question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
กำจัดรากในpenyebutของ $\displaystyle\frac{21}{\sqrt{21}}$. | $\dfrac{21}{\sqrt{21}} = \dfrac{21}{\sqrt{21}} \cdot \dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} = \dfrac{21\sqrt{21}}{21} = \boxed{\!\sqrt{21}}$. | \dfrac{21}{\sqrt{21}} = \dfrac{21}{\sqrt{21}} \cdot \dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} = \dfrac{21\sqrt{21}}{21} = \boxed{\!\sqrt{21}} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาช่วงของ $y=|x+7|-|x-2|$. | ถ้า $x<-7$ แล้ว $x+7$ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=-(x+7)-(-x+2)=-9.$$ ถ้า $x\geq 2$ แล้ว $x+7$ และ $x-2$ เป็นไม่เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-x+2=9.$$ ถ้า $-7\leq x< 2$ แล้ว $x+7$ เป็นไม่เป็นลบ และ $x-2$ เป็นลบ ดังนั้น $$y=x+7-(-x+2)=2x+5.$$ แล้ว $2(-7)+5=-9$ และ $2(2)+5=9$ ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและต่อเนื่อง ดังนั้นค่าทั้งหมดระหว... | y \in \boxed{[-9, 9]} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดค่าของฟังก์ชัน $f(x)$ ในตารางต่อไปนี้
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $f(x)$ & 3 & 1 & 5 & 4 & 2 \\ \hline
\end{tabular}ถ้า $f^{-1}$ มีอยู่ แล้ว $f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1)))$ มีค่าเท่าใด | เราสังเกตว่า $f(2) = 1$ ดังนั้น $f^{-1}(1) = 2$ ดังนั้น $$f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = f^{-1}(f^{-1}(2)).$$ต่อไป $f(5) = 2$ ดังนั้น $f^{-1}(2) = 5$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(2)) = f^{-1}(5)$ สุดท้าย $f(3) = 5$ ดังนั้น $f^{-1}(5) = 3$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = \boxed{3}.$ | f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $x$ : $$5^{x + 4} = 125^x.$$ | เขียนข้างขวาด้วยฐาน 5 เราได้ $125^x = (5^3)^x = 5^{3x}$ ดังนั้นสมการของเราคือ: $$5^{x + 4} = 5^{3x}.$$ จากนั้นตั้งเลขชี้กำลังให้เท่ากัน เราได้ $$x + 4 = 3x.$$ นี้จะได้ $2x = 4 \implies \boxed{x = 2}$ | 2x = 4 \implies \boxed{x = 2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x>0$ ในลำดับเลขคณิตต่อไปนี้: $1^2, x^2, 3^2, \ldots$. | พจน์ $x^2$ คือค่าเฉลี่ยของ $1^2 = 1$ และ $3^2 = 9$ ดังนั้น $x^2 = (1 + 9)/2 = 5$ เนื่องจาก $x > 0$ ดังนั้น $x = \boxed{\sqrt{5}}$ | x = \boxed{\sqrt{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่ 100 ของลำดับเลขคณิต 6, 10, 14, 18, ... | ผลต่างร่วมคือ $10 - 6 = 4$ ดังนั้นพจน์ที่ 100 คือ $6+99\cdot 4=\boxed{402}$ | 6+99\cdot 4=\boxed{402} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใดบ้างที่ทำให้ $x^2 - 5x - 4 \le 10$ เป็นจริง? แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | จัดรูปใหม่ $x^2 - 5x - 14 \le 0$. พหุนามกำลังสองทางซ้ายมือสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) \le 0$. ดังนั้น $x-7$ และ $x+2$ มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ดังนั้น $-2 \le x \le 7$ และ $\boxed{x \in [-2,7]}$ | \boxed{x \in [-2,7]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $|5x - 1| = |3x + 2|$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | มีสองกรณี คือ เมื่อ $5x-1=3x+2$ และเมื่อ $5x-1=-(3x+2).$ สมการทั้งสองจะได้ $x=\frac{3}{2}$ และ $x=-\frac{1}{8}$ ตามลำดับ ซึ่ง $x=\boxed{-\frac{1}{8}}$ เป็นคำตอบที่น้อยกว่า | x=\boxed{-\frac{1}{8}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นายมาดอฟลงทุนเงิน 1000 ดอลลาร์ในกองทุนที่คิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นประจำทุกปีที่อัตราดอกเบี้ยคงที่ หลังจาก 3 ปี การลงทุนของเขาก็เพิ่มขึ้นเป็น 1225 ดอลลาร์ อัตราดอกเบี้ยรายปีเป็นเท่าไร (ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด) | ให้ $r$ เป็นอัตราดอกเบี้ยรายปี ดังนั้นหลังจาก 3 ปี การลงทุนของนายมาดอฟคือ $1000 \cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3$ ดังนั้น \[1000 \cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3 = 1225.\]จากนั้น \[\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3 = 1.225,\]ดังนั้น \[1 + \frac{r}{100} = \sqrt[3]{1.225} = 1.069987 \dots,\]ซึ่งหมายความว... | r = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $(-8,6)$ ห่างจากจุดกำเนิดในระบบพิกัดกี่หน่วย | เราใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{(-8 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{64 + 36} = \boxed{10}$.
- OR -
เราสังเกตว่าจุดกำเนิด จุด $(-8, 6)$ และจุด $(-8, 0)$ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 6 และ 8 ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากต้องเท่ากับ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: \[
|x|+1>7\text{ and }|x+1|\le7.
\] | ก่อนอื่น เรามาจัดการกับ $|x| + 1 > 7$ ลบ 1 จากทั้งสองข้างจะได้ $|x| > 6$ ดังนั้นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ $|x| + 1 > 7$ คือจำนวนที่มากกว่า 6 และจำนวนที่น้อยกว่า $-6$ เนื่องจากอสมการเป็นแบบเข้ม ($>$, ไม่ใช่ $\ge$) $x$ ไม่สามารถเป็น 6 หรือ $-6$ ได้
ถัดไป เรามาดูที่ $|x+1| \le 7$ เขียนเป็น $|x-(-1)| \le 7$ เราจะเห็นว่า $x$... | \boxed{-15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่จำนวนเต็มที่ต่างกัน $a$, $b$, $c$ และ $d$ มีสมบัติที่เมื่อนำมาบวกกันเป็นคู่ จะได้ผลรวม $10, 18, 19, 20, 21$ และ $29$ จงหาสี่จำนวนเต็มนั้นตามลำดับจากน้อยไปมาก (ใส่เครื่องหมายจุลภาคและช่องว่างระหว่างจำนวนเต็ม) | โดยไม่เสียความ générales, ให้ $a<b<c<d$ ผลรวมที่น้อยที่สุดคือ $a+b=10$ ผลรวมที่รองลงมาคือ $a+c=18$ ผลรวมที่รองลงมาจากที่มากที่สุดคือ $b+d=21$ ผลรวมที่มากที่สุดคือ $c+d=29$ โดยสรุป, \begin{align*}\tag{1}
a+b&=10\\ \tag{2}
a+c&=18\\ \tag{3}
b+d&=21\\ \tag{4}
c+d&=29
