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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [Ne, Measure.restrict_eq_zero] | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ 0 | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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H : Type
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ¬↑volume itau = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact NiceVolume.itau.ne_zero | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ¬↑volume itau = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ¬↑volume itau = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact NiceVolume.itau.ne_top | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℂ
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r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ ⊤ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ ⊤
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [Set.mem_univ, Filter.eventually_true] | case refine_4
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∈ univ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_4
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∈ univ
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact (mc.mono cs).integrableOn_sphere rp | case refine_5
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ IntegrableOn ((fun p => Max.max p.1 p.2) ∘ fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_5
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ IntegrableOn ((fun p => Max.max p.1 p.2) ∘ fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.partialSups | [805, 1] | [809, 59] | induction' n with n h | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s | case zero
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) 0) s
case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) (n + 1)) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.partialSups | [805, 1] | [809, 59] | simp only [fs 0, partialSups_zero] | case zero
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) 0) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case zero
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) 0) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.partialSups | [805, 1] | [809, 59] | simp only [partialSups_succ] | case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) (n + 1)) s | case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n ⊔ f (n + 1) z) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) (n + 1)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.partialSups | [805, 1] | [809, 59] | exact h.max (fs (n + 1)) | case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n ⊔ f (n + 1) z) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case succ
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
n : ℕ
h : SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => (_root_.partialSups fun k => f k z) n ⊔ f (n + 1) z) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [subharmonicOn_iff_submean gc] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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gc : ContinuousOn g s
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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⊢ SubharmonicOn g s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro c r rp cs | S : Type
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r : ℝ
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cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have sm := fun n ↦ ((fs n).mono cs).submean rp | S : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have r0 : 0 ≤ r := rp.le | S : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have cts : ∀ t, circleMap c r t ∈ s := fun _ ↦ cs (circleMap_mem_closedBall _ r0 _) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | S : Type
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | exact le_of_tendsto_of_tendsto' (ft c (cs (Metric.mem_closedBall_self r0))) mt sm | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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mt : Tendsto (fun n => ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
mt : Tendsto (fun n => ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
⊢ g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | simp_rw [average_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop
(𝓝 ((↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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H : Type
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s : Set ℂ
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
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⊢ Tendsto (fun n => ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply Filter.Tendsto.const_smul | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop
(𝓝 ((↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf
S : Type
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T : Type
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⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)) atTop
(𝓝 ((↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | set b' := fun z ↦ |f 0 z| + |g z| | case hf
S : Type
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T : Type
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⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | set b := fun t ↦ b' (circleMap c r t) | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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H : Type
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STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r) :=
ContinuousOn.add ((fs 0).mono cs).cont.abs (gc.mono cs).abs | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fm : Monotone f
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gc : ContinuousOn g s
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf
S : Type
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E : Type
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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cs : closedBall c r ⊆ s
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⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
S : Type
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H : Type
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f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fm : Monotone f
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rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have fcc : ∀ n, Continuous fun t ↦ f n (circleMap c r t) := fun n ↦
((fs n).cont.mono cs).comp_continuous (continuous_circleMap _ _) fun t ↦
circleMap_mem_closedBall _ r0 _ | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply tendsto_integral_of_dominated_convergence b | case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t))) | case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau)
case hf.bound_integrable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Integrable b (volume.restrict itau)
case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a
case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (t : ℝ) in itau, f x (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (∫ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro n | case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau) | case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | exact (fcc n).aestronglyMeasurable | case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.F_measurable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => f n (circleMap c r a)) (volume.restrict itau)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | exact bc'.integrableOn_sphere rp | case hf.bound_integrable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Integrable b (volume.restrict itau) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.bound_integrable
