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|---|---|---|---|---|
∑ i = 0 n i ! ⋅ ( n i ) = ⌊ n ! ⋅ e ⌋ {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor }
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अंकगणित
| 200
| null | 28
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∑ i = 0 n − 1 ( i k ) = ( n k + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}}
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अंकगणित
| 201
| null | 25
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∑ i = 0 n ( n i ) a ( n − i ) b i = ( a + b ) n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}} , द्विपद प्रमेय
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अंकगणित
| 202
| null | 32
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== वृद्धि दर == निम्नलिखित उपयोगी सन्निकटन है,(थीटा प्रतीक का उपयोग करके):
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अंकगणित
| 203
| null | 12
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∑ i = 1 n i c = Θ ( n c + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})} −1 से अधिक वास्तविक c के लिए
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अंकगणित
| 204
| null | 26
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∑ i = 1 n 1 i = Θ ( log n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)} (देखें हरात्मक संख्या)
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अंकगणित
| 205
| null | 23
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∑ i = 1 n c i = Θ ( c n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})} वास्तविक c के लिए 1 से बड़ा
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अंकगणित
| 206
| null | 24
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∑ i = 1 n log ( i ) c = Θ ( n ⋅ log ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})} गैर-ऋणात्मक वास्तविक c के लिए
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अंकगणित
| 207
| null | 33
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∑ i = 1 n log ( i ) c ⋅ i d = Θ ( n d + 1 ⋅ log ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})} गैर-ऋणात्मक वास्तविक c, d के लिए
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अंकगणित
| 208
| null | 41
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∑ i = 1 n log ( i ) c ⋅ i d ⋅ b i = Θ ( n d ⋅ log ( n ) c ⋅ b n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})} गैर-ऋणात्मक वास्तविक के लिए b> 1, c, d
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अंकगणित
| 209
| null | 49
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== बाहरी कड़ियाँ == Derivation of Polynomials to Express the Sum of Natural Numbers with Exponents
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अंकगणित
| 210
| null | 16
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== इतिहास == अतिरिक्त-३ या ३-अतिरिक्त बाइनरी कोड एक आत्म पूरक द्विआधारी कोडित दशमलव कोड और अंक प्रणाली है। यह एक पक्षपाती प्रतिनिधित्व है।अतिरिक्त-३ कुछ पुराने कंप्यूटर पर,साथ ही कैश रजिस्टर और हाथ से आयोजित १९७० के दशक के पोर्टेबल इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर,अन्य उपयोगों के बीच में इस्तेमाल किया गया था।
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अंकगणित
| 211
| null | 50
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== प्रतिनिधित्व == पक्षपातपूर्ण कोड,एक पूर्व निर्धारित संख्या 'एन' एक पक्षपातपूर्ण एक मुल्या के रूप में उपयोग करते हुए सकारात्मक और नकारात्मक संख्या का एक संतुलित संख्या के साथ मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक तरीका है। पक्षपातपूर्ण कोड (और ग्रे कोड) गैर भारित कोड रहे हैं। अतिरिक्त-३ में, संख्या दशमलव अंकों के रूप में प्रतिनिधित्व कर रहे हैं,और प्रत्येक अंक प्लस ३ अंकों मूल्य ("अतिरिक्त" राशि) के रूप में चार बिट्स का प्रतिनिधित्व करती है: (अतिरिक्त-०) छोटी से छोटी द्विआधारी संख्या सबसे छोटी मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। सबसे बड़ी द्विआधारी संख्या,सबसे बड़ा मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है (-अतिरिक्त- २N+१)।एक नंबर,127 को एन्कोड करने के लिए,बस प्रत्येक दशमलव अंक के कूटबद्ध देता है (०100 , 0101 , 1010)। अतिरिक्त-३अंकगणित,सामान्य गैर पक्षपातपूर्ण,बीसीडी या बाइनरी सिस्टम स्थितीय संख्या की तुलना में अलग एल्गोरिदम का उपयोग करता है। दो अतिरिक्त-3 अंक जोड़ने के बाद, कच्चे योग है अतिरिक्त-६। उदाहरण के लिए,१ (अतिरिक्त-3 में ०१००) और २ (अतिरिक्त-३ में ०१०१) को जोड़ने के बाद,योग ३ (०११० में अतिरिक्त-३) के बजाय ६ (१००१ अतिरिक्त-३)दिकाता है। आदेश में इस समस्या को दूर करने के लिए,दो अंक जोड़ने के बाद,द्विआधारी 0011(निष्पक्ष द्विआधारी में दशमलव 3) को घटाकर अगर परिणामस्वरूप अंकों दशमलव 10 से भी कम है आतिरिक्त् पूर्वाग्रह को दूर करने के लिए आवश्यक है,एक अतिप्रवाह ( कैरी) हुआ है तो बाइनरी 1101(दशमलव 13 निष्पक्ष बाइनरी में )मैं घटाना है। (४ बिट द्विआधारी में घटाकर बाइनरी ११०१ ००११ और इसके विपरीत जोड़ने के बराबर है।)
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अंकगणित
| 212
| null | 240
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== प्रेरणा == गैर पक्षपातपूर्ण कोडिंग पर अतिरिक्त-३ कोडिंग का प्राथमिक लाभ यह है कि एक दशमलव संख्या में हो सकता है नौ ' पूरित ( घटाव के लिए) के रूप में आसानी के रूप में एक बाइनरी संख्या में हो सकता है वाले पूरित;बस सभी बिट्स पलटना। इसके अलावा,जब दो अतिरिक्त-३ अंकों का योग ९ से अधिक है, एक ४ बिट योजक का कैरी सा उच्च स्थापित किया जाएगा। इसका कारण यह काम करता है, दो अंक, एक "अतिरिक्त" का योग ६ में परिणाम मूल्य जोड़ने के बाद। क्योंकि एक ४- बिट पूर्णांक केवल मानों १५ करने के लिए पकड़ कर सकते हैं ०,६ की एक अतिरिक्त मतलब यह है कि ९ से अधिक किसी भी राशि का होगा अतिप्रवाह (कैरी)।
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अंकगणित
| 213
| null | 122
