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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.generize_eq | [255, 1] | [267, 83] | rw [scalarRTensor_apply_tmul_apply, coeff_monomial, if_neg hb, _root_.zero_smul] | case h.h₀
R : Type u
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M : Type uM
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ι : Type uι
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h : scalarRTensor.symm p = (generize m) f
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hb :... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.h₀
R : Type u
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R : Type u
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p : (ι →₀ ℕ) →₀ N
h : scalarRTensor.symm p = (generize m) f
d : ι →₀ ℕ
⊢ p d = 0 → (scalar... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
p : (ι →₀ ℕ) →₀ N
h : scalarR... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | MvPolynomial.rTensor_lcoeff | [269, 1] | [281, 35] | induction sn using TensorProduct.induction_on with
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rw [Finsupp.sum_eq_single k (fun b _ hb => by rw [Finsupp.single_eq_of_ne hb])
(fun _ => by rw [_root_.zero_smul, Finsupp.single_zero, Finsupp.coe_zero, Pi.zero_a... | R : Type u
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k : σ →₀ ℕ
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STATE:
R : Type u
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M : Type uM
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sn : MvPolynomial σ R ⊗[R] ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | MvPolynomial.rTensor_lcoeff | [269, 1] | [281, 35] | simp | case zero
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STATE:
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⊢ (Lin... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | MvPolynomial.rTensor_lcoeff | [269, 1] | [281, 35] | simp only [rTensor_tmul, scalarRTensor_apply_tmul, Finsupp.sum_apply] | case tmul
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⊢ (lcoeff R k) s ⊗ₜ[R] n = 1 ⊗ₜ[R] Finsu... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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R : Type u
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M : Type uM
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N : Type uN
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https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | MvPolynomial.rTensor_lcoeff | [269, 1] | [281, 35] | rw [Finsupp.sum_eq_single k (fun b _ hb => by rw [Finsupp.single_eq_of_ne hb])
(fun _ => by rw [_root_.zero_smul, Finsupp.single_zero, Finsupp.coe_zero, Pi.zero_apply]),
Finsupp.single_eq_same, lcoeff_apply, ← smul_tmul, smul_eq_mul, mul_one] | case tmul
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R : Type u
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⊢ MvPolynomial.coeff k s ⊗ₜ[R] n = s k ⊗... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type uM
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R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁵ : Module R M
N : Type uN
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inst✝³ : Module R N
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inst✝¹ : Fintype ι
σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
k : σ →₀ ℕ
s : MvPolynomial σ R
n : N
⊢ MvPolynomial.coeff k s ⊗ₜ[R] n = s k ⊗... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Type uι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
k : σ →₀ ℕ
s : Mv... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | MvPolynomial.rTensor_lcoeff | [269, 1] | [281, 35] | rw [Finsupp.single_eq_of_ne hb] | R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁶ : AddCommGroup M
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N : Type uN
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hb : b ≠ k
⊢ (Finsupp.sing... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
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M : Type uM
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N : Type uN
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s : MvPolynomial... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | MvPolynomial.rTensor_lcoeff | [269, 1] | [281, 35] | rw [_root_.zero_smul, Finsupp.single_zero, Finsupp.coe_zero, Pi.zero_apply] | R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type uM
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s : MvPolynomial σ R
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STATE:
R : Type u
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M : Type uM
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ι : Type uι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
k : σ →₀ ℕ
s : MvPolynomial... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | MvPolynomial.rTensor_lcoeff | [269, 1] | [281, 35] | simp only [LinearMap.map_add, LinearEquiv.map_add, hx, hy,
Finsupp.add_apply, tmul_add] | case add
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σ : Type u_1
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k : σ →₀ ℕ
x y : MvPolynomial σ R ⊗[R] N
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STATE:
case add
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁵ : Module R M
N : Type uN
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σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
k : σ →₀ ℕ
x y : M... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | MvPolynomial.scalarRTensor_apply | [283, 1] | [286, 81] | rw [← LinearEquiv.symm_apply_eq, TensorProduct.lid_symm_apply, rTensor_lcoeff] | R : Type u
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⊢ (scalarRTensor sn) k = (TensorProduct.lid R N)... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type uM
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N : Type uN
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ι : Type uι
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sn : MvPolynomial σ R ⊗[R] ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_eq | [288, 1] | [293, 32] | rw [coeff, coe_comp, LinearEquiv.coe_coe, Function.comp_apply, ] | R : Type u
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M : Type uM
