year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
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values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2022 | T2 | 6 | null | EGMO | Let $A B C D$ be a cyclic quadrilateral with circumcentre $O$. Let the internal angle bisectors at $A$ and $B$ meet at $X$, the internal angle bisectors at $B$ and $C$ meet at $Y$, the internal angle bisectors at $C$ and $D$ meet at $Z$, and the internal angle bisectors at $D$ and $A$ meet at $W$. Further, let $A C$ an... | We will prove that the points $X, Y, Z, W, O, P$ lie on a conic section $\Gamma$. Five distinct points uniquely determine a conic section, therefore
$$
X, Y, Z, W, O \text { are concyclic } \Leftrightarrow \Gamma \text { is a circle } \Leftrightarrow X, Y, Z, W, P \text { are concyclic. }
$$
Let $\alpha=\angle A C B=... | {
"problem_match": "# Problem 6.",
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"solution_match": "\nSolution 2. "
} | 183 | 1,283 |
2023 | T2 | 1 | null | EGMO | There are $n \geqslant 3$ positive real numbers $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. For each $1 \leqslant i \leqslant n$ we let $b_{i}=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_{i}}$ (here we define $a_{0}$ to be $a_{n}$ and $a_{n+1}$ to be $a_{1}$ ). Assume that for all $i$ and $j$ in the range 1 to $n$, we have $a_{i} \leqslant a_{j}$ if ... | By assumption $a_{i} b_{i}=a_{i-1}+a_{i+1}$ for $i=\{1,2, \ldots, n\}$, hence,
$$
\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=2 \sum_{i=1}^{n} a_{i} .
$$
Since $a_{i} \leqslant a_{j}$ if and only if $b_{i} \leqslant b_{j}$, the Chebyshev's inequality implies
$$
\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right)... | {
"problem_match": "\nProblem 1.",
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} | 186 | 557 |
2023 | T2 | 1 | null | EGMO | There are $n \geqslant 3$ positive real numbers $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. For each $1 \leqslant i \leqslant n$ we let $b_{i}=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_{i}}$ (here we define $a_{0}$ to be $a_{n}$ and $a_{n+1}$ to be $a_{1}$ ). Assume that for all $i$ and $j$ in the range 1 to $n$, we have $a_{i} \leqslant a_{j}$ if ... | Choose an arbitrary index $i$ and assume without loss of generality that $a_{i} \leqslant a_{i+1}$. (If the opposite inequality holds, reverse all the inequalities below.) By induction we will show that for each $k \in \mathbb{N}_{0}$ the following two inequalities hold
$$
\begin{gathered}
a_{i+1+k} \geqslant a_{i-k} ... | {
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} | 186 | 629 |
2023 | T2 | 1 | null | EGMO | There are $n \geqslant 3$ positive real numbers $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. For each $1 \leqslant i \leqslant n$ we let $b_{i}=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_{i}}$ (here we define $a_{0}$ to be $a_{n}$ and $a_{n+1}$ to be $a_{1}$ ). Assume that for all $i$ and $j$ in the range 1 to $n$, we have $a_{i} \leqslant a_{j}$ if ... | We first prove the following claim by induction:
Claim 1: If $a_{k} a_{k+2}<a_{k+1}^{2}$ and $a_{k}<a_{k+1}$, then $a_{j} a_{j+2}<a_{j+1}^{2}$ and $a_{j}<a_{j+1}$ for all $j$.
We assume that $a_{i} a_{i+2}<a_{i+1}^{2}$ and $a_{i}<a_{i+1}$, and then show that $a_{i-1} a_{i+1}<a_{i}^{2}$ and $a_{i-1}<a_{i}$.
Since $a_{i}... | {
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} | 186 | 557 |
2023 | T2 | 1 | null | EGMO | There are $n \geqslant 3$ positive real numbers $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. For each $1 \leqslant i \leqslant n$ we let $b_{i}=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_{i}}$ (here we define $a_{0}$ to be $a_{n}$ and $a_{n+1}$ to be $a_{1}$ ). Assume that for all $i$ and $j$ in the range 1 to $n$, we have $a_{i} \leqslant a_{j}$ if ... | Define $c_{i}:=\frac{a_{i}}{a_{i+1}}$, then $b_{i}=c_{i-1}+1 / c_{i}$. Assume that not all $c_{i}$ are equal to 1. Since, $\prod_{i=1}^{n} c_{i}=1$ there exists a $k$ such that $c_{k} \geqslant 1$. From the condition given in the problem statement for $(i, j)=(k, k+1)$ we have
$$
c_{k} \geqslant 1 \Longleftrightarrow ... | {
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} | 186 | 790 |
2023 | T2 | 2 | null | EGMO | We are given an acute triangle $A B C$. Let $D$ be the point on its circumcircle such that $A D$ is a diameter. Suppose that points $K$ and $L$ lie on segments $A B$ and $A C$, respectively, and that $D K$ and $D L$ are tangent to circle $A K L$.
Show that line $K L$ passes through the orthocentre of $A B C$.
The alti... | of the problem
Figure 3: Three circles do the work
Let $\Gamma$ be the circle $A B C, \Sigma$ be the circle $A K L$ with centre $O$, and $\Omega$ be the circle on diameter $O D$ so $K$ and $L$ are on this circle by converse of Thales. Let $\Omega$ and $\Gamma$ meet at $D$ and $F$. By Thales in both circles, $\angle A ... | {
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} | 193 | 566 |
2023 | T2 | 2 | null | EGMO | We are given an acute triangle $A B C$. Let $D$ be the point on its circumcircle such that $A D$ is a diameter. Suppose that points $K$ and $L$ lie on segments $A B$ and $A C$, respectively, and that $D K$ and $D L$ are tangent to circle $A K L$.
Show that line $K L$ passes through the orthocentre of $A B C$.
The alti... | Let $H$ be the orthocentre of triangle $A B C$ and $\Sigma$ the circumcircle of $A K L$ with centre $O$. Let $\Omega$ be the circle with diameter $O D$, which contains $K$ and $L$ by Thales, and let $\Gamma$ be the circumcircle of $A B C$ containing $D$. Denote the second intersection of $\Omega$ and $\Gamma$ by $F$. S... | {
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} | 193 | 562 |
2023 | T2 | 2 | null | EGMO | We are given an acute triangle $A B C$. Let $D$ be the point on its circumcircle such that $A D$ is a diameter. Suppose that points $K$ and $L$ lie on segments $A B$ and $A C$, respectively, and that $D K$ and $D L$ are tangent to circle $A K L$.
Show that line $K L$ passes through the orthocentre of $A B C$.
The alti... | Since $A D$ is a diameter, it is well known that $D B H C$ is a parallelogram (indeed, both $B D$ and $C H$ are perpendicular to $A B$, hence parallel, and similarly for $D C \| B H)$. Let $B^{\prime}, C^{\prime}$ be the reflections of $D$ in lines $A K B$ and $A L C$, respectively; since $A B D$ and $A C D$ are right ... | {
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} | 193 | 892 |
2023 | T2 | 2 | null | EGMO | We are given an acute triangle $A B C$. Let $D$ be the point on its circumcircle such that $A D$ is a diameter. Suppose that points $K$ and $L$ lie on segments $A B$ and $A C$, respectively, and that $D K$ and $D L$ are tangent to circle $A K L$.
Show that line $K L$ passes through the orthocentre of $A B C$.
The alti... | We will use the usual complex number notation, where we will use a capital letter (like $Z$ ) to denote the point associated to a complex number (like z). Consider $\triangle A K L$ on the unit circle. So, we have $a \cdot \bar{a}=k \cdot \bar{k}=l \cdot \bar{l}=1 \quad$ As point $D$ is the intersection of the tangents... | {
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} | 193 | 867 |
2023 | T2 | 2 | null | EGMO | We are given an acute triangle $A B C$. Let $D$ be the point on its circumcircle such that $A D$ is a diameter. Suppose that points $K$ and $L$ lie on segments $A B$ and $A C$, respectively, and that $D K$ and $D L$ are tangent to circle $A K L$.
Show that line $K L$ passes through the orthocentre of $A B C$.
The alti... | Let us employ the barycentric coordinates. Set $A(1,0,0), K(0,1,0), L(0,0,1)$.
The tangent at $K$ of $(A K L)$ is $a^{2} z+c^{2} x=0$, and the tangent of of $L$ at $(A K L)$ is $a^{2} y+b^{2} x=0$. Their intersection is
$$
D\left(-a^{2}: b^{2}: c^{2}\right)
$$
Since $B \in A K$, we can let $B(1-t, t, 0)$. Solving for... | {
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} | 193 | 683 |
2023 | T2 | 3 | null | EGMO | Let $k$ be a positive integer. Lexi has a dictionary $\mathcal{D}$ consisting of some $k$-letter strings containing only the letters $A$ and $B$. Lexi would like to write either the letter $A$ or the letter $B$ in each cell of a $k \times k$ grid so that each column contains a string from $\mathcal{D}$ when read from t... | We claim the minimum value of $m$ is $2^{k-1}$.
Firstly, we provide a set $\mathcal{S}$ of size $2^{k-1}-1$ for which Lexi cannot fill her grid. Consider the set of all length- $k$ strings containing only $A$ s and $B$ shich end with a $B$, and remove the string consisting of $k B$ s. Clearly there are 2 independent ch... | {
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} | 160 | 1,021 |
2023 | T2 | 4 | null | EGMO | Turbo the snail sits on a point on a circle with circumference 1. Given an infinite sequence of positive real numbers $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$, Turbo successively crawls distances $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$ around the circle, each time choosing to crawl either clockwise or counterclockwise.
For example, if the ... | The largest possible $C$ is $C=\frac{1}{2}$.
For $0<C \leqslant \frac{1}{2}$, Turbo can simply choose an arbitrary point $P$ (different from its starting point) to avoid. When Turbo is at an arbitrary point $A$ different from $P$, the two arcs $A P$ have total length 1 ; therefore, the larger of the two the arcs (or ei... | {
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} | 283 | 620 |
2023 | T2 | 4 | null | EGMO | Turbo the snail sits on a point on a circle with circumference 1. Given an infinite sequence of positive real numbers $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$, Turbo successively crawls distances $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$ around the circle, each time choosing to crawl either clockwise or counterclockwise.
