Datasets:
p1atdev
/
OnlineMathContest-2502

Dataset card Data Studio Files
xet
 Community
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OMC120
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc120/tasks/3436
A
OMC120(A)
100
270
280
[ { "content": "　図のように点をずれば $\\angle BAC=60^\\circ,\\angle ABC=30^\\circ,\\angle ACB=90^\\circ$ などが成り立぀ため$S$ は次のように求められる\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS&=(扇圢ACDの面積)+(扇圢BCDの面積)-(四角圢ACBDの面積)\\\\\\\\\r\n&=1^2\\times\\pi\\times\\frac{120}{360}+\\sqrt{3}^2\\times\\pi\\times\\frac{60}{360}-\\frac{1}{2}\\times 2\\times\\s...
　平面䞊に $2$ ぀の円板があり䞭心間の距離は $2$たた半埄はそれぞれ $1,\sqrt{3}$ ですこれらの共通郚分の面積を $S$ ずしたずき$100S$ の**敎数郚分**を求めおください\ 　ただし$3.141\lt\pi\lt3.142$ および $1.732\lt\sqrt3\lt1.733$ が保蚌されたす
OMC120
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc120/tasks/3531
B
OMC120(B)
200
202
267
[ { "content": "　$k=2,3,4,5,6$ に぀いお$k-1$ 回目の亀換終了時に $x$ 君が甚意したプレれントを $y$ 君が持っおいるずき $kx\\equiv y\\pmod{n}$ が成り立぀よっお条件は各 $k=2,3,4,5,6$ に぀いお次が成り立぀こずず蚀い換えられる\r\n- 任意の $1\\leq i\\lt j\\leq n$ に察しお $ki\\not\\equiv kj\\pmod{n}$\r\n\r\n　これは $n$ ず $k$ が互いに玠であるこずず同倀であるこずが確かめられるしたがっお条件は $n$ が $30$ ず互いに玠であるこずず蚀い換えられそれをみ...
　円卓を囲んだ $n$ 人の人々反時蚈回りに $1$ 君$2$ 君$\ldots$$n$ 君ずするがプレれント亀換䌚をするために $1$ 人 $1$ 個ず぀プレれントを甚意したした各 $i=1,\ldots,n$ に察しはじめ $i$ 君は$i$ 君自身が甚意したプレれント $1$ 個のみを持っおいたす\ 　プレれント亀換䌚では**党員が同時に**次の亀換をするこずを $5$ 回繰り返したす - **亀換**その時点で持っおいるプレれントを甚意したのが $i$ 君であるずきそれを自分から反時蚈回りに数えお**自分の隣をスタヌトずしお**$i$ 番目の人に枡す ただし各亀換の終了時にプレれ...
OMC120
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc120/tasks/3437
C
OMC120(C)
300
165
247
[ { "content": "　最埌の文字になり埗るのは $\\text{e},\\text{n}$ のみでありさらに $\\text{n}$ であるずきその盎前は $\\text{e}$ である \\\r\n　最埌の文字が $\\text{e}$ であるずき残りの $8$ 文字の䞊びは $\\circ$ $5$ 個ず $\\bullet$ $3$ 個を䞊べたのち$\\circ$ には $\\text{c}, \\text{i}, \\text{r}, \\text{c}, \\text{l}$ をこの順に入れ$\\bullet$ には $\\text{y}, \\text{e}, \\text{n}$ を...
　$\text{c, i, r, c, l, e, y, e, n}$ の $9$ 文字を䞊び替えお埗られる文字列であっお**連続するずは限らない**郚分文字列ずしお「$\text{circle}$」ず「$\text{yen}$」をずもに含むものはいく぀ありたすかただし同じ文字は区別したせん\ 　たずえば$\text{circleyen}$ や $\text{ecirclyen}$ はこの条件をみたす文字列の䞀぀です <details><summary>「連続するずは限らない郚分文字列」ずは<\/summary> 　ある文字列に察しそこから $0$ 文字以䞊を任意に削陀し残った文字を順番を保っお...
OMC120
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc120/tasks/4779
D
OMC120(D)
500
39
88
[ { "content": "$$\\begin{aligned} N^2 &= (a_i\\gt a_{i+1} を満たす iの個数)\\times (a_j\\gt a_{j+1} を満たす jの個数)\\\\\\\\\r\n&=(a_i\\gt a_{i+1} および a_j\\gt a_{j+1}を満たす i,j の個数)\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nであるから$a_i\\gt a_{i+1}$ および $a_j\\gt a_{j+1}$ を満たすような眮換 $\\\\{a_n\\\\}$ の個数を $S_{i,j}$ ずするず\r\n$$M=\\dfrac{1}{1000!}\\...
　$1,2,3,\ldots,1000$ の眮換 $a_1,a_2,\ldots,a_{1000}$ に぀いお$a_i\gt a_{i+1}$ をみたす $999$ 以䞋の正敎数 $i$ の個数を $N$ ずしたす$1000!$ 通りある眮換すべおに぀いお $N^2$ の盞加平均 $M$ を求めおくださいただし$M$ は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC120
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc120/tasks/3554
E
OMC120(E)
500
15
46
[ { "content": "#### 前半Fibonacci数列の発芋\r\n　$($第 $2$ 匏$)\\times4 - ($第 $1$ 匏$)\\times12$ より\r\n$$4x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+\\cdots+4x_m^2-12x_1-12x_2-\\cdots-12x_m+8m=0$$\r\nこれを倉圢するず\r\n$$(2x_1-3)^2+(2x_2-3)^2+\\cdots+(2x_m-3)^2=m$$\r\nずなる$x_1,x_2,\\ldots,x_m$ は敎数であるから$$(2x_1-3)^2=(2x_2-3)^2=\\cdots=(2x_m-3)^2=1$$\...
　以䞋の $2$ 匏をみたす $m$ 個の**æ•Žæ•°**の組 $(x_1, x_2, \ldots, x_{m})$ の総数をすべおの正敎数 $m$ に぀いお合蚈しそれを $1914=2\times 3\times 11\times 29$ で割った䜙りを求めおください $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+\cdots+x_m=2505\\\\ x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_m^2+2m=7515 \end{cases}$$
OMC120
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc120/tasks/3526
F
OMC120(F)
500
37
104
[ { "content": "　$c=p+q,d=pq$ なる耇玠数 $p, q$ をずるず䞎えられた $4$ 匏は\r\n$$\\left\\\\{\r\n\\begin{aligned} \r\na+b+p+q&=4 \\\\\\\\ \r\nabp+abq+apq+bpq&=-160 \\\\\\\\ \r\nab+ap+aq+bp+bq+pq&=-36 \\\\\\\\ \r\nabpq&= k\r\n\\end{aligned}\r\n\\right.$$\r\nずなるから$a,b,p,q$ は以䞋の $4$ 次方皋匏の $4$ 解である\r\n$$x^4-4x^3-36x^2+160x+k=0$$\r...
　以䞋の等匏をすべおみたす**実数**の組 $(a, b, c, d)$ が存圚するような最倧の敎数 $k$ を求めおください $$\left\\{ \begin{aligned} a+b+c&=4 \\\\ abc+ad+bd&=-160\\\\ ab+ac+bc+d&=-36 \\\\ abd&= k \end{aligned} \right.$$
OMC119 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/tasks/3461
A
OMC119(A)
100
342
354
[ { "content": "　玄数を $5$ ぀も぀正敎数は玠数 $p$ を甚いお $p^4$ ず衚せる. $p^4\\leq2022$ を満たす玠数 $p$ は $2,3,5$ の䞉぀であるから, 求める解答は $2^4 + 3^4 + 5^4 = \\bf{722}$.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/editorial/3461" } ]
　正の玄数をちょうど $5$ ぀持぀ような$2022$ 以䞋の正敎数の総和を求めおください
OMC119 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/tasks/4100
B
OMC119(B)
200
261
295
[ { "content": "　図圢は階段状になるよっお求める面積を $S$ ずすれば\r\n$$\\begin{aligned} S &= \\triangle A_0A_{2357}A_{2359} + \\triangle A_{2357}A_{2358}A_{2359}\\\\\\\\\r\n&= \\triangle A_0A_1A_3 + \\triangle A_1A_2A_3\\\\\\\\\r\n&= (台圢 A_0A_1A_2A_3)\\\\\\\\\r\n&= \\frac{1}{2} \\times (1+4999) \\times 1\\\\\\\\\r\n&= \\bf{2500}\r...
　すべおの内角が $90^\circ$ たたは $270^\circ$ である $10000$ 角圢 $A_0A_1 \cdots A_{9999}$ に぀いお $$\left\\{ \begin{aligned} & A_0A_1 = A_0A_{9999} = 4999\\\\ & A_iA_{i+1} = 1 \quad (1 \leq i \leq 9998) \end{aligned} \right.$$ が成り立぀ずき四角圢 $A_0A_{2357}A_{2358}A_{2359}$ の面積を求めおください
OMC119 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/tasks/2991
C
OMC119(C)
200
309
328
[ { "content": "　$n$ 回目に初めお黒石を遞ぶずき癜石は $n+1,n+2,\\ldots,100$ 回目のいずれかに遞ばれるから求める倀は\r\n$$\\sum_{n=1}^{99}(100-n)=1+2+\\cdots+99=\\dfrac{99\\times 100}{2}=\\textbf{4950}$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/editorial/2991" }, { "content": "　$a$ 回目で初めお黒石を遞びその埌 $b$...
　無数の癜石ず黒石がありたすOMC君はここから癜石たたは黒石を遞ぶこずをちょうど $100$ 回繰り返したすこのずき癜石および黒石を少なくずも $1$ 回以䞊遞びか぀初めお黒石を遞んで以降はちょうど $1$ 回のみ癜石を遞ぶ方法は䜕通りありたすか\ 　ただし癜石および黒石はそれぞれ区別しないものずしたす
OMC119 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/tasks/2403
D
OMC119(D)
300
190
230
[ { "content": "　$n$ が奇数のずき,\r\n$$2A_n=A_{n+1}+3A_{n-1}+A_{n-2}=A_{n}+A_{n-1}+A_{n-2}$$\r\nすなわち, $A_n=A_{n-1}+A_{n-2}$ である. これを甚いお, $\\\\{A_n\\\\}$ を前から蚈算すれば\r\n$$1,1,2,0,2,2,4,0,4,4,\\cdots$$\r\nこれが確かに䞎条件をみたすこずは数孊的垰玍法によっお瀺される. これより, 求める総和は\r\n$$2+3\\times(2^1+2^2+\\cdots+2^{504})+2\\times 2^{505}=2^{507}+2^{505}...
　数列 $\\{A_n\\}$ は$A_1=A_2=1$ および以䞋の条件をみたしたす. - $n\geq 3$ が偶数のずき$A_n=A_{n-1}-2A_{n-2}$. - $n\geq 3$ が奇数のずき$A_n=\dfrac{1}{2}(A_{n+1}+3A_{n-1}+A_{n-2})$. このずき$A_1+A_2+\cdots+A_{2021}$ の $2$ 進法衚蚘での各桁の和を求めおください
OMC119 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/tasks/3157
E
OMC119(E)
300
208
255
[ { "content": "　展開した圢を考えるこずで$ N=2^2\\times3^3\\times5^5\\times7^7 $ に぀いお\r\n$$\\begin{aligned}\r\nY(N) &= \\\\{(2^0+2^2)(5^0+5^2+5^4)+2^1(5^1+5^3+5^5)\\\\}(7^0+7^1+\\cdots+7^7) \\\\\\\\\r\n&= 15(5^0+5^2+5^4)(7^0+7^1+\\cdots+7^7)\r\n\\end{aligned}$$\r\nよっお求める商に぀いお\r\n$$\\frac{(2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1+3^2+3^3)}{15...
　正敎数 $N$ に察しおその正の玄数の総和を $X(N)$ ずし特に $3$ で割っお $1$ 䜙る正の玄数の総和を $Y(N)$ で衚したすこのずき$ N=2^2\times3^3\times5^5\times7^7 $ に぀いお $$ \dfrac{X(N)}{Y(N)} $$ の倀を求めおください
OMC119 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/tasks/2358
F
OMC119(F)
400
86
130
[ { "content": "　$AD$ ず $BC$ の亀点を $F$ ずすれば $AF=20$ であり, 方べきの定理より $BF=25$ を埗るから, 䞉角圢 $CDF$ さらに $ADE$ は $3:4:5$ の盎角䞉角圢である. ここで, $A,C,E,F$ はすべお $EF$ を盎埄ずする円呚䞊にあるから, \r\n$$\\begin{aligned} \\frac{1}{2} EF=\\frac{1}{2} ED = \\frac{1}{2} \\times \\frac{5}{3} AD=\\frac{50}{3}\\end{aligned}$$\r\nが求める半埄であり, 特に解答すべき倀は $\\t...
　円に内接する四角圢 $ABCD$ が以䞋の条件をみたしたす $$AC=AD=20,\quad BC=7,\quad \angle BCD=90^{\circ}$$ このずき盎線 $AB$ ず $CD$ の亀点 $E$ に぀いお䞉角圢 $ACE$ の倖接円の半埄を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC118 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/tasks/2430
A
OMC118(A)
100
252
261
[ { "content": "　厇高な数 $n(\\gt 1)$ に぀いお, その玠因数分解を $p_1^{2a_1}p_2^{2a_2}\\cdots p_k^{2a_k}$ ずおけば, 条件は以䞋が平方数ずなるこずである.\r\n$$(2a_1+1)(2a_2+1)\\cdots(2a_k+1)$$\r\nこれは奇数, 特に $9$ 以䞊であるこずに留意せよ. これが $9$ であるずき, $k=1$ か぀ $a_1=4$ たたは $k=2$ か぀ $a_1=a_2=1$ であり, 埌者に぀いお $\\\\{p_1,p_2\\\\}=\\\\{2,3\\\\}$ のずき $n=36$ が最小である.\\\r\n　$...
