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contest stringclasses 315 values	contest_url stringclasses 1 value	url stringlengths 53 65	alphabet stringclasses 20 values	name stringlengths 9 17	score stringclasses 10 values	correct int64 0 467	total int64 0 485	editorials listlengths 1 6	task_content stringlengths 28 1.49k
OMCB010	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/tasks/7090	C	OMCB010(C)	200	162	273	[ { "content": "　条件は，非負整数 $a$ と奇数 $b$ を用いて $2^a\\cdot b^2$ と表せることと同値である．さらにこれは，正整数 $k$ を用いて $k^2$ または $2k^2$ と表せることと同値である．以上より，求める個数は $\\lfloor \\sqrt{10000} \\rfloor+ \\lfloor \\sqrt{5000} \\rfloor=100+70=\\textbf{170}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editori...	正の約数の総和が奇数であるような，$1$ 以上 $10000$ 以下の整数はいくつ存在しますか？
OMCB010	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/tasks/6789	D	OMCB010(D)	200	160	271	[ { "content": "　奇数が連続しないことが，どの連続する二つの積も偶数であることの必要十分条件である．\\\r\n　奇数が連続しないような奇数の置かれた場所の組み合わせは，最も後ろに並んだ奇数以外についてはその一つ後ろの偶数とペアにして考えることで，${}\\_{81}\\mathrm{C}\\_{80} = 81$ 通りである．これらそれぞれに対し，奇数の順序と偶数の順序がそれぞれ $80!$ 通りずつ考えられるので，$S = 81\\times (80!)^2$ である．\\\r\n　Legendreの定理より，これは $3$ で $\\bf{76}$ 回割り切れる．", "text": "公式...	$1,2,3,\cdots ,158,159,160$ の並べ替え $(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_{158},a_{159},a_{160})$ であって，任意の $159$ 以下の正整数 $i$ に対して $a_ia_{i+1}$ が偶数となるものの個数を $S$ とするとき，$S$ が $3$ で割り切れる最大の回数を解答してください．
OMCB010	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/tasks/6584	E	OMCB010(E)	300	65	103	[ { "content": "　$O$ から辺 $AC$ におろした垂線の足（すなわち辺 $AC$ の中点）を $Q$ とすると，$\\triangle{APH}\\sim\\triangle{AQO}$ により $AP:AQ=2:3$ であり，$AB:AC=5:6$ が従う．さらに，$\\cos{A}=\\dfrac{AP}{AC}=\\dfrac13$ もわかる．$\\angle{BOC}=2\\angle{A}$ に注意すれば $BC=4\\sqrt{2}$ がわかる．また，$AB=5x$ とおいて三角形 $ABC$ に余弦定理を使うことで，$x^2=\\dfrac{32}{41}$ が得られるので，$\\tri...	垂心を $H$，外心を $O$ とする鋭角三角形 $ABC$ において，$AH=2$，$BO=3$ が成り立ちました．さらに，$C$ から辺 $AB$ におろした垂線の足を $P$ としたところ，$P$ は線分 $AB$ を $2:3$ に内分しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積は，互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
OMCB010	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/tasks/10482	F	OMCB010(F)	400	45	85	[ { "content": "　$AB=c,BC=p,CA=b$ とおく．$\\angle{B}$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とおく．$\\triangle{ABC}\\sim\\triangle{ADB}$ より，$AD=\\dfrac{c^2}{b},BD=\\dfrac{cp}{b}$ である．ここで，$BD=CD$ より，辺 $AC$ の長さについて，\r\n$$b=AD+CD=\\dfrac{c^2}{b}+\\dfrac{cp}{b}$$\r\nなので，これを整理すると $b^2=c(p+c)$ を得る．これを次のように変形する．\r\n$$b^2=c(p+c)\\iff b^2=\\Bi...	三角形 $ABC$ があり，$3$ 辺の長さはいずれも正整数値で，特に $BC$ の長さは素数でした．さらに，$\angle{ABC}=2\angle{ACB}$ が成立しています．三角形 $ABC$ の周長としてありうるもののうち $10$ 番目に小さい値を解答してください．
OMCB009	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/tasks/7195	A	OMCB009(A)	100	340	363	[ { "content": "　OMCくんがある坂を往復したときの平均の速さは（単位を $\\mathrm{m}\\/分$ として）\r\n$$\\dfrac{40 \\times 3 + 60 \\times 2}{5} = 48$$\r\nとなる．よって，道のりの距離の最小値は $48 \\times 77 \\times \\dfrac{1}{2} = 1848\\\\,\\mathrm{m}$ ，最大値は $50 \\times 77 \\times \\dfrac{1}{2} = 1925\\\\,\\mathrm{m}$ なので，求める値は $\\bf{3773}$ である．", "text": "...	OMC君は上り坂を分速 $40\\,\mathrm{m}$ ，下り坂を分速 $60\\,\mathrm{m}$ ，平坦な道を分速 $50\\,\mathrm{m}$ で歩きます．ある日，OMC君はある道のりを往復で計 $77$ 分かけて歩きました．このとき，片道の距離としてありうる最小値を $A\\,\mathrm{m}$，最大値を $B\\,\mathrm{m}$ とします．$A + B$ を解答してください
OMCB009	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/tasks/2652	B	OMCB009(B)	100	342	368	[ { "content": "　最も外側に位置するマス目 $24$ 個によって色の異なるマスの境界が $24$ 箇所あるのでこれを良くない境界と呼ぶ．今，盤面上のすべてのマスを同じ色にするために，任意の良くない境界に対して，それを辺上に含む長方形を少なくとも $1$ 回は選ぶ必要がある．どのように長方形を選んでも，その辺上に含まれる良くない境界は高々 $4$ 箇所なので，少なくとも操作は $24 \\/ 4=6$ 回行う必要がある．一方で図のように長方形を選び，操作をすることで盤面は全て黒のマスにできる．以上より操作回数の最小は $ \\bf6 $ である．\r\n![figure 1](\\/images\\...	図のように $7 \times 7$ のマス目が描かれている盤面に，黒と白の色が交互に塗られています．今「盤面上のマス目で出来る長方形を一つ選び，その内部の色を白は黒に，黒は白に塗り替える」という操作を行い，盤面上のすべてのマスを同じ色（黒でも白でも構いません）にするためには最小で何回操作が必要ですか？ ![figure 1](\/images\/bun0HbJcuJ04p7yBezPpJY1bqMcDQU3lPpV5YYDF)
OMCB009	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/tasks/6448	C	OMCB009(C)	100	261	292	[ { "content": "　二つの円の共通の中心を $O$，$O$ から正五角形の一辺に垂直に下ろした点を $H$，$H$ に最も近い正五角形の頂点のうちの一つを $A$，内接円の半径を $r$，外接円の半径を $R$ とする. \r\n　$r = OH, R = OA$ となり，また，三角形 $OAH$ は $\\angle AOH = 36^\\circ$ の直角三角形となる. したがって，\r\n$$\\dfrac{S_r}{S_R} = \\mathrm{cos}^2 36^\\circ = \\bigg( \\dfrac{1+\\sqrt{5}}{4} \\bigg) ^ 2 = \\dfrac{3...	一辺の長さが $1$ の正五角形に内接する円の面積を $S_r$ ，外接する円の面積を $S_R$ とします．$\dfrac{S_r}{S_R}$ は互いに素な正整数 $a, b, c$ によって $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．
OMCB009	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/tasks/4160	D	OMCB009(D)	200	276	297	[ { "content": "　両辺の偶奇を考えることで $p = 2$ が分かる．これを与式に代入して計算することで $qr = 2021$ が分かり，$\\lbrace q, r\\rbrace = \\lbrace 43, 47\\rbrace$ を得る．従って $p+q+r$ としてありうる値は $2 + 43 + 47 = 92$ のみであるから，解答すべきは $\\bf{92}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/4160" }, { ...	$3$ つの素数 $p, q, r$ が以下を満たします．$p+q+r$ の値としてありうるものの総和を求めてください． $$p^{6p}+q^{p}+r^{p}=(q+r)^{p}+54$$
OMCB009	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/tasks/4147	E	OMCB009(E)	200	312	337	[ { "content": "　 $N^3$ と $N$ の下二桁が一致することは，$N^3-N$ が $100$ で割り切れることと同値である．すなわち次が成り立つことと同値である．\r\n$$\\begin{cases}\r\n(N-1)N(N+1)\\equiv 0\\pmod {25}\\\\\\\\\r\n(N-1)N(N+1)\\equiv 0\\pmod {4}\r\n\\end{cases}\r\n\\Longleftrightarrow\r\n\\begin{cases}\r\nN\\equiv 0,1,24\\pmod {25}\\\\\\\\\r\nN\\equiv 0,1,3\\pmod {4}...	$99$ 以下の自然数 $N$ について $N^3$ と $N$ の下二桁が一致するものの総和を求めてください．ただし，$3$ のように十の位に数がない場合は適切に $0$ を入れて $03$ などとして考えてください．
OMCB009	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/tasks/7634	F	OMCB009(F)	200	282	319	[ { "content": "　まず，$7$ の倍数は $7$ のみであることから，$a_{10}=7$ が必要である．また，以下では各平方数を構成する $3$ つの整数をグループと呼ぶ．$3,5$ の倍数に着目すると，$3$ と $6$，$5$ と $10$ はそれぞれ同じグループに属することが分かる．さらに，これらのグループのもう $1$ つの要素として適するものはいずれも $2,8$ であり，逆にこのとき十分性を満たす．\\\r\n　以上より，$2,8$ の属するグループ，グループとその要素の順番を考えることで，求める答えは\r\n$$2×3!×(3!)^3=\\mathbf{2592}$$\r\nである...	$1,2,3,\ldots,10$ の並べ替え $a_1,a_2,a_3 ,\ldots,a_{10}$ であって，以下を満たすものはいくつですか？ - $\sqrt{a_1a_2a_3},\sqrt{a_4a_5a_6},\sqrt{a_7a_8a_9}$ はいずれも整数である．
OMCB009	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/tasks/6734	G	OMCB009(G)	300	180	223	[ { "content": "　三角形 $ PBM$ と $QCM^\\prime$ が合同になるように $QC$ に関して$M$ の反対側に $M^\\prime$ をとると，三角形 $ MM^\\prime C $ は直角二等辺三角形であるため，$ \\angle BMP =\\angle QMC =45^{\\circ} $ を得る．\\\r\n　$AB\\neq AC$ であるため，$A,M,P,Q$ を通る円と辺$BC$ が $M$ でない点で交わるのでそれを $D$ とすると，\r\n$$\\angle BAD = \\angle PMD = 45^\\circ = \\angle QMC = \\angl...	$ \angle A = 90^{\circ}, AB = 3, AC = 5 $ なる三角形 $ ABC $ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．辺 $ AB $ 上に点 $P$ ，辺 $ AC $ 上に点 $Q$ を $ BP=CQ $ となるようにとると，$ 4 $ 点 $A,M,P,Q$ は同一円周上にありました．\ 　このとき $ PQ $ の長さは互いに素な正整数 $ a,b $ によって $ \sqrt{\dfrac{b}{a} } $ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
OMCB009	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/tasks/4057	H	OMCB009(H)	300	154	233	[ { "content": "　$n$ 円を，$1,10,100$ 円玉をそれぞれ $4$ 枚以下，$5,50$ 円玉をそれぞれ $1$ 枚以下しか用いないで支払う方法は一意に定まり，これが最小枚数を達成する唯一の方法である．従って，求める $n$ の数は，硬貨を合計 $6$ 枚使う方法であって，$1,10,100$ 円玉をそれぞれ $4$ 枚以下，$5,50$ 円玉をそれぞれ $1$ 枚以下しか使わない方法の数と一致する．$1,10,100$ 円玉を使う枚数を考える．\r\n\r\n- $1,10,100$ 円玉を合計 $6$ 枚使う場合\\\r\n$1,10,100$ 円玉を使う枚数の組み合わせは $(0,2,4)...	正の整数 $n$ について，$f(n)$ を以下のように定めます: - $1$ 円玉，$5$ 円玉，$10$ 円玉，$50$ 円玉，$100$ 円玉，$500$ 円玉を用いてちょうど $n$ 円を支払うために必要な硬貨の最小枚数． $f(n) = 6$ となる正の整数 $n$ はいくつありますか？ <details><summary> $f(n)$ の例<\/summary> 　例えば，$4057$ 円を最小枚数の硬貨で支払うとき，$500$ 円玉が $8$ 枚，$50$ 円玉が $1$ 枚，$5$ 円玉が $1$ 枚，$1$ 円玉が $2$ 枚であるので，$f(4057)=8+1+1+2=12$ です． <\/d...
