочее)",
"Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры"
] |
Докажите, что для любого числа d, не делящегося на 2 и на 5, найдётся число, в десятичной записи которого содержатся одни единицы и которое делится на d. | Рассмотрим числа, в десятичной записи которых содержатся одни единицы: 1, 11, 111, ... Поскольку таких чисел бесконечно много, то среди них найдутся два числа, имеющие одинаковый остаток при делении на d. Разность этих двух чисел будет иметь вид A = 1...10...0, то есть будет записываться несколькими единицами, за кот... | null | [
"Деление с остатком",
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Десятичная система счисления"
] |
Можно ли из 18 доминошек 1×2 выложить квадрат 6×6 так, чтобы при этом не получалось ни одного прямого "шва", соединяющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? | В квадрате 6×6, разбитом на единичные клетки, имеется пять горизонтальных и пять вертикальных "швов". Эти "швы" являются потенциальными "швами" при разбиении квадрата на доминошки. Заметим, что если потенциальный "шов" пересекает ровно одну доминошку, то при удалении этой доминошки доска будет разделена этим "швом" на ... | Нельзя. | [
"Замощения костями домино и плитками"
] |
Несколько углов покрывают плоскость. Докажите, что сумма этих углов не меньше 360°. | Предположим противное – сумма углов меньше 360°. Фиксируем некоторую точку O плоскости и совершим параллельный перенос каждого угла, так чтобы его вершина совместилась с точкой O. Поскольку сумма углов меньше развернутого угла, то найдётся луч m с началом в точке O, который не покрывается перенесенными углами. Нетрудно... | null | [
"Принцип Дирихле (углы и длины)",
"Покрытия"
] |
Найдите все целые решения уравнения yk = x² + x, где k – фиксированное натуральное число, большее 1.
| yk = x(x + 1). Числа x и x + 1 взаимно просты, поэтому x и x + 1 являются k-ми степенями целых чисел. Ясно, что имеется ровно две пары последовательных целых чисел, являющихся k-ми степенями при k > 1 – (–1, 0) и (0, 1). Таким образом, x может принимать только два значения: 0 и –1. Остается проверить, что об... | (0, 0) и (–1, 0). | [
"Уравнения в целых числах",
"Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители"
] |
При каких n > 3 набор гирь с массами 1, 2, 3, ..., n граммов можно разложить на три равные по массе кучки? | Назовём число n хорошим, если набор гирь с массами 1, 2, 3, ..., n можно разложить на три равные по массе кучки. Для хорошего n суммарная масса гирь, равная ½ n(n+1), кратна 3. Поэтому n может давать только остатки 0 или 2 при делении на 3.
Если число n хорошее, то число n + 6 тоже хорошее, поскольку гири мас... | При n, кратных 3 или дающих остаток 2 при делении на 3. | [
"Комбинаторика (прочее)",
"Индукция (прочее)",
"Деление с остатком"
] |
Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½. | Рассмотрим круги радиуса меньше ½ (будем называть их маленькими), которые покрывают границу большого круга радиуса 1. Докажем, что таких кругов не меньше семи. Как известно, в окружности радиуса 1 дуга, стягиваемая хордой длины 1, имеет градусную меру 60°. Рассмотрим дуги окружности радиуса 1, высекаемые маленькими кру... | null | [
"Покрытия",
"Связь величины угла с длиной дуги и хорды"
] |
Автор: Фомин С.В. | Двое бросают монету: один бросил ее 10 раз, другой – 11 раз.
Чему равна вероятность того, что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого? | События "у второго выпало больше орлов, чем у первого" и "у второго выпало больше решек, чем у первого", очевидно, равновероятны. Но они и дополняют друг друга (поскольку второй бросал монету ровно на один раз больше первого, то либо орлов, либо решек у него больше, но не одновременно). Поэтому вероятность каждого собы... | [
"Дискретное распределение",
"Разбиения на пары и группы; биекции"
] |
Имеется набор натуральных чисел (известно, что чисел не меньше семи), причём сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе? | Набор из 50 чисел, каждое из которых равно 2, удовлетворяет условию.
Если в наборе не более 49 чисел, то их можно разбить на 7 групп так, что в каждой группе будет содержаться 7 или меньше чисел. По условию сумма чисел в каждой группе меньше 15, то есть не больше 14. Следовательно, сумма чисел во всех семи групп... | 50 чисел. | [
"Средние величины",
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Доказательство от противного"
] |
Шарообразная планета окружена 25 точечными астероидами.
Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 11 астероидов. | Проведём плоскость π через центр планеты и два произвольных астероида. Проведём через центр планеты также прямую, перпендикулярную π. Эта прямая пересечёт поверхность планеты в двух полюсах - A, B. Астрономы в точках A и B не могут видеть один и тот же астероид, а также не могут видеть два астероида, лежащие в плоскост... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Прямые и плоскости в пространстве (прочее)"
] |
Известно, что в выпуклом n-угольнике (n > 3) никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей. | Условие можно переформулировать так: требуется найти число пар пересекающихся диагоналей выпуклого n-угольника. Каждой паре пересекающихся диагоналей поставим в соответствие четвёрку вершин n-угольника – концов этих диагоналей. Наоборот, для любой четвёрки вершин существует ровно одна пара пересекающихся диагоналей, к... | null | [
"Сочетания и размещения",
"Системы точек и отрезков"
] |
Длина каждой из диагоналей выпуклого четырехугольника
больше 2. Докажите, что в этом четырехугольнике хотя бы одна
сторона имеет длину, большую 21/2.
| Пусть ABCD - данный четырехугольник и O - точка пересечения
его диагоналей. Один из углов AOB,BOC не меньше 90
градусов. Для определенности положим, что угол
AOB не меньше 90 градусов.