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सौ करोड़ के मान वाली प्राकृतिक संख्या को अरब कहते हैं। इसे अंग्रेजी में बिलियन (billion) कहते हैं। बिलियन को b या bn के रूप में भी लिखा जा सकता है।वैज्ञानिक संकेतन में, इसे 1 × 109 के रूप में लिखा जाता है। मीट्रिक उपसर्ग गीगा बेस यूनिट से 1,000,000,000 गुणा अधिक को इंगित करता है। एक अरब वर्ष को खगोल विज्ञान या भूविज्ञान में eon या aeon (इयोन) कहा जा सकता है।
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अंकगणित
| 214
| null | 73
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== इन्हें भी देखें == अरब देश सउदी अरब अरब लोग अरब का इतिहास इस्लाम से पहले का अरब संयुक्त अरब अमीरात
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अंकगणित
| 215
| null | 22
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संख्या सिद्धान्त में, गाऊसी पूर्णांक एक समिश्र संख्या है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं। गाऊसी पूर्णांक, जटिल संख्याओं के साधारण जोड़ और गुणा के साथ, एक अभिन्न डोमेन बनाते हैं, जिसे आमतौर पर Z[i] के रूप में लिखा जाता है। यह इंटीग्रल डोमेन द्विघात पूर्णांकों के एक कम्यूटेटिव रिंग का एक विशेष मामला है। इसमें कुल क्रम नहीं है जो अंकगणित का सम्मान करता है।
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अंकगणित
| 216
| null | 69
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Z [ i ] = { a + b i ∣ a , b ∈ Z } , where i 2 = − 1. {\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ where }}i^{2}=-1.}
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अंकगणित
| 217
| null | 35
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दूसरे शब्दों में, गाऊसी पूर्णांक एक ऐसी सम्मिश्र संख्या होती है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं। चूंकि गॉसियन पूर्णांक जोड़ और गुणा के तहत बंद होते हैं, इसलिए वे एक कम्यूटेटिव रिंग बनाते हैं, जो जटिल संख्याओं के क्षेत्र का एक सबरिंग होता है। इस प्रकार यह एक अभिन्न डोमेन है। जब जटिल विमान के भीतर विचार किया जाता है, तो गाऊसी पूर्णांक 2-आयामी पूर्णांक जाली का निर्माण करते हैं। गाऊसी पूर्णांक a + bi का संयुग्म गाऊसी पूर्णांक a - bi होता है। एक गाऊसी पूर्णांक का मान उसके संयुग्म के साथ उसका उत्पाद है।
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अंकगणित
| 218
| null | 100
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N ( a + b i ) = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 . {\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}
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अंकगणित
| 219
| null | 29
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इस प्रकार एक गाऊसी पूर्णांक का मान एक सम्मिश्र संख्या के रूप में इसके निरपेक्ष मान का वर्ग होता है। गाऊसी पूर्णांक का मान एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है, जो दो वर्गों का योग होता है। इस प्रकार एक मानदंड k पूर्णांक के साथ 4k + 3 के रूप का नहीं हो सकता है। मानदंड गुणक है, अर्थात्, एक के पास है
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अंकगणित
| 220
| null | 62
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N ( z w ) = N ( z ) N ( w ) , {\displaystyle N(zw)=N(z)N(w),}
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अंकगणित
| 221
| null | 17
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गाऊसी पूर्णांक z, w के प्रत्येक युग्म के लिए। इसे सीधे या सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के गुणक गुण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। गाऊसी पूर्णांकों के वलय की इकाइयाँ (अर्थात गाऊसी पूर्णांक जिसका गुणन प्रतिलोम भी एक गाऊसी पूर्णांक होता है) निश्चित रूप से आदर्श 1 के साथ गाऊसी पूर्णांक होते हैं, अर्थात् 1, -1, i और –i।
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अंकगणित
| 222
| null | 61
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गणित में दो की घात का मतलब 2 n {\displaystyle 2^{n}} के रूप में लिखने योग्य संख्या से है जहाँ n एक पूर्णांक है, अर्थात 2 के आधार पर घातांक परिणाम जहाँ घातांक पूर्णांक n है। उस प्रसंग में जहाँ केवल पूर्णांक काम में लिए जाते हैं n अपूर्णांक मान नहीं रख सकता। अतः हमें 1, 2 और 2 अपने ही विभिन्न गुणज प्राप्त होंगे। क्योंकि दो द्वयाधारी संख्या पद्धति का आधार है अतः दो की घात संगणक विज्ञान में सामान्य है। द्वयाधारी में लिखने पर दो की घात हमेसा 100…0 या 0.00…01 के रूप में प्राप्त होती हैं जो दशमलव में 10 की घात के तुल्य है।
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अंकगणित
| 223
| null | 108
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== व्यंजक और अंकन == मौखिक अभिव्यक्ति, गणितीय अंकन, संगणक प्रोग्रामन व्यंजक घात संकारक सहित अथवा फलन सहित:
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अंकगणित
| 224
| null | 18
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2 की घात n 2 की n 2 power n power(2, n) pow(2, n) 2n 2 ^ n 2 ** n
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अंकगणित
| 225
| null | 21
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यहाँ यह देखा जा सकता है कि प्रथम व्यंजक का अन्तिम अंक 2 से आरम्भ होता है और उसके पश्चात आवर्त रूप से 4 और उसके बाद चक्रीय क्रम में 2–4–8–6–,
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अंकगणित
| 226
| null | 31
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== 1024 की घात == 210 की कुछ घात जो 1000 से थोड़ी अधिक हैं:
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अंकगणित
| 227
| null | 15
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पूर्णांक, अथवा पूर्ण संख्या, गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। पूर्णांक की परिभाषा इस प्रकार है: पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जिन्हें दशमलव बिंदु या भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जो पूर्ण संख्याओं (जैसे 1, 2, 3, ...) या शून्य (0) से बनी होती हैं। पूर्णांकों के कुछ उदाहरण हैं:
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अंकगणित
| 228
| null | 61
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5: यह एक पूर्ण संख्या है क्योंकि इसे 5 पूर्ण संख्याओं से बनाया जा सकता है (1 + 1 + 1 + 1 + 1)। -3: यह भी एक पूर्ण संख्या है क्योंकि इसे 3 पूर्ण संख्याओं से बनाया जा सकता है (-1 - 1 - 1)। 0: यह भी एक पूर्ण संख्या है। एक पूर्णांक (लैटिन पूर्णांक से जिसका अर्थ है "संपूर्ण") बोलचाल की भाषा में एक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, २१,४,० और −२०४८ पूर्णांक हैं, जबकि ९.७५, 1/१/२ पूर्णांक नहीं हैं। पूर्णाकं संख्या सभी धनात्मक प्रकृतिक संख्या, सभी ॠणात्मक प्राकृतिक संख्या और शून्य के समूह को कहते हैं -३,-२,-१,०,१,२,३ सभी धनात्मक, ऋणात्मक तथा शून्यात्मक संख्याओं को पूर्णांक संख्या कहते हैं जैसे -१,-२,०,१,२ सभी पूर्णांकों में समूचे संग्रह को जोड़ से सूचित किया जाता है, जोड़ जर्मन शब्द से लिया गया है अर्थात गिनना पूर्णांक दो प्रकार के होते हैं धनात्मक पूर्णांक = जिन संख्याओं के आगे धनात्मक चिह्न लगा हो उन्हें धनात्मक पूर्णांक कहते हैं। जैसे १, २, ३... ऋणात्मक पूर्णांक = जिन संख्याओं के आगे ऋणात्मक चिह्न लगा हो उन्हें ऋणात्मक पूर्णांक कहते हैं जैसे -१, -२.. शून्य एक उदासीन प्रकृति का पूर्णांक है यह ना तो ऋणात्मक प्रकृति का है और न ही धनात्मक प्रकृति का पूर्णांक है। पूर्णांकों का उपयोग गणित के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि बीजगणित, ज्यामिति, और त्रिकोणमिति। वे भौतिकी, रसायन विज्ञान, और इंजीनियरिंग जैसे अन्य क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण हैं।
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अंकगणित
| 229
| null | 239
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== बाहरी कड़ियाँ == पूर्णांक सँख्याएँ किन्हें कहते हैं पूरी जानकारी पढ़ें? Archived 2022-05-30 at the वेबैक मशीन
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अंकगणित
| 230
| null | 18
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१० या 10 एक सम प्राकृतिक संख्या है जो ९ के बाद आती है और ११ के पहले। १० दशमलव संख्यांक प्रणाली का आधार है, और अब तक की संख्याओं को अंकित करने की सबसे आम प्रणाली है, लिखित और मौखिक रूप में। दस की पसंद का कारण माना जाता है कि इंसानों की दस उंगलियां (अंक) हैं।
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अंकगणित
| 231
| null | 58
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== गणित में == दसभुज 10 भुजाओं वाला एक बहुभुज है।
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अंकगणित
| 232
| null | 11
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== विज्ञान में == १० नियॉन का परमाणु क्रमांक है।
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अंकगणित
| 233
| null | 10
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== गणित में == गणित के आधार पर देखा जाये तो यह पाँचवी सबसे छोटी अविभाज्य संख्या है और दो अंकों वाली सबसे छोटी अविभाज्य संख्या है।
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अंकगणित
| 234
| null | 27
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=== 11 के साथ रोचक कलन === 11 को किसी भी द्विअंकी संख्या (दहाई) से गुणा करने के लिए उसी संख्या को लिखकर बीच में उसी संख्या का योग रखने पर परिणाम प्राप्त होता है जैसे:
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अंकगणित
| 235
| null | 36
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11 × 11 = 121 {\displaystyle 11\times 11=121} अर्थात 11 के बीच में 1+1=2 रखने पर 121 प्राप्त होता है।
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अंकगणित
| 236
| null | 20
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25 × 11 = 275 {\displaystyle 25\times 11=275} आदि। लेकिन जब दोनों संख्याओं का योग 9 से ऊपर अर्थात दहाई के अंक में चला जाता है तो बायीं ओर की संख्या में एक की वृद्धि कर दी जाती है जैसे:
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अंकगणित
| 237
| null | 40
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उपरोक्त कथन वैदिक गणित के सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण की एक विशेष अवस्था है।
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अंकगणित
| 238
| null | 13
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== विज्ञान में == सोडियम का परमाणु क्रमांक 11 है। M-सिद्धान्त में 11 विमाएँ परिभाषित हैं।
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अंकगणित
| 239
| null | 16
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=== खगोल === अपोलो 11, चन्द्रमा पर भेजा गया पहला मानवयुक्त अन्तरिक्ष यान था।
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अंकगणित
| 240
| null | 14
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== खेलों में == बहुत से खेलों में 11 खिलाड़ी मैदान पर उतरते हैं, जैसे: क्रिकेट, फुटबॉल आदि। क्रिकेट में छह गेंदबाज ऐसे हैं जिन्होंने टेस्ट मैच में सभी ११ (ग्यारह) बल्लेबाजों को आउट किया है। ये गेंदबाज हैं - जिम लेकर, श्रीनिवासराघवन वेंकटराघवन, ज्यॉफ डाइमॉक, अब्दुल कादिर, वकार यूनुस व मुथैया मुरलीधरन।
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अंकगणित
| 241
| null | 53
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== संगणक में == संगणक के कुंजीपटल पर एक कुंजी F11 होती है केडीई और विण्डोज़ जो मोज़िला फायरफॉक्स, ऑपेरा वेब ब्राउज़र, गूगल क्रोम, इण्टरनेट ऍक्सप्लोरर आदि को पूर्ण स्क्रीन और सामान्य अवस्था में बदलने के काम आती है तथा मैक ओस अथवा ओएस एक्स में सभी खुले हुए विंडोज़ को छुपाने के लिये काम में लिया जाता है।
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अंकगणित
| 242
| null | 59
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== हिन्दी में == यद्यपि 11 है तो केवल एक संख्या ही लेकिन अन्य स्थानों की तरह इस संख्या का महत्व हिन्दी भाषा की सुन्दरता से भी जुड़ा है। जिसके कुछ उदाहरण निम्न हैं:
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अंकगणित
| 243
| null | 34
