question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
กำหนดฟังก์ชันแบบทีละชิ้น \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\] จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบทีละชิ้นนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้นจากกระดาษ) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบทีละชิ้นต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังน... | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x^{-1} + \frac{x^{-1}}{1+x^{-1}}$ จงหาค่าของ $f(f(-2))$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราได้ \[f(x) = x^{-1} + \frac{x^{-1}}{1+x^{-1}} = \frac1x + \frac{1/x}{1+\frac{1}{x}}.\] ดังนั้น เราได้ \begin{align*}f(-2) &= \frac{1}{-2} + \frac{\frac{1}{-2}}{1 + \frac{1}{-2}} \\&= -\frac{1}{2} + \frac{-1/2}{1 - \frac{1}{2}} \\&= -\frac12 + \frac{-1/2}{1/2} \\&= -\frac12-1 = -\frac{3}{2}.\end{align*} ดังนั้น \b... | -8/3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าแห่งหนึ่งมีความกว้างครึ่งหนึ่งของความยาว และถูกปิดล้อมด้วยรั้ว 54 เมตรทั้งหมด พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้มีกี่ตารางเมตร | ให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $w$ ดังนั้นความยาวของมันคือ $2w$ ดังนั้นเส้นรอบรูปของมันคือ $2(w + 2w) = 6w = 54$ ดังนั้น $w = 9$ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $9(2\cdot 9) = \boxed{162}$ ตารางเมตร | 9(2\cdot 9) = \boxed{162} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็ก 3 รูปถูกวาดอยู่ภายใน โดยความยาวด้านถูกกำหนดไว้แล้ว พื้นที่ของบริเวณสีเทาที่มีรูปร่างเป็นตัว $\text L$ มีค่าเท่าใด? [asy]
/* AMC8 2000 #6 Problem */
draw((0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--cycle);
draw((1,5)--(1,1)--(5,1));
draw((0,4)--(4,4)--(4,0));... | บริเวณสีเทาที่มีรูปร่างเป็นตัว $\text L$ ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปที่มีพื้นที่ $3\times 1=3$ บวกกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มุมที่มีพื้นที่ $1\times 1=1$ ดังนั้นพื้นที่ของรูป $\text L$ คือ $2\times 3+1=\boxed{7}.$
หรือ
$\text{Square }FECG-\text{Square }FHIJ=4\times 4-3\times 3 =16-9=\boxed{7}.$
หรือ
บริเวณสีเทาที... | \boxed{7}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถุงหนึ่งมีองุ่นที่จะแจกจ่ายให้กับเด็กนักเรียน 5 คนในชั้นเรียนอย่างเท่าเทียมกัน และองุ่นที่เหลือจะถูกทิ้งไป ถ้าแต่ละนักเรียนได้รับจำนวนองุ่นที่มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จำนวนองุ่นที่มากที่สุดที่อาจถูกทิ้งไปคือเท่าใด | ถ้าเรามีองุ่นอย่างน้อย 5 ผล เราสามารถให้แต่ละคนเพิ่มได้อีก 1 ผล ดังนั้นพวกเขาจึงไม่ได้รับจำนวนองุ่นที่มากที่สุด ในทางกลับกัน ถ้าเรามีองุ่น 4 ผล เราไม่สามารถแจกออกไปได้อีกโดยไม่ต้องละทิ้งนักเรียนอย่างน้อย 1 คน ดังนั้น $\boxed{4}$ ผลองุ่นคือค่าสูงสุดที่เราทิ้ง | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เบรนดาเดินทางจาก $(-4,5)$ ไปยัง $(5,-4)$ แต่เธอต้องแวะที่จุดกำเนิดระหว่างทาง เธอต้องเดินทางไกลเท่าใด? | การเดินทางของเบรนดามี 2 ส่วน: จาก $(-4,5)$ ไปยัง $(0,0)$ และจาก $(0,0)$ ไปยัง $(5,-4)$ โดยใช้สูตรระยะทาง ระยะทางทั้งหมดคือ \begin{align*}
\sqrt{(-4-0)^2+(5-0)^2}&+\sqrt{(5-0)^2+(-4-0)^2}\\
&=\sqrt{16+25}+\sqrt{25+16}\\
&=\boxed{2\sqrt{41}}.
\end{align*} | 2√41 | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $5x^{2}+19x+16 > 20$ ไม่เป็นจริง | เราสามารถลดรูปความอสมการเป็น $5x^{2}+19x-4 > 0$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบเป็น $(5x-1)(x+4)>0$ เราเห็นว่าความอสมการนี้เป็นจริงเมื่อ $x<-4$ และ $\frac{1}{5}<x$ เพราะในกรณีแรก $5x-1$ และ $x+4$ เป็นลบทั้งคู่ และในกรณีหลังเป็นบวกทั้งคู่ นั่นหมายความว่าความอสมการไม่เป็นจริงสำหรับ $x$ ที่อยู่ระหว่าง $-4$ และ $\frac{1}{5}$ จำนวนเ... | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $a^2=\frac{16}{44}$ และ $b^2=\frac{(2+\sqrt{5})^2}{11}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริงลบ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า $(a+b)^3$ สามารถเขียนในรูปอย่างง่าย $\frac{x\sqrt{y}}{z}$ โดยที่ $x$, $y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าของผลบวก $x+y+z$ | ก่อนอื่นเราหาค่า $a$ และ $b$ $$a=-\sqrt{\frac{16}{44}}=-\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{44}}=-\frac{4}{2\sqrt{11}}=-\frac2{\sqrt{11}}$$$$b=\sqrt{\frac{(2+\sqrt{5})^2}{11}}=\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$$ต่อไปเราหาค่า $(a+b)^3$. \begin{align*}(a+b)^3&=\left(-\frac2{\sqrt{11}}+\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{11}}\right)^3=\left(\frac{\sqr... | x+y+z=5+55+121=\boxed{181} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตเท่ากับ $10$ ถ้าพจน์ที่ห้าเท่ากับ $5$ พจน์ที่หกเท่ากับเท่าไร | ให้ $x$ แทนส่วนต่างร่วมระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันสองพจน์ เราสามารถแสดงพจน์สี่พจน์แรกในรูปของ $x$ และพจน์ที่ห้าได้: พจน์ที่สี่คือ $5-x$ พจน์ที่สามคือ $5-2x$ และอื่นๆ ดังนั้น $(5-4x) + (5-3x) + (5-2x) + (5-x) = 10$ ซึ่งเมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $-10x = -10$ หรือ $x = 1$ ดังนั้นพจน์ที่หกคือ $5+1 = \boxed{6}$ | 5+1 = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดเซตของจุดทั้งหมด $(x,y)$ บนระนาบพิกัด ซึ่งพิกัดหนึ่งมีค่าเป็นสองเท่าของอีกพิกัดหนึ่ง หากเราพล็อตจุดทั้งหมดเหล่านี้ กราฟจะแบ่งระนาบออกเป็นกี่บริเวณ | พิกัด $y$ เป็นสองเท่าของพิกัด $x$ เราได้เส้นตรง $y=2x$ หรือพิกัด $x$ เป็นสองเท่าของพิกัด $y$ เราได้เส้นตรง $y=\frac{1}{2}x$ กราฟของเส้นตรงทั้งสองแสดงดังนี้:
