Question stringlengths 1 883 | Solution stringlengths 1 2.27k ⌀ | Answer stringlengths 1 4.34k ⌀ | Themes list |
|---|---|---|---|
Докажите, что шесть ребер любого тетраэдра можно разбить на три пары
(a,b), (c,d), (e,f) так, чтобы из отрезков длин a+b, c+d, e+f
можно было составить треугольник.
| В произвольном тетраэдре ABCD рассмотрим три пары скрещивающихся
ребер (AB,CD), (AC,BD), (AD,BC).
Докажем, что величины AB+CD, AC+BD, AD+BC удовлетворяют
неравенству треугольника.
Будем доказывать, например, что AB+CD<AC+BD+AD+BC
(два оставшихся неравенства доказываются совершенно аналогично).
Запишем неравенства... | null | [
"Неравенство треугольника (прочее)",
"Стереометрия (прочее)"
] |
Последовательность f(n) (n=1,2,...), состоящая из натуральных
чисел, такова, что f(f(n))=f(n+1)+f(n) для всех натуральных n.
Докажите, что все члены этой последовательности различны.
| Предположим противное: для некоторых различных натуральных k и m
выполнено
f(k)=f(m). Тогда f(f(k))=f(k+1)+f(k) и f(f(m))=f(m+1)+f(m),
откуда f(k+1)=f(f(k))-f(k) и f(m+1)=f(f(m))-f(m).
Правые части полученных равенств по нашему предположению равны,
следовательно, f(k+1)=f(m+1).
Рассуждая далее таким же образом, ... | null | [
"Периодичность и непериодичность",
"Рекуррентные соотношения (прочее)",
"Доказательство от противного"
] |
Две окружности пересекаются в точках A и B.
К этим окружностям проведена общая касательная, которая касается
окружностей в точках C и D.
Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.
| Пусть прямая AB пересекает отрезок CD в точке O.
Отрезок OC является отрезком касательной, проведенной из точки O к
первой окружности. Секущая OA пересекает первую окружность в
точках A и B.
Воспользуемся тем фактом, что
квадрат длины касательной равен произведению длин отрезков
секущей. Имеем: OC2=OA*OB
(это ра... | null | [
"Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть"
] |
Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число. | Рациональные числа выражаются периодическими десятичными дробями. Предположим, что наша дробь периодическая: некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби начиная с m-го знака после запятой. Среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненуле... | null | [
"Периодические и непериодические дроби",
"Рациональные и иррациональные числа",
"Доказательство от противного"
] |
Разделите с помощью линейки и циркуля данный отрезок на n
равных частей.
| Пусть дан отрезок AB. Проведем некоторый луч
AX (не лежащий на прямой AB) с началом в точке
A. Последовательно отложим на луче AX n равных отрезков
AA1, A1A2,...,
An-1An.
Соединим прямой точки An и B.
Проведем через точки
A1, A2 ,..., An-1
прямые, параллельные прямой AnB.
Согласно теореме Фалеса,
эти прямые р... | null | [
"Построения (прочее)",
"Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках"
] |
Двум гениям сообщили по натуральному числу и сказали, что эти числа отличаются на 1. После этого они по очереди задают друг другу один и тот же вопрос: "Знаешь ли ты мое число?". Докажите, что рано или поздно один из них ответит положительно. | Если число одного из гениев равно m, то он знает, что число другого гения равно либо m + 1, либо m – 1; ему остаётся определить только то, какая из этих двух возможностей имеет место. Когда гений A отвечает на вопрос "Знаешь ли ты моё число?" в первый раз, он может ответить положительно только если его число рав... | null | [
"Математическая логика (прочее)",
"Индукция (прочее)"
] |
Докажите, что для любых различных положительных чисел a, b, c, d выполнено неравенство a²/b + b²/c + c²/d + d²/a > a + b + c + d. | Для любых различных положительных чисел x, y справедливо неравенство
x²/y > 2x – y (оно равносильно неравенствам x² > 2xy – y², (x – y)² > 0). Складывая неравенства a²/b > 2a – b, b²/c > 2b – c, c²/d > 2c – d, d²/a > 2d – a получим неравенство, которое требовалось доказать. | null | [
"Алгебраические неравенства (прочее)",
"Неравенство Коши"
] |
Разложите многочлен x8 + x4 + 1 на четыре множителя. | null | [
"Тождественные преобразования",
"Разложение на множители"
] | |
Итак, Чукча выходит каждый день на охоту по следующему маршруту:
10 км на юг,
10 км на восток,
10 км на север
(На запад чукча не ходит)
И хоп! Оказывается перед своим чумом.
"Однако!" говорит чукча.
Теперь вопрос:
найти Геометрическое Место Точек, где может находиться чум чукчи.
| ГМТ разбивается на две качественно различных категории:
Северный полюс - как раз точка пересечения меридианов. Но здесь
присутствует
некая неопределенность в выборе начального направления движения.
Поскольку все
направления на юг, то любое начало приведет обратно на северный
полюс.
Совок... | null | [
"Окружности на сфере",
"ГМТ в пространстве (прочее)"
] |
Известно, что сумма трех плоских углов при
каждой вершине тетраэдра равна 1800.
Докажите, что все его грани - равные треугольники.
| Пусть данный тетраэдр - ABCD.
Рассмотрим его развертку на плоскость ABC.
Пусть грани ABD, BCD и CAD при разворачивании тетраэдра перешли в
треугольники ABE, BCF и CAG.
Сумма углов EAB, BAC, CAG равна 1800, поскольку
эти углы равны трем плоским углам тетраэдра при вершине A.
Следовательно, точка A лежит на п... | null | [
"Стереометрия (прочее)"
] |
В стране n городов. Между каждыми двумя городами установлено воздушное сообщение одной из двух авиакомпаний. Докажите, из этих двух авиакомпаний хотя бы одна такова, что что из любого города можно попасть в любой другой рейсами только этой авиакомпании. | См. задачу 30814 а). | null | [
"Связность и разложение на связные компоненты"
] |
Внутри квадрата ABCD взята точка M.
Доказать, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM,
CDM, DAM образуют квадрат.
Чему равна сторона этого квадрата, если сторона исходного квадрата
равна 1?
| Отметим точки P, Q, R, S, являющиеся серединами сторон AB, BC, CD,
DA соответственно. Очевидно, PQRS - квадрат.
MP - медиана в треугольнике ABM.
Точка пересечения медиан треугольника ABM
делит медиану MP в отношении 2:1,
считая от вершины M.
Иначе говоря, точка пересечения медиан треугольника ABM
является образо... | null | [
"Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства",
"Гомотетия помогает решить задачу"
] |
Докажите, что (a/b + b/c + c/a)² ≥ 3(a/c + c/b + b/a) для трёх действительных чисел a, b, c, не равных 0. | Обозначим x = a/b, y = b/c, z = c/a. Тогда a/c = xy, c/b = zx, b/a = yz. Значит, нам надо доказать, неравенство (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx), которое после раскрытия скобок и приведения подобных превращается в неравенство x² + y² + z2 ≥ xy + yz + zx, доказанное в задаче 30865. | null | [
"Алгебраические неравенства (прочее)",
"Неравенство Коши",
"Формулы сокращенного умножения (прочее)"
] |
Известно, что натуральное число n в 3 раза больше суммы своих
цифр. Докажите, что n делится на 27. | Обозначим через s сумму цифр данного числа n. По условию n = 3s, следовательно n делится на 3. Значит, s делится на 3, то есть s = 3k . Это означает, что n делится на 9. Следовательно, и s делится на 9, то есть s = 9m, а n = 27m. | null | [
"Признаки делимости на 3 и 9"
] |
Если от некоторого трёхзначного числа отнять 6, то оно разделится на 7, если
отнять 7, то оно разделится на 8, а если отнять 8, то оно разделится на 9.
