Question stringlengths 1 883 | Solution stringlengths 1 2.27k ⌀ | Answer stringlengths 1 4.34k ⌀ | Themes list |
|---|---|---|---|
Докажите, что уравнение xx + 2yy = zz не имеет решений в натуральных числах. | Заметим, что z > x и z > y (иначе левая часть больше правой). Таким образом, левая часть не превосходит числа (z – 1)z–1 + 2(z – 1)z–1 = 3(z – 1)z–1. Если
z ≥ 3, то 3(z – 1)z–1 < z·zz–1 = zz, то есть левая часть меньше правой. Если же z = 2, то 3(z – 1)z–1 = 3, а zz = 4, и снова левая часть меньше право... | null | [
"Уравнения в целых числах"
] |
Лабиринтом называется клетчатый квадрат
10*10, некоторые пары соседних узлов в
котором соединены отрезком - "стеной" таким образом, что
переходя из клетки в соседнюю по стороне клетку и не проходя через
стены, можно посетить все
клетки квадрата. Границу квадрата будем также считать обнесенной
ст... | Рассмотрим все начальные состояния.
Каждое состояние определяется лабиринтом и начальным
положением робота в этом лабиринте. Тем самым, состояний всего
конечное число. Занумеруем состояния числами 1,2,...,N.
Нетрудно написать программу П1 обхода лабиринта исходя
из начального состояния с номером 1.
Да... | null | [
"Теория алгоритмов (прочее)",
"Индукция (прочее)"
] |
С многоугольником разрешено проделывать следующую операцию.
Если многоугольник делится отрезком AB на на два многоугольника,
то один из этих многоугольников можно отразить симметрично
относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB. (Операция
разрешается только в том случае, когда
в результате получ... | Заметим, что при проведении данных операций не изменяются площадь и периметр
многоугольника.
Предположим, что нам удалось путем нескольких таких операций
получить из квадрата правильный треугольник.
Примем за 1 сторону квадрата. Тогда вначале площадь многоугольника
равнялась 1, а периметр равнялся 4.
... | нельзя.
| [
"Свойства симметрий и осей симметрии",
"Инварианты",
"Свойства частей, полученных при разрезаниях",
"Многоугольники (прочее)",
"Правильный (равносторонний) треугольник"
] |
Докажите, что меньшая диагональ параллелограмма выходит из тупого
угла.
| Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором диагональ AC меньше
диагонали BD. Обозначим за O точку пересечения диагоналей.
По свойству параллелограмма его диагонали делятся
точкой их пересечения пополам, поэтому длины отрезков
AO и OC равны половине диагонали AC, а
длины отрезков BO и OD равны половине диаг... | null | [
"Против большей стороны лежит больший угол",
"Теорема косинусов"
] |
Имеется 101 натуральное число, причем сумма этих чисел равна 200.
Докажите, что из этих чисел всегда можно выбрать несколько чисел,
дающих в сумме 100.
| Пусть данные числа - a1, a2, ... ,
a101.
Возьмем окружность длины 200.
Отметим на окружности 200 точек, делящих ее на 200 равных дуг.
Покрасим одну из этих точек. Далее,
от покрашенной точки будем откладывать по часовой стрелке дуги
длины a1, a2, ... ,
a101, и концы этих дуг также будем красить.
... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
Дана последовательность чисел x1, x2, ... .
Известно, что 0<x1<1 и
xk+1=xk-xk2
для всех k>1.
Докажите, что
x12+x22+...+xn2<1
для любого n>1.
| Поскольку квадрат положительного числа, меньшего 1, меньше самого
числа, то из условия 0<x1<1 и рекуррентной формулы
последовательно получаем, что
0<x2<1, 0<x3<1, и т.д.
Далее, по условию
xk2=xk-xk+1, поэтому
выражение
x12+x22+...+xn2
можно переписать в виде
(x1-x2)+(x2-x3)+...+(xn-xn+1),
... | null | [
"Рекуррентные соотношения"
] |
Дано натуральное число M. Докажите, что существует число,
кратное M, сумма цифр которого (в десятичной записи)
нечетна.
| Допустим противное, пусть число M и все кратные числу M имеют четную сумму
цифр. Если десятичная запись M оканчивается нулями, все их
можно отбросить, отбросив столько же нулей и у всех кратных M.
Это на сумму цифр не влияет. Итак, пусть M не оканчивается
нулями.
Рассмотрим сначала случай, когда предп... | null | [
"Десятичная система счисления"
] |
Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет? | Рассмотрим квадратные трёхчлены fn(x) = (x – 4n)2 – 1 (n = 1, 2, 3, ...). Очевидно, каждый из них имеет два действительных корня. 4n – 4m ≥ 4 при n > m, значит, при любом x либо |x – 4m|, либо |x – 4n| не меньше 2. Поэтому fm(x) + fn(x) = (x – 4m)² + (x – 4n)² – 2 ≥ 2 > 0, то есть квадратный трёхчлен
fm(x... | Существуют. | [
"Квадратный трехчлен (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции",
"Свойства модуля. Неравенство треугольника"
] |
В треугольнике ABC проведена биссектриса AA', I – точка пересечения биссектрис. Докажите, что AI > A'I. | Заметим, что ∠AA'B > ∠CAA' = ∠BAA' (свойство внешнего угла). Значит, BA > BA'. Поскольку BI – биссектриса угла B, то AI/A'I = BA/BA' > 1. | null | [
"Неравенства с биссектрисами",
"Отношение, в котором биссектриса делит сторону",
"Против большей стороны лежит больший угол"
] |
Найдите все функции f(x), определённые при всех действительных x и удовлетворяющие уравнению 2f(x) + f(1 – x) = x². | В данное уравнение подставим 1 – x вместо x. Получим систему
2f(x) + f(1 – x) = x2,
f(x) + 2f(1 – x) = (1 – x)²,
откуда находим f(x) = 1/3 (2x² – (1 – x)²) = 1/3 (x² + 2x – 1). Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет условию. | f(x) = 1/3 (x² + 2x – 1). | [
"Характеристические свойства и рекуррентные соотношения",
"Системы линейных уравнений"
] |
Рассматриваются покрытия шахматной доски доминошками, содержащими две соседние клетки.
Каких покрытий больше – тех, которые содержат доминошку a1-a2, или тех, которые содержат доминошку b2-b3? | Исключим из рассмотрения все покрытия, в которых присутствует как доминошка a1-a2, так и доминошка b2-b3. Рассмотрим оставшиеся покрытия. Назовём покрытие покрытием типа A, если оно содержит доминошку a1-a2, и покрытием типа B, если оно содержит доминошку b2-b3. Покажем, что покрытий типа A больше.