[asy]
Label f;
f.p=fontsize(3);
xaxis(-5,5,Ticks(f, 1.0));
yaxis(-10,10,Ticks(f, 1.0));
draw((-5,-10)--(5,10),Arrows);
draw((-5,-2.5)--(5,2.5),Arrows);
[/asy]... | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(81)^{\frac12}=3^m$. Find $m$. | เนื่องจาก $81 = 3^4$ เราได้ \[3^m = (81)^{\frac12} = (3^4)^{\frac12} = 3^{4\cdot \frac12} = 3^2,\] ซึ่งหมายความว่า $m=\boxed{2}$. | m=\boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของค่า $y$ ทั้งหมดที่ทำให้นิพจน์ $\frac{y+6}{y^2-5y+4}$ ไม่นิยาม คือเท่าใด | นิพจน์ที่กำหนดจะไม่นิยามเมื่อส่วนเป็นศูนย์ ดังนั้นเราต้องการหาผลรวมของศูนย์ $y$ ของสมการกำลังสอง $y^2-5y+4$ เนื่องจากสำหรับสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของคำตอบคือ $-b/a$ ผลรวมของศูนย์ของสมการกำลังสอง $y^2-5y+4$ คือ $5/1=\boxed{5}$ | 5/1=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์ ซึ่ง $f(0)=4$ และ $f(1)=10$ ถ้า $f(x)$ มีดีกรี $2$ จงหา $f(x)$ แสดงคำตอบในรูป $ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $f(x)$ มีดีกรี $2$ เราทราบว่ามันอยู่ในรูป $ax^2+bx+c$ พหุนามเอกซ์คือพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ $1$ ดังนั้น $a=1$ เนื่องจาก $f(0)=4$ เราทราบว่า $1(0)^2+b(0)+c=4$ ดังนั้น $c=4$ เนื่องจาก $f(1)=10$ เราทราบว่า $1(1)^2+b(1)+4=10$ ดังนั้น $b+5=10$ และ $b=5$ ดังนั้น $f(x)=\boxed{x^2+5x+4}$ | f(x)=\boxed{x^2+5x+4} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แจสมินมีที่หนีบกระดาษ 2 อันในวันจันทร์ จากนั้น 6 อันในวันอังคาร และจำนวนที่หนีบกระดาษของเธอก้าวหน้าขึ้นเป็น 3 เท่าในแต่ละวันถัดไป ในวันใดของสัปดาห์ที่เธอมียอดที่หนีบกระดาษมากกว่า 100 อันเป็นครั้งแรก? | นี่คือลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 2 และอัตราส่วนร่วม 3 ดังนั้น พจน์ใดๆ ในลำดับนี้สามารถแทนได้ด้วย $2\cdot3^k$ สำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบ $k$ โดยที่ $k+1$ แทนหมายเลขพจน์ (ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k=0$, $2\cdot3^k = 2$ ซึ่งเป็นพจน์ที่ $k+1=1^\text{st}$ ของลำดับ) เราต้องหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2\cdot3^k>100$ โดยใช้การทดลองแล... | \boxed{\text{วันศุกร์}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขอบเขตของฟังก์ชัน $\frac{x+1}{x^2+6x+8}$. | เนื่องจากเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ค่าของ $x$ ที่ทำให้ส่วนของเศษส่วนมีค่าเท่ากับศูนย์จะต้องถูกตัดออกจากขอบเขต ดังนั้น เราต้องหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+6x+8=0$ ก่อน เนื่องจากสมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(x+4)(x+2)=0$ ค่าที่เราต้องตัดออกจากขอบเขตมีเพียง $-4$ และ $-2$ เท่านั้น ซึ่งจะได้คำตอบ $x\in\box... | x\in\boxed{(-\infty,-4)\cup(-4, -2)\cup(-2,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อจำนวนเต็มสองหลัก $MM$ ซึ่งมีหลักเหมือนกัน คูณด้วยจำนวนเต็มหลักเดียว $M$ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็มสามหลัก $NPM$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $NPM$ | $M=1$, $5$, หรือ $6$ เนื่องจากไม่มีหลักอื่นๆ ที่มีสมบัติที่หลักหน่วยของ $M\times M$ เป็น $M$ ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $MM\times M=NPM$ คือ $66\times6=\boxed{396}$ | 66\times6=\boxed{396} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวหารร่วมมากของ $2^{1001}-1$ และ $2^{1012}-1$ | โดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิด \begin{align*}
&\text{gcd}\,(2^{1012}-1, 2^{1001}-1) \\
&\qquad= \text{gcd}\, (2^{1012}-1 - 2^{11}(2^{1001}-1), 2^{1001}-1) \\
&\qquad= \text{gcd}\,(2^{11}-1, 2^{1001}-1)
\end{align*} โดยใช้กฎการหารด้วย 11 เราทราบว่า 11 หาร 1001 ลงตัว เขียน $2^{1001}$ เป็น $(2^{11})^{91}$ และ 1 เป็น $1^{91}$ ... | $2^{11}-1 = \boxed{2047}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$, $y$, และ $z$ เป็นจำนวนบวก โดยที่ $xy=24$, $xz = 48$, และ $yz=72$ จงหาค่าของ $x+y+z$ | เนื่องจาก $$x=\frac{24}{y}=\frac{48}{z}$$ เราได้ว่า $z = 2y$. ดังนั้น $72
= 2y^2$ ซึ่งหมายความว่า $y=6$, $x = 4$, และ $z = 12$. ดังนั้น $x+y+z = \boxed{22}$. | x+y+z = \boxed{22} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดพหุนาม \[f(x)=1-12x+3x^2-4x^3+5x^4\] และ \[g(x)=3-2x-6x^3+9x^4.\] จงหาค่า $c$ ที่ทำให้พหุนาม $f(x)+cg(x)$ มีดีกรี 3. | พหุนาม $f(x)+cg(x)$ จะมีดีกรี 3 ก็ต่อเมื่อ พจน์ $x^4$ ยกเลิกกัน และ พจน์ $x^3$ ไม่เป็นศูนย์ พจน์ $x^4$ ของ $f(x)+cg(x)$ คือ \[5x^4+c(9x^4)=(5+9c)x^4.\] ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อ $c=-5/9$.
