question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x + f(x)) = 4f(x)\]สำหรับทุกค่า $x,$ และ $f(1) = 4.$ จงหาค่า $f(21).$ | แทน $x = 1,$ เราได้ $f(1 + f(4)) = 4f(1),$ ดังนั้น
\[f(5) = 16.\]แทน $x = 5,$ เราได้ $f(5 + f(5)) = 4f(5),$ ดังนั้น
\[f(21) = \boxed{64}.\] | f(5 + f(5)) = 4f(5), | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(x) + 2f(1 - x) = 3x^2\]สำหรับทุกค่า $x.$ จงหาค่าของ $f(4).$ | แทนค่า $x = 4$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด จะได้
\[f(4) + 2f(-3) = 48.\]แทนค่า $x = -3$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด จะได้
\[f(-3) + 2f(4) = 27.\]คูณสมการที่สองด้วย 2 จะได้ $2f(-3) + 4f(4) = 54.$ ลบสมการ $f(4) + 2f(-3) = 48$ จะได้ $3f(4) = 6$ ดังนั้น $f(4) = \boxed{2}.$ | f(4) = \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนาม ซึ่ง
\[f(x^2 + 1) = x^4 + 4x^2.\]จงหา $f(x^2 - 1).$ | กำหนดให้ $y = x^2 + 1.$ แล้ว $x^2 = y - 1,$ และ $x^4 = y^2 - 2y + 1,$ ดังนั้น
\[f(y) = (y^2 - 2y + 1) + 4(y - 1) = y^2 + 2y - 3.\]ดังนั้น,
\[f(x^2 - 1) = (x^2 - 1)^2 + 2(x^2 - 1) - 3 = \boxed{x^4 - 4}.\] | x^4 = y^2 - 2y + 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5... | กราฟของ $y = f(x - 1)$ ได้มาจากการนำกราฟของ $y = f(x)$ มาเลื่อนไปทางขวา 1 หน่วย กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{D}}.$ | \boxed{\text{D}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรีที่มีแกนขนานกับแกนพิกัดสัมผัสแกน $x$ ที่จุด $(4, 0)$ และสัมผัสแกน $y$ ที่จุด $(0, 1)$ จงหา khoảng cáchระหว่างจุดโฟกัสของวงรี | วงรีต้องมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(4, 1).$ เนื่องจาก $(4,1)$ อยู่ห่างจาก $(0,1)$ มากกว่าที่ห่างจาก $(4,0),$ แกนเอกต้องขนานกับแกน $x$ และมีความยาว $2 \cdot 4 = 8,$ ดังนั้นแกนรองต้องขนานกับแกน $y$ และมีความยาว $2 \cdot 1 = 2.$ ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสของวงรีคือ $\sqrt{8^2 - 2^2} = \boxed{2\sqrt{15}}.$
[asy]
pair A=... | 2√15 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนพจน์ในนิพจน์ที่เรียบง่ายของ \[(x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006}\]โดยการขยายนิพจน์และรวมพจน์ที่คล้ายกัน | มีพจน์เดียวพอดีในนิพจน์ที่เรียบง่ายสำหรับโมโนเมียลของรูป $x^ay^bz^c$ โดยที่ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $a$ เป็นจำนวนคู่ และ $a+b+c=2006$ มีค่า $a$ ที่เป็นจำนวนคู่ 1004 ค่า โดยที่ $0\leq a\leq 2006$ สำหรับค่า $a$ แต่ละค่า $b$ สามารถรับค่าจำนวนเต็ม $2007-a$ ค่าใด ๆ ระหว่าง 0 ถึง $2006-a$ รวมทั้งค่าของ $c$ จะ... | c | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{12}$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $a_1 + a_2 + \dots + a_{12} = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a_1 + a_2 + \dots + a_{12}) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \right) \ge (1 + 1 + \dots + 1)^2 = 12^2 = 144,\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \ge 144.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a_i = \frac{1}{12}$ สำหรับทุก $i,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคื... | \boxed{144}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5... | กราฟของ $y = f(x - 1)$ ได้มาจากการนำกราฟของ $y = f(x)$ เลื่อนไปทางขวา 1 หน่วย กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{D}}.$ | $\boxed{\text{D}}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 4\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 4 &= (x^2 + y^2 + 1 + 2x + 2y + 2xy) + (x^2 - 4x + 4) - 1 \\
&= (x + y + 1)^2 + (x - 2)^2 - 1.
\end{align*}ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{-1},$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x + y + 1 = 0$ และ $x - 2 = 0,$ หรือ $x = 2$ และ $y = -3.$ | y = -3. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูป $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[z^3 = -74 + ci,\]โดยที่ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่า $z.$ | ยกกำลังสามของสมการ $z = x + yi,$ เราได้
\begin{align*}
z^3 &= (x + yi)^3 \\
&= x^3 + 3x^2 yi + 3xy^2 i^2 + y^3 i^3 \\
&= x^3 + 3x^2 yi - 3xy^2 - y^3 i \\
&= (x^3 - 3xy^2) + (3x^2 y - y^3)i.
\end{align*}ดังนั้น $x^3 - 3xy^2 = -74.$ เราได้
\[x(x^2 - 3y^2) = -74.\]ดังนั้น $x$ ต้องเป็นตัวหารของ 74 ซึ่งหมายความว่า $x$ ต้อง... | z = \boxed{1 + 5i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\alpha \neq 1$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งระยะห่างจาก $\alpha^2$ ถึง 1 เท่ากับสองเท่าของระยะห่างจาก $\alpha$ ถึง 1 และระยะห่างจาก $\alpha^4$ ถึง 1 เท่ากับสี่เท่าของระยะห่างจาก $\alpha$ ถึง 1 จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\alpha$ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | จากเงื่อนไขที่กำหนดให้ $|\alpha^2 - 1| = 2 |\alpha - 1|$ และ $|\alpha^4 - 1| = 4 |\alpha - 1|.$ จากสมการแรก
\[|\alpha + 1||\alpha - 1| = 2 |\alpha - 1|.\]เนื่องจาก $\alpha \neq 1,$ $|\alpha - 1| \neq 0.$ ดังนั้น เราสามารถลบตัวประกอบของ $|\alpha - 1|$ ออกได้ ซึ่งจะได้
\[|\alpha + 1| = 2.\]จากสมการที่สอง
\[|\alpha^2 + 1|... | 8x^2 - 8x = 0, | [
"unknown"
] |
หนึ่งในรากของสมการ
\[ax^3 + 3x^2 + bx - 65 = 0,\]คือ $-2 - 3i,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง จงหาว่ารากจริงของพหุนามลูกบาศก์นี้มีค่าเท่าใด | เนื่องจาก $-2 - 3i$ เป็นราก
\[a (-2 - 3i)^3 + 3 (-2 - 3i)^2 + b (-2 - 3i) - 65 = 0.\]เมื่อขยายพจน์แล้ว จะได้
\[(-80 + 46a - 2b) + (36 - 9a - 3b)i = 0.\]ดังนั้น $-80 + 46a - 2b = 0$ และ $36 - 9a - 3b = 0.$ เมื่อแก้สมการแล้วจะได้ $a = 2$ และ $b = 6.$
พหุนามลูกบาศก์นี้คือ $2x^3 + 3x^2 + 6x - 65 = 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวปร... | \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x) - 2 f \left( \frac{1}{x} \right) = 4^x\]สำหรับทุก $x \neq 0.$ จงหา $f(2).$ | กำหนดให้ $x = 2,$ เราได้
\[f(2) - 2 f \left( \frac{1}{2} \right) = 16.\]กำหนดให้ $x = 1/2,$ เราได้
\[f \left( \frac{1}{2} \right) - 2f(2) = 2.\]แก้สมการเหล่านี้เป็นระบบใน $f(2)$ และ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ เราจะได้ $f(2) = \boxed{-\frac{20}{3}}$ และ $f \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{34}{3}.$ | f \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{34}{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ถูกจารึกไว้ในบริเวณที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา $y = x^2 - 8x + 12$ และแกน $x$ ดังแสดงในรูปด้านล่าง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$.
[asy]
unitsize(0.8 cm);
real parab (real x) {
return(x^2 - 8*x + 12);
}
pair A, B, C, D;
real x = -1 + sqrt(5);
A = (4 - x,0);
B = (4 + x,0);
C = (4 + x,-... | สังเกตว่าแกนสมมาตรของพาราโบลาคือ $x = \frac{-(-8)}{2\cdot1}=4.$
ให้ $2t$ เป็นความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้ว
\begin{align*}
A &= (4 - t, 0), \\
B &= (4 + t, 0), \\
C &= (4 + t, -2t), \\
D &= (4 - t, -2t).
