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|---|---|---|---|---|
∑ i = 1 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 = [ ∑ i = 1 n i ] 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}} | अंकगणित | 100 | null | 48 |
∑ i = 1 n i 4 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 ) 30 = n 5 5 + n 4 2 + n 3 3 − n 30 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}} | अंकगणित | 101 | null | 54 |
∑ i = 0 n i p = ( n + 1 ) p + 1 p + 1 + ∑ k = 1 p B k p − k + 1 ( p k ) ( n + 1 ) p − k + 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}} जहाँ B k {\displaystyle B_{k}} एक बर्नौली संख्या को दर्शाता है। | अंकगणित | 102 | null | 65 |
निम्नलिखित सूत्र ∑ i = 1 n i 3 = ( ∑ i = 1 n i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}} किसी भी प्राकृतिक संख्या मान पर एक श्रेणी शुरू करने के लिए सामान्यीकृत के जोड़तोड़ हैं (i.e., m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } ): | अंकगणित | 103 | null | 49 |
( ∑ i = m n i ) 2 = ∑ i = m n ( i 3 − i m ( m − 1 ) ) {\displaystyle \left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))} | अंकगणित | 104 | null | 31 |
∑ i = m n i 3 = ( ∑ i = m n i ) 2 + m ( m − 1 ) ∑ i = m n i {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i} | अंकगणित | 105 | null | 35 |
=== चरघातांकी पदों के योग === नीचे के योगों में x एक स्थिरांक है जो 1 . के बराबर नहीं है | अंकगणित | 106 | null | 21 |
∑ i = m n − 1 x i = x m − x n 1 − x {\displaystyle \sum _{i=m}^{n-1}x^{i}={\frac {x^{m}-x^{n}}{1-x}}} (m < n; देखें गुणोत्तर श्रेणी) | अंकगणित | 107 | null | 28 |
∑ i = 0 n − 1 x i = 1 − x n 1 − x {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}x^{i}={\frac {1-x^{n}}{1-x}}} (1 से शुरू होने वाली गुणोत्तर श्रेणी) | अंकगणित | 108 | null | 28 |
∑ i = 0 n − 1 i x i = x − n x n + ( n − 1 ) x n + 1 ( 1 − x ) 2 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ix^{i}={\frac {x-nx^{n}+(n-1)x^{n+1}}{(1-x)^{2}}}} | अंकगणित | 109 | null | 36 |
∑ i = 0 n − 1 i 2 i = 2 + ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}} (विशेष स्थिति जब x = 2) | अंकगणित | 110 | null | 29 |
∑ i = 0 n − 1 i 2 i = 2 − n + 1 2 n − 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}} (विशेष स्थिति जब x = 1/2) | अंकगणित | 111 | null | 31 |
=== द्विपद गुणांकों वाले संकलन (summations involving binomial coefficients) === द्विपद गुणांकों (ठोस गणित का एक पूरा अध्याय केवल बुनियादी तकनीकों के लिए समर्पित है) को शामिल करने वाली बहुत सारी योग सर्वसमिकाएँ मौजूद हैं। कुछ सबसे बुनियादी निम्नलिखित हैं। | अंकगणित | 112 | null | 40 |
∑ i = 0 n ( n i ) = 2 n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}} | अंकगणित | 113 | null | 17 |
∑ i = 1 n i ( n i ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}} | अंकगणित | 114 | null | 21 |
∑ i = 0 n i ! ⋅ ( n i ) = ⌊ n ! ⋅ e ⌋ {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor } | अंकगणित | 115 | null | 28 |
∑ i = 0 n − 1 ( i k ) = ( n k + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}} | अंकगणित | 116 | null | 25 |
