question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าของ $\csc 330^\circ.$ | เราทราบว่า
\[\csc 330^\circ = \frac{1}{\sin 330^\circ}.\]เนื่องจากฟังก์ชันไซน์มีคาบ $360^\circ,$
\[\sin 330^\circ = \sin (330^\circ - 360^\circ) = \sin (-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2},\]ดังนั้น
\[\frac{1}{\sin 330^\circ} = \boxed{-2}.\] | -2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $317^{3}+8^{3}-(2^{(3^{2})}+317^{3})$. | จงจำไว้ว่า $-(x+y)=-x-y$ สำหรับทุก $x$ และ $y$ ดังนั้น $$317^{3}+8^{3}-(2^{(3^{2})}+317^{3})=317^{3}+8^{3}-2^{(3^{2})}-317^{3}.$$ โดยใช้สมบัติการสลับที่ของการบวก เราสามารถจัดเรียงพจน์ใหม่ได้ \begin{align*}
317^{3}+8^{3}-2^{(3^{2})}-317^{3}&=317^{3}+8^{3}+(-2^{(3^{2})})+(-317^{3})\\
&=317^{3}+(-317^{3})+8^{3}+(-2^{(3^... | 2^9+(-2^9)=\boxed{0} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อรถยนต์ใช้เบรก ระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ในแต่ละวินาทีจะน้อยลง 5 ฟุต จากวินาทีที่แล้ว จนกว่ารถจะหยุดสนิท รถยนต์วิ่งไป 45 ฟุตในวินาทีแรกหลังจากที่เบรกถูกใช้ รถยนต์วิ่งไปทั้งหมดกี่ฟุตตั้งแต่เบรกถูกใช้จนรถหยุดสนิท | จำนวนฟุตที่รถยนต์วิ่งในแต่ละวินาทีเป็นลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรก 45 และผลต่างร่วมเท่ากับ -5 เราจะรวมพจน์บวกทั้งหมดในลำดับนี้ (พจน์เหล่านี้แทนจำนวนฟุตที่รถยนต์วิ่งในแต่ละวินาที) ดังนั้นเราต้องการหาผลรวม $45+40+\dots+5$.
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ จำนวนพจน์คือ $45/5 = 9$... | (45 + 5)/2 \cdot 9 = \boxed{225} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจุด $(a,b)$ บนระนาบพิกัด โดยที่ $a$ และ $b$ แต่ละตัวอาจเป็น $-1$, 0 หรือ 1 มีเส้นตรงที่แตกต่างกันกี่เส้นที่ผ่านจุดใน $S$ อย่างน้อย 2 จุด | มี $\binom{9}{2}=36$ คู่ของจุดใน $S$ และแต่ละคู่กำหนดเส้นตรงเส้นหนึ่ง อย่างไรก็ตาม มีเส้นตรงแนวนอน 3 เส้น เส้นตรงแนวตั้ง 3 เส้น และเส้นตรงทแยงมุม 2 เส้น ที่ผ่านจุดใน $S$ 3 จุด และเส้นตรงเหล่านี้แต่ละเส้นถูกกำหนดโดย 3 คู่ของจุดที่แตกต่างกันใน $S$ ดังนั้น จำนวนเส้นตรงที่แตกต่างกันคือ $36 - 2 \cdot 8= \boxed{20}$ | 36 - 2 \cdot 8= \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 2x-3$ และ $g(x) = x+1$ จงหาค่าของ $g(f(5)-1)$ | เรามี $f(5) = 2(5) -3 = 7$ ดังนั้น $g(f(5)-1) = g(7-1) = g(6) = 6+1 = \boxed{7}$ | g(f(5)-1) = g(7-1) = g(6) = 6+1 = \boxed{7} | [
"นำไปใช้"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $\frac12x^2+99x+c=0$ คือ $x=-99+\sqrt{8001}$ และ $x=-99-\sqrt{8001}$ แล้วค่าของ $c$ คือเท่าใด | โดยสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ $$x=\frac{-(99)\pm\sqrt{(99)^2-4(\frac12)c}}{2(\frac12)},$$ซึ่งจะเรียบง่ายเป็น $$x=-99\pm\sqrt{9801-2c}.$$สิ่งนี้ดูเหมือนเป้าหมายของเรา ยกเว้นว่าเราต้องทำให้ $9801-2c$ ใต้รากที่สองเท่ากับ $8001$ ดังนั้น เราแก้สมการ $9801-2c=8001$ ซึ่งจะได้ $c=\boxed{900}$ | c=\boxed{900} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเชิงซ้อนมักใช้เมื่อเกี่ยวข้องกับวงจรกระแสสลับ (AC) ในสมการ $V = IZ$ , $V$ คือแรงดันไฟฟ้า $I$ คือกระแส และ $Z$ คือค่าที่เรียกว่าอิมพีแดนซ์ ถ้า $V = 1+i$ และ $Z=2-i$ จงหา $I$ | เรามี $$
I = \frac{V}{Z} = \frac{1+i}{2-i}.
$$ คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน เราได้ $$
I = \frac{1+i}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i} = \frac{1(2) + 1(i) + i(2) + i(i)}{2(2) + 2(i) - i(2) - i(i)} = \frac{1+3i}{5} = \boxed{ \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i }.
$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
5x^2+2&\text{ถ้า } x\le a, \\
11x &\text{ถ้า } x>a.
\end{cases}
\] จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$ ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้นจากกระดาษ) | ถ้ากราฟของ $f$ สามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้นจากกระดาษ กราฟของทั้งสองกรณีต้องมาบรรจบกันเมื่อ $x=a$ ซึ่ง (ในความหมายที่คลุมเครือ) คือจุดแบ่งระหว่างสองกรณี ดังนั้นเราต้องมี \begin{align*}
5a^2+2&=11a \\
\Rightarrow \quad 5a^2-11a+2&=0 \\
\Rightarrow \quad (-5a+1)(-a+2)&=0.
\end{align*} การแก้สมการนี้จะได้ $a=\frac{1}... | \boxed{\frac{1}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7,\]จงหาค่าของ
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix}.\] | เราทราบว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7.\]ถ้าเราคูณแถวที่สองด้วย 2 เราจะได้
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d & 2e & 2f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]การบวกห้าเท่าของแถวที่สามเข้ากับแถวที่สองจะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มิแนนต์:
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + ... | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนระหว่าง 1 ถึง 2005 ที่เป็นผลคูณของ 3 หรือ 4 แต่ไม่ใช่ 12? | เนื่องจาก $\frac{2005}{3} = 668\frac13$ มี 668 ผลคูณของ 3 ระหว่าง 1 ถึง 2005. เนื่องจาก $\frac{2005}{4} = 501\frac14$ มี 501 ผลคูณของ 4 ระหว่าง 1 ถึง 2005. เนื่องจาก $\frac{2005}{12} = 167\frac{1}{12}$ มี 167 ผลคูณของ 12 ระหว่าง 1 ถึง 2005.
ผลคูณของ 12 ทุกจำนวนก็เป็นผลคูณของ 3 และ 4 ด้วย ดังนั้นมี $668-167 = 501$ ผลค... | 501+334 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ $(2, 4)$ และ $(0, -2)$ และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ $(5, 1)$ และ $(1, 5)$ แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | เราทราบว่าจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right).$$จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงแรกคือ $$\left(\frac{2+0}{2}, \frac{4+(-2)}{2}\right) = (1,1),$$และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่สองคือ $$\left(\frac{5+1}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (3,... | \frac{3-1}{3-1} = \boxed{1}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดเวกเตอร์ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{q}$ เวกเตอร์ $3 \mathbf{p} + \mathbf{q}$ และ $5 \mathbf{p} - 3 \mathbf{q}$ ตั้งฉากกัน และเวกเตอร์ $2 \mathbf{p} + \mathbf{q}$ และ $4 \mathbf{p} - 2 \mathbf{q}$ ตั้งฉากกัน ถ้า $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{q}$ จงหา $\cos \theta.$ | เนื่องจาก $2 \mathbf{p} + \mathbf{q}$ และ $4 \mathbf{p} - 2 \mathbf{q}$ ตั้งฉากกัน ดังนั้น $(2 \mathbf{p} + \mathbf{q}) \cdot (4 \mathbf{p} - 2 \mathbf{q}) = 0.$ เมื่อขยายจะได้
\[8 \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - 2 \mathbf{q} \cdot \mathbf{q} = 0,\]ดังนั้น $\|\mathbf{q}\|^2 = 4 \|\mathbf{p}\|^2,$ และ $\|\mathbf{q}\| = 2... | \mathbf{q} \cdot \mathbf{q} = 4 \mathbf{p} \cdot \mathbf{p}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าทุกมุมวัดเป็นองศา อัตราส่วนของสามเท่าของขนาดของ $\angle A$ ต่อสี่เท่าของขนาดของมุมประกอบของ $\angle A$ ต่อครึ่งหนึ่งของขนาดของมุมประกอบของ $\angle A$ คือ $3:14:4$ ขนาดของมุมประกอบของ $\angle A$ มีค่าเท่าไร | ให้ $x$ เป็นจำนวนองศาของขนาดของ $\angle A$ แล้วเราจะได้ \[
\frac{3x}{4(90-x)}=\frac{3}{14},
\]จากข้อมูล "อัตราส่วนของสามเท่าของขนาดของ $\angle A$ ต่อสี่เท่าของขนาดของมุมประกอบของ $\angle A$ คือ $3:14$." คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{2}{3}$ และลบตัวส่วน เราพบว่า $$7x=180-2x\implies 9x=180\implies x=20.$$ขนาดของมุมประกอบขอ... | \boxed{70} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนเต็มบวก $m$ และ $n$ คือ 6. คูณร่วมน้อยที่สุดของ $m$ และ $n$ คือ 126. จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $m+n$? | เนื่องจากตัวหารร่วมมากที่สุดของ $m$ และ $n$ คือ 6 ดังนั้น $m = 6x$ และ $n = 6y$ สำหรับจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ บางจำนวน. โปรดทราบว่าการย่อ $m + n = 6x + 6y = 6(x + y)$ เทียบเท่ากับการย่อ $x + y$.