\end{align*}แต่ $C$ อยู่บนพาราโบลา $y = x^2 - 8x + 12 = (x - 4)^2 - 4,$ ดังนั้น
\[-2t = t^2 - 4.\]แล้ว $t^2 +... | 24 - 8√5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_{10} 40 +\log_{10} 25$. | ใช้สมบัติ $\log x+\log y=\log xy$ จะได้ว่า $\log_{10} 40+\log_{10} 25=\log_{10}(40\cdot 25)=\log 1000.$ นั่นคือเราต้องการหา $x$ ซึ่ง $10^x=1000$ ซึ่งจะได้ $x=3$ ดังนั้น $\log_{10} 40+\log_{10} 25=\boxed{3}.$ | \log_{10} 40+\log_{10} 25=\boxed{3}. | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ \[\frac{x-10x^2+25x^3}{8-x^3}\]เป็นค่าไม่เป็นลบ แสดงคำตอบในรูปช่วง | ก่อนอื่นให้แยกตัวประกอบ $x$ จากตัวเศษ \[\frac{x(1-10x+25x^2)}{8-x^3}.\]จากนั้นเราจะเห็นกำลังสองของทวินามในตัวเศษ ดังนั้นนิพจน์ของเราเท่ากับ \[\frac{x(1-5x)^2}{8-x^3}.\]ตัวส่วนมีรากจริงเพียงรากเดียวคือ $x=2$ และเราสามารถเข้าใจได้ดีขึ้นโดยใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสาม \[\frac{x(1-5x)^2}{(2-x)(x^2+2x+4)}.\]ตอนนี้เร... | x \in \boxed{[0,2)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับลำดับเลขคณิต $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots,$ ให้
\[S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n,\]และให้
\[T_n = S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_n.\]ถ้าคุณทราบค่าของ $S_{2019},$ คุณสามารถกำหนดค่าของ $T_n$ ได้อย่างเฉพาะเจาะจงสำหรับจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ จำนวนเต็ม $n$ นั้นคืออะไร? | ให้ $a = a_1,$ และให้ $d$ เป็นผลต่างร่วม, ดังนั้น
\[S_n = \frac{2a + (n - 1)d}{2} \cdot n.\]แล้ว
\begin{align*}
T_n &= \sum_{k = 1}^n \left( \frac{2a + (k - 1) d}{2} \cdot k \right) \\
&= \sum_{k = 1}^n \left( \left( a - \frac{d}{2} \right) k + \frac{d}{2} k^2 \right) \\
&= \left( a - \frac{d}{2} \right) \sum_{k = 1}^n... | n = 3027 + 1 = \boxed{3028}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหารากของ $z^2 - z = 5 - 5i.$
ใส่รากที่แยกจากกันด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียน $z^2 - z - (5 - 5i) = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง
\[z = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(5 - 5i)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21 - 20i}}{2}.\]ให้ $21 - 20i = (a + bi)^2,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง สิ่งนี้จะขยายเป็น
\[a^2 + 2abi - b^2 = 21 - 20i.\]เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เราได้ $a^2 - b^2 = 21$ และ $ab = -10,... | \boxed{3 - i, -2 + i}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาพหุนาม $p(x),$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง โดยที่ $p(2) = 5$ และ
\[p(x) p(y) = p(x) + p(y) + p(xy) - 2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | ให้ $q(x) = p(x) - 1.$ ดังนั้น $p(x) = q(x) + 1,$ ดังนั้น
\[(q(x) + 1)(q(y) + 1) = q(x) + 1 + q(y) + 1 + q(xy) + 1 - 2.\]เมื่อขยาย, เราได้
\[q(x)q(y) + q(x) + q(y) + 1 = q(x) + q(y) + q(xy) + 1,\]ดังนั้น $q(xy) = q(x)q(y)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
นอกจากนี้ $q(2) = p(2) - 1 = 4 = 2^2.$ ดังนั้น
\begin{alig... | p(x) = q(x) + 1 = \boxed{x^2 + 1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ
\[\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}.\] | แต่ละพจน์มีรูปแบบ $x^4 + 324$ เพื่อแยกตัวประกอบ เราเขียน: \[\begin{aligned} x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324) - 36x^2\\& = (x^2+18)^2 - 36x^2 \\& = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18) \\ &= (x(x-6)+18)(x(x+6)+18). \end{aligned}\]ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับ \[\frac{(10\cdot4+18)(10\cdot16+18)(22\cdot16+18)(22\cdot28+18) \dots... | x^4+324 = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18) | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 = 3,$ จงหา $r^3 + \frac{1}{r^3}.$ | ขยายพจน์ทางซ้ายมือ เราได้ $r^2 + 2 + \frac{1}{r^2} = 3,$ ดังนั้น
\[r^2 - 1 + \frac{1}{r^2} = 0.\]จากนั้น
\[r^3 + \frac{1}{r^3} = \left( r + \frac{1}{r} \right) \left( r^2 - 1 + \frac{1}{r^2} \right) = \boxed{0}.\] | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบบวกของสมการ
\[x^3 - 3x^2 - x - \sqrt{2} = 0.\] | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $\sqrt{2},$ เราเดาว่าคำตอบบวกมีรูปแบบ $a + b \sqrt{2},$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นให้ $x = a + b \sqrt{2}.$ แทนค่าลงไปจะได้
\[(a + b \sqrt{2})^3 - 3(a + b \sqrt{2})^2 - (a + b \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 0.\]ซึ่งจะขยายเป็น
\[(a^3 + 3a^2 b \sqrt{2} + 6ab^2 + 2b^3 \sqrt{2}) - 3(a^2 + 2ab... | x = \boxed{2 + \sqrt{2}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลหารของการหาร $(3z^4-4z^3+5z^2-11z+2)/(2+3z)$ | \[
\begin{array}{c|ccccc}
\multicolumn{2}{r}{z^3} & -2z^2&+3z&-\frac{17}{3} \\
\cline{2-6}
3z+2 & 3z^4 &- 4z^3 &+ 5z^2&-11z&+2 \\
\multicolumn{2}{r}{3z^4} & +2z^3 \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & -6z^3 & +5z^2 \\
\multicolumn{2}{r}{} &- 6z^3 &-4z^2 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0& 9z^2 & -11z \... | \boxed{z^3 -2z^2+3z-\frac{17}{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
תחוםของฟังก์ชัน $q(x) = x^4 + 4x^2 + 4$ คือ $[0,\infty)$. จงหาพิสัย | เรามี $q(x) = (x^2+2)^2$. เราต้องการที่จะกำหนดเซตของ $y$ ทั้งหมดที่ $q(x)=y$ มีคำตอบ เราต้องมี $y\ge 0$ เพราะว่า $q(x)$ เป็นกำลังสองและกำลังสองเป็นจำนวนไม่เป็นลบ ภายใต้สมมติฐาน $y\ge 0$ เราได้:
$$\begin{array}{r r@{~=~}l}
& y & (x^2+2)^2 \\
\Leftrightarrow & \sqrt y & x^2+2 \\
\Leftrightarrow & \sqrt y-2 & x^2 \\
\end{... | \boxed{[4,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
บริเวณระหว่างกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ ที่ถูกแรเงาในรูปนี้มีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y = 3f (x -2)$ และแกน $x$ จะเท่ากับเท่าใด?
[asy]
defaultpen(linewidth(0.75));
fill((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle,gray(.7));
draw((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--... | กราฟของ $y=f(x-2)$ เป็นเพียงกราฟของ $y=f(x)$ ที่เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ เป็นจุดบนกราฟของ $y=f(x)$ แล้ว $(a+2,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ จากนั้นกราฟของ $y=3f(x-2)$ เป็นกราฟของ $y=f(x-2)$ ที่ปรับขนาดโดยปัจจัย 3 ในทิศทางแนวตั้ง เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f... | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a + 4i$ และ $b + 5i$ เป็นรากของสมการ
\[z^2 - (10 + 9i) z + (4 + 46i) = 0.\]จงหาค่าของ $(a,b)$ | จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
(a + 4i) + (b + 5i) &= 10 + 9i, \\
(a + 4i)(b + 5i) &= 4 + 46i.
\end{align*}จากสมการแรก $a + b + 9i = 10 + 9i,$ ดังนั้น $a + b = 10.$
เมื่อขยายสมการที่สอง เราจะได้
\[(ab - 20) + (5a + 4b)i = 4 + 46i.\]ดังนั้น $ab = 24$ และ $5a + 4b = 46.$
เมื่อแก้สมการ $a + b = 10$ และ $5a ... | (a,b) = \boxed{(6,4)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $x-y=4$ และ $x^3-y^3=28$ แล้วคำนวณค่าของ $xy$ | วิธีที่ 1. จากสมการแรก $x = y+4$ แทนค่าลงในสมการที่สองจะได้ \[(y+4)^3 - y^3 = 28 \implies 12y^2 + 48y + 36 = 0.\]ดังนั้น $y^2 + 4y + 3 = 0$ จึงได้ $(y+1)(y+3) = 0$ ดังนั้น $y=-1$ และ $x=y+4=3$ หรือ $y=-3$ และ $x=y+4=1$ ในทั้งสองกรณี $xy = \boxed{-3}$.
