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时间复杂性 | 常見的非合次線性時間演算法都採用了諸如平行處理（就像 NC1 matrix 行列式計算那樣）、非古典處理（如同葛羅佛搜尋那樣），又或者選擇性地對有保證的輸入結構作出假設（如冪對數時間的二分搜尋）。不過，一些情況，例如在頭 log (n) 位元中每個字串有一個位元作為索引的字串組就可能依賴於輸入的每個位元，但又符合次線性時間的條件。
「次線性時間演算法」通常指那些不符合前一段的描述的演算法。它們通常執行於傳統電腦架構系列並且不容許任何對輸入的事先假設。但是它們可以是隨機化演算法，而且必須是真隨機演算法除了特殊情況。
## 線性時間
如果一個演算法的時間複雜度為 O (_n_)，則稱這個演算法具有線性時間，或 **O(_n_)**... | [
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时间复杂性 | 在機器模型可變的情況下，P 在確定性機器上是最小的時間複雜度類別。例如，將單帶圖靈機換成多帶圖靈機可以使演算法執行速度以二次階提升，但所有具有多項式時間的演算法依然會以多項式時間執行。一種特定的抽象機器會有自己特定的複雜度類別分類。
## 超越多項式時間
如果一個演算法的時間 _T_(_n_) 沒有任何多項式上界，則稱這個演算法具有**超越多項式**（superpolynomial）時間。在這種情況下，對於所有常數 _c_ 我們都有 _T_(_n_) = ω(_n_c)，其中 _n_ 是輸入參數，通常是輸入的數據量（位元數）。指數時間顯然屬於超越多項式時間，但是有些演算法僅僅是很弱的超越多項式演算法。例如，Adleman-Pom... | [
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时间复杂性 | 一些作者將次指數時間定義為 2o(_n_) 的運算時間。該定義允許比次指數時間的第一個定義更多的運算時間。這種次指數時間演算法的一個例子，是用於整數因式分解的最著名古典演算法 —— 普通數域篩選法，其運算時間約為 $2^{{\tilde {O}}(n^{1/3})}$ ，其中輸入的長度為 _n_。另一個例子是圖形同構問題的最著名演算法，其運算時間為 $2^{O({\sqrt {n\log n}})}$ 。
## 指數時間
若 _T_(_n_) 是以 2poly(_n_) 為上界，其中 poly (_n_) 是 _n_ 的多項式，則演算法被稱為**指數時間**。更正規的講法是：若 _T_(_n_) 對某些常數 _k_ 是由 O (... | [
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費米-狄拉克統計法 | **費米 - 狄拉克統計**（英語：**Fermi–Dirac statistics**），簡稱**費米統計**或 **FD 統計**，是統計力學中描述由大量滿足包立不相容原理的費米子組成的系統中粒子分處不同量子態的統計規律。該統計規律的命名源於恩里科・費米和保羅・狄拉克，他們分別獨立地發現了該統計律。不過費米在數據定義比狄拉克稍早。
費米–狄拉克統計的適用對象是熱平衡的費米子 (自旋量子數為半奇數的粒子)。此外，應用此統計規律的前提是系統中各粒子間交互作用可忽略不計。如此便可用粒子在不同定態的分布狀況來描述大量微觀粒子組成的宏觀系統。不同的粒子分處不同能態，這點對系統許多性質會產生影響。自旋量子數為 1/2 的電子是費米–狄拉克... | [
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費米-狄拉克統計法 | 1926 年發現費米–狄拉克統計之前，要理解電子的某些性質尚較為困難。例如，在常溫下，未施加電流的金屬內部的熱容比施加電流的金屬少了大約 100 倍。此外，在常溫下給金屬施加一強電場，將造成場致電子發射（Field electron emission）現象，從而產生電流流經金屬。研究發現，這個電流與溫度幾乎無關。當時的理論難以解釋這個現象。
當時，由於人們主要根據的是古典靜電學理論，因此在諸如金屬電子理論等方面遇到的困難，無法得到令人滿意的解答。他們認為，金屬中所有電子都是等效的。也就是說，金屬中的每個電子都以相同的程度對金屬的熱量做出貢獻（這個量是波爾茲曼常數的一次項）。上述問題一直困擾著科學家，直到費米–狄拉克統計的發現，才得... | [
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費米-狄拉克統計法 | 要應用費米–狄拉克統計，系統必須滿足一定的條件：系統的費米子數量必須足夠大，以至於再加入一個費米子所引起化學勢 $\mu \ $ 的變化可以忽略不計。由於費米–狄拉克統計的推導過程中利用了包立不相容原理，即單個量子態上最多能有一個粒子，這樣的結果就是某個量子態上的平均量子數滿足 $0<{\bar {n}}_{i}<1$ 。
* 費米–狄拉克分布
* *
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### 粒子的能量分布
前面的章節敘述了給定費米子系統在不同量子態上的分布，一個量子態上最多只能具有一個費米子。利用費米–狄拉克統計，還可以獲得費米子系統不同能量值上的分布情況，這與分析量子態的原理略有不同，因為可能出現多個定態具有同一能量值... | [
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費米-狄拉克統計法 | : ${\bar {\mathcal {N}}}(\epsilon )={\frac {g(\epsilon )}{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}}$
## 量子範疇和古典範疇
如果古典範疇中涉及的位移、動量之間的關係還遠未達到不確定性原理所設定的極限，通常可以採用馬克士威 - 波茲曼統計來代替費米–狄拉克統計，這樣做可以簡化數學計算的難度。如果粒子平均間距 ${\bar {R}}$ 遠大於粒子的平均物質波波長 ${\bar {\lambda }}$ ，就可以採用上述古典範疇的處理方式。
: ${\bar {R}}\ \gg \ {\bar {\lambda }}\ \approx \ {\frac ... | [
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玻色－爱因斯坦统计 | **玻色 - 愛因斯坦統計**是玻色子所依從的統計規律。
根據量子力學，玻色子是自旋為整數的粒子，其本徵波函數對稱，在玻色子的某一個能階上，可以容納無限個粒子。因而符合玻色 - 愛因斯坦統計分布的粒子，當他們處於某一分布 $\left\{n_{j}\right\}$ （「某一分布」指這樣一種狀態：即在能量為 $\left\{\epsilon _{j}\right\}$ 的能階上同時有 $n_{j}$ 個粒子存在著，不難想像，當宏觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的機率特別的大，而其中出現機率最大的分布狀態被稱為最可幾分布）時，體系總狀態數為：
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玻色－爱因斯坦统计 | * 玻色 - 愛因斯坦凝聚
* 玻色氣體
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波茲-愛因斯坦統計 | **玻色 - 愛因斯坦統計**是玻色子所依從的統計規律。
根據量子力學，玻色子是自旋為整數的粒子，其本徵波函數對稱，在玻色子的某一個能階上，可以容納無限個粒子。因而符合玻色 - 愛因斯坦統計分布的粒子，當他們處於某一分布 $\left\{n_{j}\right\}$ （「某一分布」指這樣一種狀態：即在能量為 $\left\{\epsilon _{j}\right\}$ 的能階上同時有 $n_{j}$ 個粒子存在著，不難想像，當宏觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的機率特別的大，而其中出現機率最大的分布狀態被稱為最可幾分布）時，體系總狀態數為：
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波茲-愛因斯坦統計 | * 玻色 - 愛因斯坦凝聚
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顯微鏡 | **顯微鏡**泛指將微小不可見或難見物品之影像放大，而能被肉眼或其他成像儀器觀察之工具。日常用語中之顯微鏡多指光學顯微鏡，放大倍率和清析度（聚焦）為顯微鏡重要因素。
顯微鏡是在 1590 年由荷蘭的查哈里亞斯・楊森及其子所首創。顯微鏡的類型有許多。最常見的（和第一個被發明的）是光學顯微鏡，其他主要的顯微鏡類型包括電子顯微鏡、掃描探針顯微鏡等。
## 發明
最早的顯微鏡是 16 世紀在荷蘭製造出來，發明者是亞斯・詹森，荷蘭眼鏡商。同時另一位荷蘭科學家漢斯・利珀希也製造了顯微鏡。後來有兩個人開始在科學上使用顯微鏡，第一個是義大利科學家伽利略。他在 1611 年通過顯微鏡觀察到一種昆蟲後，第一次對它的複眼進行了描述。第二個是荷蘭亞麻... | [