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ Integrable b (volume.restrict itau)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro n | case hf.h_bound
S : Type
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⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | case hf.h_bound
S : Type
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
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⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound
S : Type
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
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⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau] | case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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cs : closedBall c r ⊆ s
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → ‖f n (circleMap c r x)‖ ≤ b x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply ae_of_all | case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → ‖f n (circleMap c r x)‖ ≤ b x | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ a ∈ itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → ‖f n (circleMap c r x)‖ ≤ b x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro t _ | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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s : Set ℂ
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fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
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r : ℝ
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
⊢ ∀ a ∈ itau, ‖f n (circleMap c r a)‖ ≤ b a | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
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c : ℂ
r : ℝ
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fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ ‖f n (circleMap c r t)‖ ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | generalize hz : circleMap c r t = z | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ ‖f n (circleMap c r t)‖ ≤ b t | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fm : Monotone f
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gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ ‖f n (circleMap c r t)‖ ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have zs : z ∈ s := by rw [← hz]; apply cts | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
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hz : circleMap c r t = z
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⊢ ‖f n z‖ ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
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fm : Monotone f
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c : ℂ
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rp : r > 0
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
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hz : circleMap c r t = z
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [Real.norm_eq_abs] | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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c : ℂ
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r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
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fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
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hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ ‖f n z‖ ≤ b t | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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⊢ |f n z| ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ ‖f n z‖ ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [abs_le] | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
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n : ℕ
t : ℝ
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zs : z ∈ s
⊢ |f n z| ≤ b t | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ -b t ≤ f n z ∧ f n z ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | constructor | case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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case hf.h_bound.a.right
S : Type
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t : ℝ
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⊢ f n z ≤ b t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -b t ≤ f n z ∧ f n z ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [← hz] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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fm : Monotone f
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
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bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
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n : ℕ
t : ℝ
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z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ z ∈ s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ circleMap c r t ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
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n : ℕ
t : ℝ
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z : ℂ
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⊢ z ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply cts | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
⊢ circleMap c r t ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | calc -b t
_ ≤ -(|f 0 z| + 0) := by rw [←hz]; bound
_ = -|f 0 z| := by simp only [add_zero]
_ ≤ f 0 z := (neg_abs_le _)
_ ≤ f n z := fm (by simp only [zero_le']) _ | case hf.h_bound.a.left
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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fm : Monotone f
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
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t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -b t ≤ f n z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a.left
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ -b t ≤ f n z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [←hz] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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f : ℕ → ℂ → ℝ
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n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
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zs : z ∈ s
⊢ -b t ≤ -(|f 0 z| + 0) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ -b t ≤ -(|f 0 (circleMap c r t)| + 0) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
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a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
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⊢ -b t ≤ -(|f 0 (circleMap c r t)| + 0) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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z : ℂ
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⊢ -b t ≤ -(|f 0 (circleMap c r t)| + 0)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | simp only [add_zero] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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H : Type
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b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
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fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
⊢ -(|f 0 z| + 0) = -|f 0 z| | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
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r0 : 0 ≤ r
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hz : circleMap c r t = z
