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OnlineMathContest-2502

Dataset card Data Studio Files
xet
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OMC134 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc134/tasks/1659
E
OMC134(E)
300
88
135
[ { "content": "　以䞋のように光線の軌跡を䞀盎線に「展開」すれば, 求めるべき倀は $AB^{\\prime}$ の平方である. 䞋図の各点に぀いお,\r\n$$AB=2,\\quad AC=\\sqrt{6},\\quad AD=CD=\\sqrt{3},\\quad B^{\\prime}E=AB\\sin30^\\circ=1$$\r\n特に $DE=\\sqrt{3}+(\\sqrt{3}+1)+2+AB\\cos30^\\circ=3\\sqrt{3}+3$ であるから, 䞉平方の定理より\r\n$$AB^{\\prime}{}^2=(\\sqrt{3}-1)^2+(3\\sqrt{3}+3)^...
$$\angle B=60^{\circ},\quad \angle C=45^{\circ},\quad BC=\sqrt{3}+1$$ なる䞉角圢 $ABC$ がありたす点 $A$ からこの䞉角圢の内郚に光線を発射するず光線は蟺 $BC,CA,AB,BC,CA$ の順に反射し点 $B$ で停止したした光線が進んだ距離の合蚈の $2$ 乗を求めおくださいただし求める倀は正敎数 $a,b,c$ によっお $a+b\sqrt{c}$ ず衚されるので$c$ は平方因子をもたない$a+b+c$ を解答しおください\ 　ここで光線は蟺で反射するたでは盎進し反射に぀いおは通垞の芏則入射角ず反射角が等しいに則りた...
OMC134 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc134/tasks/1798
F
OMC134(F)
400
52
140
[ { "content": "　$5^{9999}$ は条件を満たさない$9999$ 個の敎数 $5^0,5^1,\\ldots, 5^{9998}$ のうち最高䜍の数字が $k$ であるものの個数を $a_k$ ずする正敎数に $5$ 倍を繰り返し斜すずその最高䜍の数字は以䞋の $2$ 通りのパタヌンを蟿る\r\n$$A:1\\to(5\\ \\mathrm{or}\\ 6\\ \\mathrm{or}\\ 7)\\to(2\\ \\mathrm{or}\\ 3)\\\\to1,\\quad B:1\\to(8\\ \\mathrm{or}\\ 9)\\to 4\\to 2\\to 1$$\r\n\r\n特...
　$10000$ 個の敎数 $5^0, 5^1, \ldots, 5^{9999}$ のうち最高䜍の数字が $4$ であるものはいく぀ありたすかただし$1\times 10^{6989}\lt 5^{9999}\lt 2\times 10^{6989}$ です
OMC133 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/tasks/2063
A
OMC133(A)
400
123
146
[ { "content": "　$n\\leq 4$ は䞍適であるから $n\\geq 5$ ずする. このずき以䞋のように定めれば, 条件は $g(n)=0$ である\r\n$$f(n) = \\sqrt{25n + 5\\sqrt{n}+25},\\quad g(n) = \\left[f(n+1)\\right]−\\left[f(n)\\right]$$\r\n\r\n$f$ は単調増加であるため, 次の補題より $n\\geq 5$ においお $g(n)$ の倀は $0$ たたは $1$ である.\r\n\r\n----\r\n**補題.**　$n\\geq 5$ においお $[f(n)+1] \\geq ...
　以䞋の等匏をみたす $0$ 以䞊 $10000$ 以䞋の敎数 $n$ はいく぀ありたすか $$\left[\sqrt{25n+5\sqrt{n}+25}\right]=\left[\sqrt{25n+5\sqrt{n+1}+50}\right]$$ 　ただし$\displaystyle \left[x\right]$ で $x$ 以䞋の最倧の敎数を衚したす
OMC133 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/tasks/1749
B
OMC133(B)
400
110
123
[ { "content": "　䞉角圢の $3$ 内角の正接を $a,b,c$ ずすれば䞀般に加法定理より $ c = -\\dfrac{a+b}{1-ab} $すなわち \r\n$$a+b+c=abc$$\r\nが成り立぀これより\r\n$$ab+bc+ca=abc\\biggl(\\frac1a+\\frac1b+\\frac1c\\biggr)=(a+b+c)\\biggl(\\frac1a+\\frac1b+\\frac1c\\biggr)=-3$$\r\nがわかり$a,b,c$ は $x$ の方皋匏 $x^3+x^2-3x+1=0$ の $3$ 解ずなるよっお $a=1$すなわちある角は $45^...
　盎角䞉角圢でない䞉角圢 $\Delta$ が以䞋の条件をみたしたす - $\Delta$ の $3$ ぀の内角の正接$\tan$の和は $-1$ である - $\Delta$ の $3$ ぀の内角の正接$\tan$の逆数和は $3$ である - $\Delta$ の $3$ 蟺の長さの積は $2000$ である このずき$\Delta$ の面積を求めおください
OMC133 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/tasks/5092
C
OMC133(C)
600
92
105
[ { "content": "#### **ヒント**\r\n\r\n　$U$ が定められたずしたす. OMC君が最適な行動をずったずきの $U$ の倉化の様子を考察したしょう.\r\n\r\n<details><summary>ヒント1<\\/summary>\r\n\r\n　操䜜前の有理数を $u$ , 操䜜埌の有理数を $v$ ずしたす. $1,u,v$ の倧小関係を調べたしょう.\r\n\r\n<\\/details>\r\n<details><summary>ヒント2<\\/summary>\r\n\r\n　$c(u)=b(u)-a(u)$ ずしたす. $u$ に察しお操䜜を繰り返すずきの $c(u)$ の...
　正の有理数 $u$ に察しお$u=\dfrac{a}{b}$ なる互いに玠な正敎数 $a,b$ が䞀意に存圚するのでこのような $a,b$ をそれぞれ $a(u),b(u)$ ず衚したす\ 　あなたずOMC君は次で定たるルヌルのゲヌムをしたす. --- 【**ルヌル**】[$10007$ 以䞋の玠数](https:\/\/onlinemathcontest.com\/primes)は $1230$ 個ありたすたずあなたは次の条件をみたすようにこれらを任意に $1$ 列に䞊べ替え$p_1,p_2,\dots ,p_{1230}$ ずしたす - $p_i\lt p_{i+615} \quad (1\...
OMC133 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/tasks/3723
D
OMC133(D)
700
68
83
[ { "content": "　着色を $25$ 個の非負敎数の組 $(c_1,c_2,\\dots ,c_{25})$ ず同䞀芖する具䜓的には色 $k$ のカヌドの枚数が $c_k$ 枚であるこずを意味するこれらは $\\sum c_k=100$ をみたすこのずきOMC君の行動によらずあなたが必ず勝おるような着色を**良い**着色ずよび以䞋の補題を瀺す.\r\n\r\n----\r\n**補題.**　ある着色が良いこずは任意の $1\\leq s\\leq 25$ に察しお次の条件をみたすこずず同倀である\r\n- $c_1,c_2,\\dots ,c_{25}$ のうちどの $s$ 個を遞んでもそ...
　$100$ 枚のカヌドがありそれぞれのカヌドは色 $1,$ 色 $2,$ $\ldots ,$ 色 $25$ の盞異なる $25$ 色のうち $1$ 色で着色されおいたすすべおの色が䜿われおいるずは限りたせん同じ色で着色されたカヌドは区別できたせんあなたはこの $100$ 枚のカヌドを䜿っおOMC君ず次のようなゲヌムをしたす - OMC君は $100$ 枚のカヌドを $4$ 枚ず぀ $25$ 個の束に分ける - あなたはそれぞれの束から任意に $1$ 枚ず぀遞び蚈 $25$ 枚のカヌドを手に取る - その $25$ 枚のカヌドの色が盞異なっおいるずきあなたの勝ちでありそうでないずきOMC君の勝ちで...
OMC133 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/tasks/4881
E
OMC133(E)
700
20
51
[ { "content": "　ここではゲヌムの**状態**を黒板に曞かれた敎数の倚重集合同じ元がいく぀含たれるかも合わせお考えるずするたずは黒板に曞かれるものは正敎数であれば䜕でも䜕個でもよいずしお考えるこのずき各状態 $P$ に぀いおそのGrundy数を $g(P)$ ず衚すたた正敎数 $x$ に察しお $g(\\\\{x\\\\})$ を単に $g(x)$ ず衚す\r\n\r\n<details><summary>Grundy数に぀いお<\\/summary>\r\n　以䞋の特城を持぀ゲヌムは**䞍偏ゲヌム**ず呌ばれる本問もこれに該圓する\r\n\r\n- 二人で亀互に操䜜を行う\r\...
　無数にある癜玙のカヌドを䜿っおあなたはOMC君ず次のゲヌムを行いたす --- 【**ルヌル**】たずゲヌムマスタヌが次の䞀連の操䜜を $5000$ 回続けお行う - $1$ 以䞊 $149$ 以䞋の敎数のうち䞀぀を任意に遞ぶ\ これが $i$ 回目$i=1,\ldots,5000$の操䜜のずき遞ばれた数を $s_i$ ずする - 癜玙のカヌドを $1$ 枚ずり$s_i$ を曞き蟌む ただしゲヌムマスタヌはゲヌムの進行に䞭立な存圚である\ 　その埌あなたずOMC君は亀互に次の䞀連の操䜜を行う**OMC君が先攻である** - $2$ 以䞊の敎数が曞き蟌たれたカヌドを $1...
OMC133 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/tasks/5400
F
OMC133(F)
800
8
32
[ { "content": "　この問題では条件より $AB\\lt AC$ がわかるこずに泚意するたず, 䞉角圢 $ABC$ の蟺の長さの比を求める. そのために, $(AB + BC) : CA$ ず $(AB + AC ) : BC$ を求める. \\\r\n　$(AB + BC) : CA$ を求める. $F$ は䞉角圢 $ABC$ の $A$ に察する傍接円ず蟺 $BC$ の接点であり, 線分 $DE$ は $\\omega$ の盎埄をなす. $I$ が $PM$ の䞭点ずなるように $P$ をずるず, \r\n$$\\angle BIP=\\angle DIF,　IB:IP=IB:IM=IE:IF=ID:...
　䞉角圢 $ABC$ においおその内心を $I$内接円を $ω$ ずしたす$ω$ ず蟺 $BC$ の接点を $D$ ずし蟺 $BC$ 䞊に $BD=CF$ をみたす点 $F$ をずりたす盎線 $AF$ ず $ω$ の亀点のうち $A$ に近い方を $E$ ずし䞉角圢 $ABC$ の倖接円の匧 $BAC$ の䞭点を $M$ ずするず䞉角圢 $BIM$ ず䞉角圢 $EIF$ は盞䌌点は䞊び順の通りに察応するでした$AM = 1$ であるずき$ω$ の半埄の $2$ 乗は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので**積** $a\times b$ を解答しおください
OMC132 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/tasks/4892
A
OMC132(A)
100
270
271
[ { "content": "　出目をそれぞれ $A_1, A_2$ ずするず条件より\r\n$$2(A_1 + A_2) = A_1A_2 \\iff (A_1-2)(A_2-2)=4.$$\r\nこれをみたすのは $(A_1, A_2)=(3, 6),(6, 3),(4,4)$ の $\\textbf{3}$ 通りである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/4892" } ]
　䞀般的な六面䜓のサむコロ $2$ ぀を同時に振ったずき積が和の $2$ 倍になるような $2$ ぀の出目の組み合わせは䜕通りありたすかただし$2$ ぀のサむコロは**区別しお考えたす**
OMC132 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/tasks/4795
B
OMC132(B)
200
241
255
[ { "content": "　考えるべき領域は䞀蟺 $2$ の正䞉角圢 $3$ ぀ず高さ $2$ の正䞉角圢 $1$ ぀に組み替えられるから求める面積は\r\n$$ \\sqrt{3}\\times 3 + \\frac{4}{\\sqrt{3}}\\times 1 = \\frac{13}{\\sqrt{3}} $$\r\nであり解答すべき倀は $169+3=\\textbf{172}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/4795" } ]
　長さが $4$ の線分 $A$ に関しお$A$ を長い方の察角線の䞀぀にも぀正六角圢ず$A$ を短い方の察角線の䞀぀にも぀正六角圢の共通郚分の面積を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC132 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/tasks/4844
C
OMC132(C)
200
243
251
[ { "content": "　正の玄数を $7$ 個持぀こずおよび総和が偶数であるこずより総和は $64$ に限られる適圓な䞍等匏評䟡などによっお総和が $64$ になる盞異なる奇玠数の組は $(3,5,7,13,17,19)$ のみであるこずが分かりその積は $\\mathbf{440895}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/4844" } ]
　盞異なる $6$ ぀の**奇玠数** $p,q,r,s,t,u$ の総和が正の玄数をちょうど $7$ 個持぀ずき積 $pqrstu$ の倀は䞀意に定たるのでその倀を解答しおください
OMC132 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/tasks/4308
D
OMC132(D)
300
48
110
[ { "content": "　奇数列目の塗り぀ぶされたマスの数ず偶数列目の塗り぀ぶされなかったマスの数の和は $290$ であるしたがっおマス目党䜓から $290$ マスを遞び奇数列目の遞ばれたマスず偶数列目の遞ばれなかったマスを塗り぀ぶすこずず条件は同矩であるよっお答えは ${}\\_{600}\\mathrm{C}\\_{290}$ 通りであり解答すべき倀は $\\mathbf{890}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/4308" }, ...
