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下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题26平面几何B辑历年联赛真题汇编 1．【2000高中数学联赛（第02试）】如图，在锐角△ABC的BC边上有两点E，F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC(M，N为垂足)，延长AE交三角形ABC的外接圆于点D. 证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等. 【答案】证明见解析【解析】如图，联结MN，BD，因为，所以A，M，F，N四点共圆. 所以，所以，可知，所以. 又因为，所以，则，所以. 而AF是过A，M，F，N四点的圆的直径，所以，则， 2．【1999高中数学联赛（第02试）】如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.在c上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G.求证：∠GAC=∠EAC. 【答案】证明见解析【解析】1.采用逐步消线段的方法，分为四个步骤：第一步，联结BD交AC于H，在△BCD中，由塞瓦定理，得 ① 第二步，由角平分线的性质，得 ② 第三步，过C作AB的平行线交AG的延长线于I，过C作AD的平行线交AE的延长线于J，则有， ③ 由式①，②，③，得. 第四步，由得，即. 3．【1998高中数学联赛（第02试）】如图，已知：，1分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高.I在线段OD上.求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径. 【答案】证明见解析【解析】如图，作△ABC的外接圆圆O，延长A交BC于J，交弧BC于K，则K为弧BC中点，显然，设O'是与BC边相切的△ABC的旁切圆圆心，则O'在AI延长线上，即A，1，J，K，O'共线. 作于Y.则O'Y是旁切圆圆O'的半径(记为). 又因为AD，OK，O'Y都垂直于BC，所以. 因此，得，即 ① 又由得，即 ② 于是，要证只需证即可. 联结，易知. 所以B，I，C，O'四点共圆. 因此，又，所以，所以，即 ③ 联结BK，在△ABK与△AJC中，因为，所以，有，即 ④ 由式③与④可得，即，由有 ⑤ 将式⑤结合式①与②可得，所以. 4．【1997高中数学联赛（第02试）】1.如图，已知两个半径不相等的圆O1与圆O2相交于M，N两点，且圆O1，圆O2分别与圆O内切于S，T两点.求证：OM⊥MN的充分必要条件是S，N，T三点共线. 【答案】证明见解析【解析】如图，设圆O1，圆O2，圆O的半径分别为.由条件知O，O1，S三点共线，O，O2，T三点共线，且. 联结. 充分性.设S，N，T三点共线，则，又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形，故，于是，从而. 故四边形OO1NO2为平行四边形. 因此得出，，故，从而，由此得. 又由于，故. 必要性.若，有，从而. 设，由知△O1MO与△O2OM的周长都等于a+r，记，由三角形面积的海伦公式，有 . 化简得. 又已知，有，故，. 所以，四边形OO1NO2为平行四边形，. 又△O1SN与O2NT均为等腰三角形，所以. 所以，即，于是，故所以S，N，T三点共线. 5．【1996高中数学联赛（第02试）】如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E，F，G，H为切点，并且EG，FH的延长线交于点P.求证直线PA与BC垂直. 【答案】证明见解析【解析】联结，如图所示，由题意，延长PA交BC于D，有. 在△PEF中，由正弦定理，有，又因为FE，CE是圆O1的切线，所以，所以，同理，有. 所以，在△PHA及△PGA中，由正弦定理，有，，所以，由此，可知. 所以，易知是直角梯形，又由可知，所以，即. 6．【1995高中数学联赛（第02试）】如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP. 【答案】证明见解析【解析】分别联结AC，BD，其交点为内切圆圆O.如图，设MN切圆O于L.分别联结OE，OM，OL，ON，OF，并设，则易知，，. 所以，. 又，所以，于是. 同理. 所以. 又，所以，所以，从而. 7．【1995高中数学联赛（第02试）】菱形ABCD的内切圆O与各边的切点依次为E，F，G，H，在弧EF和弧GH上分别作圆O的切线交AB于点M，交BC于点N，交CD于点P，交DA于点Q，求证：MQ∥NP. 【答案】证明见解析【解析】联结AC，BD交于内切圆的圆心O，记MN与圆O的切点为L，联结OE，OF，OM，ON，OL，如图，于是有. 记，于是，. 所以，. 所以，所以. 同理，所以，所以，所以，所以，所以，因此. 8．【1995高中数学联赛（第02试）】如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E，F，G，H为切点，并且EG，FH的延长线交于点P，求证直线PA与BC垂直. 【答案】证明见解析【解析】延长PA交BC于D，联结，. 则. 在△PEF中，由正弦定理，因为FE，CE是圆O1的切线，所以，. 同理，故. 在△PHA及△PGA中，由正弦定理，有，有，易知，于是. 易知四边形是直角梯形，由有. 故，即. 9．【1994高中数学联赛（第02试）】如图，设△ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A<∠C，∠A的外角平分线交圆O于E，证明： (1)； (2). 【答案】证明见解析【解析】(1)如图，设射线BI，AI分别与圆O交于M及F，易知M为弧AC的中点.联结OA，OM，AM. 由知，△OAM为正三角形，，. 所以. 联结EF，FB.因AF，AE分别为∠A及其外角的平分线，故∠EAF为直角，EF为圆O的直径. ，所以，所以. 从而两个等腰三角形，. (2)联结OC.因为，所以，. 所以. 因此A，O，1，C共圆，则，，，所以，所以，. 如情形(1)中所述，∠EAF是直角，EF是圆O的直径，所以 . 由∠A<∠C知，所以. 而，故. 此即. 10．【1993高中数学联赛（第02试）】设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有∠D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A，B，C，D外，在该凸四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点，试证n应满足的充分必要条件是n≥4. 【答案】证明见解析【解析】非钝角三角形一定可分割成三个钝角三角形. 事实上，取锐角三角形任一顶点，或直角三角形直角顶点，设为，向对边AC作高BG，再以AC为直径向三角形内作半圆，于是，BG把位于该半圆内的任意点E与三顶点连线将三角形分割成三个钝角三角形，△AB，△BCE，△CAE即为所求. (2)凸四边形ABCD可分割成四个钝角三角形，如图，联结线段AC，又由情形(1)，△ABC可分割成三个钝角三角形，共有四个钝角三角形 (3)凸四边形ABCD可分割为n=5，6，…个钝角三角形，如图，作即得新分割的钝角三角形共有5，6，…个钝角三角形. 必要性.先指出一个事实：非钝角三角形不能分割成两个钝角三角形，而分割线段与对边的夹角不能将180°角分成两个钝角，所以不能分割成两个钝角三角形. 设凸四边形已被分割为n个钝角三角形，如果该凸四边形的4条边分别属于4个不同的钝角三角形，则已证得了n≥4.如果有两条邻边同属于一个钝角三角形(不相邻的两条边不能构成三角形)，这时有以下两种情况之一发生： (i)该两邻边夹角为钝角∠D，于是∠D不被分割. 这时AC必为分割线，非钝角△ABC必被再分割，它不能分割成两个钝角三角形，只能分割成3个以上的钝角三角形，连同钝角△ADC，有n≥4. (ii)该两邻边夹角不是∠D，这时夹角不能是∠B，因为△ABC不是钝角三角形，因此夹角只能是∠A或∠C，而使BD为分割线，并且将∠D分割出一个钝角，使该两邻边构成钝角三角形的两条边，这样，另一非钝角三角形必被再分割，于是同理，必须分割成3个以上的钝角三角形，同样得到n≥4. 11．【1993高中数学联赛（第02试）】水平直线m通过圆O的中心，直线l⊥m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线m上方，点A离点M最远，点C离点M最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点，试证： (1)l与圆O相切时； (2)l与圆O相交时； (3)l与圆O相离时. 【答案】证明见解析【解析】设圆半径为r，OM=x，AM=a，BM=b，CM=c(a>b>c>0)，易算得. 故有，. 同理. 令，则：相切时，有，从而. 情形(1)中的式子成立. 相交时，于是. 又点c在圆外，故，. 从而式①中根号内为正数，且. 于是通过两端平方及t<0，可验证. 即G<0，情形(2)中的式子成立. 相离时，于是. 同样可验证G>0，情形(3)中的式子成立. 12．【1992高中数学联赛（第02试）】设为圆O的内接四边形，依次为的垂心.求证：四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置. 【答案】证明见解析【解析】如图过A3作圆O的直径A3B.联结，. 因为同垂直于，所以. 因为同垂直于，所以. 因此，四边形为平行四边形，从而且，同理，可得四边形为平行四边形，因此且，从而且. 联结.因此，四边形为平行四边形. (2)联结，由平行四边形的性质知，对角线与互相平分，设它们的交点为P，则. 同理可得与互相平分，则交点为的中点P. 同理，与相互平分于点P，即. 于是和Hi(i=1，2，3，4)关于点P是中心对称的. (3)因为共圆，故四点也共圆，其圆心点是O关于点P的中心对称点. 联结OP，延长OP到O'使, 则O′是所决定的圆的圆心. 13．【1991高中数学联赛（第02试）】设凸四边形ABCD的面积为1，求证在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积均大于. 【答案】证明见解析【解析】如图，考虑四个三角形△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的面积，不妨设S△DAB最小，分四种情况讨论： (1)S△DAB>.这时，显然A，B，C，D即为所求的四个点. (2).设G为△BCD的重心. 因，故. 于是，B，C，D，G四点即为所求. (3). 则其他三个三角形的面积均大于. 由于，故过A作BC的平行线l必与线段CD相交于CD内部的一点E. 由于，故. 又，. 故E，A，B，C四点即为所求. (4).而其他三个三角形中还有一个面积为，不妨设. 因，故. 又，故得. 在AB上取E，DC上取F，使，那么，，. 故E，B，C，F四点即为所求. 14．【1990高中数学联赛（第02试）】四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设△ABP，△BCP，△CDP和△DAP的外接圆圆心分别是.求证：三条直线共点. 【答案】证明见解析【解析】如图，联结，易证. 所以，同理. 所以是平行四边形，则与相交于的中点G，联结. 记，，利用可证. 再利用可证. 所以，同理. 而，所以. 因为，所以. 所以，所以. 又，所以是平行四边形. 所以与OP也相交于的中点G，所以，OP，相交于同一点G. 15．【1989高中数学联赛（第02试）】在△ABC中，AB>AC，∠A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F，求证：. 【答案】证明见解析【解析】如图，在FB上取点D，使FD=FA，联结ED并延长交圆于G，联结BG，则△EDA为等腰三角形，所以. 从而. 于是，所以. 因为，所以，即. 16．【1988高中数学联赛（第02试）】如图，在△ABC中，P，Q，R将其周长三等分，且P，Q在AB边上，求证：. 【答案】证明见解析【解析】不妨设周长为1.作△ABC，△PQR的高CL，RH，则. 因为，故. 因为，，. 所以，. 17．【1986高中数学联赛（第02试）】已知锐角△ABC的外接圆半径是R，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上.求证：AD，BE，CF是△ABC的三条高的充要条件是.式中S是△ABC的面积【答案】证明见解析【解析】证法一设△ABC的外接圆的圆心为O，BC=a，CA=b，AB=c，联结OA，OB，OC，OD，OE，OF. 因为△ABC为锐角三角形，所以点O在△ABC内. 于是. 过点A作圆O的切线PQ，则. 又B，C，E，F四点共圆，所以，所以，所以. 所以.所以. 同理，. 从而. 再证充分性. 设，先证. 用反证法.若OA与EF不垂直，则. 又，. 所以. 这与已知条件矛盾，故.同理. 过点A作圆O的切线PQ，则，因为，所以，所以.所以B，C，E，F四点共圆. 同理A，B，D，E四点共圆，C，A，F，D四点共圆. 所以(A，B，D，E四点共圆). 且(A，C，D，F四点共圆). 于是. 又B，C，E，F四点共圆，有，所以，，即. 证法二因为△ABC为锐角三角形，故点O在△ABC内. 所以 . 因为B，C，E，F四点共圆，故，所以，所以，即. 同理，从而. 设AD′，BE′，CF′是△ABC的三条高，由证法一的证明知. 又设点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，使. 由证法一知，所以. 若点F′与F不重合，不妨设，则，有，亦有，又，有，亦有. 从而BC>BC，矛盾.于是点F与F'重合. 同理点E与E'重合，点D与D'重合. 故AD，BE，CF是△ABC的三条高. 18．【1984高中数学联赛（第02试）】如图，在△ABC中，P为BC边上任意一点，PE∥BA，PF∥CA.若S△ABC=1，证明S△BPF，S△PCE和中至少有一个不小于. 【答案】证明见解析【解析】很明显，由点P的位置决定. 因为，所以，，，设，且，得，. 原题需证中至少有一个不小于，亦就是证不能都小于. 现采用反证法如下：不妨假设，于是得不等式组，即，显然此不等式组无解.所以中至少有一个不小于. 19．【1983高中数学联赛（第02试）】如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B，M，N三点共线.求证：M与N分别是AC与CD的中点. 【答案】证明见解析【解析】证法一不妨设，及S△ABC=1，这时，，，，， . 因此，又因，所以，即. 这个方程在区间(0，1)中有唯一解，即M与N分别是AC与CD的中点. 证法二不妨设，及S△ABC=1，这时：，，，设两条对角线AD与BD交于E，于是，且. 因此得. 又由于所以，即. 解得r=.所以M与N分别是AC与CD的中点. 20．【1982高中数学联赛（第02试）】已知边长为4的正△ABC，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，且.联结AD，BE，CF，交成△RQS.点P在△RQS内及其边上移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x，y，z (1)求证：当点P在△RQS的顶点位置时，乘积xyz有极小值； (2)求上述乘积xyz的极小值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】分析由于x+y+z=常数(正三角形的高)，因此乘积xyz在x=y=z时(此时，点P位于△ABC的中心O)，取到极大值；而要xyz取到极小值，也就是要x，y，z的大小最为悬殊，亦即要点P尽量远离中心.下面的证明过程就是把以上的想法作出严格的表述.在证明过程中，注意到图形的对称性能使表达得以简化. 证明如图1标上各点.记△ABC的中心为O，把图形以点O为中心逆时针旋转120°后，A变为B，B变为C，C变为A，E变为F，F变为D，D变为E，从而R变成Q，Q变成S，S变成R.分别用表示点P到BC，CA，AB的距离(同样，表示点S到BC，CA，AB的距离，R1，R2，R3表示点R到BC，CA，AB的距离，表示点Q到BC，CA，AB的距离)，可见，，，如果两个数x，y之和为a，那么它们的乘积. 所以，如果x+y=常数a，当x=y=，乘积xy最大；而在\|y－x\|较大时，xy的值较小.由于正△ABC内任意一点P到三边的距离之和等于该三角形的高，因此，如果l是与BC平行的直线，当P在l上变动时，P到三边的距离乘积在P0(l与BC边上的高的交点)处为最大，而当较大时，P到三边的距离之积较小，而且，在l上与P0等距离的点，乘积是相等的.对于与AC或AB平行的直线，也有同样的结论. 对于△RQS内任何点P，过P作BC的平行线l，l与△RQS的交点为L，N.这时，与中总有一个比大，所以乘积的最小值必定在△RQS的边上取到. 如图2，过Q作AB的平行线，过S作BC的平行线，过R作AC的平行线，这三条直线交得△R'Q'S'，这是与△ABC同中心的正三角形. 对于QS上的点P，过P和S作AC的平行线，分别与R'Q'交于P''和S".易见，S''与S关于AC边上的高对称，S''与Q关于AB边上的高对称. 这时，，所以，当P在△RQS内(包括三边上)时，乘积. 即乘积在顶点处取极小值. 最后，计算这极小值.由于，所以，由于，所以，因此，因为△ABC的高，而，所以. 此即所求的极小值. 21．【1981高中数学联赛（第02试）】在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径长为1.求证. 【答案】证明见解析【解析】证法一作OM⊥CD，联结OC(图1)，则， . 同理. 因为，，所以即仅当时等号成立. 但是，. 四边形PCEQ，PDFQ都是平行四边形，即. 且四边形CDFE是矩形，与CD，EF和AB交成45°角矛盾.等号不成立. 所以. 证法二联结OC，OD，OE，OF(图2)，令，，则，. 由正弦定理，，，. 同理，. 于是 . 因为，所以. 证法三联结OC，OE(图3)，令，则，，于是直线CD的方程为，直线EF的方程为，直线PQ的方程为，所以，，，，，所以. 又a≠β，所以. 22．【1981高中数学联赛（第02试）】一张台球桌形状是正六边形ABCDEF.一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD，DE，EF，FA各边，最后击中AB边上的某一点.设∠BPQ=，求θ的取值范围. 提示:利用入射角等于反射角的原理. 【答案】【解析】解法一如图1，设小球各边的反射点依次为P，Q，R，S，T，U，V根据入射角等于反射角的原理：，. 所以有，有，同理推得. 不失一般性，设正六边形的边长为1，，BQ=x，则，，，，，，，，，. 因为Q，R，S，T，U，V各点均在正六边形的边上，所以即：解上面不等式组得. 在△PBQ中，，，由余弦定理解得PQ的范围. 由正弦定理即可得∠QPB的范围. 解法二将正六边形ABCDEF(简称图A0)以BC为对称轴反射，得图A1；再将正六边形图A1以CD1为对称轴反射，得图A2；如图2，顺次得，各正六边形显然以及各点分别在一条直线上，且ABB1A1为平行四边形.又因为入射角等于反射角，所以从AB的中点P击出，依次碰到图A0的各边反射，最后击中AB边上的一点，在这种情况下，球P所经过的折线轨迹，由对称性可得如图所形成的在平行四边形ABB1A1内始点在P，终点在A1B1上的直线段. 所以∠BPQ的范围. 由，，可以解得，. 所以. 优质模拟题强化训练 1．如图，和满足如下条件：、分别是线段、的中点，、分别是、的内角平分线．证明：．【答案】见解析【解析】如图，设为线段、中垂线的交点，、是点、关于直线的对称点，、是点、关于直线的对称点．则、、三点共线．同理，、、，、、，、、分别三点共线．又，，为、、、四点共圆的圆心．同理，为、、、四点共圆的圆心．设是与的交点．由，，知、、、四点共圆．又，故、、、四点共圆．同理，、、、四点共圆．于是，、、、、五点共圆，有．则．又．从而，、、、、、、、八点共圆，其圆心为，、为该圆的切线．则 ≌．又，，故． 2．设是外接圆上一点，、、分别是点在边、、上的射影．若点与分别在边的两侧，证明：．【答案】见解析【解析】如图，由于，故可在上取一点，使．于是，∽，∽．则． ① 同理，． ② ①＋②整理得． 3．如图，在锐角中，点、、分别在边、、上，满足，.设是的垂心.证明：、、、四点共圆. 【答案】见解析【解析】如图，延长、分别与、交于点、，作于点，于点，连接、. 易知、分别为、的中点，，. 则. 不妨设，则点在线段上，点在线段的延长线上. 从而，. 再注意到，. 所以，. 故. 于是，. 从而，、、、四点共圆. 4．如图,在凸四边形中,已知, ,与交于点.证明：的充分必要条件是. 【答案】见解析【解析】必要性. 已知。如图,延长得交点,联结.记等腰两底角为,等腰两底角为. 因为,所以,. 从而,.故. 又, , 则四点共圆. 由. 同理,. 故. 充分性.已知.设,. 在中,注意到. 由正弦定理得若,则四边形为等腰梯形. 故,与已知矛盾. 因此,. 作点关于的对称点,联结.则四点共圆. 因为,所以,圆内接四边形为等腰梯形. 此时,. 又, , 则 . 由 . 5．如图，设与交于两个不同点，两圆的距点较近的一条公切线与、切于点，延长与交于点，过点作直线与、交于点，过点的圆与直线切于点．若，求证：，. 【答案】见解析【解析】如图，设的中点分别为，连接．则．作于点，作于点．则．由．所以，．从而，分别三点共线．因此，四边形是矩形．又，则，即是的中点．故，．两式相加得．两式相减得．又．故． 6．如图，已知过外一点作的两条切线、及两条割线、，联结弦，分别与割线、交于点、．求证：（1）；（2）、、三线共点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）辅助线如图所示．由共边定理知．由及，分别得，．则．故．① 由及，分别得， ② ． ③ 由式①、②、③得．（2）记与交于点为．要证、、三线共点，只需证明、、三点共线．由（1）知，．则，．故．同理，．因为直线与三边的延长线都相交，所以，由梅涅劳斯定理有．又由梅涅劳斯定理的逆定理知，、、三点共线．故、、三点共线． 7．如图,在中,已知为对角线上一点,且满足,的外接圆与交于另一点.证明：. 【答案】见解析【解析】由,知.易知. 则. 又,故. 8．如图,已知以为直径的与的边分别交于点,与交于点,为线段上一点, ,交于点,且交于点.证明：三点共线. 【答案】见解析【解析】联结.则三点共线. 因为为的中点,所以,. 而为直径,故. 结合,有五点共圆.于是, ,. 则 9．如图,已知为非等边锐角三角形,为边的中点,为垂心,延长与外接圆交于点.证明:四点共圆. 【答案】见解析【解析】延长与交于点.则.由为垂心,知.故. 同理,.于是,四边形为平行四边形. 又由是中点,知是的中点.延长,与交于点. 同理,P是的中点.由四点共圆四点共圆. 10．如图，在中，已知，内切圆分别与边、、切于点、、、是边的中点，直线分别与、的延长线交于点、，且与的外接圆交于点、，证明：．【答案】见解析【解析】如图，联结、、、、、、．则，，．由，知．又，知，．则、、、和、、、分别四点共圆．故，．由，知、、、、和、、、、分别五点共圆．由，知、、、都在以为直径的圆上，其圆心为．故．从而，、、、四点共圆．记射线与射线交于点．由、、、、、、、及、、、分别四点共圆，根据圆幂定理得．故、、、四点共圆． 11．如图，五边形各对角线交得凸五边形，且.证明：. 【答案】见解析【解析】如图，用分别表示对应三角形的面积，记. 由被直线所截，则利用梅涅劳斯定理得 . . ① 同理，.② 由式①，②得. 由对称性，同理可得.故. 12．如图，在中，已知为边上的高，以为直径的分别与、交于点、．设、、分别为、、的中点，与交于点，与交于点．证明：、、三点共线．【答案】见解析【解析】如图，设、分别与交于点、，联结、、、．设、的外接圆分别为、．由射影定理得四点共圆点到和等幂．由为的切线，且为中点，知为的切线．同理，为的且性能．由为的中点，知点到和等幂．由，知点到和等幂．故点、、均在和的根轴上，即、、三点共线． 13．已知及一点，分别以边、、的中点、、为圆心作过点的圆，记这三个圆两两的异于的交点分别为、、．证明：（1）若为锐角三角形，则当且仅当为的外心时，为的内心；（2）若为钝角，则当且仅当为的外心时，为的内的旁心．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】显然，的外心为的垂心，点、、分别是点关于、、的对称点. （1）为锐角三角形.如图，过点、、分别作、、的平行线，所交成的三角形记为，则与关于点位似，位似比为2.故为的垂心为的垂心为的内心. （2）为钝角.如图，设点在、、上的射影分别为、、，则与关于点位似，位似比为.故为的内旁心为的内的旁心为的内心为的垂心，为的垂心. 14．如图，已知圆是的外接圆，为延长线上一点，圆与切于点，与、分别切于点、，的延长线与圆交于点，的延长线与的延长线交于点.证明：（1）、、、四点共圆；（2）. 【答案】见解析【解析】（1）如图，设圆、的内公切线为，该直线与、分别交于点、. 则. 从而，、、、四点共圆. （2）由（1）的结果得. 从而，为外接圆的切线. 又，故，即. 15．如图，为锐角的垂心，与交于点，，点在边上，满足，且于点，为延长线上一点，满足.证明：. 【答案】见解析【解析】如图，设的外接圆为，以为直径的圆为，并设与交于点、. 由，知点必存在且与点在同侧. 设与交于点，与交于点，联结、、、、、. 由，知为的直径.故，. 因为，，所以，，. 故四边形为平行四边形，为的中点. 又由（可保证点在线段上），知为点关于的对称点. 联结.则. 由，知、、、四点共圆. 从而，. 由，知点在上. 则. 由此，知为直线与的异于点的另一交点. 而由，知、、、四点共圆，即也为直线与的异于点的另一交点. 从而，点与重合. 所以，点在上，有. 16．如图，设凸四边形的两组对边的延长线分别交于点、，的解平分线与、分别交于点、，的角平分线与、分别交于点、，顺次联结、、、四点，在的延长线上任取点，过作的平行线交的延长线于点，证明：若四边形是平行四边形，则、、、四点共圆．【答案】见解析【解析】联结，设与、与、与分别交于点、、，由直线、截分别得，，两式相除并整理得，再由直线、截分别得，，两式相除并整理得，进而，，但由，得，所以，，故，由四边形四边形知，而，由，得，故，所以，、、、四点共圆. 17．如图，与内切于点，的弦切于点. （1）若、的半径分别为、，试求；（2）若与交于点，、分别与交于点、，与交于点，与交于点，证明：、、三点共线. 【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由于，故. （2）如图，延长到点，使,联结、. 因为，，所以， .故，. 由于，则. 又 . 设与交于点.则.. 因为，所以，. 又由于与都是等腰三角形，故. 于是，、、、四点共圆，有. 所以，、、三点共线. 18．如图，的内切圆分别与边、、切于点、、.过延长线上一点作的另一条切线，与切于点，并与、分别交于点、.记与交于点，与交于点.证明：、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线. 【答案】见解析【解析】首先证明：、、和、、分别三点共线. 由切线长定理得，，.则. 由塞瓦定理的逆定理，知、、三线共点，即、、三点共线. 同理，、、三点共线.故、、三点共线、、三点共线. 其次证明：、、三点共线、、三点共线. 事实上，、、三点共线，① 、、三点共线. ② 结合及，知式①式②. 综上，、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线. 19．如图，设分别是外接圆劣弧的中点，过点作与外接圆交于点，为的内心，直线与外接圆交于点，分别过作圆的切线交于点.证明：三点共线. 【答案】见解析【解析】如图，由题设知分别三点共线.联结. 由内心性质知. 从而，四边形为筝形，即为的中垂线. 因为，所以，即. 则. 设是以为圆心且过点的圆上一点. 由，知四点共圆，其圆心为点. 从而，，即知点位于的中垂线上. 故三点共线. 20．如图，设、、是的三条高，且交于点，是边的中点，的外接圆圆与的外接圆圆交于、两点，直线与圆、分别交于另一点、．证明：平分．【答案】见解析【解析】辅助线如图．因为、、、四点共圆，所以，．这表明，点在圆与的根轴上．因此，、、三点共线．于是，．从而，、、、四点共圆．又，则，即．因此，．同理，．于是，．注意到，．则．从而，、、、四点共圆．故．这表明，．所以，．同理，．两式相除并注意到，得．则．而，故平分．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/平面几何B辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题13不等式B辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设正实数a,b,c满足,求的最小值. 2．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设k、m为实数，不等式对所有x∈[a，b]成立.证明:. 3．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设是非负实数，满足，求的最小值和最大值. 4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设不等式对所有x∈[1，2]成立，求实数a的取值范围. 5．【2015高中数学联赛（第01试）】若实数a，b，c满足，求c的最小值. 6．【2013高中数学联赛（第01试）】给定正数数列{xn}满足，这里. 证明：存在常数C>0，使得. 7．【2009高中数学联赛（第01试）】求函数的最大值和最小值. 8．【2008高中数学联赛（第01试）】解不等式. 9．【2003高中数学联赛（第01试）】设，证明不等式. 10．【2000高中数学联赛（第01试）】设Sn=1+2+3+…+n，n∈N，求f(n)=的最大值. 11．【1992高中数学联赛（第01试）】求证：. 12．【1991高中数学联赛（第01试）】已知0<a<1，x2+y=0，求证：. 13．【1988高中数学联赛（第01试）】已知a，b为正数，且，试证：对每一个n∈. 优质模拟题强化训练 1．设是正实数,满足 .则的最大值是______. 2．已知xyz+y+z=12，则的最大值为____________ . 3．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 4．设，且.则的最小值是______. 5．设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______. 6．在中，，则的最小值为______. 7．实数x、y满足，则的最大值是____________ 8．设，则的最小值为_____. 9．设、为正实数，且，.则______. 10．已知，则xy+yz+zx的最小值为________ 11．若对任意的，均有，则实数的取值范围是__________。 12．若实数x、y、z满足，，则_____. 13．若正实数满足，则的最小值是______． 14．设正实数满足，则的最小值为______. 15．设函数，则不等式的解集为________. 16．若，则的最小值为______． 17．设实数a满足.则a的取值范围是________. 18．设为的重心，若，则的最大值为______. 19．若直线ax－by+2=0(a>0，b>0)和函数的图象均恒过同一个定点，则的最小值为________. 20．已知x，y∈[0，+∞)，则x3+y3－5xy的最小值为________. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/不等式B辑(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题30图论与对策历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】给定凸20边形P.用P的17条在内部不相交的对角线将P分割成18个三角形,所得图形称为P的一个三角剖分图.对P的任意一个三角剖分图T,P的20条边以及添加的17条对角线均称为T的边.T的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T的一个完美匹配.当T取遍P的所有三角剖分图时,求T的完美匹配个数的最大值. 【答案】89 【解析】将20边形换成2n边形,考虑一般的问题. 对凸2n边形P的一条对角线,若其两侧各有奇数个P的顶点,称其为奇弦,否则称为偶弦.首先注意下述基本事实: 对P的任意三角剖分图T,T的完美匹配不含奇弦.() 如果完美匹配中有一条奇弦,因为T的一个完美匹配给出了P的顶点集的一个配对划分,而两侧各有奇数个顶点,故该完美匹配中必有T的另一条边,端点分别在的两侧,又P是凸多边形,故与在P的内部相交,这与T是三角剖分图矛盾. 记为T的完美匹配的个数.设,对,,是Fibonacci数列. 下面对n归纳证明:若T是凸边形的任意一个三角剖分图,则. 设是凸2n边形.从P的2n条边中选n条边构成完美匹配,恰有两种方法,或. 当n=2时,凸四边形P的三角剖分图T没有偶弦,因此T的完美匹配只能用P的边,故. 当n=3时,凸六边形P的三角剖分图T至多有一条偶弦.若T没有偶弦,同上可知. 若T含有偶弦,不妨设是,选用的完美匹配是唯一的, 另两条边只能是,此时.总之. 结论在n=2,3时成立.假设n≥4,且结论在小于n时均成立.考虑凸2n边形的一个三角剖分图T.若T没有偶弦,则同上可知. 对于偶弦e,记e两侧中P的顶点个数的较小值为.若T含有偶弦,取其中一条偶弦e使达到最小. 设,不妨设e为,则每个不能引出偶弦. 事实上,假设是偶弦,若,则与e在P的内部相交,矛盾. 若,则,与的最小性矛盾. 又由知完美匹配中没有奇弦,故只能与其相邻顶点配对,特别地,只能与或配对.下面分两种情况. 情形1:选用边$A_1A_2$.则必须选用边.注意到的两侧分别有个顶点,,而n≥4, 因此.在凸2n-2k边形上,T的边给出了的三角剖分图,在T中再选取n-k条边,与一起构成T的完美匹配, 当且仅当是的完美匹配.故情形1中的T的完美匹配个数等于. 情形2:选用边.则必须选用边.在凸2n-2k-2边形中构造如下的三角剖分图:对,若线段是T的边,则也将其作为的边,由于这些边在内部互不相交,因此可再适当地添加一些的对角线,得到一个的三角剖分图﹐它包含了T的所有在顶点之间的边.因此每个包含边的T的完美匹配,其余的边必定是的完美匹配.故情形2中的T的完美匹配个数不超过. 由归纳假设得, 结合上面两种情形以及k≥1,有. 下面说明等号可以成立.考虑凸2n边形的三角剖分图: 添加对角线. 重复前面的论证过程,.对,考虑偶弦. 情形1,用,由于在凸2n-2边形中的三角剖分图恰是,此时有个T的完美匹配. 情形2,用,由于在凸2n-4边形中T的边恰构成三角剖分图,不用添加任何对角线,故这一情形下T的完美匹配个数恰为. 从而对n≥4,有. 由数学归纳法即得,.结论得证. 因此,对凸20边形P,的最大值等于. 2．【2019高中数学联赛B卷（第02试）】将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条.证明:可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同或者颜色互不相同. 【答案】证明见解析【解析】我们对n≥5归纳证明加强的命题:如果将凸n边形的边染为三种颜色a，b，c，并且三种颜色的边均至少有一条，那么可作满足要求的三角形剖分. 当n=5时，若三种颜色的边数为1、1、3，由对称性，只需考虑如下两种情形，分别可作图①中所示的三角形剖分. 若三种颜色的边数为1、2、2，由对称性，只需考虑如下三种情形，分别可作图②中所示的三角形剖分. 假设结论对n(n≥5)成立，考虑n+1的情形，将凸n+1边形记为. 情形1:有两种颜色的边各只有一条.不妨设a、b色边各只有一条.由于n+1≥6，故存在连续两条边均为c色，不妨设是.作对角线，并将染为c色，则三角形的三边全部同色.此时凸n边形的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分. 情形2:某种颜色的边只有一条，其余颜色的边均至少两条.不妨设a色边只有一条，于是可以选择两条相邻边均不是a色，不妨设均不是a色，作对角线，则有唯一的染色方式，使得三角形的三边全部同色或互不同色.此时凸n边形的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分. 情形3:每种颜色的边均至少两条.作对角线，则有唯一的染色方式，使得三角形的三边全部同色或互不同色.此时凸n边形的三种颜色的边均至少有一条由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分. 综合以上3种情形，可知n+1的情形下结论也成立. 由数学归纳法，结论获证. 3．【2017高中数学联赛A卷（第02试）】将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”试求分隔边条数的最小值. 【答案】56 【解析】记分隔边的条数为L.首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即L=56. 下面证明L≥56.将方格纸的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为.行中方格出现的颜色个数记为，列中方格出现的颜色个数记为.三种颜色分别记为. 对于一种颜色cj，设是含有色方格的行数与列数之和. 记，类似地定义.于是 . 由于染色的方格有个，设含有色方格的行有a个，列有b个，则色的方格一定在这a行和b列的交叉方格中，因此ab≥363，从而，故 ① 由于在行中有种颜色的方格，因此至少有条分隔边. 同理在列中，至少有条分隔边.于是 ② ③ 下面分两种情形讨论. 情形1有一行或一列全部方格同色不妨设有一行全为色，从而方格纸的33列中均含有色的方格，由于色方格有363个，故至少有11行中含有色方格，于是. 由①、③及④即得. 情形2没有一行也没有一列的全部方格同色.则对任意1≤i≤33，均有. 从而由②知. 综上所述，分隔边条数的最小值等于56. 4．【2016高中数学联赛（第02试）】给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值. 【答案】所求边数的最大值为15 【解析】以这10个点为顶点，所连线段为边，得到一个10阶简单图G.我们证明G的边数不超过15. 设G的顶点为，共有k条边，用表示顶点vi的度.若对i=1，2，…，10都成立，则. 假设存在vi满足.不妨设，且v1与均相邻.于是之间没有边，否则就形成三角形. 所以之间恰有n条边. 对每个j(n+2≤j≤10)，vj至多与中的一个顶点相邻(否则设，与相邻，则、就对应了一个空间四边形的四个顶点这与题设条件矛盾.)，从而与之间的边数至多10－(n+1)=9－n条. 在这9－n个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多条边. 因此G的边数. 如图给出的图共有15条边，且满足要求.综上所述，所求边数的最大值为15. 5．【2011高中数学联赛（第02试）】设A是一个3×9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个m×n(1≤m≤3，1≤n≤9)方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数.称A中的一个1×1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值. 【答案】25 【解析】首先证明A中“坏格”不多于25个. 用反证法.假设结论不成立，则方格表A中至多有1个小方格不是“坏格”由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”. 设方格表A第i列从上到下填的数依次为，i=1，2，…，9. 记，这里. 我们证明：三组数，及都是模10的完全剩余系. 事实上，假如存在m，n，0≤m<n≤9，使，则，即第1行的第m+1列至第n列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾. 又假如存在m，n，0≤m<n≤9，使，则，即第2行至第3行、第m+1列至第n列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾. 类似地，也不存在m，n，0≤m<n≤9，使，因此上述结论得证. 故. 所以，矛盾. 故假设不成立.即“坏格”不可能多于25个. 另一方面，构造如下一个3×9的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”. 综上所述，“坏格”个数的最大值是25. 6．【2010高中数学联赛（第02试）】一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置? 【答案】答案见解析【解析】对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻2个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c.于是对于给定的点A1上的设置(共有4种)，按照边上的字母可以依次确定点上的设置.为了使得最终回到A1时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍. 设标有a的边有2i条，，标有b的边有2j条，，选取2i条边标记a的有种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有种方法，其余的边标记c. 由乘法原理，此时共有种标记方法.对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为 ① 这里我们约定. 当n为奇数时，此时 ② 代入式①中，得，当n为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有1种标记方法. 于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为 . 综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时，有3n+1种；当n为偶数时，有3n+3种. 7．【2009高中数学联赛（第02试）】在非负数构成的3×9数表中每行的数互不相同，前六列中每列的三个数之和为1，，均大于1.如果P的前三列构成的数表满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列均存在某个i∈{1，2，3}使得 ① 求证： (i)最小值一定取自数表S的不同列. (ii)存在数表P中唯一的一列使得3×3数表仍然具有性质(O). 【答案】证明见解析【解析】(1)假设最小值，不是取自数表S的不同列.则存在一列不含任何ui. 不妨设，由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是，另一方面，由于数表S具有性质(O)，在式①中取k=2，则存在某个使得.矛盾. (2)由抽屉原理知中至少有两个值取在同一列. 不妨设，由前面的结论知数表S的第一列一定含有某个ui，所以只能是，同样，第二列中也必含某个ui，i=1，2.不妨设，于是. 即ui是数表S中的对角线上的数字. 记，令集合，显然，且. 因为，所以8∈I.故. 于是存在k∈I使得，显然，k≠1，2，3. 下面证明3×3数表具有性质(O) 从上面的选法可知，这说明，又由S满足性质(O)，在式①中取k=k，推得，于是，下证对任意的k∈M，存在某个i=1，2，3使得，假若不然，则且. 这与的最大性矛盾.因此，数表S'满足性质(O). 下证唯一性.设有k∈M使得数表具有性质(O). 不失一般性，我们假定，，， ② ，由于及情形(1)，有，又由情形(1)知：或者，或者. 如果情形(a)成立，由数表具有性质(O)，则，， ③ 由数表满足性质(O)，则对于3∈M至少存在一个i∈{1，2，3}使得，又由式②与③知，所以只能有，同样由数表S满足性质(O)，可推得，于是k=3，即数表，如果情形(b)成立，则，， ④ 由数表满足性质(O)，对于k∈M，存在某个i=1，2，3使得，由k∈I及式②和④知，于是只能有，类似地，由S'满足性质(O)及k∈M可推得，从而. 8．【2007高中数学联赛（第02试）】如图，在7×8的长方形棋盘的2个小方格的中心点各放1个棋子.如果2个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这2个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有5个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由. 【答案】11 【解析】最少要取出11个棋子，才可能满足要求.其原因如下：如果1个方格在第i行第j列，则记这个方格为(i，j). 第1步，证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有1个五子连珠，即5个棋子在1条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.用反证法.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图，在每一行的前五格中必须各取出1个棋子，后三列的前五格中也必须各取出1个棋子.这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1，2行必在每行取出1个，且只能分布在(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)这些方格.同理，(6，4)，(6，5)，(7，4)，(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子.在第1，2，3列，每列至少要取出1个棋子，分布在(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)所在区域，同理(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)所在区域内至少要取出3个棋子这样，在这些区域内至少已取出10个棋子因此，在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①，②，③，④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了矛盾. 第2步，构造1种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠. 综上所述，最少取出11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠. 9．【2002高中数学联赛（第02试）】在世界杯足球赛前，F国教练为了考察，这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况. 【答案】52244 【解析】设第i名队员上场的时间为xi分钟(i=1，2，…，7)，问题即求不定方程 ① 在条件且下的正整数解的组数. 若是满足条件①的一组正整数解，则应有，于是m，n是不定方程 ② 在条件m≥4且n≥3下的一组正整数解. 由于，令，有 ③ 所以，求式②满足条件的正整数解等价于求式③的非负整数解. 易观察到，故有，即是式③的整数特解，从而式③的整数同解为，令，解得，取k=29，30，31，得到式③满足条件的三组非负整数解，，，从而得到式②满足条件的三组正整数解，，， (1)当时，显然仅有一种可能. 又设，于是由不定方程有组正整数解. 可知此时式①有满足条件的4960组正整数解. (2)当时，设，，由有组正整数解，以及有组正整数解. 可知此时式①有满足条件的组正整数解. (3)在时，设，，由与分别有组正整数解可知此时式①有满足条件的组正整数解. 综上，式①满足条件的正整数解的组数为： . 10．【2001高中数学联赛（第02试）】将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩行的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值. 【答案】答案见解析【解析】记所求最小值为f(m，n)，可以证明 ① 其中(m，n)表示m和n的最大公约数，事实上，不妨设m≥n，则： (1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为，当m=1时，命题显然成立假设当m≤k时，结论成立(k≥1).当m=k+1时，若n=k+1，则命题显然成立.若n<k+1，从矩形ABCD中切去正方形，得到矩形，有一种分法使得所得正方形边长之和恰为D，得到矩，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为. (2)关于m归纳可以证明式①成立. 当m=1时，由于n=1，显然，假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有，若m=k+1，当n=k+1时，显然，当1≤n≤k，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为. 不妨，显然或. 若，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过两个分成的正方形(或其边界). 于是不小于AB与CD之和. 所以. 若，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为的正方形，由归纳假设，从而. 于是当rn=k+1时，再由情形(1)可知. 11．【2000高中数学联赛（第02试）】有n个人，已知他们中的任意两个人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的总次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值. 【答案】答案见解析【解析】显在，n≥5.不妨设n个人是，又设Ai通话的次数为与Aj之间通话的次数为. 有 ① c为常数，且1≤i，j≤n. 由上式知，即，设，，有，当时，对任意的s≠i，j，1≤s≤n，均有 . 即，有. 所以. 可知，矛盾，故，即ms(1≤s≤n)恒为常数. 又由式①知或. 当时，有与已知条件矛盾. 所以，即，设，有，所以，有，. 所以，但这与k≥1矛盾. 所以设，有，同上作法，有. 当5个人中每2个人之间都通话一次时，其中任意3个人之间通话的总次数是31次.故n=5为所求. 12．【1999高中数学联赛（第02试）】给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，ng的所有物品. (1)求k的最小值f(n)； (2)当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论. 【答案】(1) ；(2)答案见解析. 【解析】(1)设这k块砝码的质量数分别为，且. 因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为{－1，0，1}. 若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，…，n，由对称性易知也含有0，－1，－2，…，－n，即，所以，即. 设，则，且k=m时，可取. 由数的三进制表示可知，对任意都有，其中yi∈{0，1，2}.则, 令，有，故对一切的整数1，都有，其中x∈{－1，0，1}. 由于，因此对一切的整数1，也有上述表示. 综上，可知k的最小值. (2)(i)当时，由情形(1)可知就是一种砝码的组成方式. 下面相应证明也是一种方式. 若，由情形(1)可知，则有，当时，有，由情形(1)可知，其中. 所以知.(否则矛盾). 则，所以当时，f(n)块砝码的组成方式不唯一. (ii)当时，f(n)=m块砝码的组成方式是唯一的，即，若对每个都有，即. 由于左边的集合中至多有3m个元素.故必有. 从而，对每个l，有都可以唯一的表示为，其中. 所以，有. 令，有，由上可知，对每个，都可以唯一的表示为. 特别地，易知，用归纳法证明. 当i=1时，易知中最小的正整数是a1，故. 假设当1≤i≤p时，由于就是数的三进制表示，易知它们正好是. 故应是除上述表示外中最小的数，因此. 综合情形(i)与(ii)可知，当且仅当时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的. 13．【1997高中数学联赛（第02试）】在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为x(i=1，2，…，100；j=1，2，…，25)(表1).然后将表1没列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为(表2). 求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足，则当i≥k时，在表2中就能保证成立. 表1 表2 【答案】97 【解析】k的最小值为97. (1)取，这时，满足题设条件，重排后有，这时，故k的最小值不小于97. (2)首先证明：表1中必有一行(设为第r行)的所有数必在重排后所得表2的前97行中都出现. 事实上，若上述结论不成立.则表1的第一行中至少有一个数不在表2的前97行中出现，即表2的前97行中至多共有表1中个数.这与表2的前97行共有个数矛盾. 其次，由重排要求知表2中每列的数从上到下是由大到小排列的，故当≥97时，，故当i≥97时，综合情形(1)与(2)知k的最小值为97. 14．【1996高中数学联赛（第02试）】有n(n≥6)个人聚会，已知： (1)每人至少同其中个人互相认识； (2)对于其中任意个人，或者其中有2个人相识，或者余下的人中有2个人相识. 证明：这n个人中必有3个人两两相识. 【答案】证明见解析【解析】假设这n个人中无3人彼此认识不妨设a，b是这n个人中互相认识的2个人，可由假设推出余下的n－2个人中，无1个人与a，b都认识因此，至少有个不同的人，其中每个人或与a相识，或与b相识. 当n为偶数时，由讨论可知，这n个人中恰有一半人与a相识，而另一半人则与b相识.所以，由题设可推出在某一半人中必含2个相互认识的人，这与假设矛盾. 当n为奇数时，若这n个人中每人都与a或b相识，与假设矛盾. 不然，若存在c，他不认识a和b，则n个人中除了c之外的个人中必有一半是与a互相认识的，另一半是与b互相认识的，且所有与a相认识的人互不认识，所有与b相认识的人也互不认识此时，假设有k个人同a，c都认识，1个人与b，c都认识.可由题设推出k，l≥1且这k+个人构成与c相识的人的全部. 因而. 可设k≥1，由于n≥6，有k≥2. 因此，可设a1同b，c都认识，b1与b2和a，c都认识因为n个人中同a1相识的人至少为个他们中除c外，同a都相识，故a1必与b1，b2之一相识，不妨设a1与b1相识，则a1，b1和c是彼此相识的人，与假设矛盾，综上，命题为真. 15．【1995高中数学联赛（第02试）】将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色.证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色. 【答案】证明见解析【解析】首先证明平面上一定存在三顶点同色的直角三角形.如图2，在平面上任作直线l，则l上必有两点同色，设此两点为B'，C'.过B'，C'分别作l的垂线. 如果l1或l2上有与B′，C′同色的点A'，则△A'B'C'即为三顶点同色的直角三角形. 如l1或l2上除B'与C'外其余点均与B'，C'异色，则在l2上取异于C'的两点A，C，并过C作l3⊥l1，垂足为B，则△ABC即为三顶点同色的直角三角形. 因此，平面上一定存在三顶点同色的直角三角形，设其中之一为Rt△ABC. 将Rt△ABC对称地补成矩形ABCD.用两组分别平行于AC与CB的n等分平行线，将矩形ABCD等分成n2个与原矩形相似的小矩形.如图1. 以下用反证法证明：若n为奇数，则在这些小矩形中必有一个，它的顶点中至少有三个同色，即存在一个三顶点同色的小直角三角形. 假设不存在三顶点同色的小直角三角形线段AC的端点及分点共n+1个，n+1为偶数，因此AC上必有相邻的两点同色(若每相邻两点异色，则A，B亦应异色，与已知矛盾)，不妨设为E，F. 则E，F所在的小矩形的另两个顶点必与E，F异色(否则已出现同色小三角形)，依次类推. 可知矩形EFGH中，每条竖线上的两顶点都同色同理，线段BC上有相邻两点M，N同色，也有矩形MNPQ，其中每条横线上的两顶点都同色. 设矩形EHGF与MNPQ的公共部分为小矩形UVWX，由以上所说，U与V同色且V与W同色，从而△UVW即是三顶点同色的小直角三角形，这与假设矛盾. 所以必定存在一个三顶点同色的小直角三角形. 这个顶点同色的小直角三角形与原直角三角形是相似的，相似比为n，当n=1995时，就是题目所要证明的结论. 16．【1994高中数学联赛（第02试）】给定平面上的点集中任三点均不共线，将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相联结，不在同一组的两点不联结线段，这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为. (1)求m(G)的最小值m0. (2)设G是使m(G)=m0的一个图案，若G中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色，证明存在一个染色方案，使G染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形. 【答案】证明见解析【解析】显然每个图案由P的点的分组方法唯一确定 (1)设，G由分组得到，其中Xi为每组的点构成的集合，i=1，2，…，83，令，则有且. 下面证，当1≤i≠j≤83时，有. 事实上，若存在i，j(1≤i，j≤83)使得，不妨设，则作P的点的分组，Yi为第i组的点构成的集合，1≤i≤83. 使得. 这样的分组显然存在，于是对于由分组Y2，得到的图案G'，有.而因为，所以，所以. 这与m0的最小性相矛盾. 因为，所以. (2)设图案G由分组得到，这里Xi表示第i组的点构成的集合(i=1，2，…，83).由情形(1)不妨设，. 下面给出G的一种染色方法，使得G用四种不同颜色染色后，不含三边颜色相同的三角形. 我们将集合Xi及所连线段构成的图形称为G的第i块，记为. 对于，令，使得，. 将每个子集线段用如图2所示的方法去染色，图中a，b，c，d分别代表四种不同的颜色，这样染色后的显然不含三边颜色相同的三角形. 对于的，可用染的方法去染.至于(1≤i≤81)的染法，可先加一点并将该点与原来的24点各联结一条线段，然后按的染法染好后，再把加的一点及与该点所连的线段去掉，这样染后的也不含三边颜色相同的三角形. 综上可知，结论成立. 17．【1990高中数学联赛（第02试）】某市有n所中学，第i所中学派出Ci名学生(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为.看台上每一横排有199个座位.要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下? 【答案】12 【解析】结论是最少12个横排才能保证全部学生都能坐下将几所中学排号，让第1号学校学生在第1排入座，接着第2号学校学生，…，这样依次坐下去，每个学校的学生都接连坐在一起，遇有断头时，允许该校学生分坐两排，即如前排已满，但该校还剩有学生，就让那些剩下的学生到下一排开头去坐，这样，由于每排有199个座位，学生总数是1990，因此在坐完10排之后，学生恰好全部坐完，然后将各个断头处的学生调出来，即如果第1排末尾和第2排开头坐的是同一学校的学生，就将该校学生全部调出，这样最多调出9个学校的学生，由于每校最多39人，而，让调出的前5个学校的学生坐在第11排，后4个学校的学生坐在12排，于是证明了安排12排就是可以使全部学生坐下，且满足要求：同校学生只坐在同一横排.如果只安排11个横排，则有时确实可能坐不下，例如设想n=59，其中58个中学各派34名学生，而1所中学派18名学生，则. 由于，因此除有一排可坐6个学校学生外，其余10排各均只能坐5个学校的学生，故11排最多只能坐下个学校学生，还有两个学校的学生没坐下，这表明12排仍是保证学生全能按规定坐下的最少排数. 18．【1987高中数学联赛（第02试）】.n(n>3)名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同. 【答案】证明见解析【解析】如果去掉选手H，能使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同，那么，我们称选手H为可去选手. 我们的问题就是证明：存在可去选手. 设A是已赛过的最多对手的选手. 若不存在可去选手，则A不是可去选手，故存在选手B，C，当去掉A时，与B赛过的对手的集合和与C赛过的对手的集合相同.从而，B和C不可能赛过，并且B和C中一定有一个(不妨设为B)与A赛过，而另一个(即C)未与A赛过. 又因C不是可去选手，故存在选手D，E，其中D与C赛过，而E未与C赛过. 显然，D不是A，也不是B，因为D与C赛过，所以D也与B赛过，又因为B与D赛过，所以B也与E赛过，但E未与C赛过，因而选手E只能是选手A. 于是，与A赛过的对手数就是与E赛过的对手数，它比与D赛过的对手数少1.此与关于A的假设矛盾，从而命题得证. 19．【1986高中数学联赛（第02试）】平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点称为整点.请设计一种方法将所有的整点染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得： (1)每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； (2)对任意白点A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得四边形ABCD为一个平行四边形. 证明你设计的方法符合上述要求. 【答案】答案见解析【解析】考虑整数问题，奇偶性是一个有用的工具在平行四边形四个顶点A，B，C，D中，红点两个，黑白点各一个，因此在染色时，红点要多，黑白点应对等. 不妨取出这样一个平行四边形，它的四个顶点为. 如何染色呢?依奇偶性可以考虑： (奇，奇)染白色，(偶，偶)染黑色，(奇，偶)和(偶，奇)都染红色. 这样，第一小题，显然满足，而且三种颜色不在一条直线上(也可认为，可以允许三色共线，若三色A，BC共线，则四边形ABCD作为“退化的”看待).因对任意的白点、红点、黑点，若三色共线，则. 但这是不可能的. 因为与都是奇数，而与是一奇一偶的，等式两边一奇一偶不能成立. 又设.若ABCD为平行四边形，则AC中点为，BD中点为，两个中点重合，从而. 显然，都是整数，且因与都是奇数，而为一奇一偶，故为一奇一偶，为红点. 其实，染色时黑白的点应尽量少染，让红点尽可能地多，使情况简单易于配上红点，例如可使y轴上半轴的整点(包括原点)都染白色；y轴下半轴的整点(不包括原点)都染黑色，此外的一切整点都染红色，则条件全部得到满足，是一目了然的. 20．【1985高中数学联赛（第02试）】某足球邀请赛有16个城市参加，每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛.比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其他各队已比赛过的场数各不相同.问A市乙队已赛过多少场?请证明你的结论. 【答案】15 【解析】16个城市共有32队参加比赛，但同一城市的两队之间不比赛，因此每队至多赛30场，又因除A市甲队外的31个队比赛的场数是各不相同的，因此这些队比赛的场数分别为0，1，2，……，30. 设已赛过K场的队为aK(K=0，1，……，30)，显然a30与a0是同一城市的队，因a30队已赛30场，即与其他城市的队都已赛过，而只有a队与a30队没有比赛过.同样，a29与a1是属于同一城市的，因为a29除了与a0队以及自己城市的队没赛过以外，与其他城市的队都赛过，而a1队只赛过一次，他是与a30队比赛的.依次类推，可知a28与a2，a27与a3，……，a16与a14是同一城市的队，这些队都不是A城市的乙队，所以A城市的乙队只能是a15队，他已赛过15场. 21．【1981高中数学联赛（第02试）】组装甲、乙、丙三种产品，需用A，B，C三种零件.每件甲需用A，B各2个；每件乙需用B，C各1个；每件丙需用2个A和1个C.用库存的A，B，C三种零件，如组装成P件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完.试证:无论怎样改变甲、乙、丙的产品件数，也不能把库存的A，B，C三种零件都恰好用完. 【答案】证明见解析【解析】由条件得仓库内所存零件分别是:A种零件:2p+2r+2(件)；B种零件:2p+q+1(件)；C种零件:q+r(件). 此设:所改变的产品件数，甲种产品m件、乙种产品n件、丙种产品l件. 于是:零件A需要:2m+2l(件)；零件B需要:2m+n(件)；零件C需要:n+l(件) 若将仓库所存恰用完，则有 ① ② ③ ①－②得，再加式③得，. 由此可见，不论怎样改变各种产品件数，要使仓库存货用完，丙种产品不可能取整数，即不可能将库货三种零件都恰好用完. 优质模拟题强化训练 1．我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个洞(或数字)，其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面骰，只能产生六个数之一(正上面).现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产生0~9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由. 【答案】能，方案见解析【解析】因为不存在正十面体，所以直接产生“十进制骰”是办不到的. 但要实现“十进制骰”的要求，这样的骰子也是能设计的. 即把骰子做成正二十面体，使其相对两面标同一个数字，这样0~9这十个数字就均匀分布在骰子上，当掷一次骰子时，最上面出现的数字必然是0~9这十个数字之一，显然，每个数字出现的可能性一样故“个位骰”即为“二十面骰”. 2．在的方格表中取出46个方格染成红色.证明：存在一块由4个方格构成的区域，其中由至少3个方格被染成红色. 【答案】见解析【解析】首先，考察的方格表. 如图，设第一行有个方格被染成红色，第2行有个方格被染成红色. 下面证明：若，则必存在一块由4个方格构成的区域，其中有至少3个方格被染成红色，若，则只有唯一的情形（如图）能够使得不存在由4个方格构成的区域，其中至少3个方格被染成红色. 将方格表从左向右分成4个方格和一个区域.若不存在至少3个方格被染成红色的区域.则前4个方格中每个中至多有两个方格被染成红色，于是，总的红色方格数不超过，矛盾. 故当时，结论成立. 当时，必存在某一列的和同时被染成红色.为保证不存在区域中至少3个方格不被染成红色，则要求和、和不被染成红色，显然，只有图中的情形满足. 再回到本题. 假设存在某种染色方案使得方格表中不存在有至少3个方格被染成红色的区域. 若该方案中存在相邻的两行（第行和第行）满足，则必有.若为奇数，则沿第行将方格表分成上、下两部分，上面有偶数行，下面也有偶数行，由前面的结论知，剩下的8行中至多有个方格被染成红色.于是，总的红色方格数不超过.若为偶数，则沿第行划分，有相同的结论. 若任意相邻两行的红色方格数之和均不等于10，则 . 因此，无论如何染色，要使方格表中不存在有至少3个方格被染成红色的区域，最多只能有45个方格被染成红色，与题设矛盾. 综上所述，必存在一块由4个方格构成的区域，其中有至少3个方格被染成红色. 3．用电阻值分别为、、、、、的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论. 【答案】见解析【解析】设6个电阻的组件（如图）的总电阻为.当，、是、的任意排列时，最小. 证明如下： 1°设当两个电阻、并联时，所得组件阻值为R，则，故交换二电阻的位置，不改变R值，且当或变小时，R也减小，因此不妨取. 2°设3个电阻的组件（如图）的总电阻为.有显然，越大，越小，所以，为使最小，必须取为所取三个电阻中阻值最小的一个. 3°设4个电阻的组件（如图）的总电阻为. 有若记，，则、为定值于是，只有当最小，最大时，最小，故应取，，，即得总电阻的阻值最小. 4°对于图，把由、、组成的组件用等效电阻代替，要使最小，由3°必需使；且由1°，应使最小，由2°知要使最小，必需使，且应使最小. 而由3°，要使最小，应使，且. 这就说明，要证结论成立. 4．设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集. 【答案】最小的n是2795 【解析】为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”，先证明一个引理：设G=(V，E)是一个简单图，且G是连通的，则G含有个两两无公共边的角(这里[a]表示实数a的整数部分). 引理的证明：对E的元素个数\|E\|归纳证明. 当\|E\|=0，1，2，3时，结论显然成立. 下面假设\|E\|≥4，并且结论在\|E\|较小时均成立. 只需证明，在G中可以选取两条边a、b构成一个角，在G中删去a、b这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含\|E\|－2条边. 对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立. 考虑G中的最长路，其中是互不相同的顶点. 因为G连通，故k≥3. 情形1：. 由于P是最长路，v1的邻点均在中，设，其中3≤i≤k. 则是一个角，在E中删去这两条边. 若v1处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若v1处仅有被删去的两条边，则v1成为孤立点，其余顶点仍互相连通.总之在剩下的图中有一个连通分支含有\|E\|－2条边. 情形2：，. 则是一个角，在G中删去这两条边后，都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有条边. 情形3：，且v2与中某个点相邻. 则是一个角，在G中删去这两条边后，v1成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有条边. 情形4：，且v2与某个相邻. 由于P是最长路，故u的邻点均在之中. 因是一个角，在G中删去这两条边，则v1是孤立点. 若处仅有边uv2，则删去所述边后u也是孤立点，而其余点互相连通. 若u处还有其他边uvi，3≤i≤k，则删去所述边后，除v1外其余点互相连通. 总之，剩下的图中有一个连通分支含有条边. 引理获证. 回到原题，题中的V和E可看作一个图G=(V，E) 首先证明n≥2795. 设. 在中，首先两两连边，再删去其中15条边(例如)，共连了条边，则这61个点构成的图是连通图.再将剩余的201－61=1958个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G中一共连了1815+979=2794条线段. 由上述构造可见，G中的任何一个角必须使用相连的边，因此至多有个两两无公共边的角. 故满足要求的n不小于2795. 另一方面，若\|E\|≥2795，可任意删去若干条边，只考虑的情形. 设G有k个连通分支，分别有个点，及条边. 下面证明中至多有979个奇数. 反证法，假设中有至少980个奇数由于是奇数，故中至少有981个奇数，k≥981. 不妨设都是奇数，显然. 令，则有，故① 利用组合数的凸性，即对x≥y≥3，有，可知当m1，…，m980，m由980个2以及一个59构成时，取得最大值. 于是，这与①矛盾.从而中至多有979个奇数. 对每个连通分支应用引理，可知G中含有N个两两无公共边的角，其中. 综上，所求最小的n是2795. 5．设n为正整数，称n×n的方格表Tn的网格线的交点(共(n+1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n+1)2分配给Tn的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称Tn的一个1×1格子S为“好方格”，如果从2S的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T2的格点的一种方式，其中B、C是好方格，而A、D不是好方格)设Tn中好方格个数的最大值为f(n). （1）求f(2)的值；（2）求f(n)关于正整数n的表达式. 【答案】（1）f(2)=3.（2）. 【解析】 (1)如图①，将T2的4个1×1格子(以下简称“格子”)分别记为A、B、C、D，将9个格点上的数分别记为a、b、c、d、e、f、g、h、i. 当a，b，……，i依次取为1，2，……，9时，易验证B、C、D均为好方格，这表明f(2)≥3. 现假设f(2)=4，即存在一种数的分配方式，使A、B、C、D均为好方格. 由对称性，不妨设边界上8个数a，b，……，h中的最小数为a或b.此时由A为好方格知，或者有a<b<i<h，或者有b<i<h<a，故b<i<h总是成立的.进而由B、C为好方格知，必有i<f<g<h，b<c<d<i，但这时d<i<f，与D为好方格矛盾. 综上可得f(2)=3. (2)设Tn的各格点的数已被分配好，此时好方格有k个称格子的一条边为一段“格线”我们对Tn的每段格线标记一个箭头若格线连结了两个格点U、V，其中U上的数小于V上的数，则对格线UV标上一个指向顺时针旋转90°后所得方向的箭头. 称一个格子S及S的一条边UV所构成的有序对(S，UV)为一个“对子”，如果UV上所标的箭头由S内指向S外设对子总数为N. 一方面，每个格子S至少贡献1个对子(否则沿逆时针方向读S顶点上的数将永远递减，矛盾)，而根据好方格的定义每个好方格贡献3个对子，于是. 另一方面，Tn的每段格线至多贡献1个对子，且Tn边界上至少有一段格线标有向内的箭头(否则，沿逆时针方向读n边界上的数将永远递增，矛盾)，从而不贡献对子.注意到Tn的格线段数为2n(n+1)，所以又有. 综合两方面得，2k+n2≤2n(n+1)－1，即好方格的个数. 最后，对n为奇数和n为偶数的情况，分别如图②和图③，将1，2，……，(n+1)2按粗线经过的次序依次分配给所有格点对图中标有“▲”记号的每个格子，易验证，按被粗线经过的先后次序排列其4个顶点，恰是一种逆时针排列，因而这些格子均为好方格. 图②中好方格数为. 图③中好方格数为. 综上可得，. 6．设是一个由和构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，为、、，、、、、中的最大值. （1）对如下数表，求的值；（2）设数表，求的最小值；（3）已知为正整数，对于所有的，，且的任意两行中最多有列各数之和为，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由题意可得，，；（2）由题意可得，中所有数字之和不小于，即至少有个. 而要使最小，则中只有个，此时如表排列. 下面利用来说明. ①当某行某列全都是时，则其他行（或列）的个数分别为：、、、，此时； ②当某行某列只放个时，则其他行（或列）的个数分别为：、、、，则； ③当某行过某列放个时，则其他行（或列）的个数分别为：、、、，此时. 由上可知，；（3），中所有数字之和为，由题意可得，解得. ①当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去； ②当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去； ③当时，如下表所示，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，合乎题意； ④当或时，不成立. 综上所述，. 7．求正整数n的最大值，使得对任意一个以为顶点的n阶简单图，总能找到集合的n个子集，满足：当且仅当与相邻. 【答案】89 【解析】先证. 假如，考虑完全二部图（即其中是所有的边），并假设n个子集满足条件. 由于，故可取. 易知，所有这些两两不同（否则，假如，且.则.但当时，，故只有.类似地，，矛盾）. 因此，至少含有个不同的元素，但这不可能. 再证明：当时，对任意n阶简单图，存在集合满足条件. 用数学归纳法证明更一般的结论：对任意n阶简单图，总能找到的n个子集满足条件，其中，（当n=1时，规定只能取空集）. 当n=1时，条件无矛盾，结论成立. 当n=2时，令，可根据、是否相邻决定取或空集，结论仍成立. 假设n=k时结论成立，要证n=k+2时结论成立. 若每两个顶点均不相邻，取所有为空集即可. 接下来假设存在相邻顶点，不妨设、相邻. 由归纳假设，知对由另k个顶点构成的诱导子图，存在的k个子集满足相应的条件.取. 将大于的正整数成为“新元素”. 因为、相邻，所以，取新元素添加到、中. 对任意一个，若与、均不相邻，则不需要用到新元素；若与、均相邻，则取一个未用过的最小的新元素，将其添加到、、中；若与、中的一个相邻，不妨设与相邻，则取一个未用过的最小的新元素，将其添加到、中，但不能添加到中.无论如何每个至多用到一个新元素. 综上，至多用到1+k个不同的新元素. 在经过一系列添加新元素的操作后，设变成，则对任意i、j，当且仅当与相邻. 又只用了不多于1+k个新元素，则最大的元素不超过. 故n=k+2时结论成立. 因此，对一切正整数n，结论成立. 特别地，当时，由，知存在集合满足条件. 综上，n的最大值为89. 8．已知有n(n≥4)支足球队参加单循环赛，每两队赛一场，每场胜方得3分，负方得0分，平局各得1分，所有比赛结束后发现，各队的总分构成公差为1的等差数列，求最后一名得分的最大值。【答案】【解析】所有球队共进行场比赛. 设最后一名得分为k.则总得分为. 若某球队没打过平局，则其每场得分均为0或3，故总分为3的倍数. 由题设各队的总分构成等差数列知必有平局，即不能每场双方均共得3分. 故下面对n归纳证明可以达到k=n-2. 用A(k)表示积分为k的球队. 当n=4时，令球队A(5)战胜A(4)，球队A(4)战胜A(2)，其余平局，则A(5)一胜两平积5分，A(4)一胜一平一负积4分，A(3)三平积3分，A(2)两平一负积2分. 设n支球队可赛出A(n-2)，A(n-3),...,A(2n-3).加入C队，欲使得分成为. 令C队n-1-q胜一平q负.则其得分为1+3(n-1-q)=3n-3q-2=2n-2+r. 调整的策略是C队输给A(k)，A(k+3)，...，A(k+3q-3)使之上移，再用一场平局微调. （1）若r=1，C队得分2n-1，令C队负于A(n-1)，A(n+2),...,A(2n-5)，使n-1换成2n-2，再与A(n-2)平局使之升为n-1. （2）若r=0，C队得分2n-2，令C队负于A(n-1)，A(n+2),...,A(2n-4)，使n-1换成2n-1，再与A(n-2)平局使之升为n-1. （3）若r=-1，C队得分2n-3，令C队负于A(n-2)，A(n+1),...,A(2n-4)，使n-2换成2n-1，再与A(2n-3)平局使之升为2n-2. 因此，最后一名得分最大值为n-2. 9．一次循环赛中有2n+1支参赛队，其中每队与其他队均只进行一场比赛，且比赛结果中没有平局。若三支参赛队A、B、C满足：A击败B，B击败C，C击败A，则称它们形成一个“环形三元组”。求：（1）环形三元组的最小可能数目；（2）环形三元组的最大可能数目。【答案】（1）0；（2）【解析】（1）最小值为0. 对于比赛中的两支参赛队，当且仅当i>j时，有击败，此时环形三元组数最小. （2）任何三支参赛队要么组成一个环形三元组，要么组成一个“支配型”三元组(即某队击败了其余两队).设前者有c组，后者有d组.则 . 假设某队击败支其他队.则获胜组必在个支配型三元组中. 注意到，所有的比赛场次为 . 因此，. 由柯西不等式得 . 故 . 将所有参赛队排列在一个圆周上，对每支参赛队而言，在其顺时针方向的n支队被它击败，在其逆时方向的n支队均击败它时取到最大值. 10．（1）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这四个数是互不相同的完全平方数；（2）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这六个数是互不相同的完全平方数；（3）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这八个数是互不相同的完全平方数. 【答案】见解析【解析】（1）行和，列和（2）行和，列和（3）行和，列和 11．某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（编号依次为l，2，…，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第1站（对应2014年）.为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠，出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠一次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点.试求不同的停靠方式的种数. 【答案】【解析】令.设不同的停靠方式共有种. 首先，对每种停靠方式，定义停靠的站为类，未停靠的站为类，则类站与类站一一配对，组成对径点. 显然，不存在相邻的三个类站（否则，设、、为相邻的类站，则其对径点、、为相邻的类站，机器没有停靠，与题设矛盾），且第1站为类，第站为类. 从而，每种停靠方式对应一种第站的分类方式（第站的分类方式由第站的分类方式唯一确定），使得没有相邻三站同类. 接下来，考虑连续个站台的分类方式（其中，首尾两站为类，且没有相邻三站同类）.设其分类方式种数为. 显然，，，，. 对，考虑最末两个类站中间的类站的个数.若，则分类种数为；若，则分类种数为；若，则与其相邻站为类，分类种数为. 故.② 设.③ 则 ④ 由结论①和式②得.则，. 由式④知为第个斐波那契数，即. 由式③得，， . 其次，计算第站的分类种数. 若为类，则相应分类种数为. 若为类，则、为类，2为类. 如果3为类，则相应分类种数为；如果3为类，则4为类，相应分类种数为. 故. 最后，求. . 由 . 故 . 12．设，为三维空间中个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上，将集合中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合中所有的点均在一个球面上，【答案】见解析【解析】定义：为由已知条件，知，其中，表示至少经过集合的四个点的任一球面. 对于集合中任意的三个不同的点、、，用表示经过点、、且还至少经过集合中的另一个点的所有球面组成的集合，表示这些球面的个数. 故.① 这是因为、、的值出现次，而其他的值只出现一次. 若存在三个点使得，则结论得证. 若对集合M中任意的三个不同的点、、，，先证明. 假设.则由式①知，所有的的组合共有种. 对所有的这些可能求和有，这与假设矛盾. 同理，若，也会推出矛盾. 接下来，由及式①，得出对集合中任意的三个不同的点、、，有. 取另一个点，得到下列等式：，，，. 由此，容易推出，这与的定义矛盾. 13．在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 【答案】【解析】设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，是以第i个顶点为端点的红色线段数目，则有，.当且仅当每个=1008或1009时，N取得最小值. 是可以取到的，例如：把线段（，）染成红色，其他线段染成蓝色. 14．某国有53座城市，任意两座城市之间要么有一条双向公路直达，要么没有直接相连的公路。已知这53座城市之间共有312条公路，并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市。每一座城市至多向其余12座城市引出公路，且每走一条公路需要缴纳10元路费。现甲在城市A，且身上仅有120元。甲是否一定能到达任意一座城市？证明你的结论。【答案】见解析【解析】一定能到达. 将这53座城市看成53个顶点，若两座城市之间有双向公路直达，则在对应的顶点之间连一条无向边.如此，构造出图G.由题意，知C为简单连通图.记D为图G的直径.原题即问直径D是否小于或等于12. 由直径定义，知存在顶点u、v使得存在一条u-v路，其长度为D.记这条路上的所有顶点构成的集合为P.将图G去掉集合P中的顶点以及和P中顶点相连的边后得到的子图记为G'. 由于这条u-v路的长度为直径D，是所有路中最长的，因此，有结论：这条u-v路上的顶点之间除了相邻顶点外，不能相连. 将集合P中的顶点从u到v顺序编号为1,2,...,D+1，把编号模3余i的顶点构成的集合记为. 则有结论：对于给定的i(i=1,2,3)，任取集合中的两个不同顶点x、y，这两者之间没有边. 15．平面上有任意三点不共线的12个点，以其中任意一点为始点，另一点为终点作向量，且作出所有这样的向量.若三边向量和为零向量，则称该三角形为“零三角形”，求以这12个点为顶点的零三角形个数的最大值. 【答案】70 【解析】设这12个点分别为，所确定的三角形共有个. 设以为始点的向量数为. 若以某三点为顶点的三角形为非零三角形，则恰有一个点是此三角形两边向量的始点.于是，以为顶点之一且为两边始点的非零三角形有个.从而，以这些点为顶点的三角形中非零三角形的总数为. 因此，零三角形的个数为. 而. 故. 由调整法，知中有六个取5，六个取6时，有最小值150. 因此，以这12个点为顶点的零三角形个数的最大值为70. 16．在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为．（1）分别求、、的值；（2）求的表达式．【答案】（1）,,,（2）【解析】（1） , , （2）设为沿轴正方向走的步数（每一步长度为1）,则反方向也需要走步才能回到轴上,所以,1,2,……,,（其中为不超过的最大整数）总共走步,首先任选步沿轴正方向走,再在剩下的步中选步沿轴负方向走,最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下）,即等价于求中含项的系数,为其中含项的系数为故． 17．出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题：（1）求线段上一点到点的“距离”；（2）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程，并求该“圆”围成的图形的面积；（3）若点到点的“距离”和点到点的“距离”相等，其中实数满足，求所有满足条件的点的轨迹的长之和. 【答案】（1）1；（2）；（3）. 【解析】解：（1）上一点到点的“距离”：；（2 ）∵“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形， ∴“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程为：；（3）由已知条件得若，则，解得；若，则，得；若，则，解得；点的轨迹由3段线段构成: ,,, 则点的轨迹的长之和为． 18．设（n = 1，2，3，…，2000）为一族抛物线，分别过每条抛物线的焦点作倾斜角为45°的直线，并截该抛物线得弦（n = 1，2，3，…，2000），将各弦绕其对应准线旋转90°得到2000个旋转面.试求所有这些旋转面面积之和. 【答案】【解析】第n条抛物线的方程，故其焦点坐标为.过此焦点，倾斜角为45°的直线方程为. 方程组将②代入①并整理得. 有. ， . 故弦长. 旋转面是，. 如图，由定义得 . ∴ . ∴ . 各旋转面面积之和为 . 19．在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分别为，首先，A以B为中心跳到其对称点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，……依此类推。设A、B、C第n次跳到的位置分别为，的三边长分别为a、b、c，面积为S。证明: 【答案】见解析【解析】设的三边长分别为.则由題意知 ①②③ 由式①得 ④ 将式④代入式②得 ⑤ 将式⑤代人式③并整理得 . 其特征方程为，即. 解得. 则 ⑥ 在式④、⑤、⑥中令n=0，得24 解得.故又每只青蛙跳后，三只青蛙所组成的三角形面积不变，即. 而，故 20．在一次数学竞赛中，某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X，对集合X的子集Y，若可以将这些人两两分组，且每组中两名选手均是朋友关系，则称子集Y“可两两分组”.已知集合X不可两两分组，且对于任意选手，若A、B不是朋友关系，则可两两分组，且X中没有一个人与其他所有人均为朋友关系证明:对任意选手，若a、b为朋友关系，b、c为朋友关系，则a、c也为朋友关系【答案】见解析【解析】考虑一个图G，顶点由集合X组成，若X中两人认识，则将这两人相连，否则不相连若一个图中的点可以两两分组，且每组中两个点均相连，则称这种分组为图G的一个“完美匹配”（可以看成是图G的一个子图）.于是，题目的条件变成了图G不存在完美匹配，且若x、y不相连，则G＋xy（表示把这个图G的xy也相连）存在一个完美匹配，且没有一个点与所有点均相连. 用反证法. 若存在a、b、c使得a、b认识，b、c认识，但a、c不认识，由于没有人认识其他所有人，故存在，使得b、d不认识. 由假设可得G＋ac有一个完美匹配，记为；G＋bd也有一个完美匹配记为. 考虑与的对称差 . 则容易得到S是一些互不相交的圈，且每个圈均由偶数个点组成，设ac属于圈，bd属于圈. 分两种情形讨论若，则在圈外的点按照的分组方式分组，在圈中按照的分组方式即可得到原图G的一个完美匹配，即得矛盾. 若，则这个圈从b出发沿边bd开始，不妨设首先连到点a，即b到a的路径（首先经过边bd）为P，于是，P＋ab为一个圈，其中，有一半的边（间隔地）属于对P＋ab这个圈外的点按的方式分组，而对P＋ab按ab及的方式分组即可得到原图G的一个完美匹配，即得矛盾. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/图论与对策(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题11数列C辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设数列的通项公式为,.证明:存在无穷多个正整数m,使得是完全平方数. 2．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知实数列满足:对任意正整数n，有，其中Sn表示数列的前n项和证明: (1)对任意正整数n，有； (2)对任意正整数n，有. 3．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知数列.求满足的最小正整数n. 4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{an}是等差数列，数列bn}满足. (1)证明:数列{bn}也是等差数列； (2)设数列的公差均是d≠0，并且存在正整数s、t，使得是整数，求的最小值. 5．【2015高中数学联赛（第01试）】设是4个有理数，使得成立.求的值. 6．【2014高中数学联赛（第01试）】数列{an}满足，求正整数m，使得. 7．【2012高中数学联赛（第01试）】已知数列{an}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有， (1)当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列； (2)是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由. 8．【2011高中数学联赛（第01试）】已知数列满足：a1=2t－3(t∈R且t≠±1)，. (1)求数列的通项公式； (2)若t>0，试比较与的大小. 9．【2010高中数学联赛（第01试）】证明：方程2x3+5x－2=0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得. 10．【2009高中数学联赛（第01试）】已知p，q(q≠0)是实数，方程x2－px+q=0有两个实根，数列{an}满足，，. (1)求数列{an}的通项公式(用表示)； (2)若，求{an}的前n项和. 11．【2007高中数学联赛（第01试）】设，求证：当正整数n≥2时，. 12．【2006高中数学联赛（第01试）】将2006表示成5个正整数之和.记.问： (1)当取何值时，S取到最大值? (2)进一步地，对任意1≤i，j≤5有，当取何值时，S取到最小值?说明理由. 13．【2005高中数学联赛（第01试）】数列{an}满足：，n∈N.证明： (1)对任意n∈N，an为正整数； (2)对任意n∈N，为完全平方数. 14．【2002高中数学联赛（第01试）】如图，有一列曲线，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2).记Sn为曲线所围成图形的面积. (1)求数列{Sn}的通项公式； (2)求. 15．【2001高中数学联赛（第01试）】{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且，，，又，试求{an}的首项与公差. 16．【2001高中数学联赛（第01试）】用电阻值分别为的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论. 17．【1999高中数学联赛（第01试）】给定正整数n和正数M，对于满足条件M的所有等差数列，试求的最大值. 18．【1993高中数学联赛（第01试）】设正数列满足，且，求的通项公式. 19．【1992高中数学联赛（第01试）】设n为自然数，，令. (1)求证：. (2)用数学归纳法证明： . 20．【1990高中数学联赛（第01试）】n2(n≥4)个正数排成n行n列：，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知，，求. 21．【1989高中数学联赛（第01试）】已知是n个正数，满足.求证：. 22．【1989高中数学联赛（第01试）】已知对任意的n∈N，有an>0，且.求证：an=n. 优质模拟题强化训练 1．设.求证：（1）；（2）. 2．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且. （1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：. 3．已知数列中，n=1,2,3,…. （1）求的通项公式；（2）若数列中，，n=1,2,3,…证明：. 4．已知数列{an}满足. （1）记，求数列{cn}的通项公式；（2）记，求使成立的最大正整数n的值.(其中，符号[x]表示不超过x的最大整数) 5．设正整数均不大于21，且每两个数的和不等于21.试求出所有满足条件的数组的积的和. 6．数列{an}满足. （1）证明：数列{an}是正整数数列；（2）是否存在m∈Z+，使得2109\|am，并说明理由. 7．设数列的前n项和为，点在的图像上. （1）求数列的通项公式；（2）求，且对任意的正整数n，均有.证明：对任意，总有. 8．数列满足，，设、都是正整数，且. 求的所有可能值. 9．设，. （1）求证：；（2）求和：. 其中，表示不超过实数的最大整数. 10．设，，数列满足，求数列的前n项和. 11．已知正数数列满足对于任意的正整数n，有。证明：（1）对于任意的正整数n(n≥2)有；（2）从某一个正整数n开始均有。 12．定义数列，，，对任意的，.证明：为整数数列. 13．已知正整数n都可以唯一表示为 ①的形式，其中m为非负整数，（，），.试求①中的数列严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和. 14．已知数列的前项和满足，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值． 15．已知数列满足：，若对任意正整数，都有，求实数的最大值. 16．在数列中，、是给定的非零整数，．（1）若，，求；（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数项． 17．设等比数列的前项和为，且（）．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：． 18．数列为等差数列，且满足，数列满足，的前n项和记为.问：当n为何值时，取得最大值，说明理由. 19．将正整数数列1，2，3，…中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列.证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{bn}中的两个相邻项的和. 20．已知数列中，，且（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切，有高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/数列C辑(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题16平面解析几何B辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系中,圆经过点, , ,则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为 . 【答案】【解析】记,圆经过点.注意到∠OBA=90°(直线OB与AB的斜率分别为1和),故OA为圆的直径.从而圆上的点到原点的距离的最大值为. 2．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】设A、B为椭圆的长轴顶点，E、F为的两个焦点，，，P为上一点，满足，则△PEF的面积为 . 【答案】1 【解析】不妨设平面直角坐标系中的标准方程为. 根据条件得2a=\|AB\|=4，，可知a=2，b=1，且由椭圆定义知\|PE\|+\|PF\|=2a=4，结合得，所以∠EPF为直角，进而. 3．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系中，若以(r+1，0)为圆心、r为半径的圆上存在一点(a，b)满足b2≥4a，则r的最小值为 . 【答案】4 【解析】由条件知，故. 即. 上述关于a的一元二次不等式有解，故判别式，解得r≥4. 经检验，当r=4时，满足条件.因此r的最小值为4. 4．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别是，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2的面积为 . 【答案】【解析】由对称性，不妨设在第一象限，则由条件知，即P(2，1).进而由得U(2，2)，S(4，1)，代入椭圆C的方程知，解得. 从而. 5．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设抛物线C:y2=2x的准线与x轴交于点A，过点B(－1，0)作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则△KMN的面积为 . 【答案】【解析】设直线l与MN的斜率为k，则. 将l与C联立，得方程，由条件知其判别式为零，故. 将MN与C联立，得方程，于是，结合l与MN平行，可知. 6．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 . 【答案】【解析】易知A(3，0)、F(0，1).设P的坐标是，则 . 其中. 当时，四边形OAPF面积的最大值为. 7．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线的焦距为4，则a的值为 . 【答案】【解析】二次曲线的方程可以写成. 显然必须有－a>0，故二次曲线为双曲线，其标准方程为. 则，注意到焦距2c=4，可知，又a<0，所以. 8．【2016高中数学联赛（第01试）】双曲线C的方程为，左、右焦点分别为.过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于点P、Q，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆半径是 . 【答案】【解析】由双曲线的性质知，，. 因，故，因此. 从而直角△F1PQ的内切圆半径是 . 9．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K=所对应的平面区域的面积为 . 【答案】24 【解析】设，先考虑K1在第一象限中的部分，此时有，故这些点对应于图中的△OCD及其内部，由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部. 同理，设，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部. 由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1，K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S. 由于直线CD的方程为，直线GH的方程为，故它们的交点P的坐标为，由对称性知. 10．【2014高中数学联赛（第01试）】设椭圆的两个焦点是F1，F2，过点F1的直线与交于点P，Q，若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为 . 【答案】【解析】不妨设，记椭圆的长轴、短轴的长度分别为2a，2b，焦距为2c，则，且由椭圆的定义知，于是，设H为线段PF1的中点，则，且有F2H⊥PF1，由勾股定理知，即，解得c=5，进而，因此椭圆的短轴与长轴的比值为. 11．【2013高中数学联赛（第01试）】若实数x，y满足，则x的取值范围是 . 【答案】【解析】令，此时，且条件中等式化为，从而a，b满足方程. 如图所示，在aOb平面内，点(a，b)的轨迹是以(1，2)为圆心，为半径的圆在a，b≥0的部分，即点O与弧ACB的并集. 因此，从而. 12．【2012高中数学联赛（第01试）】抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是 . 【答案】1 【解析】解法一设，则由正弦定理，得，所以，即. 如图，由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得，所以，故当时，取得最大值为1. 解法二由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得，在△AFB中，由余弦定理，得 . 当且仅当时，等号成立. 故的最大值为1. 13．【2011高中数学联赛（第01试）】直线x－2y－1=0与抛物线y2=4x交于A，B两点，C为抛物线上的一点，∠ACB=90°，则点C的坐标为 . 【答案】(1，－2)或(9，－6) 【解析】设，由得，则，. 又，所以，. 因为，所以，即有，即，即，即，显然，否则，则点C在直线上，从而点C与点A或点B重合. 所以，解得. 故所求点C的坐标为(1，－2)或(9，－6). 14．【2010高中数学联赛（第01试）】双曲线x2－y2=1的右半支与直线x=100围成的区域内部(不含边界)整点(纵、横坐标均为整数的点)的个数是 . 【答案】9800 【解析】由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设与双曲线右半支交于Ak，交直线x=100于Bk，则线段内部的整点的个数为99－k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为，又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为. 15．【2009高中数学联赛（第01试）】知直线L：x+y－9=0和圆M：2x2+2y2－8x－8y－1=0，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 . 【答案】【解析】设A(a，9－a)，则圆心M到直线AC的距离，由直线AC与圆M相交，得，解得. 16．【2009高中数学联赛（第01试）】椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积的最小值为 . 【答案】【解析】设，，由点P，Q在椭圆上，有 ① ② ①+②得，于是当时，达到最小值. 17．【2006高中数学联赛（第01试）】已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线上.当取最大值，的比值为 . 【答案】【解析】由平面几何知，要使最大，则过三点的圆必定和直线l相切于点P.设直线l交x轴于，则，即，即 ① 又由圆幂定理 ② 而，从而有，代入式①与②得. 18．【2005高中数学联赛（第01试）】若正方形ABCD的一条边在直线y=2x－17上，另外两个顶点在抛物线y=x2上.则该正方形面积的最小值为 . 【答案】80 【解析】设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为，，则CD所在直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，得，所以，令正方形边长为a，则 ① 在上任取一点(6，－5)，它到直线的距离为a，所以 ② 将式①与②联立解得，所以a2=80或a2=1280. 故. 19．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 . 【答案】1 【解析】经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线上，设圆心为S(a，3－a)，则圆S的方程为. 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减少而角度增大，所以，当∠MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S，必与x轴相切于点P即圆S的方程中的a值必须满足，解得a=1或a=－7. 即对应的切点分别为P(1，0)和P(－7，0) 而过点M，N，P'的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P(1，0)为所求，所以点P的横坐标为1. 20．【2003高中数学联赛（第01试）】设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于 . 【答案】4 【解析】设椭圆的长轴、短轴的长及焦距分别为2a，2b，2c，则由其方程知，故. 又已知，故可得. 在△PF1F2中，三边之长分别为，而，可见△PF1F2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF1F2的面积. 21．【2001高中数学联赛（第01试）】椭圆的短轴长等于 . 【答案】【解析】由及得，从而. 22．【2000高中数学联赛（第01试）】在椭圆中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF= . 【答案】【解析】对数据敏感就会发现是方程的根，代入整理得，从而，恰好符合射影定理，于是. 23．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是 . 【答案】【解析】记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则，右准线l为，如果P在双曲线右支，则，从而，而这是不可能的. 故P在双曲线的左支，有，，两式相加，得，又，所以. 因此，P的横坐标为. 24．【1999高中数学联赛（第01试）】已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 . 【答案】43 【解析】设倾斜角为θ，则，不妨设a>0，所以b<0. (1)c=0，a有3种取法，b有3种取法，排除2个重复(3x－3y=0，2x－2y=0与x－y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3－2=7(条) (2)c≠0，则a有3种取法，b有3种取法，c有4种取法，且其中任意2条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36(条). 所以符合要求的直线有7+36=43(条). 25．【1998高中数学联赛（第01试）】若椭圆与抛物线有公共点，则实数a的取值范围是 . 【答案】【解析】解法一由可设，代入得，所以，因为，所以，从而. 解法二题目条件等价于方程有非负解. 此即方程有非负解. 故有，，解得. 26．【1997高中数学联赛（第01试）】双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若实数入使得的直线l恰有3条，则= . 【答案】4 【解析】首先，应注意到下列结论：过双曲线的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当该弦与x轴垂直时，取得最小长度. (事实上，该双曲线的极坐标方程为，又设AB是过右焦点F仅与右支相交的弦，，，则，当时，等号成立). 其次，满足题设条件的直线恰有三条时，只有两种可能： (1)与双曲线左、右两条都相交的只有一条，而仅与右支相交的有两条.此时，与双曲线左右两支都相交的必是x轴，而其两交点的距离为2a=2，但仅与右支相交的两条弦的长>4，这不满足题设条件； (2)与双曲线左、右两支都相交的有两条，而仅与右支相交的只有一条，且这条弦必与x轴垂直(否则，由对称性知仅与右支相交的有两条弦)，此时且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件，所以=4. 27．【1996高中数学联赛（第01试）】曲线C的极坐标方程是，点A的极坐标是(2，0).曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是 . 【答案】【解析】.由于，所以点A在曲线C上，为求所扫过的面积，关键算出C上一点到A的最大距离.对C上一点，有 . 当，等号成立.所以\|AB\|最大值是，那么扫过的面积是以A为圆心，半径为的圆，面积为. 28．【1994高中数学联赛（第01试）】已知点集，则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 . 【答案】7 【解析】如图所示，圆E，F交于M，N两点，整个图形关于连心线EF成轴对称图形，其中A∩B是左下靠近原点O的一个月形S，S中整点横坐标x可以是 1，2，3，4，纵坐标y可以是2，3，4，5，对称轴EF穿过新月形S，经计算可知仅通过一个整点C4(2，3). 新月形S中横坐标为1的格点有3个. 这三点的轴对称点顺次是. 故共有7个整点. 29．【1992高中数学联赛（第01试）】函数的最大值是 . 【答案】【解析】由，可知函数y=f(x)的几何意义是：在抛物线y=x2上的P(x，x2)分别到点A(3，2)和点B(0，1)的距离之差. 因点A在抛物线下方，点B在抛物线上方，故直线AB和抛物线相交，交点由方程组决定，消去y得方程. 由于该方程常数项为负，故方程必有负根. 因三角形两边之差小于第三边，所以，当点P位于负根所对应的交点C时，f(x)有最大值. 30．【1990高中数学联赛（第01试）】设A(2，0)为平面上的一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP所扫过的图形的面积是 . 【答案】【解析】因OP2=1，故点P在单位圆上变动，始点，终点. 图中阴影部分面积是所求面积. 因为，所以. 故所求面积为：. 31．【1987高中数学联赛（第01试）】已知集合，B=.若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为 . 【答案】或【解析】点集A是由顶点为(a，0)，(0，a)，(－a，0)，(0，－a)的正方形的四条边构成(如图). 将变形为. 所以，集合B是由四条直线构成. 欲使A∩B为正八边形的顶点所构成，只有a>2或1<a<2这两种情况. (1)当a>2时，由于正八边形的边长只能为2，显然有，故. (2)当1<a<2时，设正八边形的边长为1，则，. 这时，. 综上所述，a的值为或(图中A(，0)，. 32．【1984高中数学联赛（第01试）】如图，AB是单位圆的直径.在AB上任取一点D，作DC⊥AB，交圆周于C.若点D的坐标为(x，0)，则当 .时，线段AD，BD，CD可构成锐角三角形. 【答案】【解析】因为三条线段AD，BD，CD构成锐角三角形的充要条件是其中最大线段的平方小于另两条线段的平方和.由对称性，不妨假设，则三条线段中AD为最大.所以它们必须满足. 因为CD是AD，BD的比例中项，所以. 又因为，于是得. 化简得. 所以，所以. 优质模拟题强化训练 1．与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线方程是______. 【答案】【解析】设,将代入求得. 双曲线方程是 2．圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为________. 【答案】和【解析】抛物线的准线方程为. 设所求圆的圆心为，则，且，解得，，故所求圆的方程为. 故答案为：和 3．双曲线的右焦点为F，离心率为e，过点F且倾斜角为的直线与该双曲线交于点A、B，若AB的中点为M，且\|FM\|等于半焦距，则_____ . 【答案】【解析】设点，则. 两式相减，得，所以AB的斜率为. 又，所以M点的坐标为. 所以，所以. 故答案为：． 4．若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点，其中O是原点，A、B在抛物线上，则△OAB的面积S=____________ . 【答案】【解析】抛物线的焦点为F(1，0).因F为△OAB的垂心，则OF⊥AB，故可设A、B的坐标为. 于是OA的方程为ay=2x，. BF的斜率，据，得，因此，h=a2=5，所以. 故答案为：． 5．在平面直角坐标系内，已知抛物线y=kx2(k>0)与圆至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线y=kx+b上，那么实数b的最小值是______ . 【答案】2 【解析】由已知，得① 由得.② 由于①的解均是②的解，所以有，故，当k=1时等号成立. 故答案为：2． 6．若直线与直线互相垂直，则点到直线的距离为____________ . 【答案】【解析】直线2x+y-2=0的斜率为k1=-2，直线x+my-1=0的斜率为. 因为两直线互相垂直，所以，解得m=-2，故P(-2，-2)，所以点P到直线x+y+3=0的距离为. 故答案为：． 7．已知△ABC为椭圆的内接三角形，且AB过点P(1，0)，则△ABC的面积的最大值为_______ . 【答案】【解析】提示：经伸缩变换得△A'B'C'内接于圆X2+Y2=1，A'B'过点. ，设O'到A'B'的距离为t，则，易知当时，有最大值为，所以S△ABC的最大值为. 故答案为：． 8．设a是实数，关于z的方程(z2－2z+5)(z2+2az+1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是________. 【答案】{a\|－1<a<1}∪{－3} 【解析】由z2－2z+5=0，得. 因为z2+2az+1=0有两个不同的根，所以△=4(a2－1)≠0，故a≠±1. 若△=4(a2－1)<0，即－1<a<1时，.因为在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，满足条件. 若△=4(a2－1)>0，即\|a\|>1时，是实根，在复平面上对应的点在实轴上，仅当z1、z2对应的点在以对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为，整理得，即x2+2ax+1+y2=0，将点(1，±2)代入得a=－3. 综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{a\|－1<a<1}∪{－3}. 故答案为：{a\|－1<a<1}∪{－3}. 9．若实数、满足，则的取值范围是______. 【答案】【解析】令，此时，，且题设等式化为. 于是，满足方程. 如图，在平面内，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆在的部分，即点与弧并集. 故. 从而，. 10．已知P为抛物线上的动点，点B、C在y轴上，是△PBC的内切圆.则最小值为_______. 【答案】8 【解析】设、、，不妨设，，即．又圆心到的距离为1，即．故．易知，上式化简得．同理，．所以，，．则．因为是抛物线上的点，所以，．则．故．当时，上式取等号，此时，，．因此，的最小值为8． 11．若点对椭圆与双曲线的切点弦互相垂直，则__________。【答案】【解析】点对椭圆E与双曲线H的切点弦所在直线方程分别为，. 由这两条直线垂直知. 故答案为： 12．已知双曲线的两个焦点分别为，，过点的直线与该双曲线的右支交于、两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，则该双曲线的实轴长为______. 【答案】【解析】由双曲线定义知，① .② 由题设得. 结合式①、②得，. 在中，由余弦定理得 . 13．平面直角坐标系中，直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线交于、两点.若以为直径的圆与轴相切，则______. 【答案】【解析】易知，双曲线的两个焦点为. 不失一般性，设直线过右焦点. （1）当与轴不垂直时，设直线的方程为，将其代入双曲线方程并整理得. 显然，. 设，.则、是上述一元二次方程的两根. 由韦达定理知，. 故由弦长公式得 . 另一方面，线段的中点到轴的距离. 若以为直径的圆与轴相切，则，即. （2）当与轴垂直时，直线的方程为，点、的坐标为，的中点到轴的距离，不符合相切的条件. 综上，线段的长为. 14．已知三个顶点均在抛物线上,且的重心恰为抛物线的焦点.若边所在直线方程为,则______. 【答案】【解析】设、、. 由. 由已知得由式①、③得. 代入式④与①、②联立解得. 15．设）是椭圆的一个顶点，已知直线与椭圆交于两点，且的重心是椭圆的右焦点。则椭圆的右焦点坐标为______。【答案】【解析】如图，设，椭圆的右焦点。则由的重心公式有，。从而，将，相减得。又，则由式①知的中点。因为点在直线上，所以，由及式②、③消去得。解得。但由式③有，则。故右焦点坐标为。 16．设过点的直线与抛物线交于点，与圆交于点。若且，则直线的方程为______。【答案】【解析】在的24中排列中，同时满足且的有如下8种：；；；；；；；。它们的共同特点是，线段与线段的中点重合。设直线将直线与抛物线联立，消去得关于的一元二次方程。于是，中点的纵坐标为。同理，中点的纵坐标为。由与的中点重合得。从而，。所以，满足条件的直线共有三条。 17．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点到其渐近线的距离为.若过点P作斜率为的直线交双曲线于、两点，交轴于点，且是与的等比中项，则双曲线的半焦距为_______________. 【答案】或【解析】设渐近线的方程为. 由题设得，解得. 故双曲线的渐近线方程为. 设双曲线的方程为. 设、，直线AB的方程为，代入双曲线方程消去y得. 当，即时，上面的方程恰有两实根，且，. 由题设知，，可化为 . 解得或. 因此，双曲线的方程为或或. 所以，双曲线的半焦距为或. 故答案为：或 18．已知、分别是中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，、分别为、的内心．若双曲线的离心率为2，，直线的倾斜角的正弦值为，则双曲线的方程为______．【答案】【解析】设双曲线的方程为（，），半焦距．记得内切圆与轴、、的切点分别为、、．则，，．故，，．从而，即为双曲线的右顶点．记得内切圆与轴、、的切点分别为、、．类似可得为双曲线的右顶点．故点与重合．从而，轴．由双曲线的离心率，得．联结、．在直角梯形中，在直线的倾斜角，即．则，，．故双曲线的方程为． 19．过双曲线的左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与圆恰好切于线段的中点.则直线的斜率为______. 【答案】【解析】设双曲线右焦点为，原点为.则为的中位线. 由双曲线定义知. 由，则. 而. 于是，直线的斜率为. 20．过双曲线（，）的右焦点作轴，与双曲线交于点、，与左焦点的连线与双曲线交于点，联结与轴交于点．则的横坐标为______．【答案】【解析】由题设得．将直线与双曲线方程联立得．由韦达定理得．由梅涅劳斯定理知．易得，．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/平面解析几何B辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题24初等数论历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】方程组的有理数解(x，y，z)的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．【1996高中数学联赛（第01试）】存在整数n使是整数的质数p( ). A．不存在 B．只有一个 C．多于一个，但为有限个 D．有无穷多个 3．【1991高中数学联赛（第01试）】设a是正整数，a<100.并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为( ) A．4 B．5 C．9 D．10 4．【1987高中数学联赛（第01试）】对任意给定的自然数n，若正整数，则( ) A．这样的a有无穷多个 B．这样的a存在，但只有有限个 C．这样的a不存在 D．以上A，B，C的结论都不正确 5．【1983高中数学联赛（第01试）】设p，q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数.那么( ) A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】在1，2，3，…，10中随机选出一个数a在－1，－2，－3，…，－10中随机选出一个数b，则被3整除的概率为 . 7．【2015高中数学联赛（第01试）】对四位数(1≤a≤9，0≤b，c，d≤9)，若a>b，b<c，c>d，则称为P类数：若a<b，b>c，c<d，则称为Q类数.用N(P)与N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)－N(Q)的值为 . 8．【2004高中数学联赛（第01试）】设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= . 9．【1993高中数学联赛（第01试）】整数的末尾两位数字是 . (先写十位数字，后写个位数字.其中[x]表示不超过x的最大整数). 10．【1991高中数学联赛（第01试）】19912000除以106，余数是 . 11．【1987高中数学联赛（第01试）】若k是大于1的整数，a是x2－kx+1=0的根，对于大于10的任意自然数n，的个位数字总是7，则k的个位数字是 . 12．【1985高中数学联赛（第01试）】方程的非负整数解共有组. 13．【1985高中数学联赛（第01试）】在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和能被11整除的数组共有组. 优质模拟题强化训练 1．对任意正整数，定义为使得是的倍数的最小正整数.关于下列三个命题： ①若为奇质数，则； ②对任意正整数，都有； ③对任意正整数，都有. 其中所有真命题的序号为（）. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．关于、的方程的正整数解的对数为（）. A．16 B．24 C．32 D．48 3．方程的整数解（x，y）的个数为（）. A．5 B．6 C．7 D．8 4．设分别是等差数列与的前项和，对任意正整数，都有若为质数，则正整数的值为（）. A．2 B．3 C．5 D．7 5．对任意的整数，代数式的值被9除的余数不会是（） A．0 B．1 C．6 D．7 6．设是大于3的质数，且也是质数，记，表示的各位数字之和．若是一位数字，对于所有可能的质数有（　　）个不同的值． A．1 B．2 C．3 D．4 7．沿环形马拉松跑道设有2008个观看站点，按顺时针方向依次标为，它们将跑道分成2008个区段。某运动员将编号为1,2，…，2008的吉祥物按照以下方式依次放置于这些站点上：他先在上放置第1号吉祥物，然后顺时针跑过29个区段，将第2号吉祥物放置于所到达的站点上；再顺时针跑过29个区段，将第3号吉祥物放置于所到达的站点上，……如此进行下去。则站点上所放置的吉祥物的编号是（）。 A．2008 B．1896 C．1732 D．1731 8．对方程的正整数解的正确判断是（　　）． A．不存在 B．有1个 C．有多于1的有限个 D．有无限个 9．设，，其中，表示的整数部分. 则的个位数字为（）. A．1 B．3 C．5 D．7 10．满足对所有的，1，…，，都有与2007互质的正整数的数目有（　　）个． A．3 B．5 C．7 D．9 11．已知，，且为方程的一个根，则的最大可能值为______． 12．记[x]为不超过实数x的最大整数.若，则A除以50的余数为____________ . 13．设表示不超过n且与n互素的正整数的个数，g(n)满足对任意，其中求和符号表示d取遍n的所有正因子，则________ . 14．若(a+b)n的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数n=____________ . 15．若正整数n使得方程有正整数解(x，y，z)，称n为“好数”.则不超过2019的“好数”个数是_____ . 16．设表示自然数的数字和，则方程的解集为______． 17．已知实数、满足，为素数，若的最大值为，最小值为，则______． 18．已知正整数、均小于500，且满足. 则这样的数对共有______对. 19．、为正整数，满足，则所有正整数对的个数为______． 20．已知集合，其中，.若正整数，且，则符合条件的正整数数对有______个. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/初等数论(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题09数列A辑历年联赛真题汇编 1．【2006高中数学联赛（第01试）】数码中有奇数个9的2007位十进制数的个数为( ) A． B． C． D．【答案】B 【解析】出现奇数个9的十进制数个数有，又由于以及，从而得 . 故选B. 2．【2003高中数学联赛（第01试）】删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是( ) A．2046 B．2047 C．2048 D．2049 【答案】C 【解析】解法一注意到，所以，而且从第1981项到2070项之间的90项中没有完全平方数. 又，所以. 故选C. 解法二将所得新数列按照第k组含有2k个数的规则分组：，设新数列的第2003项位于第n组，则有，即，得，故新数列的第2003项为. 3．【1999高中数学联赛（第01试）】给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设，，，则数列{bn}( ) A．是等差数列 B．是公比为q的等比数列 C．是公比为q3的等比数列 D．既非等差数列也非等比数列【答案】C 【解析】由题意有. 所以{bn}是公比为q3的等比数列. 4．【1998高中数学联赛（第01试）】各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn，若，则S40等于( ) A．150 B． C．150或－200 D．400或－50 【答案】A 【解析】记，，设q为{an}的公比，则构成以为公比的等比数列. 于是，所以，则r=2(因为，所以r=－3应舍去). 故. 5．【1998高中数学联赛（第01试）】设命题P：关于x的不等式与的解集相同；命题.则命题Q( ) A．是命题P的充分必要条件 B．是命题P的充分条件但不是必要条件 C．是命题P的必要条件但不是充分条件 D．既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件【答案】D 【解析】例如与的解集不同，从而排除A，B；又如与解集相同，从而排除C． 6．【1997高中数学联赛（第01试）】已知数列{xn}满足(n≥2)，x1=a，x2=b，记，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】经计算知数列{xn}的前几项是a，b，b－a，, 由此看出即{xn}是周期为6的数列.所以. 又 . 所以. 7．【1997高中数学联赛（第01试）】设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C 【解析】设等差数列的首项为a，公差为d，则依题意有，即 ① 即n为不小于3的自然数，97为素数，数n的值只可能为四者之一. 若d>0，则由式①知，故只可能有n=97，式①化为，这时式①有两组解：或. 若d=0，则式①化为，这时式①有两组解：或. 故符合题设条件的等差数列共有4个. 8．【1996高中数学联赛（第01试）】等比数列{an}的首项a1=1536，公比是.用表示它的前n项之积，则(n∈N)最大的是( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】等比数列{an}的通项公式，前n项的积. 易见为正数，为负数，故只要比较. 首先考虑正负情况，显然为正数. 而，，，，且. 那么. 所以. 又，则. 9．【1995高中数学联赛（第01试）】设等差数列{an}满足，且为其前n项之和，则Sn(n∈N)中最大的是( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】设该等差数列的公差为d，则由得，即，于是知. 而，所以该等差数列的前20项和最大，故选C．. 10．【1994高中数学联赛（第01试）】已知数列{an}满足，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式的最小整数n是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由，知数列是首项为8，公比为的等比数列. 因此. 所以，即，所以，.从而. 不难验证，当n=7时满足要求，故选C． 11．【1985高中数学联赛（第01试）】设0<a<1，若，则数列{xn}( ) A．是递增的 B．是递减的 C．奇数项是递增的，偶数项是递减的 D．偶数项是递增的，奇数项是递减的【答案】C 【解析】首先考察数列的前三项，因为，所以，，即. 此已表明数列既非递增又非递减，且奇数项也不是递减的优质模拟题强化训练 1．已知等差数列{an}的公差d≠0，且，则{an}的前15项之和S15等于（） A．15 B．16 C．30 D．32 【答案】A 【解析】因为等差数列{an}的公差d≠0，由，所以，进而，因此. 所以有. 故选：A. 2．设等差数列满足且，为其前项之和，则中最大的是（） A． B． C． D．【答案】C 【解析】【详解】设该等差数列的公差为，则由得，即，于是，，而，故该等差数列的前20项和最大. 选C. 3．设，，其中，.若定义，则集合的元素个数是（）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由题意得， ① . ② ①－②得. ③ 在题给等式中取得，即. 再由式③得. ④ 所以. ⑤ 令，则，. 从而，. 所以. ⑥ 由定义，得 . 令，得，故. 选C. 4．数列称为等差比数列，当且仅当此数列满足，构成公比为的等比数列. 称为此等差比数列的差比. 那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有（）项. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】可设这项由100以内的自然数组成的等差比数列为且. 由，知为正有理数，故可令（其中，、，且）. 当时，则由，知. 当时，恰有6项且符合条件. 当时，若，由，知，从而，，故. 若，则，故. 由，知. 若，则，且. 从而，，矛盾. 综上，的最大值为6.选C. 5．已知数列是正整数组成的递增数列，且满足.若，则（）. A．102 B．152 C．212 D．缺少条件，不能唯一确定【答案】C 【解析】，， . 方程的正整数解为，或，. 又，所以，，. 故. 故答案为：C 6．给定数列，，且.则（）. A．1 B．-1 C． D．【答案】C 【解析】由题意知. 令.则 . 于是，. 易知，，，…… 故. 故答案为：C 7．己知等差数列及．设An=a1+a2++an，Bn=b1+b2++bn，若对，有，则（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】、为等差数列，且前n顶和之比，故可设An=kn(3n+5)，Bn=kn(5n+3)，从而，．故答案为：B． 8．设分别是等差数列与的前项和，对任意正整数，都有若为质数，则正整数的值为（）. A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【解析】由条件可设，则时，，不满足题意，舍去. 当时，，于是仅在时，为质数. 所以，所求的正整数. 故答案为：A 9．等差数列中，，则前17项的和等于（）. A．0 B．-34 C．17 D．34 【答案】B 【解析】设公差为d，则，结合条件可知，从而前17项的和等于. 故答案为：B 10．已知正整数数列满足.若正整数满足，则所有可能的构成的集合是（）. A． B． C． D．【答案】B 【解析】令，知可以；令，知可以；令，.由，知亦可以. 若可以，则有（、）. 由，知，故、. 从而，. 但，矛盾. 当时，同理知不可以. 故答案为：B 11．已知，且，则正整数的可能值是（） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】令，得．由是的系数知．由是的系数知, 故从而，,解得. 12．设是以2为首项、1为公差的等差数列，是以1为首项、2为公比的等比数列,记,则中不超过2008的项的个数为（） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】注意到 ,由可得，故的最大值为10. 13．设数列满足，.则数列（）. A．有界且递减 B．有界且递增 C．无界且递增 D．无界且递减【答案】C 【解析】由，知递增. 注意到 .所以，数列无界. 故答案为：C 14．从满足，的数列中，依次抽出能被3整除的项组成数列. 则（）. A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为，所以，因此易知能被3整除，故选D. 15．已知数列，，，，的各项均不等于0和1，其和满足.则满足条件的数列共有（）个. A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【解析】把代入，有，即. 但，故. 对，由，有. 从而，，即. 故 ① 或. ② 把代入式①、②，由数列的各项均不等于1，得（舍去）. 再把代入式①、②得或. 继续取代入式①、②，当时，由数列的各项均不等于1知，只有一个取值（舍去）. 而当时，有两个取值，. 最后取代入式①、②，有三种情况：当时，有，；当时，有，；当时，有，. 故满足条件的数列一共有6个：，，2，，2；，，2，，；，，，3，；，，，3，2；，，，，4；，，，，. 选B. 16．已知正项数列： .则( ). A．递增有上界 B．递增无上界 C．递减有下界 D．递减无下界【答案】A 【解析】 .假设，那么，. 故. 由数学归纳法知，有上界. 又，所以，，数列递增. 选A. 17．已知，令，.则与的大小关系是（）. A． B． C． D．不确定【答案】A 【解析】 . 故只须证明局部各项非负，即 . 上式通分即得 . 由及知成立. 故答案为：A 18．已知正项数列满足，下面给出5个判断： ①； ②； ③为递增数列； ④为递减数列； ⑤不是单调数列。其中，正确的判断是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②⑤ 【答案】A 【解析】显然，当时，，故，又，所以，若对某个正整数，有，则，故，但，矛盾. 因此，对任意的，都有. 选A. 19．已知集合，表示和中所有不同值的个数.则的最小值是（）. A．2008 B．2013 C．4013 D．4016 【答案】C 【解析】不妨设.则. 故中至少有个不同的数，即. 事实上，当成等差数列时，恰有. 根据等差数列的性质知当时，；当时，. 因此，每个和或等于中的一个，或等于中的一个. 故的最小值为4013. 故答案为：C 20．设数列满足，，，且对一切正整数成立.则的值是（）. A．225 B．200 C．300 D．150 【答案】B 【解析】对任何，有， ① . ② ①②得，即. 又，则. 故是以4为周期的数列. 由于，，，因此， . 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/数列A辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题20立体几何与空间向量C辑历年联赛真题汇编 1．【2003高中数学联赛（第01试）】将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 . 【答案】【解析】如图，由已知，上下层四个球的球心A'，B'，C'，D'和A，B，C，D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆圆O'和圆O为上下底面构成圆柱.同时，A'在下底面的射影必是AB的中点M. 在△A'AB中，设AB的中点为N，则，又，所以，. 因此所求原来圆柱的高为. 2．【2002高中数学联赛（第01试）】如图，点分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(1<i<j<k≤10)有个. 【答案】33 【解析】首先，在每个侧面上除点P1外尚有五个点，其中任意三点组添加点P1后组成的四点组都在同一个平面，这样的三点组有个，三个侧面共有个. 其次，含P1的每条棱上的三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在一个平面上，这样的四点组有3个. 综上，共有个. 3．【2001高中数学联赛（第01试）】正方体的棱长为1，则直线与BD1的距离是 . 【答案】【解析】这是一道求两条异面直线距离的问题.为了保证所作出的表示距离的线段与和BD1都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内. 为此作正方体的对角面，则⊥面，且⊥面. 设，在面内作，垂足为H，则线段OH的长为异面直线与BD1的距离，在Rt△BB1D1中，OH等于斜边BD1上高的一半，即. 4．【2000高中数学联赛（第01试）】一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 . 【答案】【解析】正四面体的高，该球的球心必在正四面体的中心，即在AO1上的点O处. 通过分割法(即联结点O与A，B，C，D割成四个小三棱锥，计算体积)可知，于是，所以. 5．【1999高中数学联赛（第01试）】已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H－AB－C的平面角等于30°，.那么三棱锥S－ABC的体积为 . 【答案】【解析】如图，由题设AH⊥面SBC，作于E. 由三垂线定理可知. 故SC⊥面ABE. 设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC，由三垂线定理的逆定理，可知于F. 同理故O为△ABC的垂心. 又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而，因为，CF是EF在面ABC上的射影，又三垂线定理，所以∠EFC是二面角H－AB－C的平面角.故. 所以，，又，所以，所以. 6．【1998高中数学联赛（第01试）】△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B两点间的距离为，此时三棱锥A－BCM的体积等于 . 【答案】【解析】折起后的三棱锥A－BCM如图所示.取CM的中点D，联结AD.在△BCM中，作，交BC于E，联结AE，则，，，在△ABC中，所以. 因此在△ACE中，所以. 又，因此，从而AE⊥平面BCM. 所以. 7．【1997高中数学联赛（第01试）】已知三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S，A，B，C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 . 【答案】【解析】如图，设等腰直角△ABC中斜边AB的中点为D，则D为△ABC的外心. 由知S在底面ABC上的射影为D.从而，球心O在SD上且. 所以，O是△SAB的中心.而△SAB是等边三角形，. 所以，O到平面ABC的距离. 8．【1996高中数学联赛（第01试）】已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是 . 【答案】3 【解析】如图：∠AED是二面角A－BC－D对应的平面角，∠BFD是二面角B－AC－D对应的平面角，则，显然，那么，设，于是，又，于是. 由，所以，即，解得. 9．【1995高中数学联赛（第01试）】一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 . 【答案】【解析】如图，设球的半径为R，其直径为h，底面半径为r.由过球心与内接圆锥顶点的任意所得截线段如图.易知. 所以. 因为为定值. 所以当，即时，V圆锥最大. . 又，所以. 10．【1995高中数学联赛（第01试）】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 . 【答案】420 【解析】由题设，四棱椎S－ABCD的顶点S，A，B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3=60(种)染色方法，如图. 当S，A，B已染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3，4，5；若C染颜色2，则D可染颜色3，4，5之一，有3种染法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法.可见，当S，A，B已染好时，C与D还有7种染法. 从而，总的染色方法数为60×7=420(种) 11．【1994高中数学联赛（第01试）】已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于a，则sina= . 【答案】【解析】如图所示，依题意平面BCD与正方体12条棱的夹角都等于，过点A作AH⊥平面BCD，联结DH，则，设正方体边长为a，则易求出. ，所以. 12．【1992高中数学联赛（第01试）】从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是 . 【答案】4 【解析】考察如图所示的4条线段，它们所在的直线两两都是异面直线，若存在5条或5条以上满足条件的线段，则它们的端点相异，且不少于10个，但正方体只有8个顶点，矛盾，故k的最大值是4. 13．【1988高中数学联赛（第01试）】长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体体积. 【答案】【解析】如图，点D'是点D关于AC的对称点，CD'交AB于H，作BE⊥AC于点E，HF⊥AC于点F，则：，，. 设△ABC，△ADC，△AHC绕直线AC旋转所成旋转体的体积分别为，则有：，. 所求体积. 14．【1987高中数学联赛（第01试）】现有边长为3，4，5的三角形两个，边长分别为4，5，的三角形四个，边长分别为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成个四面体. 【答案】答案见解析【解析】显然，前两组中的三角形均为直角三角形，第三组中的三角形均为钝角三角形首先，同一组中的三角形不可能拼成四面体.这是因为四面体的四个面若为全等三角形.那么，这些三角形一定都是锐角三角形.如若不然，必同“三面角的任何两个面角之和大于第三个面角”的结论矛盾其次，一组中取出一个三角形，另一组中取出三个三角形，也不可能拼成四面体，因为，某一组中取出的一个三角形，总有一条边无法同另一组中取出的三角形的边粘合. 出于同样的理由，在两组中各取一个，再从另外一组中取两个，仍不能拼成四面体.这样，只能在上述三组三角形中各取两个加以考虑，这里只有三种可能： (1)第一组中取两个，第二组中各取一个； (2)第二组中取两个，第三组中取两个； (3)第一组中取两个，第三组中取两个. 现分别考虑这三种情况： (1)将第二组中取出的两个三角形放到同平面(图1)，易得出. 令直角顶点的距离为d，可以求出. 因此，以长为的边长为轴，将两三角形之一旋转，使d恰好等于3.这样四面体的另两个面就是第一组中的两个三角形，从而拼成了一个四面体. (2)据上计算，因此，这时拼不成四面体. (3)将第三组中取出的两个三角形放在同一平面(图2)，其中. 由余弦定理算得. 故由得. 从而. 因而这种情况也不能拼成四面体 15．【1986高中数学联赛（第01试）】本题共有4个小题.每个小题的答案都是000~999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上 (1)在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 . (2)已知，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x))=x的解的个数是 . (3)设，那么和式的值等于 . (4)设x，y，z为非负实数，且满足方程.那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 . 【答案】答案见解析【解析】(1)过平面与球面的切点，作圆柱的轴截面(如图) 显然，椭圆的短轴为圆柱的直径，即，又，所以，所以. (2)因为，所以 . 同理分段表示为8个线段，即函数f(f(f(x)的图像为由8个线段组成的折线，这些线段的斜率为－8或8，顶点分别在x轴和直线y=1上. 所以方程有8个解. (3)由得. 所以. (4)由方程解得 ① ② 即 ③ ④ 由式③得，且当时取到等号. 由式④得，且当时取到等号. 所以. 16．【1983高中数学联赛（第01试）】一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数那么，积m•n是 . 【答案】6 【解析】设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与r2，再设六面体中的正三棱锥A－BCD的高为h1，八面体中的正四棱锥M－NPQR的高为h2，则. 因为，所以，又，所以，. 于是，是既约分数，即为.所以. 17．【1993高中数学联赛（第01试）】三棱锥S－ABC中，侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，M为△ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP，证明： (1)DP与SM相交； (2)设DP与SM的交点为D'，则D'为三棱锥S－ABC的外接球球心. 【答案】证明见解析【解析】(1)如图. 因为，所以DP与SC在同一平面W上，这时，中线CD与重心M也在平面W上，于是SM在平面W上，SM与DP共面. 因为，而，所以DP与SM必相交于一点D'. (2)如图，因为，所以SC垂直于平面SAB. 而，所以DP垂直于平面SAB. 在直角△ASB中，D为斜边AB的中点，所以. 由斜线长定理易得，因为，所以. 同理，过BC中点E，作与SA平行的直线，必与SM相交于一点E'，且以及. 所以，点E′与点D′相重合，且. 即点D'为三棱锥S－ABC的外接球球心. 18．【1992高中数学联赛（第01试）】设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三个点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次为D，E，F.已知，.求l与m的距离. 【答案】【解析】设LM为直线l与m的公垂线，L∈l，m∈m过m作平面P平行于直线l，过A，B，C，分别作平面P的垂线，AG，BH，CK，垂足分别为G，H，K，则点G，H，K落在与l平行的直线l上，联结GD，. 因为，，所以. 又因为，由三垂线定理得，故且E，H分别为FD，KG的中点. 设l与m的距离为x，则，因为，，，又，当点A，B，C在点L的同一侧时，有. 于是，解此方程，得，舍去负根，求得直线l与m的距离为. 19．【1991高中数学联赛（第01试）】设正三棱锥P－ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分体积之比【答案】【解析】设过AM平行于BC的平面与棱PB，PC分别交于E，F，则. 又设D为BC的中点，联结PD交EF于G，则，因为A到平面PBC的距离即为A到平面PEF的距离，所以. 在△PDA中，过点O作PD的平行线交AG于N，则，. 故，故所求的上、下两部分体积之比为. 20．【1990高中数学联赛（第01试）】设棱锥M－ABCD的底面是正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 【答案】【解析】如图，因为，所以AB垂直于平面MAD，由此知平面MAD垂直平面AC. 设E是AD的中点，F是BC的中点，则. 所以ME垂直平面AC，ME⊥EF，球O是与平面MAD，AC，MBC都相切的球，不失一般性，可设O在平面MEF上，于是O为△MFE的内心，设球O的半径为r，则. 设，因为，所以，. 且当，即时，上式取等号，所以，当时，与三个面MAD，AC，MBC都相切的球的半径最大，并且这个最大半径为. 作OG⊥ME于G，易证OG∥平面MAB. G到平面MAB的距离就是O到平面MAB的距离，过G作MH⊥MA于H，则GH是G到平面MAB的距离. 因为，所以. 又，，. 所以. 因为，所以O到平面MAB的距离大于球O的半径r，同样O到面MCD的距离也大于球O的半径r. 所以球O在棱锥M－ABCD内，并且不可能再大. 所以所求的最大球的半径为. 21．【1989高中数学联赛（第01试）】已知正三棱锥S－ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向它所对的侧面SBC作垂钱，垂足为O'，在AO'上取一点P，使，求经过点P且平行于底面的截面的面积. 【答案】【解析】如图，因S－ABC是正三棱锥，所以O是△ABC的重心，联结AO并延长交BC于D，因为D是BC的中点，所以BC⊥平面SAD，而，所以AO′在平面SAD上，从而O′必在DS上，于是，，. . 而，则. 设过点P且平行于底面的截面与SD的交点为O"，则. 即，，. 即所求截面的面积为. 优质模拟题强化训练 1．已知三棱锥P－ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M为棱PA上一点且，求二面角P－BC－M的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）如图①，设AC的中点为O，连结. 由题意，得，PO=2，. 因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC. 又因为在△POB中，PO=2，OB=2，PB=，，所以PO⊥OB. 因为AC∩OB=O，AC，OB⊆平面ABC，所以PO⊥平面ABC. 又因为PO⊆平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC. （2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，所以. 于是以OC、OB、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，. 设平面MBC的法向量为，则由得，令，则，即. 设平面PBC的法向量为，由得，令x2=1，则，即. . 由图可知，二面角P－BC－M的余弦值为. 2．已知三棱锥S-ABC中侧棱SA、SB、SC互相垂直，M是底面三角形ABC内一动点.直线MS与SA、SB、SC所成的角分别是. （1）证明：不可能是锐角三角形的三个内角；（2）设，证明：. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）以线段MS为体对角线构造长方体，则恰好为长方体的体对角线与从一个顶点出发的三条棱所成的角，因此. 因为，所以，，故.所以. 下面证明. 要证，只需证，只需证，只需证. 因为，所以，故不可能是锐角三角形的三个内角. （2）因为，所以. 3．如图①，已知矩形ABCD满足AB=5，，沿平行于AD的线段EF向上翻折（点E在线段AB上运动，点F在线段CD上运动），得到如图②所示的三棱柱. ⑴若图②中△ABG是直角三角形，这里G是线段EF上的点，试求线段EG的长度x的取值范围； ⑵若⑴中EG的长度为取值范围内的最大整数，且线段AB的长度取得最小值，求二面角的值； ⑶在⑴与⑵的条件都满足的情况下，求三棱锥A-BFG的体积. 【答案】（1）（2）（3）【解析】 ⑴由题设条件可知△AEG、△BEG均为直角三角形，因此，. 由余弦定理. 于是. . 所以，. 又对任意，，. 则，故x的取值范围为. ⑵因为AE⊥EF，BE⊥EF，所以∠AEB就是二面角C-EF-D的平面角又由⑴知EG的长度x为的最大整数，因此x=2. 于是，（）. 因此t=2.5时，线段AB的长度取得最小值. 由此得，. ⑶由⑴、⑵知，，，且. 因为AE⊥EF，BE⊥EF，. 所以EF⊥平面EAB，故 . 4．如图，已知在四面体中，棱两两垂直，作平行于底面的截面，使与底面的距离为1，类似作其他三个截面求四个截面交成的小四面体的体积. 【答案】【解析】如图，设截面交于一点.类似地定义点.于是，四面体与四面体相似.设相似比为，四面体、四面体的体积分别为.记则解得所以，又，故点到平面的距离则所以，点到平面的距离为从而，点到平面的距离为则故 5．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，面，是棱上一点. （1）若、、、与平面所成的角分别为、、、，且，求；（2）若，当点使的面积达到最小时，求二面角的大小. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）如图，由面，知，且、、分别为、、在面内的射影.从而，，，. 因四边形是菱形，所以，. 又，则.得到. 而，故. 因此，. 设.则. 所以，. 解得. 又，则. （2）设，联结.则由对称性，有.故，即是等腰底边上的高，而底边的长为常数，于是，的面积最小等价于最小，也等价于.此时，. 因四边形是菱形，所以，. 又，则是二面角的平面角，有所以， 6．如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的内切圆，为正方形的外接圆，分别为、上的点.求长度的取值范围. 【答案】【解析】建立如图的空间直角坐标系. 在平面上，的方程为；在平面上，的方程为. 设，则 . .① 其中，. 当时，式①等号成立. 另一方面，. 当时，上式等号成立. 因此，，即. 7．在三棱锥中，，，，的最大值为. （1）试用表示；（2）若，求三棱锥的侧面积. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）如图，过点分别作面，，、为垂足. 则 ① . ② 当且仅当时，式①等号成立；当且仅当，即面面时，式②等号成立. 在中，为边上的高，，，借助椭圆知识可知，当时，取得最大值. 所以，. 当且仅当，，面面时，上式等号成立. 故. （2）因为，则，即. 所以，.解得. 如图，由（1）取等号的条件知，， . 所以，为直角三角形，. 在中，因，则；因，则. 在中，因，则. 由，，知为直角三角形.所以，. 由，，，知为直角三角形.所以，. 故. 8．三棱锥中，侧棱两两互相垂直，为三角形的重心，为中点，作与平行的直线。证明：（1）写相交；（2）设与的交点为，则为三棱锥的外接球球心。【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）因为DP//SC，所以DP,CS共面因为面DPC, 面DPC 在面DPC内SM与SC相交，所以SM与DP相交（2）因为S两两互相垂直，所以面SAB, 因为DP//SC，所以, 因为M为D的重心，所以取SC中点，连为矩形，所以由三线合一定理得,同理, 即在以为球心为半径的球上,为三棱锥的外接球球心. 9．如图，四棱锥的底面是正方形，，，点、分别在棱、上，且. （1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)见解析(2) (3) 【解析】（1）因为四边形是正方形，所以，. 又因为，所以. 故. 又，则. 而，有.则.故. （2）因为（已证），所以，，. 故为二面角的平面角. 又因，所以，. 在中，，，则. 因为，，所以，为的中点.则. 由，得. 则.故. 因此，二面角为. （3）如图，延长、交于点. 因为，所以，为在平面内的射影. 故为（即）与平面所成的角. 又，，则有. 在中，因为，且，所以， . 故与平面所成的角为. 10．如图已知四面体中, . (1)指出与面垂直的侧面,并加以证明; (2)若,二面角的平面角为,求的表达式和的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】 (1)由,且,知平面,故平面平面,平面平面. (2)作,垂足为,则平面.作,垂足为,连结,则,为二面角的平面角,即. 在中,由,知在中, 易知,故在中, 故 . 所以, 易求得的值域为,故. 又,故的取值范围是. 11．（1）在中，，则；类比到三维空间中，你能得到什么结论?请给出证明．（2）在中，，若点 C到AB的距离为，的内切圆半径为，求的最小值．（3）将（2）的结论推广到三维空间，并证明之．【答案】(1)见解析(2) (3) 见解析【解析】（1）结论：设在四面体中，侧棱 SA、SB 、SC两两垂直（不妨称为空间直角四面体）．则．证明：设．过作于点，联结．由三垂线定理知．则．（2）设的内切圆圆心为．则（为边上的高）．而，故．当为等腰直角三角形时，得到最小值．（3）结论：在空间直角四面体中，若其内切球半径为，点到底面的距离为，则．证明：设空间直角四面体的内切球球心为．则（为底面上的高）．而，故．当时，得到最小值． 12．已知是一个长方体，从点到直线、、的垂线分别交直线、、于点、、，垂足分别为、、．求证：（1）、、三点共线；（2）、、三条直线交于一点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】建立如图的空间直角坐标系．设，，，则长方体的顶点坐标为、、、，、、、．（1）依题意，设，则，．因为，则，．故．设，则，，，．由故．设，则，．因为，则，．故．所以，．这表明、、三点共线．（2）设．由、、三点共线，得．又、、三点共线，得．故．所以，．又与有相同的起点，因此，、、共线，即．这表明，、、三线交于一点．解法2：如图，设，，．（1）由射影定理有，．由割线定理有，．故，．同理，，．在中，由余弦定理，有．．从而，．同理，在中，有．故，．另一方面，在中，由勾股定理，有．所以，，、、三点共线．（2）由射影定理，有，．又由（1）有．故．由塞瓦定理，、、三线共点． 13．单位正方体中，正方形的中心为点，正方形的中心为点，连. （1）求证：为异面直线；（2）求证：与的夹角. 【答案】（1）见解析（2）【解析】 1.如图，连、得平面.由于点在平面上，但不在直线上；而直线平面，点不在平面上，故与为异面直线. 2.如图，连，去的中点，连，则.从而为异面直线与的夹角.易知 . 则. 连，由平面知. 在中，由. 在中，由余弦定理得 . 故与的夹角为. 14．如图，三棱锥的底面与圆锥的底面都在平面上，且过点，又的直径，垂足为.设三棱锥的所有棱长都是1，圆锥的底面直径与母线长也都是1，圆锥的底面直径与母线长也都是1.求圆锥的顶点到三棱锥的三个侧面的距离. 【答案】S到侧面的距离与S到侧面的距离都是,S到侧面的距离【解析】先求S到侧面的距离. 设交于，连结，则.作，垂足为，则.可知在同一平面上.设与的交点为（如图）. 作，垂足为，则的长度即为到侧面的距离. 易知，，，，，由，得. ∴，由，得. 再求S到侧面的距离. 连结交于，并延长到，使（如上左图）.过作平面，且取，与均在的同一侧.连结，则,面，在平面内.连结，则.作，垂足为K（如上右图），则的长度为S到侧面的距离. 易知.记，则. 从而，. ∴. 又. 在中，由对称性知，S到侧面的距离也是. 15．如图，点表示太阳，表示一个三角形遮阳栅，点、是地面上南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳光线把遮阳栅投射到地面得出遮影.已知光线与地面成锐角. （1）.遮阳栅与地面成多少度角时，才能使遮影面积最大？（2）.当，，，时，求出遮影的最大面积. 【答案】（1）（2）12 【解析】（1）如下图，过作地面的垂线，连交于，连.则是斜线在地面上的射影，有.又由是南北方向，是西东方向知.（隐含条件）据三垂线定理得逆定理有.由线面垂直的性质定理有.这就得出同垂直于相交直线、，可得垂直于面，从而，.可见，是中边上的高.是中边上的高，并且遮阳栅与地面所成的二面角的平面角为. 在中，有（定值）. ① 所以，当（遮阳栅与太阳光线垂直）时，最大，从而时，遮影面积最大. （2）当，，，时，为直角三角形，且. 将①代人面积公式，得最大面积为. 16．如图，四棱锥，平面，且，底面为直角梯形，，，，，，，、分别为、的中点，平面与的交点为. （1）求的长度；（2）求截面的底面所成二面角的大小；（3）求点到平面的距离. 【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】（1）取的中点，联结. 则. 再取的中点即为点，由，故. 所以，、、、四点共面，平面与的交点即为的四等分点. 因此，. （2）易证平面底面. 于是，截面与平面所成的二面角即为截面与底面所成的二面角. 因为平面，所以，平面. 过作，垂足为，联结. 则由三垂线定理可得. 因此，为截面与平面所成二面角的平面角. 在中，，，. 故. 所以，. 因此，. （3）因为的中点为，且平面与交于点，所以，点到平面的距离是点到平面的距离的3倍. 由（2）知平面. 则平面平面且交线为. 作，垂足为. 则平面，为点到平面的距离. 在中，，. 故. 因此，点到平面的距离为. 17．如图，设是一个正方体，点、分别在棱、上．记，，且、．（1）试求平面与侧面的夹角（用关于、的反三角函数式表示）；（2）若，试求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）如图，不妨设，则，，，，记作于，联结，则，，在中，由余弦定理得因为在平面上的投影为，所以，从而（2）因为，所以，因为，且，则，从而，令，则，显然，是的严格递减函数，是的严格递增函数，从而，是的严格递增函数. 当时，当时，，所以，的值域为从而，的取值范围是 18．已知正四面体ABCD的棱长为2，球O与四面体的面ABC和面DBC都相切，其切点分别在△ABC和△DBC内(含边界)，且球O与棱AD相切. （1）证明：球O的球心在棱AD的中垂面上；（2）求球O的半径的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）设AD的中点为E，联结EB、EC. 由△CAD、△BAD都为正三角形知，AD⊥EC，AD⊥EB.所以，AD⊥平面BEC，即平面BEC为AD的中垂面.又易知平面BEC为二面角A-BC-D的平分面. 设P为平面BEC内任一点，PQ⊥面ABC于Q，PR⊥面DBC于R.则BC⊥PQ，BC⊥PR.故BC⊥面PQR.设BC交面PQR于H，联结PH、QH、RH.则PH⊥BC，QH⊥BC，RH⊥BC，∠OHR为二面角A-BC-D的平面角，PH平分∠OHR.从而， Rt△PQH≌Rt△PRH，PQ=PR. 反之，若PQ=PR，则P在平面BEC内. 由于球心到平面ABC与平面DBC的距离相等，故球心O在平面BEC上. （2）如图，设BC中点为F，联结AF、DF、EF. 设∠AFD=2a，易得. 设球O与平面ABC和平面DBC的切点分别为M、N，AM交BC于G，联结GD. 由对称性知点N在GD上. 作EE’⊥F’D于E’，易知EE’⊥平面DBC，且. 作NN’⊥BC于N’.设N’G= x，∠DGF=θ(-60°≤θ≤60°). 则. 故. 设球O的半径为r，则又在中，，所以，，即. 代入式①化简得. 从而，. 解得. 此吋，. 由，得. 即. 解得. 由切点在△4BC及△DBC内知. 19．如图,已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱与下底面相邻的两边AB,AC均成45度的角. (1)求点到平面B1BCC1的距离. (2)试问,当为多长时,点到平面与到平面的距离相等. 【答案】(1) (2) 【解析】设BC,B1C1中点为D,D1. (1) 因为侧棱与下底面相邻的两边AB,AC均成45度的角，所以点在底面的投影O在∠BAC角平分线AD上，由三垂线定理得侧棱垂直BC,所以过点作DD1垂线于E点，则为点到平面B1BCC1的距离. 由三余弦定理得cos∠BACcos300=cos450, cos∠BAC=, 从而点到平面B1BCC1的距离为A1D1sin∠BAC=, (2)因为点到平面与到平面的距离相等，所以A1A=A1D1= . 20．已知是棱长为2的正四面体的棱上的点，四面体、四面体的内切球半径分别为，若，则满足条件的点有两个，分别设为,试求的长. 【答案】【解析】设中点为，由勾股定理知，，又，，，，则，，故，因此，，解得，故. 故答案为：高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/立体几何与空间向量C辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题05三角函数与解三角形A辑历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】设a，b，c的公比为q，则，而，因此，只需求q的取值范围，因为a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必须且只需且，即有不等式组，即，解得，从而. 因此所求的取值范围是. 故选C． 2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a，b，c使得af(x)+bf(x－c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】令，则对任意的x∈R，都有，于是取，则对任意的x∈R，有，由此得. 故选C．更一般地，由题设可得，，其中，且，于是可化为，即. 所以. 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有. 若b=0，则由式①知a=0，显然不满足式③.故b≠0. 所以，由式②知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ. 当c=2kπ时，cosC=1，则式①，③矛盾.故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=－1. 由式①，③知，所以. 3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定【答案】C 【解析】令∠ABC=α，过A作AD⊥BC于D. 由推出，令，代入上式，得，即，也即，从而有，由此可得. 故选：C. 4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC内接于单位圆，三个内角A，B，C的平分线延长后分别交此圆于A1，B1，C1.则的值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】如图，联结BA1，则，所以同理，，所以，于是，原式. 故选：A. 注本题也可以用“特殊值”法，当△ABC是正三角形时，易知所求的值为2. 5．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x的方程有重根，则θ的弧度数为( ) A． B．或 C．或 D．【答案】B 【解析】因方程有重根，故. 因为，所以. 得，所以或，于是或. 故选：B. 6．【2003高中数学联赛（第01试）】若，则的最大值是( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】由题意得，因为，所以，，可见与在上同为递增函数. 故当时，y取最大值. 故选：C. 7．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数，，，中以为周期，在上单调递增的偶函数是( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】可考虑用排除法. 不是周期函数(可通过作图判断)，排除A；的最小正周期为，且在上是减函数，排除B；在上是减函数，排除C. 故选：D. 8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是( ) A． B． C．k≥12 D．0<k≤12或k=8 【答案】D 【解析】根据题设，△ABC共有两类，如图，可求得或0<k≤12，应选结论D. 9．【2000高中数学联赛（第01试）】设，且，则的取值范围是( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】(1)由知a终边在第二象限； (2)由知终边在第一、三象限的角平分线的上方. 选项A显然不符合条件(2)，选项B取k=0时亦知不符合条件(2)，选项C与选项D有相同部分，只需检验选项D中的前部分，显然符合条件(2)，又将其乘以3，也在第二象限，符合条件(1). 故选：D. 10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A(1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么，△ABC是( ). A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定【答案】C 【解析】设. 则直线BC的方程为，化简，有，又因为直线BC过点(5，－2)，故，即，所以，所以∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形. 11．【1997高中数学联赛（第01试）】设，，，，则( ) A． B． C． D．【答案】B 【解析】由题意，f(x)的图像关于直线对称，且在单调减少，在单调增加. 所以，当时，有，又易知，所以. 故有. 12．【1996高中数学联赛（第01试）】设，以下三个数：，，的大小关系是( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】解法一因为是选择题，我们可以用特殊值法来解决这个问题.设，计算题中几个算式的值：，，. 解法二令，则，则，. 所以，，即. 13．【1995高中数学联赛（第01试）】的大小关系是( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】由知. 从而且，而且，于是可排除A和B，只剩C和D，又由即知应选C．. 14．【1994高中数学联赛（第01试）】设a，b，c是实数.那么对任何实数x，不等式都成立的充要条件是( ) A．a，b同时为0，且c>0 B． C． D．【答案】C 【解析】与a，b不同时为零时 ① 所以，则 ② 而式②成立的充分必要条件是，即. 当a，b同时为零时，此时不等式成立的充要条件是. 这一结论含于C中，故选C． 15．【1994高中数学联赛（第01试）】已知0<b<1，，则下列三数：，的大小关系是( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】因为，所以是减函数，又因为，所以，所以，所以，即. 又，即，故有. 16．【1993高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，若c－a等于AC边上的高h，则的值是( ) A．1 B． C． D．【答案】A 【解析】如图，显然. 此时. 17．【1992高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且都是方程的根，则△ABC( ). A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形【答案】B 【解析】由已知方程得，即. 求得的根，故以及. 因，所以，因此，所以. 即. 但，所以，而，所以. 从而. 18．【1990高中数学联赛（第01试）】设，则，的大小顺序是( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为，所以，故，所以. 19．【1989高中数学联赛（第01试）】若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B 【解析】因为，进而，所以，，，. 说明z位于第二象限. 20．【1989高中数学联赛（第01试）】函数的值域是( ). A． B． C． D．【答案】D 【解析】f(x)的定义域是[－1，1]，此时，. 而且和是单调增加的，从而f(x)的值域是. 21．【1987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A． B．14 C． D．12 【答案】B 【解析】不妨设菱形ABCD的对角线，令∠ABD=θ，则，所以. 注意到，而y=sinx在第二象限递减，所以当时，取得最大值，这时，. 22．【1987高中数学联赛（第01试）】如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，∠ABC=2a(0<a<).现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点A所走路程的总长度为( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】当△ABC依次以A，B，C(即在图中A，B1，C2)为中心，在圆内接逆时针方向旋转，使点B再次回到圆心时，点A所描画的轨迹为圆弧AA1及圆弧A1A2，且它们的半径分别为1，AC的长边为2sina. 因为△AB1B与△B1C2B为正三角形，，所以弧AA1所对的圆心角为. 又由以C2为中心作第三次旋转时，其边旋转了到达C2B，因而，弧A1A2所对的圆心角为，这样，△ABC每旋转三次，点A所走的路程为. 故△ABC旋转100次，点A所走的路程为. 23．【1986高中数学联赛（第01试）】设－1<a<0，，那么不等式sinx<a的解集为( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为，所以. 先求出在区间中，满足方程sinx=a的角和.从单位圆中，容易看出，不等式sinx<a的解集为D. 24．【1985高中数学联赛（第01试）】已知方程，则( ) A． B． C． D．这样的x不存在【答案】D 【解析】因为，所以原方程为，又因为是减函数，所以. 又，所以. 此式表明没有能满足方程的x. 25．【1984高中数学联赛（第01试）】若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是( ) A．以角速度在单位圆上顺时针运动 B．以角速度在单位圆上逆时针运动 C．以角速度在单位圆上顺时针运动 D．以角速度在单位圆上逆时针运动【答案】C 【解析】将动点P(x，y)的坐标用参数式表示，其中t为参数. 动点Q(－2xy，y2－x2)可表示为Q(x'，y'). 很明显，角与的旋转方向是相反的. 26．【1983高中数学联赛（第01试）】已知等腰△ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么sinA和cosA中( ) A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数 C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定【答案】B 【解析】在等腰△ABC中，设，因为底边BC与高AD的长都是整数，又，所以t是有理数. 于是，从得都是有理数. 27．【1983高中数学联赛（第01试）】任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与r，那么( ) A． B． C． D．A，B，C三种关系都不对【答案】D 【解析】由正弦定理对于边长a为定值的任意△ABC，总存在一个锐角A，使其外接圆半径R大于任意给定的常数M(不妨假定). 因为若要,只要. 所以对于任意△ABC，选项A，C不可能. 当△ABC为正三角形，设边长为a，则，此时. 故选项B也不可能. 28．【1982高中数学联赛（第01试）】对任何都有( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】我们知道，如果>0，则. 因为，所以. 而cosx在区间上是减函数，所以 ① 由，又可知 ② 由式①，②可知. 29．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等. 条件乙:两个三角形全等( ) A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件【答案】B 【解析】若两个三角形全等，则其边对应相等，面积也相等.但若两边对应相等，其夹角互补，则亦有面积相等.其实，由面积相等和两边对应相等，根据面积公式，只能推得夹角的正弦相等，因此夹角可能相等也可能互补，两个三角形未必全等，故答案为选项B． 30．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:.条件乙: A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件【答案】D 【解析】条件甲即. 而当为第三或四象限角时，条件乙. 此时，甲乙两式不相等 31．【1981高中数学联赛（第01试）】设 A．T取负值 B．T取非负值 C．T取正值 D．T取值可正可负【答案】C 【解析】由题意得. 其中. 优质模拟题强化训练 1．的三边长分别为，，．若，则，，中小于0的个数为（　　）． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】如图，以为斜边、为直角边作；以为斜边、为直角边作，使在的延长线上．则．同理，作、、、，使，，有，．可见，图所得到的就是已知三角形（全等），这个三角形的三条高线为，，．由三角形面积公式有．则，，．从而，中的最大角为．由余弦定理得．可见，为锐角，为锐角三角形，得．同理，，．选A. 2．（）. A． B． C． D．【答案】C 【解析】令，则，即. 因为，所以，.故. 选C. 3．设的最小正周期为6，则的值是（）. A．0 B．1 C． D．【答案】A 【解析】由最小正周期为6可知，即. 于是当k为整数时，即每个完整周期内的6个函数值之和为零.注意，所以原式=. 故答案为A 4．函数的最大值为（）. A． B．1 C． D．【答案】B 【解析】因为，令，则，于是令，则. 由知或1. 因为，于是的最小值是，所以的最大值是. 故答案为:B 5．设曲线的一条对称轴为。则曲线的一个对称点为（）。 A． B． C． D．【答案】B 【解析】因的周期为，所以，曲线的一个对称点为，即. 于是，曲线的一个对称点为. 则曲线的一个对称点为. 又的周期为，其对称点的周期为，故答案为：B 6．已知.则对任意，必有（） A． B． C． D．的值不确定【答案】A 【解析】因，等于成立当且仅当与一个取，另一个取1，此时，对任意，必有. 故答案为:A 7．已知为锐角三角形，，， .则（）. A． B． C． D．以上三种情况均有可能【答案】C 【解析】由为锐角三角形得从而，. 同理，，. 故. 因，所以. 又在内为减函数，因此，. 8．的最大值为（）． A． B．1 C． D．【答案】D 【解析】令，则，，．故．所以，，等号在时成立． 9．函数的值域为（）（表示不超过实数的最大整数）. A． B． C． D．【答案】D 【解析】 .. 下面的讨论均视. （1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当或时，；（5）当时，；（6）当时，；（7）当时，. 综上，. 故答案为：D 10．在锐角中，令.则（）. A． B． C． D．【答案】B 【解析】 . 11．已知两个不等的锐角、，满足，，其中，，且、.则的值是（）. A． B．0 C．1 D．不存在【答案】C 【解析】由题意解得故. 故答案为C 12．设，且满足.那么，的值是（）. A． B． C． D．【答案】C 【解析】而，则、都在内，即.所以，. 故答案为：C 13．锐角的三边长和面积满足，且既不是的最大内角，也不是最小内角.则实数的取值范围是（）. A． B． C． D．【答案】B 【解析】不妨设，则. 从而，. 又2 在上是增函数，所以，故.选B. 14．在中，，，则的取值范围是（）. A． B． C． D．【答案】C 【解析】由条件有 . 利用辅助角公式有，所以，或者或者, 即或者或者,亦即中有一个为. 若,则，所以，只能，此时，,矛盾；若，则,所以，只能，从而，，亦矛盾. 选C. 15．已知的三边长满足,且.则的最大内角的度数是( ). A．150° B．120° C．90° D．60° 【答案】B 【解析】由，有，故. 选B. 16．已知，，，。则（）。 A． B． C． D．【答案】C 【解析】注意到由题设可知，. 故，，，，， . 则. 故答案为：C 17．已知锐角，给出下列判断： ①长为的三线段一定可构成一个三角形； ②长为的三线段一定可构成一个三角形； ③长为的三线段一定可构成一个三角形； ④长为的三线段一定可构成一个三角形. 其中，正确判断有（）个. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】同理，，. 所以，①正确. 对于②，极端考虑：此时，不能满足.所以②错误. . 类似地，所以③正确. 对于④，举反倒：此时，所以④错误. 故答案为：C 18．已知、、，，，则（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】由、、可得，故 . 19．已知、、是三个不相等的锐角.若，则等于（）. A． B． C． D．【答案】B 【解析】由题设知，，.则.、因此，可构造如图所示的，使，，，. 则 . 于是，. 故 . 20．下面给出4个题题：（1）在中，恒为正值；（2）在中，恒为正值；（3）在中，恒为正值；（4）在非直角中，恒为正值。其中，正确的命题有（） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】（1）正确，由正弦定理知. （2）正确.当锐角或直角三角形时，代数式显然为正值，当为钝角三角形时，不妨设为钝角，则，因此，，即有，又，故. （3）正确，同（2）. （4）错误，由，知为锐角三角形时，其值为负. 选B. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/三角函数与解三角形A辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题29初等数论历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】设a,b为不超过12的正整数,满足:存在常数C,使得对任意正整数n成立.求所有满足条件的有序数对. 【答案】【解析】解法1:由条件知,对任意正整数n,有. ① 注意到13为素数,a,b均与13互素,由费马小定理知. 因此在①中取n=12,化简得,故. 代入①,得, 即. ② 分两种情况讨论. (ⅰ)若,则, 又,经检验可知. 此时.由条件知, 从而只能是a=b=1. 经检验,当时,对任意正整数n,模13余2为常数,满足条件. (ⅱ)若,则由②知,对任意正整数n,有. 特别地, ,故a=b.所以, 即, 故.通过检验,可知. 经检验,当,时,对任意正整数n, 有, 满足条件. 综上,所求的有序数对为. 解法2:由条件知,对任意正整数n,有, 化简得, 即. 由于13为素数, ,故,进而. 因此,当n变化时,模13的余数为常数. 当时,由上式知,模13的余数为常数, 特别地,有,故a=1. 当时,由费马小定理得, 故. 通过检验,可知. 综上,所求的有序数对为. 2．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】设m为整数，.整数数列满足:不全为零，且对任意正整数n，均有. 证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得，则. 【答案】证明见解析【解析】不妨设互素(否则，若，则与互素，并且用代替条件与结论均不改变). 由数列递推关系知 ① 以下证明:对任意整数n≥3，有 ② 事实上，当n=3时②显然成立.假设n=k时②成立(其中k为某个大于2的整数)，注意到①，有，结合归纳假设知，即n=k+1时②也成立.因此②对任意整数n≥3均成立. 注意，当时，②对n=2也成立. 设整数r、s(r>s≥2)，满足. 若，由②对n≥2均成立，可知，即，即 ③ 若，则，故r>s≥3. 此时由于②对n≥3均成立，故类似可知③仍成立. 我们证明a2，m互素事实上，假如a2与m存在一个公共素因子p，则由①得p为的公因子，而互素，故，这与矛盾. 因此，由③得.又r>s，所以. 3．【2019高中数学联赛B卷（第02试）】求满足以下条件的所有正整数n: (1)n至少有4个正因数； (2)若是n的所有正因数，，构成等比数列. 【答案】答案见解析【解析】由条件可知k≥4，且. 易知，代入上式得，化简得. 由此可知d3是完全平方数.由于d2=p是n的最小素因子，d3是平方数，故只能. 从而序列，，即为，而此时相应的n为. 综上可知，满足条件的n为所有形如的数，其中p是素数，整数a≥3. 4．【2018高中数学联赛B卷（第02试）】给定整数a≥2.证明:对任意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数均是合数. 【答案】证明见解析【解析】设是1，2，…，n中与a互素的全体整数，则对1≤i≤n，，无论正整数k如何取值，均与a不互素且大于a，故为合数. 对任意j=1，2，…，r，因，故有素因子. 我们有(否则，因是素数，故，但，从而，故不互素，与的取法矛盾). 因此，由费马小定理知，. 现取. 对任意j=1，2，…，r，注意到，故有. 又，故为合数. 综上所述，当时，，均是合数. 5．【2017高中数学联赛A卷（第02试）】设m、n均是大于1的整数，m≥n.是n个不超过m的互不相同的正整数，且互质.证明:对任意实数x，均存在一个i(1≤i≤n)，使得，这里表示实数y到与它最近的整数的距离. 【答案】证明见解析【解析】4首先证明以下两个结论结论1存在整数，满足，并且. 由于，由裴蜀定理，存在整数，满足 ① 下面证明，通过调整，存在一组满足①，且绝对值均不超过m. 记，. 如果S1>0，那么存在，于是，又因为均为正数，故由①可知存在. 令，则 ② 并且. 因为，且，所以. 又及，故. 如果S2>0，那么存在，因此有一个. 令，那么②成立，并且. 与上面类似地可知，且. 因为S1与S2均是非负整数，故通过有限次上述的调整，可得到一组，使得①成立，并且.结论1获证. 结论2(1)对任意实数a、b，均有. (2)任意整数u和实数y有. 由于对任意整数u和实数x，有，故不妨设a，b∈，此时. 若ab≤0，不妨设a≤0≤b，则，从而. 若ab>0，即a、b同号.当时，有，此时. 当时，注意总有，故. 故(1)得证.由(1)及即知(2)成立. 回到原问题，由结论1，存在整数，使得，并且. 于是. 利用结论2得. 因此 ③ 若，由③可知. 若，则在中存在两个相邻正整数. 不妨设相邻，则. 故与中有一个. 综上所述，总存在一个i(1≤i≤n)，满足. 6．【2015高中数学联赛（第02试）】求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n，不成立. 【答案】答案见解析【解析】以v(n)表示n!中2的幂次，以S(n)表示n的二进制表示中1的个数. 有结论. 原题等价于恒成立，等价于恒成立. 显然. 当S(k)=1，即k为2的方幂时，有，符合题意. 下面用构造法证明：使S(k)≥2的k均不符合题意. 若S(k)≥2，则k的二进制表示中至少有两个1. 用如下方式构造序列ni，使得存在l∈N，使S(knl)<s(nl)，则这样的k不符合条件. 以下讨论均在二进制下. 先取，使得中的最后一个1与k中倒数第二个1对齐(如k=1001时，a=3). 当nt取定时，考虑此时的knt：取，使得中的最后一个1与knt中倒数第二个1对齐(如k=1001时，{ni}为1，9，25，…).这样构造出了一个数列{ni}，并且易知该数列有无穷多项.考虑其中一项nj.由构造方式有. 设, 由构造的方式，知knj的最后a1+1位只有一个1. 设，则，这样，knj的二进制表示中至多有a1+m+1位，至多有m+1个1. 取j>m+1，有故使S(knj)≥2的k均不满足题设. 综上，所求的k为一切2的方幂. 7．【2014高中数学联赛（第02试）】设整数模2014互不同余，整数模2014也互不同余.证明：可将重新排列为，使得模4028互不同余. 【答案】证明见解析【解析】记k=1007.不妨设，对每个整数i，1≤i≤k，若，则令，否则，令，如果是前一种情形，则，如果是后一种情形，则也有若不然，我们有，，两式相加得，于是. 但模2014(2014=2k)互不同余，特别地，矛盾. 由上述构造方法知是的排列. 记.下面验证模4k互不同余，这只需证明，对任意整数模4k两两不同余. 注意，前面的构造方式已保证 ① 情形一：且，则由前面的构造方式可知，，由于，故易知与及模2k不同余，与及模2k不同余，从而模4k更不同余，再结合式①，可见结论得证. 情形二：，且，则由前面的构造方式可知：，. 同样有与及模2k不同余，与及模2k不同余，与情形一相同地可知结论得证. 情形三：，且（，且的情形与此相同)，则由前面的构造方式可知，. 由于k是奇数，故，更有. 因此仍然有与及模2k不同余，与及模2k不同余.从而结论得证. 因此本题得证. 8．【2013高中数学联赛（第02试）】设n，k为大于1的整数，n<2k.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除. 【答案】证明见解析【解析】先考虑n为2的幂的情形设，则r<k.取3个及2k－3个1，显然这些数均不被n整除.将这2k个数任意分成两组，则总有一组中含2个，它们的和为2r，被n整除. 现在设n不是2的幂，取2k个数为，因为n不是2的幂，故上述2k个数均不被n整除. 若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n整除. 不妨设1在第一组，由于被n整除，故两个－1必须在第二组；因被n整除，故2在第一组，进而推出－2在第二组. 现归纳假设均在第一组，而－1，－1，－2，…，－2l均在第二组，这里，由于被n整除，故在第一组，从而在第二组. 故由数学归纳法可知，在第一组，－1，－1，－2，－22，…，－2k－2在第二组. 最后，由于被n整除，故在第一组.因此均在第一组，由正整数的二进制表示可知，每一个不超过的正整数均可表示为中若干个数的和，特别地，因为，故第一组中有若干个数的和为n，当然被n整除，矛盾. 因此，将前述2k个整数任意分成两组，则总有一组中有若干个数之和被n整除. 9．【2009高中数学联赛（第02试）】设k，l是给定的两个正整数.证明：有无穷多个正整数m≥k，使得与l互素. 【答案】证明见解析【解析】证法一对任意正整数t，令，我们证明. 设p是l的任一素因子，只要证明：. 若，则由，即p不整除上式，故. 若p\|k!，设a≥1使，但，则. 故由，及且知且，从而. 证法二对任意正整数t，令，我们证明. 设p是l的任一素因子，只要证明：. 若，则由，即p不整除上式，故，若p\|k!，设使，但，则. 故由及且知且，从而. 10．【2007高中数学联赛（第02试）】设集合P={1，2，3，4，5}.对任意k∈P和正整数m，记，其中[a]表示不大于a的最大整数. 求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得. 【答案】证明见解析【解析】定义集合，其中N*为正整数集. 由于当任意k，i∈P且k≠i时，是无理数，所以对任意的和正整数，有，当且仅当，这表明A中无重复元素. 注意到A是一个无穷集，现将A中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列.对于任意的正整数n，设此数列中第n项为.下面确定n与m，k间的关系. 若，则，由mi是正整数知，对i=1，2，3，4，5，满足这个条件的mi的个数为，从而, 因此对任意，存在，使得. 11．【2004高中数学联赛（第02试）】对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任意正整数m，集合{m，m+1，m+2，…，m+n－1}的任何一个f(n)元子集中，均有至少3个两两互素的元素. 【答案】证明见解析【解析】当时，对集合，若2\|m，则m+1，m+2，m+3两两互素. 若2不能整除m，则m，m+1，m+2两两互素. 所以M的所有n元子集中，均有至少3个两两互素的元素，即f(n)存在且f(n)≤0. 设可知Tn是{2，3，…n+1}的子集，但Tn中任3个元素均不能两两互素，所以，由容斥原理知，从而必有 ① 所以，，我们将证明，设是{m，m+1，m+2，…，m+5}中的5个数，若这5个数中有3个奇数，则它们两两互素，若这5个数中有两个奇数，则必有3个偶数，不妨设为偶数，为奇数. 当1≤i<j≤3时，，所以中至多1个被3整除，至多1个被5整除，从而至少有1个既不被3整除也不被5整除. 不妨设其为x3，有两两互素.说明这个数中有3个两两互素，即. 又因为，可知，因为，所以. 所以当时 ② 接下来用归纳法证明对所有n都有式②成立：假设n≤k(k≤9)时，式②成立. 当n=k+1时，由于，. 且当n=6，n=k－5时，式②成立. 所以 ③ 由式①与③知，对n=k+1，式②成立. 所以对任意的n≥4，有. 12．【1995高中数学联赛（第02试）】求一切实数p，使得三次方程的三个根均为自然数. 【答案】76 【解析】由观察易知x=1为原三次方程的一个自然数根，由综合除法，原三次方程可降次为二次方程 ① 原三次方程的三个根均为自然数等价于二次方程①的两个根均为自然数. 设u，v(u≤v)为方程①的两个根，则由韦达定理得，把式②代入式③得 ④ 可知u，v都不能被2，3，11所整除. 又由式④得 ⑤ 而u，v均为自然数，由式⑤可知，即. 又2\|u，3\|u均不成立，所以. 由v≥u及式⑤可得，即. 于是，所以. 再由2\|u，3\|u均不成立知，u只能取17，19，23，25. 当u=17时，由式⑤得，当u=19时，由式⑤得，并非自然数，应舍去当u=23时，由式⑤得，并非自然数，应舍去. 当u=25时，由式⑤得，并非自然数，应舍去. 所以仅当时，方程①的两根均为自然数，原方程的三根均为自然数. 13．【1994高中数学联赛（第02试）】将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项. 【答案】【解析】设，A1={x\|x∈S且3\|x}，A2={x\|x∈S且5\|x A3={x\|x∈S且7\|x}. 则与105互素且不大于105的自然数为： , 所以，，，设与105互素的正整数按从小到大的顺序排成的数列为，则，令，一方面，对于n≥1，令，因为，所以，故r∈P；另一方面，对于任意的非负整数k及r∈P，因为，所以，从而必有n使得. 这表明数列{an}由且仅由形如105k+r(k≥0，k∈Z，r∈P)的数按从小到大的顺序排列而成. 因为数列是递增的，且对每个固定的非负整数k，当r取遍P的值时，共得48个数，而，所以. 因为， . 所以. 14．【1991高中数学联赛（第02试）】设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1，2，… 【答案】证明见解析【解析】设，其中且. 假定n>4.删去x1时，则当x1依次取1，3，4时，分别等于n－1，n－3，n－4. 故当n>4时 ① 先用归纳法证明下式成立 ② 因故当n=1时，式②成立. 设n=k时，式②成立，即，则据式①，有. 可见式②对k+1成立，于是式②对一切n∈N成立. 再用归纳法证明下式成立 ③ 因，故当n=1时，式③成立. 设n=k时，式③成立，即，则据式①，②，有 . 可见式③对k+1成立.故式③对一切n∈N成立. 最后再用归纳法证明本题结论，显然n=1时结论正确，设a2n是完全平方数，则由式③知a2n+2是完全平方数，因此结论对任意自然数n成立. 15．【1989高中数学联赛（第02试）】有n×n(n≤4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意地填入+1与－1两数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表成4k的形式，其中k∈Z). 【答案】证明见解析【解析】首先题目中所谓的基本项共有n!个，且每个基本项的取值要么是1，要么是－1. 设表中第i行，第j列的数为(=1或－1)，则每个都出现在(n－1)!个基本项内. 考虑全部(n!个)基本项的乘积. 由于n≥4，所以(n－1)!是偶数，故. 即. 说明在个基本项中－1有n!个数，设为2k个，于是中的1的个数为n!－2k，这样. 显然是4的倍数，命题得证. 16．【1985高中数学联赛（第02试）】在直角坐标系xOy中，点和点的坐标均为正整数.OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B'，A在y轴上的射影为A'，△OB'B的面积比△OA'A的面积大33.5.由组成的四位数试求出所有这样的四位数，并写出求解过程. 【答案】答案见解析【解析】很明显，题设的主要条件是关于面积的一些等量关系. 于是由得，因为，所以. 因为为一位正整数，所以和81. 但因为∠BOB′<45°，即点B在直线y=x的下方所以，故. 于是，所以，从而. 又因为∠AOB′>45°，所以，由均为一位正整数，推得. 所以. 17．【1984高中数学联赛（第02试）】设an是的个位数字，n=1，2，3，…….试证是有理数. 【答案】证明见解析【解析】本题实际上只要证出是循环小数即可.下面将介绍几个证法证法一因为的个位数字都相同，而10个相同整数之和的个位数字是0，所以的个位数字是0. 从而的个位数字为：的个位数字的个位数字=an. 所以是循环小数. 证法二因为,所以(k+10)2与k2的个位数字相同. 又因为数列{an}的前10项依次为1，5，4，0，5，1，0，4，5，5. 所以从a11至a20就是把a10=5分别加到a1~a10各项所得数的个位数字. 由于a20=0，所以a21=a1=1，…，的个位数字，……的个位数字. 依此类推，有.即是循环节长为20的循环小数. 优质模拟题强化训练 1．设k、l、c均为正整数，证明：存在正整数a、b满足，且，其中(a，b)表示a、b的最大公因数，表示正整数m的所有不同正因子的个数. 【答案】见解析【解析】如果m的标准分解式为，那么. 取定两个不同的素数p、q使得(pq，c)=1. 由于(p，q)=1，利用裴蜀定理，存在正整数，使得. 由于(pq，c)=1，那么且. 由中国剩余定理，下列同余方程组：有正整数解. 令，那么，而且(u，pqc)=1.因此. 现在取，则. 从而. 令a=nd，b=(n+c)d，那么(a，b)=d，因此.而且： . . 所以. 2．求所有的正整数n，使得方程有正整数解. 【答案】. 【解析】当n=1时，方程变为，得，显然无正整数解. 当n=2时，方程变为，得. 先证引理：无正整数解假设有一组正整数解a､b､c，不妨设a､b､c的最大公因数为1. 由a､b为正整数，知或1(mod3)，或1(mod3). 又，故且，即且，从而. 这与“a､b､c的最大公因数为1”矛盾. 引理得证由无正整数解，可知此时原方程无正整数解. 当n=3时，方程变为，由，得，即，所以，可得，即，故. 这说明原方程有正整数解：. 当n≥4时，有正整数解： . 综上，当n=1或n=2时，原方程无正整数解；当n≥3时，原方程有正整数解. 即所求的n为. 3．求证：不存在无穷多项的素数数列，使得. 【答案】见解析【解析】用反证法.假设存在满足题设的无穷多项的素数数列，则由得，于是数列{pk+1}是以5为公比的等比数列，所以，故. 易知数列{pn}是严格递增的，不妨设p1>5(否则用p2作为首项)，则有(5，p1)=1，于是由费马小定理得，所以，这与是素数矛盾所以，满足题设的素数数列不存在. 4．设，是正整数，满足.证明：. 【答案】证明见解析．【解析】由题：，是正整数，满足，设，，必有，所以均为正整数，当时，，，显然只能，当时，不妨设，则，考虑方程，是方程的一组解，，则即，即也是方程的一组解，同理可得：，均是该方程的解，照此递换，必有是方程的解，所以综上所述：，即. 5．求证：对任意的，能被64整除. 【答案】证明见解析【解析】（1）当时，式子能被64整除，命题成立．（2）假设当时，能够被64整除．当时，，因为能够被64整除，能够被64整除．即当时，命题也成立．由（1）（2）可知，能被64整除． 6．求最小的正整数，使得当正整数点时，在前个正整数构成的集合中，对任意总存在另一个数且，满足为平方数．【答案】7 【解析】易知当时，在中，数2与其他任何数之和皆不是平方数；以下证明，的最小值为7．如果正整数、满足：平方数，就称是一个“平方对”，显然在中，，，，为平方对．在中增加了平方对；在中平加了平方对．以下采用归纳法，称满足题中条件的为具有性质；简记为．据以上知，当时，均有．设已证得，当时，皆有，今考虑情况，利用归纳假设，只需证，当，其中时，均有．首先，在，即时，构成平方对，这是由于，而由，知，即．在时，构成平方对，这是由于，而，所以．因此对于满足的每个，皆有，从而对所有满足的正整数，皆有，即对一切正整数，均有．所以的最小值为7． 7．设，定义：，.证明：当时，为整数，且为奇数当且仅当或2. 【答案】见解析【解析】注意到 ① ② 得 . 反复运用上式，再叠加得. 其中，. 由因此，为整数. 1.若，由有奇数个奇数项知为奇数. 于是，为奇数. 2.若，则故于是，为偶数. 3.若，则故. 于是，为偶数. 因此，当时，为整数，且为奇数当且仅当. 8．已知、、、、、为整数，方程①有正整数解．证明：存在无穷多个正整数使得．【答案】见解析【解析】设方程①的正整数解为．首先说明：．否则，．矛盾．由．取整数，满足．故．取．则．因此，存在无穷多个正整数，使得． 9．已知，求证：存在无穷多个正整数，使除以的余数互不相同。【答案】见解析【解析】由已知得。下面证明：满足题意。首先证明：。对用数学归纳法。当，，则。假设时，。则当时，有。但，故。由数学归纳法，得证。其次证明：均不能被整除。假设中存在被整除的数，取其中最小的记为，设则。此处规定时，。故由整除，得也整除。但由的最小性及知，，即整除，必有小于的正整数使。由第一步证明知，矛盾。所以，不能被整除。最后证明：被除的余数互不相同。假设被除的余数有相同的，即存在，使得。但且，得，与第二步矛盾。所以，被除的余数互不相同。综上，存在无穷多个正整数，使除以的余数互不相同。 10．已知个两两互质的正整数满足：可以适当添加“+”或“-”使得其代数式的和为0.问：是否存在一组正整数（允许有相同的），使得对任意正整数，都有两两互质. 【答案】存在【解析】当n=4时，若中有两个偶数，则当为偶数时，中有两项同为偶数，不互质. （2）若中至多有一个偶数，则其中至少有三个奇数（不妨设为）. 考虑，由题设其中至少有两个奇数（不妨设为），则当k为奇数时，同为偶数，不互质. 当时，由题意不妨设. 因为，所以，由裴蜀定理知存在整数使得. 不妨设. 令.则，， . 故，， . 因此，两两互质. 所以，当时，这样的整数存在. 11．(1)若为奇素数,,, ,证明： ; (2)若是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数,满足是正整数.证明：也是正整数. 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】设. 则 ① 设.只需证明： ② 因为,而式①的其他项中所含的的次数不大于,所以,式②成立. (2)不妨设(且).则. 分两种情形. (i)若,设,(为奇数).则 ③ 因为,所以,均为奇数. 故. 注意到, ,,,…, ,. 于是,. 结合式③有.但,故. 所以,. 上式只能对有限多个成立,矛盾. (ii)存在奇素数. 设为满足的最小正整数.则若, 即. ④ 因为,所以,. ⑤ 由式④、⑤知. 设,则. 由(1)知于是,. 因为,所以,. 上式只能对有限个成立,矛盾. 12．已知、、为正整数，且是一个素数的幂.证明：必为的某个正整数次幂. 【答案】见解析【解析】设是素数的幂. 注意到，. 故可设，，，其中，，、，. 因此，，. 从而，，即. 设. 注意到，显然成立. 又，则. 但，从而，. 故. 13．给定正整数.已知，且.求满足条件的一切有序数组. 【答案】或，其中，为任意给定的正数. 【解析】首先，.否则，若，则. 故，矛盾. 显然，. 记，满足. （1）若，则.故必有. 记，则对，有. （2）若，则.此时，集合中，，结合，知. 记，则对，有. 综上，满足条件的有序数组为或，其中，为任意给定的正数. 14．对任意一个正整数，设其十进制表达为.证明：存在，使得的十进制表达的前位为. 【答案】见解析【解析】先证明一个引理. 引理对任意的无理数，实数，均存在正整数、使得. 证明：将数轴模分段. 记. 则对于，有.否则，. 于是，. 上式左边为若干无理数，右边为整数，矛盾. 此时，取. 将模区间分为份，则每一份长度为. 由抽屉原理，知必存在与处于同一区间（长为）.记. 则. 因为，所以，必存在，使，，，其中，. 于是，. 此时，取，，有. 故. 回到原题. 取，，. 由引理，知存在，使得. 故. 又单调递增，于是，，此时，的十进制前位为. 15．证明：存在无数个满足如下条件的整数組(a,b,c,d)：（1）a>c>0，(a,c)=1；（2）对任意给定的正整数k，恰有k个正整数n，使得(an+b)\|(cn+d)。【答案】见解析【解析】当k=1时，，显然，a>c>0，(a,c)=1. 当n≥2时，an+b>(a-1)n+b+1>0. 而当n=1时，(an+b)\|[(a-1)n+b+1]. 故这样的整数组(a,b,c,d)有无数个. 当k≥2时，令a=2，b=1，c=1，，其中，p为任一奇素数，满足条件(1). 若，设则. 易知，. 因为n为正整数，所以，. 故恰有k个解恰有k个解. 满足条件(2). 又这样的奇素数p有无限个，则(a,b,c,d)有无数組. 综上，原问题得证. 16．设是一个大于1的正整数，是素数，. (1)证明：或； (2)若是不同于的素数，则恰有个不同的解（即模互不同余）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）当时，结论显然成立. 当时，不妨设是一个素数. 注意到，. 若，则. 故.若，则. 设是使得成立的最小正整数. 则.于是，或.又，故. 因为，所以，. 综上，或. （2）由（1）知. 又是不同于的素数，故是的因子. 因为有个根，所以，由拉格朗日定理得的根数也是次数，即恰有个不同的解（即模互不同余）. 17．求最大的正整数n，使得对于任意整数a，若（a，n）＝1，均有. 【答案】n的最大值为24. 【解析】首先验证n＝24时成立因为对任意（a，24）＝1，有.且. 所以，. 接下来证明n≤24.分两种情形. 1.若，则取a＝5. 由于，故.从而，n≤24. 2.若，不妨设. 取.则，. 故，且，这与矛盾. 18．求最小的两个正整数m，使得为完全平方数. 【答案】539、731 【解析】注意到于是，为完全平方数的必要条件是. 设. 则. 故 . 因此，为完全平方数. 只有当或时才有可能. 当时，. 当时，. 当k为偶数时，、均不为完全平方数. 若，则，. 于是，为完全平方数的必要条件是为完全平方数，并且取“+”时，；取“-”时，. 经计算，能够使得为完全平方数的最小正整数n=6，此时，；为完全平方数的最小正整数n=8，此时，. 故使得为完全平方数的最小的两个正整数m为539、731. 19．证明：存在无穷多个正整数n，使得，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数。【答案】见解析【解析】设.则. 令. 下证方程有无穷多组整数解. 显然，x=9,y=4是一组解. 令. 则. 从而，，即所有的均满足方程. 对于上述给定的x、y、n满足，即，及. 注意到， . 所以，，即共有2x+1个n使得. 由y≤x，知在这连续2x+1个整数中，至少有一个为x+y的倍数. 例如，当x=9，y=4时，在81，82,...,98中，存在n=91使得. 20．求所有素数p，使得. 【答案】见解析【解析】由于不成立，故p=2不满足条件.以下设p为奇素数. 对k=1，2，…，，由费马小定理知. 故 . 求和知当且仅当时，.显然. 当时，必为3和8的倍数，故. 综上，所求P为一切大于3的素数. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/初等数论(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题02函数A辑历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】函数在(－∞，2)上的最小值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当x<2时，因此，当且仅当时取得等号.而此方程有解x=1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2.故选C． 2．【2006高中数学联赛（第01试）】设，则x的取值范围为( ) A． B．且x≠1 C． D．【答案】B 【解析】因为，解得，由，所以，则，解得或，解得x>1. 所以x的取值范围为且x≠1. 故选B． 3．【2006高中数学联赛（第01试）】设，则对任意实数a，b，a+b≥0是的( ) A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】显然为奇函数，且单调递增. 于是，若，则，有，即，从而有. 反之，若，则，推出，即. 故选A． 4．【2002高中数学联赛（第01试）】函数的单调递增区间是( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】由有x<－1或x>3. 故函数的定义域为x<－1或x>3. 又因为在(－∞，－1)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增.而在(0，+∞)上单调递减，所以在(－∞，－1)单调递增，故选A. 5．【2002高中数学联赛（第01试）】函数( ) A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．既是偶函数又是奇函数 D．既不是偶函数也不是奇函数【答案】A 【解析】函数f(x)的定义域是，当x≠0时，因为 . 所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A. 6．【2000高中数学联赛（第01试）】给定正数p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2－( ) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个同号相异实根 D．有两个异号实根【答案】A 【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是，有. 故选：A. 解法二依题意，设等差数列p，b，c，q的公差为d≠0，，由可得，故选：A. 7．【1999高中数学联赛（第01试）】若，则( ) A． B． C． D．【答案】B 【解析】记，则f(t)在R上是严格增函数. 原不等式即，故，即. 引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，a<b，则a≤b－1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解决就很需要它：设a，b，c，d是自然数，满足，证明. 值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质. 8．【1998高中数学联赛（第01试）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a－1)+1g(b－1)的值( ) A．等于lg2 B．等于1 C．等于0 D．不是与a，b无关的常数【答案】C 【解析】因为，所以，即，因此. 9．【1996高中数学联赛（第01试）】如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) A． B． C． D．以上答案都不对【答案】B 【解析】函数f(x)在上取到最小值，而，等号取到当时，即，则有，，解得. 由于，那么f(x)在区间[1，2]的最大值在x=2处取到，即. 10．【1995高中数学联赛（第01试）】已知方程在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( ) A． B． C． D．以上都不是. 【答案】B 【解析】显然k≥0，而k=0导出.原方程只有一根，故k>0. 又由知，抛物线与直线在区间(2n－1，2n+1)上有两个不同交点，所以，当x=2n－1时，有，而当x=2n+1时，有. 从而，即. 故选B. 11．【1993高中数学联赛（第01试）】已知(a，b为实数)且，则的值是( ) A． B． C． D．随a，b取不同值而取不同值【答案】C 【解析】因为f(x)－4是奇函数，故，即. 而，所以. 12．【1992高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10－x)，f(20－x)=－f(20+x).则f(x)是( ) A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数【答案】C 【解析】由所给第一式得，所以 ① 又由所给第二式得 ② 所以. 可见f(x)是周期函数. 由式①，②得，所以f(x)是奇函数. 13．【1991高中数学联赛（第01试）】设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3－x)，且方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为( ) A．18 B．12 C．9 D．0 【答案】A 【解析】若3+a是f(x)=0的一个根，则由已知，即3－a也是一个根.因此可设方程f(x)=0的六个根为. 于是它们的和等于18. 14．【1990高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式是( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】(1)由及周期为2，有. (2)由于f(x)是偶数，得. 15．【1989高中数学联赛（第01试）】对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－1)与函数y=f(－x+1)的图像恒( ) A．关于x轴对称 B．关于直线x=1对称 C．关于直线x=－1对称 D．关于y轴对称【答案】B 【解析】f(x)和f(－x)的图像关于直线x=0对称，f(x－1)与f(－x+1)的图像关于直线x=1对称. 16．【1988高中数学联赛（第01试）】设有三个函数，第一个是，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是( ) A． B． C． D．【答案】B 【解析】第一个函数的图像与第二个函数的图像关于对称，第二个函数的图像与第三个函数的图像关于对称，所以第一个函数的图像与第三个函数的图像关于原点对称. 17．【1985高中数学联赛（第01试）】假定有两个命题：甲：a是大于0的实数；乙：a>b且.那么( ) A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】因为仅有“甲”是不能使得“乙”成立，因此可知“甲”不是“乙”的充分条件.接着看“乙”在什么情况下成立.很明显，当且仅当a>0且b<0时，“乙”才能成立由此可知，“甲”是“乙”成立的不可缺少的条件，综上所述，得“甲”是“乙”的必要而不充分条件 18．【1984高中数学联赛（第01试）】方程sinx=1gx的实根个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．大于3 【答案】C 【解析】判断方程解的个数，就是确定正弦曲线sinx和对数函数lgx的图像的交点个数.首先确定x的范围. 由lgx的定义知x>0，又因为，所以. 从而得. 在直角坐标系中作出0<x≤10范围内y=sinx和y=1gx的图像. 因为，，所以当时，sinx=lgx必有一解. 同理可知，当和时，方程各有一解. 19．【1984高中数学联赛（第01试）】若a>0，a≠1，F(x)是一奇函数，则G(x)=是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．不是奇函数也不是偶函数 D．奇偶性与a的具体数值有关【答案】B 【解析】因为，所以. 即G(x)是偶函数 20．【1984高中数学联赛（第01试）】若，则下列等式中正确的是( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】先求出F(x)的表达式，作变换，得. 所以，然后一一验证，知. 21．【1983高中数学联赛（第01试）】的值是属于区间( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，. 22．【1983高中数学联赛（第01试）】已知函数f(x)=ax2－c，满足：－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.那么，f(3)应满足( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】由得，所以 ① 由得 ② 由①+②得，即. 所以. 由②+③得，即. 23．【1982高中数学联赛（第01试）】如果，那么( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】由条件可得，，. 据幂函数的单调性可知. 24．【1982高中数学联赛（第01试）】已知x1，x2是方程x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，的最大值是( ) A．19 B．18 C． D．不存在【答案】B 【解析】实系数一元二次方程有实数根，所以，可解得. 由韦达定理，经整理，得到，所以当k=－4时，取到最大值，这最大值为18. 25．【1981高中数学联赛（第01试）】对方程进行讨论，下面的结论中，哪一个是错误的( ) A．至多有三个实根 B．至少有一个实根 C．仅当p2－4q≥0时才有实根 D．当p<0和q>0时，有三个实根【答案】CD 【解析】由题意得由此可得p取不同值时，函数的大致图像: 其中q的变化，仅决定函数图像在坐标平面上、下平移. 从上面的图像可见方程f(x)=0至多有三个实根，至少有一个实根.于是当且仅当p2－4q≥0时才有实根的结论不正确，所以选项C不成立.由p<0，q>0的图像可见选项D也不成立优质模拟题强化训练 1．方程组的解的组数是（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】如图，分别画出与的图象，从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组. 故选：B. 2．已知，则在下图的四个选项中，表示的图像只可能是（）。 A． B． C． D．【答案】B 【解析】 A中，； B中，； C中，； D中，；所以选B. 3．若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为（）. A． B． C． D．【答案】A 【解析】由题意知且二次方程的两个根分别为和1.则有，.故，.所以，二次函数在区间上的最大值是0，最小值是. 选A. 4．函数的零点所在的一个区间为（） A． B． C． D．【答案】C 【解析】代入知，，，，. 故所求为. 5．设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当时，；则当时的解析式是（）. A．. B．. C．. D．. 【答案】C 【解析】 (1)由f(x)=x,2≤x≤3及周期为2，有， (2)由于f(x)是偶数，得f(x)=-x+2,-1≤x≤0. 综合(1)和(2)得C选项符合题意. 故选：C. 6．对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】时，恒成立. 时，原不等式等价于. 由的最小值是2，可得，即. 选A. 7．如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图像上若，则( ) A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【解析】设过选B. 8．定义在上的函数满足：，且函数为奇函数给出以下3个命题：函数的周期是6；函数的图象关于点对称；函数的图象关于轴对称其中，真命题的个数是　　 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】由，知.所以，①正确；将的图像向左平移个单位，即为的图像，而的图像关于原点对称，所以，②正确；由②知，，则为偶函数，所以，③正确. 9．设函数满足：对任何实数，有。则这样的函数（）。 A．不存在 B．恰有一个 C．恰有两个 D．有无数个【答案】D 【解析】设为集合的任意一个非空子集，为定义在上的任意一个函数. 则函数都符合条件. 故答案为：D 10．设，若，则实数的取值范围为（）. A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为开口向上，且，故解得. 故答案为D 11．已知在上的最大值为M，最小值为N，则M+N=（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】的图象关于（0，1）对称，故. 故答案为：B 12．已知函数满足：，，则（）. A． B．- C． D．- 【答案】B 【解析】取x=1，y=0，得；取x=1，y=1，得，故；取x=2，y=1，得，故；取x=n，y=1，有同理，. 联立得，故. 所以周期为6，故. 故答案为：B 13．方程的最大的解与最小的解之和为（　　）（其中，表示不超过的最大整数，下同）． A．85 B． C．42 D．【答案】B 【解析】设（、为整数，）．将代入原方程得．对于每个不同的确定了唯一的有序数对，从而，也互不相同．要比较的大小应先比较的大小，若相等，再比较的大小．因为，所以，的最大值只有当时取到，且最大值为0．因此，的最大的解为0．又，所以，．当且仅当时，．因此，的最小的解为．综上所述，最大的解与最小的解之和为． 14．设函数满足：对一切，，且当时，则（）. A．1 B． C． D．【答案】D 【解析】由已知得所以，.因此，是以2为周期的周期函数.由于，因而，，，即 ① 又，则代入式①得所以， 15．给出下列两个命题：命题：存在函数、及区间，使得在上是增函数，在上也是增函数，但在上是减函数；命题：存在奇函数、偶函数，使得函是偶函数，那么，（）。 A．、都真 B．、都假 C．真假 D．真假【答案】A 【解析】取，，区间. 则在区间上是增函数，在区间上也是增函数. 但在上是减函数（因为），真. 取，. 则是偶函数，真. 故答案为：A 16．定义在上的偶函数，满足，且在区间上递增，则( )． A． B． C． D．【答案】A 【解析】在区间上递增，，选A. 17．函数的定义域为，若满足（1）在内是单调函数；（2）存在，使在上的值域为，则称为“闭函数”.现知是闭函数，那么的取值范围是（）. A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为有两个不等的实根，从而，，且故解得. 故答案为：D 18．已知实系数二次方程的实数解、满足，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】由韦达定理得，。则，又，，故，当且仅当，或，时，取等号；，当且仅当时，取等号，所以，. 19．已知函数满足：（1）对任意、，，都有；（2）对任意，都有.则的值是（）. A．17 B．21 C．25 D．29 【答案】D 【解析】对任意的，由（1）得，即. 故在上为单调增函数. 对任意，由（2）得. 显然.否则，.矛盾. 若，则，矛盾. 所以，. 故，. 由，得，. 则，. 故. 故答案为：D 20．表示不超过实数x的最大整数，设N为正整数．则方程在区间中所有解的个数是（　　）． A． B． C． D．【答案】C 【解析】显然，为方程的一个解．下设，，．则．原方程为，即．又，为整数，则共个．因为，所以，这类数共有个．故方程在区间中所有解的个数为．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/函数A辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题12不等式A辑历年联赛真题汇编 1．【2007高中数学联赛（第01试）】设实数a使得不等式对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】令，则有，排除B，D. 由对称性排除C.从而只有A正确. 故选A．. 一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立. 由于，所以，从而上述不等式等价于. 2．【2005高中数学联赛（第01试）】使关于x的不等式有解的实数k的最大值是( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】令，则，所以，当时，，故y的最大值为，所以实数k的最大值为. 故选：D. 3．【2004高中数学联赛（第01试）】不等式的解集为( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】原不等式等价于，设，则有，解得，即，所以. 故选：C. 4．【2003高中数学联赛（第01试）】已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数的最小值是( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】由已知得, 故，而，故当，即时，的值最小，而此时函数u有最小值，故选：D. 5．【2001高中数学联赛（第01试）】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是( ) A．2枝玫瑰价格高 B．3枝康乃馨价格高 C．价格相同 D．不确定【答案】A 【解析】由题意得，令，联立解得，所以，因为，所以，所以. 故选：A. 6．【1986高中数学联赛（第01试）】设实数a，b，c满足，那么a的取值范围是( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】由得，所以，即. 所以1≤a≤9.故选：D. 7．【1986高中数学联赛（第01试）】边长为a，b，c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若，则s与t的大小关系是( ). A．s>t B．s=t C．s<t D．不确定【答案】C 【解析】因为，又，所以. 于是 . 且其中取不到等号，否则是不可能的，故答案为C． 8．【1984高中数学联赛（第01试）】下列四个图的阴影部分(不包括边界)满足不等式的是 A． B． C． D．【答案】D 【解析】由不等式判断它所表示的区域. 当x>1时，可得, 当0<x<1时，可得. 然后与抛物线y2=x比较即可 9．【1983高中数学联赛（第01试）】设a，b，c，d，m，n都是正实数，，Q=，那么( ) A． B． C． D．P，Q间的大小关系不确定，而与m，n的大小有关【答案】B 【解析】因为a，b，c，d，m，n是正实数，所以 . 10．【1982高中数学联赛（第01试）】当a，b是两个不相等的正数时，下列三个代数式：甲：，乙：，丙中，值最大的一个( ) A．必定是甲 B．必定是乙 C．必定是丙 D．一般并不确定，而与a，b的取值有关【答案】D 【解析】(i)甲，乙，由题设易得，必定有甲>乙. (ii)当a=1，b=时，经计算可知，甲>丙；而当a=2，b=3时，则有甲<丙，说明甲和丙的值的大小与a，b取值有关. 11．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】若正整数a、b、c满足2017≥10a≥100b≥1000c，则数组(a，b，c)的个数为 . 【答案】574 【解析】由条件知. 当c=1时，有10≤b≤20.对于每个这样的正整数b，由10b≤a≤201知，相应的a的个数为202－10b. 从而这样的正整数组的个数为. 当c=2时，由，知b=20.进而201，故a=200，201.此时共有两组(a，b，c) 综上所述，满足条件的正整数组的个数为572+2=574. 12．【2016高中数学联赛（第01试）】设实数a满足，则a的取值范围是 . 【答案】【解析】由a<\|a\|可得a<0，原不等式可变形为，即，所以. 又a<0，故. 13．【2013高中数学联赛（第01试）】设a，b为实数，函数f(x)=ax+b满足：对任意x∈[0，1]，有.则ab的最大值为 . 【答案】【解析】易知，则. 当，即时故ab的最大值为. 14．【2012高中数学联赛（第01试）】设x，y，z∈[0，1]，则的最大值是 . 【答案】【解析】不妨设，则，因为，所以. 当且仅当即时，上式等号同时成立. 故. 15．【2011高中数学联赛（第01试）】设a，b为正实数，，(a－b)2=4(ab)3，则 . 【答案】【解析】由得，又，即 ① 于是 ② 再由不等式①中等号成立的条件，得，与式②联立解得或. 故. 16．【2010高中数学联赛（第01试）】方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解(x，y，z)的个数是 . 【答案】336675 【解析】首先易知的正整数解的个数为，把x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解分为3类： (1)x，y，z均相等的正整数解的个数显然为1； (2)x，y，乙中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设x，y，乙两两均不相等的正整数解为k. 易知，所以 . 即. 从而满足x≤y≤z的正整数解的个数为. 17．【2009高中数学联赛（第01试）】在坐标平面上有两个区域M和N，M为，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f(t)= . 【答案】【解析】由题意知. 18．【2008高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)=2008，且对任意x∈R，满足，，则f(2008)= . 【答案】【解析】解法一由题设条件知，因此有，故 . 解法二令，则，，即，故，得g(x)是周期为2的周期函数，所以. 19．【2003高中数学联赛（第01试）】不等式的解集是 . 【答案】【解析】由原不等式分解可得，由此得所求不等式的解集为. 当x≥0时，原不等式为，即. 注意到x≥0，得，因为为偶函数. 所以当x<0时，解为，故原不等式的解集为. 20．【2002高中数学联赛（第01试）】若，则的最小值是 . 【答案】【解析】注意到，所以，由对称性只考虑y≥0，因为x>0，所以只需求x－y的最小值. 令，代入有，这个关于y的二次方程显然有实根，故，所以，当时，故的最小值为. 21．【2001高中数学联赛（第01试）】不等式的解集为 . 【答案】或或【解析】从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得或或，从而或或. 22．【1997高中数学联赛（第01试）】设，，，记a,b,c中最大数为M，则M的最小值为 . 【答案】【解析】由已知条件得，，. 设中的最大数为u，则. 由已知条件知x，y，z均为正数，于是 . 所以，u≥2，且当时，u=2，故u的最小值为2，从而M的最小值为. 23．【1995高中数学联赛（第01试）】在直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是 . 【答案】2551 【解析】两条坐标轴及直线x+y=100所围区域(含边界)上的整点共有(个) 而及x轴所围区域(边界不包括)上的整点共有 (个). 又，及y轴所围区域(边界不包括y=3x)上的整点也有1300个. 所以，满足题设条件的整点共有(个). 24．【1994高中数学联赛（第01试）】已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 . 【答案】【解析】直线l的方程，即，显然是经过点M(0，－1)的直线方程.过点M作直线，显然，l1的斜率为，过M，Q作直线l2，则l2的斜率为. 如图所示，与PQ的延长线相交的直线l应夹在l1与l2之间，即(k为l的斜率). 于是，，. 25．【1993高中数学联赛（第01试）】实数x，y满足，设，则的值为 . 【答案】【解析】解法一易知. 设，代入，得. 于是，有，因为，所以. 解法二令，代入条件得，. 因此有，，，. 26．【1993高中数学联赛（第01试）】设任意实数，要使恒成立，则k的最大值是 . 【答案】9 【解析】将原不等式改写为. 即 . 令，于是原不等式成为，但是. 当且仅当时，等号成立(即构成等比数列时，取到等号). 所以. 27．【1990高中数学联赛（第01试）】设n为自然数，a，b为正实数，且满足a+b=2，则的最小值是 . 【答案】1 【解析】因为ab>0，所以，. 故，当a=b=1时，上式等于1，故最小值为1. 28．【1990高中数学联赛（第01试）】设n是自然数，对任意实数x，y，z恒有成立，则n的最小值是 . 【答案】3 【解析】解法一令，题设不等式变为. 一方面. 所以当x=3时，不等式成立；另一方面，当时，题设不等式化为，必有n≥3，故n最小值为3. 解法二. 或者，直接由柯西不等式. 优质模拟题强化训练 1．已知,则正确的结论是( ) A． B． C． D．大小不确定【答案】B 【解析】因为，，又，则． 2．若x､y满足\|y\|≤2-x，且x≥-1，则2x+y的最小值为（） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解析】原题条件等价于，作出可行域如图所示，知2x+y在x=-1，y=-3时取得最小值. 故选：B. 3．已知个正实数，且，令，，其中，，则、的大小关系是（）. A． B． C．随而确定 D．完全不确定【答案】B 【解析】构造，夹角. 如图，在射线、上依次取个点及，使，. 由余弦定理，得，即. 设与，，…，依次交于点. 则由,所以.选B. 4．已知点既在椭圆内部（包括边界），又在圆外部（包括边界）. 若、. 则的最小值为（）. A． B． C． D．【答案】B 【解析】由已知有且. 于是，. 化简得. 化简得. 从而，. 故 . 而 . 又，故其等价于. 由及，知上述不等式成立. 故. 当，时符合条件且取到最小值.选B. 5．已知.则对任意，必有（） A． B． C． D．的值不确定【答案】A 【解析】因，等于成立当且仅当与一个取，另一个取1，此时，对任意，必有. 故答案为:A 6．对，记，.则、的大小关系为（）. A． B． C． D．不能确定【答案】B 【解析】由，相加得 . 故答案为：B 7．对于满足的一切实数p，不等式恒成立。则x的取值范围是（）。 A． B． C． D．或【答案】D 【解析】将原不等式变性得. 设.则是关于的一次函数. 由原不等式得，即，解得或. 故答案为：D 8．已知实数满足.则的最小值是（）. A．2 B．3 C． D．6 【答案】D 【解析】显然，a 、b 、c中至少有一个是正的，不妨设为a. 由，得关于x的方程有两实根. 故. 结合a＞0 可得a ≥4 . 则 . 故答案为：D 9．已知、、，且，，则的最小值为（）. A． B． C．36 D．45 【答案】C 【解析】由， . 知. 当时，取得最小值36. 故答案为：C 10．设，，．则、的大小关系是（）． A． B． C． D．三种情况均有可能【答案】B 【解析】由，有．故，即，亦即．移项即得．故答案为：B 11．已知函数.当，时，与的大小关系是（）. A． B． C． D．【答案】A 【解析】注意到，则. 又因此，. 12．已知实数、、满足.则、、这三个数中，大于1的数最多有（）个. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】假设、、都大于1. 由，知、、中至少有一个是正数，不妨设. 则.从而，. 因此，、、均为正数. 由，得. 由，得，即. 所以，，得. 同理，. 这与矛盾. 故、、不可能都大于1. 事实上，、、可以有2个大于1（如取，，，则，）. 故答案为：B 13．若，，则的最小值为（）. A．4 B．6 C．8 D．不存在【答案】A 【解析】 . 当且仅当时，上式等号成立. 14．设，且.则使恒成立的实数的最大值是（）. A． B． C． D．【答案】D 【解析】设，且.则 . 从而，使不等式恒成立的实数的最大值是. 15．若，则必有（）. A． B． C． D．【答案】C 【解析】取，代入选项得. 选C. 16．设，已知对一切的x∈[0,1]，恒有\|f(x)\|≤1.则实数a的取值范围是( ). A． B． C．2≤a≤4 D．【答案】D 【解析】由题设知，对0≤x≤1，恒有 . 当x=0时，a可取任意实数. 当0<x≤1时，有. 显然，.而. 故. 选D. 17．已知二次函数通过点、.若存在整数，使，则与的关系为（）. A． B． C． D．不能确定，与的具体取值有关【答案】B 【解析】由二次函数通过点、，有恒等式. ① 取，代入式①，有， . 两式相乘得 . 从而，. 选B. 18．对一切实数,所有的二次函数的值均为非负实数.则的最大值是( ) A．1 B． C． D．3 【答案】C 【解析】由题设知,且,则. 设,即. 于是,. 当且仅当,且,即时,等号成立. 所以,. 选C. 19．已知，且.则的最小值是（）. A． B． C． D．【答案】C 【解析】由已知得所以，因为，当且仅当，即时，故当时，取最小值 20．已知、是不相等的正数，在、之间插入两组数，，…，，，，…，，使，，，…，，成等差数列，，，，…，，成等比数列．则下列不等式（1），（2），（3），（4）中，为真命题的是（）． A．（1）、（3） B．（1）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4）【答案】B 【解析】解法1：由等差数列知，有．可见（1）真，（2）假．又由等比数列知，有．可见（3）假，（4）真．综上得（1）、（4）真．解法2：取，，，可验算（2）、（3）不成立，否定A、C、D，从而B真．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/不等式A辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题25平面几何A辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】如图,在等腰中, ,为内心,为BI的中点,P为边AC上一点,满足AP=3PC,PI延长线上一点H满足MH⊥PH,Q为ΔABC的外接圆上劣弧AB的中点.证明:BH⊥QH. 【答案】证明见解析【解析】取AC的中点N.由AP=3PC,可知P为NC的中点.易知B,I,N共线,∠INC=90°. 由I为ΔABC的内心,可知CI经过点Q,且∠QIB=∠IBC+∠ICB=∠ABI+∠ACQ=∠ABI+∠ABQ=∠QBI, 又M为BI的中点,所以QM⊥Bl.进而QM∥CN. 考虑ΔHMQ与ΔHIB.由于MH⊥PH,故∠HMQ=90°-∠HMI=∠HIB. 又∠IHM=∠INP=90°,故, 于是所以,得∠HQM=∠HBI. 从而H,M,B,Q四点共圆.于是有∠BHQ=∠BMQ=90°,即BH⊥QH. 2．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】如图,A,B,C,D,E是圆Ω上顺次的五点,满足ABC=BCD=CDE,点P,Q分别在线段AD,BE上,且P在线段CQ上.证明:∠PAQ=∠PEQ. 【答案】证明见解析【解析】记S为AD与BE的交点,T为CQ延长线与圆Ω的交点. 注意到ABC=BCD=CDE,可设AB,CD所对的圆周角均为α,BC,DE所对的圆周角均为β. 于是∠ATQ=∠ATC=α+β,∠PTE=∠CTE=α+β,∠PSQ=∠BDA+∠DBE=α+β. 由∠ATQ=∠PSQ得S,A,T,Q四点共圆,又由∠PTE=∠PSQ得P,S,T,E四点共圆. 所以∠PAQ=∠PTS=∠PEQ. 3．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点点P在△ABC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP、△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明:若DE=MP，则BC=2BP. 【答案】证明见解析【解析】如图，延长PM到点F，使得MF=ME.连结BF、BD、CE. 由条件可知∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠CEP=∠CEM. 因为BM=CM且EM=FM，所以BF=CE且BF∥CE. 于是∠F=∠CEM=∠BDP，进而BD=BF. 又DE=MP，故DP=EM=FM. 于是在等腰△BDF中，由对称性得BP=BM.从而BC=2B=2BP 4．【2019高中数学联赛B卷（第02试）】如图，点A、B、C、D、E在一条直线上顺次排列，满足BC=CD=，点P在该直线外，满足PB=PD.点K、L分别在线段PB、PD上，满足KC平分∠BKE，LC平分∠ALD. 证明:A、K、L、E四点共圆. 【答案】证明见解析【解析】令AB=1，BC=CD=t(>0)，由条件知DE=t2. 如图，注意到∠BKE<∠ABK=∠PDE<180°－∠DEK，可在CB的延长线上取一点A'，使得. 此时有△A'BK∽△A'KE，故. 又KC平分∠BKE，故. 于是有. 由上式两端减1，得，从而A′=A.因此. 同理可得∠ALE=∠EDL. 而∠ABK=∠EDL，所以∠AKE=∠ALE. 因此A、K、L、E四点共圆. 5．【2018高中数学联赛A卷（第02试）】如图，△ABC为锐角三角形，AB<AC，M为BC边的中点，点D和E分别为△ABC的外接圆弧BAC和弧BC的中点，F为△ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NB⊥AB. 证明:若BN=EM，则DF⊥FG. 【答案】证明见解析【解析】由条件知，DE为△ABC外接圆的直径，DE⊥BC于M，AE⊥AD. 记I为△ABC的内心，则I在AE上，IF⊥AB. 由NB⊥AB可知 ① 又根据内心的性质，有，从而BE=EI. 结合BN=EM及①知，△NBE≌△MEI. 于是∠EMI=∠BNE=90°+∠BFE=180°－∠EF1，故E、F、I、M四点共圆. 进而可知∠AFM=90°+∠IFM=90°+∠IEM=∠AGM，从而A、F、G、M四点共圆. 再由∠DAG=∠DMG=90°知，A，G，M，D四点共圆，所以A、F、G、M、D五点共圆.从而∠DFG=∠DAG=90°，即DF⊥FG. 6．【2018高中数学联赛B卷（第02试）】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，边AC上一点D及BC延长线上一点E满足，以AB为直径的圆与线段DE交于一点F. 证明:B、C、F、D四点共圆. 【答案】证明见解析【解析】如图，取BC中点H，则由AB=AC知AH⊥BC，故H在圆上. 延长FD至G，使得AG∥BC，结合已知条件得，，故，从而AGBH为矩形，AGHC为平行四边形. 由AGBH为矩形知，G亦在圆上.故∠HGF=∠HBF. 又AGHC为平行四边形，由AC∥GH，得∠CDF=∠HGF. 所以∠CDF=∠HBF=∠CBF，故B、C、F、D四点共圆. 7．【2017高中数学联赛A卷（第02试）】如图，在△ABC中，AB=AC，I为△ABC的内心.以A为圆心，AB为半径作圆，以I为圆心，IB为半径作圆，过点B、I的圆与分别交于点P、Q(不同于点B).设IP与BQ交于点R. 证明:BR⊥CR. 【答案】证明见解析【解析】连结IB、IC、IQ、PB、PC，如图. 由于点Q在圆上，故IB=IQ，所以∠IBQ=∠IQB. 又B、I、P、Q四点共圆，所以∠IQB=∠IPB，于是∠IBQ=∠IPB，故△IBP∽△IRB，从而有∠IRB=∠IBP，且. 注意到AB=AC，且I为△ABC的内心，故IB=IC，所以，于是△ICP∽△IRC，故∠IRC=∠ICP. 又点P在圆的弧BC上，故∠BPC=180°∠A，因此，故BR⊥CR. 8．【2017高中数学联赛B卷（第02试）】如图，点D是锐角△ABC的外接圆上弧BC的中点，直线DA与圆ω过点B、C的切线分别相交于点P、Q，BQ与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T.求证:AT平分线段XY. 【答案】证明见解析【解析】首先证明YX∥BC，即证.连结BD、CD，如图.因为，所以 ① 由题设，BP、CQ是圆ω的切线，所以∠ACQ=∠ABC，∠ACB=∠ABP，又∠CAQ=∠DBC=∠DCB=∠BAP(注意D是弧BC的中点)，于是由①知 ② 因为∠CAQ=∠BAP，所以∠BAQ=∠CAP，于是 ③ 而由②、③、④得，即，又，故. 设边BC的中点为M，因为，所以由塞瓦定理知，AM、BX、CY三线共点交点即为T，故由YX∥BC可得，AT平分线段XY. 9．【2016高中数学联赛（第02试）】如图所示，在△ABC中，X、Y是直线BC上两点(X，B，C，Y顺次排列)，使得. 设△ACX、△ABY的外心分别为，直线与AB、AC分别交于点U、V. 证明:△AUV是等腰三角形. 【答案】证明见解析【解析】如图，作∠BAC的内角平分线交BC于点P.设三角形ACX和ABY的外接圆分别为和.由内角平分线的性质知，由条件可得. 从而，即. 故P对圆和的幂相等，所以P在和的根轴上. 于是，这表明点U、V关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形. 10．【2015高中数学联赛（第02试）】如图，△ABC内接于圆O，P为弧BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分∠ABC.过K，P，C三点的圆与边AC交于点D，联结BD交圆厂于点E，联结PE并延长与边AB交于点F.证明：∠ABC=2∠FCB. 【答案】证明见解析【解析】证法一如图，设CF交圆于点X，分别延长CF，PF交圆O于点Y，J联结AY，KX，EX，PC.由两圆相交的性质可知，则，，，则，得，同理，由平行线分线段成比例定理可得，从而得，又因为，所以B，K，X三点共线.根据A，B，P，C四点共圆及L，K，P，C四点共圆，得. 又由BK平分∠ABC知，从而. 证法二如图，记CF交圆于H.由得. 由得. 于是. 又，，又，结合，，，得，又，从而. 则，即. 从而B，K，H三点共线. 根据A，B，P，C四点共圆及H，K，P，C四点共圆，得. 又由BK平分∠ABC知. 从而. 证法三如图，联结FK并延长交圆于点S，联结BS，BP，SC，PC.因为，即，所以F，B，S，C四点共圆. 又因为，所以. 从而可得，即. 又，则，即. 可得，则，又，则，从而. 11．【2014高中数学联赛（第02试）】如图，在锐角△ABC中，∠BAC≠60°，过点B，C分别作△ABC的外接圆的切线BD，CE，且满足BD=CE=BC.直线DE与AB，AC的延长线分别交于点F，G设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N证明：AM=AN. 【答案】证明见解析【解析】证法一如图，设两条切线BD，CE交于点K，则BK=CK，结合BD=CE可知DE∥BC，作∠BAC的平分线AL交BC于点L，联结LM，LN. 由DE∥BC知，. 故△ABC与△DFB相似. 由此并结合DE∥BC，BD=BC及内角平分线定理可得. 因此，同理. 由此推出 . 再结合BC∥FG以及内角平分线定理得到，即，故由得到△ALM与△ALN全等，因而AM=AN，证毕. 证法二由于BD和EC都是ω的切线，故，再由可得四边形BCED是等腰梯形，从而，由于，，故，设△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，三条边长分别为，由有，可得. 由可得，故由可得 ① 在△ABM中，由余弦定理得 ② 用同样方法计算CN和AN2时，只需在上述BM与AM2的表达式①与②中将b，c交换.而由式②可见AM2的表达式关于b，c对称，因此，即. 结论获证. 12．【2013高中数学联赛（第02试）】如图，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，E，F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.联结PE，PF并延长，与圆分别相交于点C，D.求证. 【答案】证明见解析【解析】联结AD，BC，CF，DE.由于，从而 ① 同样 ② 另一方面，由于，. 故将式①与②相乘可得，即 ③ 由托勒密定理 ④ 故由式③与④得，即. 13．【2012高中数学联赛（第02试）】在锐角△ABC中，AB>AC，M，N是BC边上不同的两点，使得∠BAM=∠CAN.设△ABC和△AMN的外心分别为O1，O2，求证：O1，O2，A三点共线. 【答案】证明见解析【解析】如图，联结AO1，AO2，过点A作AO1的垂线AP交BC的延长线于点P，则AP是圆O1的切线.因此. 因为，所以，因而AP是△AMN的外接圆O2的切线，故. 所以三点共线. 14．【2011高中数学联赛（第02试）】如图，P，Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点若∠BPA=∠DPA，证明：∠AQB=∠CQB. 【答案】证明见解析【解析】如图，延长线段DP与圆交于另一点E，则，又P是线段AC的中点，故，从而，又，所以，于是，即，从而有，即，又，所以，所以，延长线段AQ与圆交于另一点F，则，故，又因为Q为BD的中点，所以，又，所以. 15．【2010高中数学联赛（第02试）】如图，锐角△ABC的外心为O，K是边BC上一点(不是边BC的中点)，D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆. 【答案】证明见解析【解析】用反证法.若A，B，D，C四点不共圆，设△ABC的外接圆与AD交于点E，联结BE并延长交直线AN于点Q，联结CE并延长交直线AM于点P，联结PQ. 因为PK2=P的幂(关于圆O)+K的幂(关于圆O)，同理，所以，故，由题设，所以，于是 ① 由梅涅劳斯(Menelaus)定理，得 ② ③ 由式①，②，③可得，所以，故，于是，所以，故. 即K为BC的中点，矛盾. 从而A，B，D，C四点共圆. 注1“PK2=P的幂(关于圆O)+K的幂(关于圆O)”的证明：延长PK至点F，使得 ④ 则P，E，F，A四点共圆，故，从而E，C，F，K四点共圆，于是 ⑤ ⑤－④，得=P的幂(关于圆O)+K的幂(关于圆O). 注2若点E在线段AD的延长线上，完全类似. 16．【2009高中数学联赛（第02试）】如图，M，N分别为锐角△ABC(∠A<∠B)的外接圆上弧BC，AC的中点.过点C作PC∥MN交圆于点P，I为△ABC的内心，联结PI并延长交圆于T. (1)求证：； (2)在弧AB(不含点C)上任取一点Q(Q≠A，T，B)，记△AQC，△QCB的内心分别为，求证：Q，I1，I2，T四点共圆. 【答案】证明见解析【解析】(1)联结NI，MI.由于，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形. 因此，联结AM，CI，则AM与CI交于I. 因为，所以，同理，于是，故四边形MPNI为平行四边形. 因此S△PMT=S△PNT(同底，等高). 又P，N，T，M四点共圆，故，由三角形面积公式，于是. (2)如图，因为，所以，同理，由得，由情形(1)所证，故，又因，有，故，从而，因此四点共圆. 17．【2008高中数学联赛（第02试）】如图，给定凸四边形ABCD，∠B+∠D<180°，P是平面上的动点，令， (1)求证：当f(P)达到最小值时，P，A，B，C四点共圆； (2)设E是△ABC外接圆O的弧AB上一点，满足：，又已知DA，DC是圆O的切线，，求f(P)的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】证法一(1)如图，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有，因此. 因为上面的不等式当且仅当P，A，B，C顺次共圆时取等号，因此当且仅当P在△ABC的外接圆且在弧AC上时，又因为，此不等式当且仅当B，P，D共线且P在BD上时取等号.因此当且仅当P为△ABC的外接圆与BD的交点时f(P)取最小值，故当f(P)达到最小值时，P，A，B，C四点共圆. (2)记∠ECB=a，则∠ECA=2a，由正弦定理知，从而，即，所以，整理得. 解得或(舍去)，故，由已知有，即，整理得，故，可得，从而. 所以，△ADC为等腰直角三角形. 因为，则，又因为△ABC也是等腰直角三角形，故，，则，故. 证法二(1)如图，联结BD交△ABC的外接圆O于点P0(因为D在圆O外，故P0在BD上). 过A，C，D分别作的垂线，两两相交得，易知P0在△ACD内，从而在内，记△ABC的三内角分别为x，y，z，则，又因为，得，同理有，所以，设，则对平面上任意点M，有，从而，由点M的任意性，知点P0是使f(P)达到最小值的点.由点P0在圆O上，故P0，A，B，C四点共圆. (2)由情形(1)知，f(P)的最小值，记，则，由正弦定理得，从而，即，所以，整理得，解得或(舍去)，故，由已知有，即，整理得，故，可得，所以， △ABC为等腰直角三角形，，因为，点B1在圆O上，，所以为矩形，，故，所以. 18．【2007高中数学联赛（第02试）】如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F.O1，O2分别是△BDF，△CDE的外心求证：O1，O2，E，F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心. 【答案】证明见解析【解析】联结. 因为，故B，D，P，F四点共圆，且BP为该圆的直径.又因为O1是△BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中点. 同理可证，C，D，P，E四点共圆，且O2是CP的中点. 综合以上知，所以. 因为，所以B，C，E，F四点共圆. 充分性. 设P是△ABC的垂心，由于，所以B，O1，P，E四点共线，C，O2，P，F四点共线，且，故O1，O2，E，F四点共圆必要性.设O1，O2，E，F四点共圆，故，注意到，又因为O2是直角△CEP的斜边中点，也就是△CEP的外心，所以，因为O1是直角△BFP的斜边中点，也就是△BFP的外心，从而，因为B，C，E，F四点共圆，所以，，于是，由得，即，又因为，故，设B'是点B关于直线AD的对称点，对B'在线段DC上且, 联结AB′，PB'.由对称性，有，从而，所以A，P，B′，C四点共圆.由此可知. 因为，故，故直线BP和AC垂直. 由题设P在边BC的高AD上，所以P是∠ABC的垂心. 19．【2005高中数学联赛（第02试）】如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线L.又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E，F. 证明：直线DE，DF分别通过△ABC的内心与一个旁心.(注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心). 【答案】证明见解析【解析】(1)先证DE过△ABC的内心. 如图，联结DE，DC，作∠BAC的平分线，分别交DE于I，DC于G，联结IC，则由得，. 又D，C，E在圆A上，所以. 从而A，I，C，E四点共圆，所以，而，于是. 所以，.故I为△ABC的内心. (2)再证DF过△ABC的一个旁心联结FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，联结，由情形(1)知，为内心，所以. 于是，四点共圆. 因为. 所以共线. 因此，是△ABC的BC边外的旁心. 20．【2004高中数学联赛（第02试）】在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB，AC于F，G两点.FG与AH相交于点K.已知BC=25，BD=20，BE=7.求AK的长. 【答案】【解析】由题设知，所以，则 ① 由于，所以. 由式①有，所以，所以点D是Rt△AEC的斜边AC的中点，因此，联结DF，因为点F在以DE为直径的圆上，所以，所以，因为G，F，E，D四点共圆，D，E，B，C四点共圆. 所以，所以. 延长AH交BC于P，有 ② 因为H是△ABC的垂心，所以，又因为，所以，所以由式②有. 21．【2003高中数学联赛（第02试）】过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B，所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC. 求证：∠DBQ=∠PAC. 【答案】证明见解析【解析】如图，联结AB，在△ADQ和△ABC中，故，有，即，又由割线关系知，故，同理，由得，又，故. 即. 在圆内接四边形ACBD中，由托勒密定理，得，所以，故，即. 在△CBQ和△ABD中，，，于是，故，即，因为，所以P，A，Q，B四点共圆. 从而，又，，所以. 22．【2003高中数学联赛（第02试）】设三角形的三边长分别是整数l，m，n，且l>m>n，已知，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数.求这种三角形的周长的最小值. 【答案】3003 【解析】由题设可知，于是，，，由于，所以由上式可知. 现在设u是满足的最小正整数，则对任意满足的正整数v，我们有，即u整除v. 事实上，若u\|v，则由带余除法可知，存在非负整数a及b，使得，其中. 从而可推出. 而这显然与u的定义矛盾，所以u\|v. 注意到，，，，从而可设，其中k为正整数. 同理可由前式推出，故. 现在我们求满足的正整数k. 因为，所以，即，或，即有，并代入该式得，即有，即，其中s为正整数，故，s为正整数. 同理可证，r为正整数. 由于，所以，有这样一来，三角形的三个边为500r+n，500s+n和n. 由于两边之差小于第三边，故，因此，当时，三角形的周长最小，其值为. 23．【2003高中数学联赛（第02试）】由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中，，，.已知任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段.证明：必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形) 【答案】证明见解析【解析】设这n个点的集合为全集，记Ai的所有邻点(与Ai有连线段的点)的集合为中的点的个数记为，显然且. 若存在bi=n－1时，只需取 . 则必存在四边形，因此下面只讨论bi<n－1(i=0，1，2，…，n－1)的情况. 不妨设，用反证法，若图中不存在四边形，则当i≠j时，Bi与Bj无公共点对，即. 因此，故中的点对的个数中的点对的个数. (当bi=1或2时，令) . 故 ① 但 ② 及 ② 由式②与③及皆是正整数，得. 而这与所得的式①相矛盾，故原命题成立. 24．【2002高中数学联赛（第02试）】如图，在△ABC中，∠A=60°，AB>AC，点O是外心.两条高BE，CF交于点H.点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BM=CN.求的值. 【答案】【解析】如图，在BE上取BK=CH，联结OB，OC，OK. 由三角形外心的性质，知，由三角形垂心的性质，知，所以，所以B，C，H，O四点共圆. 所以. 又，所以，因为，，所以，，观察△OKH，有，则，又因为，所以，所以，故. 25．【2001高中数学联赛（第02试）】如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N. 求证：(1)OB⊥DF，OC⊥OE；(2)OH⊥MN. 【答案】证明见解析【解析】解法一(1)因为A，C，D，F四点共圆，所以，又，所以. (2)因为，所以 ① 因为，所以 ② 因为，所以 ③ 因为，所以 ④ 因为，所以 ⑤ ①－②+③+④－⑤，得，. 所以. 解法二以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则，所以直线AC的方程为，直线BE的方程为，由得点E坐标为，同理可得，直线AC的垂直平分线方程为，直线BC的垂直平分线方程为，由得，，，因为，所以，同理可证，在直线BE的方程中，令x=0得，所以，直线DF的方程为，由得，同理可得，所以，因为，所以. 优质模拟题强化训练 1．如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点点P在△ABC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP、△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明：若DE=MP，则BC=2BP. 【答案】证明见解析【解析】如图，延长PM到点F，使得MF=ME.连结BF、BD、CE. 由条件可知∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠CEP=∠CEM. 因为BM=CM且EM=FM，所以BF=CE且BF∥CE. 于是∠F=∠CEM=∠BDP，进而BD=BF. 又DE=MP，故DP=EM=FM. 于是在等腰△BDF中，由对称性得BP=BM.从而BC=2B=2BP. 2．如图所示，D是△ABC中，边BC的中点，K为AC与△ABD的外接圆O的交点，EK平行于AB且与圆O交于E，若AD=DE，求证：. 【答案】证明见解析【解析】如图所示，连结DK并延长，与BA的延长线交于点P，连结AE，由AD=DE，得. 由EK∥AB，得∠EKD=∠BPD，又，所以∠BPD=∠AKP，故AK=AP. 作PH∥AC，并使PH=PB，连结HK、BK、BH、DH，在△PBK与△PHK中，. 由PH∥AC可得，所以△PBk≌△PHK，故BK=HK. 又由PB=PH，得PD是线段BH的垂直平分线，即有PD⊥BH，. 由D是BC的中点，得DC=BD=DH，所以BH⊥HC，故DK∥HC. 再由PH∥KC，得四边形PKCH为平行四边形，所以，即AB+AK=KC. 3．如图所示，BE、CF分别是锐角三角形△ABC的两条高，以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N，以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q四点共圆. 【答案】见解析【解析】如图，设△ABC的垂心为H，则 ① 同理有， ② 因B、C、E、F四点共圆，知 ③ 故由①、②、③式得. 所以M、N、P、Q四点共圆. 4．如图，AB、PA、PBC分别为⊙O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交⊙O于另一点G、交PA于点K. 证明：（1）K是PA的中点；（2）.. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1)在△APC中，由塞瓦定理，知.……① ∵A是BD的中点，PA是⊙O的切线， ∴∠PAB=∠ADB=∠ABD. ∴EB∥AP，. ………………………………………② 由①、②，得AK=KP.K是PA的中点. 另解：∴A是BD的中点，PA是⊙O的切线， ∴∠PAB=∠ADB=∠ABD，EB∥AP. 如图，过点F作MN∥AP，交AE于点M，交PB于点N.则，.…………① 且EB∥AP∥MN，.…………② ∴由①、②，得. ∴FM=FN. 又由MN∥AP，得， ∴AK=KP，K是PA的中点. （2）由（1）及切线长定理，得.因此，. 又∠PKG=∠CKP， ∴△PKG∽△CKP. ∠APG=∠KPG=∠KCP=∠GCB=∠BAG. 又∠PAG=∠ABG， ∴△GPA∽△GAB，. . 5．如图，设△ABC的外接圆为，的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若△ADM的外接圆分别于AB、AC交于P、Q，N为PQ的中点，证明：. 【答案】见解析【解析】如图. 设AB=c，BC=a，AC=b. 由. 类似地，. 于是，. 联结BP、CQ，并设X、Y分别为其中点. 则. 类似地，. 故四边形NYMX为平行四边形. 由，知四边形NYMX为菱形. 从而，MN平分∠XNY. 又AD平分∠BAC，因此，AD∥MN. 6．如图，、与交于点，与的另一个交点为，经过点的一条直线分别与、交于点、，的延长线与交于点，作与交于点，再作、分别与、切于点、.证明：. 【答案】见解析【解析】联结，与、、分别交于点、、. 由相交弦定理及切割线定理得，. 两式相加得. 又故 . 7．如图，在锐角中，、是边上的点，、、的外心分别为、、．证明：（1）∽；（2）若，则．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）如图，连结、．因为、分别为、的外心，所以为线段的垂直平分线．所以，．故∽．（2）如图，连结、、、、．延长与相交于点．由、、分别为、、的外心，知、、分别是线段、、的垂直平分线．所以．又，．所以、、、四点共圆，．又，，所以，．所以、、、四点共圆，．设、的延长线分别与、相交于、，则．故、、、四点共圆．又，所以．故． 8．如图，的内切圆与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，直线AI、BI与分别交于点.过点作边AB的平行线分别与交于点，联结，过点F作的一条垂线与交于点，过点F作的一条垂线与交于点.设直线与直线交于点C’，类似地，得到点A’、B’.证明：的外接圆半径是半径的2倍. 【答案】见解析【解析】先证明一个引理. 引理如图，过外一点A作的一条切线AT，T为切点，再过A作一条直线与交于B、C两点（AB＜AC），过点C作AT的平行线与交于点D，过T作DT的一条垂线与DB交于点E.则∠BAT=∠EAT. 证明设TO与的另一个交点为T’，联结T’B并延长，与AT交于点S，联结TB、TC. 则∠ABS=∠T’BC=∠DBT’=∠DTT’=90°-∠DTA=∠ATE. 又∠TDE=∠TDB=∠TT’B=∠BTS，∠DTE=∠TBS=90°. 故. 又因此，. 又∠ABS=∠DBT’=∠ATE，则 . 回到原题. 由引理知，，. 为的中垂线. 由 I’、F、C’三点共线，且F为C’I的中点（r为半径）. 类似地，IA’=2r，IB’=2r. 故I为的外心，且的外接圆半径为半径的2倍. 9．如图，与的半径相等，交于X、Y两点. 内接于，且其垂心H在上，点Z使得四边形CXZY为平行四边形.证明：AB、XY、HZ三线共点. 【答案】见解析【解析】如图，设、的半径为R，XY的中点为M. 则点Z与C关于M对称，点与关于M对称. 因此，点Z在上. 记的外接圆为，其半径为. 则. 接下来证明：Z为与的交点（异于H）. 由、、的半径均为R，知四边形、四边形均为菱形. 记AB中点为N，则N也为的中点. 注意到，H与分别为的垂心与外心. 故，即. 因为，. 所以， . 又H为、的一个交点，则Z为两圆另一交点. 于是，AB、XY、HZ恰为、、两两的公共弦. 由根轴定理知AB、XY、HZ三线共点. 10．如图，切AB、AC于点B、C，过C的割线CD//AB交于点D，E是AB延长线上一点，直线CE分别交BD和于点F、G.延长BG与CD的延长线相交于点P.求证：A、F、P三点共线. 【答案】见解析【解析】如图，连结AF、FP、BC.由弦切角性质，有. 则△ABC与△BCD均为等腰三角形且相似.因此可得. 于是有. ① 又由，，可知.则有. 从而由可得，于是. ② 由①与②可得. 故. ③ 由CP//AE可知，从而. 联合③式，易知. ④ 由CP//AE可得，从而由④式可知，. 故A、F、P三点共线. 11．如图，在△ABC中，AB>AC，圆是△ABC的外接圆，圆过点B且与AC切于点A，圆过点C且与AB切于点A，圆与圆交于A、D两点，射线BD与圆交于点E，射线CD与圆交于点F(点E、F均不与D重合)，直线BF与CE交于点P。证明：∠BAP=∠CAD。【答案】见解析【解析】由A、D、C、E四点共圆及弦切角定理得∠CEB=∠CAD=∠ABD. 于是，AB//PC. 同理，AC//PB. 从而，四边形ABPC为平行四边形. 记AP与BC交于点M.则线段AP与BC互相平分于点M. 如图，延长AD，与圆交于点Q，联结BQ、CQ. 故∠DBQ=∠CBD+∠CBQ =∠CBD+∠CAD=∠CBD+∠ABD =∠ABC=∠DQC. 类似地，∠DCQ=∠DQB. 故由弦切定理得∠BAD=∠ACD，∠ABD=∠CAD. 则. ② 由式①、②，知AD=DQ，即D为AQ的中点. 由前述证明可知∠DBQ=∠ABC. 又∠DQB=∠ABC，得 . 易知∠ACM=∠AQB，于是，. 12．如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD．分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：. 【答案】见解析【解析】如图，连结PA、PB，分别取PA、PB的中点E、F，连结EM、ED、FM、FC，则四边形PEMF为平行四边形，从而∠PEM=∠PFM. 由，，MD=MC，所以，即∠DEM=∠MFC，所以 ∠PED=∠DEM-∠PEM=∠ MFC-∠PFM=∠PFM. 又∠PED=2∠PAD, ∠PFC=2∠PBC,得∠PAD=∠PBC. 由于∠PQA=∠PDA=90°，∠POB=∠PCB=90°，则P、Q、A、D和P、Q、B、C分别四点共圆. 故∠PQD=∠PAD, ∠PQC=∠PBC,所以∠PQC=∠PQD. 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，M为边AC的中点，AT⊥AC，TM的延长线与BC交于点D，联结TB．证明:∠ABT＝∠CAD．【答案】见解析【解析】如图，过点T作直线TE∥AC，与直线BC交于点E. 由M为AC的中点，知TA、TM、TC、TE为调和线束. 设TA的延长线与直线BC交于点F，则F、D、C、E为调和点列. 设P为点D在直线AT上的投影，则点F、P、A、T为调和点列. 又∠ABC=90º，则∠PBA=∠ABT. 注意到，A、P、B、D四点共圆. 于是，∠PBA=∠PDA. 又由PD∥AC，∠ABT=∠CAD 14．如图，已知、交于、两点，、分别在、上，且与相切，与相切，的延长线与的外接圆交于点．证明：（1）；（2）．【答案】见解析【解析】如图，连接、、，延长至．因为、分别为、的切线，所以，，∽． ① 由、、、四点共圆得．又，则∽． ② 由式①、②得．由∽∽，得．又，则∽．同理，由∽．故． 15．如图，为的一条切线，满足，与的半径交于点，力线段上一点，作与交于点.证明：当且仅当与相切时，. 【答案】见解析【解析】如图，设与交于点. 由，知.① 对和割线，由梅涅劳斯定理知.② 得. 故. 设过点的切线与交于点. 由射影定理知 . 又四点共圆. 故点与重合为的切线. 16．如图，设L、M、N分别为的∠BAC、∠ CBA、∠ ACB内的点，且∠BAL=∠ ACL，∠ LBA=∠ LAC，∠ CBM=∠ BAM，∠ MCB=∠ MBA，∠ ACN=∠ CBN，∠ NAC=∠ NCB．证明：（1） AL、BM、CN三线交于一点P；（2）L、M、N、P四点共圆. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）如图，设AL与BC交于点D，BM与CA交于点E，CN与AB交于点F. 由∠BAL=∠ACL，∠ABL=∠CAL，得. 由∠BLD=∠BAL+∠LBA=∠ACL+∠LAC=∠DLC 即LD平分∠BLC，得. 类似地，，. 故. 由塞瓦定理，知AD、BE、CF三线共点，即AL、BM、CN三线共点，记交点为P. （2）如图，记的外心为O.注意到，∠BAC=∠ACL，∠LBA=∠LAC 则. 于是，B、O、L、C四点共圆，即点O在的外接圆上. 因为AD平分∠BLC，所以，直线AD与BC的垂直平分线的交点为的外接圆的弧（不含点L）的中点K. 故OK为外接圆的直径，，即∠OLP=90°. 类似地，∠OMP=90°，∠ONP=90°. 因此，点L、M、N均在以OP为直径的圆上，L、M、N、P四点共圆. 17．如图，△ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F，AD与BE交于点P，设点P关于直线EF、FD、DE的对称点分别X、Y、Z.证明：AX、BY、CZ三线共点. 【答案】见解析【解析】设直线AX与EF的交点为M，直线BY与FD的交点为N，直线CZ与DE的交点为L，直线PA与EF的交点为R，直线PB与FD的交点为S，直线PC与DE的交点为T. 由直线束EA、EF、EB、ED为调和线束，知A、R、P、D成调和点列，且EF为∠AXP的平分线.故DM⊥EF. 类似地，EN⊥FD，FL⊥DE. 因此，DM、EN、FL三线共点于△DEF的垂心. 于是，. 又由正弦定理知. 类似地，. 则. 由角元塞瓦定理的逆定理得AX、BY、CZ三线共点. 18．如图，已知△ABC内切圆分别与边AB、BC、AC切于点F、D、Q，直线AD、CF分别与交于另一点H、K,证明：. 【答案】见解析【解析】先证明一个引理. 引理如图3，AB、AC与圆分别切于点B、C，割线AP与圆交于点P、Q且点P在A、Q之间.则PQ·BC=2BP·QC=2BQ·PC. 证明由托勒密定理知PQ·BC=BP·QC+BQ·PC. 由AB为圆的切线知△ABP∽△AQB 同理，故( . 回到原题. 由托勒密定理知 KF·HD=DF·HK+FH·DK. 则. 因为CQ、CD均为的切线，所以，由引理知KF·DQ=2DK·FQ，HD·FQ=2FH·DQ. 将以上两式相乘得 KF·HD·DQ·FQ=4DK·FH·DQ·FQ . 19．如图，在中，AB＞AC，H为的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足∠BHM=∠CHS，点A在直线HS上的投影为P.证明：的外接圆与的外接圆相切. 【答案】见解析【解析】如图，联结AH并延长，与的外接圆交于点D 作，与的外接圆交于点E. 易知，点D、H关于直线BC对称. 故∠HCB=∠BCD=∠CBE. 则. 因此，AE为外接圆的直径. 又由CH=CD=EB，结合知四边形CHBE为平行四边形. 于是，EH过点M. 设B’、C’为点B、C在边AC、AB上的投影. 延长EH，与的外接圆交于点Q. 由∠AQH=∠AQE=90°=∠APH，得A、Q、B’、H、C’、P六点共圆，且该圆以AH为直径. 由由结合，有. 则. 从而，Q、S、D三点共线. 由得P、Q、S、M四点共圆，设此圆为圆T. 过点O作外接圆的切线. 由，知TQ也为圆T的切线. 故的外接圆与的外接圆相切. 20．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点N，AC的中点为M.若，证明：. 【答案】见解析【解析】设，则由再由托勒密定理得又，则再由相交弦定理得于是，而故高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/平面几何A辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题05三角函数与解三角形A辑历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a，b，c使得af(x)+bf(x－c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( ) A． B． C． D． 3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定 4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC内接于单位圆，三个内角A，B，C的平分线延长后分别交此圆于A1，B1，C1.则的值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 5．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x的方程有重根，则θ的弧度数为( ) A． B．或 C．或 D． 6．【2003高中数学联赛（第01试）】若，则的最大值是( ) A． B． C． D． 7．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数，，，中以为周期，在上单调递增的偶函数是( ) A． B． C． D． 8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是( ) A． B． C．k≥12 D．0<k≤12或k=8 9．【2000高中数学联赛（第01试）】设，且，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A(1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么，△ABC是( ). A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定 11．【1997高中数学联赛（第01试）】设，，，，则( ) A． B． C． D． 12．【1996高中数学联赛（第01试）】设，以下三个数：，，的大小关系是( ) A． B． C． D． 13．【1995高中数学联赛（第01试）】的大小关系是( ) A． B． C． D． 14．【1994高中数学联赛（第01试）】设a，b，c是实数.那么对任何实数x，不等式都成立的充要条件是( ) A．a，b同时为0，且c>0 B． C． D． 15．【1994高中数学联赛（第01试）】已知0<b<1，，则下列三数：，的大小关系是( ) A． B． C． D． 16．【1993高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，若c－a等于AC边上的高h，则的值是( ) A．1 B． C． D． 17．【1992高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且都是方程的根，则△ABC( ). A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形 18．【1990高中数学联赛（第01试）】设，则，的大小顺序是( ) A． B． C． D． 19．【1989高中数学联赛（第01试）】若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．【1989高中数学联赛（第01试）】函数的值域是( ). A． B． C． D． 21．【1987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A． B．14 C． D．12 22．【1987高中数学联赛（第01试）】如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，∠ABC=2a(0<a<).现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点A所走路程的总长度为( ) A． B． C． D． 23．【1986高中数学联赛（第01试）】设－1<a<0，，那么不等式sinx<a的解集为( ) A． B． C． D． 24．【1985高中数学联赛（第01试）】已知方程，则( ) A． B． C． D．这样的x不存在 25．【1984高中数学联赛（第01试）】若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是( ) A．以角速度在单位圆上顺时针运动 B．以角速度在单位圆上逆时针运动 C．以角速度在单位圆上顺时针运动 D．以角速度在单位圆上逆时针运动 26．【1983高中数学联赛（第01试）】已知等腰△ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么sinA和cosA中( ) A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数 C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定 27．【1983高中数学联赛（第01试）】任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与r，那么( ) A． B． C． D．A，B，C三种关系都不对 28．【1982高中数学联赛（第01试）】对任何都有( ) A． B． C． D． 29．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等. 条件乙:两个三角形全等( ) A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 30．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:.条件乙: A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 31．【1981高中数学联赛（第01试）】设 A．T取负值 B．T取非负值 C．T取正值 D．T取值可正可负优质模拟题强化训练 1．的三边长分别为，，．若，则，，中小于0的个数为（　　）． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（）. A． B． C． D． 3．设的最小正周期为6，则的值是（）. A．0 B．1 C． D． 4．函数的最大值为（）. A． B．1 C． D． 5．设曲线的一条对称轴为。则曲线的一个对称点为（）。 A． B． C． D． 6．已知.则对任意，必有（） A． B． C． D．的值不确定 7．已知为锐角三角形，，， .则（）. A． B． C． D．以上三种情况均有可能 8．的最大值为（）． A． B．1 C． D． 9．函数的值域为（）（表示不超过实数的最大整数）. A． B． C． D． 10．在锐角中，令.则（）. A． B． C． D． 11．已知两个不等的锐角、，满足，，其中，，且、.则的值是（）. A． B．0 C．1 D．不存在 12．设，且满足.那么，的值是（）. A． B． C． D． 13．锐角的三边长和面积满足，且既不是的最大内角，也不是最小内角.则实数的取值范围是（）. A． B． C． D． 14．在中，，，则的取值范围是（）. A． B． C． D． 15．已知的三边长满足,且.则的最大内角的度数是( ). A．150° B．120° C．90° D．60° 16．已知，，，。则（）。 A． B． C． D． 17．已知锐角，给出下列判断： ①长为的三线段一定可构成一个三角形； ②长为的三线段一定可构成一个三角形； ③长为的三线段一定可构成一个三角形； ④长为的三线段一定可构成一个三角形. 其中，正确判断有（）个. A．4 B．3 C．2 D．1 18．已知、、，，，则（） A． B． C． D． 19．已知、、是三个不相等的锐角.若，则等于（）. A． B． C． D． 20．下面给出4个题题：（1）在中，恒为正值；（2）在中，恒为正值；（3）在中，恒为正值；（4）在非直角中，恒为正值。其中，正确的命题有（） A．4 B．3 C．2 D．1 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/三角函数与解三角形A辑(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题01集合历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】设A=[－2，4)，B={x\|x2－ax－4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为有两个实根，故等价于x1≥－2且x2<4，即且，解之得，故选D． 2．【2007高中数学联赛（第01试）】已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集.若n∈A时，总有2n+2∈B，则集合AUB的元素个数最多为( ) A．62 B．66 C．68 D．74 【答案】B 【解析】先证，只需证，为此只需证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得，证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合： {1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个； {2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个； {25}，{27}，{29}，…，{49}共13个； {26}，{34}，{42}，{46}共4个由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得，如取，，则A，B满足题设且. 故选B. 3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知集合A={x\|5x－a≤0}，B={x\|6x－b>0}，a，b∈N，且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为( ) A.20 B.25 C.30 D.42 【答案】C 【解析】由得，由得，要使，则，即. 所以数对(a，b)共有个. 故选C. 4．【2005高中数学联赛（第01试）】记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得， M'中的最大数为，在十进制数中，从2400起，从大到小顺序排列的第2005个数是，而，将此数除以74，便得M中的数是. 故选：C. 5．【2004高中数学联赛（第01试）】已知，N={(x，y)\|y=mx+b}.若对所有m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】由相当于点(0，b)在椭圆上或它的内部. 所以，所以. 故选A. 6．【2002高中数学联赛（第01试）】知两个实数集合与，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】不妨设，将A中元素按顺序分为非空的50组. 定义映射f：A→B，使第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1，2，…，50). 易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与A按号码顺序分为50组的分法数相等. 而对A的分割等价于从A中前99个元素选择49个元素依次作为前49组的最后元素得到的分割(这样保证了每组非空且与前者一一对应)，故A的分法数为，则这样的映射共有，故选D. 7．【2001高中数学联赛（第01试）】已知a为给定的实数，那么集合M={x\|x2－3x－a2+2=0，x∈R}的子集的个数为( ) A．1 B．2 C．4 D．不确定【答案】C 【解析】 M表示方程在实数范围内的解集. 由于，所以M含有2个元素.故集合M有22=4个子集. 8．【2000高中数学联赛（第01试）】设全集是实数，若，，则是( ) A． B． C． D．【答案】D 【解析】由得x=2，注意到A中只有一个元素，于是将x=2代入B，方程成立，故. (注：这样思考，即使B更复杂一些，计算起来都很简单) 9．【1998高中数学联赛（第01试）】若非空集合A={x\|2a+1≤x≤3a－5}，B={x\|3≤x≤22}，则能使成立的所有a的集合是( ) A． B． C． D．【答案】B 【解析】由题意得，所以，解得. 10．【1993高中数学联赛（第01试）】集合A，B的并集，当A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数有 A．8 B．9 C．26 D．27 【答案】D 【解析】已知，则作为其子集的A，B最多只有3个元素. (1)若，则满足题意的B可以是空集，或是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集合，这样的B有个，这时(A，B)有对. (2)若A为二元素的集合，则有种，其对应的B的23个，这时(A，B)有对. (3)若A为单元素的集合，则有种，其对应的B有2个，这时(A，B)有对. (4)若A是空集，则有种，其对应的B有一个.这时(A，B)有对. 所以这样的(A，B)共有个，因此答案是D．. 11．【1991高中数学联赛（第01试）】设S={(x，y)\|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)\|，x，y∈R}.则( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】当y2=x2+奇数时，易见成立. 故当时，它必属于T，于是S⊆T，又满足x=y的点但不属于S.故S⊆T 12．【1990高中数学联赛（第01试）】点集中元素的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．多于2 【答案】B 【解析】由得. 由均值不等式，当且仅当，上式等号成立，解方程得. 故点集中有唯一点为. 13．【1989高中数学联赛（第01试）】若，，则M∩N中元素的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】M中的点在曲线上， N中的点在曲线上，曲线M和N的普通方程是，. 于是曲线M和N的交点在横坐标满足，即，显见. 14．【1989高中数学联赛（第01试）】集合，，的关系为( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】对N中任一元素u，有. 从而. 另一方面，对M中任一元素u，有. 从而. 故. 15．【1982高中数学联赛（第01试）】如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等，那么( ) A．F∈{四边形} B．F∈{五边形} C．F∈{四边形}∪{五边形} D．F∈{边相等的多边形}{内角相等的多边形} 【答案】C 【解析】由正五边形所有的对角线都相等，可见选项A不正确.任作两条等长的相交线段AC和BD，这样所得的四边形ABCD对角线相等，可见选项B．不正确.其实，选项A与选项B都是选项C的真子集，可不必考虑，因若选项A或选项B成立，则选项C必成立.显然，联结两条等长且相交的线段端点所得的四边形未必边相等或内角相等，又得到选项D不正确 16．【1982高中数学联赛（第01试）】设，.那么( ) A． B． C． D．. 【答案】B 【解析】由 ① 即.所以，因此 ② 如果式②成立，当x>0，y<0时，有，可知式①成立；当x<0，y>0时，有，可知式①不成立所以. 而. 所以，因此. 17．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合,A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为 . 【答案】190 【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的的取法共有种,所以这样的集合A的个数为190. 18．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 . 【答案】【解析】假如x≥0，则最大、最小元素之差不超过max{3，x}，而所有元素之和大于max{3，x}，不符合条件.故x<0，即x为最小元素.于是3－x=6+x，解得. 19．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为 . 【答案】【解析】条件等价于1，2，3，x中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0，从而1+2+x=0，得x=－3. 20．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设集合A={1，2，3，…，99}，，则B∩C的元素个数为 . 【答案】24 【解析】由条件知，，故B∩C的元素个数为24. 21．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设集合A={2，0，1，8}，B={2a\|a∈A}则A∪B的所有元素之和是 . 【答案】31 【解析】易知B={4，0，2，16}，故A∪B={0，1，2，4，8，16}. A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31. 22．【2014高中数学联赛（第01试）】设集合中的最大元素与最小元素分别为M，m，则的值为 . 【答案】【解析】由知，当a=1，b=2时，得最大元素M=5，又，当时，得最小元素. 因此. 23．【2013高中数学联赛（第01试）】设集合A={2，0，1，3}，集合B={x\|－x∈A，2－x2∈A}.则集合B中所有元素的和为 . 【答案】【解析】易知，当x=－2，－3时，2－x2=－2，－7，有；而当x=0，－1时，2－x2=2，1，有2－x2∈A. 因此，根据集合B的定义可知. 所以，集合B中所有元素的和为－5. 24．【2011高中数学联赛（第01试）】设集合，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={－1，3，5，8}，则集合A= . 【答案】{－3，0，2，6} 【解析】显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了三次，所以，故. 于是集合A的四个元素分别为，，，. 因此，集合A={－3，0，2，6}. 25．【2003高中数学联赛（第01试）】已知{A=x\|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x\|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}.若，则实数a的取值范围是 . 【答案】【解析】易得A=(1，3)，设，，要使，只需f(x)，g(x)在(1，3)上的图像均在x轴下方其充要条件是：同时有. 由此推出. 26．【1996高中数学联赛（第01试）】集合的真子集的个数是 . 【答案】【解析】首先考察该集合元素的个数.对x∈N，有，所以，则，因此. 于是集合大小是90，于是真子集个数是. 27．【1995高中数学联赛（第01试）】设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x∉A，则A中元素的个数最多是 . 【答案】1870 【解析】用表示集合A所含元素的个数. 由题设，k与15k(k=9，10，…，133)这两个数中至少有一个不属于A，所以至少有125(125=133－9+1)个数不属于A，即. 另一方面，可取， A满足题设条件，此时. 所以的最大值就是1870. 引申对于这种集合问题，一般的解决办法就是作出若干个数对，每个数对里至多有一个数包含在集合里.比如，如果题目条件说集合里任两个数之差不为a，则可将两个差为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之和不为a，则可将两个和为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之积不为a，则可将两个积为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里.总之，掌握这种原则之后，将不难解决这种问题. 28．【1991高中数学联赛（第01试）】将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有2n－1个奇数进行分组：{1}(第一组)，{3，5，7}(第二组)，{9，11，13，15，17}(第三组)，…则1991位于第组中. 【答案】32 【解析】因为，故第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1，可见有不等式. 由前一不等式，故需，由后一不等式，需满足，，故. 29．【1991高中数学联赛（第01试）】设集合M={1，2，…，1000}，现对M的任一非空子集X，令ax表示X中最大数与最小数之和，那么，所有这样的ax的算术平均值为 . 【答案】1001 【解析】将M中非空子集进行配对，对每个非空集，令，则当X1也是M的一非空子集，且X'≠X时，有. 于是所有非空子集分成两类：(1)X'≠X；. 对于情形(2)中的X，必有ax=1001. 对于情形(1)中的一对X与X'，有. 由此可见，所有ax的算术平均值为1001. 优质模拟题强化训练 1．已知.则使成立的充要条件是（）. A．. B．. C．. D．. 【答案】A 【解析】由得,所以圆在抛物线内部或上，所以，选A. 2．已知集合，A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A共有（）个. A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】注意到，元素和为8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6个. 选C. 3．已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为（） A．1 B．2 C．4 D．不确定【答案】C 【解析】由方程的根的判别式，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有个子集.选C. 4．集合A={2,0,1,3}，集合B={x\|-x∈A,2-x2∉A}，则集合B中所有元素的和为（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】由题意可得B={-2，-3}，则集合B中所有元素的和为-5. 故选：B. 5．已知集合，则集合，且关于的方程有实根}的元素个数为( )． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】由题意得元素个数为,选D. 6．集合的真子集个数为（） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【解析】，所以0<x≤4，因为x∈Z,所以A={1,2,3,4},所以集合A的真子集个数为. 故答案为：C 7．如果集合，，C是A的子集，且，则这样的子集C有（）个. A．256 B．959 C．960 D．961 【答案】C 【解析】满足的子集C有个，所以满足的子集C有个. 故答案为：C 8．设，若，则实数的取值范围为（）. A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为开口向上，且，故解得. 故答案为D 9．设集合，则集合为( )． A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为所以由绝对值的几何意义得-6≤x≤-3. 则. 故.选D. 10．已知集合，则的关系是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】易由周期性知. 11．在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________. 【答案】39200 【解析】易知的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为，即将单位圆均匀分成100段小弧. 首先选取任意一点A为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B和顶点C，设AB弧有x段小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，则△ABC为锐角三角形的等价条件为： ① 计算方程组①的整数解个数，记，，，，则 . 由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为. 故答案为：39200． 12．已知集合A={k+1，k+2，…，k+n}，k、n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A=________. 【答案】{334，335，336，337，338，339} 【解析】由已知. 当n=2m时，得到；当n=2m+1时，得到. 所以n的最大值为6，此时集合. 故答案为：． 13．已知yz≠0，且集合{2x，3z，xy}也可以表示为{y，2x2，3xz}，则x=____________. 【答案】1 【解析】易知xyz≠0，由两集合各元素之积得. 经验证，x=1符合题意. 故答案为：1． 14．已知实数，且，，.若，则的取值范围是______________。【答案】【解析】由题意知. 要使，只需集合中的最大元素在集合中. 故. 15．称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为____________ . 【答案】256 【解析】全集{1，2，3，…，9}中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能. 所以，奇子集共有：个. 故答案为：256． 16．已知集合U={1，2，3，4，5}，，从集合I中任取两个不同的元素A､B，则A∩B中恰有3个元素的概率为____________ . 【答案】【解析】当A∩B确定后，如A∩B={3，4，5}时，设A=A'∪{3，4，5}，B=B′∪{3，4，5}，A′∩B=∅，那么{A'，B'}的情况有：{∅，{1}}，{∅，{2}}，{∅，{1，2}}，{{1}，{2}}，共4种情形. 所以所求的概率为. 故答案为：． 17．已知，集合，则集合A中所有元素的和为____________ . 【答案】4 【解析】将方程f(f(x)=0化为f(x2-2x)=0，即，所以. 解得. 所以，A中所有元素的和为4. 故答案为：4． 18．将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ . 【答案】16815 【解析】所求的和为. 故答案为：16815． 19．已知其中a<b，如果A∪B=R，那么a－b的最小值是_______ . 【答案】【解析】由已知得，故b－a≤1，于是. 故答案为：． 20．设A为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合B={x+y\|x，y∈A，x≠y}，若，则集合A=_______ . 【答案】【解析】设，其中0<a<b<c.则ab=6，ac=10，bc=15. 解得a=2，b=3，c=5，从而. 故答案为：．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/集合(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题30图论与对策历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】给定凸20边形P.用P的17条在内部不相交的对角线将P分割成18个三角形,所得图形称为P的一个三角剖分图.对P的任意一个三角剖分图T,P的20条边以及添加的17条对角线均称为T的边.T的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T的一个完美匹配.当T取遍P的所有三角剖分图时,求T的完美匹配个数的最大值. 2．【2019高中数学联赛B卷（第02试）】将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条.证明:可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同或者颜色互不相同. 3．【2017高中数学联赛A卷（第02试）】将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”试求分隔边条数的最小值. 4．【2016高中数学联赛（第02试）】给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值. 5．【2011高中数学联赛（第02试）】设A是一个3×9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个m×n(1≤m≤3，1≤n≤9)方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数.称A中的一个1×1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值. 6．【2010高中数学联赛（第02试）】一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置? 7．【2009高中数学联赛（第02试）】在非负数构成的3×9数表中每行的数互不相同，前六列中每列的三个数之和为1，，均大于1.如果P的前三列构成的数表满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列均存在某个i∈{1，2，3}使得 ① 求证： (i)最小值一定取自数表S的不同列. (ii)存在数表P中唯一的一列使得3×3数表仍然具有性质(O). 8．【2007高中数学联赛（第02试）】如图，在7×8的长方形棋盘的2个小方格的中心点各放1个棋子.如果2个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这2个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有5个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由. 9．【2002高中数学联赛（第02试）】在世界杯足球赛前，F国教练为了考察，这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况. 10．【2001高中数学联赛（第02试）】将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩行的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值. 11．【2000高中数学联赛（第02试）】有n个人，已知他们中的任意两个人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的总次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值. 12．【1999高中数学联赛（第02试）】给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，ng的所有物品. (1)求k的最小值f(n)； (2)当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论. 13．【1997高中数学联赛（第02试）】在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为x(i=1，2，…，100；j=1，2，…，25)(表1).然后将表1没列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为(表2). 求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足，则当i≥k时，在表2中就能保证成立. 表1 表2 14．【1996高中数学联赛（第02试）】有n(n≥6)个人聚会，已知： (1)每人至少同其中个人互相认识； (2)对于其中任意个人，或者其中有2个人相识，或者余下的人中有2个人相识. 证明：这n个人中必有3个人两两相识. 15．【1995高中数学联赛（第02试）】将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色.证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色. 16．