Обозначим AO=a,BO=b,CO=c,DO=d.
По условию a+b+c+d больше 4, следовательно,
одна из сумм a+b,c+d больше 2, для определеннос... | null | [
"Четырехугольник (неравенства)",
"Теорема косинусов"
] |
Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 32 так, что
каждое число
использовалось дважды. Докажите, что можно выбрать 32 клетки,
занумерованные разными числами, так что на каждой вертикали и на
каждой горизонтали найдется хотя бы по две выбранные клетки.
| Разобьем доску на доминошки размером 1*2 клетки следующим образом.
Вначале разобьем доску на 4 квадрата 4*4. Затем два квадрата,
расположенные по диагонали, разобьем на вертикальные доминошки,
а два оставшиеся квадрата - на горизонтальные.
Нашей следующей задачей будет выбор 32 клеток,
занумерованных разными числа... | null | [
"Замощения костями домино и плитками"
] |
Существуют ли 100 таких прямоугольников, что ни один из них нельзя
покрыть остальными 99-ю?
| Будем выбирать прямоугольники последовательно один за другим.
В качестве первого прямоугольника возьмем квадрат со стороной 1.
Пусть si - площадь i-го прямоугольника,
li - длина его большей стороны
(по параметрам si,li прямоугольник
восстанавливается, причем однозначно).
Обозначим также через di длину диагонали i... | существуют.
| [
"Покрытия",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Докажите, что ни при каком натуральном m число 1998m – 1 не делится на 1000m – 1. | null | null | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Четность и нечетность",
"Доказательство от противного"
] |
Солдаты построены в две шеренги по n человек, так что каждый солдат из первой шеренги не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги. В шеренгах солдат выстроили по росту. Докажите, что после этого каждый солдат из первой шеренги также будет не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги. | Обозначим через a1, a2, ..., an рост солдат первой шеренги в порядке убывания, а через b1, b2, ..., bn рост солдат второй шеренги в порядке убывания (те же обозначения используем и для самих солдат). Пусть утверждение задачи неверно: ak > bk для некоторого k. Это означает, что до перестраивания по росту солдат ak мог... | null | [
"Упорядочивание по возрастанию (убыванию)",
"Доказательство от противного"
] |
Докажите, что для любого натурального n найдутся n подряд идущих составных натуральных чисел. | Рассмотрим n следующих натуральных чисел: (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ..., (n + 1)! + (n + 1). Покажем, что все эти числа составные. В самом деле, для каждого
k = 2,3, ... , n + 1, число (n + 1)! делится на k. Поэтому число (n + 1)! + k также делится на k и, очевидно, больше k. | null | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Произведения и факториалы",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
На прямой дано 50 отрезков.
Докажите, что либо некоторые восемь отрезков имеют общую точку, либо найдутся восемь отрезков, никакие два из которых не имеют общей точки. | Пусть [a1, b1] – отрезок с наименьшим правым концом. Если число отрезков, содержащих точку b1, больше 7, то задача решена. Если оно не больше 7, то имеется по крайней мере 50 – 7 = 43 отрезка, лежащих целиком правее точки b1. Выберем из них отрезок [a2, b2] с наименьшим правым концом. Тогда либо b2 принадлежит во... | null | [
"Принцип крайнего (прочее)",
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Системы отрезков, прямых и окружностей"
] |
Внутри квадрата отмечено 100 точек. Квадрат разбит на треугольники таким образом, что вершинами треугольников являются только отмеченные 100 точек и вершины квадрата, причём для каждого треугольника разбиения каждая отмеченная точка либо лежит вне этого треугольника, либо является его вершиной (разбиения такого типа на... | Сумма углов треугольников с вершиной в некоторой вершине квадрата равна 90°, каждая из отмеченных 100 точек даёт вклад, равный 360°. Поскольку других вершин треугольников нет, то сумма углов всех треугольников разбиения равна 100·360° + 4·90° = 202·180°. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то количество тр... | 202 треугольника. | [
"Системы точек",
"Подсчет двумя способами",
"Разные задачи на разрезания"
] |
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2n–1 различными способами. | Пусть m = p1p2...pn, где p1, p2, ..., pn – различные нечётные простые числа. Будем решать уравнение x² – y² = m в натуральных числах. Это уравнение приводится к виду (x – y)(x + y) = p1p2...pn, откуда следует, что сомножитель x – y есть произведение нескольких чисел (возможно ни одного, в этом случае x – ... | null | [
"Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители",
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Классическая комбинаторика (прочее)",
"Теория множеств (прочее)"
] |
Докажите, что уравнение x! y! = z! имеет бесконечно много решений в натуральных числах, больших 1. | Положим y = m, x = m! – 1, z = m!, где m – произвольное натуральное число. | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Произведения и факториалы"
] |
Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках С1, С2, сторону BС – в точках A1, A2, сторону СA – в точках B1, B2. Известно, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С1, B1, A1, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставлен... | Пусть P – точка пересечения перпендикуляров, восставленных в точках С1, B1, A1, O – центр окружности, Q – точка, симметричная P относительно O Точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку С1С2, поскольку O равноудалена от точек С1 и С2. Пусть С' – середина отрезка С1С2. Рассмотрим угол, образованный прямыми С1С... | null | [
"Центральная симметрия помогает решить задачу",
"Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)",
"Диаметр, основные свойства"
] |
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости. | Будем считать, что плоскость из условия горизонтальна. Обозначим через O самую нижнюю вершину куба, а через A, B, C – соседние с ней вершины. Проекция куба на ось Oz – это проекция на эту ось его большой диагонали, то есть вектора Она равна cos α + cos β + cos γ, где α, β, γ – углы, которые стороны OA, OB, OC... | null | [
"Площадь и ортогональная проекция",
"Куб"
] |
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a2000 + b2000 + c2000 + d2000 составное. | Поскольку ab делится на c, число c можно представить в виде c = uw, где u – делитель a, a w – делитель b (в качестве u можно взять, например, НОД(a, с)). Тогда a = uv, b = wt, где v и t – натуральные числа, и поэтому d = vt. Отсюда a2000 + b2000 + c2000 + d2000 = (uv)2000 + (wt)2000 + (uw)2000 + (vt)2000 = (u20... | null | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Разложение на множители"
] |
Натуральный ряд 1, 2, 3, ... разбит на несколько (конечное число) арифметических прогрессий.
Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на разность. | Обозначим через a1, a2, ..., an первые члены прогрессий, на которые разбит натуральный ряд, через d1, d2, ..., dn – их разности. Произведение всех разностей d1d2...dn входит в одну из прогрессий (пусть i – номер этой прогрессии). Это означает, что для некоторого целого неотрицательного k выполнено равенство d1d2...dn =... | null | [
"Арифметическая прогрессия",
"Делимость чисел. Общие свойства"
] |
Существует ли выпуклый многогранник,
любое сечение которого плоскостью,
не проходящей через вершину,
является многоугольником с нечетным числом сторон?
| Предположим, что такой многогранник существует.
Если бы у него была вершина A, в которой сходится четное число m
ребер,
то в многограннике было бы m-угольное сечение,
отделяющее вершину A от остальных вершин.
Таким образом, в каждой вершине многогранника
должно сходиться четное нечетное число ребер.
Рассмотрим н... | не существует.
| [
"Стереометрия (прочее)",
"Малые шевеления"
] |
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно
точки C', A', B'. Докажите, что описанные окружности
треугольников AB'C', BC'A', CA'B' проходят через одну точку.
| Рассмотрим точку P пересечения описанных окружностей
треугольников AB'C', BC'A', отличную от точки C'.
Докажем, что окружность, описанная около треугольника
CA'B' также пройдет через точку P.
Предположим вначале, что точка P лежит внутри
треугольника ABC. Тогда AB'PC' и BC'PA' - вписанные
четырехугольники,
п... | null | [
"Вписанные четырехугольники (прочее)",
"Вписанные и описанные окружности"
] |
На плоскости дано n>4 точек. Известно, что любые 4 из них
являются вершинами выпуклого четырехугольника.
Докажите, что
эти n точек являются вершинами выпуклого n-угольника.
| Рассмотрим выпуклую оболочку M данных n точек (выпуклая оболочка
множества точек -
наименьшая выпуклая фигура, содержащая эти точки).
Фигура M является многоугольником с вершинами в некоторых из
данных n точек (число
вершин многоугольника M не больше n).
Если M является n-угольником, то утверждение задачи верно.
... | null | [
"Выпуклые многоугольники"
] |
В турнире по шахматам участвуют мастера спорта и кандидаты в мастера. Какое наименьшее число людей может участвовать в этом турнире, если известно, что среди них мастеров меньше половины, но больше 45%. | Пусть в турнире участвуют n шахматистов и k из них – мастера. По условию 0,9n < 2k < n. Отсюда 0,1n > 2k – n > 0. 2k – n – целое число, значит, оно не меньше 1. Следовательно, 0,1n > 1, n > 10.
Случай n = 11 подходит: в турнире могут играть 5 мастеров и 6 кандидатов. | 11. | [
"Обыкновенные дроби",
"Задачи на проценты и отношения",
"Турниры и турнирные таблицы"
] |
В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трёх щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться? | Обозначим через s число сытых щук. Тогда они вместе съели не менее 3s щук. Поскольку каждая щука может быть съедена лишь однажды, и хотя бы одна щука осталась в конце, 3s < 30. Следовательно, s ≤ 9.
Приведём пример, при котором насытились ровно 9 щук. Пусть 7 щук с (3-й по 9-ю) съели 21 щуку (с 10-й по 30-ю; ... | 9 щук. | [
"Отношение порядка",
"Комбинаторика (прочее)"
] |
Докажите, что любой выпуклый
многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник
площади 2.
| Рассмотрим две вершины многоугольника - A и B, расстояние между
которыми
максимально среди попарных расстояний между вершинами
многоугольника (отрезок AB называется диаметром многоугольника).
