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x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | apply ENNReal.measurable_ofReal.aemeasurable.comp_aemeasurable | S : Type
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | intro c r rp cs | S : Type
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ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z) | S : Type
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STATE:
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∀ r > 0,
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [← ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal] | S : Type
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⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z) | S : Type
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case hfi
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T : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [← ENNReal.ofReal_mul] | S : Type
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T : Type
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S : Type
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S : Type
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H : Type
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⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal ((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)
S : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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H : Type
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⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [integral_neg, mul_neg] | case h
S : Type
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⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | apply neg_le_neg | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ -((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a) ≤ -f c
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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sm : MeasurableSet s
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cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ -((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a) ≤ -f c
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [←Complex.volume_closedBall' rp.le, ←smul_eq_mul, ←setAverage_eq] | case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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sm : MeasurableSet s
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⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | case h.a
S : Type
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S : Type
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STATE:
case h.a
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | exact (fs.mono cs).submean_disk rp | case h.a
S : Type
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S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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sm : MeasurableSet s
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⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | S : Type
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T : Type
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
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cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℂ) in closedBall c r, f x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | exact (fs.mono cs).cont.neg.integrableOn_closedBall | case hfi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Integrable (fun z => -f z) (volume.restrict (closedBall c r)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hfi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Integrable (fun z => -f z) (volume.restrict (closedBall c r))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [Filter.EventuallyLE] | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (volume.restrict (closedBall c r)).ae.EventuallyLE 0 fun z => -f z | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ) ∂volume.restrict (closedBall c r), 0 x ≤ -f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (volume.restrict (closedBall c r)).ae.EventuallyLE 0 fun z => -f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_closedBall] | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ) ∂volume.restrict (closedBall c r), 0 x ≤ -f x | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ), x ∈ closedBall c r → 0 x ≤ -f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ) ∂volume.restrict (closedBall c r), 0 x ≤ -f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | apply Filter.eventually_of_forall | case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ), x ∈ closedBall c r → 0 x ≤ -f x | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, 0 x ≤ -f x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : ℂ), x ∈ closedBall c r → 0 x ≤ -f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | intro z zs | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, 0 x ≤ -f x | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ 0 z ≤ -f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, 0 x ≤ -f x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | simp only [Pi.zero_apply, Right.nonneg_neg_iff] | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ 0 z ≤ -f z | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ f z ≤ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ 0 z ≤ -f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.neg | [916, 1] | [932, 90] | exact fn z (cs zs) | case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ f z ≤ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case f_nn.hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ f z ≤ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | NNReal.pi_eq_ofReal_pi | [934, 1] | [935, 54] | rw [←NNReal.coe_real_pi, ENNReal.ofReal_coe_nnreal] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
⊢ ↑pi = ENNReal.ofReal π | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
⊢ ↑pi = ENNReal.ofReal π
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro d dc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
⊢ ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | S : Type
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STATE:
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⊢ ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | by_cases dz : d = 0 | S : Type
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case neg
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have dp : d > 0 := pos_iff_ne_zero.mpr dz | case neg
S : Type
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg
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T : Type
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have df : d ≠ ⊤ := ne_top_of_lt dc | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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H : Type
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S : Type
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df : d ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have drp : d.toReal > 0 := ENNReal.toReal_pos dz df | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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df : d ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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STATE:
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S : Type
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T : Type
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d : ℝ≥0∞
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df : d ≠ ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rcases exists_between dc with ⟨e, de, ec⟩ | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
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H : Type
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d : ℝ≥0∞
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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d : ℝ≥0∞
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dz : ¬d = 0
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have ep : e > 0 := _root_.trans de dp | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have ez : e ≠ 0 := pos_iff_ne_zero.mp ep | case neg.intro.intro
S : Type
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S : Type
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STATE:
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S : Type
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TACTIC:
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have erp : e.toReal > 0 := ENNReal.toReal_pos ez ef | case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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S : Type
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STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | apply ck.induction_on (p := fun s ↦ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (z : ℂ), z ∈ s → f n z ≥ d) | case neg.intro.intro
S : Type
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case neg.intro.intro.hmono
S : Type
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⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, s ⊆ t → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