Определите это число. | Если к искомому числу прибавить 1, то оно будет делиться на 7·8·9 = 504. Так как число трёхзначное, то имеется единственная возможность – оно равно
503 = 7·8·9 – 1. | 503. | [
"Деление с остатком",
"НОД и НОК. Взаимная простота"
] |
На окружности отмечено n точек, причём известно, что для каждых двух отмеченных точек одна из дуг, соединяющих их, имеет величину, меньшую 120°. Докажите, что все точки лежат на одной дуге величиной 120°. | Среди всех дуг (меньших 180°), соединяющих пары отмеченных точек, выберем наибольшую по величине дугу AB; по условию её величина меньше 120°. Пусть A' и В' – точки, диаметрально противоположные точкам A и B. Окружность разбивается на четыре дуги: AB, BA', A'B' и B'A. Никакая отмеченная точка C не лежит на дуге BA',... | null | [
"Комбинаторная геометрия (прочее)",
"Наименьший или наибольший угол",
"Принцип Дирихле (углы и длины)"
] |
Придумайте признаки делимости натуральных чисел на а) 2; б) 5; в) 3; г) 4; д) 25. | null | null | [
"Признаки делимости (прочее)"
] |
Докажите, что все числа вида 1156, 111556, 11115556,...
являются точными квадратами.
| Пусть количество цифр в числе n=11...15..56 равно 2k.
Тогда n=1111...1+44...4+1, где в первом слагаемом количество
единиц равно 2k, во втором слагаемом количество четверок равно k.
Число, которое записывается с помощью m единиц, равно
(10m-1)/9.
Поэтому n=(102k-1)/9+4*(10k-1)/9+1=
(102k+4*10k+4)/9=
((10k+2)/3)2.... | null | [
"Десятичная система счисления"
] |
Один человек задумал 10 натуральных чисел -
x1, x2, ... , x10. Другой отгадывает
их.
Разрешается задавать вопросы вида: "чему равна сумма
a1x1+a2x2+...+a10x10?",
где a1, a2, ... , a10 - некоторые
натуральные числа. Как за 2 вопроса узнать все загаданные числа?
| За первый вопрос узнаем значение выражения
x1+x2+...+x10.
Пусть это значение равно С. Возьмем достаточно большое число n,
такое что 10n>С.
Вторым вопросом узнаем значение выражения
x1+10nx2+102nx3+...+109nx10.
Если значение этого выражения равно S,
то в десятичной записи числа S справа налево будут идти группы и... | null | [
"Теория алгоритмов (прочее)",
"Системы счисления (прочее)"
] |
На плоскости проведено несколько прямых (не менее трех),
никакие две из которых не
параллельны и никакие три не проходят через одну точку.
Докажите, что среди частей, на которые они разбивают плоскость,
найдется хотя бы один треугольник.
| Рассмотрим некоторую прямую l и точку пересечения A двух других
прямых k и m, расположенную ближе всего к выбранной прямой
среди всех попарных точек пересечения данных прямых (отличных от l).
Пусть прямые k и m пересекают прямую l в точках B и C
соответственно. Докажем, что треугольник ABC является одной из
частей... | null | [
"Плоскость, разрезанная прямыми",
"Индукция в геометрии",
"Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)"
] |
Существуют ли такие иррациональные числа a и b,
что степень ab - число рациональное?
| Первое решение.
Примером могут служить числа a=101/2,
b=2lg11.
В самом деле,
ab = (101/2)2lg11 =
10(1/2)*2lg11 = 10lg11 = 11.
Осталось показать, что числа 101/2 и lg11
иррациональные.
Если бы выполнялось равенство 101/2=m/n
для некоторых натуральных m и n, то
было бы верно равенство 10n2=m2,
что невозможно,... | существуют.
| [
"Рациональные и иррациональные числа",
"Корни. Степень с рациональным показателем (прочее)",
"Показательные функции и логарифмы (прочее)"
] |
Клетки доски 7×7 окрашены в шахматном порядке так, что углы окрашены в чёрный цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в белый цвет? | Заметим, что при перекрашивании двух клеток количество клеток белого (или чёрного) цвета либо увеличивается на 2, либо уменьшается на 2, либо остаётся неизменным. В любом случае чётность числа клеток каждого цвета не изменяется. Вначале было 24 клетки белого цвета. Если в конце вся доска стала бы белой цвет, то белых к... | Нельзя. | [
"Четность и нечетность",
"Инварианты",
"Таблицы и турниры (прочее)"
] |
На плоскости отмечено 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что никакая тройка отрезков не образует треугольника. Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено? | См. решение задачи 31104 а). | 2500 отрезков. | [
"Теория графов (прочее)"
] |
Из десятизначного числа 2946835107 вычеркнули 5 цифр.
Какое наибольшее число могло в результате этого получиться?
| В результате вычеркивания остается некоторое пятизначное число.
Если в числе 2946835107 не вычеркивать первую цифру, то полученное
пятизначное число будет начинаться с двойки и, следовательно,
будет меньше, чем 98517.
Таким образом, первую цифру надо вычеркивать.
Цифру 9 нужно оставлять, иначе в пятизначном ч... | 98517.00 | [
"Арифметика. Устный счет и т.п."
] |
На плоскости нарисовано несколько прямых (не меньше двух),
никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят
через одну точку.
Докажите, что среди частей, на которые эти прямые делят плоскость,
найдется хотя бы один угол.
| Рассмотрим множество точек пересечения P пар прямых.
Возьмем выпуклую оболочку множества P -
наименьший выпуклый многоугольник M,
содержащий это множество. Вершинами многоугольника M являются
некоторые из точек множества P.
Рассмотрим одну из вершин A многоугольника M,
а также прямые k и m, которые
пересе... | null | [
"Плоскость, разрезанная прямыми",
"Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)"
] |
На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно? | Первый способ. Пусть в некоторый момент мы перевернули 4 стакана, из которых k стаканов стояли вверх дном, а 4 – k – правильно (k может принимать значения от 0 до 4). После переворачивания из этих четырёх стаканов k будут стоять правильно, а 4 – k – вверх дном. Таким образом, количество стаканов, стоящих вверх дном... | Второй способ. Заметим, что каждый стакан должен быть перевернут нечётное число раз, а всего стаканов нечётное число, то есть мы должны сделать нечётное число переворотов. Однако при каждом ходе переворачивается чётное число стаканов. Следовательно, перевернуть все стаканы вниз дном невозможно. | [
"Четность и нечетность",
"Инварианты"
] |
Можно ли покрыть шахматную доску 8×8 доминошками 2×1
так, чтобы никакие две доминошки не образовывали квадратик 2×2?
| Докажем, что всегда образуется хотя бы один квадратик 2×2.