Проведем через точки A и B прямые a и b, перпендикулярные
отрезку AB. Весь многоугольник содержится внутри
полосы, з... | null | [
"Выпуклые многоугольники"
] |
Найдите все пары натуральных чисел (x, y), удовлетворяющие уравнению xy – x + 4y = 15. | Запишем уравнение в виде x(y – 1) + 4(y – 1) = (x + 4)(y – 1) = 11. Поскольку x + 4 и y – 1 – целые неотрицательные числа, имеем два варианта: x + 4 = 1,
y – 1 = 11 или x + 4 = 11, y – 1 = 1. Первая возможность отпадает, так как x получается отрицательным. Во втором случае получаем x = 7, y = 2. | (7, 2). | [
"Уравнения в целых числах",
"Разложение на множители"
] |
На плоскости расположено n точек (n > 3), никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что среди треугольников с вершинами в данных точках остроугольные треугольники составляют не более трёх четвертей. | Будем перебирать всевозможные четвёрки точек и для каждой четвёрки определять число остроугольных и неостроугольных треугольников. Сложив количества остроугольных треугольников по всем четвёркам точек, получим некоторую сумму S. Таким же образом сложив количества неостроугольных треугольников по всем четвёркам точек... | null | [
"Системы точек",
"Комбинаторная геометрия (прочее)",
"Подсчет двумя способами",
"Принцип Дирихле (углы и длины)"
] |
Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3? | Предположим, что такой треугольник существует. Согласно формуле площади треугольника, его стороны обратно пропорциональны высотам, т.е. числам 1, ½, ⅓. Но треугольника с такими сторонами не существует согласно неравенству треугольника. | Не существует. | [
"Площадь треугольника (через высоту и основание)",
"Неравенство треугольника"
] |
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O.
Докажите, что произведение площадей треугольников AOB и COD равно произведению площадей треугольников BOC и DOA. | SAOB = ½ OA·OB sin φ, SBOC = ½ OB·OC sin φ, SCOD = ½ OC·OD sin φ, SDOA = ½ OD·OA sin φ, где φ – угол между диагоналями. Значит,
SAOBSCOD = ¼ OA·OB·OC·OD sin²φ = SBOCSDOA. | null | [
"Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)"
] |
Известно, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000.
Найдите цифру, заменённую звездочкой. | Поскольку 35! делится на 9, сумма цифр этого числа также делится на 9. Нетрудно подсчитать, что сумма цифр (за исключением звездочки) написанного числа
даёт остаток 3 при делении на 9. Отсюда следует, что цифра, замененная звездочкой, равна 6. | 6. | [
"Признаки делимости на 3 и 9"
] |
Два пловца одновременно прыгнули с плывущего по реке плота и поплыли в разные стороны: первый – по течению, а второй – против течения. Через пять минут они развернулись и вскоре вновь оказались на плоту. Кто из них вернулся раньше? (Каждый из пловцов плывет с постоянной собственной скоростью.) | Относительно плота каждый пловец всегда плывет со своей собственной скоростью (независимо от того, по или против течения он плывет). По условию каждый пловец плыл 5 минут, удаляясь от плота. Значит, ему потребуется ещё 5 минут, чтобы возвратиться обратно. | Пловцы вернулись одновременно. | [
"Задачи на движение"
] |
Имеется n аэродромов, все попарные расстояния между которыми
различны. С каждого аэродрома взлетел один самолет и совершил
посадку на ближайшем аэродроме.
Докажите, что на один аэродром не могло приземлиться более пяти
самолетов.
| Допустим противное - на некотором аэродроме O приземлилось 6
самолетов, вылетевших с аэродромов A, B, C, D, E, F.
Лучи OA, OB, OC, OD, OE, OF делят плоскость на 6 углов
(один из них может быть больше развернутого).
Поскольку в сумме эти углы дают 3600,
наименьший из этих углов не превосходит 600.
Для определеннос... | null | [
"Системы точек",
"Против большей стороны лежит больший угол"
] |
Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри
равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения
точки.
| Пусть точка P находится внутри равностороннего треугольника ABC.
Обозначим за a сторону треугольника и за S его площадь, также
обозначим
за h1, h2, h3
расстояния от точки P до сторон AB, BC, CA соответственно.
Приравняем площадь треугольника ABC к сумме площадей треугольников
APB, BPC, CPA.
Запишем:
S = AB*h1/2... | null | [
"Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу",
"Правильный (равносторонний) треугольник",
"Площадь треугольника (через высоту и основание)"
] |
У деда Мороза в мешке бесконечное число конфет, занумерованных
натуральными числами. За минуту до Нового года
он начинает дарить детям конфеты.
Сначала он дарит детям конфету с номером 1.
За полминуты до Нового года он дарит 2 конфеты с номерами 2 и 3,
а конфету с номером 1 отбирает,
за 15 секунд до Нового ... | Несмотря на то, что каждый раз дед Мороз дарит в 2 раза больше
конфет, чем отбирает, в момент встречи Нового года все конфеты
снова окажутся у деда Мороза. В самом деле,
каждая конкретная конфета будет один раз подарена, а
при следующей раздаче отобрана. После этого она до Нового
года останется у деда Мороза.... | null | [
"Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения",
"Парадоксы"
] |
Найдите сумму 6+66+666+...+666..6, где в записи последнего числа
присутствуют n шестерок.
| Число, записываемое c помощью k девяток, равно
(10k-1), следовательно,
число, записываемое c помощью k шестерок, равно
6(10k-1)/9=2(10k-1)/3.
Поэтому сумма 6+66+666+...+666..6
равна
2/3((10-1)+(102-1)+...+(10n-1)) =
2/3((10+102+...+10n)-n).
Во внутренних скобках стоит геометрическая прогрессия.
Ее сум... | null | [
"Геометрическая прогрессия"
] |
10 человек собрали вместе 46 грибов, причём известно, что нет двух человек, собравших одинаковое число грибов.
