year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
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values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $O$ le centre de son cercle circonscrit. On note $A_{B}$ et $A_{C}$ les autres intersections du cercle $B O C$ avec $(A B)$ et $(A C)$ et $\left(\ell_{1}\right)=\left(A_{B} A_{C}\right)$, on définit de la même manière $B_{C}$, $B_{A}, C_{A}$ et $C_{B}$ ainsi que $\left(\ell_{2}\right)$ et $\... | $\left(A^{*} B_{C}, B_{C} T\right)=\left(B^{\prime} B_{C}, B_{C} T\right)=\left(B^{\prime} C, C T\right)=\left(B^{\prime} C, C T\right)=(A C, C T)=(A A, A T)=$ $\left(A A^{*}, A T\right)$, où la droite $(A A)$ désigne ici la tangente en $A$ au cercle $A B C$, d'après les lemmes 1 et 3 , alors les points $A^{*}, B_{C}, ... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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"solution_match": "\nDémonstration."
} | 294 | 1,601 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $O$ le centre de son cercle circonscrit. On note $A_{B}$ et $A_{C}$ les autres intersections du cercle $B O C$ avec $(A B)$ et $(A C)$ et $\left(\ell_{1}\right)=\left(A_{B} A_{C}\right)$, on définit de la même manière $B_{C}$, $B_{A}, C_{A}$ et $C_{B}$ ainsi que $\left(\ell_{2}\right)$ et $\... | On va démontrer le résultat suivant sur les ellipses : chaque ellipse admet deux foyers, appelés $F_{1}$ et $F_{2}$ tel que pour chaque point $E$ de l'ellipse $F_{1} E+F_{2} E$ est constante.
on rappelle qu'une conique est une section conique c'est-à-dire que l'on coupe un cône avec un plan quelconque et que l'on regar... | {
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} | 294 | 760 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $O$ le centre de son cercle circonscrit. On note $A_{B}$ et $A_{C}$ les autres intersections du cercle $B O C$ avec $(A B)$ et $(A C)$ et $\left(\ell_{1}\right)=\left(A_{B} A_{C}\right)$, on définit de la même manière $B_{C}$, $B_{A}, C_{A}$ et $C_{B}$ ainsi que $\left(\ell_{2}\right)$ et $\... | Les trois symétriques de F par rapport aux trois droites sont sur la directrice, donc alignés, ce qui montre d'après Steiner que le point $F$ est sur le cercle circonscrit du triangle induit par les trois tangentes et de plus que l'orthocentre de ce triangle est sur la directrice.
Il existe une unique conique tangente... | {
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} | 294 | 801 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $O$ le centre de son cercle circonscrit. On note $A_{B}$ et $A_{C}$ les autres intersections du cercle $B O C$ avec $(A B)$ et $(A C)$ et $\left(\ell_{1}\right)=\left(A_{B} A_{C}\right)$, on définit de la même manière $B_{C}$, $B_{A}, C_{A}$ et $C_{B}$ ainsi que $\left(\ell_{2}\right)$ et $\... | On va de ce fait montrer que $\widehat{\mathrm{DXD}^{\prime}}=90$, en prenant (AI) et (BC) comme droites de référence, on trouve par cocyclicité des points $D^{\prime}, B, X$ et $I_{A}$, grâce aux angles droits, que $\left(X D^{\prime}\right) \backslash \backslash\left(B I_{A}\right)$, de la même manière $(X D) \backsl... | {
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} | 294 | 961 |
null | T2 | 3 | null | French_envois | Un entier $n$ est parfait si la somme de ses diviseurs est 2 n . Soit n un entier parfait et $p$ son plus petit diviseur premier. Montrer que l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de puissances de nombres premiers de n est pair. | Soit $n=p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{k}^{a_{k}}$ avec les $p_{i}$ premiers distincts. La somme des diviseurs de $n$ est $\sigma(n)=\prod_{i=1}^{k}\left(1+\cdots+p_{i}^{a_{i}}\right)$ (cf. la page 14 du cours d'arithmétique complet disponible sur maths-olympiques.fr).
Supposons par l'absurde que $a_{1}$ soit impair, alors $1... | {
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null | T2 | 8 | null | French_envois | Soit P un polynôme à coefficients rationnels de degré supérieur ou égal à 2 , et $\left(q_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de rationnels tels que pour tout $n \geqslant 0, q_{n}=P\left(q_{n+1}\right)$. Montrer que la suite $q_{n}$ est périodique à partir d'un certain rang. | Soit $u$ entier tel que $u_{1}$ soit entier. Soit $\tilde{P}(X)=u P\left(\frac{1}{u} X\right)$. Soit $v$ entier tel que $v \tilde{P}$ soit à coefficients entiers. Soit a le coefficient dominant de $v \tilde{P}$. On pose $Q(X)=$ $a \tilde{P}\left(\frac{1}{a} X\right), m=a^{\operatorname{deg}(P)-2} v$ et pour tout $n \in... | {
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} | 99 | 648 |
2024 | T2 | 3 | null | French_envois | On dispose de cinq couleurs et d'une grille $99 \times 99$. On colorie certains carrés de la grille avec l'une des cinq couleurs de sorte que
- Chaque couleur apparaît le même nombre de fois dans la grille.
- Aucune ligne et aucune colonne ne contient des cases de couleur différente.
Quelle est le plus grand nombre p... | Réponse : $\mathrm{N}=5 \times 19 \times 20=1900$.
Comme chaque ligne ou colonne ne peut contenir qu'une couleur, on va réfléchir en partant des lignes. On dit qu'une ligne ou colonne est d'une couleur (disons rouge) quand la seule couleur que peuvent avoir des cases de cette ligne ou colonne est le rouge. Si une ligne... | {
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} | 100 | 1,221 |
2024 | T2 | 4 | null | French_envois | Une partie se joue sur un échiquier de taille $\mathrm{n} \times \mathrm{n}$. Au début, il y a 99 pierres sur chaque case. Tour à tour, Aimeric et Benoit choisissent une ligne ou une colonne et retirent une pierre de chaque case de la ligne ou de la colonne choisie. Ils ne peuvent choisir une ligne ou une colonne que s... | Réponse : Les n pairs.
Dans la suite, on numérote les colonnes de gauche à droite et les lignes de haut en bas.
Nous allons montrer qu'il y a exactement 99 n tours de jeu, de sorte que si n est pair, Benoit aura eu le dernier tour de jeu (donc aura gagné), sinon c'est Aimeric.
Considérons les cases de l'une des grand... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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2024 | T2 | 6 | null | French_envois | Dans une école il y a n cours et n élèves. Les élèves sont inscrits dans plusieurs cours de sorte que deux élèves différents n'ont jamais exactement les même cours. Prouver qu'on peut supprimer un cours de sorte qu'aucune paire d'élèves ne se retrouve avec exactement les mêmes cours. | On va montrer par récurrence forte sur n la propriété plus forte suivante :
$\mathcal{P}_{n}$ :Pour tout $m \geqslant n$, dans une classe à $n$ élèves et $m$ cours telle que deux élèves n'ont jamais exactement les mêmes cours, alors il est possible de retirer un cours de sorte que les élèves ne suivent pas exactement l... | {
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2024 | T2 | 6 | null | French_envois | Dans une école il y a n cours et n élèves. Les élèves sont inscrits dans plusieurs cours de sorte que deux élèves différents n'ont jamais exactement les même cours. Prouver qu'on peut supprimer un cours de sorte qu'aucune paire d'élèves ne se retrouve avec exactement les mêmes cours. | :
Notons $E_{1}, \ldots, E_{n}$ les $n$ élèves et $C_{1}, \ldots, C_{n}$ les $n$ cours.
On procède par l'absurde et l'on suppose l'inverse : quelque soit le cours $C_{i}$ que l'on supprime, il existe deux élèves $E_{i_{1}}$ et $E_{i_{2}}$ ayant exactement les mêmes cours en dehors du cours $C_{i}$. Si deux telles pair... | {
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2024 | T2 | 7 | null | French_envois | Déterminer le plus grand entier $n$ pair ayant la propriété suivante : quelle que soit la façon de paver une grille $\mathrm{n} \times \mathrm{n}$ avec des dominos, il existe une ligne coupant le tableau en deux parties non vides et n'intersectant aucun domino. | Réponse: $\mathrm{n}=6$
Mentionnons pour commencer que la réponse peut se deviner en essayant l'exercice pour des petites valeurs de n.
Le problème demande de trouver le plus grand entier n vérifiant une certaine propriété, il comporte donc nécessairement deux parties. Nous allons montrer d'abord que 6 vérifie la prop... | {
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2024 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $N$ un entier strictement positif. On suppose qu'il existe quatre sous-ensembles $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ et $\boldsymbol{A}_{4}$ de $\{1, \ldots, \boldsymbol{N}\}$, chacun de cardinal 500 et on suppose que, pour tous $x, y$ dans $\{1, \ldots, N\}$, il existe un indice $i$ tel que $x$ et $y$ sont dans $A_{i}$. Déterm... | Réponse : 833.
Nous allons traiter ce problème avec le langage des graphes. La modélisation du problème pousse à considérer le graphe dont les sommets sont les éléments de $S$, qui sont reliés par une arête de couleur $i$ si les deux sommets apprtiennent à l'ensemble $A_{i}$.
