Question stringlengths 1 883 | Solution stringlengths 1 2.27k ⌀ | Answer stringlengths 1 4.34k ⌀ | Themes list |
|---|---|---|---|
На сфере радиуса 1 расположено n точек.
Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними
не больше n2.
| Обозначим через a1, a2, ... ,
an векторы единичной длины, соединяющие
центр сферы с каждой из n точек.
Сумма квадратов попарных расстояний между точками S
тогда будет равна
сумме скалярных произведений
(ai-aj, ai-aj)
по всем парам i, j от 1 до n таким что ii-aj, ai-aj),
где i, j нез... | null | [
"Стереометрия (прочее)"
] |
Множество M есть объединение k попарно непересекающихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно, что любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству M. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не меньше 1/k. | Обозначим данные отрезки I1, I2, ... , Ik, а их длины – s1, s2, ... , sk. Рассмотрим семейство Tij всевозможных отрезков, один конец которых принадлежит
Ii, а другой конец – Ij. Минимальная длина такого отрезка равна растоянию l между ближайшими вершинами отрезков, а максимальная – l + si + sj. Таким образом,... | null | [
"Классическая комбинаторика (прочее)",
"Неопределено"
] |
В окружность вписан выпуклый шестиугольник ABCDEF.
а) Известно, что диагонали AD, BE, CF пересекаются в одной точке. Докажите, что AB·CD·EF = BC·DE·FA.
б) Известно, что AB·CD·EF = BC·DE·FA. Докажите, что диагонали AD, BE, CF пересекаются в одной точке. | а) Пусть O – точка пересечения диагоналей шестиугольника. Треугольники ABO и EDO подобны, так как пары углов BAO, DEO и ABO, EDO являются вписанными в окружность, опирающимися на одну дугу. Из подобия этих треугольников следует, что AB : DE = AO : EO. Аналогично EF : BC = EO : CO и CD : FA = CO : AO. Перемножа... | null | [
"Вспомогательные подобные треугольники",
"Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды",
"Шестиугольники",
"Вписанные и описанные многоугольники",
"Теоремы Чевы и Менелая"
] |
На плоскости нарисовано несколько попарно непараллельных прямых,
по каждой из которых в одном из двух направлений ползет жук
со скоростью 1 сантиметр в секунду. Докажите, что в какой-то
момент жуки окажутся в вершинах выпуклого многоугольника.
| Рассмотрим одного из жуков, назовем его A.
Введем на плоскости координаты таким
образом, что жук A движется по оси Ox в
положительном направлении, за единицу времени примем 1 секунду,
за единицу расстояния - 1 сантиметр.
Пусть в начальный момент времени t0=0 жук A находится
в точке с координатой a. Тогда... | null | [
"Выпуклые многоугольники"
] |
Даны 10 различных положительных чисел.
В каком порядке их нужно обозначить
a1, a2, ... , a10, чтобы
сумма
a1+2a2+3a3+...+10a10
была наибольшей?
| В самом деле, пусть числа расположены не в порядке возрастания,
т.е. при некоторых i и j, i<j, выполнено
ai>aj.
Поменяем числа ai и aj местами и покажем, что
сумма при этом возрастет.
Изменение суммы равно
R = jai+iaj-iai-jaj =
(j-i)(ai-aj), что больше 0, так... | числа нужно расположить в порядке возрастания.
| [
"Алгебра и арифметика (прочее)"
] |
Сто человек ответили на вопрос "Будет ли новый президент
лучше прежнего?". Из них a человек считают, что
будет лучше, b - что будет такой же, и c - что будет
хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма"
опрошенных: m=a+b/2 и n=a-c. Оказалось, что m=40.
Найдите n.
| Известно, что a+b+c=100; a+b/2=40. Из второго равенства
получаем: 2a+b=80. Вычитая из последнего равенства первое,
получаем: a-c=-20, что и требуется найти.
| -20 | [
"Арифметика. Устный счет и т.п."
] |
Кусок сыра имеет форму куба.
В нем имеется несколько одинаковых
непересекающихся сферических дыр.
Докажите, что можно разрезать сыр на
выпуклые многогранники так, чтобы
внутри каждого из них находилась ровно одна дыра.
| Обозначим через K данный кусок сыра и
через A1, A2, ... , An
центры дыр. Для каждой пары центров Ai, Aj
проведем плоскость Пi,j,
перпендикулярную отрезку AiAj
и проходящую через его середину.
Зафиксируем один из центров Ai.
Для каждой из плоскостей
Пi,1, ... , Пi,i-1,
Пi,i+1, ... , Пi,n
рассмотр... | null | [
"Стереометрия (прочее)"
] |
Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, ...
выбрать (сохраняя порядок)
сто чисел, из которых каждое, начиная с третьего,
равно разности двух предыдущих?
| Ответ - можно.
Такую подпоследовательность можно
построить, например, следующим образом.
Напишем последовательность из ста чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13,
... , в которой каждое число, начиная с третьего,
есть сумма двух предыдущих (эта последовательность называется
последовательностью Фибоначчи).
Разделим ... | null | [
"Алгебра и арифметика (прочее)"
] |
На плоскости нарисовано несколько точек, некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что из каждой точки выходит не более k отрезков. Докажите, что точки можно покрасить в k + 1 цвет таким образом, чтобы каждые две точки, соединенные отрезком, были покрашены в разные цвета. | Индукция по числу точек. База: для одной точки утверждение очевидно.
Шаг индукции. Пусть на плоскости нарисовано n + 1 точек, некоторые пары из которых соединены отрезками. Рассмотрим одну из точек - A. На время забудем про неё и про выходящие из неё отрезки. По предположению индукции оставшиеся n точек можно ... | null | [
"Степень вершины",
"Индукция (прочее)"
] |
Имеется четыре монеты, три из которых – настоящие, весящие одинаково, а одна – фальшивая, отличающаяся от них по весу. Имеются также чашечные весы без гирь. Весы таковы, что если положить на их чашки одинаковые по массе грузы, то любая из чашек может перевесить, а если грузы различны по массе, то всегда перевесит чашка... | Обозначим монеты a, b, c, d. При первом взвешивании сравним веса пар (a, b) и (с, d), при втором взвешивании – веса пар (a, c) и (b, d), при третьем – веса пар (a, d) и (b, c). После этого только фальшивая монета обладает тем свойством, что во всех трёх взвешиваниях чашка, на которой она лежала, оказывалась... | null | [
"Взвешивания"
] |
На доске выписаны числа 1, ½, ..., 1/n. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число ab + a + b.