คูณร่วมน้อยที่สุดของ $m$ และ $n$ คือ $126=2\cdot3^2\cdot7= 6 \cdot 3 \cdot 7$ ดังนั้น $x$ หรือ $y$ หนึ่งตัวหารด้วย 3 และอีกตั... | 6(3 + 7) = \boxed{60} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ช่วงของฟังก์ชัน $f(x)$ คือ $[-3,5].$ ให้ $g(x) = [f(x)]^2.$ จงหาช่วงของฟังก์ชัน $g(x).$ | ให้ $y = f(x),$ ดังนั้น $y$ สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ $-3$ ถึง 5 รวมทั้งค่าขอบเขตด้วย จากนั้น $y^2$ สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 25 รวมทั้งค่าขอบเขตด้วย (ถ้าเราเอาค่าใดๆ จาก $-3$ ถึง 0 และยกกำลังสอง จะได้ค่าตั้งแต่ 0 ถึง 9 และถ้าเราเอาค่าใดๆ จาก 0 ถึง 5 และยกกำลังสอง จะได้ค่าตั้งแต่ 0 ถึง 25) ดังนั้น ช่วงของ $g(x)$ คือ $\b... | \boxed{[0,25]}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงคำนวณ $\sin^3 18^\circ + \sin^2 18^\circ.$ | เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
\sin^3 18^\circ + \sin^2 18^\circ &= \sin^2 18^\circ (\sin 18^\circ + 1) \\
&= \sin^2 18^\circ (\sin 18^\circ + \sin 90^\circ).
\end{align*}โดยผลรวมเป็นผลคูณ
\begin{align*}
\sin^2 18^\circ (\sin 18^\circ + \sin 90^\circ) &= \sin^2 18^\circ \cdot 2 \sin 54^\circ \cos 36^\circ \\
&= 2 \si... | $\frac{1}{8}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนใดที่เท่ากับ $$\frac{\sqrt{25-16}}{\sqrt{25}-\sqrt{16}}$$? | คำนวณ $$\frac{\sqrt{25-16}}{\sqrt{25}-\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{9}}{5-4}=\frac{3}{1}=\boxed{3}.$$ | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
อัตราส่วนของ $x$ ต่อ $y$ เท่ากับ $1$ ต่อ $2$ ค่าของ $x$ คือเท่าใด ถ้า $y=4x-36$? | ให้เขียนประโยคแรกเป็นสมการ: \begin{align*}
\frac{x}{y} &= \frac{1}{2}, \\
2x &= y.
\end{align*}
จากนั้น แทนค่านี้ลงในสมการที่กำหนดเพื่อหาค่า $x$: \begin{align*}
2x &= 4x - 36, \\
36 &= 2x, \\
\boxed{18} &= x.
\end{align*} | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ $6!$ และ $(4!)^2.$ | เราใช้การแยกตัวประกอบของ $6!$ และ $(4!)^2$ เพื่อหา ค.ร.น. (เช่นเดียวกับที่เราทำกับคู่ของจำนวนเต็มส่วนใหญ่): $$ \begin{array}{rcrcr} 6! &=& 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &=& 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \\ (4!)^2 &=& (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2 &=& 2^6 \cdot 3^2 \\ \text{lcm}[6!, (4!)^2] &=& 2^6 \cdot 3^2 \cdot... | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลา
\[\frac{x^2}{50} - \frac{y^2}{22} = 2.\] | ראשית เราหารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อได้
\[\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{44} = 1.\]จากนั้น $a^2 = 100$ และ $b^2 = 44$ ดังนั้น $c^2 = 144$ และ $c = 12.$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{24}.$ | 2c = \boxed{24}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ
\[\prod_{n = 1}^{2004} \frac{n^2 + 2n - 1}{n^2 + n + \sqrt{2} - 2}.\] | เราสามารถนำหลักการผลต่างของกำลังสองมาใช้กับตัวเศษ:
\[n^2 + 2n - 1 = (n + 1)^2 - 2 = (n + 1 + \sqrt{2})(n + 1 - \sqrt{2}).\]เราสามารถแยกตัวประกอบตัวส่วนได้ดังนี้:
\[n^2 + n + \sqrt{2} - 2 = (n + \sqrt{2}) + (n^2 - 2) = (n + \sqrt{2}) + (n + \sqrt{2})(n - \sqrt{2}) = (n + \sqrt{2})(n - \sqrt{2} + 1).\]ดังนั้น,
\[\frac{n^... | 2004√2 - 2003 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลรวม $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} +\cdots + \frac{1}{9900}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ก่อนอื่น ตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้บางครั้งเรียกว่า ``จำนวนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า'' เนื่องจากสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างมากกว่าความยาว 1 หน่วย: $1 \times 2 = 2, 2 \times 3 = 6, 3 \times 4 = 12, 4 \times 5 = 20$ เป็นต้น ตัวส่วนตัวสุดท้ายในนิพจน์คือ $99 \times 100 = 9900$ ลองหาผลรวมของพจน์ทีละไม่กี่พจน์และดูว่าเรา... | \frac{99}{100} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนบวก จงหาว่า $x+10$ มากกว่า $10-x$ อยู่เท่าไร แสดงคำตอบในรูปของ $x$ | โจทย์ข้อนี้สามารถปรับปรุงใหม่ได้เป็น: "ความต่างระหว่าง $x+10$ และ $10-x$ คือเท่าไร" ความต่างสามารถคำนวณได้ดังนี้ $(x+10)-(10-x)=\boxed{2x}.$ | (x+10)-(10-x)=\boxed{2x}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรายการแข่งขันเคอร์ลิ่งแห่งชาติ มีทีมละ 3 ทีม ทีมละ 4 คน หลังจากการแข่งขันสิ้นสุดลง ผู้เข้าแข่งขันที่สุภาพเรียบร้อยทุกคนจะ 악수 3 ครั้ง กับสมาชิกของทีมตรงข้าม และ 1 ครั้ง กับสมาชิกในทีมเดียวกัน
มีการ 악수 ทั้งหมดกี่ครั้ง? | สำหรับผู้เข้าแข่งขันแต่ละคน จะมีคู่แข่ง 8 คน และสมาชิกในทีม 3 คน ที่ต้อง 악수 ซึ่งให้ $3\times8+3=27$ ครั้ง 악수 สำหรับผู้เข้าแข่งขันแต่ละคน
มีผู้เล่นทั้งหมด 12 คน ซึ่งให้ $12\times27=324$ ครั้ง 악수 แต่เนื่องจากการ 악수 เกิดขึ้นระหว่าง 2 คน เราจึงนับการ 악수 ทุกครั้ง 2 ครั้ง
คำตอบสุดท้ายคือ $\dfrac{324}{2}=\boxed{162}$ ครั้ง ... | \dfrac{324}{2}=\boxed{162} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในพหุนาม $(ax^6+bx^8+cx^3+d)(x^5+ex^4+f)(x^2+gx+h)$ ตัวอักษร $a$ ถึง $h$ เป็นค่าคงที่ที่ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด องศาของพหุนามคือเท่าใด | เพื่อที่จะหาองศาของพหุนาม เราต้องรู้เลขชี้กำลังที่มากที่สุดของตัวแปรในพหุนาม เมื่อเราคูณพหุนามนี้ เราจะได้พจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดจากผลคูณของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดในแต่ละปริมาณที่คูณกัน พจน์เหล่านี้คือ $bx^8$, $x^5$ และ $x^2$ การคูณพจน์เหล่านี้ทั้งหมด $bx^8 \cdot x^5 \cdot x^2=bx^{15}$ เราจะพบว่าเลขชี้กำลัง... | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $t,$ จุด
\[(x,y) = (\cos t, \cos 2t)\]ถูกพล็อตลงบนกราฟ จุดที่พล็อตลงไปทั้งหมดเป็นรูปร่างใด?