Dans la suite, on dira également qu'un gra... | {
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2024 | T2 | 11 | null | French_envois | On dispose de cinq couleurs et d'une grille $99 \times 99$. On colorie certains carrés de la grille avec l'une des cinq couleurs de sorte que
- Chaque couleur apparaît le même nombre de fois dans la grille.
- Aucune ligne et aucune colonne ne contient des cases de couleur différente.
Quelle est le plus grand nombre p... | Réponse : N = 5 $\times 19 \times 20=1900$.
Comme chaque ligne ou colonne ne peut contenir qu'une couleur, on va réfléchir en partant des lignes. On dit qu'une ligne ou colonne est d'une couleur (disons rouge) quand la seule couleur que peuvent avoir des cases de cette ligne ou colonne est le rouge. Si une ligne ou co... | {
"problem_match": "\nExercice 11.",
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2024 | T2 | 12 | null | French_envois | Soit $k$ un entier strictement positif et $P$ un point du plan. Déterminer le plus petit entier $n$ ayant la propriété suivante : on peut tracer $n$ droites ne passant pas par $P$ de sorte que toute demi-droite d'origine le point $P$ coupe au moins $k$ droites. | Réponse : $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}+1$
L'énoncé demande de déterminer le plus petit entier n possédant une certaine propriété, il contient nécessairement deux parties. D'une part, on montre que si $n$ est inférieur à $2 k$, il ne vérifie pas la propriété, d'autre part on montre que $2 \mathrm{k}+1$ vérifie la propriété.... | {
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2024 | T2 | 13 | null | French_envois | Soit $k \geqslant 1$ un nombre entier.
Considérons 4 k jetons, dont 2 k sont rouges et 2 k sont bleus. Une suite de ces 4 k jetons peut être transformée en une autre suite par un mouvement, consistant à interchanger un certain nombre (éventuellement un seul) de jetons rouges consécutifs avec un nombre égal de jetons bl... | Réponse : $\mathrm{n}=\mathrm{k}$.
Le problème demande de déterminer le plus petit n vérifiant une certaine propriété, il contient donc nécessairement deux parties. Ici, dans un premier temps, on montre qu'étant donnée une configuration initiale de jetons, il est toujours possible d'arriver à la configuration finale dé... | {
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} | 209 | 823 |
2024 | T2 | 15 | null | French_envois | Soit $n \geqslant 3$ un entier. On colorie 2 n sommets d'un $4 \mathrm{n}+1$-gone régulier. Montrer qu'il existe trois sommets coloriés qui forment un triangle isocèle. | On porcède par l'absurde en supposant qu'aucun triplet de sommets coloriés ne forme de triangle isocèle.
Dans un premier temps, fixons un sommet colorié O et notons $\mathrm{OP}_{1} \ldots \mathrm{P}_{2 n} \mathrm{P}_{-2 n} \ldots \mathrm{P}_{-1}$ le reste du polygone. Puisque le triangle $O P_{i} P_{-i}$ est isocèle p... | {
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} | 63 | 1,049 |
2024 | T2 | 16 | null | French_envois | On considère un 2022-gone régulier de côté 1 . Les points sont numérotés $A_{1}, \ldots, A_{2022}$ dans un certain ordre. Au départ, Elie part du point $A_{1}$, puis saute de point en point vers le point $A_{2}$, puis de $A_{2}$ vers $A_{3}$ etc... chaque fois en prenant l'arc le plus court. Lorsqu'il atteint $A_{2022}... | Réponse: $\mathrm{Si} N=1011$, La valeur maximale est $2\left(\mathrm{~N}^{2}-\mathrm{N}+1\right)$.
Le problème demande de trouver la valeur maximale d'une somme de longueurs, il contient nécessairement deux parties. Dans un premier temps, on montre que le chemin parcouru par Elie est forcément de longueur inférieure à... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
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} | 169 | 1,966 |
2024 | T2 | 18 | null | French_envois | Soient $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \ldots \mathrm{C}_{\mathrm{n}}$ des cercles de même rayon disposés dans le plan de sorte qu'ils ne soient jamais tangents 2 à 2 et qu'il existe toujours un chemin passant par les cercles pour aller d'un point de l'un d'entre eux à un autre (autrement dit, les cercles sont connect... | Dans un premier temps, on reformule le problème en termes de graphes. On note C l'ensemble des centres des cercles et S l'ensemble des points d'intersections qui constituent les sommets d'un graphe $G$. On relie par une arête tout couple ( $c, s) \in C \times S$ si $s$ appartient au cercle de centre $c$. Remarquons alo... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
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} | 126 | 516 |
null | T2 | 4 | null | French_envois | 2024 élèves, tous de taille différente, doivent se placer en file indienne. Cependant, chaque élève ne souhaite pas avoir à la fois devant lui et derrière lui un élève plus petit que lui. Combien y a-t-il de façons de former une telle file indienne? | Regardons l'élève de plus grande taille : s'il n'est pas placé au tout début ou à la toute fin de la file, il est entre deux élèves plus petits que lui. Ainsi l'élève le plus grand doit être placé à la fin ou au début.
Via ce raisonnement, et en regardant les petits cas on peut conjecturer que si on doit placer $n \geq... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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} | 67 | 518 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | On dit qu'un entier $k>1$ est superbe s'il existe $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{a}$ trois entiers strictement positifs tels que
$$
5^{\mathrm{m}}+63 \mathrm{n}+49=\mathrm{a}^{\mathrm{k}}
$$
Déterminer le plus petit entier superbe. | Supposons que $k=2$ est superbe : il existe trois entiers strictement positifs $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{a}$ tels que $5^{\mathrm{m}}+63 \mathrm{n}+$ $49=a^{2}$. En regardant modulo $3,5^{\mathrm{m}}+1 \equiv 2^{\mathrm{m}}+1 \equiv \mathrm{a}^{2}(\bmod 3)$. Or les puissances de 2 modulo 9 valent alternativement... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 7"
} | 84 | 834 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $I$ le centre du cercle inscrit. On note $D$ et $E$ les pieds des bissectrices issues de $B$ et $C$. Soit $X$ l'intersection des symétriques de $(A B)$ et $(A C)$ par rapport à $(C E)$ et $(B D)$. Montrer que les droites (XI) et (BC) sont perpendiculaires. | Notons $Y$ et $Z$ les intersections respectives de (DX) et (EX) avec la droite (BC). On va montrer que le triangle ZXY est isocèle en $X$ et que I est le centre de son cercle inscrit. Si on arrive à montrer ces propriétés, la conclusion de l'exercice suivrait. En effet, la droite (XI) est alors la bissectrice du triang... | {
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} | 101 | 577 |
null | T2 | 11 | null | French_envois | Félix souhaite colorier les entiers de 1 à 2023 tels que si $a, b$ sont deux entiers distincts entre 1 et 2023 et a divise $\mathbf{b}$, alors a et $b$ sont de couleur différentes. Quel est le nombre minimal de couleur dont Félix a besoin? | On peut essayer de colorier de manière gloutonne les nombres : 1 peut être colorié d'une couleur qu'on note $a$, 2 et 3 de la même couleur $b$ (mais pas de la couleur $a$ ), puis 4,6 de la couleur $c$ (on peut aussi colorier 5 et 7 de la couleur c), etc. Il semble donc qu'une coloriation performante soit pour tout $k$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 11.",
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} | 79 | 541 |
null | T2 | 12 | null | French_envois | Soient $A, B, C, D$ et $E$ cinq points dans cet ordre sur un cercle tels que $A E=D E$. Soit $P$ le point d'intersection de ( $A C)$ et $(B D)$. Soit $Q$ le point de la demi-droite $[B A)$ tel que $A Q=D P$. Soit $R$ le point de la demi-droite [CD) tel que $D R=A P$. Montrer que les droites $(P E)$ et $(Q R)$ sont perp... | On se place dans le cas de la figure suivante :
Dans cet énoncé on a de nombreuses égalités de longueur ( $A Q=D P, D R=A P, A E=D E$. Comme sur la figure, il ne faut pas hésiter à colorier les longueurs égales pour voir des potentiels triangles isométriques, et avancer dans le problème).
Les triangles DRP et $A Q P$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 12.",
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} | 129 | 578 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | On dit qu'un polynôme $P$ est fantabuleux s'il existe des réels $\mathrm{a}_{0}, \ldots, \mathrm{a}_{2022}$ tel que
$$
P(X)=X^{2023}+a_{2022} X^{2022}+\cdots+a_{1} X+a_{0}
$$
s'il a 2023 racines $r_{1}, \ldots, r_{2023}$ (non nécessairement distinctes) dans $[0,1]$, et si $P(0)+P(1)=0$. Déterminer la valeur maximale ... | La réponse est $2^{-2023}$, on va montrer cela en deux temps, dans un premier temps on va montrer que l'on ne peut pas trouver de polynôme avec une valeur plus grand et dans un second temps exhiber un polynôme qui vérifie les conditions de l'énoncé et dont le produit de racine est bien égal à $2^{-2023}$.