Какое число останется после n – 1 такой операции? | Пусть в некоторый момент на доске написаны числа a, b, ... , z. Рассмотрим произведение P = (a + 1)(b + 1)...(z + 1). После замены пары чисел a, b на ab + a + b в указанном произведении (a + 1)(b + 1) заменится на ab + a + b + 1 = (a + 1)(b + 1). Таким образом, операция величину P не меняет. Отсюда следует, что ... | n. | [
"Инварианты"
] |
Можно ли расставить во всех точках плоскости с целыми координатами
натуральные числа так, чтобы каждое натуральное число стояло в какой-нибудь
точке, и чтобы на каждой прямой, проходящей через две точки с целыми координатами, но не проходящей через начало координат, расстановка чисел была периодической?
| null | Можно. | [
"НОД и НОК. Взаимная простота",
"Процессы и операции",
"Целочисленные решетки (прочее)",
"Периодичность и непериодичность",
"Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения"
] |
Известно, что в тетраэдре ABCD окружности, вписанные в грани ABC и BCD, касаются.
Докажите, что окружности, вписанные в грани ABD и ACD, также касаются. | Пусть окружности, вписанные в грани ABC и BCD, касаются в точке O. Точка O, тем самым, является точкой касания вписанных окружностей треугольников ABC и BCD со стороной BC. По известной формуле расстояния от вершины треугольника до точки касания со вписанной окружностью
½ (AB + BC – AC) = BO = ½ (BD + BC – CD), то ес... | null | [
"Тетраэдр (прочее)",
"Вписанные и описанные окружности"
] |
Дано 16 кубов с длинами рёбер соответственно 1, 2, ..., 16. Разделите их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны суммарные объёмы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин рёбер и количество кубов. | Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую – оставшиеся кубы. Можно убедиться, что условие задачи выполнено. | null | [
"Арифметическая прогрессия",
"Куб",
"Суммы числовых последовательностей и ряды разностей",
"Индукция (прочее)"
] |
Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы её за 24 дня, 30 коров – за 60 дней.
Сколько коров съели бы её за 96 дней? | Пусть корова съедает в день 1 порцию травы. За 60 – 24 = 36 дней на лугу выросло 30·60 – 70·24 = 120 порций. Значит, помимо съеденных за 60 дней 30 коровами 1800 порций за добавочные 96 – 60 = 36 дней вырастет еще 120 порций. Всего 1920. За 96 дней их съедят 1920 : 96 = 20 коров. | 20 коров. | [
"Задачи на работу"
] |
Вычислите коэффициент при x100 в многочлене (1 + x + x2 + ... + x100)3 после приведения всех подобных членов. | Умножая многочлен 1 + x + x2 + ... + x100 два раза сам на себя, мы получим сумму одночленов вида xpxqxr, где p, q, r пробегают независимо числа от 0 до 100. Значит, коэффициент при x100 равен числу решений уравнения p + q + r = 100 в целых неотрицательных числах. Это число, в свою очередь, равно числу способов разл... | null | [
"Свойства коэффициентов многочлена",
"Сочетания и размещения",
"Раскладки и разбиения"
] |
По одну сторону от прямой дороги расположены два дома.
В каком месте дороги нужно поставить автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от остановки до домов было минимальным? | См. задачу 55557. | null | [
"Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)",
"Неравенство треугольника (прочее)",
"Симметрия помогает решить задачу"
] |
Числа a, b, p, q, r, s – натуральные, причём p/q < a/b < r/s и qr – ps = 1. Докажите, что b ≥ q + s. | Числитель разности a/b – p/q, равный aq – bp положителен, а значит, не меньше 1. Аналогично, br – as ≥ 1. Следовательно,
b = b(qr – ps) = s(aq – bp) + q(br – as) ≥ s + q. | null | [
"Обыкновенные дроби"
] |
В круг радиуса 1 вписан пятиугольник. Докажите, что сумма длин его сторон и диагоналей меньше 17. | Так как длина каждой диагонали пятиугольника не больше диаметра окружности, то сумма длин диагоналей не больше 5·2 = 10. Сумма длин сторон пятиугольника меньше длины окружности, поскольку длина каждой стороны меньше длины дуги, которую она стягивает. Таким образом, cумма длин сторон меньше 2π < 7, а общая сумма ме... | null | [
"Многоугольники (неравенства)"
] |
Найдите все натуральные n, для которых 2n ≤ n². | Непосредственная проверка показывает, что значения n = 2, 3, 4 подходят, а n = 1 – нет.
Докажем индукцией по n, что 2n > n² при n > 4. База (n = 5) очевидна.
Шаг индукции. 2n+1 = 2·2n > 2n² > (n + 1)². В самом деле, 2n2 – (n + 1)² = (n² – 2n + 1) – 2 = (n – 1)² – 2 > 0 при n > 4. | 2, 3, 4. | [
"Индукция (прочее)",
"Алгебраические неравенства (прочее)"
] |
Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно
разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными
перпендикулярными разрезами.
| Можно переформулировать задачу следующим образом: на плоскости
дана некоторая фигура Ф площади S (для простоты можно предполагать,
что Ф -
многоугольник). Требуется найти две перпендикулярные прямые,
делящие Ф на 4 равные по площади части.
Вначале заметим, что для любого направления (или для любого вектора)
... | null | [
"Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части",
"Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)",
"Соображения непрерывности",
"Поворот на 90∘",
"Поворот помогает решить задачу",
"Разные задачи на разрезания"
] |
В марсианском алфавите есть две буквы - У и Ы,
причем если из любого слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ,
то смысл слова не изменится.
Точно также смысл не изменится при добавлении в любое место
слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ.
Верно ли, что слова ЫУЫУЫ и УЫУЫУ имеют одинаковый смысл?
| Предположим противное - слова
ЫУЫУЫ и УЫУЫУ имеют одинаковый смысл.
Тогда от слова ЫУЫУЫ к слову УЫУЫУ можно перейти путем
нескольких преобразований, описанных в условии
(т.е. выкидываний стоящих рядом букв УЫ
и добавлений в любое место
последовательностей букв ЫУ или УУЫЫ).