For example, if the ... | Alternative solution (to show that $C \leqslant \frac{1}{2}$ )
We consider the following related problem:
We assume instead that the snail Chet is moving left and right on the real line. Find the size $M$ of the smallest (closed) interval, that we cannot force Chet out of, using a sequence of real numbers $d_{i}$ with ... | {
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} | 283 | 1,292 |
2023 | T2 | 5 | null | EGMO | We are given a positive integer $s \geqslant 2$. For each positive integer $k$, we define its twist $k^{\prime}$ as follows: write $k$ as $a s+b$, where $a, b$ are non-negative integers and $b<s$, then $k^{\prime}=b s+a$. For the positive integer $n$, consider the infinite sequence $d_{1}, d_{2}, \ldots$ where $d_{1}=n... | First, we consider the difference $k-k^{\prime \prime}$. If $k=a s+b$ as in the problem statement, then $k^{\prime}=b s+a$. We write $a=l s+m$ with $m, l$ non-negative numbers and $m \leq s-1$. This gives $k^{\prime \prime}=m s+(b+l)$ and hence $k-k^{\prime \prime}=(a-m) s-l=l\left(s^{2}-1\right)$.
We conclude
Fact 1.... | {
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} | 165 | 696 |
2023 | T2 | 5 | null | EGMO | We are given a positive integer $s \geqslant 2$. For each positive integer $k$, we define its twist $k^{\prime}$ as follows: write $k$ as $a s+b$, where $a, b$ are non-negative integers and $b<s$, then $k^{\prime}=b s+a$. For the positive integer $n$, consider the infinite sequence $d_{1}, d_{2}, \ldots$ where $d_{1}=n... | We make a number of initial observations. Let $k$ be a positive integer.
Fact 2.1. If $k \geq s^{2}$, then $k^{\prime}<k$.
Proof. Write $k=a s+b$, as in the problem statement. If $k \geq s^{2}$, then $a \geq s$ because $b<s$. So, $k^{\prime}=b s+a \leq(s-1) s+a \leq a s \leq a s+b=k$. Moreover, we cannot have equality ... | {
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} | 165 | 683 |
2023 | T2 | 5 | null | EGMO | We are given a positive integer $s \geqslant 2$. For each positive integer $k$, we define its twist $k^{\prime}$ as follows: write $k$ as $a s+b$, where $a, b$ are non-negative integers and $b<s$, then $k^{\prime}=b s+a$. For the positive integer $n$, consider the infinite sequence $d_{1}, d_{2}, \ldots$ where $d_{1}=n... | We give an alternate proof of the direct implication: if the sequence contains a 1 , then the first term is 1 or $s$ modulo $s^{2}-1$. We prove the following fact, which is a combination of Facts 2.1 and 2.3.
Fact 3.1. For all $k \geq s^{2}$, we have $\left(k-s^{2}+1\right)^{\prime} \in\left\{k^{\prime}, k^{\prime}-s^{... | {
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} | 165 | 651 |
2023 | T2 | 5 | null | EGMO | We are given a positive integer $s \geqslant 2$. For each positive integer $k$, we define its twist $k^{\prime}$ as follows: write $k$ as $a s+b$, where $a, b$ are non-negative integers and $b<s$, then $k^{\prime}=b s+a$. For the positive integer $n$, consider the infinite sequence $d_{1}, d_{2}, \ldots$ where $d_{1}=n... | First assume that $d_{k}=1$ for some $k$. Let $k$ be the smallest such index. If $k=1$ then $n=1$, so we may assume $k \geqslant 2$.
Then $d_{k-1}=a s+b$ for some non-negative integers $a, b$ satisfying $b<s$ and $b s+a=1$. The only solution is $b=0, a=1$, so $d_{k-1}=s$. So, if $k=2$, then $n=s$, so we may assume $k ... | {
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} | 165 | 1,801 |
2023 | T2 | 6 | null | EGMO | Let $A B C$ be a triangle with circumcircle $\Omega$. Let $S_{b}$ and $S_{c}$ respectively denote the midpoints of the arcs $A C$ and $A B$ that do not contain the third vertex. Let $N_{a}$ denote the midpoint of arc $B A C$ (the arc $B C$ containing $A$ ). Let $I$ be the incentre of $A B C$. Let $\omega_{b}$ be the ci... | Part I: First we show that A lies on the radical axis of $\omega_{b}$ and $\omega_{c}$.
We first note that the line through the intersections of two circles is the radical line of the two circles. Let the tangents to $\Omega$ at $S_{b}$ and $S_{c}$ intersect at $T$. Clearly $T$ is on the radical axis of $\omega_{b}$ an... | {
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} | 304 | 974 |
2023 | T2 | 6 | null | EGMO | Let $A B C$ be a triangle with circumcircle $\Omega$. Let $S_{b}$ and $S_{c}$ respectively denote the midpoints of the arcs $A C$ and $A B$ that do not contain the third vertex. Let $N_{a}$ denote the midpoint of arc $B A C$ (the arc $B C$ containing $A$ ). Let $I$ be the incentre of $A B C$. Let $\omega_{b}$ be the ci... | Part I is done as in solution 1.
Figure 9: Diagram to Solution 4
Part II: as in Solution 1 we show that $A N_{a} \| S_{b} S_{c}$. In particular, $\angle N_{a} O T=\angle T O A$. The conclusion of the problem trivially holds if $|A B|=|A C|$, therefore we assume without loss of generality that $|A C|>|A B|$. Let $S_{a}... | {
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2023 | T2 | 6 | null | EGMO | Let $A B C$ be a triangle with circumcircle $\Omega$. Let $S_{b}$ and $S_{c}$ respectively denote the midpoints of the arcs $A C$ and $A B$ that do not contain the third vertex. Let $N_{a}$ denote the midpoint of arc $B A C$ (the arc $B C$ containing $A$ ). Let $I$ be the incentre of $A B C$. Let $\omega_{b}$ be the ci... | Part I: First we show that $A$ lies on the radical axis between $\omega_{b}$ and $\omega_{c}$.
Let $T$ be the radical center of the circumcircle, $\omega_{b}$ and $\omega_{c}$; then $T S_{b}$ and $T S_{c}$ are common tangents of the circles, as shown in Figure 5a. Moreover, let $P_{b}=A B \cap S_{b} S_{c}$ and $P_{c}=$... | {
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} | 304 | 863 |
2024 | T2 | 1 | null | EGMO | Problem. Two different integers $u$ and $v$ are written on a board. We perform a sequence of steps. At each step we do one of the following two operations:
(i) If $a$ and $b$ are different integers on the board, then we can write $a+b$ on the board, if it is not already there.
(ii) If $a, b$ and $c$ are three different... | We will show that the answer are the integer pairs $(u, v)$ such that $u \neq 0$, $v \neq 0,\{u, v\} \neq\{-1,1\}$ and $u>0$ or $v>0$.
If $u=0$ or $v=0$, then (i) will never yield a new number and we cannot use (ii) with only two numbers. Hence, if $u=0$ or $v=0$, we cannot reach every possible $y$. From now on, assum... | {
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} | 162 | 1,082 |
2024 | T2 | 1 | null | EGMO | Problem. Two different integers $u$ and $v$ are written on a board. We perform a sequence of steps. At each step we do one of the following two operations:
(i) If $a$ and $b$ are different integers on the board, then we can write $a+b$ on the board, if it is not already there.
(ii) If $a, b$ and $c$ are three different... | If $u=0$ or $v=0$ then we can only get $\{u, v\}$.
Proof. If $u=0$ or $v=0$, then (i) will never yield a new number and we cannot use (ii) with only two numbers.
If $\max (u, v)<0$, we cannot get non-negative numbers.
Proof. For $a, b, c<0$ :
(i) cannot generate a non-negative number as $a+b<0$.
(ii) cannot generate... | {
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} | 162 | 758 |
2024 | T2 | 1 | null | EGMO | Problem. Two different integers $u$ and $v$ are written on a board. We perform a sequence of steps. At each step we do one of the following two operations:
(i) If $a$ and $b$ are different integers on the board, then we can write $a+b$ on the board, if it is not already there.
(ii) If $a, b$ and $c$ are three different... | We show none of the initial number can be 0 , as in Solution 1. Then, we split into three cases: initial numbers having different signs, both being positive, and both being negative.
Case 1. Suppose we have two numbers $u, v$ with different signs such that $\operatorname{gcd}(u, v)=k$ for some $k \in \mathbb{Z}^{+}$. ... | {
"problem_match": "# Problem 1 (SVK)\n",
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} | 162 | 1,629 |
2024 | T2 | 2 | null | EGMO | Problem. Let $A B C$ be a triangle with $A C>A B$, and denote its circumcircle by $\Omega$ and incentre by $I$. Let its incircle meet sides $B C, C A, A B$ at $D, E, F$ respectively. Let $X$ and $Y$ be two points on minor arcs $\overparen{D F}$ and $\overparen{D E}$ of the incircle, respectively, such that $\angle B X ... | The role of $X$ and $Y$ in this problem is secondary. Draw any circle through $B$ and $C$ which meets the incircle at $X$ and $Y$ and you determine the same point $K$. This is because $K$ is the radical centre of the three circles in play. Therefore $K$ is the intersection of $B C$ with the radical axis of the circumci... | {
"problem_match": "# Problem 2 (UNK)\n",
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} | 185 | 508 |
2024 | T2 | 4 | null | EGMO | Problem. For a sequence $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$ of integers, a pair $\left(a_{i}, a_{j}\right)$ with $1 \leq i<j \leq n$ is called interesting if there exists a pair $\left(a_{k}, a_{l}\right)$ of integers with $1 \leq k<l \leq n$ such that
$$
\frac{a_{l}-a_{k}}{a_{j}-a_{i}}=2
$$
For each $n \geq 3$, find the larg... | Consider the numbers $a_{i}=2^{i}$ for $2 \leq i \leq n$ and $a_{1}=0$, and choose any pair $(i, j)$ with $1 \leq i<j \leq n$.
If $i=1$, the pair $(1, j)$ is interesting for all $2 \leq j \leq n-1$, as $\frac{a_{j+1}-a_{1}}{a_{j}-a_{1}}=\frac{2^{j+1}}{2^{j}}=2$.
If $i \geq 2$, the pair $(i, j)$ is also interesting for... | {
"problem_match": "# Problem 4 (UKR)\n",
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"solution_match": "\nSolution."
} | 162 | 750 |
2024 | T2 | 5 | null | EGMO | Problem. Let $\mathbb{N}$ denote the set of positive integers. Find all functions $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ such that the following assertions are true for every pair of positive integers $(x, y)$ :
- $x$ and $f(x)$ have the same number of positive divisors.
- If $x$ does not divide $y$ and $y$ does not d... | Throughout this proof, when we write divisors we mean positive divisors.
Let $f$ be a function satisfying these properties. From the first one, it follows that $f(1)=1$ and for each prime number $p, f(p)=q_{p}$ for some prime number $q_{p}$. Assume $p \neq 2$, the pair $(2, p)$ in property 2 gives
$$
\operatorname{gcd... | {
"problem_match": "# Problem 5 (HRV)\n",
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} | 150 | 1,479 |
2024 | T2 | 5 | null | EGMO | Problem. Let $\mathbb{N}$ denote the set of positive integers. Find all functions $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ such that the following assertions are true for every pair of positive integers $(x, y)$ :
- $x$ and $f(x)$ have the same number of positive divisors.