　$256$ のように正の玄数の個数が平方数であるような正の平方数を**厇高な数**ず呌ぶこずにしたす$1$ の次に小さい厇高な数はいく぀ですか
OMC118 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/tasks/3269
B
OMC118(B)
300
152
178
[ { "content": "　攟物線ず円 $C$ の点 $P$ における共通接線に぀いお, 傟きは $32$ であり, 接匊定理より盎線 $BP$ ずなす角床は $45^\\circ$ であるから, 盎線 $BP$ の傟きは $\\tan$ の加法定理より $31\\/33$ ず蚈算できる. 䞀方で盎線 $BP$ の傟きは $b+16$ ずも蚈算できるから, 以䞊より $b=-497\\/33$ であり, 解答すべき倀は $\\mathbf{530}$ である.\\\r\n　なお, $\\tan$ の加法定理を䜿わなくおもよい. 点 $Q(15, 224)$ は共通接線䞊にあり, $\\angle BPQ=45^\\...
　実数 $a,b$ は $a\lt b\lt 0$ をみたしたす\ 　攟物線 $y=x^2$ ず円 $C$ が $2$ 点 $A(a, a^2), B(b, b^2)$ で亀わり点 $P(16, 256)$ で接しおいたすさらに $\angle PAB=45^\circ$ であるずき$b$ の倀を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $p, q$ を甚いお $-\dfrac pq$ ず衚せるので$p+q$ を解答しおください
OMC118 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/tasks/2433
C
OMC118(C)
400
139
205
[ { "content": "　$2$ 枚以䞊䞊べるずき, $1$ および $128\\lt p \\le 256$ なる $23$ 個の玠数 $p$ は䞊べられず, $256\\/3\\lt p \\le128$ なる $8$ 個の玠数 $p$ は䞡端にしか配眮できない. よっお, 求める枚数は $256-1-23-8+2=226$ 枚以䞋である.\\\r\n　以䞋 $226$ 枚を䞊べる方法を構成する. $5$ 以䞊の玠数 $p$ に察しお列 $S_p$ を以䞋で定める\r\n\r\n- $S_p:5$ 以䞊 $p$ 未満の玠因数をもたない $1$ 以䞊 $256$ 以䞋の $p$ の倍数のうち, $2p, 3p...
　 $1$ から $256$ たでの敎数のうち $1$ ぀が曞かれたカヌドがそれぞれの数に぀いお $1$ 枚ず぀ありたすこの䞭の䜕枚かを「どの隣り合う $2$ 枚のカヌドも互いに玠**でない**」ずいう条件をみたしながら暪䞀列に䞊べるずき最倧で䜕枚䞊べられたすか
OMC118 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/tasks/2421
D
OMC118(D)
600
64
108
[ { "content": "　操䜜が行えなくなるのは, $(1,1)$ を陀く任意の $(i,j)$ に察しお $N(i,j)=0$ ずなったずきであるこずに留意する.\\\r\n　求めるべき最倧倀を $M$ ずおき, ある時点での盀面の状態に察しお敎数 $S$ を以䞋で定める\r\n$$S=\\sum_{1\\le i,j\\le16}2^{i+j-2}N(i,j)+(\\textrm{今たで操䜜を行った回数})$$\r\nこのずき, $S$ は操䜜によっお $2^{a+b-2}N(c,d)-1$ 枛少する. 特に $S$ は広矩単調枛少であり, \r\n$$\\sum_{1\\le i,j\\le16}2^{i...
　$16\times16$ のマス目があり䞊から $i$ 行目巊から $j$ 列目にあるマスを $(i,j)$ で衚したすたた$(i,j)$ には非負敎数 $N(i,j)$ がひず぀ず぀曞かれおいたす\ 　はじめすべおのマス $(i,j)$ に぀いお $N(i,j)=1$ です\ 　ここぞ次の䞀連の操䜜を**可胜な限り**繰り返し行うこずを考えたす - $a\le c, b\le d, N(c,d)\gt0$ をみたす盞異なるマス $(a,b), (c,d)$ を遞ぶ - $(a,b)$ から $(c,d)$ たで蟺を共有するマス目を蟿っおいける経路のうち最短のものを $1$ ぀遞びその経路䞊にあ...
OMC118 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/tasks/2506
E
OMC118(E)
600
39
69
[ { "content": "　$f(x)=\\sum^{16}\\_{n=1}n^2x^{17-n}-2022$ ずおけば, $g(x)=(x-1)^3f(x)$ に぀いお\r\n$$g(x)=x^{19}+x^{18} -2311 x^3 + C_2 x^2 +C_1x +C_0$$\r\n($C_2,C_1,C_0$は敎数)ずなる. よっお, 求めるべきはこれの $19$ 個の根の $16$ 乗和から $3$ を匕いたものである. \\\r\n　ここで, $19$ 個の倉数 $x_1,\\cdots,x_{19}$ の $k$ 次基本察称匏を $S_k$ で衚す. するず, $\\sum_{n=1}^{19}x_...
　以䞋の $x$ の $16$ 次方皋匏は重耇床を蟌めお$16$ 個の耇玠数解をもちたす $$x^{16}+4x^{15}+\cdots+225x^2+256x\left(=\sum^{16}_{n=1}n^2x^{17-n}\right)=2022$$ このずき$16$ 個の解それぞれの $16$ 乗の総和を求めおください
OMC118 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/tasks/4331
F
OMC118(F)
900
3
21
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖接円の $B$ での接線ず $C$ での接線の亀点を $N$ ずする. 䞉角圢 $ABO$ ず䞉角圢 $PBA$, 䞉角圢 $ACO$ ず䞉角圢 $QCA$, 䞉角圢 $QCR$ ず䞉角圢 $PBR$ はそれぞれ盞䌌であるから, \r\n$$BR:CR=PB:QC=(PB\\times OB):(QC\\times OC)=AB^2:AC^2$$\r\nを埗る. 埓っお盎線 $AR$ は䞉角圢 $ABC$ の $A$ に察する類䌌䞭線であるから, 盎線 $AR$ 䞊に $N$ が存圚する. \\\r\n　たた, 䞉角圢 $SXY$ の内心が $A$ ずなるように点...
　$AB\lt AC$ なる鋭角䞉角圢 $ABC$ においお倖心を $O$$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $D$ ずしたす半盎線 $BO$ 䞊に $2$ 点 $P, X$ を半盎線 $CO$ 䞊に $2$ 点 $Q, Y$ を蟺 $BC$ 䞊に点 $R$ をすべおの点が盞異なるようにずるず以䞋が成立したした - $AB=AP, \quad AC=AQ$ - $\angle BPR=\angle CQR$ - $\angle RAX=\angle DAY$ - 盎線 $BC$ ず盎線 $XY$ は平行. - $BC=256 , ~ XY=260 , ~ \cos\angle BAC=\df...
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A
OMC117(A)
100
311
313
[ { "content": "　円の半埄を $r$ ずおくず, $r^2\\pi=1000$ である. 䞀方で $S$ は $4r^2$ ず衚せるので, これらより $S=\\dfrac{4000}{\\pi}$ を埗る.\\\r\n　よっお, 解答すべき倀は $\\textbf{4000}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc117/editorial/3035" } ]
　面積が $1000$ の円に倖接する正方圢の面積 $S$ に぀いお$S\pi$ の倀を求めおください
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B
OMC117(B)
200
291
305
[ { "content": "$$10^{12}=(10^6)^2=(10^4)^3=(10^2)^6$$\r\nであるから, $10^{12}$ 以䞋の正敎数のうち, 平方数は $10^6$ 個, 立方数は $10^4$ 個, 平方数か぀立方数である数は $10^2$ 個である.\r\n埓っお, 求める個数は $10^6+10^4-10^2=\\mathbf{1009900}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc117/editorial/2923" } ]
　$10^{12}$ 以䞋の正敎数のうち平方数**たたは**立方数であるものはいく぀ありたすか
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C
OMC117(C)
300
240
274
[ { "content": "　䞉角圢 $PQR$ の重心を $G$ ずする線分 $QR$ の䞭点 $M$ が動く範囲は䞉角圢 $ABC$ の各蟺の䞭点ず $A$ を頂点ずする平行四蟺圢の内郚及び呚䞊である$P$ を䞭心に $M$ を $\\displaystyle\\frac{2}{3}$ 倍拡倧した点が $G$ なので, $P$ を固定させたずき $G$ はこの平行四蟺圢の範囲を $P$ を䞭心に $\\displaystyle\\frac{2}{3}$ 倍拡倧した範囲を動く$P$ の固定を倖しお蟺 $BC$ 䞊を動かすず, $G$ が動く範囲の平行四蟺圢は $\\displaystyle\\frac{1}{...
　面積 $600$ の䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $BC,CA,AB$ 䞊をそれぞれ点 $P,Q,R$ が動くずき$3$ 点 $P,Q,R$ の重心幟䜕䞭心が通過しうる範囲の面積を求めおください
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D
OMC117(D)
300
162
264
[ { "content": "　$a=b$ のずき$a=c$ たたは $a=d$ であるものを数えればよく$c=d$ の重耇を考慮すれば\r\n$$10^{300}\\times(2\\times 10^{300}-1)=2×10^{600}-10^{300}$$\r\n　$a\\neq b$ のずきも同様であるが「$a=c$ か぀ $b=d$」たたは「$a=d$ か぀ $b=c$」なる組の陀倖に泚意すれば\r\n$$10^{300}\\times(10^{300}-1)\\times(4\\times 10^{300}-6)=4\\times 10^{900}-10^{601}+6\\times 10^{30...
　$1$ 以䞊 $10^{300}$ 以䞋の敎数の順序付いた組 $(a,b,c,d)$ であっお $$|(x-a)(x-b)|+|(x-c)(x-d)|=0$$ をみたす実数 $x$ が**ちょうど $\mathbf{1}$ ぀**存圚するようなものが$M$ 個存圚するずしたす\ 　このずき$M$ の $10$ 進法衚蚘における各桁の和を求めお䞋さい
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E
OMC117(E)
300
87
146
[ { "content": "　$t=x-(1\\/x)$ ずおけば, 実数 $x$ に察し $t$ も党実数を動くこずから, 以䞋の $t$ に぀いおの方皋匏に぀いお実数解を考えるこずず同倀である.\r\n$$t^2+at+(n+2)=0$$\r\nこれは刀別匏を考えるこずで $|a|\\lt2\\sqrt{n+2}$ ず衚珟できる. すなわち条件は $n=2\\lceil2\\sqrt{n+2}\\rceil-1$ である. これをみたす正敎数は $n=17,19$ であるこずが容易にわかるから, 特に解答すべき倀は $\\textbf{36}$ である.", "text": "公匏解説", "ur...
　$n$ を正敎数ずしたす以䞋の $x$ に぀いおの方皋匏 $$x^4+ax^3+nx^2-ax+1=0$$ が実数解をもたないような敎数 $a$ がちょうど $n$ 個存圚するずき$n$ ずしおありうるものをすべお求めそれらの総和を解答しおください
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F
OMC117(F)
400
84
175
[ { "content": "　察称性より点 $P(-m,-n)$ が第 $3$ 象限にある堎合のみ考えお $4$ 倍すればよい. 反射された軞によっお光路を折り返し, それを線分に盎すこずを考えれば, 条件は次のように蚀い換えられる\r\n- 点 $P$ を䞭心ずする半埄 $15$ の円呚䞊の栌子点であっお, 第 $1$ 象限 (軞䞊を含たない) に存圚するものがただ䞀぀存圚する.\r\n\r\nここで, 党䜓の座暙を平行移動しお点 $P$ を原点に移動させるこずで, 条件は次のように衚珟できる.\r\n- 原点を䞭心ずする半埄 $15$ の円呚䞊の栌子点であっお, 点 $(m,n)$ より「右䞊」にあるものがただ...
　$xy$ 平面においお軞䞊にない栌子点 $P$ から以䞋のような特殊な光線を発射したす - 合蚈で距離 $15$ 進むたで枛衰せず距離 $15$ 進んだ時点で消滅する - $x$ 軞および $y$ 軞によっお入射角ず反射角が等しくなるように反射される - ただし原点に入射した堎合は入射方向にそのたた反射される\ このずき各軞で $1$ 回ず぀蚈 $2$ 回反射されたものずみなす このずき以䞋の条件をみたす栌子点 $P$ はいく぀ありたすか - 軞で $2$ 回反射されか぀軞䞊にない栌子点で光線が消滅するような光線の発射方向が䞀意に存圚する
OMC116
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A
OMC116(A)
200
293
313
[ { "content": "$$\\sin^2 \\theta =\\sin\\theta\\cos\\theta\\tan\\theta= \\sin2\\theta\\cos2\\theta\\tan2\\theta = \\sin^2 2\\theta$$\r\nより $\\sin\\theta=\\pm \\sin2\\theta$ であり, 適圓に堎合分けしお以䞋を埗る.\r\n$$\\theta=0^\\circ, 60^\\circ, 120^\\circ, 180^\\circ, 240^\\circ, 300^\\circ$$\r\nよっお求める倀は $\\bf{900}$ である.", "...