Notons que pa... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 13"
} | 189 | 841 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | On dit qu'un nombre rationnel strictement positif q est magnifique s'il existe quatre entiers strictement positifs $a, b, c, d$ tels que
$$
\mathrm{q}=\frac{\mathrm{a}^{2021}+\mathrm{b}^{2023}}{\mathrm{c}^{2022}+\mathrm{d}^{2024}}
$$
Existe-t-il un rationnel strictement positif qui n'est pas magnifique? | La question posée est assez déroutante : il a l'air d'être dur de décider ou non si un nombre peut s'écrire de cette forme. On peut donc essayer de se fixe un rationnel strictement positif de la forme $r / s$ avec $r, s$ des entiers strictement positif, et chercher des bons $a, b, c, d$ pour avoir
$$
\frac{r}{s}=\frac... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 15"
} | 111 | 1,360 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soit p un nombre premier. Martin la grenouille est situé en position 0 sur la droite réelle. A chaque seconde, Martin effectue un mouvement : il peut rester à sa position, faire un saut de 1 sur la droite, ou faire un saut de 1 sur la gauche. Martin souhaite être revenu au bout de $p-1$ mouvements à sa position initial... | On se fixe $k$ un entier différent de $\pm p$ (si $k= \pm p$, on voit bien que $a_{p}(k)=1$ ), on note $A$ l'ensemble des $p$ uplets de somme $k$. On définit $T: A \mapsto A$ l'application suivante : si $\left(a_{1}, \ldots, a_{p}\right)$ est dans $A, T\left(a_{1}, \ldots, a_{p}\right)=\left(a_{2}, \ldots, a_{p}, a_{1}... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
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"solution_match": "\nDémonstration."
} | 198 | 3,295 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soit p un nombre premier. Martin la grenouille est situé en position 0 sur la droite réelle. A chaque seconde, Martin effectue un mouvement : il peut rester à sa position, faire un saut de 1 sur la droite, ou faire un saut de 1 sur la gauche. Martin souhaite être revenu au bout de $p-1$ mouvements à sa position initial... | Soit $x$ une solution de l'équation. Comme best pair, $|x|^{b}-|x|^{a} \leqslant x^{b}-x^{a}=t$. Or l'application qui à $y$ associe $y^{b}-y^{a}$ est continue, et tend vers $+\infty$ en $+\infty$, donc l'équation $y^{b}-y^{a}=t$ a une solution dans $[|x|,+\infty[$, donc une solution positive.
Maintenant appliquons l'hy... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
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"solution_match": "\nDémonstration."
} | 198 | 1,595 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Un quadrilatère convexe $A B C D$ admet un cercle inscrit de centre $I$. Soit $\mathrm{I}_{\mathrm{a}}, \mathrm{I}_{\mathrm{b}}, \mathrm{I}_{\mathrm{c}}$ et $\mathrm{I}_{\mathrm{d}}$ les centres des cercles inscrits de triangles $\mathrm{DAB}, \mathrm{ABC}, \mathrm{BCD}$ et $C D A$ respectivement. On suppose que les ta... | On note $\omega_{i}$ le cercle inscrit de centre $I_{i}$ et de rayon $r_{i}$ pour $i \in\{A, B, C, D\}$, on note également $O_{A}, O_{B}$, $O_{C}$ et $O_{D}$ les centres des cercles $A I_{b} I_{d}, B I_{a} I_{c}, C I_{b} I_{d}$ et $D I_{a} I_{c}$. On commence par démontrer le lemme suivant:
Lemme 4. Les cercles $\omeg... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 18"
} | 257 | 1,596 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Trouver tous les triplets de réels ( $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ) vérifiant le système d'égalités :
$$
\left\{\begin{array}{l}
a\left(b^{2}+c\right)=c(c+a b) \\
b\left(c^{2}+a\right)=a(a+b c) \\
c\left(a^{2}+b\right)=b(b+a c)
\end{array}\right.
$$ | Les égalités se réécrivent $a b(b-c)=c(c-a), b c(c-a)=a(a-b)$ et $\mathrm{ca}(\mathrm{a}-\mathrm{b})=\mathrm{b}(\mathrm{b}-\mathrm{c})$. En multipliant ces trois égalités, on obtient $(\mathrm{abc})^{2}(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{a}-\mathrm{b})=$ $\mathrm{abc}(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{b... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 108 | 776 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Soient $a, b, c>0$ tels que : $a+b+c=1$. Montrer que :
$$
\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+6 \geqslant 2 \sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{1-a}{a}}+\sqrt{\frac{1-c}{c}}+\sqrt{\frac{1-b}{b}}\right)
$$
et déterminer les cas d'égalité. | Le terme de droite de l'inégalité vaut $2 \sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}\right)$. On utilise l'inégalité arithmético-géométrique : $2 \sqrt{2 \frac{b+c}{a}} \leqslant 2+\frac{b+c}{a}$. De même $2 \sqrt{\frac{b+a}{c}} \leqslant 2+\frac{b+a}{c}$ et $2 \sqrt{\frac{a+c}{b}} \le... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 131 | 611 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $a, b, c$ des réels strictement positifs tels que : $a b+b c+c a=a b c$. Montrer que :
$$
\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}} \leqslant \frac{1}{6},
$$
et trouver les cas d'égalité. | Posons $u=\frac{1}{a}, v=\frac{1}{b}, w=\frac{1}{c}$. En divisant par abc, la condition se réécrit $u+v+w=1$. L'inégalité voulue se réécrit $\frac{u^{2} v^{2}}{\mathfrak{u}^{2}+w^{2}}+\frac{\mathfrak{u}^{2} w^{2}}{\mathfrak{u}^{2}+w^{2}}+\frac{v^{2} w^{2}}{v^{2}+w^{2}} \leqslant \frac{1}{6}$. On utilise l'inégalité ari... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 102 | 832 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Soient $a_{1}, \ldots, a_{2019}$ des entiers positifs. Montrer qu'il y a équivalence entre:
(i) il existe un réel $x$ tel que pour tout $i \in\{1, \ldots, 2019\}$, on a : $a_{i}=\lfloor i x\rfloor$
(ii) pour tous $\boldsymbol{i}, \mathfrak{j} \in\{1, \ldots, 2019\}$ vérifiant $i+j \leqslant 2019$, on $a: a_{i}+a_{j} \l... | Prouvons tout d'abord le sens direct : s'il existe $x$ réel tel que pour tout $i$ entre 1 et $2019, a_{i}=\lfloor i x\rfloor$, et si on se donne $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ entre 1 et 2019 tels que $\boldsymbol{i}+\mathfrak{j} \leqslant 2019$, alors $(\mathfrak{i}+\mathfrak{j}) \mathbf{x}=$ $i x+j x \geqslant\lflo... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 174 | 1,099 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $a, b, c, d$ des réels strictement positifs tels que : $a+b+c+d=1$. Montrer que :
$$
\frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2} b+a b^{2}+b^{3}}+\frac{b^{4}}{b^{3}+b^{2} c+b c^{2}+c^{3}}+\frac{c^{4}}{c^{3}+c^{2} d+c d^{2}+d^{3}}+\frac{d^{4}}{d^{3}+d^{2} a+d a^{2}+a^{3}} \geqslant \frac{1}{4}
$$
et déterminer les cas d'égalité. | Dans cette solution, on va utiliser à plusieurs reprises l'inégalité $2\left(x^{2}+y^{2}\right) \geqslant$ $(x+y)^{2}(*)$, valable pour tous réels $x, y$ avec égalité si et seulement si $x=y$. Déjà notons que $a^{3}+$ $a^{2} b+a b^{2}+b^{3}=\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)$. En particulier l'inégalité se réécrit $\sum_{\t... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 173 | 1,074 |
null | T2 | 12 | null | French_envois | Trouver tous les polynômes $P$ à coefficients réels tels que pour tous réels $x, y$,
$$
x P(x)+y P(y) \geqslant 2 P(x y)
$$ | Si $P(X)=c X$ avec $c \geqslant 0, x P(x)+y P(y)=c\left(x^{2}+y^{2}\right) \geqslant 2 c x y=2 P(x y)$ par inégalité de la moyenne, les polynômes de la forme cX avec $\mathrm{c} \geqslant 0$ conviennent, montrons que ce sont les seuls. Supposons P non constant. En évaluant en ( $x, 0$ ) l'inégalité, on obtient $\mathrm... | {
"problem_match": "\nExercice 12.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 12"
} | 50 | 679 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | Trouver toutes les suites périodiques $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ de réels strictement positifs, et telles que pour tout $\mathrm{n} \geqslant 1$,
$$
x_{n+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_{n+1}}+x_{n}\right) .
