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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | bound | S : Type
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T : Type
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s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
w : ℂ
ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1
⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 + (r / 2 - r1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
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STATE:
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TACTIC:
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T : Type
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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STATE:
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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E : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
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n : ℕ
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e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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ck : IsCompact k
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
n : ℕ
fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
w : ℂ
ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1)
⊢ e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) =
e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [mul_comm] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
n : ℕ
fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
w : ℂ
ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1)
⊢ (∫⁻ (v : ℂ) in closedBall w r2, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ =
ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (v : ℂ) in closedBall w r2, f n v | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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ks : k ⊆ interior s
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dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
n : ℕ
fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
w : ℂ
ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1)
⊢ (∫⁻ (v : ℂ) in closedBall w r2, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ =
ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (v : ℂ) in closedBall w r2, f n v
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | by_cases bc : b ≤ c | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c b : ℝ
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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s k : Set ℂ
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : b ≤ c
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
case neg
S : Type
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : ¬b ≤ c
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | simp only [not_le] at bc | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : ¬b ≤ c
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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s k : Set ℂ
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : ¬b ≤ c
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | generalize hf' : (fun n z ↦ f n z - b) = f' | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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bc : c < b
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
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hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | generalize hg : (fun n z ↦ ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have fs' : ∀ n, SubharmonicOn (f' n) s := by
rw [← hf']; exact fun n ↦ (fs n).add (HarmonicOn.const _).subharmonicOn | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have fn' : ∀ n z, z ∈ interior s → f' n z ≤ 0 := fun n z zs ↦ by
simp only [← hf', fb n z (interior_subset zs), sub_nonpos] | case neg
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s k : Set ℂ
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ck : IsCompact k
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have gs : ∀ n, SuperharmonicOn (g n) (interior s) := by
rw [← hg]; exact fun n ↦ ((fs' n).mono interior_subset).neg (fn' n) measurableSet_interior | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
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fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
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bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
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fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
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⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have gc : ∀ z, z ∈ interior s → (atTop.liminf fun n ↦ g n z) ≥ ENNReal.ofReal (b - c) := by
intro z zs; specialize fc z (interior_subset zs); refine le_liminf.simple.mpr ?_
intro d dc
have df : d ≠ ⊤ := ne_top_of_lt dc
have dc' : b - d.toReal > c := by
calc b - d.toReal
_ > b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal :=
sub_lt_sub_left ((ENNReal.toReal_lt_toReal df ENNReal.ofReal_ne_top).mpr dc) b
_ = b - (b - c) := by rw [ENNReal.toReal_ofReal (sub_pos.mpr bc).le]
_ = c := by ring_nf
refine (fc _ dc').mp (Filter.eventually_of_forall ?_); intro n fb
calc
g n z = ENNReal.ofReal (b - f n z) := by simp only [← hg, ← hf', neg_sub]
_ ≥ ENNReal.ofReal (b - (b - d.toReal)) := by bound
_ = ENNReal.ofReal d.toReal := by ring_nf
_ = d := by rw [ENNReal.ofReal_toReal df] | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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ks : k ⊆ interior s
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⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have ks' := ks | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior s
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
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hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
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gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | rw [← interior_interior] at ks' | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
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⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
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ck : IsCompact k
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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ks' : k ⊆ interior (interior s)
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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ck : IsCompact k
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bc : c < b
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
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ks' : k ⊆ interior s
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have h := SuperharmonicOn.hartogs gs gc ck ks' | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
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g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
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gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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ck : IsCompact k
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
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gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
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ks' : k ⊆ interior (interior s)
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⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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ck : IsCompact k
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hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | intro d dc | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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ck : IsCompact k