ถ้า $c=-5/9$ พจน์ $x^3$ คือ \[-4x^3+c(-6x^3)=(-4-6\cdot -5/9)x^3=-\frac{2}{3}x^3\neq0.\]ดังนั้นมีเพียงหนึ่งคำตอบ $c=\boxed{-\frac{5}{9}... | c=\boxed{-\frac{5}{9}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีผู้มา dựรับประทานอาหาร 7 คน แต่โต๊ะกลมมีที่นั่งเพียง 6 ที่ ถ้าการจัดที่นั่งสองแบบที่เป็นการหมุนของกันและกันถือว่าเหมือนกัน แล้วมีวิธีการเลือก 6 คนและจัดที่นั่งให้พวกเขาที่โต๊ะกี่วิธี? | มี 7 วิธีในการเลือกคนที่ต้องยืนอยู่ ในการจัดที่นั่ง 6 คนที่เหลือ มี 6 ที่นั่งที่คนแรกสามารถเลือกได้ 5 ที่นั่งที่เหลือสำหรับคนที่สอง และอื่นๆ ลงไปจนถึง 1 ที่นั่งสำหรับคนสุดท้าย สิ่งนี้บ่งชี้ว่ามี $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 6!$ วิธีในการจัดที่นั่ง 6 คน อย่างไรก็ตาม แต่ละการจัดที่นั่งสามารถหมุนได้ 6 วิธี ด... | 7\cdot 5! = \boxed{840} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใช้เวลา 15 คนทำงานอย่างต่อเนื่อง 4 วันในการขุดรากฐานสำหรับอพาร์ทเมนต์หลังใหม่ ใช้เวลาเท่าไรหากมี 25 คนทำงานด้วยอัตราเดียวกัน แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่ tenths | จำนวนคนและเวลาในการขุดรากฐานเป็นปริมาณที่ผกผันกัน ให้ $m$ เท่ากับจำนวนคนและ $d$ เท่ากับจำนวนวันในการสร้างรากฐาน นั่นหมายความว่า $md=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า จากข้อมูลที่กำหนด $15\cdot 4=60=k$ ทราบค่าของ $k$ แล้วเราสามารถแก้หาจำนวนวันที่จะใช้ในการขุดรากฐานโดยใช้ 25 คน: \begin{align*}
25\cdot d&=60\\
\Rightarrow\... | 2.4 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าเฉลี่ยของ $x+6$, $6x+2$, และ $2x+7$ คือ $4x-7$ จงหาค่าของ $x$ | ค่าเฉลี่ยของ $x+6$, $6x+2$, และ $2x+7$ คือ $\dfrac{1}{3}((x+6)+(6x+2)+(2x+7))$. การทำให้ง่ายขึ้นของนิพจน์นี้ให้ $\dfrac{1}{3}(9x+15)=3x+5$. เราทราบว่าค่าเฉลี่ยก็คือ $4x-7$ ดังนั้น $3x+5=4x-7$. ลบ $3x-7$ จากทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้ $x=\boxed{12}$. | x=\boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คำนวณ $26\times33+67\times26$. | จัดเรียงพจน์ใหม่ เราจะพบว่าเท่ากับ $26\times(33+67)=26\times(100)=\boxed{2600}$ | 26\times(33+67)=26\times(100)=\boxed{2600} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ \[\frac{3x^2+2x+1}{x-1}=3x+1\]หาค่า $x$ | การคูณไขว้จะได้ \[3x^2+2x+1=(x-1)(3x+1)=3x^2-2x-1.\]ดังนั้น \[4x=-2\]และ $x=\boxed{-\frac{1}2}$. | x=\boxed{-\frac{1}2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เพื่อคำนวณ $31^2$ เอมิลี่คิดค่า $30^2$ ในใจและบวก 61 เอมิลี่ลบจำนวนหนึ่งจาก $30^2$ เพื่อคำนวณ $29^2$ เอมิลี่ลบจำนวนเท่าใด? | เราเห็นว่า $29^2 = (30 - 1)^2 = 30^2 - 2\cdot 30 \cdot 1 +1 = 30^2 - 59$ ดังนั้น เอมิลี่ลบ $\boxed{59}$ | \boxed{59} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารถโรงเรียนออกจากโรงเรียนโดยมีนักเรียน 48 คน และครึ่งหนึ่งของนักเรียนลงจากรถที่แต่ละป้ายจอด 3 ป้ายแรก จะมีนักเรียนกี่คน 남อยู่บนรถหลังจากป้ายจอดที่สาม | ที่แต่ละป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถจะถูกหารด้วย 2 ดังนั้น หลังจาก 3 ป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถคือ $48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6}$ | 48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนเต็มที่โชคดีคือจำนวนเต็มบวกที่หารด้วยผลบวกของหลักของมันได้ จำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นผลคูณบวกของ 9 ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่โชคดีคือจำนวนใด | จดรายการผลคูณบวกของ 9 ตัวแรก: $9, 18, 27, 36, \dots$. เราจะเห็นว่าจำนวนเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มที่โชคดีทั้งหมด เนื่องจากหลักของมันรวมกันได้ 9 และรูปแบบของการเพิ่มหลักแรกขึ้น 1 ในขณะที่ลดหลักที่สองลง 1 จะคงคุณสมบัตินี้ไว้ อย่างไรก็ตาม รูปแบบนี้จะหยุดหลังจากหลักสุดท้ายถึง 0 จริงอยู่ 90 ยังเป็นจำนวนเต็มที่โชคดี แต่ 99 ไม่ใช่... | \boxed{99} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $145b^2 +29b$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $145b^2$ และ $29b$ คือ $29b$ เราแยกตัวประกอบ $29b$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้ดังนี้:\begin{align*}
145b^2 +29b &= 29b \cdot 5b+ 29b \cdot 1\\
&=\boxed{29b(5b+1)}.