- If $x$ does not divide $y$ and $y$ does not d... | Firstly, one can prove that for any prime $p$ and any $m \geq 0, f\left(p^{m}\right)=q^{m}$, in the same way as in the first solution.
We will prove the claim this time by induction on $k=d(n)$. We notice again that the claim implies that $f(n)=q^{d(n)-1}$.
The cases $k=1,2,3$ are then already proved. Now suppose tha... | {
"problem_match": "# Problem 5 (HRV)\n",
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"solution_match": "\nSolution 2. "
} | 150 | 676 |
2025 | T2 | 1 | null | EGMO | For a positive integer \(N\) , let \(c_{1}< c_{2}< \dots < c_{m}\) be all the positive integers smaller than \(N\) that are coprime to \(N\) . Find all \(N\geq 3\) such that
\[\gcd (N,c_{i} + c_{i + 1})\neq 1\]
for all \(1\leq i\leq m - 1\)
Here \(\gcd (a,b)\) is the largest positive integer that divides both ... | The answer is all even integers and all powers of 3. First we show that these work.
- When \(N\) is even, all \(c_{i}\) are odd, and so \(2\mid \gcd (N,c_{i} + c_{i + 1})\) for every \(i\)
- When \(N\) is a power of 3, the \(c_{i}\) are exactly the numbers in the range \(1,2,\ldots ,N - 1\) that are not divisible b... | {
"problem_match": "P1.",
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"solution_match": "\nSolution 1. "
} | 152 | 642 |
2025 | T2 | 1 | null | EGMO | For a positive integer \(N\) , let \(c_{1}< c_{2}< \dots < c_{m}\) be all the positive integers smaller than \(N\) that are coprime to \(N\) . Find all \(N\geq 3\) such that
\[\gcd (N,c_{i} + c_{i + 1})\neq 1\]
for all \(1\leq i\leq m - 1\)
Here \(\gcd (a,b)\) is the largest positive integer that divides both ... | We give an alternative way to show that any odd \(N\) has to be the power of 3. Suppose for contradiction that \(N\) has at least 2 distinct prime factors. Choose integers \(a,b > 1\) such that
\(a b\mid N\)
- \(a\) and \(b\) are coprime;
- Every prime divisor of \(N\) divides \(a b\) .
We use the Chinese Remai... | {
"problem_match": "P1.",
"resource_path": "EGMO/segmented/en-2025-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 2. "
} | 152 | 584 |
2025 | T2 | 2 | null | EGMO | An infinite increasing sequence \(a_{1}< a_{2}< a_{3}< \dots\) of positive integers is called central if for every positive integer \(n\) , the arithmetic mean of the first \(a_{n}\) terms of the sequence is equal to \(a_{n}\) .
Show that there exists an infinite sequence \(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots\) of positive int... | We claim that the sequence \(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots\) defined by \(b_{i} = 2i - 1\) has this property.
Let \(d_{i} = a_{i} - b_{i} = a_{i} - 2i + 1\) . The condition \(a_{i}< a_{i + 1}\) now becomes \(d_{i} + 2i - 1< d_{i + 1} + 2i + 1\) , which can be rewritten as \(d_{i + 1}\geqslant d_{i} - 1\) . Thus, if \(d_{i... | {
"problem_match": "P2.",
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} | 135 | 570 |
2025 | T2 | 2 | null | EGMO | An infinite increasing sequence \(a_{1}< a_{2}< a_{3}< \dots\) of positive integers is called central if for every positive integer \(n\) , the arithmetic mean of the first \(a_{n}\) terms of the sequence is equal to \(a_{n}\) .
Show that there exists an infinite sequence \(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots\) of positive int... | We give an alternative proof that the sequence \(b_{i} = 2i - 1\) works. This proof is by contradiction, so we assume that there are only finitely many \(a_{i}\) such that \(a_{i} = 2i - 1\) .
Let \(S(n) = \sum_{i = 1}^{n}a_{i}\) . We have \(S(a_{n}) = a_{n}^{2}\) and \(S(a_{n + 1}) = a_{n + 1}^{2}\) . If \(a_{n + 1}... | {
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} | 135 | 902 |
2025 | T2 | 2 | null | EGMO | An infinite increasing sequence \(a_{1}< a_{2}< a_{3}< \dots\) of positive integers is called central if for every positive integer \(n\) , the arithmetic mean of the first \(a_{n}\) terms of the sequence is equal to \(a_{n}\) .
Show that there exists an infinite sequence \(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots\) of positive int... | We claim that the sequence \(b_{1}\) , \(b_{2}\) , \(b_{3}\) , ... defined by \(b_{i} = 2i - 1\) has this property.
Lemma. If there are no terms \(a_{j}\) such that \(a_{j} - a_{j - 1} = 1\) , then \(a_{j} = a_{j - 1} + 2\) for all \(j\) .
Proof. Let \(c\) be such that \(a_{d} = c\) for some \(d\) . Now
\[a_{1} +... | {
"problem_match": "P2.",
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"solution_match": "\nSolution 3. "
} | 135 | 1,166 |
2025 | T2 | 2 | null | EGMO | An infinite increasing sequence \(a_{1}< a_{2}< a_{3}< \dots\) of positive integers is called central if for every positive integer \(n\) , the arithmetic mean of the first \(a_{n}\) terms of the sequence is equal to \(a_{n}\) .
Show that there exists an infinite sequence \(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots\) of positive int... | Note that \(a_{1} = 1\) because if it is not the case, then \(a_{1}^{2} = a_{1} + \dots +a_{a_{1}} > a_{1} + a_{1} + \dots +a_{1} = a_{1}^{2}\) .
Assume by contradiction that there are only finitely many indices \(k\) such that \(a_{k} = 2k - 1\) . Set \(i\) to be the largest integer such that \(a_{i} = 2i - 1\) (whi... | {
"problem_match": "P2.",
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} | 135 | 896 |
2025 | T2 | 3 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle. Points \(B\) , \(D\) , \(E\) , and \(C\) lie on a line in this order and satisfy \(B D =\) \(D E = E C\) . Let \(M\) and \(N\) be the midpoints of \(A D\) and \(A E\) , respectively. Let \(H\) be the orthocentre of triangle \(A D E\) . Let \(P\) and \(Q\) be points on lines \(B M\) a... | Let \(X\) be the second intersection of \((D H M)\) and \((E H N)\) and let \(O^{\prime}\) be the circumcentre of \((A M N)\) Note that \(\angle M X N = \angle M D H + \angle N E H = 180^{\circ} - 2\angle D A E\) and since \(\angle M O^{\prime}N = 2\angle D A E\) we have that \(X,M,O^{\prime},N\) is cyclic and since \(... | {
"problem_match": "P3.",
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"solution_match": "\nSolution 2. "
} | 199 | 683 |
2025 | T2 | 3 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle. Points \(B\) , \(D\) , \(E\) , and \(C\) lie on a line in this order and satisfy \(B D =\) \(D E = E C\) . Let \(M\) and \(N\) be the midpoints of \(A D\) and \(A E\) , respectively. Let \(H\) be the orthocentre of triangle \(A D E\) . Let \(P\) and \(Q\) be points on lines \(B M\) a... | As in solution 2, we will prove that \(O'\) is both on line \(HT\) and the radical axis of the circles, hence \(T\) is on the radical axis, from which we conclude the required concyclicity. We present alternative proofs of both facts, discovered by contestants.
Let \(M_{1}\) , \(N_{1}\) be the midpoints of \(AM\) , \... | {
"problem_match": "P3.",
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"solution_match": "\nSolution 2'."
} | 199 | 697 |
2025 | T2 | 3 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle. Points \(B\) , \(D\) , \(E\) , and \(C\) lie on a line in this order and satisfy \(B D =\) \(D E = E C\) . Let \(M\) and \(N\) be the midpoints of \(A D\) and \(A E\) , respectively. Let \(H\) be the orthocentre of triangle \(A D E\) . Let \(P\) and \(Q\) be points on lines \(B M\) a... | We compute using linear combinations with respect to \(A D E\) . We have \(B = 2D - E\) \(C = 2E - D\) \(M = \frac{A + D}{2}\) , and \(N = \frac{A + E}{2}\) , from which we immediately obtain that the intersection of \(T = B M\cap C N\) is \(T = \frac{3A + D + E}{5} = \frac{6M - B}{5} = \frac{6N - C}{5}\) . As in solut... | {
"problem_match": "P3.",
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"solution_match": "\nSolution 3. "
} | 199 | 1,277 |
2025 | T2 | 3 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle. Points \(B\) , \(D\) , \(E\) , and \(C\) lie on a line in this order and satisfy \(B D =\) \(D E = E C\) . Let \(M\) and \(N\) be the midpoints of \(A D\) and \(A E\) , respectively. Let \(H\) be the orthocentre of triangle \(A D E\) . Let \(P\) and \(Q\) be points on lines \(B M\) a... | Let \(T = BM\cap CN\) , let \(F\) be the foot of the altitude from \(A\) to \(BC\) , let \(O\) be the circumcentre of \((ADE)\) , let \(D^{\prime}\neq D\) and \(E^{\prime}\neq E\) be the second intersections of \((DHMP)\) and \((EHNQ)\) with line \(BC\) and let \(U\) and \(V\) be the antipodes of \(D\) and \(E\) on \((... | {
"problem_match": "P3.",
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"solution_match": "\nSolution 4. "
} | 199 | 1,249 |
2025 | T2 | 3 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle. Points \(B\) , \(D\) , \(E\) , and \(C\) lie on a line in this order and satisfy \(B D =\) \(D E = E C\) . Let \(M\) and \(N\) be the midpoints of \(A D\) and \(A E\) , respectively. Let \(H\) be the orthocentre of triangle \(A D E\) . Let \(P\) and \(Q\) be points on lines \(B M\) a... | This solution uses almost exclusively complex numbers. As in other solutions, we reduce to showing that \(H\) , \(S:= (D H M)\cap (E H N)\) , and \(T:= B M\cap C N\) are collinear; this is all of the synthetic information we shall use. (If one computes \(T = \frac{3A + D + E}{5}\) using means other than complex numbers... | {
"problem_match": "P3.",
"resource_path": "EGMO/segmented/en-2025-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 5. "
} | 199 | 2,250 |
2025 | T2 | 3 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle. Points \(B\) , \(D\) , \(E\) , and \(C\) lie on a line in this order and satisfy \(B D =\) \(D E = E C\) . Let \(M\) and \(N\) be the midpoints of \(A D\) and \(A E\) , respectively. Let \(H\) be the orthocentre of triangle \(A D E\) . Let \(P\) and \(Q\) be points on lines \(B M\) a... | As usual, we reduce to proving \(T = (3A + D + E) / 5\) is on the radical axis and compute; this time in Cartesian coordinates.
