file_path
stringlengths 11
79
| full_name
stringlengths 2
100
| traced_tactics
list | end
list | commit
stringclasses 4
values | url
stringclasses 4
values | start
list |
|---|---|---|---|---|---|---|
Mathlib/Data/Set/Intervals/Infinite.lean
|
Set.Icc.infinite
|
[] |
[
72,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
71,
1
] |
Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
|
Mathlib.Tactic.Ring.mul_pp_pf_overlap
|
[
{
"state_after": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\nea eb : ℕ\na₂ b₂ x : R\n⊢ x ^ ea * a₂ * (x ^ eb * b₂) = x ^ (ea + eb) * (a₂ * b₂)",
"state_before": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\nea eb e : ℕ\na₂ b₂ c x : R\nx✝¹ : ea + eb = e\nx✝ : a₂ * b₂ = c\n⊢ x ^ ea * a₂ * (x ^ eb * b₂) = x ^ e * c",
"tactic": "subst_vars"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "u : Lean.Level\nR : Type u_1\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\nea eb : ℕ\na₂ b₂ x : R\n⊢ x ^ ea * a₂ * (x ^ eb * b₂) = x ^ (ea + eb) * (a₂ * b₂)",
"tactic": "simp [pow_add, mul_mul_mul_comm]"
}
] |
[
366,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
364,
1
] |
Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
|
NNReal.summable_Lp_add
|
[] |
[
522,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
520,
1
] |
Mathlib/Topology/LocalExtr.lean
|
isLocalMax_const
|
[] |
[
207,
20
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
206,
1
] |
Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
|
FirstOrder.Language.Substructure.fg_iff_structure_fg
|
[
{
"state_after": "L : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\n⊢ FG S ↔ FG ⊤",
"state_before": "L : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\n⊢ FG S ↔ Structure.FG L { x // x ∈ S }",
"tactic": "rw [Structure.fg_def]"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh : FG S\n⊢ FG (map (Embedding.toHom (subtype S)) ⊤)\n\ncase refine'_2\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh : FG ⊤\n⊢ FG S",
"state_before": "L : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\n⊢ FG S ↔ FG ⊤",
"tactic": "refine' ⟨fun h => FG.of_map_embedding S.subtype _, fun h => _⟩"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh : FG S\n⊢ FG S",
"state_before": "case refine'_1\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh : FG S\n⊢ FG (map (Embedding.toHom (subtype S)) ⊤)",
"tactic": "rw [← Hom.range_eq_map, range_subtype]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh : FG S\n⊢ FG S",
"tactic": "exact h"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh✝ : FG ⊤\nh : FG (map (Embedding.toHom (subtype S)) ⊤)\n⊢ FG S",
"state_before": "case refine'_2\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh : FG ⊤\n⊢ FG S",
"tactic": "have h := h.map S.subtype.toHom"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh✝ : FG ⊤\nh : FG S\n⊢ FG S",
"state_before": "case refine'_2\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh✝ : FG ⊤\nh : FG (map (Embedding.toHom (subtype S)) ⊤)\n⊢ FG S",
"tactic": "rw [← Hom.range_eq_map, range_subtype] at h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_2\nL : Language\nM : Type u_3\ninst✝ : Structure L M\nS : Substructure L M\nh✝ : FG ⊤\nh : FG S\n⊢ FG S",
"tactic": "exact h"
}
] |
[
277,
12
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
270,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
|
MeasureTheory.L1.setToL1_eq_setToL1'
|
[] |
[
1039,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1036,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
|
Matrix.det_nonsing_inv_mul_det
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "l : Type ?u.240416\nm : Type u\nn : Type u'\nα : Type v\ninst✝² : Fintype n\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : CommRing α\nA B : Matrix n n α\nh : IsUnit (det A)\n⊢ det A⁻¹ * det A = 1",
"tactic": "rw [← det_mul, A.nonsing_inv_mul h, det_one]"
}
] |
[
393,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
392,
1
] |
Mathlib/Order/Concept.lean
|
Concept.sup_fst
|
[] |
[
332,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
331,
1
] |
Mathlib/FieldTheory/Subfield.lean
|
RingHom.coe_fieldRange
|
[] |
[
555,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
554,
1
] |
Mathlib/Data/TypeVec.lean
|
TypeVec.dropFun_from_append1_drop_last
|
[] |
[
760,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
758,
1
] |
Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
|
LieModuleHom.ext
|
[] |
[
804,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
803,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
|
Submodule.span_singleton_eq_top_iff
|
[
{
"state_after": "R : Type u_2\nR₂ : Type ?u.123041\nK : Type ?u.123044\nM : Type u_1\nM₂ : Type ?u.123050\nV : Type ?u.123053\nS : Type ?u.123056\ninst✝⁵ : Semiring R\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R M\nx✝ : M\np p' : Submodule R M\ninst✝² : Semiring R₂\nσ₁₂ : R →+* R₂\ninst✝¹ : AddCommMonoid M₂\ninst✝ : Module R₂ M₂\ns t : Set M\nx : M\n⊢ (∀ (v : M), v ∈ ⊤ → ∃ r, r • x = v) ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v",
"state_before": "R : Type u_2\nR₂ : Type ?u.123041\nK : Type ?u.123044\nM : Type u_1\nM₂ : Type ?u.123050\nV : Type ?u.123053\nS : Type ?u.123056\ninst✝⁵ : Semiring R\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R M\nx✝ : M\np p' : Submodule R M\ninst✝² : Semiring R₂\nσ₁₂ : R →+* R₂\ninst✝¹ : AddCommMonoid M₂\ninst✝ : Module R₂ M₂\ns t : Set M\nx : M\n⊢ span R {x} = ⊤ ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v",
"tactic": "rw [eq_top_iff, le_span_singleton_iff]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_2\nR₂ : Type ?u.123041\nK : Type ?u.123044\nM : Type u_1\nM₂ : Type ?u.123050\nV : Type ?u.123053\nS : Type ?u.123056\ninst✝⁵ : Semiring R\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R M\nx✝ : M\np p' : Submodule R M\ninst✝² : Semiring R₂\nσ₁₂ : R →+* R₂\ninst✝¹ : AddCommMonoid M₂\ninst✝ : Module R₂ M₂\ns t : Set M\nx : M\n⊢ (∀ (v : M), v ∈ ⊤ → ∃ r, r • x = v) ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v",
"tactic": "tauto"
}
] |
[
422,
8
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
420,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
|
intervalIntegrable_const
|
[] |
[
130,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
128,
1
] |
Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
|
Real.norm_coe_nat
|
[] |
[
1728,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1727,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
|
Filter.Tendsto.const_mul_atTop
|
[] |
[
1037,
43
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1035,
1
] |
Mathlib/Order/RelClasses.lean
|
IsWellFounded.fix_eq
|
[] |
[
324,
14
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
322,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/Inverse.lean
|
ContDiffAt.to_localInverse
|
[
{
"state_after": "𝕜 : Type ?u.808390\ninst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type ?u.808396\ninst✝¹³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type ?u.808506\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type ?u.808609\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G\nG' : Type ?u.808712\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'\nε : ℝ\n𝕂 : Type u_1\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕂\nE' : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'\ninst✝³ : NormedSpace 𝕂 E'\nF' : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup F'\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F'\ninst✝ : CompleteSpace E'\nf : E' → F'\nf' : E' ≃L[𝕂] F'\na : E'\nn : ℕ∞\nhf : ContDiffAt 𝕂 n f a\nhf' : HasFDerivAt f (↑f') a\nhn : 1 ≤ n\nthis : localInverse hf hf' hn (f a) = a\n⊢ ContDiffAt 𝕂 n (localInverse hf hf' hn) (f a)",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.808390\ninst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type ?u.808396\ninst✝¹³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type ?u.808506\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type ?u.808609\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G\nG' : Type ?u.808712\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'\nε : ℝ\n𝕂 : Type u_1\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕂\nE' : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'\ninst✝³ : NormedSpace 𝕂 E'\nF' : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup F'\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F'\ninst✝ : CompleteSpace E'\nf : E' → F'\nf' : E' ≃L[𝕂] F'\na : E'\nn : ℕ∞\nhf : ContDiffAt 𝕂 n f a\nhf' : HasFDerivAt f (↑f') a\nhn : 1 ≤ n\n⊢ ContDiffAt 𝕂 n (localInverse hf hf' hn) (f a)",
"tactic": "have := hf.localInverse_apply_image hf' hn"
},
{
"state_after": "case hf₀'\n𝕜 : Type ?u.808390\ninst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type ?u.808396\ninst✝¹³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type ?u.808506\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type ?u.808609\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G\nG' : Type ?u.808712\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'\nε : ℝ\n𝕂 : Type u_1\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕂\nE' : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'\ninst✝³ : NormedSpace 𝕂 E'\nF' : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup F'\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F'\ninst✝ : CompleteSpace E'\nf : E' → F'\nf' : E' ≃L[𝕂] F'\na : E'\nn : ℕ∞\nhf : ContDiffAt 𝕂 n f a\nhf' : HasFDerivAt f (↑f') a\nhn : 1 ≤ n\nthis : localInverse hf hf' hn (f a) = a\n⊢ HasFDerivAt (↑(toLocalHomeomorph f hf hf' hn)) (↑?m.813463)\n (↑(LocalHomeomorph.symm (toLocalHomeomorph f hf hf' hn)) (f a))\n\ncase hf\n𝕜 : Type ?u.808390\ninst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type ?u.808396\ninst✝¹³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type ?u.808506\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type ?u.808609\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G\nG' : Type ?u.808712\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'\nε : ℝ\n𝕂 : Type u_1\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕂\nE' : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'\ninst✝³ : NormedSpace 𝕂 E'\nF' : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup F'\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F'\ninst✝ : CompleteSpace E'\nf : E' → F'\nf' : E' ≃L[𝕂] F'\na : E'\nn : ℕ∞\nhf : ContDiffAt 𝕂 n f a\nhf' : HasFDerivAt f (↑f') a\nhn : 1 ≤ n\nthis : localInverse hf hf' hn (f a) = a\n⊢ ContDiffAt 𝕂 n (↑(toLocalHomeomorph f hf hf' hn)) (↑(LocalHomeomorph.symm (toLocalHomeomorph f hf hf' hn)) (f a))\n\n𝕜 : Type ?u.808390\ninst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type ?u.808396\ninst✝¹³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type ?u.808506\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type ?u.808609\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G\nG' : Type ?u.808712\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'\nε : ℝ\n𝕂 : Type u_1\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕂\nE' : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'\ninst✝³ : NormedSpace 𝕂 E'\nF' : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup F'\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F'\ninst✝ : CompleteSpace E'\nf : E' → F'\nf' : E' ≃L[𝕂] F'\na : E'\nn : ℕ∞\nhf : ContDiffAt 𝕂 n f a\nhf' : HasFDerivAt f (↑f') a\nhn : 1 ≤ n\nthis : localInverse hf hf' hn (f a) = a\n⊢ E' ≃L[𝕂] F'",