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顯微鏡 | 利用透鏡放大物像送到眼睛或成像儀器，解析度大約為一微米，可以看到細胞大小的物品。一般來說顯微鏡大都是指光學顯微鏡，光學顯微鏡依設計的不同，又可分為正立顯微鏡、倒立顯微鏡（又稱**倒置顯微鏡**）和解剖顯微鏡（又稱**實體顯微鏡**或**立體顯微鏡**）；又有偏光顯微鏡：又稱為岩石顯微鏡、礦物顯微鏡或金屬顯微鏡，用以觀察岩石、礦物及金屬表面，是利用光的不同性質（偏光）而做成的；相襯顯微鏡：觀察變形蟲、草履蟲等透明生物時，所使用的顯微鏡。它的特殊裝置可以將光透過生物體所產生的偏差，改變為明暗不同；又結合光學顯微鏡並利用雷射光作為光源，以達到特殊觀察需求的有共聚焦顯微鏡（又譯作共軛焦顯微鏡）。
### 電子顯微鏡
在 20 世紀初的一... | [
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顯微鏡 | STM 用來看金屬表面，它是利用量子物理的穿隧效應。古典物理認為，物質不能穿過位壘，但量子物理告訴我們：物質有機會穿過位壘，而他穿過位壘的機率和位壘的寬度有關。利用一通電的針狀物體，靠近金屬表面，則電場使電子附近的位能出現位壘形式，此時就有機會觀測到跑出金屬表面的電子，再利用穿過位壘的機率和位壘的寬度有關的特性，就可以推出針到金屬表面的距離，因此可 "看" 到金屬表面。
#### 原子力顯微鏡
原子力顯微鏡（Atomic Force Microscope，簡稱 AFM）用來探測樣本表面與探針交互作用力，推出探針到樣本表面的距離，因此可「看」到非金屬或金屬表面。
## 顯微鏡展示框
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单位阵 | 在線性代數中， $n$ 階**單位矩陣**，是一個 $n\times n$ 的方形矩陣，其主對角線元素為 1，其餘元素為 0。單位矩陣以 $I_{n}$ 表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為 $I$ （或者 $E$ ）。（在部分領域中，如量子力學，單位矩陣是以粗體字的 **1** 表示，否則無法與 $I$ 作區別。）
: $I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ ... | [
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群的表示 | 在群論中，**群表示論**（英語：Group representation theory）是一個非常重要的理論。它包含了（局部）緊緻群、李群、李代數及群概形的表示等種種分支，近來無限維表示理論也漸露頭角。表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用。
## 基本定義
表示理論早期是藉矩陣的語言描述的，具體定義如下：
* 如果任何非零方陣的集合的乘法關係和給定群的乘法關係相同，則這個矩陣集合形成群的一個**表示**，這套矩陣的階稱為表示的**維數**。
* 如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是**等價**的。
* 如果任何維數大於一的表示的所有矩陣都可以用相同的相似變換轉換為相同的塊對角矩陣結構，則稱此... | [
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群的表示 | 它等價於有限維 $F[G]$ - 模所構成的範疇。不難驗證表示間的同構確由矩陣的相似變換給出。一個表示被稱作**不可約**的，若且唯若它沒有在 $G$ 的作用下不變的非平凡子空間。若一個表示能表成不可約表示的直和，則稱之為**完全可約**的。若取 $F=\mathbb {C} $ ，則緊緻群的表示均為完全可約的，對於一般的李群及群概形則複雜得多，完全可約與否通常與半單性有關。
## 特徵標
給定 $G$ 的一個表示，可以得到一個**特徵標** $\chi :G\rightarrow F$ ，它是個類函數。特徵標理論在有限群分類中佔關鍵地位；在緊緻群上，特徵標滿足舒爾正交關係，又根據**彼得 - 外爾定理**，不可約表現的特徵標相... | [
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群的表示 | 弗羅貝尼烏斯互反定理言明：若 $V,W$ 分別為 $G,H$ 的表示，則有自然的同構 $\mathrm {Hom} _{H}(W,\mathrm {Res} _{H}^{G}(V))=\mathrm {Hom} _{G}(\mathrm {Ind} _{H}^{G}(W),V)$ 。換言之： $(\mathrm {Ind} _{H}^{G},\mathrm {Res} _{H}^{G})$ 為一對伴隨函子。
若以特徵標表之，上述同構化為一個較弱但較具體的等式： $(\chi _{\mathrm {Ind} _{H}^{G}(W)},\chi _{V})=(\chi _{W},\chi _{\mathrm {Res} _{H}^{G... | [
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群的表示 | * V.S. Varadarajan, _An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Groups_ (1989), Cambridge University Press. ISBN 0-521-34156-6 | [
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全像 | **全像攝影**（英語：Holography），又稱**全像投影、全像 3D**，是一種記錄被攝物體反射（或透射）光波中全部訊息（振幅、相位）的照相技術，而物體反射或者透射的光線可以透過記錄膠片完全重建，彷彿物體就在那裡一樣。透過不同的方位和角度觀察相片，可以看到被拍攝的物體的不同的角度，因此記錄得到的像可以使人產生立體視覺。
## 全像術歷史與概述
1947 年，英國匈牙利裔物理學家丹尼斯・蓋伯發明了全像術，他因此項工作獲得了 1971 年的諾貝爾物理學獎。其它的一些科學家在此之前也曾做過一些研究工作，解決了一些技術上的問題。全像術的發明是蓋伯在英國 BTH 公司研究增強電子顯微鏡效能手段時的偶然發現，而這項技術由該公司在 1... | [
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全像 | 促使全像術在短短的一段時間內就蓬勃發展的關鍵原因是低成本的固體雷射器的大規模生產，如 DVD 播放機和其他的一些常用裝置中所使用的雷射器。這些雷射器對全像術的發展也產生了極大的促進作用。這些廉價的體積又很小的固體雷射器可以在某些條件下與最初用於全像術的那些大型的昂貴的氣體雷射器相媲美，因此使得預算較低的研究者、藝術家甚至業餘愛好者都可以參與到全像術的研究中來。
## 全像術理論
儘管全像術經常被稱為三維攝影，這是一個不正確的說法。一個更好地類比是在錄音的過程中通過將聲場編碼，使得隨後可以將其重現。在全像術中，一個物體或者一組物體散射的光線會照射到記錄媒介上，此時，第二束被稱為參考光的光線也照射在記錄媒介上，這樣，兩束光發生了干涉... | [
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全像 | 在全像術重構過程中，為了回放膠片中拍攝的內容，需要重新提供參考光線，將它照射在沖洗出來的膠片上，也就是我們所說的窗口中。這使得在攝影過程中捕捉的穿過窗口的光線相位和他們當初離開物體照在膠片上的時候的相位完全一致的重現。實際上，如示意圖所示，現在可以通過窗口觀察到其後的物體了。
丹尼斯・蓋伯的發明的原理並不像頻閃燈那樣簡單。為了進一步的理解全像術的理論，我們需要理解光波的干涉和繞射。對於那些不熟悉這些概念的人，在閱讀本節以下部分之前可以通過閱讀那些專門介紹的文章來學習這些概念。
### 干涉與繞射
在一個或者多個波前疊加的時候會出現干涉現象。而在一個波前接觸到一個物體的時候就會產生繞射。全像術重建的過程在下面完全是用干涉和折射進... | [
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全像 | 照相底片沖洗以後會顯示出複雜的干涉圖樣，這個圖樣可以被認為是有不同間隔的繞射圖案的疊加。當沖洗後的膠片單單被參考光照明的時候，膠片上的圖案可以看作是一個光柵，這個光柵會根據光柵刻線的間距將光線繞射至不同的角度。可以證明，這個效果的淨效應是重建了物體（點光源）發出的光線。由於從膠片發出的光線與點光源所發射出來的光線一模一樣，觀察者可以看到光線是從膠片後面的一個點發射出來的，儘管這個物體其實並不存在。
這張全像術的相片可以產生凹透鏡的效果，因為它使平面波前轉變為發散的波前。它也可以增加照射在其上的任何波前的分散性，就和普通的透鏡一樣。它的焦距就是點光源與膠片的間距。
#### 複雜物體的情況
為了記錄複雜物體的全像術，首先要將一束... | [