(A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) พาราโบลา
(D) วงรี
(E) ไฮเปอร์โบลา
ใส่ตัวอักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | สังเกตว่า
\[y = \cos 2t = 2 \cos^2 t - 1 = 2x^2 - 1,\]ดังนั้นจุดที่พล็อตลงไปทั้งหมดอยู่บนพาราโบลา ตอบ $\boxed{\text{(C)}}.$ | \boxed{\text{(C)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ มุม $BAD$ และมุม $CDA$ ถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันดังแสดงในรูป จงหาขนาดของมุม $AFD$ ในหน่วยองศา
[asy]
size(150);
pair A , B, C, D; A = (0,0); B = (2, 4); C = (7,4); D = (7, -2);
draw( (0,0)--(2,4) -- (7,4) -- (7, -2)-- cycle);
label("$A$", A, SW);
label("$B$", B, NW);
label("$C$", C, NE);
la... | รูปสามเหลี่ยม $AFD$ ต้องมีขนาดของมุมรวมกันเท่ากับ $180^\circ$ เราทราบว่ามุมอื่น ๆ มีขนาด $2x$ และ $2y$ ดังนั้นมุม $AFD$ ต้องมีขนาด $180-2x-2y=180-(2x+2y)$ องศา เราตอนนี้พิจารณารูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ ซึ่งขนาดของมุมภายในรวมกันต้องเท่ากับ $360^\circ$ ดังนั้นเราได้ว่า $110^\circ +100^\circ +3y+3x=360^\circ$ ดังนั้น $3x+3y=15... | 180-(2x+2y)=180-100=\boxed{80} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนที่น้อยที่สุด $y$ ที่ทำให้ $y^2 = 81$ | มีจำนวนสองจำนวนที่กำลังสองเท่ากับ 81; จำนวนเหล่านี้คือ 9 และ $-9$ จำนวนที่น้อยที่สุดคือ $\boxed{-9}$ | \boxed{-9} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าของ $x$ ที่มากที่สุดที่ทำให้สมการ $x^2-5x-36=0$ เป็นจริงคือเท่าใด | การแยกตัวประกอบจะได้ $(x - 9)(x + 4) = 0$ ซึ่งหมายความว่ารากของสมการคือ 9 และ -4 ดังนั้นค่าของ $x$ ที่มากที่สุดคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $|(1-i)^8|$ | เราทราบว่าขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติการคูณ: ขนาดของ $|ab|$ คือผลคูณของ $|a|\cdot |b|$. ดังนั้น \[\left|\left(1-i\right)^8\right|=\left|1-i\right|^8\]ขนาดของ $1-i$ คือ $\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ ; ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\left(\sqrt{2}\right) ^8=\boxed{16}$. Ringo ไม่ได้ให้การพักผ่อนมากนัก | $\left(\sqrt{2}\right) ^8=\boxed{16}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a@b=\dfrac{a^3-b^3}{a-b}$, สำหรับค่า $a$ จริงกี่ค่าที่ทำให้ $a@1=0$? | เราต้องการแก้สมการ $\frac{a^3 - 1}{a - 1} = 0.$ ดังนั้น
\[\frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a - 1} = 0,\]นั่นคือ $a^2 + a + 1 = 0.$ สมการกำลังสองนี้ไม่มีรากจริง ดังนั้นจำนวนคำตอบจริงคือ $\boxed{0}.$ | \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พัดลมเพดานวงกลมหมุนด้วยความเร็วคงที่ $80$ รอบต่อนาที จุดหนึ่งที่อยู่กึ่งกลางระหว่างศูนย์กลางของพัดลมและขอบด้านนอกของพัดลมเดินทาง $97968$ นิ้วใน $15$ นาที จุดที่อยู่บนขอบด้านนอกของพัดลมเดินทางไกลเท่าไร (เป็นนิ้ว) ใน $30$ นาที? | เนื่องจากพัดลมหมุนด้วยความเร็วคงที่ โดยการเพิ่มเวลาจาก 15 นาทีเป็น 30 นาที จุดบนพัดลมจะเดินทางไกลขึ้นเป็นสองเท่า นอกจากนี้ ในแต่ละรอบ จุดที่อยู่บนขอบด้านนอกของพัดลมจะเดินทางไกลกว่าจุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างศูนย์กลางของพัดลมและขอบด้านนอกของพัดลมเป็นสองเท่า ดังนั้น ใน 30 นาที จุดที่อยู่บนขอบด้านนอกของพัดลมจะเดินทาง $4 \ti... | 97968/600\cdot2400=\boxed{391872} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วงล้อหมุน I แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน และติดป้ายหมายเลข 2, 3, 4 และ 5 วงล้อหมุน II แบ่งออกเป็นห้าส่วนเท่า ๆ กัน และติดป้ายหมายเลข 1, 3, 5, 7 และ 9 ถ้าหมุนวงล้อทั้งสอง และคูณตัวเลขที่ได้จากการหมุนแต่ละครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณจะเป็นจำนวนคู่สองหลัก แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ให้ผลลัพธ์แสดงในรูปของคู่ลำดับ โดยพิกัดตัวแรกสอดคล้องกับวงล้อหมุน I และพิกัดตัวที่สองสอดคล้องกับวงล้อหมุน II เนื่องจากตัวเลขทั้งหมดบนวงล้อหมุน II เป็นเลขคี่ วงล้อหมุน I ต้องให้เลขคู่เพื่อให้ผลคูณเป็นเลขคู่ ผลลัพธ์ $(2,5)$, $(2,7)$, $(2,9)$, $(4,3)$, $(4,5)$, $(4,7)$ และ $(4,9)$ เป็นผลลัพธ์ที่ผลคูณเป็นจำนวนคู่สองหลัก เน... | \boxed{\frac{7}{20}} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อ $35^{12}$ เขียนในระบบเลขทศนิยมหลักหน่วยจะเป็นเท่าใด | หลักหน่วยของ $35^{12}$ จะเหมือนกับหลักหน่วยของ $5^{12}$ หลักหน่วยของ 5 ยกกำลังด้วยจำนวนเต็มบวกใด ๆ จะเท่ากับ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลบวกของ $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 8 & -5 \end{pmatrix}$. | เราได้ว่า
\[\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 8 & -5 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}}.\] | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
จำนวนเต็ม $x$ ตัวใดที่สอดคล้องกับสมการ: $2^{x + 2} = 32$ ? | สองยกกำลังห้าเท่ากับ 32 และเนื่องจากฟังก์ชัน $f(x)=2^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างเดียว 5 เป็นจำนวนจริงตัวเดียวเท่านั้น $r$ ที่ทำให้ $2^r=32$ ดังนั้น $x+2=5\implies x=\boxed{3}$ | x+2=5\implies x=\boxed{3} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งสร้างเป็นลำดับเลขคณิต ถ้าขนาดของมุมที่ใหญ่ที่สุดคือ $129^{\circ}$ มุมที่ใหญ่เป็นอันดับสองมีขนาดเท่าไรเป็นองศา | ให้ส่วนต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้เป็น $d$ ดังนั้นมุมที่ใหญ่เป็นอันดับสองคือ $129-d$ องศา มุมที่ใหญ่เป็นอันดับสามคือ $129-2d$ องศา และมุมที่เล็กที่สุดคือ $129-3d$ องศา เราทราบว่าผลรวมของมุมภายในรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 360 องศา ดังนั้นเราจึงมีสมการ $129 + (129-d) + (129-2d) + (129-3d) = 360$ จากสมการนี้เราจะได้ว่า $d=26$ อง... | 129-d=129-26=\boxed{103} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เวนดี้สังเกตว่าเมื่อเธอซ้อนเหรียญไตรมาสในกองๆ ละ 5 เหรียญ เธอเหลือ 3 เหรียญ และเมื่อเธอซ้อนพวกมันในกองๆ ละ 7 เหรียญ เธอเหลือ 5 เหรียญ ถ้าเธอมีเหรียญไตรมาสที่มีมูลค่าต่ำกว่าสิบดอลลาร์ เธอมีเหรียญไตรมาสกี่เหรียญ | ให้ $a$ เป็นจำนวนเหรียญไตรมาส เราทราบว่า \begin{align*}
a\equiv 3\pmod 5\\
a\equiv 5\pmod 7
\end{align*} ความ合同 $(1)$ หมายความว่ามีจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $n$ ที่ $a=3+5n$ แทนค่านี้ลงใน $(b)$ จะได้ \[3+5n\equiv 5\pmod 7\implies n\equiv 6\pmod 7\] ดังนั้น $n$ มีขอบเขตด้านล่างเป็น 6 จากนั้น $n\ge 6\implies a=3+5n\ge 33$ $... | \boxed{33} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริงบวก $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\sum_{i = 1}^n a_i = 96, \quad \sum_{i = 1}^n a_i^2 = 144, \quad \sum_{i = 1}^n a_i^3 = 216.\]จงหาผลรวมของค่า $n$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a_1 + a_2 + \dots + a_n)(a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3) \ge (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)^2.\]เนื่องจาก $96 \cdot 216 = 144^2,$ เราได้ว่าสมการในอสมการ Cauchy-Schwarz เป็นจริง ซึ่งหมายความว่า
\[\frac{a_1^3}{a_1} = \frac{a_2^3}{a_2} = \dots = \frac{a_n^3}{a_n}.\]ดังนั้น $a_1^2 = a_2^2 = \do... | n = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับ $0 \le x \le 40$ และ $0 \le y \le 50,$ จงหาค่าน้อยสุดของ
\[\sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{x^2 + y^2 - 80x - 100y + 4100}.\] | ทำการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ นิพจน์จะกลายเป็น
\[\sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{(x - 40)^2 + (y - 50)^2} = \sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{(40 - x)^2 + (50 - y)^2}.\]โดย QM-AM,
\begin{align*}
\sqrt{\frac{x^2 + 400}{2}} &\ge \frac{x + 20}{2}, \\