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=== लोकोक्ति और मुहावरे === नौ दो ग्यारह होना: इस मुहावरे का साधारण अर्थ रफूचक्कर होना या भाग जाना होता है। एक और एक ग्यारह: अर्थात् संगठन में ही शक्ति होती है। ग्यारह नम्बर की गाड़ी से चलना: अर्थात् जितना हो सके पैदल चलना ही लाभदायक है।
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अंकगणित
| 244
| null | 47
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=== हिन्दी फ़िल्मों में === फिल्म 9-2-11 (1957) फ़िल्म : यह फ़िल्म देवानन्द, कल्पना कार्तिक, शशिकला, जीवन, मदन पुरी, ललिता पवार और राशिद खान अभिनीत है। इसका निर्देशन विजय आनन्द ने किया था। टैक्सी नम्बर 9-2-11 (2006) फ़िल्म: यह फ़िल्म नाना पाटेकर, जॉन अब्राहम, समीरा रेड्डी, सोनाली कुलकर्णी, कुरुष देबू, शिवाजी साथम, प्रियंका चोपड़ा अभिनीत है। इसका निर्देशन मिलन लुथरिया ने किया। इस फ़िल्म की पटकथा लेखन का कार्य रजत अरोड़ा का है तथा बोल विशाल दादलानी एवं देव कोहली के हैं।
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अंकगणित
| 245
| null | 82
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=== हिन्दी विकिपीडिया पर === हिन्दी विकिपीडिया का जन्म दिन 11 जुलाई को मनाया जाता है। इसका पहला पन्ना (मुखपृष्ठ) 11 जुलाई 2003 को किन्हीं अनामक सदस्य ने बनाया था जिसका अन्तिम सम्पादन 15 जनवरी 2007 को मितुल जी ने किया था।
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अंकगणित
| 246
| null | 42
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== अंक शास्त्र में == ग्यारह का महत्व अंक शास्त्र में भी है। अंक शास्त्र में संख्या 11 एक बहुत ही जटिल परिणाम भरी संख्या है। इसके अनुसार जिन लोगों का अंक 11 होता है वे महान योजनाकार और शानदार ढँग से कार्य करने वाले होते हैं।
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अंकगणित
| 247
| null | 47
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=== बाइबिल में === बाइबिल की पुस्तकों की संख्या = 66 = 6×11, अर्थात् 11 से सम्बन्धित। इसहाक और इस्माएल: इसहाक के संख्यात्मक मान 198 = 18x 11 है। इस्माएल के संख्यात्मक मूल्य 451 = 41x 11 है।
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अंकगणित
| 248
| null | 38
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=== सनातन धर्म में === सनातन धर्म में सवा (एक और एक चौथाई) का महत्व है और इसी क्रम में सवा, ग्यारह, इक्कीस, इक्यावन को शुभ माना जाता है। अर्थात् सबसे छोटी प्राकृत संख्या जो शुभ मानी जाती है वह 11 ही है।
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अंकगणित
| 249
| null | 43
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== 11 से सम्बन्धित अन्य घटनायें == 11 जून 1897 तदनुसार ज्येष्ठ शुक्ल एकादशी (निर्जला एकादशी) विक्रमी संवत् 1954 को शाहजहाँपुर में जन्मे राम प्रसाद 'बिस्मिल' को पौष कृष्ण एकादशी (सफला एकादशी) विक्रमी संवत् 1984 को ब्रिटिश सरकार ने गोरखपुर जेल में फाँसी दे दी। बिस्मिल जी ने 11 वर्ष के क्रान्तिकारी जीवन में कई पुस्तकें लिखीं जिनमें से 11 (ग्यारह) ही उनके जीवन काल में प्रकाशित हो सकीं। 9/11 : 11 सितम्बर 2001 को संयुक्त राज्य अमेरिका पर अल-क़ायदा द्वारा समन्वित आत्मघाती हमलों की श्रृंखला थी। उस दिन सबेरे, 19 अल कायदा आतंकवादियों ने चार वाणिज्यिक यात्री जेट एअरलाइनर्स का अपहरण कर लिया। मुम्बई उपनगरीय रेल बम विस्फोट : 11 जुलाई 2006 को मुम्बई की लोकल ट्रेनों में हुए सात विस्फोटों में 170 से अधिक लोग मारे गये।
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अंकगणित
| 250
| null | 129
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१२ ( ( सुनें) (उच्चारण: बारह) एक प्राकृतिक संख्या है। इससे पूर्व ११ और इसके पश्चात् १३ आता है अर्थात् ग्यारह ११ से एक अधिक होता है एवं १३ में से एक कम करने पर बारह प्राप्त होता है। इसे शब्दों में बारह से लिखा जाता है। छः और पुनः छः का योग बारह होता है।
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अंकगणित
| 251
| null | 56
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== गणित में == गणित के आधार पर देखा जाये तो यह संख्या २,३,४ और ६ से विभाज्य है और दो अंकों वाली दूसरी सबसे छोटी विभाज्य संख्या है। प्रथम तीन क्रमगुणित संख्याओं का गुणनफ़ल होता है।
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अंकगणित
| 252
| null | 37
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१३ ( ( सुनें) (उच्चारण: तेरह) एक प्राकृतिक संख्या है। इससे पूर्व १२ और इसके पश्चात् १४ आता है अर्थात् तेरह १२ से एक अधिक होता है एवं १४ में से एक कम करने पर तेरह प्राप्त होता है। इसे शब्दों में तेरह से लिखा जाता है। सात और छः का योग तेरह होता है।
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अंकगणित
| 253
| null | 55
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== गणित में == गणित के आधार पर देखा जाये तो यह संख्या २,३,४ और ६ से विभाज्य है और दो अंकों वाली दूसरी सबसे छोटी विभाज्य संख्या है। संख्या तेरह:
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अंकगणित
| 254
| null | 31
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छठी विषम संख्या है। फ़ाइबोनाची संख्या है। तृतीय केन्द्रित वर्ग संख्या है। क्योंकि 52 + 122 = 132, (5, 12, 13) एक पाइथागोरियाई ट्रिपल बनाता है।
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अंकगणित
| 255
| null | 26
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१४ (उच्चारण: चौदह) एक प्राकृतिक संख्या है। इससे पूर्व १३ और इसके पश्चात् १५ आता है अर्थात् चौदह १३ से एक अधिक होता है एवं १५ में से एक कम करने पर प्राप्त होता है। इसे शब्दों में चौदह से लिखा जाता है। सात में सात का योग चौदह होता है।
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अंकगणित
| 256
| null | 51
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== गणित में == यह एक भाज्य संख्या है। हेक्साडेसिमल में इसको E से निरुपित करते हैं। चौदह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो आयलर टोशियंट फलन को संतुष्ट नहीं करती अर्थात् n के लिए समीकरण φ(x) = n का कोई हल नहीं देने वाली सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो इसे नोनटोशियंट संख्या बनाता है।