"state_before": "𝕜 : Type ?u.808390\ninst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type ?u.808396\ninst✝¹³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type ?u.808506\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type ?u.808609\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G\nG' : Type ?u.808712\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'\nε : ℝ\n𝕂 : Type u_1\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕂\nE' : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'\ninst✝³ : NormedSpace 𝕂 E'\nF' : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup F'\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F'\ninst✝ : CompleteSpace E'\nf : E' → F'\nf' : E' ≃L[𝕂] F'\na : E'\nn : ℕ∞\nhf : ContDiffAt 𝕂 n f a\nhf' : HasFDerivAt f (↑f') a\nhn : 1 ≤ n\nthis : localInverse hf hf' hn (f a) = a\n⊢ ContDiffAt 𝕂 n (localInverse hf hf' hn) (f a)",
"tactic": "apply (hf.toLocalHomeomorph f hf' hn).contDiffAt_symm\n (image_mem_toLocalHomeomorph_target hf hf' hn)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hf₀'\n𝕜 : Type ?u.808390\ninst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type ?u.808396\ninst✝¹³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type ?u.808506\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type ?u.808609\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G\nG' : Type ?u.808712\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'\nε : ℝ\n𝕂 : Type u_1\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕂\nE' : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'\ninst✝³ : NormedSpace 𝕂 E'\nF' : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup F'\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F'\ninst✝ : CompleteSpace E'\nf : E' → F'\nf' : E' ≃L[𝕂] F'\na : E'\nn : ℕ∞\nhf : ContDiffAt 𝕂 n f a\nhf' : HasFDerivAt f (↑f') a\nhn : 1 ≤ n\nthis : localInverse hf hf' hn (f a) = a\n⊢ HasFDerivAt (↑(toLocalHomeomorph f hf hf' hn)) (↑?m.813463)\n (↑(LocalHomeomorph.symm (toLocalHomeomorph f hf hf' hn)) (f a))",
"tactic": "convert hf'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hf\n𝕜 : Type ?u.808390\ninst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜\nE : Type ?u.808396\ninst✝¹³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type ?u.808506\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type ?u.808609\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G\nG' : Type ?u.808712\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'\nε : ℝ\n𝕂 : Type u_1\ninst✝⁵ : IsROrC 𝕂\nE' : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'\ninst✝³ : NormedSpace 𝕂 E'\nF' : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup F'\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F'\ninst✝ : CompleteSpace E'\nf : E' → F'\nf' : E' ≃L[𝕂] F'\na : E'\nn : ℕ∞\nhf : ContDiffAt 𝕂 n f a\nhf' : HasFDerivAt f (↑f') a\nhn : 1 ≤ n\nthis : localInverse hf hf' hn (f a) = a\n⊢ ContDiffAt 𝕂 n (↑(toLocalHomeomorph f hf hf' hn)) (↑(LocalHomeomorph.symm (toLocalHomeomorph f hf hf' hn)) (f a))",
"tactic": "convert hf"
}
] |
[
798,
15
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
791,
1
] |
Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
|
MvPowerSeries.coeff_zero_eq_constantCoeff
|
[] |
[
485,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
484,
1
] |
Mathlib/Algebra/GradedMonoid.lean
|
GradedMonoid.GMonoid.gnpowRec_succ
|
[] |
[
168,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
166,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
|
Cardinal.mk_multiset_of_countable
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\ninst✝¹ : Countable α\ninst✝ : Nonempty α\n⊢ (#α →₀ ℕ) = ℵ₀",
"tactic": "simp"
}
] |
[
1085,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1084,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
|
NNReal.rpow_lt_one_of_one_lt_of_neg
|
[] |
[
209,
42
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
208,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
|
AffineIsometryEquiv.coe_mk
|
[] |
[
349,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
348,
1
] |
Mathlib/Data/Semiquot.lean
|
Semiquot.mem_map
|
[] |
[
134,
22
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
133,
1
] |
Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
|
LinearMap.adjoint_comp
|
[
{
"state_after": "case h\n𝕜 : Type u_1\nE : Type u_4\nF : Type u_2\nG : Type u_3\ninst✝⁹ : IsROrC 𝕜\ninst✝⁸ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F\ninst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G\ninst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E\ninst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F\ninst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G\nA : F →ₗ[𝕜] G\nB : E →ₗ[𝕜] F\nv : G\n⊢ ↑(↑adjoint (comp A B)) v = ↑(comp (↑adjoint B) (↑adjoint A)) v",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\nE : Type u_4\nF : Type u_2\nG : Type u_3\ninst✝⁹ : IsROrC 𝕜\ninst✝⁸ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F\ninst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G\ninst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E\ninst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F\ninst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G\nA : F →ₗ[𝕜] G\nB : E →ₗ[𝕜] F\n⊢ ↑adjoint (comp A B) = comp (↑adjoint B) (↑adjoint A)",
"tactic": "ext v"
},
{
"state_after": "case h\n𝕜 : Type u_1\nE : Type u_4\nF : Type u_2\nG : Type u_3\ninst✝⁹ : IsROrC 𝕜\ninst✝⁸ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F\ninst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G\ninst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E\ninst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F\ninst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G\nA : F →ₗ[𝕜] G\nB : E →ₗ[𝕜] F\nv : G\nw : (fun x => E) v\n⊢ inner w (↑(↑adjoint (comp A B)) v) = inner w (↑(comp (↑adjoint B) (↑adjoint A)) v)",
"state_before": "case h\n𝕜 : Type u_1\nE : Type u_4\nF : Type u_2\nG : Type u_3\ninst✝⁹ : IsROrC 𝕜\ninst✝⁸ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F\ninst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G\ninst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E\ninst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F\ninst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G\nA : F →ₗ[𝕜] G\nB : E →ₗ[𝕜] F\nv : G\n⊢ ↑(↑adjoint (comp A B)) v = ↑(comp (↑adjoint B) (↑adjoint A)) v",
"tactic": "refine' ext_inner_left 𝕜 fun w => _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\n𝕜 : Type u_1\nE : Type u_4\nF : Type u_2\nG : Type u_3\ninst✝⁹ : IsROrC 𝕜\ninst✝⁸ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup G\ninst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E\ninst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F\ninst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G\ninst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E\ninst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F\ninst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G\nA : F →ₗ[𝕜] G\nB : E →ₗ[𝕜] F\nv : G\nw : (fun x => E) v\n⊢ inner w (↑(↑adjoint (comp A B)) v) = inner w (↑(comp (↑adjoint B) (↑adjoint A)) v)",
"tactic": "simp only [adjoint_inner_right, LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply]"
}
] |
[
420,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
416,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
|
MeasureTheory.measure_union_eq_top_iff
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.35027\nγ : Type ?u.35030\nδ : Type ?u.35033\nι : Type ?u.35036\ninst✝ : MeasurableSpace α\nμ μ₁ μ₂ : Measure α\ns s₁ s₂ t : Set α\n⊢ ¬↑↑μ (s ∪ t) = ⊤ ↔ ¬(↑↑μ s = ⊤ ∨ ↑↑μ t = ⊤)",
"tactic": "simp only [← lt_top_iff_ne_top, ← Ne.def, not_or, measure_union_lt_top_iff]"
}
] |
[
326,
98
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
325,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm.lean
|
ContinuousLinearMap.sSup_closed_unit_ball_eq_norm
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜✝ : Type ?u.834622\n𝕜₂✝ : Type ?u.834625\n𝕜₃ : Type ?u.834628\nE✝ : Type ?u.834631\nEₗ : Type ?u.834634\nF✝ : Type ?u.834637\nFₗ : Type ?u.834640\nG : Type ?u.834643\nGₗ : Type ?u.834646\n𝓕 : Type ?u.834649\ninst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝\ninst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ\ninst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ\ninst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G\ninst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ\ninst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝\ninst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝\ninst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃\ninst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝\ninst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ\ninst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝\ninst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ\ninst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G\ninst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ\nσ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝\nσ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃\nσ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃\ninst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃\ninst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝\n𝕜 : Type u_1\n𝕜₂ : Type u_2\nE : Type u_3\nF : Type u_4\ninst✝⁶ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜\ninst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂\nσ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F\ninst✝ : RingHomIsometric σ₁₂\nf : E →SL[σ₁₂] F\n⊢ sSup ((fun x => ‖↑f x‖) '' closedBall 0 1) = ‖f‖",
"tactic": "simpa only [NNReal.coe_sSup, Set.image_image] using\n NNReal.coe_eq.2 f.sSup_closed_unit_ball_eq_nnnorm"
}
] |
[
583,
54
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
578,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
|
MeasureTheory.Integrable.smul_of_top_left
|
[
{