При каждом из этих преобразов... | не верно.
| [
"Инварианты и полуинварианты"
] |
Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
| Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1.
Некоторые две из этих трех его вершин имеют одинаковый цвет
(согласно принципу Дирихле).
| null | [
"Раскраски",
"Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)",
"Правильный (равносторонний) треугольник"
] |
Рассмотрим все натуральные числа,
в десятичной записи которых отсутствует ноль.
Докажите, что сумма обратных величин любого количества из
этих чисел не превосходит некоторого числа C.
| Зафиксируем некоторое натуральное k.
Рассмотрим все k-значные натуральные числа, в десятичной записи
которых нет нуля.
Каждое из этих чисел не меньше, чем 10k-1.
Найдем количество этих чисел. В первом разряде может стоять любая
цифра от 1 до 9, во втором разряде - тоже независимо от первого,
и т.д. - всего ... | null | [
"Геометрическая прогрессия",
"Десятичная система счисления"
] |
К кубику Рубика применили последовательность поворотов.
Доказать, что применяя ее несколько раз,
можно привести кубик в начальное состояние.
| Обозначим начальное состояние кубика Рубика за A.
Пусть
P=P1P2...Pn -
некоторая последовательность поворотов.
Обозначим через P(X) результат применения последовательности
поворотов P к состоянию X, и через Pm(X)
результат m-кратного применения последовательности
поворотов P к состоянию X.
Рассмотрим пос... | null | [
"Теория групп (прочее)"
] |
Через две точки, лежащие в круге, провести окружность,
лежащую целиком в том же круге.
| Соединим данные точки A и B с центром данного круга O и
проведем серединный перпендикуляр отрезка AB до пересечения с
одной из сторон OA или OB в точке O'. Пусть для определенности
O' лежит на OB. Окружность с центром в точке O' и радиусом O'B
будет искомой.
Для доказательства этого возьмем любую точку ... | null | [
"Длины сторон (неравенства)",
"Окружности (прочее)",
"Окружности (построения)"
] |
В прямоугольник со сторонами 20 и 25
бросают 110 квадратов со стороной 1.
Докажите, что в прямоугольник можно
поместить круг диаметром 1,
не пересекающийся ни с одним из квадратов.
| Рассмотрим некоторый квадрат К со стороной 1.
Рассмотрим квадрат К' со стороной 2, имеющий тот же центр, что и
К, и стороны которого параллельны сторонам квадрата К.
Если некоторая точка O находится вне квадрата K', то расстояние от
нее до любой точки квадрата К больше 1/2.
Таким образом, круг диаметра 1 с це... | null | [
"Неравенства с площадями"
] |
В гости пришло 10 гостей и каждый оставил в коридоре пару калош.
Все пары калош имеют разные размеры.
Гости начали расходиться по одному, одевая любую пару калош,
в которые они могли влезть (т.е. каждый гость мог надеть пару калош,
не меньшую, чем его собственные).
В какой-то момент обнаружилось, что ни один ... | Пронумеруем гостей и их пары калош числами от 1 до 10 в порядке
возрастания размера калош.
Предположим, что осталось 6 гостей (и соответственно 6 пар калош).
Тогда наименьший номер оставшегося гостя не больше 5, а наибольший
номер оставшихся пар калош не меньше 6, поэтому гость с наименьшим
номером сможет над... | 5.00 | [
"Теория алгоритмов (прочее)"
] |
Докажите, что сумма углов ABC, BCD, CDA, DAB пространственного
четырехугольника ABCD составляет не больше 3600.
| Из треугольников ABC и ADC можно вывести следующие равенства для
углов: (ABC)=1800-(BAC)-(BCA),
(ADC)=1800-(DAC)-(DCA).
Отсюда получаем, что сумма S углов
ABC, BCD, CDA, DAB равна
(BAD)+(1800-(BAC)-(BCA))+(DCB)+(1800-(DAC)-(DCA))
= 3600-((BAC)+(DAC)-(BAD))-((BCA)+(DCA)-(DCB)).
Каждая из двух скобок неотри... | null | [
"Неравенства с трехгранными углами",
"Пространственные многоугольники"
] |
Докажите, что произведение цифр любого натурального числа,
большего 9, меньше самого числа.
| Пусть число N записывается в десятичной записи цифрами
a0, a1, a2, ..., an,
n>0. Тогда произведение цифр числа N равно
P = a0a1a2...an, что меньше
a0*10n, так как каждая из цифр
a1, a2, ..., an меньше 10.
Число a0*10n имеет в десятичной записи цифру
a0 и n нулей, следующих за ней.
Поэтому a0*10n не боль... | null | [
"Десятичная система счисления"
] |
На плоскости даны 2004 точки. Запишем все попарные расстояния между ними.
Докажите, что среди записанных чисел не менее тридцати различных. | Предположим, что имеется контрпример. Выберем одну из данных точек – A. Поскольку расстояние от точки A до любой другой точки принимает менее 30 различных значений, то оставшиеся 2003 точки лежат на 29 окружностях с центром A. Поскольку 69·29 = 2001 < 2003, на одной из этих окружностей расположено не менее 70 точек. ... | null | [
"Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.",
"Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)"
] |
Найдите точки на поверхности куба, из которых большая диагональ
видна под наименьшим углом.
| Опишем вокруг куба сферу. Большая диагональ куба является
диаметром этой сферы. Таким образом, поверхность сферы есть
множество точек, из которых диагональ видна под углом
900.
Из любой точки внутри сферы диагональ видна под углом больше
900. В самом деле, пусть AB - диаметр сферы и C -
некоторая точка внут... | вершины куба.
| [
"Стереометрия (прочее)"
] |
Существуют ли такие натуральные числа m и n, что m2+n и n2+m одновременно являются квадратами?
| Пусть для определенности m не меньше, чем n. Предположим, что m2+n является точным квадратом, т.е. m2+n=k2 для некоторого натурального k. Тогда, очевидно, k>m.
Запишем (m+1)2=m2+2m+1>m2+n=k2.
Отсюда следует, что m+1>k.
Таким образом, m<k<m+1.
Это противоречит тому, что k – натуральное число, таким образом,
m2+... | не существуют.
| [
"Алгебра и арифметика (прочее)"
] |
На листе бумаги нарисован график функции y = sin x. Лист свернут
в цилиндрическую трубочку так, что все точки, абсциссы которых
отличаются на 2п, совмещены. Докажите, что все точки графика
синусоиды при этом лежат в одной плоскости.
| Для того, чтобы свернуть лист в цилиндр так,
чтобы все точки, абсциссы которых отличаются на 2п, были совмещены,
достаточно добиться совмещения точек с абсциссами x=0 и x=2п.