\end{align*} ยังเหลือผลรวมสองผลรวมคือ $a+d$ และ $b+c$ ... | \boxed{4,6,14,15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $a^3\cdot a^2$ เมื่อ $a= 5$. | นิพจน์ที่กำหนดให้เท่ากับ $a^{3+2}=a^5$ แทนค่า $a$ ลงในนิพจน์ จะได้ $5^5=\boxed{3125}$ | 5^5=\boxed{3125} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $(17^6-17^5)\div16=17^x$ | แยกตัวประกอบ $17^5$ ออกจากสองพจน์ในวงเล็บ เราได้ $17^5(17-1)\div16=17^5$ ดังนั้น $x=\boxed{5}$ | x=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ไมค์จ่ายเงิน $\$1.25$ สำหรับแสตมป์สามปีก่อน เขาเพิ่งได้รับข้อเสนอเป็นสองเท่าของจำนวนนั้นสำหรับแสตมป์ หากสมมติว่าราคาเสนอของแสตมป์เพิ่มเป็นสองเท่าทุกๆ สามปี เขาจะได้รับข้อเสนอเป็นเงินเท่าไรในอีก 12 ปีข้างหน้า? | แสตมป์มีมูลค่า $\$2.50$ ในขณะนี้ $12$ ปีเป็นช่วงเวลาที่มูลค่าเพิ่มเป็นสองเท่าอีกสี่ช่วง ดังนั้นในที่สุดแสตมป์จะมีมูลค่าเป็น 16 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน หรือ
$$16(\$2.50)=\boxed{\$40}$$ | 40 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ที่อุณหภูมิคงที่ ความดันของตัวอย่างก๊าซเป็นสัดส่วนผกผันกับปริมาตรของมัน ฉันมีไฮโดรเจนอยู่ในภาชนะ 3.67 ลิตร ที่ความดัน 4 kPa หากฉันย้ายทั้งหมดไปยังภาชนะ 1.835 ลิตร ที่อุณหภูมิเดียวกัน ความดันใหม่จะเป็นเท่าใดเป็น kPa | เนื่องจากความดัน $p$ ของไฮโดรเจนและปริมาตร $v$ เป็นสัดส่วนผกผัน $pv=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า จากภาชนะแรก เราทราบว่า $k=3.67\cdot4=14.68$ ดังนั้น เมื่อเราเคลื่อนย้ายไปยังภาชนะ 1.835 ลิตร เราจะได้ว่า $1.835p=14.68$ ดังนั้น $p=\boxed{8}$ kPa | p=\boxed{8} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาพิสัยของฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{x^2}$ | เราสามารถเห็นได้ว่า $f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ (โปรดทราบว่า $f(x) \not = x$ เนื่องจาก $x$ อาจเป็นลบ) เนื่องจาก $|x|$ สร้างค่าที่ไม่เป็นลบทั้งหมด พิสัยคือ $\boxed{[0,\infty)}$ | \boxed{[0,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(2x+5)(x-3)=14$ จงหาผลรวมของค่า $x$ ที่เป็นไปได้ | ขยายด้านซ้ายของสมการที่กำหนดให้ เราได้ $2x^2-x-15=14 \Rightarrow 2x^2-x-29=0$ เนื่องจากในสมการกำลังสองที่มีรูปแบบ $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของรากคือ $-b/a$ ผลรวมของรากของสมการที่กำหนดคือ $1/2=\boxed{.5}$ | 1/2=\boxed{.5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $c$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ทำให้สมการ $x^2-7x+c=0$ มีรากที่เป็นจำนวนจริงและตรรกยะเท่านั้น จงเรียงค่า $c$ จากมากไปน้อย และคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เพื่อให้รากเป็นจำนวนจริงและตรรกยะ จุดวิกฤตจะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้น $(-7)^2-4 \cdot 1 \cdot c = 49-4c$ จะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ กำลังสองสมบูรณ์ที่เป็นบวกและน้อยกว่า 49 คือ $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, และ $36$ กำลังสองสมบูรณ์ที่ทำให้ได้ค่า $c$ เป็นจำนวนเต็มคือ $1$, $9$, และ $25$ ดังนั้นเราจะได้สมการ $49-4c=1$, $... | \boxed{12, 10, 6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$ และ $b$ เป็นคำตอบของสมการ $x^{2} - 5x + 9= 0$ จงหาค่าของ $(a - 1)(b - 1)$ | เราสามารถหาคำตอบของสมการนี้ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - (4)(1)(9)}}{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{11}}{2}.$$ เราต้องการหา $(a - 1)(b - 1)$ ซึ่งเป็น \begin{align*}
\left(\frac{5 + i\sqrt{11}}{2} - 1\right)\left(\frac{5 - i\sqrt{11}}{2} - 1\right) &= \left(\frac{3 + i\sqrt{11}}{2}\right)\left(\frac{3... | (a - 1)(b - 1) = 9 - 5 + 1 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กระจาย $(2x^5 + 3x^2)(x^4 - 4x^2 + 3x - 8)$ | โดยใช้สมบัติการ distributive เราได้ \begin{align*}
&(2x^5 + 3x^2)(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) \\
&\qquad= 2x^5(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) + 3x^2(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) \\
&\qquad= 2x^9 - 8x^7 + 6x^6 - 16x^5 + 3x^6 - 12x^4 + 9x^3 - 24x^2 \\
&\qquad= \boxed{2x^9 - 8x^7 + 9x^6 - 16x^5 - 12x^4 + 9x^3 - 24x^2}.
\end{align*} | [
"นำไปใช้"
] | |
ถ้าเราเขียน $\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}$ ในรูป $\dfrac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3}}{c}$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $c$ มีค่าน้อยที่สุด แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าไร? | ตัวหารร่วมที่ต้องการคือ $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6}$ ดังนั้น นิพจน์นี้จะกลายเป็น $\frac{\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})+1\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})+1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$. การทำให้ सरฬีจะได้ $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{\sqrt... | 9+8+6=\boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $|x-1| = 7$. | เราต้องมี $x-1 = 7$ หรือ $x-1 = -7$ ถ้า $x-1=7$ เราได้ $x=8$ และถ้า $x-1 = -7$ เราได้ $x= -6$ ดังนั้น ผลรวมของค่า $x$ ที่เป็นไปได้คือ $8+(-6) = \boxed{2}$ | 8+(-6) = \boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จุด $(a, b)$ อยู่บนเส้นตรงที่มีสมการ $3x + 2y = 12.$ เมื่อ $a = 4$ ค่าของ $b$ เท่ากับเท่าไร? | เราแทนค่า $x = 4$: \begin{align*}
3(4) + 2y &= 12\\
12 + 2y &= 12\\
y &= 0.
\end{align*}
ดังนั้น $b = \boxed{0}$. | b = \boxed{0} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $(x,y)$ เป็นคู่อันดับของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+y^2=14x+48y$. จงหาค่าสูงสุดของ $y$? | ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายมือ เราจะได้สมการ $x^2-14x+y^2-48y=0$. ทำการเติมกำลังสองในพจน์กำลังสองของ $x$ โดยการบวก $(14/2)^2=49$ เข้าไปในทั้งสองข้าง ทำการเติมกำลังสองในพจน์กำลังสองของ $y$ โดยการบวก $(48/2)^2=576$ เข้าไปในทั้งสองข้าง เราได้สมการ \[(x^2-14x+49)+(y^2-48y+576)=625 \Rightarrow (x-7)^2+(y-24)^2=625\] จัดรูปใหม... | \boxed{49} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $w$ และแสดงในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ: $\frac{1\frac16}w=\frac{42}3$. | เมื่อทำให้ง่ายขึ้นทางซ้ายมือจะได้ \[\frac{1\frac16}{w} = \frac{\frac{7}{6}}{w} = \frac{7}{6}\cdot\frac1w = \frac{7}{6w},\] ดังนั้นสมการคือ \[\frac{7}{6w} = \frac{42}{3} = 14.\] คูณทั้งสองข้างด้วย $6w$ จะได้ $7=14(6w)$. หารทั้งสองข้างด้วย 7 จะได้ $1=2(6w)$ และหารทั้งสองข้างด้วย 12 จะได้ $w = \boxed{\frac{1}{12}}$. | w = \boxed{\frac{1}{12}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_{\sqrt8}(64\sqrt{8})$. | ให้ $x=\log_{\sqrt8}(64\sqrt{8})$ ในรูปเลขชี้กำลังคือ $64\sqrt8=(\sqrt8)^{x}$ เนื่องจาก $64\sqrt{8}$ สามารถเขียนได้ในรูป $(\sqrt{8})^5$ เราจึงมี $(\sqrt{8})^5=(\sqrt{8})^x$ ดังนั้น $x=\boxed{5}$ | x=\boxed{5} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_28\sqrt{2}$ | ให้ $x=\log_28\sqrt{2}$ ดังนั้นเราต้องมี $2^x = 8\sqrt{2}$ เนื่องจาก $8=2^3$ และ $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ เราได้ $2^x = 2^3\cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$ ดังนั้น $x=\boxed{\frac{7}{2}}$ | x=\boxed{\frac{7}{2}} | [