"state_after": "α : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type ?u.1099822\nδ : Type ?u.1099825\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\ninst✝⁵ : MeasurableSpace δ\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup β\ninst✝³ : NormedAddCommGroup γ\n𝕜 : Type u_1\ninst✝² : NormedRing 𝕜\ninst✝¹ : Module 𝕜 β\ninst✝ : BoundedSMul 𝕜 β\nf : α → β\nφ : α → 𝕜\nhφ : Memℒp φ 1\nhf : Memℒp f ⊤\n⊢ Memℒp (φ • f) 1",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type ?u.1099822\nδ : Type ?u.1099825\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\ninst✝⁵ : MeasurableSpace δ\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup β\ninst✝³ : NormedAddCommGroup γ\n𝕜 : Type u_1\ninst✝² : NormedRing 𝕜\ninst✝¹ : Module 𝕜 β\ninst✝ : BoundedSMul 𝕜 β\nf : α → β\nφ : α → 𝕜\nhφ : Integrable φ\nhf : Memℒp f ⊤\n⊢ Integrable (φ • f)",
"tactic": "rw [← memℒp_one_iff_integrable] at hφ ⊢"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type ?u.1099822\nδ : Type ?u.1099825\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\ninst✝⁵ : MeasurableSpace δ\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup β\ninst✝³ : NormedAddCommGroup γ\n𝕜 : Type u_1\ninst✝² : NormedRing 𝕜\ninst✝¹ : Module 𝕜 β\ninst✝ : BoundedSMul 𝕜 β\nf : α → β\nφ : α → 𝕜\nhφ : Memℒp φ 1\nhf : Memℒp f ⊤\n⊢ Memℒp (φ • f) 1",
"tactic": "exact Memℒp.smul_of_top_left hf hφ"
}
] |
[
1046,
37
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1043,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
|
UniformEmbedding.to_isometry
|
[] |
[
281,
37
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
278,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
|
edist_mul_right
|
[] |
[
117,
27
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
115,
1
] |
Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
|
trop_sum
|
[
{
"state_after": "case h.e'_3\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝ : AddCommMonoid R\ns : Finset S\nf : S → R\n⊢ ∏ i in s, trop (f i) = Multiset.prod (Multiset.map trop (Multiset.map f s.val))",
"state_before": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝ : AddCommMonoid R\ns : Finset S\nf : S → R\n⊢ trop (∑ i in s, f i) = ∏ i in s, trop (f i)",
"tactic": "convert Multiset.trop_sum (s.val.map f)"
},
{
"state_after": "case h.e'_3\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝ : AddCommMonoid R\ns : Finset S\nf : S → R\n⊢ ∏ i in s, trop (f i) = Multiset.prod (Multiset.map (fun i => trop (f i)) s.val)",
"state_before": "case h.e'_3\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝ : AddCommMonoid R\ns : Finset S\nf : S → R\n⊢ ∏ i in s, trop (f i) = Multiset.prod (Multiset.map trop (Multiset.map f s.val))",
"tactic": "simp only [Multiset.map_map, Function.comp_apply]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.e'_3\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝ : AddCommMonoid R\ns : Finset S\nf : S → R\n⊢ ∏ i in s, trop (f i) = Multiset.prod (Multiset.map (fun i => trop (f i)) s.val)",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
60,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
56,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
|
PiNat.res_eq_res
|
[
{
"state_after": "case mp.zero\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn : ℕ\nh✝ : res x n = res y n\nh : res x Nat.zero = res y Nat.zero\n⊢ ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.zero → x m = y m\n\ncase mp.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nh : res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n)\n⊢ ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.succ n → x m = y m\n\ncase mpr.zero\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn : ℕ\nh✝ : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nh : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.zero → x m = y m\n⊢ res x Nat.zero = res y Nat.zero\n\ncase mpr.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n✝ → x m = y m\nn : ℕ\nih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n\nh : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.succ n → x m = y m\n⊢ res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n)",
"state_before": "E : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn : ℕ\n⊢ res x n = res y n ↔ ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m",
"tactic": "constructor <;> intro h <;> induction' n with n ih"
},
{
"state_after": "case mpr.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n✝ → x m = y m\nn : ℕ\nih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n\nh : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.succ n → x m = y m\n⊢ x n = y n ∧ res x n = res y n",
"state_before": "case mpr.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n✝ → x m = y m\nn : ℕ\nih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n\nh : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.succ n → x m = y m\n⊢ res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n)",
"tactic": "simp only [res_succ, cons.injEq]"
},
{
"state_after": "case mpr.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n✝ → x m = y m\nn : ℕ\nih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n\nh : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.succ n → x m = y m\nm : ℕ\nhm : m < n\n⊢ x m = y m",
"state_before": "case mpr.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n✝ → x m = y m\nn : ℕ\nih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n\nh : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.succ n → x m = y m\n⊢ x n = y n ∧ res x n = res y n",
"tactic": "refine' ⟨h (Nat.lt_succ_self _), ih fun m hm => _⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n✝ → x m = y m\nn : ℕ\nih : (∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m) → res x n = res y n\nh : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.succ n → x m = y m\nm : ℕ\nhm : m < n\n⊢ x m = y m",
"tactic": "exact h (hm.trans (Nat.lt_succ_self _))"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp.zero\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn : ℕ\nh✝ : res x n = res y n\nh : res x Nat.zero = res y Nat.zero\n⊢ ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.zero → x m = y m",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "case mp.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nh : res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n)\nm : ℕ\nhm : m < Nat.succ n\n⊢ x m = y m",
"state_before": "case mp.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nh : res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n)\n⊢ ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.succ n → x m = y m",
"tactic": "intro m hm"
},
{
"state_after": "case mp.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nh : res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n)\nm : ℕ\nhm : m < n ∨ m = n\n⊢ x m = y m",
"state_before": "case mp.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nh : res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n)\nm : ℕ\nhm : m < Nat.succ n\n⊢ x m = y m",
"tactic": "rw [Nat.lt_succ_iff_lt_or_eq] at hm"
},
{
"state_after": "case mp.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nm : ℕ\nhm : m < n ∨ m = n\nh : x n = y n ∧ res x n = res y n\n⊢ x m = y m",
"state_before": "case mp.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nh : res x (Nat.succ n) = res y (Nat.succ n)\nm : ℕ\nhm : m < n ∨ m = n\n⊢ x m = y m",
"tactic": "simp only [res_succ, cons.injEq] at h"
},
{
"state_after": "case mp.succ.inl\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nm : ℕ\nh : x n = y n ∧ res x n = res y n\nhm : m < n\n⊢ x m = y m\n\ncase mp.succ.inr\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nm : ℕ\nh : x n = y n ∧ res x n = res y n\nhm : m = n\n⊢ x m = y m",
"state_before": "case mp.succ\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nm : ℕ\nhm : m < n ∨ m = n\nh : x n = y n ∧ res x n = res y n\n⊢ x m = y m",
"tactic": "cases' hm with hm hm"
},
{
"state_after": "case mp.succ.inr\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nm : ℕ\nh : x n = y n ∧ res x n = res y n\nhm : m = n\n⊢ x n = y n",
"state_before": "case mp.succ.inr\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nm : ℕ\nh : x n = y n ∧ res x n = res y n\nhm : m = n\n⊢ x m = y m",
"tactic": "rw [hm]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp.succ.inr\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nm : ℕ\nh : x n = y n ∧ res x n = res y n\nhm : m = n\n⊢ x n = y n",
"tactic": "exact h.1"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp.succ.inl\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn✝ : ℕ\nh✝ : res x n✝ = res y n✝\nn : ℕ\nih : res x n = res y n → ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nm : ℕ\nh : x n = y n ∧ res x n = res y n\nhm : m < n\n⊢ x m = y m",
"tactic": "exact ih h.2 hm"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr.zero\nE : ℕ → Type ?u.20736\nα : Type u_1\nx y : ℕ → α\nn : ℕ\nh✝ : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < n → x m = y m\nh : ∀ ⦃m : ℕ⦄, m < Nat.zero → x m = y m\n⊢ res x Nat.zero = res y Nat.zero",
"tactic": "simp"
}
] |
[
238,
42
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
225,
1
] |
Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
|
wellFounded_liftOn₂'_iff
|
[] |
[
487,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
485,
1
] |
Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
|
Matrix.mulVec_one
|
[
{
"state_after": "case h\nl : Type ?u.897846\nm : Type u_2\nn : Type u_1\no : Type ?u.897855\nm' : o → Type ?u.897860\nn' : o → Type ?u.897865\nR : Type ?u.897868\nS : Type ?u.897871\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.897878\ninst✝¹ : NonAssocSemiring α\ninst✝ : Fintype n\nA : Matrix m n α\nx✝ : m\n⊢ mulVec A 1 x✝ = ∑ j : n, A x✝ j",
"state_before": "l : Type ?u.897846\nm : Type u_2\nn : Type u_1\no : Type ?u.897855\nm' : o → Type ?u.897860\nn' : o → Type ?u.897865\nR : Type ?u.897868\nS : Type ?u.897871\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.897878\ninst✝¹ : NonAssocSemiring α\ninst✝ : Fintype n\nA : Matrix m n α\n⊢ mulVec A 1 = fun i => ∑ j : n, A i j",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nl : Type ?u.897846\nm : Type u_2\nn : Type u_1\no : Type ?u.897855\nm' : o → Type ?u.897860\nn' : o → Type ?u.897865\nR : Type ?u.897868\nS : Type ?u.897871\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.897878\ninst✝¹ : NonAssocSemiring α\ninst✝ : Fintype n\nA : Matrix m n α\nx✝ : m\n⊢ mulVec A 1 x✝ = ∑ j : n, A x✝ j",
"tactic": "simp [mulVec, dotProduct]"
}
] |
[
1869,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1868,
1
] |
Mathlib/Topology/PathConnected.lean
|
Path.extend_of_le_zero
|
[] |
[
291,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
289,
1
] |
Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
|
SimpleGraph.mem_interedges_iff
|
[] |
[