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k : ι →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ ((coeff m) f) k =
(TensorProduct.lid R N) ((LinearMap.rTensor N (lcoeff R k)) (f.to... | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
k : ι →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ (scalarRTensor ((generize m) f)) k =
(TensorProduct.lid R N) ((LinearMap.rTensor N ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
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inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
k : ι →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ ((coeff m) f) k =
(Ten... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_eq | [288, 1] | [293, 32] | exact scalarRTensor_apply _ _ | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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N : Type uN
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inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
k : ι →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ (scalarRTensor ((generize m) f)) k =
(TensorProduct.lid R N) ((LinearMap.rTensor N ... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
k : ι →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ (scalarRTensor ((generize ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simp only [coeff, coe_comp, LinearEquiv.coe_coe, Function.comp_apply,
MvPolynomial.scalarRTensor_apply, Function.comp] | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | let hf := f.isCompat_apply (MvPolynomial.aeval (fun i ↦ MvPolynomial.X (e i)) :
MvPolynomial ι R →ₐ[R] MvPolynomial κ R) (univ.sum (fun i ↦ MvPolynomial.X i ⊗ₜ[R] (m (e i)))) | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | suffices toFun f (MvPolynomial κ R)
(Finset.sum univ (fun x ↦ MvPolynomial.X (e x) ⊗ₜ[R] m (e x))) = generize m f by
simp only [map_sum, rTensor_tmul, AlgHom.toLinearMap_apply,
MvPolynomial.aeval_X, this] at hf
rw [← hf]
generalize h : generize (fun x ↦ m (e x)) f = g
simp only [generize, coe_mk, AddHom.c... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
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STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | . rw [generize, coe_mk, AddHom.coe_mk]
apply congr_arg
simp only [sum_congr_equiv e, map_univ_equiv, Function.comp_apply, Equiv.apply_symm_apply] | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simp only [map_sum, rTensor_tmul, AlgHom.toLinearMap_apply,
MvPolynomial.aeval_X, this] at hf | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
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κ : Type u_2
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inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
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ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
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STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
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inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
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κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | rw [← hf] | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
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N : Type uN
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ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
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STATE:
R : Type u
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M : Type uM
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N : Type uN
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ι : Type u_1
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κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | generalize h : generize (fun x ↦ m (e x)) f = g | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
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κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
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STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
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inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
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κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simp only [generize, coe_mk, AddHom.coe_mk] at h | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
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ι : Type u_1
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κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
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ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
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κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | rw [h, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, ← LinearMap.rTensor_comp_apply] | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
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N : Type uN
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inst✝ : Fintype κ
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... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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N : Type uN
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inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
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inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | congr | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
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e : ι ≃ κ
... | case e_a.e_f
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
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inst✝ : Fintype... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | ext p | case e_a.e_f
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁸ : Module R M
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κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype... | case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
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N : Type uN
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STATE:
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inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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N : Type uN
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inst✝² : ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simp only [coe_comp, Function.comp_apply, AlgHom.toLinearMap_apply, MvPolynomial.aeval_monomial,
_root_.map_one, Finsupp.prod_pow, _root_.one_mul, MvPolynomial.lcoeff_apply] | case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
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N : Type uN
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inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
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inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
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inst✝ : Fin... | case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fin... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | suffices Finset.prod univ (fun x ↦ MvPolynomial.X (e x) ^ p x) =
MvPolynomial.monomial (Finsupp.equivMapDomain e p) (1 : R) by
simp only [this, MvPolynomial.coeff_monomial]
by_cases h : p = k
. rw [if_pos h, if_pos (by rw [h])]
. rw [if_neg h, if_neg]
intro h'; apply h
simp only [DFunLike.ext_iff] a... | case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fin... | case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fin... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | . simp only [monomial_eq, _root_.map_one, Finsupp.prod_pow, Finsupp.equivMapDomain_apply,
_root_.one_mul, prod_congr_equiv e, map_univ_equiv, Function.comp_apply,
Equiv.apply_symm_apply] | case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fin... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simp only [this, MvPolynomial.coeff_monomial] | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | by_cases h : p = k | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | case pos
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | . rw [if_pos h, if_pos (by rw [h])] | case pos
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e... | case neg
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fint... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | . rw [if_neg h, if_neg]
intro h'; apply h
simp only [DFunLike.ext_iff] at h'
ext i
simpa only [Finsupp.equivMapDomain_apply, Equiv.symm_apply_apply] using h' (e i) | case neg
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fint... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | rw [if_pos h, if_pos (by rw [h])] | case pos
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fint... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | rw [h] | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
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inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | rw [if_neg h, if_neg] | case neg
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
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inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e... | case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
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ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fint... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | intro h' | case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype... | case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | apply h | case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype... | case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
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inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simp only [DFunLike.ext_iff] at h' | case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype... | case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | ext i | case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
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R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
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inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Finty... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.hnc
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simpa only [Finsupp.equivMapDomain_apply, Equiv.symm_apply_apply] using h' (e i) | case neg.hnc.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Finty... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.hnc.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simp only [monomial_eq, _root_.map_one, Finsupp.prod_pow, Finsupp.equivMapDomain_apply,
_root_.one_mul, prod_congr_equiv e, map_univ_equiv, Function.comp_apply,
Equiv.apply_symm_apply] | case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fin... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case e_a.e_f.h.h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | rw [generize, coe_mk, AddHom.coe_mk] | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
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ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | apply congr_arg | R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
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inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
... | case h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv | [295, 1] | [329, 95] | simp only [sum_congr_equiv e, map_univ_equiv, Function.comp_apply, Equiv.apply_symm_apply] | case h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e :... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁵ : DecidableEq ι✝
inst✝⁴ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintyp... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv' | [331, 1] | [337, 58] | rw [coeff_comp_equiv] | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
m : κ → M
k : κ →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ ((coeff m) f) k = ((co... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
m : κ → M
k : κ →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ ((coeff m) f) k = ((co... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv' | [331, 1] | [337, 58] | congr | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
m : κ → M