∑ i = 0 n ( n i ) a ( n − i ) b i = ( a + b ) n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}} , द्विपद प्रमेय | अंकगणित | 117 | null | 32 |
== वृद्धि दर == निम्नलिखित उपयोगी सन्निकटन है,(थीटा प्रतीक का उपयोग करके): | अंकगणित | 118 | null | 12 |
∑ i = 1 n i c = Θ ( n c + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})} −1 से अधिक वास्तविक c के लिए | अंकगणित | 119 | null | 26 |
∑ i = 1 n 1 i = Θ ( log n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)} (देखें हरात्मक संख्या) | अंकगणित | 120 | null | 23 |
∑ i = 1 n c i = Θ ( c n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})} वास्तविक c के लिए 1 से बड़ा | अंकगणित | 121 | null | 24 |
∑ i = 1 n log ( i ) c = Θ ( n ⋅ log ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})} गैर-ऋणात्मक वास्तविक c के लिए | अंकगणित | 122 | null | 33 |
∑ i = 1 n log ( i ) c ⋅ i d = Θ ( n d + 1 ⋅ log ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})} गैर-ऋणात्मक वास्तविक c, d के लिए | अंकगणित | 123 | null | 41 |
∑ i = 1 n log ( i ) c ⋅ i d ⋅ b i = Θ ( n d ⋅ log ( n ) c ⋅ b n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})} गैर-ऋणात्मक वास्तविक के लिए b> 1, c, d | अंकगणित | 124 | null | 49 |
== बाहरी कड़ियाँ == Derivation of Polynomials to Express the Sum of Natural Numbers with Exponents | अंकगणित | 125 | null | 16 |
संख्याएँ वे गणितीय वस्तुएँ हैं जिनका उपयोग मापने, गिनने और नामकरण करने के लिए किया जाता है। १, २, ३, ४ आदि प्राकृतिक संख्याएँ इसकी सबसे मूलभूत उदाहरण हैं। इसके अलावा वास्तविक संख्याएँ (जैसे १२.४५, ९९.७५ आदि) और अन्य प्रकार की संख्याएँ भी आधुनिक विज्ञान एवं प्रौद्योगिकी में प्रयुक्त होतीं हैं। संख्याएँ हमारे जीवन के ढर्... | अंकगणित | 126 | null | 215 |
== संख्याओं का उद्भव == संख्याएं मानव सभ्यता जितनी ही पुरानी हैं। आक्सफोर्ड स्थित एशमोलियन अजायबघर में राजाधिकार का प्रतीक एक मिस्री शाही दंड (रायल मेस) रखा है, जिस पर 1,20,000 कैदियों, 4,00,000 बैलों और 14,22,000 बकरियों का रिकार्ड दर्ज है। इस रिकार्ड से जो 3400 ईसा पूर्व से पहले का है, पता चलता है कि प्राचीन काल में ... | अंकगणित | 127 | null | 354 |
== संख्याओं का वर्गीकरण == मूलतः संख्या का अर्थ 'प्राकृतिक संख्याओं' से लिया गया था। आगे चलकर धीरे-धीरे 'संख्याओं' का क्षेत्र विस्तृत होता गया तथा पूर्णांक, परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या होते हुए समिश्र संख्या तक पहुँच चुका है। संख्याओं के समुच्चय में यह सम्बन्ध है: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C . {\displaystyle \mathbb {N} \subs... | अंकगणित | 128 | null | 71 |
== संख्याओं का महत्व == एक आम आदमी के जीवन की निम्नांकित स्थितियों को देखिए: 1. सवेरे-सवेरे अलार्म घड़ी की आवाज एक दफ्तर जाने वाले को जगाती है। ‘‘छह बज गए; अब उठना चाहिए।’’ इस तरह उस व्यक्ति की दिनचर्या की शुरूआत होती है। 2. बस में कंडक्टर यात्री से कहता है : ‘‘चालीस पैसे और दीजिए।’’ यात्री : ‘‘क्यों मैं तो आपको सही भा... | अंकगणित | 129 | null | 186 |
अंक (डिजिट) स्थानीय मान भूतसंख्या पद्धति कटपयादि संख्या पद्धति आर्यभट की संख्यापद्धति संख्या सिद्धान्त अभाज्य संख्या या रूूूढ़ संख्याा (प्राइम नम्बर) गणितीय नियतांक भौतिक नियतांक परिमाण की कोटि (ऑर्डर ऑफ मैग्निट्यूड) पूर्ण संख्या और पूर्णांक संख्या== बाहरी कड़ियाँ == | अंकगणित | 130 | null | 39 |