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अंकगणित
| 257
| null | 56
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१५ (उच्चारण: पंद्रह) एक प्राकृतिक संख्या है। इससे पूर्व १४ और इसके पश्चात् १६ आता है अर्थात् पंदरह १४ से एक अधिक होता है एवं १६ में से एक कम करने पर प्राप्त होता है। इसे शब्दों में पन्द्रह से लिखा जाता है। आठ में सात का योग पन्द्रह होता है।
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अंकगणित
| 258
| null | 51
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२० (उच्चारण: बीस) एक प्राकृतिक संख्या है। इससे पूर्व १९ और इसके पश्चात् २१ आता है अर्थात् बीस १९ से एक अधिक होता है एवं २१ में से एक कम करने पर बीस प्राप्त होता है। इसे शब्दों में "बीस" से लिखा जाता है। दस और पुनः दस का योग बीस होता है। बीस इकाइयों के समूह को स्कोर कहा जाता है।
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अंकगणित
| 259
| null | 62
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== गणित में == गणित के आधार पर देखा जाये तो यह संख्या २, ४, ५ और १० से विभाज्य है। संख्या बीस:
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अंकगणित
| 260
| null | 23
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चतुष्फलकीय संख्या है। विंशाधारी संख्या पद्धति का आधार है। सबसे छोटी आदिम प्रचुर संख्या है। हेमचन्द्र श्रेणी की तीन संख्याओं का जोड़ है; १३ + ५ + २ के भाजकों और पूर्ण भाजकों की संख्या २० ही है। एक विंशतिफलक में २० मुख होते हैं, तथा द्वादशफलक में २० कोण होते हैं।
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अंकगणित
| 261
| null | 52
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२१ (उच्चारण: इक्कीस) एक प्राकृतिक संख्या है। इससे पूर्व २० और इसके पश्चात् २२ आता है अर्थात् इक्कीस बीस से एक अधिक होता है एवं बाईस में से एक कम करने पर बीस प्राप्त होता है। इसे शब्दों में "इक्कीस" से लिखा जाता है। दस और ग्यारह का योग इक्कीस होता है।
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अंकगणित
| 262
| null | 52
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== गणित में == गणित के आधार पर देखा जाये तो यह संख्या ३ और ७ से विभाज्य है। संख्या इक्कीस:
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अंकगणित
| 263
| null | 21
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ब्लूम पूर्णांक है, जिसके दोनों भाजक गाऊसी अभाज्य संख्या हैं। हेमचन्द्र श्रेणी का अंक है। हर्षाड अंक है। मोट्ज़किन अंक है। त्रिकोण संख्या है। ओकटागोनल संख्या है।
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अंकगणित
| 264
| null | 27
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400 (चार सौ) प्राकृतिक संख्या के बाद 399 और पूर्ववर्ती 401 है।
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अंकगणित
| 265
| null | 12
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== गणितीय गुण == 400, 20 का वर्ग है। 400, 0 से 3 तक 7 की घातों का योग है, इस प्रकार इसे आधार 7 (1111) में एक प्रतिनिधि अंक बनाता है। एक वृत्त को 400 ग्रेड में विभाजित किया जाता है, जो 360 डिग्री और 2π रेडियन के बराबर होता है। (डिग्री और रेडियन SI स्वीकृत इकाइयाँ हैं)। 400 आधार 10 में एक स्व संख्या है, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जो अपने स्वयं के अंकों के योग में जोड़ा जाता है, 400 में परिणाम होता है। दूसरी ओर, 400 अपने स्वयं के आधार 10 अंकों के योग से विभाज्य है, जिससे यह एक हर्षद संख्या।
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अंकगणित
| 266
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प्राचीन एथेंस के चार सौ (कुलीनतंत्र)। खराब क्लाइंट अनुरोध के लिए एक HTTP स्थिति कोड। द फोर हंड्रेड (कभी-कभी द फोर हंड्रेड क्लब) एक वाक्यांश जिसका अर्थ है सबसे धनी, सबसे प्रसिद्ध, या सबसे शक्तिशाली सामाजिक समूह (देखें, उदाहरण के लिए, वार्ड मैकएलिस्टर), जो फोर्ब्स 400 जैसी सूचियों की पीढ़ी के लिए अग्रणी है। अटारी 400 होम कंप्यूटर। एक पूर्व सीमित स्टॉप बस मार्ग जो बोल्टन से स्टॉकपोर्ट और मैनचेस्टर एयरपोर्ट से 1970 से 2004 तक संचालित होता था, जिसे ट्रांस-लैंक्स एक्सप्रेस के रूप में जाना जाता है। फिल्म लेस क्वाट्रे सेंट कूप्स (द 400 ब्लो]) के शीर्षक में, फ्रांकोइस ट्रूफोट द्वारा निर्देशित एक फ्रांसीसी फिल्म। एक लेबनानी कार्ड गेम, 400 (कार्ड गेम)। ओंटारियो राजमार्गों के एक वर्ग के लिए पदनाम जिसे 400-श्रृंखला राजमार्ग कहा जाता है। 400, बाद में ट्विन सिटीज़ 400, एक शिकागो और उत्तर पश्चिमी रेलवे यात्री ट्रेन जिसने [[मिनियापोलिस/सेंट] के बीच 400 मील की यात्रा की। पॉल]] और शिकागो, इलिनोइस 400 मिनट में। आरएमएसओलंपिक, आरएमएस टाइटैनिक की सिस्टर शिप का यार्ड नंबर। .400 (एट-बैट 5 में से 2 हिट) मेजर लीग बेसबॉल में संख्यात्मक रूप से महत्वपूर्ण वार्षिक बल्लेबाजी औसत आँकड़ा है, जिसे आखिरी बार 1941 में बोस्टन रेड सोक्स के टेड विलियम्स द्वारा पूरा किया गया था। एक ग्रेगोरियन कैलेंडर वर्ष में दिनों की संख्या ठीक 400 वर्षों के चक्र के अनुसार बदलती है, जिनमें से 97 लीप वर्ष हैं और 303 सामान्य हैं। इंटरटेस्टामेंटल अवधि या हिब्रू बाइबिल और ईसाई न्यू टेस्टामेंट ग्रंथों के लेखन के बीच की अवधि को पारंपरिक रूप से लगभग चार सौ साल की अवधि माना जाता है। सूर्य चंद्रमा के आकार का लगभग 400 गुना है, लेकिन लगभग 400 गुना आगे भी है, जिससे अस्थायी भ्रम पैदा होता है जिसमें पृथ्वी के आकाश में सूर्य और चंद्रमा समान आकार के दिखाई देते हैं। जेमट्रिया में 400 सबसे बड़ी एकल संख्या है जिसे सोफित रूपों का उपयोग किए बिना दर्शाया जा सकता है (देखें कफ, मेम, नन, पे, और तजादे ) राजमार्गों की सूची संख्या 400
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अंकगणित
| 267
| null | 326
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गणित में −१ अथवा −1 (ऋणात्मक एक अथवा माइनस एक) 1 (एक) का योज्य व्युत्क्रम है अर्थात् यह वह संख्या है जिसमें 1 जोड़ने पर योज्य तत्समक 0 (शून्य) प्राप्त होता है। यह ऋणात्मक पूर्णांक है जो ऋणात्मक दो (−2) से बड़ा एवं 0 से छोटा है।
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अंकगणित
| 268
| null | 47