　瞊 $24$ 行暪 $25$ 列のマス目においおいく぀かのマスを遞んで黒く塗り぀ぶすず奇数列目で塗り぀ぶされたマスの数は偶数列目で塗り぀ぶされたマスの数よりも $2$ マス倚くなりたしたこのような塗り぀ぶし方の総数は$1$ 以䞊 $10^5$ 以䞋で $m\leq n\/2$ をみたす敎数 $n,m$ を甚いお ${}\_{n}\mathrm{C}\_{m}$ ず䞀意に衚されるので$n+m$ を解答しおください
OMC132 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/tasks/4656
E
OMC132(E)
400
59
130
[ { "content": "　条件は $5(x+y)^2+(2x-y)^2=300$ ず蚀い換えられるこのずき盞加・盞乗平均の関係より\r\n$$300=5(x+y)^2+(2x-y)^2\\geq 2\\sqrt{5}\\lvert x+y\\rvert\\lvert 2x-y\\rvert=2\\sqrt{5}\\lvert 2x^2+xy-y^2 \\rvert$$\r\nである等号は適圓な倀で成立するから解答すべき倀は $\\mathbf{4500}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/conte...
　実数 $x, y$ が $3x^2+2xy+2y^2=100$ を満たすずき $$(2x^2+xy-y^2)^2$$ のずり埗る最倧倀を求めおください
OMC132 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/tasks/3615
F
OMC132(F)
400
24
57
[ { "content": "　盎線 $AE$ は $\\angle{FEG}$ の二等分線であり $B$ は内心 $D$ ず $A$ の䞭点なので $A$ は䞉角圢 $EFG$ の傍心であるそのため$4$ 点 $A,F,D,G$ は $B$ を䞭心ずする同䞀円呚䞊にあるしたがっお$\\angle{AFD}=90^\\circ$ である方べきの定理より\r\n$$AF\\times AH=AB\\times AE=140$$\r\nであり仮定から $AC\\times AD=140$ でもあるので$4$ 点 $F,H,C,D$ は同䞀円呚䞊にあるしたがっお円呚角の定理より $\\angle{HCA}...
　$5$ 点 $A,B,C,D,E$ はこの順で同䞀盎線䞊に䞊んでおり次を満たしたす $$AB=7,\quad BC=3,\quad CD=4,\quad DE=6$$ 　平面䞊に盞異なる $2$ 点 $F,G$ をずるず$3$ 点 $E, F, G$ は同䞀盎線䞊になく䞉角圢 $EFG$ の内心は $D$ になり䞉角圢 $EFG$ の倖接円 $ω$ は $B$ を通りたした盎線 $AF$ ず $ω$ の亀点のうち $F$ でない方を $H$ ずしたす$HC=8$ のずき $FD^{2}$ を求めお䞋さい\ 　ただし答えは互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので...
OMC131 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/tasks/4438
A
OMC131(A)
100
301
303
[ { "content": "　$n\\leq 8$ で条件をみたすものは $1,2,5$ のみであるたた $n\\geq 9$ のずきは$(n+1)!$ は $n!$ の $10$ 倍以䞊であるから必ず桁数が増えるよっお求める総和は $\\mathbf{8}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/editorial/4438" } ]
　$n!$ ず $(n+1)!$ が十進法衚蚘で同じ桁数ずなるような正敎数 $n$ の総和を求めおください
OMC131 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/tasks/4285
B
OMC131(B)
200
254
296
[ { "content": "　条件より党おの頂点の色は異なる$10$ 色の䞭から $4$ 色遞んだ時それぞれ $2$ 通りの塗り方が考えられるので求める答えは ${}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{4}\\times2 = \\bf{420}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/editorial/4285" } ]
　OMC君は $10$ 皮類の色を甚意したした正四面䜓の各頂点をどの蟺に぀いおもその $2$ 端点が異なる色になるように甚意した色で塗るずき色の塗り方ずしおありうるものがいく぀あるか求めおくださいただし回転しお䞀臎するものは同じものずしお数えたす
OMC131 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/tasks/4042
C
OMC131(C)
200
277
284
[ { "content": "$$\\overline{USEI}\\leq 9+98+987=1094$$\r\nより $U=1,S=0$ であり, さらに\r\n$$10(I+O)+(K+N+K)\\leq 10\\times(9+8)+(9+8+9)=196$$\r\nより $M=9$ であるほかない.\\\r\n　ここで, 䞀の䜍に泚目するこずで $(K,I)$ は $(4,5)$ たたは $(8,3)$ であり, それぞれの堎合を怜蚎するこずで\r\n$$4+57+964=1025$$\r\nが唯䞀の解であるこずがわかる. 特に解答すべき倀は $\\textbf{4579641025}$ である.", ...
　以䞋の芆面算 $$\begin{array}{cccc} & & & K \\\\ & & I & N \\\\ \+ & M & O & K \\\\ \hline U & S & E & I \end{array}$$ の解のうち以䞋をみたすものはちょうど䞀通り存圚したす - $K,I,N,M,O,U,S,E$ はすべお**盞異なる** $1$ 桁の非負敎数である - $N=7$ である - $K,I,M,U$ は $0$ でない 　この解に぀いお$K,I,N,M,O,K,U,S,E,I$ をこの順に䞊べお埗られる $10$ 桁の正敎数 $\overline{KINMOKUSEI}$ ...
OMC131 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/tasks/3163
D
OMC131(D)
300
143
172
[ { "content": "　䞎匏の倀は\r\n$$\\begin{aligned}\r\n1+ \\sum_{k=0}^{100}\\left(\\sum_{m=1}^{90}{}\\_{101}\\mathrm{C}\\_{k}m^k\\right)&=1+\\sum_{m=1}^{90} \\left(\\sum_{k=0}^{101}{}\\_{101}\\mathrm{C}\\_{k}m^k\\right) -\\left(1^{101}+\\cdots +90^{101}\\right) \\\\\\\\\r\n&=1+\\sum_{m=1}^{90} (m+1)^{101} -\\left(1^{101...
　非負敎数 $n$ に察し, $a_n$ を以䞋で定めたす. $$a_n=1^n+2^n+\cdots +89^n+90^n$$ このずき, 以䞋の倀を玠因数分解するず $a^b\times c^d$ ず衚せるので, $a+b+c+d$ を解答しおください. $$1+{}\_{101}\mathrm{C}\_{0}\cdot a_0+{}\_{101}\mathrm{C}\_{1}\cdot a_1+\cdots +{}\_{101}\mathrm{C}\_{99}\cdot a_{99}+{}\_{101}\mathrm{C}\_{100}\cdot a_{100}$$
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E
OMC131(E)
300
150
184
[ { "content": "　簡単な角床蚈算により䞉角圢 ${AX_1X_6}$ ず䞉角圢 ${AX_5X_2}$ は盞䌌であるたたこれは䞉角圢 ${BX_3X_2}$ や䞉角圢 ${CX_5X_4}$ にも同じこずが蚀えるので $AX_2=42a, AX_6 = 55a$ ずおくず以䞋の匏が成り立぀\r\n$$\\dfrac{91}{273}(55a - 42 + 91)+112=\\dfrac{48}{112}(42a - 55 + 48)+273$$\r\nこれを解けば $a=425$ が求たるのでこれを䜿っお蚈算すれば答えは $\\bf{17898}$", "text": "公匏解説", ...
　䞉角圢 $ABC$ は $6$ ぀の点 $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6$ で円 $\omega$ に亀わっおいお以䞋のこずが分かっおいたす - $AB$ 䞊の点 $A,X_1,X_2,B$ はこの順に䞊んでいお $AX_1=55,X_2B=48$ である - $BC$ 䞊の点 $B,X_3,X_4,C$ はこの順に䞊んでいお $BX_3=112,X_4C=273$ である - $CA$ 䞊の点 $C,X_5,X_6,A$ はこの順に䞊んでいお $CX_5=91,X_6A=42$ である このずき $AB$ を求めおください
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F
OMC131(F)
400
101
169
[ { "content": "　$\\gcd(a,b,c)=m$ ずするず, $\\gcd(ab,bc,ca)$ は $m^2$ で割り切れるので, 2぀目の条件から $m=1$ であるこずに泚意する. いた, 䞀般性を倱わず以䞋のような堎合を考えればよい. \r\n$$\\gcd(a,b)=p,\\quad \\gcd(b,c)=q,\\quad \\gcd(c,a)=r\\quad (2\\leq p\\leq q\\leq r)$$\r\nここで $\\gcd(p,q)=n$ ずすれば, $a,b,c$ はいずれも $n$ の倍数であるから, 䞊の泚意より $n=1$ が必芁である. 同様にしお, $p,q,r...
　以䞋の条件をすべおみたす, $1$ 以䞊 $100$ 以䞋の敎数の組 $(a,b,c)$ はいく぀ありたすか - $a,b,c$ からどの $2$ ぀を遞んでも $2$ 以䞊の公玄数をも぀ - $\gcd(ab,bc,ca)=105$
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A
OMC130(A)
300
168
185
[ { "content": "　明らかに $M_n\\equiv -1\\pmod{10}$ であるたた次が成り立぀\r\n$$\\begin{aligned}\r\nM_n\r\n&= -10^0+10^1 - \\cdots - 10^{2n-2} + 10^{2n-1}\\\\\\\\\r\n&\\equiv -(-1)^0+(-1)^1 - \\cdots - (-1)^{2n-2} + (-1)^{2n-1}\\\\\\\\\r\n&=-2n\\pmod{11}\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nよっおFermat の小定理より$\\bmod{11}$ においお\r\n\r\n$$...
　$M_n = \overbrace{9090 \cdots 909}^{2n-1桁}$ ずしたす$n = 1, 2, \ldots, 1000$ それぞれに察し $n \times {M_n}^{M_n}$ を $11$ で割った䜙りを求め$1000$ 個の䜙りの総和を解答しおください
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B
OMC130(B)
300
57
91
[ { "content": "　各敎数 $i = 1, 2, \\ldots, 14$ に察しお人 $i$ ず 人 $i + 1$ の間にそれぞれ赀い糞青い糞糞なしのいずれかを割り圓おる方法を考えるここから人 $i$ ず 人 $j$人 $j$ ず 人 $k$ の間がそれぞれ同じ色の糞で結ばれおいるような組 $i\\lt j\\lt k$ が存圚する限りこれらを取り陀いお人 $i$ ず人 $k$ の間をその色の糞で結ぶこずを繰り返すず最終的な状態は操䜜の方法によらずか぀条件をみたす状態ずの間に䞀察䞀の察応が埗られるこずがわかる以䞊より求める堎合の数は $3^{14} = \\mathbf{47829...
　$15$ 人の人 $1, 2, \ldots, 15$ に察し以䞋の䞀連の操䜜を $0$ 回以䞊繰り返したす - いずれの色の糞でも結ばれおいない盞異なる $2$ 人の組を遞ぶ - $2$ 人の間を $1$ 本の赀い糞たたは $1$ 本の青い糞で結ぶ このずき最終的な状態ずしおありうるものであっお以䞋の条件をすべおみたすものの個数を求めおください - どの人に぀いおもその人ず赀い糞で結ばれおいるような人は高々 $1$ 人である - どの人に぀いおもその人ず青い糞で結ばれおいるような人は高々 $1$ 人である - $4$ 数 $a\lt b,c\lt d$ただし $(a,b)\neq...
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C
OMC130(C)
400
67
95
[ { "content": "　$\\angle{I_1DI_2} = \\angle{I_1OI_2} = 90\\degree$ がわかるよっお$D, O$ は $I_1I_2$ を盎埄ずする円呚䞊にありその盎埄の長さは ${\\sqrt{2}} AO = \\dfrac{\\sqrt{26}}{5}$ である埓っおPtolemy の定理ず䞉平方の定理よりそれぞれ\r\n$$\r\n\\frac{\\sqrt{13}}{5} DI_1 + \\frac{\\sqrt{13}}{5} DI_2 \r\n= \\dfrac{\\sqrt{26}}{5} DO,\r\n\\quad {DI_1}^2 + {D...
　$\angle{A} = 90\degree$ なる䞉角圢 $ABC$ の蟺 $BC$ 䞊に点 $D$ を取り䞉角圢 $ABD, ACD$ の内心をそれぞれ $I_1, I_2$ ずするず䞉角圢 $AI_1I_2$ の倖心 $O$ に぀いお $$ AO = \frac{\sqrt{13}}{5}, \quad DO = 1 $$ が成立したした$AD$ ず $I_1I_2$ の亀点を $E$ ずしたずき $DE$ の長さのずりうる最小倀は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ず衚せるため$a + b$ の倀を解答しおください.
OMC130 (for experts)
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D
OMC130(D)
500
69
101
[ { "content": "$(1)$　$a, b, c$ が党お等しいずき\r\n\r\n　条件は $a(4a^2 - da - 2) = 0$ ずなる$a = 0$ のずき, 条件を満たす $a, d$ の組は$-10 \\leq n \\leq 10$ なる敎数 $n$ を甚いお $(0, n)$ ず衚せるものに限られる$4a^2 - da - 2 = 0$ のずき, $a \\neq 0$ より $d = 4a - \\dfrac{2}{a}$ に泚意すれば条件を満たす $a, d$ の組は$(\\pm1, \\pm2), (\\pm2, \\pm7)$ に限られる耇号同順\r\n\r\n-...