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gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
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ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
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fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
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d : ℝ
dc : d > c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) := by
rw [ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff (sub_pos.mpr bc)]; simpa only [sub_lt_sub_iff_left] | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
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T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | refine (h _ dc').mp (Filter.eventually_of_forall ?_) | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k, g x z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)) → ∀ z ∈ k, f x z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | intro n hn z zk | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k, g x z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)) → ∀ z ∈ k, f x z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
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dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
hn : ∀ z ∈ k, g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)
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zk : z ∈ k
⊢ f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k, g x z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)) → ∀ z ∈ k, f x z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | specialize hn z zk | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
hn : ∀ z ∈ k, g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)
z : ℂ
zk : z ∈ k
⊢ f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
hn : g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)
⊢ f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
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hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
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zk : z ∈ k
⊢ f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | simp only [← hg, ← hf', neg_sub, ge_iff_le] at hn | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
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fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
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⊢ f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
hn : ENNReal.ofReal (b - d) ≤ ENNReal.ofReal (b - f n z)
⊢ f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
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n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
hn : g n z ≥ ENNReal.ofReal (b - d)
⊢ f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | rw [ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff (sub_nonneg.mpr (fb n z (interior_subset (ks zk))))] at hn | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
hn : ENNReal.ofReal (b - d) ≤ ENNReal.ofReal (b - f n z)
⊢ f n z ≤ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
hn : b - d ≤ b - f n z
⊢ f n z ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
hn : ENNReal.ofReal (b - d) ≤ ENNReal.ofReal (b - f n z)
⊢ f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | rwa [← sub_le_sub_iff_left] | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
hn : b - d ≤ b - f n z
⊢ f n z ≤ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
dc' : ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
n : ℕ
z : ℂ
zk : z ∈ k
hn : b - d ≤ b - f n z
⊢ f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | exact fun d dc ↦
Filter.eventually_of_forall fun n z zk ↦
_root_.trans (fb n z (_root_.trans ks interior_subset zk)) (_root_.trans bc dc.le) | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : b ≤ c
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : b ≤ c
⊢ ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | rw [← hf'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn ((fun n z => f n z - b) n) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s k : Set ℂ
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | exact fun n ↦ (fs n).add (HarmonicOn.const _).subharmonicOn | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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s k : Set ℂ
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn ((fun n z => f n z - b) n) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn ((fun n z => f n z - b) n) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | simp only [← hf', fb n z (interior_subset zs), sub_nonpos] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
n : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
⊢ f' n z ≤ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
n : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
⊢ f' n z ≤ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | rw [← hg] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn ((fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) n) (interior s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
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fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | exact fun n ↦ ((fs' n).mono interior_subset).neg (fn' n) measurableSet_interior | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn ((fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) n) (interior s) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
⊢ ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn ((fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) n) (interior s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | intro z zs | S : Type
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T : Type
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E : Type
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H : Type
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
⊢ ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | specialize fc z (interior_subset zs) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
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gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
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⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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H : Type
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f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
ck : IsCompact k
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
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g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
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fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
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zs : z ∈ interior s
⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | refine le_liminf.simple.mpr ?_ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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H : Type
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⊢ ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
⊢ liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | intro d dc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
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gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
z : ℂ
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fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
⊢ ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z | S : Type
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T : Type
