year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
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values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2015 | T2 | 9 | null | French_envois | On considère un quadrillage formé de tous les petits carrés de côté 1 entièrement inclus dans le disque donné par l'inéquation $x^{2}+y^{2} \leq 2014^{2}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $O x y$. A chaque étape du jeu, chaque carré contient le nombre 1 ou le nombre -1 . On suppose que chaque case du quadrillag... | On raisonne par l'absurde en supposant qu'on peut arriver à avoir un seul -1 . On appelle $C_{1}$ le petit carré qui contiendra ce -1 . Par symétrie de la figure, on peut supposer que le centre de ce petit carré a pour coordonnées $\left(a-\frac{1}{2}, b-\frac{1}{2}\right)$ avec $a \geq b \geq 1$.
1ère étape: On montr... | {
"problem_match": "\nExercice 9",
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} | 217 | 515 |
2015 | T2 | 10 | null | French_envois | Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On appelle $S$ l'ensemble des suites de $2 n$ chiffres comportant $n$ zéros et autant de uns. Deux suites de $S$ sont voisines lorsqu'il suffit de changer la position d'un chiffre de l'une pour obtenir l'autre. Par exemple, 11100010 et 10110010 sont voisines puisqu'en décalant le premier 0 ... | On traite séparément les inégalités.
- Montrons que $\frac{1}{2 n^{2}+1}|S| \leq|T|$. Soit $s$ un élément de $S$. Soit $s_{i, j}$ la suite que l'on peut obtenir à partir de $s$, en déplaçant le $i$-ème chiffre de $s$ pour le mettre en position $j$. Si $s_{i, j} \neq s$, alors $j \neq i$. En outre, sans perte de généra... | {
"problem_match": "\nExercice 10",
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} | 205 | 844 |
2015 | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle ayant ses trois angles aigus, et $P$ le pied de la hauteur issue de $A$. On note $I_{1}$ et $I_{2}$ les centres de cercles inscrits à $A B P$ et $A C P$. Le cercle inscrit à $A B C$ touche $[\mathrm{BC}]$ en D . Combien valent les angles du triangle $\mathrm{I}_{1} \mathrm{I}_{2} \mathrm{D}$ ?
... | On note $E$ et $F$ les points où les cercles inscrits à ABP et ACP touchent $[B C]$, et G et H les points où ils touchent $[A P]: \mathrm{PEI}_{1} \mathrm{H}$ est un carré car les angles en $\mathrm{P}, \mathrm{E}$ et H sont droits, et $I_{1} E=I_{1} H$, donc $E P=E I_{1}$, et de même $F P=\mathrm{FI}_{2}$. On a donc:
... | {
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} | 187 | 508 |
2015 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe. On suppose que les cercles inscrits aux triangles $A B C, B C D, C D A$ et $D A B$ ont un point commun. Montrer que $A B C D$ est un losange.
 | On note $\omega_{A}$ le cercle inscrit à DAB et ainsi de suite: Les cercles $\omega_{B}$ et $\omega_{D}$ sont situés de part et d'autre de (AC), donc ils ne peuvent s'intersecter que sur ( $B C$ ). De même, $\omega_{\mathrm{A}}$ et $\omega_{\mathrm{c}}$ ne peuvent s'intersecter que sur (BD), donc l'intersection des 4 c... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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} | 137 | 522 |
2015 | T2 | 9 | null | French_envois | Deux cercles $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sont tangents en $S$, avec $\omega_{1}$ à l'intérieur de $\omega_{2}$. On note O le centre de $\omega_{1}$. Une corde $[A B]$ de $\omega_{2}$ est tangente à $\omega_{1}$ en $T$. Montrer que $(A O)$, la perpendiculaire à $(\mathrm{AB})$ passant par $B$ et la perpendiculaire à $(... | On note $(\mathrm{Bx})$ la perpendiculaire à ( AB ) passant par B, et (Sy) la perpendiculaire à (ST) passant par S. Pour obtenir le résultat grâce au théorème de Ceva trigonométrique dans le triangle ABS, on doit montrer :
$$
\frac{\sin \widehat{B A O}}{\sin \widehat{S A O}} \cdot \frac{\sin \widehat{A S y}}{\sin \wid... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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} | 200 | 524 |
2015 | T2 | 10 | null | French_envois | Soient $\Gamma$ un cercle de centre O , et ( d ) une droite qui n'intersecte pas $\Gamma$. On appelle $P$ le projeté orthogonal de $O$ sur (d). Soit $Q$ un point variable sur la droite (d), et $\left(t_{1}\right)$ et $\left(t_{2}\right)$ les tangentes à $\Gamma$ passant par $Q$. On note $A$ et $B$ les projetés orthogon... | On note $X$ l'intersection de $(A B)$ et $(O P), S$ et $T$ les points où $\left(t_{1}\right)$ et $\left(t_{2}\right)$ touchent $\Gamma$, et $Y$ le point d'intersection de (ST) et (OP). Une première remarque qu'on peut faire est que $O, P, Q, S$ et $T$ sont cocycliques sur le cercle de diamètre [OQ]. Une bonne figure su... | {
"problem_match": "\nExercice 10.",
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} | 233 | 624 |
2015 | T2 | 3 | null | French_envois | Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n \geqslant 1$ tels que pour tout entier $a \geqslant 1$, si $a^{n}-1$ est divisible par $p$, alors $a^{n}-1$ est aussi divisible par $p^{2}$. | Montrons que les entiers $n$ qui conviennent sont exactement les multiples de $p$. Pour cela, nous allons d'abord prouver que lorsque $n=p m$ pour un entier $m \geqslant 1$, pour tout entier $a \geqslant 1$, si $a^{n}-1$ est divisible par $p$, alors $a^{n}-1$ est aussi divisible par $p^{2}$. Puis, réciproquement, nous ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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} | 74 | 695 |
2015 | T2 | 6 | null | French_envois | Soient $m$ et $n$ deux entiers tels que $0 \leqslant \mathfrak{m} \leqslant 2 \boldsymbol{n}$. Prouver que le nombre entier
$$
2^{2 n+2}+2^{m+2}+1
$$
est un carré parfait $s i$, et seulement $\mathrm{si}, \mathrm{m}=\mathrm{n}$. | $\triangleright$ Remarquons que si $\mathrm{m}=\mathrm{n}$, alors $2^{2 \mathrm{n}+2}+2^{\mathrm{m}+2}+1=\left(2^{\mathrm{m}+1}+1\right)^{2}$ est bien un carré parfait.
$\triangleright$ Réciproquement, supposons que $2^{2 n+2}+2^{\mathrm{m}+2}+1$ est un carré parfait. Comme il est strictement plus grand que $2^{2 \math... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 98 | 745 |
2015 | T2 | 8 | null | French_envois | Soient $m, n \geqslant 1$ deux entiers impairs tels que $m$ divise $n^{2}+2$ et $n$ divise $m^{2}+2$. Prouver que $m$ et $n$ sont tous les deux des termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ définie par
$$
\mathfrak{u}_{1}=\mathrm{u}_{2}=1, \quad \mathrm{u}_{\mathrm{n}}=4 \mathrm{u}_{n-1}-\mathrm{u}_{n-2}... | La structure de la solution est la suivante:
- On montre que mn divise $\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}+2$;
- On montre que $\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}+2=4 \mathrm{mn}$;
- On montre que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ est croissante;
- On conclut en montrant qu'en fait $m$ et $n$ sont deux termes conséc... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 160 | 1,431 |
2015 | T2 | 9 | null | French_envois | Trouver tous les entiers strictement positifs a tels que l'entier
$$
1-8 \cdot 3^{a}+2^{a+2}\left(2^{a}-1\right)
$$
soit un carré parfait. | La quantité (4) est égale à $\left(2^{\mathrm{a}+1}-1\right)^{2}-2^{3} \cdot 3^{\mathrm{a}}$. On remarque que cette quantité est un carré pour $a=3$ (elle vaut $9=3^{2}$ ) et $a=5$ (elle vaut $2025=45^{2}$ ) mais pas pour $a \in\{1,2,4,6,7\}$. On suppose dorénavant $a \geqslant 8$.
Supposons que la quantité (4) soit u... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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} | 57 | 1,276 |
2015 | T2 | 4 | null | French_envois | Déterminer tous les réels $t$ pour lesquels le polynôme
$$
P(x)=x^{3}+3 t x^{2}+(4 t-1) x+t
$$
possède deux racines réelles dont la différence est égale à 1 . | Si $t$ est un réel fixé, on pose $P_{t}(x)=x^{3}+3 t x^{2}+(4 t-1) x+t$.
La première chose à remarquer est que, pour tout $t$, on a $P_{t}(-1)=0$. Par suite, -1 est une racine du polynôme $P_{t}$, ce qui assure que $P_{t}(x)$ est factorisable par $x+1$. On trouve ainsi que
$$
P_{t}(x)=(x+1)\left(x^{2}+(3 t-1) x+t\righ... | {
"problem_match": "## Exercice 4.",
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"solution_match": "## Solution."
} | 65 | 598 |
2015 | T2 | 5 | null | French_envois | (Vietnam 2014).
Déterminer toutes les fonctions $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ telles
$$
f(2 m+f(m)+f(m) f(n))=n f(m)+m
$$
pour tous les entiers $m$ et $n$. | Soit $f$ une éventuelle solution. On note $\mathbf{E}_{x, y}$ l'égalité de l'énoncé.
Posons $a=f(0)$. L'égalité $\mathbf{E}_{x, 0}$ indique que $f(2 x+(1+a) f(x))=x$, ce qui montre que $f$ est surjective. Puis, en choisissant un entier $b$ tel que $f(b)=-1$, l'égalité $\mathbf{E}_{b, y}$ indique que $f(2 b+1-f(y))=b-y$... | {
"problem_match": "## Exercice 5",
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"solution_match": "## Solution."
} | 73 | 745 |
2015 | T2 | 6 | null | French_envois | (Pays-Bas 2014).
Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers, de degré $n$, avec $n \leq 10$. On suppose que $|P(10)-P(0)|<1000$ et que, pour tout $k \in\{1, \ldots, 10\}$, il existe un entier $m$ tel que $P(m)=k$. Montrer que, pour tout entier $k$ il existe un entier $m$ tel que $P(m)=k$. | Pour $i \in\{1, \ldots, 10\}$, on désigne par $c_{i}$ un entier tel que $P\left(c_{i}\right)=i$. Pour $i \in\{1, \ldots, 9\}$, puisque $P$ est à coefficients entiers, l'entier $c_{i+1}-c_{i}$ divise $P\left(c_{i+1}\right)-P\left(c_{i}\right)=i+1-i=1$, d'où $c_{i+1}-c_{i}= \pm 1$. De plus, pour $i, j \in\{1, \ldots, 10\... | {
"problem_match": "## Exercice 6",
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"solution_match": "## Solution."
} | 126 | 1,058 |
2015 | T2 | 8 | null | French_envois | (Iran 2014).
Déterminer toutes les fonctions $f: \mathbb{R}_{+}^{*} \longmapsto \mathbb{R}_{+}^{*}$ telles que
$$
f\left(\frac{y}{f(x+1)}\right)+f\left(\frac{x+1}{x f(y)}\right)=f(y)
$$
pour tous $x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*}$. | En cherchant un peu parmi les fonctions usuelles, on constate que la fonction $f: x \longmapsto \frac{1}{x}$ est une solution du problème. Nous allons maintenant prouver que c'est la seule.
Soit $f$ une solution du problème. Si $y>0$ est tel que $y f(y)>1$, posons $x=\frac{1}{y f(y)-1}$. La relation de l'énoncé donne
... | {
"problem_match": "## Exercice 8",
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"solution_match": "## Solution."
} | 107 | 815 |
2015 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $a \in] 0 ; 1\left[\right.$ et $n>0$ un entier. On note $f_{n}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_{n}(x)=x+\frac{x^{2}}{n}$, pour tout réel $x$. Prouver que
$$
\frac{a(1-a) n^{2}+2 a^{2} n+a^{3}}{(1-a)^{2} n^{2}+a(2-a) n+a^{2}}<\underbrace{\left(f_{n} \circ f_{n} \circ \cdots \circ f_{n}\right)}_{n}(a)<... | Pour tout entier $k \geq 0$, posons $a_{k}=\underbrace{\left(f_{n} \circ f_{n} \circ \cdots \circ f_{n}\right)}_{k}(a)$. En particulier, $a_{0}=a$.
On remarque que, pour tout $k \geq 0$, on a $a_{k+1}=a_{k}+\frac{a_{k}^{2}}{n}>a_{k}$, donc la suite $\left(a_{k}\right)$ est strictement croissante. En particulier, $a_{k}... | {
"problem_match": "## Exercice 9.",
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"solution_match": "## Solution."
} | 175 | 632 |
2015 | T2 | 10 | null | French_envois | (Iran 2014).
Déterminer tous les polynômes $P$ à coefficients entiers pour lesquels l'ensemble $P(\mathbb{N})$ contient une suite géométrique infinie de raison $a$ avec $a \notin\{-1,0,1\}$ et de premier terme non nul. | Tout d'abord, on note que si $P$ est un polynôme ayant les propriétés de l'énoncé, alors - $P$ les possède aussi (il suffit de changer le premier terme de la suite géométrique en son opposée). On peut donc supposer que le coefficient dominant de $P$ est strictement positif.
Soit $\left(u_{k}\right)=\left(u_{0} \cdot a^... | {
"problem_match": "## Exercice 10",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 78 | 2,126 |
2015 | T2 | 4 | null | French_envois | 2015 droites deux à deux distinctes sont tracées dans le plan. On suppose qu'elles délimitent moins de 8000 régions (les régions peuvent être non bornées). Montrer que le nombre de régions est égal à 2016, 4030, 6042 ou 6043, et donner un exemple de configuration dans chaque cas. | Notons $\mathrm{n}=2015$ le nombre de droites, f le nombre de régions, p le nombre maximal de droites parallèles et q le nombre maximal de droites concourantes.
Montrons d'abord que $\mathrm{f} \geqslant(\mathrm{p}+1)(\mathrm{n}-\mathrm{p}+1)$. En effet, plaçons d'abord les p droites parallèles. Elles forment $p+1$ ré... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 92 | 931 |
2015 | T2 | 7 | null | French_envois | n joueurs participent à un tournoi d'échecs. Chaque joueur fait exactement une partie avec chacun des autres joueurs. Une victoire rapporte 1 point, un match nul un demipoint et une défaite aucun point. Une partie est dite anormale si le gagnant de cette partie obtient un score au tournoi strictement plus faible que le... | a) Soit $m=[n / 2]$. On classe les joueurs suivant leur score (parmi les joueurs ayant le même score, on les classe arbitrairement). On dira qu'un joueur classé parmi les $m$ meilleurs est fort; sinon, on dira qu'il est faible.
Soit x le nombre de parties normales entre les joueurs forts et les joueurs faibles. Les jo... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 139 | 910 |
2015 | T2 | 3 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle. On dessine des triangles équilatéraux $A B E$ et $A C F$ à l'extérieur de $A B C$. Soit $G$ le centre de gravité de $A B E$ et K le milieu de $[E F]$. Déterminer les angles du triangle KCG. | Montrons que GKC est rectangle en $K$ avec $\widehat{C G K}=60^{\circ}$. Pour cela, considérons le symétrique $\mathrm{G}^{\prime}$ de $G$ par rapport à $K$ : il suffit de montrer que $\mathrm{GCG}^{\prime}$ est équilatéral.
Comme EGFG' est un parallélogramme, on a $G^{\prime} F=E G$, et comme $G$ est le centre du cerc... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## \nSolution de l'exercice 3"
} | 78 | 706 |
2015 | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $\mathrm{n} \geqslant 1$ un entier.
On considère un ensemble de $4 \mathrm{n}+5$ points du plan, trois jamais alignés, et chacun coloré soit en rouge soit en bleu.
Prouver qu'il existe $n$ triangles dont les sommets sont tous d'une même couleur (la même pour tous les triangles), et dont les intérieurs respectifs ... | Lemme. Soit $\mathrm{n} \geqslant 3$ et $\mathrm{m} \geqslant 1$ des entiers.
On considère un n-gone convexe $P$ et $m$ de ses points intérieurs, trois des $n+m$ points jamais alignés. Alors, on peut trianguler $P$ en $n+2 m-2$ triangles dont les somments sont tous parmi les $n+m$ points, aucun de ces triangles ne cont... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 109 | 969 |
2015 | T2 | 5 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle non isocèle inscrit dans un cercle $\Gamma$ de rayon $R$. Le cercle passant par $A$ et tangent en $C$ à $[B C]$ recoupe le cercle passant par $B$ et tangent en $C$ à $[A C]$ au point D .
a) Montrer que $C D \leqslant R$.
b) Montrer que lorsque $C$ se déplace sur $\Gamma$, la droite (CD) passe p... | a) On observe d'abord que $(A D, A C)=(C D, C B)$ et $(B C, B D)=(C A, C D)$, donc $D A C$ et $D C B$ sont directement semblables. On en déduit que $D^{2}=D A \cdot D B$.
De plus, en notant $\gamma=(\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B})$, on a $(\overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D A})=\pi-\gamma$ et de même $... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 122 | 907 |
2015 | T2 | 8 | null | French_envois | Déterminer tous les entiers strictement positifs a et $b$ tels que $4 \boldsymbol{a}+1$ et $4 \boldsymbol{b}-1$ soient premiers entre eux, et tels que $a+b$ divise $16 a b+1$. | Notons (C) la condition de l'énoncé. Les entiers $4 \mathbf{a}+1$ et $4 \mathrm{~b}-1$ sont premiers entre eux si et seulement si $4 \boldsymbol{a}+1$ est premier avec $(4 a+1)+(4 b-1)=4(a+b)$. Or, $4 \boldsymbol{a}+1$ est impair donc il est automatiquement premier avec 4 . On en déduit que $4 \boldsymbol{a}+1$ et $4 \... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 66 | 711 |
2015 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle tel que $\widehat{A}=40^{\circ}$ et $\widehat{B}=60^{\circ}$. Soient $D$ et $E$ des points de [AC] et $[\mathrm{AB}]$ tels que $\widehat{\mathrm{CBD}}=40^{\circ}$ et $\widehat{\mathrm{ECB}}=70^{\circ}$. On note F l'intersection de (BD) et (CE). Monter que $(A F) \perp(B C)$. | On a $\widehat{\mathrm{BFC}}=180^{\circ}-\widehat{\mathrm{CBF}}-\widehat{\mathrm{FCB}}=180^{\circ}-40^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}=\widehat{\mathrm{FCB}}$ donc BCF est isocèle en B . Il vient $B C=B F$.
Soit $M$ le point d'intersection entre la bissectrice de $\widehat{C B F}$ et ( $A C$ ). On a $\widehat{B M A}=40^{\... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 123 | 715 |
2015 | T2 | 10 | null | French_envois | Pour tout entier strictement positif $x$, on note $S(x)$ la somme des chiffres de son écriture décimale.
Soit $k>0$ un entier. On définit la suite $\left(x_{n}\right)$ par $x_{1}=1$ et $x_{n+1}=S\left(k x_{n}\right)$ pour tout $n>0$.
Prouver que $x_{n}<27 \sqrt{k}$, pour tout $n>0$. | Lemme. Pour tout entier $s \geqslant 0$, on a $10^{s} \geqslant(s+1)^{3}$.
Preuve du lemme. On raisonne par récurrence sur s.
Pour $s=0$, on a $10^{0}=1=(0+1)^{3}$.
Supposons l'inégalité vraie pour la valeur s. Alors :
$10^{\mathrm{s}+1} \geqslant 10(\mathrm{~s}+1)^{3}$ d'après l'hypothèse de récurrence
$=10 s^{3}+30 s... | {
"problem_match": "\nExercice 10.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 10"
} | 112 | 500 |
2015 | T2 | 11 | null | French_envois | Soient $a, b, c$ trois nombres réels strictement positifs tels que $a+b+c=9$. Montrer que
$$
\frac{a^{3}+b^{3}}{a b+9}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b c+9}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c a+9} \geqslant 9
$$ | On cherche une minoration de la forme $\frac{a^{3}+b^{3}}{a b+9} \geqslant u(a+b)+v, c^{\prime}$ est-àdire $f(a) \geqslant 0$ où $f(a)=a^{3}+b^{3}-(u(a+b)+v)(a b+9)$.