วิธีที่ 2. สมการที่สองสามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้สูตรผลต่างกำลัง... | xy = \frac{-9}{3} = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_{100}$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{100}^2 = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x_1}{1 - x_1^2} + \frac{x_2}{1 - x_2^2} + \frac{x_3}{1 - x_3^2} + \dots + \frac{x_{100}}{1 - x_{100}^2}.\] | สังเกตว่า $x_i < 1$ สำหรับทุกค่า $i.$
เราจะพิสูจน์ว่า
\[\frac{x}{1 - x^2} \ge \frac{3 \sqrt{3}}{2} x^2\]สำหรับทุกค่า $0 < x < 1.$ สิ่งนี้เทียบเท่ากับ $2x \ge 3 \sqrt{3} x^2 (1 - x^2) = 3x^2 \sqrt{3} - 3x^4 \sqrt{3},$ หรือ
\[3 \sqrt{3} x^4 - 3x^2 \sqrt{3} + 2x \ge 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[x (x \sqrt{3} - 1)^... | \boxed{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n) = \log_{2002} n^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด จงหา $f(11) + f(13) + f(14)$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
f(11) + f(13) + f(14) &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 + \log_{2002} 14^2 \\
&= \log_{2002} (11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2) \\
&= \log_{2002} 2002^2 \\
&= \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดลำดับ $b_1, b_2, \ldots$ โดย $b_1 = 1$, $b_2 = 2$, และ $b_{n+1} = b_n b_{n-1}$ จงคำนวณ $b_{20}$ | สังเกตว่าทุกพจน์ $b_n$ จะเป็นกำลังของ 2 โดยเลขชี้กำลังจะเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังของสองพจน์ก่อนหน้า ดังนั้น จงสร้างลำดับ $a_1, a_2, \ldots$ โดย $a_1 = 0$, และ $a_2 = 1$, และ $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$ แน่นอน $a_{20}$ เทียบเท่ากับพจน์ที่ 19 ของลำดับ Fibonacci ซึ่งมีค่าเท่ากับ 4181 ดังนั้น $b_{20} = 2^{a_{20}} = \boxed{2^{4... | b_{20} = 2^{a_{20}} = \boxed{2^{4181}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f_{1}(x)=\sqrt{1-x}$, และสำหรับจำนวนเต็ม $n \geq 2$, กำหนดให้ \[f_{n}(x)=f_{n-1}\left(\sqrt{n^2 - x}\right).\]กำหนดให้ $N$ เป็นค่าที่มากที่สุดของ $n$ ที่ทำให้โดเมนของ $f_n$ ไม่ว่างเปล่า สำหรับค่านี้ของ $N,$ โดเมนของ $f_N$ ประกอบด้วยจุดเดียว $\{c\}.$ จงคำนวณ $c.$ | ฟังก์ชัน $f_{1}(x)=\sqrt{1-x}$ ถูกนิยามเมื่อ $x\leq1$. ต่อไปนี้ \[f_{2}(x)=f_{1}(\sqrt{4-x})=\sqrt{1-\sqrt{4-x}}.\]เพื่อให้ถูกนิยาม เราต้องมี $4-x\ge0$ หรือ $x \le 4,$ และจำนวน $\sqrt{4-x}$ ต้องอยู่ในโดเมนของ $f_1,$ ดังนั้น $\sqrt{4-x} \le 1,$ หรือ $x \ge 3.$ ดังนั้น โดเมนของ $f_2$ คือ $[3, 4].$
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ... | c = \boxed{-231}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x + y) = f(x) f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(2) = 3$ จงหา $f(6)$ | กำหนด $x = 2$ และ $y = 2$ จะได้
\[f(4) = f(2) f(2) = 9.\]กำหนด $x = 4$ และ $y = 2$ จะได้
\[f(6) = f(4) f(2) = \boxed{27}.\] | 27 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนเต็ม $k$ ถูกบวกเข้าไปในแต่ละจำนวน $36$, $300$, และ $596$ จะได้กำลังสองของสามพจน์ที่ต่อเนื่องกันของอนุกรมเลขคณิต จงหา $k$ | จากข้อมูลที่กำหนดให้ เราได้ว่าจำนวนสามจำนวน $\sqrt{36+k}, \; \sqrt{300+k}, \; \sqrt{596+k}$ เป็นลำดับเลขคณิตในลำดับนั้น ดังนั้น เราได้ \[2\sqrt{300+k} = \sqrt{36+k} + \sqrt{596+k}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ เราได้ \[4(300+k) = (36+k) + 2\sqrt{(36+k)(596+k)} + (596+k)\]หรือ \[568 + 2k = 2\sqrt{(36+k)(596+k)}.\]หารด... | 925 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$, $b$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ $a^2+b^2=8ab$ จงหาค่าของ $\left|\frac{a+b}{a-b}\right|$ | สังเกตว่า \[
\left|\frac{a+b}{a-b}\right| = \sqrt{\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}}
= \sqrt{\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}} = \sqrt{\frac{10ab}{6ab}} =
\boxed{\frac{\sqrt{15}}{3}}.
\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
วงรีถูกวาดด้วยแกนเอกและแกนรองมีความยาว 10 และ 8 ตามลำดับ โดยใช้จุดโฟกัสจุดหนึ่งเป็นศูนย์กลาง วงกลมถูกวาดสัมผัสวงรี โดยไม่มีส่วนใดของวงกลมอยู่ภายนอกวงรี จงคำนวณรัศมีของวงกลม | วางวงรีในระนาบพิกัด เช่นเดียวกับที่เคยทำมา โดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ดังนั้นสมการของวงรีคือ
\[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.\]นอกจากนี้ ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงจุดโฟกัสแต่ละจุดคือ $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,$ ดังนั้นจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ $F = (3,0).$
[asy]
unitsize(0.6 cm);
path ell = xscale(5)*yscale(4)... | \boxed{2}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนเต็มดังนี้: $a_i = i$ สำหรับ $1 \le i \le 5,$ และ
\[a_i = a_1 a_2 \dotsm a_{i - 1} - 1\]สำหรับ $i > 5.$ จงหาค่าของ $a_1 a_2 \dotsm a_{2011} - \sum_{i = 1}^{2011} a_i^2.$ | สำหรับ $i \ge 6,$ $a_i = a_1 a_2 \dotsm a_{i - 1} - 1.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a_{i + 1} &= a_1 a_2 \dotsm a_i - 1 \\
&= (a_1 a_2 \dotsm a_{i - 1}) a_i - 1 \\
&= (a_i + 1) a_i - 1 \\
&= a_i^2 + a_i - 1.
\end{align*}แล้ว $a_i^2 = a_{i + 1} - a_i + 1,$ ดังนั้น
\begin{align*}
a_1 a_2 \dotsm a_{2011} - \sum_{i = 1}^{2011}... | a_i^2 = a_{i + 1} - a_i + 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f^{-1}(g(x))=5x+3$ จงหา $g^{-1}(f(-7))$ | เราทราบว่า $f^{-1}(u)=v$ เทียบเท่ากับ $u=f(v)$ ดังนั้น $f^{-1}(g(x))=5x+3$ เทียบเท่ากับ \[g(x)=f(5x+3).\]เราสามารถใช้ $g(s)=t$ เทียบเท่ากับ $s=g^{-1}(t)$ เพื่อกล่าวว่า \[x=g^{-1}(f(5x+3)).\]สิ่งนี้ให้การแสดงออกที่ประกอบด้วย $g^{-1}\circ f$.