\end{align*} | 29b | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่ 87 | จำนวนเต็มบวกคี่ทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูป $2x - 1$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1 เมื่อ $x = 1$ สูตรจะให้จำนวนเต็มบวกคี่ตัวแรกคือ 1 เมื่อ $x = 2$ สูตรจะให้จำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่สองคือ 3 ดังนั้นจำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่ 87 จะเป็น $2 \cdot 87 - 1 = \boxed{173}$ | 2 \cdot 87 - 1 = \boxed{173} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่า $2^x+ 2^x+ 2^x+ 2^x= 512$ จงหาค่าของ $x$ | ก่อนอื่น ให้เราทำให้อัตราส่วนทางซ้ายมือง่ายขึ้น และเราจะได้ \[2^x+2^x+2^x+2^x = 4\cdot 2^x = 2^2\cdot 2^x = 2^{x+2}.\]สังเกตว่า $512 = 2^9$ สมการของเราตอนนี้คือ $2^{x+2} = 2^9$ ดังนั้น $x+2 = 9$ ดังนั้น $x=\boxed{7}$. | x=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\log_4 64$. | เนื่องจาก $4^3=64$ ดังนั้น $\log_4 64 = \boxed{3}$ | $\log_4 64 = \boxed{3}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\&$ นิยามโดย $a \& b = (a+b)(a-b)$ ค่าของ $6 \& 3$ เท่ากับเท่าใด | แทนค่าลงในนิยาม $6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27}$ | 6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27} | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $\delta(x) = 3x + 8$ และ $\phi(x) = 8x + 7$ จงหาค่า $x$ เมื่อ $\delta(\phi(x)) = 7$ | เราสามารถเห็นได้ว่า $\delta(\phi(x)) = 3(8x + 7) + 8 = 24x + 29.$ ดังนั้น เราได้ว่า $24x + 29 = 7$ ซึ่งให้ $24x = -22$ ดังนั้น $x = \boxed{-\dfrac{11}{12}}.$ | x = \boxed{-\dfrac{11}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซดริกฝากเงิน $\$12,\!000$ ลงในบัญชีที่จ่ายดอกเบี้ย $5\%$ ต่อปีแบบทบต้น
แดเนียลฝากเงิน $\$12,\!000$ ลงในบัญชีที่จ่ายดอกเบี้ย $7\%$ ต่อปีแบบดอกเบี้ย साधारण
ในอีก $15$ ปี เซดริกและแดเนียลเปรียบเทียบยอดคงเหลือของตน To the nearest dollar, what is the positive difference between their balances? | เราสามารถหายอดคงเหลือของเซดริกได้โดยการหา $\$12,\!000(1 + 0.05)^{15} \approx \$24,\!947.14.$
เราสามารถหายอดคงเหลือของแดเนียลได้โดยการหา $\$12,\!000(1 + 15 \cdot 0.07) \approx \$24,\!600.$
ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างยอดคงเหลือของพวกเขาโดยประมาณคือ $\$24,\!947.14 - \$24,\!600 \approx \boxed{\$347}.$ | 347 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $2x - y = 5$ และ $x + 2y = 5$ จงหาค่าของ $x$ | เพื่อหาค่า $x$ เราต้องการกำจัด $y$ คูณสมการแรกด้วย $2$ แล้วบวกกับสมการที่สอง: \begin{align*}
(4x-2y) + (x+2y) &= 10+5\\
5x &= 15\\
x &= \boxed{3}
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $54 \times 46$ ในใจ | เราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $(50 + 4)\times (50 - 4)$ ซึ่งเป็นผลต่างของกำลังสอง: $(50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484}$ | (50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\log_\frac{1}{3}9$. | ให้ $x = \log_\frac{1}{3}9$ ดังนั้นเราจะต้องมี $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 9$ ดังนั้น $x=\boxed{-2}$ | x=\boxed{-2} | [
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $6 \cdot 8\frac{1}{3}$ | เราสามารถใช้สมบัติการ distributive เพื่อหลีกเลี่ยงการแปลงจำนวนผสมเป็นเศษส่วน: \begin{align*}
6 \cdot 8\frac{1}{3} &= 6 \cdot \left(8 + \frac{1}{3}\right)\\
&= 48 + 6 \cdot\frac{1}{3}\\
&= 48 + \frac{6}{3}\\
&= 48 + 2\\
&= \boxed{50}.
\end{align*} | 50 | [
"นำไปใช้"
] |
ห้องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 12 ฟุต x 6 ฟุต ต้องใช้พรมกี่ตารางหลาในการปูพื้นห้อง | พื้นที่ของห้องคือ $(12\text{ ft.}) (6\text{ ft.})=72$ ตารางฟุต เนื่องจาก 1 หลาเท่ากับ 3 ฟุต 1 ตารางหลาเท่ากับ 9 ตารางฟุต ดังนั้น $72/9=\boxed{8}$ ตารางหลาจึงต้องใช้ในการปูพื้น | 72/9=\boxed{8} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $p$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $A = (24, 7)$ และ $B = (3, 4).$ โดยที่ $AB$ ตัด $p$ ที่ $C = (x, y),$ จงหาค่าของ $2x - 4y$? | เส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $AB$ ต้องตัด $AB$ ที่จุดกึ่งกลาง ดังนั้น $C$ จึงเป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ เราใช้สูตรจุดกึ่งกลางเพื่อหาว่า $C = \left(\frac{24 + 3}{2}, \frac{7 + 4}{2} \right) = \left(\frac{27}{2}, \frac{11}{2} \right).$ ดังนั้น $2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}.$ | 2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เสื้อตัวหนึ่งมีราคาปกติ $30$ ดอลลาร์ ลดราคา $20\%$ แมรี่มีคูปองที่ลดราคาอีก $25\%$ จากราคาลดแล้ว ส่วนลดเดียวที่ให้ราคาสุดท้ายเหมือนกับส่วนลดสองครั้งติดต่อกันคือเท่าไร | การลดราคา $20\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $1-20\%=1-0.2=\frac{4}{5}$ เช่นเดียวกัน การลดราคา $25\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $\frac{3}{4}$ การใช้ส่วนลดทั้งสองครั้ง เราคูณด้วย $\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}=0.6$ เนื่องจาก $1-0.6=0.4=40\%$ การคูณด้วย 0.6 ให้ส่วนลด $\boxed{40\%}$ | \boxed{40\%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้าเส้นตรงที่มีสมการ $y = 8x + 2$ และ $y = (2c)x - 4$ ขนานกัน ค่าของ $c$ คือเท่าใด | เส้นตรงขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $y = mx + b$ คือ $m$ ดังนั้น $8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4}$ | 8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x+y$ คือเท่าใด โดยที่ $x^{2} + y^{2} =90$ และ $xy=27$? | เรามี $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=90+2\cdot27=144$ ดังนั้น $x+y=12$ หรือ $x+y=-12$ เราต้องการค่าที่ใหญ่กว่า หรือ $x+y=\boxed{12}$ | x+y=\boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว 14 เซนติเมตร, 8 เซนติเมตร และ 9 เซนติเมตร เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้ยาวกี่เซนติเมตร | เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมถูกนิยามว่าเป็นผลรวมของความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้น เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 14 เซนติเมตร, 8 เซนติเมตร และ 9 เซนติเมตร คือ $\boxed{31}$ เซนติเมตร | \boxed{31} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $$w(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt[3]{x-3}~?$$ แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | สังเกตว่า $\sqrt[3]{x-3}$ นิยามสำหรับทุกค่าของ $x$ ข้อจำกัดเดียวมาจากพจน์ $\sqrt{x-2}$ ซึ่งนิยามก็ต่อเมื่อ $x-2$ เป็นค่าไม่เป็นลบ ดังนั้นโดเมนของ $w(x)$ คือ $\boxed{[2,\infty)}$. | \boxed{[2,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระนาบデカร์ต จุด $(2,1)$ และ $(3, 4)$ เป็นจุดที่อยู่ติดกันบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส | เราใช้สูตรระยะทางเพื่อหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจุด ซึ่งเป็นความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
