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contest stringclasses 315 values	contest_url stringclasses 1 value	url stringlengths 53 65	alphabet stringclasses 20 values	name stringlengths 9 17	score stringclasses 10 values	correct int64 0 467	total int64 0 485	editorials listlengths 1 6	task_content stringlengths 28 1.49k
OMC105 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc105/tasks/3279	E	OMC105(E)	300	219	243	[ { "content": "　$a_{1997}$ は奇数であるから, 正整数$k$ を用いて $a_{1997} = 2k + 1$ と表すと,\r\n$$a_{1998} = 3^{2k + 1} = 9^k \\times 3 \\equiv 3 \\pmod 8$$\r\nよって正整数 $l$ を用いて $a_{1998} = 8l + 3$ と表すと,\r\n$$a_{1999} = 3^{8l + 3} = 81^{2l} \\times 27 \\equiv (-1)^{2l} \\times 27 = 27 \\pmod {82}$$\r\nより答えは $\\textbf{27}$.", "t...	以下で定まる数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$ について，$a\_{1999}$ を $82$ で割った余りを求めて下さい． $$a_1 = 3,\quad a_{n + 1} = 3^{a_n} \quad (n = 1,2,\ldots)$$
OMC105 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc105/tasks/3288	F	OMC105(F)	400	68	140	[ { "content": "　直線 $AD$ と $\\triangle{ABC}$ の外接円の交点を $M (\\neq A)$ とすると $\\angle{AIO} = 90^\\circ$ より $I$ は $AM$ の中点である. ここで $M$ は $\\triangle{IBC}$ の外心であるから, $AM : CM = 2 : 1$ が従う. また\r\n$$\\angle{DCM} = \\angle{BAM} = \\angle{CAM}$$\r\nより $\\triangle{CDM} \\sim \\triangle{ACM}$ が従う. 以上より, $x = DM$ とおけば, $CM=2x...	内心を $I$, 外心を $O$ とする三角形 $ABC$ について, 直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ としたとき, $$\angle{AIO} = 90^\circ,\quad BD = 7,\quad CD = 3$$ が成り立ちました. このとき, $AD$ の長さの二乗を求めて下さい.
OMC104	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/tasks/3983	A	OMC104(A)	100	232	256	[ { "content": "　巻き尺 $A$ の $1$ 目盛りを $a[\\mathrm{cm}]$ ，巻き尺 $B$ の $1$ 目盛りを $b[\\mathrm{cm}]$ とおくと，$a\\gt b$ に注意すれば\r\n$$2000a=2005b,\\quad 8000a=8000b+25$$\r\nを得る．これを解けば $2000a=2005b=10025\\/4$ が分かり，特に解答すべき値は $\\bf{10029}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/editori...	長さが不正確な $2$ つの巻き尺 $A,B$ があり，どちらも等間隔に $1\mathrm{cm}$ きざみの表示で $80\mathrm{m}$ まで目盛りが書かれています（したがって実際の長さは $80\mathrm{m}$ ではありません）．\ 　$2$ 地点 $X,Y$ 間の距離を巻き尺 $A$ で測定するとちょうど $20\mathrm{m}$ であり，巻き尺 $B$ で測定するとちょうど $20.05\mathrm{m}$ でした．また, $A,B$ の全長の差を正確なものさしで測定すると $25\mathrm{cm}$ でした．このとき，$2$ 地点 $X,Y$ 間の正しい距離は，互いに素な正整数 $p,q$ に...
OMC104	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/tasks/4159	B	OMC104(B)	200	249	254	[ { "content": "　紙が重なっている三角形の領域の面積を求めればよい. 点 $A$ と点 $C$ が重なるように折ったとき, 折り目は線分 $AC$ の垂直二等分線である. この直線と線分 $AC, AD, BC$ の交点をそれぞれ点 $M, E, F$ とすると, $AECF$ はひし形である. $M$ が特に線分 $AC$ の中点であることから\r\n$$AM = \\frac{1}{2}\\sqrt{AB^2 + BC^2} = 13$$\r\nである. また, 三角形 $AME$ と三角形 $ADC$ は相似であるから \r\n$$\r\nEM = CD\\times\\frac{AM}{AD}=...	$AB=10$，$BC=24$ である長方形の紙 $ABCD$ があり，点 $A$ と点 $C$ が重なるように折りました．この状態で紙が占める五角形の領域の面積は，互いに素な $2$ つの正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．
OMC104	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/tasks/2203	C	OMC104(C)	300	161	215	[ { "content": "　以下の合同式はすべて $3371$ を法として考える. Wilsonの定理より $3369!\\equiv 1$ であるから, \r\n$$a_1=3367! \\equiv (3369\\times3368)^{-1} \\equiv 3368^{-1}-3369^{-1}$$\r\nこれより,\r\n$$a_2=a_{1}\\times\\frac{3369}{3367} \\equiv (3368\\times3367)^{-1} \\equiv 3367^{-1}-3368^{-1}$$\r\n同様にして,\r\n$$a_n=a_{1}\\times\\frac{3369}{33...	$a_1=3367!$ および $n=2,3,\ldots,3368$ において $$a_n=\frac{3371-n}{3369-n}\times a_{n-1}$$ で定義される整数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots,3368}$ について， $$a_1+a_2+\cdots+a_{3368}$$ を素数 $3371$ で割った余りを求めてください.
OMC104	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/tasks/2261	D	OMC104(D)	300	129	192	[ { "content": "　全体をグラフとして解釈すれば, それぞれの連結成分は各色の色 $1$ つずつを含み, そのような島の分割はある色の島を固定することで $(3!)^3$ 通りである. また, 各連結成分について橋を $3$ 本以上架ければよいから (ただしちょうど $3$ 本でそれらがループをなす構造は不可), それぞれの架け方は ${}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{6}+{}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{5}+{}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{4}+{}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{3}-4=38$ 通りである.\\\r\n　以上より, 全体では $(3!...	赤色の島，青色の島，緑色の島，黄色の島がそれぞれちょうど $3$ つずつあり，同色の島同士も区別できます．これらの島に以下の $3$ 条件をみたすようにいくつかの橋を架ける方法は何通りありますか？ - どの $2$ つの島も，ちょうど $1$ 本の橋で結ばれているか結ばれていないかのいずれかであって，橋の両端は相異なる $2$ つの島に繋がっている．橋は両端の島の間の双方向の行き来を可能とする． - どの同色の島同士も $1$ つ以上の橋を経由して互いに行き来できない． - どの島も $1$ つ以上の橋を経由して他の $3$ つ以上の島と互いに行き来できる．
OMC104	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/tasks/2562	E	OMC104(E)	500	56	101	[ { "content": "　赤, 青のカードをそれぞれ $1$, $-1$ に対応させることで, $A-B$ が以下の値に等しいことがわかる.\r\n\r\n- それぞれ $2n$ 個の $1$ と $-1$ の中から $2n$ 個を選ぶ方法すべてについて, その総積の総和.\r\n\r\nこれは $(x+1)^{2n} (x-1)^{2n}$ の $x^{2n}$ の係数に等しいから, 結局 $\|A-B\|= {}\\_{2n} \\mathrm{C}\\_{n}$ である.$\\\\\\\\$\r\n　このとき, $f(n)$ は $n$ の $2$ 進法での各位の和となるから (**[OMC039(D)の解説]...	$n$ を正整数とします．計 $4n$ 枚の互いに区別できるカードがあり，このうち $2n$ 枚が赤色に，残りの $2n$ 枚が青色に塗られています．この中から $2n$ 枚を選ぶ方法のうち，赤・青それぞれの色がともに偶数枚であるものの総数を $A$ とし，ともに奇数枚であるものの総数を $B$ とします．さらに $A$ と $B$ の差（の絶対値）が $2$ で割り切れる最大の回数を $f(n)$ で表します．このとき，以下の総和を求めてください． $$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(500)$$ 　ただし，任意の $n$ で $A\neq B$，すなわち $f(n)$ が定義できることが保証されます...
OMC104	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/tasks/281	F	OMC104(F)	600	18	60	[ { "content": "　$AC$ 上に $BC=BC^\\prime$ なる点 $C^\\prime$ を, $BC$ 上に $EF=EF^\\prime$ なる点 $F^\\prime$ をとると, 簡単な角度計算により三角形 $BC^\\prime E$ および $F^\\prime CE$ は相似であり, 特に $C^\\prime E:EC=BE:3$ である. 一方で, それぞれ $A,E$ を通り $BC$ と平行な直線と $BC^\\prime$ の交点を $A^\\prime,E^\\prime$ とすれば, $C^\\prime A^\\prime:A^\\prime B=C^\\prime ...	$AB=AC$ および $AD\parallel BC$ をみたす凸四角形 $ABCD$ において，対角線の交点を $E$ とし，辺 $BC$ 上に点 $F$ をとると，以下が成立しました． $$\angle BAC=\angle DEF=120^\circ,\quad DE=8, \quad EF=3$$ このとき，四角形 $ABCD$ の面積を求めてください．\ 　ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子をもたない正整数 $b$ によって $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください．
OMC103 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/tasks/1756	A	OMC103(A)	100	243	244	[ { "content": "　$n^3$ の一の位が $3$ であることは, $n$ の一の位が $7$ であることと同値である. よって, 求める個数は $7,17,\\ldots,1747$ の $\\textbf{175}$ 個である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1756" } ]	$1756$ 個の整数 $1^{3}, 2^{3}, \ldots , 1756^{3}$ のうち, 十進法表記で一の位の数字が $3$ であるものはいくつありますか？
OMC103 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/tasks/3177	B	OMC103(B)	200	215	228	[ { "content": "　中線定理より以下が成立することがわかるので，それぞれ値を代入して $AC=\\bf{28}$ を得る． \r\n$$AC^2 + BD^2 = 2( AB^2 + AD^2 )$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/3177" } ]	平行四辺形 $ABCD$ において $$AB = 17 ,\quad AD = 21 ,\quad BD = 26$$ が成立するとき，$AC$ の長さを求めてください．
OMC103 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/tasks/1763	C	OMC103(C)	200	184	230	[ { "content": "　表示された数字の積が $3$ の倍数でも $5$ の倍数でもないことは, $1,2,4,7$ のみが表示されたことと同値である. これら $4$ 数について, $4$ で割った余りがすべて異なることから, 前 $3$ 回の結果を固定したとき, $4$ 回目の結果としてあり得るものがちょうど $1$ つずつ存在する. よって, 解答すべき値は $4^3+7^4=\\textbf{2465}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1763"...	一度押すたびに $1$ から $7$ までの数字が等確率で表示されるボタンがあります. このボタンを $4$ 回押したとき, 表示された $4$ 数について, それらの積が $3$ の倍数でも $5$ の倍数でもなく, かつそれらの和が $4$ の倍数となる確率を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a + b$ を解答してください.
OMC103 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/tasks/1812	D	OMC103(D)	300	193	205	[ { "content": "　与式を変形することで, $(xy-y-2)(x-1)=16$ を得る. これに留意して, $16$ の二つの正整数の積への分解を調べることで, $(x,y)=(2,18),(3,5)$ が解であり, 特に解答すべき値は $\\textbf{28}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1812" }, { "content": "$x^2y−2xy−2x＋y−14=0$ を $y$ について解くと $x\\gt1,\\ ...	以下の等式をみたす正整数の組 $(x,y)$ すべてについて, $x+y$ の総和を求めてください. $$x^2y-2xy-2x+y-14=0$$
OMC103 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/tasks/2186	E	OMC103(E)	300	103	162	[ { "content": "　$ABC$ の垂心を $H$ とすれば, $O,G,H$ は同一直線上で $HG:GO=2:1$ が成立するから, $AH$ の長さは\r\n$$AH=\\sqrt{(11^2-10^2)\\times 3^2+10^2}=17$$\r\n$BC$ の中点を $M$ とすると\r\n$$2AO\\cos A=2BO\\cos \\angle BOM=2OM=AH$$\r\nこれより, $BC$ の長さについて\r\n$$BC=2AO\\sin{A}= \\sqrt{(2AO)^2-(2AO\\cos{A})^2}=\\sqrt{(2AO)^2-(AH)^2}=\\sqrt{\\textb...	三角形 $ABC$ において, その重心を $G$, 外心を $O$ としたとき, 以下の条件が成立しました： $$AG=11,\quad AO=10,\quad \angle{AOG}=90^\circ$$ このとき, $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.