　以䞋をみたす $0^\circ \leq \theta \lt 360^\circ$ の総和を床数法で解答しおください $$\sin\theta\cos\theta\tan\theta = \sin2\theta\cos2\theta\tan2\theta$$ ただし$\tan\theta$ および $\tan2\theta$ が定矩されないような $\theta$ は考えないものずしたす
OMC116
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B
OMC116(B)
200
298
315
[ { "content": "　ある玉の䜍眮を固定し, 鏡映を考慮するこずで基本的に\r\n$$a_n=\\dfrac{1}{2}(n-1)!$$\r\nであるが, $n=1,2$ では鏡映を考慮する必芁がなくそれぞれ $1=(n-1)!$ 通りである. すなわち, 求める総和は\r\n$$\\dfrac{1}{2}(7!+\\cdots+2!)+1!+0!=\\textbf{2958}$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc116/editorial/2050" } ]
　互いに区別できる玉が $n$ 個あるずきこれらをすべお䜿っお数珠を䜜るすなわち円呚䞊に䞊べるが回転や裏返しで䞀臎するものは同じものず数える堎合の数を $a_n$ ずおきたすこのずき以䞋の総和を求めおください $$a_8+a_7+a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1$$ ただし$0!=1$ ずしお以䞋が保蚌されたす $$7!+6!+5!+4!+3!+2!+1!+0!=5914$$
OMC116
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C
OMC116(C)
300
249
309
[ { "content": "　䞀般に, æ­£ $n$ 角圢の $2$ ぀の察角線たたは蟺のなす角床ずしおあり埗るものは $180m\\/n$ の圢匏であるから, 条件は\r\n$$0.2021\\leq \\dfrac{180m}{n} \\lt 0.2022 \\iff \\dfrac{180}{0.2022}m\\lt n\\leq \\dfrac{180}{0.2021}m $$\r\nなる敎数 $m$ が存圚するこずであり, $m=2$ のずき $n=\\textbf{1781}$ を発芋できる.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathconte...
　正 $n$ 角圢においお盞異なる $2$ 本の察角線たたは蟺を適圓に遞びそれらを延長しお盎線ずしたもののなす角床を床数法で求めたずころ$0.2021^\circ$ 以䞊 $0.2022^\circ$ 未満でしたこのようなこずがありうる最小の敎数 $n(\geq4)$ を求めおください
OMC116
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D
OMC116(D)
400
169
247
[ { "content": "　$2$ 皮類の倀を $x,y$ ずすれば$a_1$ から $a_{100}$ はすべお異なるこずから\r\n$$a_1+a_2=x,　a_2+a_3=y,　\\dots,　a_{98}+a_{99} = y,　a_{99}+a_{100}=x$$\r\nずなるほかない\\\r\n　ここで $a_1, a_3, \\ldots, a_{99}$ は公差 $y-x$ の等差数列であるこれらは $1$ 以䞊 $100$ 以䞋であるから公差は $\\pm1, \\pm2$ のみが適するこずがわかる䞀方で $a_2, a_4, \\ldots, a_{100}$ は公差 $x-y$ の等...
　$(1,2,\ldots,100)$ の䞊べ替え $(a_1, a_2, \ldots, a_{100})$ に぀いお $$a_1+a_2,　a_2+a_3,　\cdots,　a_{99}+a_{100}$$ の䞭に珟れる倀はちょうど $2$ 皮類でした\ 　このずき$a_1\times a_{100}$ がずり埗る倀すべおに぀いおそれらの総和を求めおください
OMC116
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E
OMC116(E)
500
95
190
[ { "content": "　䞉角圢 $ADP, BCP$ の面積をそれぞれ $a,b$ ずし, 四角圢 $ABCD$ の面積を $x$ ずする. $a+b=5$ である.\\\r\n　$BC$ に関しお $P$ ず同じ偎に, $BCE$ が正䞉角圢ずなるような点 $E$ をずれば, 䞉角圢 $BAE,BPC,EDC$ はすべお合同である. さらに $AE=PC=PD$ などより $AEDP$ は平行四蟺圢であるから, 特に䞉角圢 $AED$ ず$DPA$ は合同である. 以䞊より, $BCE$ の面積が $9\\sqrt{3}$ であるこずに留意すれば, 五角圢 $ABCDE$ の面積を $2$ 通りに衚すこずで ...
　$AD=4,BC=6$ なる凞四角圢 $ABCD$ においお内郚に点 $P$ をずるず$ABP$ および $CDP$ はずもに正䞉角圢になり䞉角圢 $ADP$ ず䞉角圢 $BCP$ の面積の和は $5$ でしたこのずき四角圢 $ABCD$ の面積は最倧公玄数が $1$ である正敎数 $a,b,c$ によっお $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ ず衚されるので$a+b+c$ を解答しおください
OMC116
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F
OMC116(F)
600
12
79
[ { "content": "　䞀般に $100$ を非負敎数 $n$ に眮き換え, 同様の確率 $p_n$ を求めよう. このずき, $n\\geq 2$ に察し,\r\n$$p_{n}=\\frac{2}{(n+1)(n+2)}\\sum_{i=0}^{n}{(n+1-i)p_{i}}$$\r\nが成立するこれを倉圢するこずで\r\n$$(n+3)(n+4)p_{n+2}-2(n+2)(n+3)p_{n+1}+(n+1)(n+2)p_{n}=2p_{n+2}$$\r\nすなわち\r\n$$(n+5)(p_{n+2}-p_{n+1})=(n+1)(p_{n+1}-p_{n}).$$\r\nいた $p_0=1,p_1...
　赀玉が $2$ 個青玉が $100$ 個ありたす\ 　OMC君は青玉が $1$ 個以䞋になるたで以䞋の操䜜を繰り返したす - ただ捚おられおいない玉すべおを東西䞀列にランダム等確率に䞊べ盎す - $2$ 個の赀玉の間に**挟たれおいない**青玉をすべお捚おる 䟋えば「青青赀青青青青赀青」ず䞊んだずき$3$ 個の青玉が捚おられたす\ 　このずき最終的に青玉が $0$ 個になる確率 $p$ を求めおくださいただし$p$ は互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ の倀を解答しおください ---- 　なおこの操䜜は有限回で終...
OMC115 (SEG杯)
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A
OMC115(A)
100
308
330
[ { "content": "　$(S,E,G)=(p,1,q)$ただし $p=2,3,5,7$ および $q=1,2,\\ldots,9$が求める組である\\\r\n　よっお求める組数は $4\\times9=\\textbf{36}$ 組", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc115/editorial/5527" } ]
　$S^{E^G}$ が玠数ずなる $1$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数の組 $(S,E,G)$ はいく぀ありたすか\ 　ただし $S^{E^G}$ は $S^{(E^G)}$ を意味したす
OMC115 (SEG杯)
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B
OMC115(B)
200
261
273
[ { "content": "$$\\dfrac{1}{S+E}=x,\\quad \\dfrac{1}{E+G}=y,\\quad \\dfrac{1}{G+S}=z$$\r\nずおくず方皋匏は以䞋のようになりこれを解くず $x=-6,y=3,z=2$ ずなる\r\n $$\r\n\\begin{cases}\r\n 2x+3y+5z=7 \\\\\\\\\r\n 3x+5y+7z=11 \\\\\\\\\r\n 5x+7y+11z=13 \\\\\\\\\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nよっお\r\n$$S+E=-\\frac{1}{6},\\quad E+G=\\frac{1}{3},\...
　以䞋をみたす実数 $S,E,G$ は䞀意に存圚したす $$ \begin{cases} \dfrac{2}{S+E}+\dfrac{3}{E+G}+\dfrac{5}{G+S}=7 \\\\ \\\\ \dfrac{3}{S+E}+\dfrac{5}{E+G}+\dfrac{7}{G+S}=11 \\\\ \\\\ \dfrac{5}{S+E}+\dfrac{7}{E+G}+\dfrac{11}{G+S}=13 \\\\ \end{cases} $$ このずき$S+E+G$ は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので $a+b$ の倀を解答しおください
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C
OMC115(C)
200
210
297
[ { "content": "　 $\\text{S},\\text{E},\\text{E},\\text{G}$ の䞊び替え $\\dfrac{4!}{2}=12$ 通りのうち $\\text{S},\\text{E},\\text{G}$ がこの順に䞊ぶものは\r\n$$(\\text{S},\\text{E},\\text{G},\\text{E}), \\quad (\\text{S},\\text{E},\\text{E},\\text{G}), \\quad (\\text{E},\\text{S},\\text{E},\\text{G})$$\r\nの $3$ 通りであるよっお求める堎合の数は $...
　$\text{S},\text{E},\text{G},\text{M},\text{E},\text{N},\text{T}$ の $7$ 文字を䞊び替えお埗られる文字列のうち $\underline{\text{S}}\text{T}\underline{\text{E}}\text{N}\text{M}\underline{\text{G}}\text{E}$ のように $\text{S},\text{E},\text{G}$ の $3$ 文字が順番を保っお䞊んでいる箇所があるものは$\text{SEGMENT}$ を含めいく぀ありたすかただし$2$ ぀の $\text{E}$ は区別したせん
OMC115 (SEG杯)
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D
OMC115(D)
200
146
239
[ { "content": "　$A$ の芁玠 $2^{S}\\times3^{E}\\times5^{G}$ に察しかけお $2^{100}\\times3^{100}\\times5^{100}$ ずなる数は $2^{100-S}\\times3^{100-E}\\times5^{100-G}$ でありこれは $S,E,G$ のうち少なくずも $1$ ぀が $0$ のずきは $A$ の芁玠にならず $S,E,G$ が党お $50$ のずきは自分自身ずなりそれ以倖のずきは異なる $A$ の芁玠ずなる\\\r\n　よっお異なる $2$ 数の積が $2^{100}\\times3^{100}\\times5^...
　 $0$ 以䞊 $99$ 以䞋の敎数 $S,E,G$ を甚いお $2^S\times3^E\times5^G$ の圢に衚せる数党䜓からなる集合を $A$ ずしたす以䞋の条件を満たす $A$ の郚分集合に぀いおその芁玠の個数ずしおあり埗る最倧の倀を求めおください - どの盞異なる $2$ ぀の芁玠に぀いおもそれらの積は $2^{100}\times3^{100}\times5^{100}$ でない
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E
OMC115(E)
300
128
201
[ { "content": "　円 $G$ から円 $E$ ぞの $C$ を䞭心ずする盞䌌拡倧 $f$ によっお円 $E$ は 円 $S$ にう぀り 線分 $YZ$ は線分 $XY$ にう぀るここで$f$ は $\\frac{9}{4}$ 倍の盞䌌拡倧であるので$3$ 円 $S,E,G$ の半埄はそれぞれ $81r,36r,16r$ ずおけるこのずき䞉平方の定理から\r\n$$YZ=\\sqrt{(36r+16r)^2-(36r-16r)^2}=4$$ ずなるので$r=\\frac{1}{12}$ である\\\r\n　以䞊より $3$ 円 $S,E,G$ の面積の合蚈は\r\n$$(81^2+36...
　䞉角圢 $ABC$ の内接円を $S$ ずし円 $S$ に倖接しか぀蟺 $AC$ ず蟺 $BC$ にも接する円を $E$ ずし円 $E$ に倖接しか぀蟺 $AC$ ず蟺 $BC$ にも接する円を $G$ ずしたす$3$ 円 $S,E,G$ ず蟺 $BC$ の接点をそれぞれ $X,Y,Z$ ずするず $$XY=9,\quad YZ=4$$ ずなりたしたこのずき $3$ 円 $S,E,G$ の面積の合蚈は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}\pi$ ず衚せるので $a+b$ の倀を解答しおください
OMC115 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc115/tasks/5532
F
OMC115(F)
400
63
98
[ { "content": "**はじめに.**　[こちらのナヌザヌ解説](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc115\\/editorial\\/5532\\/111)はより明快かもしれない方針をずっおおりオススメである\r\n\r\n----\r\n\r\n**解答.**　䞎匏は以䞋のように倉圢できるこずがわかる\r\n$$\\begin{aligned}\r\n(\\text{䞎匏})\r\n&=\\frac{S^4(G-E)+E^4(S-G)+G^4(E-S)}{(S-E)(E-G)(G-S)}\\\\\\\\\r\n&=\\frac{(S-...
　 $x$ の $3$ 次方皋匏 $$7x^3+5x^2-3x-2=0$$ の $3$ 解を $x=S,E,G$ ずしたすこのずき以䞋の倀 $$\frac{S^4}{(S-E)(S-G)}+\frac{E^4}{(E-G)(E-S)}+\frac{G^4}{(G-S)(G-E)}$$ は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので、 $a+b$ を解答しおください
OMC114
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/tasks/4950
A
OMC114(A)
100
314
317
[ { "content": "　連続した敎数を $8$ 個以䞊遞ぶずその䞭には連続した $2$ ぀の $4$ の倍数が含たれおおりそのうち少なくずも䞀方はうるう数であるすなわち$m \\geq 8$ は条件を満たさない䞀方で\r\n$$1897, 1898, 1899, 1900, 1901, 1902, 1903$$\r\nにはうるう数が含たれないから$m = 7$ は条件を満たす以䞊より求める最倧倀は $\\mathbf{7}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/...
　敎数 $n$ が**うるう数**であるずは$n$ を $400$ で割った䜙りが$100, 200, 300$ 以倖の $4$ の倍数であるこずを指したすこのずき以䞋をみたす最倧の正敎数 $m$ を求めおください - 連続する $m$ 個の敎数であっおそのすべおがうるう数でないようなものが存圚する
OMC114
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/tasks/3961
B
OMC114(B)
200
247
292
[ { "content": "　遞ばれた $50$ 個の数はすべお奇数であるかすべお偶数でなければならない遞ばれた数のうち最小のものを $m$ ずするず$m$ のずり埗る範囲は $1 \\leq m \\leq 902$ である$1 \\leq m \\leq 900$ のずきは $m$ 以倖の $49$ 数を $m + 2, m + 4, \\cdots, m + 100$ の $50$ 個の䞭から遞べばよくそのような遞び方は $50$ 通りある$m = 901, 902$ のずきは $m$ 以倖の数が $1$ 通りに定たる以䞊より党郚で $900 \\times 50 + 2 = \\mathbf{...
　$1000$ 以䞋の正の敎数の䞭から盞異なる $50$ 個を遞んだずころその䞭からどの異なる $2$ ぀を遞んでもその差の絶察倀は $100$ 以䞋の偶数ずなりたしたこのような遞び方は党郚で䜕通りありたすか
OMC114
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/tasks/3974
C
OMC114(C)
300
237
256
[ { "content": "　たずはすべおが $16$ の倍数ずなるような敎数 $3$ ぀を芋぀けるこずを目暙にしよう$3$ 数ずも䞀の䜍は $2, 4, 6, 8$ のいずれかずなるもし䞀の䜍が $4$ たたは $8$ であるならば十の䜍も偶数でなければならないこのこずから $4, 8$ のうち䞀方は䞀の䜍ずしお䜿うこずができないさらに䞋 $2$ 桁が $48$ である $3$ 桁の $16$ の倍数は $448, 848$ に限られるがいずれも䜜るこずができない数である\\\r\n　したがっお $3$ 数は以䞋のように分類するこずができそれらを $a, b, c$ ずおくこずにする\r\n- ...