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全像 | 其中 $k$ 是常數。沖印出來的膠片在使用參考光照射的時候，透過膠片的光波可以用 **U**H 表示：
$U_{H}=TU_{R}=k[U_{O}U_{R}^{*}+|U_{R}|^{2}+|U_{O}|^{2}+U_{O}^{*}U_{R}]U_{R}=k[U_{O}|U_{R}|^{2}+|U_{R}|^{2}U_{R}+|U_{O}|^{2}U_{R}+U_{O}^{*}U_{R}^{2}]$ 。
可以看出 **U**H 中包含四項，第一項正比於 **U**O，可以用來重建物體發射出來的光。第二項代表了參考光，其幅度變成了 **U**R2。第三項同樣代表了參考光，其幅度為 **U**O2，這個修改可以引起參考光線在其中心... | [
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全像 | 當一個人觀察的時候，每隻眼睛都捕捉到物體散射的光線的一部分，而人眼中的晶狀體可以作為透鏡將物體在視網膜上成像，而從不同角度上射出的光線都在相平面的不同角位上成像。由於全像術系統可以將射在膠片上的光場完整的重構出來，觀察者看到的光場和物體散射出來的光場完全一致，換句話說，觀察者無法區分看到的是真實的物體散射的光線，還是僅僅是一個虛像。如果觀察者移動，它看到的物體看起來也在移動，使用者仍然無法區分他看到的是究竟是原始的光場還是重構出來的光場。如果場景中有若干個物體，使用者者還可以觀察到視差現象。如果觀察者用兩隻眼睛同時觀察，就可以產生立體視覺，也就是在觀察全像術相片的時候得到深度的資訊，這和他在觀察真實的場景的時候感受到立體視覺的原理是... | [
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全像 | 另外，用於記錄全像攝影的干涉條紋的媒介必須擁有足夠的解析度，以使干涉條紋可以分辨出來。下面列出了一些通常使用的記錄媒介。干涉條紋的距離和物體與參考光之間的角度有關。例如，如果這個角度是 45°，光波的波長為 0.5 微米，那麼條紋的間距大約是 0.7 微米，也就是 1400 線 / 毫米。當然即使無法解析出所有的條紋仍然可以看到全像攝影的拍攝結果，只是圖像的解析度會隨著記錄媒介解析度的下降而下降。
在拍攝全像相片的時候，機械穩定性也是非常重要的。物體和參考光的震動甚至是空氣的運動都會產生相對的相位變化，這會使得記錄媒介上的條紋發生移動。如果相位變化超過 π，就會導致干涉圖樣平均起來消失了，也就無法得到全像記錄的結果。通常的記錄時間... | [
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全像 | ## 全像攝影記錄媒介
根據上面的討論，記錄全像影像的媒介需要有能力解析出干涉條紋。媒介也必須足夠敏感，以能夠在儘量短的時間內完成拍攝，使得系統儘可能的保持其光學穩定性。光學穩定性是指兩束光之間的相對位移需要遠小於 λ/2。使用大功率脈衝雷射器可以在幾奈秒的時間內在特定的材料上記錄下全像圖樣。
記錄媒介需要將干涉圖樣轉換成能夠改射在其上的光線的幅度或者相位的光學元素，這被稱為幅度全像和相位全像。在幅度全像相片中，相片上不同位置對光線的吸收率不同，這是由於在沖洗出來的相片中，膠片上的感光乳劑根據照射其上的光強度不同剩餘的數量也不相同。在相位全像相片中，材料的光學距離（折射率或者厚度）隨著光強的變化而發生變化。
大多數用於相位全像... | [
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全像 | 全像相片製作成功以後可以對它進行複製，複製可以採用於全像攝影類似的光學方法，或者通過壓印來製作表面浮雕全像相片。表面浮雕全像相片使用光阻材料或者光致熱敏材料進行記錄，而且可以以較低的成本進行大規模的複製生產。現在，這種壓印的全像圖像已經得到了廣泛的應用，如信用卡或合格產品上印刷的安全資訊。加拿大皇家造幣廠甚至還通過複雜的沖印工藝在金幣和銀幣上製造全像圖像。1984 年，國家地理雜誌出版了第一本封面印有全像圖案的雜誌。
壓印工藝的第一步是通過電子沉積法在記錄了全像圖像的光阻材料或者光致熱敏材料上鍍上鎳，以製造壓模。當鎳層達到了要求的厚度，就將它與全像相片分離，隨後裝在金屬背板上。用於複製全像相片的材料包括聚酯薄膜、樹脂分離層、以及用... | [
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全像 | 大多數的全像資料儲存模型都採用了基於頁的儲存方式，每一記錄的全像圖像都包含有大量地資訊。最近的研究計劃使用亞微米的微型全像圖像來實現可能的三維光儲存解決方案。儘管這種資料儲存方式無法達到基於頁的資料儲存的高資料率，這種方案的生產成本更低，技術障礙也更小。
### 安全領域
由於複製全像圖像需要價格昂貴的專門先進裝置，安全全像圖像非常難以偽造。許多貨幣都使用了全像防偽圖像，如巴西 20 雷亞爾鈔票、英國的 5/10/20 英鎊鈔票、愛沙尼亞 25/50/100/500 克朗鈔票、加拿大的 5/10/20/50/100 元的鈔票、5/10/20/50/100/200/500 歐元鈔票、韓國 5000/10000/50000 韓元鈔票... | [
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全像 | 目前還有一群人數雖然較少但仍很活躍的藝術家仍然在使用全像攝影作為他們的主要載體，更多的藝術家將全像攝影的元素整合到了他們的作品中。有一些人採用了創新的全像攝影技術，例如藝術家馬特・布蘭德使用電腦鏡面設計來消除鏡面全像攝影的像失真。
麻省理工學院博物館和喬納森・羅斯都收藏了大量的全像攝影作品，同時也提供了線上作品目錄。
### 業餘愛好
自從全像攝影發明以來，許多人都探索了全像攝影的可能應用。1971 年，勞埃德・克羅斯開辦了舊金山全像攝影學校，進行對入門者使用便宜的裝置進行全像攝影的方法。這種方法需要使用一大桌子的深沙來固定光學器件，減弱可能毀壞圖像的振動。
許多全像攝影家都在製作全像攝影藝術作品。1983 年，弗雷德・安特... | [
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全像 | 全像圖像儲存了光場的幅度和相位資訊，有一些全像圖像儲存的資訊可以接近向各個方向輻射的光分布所包含的全部資訊。對這些全像圖像的數值分析可以仿真非常大的數值孔徑，因此能夠提高光學顯微鏡的解析度。相應的技術稱為干涉顯微技術。目前的干涉顯微技術可以達到 1/4 波長的解析度極限。
### 全像感測器
使用某種特定材料製成的全像攝影的膠片可以在與特定的分子發生反應的時候引起條紋週期性或者折射率的變化，因此，全像圖像反射光的顏色也將為此發生變化。
### 動態全像攝影術
在穩定的全像攝影中，記錄、沖洗和重建等步驟依次執行，而最終會產生永久的全像相片。
還有一種不需要進行沖洗的全像感光材料，它可以在很短的時間內記錄一張全像圖像。這樣，人... | [
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全像 | 全像聲學是一種能夠通過測量遠離聲源的一組壓力 / 粒子速度感測器來估計聲源附近的聲場的方法。全像聲學等測量技術在許多領域都越來越重要，特別是在運輸、運載工具和飛船的設計等領域。全像聲學的基本思想已經導致了不同種類的全像聲學，如近場全像聲學、統計最佳近場全像聲學。在聲學再現領域，波場合成是最相關的過程了。
**全像原子學**的進展已經超越了原子光學領域的基本要素的發展。在菲涅耳繞射透鏡和原子鏡的幫助下，全像原子學和原子束物理學的一起發展。最近的關於原子反射鏡，特別是脊反射鏡的進展為拍攝原子全像攝影圖像提供了重要工具。然而，到目前為止，原子全像攝影還沒有被商業化。
### 其它應用
在郵局、大型貨運公司以及自動化傳輸系統中使用了全... | [
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分子动力学 | **分子動力學**是一套分子模擬方法，該方法主要是依靠計算機來模擬分子、原子體系的運動，是一種多體模擬方法。通過對分子、原子在一定時間內運動狀態的模擬，從而以動態觀點考察系統隨時間演化的行為。通常，分子、原子的軌跡是通過數值求解牛頓運動方程式得到，位能（或其對笛卡爾坐標的一階偏導數，即力）通常可以由分子間交互作用位能函數、分子力學力場、全始計算給出。對於考慮分子本身的量子效應的體系，往往採用波包近似處理或採用量子力學的費恩曼路徑積分表述方式處理。
分子動力學也常常被採用作為研究複雜體系熱力學性質的採樣方法。在分子體系的不同狀態構成的系綜中抽取樣本，從而計算體系的構型積分，並以構型積分的結果為基礎進一步計算體系的熱力學量和其他宏觀性質... | [
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分子动力学 | : 在確定起始構型之後要賦予構成分子的各個原子速度，這一速度是根據波茲曼分布隨機生成的，由於速度的分布符合波茲曼統計，因此在這個階段，體系的溫度是恆定的。另外，在隨機生成各個原子的運動速度之後須進行調整，使得體系總體在各個方向上的動量之和為零，即保證體系沒有平動位移。
* 進入平衡相
: 由上一步確定的分子組建平衡相，在構建平衡相的時候會對構型、溫度等參數加以監控。