Сколько грибов собрал каждый? | Упорядочим людей по возрастанию количества собранных грибов: a0 < a1 < a2 < ... < a9. Ясно, что a0 ≥ 0, a1 ≥ 1, ..., a9 ≥ 9. Оставим у каждого число грибов, равное его номеру, отложив лишние в сторону. Тогда у грибников останется 0 + 1 + ... + 9 = 45 грибов. Значит, в сторону был отложен ровно один гриб. Он мо... | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 грибов. | [
"Арифметика. Устный счет и т.п.",
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Упорядочивание по возрастанию (убыванию)"
] |
Каждая из сторон выпуклого четырехугольника пересекает
некоторую окружность в двух точках, причем окружность высекает
на сторонах четырехугольника равные хорды.
Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
| Проведем окружность, имеющую общий центр с данной,
касающуюся одной из хорд.
Так как равные хорды равноудалены от центра окружности, то
построенная окружность касается всех четырех хорд, т.е.
является вписанной в четырехугольник.
| null | [
"Описанные четырехугольники",
"Диаметр, хорды и секущие"
] |
n разбойников делят добычу. У каждого из них свое мнение о
ценности той или иной доли добычи, и
каждый из них хочет получить не меньше,
чем 1/n долю добычи (со своей точки зрения).
Придумайте, как разделить добычу между разбойниками.
| Для двух разбойников задача решается несложно - один делит добычу на
две равные по его мнению доли, а другой выбирает из них наибольшую
на его взгляд долю.
Будем решать задачу при помощи
индукции по числу разбойников,
т.е. предположим,
что k разбойников уже имеют способ разделить добычу безобидно.
Будем делить... | null | [
"Индукция (прочее)",
"Теория алгоритмов (прочее)"
] |
Внутри угла расположена точка O. Как провести отрезок AB с концами на
сторонах угла, проходящий через точку O, который делится
точкой O пополам?
| Обозначим через C вершину угла, и через CK и CL - его стороны.
Будем строить искомые точки A и B на сторонах CK и CL
соответственно. Заметим, что поскольку точка B должна являться образом
точки A при цетральной симметрии относительно точки O,
точка B лежит на луче C'K', который симметричен лучу CK
относительно точ... | null | [
"Построения (прочее)",
"Центральная симметрия помогает решить задачу"
] |
На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения? | Пусть имеется некоторое расположение томов на полке. Рассмотрим всевозможные пары томов (всего таких пар 30·29 : 2 = 435). Назовем беспорядком пару томов, в которой том с большим номером стоит левее тома с меньшим номером. В конечной ситуации не должно быть ни одного беспорядка. Заметим, что за одну операцию число... | За 435 операций. | [
"Перестановки и подстановки",
"Процессы и операции",
"Инварианты и полуинварианты"
] |
На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость n окружностей? | Одна окружность делит плоскость на две части. Пусть уже проведены k окружностей. Рассмотрим (k+1)-ю окружность. Она пересекает предыдущие k окружностей не более чем в 2k точках (каждую окружность – не более чем в двух точках). Следовательно, (k+1)-я окружность разбивается первыми k окружностями не более чем на 2k ду... | На n(n – 1) + 2 части. | [
"Разные задачи на разрезания",
"Индукция в геометрии",
"Пересекающиеся окружности",
"Перенос помогает решить задачу"
] |
Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути.
Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход... | Примем время отправления некоторого парохода П из Гавра за начальное и отметим все пароходы, которые он встречает. В то время, как пароход П отходит из Гавра, в Гавр прибывает пароход, который вышел из Нью-Йорка семь суток назад. В момент прибытия парохода П в Нью-Йорк с начального момента прошло семь суток, и в этот м... | 15 пароходов. | [
"Задачи на движение"
] |
Три офиса A, B и C одной фирмы расположены в вершинах
треугольника. В офисе A работают 10
человек, в офисе B - 20, а в офисе C - 30. Где
нужно построить столовую, чтобы суммарное расстояние,
проходимое всеми сотрудниками фирмы, было бы как можно меньше?
| Пусть O - место расположения столовой. Тогда суммарное расстояние,
проходимое всеми сотрудниками, равно
S=10*OA+20*OB+30*OC=10(OA+OC)+20(OB+OC).
Согласно неравенству треугольника
OA+OC не меньше AC
(причем равенство достигается в том и только в том случае,
когда O лежит на отрезке AC),
OB+OC не меньше BC
(приче... | в офисе C.
| [
"Треугольник (экстремальные свойства)",
"Неравенство треугольника"
] |
Подряд выписаны числа 22000 и 52000.
Сколько всего выписано цифр?
| Пусть число 22000 содержит m цифр, а
число 52000 содержит n цифр.
Тогда справедливы неравенства:
10m-1<22000<10m,
10n-1<52000<10n
(неравенства строгие, поскольку степень двойки или пятерки не равна
степени десятки).
Перемножив эти неравенства, получаем:
10m+n-2<102000<10m+n.
Отсюда следует, что показатель 20... | 2001.00 | [
"Десятичная система счисления"
] |
На поверхности куба мелом отмечено 100 различных точек.
Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на
черный стол (причем в точности на одно и то же место) так, чтобы
отпечатки от мела на столе при этих способах были разными.
(Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже дает отпечаток.)... | Предположим противное - каждый способ постановки куба
дает один и тот же отпечаток. Это означает, что на каждой грани
нарисована одна и та же "картинка" из меловых точек, причем
эта "картинка" переходит в себя при четырех поворотах на углы
00, 900, 1800, 2700
вокруг центра грани.
Пользуясь сказанным выше, получае... | null | [
"Теория групп",
"Комбинаторная геометрия (прочее)"
] |
Найти все действительные решения уравнения с 4 неизвестными:
x2 + y2 + z2 + t2 = x(y + z + t). | ¼ x2 + (½ x – y)2 + (½ x – z)2 + (½ x – t)2 = 0. Отсюда ясно, что все слагаемые равны нулю. Получаем:
x = ½ x – y = ½ x – z = ½ x – t = 0, то есть x = y = z = t = 0. | (0, 0, 0, 0). | [
"Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)",
"Выделение полного квадрата. Суммы квадратов"
] |
Среди поля проходит прямая дорога, по которой со
скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из
которых можно догнать автобус, если бежать с такой же
скоростью.
| Пусть точка O - начальное положение автобуса, прямая l - дорога,
по которой он едет, луч OA прямой l сонаправлен с движением
автобуса.
Рассмотрим некоторую точку X поля, и пусть
X' - проекция точки X на прямую l.
Рассмотрим две возможности.
1) Пусть точка X' не лежит на луче OA или совпадает с точкой O.
Допусти... | null | [
"ГМТ с ненулевой площадью"
] |
На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB
(С - точка на дуге AB)
этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и
дуги
ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через
фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.
| Пусть D - середина дуги AB окружности S, дополнительной к дуге
ACB. Покажем, что прямая PQ всегда проходит через точку D.
Поскольку окружности S и S' касаются в точке Q, существует
гомотетия с центром в Q, переводящая окружность S' в окружность S.
При этой гомотетии точка P перейдет в некоторую точку P'
дуги ADB о... | null | [
"Гомотетичные окружности",
"Инверсия помогает решить задачу"
] |
В обращении есть монеты достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что k монетами можно набрать m копеек.
Докажите, что m монетами можно набрать k рублей. | Пусть среди k монет, дающих в сумме m копеек, есть
a1 монет по 1 коп., a2 – по 2 коп.,
a3 – по 5, a4 – по 10, a5 – по 20, a6 – по 50 коп. и a7 – по 1 рублю. Тогда
a1 + 2a2 + 5a3 + 10a4 + 20a5 + 50a6 + 100a7 = m;
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = k.
Умножим второе равенство на 100 и запишем его в ... | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Раскладки и разбиения"
] |
Даны два бикфордова шнура, каждый из которых горит ровно минуту, если его поджечь с одного конца (но сгорать может неравномерно).
Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд? (Поджигать шнур можно с любого из двух концов.) | Подожжём одновременно первый шнур с двух концов, а второй – с одного конца. Подожжённый с двух концов шнур сгорит в два раза быстрее, то есть за 30 секунд. В момент полного сгорания первого шнура поджигаем второй шнур со второго конца. Если бы мы не сделали этого, то второй шнур горел бы еще 30 секунд. Поэтому после то... | null | [
"Теория алгоритмов (прочее)"
] |
Деревянный куб покрасили снаружи белой краской, каждое его ребро
разделили на 5 равных частей, после чего куб распилили так, что
получились
маленькие кубики, у которых ребро в 5 раз меньше, чем у исходного
куба.
Сколько получилось маленьких кубиков, у которых окрашена
хотя бы одна грань?
| Количество маленьких кубиков, полученных после распиливания
большого куба, равно 53=125.
Подсчитаем число кубиков, у которых не окрашено ни одной
грани. Неокрашенными оказались все кубики, не имеющие
ни одной видимой снаружи грани. Эти кубики образуют
куб 3*3*3, и их число равно 33=27.
Окончательно, число кубиков... | 98.00 | [
"Раскраски"
] |
Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся 4 вершины
A, B, C, D, обладающие следующим свойством:
для каждой из четырех вершин A, B, C, D, многогранник целиком лежит
по одну сторону от плоскости,
проходящей через эту точку и параллельной
плоскости, проходящей через три другие вершины.
| Среди всех четверок вершин многогранника выберем
четверку A, B, C, D, образующую тетраэдр наибольшего объема.
Докажем, что четверка вершин A, B, C, D удовлетворяет условию задачи.
Рассмотрим, например, плоскость П, проходящую через
вершину A и параллельную плоскости, проходящей через вершины
B, C, и D. Предположим... | null | [
"Стереометрия (прочее)",
"Принцип крайнего (прочее)"
] |
Можно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех
последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел -
положительной?
| Число 2000 не делится на 3 и общая сумма может
быть положительной (хотя сумма любых трех последовательных чисел
отрицательна)
за счет того, первые два и последние два числа достаточно большие
положительные числа.
Приведем соответствующий пример строчки чисел:
1000, 1000, -2001, 1000, 1000, -2001, ... , 1000, 1000... | можно.
| [
"Последовательности (прочее)"
] |
Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых
треугольников?
| Примером является прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=1 и
BC=2.
Укажем нужное разбиение этого треугольника.
Проведем высоту CH из вершины C прямого угла.