Предположим противное – доска покрыта доминошками так, что ни одного
квадратика не образуется. | Занумеруем горизонтальные ряды доски числами от 1 до 8, а
вертикальные ряды – буквами a, b, c, ..., h (как при записи ходов в шахматной
партии).
Рассмотрим доминошку, покрывающую угловое поле a1.
Пусть, для определенности, эта доминошка горизонтальная, т.е.
покрывает еще поле b1.
Рассмотрим доминошку, покр... | [
"Замощения костями домино и плитками",
"Процессы и операции"
] |
Несколько камней весят вместе 10 т, при этом каждый из них весит не более 1 т. а) Докажите, что этот груз можно за один раз увезти на пяти трёхтонках.
б) Приведите пример набора камней, удовлетворяющих условию, для которых четырёх трёхтонок может не хватить, чтобы увезти груз за один раз. | а) См. задачу 78081. | null | [
"Теория алгоритмов (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции",
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев"
] |
Студенты кафедры высшей геометрии и топологии, находясь летом на отдыхе,
разрезали арбуз на 4 части и съели. Могло ли получиться 5 корок?
| Если постараться, из арбуза можно вырезать кусок в виде столбика,
идущего сквозь весь арбуз. У этого куска будут две корки, соединенные
арбузной мякотью.
| null | [
"Наглядная геометрия в пространстве"
] |
Можно ли осветить круглую арену 100 прожекторами
так, чтобы каждый из них освещал выпуклую фигуру,
никакой из них не освещал всю арену, но
любые два из них вместе уже освещали всю арену?
| Рассмотрим некоторый выпуклый 100-угольник, вписанный
в окружность - границу арены.
Если вырезать этот 100-угольник, то останется 100
сегментов.
Можно занумеровать сегменты числами от 1 до 100.
Пусть k-ый прожектор
освещает всю арену за исключением k-го
сегмента (для k=1,2,...,100).
Легко видеть, что... | можно.
| [
"Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)",
"Покрытия"
] |
Существует ли
а) ограниченная,
б) неограниченная
фигура на плоскости, имеющая среди своих осей симметрии две
параллельные несовпадающие прямые?
| а) Пусть у фигуры есть две параллельные оси симметрии. Введем
систему координат таким образом, чтобы эти прямые имели уравнения
x=0 и x=1. Пусть некоторая точка (a;b) принадлежит данной фигуре.
В силу того, что прямая x=0 является осью симметрии, точка (-a;b)
также должна принадлежать данной фигуре.
Далее, т... | а) Нет. б) Да.
| [
"Свойства симметрий и осей симметрии"
] |
Докажите, что простых чисел, дающих остаток 2 при делении на 3, бесконечно много. | Предположим, что напротив, найдётся лишь конечное число таких простых чисел, обозначим эти числа p1, p2, ... , pn. Число A = 3p1p2...pn – 1 не делится на простые числа p1, p2, ..., pn и даёт остаток 2 при делении на 3. Значит, среди его простых делителей должно быть число вида 3k + 2. Противоречие. | null | [
"Простые числа и их свойства",
"Доказательство от противного"
] |
Рассматриваются всевозможные треугольники с целочисленными сторонами и периметром 2000, а также всевозможные треугольники с целочисленными сторонами и периметром 2003. Каких треугольников больше? | Пусть стороны треугольника равны целым числам a, b, c и его периметр равен 2000. Поставим этому треугольнику в соответствие треугольник со сторонами a + 1, b + 1, c + 1, периметр которого равен 2003 (нетрудно проверить, что неравенство треугольника для таких сторон выполняется). При этом соответствии различным треу... | С периметром 2003. | [
"Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения",
"Неравенство треугольника (прочее)"
] |
У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение. | Заметим, что если число d – делитель числа A, то число A/d также делитель числа A. Поскольку у A 100 делителей, они разбиты на 50 таких пар. | A50. | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Произведения и факториалы"
] |
Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста – вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две г... | null | null | [
"Примеры и контрпримеры. Конструкции",
"Четность и нечетность",
"Шахматные доски и шахматные фигуры"
] |
Существует ли выпуклая фигура, не имеющая осей симметрии, но переходящая в себя при некотором повороте? | Рассмотрим правильный треугольник ABC. Выберем на его сторонах AB, BC, CA точки C', A', B' так, что AC' : BC' = BA' : CA' = CB' : AB' = 3 : 1; далее выберем на сторонах AB, BC, CA точки C", A", B" так, что AC" : BC" = BA" : CA" = CB" : AB" = 1 : 2. Отрежем от треугольника ABC треугольники B'AC", C'BA", A'CB". Пол... | Существует. | [
"Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)",
"Правильный (равносторонний) треугольник",
"Свойства симметрий и осей симметрии",
"Поворот (прочее)"
] |
Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, второй – 21. Сколько партий сыграл третий игрок? | По условию второй игрок сыграл 21 партию, поэтому всего было сыграно не менее 21 партии. Из каждых двух партий подряд первый игрок хотя бы в одной должен участвовать, значит, партий было не более 2·10 + 1 = 21. Следовательно, была сыграна всего 21 партия, и второй игрок участвовал в каждой из них. В 10 партиях он в... | 11 партий. | [
"Комбинаторика (прочее)",
"Разбиения на пары и группы; биекции"
] |
В прямоугольной таблице некоторые клетки отмечены: в них нарисованы звёздочки. Известно, что для любой отмеченной клетки количество звёздочек в её столбце совпадает с количеством звёздочек в её строке. Докажите, что число строк в таблице, в которых есть хоть одна звёздочка, равно числу столбцов таблицы, в которых есть ... | Заменим каждую звёздочку числом 1/k, где k – количество звёздочек в ее строке (столбце). Тогда сумма чисел в каждой "непустой" строке равна 1, следовательно, сумма всех чисел в таблице равна числу "непустых" строк. Но, аналогично, она равна и числу непустых столбцов. | null | [
"Числовые таблицы и их свойства",
"Подсчет двумя способами"
] |
На плоскости отмечено 2000 точек. Можно ли провести прямую, по каждую сторону от которой лежит 1000 точек? | Рассмотрим все прямые, соединяющие пары данных точек. Возьмём некоторую прямую l, которая не перпендикулярна ни одной из этих прямых. Введём на плоскости систему координат так, чтобы прямая l являлась осью Ox. Обозначим абсциссы данных точек в порядке возрастания x1, x2, ..., x2000 (эти числа различны в силу выбора пря... | Можно. | [
"Системы точек",
"Соображения непрерывности"
] |
В строку выписано m натуральных чисел. За один ход можно прибавить по единице к некоторым n из этих чисел.