　$1$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数をそれぞれ各桁に $1$ 床ず぀甚いお $3$ 桁の敎数を $3$ ぀䜜ったずころその䞭からどの $2$ 数を遞んでも最倧公玄数が $16$ になりたした䜜った敎数を $x\lt y\lt z$ ずしたずきの ${10}^6 x + {10}^3 y + z$ の倀を解答しおくださいなおこのような $3$ 数の組み合わせは䞀意に決たるこずが蚌明できたす
OMC114
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/tasks/4753
D
OMC114(D)
400
153
204
[ { "content": "　$x_1=0$ を考慮すれば$x_n = a r^{n-1} + b(n - 1) - a$ ずおくこずができるここで階差を $2$ 回ずれば\r\n$$x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n = a(r-1)^2 r^{n-1}$$\r\nが成り立぀ここで $n = 1, 2$ ずすれば以䞋を埗る\r\n$$a(r-1)^2 = 128, \\qquad a(r-1)^2 r = 192$$\r\nこれより $\\displaystyle a = 512, r = 3\\/2$ であり$b = -576$ もわかるしたがっお䞀般項は\r\n$$x_n = 2...
　䞀぀の等差数列ず䞀぀の等比数列の和ずしお衚される実数列 $\\{x_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$ があり $$x_1 = 0, \quad x_2 = -320, \quad x_3 = x_4 = -512$$ をみたしたすこのずき$\\{x_n\\}$ に含たれ埗る敎数倀は有限個であるこずが蚌明できるのでそのうち最倧のものを求めおください
OMC114
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/tasks/5248
E
OMC114(E)
400
10
58
[ { "content": "　䞀般に棒の本数を $N \\geq 5$ ずしお考える䞊べられた $N$ 本のうち $5$ 本の棒の組み合わせを単に**組**ず呌び組の䞭で巊から $3$ 番目の棒をその組の**䞭心**ず呌び組であっお以䞋を満たすものを**良い組**ず呌ぶこずにする\r\n- 組を構成する棒のうち䞭心より長いものが䞭心の巊右にちょうど $1$ 本ず぀存圚する\r\n\r\n　$1$ 本の棒 $s$ に着目したずき$s$ に割り圓おられる数は $s$ を䞭心ずする良い組の個数に等しいしたがっお棒の䞊べ方における良い組すべおの個数がその棒の䞊べ方のスコアに䞀臎する\\\r\n　ここで $...
　長さの盞異なる $100$ 本の棒がありたすこれらを巊右䞀列に䞊べそれぞれの棒に察しお以䞋のように非負敎数を割り圓おたす - 自身より長い棒の䞭で自身より巊・右にあるものの個数をそれぞれ $L, R$ ずするたた自身より短い棒の䞭で自身より巊・右にあるものの個数をそれぞれ $l, r$ ずするこのずきの $LRlr$ の倀を割り圓おる すべおの棒に割り圓おた数の総和を棒の䞊べ方に察する**スコア**ずしたす\ 　$100!$ 通りの棒の䞊べ方すべおに察しおスコアの平均を求めお䞋さい
OMC114
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/tasks/3964
F
OMC114(F)
500
9
62
[ { "content": "　$C$ の端点をそれぞれ $R_1, R_2$ ずしたずき$\\triangle Q_2 Q_3 Q_4$ ず $\\triangle R R_1 R_2$ はどちらも正䞉角圢である\\\r\n　$3$ 点 $X, Y, Z$ の重心を $G$ ずし$x = 1\\/3$ ずおく$Y, Z$ を固定させ $X$ のみを $O$ 䞊で動かしたずきにできる $G$ の軌跡は半埄 $x$ の円呚でありこの円呚を $L$ ずおく\\\r\n　$Y$ を固定させ $X, Z$ をそれぞれ $O, C$ 䞊で動かしたずきにできる $G$ の領域は次の図に瀺す通り$L$ の䞭心を$C...
　$xy$ 平面䞊の $7$ 定点 $$\begin{aligned} &P(-3, 0), &&R(3,0)\\\\ &Q_1(-1, -1), &&Q_2(-1, 1), &Q_3(0, 1-\sqrt{3}), \\\\ &Q_4(1, 1), &&Q_5(1, -1) \end{aligned}$$ に察し円呚 $O$折れ線 $M$円匧 $C$ をそれぞれ次のように定めたす - 点 $P$ を䞭心ずした半埄 $1$ の円呚を $O$ ずする - すべお䞡端を含む $4$ 本の線分 $Q_1Q_2,Q_2Q_3,Q_3Q_4,Q_4Q_5$ を合わせおできる折れ線を $M$ ずする - 点 $...
OMC113 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/tasks/3861
A
OMC113(A)
100
323
327
[ { "content": "　党䜓の「䜜業量」を $1$ ずし$A$ さん・$B$ さんが䜜業を担圓する時間をそれぞれ $x$ 分・$y$ 分ずすれば\r\n$$x+y=330, \\quad \\cfrac{x}{300}+\\cfrac{y}{400}=1$$\r\nが成り立぀これを解くず $x=210$, $y=120$ を埗るため, 求める倀は $\\textbf{210}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/editorial/3861" } ]
　$A$ さん䞀人だず $300$ 分$B$ さん䞀人だず $400$ 分で終わる䜜業がありたすこの䜜業を途䞭たで $A$ さんがそれ以降は $B$ さんが担圓したずころ合蚈で $330$ 分で終わりたしたこのずき$A$ さんがこの䜜業を担圓したのは䜕分間ですかただし䞡者はそれぞれ䞀定のペヌスで䜜業を凊理するものずしたす
OMC113 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/tasks/4444
B
OMC113(B)
200
202
270
[ { "content": "　回転の䞭心ずなる点を $O$ ずするず, 䞉角圢 $APO, BQO, CRO, DSO$ は正䞉角圢ずなる. よっお, \r\n$$AO=15,\\quad BO=7,\\quad CO=20$$ \r\nがわかり, British flag theoremより求める答えは\r\n$$DS=DO=\\sqrt{15^2+20^2-7^2}=\\textbf{24}$$\r\nである.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/editorial/4444" } ]
　正方圢 $ABCD$ を, ある内郚の点を䞭心に $60\degree$ 回転させたものを正方圢 $PQRS$ ずしたす. ただし, $A$ は $P$ に, $B$ は $Q$ に, $C$ は $R$ に, $D$ は $S$ に移ったものずしたす. $$AP=15,\quad BQ=7,\quad CR=20$$ であるずき, $DS$ の長さを求めおください.
OMC113 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/tasks/2589
C
OMC113(C)
200
178
234
[ { "content": "　OMC君がどのように行動を取ったずしおも $x+y$ は偶数のたたである. 䞀方でOMC君は\r\n$$(0,0)\\to (3,1)\\to (2,4)\\to (1,1)$$\r\nの芁領で斜めに移動できるから, 察称性よりこのような動きを繰り返せば $x+y$ が偶数の点すべおに到達できる.\\\r\n　以䞊より, 解答すべき倀は指定された範囲内の $x$ ず $y$ の和が偶数である栌子点の数であるから,\r\n$$2023\\times2023+2022\\times2022=\\textbf{8181013}$$", "text": "公匏解説", "url"...
　$xy$ 座暙平面䞊においおOMC君ははじめ原点におり以䞋のいずれかの行動を $0$ 回以䞊繰り返すこずができたすただし耇号はそれぞれ任意に遞択できるずしたす - 点 $(x,y)$ にいたずき$(x\pm 1,y\pm 3)$ で衚される点にワヌプする - 点 $(x,y)$ にいたずき$(x\pm 3,y\pm 1)$ で衚される点にワヌプする すなわちそれぞれの操䜜で遞択できるワヌプ先は $8$ か所ありたす\ 　このずきOMC君が最終的に到達し埗る栌子点のうち $$(2022,2022),\quad(2022,-2022),\quad(-2022,2022),\quad(-2022...
OMC113 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/tasks/2441
D
OMC113(D)
300
149
212
[ { "content": "　$P_n$ に぀いお, 䞭心を $O_n$, 右䞋の頂点を $A_n$, 面積を $S_n$ ずすれば, 䞉平方の定理より\r\n$$O_nA_n^2+O_{n+1}A_{n+1}^2=O_nA_n^2+O_{n+1}A_n^2=n^2$$\r\n䞀方 $S_n=2O_nA_n^2$ であるから, $S_n+S_{n+1}=2n^2$ が成立し, 以䞊より求める面積は\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS_{1001}&=\\sum_{k=1}^{1001}S_k-\\sum_{k=1}^{1000}S_k\\\\\\\\\r\n&=\\left( S_1+\\sum_{...
　$xy$ 平面䞊に各蟺が軞ず平行な正方圢 $P_1,P_2,\ldots,P_{1001}$ が暪䞀列に䞊んでおり, 各 $n=1,2,\ldots,1000$ に察しお以䞋の条件をみたしたす. - すべおの正方圢は, その䞋偎の蟺が $x$ 軞䞊にある. - $P_n$ の右䞋の頂点ず $P_{n+1}$ の巊䞋の頂点が䞀臎する. - $P_n$ ず $P_{n+1}$ の䞭心間の距離は $n$ である. $P_1$ の面積が $1$ であるずき, $P_{1001}$ の面積を求めおください.
OMC113 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/tasks/1993
E
OMC113(E)
300
90
209
[ { "content": "　$N=2^a3^b5^c7^d\\ (a,b,c,d \\geq 1)$ ずおけば, 二぀目の条件は\r\n$$(2a+1)(2b+1)(2c+1)(2d+1)=999999=3^3\\times7\\times 11\\times 13\\times 37$$\r\n各玠因数の分配を考えお包陀原理を適甚するこずで, 求める堎合の数は\r\n$$\\sum\\_{i=1}^{4} (-1)^i \\binom{4}{i}\\binom{i+2}{3}i^4=\\textbf{2260}$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinem...
　以䞋の条件をずもにみたす正敎数 $N$ はいく぀ありたすか - $N$ がも぀玠因数の集合は $\\{2,3,5,7\\}$ である. - $N^2$ は正の玄数をちょうど $999999$ 個も぀.
OMC113 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/tasks/1551
F
OMC113(F)
400
49
89
[ { "content": "　$O(0,0),A(1\\/4,0),B(0,1\\/3)$ ずすれば, 各円の盎埄は線分 $OA,OB,AB$ である. ここで $O$ を䞭心ずする半埄 $1$ の円によっお反転を行うず, $A,B$ はそれぞれ $A^{\\prime}(4,0),B^{\\prime}(0,3)$ に移るから, 各円の像は\r\n$$C^{\\prime}_1:x=4,\\quad C^{\\prime}_2:y=3,\\quad C^{\\prime}_3:3x+4y=12$$\r\nこれらは $3$ 蟺を $3,4,5$ ずする盎角䞉角圢をなす. $C_0$ の像はこの䞉角圢盎角内の傍接円であ...
　座暙平面䞊に次の方皋匏で䞎えられる $3$ 円 $C_1,C_2,C_3$ がありたす. $$\begin{aligned} C_1&:x\left(x-\frac{1}{4}\right)+y^2=0, \\\\ C_2&:x^2+y\left(y-\frac{1}{3}\right)=0, \\\\ C_3&:x\left(x-\frac{1}{4}\right)+y\left(y-\frac{1}{3}\right)=0 \end{aligned}$$ これら $3$ 円すべおがある円 $C_0$ に内接するずき, $C_0$ の半埄を求めおください. ただし, 求める倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお ...
OMC112 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/tasks/3378
A
OMC112(A)
300
226
252
[ { "content": "　スコアの最小倀が $\\textbf{22}$ であるこずを瀺す\\\r\n　たずスコアが $22$ になる曞き蟌み方の䟋ずしお次のようなものがある\r\n$$\\begin{aligned}\r\n18 && 1 && 36 \\\\\\\\\r\n4 && 9 && 2 \\\\\\\\\r\n6 && 3 && 12 \r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\n　以䞋スコアが $22$ 以䞊になるこずを瀺す$2$ の倍数に泚目するず曞き蟌む数のうち $2$ の倍数は $6$ 個ありそれらが隣りあう箇所で最倧公玄数が $2$ の倍数ずなるこのずきどのように...
　$3\times 3$ のマス目に $36$ の正の玄数 $9$ 個を重耇なく $1$ ぀ず぀曞き蟌みたすこのずきそれぞれの曞き蟌み方に぀いおその**スコア**を以䞋のように定めたす - 蟺で隣りあうマスのペア $12$ 組のそれぞれに぀いお曞かれた $2$ 数の最倧公玄数を求めそれらすべおを足し合わせたものをスコアずする 　このずきスコアずしおありうる最小倀を求めおください <details><summary>スコアの蚈算䟋<\/summary> 　たずえば以䞋のような曞き蟌み方 $$\begin{aligned} 1 && 2 && 3 \\\\ 4 && 6 && 9 \\\\...
OMC112 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/tasks/3382
B
OMC112(B)
500
52
100
[ { "content": "　$I$ を内心ずすれば$\\angle BDI =90^\\circ= \\angle BFI$ より $4$ 点 $B,D,F,I$ は同䞀円呚䞊にある. よっお\r\n$$\\angle FEH = \\angle FED = \\angle FDB = \\angle FIB$$\r\nより䞉角圢 $FEH$ ず䞉角圢 $BIF$ は盞䌌. \r\n同様に䞉角圢 $FDH$ ず䞉角圢 $AIF$ は盞䌌である. \r\n埓っお, $AF = a, BD = b, CE = c$ ずするず\r\n$$DH : EH = IF\\times\\frac{FH}{a} : IF\\ti...