"ประยุกต์"
] |
תחוםของฟังก์ชัน $$k(y) = \frac{1}{2y+1}~?$$ แสดงคำตอบในสัญกรณ์ช่วง | เศษส่วน $\frac{1}{2y+1}$ ไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนเป็นศูนย์ เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อ $y$ เป็นคำตอบของสมการ $$2y+1=0,$$ ซึ่งคือ $y=-\frac 12$ ดังนั้นโดเมนของ $k(y)$ คือ $$\boxed{\left(-\infty,-\frac 12\right)\cup \left(-\frac 12,\infty\right)}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่ $f(1)=2$, $f(4)=3$, $f(7)=4$ และ $f^{-1}(x)$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f(x)$ จงหาค่าของ $f^{-1}(f^{-1}(3))$ | เราสังเกตว่า $f(4)=3$ ดังนั้น $f^{-1}(3)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(3))=f^{-1}(4)$ จากตรงนี้เราจะเห็นว่า $f(7)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(4)=7$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(3))=\boxed{7}$ | f^{-1}(f^{-1}(3))=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ฉันเลือกจำนวนเต็ม $n$ ที่สุ่มระหว่าง $1$ ถึง $10$ (รวม) ความน่าจะเป็นที่ $n$ ที่ฉันเลือก จะไม่มีคำตอบจริงของสมการ $x(x+5) = -n$ คือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | ก่อนอื่นเราหาเซตคำตอบที่ทำให้สมการไม่มีคำตอบจริง เราเริ่มต้นด้วยการจัดเรียงสมการ $x(x+5) = -n$ เป็น $x^2 + 5x + n = 0$ ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ สมการจะไม่มีคำตอบจริง ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $25 - 4n < 0$ บวก $4n$ และหารด้วย $4$ เราจะได้ $n>6.25$ ความน่าจะเป็นที่ฉันเลือกหนึ่งในตัวเลข $7, 8, 9$ หรือ $10$ คือ $\boxed{\frac{... | \boxed{\frac{2}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในสวนสนุกแห่งหนึ่งมีส่วนลดสำหรับการซื้อตั๋วจำนวนมาก หากซื้อตั๋วไม่เกิน 60 ใบในหนึ่งครั้ง ราคาของแต่ละใบจะอยู่ที่ $70$ ดอลลาร์ แต่หากซื้อตั๋วมากกว่า 60 ใบในหนึ่งครั้ง ราคาของตั๋วแต่ละใบจะลดลง $1$ ดอลลาร์สำหรับตั๋วที่ซื้อเพิ่มขึ้นทุกใบ ถ้า $t$ คือจำนวนตั๋วที่ซื้อจำนวนมากในคราวเดียว จงหาค่า $t$ ที่มากที่สุดที่ทำให้สวนสนุก... | ให้ $t$ แทนจำนวนตั๋วที่ขายในหนึ่งครั้ง เราจะได้อสมการต่อไปนี้: \begin{align*} 4200&<(70-(t-60))(t)
\\4200&<(130-t)(t)
\\4200&<130t-t^2
\\\Rightarrow\qquad t^2-130t+4200&<0
\\\Rightarrow\qquad (t-60)(t-70)&<0
\end{align*}เนื่องจากรากของสมการด้านซ้ายมือคือ 60 และ 70 อสมการต้องเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดสองจุดนี้ สำหรับ $t<6... | t=\boxed{69} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $x$ ใดจะทำให้ $x^2- 14x + 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เราเริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
x^2-14x+3&= x^2-14x +\left(\frac{14}{2}\right)^2 - \left(\frac{14}{2}\right)^2 + 3\\
& = x^2 -14x + 7^2 - 49 + 3\\
&=(x-7)^2 - 46.\end{align*}เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อย 0 เราได้ $$(x-7)^2\ge 0,$$โดยที่ $(x-7)^2 =0$ เฉพาะเมื่อ $x=7$. ดังนั้น $(x-7)^2 - 46... | x=\boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(x,y) = (3,9)$ จงหาค่าของ $y^2 - 3xy + 8$ | เราได้ว่า $y^2 -3xy + 8 = 9^2 - 3(3)(9) + 8 = 81 - 81 + 8 = \boxed{8}$ | 8 | [
"นำไปใช้"
] |
ถ้าเราแสดง $x^2 + 4x + 5$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $h$ มีค่าเท่าใด | เราใช้การเติมกำลังสอง เราสามารถยกกำลังสองของ $x + 2$ เพื่อให้ได้ $x^2 + 4x + 4$ ดังนั้น $h = \boxed{-2}$ | h = \boxed{-2} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $j$ และ $k$ เป็นปริมาณผกผันกัน และ $j = 16$ เมื่อ $k = 21$ จงหาค่าของ $j$ เมื่อ $k = 14$ | จากนิยามของปริมาณผกผัน ผลคูณ $jk=C$ สำหรับค่าคงตัว $C$ บางค่า แทนค่าที่กำหนดให้ เราจะเห็นว่า $16\cdot 21=336=C$ ใช้ค่า $C$ นี้ เราสามารถแก้หา $j$ เมื่อ $k=14$ ได้: \begin{align*}
j\cdot 14&=336\\
\Rightarrow\qquad j&=\frac{336}{14}=\boxed{24}
\end{align*} | 24 | [
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกับสมการ $2x(x-10)=-50$ คือเท่าไร | เริ่มต้นด้วยการหารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อให้ได้ $x(x-10)=-25$ ขยายด้านซ้ายและย้ายค่าคงที่ไปอีกด้านหนึ่ง เราจะได้ $x^2-10x+25=0$ เราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x-5)(x-5)$ ดังนั้นค่า $x$ ที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ $\boxed{5}$ ซึ่งก็คือคำตอบของเราเช่นกัน | \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อัตราส่วนของจำนวนสองจำนวนคือ $3:5$ เมื่อจำนวนที่น้อยกว่าถูกลดลง 4 และจำนวนที่มากกว่าถูกบวก 8 อัตราส่วนใหม่คือ $2:7$ จำนวนที่มากกว่าของจำนวนทั้งสองก่อนที่ 8 จะถูกบวกคือเท่าใด | ให้ $a$ เป็นจำนวนที่น้อยกว่าและให้ $b$ เป็นจำนวนที่มากกว่า จากนั้น $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$ ดังนั้น $5a=3b$ นอกจากนี้ $\dfrac{a-4}{b+8}=\dfrac{2}{7}$ ดังนั้นการคูณไขว้จะได้ $7(a-4)=2(b+8)$ ตอนนี้เรามีระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ การแก้สมการจะได้ $a=12$, $b=20$ เนื่องจากคำถามถามถึงค่าของ $b$ คำตอบของเราคือ $\boxed{20}$ | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $k$ ที่เป็นจำนวนจริง จงหาค่า $k$ ที่ทำให้ $ rac{13-\sqrt{131}}{4}$ เป็นรากของ $2x^2-13x+k$? | เราสามารถแทน $ rac{13-\sqrt{131}}{4}$ ด้วย $x$ ในสมการได้ แต่สูตรกำลังสองบ่งชี้ถึงวิธีการที่รวดเร็วกว่า การแทน $2$, $-13$ และ $k$ ลงในสูตรกำลังสองจะได้ \[
\frac{-(-13)\pm\sqrt{(-13)^2-4(2)(k)}}{2(2)}= \frac{13\pm\sqrt{169-8k}}{4}.