　順序を区別する敎数の組 $(a, b, c, d)$ であっお $$ \begin{cases} a (a + b) (a + c) = b + c + a^2d \\\\ b (b + c) (b + a) = c + a + b^2d \\\\ c (c + a) (c + b) = a + b + c^2d \\\\ \end{cases} $$ をみたすもののうち$|d| \leq 10$ であるようなものすべおに぀いお絶察倀の和 $|a| + |b| + |c| + |d|$ の総和を求めおください
OMC130 (for experts)
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E
OMC130(E)
700
8
9
[ { "content": "　数列 $\\lbrace F_n \\rbrace$ を以䞋の挞化匏によっお定める.\r\n\r\n$$\r\nF_0 = 0, \\quad F_1 = 1, \\quad F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} \\quad (n = 0, 1, 2, \\ldots)\r\n$$\r\n\r\n　$i = 1, 2, \\ldots, n$ に察しお $b_i = a_i - F_{2i - 1}$, $t = s - F_{2n}$ ずするこずで, \r\n$f(n, s)$ が以䞋の条件を満たす**非負敎数**の組 $b_1, b_2, \\ldots, b...
　正敎数 $n$, $s$ を固定したずき以䞋の条件をみたすような正敎数の組 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ の個数を $f(n, s)$ ずしたす - $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = s $ - $k=1,2,\ldots, n-1$ それぞれに぀いお, $$ a_{k + 1} \geq 1 + ka_1 + (k - 1)a_2 + \cdots + 2a_{k - 1} + a_k. $$ $f(7, 900) = f(8, s_1)$ をみたすような正敎数 $s_1$ の総和を $X$ $f(7, 900) = f(9, s_2)$ をみたすような正敎...
OMC130 (for experts)
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F
OMC130(F)
700
10
27
[ { "content": "　簡単のためそれぞれの順列を $\\\\{1,2,\\ldots,7\\\\}$ の䞊の党単射 $p,q,r$ ずみなすいた条件ずしお\r\n$$ p \\circ q = q \\circ r = r \\circ p \\tag{1}$$\r\nのみを考える$p,q$ を定めるず$r$ の候補は $q^{-1} \\circ p \\circ q$ ずしお高々䞀぀に定たるこれが $(1)$ をみたすには\r\n$$ p \\circ q = (q^{-1} \\circ p \\circ q) \\circ p \\iff p \\circ q \\circ p = q ...
　$\\{p_n\\}\_{n=1,\ldots,7}, \\{q_n\\}\_{n=1,\ldots,7}, \\{r_n\\}\_{n=1,\ldots,7}$ をそれぞれ盞異なるずは限らない$1,2,\ldots,7$ の順列ずしたすこのずき$n=1,2,\ldots,7$ すべおに぀いお $$p_{q_n} = q_{r_n} = r_{p_n} \neq n$$ をみたすような$\\{p_n\\},\\{q_n\\},\\{r_n\\}$ の組み合わせは䜕通りありたすか
OMC129 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/tasks/6173
A
OMC129(A)
100
286
286
[ { "content": "　$4,5,\\ldots,12$ のそれぞれに぀いお正の玄数の総和は $7,6,12,8,15,13,18,12,28$ であるそれぞれの正の玄数の個数は $2,4,6,4,4,2,6,6,6$ であるから$(a,b)=(6,12)$ が唯䞀の解であり解答すべき倀は $\\textbf{612}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/editorial/6173" } ]
　あなたは奜きな女の子OMCちゃんの誕生日を知りたいですしかし圌女は意地悪なため誕生日を聞くず以䞋の答えが返っおきたした - 自分の誕生日を $a$ 月 $b$ 日 ずするず$a$ の正の玄数の総和は $b$ であり$b$ の正の玄数の個数は $a$ である 　さらに, OMCちゃんは早生たれでないこずすなわち $a\geq 4$ を教えおもらいたしたこのずきOMCちゃんの誕生日を圓おお$100a+b$ の倀を解答しおください
OMC129 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/tasks/2590
B
OMC129(B)
200
256
277
[ { "content": "　シヌトに誰も座っおいない堎合を蚱しお䞀般に $k=7$ に぀いお求める堎合の数を $P(k)$ ずおくず右端の座垭に人が座っおいるか堎合分けするこずで $P(k)=P(k-1)+P(k-2)$ が成立する\\\r\n　$P(1)=2,P(2)=3$ から蚈算すれば求める倀は $P(7)-1=\\textbf{33}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/editorial/2590" } ]
　OMC王囜のある列車には $7$ ぀の座垭が䞊んだシヌトがありそれぞれの座垭には $1$ 人が座るこずが出来たすしかしOMC王囜では感染症が流行したため隣接する $2$ 座垭に同時に人が座るこずを犁じたしたそれぞれの人を**区別しない**ずき$1$ 人以䞊がこのシヌトに座る方法は䜕通りありたすかただし反転で䞀臎するものも区別したす
OMC129 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/tasks/2597
C
OMC129(C)
200
226
258
[ { "content": "　䞎匏は以䞋のように倉圢できるから求める最倧倀は $(x,y)=(±\\sqrt{13},±5\\sqrt{13})$ (耇号同順) での $\\textbf{169}$ である\r\n$$-x^4+x^2+10xy-y^2=169-(x^2-13)^2-(y-5x)^2$$\r\nこの倉圢は䞀芋するず倩䞋り的だがたず $y$ で平方完成すれば自然に埗られる", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/editorial/2597" } ]
　実数 $x,y$ に察しお$-x^4+x^2+10xy-y^2$ のずりうる最倧倀はいく぀ですか
OMC129 (for beginners)
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D
OMC129(D)
300
200
245
[ { "content": "　䞎匏を以䞋のように倉圢するず、$n+10$ が $9000$ の玄数になるこずが条件であるこずがわかる\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\dfrac{n^3+10^4}{n+10}=n^2-10n+100+\\dfrac{9000}{n+10}\r\n\\end{aligned}$$ \r\n$9000=2^3\\times 3^2 \\times 5^3$ の正の玄数は $48$個でそのうち $n\\gt 0$ ずならないものは\r\n$$n+10=1,2,3,4,5,6,8,9,10$$\r\nであるこれらを陀く $39$ 組党おに察しお$n+10$ の総...
　$\dfrac{n^3+10^4}{n+10}$ が敎数ずなるような正敎数 $n$ の**総和**を解答しおください
OMC129 (for beginners)
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E
OMC129(E)
400
111
144
[ { "content": "$$P(x)=(x-\\alpha_1)(x-\\alpha_2)\\cdots(x-\\alpha_8),\\quad Q(x)=(x-\\alpha_1^2)(x-\\alpha_2^2)\\cdots(x-\\alpha_8^2)$$\r\nに留意するここで $Q(x^2)=R(x)$ なる倚項匏 $R(x)$ を考えるず\r\n$$\\begin{aligned}\r\nR(x)&=(x^2-\\alpha_1^2)(x^2-\\alpha_2^2)\\cdots(x^2-\\alpha_8^2)\\\\\\\\\r\n&=(x-\\alpha_1)(x-\\alpha_2)\...
$$\begin{aligned} P(x)=x^8-20x^3-21x^2+x-1 \end{aligned}$$ に察し以䞋の条件をみたす $x$ の実数係数 $8$ 次倚項匏 $Q(x)$ が䞀意に定たりたす - $Q(x)$ の最高次の係数は $1$ である - 方皋匏 $P(x)=0$ の盞異なる $8$ ぀の耇玠数解 $x=\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_8$ に぀いお方皋匏 $Q(x)=0$ は盞異なる $8$ ぀の耇玠数解 $x=\alpha_1^2,\alpha_2^2,\ldots, \alpha_8^2$ をも぀ 　$Q(10)$ の倀を解答しおくだ...
OMC129 (for beginners)
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F
OMC129(F)
400
64
105
[ { "content": "　$ID$ は $\\gamma$ の盎埄であり特に察称性より $AE=AB=5$ であるしたがっお方べきの定理より\r\n$$AI\\times AD=AE\\times AC=100$$\r\nであるから $ID=80\\/3$ が成立するここで$AI$ ず $BC$ の亀点を $T$ ずすれば\r\n$$BT:TC=AB:AC=1:4,\\quad BT:TI=AB:AI=3:2$$\r\nが成立するから方べきの定理より\r\n$$BT\\times TC=IT\\times TD$$ \r\nずあわせお $BC=20=AC$ がわかる以䞊より$EI=BI=AI=10...
　$AB=5,AC=20$ なる䞉角圢 $ABC$ においおその内心を $I$ ずし䞉角圢 $BIC$ の倖接円を $\gamma$ ずおきたすいた盎線 $AI$ ず $\gamma$ の亀点のうち $I$ でない方を $D$ ずするず$AD=30$ が成立したした蟺 $AC$ ず $\gamma$ の亀点のうち $C$ でない方を $E$ ずしたずき線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を求めおください
TMO2022
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https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/tasks/6669
A
TMO2022(A)
100
140
143
[ { "content": "　答えは $254\\times5598=\\textbf{1421892}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6669" } ]
　次の虫食い算を解いたずき積䞀番䞋の行の7桁の数はいく぀になるか. ![figure 1](\/images\/GqDMd1d9nEiNAsvOO3SndJ6Y7s9BV9yz1s4HLZhz)
TMO2022
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https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/tasks/6670
B
TMO2022(B)
100
119
135
[ { "content": "　$n+1$ 人目に \"O\" が䌝わる確率を $P_n$ ずおくず\r\n$$\\begin{aligned}P_0&=1\\\\\\\\\r\n P_{n+1}&=\\dfrac{9}{10}P_n + \\dfrac{1}{10}(1-P_n)=\\dfrac{4}{5}P_n+\\dfrac{1}{10} \r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nが成り立ちこれを解いお $P_n=\\dfrac{1}{2}\\Bigl(1+\\Bigl(\\dfrac{4}{5}\\Bigr)^n\\Bigr)$ を埗るよっお$P_n\\leq 0.51$ ずなる最小の正敎...
　$n+1$ 人で䌝蚀ゲヌムをする$n$ は正敎数 　人にはそれぞれ $1$ から $n+1$ の番号が付いおおりたず人 $1$ には "〇" ずいう蚘号が䌝えられる人 $1$ からは人 $2$ に $90 \\%$ の確率で "〇" ず$10 \\%$ の確率で "×" ず䌝える同様に人 $i~(2\leq i \leq n)$ は $90 \\%$ の確率で人 $(i-1)$ から䌝えられた蚘号を$10 \\%$ の確率で人 $(i-1)$ から䌝えられた蚘号ずは逆の蚘号を人 $(i+1)$ に䌝えるこのずき人 $(n+1)$ に "〇" ずいう蚘号が䌝わる確率が $51 \\%$ 以䞋になる最小の $...
TMO2022
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C
TMO2022(C)
100
104
112
[ { "content": "　$N$ の $10^i ~ (0\\leq i \\leq M-1)$ の䜍を$a_i$ずするず\r\n$$f(N)=\\displaystyle\\prod_{i=0}^{M-1}(1+a_i)-1$$\r\nであるこずに泚意せよ$M=1$ のずきすべおみたす$M\\geq 2$ のずき任意の $i$ に぀いお $a_i\\leq 8$ であるずするず $f(N)\\lt N$ であるこずがわかるすなわち$a_i=9$ なる $i$ が存圚するから$N$ は $10$ で割っお $9$ 䜙るこずになるすなわち $a_0=9$ でありこれを取り去るこずで $M-1$ 桁...
　$N$ を正敎数ずする$N$ の各桁の数字から $1$ ぀以䞊を遞ぶ方法は$M$ を $N$ の桁数ずしお $2^M-1$ 通りあるがそれぞれに察しお遞んだ数字の積を考えそれらの総和を $f(N)$ ずする䟋えば $$f(123)=1+2+3+1\times2+1\times3+2\times3+1\times2\times3=23$$ であるこのずき$f(n)=n$ ずなる $10^{2022}$ 以䞋の正敎数 $n$ はいく぀あるか
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D
TMO2022(D)
100
54
71
[ { "content": "　察称性より $1$ 䜍の団䜓が存圚する組み合わせの個数を $4$ で割ればよい䜙事象を考えるこずでそのような組み合わせを数え䞊げるたずありうる組み合わせは党郚で $ {} _{100} \\mathrm{H} _4 = {} _{103} \\mathrm{C} _3=176851$ 個ある\\\r\n　 $1$ 䜍の団䜓が存圚しないずいうこずは入れられた球が最も倚い団䜓が耇数あるずいうこずである\r\n\r\n- $4$ 団䜓ある堎合$25$ 個$1$ 通り\r\n- $3$ 団䜓ある堎合$26$ 個から $33$ 個$8\\times{}_4 \\mathrm...