En sommant les trois inégalités, on en déduirait $\frac{a^{3}+b^{3}}{a b+9}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b c+9}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c a+9} \geqslant 2 u(a+b+c)+3 v=... | {
"problem_match": "\nExercice 11.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 11"
} | 96 | 578 |
2015 | T2 | 12 | null | French_envois | Déterminer tous les entiers $\mathrm{n}>0$ ayant la propriété suivante: "tout nombre strictement positif qui s'écrit comme la somme des carrés de $n$ entiers multiples de $n$ peut également s'écrire comme la somme des carrés de $n$ entiers dont aucun n'est un multiple de $\mathrm{n}^{\prime \prime}$. | Un entier n ayant la propriété désirée sera dit bon.
Soit $\mathrm{n} \geqslant 2$ un entier bon. Alors 2 n est également bon : en effet, soit $\mathrm{m}=2 \mathrm{n}$ et soit $x_{1}, \cdots, x_{m}$ des entiers divisibles par m. Si deux de ces entiers sont non nuls, on peut supposer sans perte de généralité qu'il s'ag... | {
"problem_match": "\nExercice 12.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2014-2015-envoi-6-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 12"
} | 85 | 1,677 |
2016 | T2 | 3 | null | French_envois | Trouver le plus petit entier positif qui ne s'écrit pas sous la forme $\frac{2^{a}-2^{b}}{2^{c}-2^{d}}$ pour $a, b, c, d \in \mathbb{N}$. | : Soit E l'ensemble des entiers strictement positifs s'écrivant sous cette forme. Commençons par remarquer que
$$
\frac{2^{a}-2^{b}}{2^{c}-2^{d}}=2^{b-d} \frac{2^{a-b}-1}{2^{c-d}-1}
$$
Ainsi, si $x>0$ s'écrit $x=\frac{2^{a}-2^{b}}{2^{c}-2^{d}}$, alors $b-d=v_{2}(x)$ et si on appelle $y$ l'entier impair tel que $x=2^{... | {
"problem_match": "\nExercice 3",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 58 | 782 |
2016 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $t$ un entier naturel non-nul. Montrer qu'il existe un entier $n>1$ premier avec $t$ tel que pour tout entier $k \geq 1$, l'entier $n^{k}+t$ ne soit pas une puissance (c'est-à-dire qu'il ne soit pas de la forme $m^{r}$ avec $m \geq 1$ et $r \geq 2$ ). | : Pour que $n$ soit premier avec $t$, on va le chercher sous la forme $1+t s$ où $s$ est entier. On aura alors $n^{k}+t \equiv 1+t(\bmod s)$. En particulier, si $s$ est divisible par $(t+1)$, alors $n^{k}+t$ l'est également.
On va d'abord traiter le cas où $t+1$ n'est pas une puissance. Dans ce cas, il suffirait de s'... | {
"problem_match": "\nExercice 9",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 103 | 777 |
2016 | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle, et $D, E, F$ les pieds des hauteurs de $A, B, C$ respectivement. On définit aussi $H$ l'orthocentre de $A B C, O$ le centre de son cercle circonscrit, et $X$ le point de la droite $(E F)$ qui vérifie $X A=X D$. Montrer que les droites $(A X)$ et $(O H)$ sont perpendiculaires. | On sait que l'axe radical de deux cercles est une droite perpendiculaire à la droite passant par les centres des deux cercles.
La condition $X A=X D$ signifie que X est sur la médiatrice de $[A D]$, qui n'est autre que le droite des milieux $\left(B^{\prime} C^{\prime}\right)$ (avec $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ les mil... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-2-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 111 | 510 |
2016 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle, $D, E, F$ les points de tangence du cercle inscrit sur les côtés $(B C),(A C)$ et $(A B), M$ le milieu de $[B C], I$ le centre du cercle inscrit de $A B C . G$ et $H$ sont définis comme les symétriques de $E$ et $F$ par rapport à $I$. On note $Q$ l'intersection entre les droites $(B C)$ et $(G... | Soit $\omega$ le cercle inscrit de $A B C$.
On notera pour tout point $X$ du plan $p(X)$ la polaire de $X$ par rapport à $\omega$. On sait que pour tout point $X$ du plan, $p(X)$ est une droite perpendiculaire à $(I X)$. Nous allons donc montrer que $p(Q)$ et $(I M)$ sont parallèles pour en déduire le résultat.
On sait... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 140 | 776 |
2016 | T2 | 2 | null | French_envois | Soit $n \geqslant 3$ un nombre entier et $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ des nombres réels.
(a) On suppose que $a_{i}<\max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right)$ pour tout $i \in\{2,3, \ldots, n-1\}$. Montrer que $a_{i}<$ $\max \left(a_{1}, a_{n}\right)$ pour tout $i \in\{2,3, \ldots, n-1\}$.
(b) On suppose que $a_{i} \leqslant ... | (a) Soit $i \in\{1,2, \ldots, n\}$ un entier tel que $a_{i}=\max \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$. L'énoncé indique que $i \notin\{2,3, \ldots, n-1\}$. Cela montre à la fois que $i \in\{1, n\}$, donc que $a_{i}=\max \left(a_{1}, a_{n}\right)$, et que $a_{k}<a_{i}$ si $k \in\{2,3, \ldots, n-1\}$, ce qui était l'inégal... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 269 | 1,044 |
2016 | T2 | 4 | null | French_envois | Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que $f(f(x)+3 y)=12 x+f(f(y)-x)$ pour tous $x, y \in \mathbb{R}$. | Soit f une fonction satisfaisant à la condition de l'énoncé. L'idée est de montrer que f est injective en utilisant le fait qu'elle est surjective. Montrons d'abord que f est surjective. En prenant $y=-f(x) / 3$ dans l'équation fonctionnelle, on obtient $f(f(y)-x)=$ $f(0)-12 x$. En faisant varier $x$, on voit que le me... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 58 | 736 |
2016 | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $n>1$ un entier. Trouver tous les polynômes $P$ non constants à coefficients réels tels que
$$
P(x) P\left(x^{2}\right) P\left(x^{3}\right) \cdots P\left(x^{n}\right)=P\left(x^{\frac{n(n+1)}{2}}\right)
$$
pour tout nombre réel $x$. | Nous allons montrer que les solutions sont de la forme $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\mathrm{a}}$ avec $a \geqslant 0$ un entier si $n$ est pair, et $P(x)=x^{a}$ ou $P(x)=-x^{a}$ avec $a \geqslant 0$ un entier si $n$ est impair. Comme $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$, on vérifie tout d'abord que ces polynômes véri... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 95 | 1,034 |
2016 | T2 | 7 | null | French_envois | . Soit $n \geqslant 2$ un nombre entier et soient $x_{1}, \ldots, x_{n}$ des nombres réels positifs tels que $x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=1$. Montrer que
$$
\frac{1}{n-1+x_{1}}+\frac{1}{n-1+x_{2}}+\cdots+\frac{1}{n-1+x_{n}} \leqslant 1
$$ | En réduisant au même dénominateur, il s'agit de montrer que
$$
\sum_{k=1}^{n} \prod_{j \neq k}\left(x_{j}+n-1\right) \leqslant \prod_{k=1}^{n}\left(x_{k}+n-1\right)
$$
On note
$$
\sigma_{k}=\sum_{1 \leqslant i_{1}<\cdots<i_{k} \leqslant n} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}}
$$
le $k$-ème polynôme élémentaire (de ... | {
"problem_match": "\nExercice 7",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 114 | 1,017 |
2016 | T2 | 8 | null | French_envois | On note $S(k)$ la somme des chiffres d'un nombre entier $k$. On dit qu'un entier a est d'ordre $n$ s'il existe une suite d'entiers $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ tels que $a_{n}=a$ et $a_{i+1}=a_{i}-S\left(a_{i}\right)$ pour tout $i=0,1, \ldots, n-1$. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ il existe un entier $b$ ... | On pose $F(x)=x-S(x)$, et on considère la suite définie par $u_{0}=1$ et $u_{i+1}=10^{u_{i}}$ pour $i \geqslant 0$. Soit $n \geqslant 1$ fixé, et considérons un entier $N>u_{n+1}$. Nous allons montrer que $X=F^{(n)}\left(10^{N}-5 N\right.$ ) (on itère $n$ fois $F$ ) est d'ordre $n$ mais pas $n+1$. Pour cela, il suffit ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 157 | 2,234 |
2016 | T2 | 9 | null | French_envois | Trouver toutes les fonctions $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que
$$
f(x) f(y f(x)-1)=x^{2} f(y)-f(x)
$$
pour tous $x, y \in \mathbb{R}$. | Tout d'abord, on remarque que la fonction nulle est solution.
Soit maintenant une fonction f solution. En prenant $x=0$, on obtient $f(0)(f(y f(0)-1)+1)=0$. Si $f(0) \neq 0$, alors $f(y f(0)-1)=-1$ pour tout $y \in \mathbb{R}$. Comme $y f(0)-1$ parcourt $\mathbb{R}$ quand
y parcourt $\mathbb{R}$, on en déduit qu'alors ... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 68 | 943 |
2016 | T2 | 3 | null | French_envois | Les sept nains ont des tailles deux à deux distinctes. Ils se rendent à la mine en colonne dans un certain ordre, de telle manière que le nain en tête est plus grand que le deuxième, qui est plus petit que le troisième, qui est plus grand que le quatrième et ainsi de suite...
Combien y a-t-il de telles manières d'arran... | On note $u_{3}$ le nombre de manières d'arranger 3 nains de manière à ce que le premier est plus grand que le second, qui est plus grand que le troisième, $\mathfrak{u}_{5}$ le nombre de manières similaires d'arranger 5 nains et $u_{7}$ la solution de l'exercice.
Avec 3 nains, on est obligé de mettre le nain le plus pe... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 90 | 626 |
2016 | T2 | 5 | null | French_envois | On note $S$ l'ensemble des entiers de 1 à 2016. Combien y a-t-il de manières de partitionner $S$ en deux sous-ensembles $A$ et $B$ de telle manière que ni $A$ ni $B$ ne contient deux entiers dont la somme est une puissance de 2 ?
Remarque. On dit que $A$ et $B$ forment une partition de $S$ si ni $A$ ni $B$ n'est vide,... | La réponse est $2^{11}=2048$. Plus précisément, on va montrer qu'il est possible de répartir comme on veut les nombres $1,2,4,8, \ldots, 1024=2^{10}$ comme on veut entre $A$ et $B$ et qu'une fois ces nombres placés il existe une unique manière de répartir les autres. On peut alors conclure car il y a $2^{11}=2048$ mani... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 140 | 585 |
2016 | T2 | 6 | null | French_envois | Sur chaque sommet d'un n-gone régulier on place un signe $+\mathrm{ou}-$. A chaque étape, on a le droit de changer les signes de trois sommets consécutifs du n-gone.