OMC219	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/tasks/9733	A	OMC219(A)	100	410	418	[ { "content": "　$b_n = a_{n}^2$ とおけば $\\\\{b_n\\\\}$ はフィボナッチ数列となる．$a_n$ が整数になることは，$b_n$ が平方数であることと同値であり，順番に計算すれば $ b_{12}=144=12^2$ が最小である．すなわち，求める値は $\\mathbf{12}$ である．\\\r\n　なお，$12$ が唯一であることも知られている．参照：https:\\/\\/math.la.asu.edu\\/~checkman\\/SquareFibonacci.html", "text": "公式解説", "url": "https://onlin...	正の実数列 $\lbrace a_n\rbrace_{n=1,2,\ldots}$ は $$ a_1=a_2=1, \quad a_{n+2}^2 = a_{n+1}^2 + a_{n}^2 \quad (n=1,2,\ldots)$$ を満たします．このとき，$a_n$ が整数となるような $3$ 以上の整数 $n$ のうち，最小のものを求めてください．
OMC219	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/tasks/9718	B	OMC219(B)	300	134	301	[ { "content": "　$k(k-1)+1$ 回から $k(k+1)$ 回までの $2k$ 回のコンテストの成績はOMC君とbzuL君で勝ち負けが同数になっており，OMC君はbzuL君に一度も負け越した瞬間がない．したがって，この区間での勝ち負けの組み合わせは， $\\frac{1}{k+1}{}\\_{2k}\\mathrm{C}\\_{k}$ 通り（カタラン数）となる．これを $k=1$ から $k=99$ まで独立に考慮することで，$M$ は以下となる．\r\n$$ M = \\prod_{k=1}^{99} \\frac{1}{k+1}{}\\_{2k}\\mathrm{C}\\_{k} = \\fr...	あるコンテストは過去に $9900$ 回開催されており，OMC君とbzuL君はそのすべてに出場していました．ここで，どの回もOMC君とbzuL君が同一の成績を取ったことはなく，勝ちと負けが毎回決まっていたものとします．OMC君とbzuL君の成績を比較すると，以下のことがわかりました． - OMC君はbzuL君に負け越したことがない．つまり，どの時点でも，OMC君がbzuL君の成績を上回った回数は，bzuL君の成績を下回った回数以上であった． - 各 $n=1,2,\ldots,99$ に対して，第 $n(n+1)$ 回のコンテストが終了した直後は，OMC君とbzuL君の勝ち負けは同数であった．このとき，OMC...
OMC219	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/tasks/9857	C	OMC219(C)	300	84	168	[ { "content": "　$\\angle{A_1OA_2} = x$ とおく． \r\n補題． $1 \\leq k \\leq 2023$ なる整数 $k$ に対して，$\\angle{OA_{k+1}A_k} = kx$となる． \r\n証明． $k$ に関する数学的帰納法を用いる． \r\n- $k=1$ のとき，$OA_1 = A_1A_2$ より $\\angle{OA_2A_1} = \\angle{A_1OA_2} = x$ であるからよい．\r\n- ある $1$ 以上 $2022$ 以下の $k$ での成立を仮定する．$OA_{k+2}\\gt OA_k$ であるから，...	平面上の点 $O,A_1,A_2\ldots,A_{2024}$ は以下を満たします． - $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \cdots = A_{2023}A_{2024}$ - $ 0 \lt OA_1 \lt OA_2 \lt \cdots \lt OA_{2022} \lt OA_{2023} = OA_{2024}$ - $ \angle{A_1OA_2} = \angle{A_2OA_3} = \cdots = \angle{A_{2023}OA_{2024}}$ このとき，弧度法での $\angle{A_1OA_{2024}}$ の大きさとしてありうる値の総和は，互いに素な正整数 $...
OMC219	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/tasks/10116	D	OMC219(D)	500	27	64	[ { "content": "　$b_n=a_{n+1}a_n$ および $c=\\dfrac{1}{10116}$ とおく．このとき数列 $\\\\{ b_n \\\\}$ は $b_1=b_2=25$ および\r\n$$ b_{n+2}b_n = c+ b_{n+1}^2$$ \r\nを満たす．いま $\\dfrac{a_{n+2}}{a_n} + \\dfrac{a_n}{a_{n+2}} = \\dfrac{b_{n+1}}{b_n} + \\dfrac{b_n}{b_{n+1}}$ であり，この値について $n\\ge 2$ では\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\frac{b_{...	正の実数列 $\lbrace a_n\rbrace_{n=1,2,\ldots}$ は $ a_1 = a_2 = a_3 = 5$ および $$a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n}=\frac{1}{10116}+(a_{n+2}a_{n+1})^2 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) $$ を満たしています．このとき， $$\lim_{n \to \infty} \Big( \frac{a_{n+2}}{a_n}+\frac{a_{n}}{a_{n+2}}\Big)$$ の値は，互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ を答えて...
OMC219	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/tasks/10240	E	OMC219(E)	500	19	35	[ { "content": "　$(p, q, r)$ を固定し，互いに区別される球 $128$ 個のうち $p$ 個を色 $X_1$ で，$q$ 個を色 $X_2$ で，$r$ 個を色 $X_3$ で塗ることを考える．ただし，同じ球を複数の色で塗ってもよいとする．このとき， \r\n- どの色にも塗られていない球が $a_0$ 個 \r\n- $X_1$ のみで塗られている球が $a_1$ 個 \r\n- $X_2$ のみで塗られている球が $a_2$ 個 \r\n- $X_1$ と $X_2$ のみで塗られている球が $a_3$ 個 \r\n- $X_3$ のみで塗られている球が $a_4$ 個 \r\...	$(p,q,r)$ を $128$ 以下の非負整数の組とし，以下を満たす非負整数の組 $(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)$ を美しい数列と呼びます． $$ \begin{aligned} a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 &= 128, \\\\ a_1+a_3+a_5+a_7 &= p, \\\\ a_2+a_3+a_6+a_7 &= q, \\\\ a_4+a_5+a_6+a_7 &= r \\\\ \end{aligned} $$ また，美しい数列に対する美しさを以下の値で定めます． $$ \prod_{k=0}^...
OMC219	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/tasks/10460	F	OMC219(F)	600	9	41	[ { "content": "　条件を上から $1,2$ とする．また，$N=60^9,M=110^{18}$ とおく．\r\n<details>\r\n<summary>条件おさらい<\\/summary>\r\n　1．任意の整数 $x$ に対して $f(x+M) = f(x)$ \r\n　2．任意の整数 $x,y,z$ に対して，$f(x+yz)-f(x)-f(y)f(z)$ は $N$ で割り切れる． \r\n<\\/details> \r\n　以下，$f$ の値域では等号を $N$ で割った余りで考える．条件 $2$ は任意の整数の組 $x,y,z$ に対して，\r\n$$...	整数に対して定義され，$0$ 以上 $60^9$ 未満の整数値を取る関数 $f$ であって，以下をすべて満たすものの個数を求めてください． - 任意の整数 $x$ に対して $f(x+110^{18}) = f(x)$ が成り立つ． - 任意の整数 $x,y,z$ に対して，$f(x+yz)-f(x)-f(y)f(z)$ は $60^9$ で割り切れる．
OMCB008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/tasks/7409	A	OMCB008(A)	100	341	365	[ { "content": "　回転について考えないとき，並べ替えて出来る整数は $4!\\/2=12$ 個ある，ここで，\r\n$$(1169,6911), \\quad (1196,9611), \\quad (1619,6191), \\quad (1916,9161)$$\r\nの $4$ 組が回転で一致するため，求める個数は $\\dfrac{4!}{2!}-4=\\mathbf{8}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/7409" } ]	ここでは，数字の「$1$」「$6$」「$9$」を $180$ 度回転させると，それぞれ「$1$」「$9$」「$6$」に一致するとみなします．このとき，$1,1,6,9$ を回転させずに並べ替えてできる $4$ 桁の整数の個数を求めてください．\ 　例えば「$1916$」は条件を満たしますが，「$1616$」は条件を満たしません．\ 　ただし，「$1916$」と「$9161$」のように，$180$ 度回転して一致するものは同じものとみなします．
OMCB008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/tasks/4294	B	OMCB008(B)	100	351	351	[ { "content": "　 $A$ さんが勝つ確率と $A$ さんが負ける確率は等しいので，あいこになる確率は $54~ \\\\%$ である．一方であいこになる確率は $(x^2+y^2+z^2)~ \\\\%$ とも表せるので，$x+y+z=10$ かつ $x^2+y^2+z^2=54$ なる $x,y,z$ を探せばよい．これは $(1,2,7)$ が唯一であるから，解答すべき値は $\\textbf{127}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/42...	次の条件を全て満たす正整数の組 $(x,y,z)$ はただ $1$ 通りあるので，この組に対して $100x+10y+z$ の値を求めてください． - $x+y+z=10$ - $x\lt y\lt z$ - ジャンケンにおいて，$10x~ \\%, 10y~ \\%,10z~ \\%$ の確率でそれぞれグー，チョキ，パーを出す $A,B$ さんがジャンケンを $1$ 回するとき，あいこにならずに $A$ さんが $B$ さんに勝つ確率は $23 ~\\%$ である．
OMCB008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/tasks/8401	C	OMCB008(C)	100	309	339	[ { "content": "　 $0.1=a$ として問題文の条件を変形していく.\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sqrt{\\sqrt{n+4}-\\sqrt{n}} \\leq a &\\Longleftrightarrow \\sqrt{n+4}\\leq \\sqrt{n}+a^2\\\\\\\\\r\n&\\Longleftrightarrow 4\\leq 2a^2\\sqrt{n}+a^4\\\\\\\\\r\n&\\Longleftrightarrow n\\geq \\Big(\\frac{4-a^4}{2a^2}\\Big)^2=\\frac{4}{a^4}-2+\\fra...	$\sqrt{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}$ の値が $0.1$ 以下となる正整数 $n$ の最小値を求めてください.
OMCB008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/tasks/4033	D	OMCB008(D)	200	310	336	[ { "content": "　各位の和が $18$ だから $n$ は $9$ の倍数であり，$n$ は正の約数を $10$ 個もつため，$n$ が $3$ で割り切れる回数は $4$ 回か $9$ 回である．一方 $3^9=19683\\geq10^3$ であるから，ある $3$ でない素数 $p$ を用いて $n=3^4\\times{p}$ と表せることがわかる．$n$ は $3$ 桁の正整数なので，$p=2,5,7,11$ についてそれぞれ $n$ の各位の和が $18$ であるかどうか調べればよく，$n=567,891$ のときに条件を満たす．よって，解答すべき値は $567+891=\\bf{1458}$...	以下の条件を満たすような $3$ 桁の正整数 $n$ の総和を求めて下さい. - 各位の和が $18$ ． - 正の約数をちょうど $10$ 個持つ．
OMCB008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/tasks/3707	E	OMCB008(E)	200	196	242	[ { "content": "　三角形 $ABC$，三角形 $DBC$ ，三角形 $DEC$ は合同なので，\r\n\r\n$$\\angle ACB=\\angle DCB=\\angle DCE=60^\\circ$$\r\n$$AE=AC+CE=CD+BC=12$$ \r\n$$\|\\square ABDE\|=3\|\\triangle BCD\|$$\r\nが成立する．したがって，$BC=a,~ CD=b$とすると，次が成り立つ．\r\n$$a+b=12$$\r\n$$3\\times \\frac{\\sqrt{3}}{4}ab=7\\sqrt{3}$$\r\n以上より，余弦定理から $BD^2$ の値は次のよう...	$\angle{C}$ が鋭角である三角形 $ABC$ について，点 $A$ を辺 $BC$ に関して対称移動させた点を $D$ ，点 $B$ を辺 $CD$ に関して対称移動させた点を $E$ としたところ，$3$ 点 $A, C, E$ は同一直線上にあり，辺 $AE$ の長さは $12$ となりました．さらに四角形 $ ABDE$ の面積が $7\sqrt{3}$ であるとき，線分 $BD$ の長さの $2$ 乗の値を解答してください．
OMCB008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/tasks/4221	F	OMCB008(F)	300	162	217	[ { "content": "　直線 $AH$ と $BC$ の交点を $E$ とし，直線 $BH$ と $AD$ の交点を $F$ とする．\\\r\n　台形 $ABCD$ は等脚台形であるから $BE=\\dfrac{AD-BC}{2}=1$ である．また，$AB=AC$ より直線 $BH$ は線分 $AC$ の垂直二等分線であるから，$AF = CF$ が成り立つ．また，直線 $AF$ と $BC$ は平行であるので，四角形 $ABCF$ はひし形であり，$AF=7$ がわかる．よって，\r\n $$AH:EH=AF:EB=7:1$$ \r\nを得る．以上より，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n...	辺 $AD$ と $BC$ が平行な台形 $ABCD$ は以下を満たします． $$AB=BC=CD=7,\quad DA=9$$ 　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とするとき，三角形 $ADH$ と台形 $ABCD$ の面積比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
OMCB008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/tasks/3910	G	OMCB008(G)	300	135	179	[ { "content": "　整数 $k\\ (1\\le k \\le 100)$ を引く確率は $\\dfrac{1}{100}$．整数 $k$ を引いたとき勝つ確率は $k+3$ 個のボールから $k$ 個のボールを引く方法のうち，$k$ 個の白のボールから $k$ 個の白のボールを引く確率なので \r\n$$\\dfrac{{}\\_{k}\\mathrm{C}\\_{k}}{{}\\_{k+3}\\mathrm{C}\\_{k}}=\\dfrac{1}{{}\\_{k+3}\\mathrm{C}\\_{k}}=\\dfrac{6}{(k+1)(k+2)(k+3)}$$\r\nである．よって，求める確率は，...	花子さんは以下のゲームをすることにしました． - まず，中の見えない箱に赤色のボールを $3$ 個入れる． - $1$ 以上 $100$ 以下の異なる整数が $1$ つずつ書かれた $100$ 枚のカードから，無作為に $1$ 枚選び，選んだカードに書かれていた数だけ白いボールを箱に入れる． - 選んだカードに書かれていた数だけ箱から $1$ 個ずつ，花子さんが箱に戻すことなくボールを無作為に取り出す． - 途中で赤色のボールを引いたら花子さんの負けとなり，一度も赤色のボールを引かなかったら花子さんの勝ちとなる．　花子さんがこのゲームに勝つ確率は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}...