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⊢ -(|f 0 z| + 0) = -|f 0 z|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | simp only [zero_le'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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⊢ 0 ≤ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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⊢ 0 ≤ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | have mn : Monotone fun n ↦ f n z := fun _ _ ab ↦ fm ab z | case hf.h_bound.a.right
S : Type
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STATE:
case hf.h_bound.a.right
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | calc f n z
_ ≤ g z := Monotone.ge_of_tendsto (f := fun n ↦ f n z) mn (ft z zs) n
_ ≤ |g z| := le_abs_self _
_ = 0 + |g z| := by ring
_ ≤ b t := by rw [← hz]; apply add_le_add; apply abs_nonneg; apply le_refl | case hf.h_bound.a.right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
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cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
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t : ℝ
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z : ℂ
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⊢ f n z ≤ b t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_bound.a.right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
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⊢ f n z ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | ring | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g z| = 0 + |g z| | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [← hz] | S : Type
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STATE:
S : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply add_le_add | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 + |g (circleMap c r t)| ≤ b t | case h₁
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 ≤ |f 0 (circleMap c r t)|
case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 + |g (circleMap c r t)| ≤ b t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply abs_nonneg | case h₁
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 ≤ |f 0 (circleMap c r t)|
case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)| | case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)| | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₁
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ 0 ≤ |f 0 (circleMap c r t)|
case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply le_refl | case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)| | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h₂
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
n : ℕ
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
z : ℂ
hz : circleMap c r t = z
zs : z ∈ s
mn : Monotone fun n => f n z
⊢ |g (circleMap c r t)| ≤ |g (circleMap c r t)|
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau] | case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a))) | case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → Tendsto (fun n => f n (circleMap c r x)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r x))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | apply ae_of_all | case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → Tendsto (fun n => f n (circleMap c r x)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r x))) | case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ a ∈ itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_lim
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → Tendsto (fun n => f n (circleMap c r x)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r x)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | intro t _ | case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ a ∈ itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a))) | case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ Tendsto (fun n => f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r t))) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ a ∈ itau, Tendsto (fun n => f n (circleMap c r a)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r a)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.monotone_lim | [812, 1] | [848, 84] | exact ft _ (cts _) | case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ Tendsto (fun n => f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r t))) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hf.h_lim.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ
g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (f n) s
fm : Monotone f
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (fun n => f n z) atTop (𝓝 (g z))
gc : ContinuousOn g s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
sm : ∀ (n : ℕ), f n c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f n (circleMap c r t)
r0 : 0 ≤ r
cts : ∀ (t : ℝ), circleMap c r t ∈ s
b' : ℂ → ℝ := fun z => |f 0 z| + |g z|
b : ℝ → ℝ := fun t => b' (circleMap c r t)
bc' : ContinuousOn b' (closedBall c r)
fcc : ∀ (n : ℕ), Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ Tendsto (fun n => f n (circleMap c r t)) atTop (𝓝 (g (circleMap c r t)))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | have gc := fa.continuousOn.maxLog_norm b | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | have ft := fun z (_ : z ∈ s) ↦ duals_lim_tendsto_maxLog_norm b (f z) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | have fs : ∀ n, SubharmonicOn (fun z ↦ partialSups (fun k ↦ maxLog b ‖duals k (f z)‖) n) s := by
intro m; apply SubharmonicOn.partialSups; intro n; simp_rw [Complex.norm_eq_abs]
exact ((duals n).comp_analyticOn fa).maxLogAbsSubharmonicOn b | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | refine SubharmonicOn.monotone_lim fs ?_ ft gc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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F : Type
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H : Type
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f : ℂ → H
s : Set ℂ
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b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ Monotone fun n z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | intro m | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s | S : Type
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⊢ SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) m) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | apply SubharmonicOn.partialSups | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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m : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) m) s | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
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m : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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m : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) m) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | intro n | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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s : Set ℂ
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gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
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m : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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fa : AnalyticOn ℂ f s
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gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m : ℕ
⊢ ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | simp_rw [Complex.norm_eq_abs] | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
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gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs ((duals n) (f z)))) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b ‖(duals n) (f z)‖) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | exact ((duals n).comp_analyticOn fa).maxLogAbsSubharmonicOn b | case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs ((duals n) (f z)))) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