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ g n z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have df : d ≠ ⊤ := ne_top_of_lt dc | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | have dc' : b - d.toReal > c := by
calc b - d.toReal
_ > b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal :=
sub_lt_sub_left ((ENNReal.toReal_lt_toReal df ENNReal.ofReal_ne_top).mpr dc) b
_ = b - (b - c) := by rw [ENNReal.toReal_ofReal (sub_pos.mpr bc).le]
_ = c := by ring_nf | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | refine (fc _ dc').mp (Filter.eventually_of_forall ?_) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | intro n fb | S : Type
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⊢ ∀ (x : ℕ), f x z ≤ b - d.toReal → d ≤ g x z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ d ≤ g n z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
d : ℝ≥0∞
dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
⊢ ∀ (x : ℕ), f x z ≤ b - d.toReal → d ≤ g x z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | calc
g n z = ENNReal.ofReal (b - f n z) := by simp only [← hg, ← hf', neg_sub]
_ ≥ ENNReal.ofReal (b - (b - d.toReal)) := by bound
_ = ENNReal.ofReal d.toReal := by ring_nf
_ = d := by rw [ENNReal.ofReal_toReal df] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
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gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
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df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
n : ℕ
fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ d ≤ g n z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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⊢ d ≤ g n z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | calc b - d.toReal
_ > b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal :=
sub_lt_sub_left ((ENNReal.toReal_lt_toReal df ENNReal.ofReal_ne_top).mpr dc) b
_ = b - (b - c) := by rw [ENNReal.toReal_ofReal (sub_pos.mpr bc).le]
_ = c := by ring_nf | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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STATE:
S : Type
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T : Type
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⊢ b - d.toReal > c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | rw [ENNReal.toReal_ofReal (sub_pos.mpr bc).le] | S : Type
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T : Type
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dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
⊢ b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal = b - (b - c) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
⊢ b - (ENNReal.ofReal (b - c)).toReal = b - (b - c)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | ring_nf | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
⊢ b - (b - c) = c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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F : Type
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dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
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⊢ b - (b - c) = c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | simp only [← hg, ← hf', neg_sub] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
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dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
n : ℕ
fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ g n z = ENNReal.ofReal (b - f n z) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
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df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
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fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ g n z = ENNReal.ofReal (b - f n z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
n : ℕ
fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ ENNReal.ofReal (b - f n z) ≥ ENNReal.ofReal (b - (b - d.toReal)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
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n : ℕ
fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ ENNReal.ofReal (b - f n z) ≥ ENNReal.ofReal (b - (b - d.toReal))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | ring_nf | S : Type
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E : Type
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H : Type
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s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
d : ℝ≥0∞
dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
n : ℕ
fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ ENNReal.ofReal (b - (b - d.toReal)) = ENNReal.ofReal d.toReal | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
d : ℝ≥0∞
dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
n : ℕ
fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ ENNReal.ofReal (b - (b - d.toReal)) = ENNReal.ofReal d.toReal
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | rw [ENNReal.ofReal_toReal df] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
d : ℝ≥0∞
dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
n : ℕ
fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ ENNReal.ofReal d.toReal = d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb✝ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
fc : ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
d : ℝ≥0∞
dc : d < ENNReal.ofReal (b - c)
df : d ≠ ⊤
dc' : b - d.toReal > c
n : ℕ
fb : f n z ≤ b - d.toReal
⊢ ENNReal.ofReal d.toReal = d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | rw [ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff (sub_pos.mpr bc)] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
⊢ ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
⊢ b - d < b - c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
⊢ ENNReal.ofReal (b - d) < ENNReal.ofReal (b - c)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.hartogs | [1043, 1] | [1090, 30] | simpa only [sub_lt_sub_iff_left] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
⊢ b - d < b - c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s k : Set ℂ
c b : ℝ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ s, f n z ≤ b
fc : ∀ z ∈ s, ∀ d > c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n z ≤ d
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
bc : c < b
f' : ℕ → ℂ → ℝ
hf' : (fun n z => f n z - b) = f'
g : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
hg : (fun n z => ENNReal.ofReal (-f' n z)) = g
fs' : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f' n) s
fn' : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ interior s, f' n z ≤ 0
gs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (g n) (interior s)
gc : ∀ z ∈ interior s, liminf (fun n => g n z) atTop ≥ ENNReal.ofReal (b - c)
ks' : k ⊆ interior (interior s)
h : ∀ d < ENNReal.ofReal (b - c), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, g n z ≥ d
d : ℝ
dc : d > c
⊢ b - d < b - c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | max_exp_pos | [26, 1] | [27, 8] | bound | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ 0 < max b.exp x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ 0 < max b.exp x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | le_maxLog | [29, 1] | [30, 57] | rw [maxLog, Real.le_log_iff_exp_le max_exp_pos] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ b ≤ maxLog b x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ b.exp ≤ max b.exp x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ b ≤ maxLog b x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | le_maxLog | [29, 1] | [30, 57] | bound | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ b.exp ≤ max b.exp x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ b.exp ≤ max b.exp x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | maxLog_eq_b | [32, 1] | [32, 98] | simp [maxLog, max_eq_left h] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