Очевидно, что тогда радиус основания цилиндра равен единице, т.к.
длина окружности основания равна 2п.
Чтобы показать,что все точки г... | null | [
"Тригонометрия (прочее)",
"Стереометрия (прочее)"
] |
Как отмерить 15 минут, пользуясь песочными часами на 7 минут и на 11 минут? | Пусть первые часы – на 7 минут, а вторые – на 11 минут. Запустим и те и другие часы. | null | [
"Теория алгоритмов (прочее)"
] |
На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом
2000 клеток. Докажите, что среди них
всегда можно выбрать не менее 500 клеток,
попарно не соприкасающихся друг с другом
(соприкасающимися считаются клетки,
имеющие хотя бы одну общую вершину).
| Рассмотрим некоторую (бесконечную)
строку и все строки, идущие через одну клетку от нее.
Клетки каждой из этих строк окрасим через одну красным и желтым.
Рассмотрим оставшиеся строки.
Клетки каждой из этих строк окрасим через одну синим и зеленым.
Таким образом, каждая клетка получила свой цвет и никакие две... | null | [
"Вспомогательная раскраска (прочее)"
] |
Что больше: 9920 или 999910 ?
| Преобразуем данные числа 9920=(99*99)10 и
999910=(99*101)10. Осталось сделать вывод, что
второе число больше.
| null | [
"Арифметика. Устный счет и т.п."
] |
Доказать, что если b=a-1, то
| Запишите равенство 1=a-b и воспользуйтесь формулой
k2-n2=(k-n)(k+n)
| null | [
"Формулы сокращенного умножения"
] |
Известно, что x + 1/x – целое число. Докажите, что xn + 1/xn – также целое при любом целом n. | Очевидно, достаточно доказать утверждение для неотрицательных n. Сделаем это по индукции.
База. Для n = 0 утверждение очевидно, а для n = 1 дано в условии.
Шаг индукции. Пусть утверждение уже доказано для всех чисел от 0 до n. Тогда число – целое как разность двух целых чисел. | null | [
"Индукция (прочее)",
"Тождественные преобразования"
] |
Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5. | Пусть данные числа a, b, c, d, e, f, g, а S – их сумма. По условию числа S – a, S – b, S – c, S – d, S – e, S – f, S – g делятся на 5. Значит, и их сумма, 7S – S = 6S делится на 5. Но тогда и S делится на 5, а значит, на 5 делятся и числа a = S – (S – a), ..., g = S – (S – g). | null | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Подсчет двумя способами"
] |
Гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Каждая боковая грань гайки покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий, причём соседние грани выкрашены в разные цвета. Сколько существует различных по раскраске гаек? (Для раскраски гайки не обязательно использовать все три краски.) | Грани одного цвета не могут быть рядом, поэтому их не более трёх. Разберем три случая.
1) Использованы только два цвета – каждый по три раза. Тогда цвета должны чередоваться, и единственная схема раскраск – 121212. Подставляя вместо 1 и 2 любую пару цветов, мы получим 3 типа гаек. Замена цветов в паре ничего не м... | null | [
"Комбинаторика орбит",
"Правило произведения",
"Перебор случаев"
] |
Найти наименьшее значение дроби | Правая часть наименьшая, когда знаменатель дроби наименьший, то есть при x = 0. | null | [
"Алгебраические неравенства (прочее)"
] |
Доказать, что (1 + ⅓)(1 + ⅛)(1 + 1/15)...(1 + 1/n²+2n) < 2 при любом натуральном n. | Поэтому | null | [
"Тождественные преобразования",
"Алгебраические неравенства (прочее)"
] |
Известно, что число 2n для некоторого натурального n является суммой двух точных квадратов.
Докажите, что n также является суммой двух точных квадратов. | Пусть 2n = k² + m³, где k и m – целые числа. Тогда n = k²+m²/2 = (k–m/2)² + (k+m/2)². Поскольку число 2n чётно, k и m имеют одну чётность. Значит, нами получено нужное разложение числа n в сумму двух точных квадратов. | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Тождественные преобразования",
"Четность и нечетность"
] |
Дорожно-ремонтная организация "Тише едешь - дальше будешь"
занимается укладкой асфальта.
Организация взяла обязательство покрыть асфальтом 100-километровый
участок дороги.
В первый день был заасфальтирован
1 км дороги. Далее, если уже
заасфальтировано x км дороги, то в следующий день организация
п... | Пусть после n-ого дня асфальтом покрыто
an километров дороги.
Тогда по условию a1=1 и
an+1=an+1/an.
Возведем данное равенство в квадрат, получим:
an+12 =
an2+2+(1/an)2.
Таким образом,
an+12 >
an2+2.
Мы видим, что последовательность an2
возрастает на каждом шаге по крайней мере на ... | null | [
"Рекуррентные соотношения"
] |
Докажите, что
1/22+1/32+1/42+…+1/n2<1
| Увеличим дробь, заменив один множитель в знаменателе на меньшее
число: 1/22+1/32+1/42+…+1/n2<
1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/((n-1)*n)=
(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/(n-1)-1/n)<1-1/n<1.
Заметьте, что первое число в скобке сокращается со вторым числом из предыдущей скобки.
| null | [
"Последовательности (прочее)"
] |
Найти сумму а) 1+11+111+...+111...1, где последнее число содержит
n единиц; б)аналогичная задача, когда вместо единиц стоят пятерки.
| Проще всего решается задача, когда вместо единиц стоят девятки. Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, найдем сумму S=9+99+999+...+999...9(n девяток) = (101-1)+(102-1)+...+(10n-1) = (101+102+...+10n)-n = (10n+1-10)/(10-1)-n = (10n-1)*(10/9)-n.
a) Теперь легко ответить на вопрос этого пункта: сумма рав... | null | [
"Геометрическая прогрессия"
] |
Решить в целых числах уравнение xy = x + y. | null | (0, 0), (2, 2). | [
"Уравнения в целых числах",
"Разложение на множители"
] |
Имеются 552 гири весом 1г, 2г, 3г, ..., 552г. Разложите их на три
равные по весу кучки.
| Так как число 552 делится на 6, то покажем как
разложить в
разные группы подряд идущие 6 чисел.