$$ | Soit $n \geqslant 1$. En multipliant la relation de récurrence par $x_{n+1}$, on obtient que $x_{n+2} x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(1+x_{n+1} x_{n}\right)$. Ainsi $\left(x_{n+2} x_{n+1}-1\right)=\frac{1}{2}\left(x_{n+1} x_{n}-1\right)$. En particulier $x_{n+1} x_{n}-1=$ $\frac{1}{2^{n-1}}\left(x_{2} x_{1}-1\right)$. Si la s... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 13"
} | 93 | 785 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | Trouver toutes les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que pour tous réels $x, y$,
$$
f(x f(x)+f(y))=f(x)^{2}+y
$$ | En évaluant l'égalité en $(0, \mathrm{y}), \mathbf{f}(\mathrm{f}(\mathrm{y}))=\mathrm{f}(0)^{2}+\mathrm{y}$. En particulier $\mathrm{f} \circ \mathrm{f}$ est bijective, donc $f$ est injective et surjective donc bijective. Soit a tel que $f(a)=0$. En évaluant en (a, a), $f(0)=f(a f(a)+f(a))=f(a)^{2}+a=a$ donc $f(0)=a$. ... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 14"
} | 57 | 710 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Soient $a_{1}, \ldots, a_{2019}$ des entiers positifs. Montrer qu'il y a équivalence entre :
(i) il existe un réel $x$ tel que pour tout $i \in\{1, \ldots, 2019\}$, on a : $a_{i}=\lfloor i x\rfloor$
(ii) pour tous $i, j \in\{1, \ldots, 2019\}$ vérifiant $i+j \leqslant 2019$, on $a: a_{i}+a_{j} \leqslant a_{i+j} \leqsla... | Prouvons tout d'abord le sens direct: s'il existe x réel tel que pour tout $i$ entre 1 et $2019, a_{i}=\lfloor i x\rfloor$, et si on se donne $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ entre 1 et 2019 tels que $\boldsymbol{i}+\mathfrak{j} \leqslant 2019$, alors $(\mathfrak{i}+\mathfrak{j}) \mathbf{x}=$ $i x+j x \geqslant\lfloor ... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 15"
} | 167 | 1,118 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soit $1<t<2$ un nombre réel. Montrer que pour tout entier $d$ suffisamment grand, il existe un polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^{d} a_{k} X^{k}$, avec $a_{d}=1$ et $a_{0}, \ldots, a_{d-1} \in\{1,-1\}$, tel que :
$$
|\mathrm{P}(\mathrm{t})-2019| \leqslant 1
$$ | Soient $d \geqslant 2019$ un entier et $a_{1}<\ldots<a_{k}$ les $d$-uplets de la forme $\left( \pm 1, \ldots, \pm 1\right.$ ), ordonnés par ordre lexicographique (en partant de la droite!, c'est-à-dire que $a_{i}>a_{j}$ si et seulement si le premier terme non nul de $a_{i}-a_{j}$ en partant de la droite est $>0$ ), ave... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 121 | 801 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Trouver toutes les fonctions $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que pour tous réels $x, y$,
$$
(f(x)+y)(f(x-y)+1)=f(f(x f(x+1))-y f(y-1))
$$ | Clairement, $f(x)=x$ est une solution; on va montrer que c'est la seule. On pose dans la suite $a=f(0)$.
Avec $y=0$ on a $\mathbf{f}(\mathbf{f}(\boldsymbol{x}(\mathrm{x}+1)))=\mathbf{f}(\mathrm{x})(\mathbf{f}(\mathrm{x})+1)(*)$ pour tout x .
Si on prend $y=-f(x)$ on voit que la fonction $f$ admet des zéros.
Dès lors po... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 17"
} | 66 | 935 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Soient $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ deux polynômes à coefficients réels, non constants et premiers entre eux. Montrer qu'il existe au plus trois réels $\lambda$ tels que:
$$
P+\lambda Q=R^{2}
$$
où $R \in \mathbb{R}[X]$. | On procède par l'absurde en supposant l'existence de quatre réels distincts $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{4}$ et quatre polynômes $R_{1}, \ldots, R_{4}$ tels que $P+\lambda_{i} Q=R_{i}^{2}$ pour $i=1,2,3,4$.
On a $P^{\prime}+\lambda_{i} Q^{\prime}=2 R_{i} R_{i}^{\prime}$ et donc $R_{i} \mid Q^{\prime}\left(P+\lambda_{... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
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} | 74 | 1,074 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $A, B, C$ et $D$ quatre points sur un cercle dans cet ordre. Soit $U$ le point d'intersection des droites $(A B)$ et (CD), et $V$ le point d'intersection des droites (BC) et ( $D A$ ). Soit $K$ le point d'intersection de la bissectrice issue de U dans le triangle AUC et de la bissectrice issue de V dans le triangl... | Le point L est le centre du cercle circonscrit au triangle UKV. Pour montrer que les points U, L et V sont alignés, il suffit de montrer que $\widehat{U L V}=180^{\circ}$. Par le théorème de l'angle au centre, $\widehat{U K V}=\frac{1}{2} \widehat{U L V}$. Il suffit donc de montrer que $\widehat{U K V}=90^{\circ}$.
La ... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 233 | 763 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Deux cercles de centres respectifs B et C et de rayons différents sont tangents extérieurement en un point $A$. Soit $t$ une tangente commune aux deux cercles ne contenant pas le point $A$. La perpendiculaire à la droite $t$ passant par le point $A$ coupe la médiatrice du segment $[B C]$ en un point $F$. Montrer que $B... | Soient $X$ et $Y$ les points de tangences de $t$ avec les cercles de centre B et $C$ respectivement. Soit $O$ le point d'intersection la droite $t$ avec la tangente commune au deux cercles en $A$. Les points $X$ et $A$ sont symétriques para rapport à la droite $(O B)$ et les points $Y$ et $A$ sont symétriques par rappo... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 172 | 552 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle acutangle non isocèle en $A$. Soit $M$ le milieu du segment $[B C], H$ l'orthocentre du triangle $A B C, O_{1}$ le milieu du segment $[A H]$ et $O_{2}$ le centre du cercle circonscrit au triangle CBH . Montrer que le quadrilatère $\mathrm{O}_{1} \mathrm{AMO}_{2}$ est un parallélogramme.
$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 184 | 715 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle, $\Gamma$ sont cercle circonscrit et $\omega$ le cercle de même centre que $\Gamma$ et tangent à la droite ( BC ). Les tangentes au cercle $\omega$ passant par $A$ coupent ( BC ) en un point $X$ du côté de $B$ et en un point $Y$ du côté de $C$. La tangente au cercle $\Gamma$ en $B$ et la parall... | Afin d'éviter d'avoir à séparer les différents cas, en fonction de la position du point $Y$ par rapport au segment $[B C]$, nous allons utiliser les angles de droite orientés : ( $A B, C D$ ) désigne l'angle (relatif) dont il faut tourner la droite ( $A B$ ) pour qu'elle soit parallèle à la droite ( $C D$ ).
Nous allon... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 262 | 709 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | Soit $A, B, C$ et $D$ quatre points sur un cercle dans cet ordre. Soit $U$ le point d'intersection des droites $(A B$ ) et ( $C D$ ), et V le point d'intersection des droites (BC) et ( $D A$ ). Soit K le point d'intersection de la bissectrice issue de U dans le triangle AUC et de la bissectrice issue de V dans le trian... | Le point L est le centre du cercle circonscrit au triangle UKV. Pour montrer que les points U , L et V sont alignés, il suffit de montrer que $\widehat{\mathrm{ULV}}=180^{\circ}$. Par le théorème de l'angle au centre, $\widehat{U K V}=\frac{1}{2} \widehat{U L V}$. Il suffit donc de montrer que $\widehat{U K V}=90^{\cir... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commentaire-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 13"
} | 233 | 784 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Soit $\Omega$ et $\Gamma$ deux cercles sécants. On note $A$ une de leurs intersections. Soit d une droite quelconque passant par le point $A$. On note $P$ et $Q$ les intersections respectives de la droite $d$ avec les cercles $\Omega$ et $\Gamma$ différentes de $A$.
Montrer qu'il existe un point indépendant de la droit... | Par symétrie, on peut supposer que le rayon du cercle $\Omega$ est supérieur au rayon du cercle $\Gamma$.
Soit $\mathrm{O}_{1}$ le centre du cercle $\Omega$ et $\mathrm{O}_{2}$ le centre du cercle $\Gamma$. Soit B le point tel que le quadrilatère $\mathrm{AO}_{1} \mathrm{BO}_{2}$ soit un parallélogramme. On va montrer ... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commentaire-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 15"
} | 192 | 1,118 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle, $H$ son orthocentre et $M$ le milieu du segment $[B C]$. Soit $d$ une droite passant par le point $M$. On suppose que $d$ coupe le cercle de diamètre $[A H]$ en $P$ et $Q$. Montrer que l'orthocentre du triangle $A P Q$ est sur le cercle circonscrit du triangle $A B C$.
![](https://cdn.mathpix.... | Soit N le milieu de $[\mathrm{PQ}]$ et K l'orthocentre du triangle APQ . Si on appelle $\mathrm{K}^{\prime}$ le symétrique de K par rapport au milieu $N$ du segment $[P Q]$, alors $[P Q]$ et $\left[K K^{\prime}\right]$ ont le même milieu $N$ donc $\mathrm{PKQK}^{\prime}$ est un parallélogramme donc $\widehat{\mathrm{K}... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commentaire-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 176 | 987 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $I$ le centre de son cercle inscrit. La perpendiculaire à la droite ( $A \mathrm{I}$ ) passant par le point I coupe la droite ( AB ) en un point D et la droite ( AC ) en un point E . On suppose qu'il existe deux points $F$ et $G$ sur le segment $[B C]$ tels que $B A=B F$ et $C A=C G$. Soit $... | Soient $M$ et $N$ les milieux respectifs des segments [AD] et [AE] et soit $X$ le point d'intersection de la droite (MN) (qui est aussi la médiatrice du segment [AI]) avec la droite (BC). Soient $\mathrm{O}_{1}$ et $\mathrm{O}_{2}$ les centres respectifs des cercles circonscrits aus triangles ADF et AEG. On souhaite mo... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 17"
} | 230 | 1,070 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Soit ABC un triangle, soit O le centre de son cercle circonscrit. Soit I le centre du cercle inscrit au triangle $A B C$ et D le point de tangence de ce cercle avec le segment [AC]. Les droites (OI) et $(A B)$ se coupent en un point $P$. Soit $M$ le milieu de l'arc $A C$ ne contenant pas $B$ et $N$ le milieu de l'arc $... | Soit $X$ le point d'intersection de la droite (MD) avec le cercle circonscrit au triangle $A B C$ et soit $P^{\prime}$ le point d'intersection de la droite $(X N)$ avec le segment $[A B]$. Soit $S$ le point d'intersection de la bissectrice de l'angle $\widehat{B A C}$ avec le cercle circonscrit au triangle $A B C$. On ... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
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} | 213 | 740 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Trouver tous les couples de nombres premiers ( $p, q$ ) tels que :
$$
\mathrm{p}^{2}\left(\mathrm{p}^{3}-1\right)=\mathrm{q}(\mathrm{q}+1)
$$ | Si $p=q$, alors $p^{4}-p=p+1$. Or $p^{4}=p \cdot p^{3} \geqslant 8 p>2 p+1$ pour tout nombre premier $p$ car $p \geqslant 2$. On a donc $p \neq q$ et donc $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
$p^{2}$ est premier avec $q$ donc d'après le lemme de Gauss, $p^{2} \mid q+1$. On dispose donc de $k \in \mathbb{N}^{*}$ tel que ... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 57 | 609 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Trouver tous les couples d'entiers strictement positifs ( $\mathrm{m}, \mathfrak{n}$ ) pour lesquels:
$$
1+2^{n}+3^{n}+4^{n}=10^{m}
$$ | Cette équation est valable pour tous $n$, $m$, elle est donc valable en la passant modulo un entier $k$, c'est-à-dire en ne considérant que les restes de la division par rapport à $k$.