331,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
330,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Equicontinuity.lean
|
Metric.uniformEquicontinuous_iff_right
|
[] |
[
79,
56
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
77,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
|
Nat.gcd_add_mul_left_right
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m n k : ℕ\n⊢ gcd m (n + m * k) = gcd m n",
"tactic": "simp [gcd_rec m (n + m * k), gcd_rec m n]"
}
] |
[
43,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
42,
1
] |
Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
|
CircleDeg1Lift.pow_mono
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift\nh : f ≤ g\nn : ℕ\nx : ℝ\n⊢ ↑(f ^ n) x ≤ ↑(g ^ n) x",
"tactic": "simp only [coe_pow, iterate_mono h n x]"
}
] |
[
445,
42
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
444,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
|
Finset.singleton_infs
|
[] |
[
325,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
324,
1
] |
Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Lemmas.lean
|
div_mul_div_cancel
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.8508\nM₀ : Type ?u.8511\nG₀ : Type u_1\nM₀' : Type ?u.8517\nG₀' : Type ?u.8520\nF : Type ?u.8523\nF' : Type ?u.8526\ninst✝¹ : MonoidWithZero M₀\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na✝ b c a : G₀\nhc : c ≠ 0\n⊢ a / c * (c / b) = a / b",
"tactic": "rw [← mul_div_assoc, div_mul_cancel _ hc]"
}
] |
[
136,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
135,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Monic.lean
|
Polynomial.Monic.sub_of_left
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Ring R\np✝ p q : R[X]\nhp : Monic p\nhpq : degree q < degree p\n⊢ Monic (p + -q)",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Ring R\np✝ p q : R[X]\nhp : Monic p\nhpq : degree q < degree p\n⊢ Monic (p - q)",
"tactic": "rw [sub_eq_add_neg]"
},
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Ring R\np✝ p q : R[X]\nhp : Monic p\nhpq : degree q < degree p\n⊢ degree (-q) < degree p",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Ring R\np✝ p q : R[X]\nhp : Monic p\nhpq : degree q < degree p\n⊢ Monic (p + -q)",
"tactic": "apply hp.add_of_left"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nm n : ℕ\nι : Type y\ninst✝ : Ring R\np✝ p q : R[X]\nhp : Monic p\nhpq : degree q < degree p\n⊢ degree (-q) < degree p",
"tactic": "rwa [degree_neg]"
}
] |
[
407,
19
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
403,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
|
Finsupp.coe_lsum
|
[] |
[
372,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
371,
1
] |
src/lean/Init/Control/Lawful.lean
|
StateT.run_map
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m : Type u → Type u_1\nα β σ : Type u\ninst✝¹ : Monad m\ninst✝ : LawfulMonad m\nf : α → β\nx : StateT σ m α\ns : σ\n⊢ run (f <$> x) s = (fun p => (f p.fst, p.snd)) <$> run x s",
"tactic": "simp [Functor.map, StateT.map, run, map_eq_pure_bind]"
}
] |
[
255,
56
] |
d5348dfac847a56a4595fb6230fd0708dcb4e7e9
|
https://github.com/leanprover/lean4
|
[
254,
9
] |
Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
|
Submodule.span_smul_span
|
[] |
[
240,
78
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
239,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
|
Ideal.FinrankQuotientMap.linearIndependent_of_nontrivial
|
[
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\nhb : ¬LinearIndependent K (↑f ∘ b)\n⊢ ¬LinearIndependent S (↑f' ∘ b)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\nhb' : LinearIndependent S (↑f' ∘ b)\n⊢ LinearIndependent K (↑f ∘ b)",
"tactic": "contrapose! hb' with hb"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\nhb : ∃ x x_1 h x_2 x, ¬x_1 x_2 = 0\n⊢ ∃ x x_1 h x_2 x, ¬x_1 x_2 = 0",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\nhb : ¬LinearIndependent K (↑f ∘ b)\n⊢ ¬LinearIndependent S (↑f' ∘ b)",
"tactic": "simp only [linearIndependent_iff', not_forall] at hb ⊢"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\n⊢ ∃ x x_1 h x_2 x, ¬x_1 x_2 = 0",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\nhb : ∃ x x_1 h x_2 x, ¬x_1 x_2 = 0\n⊢ ∃ x x_1 h x_2 x, ¬x_1 x_2 = 0",
"tactic": "obtain ⟨s, g, eq, j', hj's, hj'g⟩ := hb"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\n⊢ ∃ x x_1 h x_2 x, ¬x_1 x_2 = 0",
"tactic": "use s"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nhag : ∀ (i : ι), i ∈ s → IsLocalization.IsInteger R (a * g i)\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"tactic": "obtain ⟨a, hag, j, hjs, hgI⟩ := Ideal.exist_integer_multiples_not_mem hRS s g hj's hj'g"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nhag : ∀ (i : ι), i ∈ s → IsLocalization.IsInteger R (a * g i)\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"tactic": "choose g'' hg'' using hag"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"tactic": "letI := Classical.propDecidable"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"tactic": "let g' i := if h : i ∈ s then g'' i h else 0"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"tactic": "have hg' : ∀ i ∈ s, algebraMap _ _ (g' i) = a * g i := by\n intro i hi; exact (congr_arg _ (dif_pos hi)).trans (hg'' i hi)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"tactic": "have hgI : algebraMap R S (g' j) ≠ 0 := by\n simp only [FractionalIdeal.mem_coeIdeal, not_exists, not_and'] at hgI\n exact hgI _ (hg' j hjs)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ∑ i in s, (fun i => ↑(algebraMap R S) (g' i)) i • (↑f' ∘ b) i = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ∃ x h x_1 x_2, ¬x x_1 = 0",
"tactic": "refine ⟨fun i => algebraMap R S (g' i), ?_, j, hjs, hgI⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq✝ : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\neq : ↑f (∑ i in s, g' i • b i) = 0\n⊢ ∑ i in s, (fun i => ↑(algebraMap R S) (g' i)) i • (↑f' ∘ b) i = 0",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ∑ i in s, (fun i => ↑(algebraMap R S) (g' i)) i • (↑f' ∘ b) i = 0",
"tactic": "have eq : f (∑ i in s, g' i • b i) = 0 := by\n rw [LinearMap.map_sum, ← smul_zero a, ← eq, Finset.smul_sum]\n refine Finset.sum_congr rfl ?_\n intro i hi\n rw [LinearMap.map_smul, ← IsScalarTower.algebraMap_smul K, hg' i hi, ← smul_assoc,\n smul_eq_mul, Function.comp_apply]"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\ni : ι\nhi : i ∈ s\n⊢ ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\n⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i",
"tactic": "intro i hi"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\ni : ι\nhi : i ∈ s\n⊢ ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i",
"tactic": "exact (congr_arg _ (dif_pos hi)).trans (hg'' i hi)"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ∀ (x : R), ↑(algebraMap R K) x = a * g j → ¬x ∈ RingHom.ker (algebraMap R S)\n⊢ ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\n⊢ ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0",
"tactic": "simp only [FractionalIdeal.mem_coeIdeal, not_exists, not_and'] at hgI"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ∀ (x : R), ↑(algebraMap R K) x = a * g j → ¬x ∈ RingHom.ker (algebraMap R S)\n⊢ ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0",
"tactic": "exact hgI _ (hg' j hjs)"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ∑ i in s, ↑f (g' i • b i) = ∑ x in s, a • g x • (↑f ∘ b) x",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ↑f (∑ i in s, g' i • b i) = 0",
"tactic": "rw [LinearMap.map_sum, ← smul_zero a, ← eq, Finset.smul_sum]"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ∀ (x : ι), x ∈ s → ↑f (g' x • b x) = a • g x • (↑f ∘ b) x",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ∑ i in s, ↑f (g' i • b i) = ∑ x in s, a • g x • (↑f ∘ b) x",
"tactic": "refine Finset.sum_congr rfl ?_"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\ni : ι\nhi : i ∈ s\n⊢ ↑f (g' i • b i) = a • g i • (↑f ∘ b) i",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\n⊢ ∀ (x : ι), x ∈ s → ↑f (g' x • b x) = a • g x • (↑f ∘ b) x",
"tactic": "intro i hi"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝¹⁸ : CommRing S\nf✝ : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\ninst✝¹⁷ : Algebra R S\nK : Type u_5\ninst✝¹⁶ : Field K\ninst✝¹⁵ : Algebra R K\nhRK : IsFractionRing R K\nL : Type ?u.197285\ninst✝¹⁴ : Field L\ninst✝¹³ : Algebra S L\ninst✝¹² : IsFractionRing S L\nV : Type u_2\nV' : Type u_3\nV'' : Type u_1\ninst✝¹¹ : AddCommGroup V\ninst✝¹⁰ : Module R V\ninst✝⁹ : Module K V\ninst✝⁸ : IsScalarTower R K V\ninst✝⁷ : AddCommGroup V'\ninst✝⁶ : Module R V'\ninst✝⁵ : Module S V'\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S V'\ninst✝³ : AddCommGroup V''\ninst✝² : Module R V''\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nhRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤\nf : V'' →ₗ[R] V\nhf : Function.Injective ↑f\nf' : V'' →ₗ[R] V'\nι : Type u_4\nb : ι → V''\ns : Finset ι\ng : ι → K\neq : ∑ i in s, g i • (↑f ∘ b) i = 0\nj' : ι\nhj's : j' ∈ s\nhj'g : ¬g j' = 0\na : K\nj : ι\nhjs : j ∈ s\nhgI✝ : ¬a * g j ∈ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))\ng'' : (i : ι) → i ∈ s → R\nhg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), ↑(algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i\nthis : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable\ng' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0\nhg' : ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑(algebraMap R K) (g' i) = a * g i\nhgI : ↑(algebraMap R S) (g' j) ≠ 0\ni : ι\nhi : i ∈ s\n⊢ ↑f (g' i • b i) = a • g i • (↑f ∘ b) i",
"tactic": "rw [LinearMap.map_smul, ← IsScalarTower.algebraMap_smul K, hg' i hi, ← smul_assoc,\n smul_eq_mul, Function.comp_apply]"
}
] |
[
287,
63
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
257,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
|
Filter.tendsto_swap4_prod
|
[] |
[
335,
20
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
332,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/FieldDivision.lean
|
Polynomial.C_mul_dvd
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\nk : Type y\nA : Type z\na b : R\nn : ℕ\ninst✝ : Field R\np q : R[X]\nha : a ≠ 0\nx✝ : p ∣ q\nr : R[X]\nhr : q = p * r\n⊢ q = ↑C a * p * (↑C a⁻¹ * r)",
"tactic": "rw [mul_assoc, mul_left_comm p, ← mul_assoc, ← C.map_mul, _root_.mul_inv_cancel ha, C.map_one,\n one_mul, hr]"
}
] |
[
443,
23
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
439,
1
] |
Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
|
PowerSeries.order_eq
|
[
{