$\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9} = \sqrt{10}$. ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $(\sqrt{10})^2 = \boxed{10}$. | (\sqrt{10})^2 = \boxed{10} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มลบ $x$ ที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับความสมภาค $34x+6\equiv 2\pmod {20}$ | เราสามารถทำให้ความสมภาคง่ายขึ้นดังนี้ (ความสมภาคทั้งหมดที่ตามมาเทียบเท่ากัน):
\begin{align*}
34x+6&\equiv 2\pmod {20}\\
14x+6&\equiv 2\pmod {20}\\
14x&\equiv 16\pmod {20}\\
7x&\equiv 8\pmod {10}\\
21x&\equiv 8\cdot 3\pmod {10}\\
x&\equiv 24\pmod{10}\\
x&\equiv 4\pmod{10}\\
x&\equiv \boxed{-6}\pmod{10}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
คำนวณ
$3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3)))))))))$ | อย่าให้วงเล็บจำนวนมากหลอกลวงเรา เราจะเขียนนิพจน์ใหม่เป็นอนุกรมเรขาคณิต: \[3+3^2+3^3+\cdots +3^9 +3^{10}.\]ตอนนี้เราสามารถคำนวณผลรวมได้เป็น $\frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}.$ | \frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อผลบวกของจำนวนนับ 102 ตัวแรกหารด้วย 5250 จะเหลือเศษเท่าใด (จำนวนนับตัวแรกคือ 1) | สำหรับทุกจำนวน $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 102 = 102 \cdot 103/2 = 5253$ เศษที่เหลือเมื่อ 5253 หารด้วย 5250 คือ $\boxed{3}$ | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $p(x) = x^4 - 3x + 2$ แล้วสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^3$ ในพหุนาม $(p(x))^3$ คือเท่าใด | จากการสังเกต เมื่อขยายพจน์ของผลคูณ $(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)$ พจน์เดียวที่ มีดีกรีเท่ากับ 3 จะเป็นพจน์ที่ได้จากการคูณพจน์เชิงเส้นทั้งสามเข้าด้วยกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือ $(-3)(-3)(-3)=\boxed{-27}$ | (-3)(-3)(-3)=\boxed{-27} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าบวกของ $n$ ที่ทำให้สมการ $9x^2+nx+1=0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว | ถ้าสมการกำลังสองทางซ้ายมือมีราก $x$ เพียงรากเดียว แสดงว่ามันต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ หาร 9 ทั้งสองข้างจะได้ $x^2+\frac{n}{9}x+\frac{1}{9}=0$ เพื่อให้ข้างซ้ายมือเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มันต้องแยกตัวประกอบเป็น $\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$ หรือ $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2=x^2-\frac{2}{3}x+\frac... | n=\frac{2}{3}\cdot9=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่ต่อเนื่องกันเท่ากับ 506 จงหาผลบวกของจำนวนทั้งสอง | กำหนดให้ $x(x+1) = 506$ ดังนั้น $x^2 + x = 506$ ซึ่งหมายความว่า $x^2 + x - 506 =0$ การแยกตัวประกอบของ 506 คือ $2\cdot 11 \cdot 23$ ดังนั้นเราจะเห็นว่าสมการกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x + 23)(x-22)=0$ คำตอบที่เป็นบวกคือ $x=22$ ดังนั้นจำนวนทั้งสองคือ 22 และ 23 ผลบวกของจำนวนทั้งสองคือ $22+23 = \boxed{45}$ | 22+23 = \boxed{45} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแก้สมการหาค่า $r$ : $$\frac{r+3}{r-2} = \frac{r-1}{r+1}.$$แสดงคำตอบในรูปเศษส่วน | ทำการคูณไขว้ (ซึ่งเทียบเท่ากับการคูณทั้งสองข้างด้วย $r-2$ และ $r+1$) จะได้ \[(r+3)(r+1) = (r-1)(r-2).\]展開ผลคูณทั้งสองข้างจะได้ \[r^2 + 3r + r + 3 = r^2 -r - 2r + 2.\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $r^2 + 4r + 3 = r^2 - 3r + 2$. นำ $r^2$ ลบออกจากทั้งสองข้าง และจัดกลุ่มพจน์จะได้ $7r = -1$ ดังนั้น $r = \boxed{-\frac{1}{7}}$. | r = \boxed{-\frac{1}{7}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6, 8 และ 10 | $6=2\cdot3$, $8=2^3$, และ $10=2\cdot5$, ดังนั้น ผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6, 8 และ 10 คือ $2^3\cdot3\cdot5=\boxed{120}$ | $2^3\cdot3\cdot5=\boxed{120}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\frac{1357_{9}}{100_{4}}-2460_{8}+5678_{9}$ แล้วแสดงคำตอบในระบบเลขฐานสิบ | ก่อนอื่น เราจะแปลงเลขจำนวนต่อไปนี้เป็นเลขฐานสิบ: $$1357_{9}= 7\cdot9^{0}+5\cdot9^{1}+3\cdot9^{2}+1\cdot9^{3} = 7+45+243+729 = 1024_{10},$$$$100_{4} = 0\cdot4^{0}+0\cdot4^{1}+1\cdot4^{2} = 16_{10},$$$$2460_{8} = 0\cdot8^{0}+6\cdot8^{1}+4\cdot8^{2}+2\cdot8^{3} = 48+256+1024 = 1328_{10},\quad\text{and}$$$$5678_{9} = 8\cd... | $\frac{1024}{16}-1328+4202 = \boxed{2938}.$ | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ผลรวมของสี่จำนวนเท่ากับครึ่งหนึ่ง จงหาค่าเฉลี่ยของสี่จำนวนนั้น แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจากค่าเฉลี่ยของสี่จำนวนคือผลรวมของจำนวนนั้นหารด้วยสี่ ค่าเฉลี่ยคือ $\dfrac{1/2}{4} = \boxed{\frac{1}{8}}$. | \dfrac{1/2}{4} = \boxed{\frac{1}{8}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $100^3 = 10^x$ | เนื่องจาก $100 = 10^2$ เราได้ \[10^x = 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2\cdot 3} = 10^6,\] ดังนั้น $x = \boxed{6}$. | x = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรง $x - 2y = 5$ | จุดตัดแกน $y$ คือจุดที่เส้นตรงตัดแกน $y$ พิกัด $x$ ของจุดนี้คือ 0 แทน $x=0$ ในสมการจะได้ $-2y = 5$ ดังนั้น $y = \boxed{-\frac{5}{2}}$ | y = \boxed{-\frac{5}{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $37a^2 +111a$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $37a^2$ และ $111a$ คือ $37a$ เราแยกตัวประกอบ $37a$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้\begin{align*}
37a^2 + 111a &= 37a \cdot a+ 37a \cdot 3\\
&=\boxed{37a(a+3)}