https://web.archive.org/web/20091004230123/http://eom.springer.de/a/a013260.htm Mesopotamian and Germanic numbers BBC Radio 4, In Our Time: Negative Numbers '4000 Years of Numbers', lecture by Robin Wilson, 07/11/07, Gresham College (available for download as MP3 or MP4, and as a text file)। https://web.archive.org/web... | अंकगणित | 131 | null | 37 |
संख्याओं को लिखने एवं उनके नामकरण के सुव्यवस्थित नियमों को संख्या पद्धति (Number system) कहते हैं। इसके लिये निर्धारित प्रतीकों का प्रयोग किया जाता है जिनकी संख्या निश्चित एवं सीमित होती है। इन प्रतीकों को विविध प्रकार से व्यस्थित करके भिन्न-भिन्न संख्याएँ निरूपित की जाती हैं। दशमलव पद्धति, द्वयाधारी संख्या पद्धति, अष्... | अंकगणित | 132 | null | 65 |
== स्थानीय मान पर आधारित संख्या पद्धति == स्थानीय मान पर आधारित संख्या पद्धति में 2 या अधिक प्रतीक उपयोग में लाये जाते हैं। जितने प्रतीक होते हैं वही उस संख्या पद्धति का आधार (base) कहलाता है। इन प्रतीकों का मान शून्य से लेकर b-1 तक होता है जहाँ b आधार है। नीचे दो संख्याओं का उदाहरण दिया गया है, जो क्रमशः दशमलव पद्धति ... | अंकगणित | 133 | null | 69 |
2003 10 = 2 × 10 3 + 0 × 10 2 + 0 × 10 1 + 3 × 10 0 {\displaystyle 2003_{10}=2\times 10^{3}+0\times 10^{2}+0\times 10^{1}+3\times 10^{0}} | अंकगणित | 134 | null | 28 |
1100 2 = 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0 = 8 + 4 = 12 10 {\displaystyle 1100_{2}=1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+0\times 2^{0}=8+4=12_{10}} | अंकगणित | 135 | null | 35 |
== परिचय == संख्या पद्धतियाँ (Numeral system) हरेक भाषा में कुछ न कुछ अंक अवश्य होते हैं। इकाई की संकल्पना से "एक" की और अनेकता की संकल्पना से "दो" की रचना हुए बिना नहीं रहती। अव्यवस्थित संख्यालेखन कदाचित् ही किसी भाषा में होगा। ऑस्ट्रेलिया की भाषाओं, यूइन - कुरी आदि, तथा वहाँ की मध्य दक्षिणी भाषाओं में ऐसी अव्यवस्था ह... | अंकगणित | 136 | null | 521 |
== इन्हें भी देखें == संख्या पद्धतियों की सूची द्वयाधारी संख्या पद्धति (बाइनरी नम्बर सिस्टम) अष्टाधारी संख्या पद्धति (ऑक्टल नम्बर सिस्टम) षोडशाधारी संख्या पद्धति (हेक्साडेसिमल नम्बर सिस्टम) दशमलव पद्धति (डेसिमल नम्बर सिस्टम) संख्या सिद्धान्त (नम्बर सिस्टम) | अंकगणित | 137 | null | 36 |
== बाहरी कड़ियाँ == Numerical Mechanisms and Children's Concept of Numbers Software for converting from one numeral system to another | अंकगणित | 138 | null | 20 |
वे 1 से बड़ी [प्राकृतिक संख्याएँ], जो स्वयं और 1 के अतिरिक्त और किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित नहीं होतीं, उन्हें 'अभाज्य संख्या' कहते हैं। वे १ से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ जो अभाज्य संख्याँ (whole number) नहीं हैं उन्हें भाज्य संख्या Archived 2023-04-19 at the वेबैक मशीन कहते हैं। अभाज्य संख्याओं की संख्या अनन्त हैं ... | अंकगणित | 139 | null | 191 |
1 से बड़ी प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का कम से कम एक रूढ़ विभाजक अवश्य होता है। | अंकगणित | 140 | null | 16 |