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erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄,
(∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d) →
(∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s ∪ t, f n z ≥ d
case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro z zs | case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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zs : z ∈ k
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior z (ks zs) with ⟨r, rp, rs⟩ | case neg.intro.intro.hnhds
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | generalize hr2 : r / 2 = r2 | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
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z : ℂ
zs : z ∈ k
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rs : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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df : d ≠ ⊤
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r2 : ℝ
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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S : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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df : d ≠ ⊤
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r2 : ℝ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have dep : d.toReal / e.toReal > 0 := div_pos drp erp | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
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hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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dc : d < c
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de : d < e
ec : e < c
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
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rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r2p : r2 > 0 := by rw [← hr2]; exact half_pos rp | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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F : Type
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H : Type
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hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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T : Type
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r1p : r1 > 0 := by rw [← hr1]; exact mul_pos r2p (Real.sqrt_pos_of_pos (div_pos drp erp)) | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r12 : r1 < r2 := by
rw [← hr1]; apply mul_lt_of_lt_one_right r2p; rw [Real.sqrt_lt dep.le zero_le_one]
simp only [one_pow]
apply (div_lt_one erp).mpr; exact (ENNReal.toReal_lt_toReal df ef).mpr de | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
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r1p : r1 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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r1p : r1 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r1r : r1 < r := by apply _root_.trans r12; rw [← hr2]; exact half_lt_self rp | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
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z : ℂ
zs : z ∈ k
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rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
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r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
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ec : e < c
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ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
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z : ℂ
zs : z ∈ k
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rp : r > 0
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r1s : closedBall z r1 ⊆ s :=
_root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball r1r) (_root_.trans rs interior_subset) | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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dc : d < c
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dp : d > 0
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e : ℝ≥0∞
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erp : e.toReal > 0
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r2 : ℝ
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) := by
rw [← ENNReal.ofReal_mul (by bound : π * r1 ^ 2 ≥ 0), ← hr1, mul_pow, Real.sq_sqrt dep.le]
have smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal := by
calc π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹
_ = π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) := by simp_rw [mul_inv]
_ = d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) := by ring_nf
_ = d.toReal / e.toReal := by simp only [mul_inv_cancel Real.pi_pos.ne',
mul_inv_cancel (pow_ne_zero _ r2p.ne'), mul_one]
rw [smash, ENNReal.ofReal_div_of_pos erp, ENNReal.ofReal_toReal df, ENNReal.ofReal_toReal ef]
rw [ENNReal.mul_div_cancel' ez ef] | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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d : ℝ≥0∞
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ec : e < c
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z : ℂ
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r2 : ℝ
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r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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dp : d > 0
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r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have s12 : ∀ w, w ∈ closedBall z (r2 - r1) → closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 := by
intro w wr; apply Metric.closedBall_subset_closedBall'
simp only [dist_comm, Metric.mem_closedBall, le_sub_iff_add_le] at wr; rwa [add_comm] | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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zs : z ∈ k
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
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r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have r2s : ∀ w, w ∈ closedBall z (r2 - r1) → closedBall w r2 ⊆ s := by
intro w ws; refine _root_.trans ?_ (_root_.trans rs interior_subset)
simp only [Complex.dist_eq, ← hr2, Metric.mem_closedBall] at ws ⊢
apply Metric.closedBall_subset_ball'; simp only [Complex.dist_eq]
calc r / 2 + abs (w - z)
_ ≤ r / 2 + (r / 2 - r1) := by bound
_ = r - r1 := by ring_nf
_ < r := sub_lt_self _ r1p | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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de : d < e
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ef : e ≠ ⊤
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zs : z ∈ k
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rp : r > 0
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hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
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dep : d.toReal / e.toReal > 0
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r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
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rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | set fi := fun z ↦ atTop.liminf fun n ↦ f n z | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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ck : IsCompact k
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rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have fm : ∀ n, _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) := fun n ↦
AEMeasurable.mono_set r1s (fs n).AEMeasurable | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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H : Type
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rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have fatou' := @lintegral_liminf_le' _ _ (volume.restrict (closedBall z r1)) f fm | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
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fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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dc : d < c
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z : ℂ
zs : z ∈ k
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rp : r > 0
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
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r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
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rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou' :
∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤
liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
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fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have im := @set_lintegral_mono_aEMeasurable _ _ (closedBall z r1) (fun _ ↦ c) _
measurableSet_closedBall fun _ zs ↦ fc _ (r1s zs) | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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fatou' :