h : x ≤ b.exp
⊢ maxLog b x = b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
h : x ≤ b.exp
⊢ maxLog b x = b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | maxLog_eq_log | [34, 1] | [35, 32] | simp [maxLog, max_eq_right h] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
h : b.exp ≤ x
⊢ maxLog b x = x.log | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
h : b.exp ≤ x
⊢ maxLog b x = x.log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | maxLog_le | [37, 1] | [39, 41] | rw [maxLog, Real.log_le_iff_le_exp max_exp_pos] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ maxLog b x ≤ y | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ max b.exp x ≤ y.exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ maxLog b x ≤ y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | maxLog_le | [37, 1] | [39, 41] | apply max_le | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ max b.exp x ≤ y.exp | case h₁
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ b.exp ≤ y.exp
case h₂
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ max b.exp x ≤ y.exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | maxLog_le | [37, 1] | [39, 41] | apply Real.exp_le_exp.mpr yb | case h₁
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ b.exp ≤ y.exp
case h₂
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp | case h₂
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₁
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ b.exp ≤ y.exp
case h₂
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | maxLog_le | [37, 1] | [39, 41] | exact xy | case h₂
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₂
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b ≤ y
xy : x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | le_exp_maxLog | [41, 1] | [42, 47] | rw [maxLog, Real.exp_log max_exp_pos] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ x ≤ (maxLog b x).exp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ x ≤ max b.exp x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ x ≤ (maxLog b x).exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | le_exp_maxLog | [41, 1] | [42, 47] | bound | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ x ≤ max b.exp x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ x ≤ max b.exp x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | le_of_maxLog_le | [45, 1] | [46, 83] | rw [maxLog, Real.log_le_iff_le_exp max_exp_pos] at m | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
m : maxLog b x ≤ y
⊢ x ≤ y.exp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
m : max b.exp x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
m : maxLog b x ≤ y
⊢ x ≤ y.exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | le_of_maxLog_le | [45, 1] | [46, 83] | exact le_of_max_le_right m | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
m : max b.exp x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
m : max b.exp x ≤ y.exp
⊢ x ≤ y.exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | monotone_maxLog | [49, 1] | [52, 34] | simp_rw [maxLog] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Monotone fun x => maxLog b x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Monotone fun x => (max b.exp x).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Monotone fun x => maxLog b x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | monotone_maxLog | [49, 1] | [52, 34] | intro x y xy | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Monotone fun x => (max b.exp x).log | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ (fun x => (max b.exp x).log) x ≤ (fun x => (max b.exp x).log) y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Monotone fun x => (max b.exp x).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | monotone_maxLog | [49, 1] | [52, 34] | simp only [ge_iff_le] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ (fun x => (max b.exp x).log) x ≤ (fun x => (max b.exp x).log) y | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ (max b.exp x).log ≤ (max b.exp y).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ (fun x => (max b.exp x).log) x ≤ (fun x => (max b.exp x).log) y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | monotone_maxLog | [49, 1] | [52, 34] | rw [Real.log_le_log_iff max_exp_pos max_exp_pos] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ (max b.exp x).log ≤ (max b.exp y).log | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ max b.exp x ≤ max b.exp y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ (max b.exp x).log ≤ (max b.exp y).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | monotone_maxLog | [49, 1] | [52, 34] | apply max_le_max (le_refl _) xy | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ max b.exp x ≤ max b.exp y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
xy : x ≤ y
⊢ max b.exp x ≤ max b.exp y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | simp_rw [maxLog] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Continuous fun x => maxLog b x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Continuous fun x => (max b.exp x).log | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Continuous fun x => maxLog b x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | rw [continuous_iff_continuousAt] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Continuous fun x => (max b.exp x).log | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun x => (max b.exp x).log) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ Continuous fun x => (max b.exp x).log
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | intro x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun x => (max b.exp x).log) x | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun x => (max b.exp x).log) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun x => (max b.exp x).log) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | refine (ContinuousAt.log ?_ max_exp_pos.ne').comp ?_ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun x => (max b.exp x).log) x | case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (max b.exp) x
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun x => x) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun x => (max b.exp x).log) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | apply Continuous.continuousAt | case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (max b.exp) x | case refine_1.h
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous (max b.exp) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (max b.exp) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | apply Continuous.max | case refine_1.h
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous (max b.exp) | case refine_1.h.hf
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b_1 => b.exp
case refine_1.h.hg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b => b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.h
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous (max b.exp)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | exact continuous_const | case refine_1.h.hf
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b_1 => b.exp
case refine_1.h.hg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b => b | case refine_1.h.hg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b => b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.h.hf
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b_1 => b.exp