On commence par la regarder modulo 3 :
$$
1+(-1)^{n}+0+1^{n} \equiv 1^{\mathrm{m}}(\bmod 3) \operatorname{donc}(-1)^{n} \equiv-1
$$
D... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 55 | 693 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Déterminer tous les entiers $n \geqslant 1$ tels qu'il existe une permutation $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ de $(1,2, \ldots, \mathbf{n})$ vérifiant la condition suivante :
$$
\mathrm{k} \mid \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{k}}
$$
pour tout $k \in\{1,2, \ldots, n\}$. | On commence par regarder ce qu'il se passe pour $\mathrm{n}=1,2,3: \mathfrak{n}=1,3$ sont solutions mais $\mathrm{n}=2$ ne l'est pas. Soit $\mathrm{n}>3$ vérifiant la propriété de l'énoncé.
On a $n \left\lvert\, a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\right.$ et donc $\frac{n+1}{2} \in \mathbb{Z}: n$ est... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-3.jsonl",
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} | 123 | 552 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Existe-t-il des entiers $\mathbf{a}$ et $b$ pour lesquels : $\mathbf{a}^{5} \mathbf{b}+3$ et $\mathbf{a b}^{5}+3$ sont tous deux des cubes parfaits?
Un cube parfait est un entier $n$ pour lequel il existe $m \in \mathbb{Z}$ tel que : $n=m^{3}$. | Nous allons montrer qu'il n'y a pas d'entiers a et b satisfaisant les conditions du problème.
Soient $a$ et $b$ des entiers tels que $a^{5} b+3$ et $a b^{5}+3$ sont des cubes parfaits. Soit $m$ et $n$ des entiers tels que $a^{5} b+3=m^{3}$ et $a b^{5}+3=n^{3}$. Supposons que $3 \mid n$. Alors $27 \mid n$. De plus $3 \m... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 98 | 1,012 |
null | T2 | 10 | null | French_envois | Trouver tous les triplets ( $\mathbf{p , q , r}$ ) de nombres premiers tels que les 3 différences
$$
|p-q|,|q-r|,|r-p|
$$
soient également des nombres premiers. | Notons que les trois nombres doivent être deux à deux distincts puisque 0 n'est pas un nombre premier. On peut donc supposer, quitte à échanger l'ordre des variables, que $p>q>r$. Un nombre premier est impair ou égal à 2 .
On suppose que $p, q$ et $r$ sont tous impairs. Alors $p-q, q-r$ et $r-p$ sont pairs. Comme leur ... | {
"problem_match": "\nExercice 10.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 10"
} | 58 | 626 |
null | T2 | 11 | null | French_envois | Trouver tous les nombres entiers $z \in \mathbb{Z}$ tels que
$$
2^{z}+2=r^{2}
$$
où $r \in \mathbb{Q}$ est un nombre rationnel.
Un nombre rationnel est un nombre qui s'écrit sous la forme $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ avec $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ des entiers et $\mathrm{b} \neq 0$. | Notons que si $(z, r)$ est un couple solution, $(z,-r)$ est également un couple solution. On peut donc supposer pour la suite que $r \geqslant 0$. Etant donné que $2^{z}+z>0$, on a même $r>0$. On pose $r=\frac{a}{b}$, avec $a$ et $b$ des entiers strictement positifs et premiers entre eux.
Si $z \geqslant 0$, alors $2^{... | {
"problem_match": "\nExercice 11.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 11"
} | 107 | 862 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | Déterminer tous les triplets d'entiers $(x, y, z)$ vérifiant la propriété suivante :
$$
\operatorname{pgcd}(x, y, z)<\operatorname{pgcd}(x+y, y+z, z+x)
$$ | Notons que puisque $\operatorname{pgcd}(x, y, z)$ divise chacun des $x, y, z$, il divise également $\operatorname{pgcd}(x+y, y+z, z+x)$.
On remarque que si le triplet $(x, y, z)$ est solution, alors les triplets $(k x, k y, k z)$ sont solutions pour tout $k \in \mathbb{N}^{*}$. On peut donc supposer, quitte à diviser c... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 13"
} | 57 | 604 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | Existe-t-il des entiers $a$ et $b$ pour lesquels : $\mathbf{a}^{5} \mathbf{b}+3$ et $a^{5}+3$ sont tous deux des cubes parfaits?
Un cube parfait est un entier $n$ pour lequel il existe $m \in \mathbb{Z}$ tel que : $\mathfrak{n}=\mathrm{m}^{3}$. | Nous allons montrer qu'il n'y a pas d'entiers a et b satisfaisant les conditions du problème.
Soient $a$ et $b$ des entiers tels que $a^{5} b+3$ et $a b^{5}+3$ sont des cubes parfaits. Soit $m$ et $n$ des entiers tels que $a^{5} b+3=m^{3}$ et $a b^{5}+3=n^{3}$. Supposons que $3 \mid n$. Alors $27 \mid n$. De plus $3 \m... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 14"
} | 98 | 1,146 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Soit $p$ un nombre premier impair, $h<p$ un entier, $e \in\{1,2\}$.
On pose $n=h \cdot p^{e}+1$ et on suppose que:
$$
\left\{\begin{array}{r}
n \mid 2^{n-1}-1 \\
n \nmid 2^{h}-1
\end{array}\right.
$$
Montrer que n est premier. | Soit $\omega$ l'ordre de 2 modulo $n$. Par hypothèse, $\omega$ divise $n-1$ mais $\omega$ ne divise pas $h=\frac{n-1}{p^{e}}$, donc $p$ divise $\omega$.
$\omega$ divise $\phi(n)$ par le théorème d'Euler donc $p$ divise $\phi(n)$. Evidemment, $p$ ne divise pas $n$ donc il existe q premier qui divise n avec $\mathrm{q}=1... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 15"
} | 100 | 745 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soit $m, n \geqslant 2$ des entiers vérifiant la propriété suivante:
$$
a^{n} \equiv 1 \quad(\bmod m) \quad a=1, \ldots, n
$$
Prouver que $m$ est un nombre premier et que $\mathrm{n}=\mathrm{m}-1$. | Commençons par supposer que $m=p$ est un nombre premier. On doit donc montrer $n=p-1$. Si $n \geqslant p$, on a $p^{n} \equiv 1(\bmod p)$, une évidente contradiction. Donc $n<p$.
Considérons $T=X^{n}-1$ le polynôme de $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}[X]$. Il a pour racines par hypothèse $1, \ldots, n$, qui sont au nombre de ... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 79 | 596 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $S$ un ensemble non vide d'entiers strictement positifs vérifiant la propriété suivante : Pour tous entiers $a, b \in S$, l'entier $a b+1$ appartient aussi à $S$.
Montrer que l'ensemble des nombres premiers ne divisant aucun des éléments de $S$ est fini. | Soit $p$ un nombre premier et soit $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{k}$ les restes possibles des éléments de $S$ modulo $p$. On suppose que 0 n'appartient pas à $R=\left\{a_{1}, \ldots, a_{k}\right\}$, c'est-à-dire que $p$ ne divise aucun élément de $S$.
On sait que pour tout $i, j, a_{i} a_{j}+1 \in R$. Notons que si $j$ et $... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 17"
} | 78 | 704 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Trouver tous les entiers $n \geqslant 1$ pour lesquels la fonction:
$$
x \longmapsto x^{x}
$$
prenne toutes les valeurs possibles modulo $n$ lorsque $x$ parcourt $\llbracket 0, n-1 \rrbracket$.
On dit que c'est une surjection dans $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$. | Notons déjà que si $n$ vérifie la propriété, alors tout diviseur d de n la vérifie également. Posons f l'application qui à $x$ dans $\mathbb{N}^{*}$ dans $\mathbb{Z} / \mathfrak{Z} \mathbb{Z}$.