OMC103 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/tasks/1741	F	OMC103(F)	400	109	161	[ { "content": "　「ココア」を $n$ 個以上部分文字列として含むものの個数を $a_{n}$ とおく. ただし, $n$ 個より多く「ココア」が含まれるものは重複して数える. たとえば, 「ココアココアココアココア」は $a_1,a_3$ には $4$ 回, $a_2$ には $6$ 回数えられているとする. 以下, 「○」は $2$ 種類の文字「ア」「コ」のいずれか一方が当てはまることを表すとすると, 以下のように計算できる.\r\n\r\n- $n = 1$ のとき, 「ココア」 $1$ 個と「○」 $9$ 個の順列を考えて, $a_{1} = {}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{1}\...	全体で $12$ 文字からなり, 各文字が「ア」または「コ」である文字列 $2^{12}$ 通りのうち,「ココア」を部分文字列として含むものはいくつありますか？ただし, ある文字列が「『ココア』を部分文字列として含む」とは, ある位置から連続する $3$ 文字を抜き出したとき, それが「ココア」となることを指します.
OMC102	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/tasks/217	A	OMC102(A)	200	224	230	[ { "content": "　$\\angle CAE=a,\\angle EAD=b$ とおくと, $\\angle ACB=\\angle ADB=\\angle CAD=a+b$ であり, さらに\r\n$$\\angle CKA=\\angle SLB=\\angle ADB+\\angle DBE=a+2b$$\r\nここで三角形 $ACK$ において内角の和は $3a+3b$ と計算できるから, $a+b=60^{\\circ}$ である. 以上より\r\n$$\\angle AKB=\\angle ACB+\\angle CAE=(a+b)+20^\\circ=\\textbf{80}^{\\circ}...	$5$ 点 $A,C,E,D,B$ はこの順に同一円周上にあり, $AC$ と $BD$ は平行です. $AE$ と $BC$ の交点を $K$, $AD$ と $BE$ の交点を $L$, $AD$ と $BC$ の交点を $S$ とすると, 三角形 $ACK$ と $BSL$ が相似となりました.\ 　$\angle CAE=20^\circ$ のとき, $\angle AKB$ の大きさを度数法で求めてください.
OMC102	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/tasks/3162	B	OMC102(B)	200	86	188	[ { "content": "$$\\sum_{k=1}^6a_k=A,\\quad \\sum_{k=1}^6ka_k=B$$\r\nとおくと, $a_n=An+B-1$ であるから, \r\n$$A=\\sum_{k=1}^6 (Ak+B-1)=21A+6B-6$$\r\nであり, 同様に\r\n$$B=\\sum_{k=1}^6 k(Ak+B-1)=91A+21B-21$$\r\nとなる. これらより $A=\\dfrac{3}{73},\\ B=\\dfrac{63}{73}$ が分かり,\r\n$$a_n=\\frac{3}{73}n+\\frac{63}{73}-1=\\frac{3n-10}{73}$$\...	実数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$が，任意の正整数 $n$ に対して $$a_n+1=\sum_{k=1}^6(n+k)a_k$$ をみたすとき，$a_n$ が整数となり得るような最小の正整数 $n$ を求めてください.
OMC102	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/tasks/2863	C	OMC102(C)	300	196	215	[ { "content": "　一般性を失わず $a_1\\lt a_2\\lt \\cdots \\lt a_{10}$ とする. 全ての $(a_i,a_j)$ の組は座標平面上で\r\n$$(a_1,a_1),\\quad (a_{10},a_1),\\quad (a_{10},a_{10}),\\quad (a_1,a_{10})$$\r\nを頂点とする正方形の内部（周上を含む）に存在する. 判別式を考えればこの正方形が放物線 $y=\\dfrac{1}{4}x^2$ の下側（放物線上を含む）にあればよい. したがって, 条件は\r\n$$a_1+9\\leq a_{10} \\leq \\frac{1}{4}...	$10$ 個の相異なる正整数の組 $(a_1,a_2,\ldots ,a_{10})$ は以下を満たします. - 相異なるとは限らない $1\leq i,j\leq 10$ について, $x$ についての方程式 $x^2+a_ix+a_j=0$ が必ず実数解をもつ. このとき, $\max\\{a_1,a_2,\ldots ,a_{10}\\}$ としてあり得る最小値を求めてください.
OMC102	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/tasks/1295	D	OMC102(D)	400	74	129	[ { "content": "　サイコロを $n$ 回投げたときの総積は $(平方数)$ , $(平方数)×2$ , $(平方数)×3$ , $(平方数)×6$ , のいずれかで表される．それぞれについて目の出方が $a_n$, $b_n$, $c_n$, $d_n$ 通りあるとすると，以下の関係式が成立する．$$a_{n+1}=c_{n+1}=2a_n+b_n+2c_n+d_n,\\quad a_n+b_n+c_n+d_n=6^n$$\r\nすなわち $a_{n+1}=2a_n+6^n$ であり，これと $a_1=2$ から $$a_n=\\frac{2^n+6^n}{4}$$ を得る．\r\n求める答えは $a_{...	各面に $1,2,3,4,6,12$ が書かれた六面体のサイコロを順に $10^9+12$ 回振ったとき，出た目の総積が平方数となるような目の出方は $N$ 通りあります．$N$ を素数 $10^9+7$ で割った余りを求めてください．
OMC102	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/tasks/1692	E	OMC102(E)	400	51	117	[ { "content": "　最短経路で長さ $6$ を通ることから, 正三角形の辺によって余分に移動できる長さは $1$ 未満である.\\\r\n　正三角形の辺を使い左右または対角線状に移動する経路は長さ $2$ を要するから, 前者は余分に $1$ 消費しているため不適, 後者は何回でも使用可能である. 一方で上下に移動する経路の長さは $\\displaystyle \\frac{2}{\\sqrt{3}}\\approx 1.15$ であり, これは高々 $3$ 回しか用いないことから, 実質的に無制限に使用可能とみなしてよい. これらで尽くされており, 上下移動の方法が両端では $2$ 通り, それ以外では...	一辺の長さが $1$ である正方形の内部に正三角形を $2$ つ配置した図 $A$ に示す図形を，$3\times 3$ に並べて図 $B$ のように配置しました．点 $X$ から点 $Y$ へ黒線の上のみを伝って移動する経路のうち，同じ点を $2$ 回以上通過せず，かつその長さが $7$ 未満であるものは何通りありますか？ ![figure 1](\/images\/qkP7DTe6V6kddEllUjbx6jwkE3FtaAi45mleTieL)
OMC102	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/tasks/2377	F	OMC102(F)	500	6	32	[ { "content": "　直線 $CM$ と $\\Omega$ の交点のうち $C$ でない方を $R$ とすると, $AB$ と $QR$ は平行であり, 特に $AQ=BR,AR=BQ$ が分かる. 次に, $\\triangle CAM \\sim \\triangle BRM, \\triangle ARM \\sim \\triangle CBM, AM=BM$ より\r\n$$CA:AQ=CA:BR=CM:BM=CM:AM=CB:AR=CB:BQ$$\r\nすなわち $AC\\times BQ=AQ\\times BC$ である. さらに, 四角形 $AQBC$ に対してトレミーの定理を適用すると\...	外接円を $\Omega$ とする三角形 $ABC$ において, 辺 $AB$ の中点を $M$ とします. $M$ を通り $C$ で $\Omega$ に内接する円が, 線分 $AM$ と $M$ でない点で交わったのでこれを $P$ とし, 直線 $CP$ と $\Omega$ の交点のうち $C$ でない方を $Q$ とすると, $$AB=\frac{36}{5},\quad \sin\angle ACB=\frac{4}{5}, \quad AC\times BQ=18$$ が成立しました. このとき, 三角形 $CMQ$ の面積は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と...
OMC101 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/tasks/1468	A	OMC101(A)	100	262	266	[ { "content": "　各項を $4$ で割った余りを順に書き出せば,\r\n$$1, 1, 2, 3, 1, 0$$\r\nの周期を繰り返し, 特に $4$ の倍数は $6$ 項ごとに現れる. よって, 求める値は $[1000\\/6]=\\textbf{166}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/1468" } ]	$$a_1=1, \quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\quad (n\geq 1)$$ で定義されるフィボナッチ数列において，第 $1000$ 項目までに $4$ の倍数はいくつありますか？
OMC101 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/tasks/3221	B	OMC101(B)	100	263	263	[ { "content": "　$OM$ と $BC$ は垂直であるから，\r\n$$OM^2=OB^2-BM^2=13^2-12^2=25$$\r\nしたがって， $OMC$ の面積は $5\\times12\\div2=\\textbf{30}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/3221" } ]	外心を $O$ とする三角形 $ABC$ において， $$OB=13,\quad BC=24$$ が成立しました．$BC$ の中点を $M$ とするとき，三角形 $OMC$ の面積を求めてください．
OMC101 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/tasks/3022	C	OMC101(C)	200	230	259	[ { "content": "　ある正整数が $3$ で割り切れることはその正整数の（十進表記での）各桁の和が $3$ の倍数であることと同値であるから，条件をみたす数において桁に用いられなかった $2$ つの数字を $a\\lt b$ とすれば，条件は $a+b$ が $3$ で割り切れることと同値である．そのような組 $(a,b)$ は $15$ 通りと数えられ，特に $a=0$ のものが $3$ 通りである．$a=0$ のとき対応する数は $8!$ 通りあり，$a\\neq 0$ のとき対応する数は $7\\times 7!$ 通りあるから，求める値は $\\textbf{544320}$ であるとわかる．", ...	十進法表記において $8$ 桁の正の整数であって，各桁の数がすべて異なり，$3$ で割り切れるものはいくつありますか？\ 　ただし，最高位は $0$ ではないものとします．
OMC101 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/tasks/2242	D	OMC101(D)	300	149	190	[ { "content": "　与式の左辺を $f(x)$ とおく．三角不等式より次が成り立つため，特に $\|x\|\\leq 100$ において $f(x)\\lt 10^{5}$．\r\n$$f(x)=\\sum_{k=-100}^{100}\|x+k\|\\leq\\sum_{k=-100}^{100}(\|x\|+\|k\|)=201\|x\|+10100$$\r\nまた $\|x\|\\gt 100$ においては $f(x)=201\|x\|$ が成り立つ．以上より $S=\\dfrac{200000}{201}$ とわかり，特に解答すべき値は $\\textbf{200201}$．", "text": "公式解説", ...	次をみたす実数 $x$ は有限個であることが証明できるので，それらすべてに対する $\|x\|$ の総和を $S$ とします． $$\sum_{k=-100}^{100}\|x+k\|=100000$$ 　$S$ は互いに素な正整数 $a,b$ によって $S=\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
OMC101 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/tasks/3337	E	OMC101(E)	300	132	209	[ { "content": "　$p=q$ のとき，$p^2 \\mid 90$ が必要であり，$(p, q)=(3,3)$ は実際に条件をみたす．\\\r\n　$p\\neq q$ のとき，Fermatの小定理より $p^q\\equiv p \\mod q$ が成立するから $90=qy-p$ と表せ，さらにこれが $p$ の倍数であることから $y=pz$ とおけば $90=p(qz-1)$ と表せる．\r\n$$90=2\\times 45=3\\times 30=5\\times 18$$\r\nであるので，それぞれに対応する組を考えることで\r\n$$(p, q)=(2, 23), (3, 31), (5,...	素数の組 $(p, q)$ であって，$p^q+90$ が $pq$ で割り切れるものすべてについて， $p+q$ の総積を求めてください．
OMC101 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/tasks/3264	F	OMC101(F)	400	40	98	[ { "content": "　$AF$ および $\\angle{FAC}$ の二等分線と $BC$ の交点をそれぞれ $P,Q$ とし，$DE$ と $AQ$ の交点を $X$ とすると，三角形 $ABC$ と $AED$ の相似において，$P$ と $X$，$Q$ と $F$ がそれぞれ対応する．よって，ある $x$ によって\r\n$$BP=PQ=3x, \\quad QC=4x$$\r\nと表せ，さらに $AP=3y,AC=4y$ と表せる．\\\r\n　ここで $ACP$ において三平方の定理より $y=\\sqrt{7}x$ が従い，さらに $ABP$ において三平方の定理より\r\n$$x=\\dfra...	$AB=10$ なる三角形 $ABC$ において，垂心を $H$ とし，$C,B$ からそれぞれ対辺におろした垂線の足を $D,E$ とします．また直線 $AH$ と $DE$ の交点を $F$ とすると，以下が成り立ちました． $$\angle{DAF}:\angle{FAE}=1:2,\quad DF:FE=2:3$$ このとき，三角形 $ABC$ の面積は正の整数 $a,b,c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので（ただし $a,c$ は互いに素で，$b$ は平方因子をもたない），$a+b+c$ を解答してください．