Всегда ли можно сделать все числа равными? | Пусть числа m и n имеют общий делитель d > 1, а сумма выписанных вначале чисел на d не делится. При прибавлении по единице к некоторым n из этих чисел сумма всех чисел увеличивается на n. Поскольку n делится на d, сумма выписанных чисел всегда будет иметь один и тот же остаток от деления на d, следовательно, сумма вс... | Не всегда. | [
"НОД и НОК. Взаимная простота",
"Инварианты"
] |
На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три точки одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета. | Рассмотрим треугольник Т наименьшей площади S с вершинами в трёх точках одного цвета. Допустим, что на его сторонах расположено по крайней мере три точки другого цвета. Тогда эти три точки являются вершинами треугольника, площадь которого меньше S, что противоречит выбору треугольника Т. | null | [
"Наименьшая или наибольшая площадь (объем)",
"Системы точек"
] |
Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19. | 3·1203...308 = 3609...924 = 3610...000 – 76, а числа 361 и 76 делятся на 19. | null | [
"Десятичная система счисления",
"Индукция (прочее)",
"Деление с остатком"
] |
Даны две концентрические окружности. Хорда большей из них касается меньшей и имеет длину 2.
Найдите площадь кольца, заключенного между окружностями. | Пусть R – радиус большей окружности, r – радиус меньшей окружности, хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке C, O – общий центр окружностей. AB = 2, а C является серединой AB, поэтому AC = CB = 1. По теореме Пифагора R² – r² = 1, S = πR² – πr² = π. | π. | [
"Площадь круга, сектора и сегмента",
"Теорема Пифагора (прямая и обратная)",
"Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита",
"Хорды и секущие (прочее)"
] |
На доске записаны несколько чисел. За один ход разрешается любые два из них a и b, одновременно не равные нулю, заменить на числа a – b/2 и b + a/2. Можно ли через несколько таких ходов получить на доске исходные числа? | Рассмотрим сумму квадратов чисел, выписанных на доске, и покажем, что эта сумма увеличивается. Этим будет обоснован отрицательный ответ на вопрос задачи.
Действительно, (a – b/2)² + (b + a/2)² = 5/4 (a² + b²) > a² + b². | Нельзя. | [
"Полуинварианты"
] |
Какое наибольшее количество непересекающихся диагоналей можно провести в выпуклом n-угольнике (допускаются диагонали, имеющие общую вершину)? | Каждая проведённая диагональ увеличивает число многоугольников-частей на 1. Поэтому проведя k непересекающихся диагоналей, мы разрежем n-угольник на k + 1 многоугольников. Оценим их количество. | Второй способ. Общая сумма углов получившихся частей равна сумме углов исходного n-угольника, то есть (n – 2)·180°. Сумма углов каждого многоугольника не меньше 180°. Поэтому n – 2 ≥ k + 1, то есть k ≤ n – 3. | [
"Подсчет двумя способами",
"Сумма внутренних и внешних углов многоугольника",
"Разные задачи на разрезания",
"Выпуклые многоугольники"
] |
В народной дружине 100 человек. Каждый вечер на дежурство выходят трое.
Можно ли организовать дежурство так, чтобы через некоторое время оказалось, что каждый дежурил с каждым ровно один раз? | Рассмотрим одного из дружинников. Он должен отдежурить с 99 другими. Но каждый раз он дежурит с двумя, а 99 на 2 не делится. | Нельзя. | [
"Четность и нечетность"
] |
На плоскости дано несколько прямых (больше одной), никакие две из которых не параллельны.
Докажите, что либо найдётся точка, через которую проходят ровно две из данных прямых, либо все прямые проходят через одну точку. | Пусть не все прямые проходят через одну точку. Рассмотрим множество точек M, в которых пересекаются хотя бы две из данных прямых. Выберем одну из прямых – m. По предположению найдётся точка множества M, не принадлежащая прямой m. Из всех таких точек выберем точку P, лежащую на наименьшем расстоянии от m.
Если ч... | null | [
"Системы отрезков, прямых и окружностей",
"Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)"
] |
Докажите, что не существует многочлена (степени больше нуля) с целыми коэффициентами, принимающего при каждом натуральном значении аргумента значение, равное некоторому простому числу. | Предположим, что такой многочлен P(x) существует. В частности, p = P(1) – простое число. Тогда P(1 + p) = (P(1 + p) – P(1)) + P(1) также делится на p (см. решение задачи 35562). Поскольку число P(1 + p) – простое, то P(1 + p) = p. Аналогично, P(1 + 2p) = P(1 + 3p) = ... = p. Таким образом, многочлен
P(x) – ... | null | [
"Целочисленные и целозначные многочлены",
"Простые числа и их свойства",
"Многочлен n-й степени имеет не более n корней",
"Теорема Безу. Разложение на множители",
"Доказательство от противного"
] |
Вокруг окружности описан пятиугольник, длины сторон которого – целые числа, а первая и третья стороны равны 1.
На какие отрезки делит вторую сторону точка касания? | Пусть данный пятиугольник - ABCDE, причём AB = CD = 1, BC = k, DE = m, EA = n. Обозначим через a, b, c, d, e длины отрезков касательных, проведённых соответственно из вершин пятиугольника A, B, C, D, E до точек касания с окружностью. Тогда a + b = 1, b + c = k, c + d = 1, d + e = m,
e + a = n. Значит, 2b = ... | На два отрезка длины ½. | [
"Вписанные и описанные многоугольники",
"Пятиугольники",
"Две касательные, проведенные из одной точки"
] |
Существует ли тетраэдр, высоты которого равны 1, 2, 3 и 6? | Предположим, что такой тетраэдр существует. Обозначим через V его объём, а через S1, S2, S3, S4 – площади граней. Тогда 3V = S1 = 2S2 = 3S3 = 6S4. Отсюда S1 = S2 + S3 + S4. Однако в любом тетраэдре сумма площадей трёх граней больше площади четвёртой грани (пространственный аналог неравенства треугольника). Действит... | Не существует. | [
"Тетраэдр (прочее)",
"Объем тетраэдра и пирамиды",
"Проектирование помогает решить задачу"
] |
В секретной службе работают n агентов – 001, 002, ..., 007, ..., n. Первый агент следит за тем, кто следит за вторым, второй – за тем, кто следит за третьим, и т.д., n-й – за тем, кто следит за первым. Докажите, что n – нечётное число. | Обозначим агентов точками и проведём стрелку от агента A к агенту B в том случае, когда A следит за B. Поскольку каждый агент следит ровно за одним другим, мы получим некоторый цикл (или несколько циклов) из стрелок. Согласно условию, если начать движение по стрелкам, начиная с первого агента и проходя за один раз по д... | null | [
"Ориентированные графы",
"Четность и нечетность"
] |
На плоскости дано n точек, никакие три из которых
не лежат на одной прямой. Докажите, что их можно обозначить
A1,A2,...,An
в таком порядке, чтобы замкнутая ломаная
A1A2...An была
несамопересекающейся.
| Обозначим точки A1,A2,...,An
сначала в каком-нибудь произвольном порядке.
Если замкнутая ломаная A1A2...An
не имеет самопересечений, то условие задачи выполнено.
Пусть найдутся два пересекающихся звена, пусть для определенности,
это звенья A1A2 и
AkAk+1. Заменим
эту пару звеньев на звенья A1Ak
и A2Ak+1.... | null | [
"Системы точек",
"Монотонность и ограниченность"
] |
Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной
прямой и непрерывную ровно в одной точке.
| Определим функцию f(x) равенствами f(x)=0 при рациональном x
и f(x)=x при иррациональном x.
Для любого положительного d при |x|<d |f(x)-f(0)|=|f(x)|<d,
поэтому функция f(x) непрерывна в точке x=0.