\end{align*} | 37a(a+3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวหารที่มากที่สุดของ 372 ซึ่งน้อยกว่า 50 และเป็นตัวประกอบของ 72 ด้วย | เราสามารถ liệt kêตัวประกอบบวกทั้งหมดของ 372 ได้ดังนี้ 1, 2, 3, 4, 6, 12, 31, 62, 93, 124, 186 และ 372 ตัวหารที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 50 คือ 31 แต่ 31 ไม่ใช่ตัวประกอบของ 72 ตัวประกอบบวกของ 72 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 และ 72 ดังนั้น ตัวหารที่มากที่สุดของ 372 ที่น้อยกว่า 50 และเป็นตัวประกอบของ 72 คือ $\boxed... | \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r=3^s-s$ และ $s=2^n+1$ จงหาค่าของ $r$ เมื่อ $n=2$ | เริ่มต้นด้วยการแทนค่า $n=2$ ลงในนิพจน์ของ $s$ เพื่อหาค่า $s=2^2+1=5$ จากนั้นแทนค่า $s=5$ ลงในนิพจน์ของ $r$ เพื่อหาค่า $r=3^5-5=243-5=\boxed{238}$ | r=3^5-5=243-5=\boxed{238} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
นักเรียนที่โรงเรียน Sherry Curtis สามารถลงคะแนนเสียงเลือกกิจกรรมหนึ่งรายการขึ้นไปสำหรับวันกีฬาของโรงเรียน ด้านล่างนี้แสดงให้เห็นถึงสามตัวเลือกยอดนิยม จงเรียงชื่อตัวเลือกจากมากไปน้อยตามความนิยม โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
กิจกรรม & กีฬาตะกร้อ & ปิกนิก & ซอฟต์บอล \\ \hline
& & &\\[-1.... | การเขียนใหม่ของเศษส่วนเพื่อให้มีส่วนร่วมกันเป็น 60, เราได้ \begin{align*}
\text{กีฬาตะกร้อ: }&\frac{22}{60} \\
\text{ปิกนิก: }&\frac{21}{60} \\
\text{ซอฟต์บอล: }&\frac{25}{60}
\end{align*} ดังนั้นลำดับคือ $\boxed{\text{ซอฟต์บอล, กีฬาตะกร้อ, ปิกนิก}}.$ | \boxed{\text{ซอฟต์บอล, กีฬาตะกร้อ, ปิกนิก}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในห้องเรียนที่มีนักเรียน 30 คน ทุกคนเรียนคณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ นักเรียน 7 คน ได้รับเกรด A ในประวัติศาสตร์ และ 13 คน ได้รับเกรด A ในคณิตศาสตร์ รวมถึง 4 คนที่ได้รับเกรด A ในทั้งสองวิชา มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้รับเกรด A ในวิชาใดวิชาหนึ่งเลย? | การบวกจำนวนนักเรียนที่ได้เกรด A ในประวัติศาสตร์และคณิตศาสตร์จะได้ $7+13 = 20$ แต่การนับนี้จะนับนักเรียน 4 คนที่ได้เกรด A ในทั้งสองวิชาซ้ำสองครั้ง ดังนั้นจึงมี $20-4=16$ นักเรียนที่แตกต่างกันที่ได้รับเกรด A ในอย่างน้อยหนึ่งวิชา นั่นหมายความว่ามี $30-16=\boxed{14}$ คนที่ไม่ได้รับเกรด A ในวิชาใดเลย | 30-16=\boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $b$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ซึ่งทำให้สมการกำลังสอง $2x^2 + 5x + b = 0$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะ | ถ้าสมการกำลังสอง $2x^2 + 5x + b = 0$ มีรากที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งสองราก ดังนั้น เงื่อนไขจำเป็นคือ ตัวเลือกของ $b$ จะต้องทำให้ค่าพจน์ discriminant ($5^2 - 4 \cdot 2 \cdot b = 25 - 8b$) เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $25 - 8b \ge 0 \Longrightarrow b \in \{1,2,3\}$. เมื่อทดสอบค่า $b$ แต่ละค่า เ... | 2 + 3 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+2\]สำหรับ $x$. | การคูณไขว้จะได้ \[x^2+x+1=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2.\]ดังนั้น \[0=2x+1\]และ $x=\boxed{-\frac12}$. | x=\boxed{-\frac12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $x^2 - 16x + 60$ สามารถเขียนอยู่ในรูป $(x - a)(x - b)$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและ $a > b$ จงหาค่าของ $3b - a$? | การแยกตัวประกอบ เราได้ $x^2 - 16x + 60 = (x - 10)(x - 6)$ ดังนั้น $a = 10$ และ $b = 6$ และ $3b - a = 18 - 10 = \boxed{8}.$ | 3b - a = 18 - 10 = \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใดๆ มีค่าเฉลี่ยเท่าไร | ค่าเฉลี่ยของเซตของตัวเลขคือผลรวมของตัวเลขเหล่านั้นหารด้วยจำนวนทั้งหมดของตัวเลข ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมคือ $180^\circ$ และมี 3 มุม ดังนั้นค่าเฉลี่ยของมันคือ $\frac{180^\circ}{3} = \boxed{60^\circ}$ | \frac{180^\circ}{3} = \boxed{60^\circ} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น $(2x^2 + 7x - 3) - (x^2 + 5x - 12)$ | เรามี \begin{align*}
&(2x^2 + 7x - 3) - (x^2 + 5x - 12) \\
&\qquad = 2x^2 + 7x - 3 - x^2 - 5x + 12\\
&\qquad = (2x^2 - x^2) +(7x-5x) +(12-3)\\
&\qquad = \boxed{x^2+2x+9}.
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
มีจำนวนเต็มบวก $x$ และ $y$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ\begin{align*} \log_{10} x + 2 \log_{10} (\text{gcd}(x,y)) &= 60\\ \log_{10} y + 2 \log_{10} (\text{lcm}(x,y)) &= 570. \end{align*}ให้ $m$ เป็นจำนวนของตัวประกอบเฉพาะ (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) ในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ $x$ และให้ $n$ เป็นจำนวนของตัวประกอบเฉพาะ (ไม่จำเป็นต้อ... | บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $\log x+\log y+2(\log(\gcd(x,y))+\log(\text{lcm}(x,y)))=630$. จากนั้นใช้ทฤษฎี $\log a+\log b=\log ab$ จะได้สมการ $\log (xy)+2(\log(\gcd(x,y))+\log(\text{lcm}(x,y)))=630$. ใช้ทฤษฎี $\gcd(x,y) \cdot \text{lcm}(x,y)=x\cdot y$ ร่วมกับทฤษฎีที่กล่าวมาแล้ว จะได้สมการ $3\log(xy)=630$. สามารถทำให... | 40+840 = \boxed{880} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ต้องบวกเข้ากับ 412 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นพหุคูณของ 3 | สังเกตว่าการหาร 412 ด้วย 3 จะได้ผลหาร 137 และเศษ 1 ดังนั้นพหุคูณของ 3 ถัดไปจะต้องมากกว่า 412 เป็น $3-1=\boxed{2}$ | 3-1=\boxed{2} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
8400 และ 7560 มีตัวหารร่วมบวกกี่ตัว? | $$ \text{gcd}(7560, 8400) = 840 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 $$ตัวหารร่วมของ 7560 และ 8400 คือตัวหารของ GCD ของมัน: $$ t(840) = (3+1)(1+1)(1+1)(1+1) = \boxed{32}. $$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ $19^2-17^2+15^2-13^2+11^2-9^2+7^2-5^2+3^2-1^2?$ | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการจับคู่พจน์ในนิพจน์นี้และแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\phantom{=} \,\,\, (19^2-17^2)+(15^2-13^2)+(11^2-9^2)+(7^2-5^2)+(3^2-1^2) \\
&= 2(19 + 17) + 2(15 + 13) + 2(11 + 9) + 2(7 + 5) + 2(3 + 1)\\
&= 2(19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1) \\
&= 2(100) \\
&= \boxed{200}.