k : κ →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ ((coeff m) f) k = ((co... | case e_a.e_a.e_m
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
m : κ → M
k : κ →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ m = (... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv' | [331, 1] | [337, 58] | ext k | case e_a.e_a.e_m
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
m : κ → M
k : κ →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
⊢ m = (... | case e_a.e_a.e_m.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
m : κ → M
k✝ : κ →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
k : ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case e_a.e_a.e_m
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : F... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.coeff_comp_equiv' | [331, 1] | [337, 58] | simp only [Function.comp_apply, Equiv.apply_symm_apply] | case e_a.e_a.e_m.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
e : ι ≃ κ
m : κ → M
k✝ : κ →₀ ℕ
f : M →ₚ[R] N
k : ... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case e_a.e_a.e_m.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | have this := congr_fun (f.isCompat (MvPolynomial.aeval r))
(univ.sum fun i => MvPolynomial.X i ⊗ₜ[R] m i) | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
⊢ f.toFun S (∑ i : ι, r i ⊗ₜ[R] m i)... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(⇑(LinearMap.rTensor N (aev... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | simp only [Function.comp_apply, map_sum, LinearMap.rTensor_tmul,
AlgHom.toLinearMap_apply, MvPolynomial.aeval_X] at this | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(⇑(LinearMap.rTensor N (aev... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | let h := generize_eq m f | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | simp only [generize, coe_mk, AddHom.coe_mk] at h | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | rw [← this, h, Finsupp.sum, _root_.map_sum] | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | apply sum_congr rfl | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | intro k _ | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | simp only [LinearMap.rTensor_tmul, AlgHom.toLinearMap_apply] | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | apply congr_arg₂ _ _ rfl | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum | [339, 1] | [353, 72] | simp only [aeval_monomial, _root_.map_one, Finsupp.prod_pow, one_mul] | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι → S
this :
(LinearMap.rTensor N (aeval... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | let m' : s → M := fun i => m i | R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι →... | R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι →... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | let r' : s → S := fun i => r i | R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι →... | R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι →... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | convert image_eq_coeff_sum m' f S r' | R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι →... | case h.e'_2.h.e'_13
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | simp only [univ_eq_attach, Finsupp.coe_mk] | case h.e'_2.h.e'_13
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ :... | case h.e'_2.h.e'_13
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_2.h.e'_13
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | rw [← sum_attach] | case h.e'_2.h.e'_13
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ :... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_2.h.e'_13
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m :... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | simp only [univ_eq_attach, Finsupp.coe_mk] | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : Decidab... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | rw [← prod_attach] | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : Decidab... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | apply prod_congr rfl | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : Decidab... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | intro x _ | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : Decidab... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | simp only [const_zero, exists_apply_eq_apply, not_true] | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : Decidab... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | apply congr_arg₂ _ rfl | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : Decidab... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_finset_sum | [356, 1] | [372, 44] | rw [Subtype.coe_injective.extend_apply] | case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e'_3.h.e'_7.h.h.h.e'_9
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : Decidab... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.image_eq_coeff_sum' | [376, 1] | [381, 46] | rw [Finsupp.sum, image_eq_coeff_finset_sum] | R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : ι →... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Fintype ι✝
ι : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum | [383, 1] | [391, 95] | apply (TensorProduct.lid R N).symm.injective | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ f.ground (∑ i : ι, r i • m i) = ((coeff m) f).sum fun k n => (∏ i : ι, r i ^ k i) • n | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (TensorProduct.lid R N).symm (f.ground (∑ i : ι, r i • m i)) =
(TensorProduct... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ f.ground (∑ i : ι, r i • m ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum | [383, 1] | [391, 95] | rw [TensorProduct.lid_symm_apply, isCompat_apply_ground, ← TensorProduct.lid_symm_apply] | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (TensorProduct.lid R N).symm (f.ground (∑ i : ι, r i • m i)) =
(TensorProduct... | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ f.toFun R ((TensorProduct.lid R M).symm (∑ i : ι, r i • m i)) =