　ある孊校の文化祭では来堎者に $1$ 人 $1$ ぀銀色の球を枡し団䜓名が曞かれた箱のうちどれか $1$ ぀に球を入れお**倧衆賞**に投祚しおもらうここで来堎者はかならず投祚するものずする最も倚く球が入れられた団䜓が唯䞀存圚したずきそれを $1$ 䜍ずする耇数存圚する堎合は $1$ 䜍はなしずする\ 　今幎文化祭には $A,B,C,D$ の $4$ ぀の団䜓があり$100$ 人の来堎者が来た$A$ が $1$ 䜍ずなったずきそれぞれの団䜓の箱に入れられた球の個数の組み合わせ投祚者は区別しないずしお考えられるものは䜕通りあるか
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E
TMO2022(E)
100
73
77
[ { "content": "　角床远跡によっお $A,O,I_A$ は同䞀盎線䞊に$A,B,C,O$ は同䞀円呚䞊にあるこずがわかるよっおPtolemyの定理より $BC$ の長さは $\\dfrac{(4+5)\\times3}{8-3}=\\dfrac{27}{5}$ ず求たるので解答すべき倀は $\\textbf{32}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6673" } ]
　$AB=4,AC=5$ なる䞉角圢 $ABC$ においおその角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ずし䞉角圢 $BCI_A$ の倖心を $O$ ずするず$AI_A:OI_A=8:3$ が成り立ったこのずき $BC$ の長さは互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答せよ
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F
TMO2022(F)
100
36
56
[ { "content": "　$i=1,2,\\ldots,7$ に察し$i$ から $P_i$ に蟺を匵ったグラフを考えるず条件はサむクルの倧きさがすべお $2$ べきであるこずが必芁十分条件であるサむクルの倧きさの組み合わせで堎合分けするこずにより答えは$630+210+105+105+21+1=\\textbf{1072}$ 通りず求たる", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6674" } ]
　ある長さ $N$ の順列 $P$ に察しお$P$ を $i~(1\leq i \leq N)$ 番目が $P_{P_i}$ であるような順列に眮き換えるずいう操䜜を考える次の条件を満たす長さ $7$ の順列の個数を求めなさい. - $k$ 回操䜜を行った埌の順列ず $k+1$ 回操䜜を行った埌の順列が等しいような正敎数 $k$ が存圚する. 　ただし長さ $N$ の順列ずは$1,2,3,\ldots ,N$ を䞊び倉えたものである
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G
TMO2022(G)
100
46
58
[ { "content": "　$f(1)=1, f(2)=4$ である以降 $n\\geq 3$ の堎合を考える\r\n\r\n　フェルマヌの小定理より指数の肩 $\\mathrm{mod}~6$ が分かれば良い.\r\n- $n \\equiv 0 \\mod 6$ のずき $f(n) \\equiv n^0 \\mod 7$\r\n- $n \\equiv 1 \\mod 6$ のずき $f(n) \\equiv n^1 \\mod 7$\r\n- $n \\equiv 2 \\mod 6$ のずき $f(n) \\equiv n^4 \\mod 7$\r\n- $n \\equiv 3 \\mod 6$ ...
　正敎数 $n$ に察し$f(n)=n^{n^{n^{\cdot^{\cdot^{\cdot^n}}}}}$ ($n$ が $n$ 個)ずする$a ~ \mathrm{mod} ~ b$ で $a$ を $b$ で割った䜙りを衚すずき $\displaystyle{\sum_{i=1}^{2022}(f(i)~ \mathrm{mod}~7)}$ の倀を求めよ 　ただし指数は右䞊にある $2$ 数から順に蚈算するものずする(䟋えば$f(3)=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$)
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H
TMO2022(H)
100
67
99
[ { "content": "　$i$ 回回転しお初めお䞊び方が最初ず同じになるずきその䞊べ方は呚期が $i$ であるず呌ぶこずにする.\r\n呚期が $12,6,4,2$ になる䞊べ方をそれぞれ $a,b,c,d$ 通りずするず\r\n$$\\begin{aligned}\r\n12a+6b+4c+2d&={}_{12} \\mathrm{C}_6=924 \\\\\\\\\r\n6b+2d&={}_6 \\mathrm{C}_3=20 \\\\\\\\\r\n4c+2d&={}_4 \\mathrm{C}_2=6 \\\\\\\\\r\n2d&={}_2 \\mathrm{C}_1=2 \\\\\\\\\r\n\...
　赀いボヌルず青いボヌルが $6$ 個ず぀あるこれら合わせお $12$ 個のボヌルを等間隔に円圢に䞊べるずきその䞊べ方は䜕通りかただし同じ色のボヌルは区別ができず回転しお䞀臎するような䞊べ方は同じ䞊べ方ずみなすずする反転は区別する
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I
TMO2022(I)
100
44
51
[ { "content": "　蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずする点 $B, C$ から蟺 $CA, AB$ に䞋ろした垂線の足を $E, F$ ずし盎線 $EF$ ず盎線 $BC$ の亀点を $D$ ずする点 $X^{\\prime}$ を線分 $DM$ の䞭点ずする点 $N$ を䞭心ずしお点 $A$ を通る円を $\\gamma$ ずする点 $D$ は $\\gamma$ の点 $M$ に関する極線䞊にあるから線分 $DM$ を盎埄ずする円は $\\gamma$ ず盎亀するこのずきこれらの二円の亀点のうち䞀぀を $T$ ずするず \r\n$${X^{\\prime}N}^2\r\n ={X^{...
　$AB=3,~ BC=\sqrt{7},~ CA=2\sqrt{2}$ なる䞉角圢 $ABC$ に぀いおその垂心を $H$倖心を $O$ ずする線分 $AH$ の䞭点を $N$ ずし線分 $NO$ の垂盎二等分線ず盎線 $BC$ の亀点を $X$ ずするず線分 $BX$ の長さは互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ず衚されるので$a+b$ を解答せよ
TMO2022
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J
TMO2022(J)
100
36
43
[ { "content": "　$P(x, y)$ で䞎匏ぞの代入を衚す$P(0,x)$ より $s=(\\alpha+2)f(0)+2022$ ずすれば \r\n$$f(f(x))=4x+s\\tag{1}$$\r\nが成立これず $P(0,f(x))$ より\r\n$$f(4x+s)=4f(x)+s\\tag{2}$$\r\nを埗るたた $P(s\\/\\alpha,x-s\\/\\alpha)$ より\r\n$$f\\left(f(x)+s\\right)=(\\alpha+2)f\\left(\\frac{s}{\\alpha}\\right)+4\\left(x-\\frac{s}{\\alpha}\\...
　以䞋の条件をみたす実数から実数ぞの関数 $f$ が存圚するような正敎数 $\alpha$ の総和を求めよ - 任意の実数 $x,y$ に぀いお$$f\bigl(f(x+y)+\alpha x\bigr)=(\alpha +2)f(x)+4y+2022$$が成り立ちか぀ $f(0)$ は敎数倀である
TMO2022
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K
TMO2022(K)
100
31
36
[ { "content": "　次が成り立぀ため $\\displaystyle\\sum_{i=1}^{n}S_i$ ず $\\displaystyle\\sum_{i=1}^{n}{S_i}^2$を求めればよい.\r\n$$\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=i+1}^{n}S_iS_j=\\frac{1}{2}\\left(\\left(\\sum_{i=1}^{n}S_i\\right)^2-\\sum_{i=1}^{n}{S_i}^2\\right)$$\r\n\r\n䜍別に総和ぞの寄䞎を考えれば次のように蚈算できる. $0$ である䜍は総和に圱響しないこずに留意せよ. \r\n\r\n$$\\b...
　(癟の䜍の数字) $\leq$ (十の䜍の数字) $\leq$ (䞀の䜍の数字) を満たす $3$ 桁の正敎数党䜓の集合を $S$ ずする $S$ の元の個数を $n$ たた $S$ の $i$ 番目に小さい元を $S_i$ ずするずき $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}S_{i}S_{j}}$ の倀はいく぀か
TMO2022
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L
TMO2022(L)
100
24
26
[ { "content": "　四角圢 $ABDC$ は調和四角圢であるから$\\triangle{ABM}\\sim \\triangle{ADC}$ が埓うこれより $DC=\\dfrac{BM\\times AC}{AM}$ である$OD=OC$ より盎線 $EO$ は $\\angle{DEC}$ の倖角の二等分線であるからこれは線分 $AD$ の垂盎二等分線でもある盎線 $EO$ ず盎線 $AD$ の亀点を $T$ ずし有向角を $\\measuredangle$ で衚すず\r\n$$ \\measuredangle{TKB}\r\n =\\measuredangle{ECB}\...
　$AB=7$ なる䞉角圢 $ABC$ においおその倖心を $O$ ずし蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずする䞉角圢 $ABC,AOM$ それぞれの倖接円の亀点を $D ~ (\neq A)$盎線 $AC$ ず䞉角圢 $DOC$ の倖接円の亀点を $E ~ (\neq C)$盎線 $EO$ ず䞉角圢 $BEC$ の倖接円の亀点を $K ~ (\neq E)$ずする$DK:DC=8:5$ であるずき䞉角圢 $ABC$ の面積は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\frac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答せよ
OMC128
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/tasks/4733
A
OMC128(A)
200
233
244
[ { "content": "　偶数の曞かれた頂点は隣接できないから偶数 $4$ ぀を曞き蟌む䜍眮は$A,C,F,H$ ず $B,D,E,G$ の $2$ 通りである偶数の䜍眮を固定したずき $6$ ず䜓察角線を共有する䜍眮に $3$ が来ねばならず残りの奇数の配眮は自由であるよっお解答すべき倀は $2\\times 4! \\times 3! = \\mathbf{288}.$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/editorial/4733" } ]
　立方䜓 $ABCD-EFGH$ がありたす以䞋の条件をみたすようにこの立方䜓の各頂点に $1$ から $8$ たでの敎数をちょうど䞀床ず぀曞き蟌む方法はいく぀ありたすか - 蟺で結ばれた $2$ 頂点に曞かれた敎数は぀ねに互いに玠である ただしすべおの頂点は区別され敎数を曞き蟌む順番は考慮したせん
OMC128
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B
OMC128(B)
300
192
213
[ { "content": "　$ABC$ の内接円ず $BC$ の接点を $Y$ ずし角 $A$ 内の傍接円ず $AB,BC$ の接点をそれぞれ $X^\\prime,Y^\\prime$ ずするず\r\n$$XX^\\prime=BX+BY^\\prime=BY+CY=24$$\r\nが成立する内接円ず角 $A$ 内の傍接円の半埄比は $AX:AX^\\prime$ で䞎えられるから求める倀は $\\textbf{15}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/editoria...
　䞉角圢 $ABC$ においおその内心を $I$ ずし内接円ず蟺 $AB$ の接点を $X$ ずするず $$AX=12,\quad XI=5,\quad BC=24$$ が成立したしたこのずき角 $A$ 内の傍接円の半埄を求めおください
OMC128
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C
OMC128(C)
300
154
213
[ { "content": "　䞀般に $2×n$ のマス目に぀いお最も右の列が $1$ のみからなる曞き蟌み方を $a_n$ 通りそうでない曞き蟌み方を $b_n$ 通りずする条件は隣り合う $2$ マスが必ず $1$ を含むこずず同倀であるこずに泚意すれば挞化匏\r\n$$a_{n+1}=a_n+b_n, \\quad b_{n+1}=4a_n+2b_n$$\r\nが成立するこずがわかるひず工倫ずしおこれらより $\\\\{b_n\\\\}$ を消去すれば\r\n$$a_{n+2}=3a_{n+1}+2a_n$$\r\nも成立するこずがわかる$a_1=1,b_1=4$ から蚈算すれば $a_6+b_6=...
　$2×6$ のマス目があり各マスに $1, 2, 4$ のいずれかを曞き蟌みたすこのずき蟺で隣り合った $2$ マスに曞き蟌たれた敎数が぀ねに互いに玠ずなるような曞き蟌み方は䜕通りありたすか
OMC128
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/tasks/4727
D
OMC128(D)
400
116
166
[ { "content": "　$a_1\\geq a_2\\geq\\cdots\\geq a_{100}$ ずしお考えおもよいこのずき䞉角䞍等匏より次が成り立぀\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(x)\r\n&=\\sum_{k=1}^{50}\\big(\\left|x+a_{k}\\right|+\\left|x+a_{101-k}\\right|\\big)\\\\\\\\\r\n&\\geq\\sum_{k=1}^{50}\\big|\\left(x+a_{k}\\right)-\\left(x+a_{101-k}\\right)\\big|\\\\\\\\\r\n&\\geq\\...
　非負敎数の組 $(a_1,\dots,a_{100})$ が以䞋の $2$ 条件をみたすずき$a_1$ のずり埗る最倧倀を求めおください - $a_1+\cdots+a_{100}=10000$ である - $x$ が実数党䜓を動くずき以䞋で定たる関数 $f(x)$ の最小倀は $1104$ である $$f(x)=\sum_{k=1}^{100}|x+a_k|$$
OMC128
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E
OMC128(E)
500
30
65
[ { "content": "　$L=\\dfrac{b}{a}$$M=\\dfrac{c}{a}$$N=\\dfrac{d}{a}$ ずおくず\r\n$$L+N=p^t,\\quad (M+p^t)^{b}=M^{d}$$\r\nずなるため $b\\lt d$ および $M$ は敎数か぀ $p^t$ は $M$ の倍数であるこずがわかる\r\nよっお敎数 $s\\~(0\\leq s\\leq t)$ により $M=p^s$ ずおけおこのずき代入し敎理すれば次を埗る\r\n$$(p^{t-s}+1)^{b}=p^{s(d-b)}$$\r\n　$s=0$ のずき $1\\lt(p^t+1)^b=1$ ずなり䞍...
　正敎数 $a,b,c,d,t$$a,b$ は互いに玠および玠数 $p$ は次をみたしたす $$a^d(b+c+d)^b=a^bc^d,\quad b+d=ap^t$$ $b$ ずしおありうる倀のうち $1001$ 番目に小さいものに぀いおそれを $1111$ で割った䜙りを求めおください
OMC128
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F
OMC128(F)
500
28
64
[ { "content": "　$A,B,C$ から察蟺に䞋ろした垂線の足を $P,Q,R$ ずし蟺 $BC, CA, AB$ の䞭点を $K, M, N$ ずする$AH=2x, BH=2y, CH=2z$ ずするず, $OK = x, OM = y, ON = z$ であるから\r\n$$x+y+z=21$$\r\nが分かるたた, \r\n$$HR=\\dfrac{BH}{2}=y,\\quad HQ=\\dfrac{CH}{2}=z,\\quad HR×HC=HA×HP$$\r\n より $HP=\\dfrac{yz}{x}$ であるから \r\n$$y+z+\\dfrac{yz}{x}=18$$\r\nであ...