== इतिहास == प्राचीन मिस्र में अभाज्य संख्या का ज्ञान होने का संकेत रायंड पपायरस (Rhind Papyrus) में मिलता है। अभाज्य संख्या पे विस्तृत जानकारी प्राचीन यूनान (३०० ईसापूर्व) के गणितज्ञ यूक्लिड के द्वारा लिखी पुस्तक "एलिमेंट्स" में मिलती है। अभाज्य संख्या का अगला विस्तृत उल्लेख सत्रवहीं शताब्दी के गणितज्ञ पियेरे डे फरमैट... | अंकगणित | 141 | null | 218 |
== बाहरी कड़ियाँ == Caldwell, Chris, The Prime Pages at primes.utm.edu. Prime Numbers at MathWorld MacTutor history of prime numbers The prime puzzles An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes Number Spiral with prime patterns An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi... | अंकगणित | 142 | null | 92 |
=== अभाज्य संख्याओं के जनित्र एवं गणित्र (कैलकुलेटर) === C/C++ source code for a simple primality test Online Prime Number Generator and Checker - instantly checks and finds prime numbers up to 128 digits long (does NOT require Java or JavaScript) Prime number calculator — Check prime number, and find next largest and ... | अंकगणित | 143 | null | 117 |
० - शून्यम् १ - एकः (पुल्लिंग), एका (स्त्रीलिंग) , एकम् (नपुंसकलिंग), २ -द्वौ, द्वे ३ - त्रयः,तिस्रः,त्रीणि ४ -चत्वारः चतस्रः, चत्वारि चार (४) के बाद सभी संखाएँ सभी लिंगों में एकसमान रूप में होती हैं। | अंकगणित | 144 | null | 36 |
५ - पंच/पञ्च ६ - षट् , ७ - सप्त , ८ - अष्ट , ९ - नव , १० - दश , (११ से ४० तक २ के लिये द्वा , ३ के लिये त्रय: / त्रयो , ८ के लिये अष्टा का प्रयोग होता है। और ४० के उपर २ के लिये द्वि , ३ के लिये त्रि, तथा ८ के लिये अष्ट प्रयोग किए जाते हैं । ) ११ - एकादश , १२ - द्वादश , १३ - त्रयोदश , १४ - चतुर्दश , १५ - पंचदश १६ - षोड... | अंकगणित | 145 | null | 250 |
== बाहरी कड़ियाँ == Sanskrit Counting Archived 2022-05-18 at the वेबैक मशीन | अंकगणित | 146 | null | 12 |
काठी बिंदु या सैडल प्वॉइंट (Saddle Point) अर्थव्यवस्था के अंतर्गत व्यवहृत खेल सिद्धांत (Game Theory) से संबंधित एक पद है। दो प्रतिद्वंद्वी फर्मों के मध्य समाधान का वह बिंदु जहाँ दोनों प्रतिद्वंद्वियों में आम सहमति बन जाती है, काठी बिंदु या सैडल प्वॉइंट कहलाती है। | अंकगणित | 147 | null | 45 |
'एक छवि के पहलू अनुपात' चौड़ाई और उसकी ऊंचाई के बीच आनुपातिक संबंध का वर्णन. यह आमतौर पर दो संख्याओं के रूप में एक बृहदान्त्र द्वारा 16:09 में के रूप में, अलग व्यक्त किया है। के लिए एक 'एक्स': वाई पहलू अनुपात, कोई फर्क नहीं पड़ता कि कैसे छोटे या बड़े छवि है, अगर चौड़ाई में बांटा गया है एक्स बराबर लंबाई और ऊंचाई की इकाइ... | अंकगणित | 148 | null | 133 |
== 1:1 == वर्ग क्लासिक छवि है और कुछ डिजिटल कैमरों अभी भी एक विकल्प के रूप में उपलब्ध है और फिल्म कैमरों के दिनों में जब वर्ग छवि कुछ मध्यम प्रारूप कैमरों शूटिंग 120 फिल्म spools पर लुढ़का हुआ है का उपयोग कर फोटोग्राफरों के साथ लोकप्रिय था वापस harkens . 6 x 6 सेमी छवि आकार क्लासिक 01:01 प्रारूप हाल ही में था। 120 फिल्... | अंकगणित | 149 | null | 78 |
== 4:3 == सबसे डिजिटल द्वारा प्रयोग किया जाता है बिंदु और कैमरा, चार तिहाई प्रणाली, कुटीर चार तिहाई प्रणाली कैमरों और [[मध्यम प्रारूप] 645 कैमरों. 04:03 डिजिटल प्रारूप की लोकप्रियता समय के तत्कालीन प्रचलित डिजिटल प्रदर्शित करता है, 4:3 कंप्यूटर पर नज़र रखता है मैच के लिए विकसित किया गया था। NKJGHASV JWEGNM ASFUH JFJVNN... | अंकगणित | 150 | null | 56 |