С другой стороны пусть a не равно 0.
В любой окрестности точки x=a найдутся две
точки x=b и x=c, такие что b... | null | [
"Функции одной переменной. Непрерывность"
] |
В квадрате со стороной 1 расположено 100 фигур, суммарная площадь
которых больше 99. Докажите, что в квадрате найдется точка,
принадлежащая всем этим фигурам.
| Обозначим данные 100 фигур A1,A2,...,A100,
а их площади - S1,S2,...,S100
соответственно.
По условию S1+S2+...+S100>99.
Обознчим через Bi фигуру, дополняющую фигуру
Ai до квадрата (т.е. состоящую из всех точек
квадрата, не принадлежащих фигуре Ai).
Тогда площадь фигуры Bi равна 1-Si
(для i=1,2,...,100). ... | null | [
"Неравенства с площадями",
"Принцип Дирихле (площадь и объем)",
"Разбиения на пары и группы; биекции"
] |
Решите уравнение |x-2|+|x-1|+|x|+|x+1|+|x+2|=6.
| Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой x.
Сумма |x-2|+|x-1|+|x|+|x+1|+|x+2| равна сумме расстояний от
точки x до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2.
Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек A и B
не меньше длины отрезка AB (и равенство достигается тогда
и только тогда, когда точка ... | x=0.
| [
"Модуль числа"
] |
Каждая точка плоскости, имеющая целочисленные координаты,
раскрашена в один из n цветов.
Докажите, что найдется прямоугольник с вершинами в точках
одного цвета.
| Рассмотрим полосу из n+1 подряд идущих горизонтальных рядов точек.
Рассмотрим вертикальные ряды этой полосы, состоящие из n+1 точек.
Существует лишь конечное число способов
раскрасить в n цветов n+1 точек (первую точку можно раскрасить
n способами, независимо от этого вторую точку также можно
окрасить n спо... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Раскраски"
] |
Известно, что первый, десятый и сотый члены геометрической
прогрессии являются натуральными числами.
Верно ли, что 99-ый член этой прогрессии также является
натуральным числом?
| Пусть a1 - первый член прогрессии, а q - ее
знаменатель.
Тогда десятый член a10 равен a1q9,
а сотый член a100 равен a1q99.
Положим a1=1, q=21/9
(таким образом, знаменатель прогресии - иррациональное число).
Тогда
a10=(21/9)9=2,
a100=(21/9)99=211.
С другой стороны
a99=a100/q=211/21/9
- число иррац... | неверно.
| [
"Геометрическая прогрессия",
"Корни высших показателей (прочее)"
] |
Концы отрезка фиксированной длины движутся по двум скрещивающимся перпендикулярным прямым.
По какой траектории движется середина этого отрезка?
| Введем прямоугольную систему координат так,
чтобы первая прямая задавалась
системой уравнений z=1, y=0, а вторая прямая - системой уравнений
z=-1, x=0. Таким образом, первый конец отрезка имеет координаты
(a,0,1), а второй конец отрезка имеет координаты
(0,b,-1), гда a и b - некоторые числа.
Квадрат рассто... | по окружности.
| [
"Cкрещивающиеся прямые, угол между ними",
"ГМТ - окружность или дуга окружности",
"Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы"
] |
Докажите, что при умножении многочлена (x + 1)n–1 на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов. | Докажем утверждение индукцией по n.
База. При n = 1 утверждение очевидно.
Шаг индукции. Рассмотрим произведение Q(x) = (x + 1)nP(x), где P(x) – некоторый ненулевой многочлен. Без ограничения общности можно считать, что свободный член многочлена P(x) отличен от нуля (умножение на x не меняет числа ненул... | null | [
"Свойства коэффициентов многочлена",
"Вычисление производной",
"Индукция (прочее)"
] |
Найдите наибольшее натуральное число, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр. | Пусть a1a2...ak – десятичная запись числа, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр. Тогда
a1 – a2 > a2 – a3 > ... > ak–1 – ak. Если бы первые четыре разности a1 – a2, a2 – a3, a3 – a4, a4 – a5 были положительными, то разность
a1 – a5 = (a1 – a2) + (a2 – a3) + (a3 –... | 96433469. | [
"Средние величины",
"Десятичная система счисления"
] |
Докажите, что в кубе можно проделать отверстие, через которое можно
протащить куб таких же размеров.
|
Чтобы убедиться в этом, изобразим на левом рисунке проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его
диагонали BD1. В силу симметрии куба эта проекция – правильный шестиугольник А′A′1В′1C′1C′D′, где
A′ – проекция точки A, A′1 – проекция точки A′
и т. д. Таким образом, контур шестиугольника
А′A′1В′1C′... | null | [
"Примеры и контрпримеры. Конструкции",
"Куб",
"Ортогональная проекция (прочее)",
"Сечения, развертки и остовы (прочее)"
] |
Из круга S радиуса 1 вырезали круг S' радиуса 1/2, граница которого
проходит через центр исходного круга.
Определите, где находится центр тяжести полученной фигуры F.
| Обозначим центры кругов S и S' через O и O' соответственно,
а центр тяжести фигуры F - через M.
Из симметрии следует, что M лежит на прямой OO'.
Если обозначить за 1 площадь круга S, то площадь круга S'
будет равна 1/4, а площадь фигуры F будет равна 3/4.
Введем на прямой OO' координаты, приняв за начало коор... | null | [
"Теорема о группировке масс"
] |
Разбейте куб на три пирамиды.
| Возьмем в кубе три грани Г1, Г2, Г3,
имеющие общую вершину.
Обозначим через A вершину куба, не принадлежащую этим
трем граням. Рассмотрим три четырехугольные пирамиды с вершиной A
и основаниями Г1, Г2, Г3.
Эти пирамиды и образуют нужное разбиение куба.
| null | [
"Стереометрия (прочее)",
"Разрезания на части, обладающие специальными свойствами"
] |
В каждую жвачку вложен один из n вкладышей, причём каждый вкладыш встречается с вероятностью 1/n.
Сколько в среднем надо купить жвачек, чтобы собрать полную коллекцию вкладышей? | Пусть у нас уже собрано k вкладышей. Посчитаем, сколько ждать
следующего вкладыша. Назовем жвачку новой, если вложенный в нее вкладыш не встречается среди k уже собранных вкладышей. Обозначим через Mk среднее количество жвачек, которое нужно купить, чтобы последняя купленная жвачка была новой. Рассмотрим следующую ку... | n(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n). | [
"Теория вероятностей (прочее)",
"Средние величины"
] |
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм. | Заметим, что SABD = SAOB + SAOD = SCOD + SAOD = SACD. У треугольников ABD и ACD общее основание AD, следовательно, у них равные высоты, опущенные на сторону AD. Это означает, что точки B и C равноудалены от прямой AB. Поскольку B и C находятся по одну сторону от прямой AB, то BC || AD. | null | [
"Трапеции (прочее)",
"Площадь треугольника (через высоту и основание)",
"Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита"
] |
В парламенте 200 депутатов. В процессе заседания произошло 200 потасовок, в каждой из которой участвовали некоторые два депутата.