(TensorProduc... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (TensorProduct.lid R... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum | [383, 1] | [391, 95] | simp only [map_sum, TensorProduct.lid_symm_apply, ← TensorProduct.smul_tmul, smul_eq_mul, mul_one] | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ f.toFun R ((TensorProduct.lid R M).symm (∑ i : ι, r i • m i)) =
(TensorProduc... | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ f.toFun R (∑ x : ι, r x ⊗ₜ[R] m x) = 1 ⊗ₜ[R] ((coeff m) f).sum fun k n => (∏ i : ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ f.toFun R ((TensorPr... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum | [383, 1] | [391, 95] | rw [image_eq_coeff_sum, ← TensorProduct.lid_symm_apply, map_finsupp_sum] | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ f.toFun R (∑ x : ι, r x ⊗ₜ[R] m x) = 1 ⊗ₜ[R] ((coeff m) f).sum fun k n => (∏ i : ... | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
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inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (((coeff fun x => m x) f).sum fun k n => (∏ i : ι, r i ^ k i) ⊗ₜ[R] n) =
((co... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ f.toFun R (∑ x : ι, ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum | [383, 1] | [391, 95] | simp only [map_finsupp_sum, TensorProduct.lid_symm_apply] | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (((coeff fun x => m x) f).sum fun k n => (∏ i : ι, r i ^ k i) ⊗ₜ[R] n) =
((co... | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (((coeff fun x => m x) f).sum fun k n => (∏ i : ι, r i ^ k i) ⊗ₜ[R] n) =
((co... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
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inst✝¹ : DecidableEq ι
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m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (((coeff fun x => m ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum | [383, 1] | [391, 95] | exact Finsupp.sum_congr (fun d _ => by rw [← TensorProduct.smul_tmul, smul_eq_mul, mul_one]) | case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
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inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (((coeff fun x => m x) f).sum fun k n => (∏ i : ι, r i ^ k i) ⊗ₜ[R] n) =
((co... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
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inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
⊢ (((coeff fun x => m ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum | [383, 1] | [391, 95] | rw [← TensorProduct.smul_tmul, smul_eq_mul, mul_one] | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
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inst✝² : Module R N
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inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
d : ι →₀ ℕ
x✝ : d ∈ ((coeff fun x => m x) f).support
⊢ (∏ i : ι, r i ^ d i) ⊗ₜ[R] ((coeff ... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
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inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
f : M →ₚ[R] N
r : ι → R
d : ι →₀ ℕ
x✝ : d ∈ ((coeff f... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_one | [393, 1] | [398, 83] | suffices r • m = univ.sum fun i ↦ (const Unit r) i • (const Unit m i) by
rw [this, ground_image_eq_coeff_sum]
exact sum_congr rfl (fun i _ => by simp only [univ_unique, const_apply, prod_singleton]; rfl) | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝¹ : DecidableEq ι
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m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
⊢ f.ground (r • m) = ((coeff (const Unit m)) f).sum fun k n => r ^ k 0 • n | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
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ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
⊢ r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i • const Unit m i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
⊢ f.ground (r • m) = ((coeff (const U... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_one | [393, 1] | [398, 83] | simp only [univ_unique, const_apply, sum_const, card_singleton, _root_.one_smul] | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
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⊢ r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i • const Unit m i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
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inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : M
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⊢ r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_one | [393, 1] | [398, 83] | rw [this, ground_image_eq_coeff_sum] | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i • const Unit m i
⊢ f.ground (r • m) = ((coeff (const Uni... | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i • const Unit m i
⊢ (((coeff fun i => const Unit m i) f).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝ : Fintype ι
m : M
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r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_one | [393, 1] | [398, 83] | exact sum_congr rfl (fun i _ => by simp only [univ_unique, const_apply, prod_singleton]; rfl) | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝³ : AddCommGroup N
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ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i • const Unit m i
⊢ (((coeff fun i => const Unit m i) f).... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_one | [393, 1] | [398, 83] | simp only [univ_unique, const_apply, prod_singleton] | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
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ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
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this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i • const Unit m i
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x✝ : i ∈ ((coeff (const U... | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁴ : Module R M
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inst✝ : Fintype ι
m : M
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r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i • const Unit m i
i : Unit →₀ ℕ
x✝ : i ∈ ((coeff (const U... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