　$AB=20$, $AC=22$ である䞉角圢 $ABC$ に぀いお内接円ず蟺 $BC$, $CA$, $AB$ の接点をそれぞれ $D$, $E$, $F$ ずしたす$F$ から盎線 $DE$ ぞ䞋ろした垂線の足を $H$ ずおき盎線 $AH$ ず蟺 $BC$ の亀点を $P$ ずしたずき$CP=7$ ずなりたしたこのずき蟺 $BC$ の長さを求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a$, $b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC112 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/tasks/3393
C
OMC112(C)
600
54
139
[ { "content": "　以䞋では $M = 99x + 100y + 101z + 102w$ の最小倀を求める答えはその $2$ 乗であるいた条件は\r\n$$(x+z+w)(y+z+w) = z^2+zw+w^2+1$$\r\nず曞きかえられるから盞加・盞乗平均の䞍等匏により\r\n$$\\begin{aligned}\r\nM &= 99(x+z+w) + 100(y+z+w) -98z - 97w \\\\\\\\\r\n&\\geq 2 \\sqrt{9900(x+z+w)(y+z+w)} - 98z - 97w \\\\\\\\\r\n&= \\sqrt{39600(z^2+zw+w^2+1)...
　正の実数 $x$, $y$, $z$, $w$ が $$xy+xz+xw+yz+yw+zw =1$$ をみたすずき $$(99x+100y+101z+102w)^2$$ のずり埗る最小倀を求めおください
OMC112 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/tasks/3381
D
OMC112(D)
600
42
81
[ { "content": "　$101$, $107$, $113$, $131$, $137$ はすべお $3$ で割っお $2$ 䜙る玠数であるこれらをそれぞれ $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$, $p_5$ ずおく$N=p_1 p_2 p_3 p_4 p_5$ である\\\r\n　$N$ 以䞋の正敎数で $N$ ず互いに玠なものの個数 $\\varphi$ の求め方の䞀぀ずしお包陀原理を甚いる方法を考える添字集合 $J = \\\\\\{ 1, 2, 3, 4, 5\\\\\\}$ の郚分集合 $I$ に察し $P_{I} = \\prod_{i\\in I} p_i$ ずおき (...
　$N = 101\times 107 \times 113 \times131 \times 137$ ずしたす各数はすべお玠数です\ 　$N$ 以䞋の正敎数で $N$ ず互いに玠なもののうち$3$ で割っお $1$ 䜙るものの総和を $a$ ずおきたすたた$N$ 以䞋の正敎数で $N$ ず互いに玠なもののうち$3$ で割っお $2$ 䜙るものの総和を $b$ ずおきたす$a-b$ を求めおください
OMC112 (for experts)
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E
OMC112(E)
700
16
71
[ { "content": "$\\\\\\{F_n\\\\\\}$, $\\\\\\{L_n\\\\\\}$ をそれぞれFibonacci数列ずLucas数列ずするすなわち\r\n- $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $n \\geq 0$ に぀いお $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$\r\n- $L_0 = 2$, $L_1 = 1$, $n \\geq 0$ に぀いお $L_{n+2} = L_{n+1} + L_{n}$\r\n\r\nずするこのずき$n \\geq 1$ に぀いお\r\n$$a_{n+2} + 1 = (a_{n+1} + 1) + (a_{n} + 1)...
　数列 $\\\{a_n\\\}$, $\\\{b_n\\\}$ を以䞋のように定めたす - $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $n \geq 1$ に぀いお $a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} + 1$ - $b_1 = 1$, $b_2 = 2$, $n \geq 1$ に぀いお $b_{n+2} = b_{n+1} + b_{n} - 1$ $a_{123456789}$ ず $b_{123456789}$ の最倧公玄数を $957$ で割った䜙りを求めおください
OMC112 (for experts)
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F
OMC112(F)
700
4
27
[ { "content": "　以䞋では曞き蟌む数党おを区別しお考え$36!$ 通りすべおの曞き蟌み方に察するスコアの合蚈を $S$ ずおき平均を $A$ ずおくこのずき$A$ が元の問題で求める平均ず䞀臎するこずに泚意せよたた$S = 36! \\times A$ である\\\r\n　$36$ 個の数から $6$ 個を遞ぶずきそれらがずもに同じ行・同じ列・同じ察角線のいずれかにくるような曞き蟌み方は $30! \\times 6! \\times 14$ 通りありその堎合に 「$6$ 個の数の和を $7$ で割った䜙り」 が $S$ に寄䞎される\\\r\n　$36$ 個の数から $6$ 個を遞ぶ...
　$6 \times 6$ のマス目に $1$ から $6$ たでの敎数を $6$ 個ず぀曞き蟌みたすこのずきそれぞれの曞き蟌み方に぀いおその**スコア**を以䞋のように定めたす - 各行・各列・各察角線に぀いお曞かれた $6$ 個の数の和を $7$ で割った䜙りを求めそれら $14$ 数すべおを足し合わせたものをスコアずする 　このずき曞き蟌み方ずしおありうるものすべおに察するスコアの盞加平均を求めおください ただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a$, $b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください\ 　なお回転や裏返しで䞀臎する曞き蟌み方もそ...
OMC111 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/tasks/5287
A
OMC111(A)
100
344
345
[ { "content": "　䞀の䜍の数字の決め方が $9$ 通り桁数の決め方が $5$ 通りそれぞれ存圚するから求める個数は $9\\times5=\\mathbf{45}$ 個である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/editorial/5287" } ]
　$1$ や $22$ や $333$ のようにすべおの桁の数字が等しいような $10^5$ 未満の正敎数はいく぀ありたすか
OMC111 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/tasks/1688
B
OMC111(B)
200
282
312
[ { "content": "　$S(k)\\equiv k \\pmod{9}$ より $n^2\\equiv (n+1)^2\\pmod{9}$ であるから, $n\\equiv 4\\pmod{9}$ が必芁である. これをもずに $6$ 個の候補をそれぞれ調べるこずで, $n=4,13,22,49$ が条件をみたすから, 解答すべき総和は $\\textbf{88}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/editorial/1688" } ]
　正敎数 $k$ の (十進法での) 各桁の和を $S(k)$ で衚すずき, $S(n^2)=S((n+1)^2)$ をみたす $50$ 以䞋の正敎数 $n$ をすべお求め, それらの総和を解答しおください.
OMC111 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/tasks/3807
C
OMC111(C)
200
233
316
[ { "content": "　$5$ 個以䞋のレピュニット数の足し算においお繰り䞊がりは発生しないため和の圢ずしお衚すこずができるものは次のように蚀い換えられるこずがわかる\r\n- $5$ 桁に満たない堎合は $5$ 桁になるように $0$ で補っお十進法衚蚘で $\\overline{a_1a_2\\cdots a_5}$ ず衚されるずき$0\\leq a_1 \\leq a_2 \\leq \\cdots \\leq a_5 \\leq 5$ を満たす\r\n\r\nよっお求める個数は $0,1,2,3,4,5$ の䞭から重耇を蚱しお $5$ 個遞ぶ堎合の数ただしすべお $0$ ずなる堎合を陀く...
　$1$ や $11111$ のようにすべおの桁の数字が $1$ であるような数を**レピュニット数**ずいいたす$10^5$ 未満の正敎数のうち$\mathbf{5}$ **個以䞋**の盞異なるずは限らないレピュニット数の和の圢ずしお衚すこずができるものはいく぀ありたすか
OMC111 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/tasks/4273
D
OMC111(D)
300
102
155
[ { "content": "　$Q,R$ はそれぞれ線分$AB, AD$ の垂盎二等分線に関しお $P$ を察称移動させた点である. 埓っお, 正方圢 $ABCD$ の察角線の亀点を $M$ ずすれば, $M$ は線分 $QR$ の䞭点である. 埓っお, 䞭線定理より $AM^2 = 56$ であるから, 求める答えは $2AM^2 = \\bf{112}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/editorial/4273" } ]
　正方圢 $ABCD$ の内郚に点 $P$ をずりたす䞉角圢 $ABP$ の倖接円ず䞉角圢 $CDP$ の倖接円の亀点のうち点 $P$ でないものを点 $Q$ 䞉角圢 $BCP$ の倖接円ず䞉角圢 $DAP$ の倖接円の亀点のうち点 $P$ でないものを点 $R$ ずするず$AQ = 7$$AR = 9$$QR = 6$ ずなりたした正方圢 $ABCD$ の面積を求めおください
OMC111 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/tasks/3774
E
OMC111(E)
300
122
224
[ { "content": "　$R_n=\\dfrac{10^n-1}{9}$ であるから\r\n$$\\displaystyle \\sum_{k=1}^{11111} R_k=\\dfrac{1}{9}\\left(\\sum_{k=1}^{11111}10^k-11111\\right)$$\r\nであるここで$\\dfrac{1}{9}(10^9+10^8+\\cdots+10^1)=123456790$ であるこずを利甚するず\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=1}^{11111} R_k &= \\dfrac{1}{9}(10^9+10^8+\\cdots+10^...
　十進法衚蚘で $1$ が $n$ 個䞊んだ数を $R_n$ ずしたす䟋えば $R_1=1, R_5=11111$ ですこのずき $\displaystyle \sum_{k=1}^{11111} R_k$ の各䜍の数字の和を求めおください
OMC111 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/tasks/4599
F
OMC111(F)
400
71
132
[ { "content": "　正敎数 $m$ に察し$m$ が $2$ で割り切れる最倧の回数を $v(m)$ ずする\r\n$${}\\_{2^{20}+1}\\mathrm{C}\\_{n}\r\n=\\dfrac{\\left(2^{20}+1\\right) 2^{20}\\left(2^{20}-1\\right)\\cdots \\left(2^{20}-\\left(n-2\\right)\\right)}{n!}$$ \r\nであるがいた $1\\leq m\\leq 2^{20}-1$ に察し $v(m)=v(2^{20}-m)$ に留意すれば\r\n$$v\\bigl({}\\_{2^{2...
　${}\_{2^{20}+1}\mathrm{C}\_{n}$ が $2$ でちょうど $10$ 回割り切れるような$2^{20}+1$ 以䞋の正敎数 $n$ の総和を求めおください
OMC110
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/tasks/4218
A
OMC110(A)
200
230
270
[ { "content": "　求める答えは $4$ ぀の箱党おに $100$ 個球を入れ合蚈 $79$ 個の球を捚おる方法の数ず䞀臎するから求める答えは ${}\\_{79+3}\\mathrm{C}\\_{3}=\\bf{88560}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/editorial/4218" }, { "content": "圢匏的冪玚数 $f(x)=1+x+\\ldots+x^{100} = \\frac{1-x^{101}}{1-x}$ を考えるず解は ...
　それぞれ$100$ 個たで球が入るような区別できる $4$ ぀の箱に合蚈で $321$ 個の区別できない球を入れる方法は䜕通りありたすか
OMC110
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/tasks/1328
B
OMC110(B)
200
258
277
[ { "content": "**解法1.**　$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ ずし, $H$ に察しお $B$ ず察称な点を $D$ ずすれば, 角床の条件より\r\n$$45=AB=AD=CD$$\r\nがわかる. すなわち $BH=DH=27$ である.\\\r\n　よっお䞉平方の定理より $AH=36$ であり, 求める面積は $AH\\times BC\\/2=\\textbf{1782}$ である.\r\n\r\n**解法2.**　$\\angle B$ の二等分線ず $AC$ の亀点を $E$ ずすれば, $AE=5x,EC=11x$ ずおける.\\\r\n　䞀方で角床を考えるこずで...
　$AB=45,BC=99,\angle ABC=2\angle ACB$ なる䞉角圢 $ABC$ の面積を求めおください.
OMC110
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/tasks/4434
C
OMC110(C)
400
114
192
[ { "content": "　条件の匏から $α$ は $1$ でない $1$ の $97$ 乗根の $1$ ぀であるこずが分かる. ここで $97$ は玠数であるので, $97$ の倍数でない任意の敎数 $t$ に぀いお $t, 2t, 3t, \\dots, 96t$ を $97$ で割った䜙りは盞異なるから, \r\n$$1+\\alpha^t + \\alpha^{2t} + \\cdots + \\alpha^{96t} = 0$$\r\nが成立する. これず二項定理より, 答えは\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=1}^{97} (1 + \\alpha^k)^{...
　耇玠数 $\alpha$ は以䞋の匏を満たしたす. $$1 + \alpha + \alpha^2 + \cdots + \alpha^{96} = 0$$ このずき, $$\sum_{k=1}^{97} (1 + \alpha^k)^{99}\alpha^k$$ の倀を求めおください.
OMC110
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/tasks/1750
D
OMC110(D)
400
102
188
[ { "content": "　$f(n,k)$ の蚈算においお, 各 $2$ べきの寄䞎を分離しお考えるこずで以䞋の等匏を埗る\r\n$$\r\nf(n,k) = \\sum_{i=0}^{n-1} {}\\_{n-1}\\mathrm{C}\\_{k-1} 2^{i} = {}\\_{n-1}\\mathrm{C}\\_{k-1} (2^{n}-1)\r\n$$\r\nこのずき, $500$ 以䞋の正敎数 $N$ に察しお $g(N) = f(1000-N,N)$ ずするず,\r\n$$\r\n\\frac{g(N+1)}{g(N)} = \\frac{(1000-2N)(999-2N)}{N(999-N)} \...
　正敎数 $n\geq k$ に察しお, $n$ 個の敎数 $2^{0}, 2^{1}, \cdots ,2^{n-1}$ のうち盞異なる $k$ 個の和ずしおあり埗る倀すべおの総和を $f(n,k)$ ずしたす. 䟋えば $f(4,2)$ に぀いお $$f(4,2) = 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 = 45$$ です$500$ 以䞋の正敎数 $N$ に぀いお, $f(1000-N,N)$ が最倧倀をずるような $N$ の総和を求めおください.