m n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs ((duals n) (f z)))) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | intro a b ab z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ Monotone fun n z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) a z ≤
(fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) b z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n) s
⊢ Monotone fun n z => (partialSups fun k => maxLog b ‖(duals k) (f z)‖) n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | simp only [Complex.norm_eq_abs] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → H
s : Set ℂ
fa : AnalyticOn ℂ f s
b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) a z ≤
(fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) b z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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f : ℂ → H
s : Set ℂ
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b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
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⊢ (partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) a ≤
(partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) a z ≤
(fun n z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) b z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn | [855, 1] | [863, 87] | apply (partialSups _).monotone ab | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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b✝ : ℝ
gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) a ≤
(partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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gc : ContinuousOn (fun z => maxLog b✝ ‖f z‖) s
ft : ∀ z ∈ s, Tendsto (⇑(partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖)) atTop (𝓝 (maxLog b✝ ‖f z‖))
fs : ∀ (n : ℕ), SubharmonicOn (fun z => (partialSups fun k => maxLog b✝ ‖(duals k) (f z)‖) n) s
a b : ℕ
ab : a ≤ b
z : ℂ
⊢ (partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) a ≤
(partialSups fun k => maxLog b✝ (Complex.abs ((duals k) (f z)))) b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | rw [Filter.limsup_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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⊢ limsup (fun n => f n) atTop = -liminf (fun n => -f n) atTop | S : Type
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T : Type
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⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -liminf (fun n => -f n) atTop | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ limsup (fun n => f n) atTop = -liminf (fun n => -f n) atTop
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | rw [Filter.liminf_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -liminf (fun n => -f n) atTop | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -liminf (fun n => -f n) atTop
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | rw [Real.sInf_def] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | have ns : -{a | ∀ᶠ n in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ n in atTop, f n ≤ a} := by
apply Set.ext
simp only [Set.mem_neg, Set.mem_setOf_eq, neg_le_neg_iff, iff_self_iff, forall_const] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | simp_rw [← ns] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | S : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (- -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (-{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | simp only [neg_neg] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (- -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
ns : -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
⊢ -sSup (- -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}) = -sSup {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | apply Set.ext | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), x ∈ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} ↔ x ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} = {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Limsup.neg | [866, 1] | [871, 38] | simp only [Set.mem_neg, Set.mem_setOf_eq, neg_le_neg_iff, iff_self_iff, forall_const] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), x ∈ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} ↔ x ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), x ∈ -{a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ -f n} ↔ x ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≤ a}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.induction | [874, 1] | [877, 46] | rw [ENNReal.forall_ennreal] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (e : ℝ≥0∞), p e | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ (∀ (r : ℝ≥0), p ↑r) ∧ p ⊤ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (e : ℝ≥0∞), p e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.induction | [874, 1] | [877, 46] | refine ⟨?_, pi⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ (∀ (r : ℝ≥0), p ↑r) ∧ p ⊤ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (r : ℝ≥0), p ↑r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ (∀ (r : ℝ≥0), p ↑r) ∧ p ⊤
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.induction | [874, 1] | [877, 46] | rw [NNReal.forall] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (r : ℝ≥0), p ↑r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (x : ℝ) (hx : 0 ≤ x), p ↑⟨x, hx⟩ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (r : ℝ≥0), p ↑r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.induction | [874, 1] | [877, 46] | simpa only [← ENNReal.ofReal_eq_coe_nnreal] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (x : ℝ) (hx : 0 ≤ x), p ↑⟨x, hx⟩ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
p : ℝ≥0∞ → Prop
pi : p ⊤
pf : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → p (ENNReal.ofReal x)
⊢ ∀ (x : ℝ) (hx : 0 ≤ x), p ↑⟨x, hx⟩
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_of_lt_imp_le | [879, 1] | [883, 20] | contrapose h | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ∀ c < a, c ≤ b
⊢ a ≤ b | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ¬a ≤ b
⊢ ¬∀ c < a, c ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ∀ c < a, c ≤ b
⊢ a ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_of_lt_imp_le | [879, 1] | [883, 20] | simp only [not_forall, not_le, exists_prop] at h ⊢ | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ¬a ≤ b
⊢ ¬∀ c < a, c ≤ b | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
⊢ ∃ x < a, b < x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : ¬a ≤ b
⊢ ¬∀ c < a, c ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_of_lt_imp_le | [879, 1] | [883, 20] | rcases exists_between h with ⟨x, bx, xa⟩ | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
⊢ ∃ x < a, b < x | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
x : L
bx : b < x
xa : x < a
⊢ ∃ x < a, b < x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
⊢ ∃ x < a, b < x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_of_lt_imp_le | [879, 1] | [883, 20] | exact ⟨x, xa, bx⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
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inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
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L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
x : L
bx : b < x
xa : x < a
⊢ ∃ x < a, b < x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : LinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
a b : L
h : b < a
x : L
bx : b < x
xa : x < a
