year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
values | problem_label stringclasses 119
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values | exam stringclasses 28
values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
null | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $\boldsymbol{n}$ un entier strictement positif et $x \geqslant \mathrm{n}$ un réel. Montrer que $x+\frac{\mathfrak{n}}{\boldsymbol{x}} \geqslant \mathrm{n}+1$ et donner les cas d'égalité. | de l'exercice 4
On repart de l'équation développée $x^{2}-(n+1) x+n \geqslant 0$.
La condition $x \geqslant n$ est très peu naturelle, on préfère des conditions de type $t \geqslant 0$. On pose donc $x=n+t$ $\operatorname{avec} t \geqslant 0$. L'équation se réécrit alors
$$
n^{2}+2 n t+t^{2}-(n+1)(n+t)+n \geqslant 0
... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution alternative"
} | 69 | 518 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Trouver tous les triplets de réels positifs ou nuls ( $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c})$ tels que
$$
\left\{\begin{array}{l}
a^{2}+a b=c \\
b^{2}+b c=a \\
c^{2}+c a=b
\end{array}\right.
$$ | Supposons d'abord qu'un des réels est nul, sans perte de généralité $a=0$. Alors la première équation donne $\mathrm{c}=0$ et la dernière équation donne $\mathrm{b}=0$. Réciproquement, le triplet $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=0$ est bien solution, on suppose à présent que les trois réels sont non nuls.
Supposons ma... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 82 | 856 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Montrer que pour tous réels $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ strictement positifs:
$$
\frac{b c}{a^{2}+2 b c}+\frac{c a}{b^{2}+2 c a}+\frac{a b}{c^{2}+2 a b} \leqslant 1 \leqslant \frac{a^{2}}{a^{2}+2 b c}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2 c a}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2 a b}
$$ | Commençons par résoudre une des inégalités. Dans ce problème, l'inégalité la plus simple à étudier est celle de droite. On applique l'inégalité arithmético-géométrique sur les dénominateurs pour avoir $2 \mathrm{bc} \leqslant \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}$ par exemple, ce qui donne
$$
\frac{a^{2}}{a^{2}+2 b c}+\frac{b... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 138 | 700 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Soient $x, y, z$ des réels strictement positifs tels que $x y+y z+z x=1$. Montrer que
$$
2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+\frac{4}{3}\left(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\right) \geqslant 5
$$ | Dans cet exercice, on aimerait bien appliquer l'inégalité arithmético-géométrique de façon à obtenir une minoration du type $\left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{x^{2}+1} \geqslant 2$. Mais si on s'y prend mal, on n'arrive pas à conclure. En effet, on aurait pu s'en douter en étudiant le cas d'égalité de l'équation. Au vu de ... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 7"
} | 109 | 780 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Soient $a$ et $b$ deux réels. On définit les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ par $a_{0}=a, b_{0}=b$ et pour tout $n$ entier naturel, $a_{n+1}=a_{n}+b_{n}$ et $b_{n+1}=a_{n} b_{n}$. Déterminer toutes les paires $(a, b)$ telles que $\mathrm{a}_{2022}=\mathrm{a}_{0}$ et $\mathrm{b}_{2022}=\mathrm{b}_{0... | Supposons que $(a, b)$ soit une solution de l'énoncé. On calcule
$$
\sum_{i=1}^{2022} a_{i}=\sum_{i=1}^{2022}\left(a_{i-1}+b_{i-1}\right)=\sum_{i=0}^{2021} a_{i}+\sum_{i=0}^{2021} b_{i}
$$
Mais on a
$$
\sum_{i=0}^{2021} a_{i}=a_{0}+\sum_{i=1}^{2021} a_{i}=a_{2022}+\sum_{i=1}^{2021} a_{i}=\sum_{i=1}^{2022} a_{i}
$$
... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 144 | 750 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soient $b_{1}, \ldots, b_{n}$ des réels positifs ou nuls tels que $b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=2$. Soient $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ des nombres réels tels que $a_{0}=a_{n}=0$. Supposons que pour tout $i$ compris entre 1 et $n$ inclus,
$$
\left|a_{i}-a_{i-1}\right| \leqslant b_{i}
$$
Montrer que l'on a
$$
\left(a_{0... | Pour tout indice $i$, on a deux majorations de $a_{i}$. En effet, on peut écrire
$$
\begin{aligned}
a_{i}=a_{i}-a_{0}= & \left(a_{i}-a_{i-1}\right)+\left(a_{i-1}-a_{i-2}\right)+\ldots+\left(a_{1}-a_{0}\right) \\
& \leqslant b_{i}+b_{i-1}+\ldots+b_{1}=\sum_{j=1}^{i} b_{j}
\end{aligned}
$$
et
$$
\begin{aligned}
a_{i}=... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 204 | 1,164 |
null | T2 | 11 | null | French_envois | Soit $n$ un entier strictement positif et $x \geqslant n$ un réel. Montrer que $x+\frac{n}{x} \geqslant n+1$ et donner les cas d'égalité. | de l'exercice 11
On repart de l'équation développée $x^{2}-(n+1) x+n \geqslant 0$.
La condition $x \geqslant n$ est très peu naturelle, on préfère des conditions de type $t \geqslant 0$. On pose donc $x=n+t$ $\operatorname{avec} t \geqslant 0$. L'équation se réécrit alors
$$
\mathrm{n}^{2}+2 n t+\mathrm{t}^{2}-(n+1)(... | {
"problem_match": "\nExercice 11.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution alternative"
} | 55 | 568 |
null | T2 | 12 | null | French_envois | Soit ( $a_{n}$ ) une suite de réels. On suppose que $a_{0}=1$ et que pour tout $n \geqslant 1, a_{n}$ est la plus petite solution strictement positive de
$$
\left(a_{n}-a_{n-1}\right)\left(a_{n}+a_{n-1}-2 \sqrt{n}\right)=2 .
$$
Trouver le plus petit entier $n$ tel que $a_{n} \geqslant 2022$. | Pour se donner une idée du problème, on calcule les premières valeurs de $a_{n}$ : pour $a_{1}$, l'équation s'écrit
$$
\left(a_{1}-1\right)\left(a_{1}-1\right)=2
$$
donc $a_{1}-1=\sqrt{2}$ ou $-\sqrt{2}$. Seul le premier cas donne une solution positive $a_{1}=1+\sqrt{2}$. Cherchons maintenant à calculer $a_{2}: 1$ 'é... | {
"problem_match": "\nExercice 12.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 12"
} | 120 | 970 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | Soit $n \geqslant 3$ et soient $x_{1}, \ldots, x_{n}$ des réels. Montrer que
$$
2\left(x_{1}+\cdots+x_{n}\right)^{2} \leqslant n\left(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n}+x_{n} x_{1}\right)
$$ | La difficulté de l'exercice est le fait que l'énoncé n'est pas symétrique. Au vu de celui-ci, on veut faire apparaître les produits $x_{i} x_{i+1}$; pour cela, on peut penser à utiliser le développement de $\left(x_{i}+x_{i+1}\right)^{2}$. On a
$$
\begin{gathered}
\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n-1}+x_{n... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 13"
} | 125 | 879 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | Soient $a, b, c, x, y, z>0$ tels que $a+b+c=x+y+z$ et $a b c=x y z$. On suppose de plus $a \leqslant x<y<z \leqslant c$ et $a<b<c$. Montrer que $a=x, b=y, c=z$. | Les termes $a+b+c$ et $a b c$ nous rappellent les formules de Viète qui lient les coefficients d'un polynôme à ses racines. Ceci nous invite à considérer les polynômes $P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)$ et $Q(X)=$ $(X-x)(X-y)(X-z)$. Sous forme développée, on a
$P(X)=X^{3}-(a+b+c) X^{2}+(a b+b c+c a) X-a b c, \quad Q(X)=X^{3}-(x+y+... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 14"
} | 78 | 797 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Pour une fonction $f$ et $n$ un entier strictement positif, on note $f^{n}$ la composée $n$-ième de f définie par $\mathrm{f}^{\mathrm{n}}=\mathrm{f} \circ \mathrm{f} \circ \ldots \circ \mathrm{f}$ pù f apparaît n fois dans le membre de droite.
Trouver toutes les fonctions $\mathrm{f}: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathb... | En $m=n$, on trouve que $f(m)^{2}=f^{f(m)}(m)+m^{2}>m^{2}$, ce qui donne $f(m)>m$ car $f(m)$ est positif, et donc comme $f(m)$ est entier, $f(m) \geqslant m+1$. Par une récurrence simple, on trouve que pour tous les entiers $k$, $m$ strictement positifs, $f^{k}(m) \geqslant m+k$.
Mais on remarque qu'à part le premier t... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 15"
} | 166 | 994 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soient $b_{1}, \ldots, b_{n}$ des réels positifs ou nuls tels que $b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=2$. Soient $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ des nombres réels tels que $a_{0}=a_{n}=0$. Supposons que pour tout $i$ compris entre 1 et $n$ inclus,
$$
\left|a_{i}-a_{i-1}\right| \leqslant b_{i}
$$
Montrer que l'on a
$$
\left(a_{0... | Pour tout indice $i$, on a deux majorations de $a_{i}$. En effet, on peut écrire
$$
\begin{aligned}
a_{i}=a_{i}-a_{0}= & \left(a_{i}-a_{i-1}\right)+\left(a_{i-1}-a_{i-2}\right)+\ldots+\left(a_{1}-a_{0}\right) \\
& \leqslant b_{i}+b_{i-1}+\ldots+b_{1}=\sum_{j=1}^{i} b_{j}
\end{aligned}
$$
et
$$
\begin{aligned}
a_{i}=... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 16"
} | 204 | 1,760 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $\alpha \neq 0$. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que pour tous réels $x, y$,
$$
f\left(x^{2}+y+f(y)\right)=f(x)^{2}+\alpha y
$$ | Posons $x=0$. Alors l'équation devient $f(y+f(y))=f(0)^{2}+\alpha y$ pour tout $y$. Comme $\alpha$ est non nul, le côté droit décrit tous les réels lorsque $y$ varie, et ainsi $f$ est surjective.