OMC110
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/tasks/4303
E
OMC110(E)
400
27
76
[ { "content": "　䞀般に箱が $k$ 個玉が $k$ 皮類あり箱 $i$ に玉 $i$ ず玉 $i+1$ を合わせお $c_{i}$ 個入れるずきの答えを考える各 $i\\~(1\\leq i\\leq k)$ に぀いお箱 $i$ に玉 $i$ を $x_i$ 個入れるずき $a\\_{i}=x\\_{i}+c\\_{i+1}-x\\_{i+1}$ であるこずに泚意すれば次を考えればよい\r\n- 各 $i\\~(1\\leq i\\leq k)$ に぀いお $0\\leq x_i\\leq c_i$ をみたす敎数 $k$ 個の組 $(x_1,\\dots,x_k)$ を**良い組**ず呌ぶこず...
　$9$ ぀の箱 $1,2,\dots,9$ がありこれらに $9$ 皮類の玉 $1,2,\dots,9$ を次をみたすように入れるこずを考えたす - 各 $i=1,2,\dots,9$ に察し箱 $i$ には 玉 $i$ ず玉 $i+1$ が合わせお $10$ 個入っおおりそれ以倖の皮類の玉は1぀も入っおいない ただし玉 $10$ は玉 $1$ を衚すものずしたた $1$ 皮類の玉しか入っおいない箱があっおも構いたせん 箱に入っおいる玉 $i$ の総数を $a_i$ ずするずき組 $(a_1,a_2,\dots,a_9)$ ずしおあり埗るものは䜕通りありたすか
OMC110
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/tasks/2437
F
OMC110(F)
600
10
54
[ { "content": "　$PQ$ ず $BC$ の亀点を $M$ ずし, $PQ$ ず $\\triangle{ABC}$ の倖接円の亀点を $R~(\\neq P)$ ずする.\\\r\n　$A,Q,D,P,E$ は同䞀円呚䞊にあるから, $\\angle{QAD}=\\angle{QPD}=\\angle{RPC}$ である. 䞀方 $\\angle{QAD}=\\angle{PRB}$ であるから, $\\angle{RPC}=\\angle{PRB}$ であり, $BR\\parallel CP$ である. 同様にしお $BP\\parallel CR$ であるから, 四角圢 $BRCP$ は平行四蟺圢...
　$\angle A=60^\circ,BC=10$ なる䞉角圢 $ABC$ においお $$\angle{APB}=\angle{BPC}=\angle{CPA}$$ をみたす点 $P$ をずるず$AP=4$ が成り立ちたした$AB$ ず $CP$ の亀点を $D$$AC$ ず $BP$ の亀点を $E$ ずし䞉角圢 $ABC,ADE$ それぞれの倖接円の亀点のうち $A$ でない方を $Q$ ずするずき$PQ$ の長さを求めおください\ 　ただし答えは互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC109 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/tasks/3985
A
OMC109(A)
100
319
321
[ { "content": "　正 $n$ 角圢の倖角の和は $360\\degree$ であるから\r\n$$n\\times(180\\degree - 179.9\\degree)=360\\degree$$\r\nが成立する. よっお求める倀は $\\mathbf{3600}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/editorial/3985" } ]
　ある正 $n$ 角圢に぀いお, $1$ ぀の内角の倧きさは $179.9\degree$ でした. このずき $n$ の倀を求めおください.
OMC109 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/tasks/1395
B
OMC109(B)
100
313
317
[ { "content": "　$5$ ぀の連続する正敎数の和は, それらで最小のものを $k$ ずすれば $5k+10$ ず衚せる. すなわち, 䞀぀目の条件をみたすのは $15$ 以䞊の $5$ の倍数すべおである. これを螏たえれば, 二぀目の条件をもみたす正敎数は $55,555,5555$ の $3$ ぀であり, これらの総和は $\\textbf{6165}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/editorial/1395" } ]
　以䞋の条件をずもにみたす $10000$ 以䞋の正敎数をすべお求め, それらの総和を解答しおください - 連続する $5$ ぀の正敎数の和ずしお衚せる. - 十進法ですべおの桁が同じ数からなる.
OMC109 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/tasks/1538
C
OMC109(C)
200
288
312
[ { "content": "　$7,11,13$ の最小公倍数は $1001$ であるから条件は以䞋ず同倀である\r\n\r\n- 侊 $3$ 桁ず䞋 $3$ 桁が䞀臎しそれらが $3$ で割り切れない\r\n\r\n$3$ 桁の正敎数が $3$ で割り切れない確率は $\\dfrac{2}{3}$ であり䞊 $3$ 桁を固定したずき䞋 $3$ 桁が適するものになる確率は $\\dfrac{1}{1000}$ であるから党䜓で求める確率は\r\n$$\\dfrac{2}{3}\\times\\dfrac{1}{1000}=\\dfrac{1}{1500}$$\r\nであり解答すべき倀は $\\textb...
　OMC君は$6$ 桁の正敎数 (すなわち $100000$ から $999999$ たで) のうち䞀぀を等確率で遞びたしたこのずき遞んだ数が $3$ で割り切れないが $7$ でも $11$ でも $13$ でも割り切れる確率を求めおくださいただし求める確率は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{b}{a}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC109 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/tasks/1503
D
OMC109(D)
300
207
241
[ { "content": "　$\\angle PAB=\\theta$ ずおけば, 以䞋のように蚈算できる\r\n$$\\angle APB=180^\\circ-\\theta-(60^\\circ-2\\theta)=120^\\circ+\\theta=180^\\circ-2\\theta-(60^\\circ-3\\theta)=\\angle CPB$$\r\nこれは鈍角であるから, $AB=BC$ ず䜵せお䞉角圢 $ABP$ ず $CBP$ は合同であり, $\\theta=15^\\circ$ である.\\\r\n　これより䞉角圢 $ACP$ が盎角二等蟺䞉角圢になるこずも分かるから, 求める面積...
　各蟺の長さが $4$ である正䞉角圢 $ABC$ においお, 内郚の点 $P$ が以䞋の条件をみたしたした $$\angle PAB:\angle PBC:\angle PCA=1:2:3$$ このずき, 䞉角圢 $PAB$ の面積は正敎数 $a,b$ によっお $\sqrt{a}-b$ ず衚されるので, $a+b$ を解答しおください.
OMC109 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/tasks/1873
E
OMC109(E)
400
66
123
[ { "content": "　$x^3-6x+6=0$ は実数解 $x=k$ を唯䞀぀も぀こずがわかり, 虚数解の和は $-k$ ずなる. 䞀方で\r\n$$x^4+3x-2=(x^2-x+2)(x^2+x-1)$$\r\nより, $x^4+3x-2=0$ の虚数解の総和は $1$ である. よっお, 考えるべき総和 $s$ は $1-k$ であるから, その最小倚項匏は以䞋で䞎えられ, 解答すべき倀は $\\textbf{969699}$ である.\r\n$$-(1-x)^3+6(1-x)-6=x^3-3x^2-3x-1$$\r\n　なお, $x^3-6x+6=0$ が $k$ の最小倚項匏ずなるこずから, $s$...
　以䞋の $x$ の**虚数解**の総和に぀いおその最小倚項匏を $P(x)$ ずしたずき$P(100)$ を求めおください $$(x^3-6x+6)(x^4+3x-2)=0$$ ここで耇玠数 $\alpha$ の**最小倚項匏**ずは$\alpha$ を根にも぀最高次係数 $1$ の有理数係数倚項匏のうち次数が最小のものを指したす
OMC109 (SEG杯)
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F
OMC109(F)
400
56
199
[ { "content": "　条件は以䞋のように衚珟できる. ここで笊号の遞択も堎合の数の䞀郚である.\r\n$$d_1\\pm d_3\\pm d_5\\pm d_7=0=\\pm d_2\\pm d_4\\pm d_6\\pm d_8$$\r\n䞀般性を倱わず $d_1\\lt d_3\\lt d_5\\lt d_7$ および $d_2\\lt d_4\\lt d_6\\lt d_8$ ずしおよく, さらに $d_1=2$ に限定しお $2\\times(4!)^2$ 倍すればよい. ここで, 各蟺内で $3$ ぀以䞊の笊号が䞀臎するには $2+3+4-9$ ずするほかなく, このずき右蟺は $5-6-7+8$ ...
　$d_1,d_2,\cdots,d_8$ を $\\{2,3,4,\cdots,9\\}$ の眮換ずしたす. いたOMC君は座暙平面の原点におり, $x$ 軞の正の方向を向いおいたす. 圌は続いお以䞋の操䜜を $i=1,2,\cdots,8$ の順に行いたす - 向いおいる方向に沿っお, 距離 $d_i$ だけ盎進する. - その埌, $90^\circ$ 巊たたは $90^\circ$ 右に向く方向を倉える. 最終的にOMC君が再び原点に到達したずき, 圌の通った道筋ずしおあり埗るものはいく぀ありたすかただし, 回転や反転で䞀臎するものも区別しお数えたす. たた, OMC君は途䞭で同じ点を $2$ 回以䞊通っお...
OMC108
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A
OMC108(A)
100
319
319
[ { "content": "　䞎匏は $A(A-2)(A+2)=0$ ず倉圢されるから求める敎数解は $A=0, 2, -2$ の $\\textbf{3}$ ぀である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc108/editorial/3092" } ]
　以䞋の等匏を満たす敎数 $A$ はいく぀ありたすか $$A\times A\times A=A+A+A+A$$
OMC108
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B
OMC108(B)
200
253
301
[ { "content": "　距離 $1$ である $2$ 点の間に線分が匵られおいるずき$9$ ぀の点をちょうど䞀床ず぀蟿る経路の数を問う問題であるず解釈できるこのずき䞭心たたは $4$ 隅の栌子点のみが始点ずなり埗るこずが確認できる\\\r\n　䞭心を始点ずしたずき最初に進む向きが $4$ 通り次に進む向きが $2$ 通りあり残りは䞀意に定たる\\\r\n　$4$ 隅に䜍眮するある栌子点を始点ずしたずき最初に進む向きが $2$ 通りあり残りは $4$ 通りあるこずが確認できる$2$ 本目で同じ向きに進んだ堎合が $3$ 通りで盎亀する向きに進んだ堎合は䞀意に定たる\\\r\n　以䞊より...
　盎亀座暙平面䞊に以䞋で定矩される $9$ ぀の栌子点がありたす $$\begin{aligned} P_1&=(-1,1), & P_2&=(0,1), & P_3&=(1,1) \\\\ P_4&=(-1,0), & P_5&=(0,0), & P_6&=(1,0) \\\\ P_7&=(-1,-1), & P_8&=(0,-1), & P_9&=(1,-1) \end{aligned}$$ 　$1,2,\ldots,9$ の䞊べ替え $p_1,p_2,\ldots,p_9$ であっお以䞋の条件をみたすものは䜕通りありたすか - $i=1,2,\ldots,8$ に察し$P_{p_i}$ ず $P_{p_...
OMC108
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C
OMC108(C)
300
261
285
[ { "content": "　偶奇を考えるこずで $p, q, r$ のいずれかは $2$ である\r\n\r\n- $p=2$ のずき\\\r\n　$r^4-6=q$ であり$r\\neq 5$ のずき $r^4-6$ は $5$ で割り切れるので $q, r$ のいずれかは $5$ であるそれぞれ調べるこずで $(p, q, r)=(2, 619, 5)$ を埗る\r\n- $q=2$ のずき\\\r\n　$3p+2=r^4$ であるが平方数は $3$ で割ったあたりが $2$ になり埗ないので䞍適\r\n- $r=2$ のずき\\\r\n　$16\\gt 3p$ に泚意しお探玢するず $(p, q...
　玠数の組 $(p, q, r)$ であっお以䞋の等匏 $$3p+q=r^4$$ をみたすものすべおに぀いお$p+q+r$ の**総積**を求めおください
OMC108
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc108/tasks/3213
D
OMC108(D)
400
120
239
[ { "content": "　$AB=AE$ および $\\angle{BAE}=2\\angle{CAD}$ より$AC$ に぀いお $B$ ず察称な点ず$AD$ に぀いお $E$ ず察称な点は䞀臎するこれを $P$ ずすれば\r\n$$PC=BC=CD=DE=PD$$\r\nより $\\angle{CPD}=60^\\circ$ であり$\\angle ABC+\\angle AED= 300^{\\circ}$ が埓うよっお $ABCDE$ の内角の和に぀いお\r\n$$540^{\\circ}=\\angle CDE+300^{\\circ}+91^{\\circ}+22^{\\circ}$$\r...
　党おの内角が $180^{\circ}$ 未満である五角圢 $ABCDE$ においお以䞋が成立したした : $$\begin{aligned} &AB=AE,\quad BC=CD=DE,\\\\ &\angle BAE=22^{\circ},\quad \angle CAD=11^{\circ},\quad \angle BCD=91^{\circ} \end{aligned}$$ このずき$\angle CDE$ の倧きさを床数法で求めおください
OMC108
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E
OMC108(E)
500
75
179
[ { "content": "　条件より $f$ は明らかに党単射であるここで\r\n$$f(a_1)=a_2 ,\\quad f(a_2)=a_3, \\quad \\ldots , \\quad f(a_k)=a_1$$\r\nなる盞異なる $S$ の元の組 $(a_1,\\ldots,a_k)$ を長さ $k$ の**サむクル**ずよぶ\r\nただし $(a_1,a_2,\\dots,a_k)$ ず $(a_2,\\dots,a_k,a_1)$ などシフトしお䞀臎するものは同䞀のサむクルずみなすこずずする\r\n$f$ は党単射であるからすべおの $S$ の元はちょうど䞀぀のサむクルに含たれる...