Let \(A(0,h)\) , \(D(b,0)\) , \(E(c,0)\) be coordinates for \(ADE\) . Then \(H(0, - \frac{b c}{h})\) , \(M(\frac{b}{2},\frac{h}{2})\) , \(N(\frac{c}{2},\frac{h}{2})\) and \(T(\frac{b + c}{5}... | {
"problem_match": "P3.",
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"solution_match": "\nSolution 6. "
} | 199 | 776 |
2025 | T2 | 4 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle with incentre \(I\) and \(A B \neq A C\) . Let lines \(B I\) and \(C I\) intersect the circumcircle of \(A B C\) at \(P \neq B\) and \(Q \neq C\) , respectively. Consider points \(R\) and \(S\) such that \(A Q R B\) and \(A C S P\) are parallelograms (with \(A Q \parallel R B\) , \(A ... | We will prove that \(\triangle B I R\sim \triangle C I S\) , since the statement then follows from \(\angle T R I = \angle B R I = \angle C S I =\) \(\angle T S I\) .
Step 1. Let us prove \(\angle R B I = \angle S C I\) . We will use dire... | {
"problem_match": "P4.",
"resource_path": "EGMO/segmented/en-2025-solutions.jsonl",
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} | 179 | 805 |
2025 | T2 | 4 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle with incentre \(I\) and \(A B \neq A C\) . Let lines \(B I\) and \(C I\) intersect the circumcircle of \(A B C\) at \(P \neq B\) and \(Q \neq C\) , respectively. Consider points \(R\) and \(S\) such that \(A Q R B\) and \(A C S P\) are parallelograms (with \(A Q \parallel R B\) , \(A ... | Let \(O\) be the circumcenter of \((A B C)\) . Let \(M\) , \(N\) , and \(L\) be the midpoints of \(O D\) , \(P C\) , and \(Q B\) respectively.
Claim 1. \(\triangle O P Q\) and \(\triangle D C B\) are directly similar.
Proof. Clearly \(D B = D C\) and \(O Q = O P\) . Also note that \(\angle Q O P = 2\angle Q D P = 2... | {
"problem_match": "P4.",
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"solution_match": "\nSolution 5. "
} | 179 | 795 |
2025 | T2 | 4 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle with incentre \(I\) and \(A B \neq A C\) . Let lines \(B I\) and \(C I\) intersect the circumcircle of \(A B C\) at \(P \neq B\) and \(Q \neq C\) , respectively. Consider points \(R\) and \(S\) such that \(A Q R B\) and \(A C S P\) are parallelograms (with \(A Q \parallel R B\) , \(A ... | As shown above, we have that \(BTIC\) is cyclic. Let \(D\) and \(E\) be the second intersections of \(AC\) and \(AB\) with this circle, respectively. Since the center of this circle lies on \(AI\) (by symmetry about \(AI\) ), we have that \(AB = AD\) and \(AC = AE\) , therefore \(BE = CD\) . Note that since \(C - I - Q... | {
"problem_match": "P4.",
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"solution_match": "\nSolution 6. "
} | 179 | 562 |
2025 | T2 | 4 | null | EGMO | Let \(A B C\) be an acute triangle with incentre \(I\) and \(A B \neq A C\) . Let lines \(B I\) and \(C I\) intersect the circumcircle of \(A B C\) at \(P \neq B\) and \(Q \neq C\) , respectively. Consider points \(R\) and \(S\) such that \(A Q R B\) and \(A C S P\) are parallelograms (with \(A Q \parallel R B\) , \(A ... | Let \(E\) be the \(A\) - excenter of \(\triangle ABC\) . Let the midpoints of \(AQ, QB, CP, PA\) be the points \(F, G, H, J\) , respectively. Both \(PD\) and \(EC\) are perpendicular to \(CI\) , hence \(PD \parallel CE\) .
Since \(PA = PC\) we have that \(AJHC\) is an isosceles trapezoid so it is cyclic. Let \(K\) be... | {
"problem_match": "P4.",
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"solution_match": "\nSolution 7. "
} | 179 | 557 |
2025 | T2 | 5 | null | EGMO | Let \(n > 1\) be an integer. In a configuration of an \(n \times n\) board, each of the \(n^{2}\) cells contains an arrow, either pointing up, down, left, or right. Given a starting configuration, Turbo the snail starts in one of the cells of the board and travels from cell to cell. In each move, Turbo moves one square... | We will show that the maximum number of good cells over all possible starting configurations is
\[\frac{n^{2}}{4} \quad \text{if} n \text{ is even and}\] \[0 \quad \text{if} n \text{ is odd.}\]
## Odd \(n\)
First, we will prove that there are no good cells if \(n\) is an odd number.
For Turbo to reach her goal,... | {
"problem_match": "P5.",
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"solution_match": "\nSolution."
} | 182 | 1,976 |
2025 | T2 | 6 | null | EGMO | In each cell of a \(2025 \times 2025\) board, a nonnegative real number is written in such a way that the sum of the numbers in each row is equal to 1, and the sum of the numbers in each column is equal to 1. Define \(r_{i}\) to be the largest value in row \(i\) , and let \(R = r_{1} + r_{2} + \dots + r_{2025}\) . Simi... | Answer: \(\frac{2025}{89}\) .
In general, if the table is \(m^{2} \times m^{2}\) , the answer is \(\frac{m^{2}}{2m - 1}\) .
The example is as follows: label rows and columns from 1 to \(m^{2}\) , from top to bottom and left to right. For the first \(m\) columns, write \(\frac{1}{m}\) in all squares whose coordinate... | {
"problem_match": "P6.",
"resource_path": "EGMO/segmented/en-2025-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 1. "
} | 188 | 1,882 |
2025 | T2 | 6 | null | EGMO | In each cell of a \(2025 \times 2025\) board, a nonnegative real number is written in such a way that the sum of the numbers in each row is equal to 1, and the sum of the numbers in each column is equal to 1. Define \(r_{i}\) to be the largest value in row \(i\) , and let \(R = r_{1} + r_{2} + \dots + r_{2025}\) . Simi... | We prove the main inequality \((\ast)\) in a slightly different manner. Instead of the strong lower bound \(p_{j}\geq \frac{n_{j}}{n}\) , we use the weaker, simpler and more immediate lower bound \(p_{j}\geq 0\) (thus proving the inequality in a larger regime).
As in Solution 1, suppose \(p_{j} = 0\) for \(1\leq j\le... | {
"problem_match": "P6.",
"resource_path": "EGMO/segmented/en-2025-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution 1'."
} | 188 | 567 |
2025 | T2 | 6 | null | EGMO | In each cell of a \(2025 \times 2025\) board, a nonnegative real number is written in such a way that the sum of the numbers in each row is equal to 1, and the sum of the numbers in each column is equal to 1. Define \(r_{i}\) to be the largest value in row \(i\) , and let \(R = r_{1} + r_{2} + \dots + r_{2025}\) . Simi... | 1". This is an alternative way of getting the upper bound on \(\frac{R}{C}\) from
\[\frac{R}{C}\leq \frac{p_{1} + p_{2} + \ldots + p_{k}}{\frac{p_{1}}{n_{1}} + \frac{p_{2}}{n_{2}} + \ldots + \frac{p_{k}}{n_{k}} + \frac{n - k}{n}}.\]
Using the fact that \(\sum_{j = 1}^{k}n_{j} = n\) , we can rewrite the above right ... | {
"problem_match": "P6.",
"resource_path": "EGMO/segmented/en-2025-solutions.jsonl",
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} | 188 | 582 |
2025 | T2 | 6 | null | EGMO | In each cell of a \(2025 \times 2025\) board, a nonnegative real number is written in such a way that the sum of the numbers in each row is equal to 1, and the sum of the numbers in each column is equal to 1. Define \(r_{i}\) to be the largest value in row \(i\) , and let \(R = r_{1} + r_{2} + \dots + r_{2025}\) . Simi... | \(1^{\prime \prime}\) . We follow the same notation as above. First, we apply Cauchy- Schwarz as follows :
\[\left(\sum_{i = 1}^{k} \frac{p_{i}}{n_{i}}\right) \left(\sum_{i = 1}^{k} p_{i} n_{i}\right) \geq \left(\sum_{i = 1}^{k} p_{i}\right)^{2} = R^{2}.\]
We now write \(z_{i} = 1 - p_{i}\) for all \(1 \leq i \leq ... | {
"problem_match": "P6.",
"resource_path": "EGMO/segmented/en-2025-solutions.jsonl",
"solution_match": "\nSolution "
} | 188 | 729 |
2024 | T2 | 1 | null | French_envois | Soient $A B C$ un triangle et $\mathrm{H}_{\mathrm{C}}$ le pied de la hauteur issue de C . Soit P un point sur le segment $\left[\mathrm{CH}_{C}\right]$ (autre que $C$ ), et soient $E, F, G, H$ les milieux respectifs de $[A P],[B P],[B C],[A C]$. Montrer que EFGH est un rectangle. | Pour démontrer que EFGH est un rectangle, nous allons montrer que c'est un parallélogramme qui possède un angle droit.
Considérons le triangle $A C P$. Les points E et H sont les milieux respectifs des côtés $[A P]$ et $[A C]$. Par le théorème de la droite des milieux, (HE) // (PC).
Considérons le triangle BCP. Les po... | {
"problem_match": "\nExercice 1.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-1-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 1"
} | 101 | 756 |
2024 | T2 | 4 | null | French_envois | Soient $A B C$ un triangle et I le centre de son cercle inscrit. La médiatrice de $[\mathrm{BC}]$ coupe ( $A \mathrm{I}$ ) en $S$ et (BI) et $T$. Montrer que $C, I, S$ et $T$ sont cocycliques. | Pour montrer que $C, I, S$ et $T$ sont cocycliques, nous allons montrer que $\widehat{\text { SIC }}=\widehat{\text { STC }}$.