【1994高中数学联赛（第02试）】给定平面上的点集中任三点均不共线，将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相联结，不在同一组的两点不联结线段，这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为. (1)求m(G)的最小值m0. (2)设G是使m(G)=m0的一个图案，若G中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色，证明存在一个染色方案，使G染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形. 17．【1990高中数学联赛（第02试）】某市有n所中学，第i所中学派出Ci名学生(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为.看台上每一横排有199个座位.要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下? 18．【1987高中数学联赛（第02试）】.n(n>3)名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同. 19．【1986高中数学联赛（第02试）】平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点称为整点.请设计一种方法将所有的整点染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得： (1)每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； (2)对任意白点A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得四边形ABCD为一个平行四边形. 证明你设计的方法符合上述要求. 20．【1985高中数学联赛（第02试）】某足球邀请赛有16个城市参加，每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛.比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其他各队已比赛过的场数各不相同.问A市乙队已赛过多少场?请证明你的结论. 21．【1981高中数学联赛（第02试）】组装甲、乙、丙三种产品，需用A，B，C三种零件.每件甲需用A，B各2个；每件乙需用B，C各1个；每件丙需用2个A和1个C.用库存的A，B，C三种零件，如组装成P件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完.试证:无论怎样改变甲、乙、丙的产品件数，也不能把库存的A，B，C三种零件都恰好用完. 优质模拟题强化训练 1．我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个洞(或数字)，其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面骰，只能产生六个数之一(正上面).现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产生0~9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由. 2．在的方格表中取出46个方格染成红色.证明：存在一块由4个方格构成的区域，其中由至少3个方格被染成红色. 3．用电阻值分别为、、、、、的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论. 4．设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集. 5．设n为正整数，称n×n的方格表Tn的网格线的交点(共(n+1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n+1)2分配给Tn的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称Tn的一个1×1格子S为“好方格”，如果从2S的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T2的格点的一种方式，其中B、C是好方格，而A、D不是好方格)设Tn中好方格个数的最大值为f(n). （1）求f(2)的值；（2）求f(n)关于正整数n的表达式. 6．设是一个由和构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，为、、，、、、、中的最大值. （1）对如下数表，求的值；（2）设数表，求的最小值；（3）已知为正整数，对于所有的，，且的任意两行中最多有列各数之和为，求的值. 7．求正整数n的最大值，使得对任意一个以为顶点的n阶简单图，总能找到集合的n个子集，满足：当且仅当与相邻. 8．已知有n(n≥4)支足球队参加单循环赛，每两队赛一场，每场胜方得3分，负方得0分，平局各得1分，所有比赛结束后发现，各队的总分构成公差为1的等差数列，求最后一名得分的最大值。 9．一次循环赛中有2n+1支参赛队，其中每队与其他队均只进行一场比赛，且比赛结果中没有平局。若三支参赛队A、B、C满足：A击败B，B击败C，C击败A，则称它们形成一个“环形三元组”。求：（1）环形三元组的最小可能数目；（2）环形三元组的最大可能数目。 10．（1）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这四个数是互不相同的完全平方数；（2）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这六个数是互不相同的完全平方数；（3）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这八个数是互不相同的完全平方数. 11．某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（编号依次为l，2，…，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第1站（对应2014年）.为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠，出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠一次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点.试求不同的停靠方式的种数. 12．设，为三维空间中个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上，将集合中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合中所有的点均在一个球面上， 13．在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 14．某国有53座城市，任意两座城市之间要么有一条双向公路直达，要么没有直接相连的公路。已知这53座城市之间共有312条公路，并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市。每一座城市至多向其余12座城市引出公路，且每走一条公路需要缴纳10元路费。现甲在城市A，且身上仅有120元。甲是否一定能到达任意一座城市？证明你的结论。 15．平面上有任意三点不共线的12个点，以其中任意一点为始点，另一点为终点作向量，且作出所有这样的向量.若三边向量和为零向量，则称该三角形为“零三角形”，求以这12个点为顶点的零三角形个数的最大值. 16．在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为．（1）分别求、、的值；（2）求的表达式． 17．出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题：（1）求线段上一点到点的“距离”；（2）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程，并求该“圆”围成的图形的面积；（3）若点到点的“距离”和点到点的“距离”相等，其中实数满足，求所有满足条件的点的轨迹的长之和. 18．设（n = 1，2，3，…，2000）为一族抛物线，分别过每条抛物线的焦点作倾斜角为45°的直线，并截该抛物线得弦（n = 1，2，3，…，2000），将各弦绕其对应准线旋转90°得到2000个旋转面.试求所有这些旋转面面积之和. 19．在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分别为，首先，A以B为中心跳到其对称点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，……依此类推。设A、B、C第n次跳到的位置分别为，的三边长分别为a、b、c，面积为S。证明: 20．在一次数学竞赛中，某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X，对集合X的子集Y，若可以将这些人两两分组，且每组中两名选手均是朋友关系，则称子集Y“可两两分组”.已知集合X不可两两分组，且对于任意选手，若A、B不是朋友关系，则可两两分组，且X中没有一个人与其他所有人均为朋友关系证明:对任意选手，若a、b为朋友关系，b、c为朋友关系，则a、c也为朋友关系高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/图论与对策(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题11数列C辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设数列的通项公式为,.证明:存在无穷多个正整数m,使得是完全平方数. 【答案】证明见解析【解析】记,则, 于是. 所以.又注意到. 有 , , 由此易知,数列的每一项都是正整数. 由计算易得, 故. ，所以,对任意正整数n,都是完全平方数.于是对于正奇数m, 均为完全平方数. 2．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知实数列满足:对任意正整数n，有，其中Sn表示数列的前n项和证明: (1)对任意正整数n，有； (2)对任意正整数n，有. 【答案】证明见解析【解析】(1)约定S0=0.由条件知，对任意正整数n，有，从而，即(当n=0时亦成立). 显然，. (2)仅需考虑同号的情况.不失一般性，可设均为正(否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件)，则，故必有，此时，从而. 3．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知数列.求满足的最小正整数n. 【答案】12 【解析】由可知. 因此，故. 显然{an}单调递增. 由于，故满足题目条件的n的最小值是12. 4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{an}是等差数列，数列bn}满足. (1)证明:数列{bn}也是等差数列； (2)设数列的公差均是d≠0，并且存在正整数s、t，使得是整数，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】(1)设等差数列{an}的公差是d，则 . 所以数列{bn}也是等差数列. (2)由已知条件及(1)的结果知3d2=d.因为d≠0，故. 这样. 若正整数s、t满足，则. 记，则l∈Z，且是一个非零的整数，故，从而. 又当时，有. 综上所述，的最小值为. 5．【2015高中数学联赛（第01试）】设是4个有理数，使得成立.求的值. 【答案】【解析】由条件可知，是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，a1，a2，a3，a4的绝对值互不相等，不妨设，则中最小的与次小的两个数分别是及，最大与次大的两个数分别是及，从而必须有，于是. 故结合a1∈Q，只可能. 由此易知或者. 经检验知这两组解均满足问题的条件. 故. 6．【2014高中数学联赛（第01试）】数列{an}满足，求正整数m，使得. 【答案】3333 【解析】由已知条件可知，对任意正整数n，an+1∈，且 ① 由于，故，由式①得，故，即，因此 (利用式①) ，由得m=3333. 7．【2012高中数学联赛（第01试）】已知数列{an}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有， (1)当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列； (2)是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】(1)当n=1时，由a1≠0，得a1=1. 当n=2时，由a2≠0，得a2=2或a2=－1. 当n=3时，若a2=2，得a3=3或a3=－2；若a2=－1，得. 综上，满足条件的三项数列有3个：1，2，3或1，2，－2或1，－1，1. (2)令，则，从而，两式相减，结合，得. 当n=1时，由情形(1)知a1=1；当n≥2时，，即，所以或. 又，所以存在如下形式满足条件. 8．【2011高中数学联赛（第01试）】已知数列满足：a1=2t－3(t∈R且t≠±1)，. (1)求数列的通项公式； (2)若t>0，试比较与的大小. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1)由原式变形得，则，记，则，. 又，. 从而有，故，于是有. (2)由题意知，显然在t>0(t≠1)时恒有，故. 9．【2010高中数学联赛（第01试）】证明：方程2x3+5x－2=0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得. 【答案】证明见解析【解析】令，则，所以f(x)是严格递增的. 又，故f(x)有唯一实数根. 所以，，故是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列和，满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，，所有的与都是不同的. 不妨设，则，矛盾. 故满足题设的数列是唯一的. 10．【2009高中数学联赛（第01试）】已知p，q(q≠0)是实数，方程x2－px+q=0有两个实根，数列{an}满足，，. (1)求数列{an}的通项公式(用表示)； (2)若，求{an}的前n项和. 【答案】(1)；(2) . 【解析】解法一(1)由韦达定理知，又，所以，整理得，令，则，所以{bn}是公比为的等比数列，数列{bn}的首项为，所以，即，所以，当时，，，，变为，整理得，所以，数列构成公差为1的等差数列，其首项为，所以于是数列{an}的通项公式为，当时，，，整理得，所以，数列构成公比为的等比数列，其首项为，所以，于是数列{an}的通项公式为. (2)若，则，此时，由情形(1)的结果得，数列{an}的通项公式为，所以，{an}的前n项和为，，以上两式相减，整理得，所以. 解法二(1)由韦达定理知，又，所以，特征方程的两个根为. 当时，通项，由得，解得，故，当时，通项，由得，解得，故. (2)同解法一. 11．【2007高中数学联赛（第01试）】设，求证：当正整数n≥2时，. 【答案】证明见解析【解析】由于，因此，于是，对任意的正整数n≥2，有，即. 12．【2006高中数学联赛（第01试）】将2006表示成5个正整数之和.记.问： (1)当取何值时，S取到最大值? (2)进一步地，对任意1≤i，j≤5有，当取何值时，S取到最小值?说明理由. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】(1)首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值. 若，且使取到最大值，则必有 ① 事实上，假设式①不成立，不妨假设，则令，，有，，将S改写成，同时有，于是有，这与S在时取得最大值矛盾. 所以必有，因此当取到最大值. (2)当且时，只有： (1)； (2)； (3). 三种情形满足要求. 而后面两种情形是在第一组情形下作调整下得到的. 根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大. 所以在情形取到最小值. 13．【2005高中数学联赛（第01试）】数列{an}满足：，n∈N.证明： (1)对任意n∈N，an为正整数； (2)对任意n∈N，为完全平方数. 【答案】证明见解析【解析】(1)由题设得，且{an}严格单调递增. 将条件式变形得，两边平方整理得 ① 所以①－②得. 因为，所以，故 ③ 由式③及可知，对任意n∈N，an为正整数. (2)将式①两边配方，得，所以 ④ 由式③得，所以. 因此，为整数，所以是完全平方数. 14．【2002高中数学联赛（第01试）】如图，有一列曲线，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0，1，2).记Sn为曲线所围成图形的面积. (1)求数列{Sn}的通项公式； (2)求. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)对P0进行操作，容易看出P0的每条边变成P1的4条边，故P1的边数为3×4；同样，对P1进行操作，P1的每条边变成P2的4条边，故P2的边数为3×42，从而不难得到Pn的边数为3×4n. 已知P0的面积为S0=1，比较P1与P0.容易看出P1在P0的每条边上增加一个小的等边三角形其面积为，而P0有3条边，故，再比较P2与P1，可知P2在P1的每条边上增加了一个小的等边三角形，其面积为，而P1有3×4条边，故，类似地有，于是有 ① 下面利用数学归纳法证明式① 当n=1时，由上面已知，式①成立. 假设n=k时，有，当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk，Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小的等边三角形，其面积为，而Pk有条边，故. 综上，由数学归纳法，式①得证. (2). 15．【2001高中数学联赛（第01试）】{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且，，，又，试求{an}的首项与公差. 【答案】答案见解析【解析】这是一个有关等差、等比数列的基本问题，数列{an}与{bn}的前三项满足，由此可确定数列{an}的首项ai与公差d的关系. 由便可求出a1和d的值. 设{an}的公差为d，由，得d>0，由得，所以.(舍去，否则). 或，所以，即. 解得，若，则，不符合要求. 若，则，由得，即，解得，由及知，所以. 16．【2001高中数学联赛（第01试）】用电阻值分别为的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论. 【答案】答案见解析【解析】设6个电阻的组件的总电阻为RFG.当，是的任意排列时，最小. 用逐步调整法证明如下： (1)当并联时，所得组件阻值R满足，若交换不变，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取. (2)设三个电阻的组件(如图所示)的总电阻为，则，显然，越大，则越小，所以为使最小，必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个. (3)设四个电阻的组件(如图所示)的总电阻为，则，记，则为定值. 于是，显然，当最小，且最大时，最小. 故应取才能使总电阻的阻值最小. (4)回到图1，把由组成的组件用等效电阻RAB代替. 要使RFG最小，由情形(3)知，必须使，且由情形(1)知，应使最小. 由情形(2)知，要使最小，必须使，且应使最小. 而由情形(3)知，要使最小，应使，且. 综上所述，按照图1选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小. 17．【1999高中数学联赛（第01试）】给定正整数n和正数M，对于满足条件M的所有等差数列，试求的最大值. 【答案】【解析】设公差为，则，故，则，因此，且当时， . 又因为此时，有，所以，S的最大值为. 18．【1993高中数学联赛（第01试）】设正数列满足，且，求的通项公式. 【答案】【解析】将变为，两边除以得 ① 于是 . 错位相减可得：. 于是，所以. 则. 19．【1992高中数学联赛（第01试）】设n为自然数，，令. (1)求证：. (2)用数学归纳法证明： . 【答案】证明见解析【解析】(1)由得. (2)直接计算得，. 因此，命题对于n=1，2时成立设命题对n≤m(m≥2，m为自然数)已成立，今证对于n=m+1也成立，分两种情况： (i)当m+1为奇数时，由归纳假设知，对n=m及n=m－1有 ② ③ 用y乘式②减去式③得到 . 因为，所以. 根据式①，故命题对n=m+1(m+1为奇数)成立. (ii)当m+1为偶数时，由归纳假设知，对n=m及n=m－1，有 ② ③ 用y乘式②减去式③，如同上述m+1为奇数时一样进行合并，并注意到最后的常数项为. 于是得到. 根据情形(i)的结论，故命题对n=m+1(m+1为偶数)成立，综合上述，可知对一切自然数n，命题成立. 20．【1990高中数学联赛（第01试）】n2(n≥4)个正数排成n行n列：，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知，，求. 【答案】【解析】设第一行数列公差为d，各列数列公比为q，则第四行数列公差是dq3，于是可得方程组，解此方程组，得. 由于n2个数都是正的，故. 而对于任意1≤k≤n，有，故. 又因为，相减后即得. 所以. 21．【1989高中数学联赛（第01试）】已知是n个正数，满足.求证：. 【答案】证明见解析【解析】解法一利用不等式(a，b，c为正数)，有，则. 解法二令，则由可知. 考虑函数. 由可知f(x)是凸函数，由延森(Jensen)不等式得，此即.证毕. 22．【1989高中数学联赛（第01试）】已知对任意的n∈N，有an>0，且.求证：an=n. 【答案】证明见解析【解析】用数学归纳法证明 (1)当n=1时，结论显然成立； (2)假设命题在n≤k时成立，即当i=1，2，…，k时，则ai=i. 下面考虑当n=k+1时的情形：, 于是，因为，所以. 进而，解得或(不符合题意). 故命题在n=k+1时成立. 优质模拟题强化训练 1．设.求证：（1）；（2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由已知可得. （2）由已知条件有. 当n=1时，，不等式成立. 当n≥2时，由（1）的结论可得 . 综上所述，不等式成立. 2．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且. （1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：. 【答案】（1）an=n；（2）证明见解析【解析】（1）由得到. 因为，所以，即. 两式相减，得，进而. 因为，所以. 又由已知，所以，对任意n∈N+，有，即{an}是等差数列，故an=n. （2）由an=n，对原式变形有： . 原式得证. 3．已知数列中，n=1,2,3,…. （1）求的通项公式；（2）若数列中，，n=1,2,3,…证明：. 【答案】（1）.（2）证明见解析【解析】（1）由题设：， . 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故有，即an的通项公式为. （2）用数学归纳法证明 ①当n=1时，因为，所以，结论成立 ②假设当n=k时，结论成立，即，也即. 当n=k+1时， . 又，所以 . 也就是说，当n=k+1时，结论成立. 根据①和②知. 4．已知数列{an}满足. （1）记，求数列{cn}的通项公式；（2）记，求使成立的最大正整数n的值.(其中，符号[x]表示不超过x的最大整数) 【答案】（1）.（2）【解析】（1）由，得，代入条件递推式，得. 整理，得，即. 所以，数列是以为首项，公比为3的等比数列. 所以. （2）由（1）知，， . 因为n≥2时，， . 所以n≥2时，. 又n=1时，，所以[b1]=1；n≥2时，[bn]=2(n-1)，所以n≥2时， . 由n2-n+1≤2019，及n∈N+，得n≤45. 所以使成立的最大正整数n的值为45. 5．设正整数均不大于21，且每两个数的和不等于21.试求出所有满足条件的数组的积的和. 【答案】【解析】考查下列10个集合：{1，20}，{2，19}，……，{10，11}. 分两种情况讨论：（1）如果任意均不等于21，则每个集合中必有一个中的数，于是所求的总和为. （2）如果其中某一个等于21，则需要在9个集合{i，21－i}中各选一个数.假设不在{1，20}中选数，此时所求总和为. 类似讨论其他9个集合. 由（1）（2）知所求的总和为. 6．数列{an}满足. （1）证明：数列{an}是正整数数列；（2）是否存在m∈Z+，使得2109\|am，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）不存在；详见解析【解析】（1）由已知得a3=15，，所以. 相减得. 所以为常数数列. 所以. 所以，又因为，所以. 又因为an>0，所以. （2）因为2109=3×19×37，假设有，则. 解法一：由，得. 所以，所以. 解法二：因为，所以，由费马小定理得1≡－1(mod19)，矛盾. 所以不存在，使得，得证. 7．设数列的前n项和为，点在的图像上. （1）求数列的通项公式；（2）求，且对任意的正整数n，均有.证明：对任意，总有. 【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）易知. 当时，. 又. （2）又注意到，. 当时， . . 又，从而，原式得证. 8．数列满足，，设、都是正整数，且. 求的所有可能值. 【答案】【解析】由题设知. 故数列是等比数列. 设. 则数列的公比是. 所以，. 因为是正整数，所以，. 令. 则. 所以，，即. 故. 于是，. 9．设，. （1）求证：；（2）求和：. 其中，表示不超过实数的最大整数. 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）对整数，有. ① 下面证明：. 当时，. 当时，若，则. 故. 综上，. （2）由（1）及题设可知，当时， . 所以，，. 当时， . 注意到，当时，. 故 10．设，，数列满足，求数列的前n项和. 【答案】【解析】由及，可得. 当n≥2时，由已知条件有 ①式两边同时乘以2，可得 ③ 由②③可求得，. 于是，.令，则有. 因此，. 11．已知正数数列满足对于任意的正整数n，有。证明：（1）对于任意的正整数n(n≥2)有；（2）从某一个正整数n开始均有。【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由正数数列知. （2）显然，数列均严格递增，从而，每-项均大于1. 则. 当n≥3时，有. 对于任意正整数k有 ① ② 取. 则当，时，. 再由式①②知当时，，同理，当. 取.则当时，有. 故原命题成立. 12．定义数列，，，对任意的，.证明：为整数数列. 【答案】见解析【解析】注意到，，. 令，则，，. 故 . 令，则. 从而，. 故 . 又为整数，于是为整数数列. 13．已知正整数n都可以唯一表示为 ①的形式，其中m为非负整数，（，），.试求①中的数列严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和. 【答案】【解析】设A和B分别表示①中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号S（M）表示数集M中所有数的和，并将满足①式的正整数记为. 把集合A分成如下两个不交子集和. 我们有. 对任意，令，则是到的双射. 由此得，从而. 又对任意，令，则g是B到的双射，其中. 因为所以B中共有个元素，因此 . 又令表示A中最高位数的正整数全体，A中其余的数和零所构成的集合记为，则. 对任意，令则是B到的双射，其中. 所以 . 最后对任意，令. 则是到B的双射，其中. 所以 . 于是，解之得，. 由于A和B中都含有1，2，…，8，因此所求正整数的和等于. 14．已知数列的前项和满足，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值．【答案】（1）（2）50 【解析】（1）由，得．将上述两式相减，得．所以． ① 所以． ② ①－②，得，所以．故数列为等差数列．又由，及，得，的公差．所以．（2）由（1）知，．所以．所以．由，得．所以，，．所以使成立的最小正整数的值为50． 15．已知数列满足：，若对任意正整数，都有，求实数的最大值. 【答案】的最大值为2．【解析】因为，故．若，注意到时，．因此，存在充分大的，使得，即，矛盾！所以，．又当时，可证：对任意的正整数，都有．当，结论成立．假设（）时，结论成立，即，则，即结论对也成立．由数学归纳法知，对任意的正整数，都有．综上可知，所求实数的最大值为2． 16．在数列中，、是给定的非零整数，．（1）若，，求；（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数项．【答案】（1）1（2）见解析【解析】（1）因，，，，，，，，，，…．所以自第20项起，每三个相邻的项周期的取值为1，1，0．又，故．（2）首先证明：数列必在有限项后出现“0”项．假设中没有“0”项，由于，所以当时，都有．若，则．若，则．即要么比至少小1，要么比至少小1，令，，2，3，…，则．由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，故中必有“0”项．若第一次出现的“0”项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期的取值0、、，即，，，，1，2，… 所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列． 17．设等比数列的前项和为，且（）．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由两式相减得，所以（）．因为等比，且，所以，所以．故．（2）由题设得，所以，所以，则，所以． 18．数列为等差数列，且满足，数列满足，的前n项和记为.问：当n为何值时，取得最大值，说明理由. 【答案】16 【解析】因为，所以.解得. 所以d＜0，. 故是首项为正数的递减数列. 由，即，解得. 即，，所以，所以，而，. 故，，，，又所以中最大，即n=16时，取得最大值. 19．将正整数数列1，2，3，…中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列.证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{bn}中的两个相邻项的和. 【答案】见解析【解析】易知. 因此，对任意的，，. 在将{an}中的项及删去之后，所得到的数列{bn}的通项为：. 即数列{bn}的项为：3，6，11，14，19，22，27，30，35，38，43，…. 观察易知，. 若记，我们来证明，一般地有：. 由于，，，，所以，，，，，合并以上四式得，对于每个正整数k，，其中. 20．已知数列中，，且（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切，有【答案】（1）见解析. 【解析】（1）由已知，对有上式两边同除以n并整理得则即故因此，又当时也成立，故（2）当时，有所以，当时，有又当时，故对一切，有高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/数列C辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题28数列B辑历年联赛真题汇编 1．【2010高中数学联赛（第02试）】给定整数n>2，设正实数满足ak≤1，k=1，2，…，n，记，求证：. 2．【2008高中数学联赛（第02试）】设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0<T<1.证明： (1)若T为有理数，则存在素数p，使是f(x)的周期； (2)若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{an}满足，且每个an都是f(x)的周期. 3．【2008高中数学联赛（第02试）】设ak>0，k=1，2，…，2008.证明：当且仅当时，存在数列{xn}满足以下条件： (1)； (2)存在； (3)，. 4．【2006高中数学联赛（第02试）】已知无穷数列{an}满足. (1)对于怎样的实数x与y，总存在正整数n0，使当时，an恒为常数? (2)求通项an. 5．【2004高中数学联赛（第02试）】在平面直角坐标系xOy中，y轴的正半轴上的点列{An}与曲线上的点列{Bn}满足.直线在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N+. (1)证明. (2)证明存在，使得对，都有. 6．【2000高中数学联赛（第02试）】设数列{an}和{bn}满足，且，n=0，1，2，…，证明an(n=0，1，2，…)是完全平方数. 7．【1998高中数学联赛（第02试）】设有，求证，并问：等号成立的充要条件. 8．【1998高中数学联赛（第02试）】对于正整数a，n，定义，其中q，r为非负整数，a=qn+r，且0≤r<n.求最大的正整数A，使得存在正整数，对于任意的正整数a≤A，都有.证明你的结论. 9．【1996高中数学联赛（第02试）】设数列{an}的前n项和(n=1，2，…)，数列{bn}满足(k=1，2，…)，求数列{bn}的前n项和. 10．【1993高中数学联赛（第02试）】设A是一个含有n个元素的集合，A的m个子集两两互不包含试证： (1)； (2). 其中表示所含元素的个数，表示从n个不同元素中取个元素的组合数. 11．【1991高中数学联赛（第02试）】设S={1，2，…，n}，A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列.求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列). 12．【1988高中数学联赛（第02试）】已知a1=1，a2=2，.试证：对一切n∈N，an≠0，an不是4的倍数. 13．【1986高中数学联赛（第02试）】已知实数列满足(i=1，2，3，……)，求证：对于任何自然数n，P(x)=是x的一次多项式. 优质模拟题强化训练 1．已知数列的前项和为，且。（1）证明：，并求的通项公式；（2）构造数列求证：无论给定多么大的正整数，都必定存在一个，使. 2．已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于两点，为左准线上一点，直线的方向向量分别为. （1）求证：成等差数列；（2）能否成等比数列？试述理由. 3．已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项. （2）若，求数列的最大值项. （3）对于（2）中数列，是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由. 4．已知数列满足，.求证：（1）；（2）. 5．已知数列满足，。（1）求数列的通项；（2）求证：。 6．已知集合，，…，是集合的不同子集，满足下列条件：（i）且，；（ii）的充要条件是；请回答下列问题：（1）求；（2）求的最小值． 7．已知无穷正数数列满足：（1）存在，使得；（2）对任意正整数、，均有，求证：. 8．设是定义在定义域上的函数.若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数. （1）已知是上的函数，是给定的正整数.设，且，，记.对于满足条件的任意函数，试求的最大值. （2）若是定义域为的函数，且最小正周期为，证明：不是上的函数. 9．正整数数列满足：（1）求；（2）求最小的正整数，使得。 10．从1~2010中选出总和为1006779的1005个数，且这1005个数中任意两数之和都不等于2011. （1）证明: 为定值; （2）当取最小值时，求中所有小于1005的数之和。 11．设，其中，，正整数k具有如下的性质：存在正整数m，使都属于A，而m、都不属于A．求这样的正整数k的所有取值的集合． 12．设，，，其中，、、为给定的实数．（1）求的表达式．（2）问：当为何值时，极限存在？如果存在，请求出其值． 13．设数列满足，，试求． 14．已知数列，证明： 15．设数列的通项公式是（表示不超过实数的最大整数）. （1）证明：、、、、都是数列的项；（2）是否是数列的项，证明你的结论；（3）证明：有无穷多个2的正整数幂是数列的项. 16．已知是一个首项为9、公差为7的等差数列. （1）证明：数列中有无穷多项是完全平方数；（2）数列中第100个完全平方数是第几项？ 17．设数列问:（1）这个数列第2010项的值是多少？（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？ 18．设是给定的正实数，.对任意正实数，满足的三元数组的个数记为.证明：. 19．已知数列的通项为（），把此数列中所有3的倍数依次取出，构成一个新的数列，…．求数列的前项的和． 20．设，. 证明：（1）对所有的，；（2）当时，（即、互质）. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/数列B辑(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题10数列B辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在等比数列中,,则的值为 . 【答案】【解析】由等比数列的性质知,.所以. 2．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1=2019，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得.这样的数列{an}的个数为 . 【答案】5 【解析】设{an}的公差为d.由条件知(k是某个正整数)，则，即(k－2)d=a1，因此必有k≠2，且. 这样就有，而此时对任意正整数n，，确实为{an}中的一项. 因此，仅需考虑使成立的正整数k的个数.注意到2019为两个素数3与673之积，易知k－2可取－1，1，3，673，2019这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列. 3．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为 . 【答案】80 【解析】设，则有 ① ② 用t表示中值为2的项数.由②知，t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}. 因此的取法数为. 取定后，任意指定的值，有种方式. 最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列. 综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80. 4．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，=(3，1)是l的一个法向量.已知数列{an}满足:对任意正整数n，点均在l上.若a2=6，则的值为 . 【答案】【解析】易知直线l的方程是3x+y=0.因此对任意正整数n，有，即，故{an}是以为公比的等比数列于是. 由等比数列的性质可得. 5．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设两个严格递增的正整数数列满足:，对任意正整数n，有，则的所有可能值为 . 【答案】13、20 【解析】由条件可知:均为正整数，且. 由于，故b1∈{1，2，3}. 反复运用{an}的递推关系知，因此，而13×21=34×8+1，故有 ① 另一方面，注意到，有，故 ② 当b1=1时，①、②分别化为，无解当b1=2时，①、②分别化为，得到唯一的正整数a1=18，此时. 当b1=3时，①、②分别化为，得到唯一的正整数a1=10，此时. 综上所述，的所有可能值为13、20. 6．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在等比数列{an}中，，则的值为 . 【答案】【解析】数列{an}的公比为，故. 7．【2016高中数学联赛（第01试）】设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足，则这样的有序数组的个数为 . 【答案】40 【解析】由柯西不等式知，，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列. 于是问题等价于计算满足的等比数列的个数. 设等比数列的公比q≠1，且q为有理数.记，其中m、n为互素的正整数，且m≠n. 先考虑n>m的情况：此时，注意到m3与n3互素，故为正整数. 相应地，分别等于，，它们均为正整数. 这表明，对任意给定的，满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即. 由于53>100，故仅需考虑，这些情况，相应的等比数列的个数为 . 当n<m时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列，综上可知，共有40个满足条件的有序数组. 8．【2014高中数学联赛（第01试）】数列{an}满足a1=2，，则 . 【答案】【解析】由题设，记数列{an}的前n项和为Sn，则，所以，将上面两式相减，得，故. 9．【2013高中数学联赛（第01试）】已知数列{an}共有9项，其中，且对每个，均有，则这样的数列的个数为 . 【答案】491 【解析】令，则对每个符合条件的数列{an}，有， ① 反之，由符合条件①的8项数列{bn}可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{an}. 记符合条件①的数列{bn}的个数为N.显然bi(1≤i≤8)中有偶数个，即2k个；继而有2k个2，8－4k个1.当给定k时，{bn}的取法有种，易知k的可能值只有0，1，2，所以. 因此，根据对应原理，符合条件的数列{an}的个数为491. 10．【2011高中数学联赛（第01试）】已知，则数列中整数项的个数为 . 【答案】15 【解析】由题意知，要使an(1≤n≤95)为整数，必有均为整数，从而. 当n=2，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68，74，80时，和均为非负整数，所以an为整数，共有14个. 当n=86时，，在中，200!中因数2的个数为，同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以中因数2的个数为，故是整数. 当n=92时，在中，同样可求得92!中因数2的个数为88，108!中因数2的个数为105. 故中因数2的个数为，故不是整数. 因此，整数项的个数为14+1=15. 11．【2010高中数学联赛（第01试）】已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1=3，b1=1，，且存在常数使得对每一个正整数n都有，则 . 【答案】【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则 ① ② 式①代入式②得，求得，从而有对一切正整数n都成立，即对一切正整数n都成立. 从而，，求得，. 12．【2009高中数学联赛（第01试）】一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 (可以用指数表示) 【答案】【解析】易知： (1)该数表共有100行； (2)每一行构成一个等差数列，且公差依次为， (3)为所求. 设第n(n≥2)行的第一个数为an，则 . 故. 13．【2008高中数学联赛（第01试）】设数列{an}的前n项和Sn满足：，n=1，2，…，则通项an= . 【答案】【解析】因为，即，由此得，令，因此，，故，可得. 14．【2007高中数学联赛（第01试）】已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数.若，且是正整数，则q等于 . 【答案】【解析】因为，故由已知条件可知：1+q+q2为，其中m为正整数. 令，则，由于q是小于1的正有理数，所以，即且是某个有理数的平方，由此可知. 15．【2005高中数学联赛（第01试）】将关于x的多项式表示为关于y的多项式，其中y=x－4.则 . 【答案】【解析】由题设知，f(x)和式中的各项构成首项为1，公比为－x的等比数列，由等比数列的求和公式，得，令，得，取，有. 16．【2005高中数学联赛（第01试）】如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an=2005，则a5n= . 【答案】52000 【解析】因为方程的非负整数解的个数为，而使的整数解个数为. 现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为. 2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”，且，对于四位“吉祥数”，其个数为满足的非负整数解个数，即个. 因为2005是第个“吉祥数”，即. 从而，又，而，所以从大到小最后6个五位“吉祥数”依次是. 故第325个“吉祥数”是52000，即. 17．【2004高中数学联赛（第01试）】已知数列满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 . 【答案】【解析】设，则，即. 所以，，故数列是公比为2的等比数列. 因此，所以，则. 18．【2003高中数学联赛（第01试）】设Mn={(十进制)n位纯小数只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则 . 【答案】【解析】因为Mn中的小数的小数点后均有n位，而除最后一位上的数字必为1外，其余各位上的数字均有两种选择(0或1)方法，故，又因在这个数中，小数点后第n位上的数字全是1，而其余各位上数字是0或1，各有一半.故：，故. 19．【2000高中数学联赛（第01试）】设an是的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则 . 【答案】18 【解析】由题意，由二项式定理有，所以，所以 . 20．【2000高中数学联赛（第01试）】等比数列的公比是 . 【答案】【解析】由题意，不妨设公比为q，可知，又根据比例的性质，有 . 21．【1999高中数学联赛（第01试）】已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是 . 【答案】6 【解析】首项为a的连续k个正整数之和为，由可得，当k=60时，由可得，故Sk=1830，1890，1950；当k=61时，由可得a≤2，故Sk=1891，1952；当k=62时，由可得a≤1，故Sk=1953. 所以题中的n有6个. 22．【1998高中数学联赛（第01试）】各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有项. 【答案】8 【解析】设是公差为4的等差数列，则，等价于，等价于 ① 当且仅当时，至少不存在一个实数a1满足不等式①. 因为等价于，等价于 ② 其中，所以，满足不等式②的自然数n的最大值为8，即满足题设的数列至多有8项. 23．【1994高中数学联赛（第01试）】已知95个数，每个数都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小值是 . 【答案】13 【解析】记 ① 设中有m个+1，n个－1，则 ② 式①乘2，加上得. 又，所以. 使上式成立的最小自然数N=13，此时，即 ③ 联立式②与③可求出或. 据此可构造出N达到最小值的情况，故所求最小正值为13. 24．【1992高中数学联赛（第01试）】设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且成等差数列，则的值是 . 【答案】【解析】由题意得，由式②得，以此代入式①有，即，故. 25．【1992高中数学联赛（第01试）】设数列满足，且对任何自然数n，都有，又，则的值是 . 【答案】200 【解析】因为，又，所以. 又由条件得， . 将上述两式相减，得，即. 依已知条件，故. 从而. 26．【1988高中数学联赛（第01试）】(1)设x≠y，且两数列和，均为等差数列，那么 . (2)的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 . (3)在△ABC中，已知∠A=a，CD，BE分别是AB，AC上的高，则 . (4)甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 . 【答案】3432 【解析】(1)设两个数列的公差分别为d，d'，则，. 所以. (2)设，其中f(x)，g(x)是x的多项式，那么所求的是f(1). 而，所以. (3)因为，所以B，D，E，C共圆. ，，. 所以. (4)设甲队队员为，乙队队员为，下标表示事先安排好的出场顺序，比赛过程可表示为这14个字母互相穿插地依次排列，其前后顺序就是先后被淘汰的顺序，但最后一定是胜队中不被淘汰的队员和可能未曾参赛的队员，所以比赛过程表示为14个位置中任取7个位置安排甲队员(当然，其余位置安排乙队队员)，比赛过程的总数为. 优质模拟题强化训练 1．一个三角形的三条边成等比数列，那么，公比q 的取值范围是__________. 【答案】【解析】设三边按递增顺序排列为，其中. 则，即.解得. 由 q≥1 知 q 的取值范围是1≤q <. 设三边按递减顺序排列为，其中. 则，即. 解得. 综上所述， . 2．在数列{an}中，，设Sn为数列{an}的前n项和，则的值为____________ . 【答案】3 【解析】当n为偶数时，，故. 当n奇数时，，故. 故. 故答案为：3． 3．已知集合A={1，2，3，…，2019}，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为____________ . 【答案】2019 【解析】集合A的22019－1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2019，1×2，1×3…，2018×2019，…，1×2×…×2019，它们的倒数和为 . 故答案为：2019． 4．已知数列{an}满足：，其中[x]表示不超过实数x的最大整数.设C为实数，且对任意的正整数n，都有，则C的最小值是_____ . 【答案】【解析】记，则. 记，则，而，因此，对任意的正整数n，Tn∈Z. 又注意到，从而，于是. 因此，. 又注意到均为整数，故. 于是，且. 又，故. 显然an>0，于是，从而，故. 因此，，且. 所以，常数C的最小值为. 故答案为：． 5．等差数列{an}中，，记数列的前n项和为Sn，若对任意的n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为____________ . 【答案】5 【解析】由题意可得：，解得，，， ∴数列是递减数列，数列的最大项为，，又∵m是正整数，∴m的最小值为5. 故答案为：5. 6．公差为d，各项皆为正整数的等差数列，若a1=1919，am=1949，an=2019，则正整数m+n的最小值是____________ . 【答案】15 【解析】，，显然有m>1，n>1，，以及，得去d得：，其通解为，为使m>1，n>1且d为正整数，则正整数t只能在{1，2，5，10}中取值(因(30，100)=10，t取值只能为10的正因数). 当t=1时，m=4，n=11为最小，此时m+n=15. 故答案为：15． 7．数列{an}满足：(其中[an]和{an}分别表示实数an的整数部分与小数部分)，则a2019=____________ . 【答案】【解析】，，，，归纳易得，. 因此. 故答案为：． 8．设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn.若数列也是公差为d的等差数列，则数列{an}的通项an=________. 【答案】【解析】设，这里a=a1－d，于是，所以，故，这里. 所以，于是4d=d2，8a+4d+2=2bd，b2=0，解得d=4，b=0，，故. 故答案为：． 9．设数列满足：，则______. 【答案】【解析】由可得 . 设，则有.又，故. 一般地，有，于是，所以. 10．数列满足，且，记的前n项和为.则__________. 【答案】89 【解析】由已知得，则 11．已知数列前项和为且对任意正整数,均有若对任意的恒成立,则实数的最小值为______. 【答案】【解析】由题意,取得 . 又,则是以为首项、为公比的等比数列,即故由对任意的,均有,知. 12．已知数列满足，．记数列的前2016项和为．则的最大值为______．【答案】2016 【解析】由（）．累加得．因此，．当为奇数时，；当为偶数时，，此时可取等号． 13．已知数列满足，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】由可得，则．以下用累加法得，．得到，从而，． 14．在数列中，若，则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断： ①数列是等方差数列； ②若是等方差数列，则是等差数列； ③若是等方差数列，则（，k为常数）也是等方差数列； ④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）【答案】①②③④ 【解析】 ①因为，所以符合“等方差数列”定义； ②根据定义，显然是等差数列； ③符合定义； ④数列满足，（d为常数）.若d=0，显然为常数列；若d≠0，则两式相除得，所以（常数），即为常数列. 故答案为：①②③④ 15．设数列满足， (n=1，2，…），则 ________. 【答案】【解析】由，所以. 16．已知数列满足，，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】由题设得 . 令，则，. 故. 于是，数列的通项公式为. 因此，前n项的和为 . 17．已知2015个正整数满足，，.则的所有正因子之和为_________。【答案】【解析】由则故的所有正因子之和为. 18．已知数列均为等差数列，且._______. 【答案】2014. 【解析】注意到，是以0为首项、1为公差的等差数列，故. 故答案为：2014 19．已知数列满足，.则＝_______. 【答案】【解析】注意到，. 设. 令满足，. 则 = 又 . 从而，故=. 故答案为： 20．等差数列满足，且，则__________。【答案】【解析】由等差数列的求和公式得，. . 故答案为：高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/数列B辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题08平面向量历年联赛真题汇编 1．【2005高中数学联赛（第01试）】空间四点A，B，C，D满足，，则的取值( ) A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个 2．【2004高中数学联赛（第01试）】设点O在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ) A．2 B． C．3 D． 3．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在椭圆中,A为长轴的一个端点,B为短轴的一个端点,为两个焦点.若,则的值为 . 4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在凸四边形ABCD中,点P是四边形ABCD所在平面上一点,满足.设s,t分别为四边形ABCD与ΔPAB的面积,则= . 5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】平面直角坐标系中，已是单位向量，向量满足，且对任意实数t成立，则的取值范围是 . 6．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】若平面向量与垂直，其中m为实数，则的模为 . 7．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设O为△ABC的外心，若，则sin∠BAC的值为 . 8．【2015高中数学联赛（第01试）】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC上(包含点D，C)的动点P与CB延长线上(包含点B)的动点Q满足，则向量与向量的数量积的最小值为 . 9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点A，B在抛物线y2=4x上，满足，F是抛物线的焦点，则 . 10．【2012高中数学联赛（第01试）】设P是函数的图像上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则的值是 . 11．【2007高中数学联赛（第01试）】在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于 . 12．【2016高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，已知，求sinC的最大值. 优质模拟题强化训练 1．已知向量，且．若，则的最小值为（）． A． B．26 C． D．24 2．设、为两个相互垂直的单位向量,已知,若△PQR为等边三角形，则k、r的取值为( ) A． B． C． D． 3．已知点P、Q在△ABC内，且，则等于（）. A． B． C． D． 4．的三边长分别为，，．若，则，，中小于0的个数为（　　）． A．3 B．2 C．1 D．0 5．满足．则是（）． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．抛物线的准线与轴交于点.过作直线交抛物线于点，点在抛物线对称轴上，且.则的取值范围是（）. A． B． C． D． 7．已知的外接圆圆心为，.则（）. A．>>. B．>>. C．>> D．>> 8．已知空间四边形.则（）. A． B． C． D． 9．设为所在平面内一动点.则使得取得最小值的点是的（）. A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 10．设椭圆的一个焦点为，点在轴上，直线交椭圆于点、、则实数（） A． B． C． D． 11．已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 12．设H是△ABC的垂心，且，则_____________. 13．△ABC的三边分别为a、b、c，点O为△ABC的外心，已知，那么的取值范围是____________ . 14．设正六边形ABCDEF的边长为1，则______ . 15．在平面上，，，，若，则的取值范围是________. 16．已知为△ABC的内心，且.记R､r分别为△ABC的外接圆､内切圆半径，若，则R=____________ . 17．已知向量满足，且，若为的夹角，则_______ . 18．在直角坐标系中，已知三点，，.若与在方向上的射影相同，则______. 19．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆⊙Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为⊙Q上及内部的动点，设向量.则m＋n的取值范围是_______. 20．在中，，的平分线交于，且有．若，则______．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/平面向量(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题17平面解析几何C辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A,B,C在双曲线上,满足为等腰直角三角形.求的面积的最小值. 【答案】【解析】不妨设等腰直角的顶点逆时针排列,A为直角顶点. 设,则且的面积. 注意到A在双曲线上,设，则,. 由在双曲线上,可知, 这等价于： ① . ② 由①、②相加,得,即. ③ 由①、②相乘,并利用③,得 . 所以由基本不等式得： ,④ 故. 以下取一组满足条件的实数,使得(进而由可确定一个满足条件的,使得). 考虑④的取等条件,有,即. 不妨要求,结合,得,. 由①知,故由③得,其中, 从而有. 综上,的面积的最小值为. 2．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆Γ中,A为长轴的一个端点,B为短轴的一个端点,为两个焦点.若,求的值. 【答案】【解析】由对称性,设椭圆Γ的方程为,,其中. 由条件知. 所以. 记O为坐标原点,则,. 所以. 3．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与x轴相切于的焦点F.求圆的半径. 【答案】【解析】易知的焦点F的坐标为(1，0).设圆的半径为r(r>0).由对称性，不妨设在x轴上方与x轴相切于点F，故的方程为. ① 将代入①并化简，得. 显然y>0，故 ② 根据条件，②恰有一个正数解y，该y值对应与的唯一公共点. 考虑的最小值. 由平均值不等式知，从而. 当且仅当，即时，f(y)取到最小值. 由②有解可知. 又假如，因f(y)随y连续变化，且y→0+及y→+∞时，f(y)均可任意大，故②在及上均有解，与解的唯一性矛盾. 综上，仅有满足条件(此时是与的唯一公共点). 4．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆中，F为一个焦点，A、B为两个顶点若\|FA\|=3，\|FB\|=2，求AB的所有可能值. 【答案】答案见解析【解析】不妨设平面直角坐标系中椭圆的标准方程为，并记.由对称性，可设F为的右焦点. 易知F到的左顶点的距离为a+c，到右顶点的距离为a－c，到上下顶点的距离均为a.分以下情况讨论: (1)A、B分别为左、右顶点.此时a+c=3，a－c=2，故\|AB\|=2a=5(相应地，b2=(a+c)(a－c)=6，的方程为). (2)A为左顶点，B为上顶点或下顶点.此时a+c=3，a=2，故c=1，进而，所以(相应的方程为). (3)A为上顶点或下顶点，B为右顶点.此时a=3，a－c=2，故c=1，进而，所以(相应的方程为). 综上可知，\|AB\|的所有可能值为. 5．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆的左、右顶点与上、下顶点.设P，Q是上且位于第一象限的两点，满足OQ∥AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 证明:线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形. 【答案】证明见解析【解析】设点P坐标为.由于，，故存在实数、μ，使得. 此时点Q、R的坐标可分别表示是. 由于点Q、R都在椭圆上，所以. 结合知，上式可化为，解得，因此 . 从而线段OQ、OR、BC能构成一个直角三角形. 6．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，曲线，曲线.经过C1上一点P作一条倾斜角为45°的直线l，与C2交于两个不同的点Q、R，求的取值范围. 【答案】【解析】设P(t2，2t)，则直线l的方程为y=x+2t－t2，代入曲线C2的方程得，化简可得 ① 由于l与C2交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式△为正. 计算得，，因此有 ② 设Q、R的横坐标分别为，由①知，，因此，结合的倾斜角为45°可知， ③ 由②可知，，故，从而由③得，. 注1利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式，同样可以求得②中t的范围. 注2更简便的计算的方式是利用圆幂定理.事实上，C2的圆心为M(4，0)，半径，故. 7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点.设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A，B，焦点F1到直线l的距离为d.如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围【答案】【解析】由条件知，点F1，F2的坐标分别为(－1，0)和(1，0).设直线l的方程为，点A，B的坐标分别为和，则满足方程，即 ① 由于点A，B不重合，且直线l的斜率存在，故是方程①的两个不同实根，因此有式①的判别式即 ② 由直线的斜率依次成等差数列知. 又，所以. 化简并整理得，假如m=k，则直线l的方程为. 即l经过点F1(－1，0)，不符合条件. 因此必有.故由方程①及韦达定理知，即 ③ 由式②与③知，化简得，这等价于. 反之，当m，k满足式③及时，l必不经过点F1(否则将导致m=k，与式③矛盾)，而此时m，k满足式②，故l与椭圆有两个不同的交点A，B，同时也保证了AF1，BF1的斜率存在(否则中的某一个为－1，结合知，与方程①有两个不同的实根矛盾). 点F2(1，0)到直线l：y=kx+m的距离为. 注意到，令，则，上式可改写为 ④ 考虑到函数在上单调递减，故由式④得，即. 8．【2014高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线y2=4x的两条切线，两切点连线l与PO垂直.设直线l与直线PO，x轴的交点分别为Q，R. (1)证明R是一个定点； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】(1)设点P的坐标为(a，b)(b≠0)，易知a≠0.记两切点A，B的坐标分别为，则PA，PB的方程分别为 ① ② 而点P的坐标(a，b)同时满足式①与②，故A，B的坐标均满足方程 ③ 故式③就是直线AB的方程. 直线PO与AB的斜率分别为与，由PO⊥AB知，故a=－2.从而式③即为. 故AB与x轴的交点R是定点(2，0). (2)因为a=－2，故直线PO的斜率，直线PR的斜率. 设，则为锐角，且 . 当时，的最小值为. 9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个点Q，R满足，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明. 【答案】答案见解析【解析】令，则，设，其中，由可知 ① ② 将式①与②相减，得，即，将其代入式①，得，故，于是. 根据，同理可得，因此. 由于，故(其中等号成立的充分必要条件是，即点P为(0，±b)). 10．【2012高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且. (1)求证：为定值； (2)当点A在半圆M：(x－2)2+y2=4(2≤x≤4)上运动时，求点C的轨迹. 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】(1)因为，，所以O，A，C三点共线. 如图，联结BD，则BD垂直平分线段AC，设垂足为K. 于是，有 (定值) (2)设C(x，y)，，其中，则，因为，所以，由情形(1)的结论，得，所以，从而. 故点C的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5，5)，(5，－5). 11．【2011高中数学联赛（第01试）】作斜率为的直线l与椭圆交于AB两点(如图所示)，且在直线l的左上方. (1)证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； (2)若∠APB=60°，求△PAB的面积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】(1)设直线，，，将代入中，化简整理得，于是有，，，，则，因此 . 从而. 又P在直线l的左上方，因此，∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以△PAB的内切圆的圆心在直线上 (2)若∠APB=60°时，结合情形(1)的结论可知，直线PA的方程为，代入中，消去y得，它的两根分别是x1和，所以，即，所以，同理可求得，所以. 12．【2010高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=6x上的两个动点和，其中且.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值. 【答案】【解析】解法一设线段AB的中点为，则，，线段AB的垂直平分线的方程是 ① 易知是式①的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为(5，0). 由式①知直线AB的方程为，即 ② 将式②代入得，即 ③ 依题意，y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，所以，所以， . 定点C(5，0)到线段AB的距离， . 当且仅当，即，，，或，时等号成立. 所以，△ABC面积的最大值为. 解法二同解法一，线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为(5，0) 设，则的绝对值，则：，所以，当且仅当且，即，，，或，时等号成立. 所以，△ABC面积的最大值是. 13．【2009高中数学联赛（第01试）】设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆交于不同两点A，B，与双曲线交于不同两点C，D，问是否存在直线l使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条?若不存在，请说明理由. 【答案】答案见解析【解析】由消去y，化简整理得，设，则， ① 由消去y，化简整理得，设，则， ② 因为，所以，此时. 由得，所以或，由上式解得或，当k=0时，由式①与②得，因m是整数，所以m的值为，当m=0，由式①和②得，因k是整数，所以k=－1，0，1. 于是满足条件的直线共有9条. 14．【2008高中数学联赛（第01试）】如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x－1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值. 【答案】8 【解析】设，B(0，b)，C(0，c)，不妨设b>c.直线PB的方程为，化简得，又因为圆心(1，0)到PB的距离为1，即，故，易知x0>2，上式化简得，同理有，所以，则，因为是抛物线上的点，有，则，即，所以，当时取等号，此时，因此S△PBC的最小值为8. 15．【2007高中数学联赛（第01试）】已知过点(0，1)的直线l与曲线(x>0)交于两个不同点M和N.求曲线C在点M，N处的切线的交点轨迹. 【答案】答案见解析【解析】设点M，N的坐标分别为和，曲线C在点M，N处的切线分别为l1，l2，其交点P的坐标为.若直线l的斜率为k，则l的方程为，由方程组消去y，得，即，由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根，故k≠1，且 ① ② ③ 由此解得，对求导，得，则，，于是，直线l1的方程为，即，化简后得直线l1的方程为 ④ 同理可求得直线l2的方程为 ⑤ ④－⑤得，因为，故有 ⑥ 将②，③两式代入式⑥得， ④+⑤得 ⑦ 其中，，代入式⑦得，而，得，又由得，即点P的轨迹为(2，2)，两点间的线段(不含端点). 16．【2006高中数学联赛（第01试）】给定整数n≥2，设是抛物线y2=nx－1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使为抛物线y2=kx－1与直线y=x的一个交点. 【答案】证明见解析【解析】因为与的交点为，显然有，若为抛物线与直线的一个交点，则，记，则 ① 由于k1=n是整数，且也是整数，所以根据数学归纳法，通过式①可证明对于一切正整数m，是正整数. 现在对于任意正整数m，取，使得与的交点为. 17．【2005高中数学联赛（第01试）】过抛物线y=x2上的一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足；点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程. 【答案】【解析】解法一过抛物线上点A的切线斜率为，故切线AB的方程为. 于是B，D的坐标分别为，所以D是线段AB的中点. 设，则由知，由得，所以，EF所在直线方程为，化简得 ① 当时，直线CD的方程为 ② 联立式①与②解得，消去x0，得点P轨迹方程为. 当时，EF方程为， CD方程为，联立解得也在点P的轨迹上. 因C与A不能重合，，所以所求轨迹方程为. 解法二由解法一知，AB的方程为，，故D是AB的中点. 令，，，则，因为CD为△ABC的中线，所以，而，所以，故P是△ABC的垂心. 设，因点C异于A，则x≠1，故重心P的坐标为，，消去x0，得，故所求轨迹方程为. 18．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l经过△ABC的内心(设D)，且与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1)直线AB，AC，BC的方程依次为，，，点P(x，y)到AB，AC，BC的距离依次为，，，依设得，即或，化简得点P的轨迹方程为：圆S：与双曲线T：. (2)由前知，点P的轨迹包含两部分：圆S： ① 与双曲线T： ② 因为B(－1，0)和C(1，0)是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B，C. △ABC的内心D也是适合题设条件的点，由解得，且知它在圆S上. 直线l经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，的斜率存在，设l的方程为 ③ (i)当k=0时，l与圆S相切，有唯一的公共点D. 此时，直线平行于x轴，表明l与双曲线有不同于D的2个公共点，所以l恰好与点P的轨迹有3个公共点. (ii)当k≠0时，l与圆S有2个不同的交点.这时，l与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线l经过点B或点C，此时l的斜率，直线l的方程为，代入方程②得，解得或. 表明直线BD与曲线T有2个交点B，E；直线CD与曲线T有2个交点C，F. 故当时，恰好与点P的轨迹有3个公共点. 情况2：直线l不经过点B和C(即)，因为l与S有2个不同的交点，所以与双曲线T有且只有1个公共点，即方程组有且只有1组实数解，消去y并化简得，该方程有唯一实数解的充要条件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得，解方程⑤得. 综合得直线l的斜率k的取值范围是有限集. 19．【2002高中数学联赛（第01试）】已知点A(0，2)和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围. 【答案】y≤0或y≥4. 【解析】设点B坐标为，点C坐标为. 显然，故. 由于，所以，从而，，消去x，注意到y≠y1，得，所以，由△≥0解得y≤0或y≥4. 当y=0时，点B的坐标为(－3，－1)；当y=4时，点B的坐标为(5，－3)，均满足题意. 故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4. 20．【2001高中数学联赛（第01试）】设曲线(a为正的常数)与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P. (1)求实数m的取值范围(用a表示)； (2)O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示). 【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1)可将曲线C1与C2的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题. 由，所以 ① 问题转化为方程①在区间(－a，a)上有唯一解或两个相等的实根. 设，当△=0，即时，由得，这时方程①有等根. 当，即时，方程①在区间(－a，a)内有一个根(另一个根在区间外). 当，即时，由得，这时方程①在区间(－a，a)内有唯一解；当，即时，，由得，故综上所述，当时，或，当a≥1时，. (2)因为A(－a，0)，所以，当时，由情形(1)知，由方程①得，显然，xp>0，从而，要使yp最大，则xp应最小. 易知，当m=a时，，从而，故. 当时，，从而，故. 下面比较与的大小. 因为，所以当时，，当时，， . 21．【2000高中数学联赛（第01试）】已知和. 试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形?并证明你的结论【答案】答案见解析【解析】利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为 ① 显然此平行四边形ABCD必为菱形，设，则. 代入式①相加，由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1，所以，从而，所以. 22．【1999高中数学联赛（第01试）】给定A(－2，2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当取最小值时，求B的坐标. 【答案】【解析】记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，离心率为e，则，，，左准线为，如图，过点B作左准线的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M.由椭圆的定义，于是. 等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时. 23．【1998高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=2px及定点A(a，b)，B(－a，0)(ab≠0，b2≠2pa)，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为. 求证：当点M在抛物线上变动时(只要存在且)，直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标. 【答案】证明见解析【解析】设的坐标分别为，由共线，得，化简得，所以 ① 同理，由共线，得 ② 设(x，y)是直线上的点，则 ③ 由式①，②和③消得，整理得. 由于方程组有解，所以，动直线恒过定点. 24．【1993高中数学联赛（第01试）】设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹. 【答案】直线除去与或的三个交点. 【解析】设l的方程为， m的方程为y－k'x+k'b=0. 于是，过l，m与y2=x的四个不同交点的二次曲线，应有方程. 即. 它成为圆的充要条件是，即. 所以，直线l：与直线m：的交点的坐标为. 即点P在线段AB的中垂线上. 所以点P的轨迹是直线除去与或的三个交点. 25．【1991高中数学联赛（第01试）】设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知OF=a，PQ=b，求△OPQ的面积. 【答案】【解析】以F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的方程为. 设点P的极角为，则点Q的极角为. 所以. 即. 所以. 又，，所以. 优质模拟题强化训练 1．易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且. （1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1）（2）是定值，. 【解析】（1）由题意可知：2b=4，b=2，，双曲线的离心率，则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则a=. 所以椭圆的标准方程：. （2）是定值，证明如下：如图，设直线MN的方程为. 联立消去y整理得. 设，则， . 将，代入上式得，即. 2．如图，椭圆，抛物线，设相交于A、B两点，O为坐标原点. （1）若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值；（2）若△ABO的外接圆经过点，求实数p的值. 【答案】（1）；（2）3 【解析】 (1)由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，△AB的外心为椭圆的上顶点M(0，1).则有MA=MB=MO=1.设，则有，解得. (2)因为O、A、N、B四点共圆，设AB与y轴相交于，由相交弦定理得AC•CB=CN•CO，即，解得 ① 代入，解得. ② 将①、②代入椭圆方程得，解得p=3. 3．如图所示，设k>0且k≠1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆于点A、M和A、N. （1）求的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点. 【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）直线l与l1的交点为A(0，1) 设点P(x，y)是直线l上异于点A(0，1)的任意一点，点是点P关于直线y=x+1的对称点. 由得 ① 由得 ② 联立①②解得. 代入直线l：y=kx+1可得. 又由点在直线上，有，则. 所以有，从而由可得. （2）设点M、N的坐标分别为与. 由可得. 所以有. 同理求得. 由kk1=1可得. 则直线MN的斜率为. 所以直线MN的方程为，化简得. 因此，对任意的k，直线MN恒过定点. 4．已知椭圆的左右焦点分别为F1､F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点.已知的最大值为3，最小值为2. （1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M､N两点(M､N不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）.（2）证明见解析，定点【解析】（1）因为P是椭圆C上任一点，所以且， . 当时，y有最小值a2-2c2；当\|PF1\|=a-c或a+c时，y有最大值. 所以，解得，故. 因此椭圆的方程为. （2）设，将y=kx+m代入椭圆方程得，所以. 因为，所以. 又因为以MN为直径的圆过点A，所以，故. 所以或m=-2k，都满足△>0 若m=-2k，直线l恒过定点(2，0)，不合题意舍去若，直线恒过定点. 5．已知椭圆过点，且右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】（1）由题意b=2，c=2，所以，椭圆C的方程为． (2)设A、B、P的坐标分别为．由知，．又点A在椭圆C上，则，整理得．由，同理得到．由于A、B不重合，即，故m、n是二次方程的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l的方程为，即，与椭圆C的方程联立，消去y并整理，得，，所以，而．由已知，点P不在椭圆C的内部，得，即，所以的最小值为，故三角形QAB面积的最小值为． 6．．已知点是椭圆右焦点，点、分别是x轴、y上的动点，且满足，若点满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（其中为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意知F（a，0）. 于是，. 又，由，得. 设点P（x，y）. 由 . 代入，得. （2）设. 则. 由类似地，. 故 . 由（定值） 7．设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 【答案】（1）见解析（2）【解析】 ⑴双曲线在M（）处的切线方程为，与渐近线方程联立，得A（）=，B（）=. 从而是定值. ⑵由⑴可设A（），B（），P（x，y），λ为非零常数. 由，得. 从而有，. 上述两式相乘，得P的轨迹方程为. 8．已知离心率为的椭圆的左焦点为抛物线的准线与x轴的交点，右焦点也为抛物线的焦点，椭圆与抛物线在x轴上方的交点为P，延长，与该抛物线交于点Q，M为抛物线上一个动点，且M在点P与Q之间运动.若的边长恰为三个连续的正整数，求面积的最大值. 【答案】【解析】由题意知，. 因为，所以，椭圆方程为. 由得. 又点P在x轴上方，则且，，. 于是，、2p、为连续正整数. 从而，. 故，，. 将上式代入，解得设，且而的底边长为定值故要使的面积最大，须且只需点M到直线PQ的距离最大. 由而直线PQ的斜率为故以点M为切点的切线斜率为又点M到直线的距离为则. 9．如图，已知是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中，A为椭圆的左顶点. （1）求⊙G的半径r；（2）过点M（0，1）作⊙G的两条切线与椭圆交于E、F两点，证明:直线EF与⊙G相切. 【答案】(1) (2)见解析【解析】 1.设点，过圆心G作GD⊥AB于点D，BC与x轴交于点H. 由 .① 由点B在椭圆上得 =.② 由式①、②得. 解得或（舍去）. 2.设过点与圆相切的直线方程为 .③ 则 . 将式③代入得于是，异于零的解为. 设点. 则，. 于是，直线EF的斜率为 . 故直线EF的方程为，即. 因此，圆心（2，0）到直线EF的距离为 . 10．已知双曲线的左、右焦分别为点，过定点P(2,3)作双曲线的切线，切点分别为A、B，且点A的横坐标小于点B的横坐标。（1）求直线AB的方程；（2）证明：。【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）设点.则切点分别为A、B的两条切线的方程分別为. 因为点P(2,3)在直线上，所以，，即直线AB的方程为2x-3y=2. （2）设，直线PA、PB的斜率分别为. 设l:y-3=k(x-2)，代入，整理得 . 则， . 故. 从而，. 11．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点．记直线、的斜率分别为、，若，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】设，．由的垂心为，得．所以，，解得．由点在椭圆上，得．结合，解得，．所以椭圆的方程为．（2）由（1）知，．若的斜率不存在，则由对称性，知，不符合要求．若的存在，设为，则的方程为．由，得． ① 设，，则，．所以．又，因此，直线的方程为． 12．如图，椭圆（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°. （1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为，△OED（O坐标原点）的面积为.求的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°.设，则.将代入，得.所以椭圆的离心率. （2）由（1）知，椭圆方程可设为，设，.依题意，直线AB不能与x、y轴垂直，故设直线AB的方程为，将其代入，整理得. 则. 所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以的取值范围是. 13．如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B．△PMA与△OAB的面积分别记为、，比较与3的大小，说明理由. 【答案】【解析】如图，抛物线过点P（-1，1），得，所以抛物线的方程为. 设直线l的方程为（其中k＞0），由得. 设M（），N（），那么有，A（），，. 又ON的方程为，故B（），所以，，有可得由题意知，故，. 又因为，，所以. 14．已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】 (1).设，易知. 因为平分，所以，所以 ① . ② 由①②可得，代入①得到，化简即得曲线的方程为. (2).记，则. 直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得当直线与抛物线相切于点时，，解得. 当时，，切点在曲线上；当时，，切点不在曲线上. 若直线与曲线恰好有一个公共点，则有或，故所求的取值范围为. 15．过抛物线外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点.证明：（1）；（2）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】设P，M，N.易求得切线PM：，切线PN：. 因为点P在两条切线上，所以， . 故点M、N均在直线上. 于是，. 联立 . 由韦达定理知 . （1）易知，F. 由抛物线的第二定义得， . 因此，. （2）由，，，知又，则类似地，故 . 结合，得 16．已知F为椭圆的右焦点，点P为直线x=4上的动点，过点P作椭圆C的切线PA､PB，A､B为切点. （1）求证：A､F､B三点共线；（2）求△PAB面积的最小值【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】（1）F(1，0)，设P(4，t)，，. 则切线PA､PB的方程分别为. 由切线PA､PB过点P(4，t)得，即. 由此可得直线AB的方程为，易知直线AB过点F(1，0)，所以A､F､B三点共线，如图所示. （2）由得. ，，. 于是，. 又点P(4，t)到直线AB的距离，所以. 设，由t∈R，知，且. 因为，所以在区间[3，+∞)上为增函数，的最小值为，此时t=0. 所以△PAB面积的最小值为. 17．已知定长为4的线段AB的两端点，分别在两条相交直线x±2y=0上移动. （1）设线段AB的中点为G，求点G的轨迹C的方程；（2）若由点P向曲线C作出的两条切线互相垂直，求证：动点P在定圆上. 【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设A、B、G的坐标分别为，则. 得到，因此有. 所以，点G的轨迹C的方程为：. （2）设，PS、PT与椭圆C相切于S、T，椭圆C的左、右焦点分别为关于PS、PT的对称点分别为. 由椭圆的光学性质，知与分别共线，所以. 又∠SPT=90°，则以P为中点，故，因此，所以，得到. 即动点P在定圆上. 18．已知椭圆C：（a>b>0）的离心率，直线y=2x－1与C交于A、B两点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记，求λ的取值范围．【答案】（1）（2），且．【解析】（1）由得，所以椭圆的方程为由得所以．由得，即b2=1 所以椭圆C的方程为；（2）设l：x=my+2，且E（x1，y1）、F（x2，y2）由得所以由解得m2>2，且， ① 由得，y1=λy2 ② 由①②得所以，解得，且． 19．如图所示，在平面直角坐标系，设点是椭圆上一点，左右焦点分别是、，从原点O向圆M：作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为、. (1)设直线、分别与圆交于A、B两点，当，求点A的轨迹方程； (2)当为定值时，求的最大值. 【答案】（1）（2）【解析】 1.由椭圆定义：得所以，，又，则，故点的坐标满足方程. 因为，则点在椭圆内部，因此或. 综上，点A的轨迹方程为. 2.令直线OP的方程是，与圆M相切，则有，即又直线OQ与圆相切，设直线OQ的方程是，同理有则是方程的两实根，因此，又为定值，设，则即由于M为椭圆上的点，且c为定值，因此必有，故，此时. 设点，，联立，解得，. 同理，，所以， . 故的最大值为. 20．已知圆与曲线，，，为曲线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．【答案】【解析】设为圆上任意一点，则由题意知．即，于是，整理得．因此点的轨迹是一个圆．因为为圆上任意一点，所以此圆与圆必为同一个圆，于是有，，，整理得，，所以．因为，，所以，，从而．又因为，所以，，．因此将，，代入，得．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/平面解析几何C辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题32函数、集合与复数历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】设集合.是否存在集合A的非空子集,满足 (1)； (2)都至少有4个元素; (3)的所有元素的和等于的所有元素的乘积? 证明你的结论. 【答案】答案见解析【解析】答案是肯定的. 设=1,2,x,y﹐2<x<y≤19,则, 所以2xy+x+y=187, 故(2x+1)(2y+1)=375=15×25, 所以x=7,y=12是一组解. 故取=3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,18,19,1,2,7,12, 则这样的满足条件. 2．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件:若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集. 【答案】2795 【解析】为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”先证明一个引理：设G=(V，E)是一个简单图，且G是连通的，则G含有个两两无公共边的角(这里[a]表示实数a的整数部分). 引理的证明:对E的元素个数\|E\|归纳证明. 当\|E\|=0，1，2，3时，结论显然成立. 下面假设\|E\|≥4，并且结论在\|E\|较小时均成立. 只需证明，在G中可以选取两条边a、b构成一个角，在G中删去a、b这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含\|E\|－2条边.对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立. 考虑G中的最长路，其中是互不相同的顶点.因为G连通，故k≥3. 情形1:.由于P是最长路，v1的邻点均在中，设，其中3≤i≤k.则是一个角，在E中删去这两条边. 若v1处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若v1处仅有被删去的两条边，则v1成为孤立点，其余顶点仍互相连通.总之在剩下的图中有一个连通分支含有\|E\|－2条边. 情形2:.则是一个角，在G中删去这两条边后，都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有条边. 情形3:，且v2与中某个点相邻.则是一个角，在G中删去这两条边后，v1成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有条边. 情形4:，且v2与某个相邻.由于P是最长路，故u的邻点均在之中.因是一个角，在G中删去这两条边，则v1是孤立点. 若处仅有边uv2，则删去所述边后u也是孤立点，而其余点互相连通.若u处还有其他边uvi，3≤i≤k，则删去所述边后，除v1外其余点互相连通.总之，剩下的图中有一个连通分支含有条边. 引理获证. 回到原题，题中的V和E可看作一个图G=(V，E) 首先证明n≥2795. 设.在中，首先两两连边，再删去其中15条边(例如)，共连了条边，则这61个点构成的图是连通图.再将剩余的201－61=1958个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G中一共连了1815+979=2794条线段.由上述构造可见，G中的任何一个角必须使用相连的边，因此至多有个两两无公共边的角.故满足要求的n不小于2795. 另一方面，若\|E\|≥2795，可任意删去若干条边，只考虑的情形. 设G有k个连通分支，分别有个点，及条边.下面证明中至多有979个奇数. 反证法，假设中有至少980个奇数由于是奇数，故中至少有981个奇数，k≥981.不妨设都是奇数，显然. 令，则有，故 ① 利用组合数的凸性，即对x≥y≥3，有，可知当m1，…，m980，m由980个2以及一个59构成时，取得最大值. 于是，这与①矛盾.从而中至多有979个奇数. 对每个连通分支应用引理，可知G中含有N个两两无公共边的角，其中. 综上，所求最小的n是2795. 3．【2018高中数学联赛A卷（第02试）】设n、k、m是正整数，满足k≥2，且.设A是{1，2，…，m}的n元子集. 证明:区间中每个整数均可表示为a－a'，其中a，a'∈A. 【答案】证明见解析【解析】用反证法.假设存在整数不可表示为a－a'，a，a'∈A.作带余除法m=xq+r，其中0≤r<x.将1，2，…，m按模x的同余类划分成x个公差为x的等差数列，其中r个等差数列有q+1项，xr个等差数列有q项.由于A中没有两数之差为x，故A不能包含以x为公差的等差数列的相邻两项. 从而 ①. 这里表示不小于的最小整数. 由条件，我们有 ② 又，故 ③ 情形一q是奇数.则由①知， ④ 结合②，④可知，，从而q<2k－1. 再由q是奇数可知，q≤2k－3，于是，与③矛盾. 情形二q是偶数.则由①知， ⑤ 结合②，⑤可知，，从而，故q<2(k－1). 再由q是偶数可知，q≤2k－4，于是，与③矛盾. 综上可知，反证法假设不成立，结论获证. 4．【2018高中数学联赛B卷（第02试）】设集合A={1，2，…，n}，X、Y均为A的非空子集(允许X=Y).X中的最大元与Y中的最小元分别记为maxX、minY.求满足maxX>minY的有序集合对(X，Y)的数目. 【答案】【解析】先计算满足的有序集合对(X，Y)的数目.对给定的m=maxX，集合X是集合{1，2，…，m－1}的任意一个子集与{m}的并，故共有种取法. 又minY≥M，故Y是{m，m+1，…，n}的任意一个非空子集，共有种取法. 因此，满足的有序集合对(X，Y)的数目是 . 由于有序集合对(X，Y)有个，于是满足的有序集合对(X，Y)的数目是. 5．【2017高中数学联赛B卷（第02试）】给定正整数m，证明:存在正整数k，使得可将正整数集N+分拆为k个互不相交的子集，每个子集Ai中均不存在4个数a、b、c、d(可以相同)，满足ab－cd=m. 【答案】证明见解析【解析】取k=m+1，令，i=1，2，…，m+1. 设a，b，c，d∈Ai，则，故m+1\|ab－cd，而，所以在A中不存在4个数a、b、c、d，满足. 6．【2015高中数学联赛（第02试）】设，其中为n个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若(\|X\|表示有限集合X的元素个数)，证明：存在，使得x属于中的至少个集合. 【答案】证明见解析【解析】证法一证明更强的结论：对任意集合Ai(1≤i≤n)，存在x∈Ai，使得x属于中的至少个集合. 若与Ai的交集均不为空集，则根据平均值原理，知集合Ai中必存在某个元素x，使得x属于中的至少个集合. 若中存在某些集合与Ai的交集为空集，不妨设这样的集合为.则，互不相同，且均属于S. 于是，S中其余n－2t－1个集合均与Ai的交集非空. 从而，集合Ai中所有元素在集合S中出现的次数不少于. 故存在某个x∈Ai，使得x属于中的至少个集合. 综上，命题得证证法二不妨设，对执行下列过程： (1)先考虑A2. 若，则将A2分为一组；若，则将与A2两个集合分为一组. (2)考虑A3. 若，已经进行过分组. 若，再分两种情形考虑. (i)，则将A3分为一组； (ii)，由，则. 此时，可将与A3两个集合分为一组. 7．【2014高中数学联赛（第02试）】设S={1，2，3，…，100}，求最大的整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同. 【答案】【解析】对有限非空实数集A，用minA与maxA分别表示A的最小元素与最大元素，考虑S的所有包含1且至少有两个元素的子集，一共299－1个，它们显然满足要求，因为，故，下面证明当k≥299时，不存在满足要求的k个子集. 我们用数学归纳法证明：对整数n≥3，在集合{1，2，…，n}的任意m(m≥2n－1)个不同非空子集A1，A2，…，Am中，存在两个子集，满足 ① 显然只需对的情形证明上述结论. 当n=3时，将{1，2，3}的全部7个非空子集分成3组：第一组：{3}，{1，3}，{2，3}；第二组：{2}，{1，2}；第三组：{1}，{1，2，3}.由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为，排在前面的记为Ai，则满足式① 假设结论在n≥3时成立，考虑n+1的情形.若中至少有个子集不含n+1，对其中的个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足式①. 若至多有个子集不含n+1，则至少有个子集含n+1，将其中个子集都去掉n+1，得到{1，2，…，n}的个子集. 由于{1，2，…，n}的全体子集可分成组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，在上述个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集，满足. 这两个集合显然满足式①.故n+1时结论成立综上所述，所求. 8．【2012高中数学联赛（第02试）】试证明：集合满足： (1)对每个a∈A及b∈N，若b<2a－1，则b(b+1)一定不是2a的倍数； (2)对每个(其中表示A在N中的补集)，且a≠1，必存在b∈N，b<2a－1，使b(b+1)是2a的倍数. 【答案】证明见解析【解析】(1)对于任意的a∈A，设a=2k，k∈N，则，如果b是任意一个小于2a－1的正整数，则，由于b与b+1中，一个为奇数，它不含素因子2，另一个为偶数，它含素因子2的幂的次数最多为k，因此，b(b+1)一定不是2a的倍数. (2)若，且a≠1，设a=2km，其中h为非负整数，m为大于1的奇数.则. 下面给出三种证明方法：证法一令，消去b得，由于，这方程必有整数解，(其中t∈Z，为方程的特解). 把最小的正整数解记为，则，故，使b(b+1)是2a的倍数. 证法二由于，由中国剩余定理知，同余方程组在区间上有解x=b，即存在b<2a－1，使b(b+1)是2a的倍数. 证法三由于(2，m)=1，总存在r(r∈N，r≤m－1)，使，取t∈N，使，则. 存在，使. 此时，因而b(b+1)是2a的倍数. 9．【2011高中数学联赛（第02试）】证明：对任意整数n≥4，存在一个n次多项式具有如下性质： (1)均为正整数； (2)对任意正整数m及任意k(k≥2)个互不相同的正整数，均有. 【答案】证明见解析【解析】令 ① 将式①的右边展开即知f(x)是一个首项系数为1的正整数系数的n次多项式. 下面证明f(x)满足性质(2). 对任意整数t，由于n≥4，故连续的n个整数中必有一个为4的倍数，从而由式①知，因此，对任意k(k≥2)个正整数，有，但对任意正整数m，有，故，从而，所以f(x)符合题设要求. 10．【2010高中数学联赛（第02试）】设k是给定的正整数，.记x[x]，，x∈R+，l≥2.证明：存在正整数m，使得为一个整数.这里，[x]表示不小于实数x的最小整数，例如=1，[1]=1. 【答案】证明见解析【解析】记v2(n)表示正整数n所含的2的幂次.则当时，为整数. 下面我们对v2(k)=v用数学归纳法：当v=0时，k为奇数，k+1为偶数，此时为整数. 假设命题对v－1(v≥1)成立. 对于v≥1，设k的二进制表示具有形式，这里，或者1，i=v+1，v+2，… 于是 ① 这里，显然k'中所含的2的幂次为v－1.故由归纳假设知，经过f的v次迭代得到整数，由式①知，是一个整数，这就完成了归纳证明. 11．【2006高中数学联赛（第02试）】解方程组【答案】答案见解析【解析】令，我们有，，，同样，令，有，，，在此记号系统下，原方程组的第一个方程为 ① 于是，，，现在将上面准备的和的表达式代入，得，， . 利用原方程组的第二至四式化简，得 ② ③ ④ 将式①和②代入式③，得 ⑤ 将式⑤代入式②，得 ⑥ 将式①，⑤，⑥代入式④，得s=2.所以有. 这样一来，x，z和y，w分别是方程X2－4X+3=0和Y2－2=0的两根，即或，且或. 详言之，方程组有如下四组解或，或，或. 12．【2005高中数学联赛（第02试）】对每个正整数n，定义函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x－[x].试求：的值. 【答案】768 【解析】对任意a，k∈N+，若，设，，则，因为，若在与之间存在整数t，则，于是，一方面，故，另一方面，矛盾，故，所以，于是 ① 下面计算：画一张2k×2k的表，第i行中，凡是i的倍数处填写“”号，则这行的“”号共个，全表的“”号共个；另一方面，按列收集“”号数：第j列中，若j有T(j)个正因数，则该列便有T(j)个“”号，故全表的“”号个数共个，因此. 示例如下：则 ② 由此 ③ 记，易知ak的取值情况如下：因此 ④ 由定义，当，设，，，，则 ⑤ 从而. 13．【2002高中数学联赛（第02试）】实数a，b，c和正数，使得有三个实数，且满足： (i)； (ii). 求的最大值. 【答案】【解析】由于，所经是方程的两个根，由情形(i)可得，即，再由情形(i)可得 ① 且 ② 可以得到，由可得 ③ 由式①得，记，由式②和③可知，且，令，则且，则，所以，于是，由此可得，取，则有根，显然满足假设条件，且，综上所述的最大值是. 14．【1999高中数学联赛（第02试）】给定实数a，b，c，已知复数满足，求的值. 【答案】答案见解析【解析】由已知，所以. 即，又，所以，代入式①得，即，分解因式，得. 所以或或. 如果，代入原式得，这时，类似地，如果，则，如果，则. 15．【1997高中数学联赛（第02试）】试问：当且仅当实数满足什么条件时，存在实数，使得成立，其中为虚数单位，k=0，1，…，n.证明你的结论. 【答案】答案见解析【解析】易知题中式子等价于 ① 若存在实数使式①成立，则，由柯西不等式可得 ② 如果，则由式①可得，从而.与式②矛盾，于是得 ③ 反之，若式③成立，有两种情况： (i)，则取，显然式①成立. (ii)，记，从而不全为0，不妨设xn≠0，取yk=0，k=0，1，…，n－2，有，. 易知式①也成立. 综上可知，所求的条件为. 16．【1994高中数学联赛（第02试）】x的二次方程中，均是复数，且，设这个方程的两个根满足，求的最大值和最小值. 【答案】最大值是，\|m\|最小值是. 【解析】据表达定理有，因为，所以，所以. 即，这表明复数m在以A(4，5)为圆点，以7为半径的圆周上，又因为，故原点O在圆A内，联结OA，延长交圆A于两点B与C，则为\|m\|最大值. 为\|m\|最小值. 所以\|m\|最大值是，\|m\|最小值是. 17．【1992高中数学联赛（第02试）】设集合Sn={1，2，…，n}.若X是Sn的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集. (1)求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等； (2)求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等. (3)当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)答案见解析. 【解析】(1)设Sn的奇子集的个数为an，偶子集的个数为bn，则 ① 直接求an，以[x]表示为不超过实数x的最大整数. 设，从{2，4，…，2k}中任取一个子集(含空集)X1，再从{1，3，…，2l－1}中任取一个含奇数个元素的子集X2，则X1与X2的并集便是一个奇子集，反之，Sn的任一奇子集可写成X1与X2之并. X1的取法有2k种，X2的取法有(种) (2i－1是不大于l的最大奇数). 于是. 由式①知. (2)设An(Bn)表示Sn中全体奇(偶)子集容量之和 (I)若n为奇数(n≥3)，Sn的所有奇子集可由下列两类子集组成： (i)Sn－1的奇子集； (ii)Sn－1的每一个偶子集与集{n}的并. 于是 ② 类似，可得 ③ 得. (Ⅱ)若n是偶数(n≥4)，S的所有奇子集可由下列两类子集组成： (i)Sn－1的所有奇子集； (i)Sn－1的每一个奇子集与集{n}的并. 于是 ④ 类似，可得 ⑤ 所以. 综合情形(I)与(Ⅱ)的结论，对任何n≥3，. (3)X在Sn的余集记为，则X与的容量之和等于Sn的容量，即. 因此，Sn中所有子集的容量之和是. 因，故. 18．【1990高中数学联赛（第02试）】设E={1，2，3，…，20}，，且G具有下列两条性质： (1)对任何1≤i≤j≤100，恒有； (2)；试证：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定数. 【答案】证明见解析【解析】记. 令，则当i≠j时，，且. 由性质(1)知对任何1≤i≤100，不能有. 又由G的元素个数恰等于集合Ei的个数，都是100，因而G必然恰只包含每个Ei中的一个元素. 现设G中有k个奇数，设对，有. 于是对j≠it(1≤t≤k)，必有由性质(2)，有 ① 另一方面 ② 由式②－①，有 ③ ，. ④ 由式④首先推知k必为正偶数，设，则. 注意到此式左端为偶数，从而k'必为正偶数，设，于是. 这就证明了G中奇数的个数必为4的倍数.现在来计算G中数的平方和，以下运算中应用了式③. . 19．【1983高中数学联赛（第02试）】函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1).如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有，求证. 【答案】证明见解析【解析】不妨设 (1)如果，则， (2)如果，由得 . 所以. 20．【1981高中数学联赛（第02试）】下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正: 0.021 0.27 1.5 2.8 3 5 6 7 8 9 14 【答案】答案见解析【解析】先考虑表中x的取值: ，，，， 3，；， 7，，， . 其中0.27，3，9的对数仅与lg3有关，. 所以，推得，. 因此推得. 若上面三个对数有一个不正确，则三个数的对数值均错，与题设有两个错误矛盾.所以三个对数值均正确. 然后讨论仅与lg3，lg2有关的对数值，即真数分别为1.5，5，6，8的对数值. 所以，. 则，，所以，，因此. 由上面讨论可见1.5的对数值表不正确.而其余三个数均正确，且由此作修正，. 所以，，所以，，所以. 由上面讨论可见7的对数值表不正确.而其余三个数均正确，且作修正为表中. 优质模拟题强化训练 1．给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集的元素个数的最小值：ⅰ.，；ⅱ.子集中的元素（除1外）均为中的另两个（可以相同）元素的和. （1）求的值；（2）证明：. 【答案】（1）（2）见解析【解析】 1.设集合，且满足、.则，. 由于不满足，故. 又，，，，，，，，，都不满足，故. 而集合满足、，故. 2.首先证明： . 事实上，若满足、，且集合的元素个数为. 令. 由，知. 又，，则，且集合满足、. 从而，. 其次证明： . 事实上，设满足、，且集合的元素个数为.令 . 由，则，且. 而，，则满足、. 从而，. 由式、得. 反复利用式、得 . 2．设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足或成立. 【答案】证明见解析【解析】记\|S1\|=r，称包含r个元素的反链为最大反链，最大反链可能不唯一称F的子集P为链，如果之一成立. 我们证明结论：F可以拆分为r个链的并(即Dilworth定理). 对t进行归纳证明.t=1时显然成立.设命题对t－1成立，先假设存在一个最大反链S，使得F中既有集合真包含S中的某个集合，也有集合是S中的某个集合的真子集.记前者的全体为F1，后者的全体为F2，即包含S中的某个集合，是S中的某个集合的子集，则均是F的真子集，从而由归纳假设可将都可以拆成r个链的并.中的链以S中的元素开始，中的链以S中的元素结束.将这些链“接”起来就将F分成了r条链. 现在假设不存在这样的反链，从而每个最大反链要么满足，要么满足.前者意味着S中的子集都是“极大”子集(不是另一个Ai的真子集)，后者意味着S中的子集都是“极小”子集(不真包含另一个Ai)，从而至多有两个最大反链.如果极大子集构成的反链和极小子集构成的反链均为最大反链，则任取极大子集A，以及极小子集，将A、B都去掉用归纳假设将剩下的集合拆分成r－1条链，再加上链即可如果其中之一不是最大反链，不妨设极大子集构成的反链是唯一的极大反链，任意去掉一个极大子集归纳即可.结论证毕. 现在将F拆分成r条链，则每条链中恰有一个S1中的子集，且至多有一个S2中的子集.将每个S2中的子集对应到所在链中S1的元素，就得到了从S2到S1满足要求的映射. 3．证明对所有的正整数，存在一个集合，满足如下条件：（1）由都小于的个正整数组成；（2）对的任意两个不同的非空子集、，集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和．【答案】见解析【解析】当时，取，则满足条件．其次，当时，令．下面证明这样的满足条件．事实上，设、是的两个不同的非空子集，令表示集合的所有元素之和，要证明的目标是．不妨设，注意到，对任意均有．所以，当，，都不属于时，均有．进一步，由于，所以当、、中恰有一个属于时，例如，将有，此时；类似地讨论、、中有两个或3个同时属于时，均可得出．综上所述，当时满足条件的都存在． 4．设是由有限个正整数构成的集合，且，这里，，，2，…，20．并对任意的，都有，，已知对任意的，，若，则．求集合的元素个数的最小值．（这里，表示集合的元素个数）【答案】180 【解析】记．不妨设，，，2，…，；，，，…，20．设，，2，…，．因为对任意的，都有，所以，，…，互不相同，，即．又对任意的，，若，则，所以当，，…，20时，．即，当，，…，20时，．所以．若，则，．若，则．所以总有．另一方面，取，其中，2，…，20，则符合要求．此时，．综上所述，集合的元素个数的最小值为180． 5．已知为正整数，集合的个三元子集，，…，满足：对任何的其他三元子集，均存在整数和子集使得．求的最小值．【答案】【解析】若、、，且，则称是长为的“循环组”，并约定、、为同一个循环组．考虑长为的循环组的数目．、、、中有两个相等的循环组有个；若，、、、互不相等的循环组个数为；若，互不相等的循环组个数为．综上，长为的不同循环组的总个数为．对于每个长为的循环组，取集合的一个三元子集，存在一个子集与之对应，且易验证不同的循环组对应的子集也不同，从而，．另一方面，对于前面的个循环组中的每个，取与之对应的子集，共得到个不同子集．接下来说明这些子集满足要求．事实上，对集合的每个子集（不妨设），令，，．则得到一个长为的循环组，该循环组对应的子集满足存在整数（或或）使得．综上，． 6．求的最大值，使得从一个元集的子集中可以选出个不同的子集，，…，，满足对所有成立．【答案】【解析】不妨设此元集为．则对任意的，设包含的的子集为，，…，．由对所有成立，知，，…，为连续正整数．考虑，，…，中的相邻集合对，，…，．当恰属于两个集合、中的一个时，称为“分离集合对”．对任意的，必被某一元素分离，否则，矛盾．又集合中任意一个元素至多分离两个集合对，则．当时，必有，矛盾．故．又，，，…，，，…，，此时，所选的子集满足题意，且．综上，的最大值为． 7．取集合的子集，其中，。若中存在个集合满足：任意七个的交集非空，求的最大值。【答案】60 【解析】由已知有，更有中的“任意七个的交集非空”，故。下面证明：若，则不能保证所取出的个子集中“任意七个的交集非空”，从而，的最大值为60。将已知集合平均分为10组（构造抽屉）：。因每一个内七个集合的补集满足，所以，每一个内七个集合的交集为空集对，有。由抽屉原理知，从中所取出的个子集，必有七个属于同一个。又由式①知，与“任意七个的交集非空”矛盾。所以，的最大值为60。 8．定义在上的函数满足：，且对任意，有.求最小的实数，使得对任意，都有. 【答案】【解析】（1）证明：对一切的、，有. 若，则；若，不妨设. 则. （2）对于函数. 若或，则. 若，则. 当时，；当时，. 故. 综上，满足要求，且. 因此，. 由（1）、（2）知. 9．定义函数，满足，，其中，表示不超过实数的最大整数. 对于（1）；（2）;(3)，求. 【答案】（1）0 （2）1 （3）0 【解析】易知，，且对一切，. 则，， . 若，则. 因为，所以，. 故. （1）；（2）由，得；（3）. 10．求方程组的所有实数解。【答案】，【解析】将式变形为. ③ 由式可知、、同号. 由式得. 将上式带入式得 . 则. 同理. 两式相加得. 解得. 将带入式后一个等式解得，. 进而，. 所以，方程组有两组解，. 11．一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长、、都在的定义域内，就有、、也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. （1）若是定义在上的周期函数，且值域为，证明：不是保三角形函数；（2）若是保三角形函数，求的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】（l）设为函数的一个周期.因为其值域为，所以，存在，使得，. 取正整数，可知、、这三个数可作为一个三角形的三边长.但，，不能作为任何一个三角形的三边长.故不是保三角形函数. （2）的最大值为. 一方面，若，下证：不是保三角形函数. 取、、.显然这三个数可作为一个三角形的三边长.但、、不能作为任何一个三角形的三边长.故不是保三角形函数. 另一方面，证明：当时，是保三角形函数. 对任意三角形的三边、、，若、、，则分两种情况讨论：（i）.此时，. 同理，，. 所以，、、. 故、、. 因此、、可作为某三角形的三边长. （ii）.此时，，则或. 若，由于，则. 因为在单调递增，所以，. 若，则. 同样可得. 总之，. 又由及余弦函数在上单调递减得. 故 . 同理，，. 因此，、、也是某三角形的三边长. 综上所述，当时，是保三角形函数. 故的最大值为. 12．给定正实数，已知实数满足．试求二元函数的取值范围．【答案】见解析【解析】令．则，即故 , 当，即时，由式①得， , 于是，, 从而，, 此时，的取值范围是. 当，即时，由式①得即, 又由及式②，知可取任意非负实数,从而 , 此时，的取值范围是, 综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 13．已知，其中，常数．求所有的实数，使对任意、，恒有．【答案】【解析】当时，任意．当时，不等式化为．由于，由．当，且都趋向于时，有．于是，所求的集合是． 14．称一个复数数列{zn}为“有趣的”，若\|z1\|=1，且对任意正整数n，均有.求最大的常数C，使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m，均有. 【答案】【解析】考虑有趣的复数数列{zn}.归纳可知zn≠0(n∈N+). 由条件得，解得. 因此，故 ① 进而有 ② 记. 当m=2s(s∈N+)时，利用②可得 . 当m=2s+1(s∈N+)时，由①、②可知，故. 当m=1时，. 以上表明满足要求. 另一方面，当时，易验证知{zn}为有趣的数列. 此时，这表明C不能大于. 综上，所求的C为. 15．为多项式的三个根，满足，且复平面上的三点恰构成一个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度. 【答案】【解析】由韦达定理得以两为顶点的三角形的重心为原点. 不妨设为两条直角边.由于顶点与重心的距离等于该顶点所对应的中线长的， . 类似地，. . 则= . 16．设。证明：为纯虚数。【答案】见解析【解析】首先证明：若，则 ① 令. 则是一个次多项式，其首项系数为. 又当时， . 所以，. 由因式定理得. 在式①中令.则 . . 命题获证. 17．已知求的值. 【答案】0 【解析】令. 又,，.则 . 同理,. 故则. 所以,且. 18．设的辐角主值不相同，证明：. 【答案】见解析【解析】只要证明：，于是，只要证明：当时，， ① 当时，式①显然成立. 当时，设对应复平面上的点，则在单位圆上，设为原点，为点在上的对径点，则，, 于是，式①等价于. 作的外角平分线, 当时，. 所以，点在线段上，如图则, 当时，. 所以，点在线段的延长线上，如图则. 所以，式①成立，在式①中，令，原不等式获证. 19．设，，，均为实数，是关于的实系数方程的复数根，且.求证：. 【答案】见解析【解析】因为是方程， ① 其中，为非负数. 又 . 由式①得. 20．若复数满足，求的取值范围。【答案】【解析】将已知等式变形为 . ①设（、），则 . ②若，则由式①得，而式②中，有，矛盾，类似地，若，亦推出矛盾，因此，，令，. 则，故所求取值范围是. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/函数、集合与复数(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题03函数B辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设,函数在区间上的最小值为,在区间上的最小值为.若,则的值为 . 【答案】1或100 【解析】注意到在上单调减,在上单调增. 当时,; 当时,. 因此总有, 即,解得或. 2．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设,满足:关于x的方程恰有三个不同的实数解,且,则的值为 . 【答案】144 【解析】令,则关于的方程恰有三个不同的实数解. 由偶函数,故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布,从而必有以下求方程的实数解. 当时,,等号成立当且仅当; 当时,单调增,且当时, 当时,单调减,且当时. 从而方程恰有三个实数解. 由条件知,结合得. 于是. 3．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】若实数x满足,则 . 【答案】128 【解析】由条件知, 解得,故. 4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】已知首项系数为1的五次多项式满足:,则的一次项系数为 . 【答案】282 【解析】令,则也是一个首项系数为1的五次多项式,且故有5个实数根,所以,于是, 所以的一次项系数等于. 5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】已知正实数a满足，则的值为 . 【答案】【解析】由条件知，故，所以. 6．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组的解集为 . 【答案】【解析】由f(x)为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f(x)在[－1，0]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[1，2]是f(x)的严格递增区间注意到，所以，而，故原不等式组成立当且仅当. 7．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1，2]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为 . 【答案】【解析】由f(x)为偶函数及在[1，2]上严格递减知，f(x)在[－2，－1]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[0，1]是f(x)的严格递增区间. 注意到，所以，而，故原不等式组成立且当仅当. 8．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有.又当0≤x<7时，，则f(－100)的值为 . 【答案】【解析】由条件知，，所以. 9．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】若实数x、y满足，则的取值范围是 . 【答案】【解析】由于，故. 由可知，. 因此当x=－1时，x－cosy有最小值1(这时y可以取)；当时，x－cosy有最大值(这时y可以取π). 由于的值域是，从而x－cosy的取值范围是. 10．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则f(1)的值为 . 【答案】【解析】由条件知，，，两式相加消去f(－1)，可得，即. 11．【2016高中数学联赛（第01试）】正实数均不等于1，若，则的值为 . 【答案】【解析】令，则，条件化为，由此可得. 因此. 12．【2015高中数学联赛（第01试）】设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2+ax+b满足，则f(2)的值为 . 【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得，即，所以. 13．【2014高中数学联赛（第01试）】若正数a，b满足2+1og2a=3+log3b=log6(a+b)，则的值为 . 【答案】108 【解析】设，则，从而. 14．【2014高中数学联赛（第01试）】若函数在[0，+∞]上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】【解析】在[1，+∞)上，f(x)=x2+ax－a单调递增，等价于，即a≥－2. 在[0，1]上，f(x)=x2－ax+a单调递增，等价于，即a≤0. 因此实数a的取值范围是[－2，0]. 15．【2012高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】【解析】由题设知，则，因此原不等式等价于，因为f(x)在R上是增函数，所以，即. 又x∈[a，a+2]，所以当x=a+2时，取得最大值为. 因此，解得. 故a的取值范围是. 16．【2011高中数学联赛（第01试）】函数的值域为 . 【答案】【解析】设，且，则，设，则且. 所以. 17．【2010高中数学联赛（第01试）】函数的值域是 . 【答案】【解析】易知f(x)的定义域是[5，8]，且f(x)在[5，8]上是增函数，从而可知f(x)的值域为. 18．【2010高中数学联赛（第01试）】函数在区间x∈[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 【答案】【解析】令，则原函数化为， g(y)在上是递增的. 当0<a<1时，. 则，因此. 所以. 当a>1时，，，则，所以. 综上f(x)在x∈[－1，1]上的最小值为. 19．【2009高中数学联赛（第01试）】若函数，且，则 . 【答案】【解析】由题意知，，，，故. 20．【2009高中数学联赛（第01试）】使不等式对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为 . 【答案】2009 【解析】设，显然f(n)单调递减. 则由f(n)的最大值，且a为正整数，可得a=2009. 21．【2009高中数学联赛（第01试）】若方程仅有一个实根，那么k的取值范围是 . 【答案】k<0或k=4 【解析】由题意得，当且仅当 ① ② ③ 对式③，由求根公式得 ④ ，所以k≤0或k≥4. (1)当k<0时，由式③得，所以x1，x2同为负根. 又由式④知，所以原方程有一个解x1. (2)当k=4时，原方程有一个解. (3)当k>4时，由式③得，所以x1，x2同为正根，且，不合题意，舍去. 综上可得k<0或k=4即为所求. 22．【2008高中数学联赛（第01试）】设f(x)=ax+b，其中a，b为实数，f1(x)=f(x)，，n=1，2，3，…，若f7(x)=128x+381，则a+b= . 【答案】5 【解析】由题意知，由得，，因此则. 23．【2006高中数学联赛（第01试）】方程的实数解的个数为 . 【答案】1 【解析】由题意得，要使等号成立，必须，即，但是当x≤0时，不满足原方程.所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1. 24．【2005高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若成立，则a的取值范围是 . 【答案】或1<a<5 【解析】因为f(x)在(0，+∞)上定义，由得a>1或 ① 因为f(x)在(0，+∞)上是减函数，所以，解得. 结合式①知或1<a<5. 25．【2004高中数学联赛（第01试）】设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= . 【答案】【解析】因为对Vx，y∈R，有，所以有，所以，即，令y=0，得. 26．【2003高中数学联赛（第01试）】已知a，b，c，d均为正整数，且，，若a－c=9，则b－d= . 【答案】93 【解析】由已知可得，从而，因此，又由于，故，即，故得，所以，所以，，所以. 27．【2002高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1－x，则g(2002)= . 【答案】1 【解析】由得，所以，，即，，所以，所以，即g(x)是周期为1的周期函数，又，故. 28．【2001高中数学联赛（第01试）】函数的值域为 . 【答案】【解析】先平方去掉根号. 由题设得，则，由得，解得或，由于能达到下界0，所以函数的值域为. 29．【1998高中数学联赛（第01试）】若f(x)(x∈R)是以2为周期的偶函数，当时，，则由小到大的排列是 . 【答案】【解析】. ，， . 又在[0，1]是严格递增的，而，所以. 30．【1997高中数学联赛（第01试）】设x，y为实数，且满足，则x+y= . 【答案】2 【解析】原方程组化为，因为在(－∞，+∞)单调增加，用，所以，即. 31．【1995高中数学联赛（第01试）】用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程的实根个数是 . 【答案】3 【解析】由得，即. 当时，有. 代入原方程得.但不符，所以，. 当时，有. 代入原方程得，均不符. 当时，有，代入原方程得. 但不符，所以，. 当时，得. 所以原方程共有3个实根. 32．【1990高中数学联赛（第01试）】在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，联结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f(1)+f(2)+…+f(1990)= . 【答案】1326 【解析】易见n与n+3的最大公约数，当时，OAn内无整点，否则，设(m，l)为OAn内部的整点， 1≤m<n，1≤l<n+3，则由，推知，这与矛盾. 当时，设. 则OAn内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，所以. 其中[x]代表不超过实数x的最大整数. 33．【1989高中数学联赛（第01试）】(1)若，则a的取值范围是 . (2)已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l'⊥l，则l'与l的交点坐标为 . (3)设函数f0(x)=\|x\|，，，则函数y=f2(x)的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是 . (4)一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身构成等比数列，则该数为 . (5)如果从数1，2，…，14中，按由小到大的顺序取出，使同时满足与，那么所有符合上述要求的不同取法有种. (6)当s和t取遍所有实数时，则(s+5－3\|cost\|)2+(s－2\|sint\|)2所能达到的最小值是 . 【答案】答案见解析【解析】(1)0<a<1或. (2)由已知l'的斜率为，则的方程是. 解方程组得交点坐标为(2，6). (3)依次作出函数的图像，所求面积为7. (4)设该数为x，则其整数部分为[x]，小数部分为x－[x]，由已知得. 其中，解得. 由知，. 即. (5)设，，，， ,，，，. 易证f是T和T'之间的一个一一对应，所以所求的取法种数，恰好等于从S′中任意取出三个不同数的所有不同的种数，共120种. 引申这里用到的是化归思想，即把问题转化成我们熟知的，已经解决了的简单问题.对于本问题，如果仅要求就可以很快的给出结果. 做替换，则条件与就相当于，化归成功. 化归是一种很重要的数学思想方法.它的本质就是把不熟悉的问题转化成已经熟悉，已经解决的问题.化归就是化简. (6)考虑直线和椭圆弧，如图所示，则原式表示直线上任意一点与椭圆弧上任意一点之间的距离的平方，显然点A到直线的垂直距离最短，即点(3，0)到直线的距离的平方最小，为2. 34．【1987高中数学联赛（第01试）】已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，\|x\|，y}，并且M=N，那么的值等于 . 【答案】【解析】由集合相等知，两个集合的元素相同.这样，M中必有一个元素为0，又由对数的定义知xy≠0，故x，y不为零，所以，. 再由集合相等知或. 但当x=1时，将与同一个集合中元素的相异性矛盾，故只有x=－1，从而y=－1. 于是，. 故所求代数式的值为－2. 引申利用的是集合相等的基本定义：M=NM的元素可以和N建立一个一一相等的关系.这里我们是局部的看两个集合相等.有时我们则利用集合相等考虑集合的整体性质. 比如，如果是1，2，…，n的一个排列，则必有，等关系. 35．【1985高中数学联赛（第01试）】对任意实数x，y，定义运算xy为xy=ax+by+cxy，其a，b，c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算.现已知12=3，23=4并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x都有x*d=x，则d= . 【答案】4 【解析】因对任一实数x，有. 所以. 因为d≠0，所以b=0，于是，由，则，所以. 又由，所以得d=4. 优质模拟题强化训练 1．设，则有________个不同的解. 【答案】3 【解析】因为由得到，或. 由，得一个解；由得两个解，，共3个解. 2．设、为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得 . 故答案为：4 3．已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．【答案】2 【解析】由为奇函数，且其图象关于直线对称，知，且，所以，．是以8为周期的周期函数．又，，所以． 4．设是定义在上的奇函数，，当时时，是增函数，且对任意的、，都有．则函数在区间上的最大值是______．【答案】【解析】因为是奇函数，且在上是增函数，所以，在上也是增函数．于是，．又，则．故函数在上的最大值为．故答案为： 5．设函数，则不等式的解集为________. 【答案】【解析】因为，所以是奇函数。 =，由于都是定义域上的减函数，所以函数f(x)是R上的减函数，（减函数+减函数=减函数）. 由，得，所以.即，解之得：. 故答案为： 6．若，且，则___________。【答案】0或2 【解析】若或，则必有.从而，. 若且，对取以6为底的对数，得. 则，故. 综上或2. 7．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________。【答案】【解析】由已知不等式，得. 设. 因为，则.于是，有 . 由，解得. 8．若定义在上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为______. 【答案】30 【解析】由函数的图像关于直线对称，以及为奇函数知. 因此，，即是周期函数，4是它的一个周期. 由是定义在上的奇函数知. 于是，方程化为. 结合图像可知，在、内各有一个实根，且这两根之和为2；在、内各有一个实根，且这两根之和为10；在、内各有一个实根，且这两根之和为18. 故原方程在区间内有六个不同的实根，其和为30. 9．若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ______. 【答案】【解析】由已知得与的图像恰有三个交点，考虑极端情形，与相切，知. 10．已知a、b为方程的两个根.则__________. 【答案】【解析】原方程变形为 . 令. 则或-3或-3. 于是，方程的两根分别为、. 故. 11．设函数：，满足，且对任意的、都有.则________. 【答案】【解析】对于任意的、有 . 故，即.令，得. 12．函数的最小值为m，最大值为M，则_______ . 【答案】【解析】设，则t≥0且，所以. ，令. 令得t=2，，g（2）=－2. 所以. 所以. 故答案为：． 13．设f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，对任意x>0有f(x)>，则f(8)=_______ . 【答案】【解析】由题意知存在x0>0使f(x0)=3.又因f(x)是(0，+∞)上的单调函数，所以这样的x0>0是唯一的，再由得，解得或(舍).所以，. 故答案为：． 14．已知函数f(x)=-x2+x+m+2，若关于x的不等式f(x)≥\|x\|的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为____________ . 【答案】[-2,-1) 【解析】 . 令，，在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知，整数解为x=0，故，解得-2≤m<-1. 故答案为：[-2,-1)． 15．函数的值域为____________ . 【答案】【解析】解法一：. 设，则. 由，得. 所以f(x)的值域为. 解法二：. 因为时，f'(x)>0；时，f'(x)<0. 所以f(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数. 所以f(x)的值域为. 故答案为：． 16．已知的图象关于点(2,0)对称，则=____________ . 【答案】4 【解析】解法一：由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知为奇函数. 所以，解得. 所以f（1）=1+a+b+2=1-6+7+2=4 解法二：由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知对任意x∈R，. 于是，对任意x∈R，，即恒成立. 所以，解得. 所以f（1）=1+a+b+2=1-6+7+2=4 解法三：依题意，有f(x)=(x-2)3+m(x-2). 利用f(0)=-8-2m=2，得m=-5. 于是，f(x)=(x-2)3-5(x-2)，f（1）=-1-(-5)=4. 故答案为：4． 17．设函数，则y的最小值为____________ . 【答案】【解析】令，则，由于，故，由u(x)单调递减，求得，则单调递增. 所以当时，原函数取得最小值. 故答案为：. 18．已知，则x+y的最小值为__________。【答案】2 【解析】注意到，当时，. 而单调递增.故. 从而，. 当时，上式等号成立. 19．已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________. 【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为. 20．已知函数的零点，其中常数a､b满足条件，则n的值为____________ . 【答案】【解析】因为，，所以1<a<2，0<b<1，故函数f(x)在R上为增函数. 又，故由零点定理可知，函数f(x)在区间(-1，0)上有唯一的零点，则n的值是. 故答案为：．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/函数B辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题17平面解析几何C辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A,B,C在双曲线上,满足为等腰直角三角形.求的面积的最小值. 2．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆Γ中,A为长轴的一个端点,B为短轴的一个端点,为两个焦点.若,求的值. 3．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与x轴相切于的焦点F.求圆的半径. 4．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆中，F为一个焦点，A、B为两个顶点若\|FA\|=3，\|FB\|=2，求AB的所有可能值. 5．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆的左、右顶点与上、下顶点.设P，Q是上且位于第一象限的两点，满足OQ∥AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 证明:线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形. 6．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，曲线，曲线.经过C1上一点P作一条倾斜角为45°的直线l，与C2交于两个不同的点Q、R，求的取值范围. 7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点.设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A，B，焦点F1到直线l的距离为d.如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围 8．【2014高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线y2=4x的两条切线，两切点连线l与PO垂直.设直线l与直线PO，x轴的交点分别为Q，R. (1)证明R是一个定点； (2)求的最小值. 9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个点Q，R满足，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明. 10．【2012高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且. (1)求证：为定值； (2)当点A在半圆M：(x－2)2+y2=4(2≤x≤4)上运动时，求点C的轨迹. 11．【2011高中数学联赛（第01试）】作斜率为的直线l与椭圆交于AB两点(如图所示)，且在直线l的左上方. (1)证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； (2)若∠APB=60°，求△PAB的面积. 12．【2010高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=6x上的两个动点和，其中且.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值. 13．【2009高中数学联赛（第01试）】设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆交于不同两点A，B，与双曲线交于不同两点C，D，问是否存在直线l使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条?若不存在，请说明理由. 14．【2008高中数学联赛（第01试）】如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x－1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值. 15．【2007高中数学联赛（第01试）】已知过点(0，1)的直线l与曲线(x>0)交于两个不同点M和N.求曲线C在点M，N处的切线的交点轨迹. 16．【2006高中数学联赛（第01试）】给定整数n≥2，设是抛物线y2=nx－1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使为抛物线y2=kx－1与直线y=x的一个交点. 17．【2005高中数学联赛（第01试）】过抛物线y=x2上的一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足；点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程. 18．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l经过△ABC的内心(设D)，且与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围. 19．【2002高中数学联赛（第01试）】已知点A(0，2)和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围. 20．【2001高中数学联赛（第01试）】设曲线(a为正的常数)与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P. (1)求实数m的取值范围(用a表示)； (2)O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示). 21．【2000高中数学联赛（第01试）】已知和. 试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形?并证明你的结论 22．【1999高中数学联赛（第01试）】给定A(－2，2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当取最小值时，求B的坐标. 23．【1998高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=2px及定点A(a，b)，B(－a，0)(ab≠0，b2≠2pa)，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为. 求证：当点M在抛物线上变动时(只要存在且)，直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标. 24．【1993高中数学联赛（第01试）】设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹. 25．【1991高中数学联赛（第01试）】设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知OF=a，PQ=b，求△OPQ的面积. 优质模拟题强化训练 1．易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且. （1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 2．如图，椭圆，抛物线，设相交于A、B两点，O为坐标原点. （1）若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值；（2）若△ABO的外接圆经过点，求实数p的值. 3．如图所示，设k>0且k≠1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆于点A、M和A、N. （1）求的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点. 4．已知椭圆的左右焦点分别为F1､F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点.已知的最大值为3，最小值为2. （1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M､N两点(M､N不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 5．已知椭圆过点，且右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 6．．已知点是椭圆右焦点，点、分别是x轴、y上的动点，且满足，若点满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（其中为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 7．设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 8．已知离心率为的椭圆的左焦点为抛物线的准线与x轴的交点，右焦点也为抛物线的焦点，椭圆与抛物线在x轴上方的交点为P，延长，与该抛物线交于点Q，M为抛物线上一个动点，且M在点P与Q之间运动.若的边长恰为三个连续的正整数，求面积的最大值. 9．如图，已知是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中，A为椭圆的左顶点. （1）求⊙G的半径r；（2）过点M（0，1）作⊙G的两条切线与椭圆交于E、F两点，证明:直线EF与⊙G相切. 10．已知双曲线的左、右焦分别为点，过定点P(2,3)作双曲线的切线，切点分别为A、B，且点A的横坐标小于点B的横坐标。（1）求直线AB的方程；（2）证明：。 11．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点．记直线、的斜率分别为、，若，求直线的方程． 12．如图，椭圆（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°. （1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为，△OED（O坐标原点）的面积为.求的取值范围. 13．如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B．△PMA与△OAB的面积分别记为、，比较与3的大小，说明理由. 14．已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 15．过抛物线外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点.证明：（1）；（2）. 16．已知F为椭圆的右焦点，点P为直线x=4上的动点，过点P作椭圆C的切线PA､PB，A､B为切点. （1）求证：A､F､B三点共线；（2）求△PAB面积的最小值 17．已知定长为4的线段AB的两端点，分别在两条相交直线x±2y=0上移动. （1）设线段AB的中点为G，求点G的轨迹C的方程；（2）若由点P向曲线C作出的两条切线互相垂直，求证：动点P在定圆上. 18．已知椭圆C：（a>b>0）的离心率，直线y=2x－1与C交于A、B两点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记，求λ的取值范围． 19．如图所示，在平面直角坐标系，设点是椭圆上一点，左右焦点分别是、，从原点O向圆M：作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为、. (1)设直线、分别与圆交于A、B两点，当，求点A的轨迹方程； (2)当为定值时，求的最大值. 20．已知圆与曲线，，，为曲线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/平面解析几何C辑(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题08平面向量历年联赛真题汇编 1．【2005高中数学联赛（第01试）】空间四点A，B，C，D满足，，则的取值( ) A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个【答案】A 【解析】因为，由得，两边平方得，故，于是 . 只有一个值0，故选A. 2．【2004高中数学联赛（第01试）】设点O在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ) A．2 B． C．3 D．【答案】C 【解析】解法一如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则 ① ② 由式①与②得，即与共线，且，所以，所以. 故选：C. 解法二，则，所以，则，所以. 引申如果题目条件是，熟悉物理的人很容易看出可以看成是3个两两成120°的同等大小的力.如果我们把延长1倍，延长2倍，不就照样可以用这种物理方法解决本道题了吗? 另外，我们可以将问题推广至三维情形：点O在四面体ABCD内，有，？实际上，向量前面的系数无关紧要，可以取负数，无理数，并不妨碍此题的简单本质. 解决此类问题，下面的结论是关键：设C是AB上一点，则，其中. 3．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在椭圆中,A为长轴的一个端点,B为短轴的一个端点,为两个焦点.若,则的值为 . 【答案】【解析】不妨设的方程为,A(a,0),B(0,b),,,其中. 由条件知. 所以. 4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在凸四边形ABCD中,点P是四边形ABCD所在平面上一点,满足.设s,t分别为四边形ABCD与ΔPAB的面积,则= . 【答案】【解析】不妨假设AD=2,BC=4.记M,N,X,Y分别是AB,CD,BD,AC的中点,则M,X,Y,N顺次共线并且MX=XY=YN=1. 由于, 故结合条件可知.故点P在线段XY上且.设A到MN的距离为h,由面积公式可知. 5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】平面直角坐标系中，已是单位向量，向量满足，且对任意实数t成立，则的取值范围是 . 