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=== बीज गणितीय गुणधर्म === किसी संख्या को −1 से गुणा करने पर इसके तुल्य ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है अर्थात् उसका चिह्न बदल जाता है। व्यापक रूप में एक धनात्मक संख्या को −1 से गुणा करने पर वो ऋणात्मक हो जाती है और ऋणात्मक संख्या को −1 से गुणा करने पर वो धनात्मक हो जाती है। अतः किसी संख्या x के लिए (−1) ⋅ x = −x लिखा जाता है। इसे बंटन नियम और 1 को गुणात्मक तत्समक वाली उपप्रमेय से सिद्ध किया जा सकता है:
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अंकगणित
| 269
| null | 87
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x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0. यहाँ हमने यह तथ्य काम में लिया है कि किसी भी संख्या x को शून्य से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है जो समीकरण के लिए निरसन का अनुसरण करता है
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अंकगणित
| 270
| null | 57
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0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x. अन्य शब्दों में,
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अंकगणित
| 271
| null | 20
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x + (−1) ⋅ x = 0, अतः x का योज्य व्युत्क्रम (−1) ⋅ x है अर्थात् (−1) ⋅ x = −x सिद्ध किया जा सकता है। संख्या −1 का वर्ग (अर्थात् −1 को −1 से गुणा करने पर) 1 प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणा धनात्मक प्राप्त होता है। इस परिणाम की बीजगणितीय उपपत्ति के लिए हम इस समीकरण से आरम्भ करते हैं
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अंकगणित
| 272
| null | 68
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0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)]. पहली असमिका उपरोक्त परिणाम के अनुसार है और दूसरा उस परिभाषा के अनुसार जिसके अनुसार −1 का योज्य व्युत्क्रम 1 है: यह ठीक वह संख्या है जिसमें 1 जोड़ने पर 0 प्राप्त होता है। अब इस बंटन नियम के उपयोग से यह देखा जा सकता है कि
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अंकगणित
| 273
| null | 58
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0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1). तीसरी असमिका गुणात्मक तत्समकता के अनुसार है। लेकिन अब इस समीकरण के दोनों तरफ 1 जोड़ने पर
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अंकगणित
| 274
| null | 38
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(−1) ⋅ (−1) = 1. उपरोक्त तर्क सभी वलय में लागू होते हैं। वलय एक अमूर्त बीजगणित की एक अवधारणा है जिसमें वास्तविक संख्याओं को पूर्णांकों के व्यापकीकरण से प्राप्त किया जाता है।:पृ॰48
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अंकगणित
| 275
| null | 33
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यद्यपि −1 का कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं है, समिश्र संख्या i समीकरण i2 = −1 को संतुष्ट करती है और इसे −1 का वर्गमूल माना जा सकता है। इसके अतिरिक्त अन्य समिश्र संख्या −i है जिसका वर्ग −1 है क्योंकि प्रत्येक शून्यतर समिश्र संख्या के ठीक दो वर्गमूल होते हैं और ये बीजगणित की मूलभूत प्रमेय का अनुशरण करता है। चतुष्टयी बीजगणित में – जहाँ मूलभूत प्रमेय लागू नहीं होती – जिसमें समिश्र संख्यायें शामिल हैं, समीकरण x2 = −1 अनन्त हल प्राप्त होते हैं।
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अंकगणित
| 276
| null | 85
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शून्यतर संख्या का घातांक ऋणात्मक संख्याओं तक विस्तृत किया जा सकता है जहाँ किसी संख्या की घात −1 लगाने पर गुणात्मक व्युत्क्रम प्राप्त होता है:
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अंकगणित
| 277
| null | 25
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x−1 = 1/x. यह परिभाषा ऋणात्मक पूर्णांकों पर भी लागू होती है और वास्तविक संख्याओं a और b के लिए घातांक नियम xaxb = x(a + b) का पालन करती है। किसी फलन f(x) के मूर्धांक में −1 लिखने पर वो प्रतिलोम फलन f −1(x) को निरूपित करता है जहाँ ( f(x))−1 विशेषतः बिन्दुवार व्युत्क्रम को निरूपित करता है। जहाँ f एकैकी आच्छादी फलन है जो प्रत्येक x ∈ X के निवेशी प्रांत के लिए प्रत्येक y ∈ Y निर्गत सहप्रांत निर्दिष्ट होता है
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अंकगणित
| 278
| null | 84
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f −1( f(x)) = x और f −1( f(y)) = y जब सहप्रांत का उपसमुच्चय, फलन f में निर्दिष्ट है तब इसका प्रतिलोम उस उपसमुच्चय के फलन के अधीन पूर्व-प्रतिबिम्ब अथवा प्रतिलोम प्रतिबिम्ब प्राप्त होगा। ऋणात्मक पूर्णांकों का घातांक x के गुणात्मक व्युत्क्रम x−1 को परिभाषित करने वाली वलय के व्युत्क्रमणीय अवयवों तक विस्तृत किया जा सकता है; इसके सन्दर्भ में इन अवयवों को एकांक माना जाता है।:पृ॰49 किसी क्षेत्र F के किसी बहुपद प्रांत F [x] में बहुपद x का कोई व्युत्क्रम नहीं होता है। यदि इसका कोई व्युत्क्रम q(x) है तो हम लिख सकते हैं
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अंकगणित
| 279
| null | 97
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x q(x) = 1 ⇒ deg (x) + deg (q(x)) = deg (1)
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अंकगणित
| 280
| null | 13
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⇒ deg (q(x)) = −1 जो सम्भव नहीं है और अतएव F [x] एक क्षेत्र नहीं है। अधिक विशिष्ट रूप में चूँकि बहुपद एक नियतांक नहीं है, यह F में एकक नहीं है।
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अंकगणित
| 281
| null | 33