\]การตั้งค่า $ rac{13+\sqrt{169-8k}}{4}$ และ $ rac{13-\sqrt{169-8k}}{4}$ ให้เท่ากับ $ ra... | k=(169-131)/8=38/8=\boxed{\frac{19}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt[3]{12}\times \sqrt[3]{20}\times \sqrt[3]{15}\times \sqrt[3]{60}$ | เรามี \begin{align*}
&\sqrt[3]{12}\times \sqrt[3]{20}\times \sqrt[3]{15}\times \sqrt[3]{60}\\
&\qquad=\sqrt[3]{2^2\cdot 3^1}\times \sqrt[3]{2^2\cdot 5^1}\times \sqrt[3]{3^1\cdot 5^1}\times \sqrt[3]{2^2\cdot 3^1\cdot 5^1}\\
&\qquad=\sqrt[3]{(2^2\cdot 3^1)(2^2\cdot 5^1)(3^1\cdot 5^1)(2^2\cdot 3^1\cdot 5^1)}\\
&\qquad=\s... | 60 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\log_21$. | เนื่องจาก $2^0=1$ ดังนั้น $\log_2 1 = \boxed{0}$ | $\log_2 1 = \boxed{0}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่า $-4$ เป็นคำตอบของ $x^2 + bx -36 = 0$ ค่าของ $b$ คือเท่าใด? | ผลคูณของรากของสมการกำลังสองนี้คือ $-36/1=-36$ ดังนั้นคำตอบอีกคำตอบหนึ่งต้องเป็น $-36/-4=9$ นั่นหมายความว่าผลบวกของคำตอบคือ $-4+9=5$ ผลบวกของคำตอบยังเท่ากับ $-b/1=-b$ ด้วย ดังนั้น $-b=5$ และ $b=\boxed{-5}$ | b=\boxed{-5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $2d$ น้อยกว่า $17e$ อยู่ 8 และ $2e$ น้อยกว่า $d$ อยู่ 9 จงหาค่าของ $e$ | เราเริ่มต้นด้วยระบบสมการสองสมการ \begin{align*}
2d&=17e-8
\\2e&=d-9
\end{align*}เนื่องจากสมการที่สองสามารถเขียนใหม่เป็น $d=2e+9$ เราสามารถแทนค่าของ $d$ นี้กลับเข้าไปในสมการแรกและแก้หา $e$ \begin{align*}
2d&=17e-8
\\\Rightarrow \qquad 2(2e+9)&=17e-8
\\\Rightarrow \qquad 4e+18&=17e-8
\\\Rightarrow \qquad -13e&=-26
\\\Rig... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับ 0, 1, 1, 3, 6, 9, 27, ... , พจน์แรกคือ 0. พจน์ต่อมาถูกสร้างขึ้นโดยสลับกันระหว่างการบวกและการคูณด้วยจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน เริ่มต้นด้วย 1. ตัวอย่างเช่น พจน์ที่สองถูกสร้างขึ้นโดยการบวก 1 กับพจน์แรก; พจน์ที่สามถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ที่สองด้วย 1; พจน์ที่สี่ถูกสร้างขึ้นโดยการบวก 2 กับพจน์ที่สาม; และอื่นๆ. พจน์แ... | ต่อลำดับจาก 27 เราบวกสี่เพื่อให้ได้ 31 จากนั้นคูณ 31 ด้วยสี่เพื่อให้ได้ 124 จากนั้นบวกห้ากับ 124 เพื่อให้ได้ 129 ดังนั้น $\boxed{129}$ คือพจน์แรกที่มีค่ามากกว่า 125 | \boxed{129} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าที่น้อยที่สุดของนิพจน์ $x^2 - 6x +13$ | เราสามารถเขียน $x^2-6x+13 = x^2-6x+9+4 = (x-3)^2 + 4$ ดังนั้น เนื่องจาก $(x-3)^2$ ไม่สามารถเป็นลบได้ แต่เราสามารถทำให้เป็นศูนย์เมื่อ $x=3$ ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของนิพจน์ $x^2-6x+13$ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนเต็มคือ $\boxed{4}$ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนคู่บวกสองจำนวนที่เรียงกันถูกยกกำลังสอง ผลต่างของกำลังสองเท่ากับ 60 ผลบวกของจำนวนเดิมสองจำนวนเท่ากับเท่าใด | ให้จำนวนสองจำนวนนี้เป็น $x$ และ $x + 2$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนคู่ เราต้องการหา $x + (x + 2) = 2x + 2$ และเราทราบว่า $(x + 2)^2 - x^2 = 60$ สมการสุดท้ายนี้สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: $(x + 2 + x)(x + 2 - x) = (2x + 2)(2) = 60$ ดังนั้น $2x + 2 = 60/2 = \boxed{30}$ | 2x + 2 = 60/2 = \boxed{30} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันและ $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$ ถ้า $f(1)=2$, $f(2) = 6$, และ $f(3)=5$ แล้ว $f^{-1}(f^{-1}(6))$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $f(2) = 6$ เราได้ว่า $f^{-1}(6)=2$ (โปรดทราบว่าสมมติฐานที่ว่า $f$ มีฟังก์ชันผกผัน หมายความว่าไม่มีค่าอื่นของ $x$ ที่ทำให้ $f(x) = 6$.) ในทำนองเดียวกัน $f(1) =2$ หมายความว่า $f^{-1}(2)=1$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(6))=f^{-1}(2)=\boxed{1}$ | f^{-1}(f^{-1}(6))=f^{-1}(2)=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนบวก $p$ และ $q$ ที่มีสมบัติที่ผลบวกของมันเท่ากับผลคูณของมัน ถ้าผลต่างของมันคือ $7$ จงหาค่าของ $\frac{1}{\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}}$ คำตอบของคุณจะมีรูปแบบ $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ โดยที่ $a$ และ $b$ ไม่มีความร่วมกันกับ $d$ และ $c$ ไม่มีกำลังสองเป็นตัวประกอบ จงหา $a+b+c+d$. | กำหนดให้ $p+q=pq=s$ แล้ว $(p+q)^2=p^2+q^2+2pq=s^2$ เราลบ $4pq=4s$ ออกจากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $$p^2+q^2-2pq=(p-q)^2=s^2-4s.$$เราได้รับว่าผลต่างระหว่าง $p$ และ $q$ คือ $7$ ดังนั้น $p-q=\pm 7$ และ $(p-q)^2=(\pm 7)^2=49$ ดังนั้นสมการของเราจะกลายเป็น $49=s^2-4s$ หรือ $s^2-4s-49=0$ เราสามารถแก้หา $s$ ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง:... | d=53 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดนิพจน์ \[A=1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + \cdots + 37 \times 38 + 39\]และ \[B = 1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times 39\]ซึ่งได้จากการเขียนสัญลักษณ์การคูณและการบวกสลับกันระหว่างจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน จงหาผลต่างระหว่างจำนวนเต็ม $A$ และ $B$ ที่เป็นบวก | แทนที่จะคำนวณ $A$ และ $B$ แยกกัน เราสามารถเขียนนิพจน์ง่ายๆ สำหรับ $A-B$ ดังนี้: \[\begin{aligned} A - B &= (1 \cdot2 + 3 \times4 + 5 \times6 + \cdots + 37 \cdot38 + 39) - (1 + 2 \cdot3 + 4 \cdot5 + \cdots + 36 \times37 + 38 \times39) \\ &= -1 + (1 \cdot2 - 2 \cdot3) + (3 \cdot4 - 4 \cdot5) + \cdots + (37 \cdot 38 - 38 ... | |A-B| = \boxed{722}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ \[\frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}},\]เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ใช้สมบัติ $\log_a b^x = x \log_a b,$ เราได้ \[\begin{aligned} \frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}} &= \frac{2}{6\log_4 2000} + \frac{3}{6\log_5 2000} \\ &= \frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000}. \end{aligned}\]เนื่องจาก $\log_a b = \frac1{\log_b a}$, เราสามารถเขียนได้ \[\frac{1}{3\log_4 2000} + \... | \boxed{\tfrac{1}{6}} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดสมการไฮเปอร์โบลา \[\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4} = 1\] มีเส้นกำกับ $y = \pm mx,$ โดยที่ $m$ เป็นค่าบวก จงหา $m$ | เพื่อหาสมการของเส้นกำกับ เราแทนที่ $1$ ทางด้านขวามือด้วย $0$ จะได้สมการ \[\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4} = 0.\](สังเกตว่าไม่มีจุด $(x, y)$ ใดที่สอดคล้องกับสมการนี้และสมการที่กำหนด ดังนั้นตามที่คาดไว้ ไฮเปอร์โบลาจะไม่ตัดกับเส้นกำกับของมัน) สมการนี้เทียบเท่ากับ $\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{4},$ หรือ $\frac{y}{3} = \pm \frac{... | $ rac{3}{2}$ | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของ 10-tuples $(a_0, a_1, \dots, a_9),$ โดยที่แต่ละสมาชิกเป็น 0 หรือ 1 ดังนั้น $S$ มี $2^{10}$ 10-tuples สำหรับ 10-tuple $s = (a_0, a_1, \dots, a_9)$ ใน $S,$ ให้ $p_s(x)$ เป็นพหุนามดีกรีไม่เกิน 9 ซึ่ง
\[p_s(n) = a_n\]สำหรับ $0 \le n \le 9.$ ตัวอย่างเช่น $p(x) = p_{(0,1,0,0,1,0,1,0,0,0)}(x)$ เป็นพห... | กำหนด
\[p(x) = \sum_{s \in S} p_s(x).\]แล้วสำหรับ $n$ ใดๆ $0 \le n \le 9,$
\[p(n) = \sum_{s \in S} p_s(n) = 2^9 = 512,\]เพราะ $p_s(n) = 0$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว และ $p_s(n) = 1$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว
ดังนั้น $p(x) = 512$ สำหรับค่า $n = 0,$ 1, 2, $\dots,$ 9 จำนวน 10 ค่า นอกจากนี้ $p(x)$ มีดี... | p(10) = \boxed{512}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5... | ถ้า $x \ge 0,$ แล้ว $f(|x|) = f(x).$ และถ้า $x < 0,$ แล้ว $f(|x|) = f(-x).$ ดังนั้น กราฟของ $y = |f(x)|$ จะได้มาจากการนำส่วนของกราฟของ $y = f(x)$ ที่อยู่ทางขวาของแกน $y$ มาทำสำเนาแล้วสะท้อนไปตามแกน $y.$ กราฟที่ถูกต้องคือ $oxed{ ext{A}}.$ | $oxed{ ext{A}}.$ | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่ามากที่สุดของผลรวม $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]จากนั้น $2010 < 3M$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
เกิดความเท่ากันถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$... | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ
\[(x - \sqrt[3]{13})(x - \sqrt[3]{53})(x - \sqrt[3]{103}) = \frac{1}{3}\]มีคำตอบที่แตกต่างกัน 3 คำตอบ คือ $r,$ $s,$ และ $t.$ จงคำนวณค่าของ $r^3 + s^3 + t^3.$ | ให้รากของ $(x - \sqrt[3]{13})(x - \sqrt[3]{53})(x - \sqrt[3]{103}) = 0$ คือ $\alpha,$ $\beta,$ และ $\gamma.$ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= \alpha + \beta + \gamma, \\
rs + rt + st &= \alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma, \\
rst &= \alpha \beta \gamma + \frac{1}{3}.