Докажите, что можно объединить в комиссию 67 депутатов, из которых никакие два не выясняли между собой отношения в потасовке. | Сначала включим в комиссию всех депутатов. Назовём депутата вредным для комиссии, если он участвовал по крайней мере в двух потасовках с членами этой комиссии. Если в комиссии нашелся вредный депутат, удалим его из комиссии (при этом некоторые депутаты могут перестать быть вредными). Будем удалять из комиссии вредных д... | null | [
"Теория графов (прочее)",
"Процессы и операции",
"Подсчет двумя способами"
] |
В пространстве дано несколько прямых, причём каждые две из них пересекаются.
Докажите, что либо все прямые проходят через одну точку, либо все прямые лежат в одной плоскости. | Рассмотрим пару прямых m и l, которые пересекаются в точке O. Через эту пару прямых проведём плоскость π. Пусть среди оставшихся прямых есть некоторая прямая k, не лежащая в плоскости π. С одной стороны, эта прямая пересекается с плоскостью π в единственной точке, а с другой стороны, она должна пересекаться с каждой... | null | [
"Прямые и плоскости в пространстве (прочее)",
"Системы отрезков, прямых и окружностей"
] |
Известно, что ортогональные проекции некоторого тела на две непараллельные плоскости являются кругами. Докажите, что эти круги равны. | Пусть π1 и π2 – две данные непараллельные плоскости, D1 и D2 – диаметры кругов, являющихся проекциями данного тела на плоскости π1 и π2. Проекцией данного тела на любую прямую, лежащую в плоскости πi, будет являться отрезок длины Di. Рассмотрим проекцию данного тела на прямую пересечения плоскостей π1 и π2. С одной сто... | null | [
"Ортогональная проекция (прочее)",
"Композиции проекций",
"Прямые и плоскости в пространстве (прочее)"
] |
На собеседовании десяти человекам был предложен тест, состоящий из нескольких вопросов. Известно, что любые пять человек ответили вместе на все вопросы (то есть на каждый вопрос хоть один из пяти дал правильный ответ), а любые четыре – нет. При каком минимальном количестве вопросов это могло быть? | По условию для каждой четвёрки людей найдется вопрос, на который они не ответили. С другой стороны, количество людей, не ответивших на этот вопрос, не больше четырёх. Поэтому число вопросов не меньше числа четвёрок, которые можно выбрать из 10 человек, то есть
Наоборот, если в тесте было 210 вопросов (столько,... | При 210 вопросах. | [
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Сочетания и размещения"
] |
На доске 100×100 расставлено 100 ладей, не бьющих друг друга.
Докажите, что в правом верхнем и в левом нижнем квадратах размером 50×50 расставлено равное число ладей. | Разделим доску на четыре квадрата 50×50. Обозначим через k число ладей, которые стоят в левом верхнем квадрате. Левый и правый верхние квадраты образуют вместе 50 верхних строк, следовательно, в них расположено 50 ладей. Поэтому в правом верхнем квадрате расположено 50 – k ладей. Аналогично вычисляется число ладей в ... | null | [
"Комбинаторика (прочее)"
] |
На доске размером 8×8 двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы не появлялось закрашенных уголков из трёх клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? | Второй игрок может всегда ходить симметрично первому (относительно центра доски). Тогда при его ходе не может появиться закрашенный уголок – иначе он появился бы на предыдущем ходу. Значит, он выиграет. | Второй. | [
"Симметричная стратегия"
] |
На экране терминала с доступом к "Матрице" горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Хакер Нео имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным? Добившись этого, он за... | Первый способ. Покажем, что Нео сможет снова получить число 123 и таким образом повторять свои действия неограниченное количество раз. Алгоритм:
123 → 225 → 327 ~ 237 → 339 → 441 ~ 144 → 246 → 348 → 450 ~ 405 → 507 → 609 → 711 ~ 117 → 219 → 321 ~ 123. | Второй способ. Покажем, что Нео может придти от начального значения 123 к набору цифр 549, а затем повторно получить набор цифр 549.
123 → 225 ~ 252 → 354 ~ 345 → 447 → 549 → 651 → 753 ~ 357 → 459 ~ 549. | [
"Теория алгоритмов (прочее)"
] |
Найдите число нулей, на которое оканчивается число 11100 – 1. | S = (10 + 1)100 – 1 = ... + (100·99·98 : 6) ·103 + (100·99 : 2)·102 + 100·10 + 1 = ... + (33·49)·105 + 495000 + 1000 = A + 496000, где все члены на месте троеточия делятся на 104, то есть A оканчивается по крайней мере на четыре нуля. Отсюда следует, что число S оканчивается на три нуля (а четвёртая с конца цифра чис... | Три нуля. | [
"Треугольник Паскаля и бином Ньютона",
"Десятичная система счисления",
"Арифметика остатков (прочее)"
] |
На плоскости расположены 100 точек-овец и одна точка-волк.
За один ход волк передвигается на расстояние не больше 1,
после этого одна из овец передвигается на расстояние не больше 1,
после этого снова ходит волк и т.д.
При любом ли начальном расположении точек волк сможет поймать одну
из овец?
| Введем на плоскости систему координат. Пусть k-ая овца
имеет координаты (4k;0), k=1,2,...,100,
а начальное положение волка таково, что
за один ход он не может достичь ни одной овцы.
Опишем стратегию овец.
Овцы будут ходить только по прямым x=4k.
Пусть перед ходом овец волк находится в точке (x;y) одной из ... | нет.
| [
"Теория игр (прочее)"
] |
Каждый вечер Иван Таранов приходит в случайное время на автобусную
остановку. На этой остановке останавливаются два маршрута -
на одном из них Иван может ехать к себе домой, а на другом -
в гости к другу Козявкину.
Иван ждет первого автобуса и в зависимости от того, какой
автобус подошел, он едет либо домо... | Рассмотрим следующий пример. Пусть маршрут A, который везет
Ивана домой, приходит каждый час в 00 минут (т.е. в 0.00, 1.00, 2.00,
... ,23.00), а маршрут B, который везет к другу,
приходит каждый час через 40 минут после автобуса маршрута A
(т.е. в 0.40, 1,40, ... ,23.40).
Таким образом, если Ваня подходит к о... | null | [
"Парадоксы",
"Теория вероятностей (прочее)"
] |
Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника
ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар,
который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA,
возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию
KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно
вписать в окружность.
| По условию четырехугольник KLMN, вписанный в четырехугольник
ABCD, является замкнутой биллиардной траекторией.
Пользуясь тем, что угол падения равен углу отражения,
можно ввести следующие обозначения:
углы AKN и BKL обозначим за x,
углы BLK и CLM обозначим за y,
углы CML и DMN обозначим за z,
углы DMN и... | null | [
"Вписанные четырехугольники (прочее)",
"Сумма внутренних и внешних углов многоугольника"
] |
На клетчатой плоскости со стороной клетки 1 нарисован круг радиуса 1000.
Докажите, что суммарная площадь клеток, целиком лежащих внутри
этого круга, составляет не менее 99% площади круга.
| Покрасим все клетки, целиком содержащиеся внутри исходного круга.
Рассмотрим круг S радиуса 998, имеющий тот же центр, что и исходный круг.
Покажем, что весь этот круг оказался покрашенным.
Пусть напротив, некоторая точка A круга S оказалась непокрашенной.