On rappelle que les bissectrices intérieures d'un triangle $A B C$ sont concourantes et que leur point d'intersection I est le centre du cercle inscrit dans le triangle. (AI) est donc la bissec... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-1-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 4"
} | 73 | 908 |
2024 | T2 | 5 | null | French_envois | Soit $A B C D E$ un pentagone cyclique convexe tel que $A B=B D$. Soit $P$ le point d'intersection des droites (EB) et ( $A C$ ). Soit $Q$ le point d'intersection des droites ( $B C$ ) et ( $D E$ ). Montrer que $(\mathrm{PQ})$ et (AD) sont parallèles. | Sur la figure, il semble que EPCQ est un quadrilatère cyclique. On le montre :
$$
\begin{aligned}
\widehat{\mathrm{QCP}} & =180^{\circ}-\widehat{\mathrm{PCB}} \\
& =180^{\circ}-\widehat{\mathrm{ACB}} \\
& =180^{\circ}-\widehat{\mathrm{ADB}} \text { par angle inscrit } \\
& =180^{\circ}-\widehat{\mathrm{BAD}} \mathrm{c... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-1-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 5"
} | 94 | 576 |
2024 | T2 | 6 | null | French_envois | Soient $A B C$ un triangle isocèle en $A$, $O$ le centre de son cercle circonscrit et $I$ le centre de son cercle inscrit. La parallèle à ( $A B$ ) passant par I coupe (AC) en D. Montrer que (CI) et (DO) sont perpendiculaires. | Premièrement, comme $A B=A C, A, O$, I sont alignés et la droite $(A I)$ coupe $[B C]$ en son milieu $M$. On pose P l'intersection des droites (DO) et (CI).
Par chasse aux angles, on montre que I, O, D, $C$ sont cocycliques, en montrant que $\widehat{\mathrm{IOC}}=\widehat{\mathrm{IDC}}$. En effet :
$$
\begin{aligned... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-1-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 6"
} | 81 | 580 |
2024 | T2 | 8 | null | French_envois | Soient $A B C$ un triangle de cercle circonscrit $\Gamma, D$ un point sur $(A B)$ et $E$ un point sur ( $A C)$ tel que (DE) et ( $B C$ ) sont parallèles. Le cercle circonscrit à $A B C$ rencontre le cercle circonscrit à $B D E$ une seconde fois en $K$ et le cercle circonscrit à CDE une seconde fois en $L$. Soit $T$ le ... | On reconnait ici une situation classique :
- KBDE cyclique,
- KBLC cyclique,
- CLDE cyclique.
On sait que dans cette situation, les droites (KB), (CL), (ED) sont concourantes (il s'agit ici du fait que les axes radicaux de 3 cercles sont concourants). Or les droites (BK) et (CL) se coupent en $T$. Il suit que $\mathr... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-1-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 144 | 697 |
2024 | T2 | 9 | null | French_envois | Soient $A B C$ un triangle non-isocèle et $I$ le centre de son cercle inscrit. Soit D un point sur $[B C]$ (autre que $B$ et $C$ ). Le cercle circonscrit à DIB coupe $(A B)$ une deuxième fois en $E \neq B$, et le cercle circonscrit à DIC coupe ( $A C$ ) une deuxième fois en $F \neq C$. Le cercle circonscrit à DEF renco... | Sur la figure, il semble que I est le centre du cercle (DEF), et que les droites (MF), (EN), (PQ) sont toutes perpendiculaires à $(A I)$ : c'est donc la stratégie qu'on va utiliser pour résoudre l'exercice.
- Lemme 1: Le point I est le centre du cercle circonscrit à DEF.
Preuve : Comme I est sur la bissectrice de $\w... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-1-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 9"
} | 201 | 1,150 |
2024 | T2 | 13 | null | French_envois | Soit $A B C D E$ un pentagone cyclique convexe tel que $A B=B D$. Soit $P$ le point d'intersection des droites (EB) et ( $A C$ ). Soit $Q$ le point d'intersection des droites ( $B C$ ) et ( $D E$ ). Montrer que $(\mathrm{PQ})$ et (AD) sont parallèles. | Sur la figure, il semble que EPCQ est un quadrilatère cyclique. On le montre :
$$
\begin{aligned}
\widehat{\mathrm{QCP}} & =180^{\circ}-\widehat{\mathrm{PCB}} \\
& =180^{\circ}-\widehat{\mathrm{ACB}} \\
& =180^{\circ}-\widehat{\mathrm{ADB}} \text { par angle inscrit } \\
& =180^{\circ}-\widehat{\mathrm{BAD}} \mathrm{c... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-1-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 13"
} | 94 | 700 |
2024 | T2 | 15 | null | French_envois | Soit $A B C D$ un quadrilatère convexe cyclique, $M$ le milieu de $[A C]$. Le cercle circonscrit à $C D M$ rencontre $(B C)$ une deuxième fois en $N$ (autre que $C$ ). Soit $B^{\prime}$ le symétrique de $B$ par rapport à $N$. Montrer que (MN) est tangente au cercle circonscrit de $B^{\prime} D N$. | Sur la figure, on repère des triangles semblables. En effet, on a par angle inscrit :
$$
\widehat{M A D}=\widehat{C A D}=\widehat{C B D}=\widehat{N B D}
$$
Toujours par angle inscrit, on a :
$$
\widehat{\mathrm{DMA}}=180^{\circ}-\widehat{\mathrm{CMD}}=180^{\circ}-\widehat{\mathrm{CND}}=\widehat{\mathrm{DNB}}
$$
On ... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 15"
} | 111 | 618 |
2024 | T2 | 16 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle avec $\widehat{B A C}=60^{\circ}$ et soit $\Gamma$ son cercle circonscrit. Soient H l'orthocentre de $A B C$ et $S$ le milieu de l'arc $\widehat{B C}$ ne contenant pas $A$. Soit $P$ le point de $\Gamma$ tel que $\widehat{S P H}=90^{\circ}$. Montrer qu'il existe un cercle passant par $P, S$ et q... | D'après le théorème du pôle Sud, $S$ est le point de concours de la bissectrice de $\widehat{B A C}$ et de la médiatrice de $[B C]$. Soit $O$ le centre de $\Gamma$ et $N$ le pôle Nord. Comme $[S N]$ est un diamètre de $\Gamma$, la condition $\widehat{S P H}=90^{\circ}$ se réécrit $P, H, N$ alignés. Introduisons alors $... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 16"
} | 137 | 703 |
2024 | T2 | 17 | null | French_envois | Soient $A B C$ un triangle et $O$ le centre de son cercle circonscrit. Soit d la parallèle à (BC) passant par $O$. Soit $A^{\prime}$ le symétrique de $A$ par rapport à ( $B C$ ). La parallèle à ( $A^{\prime} B$ ) passant par $C$ coupe d en $C_{1}$, et les droites $\left(A^{\prime} C\right)$ et $\left(B C_{1}\right)$ s'... | On pose $P$ le point d'intersection des droites $\left(C B_{1}\right)$ et $\left(B C_{1}\right)$, et $Q$ le point d'intersection de $\left(B B_{1}\right)$ et $\left(C C_{1}\right)$. On pose également Tl'intersection de $(A O)$ et ( $\left.B C\right)$. On peut alors remarquer plusieurs propriétés sur la figure, qu'on va... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 17"
} | 226 | 1,579 |
2024 | T2 | 18 | null | French_envois | Soient $A B C$ un triangle, avec $A C>A B$, et $\Gamma$ son cercle circonscrit. Soit $T$ le point d'intersection de la tangente à $\Gamma$ en $A$ avec (BC). Soient $M$ le milieu de $[B C]$ et $R$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Soit $S$ le point tel que $S A B T$ est un parallélogramme. La parallèle à ( $A B$ )... | Soit $N$ le point d'intersection de $(A T)$ et ( $B S)$. On a $(P M) / /(A B) / /(S T)$ donc d'après le théorème de Thalès, $\frac{B P}{B S}=\frac{B M}{B T}$. Alors $\frac{B P}{B N}=\frac{B P}{\frac{B S}{2}}=2 \frac{B P}{B S}=\frac{2 B M}{B T}=\frac{B C}{B T}$, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (NT) et ... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
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"solution_match": "## Solution de l'exercice 18"
} | 169 | 1,134 |
2024 | T2 | 5 | null | French_envois | Déterminer tous les entiers $n$ ayant la propriété suivante : si l'on pose $a_{k}=\operatorname{ppcm}(k, k+$ $1, \ldots, k+n-1$ ), alors la suite ( $a_{k}$ ) est croissante. | Montrons que les naturels ayant cette propriété sont exactement 1 et 2 . Déjà, si $n=1, a_{k}=k$ est une suite croissante. Et si $n=2$, puisque deux entiers consécutifs sont premiers entre eux, $a_{k}=k(k+1)$ est une suite croissante également. Si $n=3$, on remarque que $a_{5}=210>a_{6}=168$, donc 3 n'a pas la propriét... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 64 | 511 |
2024 | T2 | 6 | null | French_envois | Démontrer, pour tous réels $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ strictement positifs, l'inégalité suivante :
$$
\frac{a}{9 b c+1}+\frac{b}{9 c a+1}+\frac{c}{9 a b+1} \geqslant \frac{a+b+c}{1+(a+b+c)^{2}} .
$$ | Vu la forme de l'inégalité, on est tenté d'appliquer l'inégalité des mauvais élèves. Seulement, si l'on applique l'inégalité en l'état, on trouve :
$$
\frac{a}{9 b c+1}++\frac{b}{9 c a+1}+\frac{c}{9 a b+1} \geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{9(a b+b c+c a)+3}
$$
Pour conclure, il faudrait alors montrer ... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-5-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 94 | 584 |
2024 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle, $\omega$ son cercle inscrit et $D, E$ et $F$ les points de contact de $\omega$ avec les côtés $B C, C A$ et $A B$ respectivement. La perpendiculaire à ( $B C$ ) en $C$ coupe la droite ( $E F$ ) en $M$ et la perpendiculaire à (BC) en $B$ coupe la droite (EF) en $N$. La droite ( $D M)$ recoupe $... | On commence par "éffacer" les points $P$ et $Q$ de la figure, c'est-à-dire qu'on commence par se ramener à un énoncé équivalent au problème original, mais qui n'implique pas les points P et Q .
Si l'énoncé est vrai, alors (DI) est la médiatrice du segment [PQ], de sorte que la droite (DI) est la bissectrice de l'angle ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-5-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 163 | 592 |
2024 | T2 | 9 | null | French_envois | On dispose de $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ bols alignés sur une rangée. Les a premiers bols contiennent une pomme tandis que les $b$ derniers bols contiennent une poire.