\end{align*}เรามีกา... | 170 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าจำนวนทั้งสี่จำนวน \[3 - 2\sqrt{2}, \; -3-2\sqrt{2}, \; 1+\sqrt{7}, \; 1-\sqrt{7}\]เป็นรากของพหุนามเดียวกันที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะและไม่เท่ากับศูนย์ จงหาดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนาม | เนื่องจากพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุคของรากที่กำหนดให้แต่ละจำนวนต้องเป็นรากของพหุนามด้วย อย่างไรก็ตาม $1+\sqrt{7}$ และ $1-\sqrt{7}$ เป็นรากสังยุคของกันและกัน ดังนั้นเราจะได้รากเพิ่มอีก $2$ ราก (คุณอาจจะคิดว่า $3-2\sqrt2$ และ $-3-2\sqrt2$ เป็นคู่ของรากสังยุคด้วย แต่รากสังยุคของ $3-2\sqrt2$ คือ $3+2\sqrt... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด
\[f(x) = \frac{x^2 - 6x + 6}{2x - 4}\]และ
\[g(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - d}.\]กำหนดคุณสมบัติต่อไปนี้:
$\bullet$ กราฟของ $f(x)$ และ $g(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเหมือนกัน
$\bullet$ เส้นกำลุ่งเฉียงของ $f(x)$ และ $g(x)$ ตั้งฉากกัน และจุดตัดของเส้นกำลุ่งเฉียงทั้งสองอยู่บนแกน $y$
$\bullet$ กราฟของ $f(x)$ และ $g(x)... | เส้นกำลุ่งแนวตั้งของ $f(x)$ คือ $x = 2.$ ดังนั้น $d = 2.$
โดยวิธีหารยาว,
\[f(x) = \frac{1}{2} x - 2 - \frac{2}{2x - 4}.\]ดังนั้น เส้นกำลุ่งเฉียงของ $f(x)$ คือ $y = \frac{1}{2} x - 2,$ ซึ่งผ่านจุด $(0,-2).$ ดังนั้น เส้นกำลุ่งเฉียงของ $g(x)$ คือ
\[y = -2x - 2.\]ดังนั้น,
\[g(x) = -2x - 2 + \frac{k}{x - 2}\]สำหรับค่าคงท... | \boxed{\left( 4, -\frac{1}{2} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนจริง $a$ และ $b$ โดยที่ $1<a<b$ ซึ่งไม่มีรูปสามเหลี่ยมใดที่มีพื้นที่เป็นบวกที่มีความยาวด้านเป็น $1, a,$ และ $b$ หรือ $\tfrac{1}{b}, \tfrac{1}{a},$ และ $1$ จงหาค่า $b$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | เราทราบว่า $1 < a < b.$ นอกจากนี้เรายังทราบอีกด้วยว่า 1, $a,$ และ $b$ ไม่สามารถเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งในอสมการต่อไปนี้
\begin{align*}
1 + a &> b, \\
1 + b &> a, \\
a + b &> 1
\end{align*}ไม่เป็นจริง เราเห็นว่า $1 + b > b > a$ และ $a + b > a > 1,$ ดังนั้นอสมการที่ไม่เป็นจริงเพียงอย่างเดียวคือ ... | \boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $a > b.$ จงคำนวณค่าของ
\[\frac{1}{ba} + \frac{1}{a(2a - b)} + \frac{1}{(2a - b)(3a - 2b)} + \frac{1}{(3a - 2b)(4a - 3b)} + \dotsb.\] | พจน์ที่ $n$ คือ
\[\frac{1}{[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]}.\]เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
\frac{1}{[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]} &= \frac{a - b}{(a - b)[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) b]} \\
&= \frac{[na - (n - 1) b] - [(n - 1) a - (n - 2) b]}{(a - b)[(n - 1) a - (n - 2) b][na - (n - 1) ... | n | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และกำหนดให้
\[x = \frac{b}{c} + \frac{c}{b}, \quad y = \frac{a}{c} + \frac{c}{a}, \quad z = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}.\]จงทำให้ $x^2 + y^2 + z^2 - xyz$ ง่ายขึ้น | แทนค่าและขยายพจน์ เราได้
\begin{align*}
x^2 + y^2 + z^2 - xyz &= \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right)^2 + \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right)^2 + \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^2 - \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right) \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \righ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดย $f(z) = (4 + i) z^2 + \alpha z + \gamma$ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ทั้งหมด โดยที่ $\alpha$ และ $\gamma$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ $i^2 = - 1$ สมมติว่า $f(1)$ และ $f(i)$ เป็นจำนวนจริงทั้งคู่ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $| \alpha | + |\gamma |$? | ให้ $\alpha = a + bi$ และ $\gamma = c + di,$ โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ และ $d$ เป็นจำนวนจริง แล้ว
\begin{align*}
f(1) &= (4 + i) + \alpha + \gamma = (a + c + 4) + (b + d + 1)i, \\
f(i) &= (4 + i)(-1) + \alpha i + \gamma = (-b + c - 4) + (a + d - 1)i.
\end{align*}เนื่องจาก $f(1)$ และ $f(i)$ เป็นจำนวนจริง $b + d + 1 = 0$ และ... | \boxed{\sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การกระจายของ $(x+1)^n$ มี 3 พจน์ต่อเนื่องกันที่มีสัมประสิทธิ์ในอัตราส่วน $1:2:3$ ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป\[{n\choose k} : {n\choose k+1} : {n \choose k+2}\] จงหาผลรวมของค่า $n+k$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
| ตามนิยาม ${n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ อัตราส่วนของพจน์สองพจน์แรกให้เรา\begin{align*}\frac{1}{2} &= \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}} = \frac{k+1}{n-k}\\ 2&=n-3k\end{align*}อัตราส่วนของพจน์ที่สองและสามให้เรา\begin{align*}\frac{2}{3} &= \frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\frac{n!}{(k+2)!(n-k-2)!... | n+k=\boxed{18} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[a + b + c = ab + ac + bc = abc = 1.\]จงใส่ค่า $a,$ $b,$ $c$ ที่คั่นด้วยจุลภาค ในลำดับใดก็ได้ | โดยสูตรของ Vieta's $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ
\[x^3 - x^2 + x - 1 = 0.\]เราสามารถเขียนได้ว่า $x^2 (x - 1) + (x - 1) = 0,$ หรือ $(x - 1)(x^2 + 1) = 0.$ รากคือ $\boxed{1,i,-i}.$ | \boxed{1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x = 2001^{1002} - 2001^{-1002}$ และ $y = 2001^{1002} + 2001^{-1002}.$ จงหาค่า $x^2 - y^2.$ | เราทราบว่า
\begin{align*}
x^2 - y^2 &= (x + y)(x - y) \\
&= 2 \cdot 2001^{1002} \cdot (-2 \cdot 2001^{-1002}) \\
&= \boxed{-4}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กราฟของพหุนาม
$P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$
มีจุดตัดแกน $x$ ที่แตกต่างกัน 5 จุด โดยจุดหนึ่งอยู่ที่ $(0,0)$ สัมประสิทธิ์ตัวใดต่อไปนี้ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้?