Надо рассмотреть группы
1 группа n+(n+5)
2 группа (n+1)+(n+4)
3 группа (n+2)+(n+3)
при n=1,7,13,,547 и разные
группы
разложить по разным кучкам.
| null | [
"Последовательности (прочее)"
] |
Доказать, что произведение n первых простых чисел не является полным квадратом. | Произведение n первых простых чисел делится на 2 и не делится на 4, следовательно, не может быть полным квадратом. | null | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Простые числа и их свойства",
"Произведения и факториалы"
] |
Доказать, что дробь 12n+130n+1 несократима. | 5(12n + 1) – 2(30n + 1) = 3, поэтому НОД(12n + 1, 30n + 1) равен 3 или 1. Но 12n + 1 на 3 не делится. | null | [
"НОД и НОК. Взаимная простота",
"Обыкновенные дроби"
] |
Известно, что улитка двигалась таким образом, что за каждый промежуток времени в одну минуту она проползала 1 метр.
Можно ли отсюда сделать вывод, что она двигалась равномерно? | Пусть улитка ползёт полминуты со скоростью 2 м/мин, а затем стоит полминуты на месте, затем снова ползёт полминуты со скоростью 2 м/мин, затем снова стоит полминуты на месте, и т.д. В результате какой бы промежуток времени длиной в 1 минуту мы не взяли, полминуты из этого промежутка времени улитка стоит на месте и полм... | Нельзя. | [
"Задачи на движение",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции",
"Средние величины"
] |
Даны 12 палочек одинаковой длины. Как разрезать их на более мелкие палочки, чтобы из них можно было составить 13 равных треугольников, причём каждая из мелких палочек являлась бы стороной одного из этих треугольников? | Примем длину каждой палочки за 13. Три палочки разрежем на отрезки длины 3, 3, 3, 4; четыре – на отрезки длины 3, 5, 5; пять – на отрезки длины 4, 4, 5. В результате получится 13 палочек длины 3, длины 4 и длины 5. Из них можно составить 13 равных треугольников со сторонами 3, 4, 5. | null | [
"Неравенство треугольника (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Комбинация А поворотов кубика Рубика называется порождающей, если среди результатов многократного применения комбинации А встретятся всевозможные состояния, в которые можно перевести кубик Рубика при помощи поворотов. Существует ли порождающая комбинация поворотов? | Предположим противное. Обозначим через А порождающую комбинацию, а за
X начальное состояние кубика. Тогда в последовательности X, A(X), A(A(X)), ... встретятся все состояния кубика. Возьмём два простых поворота кубика: P – поворот правой грани, Q – поворот верхней грани. Применив поворот P к состоянию X, получим сост... | Не существует. | [
"Теория групп (прочее)"
] |
Имеется три комплекта домино разного цвета. Как выложить в цепочку (по правилам домино) все эти три комплекта так, чтобы каждые две соседние доминошки имели разный цвет? | Пусть цвета комплектов домино – белый, синий, красный. Выложим сначала в цепочку все доминошки белого цвета (как известно, это можно сделать). Рассмотрим первую доминошку цепочки, пусть это доминошка с числами x и y. Вставим между первой и второй белой доминошкой доминошку y|x синего цвета и доминошку x|y красного цвет... | null | [
"Комбинаторика (прочее)"
] |
На каждой клетке доски размером 9×9 сидит жук, По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми.
Докажите, что при этом незанятых клеток будет не меньше 9. | Покрасим вертикали доски в чёрный и белый цвет через одну. В результате в чёрный цвет будет покрашено 5×9 = 45 клеток (5 вертикалей), а в белый – только 36. Заметим, что с чёрной клетки жук может переползти только на белую, а белой – только на чёрную. Следовательно, после того, как жуки переползли в соседние по диаго... | null | [
"Вспомогательная раскраска (прочее)",
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Таблицы и турниры (прочее)"
] |
В сериале "Тайна Санта-Барбары" участвует 20 героев. Каждую серию происходит одно из событий: некоторый герой узнаёт Тайну, некоторый герой узнаёт, что кто-то знает Тайну, некоторый герой узнаёт, что кто-то не знает Тайну. Какое наибольшее число серий может продолжаться сериал? | Каждый герой может что-то узнать не более чем в 39 сериях (в одной – узнать Тайну, в 19 – узнать про каждого из остальных, что тот не знает Тайну, и еще в 19 – узнать про каждого из остальных, что тот знает Тайну. Поэтому серий не больше чем 20·39 = 780.
Построим пример сериала из 780 серий. Пусть вначале никто ... | 780 серий.
| [
"Классическая комбинаторика (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Найти все целые натуральные решения уравнения (n + 2)! – (n + 1)! – n! = n2 + n4. | null | n = 3. | [
"Уравнения в целых числах",
"Произведения и факториалы"
] |
Доказать, что уравнение m² + n² = 1980 не имеет решений в целых числах. | Если числа m и n разной чётности, то выражение слева нечётно, и равенства не будет.
Если оба числа нечётны, то левая часть не делится на 4, а правая – делится.