"state_after": "case a\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n⊢ order φ = ⊤ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0\n\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\nn✝ : ℕ\n⊢ order φ = ↑n✝ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ↑n✝ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ↑n✝ → ↑(coeff R i) φ = 0",
"state_before": "R : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\nn : PartENat\n⊢ order φ = n ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = n → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < n → ↑(coeff R i) φ = 0",
"tactic": "induction n using PartENat.casesOn"
},
{
"state_after": "case a\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n⊢ φ = 0 ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0",
"state_before": "case a\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n⊢ order φ = ⊤ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0",
"tactic": "rw [order_eq_top]"
},
{
"state_after": "case a.mp\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n⊢ φ = 0 → (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0\n\ncase a.mpr\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n⊢ ((∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0) → φ = 0",
"state_before": "case a\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n⊢ φ = 0 ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case a.mp\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ : PowerSeries R\n⊢ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) 0 ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) 0 = 0",
"state_before": "case a.mp\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n⊢ φ = 0 → (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0",
"tactic": "rintro rfl"
},
{
"state_after": "case a.mp.left\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ : PowerSeries R\ni✝ : ℕ\na✝ : ↑i✝ = ⊤\n⊢ ↑(coeff R i✝) 0 ≠ 0\n\ncase a.mp.right\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ : PowerSeries R\ni✝ : ℕ\na✝ : ↑i✝ < ⊤\n⊢ ↑(coeff R i✝) 0 = 0",
"state_before": "case a.mp\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ : PowerSeries R\n⊢ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) 0 ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) 0 = 0",
"tactic": "constructor <;> intros"
},
{
"state_after": "case a.mp.left.h\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ : PowerSeries R\ni✝ : ℕ\na✝ : ↑i✝ = ⊤\n⊢ False",
"state_before": "case a.mp.left\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ : PowerSeries R\ni✝ : ℕ\na✝ : ↑i✝ = ⊤\n⊢ ↑(coeff R i✝) 0 ≠ 0",
"tactic": "exfalso"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.mp.left.h\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ : PowerSeries R\ni✝ : ℕ\na✝ : ↑i✝ = ⊤\n⊢ False",
"tactic": "exact PartENat.natCast_ne_top ‹_› ‹_›"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.mp.right\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ : PowerSeries R\ni✝ : ℕ\na✝ : ↑i✝ < ⊤\n⊢ ↑(coeff R i✝) 0 = 0",
"tactic": "exact (coeff _ _).map_zero"
},
{
"state_after": "case a.mpr.intro\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n_h₁ : ∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0\nh₂ : ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0\n⊢ φ = 0",
"state_before": "case a.mpr\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n⊢ ((∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0) → φ = 0",
"tactic": "rintro ⟨_h₁, h₂⟩"
},
{
"state_after": "case a.mpr.intro.h\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n_h₁ : ∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0\nh₂ : ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0\ni : ℕ\n⊢ ↑(coeff R i) φ = ↑(coeff R i) 0",
"state_before": "case a.mpr.intro\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n_h₁ : ∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0\nh₂ : ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0\n⊢ φ = 0",
"tactic": "ext i"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.mpr.intro.h\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\n_h₁ : ∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0\nh₂ : ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → ↑(coeff R i) φ = 0\ni : ℕ\n⊢ ↑(coeff R i) φ = ↑(coeff R i) 0",
"tactic": "exact h₂ i (PartENat.natCast_lt_top i)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a\nR : Type u_1\ninst✝ : Semiring R\nφ✝ φ : PowerSeries R\nn✝ : ℕ\n⊢ order φ = ↑n✝ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ↑n✝ → ↑(coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ↑n✝ → ↑(coeff R i) φ = 0",
"tactic": "simpa [PartENat.natCast_inj] using order_eq_nat"
}
] |
[
2336,
52
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2323,
1
] |
Mathlib/Topology/Basic.lean
|
continuous_id
|
[] |
[
1629,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1628,
1
] |
Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
|
ZMod.coe_valMinAbs
|
[
{
"state_after": "k n : ℕ\nh✝ : k = n + 1\nx : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝)\n⊢ ↑(if val x ≤ namedPattern k (n + 1) h✝ / 2 then ↑(val x) else ↑(val x) - ↑(namedPattern k (n + 1) h✝)) = x",
"state_before": "k n : ℕ\nh✝ : k = n + 1\nx : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝)\n⊢ ↑(valMinAbs x) = x",
"tactic": "rw [valMinAbs_def_pos]"
},
{
"state_after": "case inl\nk n : ℕ\nh✝¹ : k = n + 1\nx : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝¹)\nh✝ : val x ≤ namedPattern k (n + 1) h✝¹ / 2\n⊢ ↑↑(val x) = x\n\ncase inr\nk n : ℕ\nh✝¹ : k = n + 1\nx : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝¹)\nh✝ : ¬val x ≤ namedPattern k (n + 1) h✝¹ / 2\n⊢ ↑(↑(val x) - ↑(namedPattern k (n + 1) h✝¹)) = x",
"state_before": "k n : ℕ\nh✝ : k = n + 1\nx : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝)\n⊢ ↑(if val x ≤ namedPattern k (n + 1) h✝ / 2 then ↑(val x) else ↑(val x) - ↑(namedPattern k (n + 1) h✝)) = x",
"tactic": "split_ifs"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nk n : ℕ\nh✝¹ : k = n + 1\nx : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝¹)\nh✝ : val x ≤ namedPattern k (n + 1) h✝¹ / 2\n⊢ ↑↑(val x) = x",
"tactic": "rw [Int.cast_ofNat, nat_cast_zmod_val]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\nk n : ℕ\nh✝¹ : k = n + 1\nx : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝¹)\nh✝ : ¬val x ≤ namedPattern k (n + 1) h✝¹ / 2\n⊢ ↑(↑(val x) - ↑(namedPattern k (n + 1) h✝¹)) = x",
"tactic": "rw [Int.cast_sub, Int.cast_ofNat, nat_cast_zmod_val, Int.cast_ofNat, nat_cast_self, sub_zero]"
}
] |
[
924,
100
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
918,
1
] |
Mathlib/Data/List/Zip.lean
|
List.lt_length_left_of_zip
|
[] |
[
105,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
103,
1
] |
Mathlib/Data/Finmap.lean
|
Finmap.keys_ext
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : α → Type v\ns₁ s₂ : AList β\n⊢ keys ⟦s₁⟧ = keys ⟦s₂⟧ ↔ AList.keys s₁ ~ AList.keys s₂",
"tactic": "simp [keys, AList.keys]"
}
] |
[
202,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
201,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Basic.lean
|
Set.Ico_subset_Ici_self
|
[] |
[
542,
67
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
542,
1
] |
Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
|
Set.PartiallyWellOrderedOn.wellFoundedOn
|
[
{
"state_after": "ι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nh : PartiallyWellOrderedOn s r\nthis : Preorder α := Preorder.mk (_ : ∀ (a : α), r a a) (_ : ∀ (x x_1 x_2 : α), r x x_1 → r x_1 x_2 → r x x_2)\n⊢ WellFoundedOn s fun a b => r a b ∧ ¬r b a",
"state_before": "ι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nh : PartiallyWellOrderedOn s r\n⊢ WellFoundedOn s fun a b => r a b ∧ ¬r b a",
"tactic": "letI : Preorder α :=\n { le := r\n le_refl := refl_of r\n le_trans := fun _ _ _ => trans_of r }"
},
{
"state_after": "ι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nthis : Preorder α := Preorder.mk (_ : ∀ (a : α), r a a) (_ : ∀ (x x_1 x_2 : α), r x x_1 → r x_1 x_2 → r x x_2)\nh : PartiallyWellOrderedOn s fun x x_1 => x ≤ x_1\n⊢ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1), ¬∀ (n : ℕ), ↑f n ∈ s",
"state_before": "ι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nthis : Preorder α := Preorder.mk (_ : ∀ (a : α), r a a) (_ : ∀ (x x_1 x_2 : α), r x x_1 → r x_1 x_2 → r x x_2)\nh : PartiallyWellOrderedOn s fun x x_1 => x ≤ x_1\n⊢ WellFoundedOn s fun x x_1 => x < x_1",
"tactic": "rw [wellFoundedOn_iff_no_descending_seq]"
},
{
"state_after": "ι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf✝ : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nthis : Preorder α := Preorder.mk (_ : ∀ (a : α), r a a) (_ : ∀ (x x_1 x_2 : α), r x x_1 → r x_1 x_2 → r x x_2)\nh : PartiallyWellOrderedOn s fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1\nhf : ∀ (n : ℕ), ↑f n ∈ s\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nthis : Preorder α := Preorder.mk (_ : ∀ (a : α), r a a) (_ : ∀ (x x_1 x_2 : α), r x x_1 → r x_1 x_2 → r x x_2)\nh : PartiallyWellOrderedOn s fun x x_1 => x ≤ x_1\n⊢ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1), ¬∀ (n : ℕ), ↑f n ∈ s",
"tactic": "intro f hf"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf✝ : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nthis : Preorder α := Preorder.mk (_ : ∀ (a : α), r a a) (_ : ∀ (x x_1 x_2 : α), r x x_1 → r x_1 x_2 → r x x_2)\nh : PartiallyWellOrderedOn s fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1\nhf : ∀ (n : ℕ), ↑f n ∈ s\nm n : ℕ\nhlt : m < n\nhle : ↑f m ≤ ↑f n\n⊢ False",
"state_before": "ι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf✝ : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nthis : Preorder α := Preorder.mk (_ : ∀ (a : α), r a a) (_ : ∀ (x x_1 x_2 : α), r x x_1 → r x_1 x_2 → r x x_2)\nh : PartiallyWellOrderedOn s fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1\nhf : ∀ (n : ℕ), ↑f n ∈ s\n⊢ False",
"tactic": "obtain ⟨m, n, hlt, hle⟩ := h f hf"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro\nι : Type ?u.95097\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.95103\nr : α → α → Prop\nr' : β → β → Prop\nf✝ : α → β\ns t : Set α\na : α\ninst✝ : IsPreorder α r\nthis : Preorder α := Preorder.mk (_ : ∀ (a : α), r a a) (_ : ∀ (x x_1 x_2 : α), r x x_1 → r x_1 x_2 → r x x_2)\nh : PartiallyWellOrderedOn s fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1\nhf : ∀ (n : ℕ), ↑f n ∈ s\nm n : ℕ\nhlt : m < n\nhle : ↑f m ≤ ↑f n\n⊢ False",
"tactic": "exact (f.map_rel_iff.2 hlt).not_le hle"
}
] |
[
390,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
379,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
|
OrderIso.essInf_apply
|
[] |
[
194,
52
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
192,
1
] |
Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
|
Subalgebra.iSupLift_inclusion