ตอนนี้เราแก้สมการ: \[g^{-1}(f(-7))=g^{-1}(f(5(-2)+3)).\]ถ้า $x=-2$ สมการ $g^{... | g^{-1}(f(5x+3))=x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f_{1}(x)=\sqrt{1-x}$, และสำหรับจำนวนเต็ม $n \geq 2$, กำหนด \[f_{n}(x)=f_{n-1}\left(\sqrt{n^2 - x}\right).\]กำหนด $N$ เป็นค่าสูงสุดของ $n$ ที่ทำให้โดเมนของ $f_n$ ไม่ว่างเปล่า สำหรับค่า $N$ นี้ โดเมนของ $f_N$ ประกอบด้วยจุดเดียว $\{c\}.$ จงคำนวณ $c.$ | ฟังก์ชัน $f_{1}(x)=\sqrt{1-x}$ ถูกนิยามเมื่อ $x\leq1$. ต่อไปนี้ \[f_{2}(x)=f_{1}(\sqrt{4-x})=\sqrt{1-\sqrt{4-x}}.\]เพื่อให้ถูกนิยาม เราต้องมี $4-x\ge0$ หรือ $x \le 4,$ และจำนวน $\sqrt{4-x}$ ต้องอยู่ในโดเมนของ $f_1,$ ดังนั้น $\sqrt{4-x} \le 1,$ หรือ $x \ge 3.$ ดังนั้น โดเมนของ $f_2$ คือ $[3, 4].$
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ... | c = \boxed{-231}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลคูณของรากของสมการ \[3x^3 - x^2 - 20x + 27 = 0.\] | โดยสูตรของ Vieta ผลคูณของรากคือค่าลบของสัมประสิทธิ์ของพจน์คงที่หารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุด ($x^3$) ดังนั้น คำตอบคือ \[\frac{-27}{3} = \boxed{-9}.\](อย่าลืมหารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุดของพหุนาม!) | -9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
\[3^x + 4^x + 5^x = 6^x.\] | สังเกตว่า $x = 3$ สอดคล้องกับ $3^x + 4^x + 5^x = 6^x.$ เราจะพิสูจน์ว่านี่เป็นคำตอบเดียว
หารทั้งสองข้างด้วย $6^x,$ เราได้
\[\frac{3^x}{6^x} + \frac{4^x}{6^x} + \frac{5^x}{6^x} = 1.\]กำหนด
\[f(x) = \left( \frac{3}{6} \right)^x + \left( \frac{4}{6} \right)^x + \left( \frac{5}{6} \right)^x.\]สังเกตว่าฟังก์ชัน $f(x)$ เป็น... | x = \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a + b + c = 0.$ จงหาเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $ab + ac + bc.$ | ยกกำลังสองสมการ $a + b + c = 0$ จะได้
\[a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 0.\]ดังนั้น $2(ab + ac + bc) = -(a^2 + b^2 + c^2) \le 0,$ ดังนั้น
\[ab + ac + bc \le 0.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $a = b = c = 0.$
ต่อไป ให้ $c = 0,$ ดังนั้น $a + b = 0$ หรือ $b = -a.$ แล้ว
\[ab + ac + bc = ab = -a^2\]สามารถรับค่าได้ทุกค่าที่ไม่เป็น... | \boxed{(-\infty,0]}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไปสัมผัสวงกลมที่ผ่านจุด $(3,4),$ $(6,8),$ และ $(5,13)$ | กำหนดให้ $O = (0,0),$ $A = (3,4),$ $B = (6,8),$ และ $C = (5,13).$ กำหนดให้ $T$ เป็นจุดบนวงกลมแนบของสามเหลี่ยม $ABC,$ ดังนั้น $\overline{OT}$ สัมผัสวงกลมแนบ. สังเกตว่า $O,$ $A,$ และ $B$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน.
[asy]
unitsize(0.4 cm);
pair A, B, C, O, T;
A = (3,4);
B = (6,8);
C = (5,13);
O = circumcenter(A,B,C);
T = ... | OT = \sqrt{50} = \boxed{5 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระนาบพิกัด เส้นโค้ง $xy = 1$ ตัดวงกลมที่จุดสี่จุด โดยสามจุดคือ $\left( 2, \frac{1}{2} \right),$ $\left( -5, -\frac{1}{5} \right),$ และ $\left( \frac{1}{3}, 3 \right)$ จงหาจุดตัดจุดที่สี่ | ให้สมการของวงกลมเป็น $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$ จาก $xy = 1,$ $y = \frac{1}{x}.$ แทนค่าลงไปจะได้
\[(x - a)^2 + \left( \frac{1}{x} - b \right)^2 = r^2.\]ดังนั้น
\[x^2 - 2ax + a^2 + \frac{1}{x^2} - \frac{2b}{x} + b^2 = r^2,\]นั่นคือ
\[x^4 - 2ax^3 + (a^2 + b^2 - r^2) x^2 - 2bx + 1 = 0.\]โดยทฤษฎีบทของเวียต รากของสมการ... | \boxed{\left( -\frac{3}{10}, -\frac{10}{3} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าคงที่ $A$, $B$, และ $C$ ที่ทำให้
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x}= \frac{A}{x} +\frac{Bx+C}{x^2+1} $$แสดงคำตอบในรูปของสามลำดับ $(A,B,C)$. | โดยการแยกตัวประกอบเศษส่วน,
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x}=\frac{-x^2+3x-4}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} +\frac{Bx+C}{x^2+1} $$การคูณด้วย $x(x^2+1)$ จะได้
$$-x^2+3x-4 = (A+B)x^2 +Cx + A.$$โดยการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ เราจะเห็นว่า $A=-4$ และ $C=3.$ จากนั้น $-4+B=-1$ ซึ่งหมายความว่า $B=3$.
ดังนั้น,
$$\frac{-x^2+3x-4}{x^3+x} = \fra... | (A,B,C) = \boxed{(-4,3,3)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ
\[\cos \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_2 \sin \theta_3 + \cos \theta_3 \sin \theta_4 + \cos \theta_4 \sin \theta_5 + \cos \theta_5 \sin \theta_1,\]สำหรับจำนวนจริง $\theta_1,$ $\theta_2,$ $\theta_3,$ $\theta_4,$ และ $\theta_5$ ทั้งหมด | โดยอสมการเชิงเส้น (Trivial Inequality), $(x - y)^2 \ge 0$ สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ใดๆ เราสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น
\[xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}.\](ดูเหมือน AM-GM แต่เราต้องพิสูจน์สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ไม่ใช่แค่จำนวนที่ไม่เป็นลบ)
ดังนั้น,
\begin{align*}
&\cos \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_2 \sin \theta_3 + \c... | \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $$\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}.$$ | ทำให้นิพจน์ในตัวเศษเป็นรูปมีเหตุผล เราได้
\begin{align*}
\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}\cdot\frac{x^2+2+\sqrt{x^4+4}}{x^2+2+\sqrt{x^4+4}}&=\frac{(x^2+2)^2-(x^4+4)}{x(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4x^2}{x(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4}{\frac{1}{x}(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}\\
&=\frac{4}{x+\frac{2}{x}+\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2... | x=\sqrt{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าที่น้อยที่สุดของจำนวนเต็มบวก $x$ ที่ทำให้ $(2x)^2 + 2 \cdot 37 \cdot 2x + 37^2$ หารด้วย 47 ลงตัว | เราสังเกตว่า $(2x)^2 + 2 \cdot 37 \cdot 2x + 37^2 = (2x + 37)^2$ เพื่อให้พจน์นี้หารด้วย 47 ลงตัว $2x + 37$ ต้องหารด้วย 47 ลงตัว เนื่องจากเราต้องการค่า $x$ ที่น้อยที่สุด เราจึงต้องการให้ $2x + 37 = 47$ ดังนั้น $x = \boxed{5}$ | x = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(xy) = f(x) f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด และ $f(0) \neq 0.$ จงหา $f(10).$ | กำหนด $x = 0$ และ $y = 10,$ เราได้
\[f(0) = f(0) f(10).\]เนื่องจาก $f(0) \neq 0,$ เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $f(0)$ ได้ $f(10) = \boxed{1}.$ | f(10) = \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $a + b + c + d + e + f = 7.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} + \frac{16}{d} + \frac{25}{e} + \frac{36}{f}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a + b + c + d + e + f) \left( \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} + \frac{16}{d} + \frac{25}{e} + \frac{36}{f} \right) \ge (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^2 = 441,\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} + \frac{16}{d} + \frac{25}{e} + \frac{36}{f} \ge \frac{441}{7} = 63.\]สม equalii... | \boxed{63}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของนิพจน์ \[ (a^2+b)^2 - (a^2-b)^2, \]ถ้า $a=4$ และ $b=1$. | วิธีที่รวดเร็วที่สุดน่าจะเป็นการใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
(a^2 + b)^2 - (a^2 - b)^2 &= \bigl[ (a^2 + b) + (a^2 - b) \bigr] \cdot
\bigl[ (a^2 + b) - (a^2 - b) \bigr] \\
&= ( a^2 + b + a^2 - b) \cdot (a^2 + b - a^2 +b ) \\
&= (2 a^2 ) \cdot (2 b) \\
&= 4 a^2 b. \end{align*}เนื่องจาก $a= 4$ และ $... | 64 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\begin{align*}
f(x+4)-f(x) &= 8x+20, \\
f(x^2-1) &= (f(x)-x)^2+x^2-2
\end{align*}สำหรับจำนวนเต็ม $x$ ทั้งหมด จงหาคู่ลำดับ $(f(0),f(1))$ | แทน $x = 0$ ในสมการที่สอง เราได้
\[f(-1) = f(0)^2 - 2.\]แทน $x = -1$ ในสมการที่สอง เราได้
\[f(0) = (f(-1) + 1)^2 - 1.\]ให้ $a = f(0)$ และ $b = f(-1)$ ; แล้ว $b = a^2 - 2$ และ $a = (b + 1)^2 - 1.$ แทน $b = a^2 - 2,$ เราได้
\[a = (a^2 - 1)^2 - 1.\]สมการนี้สามารถจัดรูปใหม่เป็น $a^4 - 2a^2 - a = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็... | f(n) = n^2 + n - 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r_1,$ $r_2,$ และ $r_3$ เป็นรากของสมการ
\[x^3 - 3x^2 + 8 = 0.\]จงหาพหุนามเอกหนา (monic polynomial) ใน $x$ ซึ่งมีรากเป็น $2r_1,$ $2r_2,$ และ $2r_3.$ | กำหนดให้ $y = 2x.$ แล้ว $x = \frac{y}{2},$ ดังนั้น
\[\frac{y^3}{8} - \frac{3y^2}{4} + 8 = 0.\]คูณด้วย 8 จะได้ $y^3 - 6y^2 + 64 = 0.$ พหุนามที่สอดคล้องกันใน $x$ คือ $\boxed{x^3 - 6x^2 + 64}.$ | \boxed{x^3 - 6x^2 + 64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ความยาวด้านของสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เป็นบวกคือ $\log_{10}12$, $\log_{10}75$, และ $\log_{10}n$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $n$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมที่ไม่เสื่อมสภาพที่มีความยาวด้านดังกล่าวจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ \[\left\{ \begin{aligned}\log_{10} 75 + \log_{10} n &> \log_{10} 12, \\ \log_{10}12 + \log_{10} 75 &> \log_{10} n, \\ \log_{10} 12 + \log_{10} n &> \log_{10} 75. \end{aligned} \right.\]อสมการข้อแรกเป็นจริงเสมอ เพราะ $\log_{10} 75 >... | n. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วันอังคารที่ผ่านมา ฉันทำงาน $t+1$ ชั่วโมง และได้ค่าจ้าง $3t-3$ ดอลลาร์ต่อชั่วโมง เพื่อนของฉัน แอนดรูว์ ทำงาน $3t-5$ ชั่วโมง แต่ได้ค่าจ้างเพียง $t+2$ ดอลลาร์ต่อชั่วโมง ในตอนท้ายของวัน ฉันได้เงินมากกว่าเขา 2 ดอลลาร์ ค่าของ $t$ คือเท่าไร? | เนื่องจากฉันได้เงินมากกว่าแอนดรูว์ 2 ดอลลาร์ เราทราบว่า $$(t+1) (3t-3) = (3t-5)(t+2) + 2 \qquad\Rightarrow\qquad 3t^2-3 = 3t^2 + t -8 .$$การทำให้ सरलจะได้ $t = \boxed{5}$. | t = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[z = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}.\]จงคำนวณ $z^6.$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
z^2 &= \left( \frac{-\sqrt{3} + i}{2} \right)^2 \\
&= \frac{3 - 2i \sqrt{3} + i^2}{4} = \frac{3 - 2i \sqrt{3} - 1}{4} \\
&= \frac{2 - 2i \sqrt{3}}{4} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}.