Posons $y=0$. Alors on peut écrire pour tout réel $x$,
$$
\mathbf{f}(\mathrm{x})^{2}=\mathbf{f}\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 17"
} | 73 | 1,781 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Soit $\mathrm{P}(\mathrm{X})$ un polynôme à coefficients réels unitaire de degré 2022. Emile joue au jeu suivant : il écrit le polynôme $P(X)$ au tableau et à chaque étape, si le polynôme $f(X)$ est écrit au tableau, Emile peut le remplacer par :
- Le polynôme $f(X)+c$, pour $c$ un réel de son choix, ou
- le polynôme ... | On dit qu'un entier n fonctionne si quelque soit le polynôme P initial, Emile peut trouver une suite d'opérations telles que le polynôme obtenu ait exactement n racines réelles distinctes.
Commençons par faire la remarque simple qu'à chaque étape, quoique choisisse Emile, le polynôme écrit au tableau sera unitaire, de ... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-2.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 18"
} | 187 | 2,167 |
null | T2 | 3 | null | French_envois | Soit $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \geqslant 1$ des entiers tels que $\mathrm{a}^{\mathrm{b}} \mid \mathrm{b}^{\mathrm{c}}$ et $\mathrm{a}^{\mathrm{c}} \mid \mathrm{c}^{\mathrm{b}}$. Montrer que $\mathrm{a}^{2} \mid \mathrm{bc}$. | Nous allons regarder les valuations $p$-adiques de chacun des nombres premiers $a, b$ et $c$. En effet, il suffit de montrer que pour tout nombre premier $p$, on a $2 v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})=v_{\mathfrak{p}}\left(\mathrm{a}^{2}\right) \leqslant v_{\mathfrak{p}}(\mathrm{bc})=v_{\mathfrak{p}}(b)+v_{\mathfrak{p}}(\... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 3"
} | 101 | 512 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Un ensemble E d'entiers strictement positifs est dit intéressant si pour tout $\mathrm{n} \geqslant 1$ et pour tous $x_{1}, \ldots, x_{n}$ des éléments de $E$ deux à deux distincts, leur moyenne arithmétique $\frac{1}{n}\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right)$ et leur moyenne géométrique $\left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\r... | 1) Pour commencer, on peut remarquer que si $n \geqslant 1$, alors dès que $x_{1}, \ldots, x_{n} \geqslant 1$ sont des entiers tous multiples de $n$, chacun des nombres $\frac{x_{k}}{n}$ est un entier, de sorte que leur somme $\frac{1}{n}\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right)$ est un entier. De même, si $n \geqslant 1$, alors... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 159 | 902 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $p$ un nombre premier. Montrer qu'il existe une permutation $\left(a_{1}, \ldots, a_{p}\right)$ de $(1, \ldots, p)$ telle que les entiers $a_{1}, a_{1} \cdot a_{2}, \ldots, a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{p}$ donnent $p$ restes deux à deux distincts lorsque qu'on réalise leur divison euclidienne par $p$. | On peut être très optimiste sur cet exercice et vouloir que $a_{1} a_{2} \cdots a_{k} \equiv k$ $\bmod p$ pour tout $k$ compris entre 1 et $p$. Il faut donc que $a_{1}=1$ et pour tout $k \neq 1$ :
$$
a_{k} \equiv \frac{a_{1} \cdots a_{k}}{a_{1} \cdots a_{k-1}} \equiv \frac{k}{k-1} \quad \bmod p
$$
où l'on note $\frac... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 115 | 687 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $n \geqslant 1$ un entier. Trouver tous les diviseurs $d \geqslant 1$ de $3 n^{2}$ tels que $n^{2}+d$ soit un carré parfait. | Soit $d \geqslant 1$ un diviseur de $3 n^{2}$ tel que $n^{2}+d$ soit un carré parfait. Puisque $n^{2}<n^{2}+d<=n^{2}+3 n^{2}=(2 n)^{2}$, il existe $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ tel que $n^{2}+d=(n+k)^{2}$. En simplifiant, on obtient $d=2 k n+k^{2}$, de sorte que $k(k+2 n) \mid 3 n^{2}$.
Notons $\alpha=\operatornam... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 57 | 680 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Un ensemble $A$ d'entiers est dit admissible s'il vérifie la propriété suivante : pour tous $x, y \in A$ (non nécessairement distincts), et pour tout $k \in \mathbb{Z}$, on a $x^{2}+k x y+y^{2} \in A$.
Déterminer tous les couples d'entiers non nuls ( $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ ) tels que le seul ensemble admissible conte... | Remarquons que si $\mathrm{d}=\operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathfrak{n})>1$ alors l'ensemble $A$ des multiples de d est un ensemble admissible contenant $n$ et $m$ mais $n$ 'étant pas égal à $\mathbb{Z}$. En effet, si $x$ et $y$ sont multiples de $d$, alors pour tout entier $k, x^{2}+k x y+y^{2}$ est bien divisible p... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 125 | 699 |
null | T2 | 10 | null | French_envois | Soit $a, b, c \geqslant 1$ des entiers tels que $a^{b} \mid b^{c}$ et $a^{c} \mid c^{b}$. Montrer que $a^{2} \mid b c$. | Nous allons regarder les valuations $p$-adiques de chacun des nombres premiers $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ et c . En effet, il suffit de montrer que pour tout nombre premier $p$, on a $2 v_{p}(a)=v_{p}\left(a^{2}\right) \leqslant$ $v_{p}(b c)=v_{p}(b)+v_{p}(c)$.
Soit $p$ un nombre premier. L'hypothèse que $a^{b} \mid b^{c... | {
"problem_match": "\nExercice 10.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 10"
} | 59 | 529 |
null | T2 | 13 | null | French_envois | Soit $\mathrm{f}: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star}$ une fonction telle que pour tout entier $\mathrm{n} \geqslant 1, \mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{n}))$ soit égal au nombre de diviseurs positifs de $n$. Montrer que si $p$ est un nombre premier, alors $f(p)$ est aussi un nombre premier. | Dans la suite, on note $d(n)$ le nombre de diviseurs positifs de $n$. Si $p$ est premier, on a $f(f(p))=2$ par définition. En appliquant f des deux côtés de l'égalité, on voit que $f(2)=d(f(p))$. On veut donc montrer que $f(2)=2$, ce qui prouvera que $f(p)$ a exactement deux diviseurs et est donc premier. Or, on a auss... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 13"
} | 103 | 604 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | On dit que deux entiers $a, b \in \mathbb{N}^{\star}$ sont reliés s'il existe un nombre premier $p$ tel que $\mathrm{a}=\mathrm{pb}$ ou $\mathrm{b}=\mathrm{pa}$.
Trouver tous les entiers $n \geqslant 1$ ayant la propriété suivante : on peut écrire tous les diviseurs positifs de $n$ (1 et n compris) exactement une fois ... | Traitons d'abord le cas où $n$ n'a qu'un seul facteur premier, donc $\mathrm{n}=\mathrm{p}^{\alpha}$. Si $\alpha \leqslant 1$, n'importe quelle configuration marche. En revanche, si $\alpha \geqslant 2,1$ doit être placé à côté de deux nombres différents, et n'est relié qu'à un seul autre diviseur de $p^{\alpha}$ (celu... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 14"
} | 129 | 968 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soient $p$ un nombre premier impair et $x_{1}, \ldots, x_{p}$ des entiers relatifs.
On suppose que pour tout $k \geqslant 1$ entier, on a
$$
\mathrm{p} \mid \mathrm{x}_{1}^{\mathrm{k}}+\cdots+\mathrm{x}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{k}}
$$
Montrer que les entiers $x_{1}, \ldots, x_{p}$ sont tous congrus modulo $p$. | Notons que la relation est également vrai pour $k=0$ car $\underbrace{1+\ldots+1}_{\mathrm{p} \text { fois }} \equiv 0$ $\bmod p$
Soit $\mathrm{Q}(\mathrm{X})=\sum_{\mathrm{k}=0}^{n} \mathrm{a}_{\mathrm{k}} X^{\mathrm{k}}$ un polynôme à coefficients entiers. On a
$$
\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{1}\right)+\ldots+\mathrm... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 116 | 558 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soient $p$ un nombre premier impair et $x_{1}, \ldots, x_{p}$ des entiers relatifs.
On suppose que pour tout $k \geqslant 1$ entier, on a
$$
\mathrm{p} \mid \mathrm{x}_{1}^{\mathrm{k}}+\cdots+\mathrm{x}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{k}}
$$
Montrer que les entiers $x_{1}, \ldots, x_{p}$ sont tous congrus modulo $p$. | : On présente une solution un peu plus conceptuelle qui s'appuie sur la structure de corps de $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ et sur le fait que les sommes de Newton des racines d'un polynôme déterminent ses coefficients.
Soit $P(X)=\left(X-x_{1}\right) \ldots\left(X-x_{p}\right)$ le polynôme unitaire à coefficients entier... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 116 | 595 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $n$ un entier strictement positif et soient $a, a_{1}, \ldots, a_{n}$ des entiers strictement positifs. On suppose que pour tout entier $k$ pour lequel l'entier $a k+1$ est un carré parfait, au moins l'un des entiers $a_{1} k+1, \ldots, a_{n} k+1$ est également un carré parfait.
Montrer qu'il existe un indice $1 \... | En effet, soit a tel que $a^{2} \equiv x(\bmod p)$, ce qu'on réécrit sous la forme $a^{2}-x=k p$. Mais alors on obtient $\left(a-2^{-1} k p\right)^{2} \equiv a^{2}-k p \equiv x\left(\bmod p^{2}\right)$, et 2 est inversible modulo $p^{2}$ car $p$ est impair. Ainsi, $x$ est bien un résidu quadratique modulo $p^{2}$.