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝⁵ : CommSemiring R\ninst✝⁴ : Semiring A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R B\nS : Subalgebra R A\nι : Type u_1\ninst✝ : Nonempty ι\nK : ι → Subalgebra R A\ndir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K\nf : (i : ι) → { x // x ∈ K i } →ₐ[R] B\nhf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = AlgHom.comp (f j) (inclusion h)\nT : Subalgebra R A\nhT : T = iSup K\ni : ι\nx : { x // x ∈ K i }\nh : K i ≤ T\n⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => ↑(f i) x)\n (_ :\n ∀ (i j : ι) (x : A) (hxi : x ∈ (fun i => ↑(K i)) i) (hxj : x ∈ (fun i => ↑(K i)) j),\n (fun i x => ↑(f i) x) i { val := x, property := hxi } = (fun i x => ↑(f i) x) j { val := x, property := hxj })\n ↑T (_ : ↑T ⊆ ⋃ (i : ι), ↑(K i)) (Set.inclusion h x) =\n ↑(f i) x",
"state_before": "R : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝⁵ : CommSemiring R\ninst✝⁴ : Semiring A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R B\nS : Subalgebra R A\nι : Type u_1\ninst✝ : Nonempty ι\nK : ι → Subalgebra R A\ndir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K\nf : (i : ι) → { x // x ∈ K i } →ₐ[R] B\nhf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = AlgHom.comp (f j) (inclusion h)\nT : Subalgebra R A\nhT : T = iSup K\ni : ι\nx : { x // x ∈ K i }\nh : K i ≤ T\n⊢ ↑(iSupLift K dir f hf T hT) (↑(inclusion h) x) = ↑(f i) x",
"tactic": "dsimp [iSupLift, inclusion]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝⁵ : CommSemiring R\ninst✝⁴ : Semiring A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R B\nS : Subalgebra R A\nι : Type u_1\ninst✝ : Nonempty ι\nK : ι → Subalgebra R A\ndir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K\nf : (i : ι) → { x // x ∈ K i } →ₐ[R] B\nhf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = AlgHom.comp (f j) (inclusion h)\nT : Subalgebra R A\nhT : T = iSup K\ni : ι\nx : { x // x ∈ K i }\nh : K i ≤ T\n⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => ↑(f i) x)\n (_ :\n ∀ (i j : ι) (x : A) (hxi : x ∈ (fun i => ↑(K i)) i) (hxj : x ∈ (fun i => ↑(K i)) j),\n (fun i x => ↑(f i) x) i { val := x, property := hxi } = (fun i x => ↑(f i) x) j { val := x, property := hxj })\n ↑T (_ : ↑T ⊆ ⋃ (i : ι), ↑(K i)) (Set.inclusion h x) =\n ↑(f i) x",
"tactic": "rw [Set.iUnionLift_inclusion]"
}
] |
[
1214,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1211,
1
] |
Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
|
iInf_sup_eq
|
[] |
[
203,
27
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
202,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Function.lean
|
Set.LeftInvOn.image_inter'
|
[
{
"state_after": "case h₁\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\n⊢ f '' (s₁ ∩ s) ⊆ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s\n\ncase h₂\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\n⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f '' (s₁ ∩ s)",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\n⊢ f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s",
"tactic": "apply Subset.antisymm"
},
{
"state_after": "case h₁.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\nx : α\nh₁ : x ∈ s₁\nh : x ∈ s\n⊢ f x ∈ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s",
"state_before": "case h₁\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\n⊢ f '' (s₁ ∩ s) ⊆ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s",
"tactic": "rintro _ ⟨x, ⟨h₁, h⟩, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h₁.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\nx : α\nh₁ : x ∈ s₁\nh : x ∈ s\n⊢ f x ∈ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s",
"tactic": "exact ⟨by rwa [mem_preimage, hf h], mem_image_of_mem _ h⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\nx : α\nh₁ : x ∈ s₁\nh : x ∈ s\n⊢ f x ∈ f' ⁻¹' s₁",
"tactic": "rwa [mem_preimage, hf h]"
},
{
"state_after": "case h₂.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\nx : α\nh : x ∈ s\nh₁ : f x ∈ f' ⁻¹' s₁\n⊢ f x ∈ f '' (s₁ ∩ s)",
"state_before": "case h₂\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\n⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f '' (s₁ ∩ s)",
"tactic": "rintro _ ⟨h₁, ⟨x, h, rfl⟩⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h₂.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\nx : α\nh : x ∈ s\nh₁ : f x ∈ f' ⁻¹' s₁\n⊢ f x ∈ f '' (s₁ ∩ s)",
"tactic": "exact mem_image_of_mem _ ⟨by rwa [← hf h], h⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59103\nι : Sort ?u.59106\nπ : α → Type ?u.59111\ns s₁ s₂ : Set α\nt t₁ t₂ : Set β\np : Set γ\nf f₁ f₂ f₃ : α → β\ng g₁ g₂ : β → γ\nf' f₁' f₂' : β → α\ng' : γ → β\na : α\nb : β\nhf : LeftInvOn f' f s\nx : α\nh : x ∈ s\nh₁ : f x ∈ f' ⁻¹' s₁\n⊢ x ∈ s₁",
"tactic": "rwa [← hf h]"
}
] |
[
1077,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1072,
1
] |
Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
|
PrimeSpectrum.zeroLocus_singleton_mul
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nf g : R\nx : PrimeSpectrum R\n⊢ x ∈ zeroLocus {f * g} ↔ x ∈ zeroLocus {f} ∪ zeroLocus {g}",
"tactic": "simpa using x.2.mul_mem_iff_mem_or_mem"
}
] |
[
375,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
373,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
|
Ordinal.sub_isLimit
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.133611\nβ : Type ?u.133614\nγ : Type ?u.133617\nr : α → α → Prop\ns : β → β → Prop\nt : γ → γ → Prop\na b : Ordinal\nl : IsLimit a\nh : b < a\n⊢ b + 0 < a",
"tactic": "rwa [add_zero]"
},
{
"state_after": "α : Type ?u.133611\nβ : Type ?u.133614\nγ : Type ?u.133617\nr : α → α → Prop\ns : β → β → Prop\nt : γ → γ → Prop\na b : Ordinal\nl : IsLimit a\nh✝ : b < a\nc : Ordinal\nh : c < a - b\n⊢ succ (b + c) < a",
"state_before": "α : Type ?u.133611\nβ : Type ?u.133614\nγ : Type ?u.133617\nr : α → α → Prop\ns : β → β → Prop\nt : γ → γ → Prop\na b : Ordinal\nl : IsLimit a\nh✝ : b < a\nc : Ordinal\nh : c < a - b\n⊢ succ c < a - b",
"tactic": "rw [lt_sub, add_succ]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.133611\nβ : Type ?u.133614\nγ : Type ?u.133617\nr : α → α → Prop\ns : β → β → Prop\nt : γ → γ → Prop\na b : Ordinal\nl : IsLimit a\nh✝ : b < a\nc : Ordinal\nh : c < a - b\n⊢ succ (b + c) < a",
"tactic": "exact l.2 _ (lt_sub.1 h)"
}
] |
[
614,
53
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
612,
1
] |
Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity.lean
|
SimpleGraph.isBridge_iff_adj_and_forall_walk_mem_edges
|
[
{
"state_after": "V : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nv w : V\n⊢ ¬Reachable (G \\ fromEdgeSet {Quotient.mk (Sym2.Rel.setoid V) (v, w)}) v w ↔\n ∀ (p : Walk G v w), Quotient.mk (Sym2.Rel.setoid V) (v, w) ∈ Walk.edges p",
"state_before": "V : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nv w : V\n⊢ IsBridge G (Quotient.mk (Sym2.Rel.setoid V) (v, w)) ↔\n Adj G v w ∧ ∀ (p : Walk G v w), Quotient.mk (Sym2.Rel.setoid V) (v, w) ∈ Walk.edges p",
"tactic": "rw [isBridge_iff, and_congr_right']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "V : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nv w : V\n⊢ ¬Reachable (G \\ fromEdgeSet {Quotient.mk (Sym2.Rel.setoid V) (v, w)}) v w ↔\n ∀ (p : Walk G v w), Quotient.mk (Sym2.Rel.setoid V) (v, w) ∈ Walk.edges p",
"tactic": "rw [reachable_delete_edges_iff_exists_walk, not_exists_not]"
}
] |
[
2468,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2465,
1
] |
Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
|
OmegaCompletePartialOrder.Continuous'.to_bundled
|
[] |
[
274,
9
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
273,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
|
measurable_of_tendsto_ennreal'
|
[
{
"state_after": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : Tendsto f u (𝓝 g)\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\n⊢ Measurable g",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : Tendsto f u (𝓝 g)\n⊢ Measurable g",
"tactic": "rcases u.exists_seq_tendsto with ⟨x, hx⟩"
},
{
"state_after": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\n⊢ Measurable g",
"state_before": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : Tendsto f u (𝓝 g)\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\n⊢ Measurable g",
"tactic": "rw [tendsto_pi_nhds] at lim"
},
{
"state_after": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\nthis : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g\n⊢ Measurable g",
"state_before": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\n⊢ Measurable g",
"tactic": "have : (fun y => liminf (fun n => (f (x n) y : ℝ≥0∞)) atTop) = g := by\n ext1 y\n exact ((lim y).comp hx).liminf_eq"
},
{
"state_after": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\nthis : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g\n⊢ Measurable fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop",
"state_before": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\nthis : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g\n⊢ Measurable g",
"tactic": "rw [← this]"
},
{
"state_after": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\nthis : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g\n⊢ Measurable fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop",
"state_before": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\nthis : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g\n⊢ Measurable fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop",
"tactic": "show Measurable fun y => liminf (fun n => (f (x n) y : ℝ≥0∞)) atTop"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\nthis : (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g\n⊢ Measurable fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop",
"tactic": "exact measurable_liminf fun n => hf (x n)"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\ny : α\n⊢ liminf (fun n => f (x n) y) atTop = g y",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\n⊢ (fun y => liminf (fun n => f (x n) y) atTop) = g",
"tactic": "ext1 y"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.48\ninst✝⁶ : MeasurableSpace α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace β\ninst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β\ninst✝³ : MeasurableSpace β\ninst✝² : BorelSpace β\nι : Type u_1\nf : ι → α → ℝ≥0∞\ng : α → ℝ≥0∞\nu : Filter ι\ninst✝¹ : NeBot u\ninst✝ : IsCountablyGenerated u\nhf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)\nlim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop u\ny : α\n⊢ liminf (fun n => f (x n) y) atTop = g y",
"tactic": "exact ((lim y).comp hx).liminf_eq"
}
] |
[
42,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
32,
1
] |
Mathlib/Data/IsROrC/Basic.lean
|
IsROrC.ofReal_eq_zero
|
[] |
[
200,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