OMCB008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/tasks/5572	H	OMCB008(H)	300	63	159	[ { "content": "　$n-1=m$ とおくと，二項定理より，\r\n\r\n $$ \\begin{aligned} n^{n} & = (m+1)^{m+1}=m^{m+1}+{}\\_{m+1}\\mathrm{C}\\_{1} m^{m}+ \\cdots + {}\\_{m+1}\\mathrm{C}\\_{m-1} m^{2} + {}\\_{m+1}\\mathrm{C}\\_{m} m +1 \\\\\\\\\r\n & \\equiv \\frac{(m+1)m^{3}}{2} + (m+1)m +1 \\pmod{m^{3}} \\\\\\\\ \r\n & = \\frac{n}{2} ...	$2$ 以上の整数 $n$ であって， $$ \frac{n^{n}+1000n^{2}-2001n+1000}{(n-1)^{3}} $$ が整数となるものの総和を求めてください．
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11546	A	第27回灘中入試模試(A)	100	123	130	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11546" }, { "content": "$OD\\times N,A,D$ が全て2桁になるので $N,A,D$ が相異なる $1$ 以上の数であることから考えて $O=1,2$．\r\n___\r\n$O=2$ のとき\\\r\n桁数から $N,A,D$ は $1,4,3$ の並び替え．一の位を考えて $1$ になれるのは $N$ だけ．\\\r\nすると一の位を考えて ...	作問：丸岡　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる整数を解答してください． ___ 　$O,D,Y,S,E,N,A$ の $7$ 文字には異なる数字が入る．このとき $NADA=\fbox{　　}$ である．ただし，$O,Y,N$ は $0$ ではなく，最下段に書かれているのは（$O$ ではなく）数字の $0$ である．\ ![figure 1](\/images\/ZSCCXZnCwTBtXgMKhHlL4Kj4vv4JIx3lROEY4Gqi)
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11550	B	第27回灘中入試模試(B)	100	22	30	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11550" } ]	作問：宮村　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は，最大公約数が $1$ である整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします． ___ 　ある池の周上に地点 $P$ があり，その池の周囲を地点 $P$ から $A$ 君，$B$ 君，$C$ 君の $3$ 人はそれぞれ一定の速さで同じ方向かつ同時に走り出した．最初は $A$ 君が最も速く，$B$ 君が最も遅く走り出し，その後$A$ 君と $C$ 君が $1$ 回すれ違うごとに $A$ 君と $B$ 君はどちらも速さ...
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11551	C	第27回灘中入試模試(C)	100	80	141	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11551" }, { "content": "３ｍの道を通る回数と１ｍの道を通る回数を考えると，１ｍの道は連続して通れないため，$(8,1),(7,4),(6,7)$ のいずれかである．\r\n- $(8,1)$\\\r\n1mの道を最初か最後に通る場合　$2\\cdot 2=4$ 通り\\\r\nそうでない場合　$7\\cdot 4=28$ 通り\r\n- $(7,4)$\\\...	作問：宮原　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる整数を解答してください． ___ 　図のような道がある．$A$ 君は地点 $S$ から地点 $G$ まで直前に来た道を引き返すことなく移動する．$A$ 君は常に $1$ mを $1$ 分で移動する．この時，$27$ 分後に地点 $G$ に到達する方法は $\fbox{　　}$ 通りある． ![figure 1](\/images\/m1i1iydcSKRJyjNcKAtBHMRTw7r4mZuA3HaxbDwO)
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11553	D	第27回灘中入試模試(D)	100	25	62	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11553" } ]	作問：水本　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる整数を解答してください． ___ 　三角形の面八つからなる立体 $X$ がある．立体 $X$ の辺の長さは全て異なり，またどの頂点にも四つの面が集まっている．立方体の展開図は $11$ 種類，立体 $X$ の展開図は $\fbox{　　}$ 種類ある（平行移動・回転・裏返しで一致するものを同一視する）． ![figure 1](\/images\/6amSxqmx7zBvQf4YU1vpgVfJrf391BgbD9EMCYS6)
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11554	E	第27回灘中入試模試(E)	100	104	128	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11554" } ]	作問：梅本　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる整数を解答してください． ___ 　一辺 $10$ cmの立方体があり，点 $A$ を出発した $T$ 君は一秒ごとに立方体内（表面と内部すべて）を上下または前後または左右に $1$ cm進む．$20$ 秒後に $T$ 君が $\triangle BCD$ の辺上にいる動き方は $\fbox{　　}$ 通りある． ![figure 1](\/images\/I5w6QrS3BHmvNgx87Md2S7srWzMmr6j1yn9A0AWc)
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11555	F	第27回灘中入試模試(F)	100	28	49	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11555" } ]	作問：太田　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は互いに素な整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします． ___ 　母線と半径の長さの比が $6:1$ の透明な直円錐がある．底面に点 $A$ をとり，そこから円錐の周りを一周する最短経路 $S$ を考える．底面の円に内接して $A$ を頂点の一つとする正六角形 $ABCDEF$ を考える．円錐の頂点と底面の円の中心 $O$ が一致するように真上から見る（右側の図）．そのとき経路 $S$ と正六角形が交差している...
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11557	G	第27回灘中入試模試(G)	100	29	42	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11557" } ]	作問：佐藤　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は互いに素な整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします． ___ 　$AB=AC$，$\angle BAC=120^\circ$ を満たす $\triangle ABC$ と $PA=5$ cm，$PB=3$ cm，$PC=7$ cmを満たす点 $P$ がある．四角形 $PBCA$ は一辺 $1$ cmの正三角形の $\fbox{　　}$ 倍の面積である． ![figure 1](\/images\/oWHVW...
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11558	H	第27回灘中入試模試(H)	100	52	57	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11558" } ]	作問：小山　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は互いに素な整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします． ___ 　角 $BCA=90^\circ$ の直角三角形 $ABC$ があり，$BC=13$ cmとなっている．線分 $AC$ の $C$ 側の延長線上に $AB=CD$ となる点 $D$ をとり，$\angle ADE=90^\circ$，$DE=47$ cmとなる点 $E$ をとる．$\angle BAC:\angle DAE=2:3$ となっていると...
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11561	I	第27回灘中入試模試(I)	100	25	30	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11561" }, { "content": "直線 $EF$ 上に三角形 $EBF，CGF$ が相似になるように点 $G$ をとる．\\\r\n相似比から $FG$ の長さが分かる．\\\r\n三角形 $DCF，DGC$ が相似なので，辺の比を考えれば出せる．", "text": "公式解説(略記)", "url": "https://onlinemathcont...	作問：前田　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は互いに素な整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします． ___ 　図は $AB=AC$，$BF=3$ cm，$\angle ABC=54^\circ$，$BE:EF:FC=6:5:4$ を満たしている．このとき，$CD=\fbox{　　}$ である． ![figure 1](\/images\/XpZBc137UIQjjD1aKShtYg9SH1OixCUKPrK4dYb3)
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11562	J	第27回灘中入試模試(J)	100	62	63	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11562" }, { "content": "上の図のように$a_n$を斜辺に持つ直角三角形四つで、正方形から正方形をくりぬいた形ができる。\r\nこれを$a_1$～$a_{77}$まで作り、組み合わせると下の図のようになり、\r\n答えは $\\frac{{a_1}^2 - {a_{78}}^2}{4} = 2024$ となる\r\nhttps:\\/\\/drive.goog...	作問：内田　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は互いに素な整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします． ___ 　最も長い辺の長さが $a_1$ cmになるような直角三角形を作り，その面積を $A_1$ とする．そして図のように $a_2$ をとる．以降，同様の操作をくり返していったところ，$a_1=111, ~ a_{78}=65$ となった．このとき，$A_1+A_2+\cdots +A_{77}=\fbox{　　}$ である． ![figure 1]...
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11565	K	第27回灘中入試模試(K)	100	11	19	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11565" } ]	【5月2日19:22】登録されていた解答の数値に誤りがありました．現在は訂正されております． --- 作問：山口　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる整数を解答してください． ___ 　$m$ と $n$ を $6$ 以上の整数とする．正五角形 $ABCDE$ の辺 $AB$ を一辺とする正 $m$ 角形，そして正 $n$ 角形を図のように書き，正 $m$ 角形上に点 $F,G$ を，正 $n$ 角形上に点 $H,I$ をそれぞれ図のように定める（$m,n$ の間には大小の制約を定めない）．そして，$CH$ を一辺とする正 $m$ 角形上に点 $P$ を，$EG$ を一辺とする正 $n$ 角形上に点 ...
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11566	L	第27回灘中入試模試(L)	100	24	30	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11566" } ]	作問：佐藤　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は互いに素な整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします． ___ 　底辺が $2$ cmで高さが $5$ cmの二等辺三角形 $12$ 個，その二等辺三角形の $2$ cm でない方の長さを一辺にもつ正三角形が $8$ 個で構成される展開図がある．この展開図を組み立てたときの体積は $\fbox{　　}$ cm${}^3$ である． ![figure 1](\/images\/0ewlVZqZfm7k1PYb...
第27回灘中入試模試	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/tasks/11567	M	第27回灘中入試模試(M)	100	61	65	[ { "content": null, "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11567" } ]	作問：中　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は互いに素な整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします． ___ 　図のように $\triangle ABC$，正方形 $ADEB$，正方形 $BFGC$，正方形 $CHIA$ をとる．$\triangle ABC=100$ cm${}^2$，$\triangle DFH=700$ cm${}^2$ のとき $\triangle EGI=\fbox{　　}$ cm${}^2$ である． ![figure 1](\...