OMC100 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/tasks/2736	A	OMC100(A)	100	260	266	[ { "content": "　平均速度と所要時間は反比例する．これより，$A$ 君と $B$ 君と $C$ 君の所要時間の比は $4:5:6$ であるとわかる．\\\r\n　すなわち，平均時速の比は $15:12:10$ になり、$A$ 君の平均時速は $\\mathbf{15}~\\mathrm{km}$ になる.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/editorial/2736" } ]	$A$ 君と $B$ 君と $C$ 君が $3$ 人で長距離走をしたところ，その結果は以下のようになりました． - $A$ 君が $1$ 位でゴールした． - $B$ 君は $A$ 君の $20$ 分 $22$ 秒後に $2$ 位でゴールした． - $C$ 君は $B$ 君の $20$ 分 $22$ 秒後に $3$ 位でゴールした．このとき，$C$ 君の平均時速は $10~\mathrm{km}$ で，$B$ 君の平均時速は $12 ~ \mathrm{km}$ でした．\ 　$A$ 君の平均時速は何 $\mathrm{km}$ ですか？
OMC100 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/tasks/2633	B	OMC100(B)	400	186	229	[ { "content": "　結論から述べれば，以下が条件をみたす唯一の数列である．\r\n$$(4,5,6,1,2,3,10,11,12,7,8,9,16,17,18,13,14,15,22,23,24,19,20,21)$$\r\n　条件「$a_i-a_j=i-j$ または $a_i+a_j=i+j$」は\r\n\r\n- $a_i-i=a_j-j$ または $a_i-i=-(a_j-j)$\r\n\r\nと言い換えられる．すなわち，$\|a_i-i\|$ が一定であればよい．この一定値を $n(\\neq 0)$ とおけば，数列は前から\r\n$$(n+1,n+2,\\ldots,2n,1,2,\\ldots,n,...	$(1,2,\ldots,24)$ の並べ替え $(a_1,a_2,\ldots,a_{24})$ は，$1\leq i,j \leq24$ なる任意の組 $(i,j)$ について，以下の $2$ 式の少なくとも一方をみたします． $$a_i-a_j=i-j, \qquad a_i+a_j=i+j$$ さらに $a_1$ は合成数であるとき，$(a_1,a_2,\ldots,a_{24})$ は一意に定まります．\ 　そのような唯一の並べ替えについて，$a_{11}\times a_{12}\times a_{13}$ を求めてください．
OMC100 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/tasks/2628	C	OMC100(C)	400	156	188	[ { "content": "$$\\sum_{i=1}^{10^6}{\\left\\lfloor \\frac{i}{10^6+1} \\right\\rfloor}=0$$\r\nより，以下のように変形できる．\r\n$$\\Biggl(\\sum_{i=1}^{10^6+1}\\sum_{j=1}^{10^6+1}{\\left\\lceil \\frac{i}{j} \\right\\rceil}\\Biggr)-\\Biggl(\\sum_{i=1}^{10^6}\\sum_{j=1}^{10^6}{\\left\\lfloor \\frac{i}{j} \\right\\rfloor}\\Biggr)=\...	以下の値を求めてください． $$\displaystyle\Biggl(\sum_{i=1}^{10^6+1}\sum_{j=1}^{10^6+1}{\left\lceil \frac{i}{j} \right\rceil}\Biggr)-\Biggl(\sum_{i=1}^{10^6}\sum_{j=1}^{10^6}{\left\lfloor \frac{i}{j} \right\rfloor}\Biggr)$$ ただし，$\lceil X\rceil$ で $X$ 以上の最小の整数を，$\lfloor X \rfloor$ で $X$ 以下の最大の整数を表します．
OMC100 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/tasks/2630	D	OMC100(D)	600	10	78	[ { "content": "　以下をみたす点 $E$ を，辺 $BC$ について点 $A$ と同じ側にとると，$\\triangle EAB \\sim \\triangle EDC$ および $\\triangle EAD \\sim \\triangle EBC$ が成り立つ．\r\n$$BE:CE=16:17,\\quad \\angle BEC=45^\\circ$$\r\n　点 $D$ が直線 $EC$ に対して点 $B$ と同じ側にあるとき，四角形 $ABCD$ の面積は\r\n$$(\\triangle EBC -\\triangle EAD)+ \\triangle EAB -\\triangle E...	（凸とは限らない）四角形 $ABCD$ が以下の条件をみたすとき，その面積としてあり得る最大値および最小値が存在するので，それぞれ $S,T$ とします． $$AB:CD=16:17,\quad BC=5,\quad AD=1, \quad \angle B + \angle C=135^\circ$$ 　このとき，ある正整数 $a,b,c,d$ が存在して以下のように表せます．ただし，$c$ は平方因子をもたず，$a,b,d$ の最大公約数は $1$ です．$a+b+c+d$ を解答してください． $$S-T=\displaystyle\frac{a+b\sqrt c}{d}$$
OMC100 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/tasks/2632	E	OMC100(E)	700	3	31	[ { "content": "　凸十二角形 $\\alpha(\\alpha_1\\alpha_2\\cdots\\alpha_{12})$ と $\\beta(\\beta_1\\beta_2\\cdots\\beta_{12})$ を，ともにすべての角が $150^\\circ$ であるような十二角形とする．ここで，頂点番号はどちらも時計回りであるとし，$\\bmod{12}$ で同一視するものとする．このとき，$i=1,2,\\ldots,12$ に対して辺 $\\alpha_i\\alpha_{i+1}$ の長さが $b_{2i-1}$，辺 $\\beta_i\\beta_{i+1}$ の長さが $b_{2i}...	それぞれ長さ $6,6000$ の正整数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,\ldots,6},\\{b_n\\}\_{n=1,\ldots,6000}$，および長さ $6000$ の正の実数列 $\\{c_n\\}\_{n=1,\ldots,6000}$ が，以下の条件をそれぞれみたします． - $\\{a_n\\}$ は $(10001,10002,10003,10004,10005,10006)$ の並び替えである． - $\\{b_n\\}$ は $\\{a_n\\}$ を $1000$ 回繰り返して得られる． - $\\{c_n\\}$ は任意の $1\leq i \leq 5998$ に対し以下をみたす．$...
OMC100 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/tasks/2631	F	OMC100(F)	900	0	25	[ { "content": "　下図のように三角形を部分マス目として捉える．すべてのマスが $0$ の状態から始め，次の操作を $10000$ 回繰り返す：\r\n\r\n- 辺上（マス目ではない）を通って左下から右下まで至る最短経路を一つ選び，その下側にあるマスすべてに $1$ を加える．\r\n\r\nこうしてできた三角形は必ず整った三角形となる．逆に，最下段がすべて $10000$ であるような整った三角形 $T$ は，必ずこの操作を適当に行うことで得られる．さらに，$T$ を得る操作の方法の総数は，$T$ の整い度に一致することがわかる．\\\r\n　よって $a_{2021,1000}=5678$ となる操作...	以下のように，正三角形状に非負整数を並べた配列が整った三角形であるとは，最下行以外に位置する任意の数について，そのすぐ下に位置する左右 $2$ つの数の最小値以下であることを指します．以下は $4$ 段の整った三角形の一例となっています． $$ \begin{aligned} ~ & & ~ & & ~ & & 0 & & ~ & & ~ & & ~ \\\\ ~ & & ~ & & 1 & & ~ & & 2 & & ~ & & ~ \\\\ ~ & & 1 & & ~ & & 5 & & ~ & & 2 & & ~ \\\\ 2 & & ~ & & 7 & & ~ & & 6 & & ~ &...
OMC099 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/tasks/3183	A	OMC099(A)	100	285	285	[ { "content": "　求める $x$ について，次の式が成り立つ. \r\n$$\r\n12(x+91)=21(x+19)\r\n$$\r\nこれを解くと，$x=\\mathbf{77}$ と求まる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/editorial/3183" } ]	ある正整数 $x$ があり，$x$ に $91$ を足してから $12$ 倍したときの値と，$x$ に $19$ を足してから $21$ 倍したときの値は同じでした．$x$ を答えてください．
OMC099 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/tasks/3181	B	OMC099(B)	100	275	280	[ { "content": "　$B$ が劣弧 $AC$ 上にあるとする. $\\triangle OAB, \\triangle OBC$ は二等辺三角形であるから,\r\n$$\\angle{AOB}=100\\degree,\\quad \\angle{BOC}=20\\degree$$\r\nである. また, $\\triangle OCA$ も二等辺三角形なので, \r\n$$\r\n\\angle{OAC}=\\frac{180\\degree - \\angle{AOB}-\\angle{BOC}}{2}=30\\degree\r\n$$\r\nである. 以上より, $\\angle{BAC}=\\ang...	点 $O$ を中心とする円上に点 $A,B,C$ があり， $$ \angle{OAB}=40^\circ,\quad \angle{OBC}=80^\circ $$ をみたしているとき，$\angle{BAC}$ の大きさを度数法で求めてください．
OMC099 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/tasks/3184	C	OMC099(C)	200	280	282	[ { "content": "　考えられる目の出方として, 以下の二つの場合が考えられる. \r\n - $10$ 回のうち, $1$ 回は $3$ が, 残りの $9$ 回は $1$ が出る. \r\n - $10$ 回のうち, $2$ 回は $2$ が, 残りの $8$ 回は $1$ が出る. \r\n\r\n前者の場合は ${}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{1}=10$ 通り, 後者の場合は ${}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{2}=45$ 通りあるので, 答えは $10+45=\\mathbf{55}$ 通り.", "text": "公式解説", "url": "ht...	各面に $1$ から $6$ までの数字が書かれた一般的な六面体のサイコロが一つあります. このサイコロを $10$ 回続けてふったとき, 出た目の総和が $12$ になるような目の出方は何通りありますか？
OMC099 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/tasks/3180	D	OMC099(D)	200	233	260	[ { "content": "　相加平均・相乗平均の関係より, 以下の不等式が成立する.\r\n$$\r\n\\sqrt[3]{(xyz)^2} \\leq \\frac{xy+yz+zx}{3}=2^2 \\cdot 3^2 \\cdot 5^4\r\n$$\r\nこれより $xyz \\leq 2^3 \\cdot 3^3 \\cdot 5^6$ であり, 与えられた式は以下のように評価できる. \r\n$$\r\n\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}+\\frac{1}{z}=\\frac{2^2 \\cdot 3^3 \\cdot 5^4}{xyz} \\geq \\frac{1}{2 \\cdo...	正の実数 $x, y, z$ が $xy+yz+zx=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^4$ を満たすとき, $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$ のとり得る最小値は, 正整数 $n$ を用いて $\dfrac{1}{n}$ と表せます. $n$ を解答してください
OMC099 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/tasks/3179	E	OMC099(E)	300	153	207	[ { "content": "解法1.　五角形 $ABCDE$ を線分 $CE$ で二分し, それぞれの面積を計算する. 三角形 $CDE$ の面積は常に $49\\/2$ である. 四角形 $ABCE$ の面積について, 直線 $BC$ と直線 $EA$ の交点を $F$ とすると $\\angle{EFC}=90\\degree$ である. いま,\r\n$$\\angle{FBA}=\\theta, \\quad BC=EA=x$$\r\nとおき, 三角形 $FCE$ に三平方の定理を適用して整理すると\r\n$$\r\n(x+2\\sin\\theta)^2+(x+2\\cos\\theta)^2=98...	凸五角形 $ABCDE$ は次の条件を満たしています. $$\begin{aligned} \angle{A}+ \angle{B}=270\degree , \quad \angle{D}=90\degree,\\\\ AB=2 , \quad CD=DE=7 ,\quad BC=EA \end{aligned}$$ このとき, $ABCDE$ の面積としてあり得る最大値と最小値を求め, その和を答えてください.
OMC099 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/tasks/3182	F	OMC099(F)	400	59	129	[ { "content": "　$m=n$ の場合は明らかに与式を満たさない. 対称性より $m \\gt n$ として考える.\\\r\n　$m-n=d \\geq 1$ として, 与式の左辺に代入することで\r\n$$\r\n\\biggl \\lfloor \\frac{n^2}{m} \\biggl \\rfloor + \\biggl \\lfloor \\frac{m^2}{n} \\biggl \\rfloor = m+n+ \\biggl \\lfloor \\frac{d^2}{m} \\biggl \\rfloor + \\biggl \\lfloor \\frac{d^2}{n} \\biggl ...	$1$ 以上 $10000$ 以下の整数の順序付きの組 $(m,n)$ であって, $$ \biggl \lfloor \frac{n^2}{m} \biggl \rfloor + \biggl \lfloor \frac{m^2}{n} \biggl \rfloor = m + n + 1 $$ を満たすものすべてについて, $m+n$ の総和を解答してください.\ 　ただし, $\lfloor x \rfloor$ で $x$ を超えない最大の整数を表すものとします.