199,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
|
isNoetherian_submodule_right
|
[] |
[
112,
100
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
110,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
|
Nat.base_pow_length_digits_le
|
[
{
"state_after": "case succ.succ\nn m b : ℕ\n⊢ ¬m = 0 → succ (succ b) ^ List.length (digits (succ (succ b)) m) ≤ succ (succ b) * m",
"state_before": "n b m : ℕ\nhb : 1 < b\n⊢ m ≠ 0 → b ^ List.length (digits b m) ≤ b * m",
"tactic": "rcases b with (_ | _ | b) <;> try simp_all"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ.succ\nn m b : ℕ\n⊢ ¬m = 0 → succ (succ b) ^ List.length (digits (succ (succ b)) m) ≤ succ (succ b) * m",
"tactic": "exact base_pow_length_digits_le' b m"
},
{
"state_after": "case succ.succ\nn m b : ℕ\n⊢ ¬m = 0 → succ (succ b) ^ List.length (digits (succ (succ b)) m) ≤ succ (succ b) * m",
"state_before": "case succ.succ\nn m b : ℕ\nhb : 1 < succ (succ b)\n⊢ m ≠ 0 → succ (succ b) ^ List.length (digits (succ (succ b)) m) ≤ succ (succ b) * m",
"tactic": "simp_all"
}
] |
[
474,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
471,
1
] |
Mathlib/Topology/Instances/TrivSqZeroExt.lean
|
TrivSqZeroExt.continuous_inl
|
[] |
[
70,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
69,
1
] |
Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
|
LieSubmodule.map_bracket_eq
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\n⊢ Submodule.span R (↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\n⊢ map f ⁅I, N⁆ = ⁅I, map f N⁆",
"tactic": "rw [← coe_toSubmodule_eq_iff, coeSubmodule_map, lieIdeal_oper_eq_linear_span,\n lieIdeal_oper_eq_linear_span, Submodule.map_span]"
},
{
"state_after": "case e_s\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\n⊢ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\n⊢ Submodule.span R (↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "congr"
},
{
"state_after": "case e_s.h\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\n⊢ m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ↔ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"state_before": "case e_s\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\n⊢ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "ext m"
},
{
"state_after": "case e_s.h.mp\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\n⊢ m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\n\ncase e_s.h.mpr\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\n⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"state_before": "case e_s.h\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\n⊢ m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ↔ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case e_s.h.mp.intro.intro.intro.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\nx : { x // x ∈ I }\nn : M\nhn : n ∈ N\nhm : ↑↑f ⁅↑x, ↑{ val := n, property := hn }⁆ = m\n⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"state_before": "case e_s.h.mp\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\n⊢ m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "rintro ⟨-, ⟨⟨x, ⟨n, hn⟩, rfl⟩, hm⟩⟩"
},
{
"state_after": "case e_s.h.mp.intro.intro.intro.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\nx : { x // x ∈ I }\nn : M\nhn : n ∈ N\nhm : ⁅↑x, ↑f n⁆ = m\n⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"state_before": "case e_s.h.mp.intro.intro.intro.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\nx : { x // x ∈ I }\nn : M\nhn : n ∈ N\nhm : ↑↑f ⁅↑x, ↑{ val := n, property := hn }⁆ = m\n⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "simp only [LieModuleHom.coe_toLinearMap, LieModuleHom.map_lie] at hm"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case e_s.h.mp.intro.intro.intro.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\nx : { x // x ∈ I }\nn : M\nhn : n ∈ N\nhm : ⁅↑x, ↑f n⁆ = m\n⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "exact ⟨x, ⟨f n, (mem_map (f n)).mpr ⟨n, hn, rfl⟩⟩, hm⟩"
},
{
"state_after": "case e_s.h.mpr.intro.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nx : { x // x ∈ I }\nm₂ : M₂\nhm₂ : m₂ ∈ map f N\n⊢ ⁅↑x, ↑{ val := m₂, property := hm₂ }⁆ ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"state_before": "case e_s.h.mpr\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nm : M₂\n⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "rintro ⟨x, ⟨m₂, hm₂ : m₂ ∈ map f N⟩, rfl⟩"
},
{
"state_after": "case e_s.h.mpr.intro.intro.mk.intro.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nx : { x // x ∈ I }\nn : M\nhn : n ∈ N\nhm₂ : ↑f n ∈ map f N\n⊢ ⁅↑x, ↑{ val := ↑f n, property := hm₂ }⁆ ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"state_before": "case e_s.h.mpr.intro.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nx : { x // x ∈ I }\nm₂ : M₂\nhm₂ : m₂ ∈ map f N\n⊢ ⁅↑x, ↑{ val := m₂, property := hm₂ }⁆ ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "obtain ⟨n, hn, rfl⟩ := (mem_map m₂).mp hm₂"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case e_s.h.mpr.intro.intro.mk.intro.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nx : { x // x ∈ I }\nn : M\nhn : n ∈ N\nhm₂ : ↑f n ∈ map f N\n⊢ ⁅↑x, ↑{ val := ↑f n, property := hm₂ }⁆ ∈ ↑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}",
"tactic": "exact ⟨⁅x, n⁆, ⟨x, ⟨n, hn⟩, rfl⟩, by simp⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nx : { x // x ∈ I }\nn : M\nhn : n ∈ N\nhm₂ : ↑f n ∈ map f N\n⊢ ↑↑f ⁅x, n⁆ = ⁅↑x, ↑{ val := ↑f n, property := hm₂ }⁆",
"tactic": "simp"
}
] |
[
221,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
210,
1
] |
Mathlib/Data/Quot.lean
|
Quot.map₂_mk
|
[] |
[
160,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
157,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
|
tendsto_self_mul_const_pow_of_lt_one
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.130031\nβ : Type ?u.130034\nι : Type ?u.130037\nr : ℝ\nhr : 0 ≤ r\nh'r : r < 1\n⊢ Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) atTop (𝓝 0)",
"tactic": "simpa only [pow_one] using tendsto_pow_const_mul_const_pow_of_lt_one 1 hr h'r"
}
] |
[
264,
80
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
262,
1
] |
Mathlib/Algebra/ModEq.lean
|
AddCommGroup.ModEq.add_nsmul
|
[] |
[
144,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
143,
11
] |
Mathlib/Order/JordanHolder.lean
|
CompositionSeries.bot_snoc
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "X : Type u\ninst✝¹ : Lattice X\ninst✝ : JordanHolderLattice X\ns : CompositionSeries X\nx : X\nhsat : IsMaximal (top s) x\n⊢ bot (snoc s x hsat) = bot s",
"tactic": "rw [bot, bot, ← snoc_castSucc s _ _ 0, Fin.castSucc_zero]"
}
] |
[
577,
96
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
576,
1
] |
Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
|
edist_ne_top_of_mem_ball
|
[
{
"state_after": "α : Type ?u.350406\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.350412\ninst✝ : EMetricSpace β\na : β\nr : ℝ≥0∞\nx y : ↑(EMetric.ball a r)\n⊢ edist (↑x) a + edist (↑y) a < r + r",
"state_before": "α : Type ?u.350406\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.350412\ninst✝ : EMetricSpace β\na : β\nr : ℝ≥0∞\nx y : ↑(EMetric.ball a r)\n⊢ edist a ↑x + edist a ↑y < r + r",
"tactic": "rw [edist_comm a x, edist_comm a y]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.350406\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.350412\ninst✝ : EMetricSpace β\na : β\nr : ℝ≥0∞\nx y : ↑(EMetric.ball a r)\n⊢ edist (↑x) a + edist (↑y) a < r + r",
"tactic": "exact add_lt_add x.2 y.2"
}
] |
[
1381,
22
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1376,
1
] |
Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
|
FirstOrder.Language.mem_completeTheory
|
[] |
[
793,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
792,
1
] |
Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
|
is_empty_fintype
|
[] |
[
939,
95
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
938,
1
] |
Mathlib/Data/List/Basic.lean
|
List.dropLast_append_of_ne_nil
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.198199\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nδ : Type x\nl₁ l₂ : List α✝\nα : Type u_1\nl : List α\nx✝ : l ≠ []\n⊢ dropLast ([] ++ l) = [] ++ dropLast l",
"tactic": "simp only [nil_append]"
},
{
"state_after": "case x_2\nι : Type ?u.198199\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nδ : Type x\nl₁ l₂ : List α✝\nα : Type u_1\nl : List α\na : α\nl' : List α\nh : l ≠ []\n⊢ l' ++ l = [] → False",
"state_before": "ι : Type ?u.198199\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nδ : Type x\nl₁ l₂ : List α✝\nα : Type u_1\nl : List α\na : α\nl' : List α\nh : l ≠ []\n⊢ dropLast (a :: l' ++ l) = a :: l' ++ dropLast l",
"tactic": "rw [cons_append, dropLast, dropLast_append_of_ne_nil l' h, cons_append]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case x_2\nι : Type ?u.198199\nα✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nδ : Type x\nl₁ l₂ : List α✝\nα : Type u_1\nl : List α\na : α\nl' : List α\nh : l ≠ []\n⊢ l' ++ l = [] → False",
"tactic": "simp [h]"
}
] |
[
2093,
13
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2088,
1
] |
Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
|
Matrix.conjTranspose_rat_smul
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "l : Type ?u.1036039\nm : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type ?u.1036048\nm' : o → Type ?u.1036053\nn' : o → Type ?u.1036058\nR : Type ?u.1036061\nS : Type ?u.1036064\nα : Type v\nβ : Type w\nγ : Type ?u.1036071\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : StarAddMonoid α\ninst✝ : Module ℚ α\nc : ℚ\nM : Matrix m n α\n⊢ ∀ (i : n) (j : m), (c • M)ᴴ i j = (c • Mᴴ) i j",
"tactic": "simp"
}
] |
[
2236,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2234,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Basic.lean
|
MvPolynomial.eval₂Hom_zero_apply
|
[] |
[
1491,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1489,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
|
Filter.tendsto_inf
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nδ : Type ?u.313910\nι : Sort x\nf : α → β\nx : Filter α\ny₁ y₂ : Filter β\n⊢ Tendsto f x (y₁ ⊓ y₂) ↔ Tendsto f x y₁ ∧ Tendsto f x y₂",
"tactic": "simp only [Tendsto, le_inf_iff, iff_self_iff]"
}
] |
[
2986,
48
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2984,
1
] |
Mathlib/Data/List/Sigma.lean
|
List.mem_dlookup_kunion_middle
|
[] |
[
793,
101
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
788,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Subsemigroup/Operations.lean
|
MulHom.map_srange
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "M : Type u_3\nN : Type u_1\nP : Type u_2\nσ : Type ?u.60762\ninst✝² : Mul M\ninst✝¹ : Mul N\ninst✝ : Mul P\nS : Subsemigroup M\ng : N →ₙ* P\nf : M →ₙ* N\n⊢ map g (srange f) = srange (comp g f)",