* 進入生產相
: 進入生產相之後體系中的分子和分子中的原子開始根據初始速度運動，可以想像其間會發生吸引、排斥乃至碰撞，這時就根據牛頓力學和預先給定的粒子間交互作用勢來對各個粒子的運動軌跡進行計算，在這個過程中，體系總能量不變，但分子內部位能和動能不斷相... | [
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分子动力学 | 在近年，多尺度模擬計算已經得到了很多學者的關注。在多尺度模擬計算中，分子動力學方法研究奈米級現象，蒙特・卡羅方法研究微觀形態，有限元方法應用於宏觀領域。通過多種尺度的多種模擬計算方法的聯合應用，令納觀與宏觀聯結起來。
## 參見
* 計算化學
* 分子模擬
* 量子化學
## 參考資料
## 外部連結
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分子力场 | **分子力場**根據量子力學的波恩 - 奧本海默近似，一個分子的能量可以近似看作構成分子的各個原子的空間坐標的函數，簡單地講就是分子的能量隨分子構型的變化而變化，而描述這種分子能量和分子結構之間關係的就是分子力場函數。分子力場函數為來自實驗結果的經驗公式，可以講對分子能量的模擬比較粗糙，但是相比於精確的量子力學從頭計算方法，分子力場方法的計算量要小數十倍，而且在適當的範圍內，分子力場方法的計算精度與量子化學計算相差無幾，因此對大分子複雜體系而言，分子力場方法是一套行之有效的方法。以分子力場為基礎的分子力學計算方法在分子動力學、蒙特卡羅方法、分子對接等分子模擬方法中有著廣泛的應用。
## 構成
一般而言，分子力場函數由以下幾個部分... | [
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分子力场 | * COMPASS 力場由 MSI 公司開發的力場，擅長進行高分子體系的計算
* MMFF94 力場 Hagler 開發的力場，是目前最準確的力場之一
* 通用力場
: 通用力場也叫基於規則的力場，它所應用的力場參數是基於原子性質計算所得，用戶可以通過自主設定一系列分子作為訓練集來生成合用的力場參數
* ESFF 力場 MSI 公司開發的力場，可以進行有機、無機分子的計算
* UFF 力場可以計算周期表上所有元素的參數
* Dreiding 力場適用於有機小分子、大分子、主族元素的計算
* 反應力場
* 是一種基於鍵級的分子力場，常用於分子動力學模擬
* 傳統力場因不能滿足斷裂和形成鍵的要求而不能模擬... | [
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統計類比方法 | **蒙地卡羅方法**（英語：Monte Carlo method），也稱**統計類比方法**，是 1940 年代中期由於科學技術的發展和電腦的發明，而提出的一種以機率統計理論為指導的數值計算方法。是指使用亂數（或更常見的偽亂數）來解決很多計算問題的方法。
20 世紀 40 年代，在科學家馮・紐曼、斯塔尼斯拉夫・烏拉姆和尼古拉斯・梅特羅波利斯於洛斯阿拉莫斯國家實驗室為核武器計劃工作時，發明了蒙地卡羅方法。因為烏拉姆的叔叔經常在摩納哥的蒙地卡羅賭場輸錢得名，而蒙地卡羅方法正是以機率為基礎的方法。
與它對應的是確定性演算法。
蒙地卡羅方法在金融工程學、總體經濟學、生物醫學、計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算）... | [
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統計類比方法 | 使用蒙地卡羅方法進行分子類比計算是按照以下步驟進行的：
1. 使用亂數生成器產生一個隨機的分子構型。
2. 對此分子構型的其中粒子坐標做無規則的改變，產生一個新的分子構型。
3. 計算新的分子構型的能量。
4. 比較新的分子構型與改變前的分子構型的能量變化，判斷是否接受該構型。
* 若新的分子構型能量低於原分子構型的能量，則接受新的構型，使用這個構型重複再做下一次迭代。
* 若新的分子構型能量高於原分子構型的能量，則計算玻爾茲曼因子，並產生一個亂數。
* 若這個亂數大於所計算出的玻爾茲曼因子，則放棄這個構型，重新計算。
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統計類比方法 | 蒙地卡羅方法可用於近似計算圓周率：讓電腦每次隨機生成兩個 0 到 1 之間的數，看以這兩個實數為橫縱坐標的點是否在單位圓內。生成一系列隨機點，統計單位圓內的點數與總點數，（圓面積和正方形面積之比為 PI:4，PI 為圓周率），當隨機點取得越多時，其結果越接近於圓周率（然而準確度仍有爭議：即使取 10 的 9 次方個隨機點時，其結果也僅在前 4 位元與圓周率吻合）。用蒙地卡羅方法近似計算圓周率的先天不足是：第一，電腦產生的亂數是受到儲存格式的限制的，是離散的，並不能產生連續的任意實數；上述做法將平面分割成一個個網格，在空間也不是連續的，由此計算出來的面積當然與圓或多或少有差距。
## 在機器學習中的應用
蒙地卡羅演算法也常用於機器... | [
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-0.15309140086... |
波函數 | : 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。
在量子力學裏，量子系統的量子態可以用**波函數**（英語：Wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。
波函數 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 是一種複值函數，表示粒子在位置 $\mathbf {r} $ 、時間 $t$ 的機率幅，它的絕對值平方 $|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}$ 是在位置 $\mathbf {r} $ 、時間 $t$ 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數 $\Psi (\... | [
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波函數 | 薛丁格給出的薛丁格方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛丁格嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926 年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛丁格本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛丁格永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛丁格清楚地表明了這意見。
1927 年，道格拉斯・哈特里與弗拉基米爾・福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程式來近似方程式的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的... | [
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波函數 | : $\int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1$ 。
### 動量空間波函數
在動量空間，粒子的波函數表示為 $\Phi (p,t)$ ；其中， $p$ 是一維動量，值域從 $-\infty $ 至 $+\infty $ 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 $p$ 在區間 $[a,b]$ （即 $a\leq p\leq b$ ）的機率為
: $P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p$ 。
動量空間波函數的歸一化條件也類似：
... | [
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波函數 | : $\Psi (x,\,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }$ ；
其中， $E$ 是分離常數，稍加推導可以論定 $E$ 就是能量， $\psi _{E}(x)$ 是對應於 $E$ 的本徵函數。
代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)$ 。
## 波函數的機率詮釋
波函數 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 是機率波。其模的平方 $\ver... | [
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波函數 | : $|\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle $ ；