कण भौतिकी और नाभिकीय भौतिकी में शाखन अनुपात (branching ratio) किसी क्षय में क्षय होने वाले कण के इच्छित कण (अथवा कणों) में क्षय होने की प्रायिकता को कहते हैं। दूसरे शब्दों में किसी विशेष विधा में कण के क्षय का उसके सभी क्षयों से अनुपात को शाखन अनुपात कहते हैं। यह या तो परमाणुओं के रेडियोधर्मी क्षय या मूलकणों के क्षय पर... | अंकगणित | 151 | null | 145 |
t 1 / 2 = ln 2 λ . {\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}.} | अंकगणित | 152 | null | 15 |
== बाहरी कड़ियाँ == एल. बी. एन. एल. समस्थानिक परियोजना कण डेटा समूह (कण भौतिकी के लिए सूची) परमाणु संरचना और क्षय डेटा-परमाणु क्षय के लिए IAEA | अंकगणित | 153 | null | 27 |
गणित में दो चर राशियाँ x तथा y समानुपाती (proportional) कही जाती हैं यदि y x {\displaystyle {\tfrac {y}{x}}} का मान नियत (स्थिर/constant) हो। ऐसी स्थिति में कहते हैं कि पहली राशि, दूसरी राशि के समानुपाती है। उदाहरण के लिये, यदि कोई वस्तु नियत वेग से गति कर रही है तो उसके द्वारा तय की गयी दूरी, समय के समानुपाती होगी। दो... | अंकगणित | 154 | null | 94 |
== निरूपण == समानुपात को सामान्यतः अनुपात के चिह्न (:) को दो बार लिखकर निरूपित किया जाता है। कभी कभी इसे भिन्न रूप में भी लिखा जाता है। जैसे: | अंकगणित | 155 | null | 29 |
a : b :: c : d ⇒ a b = c d {\displaystyle a:b::c:d\quad \Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} | अंकगणित | 156 | null | 19 |
== अनुक्रमानुपात और समानुपात == सामान्यतः अनुक्रमानुपात (direct proportionality) और समानुपात (proportionality) का अर्थ समान होता है। सरल अंकगणितीय और बीजगणितीय गणनाओं में समानुपात शब्द का प्रयोग उपयुक्त माना जाता है और इसे उपरोक्त निरूपण विधि से निरूपित किया जाता है। लेकिन उच्च कोटि की गणनाओं अथवा भौतिकी गणनाओं में अनु... | अंकगणित | 157 | null | 98 |
x α y ⇒ x = m × y {\displaystyle x\alpha y\quad \Rightarrow x=m\times y} यहाँ m अनुक्रमानुपाती नियतांक है। | अंकगणित | 158 | null | 20 |
a : b = c : d ⇒ b : a = d : c {\displaystyle a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad b:a=d:c} | अंकगणित | 159 | null | 20 |
a : b = c : d ⇒ ( a + c ) : ( b + d ) = a : b {\displaystyle a:b=c:d\quad \Rightarrow \quad (a+c):(b+d)=a:b} | अंकगणित | 160 | null | 28 |
== व्युत्क्रमानुपात == यदि दो चर राशियाँ इस प्रकार बदलतीं हैं कि दोनो का गुणनफल सदा नियत (कान्स्टैन्ट) रहता है तो कहते हैं कि वे परस्पर 'व्युत्क्रमानुपाती' (inversely proportional या varying inversely, in inverse variation, or in inverse proportion or reciprocal proportion)) हैं। उदाहरण के लिये, किसी निश्चित दूरी को तय... | अंकगणित | 161 | null | 76 |
जोड़ने की प्रक्रिया के विरुद्ध प्रक्रिया को घटाना (en:Subtraction) कहा जाता है। जब किसी संख्या अथवा अंक से किसी दूसरी संख्या या अंक को कम किया जाता है तो उसे घटाना कहा जाता है। घटाने को - चिह्न से प्रदर्शित किया जाता है, जिसे ऋण (en:Minus) चिह्न कहते हैं। उदाहरणः | अंकगणित | 162 | null | 50 |
336-235 = 101 36 - 5 = 31 इसकी खोज भारत में की गई थी। | अंकगणित | 163 | null | 15 |