\end{align*}แล้ว
\begin{align*}
z^3 &= z \cdot z^2 \\
&= \frac{-\sqrt{3} + i}{2} \cdot \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \\
&=... | z^6 = i^2 = \boxed{-1}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{3}{2x^{6}-5}$ ฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?
กรอก "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งสองอย่าง" | $$f(-x) = \frac{3}{2(-x)^{6}-5} = \frac{3}{2x^{6}-5} = f(x)$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}.$ | \boxed{\text{คู่}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของอสมการ \[\sqrt[3]{x}+ \frac{2}{\sqrt[3]{x}+ 3} \le 0,\]แสดงคำตอบในรูปช่วงของจำนวนจริง | เนื่องจากเห็นนิพจน์ $\sqrt[3]{x}$ สองครั้ง เราจึงทำการแทน $y = \sqrt[3]{x},$ ดังนั้นอสมการของเราจะกลายเป็น \[y + \frac{2}{y+3} \le 0.\]เมื่อรวมพจน์ทางซ้ายมือภายใต้ส่วนร่วมของตัวส่วน เราจะได้ \[\frac{y^2+3y+2}{y+3} \le 0,\]ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น \[\frac{(y+1)(y+2)}{y+3} \le 0.\]ให้ $f(y) = (y+1)(y+2)/(y+3),$ เราสร้างตา... | $-8 \le x \le -1$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ
\[75x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 12 = 0\]และ
\[12x^5 + dx^4 + ex^3 + fx^2 + gx + 75 = 0\]มีรากร่วมเป็นจำนวนตรรกยะ $k$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม และเป็นลบ จงหาค่า $k$? | ให้ $k = \frac{m}{n}$ ในรูปอย่างต่ำ ซึ่ง $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม จากทฤษฎีบทรากตรรกยะ $m$ หาร 12 ลงตัว และ $m$ หาร 75 ลงตัว ดังนั้น $m$ ต้องหาร $\gcd(12,75) = 3$ ลงตัว ในทำนองเดียวกัน $n$ หาร 75 ลงตัว และ $n$ หาร 12 ลงตัว ดังนั้น $n$ ต้องหาร $\gcd(75,12) = 3$ ลงตัว ดังนั้น $m,$ $n \in \{-3, -1, 1, 3\}.$
เราทราบว่า... | k =\boxed{-\frac{1}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใช้เวลา 24 นาที Jana เดิน 1 ไมล์ ถ้าเป็นอัตราเดียวกัน Jana จะเดินได้ไกลเท่าไรเป็นไมล์ใน 10 นาที แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่ 1 | โดยใช้การวิเคราะห์มิติ เราได้ $\dfrac{1\mbox{ ไมล์}}{24\mbox{ นาที}} \times 10\mbox{ นาที} = \dfrac{5}{12}$ ไมล์ หรือ $\boxed{0.4\mbox{ ไมล์}}$ ปัดเศษเป็นหลักที่ 1 | \boxed{0.4\mbox{ ไมล์}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กราฟของ $y = x^3 - 3x + 2$ และ $x + 4y = 4$ ตัดกันที่จุด $(x_1,y_1),$ $(x_2,y_2),$ และ $(x_3,y_3).$ ถ้า $x_1 + x_2 + x_3 = A$ และ $y_1 + y_2 + y_3 = B,$ จงคำนวณ ค่าของ $(A,B).$ | จาก $x + 4y = 4,$ $y = -\frac{x}{4} + 1.$ ดังนั้น $x_i$ คือ รากของ
\[x^3 - 3x + 2 = -\frac{x}{4} + 1.\]จากสูตรของ Vieta's, $x_1 + x_2 + x_3 = 0,$ และ
\[y_1 + y_2 + y_3 = -\frac{x_1}{4} + 1 - \frac{x_2}{4} + 1 - \frac{x_3}{4} + 1 = -\frac{x_1+x_2+x_3}{4}+3 = 3.\]ดังนั้น $(A,B) = \boxed{(0,3)}.$ | (A,B) = \boxed{(0,3)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $r$ ใดๆ พหุนาม $8x^3 - 4x^2 - 42x + 45$ หารด้วย $(x - r)^2$ ลงตัว จงหา $r$ | ให้รากที่สามตัวที่สามเป็น $s.$ ดังนั้น
\[8x^3 - 4x^2 - 42x + 45 = 8(x - r)^2 (x - s) = 8x^3 - 8(2r + s) x^2 + 8(r^2 + 2rs) x - 8r^2 s.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ เราจะได้
\begin{align*}
2r + s &= \frac{1}{2}, \\
r^2 + 2rs &= -\frac{21}{4}, \\
r^2 s &= -\frac{45}{8}.