其中， $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 分別為疊加態處於本徵態 $|a_{1}\rangle $ 、 $|a_{2}\rangle $ 的機率幅。
假設對這疊加態系統測量可觀察量 $A$ ，則測量獲得數值是 $a_{1}$ 或 $a_{2}$ 的機率分別為 $|c_{1}|^{2}$ 、 $|c_{2}|^{2}$ ，期望值為
: $\langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}$ 。
## 定態
在量子力學中，一類... | [
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波函數 | 其中， $\hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}$ 是能量本徵值， $n$ 是正整數， $m$ 是質量。
### 有限位勢壘
在 1D 情況下，粒子處於如下勢壘中：
: $V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}$
其波函數的定態解為 ( $k,\kappa $ 為常數)
: $\psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+A_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x<-a,\\B_{\mathrm {r} ... | [
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博學者 | **博學家**（**polymath**）或**通才**，是指精通多個不同範疇而且表現超群的人。
## 文藝復興人
**文藝復興人**（**Renaissance man**，或拉丁語、義大利語中的 **Homo universalis**、**Uomo Universale**），是「通才」的一個別稱，特別是在藝術、科學方面。這個詞語的產生是因為在文藝復興時出現了不少這類人，其中巴迪斯蒂・阿伯拉蒂（Leone Battista Alberti，1404－1472）、李奧納多・達・文西就是當中的佼佼者。不過，「文藝復興人」一詞並非專指文藝復興時期所產生的通才。在現代英語辭典，通才也指「對多方範疇感興趣，或對多方範疇有基本、片面知... | [
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-0.29999217... |
博學者 | * 顧毓琇 - 中華民國教育家、科學家、詩人、戲劇家、音樂家、禪學家。
* 梁啟超 - 中國清末民初時期政治家、思想家、史學家、文學家、法學家。
* 亞里斯多德 - 古希臘哲學家、政治家、經濟學家、文學家、天文學家、地理學家、氣象學、物理學等等，他研究了當時幾乎所有的學科。
## 參考文獻
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0.10075704008340836,
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0.1683868020772934,
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0.5797737836837769,
0.08075880259275436,
-0.274082809686660... |
博學者 | * Sher, Barbara. Refuse to Choose!: A Revolutionary Program for Doing Everything that You Love. [Emmaus, Pa.]: Rodale. 2007. ISBN 978-1594866265. 含有內容需登入查看的頁面 (link)
* Twigger, Robert, "Anyone can be a Polymath" We live in a one-track world, but anyone can become a polymath – Robert Twigger | Aeon Essays （頁面存檔備份，存於網際網... | [
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波尔兹曼 | **路德維希・愛德華・波茲曼**（德語：Ludwig Eduard Boltzmann；1844 年 2 月 20 日 —1906 年 9 月 5 日）是奧地利物理學家、哲學家。作為物理學家，他最偉大的功績是發展了通過原子性質（如原子量、電荷量、結構等）來解釋預測物質物理性質（如黏性、熱傳導、擴散等）的統計力學，並且從統計概念出發，完美闡釋了熱力學第二定律。
## 生平簡介
### 幼年及受教育經歷
波茲曼生於奧地利首都維也納。其父路德維希・格奧爾格・波茲曼是一名稅吏，而他的祖父是一個自柏林移居至維也納的鐘表製造商。他的母親卡特琳那・玻恩芬德（Katharina Pauernfeind）來自薩爾茨堡。他從他的家教那裡接受了基礎... | [
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波尔兹曼 | 1890 年，波茲曼受聘為慕尼黑大學的理論物理學教授。1893 年，他繼承他的導師約瑟夫・斯特凡成為維也納大學的理論物理學教授。
### 晚年
波茲曼晚年投入了大量精力來捍衛他的理論。他與他在維也納的同事交惡，特別是 1895 年成為哲學及科學史教授的恩斯特・馬赫。同是在 1895 年，格奧爾格・亥姆和威廉・奧斯特瓦爾德在呂貝克的一次學術會議上提出了「活力說」。他們認為能量，而非物質，是宇宙的主要組成。波茲曼及支持他原子理論的物理學家與之進行了曠日持久的爭論。1900 年，波茲曼受威廉・奧斯特瓦爾德之邀來到萊比錫大學在馬赫因為健康狀況欠佳而退休之後，1902 年，波茲曼回到了維也納。1903 年，他與古斯塔夫・馮・埃舍里希及埃米... | [
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波尔兹曼 | 而在世紀之交，波茲曼的科學工作受到一個新興思潮的威脅。一些物理學家，包括馬赫的學生，古斯塔夫・焦曼，認為赫茲的理論中的所有的電磁現象都是連續變化的，而所有的物理現象最終都可以還原為電磁現象。由於原子和分子的存在會破壞這種連續性，因而它們並不存在。這一思潮深深打擊了波茲曼，因為它可能意味著他的分子運動論及對熱力學第二定律統計意義解釋的終結。
而 1901 年，馬赫離職後， 波茲曼重返維也納，並決定自己從哲學意義上來解釋自己的物理學理論來應對對其的質疑，但不久又再次受挫。1904 年，在聖路易斯舉辦的一個物理學會議上，與會的大多數物理學家否定原子的存在。他沒有受邀參加物理學部分的討論，更在應用數學部分討論受阻。他認為對於科學家來說，去... | [
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波尔兹曼 | 其中 _k_ = 1.3806505(24) × 10−23 J |K−1，稱作波茲曼常數。 $W$ 是德語中機率（_Wahrscheinlichkeit_）的縮寫，，這裡，更準確地說，是系統的微觀狀態數。波茲曼的範式是有 _N_ 個分子的理想氣體，_N_i 是分子位置和動量的第 _i_ 個微觀狀態。 $W$ 可以用下面這個排列式計算：
: $W={\frac {N!}{\prod _{i}N_{i}!}}$
其中 _i_ 的範圍是分子所有可能的微觀狀態。 由於系統中相同狀態的相同粒子是不可區別的，因而對分母進行了「修正」。
波茲曼由於他在 1877 年暗示一個物理學系統的能階離散成為量子力學的先驅。
波茲曼熵公式被鐫刻... | [
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波尔兹曼 | 由波茲曼給出的表示碰撞的項是近似的。但波茲曼方程式對於理想氣體的恰普曼一恩斯科格定理解卻是高度嚴格的。只有在激波條件下，才有可能得到對於理想氣體的錯誤的解。波茲曼使用許多年試圖利用這個方程式證明 H 定理，進而驗證熱力學第二定律。這之中他做了一個假設 -- 碰撞的項是針對分子混沌的。然而這個假設破壞了時間反演對稱，暗示了第二定律的必然成立，所以最終他在與洛施密特以及其他基於洛施密特悖論的觀點的長期爭論中落敗。
到了 20 世紀 70 年代，E.G.D. 柯漢和 J.R. 多夫曼證明了波茲曼方程式對於高密度物質的系統擴展，在數學上是不可能的，因此最終對於稠密氣體及液體的非平衡態的統計力學研究焦點，已經轉移到格林 - 久保關係（Gre... | [
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波尔兹曼 | * "Ludwig Boltzmann, （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" Universität Wien (German).