【答案】【解析】不妨设.由于，可设，则对任意实数t，有，这等价于，解得，即. 于是. 6．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】若平面向量与垂直，其中m为实数，则的模为 . 【答案】【解析】令2m=t，则t>0.条件等价于，解得t=3. 因此的模为. 7．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设O为△ABC的外心，若，则sin∠BAC的值为 . 【答案】【解析】不失一般性，设△ABC的外接圆半径R=2.由条件知， ① 故. 取AC的中点M，则OM⊥AC，结合①知OM⊥BO，且B与A位于直线OM的同侧. 于是. 在△BOC中，由余弦定理得，进而在△ABC中，由正弦定理得. 8．【2015高中数学联赛（第01试）】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC上(包含点D，C)的动点P与CB延长线上(包含点B)的动点Q满足，则向量与向量的数量积的最小值为 . 【答案】【解析】不妨设A(0，0)，B(2，0)，D(0，1).设P的坐标为(t，1)(其中0≤t≤2)，则由得Q的坐标为(2，－t)，故，, 因此，当时. 9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点A，B在抛物线y2=4x上，满足，F是抛物线的焦点，则 . 【答案】【解析】点F坐标为(1，0).设，则, 故，即，故，. 10．【2012高中数学联赛（第01试）】设P是函数的图像上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则的值是 . 【答案】【解析】解法一设，则直线PA的方程为，即，由得，又，所以，故. 解法二如图，设，则点P到直线x－y=0和y轴的距离分别为，. 因为O，A，P，B四点共圆(O为坐标原点)，所以，故. 11．【2007高中数学联赛（第01试）】在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于 . 【答案】【解析】因为，所以，即，因为，，，所以，即，设与的夹角为，则有，即，所以. 12．【2016高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，已知，求sinC的最大值. 【答案】【解析】由数量积的定义及余弦定理知，，同理得，. 故已知条件化为，即. 由余弦定理及基本不等式，得，所以. 等号成立当且仅当.因此sinC的最大值是. 优质模拟题强化训练 1．已知向量，且．若，则的最小值为（）． A． B．26 C． D．24 【答案】B 【解析】作正方形，连接对角线，令、分别为对角线、边上一点，使得，，，. 故. 2．设、为两个相互垂直的单位向量,已知,若△PQR为等边三角形，则k、r的取值为( ) A． B． C． D．【答案】C 【解析】注意到 .选C. 3．已知点P、Q在△ABC内，且，则等于（）. A． B． C． D．【答案】A 【解析】由题设知，，故，所以. ，故. 故答案为A 4．的三边长分别为，，．若，则，，中小于0的个数为（　　）． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】如图，以为斜边、为直角边作；以为斜边、为直角边作，使在的延长线上．则．同理，作、、、，使，，有，．可见，图所得到的就是已知三角形（全等），这个三角形的三条高线为，，．由三角形面积公式有．则，，．从而，中的最大角为．由余弦定理得．可见，为锐角，为锐角三角形，得．同理，，．选A. 5．满足．则是（）． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】D 【解析】设的中点为.则 . 故答案为D 6．抛物线的准线与轴交于点.过作直线交抛物线于点，点在抛物线对称轴上，且.则的取值范围是（）. A． B． C． D．【答案】D 【解析】注意到点.过作直线，其方程设为.代入抛物线方程得 . 而，则. 设点中点为. 由. 则的取值范围是. 7．已知的外接圆圆心为，.则（）. A．>>. B．>>. C．>> D．>> 【答案】A 【解析】设的外接圆半径为.则,,.又由，可知.故，即.所以>>. 8．已知空间四边形.则（）. A． B． C． D．【答案】D 【解析】 . 故答案为D 9．设为所在平面内一动点.则使得取得最小值的点是的（）. A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】C 【解析】注意到 ① 当，即为的重心时，式①取得最小值故答案为C 10．设椭圆的一个焦点为，点在轴上，直线交椭圆于点、、则实数（） A． B． C． D．【答案】C 【解析】不妨设，记、，设，即，解得，，代入椭圆方程整理得，故. 故答案为C 11．已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______．【答案】【解析】因为，所以，所以． 12．设H是△ABC的垂心，且，则_____________. 【答案】【解析】题设得.再由，得，.故. 故答案为 13．△ABC的三边分别为a、b、c，点O为△ABC的外心，已知，那么的取值范围是____________ . 【答案】【解析】延长AO交△ABC的外接圆于D，得到 . 因为，所以b∈(0，2)，故. 故答案为：． 14．设正六边形ABCDEF的边长为1，则______ . 【答案】－3 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设C(1，0)，则，. 于是，，于是. 故答案为：． 15．在平面上，，，，若，则的取值范围是________. 【答案】【解析】因为, 则为矩形,以所在直线为轴,以为轴建立平面直角坐标系.如下图所示: 设, 则,,, 因为所以变形可得因为,即由以上两式可得即因为,即所以则综上可知因为所以,即故答案为: 16．已知为△ABC的内心，且.记R､r分别为△ABC的外接圆､内切圆半径，若，则R=____________ . 【答案】32 【解析】解法一：如图，取BC的中点D，依题意，有. 所以A､I､D三点共线，AB=AC.由r=ID=15，知IA=24. 作IE⊥AB于E，则IE=ID=15， . 所以. 又. 所以. 解法二：依题意，有. 由三角形内心的向量表示：若a､b､c分别为△ABC的内角A､B､C的对边，I为△ABC的内心，则. 可得，a：b：c=5：4：4，设a=10k，则b=c=8k. 作AD⊥BC于D，则，. 又r=15，，因此，. 又，所以. 故答案为：32． 17．已知向量满足，且，若为的夹角，则_______ . 【答案】【解析】因为，所以，所以. 因为，所以. 又因为k∈Z+，所以k=2，所以. 故答案为：． 18．在直角坐标系中，已知三点，，.若与在方向上的射影相同，则______. 【答案】2 【解析】解法1 向量、在方向上的射影分别为、. 依题意得，即.故. 解法2因为向量与在方向上的射影相同，所以，，即. 故，即. 19．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆⊙Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为⊙Q上及内部的动点，设向量.则m＋n的取值范围是_______. 【答案】［2，5］【解析】由已知得，则=. 注意到，等于在方向的投影乘以. 当点Q在点c处、点P在BC上时，在方向的投影最短为2；当点Q在点D处、点P在AD上时，在方向的投影最长为5. 综上，故答案为［2，5］ 20．在中，，的平分线交于，且有．若，则______．【答案】【解析】过点作交于点，交于点，由题设，所以，，．因此，所以，，因此．所以．由此得．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/平面向量(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题27数列A辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】给定整数.设是4n个非负实数,满足 , 且对任意,有(这里) 求的最小值. 2．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】设.证明:对整数必有一个模4余1的素因子. 3．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】给定整数n≥2.设,满足,且对任意i,j(1≤i<j≤n),均有.求的最小值. 4．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】设整数满足. 记. 求f的最小值f0.并确定使f=f0成立的数组的个数. 5．【2018高中数学联赛A卷（第02试）】设n是正整数，均为正实数，满足，且. 证明:. 6．【2018高中数学联赛A卷（第02试）】数列{an}定义如下:a1是任意正整数，对整数n≥1，an+1是与互素，且不等于的最小正整数. 证明:每个正整数均在数列{an}中出现. 7．【2017高中数学联赛A卷（第02试）】设数列{an}定义为a1=1，，. 求满足的正整数r的个数. 8．【2017高中数学联赛B卷（第02试）】设∈{1，2，…，5}，∈{1，2，…，10}，集合，求X的元素个数的最大值. 9．【2016高中数学联赛（第02试）】设实数满足(i=1，2，…，2015). 求的最大值. 10．【2016高中数学联赛（第02试）】设p与p+2均是素数，p>3.数列{an}定义为a1=2，，n=2，3，….这里表示不小于实数x的最小整数. 证明:对n=3，4，…，p－1均有成立. 11．【2015高中数学联赛（第02试）】设为实数，证明：可以选取，使得 ① 12．【2013高中数学联赛（第02试）】给定正整数u，v.数列{an}定义如下：a1=u+v，对整数m≥1，有，记.证明：数列{Sn}中有无穷多项是完全平方数. 13．【2012高中数学联赛（第02试）】设是正整数.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a，b，数列中有无穷多项属于(a，b).这里，[x]表示不超过实数x的最大整数. 14．【2011高中数学联赛（第02试）】设是给定的正实数，.对任意正实数r，满足r(1≤i<j<k≤n)的三元数组(i，j，k)的个数记为fn(r).证明：. 优质模拟题强化训练 1．对于函数，若，则称为的不动点。已知函数，，且在其定义域内有唯一的不动点。（1）求表达式；（2）若数列满足，求。 2．已知实数数列满足,.其中,表示不超过实数的最大整数.求. 3．给定正数，若存在一个无穷正数数列满足：.证明：. 4．对于正整数，若存在1，2，…，的一个排列满足（），则称为“循球数”.证明：（1）9、11都是循环数；（2）为循环数的一个必要不充分条件是为质数. 5．已知数列满足，，. （1）求的通项公式；（2）令，为数列的前项和，证明：. 6．已知数列满足，且．设（表示不超过实数的最大整数），，试求的最小值． 7．设是给定的大于1的正整数．对任意，当时，试求的最大值． 8．已知是非负整数组成的数列,满足 ,且.若是数列的前项和,求证: ,并指出等号成立的条件. 9．设，. 证明: . 10．已知数列满足，.求证：. 11．设为非负实数,满足: (1); (2). 求的最大值和最小值. 12．对任意给定的正整数，数列满足，且．（1）求；（2）记，求证：从中任取个互不相同的数时，总存在取出的两个数、，使． 13．设、、成等差数列，；、、成等比数列，.若、<math display='block' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo><msub> <mi>b</mi><math display='block' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo><msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </math> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </math> 、是正整数且成等比数列，求的最大值. 14．已知各项均不小于1的数列满足：，，，试求：（1）数列的通项公式；（2）的值. 15．已知．数列满足，且，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切正整数均有． 16．设函数满足：（1）对于任意的都有；（2）对任意的，都有.令. 证明：. 17．已知、、为实数，对大于1的整数都有．（1）若、、成等差数列，求证：、、也成等差数列；（2）若、、成等差数列，找一个反例，使、、不成等差数列；（3）对，若、、成等差数列，且公差不为0，问：、、是否成等差数列？证明你的结论． 18．试求所有满足下列条件的数列的个数: (1)各项是不小于2的整数; (2)所有各项的和等于定值. 19．数列满足：. （1）是否存在常数λ、μ，使得数列是等比数列?若存在，求λ、μ的值；若不存在，说明理由 . （2）设.证明：当n ≥2时，. 20．是否存在一个正整数数列，满足，其中，为的最大公约数，且数列中至少有个不同的数. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/数列A辑(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题14排列组合历年联赛真题汇编 1．【2004高中数学联赛（第01试）】设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( ) A．45个 B．81个 C．165个 D．216个 2．【1999高中数学联赛（第01试）】在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．【1986高中数学联赛（第01试）】平面上有1个点集M和7个不同的圆，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点……圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( ) A．11 B．12 C．21 D．28 4．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】现有10张卡片,每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数,且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中,规定写有i,j的卡片只能放在i号或j号盒子中.一种放法称为"好的",如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则"好的"放法共有种. 5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】将6个数2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为 . 6．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】将5个数2，0，1，9，2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为 . 7．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”平稳数的个数是 . 8．【2011高中数学联赛（第01试）】现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 (用数字作答). 9．【2008高中数学联赛（第01试）】将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有1个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种. 10．【2007高中数学联赛（第01试）】将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种(用数字作答) 11．【2001高中数学联赛（第01试）】在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案. 12．【2000高中数学联赛（第01试）】如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；(2)a≠b，b≠c，c≠d，d≠a；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是 . 13．【1998高中数学联赛（第01试）】从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有种. 14．【1997高中数学联赛（第01试）】设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到点D，则停止跳动；若5次之内不能到达点D，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有种. 15．【1996高中数学联赛（第01试）】在直角坐标平面上，以(199，0)为圆心，以199为半径的圆周上，整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为 . 16．【1993高中数学联赛（第01试）】三位数(100，101，…，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是86(1倒过看仍视为1)；有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以打印张卡片. 17．【1990高中数学联赛（第01试）】8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，那么，共有种不同的排列方法(只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的) 18．【1987高中数学联赛（第01试）】五对孪生兄妹参加k个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.则k的最小值是 . 19．【1983高中数学联赛（第01试）】三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个. 优质模拟题强化训练 1．乒乓球集训队有10名队员，每两人组成一对练球，其不同的组对方式共有（　　）种． A．972 B．945 C．864 D．891 2．已知.若集合中任两个元素的和都不能被6整除，则集合中元素的个数最多为（）. A．36 B．52 C．74 D．90 3．如图是一个红方（楷体字）必胜的象棋残局，若红方不动马，只动兵，那么，将死黑将的最短走法种数是（） A．12 B．15 C．17 D．21 4．在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个侧面的中心点、1个体的中心点这27个点中，“共面6点组”的个数是（）。 A．1320 B．1326 C．1332 D．1336 5．设、、，，，.则解的个数为（）. A．6 B．7 C．8 D．9 6．将1，2，3，……，9这9个数全部填入如图所示的3×3方格内，每个格内填一个数，则使得每行中的数从左至右递增，每列中的数从上至下递减的不同填法共有（）种 A．12 B．24 C．42 D．48 7．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=15，BC=20.则顶点B与斜边各点的连线中(含边AB、BC)长度为整数的线段条数是（） A．9 B．10 C．11 D．12 8．一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足，（如12430，13531等）.则在所有五位数中“凸”数的个数是（）. A．8568 B．2142 C．2139 D．1134 9．在平面上,三角形顶点坐标为,其中,是整数且满足(为整数),这样的三角形有个.则的值为(). A．3 B．4 C．5 D．6 10．空间中有5个点，任意4点不共面. 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中至多有三角形（）个. A．3 B．4 C．5 D．6 11．一个150×324×375的长方体，是由1×1×1的单位立方体拼在一起构成的，则该长方体的一条对角线穿过____________ 个不同的单位立方体. 12．在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________. 13．称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为____________ . 14．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是________. 15．将一个棋盘中的8个小方格染为黑色,使得每行、每列都恰有2个黑色方格则有______种不同的染法 16．有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用．如果随意在每一个匣内放入一把钥匙，然后把匣子全都锁上．现在允许砸开一个匣子，使得能相继用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有______种． 17．集合、满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为______． 18．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有______个． 19．欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法. 20．从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个. 高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/排列组合(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题13不等式B辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设正实数a,b,c满足,求的最小值. 【答案】6 【解析】由题设条件得, 由柯西不等式可得：, 即,故. 又由柯西不等式得 , 所以, 当a=b=c=1时等号成立. 故的最小值是6. 2．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设k、m为实数，不等式对所有x∈[a，b]成立.证明:. 【答案】证明见解析【解析】令f(x)=x2－kx－m，x∈[a，b]则f(x)∈[－1，1].于是 ① ② ③ 由①+②－2×③知，，故. 3．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设是非负实数，满足，求的最小值和最大值. 【答案】最小值为1；最大值为. 【解析】由柯西不等式，当时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为 . 当时不等式等号成立，故欲求的最大值为. 4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设不等式对所有x∈[1，2]成立，求实数a的取值范围. 【答案】3<a<5. 【解析】设，则t∈[2，4]，于是对所有t∈[2，4]成立. 由于 . 对给定实数a，设f(t)=(2t－a－5)(5－a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数. 注意t∈[2，4]，因此f(t)<0等价于，解得3<a<5. 所以实数a的取值范围是3<a<5. 5．【2015高中数学联赛（第01试）】若实数a，b，c满足，求c的最小值. 【答案】【解析】将分别记为x，y，z，则x，y，z>0. 由条件知，故. 因此，结合平均值不等式可得. 当，即时，z的最小值为(此时相应的x值为，符合要求). 由于c=log2z，故c的最小值为. 6．【2013高中数学联赛（第01试）】给定正数数列{xn}满足，这里. 证明：存在常数C>0，使得. 【答案】证明见解析【解析】当n≥2时，等价于 ① 对常数，用数学归纳法证明 ② n=1时结论显然成立.又，对n≥3，假设，则由式①知 . 所以，由数学归纳法知，式②成立. 7．【2009高中数学联赛（第01试）】求函数的最大值和最小值. 【答案】y的最小值为；最大值为11. 【解析】函数的定义域为[0，13].因为，当x=0时，等号成立，故y的最小值为，又由柯西不等式得，所以，由柯西不等式等号成立的条件，得，解得x=9. 故当x=9时，等号成立.因此y的最大值为11. 8．【2008高中数学联赛（第01试）】解不等式. 【答案】【解析】解法一由且log2y在(0，+∞)上为增函数，故原不等式等价于，即，分组分解，可得，所以，即，所以，即，故原不等式解集为. 解法二由，且log2y在(0，+∞)上为增函数，故原不等式等价于，即，则，令，则不等式转化为，显然g(t)=t3+2t在R上为增函数，由此原不等式等价于，即，解得，故原不等式解集为. 9．【2003高中数学联赛（第01试）】设，证明不等式. 【答案】证明见解析【解析】由于，因此(当且仅当a=b=c=d时取等号). 取，则，因为不能同时相等. 所以. 10．【2000高中数学联赛（第01试）】设Sn=1+2+3+…+n，n∈N，求f(n)=的最大值. 【答案】50 【解析】由题意得，，，故f(n)的最大值是50. 11．【1992高中数学联赛（第01试）】求证：. 【答案】证明见解析【解析】由得. 故，即得. 从而(1≤m≤n，m为自然数) 取n=80，m=1，得，取n=80，m=2，得，所以. 12．【1991高中数学联赛（第01试）】已知0<a<1，x2+y=0，求证：. 【答案】证明见解析【解析】因，有，从而. 现有. 故得所证不等式. 13．【1988高中数学联赛（第01试）】已知a，b为正数，且，试证：对每一个n∈. 【答案】证明见解析【解析】解法一(1)n=1时，左边=0=右边，命题成立. (2)假设n=k时，不等式成立，即有. 于是，当n=k+1时，左边. 所以. 故. 又，故，. 所以，左边右边. 由情形(1)及(2)，对一切n∈N，不等式成立. 解法二由条件，. 所以 . 优质模拟题强化训练 1．设是正实数,满足 .则的最大值是______. 【答案】【解析】由已知条件得则于是, . 当时,上式等号成立. 故的最大值是. 2．已知xyz+y+z=12，则的最大值为____________ . 【答案】3 【解析】由已知条件有，，则，当且仅当，y=z=4时取得最大值3. 故答案为：3． 3．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 【答案】【解析】解法一：设，可解得，从而，当且仅当时取等号. 故答案为：．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：，，所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 4．设，且.则的最小值是______. 【答案】2 【解析】由于，由于，故，则原式，即的最小值是2. 5．设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______. 【答案】【解析】由柯西不等式得，当且仅当，即,时,等号成立. 6．在中，，则的最小值为______. 【答案】【解析】由，知于是注意到，当且仅当时等号成立.于是，，所以，所求的最小值是. 故答案为： 7．实数x、y满足，则的最大值是____________ 【答案】42 【解析】注意，，，这三者相加即得. 当，时等号成立，所以的最大值是42. 也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值为42. 故答案为：42 8．设，则的最小值为_____. 【答案】【解析】，其中等号成立的条件是，即. 当时，，当，时达到最小值. 当时，，当时达到最小值. 故答案为： 9．设、为正实数，且，.则______. 【答案】【解析】由，得. 又，即. ① 于是， ② 再由式①中等号成立的条件，得.与式②联立解得或故. 故答案为：-1 10．已知，则xy+yz+zx的最小值为________ 【答案】【解析】由，知所求最小值为，当x+y+z=0且时取到. 例如，即可. 11．若对任意的，均有，则实数的取值范围是__________。【答案】【解析】注意到， . 当时，. 故. 12．若实数x、y、z满足，，则_____. 【答案】【解析】由柯西不等式得，由已知得，，所以有，化简得，即、为方程的两根，由韦达定理得. 13．若正实数满足，则的最小值是______．【答案】4 【解析】得，设（），则，当且仅当时等号成立，故的最小值是4． 14．设正实数满足，则的最小值为______. 【答案】6 【解析】由三元均值不等式，可得 ① . ② 当且仅当时，①中等号成立；当且仅当时，②中等号成立. ①+②，得. 又已知，故，整理得.当且仅当时等号成立.所以，的最小值为6. 15．设函数，则不等式的解集为________. 【答案】【解析】因为，所以是奇函数。 =，由于都是定义域上的减函数，所以函数f(x)是R上的减函数，（减函数+减函数=减函数）. 由，得，所以.即，解之得：. 故答案为： 16．若，则的最小值为______．【答案】【解析】．当且仅当即时等号成立． 17．设实数a满足.则a的取值范围是________. 【答案】【解析】由. 则由原不等式得: . 又，故. 18．设为的重心，若，则的最大值为______. 【答案】【解析】设的中点为，因为，故是直角三角形，所以. 又因为为的重心，所以. 由三角形的中线长公式可得，所以 . 所以，当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 19．若直线ax－by+2=0(a>0，b>0)和函数的图象均恒过同一个定点，则的最小值为________. 【答案】【解析】因为y=cx+2+2过定点P(－2，3)，所以直线也过定点P(－2，3)，于是－2a－3b+2=0，即2a+3b=2. 因为，所以，当时等号成立.故最小值为. 故答案为：． 20．已知x，y∈[0，+∞)，则x3+y3－5xy的最小值为________. 【答案】【解析】因为，当x=y=时等号成立故最小值为. 故答案为：．高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/不等式B辑(解析版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题04函数C辑历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】对正整数及实数,定义, 其中表示不超过实数的最大整数,. 若整数满足, 求的值. 2．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设a、b、c均大于1，满足，求的最大值. 3．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知定义在R上的函数，设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围. 4．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知定义在R上的函数f(x)为，设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围. 5．【2016高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是R上的奇函数，f(1)=1，且对任意x<0，均有. 求的值. 6．【2013高中数学联赛（第01试）】求所有的正实数对(a，b)，使得函数f(x)=ax2+b满足：对任意实数x，y，有. 7．【2011高中数学联赛（第01试）】设函数，实数a，b(a<b)满足，，求a，b的值. 8．【2010高中数学联赛（第01试）】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，当0≤x≤1时，，试求a的最大值. 9．【2006高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x2+a.记，，. 证明：. 10．【2004高中数学联赛（第01试）】已知是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数的定义域为. (1)求； (2)证明：对于，若，则. 11．【2002高中数学联赛（第01试）】设二次函数满足条件： (1)当x∈R时f(x－4)=f(2－x)，且f(x)≥x； (2)当x∈(0，2)时，； (3)f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f(x+t)≤x. 12．【2000高中数学联赛（第01试）】若函数在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]. 13．【1998高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式\|f(x)\|≤5都成立.问：a为何值时，最大?求出这个最大的，证明你的结论. 14．【1997高中数学联赛（第01试）】设双曲线xy=1的两支为(如图)，正△PQR的三顶点位于此双曲线上. (1)求证：P，Q，R不能都在双曲线的同一支上； (2)设P(－1，－1)在C2上，Q，R在C1上，求顶点Q，R的坐标. 优质模拟题强化训练 1．已知定义在上的函数满足. （1）当时，求；当时，求. （2）若有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式. 2．设函数（a≠0）满足，，，求当时的最大值． 3．设，且对任意实数b均有，求a的取值范围. 4．已知正整数n都可以唯一表示为 ①的形式，其中m为非负整数，（，），.试求①中的数列严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和. 5．已知函数，求该函数的值域． 6．若函数满足：对任意实数，方程的解的个数为偶数（可以是0个，但不能是无数个），则称为“偶的函数”.证明：（1）任何多项式均不是偶的函数；（2）存在连续函数是偶的函数. 7．已知函数，证明：f(x)在区间(0,1)上必有零点。 8．记表示不超过实数的最大整数．证明：（1）方程的解为整数；（2）方程有非整数解． 9．设是上的不减函数，且满足：（1）；（2）；（3），求的值． 10．设函数，常数，且对任意，恒成立.求实数a的取值范围. 11．是否存在上的周期函数、，使得对任何，有？ 12．试求出所有满足下述条件的函数：（1）是定义在上的单调函数；（2）对任意实数x、y都有；（3）． 13．试求出所有的函数：，使得对于任何的、.都有. ① 14．已知，对任意实数成立．求的解析式． 15．求的最小值. 16．已知是定义在实数集上的函数，，对任意，有， ① ②，求的值. 17．定义在上的函数满足：，且对任意，有.求最小的实数，使得对任意，都有. 18．已知函数，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a的值. 19．当时，求函数的最小值的表达式. 20．已知函数，其中，a为正常数。若恰有两组解(m,n)，使得f(x)在定义域[m,n]上的值域也为[m,n]，求a的取值范围。高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/函数C辑(原卷版).docx
下载来源：高中数竞资料群:758824914，强基计划资料群：531448000，备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题18立体几何与空间向量A辑历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】若三个棱长均为整数(单位：cm)的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为( ) A．764cm3或586cm3 B．764cm3 C．586cm3或564cm3 D．586cm3 2．【2007高中数学联赛（第01试）】在正四棱锥P－ABCD中，∠APC=60°，则二面角A－PB－C的平面角的余弦值为( ) A． B． C． D． 3．【2006高中数学联赛（第01试）】在直三棱柱中，.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为( ) A． B． C． D． 4．【2005高中数学联赛（第01试）】如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体.任作平面与对角线AC'垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则( ). A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值 5．【2004高中数学联赛（第01试）】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥C－HPC的体积最大时，OB的长是( ) A． B． C． D． 6．【2003高中数学联赛（第01试）】四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于( ) A． B． C． D． 7．【2002高中数学联赛（第01试）】曲线围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1.满足的点(x，y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则( ) A． B． C． D． 8．【2001高中数学联赛（第01试）】命题I：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题Ⅱ：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题Ⅲ：长方体中，必存在到各面距离相等的点以上三个命题中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．【1999高中数学联赛（第01试）】给定下列两个关于异面直线的命题：命题I：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么，c至多与a，b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线.那么，( ) A．命题I正确，命题Ⅱ不正确 B．命题Ⅱ正确，命题I不正确 C．两个命题都正确 D．两个命题都不正确 10．【1998高中数学联赛（第01试）】设E，F，G分别是正四面体ABCD的棱AB，BC，CD的中点，则二面角C－FG－E的大小是( ) A． B． C． D． 11．【1998高中数学联赛（第01试）】在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( ) A．57 B．49 C．43 D．37 12．【1997高中数学联赛（第01试）】如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，记，其中表示EF与AC所构成的角，表示EF与BD所构成的角，则( ) A．在(0，+∞)单调增加 B．在(0，+∞)单调减少 C．在(0，1)单调增加，而在(1，+∞)单调减少 D．在(0，+∞)为常数 13．【1997高中数学联赛（第01试）】如果空间三条直线a，b，c两两构成异面直线，那么a，b，c都相交的直线有( ) A．0条 B．1条 C．多于1的有限条 D．无穷多条 14．【1996高中数学联赛（第01试）】高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台上底面、侧面都相切圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 15．【1995高中数学联赛（第01试）】设O是正三棱锥P－ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与P－ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q，R，S，则和式( ) A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．既有最大值又有最小值，两者不等 D．是一个与面QPS无关的常数 16．【1994高中数学联赛（第01试）】在正n棱锥中，相邻两侧面所构成的二面角的取值范围是( ) A． B． C． D． 17．【1992高中数学联赛（第01试）】设四面体四个面的面积分别为，它们的最大值为S，记，则一定满足( ) A． B． C． D． 18．【1991高中数学联赛（第01试）】由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A．4 B．8 C．12 D．24 19．【1989高中数学联赛（第01试）】以长方体8个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( ) A．0 B．6 C．8 D．24 20．【1988高中数学联赛（第01试）】已知三个平面，每两个平面之间的夹角都是，且.若有命题甲：；命题乙：a，b，c相交于一点.则( ) A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件 D．A，B，C都不对 21．【1986高中数学联赛（第01试）】如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 22．【1984高中数学联赛（第01试）】若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是F(x)，则函数F(x)在其定义域上( ) A．是增函数但无最大值 B．是增函数且有最大值 C．不是增函数且无最大值 D．不是增函数但有最大值 23．【1981高中数学联赛（第01试）】给出长方体，下列12条直线:，，中有多少对异面直线( ). A．30对 B．60对 C．24对 D．48对优质模拟题强化训练 1．已知正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值为，则此三棱锥的高h与其内切球半径r之比是（） A．5 B．6 C．7 D．8 2．下面左边的平行四边形ABCD是由6个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可以得到如右图所示的粽子形状的六面体，在这个六面体中，AB与CD夹角的余弦值是（）. A．0 B．1 C． D． 3．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能是①三角形，②梯形，③五边形，④六边形中的（）. A．①③ B．③④ C．②④ D．以上都不对 4．已知在凸四边形所在的平面外有一点，又知、、、、、分别为、、、、、的中点，则（） A．、、、四点共面，且 B．、、、四点不共面，且 C．、、、四点共面，且 D．、、、四点不共面，且 5．如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为.则与侧面所成的角是（）. A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，已知O(0， 0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则到面OAB、面OBC、面OAC、面ABC的距离相等的点的个数是（） A．1 B．4 C．5 D．无穷多 7．若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（） A． B． C． D． 8．在正方体的8个顶点及正方体的中心共9个点中，共面的四点组的个数是（）. A．28 B．32 C．36 D．40 9．如图.设为正三棱锥（底面是正三角形），作底面，为垂足. 为高上一点，且.过点作底面的平行截面分别交三条棱、、于点、、.点在线段上，过点作底面的平行截面平分正三棱台的体积.则等于（）. A． B． C． D． 10．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直. 那么，这两个二面角的平面角的大小关系是（）. A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 11．设正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，过与侧棱、相交的截面为.则截面周长的最小值为（）. A． B．11 C．12 D． 12．如图，在矩形中，，，为矩形的中心，平面，，且在边上存在唯一的点，使得.若平面与平面所成的角为，则为（）. A． B． C． D． 13．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，侧面与底面所成的二面角的平面角的大小分别为，底面的面积为．若，则关于的正确说法是（）． A．等于 B．等于 C．等于 D．条件不够，无法确定 14．半径为的两个球相切，且都与二面角的两个面相切，第三个球和二面角的两个面也相切，且同时与这两个半径为的球相切．已知二面角的平面角为60°，且第三个球的半径大于．则第三个球的半径为（）． A． B． C． D． 15．从正方体的8个顶点中任取4个不在同一平面上的点、、、组成二面角.则这样大小不同的二面角共有（）个 A．28 B．27 C．9 D．8 16．已知在三棱锥中，，，，并且、与所在平面所成的角相等.若，到平面的距离为4，则异面直线与之间的距离为（）. A． B． C． D． 17．正方体的截面不可能是（） ①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形. A．①②⑤ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤ 18．已知是边长为1的正方体，为线段上的动点，为底面上的动点.则的最小值为（）. A． B． C．2 D． 19．如图，在三棱锥中，底面于于．若，则当的面积最大时，的值为（）． A．2 B． C． D． 20．设是正三棱锥底面的中心，过的动平面与的三条侧棱或其延长线的交点分别记为，，。则和式（） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．既有最大值又有最小值，且二者不等 D．是一个与平面位置无关的常量高中奥数教练群：195949359，高中奥数学生解题群：591782992，	1	positive_file/高中数学竞赛试卷/【高中数学联赛试卷（含预赛）】》》》》》》》》》》》》/高中数学联赛真题分类汇编/高中数学联赛真题分类汇编/立体几何与空间向量A辑(原卷版).docx
下载来源：生物竞赛资料群：369691871，强基计划资料群：531448000， 2015 年黑龙江省生物学知识联赛试卷注意事项：1．考试时间为90分钟，请将试题答案写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。 2．本试卷只采取不定项选择一种形式，单选与多选混排，每小题只标明分数，不标单选或多选，考生自行判断作答，答案完全正确才能得分，试卷总分为ll0分。 1．下图为某同学制作的脱氧核苷酸对模型，其中正确的是 (1分) 2．蓝藻细胞的直径大多为(1分) A．10 nm B．10μm C．0．5μm D．70 mm 3．硅肺是矿工中常见的一种职业病，造成原因是由于产生了功能异常的细胞器(1分) A．线粒体 B．溶酶体 C．中心体 D．核糖体 4．原核生物鞭毛运动的能量来自 (1分) A．ATP B．电化学势 C．磷酸化 D．磷酸烯醇式丙酮酸 5．叶绿体DNA能指导自身小部分蛋白质在叶绿体内合成，下列叙述正确的是 (2分) A．叶绿体DNA可转录 B．叶绿体DNA是遗传物质 C．叶绿体内存在核糖体 D．叶绿体功能不受细胞核调控 6．下列属于主动运输方式的是 (1分) A．葡萄糖进入红细胞 B．肾小管对钠离子的重吸收 C．氧从肺泡进入血液 D．肌肉细胞中氧的运动 7．生物体的生命活动离不开水，下列叙述错误的是 (1分) A．在最基本生命系统中，H2O有自由水和结合水两种存在形式 B．由氨基酸形成多肽链时，生成物H20中的氢来自氨基和羧基 C．有氧呼吸时，生成物H2O中的氢来自线粒体中丙酮酸的分解 D．H2O在光下分解，产生的[H]将固定的C02还原成(CH20) 8．下列关于生命的物质基础和结构基础阐述错误的是 (1分) A．C、H、O、N、P是ATP、染色质、核苷酸共有的化学元素 B．所有生物细胞中都含有ATP和酶 C．糖蛋白、抗体、受体、限制酶都是具有识别作用的物质 D．线粒体、核糖体、染色体、叶绿体、高尔基体等结构中都含有核酸 9．下列关于细胞共性的描述正确的是(1分) A．所有细胞内都含有染色质(或染色体) B．所有细胞都具有细胞质和细胞膜 C．所有细胞都能进行分裂和分化 D．所有细胞都能进行有氧呼吸 10．细胞中的三羧酸循环反应发生在(1分) A．细胞质基质中 B．线粒体基质中C．叶绿体基质中 D．细胞核基质中 11．某植物在早春开花时，花序细胞的耗氧速率高出其他细胞l00倍以上，但单位质量葡萄糖生成ATP的量却只有其他细胞的40％。此时的花序细胞(2分) A．主要通过无氧呼吸生成ATP B．产生的热量远多于其他细胞 C．线粒体基质不参与有氧呼吸 D．没有进行有氧呼吸的第三个阶段 12．下列关于氨基酸和蛋白质的叙述，错误的是(1分) A．甲硫氨酸的R基团是-CH2-CH2-S—CH3，则它的分子式是C5H1102NS B．酪氨酸几乎不溶于水，而精氨酸易溶于水，这种差异是由R基团的不同引起的 C．n个氨基酸共有m个氨基，则这些氨基酸缩合成的一个多肽中的氨基数必为m-n D．甜味肽的分子式为C13H1605N2，则甜味肽一定是一种二肽 13．对一动物细胞某细胞器的组分进行分析，发现A、T、C、G、U五种碱基的相对含量分别约为35％、0％、30％、20％、l5％，则该细胞器能完成的生命活动是(1分) A．结合mRNA，合成多肽链 B．加工蛋白质，分泌到细胞外 C．发出星射线，形成纺锤体 D．进行有氧呼吸，产生CO2 14．在诱导离体菊花茎段形成幼苗的过程中，下列生命活动不会同时发生的是(1分) A．细胞的增殖与分化 B．光能的吸收与转化 C．ATP的合成与分解 D．基因的突变与重组 15．下图为哺乳动嘲红细胞的部分生命历程，除成熟红细胞外，其余细胞中均有核基因转录的RNA。下列叙述错误的是（1分) A．成熟红细胞在细胞呼吸过程中不产生二氧化碳 B．网织红细胞仍然能够合成核基因编码的蛋臼质 C．造血干细胞与幼红细胞中基因的执行情况不同 D．成熟红细胞衰老后控制其凋亡的基因开始表达 16．下列可以用“酶的作用条件较温和”原理进行解释的生物学现象是(1分) A．“沸水浸泡过的加酶洗衣粉的洗涤效果不佳"和“低温保存的食物不易腐败" B．“人发高烧时，浑身无力，食欲下降”和“寒冷时，人不由自主地打寒战” C．“胃蛋白酶进入小肠后不再催化蛋白质水解”和“胰岛素只能注射” D．“高原反应”和“不能用纯氧抢救煤气中毒的病人” 17．下列属于原核生物的一组是(1分) (1)蓝藻(2)念珠藻(3)颤藻(4)衣藻(5)痢疾杆菌(6)痢疾内变形虫(7)根霉(8)链霉菌 A．(1)(2)(5)(6) B．(1)(5) C．(1)(2)(3)(5)(7) D．(1)(2)(3)(5)(8) 18．在不同C02浓度条件下分别培养蓝藻，测定净光合速率和呼吸速率(光合速率=净光合速率+呼吸速率)，结果见右图。下列叙述正确的是 (2分) A．与d3浓度相比，d1浓度下单位时间内蓝藻细胞光反应生成的H多 B．与d2浓度相比，d3浓度下单位时间内蓝藻细胞呼吸过程产生的ATP多 C．若d1、d2、d3浓度下蓝藻种群的K值分别为K、K2、K3，则Kl>K2> K3 D．密闭光照培养蓝藻，测定种群密度及代谢产物即可判断其是否为兼性厌氧生物 19右图为晴朗白天条件下某植物的有氧呼吸过程图，说法正确的是(1分) A．催化②→③的酶存在于线粒体内膜上B．产生的⑧主要用于合成ATP C．⑥部分来自叶绿体D．③全部释放到大气中 20．现从阳生植物和阴生植物上各取一片彼此相似的叶片，分别放在两个透明盒子中。在适宜温度条件下，逐渐增加光照强度，测定放氧速率的数据如下表。下列叙述错误的是(1分) 光强(μmol光子／m2·s) O 10 25 50 100 250 500 600 放氧速率叶片A -20 -10 -5 -1 5 15 28 28 (μmol02/m2·s) 叶片B -2 -O.5 1.5 3 6 10 12 11 A．由表中数据可以推测，取自阳生植物的叶片是A B．光照强度直接影响光反应中[H]、ATP的生成 C．光照强度为50μmol光子／m2·s时，叶片B产生的氧气大于叶片A D．光照强度>600μmol光子／m2·s时，叶片A放氧速率主要被C02浓度限制 21．抗生素是各国药物生产中最重要的产品，它们多数来自 (1分) A．病毒 B．细菌 C．放线菌 D．真菌 22．古生物学家推测，被原始真核生物褥噬的蓝藻有些未被消化，反而能依靠原始真核生物的“生活废物"制造背养物质，逐渐进化为叶绿体。下列叙述正确的是(1分) A．图中原始真核生物与蓝藻之间的种间关系为互利共生 B．叶绿体中可能存在的细胞器是核糖体，DNA为链状 C．被吞噬而未被消化的蓝藻为原始真核生物的线粒体提供了氧气和有机物 D．原始真核生物吞噬蓝藻的过程体现了细胞膜的功能特点流动性 23．下列有关一分子葡萄糖分解成两分子丙酮酸反应叙述中，错误的是 (1分) A．可在原核细胞中进行，也可在真核细胞中进行 B．可在线粒体中进行，也可在细胞质基质中进行 c．可在有氧条件下进行，也可在无氧条件下进行 D．可在有光条件下进行，也可在无光条件下进行 24．双缩脲反应可用于测定 (1分) A．氨基酸 B．多肽 C．糖 D．脂 E．蛋白质 25．能将混合在一起的酵母菌和圆褐固氮菌分开的培养基感(1分) A．加食盐培养基和牛肉膏、蛋白胨培养基 B．斜面固体培养基和液体培养基 C．加青霉素和无氮培养基 D．加伊红-美蓝培养基和含硝酸盐培养基 26．可分泌氢离子的细胞是 (1分) A．胃主细胞 B．唾液腺细胞 C．肾小管上皮细胞 D．胰腺细胞 27．下列对相关实验叙述正确的是(1分) A．观察洋葱细胞有丝分裂实验中，将经解离、漂洗、染色时根尖置于载玻片上，盖上盖玻片后即可镜检 B．甲基绿是将活细胞中线粒体染色的专一陆染料 C．在叶绿体色素提取实验中，研磨绿叶时应加一些有机溶剂，如无水乙醇等 D．检测试管中的梨汁是否有葡萄糖，可以加入适量斐林试剂后，摇匀并观察颜色变化 28．酶抑制剂分竞争性抑制剂和非竞争性抑制剂，两者作用特点如下图甲，图乙表示相应的反应速度。下列有关叙述正确的是(2分) A．曲线a表示没有酶抑制剂存在时的作用效果 B．曲线a、b反应速率不再增加受酶浓度的限制 C．曲线c表示在竞争性抑制剂作用下酶的活性降低 D．竞争性抑制剂与该酶催化的底物结构相似 29．等位基因A、a和B、b分别位于两对的同源染色体上。AABB与aabb杂交得F1，再让F1测交，测交后代的表现型比例为1：3。若让F1自交，F2代不可能出现的表现型比例是 (1分) A．1 3：3 B．9：4：3 C．9：7 D．15：1 30．右图为真核细胞中多聚核糖体合成蛋白质的示意图，下列说法正确的是(1分) A．①上的四种脱氧核苷酸可组合成64种密码子 B．若①中有一个碱基发生改变，则合成多肽链的结构一定发生改变 C．①上碱基A：C：U：G=1：2：3：4，则对应的DNA分子中A：C：T：G=2：3：2：3 D．核糖体在①上的移动方向是从左向右，合成的4条肽链相同的 31.在研究同种哺乳动物的三个个体的两对相对形状时发现，其基因型是甲DBb；乙DdBB；丙dBb。下列叙述错误的是（1分） A.甲、乙、丙三个生物的体细胞在细胞增殖后期染色体数目都相同 B．甲的体细胞中不存在D的等位基因 C．甲与丙交配，其子代可存在3种基因型 D．甲与乙交配，其子代的基因型有8种 32．右图表示光合作用与某些影响因素的关系，下列叙述错误的是(1分) A．①图中X因素可表示光照强度，植物在较强光照时a点值要比在较弱光照时的低 B．③图中，阴生植物的b点值一般比阳生植物的低 C．④图中2因素(Z3>Z2>Z1)可以表示C02浓度，当光照强度小于c值时，限制光合速率的主要因素是光照强度 D．②图中Y因素最有可能代表温度 33．将牛催乳素基因用32P标记后导入小鼠乳腺细胞，选取仅有一条染色体上整合有单个目的基因的某个细胞进行体外培养。下列叙述错误的是 (1分) A．小鼠乳腺细胞中的核酸含有5种碱基和8种核苷酸 B．该基因转录时，遗传信息通过模板链传递给mRNA C．连续分裂n次后，子细胞中32P标记的细胞占l/2n+1 D．该基因翻译时所需tRNA与氨基酸种类数不一定相等 34．在黑暗环境下用不同浓度乙烯处理豌豆幼苗，其生长情况如右图下列叙述错误的是(1分) A．促进幼苗的成熟 B．抑制幼苗伸长生长 C．促进幼苗横向加粗 D．使茎生长失去背地性 35．菊花开花临界日长为l5小时，为使它提早开花需进行日照处理的时间必须(1分) A．>1 5小时 8．<1 5小时 C．=1 5小时 D．≥l5小时 36．右图为某植物在夏季24 h内C02的吸收量和释放量(A、B、C表示相应面积)，叙述错误的是(1分) A．在18：00时和6：00时，该植物光合作用强度与呼吸作用强度相等 B．假设该植物在24 h内呼吸速率不变，最大光合速率为85mg／h C．该植物在一昼夜中有机物积累量的代数式可表示为A+C-B D．12：O0时左右，与曲线最高点所对应的时间相比，该植物叶绿体中的RuBP的含量下降 37．下列关于神经系统及其调节的叙述，错误的是(2分) A．切除下丘脑的动物丧失血糖调节能力 B．调节人体生理活动的高级神经中枢是下丘脑 C．机体对刺激作出迅速反应的调节属于神经调节 D．先天性行为与神经系统的调节作用无直接关系 38．赤霉素被广泛用于啤酒工业，主要是利用其(1分) A．诱导α-淀粉酶形成 B．诱导果糖磷酸化酶形成 C．抑制α-淀粉酶形成 D．抑制果糖磷酸化酶形成 39．某生物兴趣小组利用玉米胚芽鞘做了如下图所示的实验。对该实验叙述正确的是(1分) A．在该实验中可以不设计B琼脂块的相关实验 B．引起③④弯曲生长的原因与单侧光照射使胚芽鞘弯曲生长的原因相同 C．实验结果证明了尖端产生的某种物质具有两重性的特点 D．实验结果表明生长素能够促进胚芽鞘尖端以下部分的生长 40.关于人体细胞分化、衰老、凋亡和癌变叙述正确的是 (1分) A．细胞分化导致基因选择性表达，细胞种类增多 B．细胞衰老表现为酶活性降低，细胞核体积减小 C．细胞凋亡受基因控制，不利于个体生长发育 D．细胞癌变导致细胞黏着性降低，易分散转移 41．关于淋巴液叙述错误的是(1分) A．淋巴液属于细胞外液 B．淋巴液和血浆中都有淋巴细胞 C．淋巴液最终汇入血浆参与血液循环 D．淋巴液中的蛋白质含量高于血浆中的 42．下列关于有丝分裂叙述正确的是(1分) A．赤道板是细胞有丝分裂过程中出现的一种结 B．有丝分裂间期DNA复制的过程需要解旋酶参与 C．染色单体形成于细胞分裂前期，消失于分裂后期 D．有丝分裂中期和后期，染色体数相同，DNA分子数不同 43．人在遇到紧急情况时，不会出现的现象是(1分) A．交感神经兴奋性占优势 B．心跳呼吸加快，代谢速度增加 C．肾上腺激素分泌增加 D．胃肠蠕动加快 44．下列物质属于类固醇激素的是(1分) A．糖皮质激素 B．促性腺激素 C．去甲肾上腺素 D．甲状腺激素 45．肌丝滑行理论的直接证据是骨骼肌收缩时(1分) A．明带、暗带和H带长度均缩短 B．明带缩短，暗带和H带长度不变 C．暗带长度缩短，明带和H带不变 D．明带和H带缩短，暗带长度不变 46．右图为突触结构。在a、d两点连接一个灵敏电流计，己知ab=bd，若分别刺激b、C两点，灵敏电流计指针可偏转(1分) A．b点2次，C点1次 B．b点1次，C点1次 C．b点1次，C点2次 D．b点2次，C点O次 47．与运动前安静状态相比，马拉松运动员比赛结束时，机体内会发生的生理变化是(1分) A．细胞外液渗透压升高，抗利尿激素的分泌量减少 B．大量乳酸进入血液，血浆pH由弱酸性变为强酸性 C．胰高血糖素分泌量上升，促进非糖物质转化为糖 D．皮肤毛细血管收缩，机体散热量明显大于产热量 48．下图所示为某生物细胞中部分代谢途径过程，相关叙述错误的是(1分) A．通过过程①产生的ATP多于过程③ B．过程②中能量的来源除了ATP以外还有还原氢 C．过程④说明ATP是细胞中唯一的直接能源物质 D．过程⑤是生态系统能量流动逐级递减的主要原因 49．长期浸水会导致树根变黑腐烂，从浸水到变黑腐烂的过程中，根细胞呼吸速率的变化如右图所示，下列叙述正确的是(1分) A．细胞在a点的有氧呼吸强度小于b点 B．I阶段根细胞的无氧呼吸速率下降 C．II阶段根细胞的氧气消耗量大于I阶段 D．IIl阶段曲线下降的主要原因与I阶段不同 50．在荧光显微镜下观察被标记的某动物的睾丸细胞，等位基因A、a被分别标记为红、黄色，等位基因B、b被分别标记为蓝、绿色。①③细胞都处于染色体向两极移动的时期。不考虑基因突变和交叉互换，下列有关推测合理的是 (1分) A．①时期的细胞中向每一极移动的都有红、黄、蓝、绿色荧光点，各2个 B．③时期的细胞中向每一极移动的都有红、黄、蓝、绿色荧光点，各l个 C．②时期的初级精母细胞中都有红、黄、蓝、绿色荧光点，各2个 D．图中精细胞产生的原因是减数第一次分裂或减数第二次分裂过程异常 51．某植物个体甲与基因型为aabb的乙杂交，正交和反交的结果如下表所示(以甲作为父本为正交)。则相关说法正确的是(1分) 杂交类型后代基因型种类及比值父本母本 AaBb：Aabb：aaBb：aabb 甲乙 1：2：2：2 乙甲 1 ： 1 ： 1 ： 1 A．正交的结果说明两对基因的遗传不符合基因自由组合定律 B．植物甲的基因型为AaBb，它一定能产生四种活力和数量均相等的配子 C．植物甲自交所产生的后代的基因型有9种 D．正交和反交的结果不同是由于乙产生的配子类型不同 52．果蝇中有飞行肌退化的现象，这种果蝇即使有正常的翅也无法飞行。己知：亲代 ♀飞行肌退化×飞行肌正常♂→ 子代 ♀飞行肌退化、♂飞行肌退化可以确定飞行肌退化是由X染色体上的显性基因所控制的检验方法和结果是(2分) A．用予代雌雄个体杂交，后代分离比为3：1 B．用子代雌雄个体杂交，后代雄性个体的分离比为l：1 C．用子代雄性个体与亲代雌性交配，后代雌性分离比为3：1 D．用子代雌性个体与亲代雄性交配，后代雄性分离比为2：1 53．假定A、B、C 3对基因是独立的分配的，它们对某种植物的果实形状起重要叠作用，即只要其中任何一个显性基因存在，就能产生圆形果实。现有AABBCC× aabbcc杂交组合，得到的Fl代再和aabbcc亲本回交，后代中表现为圆形果实的子代所占的比例为(1分) A．1／8 B．7／8 C．1／64 D．63／64 54．人类皮肤含有黑色素，其合成由两对独立遗传的基因(A和a，B和b)控制，显性基因，A和B可以使黑色素量增加，两者控制增加的量相等，并且可以累加。一个基因型为AaBb和AaBB的夫妇结婚，推断其子女皮肤颜色深浅，下列叙述错误的是(1分) A．可产生四种表现型 B．肤色最浅的孩子基因型是aaBb C．与亲代AaBB表现型相同的占1／4D．与亲代AaBb表现型相同的占3／8 55．MRSA菌是一种引起皮肤感染的“超级细菌”，对青霉素等多种抗生素有抗性。为研究人母乳中新发现的蛋白质H与青霉素组合使用对MRSA菌生长的影响，某兴趣小组的实验设计及结果如下表。下列说法正确的是 (1分) 组别培养基中的添加物 MRSA菌 1 100μg／mL蛋白质H 生长正常 2 20μg／mL青霉素生长正常 3 2μg／mL青霉素+100μg／mL蛋白质H 死亡 A．细菌死亡与否是通过光学显微镜观察其细胞核的有无来确定 B．第2组和第3组对比表明，使用低浓度的青霉素即可杀死MRSA菌 C．实验还需设计有2μg／mL青霉素做处理的对照组 D．蛋白质H有很强的杀菌作用，是一种新型抗生素 56．为探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化，某同学进行了①～⑤操作，其中操作正确的是(1分) ①将适量干酵母菌放入装有一定浓度葡萄糖溶液的锥形瓶中，在适宜条件下培养 ②静置一段时间后，用吸管从锥形瓶中吸取培养液 ③在血球计数板中央滴一滴培养液，盖上盖玻片 ④用滤纸吸除血球计数板边缘多余培养液 ⑤将计数板放在载物台中央，待酵母菌沉降到计数室底部，在显微镜下观察、计数 A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤ 57用紫色洋葱辚片叶进行细胞质壁分离和复原实验，如下图原生质层长度和细胞长度分别表示x和Y，处理时间相同，则 (1分) A．同一细胞用不同浓度蔗糖溶液处理，x／Y值越小，则紫色越浅 B．同一细胞用不同浓度蔗糖溶液处理，x／Y值越大，则所用蔗糖溶液浓度高 C．不同细胞用相同浓度蔗糖溶液处理，x／Y值越小、，则越易复原 D．不同细胞用相同浓度蔗糖溶液处理，X／Y值越大，则细胞的正常细胞液浓度越高 58．切除健康狗的胰脏2d后会出现糖尿病的症状，注射一定量溶于生理盐水的胰岛素，血糖含量恢复正常。为了证明“胰岛素能降低血糖的含量”这一推论，下列最适宜作为对照组的是(1分) A．既不切除健康狗的胰脏，又不注射胰岛素 B．用溶解于蒸馏水的胰岛素溶液进行注射 C．切除健康狗体内的胰脏2天后，只注射等量的生理盐水 D．将健康狗体内摘除的胰脏制成提取液，注射给切除胰脏的狗 59．设椎实螺的螺壳向右旋是由显性基因D控制，螺壳向左旋是隐性基因d控制。若以两种椎实螺进行杂交(雌dd×雄DD)，则以下有关F1和F2表现型的叙述正确的是(1分) A．均为左旋 B．F1右旋，F2左旋、右旋都有 C．F1左旋，F2右旋D．F1左旋，F2左旋、右旋都有 60．父母一方的血型为A型，另一方的血型为B型，其子女可能的血型为(1分) A．只有AB型 B．只有A型或B型 C．只有AB型或0型 D．A型、8型、AB型、0型都有可能 61．某小组进行观察洋葱根尖分生组织细胞有丝分裂的实验，下列叙述正确的是(1分) A．盐酸和酒精混合液主要起固定作用 B．碱性染料吡罗红(派洛宁)可用于染色体染色 C．观察到分裂末期细胞内细胞板向四周扩展形成新的细胞壁 D．细胞内染色体的存在状态可作为判断有丝分裂各时期的依据 62．用基因型为Aa的小麦分别进行连续自交、随机交配、连续自交并逐代淘汰隐性个体、随机交配并逐代淘汰隐性个体，根据各代Aa基因型频率绘制曲线如图，下列分析错误的是(1分) A．曲线II的F3中Aa基因型频率为0．4 B．曲线Ⅱl的F2中Aa基因型频率为0．4 C．曲线Ⅳ的Fn中纯合体的比例比上一代增加(1／2)n+1 D．曲线I和Ⅳ的各子代间A和a的基因频率始终相等 63．右下图为四个物种的进化关系树(百分数表示与人类的DNA相似度)，DNA碱基进化速率按1％／百万年计算，下列相关叙述合理的是(1分) A．四个物种都由共同祖先通过基因突变而形成 B．生殖隔离是物种朝不同方向发展的决定性因素 C．人类与黑猩猩的DNA差异经历了约99万年的累积 D．大猩猩和人类的亲缘关系，与大猩猩和非洲猴的亲缘关系的远近相同 64．在AB0血型系统中控制血型的等位基因用IA、IB和i表示，在人群中的频率用P(IA)，q(IB)和r(i)表示。已知B型血的基因型为IBIB或IBi。假设个体交配相对于AB0位点是随机的，则一个B型血个体的期望频率是(1分) A．2qr2 B．q2+2qr C．2qr D．q+r E．p+q+r 65．生物的某些变异可通过细胞分裂某一时期染色体的行为来识别。下甲、乙两图分别表示细胞减数分裂过程中出现的“环形圈”、“十字形结构”现象，图中字母表示染色体上的基因。下列叙述正确的是(1分) A．甲，乙两种变异类型分别属于染色体结构变异、基因重组 B．甲图是由于个别碱基对的增添或献失，导致染色体上基因数目改变的结果 C．乙图的变异为染色体的易位，减数分裂产生的配子中存在正常的 D．甲、乙两图常出现在减数第一次分裂的前期 E．甲、乙两图染色体数与DNA数之比为l：2 66．利用下面实验装置进行有关光合作用的实验，金鱼藻和碳酸氢钠溶液一定量，则叙述正确的是(1分) A．试管中收集的气体量代表了光合作用产生的氧气量 B．在光下，如果有气泡产生，可说明光合作用产生氧气 C．为了探究二氧化碳浓度对光合作用的影响，可以用不同浓度的碳酸氢钠溶液进行实验 D．为了探究光照强度对光合作用的影响，用一套装置慢慢向光源靠近，观察气泡产生速率的变化 67．下图为基因工程技术生产羧酸酯酶(CarE)制剂的流程图，下列叙述正确的是(2分) A．过程①需使用逆转录酶 B．过程②用PCR扩增时需使用解旋酶 C．过程③使用的感受态细胞可用NaCl溶液制备 D．过程④可利用DNA分子杂交鉴定目的基因是否已导入受体细胞 68．用PCR从DNA中提取目的基因，至少循环到第几次才能得到目的基因(1分) A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 69．基因型为AaaaBBBb的某雄性四倍体植株，经减数分裂产生的雄配子的种类数目及比例分别为(1分) A．4种，l：1：1：1 B．4种，9：3：3：1 C．4种，3：1：3：1 D．6种，l：2：1：1：2：1 70．关于逻辑斯蒂增长的数学模型dN/dt=rN(1-N/K)，下列叙述正确的是(1分) A．如果N趋向于零，则几乎全部空间甚被利用，种群潜在的最大增长不能实现 B．如果N趋向于K，则几乎全部空间尚未被利用，种群潜在的最大增长能力能充分实现 C．当种群N由O逐渐增长到K值，种群潜在的最大增长可实现程度逐渐提高 D．当种群N由。逐渐增长到K值，种群潜在的最大增长可实现程度逐渐降低 71．喷瓜有雄株、雌株和两性植株，G基因决定雄株，g基因决定两性植株，g0基因决定雌株，且G对g和g0是显性，g对g0是显性，下列分析错误的是(1分) A．G9是雄株，gg0是两性植株，g0g0是雌株 B．Gg自交，可以得到纯合雄性植株 C．两性植株群体内随机传粉，产生的后代中，纯合子比例高于杂合子 D．用自交的方法，可以确定某两性植株的基因型 72．池塘中某种成年鱼生活在底层，取食多种底栖动物，而该种鱼的幼体生活在水体上层，滤食浮游动物和浮游藻类。下列相关叙述错误的是 (1分) A．该种鱼的幼体与浮游动物具有竞争和捕食关系 B．该种鱼发育阶段不同，其所处营养级可能不同C．底栖动物与浮游动物分层现象属于群落的垂直结构 D．该种成年鱼及其幼体在水中的分布构成群落的垂直结构 73．大型哺乳动物和人的存活曲线通常为 (1分) A．凸型 B．凹型 C．对角线型 D．不好判断 74．下列关于生态因子耐受性定律正确的(2分) A．每一种生物对相同生态因子的耐受范围不存在着差异 B．生物在整个个体发育过程中，对环境因子的耐受程度数不同的，繁殖期通常是一个敏感期 C．对各种生态因了耐受范围都比较宽的生物，其分布范围也比较广 D．生物对某一生态因子处于非最适的状态下时，对其他生态因子的耐受限度也受影响 75．下列关于生态学知以说法错误的是(1分) ‘ A．激烈的种内竞争引起食性分化 B．利小订生态位重叠越大，竞争越激烈 C．生态位分化可以增加生态系统的物种多样性 D．植物的自疏现象是利一内竞争的结果 76．下表是生物科学史的叙述，表中“方法与结果”和“结论或观点"能匹配的是(1分) 选项方法与结果结论或观点 A 观察到植物通过细胞分裂产生新细胞；观察到动物受精卵分裂产生新细胞所有的细胞郇来源于先前存在的细胞 B 单侧光照射下，金丝雀葫草胚芽鞘向光弯曲生长，去尖端的胚芽鞘不生长也不弯曲生长素具有极性运输的特点 C 将载有水绵和好氧细菌的装片置于黑暗且缺氧的环境中，用极细光束照射后，细菌集中于有光照的部位光合作用产生的氧气来自于水 D 将活的R型肺炎双球菌与加热杀死的S型肺炎双球菌混合后注入小鼠体内，小鼠体内出现活的S型菌 DNA是主要遗传物质 77．下列关于热带雨林的特征叙述正确的是(1分) A．有丰富的攀援植物和附生植物 B．土壤肥沃(腐殖质多) C．植物的根入土较深 D．动物种类虽多，但每种个体数却较少E．地面上的矮小植物大多是喜湿而喜阴的 78．倒置的生物种群数量金字塔适于描述的种群是(1分) A．放牧牛羊的草原 B．蚜虫聚集的果树 C．松毛虫成灾的松树 D．鼠害泛滥的草地 79．用秋水仙素处理普通西瓜(二倍体)幼苗尖端的分生区，不可能出现的状况是(1分) A．全株细胞的染色体数目都加倍 B．生殖过程中产生的卵细胞中有两个染色体组 C．诱发DNA中个别碱基发生改变 D．长大后可开花结果 80．造成海洋和高山植物分布有分层现象，而沙漠地区植物种类稀少的主要生态因素依次是(1分) A．光照、温度、水 B．温度、光照、水 C．水、温度、光照 D．光照、水、温度 81．基因是决定生物性状的基本单位，下列叙述正确的是(1分) A．基因在体细胞中都成对存在 B．线粒体有基因，并且控制着线粒体的某些蛋白质的合成 C．发生在体细胞中的基因突变是不能传递给后代的 D．人的某基因发生了突变，一定会导致该基因控制合成蛋白质的氨基酸顺序发生改变 82．在某水生生态系统中分布有水鸟、藻类、芦苇等动植物，且某些水鸟具有秋季迁徙的习性。下列相关叙述错误的是(1分) A．该水生生态系统的物种数量随季节而发生变化 B．减少芦苇和藻类后，输入该水生生态系统的能量维持不变 C．藻类和芦苇等生产者固定的能量是流经生态系统的总能量 D．该水生生态系统动植物残体被微生物分解后可产生含氮化合物 83．右图为人体内环境稳态的调节示意图，与其曲线的走势相符的是(1分) A．X是耗氧量，Y是体温 B．X是抗原数量，Y是抗体数量 C．X是血糖浓度，Y是胰高血糖素浓度． D．X是促甲状腺激素浓度，Y是甲状腺激素浓度 84．关于生态系统的物质循环和能量流动叙述中，正确的是(1分) A．富营养化水体出现蓝藻水华的现象，可以说明能量流动的特点 B．无机环境中的物质可以通过多种途径被生物群落反复利用 C．生态系统中能量的初始来源只有太阳能 D．食物链各营养级中10％～20％的能量会被分解者利用 85．下列有关中心法则的叙述，错误的是(1分) A．DNA不一定来自DNA的复制 B．表示基因控制蛋白质合成的过程 C．表示遗传信息的传递方向 D．HIV病毒能发生RNA的复制 86．某种植物病毒V是通过稻飞虱吸食水稻汁液存水稻间传播的。稻田中青蛙数量的增加可减少该病毒在水稻间的传播。下列叙述正确的是(1分) A．青蛙与稻飞虱是捕食关系 B．水稻与青蛙是竞争关系 C．病毒V与青蛙是寄生关系 D．水稻和病毒V是互利共生关系 87．右下图能正确反映人体内促甲状腺激素(TSH)与甲状腺激素(TH)含量变化的是(1分) 88．完全符合本能行为的一组是(1分) A．地蜂筑巢、鸟怕稻草人 B．幼蛇像成蛇捕食、小鼠获奖走迷宫 C．幼蛙捕虫、海兔逃跑 D．海鸥幼雏求食、狮子捕食 89．恐惧反射是一种条件反射，其建立过程如下图所示，下列有关叙述错误的是 (1分) A．图甲中声音属于条件刺激 B．图乙表示强化过程 C．图丙中的老鼠已形成恐惧反射，若长期只给予声音刺激，则恐惧反射消退 D．若对图丙中的老鼠给予电击刺激，则此时电击刺激为非条件刺激 90．在花药发育过程中，单核花粉粒形成的过程是：(1分) A．造孢细胞→孢原细胞→花粉母细胞→单核花粉粒 B．孢原细胞→造孢细胞→花粉母细胞→单核花粉粒 C．孢原细胞→花粉母细胞→造孢细胞→单核花粉粒 D．花粉母细胞→孢原细胞→花粉母细胞→单核花粉粒 91．黄豆、白菜、芹菜、向日葵、黄瓜的果实类型依次是：(1分) A．荚果、角果、双悬果、坚果、瓠果 B．瘦果、角果、坚果、荚果、浆果 C．蓇葖果、荚果、瘦果、小坚果、胞果 D．荚果、角果、双悬果、瘦果、瓠果 92．基因型为AAaa的同源四倍体产生配子的基因型及比例为(1分) A．1AA：l aa B．Aa C．1AA：2Aa：l aa D．1AA：4Aa：l aa 93．下面关于多聚酶链式反应(PCR)叙述正确的是(2分) A．PCR过程中需要引物，是为了使DNA双链分开 B．PCR的循环过程分为变性、复性和延伸三步 C．PCR过程中DNA合成方向是3’到5’ D．PCR过程中边解旋边复制 94．人出生体重大多数保持在3～4kg的范围之内，新生儿的体重过重或过轻，婴儿死亡率都比较高。这种现象符合自然选择的哪种模式(1分) A．稳定性选择 B．定向选择 C．分裂选择D．不能确定 95．尿液生成所经过的解剖结构顺序为(1分) A．肾小球-髓袢-近曲小管-远曲小管-收集管 B．肾小球-近曲小管-髓袢-远曲小管-收集管 C．肾小球-近曲小管-远曲小管-髓袢-收集管 D．肾小球-收集管-近曲小管-髓袢-远曲小管 96．将阴生植物移至强光下，植物迅速发生萎蔫，比较右图中三个部位的细胞液浓度，正确的是(1分) A．③>②>① B．①>②>③ C．①>③>② D．②>③>① 97．下列动物行为中，属于先天性行为的是 (1分) A．母狼在哺乳期失去幼子后能哺育人的婴儿 B．被蜜蜂蜇过的猕猴不再取食蜂蜜 C．蚂蚁做巢，蜘蛛织网 D．幼猩猩用沾水的树枝从洞穴中取食白蚁 98．光合产物从叶绿体转移到细胞质的化合物形式是(1分) A．核酮糖 B．葡萄糖 C．蔗糖 D．磷酸丙糖 99．早春，当落叶树开始新一年的生长时，木质部中水分上升的主要动力是(1分) A．大气与木质部的水势差 B．蒸腾拉力 C．根压 D．土壤与根木质部的水势差 100．陆生脊椎动物的听觉发达，中耳腔中的听小骨可将声波传到内耳。不同脊椎动物类群，其听小骨的数目不同，只具有一块听小骨的动物类群有(2分) A．两栖类 B．爬行类 C．鸟类 D．哺乳类 2015初赛题题号答案题号答案题号答案题号答案题号答案 1 D 21 C 41 D 61 D 81 B 2 B 22 C 42 B 62 取消 82 B 3 B 23 B 43 D 63 C 83 C 4 B 24 BE 44 A 64 B 84 B 5 ABC 25 C 45 D 65 取消 85 D 6 B 26 C 46 A 66 C 86 A 7 C 27 C 47 C 67 AD 87 D 8 D 28 ABD 48 C 68 C 88 C 9 B 29 B 49 D 69 A 89 A 10 B 30 C 50 C 70 D 90 B 11 B 31 C 51 C 71 B 91 D 12 C 32 A 52 B 72 D 92 D 13 A 33 C 53 B 73 A 93 B 14 D 34 取消 54 C 74 BCD 94 A 15 D 35 B 55 C 75 C 95 B 16 A 36 D 56 D 76 A 96 B 17 D 37 ABD 57 D 77 ADE 97 AC 18 A 38 A 58 C 78 BC 98 D 19 C 39 D 59 C 79 A 99 C 20 C 40 A 60 D 80 A 100 ABC 高中生竞教练群：254139830，生竞学生交流群：271753479，	1	positive_file/【高中生物竞赛试卷及答案（国内+国际）】》》》》》》》》》》》/【生物联赛、初赛试卷】/2015黑龙江年初赛题.docx
下载来源：生物竞赛资料群：369691871，强基计划资料群：531448000， 2018广东省中学生生物学联赛试卷及答案（word版）一、单项选择题(共100 题，每题1分，共100 分。将正确答案填涂答题卡上) 1、植物组培的培养基必需物质中有一种物质含放射性氚。将愈伤组织放在此培养基中培养数小时后，细胞进行镜检发现放射性物质主要出现在细胞核、线粒体、叶绿体。这种放射性物质是( A.某种激素 B.某种维生素 C.尿嘧啶核苷 D.胸腺嘧啶核苷 2、噬菌体吸附到寄主细胞上将其某物质注入寄主细胞内，这就意味着寄主被侵染了。噬菌体注入寄主细胞的物质不含下列哪一种元素? ( ) A.N B.P C.S D，0 3、餐饮业利用紫外线对餐具进行消毒，紫外线消毒原理是( )。 A.高温溶解细菌细胞壁 B.能够导致蛋白质等大分子物质结构破坏 C.改变细菌细胞质的酸碱度 D.能够导致细菌细胞壁的主要成分粘多糖凝固 4、植物细胞最普遍以下列哪一种形式贮存能量? ( ) A.淀粉 B.脂肪 C.纤维素 D.葡萄糖 5、二聚体CG2HzO.,不能判断为( )。 A.蔗糖 B.乳糖 C.果糖 D.麦芽糖 6、天然存在于蛋白质中的各种氨基酸( )。 A.一共有20 种 B.其化学特性取决于与其形成肽键的相邻氨基酸 C.都有一个特殊的c 原子，这个C 原子必定与一个氨基一个羧基和一个氢原子形成共价键 D.在与其他氨基酸脱水缩合形成肽键之后将不能够再与其他化学基团发生化学反应 7、温度对正常进行新陈代谢的细胞内结合水(束缚水) 和自由水的影响是( A.升温时，结合水增加，自由水减少 B.降温时，结合水增加，自由水减少 C.升温不影响结合水和自由水的比例 D.降温不影响结合水和自由水的比例 8、只使用菲林试剂，能够将下列4 种物质的哪一种与其余3种区别开? 1 ) A.葡萄糖 B.核糖 C.蔗糖 D.麦芽糖 9、右下图中是细胞膜上的某种蛋白质。以下判断正确的是( )。 A.这个蛋白质属于外在蛋白 B.构成这个蛋白质的氨基酸不带电荷 C.镶嵌在膜中的部分，斥水氨基酸占多数 D.暴露于膜外的部分，空间结构不稳定 10、在奶粉生产工艺中加入喷涂磷脂的流程(在奶粉小颗粒外包裹一层磷脂) 即可生产出速溶奶粉。奶粉速溶的原理是( )。 A.磷脂分子易溶于水 B.磷脂分子既亲水又斥水 C.奶粉中某些成分与磷脂发生化学反应 D.磷脂催化奶粉与水的化学反应 11.有关生物膜，下列叙述正确的是( A.一个个体的全部细胞的细胞膜上的膜蛋白种类相同 B.一个细胞内的生物膜系统时刻处于动态变化中，例如高尔基体可以变成内质网，内质网可以变成高尔基体 C.同为被激活的免疫细胞B 和T,其细胞质有很大的不同: 显微镜下可发现B 细胞的粗面内质网很发达而T 细胞则不发达 D.附着在内质网上的核糖体合成的蛋白质一般是细胞内参与细胞代谢的各种酶 12、植物细胞在生长或发生质壁分离时，细胞壁分别表现出哪一种特性? () A.弹性和刚性 B.可塑性和刚性 C.弹性和可逆性 D.可塑性和弹性 13、用双缩脲试剂检测稀释唾液是否含有蛋白质。以下操作与结果的叙述哪一项不正确? : ) A.加0.1g/mINaOH 溶液于被检测液中，目的是使下一步反应环境处于碱性状态 B.加0.05g/mICuS04溶液于被检测液中，如果被检测液中含有肽键，则铜离子与肽键发生紫色反应 C.不必加热 D.被检测液发生紫色反应，说明不含蛋白质 14、下列最适合用于研究溶酶体的材料是( )。 A.免疫细胞中的巨噬细胞 B.正处于有丝分裂末期的洋葱根尖细胞C.蛙卵细胞 D.鸡血红细胞 15、下面的论述最准确的是: 没有核糖体的生物就( A.没有细胞核结构 B.没有生物膜结构C.没有细胞结构 D.不存在 16、当植物开花结果的时候，绿叶合成的营养物质大量运输并贮藏于果皮中。细胞之间的营养物质运输主要通过( ) A.细胞壁的全透性实现 B.细胞膜的选择透性实现 C.细胞的胞吞和胞吐实现 D.细胞之间的胞间连丝实现 17、某学生用生理盐水和自己的口腔上皮细胞制作了一个临时装片，镜检并画图如下: 你认为以下哪一项能够正确评价此图? A.没有发现真正的口腔上皮细胞 B.没有对细胞进行染色，细胞核是小气泡造成的假像 C.没能画出线粒体等细微结构，图不完善 D.口腔上皮细胞就是这样扁平状的 18、如图，在一定温度和PH 条件下的酶促反应曲线为a,当其他条件仍然不变,只分别改变酶浓度和底物浓度时，得曲线b和c。以下对a、b、c 等、3条曲线的分析哪一项不正确? A.与c相比较,a 和b停止反应的时间要早 B.与a 相比较，b的酶浓度高于a C.与a 相比较，c的底物浓度高于a D.a 和c 比较说明，酶浓度不变，只改变底物浓度也会影响反应速度 19、丙二酸存在时琥珀酸脱氢酶的酶促反应减慢，但增加琥珀酸浓度，酶促反应度又加快。这说明( )。 A.丙二酸能够破坏琥珀酸脱氢酶空间结构 B.丙二酸分子与琥珀酸分子空间结构很相似 C.琥珀酸能够与丙二酸结合从而保护酶结构D.丙二酸是琥珀酸脱氢酶的底物 20、t1和t2分别是导致某酶促反应停止的最低温度和最高温度。以下判断正确的( )。 A.这种酶的最适温度是t1和t2之间的中点 B.要探索这种酶的最适温度，可以从t2起逐步升高温度，或者从t1逐步降低温 C.温度t1和t2都使酶的空间结构改变了 D.温度t1可以保存酶的活性 21、酶和抗体都是蛋白质。除此之外，两者之间还有以下哪一项相似点? ( A.合成这些蛋白质的核糖体附着于粗面内质网上 B.所有细胞都合成它们 C.必需经高尔基体的包装、分泌 D.特异性 22、关于细胞呼吸的叙述，不正确的是( )。 A.糖酵解过程不需要消耗ATP B.糖酵解全部过程都在细胞质基质中行进 C.丙酮酸氧化脱羧过程不需要消耗ATP D.丙酮酸氧化脱羧全部过程在线粒体中进行 23、关于酵母的发酵过程，以下的判断不正确的是( )。 A.刚接种的发酵罐应该让其只释放CO2不产生酒精，这样有利于酵母繁殖 B.如果测得发酵罐释放CO2的量与酒精产生量相等就说明酵母此时只进行无氧呼 C.如果发酵罐释放CO;量两倍于酒精产生量,说明酵母进行有氧呼吸和无氧呼吸耗的葡萄糖相等 D.无论发酵环境是否有氧气,发酵罐内都会释放CO2 24、在试管中同时培养食物关系的藻类和原生动物。原生动物每周消耗葡萄糖0.2mol,藻类消耗0.1mol。藻类要每周释放多少氧气的光合作用能力才能实现试管内有机物的收支平衡? ( ) A.0.1mol B.0.3mol C.0.6moI D.1.8mol 25、以下哪一项能够证明细胞跨膜吸收物质Q 的方式是协助扩散? A.细胞外Q 的浓度高于细胞内，细胞才能吸收Q B.细胞吸收Q 不受外界氧气影响，且有最大速率 C.温度影响细胞吸收Q,而且有一个最适温度 D.A 和B 同时符合才成立 26、如图表示不同光照强度对植物吸收或释放C02的影响。以下分析正确的是( )。 A.光照强度为L 时，植物既不消耗有机物也不储存有机物 B.光照强度为M 时，植物光合作用吸收C02量是1 C.光照强度为0 时，升温会导致R点下移 D.光照强度为M 时，降温会导致Q点上移 27、某学生用光学显微镜观察洋葱根尖切片永久装片，得视野如下图。要在一个视野内观察到细胞分裂期各个时期，下一步的操作是( )。 A.更换装片 B.更换更高倍物镜 C.左右移动装片 D.只需下移装片 28、不同的生物发生减数分裂将产生( )。 A.配子 B.真菌是孢子，动植物是配子 C.动物是配子，高等植物是孢子 D.动物有时是配子有时是孢子，植物总是配子 29、减数分裂时，来自父本和来自母本的染色体有下列哪种行为( )? A.随即两两配对 B.随机在两极组合 C.随机集中在赤道板 D.随机交换基因 30、假设某植物细胞有丝分裂一个周期为24h。为探索其分裂期所占时间，进行了根尖分生组织细胞分裂观察和统计，获得数据如下: 31、能够按正常细胞周期进行有丝分裂的细胞是( )。 A.酵母 B.葡萄球菌 C.鸡血红细胞 D.人癌细胞 32、检测某高等植物分生组织细胞，发现染色体数目最多的细胞其染色体有48 个。据此推测正确的是( )。 A.染色体数目最少的细胞染色体数12 B.该物种正常体细胞染色体数目12 C.减数分裂时可形成24 个四分体 D.当细胞内染色体数目为48时，该细胞可能处于减数分裂第一次分裂后期 33、玉米种子的胚乳( )。 A.由二倍体细胞发育而来 B.以后发育成子叶 C.由受精极核发育而来 D.由胚珠发育而来 34、以下关于孟德尔遗传学的论点，正确的是( )。 A.F:出现3: 1性状分离比依赖于雌雄配子的随机结合 B.F;出现3: 1性状分离是因为细胞分裂时遗传因子跟随分离 C.参与自由组合实验的遗传因子必需分别位于非同源染色体上 D.自由组合现象和分离现象是两个没有联系的遗传现象 35、一对等位基因杂合子连续自交，最早实现纯合子比例95%的是( )。 A.子四代 B.子五代 C.子六代 D.子七代 36、“因为使生物性状发生改变的物质是DNA,所以DNA 是遗传物质”，这一结论来自下列哪一项实验? A.孟德尔豌豆杂交实验 B.摩尔根果蝇杂交实验 C.肺炎双球菌转化实验 D.噬菌体侵染细菌实验 37、如右图表示一个腺嘌呤脱氧核苷酸，如果它参与构成DNA 分子，以下连接正确的是( )。 A.甲与另一腺嘌呤脱氧核苷酸的磷酸脱水缩合形成磷酸二酯键 B.己的3 号C 与另一腺嘌呤脱氧核苷酸的磷酸脱水缩合形成磷酸二酯键 C.丙与尿嘧啶核苷酸的尿嘧啶碱基形成3 个氢键 D.丙与胸腺嘧啶脱氧核苷酸的胸腺嘧啶碱基形成3 个氢键 38、北极严寒季节，淡水的唯一来源是雪。但北极熊在严寒季节一般不吃雪，因为吃雪会导致它的核心温度下降。那么，北极熊在捕到海豹时，主要食用猎物的( )。 A.血液 B.内脏 C.肌肉 D.脂肪 39 当光线强烈的时候，我们的瞳孔收缩屏蔽了部分感光区域，这使我们感到视觉模糊，但这有效地保护了该区域的视杆细胞(视杆细胞主要感受运动变化)。视觉模糊对于野生动物却是不利的，因此在紫外线非常强烈的沙漠地区，大多数动物白天蛰伏，晚上才出来觅食。耳廓狐却例外，它白天晚上都能够外出觅食，这种能力与它的视力有关。你认为耳廓狐眼睛最可能有以下哪一项特点?( ) A.瞳孔不收缩 B.网状瞳孔 C.裂缝状瞳孔 D.没有视杆细胞 40、科莫多巨蜥的性别决定方式是ZW 型，事实证明它既进行有性生殖也可以进行孤雌生殖。以下不可能发生的是( )。 A.一窝孤雌生殖幼仔全部雌性 B.在有雄性存在的情况下优先进行有性生殖 C.在有雄性存在的情况下进行孤雌生殖 C.一窝有性生殖幼仔全部雄性 41、菌种保藏通常采用的方法是低温、缺氧、干燥。其目的除了能尽量降低微生物代谢以延长细胞生命外，还能达到以下哪一个目的?( ) A.尽量减少不必要的传代 B.尽量增强细胞抗性 C.迫使细胞形成芽孢 D.避免培养基积累过多毒素 42、细胞中必须通过碱基配对才能完成的生理过程是( 。 A.胰岛素原转化成胰岛素 B.胰岛素原合成C.离子跨膜运输 D.葡萄糖酵解 43、分子生物学的中心法则指明了( )。 A.遗传信息流向的规律 B.生物繁殖的遗传规律 C.蛋白质合成的规律 D.生物进化的本质 44、鸟类按其生活环境和体形特征可以分为六种或者七种生态类群。以下对其中4种类群的描述，不正确的是( )。 A.脚趾特化为两前两后，此类型脚趾适于攀援树木，是为攀禽 B.陆禽是指不能飞翔只能在陆地生活的鸟类，鸵鸟是其代表 C.呜禽善于鸣叫，是鸟类中进化程度最高的类群 D.猛禽在食物链中均处于次级以上营养级的位置 45、如果一个小面积淡水鱼养殖池出现水华，以下治理方法哪一种最无效? ( ) A.堵截农田水排入 B.加投植食性鱼类 C.减少鱼苗投放 D.加大池塘通气系统运作 46、对以下动物行为的定义，正确的是( )。 A.一只正在孵蛋的鸡把一个形似鸡蛋的石头用下颏压住然后把它拖到窝里，这种行为属于习惯化 B，一群雏鸭跟着其主人寸步不离，这种行为也属于学习类型的行为 C.巴普洛夫经典的条件反射实验证实了动物的本能行为 D.顿悟是一种最高级的学习形式，除哺乳动物外其他种类的动物都不具有这种能力 47、下列物质中必须通过核孔进入核内的是( )。 A.氨基酸 B.RNA 聚合酶 C.球蛋白 D.葡萄糖 48、下列物质的化学本质属于蛋白质及多肽类物质的是( )。 A.甲状腺激素和胰岛素 B.生长素和生长激素C.性激素和性外激素 D.生长激素和胰岛素 49、在普通光镜下可以观察到的细胞结构是( )。 A.核孔 B.核仁 C.溶酶体 D.核糖体 50、氧气和二氧化碳跨细胞膜运输的方式是( )。 A.自由扩散 B.协助扩散 C.主动运输 D.膜泡运输 51、在光照条件下，以下植物器官或结构中的细胞内不会形成叶绿体的是( )。 A.长时间放置的土豆 B.大豆出苗后的“豆瓣”C.大豆花的花瓣 D.吊兰长出的气生根 52、三羧酸循环中草酰乙酸的最主要来源是( )。 A.丙酮酸羧化 B.丙酮酸氧化脱羧C.苹果酸酶催化产物 D.谷氨酰胺脱氨基 53、通常情况下.分子式CeHoNnS2的多肽化合物中最多含有肽键( )? A.63 个 B.62 个 C.17个 D.16个 54、在有丝分裂过程中，染色体,染色单体,DNA 分子三者的数量比是1: 2: 2 时，该细胞所处的时期是( )。 A.前期和中期 B.末期和前期 C.中期和后期 D.后期和末期 55、水毛茛生长在水中的叶呈丝状.生长在水面上的叶呈扁片状.这种性状的变异说明 A.环境因素引起基因突变 B.环境因素引起基因重组 C.环境因素引起染色体变异 D.表现型是基因型和环境条件共同作用的结果 56.下列物质中不含有氮元素的是( ) A.腺苷 B.叶绿素 C.磷脂 D.脂肪 57、下列有关杂交试验叙述正确的是( )。 A.两个纯种交配后，后代必是纯种 B.两个杂种交配后，后代必是杂种 C.纯种自交的后代都是纯种 D.杂种自交的后代全是杂种 58、在AaBbXAABb 杂交组合中，亲本能产生几种不同类型的配子( )? A.8 B.6 C.4 D.2 59、某哺乳动物的基因型是AaBb,下图是其体内一个正在进行分裂的细胞示意图。下列叙述正确的是( ) A.表示该细胞中非姐妹染色单体之间发生了交叉互换 B.表示等位基因A 与a 的分离只发生在减数第一次分裂 C.减数第二次分裂中不可能出现基因型为AaBB 的细胞 D.表示该细胞减数分裂后产生了2 种不同基因型的细胞 60、玉米花药培养的单倍体幼苗,经秋水仙素处理后形成二倍体植株。下图是该过程中某时段细胞核DNA 含量变化示意图。下列叙述错误的是( )。 A.a~b 过程中细胞内不会发生基因重组 B.C 点后细胞内发生了染色体数加倍 C.e 点后细胞内各染色体组的基因组成相 D.f~g 过程中同源染色体分离，染色体数减半 61、太湖曾由于湖水污染,多次出现“水华”，从种群数量变动角度看是属于( ) A.种群崩溃 B.种群不规则波动 C.种群衰落 D.种群的爆发 62、下列对农田生态系统特点的叙述最准确的是( ) A.农田生态系统是陆地生态系统的一种类型，稳定性高; B.农田生态系统的功能主要体现在农业生产和对自然环境的服务上; C.农田生态系统的功能带有明显的目的性,必须靠人力来维持; D.农田生态系统的净生产量与自然生态系统相比要高许多，所以要大力发展。 63、自然界动物之间存在多种形式的信号交流行为。以下所描述的行为哪一种不是信号交流( )。 A.大熊猫在树干上涂抹肛周腺分泌物 B.蜜蜂跳“8”字舞 C.家猫用后爪刨土掩盖粪便 D.柳莺春天早上在枝头鸣叫 64、研究发现.汞污染中的甲基汞(有机汞)的毒性远高于无机汞。在湿地生态系统等环境中,这两种物质可以相互转化，如右图所示，以下说法错误的是 ( )。 A.提高A类细菌的数量，可提高该生态系统的自我调节能力 B.B类细菌属于分解者 C.该系统可通过群落演替恢复被破坏的红树林湿地生态系统 D.各生物种群占据不同的位置,体现了群落的垂直结构和水平结构 65、天气变冷时,在体内的分泌量会增加的激素是( A.甲状腺激素 B.胰岛素 C.盐皮质激素 D.生长激素 66、关于血液中的气体运输，下列描述错误的是( )。 A.绝大多数氧气是通过化学结合的方式运输的 B.PH 降低会引起氧气与血红蛋白亲和力降 C.大多数二氧化碳是通过溶解在血浆中的方式运输的 D.温度升高会引起氧气与血红蛋白亲和力降低 67、下图表示三个通过突触连接的神经元。现于箭头处施加一强刺激,则能测到动作电位的位置是( ) A.a、b、c、d、e B. c、d、e C. c、d、e D.b、c 68、植食作用是一种特殊的捕食类型,下列中表述不正确的是( )。 A.被捕食者只有部分机体受到损害，剩余部分有再生能力 B.被捕食者没有能力逃脱捕食 C.被捕食者可以通过改变自身代谢通路实现防卫 D.被捕食者可以通过行为调节避免捕食 69、有些物种在维护群落或生态系统生物多样性和稳定性方面起重要作用:其消失或消弱,将会使整个群落或系统发生根本性的变化,这些物种称之为( )。 A.优势种 B.细胞质基质中 C.关键种 D.冗余种 70、下列关于免疫调节的叙述.正确的是( )。 A.巨噬细胞发挥作用时，必须有抗体的参与 B.辅助性T 淋巴细胞(助T 细胞) 可以与被抗原入侵的宿主细胞密切接触，使其裂解死亡 C.病毒侵入人体后，刺激机体免疫系统，可产生效应B 细胞和效应细胞毒性T 细胞 D.记忆细胞可与再次入侵的病原体结合，从而直接抑制病原体的繁殖 71、能在深海中潜泳的一些肺呼吸动物的肋骨无胸骨附着，这可能是这类动物对下列哪种条件的适应( )。 A.海水盐度 B.深海高压 C.深海低氧 D.光照强度 72、下面有关磷循环的说法中哪个是正确的( )? A.磷很容易随着水由陆地到海洋而很难从海洋返回陆地，因此磷循环是不完全循环 B.磷在陆地上主要以有机磷形式贮存于植物体内 C.海鸟捕食鱼虾可以使得海洋中的磷返回陆地，由于海鸟大量减少使之成为不完全循环 D.海洋中磷被软体动物以钙盐形式形成贝壳而保留，因此称沉积型循环 73、对芬兰的田鼠的捕食者研究显示，小型鼬类是田鼠的专性捕食者,而狐，普通鴛等也捕食田鼠,但它们的食谱更为广泛。两类捕食者都对田鼠种群数量具有调节作用。芬兰北部小型鼬类分布更多，而芬兰南部则以狐，普通鷥等捕食者为主。根据物种间相互作用对种群数量调节的机制，预测以下哪一说法符合田鼠种群波动规律( )? A.北部地区田鼠种群波动幅度比南部地区更为剧烈 B.南部地区田鼠种群波动幅度比北部地区更为剧烈. C.北部地区和南部地区的田鼠种群都保持稳定不变 D.北部地区和南部地区的田鼠种群都有同等程度的剧烈波动 74、牙齿是动物身体中最坚硬的部分.易于在地层中保存成化石.是研究动物食性的重要依据。现某地出土了一批某种动物的牙齿化石，其特征为: 犬齿不发达或缺失;臼齿齿冠较高，齿尖延成半月型。推测此物种的食性最有可能为( )。 A.食虫 B.食肉 C.食草 D.杂食 75、下图是利用三倍体香蕉的茎尖培养脱毒香蕉植株的过程示意图。下列叙述正确的是( )。 A.①~③过程中发生了有丝分裂和减数分裂 B.对香蕉进行花药离体培养可获得单倍体 C.②阶段为脱分化过程 D.X代表愈伤组织 76、关于杂交瘤技术的叙述，最正确的是( )。 A.B 淋巴细胞与骨髓瘤细胞的融合，目的是抑制瘤细胞的无限生 B.在培养基中加入青霉素来筛选杂交细胞 C.使用聚乙二醇诱导细胞融合 D.在培养基中加入聚乙二醇来筛选杂交细胞 77、现将“细胞工程”中动，植物细胞培养技术列表比较如下,你认为哪一项目的比较有错误( )? A.原理 B.培养基区别 C.结果 D.培养目的 78、外科手术器械和罐头食品的灭菌处理，标准是要能够杀死( )。 A.球菌 B.杆菌 C.螺旋菌 D.芽孢 79、大草履虫体内有一大一小两个核，下列说法正确的是( )。 A.两个核在显微镜下均呈圆球形 B.大核管遗传、小核管营养代谢 C.大核管营养代谢，小核管遗传 D.大核、小核的功能均为管遗传 80、在一株十年生之植物的茎与根部中，可分别观察到几层的维管束形成层( )? A.1,0 B.1,1 C.10,0 D.9,9 81、下列关于物质提取、纯化原理的叙述中，不正确的是( )。 A.采用凝胶色谱法分离蛋白质的原理是不同蛋白质分子的相对分子质量不同，在色谱柱中的移动速度不同 B.电泳是指带电粒子在电场的作用下发生迁移的过程 C.不能选用猪、牛、羊或其他哺乳动物的血液进行实验来提取和分离血红蛋白 D.将血红蛋白溶液进行透析，其目的是去除相对分子质量较小的杂质 82、下表是对能量从植物传递到鳞翅目幼虫(植食性) 的定量分析。下列结论中不正确的是( )。 A.从植物流入鳞翅目幼虫的能量是419 J B.食物中的能量只有约15%用于幼虫自身的生长 c.流入鳞翅目幼虫的能量一部分以热能形式散失 D.第一营养级至少需同化1047.5 J 的能量(第一营养级同化的能量一般十倍于二级营养级获取的量) 83、培养基、培养皿、接种环、实验操作者的双手、空气、牛奶采用的灭菌或消毒方法依次是( )。 ①化学消毒 ②灼烧灭菌 ③干热灭菌 ④紫外线消毒 ⑤高压蒸汽灭菌 ⑥巴氏消毒法 A. ⑤③②①④⑥ B. ①②③④⑤⑥ C.⑤②③④①⑥ D.③④②①⑥⑤ 84、有资料显示，在非洲，镰刀型细胞贫血症基因的携带者更能适应当地的环境。有人认为这种人的血红蛋白可能与正常人或镰刀型细胞贫血症病人的有一定差异。为证实这种猜想，需对携带者的血红蛋白进行检测，而检测前需要分离得到这种血红蛋白。试想分离提纯镰刀型细胞贫血症携带者(Aa) 的血红蛋白时，用不到的药品或仪器是( )。 A.琼脂糖 B.磷酸缓冲液 C.离心机 D.二苯胺 85、胭脂红是一种水溶性的大分子食用色素，呈红色。用无色洋葱鳞片叶表皮制备“观察细胞质壁分离及复原实验”的临时装片时，可用高浓度(质量浓度为0.075g/mL) 的胭脂红溶液作为外界溶液，观察细胞的变化。下列有关实验操作和结果的叙述，正确的是( )。 A.发生细胞质壁分离现象时，表皮细胞的液泡为红色 B.发生细胞质壁分离复原现象时，表皮细胞内的无色区域变大 C.用不同浓度的胭脂红溶液处理细胞后，均能观察到质壁分离和复原现象 D.当质壁分离不能复原时，细胞仍具正常生理功能 86、如图是细胞直接与内环境进行物质交换示意图，5处的箭头表示血液流动的方向。分析下列说法正确的是( )。 A. ②渗回⑤同和渗入④的量相差不大 B.若③为脑细胞，⑤处的氧气浓度高于①处，而CO2的浓度相反 C.若③为肝脏细胞，饭后一小时⑤处的血糖浓度低于①处 D. ⑤的PH能够保持稳定是因为HCO3-含量较多 87、人们在野兔中发现了一种使毛色为褐色的基因(T)位于x 染色体上。已知没有X 染色体的胚胎是致死的。如果褐色的雌兔(染色体组成为X0) 与正常灰色(t)雄兔交配，预期子代中褐色兔所占比例和雌、雄之比分别为( A.3/4与1:1 B.2/3 与2:1 C.\|/2与1: 2 D.1/3与1:1 88、将生长状况相同的四个胚芽鞘尖端分别置于4 个大小相同的不含生长素的琼脂块上，并做不同的处理，如下图所示。一段时间后，测定琼脂块a~h中生长素的含量。下列①~④是某同学对该实验的预期及分析，其中合理的有( )。 A.4项 B.3 项 C.2项 D.1项下图为植物界各类群的亲缘关系，据以回答下列89-90 两题。 89、下列有关图中的演化特性之叙述，何者正确?( ) A.X代表植物具维管束组织 B.X代表植物具孢子 C.X代表植物的配子体依赖孢子体生长 D.y 代表植物以异型配子生殖 90、下列有关图中z 点所代表的叙述，何者正确? ( A.松叶蕨、蕨类及木贼为多源系(polyphylet ic group) B.松叶蕨与蕨类的亲缘较接近 C.松叶蕨、蕨类及木贼三者的亲缘尚待确定 D.相对于蕨类松叶蕨因没有叶片，故与石松类亲缘较接近 91、下列关于神经细胞的说法中，正确的是( A.神经细胞不能向细胞外分泌化学物质B.静息状态下钾离子外流需要消耗ATP C.受刺激后细胞膜外电位变为负电位 D.膝跳反射过程中兴奋的传导是双向的 92、右下列组图是研究植物向性运动与生长素之间的关系，其相关说法错误的是( ) A.当探究胚芽鞘感受光刺激的部位时，应设置c 和e 互为对照分析 B.当探究植物向光性产生的外因时，可设置a 和c 互为对照分析 C.当探究植物向光性产生的物质内因时，可设置b和c 互为对照分析 D.图中能向光弯曲生长的是c 和e,停止生长的是b 和f 93、大多数生物的翻译起始密码子为AUG 或GUG.如下图所示为某mRNA部分序列,若下划线“0”表示的是一个决定谷氨酸的密码子，下划线“1”~“4”之一表示的为该mRNA 的起始密码子。下列叙述不正确的是( ) A.该部分序列编码10 个氨基酸 B.该mRNA的起始密码子为2 C.起始密码子的位置决定了核糖体的移动方向 D.4 不是该起始密码子 94、现有两种培养基，已知其配制时所加的成分和含量如下，用这两种培养基分别去分离土壤中的两种微生物，你认为它们适于分离得到( ) A.甲培养基适于分离自养型自生固氮菌; 乙培养基适于分离异养型自生固氮菌 B.甲培养基适于分离异养型自生固氮菌; 乙培养基适于分离自养型自生固氮菌 C.甲培养基适于分离酵母菌; 乙培养基适于分离真细菌 D.甲培养基适于分离自养型共生细菌; 乙培养基适于分离异养型共生固氮菌 95、某家兔在0℃的环境中，一小时的产热量为Q,,散热量为Q2; 进入25℃环境一段时间后,一小时的产热量为Q3,散热量为Q4 ;若其他条件等因素一致,则( ) 96、右图中甲、乙、丙表示自然选择对种群的三种作用类型,其中最易淘汰及最易产生新物种的分别是( ) A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙 D.丙和乙毋A岛 97、在千岛湖地区两个面积、植被、气候等环境条件相似的A、B两岛上对社鼠进行种群数量调查，得到如右图所示结果。已知B岛上另一种鼠类--青毛硕鼠的数量要明显多于A岛，且6~8 月该岛上有黄鼠狼活动。下列说法正确的是( ) A. 两岛社鼠数量超过50 只后均开始下降，说明环境容纳量均为50只 B.两岛6 月到7 月期间社鼠的出生率均小于死亡率 C.在6 月之后B 岛社鼠数量下降快的影响因素是种间竞争 D.两岛9 月到11月期间社鼠的出生率均小于死亡率 98、槲寄生是一种特殊的植物，有叶绿素,能进行光合作用。它的根特化，导管直接与其他植物如榆、杨的导管相连,从榆、杨身上获得水和无机盐，它还能分泌一些物质引起榆、杨顶枝枯死，叶片早落，使自己有机会接触到充足阳光。棕头鸦雀以槲寄生果实为食，同时为槲寄生传播种子。下列叙述，正确的是( ) A.榆树(杨树)→槲寄生→棕头鸦雀是一条食物链 B.槲寄生和榆、杨也存在竞争关系 C.槲寄生从榆、杨身上获得营养，是消费者 D.槲寄生的分泌物是具有调节功能的植物激素 99、右图为人体血液循环路线简图，图中箭头表示血液循环路线，数字表示相应位置的血管。相关血压的叙述，正确的是( ) A.血压是指血液对①和④血管壁造成的侧压力 B.左心室收缩时，②所承受的压力属于收缩压 C.右心房舒张时，③所承受的压力属于舒张压 D.⑤和⑥内的血液粘滞度增加可以降低舒张压 100、下图是生态系统的能量流动图解，Nr~N。表示能量数值，下列有关叙述中正确的是( ) A.流经该生态系统的总能量为N2,由初级消费者流向蜣螂的能量为N6 B.能量由第一营养级传递给第二营养级的传递效率为N4/N2X100% C.N5的去向之一是用于初级消费者的生长、发育和繁殖 D.生产者呼吸过程中化学能转变为热能和ATP 二、多重判断(共50题，共100分) [注: 请对本题的每一个答案进行判断，每题的正确答案可能1个，也可能多个。将你认为正确答案填涂在答题卡上。每题2 分,当全部答案都正确时才能得分。] 例: 叶绿体的色素主要有( ABC) A.叶绿素 B.类胡萝卜素 C.藻胆素 D.细胞色素 1、右图示的是四种不同生物，下列相关叙述正确的是( )。 A.其中有2种生物的遗传信息携带分子是DNA B.其中有1种生物的结构基因内可能含有内含子 C.其中有3 种生物具有细胞器核糖体 D.4种生物都含有核酸RNA 2、大田种植水稻和花生有很多不同之处。水稻种植时，种子可以用淋湿后堆叠的方法催芽; 但花生不能用这种方法催芽，花生种子一般直接单颗播种到土中即可发芽。以下叙述正确的是( )。 A.水稻种子存在休眠期，花生种子没有休眠期 B.水稻种子萌发需要一定的温度，堆叠催芽能够充分利用种子呼吸时产生的热量 C.花生种子萌发时需要更多的氧气，所以种子萌发时的关键因素是通风透气 D.花生种子比水稻种子大，堆叠催芽不方便 3、下列有关膜蛋白在磷脂双分子层中的排列叙述，正确的是( )。 A.分布是不规则的，可以在膜外表面、膜内表面，甚至在膜结构中间 B.决定膜蛋白排列状况的是蛋白质分子本身的特性 C.所有的膜蛋白在磷脂双分子层之间都可以自由运动，所以其排列是不固定的 D.如果某种功能需要几种膜蛋白合作，那么它们往往相对固定排列在一定的位置 4、细胞内通过代谢活动最终能够产生水的细胞器有( )。 A.线粒体 B.核糖体 C.叶绿体 D.高尔基体 5、动物细胞中，线粒体结构与细胞核有一些相同之处。例如( )。 A.双层膜结构，允许大分子物质通过 B.内含DNA和RNA C.内有核糖体 D.能进行遗传信息的复制、转录和翻译 6、物质透过细胞膜的速率随物质浓度变化的情况有2种，如图所示，据此以下正确的有( )。 A.氧气和二氧化碳透过细胞膜都符合左图情况 B.作物施氮肥不能一次太多的原因是氨素运输如左图所示导致细胞质浓度过高 C.随着培养基中细胞培养物的生长，培养基中的氨基酸、核苷、葡萄糖等细胞必需物质减少,但细胞仍能以右图方式继续吸收这些物质 D.如右图所示，当物质过膜速度不随浓度上升而上升时,无论过膜是否需要能量,此时的限制因素都与物质过膜所需载体有关 7、下列哪些过程产生ATP ( )? A.基粒片层上进行的光合磷酸化 B.线粒体内膜上进行的氧化磷酸化 C.叶绿体基质中进行的卡尔文循环 D.线粒体基质中进行的柠檬酸循环 8、人在激烈运动时，为细胞提供能量的代谢有以下哪些特点( )? A.糖酵解与丙酮酸氧化分解不同步，前者速率远大于后者 B.呼吸的加快部分源于乳酸使血液酸化而对呼吸中枢的刺激 C.肝细胞加速将乳酸还原成葡萄糖 D.整个运动过程释放的二氧化碳主要来自有氧呼吸 9、某研究小组利用检测气压变化的密闭装置来探究微生物的呼吸，实验设计如下。关闭活栓后，U 形管右管液面高度变化反映瓶中气体体积变化。实验开始时将右管液面高度调至参考点，实验中定时记录右管液面高度相对于参考点的变化(忽略其他原因引起的容积变化)。下列有关说法正确的是( ) A.甲组右管液面变化，表示的是微生物呼吸时氧气的消耗量 B.乙组右管液面变化，表示是微生物呼吸时CO2的释放量和OZ消耗量之间的差值 C.甲组右管液面升高，乙组不变，说明微生物只进行有氧呼吸 D. 甲组右管液面不变，乙组下降，说明微生物进行乳酸发酵 10、如图是基因突变鼠和正常鼠运动对血糖浓度的影响。基因突变鼠出现图中状况的原因最可能是( )。 A.胰岛B 细胞受损 B.细胞缺乏胰岛素受体 C.细胞缺乏胰高血糖素受体 D.细胞无法吸收葡萄糖合成肝糖原 11、细胞凋亡的生物学意义是( ) A.确保正常发育生长: 清除多余的细胞 B.积极防御功能: 阻止病毒感染复制 C.维持内环境稳定: 清除受损、突变、衰老的细胞 D.促使衰老生物个体死亡，加快世代更替 12、将一株绿色植物置于密闭锥形瓶中，如所示。在连续60 分钟监测的过程中，植物一段时间以固定的光照强度持续照光，其余时间则处于完全黑暗中，其他外界条件相同且适宜,测得瓶内C02浓度变化结果如所示。下列分析正确的有( )。 A.实验至20min 处，光合作用强度不能判断为0 B.整个实验过程中，呼吸作用都是恒速的 C.瓶内CO2浓度不断上升就意味着呼吸作用不断增强 D.有光照的时间段内，净光合速率大于80ppmCO2/min 13、如右图表示反应物(初态) 在不同条件下发生化学反应后成为产物(终态) 的过程中自由能的变化曲线: 分析1、2、3曲线和a、b、c、d、e5个点的自由能值，正确的有( )。 A.d 分别与a、b、c 的差值是3种不同条件下发生的化学反应所需要的不同的活化能 B.最可能是酶促反应的曲线是1号，因为酶能够加强化学反应的活化能 C.db 差值大于dc 差值，说明前者反反应过程应需要的能量较后者多 D.de 差值是反应物生成产物过程中释放的自由能总量 14、以下是某种酶的实验。左图是实验设置，右图是实验结果: 实验结果说明( )。 A.试管a 中的酶已经失活，原因是温度过高 B.这种酶的最适PH 在7~8之间 C.加入某物质后酶促反应才开始进行 D.某物质很可能具有激活酶的作用 15、酶促反应: P+Q-R。如右图，实线表示没有酶时的反应进程。在时间t加入相关酶,哪一条曲线能够正确反映之后的反应进程( )? ([P]、[Q]、[R]分别表示P、Q、R 的浓度) 16、氧气在细胞代谢中( )。 A.与活泼还原剂[H] 结合释放能量推动ATP 合成 B.是无氧呼吸的抑制剂 C.是光合作用中卡尔文循环的产物之一 D.与丙酮酸脱羧分解的某中间产物结合产生CO2 17.下列关于细胞分裂的叙述，正确的有( )。 A.所有细胞分裂的过程中，在复制的DNA 即将分开时，都能够在光学显微镜下看到中心粒 B.植物细胞胞质分裂的方式有别于动物细胞，原因是存在着细胞壁 C.显微镜下观察植物根尖分生组织发现间期细胞占大多数，原因是细胞周期中间期长于分裂期 D.细胞分裂时，细胞器都是平均分配到两个子细胞中的 18、以下论述正确的是，一般情况下，有丝分裂和减数分裂( )。 A.都进行DNA 复制。但有丝分裂复制出完全相同的两套基因，而减数分裂复制出不完全相同的两套基因 B.都发生着丝点分裂。但有丝分裂只进行1次，而减数分裂进行2 次 C.其子细胞与母细胞基因组成相比较,有丝分裂产生的子细胞与母细胞完全相同，而减数分裂产生的子细胞与母细胞有很大的不同 D.其子细胞相互之间比较，有丝分裂产生的子细胞基因完全相同，而减数分裂产生的子细胞基因不完全相同 19、有关生物变异，以下判断正确的有( )。 A.父正常，母色盲，其子色觉正常但性染色体为XXY一一变异来自精子 B.基因型AaXY 果蝇产生AO 配子----变异来自雄性基因突变 C.豌豆基因型为rr 不能合成叶绿素; 测得某一株白化豌豆只含一个r 基因---变异来自性染色体 D.对青霉素敏感菌群中出现抗青霉素菌株---变异来自敏感菌的基因突变 20、一对表现型正常但近亲结婚的夫妻，其子女或患甲病或患乙病(如图)。已知甲病甲病和乙病都是单基因遗传病。此例排除基因突变。以下判断正确的有( )。 A.1号携带乙病基因概率为2/3 B.2号可能携带乙病基因，不可能携带甲病基因 C.号与不携带甲、乙病基因者的婚配，其却患甲病，说明甲病是显性致病基因 D.这对近亲结婚的夫妻再生一个不患甲、乙病男孩的概率是3/8 21、人类B珠蛋白基因位于常染色体上。其基因显性突变和隐性突变均引起地中海贫血。一对地中海贫血夫妻生了一个正常孩子。据此判断，这对有下列哪些夫妻可能? A.都是杂合子，但基因型不同 B.各自携带不同的致病基因 C. 各自含有不同的正常基因 D.基因型相同，且携带相同的致病基因 22、羟胺可使胞嘧啶转化为羟化胞嘧啶而与腺嘌呤配对。假如一个精原细胞在进行DNA 复制时有1个胞嘧啶碱基发生羟化，可能产生的后果有( )。 A.减数分裂产生的4 个精子中，2 个精子的DNA 序列改变2个没有改变 B.DNA 序列发生改变的精子与卵细胞结合并发育成具有突变性状的个体 C.DNA 序列发生改变的精子与卵细胞结合并发育成没有突变性状的个体 D.DNA序列发生改变的精子与卵细胞结合发育成的个体能够产生新的蛋白质 23、企鹅像鸵乌一样是不会飞的鸟。几百年前，人们发现企鹅时将其称为“有羽毛的鱼”。体型最大的是帝企鹅体重可达50KG,中型的有麦哲伦企鹅，体重约5KG 左右，体型最小的是加拉帕戈斯企鹅，体重约2~2.5GK。以下叙述正确的是( )。 A.企鹅分布受海洋影响 B.企鹅体型分布受温度影响 C.企鹅不会飞所以属于涉禽 D.企鹅只能在极地生活 24、有些生物学家认为凡是发生频繁密切接触的不同物种间的关系都属于共生关系，而不管其中哪方受益。根据这种说法，以下叙述正确的是( ) A.共生生物生活在一起时并不意识到自己在损害对方或者帮助对方，它只是在选择对自己最有利的生存方式 B.共生体现了两种生物的彼此依赖，但同时也能够体现它们之间的相互选择 C.在人类这个物种中，一般没有生物与之产生互利共生关系 D.动物和植物之间不会产生生物的共生关系 25、酒精在人体内的代谢途径如下: 乙醛是导致人喝酒后脸红的原因，目前怀疑乙醛与癌症有关。一个ALDH 突变基因携带者(杂合子) 喝酒会脸红。以下叙述正确的有( ) A.ADH基因、ALDH 基因都正常的人大量喝酒，其危害在于乙酸积蓄导致内环境PH改变 B.ADH 基因缺陷的人喝酒后不会导致乙醛积蓄因此喝酒对身体危害不大. C.ALDH 突变基因是显性遗传基因 D.喝酒后脸红的人经过较长时间后可恢复正常说明体内有其他酶使乙醛分解 26、靠蚊子传播的粘液瘤病毒感染美洲兔并不会导致其死亡,但能导致欧洲兔死亡。早年澳洲政府将感染病毒的蚊子引入澳洲有效地控制了澳洲野兔的种群。但数十年之后，澳洲野兔种群回升。以上叙述说明( )。 A.病毒侵染细胞具有专一性 B.该病毒是澳洲野兔的天敌 C.病毒对澳洲野兔进行了选择 D.病毒的引入改变了澳洲野兔基因库 27、用达尔文的生物进化理论来判断下面的说法哪些是正确的( )。 A.变异分为可遗传的和不可遗传的 B.生殖隔离与物种形成无直接关系 C.所有的变异都是为适应环境而发生的 D.自然选择是推动生物进化的动力 28 生态学家对森林中的林旅鼠和猫头鹰种群数量变化进行调查研究。当时由于林旅鼠患有一种由病毒引起的疾病而使种群数量下降。正常情况下，猫头鹰是以林旅鼠为食。当林旅鼠数量下降的时候，成年猫头鹰的数量仍能保持，但新一代的猫头鹰却大大减少。下列解释正确的有( ) A.蛋的孵化率下降 B.营养不良的新生猫头鹰更容易感染疾病而死亡 C.成年猫头鹰捕食能力比新生猫头鹰强 D.营养不足使雌猫头鹰产蛋量减少 29、群居生活的动物，雄性在争夺配偶的过程中经常采用的行为对策有( )。 A.仪式化的争斗 B.使用致命的武器如毒牙，利齿等置对手于死地 C.在求偶场炫耀亮丽的外观或舞蹈以吸引雌性 D.避开优势个体，伺机偷袭交配 30、下列现象属于全球气候变化的是( )。 A.雾霾现象 B.厄尔尼诺现象 C.拉尼娜现象 D.水华现象 31、对一种群居狐猴的研究发现群体中只有少数个体可以进行繁殖,而没有机会进行繁殖的个体，当年可以帮助照顾新生的幼仔。将不参与繁殖的个体年龄(age) 分成4 个段，幼年(Juv)、少年(SubAd)、青年(Year) 和成年(Adult)。记录它们在群内帮助照顾新生幼仔的比例如右图，纵坐标是参与照顾幼仔的时间比例，females: 雌性, males: 雄性根据下图，以下表述正确的有哪些( )? A.雌性比雄性帮助者花费更多时间照顾新生幼仔 B.在整体趋势上年龄大的个体比年龄小的个体提供更多的帮助 C.成年帮助者提供照顾显著高于青年帮助者提供的照顾 D.幼年个体提供更多帮助 32、下面会引起人体尿量增加的因素是( )。 A.血压上升 B.血糖浓度增加C.大量饮用清水 D.注射肾上腺素 33、结合下列图表进行分析，有关说法正确的是( ): A.环丙沙星可抑制细菌的① B.青霉素和利福平能抑制DNA 的复制 C.红霉素可抑制细菌的③ D.①~⑤可发生在人体健康细胞中 34、人或高等动物细胞在体外培养条件下的生长特点有( ) A.正常细胞能无限增殖 B.在有充分营养条件下，正常细胞能无限增殖 C.正常细胞不能无限增殖，其增殖代数与物种和供体年龄有关D.海拉(HeLa)细胞可以无限繁殖 35、胚胎移植技术目前主要应用于( ) A.解决某些不孕症者的生育问题 B.提高良种家畜的繁殖能力 C.治疗某些遗传病 D.提高动物的抗病能力 36、下列有关洋葱根尖有丝分裂实验中的操作叙述正确的是( ) A.洋葱的根尖用秋水仙素预处理可使染色体成比例的缩短 B.用固定液处理可维持细胞染色体形态和结构的鲜活状态 C.根尖用盐酸水解时间越长越有利于压片中染色体分散 D.用高倍镜找到细胞后，再调节微调节器观察染色体形态 37、下列关于基因工程技术的叙述，错误的是 )。 A. 切割质粒的限制性核酸内切酶均特异性地识别6个核苷酸序列 B.PCR反应中温度的周期性改变是为了DNA聚合酶催化不同的反应 C.载体质粒通常采用抗生素合成基因作为筛选标记基因 D.抗虫基因即使成功地插入到植物细胞染色体上也未必能正常表达 38、下列对蕨类植物的特征描述中，正确的是( ) A.蕨类植物的大孢子萌发产生雌配子体，小孢子萌发产生小孢子体 B.蕨类植物的茎无形成层，因此无次生生长 C.蕨类植物的孢子萌发形成原叶体 D.蕨类植物的孢子同型或者异型 39、同一科的植物往往具有共同特征。烟草的植株中含有较多的尼古丁，则下列植物中可能含有尼古丁的是( )。 A.茄子 B.罂粟 C.番茄 D.马铃薯 40、阳生植物所具有的特点是( )。 A.叶片较小较厚，角质层发达叶脉稀疏C.栅栏组织发达 D.光补偿点低 41、常用的模式生物有( )。 A.小鼠 B.斑马鱼 C.线虫 D.果蝇 42、下列关于皮肤的相关描述何者正确( )? A.黑色素细胞位于表皮层 B.表皮层没有血管分布 C.表皮细胞与神经细胞均源自于外胚层的分化而来 D.毛囊位于真皮层 43、下列物质能作为希尔反应的电子受体(即希尔氧化剂) 的是( ) A.ATP B.质醌(PQ) C.NADP+ D.NAD+ 44、研究表明，人类数学能力的遗传率为0.3,这个研究结果表示( ) A.某一个人的数学能力高低有30%由遗传因素决定 B.同卵双胞胎拥有相同数学能力的概率是30% C.遗传变异在人类数学能力高低的变异中占30% D.有30%的人的数学能力是经遗传与生俱来的，其他人则是后天习来的 45、以下对机械组织的描述正确的是( ) A.厚角组织是初生机械组织 B.厚角组织细胞壁局部加厚 C.成熟的厚角组织没有原生质体 D.成熟的厚壁组织具有原生质体 46、微管作为细胞质骨架的重要成分，能够和其他蛋白共同装配成许多结构，下列哪些结构是以微管作为基本成分的( ) A.基粒 B.鞭毛 C.纤毛 D.肌纤维 47、拟态(mimicry)的型式相当多样，以下何者属于拟态? A.马来西亚的兰花螳螂形似蝴蝶兰，并捕食前来蝴蝶兰上取食的昆虫 B.美洲Photur is 属的雌萤火虫模拟他种萤火虫的发光模式(flash pattern),以诱引并捕食后者的雄萤 C.寄生在蚁窝中的Atemeles 属隐翅虫幼虫模拟寄主蚂蚁幼虫的行为与触感，使得蚂蚁成虫愿意喂饲隐翅虫的幼虫 D.掘穴猫头鹰(Athene cunicularia)的雏鸟在暗穴中模仿响尾蛇的声音，以驱走潜在的捕食者 48、下列有关微生物培养的叙述错误的是( ) A.在对微生物进行培养前，需要对微生物和培养基进行灭菌 B.分离能分解尿素的细菌，要以尿素作为培养基中唯一的氨源 C.测定土壤样品中的细菌数目，常用平板划线法进行菌落计数 D.酵母菌发酵过程产生的酒精，对其他微生物生长有一定的抑制作用 49、水分子之所以能从低浓度的溶液中进入高浓度的溶液中，是因为存在渗透压。为了证明这一渗透压的存在，并且也能测定渗透压的大小，有人设计了以下三个实验: 假设三个实验中水分子进入半透膜的速度是VI,出来的速度是V2。下列对a到b的过程中V的变化情况和b 到c 的过程中V2的变化情况描述不正确的是( ) A.V1由快变慢，V2由慢变快 B.V1和V2都是由慢变快 C.V1和V2都是由快变慢 D.V2由快变慢，V1由慢变快 50、下图是某生态农场生产流程示意图，有关说法错误的是( ) A.该生态系统中有4 个营养级 B.合理使用农家肥可提高流经该生态系统的总能量 C.该生态系统各营养级之间的能量传递效率大大提高 D.除草、治虫的目的是提高生态系统的抵抗力稳定性 2018 年广东省中学生生物学试题参考答案一、单项选择题(共100题，每题1分) 1、D. 2、C.3、B.4、A. 5、C.6、C. 7、B.8、C. 9、C. 10、B.11、C.12、B.13、D.14、A.15、C16、D.17、D.18、A.19、B.20、D.21、D.22、A.23、C.24、D.25、D.26、C.27、D.28、C.29、B.30、B. 31、A.32、A.33、C.34、A.35、B.36、C.37、B.38、D.39、C.40、A.41、A.42、B.43、A.44、B.45、B.46、B.47、B.48、D.49、B.50、A.51、C.52、C.53、D.54、A.55、D.56、D.57、C.58、C.59、A.60、D.61、D.62、C.63、C.64、A.65、A.66、C.67、B.68、D,69、C.70、C.71、B.72、A.73、A.74、C.75、D.76、C.77、A.78、D.79、C.80、B.81、C.82、A.83、A.84、D,85、B.86、B.87、B.88、A.89、A.90、C,91、C.92、A.93、C.94、B.95、A.96、C.97、B.98、B.99、B.100、C 二、多重判断(共50 题，共100 分) 1、B.C.D， 2、B.C. 、A.B.D. 4、A.B.C. 5、A.B.6、A,C.D. 7、A.B.D 8、A.B.D ?、A.B.C. 10、C、11、A.B.C. 12、A.D， 13、A.C.D. 14、A.C.D， 15、B.16、A.B. 17、B.C， 18、C.D. 19、A.D. 20、A.D.21、B.D. 22、B.C.D 23、A.B. 24、A.B. 25、C.D.26、A.C.D.27、A.D. 28、A.B.C.D.29、A.C.D. 30、B.C.31、A.B. 32、B.C. 33、A.C. 34、C.D. 35，A.B 36、A.B. 37、A.B.C.38、B.C.D.39、A.C.D.40、A.C.41、A.B.C.D.42、A.B.C.D.43、B.C.D.44、A.C. 45、A.B.46、A.B.C.47、A.B.C.D.48、A.C. 49、B.C.D. 50、A.C. 高中生竞教练群：254139830，生竞学生交流群：271753479，	1	positive_file/【高中生物竞赛试卷及答案（国内+国际）】》》》》》》》》》》》/【生物联赛、初赛试卷】/2018广东省中学生生物学联赛试卷及答案(word版-已校对).docx
下载来源：生物竞赛资料群：369691871，强基计划资料群：531448000， 2016年全国中学生生物学联赛陕西获奖名单姓名年级学校总T值名次以下35人获得一等奖赵伟豪高二西安高新第一中学 92.25392756 1 廖章正高二陕西师大附中 88.45653694 2 霍思函高二西安高新第一中学 88.02139842 3 刘泽方高二西安交通大学附属中学 87.61112335 4 贠宇恒高二西安高新第一中学 85.65169687 5 黄颖卓高二西北工业大学附属中学 84.88915835 6 薛皓晨高二西安交通大学附属中学 84.65636257 7 霍怡萱高二西安高新第一中学 84.57025156 8 黄明雨高二西安高新第一中学 84.44416138 9 尚北辰高二周至中学 84.34100196 10 张庚鑫高二西安高新第一中学 84.34091332 11 鲁一恒高二西北工业大学附属中学 83.85400448 12 刘怡琳高二陕西师大附中 83.54517774 13 连艺博高二西北工业大学附属中学 82.795512 14 拓绎宽高二西北工业大学附属中学 82.47458388 15 屠昱晨高二西安市铁一中学 82.11389818 16 吴通高二西北工业大学附属中学 81.70286069 17 杨书茂高二陕西师大附中 81.04660225 18 闫如瑜高二西安高新第一中学 81.0063305 19 邓凯歌高二西北工业大学附属中学 80.94950683 20 王欣宜高二西北工业大学附属中学 80.50594607 21 马庆高二西北工业大学附属中学 80.50114097 22 毛澍霖高一西安高新第一中学 80.11200133 23 刘佳敏高二西安高新第一中学 80.01288458 24 戴尡鹏高二西安市铁一中学 79.92744735 25 何舒婷高二西安市铁一中学 79.83758625 26 吴华益高二陕西师大附中 79.78812983 27 孙晗晏高二陕西师大附中 79.74318595 28 李梦石高二西北工业大学附属中学 79.65505361 29 党文迪高二西安交通大学附属中学 79.25998291 30 王心雨高二西北工业大学附属中学 79.17732944 31 李依聪高二西安高新第一中学 78.59326321 32 黄开源高二陕西省西安中学 78.49490888 33 苏国林高二安康市高新中学 78.0988275 34 赵思博高二陕西省西安中学 78.06486802 35 以下200人获得二等奖屈晨迪高二西安高新第一中学 77.96440372 36 唐祉涵高二西北工业大学附属中学 77.83705462 37 王珂婷高二西北工业大学附属中学 77.4352018 38 罗旭高二西安市铁一中学 77.41413735 39 王恺忻高二西安交通大学附属中学 77.28708082 40 郑心和高二西安高新第一中学 77.02243554 41 韩思宇高二西安交通大学附属中学 76.89070687 42 冯启元高二西安高新第一中学 76.80001237 43 刘予婧高二西北工业大学附属中学 76.75177057 44 李嘉懿高二陕西省西安中学 76.53190956 45 陈思宇高二西北工业大学附属中学 76.26111163 46 张舒妍高二西北工业大学附属中学 76.22744471 47 徒一凡高二西安高新第一中学 76.09551212 48 袁漳辰高二西北工业大学附属中学 75.72256543 49 吴奕辰高二西北工业大学附属中学 75.68447463 50 张思远高二陕西师大附中 75.64714626 51 李昱蒙高二西安市铁一中学 75.28194803 52 潘作宇高二西安市第一中学 75.04953346 53 苏晨高二西北工业大学附属中学 74.15715465 54 朱思延高一西安高新第一中学 73.6305149 55 李家琛高二西安交通大学附属中学 73.14697495 56 马晓萱高二西北工业大学附属中学 73.10324567 57 张书岩高二西安市铁一中学 72.64216664 58 李晨烁高二西安高新第一中学 72.37361164 59 徐佳荣高二西安铁一中滨河学校 72.24536717 60 刘文彬高二西北工业大学附属中学 72.20358825 61 庄子通高一西安市铁一中学 71.93299425 62 董新航高二西安市铁一中学 71.80315396 63 高珊高二西北工业大学附属中学 71.21885714 64 杨雨晨高二西安交通大学附属中学 71.16852303 65 高若彤高二西北工业大学附属中学 70.86419114 66 田野高二西安高新第一中学 70.81565676 67 朱子琦高二西北工业大学附属中学 70.52374548 68 靳新桐高二西北工业大学附属中学 70.49982631 69 韩佳颖高二西北工业大学附属中学 70.36713129 70 王嘉恒高二西北工业大学附属中学 70.29344089 71 杨佳轩高二西安市铁一中学 70.02021375 72 蔺舫民高二西安市铁一中学 69.71507513 73 张宇涵2 高二西安高新第一中学 69.64562693 74 施学通高一西安高新第一中学 69.46859983 75 李文钊高二陕西师大附中 69.42478191 76 吕俣橦高二西安高新第一中学 69.3314366 77 司恩佑高二勉县一中 69.25581351 78 李可欣高二西北工业大学附属中学 69.20808586 79 张笑寒高二西安高新第一中学 68.94373315 80 张雨欣高二西安市第一中学 68.7990254 81 刘泽明高二陕西省西安中学 68.60899256 82 吴宇飞高二西安高新第一中学 68.59495389 83 陈昊翔高一西安高新第一中学 68.28657933 84 张子铉高二西安高新第一中学 68.0516026 85 董得沁高二西安交通大学附属中学 68.00416752 86 张玉田高二西北工业大学附属中学 67.83241537 87 赵晨皓高二西安市铁一中学 67.69738878 88 赵泽林高二西北工业大学附属中学 67.49426155 89 王嘉路高二西安高新唐南中学 67.46789092 90 刘奕阳高二西安市铁一中学 67.32814788 91 王倩高二西北工业大学附属中学 67.29735337 92 宋文菲高二陕西省西安中学 67.28509238 93 王尚坤高一西安高新第一中学 67.21047994 94 王雨欣高二西安高新第一中学 67.18799697 95 赵芷霁高二西北工业大学附属中学 67.14426769 96 邵彦辰高二西北工业大学附属中学 67.01101417 97 李剑钊高二宝鸡中学 66.85139006 98 吴秉恒高二西北工业大学附属中学 66.73677638 99 薄雨菲高二西安市第一中学 66.66645487 100 徐文汉高二陕西省西安中学 66.65967275 101 袁和凡高一西北工业大学附属中学 66.52179143 102 李乐高二洋县中学 66.51952184 103 李柯文高二长安一中 66.35513694 104 焦可佳高一陕西师大附中 66.31167359 105 郭丁玮高二西北工业大学附属中学 66.2526513 106 李丹阳高二西北工业大学附属中学 66.22644028 107 吴思怡高二汉中市龙岗学校 66.18051238 108 王竞琢高一西安市庆安高级中学 66.15095472 109 马乔玺高二西北工业大学附属中学 65.98349349 110 吴嘉昕高二西北工业大学附属中学 65.94780524 111 景凯元高二宝鸡中学 65.90272841 112 李天宇高一西安高新第一中学 65.85807709 113 陈开轩高二西安市西光中学 65.82542086 114 吴程昊高二宝鸡中学 65.75482903 115 赵嘉琳高二西北工业大学附属中学 65.68181241 116 杨皓琛高二西北工业大学附属中学 65.67963146 117 陈朴高二西安市第一中学 65.54557121 118 党张弛高二澄城中学 65.45487671 119 雒海霞高二宝鸡中学 65.40003007 120 刘立宇高二西安交通大学附属中学 65.36299427 121 李锐霄高二渭城中学 65.24267552 122 张兆华高二陕西省西安中学 65.23029925 123 陈雨欣B 高二咸阳彩虹中学 65.17999177 124 黄皓晨高二陕西科技大学附属中学 65.09140725 125 杨青青高二西安市铁一中学 65.05618886 126 杨昊辰高二宝鸡中学 65.01313335 127 刘树豪高二西北工业大学附属中学 64.95857928 128 荆东喆高一西安高新第一中学 64.94366748 129 田壮高二长安一中 64.83527286 130 罗思成高二陕西师大附中 64.77335153 131 刘仲皓高二西安市铁一中学 64.74999525 132 朱卉萱高二陕西师大附中 64.7389222 133 郭容希高二陕西师大附中 64.73606747 134 高山岳高二咸阳彩虹中学 64.65930074 135 李思奇高二西北工业大学附属中学 64.63176441 136 周嘉莹高二西安市铁一中学 64.56364153 137 雷洁如高二西北工业大学附属中学 64.50870625 138 李玥莹　高二西安交通大学附属中学 64.48413536 139 汪明瑶高二旬阳中学 64.32970212 140 宋旭锦高二西安市铁一中学 64.28913781 141 王涵宇高二西北工业大学附属中学 64.25639293 142 刘来泽高一西安高新第一中学 64.24435354 143 张梦凡高二南郊中学 64.2076103 144 黄耀世高二西北工业大学附属中学 64.16637221 145 张帆高二西北农林科技大学附属中学 64.15276366 146 王婧琳高一西安高新第一中学 64.06741508 147 刘敏豪高二陕西省丹凤中学 63.96888346 148 李卓奇高二西安高新第一中学 63.93876273 149 张阳高二西北工业大学附属中学 63.89788818 150 刘羽菡高二西安市第八十九中学 63.87502399 151 朱孟桢高二西北工业大学附属中学 63.76211684 152 李怡倩高二西安市铁一中学 63.75331339 153 张晨晖高二西安尊德中学 63.751425 154 王梦月　高二实验中学 63.65862052 155 李明隽高二西安市铁一中学 63.63497167 156 张国清高二西安市第一中学 63.62836684 157 薛倩高二汉台中学 63.62234714 158 王赛亚高二宝鸡中学 63.543763 159 王沛豪高二西安高新第一中学 63.52772524 160 张若彤高二西安交通大学附属中学 63.48837554 161 刘明卓高二西北工业大学附属中学 63.39961373 162 朱倩高二洋县中学 63.38773395 163 黄勇高二陕西省山阳中学 63.33881836 164 高培翔高二西北工业大学附属中学 63.27828433 165 郭映聪高二西安交通大学附属中学 63.22786157 166 王峄锟高二西北工业大学附属中学 63.18442486 167 赵方唯高二西北工业大学附属中学 63.17555043 168 孙琪高一西安市铁一中学 63.13294711 169 刘攀高二勉县一中 63.11581005 170 郑悦彤高二西安市铁一中学 63.09494496 171 王雨彤高二西安市临潼区华清中学 63.08854405 172 刘昊毅高二陕西省丹凤中学 63.0052168 173 张轩睿高二咸阳彩虹中学 62.99957832 174 王朝敏高二宝鸡中学 62.91775824 175 曾子颜高一西安交通大学附属中学 62.85967566 176 尤志凯高二西乡县第二中学 62.82284378 177 郭又诚高二西安市第一中学 62.82104404 178 李育松高二西北工业大学附属中学 62.77828111 179 贺彦磊高二西北工业大学附属中学 62.76956629 180 苏一辰　高二西安交通大学附属中学 62.73493304 181 胡嘉杰高二西安市铁一中学 62.73223792 182 魏东安　高二西安交通大学附属中学 62.7231419 183 张新钰高二陕西省西安中学 62.69082254 184 石弘阳高二西安市铁一中学 62.64612692 185 张旭豪高二咸阳彩虹中学 62.64469072 186 程宏澈高二西安市铁一中学 62.64250977 187 高旖泽高二西北工业大学附属中学 62.56747181 188 刘佳玥高二西安市铁一中学 62.54068023 189 陈宇麒高二西安交通大学附属中学 62.5128291 190 郑瑞晨高二西北工业大学附属中学 62.50483237 191 沈方哲高二西北工业大学附属中学 62.47028776 192 杨海桐高二陕西师大附中 62.46961398 193 刘姝婉高二西北工业大学附属中学 62.46472024 194 魏江沅高二咸阳彩虹中学 62.41144275 195 梅晰然高二西安交通大学附属中学 62.3645485 196 王己清高二西安高新唐南中学 62.32558001 197 李旭东高二西安市铁一中学 62.3200568 198 赵颢舒高二西安高新唐南中学 62.31998583 199 王泽高二渭南高级中学 62.31383318 200 李密家高二西乡县第二中学 62.28926229 201 薛钶凡高二西安高新唐南中学 62.28564514 202 康心怡高二西安市铁一中学 62.27650481 203 董嘉琦高一西北工业大学附属中学 62.27414657 204 郑迪高二西安铁一中滨河学校 62.2382544 205 符卓宇高二陕西师大附中 62.20964084 206 郭奕含高二西安市铁一中学 62.20753086 207 骆家豪高二咸阳彩虹中学 62.19767241 208 张夏高二陕西省西安中学 62.19737985 209 冯钦雨高二西安交通大学附属中学 62.19068637 210 赵京梁高二陕西师大附中 62.1094691 211 刘腾飞高二长安一中 62.10899925 212 郭雅梦高二西安市第一中学 62.10706655 213 史雪丁高二西乡县第二中学 62.10374197 214 许家祺高二西北大学附中 62.10133942 215 李欣雨高二西北工业大学附属中学 62.08182189 216 李若溪高二西北工业大学附属中学 62.07041196 217 孙伟森高二西安市第三中学 62.06286742 218 刘艺涵高一西安高新第一中学 62.05904634 219 解昕睿高二咸阳彩虹中学 62.02124812 220 张岳藤高二汉中市龙岗学校 62.01455464 221 蒋昊霖高二西安高新第一中学 61.99607003 222 王可高二城固县第一中学 61.96624186 223 雷翔宇高二澄城中学 61.96000057 224 杨迪高二陕西眉县中学 61.9470658 225 张锡蒙高二西安交通大学附属中学 61.92806243 226 任梦洁高二陕西师大附中 61.91934761 227 徐扬高二周至中学 61.91905505 228 席立虎高二西安市临潼区华清中学 61.90654579 229 赵思源高二育才中学 61.88201924 230 许博洋高二汉中市龙岗学校 61.83972616 231 马朔尧高二渭南高级中学 61.83121527 232 张凡高二西安市第七十中学 61.79658201 233 车千纪高二西安市铁一中学 61.79325743 234 王浩博高一西安高新第一中学 61.79206949 235 以下300人获得三等奖王敏学　高二实验中学 61.73555606 236 王帅中高二西安高新第一中学 61.69535529 237 李兆兴高二咸阳彩虹中学 61.69452189 238 杨松霖高二汉中市龙岗学校 61.6578673 239 吴璞璐高一西安市曲江第一中学 61.65032276 240 骆垣成高二西安高新第一中学 61.60849953 241 岳铁骐高二西北工业大学附属中学 61.57806856 242 高尔康高二西北工业大学附属中学 61.55958395 243 董华俊高二西安市铁一中学 61.49444875 244 党韩寒高二合阳中学 61.43522253 245 龙奕晨高二西安高新第一中学 61.34738276 246 杨昊睿高二宝鸡中学 61.33285217 247 管西雯高二西藏民族大学附中 61.33044963 248 治长江高二洋县中学 61.32730233 249 张浩影高二西安市铁一中学 61.29792635 250 孙铭岐高二西北工业大学附属中学 61.25886921 251 左天宇高二勉县一中 61.25781422 252 赵思逸高二西北工业大学附属中学 61.2553407 253 雷鹏越高二西安电子科技大学附属中学 61.25255694 254 高熹莹高二西安高新第一中学 61.2183049 255 傅海阳高二西北工业大学附属中学 61.20790563 256 赵天罡高二西北工业大学附属中学 61.1677935 257 胡人榕高二汉中市龙岗学校 61.16375082 258 李若琳高一汉中市龙岗学校 61.16013367 259 白翰韬高二西安市铁一中学 61.15966382 260 苗圃高二西安市第八十九中学 61.15604667 261 李江涛高二普集高中 61.14032814 262 江常皓高二宝鸡中学 61.13565143 263 王嘉璇高二西北工业大学附属中学 61.12188326 264 何百哲　高二西安交通大学附属中学 61.12150205 265 王尔卓高二西北工业大学附属中学 61.07469645 266 刘雅萱高二旬阳中学 61.0246549 267 郑宇高一西安高新第一中学 60.99233555 268 靳力高二洋县中学 60.98218453 269 刘斯林高二咸阳彩虹中学 60.93416432 270 姚嘉翔高二西安高新第一中学 60.90487698 271 李嘉倩　高二实验中学 60.89953106 272 张子韵高二西安铁一中滨河学校 60.88908748 273 杨心柳高二勉县一中 60.85723798 274 韦彦一高二西北工业大学附属中学 60.80209878 275 姚博文高一西安市铁一中学 60.80192149 276 樊科飞高二西北工业大学附属中学 60.79884516 277 王新竹高二西安市铁一中学 60.77150819 278 李雨欣高二汉中市龙岗学校 60.76750983 279 袁天宜高二西安高新第一中学 60.72995986 280 袁冬高二西北工业大学附属中学 60.7225926 281 夏思佳高二陕西师大附中 60.71589913 282 李朴高二西北工业大学附属中学 60.67313619 283 徐婧颖高一西安高新第一中学 60.67246241 284 马莺华高二西北工业大学附属中学 60.64128669 285 杨旭高二西飞一中本部 60.63008069 286 夏孝娟高二旬阳中学 60.62570112 287 王伊凡高二宝鸡中学 60.62211063 288 陈虎君高二城固县第一中学 60.61811227 289 张逸洋高二西安高新第一中学 60.58808018 290 强茹月高二宝鸡中学 60.57056191 291 杨心月　高二西安交通大学附属中学 60.55593811 292 秦钰林高二西北大学附中 60.55151423 293 张孟冬高二西安交通大学附属中学 60.54136321 294 佘仲航高二汉中市龙岗学校 60.50542671 295 武成博高二西北工业大学附属中学 60.49994784 296 皮春莹高二汉台中学 60.4967119 297 张昊天高二西安铁一中滨河学校 60.49233232 298 张玥慧高二迤山中学 60.49017804 299 黄旭琨高二西北工业大学附属中学 60.45298262 300 张翰文高一西安高新第一中学 60.44712253 301 冯照祖高二西安交通大学附属中学 60.4442678 302 曾思远高二西北工业大学附属中学 60.41540598 303 张琳笛高二西北大学附中 60.40361485 304 赵思远高二西北大学附中 60.40255986 305 高家楠高二西安市曲江第一中学 60.40029026 306 张弛高二咸阳彩虹中学 60.3627403 307 王渝凯高二咸阳彩虹中学 60.36249204 308 李昊浩高二西安市铁一中学 60.35229672 309 丁昱鑫高二西安市铁一中学 60.32246855 310 文志鹏高二长岭中学 60.32208734 311 陈泉刚高二城固县第一中学 60.31472008 312 柳贺玮高二咸阳彩虹中学 60.31337253 313 宋卓琛高一西安市曲江第一中学 60.3085231 314 张沛琦高一西安市铁一中学 60.27903184 315 武非特　高二西安交通大学附属中学 60.27608846 316 张玉衡高一西安高新第一中学 60.2738632 317 陈文洁高二商南县高级中学 60.26939499 318 李阳高二普集高中 60.26661123 319 左越仁高二西北工业大学附属中学 60.26631866 320 顾丹宏高二陕西省丹凤中学 60.26623002 321 王广峰高二西安市东城第一中学 60.26135395 322 李宗霖高二西安高新第一中学 60.23168541 323 高鑫高二兴华学校 60.22086061 324 陆凰高二西安市第三中学 60.21681794 325 闫金鑫高二西安高新第一中学 60.19103245 326 赵汉卿高二西安高新第一中学 60.18766356 327 杜欣儒高一汉中市龙岗学校 60.16736153 328 秦博晟高二西安交通大学附属中学 60.15092032 329 刘阳高二合阳中学 60.14009553 330 屈柏昂高二槐芽中学 60.1395547 331 贺佳伟高二咸阳彩虹中学 60.10613605 332 董曜高二户县第一中学 60.10193376 333 陈思嘉高二长安一中 60.06700794 334 王昊元高二西北工业大学附属中学 60.0608996 335 杜晨阳高二咸阳彩虹中学 60.05917083 336 骆轩高二咸阳彩虹中学 60.05849705 337 李冰冰高二安康市高新中学 60.04270755 338 王兴高二宝鸡中学 60.04232634 339 惠瑞哲高一西安交通大学附属中学 60.01476777 340 王启华高二西安高新第一中学 60.00769308 341 赵方廷高二西安交通大学附属中学 60.00605296 342 张梦媛高二陕西师大附中 60.00003326 343 白逸凡高一西安市铁一中学 59.99888963 344 杨梧桐高二陕西省西安中学 59.99446574 345 张景阳高二南郑中学 59.99372099 346 夏邢宇高二旬阳中学 59.99286993 347 赵天宇高二咸阳彩虹中学 59.96607378 348 张宇涵1 高二西安高新第一中学 59.95899909 349 隋子琛高二长岭中学 59.9481743 350 任心田高二汉中市龙岗学校 59.92714959 351 王榕高二西安市铁一中学 59.91994195 352 任豪杰高二西工大启迪中学 59.86363245 353 程定一高二陕西省山阳中学 59.85898697 354 刘宏旭高二西乡县第二中学 59.81631268 355 周婷高二普集高中 59.81539064 356 张博欣高一西安交通大学附属中学 59.78286736 357 叶瞳辉高一陕西省西安中学 59.78129821 358 郝宇波高二南郊中学 59.77700728 359 韩玥莹高一陕西师大附中 59.77347877 360 幸楚粤高二陕西省西安中学 59.76842542 361 王雨茹高二城固县第一中学 59.72966085 362 崔佳磊高二城固县第一中学 59.72485575 363 黄淑娟高二城固县第一中学 59.72485575 364 郭莹高二陕西省山阳中学 59.722072 365 李凯龙高二虢镇中学 59.69051506 366 梁曼辰高二西安高新第一中学 59.68352902 367 张佳乐高二南郑中学 59.67982322 368 金泽楷高一陕西师大附中 59.65230899 369 李为高二西北工业大学附属中学 59.65197209 370 石宇轩高二西安交通大学附属中学 59.64965818 371 王俊喆高二西安市铁一中学 59.64557118 372 王健高二旬阳中学 59.62940047 373 陈煜枫高二西安惠安中学 59.61253374 374 马心怡高二陕西省西安中学 59.56233257 375 李泽华高二西安交通大学附属中学 59.5614372 376 冯平艺高一西安市第一中学 59.55647249 377 沈佳昊高二西航一中 59.55036415 378 曹锦华高二陕西师大附中 59.54901659 379 杨镒彰高二陕西省西安中学 59.51943669 380 王程冉高一西安交通大学附属中学 59.51847034 381 崔泽成高二咸阳彩虹中学 59.50288477 382 张泽宇高二咸阳彩虹中学 59.46914688 383 杨获任高二西安交通大学附属中学 59.46728516 384 苏钊阳高二陕西省西安中学 59.46029912 385 崔翼扬高二西安市第一中学 59.46007752 386 李京津高二汉中市龙岗学校 59.45962534 387 王崇琦高二勉县一中 59.45057362 388 薛元博高二宝鸡中学 59.43024936 389 王文韬高二西北工业大学附属中学 59.42806841 390 张文宁高二旬阳中学 59.41504499 391 刘吉浩高二紫阳中学 59.41331622 392 周盼高二陕西省商洛中学 59.35401904 393 姜珂刚高二长安二中 59.33546785 394 党艺佳高二商南县高级中学 59.33180639 395 周雯笛高二西安电子科技大学附属中学 59.33171774 396 张博阳高二西安市西光中学 59.31976699 397 孟知邦高二西安电子科技大学附属中学 59.29762531 398 张君曼高二西安高新第一中学 59.29582557 399 赵珂珬高二西北工业大学附属中学 59.29241235 400 侯雯珊高二西北工业大学附属中学 59.29153464 401 陈奥泽高二尧山中学 59.28955762 402 张梓萌高二宝鸡市石油中学 59.28407874 403 刘虎萍高二宝鸡中学 59.28340497 404 郝盼高二北城中学 59.27956622 405 吴玉婷高二旬阳中学 59.27927365 406 顾宸瑜高一西安高新第一中学 59.24825755 407 丁瑞珂高二西北工业大学附属中学 59.24758377 408 廖一凡高二西安高新第一中学 59.2450216 409 赵龙高二陕西省山阳中学 59.22831007 410 李浩然高二西安交通大学附属中学 59.20904079 411 杨天翔高二西乡县第二中学 59.20225867 412 杨瑶高二商州区中学 59.19421764 413 张逸凡高二西北工业大学附属中学 59.17184537 414 喻恒高二长安一中 59.15823682 415 王延高二陕西省山阳中学 59.15680062 416 王欣高二陕西师大附中 59.15154334 417 王正华高一西安交通大学附属中学 59.15032874 418 李旺祖高二长岭中学 59.10532287 419 杨楠高二西安市第六十六中 59.09741479 420 李佳敏高二铜川市耀州中学 59.0963598 421 邓宁越高二西安交通大学附属中学 59.09568602 422 吕宏祥高二西安交通大学附属中学 59.09269834 423 韩中玮高二汉中市龙岗学校 59.07272862 424 黄芮君高二洋县中学 59.06067156 425 朱鹏丞高一汉中市龙岗学校 59.05638063 426 彭伟皓高二城固县第一中学 59.02516059 427 张天谋高二澄城中学 59.02477938 428 王鹤翔高二西北工业大学附属中学 59.01981468 429 马静怡高二西北工业大学附属中学 58.98354129 430 丁洁萌高二周至一中 58.97141325 431 尤予阳高一西安交通大学附属中学 58.97081045 432 张晋霖高二南郑中学 58.96824828 433 许莹高二澄城中学 58.96786707 434 陈妙明高一西北大学附中 58.96269844 435 李雨桐高一西安高新第一中学 58.94506929 436 贠晨鑫高二西安交通大学附属中学 58.94439551 437 慎榕华高二城固县第一中学 58.93159369 438 惠宇航高二西安市铁一中学 58.93015749 439 杨蓝琪高二扶风县扶风高中 58.929661 440 龙浩高二西乡县第二中学 58.92919115 441 郭之锐高二西安高新第一中学 58.92662898 442 申泓畅高二西安市第一中学 58.92431508 443 秦旭洋高二勉县一中 58.92409348 444 田丽高二西安市第一中学 58.92191253 445 刘帆高二城固县第一中学 58.92153132 446 雷敏高二勉县一中 58.91589284 447 史宇哲高二西安铁一中滨河学校 58.89907041 448 彭少卓高二渭城中学 58.88651685 449 赵浩哲高二陕西师大附中 58.88478809 450 陈新宇高二陕西省商洛中学 58.8843359 451 史鑫鑫高二安康市高新中学 58.88193336 452 罗琦盛高二西安高新第一中学 58.87780204 453 刘凯旋高二渭南高级中学 58.86899859 454 唐谦高二田家炳中学 58.84806252 455 董一慧高二西北工业大学附属中学 58.8473001 456 田雨濛　高二西安交通大学附属中学 58.84653768 457 刘彦言高二澄城中学 58.84557133 458 王丛逸高二西安电子科技大学附属中学 58.84384256 459 叶彤高二西安建科大附中 58.83458692 460 陈一凡高二咸阳彩虹中学 58.80357082 461 霍姝汭高二陕西省西安中学 58.80024623 462 张腾高二育才中学 58.79649613 463 王一展高二西安市临潼区华清中学 58.79552978 464 卢芃高二西安交通大学附属中学 58.79312724 465 刘晓雨高二西飞一中本部 58.79240912 466 姜银萍高二渭南高级中学 58.78740011 467 王祎然高二勉县一中 58.75112672 468 张楠高二陕西师大附中 58.74547057 469 刘可佳高二汉中市龙岗学校 58.74405204 470 卞浩阳高二宝鸡中学 58.74110866 471 李书畅高二西安高新第一中学 58.73410495 472 张诗婷高一西安交通大学附属中学 58.7170786 473 吴珺海高一西安市远东第一中学 58.70782296 474 薛欣悦高二陕西师大附中 58.70773432 475 王悦辰高二西安高新第一中学 58.70723783 476 刘德园高二宝鸡中学 58.70339908 477 黄一览高二普集高中 58.69850534 478 陈秋静高二城固县第一中学 58.69392185 479 任发发高二虢镇中学 58.66438625 480 白凯源高一汉中市龙岗学校 58.66243589 481 王娇高二陕西师大附中 58.65342851 482 高乐高二南郊中学 58.64943014 483 王钰情高二宝鸡中学 58.62743909 484 舒子昕高二西安市铁一中学 58.62368898 485 张楚楚高二西安市第一中学 58.61985024 486 李圳钰高二西乡县第二中学 58.61888389 487 扈喻添高二西安市铁一中学 58.61690686 488 秦昱东方高二西安市第八十五中学 58.6105946 489 樊家辰高二西安高新唐南中学 58.57394001 490 蒋薇宁高二西北工业大学附属中学 58.57355879 491 查力菁高二陕西省西安中学 58.55738808 492 高小岚高二洋县中学 58.53095548 493 胡奕忱高一西安高新第一中学 58.52675319 494 马烁尘　高二西安交通大学附属中学 58.52380982 495 张陈辰高二西安高新第一中学 58.51951889 496 王钊龙高二西安经发中学 58.51808268 497 梁人天高二铜川市一中北关校区 58.51154882 498 苏靖翔高一西安高新第一中学 58.49250114 499 王鹤霓高二城固县第一中学 58.48091393 500 郭奕君高一陕西师大附中 58.47691557 501 蔡子晗高一西安高新第一中学 58.47608217 502 王天仁高二陕西省西安中学 58.4706033 503 袁佳佳高二南郑中学 58.47022209 504 强盛高二西安市铁一中学 58.44304473 505 赵星高二紫阳中学 58.44064218 506 徐欢高二城固县第一中学 58.43581043 507 陈澍言高一西安高新第一中学 58.40360638 508 王辰羲高一西安交通大学附属中学 58.39935976 509 姜舒琛高二铜川市耀州中学 58.39623912 510 李庚璞高二西北工业大学附属中学 58.39021943 511 刘晖高二汉台中学 58.38622106 512 王怡诺高二咸阳彩虹中学 58.34498297 513 赵子涵高二渭南高级中学 58.34307692 514 黄自鹏高二西安市第六中学 58.34134815 515 王奡雪高二西安高新第一中学 58.31468495 516 王宇琨高二西安高新第一中学 58.31207848 517 刘云飞高二商南县高级中学 58.30529636 518 吴心明高二西北农林科技大学附属中学 58.30386016 519 冯伟伦高二烽火中学 58.30011006 520 李润道高二西安高新第一中学 58.27014894 521 秦毅高二西安市黄河中学 58.25810955 522 张曦云高二西安高新第一中学 58.25718751 523 熊坤宇高二宝鸡中学 58.25676199 524 马为为高二汉中市龙岗学校 58.25676199 525 邵楚弦高一西安市远东第一中学 58.22091413 526 吴影高二陕西省西安中学 58.21745659 527 刘莹高二渭南高级中学 58.21581646 528 冯月文高二扶风县扶风高中 58.20910532 529 刘庆高二蔡家坡高级中学 58.20452182 530 吴昊高二渭南高级中学 58.19782834 531 秦千茹高二咸阳彩虹中学 58.17667068 532 王悦天高一西安交通大学附属中学 58.1747823 533 邬东良高二陕西省丹凤中学 58.12186835 534 李萌高二周至中学 58.08837873 535 高中生竞教练群：254139830，生竞学生交流群：271753479，	1	positive_file/【高中生物竞赛试卷及答案（国内+国际）】》》》》》》》》》》》/【生物联赛、初赛试卷】/2016年全国中学生生物学联赛陕西获奖名单.docx