case refine_1.h.hg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b => b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | exact continuous_id | case refine_1.h.hg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b => b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.h.hg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ Continuous fun b => b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | continuous_maxLog | [55, 1] | [59, 26] | exact continuousAt_id | case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun x => x) x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun x => x) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [lipschitzOnWith_iff_dist_le_mul] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ LipschitzOnWith (-b).exp.toNNReal Real.log (Ici b.exp) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ ∀ x ∈ Ici b.exp, ∀ y ∈ Ici b.exp, dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ LipschitzOnWith (-b).exp.toNNReal Real.log (Ici b.exp)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | have half : ∀ x y : ℝ, b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| := by
intro x y yb xy
have yp : y > 0 := lt_of_lt_of_le (Real.exp_pos _) yb
have xp : x > 0 := lt_of_lt_of_le yp xy
have yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp := by rw [Real.exp_neg]; bound
rw [abs_of_nonneg (sub_nonneg.mpr xy)]
rw [abs_of_nonneg (sub_nonneg.mpr ((Real.log_le_log_iff yp xp).mpr xy))]
rw [← Real.log_div xp.ne' yp.ne']
rw [Real.log_le_iff_le_exp (div_pos xp yp)]
trans (y⁻¹ * (x - y)).exp; swap; bound
have e : y⁻¹ * (x - y) = x / y - 1 := by field_simp [yp.ne']
rw [e]
have e1 := Real.add_one_le_exp (x / y - 1)
simp at e1; exact e1 | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ ∀ x ∈ Ici b.exp, ∀ y ∈ Ici b.exp, dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
⊢ ∀ x ∈ Ici b.exp, ∀ y ∈ Ici b.exp, dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ ∀ x ∈ Ici b.exp, ∀ y ∈ Ici b.exp, dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | intro x xs y ys | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
⊢ ∀ x ∈ Ici b.exp, ∀ y ∈ Ici b.exp, dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x : ℝ
xs : x ∈ Ici b.exp
y : ℝ
ys : y ∈ Ici b.exp
⊢ dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
⊢ ∀ x ∈ Ici b.exp, ∀ y ∈ Ici b.exp, dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | simp at xs ys ⊢ | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x : ℝ
xs : x ∈ Ici b.exp
y : ℝ
ys : y ∈ Ici b.exp
⊢ dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ dist x.log y.log ≤ max (-b).exp 0 * dist x y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x : ℝ
xs : x ∈ Ici b.exp
y : ℝ
ys : y ∈ Ici b.exp
⊢ dist x.log y.log ≤ ↑(-b).exp.toNNReal * dist x y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [max_eq_left (Real.exp_pos _).le] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ dist x.log y.log ≤ max (-b).exp 0 * dist x y | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ dist x.log y.log ≤ (-b).exp * dist x y | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ dist x.log y.log ≤ max (-b).exp 0 * dist x y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | simp_rw [Real.dist_eq] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ dist x.log y.log ≤ (-b).exp * dist x y | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ dist x.log y.log ≤ (-b).exp * dist x y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | by_cases xy : x ≥ y | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | case pos
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x ≥ y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : ¬x ≥ y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | simp at xy | case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : ¬x ≥ y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : ¬x ≥ y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [← neg_sub y x, abs_neg] | case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |y - x| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [← neg_sub y.log x.log, abs_neg] | case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |y - x| | case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |y.log - x.log| ≤ (-b).exp * |y - x| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |y - x|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | exact half y x xs xy.le | case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |y.log - x.log| ≤ (-b).exp * |y - x| | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
half : ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
x y : ℝ
xs : b.exp ≤ x
ys : b.exp ≤ y
xy : x < y
⊢ |y.log - x.log| ≤ (-b).exp * |y - x|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | intro x y yb xy | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b : ℝ
⊢ ∀ (x y : ℝ), b.exp ≤ y → y ≤ x → |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | have yp : y > 0 := lt_of_lt_of_le (Real.exp_pos _) yb | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | have xp : x > 0 := lt_of_lt_of_le yp xy | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | have yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp := by rw [Real.exp_neg]; bound | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [abs_of_nonneg (sub_nonneg.mpr xy)] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y| | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * (x - y) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * |x - y|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [abs_of_nonneg (sub_nonneg.mpr ((Real.log_le_log_iff yp xp).mpr xy))] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * (x - y) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x.log - y.log ≤ (-b).exp * (x - y) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ |x.log - y.log| ≤ (-b).exp * (x - y)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [← Real.log_div xp.ne' yp.ne'] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x.log - y.log ≤ (-b).exp * (x - y) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (x / y).log ≤ (-b).exp * (x - y) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x.log - y.log ≤ (-b).exp * (x - y)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [Real.log_le_iff_le_exp (div_pos xp yp)] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (x / y).log ≤ (-b).exp * (x - y) | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (x / y).log ≤ (-b).exp * (x - y)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | trans (y⁻¹ * (x - y)).exp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (y⁻¹ * (x - y)).exp ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | swap | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (y⁻¹ * (x - y)).exp ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (y⁻¹ * (x - y)).exp ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (y⁻¹ * (x - y)).exp ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | bound | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (y⁻¹ * (x - y)).exp ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ (y⁻¹ * (x - y)).exp ≤ ((-b).exp * (x - y)).exp
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | have e : y⁻¹ * (x - y) = x / y - 1 := by field_simp [yp.ne'] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
e : y⁻¹ * (x - y) = x / y - 1
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/MaxLog.lean | LipschitzOnWith.log | [67, 1] | [91, 26] | rw [e] | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
e : y⁻¹ * (x - y) = x / y - 1
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp | E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
e : y⁻¹ * (x - y) = x / y - 1
⊢ x / y ≤ (x / y - 1).exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
b x y : ℝ
yb : b.exp ≤ y
xy : y ≤ x
yp : y > 0
xp : x > 0
yi : y⁻¹ ≤ (-b).exp
e : y⁻¹ * (x - y) = x / y - 1
⊢ x / y ≤ (y⁻¹ * (x - y)).exp
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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