Une opération consiste à déplacer une pomme du bol $i$ au bol $i+1$ et une poire du bol $j$ au bol $j-1$, où $i$ et $j$ sont deux entiers tels que $i-j$ es... | Commençons par montrer qu'il n'est pas possible d'y arriver lorsque a et b sont impairs tous les deux. Soit I la somme alternée des nombres de fruits dans les bols. Dans les positions initiales et finales décrites, on a alors $I=0$ car $a+b$ est pair. En outre, lors de chaque opération, I est augmenté de $\pm 2$ à caus... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-5-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 170 | 605 |
2024 | T2 | 12 | null | French_envois | On définit la suite $\left(a_{n}\right)$ par $a_{0}=a_{1}=a_{2}=1$ et si $n \geqslant 3$ :
$$
a_{n}=\left\lfloor\frac{n}{a_{n-1} a_{n-2} a_{n-3}}\right\rfloor
$$
Déterminer $\mathrm{a}_{2022}$. | En calculant les premiers termes de la suite, on effectue la conjecture suivante, que l'on montre par récurrence sur $k$ :
$$
\text { Si } k \geqslant 1 \text {, alors } a_{4 k}=1, a_{4 k+1}=1, a_{4 k+2}=\left\lfloor\frac{4 k+2}{3}\right\rfloor \text { et } a_{4 k+3}=3 .
$$
Initialisation : On a $a_{3}=3, a_{4}=1, a_... | {
"problem_match": "## Exercice 12.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-5-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 12"
} | 97 | 983 |
2024 | T2 | 13 | null | French_envois | Déterminer tous les entiers $n$ ayant la propriété suivante : si l'on pose $a_{k}=\operatorname{ppcm}(k, k+$ $1, \ldots, k+n-1)$, alors la suite ( $a_{k}$ ) est croissante. | Montrons que les naturels ayant cette propriété sont exactement 1 et 2 . Déjà, si $\mathrm{n}=1, \mathrm{a}_{\mathrm{k}}=\mathrm{k}$ est une suite croissante. Et si $\mathrm{n}=2$, puisque deux entiers consécutifs sont premiers entre eux, $a_{k}=k(k+1)$ est une suite croissante également. Si $n=3$, on remarque que $a_{... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-5-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 13"
} | 64 | 538 |
2024 | T2 | 14 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et soit $J$ le centre de son cercle $A$-exinscrit. Soit K le symétrique du point $J$ par rapport au segment $[B C]$. Soient $E$ et $F$ les points sur les droites (BJ) et (CJ) tels que $\widehat{\mathrm{EAB}}=\widehat{\mathrm{CAF}}=90^{\circ}$. Montrer que $\widehat{\mathrm{FKE}}+\widehat{\mathr... | Puisque la droite (BJ) est la bissectrice extérieure de l'angle $\widehat{A B C}$, on a $\widehat{A B J}=\widehat{C B J}=90^{\circ}-\widehat{A B C} / 2$. Puisque la symétrie axiale préserve les angles, on a ainsi $\widehat{\mathrm{KBC}}=\widehat{\mathrm{ABE}}$.
Notons $A_{1}$ le projeté orthogonale du point $J$ sur le ... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-5-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 14"
} | 131 | 596 |
2024 | T2 | 16 | null | French_envois | Avant un championnat, chaque équipe participante propose au plus $t$ couleurs différentes pour son maillot. Un ensemble $S$ d'équipes est dit identifiable si l'on peut assigner à chaque équipe de $S$ une couleur apparaissant dans son ensemble de propositions et n'apparaissant dans aucun ensemble de couleurs d'une autre... | Montrons que le nombre recherché est $g(n, t)=\left\lceil\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}}\right\rceil$.
Si $n$ s'écrit sous la forme $k \cdot t+r$, avec $0 \leqslant r<t$, on peut considérer la situation où $k$ équipes demandent chacunes $t$ couleurs toutes distinctes deux à deux, puis une dernière équipe demandant $r$ no... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 151 | 737 |
2024 | T2 | 18 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle et soient $A_{1}, B_{1}$ et $C_{1}$ les points de contact resepctifs du cercle $A$-exinscrit, noté $\omega_{A}$, avec le côté $B C$ et les demi-droites $[A C)$ et $[A B$ ). Soit $P$ le milieu du segment $\left[B_{1} C_{1}\right]$. La droite $\left(A_{1} P\right)$ recoupe le cercle $\omega_{A}$ ... | En traçant le cercle de centre $R$ de rayon $R A$, on s'aperçoit que celui-ci passe également par $P$. On va donc plutôt introduire $R^{\prime}$ le centre du cercle circonscrit au triangle $A P X$ et montre que les droites $\left(A R^{\prime}\right)$ et ( $X R^{\prime}$ ) sont respectivement tangentes aux cercles circo... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-5-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 18"
} | 185 | 1,123 |
2024 | T2 | 3 | null | French_envois | Montrer qu'il n'existe pas de réels $x, y, z$ strictement positifs tels que
$$
\left(2 x^{2}+y z\right)\left(2 y^{2}+x z\right)\left(2 z^{2}+x y\right)=26 x^{2} y^{2} z^{2}
$$ | On pourrait essayer de simplement appliquer l'inégalité arithmético-géométrique sur chacun des facteurs du côté gauche, mais ceci donne que le terme de gauche est supérieur ou égal à $16 \sqrt{2} x^{2} y^{2} z^{2}$ ce qui ne suffit pas pour conclure (car $16 \sqrt{2}<26$ ). En fait, ceci vient du fait que l'on ne peut ... | {
"problem_match": "\nExercice 3.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"
} | 83 | 510 |
2024 | T2 | 4 | null | French_envois | Montrer que pour tous les réels $x, y, z$, on a
$$
\frac{x^{2}-y^{2}}{2 x^{2}+1}+\frac{y^{2}-z^{2}}{2 y^{2}+1}+\frac{z^{2}-x^{2}}{2 z^{2}+1} \leqslant 0 .
$$ | On réécrit l'inégalité en
$$
\frac{x^{2}}{2 x^{2}+1}+\frac{y^{2}}{2 y^{2}+1}+\frac{z^{2}}{2 z^{2}+1} \leqslant \frac{y^{2}}{2 x^{2}+1}+\frac{z^{2}}{2 y^{2}+1}+\frac{x^{2}}{2 z^{2}+1} .
$$
L'inégalité n'étant pas symétrique, on ne peut pas supposer sans perte de généralité que $x^{2} \leqslant y^{2} \leqslant$ $z^{2}$... | {
"problem_match": "\nExercice 4.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"
} | 88 | 600 |
2024 | T2 | 6 | null | French_envois | Soient $a, b, c$ trois réels strictement positifs. Montrer que
$$
\frac{a^{4}+1}{b^{3}+b^{2}+b}+\frac{b^{4}+1}{c^{3}+c^{2}+c}+\frac{c^{4}+1}{a^{3}+a^{2}+a} \geqslant 2
$$ | On commence par appliquer l'inégalité arithmético-géométrique aux trois termes de l'énoncé :
$$
\frac{a^{4}+1}{b^{3}+b^{2}+b}+\frac{b^{4}+1}{c^{3}+c^{2}+c}+\frac{c^{4}+1}{a^{3}+a^{2}+a} \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{\left(a^{4}+1\right)\left(b^{4}+1\right)\left(c^{4}+1\right)}{\left(b^{3}+b^{2}+b\right)\left(c^{3}+c^{2}+... | {
"problem_match": "## Exercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 6"
} | 98 | 577 |
2024 | T2 | 6 | null | French_envois | Soient $a, b, c$ trois réels strictement positifs. Montrer que
$$
\frac{a^{4}+1}{b^{3}+b^{2}+b}+\frac{b^{4}+1}{c^{3}+c^{2}+c}+\frac{c^{4}+1}{a^{3}+a^{2}+a} \geqslant 2
$$ | :
On peut également réfléchir avec l'inégalité de réarrangement. L'inégalité n'est pas symétrique, on ne peut donc pas supposer sans perte de généralités $a \geqslant b \geqslant c$ ou quelque chose de similaire.
Cependant, par stricte croissance, $\left(a^{4}+1, b^{4}+1, c^{4}+1\right)$ est dans le même ordre que $(a... | {
"problem_match": "## Exercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "## Solution alternative"
} | 98 | 866 |
2024 | T2 | 7 | null | French_envois | Soient $a, b, c, d$ quatre réels tels que $|a|>1,|b|>1,|c|>1$ et $|d|>1$. Supposons que $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)$. Montrer que
$$
\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{d-1}>0
$$ | On sait d'après l'énoncé que aucun des $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ ne vaut 1 . La condition de l'énoncé s'écrit alors
$$
\frac{a+1}{a-1} \frac{b+1}{b-1} \frac{c+1}{c-1} \frac{d+1}{d-1}=1
$$
Remarquons que comme $|a|>1$, alors on a soit $a>1$ et donc $a+1>0$ et $a-1>0$, ou alors $a<-1$ et donc $a+... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 127 | 827 |
2024 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $\mathrm{n} \geqslant 1$ un entier et $\mathrm{x}_{1}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ des réels positifs. Montrer que
$$
\left(\frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{2}+\ldots+\frac{x_{n}}{n}\right)\left(1 \cdot x_{1}+2 \cdot x_{2}+\ldots+n \cdot x_{n}\right) \leqslant \frac{(n+1)^{2}}{4 n}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\... | L'astuce est d'appliquer une inégalité arithmético-géométrique au côté gauche de l'inégalité, mais avec des coefficients $\sqrt{n}$ et $\frac{1}{\sqrt{n}}$ :
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{2}+\ldots\right. & \left.+\frac{x_{n}}{n}\right)\left(1 \cdot x_{1}+2 \cdot x_{2}+\ldots+n \cdot x_{n}\righ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 8"
} | 165 | 1,101 |
2024 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit c un entier positif ou nul. Trouver toutes les suites d'entiers strictement positifs $a_{1}, a_{2}, \ldots$ telles que pour tout entier strictement positif $n, a_{n}$ soit égal au nombre d'entiers $i$ vérifiant $a_{i} \leqslant a_{n+1}+c$. | Soit $\left(a_{n}\right)$ une suite vérifiant les conditions de l'énoncé pour la constante $c$. On commence par montrer que la suite est croissante. En effet, supposons par l'absurde qu'il existe un entier $n$ tel que $a_{n}>a_{n+1}$. Alors d'après l'hypothèse de l'énoncé, il y a strictement plus de $a_{i}$ inférieurs ... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 89 | 1,457 |
2024 | T2 | 13 | null | French_envois | Déterminer toutes les fonctions f de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que pour tous $x, y$ réels :
$$
f(x) f(y) f(x-y)=x^{2} f(y)-y^{2} f(x)
$$ | Soit f une solution de l'équation.
Pour $x=y=0$, on $a$ :
$$
\mathbf{f}(0)^{3}=0
$$
Ainsi, $f(0)=0$. On exclut la fonction $f \equiv 0$ qui est effectivement solution du problème.