Quels sont les n pour lesquels quelle que soit la configuration de départ on peut obtenir en un nombre fini d'étapes des + sur tous les sommets? | On va montrer que ce sont exactement les n qui ne sont pas divisibles par 3.
Si $n$ est divisible par 3 , on note $A_{1}, \ldots, A_{n}$ les sommets du polygone, et on note $P$ le nombre de $k$ qui ne sont pas divisibles par 3 et tels qu'il y a un signe $-\operatorname{sur} A_{k}$. On montre qu'à chaque étape la parité... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 88 | 650 |
2016 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $n \geqslant 2$. On trace un circuit sur un échiquier $n \times n$ qui passe exactement une fois par chaque case et revient à son point de départ (deux cases consécutives sur le circuit doivent avoir un côté commun).
Montrer qu'il existe deux cases voisines sur l'échiquier telles que, si on "coupe" le circuit en c... | Remarquons tout d'abord que si l'échiquier est pavé en noir et blanc de la manière habituelle, le circuit doit alterner des cases noires et blanches et revenir à sa case de départ donc sa longueur doit être paire donc $n^{2}$ et pair. On écrit donc $n=2 m$.
On considère l'ensemble des coins des carrés qui se trouvent ... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 177 | 1,617 |
2016 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On place des rectangles $1 \times n$ et $n \times 1$ sur un échiquier $2 n \times 2 n$, de telle manière que deux rectangles ne s'intersectent jamais et que chaque rectangle recouvre exactement n cases. Un ensemble de tels rectangles est dit saturé s'il est impossible d'ajouter un rectangle... | Commençons par le cas $n \geqslant 3$ : la réponse est $k=2 n+1$. L'ensemble suivant (dans le cas $\mathrm{n}=5$, la construction se généralisant facilement) convient :
Il reste à montrer qu'avec 2 n rectangles il est toujours possible d'en ajouter un qui ne les intersecte pas. Si les 2 n rectangles sont orientés dans... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 125 | 900 |
2016 | T2 | 9 | null | French_envois | Soient $n \geqslant 2$ et $a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n}$ des réels strictement positifs. Les $a_{i}$ sont supposés deux à deux distincts, de même que les $b_{i}$. On suppose qu'il est possible de séparer les $a_{i}$ en deux sous-ensembles de même somme, et de même pour les $b_{i}$.
Montrer qu'il existe un... | Quitte à changer les indices et éventuellement à échanger les rôles de $a$ et $b$, on peut supposer qu'il existe $\ell \leqslant m \leqslant \frac{n}{2}$ tels que $a_{1}+\cdots+a_{\ell}=a_{\ell+1}+\cdots+a_{n}=S_{a}$ et $b_{1}+\cdots+b_{m}=$ $b_{m+1}+\cdots+b_{n}$, que $b_{1} \geqslant \cdots \geqslant b_{m}$ et que $b... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 223 | 1,972 |
2016 | T2 | 1 | null | French_envois | Déterminer tous les entiers naturels a pour lesquels il existe des nombres premiers $\mathbf{p}, \mathbf{q}, \mathrm{r}$, pas forcément distincts, tels que
$$
a=\frac{p+q}{r}+\frac{q+r}{p}+\frac{r+p}{q}
$$ | Tout d'abord, si $p=q=r$, alors on obtient $\mathrm{a}=6$, qui est bien une solution. Montrons qu'il s'agit de la seule solution, et supposons qu'il existe une solution $a=\frac{p+q}{r}+\frac{q+r}{p}+\frac{r+p}{q}$ avec $p, q, r$ premiers et non tous égaux.
- Si deux des nombres $p, q, r$ sont égaux, disons $p=q \neq ... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 77 | 585 |
2016 | T2 | 2 | null | French_envois | Au club théâtre d'un lycée, on a formé 14 groupes de 4 élèves afin de travailler les scènes d'une pièce. Deux groupes différents ont toujours un et un seul élève en commun.
a) Prouver qu'il existe un élève qui appartient à au moins 5 groupes.
b) Chaque élève du club théâtre est membre d'au moins un groupe. Combien y a-... | a) Soit G un des groupes. Chacun des 13 autres groupes a un élève en commun avec G. Or $13=3 \times 4+1$ donc, d'après le principe des tiroirs, un des quatre élèves de G, disons $x$, appartient à au moins 4 des neuf autres groupes. Avec G, cela signifie que $x$ appartient à au moins 5 groupes.
b) Prouvons que $x$ appar... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 2"
} | 110 | 552 |
2016 | T2 | 3 | null | French_envois | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe dont les diagonales ne sont pas perpendiculaires et tel que les droites $(A B)$ et $(C D)$ ne sont pas parallèles. On note O le point d'intersection de $[A C]$ et $[B D]$. Soit $\mathrm{H}_{1}$ et $\mathrm{H}_{2}$ les orthocentres respectifs des triangles $A O B$ et $C O D$. On dé... | Soit $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ les pieds des hauteurs issues respectivement de $A$ et $B$ dans $A O B$. Soit $\mathrm{C}^{\prime}$ et $\mathrm{D}^{\prime}$ les pieds des hauteurs issues respectivement de C et D dans COD.
Les points $A^{\prime}$ et $D^{\prime}$ appartiennent donc au cercle $\Gamma_{1}$ de diamètre $[... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 171 | 563 |
2016 | T2 | 3 | null | French_envois | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe dont les diagonales ne sont pas perpendiculaires et tel que les droites $(A B)$ et $(C D)$ ne sont pas parallèles. On note O le point d'intersection de $[A C]$ et $[B D]$. Soit $\mathrm{H}_{1}$ et $\mathrm{H}_{2}$ les orthocentres respectifs des triangles $A O B$ et $C O D$. On dé... | Les points considérés étant définis uniquement par des intersections de droite et de relations d'orthogonalité (mais ne faisant intervenir ni égalités d'angles ni intersections de cercles ou de cercle et droite), on peut tenter une approche analytique, qui sera pénible mais humainement faisable.
Plaçons-nous dans un re... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution alternative"
} | 171 | 682 |
2016 | T2 | 4 | null | French_envois | Soit $S$ un ensemble d'entiers strictement positifs tel que
$$
\lfloor\sqrt{x}\rfloor=\lfloor\sqrt{y}\rfloor \text { pour tous } x, y \in S
$$
Prouver que si $x, y, z, t \in S$ avec $(x, y) \neq(z, t)$ et $(x, y) \neq(t, z)$, alors $x y \neq z t$.
( $\lfloor.$.$\rfloor désigne la partie entière.)$ | Supposons tout d'abord qu'il existe des entiers $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ dans $S$ tels que $x_{1} x_{2} \leqslant x_{3} x_{4}$ et $x_{1}+x_{2}>x_{3}+x_{4}$. Puisqu'il s'agit d'entiers, on a donc $x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4} \geqslant 1$. Soit $n=\left\lfloor\sqrt{x_{1}}\right\rfloor$. Par définition de $S$, pour $i=1,2... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 126 | 752 |
2016 | T2 | 6 | null | French_envois | Soit H le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle acutangle $A B C$, et $\mathrm{H}^{\prime}$ le symétrique de $H$ par rapport au milieu de $[B C]$. Les tangentes au cercle circonscrit à $A B C$ en $B$ et en $C$ se rencontrent en $X$. La perpendiculaire à $\left(\mathrm{XH}^{\prime}\right)$ en $\mathrm{H}^{\pr... | Soit $P, Q$ et $M$ les projetés orthogonaux respectifs de $X \operatorname{sur}(A B),(A C)$ et (BC). Clairement $M$ est le milieu de $[B C]$. Les points $X, H^{\prime}, Y, P$ sont sur le cercle de diamètre $[X Y]$, et les points $\mathrm{X}, \mathrm{H}^{\prime}, \mathrm{Z}, \mathrm{Q}$ sont sur le cercle de diamètre $[... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 164 | 900 |
2016 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $a_{1}, a_{2} a_{3}$ des entiers strictement positifs. Pour tout entier $n \geqslant 3$, on pose
$$
a_{n+1}=\operatorname{ppcm}\left(a_{n}, a_{n-1}\right)-\operatorname{ppcm}\left(a_{n-1}, a_{n-2}\right)
$$
étant entendu que l'on a $\operatorname{ppcm}(0, x)=0$ pour tout entier $x$.
Prouver qu'il existe un entie... | Si $x$ et $y$ sont des entiers, on note $x \vee y=\operatorname{ppcm}(x, y)$ et $x \wedge y=\operatorname{pgcd}(x, y)$, avec $\operatorname{pgcd}(0, x)=x$ pour tout $x$. On rappelle qu'alors $x y=(x \vee y)(x \wedge y)$.
Pour tout entier $n \geqslant 3, a_{n-1}$ divise $a_{n} \vee a_{n-1}$ et $a_{n-1} \vee a_{n-2}$, do... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 165 | 1,304 |
2016 | T2 | 8 | null | French_envois | Un ensemble E fini et non vide de réels strictement positifs est dit puissant lorsque, pour tous $a, b \in E$ distincts, l'un au moins des nombres $a^{b}$ et $b^{a}$ appartient aussi à $E$. Déterminer le nombre maximal d'éléments que peut contenir un ensemble puissant. | Tout d'abord, l'ensemble
$$
\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}\right\}
$$
est un ensemble puissant qui contient quatre éléments. Soit S un ensemble puissant, et n son cardinal : nous allons montrer que $\mathrm{n} \leqslant 4$.