Если оба чётны (m = 2k, и n = 2s), то k² + s² = 495. Но сумма двух квадратов не может быть сравнима с 3 по модулю 4. | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Четность и нечетность",
"Арифметика остатков (прочее)"
] |
Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 19m + 84n = 1984. | Запишем уравнение в виде 19(m – 100) = 84(n – 1). Поскольку 19 – простое число, а 84 не делится на 19, то на 19 делится n – 1, то есть n = 19k + 1, где
k ≥ 0. Тогда m = 100 – 84k. Так как m – натуральное число, то k = 0 или k = 1. | (100, 1), (16, 20). | [
"Уравнения в целых числах"
] |
Доказать, что уравнение 19x² – 76y² = 1976 не имеет решений в целых числах. | Сократив обе части на 19, получим x² – 4y² = 104. Значит, x чётно: x = 2z. Тогда z² – y² = 26. Заметим, что переменные одной чётности. Но при этом левая часть делится на 4, а правая нет. | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Четность и нечетность",
"Арифметика остатков (прочее)"
] |
Доказать, что уравнение 15x² – 7y² = 9 не имеет решений в целых числах. | Из уравнения видно, что y делится на 3. Если подставить в уравнение y = 3z и сократить, то получится 5x² – 21y² = 3, откуда ясно, что x делится на 3. Подставляя x = 3t, получим 15t² – 7z² = 1, или 15t² – 6z² = 1 + z². Осталось заметить, что левая часть уравнения делится на 3, а правая – не делится (см. задачу... | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Арифметика остатков (прочее)"
] |
Доказать, что уравнение x² + y² = 1975 не имеет решений в целых числах. | Сумма двух квадратов не может быть сравнима с 3 по модулю 4. | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Арифметика остатков (прочее)"
] |
Был очень жаркий день, и четыре пары выпили вместе 44 бутылки кока-колы. Aнна выпила 2, Бетти 3, Кэрол 4 и Дороти 5 бутылок. М-р Браун выпил столько же бутылок, сколько и его жена, но каждый из других мужчин выпил больше, чем его жена: м-р Грин вдвое, м-р Вайт в три раза и м-р Смит в четыре раза. Назовите жён этих мужч... | Пусть x, y, z, t выпитое соответственно жёнами Брауна, Грина,
Вайта и Смита. Из условия следует, что x + y + z + t = 14,
x + 2y + 3z + 4t = 30. Отсюда
2t – x + z = 2, или 2(t – 1) = x – z. Поскольку x – z ≤ 3, то t = 2, x = 5, z = 3, y = 4. | Анна Смит, Бетти Вайт, Кэрол Грин, Дороти Браун. | [
"Уравнения в целых числах",
"Математическая логика (прочее)"
] |
Решите систему уравнений
5732x + 2134y + 2134z = 7866,
2134x + 5732y + 2134z = 670,
2134x + 2134y + 5732z=11464. | Складывая уравнения, получим x + y + z = 2 или 2134(x + y + z) = 4268. Вычитая полученную комбинацию из каждого уравнения, получим значения всех переменных. | (1, –1, 2). | [
"Системы линейных уравнений"
] |
Решите систему уравнений
x + y + u = 4,
y + u + v = –5,
u + v + x = 0,
v + x + y = –8. | Сложив все уравнения, получим 3(x + y + u + v) = –9, или x + y + u + v =–3. Значит, x = (x + y + u + v) – (y + u + v) = –3 – (–5) = 2. Аналогично находим остальные неизвестные. | (2, –3, 5, –7). | [
"Системы линейных уравнений"
] |
Обратите внимание, что значение 1!·1 + 2!·2 + 3!·3 + ... + n!·n равно 1, 5, 23, 119 для n = 1, 2, 3, 4 соответственно.
Установите общий закон и докажите его. | Воспользуемся равенством n!·n = (n + 1)! – n! и преобразуем данное выражение:
1!·1 + 2!·2 + 3!·3 + ... + n!·n = (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ... + ((n + 1)! – n!) = (n + 1)! – 1. | null | [
"Суммы числовых последовательностей и ряды разностей"
] |
У капитана Смоллетта двое сыновей и несколько дочерей. Если возраст капитана (конечно, ему меньше ста лет) умножить на количество его детей и на длину его шхуны (это целое число футов), то получится 32118. Сколько лет капитану Смоллетту, сколько у него детей и какова длина его корабля? | Число детей капитана по условию больше 3; возраст капитана и длина корабля в футах, очевидно, тоже больше 3. Число 32118 раскладывается в произведение простых
множителей как 2·3·53·101. Есть только один способ способов представления этого числа в виде произведения трёх множителей, каждый из которых больше 3: 6·53·101.... | 53 года, 6 детей, 101 фут. | [
"Уравнения в целых числах",
"Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители",
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев"
] |
Десять человек сидят за круглым столом. Сумма в десять долларов должна быть распределена среди них так, чтобы каждый получил половину от той суммы, которую два его соседа получили вместе. Однозначно ли это правило задает распределение денег? | Рассмотрим человека, получившего наибольшую сумму (если их несколько, рассмотрим любого из них). Тогда оба его соседа получили ту же сумму. То же верно и для соседей этих соседей. Продолжая, убедимся в том, что все получили поровну. | Однозначно. | [
"Системы линейных уравнений",
"Принцип крайнего (прочее)"
] |
Доказать, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... нет точных квадратов. | См. задачу 31234. | null | [
"Арифметика остатков (прочее)",
"Десятичная система счисления"
] |
Внутри круга нарисована точка. Покажите, что можно разрезать круг на две
части так, чтобы из них можно было составить круг, в котором отмеченная
точка являлась бы центром.
| Пусть O - центр данного круга S, а A - нарисованная точка.
Если A совпадает с O, то перекраивать нечего.
Иначе проведем окружность S' с центром в A и радиусом, равным
радиусу круга S. Эта окружность разобьет круг S на две части.
Первая из этих частей содержит точки A и O и симметрична
отно... | null | [
"Разные задачи на разрезания"
] |
Найдите натуральные числа, меньшие 1000 и равные сумме факториалов своих цифр. | 1) Рассмотрим однозначные числа. Легко проверяется, что подходят только 1 и 2.
2) Рассмотрим двузначные числа. Так как 5! = 120, то цифры двузначного числа меньше пяти. Перебором убеждаемся, что таких чисел нет (надо рассмотреть числа 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 4... | 1, 2, 145. | [
"Уравнения в целых числах",
"Десятичная система счисления",
"Произведения и факториалы",
"Перебор случаев"
] |
Матч Бавария – Спартак окончился со счетом 5 : 8. Докажите, что в матче был такой момент, когда Спартаку оставалось забить столько мячей, сколько Бавария уже забила к этому времени. | См. задачу 32825. | null | [
"Турниры и турнирные таблицы",
"Соображения непрерывности"
] |
Каково минимальное целое число вида 111...11, делящееся на 333...33 (100 троек)? | 3...3 = 3·1..1 (сто единичек). Пусть число, состоящее из k единиц делится на оба множителя. Из процесса деления в столбик ясно, что k делится на 100. Кроме того, из признака делимости на 3 следует, что k кратно 3. | 1...1 (300 единиц). | [
"Признаки делимости на 3 и 9",
"Десятичная система счисления",
"Делимость чисел. Общие свойства"
] |
Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти
чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд
отрицательна?
| Условию задачи удовлетворяют, например, такие числа
20, -30, 20, -30, 24, 24, -30, 20, -30,20.