Lemm... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration:"
} | 133 | 1,932 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Déterminer tous les polynômes $\mathrm{P} \in \mathbb{Z}[\mathrm{X}]$ tels que :
(i) $\mathrm{P}(\mathrm{n}) \geqslant 1$ pour tout $n \geqslant 1$
(ii) $\mathrm{P}(\mathrm{mn})$ et $\mathrm{P}(\mathrm{m}) \mathrm{P}(\mathrm{n})$ ont le même nombre de diviseurs premiers pour tous $\mathrm{m}, \mathrm{n} \geqslant 1$. | On montre d'abord le résultat pour des petites valeurs de k .
Tout d'abord, par hypothèse, $\delta\left(\mathrm{P}\left(\mathrm{n}^{2}\right)\right)=\delta\left(\mathrm{P}(\mathrm{n})^{2}\right)=\delta(\mathrm{P}(\mathrm{n}))$. De même, $\delta\left(\mathrm{P}\left(\mathrm{n}^{4}\right)\right)=\delta\left(\mathrm{P}\le... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-3.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration:"
} | 126 | 2,196 |
null | T2 | 2 | null | French_envois | Une ligne maritime Est-Ouest voit partir chaque matin 10 bateaux à des moments tous distincts, 5 bateaux partent du côté Ouest et 5 du côté Est. On suppose qu'ils naviguent tous à la même vitesse et que dès que deux bateaux se rencontrent ils se retournent et repartent chacun de leur côté, toujours à la même vitesse. Q... | Le nombre de croisements ne change pas si on dit que les bateaux continuent tout droit au lieu de faire demi-tour lors d'une rencontre. Chaque bateau qui part d'un côté croise tous les autres bateaux qui partent de l'autre côté. Il y a donc $5 \times 5=25$ rencontres.
Commentaire des correcteurs: L'énoncé de cet exerc... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 101 | 671 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Au moins $\mathrm{n}\left(\sqrt{\mathrm{n}}+\frac{1}{2}\right)$ carrés d'un échiquier $\mathrm{n} \times \mathrm{n}$ ont été marqués. Montrer qu'il existe quatre cases marquées qui forment les coins d'un rectangle. | On essaye d'utiliser le principe des tiroirs. S'il y a deux cases marquées aux coordonnées $(i, j)$ et $(i, k)$, on met une chaussette dans le tiroir étiqueté $(\mathfrak{j}, k)$. Il y a $\frac{n(n-1)}{2}$ tiroirs possibles. $S^{\prime}$ il y a deux chaussettes dans le même tiroir $(\mathfrak{j}, k)$, c'est qu'il exist... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 65 | 633 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Dans un tournoi organisé entre 6 équipes, chaque équipe joue contre chaque autre équipe exactement une fois. Lorsqu'une équipe gagne, elle obtient 3 points, et l'équipe perdante reçoit 0 point. Si la partie est nulle, les deux équipes reçoivent un point. Déterminez les a pour lesquels il est possible que les scores fin... | Lors de chaque match, entre deux et trois points sont attribués au total. Étant donné qu'il y a 15 matchs au total, il y a donc eu entre 30 et 45 points de répartis entre les équipes. On doit donc avoir:
$$
\begin{aligned}
& 30 \leqslant a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+5) \leqslant 45 \\
& 30 \leqslant 6 a+15 \leqslant 45
\en... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 122 | 567 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Plusieurs nombres sont écrits sur une ligne. Thanima a le droit de choisir deux nombres adjacents de telle sorte que le nombre de gauche soit strictement plus grand que le nombre de droite, elle échange alors ces deux nombres et les multiplie par 2. Montrer que Thanima ne peut effectuer qu'un nombre fini de telles opér... | On commence par poser un jeton sur le minimum (si égalité, sur le nombre le plus à gauche). On bouge le jeton avec le nombre sur lequel il est posé. On va montrer que le jeton se déplace toujours vers la gauche.
Pour cela, supposons par l'absurde qu'à un moment, le jeton s'est déplacé vers la droite. Alors soit x la po... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 80 | 628 |
null | T2 | 12 | null | French_envois | Les nombres $0,1, \ldots, n$ sont écrits sur un tableau. À tout moment, Thanima peut effacer un nombre s'il est la moyenne arithmétique de deux nombres encore présents sur le tableau. L'objectif de Thanima est d'effacer le plus de nombre possible, et elle joue de façon optimale. En fonction de n, combien de nombres res... | Si $n \leqslant 2$, la réponse est $n$.
Sinon, à la fin du procédé, il existe toujours au moins deux nombres : on ne peut effacer ni 0 ni n .
Si $n=2^{k}$ est une puissance de 2 , il est possible de n'avoir que deux nombres sur le tableau à la fin : on commence par effacer tous les nombres congrus à 1 modulo 2 , puis ... | {
"problem_match": "\nExercice 12.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 12"
} | 97 | 565 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | On place un certain nombre de segments ouverts dans le plan, aucun d'entre eux n'est parallèle aux axes $x$ et $y$. Ces segments sont disjoints. Thanima commence à se déplacer depuis $(0,0)$ parallèlement à l'axe $x$. À chaque fois qu'elle rencontre un mur, elle tourne de 90 degrés, et continue à se déplacer sans trave... | On commence par démontrer qu'il existe un mur qui est plus bas que tous les autres (c'est à dire que l'ensemble des points sous ce segment n'intersecte aucun segment). Supposons par l'absurde que ce $n$ 'est pas le cas. On peut alors construire un cycle $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, \ldots, A_{k}, B_{k}$ qui ne s'inters... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 15"
} | 117 | 568 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $k, n \geqslant 1$ deux entiers fixés. Thanima possédait 2 n bonbons de chaque couleur. Elle a donné deux bonbons de couleurs différentes à chacun des enfants de sa famille. Sachant que quelque soit la manière de choisir $k+1$ enfants, il y en a deux parmi eux qui ont reçu une couleur de bonbon en commun, trouvez ... | On peut modéliser le problème par un graphe : chaque sommet de ce graphe est une couleur. Si Thanima a donné un bonbon d'une couleur $\mathrm{c}_{1}$ et un bonbon d'une couleur $\mathrm{c}_{2}$ à un enfant de sa famille, on ajoute une arête entre $\mathrm{c}_{1}$ et $\mathrm{c}_{2}$.
Comme Thanima n'a que 2 n bonbons d... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 17"
} | 100 | 1,091 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Thanima possède un magnifique collier constitué de rubis, d'émeraudes et de saphirs, que l'on représente par une suite de $\mathrm{R}, \mathrm{E}$ et S . En une opération magique, elle peut faire l'une des actions suivantes :
- Remplacer un motif RR dans le collier par un motif ES (ou ES par RR).
- Remplacer un motif ... | Supposons que Thanima dispose de trois objets numérotés 1,2 et 3 sur trois supports numérotés 1,2 et 3 . Au début, chaque objet se trouve sur le support qui porte le même numéro. Thanima peut lire les lettres du collier une par une de gauche à droite et faire les opérations suivantes :
- Si elle voit un E, elle échang... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-4.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 18"
} | 208 | 844 |
null | T2 | 3 | null | French_envois | Soient $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ deux cercles de centres respectifs $O_{1}$ et $O_{2}$. On suppose que $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ se coupent en les points $A$ et $B$. La droite $\left(O_{1} A\right)$ recoupe le cercle $\omega_{2}$ en $C$ tandis que la droite $\left(O_{2} A\right)$ recoupe le cercle $\omega_{1}$ en... | Notons que puisque les angles $\widehat{\mathrm{DAO}_{1}}$ et $\widehat{\mathrm{CAO}_{2}}$ sont opposés par le sommet, ils sont égaux. D'autre part, puisque les points $A$ et $D$ appartiennent au cercle $\omega_{1}$, le triangle $A O_{1} D$ est isocèle en $O_{1}$. De même, le triangle $\mathrm{CO}_{2} A$ est isocèle en... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 3"
} | 158 | 609 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Soient $x, y, z$ des réels strictement positifs tels que
$$
x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2
$$
Déterminer toutes les valeurs possibles que peut prendre le nombre $x+y+z$. | Dans un tel problème, il faut chercher à examiner chaque équation séparément mais aussi à les mettre en relation. En pratique, cela consiste à regarder l'équation obtenue lorsque l'on effectue la somme ou le produit de deux ou plusieurs équations. Une autre idée est d'appliquer des inégalités connues d'un côté ou de l'... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 67 | 691 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $n \geqslant 1$ un entier strictement positif. Sur un mur, $n$ clous sont plantés. Chaque paire de clous est reliée par une corde coloriée à l'aide d'une des n couleurs. On dit que le mur est coloré si pour tout triplet de couleurs deux à deux distinctes $a, b, c$, il existe trois clous tels que les trois cordes r... | C'est en fait la parité de n qui est cruciale.