OMCE002	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omce002/tasks/6749	A	OMCE002(A)	300	214	267	[ { "content": "　以下，TKGさんが勝つ $n$ を先手必勝数と呼び，shokoさんが勝つ $n$ を後手必勝数と呼ぶことにする．\\\r\n　TKGさんが最初に上手く石を取ると，山に後手必勝数の数だけ石が残せるときは $n$ は先手必勝数であり，TKGさんがどのように最初に石を取っても，山に先手必勝数の数だけ石が残るときは $n$ は後手必勝数である．$\\cdots(A)$ \\\r\n　このことに注意して，以下のことを数学的帰納法を用いて示す：\r\n- $(*)$ $n$ を $12$ で割った余りが $0$ または $2$ のとき後手必勝数で，そうでないとき先手必勝数であ...	同一の石が $n$ 個からなる山があります．これを用いて，TKGさんとshokoさんの二人のプレイヤーがゲームを行います．二人は，以下のルールに従って，山から石を交互にとっていきます．両者が自身の勝ちのために最善を尽くすとき，shokoさんが勝つような $1$ 以上 $1000$ 以下の整数 $n$ の総和を求めてください． - 一度にとれる石の個数は，$1,3,4,5,6,7,8,9$ のいずれかである（$2$ のみ除外されていることに注意せよ）． - 山から石が存在する限り互いに石を取り続け，最後に石を取った人を勝ちとする． - 最初に石をとるのはTKGさんである．
OMCE002	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omce002/tasks/8691	B	OMCE002(B)	300	177	249	[ { "content": "　$\\angle{BAC}=90^{\\circ}$ より，$BC$ の中点を $M$ とすると，$AM=BM=CM$ となる． \r\nよって， $AD:BC=1:2$ より，$AD=AM$ である． \r\n\r\n- $M$ と $D$ が一致するとき \r\n $DA=DC$ より，$\\angle{ACB}=\\angle{DAC}=90^\\circ - 77.7^\\circ = 12.3^{\\circ}$ となる．\r\n\r\n- $B,M,D,C$ がこの順に一直線上に並ぶとき \r\n$AM=BM$ より， $\\angle{MAB}=\\angle{...	$\angle{BAC}=90^{\circ}$ の三角形 $ABC$ に対し，直線 $BC$ 上に点 $D$ をとったところ， $$AD:BC=1:2, \quad \angle{BAD}=77.7^{\circ}$$ となりました．このとき，$\angle{ACB}$ としてあり得る値の総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\left( \dfrac{a}{b} \right)^\circ$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
OMCE002	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omce002/tasks/8693	C	OMCE002(C)	500	98	171	[ { "content": "　以下，$N=10000$ とし， \r\n$$f(x)=a_0+a_1x+a_2\\cdot\\dfrac{x(x-1)}{2}+\\cdots+a_{N}\\cdot\\dfrac{x(x-1)\\cdots(x-N+1)}{N!}$$ \r\nとおく． $x=0,1,\\ldots,N$ を代入していくことで $a_0,a_1,\\ldots,a_{N}$ を $f(0),f(1),\\ldots,f(N)$ を用いて表すことができ，\r\n$$ \\begin{aligned}\r\na_m &= \\sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k}{}\\_{m}\\math...	実数係数 $10000$ 次多項式 $f$ は，$0$ 以上 $10000$ 以下の任意の整数 $n$ について $$f(n)=(n+1)2^n$$ を満たしています．このとき，$f(10001)$ を素数 $10007$ で割った余りを解答してください．
OMCE002	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omce002/tasks/8692	D	OMCE002(D)	500	32	71	[ { "content": "$$ \\begin{aligned}\r\n2&(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)-(a^4+b^4+c^4+d^4)+8abcd \\\\\\\\\r\n&=-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4a^2b^2+4c^2d^2+8abcd \\\\\\\\\r\n&= -(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(2ab+2cd)^2 \\\\\\\\\r\n&= (2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2) \\\\\\\\\r\n&= ((a+b)^2-(c-d)^2)((...	以下の等式を満たす整数 $a,b,c,d$ が存在するような，$1$ 以上 $1000$ 以下の正の整数 $n$ の総和を求めてください． $$ \begin{aligned} 2(a^2b^2&+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2) \\\\ &= a^4+b^4+c^4+d^4-8abcd +(n^2+1)^{n+2}-1 \end{aligned}$$
OMCE002	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omce002/tasks/8090	E	OMCE002(E)	700	11	30	[ { "content": "　三角形 $ADR$ と三角形 $BCR$ は相似であるから，この相似の相似比を $1 : p$ とおく．三角形 $ADP$ と三角形 $CBP$ も相似であるが，この相似比も $AD : BC = 1 : p$ である．よって，$\\angle BAC = \\angle BDC = \\theta$ とおくと，\r\n$$\|PBCR\| = \\frac{1}{2}\\cdot BR\\cdot CP\\cdot\\sin\\theta = \\frac{1}{2} \\cdot pAR\\cdot pAP\\cdot\\sin\\theta = p^2\\triangle APR$$\...	四角形 $ABCD$ は直径が $1$ である円に内接しています．半直線 $BA$ と半直線 $CD$ は点 $P$ で交わり，半直線 $DA$ と半直線 $CB$ は点 $Q$ で交わり，直線 $AC$ と直線 $BD$ は点 $R$ で交わっています．辺 $AD$ の中点を $M$ とし，辺 $AB$ の中点を $N$ とすると以下が全て成り立ちました． - $\angle{ARB}=60^{\circ}$ - $(\triangle{RCD}-\triangle{RAB}):\triangle{RPM}=9:8$ - $(\triangle{RBC}-\triangle{RDA}):\triangle{RQN}...
OMCE002	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omce002/tasks/8694	F	OMCE002(F)	700	1	26	[ { "content": "　本コンテストは，当 F 問題の出題ミスにより Unrated となりました．みなさまの貴重なお時間を奪う結果となってしまい，申し訳ありませんでした．詳細は[アナウンス](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/announcements\\/show\\/46)をご覧ください．\\\r\n　以下の解説は，コンテスト終了の数時間後にユーザーの [MARTH](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/users\\/marth) 氏により [Mathlog](https:\\/\\/mathlog.info\\/articles...	$2$ 以上 $17998$ 以下の整数 $n$ に対し，$0$ 以上 $8999$ 以下の整数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_{n},b_1,b_2,\ldots,b_{n})$ であって $$a_1+a_2+\cdots+a_{n}=9000, \quad b_1+b_2+\cdots+b_{n}=8998,$$ $$a_1\ne0, \quad a_n\ne0, \quad (a_k,b_k)\ne(0,0) ~~ (k=1,2,\ldots,n)$$ を満たすものすべてについての $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} {}\_{2a_k+4b_k}\mathrm{C}\_{a_k...
OMCB007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/tasks/7154	A	OMCB007(A)	100	390	399	[ { "content": "　$N=20$ とする．箱には合計でボールが $\\dfrac{N(N+1)}{2}$ 個入っているから，期待値は次のように計算できる：\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{n=1}^{N}n\\cdot\\frac{n}{\\frac{N(N+1)}{2}}\r\n&=\\frac{2}{N(N+1)}\\sum_{n=1}^{N}n^2\\\\\\\\\r\n&=\\frac{2}{N(N+1)}\\cdot\\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\\\\\\\\r\n&=\\frac{2N+1}{3}\\\\\\\\\r\n&=\\frac{41}...	箱が $1$ つあり，その中には $n=1,2,\dots,20$ について番号 $n$ が書かれたボールが $n$ 個，合計 $210$ 個入っています．OMC君がこの箱からボールを $1$ つ取り出したとき，このボールに書かれている値の期待値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されます．$a+b$ の値を解答してください．ただし，どのボールも等確率で取り出されます．
OMCB007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/tasks/2678	B	OMCB007(B)	200	349	389	[ { "content": "　千の位から $1$ 引いて考えることで，以下の問題に帰着される．\r\n\r\n- 各位の和が $9$ となるような $8999$ 以下の正整数はいくつあるか？\r\n\r\nさらに，$9000$ 以上 $9999$ 以下で各位の和が $9$ となるものは $9000$ のみであるから，さらに以下の問題に帰着される.\r\n\r\n- 各位の和が $9$ となるような $9999$ 以下の正整数はいくつあるか？\r\n\r\nこれは $9$ 個の球を $3$ つのしきりで分ける方法と同一視できる．よって，求める値は ${}_{12} \\mathrm{ C }_3-1=\\textbf{...	$10$ 進法表記において，各位の和が $10$ となるような $4$ 桁の正整数（$1000$ 以上 $9999$ 以下）はいくつありますか？
OMCB007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/tasks/3206	C	OMCB007(C)	200	357	393	[ { "content": "　$129600=2^6\\cdot3^4\\cdot5^2$ より正の約数の個数は $7×5×3=105$ 個である．\\\r\n　正の約数 $n$ について $129600\\/n$ も正の約数なので，$2^3\\cdot3^2\\cdot5^1$ 以外について掛けて $129600$ となる正の約数のペアを $104\\/2=52$ 個作ることが出来る．\r\nよって求める積は\r\n$$(2^6\\cdot3^4\\cdot5^2)^{52}\\cdot2^3\\cdot3^2\\cdot5^1=2^{315}\\cdot3^{210}\\cdot5^{105}$$\r\nであり，...	$129600$ のすべての正の約数の積は，正の整数 $a,b,c$ を用いて $2^a\cdot3^b\cdot5^c$ と表されます．$a,b,c$ をこの順に並べた数を解答してください．例えば，$12,9,600$ をこの順に並べた数は $129600$ です．
OMCB007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/tasks/8663	D	OMCB007(D)	300	101	165	[ { "content": "　相加・相乗平均の関係により，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\dfrac{b^2}{a^2}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a^4}{c}&=\\dfrac{b^2}{3a^2}+\\dfrac{b^2}{3a^2}+\\dfrac{b^2}{3a^2}+\\dfrac{c}{4b}+\\dfrac{c}{4b}+\\dfrac{c}{4b}+\\dfrac{c}{4b}+\\dfrac{a^4}{2c}+\\dfrac{a^4}{2c}\\\\\\\\\r\n&\\geq9\\sqrt[9]{\\dfrac{a^2b^2c^2}{3^34^4...	正の実数 $a,b,c$ が $$\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a^4}{c}=1$$ をみたすとき，$(abc)^2$ のとりうる最大値を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ を解答してください．
OMCB007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/tasks/6820	E	OMCB007(E)	300	106	207	[ { "content": "　対称性より，$P$ が動く範囲のうち三角形 $OBC$ の内部及び周上の部分の面積 $S$ を求め，これを $3$ 倍すればよい．三角形 $OBC$ を $xy$ 平面上に，$B(-\\sqrt3,0),C(\\sqrt3,0),O(0,1)$ となるように配置する．このとき，点 $P(x,y)$ について満たすべき不等式は$$\\sqrt{x^2 + (y-1)^2} \\leq y$$ で表される．これを満たし，三角形 $OBC$ 内にある点 $P$ の面積 $S$ は\r\n$$2\\int_{0}^{\\frac{1}{\\sqrt3}} \\left(\\left(-\\fra...	1辺 $2\sqrt3$ の正三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とします．三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ から辺 $BC, CA, AB$ に垂線を引きその足を $D,E,F$ としたとき $$PO\leq PD,\quad PO\leq PE,\quad PO\leq PF$$ が成立しました．このような点 $P$ が動く範囲の面積は正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ ($a,c$ は互いに素で $b$ は平方因子をもたない) と表されるので，$a+b+c$ を解答してください．
OMCB007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/tasks/8442	F	OMCB007(F)	400	106	164	[ { "content": "　対称性より $a\\geq b$ としてよい．$a+b+c=120$ を用いて与式を変形して，次を得る．\r\n$$\\dfrac{1}{2}ab=\\sqrt{\\dfrac{(a+b+c)}{2}\\cdot\\dfrac{(-a+b+c)}{2}\\cdot\\dfrac{(a-b+c)}{2}\\cdot\\dfrac{(a+b-c)}{2}}$$\r\nこれは$3$辺が $a,b,c$ である三角形が存在して，その面積が $\\dfrac{1}{2}ab$ に等しいことを表している．したがってこの三角形は長さ $c$ の辺を斜辺とする直角三角形である．結局，次の式を満たす組 $...	$a+b+c=120$ なる正の整数 $a, b, c$ が $$ a^2b^2 = 30(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) $$ をみたしているとき，$c$ の値としてあり得るものの総和を求めてください．
OMC218	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/tasks/4320	A	OMC218(A)	200	321	341	[ { "content": "　$\\cos{\\theta}=X,\\sin{\\theta}=Y$ と置き直して $XY$ 平面上で正方形 $\|X\|+\|Y\|=t$ および単位円 $X^{2}+Y^{2}=1$ の交点を考える．このとき，問題の条件は一方が他方に外接（内接）することと言い換えられるから，$t=1,\\sqrt{2}$ のとき条件を満たす．特に解答すべき値は $\\textbf{24142}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/editorial/4320" }, ...	$\|\sin{\theta}\|+\|\cos{\theta}\|=t$ を満たす $0$ 以上 $2\pi$ 未満の実数 $\theta$ がちょうど $4$ 個存在するような実数 $t$ について，その総和を $s$ とします．$10000s$ 以下の最大の整数を解答してください．
OMC218	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/tasks/4737	B	OMC218(B)	200	273	315	[ { "content": "　$a_{100}$ は $16$ 以上の整数 $k$ を用いて $a_{100}=2^{2^k+1}$ と書けるから，Fermatの小定理より $a_{100}$ を $2^{16}+1$ で割ったあまりは $\\mathbf{2}$ であるとわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/editorial/4737" } ]	数列 $\lbrace a_n\rbrace$ を以下で定めます： $$a_1=1, \quad a_{n+1}=2^{a_n+1}$$ このとき，$a_{100}$ を素数 $2^{16}+1$ で割ったあまりを求めてください．
OMC218	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/tasks/5043	C	OMC218(C)	300	262	300	[ { "content": "　条件をみたす数 $X$ が $10$ 進法で $\\overline{x_1x_2x_3x_1x_2x_3}\\_{(10)}$，$12$ 進法で $\\overline{y_1y_2y_3y_1y_2y_3}\\_{(12)}$ と表せるとする．\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\n& \\overline{x_1x_2x_3x_1x_2x_3}\\_{(10)}=(10^3+1) \\times \\overline{x_1x_2x_3}\\_{(10)}=7 \\times 11 \\times 13 \\times \\overline{x_1x_2x_3}...	$2$ 以上の整数 $n$ に対し，正の整数 $N$ が $\bm{n}$ 進法における良い数であるとは，次を全て満たすことを指します． - $N$ は $n$ 進法表記で $6$ 桁である．つまり，$n^5 \le N \lt n^6$ を満たす． - $N$ を $n$ 進法で表したとき，$n^5$ の位と $n^2$ の位，$n^4$ の位と $n$ の位，$n^3$ の位と $1$ の位がそれぞれ等しい．　$10$ 進法における良い数であり，かつ $12$ 進法における良い数でもある正の整数はいくつありますか．
OMC218	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/tasks/6204	D	OMC218(D)	500	41	121	[ { "content": "　少なくとも $1$ 回ジャンプしたバッタは，三角形 $A_0B_0C_0$ の内部（周を含まない）に存在し，かつ重心上に存在しない（重心上に存在するならば，重心へジャンプする直前に $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ のいずれかに存在する必要があるが，これは生じない）．\\\r\n　三角形 $A_0B_0C_0$ の各部分を図のように $P, Q, R, S, T$ とし（太破線 $P$，太実線 $Q$ は白丸を含まず，領域 $R, S, T$ は境界を含まない），$n$ 回のジャンプのあとバッタがそれぞれに存在する確率を $p_n, q_n, r_n, s_n...	三角形 $A_0B_0C_0$ において各辺を $3$ 等分し，辺 $A_0B_0$ 上の分点を $A_0$ に近い方から順に $A_1, A_2$，辺 $B_0C_0$ 上の分点を $B_0$ に近い方から順に $B_1, B_2$，辺 $C_0A_0$ 上の分点を $C_0$ に近い方から順に $C_1, C_2$ とおきます．はじめ，三角形 $A_0B_0C_0$ の重心にバッタがいます．このバッタが，$A_0, A_1, A_2, B_0, B_1, B_2, C_0, C_1, C_2$ から無作為に $1$ 点を選び，そのときバッタがいる地点と選んだ点の中点へジャンプすることを $8$ 回繰り返します．ちょうど $8$...