Рассмотрим не... | Больше тех, которые содержат доминошку a1-a2. | [
"Замощения костями домино и плитками",
"Разбиения на пары и группы; биекции"
] |
Чему равно значение выражения ? | Воспользуемся тем, что Тогда данная в условии сумма запишется в виде | В полученной сумме все слагаемые за исключением первого и последнего сокращаются, поэтому значение этого выражения равно | [
"Суммы числовых последовательностей и ряды разностей",
"Обыкновенные дроби"
] |
Стороны треугольника равны a, b, c. Известно, что
a3=b3+c3.
Докажите, что этот треугольник остроугольный.
| Из равенства
a3=b3+c3
следует, что a - наибольшая сторона в данном треугольнике.
Поскольку против большей стороны лежит больший угол, достаточно
доказать, что угол, лежащий против стороны a - острый.
Предположим противное.
Тогда по теореме косинусов
a2=b2+c2-2bc*cos(A),
где A - угол против сторо... | null | [
"Неравенства для остроугольных треугольников",
"Теорема косинусов"
] |
а) В трёхзначном числе зачеркнули первую цифру слева, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили исходное трёхзначное число. Найдите такое число.
б) В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру и получили число в 6 раз меньше исходного. Найдите такое трёхзначное число. | Пусть x, y, z – цифры искомого числа. | а) 100x + 10y + z = 7(10y + z), откуда 50x = 3(10y + z). Значит, x делится на 3. Поскольку 3(10y + z) < 300, то x = 3, 10y + z = 50. | [
"Уравнения в целых числах",
"Десятичная система счисления"
] |
Вычислительная машина умеет выполнять только одну операцию:
a*b=1-a/b. Как выполнить с помощью этой машины все четыре
арифметических действия?
| Даны два числа a, b.
1) Еcли взять пару (a;a), то машина
поставит ей в соответствие число 0.
2)
Еcли взять пару (0;b), то машина
поставит ей в соответствие число 1.
3)
Еcли взять пару (1-a:b;1), то машина
поставит ей в соответствие число a:b.
Действительно указанной паре машина соп... | null | [
"Теория алгоритмов (прочее)",
"Тождественные преобразования"
] |
Число x натуральное. Среди утверждений 1) 2x > 70, 2) x > 100, 3) 3x > 25, 4) x ≥ 10, 5) x > 5 три верных и два неверных. Чему равно x? | Запишем первое и третье неравенства в виде x > 35, x > 25/3. Отложим на числовой прямой числа 5, 25/3, 10, 35, 100; прямая этими точками разбита на шесть интервалов (два бесконечных). Осталось рассмотреть все интервалы и найти тот, который удовлетворяет условию задачи. | x = 9. | [
"Линейные неравенства и системы неравенств",
"Математическая логика (прочее)"
] |
Из полоски бумаги шириной 1 см склеили цилиндрическое кольцо с
длиной окружности 4 см. Можно ли из этого кольца изготовить
квадрат, имеющий площадь: а) 1 кв.см; б) 2 кв.см.
Бумагу разрешается склеивать, складывать, но НЕЛЬЗЯ резать.
| В обоих случаях требуемое сделать возможно.
| null | [
"Наглядная геометрия в пространстве"
] |
Правильный треугольник разрезать на четыре части так, чтобы из них можно было
сложить квадрат.
| Смотри картинку.
| null | [
"Равносоставленные фигуры"
] |
Три одинаковых треугольника разрезать каждый на две части так,
чтобы из них можно было сложить один треугольник.
| Пусть ABC - один из данных равных треугольников, α, β, γ -
его углы. Разрежем его по медиане AM и сложим
получившиеся части, совместив отрезки BM и CM. Получим треугольник со сторонами,
равными AB и AC и углом между ними, равным β + γ = 180° - α.
С двумя оставшимися треугольниками проведем ту же операцию, разрезая и... | null | [
"Равносоставленные фигуры",
"Свойства медиан. Центр тяжести треугольника."
] |
На стол положили несколько одинаковых листов бумаги прямоугольной
формы. Оказалось, что верхний лист покрывает больше половины площади
каждого из остальных листов. Можно ли в таком случае воткнуть булавку
так, чтобы она проколола все прямоугольники?
| Докажем, что булавка, воткнутая в центр верхнего листа O, проколет все остальные листы. Действительно, если предположить, что
некоторый лист П не покрывается точкой O, то его можно симметрично отразить
относительно O, и его образ П' не будет пересекать исходный лист. Так как O - центр симметрии
верхнего листа, то пе... | null | [
"Покрытия",
"Площадь (прочее)"
] |
Автор: Вялый М.Н. | Рассмотрите последовательность bn = an + 1 и покажите, что bn делится на большую степень десятки. | null | [
"Рекуррентные соотношения",
"Треугольник Паскаля и бином Ньютона",
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Тождественные преобразования",
"Индукция (прочее)"
] |
Найдите множество середин хорд, проходящих через заданную точку A внутри окружности. | Пусть A – данная точка, O – центр данной окружности Ω. Рассмотрим некоторую хорду BC, которая проходит через точку A. Пусть P – середина этой хорды. Точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC, поэтому OP ⊥ BC. Значит, точка P лежит на окружности ω, построенной на OA как на диаметре.
Наоборот, есл... | Окружность, построенная на отрезке OA как на диаметре (O – центр исходной окружности). | [
"ГМТ - окружность или дуга окружности",
"Вписанный угол, опирающийся на диаметр"
] |
На доске n×n расставлено n – 1 фишек так, что никакие две из них не стоят на соседних (по стороне) клетках.
Докажите, что одну из них можно передвинуть на соседнюю клетку так, чтобы снова никакие две фишки не стояли на соседних клетках. | Предположим противное. Ясно, что в таблице есть пустые столбцы. Заметим, что пустой столбец не может быть крайним. Действительно, если, скажем, правый столбец пуст, то из самого правого непустого столбца можно сдвинуть фишку вправо. Аналогично доказывается, что не может быть двух пустых столбцов подряд. Итак, слева ... | null | [
"Комбинаторика (прочее)",
"Таблицы и турниры (прочее)",
"Доказательство от противного"
] |
Внутри квадрата со стороной 2 расположено семь многоугольников площадью не менее 1 каждый.
Докажите, что существует два многоугольника, площадь пересечения которых не менее 1/7. | Предположим, что площадь пересечения каждых двух из данных семи многоугольников меньше 1/7. Оценим площадь фигуры
Ai = M1 ∪ M2 ∪ ... ∪ Mi (i = 1, 2, ..., 7), исходя из нашего предположения. Площадь S(A1) = S(M1) ≥ 1. Далее, для каждого i = 2, ..., 7 многоугольник Mi пересекается с каждым из многоугольников M1, .... | null | [
"Неравенства с площадями",
"Формула включения-исключения"
] |
Имеется 20 человек – 10 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое число юношей и девушек? | Пусть имеется некоторая компания из k юношей и k девушек. Поставим ей в соответствие множество из 10 человек, в которое включим k девушек, вошедших в компанию, и 10 – k юношей, не вошедших в неё. Установленное соответствие, очевидно, является взаимно-однозначным. Таким образом, искомое число равно числу способов выбр... | способов. | [
"Сочетания и размещения",
"Разбиения на пары и группы; биекции"
] |
Внутри угла расположены две окружности
с центрами A, B, которые касаются
друг друга и сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается
сторон угла.
| Обозначим вершину угла за O.