Треугольник ABC при этом разбивается на 2 подобных треугольника
ACH и BCH. Коэффициент подобия этих треугольников равен
AC/BC=1/2. Далее, треугольник BC... | null | [
"Разрезания на части, обладающие специальными свойствами"
] |
Найдите количество пятизначных чисел, в десятичной записи которых содержится хотя бы одна цифра 8. | Всего есть 90000 пятизначных чисел (см. решение задачи 60336). Найдём количество пятизначных чисел, в которых не содержится ни одной цифры 8. На первом месте в таком числе не может стоять ни 0, ни 8 – всего 8 вариантов; на каждом из последующих четырёх мест может стоять любая из 9 цифр, отличных от 8. Поэтому количеств... | 37512 чисел. | [
"Правило произведения",
"Десятичная система счисления",
"Задачи с ограничениями"
] |
В одном стакане было молоко, а в другом – столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе? | См. задачу 30274. | Поровну. | [
"Задачи на смеси и концентрации",
"Инварианты"
] |
Замок имеет вид прямоугольника размером 7×9 клеток. Каждая клетка, кроме центральной – комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ров... | Окрасим клетки квадрата 7×9 в шахматном порядке, так что угловые клетки чёрные. При этом чёрных клеток будет на одну больше, чем белых. Легко проверить, что центральная клетка будет белой. Припишем комнатам замка чёрный и белый цвета в соответствии с этой шахматной раскраской. Тогда чёрных комнат будет на две больше, ч... | Нельзя. | [
"Шахматная раскраска"
] |
B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково. | См. задачу 61350 а). | null | [
"Четность и нечетность",
"Взвешивания",
"Принцип крайнего (прочее)",
"Системы линейных уравнений"
] |
На плоскости даны пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Докажите, что некоторые четыре из этих точек являются вершинами выпуклого четырёхугольника. | Рассмотрим выпуклую оболочку данных пяти точек. Это может быть пятиугольник, четырёхугольник или треугольник. В первом случае любые четыре из данных пяти точек являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Во втором случае можно взять четыре точки, являющиеся вершинами выпуклой оболочки.
В третьем случае пусть... | null | [
"Системы точек",
"Выпуклые многоугольники"
] |
Игровое поле представляет собой горизонтальную полоску размером 1×100 клеток. В самой левой клетке стоит фишка. Двое по очереди двигают фишку вправо, причём за один ход разрешается сдвинуть фишку вправо на расстояние от 1 до 10 клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (то есть перед его ходом фишка находится ... | Выигрышная стратегия второго игрока такова: после каждого хода первого игрока на k клеток вправо сдвигать фишку на 11 – k клеток. Таким образом, после пары ходов, которые сделали первый и второй игроки, фишка сдвинется вправо на 11 клеток. В начальном положении справа от фишки было 99 пустых клеток. Поэтому через 9 п... | Второй. | [
"Выигрышные и проигрышные позиции"
] |
Из листа клетчатой бумаги размером 11×11 клеток вырезали 15 квадратиков размером 2×2.
Докажите, что можно вырезать ещё один такой квадратик. | Покрасим в белый цвет все клетки листа 11×11 из третьего, шестого и девятого столбцов, а также все клетки из третьй, шестой и девятой строк. Оставшиеся клетки покрасим в чёрный цвет. Чёрные клетки образуют 16 чёрных квадратов 2×2. Легко видеть, что вырезая из листа квадратик 2×2, мы не можем "задеть" только один чёрный... | null | [
"Разрезания (прочее)",
"Вспомогательная раскраска (прочее)"
] |
В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%. | Докажем, что вероятность того, что ни у каких двух учеников не совпадают дни рождения, меньше ½.
Упорядочим учеников. Вероятность того, что второй ученик не родился в один день с первым, равна 364/365 (мы опускаем тонкости, связанные с тем, что днем рождения может быть 29 февраля). Вероятность того, что третий не... | null | [
"Числовые неравенства. Сравнения чисел.",
"Классические неравенства",
"Дискретное распределение"
] |
2n конфет разложены по n коробкам. Девочка и мальчик по очереди берут по одной конфете, первой выбирает девочка.
Докажите, что мальчик может выбирать конфеты так, чтобы две последние конфеты оказались из одной коробки. | Мальчик может взять свою первую конфету так, чтобы после этого хотя бы одна коробка освободилась. Действительно, после первого хода девочки осталось 2n – 1 конфета в n коробках, и следовательно, в какой-то из коробок осталось не более одной конфеты. Если в этой коробке нет конфет, то мальчик может взять конфету из... | null | [
"Теория игр (прочее)",
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
В вершинах куба расставлены цифры 1, 2, ..., 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее чем на 3. | Назовём расстоянием между двумя вершинами куба наименьшее количество рёбер, которые нужно пройти от одной из этих вершин до другой. Легко видеть, что расстояние между любыми двумя вершинами не больше 3.
Рассмотрим три (или меньше) ребра, по которым можно пройти из вершины 1 в вершину 8. Поскольку, 8 – 1 > 3·2, ... | null | [
"Комбинаторная геометрия (прочее)",
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. До... | Допустим, что в какой-то момент мы перекрашиваем особую точку A (для определенности, пусть эта особая точка до перекрашивания была белой). Пусть точка A соединена с m белыми и n черными точками; m < n согласно определению особой точки. Поэтому после перекрашивания особой точки количество отрезков, имеющих один белый ... | null | [
"Системы точек и отрезков (прочее)",
"Процессы и операции",
"Полуинварианты"
] |
10 журналов лежат на журнальном столе, полностью покрывая его.