Démontrons d'abord le lemme suivant : il n'existe pas d'éléments a et b de $... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2015-2016-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 77 | 1,265 |
2017 | T2 | 1 | null | French_envois | On définit une suite ainsi:
$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=15, u_{1}=57 \\
u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2} \text { pour tout } n \geq 2
\end{array}\right.
$$
Trouver le plus grand entier $k$ tel que $3^{k} \mid u_{2017}$. | Soit $k$ l'entier cherché. Les premiers termes de la suite sont 15, 57, 72, 129, 201, 330, 541,... apparemment tous divisibles par 3 . En effet, $u_{0}$ et $u_{1}$ sont multiples de 3 , donc $u_{2}=u_{0}+u_{1}$ aussi. De même, $u_{3}$ est divisible par 3. Plus généralement, si $u_{n-1}$ et $u_{n-2}$ sont multiples de 3... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 99 | 1,059 |
2017 | T2 | 5 | null | French_envois | Soit $m, n$ des entiers positifs tels que $\operatorname{pgcd}(m, n)=1$, où $a \wedge b$ désigne le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$. Quelle(s) valeur(s) peut prendre
$$
\left(2^{m}-2^{n} \wedge 2^{m^{2}+m n+n^{2}}-1\right) ?
$$ | On utilise la propriété suivante : si $m \geq 1$ et $a, b \in \mathbb{N}$, alors $\left(m^{a}-1\right) \wedge\left(m^{b}-1\right)=$ $m^{a \wedge b}-1$. On se ramène ainsi tudier $\left(m^{2}+m n+n^{2}\right) \wedge(m-n)$. Si $d \mid m^{2}+m n+n^{2}$ et $d \mid m-n$, alors $d \mid m^{2}+m n+n^{2}-(m-n)^{2}=3 m n$. Donc ... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 100 | 995 |
2017 | T2 | 6 | null | French_envois | Trouver tous les triplets d'entiers naturels $(x, y, z)$ tels que :
$$
x^{2}+y^{2}=3 \cdot 2016^{z}+77 \text {. }
$$ | Soit un triplet solution $(x, y, z)$. Que peut-on en dire de façon nécessaire ?
Si $z=0$, on a $x^{2}+y^{2}=80$. On fait une table de congruence modulo 4 : on montre ainsi que, si une somme de deux carrés est congrue modulo 4 , c'est que les deux carrés en question sot tous les deux pairs. On peut donc poser $x=2 x_{0}... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 53 | 547 |
2017 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $p$ un nombre premier, $m$ un entier naturel. Trouver le plus petit entier $d$ tel qu'il existe un polynôme unitaire $Q$ de degré $d$ à coefficients entiers tel que, pour tout entier $n, p^{m} \mid Q(n)$. | Montrons que $d$ est le plus petit entier tel que $p^{m} \mid d$ !. Soit $k$ le plus petit entier tel que $p^{m} \mid k$ !.
Tout d'abord, montrons que $k \geq d$. On considère le polynôme $Q(x)=X(X+1) \cdots(X+k-1)$ : il est unitaire, de degré $k$, oefficients entiers. Qui plus est, pour tout $n \in \mathbb{N}, Q(n)=k!... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 71 | 991 |
2017 | T2 | 8 | null | French_envois | Si $n \in \mathbb{N}^{*}$, on note $d(n)$ son nombre de diviseurs. Quels sont les entiers strictement positifs tels que $d(n)^{3}=4 n$ ? | Soit $f(n):=\frac{d(n)^{3}}{n}$, l'énoncé revient rouver les antécédents de 4 par $f$. On remarque que $f(a b)=f(a) f(b)$ si $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Ceci nous incite écomposer $n$ en produit de facteurs premiers :
$$
n=p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times \cdots \times p_{l}^{a_{l}},
$$
où les $p_{i}... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 52 | 870 |
2017 | T2 | 9 | null | French_envois | Prouver qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $2^{2^{n}+1}+1$ est divisible par $n$, mais $2^{n}+1$ ne l'est pas. | Pour $m \geqslant 1$, posons $a_{m}=2^{3^{m}}+1$. On a
$a_{m}=\left(2^{3^{m-1}}+1\right)\left(\left(2^{3^{m-1}}\right)^{2}-2^{3^{m-1}}+1\right)=a_{m-1}\left(\left(2^{3^{m-1}}\right)^{2}-2^{3^{m-1}}+1\right)$.
Notons que pour $a \in \mathbb{N}^{*}$, si $p \mid a+1$ et $p \mid a^{2}-a+1$, alors $p \mid 2 a-1$ car $2 a-1=... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-1-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 52 | 625 |
2017 | T2 | 4 | null | French_envois | Déterminer tous les entiers $n \geqslant 3$ pour lesquels il existe $n$ polynômes $P_{1}, \ldots, P_{n}$ à coefficients réels et tels que, pour tous $i, j, k$ distincts : $P_{i}+P_{j} n^{\prime}$ a aucune racine réelle et $P_{i}+P_{j}+P_{k}$ admet au moins une racine réelle. | Prouvons que seul $n=3$ a la propriété désirée.
Tout d'abord, en posant $\mathrm{P}_{1}(x)=3 x^{2}+3$ et $\mathrm{P}_{2}(x)=P_{3}(x)=-x^{2}-2$, on vérifie aisément que les polynômes $P_{1}(x)+P_{2}(x)=P_{1}(x)+P_{3}(x)=2 x^{2}+1$ et $P_{2}(x)+P_{3}(x)=-2 x^{2}-4$ n'ont aucune racine réelle, tandis que $P_{1}(x)+P_{2}(x... | {
"problem_match": "## Exercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-2-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 112 | 1,066 |
2017 | T2 | 5 | null | French_envois | a) Déterminer toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{Z}$ telles que
$$
f(f(y)-x)^{2}+f(x)^{2}+f(y)^{2}=f(y)(1+2 f(f(y)))
$$
pour tous réels $x$ et $y$.
b) Déterminer toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ telles que
$$
f(f(y)-x)^{2}+f(x)^{2}+f(y)^{2}=f(y)(1+2 f(f(y)))
$$... | a) Soit f une éventuelle solution du problème. Notons $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ l'égalité de l'énoncé pour les valeurs $x$ et $y$. On pose $c=f(0)$.
Pour tout $x$, de $P(0, x)$ on déduit que $f(f(x))^{2}+c^{2}+f(x)^{2}=f(x)+2 f(f(x)) f(x)$, d'où $f(x)=c^{2}+(f(f(x))-f(x))^{2}$. Il s'ensuit que $f(x) \geqslan... | {
"problem_match": "## Exercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-2-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 157 | 1,664 |
2017 | T2 | 6 | null | French_envois | a) Soit $x_{1} \geqslant x_{2}>0$ et $y_{1} \geqslant y_{2}>0$ des réels tels que
$$
x_{1} \geqslant y_{1} \text { et } x_{1} x_{2} \geqslant y_{1} y_{2}
$$
Prouver que
$$
x_{1}+x_{2} \geqslant y_{1}+y_{2}
$$
b) Soit $x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant \ldots \geqslant x_{n}>0$ et $y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \ldo... | a) Procédons par l'absurde: supposons que $y_{1}+y_{2}>x_{1}+x_{2}$. Alors $y_{2}>x_{1}+x_{2}-y_{1}$ et on a
$$
0 \geqslant y_{1} y_{2}-x_{1} x_{2}>y_{1}\left(x_{1}+x_{2}-y_{1}\right)-x_{1} x_{2}=\left(x_{1}-y_{1}\right)\left(y_{1}-x_{2}\right)
$$
Puisque $x_{1} \geqslant y_{1}$, alors $y_{1}<x_{2}$. Mais alors $x_{1... | {
"problem_match": "## Exercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-2-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 296 | 1,396 |
2017 | T2 | 6 | null | French_envois | a) Soit $x_{1} \geqslant x_{2}>0$ et $y_{1} \geqslant y_{2}>0$ des réels tels que
$$
x_{1} \geqslant y_{1} \text { et } x_{1} x_{2} \geqslant y_{1} y_{2}
$$
Prouver que
$$
x_{1}+x_{2} \geqslant y_{1}+y_{2}
$$
b) Soit $x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant \ldots \geqslant x_{n}>0$ et $y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \ldo... | On pose
$$
x_{n+1}=\min \left(x_{n}, y_{n}\right) \frac{y_{1} \cdots y_{n}}{x_{1} \cdots x_{n}} \text { et } y_{n+1}=\min \left(x_{n}, y_{n}\right)
$$
On a alors $0<x_{n+1} \leqslant x_{n}, 0<y_{n+1} \leqslant y_{n}, x_{n+1} \leqslant y_{n+1}$ et $x_{1} \cdots x_{n} x_{n+1}=y_{1} \cdots y_{n} y_{n+1}$. Tout étant hom... | {
"problem_match": "## Exercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-2-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution alternative"
} | 296 | 743 |
2017 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $a_{0}$ et $b_{0}$ des entiers strictement positifs. Pour tout $i \geqslant 0$, on pose
$$
a_{i+1}=a_{i}+\left\lfloor\sqrt{b_{i}}\right\rfloor \text { et } b_{i+1}=b_{i}+\left\lfloor\sqrt{a_{i}}\right\rfloor \text {. }
$$
Prouver qu'il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $a_{n}=b_{n}$. | Pour tout $i \geqslant 0$, posons $c_{i}=b_{i}-a_{i}, \alpha_{i}=\left\lfloor\sqrt{a_{i}}\right\rfloor$ et $\beta_{i}=\left\lfloor\sqrt{b_{i}}\right\rfloor$. Sans perte de généralité, on suppose que $c_{0} \geqslant 0$. On montre tout d'abord par récurrence que $c_{i} \geqslant 0$ pour tout $i \geqslant 0$. En effet, p... | {
"problem_match": "## Exercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-2-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 7"
} | 134 | 1,513 |
2017 | T2 | 9 | null | French_envois | a) Prouver qu'il existe des entiers $\mathbf{a}, \boldsymbol{b}$, $\mathbf{c}$ tels que $(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) \neq(0,0,0)$ et $|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|,|\mathbf{c}|<10^{6}$ pour lesquels
$$
|a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}|<10^{-11}
$$
b) Soit $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathrm{c}$ des entiers tels que $(\math... | a) Soit E l'ensemble des $10^{18}$ nombres de la forme $a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}$, avec $a, b, c$ entiers naturels et $a, b, c<10^{6}$. On pose $d=(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}) 10^{6}$.
Pour tout $x \in \mathrm{E}$, on a $0 \leqslant x<\mathrm{d}$. De plus $0<\mathrm{d}<(1+2+3) \times 10^{6}<10^{7}-10^{-11}$. On divise alors l'... | {
"problem_match": "## Exercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-2-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 235 | 1,176 |
2017 | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et $(I)$ le centre de son cercle inscrit. La droite ( $A I)$ recoupe $[B C]$ en $D$. La médiatrice de $[A D]$ recoupe $(B I)$ en $M$ et $(C I)$ en $N$.