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liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | simp only [lintegral_const, Measure.restrict_apply, MeasurableSet.univ, Set.univ_inter] at im | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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im : ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, (fun x => c) x ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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T : Type
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∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤
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im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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c : ℝ≥0∞
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liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
im : ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, (fun x => c) x ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have vec : e * volume (closedBall z r1) < c * volume (closedBall z r1) :=
haveI n := NiceVolume.closedBall z r1p
(ENNReal.mul_lt_mul_right n.ne_zero n.ne_top).mpr ec | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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hr2 : r / 2 = r2
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im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
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z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
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r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
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liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop
vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
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df : d ≠ ⊤
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e : ℝ≥0∞
de : d < e
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ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou' :
∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤
liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have fatou := le_liminf.simple.mp (_root_.trans im fatou') (e * volume (closedBall z r1)) vec | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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c : ℝ≥0∞
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fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
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fatou' :
∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤
liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
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vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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r2 : ℝ
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∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤
liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [Complex.volume_closedBall, NNReal.pi_eq_ofReal_pi, ←ENNReal.ofReal_pow r1p.le,
←ENNReal.ofReal_mul' Real.pi_nonneg, mul_comm _ π] at fatou | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
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H : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | clear fatou' im fc vec | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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z : ℂ
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rp : r > 0
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
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fatou' :
∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤
liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop
vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1)
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
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s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou' :
∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n a) atTop ≤
liminf (fun n => ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a) atTop
im : c * ↑volume (closedBall z r1) ≤ ∫⁻ (x : ℂ) in closedBall z r1, liminf (fun n => f n x) atTop
vec : e * ↑volume (closedBall z r1) < c * ↑volume (closedBall z r1)
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | use closedBall z (r2 - r1),
mem_nhdsWithin_of_mem_nhds (Metric.closedBall_mem_nhds _ (by bound)) | case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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de : d < e
ec : e < c
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ef : e ≠ ⊤
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z : ℂ
zs : z ∈ k
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rp : r > 0
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dep : d.toReal / e.toReal > 0
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r12 : r1 < r2
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r1s : closedBall z r1 ⊆ s
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s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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z : ℂ
zs : z ∈ k
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rp : r > 0
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r2 : ℝ
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r12 : r1 < r2
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fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
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fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f n z_1 ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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ck : IsCompact k
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df : d ≠ ⊤
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⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | refine fatou.mp (Filter.eventually_of_forall ?_) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f n z_1 ≥ d | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
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hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
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⊢ ∀ (x : ℕ),
e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f x a → ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f x z_1 ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
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zs : z ∈ k
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hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
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r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
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rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
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fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f n z_1 ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro n fn w ws | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
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ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
⊢ ∀ (x : ℕ),
e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f x a → ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f x z_1 ≥ d | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
n : ℕ
fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
w : ℂ
ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1)
⊢ f n w ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
⊢ ∀ (x : ℕ),
e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f x a → ∀ z_1 ∈ closedBall z (r2 - r1), f x z_1 ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | calc d
_ = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) := by rw [rde]
_ = e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ := by rw [mul_assoc]
_ ≤ (∫⁻ v in closedBall z r1, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ :=
(ENNReal.mul_right_mono fn)
_ ≤ (∫⁻ v in closedBall w r2, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ :=
(ENNReal.mul_right_mono (lintegral_mono_set (s12 w ws)))
_ = ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ v in closedBall w r2, f n v := by rw [mul_comm]
_ ≤ f n w := (fs n).supmean w r2 r2p (r2s w ws) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
n : ℕ
fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
w : ℂ
ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1)
⊢ f n w ≥ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
n : ℕ
fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
w : ℂ
ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1)
⊢ f n w ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | simp only [dz, ge_iff_le, zero_le', imp_true_iff, Filter.eventually_atTop, exists_const] | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : d = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : d = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | simp only [Set.mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, Filter.eventually_atTop, imp_true_iff,
exists_const] | case neg.intro.intro.he
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ ∅, f n z ≥ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.he
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