Cas n pair : Il y a $\frac{n(n-1)}{2}$ donc en moyenne il y a $\frac{n-1}{2}$ cordes de chaque couleur. Ce nombre n'étant pas entier, il y a des couleurs avec plus de cordes que la moyenne et des avec moins. On pourrait tout-à-fait choisir une couleur sous-représentée et c... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 7"
} | 152 | 588 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $\Gamma$ un cercle et P un point à l'extérieur de $\Gamma$. Les tangentes à $\Gamma$ issues de P touchent $\Gamma$ en $A$ et $B$. Soit $K$ un point distinct de $A$ et $B$ sur le segment $[A B]$. Le cercle circonscrit au triangle $P B K$ recoupe le cercle $\Gamma$ au point $T$. Soit $P^{\prime}$ le symétrique du po... | D'après le théorème de l'angle inscrit, $\widehat{\mathrm{PBT}}=\widehat{\mathrm{PKT}}$. Ainsi, il suffit de montrer que $\widehat{\mathrm{PKT}}=\widehat{\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{KA}}$. La figure semble suggérer que les triangles PKT et $P^{\prime}$ KA sont semblables, nous allons donc essayer de montrer ce résultat... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 150 | 805 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Soient $a_{1}, \ldots, a_{101}$ des réels appartenant à l'intervalle $[-2 ; 10]$ tels que
$$
a_{1}+\ldots+a_{101}=0
$$
Montrer que
$$
a_{1}^{2}+\ldots+a_{101}^{2} \leqslant 2020
$$ | Lorsque l'on effectue des inégalités sur des réels qui ne sont pas forcément positifs, il est essentiel de séparer les variables positives et négatives. Cette idée simple constitue souvent l'idée de départ dans la solution et peut mener à des développements intéressants, en plus de prévenir certaines erreurs lors de ma... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 96 | 1,035 |
null | T2 | 12 | null | French_envois | Soient $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ deux cercles de centres respectifs $\mathrm{O}_{1}$ et $\mathrm{O}_{2}$. On suppose que $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ se coupent en les points $A$ et $B$. La droite $\left(O_{1} A\right)$ recoupe le cercle $\omega_{2}$ en $C$ tandis que la droite $\left(O_{2} A\right)$ recoupe le cerc... | Notons que puisque les angles $\widehat{\mathrm{DAO}_{1}}$ et $\widehat{\mathrm{CAO}_{2}}$ sont opposés par le sommet, ils sont égaux. D'autre part, puisque les points $A$ et $D$ appartiennent au cercle $\omega_{1}$, le triangle $A O_{1} D$ est isocèle en $O_{1}$. De même, le triangle $\mathrm{CO}_{2} A$ est isocèle en... | {
"problem_match": "\nExercice 12.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 12"
} | 162 | 614 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | Soit $\Gamma$ un cercle et $P$ un point à l'extérieur de $\Gamma$. Les tangentes à $\Gamma$ issues de $P$ touchent $\Gamma$ en $A$ et $B$. Soit $K$ un point distinct de $A$ et $B$ sur le segment $[A B]$. Le cercle circonscrit au triangle PBK recoupe le cercle $\Gamma$ au point $T$. Soit $\mathrm{P}^{\prime}$ le symétri... | D'après le théorème de l'angle inscrit, $\widehat{\mathrm{PBT}}=\widehat{\mathrm{PKT}}$. Ainsi, il suffit de montrer que $\widehat{\mathrm{PKT}}=\widehat{\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{KA}}$. La figure semble suggérer que les triangles PKT et $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{KA}$ sont semblables, nous allons donc essayer de m... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 14"
} | 154 | 748 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | Soit $\Gamma$ un cercle et $P$ un point à l'extérieur de $\Gamma$. Les tangentes à $\Gamma$ issues de $P$ touchent $\Gamma$ en $A$ et $B$. Soit $K$ un point distinct de $A$ et $B$ sur le segment $[A B]$. Le cercle circonscrit au triangle PBK recoupe le cercle $\Gamma$ au point $T$. Soit $\mathrm{P}^{\prime}$ le symétri... | $n^{\circ} 2$ :
En cas d'allergie à la chasse aux angles, il est aussi possible de progresser dans le problème avec des idées avancées. Le problème se présente naturellement comme dynamique : en gardant fixe $\Omega, P, A, B, P^{\prime}$ on peut faire bouger K projectivement. Alors la T bouge aussi projectivement car ... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution "
} | 154 | 508 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Soient $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ et $\times$ des entiers strictement positifs. Montrer que
$$
\sum_{i=1}^{n} \min \left(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor, m\right)=\sum_{i=1}^{m} \min \left(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor, n\right)
$$ | Quitte à échanger $m$ et $n$, on peut supposer que $m \leqslant n$. On procède alors par récurrence sur $n$ à $m$ fixé.
Initialisation : Si $\mathrm{m}=\mathrm{n}$, l'égalité est triviale.
Hérédité : Supposons l'égalité vraie pour un certain $n \geqslant m$ et cherchons à montrer que l'égalité est vraie pour $n+1$. Le ... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 15"
} | 98 | 1,215 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle dans lequel $A B<A C$. Soit $\omega$ un cercle passant par $B$ et $C$ et on suppose que le point $A$ se trouve à l'intérieur du cercle $\omega$. Soient $X$ et $Y$ des points de $\omega$ tels que $\widehat{B X A}=\widehat{A Y C}$. On suppose que $X$ et $C$ sont situés de part et d'autre de la dr... | Tout d'abord, nous allons chercher à tracer une figure exacte, en espérant que les raisonnements mis en oeuvre pour le tracé nous éclairerons sur la dynamique de la figure.
Pour tracer la figure, on cherche à tirer profit de l'hypothèse que les points $X, B, C$ et $Y$ sont sur un même cercle, à l'aide du théorème de l... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 178 | 876 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle dans lequel $A B<A C$. Soit $\omega$ un cercle passant par $B$ et $C$ et on suppose que le point $A$ se trouve à l'intérieur du cercle $\omega$. Soient $X$ et $Y$ des points de $\omega$ tels que $\widehat{B X A}=\widehat{A Y C}$. On suppose que $X$ et $C$ sont situés de part et d'autre de la dr... | $n^{\circ} 2$ :
On propose une solution alternative utilisant des connaissances avancées. L'énoncé du problème nous invite à considérer le problème dynamiquement, puisque la partie fixe et la partie mobile de la figure a déjà été spécifiée dans l'énoncé. Si la construction de $X$ et $Y$ ne semble pas projective, l'éno... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution "
} | 178 | 764 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Une suite réelle $a_{1}, \ldots, a_{k}$ est casable dans l'intervalle $[b, c]$ si il existe des réels $x_{0}, \ldots, x_{k}$ dans $[b, c]$ tels que $\left|x_{i}-x_{i-1}\right|=a_{i}$ pour $k \geqslant i \geqslant 1$. La suite est normalisée si ses termes sont tous inférieurs ou égaux à 1 .
1) Montrer que pour tout ent... | 1) Dans la suite, on dira qu'une suite de ( $x_{i}$ ) satisfaisant la propriété de l'énoncé case la suite ( $a_{i}$ ). On commence par se donner une idée du problème en essayant de montrer l'énoncé pour des petites valeurs de $n$. Si $n=0$, il faut montrer qu'existent $x_{0}, x_{1} \in[0,1]$ tels que $\left|x_{1}-x_{0}... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 17"
} | 244 | 2,864 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Un graphe G fini simple à $n$ sommets est dit divisible s'il est possible d'attribuer à chaque sommet $s$ de $G$ un numéro $n_{s}$ de sorte que deux sommets distincts possèdent toujours deux numéros distincts et deux sommets quelconques $s$ et $s^{\prime}$ sont reliés par une arête si et seulement si $n_{s} \mid n_{s^{... | Un graphe est de divisibilité ssi on peut l'orienter (dans le sens des divisibilités) de manière à ce que s'il y a un arc (arête orientée) de A vers B et un de B vers C, il y en a un de A vers C. En effet, on peut alors attribuer à chaque sommet un nombre premier différent, et le nombre attribué pour les relations de d... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé-envoi-5.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 18"
} | 268 | 1,291 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Soit $n \in \mathbb{N}^{\star}$. Montrer que si $2 n+1$ et $3 n+1$ sont des carrés parfaits, alors $5 n+3$ n'est pas premier. | Supposons que $2 \mathrm{n}+1$ et $3 \mathrm{n}+1$ sont des carrés parfaits : on dispose de $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ deux entiers strictement positifs $(2 n+1,3 n+1>0)$ tels que $2 \mathfrak{n}+1=a^{2}$ et $3 n+1=b^{2}$. Ici, il s'agit de remarquer que $5 \mathfrak{n}+3=4 \times(2 n+1)-(3 n+1)=4 a^{2}-b^{2}$. Pour trou... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 54 | 823 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $n \geqslant 2$. Montrer qu'il existe des entiers $a, b$ tels que, pour tout entier $m$, le nombre $m^{3}+a m+b$ ne soit pas un multiple de $n$. | $7 \quad \mathrm{~m}^{3}+\mathrm{am}+\mathrm{b}$ est un multiple de n si et seulement si $\mathrm{m}^{3}+\mathrm{am} \equiv-\mathrm{b}(\bmod \mathrm{n})$. On remarque alors qu'il suffit de trouver a tel que $\mathrm{m}^{3}+\mathrm{am}$ ne prend pas toutes les valeurs possibles modulo $n$ (et de prendre pour $-b$ une de... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice "
} | 57 | 882 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Trouver tous les entiers $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{N}$ tels que $1517^{\mathrm{a}}+15^{\mathrm{b}}=1532^{\mathrm{c}}$. | On commence par traiter les petites valeurs de c.
Si $c=0,1517^{a}+15^{b}=1$ n'a pas de solution.
Si $c=1$, on doit trouver $a, b$ tels que $1517^{a}+15^{b}=1532$. Si $a \geqslant 2$ ou si $a=0$ il n'y a pas de solution. Si $\mathrm{a}=1$, alors $15^{\mathrm{b}}=1532-1517=15$ donc $\mathrm{b}=1$ : ceci fournit la solut... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 64 | 1,409 |
null | T2 | 9 | null | French_envois | Quentin et Timothé jouent à un jeu. D'abord, Quentin choisit un nombre premier $\mathrm{p}>2$, puis Timothé choisit un entier strictement positif $n_{0}$. Quentin choisit alors un entier $n_{1}>n_{0}$ et calcule $s_{1}=n_{0}^{n_{1}}+n_{1}^{n_{0}}$; puis Timothé choisit un entier $n_{2}>n_{1}$ et calcule $s_{2}=n_{1}^{n... | Nous allons montré que Timothé a une stratégie gagnante. Notons que Quentin va choisir les $n_{2 k+1}$ et Timothé va choisir les $n_{2 k}$. On fait d'abord quelques remarques.