Montrer que $A, M, N$ et $I$ sont cocycliques.
. Soit $A B C$ un triangle, $\Gamma$ son cercle circonscrit et $I$ le centre de son cercle inscrit. Soit $S$ le second point d'intersection de la bissectrice de $\widehat{B A C}$ avec $\Gamma$. Alors $S B=S C$. Le point $S$ est appelé Pôle... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 169 | 548 |
2017 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle dont l'orthocentre $H$ est distinct des sommets ainsi que du centre du cercle circonscrit $O$. On désigne par $M, N, P$ les centres des cercles circonscrits aux triangles $H B C, H C A$ et $H A B$.
Montrer que les droites $(A M),(B N),(C P)$ et $(O H)$ sont concourantes.
$. On sait que $H^{\prime}$ est sur le cercle circonscrit à $A B C$ (il est facile de vérifier $\widehat{B H^{\prime} C}=\widehat{B H C}=180^{\circ}-\widehat{B A C}$ ). Le centre du cercle circonscrit à $H^{\prime} B C$ est donc 0 . Par symétrie par rapport à $... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 181 | 723 |
2017 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit ABC un triangle d'orthocentre H. Soient $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ deux droites perpendiculaires se coupant en $H$. Soit $A_{1}$ (respectivement $B_{1}, C_{1}$ ) l'intersection de $\left(d_{1}\right)$ avec $(B C)$ (respectivement $(C A),(A B)$ ). Soit $A_{2}$ (respectivement $B_{2}, C_{2}$ ) l'in... | Nous donnons une preuve avec des similitudes directes. Il existe d'autres preuves, un peu plus courtes, qui utilisent des nombres complexes.
Rappelons tout d'abord le résultat suivant :
Lemme 2. Soit $A B C$ un triangle, $\Gamma$ son cercle circonscrit et $H$ son orthocentre. Alors les symétriques $H_{A}, H_{B}$ et $H_... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-3-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 311 | 2,111 |
2017 | T2 | 4 | null | French_envois | Combien de tableaux $3 \times 3$ peut-on construire en les remplissant avec les nombres de 1 à 3 tels qu'il n'y ait pas deux fois le même nombre dans une ligne ni dans une colonne. Et de tableaux $4 \times 4$ avec les nombres de 1 à 4 ? | Nous présentons ci-dessous une preuve complète de l'exercice. Il n'était pas nécessaire d'être aussi précis pour avoir tous les points mais il est bon, lorsque que l'on compte des objets, d'avoir une idée de la preuve pour démontrer que nous n'avons rien oublié ni compté en double.
Nous avons six façons de remplir la ... | {
"problem_match": "## Exercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 73 | 960 |
2017 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $n$ un entier positif. Montrer que dans un ensemble $A$ de $2^{n}$ nombres strictement positifs, on peut choisir un sous-ensemble B de taille $n+1$ tel que la somme de deux nombres différents dans $B$ ne soit jamais dans $A$. | Soient $n$ et $A$ comme dans l'énoncé. Nous allons montrer, par récurrence sur $m \leqslant n+1$, que l'algorithme glouton consistant à toujours prendre le plus grand nombre qui ne pose pas de problème convient.
Posons $A_{0}=A$, et $B_{0}=B$. Supposons que, pour $m<n+1$, on a construit $A_{m}$ et $B_{m}$ des sous-ense... | {
"problem_match": "## Exercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 67 | 913 |
2017 | T2 | 10 | null | French_envois | On possède une liste infinie de cases, les cases étant numérotées par $1,2, \ldots$. Au départ, toutes les cases contiennent le nombre 1 . À chaque étape, on choisit un nombre $a \in \mathbb{N}^{*}$ tel que:
- soit toutes les cases numérotées par un multiple de a contiennent 1 auquel cas on remplace ces 1 par des 0 ,
... | Nous allons d'abord reformuler le problème. On se place dans $\mathbb{N}^{*}$. Si $A$, B sont deux ensembles (dans $\mathbb{N}^{*}$ ), on note
- $A \oplus B:=A \cup B$ si $A \cap B=\emptyset$, sinon l'opération est interdite, et
- $A \ominus B:=A \backslash B$ si $B \subset A$, sinon l'opération est interdite.
On ajo... | {
"problem_match": "## Exercice 10.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-4-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 10"
} | 182 | 1,476 |
2017 | T2 | 5 | null | French_envois | Trouver toutes les fonctions $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que pour tous nombres réels $x, y \in \mathbb{R}$ on ait
$$
f(x+y)+f(x) f(y)=f(x y)+f(x)+f(y)
$$ | En prenant $y=0$, on trouve que $f(0)(f(x)-2)=0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Si $f(0) \neq 0$, on en déduit que $f(x)=2$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Supposons donc dans la suite que $f(0)=0$ et notons $a=f(1)$.
En prenant $y=1$, on obtient
$$
f(x+1)=(2-a) f(x)+a
$$
pour tout $x \in \mathbb{R}$.
En prenant $y+1$... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 72 | 964 |
2017 | T2 | 9 | null | French_envois | Soient $A B C D$ un quadrilatère inscrit dans un cercle. On note $\Delta_{1}$ la droite parallèle à $(B C)$ passant par $A$ et $\Delta_{2}$ la droite parallèle à $(A D)$ passant par $B$. On note $E$ le point d'intersection de $\Delta_{1}$ avec (CD) et $F$ le point d'intersection de $\Delta_{2}$ avec (CD). La droite per... | On commence par quelques remarques préliminaires. On a $\widehat{\mathrm{EDA}}=180^{\circ}-\widehat{\mathrm{ADC}}=\widehat{\mathrm{ABC}}=$ $180^{\circ}-\widehat{\mathrm{EAB}}$, donc $(\mathrm{AB})$ et $\Gamma_{1}$ sont tangents. De même, $\Gamma_{2}$ et $(A B)$ sont tangents. Ensuite, comme $(A P) \perp(B C)$ et $(A D)... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-ofm-2016-2017-envoi-5-solutions.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 325 | 927 |
2018 | T2 | 2 | null | French_envois | Existe-t-il un sous-ensemble infini $A$ de $\mathbb{N}$ qui vérifie la propriété suivante : toute somme finie d'éléments distincts de $A$ n'est jamais une puissance d'un entier (c'est-à-dire un entier de la forme $a^{b}$ avec $a$ et $b$ entiers supérieurs ou égaux à 2) ? | On cherche à construire un tel ensemble $A=\left\{a_{0}, a_{1}, \ldots\right\}$, avec $\left(a_{0}, a_{1}, \ldots\right)$ une suite croissante d'entiers. On choisit comme premier élément $a_{0}=0$.
Soit $n \in \mathbb{N}$. On suppose qu'on a déjà trouvé $a_{0}<\cdots<a_{n}$ tels que l'ensemble B des somme d'éléments d... | {
"problem_match": "\nExercice 2",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi1-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution "
} | 93 | 668 |
2018 | T2 | 2 | null | French_envois | Existe-t-il un sous-ensemble infini $A$ de $\mathbb{N}$ qui vérifie la propriété suivante : toute somme finie d'éléments distincts de $A$ n'est jamais une puissance d'un entier (c'est-à-dire un entier de la forme $a^{b}$ avec $a$ et $b$ entiers supérieurs ou égaux à 2) ? | Soit $p$ un nombre premier impair. On cherche un entier $n$ de la forme $p^{2^{k}}$, avec $k$ entier, tel que $P(n-1)<P(n)<P(n+1)$.
Soit $k>l \geq 0$, on a
$$
\frac{p^{2^{k}}+1}{2}=\frac{p^{2^{l}}+1}{2}\left(p^{2^{k}-2^{l}}-p^{2^{k}-2 \cdot 2^{l}}+\cdots-p^{2 \cdot 2^{l}}+p^{2^{l}}-1\right)+1 .
$$
Donc les $\frac{p^... | {
"problem_match": "\nExercice 2",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi1-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution "
} | 93 | 620 |
2018 | T2 | 1 | null | French_envois | Soit $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ deux cercles se coupant en $A$ et $B$ distincts. Notons O le centre de $\Gamma_{1}$. Soit $C$ un point de $\Gamma_{1}$, soit $D, E$ les intersections respectives de (AC) et de (BC) avec $\Gamma_{2}$.
Montrer que (OC) et ( DE ) sont perpendiculaires. | On procède par chasse aux angles.
On présente ici une solution qui se veut très (trop) rigoureuse, il n'y avait pas besoin d'être aussi pointilleux ni de traiter tous ces cas pour recevoir la note maximale à cet exercice.
Comme on remarque que la figure change beaucoup selon que le point $C$ est du même côté de la dro... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi2-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 99 | 966 |
2018 | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $O$ le centre d'un polygone régulier à 18 côtés de sommets $A_{1}, \ldots, A_{18}$. Soit $B$ le point de $\left[\mathrm{OA}_{1}\right]$ tel que $\widehat{\mathrm{BA} A_{2} \mathrm{O}}=20^{\circ}$ et C le point de $\left[\mathrm{OA}_{2}\right]$ tel que $\widehat{\mathrm{CA}_{1} \mathrm{O}}=10^{\circ}$. Montrer que ... | On prolonge déjà les différentes droites existantes: $A_{1}, O, A_{10}$ sont alignés, $A_{2}, 0, A_{11}$ aussi.
On applique ensuite le théorème de l'angle inscrit : tout angle au centre qui intercepte un segment de longueur $A_{1} A_{2}$ vaut $20^{\circ}$, tout angle inscrit qui intercepte un tel segment vaut $10^{\cir... | {
"problem_match": "## Exercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi2-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 149 | 568 |
2018 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle tel que $A B \neq A C$. Soit $E$ tel que $A E=B E$ et $(B E)$ perpendiculaire à $(B C)$ et soit $F$ tel que $A F=C F$ et ( $C F)$ perpendiculaire à ( $B C$ ). Soit $D$ le point de $(B C)$ tel que $(A D)$ soit tangente au cercle circonscrit à $A B C$ en A.
Montrer que les points $D, E, F$ sont ... | Supposons (sans restreindre la généralité) que $A B<A C$.
Soit $O$ le centre du cercle circonscrit à $A B C$ et $G$ le point de la droite (AD) tel que $(\mathrm{AB})$ soit parallèle à (GC).