OMC098	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/tasks/2581	A	OMC098(A)	200	248	261	[ { "content": "$$(与式)=\\sum_{k=1}^{5100}\\sqrt{\\frac{\\big(\\sqrt{2k+1}-\\sqrt{2k-1}\\big)^2}{2}}=\\sum_{k=1}^{5100}\\frac{\\sqrt{2k+1}-\\sqrt{2k-1}}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{10201}-\\sqrt{1}}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{\\textbf{5000}}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/edi...	以下の値の平方を求めてください． $$\displaystyle\sqrt{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}}}+\sqrt{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}+...+\sqrt{\frac{\sqrt{10201}-\sqrt{10199}}{\sqrt{10201}+\sqrt{10199}}}$$
OMC098	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/tasks/2580	B	OMC098(B)	200	251	262	[ { "content": "　初めに右上か左下どちらの正方形に向かって進むかと, それぞれの正方形についてどちら向きに $1$ 周するかを定めると, それぞれに対して適する道順が一意に対応する. よって求める場合の数は $2^{18}=\\textbf{262144}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/editorial/2580" } ]	下図のように, $3$ 種類の大きさの正方形を組み合わせた図形があります．これにおいて, $X$ から出発し, すべての正方形の辺をそれぞれ引き返すことなくちょうど $1$ 回ずつ通って $X$ に戻ってくる道順は何通りありますか？\ 　ただし, どの点も複数回通れるものとし, ある道順を逆にたどったものも別の道順とみなします． ![figure 1](\/images\/FR6Utl6dsuafJKk4ezXagrnOb8sBJ6mb5x4L2h1V)
OMC098	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/tasks/2480	C	OMC098(C)	300	160	216	[ { "content": "　与式は以下のように変形できる：\r\n$$(x-y)(y-z)(z-x)=0,\\quad (x+1)(y+1)(z+1)=10^{99}$$\r\n　$x=y$ の場合を考えると, 第 $2$ 式は $(x+1)^2(z+1)=10^{99}$ となるから, $x+1$ は $2^{49}5^{49}$ の $2$ 以上の約数である. 逆にそのように $x$ を選べば, 適する $z$ が一意に定まるから, 以上より $(49+1)^2-1=2499$ 通りである.\\\r\n　$y=z$ および $z=x$ の場合も同様に $2499$ 通りであるが,\r\n$$(x,y,z)=(...	以下の等式をともに満たす, 順序付いた正の整数の組 $(x,y,z)$ はいくつありますか. $$\begin{aligned} & xy^2+yz^2+zx^2=x^2y+y^2z+z^2x,\\\\ & x+y+z+xy+yz+zx+xyz = \underbrace{999\ldots99}_{99個} \end{aligned}$$
OMC098	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/tasks/2576	D	OMC098(D)	400	36	98	[ { "content": "　$\\angle BAD=\\theta$ とする. $AC=6x$ とすると $\\angle BAE=\\angle EAC=3\\theta$ および $BE:EC=2:1$ より $AB=12x$ である.\r\nまた $\|\\triangle ABD\|=\|\\triangle AED\|$ より $AB\\sin\\theta=AE\\sin2\\theta$ すなわち $AE=6x\\/\\cos\\theta$ である.\\\r\n　ここで, 辺 $AC$ 上に $AM=MN=NC$ なる点 $M,N$ をとり, 線分 $AE$ の中点を $L$ とすると, $3$ 点 $D...	三角形 $ABC$ と辺 $BC$ 上の点 $D,E$ が $$BD=DE=EC,\quad \angle BAD:\angle DAE:\angle EAC=1:2:3$$ をみたしているとき, $\cos\angle DAE$ の値を求めてください. ただし, 求める値は正の整数 $a,b,c$ ($a$ は平方因子をもたない) を用いて $\dfrac{\sqrt{a}-b}{c}$ と表されるので $a+b+c$ の値を解答してください.
OMC098	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/tasks/1908	E	OMC098(E)	400	67	158	[ { "content": "　与式を $m$ とおく. 座標平面上の円 $C_1,C_2$ を以下で定める：\r\n$$C_1:x^2+y^2=1,\\quad C_2:(x+60)^2+(y+63)^2=4$$\r\nまた, 点 $P_1,P_2$ を以下のように定めると, これらはそれぞれ $C_1,C_2$ 上を動き, $m$ は直線 $P_1P_2$ の傾きに等しい：\r\n$$P_1:(\\cos\\theta,\\sin\\theta),\\quad P_2:(-2\\cos\\phi-60,-2\\sin\\phi-63)$$\r\n$C_1,C_2$ の位置関係より, $m$ が最大または最小になると...	$\theta,\phi$ が実数全体を動くとき, 以下の式のとり得る最大値と最小値の積を求めてください： $$\displaystyle\frac{\sin\theta+2\sin\phi+63}{\cos\theta+2\cos\phi+60}$$ ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
OMC098	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/tasks/2684	F	OMC098(F)	600	15	55	[ { "content": "$$(13!)^2=(2^{10}\\cdot3^5\\cdot5^2\\cdot7\\cdot11\\cdot13)^2=2^{20}\\cdot3^{10}\\cdot5^4\\cdot7^2\\cdot11^2\\cdot13^2$$\r\nの約数は $21\\cdot11\\cdot5\\cdot3\\cdot3\\cdot3=31185$ 個ある．$(13!)^2=n,31185=2m-1$ とし, $n$ の約数を小さい順に $d_1,d_2,...,d_{2m-1}$ とする．ただし, 本問では $d_m$ は除くことになる．求めるべきは次の値である．\r\n$$\\disp...	$13!$ を除く $(13!)^2$ の正の約数 $d$ すべてに対して $$\displaystyle\biggl\lfloor\frac{(14!)^2}{(13!)^2-d^2}\biggr\rfloor$$ を足し合わせた値を求めてください．ただし, 実数 $x$ に対して $x$ を超えない最大の整数を $\lfloor x\rfloor$ で表します．
OMC097 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/tasks/2571	A	OMC097(A)	100	302	314	[ { "content": "　縦横の長さが $3\\times 5$ である長方形に対角線を $1$ 本引いた場合に同様の問題を考えると, 小正方形の辺と交わる回数を数えることで $3+5-1=7$ 個である. 元の問題の答えはこれの $4$ 倍, すなわち $\\textbf{28}$ 個である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/editorial/2571" } ]	縦横の長さが $6\times 10$ である長方形が, 一辺 $1$ の小正方形 $60$ 個に分割されています. この長方形に対角線 $2$ 本を引いたとき, それらが内部 (外周を除く) を通過する小正方形はいくつありますか？
OMC097 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/tasks/2826	B	OMC097(B)	200	216	241	[ { "content": "　$4$ つの円は図の点 $P$ で交わり, 点 $P$ 以外では $3$ つ以上の円が重なることはない.\r\nよって図の着色部, すなわち半径 $2$, 中心角 $90^\\circ$ の扇形から等辺の長さが $2$ の直角二等辺三角形を除いた図形の面積の $8$ 倍が求める面積であり, 計算すれば $8\\pi-16$. \r\nこれより解答すべき値は $\\bf{24}$ である. \r\n![figure 1](\\/images\\/aaSSC8KBTW7aYcDi9N7GDDzYi7rp0pgWFxYohFdc)", "text": "公式解説", "url"...	一辺の長さが $4+2\sqrt{2}$ の正方形 $ABCD$ があり, 半径 $2$ の $4$ つの円がそれぞれ辺 $AB$ と $BC$, $BC$ と $CD$, $CD$ と $DA$, $DA$ と $AB$ に接しています. このとき $2$ つ以上の円が重なっている部分の面積は正整数 $a,b$ を用いて $a\pi-b$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.
OMC097 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/tasks/3042	C	OMC097(C)	200	174	278	[ { "content": "　各文字を使う回数の組み合わせは $\\lbrace 3,1,1,1 \\rbrace$ または $\\lbrace 2,2,1,1 \\rbrace$ のいずれかである. $\\lbrace 3,1,1,1 \\rbrace$ のとき, $3$ 回使う文字の選択が $4$ 通り, その配置が $4$ 通り, 残りの文字の配置が $3!$ 通りであるから, 全体では $96$ 通りである.\\\r\n　 $\\lbrace 2,2,1,1 \\rbrace$ のときを考える. 同じ文字が隣り合わない条件を無視すれば, $2$ 回使う文字の選択が ${}_4 \\mathrm{ C }\\_...	以下の条件をみたす文字列は何種類ありますか？ - $6$ 文字からなり, 各文字は $A,C,G,N$ のいずれかである． - $A,C,G,N$ のそれぞれ少なくとも一つずつ含む． - 同じ文字が左右に隣り合うことはない．
OMC097 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/tasks/2053	D	OMC097(D)	300	134	181	[ { "content": "　左辺は $0$ 以上 $1$ 未満であるから $x\\gt 21$ である. 一般に $\\\\{\\\\{x\\\\}+\\\\{y\\\\}\\\\}=\\\\{x+y\\\\}$ が成り立つから, 方程式は\r\n$$\\left\\\\{x+\\frac{20}{x}\\right\\\\}=\\frac{21}{x}$$\r\nと書き換えられ, さらに整数 $n$ を用いれば\r\n$$x+\\frac{20}{x}=\\frac{21}{x}+n$$\r\nと表せる. これを解いて $x$ を $n$ で表すと\r\n$$x=\\frac{n\\pm\\sqrt{n^2+4}...	実数 $x$ の小数部分を $\\{x\\}$ で表します．このとき, 以下の方程式をみたす実数 $x$ の最小値を求めてください．ただし，求める値は正整数 $a,b,c$ によって $\dfrac{a+\sqrt b}{c}$ と表せるので（$a$ と $c$ は互いに素），$a+b+c$ を解答してください． $$\left\\{\\{x\\}+\left\\{\frac{20}{x}\right\\}\right\\}=\frac{21}{x}$$ 　なお，実数 $x$ が整数 $m$ と $0\leq r\lt1$ なる実数 $r$ によって $x=m+r$ と表されるとき，$r$ を $x$ の小数部分と呼...
OMC097 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/tasks/2824	E	OMC097(E)	300	122	207	[ { "content": "　$a_1\\leq\\cdots\\leq a_5$ のとき, 両辺を $2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$ で割ったあまりを考えれば $(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ は次のいずれかであることがわかる．\r\n$$(a_1,a_1,a_1,a_1+2,a_1+3),(a_1,a_1+1,a_1+2,a_1+3,a_1+4),(a_1,a_1+1,a_1+1,a_1+1,a_1+3)$$\r\nよって $a_1,\\dots,a_5$ の入れ替えを考慮すれば, 求める値は次のように計算できる．\r\n$${}\\_5 \\mathrm{C}\\_1\\time...	$2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+2^{a_4}+2^{a_5}=2^{a_6}$ を満たす $100$ 以下の非負整数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ はいくつありますか？
OMC097 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/tasks/2175	F	OMC097(F)	400	42	81	[ { "content": "　線分 $AH$ と $OM$ は平行で, 長さの比が $2:1$ であるから, $P$ は $O$ に関して $A$ と対称な点であり, 四角形 $BPCH$ は平行四辺形であるから, 求める長さは四角形 $ABPC$ の周長 $L$ に等しい. ここで,\r\n$$(AB+BP)^2-(PC+CA)^2=(AB+BP+PC+CA)\\times \\\\{AB+BP-(PC+CA)\\\\}=L\\times 5$$\r\n一方で $\\triangle ABP ,\\triangle PCA$ がいずれも $PA$ を斜辺とする直角三角形であることに注意すれば, 左辺は\r\n$$A...	$AB\neq AC$ である三角形 $ABC$ において，その垂心を $H$，外心を $O$，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．さらに，直線 $HM$ と直線 $AO$ の交点を $P$ とすると，三角形 $ABP$ と $ACP$ について，面積は前者が $217$ 大きく，周長は前者が $5$ 長いことがわかりました．このとき，四角形 $ABHC$ の周長は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください.