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परिकलन एक अत्यावश्यक गणितीय प्रक्रिया है जो एक या अधिक निवेश को एक या अधिक निर्गम या परिणामों में बदल देती है। इस शब्द का प्रयोग विभिन्न प्रकार के अर्थों में किया जाता है, जिसमें किसी निश्चित विधि का उपयोग करते हुये अंकगणितीय गणना से, किसी प्रतियोगिता में एक रणनीति की गणना करने के लिये प्रयुक्त अस्पष्ट अनुमान तक, या दो लोगों के बीच एक सफल रिश्ते की संभावना की गणना करना शामिल हैं। गणना गणितीय संक्रियाओं के माध्यम से संख्यात्मक मान या परिणाम निर्धारित करने की प्रक्रिया है। इसमें उत्तर या समाधान खोजने के लिए अंकगणित, बीजीय, ज्यामितीय या सांख्यिकीय प्रक्रियाएं करना शामिल है। विज्ञान, इंजीनियरिंग, वित्त और रोजमर्रा की जिंदगी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में गणना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, 7 को 6 से गुणा करना एक सरल विधि की गणना है। गणितीय मॉडल का उपयोग करके किसी संख्या का वर्गमूल या घनमूल निकालना एक अधिक जटिल विधि की गणना है। अंकगणित: बुनियादी गणना जिसमें जोड़, घटाव, गुणा और भाग शामिल है। बीजगणितीय: चरों के साथ समीकरणों को हल करना, व्यंजकों में हेरफेर करना और अज्ञात मान ज्ञात करना। ज्यामितीय: आकृतियों और आकृतियों में क्षेत्रफल, आयतन, कोण और दूरियों की गणना करना। सांख्यिकीय: केंद्रीय प्रवृत्ति, फैलाव और संभाव्यता के उपायों सहित डेटा सेट का विश्लेषण करना। त्रिकोणमिति: त्रिभुजों में कोणों और भुजाओं के साथ कार्य करना, जिसमें साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा फ़ंक्शन शामिल होते हैं। कैलकुलस: विभेदन, एकीकरण और संबंधित दरों सहित परिवर्तन और गति का विश्लेषण करना। वित्तीय: ब्याज गणना, ऋण परिशोधन और निवेश रिटर्न सहित वित्त का प्रबंधन करना। जनमत सर्वेक्षणों से संभावित चुनाव परिणामों का सांख्यिकीय अनुमान ज्ञात करने के लिए की जाने वाली गणनायें सटीक उत्तर के स्थान पर सम्भावनाओं की एक श्रृंखला देती हैं। संक्षेप में, परिकलन (गणना) गणित और उसके अनुप्रयोगों में एक मौलिक प्रक्रिया है, जो हमारे आस-पास की दुनिया को मापने, विश्लेषण करने और समझने के साधन प्रदान करती है।
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अंकगणित
| 282
| null | 310
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== इन्हें भी देखें == लागत लेखांकन - गणना का व्यावसायिक अनुप्रयोग एल्गोरिदम की सूची - गणना की पूरी तरह से औपचारिक, कंप्यूटर-निष्पादन योग्य विधियां मानसिक गणना - केवल अपने मस्तिष्क का उपयोग करके अंकगणित करना
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अंकगणित
| 283
| null | 36
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द्वयाधारी कूटित दशमलव (अंग्रेज़ी:बाइनरी कोडेड डेसिमल) इलेक्ट्रॉनिक एवं कंप्यूटिंग सिस्टम्स में, दशमलव संख्या प्रणाली की संख्याओं प्रत्येक अंक के लिये एक द्वयाधारी कूट देकर मिश्रित रूप में पूरी दशमलव संख्या केल इये लिखा गया द्वयाधारी रूप का कूट होता है। इस प्रणाली की मुख्य सुविधा है, इसके द्वारा कूटित संख्याओं को वापस अंतरन अत्यंत सरल होना है। इस कारण त्वरित गणनाओं का रास्ता बनता है। बीसीडी में प्रायः चार बिट से प्रत्येक अंक दर्शाये जाते हैं, जो ०-९ तक के अंकों के परिचायक होते हैं।
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अंकगणित
| 284
| null | 85
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== कूटीकरण == दशमलव संख्या को बीसीडी कूट अंतरण हेतु प्रत्येक दशामलव अंक को एक चार-बिट (निबल) में सहेजा जाता है।
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अंकगणित
| 285
| null | 21
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दशमलव : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 बीसीडी: 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
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अंकगणित
| 286
| null | 23
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चूंकि अधिकांश कंप्यूटर डाटा को ८-बिट रूप में भंडारण करते हैं, तो १ निबल के बीसीडी अंकों को सहेजने के दो तरीके होते हैं:
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अंकगणित
| 287
| null | 24
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प्रत्येक अंक एक बाइट के एक निब्ल में सहेजा जाता है, जिसका दूसरा निबल सभी-शून्य कर दिय़ा जाता है, या सभी १ (एबसाइडिक कूट की तरह), या 0011 (आस्की कूट की तरह) प्रत्येक बाइट में दो अंक सहेजे जाते हैं।
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अंकगणित
| 288
| null | 40
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== सन्दर्भ == कम्प्यूटिंग और इलेक्ट्रॉनिक प्रणालियों में, द्विआधारी-कोडित दशमलव (बीसीडी) दशमलव अंकों के द्विआधारी एन्कोडिंग का एक वर्ग है जहां प्रत्येक दशमलव अंक को एक निश्चित संख्या की बिट्स द्वारा दर्शाया जाता है, आमतौर पर चार या आठ। किसी विशेष चिह्न या किसी अन्य संकेत (उदाहरण के लिए, त्रुटि या अतिप्रवाह) के लिए विशेष बिट पैटर्न का उपयोग किया जाता है।
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अंकगणित
| 289
| null | 62
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बाइट-ओरिएंटेड सिस्टम (अर्थात अधिकांश आधुनिक कंप्यूटर) में, बिना शर्त पैक बीसीडी [1] आमतौर पर प्रत्येक अंक के लिए एक पूर्ण बाइट का अर्थ है (अक्सर एक चिन्ह होता है), जबकि पैक बीसीडी आम तौर पर दो दशमलव अंकों का लाभ उठाकर एक बाइट के भीतर रखता है तथ्य यह है कि चार बिट्स 0 से 9 की श्रेणी का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त हैं। तकनीकी कारणों से सटीक 4-बिट एन्कोडिंग भिन्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए एक्सचेंज -3 देखें। एक बीसीडी दशमलव अंकों का प्रतिनिधित्व करने वाले दस राज्यों को कभी-कभी टेट्रैड कहा जाता है (जिन्हें आमतौर पर टिड्रेड के रूप में भी जाना जाता है) उन्हें उन पर ध्यान नहीं दिया जाता है, जिनका उपयोग अप्रयुक्त नाम छद्म-टेट्राड (ई) एस (डी) [2] [ 3] [4] [5] [6] या छद्म-दशमलव अंक [7] [8])। [एनबी 1] बीसीडी की मुख्य पुण्य इसकी अधिक सटीक प्रतिनिधित्व और दशमलव मात्रा का गोलाकार है और मानव-पठनीय प्रतिनिधित्वों में रूपांतरण की आसानी है, द्विआधारी स्थिति प्रणाली के मुकाबले। बीसीडी की प्रमुख कमियां बुनियादी गणित और थोड़ा कम घने भंडारण को लागू करने के लिए आवश्यक सर्किट की जटिलता में एक छोटा सा वृद्धि है। बीसीडी का इस्तेमाल कई शुरुआती दशमलव कंप्यूटरों में किया गया था, और आईबीएम सिस्टम / 360 श्रृंखला और उसके वंश, डिजिटल उपकरण निगम के वैक्स और मोटोरोला 68000-श्रृंखला प्रोसेसर जैसी मशीनों के अनुदेश सेट में लागू किया गया है। यद्यपि बीसीडी प्रति से पहले के रूप में व्यापक रूप से प्रयोग नहीं किया जाता है और अब नए कंप्यूटरों के अनुदेश सेटों (जैसे कि एआरएम; x86 बीसीडी निर्देशों का लंबे समय से अधिक मोड में समर्थन नहीं करता है) दशमलव फिक्स्ड प्वाइंट और फ्लोटिंग पॉइंट प्रारूप अभी भी महत्वपूर्ण हैं और वित्तीय, वाणिज्यिक और औद्योगिक कंप्यूटिंग में उपयोग करना जारी रखते हैं, जहां सूक्ष्म रूपांतरण और आंशिक गोलाकार त्रुटियां जो कि फ्लोटिंग प्वाइंट बाइनरी प्रस्तुतीकरण में निहित हैं, सहन नहीं की जा सकती हैं।