OMC218	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/tasks/4243	E	OMC218(E)	500	21	58	[ { "content": "　$BC$ の中点を $M$ とすれば，三角形 $ABC$ 及び三角形 $DBC$ に中線定理を適用し，$2$ 式を足し合わせることで，\r\n$$2(AM^2+DM^2)=AB^2 + AC^2 + CD^2 + BD^2 - BC^2=128 = 2AD^2$$\r\nを得る．よって，$\\angle AMD=90^{\\circ}$ であり，$AD$ の中点を $N$ とすれば $ MN=4$ である．ここで直線 $AB$ と直線 $CD$ の交点を $E$ とし，$\\angle EDA=α$ とおけば，条件より $\\angle EAD=3α, 0^{\\circ}\\lt{α}...	凸四角形 $ABCD$ が次の条件を満たしました． - 半直線 $BA$ と半直線 $CD$ は交わる． - $AB=CD=5, AD=8$ - $AC^2+BD^2=BC^2+78$ - $3 \angle CDA-\angle DAB=360^{\circ}$ このとき，$BC$ の長さの $2$ 乗は正の整数 $a,b,c,d$ (ただし $c$ は平方因子をもたず，$a,b,d$ の最大公約数は $1$) を用いて $\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}$ と表されるので，$a+b+c+d$ を解答してください．
OMC218	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/tasks/9085	F	OMC218(F)	500	34	82	[ { "content": "　条件 2. より，$n$ は $7$ 以上の素因数を持たないため，$\\lbrace p, q, r\\rbrace=\\lbrace 2,3,5\\rbrace$ なる素数 $p,q,r$ と非負整数 $x, y, z$ を用いて $n = p^x q^y r^z$ と表せる．このとき，$$d(n)d(p^{11}n^{12}) - 6d(pn^2)d(p^5n^6) + 5d(p^2n^3)d(p^3n^4) = 1110^{2m + 1} $$\r\nを $(1)$ とし，これが成り立つ条件を求めよう．$k$ を正整数としたとき，\r\n$$p^{k-1}n^k = p^{k(x ...	正整数 $m$ に対し，以下 $3$ 条件をすべてみたす正整数 $n$ の個数を $f(m)$ と表します． - 条件 1.　$v_2(n) \geq v_3(n) \geq v_5(n)$ が成り立つ． - 条件 2.　任意の $7$ 以上の素数 $p$ について $v_p(n) = 0$ が成り立つ． - 条件 3.　ある $5$ 以下の素数 $p$ が存在して次の等式が成り立つ． $$d(n)d(p^{11}n^{12}) - 6d(pn^2)d(p^5n^6) + 5d(p^2n^3)d(p^3n^4) = 1110^{2m + 1}$$ ただし，$n$ を正整数，$p$ を素数とした...
OMCB006	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/tasks/6399	A	OMCB006(A)	100	412	423	[ { "content": "　平方数かつ立方数である整数は，正整数 $n$ を用いて $n^6$ と表される．\\\r\n$$5^6\\lt 20000\\lt 6^6$$\r\nであるから，解答すべき値は $1^6+2^6+3^6+4^6+5^6=\\mathbf{20515}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/6399" } ]	平方数かつ立方数であるような $20000$ 以下の正整数の総和を求めてください．\ ただし，平方数，立方数とは，正の整数 $n$ を用いてそれぞれ $n^2,n^3$ と表される数です．
OMCB006	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/tasks/6297	B	OMCB006(B)	100	406	409	[ { "content": "　次の $2$ つの方程式が成り立つ．\\\r\n$$\\dfrac{b+2}{a+2}=\\dfrac{25}{100} ,\\ \r\n\\dfrac{b+1}{a+4}=\\dfrac{24}{100}$$\r\n\r\n　これより $(a,b)=(146,35)$ を得るから，答えるべき値は $a+b=\\mathbf{181}$ ．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/6297" } ]	野球において打率とは，(安打数)\/(打数)で算出される数のことを言います．\ 　野球部のOMCくんは，次の試合で $2$ 打数 $2$ 安打だと打率が $2$ 割 $5$ 分に，$4$ 打数 $1$ 安打だと打率が $2$ 割 $4$ 分になるそうです．このとき，現在のOMCくんの累計打撃成績は，非負整数 $a,b$ を用いて $a$ 打数 $b$ 安打と表せるので，$a+b$ を答えてください．
OMCB006	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/tasks/8280	C	OMCB006(C)	200	330	364	[ { "content": "　まず，$1,2$ は $A$ に，$8$ は $B$ に含まれる：\r\n<details>\r\n<summary>証明<\\/summary>\r\n　$1,2$ は相異なる $2$ つの正整数の和として表せない．$8$ が $A$ に含まれるとすると，$B$ の要素は $A$ の $8$ 以外の相異なる $2$ つの要素の和として表される必要があるが，それは高々 ${}\\_{3}\\mathrm{C}\\_{2}=3$ 通りであるから不可能である．\r\n<\\/details>\r\n\r\nまた，$A$ には $3,4$ のいずれかが含まれ，（$B$ に $8$ が含まれるこ...	整数からなる集合の組 $(A,B)$ が次をみたすとき，良い組とよぶこととします： - $\|A\|=\|B\|=4$ かつ $A\cup B=\\{1,2,3,4,5,6,7,8\\}$． - $B$ に含まれる任意の要素は，$A$ に含まれる相異なる $2$ 整数の和として表せる．すべての良い組 $(A,B)$ に対して，「$A$ の要素の総和」の総和を解答してください．
OMCB006	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/tasks/8083	D	OMCB006(D)	200	313	356	[ { "content": "　$C_{1}$ の中心を $O$，直線 $OP$ と $C_{2}$ の交点を $R (\\neq P)$ とする．$C_{1}$ に $C_{2}$ が内接することから線分 $PR$ は $C_{2}$ の直径であり，$\\angle PQR=90^{\\circ}$ および $OR=OP-PR=10$ が成り立つ．これにより，三角形 $OQR$ と三角形 $OPQ$ は相似比 $\\sqrt{OR}:\\sqrt{OP}=1:2$ の相似である．したがって $RQ=\\dfrac{1}{2}PQ$ であり，三角形 $PQR$ に三平方の定理を適用して $PQ^2+\\left(\\d...	半径 $40$ の円 $C_{1}$ に点 $P$ で内接する半径 $15$ の円 $C_{2}$ があります．さらに $C_{1}$ の直径に $C_{2}$ が点 $Q$ で接するとき，線分 $PQ$ の長さの $2$ 乗を求めてください．
OMCB006	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/tasks/8754	E	OMCB006(E)	300	222	344	[ { "content": "　白い駒の置き方は ${}\\_{5}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 5^2=250$ 通りある．このうち $2$ つの白い駒が同じ行にあるような置き方は $5\\times {}\\_{5}\\mathrm{C}\\_{2}=50$ 通りあり，$2$ つの白い駒が異なる行にあるような置き方は $250-50=200$ 通りある．この $2$ つの置き方のそれぞれに対して，黒い駒の置き方が何通りあるかを場合分けして求める．以下，白い駒と黒い駒の両方があるような行を良い行と呼ぶ．\r\n\r\n 　$(i)$ $2$ つの白い駒が同じ行にある場合\r\n\r\n -...	白い駒 $2$ つ，黒い駒 $2$ つの合計 $4$ つの駒を $5\times 5$ のマス目のうち $4$ つのマスに $1$ つずつ置く方法であって，次の $2$ つの条件を満たすものは何通りありますか？ - 白い駒が $2$ つ置かれた列は存在しない． - 黒い駒は $2$ つ置かれた行は存在しない．　ただし，同色の駒は区別しないものとします．
OMCB006	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/tasks/8281	F	OMCB006(F)	300	143	212	[ { "content": "　三角形の $3$ 辺の長さを $a,b,c ~ (a\\leq b\\leq c)$ とおく．Heronの公式より，以下が成り立つ：\\\r\n$$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=2^{4051}.$$\r\nこれより，（三角不等式に注意して）非負整数 $p,q,r,s$ を用いて\r\n$$a+b+c=2^p, \\quad -a+b+c=2^q, \\quad a-b+c=2^r, \\quad a+b-c=2^s$$\r\nとおくと，$p\\gt q\\geq r\\geq s$ であり，また以下が成り立つ：\\\r\n$$p+q+r+s=4051, \...	各辺の長さが正整数値であり，面積が $2^{2023}\cdot\sqrt2$ である三角形について，その周の長さ $N$ は一意に定まります．$N$ の持つ正の約数の個数を解答してください．
OMCB006	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/tasks/8139	G	OMCB006(G)	300	81	165	[ { "content": "　一般に非負整数 $n$ に対し，$4a+2b+c+d=2n$ の非負整数解 $(a,b,c,d)$ の個数を数える．$c,d$ の偶奇が一致することから，非負整数 $p,q$ を用いて $(c,d)=(2p,2q)$ または $(2p+1,2q+1)$ と表せ，それぞれについて条件は $b+p+q=n-2a$，$b+p+q=n-2a-1$ となる．この $2$ つの方程式のどちらかを満たす非負整数の組 $(a,b,p,q)$ の個数は，$b+p+q \\leq n$ を満たす非負整数の組 $(b,p,q)$ の個数と等しい．さらにこれは $b+p+q+r=n$ を満たす非負整数の組 $(...	$4a+2b+c+d$ が $0$ 以上 $100$ 以下の偶数となるような非負整数 $(a,b,c,d)$ の組はいくつありますか？
OMCB006	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/tasks/10276	H	OMCB006(H)	300	62	95	[ { "content": "　$O$ を回転の中心とし，$\\triangle{OCD}$ を $\\triangle{OAX}$ に移すような回転を考える．角度追跡より $4$ 点 $A,O,C,D$ は共円であるので，$D,A,X$ は共線である．よって，四角形 $AOCD$ の面積は三角形 $ODX$ の面積に等しい．$OD=OX=5,~\\angle{DOX}=120^\\circ$ であるので，\r\n$$\\square AOCD=\\triangle{ODX}=\\dfrac12\\cdot5\\cdot5\\sin{120^\\circ}=\\dfrac{25\\sqrt3}{4}$$\r\nである...	凸四角形 $ABCD$ は $AC=6$ および $\angle{ABC}=\angle{ADC}=60^\circ$ を満たします．さらに，$\triangle ABC$ の外心を $O$ とすると $OD=5$ であり，加えて $3$ 点 $B,O,D$ は同一直線上にありました．このとき，四角形 $ABCD$ の面積は互いに素な正整数 $a,b,c$ を用いて $\dfrac{b+\sqrt c}{a}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください．
OMCB005	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/tasks/6452	A	OMCB005(A)	100	424	439	[ { "content": "　素数の書かれたボール，偶数の書かれたボールはそれぞれ $4$ 個ずつある．この内 $2$ が重複していることに気をつければ，取った $2$ 個のボールの組み合わせとして考えられるものは $4^2 - 1 = 15$ 通りである．ボールの取り方は全部で ${}\\_{9}\\mathrm{C}\\_{2} = 36$ 通りあるので，求める確率は $\\dfrac{5}{12}$ である．特に，解答すべき値は $\\bf{17}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc...	$1$ から $9$ までの数字が書かれたボールが $1$ つずつ中の見えない袋の中に入っています．ここから $2$ つのボールを同時に取ったとき，$1$ 個は偶数が書かれたボール，もう $1$ 個は素数が書かれたボールとなるような確率は互いに素な $2$ つの正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．\ 　ただし，各ボールは等確率で選ばれるものとします．
OMCB005	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/tasks/4220	B	OMCB005(B)	100	400	416	[ { "content": "　$BC=BM=x$ とすると中線定理より $x=6\\sqrt2$ を得る．さらに，$A$ から $BC$ に下した垂線の長さを $h$ とすると三平方の定理から $h=3\\sqrt{14}$ なので，三角形 $ ABC$ の面積は $18\\sqrt{7}$ と計算できる．特に解答すべき値は $\\textbf{2268}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/editorial/4220" }, { "content": "　 $B...	$AB=AC=12$ なる三角形 $ABC$ の辺 $AC$ の中点を $M$ とすると $BC=BM$ が成り立ちました．三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗の値を解答してください．