- Remarque 1 : Remarquons d'abord que si l'un des joueurs choisit $n_{k} \equiv 0(\bmod p)$ et ne gagne pas à cette étape, alors le joueur suiv... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 285 | 1,309 |
null | T2 | 14 | null | French_envois | Anna et Elie jouent à un jeu. On leur donne à tous les deux le même ensemble $A$ composé d'un nombre fini d'entiers strictement positifs et distincts. Anna choisit un entier $a \in A$ secrètement. Si Elie choisit un entier b (pas forcément dans $\mathcal{A}$ ) et le donne à Anna, Anna lui donne le nombre de diviseurs s... | Notons P l'ensemble fini des nombres premiers divisant au moins un élément de $A$ et $n \geqslant 1$ le plus grand entier tel qu'il existe $a \in A$ et $p \in P$ tels que $p^{n} \mid a$. On peut remplacer A par l'ensemble des entiers $m$ dont les facteurs premiers sont tous dans $P$ et tels que pour tout $p \in P$, $v_... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 14"
} | 127 | 1,329 |
null | T2 | 15 | null | French_envois | Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $u_{n}=1!+2!+\ldots+n!$. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers divisant au moins l'un des termes de la suite ( $\mathfrak{u}_{n}$ ). | Supposons l'inverse : alors il existe des nombres premiers $p_{1}<\ldots<p_{\mathrm{r}}$ tels que pour tout $n \geqslant 1, u_{n}:=1+2!+\ldots+n!$ soit le produit des $p_{i}^{a_{i}(n)}$, où les $a_{i}(n)$ sont des entiers positifs.
Si $n \geqslant 1$ est tel que $a_{i}(n)<v_{p_{i}}((n+1)!)$, alors
$$
\mathfrak{a}_{\ma... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 15"
} | 67 | 1,018 |
null | T2 | 16 | null | French_envois | Soient $n \geqslant 2$ et $p$ un nombre premier impair. Soit $u$ l'ensemble des entiers positifs inférieurs ou égaux à $p^{n}$ et premiers avec $p$ et soit $N=|U|$. Montrer qu'il existe une permutation $a_{1}, \ldots, a_{N}$ des éléments de $U$ telle que $\sum_{k=1}^{N} a_{k} a_{k+1}$ (avec $a_{N+1}=a_{1}$ ) soit divis... | On commence par traiter le cas $p=3$, dont la solution est différente. Soit $\mathrm{g} \in \mathrm{U}$ un générateur modulo $p^{n}$, on pose $a_{i}=g^{i-1}\left(\bmod p^{n}\right)$. Comme $g^{2}-1$ est divisible par 3 , la somme considérée $S$ vérifie $\left(g^{2}-1\right) S \equiv \sum_{i=1}^{N}\left(g^{2 i+1}-g^{2 i... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 16"
} | 150 | 1,324 |
null | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ une suite d'entiers strictement positifs telle que $a_{1}$ et $a_{2}$ soient premiers entre eux et, pour tout $n \geqslant 1, a_{n+2}=a_{n} a_{n+1}+1$. Montrer que pour tout entier $m>1$, il existe $n>m$ tel que $a_{m}^{m} \mid a_{n}^{n}$. Le résultat est-il encore vrai lorsque... | D'abord, $a_{n}>0$ pour tout $n>0$.
On commence par une observation : soit $n>m$ très grand (disons, $n>(m+1)\left(a_{m}+1\right)$ ). Alors $a_{m}^{m} \mid a_{n}^{n}$ si et seulement si pour chaque nombre premier $p\left|a_{m}, p\right| a_{n}$. Cette idée justifie le lemme qui va suivre :
Lemme : soit $\left(u_{n}\ri... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 17"
} | 134 | 1,316 |
null | T2 | 18 | null | French_envois | Déterminer toutes les fonctions $\mathrm{f}: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star}$ telles que :
(i) Les entiers $f(1), f(2), \ldots$ sont premiers entre dans leur ensemble.
(ii) Il existe $N \geqslant 1$ tel que pour tout $n \geqslant N, f(n) \neq 1$ et pour tous $a, b \in \mathbb{N}^{\star}$,
$$
f(a)^{n}... | Soit f une solution. Comme les valeurs de f sont premières entre elles dans leur ensemble, si f est constante, elle égale 1 , ce qui est exclu.
Avec $a=1$, on voit que $f(1)^{\mathfrak{n}} \mid \mathbf{f}(b+1)-f(b)$ pour tout $b \geqslant 1$ et tout $n$ assez grand. Comme $f$ est non constante, il existe $b$ tel que $f... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrigé.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 18"
} | 153 | 2,031 |
2013 | T2 | 6 | null | French_envois | Soit ABC un triangle et O un point intérieur à ce triangle. D et E sont respectivement les pieds des perpendiculaires abaissées de $O$ sur les droites ( $B C$ ) et ( $A C$ ) et $F$ est le milieu du segment $A B$. Montrer que si $\mathrm{DF}=\mathrm{EF}$ alors les angles $\widehat{\mathrm{OBD}}$ et $\widehat{\mathrm{OAE... | Dans cet exercice il y a une hypothèse superflue, à savoir que le point $O$ est à l'intérieur du triangle $A B C$. Nous allons résoure l'exercice sans cette hypothèse.
Commençons par tracer un angle droit $A E O$ et un segment $A B$ et plaçons $F$ au milieu du segment $A B$. Notre but maintenant est de trouver un poin... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi1-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 110 | 1,360 |
2013 | T2 | 9 | null | French_envois | On considère un cercle de centre $O$ et quatre points $A B C D$ de ce cercle tels que le point d'intersection $P$, autre que $O$, des cercles circonscrits aux triangles $A B O$ et $C D O$ soit intérieur au triangle OAD. On choisit un point $Q$ de la demi-droite [OP) à l'extérieur du segment $[O P]$ et on choisit un poi... | Tout d'abord on remarque que les droites $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ et OP sont concourantes, puisque ce sont les trois axes radicaux des cercles de la figure pris deux deux. Notons $M$ leur point d'intersection.
Comme $M$ est l'intersection des axes radicaux, on a
$$
M O \cdot M P=M A \cdot M B=M C \cdot M D .
$$
No... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi1-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 194 | 772 |
2013 | T2 | 8 | null | French_envois | Un digicode s'ouvre dès qu'on fait l'unique combinaison correcte de 4 chiffres (qui peut éventuellement contenir des répétitions). Par exemple, si l'on tape la suite des chiffres 000125 le digicode s'ouvrira si le code est soit 0001, soit 0012, soit 0125. Petit Pierre ne connaît pas le code. Combien de chiffres au mini... | Il est clair qu'il faut au moins 10003 chiffres, car il faut essayer toutes les 10000 combinaisons. Montrons que ce nombre est aussi suffisant.
Dessinons 1000 points correspondant à toutes les suites de 3 chiffres. Dessinons une flèche entre deux points si les deux derniers chiffres de la première combinaison coincide... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi2-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 118 | 519 |
2013 | T2 | 9 | null | French_envois | On dispose de 500 emplacements à billes numérotés de 1 à 500 de gauche à droite. Des billes numérotées de 1 à 500 sont posées dans ces emplacements dans le désordre : leurs numéros ne coïncident pas nécessairement avec les numéros des emplacements. (Dans chaque emplacement il y a exactement une bille.) On dit que l'ord... | Montrons d'abord que si les billes sont disposées dans un ordre plutôt croissant alors on peut les colorier en 5 couleurs de telle sorte que la suite des billes de chaque couleur soit croissante. Pour cela nous allons ordonner les 5 couleurs dans un certain ordre et colorier les billes une par une de gauche à droite en... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi2-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 164 | 650 |
2013 | T2 | 7 | null | French_envois | Prouver qu'il existe une unique manière de colorier chaque nombre rationnel strictement positif soit en rouge, soit en bleu, de sorte que :
- les nombres $x$ et $x+1$ sont de couleurs différentes ;
- les nombres $x$ et $\frac{1}{x}$ sont de la même couleur;
- le nombre 1 est colorié en rouge. | Montrons tout d'abord qu'un tel coloriage est nécessairement unique. Pour cela, nous allons démontrer par récurrence sur $\max (\mathrm{a}, \mathrm{b})$ que la couleur de la fraction $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ (supposée écrite sous forme irréductible) est entièrement déterminée. La conclusion est vraie lorsque $\m... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi3-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 82 | 635 |
2013 | T2 | 8 | null | French_envois | . Trouver tous les entiers naturels $\mathrm{k}>0$ tels que l'équation en $x$ et y :
$$
x(x+k)=y(y+1)
$$
ait une solution en entiers strictement positifs. | L'équation de l'énoncé s'écrit encore $\left(x+\frac{k}{2}\right)^{2}=\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{k^{2}-1}{4}$, soit, en factorisant:
$$
\left(x-y+\frac{k-1}{2}\right) \cdot\left(x+y+\frac{k+1}{2}\right)=\frac{k^{2}-1}{4} .
$$
Distinguons deux cas selon la parité de $k$. Si $k$ est impair, on écrit $k=2 a+1$... | {
"problem_match": "\nExercice 8",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi3-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 53 | 618 |
2013 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $p \geqslant 5$ un nombre premier. Montrer que 1 et 5 sont les seuls diviseurs positifs de $2^{p}+3^{p}$ qui soient inférieurs ou égaux à $p$. | La factorisation
$$
2^{\mathfrak{p}}+3^{\mathfrak{p}}=5 \cdot \sum_{i=0}^{p-1} 2^{\boldsymbol{i}}(-3)^{p-1-\mathfrak{i}}
$$
montre que 5 est bien un diviseur de $2^{p}+3^{\mathrm{p}}$.
Soit à présent $\mathrm{d} \in\{2, \ldots, \mathrm{p}\}$ un diviseur de $2^{\mathfrak{p}}+3^{\mathfrak{p}}$. On souhaite démontrer qu... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi3-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 58 | 873 |
2013 | T2 | 5 | null | French_envois | Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que, pour tous $x$ et $y$,
$$
f(x y) \leqslant x f(y)
$$ | $\triangleright \operatorname{Avec}(x, y)=(0,0)$, on obtient $f(0) \leqslant 0$ et avec $(x, y)=(2,0), f(0) \geqslant 0$. Par conséquent, $f(0)=0$.