$\textbf{(A)}\ a \qquad \textbf{(B)}\ b \qquad \textbf{(C)}\ c \qquad \textbf{(D)}\ d \qquad \textbf{(E)}\ e$ | เนื่องจาก $P(0) = 0,$ $e = 0.$ ให้จุดตัดแกน $x$ อื่นๆ เป็น $p,$ $q,$ $r,$ และ $s,$ ดังนั้น
\[P(x) = x(x - p)(x - q)(x - r)(x - s).\]สังเกตว่า $d = pqrs.$ เนื่องจากจุดตัดแกน $x$ ทั้งหมดแตกต่างกัน $p,$ $q,$ $r,$ และ $s$ จึงไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น $d$ ต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{\text{(D)}}.$
สัมประสิทธิ์ตั... | \boxed{\text{(D)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรีมีจุดโฟกัสที่ $(2, 2)$ และ $(2, 6)$ และผ่านจุด $(14, -3)$ กำหนดให้เราสามารถเขียนสมการของวงรีในรูปมาตรฐานได้เป็น \[\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1,\]โดยที่ $a, b, h, k$ เป็นค่าคงที่ และ $a$ และ $b$ เป็นค่าบวก จงหาควอดรูเปิล $(a, b, h, k)$ ที่เรียงลำดับ
(ป้อนคำตอบของคุณเป็นรายการที่เรียงลำดับ เช่น "1,... | ผลรวมของระยะทางจาก $(14, -3)$ ถึงจุดโฟกัสทั้งสองคือ \[\sqrt{(14-2)^2 + (-3-2)^2} + \sqrt{(14-2)^2 + (-3-6)^2} = 13 + 15 = 28.\]ดังนั้นแกนเอกมีความยาว $28.$ เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $\sqrt{(2-2)^2 + (2-6)^2} = 4,$ ดังนั้นความยาวของแกนรองคือ $\sqrt{28^2 - 4^2} = 4\sqrt{7^2 - 1} = 4\sqrt{48} = 16\sqrt3.$
จุดศู... | (a, b, h, k) = \boxed{ (8\sqrt3, 14, 2, 4)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงคำนวณ \[\sum_{k=2}^{63} \log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right) \log_k 2 \log_{k+1} 2.\] | เราสามารถเขียน summand ใหม่ได้เป็น \[\begin{aligned} \log_2\left(1+\frac1k\right) \log_k2 \log_{k+1}2 &= \frac{ \log_2\left(\frac{k+1}{k}\right)}{\log_2 k \log_2 (k+1)} \\ &= \frac{\log_2(k+1) - \log_2 k}{\log_2 k \log_2 (k+1)} \\ &= \frac{1}{\log_2 k} - \frac{1}{\log_2 (k+1)}. \end{aligned}\]ดังนั้นผลรวมจะยุบตัวลง: \[... | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
การขยาย $(1+0.2)^{1000}$ โดยทฤษฎีบททวินาม และไม่ทำการจัดรูปเพิ่มเติมให้
\[{1000 \choose 0}(0.2)^0+{1000 \choose 1}(0.2)^1+{1000 \choose 2}(0.2)^2+\cdots+{1000 \choose 1000}(0.2)^{1000}= A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_{1000},\]โดยที่ $A_k = {1000 \choose k}(0.2)^k$ สำหรับ $k = 0,1,2,\ldots,1000.$ สำหรับค่า $k$ ใดที่ทำให้ ... | เพื่อเปรียบเทียบค่า $A_k$ ที่ต่างกัน เราพิจารณาอัตราส่วน $A_k/A_{k-1},$ ซึ่งเท่ากับ \[\frac{A_k}{A_{k-1}} = \frac{\binom{1000}{k} (0.2)^k}{\binom{1000}{k-1} (0.2)^{k-1}} = \frac{\frac{1000!}{k!(1000-k)!} (0.2)^k}{\frac{1000!}{(k-1)!(1001-k)!} (0.2)^{k-1}} = \frac{1001-k}{5k}.\]อสมการ \[\frac{A_k}{A_{k-1}} = \frac{1001-... | k=\boxed{166}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาคำตอบจริงของสมการ
\[x^4 - 2x^3 - x + 2 = 0.\] | เราสามารถแยกตัวประกอบพหุนามได้ดังนี้
\begin{align*}
x^4 - 2x^3 - x + 2 &= (x - 2) x^3 - (x - 2) \\
&= (x - 2)(x^3 - 1) \\
&= (x - 2)(x - 1)(x^2 + x + 1).
\end{align*}ตัวประกอบกำลังสอง $x^2 + x + 1$ ไม่มีคำตอบจริง ดังนั้นคำตอบจริงคือ $\boxed{1,2}.$ | \boxed{1,2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ และ $w$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $|z| = 1$ และ $|w| = 3$ ถ้า $|z+w| = 2$ แล้ว $ \left | \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \right|$ มีค่าเท่าไร? | เราจะทำให้อัตราส่วนที่ต้องการง่ายขึ้น \[
\left | \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \right| = \left | \frac{w+z}{wz} \right|.
\]จากสมบัติ $|ab| = |a|\cdot |b|$ และ $|a/b| = |a|/|b|$ เราแทนค่าขนาดที่กำหนดในโจทย์: \[
\left | \frac{w+z}{wz} \right| = \frac{|w+z|}{|w|\cdot|z|} = \frac{2}{(1)(3)} = \boxed{\frac{2}{3}}.
\] | 2/3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของเศษส่วน 2009 รูปแบบ $\frac{2}{n(n+2)}$ ถ้าค่าของ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 2009 แสดงคำตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง | เราถูกขอให้หา \[
\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{2\cdot4}
+\frac{2}{3\cdot5}
+\frac{2}{4\cdot6}+\cdots+\frac{2}{2009\cdot2011}.
\] สังเกตว่า $\frac{2}{n(n+2)}$ สามารถเขียนได้เป็น $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$. นำเอกลักษณ์นี้มาใช้ผลรวมของเราจะกลายเป็น \[
\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}
+\frac{1}{3}-\frac{1}{5... | \boxed{1.499} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = |g(x^3)|$ ถ้า $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่, ฟังก์ชันคู่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?
ใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งสองอย่าง" | $$f(-x) = |g((-x)^3)| = |g(-x^3)|$$เนื่องจาก $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $g(-x) = -g(x)$ ดังนั้น,
$$f(-x) = |-g(x^3)| = |g(x^3)| = f(x).$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ต่างกัน ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{a}{1 - b} = \frac{b}{1 - c} = \frac{c}{1 - a} = k.\]จงหาผลรวมของค่า $k$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | จากสมการที่กำหนดให้,
\begin{align*}
a &= k(1 - b), \\
b &= k(1 - c), \\
c &= k(1 - a).
\end{align*}แล้ว
\begin{align*}
a &= k(1 - b) \\
&= k(1 - k(1 - c)) \\
&= k(1 - k(1 - k(1 - a))).
\end{align*}ขยายสมการจะได้ $ak^3 + a - k^3 + k^2 - k = 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(k^2 - k + 1)(ak + a - k) = 0.\]ถ้า $ak + a ... | c = k. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้จุด $P,$ $Q,$ และ $R$ แทนด้วยจำนวนเชิงซ้อน $z,$ $(1 + i) z,$ และ $2 \overline{z},$ ตามลำดับ โดยที่ $|z| = 1.$ เมื่อ $P,$ $Q$, และ $R$ ไม่共线 ให้ $S$ เป็นจุดยอดที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน $PQSR.$ จงหาความยาวสูงสุดระหว่าง $S$ กับจุดกำเนิดในระนาบเชิงซ้อน | กำหนดให้ $w$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับจุด $S.$ เนื่องจาก $PQSR$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
\[w = (1 + i) z + 2 \overline{z} - z,\]ดังนั้น $w = 2 \overline{z} + iz.$ แล้ว $\overline{w} = 2z - i \overline{z},$ ดังนั้น
\begin{align*}
|w|^2 &= w \overline{w} \\
&= (2 \overline{z} + iz)(2z - i \overline{z}) \\
&= 4 z ... | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ บนจำนวนเต็มบวกดังนี้:
\[f(n) = \left\{
\begin{array}{cl}
n + 10 & \text{ถ้า $n < 10$}, \\
f(n - 5) & \text{ถ้า $n \ge 10$}.