\sqrt{\frac{y^2 + 900}{2}} &\ge \frac{y + 30}{2... | \boxed{70 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีเส้นทาง 9 ขั้นกี่เส้นทางจาก $E$ ไป $G$? [asy]size(4cm,4cm);int w=6;int h=5;int i;for (i=0; i<h; ++i){draw((0,i) -- (w-1,i));}for (i=0; i<w; ++i){draw((i, 0)--(i,h-1));}label("$G$", (w-1,0), SE);label("$E$", (0,h-1), NW);[/asy] | มี 5 ขั้นไปทางขวา และ 4 ขั้นลง 9 ขั้นตอนนี้สามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นคำตอบคือ $\dbinom{9}{4} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{126}$ | \dbinom{9}{4} = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{126} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนเต็มบวกบางจำนวนมีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัว ตัวอย่างเช่น 35 มีเพียง 1, 5, 7 และ 35 เป็นตัวประกอบ จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก 5 ตัวแรกที่แต่ละตัวมีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัว | จำนวนเต็มบวกที่มีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป $pq$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน หรือ $p^3$ โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ
โดยใช้สิ่งนี้ เราจะเห็นว่าจำนวนเต็มบวก 5 ตัวแรกที่มีตัวประกอบบวกที่แน่นอนเพียง 4 ตัวคือ $2\cdot 3 = 6$, $2^3 = 8$, $2\cdot 5 = 10$, $2\cdot 7 = 14$ และ $3\cdot ... | 6 + 8 + 10 + 14 + 15 = \boxed{53} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองวงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกันมีรัศมี 1 นิ้ว และ 10 นิ้ว ตามลำดับ จงหาพื้นที่ (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) ที่อยู่ภายนอกวงกลมวงเล็ก แต่ภายในวงกลมวงใหญ่ แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | พื้นที่ของวงกลมวงในคือ $\pi$ พื้นที่ของวงกลมวงนอกคือ $100\pi$ ดังนั้น การลบ $\pi$ ออกจาก $100\pi$ เราจะได้ $\boxed{99\pi \text{ ตารางนิ้ว}}$ | \boxed{99\pi \text{ ตารางนิ้ว}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณค่าของ $\cos 60^\circ$ | กำหนดให้ $P$ เป็นจุดบนวงกลมหน่วยที่หมุนทวนเข็มนาฬิกา $60^\circ$ จาก $(1,0)$ และให้ $D$ เป็นจุดที่ตั้งฉากจาก $P$ ลงบนแกน $x$ ดังแสดงด้านล่าง
[asy]
pair A,C,P,O,D;
draw((0,-1.2)--(0,1.2),p=black+1.2bp,Arrows(0.15cm));
draw((-1.2,0)--(1.2,0),p=black+1.2bp,Arrows(0.15cm));
A = (1,0);
O= (0,0);
label("$x$",(1.2,0),SE... | $\cos 60^\circ = \boxed{\frac{1}{2}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
บนเส้นจำนวน จุด $A$ อยู่ที่ 0, จุด $B$ อยู่ที่ 4 และจุด $C$ อยู่ที่ 6. [asy]
defaultpen(1);
draw((0,0)--(6,0));
for (int i=0;i<7;++i){
draw((i,-.1)--(i,.1));
label(string(i),(i,-.1),(0,-1));
}
label("\(A\)",(0,0),(0,1));
label("\(B\)",(4,0),(0,1));
label("\(C\)",(6,0),(0,1));
[/asy] ลูกธนูถูกโยนลงบนเส้นจำนวนแบบสุ่มระ... | สมมติว่าลูกธนูตกลงระหว่าง $A$ และ $B$ จะมีโอกาส 1/2 ที่จะอยู่ใกล้ $A$ มากกว่า $B$ และจะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $C$ เสมอ ดังนั้น โอกาสที่ลูกธนูจะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $A$ และ $C$ คือ 1/2
ในทางกลับกัน หากลูกธนูตกลงระหว่าง $B$ และ $C$ จะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $A$ แน่นอน และมีโอกาส 1/2 ที่จะอยู่ใกล้ $B$ มากกว่า $C$ เช่นเดิม โอก... | \boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $20!$ และ $200,000$ (หมายเหตุ: ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว $n!$ แทนผลคูณ $1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n$.) | การแยกตัวประกอบของ $200,000$ เป็น $2^6 \cdot 5^5$ จากนั้นนับจำนวนตัวประกอบของ $2$ และ $5$ ใน $20!$. เนื่องจากมีจำนวนคู่ $10$ ตัว ดังนั้นมีตัวประกอบของ $2$ มากกว่า $6$ ตัว มี $4$ ตัวประกอบของ $5$ ดังนั้นตัวประกอบร่วมมากที่สุดคือ $2^6 \cdot 5^4=\boxed{40,\!000}$ | 2^6 \cdot 5^4=\boxed{40,\!000} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทิมต้องการสร้างกราฟวงกลมแสดงจำนวนแพทย์ผู้เชี่ยวชาญด้านการแพทย์อวกาศ เขา 알고 다음 정보를 알고 있습니다.
$\bullet$ แพทย์ชายอายุต่ำกว่า 35 ปี 53 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุต่ำกว่า 35 ปี 8 คน
$\bullet$ แพทย์ชายอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี 155 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี 17 คน
$\bullet$ แพทย์ชายอายุระหว่าง 45 ถึง 5... | โดยรวมแล้วมีแพทย์ด้านการแพทย์อวกาศ $53+8+155+17+145+10+98+2=488$ คน ชายอายุ 45-54 ปี คิดเป็น $145/488$ ของประชากรนี้ ดังนั้นพวกเขาควรคิดเป็นส่วนของมุมศูนย์กลางของกราฟวงกลมด้วย เนื่องจากมุมศูนย์กลางมี 360 องศาในการแบ่งส่วนระหว่างกลุ่ม กลุ่มชายอายุ 45-54 ปีควรได้รับ $\frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107}$ องศา | \frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107} | [
"จำแนก",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่เป็นพหุคูณของ $9^3$ ซึ่งมีค่ามากกว่า $9^4$ และน้อยกว่า $9^5$ | เนื่องจาก $9^4=9(9^3)$ และ $9^5=9^2\cdot9^3=81(9^3)$ เราต้องนับจำนวนเต็มระหว่าง 10 ถึง 80 รวมทั้ง 10 และ 80 ด้วย จำนวนนั้นคือ $80-10+1=71$ ดังนั้นมีจำนวน $\boxed{71}$ จำนวนที่เป็นพหุคูณของ $9^3$ ซึ่งมีค่ามากกว่า $9^4$ และน้อยกว่า $9^5$ | 71 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อักษร $A, B$ และ $C$ ถูกนำมาใช้ในการสร้างคำสามตัวอักษรที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อคำเหล่านี้เรียงลำดับตามตัวอักษรและถูกกำหนดหมายเลข โดยที่ $AAA$ คือ คำที่ 1 และ $CCC$ คือ คำที่ 27 คำที่ $BAB$ จะอยู่ในตำแหน่งหมายเลขเท่าใด? | มี 9 คำที่เป็นไปได้ที่ขึ้นต้นด้วย A ดังนั้น คำแรกที่ขึ้นต้นด้วย B คือ BAA ซึ่งเป็นคำที่ 10 BAB เป็นคำถัดไปจาก BAA หรือคำที่หมายเลข $\boxed{11}$. | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a\star b = 9a+2b-ab+5$ จงหาค่าของ $5\star1$ | จากนิยามของฟังก์ชันที่กำหนด เราทราบว่า $5\star 1 = 9(5)+2(1)-(5)(1)+5= 45+2-5+5=\boxed{47}$ | 47 | [
"นำไปใช้"
] |
รูปหกเหลี่ยมปกติถูกตัดเพื่อสร้างรูปสิบสองเหลี่ยมปกติ (12 เหลี่ยม) โดยการลบสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันออกจากมุมทั้งหกของมัน ร้อยละเท่าใดของพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมเดิมถูกตัดออก? แสดงคำตอบของคุณเป็นทศนิยมตำแหน่งที่ใกล้เคียงที่สุด | โดยไม่เสียความ générales ให้ความยาวด้านของรูปหกเหลี่ยมเท่ากับ 1 หน่วย และให้ $u$ เป็นความยาวของด้านเท่ากันในสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ถูกตัดออก กำหนดจุด $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ และ $F$ ดังที่แสดงในแผนภาพ สามเหลี่ยม $CDB$ เป็นสามเหลี่ยม 30-60-90 ดังนั้น $CD=u/2$ และ $DB=u\sqrt{3}/2$ นอกจากนี้ $AB=1-2u$ เพราะ $CF=1$ และ $... | 7.2% | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในกลุ่มนักเรียนมัธยมศึกษา 30 คน มีนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส 8 คน เรียนภาษาสเปน 12 คน และเรียนทั้งสองภาษา 3 คน มีนักเรียนกี่คนในกลุ่มนี้ที่เรียน neither ภาษาฝรั่งเศสหรือภาษาสเปน? | แผนภาพ Venn จะช่วยอธิบายวิธีแก้ปัญหาได้ ให้รูปวงรีแสดงเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส และอีกวงรีแสดงนักเรียนที่เรียนภาษาสเปน ในแผนภาพ สังเกตว่าจุดตัด (ทับซ้อน) ของวงรีทั้งสองแสดงเซตของนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและภาษาสเปน (ดูบริเวณ B) เราเริ่มต้นด้วยการวาง 3 x ในบริเวณ B ซึ่งแทนนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศ... | 30-17=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ:
\[
\sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{7\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12}.