OMCB005	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/tasks/5463	C	OMCB005(C)	200	347	385	[ { "content": "　Fermatの小定理より\r\n$$1^{79}+3^{79}+\\cdots +(2n+1)^{79} \\equiv 1+3+\\cdots +(2n+1) = (n+1)^2 \\equiv 0\\pmod{79}$$\r\nとなれば良いので求める $n$ の最小値は $\\mathbf{78}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/editorial/5463" } ]	次の値が素数 $79$ で割り切れるような正の整数 $n$ の最小値を求めてください． $$1^{79}+3^{79}+\cdots +(2n+1)^{79}$$
OMCB005	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/tasks/3272	D	OMCB005(D)	200	364	386	[ { "content": "$$(s^2+r^2)(s+r)(s-r)=pq$$\r\nであるので $s-r=1$ が必要．よって $s=3, r=2$ であり，$pq=65$ とわかるので $$(p, q, r, s)=(5, 13, 2, 3), (13, 5, 2, 3)$$\r\nが求める組であり，求める総積は $(5+13+2+3)\\times (13+5+2+3)=\\bf{529}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/editorial/3272" } ]	素数の組 $(p, q, r, s)$ であって，以下の等式 $$pq+r^4=s^4$$ をみたすものすべてについて， $p+q+r+s$ の総積を求めてください．
OMCB005	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/tasks/5198	E	OMCB005(E)	200	212	284	[ { "content": "　条件よりある実数 $k$ が存在して\r\n$$f(x)=kg(x)+123, \\quad g(x)=\\dfrac{1}{k}f(x)+456$$\r\nと表せるから，$k=-\\dfrac{41}{152}$ である．これと $f(a)+g(a)=789$ より $g(a)=\\mathbf{912}$ がわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/editorial/5198" } ]	次数の等しい実数係数多項式 $f(x),g(x)$ に対し，多項式として $f(x)$ を $g(x)$ で割った余りは $123$，$g(x)$ を $f(x)$ で割った余りは $456$ でした．さらに，$f(a)+g(a)=789$ をみたす実数 $a$ が存在しました．この $a$ に対して，$g(a)$ を求めて下さい．
OMCB005	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/tasks/3156	F	OMCB005(F)	200	316	358	[ { "content": "　問の条件をみたす正 $k$ 角形 $(k\\geq 3)$ は $k$ が $10000$ の約数であるときのみ存在し，各 $k$ について $\\dfrac{10000}{k}$ 個ある．\r\n従って $10000$ の正の約数の総和を $T$ とすると，求める個数 $S$ は\r\n$$S=T-\\frac{10000}{2}-10000$$\r\nである． $10000=2^4\\times5^4$ より\r\n$$T=(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(5^0+5^1+5^2+5^3+5^4)=\\frac{2^5-1}{2-1}\\times\\frac{5^5-1}...	ある正 $10000$ 角形 $P$ に対し，$P$ から相異なる頂点を $3$ つ以上選ぶ方法であって，次の条件を満たすものはいくつありますか？ - 選んだ頂点の全てを適当に結ぶことで正多角形を作ることができ，選んだ頂点全てがその正多角形の頂点となる．　ただし，$P$ の頂点はすべて区別できるものとし，$10000$ 個の頂点を全て選ぶ方法も条件を満たすとします．
OMCB005	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/tasks/3423	G	OMCB005(G)	300	135	255	[ { "content": "　$N$ の上から $m$ 桁目の数字を $N_m$ と表す．$a=2$ のときを考えれば $N$ の全ての桁の数字の偶奇は一致する．\\\r\n　まず, $k \\geq 6$ のときに条件を満たす $N$ が存在しないことを示す．$a=5$ のときを考えれば\r\n$$N_1+N_5=N_2+N_6=10$$\r\nとなり，$a=3$ のときを考えれば\r\n$$N_1 \\equiv N_5 ,\\quad N_2 \\equiv N_6 \\pmod 6$$\r\nとなる．以上から, 整数の組 $(N_1,N_5), (N_2,N_6)$ は\r\n$$(2,8), \\quad...	以下の条件をみたす最大の正整数 $N$ を求めてください． - $N$ の桁数を $k$ とする．$2 \leq a \leq k$ なるすべての整数 $a$ について，$N$ からどのように連続する $a$ 桁を取り出しても，その先頭と末尾の数字の和が $a$ の倍数となる．なお，表記はすべて十進法で考えるものとします．例えば $204$ は条件をみたします．
OMCB005	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/tasks/5408	H	OMCB005(H)	300	54	123	[ { "content": "　光線の軌跡は点 $(0,0),\\left( \\dfrac{22}{41} ,1\\right) ,\\left( \\dfrac{44}{41} ,0\\right)$ を頂点とする二等辺三角形と合同な三角形を並べたものを, 正方形 $OABC$ 内に「折り畳んだ」ものであることに注意する．光線が $x$ 方向に距離 $1$ だけ進むたびに線分 $AB$ または $CO$ 上の鏡で反射されて進行方向を変えること，また $x$ 方向に距離 $\\dfrac{44}{41}$ だけ進むたびに線分 $OA$ 上の鏡で反射されることから，$x_n$ は以下のように書ける．ここで，$\\dfr...	$xy$ 平面上に $4$ 点 $O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)$ があり，線分 $OA,AB,BC,CO$ 上にはそれぞれ鏡が置かれています．いま，点 $O$ から点 $\left( \dfrac{22}{41} ,1\right)$ へと光線を発射しました．発射した光線が $n$ 回目に線分 $OA$ 上の鏡で反射されるとき，反射が起こる点の $x$ 座標を $x_n$ とします．このとき，以下の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください． $$\sum_{k=0}^{99} x_{10^k}$$
OMC217	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/tasks/2702	A	OMC217(A)	200	372	394	[ { "content": "　判別式を $D$ とすれば $D\\/4=n^2-6n+57$ であるから, これが平方数となるような $n$ をすべて求めればよい.\\\r\n　$D\\/4$ を非負整数 $m$ によって $m^2$ とおけば, 条件は\r\n$$(m+n-3)(m-n+3)=48$$\r\nと変形できる. $m+n-3$ および $m-n+3$ の偶奇が一致することに留意して積が $48$ である $2$ 数の組を調べることで, 組 $(m,n)$ としてあり得るものは $(7,2),(7,4),(8,7),(13,14)$ であり, 特に求める総和は $\\textbf{27}$ である.", ...	$x$ の $2$ 次方程式 $x^2+2nx+6n-57=0$ が整数解を持つような正整数 $n$ の総和を求めてください.
OMC217	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/tasks/6266	B	OMC217(B)	200	348	362	[ { "content": "　条件より，直線 $AB,BC,CA$ と $P$ との距離は等しいから $P$ は三角形 $ABC$ の内心である．また，$AB = 3x, BC = 4x, CA = 5x$ とおくと，\r\n$$AB^2 + BC^2 = CA^2$$\r\nが成り立つので，$\\angle{B}=90^{\\circ}$ である．したがって，\r\n$$768 = \\frac{1}{2}AB\\cdot BC = 6x^2$$\r\nであるから，$x = 8\\sqrt2$ である．よって，\r\n$$AB=24\\sqrt2,\\quad BC=32\\sqrt2,\\quad CA=40\\...	面積が $768$ の三角形 $ABC$ の内部に $P$ を取ると以下を満たしました． $$AB:BC:CA=\|△ABP\|:\|△BCP\|:\|△CAP\|=3:4:5$$ $BP$ の長さを求めてください．\ 　ただし，$\|\triangle XYZ\|$ で三角形 $XYZ$ の面積を表します．
OMC217	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/tasks/8771	C	OMC217(C)	400	87	299	[ { "content": "　$T\\subset S$ に $3$ の倍数が含まれるとき，$f(T) = 0$ である．\\\r\n　次に，$T\\subset S$ に $3$ の倍数が含まれない場合を考える．このとき，次が成り立つ．\r\n\r\n- $T$ に $3$ で割って $2$ あまる数が偶数個含まれているなら $f(T) = 1$，奇数個含まれているなら $f(T) = 2$．\r\n\r\nしたがって，\r\n$$\r\nA = {}\\_{3000}\\mathrm{C}\\_{0} + {}\\_{3000}\\mathrm{C}\\_{2} + \\cdots + {}\\_{3000}\\...	$S = \\{1,2,\ldots,9000\\}$ とします．任意の $S$ の空でない部分集合 $T$ に対して，$T$ の要素の総積を $3$ で割ったあまりを $f(T)$ とします．$T$ が $S$ の空でない部分集合全体を動くとき，$f(T)$ の平均は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac ba$ と表されるので，$b$ を素数 $2999$ で割ったあまりを解答してください．
OMC217	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/tasks/3613	D	OMC217(D)	400	38	139	[ { "content": "　 $\\angle PBC = x$ とし，線分 $BC$ に関して $A$ と対称な点を $ A^{\\prime} $ とする．\r\n$$\\angle BA^{\\prime}C + \\angle CPB = (4x+2x) + (180^{\\circ} - 5x - x) = 180^{\\circ} $$\r\n なので $4$ 点 $A^{\\prime},B,C,P $ は同一円周上にある．\r\nよって $\\angle PBA^{\\prime} = \\angle PA^{\\prime}B = 5x$ であるため $ BP = A^{\\prime}P $ が...	三角形 $ABC$ およびその内部の点 $P$ が以下の条件をみたします． $$\angle PBC : \angle CAP : \angle ABP : \angle PAB : \angle BCP = 1:2:3:4:5 $$ この時， $\angle PCA$ の大きさは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ 度と表されるので，$a+b$ を解答してください．
OMC217	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/tasks/8799	E	OMC217(E)	400	48	114	[ { "content": "　$2^{k}$ を約数として持つ $1$ 以上 $n$ 以下の整数の個数を $C_{n,k}$ で表すことにすると，\r\n$$\\sum_{k = 1} ^ {n} f(k) = \\sum_{k = 0}^{\\infty} 2^{k}C_{n,k}$$\r\nとなる．ここで，$C_{n,k} = \\bigg \\lfloor {\\cfrac{n}{2^{k}}} \\bigg \\rfloor$ であるから，正の整数 $x,y$ に対して $x\\\\% y$ で $x$ を $y$ で割ったあまりを表すことにすると，\r\n$$2^{k}C_{n,k} = n - n\\\\...	正の整数 $n$ に対し，$n$ の正の約数のうち非負整数 $k$ を用いて $2^{k}$ と表されるものの総和を $f(n)$ とします．また，$g(n) = - 1000n + \displaystyle \sum_{k = 1} ^ {n} f(k)$ と定めます．\ 　正の整数 $n$ が $2^{1000} \le n \lt 2^{1001}$ をみたしながら動くとき，$g(n)$ のとり得る $37$ 番目に大きい値を素数 $997$ で割った余りを解答して下さい．
OMC217	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/tasks/9293	F	OMC217(F)	600	5	36	[ { "content": "　正の実数 $X, Y, Z$ によって \r\n$$X=\\dfrac{x}{x+\\sqrt{y}}, \\quad Y=\\dfrac{y}{y+\\sqrt{z^2}}, \\quad Z=\\dfrac{z}{z+\\sqrt{x^3}}$$ \r\nと表す．相加・相乗平均の関係から，\r\n$$\\begin{aligned}\\dfrac{1}{z}&= \\left(\\dfrac{\\sqrt{y}}{x}\\right)^{6}\\left(\\dfrac{z}{y}\\right)^3\\left(\\dfrac{\\sqrt{x^3}}{z}\\right)^4\\...	正の実数 $x, y, z$ が $$\dfrac{x}{x+\sqrt{y}} + \dfrac{y}{y+\sqrt{z^2}} + \dfrac{z}{z+\sqrt{x^3}} = 1$$ をみたすとき，$z$ のとり得る最大値は互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表されるので，$pq$ の正の約数の個数を解答してください.