\end{array}
\right.\] จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน | เราเห็นว่า $f(n) = n + 10$ สำหรับ $n = 1,$ 2, 3, $\dots,$ 9. แล้ว
\begin{align*}
f(10) &= f(5) = 15, \\
f(11) &= f(6) = 16, \\
f(12) &= f(7) = 17, \\
f(13) &= f(8) = 18, \\
f(14) &= f(9) = 19, \\
f(15) &= f(10) = 15,
\end{align*}และอื่นๆ. ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจะกลายเป็นคาบ ด้วยคาบ 5. ดังนั้น ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ $\bo... | \boxed{19}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f(x)=16x+3$ จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $f^{-1}(x)=f((2x)^{-1})$ | นำ $f$ ไปประยุกต์ใช้กับทั้งสองข้างของสมการ $f^{-1}(x) = f((2x)^{-1})$ จะได้ $f(f^{-1}(x)) = f(f((2x)^{-1}))$. ตามนิยามของฟังก์ชันผกผัน $f(f^{-1}(x)) = x$ และ \[f(f((2x)^{-1})) = f \left( f \left( \frac{1}{2x} \right) \right) = f \left( \frac{16}{2x} + 3 \right) = f \left( \frac{8}{x} + 3 \right) = f \left( \frac{3x + 8... | \boxed{51} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ต่างกัน 3 จำนวน ซึ่ง $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเรขาคณิต และ
\[\log_c a, \ \log_b c, \ \log_a b\]เป็นลำดับเลขคณิต จงหาผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต | เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น $b = \sqrt{ac}.$ ดังนั้น ลอการิทึมทั้งสามจะกลายเป็น
\[\log_c a, \ \log_{\sqrt{ac}} c, \ \log_a \sqrt{ac}.\]ให้ $x = \log_c a.$ ดังนั้น โดยสูตรการแปลงฐาน
\[\log_{\sqrt{ac}} c = \frac{\log_c c}{\log_c \sqrt{ac}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \log_c ac} = \frac{2}{\log_c a + \l... | x^2 = \frac{1 - 5x}{2}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดไฮเพอร์โบลาที่มีโฟกัสอยู่ที่ $(5, 0)$ และ $(9, 4)$ จงหาพิกัดของจุดศูนย์กลาง | จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อโฟกัสทั้งสอง จุดศูนย์กลางมีพิกัด $\left(\frac{5+9}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \boxed{(7,2)}.$ | \left(\frac{5+9}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \boxed{(7,2)}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดบนวงกลม $x^2 + y^2 - 12x + 31 = 0,$ และ $B$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y^2 = 4x.$ จงหาค่าระยะทาง $AB$ ที่น้อยที่สุด | สมบูรณ์รูปกำลังสองของ $x^2 + y^2 - 12x + 31 = 0,$ เราได้
\[(x - 6)^2 + y^2 = 5.\]ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(6,0),$ และรัศมีของวงกลมคือ $\sqrt{5}.$
สังเกตว่าพาราโบลา $y^2 = 4x$ หันไปทางขวา ให้ $2t$ เป็นพิกัด $y$ ของ $B.$ แล้ว
\[x = \frac{y^2}{4} = \frac{(2t)^2}{4} = t^2,\]ดังนั้น $B = (t^2,2t).$
ให้ $C = (6,0),... | \boxed{\sqrt{5}}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}\]สำหรับ $x > 0.$ | โดย AM-GM,
\[2 \sqrt{x} + \frac{1}{x} = \sqrt{x} + \sqrt{x} + \frac{1}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}} = 3.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $x = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้ $x^4 + a^2$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็ม $x$ ใดๆ | สำหรับ $1 \le a \le 7,$ เราให้ค่าของ $x$ ซึ่งทำให้ $x^4 + a^2$ เป็นจำนวนเฉพาะ:
\[
\begin{array}{c|c|c}
a & x & a^4 + x^2 \\ \hline
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 5 \\
3 & 10 & 10009 \\
4 & 1 & 17 \\
5 & 2 & 41 \\
6 & 1 & 37 \\
7 & 20 & 160049
\end{array}
\]สำหรับ $a = 8,$
\begin{align*}
x^4 + a^2 &= x^4 + 64 \\
&= x^4 + 16x^2 + ... | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ให้หาค่าของ \[ \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{b-1}{b-2} \cdot \frac{c + 8}{c+6} , \] เมื่อกำหนดให้ $c = b-10$, $b = a+2$, $a = 4$ และไม่มีตัวส่วนใดเป็นศูนย์ | เราเริ่มต้นด้วยการแทนค่า $c$ เพื่อให้ได้ \[ \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{b-1}{b-2} \cdot \frac{(b-10)+8}{(b-10)+6} \\
&= \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{b-1}{b-2} \cdot \frac{b-2}{b-4} . \end{align*} เนื่องจากตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ เราสามารถลบล้าง $(b-2)$ เพื่อให้ได้ \[ \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{b-1}{b-4} .\] จากนั้น โดยการ... | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = ax^7 + bx^3 + cx - 5.$ ถ้า $f(-7) = 7,$ จงหา $f(7).$ | สังเกตว่า
\begin{align*}
f(x) + f(-x) &= (ax^7 + bx^3 + cx - 5) + (a(-x)^7 + b(-x)^3 + c(-x) - 5) \\
&= (ax^7 + bx^3 + cx - 5) + (-ax^7 - bx^3 - cx - 5) \\
&= -10.
\end{align*}โดยเฉพาะ $f(7) + f(-7) = -10,$ ดังนั้น $f(7) = -10 - f(-7) = \boxed{-17}.$ | f(7) = -10 - f(-7) = \boxed{-17}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้ $a_0, a_1, \dots , a_m$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_0 = 37$, $a_1 = 72$, $a_m=0$, และ $$ a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k} $$สำหรับ $k = 1,
2, \dots, m-1$ จงหา $m$. | เราเขียนการถดถอยที่กำหนดใหม่เป็น \[a_ka_{k+1} = a_{k-1}a_k - 3.\]สิ่งนี้บ่งบอกว่าจำนวน $a_0a_1, a_1a_2, a_2a_3, \ldots$ สร้างลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ $-3$ เราได้ $a_0a_1 = 37 \cdot 72$ และ $a_{m-1}a_m = 0$ (เนื่องจาก $a_m = 0$) เนื่องจากสองพจน์นั้นห่างกัน $m-1$ พจน์ เราได้ \[a_{m-1}a_m - a_0a_1 = 0 - 37 \cdo... | 889 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{4}{7} \cdots \frac{49}{52} \cdot \frac{50}{53}$. เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | สังเกตว่าตั้งแต่ $\frac{4}{7}$ ถึง $\frac{50}{53}$ ตัวเศษของแต่ละเศษส่วนจะตัดกันกับตัวส่วนของเศษส่วนสามเทอมก่อนหน้า ดังนั้นผลคูณจะเรียบง่ายเป็น \[\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{51\cdot 52\cdot 53 }= \boxed{\frac{1}{23426}}.\] | \frac{50}{53}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $(x, y)$ เป็นคำตอบของระบบสมการ \[\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \{y\} &= 2.4, \\ \{x\} + \lfloor y \rfloor &= 5.1. \end{aligned} \] จงคำนวณ $|x - y|.$ | พิจารณาสมการแรก \[\lfloor x \rfloor + \{y\} = 2.4.\] เนื่องจาก $\lfloor x \rfloor$ เป็นจำนวนเต็ม ในขณะที่ $0 \le \{y\} < 1$ ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $\lfloor x \rfloor = 2$ และ $\{y\} = 0.4.$ ในทำนองเดียวกัน จากสมการที่สอง เราได้ $\{x\} = 0.1$ และ $\lfloor y \rfloor = 5.$ ดังนั้น \[x = \lfloor x \rfloor + \{x\... | |x-y| = |2.1-5.4| = \boxed{3.3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $1 \le a \le b \le c \le 4.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[(a - 1)^2 + \left( \frac{b}{a} - 1 \right)^2 + \left( \frac{c}{b} - 1 \right)^2 + \left( \frac{4}{c} - 1 \right)^2.\] | โดยอสมการ QM-AM,
\begin{align*}
\sqrt{\frac{(a - 1)^2 + (\frac{b}{a} - 1)^2 + (\frac{c}{b} - 1)^2 + (\frac{4}{c} - 1)^2}{4}} &\ge \frac{(a - 1) + (\frac{b}{a} - 1) + (\frac{c}{b} - 1) + (\frac{4}{c} - 1)}{4} \\
&= \frac{a + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{4}{c} - 4}{4}.