OMC096	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/tasks/1987	A	OMC096(A)	100	265	271	[ { "content": "　それぞれの $1$ 時間のうち, 次に発車する列車が上り線である時間は, $0$ 分〜 $5$ 分, $7$ 分〜 $25$ 分, $37$ 分〜 $60$ 分の計 $46$ 分間である. よって, 求める確率は $\\dfrac{46}{60}=\\dfrac{23}{30}$ となり, 特に解答すべき値は $23+30=\\textbf{53}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/editorial/1987" } ]	ある駅には一本の路線のみが通っており，上り線の列車は毎時 $5,25,45$ 分ちょうどに，下り線の電車は毎時 $7,37$ 分ちょうどに発車します．ランダムなある時刻にこの駅にやってきたとき，次に発車する列車が上り線の列車である確率を求めてください．\ 　ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．なお，列車が発車する時刻ちょうどに駅にやってきた場合，その列車が次に発車する列車であるとします.
OMC096	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/tasks/2817	B	OMC096(B)	200	265	268	[ { "content": "　タイルの外側にできた正八角形の一辺の長さは $1$ , タイルの内側にできた正八角形の一辺の長さは $\\sqrt 2 - 1$ であるから, それぞれの面積は実数 $x$ を用いて $x,\\ (\\sqrt 2 - 1)^2x$ と表せる. ここで, 二つの正八角形の面積の差はタイル $8$ 枚分であることから, $x-(\\sqrt 2 - 1)^2x=4$ が成り立つ. よって $x=2\\sqrt 2+2$ であり, タイルの内側にできた正八角形の面積は $2\\sqrt 2 - 2$ であるから, 求めるべき値は $8+2=\\textbf{10}$ である.", "...	各辺の長さが $1,1,\sqrt 2$ である直角二等辺三角形の形をしたタイルが $8$ 枚，図のように並べられています．タイルの内側にできた正八角形の面積は正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt a-b$ と表せるので，$a+b$ を解答してください． ![figure 1](\/images\/P2ZYBv2KgGJnDXaCvU29lcyA09YXVw7kEOAoG4Bl)
OMC096	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/tasks/1765	C	OMC096(C)	300	161	199	[ { "content": "　$f(x)=5x^4-30x^2$ の $x=t$ における接線は $y=f^\\prime (t)(x-t)+f(t)$ であるから,\r\n$$g(t)=15t^4-20xt^3-30t^2+60xt+y$$\r\nについて $g(t)=0$ が実数解をもつ条件を考えればよい. ここで $g^\\prime (t)=60(t^2-1)(t-x)$ より,\r\n$$g(\\pm 1)=y\\pm 40x-15,\\quad g(x)=y-f(x)$$\r\nより少なくとも一つが $0$ 以下であることが必要十分条件であるから, 求める面積は\r\n$$2\\int_{0}^{3}((...	$xy$ 平面において，$y\geq 5x^4-30x^2$ で定まる領域を $R$ とします．$R$ に含まれ，かつ $R$ の境界の接線が通過し得る部分の面積を求めてください．
OMC096	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/tasks/2392	D	OMC096(D)	400	65	123	[ { "content": "　$1,2,6,24$ をそれぞれ $1,2,3,4$ 個まで買えるから, 各桁が $k!$ の位であるような階乗進数を考えれば, $1,2,6,24$ を買う数を適当に選んで合計金額を $0,1,\\ldots,119$ 円とする方法が, ちょうど $1$ 通りずつ存在することが分かる.\\\r\n　すなわち, $1,2,6,24$ 以外の正整数を先に選び, その後 $1,2,6,24$ の個数を調整することを考えれば, 合計金額を $10$ で割った余りそれぞれは, 全体で (正整数を一つも買わない場合を含めて) 同じだけ現れる.\\\r\n　以上より $M=2^{66}\\c...	とあるお店では $1,2,\ldots ,81$ の正整数を売っています．正整数 $n$ の値段は $n$ 円で，$0$ 以上 $\lceil \log_3 n\rceil +1$ 以下の任意の個数買うことができます．ただし，実数 $x$ に対して $\lceil x\rceil$ は $x$ 以上の最小の整数を表します．\ 　OMC君はこのお店で $0$ 個以上の正整数を買いたいですが，支払いを楽にするため, 合計金額を $10$ の倍数にしたいです．このとき, OMC君が買う正整数の組み合わせとして考えられるものは $M$ 通りです．$M$ がもつ正の約数の個数を求めてください．\ 　ただし，ある正整数 $n$ が存...
OMC096	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/tasks/2998	E	OMC096(E)	500	105	192	[ { "content": "　一般に $2\\times n$ の区画の場合を考える. 各区画を頂点, 各境界線を辺とし，境界線で隣接した $2$ 区画の間に辺を張った $2n$ 頂点 $3n-2$ 辺のグラフを考える(図1). 求めるものは, このグラフから $n-1$ 辺を取り除いたときにグラフが木となるような方法の総数である.\\\r\n　ここで, 条件を満たす木のうち，右端の $2$ 頂点の間に辺が存在するものをパターン $A$, 存在しないものをパターン $B$ と呼ぶ(図2). また，パターン $A,B$ がそれぞれ $a_n,b_n$ 個あるとする. 左側からグラフを作っていくことを考える. \\\r...	下図のように，長方形の空間が境界線（点線）で $2\times5$ の区画に区切られており，境界線によって隣り合う区画は自由に行き来することができます．ここで，$13$ 本の区画の境界線の中から $4$ つ選んで，そこに壁を作ります．壁のある境界線は行き来することができなくなります．このとき，次の条件を満たす $4$ 本の境界線の選び方は何通りありますか． - 相異なる任意の二つの区画に対して，一方から他方へ行くことができる．ただし，回転や反転によって一致するものも区別して数えるものとします． ![figure 1](\/images\/IEuFWIl5E9oONyDnalbFKWFkAVN4HkudZGSGH3Y...
OMC096	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/tasks/2295	F	OMC096(F)	500	33	97	[ { "content": "　求める総和を $S$ とする．モニック多項式の有理数根はすべて整数値であることが知られているから，与方程式の解としてあり得るものは $0,\\pm1$ のみである．$p+q+r=N$ なる非負整数 $p,q,r$ を用いて次の形に表せる．\r\n$$x^{N}+a_{N-1}x^{N-1}+\\cdots+a_1x+a_0=x^p(x+1)^q(x-1)^r$$\r\nこの式で $x=1$ とした値が $1+a_0+a_1+\\cdots+a_{N-1}$ であり，$r\\geq 1$ のときこれは $0$ であることに注意すると，$S$ は次のように求められる．\r\n$$S=\\su...	$N=10^{10}$ とおきます．以下の $x$ の $N$ 次方程式の複素数解がすべて絶対値 $2$ 未満の有理数となるような，整数の組 $(a_0,a_1,\dots,a_{N-1})$ すべてに対する $a_0+a_1+\cdots+a_{N-1}$ の総和を，$10^5$ で割った余りを求めてください． $$x^{N}+a_{N-1}x^{N-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$
OMC095 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/tasks/3842	A	OMC095(A)	100	265	285	[ { "content": "解法.1　$n$ か $m$ をどちらかを固定したとき，それぞれについて $9$ 回ずつ総和に反映される． \r\n　よって求める答えは $(1+2+\\cdots+9)\\times{9}\\times{2}$ より $\\textbf{810}$ となる． \r\n \r\n解法.2　$n$ , $m$ それぞれについて平均を取ると $5$ になることから，足すべき $81$ 個の値の平均は $10$ であることがわかる．よって求める答えは ${10}\\times{81}$ より $\\textbf{810}$ となる．", "text": "公式解説...	$\displaystyle\sum_{n=1}^{9}\sum_{m=1}^{9} (n+m)$ を計算してください．
OMC095 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/tasks/1582	B	OMC095(B)	100	265	279	[ { "content": "　正整数 $(a,b)$ が $a^2=b^3$ をみたすための必要十分条件は, ある正整数 $n$ によって $(n^3,n^2)$ と表せることである. さらに $a\\leq 1000$ より $n\\leq 10$ であるから, 求める総和は $1^2+2^2+\\cdots 10^2=\\textbf{385}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/editorial/1582" } ]	$a^2=b^3$ なる正整数の組 $(a,b)$ のうち, $a\leq 1000$ なるものすべてについて $b$ の総和を求めてください.
OMC095 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/tasks/1283	C	OMC095(C)	200	258	267	[ { "content": "　解と係数の関係より, 以下が成り立つ.\r\n$$a+b=4,\\ \\ ab=-1,\\ \\ c=3a+11b,\\ \\ d=2a(a+11b)$$\r\n一方で, $a^2=4a+1$ であることに留意すれば, 求める値は\r\n$$c+d=(3a+11b)+(2(4a+1)+22ab))=11(a+b)+22ab+2=\\textbf{24}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/editorial/1283" } ]	$x$ の二次方程式 $x^2-4x-1=0$ の $2$ 解を $x=a,b$ (ただし $a\lt b$) とすると, $x$ の二次方程式 $$x^2-cx+d=0$$ は $x=2a$ および $x=a+11b$ を $2$ 解に持ちました. $c+d$ を求めてください.
OMC095 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/tasks/1442	D	OMC095(D)	200	239	260	[ { "content": "　条件より $N-11$ は $6,7,8,9,10$ でそれぞれ割り切れるから, 特にこれらの最小公倍数 $2520$ で割り切れる. よって $N\\leq 9999$ と併せて, 求める最大値は $3\\times 2520+11=\\textbf{7571}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/editorial/1442" } ]	$4$ 桁の正整数 $N$ は以下の条件をともにみたします. - $N$ を $6$ で割った余りは $5$ である. - $N$ を $7$ で割った余りは $4$ である. - $N$ を $8$ で割った余りは $3$ である. - $N$ を $9$ で割った余りは $2$ である. - $N$ を $10$ で割った余りは $1$ である. このとき, $N$ としてあり得る最大値を求めてください.
OMC095 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/tasks/272	E	OMC095(E)	300	90	185	[ { "content": "　すべての順列に対するスコアの総和 $S$ を求めればよい. これは $272$ 以下の正整数 $i,j$ に対して $\|i-j\|$ の寄与がそれぞれ $2\\times256\\times 270!$ 回であることに留意すれば,\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS&=\\displaystyle 2\\times256\\times 270!\\times\\sum_{i=1}^{272}\\sum_{j=1}^{i}(i-j)\\\\\\\\\r\n&=256\\times270!\\times\\sum_{i=1}^{272}(i^2-i)\\\\\\\\\r\n&...	$272$ 項からなる整数列 $\\{a_i\\}\_{i=1,\ldots,272}$ のスコアを以下で定めます. $$ \sum_{i=1}^{256} \|a_i-a_{i+16}\| $$ $1,2,\ldots,272$ を並べ替えてできる整数列は $272!$ 通り考えられますが, それらのスコアの平均値を求めてください.\ 　ただし, この平均値は整数値になることが証明できます.
OMC095 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/tasks/1807	F	OMC095(F)	400	76	150	[ { "content": "　$N$ は直角三角形 $BEM$ の外心であるから，$NE=NM$ が成立する．したがって $DE=DM$ とあわせて $DN$ は $\\angle{EDM}$ を二等分する．直線 $BC$ と $DM$ の交点を $X$ とすると，角の二等分線定理より\r\n$$PX:PC=2DM:(DE+EC)=10:9$$\r\nよって $CX=AD+BC=11$ とあわせて $CP=99\\/19$ を得るから，特に解答すべき値は $\\textbf{118}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.c...	$AD\parallel BC,AD+BC=11$ をみたす台形 $ABCD$ について, 辺 $AB$ の中点を $M$ とし, また $AB$ の垂直二等分線と辺 $CD$ が交わったのでその交点を $E$ としたところ, 以下が成り立ちました： $$DE=DM=5,\quad CE=4$$ $BE$ の中点を $N$ とし, 直線 $BC$ と $DN$ の交点を $P$ としたとき, $CP$ の長さを求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a, b$ によって $\displaystyle \dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
OMC094 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/tasks/2617	A	OMC094(A)	300	122	156	[ { "content": "　$AB=x,AC=y,BP=PQ=QC=a$ とする. このとき, 中線定理より以下の$2$つが成立する：\r\n$$x^2+24^2=2(a^2+18^2),\\quad y^2+18^2=2(a^2+24^2)$$\r\nこれらを整理することで $(y+x)(y-x)=756$ を得る. 大小関係や偶奇に注意して考えれば,\r\n$$(x,y)=(188,190),(60,66),(20,34),(12,30)$$\r\nを得る. さらに, 三角形の成立条件に留意すれば, $(x,y)=(20,34)$ のみが適し, 求める値は $\\bf{ 680 }$ である.", "t...	$AB,AC$ の長さがともに正整数値である非退化な（面積が正の）三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ の三等分点を $B$ に近い方から順に $P,Q$ としたとき, $AP=18,AQ=24$ が成立しました. このとき, $AB\times AC$ としてあり得る値の総和を求めてください.