OMCB004	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/tasks/8162	A	OMCB004(A)	100	467	474	[ { "content": "　求めたい値 $A+R+S+T$ は\r\n$$(S+T+A+R+T)+(S+T+A+R+S)-(S+T+R)-(T+A+S)$$\r\nに等しいから，$\\mathbf{87}$ である．ちなみに，各数を求めると $(A,R,S,T) = (66,75,-57,3)$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/editorial/8162" } ]	実数 $A,R,S,T$ が以下の等式をみたします： $$\begin{cases} S+T+A+R+T&=90\\\\ S+T+A+R+S&=30\\\\ S+T+R&=21\\\\ T+A+S&=12 \end{cases}$$ このとき，$A+R+S+T$ の値を求めてください．
OMCB004	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/tasks/4880	B	OMCB004(B)	100	445	464	[ { "content": "　$2$ 以上の正整数 $n$ が $n=p_1^{a_1}\\cdots p_k^{a_k}$ と素因数分解されるとき，正の約数を $(a_1+1)\\cdots(a_k+1)$ 個もつ．いま $7$ は素数であるから，$k=1,a_1=6$ である．すなわち，ある素数 $p$ を用いて $p^6$ と表される．これが $3$ 桁以下になるのは $p=2, 3$ のときであり，求める総和は $64+729 = \\textbf{793}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contes...	正の約数をちょうど $7$ 個もつような，十進法表記で $3$ 桁以下の正整数の総和を求めてください．
OMCB004	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/tasks/3329	C	OMCB004(C)	100	445	454	[ { "content": "　$S(\\triangle XYZ)$ で $\\triangle XYZ$ の面積を表す．条件より $\\triangle PQR$ は正三角形であり，簡単な角度計算により $\\triangle AQR \\equiv \\triangle BRP \\equiv \\triangle CPQ$ がわかる．これと $S(\\triangle ABC)=25\\sqrt{3}$，$S(\\triangle PQR)=16\\sqrt{3}$ より \r\n$$S(\\triangle AQR)=\\dfrac{S(\\triangle AQR)+S(\\triangle BRP)+S(...	一辺の長さが $10$ である正三角形 $ABC$ において, 辺 $BC,CA,AB$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ をとったところ,　$PQ=QR=RP=8$ となりました．このとき三角形 $AQR$ の面積の二乗を求めてください．
OMCB004	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/tasks/2674	D	OMCB004(D)	100	431	442	[ { "content": "　$a=180n-360, b=n(n-3)\\/2$ であるから，条件は次と同値である．\r\n$$n^2-21n+38\\leq0$$\r\n $n\\geq3$ に気をつけてこの不等式を解くと $n=3,4,...,19$ であるから，求める総和は $\\bf187$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/editorial/2674" } ]	$3$ 以上の整数 $n$ について，正 $n$ 角形の内角の総和が（度数法で） $a$ 度，対角線の本数が $b$ 本であり，次の不等式が成り立ちました： $$a \geq 20(b+1)$$ 　このような整数 $n$ の総和を求めてください．
OMCB004	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/tasks/6712	E	OMCB004(E)	200	391	425	[ { "content": "　最初の $4$ 文字の中の「 X 」の場所でそれ以降の「 X 」を配置する場所も決まることに留意すれば，「 X 」の位置は次の ${}_4 \\mathrm{C}_2=6$ 個に限られる：「 X X - - X X - 」, 「 X - X - X - X 」, 「 - X X - - X X 」, 「 X - - X X - - 」,「 - X - X - X - 」, 「 - - X X - - X 」．よって，解答すべき値は $2^3×3+2^4×3=\\mathbf{72}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemat...	「 J 」,「 M 」,「 X 」からなる $7$ 文字の文字列（使わない文字があっても構いません）であって，以下の条件を満たすものはいくつありますか？ - どの連続する $4$ 文字を取っても，そのうちちょうど $2$ 文字が「 X 」である．　例えば「 J M X X J M X 」はこの条件を満たします．
OMCB004	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/tasks/2244	F	OMCB004(F)	200	351	414	[ { "content": "　Legendreの定理より，$2244!$ を素因数分解すると，\r\n$$2244!=2^{2240}\\times 3^{1120}\\times 5^{557}\\times7^{371}\\times \\cdots$$\r\nとなるから，題意をみたすような $n$ は\r\n$$n=2^{a}\\times 3^b\\times 5^c\\quad (0\\leq a \\leq4 , ~ 0\\leq b \\leq2 , ~ 0\\leq c \\leq1)$$\r\nと表せる．したがって求める総和は\r\n$$(1+2+2^2+2^3+2^4)\\times(1+3+3^...	$2244!$ が $n^{500}$ で割り切れるような，正整数 $n$ の総和を求めてください．
OMCB004	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/tasks/4497	G	OMCB004(G)	300	235	326	[ { "content": "　曲線 $n=xy$ 上とそれよりも下にある第一象限の格子点の集合 $S$ について考える．$x=k ~ (1\\leq k \\leq n)$ を固定したとき，$S$ の要素は $\\displaystyle\\bigg\\lfloor\\frac{n}{k} \\bigg\\rfloor$ だけある．したがって，$S$ の要素の数は $\\displaystyle\\sum_{k=1}^{n}\\bigg\\lfloor \\frac{n}{k} \\bigg\\rfloor$ に等しい．\\\r\n　一方で $S$ の要素の数は $xy=k ~ (1\\leq k \\leq n)$...	数列 $\\{a_n\\}$ を以下で定めます． $$a_n=\sum_{k=1}^{n}\bigg\lfloor \frac{n}{k} \bigg\rfloor$$ このとき，$a_{n+1}=a_n+3$ となるような $5000$ 以下の最大の正整数 $n$ を解答してください．
OMCB004	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/tasks/6267	H	OMCB004(H)	300	134	195	[ { "content": "　線分 $BC$ の中点を $M$，三角形 $ABC$ の重心を $G$ とする．\\\r\n　$G,H,O$ が同一直線上にあることに気をつければ，$AH\\parallel MO$ と併せて三角形 $AGH$ と $MGO$ は相似である．従って，$AH : MO = AG : GM = 2 : 1$ である．さらに，三角形 $AHO$ と三角形 $OMD$ は相似であるから，$DO=\\dfrac{1}{2}AO$ である．よって，$D$ に関して $O$ と対称な点を $O^\\prime$ とすれば，$OO^\\prime=2DO=AO$ より $O^\\prime$ は三角形 ...	鋭角三角形 $ABC$ の外心，垂心をそれぞれ $O,H$ とし，直線 $AO$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると以下が成り立ちました． $$BD=100,\quad CD=123,\quad \angle{AHO}=90^{\circ}$$ このとき $AO^2$ の値を求めてください．
OMC216 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/tasks/9829	A	OMC216(A)	400	111	192	[ { "content": "　$9$ 以下の正整数 $i$ について，$a_i$ を左から $i$ 番目の石の色が白のとき $a_{i}=0$，黒のとき $a_{i}=1$ と定める．$A, B$ が適切に石を取ることで，$C$ さんが得られる黒の石の数は以下の $3$ つのそれぞれに任意に制限できる：\r\n$$a_{1} + a_{4} + a_{7}, \\quad a_{2} + a_{5} + a_{8}, \\quad a_{3} + a_{6} + a_{9} \\tag{☆}$$\r\nしたがって，$(☆)$ のうち少なくとも $1$ つが $1$ 以下であれば，$C$ さんがとる石を必ず $1$ 個...	計 $9$ 個の白い石と黒い石が左右一列に並んでおり，$A, B, C$ さんの $3$ 人が次の操作を $A, B, C, A, B, C, \ldots$ の順番で行います． - 左端または右端にある石を一つ選び，それを取り除く．操作を石がなくなるまで行うとき，$A$ さんと $B$ さんが協力して適切に操作をすることで，$C$ さんが最終的に取った黒い石の総数を $C$ さんの選択によらず常に $1$ 個以下にすることができました．このとき，初めの石の並べ方としてありうるものは何通りありますか．\ 　ただし，はじめに並んでいる石には，使わない色があってもよいものとします．
OMC216 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/tasks/10589	B	OMC216(B)	400	114	189	[ { "content": "　非負整数 $n$ について $2n$ 秒後から $2n+1$ 秒後を奇数秒目，$2n+1$ 秒後から $2n+2$ 秒後を偶数秒目とすると，条件から $2$ 点 $P,Q$ は奇数秒目，偶数秒目のいずれか一方ではつねに互いに平行に，もう一方ではつねに互いに垂直に動くことがわかる．まず奇数秒目が平行な場合を考える．\\\r\n　$2$ 点 $P,Q$ は最短距離で $A$ に移動して一致し，平行に動く間は $2$ 点間のマンハッタン距離は変わらず，垂直に動く間はマンハッタン距離は $2$ 変動することから，偶数秒目のうち $5$ 秒間は $P$ が $x$ 軸，$Q$ が $y$ 軸方向に...	座標平面上の $2$ 点 $P, Q$ が点 $O(0,0)$ を同時に出発し，点 $A(10,10)$ へと次の条件を全て満たすように移動するとき，経路の組としてありうるものの個数を求めてください． - $P, Q$ はいずれも $x$ 軸もしくは $y$ 軸に平行に秒速 $1$ で移動し，$O$ を出発して $20$ 秒後に点 $A$ に到達する． - $P, Q$ はいずれも格子点でのみ進行方向を変えることができる． - $P, Q$ がいずれも格子点に到達したとき，必ず一方が進行方向を変えもう一方は直進する．すなわち，$1$ 秒ごとに $P, Q$ のちょうど一方のみが進行方向を変える．ただし，$P, Q$ ...