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不含時薛丁格方程式 | 在量子力學中，**薛丁格方程式**（Schrödinger equation）是描述物理系統的量子態隨時間演化的偏微分方程式，為量子力學的基礎方程式之一，其以發表者奧地利物理學家埃爾溫・薛丁格而命名。關於量子態與薛丁格方程式的概念涵蓋於基礎量子力學假說裏，無法從其它任何原理推導而出。
在古典力學裏，人們使用牛頓第二定律描述物體運動。而在量子力學裏，類似的運動方程式為薛丁格方程式。薛丁格方程式的解完備地描述物理系統裏，微觀尺寸粒子的量子行為；這包括分子系統、原子系統、次原子系統；另外，薛丁格方程式的解還可完備地描述宏觀系統，可能乃至整個宇宙。
薛丁格方程式可以分為「含時薛丁格方程式」與「不含時薛丁格方程式」兩種。含時薛丁格方程式與... | [
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不含時薛丁格方程式 | 其中， $m$ 是質量， $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 是參數為位置 $\mathbf {r} $ 、時間 $t$ 的波函數， $\nabla ^{2}$ 是拉普拉斯算符。
術語「薛丁格方程式」可以指廣義形式的薛丁格方程式，也可指具體形式的薛丁格方程式。廣義形式的薛丁格方程式名如其實，可以應用於廣泛量子力學領域，表達從狄拉克方程式到量子場論的各種方程式，只要將哈密頓算符的各種複雜表達式代入即可。通常，具體形式的薛丁格方程式所描述的系統是實際系統的簡化近似模型，這是為了要避開不必要的複雜數學運算。對於大多數案例，所得到的結果相當準確；但是對於相對論性案例，結果則並不令人滿意。對於更詳盡的細節，請參閱 相對論性量子力... | [
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不含時薛丁格方程式 | : $i\hbar {\frac {1}{\varphi }}{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi }}\nabla ^{2}\psi +V=E$
左手邊的方程式 $i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=E$ 的解為
: $\varphi (t)=e^{\frac {-iEt}{\hbar }}$
右手邊的方程式可轉化為不含時薛丁格方程式：
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r... | [
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不含時薛丁格方程式 | : $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )$
## 歷史背景與發展
1900 年，馬克斯・普朗克在研究黑體輻射中作出將電磁輻射能量量子化的假設，因此發現將能量 $E$ 與頻率 $\nu $ 關聯在一起的普朗克關係式 $E=h\nu $ 。1905 年，阿爾伯特・愛因斯坦從對於光電效應的研究又給予這關係式嶄新的詮釋：頻率為 $\nu $ 的光子擁有的能量為 $h\nu $ ；其中， $h$ 因子是普朗克常數。 這一點子成為後來波粒二象性概念的早期路... | [
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不含時薛丁格方程式 | 很快，薛丁格就通過德布羅意論文的相對論性理論，推導出一個相對論性波動方程式，他將這方程式應用於氫原子，計算出束縛電子的波函數。但很可惜。因為薛丁格沒有將電子的自旋納入考量，所以從這方程式推導出的精細結構公式不符合索末菲模型。他只好將這方程式加以修改，除去相對論性部分，並用剩下的非相對論性方程式來計算氫原子的譜線。解析這微分方程式的工作相當困難，在其好朋友數學家赫爾曼・外爾鼎力相助下，他複製出了與波耳模型完全相同的答案。因此，他決定暫且不發表相對論性部分，只把非相對論性波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文。1926 年，他正式發表了這論文。
這篇論文迅速在量子學術界引起震撼。普朗克表示「他已閱讀完畢整篇論文，就像被一個迷語困... | [
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不含時薛丁格方程式 | * 愛因斯坦於提出光電效應時，指出光子的能量 $E$ 與對應的電磁波的頻率 $f$ 成正比：
: : $E=hf=\hbar \omega $
: 其中， $h$ 是普朗克常數， $\omega =2\pi f$ 是角頻率。
* 德布羅意提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性，都是一種波動。微觀粒子的動量 $p$ 與伴隨的物質波波長 $\lambda $ 有關：
: : $p=h/\lambda =\hbar k$
: 其中， $k=2\pi /\lambda $ 是波數。
: 延伸至向量，
: $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} $
假設波函數是個... | [
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不含時薛丁格方程式 | : ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)$
就可以得到廣義形式的薛丁格方程式：
: ${\hat {H}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi $
### 啟發式導引 2
「哈密頓類比」是威廉・哈密頓在研究古典力學時給出的理論，又稱為「光學 - 力學類比」；哈密頓指出，在古典力學裏粒子的運動軌道，就如同在幾何光學裏光線的傳播路徑；垂直於這軌道的等作用量曲面，就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面；描述粒子運動的最小作用量原理，就如同描述光線傳播... | [
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不含時薛丁格方程式 | : $S=W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})-Et$
其中，顯性不含時的函數 $W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})$ 是哈密頓特徵函數， $E$ 是能量。
將哈密頓主函數公式代入粒子的哈密頓 - 雅可比方程式，稍加運算，可以得到
: $|{\boldsymbol {\nabla }}S|={\sqrt {2m(E-V)}}$
哈密頓主函數對於時間的全導數是
: ${\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$
哈密... | [
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不含時薛丁格方程式 | 注意到 $E/\kappa $ 的因次必須是頻率，薛丁格靈機一動，想到愛因斯坦的光電效應理論 $E=\hbar \omega $ ；其中， $\hbar $ 是約化普朗克常數， $\omega $ 是角頻率。他嘗試設定 $\kappa =\hbar $ ，粒子的波函數 $\Psi $ 變為
: $\Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\hbar }=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }$
其中， $\psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }$
$\Ps... | [
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不含時薛丁格方程式 | 為了滿足這特性，必須將波函數歸一化。薛丁格方程式能夠自動地維持波函數的歸一性。假若，某波函數 $\Phi (x,t)$ 尚未被歸一化。由於薛丁格方程式為線性方程式， $\Phi (x,t)$ 與任何常數的乘積還是這個薛丁格方程式的波函數。設定 $\phi (x)=A\Phi (x,0)$ ；其中， $A$ 是歸一常數，使得
: $\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\phi (x)\ \mathrm {d} x=1$
這樣，新波函數 $\Phi _{A}(x,t)=A\Phi (x,t)$ 還是這個薛丁格方程式的解答，而且， $\Phi _{A}(x,0)$ 已經被歸一化了。在這裏... | [
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不含時薛丁格方程式 | 將這兩個方程式相減，可以得到
: ${\begin{aligned}{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi ^{*}\right)\Psi +{\frac {i}{\hbar }}V\Psi ^{*}\Psi -\Psi ^{*}{\frac {i}{\hbar }}V\Psi +\Psi ^{*}{\frac {i\hbar }{2m}}\... | [
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不含時薛丁格方程式 | : ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x&=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\ \mathrm {... | [
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不含時薛丁格方程式 | : $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi _{A}+V\Psi _{A}=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi _{A}$
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi _{B}+V\Psi _{B}=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi _{B}$
因此，這兩個解的線性組合 $\Psi =a\Psi _{A}+b\Psi _{B}$ 為