... | 200 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $a$ ค่าใดที่ทำให้ นิพจน์ $\frac{a+3}{a^2-4}$ ไม่นิยาม? แสดงคำตอบในลำดับที่เพิ่มขึ้นโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เมื่อส่วนเป็น 0 นิพจน์จะไม่นิยาม ดังนั้นเราจึงกำหนดส่วนเป็น 0 และแก้สมการ: $$a^2-4=(a-2)(a+2)=0.$$ ดังนั้นนิพจน์จะไม่นิยามเมื่อ $a=\boxed{-2, 2}.$ | a=\boxed{-2, 2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $(x + 2)(3x^2 - x + 5) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ แล้วค่าของ $A + B + C + D$ เท่ากับเท่าใด | การกระจาย $(x + 2)(3x^2 - x + 5)$ จะได้ \begin{align*}
&x(3x^2)+x(-x)+x(5) +2(3x^2)+2(-x)+2(5) \\
&\qquad = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D .\end{align*}การคำนวณผลคูณทางซ้ายมือจะได้ \[3x^3-x^2+5x+6x^2-2x+10 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D .\]การทำให้ 식 ซ้ายมือเรียบง่ายจะได้ \[3x^3+5x^2+3x+10 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D,\]ดังนั้น $A=3$, $B=5$, ... | 21 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่า $k$ ใดที่สมการ $x^2+10x+y^2+6y-k=0$ แทนวงกลมรัศมี 6? | ทำการเติมกำลังสอง เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่เป็น $(x+5)^2-25+(y+3)^2-9=k$ หรือ $(x+5)^2+(y+3)^2=34+k$ เนื่องจากสมการนี้ต้องแทนวงกลมรัศมี 6 เราต้องการ $34+k=6^2=36$ ดังนั้น $k=\boxed{2}$ | k=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลต่างระหว่าง $\frac{6^2 + 6^2}{6}$ และ $\frac{6^2 \times 6^2}{6}$ | เราคำนวณได้ว่า $\frac{6^2 + 6^2}{6} = \frac{6^2}{6} + \frac{6^2}{6} = 6 + 6 = 12$ และ $\frac{6^2 \times 6^2}{6} = \frac{6^2}{6}\times 6^2 = 6\times 6^2 = 6\times 36 = 216$ ดังนั้น ผลต่างระหว่างสองค่านี้คือ $216 - 12 = \boxed{204}$ | 216 - 12 = \boxed{204} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(1,1)$ และ $(4,7)$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ระยะห่างในแนวนอนระหว่าง $(1,1)$ และ $(4,7)$ คือ $4-1=3$ หน่วย ระยะห่างในแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองคือ $7-1=6$ หน่วย ดังนั้น เส้นตรงที่มีจุดปลายเป็น $(1,1)$ และ $(4,7)$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 หน่วย และ 6 หน่วย ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้คือ $\sqrt{3^2+6^2}=3\... | \sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กระจายผลคูณต่อไปนี้: $\frac{2}{5}\left(\frac{5}{x} + 10x^2\right)$. | เราใช้สมบัติการ distributive เพื่อให้ได้: \begin{align*}
\frac{2}{5}\left(\frac{5}{x}+10x^2\right)&= \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{x}+\frac{2}{5}\cdot 10x^2\\
&= \boxed{\frac{2}{x} + 4x^2}.
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
ลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวกถูกสร้างขึ้น โดยพจน์แรกคือ 2 และพจน์ที่ห้าคือ 162 จงหาพจน์ที่หกของลำดับนี้ | ให้ลำดับเรขาคณิตนี้มีอัตราส่วนร่วม $r$ เราทราบว่า $2\cdot r^4=162$ หรือ $r=3$ ดังนั้น พจน์ที่หกคือ $2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486}$ | 2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วินนี่มีลูกอมเชอร์รี่ 45 ลูก, ลูกอมวินเทอร์กรีน 116 ลูก, ลูกอมองุ่น 4 ลูก และลูกอมกุ้งค็อกเทล 229 ลูก เธอแจกจ่ายลูกอมให้กับเพื่อนสนิท 11 คน โดยไม่คำนึงถึงรสชาติ โดยแต่ละคนจะได้รับจำนวนลูกอมเท่ากัน และแจกจ่ายลูกอมให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ วินนี่จะเหลือลูกอมกี่ลูก? | เราต้องการทราบว่า $45+116+4+229$ หารด้วย 11 จะเหลือเศษเท่าไร เศษของแต่ละจำนวนนี้สามารถคำนวณได้ง่ายๆ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่า \[45+116+4+229\equiv1+6+4+9=20\equiv9\pmod{11}.\]ดังนั้นวินนี่จะเหลือลูกอม $\boxed{9}$ ลูก หลังจากการแจกจ่าย หวังว่าเธอจะไม่ได้เก็บลูกอมกุ้งค็อกเทลไว้ | \boxed{9} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในเมืองเพอร์เฟคต์วิลล์ ถนนทุกสายกว้าง 20 ฟุต และบล็อกที่ล้อมรอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ 400 ฟุต ตามที่แสดงในรูป ซาราห์วิ่งรอบบล็อกที่ด้าน 400 ฟุตของถนน ในขณะที่แซมวิ่งที่ฝั่งตรงข้ามของถนน แซมวิ่งมากกว่าซาราห์กี่ฟุตต่อรอบ? | ที่มุมถนนแต่ละมุม แซมวิ่งมากกว่าซาราห์ 40 ฟุต ในส่วนอื่น แซมวิ่งระยะทางเท่ากับซาราห์ เนื่องจากมีมุม 4 มุม แซมวิ่งมากกว่าซาราห์ $40\cdot4=\boxed{160}$ ฟุต | 40\cdot4=\boxed{160} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนใดจะได้เมื่อเพิ่ม 50 ขึ้น $120\%$? | เนื่องจาก $120\%$ ของ 50 คือ $1.2(50) = 60$ เมื่อเราเพิ่ม 50 ขึ้น $120\%$ เราจะได้ $50 + 60 = \boxed{110}$ อีกวิธีหนึ่ง เราสามารถหาคำตอบได้โดยการคูณ 50 ด้วย $1 + 1.2 = 2.2$ ซึ่งก็จะให้เรา $\boxed{110}$ เช่นกัน | \boxed{110} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดกำเนิดไปยังวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-24x +y^2+10y +160=0$ | เราทำให้สมการสมบูรณ์กำลังสองโดยสังเกตว่าสมการของวงกลมเทียบเท่ากับ \[(x^2-24x+144) +(y^2+10y+25) -9 =0,\] ซึ่งเทียบเท่ากับ \[(x-12)^2 +(y+5)^2=3^2.\] ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(12,-5)$ และโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $13$ (เราสามารถจำได้ว่าเรามีสามเหลี่ยม $5-12-13$ ) เนื่องจ... | 13-3=\boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คีโกะโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และเอฟรามโยนเหรียญบาท 2 เหรียญ จงหาความน่าจะเป็นที่เอฟรามจะได้จำนวนหน้าหัวเท่ากับคีโกะ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ทำรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด:
\begin{tabular}{c c c}