जब किसी संख्या या अंक में एक या एक से अधिक संख्या या अंक को मिलाया जाता है तो उसे जोड़ या योग (en:Addition) कहते हैं। जोड़ को + चिह्न से प्रदर्शित किया जाता है। इस चिह्न को धन (en:Plus) चिह्न कहते हैं। जोड़ दो प्रकार से होते है ,धनात्मक तथा ऋणात्मक । उदाहरणः 14 + 6 = 20 (-4)+(-5) = -9 | अंकगणित | 164 | null | 62 |
संख्याओं के किसी क्रम को जोड़ने की संक्रिया संकलन (Summation) कहलाती है। इसका परिणाम योग (sum) या कुलयोग (total) कहलाती है। | अंकगणित | 165 | null | 21 |
=== कैपितल सिग्मा (Capital-sigma) === यह निम्नलिखित तरीके से परिभाषित है- | अंकगणित | 166 | null | 11 |
∑ i = m n x i = x m + x m + 1 + x m + 2 + ⋯ + x n − 1 + x n . {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}.} | अंकगणित | 167 | null | 35 |
∑ k = 2 6 k 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 90. {\displaystyle \sum _{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90.} | अंकगणित | 168 | null | 27 |
∑ n = s t C ⋅ f ( n ) = C ⋅ ∑ n = s t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)} , जहाँ C एक स्थिरांक है | अंकगणित | 169 | null | 35 |
∑ n = s t f ( n ) + ∑ n = s t g ( n ) = ∑ n = s t [ f ( n ) + g ( n ) ] {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]} | अंकगणित | 170 | null | 41 |
∑ n = s t f ( n ) − ∑ n = s t g ( n ) = ∑ n = s t [ f ( n ) − g ( n ) ] {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]} | अंकगणित | 171 | null | 41 |
∑ n = s t f ( n ) = ∑ n = s + p t + p f ( n − p ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)} | अंकगणित | 172 | null | 29 |
∑ n = s j f ( n ) + ∑ n = j + 1 t f ( n ) = ∑ n = s t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)} | अंकगणित | 173 | null | 36 |
( ∑ i = k 0 k 1 a i ) ( ∑ j = l 0 l 1 b j ) = ∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 a i b j {\displaystyle \left(\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i}b_{j}} | अंकगणित | 174 | null | 47 |
∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 a i , j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 a i , j {\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}} | अंकगणित | 175 | null | 43 |
∑ n = 0 t f ( 2 n ) + ∑ n = 0 t f ( 2 n + 1 ) = ∑ n = 0 2 t + 1 f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)} | अंकगणित | 176 | null | 41 |
∑ n = 0 t ∑ i = 0 z − 1 f ( z ⋅ n + i ) = ∑ n = 0 z ⋅ t + z − 1 f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)} | अंकगणित | 177 | null | 43 |
∑ n = s t ln f ( n ) = ln ∏ n = s t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)} | अंकगणित | 178 | null | 29 |
c [ ∑ n = s t f ( n ) ] = ∏ n = s t c f ( n ) {\displaystyle c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}} | अंकगणित | 179 | null | 27 |
∑ i = m n 1 = n − m + 1 {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}1=n-m+1} | अंकगणित | 180 | null | 15 |
∑ i = 1 n 1 i = H n {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}} (देखें हरात्मक संख्या) | अंकगणित | 181 | null | 17 |
∑ i = m n i = ( n − m + 1 ) ( n + m ) 2 {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}} (देखें समांतर श्रेणी) | अंकगणित | 182 | null | 27 |