Pour $n=p^{2}$ avec $p$ premier, notons que $p$ n'est pas dans l'image de $f$. En effet, si $f(x) \equiv p\left(\bmod p^{2}\ri... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 18"
} | 94 | 1,643 |
null | T2 | 2 | null | French_envois | Les entiers de 1 à 2020 sont écris au tableau. Jacques a le droit d'en effacer deux et d'écrire à la place leur différence ou leur somme, et de recommencer jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un entier. Est-il possible que l'entier obtenu à la fin soit 321 ? | L'énoncé présente une suite finie d'opérations et le problème demande s'il est possible de partir de la situation initiale pour arriver à une certaine situation finale. Une première idée à essayer dans ce cas est de chercher un invariant.
Une seconde idée est de tester le problème avec des plus petites valeurs. Par exe... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 78 | 507 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Martin cherche à remplir chaque case d'une grille rectangulaire ayant 8 lignes et n colonnes avec l'une des quatre lettres $\mathrm{P}, \mathrm{O}, \mathrm{F}$ et M de sorte que pour toute paire de lignes distinctes, il existe au plus une colonne telle que ses intersections avec les deux lignes sont des cases ayant la ... | Dans ce problème, on cherche le plus grand entier satisfaisant une certaine propriété. Supposons que l'on veuille montrer que le plus grand entier recherché est l'entier c. Pour montrer que $c$ est bien le plus grand entier, on va d'une part montrer que si un entier $n$ satisfait la propriété, alors $n \leqslant \mathr... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 99 | 1,160 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Dans 5 boites se trouvent respectivement 402,403, 404, 405 et 406 pierres. La seule opération autorisée est de prendre 4 pierres dans un tas ayant au moins 4 pierres et d'en mettre une dans chacun des autres tas. Quel est le plus grand nombre de pierre qu'il est possible d'avoir dans un seul tas? | L'énoncé présente une suite d'opérations et décrit une certaine situation initiale. Une première idée à essayer dans ce cas est de chercher un invariant.
Une deuxième idée est de tester l'énoncé pour des valeurs plus petites, par exemple pour des tas de taille $0,1,2,3$ et 4 . Après plusieurs essais, on remarque que le... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 93 | 598 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Un coloriage des entiers $\{1,2, \cdots, 2020\}$ en bleu et rouge est dit agréable s'il n'existe pas deux entiers distincts dans $\{1,2, \cdots, 2020\}$ de même couleur dont la somme est une puissance de 2 . Combien de tels coloriage existent-ils? | Une première idée est de tester l'énoncé pour des valeurs plus petites, par exemple pour un coloriage des entiers de 1 à 7 .
Colorions dans l'ordre les nombres : pour colorier 1, on n'a pas de contrainte apparente, idem pour colorier 2 . Par contre comme $3+1=4$, la couleur de 3 est imposée. Pour colorier 4 , il n'y a ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 87 | 1,112 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit n un entier. On dispose de n couleurs, et chaque point d'un cercle est colorié de l'une de ces couleurs. Montrer qu'il existe deux droites parallèles qui intersectent le cercle en 4 points distincts de même couleur | L'énoncé nous demande de démontrer une existence, on peut essayer de montrer cette existence à l'aide du principe des tiroirs. Gardant cette information en tête, on essaye de traduire le résultat demandé.
Considérons deux droites parallèles coupant le cercle en 4 points distincts. Ces 4 points délimitent un quadrilatèr... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 58 | 1,301 |
null | T2 | 12 | null | French_envois | Martin cherche à remplir chaque case d'une grille rectangulaire ayant 8 lignes et $n$ colonnes avec l'une des quatre lettres $\mathrm{P}, \mathrm{O}, \mathrm{F}$ et M de sorte que pour toute paire de lignes distinctes, il existe au plus une colonne telle que ses intersections avec les deux lignes sont des cases ayant l... | Dans ce problème, on cherche le plus grand entier satisfaisant une certaine propriété. Supposons que l'on veuille montrer que le plus grand entier recherché est l'entier c. Pour montrer que c est bien le plus grand entier, on va d'une part montrer que si un entier n satisfait la propriété, alors $n \leqslant c$ et d'au... | {
"problem_match": "\nExercice 12.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 12"
} | 101 | 1,056 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | Soit $\mathrm{N}>1$. Alice et Bob jouent au jeu suivant. 2 N cartes numérotées de 1 à 2 N sont mélangées puis disposées dans une ligne, de manière à ce que les faces numérotées soient visibles. Chacun à leur tour, Alice et Bob choisissent une carte, soit celle tout à droite soit celle soit à gauche de la ligne, et la g... | On commence par tester le jeu pour des petites valeurs, par exemple pour un jeu composé de $2 \cdot 3$ cartes. Après plusieurs essais, on s'aperçoit par exemple que la stratégie qui consiste à prendre toujours la plus grande carte parmi la carte située la plus à gauche et la carte située la plus à droite ne fonctionne ... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 13"
} | 167 | 732 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | On considère une grille de taille $2019 \times 2019$. Sur cette grille sont posés des cailloux. Une configuration est dite belle s'il n'existe pas de parallélogramme formé par quatre cailloux $A B C D$, tels que $A, B, C$, et $D$ ne soient pas tous alignés.
Quel est le plus grand nombre de cailloux qu'il est possible d... | Dans ce problème, on cherche le plus grand entier satisfaisant une certaine propriété. Supposons que l'on veuille montrer que le plus grand entier recherché est l'entier c. Pour montrer que c est bien le plus grand entier, on va d'une part montrer que si un entier n satisfait la propriété, alors $\mathrm{n} \leqslant \... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 14"
} | 106 | 777 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Un lycée comporte un nombre impair de classes, et, dans chaque classe, un nombre impair d'élèves. Un élève est choisi dans chaque classe pour faire parti du comité des élèves. Si le nombre de classes avec le plus de garçons que de filles est impair, montrer que le nombre de façons de former un comité des élèves contena... | En l'absence d'idées face au problème, on peut essayer de démontrer le résultat par récurrence. Pour regarder si cela pourrait fonctionner, on peut regarder ce qu'il advient du résultat si l'on passe d'un lycée avec 3 élèves à un lycée avec 4 élèves. On vérifie également que les hypothèses de l'énoncé sont adaptées à u... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 15"
} | 113 | 751 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | On considère une grille $2019 \times 2019$. On note $C_{i, j}$ la case sur la i-ième colonne et la j-ième ligne pour $1 \leqslant \mathfrak{i}, \mathfrak{j} \leqslant 2019$. Un coloriage de la grille est formidable s'il n'existe pas $1 \leqslant \mathfrak{i}<\ell \leqslant 2019$ et $1 \leqslant j<k \leqslant 2019$ tels... | Dans ce problème, on cherche le plus petit entier satisfaisant une certaine propriété. Supposons que l'on veuille montrer que le plus petit entier recherché est l'entier c. Pour montrer que c est bien le plus petit entier recherché, on va d'une part montrer que si un entier $n$ satisfait la propriété, alors $n \geqslan... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 190 | 1,971 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Un super-domino est un pavé droit dans une grille en trois dimensions de l'une des trois formes suivantes : $1 \times 1 \times 2,1 \times 2 \times 1$ et $2 \times 1 \times 1$. Quels sont les entiers $a, b, c>1$ tels qu'il est possible de paver un pavé droit de dimensions $\mathrm{a} \times \mathrm{b} \times \mathrm{c}$... | Dans ce problème, on cherche tous les entiers $a, b, c$ satisfaisant certaines propriétés. Nous allons donc établir que si $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ et c satisfont la propriété alors $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ et c sont d'une certaine forme, et d'autre part montrer que si $a, b$ et $c$ sont de la forme trouvée, alors ils ... | {
"problem_match": "## Exercice 17.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 17"
} | 141 | 1,918 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | 2019 élèves participent à un concours et répondent chacun à 6 questions. A la fin du concours, on remarque que, parmi les bonnes réponses données par un quelconque groupe de 3 élèves, il y a au moins une réponse correcte à au moins 5 des 6 questions du concours. Quelle est la valeur minimale du nombre total de réponses... | Dans ce problème, on cherche le plus petit entier satisfaisant une certaine propriété. Supposons que l'on veuille montrer que le plus petit entier recherché est l'entier c. Pour montrer que c est bien le plus petit entier recherché, on va d'une part montrer que si un entier n satisfait la propriété, alors $n \geqslant ... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 18"
} | 95 | 1,935 |
null | T2 | 1 | null | French_envois | Martin et Théo jouent à un jeu : Martin écrit un nombre entier au tableau. Théo a ensuite le droit d'effacer le nombre et de lui ajouter 2 , ou d'effacer le nombre et de lui enlever 3 , ceci autant de fois qu'il veut. Théo gagne s'il arrive à obtenir 2020 après un nombre fini d'étapes, sinon Martin gagne. Quel joueur a... | On commence par tester l'énoncé pour des entiers proches de 2020. Par exemple, on remarque que si Martin écrit les entiers 2018, 2016, ... Théo peut écrire 2020 au tableau en rajoutant au nombre écrit par Martin un nombre suffisamment grand de 2 . On remarque aussi que si Martin écrit 2019, Théo peut aussi gagner en re... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 103 | 611 |
null | T2 | 2 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle tel que $\widehat{B A C}=60^{\circ}$. Soit $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C, H$ son orthocentre et $I$ le point d'intersection des bissectrices. Montrer que les points B, O, I, H et C sont cocycliques. | On traite le cas où les angles du triangle sont aigus.