一、单项选择题(本题共40小题，每题只有一个最佳答案，每题1分，共40分) 1．物质进出细胞核是受到控制的，对于真核生物来讲，其控制的机制主要是改变 A．核膜的厚度 B．双层膜之间的距离 C．被运送分子的结构 D．核孔直径的大小 2．正在进行有丝分裂的细胞，RNA的合成主要发生在 A．G1期 B．G2期 C．S期 D．M期 3，胰岛素原转变成胰岛素是在中进行的。 A．线粒体 B．溶酶体 C．高尔基体 n核糖体 4．下列关于细胞基本共性的描述中，哪一项是错误的? A．细胞表面均具有脂蛋白体系构成的细胞膜 B．线粒体是好氧细菌的主要产能细胞器 C．细胞DNA是遗传信息复制与转录的载体 D．细胞都具有核糖体作为蛋白质合成的机器 - 5．有一试管中生长着球形酵母，另一试管中是球形酵母的原生质体(由细胞膜、细胞质和细胞核组成)，如何用最简单的方法区别开? A．在显微镜下能看到酵母菌有性生殖而酵母原生质体出芽生殖 B．在显微镜下比较大小，酵母小，酵母原生质体大 C．加水在显微镜下观察，酵母小，酵母原生质体变大 D．加水在显微镜下观察，酵母存在，酵母原生质体破裂 6．下列细胞结构与其功能的关系，哪个是正确的? A．粗面内质网：细胞组装核糖体亚单位 B．高尔基体：运输、加工及传递来自内质网的蛋白质 C．核仁：细胞内的消化 D．细胞骨架：多肽链的修饰 7.呼吸商是呼吸作用的一个重要指标。它是呼吸作用所放出的C02的摩尔数或体积与所吸收的02的摩尔数或体积之比。蓖麻油的分子式是C7Hl0109，如它是呼吸底物并完全被氧化，C57Hl0l09+02→C02+H20，则其呼吸商应该是 A．0．57 B．1．65 C．0．73 D．0．89 8．对于细胞凋亡的描述，下列哪一项是不恰当的? A．是一种程序化过程’ B．不引起炎症 C．有DNA降解 D．起源于原核生物 9．以下有关核仁的说法，哪项是错误的7 A．核仁在有丝分裂中消失 B．rRNA合成在核仁进行 C．tRNA合成在核仁进行 D．核仁不属于原核细胞中的结构 10．下面哪种生物最适合在深水中生长? A蓝藻 B．绿藻 C．红藻 D．褐藻 11．在同一种生物体内，有丝分裂后期细胞中的染色体数目是减数分裂第二次分裂后期细胞的 A．1倍 B．2倍 C．4倍 D．8倍 1 12．下列各项中属于原核生物的是 A．蓝藻，乳酸菌 B．酵母菌，噬菌体 C衣藻，金鱼藻 D．放线菌，霉菌 13．只含有核酸，不含有蛋白质的是 A．病毒 B．质粒 C．染色体 D．核糖体 14．溶酶体中的各种酶，完成合成的最终场所是在哪一个部位? A．在游离核糖体上 B．在粗面内质网的核糖体上 C．同时在游离和粗面内质网核糖体上 D．在这两种核糖体上轮流进行 15．下列与减数分裂有关的叙述，正确的是 A．减数分裂形成的细胞都是成熟的生殖细胞 B．极体的DNA量都只有体细胞的一半 C．精子与卵细胞内的DNA数量都只有体细胞的一半 D．两次分裂中，只有第一次分裂才有同源染色体的联会 16．寨卡(Zika)病毒是一种主要由伊蚊传播的单链RNA病毒(不是逆转录病毒)。今年 2月，我国成功测定大陆首例输人性寨卡病毒的全基因序列。下列有关叙述正确的是 A．该病毒的核酸由5种元素组成，彻底水解后不同的化合物最多有5种 B．该病毒侵染细胞后，会形成相应的互补DNA整合到细胞的核DNA中 C．边解旋边复制是保证亲子代病毒遗传信息传递准确性的关键 D．序列的成功测定，有利于了解病毒的变异和开发疫苗及诊断试剂 17．下列关于育种的叙述，正确的是 A．育种过程中，筛选的实质是通过自然选择实现种群中优良基因的基因频率定向提高 B．诱变育种通过提高基因突变频率，在较短时间内定向改良生物性状 C．育种的目的是要培育具有优良性状的能稳定遗传的纯合子 D．植物单倍体育种过程中，要利用组织培养技术 18．某种一年生白花授粉植物春天萌发、秋天开花。该种植物有高茎与矮茎两种表现型的纯合子，由一对等位基因控制，矮茎对高茎为完全显性，且茎的高矮对繁殖能力没有影响。现该植物的一个种群中，高茎：矮茎＝3：l，夏季因大风使4/5的高茎植株死亡，矮茎植株全部存活，则明年该地区高茎植株大约占总数的 A．3／20 13．3／8 C。5／8 D．9／64 19．金鱼的一对相对性状由一对等位基因(A、a)控制，其中a基因在纯合时使胚胎致死(aa、Xa Xa、Xa Y等均为纯合子)。现取一对金鱼杂交，Fl金鱼成体中雄金鱼数只有雌金鱼数的一半，则 F1金鱼自由交配所得F2成体中，雄金鱼数只有雌金鱼数的 A．3／7 B．3／4 C．1／2 D．3／8 20．下列与等位基因有关的叙述，正确的是 A．癌细胞的原癌基因和抑癌基因是一对等位基因 B．一对同源染色体上的任何一个基因都能找到它的等位基因 C一对等位基因中的任何一个都不可能在配子中表达 D．一对等位基因可能同时在一个细胞内表达 21．赫尔希和蔡斯在噬菌体侵染细菌的实验中发现，在噬菌体DNA进入细菌的同时，也有少量噬菌体的蛋白质进入细菌体内，下列有关叙述正确的是 A．这一发现说明DNA不是遗传物质，蛋白质才有可能是遗传物质 2 B．尽管有这一发现，该实验还是能说明DNA是遗传物质，而蛋白质不是遗传物质 C．如再用纯的噬菌体DNA感染细菌的原生质体，能产生同样的子代噬菌体，可说明D NA是遗传物质 D．如只用纯的噬菌体蛋白质感染细菌的原生质体，不能产生同样的子代噬菌体，可说明DNA是遗传物质 22．关于真核细胞内mRNA的叙述，正确的是 A．mRNA的碱基数一定是3的倍数 B．mRNA的形成都经过DNA的转录 C．DNA转录的产物都是mRNA D．mRNA合成的场所都是在细胞核内 23 ．已知雄性家蚕每消耗单位量的叶，比雌性家蚕能生产更多的丝。因此，它们更适于养蚕业饲养。为了得到最多的雄性家蚕，应选择下列哪一杂交组合? [pic] (注：SLl和SL2是两个隐性致死突变基因) A ．ⅠXⅢ B．ⅡXⅢ C．ⅠX Ⅳ D．ⅡX Ⅳ 24．下列几种植物杂交过程中所采用的处理方式正确的是 A．豌豆(雌雄同株同花)：高茎♀X矮茎♂中，应分别对父本去雄，母本套袋 B．玉米(雌雄同株异花)：进行正反交实验中，亲本双方均对雌花套袋，并人工授粉 C．西瓜(雌雄同株异花)：四倍体♀X二倍体♂中，做父本的植株必须去掉雌花 D．西瓜：三倍体♀X二倍体♂中，做母本的植株必须去雄 25．长翅红眼雄蝇与长翅白眼雌蝇交配(A一长翅，a一残翅，B一红眼，b一白眼)，产下一只染色体组成为aaXXY的残翅白眼果蝇。已知翅长、眼色基因分别位于常染色体和X 染色体上，在没有基因突变的情况下，与亲代雌蝇参与受精的卵细胞一起产生的极体，其染色体组成及基因分布可能为 A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 26．某种四倍体植物的花色遗传受基因A和B的控制(A和B位于非同源染色体上，且A对 a完全显性，B对b完全显性)，当A或B存在或A、B同时存在时，该植物的花均为红色。其他情况为白色，减数分裂中形成的配子得到的等位基因数是相同的。现将AAaaBbbb的红花植株自交，后代中红花与白花的性状分离比为 A．1295：1 B．143：1 C．63：1 D．35： [pic] 1 3 27．研究人员将小鼠第8号染色体短臂上的一个长约30kb的DNA片段进行了敲除，结果发现培育出的小鼠血甘油三酯极高，具有动脉硬化倾向，并可以遗传给后代。该项研究最能说明 A．该DNA片段具有遗传效应 B．敲除破坏了控制甘油三酯合成的基因 C．动脉硬化是由基因突变引起的 D．甘油三酯是由这段DNA指导合成的 28．下列叙述正确的是 A．进化的实质是基因型频率的定向改变 B．鹰的视力相对于其鸟类祖先更强，是生物进化的—种体现 ‘ C．洞穴鱼类的视力退化，不能体现生物的进化 D．自然选择的结果是形成新的物种 29．生态系统自我调节能力的基础是 A．食物链和食物网 B．生物的适应性 C．生物多样性 D．负反馈调节 30．食物链中每一个营养级上没有被利用或传递的能量，释放出去的形式是 A．热能 B．化学能 C．自由能 D．水 31．高等动物的内环境稳态不包括 A．线粒体中ATP与ADP含量的相对稳定 B．血浆中Na+和Cl-浓度的相对稳定 C．组织液温度的相对稳定 D．淋巴中淋巴细胞数量的相对稳定 32．动物体内某一反射弧的结构示意图如下。下列关于该反射弧的叙述，错误的是 [pic] A．在动物体内，兴奋只能由皮肤细胞A沿反射弧传到细胞E B．给a处一个适宜刺激，电流计的指针能发生两次方向相反的偏转 C．给b处一个适宜刺激，该处膜内电位由正变负，E可以产生反应 D．神经冲动由神经细胞B传递至神经细胞C，依靠细胞膜的流动性 33．关于下图所述正确的是 A．若甲是浆细胞，则其细胞膜上的糖蛋白比B淋巴细胞多 B．由B淋巴细胞形成浆细胞，属于乙图中的A过程 C．造血干细胞只有发生了染色体变异才会变成骨髓瘤细胞 D．处于图乙前期、中期、后期的核基因不能表达 34．仔细观察下图，判断下列相关叙述错误的是 A．浓度达到102 mol/L的生长素仍然没有表现出抑制 B．由生长素和乙烯的含量变化趋势可知二者呈协同关系－ C．该植物茎中生长素含量增加会促进乙烯的合成 D．该植物茎中生长素和乙烯的含量达到峰值是不同步的 35．某课外活动小组用健康成年鼠为实验材料，做了甲状腺激素生理功能的探究活动。下列操作及相关分析，错误的是 A．甲组鼠切除甲状腺，丙组鼠切除甲状腺后再每天注射适量甲状腺激素，乙组鼠不做任何处理用于对照 B．甲组鼠耗氧量大，平均体温高于乙组、丙组鼠 C．乙组鼠在寒冷环境中耗氧量会有所增加 D．丙组鼠食量最大，神经系统兴奋性最高 36．下列有关种群或群落的说法，正确的是 A．种群没有空间分布特征，群落具有空间结构 B．种群密度能够准确反映种群数量变化趋势 C．池塘中各个种群分别占据什么位置属于群落水平的研究 D．群落中各个种群的年龄组成是区别不同群落的重要特征 37．某地区山坡地沙棘林和河滩地沙棘林受木蠹蛾危害的程度存在显著差异，下图所示5年虫情变化。下列叙述错误的是 [pic] [pic] [pic] A．调查沙棘林有虫株率宜用样方法 B．山坡地沙棘增长率最高的是2006年 C．造成两地虫害差异的原因可能是两地水分含量不同 D．使用农药防治木蠹蛾可使抗药基因频率增大 38．下图表示“J型和“S”型增长曲线的对比。下列关于该图的叙述，错误的是 [pic] A．“J”型曲线的种群增长率逐渐下降 B．K值大小受环境阻力影响 C．环境阻力包括种内斗争、种间斗争、生物与环境间的斗争 D．“J”型曲线和“S”型曲线之间的差值由环境阻力决定 39．右图表示生态系统中碳循环的部分过程，下列说法错误的是 A．生物群落由A、B、C、D组成 B．①②③过程只以有机碳形式传输 C．①②③过程中伴随着能量的流动 D．④过程代表微生物的呼吸作用 40．下列“多”与“少”的比较，正确的是 A．等重量的湖泊藻类中的肋T含量，比吃同一湖泊中鱼类为生的鸟类体中的少 B．“S”型曲线调整期的种群数量，比指数增长期的种群数量多 C．衰退型种群中的老年个体数比增长型种群的老年个体数多 D．恢复力稳定性弱的生态系统的物种数量，比恢复力稳定性强的少二．多项选择题(本题共25小题，每题有2个或2 [pic] 个以上的正确答案，每 6 [pic] 题2分，共50分) 41．癌细胞的特征有 A．可以实现远距离转移 B．仅在人类和灵长类发现 C．其所有的癌基因表达上升 D．不存在细胞凋亡 42．下列分子中能通过无蛋白质的脂双层膜的是 A．二氧化碳 B．乙醇 C．苯 D．葡萄糖 43．电子显微镜下的细胞膜体现出‘‘暗一亮—暗”的结构，一般认为主要原因有哪些? A．磷脂分子的亲水头易被染色 B．外在膜蛋白的存在 C．磷脂分子之间穿插了少量胆固醇 D．跨膜蛋白的存在 44．哪些是DNA和RNA二者可能相同的? A．酯键 B．核糖 C．碱基 D．磷酸基 45．光学显微镜能观察到的是 A．酵母 B．植物细胞 C．细菌 D．噬菌体 46．下列关于细胞衰老的描述，哪些是正确的? A．细胞不再分裂了 B．细胞周期变长了 C．细胞快要癌变了 D．端粒越来越短了 47．相同质量的脂肪氧化，释放的能量是葡萄糖的两倍以上。脂肪被作为动物体的能量储备是因为 A．还原态 B．强疏水性 C．在自然界含量丰富 D．易于消化 48．生命离不开水的环境，是因为 A．水分子高的内聚作用 B．水是极性分子 C．其固体比重小于液体比重 D．水分子的比热值高， 49．下列哪几种核酸的碱基序列含有氨基酸序列的信息? A．DNA B．tRNA C． mRNA D．rRNA 50．下列关于人体性染色体的叙述，正确的是 A．性染色体上的基因，控制的性状表现总会与一定的性别相关联 B．X和Y染色体的大小差异易导致减数分裂中联会异常而出现不正常的配子 C．正常细胞中也可能同时有两条Y染色体，两条X染色体 D．生活细胞中也可能不含任何性染色体 51．下列关于人体细胞基因与蛋白质的叙述，正确的是 A．胰岛A细胞有胰岛素基因，但不能通过转录翻译合成胰岛素 B．成熟的红细胞无血红蛋白基因，但有血红蛋白 C．甲状腺细胞有甲状腺激素基因，可通过转录翻译合成甲状腺激素 D．受精卵有各种基因，但并不具有个体全部的蛋白质种类 52．正常情况下，感染了HIV的T细胞内可能找到下列哪些配对的片段 [pic] ? 53．欲使大肠杆菌尽快生产人的胰岛素，不宜采用的育种方法有 A．诱变育种 B．杂交育种 7 C．基因工程育种 D．人工诱导多倍体育种 54．鸟类的性别决定方式是ZW型，若—只雌蜂鸟是由丢失W染色体的受精卵发育而来，假如该雌蜂鸟能产生配子，则其一个次级卵母细胞与正常雄蜂鸟的一个次级精母细胞中性染色体数目相比较，结果为 A．相同 B．少—条 C．少两条 D．多一条 55．基因型为Aa的雄鼠仅因为减数分裂过程中染色体未正常分离，产生一个不含性染色体的Aa型配子。等位基因A、a位于2号染色体。下列关于染色体不正常分离时期的分析，正确的是 A．2号染色体一定在减数第一次分裂时来分离 B．2号染色体可能在减数第二次分裂时未分离 C．性染色体可能在减数第二次分裂时未分离 D．性染色体一定在减数第一次分裂时未分离 56．决定玉米籽粒有色(C)和无色(c)、淀粉质(Wx)和蜡质(wx)的基因位于9号染色体上，结构异常的9号染色体一端有染色体结节，另一端有来自8号染色体的片段。下列有关玉米染色体特殊性的研究，说法正确的是 [pic] A．8号染色体片段转移到9号染色体上是通过非姐妹染色单体间的交叉互换实现的 B．图2中的母本在减数分裂形成配子时，这两对基因所在的染色体能发生联会 C．图2中的亲本杂交时，F1个体中，可能存在无结节但有8号染色体片段的9号染色体 D．图2中的亲本杂交时，F1出现了无色蜡质个体，说明亲代母本在形成配子时，同源染色体的姐妹染色单体间发生了交叉互换 57．下列各项中，哪些是造成组织水肿的因素 A．血液中尿素含量过高 B．血浆蛋白含量过少 C．淋巴循环受阻 D．肾小球肾炎 58．根据下图，可直接得出的结论是 [pic] A．生长素能促进植物生长 B．单侧光照引起生长素分布不均匀 8 C．生长素能由顶端向下端运输 D．感受光刺激的部位是胚芽鞘尖端 59．下列关于神经系统结构和功能的叙述，正确的是 A．兴奋在正常人体反射弧中只能以神经冲动单向传递 B．损伤大脑的孓区，病人能看懂文字、听懂别人谈话，但不会讲话 C．长期记忆与大脑皮层下一个形状像海马的脑区有关 D．细胞膜内外K+、Na+分布不均匀是神经纤维兴奋传导的基础 [pic] [pic] A．根据观察结果①、④可知，该腺体的分泌物有促进动物个体发育的作用 B．根据观察结果②、⑤可知，该腺体的分泌物有加快体内物质氧化分解的作用 C．根据观察结果③、⑥、⑦可知，该腺体的分泌物有降低神经系统兴奋性的作用 D．由此推断该腺体分泌物的合成必须以碘元素为原料 61．下列关于下丘脑和垂体在人体内分泌活动中所起作用的叙述，错误的是 [pic] A．垂体不仅分泌生长激素，而且还分泌抗利尿激素 B．下丘脑分泌一些激素来调节垂体合成和分泌激素 C．①处发生了电信号转变为化学信号的过程 D．图中可见，抗利尿激素的主要功能是使血浆渗透压升高 62．用蚯蚓粪提取液、原土提取液、全营养液、不同浓度生长素(IAA)溶液9 [pic] [pic] A．由第②组实验结果可以看出，土壤中有少量生长素 B．由①④⑤三组实验结果说明蚯蚓粪中可能有一定量的生长素 C．①④组处理插条干重较多的可能原因是光合作用较强 D．上述各组实验中第⑥组是对照组 63．右图是—个简化的草原食物网。下列关于该食物网的叙述，正确的是 A．此食物网有三条食物链，最高营养级均为鹰 B，鹰在此食物网中占有三个营养级 C．鹰与蛇既有捕食关系，又有竞争关系 D．假如鹰的食物有2/5来自兔，2/5采自鼠，1/5来自蛇，那么,鹰若增重20g，最多消耗900g植物 64．由下图所示模型表示的生物学现象，不合理的是 A．若X表示某落叶植物的叶片年龄，则曲线表示其叶绿素含量 B．若X表示一个群落演替时间，则曲线表示其生产力变化 C．若X表示酵母菌增殖时间，则曲线表示其种群增长数量的变化 D．若X表示某一地区人口数量随时间的变化，则c～d段表示老年人比例较小 65．下列各图曲线所描述的生物学现象，错误的是 10 [pic] A．植物表现向光弯曲生长时，甲图B、C点分别为茎背光面和向光面的生长素浓度 B．乙图A点时，害虫不存在抗药性个体，而B点时害虫存在抗药性个体 C．丙图可以用来表示胰蛋白酶的活性受pH的影响． D．丁图A点时，人的胰岛A细胞兴奋性增强，胰岛B细胞兴奋性随后增强三．非选择题(本题共3小题，每题10分，共30分) 66．(10分)下图表示生物体与外界环境之间进行物质交换和能量转变过程。请据图分析并回答下列问题： [pic] (1)若过程②和④产生等量的C02，则它们消耗葡萄糖的比值是。 (2)经测定，构成过程①的酶蛋白中某多肽分子式是C21HxOyN4S2。已知该多肽是由下列氨基酸中的几种作为原料合成：半胱氨酸(巴H702NS)、丙氨酸(C3H702N)、苯丙氨酸(C9H1 1O2N)、天冬氨酸(C4H71O4N)、亮氨酸(C6H13O2N)。有关该多肽的叙述，不正确的是 A．该多肽水解后能产生3种氨基酸 B．该多肽叫三肽化合物 C．该多肽中H原子数和O原子数分别是32和5 D．该多肽在核糖体上形成，形成过程中相对分子质量减少了54 (3)不同的呼吸底物、呼吸方式具有不同的呼吸商(呼吸商＝呼吸作用放出的CO2量/呼吸作用消耗的O2量)。现利用甲图所示装置，测定一定量的酵母菌在不同O2浓度下的O2吸收量和CO2释放量。 [pic] 若要直接读取消耗氧气和释放二氧化碳的体积之差，应选用下列乙、丙、丁装置中的装置。为确保结果的准确，需设置对照校正，则对照实验中试剂X为。 (4)如实验结果经校正后，记录数值如下表。请分析回答： · 11 [pic] 当O2浓度为3％时，酵母菌的呼吸商为，其数值不同于O2浓度为25％时的原因是：氧气浓度为3％时，酵母菌的呼吸方式，表中显示，从O2浓度为％起，酵母菌只进行有氧呼吸。 67．（10分)生活污水中含有大量的有机和无机含氮化合物。这些过量的含氮化合物会造成水体污染，危害水生生物生存和人类的健康。脱氮是污水处理的重要内容之一。下面是生物脱氮工艺流程示意图。 [pic] (1)在1级反应池内，有机物在细菌、原生动物等作用下会大量减少。从同化和异化方式看，这些生物的代谢类型主要是。这些生物在自然生态系统中属于者。 (2)在2级反应池内，PH值为8．0～8．4时，硝化细菌大量繁殖。它们能将NH3氧化成 NO2—和NO—)，并利用这一硝化过程所释放的合成，用于自身的生长发育和繁殖。 (3)在3级反应池内加入适量的有机物(如甲醇)，并在低氧或无氧条件下，反硝化细菌繁殖起来，通过无氧呼吸把NO2—和NO—还原成N2，无氧呼吸除释放能量外，还为还原反应提供了。 68．(10分)人体某遗传病受X染色体上的两对等位基因(A、a和B、b)控制，且只有A、 B基因同时存在时，个体才不患病。不考虑基因突变和染色体变异，根据下列系谱图，回答下列问题： [pic] (1)两对等位基因(A、a和B、b)的遗传 (遵循、不遵循)基因的自由组合定律，原因是。 (2)I-l的基因型为。 · (3)Ⅳ一l的致病基因来自于I代的。 (4)若Ⅱ一l的基因型为XABXaB，与Ⅱ一2生一个患病女孩的概率为 . 12 [pic]	1	positive_file/【高中生物竞赛试卷及答案（国内+国际）】》》》》》》》》》》》/【生物联赛、初赛试卷】/2016年湖南省中学生生物学奥林匹克竞赛选拔赛试题.doc
下载来源：生物竞赛资料群：369691871，强基计划资料群：531448000，全国中学生生物学竞赛委员会各省分会: 针对各省反馈的意见，全国中学生生物学竞赛委员会组织专家，查阅相关教科书和文献，对反馈意见逐一进行了分析讨论。现将修改结果作如下说明：一.对一些中学提出难度过高的试题及一些题干或答案有误及存在异议的试题做了适当删减；二.对于不存在错误但是疑问较多的试题给予了如下简要说明（按试题序号排列）。 1．维持原答案,Watson和Crick提出碱基互补配对，选项D是支持“DNA双螺旋模型”，所以该题的答案应为 ABD 3. 删除 6. 维持原答案，rER应为sER，但不影响答题，且四个答案最后一个均为滑面内质网，不影响答题。 11.维持原答案,题干的意思是指属于正常细胞结构的RNA，而不是非本身细胞结构的RNA。 13.维持原答案，纤毛在G1或G0期形成 24.删除 25.维持原答案，本题考点在于还原剂对蛋白巯基的保护作用。 28.维持原答案 30.维持原答案，原核生物无内含子，可认为都为外显子。 31.维持原答案，外显子测序测定的是DNA，不是RNA，主要研究基因突变的而不是基因表达。 32.维持原答案参见杨安峰《脊椎动物学》P217 40. 维持原答案从图中无法判断得出结论C。 44. 维持原答案，在题干中“运动后”的意义明显是指运动后立刻出现的现象。 46.删除 52.维持原答案 53.删除 58.维持原答案，根据胡适宜《被子植物生殖生物学》240-242页，无孢子生殖是经历胚囊阶段的，只是胚囊来源于体细胞。 59. 维持原答案，中央细胞与与助细胞、卵细胞之间常缺乏细胞壁，但是没有说它们没有细胞壁。中央细胞与反足细胞通过胞间联丝相互联系，但是与珠心组织细胞是没有直接联系的。 63. 维持原答案 65. 删除 68．维持原答案 69. 原答案改为：BC 70．维持原答案，B选项是不可能的。 71.维持原答案，菌根不会促进种子萌发，促进种子萌发的机理是真菌侵染种子后对其萌发的促进。 72.维持原答案 75.维持原答案，研究不涉及小鼠是否有优势，FOOD不是有效奖励物。 80.维持原答案，E选项描述的是公园建立前后的节律变化，描述正确。 84.删除 85.维持原答案 86．维持原答案，突变速率与演化速率不是一回事，演化速率与环境即选择压力有关。 87.删除 91. 维持原答案，C选项是错误的，因为生物体发生的突变中分子突变仅仅占一部分，而形态的突变大部分是自然选择起作用的。 92.维持原答案，D的选项中有“主要”一词，尽管“获得性遗传”得到部分科学家的支持，但是达尔文的理论中进化主要靠的是自然选择实现。 97.维持原答案，A项在“一般情况”不会发生，实际上获得嵌合体都不易，生殖细胞嵌合率一般很低，两个嵌合体杂交，获得突变体基本不可能； 98. 维持原答案，突变端粒酶中的RNA不是蛋白质，因此可以用Southern测基因组的变化，也可测酶活性。无RNA模板的端粒酶是没有活性的。 99. 维持原答案，B选项虽有道理，但无法“从此表可以知道” 101. 删除 110. 维持原答案， C选项错在第14体节前后形成方式不一致。 111.维持原答案，辐射演化是指短期内快速演化。 112.维持原答案，这题考的是“生物学物种”的概念，只有AB符合，D不完全正确，被子植物就是一个单系类群，但包括了几十万个物种。 116.维持原答案，从题干看D改nt可接受，但只考虑重复数目，只能选256，与是否考虑回文重复无关。高中生竞教练群：254139830，生竞学生交流群：271753479，	1	positive_file/【高中生物竞赛试卷及答案（国内+国际）】》》》》》》》》》》》/【生物联赛、初赛试卷】/2018年联赛答案修正说明.docx
下载来源：生物竞赛资料群：369691871，强基计划资料群：531448000， 2014 年黑龙江省生物学知识联赛试卷注意事项： 1．考试时问为90分钟。请将试题答案写答题卡上,写在试卷上的答案无效。 2．本试卷只采取不定项选择一种形式，单选与多选混排，每小题只标明分数，不标单选或多选，考生自行判断作答，答案完全正确才能得分。试卷总分为110分。 1．下列有关生命系统的叙述正确的是(1分) A．生命系统中各生物体均具有多种组织、器官和系统 B．生物圈是地球上最基本的生命系统和最大的生态系统 C．肌肉细胞里的蛋白质和核酸属于生命系统的分子层次 D．H1N1流感病毒不属于生命系统，但其增殖离不开活细胞 2．我国科学家屠呦呦因为“发现青蒿素---一种用于治疗疟疾的特效药"而获拉斯克奖。疟疾是由疟原虫引起的传染病。下列关于疟原虫的叙述正确的是 (1分) A．疟原虫感染人体后不能引起特异性免疫 B．其细胞中只有一种细胞器——核糖体 C．其细胞膜上的大多数蛋白质是可以运动的 D．线粒体内膜蛋白质和脂质的比值小于外膜 3．由于在成熟细胞重编程方面做出的杰出贡献，2012年度诺贝尔生理学或医学奖项授予日本京都大学科学家山中伸弥以及英国发育生物学家约翰·戈登。成熟细胞在生长和分化过程中(1分) A．体积会增大，与外界环境进行物质交换的速率加快 B．分裂能力会小于幼嫩细胞，而且全能性也会变小 C．遗传物质会发生改变，导致细胞形态种类发生改变 D．受到病原体感染导致死亡属于细胞凋亡 4．李斯特氏菌中的致死食源性细菌会在人类的细胞之间快速传递，使人患脑膜炎。其原因是该菌的一种InIc蛋白可通过抑制人类细胞中Tuba蛋白的活性，使细胞膜更易变形而有利于细菌的转移。下列叙述正确的是(1分) A．合成Inlc蛋白的核糖体可能吸附在核膜的外．表 B．该菌使人类细胞发生变形，说明细胞膜具有选择透过性 C．该菌在人体细胞间快速传递与细胞膜发生改变有关 D．Tuba蛋白和InIc蛋白的合成均需要内质网的加工 5．水溶性染色剂(PI)能与核酸结合而使细胞核着色，可应用于细胞死活的鉴别。细胞浸泡于一定浓度的PI中，仅有死亡细胞的核会被着色。利用PI鉴别细胞的基本原理是(1分) A．死细胞与活细胞的核酸结构不同 B．死细胞与活细胞的核酸含量不同 C．活细胞能分解染色剂PI D．活细胞的细胞膜能阻止PI的进入 6．下列说法正确的是(1分) A．葡萄糖在细胞中经有氧呼吸释放的能量大部分生成ATP B．不同生物体进行细胞呼吸的方式取决于相应的酶系统 C．植物体净光合作用速率为0时，无C02释放到植物体外 D．酵母菌是单细胞真核生物，在缺氧条件下不进行呼吸作用 7．据报道，科学家正在打造可适用于火星环境的“地狱细"，关于此类细菌特征的叙述，错误的是(1分) A．具有叶绿体，可以独立完成光合作用 B．具有耐寒、耐热、抗干旱以及抗辐射等特征 C．进行无性生殖，不遵循孟德尔遗传定律 D．无染色体，只能在分子水平产生可遗传变异 8．美国科学家发现了一种名为RHOGDl2的基因，诱导该基因在癌细胞内表达后，癌细胞会失去转移能力，从而有助于避免癌细胞在体内的扩散。该基因的作用最可能是(1分) A．控制合成一种酶，促使癌细胞衰老、凋亡 B．控制合成一种激素，诱导癌细胞分化为正常组织 C．控制合成一种糖蛋白，增强癌细胞间的黏着 D．控制合成一种RNA，使癌细胞的DNA复制受阻 9．根据等电点指出下列蛋白质在所指定的pH条件下，电泳时的泳动方向(1分) ①胃蛋白酶(pI1.O)，在pH5.5；②血清清蛋白(pI4.9)，在pH6.5：③血红蛋白(Pi7.07)，在pH3.O A．阳极、阳极、阴极 B．阴极，阴极、阳极 C．阴极、阳极、阴极 D．阳极、阴极、阴极 10．下列物质中都含“--CO--NH--"的是(1分) A．酶、雄性激素、抗体 B．胰岛素、抗体、生长激素 C．叶绿素、载体、酶 D．吲哚乙酸、甲状腺激素、ATP 11．实验中的变量主要有自变量、因变量和无关变量。下列控制无关变量操作错误的足（l分) A．验证光合作用能产生淀粉的实验中，首先将实验植物做饥饿处理 B．探究唾液淀粉酶的最适pH的实验中，先将每一组温度控制在37℃ C．验证光合作用需要光照的实验中，将叶片的一半用黑纸包住 D．探究唾液淀粉酶最适温度的实验中，每～组都加入等量的淀粉 12．2013年5月15日美国麻省理工学院工程师们设计出能够进行计算的大肠杆菌细胞计算器。下一步他们将进行在酵母菌中设计电路，从而能够显著性地改善细胞的基因表达、细胞增殖等过程的调控机制。下列叙述中正确的是(1分) A．K+和Ca2+进出两种细胞均需要核糖体和线粒体 B．大肠杆菌与酵母菌细胞相比，在结构上的主要区别是没有染色体 C．大肠杆菌将没有消化的食物通过胞吐的方式排出体外，体现了细胞膜的选择透过性 D．从生命系统的结构层次来看，大肠杆菌和酵母菌既是细胞层次也是个体层次 13．将一些苹果储藏在密闭容器中，通入不同浓度的氧气后，其氧气的消耗量和二氧化碳产生量如下表所示。下列分析正确的是(假设细胞呼吸的底物都是葡萄糖)(1分) A．氧浓度为a时，细胞呼吸不在线粒体中进行；氧浓度为e时，细胞呼吸只在线粒体中进行 B．氧浓度为b时，葡萄糖的消耗量为0．3mol／min，较适宜苹果的储藏 C．氧浓度为c时，酒精发酵消耗葡萄糖的量为0．6mol／min D．氧浓度为d时，产生的二氧化碳中有1／2来自酒精发酵 14．关于细胞结构和生物体内化合物的叙述正确的是(1分) A．抗体、激素、tRNA发挥一次作用后都将失去生物活性 B．ATP脱去两个磷酸基团后成为RNA的基本组成单位之一 C．蓝藻和绿藻都能进行光合作用，故二者含有的光合色素相同 D．细菌代谢速率极快，生物膜系统为其提供了结构基础 15．右图a、b分别表示两种植物在其他条件均适宜条件下的光合速率和呼吸速率随光照强度变化而变化的研究情况。下列有关叙述错误的是(2分) A．该研究中两种植物所处的环境温度各自保持不变 B．两图中阴影部分的纵向值代表相应光照强度时的净光合速率 C．图b代表的植物可能更适宜生活于弱光照环境中 D．植物处于图中CP所示光照强度时，叶肉细胞消耗的0，大多需经过3层生物膜 16．DNA的Tm值较高，关于其影响因素的叙述错误的是(2分) A．G-C对相对含量愈高，Tm越低 B．在纯水中，DNA室温下即可变性 C．PH大于11.3时，DNA完全变性 D．甲酰胺，尿素，甲醛等可破坏磷酸二酯键，妨碍碱基堆积，使Tm下降 17．绿色植物在进行光合作用时以H20作为供氨体，而光合细菌则以H2S作为供氢体进行光合作用。有关光合细菌的说法合理的是(1分) A.没有成形的细胞核，拟核中分布着多条线性DNA B．以H2S作为供氢体进行光合作用，无法产生氧气 C．利用H2S作为原料．其光合作用的产物不可能是糖类 D．生存需要光照条件，体内的叶绿体是光合作用的场所 18．酶具有高度催化能力的原因是(1分) A．酶能降低反应的活化能． B．酶能催化热力学上不能进行的反应 C.酶能改变化学反应的平衡点 D．酶能提高反应物分子的活化能 19.分离纤维素分解菌的实验过程中操作有误的是（1） A．经选择培养后将样品涂布到鉴别纤维素分解菌的培养基上 B.富集培养这一步可省略，但培养纤维素分解菌少 C．经稀释后用刚果红染色 D．对照组可用同样的培养液涂布到不含纤维素的培养基上 20.在CTA循环中，下列发生了底物水平磷酸化的阶段(1分) A.柠檬酸→α-同戊二酸 B.琥珀酰CoA→琥珀酸 C.琥珀酸→延胡索酸 D. 延胡索酸→苹果酸 21·关于洋葱根尖细胞有丝分裂过程中细胞器作用的叙送：。间期，核糖体合成多种酶和其他的蛋白质末期，高尔基体参与子细胞的细胞壁的合成前期，两组中心粒之间通过星射线形成纺锤体间期，线粒体要为蛋白质的合成、DNA解旋等提供能量 22．下列说法错误的是(2分) A．采用随机取样调查的方法研究红绿色盲的遗传方式 B．有丝分裂中姐妹染色单体上的A、a基因一定是基因突变的结果 C．DNA分子复制方式的研究采用密度梯度离心法 D．标志重补法解决了生理性不强的动物取样方法上的难题 23．关于PCR技术的叙述，错误的是（1分） A．PCR技术室在实验室中以少量DNA制备大量DNA的技术 B.反应中新合成的DNA又可以为下一轮反应的模板 C．PCR技术中以核糖核苷酸为原料，以指数方式扩增 D．应用PCR技术和探针杂交技术可以检测基因突变 24．右图表示具有生物活性的蛙坐骨神经一腓肠肌标本，神经末梢与肌细胞的接触部位类似于突触，称“神经—肌接头”。下列叙述错误的是(1分) A．“神经—肌接头”处可发生电信号与化学信号的转变 B．电刺激①处，肌肉会收缩，灵敏电流计指针也会偏转 C．电刺激②处，神经纤维上的电流计会记录到电位变化 D．神经纤维上兴奋的传导方向与膜内的电流方向相同 25．下列事实能体现细胞全能性的是(2分) A．棉花根尖细胞经诱导形成幼苗B．单细胞的DNA在体外大量扩增 C．动物杂交瘤细胞产生单克隆抗体D．斯图尔德用胡萝卜韧皮部细胞培育出新植株 26．关于人体内环境的叙述，正确的是(1分) A．组织掖渗透压增大，引起细胞吸水B．无氧呼吸产生乳酸的过程发生在内环境中 C．血浆中的HC03-参与维持血浆pH的稳定D．血浆中蛋白质的含量对血浆渗透压，没有影响 27．关于基因、蛋白质与性状间关系描述中，错误的是(2分) A．基因与性状的关系呈线性关系，即一种性状由一个基因控制 B．人类白化病是基因通过控制蛋白质的结构直接控制生物体的性状实现的 C．皱粒豌豆种子由于编码淀粉分支酶的基因被破坏，导致淀粉量低而蔗糖含量高 D．囊性纤维病患者中，编码CFTR蛋白的基因缺失了3个碱基，这种变异属、染色体结构变异 28．甲图表示燕麦生长素浓度与作用的关系；乙图表示将一株燕麦幼苗水平放置，培养一段时间后的生长状况：丙图表示燕麦胚芽鞘。有关叙述错误的是(1分) A．甲、乙图示都说明了植物生长素具有两重性 B．图乙中a点的生长素浓度应大于10-8{(mol／L] C．丙图A段产生生长素，只能向B段极性运输而不能横向运输 D．用两种不同浓度的生长素处理插条可能均能生根且生根状况基本相同 29.已知2l四体的胚胎不能成活。现有一对夫妇均为2 1三体综合征患者，假设他们在产生配了时，第21号的三条染色体一条移向细胞的一极，两条移向另一极，则他们生患病女孩的概率（1分） A．1／2 B．1／3 C．2／3 D．1／4 30．苯磺隆是麦田去除阔叶杂草的除草剂。阔叶植物播娘蒿在长期使用该除草剂的麦田里不受其影响，经研究发现该田中播娘蒿普遍存在抗苯磺隆基因。下列有关说法正确是(1分) A．苯磺隆的使用使播娘蒿产生了抗药性的变异 B．该播娘蒿和普通播娘蒿相比基因库有明显差异，属于不同物种 C．若不再使用苯磺隆除草，则该抗性基因频率会迅速下降 D．抗性基因的出现改变了播娘蒿的种群基因频率，生物发生了进化 31．下列关于人类探索遗传奥秘历程中的科学实验方法及技术的叙述，错误的是(1分) A．孟德尔在研究豌豆杂交实验时，运用了假说．演绎法 B．萨顿根据基因和染色体的行为存在平行关系，类比推理出基因位于染色体上 C．格里菲斯利用肺炎双球菌研究遗传时，运用了放射性同位素标记法 D．沃森和克里克研究DNA分子结构时，运用了建构物理模型的方法 32．科学家温特做了如下实验：把切下的燕麦尖端放在琼脂块上，几小时后，移去胚芽鞘尖端，将琼脂块切成小块。再将经处理过的琼脂块放在切去尖端的燕麦胚芽鞘一侧，结果胚芽鞘会朝对侧弯曲生长。但是，如果放上的是没有接触过胚芽鞘尖端的琼脂块，胚芽鞘则既不生长也不弯曲。该实验证明了(1分) A．生长素只能从形态学上端运输到形态学下端B．造成胚芽鞘弯曲的刺激是某种化学物质 C．生长素的化学本质是吲哚乙酸 D．胚芽鞘会弯向光源生长 33．豌豆是自花传粉植物，而且是闭花受粉。豌豆的红花与白花是一对相对性状(分别由A、a基因控制)，现有一批基因型为AA与Aa的红花豌豆，两者数量之比是1：3。自然状态下其子代中基因型为AA、Aa、an的数量之比为(2分) A．25：30：9 B．7：6：3 C．5：2：1 D．1：2：1 34．在4个条件相同的人工池塘中各放入l200只蝌蚪(甲、乙、丙三种蝌蚪各400只)和数量不等的同种捕食者，一段时间后，各池塘中3种蝌蚪的存活率如下表，下列推测不合理的是(1分) A．捕食者主要捕食甲和丙 B．蝌蚪的种间竞争结果可能受捕食者影响 C．无捕食者时蝌蚪的种间竞争可能导致乙消失 D．随着捕食者数量增加，乙可获得的资源减少 35．某植物花瓣的大小受一对等位基因A、a控制，基因型AA的植株表现为大花瓣，Aa的植株表现为小花瓣，觚的植株表现为无花瓣。花瓣颜色受另一对等位基因R、r控制，基因型为RR和Rr的花瓣是红色，Ilr的为黄色。两对基因独立遗传。若AaRr的亲本自交，断错误的是(1分) A．子代共有9种基因型 B．子代共有5种表现型 · C．子代的红花植株中，R的基因频率为l／3 D．子代有花瓣植株中，AaRr所占的．比例为1／3 36．关于蛋白质工程的说法，错误的是(1分) A．蛋白质工程中要进行基因修饰或基因合成 B．蛋白质工程是在分子水平上对蛋白质分子直接进行操作，定向改变其分子结构 C．蛋白质工程能产生自然界中不存在的新型蛋白质分子 D. 蛋白质工程与基因工程密不可分，又称为第二代基因工程 37．某目的基因两侧的DNA序列所含的限制性核酸内切酶位点如下图所示，最好应选用下列哪种质粒作为载体(1分) 38．下列说法正确的是(1分) A．在静息状态下，神经细胞也可进行葡萄糖的跨膜运输 B.组织中的Na+浓度增大，则神经元的静息电位峰值会减小C．激素在人体内含量较低，但有高效的生物催化作用 D．可利用饲喂法研究胰岛素的生理作用 39．一个全部由基因型为Aa的豌豆植株组成的种群，经过连续4代自交，获得的子代中，Aa的频率为l／16，AA和aa的频率均为15／32。据现代生物进化理论，可以肯定该种群在这些年中①发生了隔离 ②发生了基因突变 ③发生了自然选择 ④发生了基因型频率的改变 ⑤没有发生生物进化(2分) A．①②③④ B．②⑧④ C．⑧④⑤ D．④⑤ 40．下列各组物质可能产生于同一个动物细胞的是(1分) A．胰岛素和胰高血糖素 B．抗体和淋巴因子 C．促性腺激素和性激素 D．神经递质和呼吸酶 41．血浆中的水来自于(1分) A．组织液和细胞内液 B消化道、组织液、淋巴 C.淋巴、组织液 D.血浆、消化道 42．某科研小组的人员通过用不同浓度的秋水仙素对大蒜(二倍体)鳞茎生长点进行不同时间的处理，研究不同处理对大蒜根尖细胞染色体加倍率的影响(某一分裂组织或细胞群中染色体数目加倍细胞的百分数)，其实验结果如图，据图判断，叙述中正确的是(1分) A．秋水仙素处理后的根尖细胞均为四倍体细胞 B．染色体加倍率与秋水仙素浓度，处理时间长短有关 C．当秋水仙素浓度为0．03％时，处理时间越长加倍率越高 D．本实验中自变量为秋水仙素浓度，无关变量为处理时间 43．下图为人体皮肤在不同环境温度下维持体温的方式。有关叙述错误的是(1分) A.机体在炎热环境中产热/散热的比值与寒冷环境中产热/散热的比值相等 B．乙和丁只能表示在炎热环境中，机体维持体温恒定的调节情况 C．丙也能发生在寒冷环境中 D．从甲到乙的过程和从丙到丁的过程是神经调节 44.将纯种的二倍体植物品种甲（AA）与近缘纯种乙（EE）杂交后，经后代培育出如下图所示的新品种丙（图中的同源染色体，黑色部分是来自品种乙的染色体片段，品种甲没有此片段）。下列叙述错误的是（1分） A．杂交选育过程中一定发生过染色体结构上的变异 B．杂交选育过程中一定发生过DNA上碱基对的替换 C．丙品种的产生为生物的进化提供了原材料 D．丙品种自交后代中有1/2个体能稳定遗传 45．在生物进化过程中，最早登陆的植物类群和动物类群是（1分） A．原始的种子植物、原始的爬行动物 B．原始的种子植物、原始的两栖类 C．原始的苔藓植物和蕨类植物，原始的爬行动物 D.原始的苔藓类植物和蕨类植物、原始的节肢动物 46．以下有关动物细胞、组织培养的表述中正确的是(1分) A．动物细胞培养中，含5％C02的恒温培养箱用来调控pH值和温度 B．动物组织培养过程中不会出现组织分化 C．传代培养的细胞因最接近于体内细胞的生长特性，常用于药物测试研究 D．动物细胞培养过程中，首先要用胃蛋白酶处理部分组织使细胞分散获得单个细胞 47．关于人体免疫的叙述正确的是(1分) A．淋巴因子通过与抗原的特异性结合，发挥免疫作用 B．获得性免疫缺陷综合症和类风湿性关节炎都属于免疫缺陷病 C．人体获得某种免疫能力后，当再次接触相同抗原时，将产生更强的特异性免疫反应 D．机体一接触过敏原就会发生过敏反应 48．下列有关现代生物科技所依据的原理，叙述错误的是(1分) A．植物组织培养技术——细胞全能性 B．基因工程技术——基因重组 C．植物体细胞杂交技术——细胞核移植 D．生态工程——物质循环再生 49．人体内多种激素之间表现为协同作用。右图列是某同学所作的归纳，错误的是(1分) A.① B.② C.③ D.④ 50．右下是有关生物实验的四幅图，其中说法错误的是(2分) A．若秋天用绿叶做色素提取与分离实验，可能只分离到色素带l和2 B．图乙是利用样方法调查某植物的种群密度，此样方内该植物种群密度为3株／m2 C．若细胞正处于图丙所示状态时，则细胞液浓度一定小于外界溶液浓度 D．图丁在观察植物细胞有丝分裂实验的部位是③ 51少数人注射青霉素后出现胸闷、气急和呼吸困难等过敏反应症状，严重者发生休克。有关叙述，正确的是(1分) A．青霉素过敏反应的主要原因是机体免疫防御功能低下 B．青霉素引起的病理性免疫反应，具有特异性和记忆性 C. 机体初次接触青霉素后，活化的浆细胞分泌淋巴因子 D．已免疫的机体再次接触青霉素后会发生自身免疫反应 52．胚胎工程技术在生产中的应用不包括(1分) A．移植胚胎干细胞使退化的组织修复并恢复正常功能 B．进行胚胎移植充分发挥雌性优良个体的繁殖潜能 C．采用机械方法将早期胚胎分割产生同卵双胎 D．在小鼠腹腔中培养杂交瘤细胞生产单克隆抗体 53.如右图所示为人体内生理过程的图解，下列叙述正确的是（1分） A．肠道中的物质A通过协助扩散进入小肠上皮细胞内 B．胰岛素能促进⑥⑦⑧过程，肾上腺素不能促进⑤过程 C．血液中物质A浓度较高时，可在肝细胞和肌细胞内被合成糖原 D．剧烈运动时肌细胞内产生大量乳酸，会使血液的pH明显降低 54．以下各种植物中，属于头状花序的是(1分) A．油菜 B．蒲公英 C小麦 D．车前草 55．科学研究发现，某植物茎段再生时，根总是由近根端长出，叶从近苗端长出(右图)，这种现象被称为极化再生。下列说法不合理的是(1分) A．近根端与近苗端基因的表达情况不同 B．茎段截取后，近根端的生长素向着近苗端运输 C．极化再生过程中，发生了细胞分裂与细胞分化 D. 生长素对离体茎段的细胞的生长具有重要的调节作用 56.在自然灾害发生时，有人不幸被长时间困在恶劣的环境中．缺少水分和食物．下列有关叙述正确的是(1分) A.为维持内环境的相对稳定，抗利尿激素分泌量减少 B．由于缺水，引起下丘脑产生渴觉 C．为维持血糖平衡，肾上腺和胰岛A细胞的分泌活动加强 D．此人与恶劣的环境之间没有任何的物质交换 57．生态系统的结构包括生态系统的组成成分和食物链、食物网，下列叙述正确的足(1分) ①凡是细菌、真菌都是分解者 ②凡是自养型生物都是生产者 ③消费者一定是异养型生物 ④动物都是消费者⑤消费者都是动物 A．② B．②⑨ C．③④ D．②⑤ 58．在生物进化的过程中，最早登陆的植物类群和动物类群是(1分) A．原始的种子植物、原始的爬行动物 B．原始的种子植物、原始的两栖类 C．原始的苔藓植物和蕨类植物、原始的爬行动物 D．原始的苔藓植物和蕨类植物、原始节肢动物 59．“试管婴儿”技术属于(1分) A．克隆技术 B．组织培养 C．胚胎工程 D．基因工程 60．关于植物体内有机物的运输，表述错误的是(1分) A．有机物的运输主要由木质部担任 B．探究有机物运输途径可通过同位素标记技术实现 C．影响有机物运输的外界条件有：温度、矿质元素、植物激素 D．筛管运输同化产物的学说包括压力流动学说、胞质泵动学说和收缩蛋白学说 61．下列有关植物组织培养的叙述错误的是(1分) A．植物组织培养过程中要注意细胞分裂素和生长素的适宜比例 B．如果用纤维素酶和果胶酶水解法获得的植物细胞原生质体失去了全能性 C．同种植物的不同基因型个体的细胞全能性表达程度会大不相同 D．植物愈伤组织经液体悬浮培养可以得到具有胚性细胞特征的单细胞 62．甲、乙两位同学分别用小球做遗传规律模拟实验。甲同学每次分别从I、Ⅱ小桶中随机抓取一个小球并记录字母组合；乙同学每次分别从Ⅲ、IV 小桶中随机抓取一个小球并记录字母组合。将抓取的小球分别放回原来小桶后，再多次重复。分析下列叙述，正确的是(1分) A．乙同学的实验只模拟了遗传因子的分离和配子随机结合的过程 B．实验中每只小桶内两种小球的数量和小球总数都必须相等 C．甲同学的实验可模拟非同源染色体上非等位基因自由组合的过程 D.甲乙重复100次实验后，Dd和AB组合的概率约为1／2和1／4 63．在光照下，将等细胞数量的衣藻和大肠杆菌分别接种到只含无机盐的培养液中培养，结果是(虚线和实线分别表示大肠杆菌和衣藻的生长曲线)(1分) 64．下列调查活动或实验中，所得数值与实际数值相比，肯定偏大的是(2分) A．调查兔子的种群密度是，用鲜艳的颜色标记被捕获的兔子 B．探究培养液中酵母菌种群数量时，从试管中吸出培养液计数前没有震荡试管 C．调查土壤小动物丰富度时，用诱虫器采集小动物没有打开灯泡 D．样方法调查草地中的蒲公英时，因某个样方上有块大石而换个位置取样 65.下列动物行为中，属于先天性行为的是(1分) A．母狼在哺乳期失去幼子后能哺育人的婴儿 B．被蜜蜂蛰过得猕猴不在取食蜜蜂 C．白暨豚能进行表演 D．幼猩猩用沾水的树枝从洞穴中取食白蚁 66．下列实验操作能达到预期结果的是（1分） A．在探究a-萘乙酸促进插条生根的最适浓度”实验中，用高浓度组的a-萘乙酸溶液浸泡插条基部一天后，观察生根情况以确定最适浓度 B．在“探究细胞大小与物质运输的关系”实验中，计算紫红色区域的体积与整个琼脂块的体积之比，能反映NaOH进入琼脂块的速率 C．在“探究培养液中酵母菌种群数量变化"实验中，培养期内共三次取样测定密度，即可准确绘制酵母菌种群增长曲线 D．在“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”实验中，统计每一时期细胞数占计数细胞总数的比例，能比较细胞周期各时期的时间长短 67下列行为中不属于传递信息的是(1分) A．雌蛾分泌性激素 B．工蜂跳8字舞 C．蟑螂昼伏夜出 D．鸟类的呜叫 68．右图表示人体内肾上腺素合成的简化过程，对肾上腺素的合成和分泌的有关叙述中，正确的是(1分) A．若食物中不含酪氨酸，则人体不能合成肾上腺素 B．与肾上腺素合成和分泌有关的细胞器有核糖体、内质网、高尔基体和线粒体 C．外界环境温度降低，会降低催化与肾上腺素合成有关酶的活性，使肾上腺素合成和分泌减少 D．人体在剧烈运动后，肾上腺素的合成和分泌增加 69．中科院近来发现一种诱导细胞凋亡的新机制。在H202和TNFα(一种淋巴因子)等因素的诱导下，鼠肝细胞内的溶酶体释放微量的胰凝乳蛋白酶，将细胞质内的Bid蛋白分解成更小的 cBid，后者与线粒体、溶酶体的膜结合，诱导内容物释放，最终导致细胞凋亡(如下图所示)。下列分析正确的是(1分) A．胰凝乳蛋白酶的释放增加了cBid的数量，cBid进一步引起溶酶体内容物的释放是负反馈调节 B．cBid可能会引起细胞能量供应能力下降，加速细胞的凋亡 C．溶酶体中胰凝乳蛋白酶的释放具有促进细胞凋亡的作用，而其他内容物释放无此功能 D．线粒体释放出的与呼吸作用有关的酶等物质，如果不被水解，可以继续完成有氧呼吸，生成ATP 70．下列关于出生率的叙述，正确的是(1分) A．若某种群年初时的个体数为100，年末时为110，其中新生个体数为20，死亡个体数为10，则该种群的年出生率为l0％ B．若某动物的婚配制为一雌一雄，生殖期个体的雌雄比越接近1：l，则出生率越高 C．若通过调控环境条件，使某动物的性成熟推迟，则出生率会更高 D．若比较三种年龄结构类型的种群，则稳定型的出生率最高 71．下列关于利用胚胎工程技术繁殖优质奶羊的叙述，错误的是(1分) A．对受体母羊和供体母羊进行同期发情处理 B．人工授精后的一定时间内，收集供体原肠胚用于胚胎分割 C．利用胚胎分割技术可以获得两个基因型完全相同的胚胎 D．一次给受体母羊植入多个胚胎，可增加双胞胎和多胞胎的比例 72．在黑腹果蝇(2N=8)中，缺失一条点状染色体的个体(单体，如右图所示) 仍可以存活，而且能够繁殖后代，若两条点状染色体均缺失则不能存活。若干这样的单体黑腹果蝇单体相互交配，其后代为单体的比例为(1分) A．2／3 B．1／3 C．1／2 D．1 73．蝴蝶的性别决定为ZW型。有一种极为罕见的阴阳蝶，即一半雄性一半雌性的嵌合体，其遗传解释如图所示．据此分析，说法错误的是(1分) A．由图可推断，决定蝴蝶雌性生殖器官生长发育的基因可能位于W染色体上 B．过程I依赖了细胞膜具有流动性的特点，也体现了细胞膜信恩交流的功能 C．阴阳蝶的出现属于染色体变异的结果，这种变异可以通过光学显微镜观察到 D．若阴阳蝶能产生配予，则其次级卵母细胞比次级精母细胞多l或2条染色体 74．稻田生态系统是四川盆地重要的农田生态系统，卷叶螟和褐飞虱是稻田中两种主要害虫，拟水狼蛛是这两种害虫的天敌。下列叙述错误的是(1分) A害虫与拟水狼蛛间的信息传递，有利于维持生态系统的稳定 B．防治稻田害虫，可提高生产者与消费者之间的能量传递效率 C．精耕稻田与弃耕稻田的生物群落，演替的方向与速度有异 D．用性外激素专一诱捕卷叶螟，短期内褐飞虱的种群密度会下降 75．假如人群中每10,000入中有l人患白化病。据右图分析，说法正确的是(1分) A．1号个体携带白化病基因的可能性是O.01％ B．3号和4号打算再生一个肤色正常的女孩，其可能性是3/8 C．如果11号与一个没有血缘关系的女性结婚，则不会生出患白化病的后代 D．11号所患的两种遗传病，基因来源都与2号有关 76．下列四幅曲线图中a、b两点的叙述中，正确的是(1分) 图甲中，a、b两点叶绿体内三碳化合物含量的变化趋势相反图乙中，a、b两点神经纤维膜内外Na+浓度差相等图丙中，a、b两点细胞呼吸消耗的葡萄糖速率相等图丁中，a、b两点分别表示茎向光弯曲时向光侧和背光侧的生长素浓度 77．泥石流重要的诱发因素是滥伐乱垦，导致植被消失，山坡失去保护、山体疏松。下列说法不合理的是（1分） A．植树、种草、加强防护林建设，可以防护泥石流的发生 B．为实现快速绿化，保护山体，应由外地引入一些繁殖迅速的新物种 C．人力进行经济活动时，需要遵守生态规律，实现可持续发展 D．人类经济活动违反自然规律时，必然引起大自然的报复 78．在下列实验中已设置对照实验的是（1分） A.标志重捕法调查动物的种群密度 B．摩尔根通过实验证明基因在染色体上 C．赫尔希和蔡斯证明噬菌体的遗传物质是DNA D.虎克用显微镜观察木栓组织并命名了细胞 79.用连着微伏表的两个电极测试受刺激后的神经纤维上的电位变化，已知该纤维静息电位为-70mv,如果微电伏表上发生一次持续约1ms的电位差的变化：由-70mv上升到0，再继续上升到+40mv，然后在下降恢复到-70mv，则刺激电位和微电极放置位置，正确的是（1分） 80．裸子植物的大孢子叶又可称为(1分)： A．子房 B．胚囊 C．胎座 D．心皮 81．植物呼吸速率最高的器官是(1分) A．叶片 B．根 C．茎 D．花 82．被子植物的配子体与孢子体的关系是(1分) A．共生 B．寄生 C．竞争 D．各自独立生活 83．可以诱导动物细胞融合的方法有(2分) A．加有机溶剂 B．使用病毒 C．使用电刺激 D．反复冻融 84．巴氏小体是(1分) A．端粒 B．凝集的X染色体 C．随体 D．巨大染色体 85．氨基酸与蛋白质共有的特性是(1分) A．胶体性质 B．沉淀反应 C.两性性质 D.双缩脲反应 86．豌豆种子的颜色黄色(Y)对绿色(y)为显性，种子的形状圆粒(R)对皱粒(r)为显性，两对等位基因分别位于两对同源染色体上，现有两株豌豆杂交得到的Fl代植株，自花传粉，发现F2代的表现型及其比例是：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒=15：9：25：15，那么可能的亲本基因型组合是(1分) A．YyRr×YyRr B．YyRr×yyRr C．YyRr × Yyrr D．YyRr×yyrr ． 87．小鼠的尾弯曲对尾正常为显性，受一对等位基因(A、a)控制。现用自然种群中的一只尾弯曲小鼠和一只尾正常小鼠杂交，子代表现性及比例为尾弯曲：尾正常=2：1．研究表明：出现这一结果的原因是某种性别的个体为某种基因型时，在胚胎阶段就会死亡。下列不正确的是(1分) A．控制尾弯曲和尾正常的基因可位于X染色体上 B．控制尾弯曲和尾正常的因可位于常染色体上 C．这对亲本小鼠的基因型可能为XAXa和XaY D．分析致死个体的性别和基因型时，可提出合理的假设只有两种 88．葡萄糖酵解的产物是(1分) A．丙氨酸 B．丙酮醛 C．丙酮酸D．乳酸 E．磷酸丙酮酸 89．冬眠状态下青蛙的主要呼吸器官是(1分) A．肠 B．肺 C．口腔粘膜 D．皮肤 90．一雄蜂和一雌蜂交配后产生的F中，雄蜂的基因型有AB、Ab、aB、ab四种；雌蜂的基因型AaBb、Aabb、aaBb和aabb四种。则亲本的基因型是（1分） A．aaBb×Ab B．AaBb×Ab C．AAbb×aB D．AaBb×ab 91．一对夫妇均为某种低能症隐性基因的携带者，若他们生4个孩子，那么3个孩子正常，l个孩子为低能的概率是(1分) A．27／64 B．1／256 C．81／256 D．3／64 92．一个精子和卵结合发育成胚，另一个精子和极核结合发育成胚乳，具有这种双受精现象的植物是(1分) A．裸子植物 B．蕨类植物 C．被子植物 D．苔藓植物 93．下列关于氨基酸密码的描述错误的是(1分) A．密码有种属特异性，所以不同生物合成不同的蛋白质 B．密码阅读有方向性，5’端起始，3’端终止 C．一种氨基酸可有一组以上的密码 D. 一组密码只代表一种氨基酸 94．不少食草动物其食性和取食行为相适应，消化系统出现了复胃，如牛羊具有4室，属于真正胃的是(1分) A．瘤胃 B．网胃 C．瓣胃 D．皱胃 95．下列无脊椎动物中具有最复杂体表结构的是(1分) A．节肢动物 B．海绵动物 C．原生动物 D．刺胞动物 96．人的脑神经有(1分) A．12对 B．10对 C．14对 D．20对 97．变态类型是昆虫分类的依据之一，不同类型昆虫在变态不同时期的名称存在差异．若虫属于下列哪类变态类型的幼虫(1分)。 A．无变态 B．渐变态 C．半变态 D．完全变态 98．合成尿素的器官是(1分) A．肾脏 B．肝脏 C．肌肉 D．胰脏 E．脾脏 99．下列关于染色体和质粒的叙述，正确的是(1分) A．两者的化学本质相同 B．两者均可作为基因工程的运载体 C．两者均与生物的遗传有关 D．两者均可存在于原核生物细胞中 100．从营养结构上分析，生态系统必不可少的生物成分是(1分) A．非生物环境 B．生产者 C．消费者 D．分解者 2014答案题号答案题号答案题号答案题号答案题号答案 1 D 21 C 41 B 61 B 81 D 2 C 22 AD 42 B 62 D 82 B 3 B 23 C 43 B 63 C 83 BC 4 C 24 C 44 B 64 D 84 B 5 D 25 AD 45 D 65 A 85 C 6 B 26 C 46 A 66 D 86 B 7 A 27 ABD 47 C 67 C 87 D 8 C 28 C 48 C 68 D 88 C 9 A 29 B 49 A 69 B 89 D 10 B 30 D 50 ABC 70 B 90 D 11 C 31 C 51 B 71 B 91 A 12 D 32 B 52 D 72 A 92 C 13 B 33 B 53 C 73 D 93 A 14 B 34 D 54 B 74 B 94 D 15 D 35 C 55 B 75 B 95 A 16 AD 36 B 56 C 76 A 96 A 17 B 37 D 57 B 77 B 97 B 18 A 38 A 58 D 78 C 98 B 19 A 39 D 59 C 79 B 99 C 20 B 40 D 60 A 80 D 100 BD 高中生竞教练群：254139830，生竞学生交流群：271753479，	1	positive_file/【高中生物竞赛试卷及答案（国内+国际）】》》》》》》》》》》》/【生物联赛、初赛试卷】/2014黑龙江初赛题.docx
下载来源：生物竞赛资料群：369691871，强基计划资料群：531448000， 2015年安徽省中学生生物学竞赛预赛试卷注意事项： 1、本试卷共100题，全部为不定向选择题，每小题1分，共100分；每小题答案完全正确得1分，错选、多选、漏选均不得分。 2、请考生务必将自己的姓名、所在学校、准考证号写在答题卡上。 3、字迹工整，卷面整洁，用铅笔在答题卡做答。 4、考试时间：2015年4月12日9：00—11：00。一、细胞生物学、生物化学、微生物学、生物信息技术 1．（单选）下列各项中，不能通透人工脂双层的是( )。 A、氧气 B、水 C、离子 D、尿素 2．（单选）下列关于细胞结构与功能的关系，错误的是( )。 A、质膜——免疫反应 B、线粒体——分解葡萄糖，产生二氧化碳和水 C、核仁——参与核糖体形成 D、高尔基体——包装分泌胞外蛋白 3．（多选）线粒体与叶绿体的相似之处有( )。 A、遗传上的半自主性 B、合成蛋白质，且蛋白质功能相似 C、产生并释放ATP入细胞质 D、“内共生学说”可解释它们的起源 4．（单选）减数分裂过程中，观察同源染色体的四分体最好的时期是( )。 A、细线期 B、偶线期 C、粗线期 D、双线期 5．（单选）对于细胞周期时间相差较大的不同种类的两种细胞来说，通常它们的差别最明显的时期是( )。 A、Gl期 B、S期 C、G2期 D、M期 6．（单选）癌细胞的特点不包括( )。 A、失去接触抑制现象 B、染色体数目可能发生很大变化 C、具有程序化死亡机制 D、不进行细胞分化 7．（单选）有人将氰化钾加到动物细胞培养基上，则这些培养的细胞受到这样处理后最可能受到影响的过程是( )。 A、物质通过质膜的主动运输 B、物质通过质膜的被动运输 C、物质通过质膜的自由扩散 D、质膜的厚度 8．（单选）细胞分化中不可能出现的变化有( )。 A、染色体的复制 B、某些细胞器的增添或消失 C、细胞核的消失 D、细胞全能性的降低 9．（多选）真核细胞中，下列基因属于管家基因的有( )。 A、微管蛋白基因 B、生长素基因 C、DNA聚合酶基因 D、胰蛋白酶基因 10.（多选）关于组成蛋白质的氨基酸结构，正确的说法有( )。 A、在α-碳原子上结合有氨基或亚氨基 B、所有的伐一碳原子都是不对称碳原子 C、组成蛋白质的氨基酸除一种外都是L型 D、脯氨酸是唯一的一种亚氨基酸 11.（单选）胆固醇是下列哪种化合物的前体( )。 A、维生素A B、维生素B C、泛酸 D、维生素D 12.（单选）下列不属于氧化磷酸化特点的是( )。 A、具有质子泵驱动的力 B、线粒体内膜两侧建立了电化学梯度 C、具有膜结合的ATP酶 D、将磷酸直接从底物转给ADP 13.（单选）丙酮酸是糖酵解的末端产物，随后发生的下列哪种叙述是真实的( )。 A、6分子的CO2比2分子的丙酮酸有更多的能量 B、2分子的丙酮酸比1分子的葡萄糖有较少的能量 C、丙酮酸比CO2处于氧化状态 D、6分子的CO2比1分子的葡萄糖有更多的能量 14.（单选）下列哪一步反应是糖酵解中唯一的氧化步骤( )。 A、葡萄糖→6-磷酸葡萄糖 B、6-磷酸果糖→1,6--磷酸果糖 C、3-磷酸甘油醛→1,3-磷酸甘油酸 D、磷酸烯醇式丙酮酸→丙酮酸 15.（单选）在酶促反应中，如果加入竞争性抑制剂( )。 A、米氏常数不变 B、最大反应速度不变 C、米氏常数和最大反应速度都不变 D、米氏常数和最大反应速度都变 16.（多选）下列关于遗传密码子的叙述中，正确的是( )。 A、CTA肯定不是密码子 B、一种氨基酸可对应多种密码子 C、64种密码子都能决定相应的氨基酸 D、同一种密码子在人和猴的细胞中决定同一种氨基酸 17.（单选）在生物大分子的分离纯化过程中，能将生物大分子与无机盐及有机小分子分离的方法是( )。 A、离子交换层析 B、凝胶过滤层析 C、滤纸过滤 D、离心 18.（单选）测定一个蛋白质分子量时，不常用的方法是( )。 A、超速离心 B、电泳 C、层析 D、X-光衍射 19.（多选）以下关于原核细胞与真核细胞的差别，正确的是( )。 A、原核细胞无膜包囊的细胞核，真核细胞则有膜包囊的细胞核 B、原核细胞中的DNA都是环状的，真核细胞中的DNA都是线状的 C、原核细胞中的DNA通常没有微管、微丝等细胞骨架成分，真核细胞则有 D、原核细胞没有线粒体，真核细胞则有 20.（单选）下列微生物中，不属于细菌的是( )。 A、霍乱弧菌 B、鼠伤寒沙门氏菌 C、灰色链霉菌 D、白色念珠菌 21.（单选）细菌的革兰氏染色不同是由于( )。 A、细胞核结构不同 B、细胞壁结构不同 C、细胞膜结构不同 D、胞浆颗粒的有无不同 22.（单选）化能自养微生物的能量来源于( )。 A、有机物 B、还原态无机化合物 C、氧化态无机化合物 D、日光 23.（单选）下列各项中，不属于稀释倒平板法缺点的是( )。 A、菌落有时分布不够均匀 B、严格好氧菌因被固定在培养基中生长受到影响 C、热敏感菌易被烫死 D、环境温度低时不易操作 24.（单选）构建序列进化树的一般步骤不包括( )。 A、建立DNA文库 B、建立数据模型 C、建立取代模型 D、建立进化树 25.（多选）人类基因组的结构特点包括( )。 A、基因进化 C、基因重复序列 B、基因数目 D、基因组复制二、植物和动物的解剖、生理、组织和器官的结构与功能 26.（单选）不同类型的导管分子次生壁加厚的程度不同，下列关于壁逐渐增厚程度的正确排列顺序是( )。 A、环纹导管，螺纹导管，网纹导管，梯纹导管，孔纹导管 B、环纹导管，螺纹导管，梯纹导管，网纹导管，孔纹导管 C、环纹导管，梯纹导管，螺纹导管．网纹导管，孔纹导管 D、环纹导管，梯纹导管，网纹导管，螺纹导管，孔纹导管 27.（单选）内皮层结构( )。 A、只发生于根内 B、只发生于根和茎内 C、只发生于根和叶内 D、发生于根、茎和叶内 28.（单选）在叶的横切面上，可见细胞排列疏松、胞间隙发达、细胞内含有叶绿体等特征的组织属于( )。 A、皮层 B、叶肉 C、栅栏组织 D、海绵组织 29.（单选）在生产上，需要一定生长年龄的枝条。以下可作为一种识别枝条年龄依据的是( )。 A、叶痕 B、束痕 C、节 D、芽鳞痕 30.（单选）裸子植物的雌配子体是( )。 A、成熟胚囊 B、珠心 C、珠心和胚乳 D、胚乳和颈卵器 31.（单选）植物很多生理活动都受天气影响。在光照充足的下雨天，下列哪一项生理活动基本停止( )。 A、光合作用 B、根部呼吸作用 C、叶面蒸腾作用 D、根部吸水 32.（单选）植物在幼嫩部位首先表现缺( )症状。 A、N B、P C、Ca D、K 33,（多选）下列关于C4植物光合作用的说法，错误的是( )。 A、3-磷酸甘油醛是CO2固定的第一产物 B、四碳酸是由维管束鞘细胞中的磷酸烯醇式丙酮酸羧化酶作用形成的 C、比C3植物有持续较低的CO2水平 D、双磷酸核酮糖释放的CO2转移给磷酸烯醇式丙酮酸(PEP) 34.（单选）在其他条件适宜而温度偏低的情况下，如果提高温度，光合作用的C02补偿点、光补偿点和光饱和点( )。 A、均上升 B、均下降 C、不变化 D、变化无规律 35.（单选）光合产物是以哪种形式从叶绿体转移到细胞质中去的( )。 A、核酮糖 B、葡萄糖 C、蔗糖 D、磷酸丙糖 36.（多选）下列有关赤霉素生理作用的描述中，正确的是( )。 A、促使长日照植物开花 B、使未经春化作用的植物开花 C、解除种子的休眠，促使种子萌发 D、促使短日照植物开花 37.（单选）幼苗或吸胀后的种子经低温处理后，其开花反应被促进的现象称为( )。 A、去春化作用 B、春化作用 C、抗冷锻炼 D、解除春化 38.（单选）长日植物天仙子和短日植物烟草嫁接，在长日照或短日照条件下两者 ( )。 A、都能开花 B、长日植物能开花 C、短日植物能开花 D、都不能开花 39.（多选）肉质果实在成熟过程中伴随着一系列生理生化变化，包括( )。 A、有机酸含量下降 B、单宁含量下降 C、蛋白质含量增加 D、乙酸乙酯或柠檬醛增加 40.（多选）植物光敏色素的特点是( )。 A、由蛋白质和生色团两部分组成，两者以共价键相连 B、引起光生理反应的光敏色素是Pfr型，这种类型的光敏色素分子结构不稳定 C、光敏色素诱导成花是调控基因表达的慢反应，对叶绿体运动的调控为快反应 D、不同植物编码光敏色素中蛋白质的基因可能不同，所以不同植物的光敏色素也可能不一样 41.（单选）下列动物中，属于原口动物、具有两个胚层和辐射对称特征的是( )。 A、涡虫 B、疟原虫 C、水螅 D、海星 42.（单选）如果要编一个二歧式检索表来区分线虫、沙蚕和蛇，可应用的特征是( )。 A、辐射对称和脊神经索 B、辐射对称和蠕虫状的体形 C、分节和脊神经索 D、分节和两侧对称 43.（单选）在动物的血液循环系统类型中，有一类是开放型的，以下叙述正确的是 ( )。 A、所有无脊椎动物都是开放型的 B、所有脊椎动物都不是开放型的 C、开放型循环系统没有血管构成 D、开放型循环系统没有心脏结构 44.（单选）海水鱼和淡水鱼的水盐平衡调节机制不同，其最大的区别是( )。 A、海水鱼从鳃处排出盐分，淡水鱼从鳃处吸收盐分 B、海水鱼不饮海水，淡水鱼需要时饮入淡水 C、海水鱼排出固体尿酸，淡水鱼排出几乎不含溶质的尿液 D、海水鱼消化道有分泌盐功能，淡水鱼则没有 45.（多选）蚯蚓属于环节动物，关于它的生物学叙述，正确的是( )。 A、在结构水平上，属于无体腔、有体节、身体辐射对称的无脊椎动物 B、在生殖生理上，是雌雄同体、无异体交配行为的动物 C、在进化水平上，与节肢动物亲缘关系比较近而较节肢动物低等 D、在生态学上，生态位属于分解者范畴 46.（多选）下列特征中，属于昆虫的是( )。 A、一个背部梯状神经索 B、马氏管 C、开放的循环系统 D、气体交换通过气管系统 47.（单选）爬行类能成为真正的陆生脊椎动物，是因为( )。 A、有了颈部 B、体表有了角质鳞片 C、心室中出现了隔膜 D、出现了羊膜卵 48.（单选）目前一般认为肌肉收缩是由于( )。 A、骨骼肌粗肌丝长度变． B、骨骼肌细肌丝之间滑动 C、粗肌丝向细肌丝间滑动 D、细肌丝向粗肌丝间滑动 49.（单选）食糜由胃进入十二指肠的过程称为胃排空。糖、脂肪和蛋白质三种等量营养物质，胃排空速度由快到慢的顺序是( )。 A、糖、脂肪、蛋白质 B、糖、蛋白质、脂肪 C、蛋白质、糖、脂肪 D、蛋白质、脂肪、糖 50.（单选）在一个心动周期中，动脉血压的最低值出现于( )。 A、快速射血期 B、心室舒张末期 C、等容舒张期 D、充盈期 51.（单选）下列生理活动都是由副交感神经作用引起的是( )。 (1)瞳孔缩小 (2)心跳加快 (3)抑制膀胱排尿 (4)汗腺分泌加多 (5)促进胰岛素分泌 (6)引起支气管平滑肌收缩 A、(1)(3)(5) B、(2)(4)(5) C、(1)(4)(5) D、(1)(5)(6) 52.（单选）下列各项中，不属于提高神经系统兴奋性的激素是( )。 A、胰岛素 B、甲状腺激素 C、去甲肾上腺素 D、肾上腺素 53.（单选）神经纤维在静息时( )。 A、细胞膜外Na+和K+多于细胞膜内，而细胞内阴离子较多 B、细胞膜通透性较低，而兴奋时通透性较高 C、细胞膜对Na+的通透性低，而对K+通透性高 D、细胞膜内外电位差的维持并不需要消耗ATP 54.（多选）下列关于雌激素生理作用的叙述，正确的是( )。 A、维持女性第二性征 B、促进雌性生殖器官的发育 C、升高血浆胆固醇含量 D、促进体毛生长 55.（多选）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm的颗粒物，富含大量有毒、有害物质，易通过肺部进入血液，目前PM 2.5已成为空气污染指数的重要指标。下列有关PM 2,5的推测，合理的是( )。 A、PM 2.5进入人体的肺泡中时还没有进入人体的内环境 B、PM 2.5可能成为过敏原，诱发过敏反应 C、PM 2.5颗粒物比大多数病毒小 D、颗粒物中的一些酸性物质进入人体血液一定会导致血浆呈酸性三、动物行为学、生态学 56.（单选）鲑鱼回到自己生长的小河中产卵的行为是( )。 A、直觉 B、嗅觉印随 C、习惯化 D、条件反射 57.（单选）下列动物行为中，属于先天性行为的是( )。 A、母狼在哺乳期失去幼子后能哺育人的婴儿 B、被蜜蜂蛰过的猕猴不再取食蜂蜜 C、自暨豚能进行表演 D、幼猩猩用沾水的树枝从洞穴中取食白蚁 58.（单选）对于食蜜鸟来说，夏季来临意味着食物更加丰富，它们将开始交配、产卵、孵卵和育雏。据此，你认为从春季到夏季、再到雏乌出窝，食蜜乌亲体的取食领域会( )。 A、先变大，后变小 B、先变小，后变大 C、不变 D、不确定 59.（单选）大海鸥的红嘴对它的小海鸥有特殊的功用，下列各项中正确的是( )。 A、超常刺激 B、刺激信号 C、抑制攻击 D、确认双亲的标记 60.（单选）某山谷在冬季有斑蝶类聚集过冬的情形。其中有数种青斑蝶，其幼虫以多种有毒植物为食，其毒素也在其体内积累。在同一栖息地还生存有一种斑风蝶，其斑纹与青斑蝶相似，但幼虫则以无毒植物为食。下列是某学生对青斑蝶和斑凤蝶的观察结果，错误的是( )。 A、青斑蝶的数量少于斑凤蝶 B、青斑蝶和斑凤蝶飞翔缓慢 C、各种青斑蝶会因相互拟态而彼此斑纹相似 D、青斑蝶色彩鲜艳 61.（单选）下列各项中，不属于温度生态效应的是( )。 A、非洲肺鱼在自制的泥茧中夏眠 B、在年平均温度低于20℃的水域，珊瑚无法生存 C、比目鱼在越冬场所集群，互相积累在一起 D、青蛙钻到淤泥下冬眠 62.（多选）某岛栖息着狐和野兔，生态系统相对稳定。后来有人登岛牧羊、捕食野兔和狐，狐也捕食羊羔。第5年，岛上狐濒临灭绝，但野兔数量大大超过人登岛前的数量。第6年，野兔种群暴发了由兔瘟热病毒引起的瘟疫，其数量骤减。人与狐的种间关系是( )。 A、寄生 B、竞争 C、捕食 D、共生 63.（多选）杜鹃将卵产在多种鸟的巢里，与寄主的卵颜色很相似，且小杜鹃孵出后也类似寄主的雏鸟，使寄主无法分辨，进而抚养这些冒牌的幼鸟。这种现象称为( )。 A、贝茨拟态 B、韦斯曼氏拟态 C、巢寄生 D、类寄生 64.（单选）为调查某地麻雀的种群密度，捕获30只鸟，其中麻雀5只，做标志后放回自然界。次年又捕获30只鸟，其中有标志的麻雀2只，没有标志的麻雀6 只。则此地区麻雀种群个体数约为( )。 A、15只 B、20只 C、45只 D、75只 65.（单选）下列有关种群的叙述中，错误的是( )。 A、生物进化的原因是由于种群基因频率的定向改变 B、若某种群基因型为AA的个体占18%，aa的个体占6%，则A基因的频率是56% C、在自然生态系统中，种群增长曲线呈J型 D、一个国家或地区的人口增长趋势可根据其年龄组成预测 66.（单选）种群的逻辑斯谛增长发生的条件是( )。 A、资源有限 B、资源无限 C、没有环境阻力 D、没有种内种间的竞争 67.（单选）从湖泊到森林的演替中不经历( )。 A、沉水植物阶段 B、浮叶根生植物阶段 C、沼泽植物阶段 D、富营养化阶段 68.（单选）一个生态演替的顶级群落的典型特征是( )。 A、生态系统相对稳定 B、生物量的增长达到最大 C、植物与动物的物种数量持续快速增长 D、每一年的生态系统净生产量都不同 69.（单选）下列生态系统中，生产力最低的是( )。 A、海岸红树林生态系统 B、沙漠生态系统 C、热带雨林生态系统 D、温带阔叶林生态系统 70.（多选）形成热带地区树种的多样性高的机制是( )。 A、环境异质性高 B、植食动物和病原体对普通物种影响大 C、中度干扰多 D、树种竞争排除经历时间长 71.（多选）从河流的源头向河流的下游依次取样，水样的水质参数增加的有( )。 A、水温 B、含氧量和矿质养分的量 C、浊度和沉积物的量 D、水流流速 72.（多选）分析以下信息：研究者在水深3000多米的海洋底部的一块鲸鱼的骨架上，发现了两种新型蠕虫。这两种蠕虫无消化器官，它们通过附肢里的细菌摄取营养。像树根一样的附肢可深入到死鲸骨髓里吸取营养，其中的细菌将骨中的脂肪转变成糖供给蠕虫。根据这些信息的分析，正确的有( )。 A、这是一个相对独立的生态系统，其能量起始端是太阳能 B、这是一个腐生生物群落，其所有成员均属于分解者 C、这构成了一个腐生食物链，其顶端营养级就是蠕虫 D、蠕虫无消化器官是对深海环境的适应 73.（单选）对于某种作物，当土壤中的N可以维持250千克产量，K可以维持350 千克产量，P可以维持500千克产量，则实际产量一般会在( )。 A、约250千克 B、约350千克 C、约500千克 D、大于500千克 74.（单选）外来种引进后若能在野外大量繁殖，以至影响当地原生物种的生存，就称为入侵种。下列有关入侵种的叙述中，错误的是( )。 A、可能影响本地生物群落的生态平衡 B、可能与本地种互相杂交而改变本地种的基因组成 C、可能与生态系统中相同生态地位的本地种互相竞争，并排挤本地种的生存 D、该物种由于生存环境改变，可能受强烈选择作用而迅速演化成新的物种 75.（单选）某自然保护区的生态系统能长时间保持相对稳定，则该生态系统( )。 ①处于大量物种更替的过渡阶段②生物的种类和数量相对稳定③物质和能量的输入和输出相对平衡④有比较复杂的食物链和食物网⑤有一定的自我调节能力 ⑥生产者的数量大于消费者和分解者的数量 A、①②③④⑤ B、②③④⑤ C、②③④⑤⑥ D、①②③④⑤⑥ 四、遗传学与进化生物学、生物系统学 76.（单选）在生命科学发展过程中，证明DNA是遗传物质的实验是( )。 ①孟德尔的豌豆杂交实验②摩尔根的果蝇杂交实验③肺炎双球菌转化实验 ④T2噬菌体侵染大肠杆菌实验⑤DNA的X光衍射实验 A、①② B、②③ C、⑧④ D、④⑤ 77.（多选）孟德尔选用豌豆作实验材料并获得成功的原因是( )。 A、豌豆具有稳定的、容易区分的相对性状 B、豌豆是严格闭花授粉的植物 C、研究思路是由简到繁、先易后难 D、用统计学的方法 78.（单选）a、b、c是三个开白花的纯系植株，d是开红花的纯系植株，已知花色由二对基因决定，它们是独立分配的，①axc→Fl开白花；②bxc→Fl开白花； ③axb→Fl开红花；④d与任一白花纯系杂交，Fl均开红花，这两对基因的作用方式是( )。 A、抑制作用 B、上位作用 C、互补作用 D、重叠作用 79.（单选）两个小麦品种杂交的F2的表现型方差为0.8，狭义遗传力为60%，广义遗传力为80%，计算所得环境方差、加性方差和显性方差分别是( )。 A、0.16、0.48和0.16 B、0.18、0.46和0.36 C、0.20、0.44和0.34 D、0.22、0.48和0.30 80.（单选）基因型为Aa的水稻种植4代后，群体中基因型aa所占比例是( )。 A. 1/16 B、1/32 C、15/16 D、15/32 81.（多选）表现交叉遗传的遗传方式是( )。 A、X连锁隐性遗传和Z连锁 B、X连锁和Z连锁 C、Z连锁和Y连锁 D、X连锁、Z连锁和Y连锁 82.（单选）在一个果蝇群体中收集到下面的数据：15只白眼雌蝇，52只白眼雄蝇，208只野生型雄蝇，365只野生型雌蝇（112只携带白眼基因），使用上述数据计算白眼等位基因的频率是( )。 A. 0.15 B. 0.17 C. 0.19 D. 0.21 83.（单选）香豌豆中，当A、B两个不同的显性基因共同存在时，才开红花。一株红花植株与基因型为aaBb的植株杂交，子代中3/8开红花；若让这一株红花植株自交，则自交后代红花植株中，杂合体所占的比例为( )。 A. 1/9 B、2/9 C、5/9 D、8/9 84.（单选）灰兔和白兔杂交，子一代全是灰色，子一代相互交配，黑兔和白兔的比例为9：3：4，这种现象由( )决定。 A、性状的多基因决定 B、不完全显性 C、基因的多效性 D、上位效应 85.（单选）下列有关免疫的说法，正确的是( )。 A、被T细胞识别的抗原不会与抗体结合 B、抗体可由记忆B细胞产生 C、浆细胞可以特异性识别抗原 D、致敏T细胞能使抗原细胞的细胞膜通透性增大子二代中灰兔、 86.（单选）下列各项与核酸相关的结构从大到小的正确排列顺序是( )。 A、基因、染色体、核苷酸、密码子 B、染色体、基因、密码子、核苷酸 C、核苷酸、染色体、基因、密码子 D、染色体、核苷酸、基因、密码子 87.（单选）果蝇全部基因组含有l.65xl08bp(碱基对)，如果DNA是一长线状分子，每秒复制30bp，共有2000个双向复制起点，全部基因组要复制( )。 A、23分钟 B、32分钟 C、56分钟 D、44分钟 88. （多选）通过下列哪些方法可以得到大肠杆菌组氨酸缺陷型的回复突变菌株( )。 A、转导 B、紫外线诱变 C、与野生型菌株发生接合 D、转染 89.（单选）真核生物基因常含有内含子，但在成熟的mRNA上没有内含子，这是因为( )。 A、转录过程不合成同内含子相应的RNA B、内含子被特殊的蛋白质切除 C、RNA剪接 D、RNA重组 90.（单选）下列描述中，正确的是( )。 A、RNA都是蛋白质合成的模板 B、所有的DNA都将被翻译成蛋白质 C、一条mRNA上可以结合多个核糖体 D、蛋白质的生物合成除mRNA和蛋白质外，不再需任何其它的DNA和RNA 91.（单选）真核生物基因组中不含( )。 A、内含子 B、操纵子 C、高度重复序列 D、外显子 92.（多选）下列对克隆羊叙述，正确的是( )。 A、克隆羊是无性生殖产生的 B、克隆绵羊“多莉”采用的是母体乳腺上皮细胞 C、克隆绵羊“多莉”的产生过程涉及了三只绵羊 D、克隆“多莉”用的是干细胞“胚”植入代孕母羊 93.（多选）直立人的主要代表是( )。 A、山顶洞人 B、北京人 C、爪哇人 D、尼安德特人 94.（单选）在进化论研究上，最早提出系统进化思想的是( )。 A、达尔文 B、拉马克 C、摩尔根 D、赫胥黎 95.（单选）日本科学家提出了“中性进化论”，其根据主要来源于( )。 A、化石证据 B、形态学证据 C、生物大分子证据 D、行为学证据 96.（单选）下列各项中，能用趋同进化解释的是( )。 A、鸟和昆虫都有适于飞行的翅 B、鸟的翼、鲸的鳍肢、马的前肢结构基本一致 C、由始祖象变成非洲象 D、海豹中有吃鱼的和吃企鹅的 97.（单选）具单体雄蕊、二体雄蕊、二强雄蕊、四强雄蕊、聚药雄蕊的植物分别是( )。 A、锦葵科豆科唇形科十字花科菊科 B、菊科豆科唇形科十字花科锦葵科 C、唇形科十字花科豆科锦葵科菊科 D、菊科豆科十字花科唇形科锦葵科 98.（单选）具有颈卵器的植物是( )。 A、菌类、藻类、苔藓植物 B、菌类、藻类、蕨类植物 C、蕨类、裸子、被子植物 D、苔藓、蕨类、裸子植物 99.（单选）下列各种“鱼”中，进化地位最低和最高的分别是( )。 A、墨鱼和美人鱼（儒艮） B、衣鱼与美人鱼 C、娃娃鱼与文昌鱼 D、衣鱼与文昌鱼 100.（多选）下列各纲中，同时具有齿舌和贝壳的是( )。 A、多板纲 B腹足纲 C瓣鳃纲 D头足纲高中生竞教练群：254139830，生竞学生交流群：271753479，	1	positive_file/【高中生物竞赛试卷及答案（国内+国际）】》》》》》》》》》》》/【生物联赛、初赛试卷】/2006-2016安徽生物竞赛预赛题目及答案/2015年安徽省中学生生物学竞赛预赛试卷.docx
2022年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试一、选择题 1. 钙在骨骼生长和肌肉收缩等过程中发挥重要作用。晒太阳有助于青少年骨骼生长，预防老年人骨质疏松。下列叙述错误的是（） A. 细胞中有以无机离子形式存在的钙 B. 人体内Ca2+可自由通过细胞膜的磷脂双分子层 C. 适当补充维生素D可以促进肠道对钙的吸收 D. 人体血液中钙离子浓度过低易出现抽搐现象【答案】B 【解析】【分析】无机盐的存在形式与作用：（1）存在形式：细胞中大多数无机盐以离子的形式存在；（2）无机盐的功能：对维持细胞和生物体生命活动有重要作用，如：Fe是构成血红素的元素；Mg是构成叶绿素的元素。【详解】A、细胞中有以无机离子形式存在钙，也有以化合物形式存在的钙（如CaCO3），A正确； B、Ca2+不能自由通过细胞膜的磷脂双分子层，需要载体协助，B错误； C、维生素D能有效地促进人体肠道对钙和磷的吸收，故适当补充维生素D可以促进肠道对钙的吸收，C正确； D、哺乳动物的血液中必须含有一定量的Ca2+，Ca2+的含量太低，会出现抽搐等症状，D正确。故选B。 2. 植物成熟叶肉细胞的细胞液浓度可以不同。现将a、b、c三种细胞液浓度不同的某种植物成熟叶肉细胞，分别放入三个装有相同浓度蔗糖溶液的试管中，当水分交换达到平衡时观察到：①细胞a未发生变化；②细胞b体积增大；③细胞c发生了质壁分离。若在水分交换期间细胞与蔗糖溶液没有溶质的交换，下列关于这一实验的叙述，不合理的是（） A. 水分交换前，细胞b的细胞液浓度大于外界蔗糖溶液的浓度 B. 水分交换前，细胞液浓度大小关系为细胞b>细胞a>细胞c C. 水分交换平衡时，细胞c的细胞液浓度大于细胞a的细胞液浓度 D. 水分交换平衡时，细胞c的细胞液浓度等于外界蔗糖溶液的浓度【答案】C 【解析】【分析】由题分析可知，水分交换达到平衡时细胞a未发生变化，既不吸水也不失水，细胞a的细胞液浓度等于外界蔗糖溶液的浓度；细胞b的体积增大，说明细胞吸水，水分交换前，细胞b的细胞液浓度大于外界蔗糖溶液的浓度；细胞c发生质壁分离，说明细胞失水，水分交换前，细胞c的细胞液浓度小于外界蔗糖溶液的浓度。【详解】A、由于细胞b在水分交换达到平衡时细胞的体积增大，说明细胞吸水，则水分交换前，细胞b的细胞液浓度大于外界蔗糖溶液的浓度，A正确； B、水分交换达到平衡时，细胞a的细胞液浓度等于外界蔗糖溶液的浓度，细胞b的细胞液浓度大于外界蔗糖溶液的浓度，细胞c的细胞液浓度小于外界蔗糖溶液的浓度，因此水分交换前，细胞液浓度大小关系为细胞b>细胞a>细胞c，B正确； C、由题意可知，水分交换达到平衡时，细胞a未发生变化，说明其细胞液浓度与外界蔗糖溶液浓度相等；水分交换达到平衡时，虽然细胞内外溶液浓度相同，但细胞c失水后外界蔗糖溶液的浓度减小，因此，水分交换平衡时，细胞c的细胞液浓度小于细胞a的细胞液浓度，C错误 D、在一定蔗糖溶液中，细胞c发生了质壁分离，水分交换达到平衡时，其细胞液浓度等于外界蔗糖溶液的浓度，D正确。故选C。 3. 植物激素通常与其受体结合才能发挥生理作用。喷施某种植物激素，能使某种作物的矮生突变体长高。关于该矮生突变体矮生的原因，下列推测合理的是（） A. 赤霉素合成途径受阻 B. 赤霉素受体合成受阻 C. 脱落酸合成途径受阻 D. 脱落酸受体合成受阻【答案】A 【解析】【分析】赤霉素：合成部位：幼芽、幼根和未成熟的种子等幼嫩部分；主要生理功能：促进细胞的伸长；解除种子、块茎的休眠并促进萌发的作用。【详解】AB、赤霉素具有促进细胞伸长的功能，该作用的发挥需要与受体结合后才能完成，故喷施某种激素后作物的矮生突变体长高，说明喷施的为赤霉素，矮生突变体矮生的原因是缺乏赤霉素而非受体合成受阻（若受体合成受阻，则外源激素也不能起作用），A正确，B错误； CD、脱落酸抑制植物细胞的分裂和种子的萌发，与植物矮化无直接关系，CD错误。故选A。 4. 线粒体是细胞进行有氧呼吸的主要场所。研究发现，经常运动的人肌细胞中线粒体数量通常比缺乏锻炼的人多。下列与线粒体有关的叙述，错误的是（） A. 有氧呼吸时细胞质基质和线粒体中都能产生ATP B. 线粒体内膜上的酶可以参与[H]和氧反应形成水的过程 C. 线粒体中的丙酮酸分解成CO2和[H]的过程需要O2的直接参与 D. 线粒体中的DNA能够通过转录和翻译控制某些蛋白质的合成【答案】C 【解析】【分析】有氧呼吸的第一、二、三阶段的场所依次是细胞质基质、线粒体基质和线粒体内膜。有氧呼吸第一阶段是葡萄糖分解成丙酮酸和[H]，合成少量ATP；第二阶段是丙酮酸和水反应生成二氧化碳和[H]，合成少量ATP；第三阶段是氧气和[H]反应生成水，合成大量ATP。【详解】A、有氧呼吸的第一阶段场所是细胞质基质，第二、三阶段在线粒体，三个阶段均可产生ATP，故有氧呼吸时细胞质基质和线粒体都可产生ATP，A正确； B、线粒体内膜是有氧呼吸第三阶段的场所，该阶段氧气和[H]反应生成水，该过程需要酶的催化，B正确； C、丙酮酸分解为CO2和[H]是有氧呼吸第二阶段，场所是线粒体基质，该过程需要水的参与，不需要氧气的参与，C错误； D、线粒体是半自主性细胞器，其中含有少量DNA，可以通过转录和翻译控制蛋白质的合成，D正确。故选C。 5. 在鱼池中投放了一批某种鱼苗，一段时间内该鱼的种群数量、个体重量和种群总重量随时间的变化趋势如图所示。若在此期间鱼没有进行繁殖，则图中表示种群数量、个体重量、种群总重量的曲线分别是（） A. 甲、丙、乙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、甲、乙 D. 丙、乙、甲【答案】D 【解析】【分析】S型增长曲线：当种群在一个有限的环境中增长时，随着种群密度的上升，个体间由于有限的空间、食物和其他生活条件而引起的种内斗争必将加剧，以该种群生物为食的捕食者的数量也会增加，这就会使这个种群的出生率降低，死亡率增高，从而使种群数量的增长率下降，当种群数量达到环境条件所允许的最大值时，种群数量将停止增长，有时会在K值保持相对稳定。【详解】分析题图可知，随着时间变化，甲曲线先增加后减少，乙曲线呈S形，丙曲线下降，在池塘中投放一批鱼苗后，由于一段时间内鱼没有进行繁殖，而且一部分鱼苗由于不适应环境而死亡，故种群数量下降，如曲线丙；存活的个体重量增加，如曲线乙，种群总重量先增加后由于捕捞而减少，如曲线甲。综上可知，D正确。故选D。 6. 某种自花传粉植物的等位基因A/a和B/b位于非同源染色体上。A/a控制花粉育性，含A的花粉可育；含a的花粉50%可育、50%不育。B/b控制花色，红花对白花为显性。若基因型为AaBb的亲本进行自交，则下列叙述错误的是（） A. 子一代中红花植株数是白花植株数的3倍 B. 子一代中基因型为aabb的个体所占比例是1/12 C. 亲本产生的可育雄配子数是不育雄配子数的3倍 D. 亲本产生的含B的可育雄配子数与含b的可育雄配子数相等【答案】B 【解析】【分析】分析题意可知：A、a和B、b基因位于非同源染色体上，独立遗传，遵循自由组合定律。【详解】A、分析题意可知，两对等位基因独立遗传，故含a的花粉育性不影响B和b基因的遗传，所以Bb自交，子一代中红花植株B_：白花植株bb=3：1，A正确； B、基因型为AaBb的亲本产生的雌配子种类和比例为AB:Ab:aB:ab=1:1:1:1，由于含a的花粉50%可育，故雄配子种类及比例为AB:Ab:aB:ab=2:2:1:1，所以子一代中基因型为aabb的个体所占比例为1/4×1/6=1/24，B错误； C、由于含a的花粉50%可育，50%不可育，故亲本产生的可育雄配子是A+1/2a，不育雄配子为1/2a，由于Aa个体产生的A：a=1:1，故亲本产生的可育雄配子数是不育雄配子的三倍，C正确； D、两对等位基因独立遗传，所以Bb自交，亲本产生的含B的雄配子数和含b的雄配子数相等，D正确。故选B。 7. 根据光合作用中CO2的固定方式不同，可将植物分为C3植物和C4植物等类型。C4植物的CO2补偿点比C3植物的低。CO2补偿点通常是指环境CO2浓度降低导致光合速率与呼吸速率相等时的环境CO2浓度。回答下列问题。（1）不同植物（如C3植物和C4植物）光合作用光反应阶段的产物是相同的，光反应阶段的产物是____________（答出3点即可）。（2）正常条件下，植物叶片的光合产物不会全部运输到其他部位，原因是____________（答出1点即可）。（3）干旱会导致气孔开度减小，研究发现在同等程度干旱条件下，C4植物比C3植物生长得好。从两种植物CO2补偿点的角度分析，可能的原因是______________。【答案】（1）O2、[H]和ATP （2）自身呼吸消耗或建造植物体结构（3）C4植物的CO2补偿点低于C3植物，C4植物能够利用较低浓度的CO2 【解析】【分析】光合作用包括光反应和暗反应两个阶段：（1）光合作用的光反应阶段（场所是叶绿体的类囊体膜上）：水的光解产生[H]与氧气，以及ATP的形成；（2）光合作用的暗反应阶段（场所是叶绿体的基质中）：CO2被C5固定形成C3，C3在光反应提供的ATP和[H]的作用下还原生成糖类等有机物是指绿色植物通过叶绿体，利用光能把二氧化碳和水转变成储存着能量的有机物，并释放出氧气的过程。【小问1详解】光合作用光反应阶段的场所是叶绿体的类囊体膜上，光反应发生的物质变化包括水的光解以及ATP的形成，因此光合作用光反应阶段生成的产物有O2、[H]和ATP。【小问2详解】叶片光合作用产物一部分用来建造植物体结构和自身呼吸消耗，其余部分被输送到植物体的储藏器官储存起来。故正常条件下，植物叶片的光合产物不会全部运输到其他部位。【小问3详解】 C4植物的CO2固定途径有C4和C3途径，其主要的CO2固定酶是PEPC，Rubisco；而C3植物只有C3途径，其主要的CO2固定酶是Rubisco。干旱会导致气孔开度减小，叶片气孔关闭，CO2吸收减少；由于C4植物的CO2补偿点低于C3植物，则C4植物能够利用较低浓度的CO2，因此光合作用受影响较小的植物是C4植物，C4植物比C3植物生长得好。 8. 人体免疫系统对维持机体健康具有重要作用。机体初次和再次感染同一种病毒后，体内特异性抗体浓度变化如图所示。回答下列问题。（1）免疫细胞是免疫系统的重要组成成分，人体T细胞成熟的场所是_____________；体液免疫过程中，能产生大量特异性抗体的细胞是_____________。（2）体液免疫过程中，抗体和病毒结合后病毒最终被清除的方式是_____________。（3）病毒再次感染使机体内抗体浓度激增且保持较长时间（如图所示），此时抗体浓度激增的原因是_____________。（4）依据图中所示的抗体浓度变化规律，为了获得更好的免疫效果，宜采取的疫苗接种措施是_____________。【答案】（1） ①. 胸腺 ②. 浆细胞（2）抗体与病毒特异性结合形成沉淀，被吞噬细胞吞噬消化（3）病毒再次感染时，机体内相应的记忆细胞迅速增殖分化，快速产生大量抗体（4）多次接种【解析】【分析】体液免疫过程：抗原被吞噬细胞处理呈递给T淋巴细胞，T细胞产生淋巴因子作用于B细胞，B细胞再接受淋巴因子的刺激和抗原的刺激后，增殖分化成浆细胞和记忆B细胞，浆细胞产生抗体作用于抗原。【小问1详解】免疫细胞是免疫系统的重要组成成分，包括淋巴细胞和吞噬细胞等，其中T细胞成熟的场所是胸腺。体液免疫过程中，只有浆细胞能产生特异性的抗体。【小问2详解】体液免疫过程中，抗体和病毒特异性结合后形成沉淀，再被吞噬细胞吞噬消化。【小问3详解】记忆细胞可以在病毒消失后存活几年甚至几十年，当同一种病毒再次感染机体，记忆细胞能迅速增殖分化，快速产生大量抗体，使抗体浓度激增。【小问4详解】分析图示可知，二次免疫比初次免疫产生的抗体更多，故为了获得更好的免疫效果，接种疫苗时可多次接种，使机体产生更多的抗体和记忆细胞。 9. 为保护和合理利用自然资源，某研究小组对某林地的动植物资源进行了调查。回答下列问题。（1）调查发现，某种哺乳动物种群的年龄结构属于增长型，得出这一结论的主要依据是发现该种群中_____________。（2）若要调查林地中某种双子叶植物的种群密度，可以采用的方法是_____________；若要调查某种鸟的种群密度，可以采用的方法是_____________。（3）调查发现该林地的物种数目很多。一个群落中物种数目的多少称为_____________。（4）该林地中，植物对动物的作用有_____________（答出2点即可）；动物对植物的作用有_____________（答出2点即可）。【答案】（1）幼年个体数较多、中年个体数适中、老年个体数较少（2） ①. 样方法 ②. 标志重捕法（3）物种丰富度（4） ①. 为动物提供食物和栖息空间 ②. 对植物的传粉和种子传播具有重要作用【解析】【分析】预测种群变化主要依据年龄组成，包含增长型、稳定性个衰退型。调查植物和活动能力弱、活动范围较小的动物的种群密度，可用样方法；调查活动能力强、活动范围广的动物一般用标志重捕法。【小问1详解】预测种群变化主要依据是年龄组成，是指不同年龄在种群内的分布情况，对种群内的出生率、死亡率有很大影响，当幼年个体数最多、中年个体数适中、老年个体数最少时呈增长型，此时种群中出生率大于死亡率。【小问2详解】调查林地中某种双子叶植物的种群密度，可采用样方法进行随机抽样调查；鸟的活动能力强、活动范围广，调查其种群密度一般采用标志重捕法。【小问3详解】物种组成是区别不同群落的重要特征，一个种群中物种数目的多少称为物种丰富度。【小问4详解】植物可进行光合作用，为动物提供食物，同时可以为动物提供栖息空间；动物的活动有利于植物的繁衍，如蜜蜂采蜜可帮助植物传粉，鸟类取食可帮助植物传播种子。 10. 玉米是我国重要粮食作物。玉米通常是雌雄同株异花植物（顶端长雄花序，叶腋长雌花序），但也有的是雌雄异株植物。玉米的性别受两对独立遗传的等位基因控制，雌花花序由显性基因B控制，雄花花序由显性基因T控制，基因型bbtt个体为雌株。现有甲（雌雄同株）、乙（雌株）、丙（雌株）、丁（雄株）4种纯合体玉米植株。回答下列问题。（1）若以甲为母本、丁为父本进行杂交育种，需进行人工传粉，具体做法是_____________。（2）乙和丁杂交，F1全部表现为雌雄同株；F1自交，F2中雌株所占比例为_____________，F2中雄株的基因型是_____________；在F2的雌株中，与丙基因型相同的植株所占比例是_____________。（3）已知玉米籽粒的糯和非糯是由1对等位基因控制的相对性状。为了确定这对相对性状的显隐性，某研究人员将糯玉米纯合体与非糯玉米纯合体（两种玉米均为雌雄同株）间行种植进行实验，果穗成熟后依据果穗上籽粒的性状，可判断糯与非耀的显隐性。若糯是显性，则实验结果是_____________；若非糯是显性，则实验结果是_____________。【答案】（1）对母本甲的雌花花序进行套袋，待雌蕊成熟时，采集丁的成熟花粉，撒在甲的雌蕊柱头上，再套上纸袋。（2） ①. 1/4 ②. bbTT、bbTt ③. 1/4 （3） ①. 糯性植株上全为糯性籽粒，非糯植株上既有糯性籽粒又有非糯籽粒 ②. 非糯性植株上只有非糯籽粒，糯性植株上既有糯性籽粒又有非糯籽粒【解析】【分析】雌花花序由显性基因B控制，雄花花序由显性基因T控制，基因型bbtt个体为雌株、甲（雌雄同株）、乙（雌株）、丙（雌株）、丁（雄株），可推断出甲的基因型为BBTT，乙、丙基因型可能为BBtt或bbtt，丁的基因型为bbTT。【小问1详解】杂交育种的原理是基因重组，若甲为母本，丁为父本杂交，因为甲为雌雄同株异花植物，所以在花粉未成熟时需对甲植株雌花花序套袋隔离，等丁的花粉成熟后再通过人工授粉把丁的花粉传到甲的雌蕊柱头后，再套袋隔离。【小问2详解】根据分析及题干信息“乙和丁杂交，F1全部表现为雌雄同株”，可知乙基因型为BBtt，丁的基因型为bbTT，F1基因型为BbTt，F1自交F2基因型及比例为9B＿T＿（雌雄同株）：3B＿tt（雌株）：3bbT＿（雄株）：1bbtt（雌株），故F2中雌株所占比例为1/4，雄株的基因型为bbTT、bbTt，雌株中与丙基因型相同的比例为1/4。【小问3详解】假设糯和非糯这对相对性状受A/a基因控制，因为两种玉米均为雌雄同株植物，间行种植时，既有自交又有杂交。若糯性为显性，基因型为AA，非糯基因型为aa，则糯性植株无论自交还是杂交，糯性植株上全为糯性籽粒，非糯植株杂交子代为糯性籽粒，自交子代为非糯籽粒，所以非糯植株上既有糯性籽粒又有非糯籽粒。同理，非糯为显性时，非糯性植株上只有非糯籽粒，糯性植株上既有糯性籽粒又有非糯籽粒。【生物——选修1：生物技术实践】 11. 某同学从被石油污染的土壤中分离得到A和B两株可以降解石油的细菌，在此基础上采用平板培养法比较二者降解石油的能力，并分析两个菌株的其他生理功能。实验所用的培养基成分如下。培养基Ⅰ：K2HPO4，MgSO4，NH4NO3，石油。培养基Ⅱ：K2HPO4，MgSO4，石油。操作步骤： ①将A、B菌株分别接种在两瓶液体培养基Ⅰ中培养，得到A、B菌液； ②液体培养基Ⅰ、Ⅱ口中添加琼脂，分别制成平板Ⅰ、Ⅱ，并按图中所示在平板上打甲、乙两孔。回答下列问题。菌株透明圈大小平板Ⅰ 平板Ⅱ A +++ ++ B ++ - （1）实验所用培养基中作为碳源的成分是____________。培养基中NH4NO3的作用是为菌株的生长提供氮源，氮源在菌体内可以参与合成____________（答出2种即可）等生物大分子。（2）步骤①中，在资源和空间不受限制的阶段，若最初接种N0个A细菌，繁殖n代后细菌的数量是____________。（3）为了比较A、B降解石油的能力，某同学利用步骤②所得到的平板Ⅰ、Ⅱ进行实验，结果如表所示（“+”表示有透明圈，“+”越多表示透明圈越大，“-”表示无透明圈），推测该同学的实验思路是__________。（4）现有一贫氮且被石油污染的土壤，根据上表所示实验结果，治理石油污染应选用的菌株是____________，理由是___________。【答案】（1） ① 石油 ②. DNA、RNA、蛋白质（2）N0•2n （3）在无菌条件下，将等量等浓度的A菌液和B菌液分别接种到平板Ⅰ的甲和乙两孔处，平板Ⅱ也进行同样的操作，在相同且适宜条件下培养一段时间，比较两个平板的两孔处的透明圈大小并作记录，根据透明圈大降解能力强，透明圈小降解能力弱，进而比较A、B降解石油的能力（4） ①. A ②. A菌株降解石油的能力高于B菌株，并且在没有添加氮源的培养基中也能生长【解析】【分析】培养基对微生物具有选择作用。配置培养基时根据某一种或某一类微生物的特殊营养要求, 加入某些物质或除去某些营养物质，抑制其他微生物的生长，也可以根据某些微生物对一些物理、化学因素的抗性，在培养基中加入某种化学物质,从而筛选出待定的微生物。这种培养基叫做选择培养基。【小问1详解】培养基的成分有碳源、氮源、无机盐和水等，从组成培养基的物质所含化学元素可知，作为碳源的成分是石油。生物大分子DNA、RNA、蛋白质都含有N元素，故氮源在菌体内可以参与合成这些物质。【小问2详解】由题意“资源和空间不受限制”可知，细菌的增殖呈J型曲线增长，由于DNA的半保留复制，细菌每繁殖一代就是上一代的2倍，根据公式Nt=N0•λt，λ=2，繁殖n代后细菌的数量是N0•2n。【小问3详解】分析表格数据可知，实验的结果是：在平板Ⅰ上，A菌株降解石油的能力高于B菌株；在平板Ⅱ上，A菌株仍然能降解石油，而B菌株不能降解，根据实验的单一变量和对照原则，推测该同学的思路是：在无菌条件下，将等量等浓度的A菌液和B菌液分别接种到平板Ⅰ的甲和乙两孔处，平板Ⅱ也进行同样的操作，在相同且适宜条件下培养一段时间，比较两个平板的两孔处的透明圈大小并作记录，根据透明圈大降解能力强，透明圈小降解能力弱，进而比较A、B降解石油的能力。【小问4详解】由表格数据可知，在平板Ⅱ（无氮源的培养基）上，A菌株仍然能降解石油，而B菌株不能降解，所以要治理贫氮且被石油污染的土壤，应该选用A菌株，因为A菌株降解石油的能力高于B菌株，并且在没有添加氮源的培养基中也能生长。 12. 某牧场引进一只产肉性能优异的良种公羊，为了在短时间内获得具有该公羊优良性，状的大量后代，该牧场利用胚胎工程技术进行了相关操作。回答下列问题，（1）为了实现体外受精需要采集良种公羊的精液，精液保存的方法是____________。在体外受精前要对精子进行获能处理，其原因是____________；精子体外获能可采用化学诱导法，诱导精子获能的药物是___________（答出1点即可）。利用该公羊的精子进行体外受精需要发育到一定时期的卵母细胞，因为卵母细胞达到___________时才具备与精子受精的能力。（2）体外受精获得的受精卵发育成囊胚需要在特定的培养液中进行，该培养液的成分除无机盐、激素、血清外，还含的营养成分有___________（答出3点即可）等。将培养好的良种囊胚保存备用。（3）请以保存的囊胚和相应数量的非繁殖期受体母羊为材料进行操作，以获得具有该公羊优良性状的后代。主要的操作步骤是___________。【答案】（1） ①. 放入-196℃的液氮中保存（或冷冻保存） ②. 刚排出的精子必需在雌性生殖道内发生相应生理变化后才能受精 ③. 肝素或钙离子载体A23187 ④. MⅡ中期（2）维生素、氨基酸、核苷酸（3）对受体母羊进行同期发情处理，将保存的囊胚进行胚胎移植，对受体母羊进行是否妊娠的检查，一段时间后受体母羊产下具有该公羊优良性状的后代【解析】【分析】试管动物技术是指通过人工操作使卵子和精子在体外条件下成熟和受精，并通过培养发育为早期胚胎后，再经移植后产生后代的技术。【小问1详解】精液可以放入-196℃的液氮中保存（或冷冻保存），使用前再将精液解冻离心分离。刚排出的精子必需在雌性生殖道内发生相应生理变化后才能受精，故在体外受精前要对精子进行获能处理。通常采用的体外获能方法有培养法和化学诱导法，化学诱导法是将精子放在一定浓度的肝素或钙离子载体A23187溶液中，用化学药物诱导精子获能。卵母细胞需要培养到减数第二次分裂中期（MⅡ中期）才能具备与精子受精的能力。【小问2详解】进行早期胚胎培养的培养液中，除了无机盐、激素、血清外，还含有维生素、氨基酸、核苷酸等。【小问3详解】要利用保存的囊胚和相应数量的非繁殖期受体母羊为材料，获得具有该公羊优良性状的后代，主要是利用胚胎移植技术，即对受体母羊进行同期发情处理，将保存的囊胚进行胚胎移植，对受体母羊进行是否妊娠的检查，一段时间后受体母羊产下具有该公羊优良性状的后代。	1	positive_file/全国甲卷【15.67MB】/生物/2022年全国统一高考生物答案（全国甲卷）.docx
2022年全国高考甲卷物理试题二、选择题 1. 北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过一点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【详解】运动员从a到c根据动能定理有在c点有 FNc ≤ kmg 联立有故选D。 2. 长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v < v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【详解】由题知当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v < v0），则列车进隧道前必须减速到v，则有 v = v0 - 2at1 解得在隧道内匀速有列车尾部出隧道后立即加速到v0，有 v0 = v + at3 解得则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为故选C。 3. 三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为和。则（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】【详解】设圆线框的半径为r，则由题意可知正方形线框的边长为2r，正六边形线框的边长为r；所以圆线框的周长为面积为同理可知正方形线框的周长和面积分别为，正六边形线框的周长和面积分别为，三线框材料粗细相同，根据电阻定律可知三个线框电阻之比为根据法拉第电磁感应定律有可得电流之比为：即故选C。 4. 两种放射性元素的半衰期分别为和，在时刻这两种元素的原子核总数为N，在时刻，尚未衰变的原子核总数为，则在时刻，尚未衰变的原子核总数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【详解】根据题意设半衰期为t0的元素原子核数为x，另一种元素原子核数为y，依题意有经历2t0后有联立可得，在时，原子核数为x的元素经历了4个半衰期，原子核数为y的元素经历了2个半衰期，则此时未衰变的原子核总数为故选C。 5. 空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【详解】AC．在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x轴负方向偏转。AC错误； BD．运动的过程中在电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x轴时的速度为0，随后受电场力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B正确，D错误。故选B。 6. 如图，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前（　　） A. P的加速度大小的最大值为 B. Q加速度大小的最大值为 C. P的位移大小一定大于Q的位移大小 D. P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小【答案】AD 【解析】【详解】设两物块的质量均为m，撤去拉力前，两滑块均做匀速直线运动，则拉力大小为撤去拉力前对Q受力分析可知，弹簧的弹力为 AB．以向右为正方向，撤去拉力瞬间弹簧弹力不变为，两滑块与地面间仍然保持相对滑动，此时滑块P的加速度为解得此刻滑块Q所受的外力不变，加速度仍为零，滑块P做减速运动，故PQ间距离减小，弹簧的伸长量变小，弹簧弹力变小。根据牛顿第二定律可知P减速的加速度减小，滑块Q的合外力增大，合力向左，做加速度增大的减速运动。故P加速度大小的最大值是刚撤去拉力瞬间的加速度为。 Q加速度大小最大值为弹簧恢复原长时解得故滑块Q加速度大小最大值为，A正确，B错误； C．滑块PQ水平向右运动，PQ间的距离在减小，故P的位移一定小于Q的位移，C错误； D．滑块P在弹簧恢复到原长时的加速度为解得撤去拉力时，PQ的初速度相等，滑块P由开始的加速度大小为做加速度减小的减速运动，最后弹簧原长时加速度大小为；滑块Q由开始的加速度为0做加速度增大的减速运动，最后弹簧原长时加速度大小也为。分析可知P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小，D正确。故选AD。 7. 如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（　　） A. 通过导体棒电流的最大值为 B. 导体棒MN向右先加速、后匀速运动 C. 导体棒速度最大时所受的安培力也最大 D. 电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热【答案】AD 【解析】【详解】MN在运动过程中为非纯电阻，MN上的电流瞬时值为 A．当闭合的瞬间，，此时MN可视为纯电阻R，此时反电动势最小，故电流最大故A正确； B．当时，导体棒加速运动，当速度达到最大值之后，电容器与MN及R构成回路，由于一直处于通路形式，由能量守恒可知，最后MN终极速度为零，故B错误； C．MN在运动过程中为非纯电阻电路，MN上的电流瞬时值为当时，MN上电流瞬时为零，安培力为零此时，MN速度最大，故C错误； D．在MN加速度阶段，由于MN反电动势存在，故MN上电流小于电阻R 上的电流，电阻R消耗电能大于MN上消耗的电能（即），故加速过程中，；当MN减速为零的过程中，电容器的电流和导体棒的电流都流经电阻R形成各自的回路，因此可知此时也是电阻R的电流大，综上分析可知全过程中电阻R上的热量大于导体棒上的热量，故D正确。故选AD。 8. 地面上方某区域存在方向水平向右匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中Р点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р点。则射出后，（　　） A. 小球的动能最小时，其电势能最大 B. 小球的动能等于初始动能时，其电势能最大 C. 小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大 D. 从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量【答案】BD 【解析】【详解】A．如图所示故等效重力的方向与水平成。当时速度最小为，由于此时存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是最大，故A错误； BD．水平方向上在竖直方向上由于，得如图所示，小球的动能等于末动能。由于此时速度没有水平分量，故电势能最大。由动能定理可知则重力做功等于小球电势能的增加量，故BD正确； C．当如图中v1所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C错误；故选BD。三、非选择题： 9. 某同学要测量微安表内阻，可利用的实验器材有：电源E（电动势，内阻很小），电流表（量程，内阻约），微安表（量程，内阻待测，约），滑动变阻器R（最大阻值），定值电阻（阻值），开关S，导线若干。（1）在答题卡上将图中所示的器材符号连线，画出实验电路原理图_____；（2）某次测量中，微安表的示数为，电流表的示数为，由此计算出微安表内阻_____。【答案】 ①. 见解析 ②. 990Ω 【解析】【详解】（1）[1]为了准确测出微安表两端的电压，可以让微安表与定值电阻R0并联，再与电流表串联，通过电流表的电流与微安表的电流之差，可求出流过定值电阻R0的电流，从而求出微安表两端的电压，进而求出微安表的内电阻，由于电源电压过大，并且为了测量多组数据，滑动电阻器采用分压式解法，实验电路原理图如图所示（2）[2]流过定值电阻R0的电流加在微安表两端的电压微安表的内电阻 10. 利用图示的实验装置对碰撞过程进行研究。让质量为的滑块A与质量为的静止滑块B在水平气垫导轨上发生碰撞，碰撞时间极短，比较碰撞后A和B的速度大小和，进而分析碰撞过程是否为弹性碰撞。完成下列填空：（1）调节导轨水平；（2）测得两滑块的质量分别为和。要使碰撞后两滑块运动方向相反，应选取质量为______kg的滑块作为A；（3）调节B的位置，使得A与B接触时，A的左端到左边挡板的距离与B的右端到右边挡板的距离相等；（4）使A以一定的初速度沿气垫导轨运动，并与B碰撞，分别用传感器记录A和B从碰撞时刻开始到各自撞到挡板所用的时间和；（5）将B放回到碰撞前的位置，改变A的初速度大小，重复步骤（4）。多次测量的结果如下表所示； 1 2 3 4 5 0.49 0.67 1.01 1.22 1.39 0.15 0.21 0.33 0.40 0.46 0.31 0.33 0.33 0.33 （6）表中的______（保留2位有效数字）；（7）的平均值为______；（保留2位有效数字）（8）理论研究表明，对本实验的碰撞过程，是否为弹性碰撞可由判断。若两滑块的碰撞为弹性碰撞，则的理论表达式为______（用和表示），本实验中其值为______（保留2位有效数字），若该值与（7）中结果间的差别在允许范围内，则可认为滑块A与滑块B在导轨上的碰撞为弹性碰撞。【答案】 ①. 0.304 ②. 0.31 ③. 0.32 ④. ⑤. 0.33 【解析】【详解】（2）[1]应该用质量较小的滑块碰撞质量较大的滑块，碰后运动方向相反，故选0.304kg的滑块作为A。（6）[2]由于两段位移大小相等，根据表中的数据可得（7）[3]平均值为（8）[4][5]弹性碰撞时满足动量守恒和机械能守恒，可得联立解得代入数据可得 11. 将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。【答案】【解析】【详解】频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为设抛出瞬间小球的速度为，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为、，根据平抛运动位移公式有令，则有已标注的线段、分别为则有整理得故在抛出瞬间小球的速度大小为 12. 光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧，C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；随为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直，另一端与弹簧下端相连，PQ为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ的圆心位于M的中心使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经PQ上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心，通过读取反射光射到PQ上的位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N。沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧PQ的半径为r﹐r >> d，d远大于弹簧长度改变量的绝对值。（1）若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值x及PQ上反射光点与O点间的弧长s；（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，PQ上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为s1．保持其它条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在О点下方，与O点间的弧长为s2。求待测电流的大小。【答案】（1），；（2）【解析】【详解】（1）由题意当线圈中通入微小电流I时，线圈中的安培力为 F = NBIl 根据胡克定律有 F = NBIl = k│x│ 设此时细杆转过的弧度为θ，则可知反射光线转过的弧度为2θ，又因为 d >> x，r >> d 则 sinθ ≈ θ，sin2θ ≈ 2θ 所以有 x = dθ s = r2θ 联立可得（2）因为测量前未调零，设没有通电流时偏移的弧长为s′，当初始时反射光点在O点上方，通电流I′后根据前面的结论可知有当电流反向后有联立可得同理可得初始时反射光点在O点下方结果也相同，故待测电流的大小为（二）选考题：共45分．请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答．如果多做，则每科按所做的第一题计分。 13. 一定量的理想气体从状态a变化到状态b，其过程如图上从a到b的线段所示。在此过程中（　　） A. 气体一直对外做功 B. 气体的内能一直增加 C. 气体一直从外界吸热 D. 气体吸收的热量等于其对外做的功 E. 气体吸收的热量等于其内能的增加量【答案】BCE 【解析】【详解】A．因从a到bp—T图像过原点，由可知从a到b气体的体积不变，则从a到b气体不对外做功，选项A错误； B．因从a到b气体温度升高，可知气体内能增加，选项B正确； CDE．因W=0，∆U>0，根据热力学第一定律 ∆U=W+Q 可知，气体一直从外界吸热，且气体吸收的热量等于内能增加量，选项CE正确，D错误。故选BCE。 14. 如图，容积均为、缸壁可导热的A、B两汽缸放置在压强为、温度为的环境中；两汽缸的底部通过细管连通，A汽缸的顶部通过开口C与外界相通：汽缸内的两活塞将缸内气体分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第II、Ⅲ部分的体积分别为和、环境压强保持不变，不计活塞的质量和体积，忽略摩擦。（1）将环境温度缓慢升高，求B汽缸中的活塞刚到达汽缸底部时的温度；（2）将环境温度缓慢改变至，然后用气泵从开口C向汽缸内缓慢注入气体，求A汽缸中的活塞到达汽缸底部后，B汽缸内第Ⅳ部分气体的压强。【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因两活塞的质量不计，则当环境温度升高时，Ⅳ内的气体压强总等于大气压强，则该气体进行等压变化，则当B中的活塞刚到达汽缸底部时，由盖吕萨克定律可得解得（2）设当A中的活塞到达汽缸底部时Ⅲ中气体的压强为p，则此时Ⅳ内的气体压强也等于p，设此时Ⅳ内的气体的体积为V，则Ⅱ、Ⅲ两部分气体被压缩的体积为V0-V，则对气体Ⅳ 对Ⅱ、Ⅲ两部分气体联立解得 15. 一平面简谐横波以速度v = 2m/s沿x轴正方向传播，t = 0时刻的波形图如图所示，介质中平衡位置在坐标原点的质点A在t = 0时刻的位移，该波的波长为______m，频率为______Hz，t = 2s时刻，质点A______（填“向上运动”“速度为零”或“向下运动”）。【答案】 ①. 4 ②. 0.5 ③. 向下运动【解析】【详解】[1]设波的表达式为由题知A = 2cm，波图像过点（0，）和（1.5，0），代入表达式有即 λ = 4m [2]由于该波的波速v = 2m/s，则 [3]由于该波的波速v = 2m/s，则由于题图为t = 0时刻的波形图，则t = 2s时刻振动形式和零时刻相同，根据“上坡、下坡”法可知质点A向下运动。 16. 如图，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边的中点。在截面所在平的，一光线自M点射入棱镜，入射角为60°，经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，反射光线从CD边的P点射出棱镜，求棱镜的折射率以及P、C两点之间的距离。【答案】，【解析】【详解】光线在M点发生折射有 sin60° = nsinθ 由题知，光线经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，则 C = 90° - θ 联立有根据几何关系有解得再由解得学科网（北京）股份有限公司	1	positive_file/全国甲卷【15.67MB】/物理/精品解析：2022年全国统一高考甲卷物理试题（解析版）.docx
2022年全国高考甲卷物理试题二、选择题 1. 北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过一点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（） A. B. C. D. 2. 长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v < v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（） A. B. C. D. 3. 三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为和。则（　　） A. B. C. D. 4. 两种放射性元素的半衰期分别为和，在时刻这两种元素的原子核总数为N，在时刻，尚未衰变的原子核总数为，则在时刻，尚未衰变的原子核总数为（　　） A. B. C. D. 5. 空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　） A. B. C D. 6. 如图，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前（　　） A. P的加速度大小的最大值为 B. Q的加速度大小的最大值为 C. P的位移大小一定大于Q的位移大小 D. P速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小 7. 如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（　　） A. 通过导体棒电流的最大值为 B. 导体棒MN向右先加速、后匀速运动 C. 导体棒速度最大时所受的安培力也最大 D. 电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热 8. 地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中Р点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р点。则射出后，（　　） A. 小球的动能最小时，其电势能最大 B. 小球的动能等于初始动能时，其电势能最大 C. 小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大 D. 从射出时刻到小球速度水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量三、非选择题： 9. 某同学要测量微安表内阻，可利用的实验器材有：电源E（电动势，内阻很小），电流表（量程，内阻约），微安表（量程，内阻待测，约），滑动变阻器R（最大阻值），定值电阻（阻值），开关S，导线若干。（1）在答题卡上将图中所示的器材符号连线，画出实验电路原理图_____；（2）某次测量中，微安表的示数为，电流表的示数为，由此计算出微安表内阻_____。 10. 利用图示的实验装置对碰撞过程进行研究。让质量为的滑块A与质量为的静止滑块B在水平气垫导轨上发生碰撞，碰撞时间极短，比较碰撞后A和B的速度大小和，进而分析碰撞过程是否为弹性碰撞。完成下列填空：（1）调节导轨水平；（2）测得两滑块的质量分别为和。要使碰撞后两滑块运动方向相反，应选取质量为______kg的滑块作为A；（3）调节B的位置，使得A与B接触时，A的左端到左边挡板的距离与B的右端到右边挡板的距离相等；（4）使A以一定的初速度沿气垫导轨运动，并与B碰撞，分别用传感器记录A和B从碰撞时刻开始到各自撞到挡板所用的时间和；（5）将B放回到碰撞前的位置，改变A的初速度大小，重复步骤（4）。多次测量的结果如下表所示； 1 2 3 4 5 0.49 067 1.01 1.22 1.39 0.15 0.21 0.33 0.40 0.46 0.31 0.33 0.33 0.33 （6）表中的______（保留2位有效数字）；（7）的平均值为______；（保留2位有效数字）（8）理论研究表明，对本实验的碰撞过程，是否为弹性碰撞可由判断。若两滑块的碰撞为弹性碰撞，则的理论表达式为______（用和表示），本实验中其值为______（保留2位有效数字），若该值与（7）中结果间的差别在允许范围内，则可认为滑块A与滑块B在导轨上的碰撞为弹性碰撞。 11. 将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 12. 光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧，C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；随为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直，另一端与弹簧下端相连，PQ为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ的圆心位于M的中心使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经PQ上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心，通过读取反射光射到PQ上的位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N。沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧PQ的半径为r﹐r >> d，d远大于弹簧长度改变量的绝对值。（1）若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值x及PQ上反射光点与O点间的弧长s；（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，PQ上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为s1．保持其它条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在О点下方，与O点间的弧长为s2。求待测电流的大小。（二）选考题：共45分．请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答．如果多做，则每科按所做的第一题计分。 13. 一定量的理想气体从状态a变化到状态b，其过程如图上从a到b的线段所示。在此过程中（　　） A. 气体一直对外做功 B. 气体内能一直增加 C. 气体一直从外界吸热 D. 气体吸收的热量等于其对外做的功 E. 气体吸收的热量等于其内能的增加量 14. 如图，容积均为、缸壁可导热的A、B两汽缸放置在压强为、温度为的环境中；两汽缸的底部通过细管连通，A汽缸的顶部通过开口C与外界相通：汽缸内的两活塞将缸内气体分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，其中第II、Ⅲ部分的体积分别为和、环境压强保持不变，不计活塞的质量和体积，忽略摩擦。（1）将环境温度缓慢升高，求B汽缸中的活塞刚到达汽缸底部时的温度；（2）将环境温度缓慢改变至，然后用气泵从开口C向汽缸内缓慢注入气体，求A汽缸中的活塞到达汽缸底部后，B汽缸内第Ⅳ部分气体的压强。 15. 一平面简谐横波以速度v = 2m/s沿x轴正方向传播，t = 0时刻的波形图如图所示，介质中平衡位置在坐标原点的质点A在t = 0时刻的位移，该波的波长为______m，频率为______Hz，t = 2s时刻，质点A______（填“向上运动”“速度为零”或“向下运动”）。 16. 如图，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边的中点。在截面所在平的，一光线自M点射入棱镜，入射角为60°，经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，反射光线从CD边的P点射出棱镜，求棱镜的折射率以及P、C两点之间的距离。学科网（北京）股份有限公司	1	positive_file/全国甲卷【15.67MB】/物理/精品解析：2022年全国统一高考甲卷物理试题（原卷版）.docx
绝密★启用前 2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】故选：C 2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B 【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【详解】讲座前中位数为,所以错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错. 故选:B. 3. 设全集，集合，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解. 【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积. 故选：B. 5. 函数在区间的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 当时，函数取得最大值，则（） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B. 7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为【答案】D 【解析】【分析】根据线面角定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于A，，，，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选：D． 8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以. 故选：B. 9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以. 故选：C. 10. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率. 故选：A. 11. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C． 12. 已知，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解. 【详解】因为,因为当所以,即,所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：． 14. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．【答案】【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：． 15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】. 【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：． 16. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．【答案】## 【解析】【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，. 故答案为：. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分． 17. 记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为，即①，当时，②， ①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时． 18. 在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；【小问2详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为. 19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，. 【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．【小问2详解】依题可知，的可能取值为，所以， , ，， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 20. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【小问1详解】抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；【小问2详解】设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系. 21. 已知函数．（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则环．【答案】（1）（2）证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件，再利用导数即可得证. 【小问1详解】的定义域为，令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为【小问2详解】由题知,一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设要证,即证因为,即证因为,即证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以；综上, ,所以. 【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式这个函数经常出现，需要掌握（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．（1）写出普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．【答案】（1）；（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．【解析】【分析】(1)消去，即可得到的普通方程； (2)将曲线的方程化成普通方程，联立求解即解出．【小问1详解】因为，，所以，即的普通方程为．【小问2详解】因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为．联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标为，． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证. 【小问1详解】证明：由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以；【小问2详解】证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.	1	positive_file/全国甲卷【15.67MB】/理数/2022年全国统一高考理科数学答案（全国甲卷）.docx
绝密★启用前 2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若，则（） A. B. C. D. 2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3. 设全集，集合，则（） A. B. C. D. 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 函数在区间的图象大致为（） A. B. C. D. 6. 当时，函数取得最大值，则（） A. B. C. D. 1 7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（） A. B. C. D. 9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（） A. B. C. D. 10. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（） A B. C. D. 11. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 12. 已知，则（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 14. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 16. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分． 17. 记为数列的前n项和．已知．（1）证明：等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值． 18. 在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值． 19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 20. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 21. 已知函数．（1）若，求a取值范围；（2）证明：若有两个零点，则环．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则．	1	positive_file/全国甲卷【15.67MB】/理数/2022年全国统一高考理科数学试卷（全国甲卷）.docx
绝密★启用前 2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）语文注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需或动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面文字，完成下面小题。《中国金银器》是第一部中国古代金银器通史，囊括了器皿与首饰，着眼于造型与纹饰，究心于美术与工艺、审美与生活的关系。本书的研究旨趣，不在金银器的科学技术发展史，而在与社会生活史密切相关的造型、纹饰、风格的演变史，也可以说，它不是穷尽式的历史资料汇编，也不是用考古学的方法对器物分型、分式以划分时代，而是以目验实物为前提，从名物学入手，通过定名，以器物描述的方法，来展示工艺美术史与社会生活史中的金银器。中国古代金银器研究，是伴随现代考古学而生的一门新兴学问。传世文献展示的金银器史和出土文物呈现出来的金银器史，是不一样的。前者显示了数量颇多的名目和使用甚巨的数目，但提供具体形象的材料很少。考古发现的实物，就名目和数量而言，虽只是载籍的冰山一角，却是以形象示人；对于工艺美术要讨论的核心问题，即造型与纹饰，它提供了最为直观的实例。金银器兼具富与丽的双重品质。首先它是财富，其次它是一种艺术形态，然而通过销溶的办法又可使之反复改变样态以跟从时代风尚。相对于可入鉴藏的书画、金石、玉器、瓷器之雅，金银器可谓一俗到骨。它以它的俗，传播时代风尚。与其他门类相比，金银器皿和首饰的制作工艺都算不得复杂，这里便格外显示出设计的重要。从造型设计的角度来看，工艺美术是共性多、个性少、最为贴近生活的艺术。无论哪朝哪代，祈福与怡情都是纹样设计的两大主旨，当然，不同时代表现的形式多有不同，亦即选择与创造的艺术形象不同，这也正是工艺美术史所要展示的一个主要内容。这里“史”的概念是指以贴近设计者和制作者装饰用心的感知，展示没有文字或鲜有文字却只是以成品来显示的设计史脉络，而不是贴着历史编年来勾画发展的线索。小说家说：“语言是我们的思维方式，是我们最基础、最直接的表达方式。语言也是一种建筑材料，许多意想不到的建筑物都是靠了语言一砖一瓦地搭建起来的。”历史学家则说：“我始终强调运用最基本的‘语文学’的学术方法，对传到我手中需要研究的那个文本作尽可能全面和深入的历史化和语境化处理，进而对它们作出最准确的理解和解读。”这两段话同样可以移用于作为艺术语汇的造型与纹饰。本书即是建立在对艺术语汇发生与演变的观察和分析之上。在这里呈现的是两类语言：一是物，即用造型和纹饰表达自身的艺术语言；一是文，即人对物的命名，此中包括了对物之本身和物所承载的意义的理解。金银器工艺的发展演进，关键在于品类的丰富以及与时代风尚紧密相关的造型和纹饰的设计之妙，技术的进步并非主导。纹样设计首先取决于工匠的慧心，付诸熟练掌握传统技术的巧手，乃其第二义。纹样设计所涉及的图式演变，也包括两项主要内容：一是金银器本身设计与制作具有连续性的工艺传统，一是设计者和制作者共处的风俗与共享的文学所形成的文化生态。因此可以说，中国金银器史，很大程度上也是一部古代社会风俗史。（摘编自扬之水《“更想工人下手难”（中国金银器）导言》） 1. 下列关于原文内容的理解和分析，正确的一项是（） A. 考古发现的金银器实物在名目和数量上远远比不上典籍记载，而其价值和意义却在典籍记载之上。 B. 考察一个时期社会的审美风尚，应先注意其时金银器皿和首饰流行的工艺设计以及对时代风尚的传播。 C. 无论哪朝哪代，金银器纹样设计都脱不开祈福与怡情两大主旨，其他工艺美术门类的纹样设计也是如此。 D. 给没有文字或鲜有文字的金银器成品命名，其所处时代的社会风俗和文化生态是命名的主要依据。 2. 下列对原文论证的相关分析，不正确的一项是（） A. 文章开宗明义，点明《中国金银器》一书的性质，概述了全书研究的对象和范畴。 B. 文章通过将金银器与书画、金石等对比，突出其品质特性，凸显了设计重要。 C. 文章引用小说家、历史学家的话，来解释将造型和纹饰视作艺术语汇的研究思路。 D. 文章末段重点论证了连续性的工艺传统对金银器技术、造型和纹样设计的影响。 3. 根据原文内容，下列说法不正确的一项是（） A. 《中国金银器》一书将各种金银器实物还原到其设计和制作的时代中来展开研究。 B. 与其他艺术品相比，金银器因其“俗”，且经反复销熔，所以传世实物数量偏少。 C. 古代金银矿石分布状况和冶炼技术的发展不在《中国金银器》一书研究视野中。 D. 古代文学作品涉及金银器的相关描述，是中国金银器造型和纹饰研究的重要参考。（二）实用类文本阅读（本题共3小题，12分）阅读下面的文字，完成下面小题。材料一：利用杂种优势以大幅度提高农作物产量，是现代农业科学技术的突出成就之一，植物雄性不育性的发现和利用，使不少两性花植物，如高粱、向日葵、甜菜等作物的杂种优势能广泛应用于生产。近年来，我国的杂交水稻已取得了重大突破，为大幅度提高水稻产量开创了一条有效的途径。（摘编自袁隆平《杂交水稻培育的实践和理论》）材料二：遗传育种学界对水稻这一严格自花授粉作物具有杂种优势现象普遍持否定或怀疑态度，袁隆平根据自己对水稻的长期观察，经过与玉米等作物杂种优势利用现象的比较后，对水稻无杂种优势的观念提出了质疑。袁隆平于1964年正式开始水稻杂种优势利用的探索，两年后终于发现水稻具有杂种优势。根据高粱、玉米杂种优势利用的成功经验，他将这种杂交思路用于水稻物种上，由此提出了“三系法”籼稻杂交路线。所谓三系杂交水稻是指雄性不育系、保持系和恢复系三系配套育种。不育系为生产大量杂交种子提供了可能性，借助保持系来繁殖不育系，用恢复系给不育系授粉来生产育性恢复且有优势的杂交稻。从“三系法”的操作程序上讲，成功的关键首先是要找到合适的不育系材料。在认真总结多年来的研究工作的基础上，袁隆平终于认识到，后代不育性状的不理想是亲本的亲缘关系太近造成的。后代产生变异的可能性与亲本的亲缘关系呈正相关，即亲本的亲缘关系越远，后代产生变异的可能性就越大，不育性状就越明显。于是一切都变得清晰了：下一步的工作即是寻找地理远缘或遗传远缘的稻株，而在这些稻株中，野生稻或野生稻中的不育株作为亲本则是最为理想的，它极有可能突破此前不育系选育的难关。“远缘杂交”技术路线的确立，是袁隆平“三系法”杂交水稻迈向成功的关键性一步。随着雄性不育野生稻（野败）在海南的发现，“远缘杂交”的技术路线得到证明，它不仅正确而且完全可以实现。（摘编自雷毅《科学研究中的创造性思维与方法——以袁隆平“三系”法杂交水稻为例》）材料三：由于杂交水稻不同熟期组合的出现，全国各地涌现出各种与杂交水稻种植相配套的新型种植模式。湖南、浙江、广东、广西、江苏、湖北等省区以种植杂交水稻为主，发展麦类与一季杂交稻、双季杂交稻、玉米与杂交稻等多种模式。这些新型模式不仅提高了土地复种指数，促进了粮食、食用油和多种经济作物的经营发展，而且培育了地力，提高了土地经济效益与生态效益。推广杂交水稻，还促使中低产稻田的面貌发生根本性变化，同时改变了农民对中低产稻田的种植评估观念。杂交水稻分蘖力强，根系发达，吸收力好，秆粗叶茂，株型好，光能转化效率高，这使中低产稻田能够获得较高的产量，与高产稻田产量的差距大大缩小。（摘编自李晏军《中国杂交水稻技术发展研究（1964～2010）》） 4. 下列对材料相关内容的梳理，不正确的一项是（） A. B. C. D. 5. 下列对材料相关内容的概括和分析，不正确的一项是（） A. 袁隆平在进行杂种优势利用的探索实践时，并没有盲从学界的权威理论，而是将杂交水稻作为自己研究的突破口。 B. 不育系材料的选育是三系配套育种技术能否实现的关键，理清这一研究思路后，袁隆平开始了寻找地理远缘或遗传远缘稻株的工作。 C. 亲本的亲缘关系越近，后代的不育性状就越不理想，这是袁隆平在认真总结多年研究工作的基础上才认识到的。 D. 杂交水稻的推广正好与全国各地涌现出的新型种植模式相配套，这些新型模式不仅提升了土地的复种指数，还培育了地力。 6. 杂交水稻培育的成功有什么意义？请根据材料进行概括。（三）文学类文本阅读（本题共3小题，15分）阅读下面的文字，完成下面小题。文本一：支队政委（节选）王愿坚我做了一个梦，梦见我像是负了伤，正在爬一个崖头，怎么也爬不上去。忽然，老胡来了，他变得跟棵老黄松似的，又高又大，伸出小葵扇那么大的一只手，拉住了我……一睁眼，可不是，我的手正在他手里攥着呢。见我醒了，他把我的手捏紧了，突然问我：“老黄，我求你个事成不成？” “怎么不成！”我奇怪地看了他一眼。他的脸被拂晓时的月光一照，更是苍白，简直像是块白石头刻出来的。 “我让你干什么你干什么？” “一定！” 他扭身戳了戳正在酣睡的林大富。小伙子一骨碌爬起来，愣眉愣眼地问：“政委，要出发？” “不，有任务！”老胡说着抓起一个挎包，对我说：“咱们到那边竹林里去。” 我疑疑惑惑地背起他，来到了那片竹林边上。这时，启明星贼亮贼亮的，东方已经现出鱼肚白了。老胡四下里看了看，选了一棵大毛竹，靠在上面坐下来，又问了我一句：“真的叫你干啥你干啥？” “真的，快说吧！”我被他弄得又糊涂又心焦。 “好！”他伸手从挎包里掏出两根绳子，“噗”的一声扔在我面前，然后两手往竹子后面一背，厉声说：“把我绑起来！” “该不是叫伤口疼得他神经错乱了吧？”我想，本想不干，无奈已经有言在先了，我一面绑，一面问“这是干啥？你疯啦？”他没搭我的腔，只是一个劲叫着：“绑紧点，绑紧点！”等我们把他两手绑好，他又把那条伤腿伸开，蹬住了另一棵竹子：“把这也绑住！”我们也照办了。看看我们都弄妥了，他咬咬牙说：“来，使劲挤它！” 直到这时，我才明白他的意思，我叫过小林，轻经地打开了他伤口上的布带子。伤口，像个发得过了火的开花馒头，又红又肿，没有器械，没有麻药，硬是把脓血从伤口里挤出来，这痛苦…… “快，快下手哇！”他在催我。 “我，我干不来！”我痛苦地说。 “你答应过我嘛，黄兴和同志！”他哀求似地说，“你总不能瞪着眼看我受罪呀，是不是？俗话说‘伤口出了脓，比不长还受用’，帮我挤挤就好了。好了，那不给队上减少了个累赘？又可以多帮你干点工作。”对我说完软的，又对小林来硬的：“林大富同志，‘三大纪律’头一条就是服从命今，我命令你：挤！” 我横了横心：“干！”便让小林抱住他的腿，我两手握着伤口按下去。随着手劲，我觉得手底下他的肌肉猛地哆嗦了一下。我问：“老胡，怎么样？” “没关系，你，你别管我！” 我继续用力挤着伤口，这会儿我真想看看他是不是吃得消，却又不敢看。为了分散他的注意，减少些痛苦，我故意把话岔开来：“老胡，你看今天敌人还会不会再跟上来？” “说……说不上…”他低声回答。他把“上”字说成了“桑”，听得出话是从牙缝里挤出来的。 “再追上来怎么办呢？”我又问。 “嗯……”他猛地抖了一下，那两株竹子也跟着索索地抖一阵。 “要是真来了，咱就再干他一下，好不好？” “嗯……”他又是一阵猛抖。一连两次问话没有回答，我心慌了，扭头向他望了望，只见他两手紧紧抠住地面，那被痛苦扭歪了的脸上，汗水顺着那浓黑的眉毛和鬓角，一串串地流着。我费了好大的劲才压下想住手的打算，火辣辣地喊了声小林：“快，快去化杯盐水来！” 蓦地，竹子剧烈地颤动了一下，两片硬硬的小碎骨片跳到了我的手上，然后滑过指缝掉落到脚下的草丛里。我停住了手。这才觉得自己的脊背一阵发冷，原来衣服不知什么时候已经被汗水湿透了。我俩把他的伤口用盐水洗净，包扎好了，然后解开绳子，扶他在草地上平躺下来。他紧闭着眼，像睡着了似的。我撩把野草擦着手，坐到他的身边，小林正在掰着他的手指，他手里紧握着一把潮湿的泥土。太阳已经出来了。阳光淡淡地洒在他的险上。他无力地睁开了眼，深深地吸了口气，说：“老黄，痛——啊！” 汗珠映着阳光，晶亮晶亮的。我觉得自己的眼睛仿佛被这晶亮的反光刺得发痛，一滴咸咸的东西滚下来，流到了嘴角上。（有删改）文本二：长征：前所未闻的故事（节选） [美]哈里森·索尔兹伯里陈毅的伤口始终愈合不了，到了1935年6月，他已不能行走。游击队缺医少药，只有四种成药：八公丹、万金油、人丹和济公水。陈毅把万金油涂在伤口上，再换上新纱布。不久，伤口情况有所好转。① 夏天，陈毅还能一瘸一拐地走路，可是到了9月，伤口变得疼痛难忍，腿也肿了起来，为了去南雄开会，他不得不拄着拐棍，脚步蹒跚地翻山越岭。这时他决定彻底治疗一下他的腿伤。他叫警卫员把他伤口中的脓挤出去。警卫员看到陈毅痛得脸色发白，急忙停下手来。陈毅命令他继续挤，警卫员说他下不了手。陈毅已经痛得浑身发抖，“好吧，”他说，“用绳子把我捆起来，这样我就不会发抖了。”警卫员把陈毅的腿捆在树上又继续挤，直到把脓挤净并挤出了一片碎骨头才停下。然后，用盐水冲洗了伤口，用涂过万金油的干净布包扎好。陈毅痛得像得了舞蹈病似地浑身发抖，但不久就恢复了自制力，笑着说：“这回它不会再反攻了。”的确如此，伤口彻底愈合了，再也没有发作。② [注]①见陈丕显回忆录《赣南三年游击战争》。②材料来自1984年3月23日对胡华的采访。（过家鼎等译，有删改） 7. 下列对文本相关内容和艺术特色的分析鉴赏，不正确的一项是（） A. 文本一依次写到“月光一照”“启明星贼亮贼亮的”“太阳已经出来了”，既推进了情节发展，也暗示了主人公心理的变化。 B. 文本一中的老黄是小说叙述者，也是“手术”的实施者，小说通过描写他不敢下手、不敢看等情形，烘托了老胡的刚毅。 C. 文本二中陈毅“术”后笑着说“这回它不会再反攻了”，这样的话语既带着战争年代的特定色彩，也表现出陈毅的乐观与幽默。 D. 通过对老胡和陈毅战胜身体痛苦的描写，两个文本不仅写出了战斗生活的艰苦卓绝，更写出了革命信仰的巨大力量。 8. 老胡这一人物形象有哪些特点？请结合文本一简要分析。 9. 这两个内容相近的文本文体不同，因而艺术表现也有差异。请比较并简要分析。二、古代诗文阅读（34分）阅读下面的文言文，完成下面小题。齐助楚攻秦，取曲沃。其后秦欲伐齐，齐、楚之交善，惠王患之，谓张仪曰：“吾欲伐齐，齐、楚方欢，子为寡人虑之，奈何？”张仪曰：“王其为臣约车并币，臣请试之。”张仪南见楚王，曰：“今齐王之罪其于敝邑之王甚厚，敝邑欲伐之，而大国与之欢。大王苟能闭关绝齐，臣请使秦王献商于之地，方六百里。若此，则是北弱齐，西德于秦，而私商于之地以为利也，则此一计而三利俱至。”楚王大说，宣言之于朝廷曰：“不榖得商于之田，方六百里。”群臣闻见者毕贺，陈轸后见，独不贺。楚王曰：“不榖不须一兵不伤一人而得商于之地六百里寡人自以为智矣诸士大夫皆贺子独不贺何也”陈轸对曰：“臣见商于之地不可得，而患必至也。”王曰：“何也？”对曰：“夫秦所以重王者，以王有齐也。今地未可得而齐先绝，是楚孤也，秦又何重孤国？且先绝齐，后责地，必受欺于张仪。是西生秦患，北绝齐交，则两国兵必至矣。”楚王不听，曰：“吾事善矣！子其弭口无言，以待吾事。”楚王使人绝齐。张仪反，秦使人使齐，齐、秦之交阴合。楚因使一将军受地于秦。张仪知楚绝齐也，乃出见使者曰：“从某至某，广从六里。”使者反报楚王，楚王大怒，欲兴师伐秦。陈轸曰：“伐秦，非计也。王不如因而赂之一名都，与之伐齐，是我亡于秦而取偿于齐也。”楚王不听，遂举兵伐秦。秦与齐合，楚兵大败于杜陵。故楚之土壤士民非削弱，仅以救亡者，计失于陈轸，过听于张仪。（节选自《战国策·秦策二》） 10. 下对文中划线都分的断句，正角的项是（） A. 不榖不烦一兵/不伤一人而得/商于之地六百里/寡人自以为智矣/诸士大夫皆贺子/独不贺/何也/ B. 不榖不烦一兵/不伤一人/而得商于之地六百里/寡人自以为智矣/诺士大夫皆贺/子独不贺/何也/ C. 不榖不烦一兵/不伤一人/而得商于之地六百里/寡人自以为智矣/诸士大夫皆贺子/独不贺/何也/ D. 不榖不烦一兵/不伤一人而得/商于之地六百里/寡人自以为智矣/诸士大夫皆贺/子独不贺/何也/ 11. 下列对文中加点词语及相关内容的解说，不正确的一项是（） A. 约车意思是约定派车，“约”与《鸿门宴》“与诸将约”的“约”字含义相同。 B. 宣言指特意宣扬某种言论，使人周知，与后来用作文告的“宣言”含义不同。 C. 孤国指孤立的国家，“孤”与《赤壁赋》“泣孤舟之嫠妇”的“孤”字含义相同。 D. 阴合意思是暗中联合，“阴”与《岳阳楼记》“朝晖夕阴”的“阴”字含义不同。 12. 下列对原文有关内容的概述，不正确的一项是（） A. 秦国想要攻打齐国，但又担心楚国作梗，因为齐国曾经帮过楚国，齐楚关系密切。秦惠王希望张仪考虑如何应对，张仪答应尝试出使楚国。 B. 张仪见到楚王，提出楚国如果能与齐国断交，秦王就会下令献上商于之地六百里，又可以削弱齐国，还能得到秦国的恩惠，这是一举三得的事情 C. 楚国群臣祝贺将得商于之地六百里，陈轸不以为然，认为秦看重楚是因为楚有齐为后援，若先绝齐后索地，一定受骗，齐秦两国都将攻打楚国。 D. 张仪返回，秦王随即派人与齐联合，拒不给楚国六百里地，楚王大怒，起兵伐秦，秦齐合力大败楚兵。楚国失败是因为没有听从陈轸而误信张仪。 13. 把文中画横线的句子翻译成现代汉语。（1）楚王不听，日：“吾事善矣！子其弭口无言，以待吾事。” （2）张仪知楚绝齐也，乃出见使者日：“从某至某，广从六里。” （二）古代诗歌阅读（本题共2小题，9分）阅读下面两首宋诗，完成下面小题。画眉鸟欧阳修百啭千声随意移，山花红紫树高低。始知锁向金笼听，不及林间自在啼。画眉禽文同尽日闲窗生好风，一声初听下高笼。公庭事简人皆散，如在千岩万壑中。 14. 下列对这两首诗的理解和赏析，不正确的一项是（） A. 欧诗和文诗题目大体相同，都是以画眉鸟作为直接描写对象的咏物诗。 B. 欧诗所写的画眉鸟在花木间自由飞行，文诗中的画眉鸟则在笼中饲养。 C. 欧诗认为鸟笼内外的画眉鸟，其鸣叫声有差别，而文诗对此并未涉及。 D. 欧诗中的“林间”与文诗中的“千岩万壑”具有大致相同的文化含意。 15. 这两首诗中，画眉鸟所起的作用并不相同。请简要分析。（三）名篇名句默写（本题共1小题，6分） 16. 补写出下列句子中的空缺部分。（1）《诗经·卫风·氓》中男女主人公有过偷悦的往昔，“_______________，_______________”，就是对他们小时候欢乐相处的描写。（2）杜甫《登高》中“_______________，_______________”两句都使用了叠字，从听觉、视觉上突出了对景伤怀的感受。（3）辛弃疾《永遇乐·京口北固亭怀古》中“_______________，_______________”两句，表现了当年刘裕率军北伐时的强大气势。三、语言文字运用（20分）（一）语言文字运用1（本题共3小题，11分）阅读下面的文字，完成下面小题。能否将珍贵的文物置于掌中观赏品味？能否步入千年墓穴一探究竟？能否与未曾展出的国宝亲密接触？……与过去相比，今天的博物馆已经发生了①_______________的变化。有了科技的助力，这些往日因时空限制而②_______________的事情都已成为现实。“博物馆+高科技”让那些沉睡千年的古物“活”在了今人面前，为越来越多的人带来不一样的观展体验，让他们可以去那些原本“去不了”的地方，看那些本来“看不到的事物”。故宫博物院举办的那场名为《清明上河图3.0》的高科技互动展演艺术，用现代超高清数字技术完美融合古代绘画艺术。观众们沿着张择端的笔触走进繁华的北宋都城汴梁，穿梭于楼台之间，泛舟于汴河之上，观两岸人来人往，看水鸟掠过船篷。沉浸其中，确有一种③______________的情趣。在2016年的纪念殷墟妇好墓考古发掘四十周年特展上，首都博物馆利用虚拟技术带领观众“回到”妇好墓的考古发掘现场，上下6层、深达7.5米的妇好墓葬④_______________。此外还有一些博物馆利用虚拟技术，以数字化方式展现文物全貌。观众只需在屏幕上滑动手指，就可近距离、全角度现赏文物，将静置于展柜中、封存进仓库里、消散在过往中的历史“托在手上”，全方位观察岁月留下的每一处细痕。 17. 请在文中横线处填入恰当的成语。 18. 文中画横线的句子有语病，请进行修改，使语言表达准确流畅。可少量增删词语，不得改变原意。 19. 文中多处用了引号，下列四处引号中用法和其他三处不同的一项是（） A. 古物“活”在了今人面前 B. 去那些原本“去不了”的地方 C. 带领观众“回到”妇好墓的考古发掘现场 D. 将静置于展柜中、封存进仓库里、消散在过往中的历史“托在手上” （二）语言文字运用Ⅱ（本题共2小题，9分）阅读下面文字，完成下面小题。又是一年槐花儿飘香的季节，小伙伴们有没有想起儿时那些带有妈妈专属味道的槐花美食？不过，槐花①______。常见的槐花有三种：淡黄色的国槐花，夏末开花，可以入药②______；白色的刺槐花（也叫洋槐花），夏初开花，花香味甜，可食用但不可入药；红色的槐花（变种）仅供观赏，既不能食用，③______。也就是说，我们吃的槐花美食来自白色刺槐。白色刺槐是我国重要的蜜源、食花和景观植物，原产北美。而我国土生土长的树种，是国槐。国槐在我国不只是一种常见的良木，而且作为一种文化元素融入传统文化之中。比如被奉为“神树”，种植在敬神祭祖的社坛周围；作为吉祥的象征，种在庭前屋后。古代社会，槐树还是三公（太师、太傅、太保）宰辅之位的象征，并出现了一些由“槐”字构成的具有政治寓意的词，如槐岳（朝廷高官）、槐蝉（高官显责）、槐第（三公的宅第）等，槐树因此也受到读书人的喜爱。 20. 请在文中横线处补写恰当的语句，使整段文字语意完整连贯，内容贴切，逻辑严密，每处不超过8个字。 21. 下列选项中，加点的词语和文中“槐蝉”所用修辞手法不同的一项是（） A. 主人下马客在船，举酒欲饮无管弦。 B. 埋骨何须桑梓地，人生无处不青山。 C. 六军不发无奈何，宛转娥眉马前死。 D. 心非木石岂无感，吞声踯躅不敢言。四、写作（60分） 22. 阅读下面的材料，根据要求写作。《红楼梦》写到“大观园试才题对额”时有一个情节，为元妃（贾元春）省亲修建的大观园竣工后，众人给园中桥上亭子的匾额题名。有人主张从欧阳修《醉翁亭记》“有亭翼然”一句中，取“翼然”二字；贾政认为“此亭压水而成”，题名“还须偏于水”，主张从“泻出于两峰之间”中拈出一个“泻”字，有人即附和题为“泻玉”；贾宝玉则觉得用“沁芳”更为新雅，贾政点头默许。“沁芳”二字，点出了花木映水的佳境，不落俗套；也契合元妃省亲之事，蕴藉含蓄，思虑周全。以上材料中，众人给匾额题名，或直接移用，或借鉴化用，或根据情境独创，产生了不同的艺术效果。这个现象也能在更广泛的领域给人以启示，引发深入思考。请你结合自己的学习和生活经验，写一篇文章。要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于800字。学科网（北京）股份有限公司	1	positive_file/全国甲卷【15.67MB】/语文/精品解析：2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）-语文（原卷版）.docx