$\triangleright \operatorname{Si} x>0$ et $y>0$, alors
$$
f(x)=f\left(\frac{x}{y} y\right) \leqslant \frac{x}{y} f(y)
$$
D'où
$$
\frac{f(x)}{x} \leqslant \frac{f(y)}{y}
... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi4-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 53 | 515 |
2013 | T2 | 9 | null | French_envois | Soient a, b et c des réels strictement positifs tels que
$$
a^{2}+b^{2}>c^{2}, \quad b^{2}+c^{2}>a^{2}, \quad c^{2}+a^{2}>b^{2}
$$
Montrer que
$$
\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}+2 \frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{a b c} \geqslant 3
$$ | Notons
$$
\begin{aligned}
& A=\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)} \\
& B=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{a b c}
\end{aligned}
$$
On doit montrer que $A+2 B \geqslant 3$. Tout d'abord, on remarque que $a+b>c$ car $c^{2}<a^{2}+b^{2}<(a+b)^{2}... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi4-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 166 | 1,734 |
2013 | T2 | 3 | null | French_envois | Le point $D$ appartient au côté $[A C]$ du triangle équilatéral $A B C$. On note $F$ le projeté orthogonal de $D$ sur ( $B C$ ), puis $K$ le projeté orthogonal de $F$ sur ( $A B$ ), et enfin $E$ le projeté orthogonal de $K$ sur ( $C A$ ). Soit $L$ le milieu de [BC], et $P$ l'intersection des droites ( $K E$ ) et (FD).
... | Première solution. Comme les côtés de PKF sont perpendiculaires aux côtés de ABC , le triangle PKF a les mêmes angles intérieurs que $A B C$ et est donc équilatéral, et donc $P F=K F$.
Notons $M$ l'intersection de (BP) et ( $A L$ ). Comme les triangles BLM et BFP sont semblables, on a
$$
\frac{M L}{B L}=\frac{P F}{B ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi5-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 135 | 1,270 |
2013 | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe. Pour tout point $M$ à l'intérieur ou sur le bord de $A B C D$, on pose
$$
f(M)=M A+M B+M C+M D .
$$
Prouver que, pour tout $M$, on a
$$
f(M) \leqslant \max (f(A), f(B), f(C), f(D))
$$ | Lemme. Si le point K est sur les bords ou à l'intérieur du triangle XYZ , on a
$$
X Y+X Z \geqslant K Y+K Z .
$$
Preuve du lemme. Si $\mathrm{K}=\mathrm{Y}$, le résultat est immédiat d'après l'inégalité triangulaire. Sinon, on note P l'intersection de (YK) avec le côté [XZ]. D'après l'inégalité triangulaire, on a alo... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi5-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 98 | 836 |
2013 | T2 | 5 | null | French_envois | On considère une grille carrée de $4 \times 4$ cases.
Deux cases distinctes ayant un côté commun sont dites voisines. Initialement, toutes les cases sont rouges. Par la suite, une case pourra éventuellement changer de couleur et être soit rouge soit bleue. Effectuer une opération sur la case c signifie que l'on change... | Regroupons les cases de la grille en quatre tuiles, contenant chacune une case marquée, comme indiqué dans la figure suivante :
Il est facile de vérifier qu'une opération quelconque change la couleur d'une et une seule de ces cases marquées et qu'une opération effectuée dans une tuile ne modifie pas la couleur des cas... | {
"problem_match": "## Exercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi5-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 170 | 1,564 |
2013 | T2 | 7 | null | French_envois | On considère un ensemble fini E de garçons et de filles.
Une partie G de garçons de E est dite populaire si chaque fille de E connaît au moins un des garçons de $G$. De même, une partie $F$ de filles est dite populaire si chaque garçon de $E$ connaît au moins une des filles de $F$. On suppose que si a connaît $b$ alors... | Première solution. On dira qu'un ensemble X de garçons est étranger à un groupe Y de filles si aucun garçon de X n'est connu d'une des filles de Y . De même, un ensemble Y de filles sera dit étranger à un groupe $X$ de garçons si aucune fille de $Y$ n'est connue d'un des garçons de $X$. Puisque la relation 'se connaîtr... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi5-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 133 | 1,572 |
2013 | T2 | 8 | null | French_envois | . Pour tout entier $k \geqslant 2$, on note $\mathrm{P}(\mathrm{k})$ le plus grand diviseur premier de $k$.
Prouver qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tels que
$$
\mathrm{P}(\mathrm{n})<\mathrm{P}(\mathrm{n}+1)<\mathrm{P}(\mathrm{n}+2)
$$ | Soit $p$ un nombre premier impair. Pour tout entier $k \geqslant 1$, on note $n_{k}=p^{2^{k}}-1$. On a évidemment $\mathrm{P}\left(\mathfrak{n}_{\mathrm{k}}+1\right)=\mathrm{p}$. D'autre part, pour tout entier $i$ tel que $0<i<k$, on a
$$
\mathrm{p}^{2^{k}}=\left(\mathfrak{p}^{2^{i}}\right)^{2^{k-i}}=(-1)^{2^{k-i}}=1 ... | {
"problem_match": "\nExercice 8",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi5-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 96 | 744 |
2013 | T2 | 9 | null | French_envois | On note I le centre du cercle inscrit $\gamma$ dans le triangle $A B C$ et $O$ le centre de son cercle circonscrit. Soit $\omega_{\text {A }}$ le cercle qui passe par B et $C$ et qui est tangent à $\gamma$. Les cercles $\omega_{B}$ et $\omega_{C}$ sont définis de manière analogue. On note $A^{\prime}$ l'autre point com... | On note respectivement $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ les points de contact de $\gamma$ avec les côtés $[B C],[C A],[A B]$. Soit $X_{A}$ le point de commun des cercles $\gamma$ et $\omega_{\mathrm{A}}$.
Le cercle $\omega_{A}$ est l'image de $\gamma$ par une homothétie de centre $X_{A}$, qui envoie $A_{1}$ en un point $M_{A}$ d... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi5-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 193 | 1,294 |
2013 | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle. On note $O$ le centre de son cercle circonscrit. Soient $D, E, F$ des points situés sur $[B, C],[C, A]$ et $[A, B]$ respectivement. On suppose que $F B=F D$ et $E D=E C$. Le cercle de centre $F$ et de rayon $F B$ et le cercle de centre $E$ et de rayon $E C$ se recoupent en $G$. Montrer que $A,... | Les triangles $B F D$ et $C E D$ étant isocèles, on a $(D E, D F)=(D E, D C)+$ $(D B, D F)=(C D, C E)+(B F, B D)=(B C, A C)+(A B, B C)=(A B, A C)$.
Comme $E G=E D$ et $F G=F D$, les points $E$ et $F$ appartiennent à la médiatrice de $[G D]$ donc le quadrilatère $F G E D$ est symétrique par rapport à $(F E)$. On en déd... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi6-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 210 | 794 |
2013 | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle. On note $O$ le centre de son cercle circonscrit. Soient $D, E, F$ des points situés sur $[B, C],[C, A]$ et $[A, B]$ respectivement. On suppose que $F B=F D$ et $E D=E C$. Le cercle de centre $F$ et de rayon $F B$ et le cercle de centre $E$ et de rayon $E C$ se recoupent en $G$. Montrer que $A,... | En remplaçant $E$ par le point diamétralement opposé à $A$, la quantité $D E$ augmente et les autres longueurs de la formule ne changent pas, donc on se ramène au cas où $[A E]$ est un diamètre.
D'après la formule d'Al-Kashi,
$$
\begin{aligned}
A B^{2}+B C^{2} & =A C^{2}+2 A B \cdot B C \cos \widehat{A B C} \\
C D^{2... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2012-2013-envoi6-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 210 | 526 |
2014 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe. On considère les deux quadrilatères convexes $F_{1}$ et $F_{2}$, dont chacun a deux sommets opposés qui sont les milieux des diagonales $[A C]$ et $[B D]$, et dont les deux autres sommets sont les milieux des côtés opposés du quadrilatère $A B C D$. Montrer que les aires de $F_{1... | Notons $I, J, K, L, M, N$ les milieux de $[A C],[B D],[A B],[B C],[C D]$ et $[D A]$.
On remarque que $(I K)$ et $(J M)$ sont parallèles, puisqu'ils sont parallèles à $(B C)$. De même, $(I M) / /(J K)$. On en déduit que $I M J K$ est un parallélogramme, et de même $I N J L$ est un parallélogramme.
Notons $[\vec{u}, \v... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 154 | 1,854 |
2014 | T2 | 8 | null | French_envois | Le cercle $\omega$ passe par les sommets $B$ et $C$ du triangle $A B C$ et coupe les côtés $[A B]$ et $[A C]$ aux points $D$ et $E$ respectivement. Les segments $[C D]$ et $[B E]$ se coupent en un point $O$. Soient $M$ et $N$ les centres des cercles inscrits dans les triangles $A D E$ et $O D E$ respectivement. Montrer... | Notons $\theta=(D E, D F)=(E F, E D)$. On a $2(D F, D M)+2 \theta=2(D E, D M)=(D E, D A)=$ $\theta+(D F, D A)=\theta+(D F, D B)=\theta+(E F, E B)=2 \theta+(E D, E O)=\theta+2(E D, E N)$, donc $\widehat{F D M}=\widehat{D E N}$. De même, $\widehat{M E F}=\widehat{N D E}$. Notons $\beta$ et $\gamma$ ces angles.
Soient $P... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 149 | 962 |
2014 | T2 | 9 | null | French_envois | Un cercle de centre $O$ est inscrit dans un quadrilatère $A B C D$ dont les côtés ne sont pas parallèles. Montrer que le point $O$ coïncide avec le point d'intersection des lignes médianes du quadrilatère si et seulement si $O A \cdot O C=O B \cdot O D$. (Une ligne médiane du quadrilatère est une droite reliant les mil... | Soient $I$ et $J$ les milieux des côtés $[A B]$ et $[C D]$ respectivement. Les droites $(A B)$ et $(C D)$ se coupent au point $P$. Sans perte de généralité, on peut supposer que $P$ est le point d'intersection des demi-droites $[A B)$ et $[C D)$.