Обозначим меньшую окружность S1 и
большую - S2.
Пусть окружность S1 имеет центр A, а
S2 имеет центр B.
Окружность S2 получается из окружности
S1 гомотетией с центром O.
Коэффициент этой гомотетии равен OB/OA.
Рассмотрим биссектрису угла.
Точку пересечения окружно... | null | [
"Гомотетичные окружности"
] |
Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S.
Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99.
Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше,
чем S/99.
| Рассмотрим некоторые два из этих чисел.
Предположим, что их сумма R не больше, чем S/99.
Заменим эти два числа на их сумму.
После этого получился набор из 99 чисел,
сумма которых равна S, причем одно из чисел (R)
не больше, чем S/99, а остальные - меньше.
Но тогда сумма всех чисел меньше, чем
99*S/... | null | [
"Алгебра и арифметика (прочее)"
] |
Через точку, взятую внутри треугольника, параллельно его сторонам
провели прямые.
Вычисляются отношения длин отрезков, получающихся в пересечении
этих прямых с треугольником, к длинам параллельных им
сторон. Докажите, что сумма трех таких отношений равна 2.
| Пусть ABC - данный треугольник и O - точка внутри него.
Рассмотрим отрезок B'C', проходящий через O и параллельный
BC (B' - точка на стороне AB, C' - точка на стороне AC).
Тогда B'C'/BC - одно из отношений, о которых идет речь в условии.
Пусть прямая AO пересекает BC в точке D.
Из подобия треугольников A... | null | [
"Неопределено"
] |
Дано n целых чисел, каждое из которых взаимно просто с n. Также дано неотрицательное целое число r < n.
Докажите, что среди данных n чисел можно выбрать несколько чисел, сумма которых дает остаток r при делении на n. | Утверждение задачи следует из более общего утверждения: если дано k (0 < k ≥ n) чисел, взаимно простых с n, то среди сумм некоторых из этих k чисел встретится не менее k остатков от деления на n. Последнее утверждение докажем индукцией по k. База (k = 1) очевидна.
Шаг индукции. Пусть даны числа a0, a1, a2, .... | null | [
"Деление с остатком",
"Индукция (прочее)",
"НОД и НОК. Взаимная простота",
"Доказательство от противного"
] |
На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках.
Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности. | Введём координаты так, что ось $x$ будет осью симметрии первой параболы, а ось $y$ – осью симметрии второй параболы. Уравнения парабол тогда примут вид: $x = ay^2 + b$, $y = cx^2 + d$. Коэффициенты $a$ и $c$ можно считать положительными (выбрав соответствующие направления на осях). Каждая из четырёх точек пересечения... | null | [
"Графики и ГМТ на координатной плоскости",
"Аналитический метод в геометрии"
] |
Докажите, что в любой арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена с одинаковой суммой цифр. | Пусть a – первый член прогрессии, состоящий из k цифр, d – разность прогрессии. Рассмотрим член прогрессии с номером 10m + 1, где m > k. Он равен 10md + a. Десятичная запись этого числа выглядит так: вначале записана десятичная запись числа d, затем несколько нулей и в конце – десятичная запись числа a. Таким обр... | null | [
"Арифметическая прогрессия",
"Десятичная система счисления"
] |
Вершины выпуклого многоугольника раскрашены в три цвета так, что каждый цвет присутствует и никакие две соседние вершины не окрашены в один цвет. Докажите, что многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники так, чтобы у каждого треугольника вершины были трёх разных цветов. | Обозначим цвета цифрами 1, 2, 3. Доказательство проведём индукцией по числу n вершин многоугольника. База (n = 3) тривиальна.
Шаг индукции. Пусть n > 3. Выберем две вершины A и B одного цвета, пусть это цвет 1. Точки A и B делят контур многоугольника на две ломаные. На каждой из этих ломаных есть вершина цв... | null | [
"Индукция в геометрии",
"Выпуклые многоугольники",
"Раскраски",
"Разрезания на части, обладающие специальными свойствами"
] |
По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А. | Пусть X – наибольшее из чисел. Оставшиеся числа разобьём на три тройки "соседей". Сумма чисел в каждой такой тройке не меньше 29, следовательно,
X ≤ 100 – 3·29 = 13.
Пример набора с максимальным числом 13: 13, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10. | A = 13. | [
"Комбинаторика (прочее)",
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев"
] |
На окружности отмечено 2000 синих и одна красная точка. Рассматриваются всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше – тех, у которых есть красная вершина, или тех, у которых нет? | Условимся называть многоугольник с вершинами только в синих точках многоугольником типа А, а многоугольник, среди вершин которого есть красная – типа B. Каждому многоугольнику типа А поставим в соответствие многоугольник типа B, вершинами которого являются все вершины исходного многоугольника и красная вершина. При это... | Тех, у которых красная вершина есть. | [
"Разбиения на пары и группы; биекции"
] |
25 дачников получили садовые участки. Каждый участок представляет собой квадрат 1×1, и все участки вместе составляют квадрат 5×5. Каждый дачник враждует не более, чем с тремя другими дачниками. Докажите, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки враждующих дачников не были бы соседними (по стороне). | Число способов распределить участки между дачниками конечно, поэтому можно рассмотреть способ, при котором число пар враждующих соседей минимально.
Предположим, что пары враждующих соседей имеются; пусть A и B – два враждующих соседа. Рассмотрим 23 дачников, отличных от A и B. Покажем, что среди них найдётся тако... | null | [
"Принцип крайнего (прочее)",
"Доказательство от противного"
] |
На плоскости нарисовано пять различных окружностей. Известно, что каждые четыре из них имеют общую точку.