"tactic": "simpa only [srange_eq_map] using (⊤ : Subsemigroup M).map_map g f"
}
] |
[
778,
68
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
777,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
|
Set.one_mem_one
|
[] |
[
108,
12
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
107,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
|
Complex.tendsto_exp_comap_re_atTop
|
[] |
[
455,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
454,
1
] |
Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
|
IsLowerSet.preimage
|
[] |
[
250,
60
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
249,
1
] |
Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
|
Mathlib.Tactic.Ring.smul_nat
|
[
{
"state_after": "u : Lean.Level\nR : Type ?u.195256\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na b : ℕ\n⊢ a • b = a * b",
"state_before": "u : Lean.Level\nR : Type ?u.195256\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na b c : ℕ\nx✝ : a * b = c\n⊢ a • b = c",
"tactic": "subst_vars"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "u : Lean.Level\nR : Type ?u.195256\nα : Q(Type u)\nsα : Q(CommSemiring «$α»)\ninst✝ : CommSemiring R\na b : ℕ\n⊢ a • b = a * b",
"tactic": "simp"
}
] |
[
505,
74
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
505,
1
] |
Mathlib/Order/Circular.lean
|
btw_iff_not_sbtw
|
[] |
[
324,
34
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
323,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/ZeroObjects.lean
|
CategoryTheory.Limits.inr_pushoutZeroZeroIso_hom
|
[
{
"state_after": "C : Type u_2\ninst✝³ : Category C\ninst✝² : HasZeroObject C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\ninst✝ : HasBinaryCoproduct X Y\n⊢ pushout.inr ≫\n (colimit.isoColimitCocone\n { cocone := PushoutCocone.mk coprod.inl coprod.inr (_ : 0 ≫ coprod.inl = 0 ≫ coprod.inr),\n isColimit :=\n isPushoutOfIsInitialIsCoproduct coprod.inl coprod.inr 0 0 HasZeroObject.zeroIsInitial\n (coprodIsCoprod X Y) }).hom =\n coprod.inr",
"state_before": "C : Type u_2\ninst✝³ : Category C\ninst✝² : HasZeroObject C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\ninst✝ : HasBinaryCoproduct X Y\n⊢ pushout.inr ≫ (pushoutZeroZeroIso X Y).hom = coprod.inr",
"tactic": "dsimp [pushoutZeroZeroIso]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u_2\ninst✝³ : Category C\ninst✝² : HasZeroObject C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\ninst✝ : HasBinaryCoproduct X Y\n⊢ pushout.inr ≫\n (colimit.isoColimitCocone\n { cocone := PushoutCocone.mk coprod.inl coprod.inr (_ : 0 ≫ coprod.inl = 0 ≫ coprod.inr),\n isColimit :=\n isPushoutOfIsInitialIsCoproduct coprod.inl coprod.inr 0 0 HasZeroObject.zeroIsInitial\n (coprodIsCoprod X Y) }).hom =\n coprod.inr",
"tactic": "simp"
}
] |
[
220,
7
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
217,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Pi.lean
|
Function.one_le_const
|
[] |
[
139,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
138,
1
] |
Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
|
Submodule.eq_top_iff'
|
[] |
[
179,
58
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
178,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/LocallyFinite.lean
|
Finset.uIcc_comm
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.174713\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c x a b : α\n⊢ [[a, b]] = [[b, a]]",
"tactic": "rw [uIcc, uIcc, inf_comm, sup_comm]"
}
] |
[
891,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
890,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
|
exists_one_lt_mul_of_lt
|
[
{
"state_after": "case intro\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyOrderedMonoid α\na b c✝ d : α\nh : a < b\nc : α\nhc : b = a * c\n⊢ ∃ c x, a * c = b",
"state_before": "α : Type u\ninst✝ : CanonicallyOrderedMonoid α\na b c d : α\nh : a < b\n⊢ ∃ c x, a * c = b",
"tactic": "obtain ⟨c, hc⟩ := le_iff_exists_mul.1 h.le"
},
{
"state_after": "case intro\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyOrderedMonoid α\na b c✝ d : α\nh : a < b\nc : α\nhc : b = a * c\n⊢ c ≠ 1",
"state_before": "case intro\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyOrderedMonoid α\na b c✝ d : α\nh : a < b\nc : α\nhc : b = a * c\n⊢ ∃ c x, a * c = b",
"tactic": "refine' ⟨c, one_lt_iff_ne_one.2 _, hc.symm⟩"
},
{
"state_after": "case intro\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyOrderedMonoid α\na b c d : α\nh : a < b\nhc : b = a * 1\n⊢ False",
"state_before": "case intro\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyOrderedMonoid α\na b c✝ d : α\nh : a < b\nc : α\nhc : b = a * c\n⊢ c ≠ 1",
"tactic": "rintro rfl"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyOrderedMonoid α\na b c d : α\nh : a < b\nhc : b = a * 1\n⊢ False",
"tactic": "simp [hc, lt_irrefl] at h"
}
] |
[
267,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
263,
1
] |
Mathlib/Algebra/Periodic.lean
|
Function.Periodic.comp
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf g✝ : α → β\nc c₁ c₂ x : α\ninst✝ : Add α\nh : Periodic f c\ng : β → γ\n⊢ Periodic (g ∘ f) c",
"tactic": "simp_all"
}
] |
[
61,
11
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
60,
11
] |
Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
|
isOrderRightAdjoint_csSup
|
[] |
[
57,
97
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
55,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
|
mem_comp_comp
|
[
{
"state_after": "case mk\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y : β\n⊢ (x, y) ∈ V ○ M ○ W ↔ Set.Nonempty (ball (x, y).fst V ×ˢ ball (x, y).snd W ∩ M)",
"state_before": "α : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\np : β × β\n⊢ p ∈ V ○ M ○ W ↔ Set.Nonempty (ball p.fst V ×ˢ ball p.snd W ∩ M)",
"tactic": "cases' p with x y"
},
{
"state_after": "case mk.mp\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y : β\n⊢ (x, y) ∈ V ○ M ○ W → Set.Nonempty (ball (x, y).fst V ×ˢ ball (x, y).snd W ∩ M)\n\ncase mk.mpr\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y : β\n⊢ Set.Nonempty (ball (x, y).fst V ×ˢ ball (x, y).snd W ∩ M) → (x, y) ∈ V ○ M ○ W",
"state_before": "case mk\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y : β\n⊢ (x, y) ∈ V ○ M ○ W ↔ Set.Nonempty (ball (x, y).fst V ×ˢ ball (x, y).snd W ∩ M)",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case mk.mp.intro.intro.intro.intro\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y z : β\nhzy : (z, (x, y).snd) ∈ W\nw : β\nhpw : (((x, y).fst, z).fst, w) ∈ V\nhwz : (w, ((x, y).fst, z).snd) ∈ M\n⊢ Set.Nonempty (ball (x, y).fst V ×ˢ ball (x, y).snd W ∩ M)",
"state_before": "case mk.mp\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y : β\n⊢ (x, y) ∈ V ○ M ○ W → Set.Nonempty (ball (x, y).fst V ×ˢ ball (x, y).snd W ∩ M)",
"tactic": "rintro ⟨z, ⟨w, hpw, hwz⟩, hzy⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mk.mp.intro.intro.intro.intro\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y z : β\nhzy : (z, (x, y).snd) ∈ W\nw : β\nhpw : (((x, y).fst, z).fst, w) ∈ V\nhwz : (w, ((x, y).fst, z).snd) ∈ M\n⊢ Set.Nonempty (ball (x, y).fst V ×ˢ ball (x, y).snd W ∩ M)",
"tactic": "exact ⟨(w, z), ⟨hpw, by rwa [mem_ball_symmetry hW']⟩, hwz⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y z : β\nhzy : (z, (x, y).snd) ∈ W\nw : β\nhpw : (((x, y).fst, z).fst, w) ∈ V\nhwz : (w, ((x, y).fst, z).snd) ∈ M\n⊢ (w, z).snd ∈ ball (x, y).snd W",
"tactic": "rwa [mem_ball_symmetry hW']"
},
{
"state_after": "case mk.mpr.intro.mk.intro.intro\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y w z : β\nhwz : (w, z) ∈ M\nw_in : (w, z).fst ∈ ball (x, y).fst V\nz_in : (w, z).snd ∈ ball (x, y).snd W\n⊢ (x, y) ∈ V ○ M ○ W",
"state_before": "case mk.mpr\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y : β\n⊢ Set.Nonempty (ball (x, y).fst V ×ˢ ball (x, y).snd W ∩ M) → (x, y) ∈ V ○ M ○ W",
"tactic": "rintro ⟨⟨w, z⟩, ⟨w_in, z_in⟩, hwz⟩"
},
{
"state_after": "case mk.mpr.intro.mk.intro.intro\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y w z : β\nhwz : (w, z) ∈ M\nw_in : (w, z).fst ∈ ball (x, y).fst V\nz_in : (x, y).snd ∈ ball (w, z).snd W\n⊢ (x, y) ∈ V ○ M ○ W",
"state_before": "case mk.mpr.intro.mk.intro.intro\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y w z : β\nhwz : (w, z) ∈ M\nw_in : (w, z).fst ∈ ball (x, y).fst V\nz_in : (w, z).snd ∈ ball (x, y).snd W\n⊢ (x, y) ∈ V ○ M ○ W",
"tactic": "rw [mem_ball_symmetry hW'] at z_in"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mk.mpr.intro.mk.intro.intro\nα : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.56107\ninst✝ : UniformSpace α\nV W M : Set (β × β)\nhW' : SymmetricRel W\nx y w z : β\nhwz : (w, z) ∈ M\nw_in : (w, z).fst ∈ ball (x, y).fst V\nz_in : (x, y).snd ∈ ball (w, z).snd W\n⊢ (x, y) ∈ V ○ M ○ W",
"tactic": "exact ⟨z, ⟨w, w_in, hwz⟩, z_in⟩"
}
] |
[
682,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
674,
1
] |
Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
|
Filter.bliminf_congr'
|
[] |
[
724,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
722,
1
] |
Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
|
Hyperreal.isSt_ofSeq_iff_tendsto
|
[] |
[
257,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
254,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
|
CategoryTheory.CommSq.HasLift.mk'
|
[] |
[
199,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
198,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Order/Basic.lean
|
Nat.bit_le
|
[] |
[
697,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
695,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/EraseLead.lean
|
Polynomial.eraseLead_X
|
[] |
[
145,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
144,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
|
Ideal.Filtration.inf_submodule
|
[
{
"state_after": "case h\nR M : Type u\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nF F' : Filtration I M\nh : Stable F\nx✝ : PolynomialModule R M\n⊢ x✝ ∈ Filtration.submodule (F ⊓ F') ↔ x✝ ∈ Filtration.submodule F ⊓ Filtration.submodule F'",
"state_before": "R M : Type u\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nF F' : Filtration I M\nh : Stable F\n⊢ Filtration.submodule (F ⊓ F') = Filtration.submodule F ⊓ Filtration.submodule F'",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nR M : Type u\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nI : Ideal R\nF F' : Filtration I M\nh : Stable F\nx✝ : PolynomialModule R M\n⊢ x✝ ∈ Filtration.submodule (F ⊓ F') ↔ x✝ ∈ Filtration.submodule F ⊓ Filtration.submodule F'",
"tactic": "exact forall_and"
}
] |
[
287,
19
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
285,
1
] |
Subsets and Splits
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