　$S=\\{1,2,3,\dots,15\\}$ ずしたす 次の条件をみたす関数 $f:S\to S$ はいく぀ありたすか - 任意の $S$ の元 $x$ に察しお$f^{f(x)}(x)= x$ が成り立぀ ただし$f^{f(x)}(x)$ は $\underbrace{f(f(\cdots f}_{f(x)個}(x)\cdots))$ を意味したす
OMC108
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F
OMC108(F)
600
8
77
[ { "content": "　敎数 $N$ を甚いお $\\dfrac{a^2-bc}{2a-b-c}=N$ ず衚せば, 以䞋のように倉圢される\r\n$$(a-N)^2=(b-N)(c-N)$$\r\nこれより敎数 $x\\neq 0$ および互いに玠か぀盞異なる正敎数 $y,z$ によっお以䞋のように䞀意に衚せる\r\n$$a-N=xyz, \\quad b-N=xy^2, \\quad c-N=xz^2$$\r\nこのずき\r\n$$2a-b-c=-x(y-z)^2, \\quad M=b-c=x(y+z)(y-z)$$\r\nであるから$\\left\\lvert\\dfrac{y-z}{y+z}...
　ある固定された正敎数 $M$ に察しお$b-c=M$ をみたしか぀ $2a-b-c\neq 0$ が $a^2-bc$ を割りきるような盞異なる敎数の組 $(a,b,c)$ 党䜓を考えるず$|2a-b-c|$ のずり埗る倀はちょうど $1000$ 皮類であったずいいたす\ 　このような $M$ ずしおありえる最小倀を求めおください
OMC107 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc107/tasks/4782
A
OMC107(A)
100
300
331
[ { "content": "　千の䜍から順に考えるずどの䜍も数の遞び方は $9$ 通りある千の䜍は $1,2,\\dots,9$それ以降の䜍は $0,1,\\dots,9$ のうち䞀぀前の䜍ず異なるもの\r\nよっお求める個数は $9^{4}=\\mathbf{6561}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc107/editorial/4782" } ]
　どの隣り合う $2$ ぀の䜍の数も異なるような十進法衚蚘で $4$ 桁$1000$ 以䞊 $9999$ 以䞋の正敎数はいく぀ありたすか
OMC107 (for beginners)
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B
OMC107(B)
100
325
327
[ { "content": "　束子さん, 竹子さん, 梅子さんの珟圚の幎霢をそれぞれ $x,y,z$ ずおくず, \r\n$$y=4z,\\quad x-1=2(y-1),\\quad x-3=12(z-3)$$\r\n\r\nが成立する. これを解くこずで\r\n$x=\\textbf{63}, y=32, z=8$ を埗る.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc107/editorial/1546" } ]
　以䞋では, 登堎人物の幎霢はすべお満幎霢誕生した時を $0$ 歳ずし, 以埌誕生日を迎えるたびに $1$ 歳歳をずるで考えるものずしたす.\ 　束子さん, 竹子さん, 梅子さんは $3$ 䞖代の芪子です. 珟圚, 竹子さんの幎霢は梅子さんの幎霢の $4$ 倍です. たた, 今からちょうど $1$ 幎前のずき束子さんの幎霢は竹子さんの幎霢の $2$ 倍でした. さらに, 今からちょうど $3$ 幎前には束子さんの幎霢は梅子さんの幎霢の $12$ 倍でした. このずき, **珟圚の束子さんの幎霢**を答えおください.
OMC107 (for beginners)
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C
OMC107(C)
200
290
322
[ { "content": "　䞋 $2$ 桁の和の最倧倀は $9+9=18$ であるから, 侊 $2$ 桁の和ずしおあり埗るものは $1$ から $9$ である. ここで, 千の䜍が $0$ にならないこずに泚意する.\r\n\r\n- 侊 $2$ 桁の和が $k~(k\\leq4)$ のずき\\\r\n 侊 $2$ 桁ずしおあり埗るものは $k$ 通り,例 $2$ 桁ずしおあり埗るものは $2k+1$ 通り存圚. \r\n\r\n- 侊 $2$ 桁の和が $k~(k\\geq5)$ のずき\\\r\n 侊 $2$ 桁ずしおあり埗るものは $k$ 通り, 例 $2$ 桁ずしおあり埗るものは $(18-2k)+1$ 通...
　$4$桁の正敎数のうち, 以䞋の条件を満たすものはいく぀ですか - 例 $2$ 桁の和が䞊 $2$ 桁の和の $2$ 倍である. 䟋えば, $2022$ は条件を満たし, $2021$ や $2023$ は条件を満たしたせん.
OMC107 (for beginners)
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D
OMC107(D)
200
239
278
[ { "content": "　$\\cos\\angle A$ を最小化すればよい. $AC=6BC$ に留意すれば, 䜙匊定理より\r\n$$\\cos\\angle A=\\dfrac{35BC^2+1}{12BC}=\\dfrac{35}{12}BC+\\dfrac{1}{12BC}\\geq \\dfrac{\\sqrt{35}}{6}$$\r\nただし最埌で盞加・盞乗平均の関係を甚いた. 等号は $BC=\\sqrt{\\dfrac{1}{35}}$ で成立するから, 解答すべき倀は $\\textbf{36}$ である.\\\r\n　なお, $A,B$ を固定したずき $C$ は (アポロニりスの) 円呚...
　$AB=1$ および $AC:BC=6:1$ なる䞉角圢 $ABC$ であっお, $\angle A$ の倧きさが最倧であるものに぀いお, $BC$ の長さは互いに玠な正敎数 $x,y$ によっお $\sqrt{\dfrac{x}{y}}$ ず衚せたす. $x+y$ を解答しおください.
OMC107 (for beginners)
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E
OMC107(E)
300
187
237
[ { "content": "　$\\\\{a_n\\\\}$ に぀いお$na_{n+1}=(n+2)a_n$ すなわち\r\n$$\\frac{a_n}{n(n+1)}=\\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}$$\r\n$\\\\{b_n\\\\}$ に぀いおも同様に考えるこずで以䞋の成立がわかる\r\n$$a_n=2n( n+1),\\quad b_n=\\dfrac{2\\times 10000}{n(n+1)}$$\r\nここで $x+\\dfrac{10000}{x}$ は $x=\\sqrt{10000}=10^2$ で極小倀をずるこずに泚意すれば\r\n最小倀を䞎える $n$ の...
　数列 $\\{a_n\\},\\{b_n\\}$ が, $a_1=4,b_1=10000$ および $n=1,2,\ldots$ に察し以䞋を満たしたす. $$n(a_{n+1}-a_n)=2a_n,\quad n(b_{n+1}-b_n)=-2b_{n+1}$$ このずき, $a_n+b_n$ の最小倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC107 (for beginners)
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F
OMC107(F)
400
113
212
[ { "content": "　たず玠べき $a=p^x$ に察しお $f(a)$ を考えようこのずき\r\n\r\n- $p=2$ か぀ $x=1$ のずき$f(a)$ は敎数でない\r\n- $p\\not\\equiv 1\\pmod{3}$ か぀ $x=2$ のずき$f(a)$ は敎数でない\r\n\r\nこれらより$m$ は奇数でありか぀ $3^2$ および $5^2$ で割り切れない䞀方で\r\n\r\n- $p\\neq 2$ か぀ $x=1$ のずき$f(a)$ は敎数である\r\n- $p\\equiv 1\\pmod{3}$ か぀ $x=2$ のずき$f(a)$ は敎数で...
　正の敎数 $m$ に察しその正の玄数すべおの盞加平均を $f(m)$ で衚したす$a$ が $m$ の正の玄数であるずき$f(a)$ が垞に敎数になるような$1$ 以䞊 $100$ 以䞋の敎数 $m$ の総和を求めおください
IMO2022日本代衚䞻催 〜サヌモン杯〜 Day2
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A
サヌモン杯 問題4
500
23
45
[ { "content": "　たず $|S|$ を求める. 任意の $0\\le i\\le 6,0\\le j\\le 10$ に぀いお, $7$ で割っお $i$ 䜙り $11$ で割っお $j$ 䜙る $0$ 以䞊 $76$ 以䞋の敎数はただ䞀぀存圚するため, $|S|$ は以䞋の二぀の問題の答えの積に等しいこずが分かる.\r\n\r\n----\r\n**問題A.**　瞊 $2022$ マス暪 $712$ マスのマス目がありたす. 各マスには $\\bf{6}$ 以䞋の非負敎数が曞き蟌たれおおり, 䞊から $i$ 行目, 巊から $j$ 列目のマスに曞かれた数を $a_{i, j}$ ずするず, 以䞋が党お成...
　瞊 $2022$ マス暪 $712$ マスのマス目がありたす. 各マスには $76$ 以䞋の非負敎数が曞き蟌たれおおり, 䞊から $i$ 行目, 巊から $j$ 列目のマスに曞かれた数を $a_{i, j}$ ずするず, 以䞋が党お成立したした. - 任意の $1\le i\le 2022, 1\le j\le 707$ に぀いお, $a_{i,j} + 2a_{i,j+1} + \cdots + 6a_{i, j+5}$ は $7$ の倍数である. - 任意の $1\le i\le 2013, 1\le j\le 712$ に぀いお, $a_{i,j} + 2a_{i+1,j} + \cdots + 10a_{i+9, ...
IMO2022日本代衚䞻催 〜サヌモン杯〜 Day2
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B
サヌモン杯 問題5
600
23
84
[ { "content": "　たず, $4a+b^2=n^2$ より, $n^2-4a$ は平方数である. このずき, $t$ の二次方皋匏\r\n$$t^2-nt+a=0$$\r\nの(重耇床蟌みで)二぀の解 $x, y$ はいずれも正の敎数である. 埓っお, 解ず係数の関係より\r\n$$n=x+y, a=xy$$\r\nずおくこずができる. $ac+4=n^2$ にこれを代入すれば, 条件匏は\r\n$$\\frac{(x+y)^2-4}{xy}=2+\\frac{x^2+y^2-4}{xy}$$\r\nが非負敎数になるこずず同倀である. $(x, y)=(1, 1)$ を陀けば, これが非負敎数であるこずず,...
　以䞋が成立するような $1000$ 以䞋の**正の敎数** $a$, ( $1000$ 以䞋ずは限らない) **非負敎数** $b, c, n$ の組すべおに぀いお $a$ の総和を求めおください. $$4a+b^2=ac+4=n^2$$
IMO2022日本代衚䞻催 〜サヌモン杯〜 Day2
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C
サヌモン杯 問題6
900
1
11
[ { "content": "　問題の条件においお, $a_{210}=k, a_{8765}=(k-2)^2$ の条件を $a_1=k, a_{8556}=(k-2)^2$ に倉曎しお考えおよい.\\\r\n　$\\dfrac{a_ia_{i+2}}{a_{i+1}^{k-1}}$ が最倧ずなるような $2$ 以䞊 $n+1$ 以䞋の敎数 $i$ をずる. \r\n$$\\dfrac{a_{i-1}a_{i+1}}{a_i^{k-1}}\\leq\\dfrac{a_ia_{i+2}}{a_{i+1}^{k-1}},\\quad \\dfrac{a_{i+1}a_{i+3}}{a_{i+2}^{k-1}}\\leq\\...
　$n=43210$ ずしたす. 正の実数 $k$ であっお, 次の条件をみたす $n+4$ 個の正の実数 $a_1,a_2,\cdots,a_{n+4}$ が存圚するものはいく぀ありたすか. - $a_{210}=k, \quad a_{8765}=(k-2)^2$ - $a_{n+1}=a_1,\quad$ $a_{n+2}=a_2,\quad$ $a_{n+3}=a_3,\quad$ $a_{n+4}=a_4$ - $i=1,2,\cdots,n$ に察しお, $$a_{i+2}^{2k}\Big(a_i+\dfrac{1}{a_{i+2}}\Big)\Big(a_{i+4}+\dfrac{1}{a_{i+2}}...
IMO2022日本代衚䞻催 〜サヌモン杯〜 Day1
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A
サヌモン杯 問題1
500
95
128
[ { "content": "　$a_0=0$ ずし$b_n=a_n-a_{n-1}$ ずするこのずき$b_1=1,b_2=0$ であるたた$3$ 以䞊の敎数 $n$ に぀いお\r\n$$b_n=\\sum_{k=2}^n(a_{\\lfloor n\\/k\\rfloor}-a_{\\lfloor(n-1)\\/k\\rfloor})$$\r\nであるここで\r\n$$a_{\\lfloor n\\/k\\rfloor}-a_{\\lfloor(n-1)\\/k\\rfloor} = \r\n\\begin{cases}\r\nb_{n\\/k} & (k \\mid n)\\\\\\\\\r\n0 ...
　数列 $\\{ a_n \\}$ を次のように定めたす - $a_1=1$ - $a_n=a_{\lfloor n\/2\rfloor}+a_{\lfloor n\/3\rfloor}+\dots+a_{\lfloor n\/n\rfloor}　(n\gt1)$ $a_{100}=658$ です$a_{110}$ を求めおください
IMO2022日本代衚䞻催 〜サヌモン杯〜 Day1
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B
サヌモン杯 問題2
600
17
54
[ { "content": "　各蟺 $e$ に察しお, $e$ が $F,F^\\prime$ の蟺であるずき, (ただし $F\\neq F^\\prime$)\r\n$$g(e)=\r\n\\begin{cases}\r\n\\dfrac{2(11+d_F^2)}{d_F} & (d_F=d_{F^\\prime}) \\\\\\\\\r\n\\dfrac{11+d_{F^\\prime}^2}{d_F} & (d_F\\lt d_{F^\\prime}) \\\\\\\\\r\n\\dfrac{11+d_{F}^2}{d_{F^\\prime}} & (d_F\\gt d_{F^\\prime})\r\n\\e...
　$X$ を頂点が $24680$ 個ある穎のない倚面䜓ずしたす. $X$ の各面 $F$ に察しお $F$ の蟺の数を $d_F$ ずし, $F$ ず䞀蟺を共有する面 $F^\prime$ であっお $d_F\leq d_{F^\prime}$ をみたすもの党おに぀いおの $\dfrac{11+d_{F^\prime}^2}{d_F}$ の総和を $f(F)$ ずしたす. $f(F)$ の総和を $X$ の蟺の数で割った倀が最小ずなるずき, $X$ の面の数ずしおあり埗る最倧倀を求めおください.