Докажите, что все пять окружностей проходят через одну точку. | Обозначим окружности цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Пусть A – общая точка окружностей 1, 2, 3, 4; B – общая точка окружностей 1, 2, 3, 5; C – общая точка окружностей 1, 2, 4, 5. Как видно, каждая из точек A, B, C принадлежит окружностям 1 и 2. Поскольку две различные окружности пересекаются не более, чем по двум точкам, некото... | null | [
"Пересекающиеся окружности"
] |
На доске написано 10 натуральных чисел. Докажите, что из этих чисел можно выбрать несколько чисел и расставить между ними знаки "+" и "–" так, чтобы полученная в результате алгебраическая сумма делилась на 1001. | Рассмотрим всевозможные суммы нескольких из выписанных чисел. Количество таких сумм будет равно 210 = 1024 (мы учитываем пустую сумму). Согласно принципу Дирихле некоторые две из этих сумм S1 и S2 дают одинаковый остаток при делении на 1001. Разность этих сумм S1 – S2 делится на 1001 и представляет собой сумму неск... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Деление с остатком",
"Правило произведения"
] |
На небе бесконечное число звёзд. Астроном приписал каждой звезде пару натуральных чисел, выражающую яркость и размер. При этом каждые две звезды отличаются хотя бы в одном параметре. Докажите, что найдутся две звезды, первая из которых не меньше второй как по яркости, так и по размеру. | Так как звёзд бесконечное число, то хотя бы один из параметров принимает бесконечное число значений. Пусть это размер. Тогда выберем звезду А с наименьшей яркостью. Пусть размер звезды А выражается числом n. Поскольку размер принимает бесконечное количество значений, найдётся звезда B размера больше n. Она не уступает ... | null | [
"Принцип крайнего (прочее)",
"Числовые таблицы и их свойства"
] |
Нескольким детям дали по карандашу одного из трех цветов. Дети как-то поменялись карандашами, после чего у каждого оказался не тот карандаш, который был у него вначале. Докажите, что цвета карандашей могли быть такими, что у каждого вначале и в конце карандаши были разных цветов. | Пусть карандаш, который был вначале у некоторого ребенка А,
достался в конце ребенку B,
карандаш, который был вначале у некоторого ребенка B,
достался в конце ребенку C и т.д.
Таким образом, когда-нибудь мы дойдем до ребенка Z, карандаш которого достался
в конце ребенку А.
Таким образом, группа детей ... | null | [
"Группа перестановок"
] |
У выпуклого многогранника все грани - правильные пятиугольники или
правильные шестиугольники. Сколько среди этих граней пятиугольников?
| Обозначим через П число пятиугольников, через Ш - число
шестиугольников среди граней данного многогранника.
Обозначим также через Г, Р, В соответственно количества граней,
ребер и вершин данного многогранника. Тогда Г=П+Ш.
Далее, каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а поскольку
пяти... | 12 | [
"Формула Эйлера. Эйлерова характеристика",
"Эйлерова характеристика"
] |
В пространстве даны три равных отрезка. Докажите, что найдется
плоскость такая, что проекции данных отрезков на нее равны.
| Возьмем в пространстве некоторую точку O и совместим по одному концу
каждого отрезка с этой точкой.
Получим три равных отрезка OA, OB, OC.
Возьмем плоскость П, проходящую через точки A, B, C
(таких плоскостей может быть несколько).
Покажем, что проекции отрезков OA, OB, OC на плоскость П р... | null | [
"Стереометрия (прочее)"
] |
1000 яблок разложены в несколько корзин.
Можно убирать корзины и вынимать яблоки из корзин. Докажите, что
можно добиться того, чтобы во всех корзинах стало поровну яблок и
общее число оставшихся яблок было не меньше 100.
| Предположим противное. Тогда вначале было меньше 100 корзин, в
которых было по крайней мере одно яблоко, иначе мы бы взяли
из каждой корзины все яблоки кроме одного, и после этого осталось
бы не меньше 100 яблок.
Таким же образом,
вначале было меньше 50 корзин, в
которых было по крайней мере два яблок... | null | [
"Доказательство от противного"
] |
Дан выпуклый многогранник M. Докажите, что для любых
трех его вершин найдется точка вне многогранника М, из которой видны
эти три вершины.
| Пусть A, B, C - данные вершины многогранника.
Для каждой вершины найдется плоскость П такая, что
единственной общей точкой П и многогранника М является эта вершина
(такие плоскости называются опорными).
Проведем такие опорные плоскости для каждой из вершин A, B, C.
Малым изменением этих плоскостей добьем... | null | [
"Стереометрия (прочее)"
] |
Сколько раз за сутки бывает момент, когда часовая и минутная
стрелки правильно идущих часов образуют угол 900?
| Примем полночь (начало суток) за начальный момент времени t=0.
За один час минутная стрелка проходит один оборот, т.е.
3600, а часовая стрелка - 300.
В момент времени t (t измеряется в часах) полное вращение минутной
стрелки составило М(t)=360t0,
а полное вращение часовой стрелки составило
C(t)=30t0. ... | 44.00 | [
"Арифметика. Устный счет и т.п."
] |
Укажите неравносторонний треугольник, который можно разделить на три равных треугольника. | Искомый треугольник - прямоугольный с углами 300,
600, 900.
Рассмотрим вначале правильный треугольник, в котором проведены
высоты. Высоты делят правильный треугольник на 6 равных
треугольников. Поэтому
треугольник с углами 300,
600, 900, являющийся
половиной правильного треугол... | null | [
"Прямоугольный треугольник с углом в $30^\\circ$",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Шахматный король стоит в левом
нижнем углу шахматной доски. Участвуют два игрока, которые ходят по очереди.
За один ход его можно передвинуть на
одно поле вправо, на одно поле вверх
или на одно поле по диагонали "вправо-вверх".
Выигрывает игрок, который поставит
короля в правый верхний угол доски.
Кт... | Первым ходом первый идет по диагонали "вправо-вверх",
а затем повторяет ходы второго. Если второй идет по диагонали,
то и первый то же;
если второй вверх, то и первый вверх, аналогично, если второй делает
ход вправо, то и первый делает ход вправо. При этом первый будет
попадать на четвертую или шест... | null | [
"Симметричная стратегия",
"Выигрышные и проигрышные позиции"
] |
У ромашки а) 12 лепестков; б)
11 лепестков. За ход
разрешается сорвать либо один
лепесток, либо два рядом растущих
лепестка. Проигрывает игрок,
который не сможет сделать ход. Как
действовать второму игроку, чтобы
выиграть независимо от ходов первого игрока?
| а) Занумеруем лепестки
по кругу. Разобьем их на пары 1 с
7, 2 с 8, 3
с 9, 4 с 10,
5 с 11, 6 с 12.
А теперь замечаем: парные лепестки
не соседние, т.е. их не может сорвать
один игрок, и какие бы лепестки не
оторвал первый, у второго есть
возможность оторвать парные с ним
или с ними.
б) ... | null | [
"Симметричная стратегия"
] |
На доске написано число 1.
Два игрока по очереди прибавляют
любое число от 1 до 5
к числу на доске и записывают
вместо него сумму. Выигрывает игрок,
который первый запишет на доске
число тридцать. Укажите выигрышную
стратегию для второго игрока.
| Выигрышная ситуация есть
у первого игрока. Первым ходом он
может дописать пять, т.е. записать
сумму шесть. Какое бы число не
дописал второй, у первого всегда
есть возможность довести сумму до
числа кратного шести, т.е. после
ходов первого сумма будет равна 6
, 12 , 18 , 24
, а затем сколько б... | null | [
"Симметричная стратегия"
] |
На столе лежат две стопки монет: в
одной из них 30 монет, а в
другой - 20. За ход
разрешается взять любое количество
монет из одной стопки. Проигрывает
тот, кто не сможет сделать ход. Кто
из игроков выигрывает при
правильной игре?
| Выигрывает первый игрок.