OMC094 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/tasks/3669	B	OMC094(B)	300	104	128	[ { "content": "　一般に, $n$ 回目の操作後に書かれている黒板の $2$ 数を左から $a_{n},b_{n}$ とすれば,\r\n$$a_{n+1}+b_{n+1}=a_{n}+b_{n},\\quad a_{n+1}-b_{n+1}=2(a_{n}-b_{n})$$\r\nこれより，以下をみたす $a_0,b_0$ について，$a_N,b_N$ が条件の通りとなる.\r\n$$a_{0}+b_{0}=2^{3^{200}}+2,\\quad a_{0}-b_{0}=\\dfrac{3^{2^{300}}-1}{2^N}$$\r\nいま $a_0,b_0$ が整数であることは, $(3^{2^{30...	黒板に左右 $2$ つの整数が書いてあり, これらに対し以下の操作を繰り返し施します： - 黒板に書いてある $2$ 数を左から $a,b$ としたとき, それらを左から $\displaystyle \frac{3a-b}{2},\displaystyle \frac{-a+3b}{2}$ に書きかえる. このとき, $N$ 回目の操作終了後, 黒板には左から $$\dfrac{2^{3^{200}}+3^{2^{300}}+1}{2},\quad \dfrac{2^{3^{200}}-3^{2^{300}}+3}{2}$$ の $2$ つの数が書かれていました. $N$ としてあり得る正整数すべての...
OMC094 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/tasks/2598	C	OMC094(C)	300	144	164	[ { "content": "　$a_{10}\\geq 1$ を無視すれば数列は $3^9$ 通りある．そのうち $a_{10}=1$ となるのは $a_{i+1}-a_i=1$ なる $i$ の個数と $a_{i+1}-a_i=-1$ なる $i$ の個数が等しいときであるから，\r\n$$1+{}\\_9\\mathrm{C}\\_1\\times{}\\_8\\mathrm{C}\\_1+{}\\_9\\mathrm{C}\\_2\\times{}\\_7\\mathrm{C}\\_2+{}\\_9\\mathrm{C}\\_3\\times{}\\_6\\mathrm{C}\\_3+{}\\_9\\mathr...	整数列 $a_1,a_2,\ldots,a_{10}$ であって，$a_1=1,a_{10}\geq 1$ および以下をみたすものは何通りありますか？ - $1\leq{i}\leq9$ なる任意の正整数 $i$ に対し，$\|a_{i+1}-a_i\|\leq1$.
OMC094 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/tasks/3425	D	OMC094(D)	600	8	32	[ { "content": "　$a_2=-\\dfrac{5}{24}$ である．また $n\\geq2$ に対し $a_{n+1}-a_{n}=(4a_{n}+1)(a_{n}+1)$ を変形して\r\n$$4a_{n+1} +3=(4a_{n}+3)^2-2$$\r\nを得る．したがって $b_{n}=4a_{n}+3$ とおけば，$b_2=13\\/6$ および $n=2,3,\\ldots$ に対し\r\n$$b_{n+1}=b_{n}^2-2.$$\r\nここで，$n=2,3,\\ldots$ について $b_{n}\\gt2$ が常に成り立つから，$b_{n}=c_{n}+\\dfrac{1}{c_{n}...	$$a_1=\frac{-15+\sqrt{51}}{24},\quad a_{n+1}=\sum_{k=1}^{n} (4a_k+1)(a_k+1) \quad(n=1,2,\ldots)$$で定まる数列 $\lbrace a_{n} \rbrace$ について，$a_{100}$ は互いに素な正整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表せるので，$m$ を $9509(=37\times 257)$ で割った余りを解答してください．
OMC094 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/tasks/3360	E	OMC094(E)	600	23	87	[ { "content": "　$a_{ij}~(i,j\\geq2)$ は $1,2,3$ のいずれかである. 以下, $a_{44}$ が $1,2,3$ それぞれであるときの場合の数を調べる. \r\n\r\n----\r\n補題.　$a_{44}=3$ と $a_{22}=3$ は同値である. \r\n証明.　まず $a_{44}=3$ とする. いま $a_{33}\\leq2$ とすると , $a_{43}=a_{34}=3$ が従い , $a_{33}\\leq2$ なので $a_{32}=a_{23}=3$ となるが, これは $a_{33}\\leq2$ であることに矛盾. よって ...	$4×4$ のマス目があり, 以下の要領でそれぞれのマスに一つずつ数を書き込みます. ここで, 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目（$i,j$ は $1$ 以上 $4$ 以下の整数）に書き込まれる数を $a_{ij}$ で表します. - まず, $1$ 行目または $1$ 列目にある $7$ マスに $1$ 以上 $7$ 以下の相異なる整数をそれぞれ $1$ 回ずつ書き込む. - 続いてそれ以外のマス（上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目）に, 以下を常にみたすように数を書き込む. $$a_{ij}=\max\big\\{\gcd(a_{i-1,j-1},a_{i,j-1}), ~ \gcd(a_{i-...
OMC094 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/tasks/3676	F	OMC094(F)	700	7	43	[ { "content": "　$BC$ の中点を $M$ とし, $M$ に関して $H$ と対称な点を $Q$ とする. \r\n$4$ 点 $B,C,D,E$ はすべて $M$ を中心とする同一円上にあるので\r\n$$\\angle DEM = \\angle EDM = \\frac{1}{2}(180^\\circ - \\angle DME) = \\frac{1}{2}(180^\\circ - 2\\angle ABD) = \\angle BAC = \\angle PCB=\\angle PBC$$ \r\nが分かり $\\triangle DEM \\sim \\triangle BCP$ を得...	$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし, 外接円を $\Gamma$ とします. 直線 $BH$ と $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と $AB$ の交点を $E$ とします. $B,C$ における $Γ$ の接線の交点を $P$ とします. $$DE=10,\quad BP=16,\quad PH=4\sqrt{19}$$ が成立するとき, $BH$ の長さの二乗を求めてください. ただし, 求める値は平方因子を持たない正の整数 $c$ と正の整数 $a,b$ を用いて $a-b\sqrt{c}$ と表せるので, $a+b+c$ を解答してください.
OMC093 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/tasks/3489	A	OMC093(A)	100	258	281	[ { "content": "　素数の一の位としてあり得る数は $1,2,3,5,7,9$ である．\\\r\n　それぞれを $1234$ 乗したときの一の位は $1,4,9,5,9,1$ であり，求める総和は $1+4+5+9=\\textbf{19}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/editorial/3489" } ]	$p$ を素数とするとき， $p^{1234}$ の一の位としてあり得るものの総和を求めてください．
OMC093 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/tasks/3490	B	OMC093(B)	200	239	259	[ { "content": "$$\\frac{(n+1)n\\cdots(n-37)}{39!}=\\frac{n(n-1)\\cdots(n-39)}{40!}$$\r\nより， \r\n$$40(n+1)=(n-38)(n-39)$$\r\nこの $2$ 次方程式を解いて，求める $n$ は $n=\\textbf{103}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/editorial/3490" } ]	${}\_{n+1}\mathrm{C}\_{39}={}\_n\mathrm{C}\_{40}$ をみたす $40$ 以上の整数 $n$ は一意に存在するので，これを求めてください．
OMC093 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/tasks/3491	C	OMC093(C)	200	226	242	[ { "content": "　 $BC+AD=AB+CD=144$ であり，相加相乗平均の不等式より\r\n$$144=BC+AD\\geq2\\sqrt{BC\\times AD}$$\r\nが成り立つ．したがって，$BC\\times AD$ は $BC=AD=72$ のとき最大値 $\\textbf{5184}$ をとる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/editorial/3491" } ]	円に外接する四角形 $ABCD$ が $$AB=55,\quad CD=89$$ をみたすとき，$BC\times AD$ のとり得る最大値を求めてください．
OMC093 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/tasks/3493	D	OMC093(D)	300	146	202	[ { "content": "　曲がる回数が偶数回であるのは最初と最後の操作が一致する場合である．求める場合の数は $(1,0)$ から $(7,6)$ まで移動する方法の総数と $(0,1)$ から $(8,5)$ まで移動する方法の総数の和であるから\r\n$${}\\_{12}\\mathrm{C}\\_{6}+{}\\_{12}\\mathrm{C}\\_{4}=\\textbf{1419}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/editorial/3493" } ]	座標平面上の点 $P$ が，はじめ原点 $O(0,0)$ にあります．いま，$P$ に対して以下の操作 $X$ および操作 $Y$ を計 $14$ 回行うことで，点 $A(8,6)$ まで移動させることを考えます． - 操作 $X$：点 $P$ を $x$ 方向に $1$ だけ移動させる - 操作 $Y$：点 $P$ を $y$ 方向に $1$ だけ移動させる　「操作 $X$ をした直後に操作 $Y$ を行うこと」または「操作 $Y$ をした直後に操作 $X$ を行うこと」を曲がると表現するとき，曲がる回数が偶数回であるような操作方法が何通りあるかを求めてください．
OMC093 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/tasks/3492	E	OMC093(E)	300	141	196	[ { "content": "　 $10$ 進法表示したときに $9$ が現れない $4$ 桁の数の総和は\r\n$$(1+\\cdots+8)\\times9^3\\times1000+(0+\\cdots+8)\\times(8\\times 9^2)\\times(100+10+1)=28833408$$\r\nであるから，求めるべき総和は $$(1000+9999)\\times9000\\div2-28833408=\\textbf{20662092}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc0...	$3492$ や $9999$ のように，$10$ 進法表示したときに $9$ が現れるような，$1000$ 以上 $9999$ 以下の整数の総和を求めてください．
OMC093 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/tasks/3494	F	OMC093(F)	400	39	105	[ { "content": "　 $A$ を中心に（ある決められた方向に） $30^\\circ$ 回転し， $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ 倍拡大する変換によって，$D$ は $K$ にうつり，$C$ は $L$ にうつるから，$M$ は $N$ にうつる．よって $DM=5\\sqrt{3}$ および $AM=2MN=4$ が成り立つ．ここで，正三角形 $ABD,ACE$ の一辺の長さをそれぞれ $p,q$ とおくと，三角形 $ADC$ で中線定理より， $p^2+q^2=182$ となる．よって，\r\n$$S^2=\\frac{3}{16}{(p^2+q^2)}^2=\\frac{24843}{4...	三角形 $ABC$ に対し，三角形 $ABD$ と $ACE$ がともに三角形 $ABC$ の外側の正三角形となるように点 $D,E$ をとります．また，線分 $BD,CE,CD$ の中点をそれぞれ $K,L,M$ とし，線分 $KL$ の中点を $N$ とします．\ 　 $KL=15,MN=2$ であるとき，正三角形 $ABD$ と正三角形 $ACE$ の面積の和を $S$ とすると， $S$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．
OMC092 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/tasks/3483	A	OMC092(A)	100	247	259	[ { "content": "【動画解説】https:\\/\\/youtu.be\\/hJPuTu8hmEI\r\n\r\n　与式に $y = 60$ を代入すると，任意の実数 $x$ に対して\r\n$$ f(x) = x + f(60) - 60 = x + 1140 $$\r\nが成立し，確かにこれは与式を満たすから，$f(1200) = 1200 + 1140 = \\mathbf{2340}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3483" } ]	実数に対して定義され実数値をとる関数 $f$ は，任意の実数 $x, y$ に対して $$ f(x) + y = x + f(y) $$ を満たします．$f(60) = 1200$ であるとき，$f(1200)$ を求めてください．