一、选择题 1. 化学与生活密切相关。下列叙述正确的是 A. 漂白粉与盐酸可混合使用以提高消毒效果 B. 温室气体是形成酸雨的主要物质 C. 棉花、麻和蚕丝均为碳水化合物 D. 干冰可用在舞台上制造“云雾” 【答案】D 【解析】【详解】A．漂白粉的有效成分次氯酸钙与盐酸混合，会发生氧化还原反应生成有毒的氯气，两者不能混合使用，A错误； B．温室气体主要是指二氧化碳，二氧化碳不是形成酸雨的主要物质，形成酸雨的主要物质是硫氧化物、氮氧化物等，B错误； C．棉花、麻来源于植物，主要成分均是纤维素，为碳水化合物，但蚕丝来源于动物，主要成分是蛋白质，蛋白质不是碳水化合物，C错误； D．干冰是固态的二氧化碳，干冰升华时，吸收大量的热，使周围温度降低，大量的水蒸气凝结成了小液滴，形成 “云雾”效果，D正确；答案选D。 2. 辅酶具有预防动脉硬化的功效，其结构简式如下。下列有关辅酶的说法正确的是 A. 分子式为 B. 分子中含有14个甲基 C. 分子中的四个氧原子不在同一平面 D. 可发生加成反应，不能发生取代反应【答案】B 【解析】【详解】A．由该物质的结构简式可知，其分子式为C59H90O4，A错误； B．由该物质的结构简式可知，键线式端点代表甲基，10个重复基团的最后一个连接H原子的碳是甲基，故分子中含有1+1+1+10+1=14个甲基，B正确； C．双键碳以及与其相连的四个原子共面，羰基碳采取sp2杂化，羰基碳原子和与其相连的氧原子及另外两个原子共面，因此分子中的四个氧原子在同一平面上，C错误； D．分子中有碳碳双键，能发生加成反应，分子中含有甲基，能发生取代反应，D错误；答案选B。 3. 能正确表示下列反应的离子方程式为 A. 硫化钠溶液和硝酸混合：S2-+2H+=H2S↑ B. 明矾溶液与过量氨水湿合：Al3++4NH3+2H2O=AlO+4NH C. 硅酸钠溶液中通入二氧化碳：SiO+CO2+H2O=HSiO+HCO D. 将等物质的量浓度的Ba(OH)2和NH4HSO4溶液以体积比1∶2混合：Ba2++2OH-+2H++SO=BaSO4↓+2H2O 【答案】D 【解析】【详解】A．硝酸具有强氧化性，可以将S2-氧化为S单质，自身根据其浓度大小还原为NO或NO2，反应的离子方程式为4H++2NO+S2-=S↓+2NO2↑+2H2O(浓)或8H++2NO+3S2-=3S↓+2NO+4H2O(稀)，A错误； B．明矾在水中可以电离出Al3+，可以与氨水中电离出的OH-发生反应生成Al(OH)3，但由于氨水的碱性较弱，生成的Al(OH)3不能继续与弱碱发生反应，故反应的离子方程式为Al3++3NH3·H2O=Al(OH)3↓+3NH，B错误； C．硅酸的酸性小于碳酸，向硅酸钠溶液中通入二氧化碳时，生成硅酸沉淀，二氧化碳则根据其通入的量的多少反应为碳酸根或碳酸氢根，反应的离子方程式为SiO+H2O+CO2=H2SiO3↓+CO(CO2少量)或SiO+2H2O+2CO2=H2SiO3↓+2HCO(CO2过量)，C错误； D．将等物质的量浓度的Ba(OH)2与NH4HSO4溶液以体积比1：2混合，Ba(OH)2电离出的OH-与NH4HSO4电离出的H+反应生成水，Ba(OH)2电离出的Ba2+与NH4HSO4电离出的SO反应生成BaSO4沉淀，反应的离子方程为为Ba2++2OH-+2H++SO=BaSO4↓+2H2O，D正确；故答案选D。 4. 一种水性电解液Zn-MnO2离子选泽双隔膜电池如图所示(KOH溶液中，Zn2+以Zn(OH)存在)。电池放电时，下列叙述错误的是 A. Ⅱ区的K+通过隔膜向Ⅲ区迁移 B. Ⅰ区的SO通过隔膜向Ⅱ区迁移 C. MnO2电极反应：MnO2+2e-+4H+=Mn2++2H2O D. 电池总反应：Zn+4OH-+MnO2+4H+=Zn(OH)+Mn2++2H2O 【答案】A 【解析】【分析】根据图示的电池结构和题目所给信息可知，Ⅲ区Zn为电池的负极，电极反应为Zn-2e-+4OH-=Zn(OH)，Ⅰ区MnO2为电池的正极，电极反应为MnO2+2e-+4H+=Mn2++2H2O；电池在工作过程中，由于两个离子选择隔膜没有指明的阳离子隔膜还是阴离子隔膜，故两个离子隔膜均可以通过阴、阳离子，因此可以得到Ⅰ区消耗H+，生成Mn2+，Ⅱ区的K+向Ⅰ区移动或Ⅰ区的SO向Ⅱ区移动，Ⅲ区消耗OH-，生成Zn(OH)，Ⅱ区的SO向Ⅲ区移动或Ⅲ区的K+向Ⅱ区移动。据此分析答题。【详解】A．根据分析，Ⅱ区的K+只能向Ⅰ区移动，A错误； B．根据分析，Ⅰ区的SO向Ⅱ区移动，B正确； C．MnO2电极的电极反应式为MnO2+2e-+4H+=Mn2++2H2O，C正确； D．电池的总反应为Zn+4OH-+MnO2+4H+=Zn(OH)+Mn2++2H2O，D正确；故答案选A。 5. 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是 A. 25℃，下，氢气中质子的数目为 B. 溶液中，的数目为 C. 苯甲酸完全燃烧，生成的数目为 D. 电解熔融，阴极增重，外电路中通过电子的数目为【答案】C 【解析】【详解】A．25℃、101kPa不是标准状况，不能用标况下的气体摩尔体积计算氢气的物质的量，故A错误； B．Al3+在溶液中会发生水解生成Al(OH)3，因此2.0L 1.0 mol/L的AlCl3溶液中Al3+数目小于2.0NA，故B错误； C．苯甲酸燃烧的化学方程式为，1mol苯甲酸燃烧生成7molCO2，则0.2mol苯甲酸完全燃烧生成1.4molCO2，数目为1.4NA，故C正确； D．电解熔融CuCl2时，阳极反应为，阴极反应为，阴极增加的重量为Cu的质量，6.4gCu的物质的量为0.1mol，根据阴极反应可知，外电路中通过电子的物质的量为0.2mol，数目为0.2NA，故D错误；答案选C。 6. Q、X、Y、Z是原子序数依次增大的短周期主族元素，其最外层电子数之和为19。Q与X、Y、Z位于不同周期，X、Y相邻，Y原子最外层电子数是Q原子内层电子数的2倍。下列说法正确的是 A. 非金属性： B. 单质的熔点： C. 简单氢化物的佛点： D. 最高价含氧酸的酸性：【答案】D 【解析】【分析】Q、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，Q与X、Y、Z不在同一周期，Y原子最外层电子数为Q元原子内层电子数的2倍，则Q应为第二周期元素，X、Y、Z位于第三周期，Y的最外层电子数为4，则Y为Si元素，X、Y相邻，且X的原子序数小于Y，则X为Al元素，Q、X、Y、Z的最外层电子数之和为19，则Q、Z的最外层电子数之和为19-3-4=12，主族元素的最外层电子数最多为7，若Q的最外层电子数为7，为F元素，Z的最外层电子数为5，为P元素，若Q的最外层电子数为6，为O元素，则Z的最外层电子数为6，为S元素，若Q的最外层电子数为5，为N元素，Z的最外层电子数为7，为Cl元素；综上所述，Q为N或O或F，X为Al，Y为Si，Z为Cl或S或P，据此分析解题。【详解】A．X为Al，Q为N或O或F，同一周期从左往右元素非金属性依次增强，同一主族从上往下依次减弱，故非金属性：Q>X，A错误； B．由分析可知，X为Al属于金属晶体，Y为Si属于原子晶体或共价晶体，故单质熔点Si>Al，即Y>X，B错误； C．含有氢键的物质沸点升高，由分析可知Q为N或O或F，其简单氢化物为H2O或NH3或HF，Z为Cl或S或P，其简单氢化物为HCl或H2S或PH3，由于前者物质中存在分子间氢键，而后者物质中不存在，故沸点Q>Z，C错误； D．元素的非金属性越强，其最高价含氧酸的酸性越强，P、S、Cl的非金属性均强于Si，因此最高价含氧酸酸性：Z>Y，D正确；故答案为：D。 7. 根据实验目的，下列实验及现象、结论都正确的是选项实验目的实验及现象结论 A 比较和的水解常数分别测浓度均为的和溶液的，后者大于前者 B 检验铁锈中是否含有二价铁将铁锈落于浓盐酸，滴入溶液，紫色褪去铁绣中含有二价铁 C 探究氢离子浓度对、相互转化的影响向溶液中缓慢滴加硫酸，黄色变为橙红色增大氢离子浓度，转化平衡向生成的方向移动 D 检验乙醇中是否含有水向乙醇中加入一小粒金属钠，产生无色气体乙醇中含有水 A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】【详解】A．CH3COONH4中水解，，会消耗CH3COO-水解生成的OH-，测定相同浓度的CH3COONH4和NaHCO3溶液的pH，后者大于前者，不能说明Kh(CH3COO-)＜Kh()，A错误； B．铁锈中含有Fe单质，单质Fe与浓盐酸可反应生成Fe2+，滴入KMnO4溶液，紫色褪去，不能说明铁锈中一定含有二价铁，B错误； C．K2CrO4中存在平衡2(黄色)+2H+(橙红色)+H2O，缓慢滴加硫酸，H+浓度增大，平衡正向移动，故溶液黄色变成橙红色，C正确； D．乙醇和水均会与金属钠发生反应生成氢气，故不能说明乙醇中含有水，D错误；答案选C。二、非选择题 8. 硫酸锌()是制备各种含锌材料的原料，在防腐、电镀、医学上有诸多应用。硫酸锌可由菱锌矿制备。菱锌矿的主要成分为，杂质为以及Ca、Mg、Fe、Cu等的化合物。其制备流程如下：本题中所涉及离子的氯氧化物溶度积常数如下表：离子回答下列问题：（1）菱锌矿焙烧生成氧化锌的化学方程式为_______。（2）为了提高锌的浸取效果，可采取的措施有_______、_______。（3）加入物质X调溶液，最适宜使用的X是_______(填标号)。 A. B. C. 滤渣①的主要成分是_______、_______、_______。（4）向的滤液①中分批加入适量溶液充分反应后过滤，滤渣②中有，该步反应的离子方程式为_______。（5）滤液②中加入锌粉的目的是_______。（6）滤渣④与浓反应可以释放HF并循环利用，同时得到的副产物是_______、_______。【答案】（1）ZnCO3ZnO+CO2↑ （2） ①. 增大压强 ②. 将焙烧后的产物碾碎，增大接触面积、增大硫酸的浓度等（3） ①. B ②. Fe(OH)3 ③. CaSO4 ④. SiO2 （4）3Fe2+++7H2O=3Fe(OH)3↓+MnO2↓+5H+ （5）置换Cu2+为Cu从而除去（6） ①. CaSO4 ②. MgSO4 【解析】【分析】由题干信息，菱锌矿的主要成分为ZnCO3，杂质为SiO2以及Ca、Mg、Fe、Cu等的化合物，结合流程图分析，菱锌矿焙烧，主要发生反应ZnCO3ZnO+CO2↑，再加入H2SO4酸浸，得到含Zn2+、Ca2+、Ma2+、Fe2+、Fe3+、Cu2+的溶液，加入物质X调节pH=5，结合表格数据，过滤得到Fe(OH)3、CaSO4、SiO2的滤渣①，滤液①中主要含有Zn2+、Cu2+、Mg2+、Ca2+、Fe2+，再向滤液①中加入KMnO4溶液氧化Fe2+，过滤得到Fe(OH)3和MnO2的滤渣②，滤液②中加入锌粉，发生反应Zn+Cu2+=Zn2+=Cu，过滤后得到滤渣③为Cu，再向滤液③中加入HF脱钙镁，过滤得到滤渣④为CaF2、MgF2，滤液④为ZnSO4溶液，经一系列处理得到ZnSO4·7H2O，据此分析解答。【小问1详解】由分析，焙烧时，生成ZnO的反应为：ZnCO3ZnO+CO2↑；【小问2详解】可采用增大压强、将焙烧后的产物碾碎，增大接触面积、增大硫酸的浓度等方式提高锌的浸取率；小问3详解】 A．NH3·H2O易分解产生NH3污染空气，且经济成本较高，故A不适宜； B．Ca(OH)2不会引入新的杂质，且成本较低，故B适宜； C．NaOH会引入杂质Na+，且成本较高，C不适宜；故答案选B；当沉淀完全时(离子浓度小于10-5mol/L)，结合表格Ksp计算各离子完全沉淀时pH＜5的只有Fe3+，故滤渣①中有Fe(OH)3，又CaSO4是微溶物，SiO2不溶于酸，故滤渣①的主要成分是Fe(OH)3、CaSO4、SiO2；【小问4详解】向80~90℃滤液①中加入KMnO4溶液，可氧化Fe2+，得到Fe(OH)3和MnO2的滤渣②，反应的离子方程式为3Fe2+++7H2O=3Fe(OH)3↓+MnO2↓+5H+；【小问5详解】滤液②中加入锌粉，发生反应Zn+Cu2+=Zn2+=Cu，故加入锌粉的目的为置换Cu2+为Cu从而除去；【小问6详解】由分析，滤渣④为CaF2、MgF2，与浓硫酸反应可得到HF，同时得到的副产物为CaSO4、MgSO4。 9. 硫化钠可广泛用于染料、医药行业。工业生产的硫化钠粗品中常含有一定量的煤灰及重金属硫化物等杂质。硫化钠易溶于热乙醇，重金属硫化物难溶于乙醇。实验室中常用95%乙醇重结晶纯化硫化钠粗品。回答下列问题：（1）工业上常用芒硝()和煤粉在高温下生产硫化钠，同时生成CO，该反应的化学方程式为_______。（2）溶解回流装置如图所示，回流前无需加入沸石，其原因是_______。回流时，烧瓶内气雾上升高度不宜超过冷凝管高度的1/3.若气雾上升过高，可采取的措施是_______。（3）回流时间不宜过长，原因是_______。回流结束后，需进行的操作有①停止加热 ②关闭冷凝水 ③移去水浴，正确的顺序为_______(填标号)。 A．①②③ B．③①② C．②①③ D．①③② （4）该实验热过滤操作时，用锥形瓶而不能用烧杯接收滤液，其原因是_______。过滤除去的杂质为_______。若滤纸上析出大量晶体，则可能的原因是_______。（5）滤液冷却、结晶、过滤，晶体用少量_______洗涤，干燥，得到。【答案】（1）Na2SO4·10H2O+4CNa2S+4CO↑+10H2O （2） ①. 硫化钠粗品中常含有一定量的煤灰及重金属硫化物等杂质，这些杂质可以直接作沸石 ②. 降低温度（3） ①. 硫化钠易溶于热乙醇，若回流时间过长，Na2S会直接析出在冷凝管上，使提纯率较低，同时易造成冷凝管下端堵塞，圆底烧瓶内气压过大，发生爆炸 ②. D （4） ① 防止滤液冷却 ②. 重金属硫化物 ③. 温度逐渐恢复至室温（5）冷水【解析】【分析】本实验的实验目的为制备硫化钠并用95%乙醇重结晶纯化硫化钠粗品，工业上常用芒硝()和煤粉在高温下生产硫化钠，反应原理为：Na2SO4·10H2O+4CNa2S+4CO↑+10H2O，结合硫化钠的性质解答问题。【小问1详解】工业上常用芒硝()和煤粉在高温下生产硫化钠，同时生产CO，根据得失电子守恒，反应的化学方程式为：Na2SO4·10H2O+4CNa2S+4CO↑+10H2O；【小问2详解】由题干信息，生产的硫化钠粗品中常含有一定量的煤灰及重金属硫化物等杂质，这些杂质可以直接作沸石，因此回流前无需加入沸石，若气流上升过高，可直接降低降低温度，使气压降低；小问3详解】硫化钠易溶于热乙醇，若回流时间过长，Na2S会直接析出在冷凝管上，使提纯率较低，同时易造成冷凝管下端堵塞，圆底烧瓶内气压过大，发生爆炸；回流结束后，先停止加热，再移去水浴后再关闭冷凝水，故正确的顺序为①③②，答案选D。【小问4详解】硫化钠易溶于热乙醇，使用锥形瓶可有效防止滤液冷却，重金属硫化物难溶于乙醇，故过滤除去的杂质为重金属硫化物，由于硫化钠易溶于热乙醇，过滤后温度逐渐恢复至室温，滤纸上便会析出大量晶体；【小问5详解】乙醇与水互溶，硫化钠易溶于热乙醇，因此将滤液冷却、结晶、过滤后，晶体可用少量冷水洗涤，再干燥，即可得到 10. 金属钛(Ti)在航空航天、医疗器械等工业领域有着重要用途，目前生产钛的方法之一是将金红石转化为，再进一步还原得到钛。回答下列问题：（1）转化为有直接氯化法和碳氯化法。在时反应的热化学方程式及其平衡常数如下： (ⅰ)直接氯化： (ⅱ)碳氯化： ①反应为_______，_______Pa。 ②碳氯化的反应趋势远大于直接氯化，其原因是_______。 ③对于碳氯化反应：增大压强，平衡_______移动(填“向左”“向右”或“不”)；温度升高，平衡转化率_______(填“变大”“变小”或“不变”)。（2）在，将、C、以物质的量比1∶2.2∶2进行反应。体系中气体平衡组成比例(物质的量分数)随温度变化的理论计算结果如图所示。 ①反应的平衡常数_______。 ②图中显示，在平衡时几乎完全转化为，但实际生产中反应温度却远高于此温度，其原因是_______。（3）碳氯化是一个“气—固—固”反应，有利于“固—固”接触的措施是_______。【答案】（1） ①. -223 ②. 1.2×1014 ③. 碳氯化反应气体分子数增加，∆H小于0，是熵增、放热过程，熵判据与焓判据均是自发过程，而直接氯化的体系气体分子数不变、且是吸热过程 ④. 向左 ⑤. 变小（2） ①. 7.2×105 ②. 为了提高反应速率，在相同时间内得到更多的TiCl4产品，提高效益（3）将两固体粉碎后混合，同时鼓入Cl2，使固体粉末“沸腾” 【解析】【小问1详解】 ①根据盖斯定律，将“反应ⅱ-反应ⅰ”得到反应2C(s)+O2(g)=2CO(g)，则∆H=-51kJ/mol-172kJ/mol=-223kJ/mol；则Kp===1.2×1014Pa； ②碳氯化的反应趋势远大于直接氯化，因为碳氯化反应气体分子数增加，∆H小于0，是熵增、放热过程，熵判据与焓判据均是自发过程，而直接氯化的体系气体分子数不变、且是吸热过程； ③对应碳氯化反应，气体分子数增大，依据勒夏特列原理，增大压强，平衡往气体分子数减少的方向移动，即平衡向左移动；该反应是放热反应，温度升高，平衡往吸热方向移动，即向左移动，则平衡转化率变小。【小问2详解】 ①从图中可知，1400℃，体系中气体平衡组成比例CO2是0.05，TiCl4是0.35，CO是0.6，反应C(s)+CO2(g)=2CO(g)的平衡常数Kp(1400℃)==Pa=7.2×105Pa； ②实际生产中需要综合考虑反应的速率、产率等，以达到最佳效益，实际反应温度远高于200℃，就是为了提高反应速率，在相同时间内得到更多的TiCl4产品。【小问3详解】固体颗粒越小，比表面积越大，反应接触面积越大。有利于TiO2 – C“固-固”接触，可将两者粉碎后混合，同时鼓入Cl2，使固体粉末“沸腾”，增大接触面积。【化学—选修3：物质结构与性质】 11. 2008年北京奥运会的“水立方”，在2022年冬奥会上华丽转身为“冰立方”，实现了奥运场馆的再利用，其美丽的透光气囊材料由乙烯(CH2=CH2)与四氟乙烯(CF2=CF2)的共聚物(ETFE)制成。回答下列问题：（1）基态F原子的价电子排布图(轨道表示式)为_______。（2）图a、b、c分别表示C、N、O和F的逐级电离能Ⅰ变化趋势(纵坐标的标度不同)。第一电离能的变化图是_______(填标号)，判断的根据是_______；第三电离能的变化图是_______(填标号)。（3）固态氟化氢中存在(HF)n形式，画出(HF)3的链状结构_______。（4） CF2=CF2和ETFE分子中C的杂化轨道类型分别为_______和_______；聚四氟乙烯的化学稳定性高于聚乙烯，从化学键的角度解释原因_______。（5）萤石(CaF2)是自然界中常见的含氟矿物，其晶胞结构如图所示，X代表的离子是_______；若该立方晶胞参数为a pm，正负离子的核间距最小为_______pm。【答案】（1）（2） ①. 图a ②. 同一周期第一电离能的总体趋势是依次升高的，但由于N元素的2p能级为半充满状态，因此N元素的第一电离能较C、O两种元素高 ③. 图b （3）（4） ①. sp2 ②. sp3 ③. C-F键的键能大于聚乙烯中C-H的键能，键能越大，化学性质越稳定（5） ①. Ca2+ ②. a pm 【解析】【分析】根据基态原子的电子表示式书写价电子排布式；根据电离能的排布规律分析电离能趋势和原因；根据氢键的表示方法书写(HF)3的结构；根据键能影响物质稳定性的规律分析两种物质的稳定性差异；根据均摊法计算晶胞中各粒子的个数，判断粒子种类。【小问1详解】 F为第9号元素其电子排布为1s22s22p5，则其价电子排布图为，故答案为。【小问2详解】 C、N、O、F四种元素在同一周期，同一周期第一电离能的总体趋势是依次升高的，但由于N元素的2p能级为半充满状态，因此N元素的第一电离能较C、O两种元素高，因此C、N、O、F四种元素的第一电离能从小到大的顺序为C<O<N<F，满足这一规律的图像为图a，气态基态正2价阳离子失去1个电子生成气态基态正3价阳离子所需要的的能量为该原子的第三电离能，统一周期原子的第三电离能的总体趋势也一次升高，但由于C原子在失去2个电子之后的2s能级为全充满状态，因此其再失去一个电子需要的能量稍高，则满足这一规律的图像为图b，故答案为：图a、同一周期第一电离能的总体趋势是依次升高的，但由于N元素的2p能级为半充满状态，因此N元素的第一电离能较C、O两种元素高、图b。【小问3详解】固体HF中存在氢键，则(HF)3的链状结构为，故答案为：。【小问4详解】 CF2=CF2中C原子存在3对共用电子对，其C原子的杂化方式为sp2杂化，但其共聚物ETFE中C原子存在4对共用电子对，其C原子为sp3杂化；由于F元素的电负性较大，因此在于C原子的结合过程中形成的C-F键的键能大于聚乙烯中C-H的键能，键能的强弱决定物质的化学性质，键能越大，化学性质越稳定，因此聚四氟乙烯的化学稳定性高于聚乙烯，故答案为：sp2、sp3、C-F键的键能大于聚乙烯中C-H的键能，键能越大，化学性质越稳定。【小问5详解】根据萤石晶胞结构，浅色X离子分布在晶胞的顶点和面心上，则1个晶胞中浅色X离子共有8×+6×=4个，深色Y离子分布在晶胞内部，则1个晶胞中共有8个深色Y离子，因此该晶胞的化学式应为XY2，结合萤石的化学式可知，X为Ca2+；根据晶胞，将晶胞分成8个相等的小正方体，仔细观察CaF2的晶胞结构不难发现F-位于晶胞中8个小立方体中互不相邻的4个小立方体的体心，小立方体边长为，体对角线为，Ca2+与F-之间距离就是小晶胞体对角线的一半，因此晶体中正负的核间距的最小的距离为a pm，故答案为：Ca2+、a pm。【化学—选修5，有机化学基础】 12. 用N-杂环卡其碱(NHC base)作为催化剂，可合成多环化合物。下面是一种多环化合物H的合成路线(无需考虑部分中间体的立体化学)。回答下列问题：（1）A的化学名称为_______。（2）反应②涉及两步反应，已知第一步反应类型为加成反应，第二步的反应类型为_______。（3）写出C与/反应产物的结构简式_______。（4）E的结构简式为_______。（5）H中含氧官能团的名称是_______。（6）化合物X是C的同分异构体，可发生银镜反应，与酸性高锰酸钾反应后可以得到对苯二甲酸，写出X的结构简式_______。（7）如果要合成H的类似物H′()，参照上述合成路线，写出相应的D′和G′的结构简式_______、_______。H′分子中有_______个手性碳(碳原子上连有4个不同的原子或基团时，该碳称为手性碳)。【答案】（1）苯甲醇（2）消去反应（3）（4）（5）硝基、酯基和羰基（6）（7） ①. ②. ③. 5 【解析】【分析】由合成路线，A的分子式为C7H8O，在Cu作催化剂的条件下发生催化氧化生成B，B的结构简式为，则A为，B与CH3CHO发生加成反应生成，再发生消去反应反应生成C，C的结构简式为，C与Br2/CCl4发生加成反应得到，再在碱性条件下发生消去反应生成D，D为，B与E在强碱的环境下还原得到F，E的分子式为C5H6O2，F的结构简式为，可推知E为，F与生成G，G与D反应生成H，据此分析解答。【小问1详解】由分析可知，A的结构简式为，其化学名称为苯甲醇；【小问2详解】由B、C的结构简式，结合反应条件，可知B()先与CH3CHO发生碳氧双键的加成反应生成，再发生消去反应生成C()，故第二步的反应类型为消去反应；【小问3详解】根据分析可知，C与Br2/CCl4发生加成反应得到；【小问4详解】由分析，E的结构简式为；【小问5详解】 H的结构简式为，可其分子中含有的含有官能团为硝基、酯基和羰基；【小问6详解】 C的结构简式为，分子式为C9H8O，其同分异构体X可发生银镜反应，说明含有醛基，又与酸性高锰酸钾反应后可得到对苯二甲酸，则X的取代基处于苯环的对位，满足条件的X的结构简式为：；【小问7详解】 G与D反应生成H的反应中，D中碳碳双键断裂与G中HC—NO2和C=O成环，且C=O与—CHO成环，从而得到H，可推知，若要合成H′()，相应的D′为，G′为，手性碳原子为连有4各不同基团的饱和碳原子，则H′()的手性碳原子为，共5个。学科网（北京）股份有限公司	1	positive_file/全国甲卷【15.67MB】/化学/精品解析：2022年全国统一高考化学试卷（全国甲卷）（解析版）.docx
绝密★启用前 2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（） A. B. C. D. 2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（） A. 讲座前问卷答题正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3. 若．则（） A. B. C. D. 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 将函数图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（） A. B. C. D. 6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（） A. B. C. D. 7. 函数在区间的图象大致为（） A. B. C. D. 8. 当时，函数取得最大值，则（） A. B. C. D. 1 9. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（） A. B. C. D. 12. 已知，则（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量．若，则______________． 14. 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 15. 记双曲线离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________． 16. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数 A 240 20 B 210 30 （1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值． 19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．（1）证明：平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 20. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a；（2）求a的取值范围． 21. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，曲线参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则．学科网（北京）股份有限公司	1	positive_file/全国甲卷【15.67MB】/文数/精品解析：2022年全国高考甲卷数学（文）试题（原卷版）.docx
绝密★启用前 2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式 [pic] [pic] [pic] 其中[pic]、[pic]分别表示上、下底面周长，[pic]表示斜高或母线长 [pic] 球体的体积公式 [pic] [pic] 其中[pic]表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集体[pic]的子集个数是（A）32 （B）31 （C）16 （D）15 （2）函数[pic]对于任意的实数[pic]都有（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （3）[pic] （A）0 （B）2 （C）[pic] （D）[pic] （4）函数[pic]的反函数是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （5）极坐标系中，圆[pic]的圆心的坐标是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （6）设动点P在直线[pic]上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰[pic] ，则动点Q的轨迹是（A）圆（B）两条平行直线（C）抛物线（D）双曲线（7）已知[pic]，那么[pic]等于（A）[pic] （B）8 （C）18 （D）[pic] （8）若A、B是锐角[pic]的两个内角，则点[pic]在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （10）若实数[pic]满足[pic]，则[pic]的最小值是（A）18 （B）6 （C）[pic] （D）[pic] （11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①[pic]平行 ②CN与BE是异面直线 ③CN与BM成[pic]角 ④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④ （12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的[pic]个月内累积的需求量[pic] （万件）近似地满足 [pic] 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（A）5月、6月（B）6月、7月（C）7月、8月（D）8月、9月绝密★启用前 2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项： 1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． \|题号\|二 \|三 \|总分\| \| \| \|17 \|18 \|19 \|20 \|21 \|22 \| \| \|分数\| \| \| \| \| \| \| \| \| \|得分\|评卷人\| \| \| \| （13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_______________．（14）椭圆[pic]长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．（15）已知[pic]、[pic]、[pic]均为锐角），那么[pic]的最大值等于______________ ______．（16）已知[pic]、[pic]是直线，[pic]、[pic]、[pic]是平面，给出下列命题： 1. 若[pic]，则[pic]； ②若[pic]∥[pic]，[pic]，则[pic]∥[pic]； ③若[pic]不垂直于[pic]，则[pic]不可能垂直于[pic]内的无数条直线； ④若[pic]，[pic]∥[pic]，且[pic]，则[pic]∥[pic]∥[pic]．其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 设函数[pic]，求[pic]的单调区间，并证明[pic]在其单调区间上的单调性． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 已知[pic]．（Ⅰ）证明[pic]；（Ⅱ）设[pic]的辐角为[pic]，求[pic]的值． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 已知VC是[pic]所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在[pic]的高CD 上．[pic]之间的距离为[pic]．（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；（Ⅱ）当∠MDC=∠CVN时，证明VC[pic]；（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=[pic]，求四面体MABC的体积． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 在1与2之间插入[pic]个正数[pic]，使这[pic]个数成等比数列；又在1与2之间插入 [pic]个正数[pic]，使这[pic]个数成等差数列．记[pic]．（Ⅰ）求数列[pic]和[pic]的通项；（Ⅱ）当[pic]时，比较[pic]与[pic]的大小，并证明你的结论． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为[pic]，则出厂价相应提高的比例为0.75[pic]，同时预计年销售量增加的比例为0.6[pic]．已知年利润=（出厂价–投入成本）[pic]年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润[pic]与投入成本增加的比例[pic]的关系式；（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例[pic]应在什么范围内？ \|得分\|评卷人\| \| \| \| 已知抛物线[pic]．过动点M（[pic]，0）且斜率为1的直线[pic]与该抛物线交于不同的两点A、B，[pic]．（Ⅰ）求[pic]的取值范围；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交[pic]轴于点N，求[pic]面积的最大值．绝密★启用前 2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B （7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）[pic] （14）[pic] （15）[pic] （16）②④ 三、解答题（17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力．满分12分．解：函数[pic]的定义域为[pic] [pic]在[pic]内是减函数，[pic]在[pic]内也是减函数 ……4分证明[pic]在[pic]内是减函数取[pic]，且[pic]，那么 [pic] [pic] ……6分 ∵[pic] ∴[pic] 即[pic]在[pic]内是减函数 ……9分同理可证[pic]在[pic]内是减函数 ……12分（18）本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，考查综合运用复数的知识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由 [pic] [pic] [pic]，得[pic]． ……4分因为 [pic]，[pic]，所以 [pic]． ……6分（Ⅱ）因为[pic]，所以 [pic]，而[pic]，所以[pic]， [pic]，同理[pic]， [pic]．由（Ⅰ）知 [pic]，即 [pic]，所以 [pic]的实部为[pic]， ……8分而[pic]的辐角为[pic]时，复数[pic]的实部为 [pic]，所以 [pic] ……12分（19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由已知， [pic]， ∴[pic]． [pic] ∴[pic]． ……2分又V、M、N、D都在VNC所在平面内，所以，DM与VN必相交，且[pic]， ∴∠MDC为二面角[pic]的平面角． ……4分（Ⅱ）证明：由已知，∠MDC=∠CVN，在[pic]中， ∠NCV=∠MCD，又∵∠VNC=[pic]， ∴∠DMC=∠VNC=[pic]．故有[pic]， ……6分 ∴[pic]． ……8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）， [pic]， ∴[pic]．又∵∠[pic]．在[pic]中， [pic]． ……10分 [pic] [pic] [pic]． ……12分（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法．满分12分．解：（I）∵[pic]成等比数列， ∴[pic]， ∴[pic] ∴[pic] ……4分 ∵[pic]成等差数列，∴[pic]， ∴[pic] 所以，数列[pic]的通项[pic]，数列[pic]的通项[pic] ……6分（II）∵[pic]，[pic]， ∴[pic]，要比较[pic]与[pic]的大小，只需比较[pic]与[pic]的大小，也即比较当[pic]时， [pic]与[pic]的大小．当[pic]时，[pic]，[pic]，得知[pic]，经验证[pic]时，均有命题[pic]成立．猜想当[pic]时有[pic]．用数学归纳法证明． ……9分（i）当[pic]时，已验证[pic]，命题成立．（ii）假设[pic]时，命题成立，即 [pic]，那么 [pic] 又当[pic]时，有[pic] ∴[pic] [pic] 这就是说，当[pic]时，命题[pic]成立．根据（i）、（ii），可知命题对于[pic]都成立．故当[pic]时，[pic] ……12分（21）本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由题意得 [pic]， ……4分整理得 [pic]． ……6分（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 [pic] 即 [pic] ……9分解不等式得 [pic]．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例[pic]应满足[pic]． ……12分（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）直线[pic]的方程为[pic]，将 [pic]，得 [pic]． ……2分设直线[pic]与抛物线两个不同交点的坐标为[pic]、[pic]，则 [pic] ……4分又[pic]， ∴ [pic] [pic] [pic]． ……6分 ∵ [pic]， ∴ [pic]．解得 [pic]． ……8分（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为[pic]，则由中点坐标公式，得 [pic]， [pic]． ……10分 ∴ [pic]．又 [pic]为等腰直角三角形， ∴ [pic]， ∴ [pic]． ……12分 [pic] 即[pic]面积最大值为[pic] ……14分 ----------------------- [pic] 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（17）（本小题满分12分）（18）（本小题满分12分）（19）（本小题满分12分） [pic] （20）（本小题满分12分）（21）（本小题满分12分）（22）（本小题满分14分）	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2001年/2001数学（理工农医类）.doc
2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题考查基础知识和基础运算。第（1）—（10）每小题4 分，第（11）—（14）题每小题5分，满分60分。（1）D （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）B （8）B （9）D （10）B （11）A （12）D （13）C （14）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。（15）（16）[pic] （17）210 （18）①，④ 三、解答题（19）本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能。满分12分。证明：由余弦定理 [pic] [pic] ———3分 ∴ [pic] 整理得 [pic] ———6分依正弦定理，有 [pic] ———9分 ∴ [pic] [pic] ———12分（20）本小题主要考查空间线间关系，及运算、推理、空间想象能力。满分12 分。解：（I）在直角梯形ABCD中，由已知[pic]DAC为等腰直角三角形， ∴ [pic] 过C作CH⊥AB，由AB=2[pic]，可推得 AC=BC=[pic] ∴ AC⊥BC ———2分取 AC的中点E，连结[pic]，则 [pic]⊥AC 又 ∵ 二面角[pic]为直二面角， ∴ [pic]⊥[pic] 又 ∵ [pic]平面[pic] ∴ BC⊥[pic] ∴ BC⊥[pic]，而[pic]， ∴ BC⊥[pic] ———4分 ∴ [pic]为二面角[pic]的平面角。由于[pic]， ∴二面角[pic]为[pic]。 ———6分（II）取AC的中点E，连结[pic]，再过[pic]作[pic]，垂足为O，连结 OE。 ∵ AC⊥[pic]， ∴ AC⊥[pic] ∴ [pic]为二面角[pic]的平面角， ∴ [pic][pic] ———9分在[pic]中，[pic]， ∴[pic]， [pic] [pic] [pic] ———12分（21）本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力。满分12分。证明：由已知[pic] ———2分 ∵ [pic]，[pic]， ∴ [pic]、[pic]不能同时在区间[pic] 上，又由于[pic]，故必有[pic]； ———6分若 [pic]，显然有[pic] ———8分若 [pic]，由[pic]，有 [pic]，故 [pic]， ∴ [pic] ———12分（22）本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能。满分12分。解：如图，点A，B在抛物线[pic]上，设 [pic]，OA、OB的斜率分别为[pic]、[pic]。 ∴ [pic] ———2分由OA⊥AB，得[pic] ① ———4分依点A在AB上，得直线AB方程 [pic] ② ———6分由OM⊥AB，得直线OM方程 [pic] ③ ———8分设点M[pic]，则[pic]满足②、③两式，将②式两边同时乘以[pic]，并利用③式整理得 [pic] ④ ———10分由③、④两式得 [pic] 由①式知， [pic] ∴ [pic] 因为A、B是原点以外的两点，所以[pic] 所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。 ——12分（23）本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力。满分12分。解：（I）：设下调后的电价为[pic]元/[pic]，依题意知用电量增至[pic]，电力部门的收益为 [pic] ———5分（II）依题意有 [pic] ———9分整理得 [pic] 解此不等式得 [pic] 答：当电价最低定为[pic][pic]元/[pic]仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。（24）本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、运算的能力。满分14分。解（I）：函数图象：说明：图象过[pic]、[pic]、[pic]点；在区间[pic]上的图象为上凸的曲线段；在区间[pic]上的图象为直线段。（II）：[pic]f2(x)=-2x-2，[pic]的反函数为： [pic][pic] ———5分由已知条件得： [pic] [pic] [pic] [pic] …… ∴ [pic] 即 [pic]， ———8分 ∴ [pic] ———10分（III）：由已知[pic]， ∴ [pic]，由 [pic]的值域，得[pic] ∴ [pic] 由[pic]，整理得 [pic]，解得 [pic] 因为[pic]，所以[pic] ———14分 ----------------------- [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2000年/2000春答案.doc
2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷第1至 2页。第II卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）注意事项 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数和差化积公式 [pic] [pic] [pic] [pic] 正棱台、圆台的侧面积公式 [pic] 其中[pic]、[pic]分别表示上、下底面周长，[pic]表示斜高或母线长台体的体积公式 [pic] 其中[pic]、[pic]分别表示上、下底面积，[pic]表示高一选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11） —（14）题每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 复数[pic]则[pic]在复平面内的对应点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 2. 设全集[pic]集合[pic][pic]那么[pic]是（A）[pic] （B）[pic] （C）{a,c} （D）{b,e} （3）双曲线[pic]的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（A）2 （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （4）曲线[pic]的参数方程是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （6）直线[pic]和直线[pic]的位置关系是（A）垂直（B）平行（C）相交但不垂直（D）重合（7）函数[pic] （A）是偶函数，在区间[pic]上单调递增（B）是偶函数，在区间[pic]上单调递减（C）是奇函数，在区间[pic]上单调递增（D）是奇函数，在区间[pic]上单调递减（8）从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（A）120个（B）480个（C）720个（D）840个（9）椭圆短轴长是2，长轴长是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （10）函数[pic]的最大值是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （11）设复数[pic]在复平面上对应向量[pic]，将[pic]按顺时针方向旋转[pic]后得到向量[pic]，[pic]对应的复数为[pic] ，则[pic] （A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （12）设[pic]是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （13）已知等差数列[pic]满足[pic]则有（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （14）已知函数[pic]的图象如右图，则（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] 2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数学（理工农医类）第II卷（非选择题共90分）注意事项： 1. 第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（15）函数[pic]的最小正周期是__________。（16）右图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_________。（17）[pic]展开式中的常数项是___________。（18）在空间，下列命题正确的是____________。（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 1. 如果两条直线[pic]、[pic]分别与直线[pic]平行，那么[pic]∥[pic] 2. 如果两条直线[pic]与平面[pic]内的一条直线[pic]平行，那么[pic]∥[pic] 3. 如果直线[pic]与平面[pic]内的一条直线[pic]、[pic]都有垂直，那么[pic]⊥[pic] 4. 如果平面[pic]内的一条直线[pic]垂直平面[pic]，那么[pic]⊥[pic] 三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（19）（本小题满分12分）在[pic]中，角A、B、C对边分别为[pic]、[pic]、[pic]。证明：[pic] （20）（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=[pic]，AD=DC=[pic]AB=[pic]（如图一）。将 [pic]沿AC折起，使D到[pic]。记面[pic]为α，面ABC为[pic]，面[pic]为[pic]。（I）若二面角[pic]为直二面角（如图二），求二面角[pic]的大小；（II）若二面角[pic]为[pic]（如图三），求三棱锥[pic]的体积。（21）（本小题满分12分）设函数[pic]，若[pic]，且[pic]，证明：[pic] （22）（本小题满分12分）如图，设点A和B为抛物线[pic]上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。（23）（本小题满分12分）某地区上年度电价为[pic]元/kW[pic]，年用电量为[pic]kW[pic]。本年度计划将电价降到[pic]元/kW[pic]至[pic]元/kW[pic]之间，而用户期望电价为[pic]元/kW[pic]经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）。该地区电力的成本为[pic]元/kW[pic]。（I）写出本年度电价下调后，电力部门的收益[pic]与实际电价[pic]的函数关系式；（II）设[pic]，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20 %？（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））（24）（本小题满分14分）已知函数[pic] 其中[pic] I. 在下面坐标系上画出[pic]的图象； II. 设[pic]的反函数为[pic]， [pic]求数列[pic]的通项公式，并求[pic]；（III）若[pic]，求[pic] ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2000年/2000春高考.doc
2002年全国高考数学试题（文史类）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）若直线[pic]与圆[pic]相切，则[pic]的值为（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （2）复数[pic]的值是（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （3）不等式[pic]的解集是（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （4）函数[pic]在[pic]上的最大值与最小值的和为3，则[pic] （A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （5）在[pic]内，使[pic]成立的[pic]取值范围为（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （6）设集合[pic]，[pic]，则（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （7）椭圆[pic]的一个焦点是[pic]，那么[pic] （A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥截面顶角的余弦值是（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （9）已知[pic]，则有（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （10）函数[pic]是单调函数的充要条件是（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （11）设[pic]，则二次曲线[pic]的离心率的取值范围为（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]（D）[pic] （12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）。据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图所示，其中，从年到年的五年间增长最快。 [pic] （14）函数[pic][pic]图象与其反函数图象的交点坐标为。（15）[pic]的展开式中[pic]项的系数是。（16）对于顶点在在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在[pic]轴上；焦点在[pic]轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为[pic]；抛物线的通径的长为[pic]；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为[pic]。能使这抛物线方程为[pic]的条件是。（要求填写合适条件的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分） [pic] 如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数[pic]。（Ⅰ）求这段时间的最大温差；（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式。（18）（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70[pic]的两处同时运动。甲第1分钟走2[pic]，以后每分钟比前1分钟多走1[pic]，乙每分钟走5[pic]。（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折反，甲继续每分钟比前1分钟多走1[pic]，乙继续每分钟走5[pic]，那么开始运动几分钟后第二次相遇？（19）（本小题满分12分）四棱锥[pic]的底面是边长为[pic]的正方形，[pic][pic]面[pic]。（Ⅰ）若面[pic]与面[pic]所成的二面角为[pic]，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面[pic]与面[pic]所成的二面角恒大于[pic]。 [pic] （20）（本小题满分12分）设函数[pic]，[pic]。（Ⅰ）判断函数[pic]的奇偶性；（Ⅱ）求函数[pic]的最小值。（21）（本小题满分14分）已知点[pic]到两个定点[pic]、[pic]距离的比为[pic]，点[pic]到直线[pic]的距离为 1。求直线[pic]的方程。（22）（本小题满分12分，附加题满分4分）（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（Ⅲ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分。）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。 [pic][pic][pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2002年/2002qgw.doc
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=C[pic]Pk(1－P)n－k 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合[pic]，则集合[pic]= （） A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2} 2．函数[pic]的反函数为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 3．过点（－1，3）且垂直于直线[pic]的直线方程为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 4．[pic]= （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 5．不等式[pic]的解集为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 6．等差数列[pic]中，[pic]，则此数列前20项和等于（） A．160 B．180 C．200 D．220 7．对于直线m、n和平面[pic]，下面命题中的真命题是（） A．如果[pic]、n是异面直线，那么[pic] B．如果[pic]、n是异面直线，那么[pic]相交 C．如果[pic]、n共面，那么[pic] D．如果[pic]、n共面，那么[pic] 8．已知椭圆的中心在原点，离心率[pic]，且它的一个焦点与抛物线[pic]的焦点重合，则此椭圆方程为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（） A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 10．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=[pic]，则球心到平面ABC的距离为（） A．1 B．[pic] C．[pic] D．2 11．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列， ∠B=30°，△ABC的面积为[pic]，那么b= （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 12．设函数[pic]为奇函数，[pic]则[pic]（） A．0 B．1 C．[pic] D．5 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．[pic]展开式中[pic]的系数为 . 14．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且\|a\|=2，\|b\|=4，则a与b夹角的余弦值等于 . 15．函数[pic]的最大值等于 . 16．设[pic]满足约束条件： [pic] 则[pic]的最大值是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sinα=[pic]求[pic]的值. 18．（本小题满分12分）求函数[pic]在[0，2]上的最大值和最小值. 19．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分[pic]的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即[pic]≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4[pic]，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线[pic]的焦点距为2c，直线[pic]过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线 [pic]的距离与点（－1，0）到直线[pic]的距离之和[pic]求双曲线的离心率e的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数[pic]的所有正数[pic]从小到大排成数列[pic] （Ⅰ）证明数列{[pic]}为等比数列；（Ⅱ）记[pic]是数列{[pic]}的前n项和，求[pic] 2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题 1—12 D C A D A B C A B A B C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．[pic] 15．[pic] 16．2 三、解答题 17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分. 解：[pic] [pic] 当[pic]为第二象限角，且[pic]时 [pic]，所以[pic]=[pic] 18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分. 解：[pic] 令 [pic] 化简为[pic] 解得[pic] 当[pic]单调增加；当[pic]单调减少. 所以[pic]为函数[pic]的极大值. 又因为 [pic] 所以 [pic]为函数[pic]在[0，2]上的最小值，[pic]为函数[pic] 在[0，2]上的最大值. 19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）[pic]的可能值为－300，－100，100，300. P（[pic]=－300）=0.23=0.008, P（[pic]=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P（[pic]=100）=3×0.2×0.82=0.384, P（[pic]=300）=0.83=0.512, 所以[pic]的概率分布为 \|[pic] \|－300 \|－100 \|100 \|300 \| \|P \|0.008 \|0.096 \|0.384 \|0.512 \| 根据[pic]的概率分布，可得[pic]的期望 E[pic]=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180. （Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（[pic]≥0）=0.384+0.512=0.896. 20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD. 作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3[pic]，四棱锥P—ABCD的体积 VP—ABCD=[pic] （Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P（0，0，3[pic]），A（2[pic]，－3，0），B（2[pic]，5，0），D（－2[pic]，－3，0）所以[pic] 因为[pic] 所以PA⊥BD. 解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2[pic]，又知AD=4[pic]，AB=8，得[pic] 所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD. 因为直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD. 21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分 . 解：直线[pic]的方程为[pic]，即 [pic] 由点到直线的距离公式，且[pic]，得到点（1，0）到直线[pic]的距离 [pic]，同理得到点（－1，0）到直线[pic]的距离[pic] [pic] 由[pic] 即 [pic] 于是得 [pic] 解不等式，得 [pic] 由于[pic]所以[pic]的取值范围是 [pic] 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：[pic] 由[pic]得[pic] 解出[pic]为整数，从而 [pic] [pic] [pic] 所以数列[pic]是公比[pic]的等比数列，且首项[pic] （Ⅱ）解：[pic] [pic] [pic] 从而[pic] [pic] [pic] 因为[pic]，所以 [pic] ----------------------- [pic] [pic] [pic] 球的表面积公式 S=4[pic] 其中R表示球的半径，球的体积公式 V=[pic] 其中R表示球的半径	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2004年/2004-数学（理）78.doc
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（人教版）(理工农林医类) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10 页。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：三角函数的和差化积公式 [pic] [pic] [pic] [pic] 一、选择题 1．设集合[pic]，[pic]，则集合[pic]中元素的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数[pic]的最小正周期是（） A． [pic] B． [pic] C．[pic] D．[pic] 3．设数列[pic]是等差数列，且[pic]，[pic]是数列[pic]的前[pic]项和，则（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 4．圆[pic]在点[pic]处的切线方程为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 5．函数[pic]的定义域为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 6．设复数[pic]的辐角的主值为[pic]，虚部为[pic]，则[pic]= （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 7．设双曲线的焦点在[pic]轴上，两条渐近线为[pic]，则该双曲线的离心率[pic]（） A．[pic] B． [pic] C．[pic] D．[pic] 8．不等式[pic]的解集为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 9．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 10．在△ABC中，AB=3，BC=[pic]，AC=4，则边AC上的高为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 11．设函数[pic] ，则使得[pic]的自变量[pic]的取值范围为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 12．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13．用平面[pic]截半径为[pic]的球，如果球心到平面[pic]的距离为[pic]，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 . 14．函数[pic]在区间[pic]上的最小值为 . 15．已知函数[pic]是奇函数，当[pic]时，[pic]，设[pic]的反函数是[pic]，则[pic] . 16．设[pic]是曲线[pic]上的一个动点，则点[pic]到点[pic]的距离与点[pic]到[pic] 轴的距离之和的最小值为 . 三、解答题（6道题，共76分） 17．（本小题满分12分）已知[pic]为锐角，且[pic]，求[pic]的值. 18．（本小题满分12分）解方程 [pic]. 19．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800[pic]的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1[pic]宽的通道，沿前侧内墙保留3[pic]宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？ 20．（本小题满分12分）三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，（1）求证：AB ⊥ BC；（2）设AB=BC=[pic]，求AC与平面PBC所成角的大小. 21．（本小题满分12分）设椭圆[pic]的两个焦点是[pic]与[pic]，且椭圆上存在一点[pic] ，使得直线[pic]与[pic]垂直. （1）求实数[pic]的取值范围；（2）设[pic]是相应于焦点[pic]的准线，直线[pic]与[pic]相交于点[pic]，若[pic] ，求直线[pic]的方程. 22．（本小题满分14分）已知数列[pic]的前[pic]项和[pic]满足[pic]. （1）写出数列[pic]的前三项[pic]；（2）求数列[pic]的通项公式；（3）证明：对任意的整数[pic]，有[pic] . 2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（人教版）(理) 1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B 11.A 12.C 13．[pic] 14．1 15．－2 16．[pic] 17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分. 解：原式[pic] 因为 [pic] 所以 [pic]. 因为[pic]为锐角，由[pic] 所以原式[pic] 18．本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.满分12分. 解：当[pic]时，原方程化为 [pic] [pic] 解得 [pic] [pic]无解. 由[pic]舍去. 当 [pic]时，原方程化为 [pic] [pic] 解得 [pic] [pic]无解. [pic] [pic] 19．本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.满分12分. 解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800. 蔬菜的种植面积 [pic] 所以 [pic] 当[pic] 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2. 20．本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分. （Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD. 因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，所以PD⊥面ABC，D为垂足. 因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC. （Ⅱ）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF. 因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF. 因此，PB⊥平面AFC，所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF， ∠ACF为AC与平面PBC所成的角. 在Rt△ABC中，AB=BC=2[pic]，所以BD=[pic] 在Rt△PDC中，DC=[pic] 在Rt△PDB中，[pic] 在Rt△FDC中，[pic] 所以∠ACF=30°. 即AC与平面PBC所成角为30°. 21．本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）由题设有[pic] 设点P的坐标为[pic]由PF1⊥PF2，得 [pic] 化简得 [pic] ① 将①与[pic]联立，解得 [pic] 由[pic] 所以m的取值范围是[pic]. （Ⅱ）准线L的方程为[pic]设点Q的坐标为[pic]，则 [pic] [pic] ② 将 [pic]代入②，化简得 [pic] 由题设 [pic]，得 [pic]，无解. 将 [pic]代入②，化简得 [pic] 由题设 [pic]，得 [pic]. 解得m=2. 从而[pic]，得到PF2的方程 [pic] 22．本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由[pic] 由[pic] 由[pic] （Ⅱ）解：当[pic]时，有 [pic] [pic] [pic] …… [pic] 所以 [pic] [pic] 经验证a1也满足上式，所以 [pic] （Ⅲ）证明：由通项公式得[pic] 当[pic]且n为奇数时， [pic] [pic] 当[pic]为偶数时，[pic] [pic] [pic] 当[pic]为奇数时，[pic] 所以对任意整数m>4，有[pic] ----------------------- 正棱台、圆台的侧面积公式 [pic] 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式 [pic] 其中R表示球的半径 P B A C [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2004年/2004-数学（理）9.doc
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（重庆卷）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟. 第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 [pic] 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数[pic]的定义域是（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 2．函数[pic], 则[pic] （） A．1 B．－1 C．[pic] D．[pic] 3．圆[pic]的圆心到直线[pic]的距离为（） A．2 B．[pic] C．1 D．[pic] 4．不等式[pic]的解集是（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 5．[pic] （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 6．若向量[pic]的夹角为[pic]，[pic],则向量[pic]的模为（） A．2 B．4 C．6 D．12 7．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。那么p是q成立的：（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．不同直线[pic]和不同平面[pic]，给出下列命题（） ① [pic] ② [pic] ③ [pic] ④ [pic] 其中假命题有：（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．若[pic]是等差数列，首项[pic]，则使前n项和[pic] 成立的最大自然数n是（） A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 10．已知双曲线[pic]的左，右焦点分别为[pic],点P在双曲线的右支上，且[pic],则此双曲线的离心率e的最大值为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3 次才取得卡口灯炮的概率为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 12．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（） A．258 B．234 C．222 D．210 [pic] 第Ⅱ部分（非选择题共90分） \|题号 \|二 \|三 \|总分 \| \| \| \|17 \|18 \|19 \|20 \|21 \|22 \| \| \|分数 \| \| \| \| \| \| \| \| \| 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．若在[pic]的展开式中[pic]的系数为[pic]，则[pic] 14．已知[pic],则[pic]的最小值是____________ 15．已知曲线[pic]，则过点[pic]的切线方程是______________ 16．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里. 三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数[pic]的最小正周期和最小值；并写出该函数在[pic]上的单调递增区间. 18．（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形， [pic] （1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若[pic],求二面角E—AB—D平面角. 20．（本小题满分12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量[pic]（吨）与每吨产品的价格[pic]（元 /吨）之间的关系式为：[pic],且生产x吨的成本为[pic]（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 21．（本小题满分12分）设直线[pic]与抛物线[pic]交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）. 试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求a的值，使圆H的面积最小. 22．（本小题满分14分）设[pic] （1）令[pic]求数列[pic]的通项公式；（2）求数列[pic]的前n项和[pic]. 数学（文史类）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分. 1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C 二、填空题：每小题4分，共16分. 13．－2 14．6 15．[pic] 16．4 三、解答题：共74分. 17．（本小题12分） [pic] 故该函数的最小正周期是[pic]；最小值是－2；单增区间是[pic] 18．（本小题12分）解：（I）设AK表示“第k人命中目标”，k=1，2，3. 这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5. 从而，至少有一人命中目标的概率为 [pic] 恰有两人命中目标的概率为 [pic] 答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44 （II）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为 [pic] 答：他恰好命中两次的概率为0.441. 19．（本小题12分）（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF. 又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，因此MF是AB与PC的公垂线. （II）解：因由（I）知AE⊥AB，又AD⊥AB，故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角. 设AB=a，则PA=3a. 因Rt△ADE~Rt△PDA 故∠EAD=∠APD 因此[pic]. 20．（本小题12分）解：每月生产x吨时的利润为[pic] [pic] [pic]，故它就是最大值点，且最大值为：[pic] 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 21．（本小题12分）解法一：设[pic]，则其坐标满足[pic] 消去x得 [pic] 则 [pic] [pic] 因此[pic]. 故O必在圆H的圆周上. 又由题意圆心H（[pic]）是AB的中点，故 [pic] 由前已证，OH应是圆H的半径，且[pic]. 从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小. 解法二：设[pic]，则其坐标满足[pic] 分别消去x，y得[pic] 故得A、B所在圆的方程[pic] 明显地，O（0，0）满足上面方程故A、B、O三点均在上面方程的表示的圆上. 又知A、B中点H的坐标为[pic] 故 [pic] 而前面圆的方程可表示为[pic] 故\|OH\|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）. 又[pic]，故当a=0时，R2最小，从而圆的面积最小，解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上又直径\|AB\|=[pic] [pic] 上式当[pic]时，等号成立，直径\|AB\|最小，从而圆面积最小. 此时a=0. 22．（本小题14分）解：（I）因[pic] [pic] 故{bn}是公比为[pic]的等比数列，且[pic] [pic] （II）由[pic] [pic] [pic] 注意到[pic]可得 [pic] 记数列[pic]的前n项和为Tn，则 [pic] ----------------------- P E F A D M B C Y y2=2px B H X Q(2p,0) O A [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2004年/2004数学（文）重庆.doc
2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=C[pic]Pk(1－P)n－k 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（ U B）= （） A．{2} B．{2，3} C．{3} D． {1，3} 2．已知函数[pic] （） A．[pic] B．－[pic] C．2 D．－2 3．已知a+b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么\|a+3b\|= （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．4 4．函数[pic]的反函数是（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 5．[pic]的展开式中常数项是（） A．14 B．－14 C．42 D．－42 6．设[pic]若[pic]则[pic]= （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．4 7．椭圆[pic]的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于[pic]轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则[pic]= （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．4 8．设抛物线[pic]的准线与[pic]轴交于点Q，若过点Q的直线[pic]与抛物线有公共点，则直线 [pic]的斜率的取值范围是（） A．[pic] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 9．为了得到函数[pic]的图象，可以将函数[pic]的图象（） A．向右平移[pic]个单位长度 B．向右平移[pic]个单位长度 C．向左平移[pic]个单位长度 D．向左平移[pic]个单位长度 10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFG H 的表面积为T，则[pic]等于（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 12．已知[pic]的最小值为（） A．[pic]－[pic] B．[pic]－[pic] C．－[pic]－[pic] D．[pic]+[pic] 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x+x3≥0的解集是 . 14．已知等比数列{[pic]则该数列的通项[pic]= . 15．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 . 16．已知a、b为不垂直的异面直线，[pic]是一个平面，则a、b在[pic]上的射影有可能是 . ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{[pic]}的前n项和记为Sn.已知[pic] （Ⅰ）求通项[pic]；（Ⅱ）若Sn=242，求n. 18．（本小题满分12分）求函数[pic]的最小正周期、最大值和最小值. 19．（本小题满分12分）已知[pic]在R上是减函数，求[pic]的取值范围. 20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为[pic]，每位男同学能通过测验的概率均为[pic].试求：（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面AB CD所成的二面角为120°. （I）求点P到平面ABCD的距离；（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小. 22．（本小题满分14分）设双曲线C：[pic]相交于两个不同的点A、B. （I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且[pic]求a的值. 2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I）参考答案一、选择题 DBCBABCCBACB 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x\|x≥0} 14．3·2n－3 15．[pic] 16．①②④ 三、解答题 17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）由[pic]得方程组 [pic] ……4分解得[pic] 所以 [pic]……7分（Ⅱ）由[pic]得方程 [pic] ……10分解得[pic]………12分 18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分1 2分. 解：[pic] [pic] 所以函数[pic]的最小正周期是[pic]，最大值是[pic]最小值是[pic]…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分. 解：函数f(x)的导数：[pic]………………3分（Ⅰ）当[pic]（[pic]）时，[pic]是减函数. [pic] [pic] 所以，当[pic]是减函数；………………9分（II）当[pic]时，[pic]=[pic] 由函数[pic]在R上的单调性，可知当[pic]时，[pic]）是减函数；（Ⅲ）当[pic]时，在R上存在一个区间，其上有[pic] 所以，当[pic]时，函数[pic]不是减函数. 综上，所求[pic]的取值范围是（[pic]………………12分 20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为 1－[pic]；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为 [pic]；………………12分 21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结 PE. ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB， ∵PA=PD，∴OA=OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD. 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD 所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE=[pic] ∴PO=PE·sin60°=[pic]，即点P到平面ABCD的距离为[pic].………………6分（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA. [pic].连结AG. 又知[pic]由此得到： [pic] 所以[pic] 等于所求二面角的平面角，…………10分于是[pic] 所以所求二面角的大小为[pic].…………12分解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC， FG=[pic]BC. ∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB， ∴∠AGF是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG. 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=[pic]. 在Rt△PEG中，EG=[pic]AD=1. 于是tan∠GAE=[pic]=[pic]，又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan[pic].…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分. 解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 [pic] 有两个不同的实数解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ……2分 [pic] 双曲线的离心率 [pic] （II）设[pic] [pic]……8分由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0， [pic] ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] ………………6分 [pic] 球的表面积公式 S=4[pic] 其中R表示球的半径，球的体积公式 V=[pic]，其中R表示球的半径	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2004年/2004-数学（文）8.doc
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=C[pic]Pk(1－P)n－k 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60。 1．(1－i)2·i= （） A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2 2．已知函数[pic] （） A．b B．－b C．[pic] D．－[pic] 3．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么\|a+3b\|= （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．4 4．函数[pic]的反函数是（） A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1) C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1) 5．[pic]的展开式中常数项是（） A．14 B．－14 C．42 D．－42 6．设A、B、I均为非空集合，且满足A[pic]B [pic]I，则下列各式中错误的是（） A．( I A)∪B=I B．( I A)∪( I B)=I C．A∩( I B)=[pic] D．( I A)∪( I B)= I B 7．椭圆[pic]的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则[pic]= （） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．4 8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（） A．[－[pic]，[pic]] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 9．为了得到函数[pic]的图象，可以将函数[pic]的图象（） A．向右平移[pic]个单位长度 B．向右平移[pic]个单位长度 C．向左平移[pic]个单位长度 D．向左平移[pic]个单位长度 10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH 的表面积为T，则[pic]等于（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 12．[pic]的最小值为（） A．[pic]－[pic] B．[pic]－[pic] C．－[pic]－[pic] D．[pic]+[pic] 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式\|x+2\|≥\|x\|的解集是 . 14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 . 15．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 1, n=1, an= ,n≥2. 16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数[pic]的最小正周期、最大值和最小值. 18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5 ，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知[pic]求函数[pic]的单调区间. 20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD 所成的二面角为120°. （I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）设双曲线C：[pic]相交于两个不同的点A、B. （I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且[pic]求a的值. 22．（本小题满分14分）已知数列[pic]，且 a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式. 2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I）参考答案一、选择题 DBCBABCCBADB 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x\|x≥－1} 14．x2+y2=4 15．[pic] 16．①②④ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分1 2分. 解：[pic] [pic] 所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是[pic]，最小值是[pic]. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09. P(ξ=1)=[pic] ×0.52×0.62+[pic] ×0.52×0.4×0.6=0.3 P(ξ=2)= [pic] ×0.52×0.62+[pic][pic]×0.52×0.4×0.6+[pic] ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= [pic][pic]×0.52×0.4×0.6+[pic][pic]×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04 于是得到随机变量ξ的概率分布列为： \|ξ \|0 \|1 \|2 \|3 \|4 \| \|P \|0.09 \|0.3 \|0.37 \|0.2 \|0.04 \| 所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f(x)的导数： [pic] （I）当a=0时，若x<0，则[pic]<0，若x>0,则[pic]>0. 所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数 . （II）当[pic] 由[pic] 所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－[pic]）内为增函数，在区间（－[pic]， 0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0<x<－[pic], 由2x+ax2<0，解得x<0或x>－[pic]. 所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－[pic]）内为增函数，在区间（－[pic]，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结 PE. ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB， ∵PA=PD，∴OA=OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD. 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE=[pic] ∴PO=PE·sin60°=[pic]，即点P到平面ABCD的距离为[pic]. （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA. [pic].连结AG. 又知[pic]由此得到： [pic] 所以[pic] 等于所求二面角的平面角，于是[pic] 所以所求二面角的大小为[pic] . 解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG =[pic]BC. ∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB， ∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG. 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=[pic]. 在Rt△PEG中，EG=[pic]AD=1. 于是tan∠GAE=[pic]=[pic], 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan[pic]. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 [pic] 有两个不同的实数解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① [pic] 双曲线的离心率 [pic] （II）设[pic] [pic] 由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0， [pic] 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, …… a3－a1=3+(－1). 所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1) =(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)], 由此得a2k+1－a1=[pic](3k－1)+[pic][(－1)k－1], 于是a2k+1=[pic] a2k= a2k－1+(－1)k =[pic](－1)k－1－1+(－1)k =[pic](－1)k=1. {an}的通项公式为：当n为奇数时，an=[pic] 当n为偶数时，[pic] ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 球的表面积公式 S=4[pic] 其中R表示球的半径，球的体积公式 V=[pic]，其中R表示球的半径	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2004年/2004-数学（理）.doc
绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量[pic]，[pic]是不平行于[pic]轴的单位向量，且[pic]，则[pic] A．（[pic]） B．（[pic]） C．（[pic]） D．（[pic]） 2.若互不相等的实数[pic]成等差数列，[pic]成等比数列，且[pic]，则[pic] A．4 B．2 C．－2 D．－4 3.若[pic]的内角[pic]满足[pic]，则[pic] A.[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 4．设[pic]，则[pic]的定义域为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 5．在[pic]的展开式中，[pic]的幂的指数是整数的项共有 A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 6．关于直线[pic]与平面[pic]，有以下四个命题： ①若[pic]且[pic]，则[pic]； ②若[pic]且[pic]，则[pic]； ③若[pic]且[pic]，则[pic]； ④若[pic]且[pic]，则[pic]；其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7．设过点[pic]的直线分别与[pic]轴的正半轴和[pic]轴的正半轴交于[pic]两点，点[pic] 与点[pic]关于[pic]轴对称，[pic]为坐标原点，若[pic]且[pic]，则点[pic]的轨迹方程是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 8．有限集合[pic]中元素的个数记做[pic]，设[pic]都为有限集合，给出下列命题： ①[pic]的充要条件是[pic]； ②[pic]的充要条件是[pic]； ③[pic]的充要条件是[pic]； ④[pic]的充要条件是[pic]；其中真命题的序号是 A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 9．已知平面区域D由以[pic]为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点[pic]可使目标函数[pic]取得最小值，则[pic] A．－2 B．－1 C．1 D．4 10．关于[pic]的方程[pic]，给出下列四个命题： ①存在实数[pic]，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数[pic]，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数[pic]，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数[pic]，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。 11．设[pic]为实数，且[pic]，则[pic] 。 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为。（精确到0．01） 13．已知直线[pic]与圆[pic]相切，则[pic]的值为。 14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6项工程的不同排法种数是。（用数字作答） 15．将杨辉三角中的每一个数[pic]都换成[pic]，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出[pic]，其中[pic] 。令[pic]，则[pic] 。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）设函数[pic]，其中向量[pic]，[pic]，[pic]，[pic]。（Ⅰ）、求函数[pic]的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数[pic]的图像按向量[pic]平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的[pic]。 17．（本小题满分13分）已知二次函数[pic]的图像经过坐标原点，其导函数为[pic]，数列[pic]的前n项和为[pic] ，点[pic]均在函数[pic]的图像上。（Ⅰ）、求数列[pic]的通项公式；（Ⅱ）、设[pic]，[pic]是数列[pic]的前n项和，求使得[pic]对所有[pic]都成立的最小正整数m； 18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体[pic]中，[pic]是侧棱[pic]上的一点，[pic]。（Ⅰ）、试确定[pic]，使直线[pic]与平面[pic]所成角的正切值为[pic]；（Ⅱ）、在线段[pic]上是否存在一个定点[pic]，使得对任意的[pic]，[pic]在平面[pic] 上的射影垂直于[pic]，并证明尼的结论。 20．（本小题满分10分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布[pic]。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表[pic] [pic] \|0 \|1 \|2 \|3 \|4 \|5 \|6 \|7 \|8 \|9 \| \|1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 \|0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 \|0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 \|0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 \|0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 \|0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 \|0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 \|0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 \|0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 \|0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 \|0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 \| \| 21．（本小题满分14分）设[pic]分别为椭圆[pic]的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且[pic]为它的右准线。（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设[pic]为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线[pic]分别与椭圆相交于异于[pic]的点[pic]，证明点[pic]在以[pic]为直径的圆内。（此题不要求在答题卡上画图） 22．（本小题满分14分）设[pic]是函数[pic]的一个极值点。（Ⅰ）、求[pic]与[pic]的关系式（用[pic]表示[pic]），并求[pic]的单调区间；（Ⅱ）、设[pic]，[pic]。若存在[pic]使得[pic]成立，求[pic]的取值范围。 ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年高考数学（湖北理科卷）word版.doc
2006年高考试题辽宁卷理科数学试题一. 选择题 1) 设集合[pic],则满足[pic]的集合B的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 (2) 设[pic]是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)[pic]是奇函数 (B)[pic]是奇函数 (C) [pic]是偶函数 (D) [pic]是偶函数 (3) 给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线[pic]与同一平面所成的角相等,则[pic]互相平行. ④若直线[pic]是异面直线,则与[pic]都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4) 双曲线[pic]的两条渐近线与直线[pic]围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 (A)[pic] (B)[pic] (C) [pic] (D) [pic] (5) 设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意[pic]有[pic][pic][pic],则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集 (6)[pic]的三内角[pic]所对边的长分别为[pic]设向量[pic],[pic],若[pic],则角[pic] 的大小为 (A)[pic] (B)[pic] (C) [pic] (D) [pic] (7) 与方程[pic]的曲线关于直线[pic]对称的曲线的方程为 (A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] (8) 曲线[pic]与曲线[pic]的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 (9) 在等比数列[pic]中,[pic],前[pic]项和为[pic],若数列[pic]也是等比数列,则[pic]等于 (A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D)[pic] (10) 直线[pic]与曲线[pic] [pic]的公共点的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (11)已知函数[pic],则[pic]的值域是 (A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] (12) 设[pic],[pic],[pic],点[pic]是线段[pic]上的一个动点,[pic],若[pic],则实数[pic] 的取值范围是 (A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] 二. 填空题 (13) 设[pic]则[pic]__________ (14) [pic]_____________ (15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有____ ___种.(以数作答) (16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为[pic],则[pic]=______ 三．解答题 (17) (本小题满分12分) 已知函数[pic]，[pic].求: (I) 函数[pic]的最大值及取得最大值的自变量[pic]的集合； (II) 函数[pic]的单调增区间. (18) (本小题满分12分)] 已知正方形[pic].[pic]、[pic]分别是[pic]、[pic]的中点,将[pic]沿[pic]折起,如图所示,记二面角[pic]的大小为[pic]. (I) 证明[pic]平面[pic]; (II)若[pic]为正三角形,试判断点[pic]在平面[pic]内的射影[pic]是否在直线[pic]上 ,证明你的结论,并求角[pic]的余弦值.[pic] (19) (本小题满分12分) 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.1 7万元的概率分别为[pic]、[pic]、[pic];已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是[pic],设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整, 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为[pic],对乙项目每投资十万元, [pic]取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量[pic]、[pic]分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求[pic]、[pic]的概率分布和数学期望[pic]、[pic]; (II) 当[pic]时,求[pic]的取值范围. (20) (本小题满分14分) 已知点[pic],[pic][pic]是抛物线[pic]上的两个动点,[pic]是坐标原点,向量[pic],[pic] 满足[pic].设圆[pic]的方程为[pic] (I) 证明线段[pic]是圆[pic]的直径; (II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。 21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=[pic],其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设[pic]［1- [pic]］上，[pic]，在[pic]，将点[pic]A， B， C (I)求[pic] (II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为[pic]，求a ,d的值 22．（本小题满分12分）已知[pic][pic],其中[pic],设[pic],[pic]. (I) 写出[pic]; (II) 证明:对任意的[pic],恒有[pic]. ----------------------- A C B D E F A B C D E F	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/辽宁卷理科.doc
2006年高考数学四川卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合[pic]，集合[pic]，则集合[pic]（　）（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （2）复数[pic]的虚部为（　）（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （3）已知[pic]，下面结论正确的是（　）（A）[pic]在[pic]处连续　　　（B）[pic] （C）[pic] 　　　　　　（D）[pic] （4）已知二面角[pic]的大小为[pic]，m、n为异面直线，且[pic]、[pic]，则m、n所成的角为（　）（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （5）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（　）（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （6）已知两定点[pic]、[pic]，如果动点P满足[pic]，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（　）（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （7）如图，已知正六边形[pic]，下列向量的数量积中最大的是（　）（A）[pic] （B）[pic] [pic] （C）[pic] （D）[pic] （8）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为[pic]、[pic]千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为[pic]、[pic]千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为[pic] 、[pic]元，月初一次性购进本月用原料A、B各[pic]、[pic]千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润[pic]最大的数学模型中，约束条件为（　）（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （9）直线[pic]与抛物线[pic]交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（　）（A）48 （B）56 （C）64 （D）72 （10）已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是[pic]，B、C两点的球面距离是[pic]，则二面角[pic]的大小是（　）（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （11）设a、b、c分别是⊿ABC的三个内角A、B、C所对的边，则[pic]是[pic]的（　）（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分又不必要条件（12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3整除的概率为（）（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．（13）在三棱锥[pic]中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是（用反三角函数表示）．（14）设离散型随机变量[pic]可能取的值为1、2、3、4，[pic]（k＝1、2、3、4），又 [pic]的数学期望[pic]，则[pic] ．（15）如图，把椭圆[pic]的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于[pic]，[pic]，…，[pic]七个点，[pic]是椭圆的一个焦点，则[pic] ．（16）非空集合G关于运算[pic]满足：（1）对任意[pic]，都有[pic]；（2）存在[pic] ，使得对一切[pic]，都有[pic]，则称G关于运算[pic]为“融洽集”．现给出下列集合和运算： G＝{非负整数}，[pic]为整数的加法； G＝{偶数}，[pic]为整数的乘法； G＝{平面向量}，[pic]为平面向量的加法； G＝{二次三项式}，[pic]多项式的乘法； G＝{虚数}，[pic]为复数的乘法．其中G关于运算为“融洽集”的是__________(写出所有“融洽集”的序号)．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知A、B、C是⊿ABC三内角，向量[pic]，[pic]，且[pic]．（I）求角[pic]；（II）若[pic]，求[pic]．（18）（本小题满分12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0. 9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9．所在考核是否合格相互之间没有影响．（I）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（II）求这三人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数）（19）（本小题满分12分）如图，在长方体[pic]中，E、P分别是BC、[pic]的中点，M、N分别是AE、[pic]的中点， AD＝AA1＝a，AB＝2a．（I）求证：MN//面ADD1A1；（II）求二面角P－AE－D的大小；（III）求三棱锥P－DEN的体积．（20）（本小题满分12分）已知数列[pic]，其中[pic]，[pic]，[pic]，记数列[pic]的前n项和为[pic]，数列[pic] 的前n项和为[pic]．（I）求[pic]；（II）设[pic]，[pic]（其中[pic]为[pic]的导函数），计算[pic]．（21）（本小题满分12分）已知两定点[pic]，[pic]，满足条件[pic]的点P的轨迹是曲线E，直线[pic]与曲线E交于 A、B两点．如果[pic]，且曲线E上存在点C，使[pic]，求m的值和⊿ABC的面积S．（22）（本小题满分14分）已知函数[pic]，[pic]的导函数是[pic]．对任意两个不相等的正数[pic]、[pic]，证明：（I）当[pic]时， [pic]；（II）当[pic]时， [pic]．	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷.理）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷（选择题　共50分） 1. 选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中只有一个正确答案） 1、[pic]是虚数单位，[pic]（　　） A．[pic]　　　 B．[pic]　　　C．[pic]　　　D．[pic] 2、如果双曲线的两个焦点分别为[pic]、[pic]，一条渐近线方程为[pic]，那么它的两条准线间的距离是（） A．[pic] 　　 B．[pic]　　　　　 C．[pic] 　　 D．[pic] 3、设变量[pic]、[pic]满足约束条件[pic]，则目标函数[pic]的最小值为（） A．[pic]　　　　B．[pic]　　　　　 C．[pic]　　　 D．[pic] 4、设集合[pic]，[pic]，那么“[pic]”是“[pic]”的（） A．充分而不必要条件　　　　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　　D．既不充分也不必要条件 5、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　） A．10种　　　　　B．20种　　　　　C．36种　　　　　D．52种 6、设[pic]、[pic]是两条不同的直线，[pic]、[pic]是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（　　） A．[pic]　　　B．[pic] C．[pic]　　　 D．[pic] 7、已知数列[pic]、[pic]都是公差为1的等差数列，其首项分别为[pic]、[pic]，且[pic] ，[pic]．设[pic]（[pic]），则数列[pic]的前10项和等于（　　） A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100 8、已知函数[pic]（[pic]、[pic]为常数，[pic]，[pic]）在[pic]处取得最小值，则函数[pic]是（　　） A．偶函数且它的图象关于点[pic]对称　B．偶函数且它的图象关于点[pic]对称 C．奇函数且它的图象关于点[pic]对称　 D．奇函数且它的图象关于点[pic]对称 9、函数[pic]的定义域为开区间[pic]，导函数[pic]在[pic]内的图象如图所示，则函数 [pic]在开区间[pic]内有极小值点（　） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 10、已知函数[pic]的图象与函数[pic]（[pic]且[pic]）的图象关于直线[pic]对称，记 [pic]．若[pic]在区间[pic]上是增函数，则实数[pic]的取值范围是（　　） A．[pic] 　 B．[pic] 　　　C．[pic] D．[pic] 第Ⅱ卷（非选择题　共100分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11、[pic]的二项展开式中[pic]的系数是____　　（用数学作答）． 12、设向量[pic]与[pic]的夹角为[pic]，且[pic]，[pic]，则[pic]__________． 13、如图，在正三棱柱[pic]中，[pic]．若二面角[pic]的大小为[pic]，则点[pic] 到平面[pic]的距离为______________． 14、设直线[pic]与圆[pic]相交于[pic]、[pic]两点，且弦[pic]的长为[pic]，则[pic] ____________． 15、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买[pic]吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为[pic]万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则[pic] 吨． 16、设函数[pic]，点[pic]表示坐标原点，点[pic]，若向量[pic]，[pic]是[pic]与[pic] 的夹角，（其中[pic]），设[pic]，则[pic]= ．三、解答题（本题共6道大题，满分76分） 17、（本题满分12分）如图，在[pic]中，[pic]，[pic]，[pic]．（1）求[pic]的值；（2）求[pic]的值. 18、（本题满分12分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为[pic]，且各次射击的结果互不影响。（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量[pic]表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求[pic]的分布列． 19、（本题满分12分）如图，在五面体[pic]中，点[pic]是矩形[pic]的对角线的交点，面[pic]是等边三角形，棱[pic]．（1）证明[pic]//平面[pic]；（2）设[pic]，证明[pic]平面[pic]．班级_____________ 姓名___________________ 20、（本题满分12分）已知函数[pic]，其中[pic]为参数，且[pic]．（1）当时[pic]，判断函数[pic]是否有极值；（2）要使函数[pic]的极小值大于零，求参数[pic]的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数[pic]，函数[pic]在区间[pic]内都是增函数，求实数[pic]的取值范围． 21、（本题满分14分）已知数列[pic]满足[pic]，并且 [pic]（[pic]为非零参数，[pic]）．（1）若[pic]成等比数列，求参数[pic]的值；（2）当[pic]时，证明[pic]；当[pic]时，证明[pic]. 22、（本题满分14分）如图，以椭圆[pic]的中心[pic]为圆心，分别以[pic]和[pic]为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点[pic]作垂直于[pic]轴的直线交大圆于第一象限内的点[pic]．连结[pic] 交小圆于点[pic]．设直线[pic]是小圆的切线．（1）证明[pic]，并求直线[pic]与[pic]轴的交点[pic]的坐标；（2）设直线[pic]交椭圆于[pic]、[pic]两点，证明[pic]．参考答案：一、选择题 \|题号\|1 \|2 \|3 \|4 \|5 \| \|[pic\|[pic] \|[pic] \|… \|[pic] \|… \| \|] \| \| \| \| \| \| 19、略　　　20、无极值；[pic]；[pic]　 21、[pic]；略；略　　22、[pic]；略． ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷.理）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果时间A、B互斥，那么[pic] 如果时间A、B相互独立，那么[pic] 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 [pic] 球的表面积公式[pic]，其中R表示球的半径球的体积公式[pic]，其中R表示球的半径一、选择题 ⑴、设集合[pic]，[pic]，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑵、已知函数[pic]的图象与函数[pic]的图象关于直线[pic]对称，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑶、双曲线[pic]的虚轴长是实轴长的2倍，则[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑷、如果复数[pic]是实数，则实数[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑸、函数[pic]的单调增区间为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑹、[pic]的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且[pic]，则 [pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑻、抛物线[pic]上的点到直线[pic]距离的最小值是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑼、设平面向量[pic]、[pic]、[pic]的和[pic]。如果向量[pic]、[pic]、[pic]，满足[pic]，且[pic]顺时针旋转[pic]后与[pic]同向，其中[pic]，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑽、设[pic]是公差为正数的等差数列，若[pic]，[pic]，则[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：[pic]）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑿、设集合[pic]。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 3．本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。 ⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为[pic]，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。 ⒁、设[pic]，式中变量[pic]满足下列条件 [pic] [pic] [pic] 则z的最大值为_____________。 ⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答） ⒃、设函数[pic]。若[pic]是奇函数，则[pic]__________。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ⒄、（本小题满分12分） [pic]的三个内角为[pic]，求当A为何值时，[pic]取得最大值，并求出这个最大值。 ⒅、（本小题满分12分） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为[pic]，服用B有效的概率为[pic]。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用[pic]表示这3个试验组中甲类组的个数，求[pic]的分布列和数学期望。 ⒆、（本小题满分12分）如图，[pic]、[pic]是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在[pic] 上，C在[pic]上，[pic]。（Ⅰ）证明[pic]⊥[pic]；（Ⅱ）若[pic]，求[pic]与平面ABC所成角的余弦值。 ⒇、（本小题满分12分）在平面直角坐标系[pic]中，有一个以[pic]和[pic]为焦点、离心率为[pic]的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与[pic]轴的交点分别为A、B，且向量[pic]。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）[pic]的最小值。（21）、（本小题满分14分）已知函数[pic]。（Ⅰ）设[pic]，讨论[pic]的单调性；（Ⅱ）若对任意[pic]恒有[pic]，求[pic]的取值范围。（22）、（本小题满分12分）设数列[pic]的前[pic]项的和 [pic]，[pic] （Ⅰ）求首项[pic]与通项[pic]；（Ⅱ）设[pic]，[pic]，证明：[pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ.理）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果时间A、B互斥，那么[pic] 如果时间A、B相互独立，那么[pic] 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 [pic] 球的表面积公式[pic]，其中R表示球的半径球的体积公式[pic]，其中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）、复数[pic]等于 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （2）、设集合[pic]，[pic]，则[pic]等于 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （3）、若抛物线[pic]的焦点与椭圆[pic]的右焦点重合，则[pic]的值为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （4）、设[pic]，已知命题[pic]；命题[pic]，则[pic]是[pic]成立的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [pic] [pic] （5）、函数[pic] 的反函数是 [pic], [pic] [pic]， [pic] [pic] [pic] A．[pic] B．[pic] [pic]， [pic] [pic]， [pic] [pic]， [pic] [pic] [pic] C．[pic] D．[pic] [pic]， [pic] [pic]， [pic] （6）、将函数[pic]的图象按向量[pic]平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （7）、若曲线[pic]的一条切线[pic]与直线[pic]垂直，则[pic]的方程为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （8）、设[pic]，对于函数[pic]，下列结论正确的是 A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值（9）、表面积为[pic] 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] [pic]，（10）、如果实数[pic]满足条件 [pic]，那么[pic]的最大值为 [pic]， A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （11）、如果[pic]的三个内角的余弦值分别等于[pic]的三个内角的正弦值，则 A．[pic]和[pic]都是锐角三角形 B．[pic]和[pic]都是钝角三角形 C．[pic]是钝角三角形，[pic]是锐角三角形 D．[pic]是锐角三角形，[pic]是钝角三角形（12）、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。（13）、设常数[pic]，[pic]展开式中[pic]的系数为[pic]，则[pic]__________。（14）、在[pic]中，[pic]，M为BC的中点，则[pic]_______。（用[pic]表示）（15）、函数[pic]对于任意实数[pic]满足条件[pic]，若[pic]则[pic]_____________ __。（16）、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面[pic]内，其余顶点在[pic]的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到[pic]的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面[pic]的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为________________________。（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）、（本大题满分12分）已知[pic] （Ⅰ）求[pic]的值；（Ⅱ）求[pic]的值。（18）、（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1， 2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用[pic]表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（Ⅰ）写出[pic]的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（Ⅱ）求[pic]的数学期望[pic]。（要求写出计算过程或说明道理）（19）、（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，[pic]，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（Ⅰ）证明[pic]⊥[pic]；（Ⅱ）求面[pic]与面[pic]所成二面角的大小。（20）、（本大题满分12分）已知函数[pic]在R上有定义，对任何实数[pic]和任何实数[pic]，都有[pic] （Ⅰ）证明[pic]； [pic] [pic]，（Ⅱ）证明[pic] 其中[pic]和[pic]均为常数； [pic] [pic]，（Ⅲ）当（Ⅱ）中的[pic]时，设[pic]，讨论[pic]在[pic]内的单调性并求极值。（21）、（本大题满分12分）数列[pic]的前[pic]项和为[pic]，已知[pic] （Ⅰ）写出[pic]与[pic]的递推关系式[pic]，并求[pic]关于[pic]的表达式；（Ⅱ）设[pic]，求数列[pic]的前[pic]项和[pic]。（22）、（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：[pic]的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于[pic]轴上方， M为左准线上一点，[pic]为坐标原点。已知四边形[pic]为平行四边形，[pic]。（Ⅰ）写出双曲线C的离心率[pic]与[pic]的关系式；（Ⅱ）当[pic]时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若[pic]，求此时的双曲线方程。	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷.理）word版.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）第Ⅰ卷（选择题　共60分）参考公式：如果事件[pic]互斥，那么[pic] 如果事件[pic]相互独立，那么[pic] 球的表面积公式[pic]，其中[pic]表示球的半径球的体积公式[pic]，其中[pic]表示球的半径如果事件[pic]在一次试验中发生的概率是[pic]，那么[pic]次独立重复试验中恰好发生 [pic]次的概率[pic] 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合[pic]，则满足[pic]的集合[pic]的个数是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 2．设[pic]是[pic]上的任意函数，则下列叙述正确的是（　　）Ａ．[pic]是奇函数Ｂ．[pic]是奇函数Ｃ．[pic]是偶函数Ｄ．[pic]是偶函数 3．给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行； ③若直线[pic]，[pic]与同一平面所成的角相等，则[pic]，[pic]互相平行； ④若直线[pic]，[pic]是异面直线，则与[pic]，[pic]都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 4．双曲线[pic]的两条渐近线与直线[pic]围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 5．设[pic]是[pic]上的一个运算，[pic]是[pic]的非空子集，若对任意[pic]，有[pic] ，则称[pic]对运算[pic]封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（　　）Ａ．自然数集Ｂ．整数集Ｃ．有理数集Ｄ．无理数集 6．[pic]的三内角[pic]，[pic]，[pic]所对边的长分别为[pic]，[pic]，[pic]，设向量[pic][pic]，[pic][pic]，若[pic]，则角[pic]的大小为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 7．与方程[pic]的曲线关于直线[pic]对称的曲线的方程为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 8．曲线[pic]与曲线[pic]的（　　）Ａ．焦距相等Ｂ．离心率相等Ｃ．焦点相同Ｄ．准线相同 9．在等比数列[pic]中[pic]，前[pic]项和为[pic]，若数列[pic]也是等比数列，则[pic] 等于（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 10．直线[pic]，则曲线[pic]（[pic]，且[pic]）的公共点的个数为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 11．已知函数[pic]，则[pic]的值域是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 12．设[pic]，[pic]，[pic]，点[pic]是线段[pic]上的一个动点，[pic]，若[pic]，则实数[pic]的取值范围是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 第II卷（非选择题　共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．设[pic]则[pic]　　　　． 14．[pic]． 15．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答） 16．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为[pic]，则[pic]．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数[pic][pic]，求（Ⅰ）函数[pic]的最大值及取得最大值的自变量[pic]的集合；（Ⅱ）函数[pic]的单调增区间． 18．（本小题满分12分）已知正方形[pic]，[pic]分别是边[pic]的中点，将[pic]沿[pic]折起，如图所示，记二面角[pic]的大小为[pic]（[pic]）．（Ⅰ）证明[pic]平面[pic]；（Ⅱ）若[pic]为正三角形，试判断点[pic]在平面[pic]内的射影[pic]是否在直线[pic] 上，证明你的结论，并求角[pic]的余弦值． 19．（本小题满分12分）　　现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资[pic]万元，一年后利润是[pic]万元，[pic] 万元，[pic]万元的概率分别为[pic]；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是[pic]，设乙项目产品价格在一年内进行[pic]次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为[pic]．对乙项目每投资十万元，[pic] 取[pic]时，一年后相应利润是[pic]万元，[pic]万元，[pic]万元．随机变量[pic]，[pic] 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．（I）求[pic]，[pic]的概率分布和数字期望[pic]；（II）当[pic]时，求[pic]的取值范围． 20．（本小题满分14分）已知点[pic]是抛物线[pic]上的两个动点，[pic]是坐标原点，向量[pic]满足[pic]，设圆[pic]的方程为[pic]．（Ⅰ）证明线段[pic]是圆[pic]的直径；（Ⅱ）当圆[pic]的圆心到直线[pic]的距离的最小值为[pic]时，求[pic]的值． 21．（本小题满分12分）已知函数[pic]，[pic]，其中[pic]，设[pic]为[pic]的极小值点，在[pic]上，[pic]在 [pic]处取得最大值，在[pic]处取得最小值，将点[pic]依次记为[pic]．（Ⅰ）求[pic]的值；（Ⅱ）若[pic]有一条边平行于[pic]轴，且面积为[pic]，求[pic]的值． 22．（本小题满分12分）已知[pic]，其中[pic]．设 [pic]．（I）写出[pic]；（II）证明：对任意的[pic]，恒有[pic]． ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] A B C D E F	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试理科(辽宁卷).doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学（必修+选修）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页，满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（共60分）注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上，参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)－P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A,B) －P(A)=P(B) 1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。 1. 定义集合运算：A⊙B=﹛z\|z=xy(x+y),x∈A,y∈B﹜,设集合A[pic] (0,1),B[pic] (2,3),则集合A⊙B的所有元素之和为 (A) 0 (B)6 (C)12 (D)18 (2)设[pic] (A)0 　(B)1 (C)2 (D)3 （3）函数[pic] (A) (B) (C) (D) (4)设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为 (A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）（5）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝－f(x)，则f(6) 的值为 (A) －1 (B)0 (C)1 (D)2 （6）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=[pic],a=[pic],b=1，则 c= (A)1 (B)2 (C) [pic]－1 (D) [pic] （7）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为[pic]，焦点到相应准线的距离为[pic]，则该双曲线的离心率为 (A)[pic] (B)2 (C) [pic] (D)2[pic] （8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (A)1∶[pic] (B)1∶3 (C)1∶3[pic] (D)1∶9 （9）设p∶[pic]∶[pic]0，则p是q的 (A)充分不必要条件　　　　　　　 (B)必要不充分条件 (C)充要条件　　　　　　　　　　　　 (D)既不充分也不必要条件 (10)已知([pic])[pic]的展开式中第三项与第五项的系数之比为[pic]，则展开式中常数项是 (A)－1 (B)1 (C)－45 (D)45 （11）已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A)33 (B)34 (C)35 (D)36 （12）已知x和y是正整数，且满足约束条件[pic]则x－2x[pic]3y的最小值是 (A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5 2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷（共90分）注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。