Avant de se lancer dans une chasse aux angles, on se demande quelles égalités d'angles nous allons déterminer pour montrer que les 5 points sont sur un même cercle. Pour cela, on note qu'on a, à priori, plus facilement accès aux angles des triangles BOC, BHC et BIC... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## \nSolution de l'exercice 2"
} | 86 | 771 |
null | T2 | 3 | null | French_envois | 1. Existe-t-il des nombres $a_{0}, \ldots, a_{2020}$ valant -1 ou 1 tels que $a_{0} \times a_{1}+a_{1} \times a_{2}+\cdots+a_{2019} \times$ $a_{2020}+a_{2020} \times a_{0}=1010 ?$
2. Existe-t-il des nombres $a_{1}, \ldots, a_{2020}$ valant -1 ou 1 tels que $a_{1} \times a_{2}+a_{2} \times a_{3}+\cdots+a_{2019} \times$ ... | Déjà regardons l'énoncé : on veut savoir si on peut trouver des nombres $\left(a_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ valant +1 ou -1 tels que $a_{1} a_{2}+\cdots+a_{n} a_{1}$ vaut 1010 avec dans la première question $n=2021$, dans la seconde $n=2020$. Pour cela on peut tester avec des $n$ petits quels sont les nomb... | {
"problem_match": "## Exercice 3.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 3"
} | 194 | 1,669 |
null | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle dont les angles sont aigus. La hauteur issue de $A$ recoupe le cercle circonscrit au triangle $A B C$ en un point $D$. La hauteur issue de $B$ recoupe le cercle circonscrit au triangle $A B C$ en un point $E$. La droite (ED) coupe les côtés $[A C]$ et $[B C]$ respectivement en les points $P$ et... | Déterminons quels sont les angles qui semblent faciles d'accès. Par exemple, il semble compliqué de pouvoir obtenir l'angle $\widehat{\mathrm{PBQ}}$ ou l'angle $\widehat{\mathrm{PBA}}$. En revanche, on connait déjà l'angle $\widehat{\mathrm{QBA}}$ donc il semble raisonnable d'essayer de montrer que $\widehat{\mathrm{QP... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 133 | 552 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Les cases d'un échiquier $8 \times 8$ sont blanches. Un coup consiste à échanger les couleurs des cases d'un rectangle $3 \times 1$ ou $1 \times 3$ (les cases blanches deviennent noires et les cases noires deviennent blanches). Est-il possible d'aboutir en un nombre fini de coups à la configuration où toutes les cases ... | L'énoncé présente une suite finie d'opérations et le problème demande s'il est possible de partir de la situation initiale pour arriver à une certaine situation finale. Une première idée dans ce cas est de chercher un invariant.
On peut éventuellement essayer à la main de voir s'il est possible d'aboutir à une configur... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 102 | 1,020 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Une grille de taille $\mathrm{n} \times \mathrm{n}$ contient $\mathrm{n}^{2}$ cases. Chaque case contient un entier naturel compris entre 1 et $\boldsymbol{n}$, de telle sorte que chaque entier de l'ensemble $\{1, \ldots, n\}$ apparaît exactement $n$ fois dans la grille. Montrer qu'il existe une colonne ou une ligne de... | Essayons d'abord de regarder ce qui se passe dans ce qui semble être 'le pire cas" : si chaque ligne/colonne ne contient pas beaucoup de numéros, chaque numéro va y être beaucoup présent. En particulier, pour tout $i$, le nombre de $i$ semble être écrit dans peu de lignes et de colonnes. Mais à priori si le numéro $i$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 108 | 955 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle non isocèle en $B$. Soit $D$ le pied de la bissectrice de l'angle $\widehat{A B C}$. Soit $M$ le milieu de l'arc $\widehat{A C}$ contenant $B$ sur le cercle circonscrit au triangle $A B C$. Le cercle circonscrit au triangle $B D M$ coupe la segment $[A B]$ en un point $K$ distinct de $B$. Soit ... | Tout d'abord, on reconnaît dans la figure quelques points connus : le point $M$ est le milieu de l'arc $A C$ contenant $B$, il s'agit donc du pôle Nord du point $B$ dans le triangle $A B C$, c'est-à-dire qu'il est le point d'intersection de la bissectrice extérieure de l'angle $\widehat{A B C}$, de la médiatrice du seg... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 182 | 728 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Déterminer le plus petit entier $\mathrm{n} \geqslant 2$ tel qu'il existe des entiers strictement positifs $a_{1}, \ldots, a_{n}$ tels que
$$
a_{1}^{2}+\ldots+a_{n}^{2} \mid\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right)^{2}-1
$$ | Analysons le problème. Dans ce problème, on cherche le plus petit entier n satisfaisant une certaine propriété. Supposons que l'on veuille montrer que le plus petit entier recherché est l'entier c. Pour montrer que c'est bien le plus petit entier, on doit d'une part montrer que si un entier n satisfait la propriété, al... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 90 | 1,576 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle aux angles aigus. Soit $D$ le pied de la bissectrice de l'angle $\widehat{B A C}$. La perpendiculaire à la droite $(A D)$ passant par le point $B$ recoupe le cercle circonscrit au triangle $A D B$ en un point $E$. Soit $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$. Montrer que les poi... | Examinons les angles que nous pouvons obtenir facilement. Puisque les points $A, E, D$ et $B$ sont sur un même cercle, on doit pouvoir utilise le théorème de l'angle inscrit pour avoir une égalité portant sur $\widehat{\mathrm{EAD}}$. Puisque la droite $(\mathrm{BE})$ est perpendiculaire à la droite $(\mathrm{AD})$, on... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 13"
} | 123 | 716 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | Une grille de taille $\mathrm{n} \times \mathrm{n}$ contient $\mathrm{n}^{2}$ cases. Chaque case contient un entier naturel compris entre 1 et $\boldsymbol{n}$, de telle sorte que chaque entier de l'ensemble $\{1, \ldots, n\}$ apparaît exactement $n$ fois dans la grille. Montrer qu'il existe une colonne ou une ligne de... | Essayons d'abord de regarder ce qui se passe dans ce qui semble être 'le pire cas" : si chaque ligne/colonne ne contient pas beaucoup de numéros, chaque numéro va y être beaucoup présent. En particulier, pour tout $i$, le nombre de $i$ semble être écrit dans peu de lignes et de colonnes. Mais à priori si le numéro $i$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 14"
} | 108 | 947 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Trouver tous les entiers $n \geqslant 1$ tel que pour tout nombre premier $p<n, n-\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor p n$ 'est pas divisible par un carré différent de 1. | Analysons le problème : on cherche les entiers $n$ vérifiant une certaine propriété. On peut déjà commencer par chercher les petites valeurs de n qui conviennent : en testant les entiers $n$ entre 1 et 20 on trouve $\{1,2,3,5,7,13\}$.
Une des premières choses à faire devant ce problème est de réussir à donner un sens à... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 15"
} | 58 | 3,017 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soient $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ des polynômes à coefficients réels tels que $\mathrm{P} \circ \mathrm{Q}=\mathrm{P}^{2019}$. On suppose que toutes les racines de P sont réelles. Montrer qu'elles sont toutes égales. | Face à un problème de polynôme, un premier réflexe peut être de regarder les différents degrés. Ici, on voit que $Q$ est un polynôme de degré 2019 car 2019deg $(P)=\operatorname{deg}\left(P^{2019}\right) \operatorname{deg}(\mathrm{P} \circ$ $Q)=\operatorname{deg}(P) \operatorname{deg}(Q)$.
Maintenant, il faut utiliser ... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 72 | 995 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle, $\Omega$ son cercle circonscrit et $O$ le centre de $\Omega$. Soit $S$ le centre du cercle tangent aux côtés $A B$ et $A C$ et tangent intérieurement au cercle $\Omega$ en un point K . Le cercle de diamètre $[A S]$ recoupe le cercle $\Omega$ en un point $T$. Soit $M$ le milieu du segment [BC].... | Dans ce problème, nous allons utiliser divers résultats autour du cercle tangent aux côtés $A B$ et $A C$ au cercle $\Omega$. Ce cercle est appelé le cercle $A$-mixtilinéaire, on le notera $\omega$. On note U le point de contact de ce cercle avec le côté $A B$ et V le point de contact avec le côté $A C$. On note égalem... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 17"
} | 124 | 2,172 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Soit G un graphe fini non orienté, $\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}, \mathrm{~d} \in \mathbb{N}^{*}$ tel que le degré de tout sommet de G est borné par $d, x$ un sommet de $G$. On note $a(n, x)$ le nombre de sous-graphes induits connexes de G contenant n sommets dont le sommet $x$ (un sous-graphe induit $U$ est un graphe... | Ici, on est face à un problème de graphe, plus précisément on compter les sousgraphes induits contenant $n$ éléments dont un fixé. On aimerait majorer cela, autant la première question semble pouvoir se faire potentiellement en comptant, autant la seconde n'a pas l'air très interprétable : $\frac{(\mathrm{d}+1)^{\mathr... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-commenté-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 18"
} | 257 | 1,932 |
null | T2 | 1 | null | French_envois | Soient $\omega$ et $\Omega$ deux cercles concentriques (c'est-à-dire qu'ils ont le même centre) de sorte que le cercle $\omega$ soit à l'intérieur du cercle $\Omega$. Soient $X$ et $Y$ deux points sur le cercle $\omega$. On note $P$ et $Q$ les points d'intersection respectifs du cercle $\Omega$ avec les tangentes en $X... | Le quadrilatère $X Y Q P$ semble être un trapèze isocèle sur la figure. On commence par le démontrer.