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r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_one | [393, 1] | [398, 83] | rfl | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
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ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit r i • const Unit m i
i : Unit →₀ ℕ
x✝ : i ∈ ((coeff (const U... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
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ι : Type uι
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inst✝ : Fintype ι
m : M
f : M →ₚ[R] N
r : R
this : r • m = ∑ i : Unit, const Unit... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_two | [400, 1] | [405, 7] | suffices r₁ • m₁ + r₂ • m₂ = univ.sum fun i ↦ (![r₁, r₂]) i • (![m₁, m₂]) i by
rw [this, ground_image_eq_coeff_sum] | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
r₁ r₂ : R
m₁ m₂ : M
f : M →ₚ[R] N
⊢ f.ground (r₁ • m₁ + r₂ • m₂) =
((coeff ![m₁, m₂]) f).sum fun k n => (∏ i : Fin (Nat.... | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
r₁ r₂ : R
m₁ m₂ : M
f : M →ₚ[R] N
⊢ r₁ • m₁ + r₂ • m₂ = ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![r₁, r₂] i • ![m₁, m₂] i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
r₁ r₂ : R
m₁ m₂ : M
f : M →ₚ[R] N
⊢ f.ground (r₁ • m₁ + r₂ • m₂... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_two | [400, 1] | [405, 7] | simp | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
r₁ r₂ : R
m₁ m₂ : M
f : M →ₚ[R] N
⊢ r₁ • m₁ + r₂ • m₂ = ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![r₁, r₂] i • ![m₁, m₂] i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
r₁ r₂ : R
m₁ m₂ : M
f : M →ₚ[R] N
⊢ r₁ • m₁ + r₂ • m₂ = ∑ i : F... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.ground_image_eq_coeff_sum_two | [400, 1] | [405, 7] | rw [this, ground_image_eq_coeff_sum] | R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
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inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
r₁ r₂ : R
m₁ m₂ : M
f : M →ₚ[R] N
this : r₁ • m₁ + r₂ • m₂ = ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![r₁, r₂] i • ![m₁, m₂] i
⊢ f.grou... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type uN
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type uι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
r₁ r₂ : R
m₁ m₂ : M
f : M →ₚ[R] N
this : r₁ • m₁ + r₂ • m₂ = ∑ ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | rw [_root_.eq_top_iff] | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
⊢ Submodu... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
⊢ ⊤ ≤ Sub... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | intro m h | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
⊢ ⊤ ≤ Sub... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
m : S ⊗[R... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | induction m using TensorProduct.induction_on with
| zero => exact zero_mem _
| tmul r m =>
let f : M →ₗ[R] S ⊗[R] M :=
{ toFun := fun m => (1 : S) ⊗ₜ[R] m
map_add' := fun x y => by simp only [TensorProduct.tmul_add]
map_smul' := fun a x => by simp only [TensorProduct.tmul_smul, RingHom.id... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
m : S ⊗[R... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | exact zero_mem _ | case zero
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | let f : M →ₗ[R] S ⊗[R] M :=
{ toFun := fun m => (1 : S) ⊗ₜ[R] m
map_add' := fun x y => by simp only [TensorProduct.tmul_add]
map_smul' := fun a x => by simp only [TensorProduct.tmul_smul, RingHom.id_apply] } | case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤... | case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | suffices r ⊗ₜ[R] m = r • (1 : S) ⊗ₜ[R] m by
rw [this]
apply Submodule.smul_mem _ r _
apply Submodule.span_le_restrictScalars R
convert Submodule.apply_mem_span_image_of_mem_span (s := Set.range e) f _
. conv_rhs => rw [← Set.image_univ, Set.image_image, Set.image_univ]
rfl
. rw [hm]; exact Submodule.mem... | case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤... | case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | rw [TensorProduct.smul_tmul'] | case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤... | case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | simp only [Algebra.id.smul_eq_mul, _root_.mul_one] | case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case tmul
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | simp only [TensorProduct.tmul_add] | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r : S
m :... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | simp only [TensorProduct.tmul_smul, RingHom.id_apply] | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r : S
m :... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | rw [this] | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r : S
m :... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r : S
m :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | apply Submodule.smul_mem _ r _ | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r : S
m :... | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r : S
m :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | apply Submodule.span_le_restrictScalars R | R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r : S
m :... | case a
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_... |
https://github.com/AntoineChambert-Loir/DividedPowers4.git | 18a13603ed0158d2880b6b0b0369d78417040a1d | DividedPowers/PolynomialMap/Coeff.lean | PolynomialMap.span_tensorProduct_eq_top_of_span_eq_top | [409, 1] | [430, 93] | convert Submodule.apply_mem_span_image_of_mem_span (s := Set.range e) f _ | case a
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.range e) = ⊤
r ... | case h.e'_5.h.e'_6
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
e : σ → M
hm : Submodule.span R (Set.ran... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type uM
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type uN
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type uι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : ... |
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