Это означает, что найдется точка B, лежащая вне исходно... | null | [
"Неравенства с площадями",
"Арифметика. Устный счет и т.п."
] |
За круглым столом совещались 2n депутатов. После перерыва эти же 2n депутатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке.
Доказать, что найдутся два депутата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек. | Занумеруем депутатов числами 1, 2, ..., 2n в том порядке (по часовой стрелке), в котором они сидели до перерыва; таким же образом пронумеруем места за столом. Обозначим через ai количество мест, на которое сдвинулся i-й депутат по часовой стрелке после перерыва. Таким образом, каждое из чисел a1, a2, ..., a2n пр... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Деление с остатком",
"Перестановки и подстановки (прочее)",
"Четность и нечетность"
] |
Внутри угла расположены три окружности S1,
S2, S3, каждая из которых касается
двух сторон угла, причем окружность S2
касается внешним образом окружностей S1
и S3. Известно, что радиус окружности
S1 равен 1, а радиус окружности
S3 равен 9. Чему равен радиус окружности
радиус окружности S2?
| Рассмотрим гомотетию H с центром
в вершине угла, переводящую
окружность S1 в окружность S2.
Окружность S2 при применении этой гомотетии
переходит в окружность, касающуюся сторон угла и
касающуюся внешним образом окружности
H(S1)=S2;
таким образом, окружность S2 при
применении гомотетии переходит в ок... | 3.00 | [
"Гомотетичные окружности"
] |
На острове живут лжецы и рыцари, всего 2001 человек.
Рыцари всегда говорят
правду, а лжецы лгут. Каждый житель острова заявил:
"Среди оставшихся жителей острова более половины - лжецы".
Сколько лжецов на острове?
| Все жители острова не могут быть лжецами, иначе каждый из них
сказал бы правду. Возьмем некоторого рыцаря.
Из его заявления вытекает, что лжецов на острове больше, чем
(2001-1)/2=1000.
Возьмем теперь некоторого лжеца. Его заяление
ложно, поэтому кроме него не более половины жителей острова - лжецы.
Это о... | 1001.00 | [
"Математическая логика (прочее)"
] |
В пространстве даны два совпадающих куба с ребром 1.
Один из них повернули вокруг некоторой прямой,
проходящей через его центр,
на некоторый угол. Докажите, что после такого поворота
объем общей части кубов остался больше 0,52.
| После поворота одного из кубов оба куба по-прежнему имеют общий центр.
Поэтому каждый из этих кубов содержит их общий вписанный шар.
Радиус этого шара равен 1/2, и по формуле объема шара
мы находим его объем V=(4/3)п(1/2)3=п/6, что больше
3,14/6>0,52.
| null | [
"Стереометрия (прочее)"
] |
Дана таблица размера m×n (m, n > 1). В ней отмечены центры всех клеток. Какое наибольшее число отмеченных центров можно выбрать так, чтобы никакие три из них не являлись вершинами прямоугольного треугольника?
| Выберем в таблице центры всех клеток нижней строки и правого столца, за исключением правой нижней угловой клетки. Всего выбрано m + n – 2 точки, и каждая тройка отмеченных точек образует тупоугольный треугольник.
Докажем, что больше m + n – 2 центров клеток выбрать нельзя. Для каждого отмеченного центра либ... | m + n – 2.
| [
"Комбинаторика (прочее)",
"Геометрия на клетчатой бумаге"
] |
В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что
длина стороны BC больше половины длины стороны AB.
| На стороне BC рассмотрим точку D такую, что угол DBA равен
углу DAB.
Из условия задачи следует, что точка D лежит между точками B и
C, а не на продолжении отрезка BC. Следовательно, BD<BC. Но BD
- наклонная, а половина стороны AC - проекция этой наклонной
(поскольку треугольник ABD равнобедренный, точка... | null | [
"Против большей стороны лежит больший угол",
"Прямоугольные треугольники (прочее)"
] |
Каково максимальное значение, которое может принимать
площадь проекции правильного тетраэдра с ребром 1?
| Рассмотрим два возможных случая.
1. Проекция тетраэдра - треугольник. Тогда длина каждой из его
сторон не больше 1 (при проектировании длина отрезка может только
уменьшиться).
Обозначим две из сторон треугольника a и b, и пусть C - величина
угла между этими сторонами. Из формулы площади треугольника
вытекае... | 0.50 | [
"Стереометрия (прочее)",
"Экстремальные свойства (прочее)"
] |
В банде 50 бандитов. Все вместе они ни в одной разборке ни
разу не участвовали, а каждые двое встречались на разборках
ровно по разу. Докажите, что один из бандитов был
не менее, чем на восьми разборках.
| Допустим противное. Выберем бандита А. Он участвовал не
более, чем в 7 разборках, причем
каждый из оставшихся бандитов присутствовал
ровно на одной из этих разборок.
Всего бандитов (без бандита А) 49, поэтому хотя бы в
одной из разборок (обозначим ее через Р) участвовало не меньше 7
бандитов, всего же н... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Математическая логика (прочее)"
] |
Число ребер выпуклого многогранника равно 99.
Какое наибольшее число ребер может пересечь плоскость,
не проходящая через его вершины?
| Ответ - 66.
Нужно доказать, что это число возможно, а
большее - невозможно. Сначала докажем второе.
Каждую грань плоскость пересекает не более, чем по двум ребрам, тем самым
хотя бы одно ребро, принадлежащее грани, остается непересеченным.
Поэтому в каждой грани непересеченные ребра составляют не
ме... | null | [
"Комбинаторная геометрия (прочее)",
"Экстремальные свойства (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Сколько целых чисел от 1 до 2001 имеют сумму цифр, делящуюся на 5? | Все числа от 1 до 2001 разобьём на десятки: два неполных, в первый из которых входят числа от 1 до 9, а во второй – числа 2000 и 2001, и 199 полных десятков - от 10 до 19, от 20 до 29, ..., от 1990 до 1999. В неполных десятках имеется лишь одно число с суммой цифр, кратной 5 (непосредственно проверяется).
В полн... | 399. | [
"Арифметика остатков (прочее)",
"Десятичная система счисления"
] |
По случаю празднования дня Смеха Джон и Иван приготовили себе по коктейлю. Джон смешал виски с ликёром, а Иван – водку с пивом. Известно, что виски крепче водки, а ликёр крепче пива. Можно ли утверждать, что Джон пьёт более крепкий коктейль? | Приведём контрпример. Пусть процент содержания спирта в пиве – 5%, в ликёре – 10%, в водке – 40%, а в виски – 50%. Пусть Иван смешал 400 г водки и 100 г пива, а Джон – 400 г ликера и 100 г виски. Тогда у каждого по 500 г коктейля. В коктейле Ивана 400·0,4 + 100·0,05 = 165 г спирта, а в коктейле Джона всего 400·0,1 ... | Нельзя. | [
"Задачи на смеси и концентрации",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции",
"Центр масс (прочее)"
] |
Дана клетчатая таблица 99×99, каждая клетка которой окрашена в чёрный или в белый цвет. Разрешается одновременно перекрасить все клетки некоторого столбца или некоторой строки в тот цвет, клеток которого в этом столбце или в этой строке до перекрашивания было больше. Всегда ли можно добиться того, чтобы все клетки табл... | Вначале применим описанное в условии перекрашивание к каждой строке таблицы. После этого каждая из строк состоит из клеток одного цвета. Это, в частности, означает, что в каждом из столбцов стало по одинаковому числу чёрных (белых) клеток. Теперь достаточно перекрасить каждый из столбцов – после этого все столбцы стану... | Всегда. | [
"Теория алгоритмов (прочее)",
"Таблицы и турниры (прочее)"
] |
В стране несколько городов (больше одного); некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой, проезжая по нескольким дорогам. Кроме того, дороги не образуют циклов, то есть если выйти из некоторого города по какой-то дороге и далее двигаться так, чтобы не проходит... | Первый способ. Рассмотрим самую длинную цепь из дорог, то есть возьмём самую длинную последовательность попарно различных городов A1, A2, ..., Ak, в которой каждые два соседних города в этой последовательности соединены дорогой. Докажем, что из городов A1 и Ak выходит ровно одна дорога (соответственно в A2 и Ak–1).... | null | [
"Деревья",
"Принцип крайнего (прочее)"
] |
Внутри выпуклого пятиугольника расположены две точки.