（13）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　　　　　. （14）设[pic]为等差数列[pic]的前n项和，[pic]＝14，[pic]－[pic]＝30，则[pic] ＝　　　　. （15）已知抛物线[pic]，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A([pic]两点，则y[pic] 的最小值是　　　　　（16）如图，在正三棱柱ABC- [pic]中，所有棱长均为1，则点B[pic]到平面ABC[pic]的距离为　　　　. [pic] 3. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）设函数f(x)= [pic] (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值. （18）（本小题满分12分）已知函数f(x)＝A[pic]且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. (Ⅰ)求[pic]； (Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008). （19）（本小题满分12分）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求： (Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； (Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念； (Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率. (20) （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P- ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=[pic],PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小； (Ⅲ)设点M在棱PC上，且[pic]为何值时，PC⊥平面BMD. （21）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线[pic]过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线 l的方程. （22）（本小题满分14分）已知数列｛[pic]｝中，[pic]在直线y=x上，其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令[pic] (Ⅱ)求数列[pic] (Ⅲ)设[pic][pic][pic]的前n项和,是否存在实数[pic]，使得数列[pic]为等差数列？若存在，试求出[pic].若不存在,则说明理由。	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷.文）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科数学及参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式 [pic] [pic] 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 [pic] 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 [pic] n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 [pic] 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； \|题号 \|1 \|2 \|3 \|4 \|5 \| \|[pic] \|[pic] \|[pic] \|[pic] \|[pic] \|[pic] \| \|[pic] \|[pic] \|极大 \|[pic] \|极小 \|[pic] \| ∴[pic] 又∵[pic]的值域是[pic]，且在[pic]上单调递增 ∴当[pic]时函数[pic]的图象与直线[pic]只有一个公共点。当[pic]时，恒有[pic] 由题意得[pic] 即[pic] 解得[pic] 综上，[pic]的取值范围是[pic] （22）（本大题满分14分）已知两定点[pic]，满足条件[pic]的点[pic]的轨迹是曲线[pic]，直线[pic]与曲线[pic] 交于[pic]两点（Ⅰ）求[pic]的取值范围；（Ⅱ）如果[pic]，且曲线[pic]上存在点[pic]，使[pic]，求[pic]的值和[pic]的面积 [pic] 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线[pic]是以[pic]为焦点的双曲线的左支，且[pic]，易知[pic] 故曲线[pic]的方程为[pic] 设[pic]，由题意建立方程组[pic] 消去[pic]，得[pic] 又已知直线与双曲线左支交于两点[pic]，有 [pic] 解得[pic] ∵ [pic][pic] [pic] [pic] 依题意得 [pic] 整理后得[pic] ∴[pic]或[pic] 但[pic] ∴[pic] 故直线[pic]的方程为[pic] 设[pic]，由已知[pic]，得[pic] ∴[pic]，[pic] 又[pic]，[pic] ∴点[pic] 将点[pic]的坐标代入曲线[pic]的方程，得[pic]得[pic]，但当[pic]时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴[pic]，点[pic]的坐标为[pic] [pic]到[pic]的距离为[pic] ∴[pic]的面积[pic] 录入：四川省内江市隆昌县黄家中学程亮 lc_chengliang@163.com ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷.文）答案.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类) (北京卷) 第Ⅰ卷(选择题共40分) 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题要求的一项. (1)在复平面内,复数[pic]对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答:D 解析:[pic],在复平面内所对应的点是(1,－1),故选D. (2)若a与b－c都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b－c)”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答:C 解析:a·b=a·c[pic]a·b－a·c=0[pic]a·(b－c)=0[pic]a⊥(b－c). (3)在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 ( ) A.36个 B.24个 C.18个 D.6个答:B 解析:在所给的五个数字中,有三个奇数,两个偶数,则按要求组成的三位数可能是①由三个奇数组成1,3,5(共可组成[pic]个奇数);②由一个奇数、两个偶数组成,这时的可能性为: 1,2,4;3,2,4;5,2,4(共可组成[pic]个奇数).所以共有[pic]+[pic]=24个 (4)平面[pic]的斜线AB交[pic]于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交[pic]于点C,则动点C的轨迹是 ( ) A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支答:A. 解析:方法一:如图所示,设直线AB在平面[pic]内的射影为O,过O点建立如图所示的空间坐标系,并记[pic],AB=l则有A(0,0,lsin[pic]), B(0,lcos[pic],0), 再设C(x, y,0),则有 [pic](x, y,－lsin[pic]),[pic](0,lcos[pic],－lsin[pic]), 由[pic]得[pic],即(x, y,－lsin[pic])·(0, lcos[pic],－lsin[pic])=0,所以ylcos[pic]＋l2sin2[pic]=0,这是一个直线方程. 方法二:坐标系的建立仍同方法一,则在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2+AC2=BC2,即 [(0－0)2＋(0－lcos[pic])2＋(lsin[pic]－0)2]＋[(0－x)2＋(0－y)2＋(lsin[pic]－ 0)2]=(0－x)2＋(lcos[pic]－0)2＋(0－0)2 由此得ylcos[pic]＋l2sin2[pic]=0. [pic] (5)已知[pic]是[pic]上的减函数,那么a的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,[pic]) C.[[pic],[pic]) D.[[pic],1) 答:C 解析:当[pic][pic]它在[pic]上为减函数的充要条件是[pic],得[pic]. 当[pic][pic],它在[pic]上为减函数的充要条件是[pic]. 当[pic]时,要使[pic]在[pic]为减函数,须有[pic],即[pic], 即[pic]. 综上三种情况,得[pic]. (6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x1, x2 ([pic]),\|[pic][pic]恒成立”的只有 ( ) A.[pic] B.[pic] C.[pic] A.[pic] 答:A 解析:当[pic]时,要证\|[pic][pic],只要证[pic]在[pic]恒成立即可. 对于选项A,有[pic],当[pic],恒有[pic],所以选A. (7)设[pic],则f(n)= ( ) A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.[pic] 答:D 解析:数列[pic]是以首项为2,公比为8的等比数列,这个给出的数列共有[pic]项,根据等比数列的通项公式有[pic]. (8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段[pic],[pic],[pic] 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等), 则 [pic] A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.[pic] 答:C 解析:按图中的数据列出方程组即可. 第Ⅱ卷(共110分) 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中横线上. (9)[pic]的值等于 . 答:－[pic]. 解析:[pic]. (10)在[pic]的展开式中,x2的系数是 .(用数字作答) 答:－14. 解析:[pic]=[pic]=[pic],所以x2的系数是－14. (11)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab[pic]0),共线,则[pic]的值等于 . 答:[pic]. 解析:设过点B(a,0),C(0,b) 的直线方程为[pic],由于点A(2,2)在此直线上,所以[pic],则[pic]. (12)在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B的大小是 . 答:[pic]. 解析:由正弦定理有 a:b:c=5:7:8,不妨设a=5,b=7, c=8,则由余弦定理得 cos∠B=[pic],所以∠B=[pic]. (13)已知点P(x, y)的坐标满足条件[pic]点O为坐标原点,即么\|PO\|的最小值等于 ,最大值等于 . 答:[pic];[pic]. 解析:这是一个线性规划问题,由图中可以解得A(1,1), B(2,2), C(1,3),由图可见OB⊥BC,所以当P点与C点重合时,OP是最大距离为[pic],当P点与A点重合时,OA是最小距离为[pic]. [pic] (14)已知A,B,C三点在球心为O,半径为R的球面上,AC⊥BC,且AB=R,那么A,B两点的球面距离为 . 球心到平面ABC的距离为 . 答:[pic];[pic]. 解析:由于AC⊥BC,则知A,B,C在平面ABC与球的交面(圆)上,且AB为平面与球的所交的小圆的直径. 由AB=R,可见[pic],则∠BOO1=300,且[pic]. A,B两点的球面距离即为∠BOA所对的大圆上的弧的长度,即[pic]. [pic] 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题共12分)已知函数[pic]. (Ⅰ)求f(x)的定义域; (Ⅱ)设[pic]是第四象限的角,且tan[pic]=[pic],求f([pic])的值. 解:(Ⅰ)要使函数f(x)有意义,则有[pic],所以[pic],则所求定义域为[pic]. (Ⅱ)由[pic]是第四象限的角,且tan[pic]=[pic]可得[pic]. [pic]=[pic] =[pic]. 把[pic]代入上式,即得 f([pic])=[pic]. (16)(本小题共13分)已知函数[pic]在点x0处取得极大值,其导数y=f"(x)的图象经过点( 1,0),(2,0),如图所示,求: (Ⅰ)x0的值; (Ⅱ)[pic]的值. [pic] 解:(Ⅰ)由图中可见[pic]与x轴的交点为[pic]且知[pic]. 则知方程[pic]的两根[pic], 则有[pic]即[pic] 由此可得[pic] 当[pic]时,所取得的极大值是[pic]=[pic]; 当[pic]时,所取得的极大值是[pic]. 由于[pic],则知当[pic]时,[pic]所取得的极大值是最大值.所以[pic]. (Ⅱ)由[pic]=[pic]=5,所以[pic].将此代入①②得b=－9,c=12. (17)(本小题共14分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥P- ABCD中,AB⊥AC,PA平面ABCD,且PA=PB,点E是PD的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)求证:PB//平面AEC; [pic] (Ⅲ)求二面角E-AC-B的大小. 解法一:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD, ∴AB是PB在平面ABCD上的射影. 又∵AB⊥AC,AC[pic]平面ABCD,∴AC⊥PB. (Ⅱ)连接BD,与AC相交于O,连接EO. ∵ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点, 又E是PD的中点,∴EO//PB. 又PB[pic]平面AEC,EO[pic]平面AEC, ∴PB//平面AEC. (Ⅲ)取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为([pic]),[pic],[pic],[pic], ∴[pic] ∴[pic] ∴[pic]EOG是二面角E-AC-B的平面角. ∵[pic], ∴[pic]. ∴二面角E-AC-B的大小为1350. (18)(本小题共13分)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a,b,c,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C, 则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c, (Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率 [pic] (Ⅱ)因为a,b,c[pic],所以 [pic] 故[pic],即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大. (19)(本小题共14分)已知点M(－2,0),N(2,0),动点P满足条件\|PM\|－\|PN\|=2[pic].记动点 P的轨迹为W. (Ⅰ)求W的方程; (Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求[pic]的最小值. 解法一:(Ⅰ)由\|PM\|－\|PN\|=2[pic]知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长[pic]. 又半焦距c=2,故虚半轴长[pic], 所以W的方程为[pic]. (Ⅱ)设A,B的坐标分别为([pic]),([pic]), 当AB⊥x轴时,[pic]从而[pic] 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为[pic],与W的方程联立,消去y得 [pic] 故[pic],所以 [pic] 又因为[pic]所以[pic]从而[pic] 综上,当AB⊥x轴时,[pic]取得最小值2. 解法二:(Ⅰ)同解法一; (Ⅱ)设A,B的坐标分别为([pic]),([pic]), [pic] 令[pic],则[pic],且[pic],所以 [pic] 当且仅当[pic],即[pic]时,"="成立. 所以[pic]取得最小值2. (20)(本小题共14分)在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=\|an－1－an－2\|,[pic]…,则称{an}为“绝对差数列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项); (Ⅱ)若“绝对差数列”{an}中,[pic],[pic],数列{bn}满足[pic],[pic]…,分别判断当[pic] 时,an与bn的极限是否存在,如果存在,求出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 解:(Ⅰ)[pic],[pic],[pic],[pic],[pic],[pic],[pic],[pic],[pic],[pic].(答案不惟一 ) (Ⅱ)因为在绝对差数列{an}中,[pic],所以自第20项开始,该数列是 [pic],[pic],[pic],[pic],…. 即自第20项开始,每三个相邻的项的周期地取值3,0,3,所以当[pic]时,[pic]的极限不存在. 当[pic]时,[pic]=6,所以[pic]=6. (Ⅲ)证明:根据定义,数列{an}必在有限项后出现零项,证明如下: 假设{an}中没有零项,由于an=\|an－1－an－2\|,所以对于任意的n,都有[pic],从而当[pic]时,an=an－1－an－2[pic]; 当[pic]时,an=an－2－an－1[pic]; 即an的值要么比an－1至少小1,要么比an－2至少小1. 令[pic]n=1,2,3,…, 则0[pic] 由于c1是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项cn<0,这与cn>0 (n=1,2,3,…)矛盾.从而{an}必有零项. 若第一次出现的零项为第n项,记an－1=A (A≠0),则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A,即 [pic] k=0,1,2,3,…. 所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷.理）含答案.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果时间A、B互斥，那么[pic] 如果时间A、B相互独立，那么[pic] 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 [pic] 球的表面积公式[pic]，其中R表示球的半径球的体积公式[pic]，其中R表示球的半径一、选择题 ⑴、设集合[pic]，[pic]，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑵、已知函数[pic]的图象与函数[pic]的图象关于直线[pic]对称，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑶、双曲线[pic]的虚轴长是实轴长的2倍，则[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑷、如果复数[pic]是实数，则实数[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑸、函数[pic]的单调增区间为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑹、[pic]的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且[pic]，则 [pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑻、抛物线[pic]上的点到直线[pic]距离的最小值是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑼、设平面向量[pic]、[pic]、[pic]的和[pic]。如果向量[pic]、[pic]、[pic]，满足[pic]，且[pic]顺时针旋转[pic]后与[pic]同向，其中[pic]，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑽、设[pic]是公差为正数的等差数列，若[pic]，[pic]，则[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：[pic]）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑿、设集合[pic]。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 3．本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。 ⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为[pic]，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。 ⒁、设[pic]，式中变量[pic]满足下列条件 [pic] [pic] [pic] 则z的最大值为_____________。 ⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答） ⒃、设函数[pic]。若[pic]是奇函数，则[pic]__________。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ⒄、（本小题满分12分） [pic]的三个内角为[pic]，求当A为何值时，[pic]取得最大值，并求出这个最大值。 ⒅、（本小题满分12分） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为[pic]，服用B有效的概率为[pic]。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用[pic]表示这3个试验组中甲类组的个数，求[pic]的分布列和数学期望。 ⒆、（本小题满分12分）如图，[pic]、[pic]是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在[pic] 上，C在[pic]上，[pic]。（Ⅰ）证明[pic]⊥[pic]；（Ⅱ）若[pic]，求[pic]与平面ABC所成角的余弦值。 ⒇、（本小题满分12分）在平面直角坐标系[pic]中，有一个以[pic]和[pic]为焦点、离心率为[pic]的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与[pic]轴的交点分别为A、B，且向量[pic]。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）[pic]的最小值。（21）、（本小题满分14分）已知函数[pic]。（Ⅰ）设[pic]，讨论[pic]的单调性；（Ⅱ）若对任意[pic]恒有[pic]，求[pic]的取值范围。（22）、（本小题满分12分）设数列[pic]的前[pic]项的和 [pic]，[pic] （Ⅰ）求首项[pic]与通项[pic]；（Ⅱ）设[pic]，[pic]，证明：[pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/-旧人教[整理]2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅲ卷)word版.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件[pic]互斥，那么[pic] 如果事件[pic]相互独立，那么[pic] 如果事件[pic]在一次试验中发生的概率是[pic]，那么[pic]次独立重复试验中恰好发生 [pic]次的概率：[pic] 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合[pic]，[pic]，[pic]，则[pic] （A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （2）在等差数列[pic]中，若[pic]且[pic]，[pic]的值为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （3）以点（2，－1）为圆心且与直线[pic]相切的圆的方程为（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （4）若[pic]是平面[pic]外一点，则下列命题正确的是（A）过[pic]只能作一条直线与平面[pic]相交（B）过[pic]可作无数条直线与平面[pic]垂直（C）过[pic]只能作一条直线与平面[pic]平行（D）过[pic]可作无数条直线与平面[pic]平行（5）[pic]的展开式中[pic]的系数为（A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160 （6）设函数[pic]的反函数为[pic]，且[pic]的图像过点[pic]，则[pic]的图像必过（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（A）2 （B）3 （C）5 （D）13 （8）已知三点[pic]，其中[pic]为常数。若[pic]，则[pic]与[pic]的夹角为（A）[pic] （B）[pic]或[pic] （C）[pic] （D）[pic]或[pic] （9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 （10）若[pic]，[pic],[pic]，则[pic]的值等于（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （11）设[pic]是右焦点为[pic]的椭圆[pic]上三个不同的点，则“[pic]成等差数列”是 “[pic]”的（A）充要条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既非充分也非必要（12）若[pic]且[pic]，则[pic]的最小值是（A）[pic] （B）3 （C）2 （D）[pic] 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。（13）已知[pic]，[pic]，则[pic] 。（14）在数列[pic]中，若[pic]，[pic]，则该数列的通项[pic] 。（15）设[pic]，函数[pic]有最小值，则不等式[pic]的解集为。（16）已知变量[pic]，[pic]满足约束条件[pic]。若目标函数[pic]（其中[pic]）仅在点[pic]处取得最大值，则[pic]的取值范围为。三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为[pic]、[pic]、[pic]。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；（18）（本小题满分13分）设函数[pic]（其中[pic]）。且[pic]的图像在[pic]轴右侧的第一个最高点的横坐标是 [pic]。（Ⅰ）求[pic]的值；（Ⅱ）如果[pic]在区间[pic]上的最小值为[pic]，求[pic]的值；（19）（本小题满分12分）设函数[pic]的图像与直线[pic]相切于点[pic]。（Ⅰ）求[pic]的值；（Ⅱ）讨论函数[pic]的单调性。（20）（本小题满分12分）如图，在增四棱柱[pic]中，[pic]，[pic]为[pic]上使[pic]的点。平面[pic]交[pic]于 [pic]，交[pic]的延长线于[pic]，求：（Ⅰ）异面直线[pic]与[pic]所成角的大小；（Ⅱ）二面角[pic]的正切值；（21）（本小题满分12分）已知定义域为[pic]的函数[pic]是奇函数。（Ⅰ）求[pic]的值；（Ⅱ）若对任意的[pic]，不等式[pic]恒成立，求[pic]的取值范围；（22）（本小题满分12分）如图，对每个正整数[pic]，[pic]是抛物线[pic]上的点，过焦点[pic]的直线[pic]角抛物线于另一点[pic]。（Ⅰ）试证：[pic]；（Ⅱ）取[pic]，并记[pic]为抛物线上分别以[pic]与[pic]为切点的两条切线的交点。试证：[pic]；	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷.文）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试数　　学（江苏卷） [pic]参考公式：一组数据的方差　　　　　　　　　[pic] 其中[pic]为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。（1）已知[pic]，函数[pic]为奇函数，则a＝（A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1 （2）圆[pic]的切线方程中有一个是（A）x－y＝0　　　（B）x＋y＝0　　　（C）x＝0　　　（D）y＝0 （3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（A）1　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　（D）4 （4）为了得到函数[pic]的图像，只需把函数[pic]的图像上所有的点（A）向左平移[pic]个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的[pic]倍（纵坐标不变）（B）向右平移[pic]个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的[pic]倍（纵坐标不变）（C）向左平移[pic]个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移[pic]个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（5）[pic]的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0　　　　　（B）2　　　　　（C）4　　　　　（D）6 （6）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足[pic]　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（A）[pic]　　　（B）[pic]　　　（C）[pic]　　　（D）[pic] （7）若A、B、C为三个集合，[pic]，则一定有（A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）[pic]　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　　（D）[pic] （9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个　　　　　（B）2个（C）3个　　　　　（D）无穷多个（10）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A）[pic]　　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　　（D）[pic] 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。（11）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　▲　　（12）设变量x、y满足约束条件[pic]，则[pic]的最大值为　　▲　　（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　 ▲　种不同的方法（用数字作答）。（14）[pic]＝　▲　（15）对正整数n，设曲线[pic]在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为[pic]，则数列[pic] 的前n项和的公式是　▲　（16）不等式[pic]的解集为　▲　三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）　　　已知三点P（5，2）、[pic]（－6，0）、[pic]（6，0）. （Ⅰ）求以[pic]、[pic]为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、[pic]、[pic]关于直线y＝x的对称点分别为[pic]、[pic]、[pic]，求以[pic]、[pic]为焦点且过点[pic]的双曲线的标准方程。（18）（本小题满分14分）　　　请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心[pic]的距离为多少时，帐篷的体积最大？（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）　　　在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP :PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到[pic]的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）（20）（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）　　　设a为实数，设函数[pic]的最大值为g(a)。　　　（Ⅰ）设t＝[pic]，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) （Ⅱ）求g(a) （Ⅲ）试求满足[pic]的所有实数a （21）（本小题满分14分）　　　设数列[pic]、[pic]、[pic]满足：[pic]，[pic]（n=1,2,3,…），　　　证明[pic]为等差数列的充分必要条件是[pic]为等差数列且[pic]（n=1,2,3,…） ----------------------- 注　意　事　项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。绝密★启用前信号源 A B C D 图1 O O1 图1 图2	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、集合P＝｛x」x2－16<0｝,Q＝｛x」x＝2n，n[pic]Z｝,则P[pic]Q＝ A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2、已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则[pic] A. [pic] B. 4 C. [pic] D. 2 3、已知[pic]＝[pic]，A∈（0，[pic]），则[pic] A.[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 4、在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9 A. 81 B. 27[pic] C. [pic] D. 243 5、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么 A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6、关于直线m、n与平面[pic]与[pic]，有下列四个命题： ①若[pic]且[pic]，则[pic]； ②若[pic]且[pic]，则[pic]； ③若[pic]且[pic]，则[pic]； ④若[pic]且[pic]，则[pic]；其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7、设f(x)＝[pic]，则[pic]的定义域为 A. [pic] B.(－4,－1)[pic](1，4) C. (－2,－1)[pic](1，2) D. (－4,－2)[pic](2，4) 8、在[pic]的展开式中，x的幂的指数是整数的有 A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项 9、设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，若[pic]，则点P的轨迹方程是 A. [pic] B. [pic] C. [pic] D.[pic] 10、关于x的方程[pic]，给出下列四个命题： ①存在实数[pic]，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数[pic]，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数[pic]，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数[pic]，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 答案一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题：11.[pic] 12. 0.94 13. (0，[pic]) 14. 78 15.（[pic][pic]R3）`＝4[pic]R2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。 11、在[pic]ABC中，已知[pic]，b＝4，A＝30°，则sinB＝ . 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3 人出现发热反应的概率为。（精确到0．01） 13、若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 14、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 15、半径为r的圆的面积S(r)＝[pic]r2,周长C(r)=2[pic]r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则([pic]r2)`＝2[pic]r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子：式可以用语言叙述为：。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分12分）设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f(x)≥[pic]成立的x的取值集。 17、（本小题满分12分）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的[pic]，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 18、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ 2C1N. （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。 19、（本小题满分12分）设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。 20、（本小题13分）设数列[pic]的前n项和为[pic]，点[pic]均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列[pic]的通项公式；（Ⅱ）设[pic]，[pic]是数列[pic]的前n项和，求使得[pic]对所有[pic]都成立的最小正整数m。 21、（本小题满分13分）设[pic]分别为椭圆[pic]的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且[pic]为它的右准线。（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设[pic]为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线[pic]分别与椭圆相交于异于[pic]的点[pic]，证明点[pic]在以[pic]为直径的圆内。（此题不要求在答题卡上画图） ----------------------- _ 2 _ 1 _ - 1 _ - 2 _ - 3 _ - 4 _ - 2 _ 2 _ 4 _ B _ A _ M _ N	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷.文）.doc
2006高等学校全国统一数学文试题（江西卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合[pic]，[pic]，则[pic]等于（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 2．函数[pic]的最小正周期为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 3．在各项均不为零的等差数列[pic]中，若[pic]，则[pic]（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 4．下列四个条件中，[pic]是[pic]的必要不充分条件的是（　　）Ａ．[pic]，[pic] Ｂ．[pic]，[pic] Ｃ．[pic]为双曲线，[pic] Ｄ．[pic]，[pic] 5．对于[pic]上可导的任意函数[pic]，若满足[pic]，则必有（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 6．若不等式[pic]对一切[pic]成立，则[pic]的最小值为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 7．在[pic]的二项展开式中，若常数项为[pic]，则[pic]等于（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下 4个命题中，假命题是（　　）Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 10．已知等差数列[pic]的前[pic]项和为[pic]，若[pic]，且[pic]三点共线（该直线不过点[pic]），则[pic]等于（　　　）Ａ．100 Ｂ．101 Ｃ．200 Ｄ．201 11．[pic]为双曲线[pic]的右支上一点，[pic]，[pic]分别是圆[pic]和[pic]上的点，则[pic]的最大值为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 12．某地一天内的气温[pic]（单位：℃）与时刻[pic]（单位：时）之间的关系如图（1 ）所示，令[pic]表示时间段[pic]内的温差（即时间段[pic]内最高温度与最低温度的差）．[pic]与[pic]之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（　　）第II卷二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．已知向量[pic]，[pic]，则[pic]的最大值为． 14．设[pic]的反函数为[pic]，若[pic]，则[pic] ． 15．如图，已知正三棱柱[pic]的底面边长为1，高为8，一质点自[pic]点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达[pic]点的最短路线的长为． 16．已知[pic]为双曲线[pic]的两个焦点，[pic]为双曲线右支上异于顶点的任意一点， [pic]为坐标原点．下面四个命题（　　）Ａ．[pic]的内切圆的圆心必在直线[pic]上；Ｂ．[pic]的内切圆的圆心必在直线[pic]上；Ｃ．[pic]的内切圆的圆心必在直线[pic]上；Ｄ．[pic]的内切圆必通过点[pic]．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数[pic]在[pic]与[pic]时都取得极值．（1）求[pic]的值及函数[pic]的单调区间；（2）若对[pic]，不等式[pic]恒成立，求[pic]的取值范围． 18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19．（本小题满分12分）在锐角[pic]中，角[pic]所对的边分别为[pic]，已知[pic]，（1）求[pic]的值；（2）若[pic]，[pic]，求[pic]的值． 20．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥[pic]的侧棱[pic]两两垂直，且[pic]，[pic]，[pic]是[pic]的中点．（1）求[pic]点到面[pic]的距离；（2）求异面直线[pic]与[pic]所成的角；（3）求二面角[pic]的大小． 21．（本小题满分12分）如图，椭圆[pic]的右焦点为[pic]，过点[pic]的一动直线[pic]绕点[pic]转动，并且交椭圆于[pic]两点，[pic]为线段[pic]的中点．（1）求点[pic]的轨迹[pic]的方程；（2）若在[pic]的方程中，令[pic]， [pic]．设轨迹[pic]的最高点和最低点分别为[pic]和[pic]．当[pic]为何值时，[pic]为一个正三角形？ 22．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列[pic]，满足：[pic]，且[pic]，[pic]．（1）求数列[pic]的通项公式；（2）设[pic]，[pic]，求[pic]，并确定最小正整数[pic]，使[pic]为整数． ----------------------- 4 16 [pic] 20 16 Ａ [pic] [pic] 24 12 8 4 4 [pic] 16 [pic] 12 24 Ｂ [pic] 20 16 8 4 4 [pic] 图（1） [pic] 24 20 16 12 8 4 4 4 8 16 20 [pic] Ｃ 24 12 [pic] 16 4 4 8 12 24 [pic] Ｄ 16 20 [pic] 16 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] ＡＯＥＣＢ O P A F B D x y [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷.文）.doc
绝密　*　启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷（理工农医类）数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。　　4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。　　　5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。　　参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) . 　　　　　　如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B) 　　　　　　　如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k 1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则([pic]uA)∪([pic]uB)= (A){1,6} (B){4,5} (C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7} (2)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为（A）48 (B)54 (C)60 (D)66 (3)过坐标原点且与x2｜y2 4x｜2y+[pic]=0相切的直线的方程为（A）y=-3x或y=[pic]x (B) y=-3x或y=-[pic]x （C）y=-3x或y=-[pic]x (B) y=3x或y=[pic]x (4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l (A)平行　　　　　　　　　　　　　　（B）相交 (C)垂直 (D)互为异面直线（5）若[pic]　[pic]n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 (A)-540 (B) (c)162 (D)540 (6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下： [pic] 根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 (A)20 (B)30 (C)40 （D）50 (7)与向量a=[pic][pic]的夹解相等，且模为1的向量是 (A) [pic] (B) [pic]或[pic] （C）[pic] （D）[pic]或[pic] （８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（A）３０种　　　　　　　　　　　　（B）９０种（C）１８０种　　　　　　　　　　　（D）２７０种（９）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是　　　题　（９）图　　　　　 [pic] （１０）若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2[pic],则2a+b+c的最小值为（A）[pic]-1 (B) [pic]+1 (C) 2[pic]+2 (D) 2[pic]-2 1. 填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数复数[pic]的值是_________. (12)[pic][pic]_________. (13)已知[pic][pic]，sin([pic])=－[pic] sin[pic]则os[pic]=________. (14)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________. (15)设a＞0,n[pic]1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集为_______. (16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x- y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为______ _____. 2. 解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分13分）设函数f(x)=[pic]cos2cos+sin[pic]rcos[pic]x+a(其中[pic]＞0,a[pic]R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为[pic]. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f(x)在区间[pic]上的最小值为[pic]，求a的值. （１８）（本小题满分13分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有[pic] 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为[pic]，用ξ表示这5位乘客在第 20层下电梯的人数.求：（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）随机变量ξ的期望. （１９）（本小题满分１３分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA[pic]底面ABCD,[pic]DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、 F分别为PC、CD的中点. （Ⅰ）试证：CD[pic]平面BEF; （Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于[pic],求k的取值范围. （20）(本小题满分13分) 已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,c[pic]R为常数.　　　　　　　　图(19)图（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且[pic][pic]=4,试证：－6≤b≤2. (21)(本小题满分12分) 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. （Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a); （Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式. (22)(本小题满分12分) 已知一列椭圆Cn:x2+[pic]=1. 0＜bn＜1,n=1,2.[pic].若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜Pn Cn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点. （Ⅰ）试证：bn≤[pic] (n≥1); （Ⅱ）取bn＝[pic]，并用SA表示[pic]PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3). 图(２２)图（20）(本小题满分13分) 已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,c[pic]R为常数. （Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且[pic][pic]=4,试证：－6≤b≤2. (21)(本小题满分12分) 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. （Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a); （Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式. (22)(本小题满分12分) 已知一列椭圆Cn:x2+[pic]=1. 0＜bn＜1,n=1,2.[pic].若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜Pn Cn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点. （Ⅰ）试证：bn≤[pic] (n≥1); （Ⅱ）取bn＝[pic]，并用SA表示[pic]PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3). [pic] 图(２２)图 (18)(本小题13分) 解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５. 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ=0)=[pic]=[pic], P(ξ=1)= [pic][pic] P(ξ=2)= [pic]=[pic], P(ξ=3)= [pic][pic] P(ξ=4)= [pic]=[pic], P(ξ=5)= [pic][pic] 从而ξ的分布列为 \|ξ \|0 \|1 \|2 \|3 \|4 \|5 \| \|P \|[pic] \|[pic] \|[pic] \|[pic] \|[pic] \|[pic] \| （Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为 Eξ=0×[pic]+１×[pic]+2×[pic]+3×[pic]+4×[pic]+5×[pic] =[pic]=[pic]. 解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验. 故ξ－B[pic],即有 P(ξ=k)=C[pic][pic][pic],k=0,1,2,3,4,5. 由此计算ξ的分布列如解法一. 解法三：　（Ⅰ）同解法一或解二. （Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等. 即3Eξ=5,从而Eξ=[pic]. （19）（本小题13分）解法一：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且[pic]DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CD[pic]BF. 又PA[pic]底面ABCD,CD[pic]AD，故由三垂线定理知CD[pic]PD.在△PDC中，E、F分别 PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CD[pic]EF,由此得CD[pic]面BEF. 　　　第（19）图１（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因 PA[pic]底面ABCD,故BC[pic]底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GH[pic]BD,垂足为H,连接E H.由三垂线定理知EH[pic]BD.从而[pic]EHG为二面角E-BD-C的平面角. 设AB=a,则在△PAC中，有 BG=[pic]PA=[pic]ka. 以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD. 因S△CBD=[pic]BD·GH=[pic]GB·OF. 故GH=[pic]. 在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=[pic]a　　　　　　　　　　第（19）图２而GB=[pic]FB=[pic]AD-a.DF-AB,从而得 GH=[pic]= [pic]＝[pic] 因此tanEHG=[pic]=[pic] 由k＞0知[pic]是锐角，故要使[pic]＞[pic]，必须 [pic]＞tan[pic]=[pic] 解之得，k的取值范围为k＞[pic] 解法二：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0), F(a,2a,0). 从而[pic]=(2a,0,0), [pic]=(0,2a,0), 　　　　 [pic]·[pic]=0,故[pic][pic][pic] . 设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故第（19）３ E[pic].从而[pic]=[pic]. [pic]·[pic]=0,故[pic][pic][pic]. 由此得CD[pic]面BEF. （Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GH[pic]BD垂足为H,由三垂线定理知EH[pic]BD. 从而[pic]EHG为二面角E-BD-C的平面角. 由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E[pic],G(a,a,0). 设H(x,y,0)，则[pic]=(x-a,y-a,0), [pic]=(-a,2a,0), 由[pic]·[pic]=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ① 又因[pic]=(x,a,y,0),且[pic]与[pic]的方向相同，故[pic]＝[pic]，即 2x+y=2a ② 由①②解得x=[pic]a,y=[pic]a,从而[pic]＝[pic]，｜[pic]｜＝[pic]a. tanEHG=[pic]=[pic]=[pic]. 由k＞0知，EHC是锐角，由[pic]EHC＞[pic]得tanEHG＞tan[pic]即 [pic]＞[pic] 故k的取值范围为k＞[pic]. (20)（本小题13分）解：（Ⅰ）求导得f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex.. 因b2＞4(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根； x1=－[pic]＜x2=－[pic][pic] 令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x1；又令f′（x）＞0，解得x1＜x＜x2. 故当xε（-, x1）时，f(x)是增函数，当 xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x1 ， x2）时，f(x)是减函数. （Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此 [pic]. 所以，由已知条件得 b+e=4 b2≤4(e-1), 因此b2+4b-12≤0. 解得-6≤b≤2. (21)（本小题12分）解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1. 若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a. （Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0. 所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0. 在上式中令x= x0,有f(x0)-x[pic] + x0= x0, 又因为f(x0)- x0，所以x0- x[pic]=0，故x0=0或x0=1. 若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即 f(x)= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0. 若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为 f(x)= x2 –x+1（x[pic]R）. （22）（本小题12分）证：（1）由题设及椭圆的几何性质有　　　　[pic] 设[pic] [pic] 因此，由题意[pic]应满足 [pic] 即[pic] 即[pic], 从而对任意[pic] （Ⅱ）设点[pic] [pic] [pic] 得两极[pic]，从而易知f(c)在（[pic]，[pic]）内是增函[pic]数，而在（[pic]， 1）内是减函数. 　　　现在由题设取[pic]是增数列.又易知　　　[pic][pic] 故由前已证，知[pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷.理）含答案.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件[pic]互斥，那么[pic] 如果事件[pic]相互独立，那么[pic] 球的表面积公式[pic]，其中[pic]表示球的半径球的体积公式[pic]，其中[pic]表示球的半径如果事件[pic]在一次试验中发生的概率是[pic]，那么[pic]次独立重复试验中恰好发生 [pic]次的概率[pic] 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数[pic]的最小正周期是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 2．设集合[pic]，则满足[pic]的集合[pic]的个数是（　　）Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．8 3．设[pic]是[pic]上的任意函数，下列叙述正确的是（　　）Ａ．[pic]是奇函数Ｂ．[pic]是奇函数Ｃ．[pic]是偶函数Ｄ．[pic]是偶函数 4．[pic]的值为（　　）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．64 5．方程[pic]的两个根可分别作为（　　）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 6．给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线[pic]与同一平面所成的角相等，则[pic]互相平行 ④若直线[pic]是异面直线，则与[pic]都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（　　）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 7．双曲线[pic]的两条渐近线与直线[pic]围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 8．设[pic]是[pic]上的一个运算，[pic]是[pic]的非空子集，若对任意[pic]，有[pic] ，则称[pic]对运算[pic]封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（　　）Ａ．自然数集Ｂ．整数集Ｃ．有理数集Ｄ．无理数集 9．[pic]的三内角[pic]所对边的长分别为[pic]．设向量[pic][pic]，[pic][pic]．若 [pic]，则角[pic]的大小为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 10．已知等腰[pic]的腰为底的2倍，则顶角[pic]的正切值是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 11．与方程[pic]的曲线关于直线[pic]对称的曲线的方程为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 12．曲线[pic]与曲线[pic]的（　　）Ａ．离心率相等Ｂ．焦距相等Ｃ．焦点相同Ｄ．准线相同 2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．方程[pic]的解为． 14．设[pic]则[pic]　　　　． 15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥[pic]，则此正六棱锥的侧面积是______ __． 16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数[pic][pic]，求（1）函数[pic]的最大值及取得最大值的自变量[pic]的集合；（2）函数[pic]的单调增区间． 18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19．（本小题满分12分）已知正方形[pic]，[pic]分别是边[pic]的中点，将[pic]沿[pic]折起，如图所示，记二面角[pic]的大小为[pic]（[pic]）．（1）证明[pic]平面[pic]；（2）若[pic]为正三角形，试判断点[pic]在平面[pic]内的射影[pic]是否在直线[pic] 上，证明你的结论，并求角[pic]的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知等差数列[pic]的前[pic]项和为[pic]，[pic][pic]．（1）求[pic]的值；（2）若[pic]与[pic]的等差中项为[pic]，[pic]满足[pic]，求数列[pic]的前[pic]项和． 21．（本小题满分12分）已知函数[pic]，[pic]，其中[pic]，设[pic]为[pic]的极小值点，[pic]为[pic]的极值点，[pic]，并且[pic]，将点[pic]依次记为[pic]．（1）求[pic]的值；（2）若四边形[pic]为梯形且面积为1，求[pic]的值． 22．（本小题满分14分）已知点[pic]是抛物线[pic]上的两个动点，[pic]是坐标原点，向量[pic]满足[pic]，设圆[pic]的方程为[pic]．（1）证明线段[pic]是圆[pic]的直径；（2）当圆[pic]的圆心到直线[pic]的距离的最小值为[pic]时，求[pic]的值． ----------------------- A B C P D E F [pic] [pic] [pic] ᔁ഍–䵅䕂⁄煅慵楴湯䐮䵓㑔†Ĕകግ䔠䉍䑅䔠畱瑡潩⹮卄呍‴ᐠᔁ഍ു䈍഍ൃ䐍഍൅䘍഍഍[pic] [pic] [pic] A B C D E F	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷.文）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共5页。全卷共150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数[pic]的定义域是( ) A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 2.数列{[pic]}满足:[pic],且对于任意的正整数m,n都有[pic],则 [pic] ( ) A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.2 3.过平行六面体ABCD- A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 4.“a=1”是“函数[pic]在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知[pic],且关于[pic]的方程[pic]有实根,则[pic]与[pic]的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,[pic]] B.[pic] C.[pic] D.[pic] 6.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 7.过双曲线M:[pic]的左顶点A作斜率为1的直线[pic],若[pic]与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且\|AB\|=\|BC\|,则双曲线M的离心率是 ( ) A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.[pic] 8.设函数[pic],集合M=[pic],P=[pic],若M[pic]P,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ( ) A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.[pic] 10.若圆[pic]上至少有三个不同点到直线[pic]:[pic]的距离为[pic],则直线[pic] 的倾斜角的取值范围是 ( ) A.[[pic]] B.[[pic]] C.[[pic] D.[pic] 第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，(第15小题每空2分)共20分，把答案填在答题卡相应位置上。 11.若[pic]的展开式中[pic]的系数是-80,则实数[pic]的值是 . 12.已知[pic]则[pic]的最小值是 . 13.曲线[pic]和[pic]在它们交点处的两条切线与[pic]轴所围成的三角形面积是 . 14.若[pic]是偶函数,则有序实数对([pic])可以是 .(注:只要填满足[pic]的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可). 15.如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且[pic],则[pic]的取值范围是 ; 当[pic]时,[pic]的取值范围是 . [pic] 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=[pic],∠ABC=[pic]. 1) 证明 [pic]; 2) 若AC=[pic]DC,求[pic]的值. 17.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. 18. （本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角; (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 19. （本小题满分14分）已知函数[pic],数列{[pic]}满足:[pic] 证明:(ⅰ)[pic];(ⅱ)[pic]. 20. （本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为 :[pic])为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为[pic](1≤a≤3).设用[pic] 单位质量的水初次清洗后的清洁度是[pic]([pic]),用[pic]质量的水第二次清洗后的清洁度是[pic],其中[pic]是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及[pic]时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少 ; (Ⅱ)若采用方案乙,当[pic]为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论[pic]取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21. （本小题满分14分）已知椭圆C1:[pic],抛物线C2:[pic],且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点. (Ⅰ)当AB⊥[pic]轴时,求[pic]、[pic]的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线 AB上； (Ⅱ)是否存在[pic]、[pic]的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的[pic]、[pic]的值；若不存在，请说明理由. ----------------------- 图1 A O M P B 图2 D A B C β α 图3 Q P A D C B 图4	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷.理）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川）韩先华编辑数　　学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式 [pic] [pic] 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 [pic] 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 [pic] n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 [pic] 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合[pic]则集合[pic]＝（A）[pic]（B）[pic]（C）[pic]　（D）[pic] 2. 函数[pic]的反函数是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] 　　　（D）[pic] 3. 曲线[pic]在点（－1，－3）处的切线方程是（A）[pic]　（B）[pic]　（C）[pic]　（D）[pic] 4.如图, 已知正六边形[pic]，下列向量的数量积中最大的是（A）[pic] （B）[pic]（C）[pic] （D）[pic] 5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（A）30人，30人，30人　　（B）30人，45人，15人（C）20人，30人，10人　　（D）30人，50人，10人 6. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] 7. 已知二面角[pic]的大小为[pic]，[pic][pic][pic] [pic] （A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] 8 已知两定点[pic][pic]如果动点P满足条件[pic]则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（A）[pic] 　（B）[pic] 　　（C）[pic] 　　（D）[pic] 9. 如图，正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果[pic],则求O的表面积为（A）[pic] 　　（B）[pic] 　　（C）[pic] 　（D）[pic] 10. 直线ｙ＝ｘ－3与抛物线[pic]交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q　，则梯形APQB的面积为（A）36. （B）48 　（C）56 （D）64. 11. 设[pic]分别为[pic]的三内角[pic]所对的边，则[pic]是[pic]的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 12. 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３整除的概率为　（A）[pic] （B）[pic] 　（C）[pic] （D）[pic] 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13. [pic]展开式中[pic]的系数为___________（用数字作答）。 14. 设x、y满足约束条件：[pic]则[pic]的最小值为______________。 15.如图把椭圆[pic]的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于[pic] ,[pic],……[pic]七个点，F是椭圆的一个焦点，则[pic]____________． 16. [pic]是空间两条不同直线，[pic]是空间两条不同平面，下面有四个命题： ①[pic] ②[pic] ③[pic] ③[pic] 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。 2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川）韩先华编辑数　　学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题答题卡： \|题号 \|1 \| \| \| \| 17．（本小题满分12分）数列[pic]前n项和记为[pic][pic][pic]， (Ⅰ)求[pic]的的通项公式； (Ⅱ) 等差数列[pic]的各项为正，其前n项和为[pic]且[pic]又[pic][pic]成等比数列，求 [pic] \|得分 \|评卷人 \| \| \| \| 18．（本小题满分12分）已知A、B、C是[pic]三内角，向量[pic][pic] 且[pic] （Ⅰ）求角A （Ⅱ）若[pic] \|得分 \|评卷人 \| \| \| \| 19．（本小题满分12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0. 9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响。（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。 \|得分 \|评卷人 \| \| \| \| 20．（本小题满分12分）如图,长方体ABCD-[pic]中，E、P分别是BC、[pic]的中点, M、N分别是AE、[pic]的中点, [pic][pic] （Ⅰ）求证：[pic]；（Ⅱ）求二面角[pic]的大小； \|得分 \|评卷人 \| \| \| \| 21．（本小题满分14分）已知函数[pic][pic]其中[pic]是的f(x)的导函数。（Ⅰ）对满足[pic]的一切[pic]的值，都有[pic]求实数ｘ的取值范围；（Ⅱ）设[pic]，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数ｙ＝f(x)的图像与直线ｙ＝3只有一个公共点。 \|得分 \|评卷人 \| \| \| \| 22．（本小题满分12分）已知两定点[pic][pic]满足条件[pic]的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于 A、B两点。（Ⅰ）求ｋ的取值范围；（Ⅱ）如果[pic]且曲线E上存在点C，使[pic]求[pic]。 ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷.文）.doc
2006高考数学试题(全国II卷) 理科试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第ＩＩ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ｉ卷注意事项：１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 [pic] 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么 [pic] 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 [pic]次独立重复试验中恰好发生[pic]次的概率是 [pic] 一．选择题（1）已知集合[pic]，则[pic] （A）[pic]　　　　　　　　　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　　　　（D）[pic] （2）函数[pic]的最小正周期是（A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （3）[pic] （A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （5）已知[pic]的顶点B、C在椭圆[pic]上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则[pic]的周长是（A）[pic]　　　　（B）6　　　　（C）[pic]　　　　（D）12 （6）函数[pic]的反函数为（A）[pic]　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　（D）[pic] （7）如图，平面[pic]平面[pic]，[pic]与两平面[pic]、[pic]所成的角分别为[pic]和 [pic]。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为[pic]、[pic]则[pic] （A）[pic]　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　（D）[pic] （8）函数[pic]的图像与函数[pic]的图像关于原点对称，则[pic]的表达式为（A）[pic]　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　（D）[pic] （9）已知双曲线[pic]的一条渐近线方程为[pic]，则双曲线的离心率为（A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （10）若[pic]则[pic] （A）[pic]　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　（D）[pic] （11）设[pic]是等差数列[pic]的前[pic]项和，若[pic]则[pic] （A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （12）函数[pic]的最小值为（A）190　　　　（B）171　　　　（C）90　　　　（D）45 理科数学第ＩＩ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。（13）在[pic]的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）（14）已知[pic]的三个内角A、B、C成等差数列，且[pic]则边BC上的中线AD的长为＿＿＿＿＿＿＿。（15）过点[pic]的直线[pic]将圆[pic]分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 [pic]的斜率[pic] （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[pic]（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。 [pic] 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分１２分）已知向量[pic] （I）若[pic]求[pic] （II）求[pic]的最大值。（18）（本小题满分１２分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（I）用[pic]表示抽检的6件产品中二等品的件数，求[pic]的分布列及[pic]的数学期望；（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。（19）（本小题满分１２分）如图，在直三棱柱[pic]中，[pic]、[pic]分别为[pic]、[pic]的中点。（I）证明：ED为异面直线[pic]与[pic]的公垂线；（II）设[pic]求二面角[pic]的大小。（20）（本小题１２分）设函数[pic]若对所有的[pic]都有[pic]成立，求实数[pic]的取值范围。（21）（本小题满分为１４分）已知抛物线[pic]的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且[pic]过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明[pic]为定值；（II）设[pic]的面积为S，写出[pic]的表达式，并求S的最小值。（22）（本小题满分１２分）设数列[pic]的前[pic]项和为[pic]，且方程 [pic] 有一根为[pic] （I）求[pic] （II）求[pic]的通项公式 ----------------------- 球的表面积公式 [pic] 其中Ｒ表示球的半径球的体积公式 [pic] 其中Ｒ表示球的半径	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/全国II.理.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=C[pic]Pk(1－P)n－k 一、选择题：[1] （1）设集合[pic] （A） [pic] （B）[pic] （C） [pic] （D）[pic] （2）已知函数[pic]的图像与函数[pic]的图像关于直线[pic]对称,则（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （3）双曲线[pic]的虚轴长是实轴长的2倍,则[pic] （A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （4）如果复数[pic]是实数，则实数[pic]（） A．1 B．-1 C．[pic] D．[pic] （5）函数[pic]的单调增区间为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （6）[pic]的内角[pic]的对边分别为[pic] 若[pic]成等比数列，且[pic]，则[pic]（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （8）抛物线[pic]上的点到直线[pic]距离的最小值是（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （9）设平面向量[pic]的和[pic]，如果平面向量[pic]满足[pic]，且[pic]顺时针旋转 [pic]后与[pic]同向，其中[pic]，则（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （10）设[pic]是公差为正数的等差数列，若[pic] [pic]，则[pic]（） A．120 B．105 C．90 D．75 （11）用长度分别为[pic]（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （12）设集合[pic]，选择[pic]的两个非空子集[pic]和[pic]，要使[pic]中最小的数大于[pic]中最大的数，则不同的选择方法共有（） A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 13．已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为[pic]，则侧面与底面所成的二面角为 14设[pic],式中x,y满足下列条件 [pic] 则z的最大值为 15．安排7位工作人员5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人不安排在5 月1日和5月2日，不同的安排方法数共有- 16．设函数[pic]，若[pic]是奇函数，则[pic]= 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17三角形ABC的三个内角A、B、C，求当A满足何值时[pic]取得最大值，并求出这个最大值 18)(本题满分12分) A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为[pic],服用B有效的概率为[pic]. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用[pic]表示这3个试验组中甲类组的个数，求[pic]的分布列和数学期望。 (19)(本题满分12分) 如图，[pic]、[pic]是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在[pic] 上，C在[pic]上，AM=MB=MN。（Ⅰ）证明AC[pic]NB （Ⅱ）若[pic],求NB与平面ABC所成角的余弦值. 20（12分）在平面直角坐标系xoy中，有一个点[pic]和[pic]为焦点，离心率为[pic]的椭圆，设椭圆在第一象限的部分曲线为C,动点P在C上，C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A、B ，且向量[pic]，求 1. 点M的轨迹方程； 2. [pic]的最小值（21）（本小题满分14分）已知函数[pic] （Ⅰ）设[pic]，讨论[pic]的单调性；（Ⅱ）若对任意[pic]恒有[pic]，求[pic]的取值范围。（22）（本小题满分12分）设数列[pic]的前[pic]项和[pic] （Ⅰ）求首项[pic]与通项[pic]；（Ⅱ）设[pic] 证明：[pic] ----------------------- 数学理科试题第1页（共4页） ----------------------- 球的表面积公式 S=4[pic] 其中R表示球的半径，球的体积公式 V=[pic]，其中R表示球的半径	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/全国1理科.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试数　　学（江苏卷） [pic]参考公式：一组数据的方差　　　　　　　　　[pic] 其中[pic]为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。（1）已知[pic]，函数[pic]为奇函数，则a＝（A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1 （2）圆[pic]的切线方程中有一个是（A）x－y＝0　　　（B）x＋y＝0　　　（C）x＝0　　　（D）y＝0 （3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（A）1　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　（D）4 （4）为了得到函数[pic]的图像，只需把函数[pic]的图像上所有的点（A）向左平移[pic]个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的[pic]倍（纵坐标不变）（B）向右平移[pic]个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的[pic]倍（纵坐标不变）（C）向左平移[pic]个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移[pic]个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（5）[pic]的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0　　　　　（B）2　　　　　（C）4　　　　　（D）6 （6）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足[pic]　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（A）[pic]　　　（B）[pic]　　　（C）[pic]　　　（D）[pic] （7）若A、B、C为三个集合，[pic]，则一定有（A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）[pic]　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　　（D）[pic] （9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个　　　　　（B）2个（C）3个　　　　　（D）无穷多个（10）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A）[pic]　　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　　（D）[pic] 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。（11）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　▲　　（12）设变量x、y满足约束条件[pic]，则[pic]的最大值为　　▲　　（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　 ▲　种不同的方法（用数字作答）。（14）[pic]＝　▲　（15）对正整数n，设曲线[pic]在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为[pic]，则数列[pic] 的前n项和的公式是　▲　（16）不等式[pic]的解集为　▲　三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）　　　已知三点P（5，2）、[pic]（－6，0）、[pic]（6，0）. （Ⅰ）求以[pic]、[pic]为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、[pic]、[pic]关于直线y＝x的对称点分别为[pic]、[pic]、[pic]，求以[pic]、[pic]为焦点且过点[pic]的双曲线的标准方程。（18）（本小题满分14分）　　　请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心[pic]的距离为多少时，帐篷的体积最大？（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）　　　在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP :PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到[pic]的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）（20）（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）　　　设a为实数，设函数[pic]的最大值为g(a)。　　　（Ⅰ）设t＝[pic]，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) （Ⅱ）求g(a) （Ⅲ）试求满足[pic]的所有实数a （21）（本小题满分14分）　　　设数列[pic]、[pic]、[pic]满足：[pic]，[pic]（n=1,2,3,…），　　　证明[pic]为等差数列的充分必要条件是[pic]为等差数列且[pic]（n=1,2,3,…） ----------------------- 注　意　事　项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。绝密★启用前信号源 A B C D 图1 O O1 图1 图2	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/06高考数学江苏卷.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（文）注意事项： 1．本试卷分第一部分和第二部分．第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。 3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（本卷共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合P＝{x∈N\|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R\|x2＋x－6＝10}，则P∩Q等于 A．{－2，3} B．{－3，2} C．{3} D．{2} 2．函数f(x)＝（x∈R）的值域是 A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1) 3．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列前9项和S9等于 A．45 B．36 C．27 D．6 4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，a≠1)的图象过点（0，0），其反函数过点（1，2），则a+b等于 A．3 B．4 C．5 D．6 5．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为 A．±4 B．±2 C．±2 D．± 6．“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的 A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设x、y为正数，则有(x+y)()的最小值为 A．15 B．12 C．9 D．6 8．已知非零向量[pic]与[pic]满足[pic]且[pic]，则△ABC为 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 9．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a＞0)。若x1＜x2，x1＋x2=0，则 A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)=f(x2) C．f(x1)<f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定 10．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．2 11．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是 A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC必与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）。已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d。例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 A．1,6，4,7 B．4,6，1,7 C．7,6，1,4 D．6,4，1,7 第二部分（共90分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分 ). 13．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为 . 14．(2x－)6展开式中的常数项为（用数字作答） . 15．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1个），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（用数字作答）. 16．水平桌面α上放有4个半径为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形 )。在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三人投篮，投进的概率分别是。现3人各投篮1次，求（Ⅰ）3人都投进的概率；（Ⅱ）3人中恰有2人投进的概率。 18．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x∈R)。（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 19．（本小题满分12分）如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在直线l上的射影为 B1，已知AB＝2，AA1=1，BB1＝，求：（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小. [pic] 20．（本小题满分12分）已知正项数列[pic]，其前n项和Sn满足10Sn=[pic]＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列，求求数列[pic]的通项an. 21．（本小题满分14分）如图，三定点A（2,1），B（0，－1），C(－2,1)；三动点D，E，M满足[pic]，[pic] ，[pic]，t∈[0,1] （Ⅰ）求动直线DE的斜率的变化范围；（Ⅱ）求动点M的轨迹方程. [pic] 22．（本小题满分12分）设[pic](k≥0) （Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；（Ⅱ）若函数[pic]的极小值大于0，求k的取值范围. ----------------------- YCY YCY	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006高考数学陕西文科卷word版.doc
2006年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合A＝[pic]－1，3，2[pic]－1[pic]，集合B＝[pic]3，[pic][pic]．若B[pic] A，则实数[pic]＝． 2．已知圆[pic]－4[pic]－4＋[pic]＝0的圆心是点P，则点P到直线[pic]－[pic]－1＝ 0的距离是． 3．若函数[pic]＝[pic]（[pic]＞0，且[pic]≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 [pic]＝． 4．计算：[pic]＝． 5．若复数[pic]同时满足[pic]－[pic]＝2[pic]，[pic]＝[pic]（[pic]为虚数单位），则[pic]＝． 6．如果[pic]＝[pic]，且[pic]是第四象限的角，那么[pic]＝． 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2[pic]，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是． 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，[pic]），B（5，－[pic]），则△OAB的面积是． 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是． 11．若曲线[pic]＝\|[pic]\|＋1与直线[pic]＝[pic]＋[pic]没有公共点，则[pic]、[pic] 分别应满足的条件是． 12．三个同学对问题“关于[pic]的不等式[pic]＋25＋\|[pic]－5[pic]\|≥[pic]在[1，12 ]上恒成立，求实数[pic]的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量[pic]的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于[pic]的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即[pic]的取值范围是．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（）（A）[pic]＝[pic]；（B）[pic]＋[pic]＝[pic]；（C）[pic]－[pic]＝[pic]；（D）[pic]＋[pic]＝[pic]． 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上 ”的 [答]（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件． 15．若关于[pic]的不等式[pic]≤[pic]＋4的解集是M，则对任意实常数[pic]，总有[答 ]（）（A）2∈M，0∈M；（B）2[pic]M，0[pic]M；（C）2∈M，0[pic]M；（D）2[pic]M，0∈M． 16．如图，平面中两条直线[pic]和[pic]相交于点O，对于平面上任意一点M，若[pic]、 [pic]分别是M到直线[pic]和[pic]的距离，则称有序非负实数对（[pic]，[pic]）是点 M的“距离坐标”．已知常数[pic]≥0，[pic]≥0，给出下列命题： ①若[pic]＝[pic]＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； ②若[pic]＝0，且[pic]＋[pic]≠0，则“距离坐标”为（[pic]，[pic]）的点有且仅有2个； ③若[pic]≠0，则“距离坐标”为（[pic]，[pic]）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 [答]（）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）求函数[pic]＝2[pic]＋[pic]的值域和最小正周期． [解] 18．（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30[pic]，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1[pic]）？ [解] 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60[pic]，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60[pic]．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． [解]（1）（2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系[pic]O[pic]中，直线[pic]与抛物线[pic]＝2[pic]相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线[pic]过点T（3，0），那么[pic][pic]＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）（2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列[pic][pic][pic]共有2[pic]项（整数[pic]≥2），首项[pic]＝2．设该数列的前[pic]项和为[pic]，且[pic]＝[pic]＋2（[pic]＝1，2，┅，2[pic]－1），其中常数[pic]＞1．（1）求证：数列[pic][pic][pic]是等比数列；（2）若[pic]＝2[pic]，数列[pic][pic][pic]满足[pic]＝[pic]（[pic]＝1，2，┅，2 [pic]），求数列[pic][pic][pic]的通项公式；（3）若（2）中的数列[pic][pic][pic]满足不等式\|[pic]－[pic]\|＋\|[pic]－[pic]\|＋ ┅＋\|[pic]－[pic]\|＋\|[pic]－[pic]\|≤4，求[pic]的值． [解]（1）（2）（3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数[pic]＝[pic]＋[pic]有如下性质：如果常数[pic]＞0，那么该函数在[pic] 0，[pic][pic]上是减函数，在[pic][pic]，＋∞[pic]上是增函数．（1）如果函数[pic]＝[pic]＋[pic]（[pic]＞0）的值域为[pic]6，＋∞[pic]，求[pic] 的值；（2）研究函数[pic]＝[pic]＋[pic]（常数[pic]＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数[pic]＝[pic]＋[pic]和[pic]＝[pic]＋[pic]（常数[pic]＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数[pic]＝[pic]＋[pic]（[pic]是正整数）在区间[[pic]，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． [解]（1）（2）（3） ----------------------- A B C D [pic] [pic] O M（[pic]，[pic]）北 20 10 A B • •C P A B C D O E	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年全国普通高等学校招生统一考试理科试题(上海卷).doc
2006高考数学试题全国II卷理科试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第ＩＩ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ｉ卷注意事项：１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 [pic] 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么 [pic] 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 [pic]次独立重复试验中恰好发生[pic]次的概率是 [pic] 一．选择题（1）已知集合[pic]，则[pic] （A）[pic]　　　　　　　　　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　　　　（D）[pic] （2）函数[pic]的最小正周期是（A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （3）[pic] （A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （5）已知[pic]的顶点B、C在椭圆[pic]上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则[pic]的周长是（A）[pic]　　　　（B）6　　　　（C）[pic]　　　　（D）12 （6）函数[pic]的反函数为（A）[pic]　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　（D）[pic] （7）如图，平面[pic]平面[pic]，[pic]与两平面[pic]、[pic]所成的角分别为[pic]和 [pic]。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为[pic]、[pic]则[pic] （A）[pic]　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　（D）[pic] （8）函数[pic]的图像与函数[pic]的图像关于原点对称，则[pic]的表达式为（A）[pic]　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　（D）[pic] （9）已知双曲线[pic]的一条渐近线方程为[pic]，则双曲线的离心率为（A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （10）若[pic]则[pic] （A）[pic]　　　　（B）[pic] （C）[pic]　　　　（D）[pic] （11）设[pic]是等差数列[pic]的前[pic]项和，若[pic]则[pic] （A）[pic]　　　　（B）[pic]　　　　（C）[pic]　　　　（D）[pic] （12）函数[pic]的最小值为（A）190　　　　（B）171　　　　（C）90　　　　（D）45 理科数学第ＩＩ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。（13）在[pic]的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）（14）已知[pic]的三个内角A、B、C成等差数列，且[pic]则边BC上的中线AD的长为＿＿＿＿＿＿＿。（15）过点[pic]的直线[pic]将圆[pic]分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 [pic]的斜率[pic] （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[pic]（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。 [pic] 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分１２分）已知向量[pic] （I）若[pic]求[pic] （II）求[pic]的最大值。（18）（本小题满分１２分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（I）用[pic]表示抽检的6件产品中二等品的件数，求[pic]的分布列及[pic]的数学期望；（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。（19）（本小题满分１２分）如图，在直三棱柱[pic]中，[pic]、[pic]分别为[pic]、[pic]的中点。（I）证明：ED为异面直线[pic]与[pic]的公垂线；（II）设[pic]求二面角[pic]的大小。（20）（本小题１２分）设函数[pic]若对所有的[pic]都有[pic]成立，求实数[pic]的取值范围。（21）（本小题满分为１４分）已知抛物线[pic]的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且[pic]过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明[pic]为定值；（II）设[pic]的面积为S，写出[pic]的表达式，并求S的最小值。（22）（本小题满分１２分）设数列[pic]的前[pic]项和为[pic]，且方程 [pic] 有一根为[pic] （I）求[pic] （II）求[pic]的通项公式 2006全国II卷理答案（后续）一、选择题： 1．　　2．　　3．　　4．　　5．　　6．　　7．　　8．　　9．　　10． 11．B　　12．B 二、填空题： 13．　　　　14．　　　　15．　　　　16． ----------------------- 球的表面积公式 [pic] 其中Ｒ表示球的半径球的体积公式 [pic] 其中Ｒ表示球的半径	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ.理）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．　　祝各位考生考试顺利！　　第Ⅰ卷注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3. 本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：如果事件[pic]互斥，那么[pic] 如果事件[pic]相互独立，那么[pic] 如果事件[pic]在一次试验中发生的概率是[pic]，那么[pic]次独立重复试验中恰好发生[pic]次的概率[pic] 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合[pic]，[pic]，则[pic]（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 2．设[pic]是等差数列，[pic]，[pic]，则这个数列的前6项和等于（　　）Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 3．设变量[pic]满足约束条件[pic]，则目标函数[pic]的最小值为（　　）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．9 4．设[pic]，[pic]，[pic]，则（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 5．设[pic]，那么“[pic]”是“[pic]”的（　　）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件 6．函数[pic]的反函数是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 7．若[pic]为一条直线，[pic]为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①[pic]；②[pic]；③[pic]．其中正确的命题有（　　）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个 8．椭圆的中心为点[pic]，它的一个焦点为[pic]，相应于焦点[pic]的准线方程为[pic] ，则这个椭圆的方程是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 9．已知函数[pic]（[pic]为常数，[pic]）的图象关于直线[pic]对称，则函数[pic]是（　　）Ａ．偶函数且它的图象关于点[pic]对称 B．偶函数且它的图象关于点[pic]对称Ｃ．奇函数且它的图象关于点[pic]对称Ｄ．奇函数且它的图象关于点[pic]对称 10．如果函数[pic]在区间[pic]上是增函数，那么实数[pic]的取值范围是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项： 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3. 本卷共12小题，共100分． \|题号 \|二 \|三 \|总分 \| \| \| \| \| \| \| 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．[pic]的二项展开式中[pic]的系数是　　　　　　（用数字作答）． 12．设向量[pic]与[pic]的夹角为[pic]，[pic]，[pic]，则[pic]　　　　　． 13．如图，在正三棱柱[pic]中，[pic]．若二面角[pic]的大小为[pic]，则点[pic]到直线[pic]的距离为　　　　　． 14．若半径为1的圆分别与[pic]轴的正半轴和射线[pic]相切，则这个圆的方程为　　　　　． 15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买[pic]吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为[pic]万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则[pic]　　　　吨． 16．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　　个（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 17．（本小题满分12分）已知[pic]，[pic]．求[pic]和[pic]的值． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 18．（本小题满分12分）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 19．（本小题满分12分）如图，在五面体[pic]中，点[pic]是矩形[pic]的对角线的交点，面[pic]是等边三角形，棱[pic]．（Ⅰ）证明[pic]平面[pic]；（Ⅱ）设[pic]，证明[pic]平面[pic]． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 20．（本小题满分12分）已知函数[pic]，其中[pic]，[pic]为参数，且[pic]．（Ⅰ）当[pic]时，判断函数[pic]是否有极值；（Ⅱ）要使函数[pic]的极小值大于零，求参数[pic]的取值范围；（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数[pic]，函数[pic]在区间[pic]内都是增函数，求实数[pic]的取值范围． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 21．（本小题满分14分）已知数列[pic]满足[pic]，并且[pic]（[pic]为非零参数，[pic]）．（Ⅰ）若[pic]成等比数列，求参数[pic]的值；（Ⅱ）设[pic]，常数[pic]且[pic]．证明[pic]． \|得分\|评卷人\| \| \| \| 22．（本小题满分14分）如图，双曲线 [pic][pic]的离心率为[pic]．[pic]分别为左、右焦点，[pic]为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且[pic]．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设[pic]和[pic]是[pic]轴上的两点，过点[pic]作斜率不为0的直线[pic]，使得[pic] 交双曲线于[pic]两点，作直线[pic]交双曲线于另一点[pic]．证明直线[pic]垂 ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] –䵅䕂⁄煅慵楴湯䐮䵓㑔†Ĕകግ䔠䉍䑅䔠畱瑡潩⹮卄呍‴ᐠᔁ഍–䵅䕂⁄煅慵楴湯䐮䵓㑔†Ĕകግ䔠䉍䑅䔠畱瑡潩⹮卄呍‴ᐠᔁ഍–䵅䕂⁄煅慵楴湯䐮䵓㑔†Ĕകግ䔠䉍䑅䔠畱瑡潩⹮卄呍‴ᐠᔁ഍–䵅䕂⁄煅慵楴湯䐮䵓㑔†Ĕകግ䔠䉍䑅䔠畱瑡潩⹮卄呍‴ᐠᔁ഍–䵅䕂⁄煅慵楴湯䐮䵓㑔†Ĕക [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Ｅ D M O A C B [pic] [pic] x y l	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷.文）.doc
绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至 10页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（共60分）注意事项： 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B) 1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（A）0 （B）6 （C）12 （D）18 （2）函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是（A）（B）（C）（D） (3)设f(x)= [pic][pic] 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2）[pic]（3，+∞） (B)（[pic]，+∞） (C)（1，2）[pic] （[pic] ，+∞） (D)（1，2）[pic] （4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=[pic],a=[pic],b=1，则c= A) 1 （B）2 （C）[pic]—1 （D）[pic] （5）设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 (A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) (6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 （7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为[pic]，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (A)[pic] (B)[pic] (C) [pic] (D)[pic] （8）设p：x[pic]－x－20>0,q：[pic]<0,则p是q的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 （10）已知[pic]的展开式中第三项与第五项的系数之比为－[pic],其中[pic]=－1，则展开式中常数项是 (A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45 （11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件[pic]则z=10x+10y的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 （12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为 (A)[pic] (B)[pic] (C)[pic] (D)[pic] [pic] （12题图）绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II）注意事项： 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 \|得分 \|评卷人\| \| \| \| 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上. （13）若[pic] . （14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22的最小值是 . （15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 . [pic] （15题图）（16）下列四个命题中，真命题的序号有（写出所有真命题的序号）. ①将函数y=[pic]的图象按向量v=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=[pic] ②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=[pic]相交，所得弦长为2 ③若sin([pic]+[pic])=[pic] ,sin([pic]－[pic])=[pic],则tan[pic]cot[pic]=5 ④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线的一部分. [pic] （16题图） \|得分 \|评卷人\| \| \| \| 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）已知函数f(x)=A[pic](A>0,[pic]>0,0<[pic]<[pic]函数，且y=f(x)的最大值为2 ，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求[pic]; （2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008). \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （18）（本小题满分12分）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a[pic]-1，求f(x)的单调区间。 \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （19）（本小题满分12分）如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边∆ AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且[pic]ACB=90°，设AC=2a,BC=a. （1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角A-VB-C的大小. [pic] （19题图） \|得分 \|评卷人\| \| \| \| (20) （本小题满分12分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用[pic]表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量[pic]的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率. \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （21）（本小题满分12分）双曲线C与椭圆[pic]有相同的焦点，直线y=[pic]为C的一条渐近线. 1. 求双曲线C的方程； 2. 过点P(0,4)的直线[pic]，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当[pic]，且[pic]时，求Q点的坐标. \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （22）（本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… 1. 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； 2. 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 3. 记bn=[pic]，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+[pic]=1.	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷.理）.doc
绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量[pic]，[pic]是不平行于[pic]轴的单位向量，且[pic]，则[pic] A．（[pic]） B．（[pic]） C．（[pic]） D．（[pic]） 2.若互不相等的实数[pic]成等差数列，[pic]成等比数列，且[pic]，则[pic] A．4 B．2 C．－2 D．－4 3.若[pic]的内角[pic]满足[pic]，则[pic] A.[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 4．设[pic]，则[pic]的定义域为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 5．在[pic]的展开式中，[pic]的幂的指数是整数的项共有 A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 6．关于直线[pic]与平面[pic]，有以下四个命题： ①若[pic]且[pic]，则[pic]； ②若[pic]且[pic]，则[pic]； ③若[pic]且[pic]，则[pic]； ④若[pic]且[pic]，则[pic]；其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7．设过点[pic]的直线分别与[pic]轴的正半轴和[pic]轴的正半轴交于[pic]两点，点[pic] 与点[pic]关于[pic]轴对称，[pic]为坐标原点，若[pic]且[pic]，则点[pic]的轨迹方程是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 8．有限集合[pic]中元素的个数记做[pic]，设[pic]都为有限集合，给出下列命题： ①[pic]的充要条件是[pic]； ②[pic]的充要条件是[pic]； ③[pic]的充要条件是[pic]； ④[pic]的充要条件是[pic]；其中真命题的序号是 A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 9．已知平面区域D由以[pic]为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点[pic]可使目标函数[pic]取得最小值，则[pic] A．－2 B．－1 C．1 D．4 10．关于[pic]的方程[pic]，给出下列四个命题： ①存在实数[pic]，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数[pic]，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数[pic]，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数[pic]，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。 11．设[pic]为实数，且[pic]，则[pic] 。 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为。（精确到0．01） 13．已知直线[pic]与圆[pic]相切，则[pic]的值为。 14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6项工程的不同排法种数是。（用数字作答） 15．将杨辉三角中的每一个数[pic]都换成[pic]，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出[pic]，其中[pic] 。令[pic]，则[pic] 。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）设函数[pic]，其中向量[pic]，[pic]，[pic]，[pic]。（Ⅰ）、求函数[pic]的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数[pic]的图像按向量[pic]平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的[pic]。 17．（本小题满分13分）已知二次函数[pic]的图像经过坐标原点，其导函数为[pic]，数列[pic]的前n项和为[pic] ，点[pic]均在函数[pic]的图像上。（Ⅰ）、求数列[pic]的通项公式；（Ⅱ）、设[pic]，[pic]是数列[pic]的前n项和，求使得[pic]对所有[pic]都成立的最小正整数m； 18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体[pic]中，[pic]是侧棱[pic]上的一点，[pic]。（Ⅰ）、试确定[pic]，使直线[pic]与平面[pic]所成角的正切值为[pic]；（Ⅱ）、在线段[pic]上是否存在一个定点[pic]，使得对任意的[pic]，[pic]在平面[pic] 上的射影垂直于[pic]，并证明尼的结论。 20．（本小题满分10分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布[pic]。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表[pic] [pic] \|0 \|1 \|2 \|3 \|4 \|5 \|6 \|7 \|8 \|9 \| \|1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 \|0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 \|0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 \|0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 \|0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 \|0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 \|0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 \|0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 \|0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 \|0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 \|0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 \| \| 21．（本小题满分14分）设[pic]分别为椭圆[pic]的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且[pic]为它的右准线。（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设[pic]为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线[pic]分别与椭圆相交于异于[pic]的点[pic]，证明点[pic]在以[pic]为直径的圆内。（此题不要求在答题卡上画图） 22．（本小题满分14分）设[pic]是函数[pic]的一个极值点。（Ⅰ）、求[pic]与[pic]的关系式（用[pic]表示[pic]），并求[pic]的单调区间；（Ⅱ）、设[pic]，[pic]。若存在[pic]使得[pic]成立，求[pic]的取值范围。 ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷.理）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果时间A、B互斥，那么[pic] 如果时间A、B相互独立，那么[pic] 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 [pic] 球的表面积公式[pic]，其中R表示球的半径球的体积公式[pic]，其中R表示球的半径一、选择题 ⑴、已知向量[pic]满足[pic]，且[pic]，则[pic]与[pic]的夹角为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑵、设集合[pic]，[pic]，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑶、已知函数[pic]的图象与函数[pic]的图象关于直线[pic]对称，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑷、双曲线[pic]的虚轴长是实轴长的2倍，则[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑸、设[pic]是等差数列[pic]的前[pic]项和，若[pic]，则[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑹、函数[pic]的单调增区间为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑺、从圆[pic]外一点[pic]向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑻、[pic]的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且[pic]，则 [pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑼、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 抛物线[pic]上的点到直线[pic]距离的最小值是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑽、在[pic]的展开式中，[pic]的系数为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑾、抛物线[pic]上的点到直线[pic]距离的最小值是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑿、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：[pic]）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 3．本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。 ⒀、已知函数[pic]，若[pic]为奇函数，则[pic]________。 ⒁、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为[pic]，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。 ⒂、设[pic]，式中变量[pic]满足下列条件 [pic] [pic] [pic] 则z的最大值为_____________。 ⒃、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ⒄、（本小题满分12分）已知[pic]为等比数列，[pic]，求[pic]的通项式。 ⒅、（本小题满分12分） [pic]的三个内角为[pic]，求当A为何值时，[pic]取得最大值，并求出这个最大值。 ⒆、（本小题满分12分） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为[pic]，服用B有效的概率为[pic]。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。 ⒇、（本小题满分12分）如图，[pic]、[pic]是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在[pic] 上，C在[pic]上，[pic]。（Ⅰ）证明[pic]⊥[pic]；（Ⅱ）若[pic]，求[pic]与平面ABC所成角的余弦值。（21）、（本小题满分12分）设P是椭圆[pic]短轴的一个端点，[pic]为椭圆上的一个动点，求[pic]的最大值。（22）、（本小题满分14分）设[pic]为实数，函数[pic]在[pic]和[pic]都是增函数，求[pic]的取值范围。	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ.文）word版.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件[pic]互斥，那么[pic] 如果事件[pic]相互独立，那么[pic] 球的表面积公式[pic]，其中[pic]表示球的半径球的体积公式[pic]，其中[pic]表示球的半径如果事件[pic]在一次试验中发生的概率是[pic]，那么[pic]次独立重复试验中恰好发生 [pic]次的概率[pic] 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数[pic]的最小正周期是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 2．设集合[pic]，则满足[pic]的集合[pic]的个数是（　　）Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．8 3．设[pic]是[pic]上的任意函数，下列叙述正确的是（　　）Ａ．[pic]是奇函数Ｂ．[pic]是奇函数Ｃ．[pic]是偶函数Ｄ．[pic]是偶函数 4．[pic]的值为（　　）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．64 5．方程[pic]的两个根可分别作为（　　）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 6．给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线[pic]与同一平面所成的角相等，则[pic]互相平行 ④若直线[pic]是异面直线，则与[pic]都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（　　）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 7．双曲线[pic]的两条渐近线与直线[pic]围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 8．设[pic]是[pic]上的一个运算，[pic]是[pic]的非空子集，若对任意[pic]，有[pic] ，则称[pic]对运算[pic]封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（　　）Ａ．自然数集Ｂ．整数集Ｃ．有理数集Ｄ．无理数集 9．[pic]的三内角[pic]所对边的长分别为[pic]．设向量[pic][pic]，[pic][pic]．若 [pic]，则角[pic]的大小为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 10．已知等腰[pic]的腰为底的2倍，则顶角[pic]的正切值是（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 11．与方程[pic]的曲线关于直线[pic]对称的曲线的方程为（　　）Ａ．[pic] Ｂ．[pic] Ｃ．[pic] Ｄ．[pic] 12．曲线[pic]与曲线[pic]的（　　）Ａ．离心率相等Ｂ．焦距相等Ｃ．焦点相同Ｄ．准线相同 2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．方程[pic]的解为． 14．设[pic]则[pic]　　　　． 15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥[pic]，则此正六棱锥的侧面积是______ __． 16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数[pic][pic]，求（1）函数[pic]的最大值及取得最大值的自变量[pic]的集合；（2）函数[pic]的单调增区间． 18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19．（本小题满分12分）已知正方形[pic]，[pic]分别是边[pic]的中点，将[pic]沿[pic]折起，如图所示，记二面角[pic]的大小为[pic]（[pic]）．（1）证明[pic]平面[pic]；（2）若[pic]为正三角形，试判断点[pic]在平面[pic]内的射影[pic]是否在直线[pic] 上，证明你的结论，并求角[pic]的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知等差数列[pic]的前[pic]项和为[pic]，[pic][pic]．（1）求[pic]的值；（2）若[pic]与[pic]的等差中项为[pic]，[pic]满足[pic]，求数列[pic]的前[pic]项和． 21．（本小题满分12分）已知函数[pic]，[pic]，其中[pic]，设[pic]为[pic]的极小值点，[pic]为[pic]的极值点，[pic]，并且[pic]，将点[pic]依次记为[pic]．（1）求[pic]的值；（2）若四边形[pic]为梯形且面积为1，求[pic]的值． 22．（本小题满分14分）已知点[pic]是抛物线[pic]上的两个动点，[pic]是坐标原点，向量[pic]满足[pic]，设圆[pic]的方程为[pic]．（1）证明线段[pic]是圆[pic]的直径；（2）当圆[pic]的圆心到直线[pic]的距离的最小值为[pic]时，求[pic]的值． ----------------------- A B C P D E F [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] A B C D E F	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试文(辽宁卷).doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷本试题卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共4页，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页满分150分，考试时间120钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。第Ⅰ卷（共 50 分）注意事项： 1. 答第 1 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2. 每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号填黑. 叁考正式：如果事件 A ， B 互斥，那么 P（ A+ B ） = P( A)+ P( B) S=[pic] P( A+ B)= P( A)． P( B) 其中 R 表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概念是p　　球的体积公式V=[pic] 那么n次独立重复试验中恰好发生　　　　　其中R表示球的半径 k次的概率：　　 [pic][pic] 1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符[pic]合题目要求的。 1. 设集合[pic]≤x≤2},B={x\|0≤x≤4},则A∩B= (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］ 2. 已知[pic] (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I (3)已知0＜a＜1，log[pic]m＜log[pic]n＜0，则 (A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1 3. 在平面直角坐标系中，不等式组[pic]表示的平面区域的面积是 (A)[pic] (B)[pic] (C)[pic] (D)[pic] （6）函数y=[pic]sin2+4sin[pic]x,x[pic]的值域是 (A)［-[pic],[pic]］ (B)［-[pic],[pic]］ (C)［[pic]］　　 (D)［[pic]］ (7)“a＞b＞c”是“ab＜[pic]”的 (A)充分而不必要条件　　　　　 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件　　　　　　 (D)既不允分也不必要条件（8）若多项式[pic] (A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10 （9）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、 F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是 [pic] (A)[pic] 　　　　　　　　　　(B)[pic] (C)[pic] 　　　　　　　　　　 (D)[pic] （10）函数f:\|1,2,3\|[pic]\|1,2,3\|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有 (A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个第Ⅱ卷（共100分）注意事项： 1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2. 在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 2. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（11）设S[pic]为等差数列a,的前n项和，若S[pic]-10, S[pic]=- 5,则公差为　　　（用数字作答）. （12）对a,b[pic]R,记max\|a,b\|=[pic]函数f（x）＝max\|\|x+1\|,\|x- 2\|\|(x[pic]R)的最小值是　　　. （13）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a- b)⊥c,a⊥b,若｜a｜=1,则｜a｜[pic]+｜c｜[pic]的值是　　　（14）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是　　　　　. [pic] 3. 解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤[pic])的图象与y轴交于点（0，1） . (Ⅰ)求φ的值；[pic] (Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求[pic] （16）设f(x)=3ax[pic],f(0)＞0，f(1)＞0，求证： (Ⅰ)a＞0且-2＜[pic]＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. （17）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. (Ⅰ)求证：PB⊥DM; [pic] (Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角（18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球. (Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为[pic]，求n. （19）如图，椭圆[pic]＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=[pic].[pic] (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F[pic]、F[pic]分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF[pic]的中点，求证：∠ ATM=∠AF[pic]T. (20)已知函数f(x)=x[pic]+ x[pic]，数列｜x[pic]｜(x[pic]＞0)的第一项x[pic]＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在[pic]处的切线与经过（0，0）和（x[pic],f (x[pic])）两点的直线平行（如图） [pic]. 求证：当n[pic]时， (Ⅰ)x[pic] （Ⅱ）[pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷.理）.doc