\] | สังเกตว่าปัญหาประกอบด้วยสามคู่ที่มีรูปแบบ $\sin \theta + \sin(\pi - \theta).$ สูตรผลรวมผลต่างให้
\begin{align*}
\sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{5\pi}{12} \\
&= 2 \cos \frac{5\pi}{12}, \\
\sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{4... | \sin \theta + \sin(\pi - \theta). | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
97 เป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 100. จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ 97! (แฟกทอเรียลของ 97) คือเท่าใด (หมายเหตุ: จำนวน n! คือผลคูณของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n ตัวอย่างเช่น 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120) | 97 เป็นปัจจัยเฉพาะ และทุกสิ่งที่คูณกันเพื่อสร้าง 97! น้อยกว่า 97 | 97 | [
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\log_{\sqrt{5}} 125\sqrt{5}$ | ให้ $x= \log_{\sqrt{5}}125\sqrt{5}$ เขียนในรูปเลขชี้กำลังได้ $(\sqrt{5})^x = 125\sqrt{5}$ เขียนทั้งสองข้างให้มี 5 เป็นฐาน จะได้ $5^{\frac{x}{2}} = 5^3\cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{7}{2}}$ ดังนั้น $x/2=7/2$ ดังนั้น $x=\boxed{7}$ | x=\boxed{7} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $a$ ที่ทำให้เส้นตรงที่กำหนดโดย
\[\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ a \\ 4 \end{pmatrix}\]และ
\[\begin{pmatrix} -7 \\ -3 \\ 11 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\]ตั้งฉากกัน | เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงแรกคือ $\begin{pmatrix} 2 \\ a \\ 4 \end{pmatrix}.$ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่สองคือ $\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}.$
เนื่องจากเส้นตรงตั้งฉากกัน เวกเตอร์ทิศทางจะตั้งฉากกัน ซึ่งหมายความว่าผลคูณ chấm ของมันจะเป็น 0. นี่จะให้เรา
\[(2)(-1) + (a)(4) + (4)(2) = 0.\]แก้สมการจะได้ $a = \... | a = \boxed{-\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จะมีกี่คนในงานเลี้ยง | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ ทุกคู่ของคนจะจับมือกันครั้งเดียว ดังนั้น 78 แทนจำนวนคู่ ซึ่งเราสามารถนับเป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนคนในงานเลี้ยง ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะได้ $\boxed{13}$ คนในงานเลี้ยง | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่, คี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
พิมพ์ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | เนื่องจาก $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่
\[f(-x)g(-x) = f(x)g(x),\]ดังนั้น $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
พาราโบลาหนึ่งมีจุดยอดที่ $(4,-5)$ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ถ้าพาราโบลาเป็นกราฟของ $y = ax^2 + bx + c$ สัมประสิทธิ์ใดใน $a,$ $b,$ และ $c$ ที่ต้องเป็นบวก?
ใส่น้ำหนักสัมประสิทธิ์ที่ต้องเป็นบวก แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณคิดว่า $a$ และ $c$ ต้องเป็นบวก ให้ใส่ "$a,$ $c$", โ... | พิกัด $y$ ของจุดยอดเป็นลบ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด ดังนั้นพาราโบลาต้องหงายขึ้น ซึ่งหมายความว่า $a$ ต้องเป็นบวก
ยิ่งไปกว่านั้น จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ดังนั้น จุดตัดแกน $y$ $c$ ต้องเป็นลบ
พิกัด $x$ ของจุดยอดเป็นบวก ซึ่งก็คือ $-\frac{b}{2a}$ เนื่องจาก $a$ เป็นบวก $b$ จึงเป็นลบ
ดังนั้น สัมประสิทธ... | \boxed{a}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน $s > 0$ มีสมบัติที่พื้นที่ผิวของมันเท่ากับผลรวมของปริมาตรและห้าเท่าของความยาวด้าน จงคำนวณผลรวมของค่า $s$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
[asy]
size(5cm,5cm);
pair A,B,C,D,E,F,G,H;
A=(0,0);
B=(1,0);
C=(1,1);
D=(0,1);
E=(0.3,1.5);
F=C+(E-D);
G=B+(E-D);
H=A+(E-D);
draw(A--B--C--D--A--H--E);
draw(D--C--F)... | ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^3$ และพื้นที่ผิวของมันคือ $6s^2$ ดังนั้นเราได้ $6s^2=s^3+5s$ หรือ $0=s^3-6s^2+5s=s(s-1)(s-5)$ ดังนั้นค่า $s$ ที่เป็นไปได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งสองค่าคือ 1 และ 5 ผลรวมของค่าเหล่านี้คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 8x + y^2 + 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 3 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เราได้ $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 20 - c$. เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 3 หน่วย เราต้องมี $20 - c = 3^2$. ดังนั้น $c = \boxed{11}$. | c = \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $P_0(x) = x^3 + 313x^2 - 77x - 8\,$. สำหรับจำนวนเต็ม $n \ge 1\,$, กำหนดให้ $P_n(x) = P_{n - 1}(x - n)\,$. สัมประสิทธิ์ของ $x\,$ ใน $P_{20}(x)\,$ มีค่าเท่าใด? | เรามี \[\begin{aligned} P_1(x) &= P_0(x-1), \\ P_2(x) &= P_1(x-2) = P_0(x-2-1), \\ P_3(x) &= P_2(x-3) = P_0(x-3-2-1), \end{aligned}\]และอื่นๆ เราจะเห็นว่า \[\begin{aligned} P_{20}(x) &= P_0(x-20-19-\dots-2-1) \\ &= P_0(x - 210), \end{aligned}\]โดยใช้สูตร $20 + 19 + \cdots + 2 + 1 = \tfrac{20(21)}{2} = 210.$ ดังนั้น \[P... | 763 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $20$ ที่หาร $20$ ลงตัว | ตัวหารของ $20$ คือ $1, 2, 4, 5, 10,$ และ $20$ ดังนั้นมี $\boxed{6}$ ตัวหาร | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อ $3y^3-13y^2+11y+23$ หารด้วย $3y+2$ แล้ว ผลหารคือ $y^2-5y+c$ และเศษเหลือเป็นค่าคงที่ จงหาเศษเหลือ | ให้เศษเหลือเท่ากับ $r$ ซึ่งเป็นค่าคงที่ แล้วเราทราบว่า
$$3y^3-13y^2+11y+23 = (3y+2)(y^2-5y+c) + r.$$เมื่อขยายจะได้
$$3y^3-13y^2+11y+23 = 3y^3-15y^2+3cy+2y^2-10y+2c + r$$ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น
$$11y+23 = 3cy-10y+2c + r.$$เนื่องจากเศษเหลือเป็นค่าคงที่ เราทราบว่า
$$11y = (3c-10)y$$เมื่อแก้สมการหาค่า $c$ จะได้ $c=7$.