OMC092 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/tasks/3485	B	OMC092(B)	200	196	244	[ { "content": "　$1201$ は素数であるから，$1200$ 以下の任意の正整数と互いに素であり，$\\phi(1201) = 1200$ である． \r\n　一方，$2$ 以上の $n$ に対して明らかに $\\phi(n) \\lt n$ より，求める最小値は $\\mathbf{1201}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3485" } ]	任意の正整数 $n$ に対し，$n$ と互いに素な $n$ 以下の正整数の個数を $\phi(n)$ で表します．$\phi(n)$ が $1200$ の倍数になるような最小の正整数 $n$ を求めてください．
OMC092 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/tasks/3484	C	OMC092(C)	200	129	194	[ { "content": "　求める総和は，すべての進み方について通る点の個数を合計したものに等しい．原点から $A$ までの $P$ の進み方は ${}\\_{12}\\mathrm C\\_6 = 924$ 通りあり，そのすべてにおいてそれぞれ $13$ 個の点を通るから，答えは $924 \\times 13 = \\mathbf{12012}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3484" }, { "content": "別解1　\r\n...	座標平面上にある点 $P$ は，点 $(x, y)$ にいるときに $(x + 1, y)$ または $(x, y + 1)$ に瞬間移動できます．はじめ $P$ は原点 $(0, 0)$ におり，点 $A(6, 6)$ を目指して $A$ に到着したら停止します．このとき，点 $P$ が通る点の集合（原点と $A$ を含む）としてあり得るもののうち，ある点 $(i, j)$ を含むものの個数を $N(i, j)$ とするとき， $$ \sum_{i=0}^6 \sum_{j=0}^6 N(i, j) $$ を求めてください．
OMC092 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/tasks/3487	D	OMC092(D)	300	190	230	[ { "content": "　一度に入れられるビー玉の個数は $1, 2, 7, 8$ 個のどれかであるが，$7, 8$ 個入れるのは合計で高々 $1$ 回である．\r\n* 必ず $1$ または $2$ 個ずつ入れる場合： \r\n　$12$ を一般に $n$ とおき，入れ方を $a_n$ 通りとおくと，\r\n$$a_1 = 1,\\qquad a_2 = 2,\\qquad a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$$\r\nが成立するから，$a_n$ を順に求めて $a_{12} = 233$ を得る．\r\n\r\n* $1$ 回だけ $7$ または $8$ 個入れる場合： \r\n　はじめ $7...	区別のない $12$ 個のビー玉があり，これらを何回かに分けて $1$ つの袋に入れることを考えます．袋に一度に入れるビー玉の個数が，常に $6$ で割ると $1$ か $2$ 余る正整数になるようにするとき，入れ方は何通りありますか？
OMC092 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/tasks/3486	E	OMC092(E)	300	123	174	[ { "content": "　半径 $6$ の円の中心を $A$，半径 $12$ の円の中心を $B,C$ とし，$3$ つの円が内接する円の中心を $O$，半径を $6x$ とする．このとき $AO = 6\\left(x - 1\\right)\\mathclose{},\\\\, BO = 6\\left(x - 2\\right)$ である．また\r\n$$AB = AC = 6 + 12 = 18,\\quad BC = 12 + 12 = 24$$\r\nであり，直線 $AO$ が線分 $BC$ と $BC$ の中点 $M$ で交わることから\r\n$$ AM = \\sqrt{18^2 - \\left...	半径 $6$ の円が $1$ つと半径 $12$ の円が $2$ つあり，それぞれ互いに外接しています．これらの円がすべて内接する円の半径は正整数 $a, b$ を用いて $a + \sqrt b$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．
OMC092 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/tasks/3488	F	OMC092(F)	400	36	83	[ { "content": "　任意の $n$ に対して\r\n$$ \\frac{n^2 + n + 1}{n\\left(n + 1\\right)\\left(n + 1\\right)!} = \\frac{\\left(n + 1\\right)^2 - n}{n\\left(n + 1\\right)\\left(n + 1\\right)!} = \\frac1{n \\times n!} - \\frac1{\\left(n + 1\\right) \\left(n + 1\\right)!}, $$\r\n$$ \\frac{n^2 + 2n + 2}{n\\left(n + 1\\right)\\l...	以下で定まる $S, T$ について，$S + T$ は互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $\dfrac pq$ と表されます． $$ S = \sum_{n=1}^{1200} \frac{n^2 + n + 1}{n\left(n + 1\right)\left(n + 1\right)!},\quad T = \sum_{n=1}^{1200} \frac{n^2 + 2n + 2}{n\left(n + 1\right)\left(n + 2\right)!}. $$ このとき，$p + q + 1$ の十進法による表記で末尾に並ぶ $0$ の個数を求めてください．
OMC091	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/tasks/3107	A	OMC091(A)	100	235	237	[ { "content": "　$W,E,L,C,O,M$ の総和が $21$ , 総積が $720$ であることに留意する.\\\r\n　$E=24-21=3$ なので, 求める答えは $720\\times3=\\textbf{2160}$ .", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/editorial/3107" } ]	$W,E,L,C,O,M$ は相異なる $1$ 以上 $6$ 以下の整数です. $$W+E+L+C+O+M+E=24$$ を満たすとき $$W\times E\times L\times C\times O\times M\times E$$ を求めてください.
OMC091	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/tasks/3275	B	OMC091(B)	200	226	234	[ { "content": "　問題は以下の表現と等価である．\r\n\r\n- $0,3,4$ のいずれかを順に $5$ 回足す方法であって，その和が $5$ 以上となるのは何通りか？\r\n\r\n逆に「$5$ 未満」となるものが何通りあるか考えると，これは $3$ および $4$ をあわせて高々 $1$ 回用いることと同値であるから，$5\\times 2+1=11$ 通りである．これより，元の問題で求める値は $3^{5} -11=\\textbf{232}$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/conte...	OMC君はそうめんつゆサーバーをもっており，水・青・黄の $3$ つのボタンが取り付けられています．それぞれのボタンを押すと，そうめんつゆが $3\textrm{L}$, $6\textrm{L}$, $7\textrm{L}$ 出されます．\ 　これら $3$ つのボタンを順番に合計 $5$ 回押して，空の容器にそうめんつゆを $20\textrm{L}$ 以上入れる方法は何通りありますか？ただし，ボタンを押す順番も区別するものとし，必ずしもすべてのボタンを押す必要はありません．
OMC091	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/tasks/3357	C	OMC091(C)	300	178	206	[ { "content": "　 $xy$ 平面上で考えると, 条件は $y=\\\|x^{2}-14x+24\\\|$ と $y=ax+1$ が交点をちょうど $3$ つ持つ, と言い換えることができる. これを実現する位置関係は, 下図のような $2$ 通りである. ここで青丸は $(0,1)$ である.\\\r\n　$-(x^{2}-14x+24)=ax+1$ が重解を持つのは $a= 4,24$ のときであるが, このうち $3\\lt x \\lt 8$ で接点を持つのは $a=4$ のときのみである. また, $(x,y)=(12,0)$ で交点を持つのは $a=-\\dfrac{1}{12}$ のときである....	$$\\|x^2-14x+24\\| = ax+1$$ を満たす実数 $x$ がちょうど $3$ つ存在するような実数 $a$ の総和は, 互いに素な正整数 $s, t$ を用いて $\dfrac{s}{t}$ と表せるので, $s+t$ を解答してください.
OMC091	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/tasks/3590	D	OMC091(D)	400	82	171	[ { "content": "　一般に $2$ 行 $n$ 列の場合を考え，マス目を市松模様に黒と白で塗り分けることを考える．ただし，左上を黒で塗るとする．すると，黒で塗ったマスの矢印は白で塗ったマスを指し，白で塗ったマスの矢印は黒で塗ったマスを指すから，黒で塗ったマスと白で塗ったマスに書き込む矢印についてそれぞれ独立に考えてよい．\\\r\n　ここで，黒で塗ったマスに矢印を書き込む方法が $a_n$ 通りあるとする．左上のマスに $\\downarrow$ を書き込んだとき，残りの書き込み方は $a_{n-1}$ 通りである．左上のマスに $\\rightarrow$ を書き込んだとき，その右下のマスは必ず $\\l...	$2$ 行 $10$ 列のマス目のそれぞれに，矢印 $\uparrow, \downarrow, \leftarrow, \rightarrow$ のいずれか $1$ つを書き込む方法であって，以下の条件をみたすものは何通りありますか？ - どのマス $M$ についても，$M$ と辺を共有するマスであって，そこに書き込まれた矢印が $M$ を指すものがちょうど $1$ 個存在する．
OMC091	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/tasks/3563	E	OMC091(E)	400	41	91	[ { "content": "　以下, 合同式は全て $\\bmod 11$ で計算する. 辺 $A_{k}A_{k+1}$ に割り当てられた整数を $L_{k}$ とおく. ただし $A_{n}$ は $A_{0}$ を指すものとする. このとき条件は $L_{k} \\equiv -L_{k-1}+k^2 $ であり, これを漸化式と見なして $L_{k}$ の一般項を求めると\r\n$$L_{k}\\equiv (-1)^k\\times \\Bigl(L_{0}+ \\sum_{i=0}^k (-1)^i i^2 \\Bigr)\\equiv (-1)^k L_{0} + \\dfrac{k(k+1)}{2}...	$3$ 以上の整数 $n$ に対して，正 $n$ 角形 $A_{0}A_{1}\cdots A_{n-1}$ を考え，その各辺に整数を割り当てます．このとき，$k=0,1,\ldots,n-1$ に対し頂点 $A_{k}$ のスコアを，頂点 $A_{k}$ に接続する $2$ 辺に割り当てられた整数の和から $k^2$ を減じたものと定義します．\ 　適当に辺に整数を割り当てることで，すべての頂点のスコアを $11$ の倍数にすることが可能な $n$ は，$3\leq n \leq 1000$ の範囲にいくつあるか求めてください．
OMC091	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/tasks/3377	F	OMC091(F)	500	58	114	[ { "content": "$$\\angle BAF = \\angle DAE, \\quad \\angle AFB = 180^\\circ - \\angle BFE = 180^\\circ - \\angle BEF = \\angle AED$$\r\nより三角形 $ABF$ と三角形 $ADE$ は相似. また, \r\n$$\\angle BAE = \\angle GAF, \\quad \\angle AEB = \\angle BFE = \\angle AFG$$\r\nより三角形 $ABE$ と三角形 $AGF$ も相似. \r\n従って, $4$ 点の組 $(A,B,D,E)$ と $...	円に内接する四角形 $ABCD$ は, $AB\lt AD$ を満たし, 対角線 $AC$ は角 $A$ を二等分します. 対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とおき, 直線 $AC$ 上に $BE=BF$ なる $F(\neq E)$ をとり, 直線 $AD$ と $BF$ の交点を $G$ とすれば, 以下が成立しました. $$AB:AF=7:6,\quad BD=5,\quad BG=4$$ このとき, $BC$ の長さを求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.