Soit d la médiatrice de $[\mathrm{XY}]$. Puisque O est le centre du cercle $\omega, \mathrm{O}$ appartient à d . Ainsi, les cercles centrés en $O$, et en particulier $\omega$ et $\Omega$, sont envoyés sur eux-mêmes par... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 1"
} | 156 | 824 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle avec $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}=40^{\circ}$. La bissectrice issue du sommet $B$ coupe la droite ( $A C$ ) au point $D$. Montrer que $B D+D A=B C$. | Pour résoudre ce genre d'exercice, une bonne idée est souvent d'essayer de reporter les longueurs qui nous intéressent à des endroits où les calculs seront plus faciles à faire. C'est pour cela que l'on introduit $X$ le point du segment $[B C]$ de telle sorte que $B D=B X$. On veut alors démontrer que $X C=A D$ pour co... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 71 | 523 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle avec $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}=40^{\circ}$. La bissectrice issue du sommet $B$ coupe la droite ( $A C$ ) au point $D$. Montrer que $B D+D A=B C$. | de l'exercice 6
On présente une deuxième solution, correspondant à une deuxième façon de reporter les longueurs à étudier.
Soit $E$ le point de la demi-droite $[B D)$ tel que $B E=B C$. On cherche à montrer que $E D=D A$, de sorte que $B D+D A=B D+D E=B E=B C$. Le triangle $E B C$ est isocèle en $B$, de sorte que $18... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution alternative"
} | 71 | 746 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle. On note $D$ et $E$ les milieux respectifs des côtés $A B$ et $A C$. Soit $O$ le centre du cercle circonscrit du triangle $A B C$. On note K le point d'intersection des droites (OE) et (BC). On note L le deuxième point d'intersection de la droite (OD) avec le cercle circonscrit au triangle OKB.... | En traçant la figure, on s'aperçoit que le point $A$ appartient également au cercle passant $O, K$ et $B$. On commence par démontrer ce fait.
D'une part, d'après le théorème de Thalès les droites ( DE ) et ( BC ) sont parallèles, on a l'égalité des angles alternes-internes :
$$
\widehat{\mathrm{OKB}}=\widehat{\mathrm... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 7"
} | 144 | 841 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus, $\omega$ son cercle circonscrit et O le centre de $\omega$. La perpendiculaire issue de $A$ par rapport à $(B C)$ intersecte $(B C)$ en $D$ et $\omega$ en $E$. Soit $F$ un point sur le segment $[A E]$ tel que $2 \cdot F D=A E$. Soit $\ell$ la perpendiculaire à $(O F)$ pa... | On désire montrer que trois droites sont concourantes. Une stratégie serait donc de considérer le point d'intersection de deux de ces droites et de montrer que ce point appartient à la troisième droite, c'est la stratégie que nous allons adopter ici.
Dans le cas de notre exercice, il était possible de choisir n'import... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 146 | 1,166 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle équilatéral. Soit $X$ un point de la droite ( $B C$ ) différent de $B$ et $C$. Soient $Y$ et $Z$ deux points sur les droites $(A B)$ et $(A C)$ de telle sorte que les deux droites ( $B Z$ ) et ( $C Y$ ) sont parallèles à la droite $(A X)$. La droite $(X Y)$ intersecte la droite ( $A C)$ en $M$ ... | Il existe une preuve naturelle de ce lemme en utilisant des outils de la géométrie projective mais on va donner ici une preuve élémentaire. Soit $W$ l'intersection de la droite ( $X Y$ ) avec la droite ( $A B$ ), on peut alors écrire les identités suivantes qui découlent du théorème de Thalès.
Comme les trois droites ... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Démonstration."
} | 170 | 937 |
null | T2 | 12 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle acutangle. Soient $P$ et $Q$ deux points sur le segment [BC]. On note respectivement $\mathrm{O}_{1}, \mathrm{O}_{2}, \mathrm{O}_{3}$ et $\mathrm{O}_{4}$ les centres des cercles circonscrits des triangles ABP, ABQ, ACP et ACQ . Montrer que les points $\mathrm{O}_{1}, \mathrm{O}_{2}, \mathrm{O}_... | La figure comporte beaucoup d'objets on va donc essayer de la simplifier un peu. On remarque donc dans un premier temps qu'il y a beaucoup d'axes radicaux (les droites ( $A B$ ), ( $A P$ ), ( $A Q$ ) et ( $A C$ ) sur la figure et donc beaucoup d'angles droits avec les centres des cercles. On a les perpendicularités sui... | {
"problem_match": "\nExercice 12.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 12"
} | 148 | 673 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle. Soit $t$ la tangente en $A$ au cercle circonscrit du triangle $A B C$. On note $A^{\prime}$ le point de $t$ de telle sorte que la droite ( $B C$ ) coupe le segment $\left[A A^{\prime}\right]$ en son milieu. On note $C^{\prime}$ le symétrique de C par rapport à $t$. Montrer que les points $B, A... | On note $X$ le point d'intersection des droites ( $A A^{\prime}$ ) et ( $B C$ ). On note de plus $C^{*}$ le symétrique de C par rapport au point $X$. On va montrer que les points $B, A, C^{\prime}$ et $A^{\prime}$ sont cocycliques sur un cercle qui contient de plus le point $\mathrm{C}^{\star}$. On commence par utilise... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 13"
} | 128 | 500 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Soit ABC un triangle et $\Omega$ son cercle circonscrit. On note X le point d'intersection des tangentes à $\Omega$ en $B$ et $C$. On note $\varphi$ l'angle $\widehat{B A X}$ et $\mu$ l'angle $\widehat{X A C}$. On note $Y$ le point de la droite ( $A X$ ) tel que $\widehat{A C Y}=\varphi$. Montrer que $\widehat{A B Y}=\... | de l'exercice 15
On pose $\alpha=\widehat{B A C}, \beta=\widehat{A B C}$ et $\gamma=\widehat{B C A}$. On va utiliser un autre outil classique lorsque qu'il y a des symédianes en jeu, la chasse aux sinus. On remarque dans un premier temps que d'après le théorème de l'angle tangent :
$$
\widehat{B C X}=\widehat{C B X}=... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution alternative"
} | 118 | 546 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe tel que $A C=B D$ et tel que les côtés $A B$ et $C D$ ne sont pas parallèles. Soit $P$ le point d'intersection des diagonales (AC) et (BD). Soient $E$ et $F$ des points respectivement sur les segments $[B P]$ et $[A P]$ tels que $\mathrm{PC}=\mathrm{PE}$ et $\mathrm{PD}=\mathrm{PF... | On note dans un premier temps X l'intersection des droites (CD) et ( $F E$ ), Y l'intersection des droites $(A B)$ et (CD) ainsi que Zl'intersection des droites ( $A B$ ) et (FE).
La première idée de cet exercice est de considérer un point de Miquel (pour savoir ce qu'est un point de Miquel on fait référence au polyco... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 16"
} | 159 | 1,240 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et H son orthocentre. On note $\ell_{1}$ et $\ell_{2}$ deux droites passant par H et perpendiculaire entre elles. On note $X_{1}, Y_{1}$ et $Z_{1}$ les points d'intersection de $\ell_{1}$ avec les droites ( $B C$ ), $(C A)$ et $(A B)$ respectivement. On note également $X_{2}, Y_{2}$ et $Z_{2}$ ... | L'approche présentée dans ce corrigé est longue, mais purement élémentaire et les nombreuses étapes doivent toutes paraître naturelles.
Première étape : les milieux. L'introduction d'un milieu dans un exercice est toujours une épine dans notre pied car cette condition est difficile à utiliser avec notre outil favori : ... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 17"
} | 191 | 2,654 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $\omega$ son cercle inscrit dont les points de tangence sur [BC], [CA] et $[A B]$ sont respectivement $D$, $E$ et $F$. On note $\Omega$ le cercle tangent à $\omega$ et passant par $B$ et $C$ et $T$ le point de tangence de ces deux cercles. On note $X$ et $Y$ les milieux des segments [DE] et ... | Notons E et $W$ les milieux respectifs des arcs $A C$ et $A B$. D'après le lemme du bocal on sait que les points $W$, D et T sont alignés ainsi que les points $\mathrm{T}, \mathrm{F}$ et E . On sait de plus d'après le théorème du pôle sud que les points $B$, I et $E$ sont alignés ainsi que les points $C$, $I$ et $W$. O... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Démonstration."
} | 205 | 938 |
null | T2 | 1 | null | French_envois | Soient x, y deux réels strictement positifs. Montrer que
$$
\left(x+\frac{2}{y}\right)\left(\frac{y}{x}+2\right) \geqslant 8
$$
Quand a-t-on égalité? | Dans cet exercice, on a affaire à des termes strictement positifs dont le produit $x \cdot \frac{2}{y} \cdot \frac{y}{x} \cdot 2=4$ est connu. On pense donc à utiliser l'inégalité arithmético-géométrique qui donne à la fois
$$
x+\frac{2}{y} \geqslant 2 \sqrt{\frac{2 x}{y}}
$$
et
$$
\frac{y}{x}+2 \geqslant 2 \sqrt{\f... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 63 | 562 |
Subsets and Splits
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