ดังนั... | r = 23 - 2c =23-14 = \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เบนจามินกำลังพยายามไขกุญแจรหัสแบบผสม ตัวกุญแจประเภทนี้มี 5 หลักตั้งแต่ 0 ถึง 9 และเบนจามินรู้ว่ารหัสสำหรับประเภทของกุญแจนี้จะไม่มีหลักซ้ำกันเลย เขาจะมีรหัสที่ถูกต้องได้กี่รหัส? | สำหรับหลักแรกของเขา เบนจามินมี 10 ตัวเลือกที่เป็นไปได้ สำหรับหลักที่สองของเขา เขาจะมี 9 ตัวเลือกที่เป็นไปได้ เนื่องจากเขาไม่สามารถทำซ้ำหลักใดๆ ได้ สำหรับหลักที่สาม, สี่ และห้าของเขา เขาจะมี 8, 7 และ 6 ตัวเลือกที่เป็นไปได้ ดังนั้นจึงมี $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \boxed{30,\!240}$ รหัสที่เป็นไปได้ | 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \boxed{30,\!240} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของหลักหน่วยของผลคูณของ 3 ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 50 | เราเริ่มต้นด้วยการคำนวณผลรวมของหลักหน่วยของผลคูณของ 3 ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 30. โดยไม่นับ 0 ทุกหลักที่เป็นไปได้จะปรากฏขึ้นเพียงครั้งเดียวเป็นหลักหน่วยของผลคูณของ 3: เซตของผลคูณของ 3 ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 30 ประกอบด้วยตัวเลข $0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30$ ดังนั้นผลรวมของหลักหน่วยของมันเท่ากับ $$1+2+3+4+5+6+7+8+9 = \frac{9... | 45 + 33 = \boxed{78} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จานาอินาพยายามแก้สมการต่อไปนี้โดยการเติมกำลังสอง: $$x^2+18x-9 = 0.$$ เธอเขียนสมการใหม่ในรูปแบบนี้ได้สำเร็จ: $$(x + b)^2 = c,$$โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $c$? | เราเขียนสมการใหม่ดังนี้ โดยพยายามสร้างกำลังสองของทวินามทางด้านซ้าย: \begin{align*}
x^2 + 18x - 9 &= 0\\
x^2 + 18x + 81 &= 90\\
(x + 9)^2 &= 90.
\end{align*}เราเห็นว่าสิ่งนี้ทำงานได้อย่างชัดเจน และ $c = \boxed{90}.$ | c = \boxed{90}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในห้องเรียนที่มีนักเรียน 30 คน มีนักเรียน 7 คนที่เคยไปเม็กซิโก และมีนักเรียน 11 คนที่เคยไปอังกฤษ ของนักเรียนทั้ง 30 คนนี้ มี 4 คนที่เคยไปทั้งเม็กซิโกและอังกฤษ มีนักเรียนกี่คนในห้องเรียนนี้ที่ไม่เคยไปเม็กซิโกหรืออังกฤษ? | จากนักเรียน 7 คนที่เคยไปเม็กซิโก มี 4 คนที่เคยไปอังกฤษด้วย ดังนั้น $7-4=3$ คนที่เคยไปเม็กซิโกและไม่เคยไปอังกฤษ
จากนักเรียน 11 คนที่เคยไปอังกฤษ มี 4 คนที่เคยไปเม็กซิโกด้วย ดังนั้น $11-4=7$ คนที่เคยไปอังกฤษและไม่เคยไปเม็กซิโก
ดังนั้น 3 คนเคยไปเม็กซิโกเท่านั้น 7 คนเคยไปอังกฤษเท่านั้น และ 4 คนเคยไปทั้งสองประเทศ ในห้องเรี... | 30-3-7-4=\boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดของสมการ $\tan{19x^{\circ}}=\dfrac{\cos{96^{\circ}}+\sin{96^{\circ}}}{\cos{96^{\circ}}-\sin{96^{\circ}}}$. | จากสูตรการบวกของฟังก์ชันแทนเจนต์
\begin{align*}
\frac{\cos 96^\circ + \sin 96^\circ}{\cos 96^\circ - \sin 96^\circ} &= \frac{1 + \tan 96^\circ}{1 - \tan 96^\circ} \\
&= \frac{\tan 45^\circ + \tan 96^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 96^\circ} \\
&= \tan (45^\circ + 96^\circ) \\
&= \tan 141^\circ.
\end{align*}ดังนั้น เราต้อ... | x \equiv \boxed{159} \pmod{180}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $L$ เป็นเส้นตรงในอวกาศที่ผ่านจุดกำเนิดและจุด $(2,1,-2)$ จงหาภาพสะท้อนของจุด $(3,6,15)$ ข้าม $L$ | กำหนดให้ $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix}$ และ $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}.$
[asy]
import three;
size(180);
currentprojection = perspective(6,3,2);
triple I = (1,0,0), J = (0,1,0), K = (0,0,1), O = (0,0,0);
triple V = (3,2,2), W = (4,1,3), P = dot(V,W)/abs(W)^2*W,... | \boxed{(-11,-10,-7)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงประเมินค่าของ $(x+y)(x-y)$ เมื่อ $x=13$ และ $y = 5$ | เราสามารถประเมินค่าได้โดยตรง หรือใช้การแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสอง: $(x+y)(x-y) = x^2-y^2 = 13^2-5^2 = 169-25 =\boxed{144}$ | (x+y)(x-y) = x^2-y^2 = 13^2-5^2 = 169-25 =\boxed{144} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
รูปหกเหลี่ยมมุมเท่ากัน $ABCDEF$ มีความยาวด้าน $AB=CD=EF=1$ และ $BC=DE=FA=r$ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ACE$ เป็น $70\%$ ของพื้นที่รูปหกเหลี่ยม จงหาผลรวมของค่า $r$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | เห็นได้ชัดว่ารูปสามเหลี่ยม $ACE$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากกฎของโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เราได้ว่า
\[AC^2 = r^2+1^2-2r\cos 60^\circ = r^2+r+1.\]ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ACE$ คือ $\frac{\sqrt{3}}{4}(r^2+r+1)$.
ถ้าเราต่อ $\overline{AB}$, $\overline{CD},$ และ $\overline{EF}$ ออกไปจนกว่า $\overline{EF}$ และ ... | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของทุกจุด $(x,y,z)$ ที่สอดคล้องกับ $x^2 + y^2 + z^2 \le 25$ และ $z \ge 0.$ คำนวณความยาวด้านของลูกบาศก์ที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ใน $S.$ | สังเกตว่า $S$ คือครึ่งบนของทรงกลมที่มีรัศมี 5.