On considère maintenant, un nombre $x$ tel que $f(x)=0$. On a alors pour un $y$ quelconque :
$$
0=x^{2} f(y)-0
$$
Comme on a exclu le ca... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 13"
} | 62 | 1,025 |
2024 | T2 | 14 | null | French_envois | Emile a créé un exercice pour Benoît. Il lui annonce qu'il a choisi secrètement un polynôme P unitaire de degré 2023 à coefficients entiers, c'est-à-dire de la forme
$$
P(X)=X^{2023}+a_{2022} X^{2022}+a_{2021} X^{2021}+\ldots+a_{1} X+a_{0}
$$
où $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{2022}$ sont des entiers relatifs. Il donne à B... | Montrons que le $k$ minimal est $k=2023$. En effet, supposons d'abord que $k<2023$ et qu'Emile choisisse $P$ et $n_{1}, \ldots, n_{k}$. Posons
$$
\mathrm{Q}=\mathrm{P}+\left(\mathrm{X}-\mathrm{n}_{1}\right)\left(\mathrm{X}-\mathrm{n}_{2}\right) \ldots\left(\mathrm{X}-\mathrm{n}_{\mathrm{k}}\right)
$$
qui est un polyn... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 14"
} | 300 | 815 |
2024 | T2 | 15 | null | French_envois | Soit c un entier positif ou nul. Trouver toutes les suites d'entiers strictement positifs $a_{1}, a_{2}, \ldots$ telles que pour tout entier strictement positif $n, a_{n}$ soit égal au nombre d'entiers $i$ vérifiant $a_{i} \leqslant a_{n+1}+c$. | Soit ( $a_{n}$ ) une suite vérifiant les conditions de l'énoncé pour la constante $c$. On commence par montrer que la suite est croissante. En effet, supposons par l'absurde qu'il existe un entier $n$ tel que $a_{n}>a_{n+1}$. Alors d'après l'hypothèse de l'énoncé, il y a strictement plus de $a_{i}$ inférieurs ou égaux ... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 15"
} | 89 | 1,509 |
2024 | T2 | 16 | null | French_envois | Déterminer toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que pour tous $x, y$ réels, on ait
$$
f\left(x^{2}+x y+f\left(y^{2}\right)\right)=x f(y)+f\left(x^{2}\right)+y^{2}
$$ | En posant $y=0$, on trouve $f\left(x^{2}+f(0)\right)=x f(0)+f\left(x^{2}\right)$. En remplaçant $x$ par $-x$ dans cette équation, on trouve $f\left(x^{2}+f(0)\right)=-\chi f(0)+f\left(x^{2}\right)$, et en combinant on obtient donc $2 x f(0)=0$ pour tout $x$, soit $f(0)=0$.
En posant $x=0$, on trouve $f\left(f\left(y^{2... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrige-envoi-algebre-2023-2024.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 16"
} | 82 | 1,130 |
2024 | T2 | 17 | null | French_envois | Soit $\mathrm{n} \geqslant 2$ un entier et $\mathrm{C}>0$ une constante réelle. On suppose qu'il existe une suite $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ de réels non tous nuls telle que :
$-x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$.
- Pour tout indice $1 \leqslant i \leqslant n$, on a soit $x_{i} \leqslant x_{i+1}$, soit $x_{i} \leqslant x_... | Dans toute la solution, on considèrera tous les indices modulo n . Remarquons que la condition de l'énoncé signifie que pour tout $i$, si $x_{i+2} \leqslant 0$, alors $x_{i} \leqslant x_{i+1}$ car la condition $x_{i} \leqslant x_{i+1}+C x_{i+2}$ implique aussi $x_{i} \leqslant x_{i+1}$, De la même façon dans le cas con... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 17"
} | 218 | 2,541 |
2024 | T2 | 18 | null | French_envois | Soit $\mathbb{Z}[\mathrm{X}]$ l'ensemble des polynômes à coefficients entiers. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{Z}[X] \rightarrow \mathbb{Z}[X]$ telles que pour tous $P, Q \in \mathbb{Z}[X]$ et $r \in \mathbb{Z}$, on ait
$$
P(r)|Q(r) \Longleftrightarrow(f(P))(r)|(f(Q))(r)
$$ | Soit f une fonction solution de l'énoncé. Commençons par remarquer que si $P, Q, r$ sont tels que $|P(r)|=|Q(r)|$, alors $f(P)(r)$ et $f(Q)(r)$ se divisent mutuellement, et donc $|f(P)(r)|=|f(Q)(r)|$.
Remarquons aussi que si $P$ et $Q$ sont deux polynômes tels que pour une infinité d'entiers $r, P(r) \mid Q(r)$, alors ... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
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} | 111 | 2,348 |
2024 | T2 | 6 | null | French_envois | Un entier $n \geqslant 2$ est écrit au tableau. Chaque jour, quelqu' un choisit $p$ un diviseur premier de l'entier écrit $n$ au tableau, efface celui-ci et écrit $n+\frac{n}{p}$ à la place. Montrer que $p=3$ est choisi une infinité de fois. | Fixons $N \in \mathbb{N}$. Notons $2^{a_{k}} 3^{b_{k}} c_{k}$ l'entier écrit au tableau le jour $k$, avec $c_{k}$ produit de nombres premiers distincts de 2 et 3 . Supposons par l'absurde qu'on peut ne jamais choisir $p=3$ à partir du jour $N$.
Si le $k$-ième jour on choisit $p \neq 2,3$, alors le nombre écrit au table... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
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} | 83 | 1,486 |
2024 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit k un entier premier avec n vérifiant $1 \leqslant \mathrm{k}<\mathrm{n}$. Augustin colorie les entiers de $\{1,2, \ldots, \mathfrak{n}-1\}$ avec autant de couleur qu'il le souhaite. Cependant, si $\boldsymbol{j}$ est un entier vérifiant $1 \leqslant \mathfrak{j} \leqslant$ $n-1$, les entiers $j$ et $n-j$ sont de l... | Pour $k=1$, on voit que $n$ a la même couleur que $n-1$, puis que $n-2$ à la même couleur que $n-1$, etc et tous les entiers ont la même couleur.
Pour $k=2$, $n$ est impair et on voit que $n, n-2, \ldots, 1$ ont la même couleur, puis que $n-1$ a la même couleur que 1 , et que $n-1, n-3, \ldots, 2$ ont la même couleur.
... | {
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} | 194 | 1,154 |
2024 | T2 | 8 | null | French_envois | Déterminer tous les couples ( $a, p$ ) d'entiers strictement positifs, avec $p$ premier, tels que pour tout couple ( $m, n$ ) d'entiers strictement positifs, le reste de la division euclidienne de $a^{2^{n}}$ par $p^{n}$ est non nul, et est le même que celui de $a^{2^{m}}$ par $p^{m}$. | En prenant $\mathrm{n}=1$ dans l'énoncé, on obtient que pour tout entier m strictement positif, le reste de $a^{2^{m}}$ modulo $p^{m}$ vaut celui de $a^{2}$ modulo $p$, donc est constant. Notons $r$ ce reste : on a donc $r \neq 0$ ainsi $r \in\{1, \ldots, p-1\}$. On a $a^{2} \equiv r(\bmod p)$ et $a^{4} \equiv r\left(\... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
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} | 100 | 852 |
2024 | T2 | 9 | null | French_envois | Déterminer tous les quadruplets $(x, y, z, t)$ d'entiers strictement positifs tels que $2^{x} 3^{y}+$ $5^{z}=7^{\mathrm{t}}$ 。 | Supposons $x \geqslant 2$, en regardant modulo $4,1 \equiv 2^{x} 3^{y}+5^{z} \equiv 7^{\mathrm{t}} \equiv(-1)^{\mathrm{t}}$ $(\bmod 4)$, donc $t$ est pair.
L'équation prise modulo 3 devient $0+(-1)^{z} \equiv 1(\bmod 3)$ donc $z$ est pair. En particulier, posons $z=$ $2 \mathrm{~b}, \mathrm{t}=2 \mathrm{c}$, on a alors... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
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} | 53 | 1,597 |
2024 | T2 | 13 | null | French_envois | Un entier $n \geqslant 2$ est écrit au tableau. Chaque jour, quelqu'un choisit $p$ un diviseur premier de l'entier écrit $n$ au tableau, efface celui-ci et écrit $n+\frac{n}{p}$ à la place. Montrer que $p=3$ est choisi une infinité de fois. | Fixons $N \in \mathbb{N}$. Notons $2^{a_{k}} 3^{b_{k}} \mathbf{c}_{k}$ l'entier écrit au tableau le jour $k$, avec $c_{k}$ produit de nombres premiers distincts de 2 et 3 . Supposons par l'absurde qu'on peut ne jamais choisir $p=3$ à partir du jour $N$.
Si le $k$-ième jour on choisit $p \neq 2,3$, alors le nombre écrit... | {
"problem_match": "\nExercice 13.",
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} | 82 | 998 |
2024 | T2 | 14 | null | French_envois | Soit k un entier premier avec n vérifiant $1 \leqslant \mathrm{k}<\mathrm{n}$. Augustin colorie les entiers de $\{1,2, \ldots, \mathfrak{n}-1\}$ avec autant de couleur qu'il le souhaite. Cependant, si $\boldsymbol{j}$ est un entier vérifiant $1 \leqslant \mathfrak{j} \leqslant$ $n-1$, les entiers $j$ et $n-j$ sont de l... | Pour $k=1$, on voit que $n$ a la même couleur que $n-1$, puis que $n-2$ à la même couleur que $n-1$, etc et tous les entiers ont la même couleur.
Pour $k=2$, $n$ est impair et on voit que $n, n-2, \ldots, 1$ ont la même couleur, puis que $n-1$ a la même couleur que 1 , et que $n-1, n-3, \ldots, 2$ ont la même couleur.
... | {
"problem_match": "\nExercice 14.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 14"
} | 194 | 1,218 |
2024 | T2 | 15 | null | French_envois | Soit $\left(P_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de polynômes à coefficients entiers. On suppose qu'il existe un polynôme $Q$ unitaire à coefficient entier tel que $P_{n+1}-P_{n}=Q$ pour tout $n \geqslant 0$. On suppose de plus que pour tout $\mathrm{n} \geqslant 0, \mathrm{P}_{\mathrm{n}}$ a une racine entière. ... | Supposons que $\mathrm{P}_{0}$ et Q n'ont pas de racines entière en commun. Notons que par récurrence immédiate $P_{n}=P_{0}+n Q$ pour tout $n \geqslant 0$. Notons $x_{n}$ une racine entière de $P_{n}$ pour tout $n \geqslant 0$, on a que $n Q\left(x_{n}\right)=-P_{0}\left(x_{n}\right)$, donc $Q\left(x_{n}\right)$ divis... | {
"problem_match": "\nExercice 15.",
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} | 180 | 2,122 |
2024 | T2 | 16 | null | French_envois | Soit $p$ un nombre premier et $n$ un entier vérifiant $n \geqslant 2$.