Докажите, что можно выбрать четырехугольник с
вершинами в вершинах пятиугольника так,
что в него попадут обе выбранные точки.
| Проведем прямую через две данные точки.
В одной из полуплоскостей от этой прямой лежит по крайней мере три
вершины A, B, C пятиугольника. Отрежем от пятиугольника треугольник с вершинами в этих
в точках A, B, C.
Получаем, что две данные точки лежат в оставшемся
четырехугольнике.
Это и требовалось в задаче.
... | null | [
"Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)",
"Плоскость, разрезанная прямыми",
"Пятиугольники",
"Выпуклые многоугольники"
] |
Решите уравнение 2x+3x=5x.
| Одно из решений можно угадать сразу: x=1.
Теперь достаточно показать, что это уравнение
имеет не более одного решения.
Преобразуем уравнение к виду
(2/5)x+(3/5)x=1.
В левой части записана функция, убывающая на
всей числовой оси (как сумма двух убывающих функций).
Следовательно, эта функция принимает кажд... | x=1.
| [
"Монотонность и ограниченность",
"Показательные уравнения"
] |
Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол
900. Докажите, что найдутся два круга с отношением
радиусов, равным 21/2, один из которых
содержит M, а другой - содержится в M.
| Рассмотрим центр O поворота, переводящего многоугольник
в себя.
Рассмотрим вершину A многоугольника, наиболее удаленную от O.
Весь многоугольник содержится в круге S с центром O
и радиусом R=OA. Вместе с точкой A вершинами многоугольника являются
точки B, C, D, которые получаются из A поворотами на углы
90... | null | [
"Поворот на 90∘",
"Выпуклые многоугольники",
"Вписанные и описанные окружности"
] |
В пространстве расположено выпуклое тело.
(Можно предполагать, что тело замкнуто, т.е. каждая точка
границы тела принадлежит ему.)
Известно, что сечение этого тела любой плоскостью представляет
собой круг или пустое множество.
Докажите, что данное тело является шаром.
| Рассмотрим две наиболее удаленные точки тела - A и B.
(Для ограниченного замкнутого тела функция расстояния между парами точек
является непрерывной, и, по соответствующей теореме из математического анализа,
эта функция достигает своего наибольшего значения для некоторой пары
точек тела).
Все сечения тела, про... | null | [
"Стереометрия (прочее)"
] |
Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить
два треугольника.
| Пусть AB - наибольшее ребро тетраэдра (которое не меньше каждого).
Сложим неравенства треугольника
для граней ABC и ABD:
AB<AC+CB, AB<AD+DB; получим
2AB<(AC+AD)+(CB+DB).
Значит, верно хотя бы одно из неравенств
AB<AC+AD и AB<CB+DB
(в противном случае неравенство не выполняется). Если ... | null | [
"Стереометрия (прочее)",
"Длины сторон (неравенства)"
] |
На плоскости нарисован острый угол с вершиной в точке O
и точка P внутри него.
Постройте точки A и B на сторонах угла так,
чтобы треугольник PAB имел наименьший
возможный периметр.
| Пусть A и B - некоторые положения точек на сторонах угла.
Пусть точки P1 и P2 симметричны
точке P относительно сторон угла OA и OB соответственно.
Пусть отрезок P1P2 пересекает
стороны угла OA и OB соответственно в точках A' и B'
(нетрудно проверить, что так как данный угол острый,
отрезок P1P2 пересекает с... | null | [
"Длины сторон (неравенства)",
"Построения (прочее)",
"Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)"
] |
Колода из 36 карт
сложена так, что через четыре карты
масть повторяется. Несколько карт сверху сняли, не
перекладывая перевернули и вставили
произвольным образом (не обязательно подряд)
между оставшимися. После этого колоду разделили на
9 стопок по 4 идущие подряд карты. Докажите,
что в каждой из этих ... | Обозначим через A начальное расположение карт в колоде,
через B - распожение карт в колоде, полученной из
колоды A указанным в условии задачи преобразованием.
Обозначим A' ту часть колоды A, котрую мы сняли сверху,
и через A'' оставшуюся часть.
Посмотрим, где в колоде A находятся первые четыре карты колоды
... | null | [
"Индукция (прочее)",
"Процессы и операции"
] |
Обозначим через dk количество таких домов в
Москве, в которых живет не меньше k жителей,
и через cm - количество жителей в
m-ом по величине населения доме.
Докажите равенство
c1+c2+c3+... =
d1+d2+d3+... .
| Ясно, что c1+c2+c3+...
равно числу жителей в Москве
(просто суммируем число жителей по всем домам).
Теперь для удобства представим себе, что в доме, где живет
k человек, имеется k этажей, и на каждом из
этажей живет по одному жителю.
Тогда всего в Москве на первом
этаже живет d1 жителей,
на втором эта... | null | [
"Подсчет двумя способами"
] |
Пузатостью прямоугольника назовем отношение его меньшей
стороны к большей. Докажите, что если разрезать квадрат на
прямоугольники, то сумма их пузатостей будет не меньше 1.
| Примем сторону квадрата за 1 (это возможно, так как
при этом значения пузатостей прямоугольников сохранятся).
Обозначим для каждого маленького прямоугольника через
ai длину его меньшей стороны, а через
bi длину его большей стороны.
Сумма пузатостей P
равна сумме величин ai/bi по всем
прямоугольникам из р... | null | [
"Свойства частей, полученных при разрезаниях"
] |
Известно, что сумма первых n членов
геометрической прогрессии,
состоящей из положительных чисел,
равна S, а сумма обратных величин первых n членов этой прогрессии
равна R. Найдите произведение первых n членов этой прогрессии.
| Обозначим через a первый член прогрессии, и через q - ее
знаменатель. Тогда по формуле суммы первых
n членов геометрической прогрессии получаем, что
S=a+aq+aq2+...+aqn-1 =
a(qn-1)/(q-1).
Обратные величины
1/a, 1/(aq), ... , 1/(aqn-1) к членам
геометрической
прогресии также образуют геометрическую п... | (S/R)n/2.
| [
"Геометрическая прогрессия"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.