ให้ $s$ เป็นความยาวด้านของลูกบาศก์ แล้วหน้าหนึ่งของลูกบาศก์จะอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ $xy$ ; จุดศูนย์กลางของหน้านี้คือ $O = (0,0,0).$
[asy]
unitsize(1.2 cm);
pair A, B, C, D, O, T, X, Y, Z;
pair x, y, z;
x = (2,-0.2);
y = (1.2,0.8);
z = (0,2);
X = (0,0);
Y = x;
T = y;
A... | s = \boxed{\frac{5 \sqrt{6}}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ ซึ่ง $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ แล้ว
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ. โดยทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.$
เน... | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เฉลี่ยการตีของโจเป็น .323 (นั่นคือเขาตีเฉลี่ย .323 ครั้งต่อการตี) ความน่าจะเป็นที่เขาจะตีได้ 3 ครั้งใน 3 ครั้งที่ตีคือเท่าไร? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษถึงร้อยละ | การตีของโจแต่ละครั้งเป็นอิสระจากครั้งอื่นๆ นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะตีได้ครั้งหนึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับว่าเขาตีหรือพลาดลูกบอลก่อนหน้าหรือไม่ ดังนั้นเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาจะตีได้ 3 ครั้งใน 3 ครั้งที่ตี เราเพียงแค่ยกกำลัง 3 ของ $0.323$ เพื่อให้ได้ $0.033$ ปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุดจะได้ $\boxed{0.03... | \boxed{0.03} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลูกตักไอศกรีมตักไอศกรีมทรงกลมที่มีรัศมี 1 นิ้ว ถ้าลูกตักไอศกรีมละลายลงในโคนไอศกรีมแล้วจะต้องใช้ลูกตักกี่ลูกเพื่อเติมโคนไอศกรีมที่มีรัศมี 2 นิ้วและสูง 5 นิ้ว? | ลูกตักไอศกรีมแต่ละลูกมีปริมาตร $\frac{4}{3}\pi (1^3) = \frac{4}{3}\pi$ ลูกบาศก์นิ้ว โคนไอศกรีมจุได้ $\frac{1}{3}\pi (2^2)(5) = \frac{20}{3}\pi$ ลูกบาศก์นิ้ว. $\frac{\frac{20}{3}\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 5$ ดังนั้นเราต้องการลูกตัก $\boxed{5}$ ลูกเพื่อเติมโคน | \boxed{5} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คำตอบของสมการ $(x+1)(x+2) = x+3$ สามารถเขียนในรูป $m+\sqrt n$ และ $m-\sqrt n$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $m+n$ | ก่อนอื่นให้เราขยายด้านซ้ายของสมการเพื่อให้ได้ $$x^2+3x+2 = x+3.$$จากนั้นลบ $x+3$ จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้สมการกำลังสองในรูปมาตรฐาน: $$x^2+2x-1 = 0.$$สมการนี้ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อย่างชัดเจน ดังนั้นเราจึงใช้สูตรกำลังสอง ซึ่งจะได้คำตอบของ $$x = \frac{-(2) \pm\sqrt{(2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}.$$... | -1+2=\boxed{1} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $z = a + bi,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า
\[z^3 + |z|^2 + z = 0,\]จงหาคู่ลำดับ $(a,b).$ | เราสามารถเขียน $|z|^2 = z \overline{z},$ ดังนั้นสมการจะกลายเป็น
\[z^3 + z \overline{z} + z = 0.\]เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $z = a + bi$ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการข้างต้นด้วย $z$ ซึ่งจะได้
\[z^2 + \overline{z} + 1 = 0.\]จากนั้น $(a + bi)^2 + \overline{a + bi} + 1 = 0,$ หรือ
\[a^2... | (a,b) = \boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รถบัสจะมาถึงป้ายรถเมล์ของเจอร์รี่ทุกๆ 20 นาที เริ่มต้นเวลา 05:13 น. ถ้าเจอร์รี่มาถึงเวลา 08:35 น. เขาจะต้องรอนานเท่าไรถึงรถบัสคันต่อไป | เนื่องจาก 20 นาทีหาร 60 นาที (ซึ่งเป็น 1 ชั่วโมง) ลงตัว รถบัสจะจอดทุกๆ 13 นาที, $13 + 20 = 33$ นาที และ $33 + 20 = 53$ นาทีหลังจากชั่วโมง ดังนั้นหลังจากเวลา 08:35 น. ครั้งต่อไปที่รถบัสจะจอดคือ 08:53 น. ดังนั้นเจอร์รี่ต้องรอนาน $53 - 35 = \boxed{18}$ นาที | 53 - 35 = \boxed{18} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มที่เลือกมาแบบสุ่มจากเซต $$\{1,2,3,\ldots,100\}$$ จะหารด้วย 2 ลงตัวและไม่หารด้วย 3 ลงตัว แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เนื่องจาก $100 = 50\cdot 2$ มีจำนวนเต็ม 50 ตัวในเซตที่หารด้วย 2 ลงตัว จำนวนที่หารด้วย 2 และ 3 ลงตัวคือตัวที่หารด้วย 6 ลงตัว ในเซตนี้ การหาร 100 ด้วย 6 จะได้ $16\frac23$ ดังนั้นมี 16 ตัวที่หารด้วย 6 ลงตัว ซึ่งเหลือ $50-16 = 34$ ตัวที่หารด้วย 2 ลงตัวแต่ไม่หารด้วย 3 ลงตัว มีจำนวนเต็มทั้งหมด 100 ตัวในเซต ดังนั้นความน่าจะเป... | \dfrac{34}{100} = \boxed{\dfrac{17}{50}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) = x$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าใด? | สมการ $(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) = x$ ทำให้ सरวมเป็น $4x - 10 = x$ ดังนั้น $3x = 10$ ซึ่งหมายความว่า $x = \boxed{\frac{10}{3}}$ | x = \boxed{\frac{10}{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กราฟของ
\[x^2 + 2x + y^2 + 6y + z^2 - 12z + 30 = 0\]เป็นทรงกลม จงหารัศมีของทรงกลม | เติมกำลังสองใน $x,$ $y,$ และ $z,$ เราได้
\[(x + 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2 = 16.\]ดังนั้น รัศมีของทรงกลมคือ $\boxed{4}.$ | \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าเฉลี่ยของเซตของจำนวนที่เรียงลำดับจากน้อยไปมาก $\{6, x, 22\}$ เท่ากับมัธยฐาน จงหาค่าของ $x$ | ค่าเฉลี่ยของเซตคือผลรวมของจำนวนทั้งหมดหารด้วยจำนวนของจำนวน (ซึ่งมี 3 จำนวน) ดังนั้นค่าเฉลี่ยคือ $\frac{6+x+22}{3}$ มัธยฐานของเซตคือจำนวนที่อยู่ตรงกลางเมื่อจำนวนถูกเขียนเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ดังนั้นมัธยฐานของเซตนี้คือ $x$ ดังนั้นเราจึงมี \[\frac{6+x+22}{3} = x.\] คูณทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้ $6+x+22 = 3x$ ซึ่งจะเรียบง่าย... | x=\boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว โดยมีมุมฉากที่ $A$ เส้นตรง $BD$ และ $BE$ แบ่งมุม $ABC$ เป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กัน มุม $BDE$ มีขนาดกี่องศา?
[asy]draw((0,0)--(-1,0)--(-1,1)--(0,0)--cycle,linewidth(2));
draw((0,0)--dir(165)*1/cos(pi/12),linewidth(2));
draw((0,0)--dir(150)*1/cos(pi/6),linewidth(2));
draw((-1,.07)... | จากข้อมูลที่กำหนดให้ เราเห็นว่า $\angle ACB = \angle ABC = 45^\circ$ ดังนั้น $\angle ABE = \angle EBD = \angle DBC = 15^\circ$ ดังนั้นเราได้ว่า $\angle ABD = 30^\circ$ และเนื่องจาก $\triangle ABD$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก $\angle ADB = 90-\angle ABD = 60^\circ$ จากนั้นเราเห็นว่า $\angle ADB = \angle BDE$ ดังนั้นเราได้ว่า $... | \angle BDE = \boxed{60^\circ}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)$ เป็นผลรวมของตัวหารจำนวนเต็มบวกของ $n$ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $f(f(n))$ เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน เรียก $n$ ว่าจำนวนเฉพาะชนิดกระเด้ง จงหาจำนวนเฉพาะชนิดกระเด้งที่เล็กที่สุด | เราทดสอบจำนวนเฉพาะขนาดเล็ก จำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดคือ $2$ แต่โปรดทราบว่า $f(2) = 3$ และ $f(3) = 4$ จากนั้นเราทดสอบ $3$ และโปรดทราบว่า $f(4) = 7$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $\boxed{3}$ คือจำนวนเฉพาะชนิดกระเด้งที่เล็กที่สุด | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คอร์ดมีความยาว 6 หน่วย แบ่งวงกลมออกเป็นสองบริเวณที่แตกต่างกัน ถ้าวงกลมมีรัศมี 6 หน่วย พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่าเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นตารางหน่วย) จงแสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุดของ $\pi$ | วาดรัศมีไปยังจุดตัดของคอร์ดกับวงกลม จะเกิดสามเหลี่ยมด้านเท่าขึ้นมา มีพื้นที่ $\frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ อย่างไรก็ตาม ส่วนทั้งหมดมีพื้นที่ $\frac{36\pi}{6} = 6\pi$ ถ้าเราลบพื้นที่ของภาคออกจากพื้นที่ของวงกลมทั้งหมด และเพิ่มพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่ากลับเข้ามา เราจะได้พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่า พื้นที่จึงเป็น ... | 36\pi - 6\pi + 9\sqrt{3} = \boxed{30\pi + 9\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $4x^2+7x+k$ คือ $\frac{-7\pm i\sqrt{15}}{8}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | โดยใช้สูตรกำลังสอง เราพบว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(k)}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{49-16k}}{8}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้ต้องเท่ากับ $\frac{-7\pm\sqrt{15}i}{8}$ ดังนั้น \begin{align*} \sqrt{49-16k}&=\sqrt{15}i
\\\Rightarrow\qquad \sqrt{49-16k}&=\sqrt{-15}
\\\Rightarrow\qquad 49-16k&=-15
\\\Righ... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวน 9 หลักที่น้อยที่สุดที่มีรูปแบบ $aaa, \! aaa, \! aaa$ ซึ่งหารด้วย 9 ลงตัว (สังเกตว่าหลักของจำนวนนี้จะต้องเหมือนกัน) | สำหรับจำนวนที่จะหารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมของหลักจะต้องหารด้วย 9 ลงตัว ถ้าจำนวนอยู่ในรูปดังกล่าว ผลรวมของหลักจะเป็น $a+a+a+a+a+a+a+a+a=9a$ ดังนั้น ไม่ว่าหลัก $a$ จะเป็นหลักใด ผลรวมของหลักจะหารด้วย 9 ลงตัวเสมอ เพื่อให้จำนวน 9 หลักน้อยที่สุด จำนวนนั้นคือ $\boxed{111, \! 111, \! 111}$ | \boxed{111, \! 111, \! 111} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a \ge b \ge c \ge 0$ และ $a + b = 16.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[\sqrt{c(b - c)} + \sqrt{c(a - c)}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\begin{align*}
\left( \sqrt{c(b - c)} + \sqrt{c(a - c)} \right)^2 &\le (1 + 1)(c(b - c) + c(a - c)) \\
&= 2(bc - c^2 + ac - c^2) \\
&= 2((a + b)c - 2c^2) \\
&= 2(16c - 2c^2) \\
&= 4(8c - c^2).