Первым ходом он делает стопки
равными, по 20 монет, а
затем как бы ни шел второй игрок, у
первого есть возможность из другой
кучки взять столько же монет (есть
возможность делать симметричные
хода)
| При правильной игре выигрывает первый игрок. | [
"Симметричная стратегия"
] |
Дана клетчатая доска размером а) 10×12; б) 9×10; в) 9×11. За ход разрешается вычеркнуть любую строку или любой столбец, если там есть хотя бы одна не вычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Есть ли у кого-нибудь выигрышная стратегия? | а) Стратегия второго: всегда оставлять чётное число невычеркнутых строк и чётное число невычеркнутых столбцов. При этом у него всегда есть ход. | б) Стратегия первого: первым ходом оставить таблицу 8×10, а затем играть по стратегии п. а). | [
"Теория игр (прочее)",
"Четность и нечетность"
] |
На столе лежат две кучки камней: в
первой кучке 10 камней, а во
второй - 15. За ход
разрешается разделить любую кучку
на две меньшие. Проигрывает тот, кто
не сможет делать ход. Может ли
выиграть второй игрок?
| В конце игры мы получим 25
кучек камней, содержащих по
одному камню. Всего будет сделано 23
хода (и это не зависит от того,
как делают ходы игроки),
следовательно, последний (нечетный)
ход сделает первый игрок.
| null | [
"Инварианты и полуинварианты (прочее)",
"Теория игр (прочее)"
] |
Можно ли в квадрате 10*10 расставить 12 кораблей
1*4 (для игры
типа "морской бой") так, чтобы корабли не соприкасались друг с другом
(даже вершинами)?
| Смотрите рисунок
| null | [
"Комбинаторная геометрия (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Беседуют трое: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову:
"Любопытно. Что один из нас русый, другой - брюнет, а третий - рыжий,
но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии". Какой цвет волос
имеет каждый из беседующих?
| Первое решение | null | [
"Математическая логика (прочее)"
] |
Верно ли, что два треугольника ABC и A'B'C' равны, если AB =A'B', BC = B'C', и ∠A = ∠A'? | null | Неверно. | [
"Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
В компании у каждых двух людей ровно пять общих знакомых. Докажите, что количество пар знакомых делится на 3. | Обозначим через Р количество пар знакомых людей (то есть число рёбер в соответствующем графе), а через Т – количество треугольников в этом графе. По условию каждое из рёбер входит ровно в 5 треугольников. С другой стороны, в каждый из Т треугольников содержит ровно 3 ребра. Следовательно, 5Р = 3Т. Поскольку 3 и 5 – вз... | null | [
"Теория графов (прочее)",
"Подсчет двумя способами",
"Делимость чисел. Общие свойства"
] |
В прямоугольном листе бумаги сделали несколько непересекающихся
круглых дыр. На дырявом листке отметили две точки, находящиеся
на расстоянии d друг от друга.
Докажите, что на дырявом листке можно нарисовать кривую длины
меньше 1,6d,
соединяющую данные точки.
| Соединим две данные точки отрезком.
Будем идти из одной точки до другой вдоль этого отрезка пока не
достигнем участка , лежащего внутри дыры.
Обойдем участок по границе дыры, выбирая при этом меньшую по
величине дугу.
Пусть градусная мера этой дуги равна (здесь
угол может принимать значение о... | null | [
"Вычисление длин дуг",
"Геометрические неравенства (прочее)"
] |
Ладья обошла шахматную доску, побывав в каждой клетке по крайней
мере по одному разу. Какое наименьшее число поворотов при этом она
могла сделать?
| Пример с 14 поворотами показан на картинке.
Докажем, что меньше 14 поворотов быть не могло.
Покажем, что
либо ладья сделала хотя бы по одному ходу в каждой горизонтали,
либо сделала хотя бы по одному ходу в каждой вертикали.
Действительно, если бы это было не так, то ладья не
сделала бы ни одного ход... | 14.00 | [
"Комбинаторная геометрия (прочее)"
] |
Коридор покрыт несколькими ковровыми дорожками
(возможно, с наложениями).
Докажите, что можно убрать несколько дорожек таким образом, чтобы
оставшиеся дорожки покрывали коридор и сумма их длин не превышала
удвоенной длины коридора.
| Переформулируем задачу следующим образом.
Пусть отрезок длины 1 покрыт отрезками. Требуется доказать, что можно
исключить из покрытия некоторые отрезки так, чтобы оставшиеся
отрезки по-прежнему покрывали отрезок и их суммарная длина не
превышала 2.
Рассмотрим минимальное подмножество M отр... | null | [
"Покрытия",
"Системы отрезков, прямых и окружностей",
"Принцип крайнего (прочее)"
] |
В стране несколько городов, попарные расстояния между которыми различны.
Путешественник отправился из города А в самый удаленный от него город Б,
оттуда - в самый удаленный от него город С и т.д. Докажите, что
если С не совпадает с А, то путешественник никогда не вернется в А.
| Предположим, что на втором шаге путешественник не возвратился в А,
т.е. город С отличен от города А.
Тогда маршрут от А до Б короче маршрута из Б в С
(поскольку С - наиболее удаленный от Б город).
В дальнейшем каждый следующий маршрут будет не короче предыдущего,
так как каждый раз мы в качестве следующ... | null | [
"Полуинварианты"
] |
Человечество бессмертно и начинает свою историю
от Адама и Евы; каждый человек - смертен.
Докажите, что найдется бесконечная мужская цепочка, начинающаяся с
Адама, в который каждый следующий человек - сын предыдущего.
| Рассмотрим всех мужчин, которые когда-либо жили в истории
человечества. Их бесконечно много, так как человечество
бессмертно, и все они - потомки Адама.
Рассмотрим сыновей Адама (их конечное число),
назовем их A1, A2, ... , An.
Среди них найдется человек Ai, у которого бесконечно много потомков
мужско... | null | [
"Отношение порядка",
"Индукция (прочее)"
] |
На какое минимальное число равновеликих треугольников можно
разрезать квадрат 8*8 с вырезанной угловой клеткой?
| Пусть квадрат 8*8 с вырезанной угловой клеткой
(его площадь равна 63) разрезан
на n треугольников, каждый из которых имеет площадь
63/n.
Обозначим через A, B, C вершины вырезанной клетки.
Рассмотрим треугольники, содержащие точку B.
Нетрудно видеть, что таких треугольников
по крайней мере два - у о... | 18.00 | [
"Разрезания на части, обладающие специальными свойствами",
"Площадь (прочее)"
] |
Докажите, что система неравенств
|x|<|y-z|, |y|<|z-x|, |z|<|x-y|
не имеет решений.
| Рассмотрим две возможности.
Если все числа одного знака, то выберем наибольшее по модулю
из чисел x, y, z. Пусть это число - x.