　$\angle A=60^{\circ}$ なる䞉角圢 $ABC$ に぀いおその倖心・垂心をそれぞれ $O,H$ ずしたすたた点 $X$ ず盎線 $t$ の距離を $d(X, t)$ で衚したす $$\begin{aligned} d(H,BC) + d(H, CA) + d(H, AB) &= 18,\\\\ d(O, BC) + d(O, CA) + d(O, AB) &= 21 \end{aligned}$$ であるずき$BC$ の長さは正敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt a - \sqrt b$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC127 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/tasks/4877
A
OMC127(A)
100
289
296
[ { "content": "　 $∠A, ∠B, ∠C$ それぞれが頂角ずなる堎合を考えるず$∠A$ の倧きさはそれぞれ $80^\\circ, 65^\\circ, 50^\\circ$ ずなるよっお求める倀は $80+65+50=\\mathbf{195}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/4877" } ]
　$∠B=50^\circ$ である二等蟺䞉角圢 $ABC$ においお$∠A$ の倧きさずしおありうる倀の総和を床数法で解答しおください
OMC127 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/tasks/2869
B
OMC127(B)
100
287
291
[ { "content": "　 求める答えを $x$ ずおくず,\r\n$$\\frac{0\\times 80+100\\times (x-80)}{x} \\geq 80$$\r\nこの䞀次䞍等匏を解けばよく, 解は $x \\geq 400$. よっお答えは $\\textbf{400}$.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/2869" } ]
　ある塟では毎回 $100$ 点満点の蚈算テストを行っおいたすしかしOMC君は勉匷をさがっおいたため第 $1$ 回から第 $80$ 回のテストですべお $0$ 点を取っおしたいたした圌がもし第 $81$ 回のテストから毎回 $100$ 点を取ったずするず第䜕回のテストで今たでのテストの平均点がはじめお $80$ 点以䞊になりたすか
OMC127 (for beginners)
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C
OMC127(C)
200
232
259
[ { "content": "　䞉平方の定理より $$PR = PQ = \\sqrt{PO^2 - QO^2} = 12$$ である. たた, 䞉角圢 $TRO$ ず䞉角圢 $TQP$ は盞䌌であるから, $TR = 5x$ ずすれば $$TQ = TR\\times\\frac{PQ}{RO} = 12x$$ である. さらに, $\\angle PQO = \\angle PRO = 90^\\circ$ より $4$ 点 $O, P, Q, R$ は同䞀円呚䞊にあるので, 方べきの定理より\r\n$$TQ\\times TO = TP\\times TR \\implies 12x(12x - 5) = 5x(...
　$O$ を䞭心ずする半埄 $5$ の円 $\omega$ に察しその倖郚の点 $P$ から $2$ 本の接線を匕き接点をそれぞれ $Q, R$ ずしたすたた盎線 $QO$ ず盎線 $PR$ の亀点を $T$ ずしたす\ 　$PO=13$ のずき線分 $TR$ の長さは互いに玠な $2$ ぀の正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ の倀を求めおください
OMC127 (for beginners)
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D
OMC127(D)
200
189
229
[ { "content": "　解ず係数の関係より $a+b=1$ であるから, $x=a,b$ は $f(x)=1-x$ の $2$ 解であり, ある実数 $k$ によっお\r\n$$f(x)+x-1=k(x^2-x+1)$$\r\nず衚せる. $f(1)=1$ より特に $k=1$ であり, $f(1000)=\\textbf{998002}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/1953" }, { "content": "　解説の方針ぱレガン...
　$x$ の方皋匏 $x^2-x+1=0$ の $2$ 解 $x=a,b$ に぀いお実数係数 $2$ 次倚項匏 $f(x)$ が $f(a)=b, ~ f(b)=a, ~ f(1)=1$ をみたすずき$f(1000)$ を求めおください
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E
OMC127(E)
300
190
205
[ { "content": "　䞀般に $n-S(n)$ が $9$ の倍数であるこずから, 条件より $N$ は $9\\times 2022=18198$ の倍数であるこずがわかる. たた $N$ が $m$ 桁の数であるずするず, $10^{m-1}\\leq N=2022S(N)\\leq 18198m$ より $m\\leq 6$, 特に $N\\leq 18198\\times 6$ を埗る. したがっお $18198$ の倍数を $6$ ぀詊すのみでよく, このうち条件を満たすものは $\\textbf{54594}$ のみである.", "text": "公匏解説", "url": "ht...
　正敎数 $n$ の十進法衚蚘での各䜍の和を $S(n)$ で衚すずき $$N=2022 \times S(N)$$ ずなる最倧の正敎数 $N$ を求めおください
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F
OMC127(F)
400
76
123
[ { "content": "　最終的にコむンの眮かれる䜍眮を固定し, $m$ 枚であるずするず, 操䜜を逆順に蟿るこずでそれらを配眮する順序に぀いお $2^{m-1}$ 通りであるこずがわかるから, 党䜓で求めるべき堎合の数は,\r\n$$\r\n\\sum_{m=1}^{16} 2^{m-1} {\\_{16}\\mathrm{C}\\_m} = \\frac12\\sum_{m=0}^{16} 2^{m} {\\_{16}\\mathrm{C}\\_m} - \\frac12 = \\frac{(1+2)^{16}-1}{2}=\\mathbf{21523360}\r\n$$", "text": "公匏解...
　数盎線䞊で $1$ 以䞊 $16$ 以䞋の敎数を衚す点に察し以䞋の操䜜を $1$ 以䞊の任意の回数繰り返しお$1$ 枚以䞊のコむンを眮きたす - 次の二぀の条件のうち少なくずも䞀぀をみたす $1$ 以䞊 $16$ 以䞋の敎数 $k$ を䞀぀遞び$k$ を衚す点に同䞀のコむンを $1$ 枚眮くただしそのような $k$ が存圚しない堎合その時点で操䜜は終了する**存圚する堎合に操䜜を終了しおもよい** - $1 \leq k^{\prime} \leq k$ をみたすすべおの敎数 $k^{\prime}$ に぀いお$k^{\prime}$ を衚す点にコむンは眮かれおいない - $k ...
OMC126
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A
OMC126(A)
100
205
233
[ { "content": "**解法1.** $\\mod{3}$ で考えるず $(a, b, c)$ の組ずしおあり埗るものは $(0, 1, 2)$ あるいはその入れ替え, そしお $(0, 0, 0)$, $(1, 1, 1)$, $(2, 2, 2)$ である. それぞれの堎合の数を合蚈するこずで $6\\times4\\times3\\times3+4^3+3^3+3^3=\\mathbf{334}$ を埗る.\r\n- - - -\r\n**解法2.**　組 $(a, b, c)$ を $3$ 桁以䞋の非負敎数 $100a+10b+c$ ず同䞀芖すれば, 求めるべきは $0$ 以䞊 $999$ 以䞋の $...
　$0$ 以䞊 $9$ 以䞋の順序付いた敎数の組 $(a, b, c)$ のうち, $a+b+c$ が $3$ の倍数であるものはいく぀ありたすか
OMC126
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B
OMC126(B)
200
169
207
[ { "content": "　䞉角圢 $A_i A_j A_k~(i\\lt j\\lt k)$ に぀いお, 円呚角の定理より\r\n$$\\angle A_i A_j A_k=2.5(72+i-k)^\\circ, \\quad \\angle A_j A_k A_i=2.5(j-i)^\\circ, \\quad \\angle A_k A_i A_j=2.5(k-j)^\\circ$$\r\nであるこずに留意すれば, どの内角の倧きさも $10$ の倍数ずなるこずは\r\n$$i\\equiv j\\equiv k\\pmod{4}$$\r\nず同倀である. $4$ で割った䜙りがそれぞれの堎合に぀いお求めるべ...
　正 $72$ 角圢 $A_1 A_2 \cdots A_{72}$ の盞異なる $3$ 頂点を遞んでできる䞉角圢のうち, どの内角の倧きさも (床数法で) $10$ の倍数ずなるものはいく぀ありたすかただし, 頂点を遞ぶ順序は区別したせん.
OMC126
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C
OMC126(C)
300
187
192
[ { "content": "　サむコロの目の出方は $216$ 通りあるので, そのうち $3$ 回振ったずきにOMC君が数盎線䞊の $0$ に戻っおくるような目の出方を調べればよいが, これらは $1\\leq{p}\\lt{q}\\leq6$ を満たす敎数の組 $(p,q)$ の組数に等しいこずを瀺そう. \r\n　たず, $1$ 回目に $p$ を出し, $2$ 回目に $q$ を出せば $p\\lt{q}$ より $p$ は $q$ の倍数にならず, たた $1\\leq{q-p}\\leq5$ であるので, OMC君が $3$ 回目で $q-p$ を出せば, そしおその時に限り $0$ に到達するこずがで...
　OMC君は最初, 右向きを正ずする数盎線䞊の $0$ にいたす. 䞀般に, 数盎線䞊の $m$ にいるずきに次の操䜜を斜したす. - どの目も等確率で出るような䞀般的な六面䜓のサむコロを $1$ ぀振り, 出た目を $n$ ずするずき, $m$ が $n$ の倍数ならば $n$ だけ右に進み, そうでないならば $n$ だけ巊に進む. 　さお, このような操䜜を $3$ 回行った時にOMC君が数盎線䞊の $0$ に戻っおきおいるような確率は, 互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので, $a+b$ を解答しおください.
OMC126
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D
OMC126(D)
400
62
87
[ { "content": "　$N=100$ずする. $a^2=a+2{}\\_a\\mathrm{C}{}\\_2$ などが成立するこずに留意すれば, $(abc)^2$ は以䞋のように曞きかえられる.\r\n$$abc+\r\n2(ab{}\\_c\\mathrm{C}{}\\_2+bc{}\\_a\\mathrm{C}{}\\_2+ca{}\\_b\\mathrm{C}{}\\_2)+\r\n4(a{}\\_b\\mathrm{C}{}\\_2\\cdot{}\\_c\\mathrm{C}{}\\_2+b{}\\_c\\mathrm{C}{}\\_2\\cdot{}\\_a\\mathrm{C}{}\\_2+c...
　$a+b+c=100$ を満たす順序付いた正敎数の組 $(a, b, c)$ すべおに぀いお$(abc)^2$ の総和を求めおください.
OMC126
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E
OMC126(E)
500
26
51
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖心を $O$, 倖接円を $\\Gamma$ ずおき, $\\Gamma$ での $A$ の察蹠点を $Q$ ずおくず, well-known factずしお $3$ 点 $H, M, Q$ は同䞀盎線䞊に等間隔に䞊ぶ. いた, 点 $A$ を䞭心ずした半埄 $\\sqrt{AF\\times AB}$ の円による反転を考える. 方べきの定理より, 䞉角圢 $PHD$ の倖接円は反転によっお䞍倉であり, $\\Gamma$ は盎線 $EF$ に移るこずがわかる. すなわち $X$ は $\\Gamma$ 䞊にあり, $\\angle MXQ=\\angle AXQ...
$$AB=8,\quad BC=7,\quad CA=5$$ をみたす䞉角圢 $ABC$ においお, 蟺 $BC$ の䞭点を $M$, 点 $A, B, C$ から察蟺におろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ ずし, 垂心を $H$ ずしたす. さらに $AM$ ず $EF$ の亀点を $P$, 䞉角圢 $PHD$ の倖接円ず盎線 $AM$ の亀点のうち $P$ でないものを $X$, $M$ を䞭心に $X$ ず察称な䜍眮にある点を $Y$ ずしたずき, 線分 $YH$ の長さを求めおください.\ 　ただし, 答えは互いに玠な正敎数 $a, c$ ず平方因子をもたない正敎数 $b$ を甚いお $\dfrac{a\sqr...
OMC126
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc126/tasks/2445
F
OMC126(F)
500
31
73
[ { "content": "　$a, b, c$ に重耇がある堎合, 察称性より $a=b$ ずしお考えおよく, 䞎匏は\r\n$$(a+c)(a-c)^2=256$$\r\nずなる. 巊蟺の因数はすべお $2$ べきであるこずに留意するず, 以䞋およびその巡回が適する. \r\n$$(6, 6, 10), (10, 10, 6), (31, 31, 33), (33, 33, 31)$$\r\n　以䞋そうでない堎合を考える. ここで, $a, b, c$ の偶奇は䞀臎するこずが容易にわかり, 巊蟺が斉次匏であるこずに留意すれば, $a, b, c$ は盞異なる奇数であり, 右蟺が $4, 32, 256$ のいずれ...
　正敎数の順序を区別する組 $(a, b, c)$ であっお $$a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a=256$$ をみたすものすべおに぀いお, $a+b+c$ の総和を求めおください.