\end{align*}ค่าสูงสุดของ $8c - c^2$ เกิดขึ้นเมื่อ $c = 4,$ สำหรับค่าสูงสุดเท่ากับ 16 ดังนั้น
\[\sqrt{... | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนจริง ซึ่งทำให้
\[(ax + b)(x^5 + 1) - (5x + 1)\]หารด้วย $x^2 + 1$ ลงตัว | เพื่อที่ $(ax + b)(x^5 + 1) - (5x + 1)$ จะหารด้วย $x^2 + 1$ ลงตัว มันต้องเท่ากับ 0 ที่รากของ $x^2 + 1 = 0$ ซึ่งคือ $\pm i.$
เมื่อ $x = i,$
\begin{align*}
(ax + b)(x^5 + 1) - (5x + 1) &= (ai + b)(i + 1) - (5i + 1) \\
&= -a + ai + bi + b - 5i - 1 \\
&= (-a + b - 1) + (a + b - 5)i.
\end{align*}ดังนั้นเราต้องมี $-a + b - ... | (a,b) = \boxed{(2,3)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2$. | $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}.$ | \left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}. | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\tan \theta = 7,$ จงหา $\tan 2 \theta.$ | จากสูตรมุมคู่
\[\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \boxed{-\frac{7}{24}}.\] | [
"นำไปใช้"
] | |
ในชั้นเรียนการศึกษาผู้ขับขี่ นักเรียนได้รับคำแนะนำให้วางมือบนพวงมาลัยที่ตำแหน่ง "$3$'' และ "$9$'', เช่นเดียวกับบนหน้าปัดนาฬิกา ถ้าหากนักเรียนวางมือที่ตำแหน่ง "$2$'' และ "$10$'' แทน มุมระหว่างมือ (โดยมีศูนย์กลางของพวงมาลัยเป็นจุดยอดของมุม) จะลดลงเป็นเท่าไร | จาก "$3$'' ถึง "$9$'' มีความแตกต่างกัน 6 ชั่วโมง จาก 12 ชั่วโมงบนนาฬิกา ดังนั้น มือทั้งสองห่างกัน $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ ขององศาบนนาฬิกา จาก "$2$'' ถึง "$10$'', มุมที่เล็กกว่า (ตามเข็มนาฬิกาจาก $10$ ถึง $2$) มีความแตกต่างกัน 4 ชั่วโมง จาก 12 ชั่วโมงบนนาฬิกา ดังนั้น มือทั้งสองห่างกัน $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ ขององ... | \frac{360}{6}=\boxed{60^\circ} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $4x^2+7x+k$ คือ $\frac{-7\pm i\sqrt{15}}{8}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | โดยใช้สูตรกำลังสอง เราพบว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(k)}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{49-16k}}{8}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้ต้องเท่ากับ $\frac{-7\pm\sqrt{15}i}{8}$
\begin{align*} \sqrt{49-16k}&=\sqrt{15}i
\\\Rightarrow\qquad \sqrt{49-16k}&=\sqrt{-15}
\\\Rightarrow\qquad 49-16k&=-15
\\\Rightarrow\... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สูตรทำขนมข้าวพองจะได้ส่วนผสมที่เต็มพิมพ์ขนาด 9 นิ้ว x 13 นิ้ว สูง 1 นิ้ว ถ้าส่วนผสมของขนมข้าวพองที่ได้จากสูตรเดิม 1.5 เท่า ถูกเทลงในพิมพ์ขนาด 10 นิ้ว x 15 นิ้ว พิมพ์จะเต็มสูงกี่นิ้ว? แสดงคำตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง | ปริมาตรของขนมข้าวพองที่ได้จากสูตรเดิมคือ $9\cdot 13\cdot 1 = 117$ ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้นปริมาตรที่ได้จากการทำสูตร 1.5 เท่าของสูตรเดิมคือ $1.5\cdot 117 =175.5$ ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้นความสูงที่พิมพ์จะเต็มคือ $\frac{175.5}{10\cdot 15} = \boxed{1.17}$ นิ้ว | \frac{175.5}{10\cdot 15} = \boxed{1.17} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปที่แสดง ให้ส่วนของเส้นตรงตั้งฉากจาก B ในสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ตัดเส้นทแยงมุม AC ที่จุด X ด้าน AB ยาว 6 เซนติเมตร และเส้นทแยงมุม AC ยาว 10 เซนติเมตร จุด X ห่างจากจุดกึ่งกลาง M ของเส้นทแยงมุม AC กี่เซนติเมตร? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่สิบ
[asy]
draw((0,0)--(25,0)--(25,15)--(0,15)--cycle,linewidth(1));... | เราเห็นว่า $\triangle ABX \sim \triangle ACB$ เนื่องจาก $\angle BXA = \angle ABC$ และ $\angle A$ เป็นมุมร่วมของทั้งสองรูปสามเหลี่ยม จากความคล้ายกันนี้ เราได้สมการ $\frac{AB}{AC}=\frac{AX}{AB}$ แทนค่าความยาวด้านที่ทราบและแก้สมการหา AX เราได้ $\frac{6}{10}=\frac{AX}{6}\Rightarrow AX=3.6$ เนื่องจาก $AM=10/2=5$ ดังนั้น ... | XM=5-3.6=\boxed{1.4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปภาพ $DC$ ยาวเป็นสองเท่าของ $BD$ พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ มีค่าเท่าไร? [asy]
draw((0,0)--(-3,0)--(0,4)--cycle);
draw((0,0)--(6,0)--(0,4)--cycle);
label("3",(-1.5,0),N);
label("4",(0,2),E);
label("$A$",(0,4),N);
label("$B$",(-3,0),S);
label("$C$",(6,0),S);
label("$D$",(0,0),S);
draw((0,0.4)--(0.4,0.4)--(0.4,0));
... | เนื่องจาก $BD=3$ และ $DC$ ยาวเป็นสองเท่าของ $BD$ ดังนั้น $DC=6.$ [asy]
draw((0,0)--(-3,0)--(0,4)--cycle);
draw((0,0)--(6,0)--(0,4)--cycle);
label("3",(-1.5,0),N);
label("4",(0,2),E);
label("$A$",(0,4),N);
label("$B$",(-3,0),S);
label("$C$",(6,0),S);
label("$D$",(0,0),S);
label("6",(3,0),N);
draw((0,0.4)--(0.4,0.4)--(0.... | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้ $0, a, b, c$ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทวนเข็มนาฬิกา จงคำนวณ
\[\frac{ac + b^2}{ab}.\]แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | นี่คือภาพของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเราที่มีจุดยอดเชื่อมต่อกับจุดกำเนิด:
[asy]
import TrigMacros;
size(180);
pair O, A, B, C;
rr_cartesian_axes(-2, 8, -5, 7, complexplane = true, usegrid = false);
O = (0,0);
A = (3, -1);
B = scale(sqrt(2))*rotate(45)*A;
C = rotate(90)*A;
draw(A--B--C--O--cycle);
draw(O--B);
... | \frac{c}{b} = \frac{1 + i}{2}. | [
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $8-4 \div 2-1$ | ตามลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การหารจะทำก่อนการลบ เราจะได้คำตอบดังนี้ \begin{align*}
8-4 \div 2 - 1 &= 8-2-1 \\
&= 6-1 \\
&= \boxed{5}.
\end{align*} | 5 | [
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าคุณมีเหรียญที่ถ่วงน้ำหนัก โดยหัวมีโอกาสปรากฏ $\frac34$ และก้อยมีโอกาสปรากฏ $\frac14$ หากคุณโยนหัว คุณจะได้เงิน 2 ดอลลาร์ แต่ถ้าโยนก้อย คุณจะเสียเงิน 1 ดอลลาร์ ค่าที่คาดหวังของการโยนเหรียญคือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นทศนิยม | ตามนิยาม เราคูณผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง และบวกผลรวม: $E = \frac34(+\$2) + \frac14(-\$1) = \$1.50 - \$0.25 = \boxed{\$1.25}$. | 1.25 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.