∑ i = 0 n i = ∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}} (समांतर श्रेणी का विशेष मामला) | अंकगणित | 183 | null | 31 |
∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}} | अंकगणित | 184 | null | 39 |
∑ i = 1 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 = [ ∑ i = 1 n i ] 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}} | अंकगणित | 185 | null | 48 |
∑ i = 1 n i 4 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 ) 30 = n 5 5 + n 4 2 + n 3 3 − n 30 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}} | अंकगणित | 186 | null | 54 |
∑ i = 0 n i p = ( n + 1 ) p + 1 p + 1 + ∑ k = 1 p B k p − k + 1 ( p k ) ( n + 1 ) p − k + 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}} जहाँ B k {\displaystyle B_{k}} एक बर्नौली संख्या को दर्शाता है। | अंकगणित | 187 | null | 65 |
निम्नलिखित सूत्र ∑ i = 1 n i 3 = ( ∑ i = 1 n i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}} किसी भी प्राकृतिक संख्या मान पर एक श्रेणी शुरू करने के लिए सामान्यीकृत के जोड़तोड़ हैं (i.e., m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } ): | अंकगणित | 188 | null | 49 |
( ∑ i = m n i ) 2 = ∑ i = m n ( i 3 − i m ( m − 1 ) ) {\displaystyle \left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))} | अंकगणित | 189 | null | 31 |
∑ i = m n i 3 = ( ∑ i = m n i ) 2 + m ( m − 1 ) ∑ i = m n i {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i} | अंकगणित | 190 | null | 35 |
=== चरघातांकी पदों के योग === नीचे के योगों में x एक स्थिरांक है जो 1 . के बराबर नहीं है | अंकगणित | 191 | null | 21 |
∑ i = m n − 1 x i = x m − x n 1 − x {\displaystyle \sum _{i=m}^{n-1}x^{i}={\frac {x^{m}-x^{n}}{1-x}}} (m < n; देखें गुणोत्तर श्रेणी) | अंकगणित | 192 | null | 28 |
∑ i = 0 n − 1 x i = 1 − x n 1 − x {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}x^{i}={\frac {1-x^{n}}{1-x}}} (1 से शुरू होने वाली गुणोत्तर श्रेणी) | अंकगणित | 193 | null | 28 |
∑ i = 0 n − 1 i x i = x − n x n + ( n − 1 ) x n + 1 ( 1 − x ) 2 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ix^{i}={\frac {x-nx^{n}+(n-1)x^{n+1}}{(1-x)^{2}}}} | अंकगणित | 194 | null | 36 |
∑ i = 0 n − 1 i 2 i = 2 + ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}} (विशेष स्थिति जब x = 2) | अंकगणित | 195 | null | 29 |
∑ i = 0 n − 1 i 2 i = 2 − n + 1 2 n − 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}} (विशेष स्थिति जब x = 1/2) | अंकगणित | 196 | null | 31 |
=== द्विपद गुणांकों वाले संकलन (summations involving binomial coefficients) === द्विपद गुणांकों (ठोस गणित का एक पूरा अध्याय केवल बुनियादी तकनीकों के लिए समर्पित है) को शामिल करने वाली बहुत सारी योग सर्वसमिकाएँ मौजूद हैं। कुछ सबसे बुनियादी निम्नलिखित हैं। | अंकगणित | 197 | null | 40 |
∑ i = 0 n ( n i ) = 2 n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}} | अंकगणित | 198 | null | 17 |
∑ i = 1 n i ( n i ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}} | अंकगणित | 199 | null | 21 |
Subsets and Splits
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