Докажите,
что можно убрать пять из них так, что оставшиеся журналы будут
покрывать не менее половины площади стола.
| Занумеруем журналы числами от 1 до 10.
От второго журнала отрежем ту часть (если такая есть), которая
уже покрывается первым журналом.
От третьего журнала отрежем ту часть, которая
уже покрывается первым и вторым журналами.
Действуем так и дальше, в конце концов
от десятого журнала отрежем ту часть, которая
уже ... | null | [
"Покрытия",
"Принцип Дирихле (площадь и объем)"
] |
Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения,
используя три из четырех арифметических действий сложения,
вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается лишь
знаки трех выбранных арифметических действий. Поясним сказанное на
примере. Рассмотрим три арифметических выражен... | Вот один из возможных вариантов решения:
7 + 1 = 8, 9 - 6 = 3, 4 * 5 = 20.
| null | [
"Арифметика. Устный счет и т.п."
] |
Даны 10 натуральных чисел, не превышающих 91. Докажите, что отношение некоторых двух из этих чисел принадлежит отрезку [2/3, 3/2]. | Предположим, что для некоторых чисел a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a10 ≤ 91 утверждение не выполнено. Тогда каждое из чисел (кроме первого) больше предыдущего более, чем в 1,5 раза.
a1 ≥ 1 (числа натуральные). Отсюда последовательно получаем: a2 > 3/2, то есть a2 ≥ 2; a3 > 3/2·2 = 3, то есть a3 ≥ 4; a4 > 6, то ест... | null | [
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев",
"Упорядочивание по возрастанию (убыванию)",
"Доказательство от противного"
] |
На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры. | Закрашенную фигуру можно разбить на части трёх типов:
1) сам многоугольник M;
2) прямоугольники с высотой R, построенные "наружу" на каждой стороне многоугольника M;
3) сектора круга радиуса R с центрами в вершинах M.
Поскольку все прямоугольники имеют одинаковую высоту R, а сумма их оснований равна ... | S + PR + πR². | [
"Вычисление площадей",
"Перегруппировка площадей",
"Выпуклые многоугольники",
"Сумма внутренних и внешних углов многоугольника"
] |
На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске? | Если число равно полусумме остальных, то оно равно трети общей суммы. Следовательно, все числа равны и их три. | Три числа. | [
"Системы линейных уравнений"
] |
На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком. | Рассмотрим произвольную точку O внутри четырёхугольника ABCD. Сумма углов четырёхугольника ABCD равна 360°, сумма углов HOE, EOF, FOG, GOH также равна 360°. Следовательно, сумма углов в одной из четырёх пар углов HAE и HOE, EBF и EOF, FCG и FOG, GDH и GOH не меньше
(360° + 360°) : 4 = 180°. Пусть, например, это углы ... | null | [
"Вписанные четырехугольники (прочее)",
"Покрытия",
"Принцип Дирихле (углы и длины)"
] |
Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000? | Рассмотрим две возможности.
1) Одно из чисел равно 2000. Тогда другое число может быть любым делителем числа 2000. Поскольку 2000 = 24·53, оно имеет 20 делителей (см. задачу 30358).
2) Ни одно из двух чисел a, b не равно 2000. Тогда в разложении одного из этих чисел a, b (для определенности, a) на простые с... | 32 пары. | [
"НОД и НОК. Взаимная простота",
"Правило произведения",
"Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители",
"Количество и сумма делителей числа",
"Перебор случаев"
] |
Можно ли поверхность единичного куба оклеить четырьмя треугольниками площади 1,5? | Вначале оклеим поверхность куба двумя равными прямоугольниками размером 1×3: каждый из этих прямоугольников покрывает три соседние грани куба. Каждый из них разрежем диагональю на два равных прямоугольных треугольника. Площадь каждого такого треугольника равна 1,5. | Можно. | [
"Разрезания (прочее)",
"Наглядная геометрия"
] |
Стороны AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD касаются некоторой сферы в точках K, L, M, N соответственно.
Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости. | Поскольку отрезки касательных, проведённых из одной точки к сфере, равны, можно обозначить AN = AK = a, BK = BL = b, CL = CM = c,
DM = DN = d. Заметим, что точки K и L лежат в плоскости (ABC). Рассмотрим два случая.
1) KL || AC. Тогда по теореме Фалеса a = c; значит, и MN || AC || KL.
2) Прямые KL и ... | null | [
"Пространственные многоугольники",
"Теоремы Чевы и Менелая",
"Касательные к сферам",
"Признаки и свойства равнобедренного треугольника."
] |
Внутри треугольника ABC нашлись такие точки P и Q, что точка P удалена от прямых AB, BC, CA на расстояния 6, 7 и 12 соответственно, а точка Q удалена от прямых AB, BC, CA на расстояния 10, 9 и 4 соответственно. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC. | Обозначим через D, E, F основания перпендикуляров, опущенных из точек P, Q, O на прямую AB соответственно. По условию PD = 6, QE = 10. OF является средней линией в трапеции DPQE, поэтому длина OF равна ½ (PD + QE) = ½ (6 + 10) = 8. Следовательно, точка O удалена на расстояние 8 от прямой AB. Аналогично находим, чт... | 8. | [
"Вписанные и описанные окружности",
"Средняя линия трапеции",
"Системы линейных уравнений"
] |
Можно ли так расставить знаки "+" или "–" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю? | См. задачу 30940 а). | Нельзя. | [
"Четность и нечетность"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.