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अंकगणित
| 290
| null | 314
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द्व्याधारित (द्वि + आधारित) या द्व्यंकीय (द्वि + अंकीय) संख्या पद्धति गणितीय अभिव्यक्ति की एक विधि है जो केवल दो अंकों का प्रयोग करती है: 0 (शून्य) और 1 (एक)। द्व्यंकीय अंक प्रणाली 2 के आधार के साथ स्थितीय संकेतन है। प्रत्येक अंक को द्व्यंक कहा जाता है। लॉजिक गेटों का प्रयोग करते हुए अंकीय वैद्युतिक परिपथ में इसके सीधे कार्यान्वयन के कारण, द्व्यंकीय प्रणाली का उपयोग लगभग सभी आधुनिक कम्प्यूटरों और कम्प्यूटराधारित उपकरणों द्वारा किया जाता है, उपयोग की एक पसन्दीदा प्रणाली के रूप में, संचार की विभिन्न अन्य मानव तकनीकों पर, सादगी के कारण भौतिक कार्यान्वयन में भाषा और शोर प्रतिरक्षा।
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अंकगणित
| 291
| null | 103
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== इतिहास == आधुनिक बाइनरी संख्या प्रणाली का अध्ययन यूरोप में 16वीं और 17वीं शताब्दी में थॉमस हैरियट, जुआन कैरामुएल लोबकोविट्ज़ और गॉटफ्राइड लीबनिज द्वारा किया गया था। हालाँकि, बाइनरी संख्याओं से जुड़ी प्रणालियाँ प्राचीन मिस्र, चीन और भारत सहित कई संस्कृतियों में पहले भी सामने आई हैं। लीबनिज़ विशेष रूप से चीनी आई चिंग से प्रेरित थे।
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अंकगणित
| 292
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=== मिस्र === प्राचीन मिस्र के शास्त्रियों ने अपने अंशों के लिए दो अलग-अलग प्रणालियों का उपयोग किया, मिस्र के अंश (बाइनरी संख्या प्रणाली से असंबंधित) और आई ऑफ होरस अंश (ऐसा नाम इसलिए रखा गया क्योंकि गणित के कई इतिहासकारों का मानना है कि इस प्रणाली के लिए इस्तेमाल किए गए प्रतीकों को आंख बनाने की व्यवस्था की जा सकती है होरस, हालांकि इस पर विवाद हुआ है)। आई ऑफ होरस फ्रैक्शंस अनाज, तरल पदार्थ या अन्य मापों की आंशिक मात्रा के लिए एक बाइनरी नंबरिंग प्रणाली है, जिसमें हेकट का एक अंश बाइनरी अंशों 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। , 1/32 और 1/64. इस प्रणाली का प्रारंभिक रूप लगभग 2400 ईसा पूर्व मिस्र के पांचवें राजवंश के दस्तावेजों में पाया जा सकता है। सी., और इसका पूर्ण विकसित चित्रलिपि रूप मिस्र के उन्नीसवें राजवंश का है, लगभग 1200 ईसा पूर्व।
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अंकगणित
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=== चीन === प्राचीन चीन में, आई चिंग के शास्त्रीय पाठ में, 8 ट्रिगर्स और 64 हेक्साग्राम्स की एक पूरी श्रृंखला (3 के अनुरूप बिट्स) और 6-बिट बाइनरी नंबर। चीनी विद्वान और दार्शनिक शाओ योंग ने साँचा:11वीं सदी में आई चिंग के हेक्साग्राम्स की एक क्रमबद्ध बाइनरी व्यवस्था विकसित की, जो दशमलव अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करती है। 0 से 63, और इसे उत्पन्न करने की एक विधि|
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अंकगणित
| 294
| null | 67
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=== भारत === प्राचीन गणितज्ञ भारतीय पिंगला ने छंद का वर्णन करने के लिए एक द्विआधारी प्रणाली विकसित की। इसमें छोटे और लंबे अक्षरों (बाद वाले की लंबाई दो छोटे अक्षरों के बराबर होती है) के रूप में बाइनरी संख्याओं का उपयोग किया जाता है, जिससे यह मोर्स कोड के समान हो जाता है। इन्हें लघु (प्रकाश) और गुरु (भारी) अक्षरों के नाम से जाना जाता था।
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अंकगणित
| 295
| null | 67
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=== एक और संस्कृति === फ़्रेंच पोलिनेशिया में मंगरेवा द्वीप के निवासी 1450 से पहले एक हाइब्रिड बाइनरी-दशमलव प्रणाली का उपयोग करते थे।बाइनरी संयोजनों की इसी तरह की श्रृंखला का उपयोग पारंपरिक अफ्रीकी भविष्यवाणी प्रणालियों में भी किया गया है, जैसे कि इफा, साथ ही पश्चिमी मध्ययुगीन जियोमेंसी में भी.
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अंकगणित
| 296
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=== लीबनिज के पश्चिमी पूर्ववर्ती === 1605 फ्रांसिस बेकन में उन्होंने एक ऐसी प्रणाली की बात की जिसके द्वारा वर्णमाला के अक्षरों को बाइनरी अंकों के अनुक्रम में कम किया जा सकता है, जिसे किसी भी मनमाने पाठ के फ़ॉन्ट में हल्के बदलाव के रूप में एन्कोड किया जा सकता है। 1670 में जुआन कैरामुएल ने अपनी पुस्तक मैथेसिस बाइसेप्स प्रकाशित की और XLV से XLVIII पृष्ठों पर उन्होंने बाइनरी सिस्टम का विवरण दिया।
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अंकगणित
| 297
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=== लीबनिज और आई चिंग === आधुनिक बाइनरी सिस्टम को पूरी तरह से लीबनिज ने, साँचा:18वीं सदी में, अपने लेख "एक्सप्लिकेशन डे ल'अरिथमेटिक बिनेयर'' में प्रलेखित किया था। इसमें चीनी गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त बाइनरी प्रतीकों का उल्लेख है। लीबनिज़ ने भाषाई शब्दों को बदलने के लिए दो चरों की एक गणितीय प्रणाली - 0/1 - का उपयोग किया और इस तरह, वर्तमान बाइनरी प्रणाली की तरह, जानकारी वितरित की।.
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अंकगणित
| 298
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=== बाद के विकास === 1854 में, ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज बूले ने एक लेख प्रकाशित किया था जिसमें पहले और बाद में तर्क की एक प्रणाली का विवरण दिया गया था जिसे अंततः बूले का बीजगणित कहा जाएगा। ऐसी प्रणाली वर्तमान बाइनरी सिस्टम के विकास में, विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के विकास में, मौलिक भूमिका निभाएगी।
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अंकगणित
| 299
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Subsets and Splits
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