- A quelle condition existe-t-il $n+1$ entiers (pas forcément distincts) tels que, pour tout choix de $n$ entiers parmi les $\mathrm{n}+1$, leur somme est une puissance de p ?
- A quelle condition existe-t-il $n+1$ entiers strictement positifs (pas... | Essayons d'analyser l'énoncé. Posons $x_{1}, \ldots, x_{n+1}$ les entiers tels que pour tout choix de $n$ entiers parmi les $n+1$ entiers, alors leur somme est une puissance de $p$. Il existe donc $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n+1}$ des entiers positifs tels que $x_{2}+\cdots+x_{n+1}=p^{\alpha_{1}}, x_{1}+x_{3}+\cdots+x... | {
"problem_match": "\nExercice 16.",
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} | 140 | 1,702 |
2024 | T2 | 17 | null | French_envois | Soient $a, b$ deux entiers tels que $\mathrm{pgcd}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \mathrm{a}$ au moins deux facteurs premiers distincts. Soit $S=\{x \in \mathbb{N} \mid x \equiv a[b]\}$. Un élément de $S$ est dit irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme un produit d'au moins deux éléments de $S$ (pas forcément distincts).... | Soit $d=\operatorname{pgcd}(a, b)$, et écrivons $a=d a^{\prime}, b=d b^{\prime}$. Commençons par traiter le cas où $\operatorname{pgcd}\left(\mathrm{d}, \mathrm{b}^{\prime}\right)>1$. Si c'est le cas, alors on a $\operatorname{pgcd}\left(\mathrm{a}^{2}, \mathrm{~b}\right)=\operatorname{dpgcd}\left(\mathrm{da}^{\prime 2... | {
"problem_match": "\nExercice 17.",
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} | 158 | 1,506 |
2024 | T2 | 18 | null | French_envois | Pour tout entier $k \geqslant 1$, on note $p(k)$ le plus petit nombre premier ne divisant pas $k$. Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite telle que $a_{0} \in \mathbb{N}^{*}$ et pour tout $n \geqslant 0, a_{n+1}$ est le plus petit entier strictement positif différent de $a_{0}, \ldots, a_{n}$ tel que $a... | Déjà notons que la suite est bien définie: si $a_{1}, \ldots, a_{n}$ sont construits, comme $a_{n}$ est premier avec $p\left(a_{n}\right)$, il existe une infinité d'entiers $k$ tels que $a_{n}^{k} \equiv 1\left(\bmod p\left(a_{n}\right)\right)$ qui sont tous les multiples de l'ordre de $a_{n}$ modulo $p\left(a_{n}\righ... | {
"problem_match": "\nExercice 18.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 18"
} | 188 | 2,032 |
2019 | T2 | 5 | null | French_envois | Soit $n \geqslant 2$ et soient $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ des nombres réels tels que $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$ et $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1$.
Montrer qu'il existe $i$ tel que $x_{i} \geqslant \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}$. | On note $\mathrm{N}^{+}$le nombre d'indices $i$ tels que $x_{i}>0$ et $N^{-}$le nombre d'indices $i$ tels que $x_{i} \leqslant 0$, de sorte que $\mathrm{N}^{+}+\mathrm{N}^{-}=\mathrm{n}$. On note également
$$
S_{1}^{+}=\sum_{i \text { tel que } x_{i}>0} x_{i} \quad \text { et } \quad S_{1}^{-}=\sum_{i \text { tel que ... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 5"
} | 121 | 705 |
2019 | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ une suite de réels. On suppose que $a_{n}=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$ pour tout entier naturel $n$. De plus, $a_{0}$ et $a_{1}$ sont strictement positifs et distincts. Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} n$ 'est pas bornée. | Il est clair que la suite ( $a_{n}$ ) est à termes positifs.
Soit $i$ tel que $a_{i}<a_{j}$ pour $j<i$. Supposons par l'absurde que $i \geqslant 4$. Alors $a_{i-2}=\left|a_{i}-a_{i-1}\right|=$ $a_{i-1}-a_{i}<a_{i-1}$ donc $a_{i-3}=\left|a_{i-2}-a_{i-1}\right|=a_{i-1}-a_{i-2}=a_{i}$, ce qui contredit l'hypothèse sur $i$... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
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"solution_match": "\nSolution de l'exercice 7"
} | 114 | 507 |
2019 | T2 | 8 | null | French_envois | Soit $A B C D$ un trapèze avec $(A B)$ parallèle à $(C D)$. On suppose qu'il y a deux cercles $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ à l'intérieur du trapèze tels que $\omega_{1}$ est tangent aux côtés [DA], $\left.A B\right]$ et $[B C]$ et $\omega_{2}$ est tangent aux côtés $[B C],[C D]$ et $[D A]$. Soit $\left(d_{1}\right)$ la... | On note $X$ le point d'intersection de ( $A D$ ) et ( $B C$ ). On note respectivement $E$ et $F$ les centres de $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$. Notons que $\omega_{1}$ est le cercle inscrit à $X A B$ et que $\omega_{2}$ est le cercle $X$-exinscrit à XCD. Enfin, on note $G$ le centre du cercle $X$-exinscrit à $X A B$.
On ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrigé-Envoi-5-2019.jsonl",
"solution_match": "## Solution de l'exercice 8"
} | 212 | 695 |
2019 | T2 | 9 | null | French_envois | Soit $S=\{1, \ldots, n\}$, avec $n \geqslant 3$ un entier, et soit $k$ un entier strictement positif. On note $S^{k}$ l'ensemble des $k$-uplets d'éléments de $S$. Soit $f: S^{k} \rightarrow S$ telle que, si $x=\left(x_{1}, \ldots, \chi_{k}\right) \in S^{k}$ et $y=\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \in S^{k}$ avec $x_{i}... | Nous montrerons le résultat par récurrence sur k. Le cas $k=1$ est trivial, supposons donc le résultat vrai pour $\mathrm{k}-1 \geqslant 1$ et montrons le pour k .
Supposons l'existence de $k-1$ éléments $a_{2}, \ldots, a_{k}$ de $S$ tels que la fonction $\phi: a \in S \mapsto f\left(a, a_{2}, \ldots, a_{k}\right) \in$... | {
"problem_match": "\nExercice 9.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-Corrigé-Envoi-5-2019.jsonl",
"solution_match": "\nSolution de l'exercice 9"
} | 266 | 1,492 |
null | T2 | 2 | null | French_envois | Soit $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ deux cercles de centre $\mathrm{O}_{1}$ et $\mathrm{O}_{2}$, on suppose qu'ils se coupent en $A$ et $B$. Le cercle passant par les points $O_{1}, O_{2}$ et $B$ coupe le cercle $\omega_{1}$ en $C$. Montrer que les points $C$, $A$ et $O_{2}$ sont alignés.
$ avec le cercle $\omega_{1}$ puis on va montrer que $\mathrm{C}=\mathrm{C}^{\prime}$.
On peut décomposer l'angle plat $\widehat{\mathrm{O}_{2} \mathrm{AC}^{\prime}}... | {
"problem_match": "\nExercice 2.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrige-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration."
} | 176 | 666 |
null | T2 | 5 | null | French_envois | Soit $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ deux cercles qui se coupent en $P$ et $Q$. On suppose que la tangente commune à $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$, la plus proche de P , touche les cercles $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ en $A$ et $B$ respectivement. Les tangentes en $P$ aux cercles $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ recoupe $\omeg... | On conjecture sur une bonne figure que les points $\mathrm{H}, \mathrm{P}$ et B sont alignés, de même pour les points $K, P$ et $A$.
Lemme. Les points $\mathrm{H}, \mathrm{P}$ et B sont alignés, ainsi que les points $\mathrm{K}, \mathrm{P}$ et A .
On note $x=\widehat{\mathrm{PAB}}, y=\widehat{\mathrm{ABP}}$ et $z=\wid... | {
"problem_match": "\nExercice 5.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrige-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration."
} | 268 | 581 |
null | T2 | 6 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle, $D$ est le milieu de l'arc $B C$ du cercle $A B C$ ne contenant pas $A, Z$ est l'unique point sur la bissectrice extérieure de $\widehat{B A C}$ tel que $Z A=Z C$. Montrer que le cercle $A D Z$ passe par le milieu du côté de $[A B]$.
$ et (DC).
Alors comme $\left(M_{B} M_{C}\right) / /(B C)$, on trouve $\widehat{M_{B} X C}=\widehat{B C D}=\widehat{B A D}=\frac{\alpha}{2}$... | {
"problem_match": "\nExercice 6.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrige-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Démonstration."
} | 170 | 1,208 |
null | T2 | 7 | null | French_envois | Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A, \Gamma$ est un cercle tangent à ( $A C$ ) en $C$ à l'extérieur du triangle $A B C$. On note $\omega$ le cercle passant par $A$ et $B$ et tangent intérieurement à $\Gamma$ en $D$. E est la seconde intersection de (AD) et de $\Gamma$, montrer que (BE) est tangente à $\Gamma$.
![](h... | Preuve 1:
On note $I_{A}$ l'inversion de centre $A$ et de rayon $r=A B=A C$, ainsi, $B$ et $C$ sont fixe par $I_{A}$, la puissance de $A$ par rapport au cercle $\omega$ est exactement le rayon au carré donc les cercle $\omega$ est fixe par inversion. Cela montre que $D$ et $E$ sont échangés dans $I_{A}$. Mais alors le... | {
"problem_match": "\nExercice 7.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrige-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "## Démonstration."
} | 179 | 558 |
null | T2 | 8 | null | French_envois | Soit ADE un triangle isocèle en $A$. Soit le cercle $\omega$, tangent aux droites (AD) et (AE) en $D$ et $E$. Soit $B$ et $C$ deux points au delà de $D$ et $E$ sur les droites ( $A D$ ) et ( $A E$ ). On suppose que $B C>B D+C E$. Finalement, soit $F$ et $G$ deux points sur le segment $[B C]$ de tel sorte que $B D=B F$ ... | Soit $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ deux points sur les demi-droites $[A D]$ et $[A C]$ au delà de $D$ et $E$ de tel sorte que $\left(B^{\prime} C^{\prime}\right) / /(B C)$ et que $\left(B^{\prime} C^{\prime}\right)$ soit tangente à $\omega$ en $L^{\prime}$.
Lemme. $D, F$ et $L^{\prime}$ sont alignés de même pour $E, G$ ... | {
"problem_match": "\nExercice 8.",
"resource_path": "French/segmented/envois/fr-corrige-envoi-1.jsonl",
"solution_match": "\nDémonstration."
} | 275 | 970 |
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