\end{align*}จากสมการแรก $s = \frac{1}{2} - 2r.$ แทนค่าลง... | r^2 s = -\frac{45}{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 4x + c$ และ $g(x) = cx + 2.$ ถ้า $f(g(x)) = 12x + d,$ จงหาค่า $d$. | เรามีว่า
\[f(g(x)) = f(cx + 2) = 4(cx + 2) + c = 4cx + c + 8 = 12x + d.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้ว่า $4c = 12$ และ $d = c + 8,$ ดังนั้น $c = 3,$ และ $d = 3 + 8 = \boxed{11}.$ | d = 3 + 8 = \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r_1,$ $r_2,$ และ $r_3$ เป็นรากของสมการ
\[x^3 - 3x^2 + 8 = 0.\]จงหาพหุนามเอกหนาใน $x$ ซึ่งมีรากเป็น $2r_1,$ $2r_2,$ และ $2r_3.$ | กำหนดให้ $y = 2x.$ แล้ว $x = \frac{y}{2},$ ดังนั้น
\[\frac{y^3}{8} - \frac{3y^2}{4} + 8 = 0.\]คูณด้วย 8 จะได้ $y^3 - 6y^2 + 64 = 0.$ พหุนามที่สอดคล้องกันใน $x$ คือ $\boxed{x^3 - 6x^2 + 64}.$ | \boxed{x^3 - 6x^2 + 64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x,$ โดยที่ $x$ ไม่เท่ากับศูนย์ และจำนวน $\{x\},$ $\lfloor x \rfloor,$ และ $x$ เป็นลำดับเลขคณิตในลำดับนั้น (เราให้ $\{x\} = x - \lfloor x\rfloor.$) | เราต้องมี \[\lfloor x \rfloor - \{x\} = x - \lfloor x \rfloor,\]หรือเมื่อทำให้ง่ายขึ้นทางด้านขวามือ, \[\lfloor x \rfloor - \{x\} = \{x\}.\]ดังนั้น, \[\lfloor x \rfloor = 2\{x\}.\]เนื่องจากด้านซ้ายมือเป็นจำนวนเต็ม $2\{x\}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม เราทราบว่า $0 \le \{x\} < 1,$ ดังนั้น $\{x\} = 0$ หรือ $\{x\} = \tfrac12$ ถ้า $\... | x = 1 + \tfrac12 = \boxed{\tfrac32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสามแถวแรกของสามเหลี่ยมปาสกาล ดังนี้
\[
\begin{array}{ccccccc}
& & 1 & & 1 & & \\
& 1 & & 2 & & 1 & \\
1 & & 3 & & 3 & & 1
\end{array}
\]ให้ $(a_i),$ $(b_i),$ $(c_i)$ เป็นลำดับของสมาชิกในแถวที่ 2005, 2006 และ 2007 ตามลำดับ โดยสมาชิกทางซ้ายสุดมีค่า $i = 0.$ จงคำนวณ
\[\sum_{i = 0}^{2006} \frac{b_i}{c_i} - \sum_{i = ... | โดยทั่วไป สมมติ $(a_i),$ $(b_i),$ $(c_i)$ แทนสมาชิกในแถว $n - 1,$ $n,$ $n + 1$ ของสามเหลี่ยมปาสกาล ตามลำดับ ดังนั้น
\[a_i = \binom{n - 1}{i}, \ b_i = \binom{n}{i}, \ c_i = \binom{n + 1}{i},\]ดังนั้น
\begin{align*}
\frac{a_i}{b_i} &= \frac{\binom{n - 1}{i}}{\binom{n}{i}} \\
&= \frac{\frac{(n - 1)!}{i! (n - i - 1)!}}{\fr... | 1/2 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนเต็มบวก $a$, $b$, และ $c$ ถูกเลือกมาโดยที่ $a<b<c$ และระบบสมการ \[
2x + y = 2003\quad\text{and}\quad y = |x-a| + |x-b| + |x-c|
\]มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว จงหาค่าต่ำสุดของ $c$ | เนื่องจากระบบสมการมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว กราฟของสมการทั้งสองต้องตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น ถ้า $x<a$ สมการ $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ เทียบเท่ากับ $y =-3x + (a+b+c)$ โดยการคำนวณที่คล้ายกัน เราได้
\[
y =
\begin{cases}
-3x + (a+b+c), &\text{if }x<a\\
-x + (-a+b+c), &\text{if }a\le x<b\\
x + (-a-b+c), &\text{if }b\le x<... | \boxed{1002} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $-1 + 2 + 3 + 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 + \dots + 10000$ เมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนหลังจากแต่ละกำลังสองสมบูรณ์ | เราสามารถแสดงผลรวมได้ดังนี้
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^{100} (-1)^n \sum_{k = (n - 1)^2 + 1}^{n^2} k &= \sum_{n = 1}^{100} (-1)^n \cdot \frac{(n - 1)^2 + 1 + n^2}{2} \cdot (2n - 1) \\
&= \sum_{n = 1}^{100} (-1)^n (2n^3 - 3n^ 2+ 3n - 1) \\
&= \sum_{n = 1}^{100} (-1)^n (n^3 + (n - 1)^3) \\
&= -0^3 - 1^3 + 1^3 + 2^3 - 2^... | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีรากเป็น $-2 - i \sqrt{5}$ | ถ้าพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง แล้วคอนจูเกตเชิงซ้อนของรากใดๆ จะต้องเป็นรากด้วย ดังนั้น รากอีกตัวหนึ่งคือ $-2 + i \sqrt{5}$ ดังนั้น พหุนามคือ
\[(x + 2 + i \sqrt{5})(x + 2 - i \sqrt{5}) = (x + 2)^2 - 5i^2 = \boxed{x^2 + 4x + 9}.\] | $x^2 + 4x + 9$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(x + y) = f(x) + f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด และ $f(4) = 5.$ จงหา $f(5).$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
f(4) &= f(3) + f(1) \\
&= f(2) + f(1) + f(1) \\
&= f(1) + f(1) + f(1) + f(1),
\end{align*}ดังนั้น $4f(1) = 5,$ ซึ่งหมายความว่า $f(1) =\frac{5}{4}.$ ดังนั้น,
\[f(5) = f(1) + f(4) = 5 + \frac{5}{4} = \boxed{\frac{25}{4}}.\] | f(1) =\frac{5}{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $-1 + 2 + 3 + 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 + \dots + 10000$ โดยที่เครื่องหมายจะเปลี่ยนหลังจากแต่ละกำลังสองสมบูรณ์ | เราสามารถแสดงผลรวมได้ดังนี้
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^{100} (-1)^n \sum_{k = (n - 1)^2 + 1}^{n^2} k &= \sum_{n = 1}^{100} (-1)^n \cdot \frac{(n - 1)^2 + 1 + n^2}{2} \cdot (2n - 1) \\
&= \sum_{n = 1}^{100} (-1)^n (2n^3 - 3n^ 2+ 3n - 1) \\
&= \sum_{n = 1}^{100} (-1)^n (n^3 + (n - 1)^3) \\
&= -0^3 - 1^3 + 1^3 + 2^3 - 2^... | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
กำหนดให้ $f(x) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{f(x) f(y) - f(xy)}{3} = x + y + 2\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{R}.$ จงหา $f(x).$ | เราเขียนสมการเชิงฟังก์ชันใหม่เป็น
\[f(x)f(y) - f(xy) = 3x + 3y + 6.\]แทนค่า $x = y = 0,$ เราได้
\[f(0)^2 - f(0) = 6.\]ดังนั้น $f(0)^2 - f(0) - 6 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(f(0) - 3)(f(0) + 2) = 0.$ ดังนั้น $f(0) = 3$ หรือ $f(0) = -2.$
แทนค่า $y = 0,$ เราได้
\[f(0) f(x) - f(0) = 3x + 6.\]ดังนั้น
\[f(x) - 1 = \fra... | f(x) = \boxed{x + 3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $a^2 + b^2 + c^2,$ โดยที่ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ \[2x^3 - x^2 + 4x + 10 = 0.\] | จากสูตรของ Vieta's เราทราบว่า \[\begin{aligned} a+b+c &= \frac12, \\ ab+bc+ca &= \frac42 = 2, \\ abc &= -\frac{10}2 = -5. \end{aligned}\]เรา squaring ทั้งสองข้างของ $a+b+c=\frac12,$ ซึ่งจะสร้างพจน์ $a^2+b^2+c^2$: \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = \frac14.\]แทน $ab+bc+ca=2$ เราได้ \[a^2+b^2+c^2+2(2)=\frac14,\]ดังน... | ab+bc+ca=2, | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคำตอบของสมการ
\[\frac{13x - x^2}{x + 1} \left( x + \frac{13 - x}{x + 1} \right) = 42.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | คูณทั้งสองข้างด้วย $(x + 1)^2,$ เราจะได้
\[(13x - x^2)(x(x + 1) + (13 - x)) = 42(x + 1)^2.\]สมการนี้จะขยายเป็น $x^4 - 13x^3 + 55x^2 - 85x + 42 = 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 1)(x - 6)(x^2 - 6x + 7) = 0.$ โดยใช้สูตรกำลังสอง รากของ $x^2 - 6x + 7 = 0$ คือ $3 \pm \sqrt{2}.$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{1, 6, 3 + \s... | \boxed{1, 6, 3 + \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนาม โดยเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-17$ แล้วเหลือเศษ 14 และเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-13$ แล้วเหลือเศษ 6 จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x-17)$ | เนื่องจากเราหารด้วยพหุนามกำลังสอง เศษที่เหลือจะมีดีกรีไม่เกิน 1 ดังนั้นเศษที่เหลืออยู่ในรูป $ax+b$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ ใดๆ เราได้
$$P(x) = (x-13)(x-17)Q(x) + ax+b$$โดยที่ $Q(x)$ คือผลหารเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x-17)$ เราสามารถกำจัดพจน์ $Q(x)$ ได้โดยการแทนค่า $x=13$ หรือ $x=17$ โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ เราจะได้... | \boxed{2x-20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับ $a_1$, $a_2$, $\ldots$ ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบโดยกฎ $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$ สำหรับ $n\geq1$. ถ้า $a_1=999$, $a_2<999$, และ $a_{2006}=1$ จงหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ที่ต่างกันของ $a_2$ | เงื่อนไข $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$ หมายความว่า $a_n$ และ $a_{n+3}$ มี parity เดียวกันสำหรับทุก $n\geq 1$. เนื่องจาก $a_{2006}$ เป็นเลขคี่ $a_2$ ก็เป็นเลขคี่เช่นกัน. เนื่องจาก $a_{2006}=1$ และ $a_n$ เป็นทวีคูณของ $\gcd(a_1,a_2)$ สำหรับทุก $n$ ดังนั้น $1=\gcd(a_1,a_2)=\gcd(3^3\cdot 37,a_2)$. มีจำนวนเต็มคี่ 499 ตัวในช่วง $[... | a_{2006}=1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\log (xy^3)= 1$ และ $\log (x^2y) = 1$, ค่าของ $\log (xy)$ คือเท่าไร? | เราได้ \[1 = \log(xy^{3}) = \log x + 3\log y \quad\text{และ}\quad 1 = \log(x^{2}y) = 2\log x + \log y.\]เมื่อแก้สมการจะได้ $\log x = \frac{2}{5}$ และ $\log y = \frac{1}{5}$ ดังนั้น \[\log(xy) = \log x + \log y = \boxed{\frac{3}{5}}.\] | $\frac{3}{5}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
\[\frac{xy}{x^2 + y^2}\]ในโดเมน $\frac{2}{5} \le x \le \frac{1}{2}$ และ $\frac{1}{3} \le y \le \frac{3}{8}.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{xy}} = \frac{1}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}.\]ให้ $t = \frac{x}{y},$ ดังนั้น $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t + \frac{1}{t}.$ เราต้องการเพิ่มค่าของตัวส่วนนี้ขึ้น
ให้
\[f(t) = t + \frac{1}{t}.\]สมมติว่า $0 < t < u.$ แล้ว
\begin{align*}
f(u) - f(t) &... | \boxed{\frac{6}{13}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x + y = 10$ จงหาค่าต่ำสุดของ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ | โดยอสมการเลขคณิต-ฮาร์มอนิก
\[\frac{x + y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x + y} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = 5$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{2}{5}}.$ | \boxed{\frac{2}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ โดยที่ $a + b + c = 1.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[\frac{ab}{a + b} + \frac{ac}{a + c} + \frac{bc}{b + c}.\] | โดย AM-HM,
\[\frac{a + b}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b},\]ดังนั้น
\[\frac{ab}{a + b} \le \frac{a + b}{4}.\]ทำนองเดียวกัน,
\begin{align*}
\frac{ac}{a + c} \le \frac{a + c}{4}, \\
\frac{bc}{b + c} \le \frac{b + c}{4}.