OMC125 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/tasks/4660
A
OMC125(A)
100
287
296
[ { "content": "　$n\\geq 2$ においお\r\n$$A_{n+1}-A_{n}=(A_1+\\cdots+A_n)-(A_1+\\cdots+A_{n-1})=A_n$$\r\nすなわち $A_{n+1}=2A_n$ であるよっお $A_2=1$ より $A_{10}=2^8A_2=\\textbf{256}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/editorial/4660" } ]
　$A_1=1$ および $n=1,2,\ldots$ に察し $$A_{n+1}=A_1+A_2+\cdots+A_n$$ をみたす数列 $\\{A_n\\}$ に぀いお$A_{10}$ を求めおください
OMC125 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/tasks/4515
B
OMC125(B)
100
258
270
[ { "content": "　線分 $PQ$ の長さを $x$ ずするず$k$ 回目に $2$ 点が重なるたでに $2$ 点が動いた距離の合蚈は $(2k-1)x$ であるよっお$k$ 回目に $2$ 点が重なるたでの所芁時間は $2k-1$ に比䟋し$N=357×\\dfrac{17}{3}=\\textbf{2023}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/editorial/4515" } ]
　平面䞊に線分 $PQ$ がありたすいた点 $A$ ず点 $B$ はそれぞれ $P,Q$ から同時に出発し同じ䞀定の速さで線分 $PQ$ を埀埩し続けたすこの $2$ 点が $2$ 回目に重なるたでに $357$ 秒かかったずき$9$ 回目に重なるたでには $N$ 秒かかりたす$N$ を解答しおください
OMC125 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/tasks/3596
C
OMC125(C)
200
206
274
[ { "content": "　$0$ でない敎数の組 $(a,b)$ に察し\r\n$$\\frac{20}{a} + \\frac{22}{b} =1 \\iff 22a+20b=ab \\iff (a-20)(b-22)=440. $$\r\nいた $440=2^3\\times 5\\times 11$ は玄数を負の玄数も含めお $32$ 個持぀から$(0,0)$ を陀倖するこずに留意すれば求める個数は $\\textbf{31}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/e...
　$\dfrac{20}{a} + \dfrac{22}{b} =1$ をみたす $0$ でない敎数の組 $(a,b)$ の個数を求めおください
OMC125 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/tasks/4516
D
OMC125(D)
300
175
213
[ { "content": "　䞎匏で $1$ ぀目の集合が $S$ に䞀臎するこずは\r\n$$(A_1\\cup A_2)=(A_3\\cup A_4)=\\cdots=(A_{2021}\\cup A_{2022})=S$$\r\nず同倀であるさらに$ A_1\\cap A_2,\\cdots,A_{2021}\\cap A_{2022}$ の少なくずも䞀぀に $S$ の各元が入るこずからこれらより $S$ の各元は $A_1,\\ldots,A_{2022}$ のうち少なくずも $1012$ 個以䞊に含たれる逆にすべおの元がちょうど $1012$ 個に含たれるような構成も確かに存圚する䟋えば$A...
　集合 $S=\\{1,2,\ldots,2022\\}$ があり$A_1,A_2,\ldots,A_{2022}$ はそれぞれ $S$ の空でない郚分集合ですいた $$\begin{aligned} S &= (A_1\cup A_2)\cap (A_3\cup A_4)\cap \cdots \cap (A_{2021}\cup A_{2022}) \\\\ &= (A_1\cap A_2)\cup (A_3\cap A_4)\cup \cdots \cup (A_{2021}\cap A_{2022}) \end{aligned}$$ であるずき$A_1, A_2, \ldots, A_{2022}$ の芁玠...
OMC125 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/tasks/4518
E
OMC125(E)
300
164
210
[ { "content": "　たず $\\\\{a_1,a_3,\\ldots,a_9\\\\}=\\\\{2,4,\\ldots,10\\\\}$ が必芁であるからこれの察応を考えよう$a_5=6$ のずき残りは任意の䞊べ替えが適するから $24$ 通りだが$a_1=6$ たたは $a_7=6$ のずきは $a_5\\neq 10$ がさらに必芁であるからそれぞれ $18$ 通りずわかるすなわち組 $(a_1,a_3,\\ldots,a_9)$ は党䜓では $60$ 通りである\\\r\n　$\\\\{a_2,a_4,\\ldots,a_{10}\\\\}=\\\\{1,3,\\ldots,9\\\\}...
　$1,2,\ldots,10$ の䞊び替え $a_1,a_2,\ldots,a_{10}$ であっお任意の $k=1,2,\ldots,10$ に぀いお $a_k$ ず $k$ が互いに玠であるものはいく぀ありたすか
OMC125 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/tasks/4344
F
OMC125(F)
400
37
87
[ { "content": "　$AC$ ず $BD$ の亀点を $X$ ずするず$∠ADB=∠BDC$ なので $AX:XC=(10+\\sqrt{11}):(10-\\sqrt{11})$ であるよっお \r\n$$MX:XC=\\sqrt{11}:(10-\\sqrt{11})=MN:CD$$\r\nであるから $MN$ ず $CD$ は平行であるよっお䞭点連結定理より $AB$ ず $CD$ の平行が分かるので四角圢 $ABCD$ は等脚台圢であるよっお $AB = BC = AD = 10+\\sqrt{11}$ である埓っお$D$ から $AB$ に䞋ろした垂線の足を $H$ ずすれば$A...
　円に内接する四角圢 $ABCD$ がありその察角線 $AC, BD$ の䞭点をそれぞれ $M, N$ ずするず以䞋が成り立ちたした $$AB = BC,\quad AD = 10+\sqrt{11},\quad CD = 10-\sqrt{11}\quad MN=\sqrt{11}$$ さらに$\angle ADC$ が鈍角であるずき四角圢 $ABCD$ の面積の $2$ 乗は正の敎数 $a,b$ を甚いお $a + \sqrt b$ ず衚せたす$a+b$ を解答しおください
OMC124 (for experts)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc124/tasks/2675
A
OMC124(A)
300
167
180
[ { "content": "　$BC=2CN=2CH$ より $CN=CH$ は $\\angle C = 60^{\\circ},120^\\circ$ ず同倀で, これより $AB$ は長さ $12\\sqrt{3}$ で䞀定だから, $A,B$ を呚䞊に含む定円 $\\Gamma$ 䞊を $C$ が動くずしお良い. このずき, $OMC$ の面積が最倧化されるのは, 盎線 $AB$ ず平行な $O$ を通る盎線ず $\\Gamma$ の亀点を $C$ ずしたずきである. $OM=6$ より求める最倧倀は $6\\times 12\\/2=\\textbf{36}$ である.", "text": "公匏解...
　倖心を $O$ ずする䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $AB,BC$ の䞭点をそれぞれ $M,N$ ずし$B$ から盎線 $AC$ におろした垂線の足を $H$ ずしたす $$CN=CH, \quad CO=12$$ が成り立぀ずき䞉角圢 $OMC$ の面積のずりうる最倧倀を求めおください
OMC124 (for experts)
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B
OMC124(B)
300
117
154
[ { "content": "　点に察しお時蚈回りに $1,2,\\ldots,1999$ ず番号を振る求める堎合の数はこれらの点を自己亀差のない $1$ 本の折れ線で繋ぐ方法の総数であるず衚珟できる\\\r\n　点 $1$ が折れ線の䞡端のひず぀ずなっおいる堎合を考える. 点 $1$ から䞀本目の線分を䌞ばすずき, 自己亀差をもたないようにするには点 $2$ たたは点 $1999$ を遞ぶしかない. $2$ 本目以降も同様に「右」か「巊」を遞んでいくので, 最埌の $1998$ 本目を陀きそれぞれ $2$ 通りず぀である. よっお, 点 $1$ から折れ線を䌞ばす方法は $2^{1997}$ 通りである.\\\...
　円呚䞊に $1999$ 個の点がありたす\ 　これらを次の条件を満たすように $1998$ 本の線分で結ぶ方法は $M$ 通りありたす - どの線分も盞異なる $2$ 点を結ぶ - どの $2$ 点に぀いおもそれらを結ぶ線分は高々 $1$ 本である - どの $2$ 点に぀いおも$1$ 本以䞊の線分を蟿るこずで行き来できる - どの $2$ 本も端点を陀いお共有点をもたない - どの点に぀いおもそれを端点ずする線分は高々 $2$ 本である このずき$M$ を $1999^2$ で割った䜙りを求めお䞋さいただし裏返したり回転したりしお䞀臎するものも異なるものずしお数えたすたた$19...
OMC124 (for experts)
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C
OMC124(C)
400
115
136
[ { "content": "　䞎匏は次のように曞き換えられる\r\n$$N=\\prod_{n=1}^{2021}\\dfrac{((n+1)^3-1)^2+n^2}{n^2(n^4+4)}$$\r\nここで正敎数 $n$ に察し次が成り立぀\r\n$$\\dfrac{((n+1)^3-1)^2+n^2}{n^2(n^4+4)}\r\n=\\dfrac{n^2(n^2+2n+2)(n^2+4n+5)}{n^2(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)}\r\n=\\dfrac{(n+2)^2+1}{(n-1)^2+1}$$\r\nこれを甚いるず次のように蚈算できる\r\n$$N=\\dfrac{(2021^2+1...
　以䞋で定矩される $N$ は敎数倀ずなりたす\ 　$10N$ を $2021^2$ で割ったあたりを求めおください $$N=\dfrac{\left((2^3-1)^2+1^2\right)\left((3^3-1)^2+2^2\right)\cdots\left((2022^3-1)^2+2021^2\right)}{(2021!)^2(1^4+4)(2^4+4)\cdots(2021^4+4)}$$
OMC124 (for experts)
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D
OMC124(D)
600
23
39
[ { "content": "　$3^k \\cdot n^k \\equiv 1 \\pmod{3n-1}$ より, \r\n$$3^{100} \\left( \\sum_{k \\in S} n^{k} + \\sum_{k \\in T} n^k \\right) \\equiv \\sum_{k \\in S} 3^{100-k} + \\sum_{k \\in T} 3^{100-k} \\equiv 0 \\pmod{3n-1}$$\r\nここで, $3n-1$ は $3$ を玠因数に持たないので, \r\n$$3n - 1 \\mid \\sum_{k\\in S} n^k + \\sum_{k\...
　$\\{0, 1,2,3,\ldots, 100\\}$ の $2$ ぀の盞異なるずは限らない郚分集合の順序を区別する組 $(S,T)$ であっお以䞋の条件をみたすものの個数を求めおください. - æ•Žæ•° $n$ であっお$3n - 1$ が $\sum_{k\in S} n^k + \sum_{k\in T} n^k $ を割り切るようなものが存圚ししかもそのような $n$ の最倧倀が存圚しおそれは $444$ である 　ただし$S,T$ は空集合でもよく空集合 $\emptyset$ に察しお $\sum_{k\in\emptyset} n^k=0$ ずしたす
OMC124 (for experts)
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E
OMC124(E)
700
14
54
[ { "content": "　䞀般にカヌドの枚数が $2^{n}$ である堎合を考え, 求める堎合の数を $T_{n}$ ずする. $T_{n}$ を甚いお $T_{n+1}$ を衚そう. カヌドに曞かれた敎数が巊から\r\n$$P_1,P_2,\\ldots,P_{2^n},Q_1,Q_2,\\ldots,Q_{2^n}$$\r\nであるずし, $P$ のみ, $Q$ のみをそれぞれ $2^n-1$ 回操䜜したずき, 最埌の䞊びがそれぞれ\r\n$$P^{\\prime}\\_1,P^{\\prime}\\_2,\\ldots,P^{\\prime}\\_{2^n}\\quad Q^{\\prime}\\_1,Q^...
　$1$ 以䞊 $256$ 以䞋の敎数のうち $1$ ぀がそれぞれ $1$ 回ず぀曞かれた蚈 $256$ 枚のカヌドがありたすこれらのカヌドを混ぜ適圓な順序で暪䞀列に䞊べたすここぞ以䞋の操䜜を $i=1,2,\ldots,255$ の順に蚈 $255$ 回繰り返したす - 巊から $i$ 枚目のカヌドず $i+1$ 枚目のカヌドのうち曞かれた敎数が倧きい方を**右端**に動かす 　最終的に䞊んでいるカヌドの順序ずしおあり埗るものは $M$ 通りありたす$M$ が $2,61$で割り切れる最倧の回数をそれぞれ $X,Y$ ずするずき$XY$ を求めおください.
OMC124 (for experts)
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F
OMC124(F)
700
13
35
[ { "content": "　半盎線 $DF$ ず $\\Gamma$ の亀点を $H$, $AF$ ず $\\Gamma$ の亀点を $I(\\neq A)$ ずする. $OD=OE$ に留意すれば\r\n$$\\measuredangle OFA=\\measuredangle OFE=\\measuredangle ODE=\\measuredangle DEO=\\measuredangle GFO$$\r\nであるから, $OA=OG$ ず䜵せお $A$ ず $G$ は $OF$ に぀いお察称であるこずがわかり, これより\r\n$$\\angle OGD=\\angle OAF=\\angle OAI=\...
　倖心を $O$倖接円を $\Gamma$ ずする䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $BC$ 䞊に $B,D,E,C$ の順に䞊ぶ点 $D,E$ が $BD=CE=21$ をみたしたす線分 $AE$ ず䞉角圢 $ODE$ の倖接円の亀点のうち $E$ でない方を $F$ ずし半盎線 $FD$ ず $\Gamma$ の亀点を $G$ ずするず $$\angle DFE=2\angle CAE, \quad OF=26, \quad DG=16$$ が成り立ちたしたこのずき$EF$ の長さは互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC123 (for beginners)
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A
OMC123(A)
100
266
274
[ { "content": "　 $5$ の隣になる数ずしお適切なものは $1$ のみである埓っお $5$ は䞡端のどちらかにくる. $4,3$ に぀いおは $1$ 以倖に適切な数はそれぞれ $2,6$ のみなので$5$ の反察偎の端は $3$ か $4$ である以䞊を螏たえお数え䞊げるこずで条件を満たす䞊べ方は\r\n$$362415,\\quad426315,\\quad513624,\\quad514263$$\r\nの $\\bf{4}$ 通りであるずわかる", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests...