OMC090 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/tasks/3224	A	OMC090(A)	100	270	277	[ { "content": "【動画解説】https:\\/\\/youtu.be\\/TveaVcavqHE\r\n\r\n 　$n=4,5$ は条件をみたす．一方，$n\\gt 5$ ではある頂点と $2$ つ離れた頂点，$3$ つ離れた頂点をそれぞれ結ぶ対角線の長さが異なるから，条件がみたされない．従って求める総和は $\\bf{9}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/editorial/3224" } ]	正 $n$ 角形のすべての対角線の長さが等しいような正整数 $n\geq 4$ の総和を求めてください．
OMC090 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/tasks/3226	B	OMC090(B)	200	240	257	[ { "content": "【動画解説】https:\\/\\/youtu.be\\/ZvkyARzvzho\r\n\r\n 　ある $3$ 頂点が同じ色で塗られているとき，必ずそのうち $2$ 点を結ぶ対角線が存在するから，$n\\leq 20$ が必要である．逆に，同じ色を $2$ か所隣接させることでこの範囲であれば条件を満たすから，求める総和は $10+11+\\cdots+20=\\bf{165}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/editorial/3226" } ...	以下の条件をともにみたすように正 $n$ 角形の頂点を塗り分けます： - 黒，灰，茶，緑，水，青，黄，橙，赤，紫の $10$ 色のみを用い，すべての色を一回以上用いる． - すべての対角線について，その $2$ つの端点に塗られた色は異なる．このようなことが可能なような，$10$ 以上の正整数 $n$ の総和を求めてください．
OMC090 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/tasks/3225	C	OMC090(C)	200	222	250	[ { "content": "【動画解説】https:\\/\\/youtu.be\\/wXQnpZdP8DU\r\n　差が $99$ の倍数となるように初項と末項を選べばよい．$10000$ 以下の正整数には，$99$ で割った余りが $1$ であるものが $102$ 個，それ以外の余りを持つものがそれぞれ $101$ 個ずつあることから，以下のように求められる：\r\n$${}\\_{102}\\mathrm{C}\\_{2}+{}\\_{101}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 98=\\bf{500051}$$", "text": "公式解説", "url": "https://...	$10000$ 以下の正整数の中から相異なる $100$ 個を選ぶ方法であって，それらを小さい順に並べることで等差数列をなすものはいくつありますか？ただし，選ぶ順番は区別しません．
OMC090 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/tasks/3227	D	OMC090(D)	300	171	212	[ { "content": "【動画解説】https:\\/\\/youtu.be\\/j2X-2qNCTBc\r\n\r\n 　$1-\\dfrac1x=\\dfrac{1-x}{-x}$ である．いま，因数定理より与方程式の左辺は\r\n$$(x-x_1)(x-x_2)\\cdots(x-x_{3226})$$\r\nと表せる．これに $x=0,1$ を代入することで\r\n$$\\prod_{k=1}^{3226} -x_k = 3227,　\\prod_{k=1}^{3226} (1-x_k)= 1+2+\\cdots+3227$$\r\nが分かるから，求める値は $3228\\/2=\\bf{1614}$ で...	$x$ の $3226$ 次方程式 $$x^{3226}+2x^{3225}+\cdots+3226x+3227=0$$ の複素数解を（重複を込めて）$x=x_1, x_2, \ldots, x_{3226}$ とするとき，以下の値を求めてください． $$\biggl(1-\frac{1}{x_1}\biggr) \biggl(1-\frac{1}{x_2}\biggr) \cdots \biggl(1-\frac{1}{x_{3226}}\biggr)$$
OMC090 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/tasks/3228	E	OMC090(E)	300	142	171	[ { "content": "【動画解説】https:\\/\\/youtu.be\\/zipA5CxJUO4\r\n\r\n 　後者の立体を正八角形を中心に展開すれば，一辺 $4$ の正三角形がちょうど $8$ 個入るような「隙間」ができる．この隙間に前者の立体の正三角形 $8$ 個をはめ込むことで，求める面積は一辺 $4$ の正八角形の面積に等しいことが分かる．これは $32(1+\\sqrt{2})$ であるから，特に解答すべき値は $32+2048=\\bf{2080}$ である． \r\n![figure 1](\\/images\\/vJY4bQyHeIC5X5LmlQgEelV8O1h6U7EqppuFh...	以下の二つの立体について，その表面積の和は正整数 $a,b$ によって $a+\sqrt b$ と表されるので，$a+b$ を解答してください． - 一辺の長さが $4$ の正八面体 - $OA=OB=\cdots=OH=4$ かつ $\angle AOB=15^\circ$ なる正八角錐 $O-ABCDEFGH$ 　ただし，ここで正八角錐とは，底面を正八角形とする錐体を指します．
OMC090 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/tasks/3229	F	OMC090(F)	400	57	123	[ { "content": "　$n$ を素因数分解した時の指数を $e_1, e_2, \\ldots$ とすれば，条件は\r\n$$(e_1+1)(e_2+1)\\cdots=2^{3229}$$\r\nである．このとき，考えるべき総和は以下のように表せる：\r\n$$(1+2+\\cdots+(e_1+1))(1+2+\\cdots+(e_2+1))\\cdots=2^{3229} \\biggl(\\frac{e_1+2}{2}\\biggr)\\biggl(\\frac{e_2+2}{2}\\biggr)\\cdots$$\r\n　ここで，$e_k+1$ は $2$ 以上であり，$2$ 以上の整数 $m,n$...	正の約数を $2^{3229}$ 個持つ正整数 $n$ について，以下が取り得る値のうち $3$ 番目に小さいものを $S$ とします．$S$ の正の約数の個数を求めてください． - $n$ の正の約数 $2^{3229}$ 個すべてについて，それぞれの正の約数の個数の総和．
OMC089	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/tasks/1937	A	OMC089(A)	100	217	251	[ { "content": "　実際に $X=100x+10y+z$ などと表せば, $X+Y+Z=111(x+y+z)$ であることがわかる. $x+y+z$ のとり得る値は $3$ 以上 $27$ 以下であるから, 求める総和は $111\\times(3+4+\\cdots+27)=\\textbf{41625}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/1937" } ]	$1$ 以上 $9$ 以下の正整数 $x,y,z$ に対し，$3$ 桁の正整数 $X,Y,Z$ を以下のように定めます： - $X$ は $100$ の位が $x$，$10$ の位が $y$，$1$ の位が $z$ である． - $Y$ は $100$ の位が $y$，$10$ の位が $z$，$1$ の位が $x$ である． - $Z$ は $100$ の位が $z$，$10$ の位が $x$，$1$ の位が $y$ である．このとき，$X+Y+Z$ としてあり得る値をすべて求め，それらの総和を解答してください.
OMC089	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/tasks/3635	B	OMC089(B)	200	235	243	[ { "content": "　一辺の長さが $a$ の正方形の面積は $a^2$ であるため,\r\n求めるべき個数の最大値は\r\n$$\\Biggl \\lfloor\t{\\frac{99^2}{\\lparen \\sqrt 2 \\rparen ^ 2}} \\Biggr\\rfloor = 4900$$\r\n以下である. \r\n逆に, 一辺の長さが $\\sqrt 2$ の正方形を $4900$ 個組み合わせた一辺の長さが\r\n$70 \\sqrt 2$ の正方形を考えると, $70\\sqrt{2}=\\sqrt{9800}\\lt\\sqrt{9801}=99$ よりこれは領域内に入ることがわか...	一辺の長さが $99$ の正方形の領域内（周上を含む）に, 一辺の長さが $\sqrt 2$ の正方形を互いに重ならないよう配置するとき, その個数の最大値を求めてください.
OMC089	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/tasks/1662	C	OMC089(C)	300	146	204	[ { "content": "　条件から $AD=5$ と計算できるから, 三角形 $ABD^\\prime$ は正三角形であり, $D^\\prime $ から平面 $ABC$ におろした垂線の足 $H$ について, $D^\\prime A=D^\\prime B=D^\\prime C=5$ より $H$ は $ABC$ の外心であることがわかる.\\\r\n　正弦定理より $AH=5\\sqrt{10}\\/6$ であるから, 三平方の定理より $D^\\prime H=5\\sqrt{26}\\/6$ と計算できる. 三角形 $ABC$ の面積が $9\\/2$ であることと併せて求める体積は $5\\sqr...	$AB=5,BC=3,CA=\sqrt{10}$ なる三角形 $ABC$ において, 半直線 $BC$ 上に $CD=5$ なる点 $D$ をとり, 三角形 $ABD$ を $AC$ で折ることで三角錐 $D^\prime-ABC$ を作ります. ただし, $D^\prime$ は $D$ の移る先です. $\angle D^\prime AB=60^\circ$ であるとき, この三角錐の体積を求めてください. ただし, 求める値は正整数 $a,b,c$ によって $\dfrac{a}{b}\sqrt{c}$ と表せるので (ただし $a$ と $b$ は互いに素で, $c$ は平方因子をもたない), $a+b+c$ を解答して...
OMC089	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/tasks/2170	D	OMC089(D)	400	114	141	[ { "content": "　$a_1,\\ldots,a_{15}$ のうち最大のものが $a_{15}$ でないと仮定し, これを $a_i$ とする ($i\\leq 14$). このとき, $a_{i}+2^ia_{15-i}$ は $a_i$ より大きいため , 数列に含まれ得ず矛盾する. したがって, $a_{15}$ が最大である.\\\r\n　さらに, $a_1,\\ldots,a_{14}$ のうち最大のものが $a_{14}$ でないと仮定し, これを $a_i$ とする ($i\\leq 13$). このとき, $a_{i}+2^ia_{14-i}$ および $a_{i}+2^ia_{15-i}...	相異なる正整数からなる数列 $a_1, a_2, \dots, a_{15}$ が, 以下の条件をみたしています： - $i+j \leq 15$ なるすべての正整数の組 $(i, j)$ について, $a_i+2^ia_j$ は数列の項として存在する. このような数列の項の総和としてありうる値のうち, $15$ 番目に小さいものを求めてください.
OMC089	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/tasks/257	E	OMC089(E)	500	46	148	[ { "content": "　$T$ の体積を $V$とおけば $r=\\dfrac{\\sqrt{3}}{8}V$ が成立することがわかるから, $V$ の最大化について考えればよい. 等面四面体は一般に直方体に埋め込めるから, その $3$ 辺の長さを $\\sqrt{x},\\sqrt{y},\\sqrt{z}$ とすれば, 外接球の半径, 表面積, 体積を計算することで, 以下の式が成り立つことが確認できる：\r\n$$x+y+z=20,\\quad xy+yz+zx=48,\\quad xyz=9V^2$$\r\nしたがって, $t$ の方程式 $t^3-20t^2+48t=9V^2$ が正の実数解のみをも...	表面積が $8\sqrt{3}$, 外接球の半径が $\sqrt{5}$ である等面四面体 $T$ において, その内接球の半径 $r$ としてあり得る最大値 $r_{M}$ を求めてください. ただし, $r_M$ は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. 　ここで等面四面体とは, すべての面が合同であるような四面体のことをいいます.
OMC089	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/tasks/2176	F	OMC089(F)	500	30	95	[ { "content": "　一般に $4N = 240$ とする. まず, 以下の一連の操作によって, 区別できない $4N-1$ 個の白い球, $1$ 個の青い球, $2N$ 個の赤い球を一列に並べ, 数を書き込むことを考える：\r\n\r\n- はじめに $2N+1$ 個の赤い球を並べ, 左から偶数番目に置かれたもの $N$ 個のうち $1$ つを選んで青に塗り替える.\r\n- 次に, 赤い球同士が隣り合う場所 $2N-2$ 箇所と, 右端 $1$ 箇所の計 $2N-1$ 箇所に $1$ つずつ白い球を置く.\r\n- 残った $2N$ 個の白い球を好きな位置に置く.\r\n- 最後に, 白い球と青い球の合計...	$1,2,\dots,240$ を並べ替えてできる順列 $p_1,p_2,\dots,p_{240}$ について，そのスコアを，$p_1+p_2+\cdots+p_i$ が奇数であるような $i$ の個数と定めます．$240!$ 通りの順列すべてについてのスコアの総和を $S$ としたとき，$S$ が $2$ で割り切れる回数の最大値 $X$ と，$S$ が $3$ で割り切れる回数の最大値 $Y$ について，その積 $XY$ を解答してください．
OMC088 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc088/tasks/3054	A	OMC088(A)	100	306	319	[ { "content": "　$m^\\prime$ 日延滞しており，本を $n$ 冊借りていたとすると，\r\n$$10m ^\\prime n=330$$\r\n$m ^\\prime$ は $33=3×11$ の正の約数となるから，求める総和は\r\n$$\\sum _{m ^\\prime\\mid 33}(14+m^\\prime)=\\textbf{104}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc088/editorial/3054" } ]	OMC君は図書館で借りた本を $1$ 冊も返却していなかったので，今日 $330$ 円の延滞料金を支払ってすべて返却しました．ここで，本の貸出の規則は以下のように定められています： * $1$ 日に何冊でも借りられる * 借りた日を $0$ 日目として $14$ 日目までは無料であるが，$15$ 日目からは $1$ 日ごとに，$1$ 冊あたり $10$ 円の延滞料金が発生する OMC君はある $1$ 日にしかこの図書館で本を借りていないとすると，本を借りたのは $m$ 日前です．$m$ としてあり得る正整数の総和を求めてください．
OMC088 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc088/tasks/3058	B	OMC088(B)	200	191	264	[ { "content": "【動画解説】https:\\/\\/youtu.be\\/LuonRxLnfP4\r\n \r\n　暗証番号を $y$ とすると，$0$ でない整数 $a$ を用いて\r\n$$f(x)=a(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)(x-11)+y$$\r\nと表せるから，定数項を考えることで\r\n$$-(a×2×3×5×7×11)+y=2357\\implies y=2357+2310a$$\r\nこの形式で一つ目の条件をみたせるのは $a=3$ のみであり，このとき $\\textbf{9287}$ である．", "text": "公式解説", "url": "http...	図書館で支払いを済ませたOMC君は家の前まで帰ってきました．OMC君はふだん玄関の扉の暗証番号を入力するためカードキーを利用しているのですが，この日はうっかりカードキーを忘れてしまいました．しかし以下のことを覚えていたので，正しい暗証番号が分かりました： - 暗証番号は全員に共通であり，$4$ 桁で，どの桁の数字も相異なる． - カードキーを持っているのは $5$ 人兄弟のOMA君，OMB君，OMC君，OMD君，OME君のみであり，それぞれのカードに書かれた番号は $2,3,5,7,11$ である． - 番号 $t$ のカードキーを使うと暗証番号として $f(t)$ が入力される． - ここで $f(x)$ は $x...

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