| null | [
"Последовательности (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Сумма 123 чисел равна 3813. Доказать, что из этих чисел можно выбрать 100 с суммой не меньше 3100. | Сумма 100 наибольших чисел не меньше 100/123 суммы всех чисел, то есть не меньше 100/123·3813 = 3100. | null | [
"Числовые неравенства. Сравнения чисел.",
"Упорядочивание по возрастанию (убыванию)",
"Линейные неравенства и системы неравенств",
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
Докажите, что уравнение 1/а + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f = 1 не имеет решений в нечётных натуральных числах. | Знаменатель суммы в левой части – нечётное число, а числитель является суммой шести нечётных чисел, то есть чётен. Следовательно, такая дробь не может быть равна единице. | null | [
"Уравнения в целых числах",
"Обыкновенные дроби",
"Четность и нечетность"
] |
Двое мальчиков играют в такую игру: они по очереди ставят ладьи на шахматную доску. Выигрывает тот, при ходе которого все клетки доски оказываются битыми поставленными фигурами. Кто выиграет, если оба стараются играть наилучшим образом? | null | null | [
"Симметричная стратегия"
] |
ABCDEF – число из шести цифр. Все они разные и расположены слева направо в возрастающем порядке. Число это – полный квадрат.
Определите, какое это число. | Пусть ABCDEF = XYZ². Ясно, что F – число единиц числа Z². Поскольку цифры А, В, С, D, Е, F расположены в порядке возрастания, то А ≤ 4, E ≥ 5, а F ≥ 6.
Если А = 4, то ABCDEF = 456789, а это – не квадрат.
Квадрат не может оканчиваться на 7 или 8. При F = 6 число ABCDEF может иметь только вид 123... | 134689. | [
"Ребусы",
"Перебор случаев"
] |
Два стрелка произвели по 5 выстрелов, причём попадания были следующие: 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Первыми тремя выстрелами они выбили одинаковое количество очков, но тремя последними выстрелами первый стрелок выбил втрое больше очков, чем второй.
Сколько очков набрал каждый из них третьим выстрелом? | Обозначим через аi число очков, выбитых первым стрелком при i-м выстреле, а через bi число очков, выбитых вторым стрелком при i-м выстреле. Тогда
а1 + а2 + а3 = b1 + b2 + b3, а3 + а4 + а5 = 3(b3 + b4 + b5).
По условию b3 + b4 + b5 ≥2 + 3 + 4 = 9, а сумма а3 + а4 + а5 ≤ 10 + 9 + 9 = 28 и кратна 3. Отсюд... | Первый – 10 очков, а второй – 2. | [
"Системы линейных уравнений",
"Ребусы"
] |
При построении восемь мальчиков разместились так, что
1) А был впереди Б и В; 2) Б - впереди К через одного;
3) Л впереди А, но после Д; 4)В - после Е через одного;
5) Д - между Б и Г; 6) Е - рядом с К, но впереди В.
В каком порядке выстроились мальчики?
| Из условия задачи 3 следует, что в строю мальчики стояли в следующем
порядке: сначала Д, потом Л, а за ним А.
Из условий 1 и 2 следует, что Б стоял после А, а за Б через одного
стоит К.
Из условия 5 следует, что Г впереди Д, так как Б стоит за А и,
следовательно, за Д.
И наконец, из условия 6 сл... | null | [
"Математическая логика (прочее)",
"Отношение порядка"
] |
На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади.
Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту,
соединяющую сушу с сушей.
| Суша и область напротив суши перекрываются. Если бы они не
перекрывались, то суша занимала бы меньше половины всей площади.
| null | [
"Принцип Дирихле (площадь и объем)",
"Центральная симметрия",
"Движение помогает решить задачу"
] |
На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены
всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник,
приехавший на остров, нанял островитянина в проводники. Они пошли и
увидели другого островитянина. Путешественник послал проводника узнать,
к какому племени принадле... | Из сообщения проводника следует, что проводник-абориген.
Действительно, ответ встреченного островитянина мог быть только один:
Я абориген, так как этот ответ является правдой для аборигена и
ложью для пришельца. Следовательно, проводник сказал правду, и
поэтому он принадлежит к аборигенам. ... | null | [
"Математическая логика (прочее)"
] |
Может ли число, сумма цифр которого равна 2001, быть квадратом целого числа? | Так как сумма цифр числа делится на 3 и не делится на 9, то и само число делится на 3 и не делится на 9, а следовательно, не может быть квадратом целого числа. | null | [
"Признаки делимости на 3 и 9"
] |
Докажите, что если a, b, c – нечётные числа, то хотя бы одно из
чисел ab – 1, bc – 1, ca – 1 делится на 4. | Так как числа a, b, c нечётны, то при делении на 4 они могут дать остатки 1 или 3. Следовательно, по крайней мере два из них имеют один остаток. числа. Пусть это a, b и остаток 3 (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда ab – 1 = (4k + 3)(4n + 3) – 1 = 16kn + 12(k + n) + 8, что делится на 4. | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Деление с остатком"
] |
Ежедневно в полдень из Москвы в Астрахань и из Астрахани в Москву выходит рейсовый теплоход.Теплоход, вышедший из Москвы, идёт до Астрахани ровно четверо суток, затем двое суток стоит, и в полдень, через двое суток после своего прибытия в Астрахань, отправляется в Москву. Теплоход, вышедший из Астрахани, идет в Москву ... | null | 13 теплоходов. | [
"Арифметика. Устный счет и т.п.",
"Текстовые задачи (прочее)"
] |
Два торговца купили в городе одинаковое количество товара по одной и той же цене и увезли каждый в свою деревню продавать. Первый продавал товар в два раза дороже закупочной цены. Второй сначала поднял цену на 60% и продал четвёртую часть товара, затем поднял цену еще на 40% и продал остальную часть товара. Кто из них ... | Пусть каждый купец заплатил за товар x рублей. Тогда прибыль первого купца составляет тоже x руб.
Второй купец сначала поднял цену на 60% и продал по ней четверть товара. За это он получил ¼·1,6x = 0,4x. Затем он поднял цену еще на 40%, то есть до 1,4·1,6x = 2,24x, и продал по ней 3/4 товара, за что получил ... | Второй купец. | [
"Задачи на проценты и отношения"
] |
В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок.
Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок. | Занумеруем яблоки. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, затем сложим полученные веса и получим удвоенный вес трёх яблок. Итак, за три взвешивания мы узнали суммарный вес первых трёх яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые взвешиваем попарно. Суммируя все данные, получим ... | null | [
"Взвешивания"
] |
Решить систему уравнений:
xy = 1,
yz = 2,
zx = 8. | Из системы видно, что все переменные имеют один знак. Перемножив все уравнения, получим x²y²z² = 16, откуда xyz = 4 или xyz = –4. Поделив на каждое из уравнений, найдём все неизвестные. | (2, ½, 4), (–2, – ½, –4). | [
"Симметрические системы. Инволютивные преобразования"
] |
Как разбить бесконечный лист клетчатой бумаги на доминошки 2×1 так, чтобы каждая линия сетки разрезала лишь конечное число доминошек? | Проведём две диагональные прямые y = x и y = – x, которые разбивают бесконечный лист на четыре части. Верхнюю и нижнюю разобьём на вертикальные доминошки, а левую и правую (вместе с остатками нижней и верхней частей) – на горизонтальные доминошки. Тогда вертикальная линия сетки может разрезать только горизонтальные... | null | [
"Замощения костями домино и плитками"
] |
При посадке в самолет выстроилась очередь из n пассажиров,
у каждого из которых имеется билет на одно из n мест.
Первой в очереди стоит сумасшедшая старушка. Она вбегает в салон и
садится на случайное место (возможно, и на свое). Далее
пассажиры по очереди занимают свои места, а в случае, если свое
мест... | Пусть при некоторой рассадке пассажиров последний пассажир сел не
на свое место (такую рассадку назовем неудачной).
Тогда до прихода последнего пассажира его место
было занято пассажиром A (A может быть и сумасшедшей старушкой).
В момент прихода пассажира A перед ним стоит выбор - какое место
занять. В р... | 0.50 | [
"Теория вероятностей (прочее)"
] |
Может ли сумма 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n при каком-нибудь натуральном n оканчиваться цифрой 7? | 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n = ½ n(n + 1). Чтобы это число оканчивалось на цифру 7, нужно, чтобы число ½ n(n + 1) – 2 = ½ (n(n + 1) – 4) делилось на 5, следовательно, число n(n + 1) – 4 = n² + n + 1 – 5 должно делиться на 5. Но это не так (см. задачу 30606). | Не может. | [
"Арифметика остатков (прочее)",
"Арифметическая прогрессия"
] |
Антон, Артем и Вера решили вместе 100 задач по математике. Каждый из них решил
60 задач. Назовем задачу трудной, если ее решил только один человек, и легкой,
если ее решили все трое. Насколько отличается количество трудных задач
от количества легких?
| Пусть S1 - число задач, решенных только Антоном, S2 - число
задач, решенных только Артемом, S3 - число задач, решенных только
Верой, S12 - число задач, решенных только Антоном и Артемом, и так далее.
Тогда Антон решил S1+S12+S13+S123 = 60 задач,
Артем решил S2+S12+S23+S123 = 60 задач,
Вера решила S3+S13+S23+S123 = 60 з... | null | [
"Формула включения-исключения",
"Объединение, пересечение и разность множеств"
] |
Какое максимальное количество
фигурок 2*2*1 можно уложить в куб 3*3*3?
| Ответ: 6 фигурок.
| null | [
"Комбинаторная геометрия (прочее)",
"Куб"
] |
Решить в целых числах уравнения a) 1/a + 1/b = 1/7; б) 1/a + 1/b = 1/25. | а) Запишем уравнение в виде (a – 7)(b – 7) = 49. Поскольку a ≠ 0, то a – 7 – одно из чисел –49, –1, 1, 7, 49. Соответственно b – 7 равно –1, –49, 49, 7, 1. | а) {6, –42}, {56, 8}, (14, 14).
б) {24, –600}, {20, –100}, {650, 26}, {150, 30}, (50, 50). | [
"Уравнения в целых числах"
] |
Поле с цветами разбито тропинками на равные квадраты. Садовники живут
в вершинах всех квадратов. За каждым цветком ухаживают три ближайших
садовника. Нарисуйте все цветы, за которыми ухаживает один из садовников.
| Решение появиться после 12.05.20001г
| null | [
"ГМТ с ненулевой площадью"
] |
У Царя Гвидона было 5 сыновей. Среди его потомков 100 имели каждый ровно по 3 сына, а остальные умерли бездетными.
Сколько потомков было у царя Гвидона? | Всякий потомок Царя Гвидона – это либо сын одного из его потомков, либо сын самого Гвидона. Из условия следует, что у всех потомков Гвидона было в общей сложности 300 сыновей. А у самого Гвидона было 5 сыновей, следовательно, всего потомков было 305. | 305. | [
"Подсчет двумя способами",
"Деревья"
] |
Жук ползёт по рёбрам куба. Сможет ли он последовательно обойти все рёбра, проходя по каждому ребру ровно один раз? | См. задачу 32022 б). | Не может. | [
"Обход графов",
"Обходы многогранников",
"Степень вершины",
"Четность и нечетность"
] |
Какое наименьшее число участников может быть в математическом кружке, если известно, что девочек в нем меньше 50%, но больше 40%? | Пусть n – число всех участников кружка, а d – число девочек. | Первый способ. По условию 0,4n < d < 0,5n. Если n нечётно, то число 0,5n – полуцелое, следовательно, 0,1n > 0,5, откуда n > 5. Наименьшее такое n равно 7.
Если n чётно, то число 0,5n – целое, следовательно, 0,1n > 1, откуда n > 10. Это хуже, чем в первом случае. | [
"Обыкновенные дроби",
"Задачи на проценты и отношения",
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев"
] |
Пусть H - точка пересечения высот в треугольнике ABC.
Докажите, что если провести прямые, симметричные прямым AH, BH, CH
относительно биссектрис углов A, B, C, то эти прямые пересекутся в
центре O описанной окружности треугольника ABC.
| Пусть вначале ABC - остроугольный треугольник, как на картинке (в случае тупоугольного
или прямоугольного треугольника
рассуждения претерпевают лишь незначительные изменения).
Угол BAH дополняет угол B треугольника ABC до 900.
Далее, угол AOC равен удвоенному углу B, поскольку угол AOC -
центральный, а у... | null | [
"Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.",
"Вписанный угол (прочее)"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.