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不含時薛丁格方程式 | 所以， $\Psi $ 也是這含時薛丁格方程式的解，這證明了含時薛丁格方程式是一個線性方程式。類似地，也可以證明不含時薛丁格方程式是一個線性方程式。
## 不含時薛丁格方程式導引
不含時薛丁格方程式與時間無關，又稱為「能量本徵薛丁格方程式」或「定態薛丁格方程式」，可以用來計算粒子的本徵能量和其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 $\Psi (x,t)$ 的形式為
: $\Psi (x,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }$ ；
其中， $E$ 是分離常數，稍後，會推論出 $E$ 就是能量， $\psi _{E}(x)$ 是對應於 $E$ 的函數。
將這猜想解代入含時薛丁格方程式，經過一番運算... | [
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不含時薛丁格方程式 | 波函數 $\Psi (x,t)$ 的相位因子 $e^{-iEt/\hbar }$ 在計算過程中會自動刪除，因此可以忽略此相位因子，而改使用不含時波函數 $\psi _{E}(x)$ 來指稱定態。處於定態的系統永遠是固定不變的。
#### 明確能量
在古典力學裏，哈密頓量 $H$ 是系統的總能量：
: $H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )$
在量子力學裏，對應的哈密頓算符 ${\hat {H}}$ 的形式為
: ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$
其本徵函數為 $\psi _{E}... | [
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不含時薛丁格方程式 | 從含時薛丁格方程式可以計算出粒子的波函數。按照廣義統計詮釋，由波函數 $\Psi (x,t)$ ，可以計算出粒子運動的機率分佈 $P(x,t)$ ：
: $P(x,t)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)$
因此，可以預測在某時刻，粒子處於某區域的機率。薛丁格方程式描述粒子的波函數怎樣隨著時間流易而產生決定性演化。儘管可以計算出波函數的完整形式，也可以計算出粒子運動的機率分佈，但薛丁格方程式無法準確地預測粒子在哪個時刻會處於哪個區域。
從波動觀分析，薛丁格方程式乃是一個波動方程式，它完美地描述一個與時間、位置有關的量子波所發生的運動行為與所具有的量子性質，而解答這波動方程式的波函數可以詮釋為「在某時間、某位置... | [
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不含時薛丁格方程式 | 量子系統隨著時間流易而演化的兩個過程為薛丁格方程式預測的演化、波函數塌縮。有些教科書會將這兩種過程分別當作量子力學的假設，然後從假設推導出量子力學的其他理論結果。很多物理學者認為，從薛丁格方程式無法推導出波函數塌縮。這兩種過程具有迥然不同的性質。薛丁格方程式預測的演化具有決定性，能夠從最初波函數預測未來的最終波函數；它還具有逆反性，能夠將時間逆反地從最終態演化回最初態。波函數塌縮具有非決定性，從最初態按照機率分佈隨機地約化至最終態，無法預測這最終態到底是甚麼；它還具有非逆反性，測量動作將量子態的資訊發掘出來，這是一種無法時間逆反的程序，獲得的額外資訊無法再還原。
### 量子穿隧效應
在古典力學裏，當一個圓球慢慢地滾上一座高山，... | [
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不含時薛丁格方程式 | : $-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi =-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}\Psi +m^{2}c^{4}\Psi $
稍加編排，可以得到克萊因 - 戈爾登方程式：
: $(\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0$
其中， $\Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$ 是達朗貝爾算符， $\mu ={\frac {mc}{\hbar }}$
對於勞侖茲變換，這方程式的形式不會改變，是個勞侖茲不變... | [
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不含時薛丁格方程式 | 狄拉克方程式乃是時間的一階微分方程式，適用於自旋 -½ 粒子。它的解稱為旋量，擁有四個分量，因此有四個線性獨立的解，其中兩個對應於粒子，另外兩個對應於反粒子。
## 解析方法
一般來說，解析薛丁格方程式會用到下述這些方法：
* 量子微擾理論
* 變分原理
* 量子蒙特卡羅方法
* 密度泛函理論
* WKB 近似與半古典擴展
對於某些特殊的狀況，可以使用特別方法：
* 有分析解的量子力學系統列表
* 哈特里 - 福克方法與後哈特里 - 福克方法。
* 離散 Delta 位勢阱方法
## 範例
### 自由粒子
當位勢為零時，薛丁格方程式為
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{... | [
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不含時薛丁格方程式 | : $\Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,\mathrm {d} k$
其中，振幅 $A(k)$ 是線性疊加的係數函數。
從在時間 $t=0$ 的波函數 $\Psi (x,0)$ ，可以得到係數函數：
: $A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x$
已知在時間 $t=0$ 的波函數 $\Psi (x,0)$ ，通過傅立葉變換，可以推... | [
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不含時薛丁格方程式 | 對應於函數 ${\mathfrak {H}}_{n}$ 的能級為
: $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$
一維諧振子的能譜有以下性質：
* 能量被量子化，只能呈離散數值，即 $\hbar \omega $ 乘以 1/2, 3/2, 5/2…… 等等。這是許多種量子力學系統的特徵。
* 最低能量（當 _n_ = 0）不為零，而是 $\hbar \omega /2$ ，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」，且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有... | [
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不含時薛丁格方程式 | : $\psi (r,\,\theta ,\,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$
其中， $R(r)$ ， $\Theta (\theta )$ ， $\Phi (\phi )$ ，都是函數。 $\Theta (\theta )$ 與 $\Phi (\phi )$ 時常會合併為一個函數 $Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )$ ，稱為球諧函數。這樣，本徵函數 $\psi $ 的形式變為：
: $\psi (r,\,\theta ,\,\phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\,\phi )$
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不含時薛丁格方程式 | : $P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}$
#### 徑向部分解答
將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一維二階微分方程式：
: $\left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+V(r)\right\}R(r)=ER(r)$
設定函數 $u(r)=rR(r)$ ，代入方程式，經過一番繁雜的運算，可以得到
: $-{\hbar ^{2} \over ... | [
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-0.4932889342308044... |
不含時薛丁格方程式 | * 線性薛丁格方程式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） EqWorld: 數理方程式的世界。（英文）
* 非線性薛丁格方程式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） EqWorld: 數理方程式的世界。（英文）
* 一維的薛丁格方程式 以及 書的目錄.（英文）
* 所有關於三維的薛丁格方程式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文） | [
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量子疊加 | 在量子力學裏，**態疊加原理**（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。
從數學表述，態疊加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態... | [
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量子疊加 | 在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 $|f_{1}\rangle $ 或 $|f_{2}\rangle $ ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合 $|f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle $ ，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中， $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 是複值係數，為了歸一化 $|f\rangle $ ，必須讓 $|c_{1}|^{2}+|c_{2}... | [