1) Supposons que $O$ est le point d'intersection des lignes médianes du ... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 106 | 2,412 |
2014 | T2 | 2 | null | French_envois | Soit $a, b, c$ des réels tels que $-1 \leqslant a x^{2}+b x+c \leqslant 1$ pour $x=-1, x=0$ et $x=1$. Prouver que
$$
-\frac{5}{4} \leqslant a x^{2}+b x+c \leqslant \frac{5}{4} \text { pour tout réel } x \in[-1,1]
$$ | Posons $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}{ }^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$. Alors $\mathrm{P}(-1)=\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}, \mathrm{P}(0)=\mathrm{c}$ et $\mathrm{P}(1)=$ $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$. Et, d'après l'énoncé, on a $|\mathrm{P}(-1)| \leqslant 1,|\mathrm{P}(0)| \leqslant 1$ et $|\mathrm{P}(1)| \... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 113 | 666 |
2014 | T2 | 4 | null | French_envois | Prouver que si $n$ est un entier strictement positif, l'expression
$$
\frac{\sqrt{n+\sqrt{0}}+\sqrt{n+\sqrt{1}}+\sqrt{n+\sqrt{2}}+\cdots \sqrt{n+\sqrt{n^{2}-1}}+\sqrt{n+\sqrt{n^{2}}}}{\sqrt{n-\sqrt{0}}+\sqrt{n-\sqrt{1}}+\sqrt{n-\sqrt{2}}+\cdots \sqrt{n-\sqrt{n^{2}-1}}+\sqrt{n-\sqrt{n^{2}}}}
$$
est indépendante de n . | En calculant le carré de chacun des deux membres, on déduit que, pour tous réels $a, b$ tels que $0 \leqslant b \leqslant a$, on a
$$
\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}=\sqrt{\frac{a+b}{2}}+\sqrt{\frac{a-b}{2}}
$$
En particulier, pour tous entiers naturels $n$ et $m$, avec $m \leqslant n^{2}$, on a
$$
\sqrt{n+\sqrt{m}}=\sq... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 131 | 550 |
2014 | T2 | 6 | null | French_envois | Déterminer la plus grande valeur possible et la plus petite valeur possible de
$$
\sqrt{4-a^{2}}+\sqrt{4-b^{2}}+\sqrt{4-c^{2}}
$$
lorsque $a, b, c$ sont des réels strictement positifs vérifiant $a^{2}+b^{2}+c^{2}=6$. | Tout d'abord, on note que si l'on veut que l'expression ait un sens, il faut $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in$ [0; 2].
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
$\left(\sqrt{4-a^{2}}+\sqrt{4-b^{2}}+\sqrt{4-c^{2}}\right)^{2} \leqslant 3\left(4-a^{2}+4-b^{2}+4-c^{2}\right)=18$,
c.à.d. $\sqrt{4-\mathrm{a}^{2}}+\... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 81 | 890 |
2014 | T2 | 7 | null | French_envois | Déterminer toutes les fonctions $\mathrm{f}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{+*}$ qui vérifient les trois conditions suivantes pour tous réels $x$ et $y$ :
i) $f\left(x^{2}\right)=f(x)^{2}-2 x f(x)$,
ii) $f(-x)=f(x-1)$,
iii) si $1<x<y$ alors $f(x)<f(y)$. | Nous allons prouver que la seule solution est $\mathrm{f}: x \longrightarrow x^{2}+x+1$.
Soit $f$ une solution éventuelle du problème.
De i ), pour $x=0$, on déduit que $f(0)=f^{2}(0)$. Et, comme $f(0)>0$, on a donc $f(0)=1$.
Soit $x$ un réel. En utilisant i) pour les valeurs $x$ et $-x$, il vient
$f(x)^{2}-2 x f(x)=f\... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 105 | 1,523 |
2014 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit P et Q deux polynômes à coefficients réels, de degrés $\mathrm{n} \geqslant 0$. On suppose que le coefficient de $x^{n}$ de chacun de ces deux polynômes est égal à 1 et que, pour tout réel $x$, on a $P(P(x))=$ $\mathrm{Q}(\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ ).
Prouver que $\mathrm{P}=\mathrm{Q}$. | Le résultat est évident si $\mathrm{n}=0$. Dans ce qui suit, on suppose donc que $\mathrm{n} \geqslant 1$.
Par l'absurde : supposons que le polynôme $\mathrm{R}=\mathrm{P}-\mathrm{Q}$ ne soit pas le polynôme nul.
Soit $k$ le degré de R.
Puisque $P$ et $Q$ sont tous deux de degré $n$, et de même coefficient dominant, o... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 107 | 1,524 |
2014 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $n>0$ un entier et $x_{1}, \cdots, x_{n}$ des réels strictement positifs. Prouver que :
$$
\begin{gathered}
\max _{x_{1}>0, \cdots, x_{n}>0} \min \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right)= \\
\min _{x_{1}>0, \cdots, x_{n}>0} \max \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}... | Soit Ul'ensemble des n -uplets de réels strictement positifs. Pour $x=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in U$, on pose
$$
\begin{aligned}
& \quad m(x)=\min \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right) \\
& \text { et } M(x)=\max \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 218 | 1,416 |
2014 | T2 | 5 | null | French_envois | Montrer que si la somme de tous les diviseurs positifs d'un entier $n \geqslant 1$ est une puissance de deux, alors le nombre de diviseurs positifs de n est une puissance de deux. | Décomposons $n$ en produit de facteurs premiers : $n=\prod_{i=1}^{k} p_{i}^{\alpha_{i}}$. On voit aisément que la somme des diviseurs positifs de $n$, notée $\sigma(n)$, vaut
$$
\sigma(n)=\prod_{i=1}^{k}\left(1+p_{i}+p_{i}^{2}+\cdots+p_{i}^{\alpha_{i}}\right)
$$
Ainsi, si $1 \leqslant i \leqslant k, 1+p_{i}+p_{i}^{2}... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 54 | 541 |
2014 | T2 | 8 | null | French_envois | (Corée 2003) Trouver tous les triplets d'entiers ( $a, b, c$ ) tels que $a \neq 0$ et
$$
2 a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}=c^{2}
$$ | Supposons qu'il exise un tel triplet : soit alors a $>0$ le plus petit entier tel que $(a, b, c)$ soit solution. Si $d=\operatorname{pgcd}(a, b)$, en divisant l'égalité par $d^{4}$ on voit que $\left(a / d, b / d, c / d^{2}\right)$ est également solution. On a donc $\mathrm{d}=1$.
Regardons l'expression $2 a^{4}+2 a^{... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 68 | 1,025 |
2014 | T2 | 9 | null | French_envois | Trouver le nombre de suites $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ d'entiers relatifs telles que $u_{n} \neq-1$ pour tout entier $n \geqslant 1$ et telles que
$$
u_{n+2}=\frac{2014+u_{n}}{1+u_{n+1}}
$$
pour tout entier $\mathrm{n} \geqslant 1$. | La relation de l'énoncé impose que $\left(u_{n+1}-u_{n-1}\right)\left(u_{n}+1\right)=u_{n}-u_{n-2}$ pour $\mathrm{n} \geqslant 3$. Par récurrence, il vient
$$
\mathbf{u}_{3}-\mathbf{u}_{1}=\prod_{i=3}^{n}\left(u_{i}+1\right)\left(u_{n+1}-u_{n-1}\right)
$$
Supposons par l'absurde que $u_{3} \neq u_{1}$. Ainsi $u_{n+1}... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 110 | 604 |
2014 | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle. Les bissectrices de $\widehat{A}, \widehat{B}$ et $\widehat{C}$ recoupent le cercle circonscrit en $A^{\prime}, B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ respectivement. Soit $I$ le centre du cercle inscrit à $A B C$. Les cercles de diamètres $\left[I A^{\prime}\right],\left[I B^{\prime}\right]$ et $\left[I... | Notons $\Gamma_{A}, \Gamma_{B}$ et $\Gamma_{C}$ les cercles de diamètres respectifs $\left[I A^{\prime}\right],\left[I B^{\prime}\right]$ et $\left[I C^{\prime}\right]$.
Remarquons d'abord que $I$ est l'orthocentre de $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Pour le voir, montrons par exemple que $\left(A^{\prime} C^{\prime... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 208 | 688 |
2014 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $\omega$ son cercle inscrit. On note $P, Q, R$ les points de contact de $\omega$ avec $(B C),(C A)$ et $(A B)$. Un cercle passant par $B$ et $C$ est tangent en $X$ à $\omega$, un cercle passant par $C$ et $A$ est tangent en $Y$ à $\omega$ et un cercle passant par $A$ et $B$ est tangent en $Z... | Rappelons d'abord quelques résultats sur la polarité que nous allons utiliser. Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$. Si $P$ est un point distinct de $O$, la polaire de $P$ par rapport à $\mathcal{C}$ est la droite formée des points $M$ tels que $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O M}=R^{2... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 143 | 695 |
2014 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A, D$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $M$ un point intérieur à $A D C$ tel que $\widehat{A M B}$ est obtus et $\widehat{D B M}+\widehat{D A M}=\widehat{M C B}$. Les droites $(C M)$ et $(A D)$ se coupent en $P$, et les droites $(B M)$ et $(A D)$ se coupent en $Q$. Soit $S$ un p... | Notons $\alpha=\widehat{B A D}, \beta=\widehat{C B M}, \gamma=\widehat{M C B}$ et $\theta=\widehat{D A M}$. Par hypothèse, on a $\beta+\theta=\gamma$, $\widehat{S Q B}=\widehat{D P C}=\frac{\pi}{2}-\gamma$ et $\widehat{M R Q}=2 \theta$.