OMC216 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/tasks/8636	C	OMC216(C)	500	51	84	[ { "content": "　三角形 $ABC$ の辺の長さを $BC = a, CA = b, AB = c$ とおく．$\\omega$ の中心を $I$，辺 $BC$ と $\\omega$ の接点を $D$，辺 $BC$ の中点を $M$ とする．また，$\\omega$ の半径を $r$ とする． \\\r\n　線分 $P_BP_C$ が $\\omega$ の直径となることから，直線 $PP_B$ と $PP_C$ が垂直に交わる．このような点 $P$ がただ一つであることから，$\\omega$ 上で $\\angle BPC =90^\\circ$ を満たす点はちょうど一つであり，したがって，線分 $...	$AB=11, AC=10$ なる三角形 $ABC$ の内接円を $\omega$ とします．$\omega$ 上の点 $P$ に対し，直線 $BP$ と $\omega$ の $P$ 以外の交点を $P_B$ とし，直線 $CP$ と $\omega$ の $P$ 以外の交点を $P_C$ とします．ただし，直線 $BP$ が $\omega$ に接する場合は $P_B=P$ とし，同様に直線 $CP$ が $\omega$ に接する場合は $P_C=P$ とします．\ 　$P_B$ と $P_C$ が異なり，かつ，線分 $P_BP_C$ が $\omega$ の直径となるような点 $P$ が $\omega$ 上にちょうど一...
OMC216 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/tasks/9426	D	OMC216(D)	500	99	136	[ { "content": "　$p = 2^8+1$ とする．$2^{16}\\equiv 1 \\pmod{p}$ であり，$2^0,2^1,\\ldots,2^{15}$ を $p$ で割った余りは相異なることに注意すると，$0$ 以上 $15$ 以下の整数からなる数列 $\\\\{b_n\\\\}\\_{n=0,1,\\ldots}$ であって，任意の $n\\geq 0$ について $b_n\\equiv a_n \\pmod{16}$ であり，かつ（$k$ によらないある関数 $f$ が存在して）$b_{n+1}=f(b_n)$ が成り立つものが存在する．問題で与えられた漸化式より，\r\n$$ f(x) ...	$0$ 以上 $256$ 以下の整数 $k$ に対して，$0$ 以上 $256$ 以下の整数からなる数列 $\\{a_n\\}_{n=0,1,\ldots}$ が以下の条件をみたしました： - $a_0=k$ であり，かつ任意の非負整数 $n$ について $$a_{n+1}\equiv 2^{a_n}+216 \pmod{257}.$$ このとき，$a_m=a_{m+t}$ をみたす正整数 $m,t$ が存在するので，それぞれの $k$ に対して $m$ としてありうる最小のものを $m_k$ とおきます． $$m_0+m_1+m_2+\cdots+m_{256}$$ を求めてください．
OMC216 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/tasks/9560	E	OMC216(E)	700	7	22	[ { "content": "$$\\angle BDP = \\angle BDC - \\angle CDP = \\angle BAC - \\angle AEF = \\angle AFE$$\r\nであり，同様に $\\angle DBP = \\angle AGE$ である．よって，正弦定理より次がわかる．\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\frac{FQ}{GQ}\r\n&= \\frac{\\sin \\angle FCQ}{\\sin \\angle GCQ}\\\\\\\\\r\n&= \\frac{\\sin\\angle CDP\\cdot (DP\\/CP)}{\\sin\...	半径 $30$ の円に内接する四角形 $ABCD$ があり，対角線の交点を $E$ とすると， $$AE=6,\quad BE=10,\quad CE=35,\quad DE=21$$ が成り立ちます．　直線 $AB$ と直線 $CD$，直線 $AD$ と直線 $BC$ がそれぞれ $F, G$ で交わっており，三角形 $BCD$ の内部に点 $P$ をとったところ， $$\angle CBP=\angle AEG,\quad \angle CDP=\angle AEF$$ が成り立ちました．　直線 $CP$ と三角形 $CFG$ の外接円との交点のうち $C$ でない方を $Q$ とするとき，線分 $CQ...
OMC216 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/tasks/6913	F	OMC216(F)	800	0	18	[ { "content": "　$p = \\dfrac{1+\\sqrt{15}i}{4}$ は $p^2-\\dfrac{p}{2} + 1 =0$ を満たす．この $p$ と任意の実数 $a, b$ について，\r\n$$ {\|a + bp\|}^2 = a^2 + \\dfrac{1}{2}ab + b^2 $$\r\nとなるから，\r\n$$ \\begin{aligned}\r\nX &= \\dfrac{1}{2}xyz-(xy^2+yz^2+zx^2) \\\\\\\\\r\nY &= -\\dfrac{3}{4}xyz+\\dfrac{1}{2}(xy^2+yz^2+zx^2)+x^2y+y^2z+z^...	実数 $x, y, z$ が $$(x+2y)(y+2z)(z+2x)= 12xyz + 5^{20}$$ を満たすとき，以下に最小値が存在します. $$\biggl(x^2 + \dfrac{1}{2}xy + y^2\biggr)\biggl(y^2 + \dfrac{1}{2}yz + z^2\biggr)\biggl(z^2 + \dfrac{1}{2}zx + x^2\biggr)$$ 実数の組 $(x, y, z)$ がこの最小値を達成しているとき，$x-y$ がとり得ない正整数値の総和を解答してください.
OMC215 (お茶ゼミ√+杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/tasks/9284	A	OMC215(A)	100	387	412	[ { "content": "$$\\frac{a^2-1001a+1001^2}{b^2-1001b+1001^2}\\leq\\frac{\\max\\lbrace a^2-1001a+1001^2\\rbrace}{\\min\\lbrace b^2-1001b+1001^2\\rbrace}$$\r\nであり，等号が成立するのは $a=1,1000$ かつ $b=500,501$ のときであるので解答すべき値は\r\n$$(1+500)+(1+501)+(1000+500)+(1000+501)=\\mathbf{4004}.$$", "text": "公式解説", "url": "https:...	$1\leq a\leq 1000, ~ 1\leq b\leq 1000$ なる整数 $a,b$ について， $$\frac{a^2-1001a+1001^2}{b^2-1001b+1001^2}$$ がありうる最大の値をとるとき，$a+b$ としてありうる値の総和を求めてください．
OMC215 (お茶ゼミ√+杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/tasks/9826	B	OMC215(B)	100	309	398	[ { "content": "　次の図のようにマス目を分割する．\\\r\n![figure 1](\\/images\\/t1lfq5x34JWQ3THfWVCZuPRNV0yBhrJJoJvpTEeb)\r\n　各 $A$ の $3$ マスに全て旗を置くことは不可能なので旗は高々 $2$ 本である．したがって，全体で旗の数は高々 $1+3333\\cdot 2=6667$ であり，下のように旗を配置すれば実際に $6667$ 本旗を置くことが可能である．\r\n![figure 1](\\/images\\/gGjPkkpbod2jQ3AXugqUKgWTtKKeEn483U1rJnwv)\r\n\r\n以上より置...	$100\times 100$ のマス目があります．$N$ 個のマスを選んで旗を各マスに $1$ 本ずつ置くと，次が成立しました： - 左右または上下に連続して隣り合う任意の $3$ マスについて，そのうち少なくとも $1$ マスには旗が置かれていない．　$N$ としてありうる最大値を求めてください．
OMC215 (お茶ゼミ√+杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/tasks/9285	C	OMC215(C)	200	381	405	[ { "content": "　 $10^5=2^5\\cdot5^5$ の約数は $2^a\\cdot5^b　(a,b\\in\\lbrace 0,1,2,3,4,5\\rbrace)$ とおける．\\\r\n$$2^a\\cdot5^b\\equiv(-1)^{a+b}\\mod3$$\r\nなので約数 $2^a\\cdot5^b$ が $3$ で割った余りが $1$ であることは $a,b$ の偶奇が一致することと同値である．よって求める総和は\r\n$$(2^0+2^2+2^4)(5^0+5^2+5^4)+(2^1+2^3+2^5)(5^1+5^3+5^5)=\\mathbf{150381}．$$", ...	$10^5$ の正の約数であって $3$ で割った余りが $1$ であるものの総和を求めてください．
OMC215 (お茶ゼミ√+杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/tasks/10790	D	OMC215(D)	200	266	305	[ { "content": "　辺 $BC$ 上の点 $P$ であって，線分 $XP$ が台形 $ABCD$ の面積を $2$ 等分するものを考える．具体的には $BP=1999$ を満たす点である．\\\r\n　三角形 $XYZ,XPZ$ は面積が等しいので $XZ\\parallel YP$ が成り立つ．したがって直線 $XY$ と辺 $BC$ の交点を $Q$ とすれば $PQ:PZ=YQ:YX=YC:YA=3:1$ である．ここで $CQ=3AX=9$ より $BQ=2995$ なので，$BP=1999$ と合わせて，$PQ=996$ がわかる．以上より $PZ=332$ であり，$BZ=BP-PZ=\\bf1...	$AD\parallel BC$ なる台形 $ABCD$ があります．辺 $AD$ 上に点 $X$ を，線分 $AC$ 上に点 $Y$ を，辺 $BC$ 上に点 $Z$ をとると，次が成立しました： $$\begin{aligned} AB=1001, \quad BC=3004, \quad CD=2001, \\\\ AX=3, \quad XD=997, \quad AY:YC=1:3 \end{aligned}$$ 折れ線 $XYZ$（＝線分 $XY$ と線分 $YZ$ をつなげたもの）が台形 $ABCD$ の面積を $2$ 等分するとき，線分 $BZ$ の長さを求めてください．
OMC215 (お茶ゼミ√+杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/tasks/9288	E	OMC215(E)	300	275	339	[ { "content": "　 $999=p, ~ 1001=q$ とし，$S=f(1)+f(2)+\\cdots+f(pq)$ とする．\\\r\n　良い数 $a$ であって $1\\leq a\\leq pq$ を満たすもの全体の集合を $A$ とする．$p,q$ は互いに素なので $\|A\|=p+q-1$ である．\\\r\n　ここで $a\\in A$ に対して，$n$ 以下の良い数として $a$ が存在するような $1\\leq n\\leq pq$ は $pq+1-a$ だけある．\\\r\n　すなわち $a\\in A$ は $pq+1-a$ だけ $S$ に寄与するので，\r\n$$\\begin{al...	$999$ または $1001$ の少なくとも一方で割りきれる正整数を良い数と呼びます．正整数 $n$ について，$n$ 以下の良い数の個数を $f(n)$ としたとき，次の値を求めてください： $$f(1)+f(2)+\cdots+f(999999)$$
OMC215 (お茶ゼミ√+杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/tasks/11246	F	OMC215(F)	300	79	135	[ { "content": "　次の角度の評価により $\\angle ABD\\gt \\angle CAD$ なので，三角形 $ABE$ の外接円と辺 $AD$ は $A$ でない点で再び交わることがわかる．\r\n$$\\angle ABD=180^\\circ-\\angle ACD=\\angle CAD+\\angle ADC\\gt \\angle CAD$$\r\nこの交点を $F$ とすると\r\n$$\\angle AFE=180^\\circ-\\angle ABD=\\angle DCE$$\r\nより，$F$ は三角形 $CDE$ の外接円上にもある．したがって方べきの定理より次が成り立つ．\...	$$\angle ABD+\angle ACD=180^\circ$$ なる凸四角形 $ABCD$ があり，その $2$ 本の対角線の交点を $E$ とすると， $$AE=61, \quad BE=47, \quad CE=21, \quad DE=51$$ が成り立ちました．辺 $AD$ の長さを求めてください．
OMC215 (お茶ゼミ√+杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/tasks/9287	G	OMC215(G)	300	61	138	[ { "content": "　問題文の条件を満たす組 $(a_1,...,a_{20})=A$ を良い組と呼ぶ．\\\r\n　良い組に対して $a_p=20$ なる $1\\leq p\\leq 20$ を取り，問題文の不等式において $j=p$ とすれば\r\n$$20a_i=a_ia_p\\leq ip+20\\leq20(i+1)$$\r\nとなるので全ての整数 $1\\leq i\\leq20$ に対して $a_i\\leq i+1$ が必要である．\\\r\n　$a_i=i+1$ であるとき与えられた不等式より，$(i+1)^2\\leq i^2+20$ なので $i=1,2,...,9$ が必要で...	$1,2,\ldots,20$ の並べ替え $a_1,a_2,\ldots,a_{20}$ であって，$1$ 以上 $20$ 以下の任意の整数 $i,j$ に対して $a_ia_j\leq ij+20$ が成立するようなものはいくつありますか？

Subsets and Splits

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