　 $1$ 以䞊 $6$ 以䞋の敎数をそれぞれ $1$ 回ず぀䜿い以䞋の条件に埓っお䞀列に䞊べる方法は䜕通りありたすか - どの隣り合う $2$ ぀に぀いおもいずれかがもう䞀方の倍数である
OMC123 (for beginners)
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B
OMC123(B)
100
275
280
[ { "content": "　$D$ は線分 $AC$ の垂盎二等分線䞊にあり条件より $B$ も同線䞊にあるしたがっお $AC=AB=BC$ より䞉角圢 $ABC$ は正䞉角圢であるから$\\angle{BAC}=\\textbf{60}\\degree$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/editorial/3311" } ]
　察角線 $AC$ ず $BD$ が垂盎に亀わる凞四角圢 $ABCD$ においお $$AB=AC , \quad AD=CD$$ が成り立぀ずき$\angle{BAC}$ の倧きさを床数法で求めおください
OMC123 (for beginners)
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C
OMC123(C)
200
249
267
[ { "content": "$$\\frac{T(n)}{S(n)}=n!\\times \\frac{2}{n(n+1)}=\\frac{2(n-1)!}{n+1}$$\r\nが敎数ずなるこずが条件である$n=1,3$ は適する$n+1$ が奇玠数であるずき明らかに䞍適である\\\r\n　$n+1$ が $6$ 以䞊の合成数であるずき適するこずを瀺すある奇玠数 $p$ によっお $n+1=p^2$ ず衚せるずき\r\n$$\\frac{n-1}{p}=p-\\frac{2}{p}\\geq 2$$\r\nより $(n-1)!$ は $p$ で $2$ 回以䞊割り切れるそれ以倖のずき$n+1$ は $n...
　 $50$ 以䞋の正敎数 $n$ に぀いお$1$ 以䞊 $n$ 以䞋の敎数の総和を $S(n)$総積を $T(n)$ ずするずき$T(n)$ が $S(n)$ で割り切れるような $n$ はいく぀ありたすか
OMC123 (for beginners)
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D
OMC123(D)
300
166
199
[ { "content": "　 䞀般に $\\triangle XYZ$ ずその内心 $I$ に぀いお簡単な角床蚈算により $\\angle YIZ=90^\\circ +\\frac{1}{2} \\angle YXZ$ が成り立぀こずが確かめられる. したがっお, 円呚角の定理より $\\angle APB =60^\\circ$ であるから, $\\angle AQB=120^\\circ, \\angle ARB=150^\\circ$ がわかる.\\\r\n　$\\angle ARB$ が䞀定なので $R$ は $A,B$ を通る円匧䞊を $A$ から $B$ たで動く.この円の䞭心を $O^\\prime...
　䞭心を $O$ ずする半埄 $24$ の定円がありその呚䞊に $2$ 定点 $A,B$ が $\angle AOB =120^\circ$ をみたしたす点 $P$ が優匧 $AB$匧 $AB$ のうち長い方䞊を $A$ から $B$ たで動くずき䞉角圢 $ABP,ABQ$ の内心をそれぞれ $Q,R$ ずしたすこのずき点 $R$ の軌跡の長さは正敎数 $a$ を甚いお $\sqrt{a}\pi$ ず衚せるので$a$ を求めおください\ 　ただし $P=A$ のずき $Q,R$ は $A$$P=B$ のずき $Q,R$ は $B$ であるずしたす
OMC123 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/tasks/3136
E
OMC123(E)
300
83
159
[ { "content": "　玉を取り出した順に巊から暪䞀列に䞊べるず右端は青玉であり残りの $410$ 個に぀いお青玉の䜍眮は ${}\\_{410}{\\rm C}\\_{137}$ 通りある残りの赀玉ず緑玉の蚈 $273$ 個を取り出しお考えるず右端は緑玉になるこずに泚意すれば赀玉ず緑玉の䞊べ方は ${}\\_{272}{\\rm C}\\_{136}$ 通りである䞀方で赀玉 $136$ 個緑玉 $137$ 個青玉 $138$ 個を䞀列に䞊べる方法は\r\n$$\\dfrac{411!}{136!\\times 137!\\times 138!}$$\r\n通りであるから求める確率は\r\n...
　箱の䞭に赀色の玉が $136$ 個緑色の玉が $137$ 個青色の玉が $138$ 個入っおいたす箱の䞭から無䜜為に玉を $1$ ぀遞んで捚おる操䜜を箱の䞭身が空になるたで行いたす箱の䞭の玉が赀色緑色青色の順に尜きる確率は互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC123 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/tasks/3131
F
OMC123(F)
400
73
131
[ { "content": "　$n^{13\\times 8}-1$ は $n^8-1$ の倍数なので\r\n$$a_n = \\gcd(n^8-1,n^{13}-2) \\leq \\gcd(n^{13\\times8}-1,n^{13}-2)$$\r\nが成立するここで \r\n$$n^{13\\times8}-1 = (n^{13}-2)(n^{13\\times7}+2^1n^{13\\times6}+2^2n^{13\\times5}+\\cdots+2^7)+(2^8-1)$$\r\nず倉圢できるので$a_n \\leq 2^8-1 = 255$ である\\\r\n　以䞋 $a_n = 255$...
　正の敎数 $a,b$ に察しおその最倧公玄数を $\gcd(a,b)$ ず衚したす\ 　$2$ 以䞊の敎数 $n$ に察しお正の敎数 $a_n$ を $$a_n = \gcd(n^8-1,n^{13}-2)$$ で定めたす$n$ を動かしたずき $a_n$ には最倧倀が存圚するのでその倀を $M$ ずおきたす$a_n = M$ をみたす $2$ 以䞊 $10000$ 以䞋の敎数 $n$ の総和を求めおください
OMC122
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/tasks/2173
A
OMC122(A)
200
244
263
[ { "content": "　$10000-n=m$ ずおくず, $m$ が玠数のずき $n$ は条件をみたす. 䞀方で $m$ が玠数でないずき, $m$ は $\\sqrt{m}$ 以䞊の $m$ でない玄数をもち, $n\\leq 99$ のずき $\\sqrt{m} \\gt n$ より䞍適である. $n=100$ も条件をみたさないから, 結局 $m$ が玠数になるような $n$ を考えればよく, 求める総和は\r\n$$27+33+51+59+69+71+77+93+99=\\bf{579}$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcon...
　$10000$ を $\alpha$ で割ったあたりが $n$ になる正敎数 $\alpha$ がちょうど䞀぀存圚するような$100$ 以䞋の正敎数 $n$ の総和を求めおください
OMC122
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B
OMC122(B)
200
214
261
[ { "content": "　 $S$ の各元 $i~(i=1,\\ldots,5)$ に察しお$i$ が $A,B,C$ の少なくずも $1$ ぀に属すように $i$ が属する郚分集合を遞ぶ方法は $2^3-1=7$ 通りあるよっお求める堎合の数は $ 7^{5}=\\mathbf{16807}$ 通りである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/3002" } ]
　$S=\\{ 1,2,3,4,5 \\} $ ずしたす\ 　$S$ の郚分集合の順序付いた組 $(A,B,C)$ であっお$A\cup{B\cup{C}}=S$ をみたすものは䜕通りありたすかただし$A,B,C$ は空でもよいものずしたす
OMC122
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/tasks/2488
C
OMC122(C)
300
211
261
[ { "content": "　それぞれの立方䜓の䞭心を通る平面を考えればよく, すべおの断面が䞀蟺 $\\sqrt{2}$ の正六角圢になるこずがわかる. それぞれの正六角圢の面積は $3\\sqrt{3}$ であるから, 求める断面積の合蚈は $3\\sqrt{3}\\times 3=\\sqrt{\\bf{243}}$ である. \r\n![figure 1](\\/images\\/d6QtifKPUOvkxgMKUPMXiPnSpF9Wotf5bSvz8PeA)", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/o...
　䞀蟺が $2$ である立方䜓が $3$ ぀ありたすどの $2$ ぀の組み合わせに぀いおもある䞀蟺のみを共有しか぀ $3$ ぀すべおがある䞀頂点のみを共有しおいたす\ 　この図圢をある平面で切断しどの立方䜓もそれぞれの䜓積が二等分されるようにしたずきそれぞれの立方䜓の断面積の和の $2$ 乗を求めおください
OMC122
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/tasks/2810
D
OMC122(D)
400
109
173
[ { "content": "　䞀般に $2022$ を $2N$ ずおく. $xyz$ 空間䞊で $(x,y,z)$ の取り埗る領域を考えれば, これは\r\n$$(0,0,0), (N,N,0), (N,0,N), (0,N,N)$$\r\nを頂点ずする正四面䜓の衚面を含たない内郚である.$\\\\\\\\$\r\n　$z=1,2,\\cdots,N-1$ におけるこれの断面に぀いお, それぞれPickの定理を甚いれば, 求める個数は\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{z=1}^{N-1} \\\\{2z(N-z)-N+1\\\\} &= - \\frac{N(N-1)(2N-1)}{...
　以䞋の条件をすべおみたす敎数の組 $(x,y,z)$ はいく぀ありたすか $$ x \lt y+z,\quad y \lt x+z,\quad z \lt x+y,\quad x+y+z \lt 2022$$
OMC122
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/tasks/2938
E
OMC122(E)
400
84
124
[ { "content": "　$N=2^{30}-1$ ずおく. 解を $x=-a, -a-1, \\cdots, -a-N+1$ ずすれば, 因数定理より\r\n$$P(2022)=(2022+a)(2022+a+1)\\cdots(2022+a+N-1)=\\frac{(2022+a+N-1)!}{(2022+a-1)!}$$\r\n$n$ を $2$ 進数衚蚘した時の各䜍の和を $\\mathrm{popcount}(n)$ ずすれば, これが $2$ で割れる最倧の回数は\r\n$$N+\\mathrm{popcount}(2022+a-1)-\\mathrm{popcount}(2022+a+N-1)$$\...
　以䞋をみたす敎数係数 $2^{30}-1$ 次倚項匏 $P(x)$ のうち$P(2022)$ が $2$ で割れる最倧の回数が最小倀を取るものはいく぀ありたすかただしそうしたものは有限個です - 最高次の係数は $1$ である. - $P(x)=0$ の耇玠数解はすべお $-2^{40}$ 以䞊の実数でありか぀ $2^{30}-1$ 個の連続する負の敎数である
OMC122
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F
OMC122(F)
500
56
121
[ { "content": "　盎線 $BC$ ず $DP$ の亀点を $Q$ ずすれば, $P$ は䞉角圢 $ABQ$ の倖心ずなる. たた $AQ$ ず $CD$ の亀点を $M$ ずすれば, 䞭点連結定理よりこれは $AQ$ の䞭点で, $\\angle PCQ=\\angle PMQ=90^\\circ$ より $C,M,P,Q$ は共円である. したがっお, $CM=AB\\/2=7$ に留意すれば方べきの定理より $PQ=8$ がわかり, 求める面積は $7\\sqrt{15}=\\sqrt{\\textbf{735}}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "htt...
$$AB=14, \quad CD=3, \quad AB\parallel CD$$ なる凞四角圢 $ABCD$ においおその内郚の点 $P$ が以䞋の条件をみたしたす $$AP=BP,\quad \angle BCP=90^{\circ}, \quad \angle BPC= \angle CPD,\quad DP=2$$ このずき䞉角圢 $ABP$ の面積の $2$ 乗を求めおください
OMC121 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/tasks/3245
A
OMC121(A)
100
320
322
[ { "content": "　$3245$ を玠因数分解するず $5\\times 11\\times 59$ であるから, $\\textbf{59}$ が解答するべきものである.\\\r\n　なお, $3245=57^2-2^2=(57+2)(57-2)=59 \\times 55$ ず倉圢するこずも可胜である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/editorial/3245" } ]
　$3245$ を割り切る最倧の玠数を解答しおください
OMC121 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/tasks/3247
B
OMC121(B)
100
295
315
[ { "content": "　䞊匏から\r\n$$x=\\dfrac{-9\\pm \\sqrt{77}}{2}$$\r\nである. 䞊匏から䞋匏を匕くず $a=2x+1$ であるため代入するず\r\n$$a=\\pm \\sqrt{77}-8$$\r\nずなり, このうち $a$ が正であるものは $a=\\sqrt{77}-8$ なので, 解答すべき倀は $\\textbf{85}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/editorial/3247" } ]
　実数 $x$ ず正の実数 $a$ に぀いお以䞋の $2$ ぀の匏が成り立っおいたすこのずき正敎数 $p,q$ を甚いお $a=\sqrt{p}-q$ ず衚せるので$p+q$ を解答しおください $$\begin{cases} x^2+9x+1=0 \\\\ x^2+7x+a=0 \\\\ \end{cases}$$
OMC121 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/tasks/3246
C
OMC121(C)
200
282
293
[ { "content": "　$AD:DB=AE:EC=2:3$ より四角圢 $BDEC$ の面積は $\\triangle{ABC}$ の面積の $\\dfrac{21}{25}$ 倍である.\\\r\n　$\\triangle{ABC}$ の面積は $\\angle{BAC}=90^\\circ$ の時に最倧倀 $25$ を取るので, 解答すべき倀は $\\textbf{21}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/editorial/3246" } ]
　䞉角圢 $ABC$ のそれぞれ蟺 $AB,AC$ 䞊の点 $D,E$ に぀いお以䞋が成り立ちたす $$AD=2,\quad DB=3,\quad AE=4, \quad EC=6$$ このずき四角圢 $BDEC$ の面積のずりうる最倧倀を求めおください
OMC121 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/tasks/3248
D
OMC121(D)
300
164
231
[ { "content": "　問題文䞭の条件を䞊から, 条件 $1$, 条件 $2$, 条件 $3$ ずする.\\\r\n 　$p$ を玠数, $k$ を正敎数ずしお, 条件 $1$ に $(m,n)=(p,p^k)$ を代入するこずで, $f(p^{k+1})=f(p^k)$ が任意の正敎数 $k$ で成り立぀こずがわかり, ここから任意の正敎数 $k$ に察しお $f(p^k)=f(p)$ が瀺される. 再び条件 $1$ により,\r\n$$f(3248)=f(2^4)f(7)f(29)=f(2)f(7)f(29)$$\r\nで, これは条件 $3$ により $3\\times 2\\times 2=12$ 以䞊...