2006年高考试题辽宁卷理科数学试题一. 选择题 1) 设集合[pic],则满足[pic]的集合B的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 (2) 设[pic]是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)[pic]是奇函数 (B)[pic]是奇函数 (C) [pic]是偶函数 (D) [pic]是偶函数 (3) 给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线[pic]与同一平面所成的角相等,则[pic]互相平行. ④若直线[pic]是异面直线,则与[pic]都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4) 双曲线[pic]的两条渐近线与直线[pic]围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 (A)[pic] (B)[pic] (C) [pic] (D) [pic] (5) 设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意[pic]有[pic][pic][pic],则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集 (6)[pic]的三内角[pic]所对边的长分别为[pic]设向量[pic],[pic],若[pic],则角[pic] 的大小为 (A)[pic] (B)[pic] (C) [pic] (D) [pic] (7) 与方程[pic]的曲线关于直线[pic]对称的曲线的方程为 (A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] (8) 曲线[pic]与曲线[pic]的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 (9) 在等比数列[pic]中,[pic],前[pic]项和为[pic],若数列[pic]也是等比数列,则[pic]等于 (A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D)[pic] (10) 直线[pic]与曲线[pic] [pic]的公共点的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (11)已知函数[pic],则[pic]的值域是 (A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] (12) 设[pic],[pic],[pic],点[pic]是线段[pic]上的一个动点,[pic],若[pic],则实数[pic] 的取值范围是 (A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] 二. 填空题 (13) 设[pic]则[pic]__________ (14) [pic]_____________ (15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有____ ___种.(以数作答) (16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为[pic],则[pic]=______ 三．解答题 (17) (本小题满分12分) 已知函数[pic]，[pic].求: (I) 函数[pic]的最大值及取得最大值的自变量[pic]的集合； (II) 函数[pic]的单调增区间. (18) (本小题满分12分)] 已知正方形[pic].[pic]、[pic]分别是[pic]、[pic]的中点,将[pic]沿[pic]折起,如图所示,记二面角[pic]的大小为[pic]. (I) 证明[pic]平面[pic]; (II)若[pic]为正三角形,试判断点[pic]在平面[pic]内的射影[pic]是否在直线[pic]上 ,证明你的结论,并求角[pic]的余弦值.[pic] (19) (本小题满分12分) 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.1 7万元的概率分别为[pic]、[pic]、[pic];已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是[pic],设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整, 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为[pic],对乙项目每投资十万元, [pic]取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量[pic]、[pic]分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求[pic]、[pic]的概率分布和数学期望[pic]、[pic]; (II) 当[pic]时,求[pic]的取值范围. (20) (本小题满分14分) 已知点[pic],[pic][pic]是抛物线[pic]上的两个动点,[pic]是坐标原点,向量[pic],[pic] 满足[pic].设圆[pic]的方程为[pic] (I) 证明线段[pic]是圆[pic]的直径; (II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。 21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=[pic],其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设[pic]［1- [pic]］上，[pic]，在[pic]，将点[pic]A， B， C (I)求[pic] (II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为[pic]，求a ,d的值 22．（本小题满分12分）已知[pic][pic],其中[pic],设[pic],[pic]. (I) 写出[pic]; (II) 证明:对任意的[pic],恒有[pic]. ----------------------- A C B D E F A B C D E F	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷.理）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果时间A、B互斥，那么[pic] 如果时间A、B相互独立，那么[pic] 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 [pic] 球的表面积公式[pic]，其中R表示球的半径球的体积公式[pic]，其中R表示球的半径一、选择题 ⑴、设集合[pic]，[pic]，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑵、已知函数[pic]的图象与函数[pic]的图象关于直线[pic]对称，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑶、双曲线[pic]的虚轴长是实轴长的2倍，则[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑷、如果复数[pic]是实数，则实数[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑸、函数[pic]的单调增区间为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑹、[pic]的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且[pic]，则 [pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑻、抛物线[pic]上的点到直线[pic]距离的最小值是 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑼、设平面向量[pic]、[pic]、[pic]的和[pic]。如果向量[pic]、[pic]、[pic]，满足[pic]，且[pic]顺时针旋转[pic]后与[pic]同向，其中[pic]，则 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑽、设[pic]是公差为正数的等差数列，若[pic]，[pic]，则[pic] A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：[pic]）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] ⑿、设集合[pic]。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 3．本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。 ⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为[pic]，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。 ⒁、设[pic]，式中变量[pic]满足下列条件 [pic] [pic] [pic] 则z的最大值为_____________。 ⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答） ⒃、设函数[pic]。若[pic]是奇函数，则[pic]__________。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ⒄、（本小题满分12分） [pic]的三个内角为[pic]，求当A为何值时，[pic]取得最大值，并求出这个最大值。 ⒅、（本小题满分12分） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为[pic]，服用B有效的概率为[pic]。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用[pic]表示这3个试验组中甲类组的个数，求[pic]的分布列和数学期望。 ⒆、（本小题满分12分）如图，[pic]、[pic]是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在[pic] 上，C在[pic]上，[pic]。（Ⅰ）证明[pic]⊥[pic]；（Ⅱ）若[pic]，求[pic]与平面ABC所成角的余弦值。 ⒇、（本小题满分12分）在平面直角坐标系[pic]中，有一个以[pic]和[pic]为焦点、离心率为[pic]的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与[pic]轴的交点分别为A、B，且向量[pic]。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）[pic]的最小值。（21）、（本小题满分14分）已知函数[pic]。（Ⅰ）设[pic]，讨论[pic]的单调性；（Ⅱ）若对任意[pic]恒有[pic]，求[pic]的取值范围。（22）、（本小题满分12分）设数列[pic]的前[pic]项的和 [pic]，[pic] （Ⅰ）求首项[pic]与通项[pic]；（Ⅱ）设[pic]，[pic]，证明：[pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/全国Ⅲ 理科.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式 [pic] [pic] 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 [pic] 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 [pic] n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 [pic] 一．选择题（1）已知向量a、b满足\|a\|=1，\|b\|=4，且ab=2，则a与b的夹角为（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （2）设集合M={x\|x2-x<0},N={x\|\|x\|<2},则（A）M[pic] （B）M[pic] （C）[pic] （D）[pic] （3）已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则（A）f(2x)=e2x(x[pic] （B）f(2x)=ln2lnx(x>0[pic] （C）f(2x)=2e2x(x[pic] （D）f(2x)= lnx+ln2(x>0[pic] （4）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m= （A）-[pic] （B）-4 (C)4 （D）[pic] （5）设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4= （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 （6）函数f(x)=tan(x+[pic])的单调递增区间为（A）(k[pic]-[pic], k[pic]+[pic]),k[pic] （B）(k[pic], (k+1)[pic]),k[pic] (C) (k[pic]-[pic], k[pic]+[pic]),k[pic] （D）(k[pic]-[pic], k[pic]+[pic]),k[pic] （7）从圆x2-2x+y2- 2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）0 （8）[pic]ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB= （A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A）16 [pic] （B）20[pic] （C）24[pic] （D）32[pic] （10）在（x-[pic]）10的展开式中，x4的系数为（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）15 （11）抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）3 （12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A）8[pic]cm2 （B）6[pic]cm2 （C）3[pic]cm2 （D）20cm2 第Ⅱ卷注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3．本卷共10小题，共90分。 \|题号 \|二 \| \|总分 \| \| \| \| \| \| \| 二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（13）已知函数f(x)=a-[pic],若f(x)为奇函数，则a = 。（14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2[pic],则侧面与底面所成的二面角等于。（15）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件 [pic] 则z的最大值为__________ (16)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月 1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答) 三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （17）（本大题满分12分）已知{an}为等差数列,a3=2,a2+a4=[pic],求{an}的通项公式. \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （18）（本大题满分12分） [pic]ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos[pic]取得最大值,并求出这个最大值 \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （19）（本大题满分12分） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为[pic] ，服用B有郊的概率为[pic]. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率; （Ⅱ）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （20）（本大题满分12分）如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2 上，AM=MB=MN （I）证明AC[pic]NB （II）若[pic]，求NB与平面ABC所成角的余弦值 \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （21）（本大题满分12分）设P为椭圆[pic](a>1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求\|PQ\|的最大值 \|得分 \|评卷人\| \| \| \| （22）（本大题满分14分）设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-[pic],0)和(1, [pic])都是增函数,求a的最值范围 ----------------------- A B C M N l1 l2	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/11123.doc
2006高考数学试题陕西卷文科试题（必修＋选修Ⅰ）注意事项：１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。 3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合P={x∈N\|1≤x≤10},集合Q={x∈R\|x2+x－6=0}, 则P∩Q等于( ) A. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 2.函数f(x)= (x∈R)的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 3. 已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45 4.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0, 0),其反函数的图像过点(1,2),则a+b等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( ) A.± B.±2 B.±2 D.±4 6. “α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+γ)=sin2β成立”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7.设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( ) A. 6 B.9 C.12 D.15 8.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 9. 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1<x2 , x1+x2=0 , 则( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定 10. 已知双曲线－ =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( ) A.2 B. C. D. 11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交 C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 第二部分（共90分）二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共 16分）。 13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 14.(2x－)6展开式中常数项为 (用数字作答) 16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去 ,则不同的选派方案共有种 . 15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。 17.(本小题满分12分) 甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .现3人各投篮1次,求: (Ⅰ)3人都投进的概率; (Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率. 18. (本小题满分12分) 已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 19. (本小题满分12分) 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: (Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小. [pic] 20. (本小题满分12分) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列 {an}的通项an . 21. (本小题满分12分) 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程. 22.（本小题满分１4分）已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围. 以下答案由渭南市吝店中学郝进提供 (hao－jin@163.com) 参考答案一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A 10．D 11．D 12．C 二、填空题 13．－ 14．60 15．1320 16．3R 三、解答题 17.解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A1 , "乙投进"为事件A2 , "丙投进"为事件A3, 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , ∴ P(A1A2A3)=P(A1) ·P(A2) ·P(A3) = × ×= ∴3人都投进的概率为 (Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2) =P()·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P()·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P() =(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) = ∴3人中恰有2人投进的概率为 18.解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－) = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1 =2sin[2(x－)－]+1 = 2sin(2x－) +1 ∴ T==π (Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,有 2x－ =2kπ+ 即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R\|x= kπ+ , (k∈Z)}. [pic] 19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角. Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°. Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°. 故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°. (Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F, 连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = , ∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐标为(,－, ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－,). 又·=(,－,)·(,1,－1)= －－ =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角. 又cos∠A1FE= = = = = , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos. 20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3. 21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理 . ∴kDE = = = 1－2t. ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1]. (Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t). ∴ , ∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2]. 即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2] 解法二: (Ⅰ)同上. (Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t, = + = +t = +t(－) =(1－t) +t, = += + t= +t(－)=(1－t) + t = (1－t2) + 2(1－t)t+t2 . 设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2] 22.解: （I）当k=0时, f(x)=－3x2+1 ∴f(x)的单调增区间为(－∞,0],单调减区间[0,+∞). 当k>0时 , f '(x)=3kx2－6x=3kx(x－) ∴f(x)的单调增区间为(－∞,0] , [ , +∞), 单调减区间为[0, ]. （II）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值. 当k>0时, 依题意 f()= － +1>0 , 即k2>4 , 由条件k>0, 所以k的取值范围为(2,+∞) ----------------------- B A A B A1 B1 α β l 第19题解法一图 E F A B A1 B1 α β l 第19题解法二图 y x y E F y x O M D A B C －1 －1 －2 1 2 B E 第21题解法图 A1 B1 α β l 第19题图 y x O M D A B C －1 －1 －2 1 2 B E	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷.文）含答案.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷（选择题　共50分） 1. 选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中只有一个正确答案） 1、[pic]是虚数单位，[pic]（　　） A．[pic]　　　 B．[pic]　　　C．[pic]　　　D．[pic] 2、如果双曲线的两个焦点分别为[pic]、[pic]，一条渐近线方程为[pic]，那么它的两条准线间的距离是（） A．[pic] 　　 B．[pic]　　　　　 C．[pic] 　　 D．[pic] 3、设变量[pic]、[pic]满足约束条件[pic]，则目标函数[pic]的最小值为（） A．[pic]　　　　B．[pic]　　　　　 C．[pic]　　　 D．[pic] 4、设集合[pic]，[pic]，那么“[pic]”是“[pic]”的（） A．充分而不必要条件　　　　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　　D．既不充分也不必要条件 5、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　） A．10种　　　　　B．20种　　　　　C．36种　　　　　D．52种 6、设[pic]、[pic]是两条不同的直线，[pic]、[pic]是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（　　） A．[pic]　　　B．[pic] C．[pic]　　　 D．[pic] 7、已知数列[pic]、[pic]都是公差为1的等差数列，其首项分别为[pic]、[pic]，且[pic] ，[pic]．设[pic]（[pic]），则数列[pic]的前10项和等于（　　） A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100 8、已知函数[pic]（[pic]、[pic]为常数，[pic]，[pic]）在[pic]处取得最小值，则函数[pic]是（　　） A．偶函数且它的图象关于点[pic]对称　B．偶函数且它的图象关于点[pic]对称 C．奇函数且它的图象关于点[pic]对称　 D．奇函数且它的图象关于点[pic]对称 9、函数[pic]的定义域为开区间[pic]，导函数[pic]在[pic]内的图象如图所示，则函数 [pic]在开区间[pic]内有极小值点（　） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 10、已知函数[pic]的图象与函数[pic]（[pic]且[pic]）的图象关于直线[pic]对称，记 [pic]．若[pic]在区间[pic]上是增函数，则实数[pic]的取值范围是（　　） A．[pic] 　 B．[pic] 　　　C．[pic] D．[pic] 第Ⅱ卷（非选择题　共100分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11、[pic]的二项展开式中[pic]的系数是____　　（用数学作答）． 12、设向量[pic]与[pic]的夹角为[pic]，且[pic]，[pic]，则[pic]__________． 13、如图，在正三棱柱[pic]中，[pic]．若二面角[pic]的大小为[pic]，则点[pic] 到平面[pic]的距离为______________． 14、设直线[pic]与圆[pic]相交于[pic]、[pic]两点，且弦[pic]的长为[pic]，则[pic] ____________． 15、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买[pic]吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为[pic]万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则[pic] 吨． 16、设函数[pic]，点[pic]表示坐标原点，点[pic]，若向量[pic]，[pic]是[pic]与[pic] 的夹角，（其中[pic]），设[pic]，则[pic]= ．三、解答题（本题共6道大题，满分76分） 17、（本题满分12分）如图，在[pic]中，[pic]，[pic]，[pic]．（1）求[pic]的值；（2）求[pic]的值. 18、（本题满分12分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为[pic]，且各次射击的结果互不影响。（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量[pic]表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求[pic]的分布列． 19、（本题满分12分）如图，在五面体[pic]中，点[pic]是矩形[pic]的对角线的交点，面[pic]是等边三角形，棱[pic]．（1）证明[pic]//平面[pic]；（2）设[pic]，证明[pic]平面[pic]．班级_____________ 姓名___________________ 20、（本题满分12分）已知函数[pic]，其中[pic]为参数，且[pic]．（1）当时[pic]，判断函数[pic]是否有极值；（2）要使函数[pic]的极小值大于零，求参数[pic]的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数[pic]，函数[pic]在区间[pic]内都是增函数，求实数[pic]的取值范围． 21、（本题满分14分）已知数列[pic]满足[pic]，并且 [pic]（[pic]为非零参数，[pic]）．（1）若[pic]成等比数列，求参数[pic]的值；（2）当[pic]时，证明[pic]；当[pic]时，证明[pic]. 22、（本题满分14分）如图，以椭圆[pic]的中心[pic]为圆心，分别以[pic]和[pic]为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点[pic]作垂直于[pic]轴的直线交大圆于第一象限内的点[pic]．连结[pic] 交小圆于点[pic]．设直线[pic]是小圆的切线．（1）证明[pic]，并求直线[pic]与[pic]轴的交点[pic]的坐标；（2）设直线[pic]交椭圆于[pic]、[pic]两点，证明[pic]．参考答案：一、选择题 \|题号\|1 \|2 \|3 \|4 \|5 \| \|[pic\|[pic] \|[pic] \|… \|[pic] \|… \| \|] \| \| \| \| \| \| 19、略　　　20、无极值；[pic]；[pic]　 21、[pic]；略；略　　22、[pic]；略． ----------------------- [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）.doc
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=C[pic]Pk(1－P)n－k 一、选择题：[1] （1）设集合[pic] （A） [pic] （B）[pic] （C） [pic] （D）[pic] （2）已知函数[pic]的图像与函数[pic]的图像关于直线[pic]对称,则（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （3）双曲线[pic]的虚轴长是实轴长的2倍,则[pic] （A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （4）如果复数[pic]是实数，则实数[pic]（） A．1 B．-1 C．[pic] D．[pic] （5）函数[pic]的单调增区间为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （6）[pic]的内角[pic]的对边分别为[pic] 若[pic]成等比数列，且[pic]，则[pic]（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （8）抛物线[pic]上的点到直线[pic]距离的最小值是（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （9）设平面向量[pic]的和[pic]，如果平面向量[pic]满足[pic]，且[pic]顺时针旋转 [pic]后与[pic]同向，其中[pic]，则（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （10）设[pic]是公差为正数的等差数列，若[pic] [pic]，则[pic]（） A．120 B．105 C．90 D．75 （11）用长度分别为[pic]（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] （12）设集合[pic]，选择[pic]的两个非空子集[pic]和[pic]，要使[pic]中最小的数大于[pic]中最大的数，则不同的选择方法共有（） A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 13．已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为[pic]，则侧面与底面所成的二面角为 14设[pic],式中x,y满足下列条件 [pic] 则z的最大值为 15．安排7位工作人员5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人不安排在5 月1日和5月2日，不同的安排方法数共有- 16．设函数[pic]，若[pic]是奇函数，则[pic]= 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17三角形ABC的三个内角A、B、C，求当A满足何值时[pic]取得最大值，并求出这个最大值 18)(本题满分12分) A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为[pic],服用B有效的概率为[pic]. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用[pic]表示这3个试验组中甲类组的个数，求[pic]的分布列和数学期望。 (19)(本题满分12分) 如图，[pic]、[pic]是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在[pic] 上，C在[pic]上，AM=MB=MN。（Ⅰ）证明AC[pic]NB （Ⅱ）若[pic],求NB与平面ABC所成角的余弦值. 20（12分）在平面直角坐标系xoy中，有一个点[pic]和[pic]为焦点，离心率为[pic]的椭圆，设椭圆在第一象限的部分曲线为C,动点P在C上，C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A、B ，且向量[pic]，求 1. 点M的轨迹方程； 2. [pic]的最小值（21）（本小题满分14分）已知函数[pic] （Ⅰ）设[pic]，讨论[pic]的单调性；（Ⅱ）若对任意[pic]恒有[pic]，求[pic]的取值范围。（22）（本小题满分12分）设数列[pic]的前[pic]项和[pic] （Ⅰ）求首项[pic]与通项[pic]；（Ⅱ）设[pic] 证明：[pic] ----------------------- 数学理科试题第1页（共4页） ----------------------- 球的表面积公式 S=4[pic] 其中R表示球的半径，球的体积公式 V=[pic]，其中R表示球的半径 N M C B A l2 l1	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2006年/2006年全国1理科数学/2122.doc
2005年高考文科数学[pic]重庆卷[pic]试题及答案数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上[pic] 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑[pic]如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号[pic] 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上[pic] 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效[pic] 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回[pic] 参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率[pic] 第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆[pic]关于原点（0，0）对称的圆的方程为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 2．[pic]（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 3．若函数[pic]是定义在R上的偶函数，在[pic]上是减函数，且[pic]，则使得 [pic]的取值范围是（） A．[pic] B．[pic]　　C．[pic]　　　　D．（－2，2） 4．设向量[pic]=（－1，2），[pic]=（2，－1），则（[pic]·[pic]）（[pic]+[pic]）等于（） A．（1，1） B．（－4，－4） C．－4 D．（－2，－2） 5．不等式组[pic]的解集为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 6．已知[pic]均为锐角，若[pic]的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．对于不重合的两个平面[pic]，给定下列条件： ①存在平面[pic]，使得α、β都垂直于[pic]； ②存在平面[pic]，使得α、β都平等于[pic]； ③存在直线[pic]，直线[pic]，使得[pic]； ④存在异面直线l、m，使得[pic] 其中，可以判定α与β平行的条件有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若[pic]展开式中含[pic]的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（） A．5 B．7 C．9 D．11 9．若动点[pic]在曲线[pic]上变化，则[pic]的最大值为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（） A．4 B．5 C．6 D．7 第二部分（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若集合[pic]，则[pic] . 12．曲线[pic]在点（1，1）处的切线与x轴、直线[pic]所围成的三角形的面积为 . 13．已知[pic]均为锐角，且[pic] . 14．若[pic]的最大值是 . 15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 . 16．已知[pic]是圆[pic]为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数[pic]的最大值为[pic]，试确定常数a 的值. 18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为[pic]、[pic] 、[pic]，且各道工序互不影响. （Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率. 19．（本小题满分13分）设函数[pic]R. （1）若[pic]处取得极值，求常数a的值；（2）若[pic]上为增函数，求a的取值范围. 20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知[pic]求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小. 21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为[pic] （1）求双曲线C的方程；（2）若直线[pic]与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且[pic]（其中O为原点）. 求k的取值范围. 22．（本小题满分12分）数列[pic]记[pic] （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列[pic]的通项公式及数列[pic]的前n项和[pic] 2005年高考文科数学[pic]重庆卷[pic]试题及答案参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分. 1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.B 7.B 8.A 9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．[pic] 12．[pic] 13．1 14．[pic] 15．[pic] 16．[pic] 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）解：[pic] [pic] [pic] 因为[pic]的最大值为[pic]的最大值为1，则[pic] 所以[pic] 18．（本小题13分）（Ⅰ）解：[pic]；（Ⅱ）解法一：该种零件的合格品率为[pic]，由独立重复试验的概率公式得：恰好取到一件合格品的概率为 [pic]，至少取到一件合格品的概率为 [pic] 解法二：恰好取到一件合格品的概率为[pic]，至少取到一件合格品的概率为 [pic] 19．（本小题13分）解：（Ⅰ）[pic] 因[pic]取得极值，所以[pic] 解得[pic] 经检验知当[pic]为极值点. （Ⅱ）令[pic] 当[pic]和[pic]上为增函数，故当[pic]上为增函数. 当[pic]上为增函数，从而[pic]上也为增函数. 综上所述，当[pic]上为增函数. 20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE 是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线. 设DE=x，因△DAE∽△CED，故[pic]（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1. （Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD. 因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC. 因此∠EHG为二面角的平面角. 在面PDC中，PD=[pic]，CD=2，GC=[pic] 因△PDC∽△GHC，故[pic]，又[pic] 故在[pic][pic] 即二面角E—PC—D的大小为[pic] 解法二：（Ⅰ）以D为原点，[pic]、[pic]、[pic]分别为x、y、 z轴建立空间直角坐标系. 由已知可得D（0，0，0），P（0，0，[pic]， C（0，2，0）设[pic] [pic] 由[pic]，即[pic] 由[pic]，又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得[pic]，故异面直线PD、 CE的距离为1. （Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由[pic]得[pic] 即[pic]作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），则[pic] 由[pic]，又由F在PC上得[pic] 因[pic]故平面E—PC—D的平面角[pic]的大小为向量[pic]的夹角. 故[pic] 即二面角E—PC—D的大小为[pic] 21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为[pic] [pic] 由已知得[pic] 故双曲线C的方程为[pic] （Ⅱ）将[pic] [pic] 由直线l与双曲线交于不同的两点得[pic] 即[pic] ① 设[pic]，则 [pic] 而[pic] [pic] 于是[pic] [pic] ② 由①、②得 [pic] 故k的取值范围为[pic] 22．（本小题12分）解法一：（I）[pic] [pic] [pic] [pic] （II）因[pic]， [pic] 故猜想[pic] 因[pic]，（否则将[pic]代入递推公式会导致矛盾） [pic] 故[pic]的等比数列. [pic], [pic] [pic] [pic] [pic][pic][pic] 解法二：（Ⅰ）由[pic] 整理得[pic] [pic] （Ⅱ）由[pic] 所以[pic] [pic] [pic] [pic][pic] [pic][pic] 解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 从而[pic] [pic][pic] [pic] [pic][pic] [pic][pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2005年/2005年高考文科数学（重庆卷）试题及答案.doc
2005年高考理科数学[pic]湖南卷[pic]试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的[pic] 1．复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是　（　　）　 A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．i 2．函数f(x)＝[pic]的定义域是　（　）　　A．[pic]－∞，0]　　 B．[0，＋∞[pic]　 C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞） 3．已知数列{log2(an－1)}（n∈N）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则　　[pic]= （　）　　A．2　　 B．[pic]　　 C．1　　 D．[pic] 4．已知点P（x，y）在不等式组[pic]表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是　　（　　） A．[－2，－1]　　 B．[－2，1]　 C．[－1，2] D．[1，2] 5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为　（　） A．[pic]　 B．[pic]　 C．[pic]　 D．[pic] 6．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则 f2005(x)＝（　）　　A．sinx　 B．－sinx　 C．cosx　 D．－cosx 7．已知双曲线[pic]－[pic]＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为[pic]（O为原点），则两条渐近线的夹角为　（　）　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º 8．集合A＝｛x\|[pic]＜0＝，B＝｛x \|\| x -b\|＜a[pic]，若“a＝1”是“A∩B≠[pic]”的充分条件，则b的取值范围是（　）　 A．－2≤b＜0　 B．0＜b≤2　 C．－3＜b＜－1　 D．－1≤b＜2 9．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若 4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（　）　　A．48　　 B．36　　 C．24　　 D．18 10．设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝[pic]， λ2＝[pic]， λ3＝[pic]，定义f(P)=(λ1, λ, λ3),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（[pic]，[pic]，[pic]），则（　） A．点Q在△GAB内　 B．点Q在△GBC内　 C．点Q在△GCA内　 D．点Q与点G重合第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了　　　件产品. 12．在[pic]的展开式中，x 2项的系数是　　　　.（用数字作答） 13．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且\|AB\|＝[pic]，则[pic] 　＝　　. 14．设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数[pic],f (4)＝0，则[pic]＝　 . 15．设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0 ，[pic]]上的面积为[pic]（n∈N），（i）y＝sin3x在[0,[pic]]上的面积为　　　；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[[pic]，[pic]]上的面积为　　　. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小 . 17．（本题满分12分）　如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为[pic]的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2. 　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小. 18．（本小题满分14分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0 .6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞[pic]上单调递增”为事件A，求事件A 的概率. 19．（本小题满分14分）　已知椭圆C：[pic]＋[pic]＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线 l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设[pic]＝λ[pic]. （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. 20．（本小题满分14分）　　自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b，c. （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）　（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论. 21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝[pic]ax2＋bx，a≠0[pic] （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行[pic] 2005年高考理科数学[pic]湖南卷[pic]试题及答案参考答案一、选择题：1—5：BACCB 6—10： CDDBA 二、填空题： 11．5600 12．35 13．[pic] 14．－2 15．[pic]，[pic] [pic] 解：函数y＝sinnx在[0，[pic]]上的面积为[pic]（n∈N），就是函数y＝sinnx半周期的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为[pic]。（i）y＝sin3x在[0,[pic]]上的面积为如图所示的两个封闭图形的面积[pic]。 [pic] （ii）y＝sin（3x－π）＋1＝－[pic]在[[pic]，[pic]]上的面积如图所示，其面积为： [pic]。 [pic] 三、解答题： 16．解法一由[pic] 得[pic] 所以[pic][pic] 即[pic] 因为[pic]所以[pic]，从而[pic] 由[pic]知[pic] 从而[pic]. 由[pic] 即[pic] 由此得[pic]所以[pic][pic] 解法二：由[pic] 由[pic]、[pic]，所以[pic] 即[pic] 由[pic]得 [pic] 所以[pic] 即[pic] 因为[pic]，所以[pic] 由[pic]从而[pic]，知B+2C=[pic]不合要求[pic] 再由[pic]，得[pic] 所以[pic][pic] 17．解法一（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为[pic]轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，[pic]） O1（0，0，[pic]）. 从而 [pic] 所以AC⊥BO1. （II）解：因为[pic]所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，[pic]是平面OAC的一个法向量. 设[pic]是0平面O1AC的一个法向量，由[pic] 得[pic]. 设二面角O—AC—O1的大小为[pic]，由[pic]、[pic]的方向可知[pic][pic]，[pic]> ，所以cos[pic][pic]，[pic]>=[pic] 即二面角O—AC—O1的大小是[pic] 解法二（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1内的射影. 因为[pic] [pic]，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1 由三垂线定理得AC⊥BO1. （II）解由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC. 设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=[pic]，O1C=1，所以[pic]，从而[pic]，又O1E=OO1·sin30°=[pic]，所以[pic] 即二面角O—AC—O1的大小是[pic] 18．解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5， P（A3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以[pic]的可能取值为1，3. P（[pic]=3）=P（A1·A2·A3）+ P（[pic]） = P（A1）P（A2）P（A3）+P（[pic]） =2×0.4×0.5×0.6=0.24， P（[pic]=1）=1－0.24=0.76. 所以[pic]的分布列为 E[pic]=1×0.76+3×0.24=1.48. （Ⅱ）解法一因为[pic] 所以函数[pic]上单调递增，要使[pic]上单调递增，当且仅当[pic] 从而[pic] 解法二：[pic]的可能取值为1，3. 当[pic]=1时，函数[pic]上单调递增，当[pic]=3时，函数[pic]上不单调递增.0 所以[pic] 19．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：[pic]与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是[pic]. 所以点M的坐标是（[pic]）. 由[pic] 即[pic] 证法二：因为A、B分别是直线l：[pic]与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是[pic] 设M的坐标是[pic] [pic] 所以[pic] 因为点M在椭圆上，所以 [pic] 即[pic] [pic] 解得[pic] （Ⅱ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有\|PF1\|=\|F1F2\|，即[pic] 设点F1到l的距离为d，由[pic] 得[pic] 所以[pic] 即当[pic]△PF1F2为等腰三角形. 解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有\|PF1\|=\|F1F2\|，设点P的坐标是[pic]，则[pic]，[pic] 由\|PF1\|=\|F1F2\|得[pic] 两边同时除以4a2，化简得[pic] 从而[pic] 于是[pic][pic] 即当[pic]时，△PF1F2为等腰三角形[pic] 20．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 [pic] [pic] （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N，从而由（）式得 [pic] 因为x1>0，所以a>b[pic] 猜测：当且仅当a>b，且[pic]时，每年年初鱼群的总量保持不变[pic] （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N, 知 0<xn<3－b, n∈N, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1. 而x1∈(0, 2)，所以[pic][pic] 由此猜测b的最大允许值是1[pic] 下证当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①当n=1时，结论显然成立[pic] ②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n∈N，都有xn∈(0,2). 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N，则捕捞强度b的最大允许值是1. 21．解：（I）[pic]，则[pic] 因为函数h(x)存在单调递减区间，所以[pic]<0有解[pic] 又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解. ①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解； ②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0. 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）[pic] （II）证法一设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2. 则点M、N的横坐标为[pic] C1在点M处的切线斜率为[pic] C2在点N处的切线斜率为[pic] 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即[pic]，则 [pic] =[pic] 所以[pic] 设[pic]则[pic]① 令[pic]则[pic] 因为[pic]时，[pic]，所以[pic]在[pic]）上单调递增. 故[pic] 则[pic]. 这与①矛盾，假设不成立[pic] 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行[pic] 证法二：同证法一得[pic] 因为[pic]，所以[pic] 令[pic]，得[pic] ② 令[pic] 因为[pic]，所以[pic]时，[pic] 故[pic]在[1，+[pic]上单调递增.从而[pic]，即[pic] 于是[pic]在[1，+[pic]上单调递增[pic] 故[pic]即[pic]这与②矛盾，假设不成立[pic] 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行[pic] ----------------------- 图1 图2 图2 图3 图4 \|[pic] \|1 \|3 \| \|P \|0.76\|0.24\| 图1	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2005年/2005年高考理科数学（湖南卷）试题及答案.doc
2005年高考文科数学[pic]山东卷[pic]试题及答案第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 [pic] 如果事件A、B相互独立，那么 [pic]=[pic] 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的[pic] （1）[pic]是首顶[pic],公差[pic]的等差数列,如果[pic],则序号[pic]等于（A）667 (B) 668 (C) 669 (D)670 （2）下列大小关系正确的是（A）[pic] (B)[pic] (C) [pic] (D)[pic] （3）函数[pic]的反函数的图象大致是 [pic] [pic] [pic] [pic] （A） (B) (C) (D) （4）已知函数[pic]则下列判断正确的是（A）此函数的最小正周期为[pic]，其图象的一个对称中心是[pic] (B) 此函数的最小正周期为[pic]，其图象的一个对称中心是[pic] (C) 此函数的最小正周期为[pic]，其图象的一个对称中心是[pic] (D) 此函数的最小正周期为[pic]，其图象的一个对称中心是[pic] （5）下列函数中既是奇函数，又是区间[pic]上单调递减的是（A）[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] （6）如果[pic]的展开式中各项系数之和为128，则展开式中[pic]的系数是（A）[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D)[pic] （7）函数[pic]若[pic]则[pic]的所有可能值为（A） [pic] (B) [pic],[pic] (C) [pic] (D) [pic],[pic] （8）已知向量[pic]，且[pic]则一定共线的（A）Ａ、B、D (B) A、B、C (C) B、C、D (D)A、C、D （9）设地球半径为R，若甲地位于北纬[pic]东经[pic]，乙地位于南纬度[pic]东经[pic] ，则甲、乙两地球面距离为（A）[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] （10）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（A） [pic] (B) [pic] (C) [pic] (D)[pic] （11）设集合A、B是全集U的两个子集，则[pic]是[pic] （A）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件（12）设直线[pic]关于原点对称的直线为[pic]，若[pic]与椭圆[pic]的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使[pic]的面积为[pic]的点P的个数为（A） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上[pic] (13) 某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人, 40岁及以上的有140人,为了普通话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是__________[pic] (14)设双曲线[pic]的右焦点为F,右准线[pic]与两条渐近线交于P、Q两点，如果[pic]是直角三角形，则双曲线的离心率[pic][pic] (15)设[pic]满足约束条件[pic]则使得目标函数[pic]的值最大的点[pic]是_______[pic] (16)已知m、n是不同的直线，[pic]是不重合的平面，给出下列命题： ① 若[pic]，则[pic]平行于平面[pic]内的任意一条直线[pic] ②若[pic]则[pic][pic] ③若[pic],则[pic][pic] ④若[pic]则[pic] [pic] 上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号）[pic] 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤[pic] (17)（本小题满分12分）　　已知向量[pic]和[pic]，且[pic]，求[pic]的值[pic] (18) （本小题满分12分）袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为[pic].现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取[pic]取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止[pic]每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用[pic]表示取球终止时所需的取球次数． [pic]（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求取球2次终止的概率；（Ⅲ）求甲取到白球的概率[pic] (19) （本小题满分12分）已知[pic]是函数[pic]的一个极值点,其中[pic][pic]. （Ⅰ）求m与n的关系表达式; （Ⅱ）求[pic]的单调区间； (20) （本小题满分12分）　　　如图，已知长方体[pic][pic]，[pic]，直线[pic]与平面[pic]所成的角为[pic] ，[pic]垂直[pic]于[pic]为[pic]的中点．　（Ⅰ）求异面直线[pic]与[pic]所成的角；（Ⅱ）求平面[pic]与平面[pic]所成二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点[pic]到平面[pic]的距离[pic] (21) （本小题满分12分）已知数列[pic]的首项[pic]前[pic]项和为[pic]，且[pic] （I）证明数列[pic]是等比数列；（II）令[pic]，求函数[pic]在点[pic]处的导数[pic][pic] (22) （本小题满分14分）已知动圆过定点[pic]，且与直线[pic]相切，其中[pic]. （I）求动圆圆心[pic]的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹[pic]上异于原点[pic]的两个不同点，直线[pic]和[pic]的倾斜角分别为[pic]和[pic]，当[pic]变化且[pic]时，证明直线[pic]恒过定点，并求出该定点的坐标[pic] 2005年高考文科数学[pic]山东卷[pic]试题及答案参考答案 \|题号 \|1 \|2 \|3 \|4 \|5 \| \|[pic] \|<0 \|0 \|>0 \|0 \|<0 \| \|[pic] \|单调递减 \|极小值 \|单调递增 \|极大值 \|单调递减 \| 由上表知,当[pic]时,[pic]在[pic]单调递减,在[pic]单调递增,在[pic]单调递减[pic] [pic]当[pic]时,有[pic],当[pic]变化时[pic]与[pic]的变化如下表: \|[pic] \|[pic] \|1 \|[pic] \|[pic] \|[pic] \| \|[pic] \|>0 \|0 \|<0 \|0 \|>0 \| \|[pic] \|单调递增 \|极大值 \|单调递减 \|极小值 \|单调递增 \| 由上表知,当[pic]时,[pic]在[pic]单调递增,在[pic]单调递减,在[pic]单调递增[pic] (20) （本小题满分12分）(考查知识点：立体几何) 解法一：（向量法）在长方体[pic]中，以[pic]所在直线为[pic]轴，[pic]所在直线为[pic]轴，[pic]　所在直线为[pic]轴建立空间直角坐标系如图．　　　　由已知[pic]，可得[pic]．　　　　又[pic]平面[pic]，从面[pic]与平面[pic]所成的角即为[pic] 　　　　又[pic][pic] 　　　　从而易得[pic][pic] 　　　　（Ⅰ）[pic][pic] 　　　　　　　[pic][pic][pic] 　　　即异面直线[pic]、[pic]所成的角为[pic][pic] （Ⅱ）易知平面[pic]的一个法向量[pic][pic] 　　　设[pic]是平面[pic]的一个法向量．[pic][pic] 　　　由[pic]　[pic]　[pic]　[pic][pic] 　　　取[pic][pic] ∴[pic][pic] 即平面[pic]与平面[pic]所成二面角（锐角）大小为[pic][pic] （Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即[pic]在平面BDF的法向量[pic]上的投影的绝对值[pic] 所以距离 [pic] 　[pic] [pic][pic] 所以点A到平面BDF的距离为[pic][pic] 解法二：(几何法) （Ⅰ）连结[pic]，过F作[pic]的垂线，垂足为K， ∵[pic]与两底面ABCD，[pic]都垂直，[pic] ∴[pic] 又[pic] 因此[pic][pic] ∴[pic]为异面直线[pic]与[pic]所成的角[pic] 连结BK，由FK⊥面[pic]得[pic]，从而 [pic]为[pic][pic] 在 [pic]和[pic]中，由[pic]得[pic][pic] 又[pic]， ∴[pic][pic] ∴异面直线[pic]与[pic]所成的角为[pic][pic] （Ⅱ）由于[pic]面[pic]由[pic]作[pic]的垂线[pic]，垂足为[pic]，连结[pic]，由三垂线定理知[pic][pic] ∴[pic]即为平面[pic]与平面[pic]所成二面角的平面角[pic] 且[pic]，在平面[pic]中，延长[pic]与[pic]；交于点[pic][pic] ∵[pic]为[pic]的中点[pic]， ∴[pic]、[pic]分别为[pic]、[pic]的中点[pic] 即[pic]， ∴[pic]为等腰直角三角形，垂足[pic]点实为斜边[pic]的中点F，即F、G重合[pic] 易得[pic]，在[pic]中，[pic][pic] ∴[pic]， ∴[pic]，即平面[pic]于平面[pic]所成二面角（锐角）的大小为[pic][pic] （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面[pic]是平面[pic]与平面[pic]所成二面角的平面角所在的平面　　　∴面[pic][pic] 　　　在[pic]中，由Ａ作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离[pic] 由AH[pic]DF=AD[pic]AF，得 [pic][pic] 所以点A到平面BDF的距离为[pic][pic] (21) （本小题满分12分）（考查知识点:数列）解：由已知[pic] 可得[pic]两式相减得 [pic]，即[pic][pic] 从而[pic] 当[pic]时,[pic]，所以[pic][pic] 又[pic]所以[pic]，从而[pic][pic] 故总有[pic]，[pic] 又[pic]，从而[pic], 即数列[pic]是以[pic]为首项，2为公比的等比数列；（II）由（I）知[pic] 因为[pic]所以[pic] 从而[pic]=[pic] =[pic]-[pic]=[pic]. (22) （本小题满分14分）（考查知识点:圆锥曲线）解：（I）如图，设[pic]为动圆圆心，[pic]为记为[pic]，过点[pic]作直线[pic]的垂线，垂足为[pic]，由题意知：[pic]即动点[pic]到定点[pic]与定直线[pic]的距离相等，由抛物线的定义知，点[pic]的轨迹为抛物线，其中[pic]为焦点，[pic]为准线，所以轨迹方程为[pic]；（II）如图，设[pic]，由题意得[pic]，又直线OA,OB的倾斜角[pic]满足[pic]，故[pic]，所以直线[pic]的斜率存在，否则，OA,OB直线的倾斜角之和为[pic][pic] 从而设AB方程为[pic]，显然[pic]，将[pic]与[pic]联立消去[pic]，得[pic] 由韦达定理知[pic]① 由[pic]，得1＝[pic]=[pic]=[pic] 将①式代入上式整理化简可得：[pic]，所以[pic]，此时，直线[pic]的方程可表示为[pic][pic]即[pic] 所以直线[pic]恒过定点[pic].	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2005年/2005年高考文科数学（山东卷）试题及答案.doc
2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北[pic]河南[pic]安徽[pic]山西[pic]海南）源头学子小屋 [pic] 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分[pic]第Ⅰ卷1至2页[pic]第Ⅱ卷 3到10页[pic]考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回[pic] 第Ⅰ卷注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上[pic] 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑[pic]如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号[pic]不能答在试题卷上[pic] 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分[pic]在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的[pic] 参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式 [pic] [pic] 如果事件A、相互独立，那么其中R表示球的半径 [pic] 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 [pic] n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 [pic] 一、选择题（1）复数[pic]= （A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （2）设[pic]为全集，[pic]是[pic]的三个非空子集，且[pic]，则下面论断正确的是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为[pic]，则球的表面积为（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （4）已知直线[pic]过点[pic]，当直线[pic]与圆[pic]有两个交点时，其斜率k的取值范围是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （5）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且[pic]均为正三角形， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （6）已知双曲线[pic]的一条准线与抛物线[pic]的准线重合，则该双曲线的离心率为（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （7）当[pic]时，函数[pic]的最小值为（A）2 （B）[pic] （C）4 （D）[pic] （8）设[pic]，二次函数[pic]的图像为下列之一 [pic] [pic] [pic][pic] 则[pic]的值为（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （9）设[pic]，函数[pic]，则使[pic]的[pic]的取值范围是（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）[pic] （10）在坐标平面上，不等式组[pic]所表示的平面区域的面积为（A）[pic] （B）[pic] （C）[pic] （D）2 （11）在[pic]中，已知[pic]，给出以下四个论断： ①[pic] ②[pic] ③[pic] ④[pic] 其中正确的是（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③ （12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（A）18对（B）24对（C）30对（D）36对第Ⅱ卷注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上[pic] 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚[pic] 3．本卷共10小题，共90分[pic] 二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上[pic] （13）若正整数m满足[pic]，则m = [pic][pic] （14）[pic]的展开式中，常数项为 [pic]（用数字作答）（15）[pic]的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，[pic]，则实数m = （16）在正方形[pic]中，过对角线[pic]的一个平面交[pic]于E，交[pic]于F，则 1. 四边形[pic]一定是平行四边形 2. 四边形[pic]有可能是正方形 3. 四边形[pic]在底面ABCD内的投影一定是正方形 4. 四边形[pic]有可能垂直于平面[pic] 以上结论正确的为 [pic]（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分[pic]解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 [pic] （17）（本大题满分12分）设函数[pic]图像的一条对称轴是直线[pic][pic] （Ⅰ）求[pic]；（Ⅱ）求函数[pic]的单调增区间；（Ⅲ）证明直线[pic]于函数[pic]的图像不相切[pic] （18）（本大题满分12分）已知四棱锥P- ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，[pic]底面ABCD，且PA=AD=DC=[pic]AB=1，M是PB的中点 [pic] （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小[pic] （19）（本大题满分12分）设等比数列[pic]的公比为[pic]，前n项和[pic][pic] （Ⅰ）求[pic]的取值范围；（Ⅱ）设[pic]，记[pic]的前n项和为[pic]，试比较[pic]与[pic]的大小[pic] （20）（本大题满分12分） 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为[pic]，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种[pic]假定每个坑至多补种一次，每补种 1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望[pic]（精确到[pic] ）（21）（本大题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在[pic]轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，[pic]与[pic]共线[pic] （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且[pic]，证明[pic]为定值[pic] （22）（本大题满分12分）（Ⅰ）设函数[pic]，求[pic]的最小值；（Ⅱ）设正数[pic]满足[pic]，证明 [pic] 2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北[pic]河南[pic]安徽[pic]山西[pic]海南）参考答案 1. 选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分 [pic] 解：（Ⅰ）[pic]的图像的对称轴，[pic] [pic] [pic] （Ⅱ）由（Ⅰ）知[pic] 由题意得 [pic] 所以函数[pic] （Ⅲ）证明：∵ [pic] 所以曲线[pic]的切线斜率的取值范围为[-2,2]，而直线[pic]的斜率为[pic]，所以直线[pic]于函数[pic]的图像不相切[pic] 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力[pic]满分12分[pic] 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂线定理得：CD⊥PD. 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD. 又CD[pic]面PCD，∴面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角. 连结AE，可知AC=CB=BE=AE=[pic]，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90° 在Rt△PEB中BE=[pic]，PB=[pic]， [pic] [pic] （Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN. 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角[pic] ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC中，AN·MC=[pic]， [pic]. ∴AB=2，[pic] 故所求的二面角为[pic] 方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1， [pic]. （Ⅰ）证明：因[pic] 又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD[pic] （Ⅱ）解：因[pic] [pic] 由此得AC与PB所成的角为[pic] （Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在[pic]使[pic] [pic] 要使[pic] [pic] [pic]为所求二面角的平面角. [pic] [pic] [pic] 19．（Ⅰ）[pic] （Ⅱ）[pic] [pic] [pic] [pic] 20．（Ⅰ） \|[pic]\|0 \|10 \|20 \|30 \| \|P \|0.670 \|0.287 \|0.041 \|0.002 \| [pic]的数学期望为: [pic] 21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分[pic] （1）解：设椭圆方程为[pic] 则直线AB的方程为[pic]，代入[pic]，化简得 [pic]. 令A（[pic]），B[pic]），则[pic] 由[pic]与[pic]共线，得 [pic]又[pic]， [pic] 即[pic]，所以[pic]，故离心率[pic] （II）证明：（1）知[pic]，所以椭圆[pic]可化为[pic] 设[pic]，由已知得[pic] [pic] [pic]在椭圆上，[pic] 即[pic]① 由（1）知[pic] 22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力[pic] 　满分12分[pic] （Ⅰ）解：对函数[pic]求导数： [pic] 　　　[pic] 　　　[pic] 于是[pic]，当[pic]时，[pic]，[pic]在区间[pic]是减函数，当[pic]时，[pic]，[pic]在区间[pic]是增函数，所以[pic]时取得最小值，[pic]，（II）用数学归纳法证明[pic] (ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立[pic] (ⅱ)假设当n=k时命题成立[pic]　即若正数[pic]满足[pic]，则[pic] 当n=k+1时，若正数[pic]满足[pic]，令[pic] [pic]，[pic]，……，[pic][pic] 则[pic]为正数，且[pic]，由归纳假定知[pic] [pic]　[pic] 　　[pic][pic]　　　　　　　　　① 同理，由[pic]，可得 [pic] [pic]　　　② 综合①、②两式　[pic] 　　　[pic] 　　　[pic] 　　　[pic][pic] 即当n=k+1时命题也成立[pic] 根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立[pic]	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2005年/2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北、河南、安徽、山西、海南等地区用）.doc
2005年高考数学[pic]广东卷[pic]试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上[pic]用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上[pic]在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑[pic] 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上[pic] 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液[pic]不按以上要求作答的答案无效[pic] 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回[pic] 参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合[pic]，则M∩N= （） A．{3} B．{0} C．{0，2} D．{0，3} 2．若[pic]，其中a、b∈R，i是虚数单位，则[pic]= （） A．0 B．2 C．[pic] D．5 3．[pic]= （） A．[pic] B．0 C．[pic] D．[pic] 4．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 5．若焦点在[pic]轴上的椭圆[pic]的离心率为[pic]，则m=（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 6．函数[pic]是减函数的区间为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．（0，2） 7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题： ①若[pic]； ②若m、l是异面直线，[pic]； ③若[pic]； ④若[pic] 其中为假命题的是（） A．① B．② C．③ D．④ 8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则[pic]的概率为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 9．在同一平面直角坐标系中，函数[pic]和[pic]的图象关于直线[pic]对称. 现将[pic]的图象沿[pic]轴向左平移2个单位，再沿[pic]轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数[pic]的表达式为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 10．已知数列[pic]（） A．[pic] B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．函数[pic]的定义域是 . 12．已知向量[pic]则x= . 13．已知[pic]的展开式中[pic]的系数与[pic]的展开式中x3的系数相等，则[pic]= . 14．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用[pic]表示这n条直线交点的个数，则[pic]= ；当n>4时， [pic]= .（用n表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）化简[pic]并求函数[pic]的值域和最小正周期. 16．（本小题满分14分）如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=[pic].F是线段 PB上一点，[pic]，点E在线段AB上，且EF⊥PB. （Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小. 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO （如图4所示）. （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 18．（本小题满分12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. （Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分14分）设函数[pic]，且在闭区间[0，7]上，只有[pic] （Ⅰ）试判断函数[pic]的奇偶性；（Ⅱ）试求方程[pic]在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值. 2005年高考数学[pic]广东卷[pic]试题及答案参考答案 1. 选择题 1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B 2. 填空题 11.{x\|x<0} 12.4 13.[pic] 14. 5, [pic] 3. 解答题 15．解：[pic] [pic] 函数f(x)的值域为[pic]; 函数f(x)的周期[pic]； 16．（I）证明：∵[pic] ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证 △PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形[pic] 故PA⊥平面ABC 又∵[pic] 而[pic] 故CF⊥PB,又已知EF⊥PB ∴PB⊥平面CEF （II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE 在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC 故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角[pic] [pic] 二面角B—CE—F的大小为[pic] 17．解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则[pic] …（1） ∵OA⊥OB ∴[pic],即[pic]，……(2) 又点A，B在抛物线上，有[pic]，代入（2）化简得[pic] ∴[pic] 所以重心为G的轨迹方程为[pic] （II）[pic] 由（I）得[pic] 当且仅当[pic]即[pic]时，等号成立[pic] 所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n ξ的分布列为 \|ξ \|0 \|1 \|2 \|… \|n-1 \|n \| \|p \|[pic]\|[pic] \|[pic] \|… \|[pic] \|[pic] \| (II) [pic]的数学希望为 [pic]…(1) [pic]…(2) 1) －(2)得 [pic] 19.解: 由[pic] [pic], 又[pic], [pic] [pic]，[pic] 故函数[pic]是非奇非偶函数; (II)由[pic] [pic] 又[pic] 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数[pic]在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数[pic]在[-2005,2005]上有802个解[pic] 20.解(I) （1）当[pic]时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程[pic][pic] （2）当[pic]时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)[pic]，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有[pic] 故G点坐标为[pic][pic][pic] 从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为[pic][pic] 折痕所在的直线方程[pic]，即[pic][pic][pic] 由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为： k=0时，[pic]；[pic]时[pic][pic][pic] （II）⑴当[pic]时，折痕的长为2; ⑵当[pic]时, ①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为[pic][pic] [pic] 这时，[pic]，[pic] [pic] ②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为[pic][pic] [pic] 这时，[pic]， [pic][pic] [pic][pic] 令[pic]解得[pic] ， ∵ [pic] ∴[pic][pic] ③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为[pic][pic] [pic] 这时，[pic]，[pic][pic] 综上述，[pic][pic] 所以折痕的长度的最大值[pic][pic] ----------------------- 如图1 如图2 如图4 如图3 如图5	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2005年/2005年高考数学（广东卷）试题及答案.doc
2005年高考文科数学[pic]湖北卷[pic]试题及答案源头学子小屋 [pic] 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分150分[pic] 考试时间120分钟[pic] 第I部分（选择题共60分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置[pic] 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效. 3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回[pic] 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=[pic] [pic]，则P+Q中元素的个数是（） A．9 B．8 C．7 D．6 2．对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“[pic]”是“[pic]”充要条件； ②“[pic]是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是 “a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若\|a+b\|不超过5，则k的取值范围是（） A．[－4，6] B．[－6，4] C．[－6，2] D．[－2，6] 4．函数[pic]的图象大致是（） [pic] [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 5．木星的体积约是地球体积的[pic]倍，则它的表面积约是地球表面积的（） A．60倍 B．60[pic]倍 C．120倍 D．120[pic]倍 6．双曲线[pic]离心率为2，有一个焦点与抛物线[pic]的焦点重合，则mn的值为（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 7．在[pic]这四个函数中，当[pic]时，使[pic]恒成立的函数的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知a、b、c是直线，[pic]是平面，给出下列命题： ①若[pic]； ②若[pic]； ③若[pic]； ④若a与b异面，且[pic]相交； ⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（） A．168 B．96 C．72 D．144 10．若[pic]（） A．[pic] B．[pic] C．[pic] D．[pic] 11．在函数[pic]的图象上，其切线的倾斜角小于[pic]的点中，坐标为整数的点的个数是（） A．3 B．2 C．1 D．0 12．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，… ，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（） A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效[pic] 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上[pic] 13．函数[pic]的定义域是 [pic] 14．[pic]的展开式中整理后的常数项等于 [pic] 15．函数[pic]的最小正周期与最大值的和为 [pic] 16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋3 5千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费元[pic] 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量[pic]在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围[pic] 18．（本小题满分12分）在△ABC中，已知[pic]，求△ABC的面积[pic] 19．（本小题满分12分）设数列[pic]的前n项和为Sn=2n2，[pic]为等比数列，且[pic] （Ⅰ）求数列[pic]和[pic]的通项公式；（Ⅱ）设[pic]，求数列[pic]的前n项和Tn[pic] 20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4 ，BC=2，CC1=3，BE=1[pic] （Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离[pic] [pic] 21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换[pic] （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）[pic] 22．（本小题满分14分）设A、B是椭圆[pic]上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点[pic] （Ⅰ）确定[pic]的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的[pic]，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由 [pic] 2005年高考文科数学[pic]湖北卷[pic]试题及答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分[pic] 1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分[pic] 13．[pic] 14．38 15．[pic] 16．500 三、解答题 17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力. 解法1：依定义[pic] [pic] [pic] [pic][pic]开口向上的抛物线，故要使[pic]在区间（－1，1）上恒成立[pic][pic] [pic] [pic][pic] 解法2：依定义[pic] [pic] [pic]的图象是开口向下的抛物线， [pic] [pic] 18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力[pic] 解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b， [pic] [pic][pic]. [pic] 故所求面积[pic] 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得 [pic] [pic] [pic] [pic] 故所求面积[pic] 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力 . 解：（1）：当[pic] [pic] 故{an}的通项公式为[pic]的等差数列. 设{bn}的通项公式为[pic] 故[pic] （II）[pic] [pic] 两式相减得 [pic] 20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力[pic] 解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD. 又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. [pic] （Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG. 过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且 AG[pic]面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ 的长即为C到平面AEC1F的距离[pic] [pic] 解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A （2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）. ∵AEC1F为平行四边形， [pic] （II）设[pic]为平面AEC1F的法向量， [pic][pic] [pic] [pic] [pic]的夹角为a，则 [pic] ∴C到平面AEC1F的距离为[pic] 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力[pic] 解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2. 所以寿命为1～2年的概率应为p1-p2.　其分布列为： \|寿命 \|0～1 \|1～2 \|2～ \| \|p \|1-P1 \|P1-p2 \|P2 \| （I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为[pic]需要更换2只灯泡的概率为[pic] （II）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件： ①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2； ②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1-p2。故所求的概率为[pic] （III）由（II）当p1=0.8，p2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率[pic]＝0.54. 在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况: ①换5只的概率为p35＝0.545=0.046； ②换4只的概率为[pic]（1-p3）＝5×0.544(1-0.54)=0.196，故至少换4只灯泡的概率为: p4=0.046+0.196=0.242. 即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.242. 注：本题的（II）、（III）答案与提供的高考标准答案不一致，共大家参考讨论。 22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为[pic]，整理得[pic] ① 设[pic]①的两个不同的根， [pic] ② [pic]是线段AB的中点，得 [pic] 解得k=-1，代入②得，[pic]>12，即[pic]的取值范围是（12，+[pic]）. 于是，直线AB的方程为[pic] 解法2：设[pic] [pic] 依题意，[pic] [pic] （II）解法1：[pic]代入椭圆方程，整理得[pic] ③ [pic]③的两根， [pic][pic] 于是由弦长公式可得 [pic] ④ 将直线AB的方程[pic] [pic] ⑤ 同理可得 [pic] ⑥ [pic] 假设在在[pic]>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M 到直线AB的距离为 [pic] ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 [pic] 故当[pic]时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，[pic]为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： A、B、C、D共圆[pic]△ACD为直角三角形，A为直角[pic] [pic] ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=[pic] 由④和⑦知，⑧式右边=[pic] [pic] ∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由（II）解法1及[pic]. [pic]代入椭圆方程，整理得 [pic] ③ 将直线AB的方程[pic]代入椭圆方程，整理得 [pic]　　　⑤ 解③和⑤式可得 [pic] 不妨设[pic] ∴[pic] [pic] 计算可得[pic]，∴A在以CD为直径的圆上[pic] 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆[pic] （注：也可用勾股定理证明AC⊥AD[pic]）	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2005年/2005年高考文科数学（湖北卷）试题及答案.doc
2005年高考文科数学[pic]天津卷[pic]试题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟[pic]第 Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页[pic]考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回[pic] 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 (选择题共50分) 注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码[pic] 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑[pic]如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号[pic]答在试卷上的无效[pic] 参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的体积公式 [pic] [pic] 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 [pic]’[pic] 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率 V柱体’Sh 是P，那么n次独立重复试验中恰好发其中S表示柱体的底面积，生k次的概率 h表示柱体的高[pic] [pic] 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的[pic] (1)设集合[pic]N}的真子集的个数是(　　) (A) 16 (B) 8； (C) 7 (D) 4 (2)已知[pic]，则( ) (A) 2b>2a>2c； (B) 2a>2b>2c； (C) 2c>2b>2a (D) 2c>2a>2b (3)某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为( 　　) (A)[pic] (B)[pic] (C)[pic] (D)[pic] (4)将直线2x−y+(’0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x−4y’0相切，则实数(的值为 (A) −3或7 (B) −2或8 (C) 0或10 (D) 1或11 (5)设[pic]为平面，[pic]为直线，则[pic]的一个充分条件是(　　) (A) [pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] (6)设双曲线以椭圆[pic]长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(　　) (A)[pic] (B)[pic] (C)[pic] (D)[pic] (7)给出下列三个命题：①若[pic],则[pic]；②若正整数[pic]和[pic]满足[pic],则[pic] ；③设[pic]为圆[pic]上任一点，圆[pic]以[pic]为圆心且半径为1.当[pic]时,圆[pic] 与圆[pic]相切其中假命题的个数为(　　) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3 (8)函数y’A(sin(x+()((>0，[pic]，x(R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 ( ) (A) [pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic] (9)若函数[pic]在区间[pic]内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　) (A)[pic] 　　　　　　(B) [pic] (C) (0,+() 　　　　　(D) [pic] (10)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y’f(x)的图象关于直线x’3对称，则下面正确的结论是(　　) (A) f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) (B) f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) (C) f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) (D) f(3.5)<f(6.5)<f(1.5) 第Ⅱ卷 (非选择题共100分) 注意事项： 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚 2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上[pic] (11)二项式[pic]的展开式中常数项为__________(用数字作答)． (12)已知[pic]，[pic]，[pic]与[pic]的夹角为[pic]，以[pic]，[pic]为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为__________[pic] (13) 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于__ ______． (14)在数列{an}中，a1’1，a2’2，且[pic]N*)则S10’__________[pic] (15)设函数[pic]，则函数[pic]的定义域为__________[pic] (16)在三角形的每条边上各取三个分点(如图)[pic]以这9个分点为顶点可画出若干个三角形[pic]若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为__________(用数字作答)[pic] 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤[pic] (17)(本小题满分12分) 已知[pic]，[pic]，求sin(及[pic][pic] (18)(本小题满分12分) 若公比为c的等比数列[pic]的首项[pic]且满足[pic](n’3,4,…)[pic] (Ⅰ)求c的值； (Ⅱ)求数列[pic]的前n项和[pic][pic] （19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱[pic]中，[pic]，侧面[pic]与底面ABC所成的二面角为[pic]，E、 F分别是棱[pic]的中点（Ⅰ）求[pic]与底面ABC所成的角（Ⅱ）证明[pic]∥平面[pic] （Ⅲ）求经过[pic]四点的球的体积[pic] (20)(本小题满分12) 某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔[pic]如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC，塔高BC’80(米)，山高OB’220(米)，OA’200(米)，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，[pic]与水平地面的夹角为(，[pic]t[pic]试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角(BPC最大(不计此人的身高)？ (21)(本小题满分14分) 已知m(R，设P：[pic]和[pic]是方程[pic]的两个实根，不等式 [pic]对任意实数[pic]([-1,1]恒成立； Q：函数[pic]在(－(,+()上有极值[pic] 求使P正确且Q正确的m的取值范围[pic] (22)(本小题满分14分) 抛物线C的方程为[pic]，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0(0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足[pic][pic] (Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程 (Ⅱ)设直线AB上一点M，满足[pic]，证明线段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当[pic]’1时，若点P的坐标为(1,−1)，求(PAB为钝角时点A的纵坐标[pic]的取值范围 2005年高考文科数学[pic]天津卷[pic]试题及答案参考答案一、选择题(每小题5分，共50分) \|题号 \|(1) \|(2) \|(3) \| \| \|+ \|0 \|+ \| 因为，f([pic])不是函数f([pic])的极值[pic] 若(>0，则[pic]有两个不相等的实根[pic]和[pic] ([pic]<[pic])，且[pic]的符号如下： \|x \|(－(,[pic]\|[pic] \|([pic]，[p\|[pic] \|([pic],+() \| \| \|) \| \|ic]) \| \| \| \|[pic] \|++ \|0 \|−－ \|0 \|+ \| 因此，函数f([pic])在[pic]＝[pic]处取得极大值，在[pic]＝[pic]处取得极小值[pic] 综上所述，当且仅当(>0时，函数f([pic])在(－(,+()上有极值[pic] 由[pic]得[pic]或[pic]，因为，当[pic]或[pic]时，Q是正确得[pic] 综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-(,1)([pic][pic] (22)解：(Ⅰ)由抛物线[pic]的方程[pic]([pic])得，焦点坐标为[pic]，准线方程为[pic]． (Ⅱ)证明：设直线[pic]的方程为[pic]，直线[pic]的方程为[pic]．点[pic]和点[pic]的坐标是方程组[pic] 的解．将②式代入①式得[pic]，于是[pic]，故[pic]　③ 又点[pic]和点[pic]的坐标是方程组[pic] 的解．将⑤式代入④式得[pic]．于是[pic]，故[pic]．由已知得，[pic]，则[pic]．　　⑥ 设点[pic]的坐标为[pic]，由[pic]，则[pic]．将③式和⑥式代入上式得[pic]，即[pic]．所以线段[pic]的中点在[pic]轴上． (Ⅲ)因为点[pic]在抛物线[pic]上，所以[pic]，抛物线方程为[pic]．由③式知[pic]，代入[pic]得[pic]．将[pic]代入⑥式得[pic]，代入[pic]得[pic]．因此，直线[pic]、[pic]分别与抛物线[pic]的交点[pic]、[pic]的坐标为 [pic]，[pic]．于是[pic]，[pic]， [pic]．因[pic]为钝角且[pic]、[pic]、[pic]三点互不相同，故必有[pic]．求得[pic]的取值范围是[pic]或[pic]．又点[pic]的纵坐标[pic]满足[pic]，故当[pic]时，[pic]；当[pic]时，[pic]．即[pic] ----------------------- ①② ④⑤	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2005年/2005年高考文科数学（天津卷）试题及答案.doc
2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案（四川[pic]陕西[pic]云南[pic]甘肃等地区用）源头学子小屋 [pic] 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=C[pic]Pk(1－P)n－k 一选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分[pic]在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1.已知[pic]是第三象限的角，则[pic]是（）. A.第一或二象限的角 B.第二或三象限的角 C.第一或三象限的角 D.第二或四象限的角 2. 已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）. A.0 B.-8 C.2 D.10 3.在(x-1)(x+1)8的展开式中x5的系数是( ) A.-14 B.14 C.-28 D.28 4.设三棱柱ABC- A1B1C1的体积是V，P.Q分别是侧棱AA1.CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B- APQC的体积为（） A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.[pic] 5.[pic]=（） A.-[pic] B.[pic] C.-[pic] D.[pic] 6.若[pic],则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 7.设0≤x<2π,且[pic]=sinx-cosx, 则( ) A.0≤x≤π B.[pic]≤x≤[pic] C.[pic]≤x≤[pic] D.[pic]≤x≤[pic] 8.[pic]( ) A.tanx B.tan2x C.1 D.[pic] 9.已知双曲线[pic]的焦点为F1.F2，点M在双曲线上且[pic]，则点M到x轴的距离为( ) A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.[pic] 10.设椭圆的两个焦点分别为F1.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F1P F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（） A.[pic] B.[pic] C.[pic] D.[pic] 11.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）个 A.3 B.4 C.6 D.7 12.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号[pic]这些符号与十进制的数的对应关系如下表： \|十六进制 \|0 \|1 \|2 \|3 \|4 \| \|f’(x) \| \|- \|0 \|+ \| \| \|f(x) \|[pic] \|↘ \|-4 \|↗ \|-3 \| 所以，当[pic]时，f(x)是减函数；当[pic]时，f(x)是增函数[pic] 当[pic]时，f(x)的值域是[-4，-3][pic] （II）对函数g(x)求导，则g’(x)=3(x2-a2). 因为[pic]，当[pic]时，g’(x)<5(1-a2)≤0, 因此当[pic]时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)], 又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a, 即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a], 任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1), 则[1-2a-3a2,-2a][pic]，即[pic] [pic], 解①式得a≥1或a[pic], 解②式得[pic]，又[pic],故a的取值范围内是[pic]. ----------------------- 球的表面积公式 S=4[pic] 其中R表示球的半径，球的体积公式 V=[pic]，其中R表示球的半径	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2005年/2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案（四川、陕西、云南、甘肃等地区用）.doc
2009 年普通高等学校招生全国统一考试语文本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至4页，第II卷5至 8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，www.ks5u.com用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其他答案标号，在试卷上作答无效。 3．第I卷共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。一、（12分，每小题3分） 1．下列词语中加点的字，读音完全正确的一组是 A．菁华（qīng）宁www.ks5u.com可（nìng）冠心病（guān）翘首回望（qiáo） B．吐蕃（fān）庇护（bì）歼击机（jiān）呱呱坠地（gū） C．请帖（tiě）梵文（fán）发横财（hèng）按捺不住（nà） D．链接（liàn）创口（chuāng）倒春寒（dào）拈花惹草（niān） 2. 下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是w.w.w.ks5u.com A．邻里之间的是非大多是由日常生活中的一些琐屑小事引起的，不必寻根究底，你们还是大事化小、小事化了吧。 B．深处春秋鼎盛的时代，我们这些身强力壮的青年应该奋发有为，积极向上，刻苦学习，为国家和社会多作贡献。 C．这位代表说的虽不是什么崇论宏议，但他说的话发自肺腑，句句实在，没有套话和假话，因此我们要更加重视。 D．今年有四到六成的作品流拍，成交总额同比减少一半，这说明以往超过底价数十倍成交的火爆场面已明日黄花。 3．下列各句中，没有语病的一句是 A．引起世界关注的甲型流感病毒虽然不易致命，但传播速度快，如果不想办法找到它的演变原理，病情很容易迅速蔓延，给人类健康带来巨大威胁。 B．3月5日那天，我市万名青年志愿者走上街头学雷锋活动，这次活动的总口号是“弘扬雷锋精神，参与志愿行动，服务青年创业，建设和谐城市” C．社区主任接受采访时表示，去年大家做了很多调节工作，今年会更多地为受到情感和生活困扰的人们提供帮助，让他们不再那么痛苦，那么不知所措。 D．这次发展论坛在上海举行，参加论坛的中外各界人士在论坛期间就环境保护、人才培养、普及教育等众多议题为期两天发表意见并进行各种交流。 4．依次填出下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是狗是忠义、勇敢而又聪明的动物。，。，。，，使狗成为人的得力助手。 ①专门训练军犬、警犬，把狗用于军事、案件侦破等方面 ②它的嗅觉细胞数量是人的24倍，可以分辨大约两万种不同的气味 ③比如牧民的狗，为了保护羊群，敢于同高考资源网恶狼猛斗 ④人们充分利用狗的这种特殊的天赋高考资源网 ⑤狗可以听到10万赫兹以上的声音 ⑥代替主人做一些危险的事 A．③②①⑥⑤④ B．③⑥⑤②④① C．⑤④①③②⑥ D．⑤②④⑥①③ 二、（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成5~7题甲骨文的：“王”字基本上可以分为两种形式，一种上面不加一横，董作宾称之为“不戴帽子的王”（图1~3），见于武丁卜辞和高考资源网武乙、文丁卜辞，另一种上面有一横，为“戴帽子的王”（图4~6），行用于其他各时期。孙诒让《契文举例》所依据的刘鹗《铁云藏龟》以武丁卜辞最高考资源网多，其中的“王”字，孙诒让释为“立”，卜辞无法通读。到罗振玉的《殷墟书契考释》才释出此字。罗振玉首先把《说文解字》所收的古文和全文进行对比，释出“戴帽子的”是 “王”字；接着指出，其异体作省其上画的形式，“亦‘王’ 字”，“且据所载高考资源网诸文观之，无不谐也”。 “王”字释出来了，使一大批卜辞可以读通，也证实了这是殷王室的遗物。但是这个字的构成一直困扰着古文字学家们。有的说，此字像一个顶天立地的大人，所以是“王”；也有人说下面像火，火盛像王德，故以为“王”。如此等等，其说不一。直到1936年，吴其昌根据青铜器丰王斧的铭文和器形，并列举甲骨文、全文很多“王”字的写法，第一次提出“王字之本义，斧也”，才解决高考资源网了这一问题。从字形看，“王”字是横置的斧钺的象形。从甲骨文、金文（图7~9）的写法中还可以看出，最下一笔的初形不是平宜的“一高考资源网”，而是具有孤刃之形，上端的一横或两横像柄或多属斧钺或多属斧钺阑。“王”字像斧钺之形是因为“王”这个称号是从氏族社会的军事首领演化来的，国家出现以后，才成为最高统治者的专名。而斧钺正是军事统率权的象征，在原始社会晚期的军事首领墓葬中，曾掘出随葬的玉钺、石钺，其遗风一直延续到夏、商、周三代，《史记·殷本纪》记载，殷王曾封周族首领姬昌为西伯，“赐弓斧钺” ，授予他对周围小国的征伐之权。高考资源网那么为什么一定要用横置的斧钺呢，这也是由这产生的时代决定的。横置是斧钺实施砍杀功能的状态，而最早军事首领的权力只限于战场上。荷马时代的希腊人领袖握有的权力不大，亚里士多德说：“假如阿伽门农王获得在战场上杀死逃兵的权力，那么在战后的评议会上却只能忍受责骂。”这就是“王”要用一个正在执行斩杀的横置斧钺来表示的原因。但这一切距离许慎太遥远了，《说文解字》“王”字下说：“古之造文者，三画而连其中谓之王。三者，天、地、人也，而参通之者，王也。”这显然是后人的臆测了。（摘编自罗琨《甲骨文解谜》） 5．下列解释，不符合原文意思的一项是 A．在甲骨文中，所谓“戴帽子高考资源网的”和“不戴帽子的”“ 王”字，是指“王”字最上面有没有一横。 B．罗振玉通过比较《说文解字》的古文“王”字和金文“王”字，释读出了甲骨文的“王字 ” C．对于“王”字的形体构造有种种说法，最后吴其昌提出“王”是斧钺的形象，才解决了这一问题。Ｄ．古代只有氏族社会的军事首领才拥有斧钺，所以人们采用像斧钺之形的“王”字来表示军事首领６．下列解释和分析，不符合原文意思的一项是　　Ａ.所谓“且据所载诸文观之，无不谐也”，是说“王”字释读出来以后，含有“王”字的巨子可以读通了，没有不顺畅的 B．斧钺作为随葬品的遗风一直延续到夏、商、周三代，始终可以被置放在军事首领和最高统治者的墓葬中。 C．亚里士多德的话是说，荷马时代希腊阿伽门农王的权利仅限于战场上，离开了战场这种权利就不复存在。 D．许慎《说文解字》根据后代的字形，误解了“王”字的结构，以为期中三横代表了天、地、人三者。 7.根据原文内容，下列推断不正确的一项是 A．孙诒让之所以未能释出“王”字，一个原因是刘鹗的《铁云藏龟》中所收“王”字字形单一，难以进行比较研究。 B．在罗振玉之前，由于未能释出甲骨文的“王”，所以人们无法证实卜辞是三千年钱殿王室的遗物。 C.从甲骨文、金文看，最早时候军事首领的权利只限于战场上，不但荷马时代的希腊如此，中国也是如此。 D.甲骨文、金文距离许慎太遥远了，不然的话，许慎是可以释读出甲骨文的“王”字，并正确解释它的字形结构的。三、（9分，每小题3分）阅读下面的文言文，完成8～10题。魏德深，本巨鹿人也。祖冲，仕周，为刑部大夫、建州刺史，因家弘农。父毗，郁林令。德深初为隋文帝挽郎，后历冯翊书佐、武阳郡司户，书佐，以能迁贵乡长。为政清净，不严而肃。会兴辽东之役，征税百端，使人往来，责成郡县。于时王纲弛紊，吏多赃贿，所在征敛，人不堪命。唯德深一县，有无相通，不竭其力，所求皆给，而百姓不扰。于时盗贼群起，武阳诸城多被沦陷，唯贵乡独全。郡丞元宝藏受诏逐捕盗贼，每战不利，则器械必尽，辄征发于人，动以军法从事，如此者数矣。其邻城营造，皆聚于听事，吏人递相督责，昼夜喧嚣，犹不能济。德深各问其所欲，任随便修营，官府寂然，恒若无事。唯约束长吏，所修不须过胜余县，使百姓劳苦。然在下各自竭心，常为诸县之最。寻转馆陶长，贵乡吏人闻之，相与言及其事，皆歔欷流涕，语不成声。及将赴任，倾城送之，号泣之声，道路不绝。既至馆陶，阖境老幼，皆如见其父母。有猾人员外郎赵君实，与郡丞元宝藏深相交结，前后令长，未有不受其指麾者。自德深至县，君实屏处于室，未尝辄敢出门。逃窜之徒，归来如市。贵乡父老，冒涉艰险，诣阙请留德深，有诏许之。馆陶父老，复诣郡相讼，以贵乡文书为诈。郡不能决。会持节使者韦霁、杜整等至，两县诣使讼之，乃断从贵乡。贵乡吏人，歌呼满道，互相称庆。馆陶众庶，合境悲泣，因从而居住者数百家。宝藏深害其能。会越王侗征兵于郡，宝藏遂令德深率兵千人赴东都。俄而宝藏以武阳归李密。德深所领皆武阳人也，念其亲戚，辄出都门，东向恸哭而反。人或谓之曰：“李密兵马，近在金墉，去此二十余里。汝必欲归，谁能相禁，何为自苦如此！”其人皆垂泣曰：“我与魏明府同来，不忍弃去，岂以道路艰难乎！”其得人心如此。后没于阵，贵乡、馆陶人庶，至今怀之。（节选自《北史魏德深传》） 8.对下列句子中加点的词的解释，不正确的是 A.为政清静，不严而肃肃：恭敬。 B.会兴辽东之役会：适逢。 C.所在征敛，人不堪命堪：忍受 D.动之军法从事动：招致 9.以下句子中，全都表明魏德深深受百姓拥戴的一组是 ①常为诸县之最 ②皆歔欷流涕，语不成声 ③未尝辄敢出门 ④诣阙请留德深 ⑤以贵乡文书为诈 ⑥诣使讼之，乃断从贵乡。 A.①③④ B.①⑤⑥ C.②③⑥ D.②④⑤ 10. 下列对原文有关内容的分析和概括，不正确的一项是。 A. 魏德深很有才干，历任多种职务后升职主持贵乡政务。其时朝廷纲纪败坏，官吏贪污受贿，民不聊生；只有贵乡生产生活一切照常进行，百姓没有受到骚扰。 B. 魏德深善于人性化管理，体恤下情。邻城打造兵器，聚集在官府，官吏督责，尚不能成功；而贵乡则约束官吏，避免百姓劳苦，官府安静，一直像无事一样。 C. 魏德深深受百姓欢迎，又能震慑奸猾之人。他到馆陶，百姓见他如见父母；而奸人赵君实与逃窜之徒，只能躲藏流亡。他后来将回贵乡，贵乡吏民互相庆贺。 D. 郡丞元宝藏忌妒魏德深的才能，令他率领武阳籍士兵在家乡附近作战，想利用军士的恋家情绪使军队溃散。但魏德深极得人心，士兵们全都不忍离他而去。 2009年普通高等学校招生全国统一考试语文第II卷注意事项： 1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第II卷共4页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 3.第II卷共11小题，共120分。四、（23分）（注意：在试题卷上作答无效） 11. 把第I卷文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。（10分）（1）与郡丞元宝藏深相交结，前后令长，未有不受其指麾者。译文：（2）馆陶众庶，合境悲泣，因从而居住者数百家。译文:： 12. 阅读下面这首宋诗，然后回答问题。（8分）次石湖书扇韵① 姜夔② 桥西一曲水通村，岸阁浮萍绿有痕。家住石湖人不到，藕花多处别开门。 [注]①石湖；南宋诗人范成大（1126—1193）晚年去职归隐石湖（在今江苏苏州），自号石湖居士。 ②姜夔（1155—1221？）：字尧章，号白石道人，饶州鄱阳（今江西波阳）人。浪迹江湖，终生不仕。淳熙十四年（1187）夏，曾去拜见范成大，这首诗约作于此时。（1）这首诗描绘了一幅什么样的画面？是由哪些景物构成的？请简要叙述。答：（2）有人说，诗的后两句歌颂了范成大的品格，第三句中的的“人”是指趋炎附势的人。你对此有什么看法？请简要说明。答： 13. 补写出下列名篇名句中的空缺部分。（两题任选一题）（5分）（1）子曰：“知者不惑， , .”（《论语·子罕》）尔来四万八千岁，。西当太白有鸟道，。，然后天梯石栈相钩连。（李白《蜀道难》）（2）屈心而抑志兮，。。固前圣之所厚。（屈原《离骚》）羽扇纶巾，谈笑间，。，，早生华发。（苏轼《念奴娇·赤壁怀古》）五、（22分）（注意：在试题卷上作答无效）阅读下面的文字，完成14~17题。彩色的荒漠雷抒雁从库尔勒出城不久，车子就离开国道，进入油田公路。新修的石油公路，像一支黑亮的箭镞直直地射向前方。前方，是茫茫的戈壁，是黄沙漫漫的塔克拉玛干沙漠，以及举世闻名的西气东送的第一口气井。车子全速奔驰在戈壁上。在我们的视野里，地平线的远处，是无遮无拦的穹隆和淡淡升腾着的云朵。开阔的戈壁，像是一方棋盘，偶尔看见一团两团圆圆的草棵，像是刻意摆下的一局残棋。生存与死亡，在这里艰难地进行命运的搏弈。我们来到这里，已是深秋时节，灰色，到处是灰色。沿着公路，我们向塔中油田进发。这一条路将劈开塔克拉玛干沙漠直通塔里木盆地的中心。那里，将是另一种风景，另一幅图画，另一样色彩。　　塔里木河是一条河岸散乱的河流，夏季过去，汹涌的河水已变得平静和细瘦。河的两岸，是密密麻麻的胡杨树林。这些树，多数已经飘落了黄色的叶子，呈现出一种刚劲和苍凉。车子向前，茂密的树林，渐次变得稀疏。树的脚下，已经薄薄厚厚地铺上一片黄沙。独立的树木，有的如石雕，有的如铜雕。虽然，它们也许已经死去，年复一年的风沙，折断了树枝，剥开了树皮，可是树的残干依然挺立，像是一群强悍的舞者，向天空和大地顽强地倾诉着它们的意志和信念。我喜欢这些树，视它们为上天兆示给人类的精神榜样。和我一样，石油工人们也喜欢胡杨树，曾经为了保护26棵胡杨，他们七次挪动井位，多花费了200万元人民币。渐行渐远，塔里木河水显然已无力哺育这些植物，塔克拉玛干高大的沙丘，已愈来愈稠密地拥挤在道路的两边。　　可是，这一条沙漠公路却宽阔、平坦，不逊于我在内地看到的任何一条道路。笔直的道路随沙丘的起伏，上上下下。炎夏地表温度达到60℃~70℃。你尽可以想象炎热、干燥、漠风会怎样折磨工人们的血肉之躯；但你无法想象，他们以怎样的智慧固定流沙，夯实路基，让这路像同沙漠与生俱来一样。　翻过几座沙山，眼前一亮，只见一片银灰色的油罐塔高耸，巨大的弯弯折折的银灰色管道在塔间穿绕；还有一些雄伟的建筑和这些油塔管道比肩而立。阳光下，银色、金色、棕色，各种由建筑物放射出的光芒，让人顿时抖落了长途奔驰的困倦与疲惫。塔中油田到了。仰望那些建筑，那一瞬，脑海中突然闪现出唐僧师徒历尽波折，看到了西天胜景时的那番惊讶和喜悦。明知一切都是真实的，你有时还不得不问自己：这会不会是幻觉？在这一切色彩中，最鲜艳夺目的，是石油工人身着的工装的红色。那是一种让人肃然起敬的颜色。红帽、红衣、红裤，有如朝霞，有如春花，更似共和国飘扬的旗帜，照耀着这一片沙漠。在油田，我看到最显眼、最有气势的两句话：“只有荒凉的沙漠，没有荒凉的人生。”这句话被写在墙壁上，刻在石头上，嵌在沙丘上。是心声，也是写照；是鼓动，更是诺言。　我们的终点是伟大的西气东送工程的起点——克拉2号气井。和沙漠地貌截然不同，这里是犬牙交错、怪石林立的雅丹地貌。没有路，钻井的迁移甚至不得不动用直升机。石油工人硬是在这乱石中，打下了井，钻出了气，修成了路，铺下了管道。当我把耳朵贴近输气管道，听见丝丝的天然气奔走的急促喘息声，那一刻，真有点让人激动。它们翻山越岭，渡江跨河，要到数千里之遥的上海、北京。那一刻，我真想让北京的亲友知道，当你们为做午餐轻轻转动天然气灶的开关旋钮时，我能听见那清脆快活的声音，我的心跳正激荡在这离你们遥远而又亲近的地方。虽说是深秋，草木尽枯，但我却看到了荒漠里最令人难忘的色彩。（有删节） 14. 文章第一段描写了戈壁滩的哪些特点？联系全文，谈谈作者这样写有什么用意。（4分）答： 15. 解释下列两句话在文中的含意。（4分）（1）我喜欢这些树，视它们为上天兆示给人类的精神榜样。答：（2）只有荒凉的沙漠，没有荒凉的人生。答： 16. 作者为什么说，在他所看到的一切色彩中，最鲜艳夺目的是石油工人身上工装的红色？（6分）答： 17. 在文章最后，作者是采用哪些方法来写克拉2号气井的？表达了什么样的思想感情？请简要分析。（8分）答：六、（15分）（注意：在试题卷上作答无效） 18. 下面文字中画线部分的词语，有的使用不当，请指出并改正，使修改后的这段文字衔接自然，语意连贯，逻辑严密。（4分）三仙姑对女儿小芹一直管的很严。小芹长大后，跟小二黑好上了，三仙姑说什么也不同意。 ① ② 她知道后，就一个人悄悄跑到前庄上去找小二黑，恰巧小二黑这时也正要找她。于是两个人 ③ ④ 就商量对付她的方法。她把小芹娘怎样装神弄鬼的事从头至尾向小二黑细说了一遍。 ⑤ ⑥ ⑦ 答： 19. 下面是“沈阳全民读书月”活动的标识，请从构形角度说明标识的创意，要求语意简明，句子通顺，不超过65个字。（5分） 20. 仿照下面的实例，自选话题，另写三个句子，要求所写句子形成排比，句式与示例相同。（6分）工作是等不来的，有无机会，看你怎么争取；业绩是要不来的，有无成效，看你怎么努力；前途是盼不来的，有无出路，看你怎么奋斗。答：七、（60分）（注意：在试题上作答无效） 21. 阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。（60分）兔子是历届小动物运动会的短跑冠军，可是不会游泳。一次兔子被狼追到河边，差点被抓住。动物管理局为了小动物的全面发展，将小兔子送进游泳培训班，同班的还有小狗、小龟和小松鼠等。小狗、小龟学会游泳，又多了一种本领，心里很高兴；小兔子和小松鼠花了好长时间都没学会，很苦恼。培训班教练野鸭说：“我两条腿都能游，你们四条腿还不能游？成功的90% 来自汗水。加油！呷呷！” 评论家青蛙大发感慨：“兔子擅长的是奔跑！为什么只是针对弱点训练而不发展特长呢？”思想家仙鹤说：“生存需要的本领不止一种呀！兔子学不了游泳就学打洞，松鼠学不了游泳就学爬树嘛。” 要求选准角度，明确立意，自选文体，自拟标题；不要脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。	1	positive_file/历年高考真题 2009年之前/2009年/2009年高考试题——全国卷1（语文）word版.doc

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