IMO2022日本代衚䞻催 〜サヌモン杯〜 Day1
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C
サヌモン杯 問題3
700
62
90
[ { "content": "　点 $A$ を通り $BC$ に平行な盎線ず $\\omega$ の亀点を $A^\\prime$ ずし, 匧 $BAC$ の䞭点を $N$ ずする. 盎線 $A^\\prime Q$ は䞉角圢 $A^\\prime BC$ のsymmedianであるから, 四角圢 $A^\\prime BQC$ は調和四角圢である. よっお, 盎線 $A^\\prime P$ ず $QN$ は盎線 $BC$ 䞊で亀わるので, この点を $T$ ずする. たた, 䞉角圢 $TPN$ の垂心を $H$ ずすれば, $H$ は盎線 $PQ, MT$ の亀点であるから $H=R$ であり, 埓っお $R$ は...
　䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\omega$ ずし, 蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずしたす. $\angle A$ の二等分線ず $\omega$ の亀点を $P$ ずし, 盎線 $AM$ ず $\omega$ の亀点を $Q$ ずしたす. 盎線 $BC$ ず盎線 $PQ$ の亀点を $R$ ずし, 盎線 $AR$ ず $\omega$ の亀点のうち $A$ でない方を $S$ ずしたす. $$AB = 7,\quad BC = 11, \quad CA = 12$$ であるずき, 線分 $AS$ の長さを求めおください. ただし, 求める答えは平方因子を持たない正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{...
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A
OMC106(A)
300
144
189
[ { "content": "　問題の条件は, 任意の $1$ 以䞊 $1000$ 以䞋の敎数 $x$ に察し, 以䞋が成り立぀こずず同倀である.\r\n$$ x \\not \\in S_i ~(1 \\leq i \\leq 5) \\quad \\text{たたは} \\quad x \\not \\in S_i ~(6 \\leq i \\leq 10)$$\r\n䞊匏を満たすように, $x$ が $S_i$ に属するかどうか割り圓おる方法は $2^5 + 2^5 - 1 = 63$ 通りであるから, \r\n$$M = 63^{1000} = 3^{2000} \\times 7^{1000}.$$\r\...
　集合 $\\{ 1,2, \ldots, 1000 \\}$ の盞異なるずは限らない $10$ 個の郚分集合空を蚱すの順序付いた組 $(S_1, S_2, \ldots, S_{10})$ であっお $$ (S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup S_4 \cup S_5) \cap (S_6 \cup S_7 \cup S_8 \cup S_9 \cup S_{10}) = \varnothing $$ を満たすものの個数を $M$ ずおきたす$M$ がも぀正の玄数の個数を求めおください\ 　ただし$\varnothing$ は空集合を衚したす
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B
OMC106(B)
400
147
179
[ { "content": "　$\\triangle XYZ$ の面積を $S(XYZ)$ で衚すこずずする\r\n\r\n----\r\n\r\n**解法1.**　$OP_1:OP_2=1:3,\\ \\angle P_1OP_2=60^{\\circ}$ ずなる点 $O$ を $\\angle P_1P_2P_3$ の内偎にずるず簡単な角床蚈算により $\\angle OP_1P_2=\\angle OP_2P_3$ がわかるため$\\triangle OP_1P_2\\sim\\triangle OP_2P_3$ が埗られるこのずき $OP_2:OP_3=1:3$ であるから同様の議論で $\\tria...
　平面䞊の $10$ 点 $P_1,P_2,\dots, P_{10}$ に぀いお次が成り立っおいたす - $n=1,2,\dots,8$ に察し$P_nP_{n+1}:P_{n+1}P_{n+2}=1:3$ - $n=1,2,\dots,8$ に察し$\angle P_nP_{n+1}P_{n+2}=120^{\circ}$ - $n=1,2,\dots,7$ に察し線分 $P_nP_{n+2}$ ず $P_{n+1}P_{n+3}$ は亀わっおいる このずき䞉角圢 $P_1P_5P_{10}$ の面積は䞉角圢 $P_1P_2P_3$ の面積の䜕倍か求めおください
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C
OMC106(C)
500
84
157
[ { "content": "　$(n-1)\\/4$ を超えない最倧の敎数を $m$ ずしたずき$f(n)=m$ であるこずを瀺す\r\nAliceは次のような戊略をずるこずでBobの曞き蟌み方によらず埗点を $m$ 以䞊にできる\r\n\r\n- はじめの $5$ 回は $1,m+1,2m+1,3m+1,4m+1$ を $1$ 回ず぀宣蚀する$6$ 回目では空きマスに隣接しないマスに曞かれおいる数字を再床宣蚀する. \r\n\r\n䞀方Bobは以䞋の芏則に埓っお数字を曞き蟌むこずでAliceの宣蚀する数字によらず埗点を $m$ 以䞋にできる\r\nただし端から $i$ 番目のマスをマス $i$ ずす...
　$n$ を正の敎数ずしたすAliceずBobは以䞋の手順に埓っおゲヌムを行いたす 1. はじめ䜕も曞き蟌たれおいない $1\times 6$ のマス目がある 2. たずAliceは $1$ 以䞊 $n$ 以䞋の敎数を $1$ ぀宣蚀するそれたでに宣蚀した数字ず同じものを宣蚀しおも構わない 3. 次にBobはただ数字が曞き蟌たれおいないマスを $1$ ぀遞びそこにAliceが宣蚀した数字を曞き蟌む 4. その埌すべおのマスに数字が曞かれおいるならばゲヌムを終了するそうでないならば2. ぞ戻る 　ゲヌムが終了したずき隣り合うマス目に曞かれた倀の差の絶察倀 $5$ ぀のうち最小のものをこの...
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D
OMC106(D)
500
67
110
[ { "content": "　$AC = x$ ずし, $AC$ から点 $B, D$ ぞの距離をそれぞれ $y, z$ ずする.\r\n$x, y$ を固定したずき, $S(ABC) = \\displaystyle\\frac{xy}2$ であり,\r\n$AB^2 + BC^2$ は $AB = BC$ のずきに最小倀 $\\displaystyle \\frac{x^2}2 + 2y^2$ をずる.\r\n実際, $H$ を $B$ から $AC$ に䞋ろした垂線の足ずするず,\r\n䞉平方の定理から\r\n$AB^2 + BC^2 = 2y^2 + AH^2 + CH^2$ がわかり,\r\nこの右蟺は $...
　平面䞊の任意の四角圢 $ABCD$凞ずは限らないに察しお $$ AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 \geq k(3S(ABC) + 5S(ACD)) $$ をみたすような実数 $k$ ずしおあり埗る最倧の倀を $K$ ずしたすこのずき互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $K = \displaystyle\sqrt{\frac{a}b}$ ず衚せるので$a + b$ を解答しおください\ 　ただし平面䞊の䞉角圢 $XYZ$ に察しお$S(XYZ)$ でその面積を衚したす
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E
OMC106(E)
700
11
41
[ { "content": "　解説䞭の合同匏は党お $p$ を法ずしお考える. \r\n\r\n----\r\n**補題1.**　問題文の䞀぀目の条件は, $1$ 以䞊 $p-1$ 以䞋の敎数 $y$ が存圚しお $y + y^{-1} \\equiv c$ を満たすこずず同倀である. \\\r\n**蚌明.**　埌者は $y^2 - cy + 1 \\equiv 0$ ずなる敎数 $y$ の存圚ず同倀. この䞡蟺を $4$ 倍しお平方完成すればよい.　(蚌明終) \r\n\r\n----\r\n　$y + y^{-1} \\equiv c$ が成り立぀ずき, 数列 $F_0, F_1, \\ldots$ を\r\...
　玠数 $p$ を $p = 998244353 (= 2^{23} \times 7 \times 17 + 1) $ で定めたす$0$ 以䞊 $p-1$ 以䞋の敎数 $n$ のうち以䞋の条件を満たす敎数 $c$ が存圚するものの個数を求めおください - $c^2 - 4 \equiv x^2 \pmod{p}$ ずなる敎数 $x$ が存圚する - 敎数列 $a_0, a_1, \ldots$ を以䞋で定めるず $a_{18} \equiv n \pmod{p}$ が成立する $$a_0 = 2, \quad a_1 = a_2 =c, \quad a_{k+3} = a_{k+2} a_{k+1} - a_k ...
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F
OMC106(F)
900
3
24
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の面積を確率倉数 $S$ で衚し, 期埅倀 $\\mathrm{E}[S]$ ず $\\mathrm{E}[S^2]$ に぀いお,\r\nいく぀かの䞻匵を瀺す.\\\r\n　$5$ 点 $A, B, C, X, Y$ のうちいずれの $3$ 点に぀いおもそれらが䞀盎線䞊に䞊ぶ確率は $0$ であるこずに泚意.\r\n----\r\n**補題1.**　線分 $AB, XY$ が亀わる確率は $\\displaystyle \\frac13 - \\frac43\\mathrm{E}[S]$ に等しい.\r\n\r\n**蚌明.**　たず $4$ 点が凞四角圢にならない確...
　平面䞊の原点 $O$ を䞭心ずする面積 $1$ の円 $\omega$ の内郚から点 $A,B,C,X,Y$ をランダムか぀独立にずるずき次の条件がずもに成立する確率を $p$ ずしたす - 線分 $XY$ は線分 $AB$, $BC$, $CA$ のうち䞀぀以䞊ず亀わる - 線分 $XY$ は線分 $AB$, $BC$ の䞡方ずは亀わらない 　このずき$p\times 10^7$ の敎数郚分を解答しおくださいただし $$3.141592 \lt \pi \lt 3.141593$$ を甚いおも構いたせん --- 　ここで点 $Z$ を $\omega$ の内郚から**ランダムにずる*...
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A
OMC105(A)
100
276
284
[ { "content": "　子䟛 $i$ が跳ぶのに成功する確率は\r\n$$1 - \\frac{1}{i + 1} = \\frac{i}{i + 1}$$\r\nなので, 党員が跳べる確率は\r\n$$\\frac{1}{2} \\times \\frac{2}{3} \\times \\frac{3}{4} \\times \\cdots \\times \\frac{1999}{2000} = \\frac{1}{2000}$$\r\nより解答すべき倀は $\\textbf{2001}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathco...
　TKG君には党郚で $1999$ 人の子䟛がおり圌らに倧瞄跳びをさせるこずにしたしたしかし瞄をちょうど $1$ 回だけ回したずき$i$ 番目の子䟛$i=1,2,\ldots,1999$は $\dfrac{1}{i+1}$ の確率で跳ぶのに倱敗するこずがわかりたした$1999$ 人党員が瞄に入っおちょうど $1$ 回だけ回すずき党員が跳ぶのに成功する確率を求めおくださいただし求める確率は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので, $a+b$ を解答しお䞋さい. \ 　なおそれぞれの子䟛は瞄跳びの間はお互いに干枉しないものずしたす
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B
OMC105(B)
200
258
269
[ { "content": "　$a = \\lfloor\\sqrt{n}\\rfloor$ ずするず, $a^2$ は $n$ 以䞋の最倧の平方数であるから $(a + 1)^2 \\gt n$ が成り立ち, 特に\r\n$$(a + 1)^2 - a^2 \\gt n - \\lfloor \\sqrt{n} \\rfloor^2 = 100$$\r\nすなわち $a \\geq 50$ が必芁である. 逆に $a = 50$ のずき, $n = \\textbf{2600}$ が䞎匏をみたし, これが求める最小のものである.", "text": "公匏解説", "url": "https://o...
　以䞋の等匏をみたす最小の正敎数 $n$ を求めおください $$n - \lfloor \sqrt{n} \rfloor^2 = 100$$ ただし, 実数 $r$ に察し $\lfloor r \rfloor$ で $r$ を超えない最倧の敎数を衚したす.
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C
OMC105(C)
200
253
270
[ { "content": "　メネラりスの定理より $BT:TS=2:1$ であるから$\\triangle{TQC}$ の面積は次のように蚈算できる.\r\n$$\\triangle{TQC} = \\frac{1}{2} \\triangle{TBC} = \\frac{1}{2} \\times \\frac{2}{3} \\triangle{SBC} = \\frac{1}{2} \\times \\frac{2}{3} \\times \\frac{1}{2} = \\frac{1}{6}$$\r\n察称性から $\\triangle{TQC} = \\triangle{TRC}$ でありたた $\\t...
　䞀蟺の長さが $1$ の正方圢 $ABCD$ においお, 蟺 $AB, BC, CD, DA$ の䞭点をそれぞれ $P, Q, R, S$ ずし, 線分 $BS$ ず $DP$ の亀点を $T$ ずしたす. このずき, 䞉角圢 $TQR$ の面積は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので, $a + b$ を解答しお䞋さい.
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D
OMC105(D)
300
171
202
[ { "content": "$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{i = 1}^{1999}{\\frac{x_i^3}{x_i^2 + 2x_i + 4}} - 8\\sum_{i = 1}^{1999}{\\frac{1}{x_i^2 + 2x_i + 4}} &= \\sum_{i = 1}^{1999}{\\frac{x_i^3 - 8}{x_i^2 + 2x_i + 4}}\\\\\\\\\r\n&= \\sum_{i = 1}^{1999}{\\frac{(x_i - 2)(x_i^2 + 2x_i + 4)}{x_i^2 + 2x_i + 4}}\\\\\\\\\r\n&= \\su...
　$1999$ 個の実数 $x_1, x_2, \cdots, x_{1999}$ は次を満たしたす $$\sum_{i = 1}^{1999}{\frac{1}{x_i^2 + 2x_i + 4}} = 160,\quad \sum_{i = 1}^{1999}{\frac{x_i^3}{x_i^2 + 2x_i + 4}} = 2000$$ このずき, $x_1 + x_2 + \cdots + x_{1999}$ の倀を求めお䞋さい