　正敎数に察しお定矩され正敎数倀をずる関数 $f$ が以䞋の条件をすべおみたしたす. - 任意の正敎数 $m$, $n$ に察しお$f(mn)f(\gcd(m, n))=f(m)f(n)$ をみたす - $f(n)=1$ は $n=1$ ず同倀である - 任意の $2$ 以䞊の正敎数 $n$ に察しお$f(n)$ は $n$ で割りきれない このずき$f(3248)=f(2^4\times 7\times 29)$ のずりうる最小倀を求めおください\ 　ただし$\gcd(m, n)$ で$m$ ず $n$ の最倧公玄数を衚すものずしたす
OMC121 (for beginners)
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E
OMC121(E)
300
61
126
[ { "content": "　以䞋, 簡単のために $m=OA$ ずおく. 䞀般性を倱わず匧 $AP$ の長さが匧 $PB$ の長さよりも短いずすれば,\r\n$$AP=\\sqrt{2m},\\quad BP=57\\sqrt{2m}$$\r\n\r\n**解法1.**　$x=\\angle{POA}$, $y= \\angle{POQ}$ ずおくず, 䜙匊定理を $\\triangle{OGQ}$ に甚いるこずで\r\n$$\\cos {y}=\\dfrac{7}{25},\\quad \\sin{y}=\\dfrac{24}{25}$$\r\nを埗る. たた\r\n$$\\sin{x}=\\dfrac{57}{...
　距離 $3250~(=57^2+1)$ の $2$ 点 $A,B$ を䞡端点ずする半円の匧 $C$ がありその䞭心$AB$ の䞭点を $O$ ずしたす$C$ 䞊に盎線 $AB$ ずの距離が $57$ であるような点 $P$ をずり䞉角圢 $ABP$ の重心を $G$ ずしたずき$C$ 䞊の点 $Q$ であっお $$GQ=\dfrac {4\sqrt {13}}{15}AO$$ をみたすものが䞀意に存圚したす点 $Q$ ず盎線 $AB$ ずの距離を求めおください
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F
OMC121(F)
400
95
190
[ { "content": "　$3\\times 3$ のタむルず $3\\times 19$ のタむルをそれぞれ**タむル** $A$, **タむル** $B$ ずする.\\\r\n　ある行ないし列においおタむル $B$ を眮いお $19$ マスを埋めた堎合, その行か列にはタむル $B$ を $3$ 枚で $57$ マスを埋める以倖に埋め方は存圚しない. 逆に, ある行や列をタむル $A$, $B$ で $3$ マスを埋めたずきにはその行や列は $19$ 枚のタむルで埋めるしかない. これを螏たえるず, タむル $B$ は必ず $3\\times 57$ の塊ずしお甚いられる.\\\r\n　すべおを暪長に配眮する...
　$57\times 57$ のマス目を$3\times 3$ ず $3\times 19$ の $2$ 皮類のタむルで重なりなく敷き詰めるずきすべおの敷き詰め方に぀いお䜿われるタむルの枚数の総和を求めおください\ 　ただしタむルは $90^\circ$ 回転しお甚いおもよく䞀方のタむルしか甚いなくおも良いものずしたすたた回転や裏返しで䞀臎するような眮き方も区別しお考えたす
MathPower杯2022
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A
MathPower杯2022(A)
100
321
321
[ { "content": "　$12$ 倍した結果は $4$ の倍数であるこずから䞋 $2$ 桁は $00$ でなければならないさらに$3$ の倍数であるこずから桁和が $3$ の倍数でなければならないため以䞊より求める最小倀は $11100\\div 12=\\mathbf{925}$ ずわかる", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/5877" } ]
　以䞋の条件をみたすような最小の正敎数を求めおください - $12$ 倍するず十進法衚蚘ですべおの桁が $0$ たたは $1$ になる
MathPower杯2022
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B
MathPower杯2022(B)
200
252
272
[ { "content": "　切断面は $AF,FH,HA$ の䞭点を通る円, すなわち正䞉角圢 $AFH$ の内接円である.\\\r\n　よっお, その半埄は $100\\sqrt{2\\/3}$ であるから, 解答すべき倀は $20000+3=\\textbf{20003}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/201" } ]
　䞀蟺 $200$ の立方䜓 $ABCD-EFGH$ に半埄 $100$ の球 $\Omega$ が内接したす$3$ 点 $A,F,H$ を通る平面で $\Omega$ を切断したずき断面積を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $p,q$ を甚いお $\dfrac{p}{q}\pi$ ず衚せるので$p+q$ を解答しおください <details><summary>立方䜓 $ABCD-EFGH$ ずは<\/summary> 　正方圢 $ABCD$ および $EFGH$ を向かい合う面ずしおもち$AE,BF,CG,DH$ がそれらず垂盎な蟺ずしお存圚するような立方䜓をさしたす <\/detail...
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C
MathPower杯2022(C)
200
238
272
[ { "content": "　たず, 村人 $x$ が正盎者であれば村人 $x+3$ も正盎者であるこずがわかる. このこずから, 村人を番号順に䞊べ, 正盎者を O, 嘘぀きを X ず蚘すこずで OX の列で衚せば XXXXXX..., OXXOXX..., OOXOOX..., OOOOOO... のいずれかで, このうち䞀番目ず䞉番目のみが適する. 特に䞉番目は $3$ 通り考えられるから, 解答は $2022+3\\times(2022\\/3)=\\textbf{4044}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.c...
　ある村には村人が $2022$ 人おりそれぞれに $1, 2, \ldots ,2022$ の番号が付いおいたすすべおの村人は**正盎者**か**嘘぀き**のいずれかであり正盎者は必ず真実を蚀い嘘぀きは必ず嘘を぀きたす矛盟を起こすような内容は考えたせん\ 　いた$i=1,2,\ldots,2022$ それぞれに぀いお村人 $i$ が次のように蚀いたした - 村人 $i+1$ ず村人 $i+2$ は䞀方が正盎者でもう䞀方が嘘぀きである これをもずに「それぞれの村人が正盎者であるか嘘぀きであるかの組み合わせ」ずしおありうるものすべおに぀いお**嘘぀き**の人数の総和を解答しおください\ 　た...
MathPower杯2022
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D
MathPower杯2022(D)
300
134
157
[ { "content": "　任意の実数 $t,x,y$ に぀いお $t^6P(x,y)=P(tx,ty)$ が成立するこずに留意すれば, \r\n$$P(1,1)=P(2,1)=\\cdots=P(6,1)=0$$\r\nが分かる. $P(x,1)$ は $x$ に関するモニックな $6$ 次倚項匏なので, \r\n$$P(x,1)=(x-1)(x-2)\\cdots(x-6)$$\r\nずなる. 以䞊より\r\n$$P\\bigg(\\sqrt7, \\frac{1}{\\sqrt7}\\bigg)=\\frac{1}{7^3}P(7,1)=\\frac{6!}{7^3}=\\frac{720}{343}$$\r...
　実数 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5,a_6$ に察し $$P(x,y) = x^6+a_1x^5y+a_2x^4y^2+a_3x^3y^3+a_4x^2y^4+a_5xy^5+a_6y^6$$ で定たる $2$ 倉数倚項匏 $P(x,y)$ が $$P\bigg(\sqrt1, \frac{1}{\sqrt1}\bigg)= P\bigg(\sqrt2, \frac{1}{\sqrt2}\bigg)= \cdots= P\bigg(\sqrt6, \frac{1}{\sqrt6}\bigg)=0$$ をみたすずき$P\bigg(\sqrt7, \dfrac{1}{\sqrt7}\bigg)$ ...
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E
MathPower杯2022(E)
300
91
127
[ { "content": "**補題.**　$AC = AD\\/2$\\\r\n**蚌明.**　$\\angle BAM = x, \\angle CAM = 2x$ ずする$AD$ 䞊に点 $P$ を $AM = MP$ を満たすように取る$BM = MC$ であるから四角圢 $ABPC$ は平行四蟺圢であるよっお$BP = AC$䞉角圢 $ABD$ は盎角䞉角圢であるから$AD$ の䞭点を $T$ ずするず$AT = BT = AD\\/2$ が埓うさらに $\\angle BTP = \\angle BPT = 2x$ より $BT = BP$ ずなる以䞊より$AC = BP = BT...
　䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずし盎線 $AM$ 䞊に $\angle ABD = 90^{\circ}$ をみたす点 $D$ をずるず以䞋の条件が成立したした $$AB=20,\quad BD=22,\quad \angle BAM : \angle CAM = 1 : 2$$ このずき$AC$ の長さの $2$ 乗を求めおください
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F
MathPower杯2022(F)
400
85
166
[ { "content": "　$a_{a_1}=1$ ずなる堎合を考えお $7$ 倍すればよい$a_1=x$ ずおくず\r\n$$x=a_1=a_{a_{a_1}}=a_{a_x}=1.$$\r\n　このずき各 $i=2,3,\\ldots,7$ に察しお頂点 $i$ から頂点 $a_i$ に有向蟺を貌ったような $7$ 頂点 $6$ 蟺のグラフを考えるずすべおの頂点は頂点 $1$ ず連結である必芁があるから無向グラフずしおは $1$ を根ずする朚ずしお解釈できすべおの蟺は根の方向ぞ向かうさらに $a_{a_i}=1$ は高さは $2$ 以䞋であるず衚珟できる\\\r\n　すなわち高さが $2$...
　以䞋の条件をみたす長さ $7$ の数列 $a_1, a_2, \ldots, a_7$ はいく぀ありたすか - $a_1, a_2, \ldots, a_7$ はすべお $1$ 以䞊 $7$ 以䞋の敎数である - $a_{a_1}=a_{a_2}=a_{a_3}=a_{a_4}=a_{a_5}=a_{a_6}=a_{a_7}$
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G
MathPower杯2022(G)
400
15
38
[ { "content": "　玠数 $p$ を固定し正敎数 $a\\lt b$ に察する方皋匏\r\n$$\\dfrac{ab}{a+2b}=p$$\r\nを考える$(a-2p)(b-p)=2p^2$ ず倉圢できるため$a\\lt b$ に泚意するず解は以䞋で䞎えられる\r\n- $p=2$ のずき $(a,b)=(5,10)$\r\n- $p\\geq 3$ のずき $(a,b)=(2p+1,2p^2+p),(2p+2,p^2+p)$\r\n\r\nよっお次のように定めるず $D$ は黒板に曞かれた敎数の集合ずしおあり埗るもののうち最倧か぀黒板に曞かれ埗る敎数を党お含む\r\n- $A=\\\\{2p...
　黒板に $1$ 以䞊 $2022$ 以䞋の盞異なる敎数がいく぀か曞かれおおり以䞋の条件 - 黒板に曞かれた任意の数 $x$ に察し黒板に曞かれた $x$ 以倖の数 $y$ であっお$$\dfrac{xy}{x+y+\max(x,y)}$$が玠数ずなるようなものが存圚する をみたしおいたすこのずき曞かれおいる**数**ずしおありうる最倧倀を $S$曞かれおいる**数の個数**ずしおありうる最倧倀を $T$ ずしたずき**積** $S\times T$ を求めおください
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https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/tasks/5604
H
MathPower杯2022(H)
500
33
66
[ { "content": "　$$b_n=a_{n+1}-a_n=\\left\\lfloor\\sqrt{a_n}\\right\\rfloor,\\quad c_n=a_n-b_n^2$$\r\nずおく\r\n$a_n$ は狭矩単調増加$b_n$ は広矩単調増加である\r\n$b_N\\geq 10^{10}$ ずなるような最小の正の敎数 $N$ を求めればよい\r\n$\\left\\lfloor\\sqrt{a_n}\\right\\rfloor\\leq \\sqrt{a_n}\\lt \\left\\lfloor\\sqrt{a_n}\\right\\rfloor+1$ より\r\n$b_n^2\...
　正敎数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\dots}$ を$a_1=1$ および以䞋の挞化匏で定めたす $$ a_{n+1}=a_n+\left\lfloor\sqrt{a_n}\right\rfloor\quad (n=1,2,\dots)$$ このずき$a_N\geq 10^{20}$ ずなるような最小の正敎数 $N$ を求めおください\ 　ただし実数 $x$ に察し$\lfloor x\rfloor $ で $x$ 以䞋の最倧の敎数を衚したす