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ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ ∅, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro k0 k1 k01 h1 | case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, s ⊆ t → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
k01 : k0 ⊆ k1
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, s ⊆ t → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | refine h1.mp (Filter.eventually_of_forall ?_) | case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
k01 : k0 ⊆ k1
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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STATE:
case neg.intro.intro.hmono
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | exact fun n a1 z z0 ↦ a1 z (k01 z0) | case neg.intro.intro.hmono
S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro k0 k1 h0 h1 | case neg.intro.intro.hunion
S : Type
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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STATE:
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
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df : d ≠ ⊤
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⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄,
(∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d) →
(∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s ∪ t, f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | refine (h0.and h1).mp (Filter.eventually_of_forall ?_) | case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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STATE:
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro n h z zs | case neg.intro.intro.hunion
S : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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H : Type
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STATE:
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T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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k0 k1 : Set ℂ
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h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
⊢ ∀ (x : ℕ), ((∀ z ∈ k0, f x z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0 ∪ k1, f x z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | cases' zs with zs zs | case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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e : ℝ≥0∞
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k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
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⊢ f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hunion.inl
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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df : d ≠ ⊤
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h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
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E : Type
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⊢ f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | exact h.1 z zs | case neg.intro.intro.hunion.inl
S : Type
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df : d ≠ ⊤
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zs : z ∈ k0
⊢ f n z ≥ d
case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
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zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d | case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
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df : d ≠ ⊤
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
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h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hunion.inl
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
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ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
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ec : e < c
ep : e > 0
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
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h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
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⊢ f n z ≥ d
case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | exact h.2 z zs | case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
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ec : e < c
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
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h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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df : d ≠ ⊤
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [← hr2] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
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z : ℂ
zs : z ∈ k
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rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ r2 > 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ r / 2 > 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ r2 > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | exact half_pos rp | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
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ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ r / 2 > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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ks : k ⊆ interior s
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dc : d < c
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hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ r / 2 > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [← hr1] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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drp : d.toReal > 0
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r2 : ℝ
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r1 : ℝ
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dep : d.toReal / e.toReal > 0
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⊢ r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt > 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | exact mul_pos r2p (Real.sqrt_pos_of_pos (div_pos drp erp)) | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [← hr1] | S : Type
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STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | apply mul_lt_of_lt_one_right r2p | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [Real.sqrt_lt dep.le zero_le_one] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
⊢ (d.toReal / e.toReal).sqrt < 1 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
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hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
⊢ d.toReal / e.toReal < 1 ^ 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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ks : k ⊆ interior s
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hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | simp only [one_pow] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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H : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | apply (div_lt_one erp).mpr | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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⊢ d.toReal / e.toReal < 1 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ d.toReal < e.toReal | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | exact (ENNReal.toReal_lt_toReal df ef).mpr de | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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⊢ d.toReal < e.toReal | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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⊢ d.toReal < e.toReal
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | apply _root_.trans r12 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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H : Type
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STATE:
S : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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⊢ r1 < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [← hr2] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
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dp : d > 0
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de : d < e
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erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
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r12 : r1 < r2
⊢ r2 < r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
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ef : e ≠ ⊤
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z : ℂ
zs : z ∈ k
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ r / 2 < r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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z : ℂ
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r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ r2 < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | exact half_lt_self rp | S : Type
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T : Type