\end{align*}โดยอสมการ AM-GM,
\[a + \frac{b}{a} ... | \boxed{12 - 8 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรีมีจุดโฟกัสที่ $(0, 2)$ และ $(3, 0)$ มีจุดตัดแกน $x$ สองจุด หนึ่งในนั้นคือจุดกำเนิด จงหาอีกจุดหนึ่ง | ผลบวกของระยะทางจาก $(0,0)$ ถึงจุดโฟกัสทั้งสองคือ $ 2 + 3 = 5.$ ตามนิยามของวงรี ผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรีถึงจุดโฟกัสทั้งสองต้องเท่ากับ $5.$ ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $(x, 0)$ เป็นอีกจุดตัดแกน $x$ หนึ่ง ระยะทางจะให้ \[|x-3| + \sqrt{x^2+4} = 5.\]จากการวาดวงรี เราจะเห็นว่า $x>3,$ ดังนั้นเราสามารถละทิ้งเครื่องหมาย... | \boxed{\left(\tfrac{15}{4},0\right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
\[\frac{xy}{x^2 + y^2}\]ในโดเมน $\frac{2}{5} \le x \le \frac{1}{2}$ และ $\frac{1}{3} \le y \le \frac{3}{8}.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{xy}} = \frac{1}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}.\]ให้ $t = \frac{x}{y},$ ดังนั้น $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t + \frac{1}{t}.$ เราต้องการเพิ่มค่าของตัวส่วนนี้ขึ้น
ให้
\[f(t) = t + \frac{1}{t}.\]สมมติว่า $0 < t < u.$ แล้ว
\begin{align*}
f(u) - f(t) &... | \boxed{\frac{6}{13}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(0) = 1$ และ
\[f(xy) = f \left( \frac{x^2 + y^2}{2} \right) + (x - y)^2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด จงหา $f(x).$ | กำหนดให้ $y = 0,$ เราได้
\[f(0) = f \left( \frac{x^2}{2} \right) + x^2.\]ดังนั้น $f(u) = 1 - 2u$ สำหรับ $u \ge 0$ ทั้งหมด
กำหนดให้ $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = f \left( \frac{x^2 + 1}{2} \right) + (x - 1)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{x^2 + 1}{2} + (x - 1)^2 = \boxed{1 - 2x}.\] | y = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $\alpha + \beta$ และ $i(\alpha - 2 \beta)$ เป็นจำนวนจริงบวกทั้งคู่ ถ้า $\beta = 3 + 2i,$ จงคำนวณค่า $\alpha$ | ให้ $x = \alpha + \beta$ และ $y = i (\alpha - 2 \beta).$ จากนั้น $\alpha - 2 \beta = \frac{y}{i} = -yi.$ แก้สมการหา $\alpha$ และ $\beta,$ เราได้
\begin{align*}
\alpha &= \frac{2}{3} x - \frac{y}{3} i, \\
\beta &= \frac{1}{3} x + \frac{y}{3} i.
\end{align*}เนื่องจาก $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง และ $\beta = 3 + 2i,$ ดังน... | $\alpha = \boxed{6 - 2i}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดเส้นตรง $2y - 2a = 6x$ และ $y + 1 = (a + 6)x$ ถ้าเส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกัน จงหาค่าของ $a$ | จัดรูปสมการเส้นตรงแรกให้อยู่ในรูป $y = mx + c$ จะได้ $y = 3x + a$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ 3. ทำนองเดียวกัน สมการเส้นตรงที่สองจะอยู่ในรูป $y = (a + 6)x - 1$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ $a + 6$. เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกัน ค่าความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้นจะเท่ากัน: $3 = a + 6 \Right... | 3 = a + 6 \Rightarrow a = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนามดีกรีสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ \[|f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=|f(5)|=|f(6)|=|f(7)|=12.\] จงหา $|f(0)|$. | ค่า $f(1),$ $f(2),$ $f(3),$ $f(5),$ $f(6),$ $f(7)$ แต่ละค่ามีค่าเท่ากับ 12 หรือ $-12.$ สมการ $f(x) = 12$ มีรากได้มากที่สุด 3 ราก และสมการ $f(x) = -12$ มีรากได้มากที่สุด 3 ราก ดังนั้นมีค่า 3 ค่าที่เท่ากับ 12 และอีก 3 ค่าที่เท่ากับ $-12.$
ให้ $s$ เป็นผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(x) = 12.$ จากสูตรของ Vieta, ผลรวมขอ... | |f(0)| = \boxed{72}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน โดยที่รากของ $x^2 - 10ax - 11b = 0$ คือ $c$ และ $d,$ และรากของ $x^2 - 10cx - 11d = 0$ คือ $a$ และ $b.$ จงหาค่าของ $a + b + c + d.$ | จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
c + d &= 10a, \\
cd &= -11b, \\
a + b &= 10c, \\
ab &= -11d.
\end{align*}จากสมการแรก,
\[d = 10a - c.\]จากสมการที่สาม,
\[b = 10c - a.\]แทนค่าลงในสมการที่สองและสี่, เราได้
\begin{align*}
c(10a - c) &= -11(10c - a), \\
a(10c - a) &= -11(10a - c).
\end{align*}กระจายสมการ, เราได้
... | a + b + c + d = 10c + 10a = 10(a + c) = \boxed{1210}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ \[\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2 + n}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า \[\frac{1}{n^2+n} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.\]ดังนั้นผลรวมจะยุบตัวลง: \[\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2+n} = \left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac23\right)+\dots+\left(\frac1{1000}-\frac1{1001}\right) = \frac11-\frac1{1001} = \boxed{\frac{1000}{1001}}.\] | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x + 2y + z = 4.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[xy + xz + yz.\] | เราสามารถแก้หา $y$ ได้เป็น
\[y = \frac{4 - x - z}{2}.\]แทนค่าลงไปจะได้
\[xy + xz + yz = \frac{-x^2 + 4x - z^2 + 4z}{2} = \frac{8 - (x - 2)^2 - (z - 2)^2}{2}.\]ค่าสูงสุดคือ $\boxed{4},$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x = 2$ และ $z = 2$ (และ $y = 0$). | y = 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมี $-2 - 3i$ เป็นราก และสัมประสิทธิ์ของ $x$ เป็น $-4$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากต้องเป็น $-2 + 3i$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองเป็นผลคูณคงที่ของ
\[(x + 2 + 3i)(x + 2 - 3i) = (x + 2)^2 - (3i)^2 = (x + 2)^2 + 9 = x^2 + 4x + 13.\]เราต้องการให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ เป็น $-4$ ดังนั้นเราคูณพหุนามกำลังสองนี้ด้วย $-1$ เพื่อให้ได้ $\boxed{-x^2 - 4x - 13}.$ | \boxed{-x^2 - 4x - 13}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ฟังก์ชัน $p(x),$ $q(x),$ และ $r(x)$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถอินเวอร์สได้ เราให้
\[f = q \circ p \circ r.\]ข้อใดเป็นนิพจน์ที่ถูกต้องสำหรับ $f^{-1}$?
A. $r^{-1} \circ q^{-1} \circ p^{-1}$
B. $p^{-1} \circ q^{-1} \circ r^{-1}$
C. $r^{-1} \circ p^{-1} \circ q^{-1}$
D. $q^{-1} \circ p^{-1} \circ r^{-1}$
E. $q^{-1}... | กำหนดให้ $y = f(x) = q(p(r(x))).$ นำ $q^{-1}$ มาใช้ เราได้
\[q^{-1}(y) = p(r(x)).\]นำ $p^{-1}$ มาใช้ เราได้
\[p^{-1}(q^{-1}(y)) = r(x).\]สุดท้าย นำ $r^{-1}(x)$ มาใช้ เราได้
\[r^{-1}(p^{-1}(q^{-1}(y))) = x.\]ดังนั้น $f^{-1} = r^{-1} \circ p^{-1} \circ q^{-1}.$ คำตอบที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{C}}.$ | \boxed{\text{C}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉาก $a$ และ $b$ และด้านตรงข้ามมุมฉาก $c.$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ
\[\frac{a + b}{c}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a + b}{2}.\]เนื่องจาก $a^2 + b^2 = c^2,$
\[\frac{c}{\sqrt{2}} \ge \frac{a + b}{2},\]ดังนั้น
\[\frac{a + b}{c} \le \sqrt{2}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a = b,$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{\sqrt{2}}.$ | \boxed{\sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $f(x) = \frac{3}{9^x + 3}.$ จงหาค่าของ
\[f \left( \frac{1}{1001} \right) + f \left( \frac{2}{1001} \right) + f \left( \frac{3}{1001} \right) + \dots + f \left( \frac{1000}{1001} \right).\] | สังเกตว่า
\begin{align*}
f(x) + f(1 - x) &= \frac{3}{9^x + 3} + \frac{3}{9^{1 - x} + 3} \\
&= \frac{3}{9^x + 3} + \frac{3 \cdot 9^x}{9 + 3 \cdot 9^x} \\
&= \frac{3}{9^x + 3} + \frac{9^x}{3 + 9^x} \\
&= \frac{3 + 9^x}{9^x + 3} \\
&= 1.
\end{align*}ดังนั้น เราสามารถจับคู่ 1000 พจน์ในผลบวกเป็น 500 คู่ โดยผลบวกของพจน์ในแต่... | \boxed{500}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.