⊢ ∃ x < a, b < x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | constructor | S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop ↔ ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop → ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
case mpr
S : Type
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T : Type
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E : Type
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H : Type
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L : Type
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inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ (∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n) → c ≤ liminf f atTop | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
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E : Type
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L : Type
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c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop ↔ ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro h d dc | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
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L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
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f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop → ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
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inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : c ≤ liminf f atTop
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ c ≤ liminf f atTop → ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | rw [Filter.liminf_eq, le_sSup_iff, upperBounds] at h | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : c ≤ liminf f atTop
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : c ≤ liminf f atTop
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | simp only [Filter.eventually_atTop, ge_iff_le, Set.mem_setOf_eq, forall_exists_index] at h | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b
d : L
dc : d < c
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | specialize h d | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | contrapose h | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ¬∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ¬((∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | simp only [dc, not_forall, not_le, exists_prop, and_true_iff, Filter.eventually_atTop,
ge_iff_le, not_exists] at h ⊢ | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ¬∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ¬((∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d) | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
⊢ ∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ¬∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ¬((∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d) → c ≤ d)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro a n an | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
⊢ ∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
⊢ a ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
⊢ ∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | rcases h n with ⟨m, nm, fmd⟩ | case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
⊢ a ≤ d | case mp.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
m : ℕ
nm : n ≤ m
fmd : f m < d
⊢ a ≤ d | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
⊢ a ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | exact _root_.trans (an m nm) fmd.le | case mp.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
m : ℕ
nm : n ≤ m
fmd : f m < d
⊢ a ≤ d | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c d : L
dc : d < c
h : ∀ (x : ℕ), ∃ x_1, x ≤ x_1 ∧ f x_1 < d
a : L
n : ℕ
an : ∀ (b : ℕ), n ≤ b → a ≤ f b
m : ℕ
nm : n ≤ m
fmd : f m < d
⊢ a ≤ d
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro h | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ (∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n) → c ≤ liminf f atTop | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ c ≤ liminf f atTop | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
⊢ (∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n) → c ≤ liminf f atTop
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | rw [Filter.liminf_eq, le_sSup_iff, upperBounds] | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ c ≤ liminf f atTop | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ c ≤ liminf f atTop
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | simp only [Filter.eventually_atTop, ge_iff_le, Set.mem_setOf_eq, forall_exists_index] | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ b ∈ {x | ∀ ⦃a : L⦄, a ∈ {a | ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a ≤ f n} → a ≤ x}, c ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro a ah | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ c ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
⊢ ∀ (b : L), (∀ ⦃a : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a ≤ f b) → a ≤ b) → c ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | apply le_of_lt_imp_le | case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ c ≤ a | case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ ∀ c_1 < c, c_1 ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ c ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | intro d dc | case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ ∀ c_1 < c, c_1 ≤ a | case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
⊢ d ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
⊢ ∀ c_1 < c, c_1 ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | rcases Filter.eventually_atTop.mp (h d dc) with ⟨n, hn⟩ | case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
⊢ d ≤ a | case mpr.h.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, d ≤ f b
⊢ d ≤ a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.h
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
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inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
⊢ d ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | le_liminf.simple | [886, 1] | [899, 75] | exact ah n hn | case mpr.h.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, d ≤ f b
⊢ d ≤ a | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.h.intro
S : Type
inst✝¹⁷ : RCLike S
inst✝¹⁶ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹⁵ : RCLike T
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁶ : CompleteSpace H
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ H
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : SecondCountableTopology F
inst✝² : SecondCountableTopology H
L : Type
inst✝¹ : CompleteLinearOrder L
inst✝ : DenselyOrdered L
f : ℕ → L
c : L
h : ∀ d < c, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ f n
a : L
ah : ∀ ⦃a_1 : L⦄ (x : ℕ), (∀ (b : ℕ), x ≤ b → a_1 ≤ f b) → a_1 ≤ a
d : L
dc : d < c
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, d ≤ f b
⊢ d ≤ a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.ofReal_neg_lt_ofReal_neg | [901, 1] | [904, 68] | apply (ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff _).mpr | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ ENNReal.ofReal (-y) < ENNReal.ofReal (-x) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ -y < -x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ ENNReal.ofReal (-y) < ENNReal.ofReal (-x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | ENNReal.ofReal_neg_lt_ofReal_neg | [901, 1] | [904, 68] | simp only [xy, neg_lt_neg_iff] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ -y < -x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ -y < -x
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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