On a $\widehat{Q S A}=\pi-\widehat{B S Q}=\widehat{Q B S}+\widehat{S Q B}=\left(\fr... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 206 | 676 |
2014 | T2 | 3 | null | French_envois | Les diagonales du quadrilatère convexe $A B C D$ sont perpendiculaires et se rencontrent en $O$. La perpendiculaire à $(A B)$ passant par $O$ rencontre $(A B)$ en $M$ et $(C D)$ en $M^{\prime}$. La perpendiculaire à $(B C)$ passant par $O$ rencontre $(B C)$ en $N$ et $(D A)$ en $N^{\prime}$. La perpendiculaire à $(C D)... | Commençons par prouver que le quadrilatère $M N P Q$ est inscriptible :
On note que le quadrilatère $B M O N$ à deux angles droits en $M$ et en $N$, donc il est inscrit dans le cercle de diamètre $[O B]$. De même, les quadrilatères $C N O P, D P O Q$ et $A Q O M$ sont inscrits respectivement dans les cercles de diamètr... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 3"
} | 223 | 838 |
2014 | T2 | 4 | null | French_envois | A l'intérieur du cercle $\Gamma$ se trouvent trois cercles $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ et $\gamma_{3}$, et tangents à $\Gamma$ respectivement en $A, B$ et $C$, tous distincts. Les cercles $\gamma_{2}$ et $\gamma_{3}$ ont un point commun $K$ qui appartient à $[B C]$, les cercles $\gamma_{3}$ et $\gamma_{1}$ ont un point co... | Soit $X$ un point de la tangente commune à $\Gamma$ et $\gamma_{1}$, et situé du côté opposé à $C$ par rapport à la droite $(A B)$. Alors $\widehat{A L M}=\widehat{X A M}=\widehat{X A B}=\widehat{A C B}$, ce qui assure que $(M L)$ et $(B C)$ sont parallèles. De même, on a $(K M)$ et $(A C)$ parallèles, ainsi que $(K L)... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 180 | 680 |
2014 | T2 | 5 | null | French_envois | Soit $n, m \geqslant 1$ des entiers, avec $m$ impair.
Prouver que $2^{m}-1$ et $2^{n}+1$ sont premiers entre eux. | Par l'absurde : supposons qu'il existe un nombre premier $p$ qui divise à la fois $2^{m}-1$ et $2^{n}+1$.
Alors, on a $2^{m} \equiv 1 \bmod [p]$ et $2^{n} \equiv-1 \bmod [p]$,
d'où $2^{2 n} \equiv 1 \bmod [p]$.
Soit $\omega$ l'ordre de 2 modulo $p$. On sait qu'alors $\omega$ divise $m$ et $2 n$. Mais, comme $m$ est imp... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 50 | 867 |
2014 | T2 | 6 | null | French_envois | On désigne par $K$ la valeur maximale de
$$
\left|x_{1}-x_{2}\right| \cdot\left|x_{1}-x_{3}\right| \cdot\left|x_{1}-x_{4}\right| \cdot\left|x_{2}-x_{3}\right| \cdot\left|x_{2}-x_{4}\right| \cdot\left|x_{3}-x_{4}\right|
$$
où $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in[0 ; 1]$.
a) Prouver que $\frac{4}{243}<K<\frac{1}{27}$.
b) Dé... | a) Soit $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in[0 ; 1]$.
On pose
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left|x_{1}-x_{2}\right| \cdot\left|x_{1}-x_{3}\right| \cdot\left|x_{1}-x_{4}\right| \cdot\left|x_{2}-x_{3}\right| \cdot\left|x_{2}-x_{4}\right| \cdot\left|x_{3}-x_{4}\right| .
$$
Si deux des nombres $x_{1}, x_{2}, x... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 161 | 1,222 |
2014 | T2 | 7 | null | French_envois | Si $n>0$ est un entier, on désigne par $d(n)$ le nombre de diviseurs strictement positifs de $n$.
a) Existe-t-il une suite $\left(a_{i}\right)_{i \geqslant 1}$ strictement croissante d'entiers strictement positifs tels que, pour tout $i$ suffisamment grand, le nombre $a_{i}$ soit divisible par exactement $d(i)-1$ terme... | a) La réponse est oui.
Il suffit de trouver une suite $\left(a_{i}\right)$ qui vérifie les deux conditions suivantes :
- le nombre $a_{1}$ ne divise aucun autre terme de la suite,
- le nombre $i$ divise $j$ si et seulement si $a_{i}$ divise $a_{j}$, pour tous $i, j \geqslant 2$.
Or, il est bien connu que, pour tous ... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 200 | 737 |
2014 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle. On désigne par $D$ le pied de la bissectrice de $\widehat{B A C}$, et par $E$ le pied de la hauteur issue de $A$. La médiatrice de $[A D]$ rencontre les demi-cercles de diamètres respectifs $[A B]$ et $[A C]$ construits extérieurement à $A B C$, en $X$ et $Y$.
Prouver que les points $X, Y, D,... | On désigne par $M, N$ et $P$ les milieux respectifs de $[A B],[A C]$ et $[A D]$. D'après le théorème des milieux, on a $N, P, M$ alignés et, compte-tenu de ce que $(A P)=(A D)$ est la bissectrice de $\widehat{B A C}$, on a
$$
\frac{M P}{N P}=\frac{B D}{C D}=\frac{A M}{A N}=\frac{A B}{A C}=\frac{M X}{N Y} .
$$
En part... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 122 | 2,621 |
2014 | T2 | 9 | null | French_envois | On considère une rangée de cases numérotées $0,1, \ldots, k$ de gauche à droite où, pour chaque $i \geqslant 1$, la case numéro $i$ contient $x_{i}$ jetons. Il n'y a initialement aucun jeton sur la case numéro 0 . A tour de rôle, Alice et Bob jouent alors selon les règles suivantes :
- Bob choisit un ensemble $S$ de j... | Dans tout ce qui suit, on peut clairement supposer que Bob ne choisit jamais $S=\emptyset$ ou $S$ l'ensemble de tous les jetons non encore éliminés, sans quoi Alice gagne immédiatement. Du coup, le nombre de jetons diminue strictement après chaque fois qu'Alice joue, ce qui assure que le jeu se termine toujours en un n... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2013-2014-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 350 | 2,439 |
2015 | T2 | 2 | null | French_envois | On prend 1008 entiers distincts compris (au sens large) entre 1 et 2014.
(i) Montrer qu'il existe trois entiers $a, b, c$ tels que le pgcd de $a$ et $b$ divise $c$ (le pgcd ou Plus Grand Diviseur Commun de deux entiers est le plus grand entier naturel qui les divise tous les deux).
(ii) Montrer qu'il existe trois entie... | (i) Groupons les entiers de 1 à 2014 en paires d'entiers consécutifs : (1, 2), (3, 4),..., (2013, 2014). Il y en a 1007. Par le principe des tiroirs, si on choisit 1008 entiers, il y en aura deux d'une même paire, $a$ et $b$, avec $b=a+1$. Leur pgcd vaut 1 (puisqu'il divise leur différence), donc divise n'importe leque... | {
"problem_match": "\nExercice 2",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution "
} | 133 | 669 |
2015 | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $n$ un entier strictement positif. On considère $2 n+1$ entiers distincts compris au sens large entre $-2 n+1$ et $2 n-1$. Montrer qu'on peut en choisir 3 dont la somme soit nulle. | On raisonne par récurrence sur $n$.
Initialisation : Pour $n=1$, on prend $2 n+1=3$ entiers distincts parmi $-1,0,1$, donc ces trois entiers. Leur somme est bien nulle.
Hérédité : Supposons l'énoncé vrai au rang $n$ : si on prend $2 n+1$ entiers distincts compris au sens large entre $-2 n+1$ et $2 n-1$, alors on peut e... | {
"problem_match": "\nExercice 4",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution "
} | 63 | 855 |
2015 | T2 | 6 | null | French_envois | Dans un cirque, il y a plusieurs clowns. Chacun utilise au moins 5 couleurs, parmi 12 possibles, pour se peindre. Une même couleur est utilisée par au plus 20 clowns. Deux clowns n'ont jamais exactement les mêmes couleurs. Combien y a-t-il de clowns au maximum? | Soit $n$ le nombre de clowns et $N$ le nombre de paires $(L, c)$ où $L$ est un cLown et $c$ une couleur qu'il porte. D'une part, chaque clown ayant au moins 5 couleurs, $N \geq 5 \times n$. D'autre part, chacune des 12 couleurs peut apparaître dans au plus 20 paires. Donc $N \leq 20 \times 12$. On en déduit que $5 n \l... | {
"problem_match": "\nExercice 6",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution "
} | 79 | 998 |
2015 | T2 | 7 | null | French_envois | On considère $n^{2}+2 n+1$ points dans un carré de côté $n$. Montrer que trois d'entre eux sont les sommets d'un triangle (éventuellement dégénéré) d'aire au plus $1 / 2$. | On raisonne sur l'enveloppe convexe des $(n+1)^{2}$ points : si elle contient beaucoup de points, il y aura 3 sommets voisins de cette enveloppe assez proches pour faire un triangle d'aire petite. Si elle n'en contient pas beaucoup, on la triangule et on regarde les nombreux points dans les petits triangles pour en for... | {
"problem_match": "\nExercice 7",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution "
} | 60 | 552 |
2015 | T2 | 8 | null | French_envois | On dispose de $n$ jetons portant chacun un numéro entier (qui peut être négatif). Si on trouve parmi eux deux jetons portant le même numéro $m$, on les enlève et on met à leur place un jeton portant le numéro $m-1$, et un autre portant le numéro $m+1$. Montrer qu'au bout d'un nombre fini de tels changements, tous les j... | On commence par montrer le lemme suivant:
Soit $m_{0}$ le plus petit des numéros des jetons au début. On note $m_{1}^{(k)}, \ldots, m_{j_{k}}^{(k)}$ les numéros inférieurs ou égaux à $m_{0}$ qui sont portés par des jetons après $k$ changements, comptés avec multiplicité et rangés par ordre décroissant de sorte que $m_{... | {
"problem_match": "\nExercice 8",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution "
} | 105 | 964 |
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