Montrons tout d'abord que les angles $\widehat{\mathrm{BAD}}$ et $\widehat{\mathrm{BCA}}$ sont de même mesure $\gamma$, et que les... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi2-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 7"
} | 132 | 624 |
2018 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle.
Pour un point $P$ de ( $B C$ ) donné, on note $E(P)$ et $F(P)$ les deuxièmes points d'intersection des droites $(A B)$ et ( $A C$ ) avec le cercle de diamètre $[A P]$. Soit $T(P)$ l'intersection des tangentes à ce cercle en $E(P)$ et $F(P)$.
Montrer que quand $P$ varie sur ( $B C$ ), le lieu ... | ## Étape 1 : une première remarque importante.
Posons tout d'abord H le pied de la hauteur issue de $A$ dans $A B C$. Soient deux points $P$ et $P^{\prime}$ de la droite (BC). On note $E=E(P), F=F(P), T=T(P), E^{\prime}=$ $E\left(P^{\prime}\right), F^{\prime}=F\left(P^{\prime}\right), T^{\prime}=T\left(P^{\prime}\righ... | {
"problem_match": "## Exercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi2-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 130 | 808 |
2018 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle, O le centre de son cercle circonscrit. Soit P un point sur (AO) et $D, E, F$ les projections orthogonales de $P$ sur ( $A B$ ), ( $B C$ ) et (CA). Soit $X$ et $Y$ les intersections des cercles circonscrits à DEF et à BCP.
Montrer que $\widehat{B A X}=\widehat{Y A C}$ | ## Étape 1 : Montrons que (DF) est parallèle à (BC).
Soit $\mathrm{P}_{0}$ le point diamétralement opposé à $A$ sur le cercle circonscrit à $A B C .\left(P_{0} C\right)$ est perpendiculaire à $(A C)$ donc parallèle à $(\mathrm{PF})$ et $\left(\mathrm{P}_{0} B\right)$ est de même parallèle à (PD).
Donc, d'après le théo... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi2-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 111 | 767 |
2018 | T2 | 6 | null | French_envois | Soient $a, b, c>0$ tels que $a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2} \leqslant 4$. Montrer que
$$
\frac{a b+1}{(a+b)^{2}}+\frac{b c+1}{(b+c)^{2}}+\frac{c a+1}{(c+a)^{2}} \geqslant 3
$$ | En développant $(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})^{2}$ et en divisant tout par 2, l'hypothèse se réécrit
$$
a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a \leqslant 2 .
$$
On cherche maintenant à homogénéiser le membre de gauche de l'inégalité à montrer, c'est-à-dire à faire en sorte que tous les termes aient le même degré. Pour cel... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi3-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 105 | 712 |
2018 | T2 | 8 | null | French_envois | Soient $x_{1}, \ldots, x_{n}$ des réels quelconques. Montrer que
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left|x_{i}+x_{j}\right| \geqslant n \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| .
$$ | Parmi les $n$ nombres, on suppose que $r$ sont positifs (ou nuls), et $s=n-r$ sont strictement négatifs. On note $\left(a_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant r}$ la liste des nombres positifs (ou
nuls), et $\left(-b_{j}\right)_{1 \leqslant j \leqslant s}$ la liste des nombres strictement négatifs, de sorte que tous les... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 85 | 758 |
2018 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $\mathbb{R}_{+}^{*}$ l'ensemble des réels strictement positifs. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R}_{+}^{*} \longrightarrow \mathbb{R}_{+}^{*}$ telles que pour tous $x, y>0$, on ait
$$
f\left(\frac{f(x)}{y f(x)+1}\right)=\frac{x}{x f(y)+1}
$$ | On remarque tout d'abord que pour tout $z>0$, l'application $x \in$ $\left.\mathbb{R}^{+*} \longmapsto \frac{x}{x z+1} \in\right] 0 ; z^{-1}[$ est une bijection strictement croissante.
Maintenant, si $f(x)=f\left(x^{\prime}\right)$, on trouve que
$$
\frac{x}{x f(1)+1}=f\left(\frac{f(x)}{1 \times f(x)+1}\right)=f\left(... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 104 | 885 |
2018 | T2 | 1 | null | French_envois | Dans les carrés suivants, on s'autorise à remplacer tous les 0 par des 1 et réciproquement sur toute une ligne ou toute une colonne ou toute une diagonale. Dans chaque cas, peut-on n'obtenir que des 0 ?
$$
\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right) \qu... | Dans tous les cas, on va dire que l'on agit sur une ligne, une colonne ou une diagonale si on y remplace les 0 par des 1 et réciproquement.
Dans le $1^{\text {er }}$ cas, on remarque que l'on a un nombre impair de 1 : il y en a 9 dans la grille. Or, lors d'une action, la parité du nombre de 1 ne change pas, puisque le ... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"
} | 250 | 1,022 |
2018 | T2 | 2 | null | French_envois | On place les entiers de 1 à 9 dans chacune des cases d'une grille $3 \times 3$. Pour $i=1$, 2 et 3 , on note $\ell_{i}$ le plus grand entier présent dans la $i^{\text {ème }}$ ligne et $c_{i}$ le plus petit entier présent dans la $i^{\text {ème }}$ colonne.
Combien existe-t-il de grilles telles que $\min \left\{\ell_{1... | Soit $G$ une grille quelconque, et soit $i$ et $j$ les entiers tels que l'entier 4 se trouve sur la ${ }^{\text {ème }}$ ligne et la $j^{\text {ème }}$ colonne. On dit que la grille $G$ est bonne si $\ell_{i}=\mathrm{c}_{j}=4$.
Tout d'abord, $\operatorname{simin}\left\{\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}\right\}=\max \left\{\... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"
} | 158 | 809 |
2018 | T2 | 3 | null | French_envois | Trouver tous les entiers $n \geqslant 3$ tels que, si $a_{1}, \ldots, a_{n}$ sont des réels strictement positifs tels que $\max \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \leqslant n \cdot \min \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$, alors il existe nécessairement trois de ces réels qui sont les longueurs des côtés d'un triangle ac... | Sans perte de généralité, on suppose que $1=a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots \leqslant a_{n}$. On note alors que trois réels $a_{i}, a_{j}$ et $a_{k}$, avec $i<j<k$, sont les longueurs des côtés d'un triangle acutangle si et seulement si $a_{i}^{2}+a_{j}^{2}>a_{k}^{2}$ (on peut le voir par exemple avec le théorèm... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
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} | 136 | 973 |
2018 | T2 | 4 | null | French_envois | On dit que deux permutations $a_{1}, \ldots, a_{4035}$ et $b_{1}, \ldots, b_{4035}$ des entiers $1, \ldots, 4035$ s'intersectent s'il existe un entier $k \leqslant 4035$ tel que $a_{k}=b_{k}$. On dit qu'un ensemble $E$ de permutations est inévitable si chaque permutation des entiers $1, \ldots, 4035$ intersecte une per... | a) Pour tout $i \in\{1, \ldots, 2018\}$, on note $\sigma^{(i)}$ la permutation
$$
\mathfrak{i}+1, \mathfrak{i}+2, \ldots, 2018,1,2, \ldots, \mathfrak{i}, 2019,2020, \ldots, 4035
$$
En d'autres termes, $\sigma^{(i)}$ est la permutation telle que:
$\triangleright$ pour tout $\mathfrak{j} \leqslant 2018, \sigma_{\mathfr... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 173 | 1,126 |
2018 | T2 | 5 | null | French_envois | On considère un tableau de taille $2018 \times 2018$ dont chaque case contient un entier naturel non nul. Noémie modifie ces entiers à sa guise, en appliquant les opérations suivantes :
$\triangleright$ choisir une ligne puis multiplier par 2 tous les entiers contenus dans cette ligne;
$\triangleright$ choisir une colo... | On va dire qu'une colonne est positive si elle ne contient que des entiers naturels non nuls, et est nulle si elle ne contient que des 0 . Remarquons que, chaque fois que Noémie double les entiers contenus sur une ligne, les colonnes positives restent positives et les colonnes nulles restent nulles. On dit enfin qu'un ... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 146 | 531 |
2018 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit G un graphe orienté infini, dont tout sommet est de degré fini. On suppose que, pour chaque sommet $s$, le degré entrant de $s$ est strictement inférieur au degré sortant de s. Soit $v$ un sommet de G. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $V_{n}$ le nombre de sommets que l'on peut atteindre à partir de $v$ en... | Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $E_{n}$ l'ensemble des sommets atteints en passant par $n$ arêtes de $G$ ou moins, et $F_{n}$ l'ensemble $E_{n} \backslash E_{n-1}$, c'est-à-dire l'ensemble des sommets atteints en passant par $n$ arêtes de $G$ au minimum. En outre, on note $a_{n}$ le nombre d'arêtes $(x, y)$ t... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 141 | 1,570 |
2018 | T2 | 8 | null | French_envois | Patricia a placé 2018 points dans le plan, de sorte que les distances entre 2 points quelconques soient deux à deux distinctes. Elle colorie alors chacun de ses 2018 points, en faisant attention à ce que ; pour chaque point $P$, les points $Q$ et $R$ placés le plus près et le plus loin de $P$ sont de la même couleur qu... | On va montrer que Patricia a pu utiliser un maximum de 504 couleurs. Tout d'abord, dès qu'une couleur sert à colorier un sommet $v$, elle sert aussi à colorier les sommets le plus proche et le plus éloigné de $v$, c'est-à-dire 3 sommets au moins.
Supposons maintenant que deux couleurs, au moins, n'ont servi à colorier ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm-2017-2018-envoi4-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 113 | 990 |
2018 | T2 | 9 | null | French_envois | On dit qu'un ensemble B d'entiers est un intervalle d'entiers s'il existe des entiers $i \leqslant j$ tels que $B=\{i, \mathfrak{i}+1, \ldots, j\}$, et on note $\mathcal{J}$ l'ensemble des intervalles d'entiers. Par ailleurs, si $A=\left\{a_{1}, \ldots, a_{k}\right\}$ est un ensemble d'entiers, avec $a_{1}<\ldots<a_{k}... | Dans toute cette soluion, on notera $E_{n}$ l'ensemble des parties de $\{1, \ldots, n\}$ et $S_{n} l^{\prime}$ ensemble des parties $A$ de $\{1, \ldots, n\}$ telles que $\{1, n\} \subseteq A$. Si $A$ est un ensemble et $k$ un entier, on notera également $A+k$ l'ensemble $\{x+k \mid x \in A\}$.