Но тогда величина |y-z| не превосходит максимума из чисел
|y|, |z|, что в свою очередь не превосходит |x|.
Таким образом, неравенство
|x|<|y-z| не выполнено.
Пусть не все... | null | [
"Модуль числа",
"Перебор случаев"
] |
От пирога, имеющего форму выпуклого многоугольника, разрешается
отрезать треугольный кусок ABC, где A - некоторая вершина, а B и C
- точки, лежащие строго внутри сторон, имеющих вершину A.
Вначале пирог имеет форму квадрата. В центре этого квадрата
расположена изюминка. Докажите, что ни на каком шаге от пир... | Операция отрезания устроена таким образом, что после отрезания
две стороны многоугольника укорачиваются, а также появляется новая
сторона. Таким образом, никакая сторона не отрезается полностью.
Значит, после любого числа отрезаний
кусок пирога всегда имеет четыре стороны, принадлежащие сторонам
исходног... | null | [
"Разные задачи на разрезания",
"Инварианты и полуинварианты"
] |
15 простых натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию.
Докажите, что разность этой прогрессии больше 30000. | Пусть d – разность нашей прогрессии. Очевидно, a9 > 7. Согласно задаче 78037 разность d прогрессии a9, a10, ..., a15 делится на 7. Поэтому a3 > 13. Согласно той же задаче d делится на 2, 3, 5, 11 и 13, то есть на 2·3·5·7·11·13 = 30030 > 30000. | null | [
"Арифметическая прогрессия",
"Деление с остатком",
"Простые числа и их свойства",
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
На отрезке длины 1 отмечено несколько интервалов. Известно, что
расстояние между любыми двумя точками, принадлежащими
одному или разным интервалам, отлично от 0,1.
Докажите, что сумма длин отмеченных интервалов не превосходит
0,5.
| Разобьем отрезок на 10 отрезков длиной 0,1.
Обозначим за Ai множество точек из отмеченных
интервалов, лежащих внутри i-го по порядку отрезка длиной 0,1.
Если параллельно перенести множество A1 в сторону второго отрезка
на вектор длины 0,1,
то множество, полученное в результате сдвига, не будет
пересек... | null | [
"Системы отрезков, прямых и окружностей",
"Перенос помогает решить задачу"
] |
Имеется 101 пуговица одного из 11 цветов.
Докажите, что либо среди этих пуговиц найдутся 11 пуговиц одного
цвета, либо 11 пуговиц разных цветов.
| Предположим, что среди данных пуговиц нет 11 пуговиц разных цветов.
Тогда каждая пуговица окрашена в один из 10 цветов.
Если пуговиц каждого цвета не более десяти,
то всего пуговиц не более 100, и это противоречит условию.
Таким образом, пуговиц какого-то одного цвета не менее 11, что и
нужно было показа... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
На плоскости нарисован треугольник ABC.
Постройте прямую, параллельную основанию AB, которая бы отрезала
от треугольника ABC трапецию, в которой сумма боковых сторон была
бы равна основанию, противоположному AB.
| Проведем анализ. Пусть KL - искомая прямая и AKLB -
нужная трапеция, в которой KL=AK+BL.
Найдем на основании KL точку I такую, что AK=KI и BL=LI.
Треугольник AKI равнобедренный, поэтому
.
Из параллельности прямых AB и KL следует, что
.
Отсюда получаем, что
, т.е.
AI - биссектриса угла CAB.
... | null | [
"Построения (прочее)",
"Свойства биссектрис, конкуррентность"
] |
Докажите, что число 100! не является полным квадратом. | null | null | [
"Произведения и факториалы",
"Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители"
] |
Даны шар и плоскость. На поверхности шара можно делать построения циркулем, а на плоскости – циркулем и линейкой.
Как на плоскости построить отрезок, равный радиусу шара? | Отметим на шаре какие-нибудь две точки – O и O'. Проведём окружности одинакового радиуса с центрами O и O'. Они пересекутся в двух точках A и B, лежащих на большой окружности S, являющейся множеством точек поверхности шара, равноудалённых от точек O и O'. Проведём две другие окружности одинакового радиуса с центрами... | null | [
"Необычные построения (прочее)",
"Стереометрия (прочее)",
"Трапеции (прочее)"
] |
Докажите, что уравнение a1 sin x + b1 cos x + a2 sin 2x + b2 cos 2x + ... + an sin nx + bn cos nx = 0 имеет хотя бы один корень при любых значениях a1, b1, a2, b2, ..., an, bn. | Обозначим левую часть уравнения через f(x). Заметим, что Поэтому функция f(x) на отрезке
[0, 2π] принимает как неположительные, так и неотрицательные значения. В силу непрерывности f(x) имеет корень на этом отрезке. | null | [
"Тригонометрические уравнения",
"Математический анализ (прочее)"
] |
Стороны BC, CA, AB треугольника ABC касаются вписанной в него окружности в точках D, E, F. Докажите, что треугольник DEF – остроугольный. | Будем обозначать через α, β, γ углы треугольника ABC. Треугольник DFB равнобедренный, поскольку отрезки BD и BF
равны как отрезки касательных, проведённых к вписанной окружности из точки B. Поскольку сумма углов треугольника DFB равна 180°, ∠BDF = ∠BFD = (180° – β) : 2 = 90° – β/2. Аналогично, ∠CDE = 90° – γ/2. От... | null | [
"Вписанные и описанные окружности",
"Две касательные, проведенные из одной точки",
"Признаки и свойства равнобедренного треугольника.",
"Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле."
] |
Существует ли точка, удалённая от вершин некоторого квадрата на расстояния 1, 5, 7, 8? | Предположим что точка O удалена от вершин квадрата ABCD на расстояния 1, 5 , 7, 8, причём OA = 1. Если OC = 5, то AC ≤ OA + OC = 1 + 5 = 6. С другой стороны, OB равно 7 или 8, поэтому AB ≥ OB – OA ≥ 6. Итак, диагональ квадрата не больше его стороны. Противоречие.
Пусть OB = 5. Тогда AB ≤ OA + OB = 1 ... | Не существует. | [
"Неравенство треугольника (прочее)",
"Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства"
] |
Докажите, что всякую замкнутую ломаную периметра Р можно заключить в круг, радиус которого не превосходит Р/4. | Рассмотрим на ломаной две точки A и B, делящие периметр ломаной пополам. Рассмотрим некоторую точку C на ломаной. Сумма длин отрезков AC и BC не превосходит периметра одной из двух ломаных с концами A и B, то есть AC + BC ≤ P/2. Отразив точку C симметрично относительно точки O, получим точку C'. Четырёхугольник AC... | null | [
"Ломаные",
"Неравенство треугольника (прочее)",
"Симметрия помогает решить задачу"
] |
Докажите, что сумма S = 1·2·3·...·2001 + 2002·2003·...·4002 делится на 4003. | S = 1·2·...·2001 + (4003 – 2001)(4003 – 2000)...(4003 – 1) ≡ 1·2·...·2001 + (–2001)(–2000)...(–1) = 1·2·...·2001(1 + (–1)2001) = 0 (mod 4003). | null | [
"Арифметика остатков (прочее)",
"Деление с остатком"
] |
Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное
число невыпуклых четырехугольников?
| Предположим противное - некоторый выпуклый многоугольник разбит на
n невыпуклых четырехугольников. В каждом четырехугольнике есть
угол, больший 1800, будем называть такие углы большими,
а остальные углы - маленькими.