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r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ r / 2 < r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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⊢ r / 2 < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [← ENNReal.ofReal_mul (by bound : π * r1 ^ 2 ≥ 0), ← hr1, mul_pow, Real.sq_sqrt dep.le] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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⊢ d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) | S : Type
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | have smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal := by
calc π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹
_ = π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) := by simp_rw [mul_inv]
_ = d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) := by ring_nf
_ = d.toReal / e.toReal := by simp only [mul_inv_cancel Real.pi_pos.ne',
mul_inv_cancel (pow_ne_zero _ r2p.ne'), mul_one] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [smash, ENNReal.ofReal_div_of_pos erp, ENNReal.ofReal_toReal df, ENNReal.ofReal_toReal ef] | S : Type
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r2p : r2 > 0
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r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal
⊢ d = e * ENNReal.ofReal (π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹) | S : Type
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r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
smash : π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹ = d.toReal / e.toReal
⊢ d = e * (d / e) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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E : Type
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ef : e ≠ ⊤
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zs : z ∈ k
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rp : r > 0
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hr2 : r / 2 = r2
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dep : d.toReal / e.toReal > 0
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r1r : r1 < r
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⊢ d = e * ENNReal.ofReal (π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rw [ENNReal.mul_div_cancel' ez ef] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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⊢ d = e * (d / e) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | bound | S : Type
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STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | calc π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π * r2 ^ 2)⁻¹
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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TACTIC:
|
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | ring_nf | S : Type
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STATE:
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r1s : closedBall z r1 ⊆ s
⊢ π * (r2 ^ 2 * (d.toReal / e.toReal)) * (π⁻¹ * (r2 ^ 2)⁻¹) = d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | simp only [mul_inv_cancel Real.pi_pos.ne',
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F : Type
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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⊢ d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) = d.toReal / e.toReal | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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ks : k ⊆ interior s
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hr2 : r / 2 = r2
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r1s : closedBall z r1 ⊆ s
⊢ d.toReal / e.toReal * (π * π⁻¹) * (r2 ^ 2 * (r2 ^ 2)⁻¹) = d.toReal / e.toReal
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro w wr | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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⊢ ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 | S : Type
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w : ℂ
wr : w ∈ closedBall z (r2 - r1)
⊢ closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | apply Metric.closedBall_subset_closedBall' | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
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ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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dp : d > 0
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w : ℂ
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⊢ r1 + dist z w ≤ r2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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z : ℂ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | simp only [dist_comm, Metric.mem_closedBall, le_sub_iff_add_le] at wr | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ r1 + dist z w ≤ r2 | case h
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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H : Type
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⊢ r1 + dist z w ≤ r2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
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T : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | rwa [add_comm] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
w : ℂ
wr : dist z w + r1 ≤ r2
⊢ r1 + dist z w ≤ r2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
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erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
w : ℂ
wr : dist z w + r1 ≤ r2
⊢ r1 + dist z w ≤ r2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | intro w ws | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℝ≥0∞
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STATE:
S : Type
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T : Type
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H : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | refine _root_.trans ?_ (_root_.trans rs interior_subset) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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T : Type
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STATE:
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T : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | simp only [Complex.dist_eq, ← hr2, Metric.mem_closedBall] at ws ⊢ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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F : Type
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H : Type
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
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STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | apply Metric.closedBall_subset_ball' | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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z : ℂ
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r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
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⊢ closedBall w (r / 2) ⊆ ball z r | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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e : ℝ≥0∞
de : d < e
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z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
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r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
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r12 : r1 < r2
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rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
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STATE:
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
w : ℂ
ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1
⊢ closedBall w (r / 2) ⊆ ball z r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | simp only [Complex.dist_eq] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
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ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
w : ℂ
ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1
⊢ r / 2 + dist w z < r | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
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ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
w : ℂ
ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1
⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) < r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
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r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
w : ℂ
ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1
⊢ r / 2 + dist w z < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SuperharmonicOn.hartogs | [941, 1] | [1036, 52] | calc r / 2 + abs (w - z)
_ ≤ r / 2 + (r / 2 - r1) := by bound
_ = r - r1 := by ring_nf
_ < r := sub_lt_self _ r1p | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
w : ℂ
ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1
⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) < r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
w : ℂ
ws : Complex.abs (w - z) ≤ r / 2 - r1
⊢ r / 2 + Complex.abs (w - z) < r
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