\end{align*}ดังนั้น,
\[\frac{ab}{a + b} + \frac{ac}{a + c} + \frac{bc}{... | \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5... | ถ้า $x \ge 0,$ แล้ว $f(|x|) = f(x).$ และถ้า $x < 0,$ แล้ว $f(|x|) = f(-x).$ ดังนั้น กราฟของ $y = f(|x|)$ ได้มาจากการนำส่วนของกราฟ $y = f(x)$ ที่อยู่ทางขวาของแกน $y$ มาทำสำเนาโดยสะท้อนผ่านแกน $y$ กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{A}}.$ | \boxed{\text{A}}. | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f_0(x)=x+|x-100|-|x+100|$, และสำหรับ $n\geq 1$, กำหนด $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1$. จงหาจำนวนค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f_{100}(x)=0$? | สำหรับจำนวนเต็ม $n \ge 1$ และ $k \ge 0,$ ถ้า $f_{n - 1}(x) = \pm k,$ แล้ว
\[f_n(x) = |f_{n - 1}(x)| - 1 = k - 1.\]นั่นหมายความว่าถ้า $f_0(x) = \pm k,$ แล้ว $f_k(x) = 0.$
ยิ่งกว่านั้น ถ้า $f_n(x) = 0,$ แล้ว $f_{n + 1}(x) = -1,$ และ $f_{n + 2}(x) = 0.$ ดังนั้น $f_{100}(x) = 0$ ก็ต่อเมื่อ $f_0(x) = 2k$ สำหรับจำนวนเต็ม $... | 2 + 2 + 3 \cdot 99 = \boxed{301}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับวงรีที่แสดงด้านล่าง จงหาความ distanced ระหว่างจุดโฟกัส
[asy]
unitsize(0.3 cm);
int i, n = 10;
for (i = -n; i <= n; ++i) {
draw((i,-n)--(i,n),gray(0.7));
draw((-n,i)--(n,i),gray(0.7));
}
draw((0,-n)--(0,n));
draw((-n,0)--(n,0));
draw(shift((1,1))*xscale(2)*yscale(6)*Circle((0,0),1),red);
dot((1,1));
[/as... | เราเห็นว่าแกนกึ่งเอกมีค่า $a = 6$ และแกนกึ่งโทมีค่า $b = 2$ ดังนั้น $c = \sqrt{a^2 - b^2} = 4 \sqrt{2}$ ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{8 \sqrt{2}}$ | 2c = \boxed{8 \sqrt{2}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณผลรวมของกำลังสองของรากของสมการ \[x^{2018} +44x^{2015} + 3x^3 + 404 = 0.\] | ให้ $r_1, r_2, \dots, r_{2018}$ เป็นรากของสมการ โดยทฤษฎีบทของเวียต้า $r_1+r_2+\dots+r_{2018}=0.$ เพื่อที่จะได้พจน์กำลังสองที่ต้องการ เรา squaring ทั้งสองข้างของสมการ ซึ่งจะได้ \[(r_1^2+r_2^2+\dots+r_{2018}^2) + 2(r_1r_2+r_1r_3+\dotsb) = 0,\]โดยที่พจน์ที่สองทางซ้ายมือคือผลรวมของพจน์ $r_ir_j,$ โดยที่ $i < j.$ โดยทฤษฎีบทข... | 0, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $F_1 = (0,1)$ และ $F_ 2= (4,1).$ เซตของจุด $P$ ที่สอดคล้องกับ
\[PF_1 + PF_2 = 6\]จะสร้างวงรี สมการของวงรีนี้สามารถเขียนได้ในรูป
\[\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1.\]จงหา $h + k + a + b.$ | เราทราบว่า $2a = 6,$ ดังนั้น $a = 3.$ ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = 4,$ ดังนั้น $c = 2.$ ดังนั้น $b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{5}.$
จุดศูนย์กลางของวงรีคือจุดกึ่งกลางของ $\overline{F_1 F_2},$ ซึ่งคือ $(2,1).$ ดังนั้น สมการของวงรีคือ
\[\frac{(x - 2)^2}{3^2} + \frac{(y - 1)^2}{(\sqrt{5})^2} = 1.\]ดังนั้น $h + k + a... | h + k + a + b = 2 + 1 + 3 + \sqrt{5} = \boxed{6 + \sqrt{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นรากที่ 3 ของ $x^3-x+1=0$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$ | เราสามารถแทน $x=y-1$ เพื่อให้ได้พหุนามที่มีราก $a+1$, $b+1$, $c+1$ นั่นคือ
\[(y-1)^3-(y-1)+1=y^3-3y^2+2y+1.\]ผลบวกของส่วนกลับของรากของพหุนามนี้ โดยใช้สูตรของ Vieta's formulas คือ $\frac{2}{-1}=\boxed{-2}$ | \frac{2}{-1}=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนจริงบวกกี่คำตอบที่สอดคล้องกับสมการ $x^{10}+7x^9+14x^8+1729x^7-1379x^6=0$? | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการได้เป็น
\[x^6 (x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379) = 0.\]เนื่องจากเราต้องการหาคำตอบจริงบวก สมการจะลดรูปเป็น
\[x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.\]พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.$ ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นสำหรับ $x > 0.$ นอกจากนี้ $f(0) < 0$ และ $f(1) > 0,$ ดังนั้นมีคำตอบจ... | (0,1). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ
\[\frac{\lfloor \sqrt[4]{1} \rfloor \cdot \lfloor \sqrt[4]{3} \rfloor \cdot \lfloor \sqrt[4]{5} \rfloor \dotsm \lfloor \sqrt[4]{2015} \rfloor}{\lfloor \sqrt[4]{2} \rfloor \cdot \lfloor \sqrt[4]{4} \rfloor \cdot \lfloor \sqrt[4]{6} \rfloor \dotsm \lfloor \sqrt[4]{2016} \rfloor}.\] | เราสามารถเขียนนิพจน์ได้เป็น
\[\frac{\lfloor \sqrt[4]{1} \rfloor}{\lfloor \sqrt[4]{2} \rfloor} \cdot \frac{\lfloor \sqrt[4]{3} \rfloor}{\lfloor \sqrt[4]{4} \rfloor} \cdot \frac{\lfloor \sqrt[4]{5} \rfloor}{\lfloor \sqrt[4]{6} \rfloor} \dotsm \frac{\lfloor \sqrt[4]{2015} \rfloor}{\lfloor \sqrt[4]{2016} \rfloor}.\]สำหรับแ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดลำดับที่นิยามแบบวนซ้ำโดย $u_1 = a > 0$ และ
\[u_{n + 1} = -\frac{1}{u_n + 1}\]สำหรับ $n \ge 1.$ แสดง $u_{16}$ ในรูปของ $a.$ | เรามีว่า
\begin{align*}
u_2 &= -\frac{1}{a + 1}, \\
u_3 &= -\frac{1}{-\frac{1}{a + 1} + 1} = -\frac{a + 1}{a}, \\
u_4 &= -\frac{1}{-\frac{a + 1}{a} + 1} = a.