Пусть сумма больших углов всех четырехугольников равна S.
Поскольку сумма углов четыреху... | нельзя.
| [
"Разрезания на части, обладающие специальными свойствами",
"Сумма внутренних и внешних углов многоугольника"
] |
Докажите, что сумма является целым числом.
| Пользуясь равенством
, избавимся от знаменателя в каждом
слагаемом исходной суммы.
После этого сумма принимает вид
.
Теперь видно, что все слагаемые кроме первого и последнего,
сокращаются. В р... | null | [
"Доказательство тождеств. Преобразования выражений",
"Суммы числовых последовательностей и ряды разностей"
] |
Может ли проекция правильного тетраэдра на некоторую плоскость
быть квадратом?
| Пусть в качестве плоскости, на которую проектируется тетраэдр,
взята плоскость, параллельная двум
скрещивающимся ребрам AB и CD тетраэдра.
Тогда прямая, проходящая через середины этих ребер,
проектируется в некоторую точку O.
Вершины A и B проектируются в точки A' и B',
симметричные относительно O. ... | может.
| [
"Стереометрия (прочее)"
] |
Даны 20 различных натуральных чисел, меньших 70.
Докажите, что среди их попарных разностей найдутся четыре одинаковых.
| Обозначим числа через
a1, a2, ... , a20
в порядке возрастания, таким образом
a1<a2<...<a20.
Допустим, что условие задачи не выполняется.
Тогда среди 19 разностей
d1=a2-a1,
d2=a3-a2, ... ,
d19=a20-a19
не больше трех разностей принимают значение 1,
не больше трех разностей принимают значение... | null | [
"Последовательности (прочее)",
"Доказательство от противного"
] |
Даны 10 чисел – одна единица и 9 нулей. Разрешается выбирать два числа и заменять каждое из них их средним арифметическим.
Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы? | Докажем индукцией по k следующее утверждение: если в некоторый момент среди чисел имеется ровно k отличных от нуля, то каждое из этих чисел не меньше 21–k.
База. Для k = 1 это верно, так как после первой же нетривиальной операции появятся по крайней мере два ненулевых числа, а в дальнейшем число ненулевых чис... | Поскольку у нас всего 10 чисел, то каждое из них не меньше чем 2–9 = 1/512.
С другой стороны, нетрудно привести пример выполнения операций, при котором из единицы получается 1/512. Заменим единицу и один из нулей на ½ и ½, затем заменим ½ и другой ноль на ¼ и ¼ и т.д.; в конечном итоге получаем из единицы 1/5... | [
"Средние величины",
"Процессы и операции",
"Полуинварианты",
"Индукция (прочее)"
] |
Найдите количество слов длины 10, состоящих только из букв
"а" и "б" и не содержащих в записи двух букв "б" подряд.
| Обозначим за an
количество слов длины n, состоящих только из букв
"а" и "б" и не содержащих в записи двух букв "б" подряд.
Таким образом, находим
a1=2, a2=3.
Покажем, что an можно выразить через
an-1 и an-2.
Количество слов длины n,
не содержащих в записи двух букв "б" подряд и начинающихся с
... | 144 | [
"Числа Фибоначчи"
] |
Найдите наибольший член последовательности
.
| Сравним два соседних члена последовательности.
Для этого запишем разность
.
После тождественных преобразований получаем:
.
Таким образом, разность
больше 0 при ,
равна 0 при ,
и меньше 0 при .
Следовательно,
,
и
- наибольшие члены данной последо... | null | [
"Последовательности (прочее)",
"Тождественные преобразования"
] |
Студент за 5 лет учения сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем, а на пятом курсе сдал втрое больше экзаменов, чем на первом курсе. Сколько экзаменов он сдал на четвёртом курсе? | Легко определить, что на первом курсе было сдано три экзамена и, соответственно, на пятом курсе девять. Остается два варианта распределения числа экзаменов на остальных курсах: 4 + 7 + 8 и 5 + 6 + 8. Таким образом, на четвёртом курсе студент сдал 8 экзаменов; на третьем – 6 или 7 экзаменов. | 8 экзаменов. | [
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев"
] |
Кубик 3*3*3 нетрудно распилить на 27 кубиков шестью
распилами.
Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается распиливать
несколько кусков сразу и перекладывать части?
| Рассмотрим центральный кубик 1*1*1 (единственный кубик, который не виден
снаружи).
Чтобы в конце получилось 27 кубиков,
нужно выпилить центральный кубик, т.е.
произвести по крайней мере по одному распилу
вдоль каждой из шести граней центрального кубика.
Ясно, одним распилом нельзя пилить вдоль двух г... | нет.
| [
"Наглядная геометрия в пространстве",
"Разные задачи на разрезания",
"Куб"
] |
В выпуклом четырехугольнике найдите точку,
для которой сумма расстояний до вершин
минимальна.
| Пусть данный четырехугольник - ABCD, а
O - некоторая точка.
Сумма OA+OC не меньше, чем AC, согласно
неравенству треугольника,
причем равенство достигается в том и только в том случае,
когда точка O лежит на диагонали AC.
Аналогичным образом,
сумма OB+OD не меньше, чем BD,
причем равенство дости... | искомая точка - точка пересечения диагоналей.
| [
"Четырехугольники (экстремальные свойства)",
"Неравенство треугольника (прочее)"
] |
Художник-авангардист нарисовал картину "Контур квадрата и его диагонали".
Мог ли он нарисовать свою картину, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды? | См. задачу 31092 а). | Не мог. | [
"Обход графов",
"Степень вершины",
"Четность и нечетность"
] |
В компанию из N человек пришел журналист. Ему известно, что в этой
компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании,
но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться
с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
Найдите наименьшее количество вопросов, до... | Для того, чтобы прямо определить что данный человек Z, надо
задать 2*(N-1) вопросов: N-1 ему самому (знает ли он каждого члена
компании) и N-1 остальным членам компании (знают ли они его). Ясно,
что такой путь вряд ли оптимальный.
Рассмотрим метод исключения. Очевидно, что Z в компани... | N-1.
| [
"Теория алгоритмов (прочее)"
] |
На квадратном поле 10*10 девять клеток 1*1 поросли бурьяном.
После этого бурьян может распространиться на клетку,
у которой не менее двух соседних клеток уже поросли бурьяном.