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量子疊加 | 這是最一般的量子態。係數 $c_{\uparrow }$ 、 $c_{\downarrow }$ 分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：
: $p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2}$ 、
: $p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2}$ 。
總機率應該等於 1： $p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1$ 。
這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：
: $|\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rang... | [
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量子疊加 | : ${\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega $ 。
由於粒子存在的機率等於 1，波函數 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：
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镜面反射_(物理) | **鏡面反射**或**規則反射**，是波來自表面的反射，例如來自鏡子表面的光。
**反射定律**指出，反射光的射線從反射面以與入射線對法線相同的角度從入射面上射出，但在由入射光線和反射光線形成平面內的法線另一側。這種行為最初由亞歷山大港的希羅（ADc.10–70）描述。
鏡面反射可與漫反射形成對比，後者的光線在一系列方向上從表面散射出去。
## 反射定律
當光遇到物資的邊界時，它會受到材料對電磁波的光學和電子回應函數的影響。由反射和折射組成的光學過程用邊界兩側的折射率差表示，而反射與吸收是由於材料的電子結構引起響應的實部和虛部。這些過程在傳輸中的參與程度是光的頻率或波長、偏振度和入射角的函數。一般而言，反射隨入射角的增加和邊... | [
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镜面反射_(物理) | : $\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {s} }=2\left(\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }\cdot \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {i} }\right)\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }-\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {i} },$
此處 $\mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {n} }\cdot \mathbf {\hat {d}} _{\mathrm {i} }$ 是用向量內積得出的純量。不同的作者可能會以不同的符號定義入射和反射方向。假設這些歐... | [
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镜面反射_(物理) | : $\theta _{\text{crit}}=\arcsin \!\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\!.$
### 極化
當光線照射到兩種材料之間的介面時，反射光通常是部分偏振。但是，如果光線以布魯斯特角照射介面，反射光將「完全」平行於介面的線性偏振。布魯斯特角由下式給出：
: $\theta _{\mathrm {B} }=\arctan \!\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\!.$
### 反射的影像
平面鏡中的影像具有以下特徵：
* 它在鏡子後面的距離與物體在前面的距離相同。
* 它與物件的大小相同。
* 這是正立的影像（直立）。
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反物質 | **反物質**（英語：antimatter）在粒子物理學中是反粒子概念的延伸，反物質是由反粒子構成的，如同普通物質是由普通粒子所構成的。例如一顆反質子和一顆反電子（正電子）能形成一個反氫原子，如同電子和質子形成一般物質的氫原子。此外，物質與反物質的結合，會如同粒子與反粒子結合一般，導致兩者湮滅，且因而釋放出高能光子（伽瑪射線）或是其他能量較低的正反粒子對。正反物質湮滅所造成的粒子，賦予的動能等同於原始正反物質對的動能，加上原物質靜止質量與生成粒子靜質量的差，後者通常佔大部分。（愛因斯坦相對論指出，質量與能量是等價的。）
反物質無法在自然界找到，僅有稍縱即逝的少量存在（例如因放射衰變或宇宙射線等現象）。這是由於反物質若非存在於像物理... | [
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反物質 | 反物質和物質一旦相遇，就相互吸引、碰撞並完全轉化為光並釋放出的巨大的能量，這個過程叫做**湮滅**。湮滅過程會釋放出正、反物質中蘊涵的所有靜質量能，根據愛因斯坦著名的質能關係式──E=mc²，一種在科學界受到普遍認同的理論認為，宇宙大爆炸早期曾產生了數量相當的物質和反物質，隨後發生的物質和反物質的湮滅消耗掉了絕大部分的正、反物質，遺留下的少部分正物質構成了現如今的物質世界。理論上宇宙大爆炸時所產生的粒子與反粒子應該數量相同，但是為什麼現今所遺留下來的絕大多數都是正粒子，這即所謂的「正反物質對稱性破壞」（對稱破缺），雖然在幾個粒子對撞試驗中，都發現了正粒子與反粒子的衰變略有不同，即所謂的電荷宇稱不守恆（CP 破壞），但在數量上仍不足以... | [
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反物質 | * What is Antimatter? (from the Frequently Asked Questions at the Center for Antimatter-Matter Studies)
* FAQ from CERN with lots of information about antimatter aimed at the general reader, posted in response to antimatter's fictional portrayal in Angels & Demons
* What is direct CP-violation?
* Animated illustration ... | [
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麥克斯韋-玻爾茲曼分佈 | **馬克士威 - 波茲曼分布**是一個描述一定溫度下微觀粒子運動速度的機率分布，在物理學和化學中有應用。最常見的應用是統計力學的領域。任何（宏觀）物理系統的溫度都是組成該系統的分子和原子的運動的結果。這些粒子有一個不同速度的範圍，而任何單個粒子的速度都因與其它粒子的碰撞而不斷變化。然而，對於大量粒子來說，處於一個特定的速度範圍的粒子所占的比例卻幾乎不變，如果系統處於或接近處於平衡。馬克士威 - 波茲曼分布具體說明了這個比例，對於任何速度範圍，作為系統的溫度的函數。它以詹姆斯・馬克士威和路德維希・波茲曼命名。
這個分布可以視為一個三維向量的大小，它的分量是獨立和常態分布的，其期望值為 0，標準差為 $a$ 。如果 $X_{i}$ 的... | [
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麥克斯韋-玻爾茲曼分佈 | 馬克士威最初的推導假設了三個方向上的表現都相同，但後來在波茲曼的一個推導中利用分子運動論去掉了這個假設。現在，馬克士威 - 波茲曼分布可以輕易地從能量的波茲曼分布推出：
: ${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}g_{j}\,{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}\qquad \qquad (1)$
其中 _N_i 是平衡溫度 _T_ 時，處於狀態 _i_ 的粒子數目，具有能量 _E_i 和簡併度 _gi_ ，_N_ 是系統中的總粒子數目，_k_ 是波茲曼常數。（注意有時在上面的方程式中不寫出... | [
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麥克斯韋-玻爾茲曼分佈 | : $f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)$
歸一化常數 _c_ 可以通過認識到分子具有_任何_動量的機率必須為 1 來決定。因此，方程式 4 在所有 _p_x、_p_y 和 _p_z 上的積分必須是 1。
可以證明：
: $c={\frac {Z}{(2\pi mkT)^{3/2}}}.\qquad \qquad (5)$
把方程式 5 代入方程式 4，得出：
: $f_{\mathbf ... | [
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... |
麥克斯韋-玻爾茲曼分佈 | : $f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v$
並利用 **p** = m**v**，我們便得到：
: $f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad $
這就是馬克士威 - 波茲曼速度分布。在速度相空間（_v_x, _v_y, _v_z）的一塊... | [
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Subsets and Splits
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