Pour un ensemble $A \in E... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 355 | 1,353 |
2018 | T2 | 4 | null | French_envois | Est-il possible de ranger 601 disques de rayon 1 dans une boîte rectangulaire de taille $4 \times 600$ sans que deux disques ne se chevauchent (ils peuvent toutefois se toucher)? | La réponse est oui! Pour le montrer, on considère la disposition en triangle sur la figure ci-dessous.
Calculons $d$. On note $\left(x_{A}, y_{A}\right)$ les coordonnées du centre du disque $A$, et ainsi de suite. On a donc directement
$$
x_{A}=1, \quad x_{B}=2, \quad x_{C}=3, \quad \text { et } \quad y_{A}=1, \quad y... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm_2017-2018-envoi5-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 56 | 551 |
2018 | T2 | 7 | null | French_envois | On définit une suite $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ ainsi : on choisit $a_{0}, a_{1} \in \mathbb{N}^{*}$, et pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose
$$
a_{n+2}=\left\lfloor\frac{2 a_{n}}{a_{n+1}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2 a_{n+1}}{a_{n}}\right\rfloor,
$$
où $\lfloor x\rfloor$ désigne le plus grand enti... | Pour tous $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{N}^{*}$, on note $\mathrm{g}(\mathrm{a}, \mathrm{b}):=\left\lfloor\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}}\right\rfloor$. Il est bien connu que $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right)^{2}=\frac{a}{b}... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 205 | 1,105 |
2018 | T2 | 8 | null | French_envois | Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles qu'il existe un réel $A$ vérifiant $A>f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et telles que pour tous réels $x, y$, on ait :
$$
f(x f(y))+y f(x)=x f(y)+f(x y)
$$ | La fonction nulle est clairement solution. Supposons désormais que f n'est pas nulle sur tout $\mathbb{R}$.
En posant $x=0$, on a $y f(0)=f(0)$ pour tout réel $y$ donc $f(0)=0$. En posant $y=1$, on a $f(x f(1))=$ $\chi f(1)$ pour tout réel $x$, donc si $f(1) \neq 0$, on contredit l'énoncé en choisissant $x=\frac{A}{f(1... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 91 | 927 |
2018 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ deux cercles s'intersectant en $M$ et $N$. Soit $A$ et $B$ les points de contact de ces deux cercles avec leur tangente extérieure commune la plus proche de $M$. Soient C et D les symétriques respectifs de $A$ et $B$ par rapport à $M$, et $E$ et $F$ les points d'intersection (autres qu... | L'énoncé ainsi formulé peut sembler curieux, mais on remarque qu'il suffit de prouver que $\widehat{\mathrm{EMF}}+\widehat{\mathrm{ENF}}=$ $180^{\circ}$ pour obtenir le résultat voulu.
Soit L l'intersection de ( MN ) et ( AB ). L est sur l'axe radical de $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$, donc sa puissance par rapport à ces... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-pofm_2017-2018-envoi5-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 156 | 583 |
2011 | T1 | 1 | null | French_tests | Dans le plan on se donne 2011 points deux à deux distincts colorés soit en bleu, soit en rouge.
(i) On suppose que pour tout point bleu le disque de centre ce point et de rayon 1 contienne exactement deux points rouges. Quel est le plus grand nombre possible de points bleus?
(ii) On suppose que pour tout point bleu le ... | (i) S'il existe un point bleu, il doit exister au moins deux points rouges donc il ne peut y avoir plus de 2009 points bleus.
Réciproquement, si l'on considère 2009 disques de rayon 1 ayant un intérieur commun à tous qui soit non vide, il suffit de marquer deux points rouges dans cette partie commune et de marquer en ... | {
"problem_match": "## Exercice 1\n",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2011-2012-ofm-2011-2012-test-janvier-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 118 | 905 |
2011 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $a, b, c, d$ des entiers naturels tels que $0<|a d-b c|<\min (c, d)$.
Prouver que pour tous entiers $x, y>1$ premiers entre eux, le nombre $x^{a}+y^{b}$ n'est pas divisible par $x^{c}+y^{d}$. | Par l'absurde : on suppose que les entiers $x, y>1$ sont premiers entre eux et que $s=x^{c}+y^{d}$ divise $x^{a}+y^{b}$. On a alors:
$$
x^{c}=-y^{d} \quad \bmod s \quad \text { et } \quad x^{a}=-y^{b} \quad \bmod s .
$$
D'où
$$
x^{a d}=(-1)^{d} y^{b d} \bmod s \quad \text { et } \quad x^{b c}=(-1)^{c} y^{b d} \bmod ... | {
"problem_match": "## Exercice 4\n",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2011-2012-ofm-2011-2012-test-janvier-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 85 | 518 |
2011 | T1 | 4 | null | French_tests | Soit $k>1$ un entier. Une fonction $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ est dite $k$-tastrophique lorsque pour tout entier $n>0$, on a $f_{k}(n)=n^{k}$ où $f_{k}$ est la $k$-ième itérée de f :
$$
f_{k}(n)=\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{k \text { fois }}(n)
$$
Pour quels $k$ existe-t-il une fon... | On va prouver que, pour tout entier $k \geq 1$, il existe une fonction $k$-tastrophique.
Clairement, la fonction $f: n \longmapsto n$ est 1-tastrophique. On suppose donc que $k \geq 2$.
On procède maintenant de la façon suivante. On pose $f(1)=1$, et si $n$ est le plus petit entier pour lequel $f(n)$ n'est pas encore... | {
"problem_match": "## Exercice 4\n",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2011-2012-ofm-2011-2012-test-mars-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 145 | 1,027 |
2011 | T1 | 5 | null | French_tests | Déterminer tous les polynômes $X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\cdots+a_{n-1} X+a_{n}$, non constants et à coefficients entiers, dont les racines sont exactement les nombres $a_{1}, \ldots, a_{n-1}, a_{n}$ (avec multiplicité). | \text{Soit } P(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_{n-1} X + a_n \; \text{un polynôme à coefficients entiers.}
Alors $P(X)$ est une solution du problème ssi
$$
P(X)=\prod_{i=1}^{n}\left(X-a_{i}\right)
$$
Supposons tout d'abord que $a_{n}=0$. Soit alors $i$ minimal tel que $a_{n-i} \neq 0$. On a donc $P(X)=X^{i}\left... | {
"problem_match": "## Exercice 5\n",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2011-2012-ofm-2011-2012-test-mars-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 82 | 1,219 |
2011 | T1 | 6 | null | French_tests | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe tel que les droites $(A D)$ et $(B C)$ ne sont pas parallèles. On suppose que les cercles de diamètre $[A B]$ et $[C D]$ se coupent en deux points $E$ et $F$ situés à l'intérieur de $A B C D$. Soit $\Gamma_{E}$ le cercle qui passe par les projetés orthogonaux de $E$ sur $(A B),(B ... | Soient $P, Q, R, S$ les projections de $E$ sur les droites $(D A),(A B),(B C),(C D)$. Les points $P$ et $Q$ appartiennent au cercle de diamètre $[A E]$ de sorte que $\widehat{Q P E}=\widehat{Q A E}$. De même, $\widehat{Q R E}=\widehat{Q B E}$. Ainsi :
$$
\widehat{Q P E}+\widehat{Q R E}=\widehat{Q A E}+\widehat{Q B E}=... | {
"problem_match": "## Exercice 6\n",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2011-2012-ofm-2011-2012-test-mars-corrige.jsonl",
"solution_match": "\nSolution."
} | 197 | 854 |
2012 | T1 | 5 | null | French_tests | Soit $0 \leqslant x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \cdots \leqslant x_{n} \leqslant 1$ et $0 \leqslant y_{1} \leqslant y_{2} \leqslant \cdots \leqslant y_{n} \leqslant 1$ des réels. On pose $x_{n+1}=1$.
Prouver que
$$
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)+n \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i+1}-x_{i}\right) y_{i} \geqslant 0
$... | On va raisonner par récurrence sur $\mathrm{n} \geqslant 1$.
- Pour $n=1$, on considère deux réels $x_{1}, y_{1} \in[0,1]$ et on pose $x_{2}=1$. Il s'agit de prouver que $\left(x_{1}-y_{1}\right)+\left(x_{2}-x_{1}\right) y_{1} \geqslant 0$.
Or, on a $\left(x_{1}-y_{1}\right)+\left(x_{2}-x_{1}\right) y_{1}=\left(x_{1}... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2012-2013-ofm-2012-2013-test-janvier-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 174 | 1,015 |
2012 | T1 | 6 | null | French_tests | Trouver le plus grand entier $\mathrm{n} \geqslant 3$, vérifiant:
"pour tout entier $k \in\{2,3, \cdots, \mathfrak{n}\}$ si $k$ et $\boldsymbol{n}$ sont premiers entre eux alors $k$ est un nombre premier." | On remarque d'abord que $\mathrm{n}=30$ vérifie la propriété. En effet, si $\mathrm{k}>1$ est premier avec n , alors il est premier avec $2,3,5$. Si de plus k n'est pas premier, alors il admet une factorisation non triviale $\mathrm{k}=\mathrm{lm}$ avec $\ell, \mathrm{m}>1$. Comme $\ell$, m sont premiers avec n , ils s... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2012-2013-ofm-2012-2013-test-janvier-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 72 | 1,437 |
2012 | T1 | 7 | null | French_tests | A, B, C, D, E sont cinq points d'un même cercle, de sorte que $A B C D E$ soit convexe et que l'on ait $A B=B C$ et $C D=D E$. On suppose que les droites $(A D)$ et $(B E)$ se coupent en $P$, et que la droite (BD) rencontre la droite (CA) en $Q$ et la droite (CE) en $T$.
Prouver que le triangle PQT est isocèle. | Notons $\alpha$ et $\beta$ les angles $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})$ et $(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D})$ respectivement. D'après le théorème de l'angle inscrit et les hypothèses de l'énoncé, on a
$$
\begin{aligned}
& \alpha=(\overrightarrow{\mathrm{DB}}, \overrightarrow{\mathrm{DC}})=(\ov... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2012-2013-ofm-2012-2013-test-janvier-corrige.jsonl",
"solution_match": "## Solution."
} | 117 | 1,706 |
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