Докажите, что тем не менее бурьян не сможет распространиться на
все клетки.
| Рассмотрим границу области, поросшей бурьяном (т.е.
все отрезки длиной 1 между узлами, по одну сторону от которых бурьян,
а по другую - нет).
Вначале длина границы была не более 9*4=36, поскольку бурьян рос
только в девяти клетках.
Нетрудно заметить, что в процессе распространения бурьяна
длина грани... | null | [
"Полуинварианты",
"Комбинаторная геометрия (прочее)"
] |
Пусть f(x) - некоторый многочлен, про который известно, что
уравнение f(x)=x не имеет корней.
Докажите, что тогда и уравнение f(f(x))=x не имеет корней.
| Из условия следует, что уравнение f(x)-x=0 не имеет решений.
Поскольку f(x)-x - непрерывная функция, то она либо всюду
положительна, либо всюду отрицательна, иначе она бы в некоторой точке
принимала значение 0 (по теореме о промежуточном значении).
Пусть f(x)-x всюду положительна. Это значит, что для любог... | null | [
"Функции одной переменной. Непрерывность",
"Итерации"
] |
На плоскости нарисованы два квадрата - ABCD и KLMN
(их вершины перечислены против часовой стрелки).
Докажите, что середины отрезков AK, BL, CM, DN также
являются вершинами квадрата.
| Пусть точки P, Q, R, S - середины отрезков AK, BL, CM, DN
соответственно.
Запишем следующие векторные равенства:
PQ=PA+AB+BQ;
PQ=PK+KL+LQ.
Сложим эти равенства; учитывая то, что векторы
PA и PK, а также векторы BQ и LQ взаимно обратны, получаем,
что 2PQ=AB+KL, или
PQ=(AB... | null | [
"Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства",
"Векторы (прочее)"
] |
За круглым столом расселись 10 мальчиков и 15 девочек. Оказалось, что имеется ровно 5 пар мальчиков, сидящих рядом.
Сколько пар девочек, сидящих рядом? | Группы сидящих подряд мальчиков чередуются с группами сидящих подряд девочек. Обозначим число групп сидящих подряд мальчиков через k. Тогда групп сидящих подряд девочек тоже k. В группе из n сидящих подряд мальчиков имеется ровно n – 1 пара сидящих рядом мальчиков. Так как у нас всего 10 мальчиков и k групп, то всег... | 10 пар. | [
"Комбинаторика (прочее)"
] |
На плоскости дано 300 точек, никакие 3
которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует 100 попарно не пересекающихся
треугольников с вершинами в этих точках.
| Примем за ось Ox некоторую прямую, не перпендикулярную ни одной из
прямых, соединяющих пары данных точек.
Обозначим x-ые координаты данных точек через
x1, x2, ... , x300
в порядке возрастания
(x1<x2<...<x300).
Возьмем первый треугольник с вершинами в
x1, x2, x3,
второй треугольник - с вершинами ... | null | [
"Системы точек",
"Проекция на прямую (прочее)"
] |
Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на остроугольные
треугольники.
| Любой выпуклый многоугольник можно разрезать диагоналями на треугольники. Каждый тупоугольный треугольник можно разрезать высотой, проведенной к наибольшей стороне, на два прямоугольных треугольника. Поэтому достаточно научиться разрезать на остроугольные треугольники любой прямоугольный треугольник. В прямоугольном тр... | null | [
"Разрезания на части, обладающие специальными свойствами"
] |
Докажите, что в любом многоугольнике найдутся две стороны,
отношение которых заключено между числами 1/2 и 2.
| Обозначим через a1, a2, ... , an
длины сторон многоугольника в порядке убывания
(таким образом, a1 - самая длинная сторона).
Предположим, что условие задачи не выполняется.
Тогда a2<a1/2,
a3<a2/2<a1/4, ... ,
an<an-1/2<...<a1/2n-1.
Отсюда следует, что
a2+a3+...+an <
a1/2+a1/4+...+a1/2n-1 <
... | null | [
"Алгебраические задачи на неравенство треугольника",
"Геометрическая прогрессия"
] |
Докажите, что существуют числа, не менее чем 100 способами представимые в виде суммы 2001 слагаемого, каждое из которых является 2000-й степенью целого числа. | Рассмотрим числа 1, 2, 3, ..., N. Из 2000-х степеней этих чисел будем составлять всевозможные суммы, в каждой из которых участвует 2001 слагаемое. Таких сумм (без учета порядка слагаемых) всего будет не меньше чем N2001/2001! (каждое слагаемое может быть выбрано N способами, и в результате перестановки слагаемых оди... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Правило произведения",
"Перестановки и подстановки (прочее)"
] |
На столе лежат монеты без наложений. Докажите, что одну из них можно выдвинуть, не задевая остальных. | Введём некоторую прямоугольную систему координат на плоскости. Рассмотрим монету, центр которой имеет наибольшую ординату. Обозначим через C и r её центр и радиус. Докажем, что эту монету можно выдвинуть вверх, не задевая оставшихся.
Предположим противное – в полосе, которую заметает монета при движении вверх, н... | null | [
"Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)"
] |
Известно, что 9 стаканов чая стоят дешевле 10 рублей, а 10
стаканов чая - дороже 11 рублей.
Сколько стоит стакан чая?
| Пусть стоимость стакана чая, выраженная в копейках, равна x.
Тогда по условию 9x<1000 и 10х>1100.
Следовательно, 9х не превосходит
999, и х не превосходит 111.
х=111 подходит - в этом случае 10х=1110>1100.
Если же х<111, то х не превосходит 110, и в этом случае
10х не превосходит 1100.
Таким образо... | 1 рубль 11 копеек.
| [
"Арифметика. Устный счет и т.п."
] |
null | null | [
"Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.",
"Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства"
] | |
Будем обозначать сумму цифр числа X через S(X). Пусть A = 9999, B = s(A), C = s(B) и D = s(C). Найдите D. | null | D = 9. | [
"Десятичная система счисления",
"Признаки делимости на 3 и 9"
] |
На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что на полях чёрного цвета расположено чётное число ладей. | Первый способ. Пронумеруем все вертикали, начиная с самой левой, и все горизонтали, начиная с самой нижней, числами от 1 до 8. Тем самым каждой ладье приписывается пара "координат". Сумму этих координат назовем весом ладьи. На каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит по одной ладье (поскольку ладьи не бьют дру... | null | [
"Подсчет двумя способами",
"Четность и нечетность",
"Шахматные доски и шахматные фигуры"
] |
Автор: Заславский А.А. | Дан правильный треугольник ABC с центром O. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает описанную окружность треугольника AOB в точках D и E. Докажите, что точки A, O и середины отрезков BD, BE лежат на одной окружности. | null | [
"Вписанные и описанные окружности",
"Четыре точки, лежащие на одной окружности",
"Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть",
"Средняя линия треугольника"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.