\end{align*}เนื่องจาก $u_4 = u_1,$ และแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าเท่านั้น ลำดับจึงเป็นคาบ โดยมีคาบยาว 3 ดังนั้น $u_{16} = u_1 = \boxed{a}.$ | u_{16} = u_1 = \boxed{a}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a<0$ และ $a<b<c$ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ?
$ab < bc$
$ac<bc$
$ab< ac$
$a+b<b+c$
$c/a <1$
กรุณาใส่คำตอบเป็นรายการตัวเลือกที่เป็นจริงเสมอ ตัวอย่างเช่น หากคุณคิดว่าตัวเลือกแรกและตัวเลือกที่สามเป็นจริง ให้ใส่ A, C | พิจารณา $b$ ที่เป็นลบและ $c$ ที่เป็นบวก จากนั้น $ab$ เป็นบวกและ $bc$ เป็นลบ ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่เป็นจริง
หากเราพิจารณาจำนวนลบสำหรับตัวแปรทั้งสาม $ac>bc$ ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่เป็นจริง
พิจารณา $b$ ที่เป็นลบและ $c$ ที่เป็นบวก จากนั้น $ab$ เป็นบวกและ $ac$ เป็นลบ ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่เป็นจริง
การลบ $b$ จากทั้งสองข้าง... | \boxed{D, E} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาว $\log_4 27$ และ $\log_2 9.$ ถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $h,$ จงคำนวณ $4^h.$ | ให้ $t = \log_4 3.$ แล้ว $\log_4 27 = 3 \log_4 3 = 3t,$ และ $\log_2 9 = \frac{\log_4 9}{\log_4 2} = \frac{2 \log_4 3}{1/2} = 4t.$ ดังนั้นสามเหลี่ยมนี้มีด้านในอัตราส่วน $3:4:5,$ ดังนั้น $h = 5t = 5 \log_4 3 = \log_4 243.$ ดังนั้น $4^h = \boxed{243}.$ | 4^h = \boxed{243}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n \le 1000$ ที่สามารถเขียนอยู่ในรูป
\[\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor = n\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ | ให้ $m = \lfloor x \rfloor.$
ถ้า $m \le x < m + \frac{1}{3},$ แล้ว
\[\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor = m + 2m + 3m = 6m.\]ถ้า $m + \frac{1}{3} \le x < m + \frac{1}{2},$ แล้ว
\[\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor = m + 2m + 3m + 1 = 6m + 1.\]ถ้า $m + \frac{1}{2} \le x... | 166 + 167 + 167 + 167 = \boxed{667}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ก่อนอื่น,
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการหาค่าของ
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]ที่ $x = \frac{1}{2}.$ โดยใช้ผลต่างกำลังสอง,
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^... | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้จุด $P,$ $Q,$ และ $R$ แทนด้วยจำนวนเชิงซ้อน $z,$ $(1 + i) z,$ และ $2 \overline{z}$ ตามลำดับ โดยที่ $|z| = 1.$ เมื่อ $P,$ $Q$, และ $R$ ไม่共线 ให้ $S$ เป็นจุดยอดที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน $PQSR.$ จงหาความยาวสูงสุดระหว่าง $S$ กับจุดกำเนิดบนระนาบเชิงซ้อน | ให้ $w$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับจุด $S.$ เนื่องจาก $PQSR$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
\[w = (1 + i) z + 2 \overline{z} - z,\]ดังนั้น $w = 2 \overline{z} + iz.$ แล้ว $\overline{w} = 2z - i \overline{z},$ ดังนั้น
\begin{align*}
|w|^2 &= w \overline{w} \\
&= (2 \overline{z} + iz)(2z - i \overline{z}) \\
&= 4 z \overl... | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคูณ $(2x^3-5y^2)(4x^6+10x^3y^2+25y^4)$ | ผลคูณที่กำหนดสามารถเขียนใหม่ในรูป $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ซึ่งเป็นการแยกตัวประกอบของ $a^3-b^3$ เมื่อ $a=2x^3$ และ $b=5y^2$ ดังนั้น นิพจน์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6}$ | a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมการ $x^2 + 2x = i$ มีคำตอบเชิงซ้อนสองคำตอบ จงหาผลคูณของส่วนจริงของคำตอบทั้งสอง | เติมกำลังสองโดยการบวก 1 ลงในแต่ละข้าง แล้ว $(x+1)^2 = 1+i=e^{\frac{i\pi}{4}} \sqrt{2}$ ดังนั้น $x+1 = \pm e^{\frac{i\pi}{8}}\sqrt[4]{2}$ ผลคูณที่ต้องการคือ
\begin{align*}
\left( -1+\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\sqrt[4]{2} \right) \left( -1-\cos\left( \frac{\pi}{8}\right) \sqrt[4]{2}\right) &= 1-\cos^2\left( \frac{\pi}... | x+1 = \pm e^{\frac{i\pi}{8}}\sqrt[4]{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $$ \frac{1}{2}\times4\times\frac{1}{8}\times16\times\frac{1}{32}\times64\times\frac{1}{128}\times256\times\frac{1}{512}\times1024?$$ | เราจับคู่พจน์ในผลคูณดังนี้: $$ \left(\frac{1}{2} \times 4\right) \times \left(\frac{1}{8} \times 16\right) \times \left(\frac{1}{32} \times 64\right) \times \left(\frac{1}{128} \times 256\right) \times \left(\frac{1}{512} \times 1024\right).$$ค่าภายในแต่ละคู่ของวงเล็บคือ 2 ดังนั้นคำตอบคือ $2 \times 2 \times 2 \times 2 ... | 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \boxed{32}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\left|{-4+\frac{7}{6}i}\right|$. | เราได้ว่า $\left|{-4+\frac{7}{6}i}\right|=\frac{1}{6}|{-24+7i}|=\frac{1}{6}\sqrt{(-24)^2+7^2}=\boxed{\frac{25}{6}}$ | $\left|{-4+\frac{7}{6}i}\right|=\frac{1}{6}|{-24+7i}|=\frac{1}{6}\sqrt{(-24)^2+7^2}=\boxed{\frac{25}{6}}$ | [
"ประยุกต์"
] |
จากเซตของจำนวนเต็ม $\{1,2,3,\dots,2009\}$, เลือก $k$ คู่ $\{a_i,b_i\}$ โดยที่ $a_i<b_i$ เพื่อให้ไม่มีสองคู่ใดมีสมาชิกที่เหมือนกัน สมมติว่าผลรวมทั้งหมด $a_i+b_i$ นั้นแตกต่างกันและน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2009 จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $k$. | กำหนดให้
\[S = \sum_{i = 1}^k (a_i + b_i).\]เนื่องจาก $a_i$ และ $b_i$ ทั้งหมดแตกต่างกัน
\[S \ge 1 + 2 + \dots + 2k = \frac{(2k)(2k + 1)}{2} = k(2k + 1).\]เนื่องจากผลรวม $k$ คู่ $a_1 + b_1,$ $a_2 + b_2,$ $\dots,$ $a_k + b_k$ ทั้งหมดแตกต่างกันและน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2009
\[S \le (2010 - k) + (2011 - k) + \dots + 2009 = \f... | \boxed{803}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $ a$, $ b$, $ c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $ a+b+c=0$ และ $ a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ จงหาค่าของ $ a^2+b^2+c^2$ | จากการแยกตัวประกอบ
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc),\]เราทราบว่า $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.$
เนื่องจาก $a + b + c = 0,$ $c = -a - b,$ ดังนั้น
\begin{align*}
a^5 + b^5 + c^5 &= a^5 + b^5 - (a + b)^5 \\
&= -5a^4 b - 10a^3 b^2 - 10a^2 b^3 - 5ab^4 \\
&= -5ab(a^3 + 2a^2 b + 2ab^2 + b^3)... | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $x^3 - 2004 x^2 + mx + n$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมีรากที่แตกต่างกัน 3 ราก ซึ่งเป็นจำนวนบวก รากหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม และเป็นผลบวกของอีกสองราก มีค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้กี่ค่า? | ให้ $a$ แทนรากที่เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ เท่ากับ 1 จึงไม่มีรากอื่นที่เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นอีกสองรากต้องเป็น $\frac{a}{2} \pm r$ สำหรับจำนวนอตรรกยะ $r$ พหุนามจะเป็น \[(x-a) \left( x - \frac{a}{2} - r \right) \left( x - \frac{a}{2} + r \right) = x^3 - 2ax^2 + \left( \frac{5}{4}a^2 - r^2 \right) x ... | n | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.