& & \text{จำนวนหน้าหัวเท่ากัน}\\
\text{คีโกะ} & \text{เอฟราม} & \text{หรือไม่?}\\
\text{หน้า} & \text{หน้าหน้า} & \text{ไม่}\\
\text{หน้า} & \text{หน้าหลัง} & \text{ใช่}\\
\text{หน้า} & \text{หลังหน้า} & \text{ใช่}\\
\text{หน้า} & \text{หลังหลัง} & \text{ไม่}\... | \boxed{\frac{3}{8}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $C = (3, 5)$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB,$ โดยที่ $A = (1, 8)$ และ $B = (x, y).$ จงหาค่าของ $xy$? | เห็นได้ชัดว่า $C$ ต้องเป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ หาก $C$ เป็นจุดที่ใกล้เคียงกับ $A$ และ $B$ มากที่สุด โดยใช้สูตรของจุดกึ่งกลาง เราได้ว่า: $$\left(\frac{1 + x}{2}, \frac{8 + y}{2}\right) = \left(3, 5\right).$$ดังนั้น $\frac{1 + x}{2} = 3$ ดังนั้น $x = 5.$ ในขณะเดียวกัน $\frac{8 + y}{2} = 5$ ดังนั้น $y = 2.$ คำตอบของเราคือ ... | xy = \boxed{10}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เลขสี่หลัก $3AA1$ หารด้วย 9 ลงตัว ตัวเลข $A$ แทนตัวเลขตัวใด | ถ้าจำนวนใดหารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมของเลขโดดของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ลงตัวด้วย ผลรวมของเลขโดดในเลขนี้คือ $3+A+A+1=2A+4$. ลองแทนค่า $A$ ต่างๆ เพื่อดูว่าค่าใดทำให้ผลรวมของเลขโดดหารด้วย 9 ลงตัว เราจะพบว่าไม่มีค่าของ $A$ ใดที่ทำให้ $2A+4$ หารด้วย 9 ลงตัว ยกเว้น $A=7$ เราจะเห็นว่า $4+2A=18$ ดังนั้น $A=\boxed{7}$ | A=\boxed{7} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $z$ ใดที่ทำให้ $z^2-40z+340\le 4$ จงแสดงคำตอบในรูปของช่วง | เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นเป็น $z^2-40z+336\le 0$ เราสามารถหาคำตอบของสมการได้โดยใช้สูตรกำลังสอง แต่มีวิธีที่ง่ายกว่าโดยการแยกตัวประกอบ: $z^2-40z+336=(z-12)(z-28)$ ดังนั้นพาราโบลา $z^2-40z+336$ จะเปลี่ยนเครื่องหมายที่ $z=12$ และ $z=28$ คำตอบคือช่วง $(-\infty,12]\cup[28,\infty)$ หรือ $[12,28]$ เราทดสอบค่าต่างๆ เพื่อให้ไ... | \boxed{[12,28]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การจัดแถววงดนตรีแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ การจัดสมาชิกวงดนตรี $m$ คน ในแต่ละแถว $r$ แถว โดยที่ $m$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม วงดนตรีวงหนึ่งมีสมาชิกวงดนตรีLessThan 100 คน ผู้อำนวยวงจัดให้พวกเขาอยู่ในรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าและพบว่าเขาเหลือสมาชิก 2 คน หากเขาเพิ่มจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวเป็น 1 คน และลดจำนวนแถวลง 2 แถว จะมีที่พอดีสำห... | ให้ $x$ เป็นจำนวนสมาชิกวงดนตรีในแต่ละแถวสำหรับการจัดแบบเดิม เมื่อเหลือ 2 คน จากข้อมูลที่กำหนดเราสามารถเขียนสมการได้ 2 สมการ: $$rx+2=m$$ $$(r-2)(x+1)=m$$ เมื่อตั้งสมการให้เท่ากัน เราพบว่า: $$rx+2=(r-2)(x+1)=rx-2x+r-2$$ $$2=-2x+r-2$$ $$4=r-2x$$ เราทราบว่าวงดนตรีมีสมาชิกน้อยกว่า 100 คน จากสมการแรกเราต้องมี $rx$ น้อยกว่า 9... | \boxed{98} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดการดำเนินการ $a\nabla b = 2 + b^a$ จงหาค่าของ $(1\nabla 2) \nabla 3$? | เราจะเห็นว่า
$$1\nabla 2=2+2^1=4$$
จากนั้น,
$$4\nabla 3=2+3^4=83$$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{83}$. | \boxed{83} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนเจ็ดหลัก $854n526$ หารด้วย $11$ ลงตัว $n$ มีค่าเท่าใด | จำนวนหารด้วย $11$ ลงตัวก็ต่อเมื่อผลบวกของหลักที่ $1$, $3$, $5$, ... ลบด้วยผลบวกของหลักที่ $2$, $4$, $6$, ... เป็นพหุคูณของ $11$ ผลบวกของหลักที่ $1$, $3$, $5$, $6$ คือ $8+4+5+6=23$ ผลบวกของหลักที่ $2$, $4$, $6$ คือ $5+n+2=7+n$ ดังนั้น $23-(7+n)=16-n$ ต้องเป็นพหุคูณของ $11$ ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $n=\boxed{5}$ เท่านั้น | n=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในเมืองแห่งหนึ่ง อัตราภาษีมีดังนี้: ภาษี $x\%$ จะถูกเก็บสำหรับรายได้ $x$ พันดอลลาร์ รายได้เท่าใด (เป็นดอลลาร์) ที่จะให้เงินเดือนสุทธิมากที่สุด (เงินเดือนสุทธิคือรายได้ลบภาษีจากรายได้นั้น) | จำนวนภาษีที่เก็บได้คือ $\frac{x}{100} \cdot 1000x = 10x^2,$ ดังนั้นเงินเดือนสุทธิคือ
\[1000x - 10x^2.\]ทำการเติมกำลังสอง เราได้
\begin{align*}
1000x - 10x^2 &= -10(x^2 - 100x) \\
&= -10(x^2 - 100x + 2500) + 25000 \\
&= -10(x - 50)^2 + 25000.
\end{align*}เงินเดือนสุทธิสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อ $x = 50,$ ซึ่งสอดคล้องกับรายได... | \boxed{50000} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนหลักคี่ในระบบเลขฐานสี่ของ $233_{10}$ | เราเริ่มต้นด้วยการแปลง $233_{10}$ เป็นเลขฐานสี่ เนื่องจาก $4^3=64$ เป็นกำลังของ 4 ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 233 และ $3\cdot64=192$ เป็นผลคูณของ 64 ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 233 ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของพจน์ $4^3$ จะเป็น 3 จากที่นี่เราเหลือเศษ $233-192=41$ กำลังของ 4 ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่าจำนวนนี้คือ $4^2=16$ และผลคูณของ 1... | \boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
โจแอนขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ย 12 ไมล์ต่อชั่วโมงเป็นเวลา 3 ชั่วโมงครึ่ง ถ้าเพื่อนของเธอ ฟราน ขี่จักรยานเป็นเวลา 3 ชั่วโมง ฟรานจะต้องขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ยเท่าไร ไมล์ต่อชั่วโมง เพื่อเดินทางเท่ากับโจแอน | ในเวลา $3\frac{1}{2}$ ชั่วโมง โจแอนเดินทาง $\left(3\frac{1}{2}\text{ ชั่วโมง}\right)(12\text{ ไมล์ต่อชั่วโมง})=42$ ไมล์ ถ้าความเร็วเฉลี่ยของฟรานเป็น $s$ ไมล์ต่อชั่วโมง ฟรานจะเดินทาง $3s$ ไมล์ในเวลา 3 ชั่วโมง การแก้สมการ $3s=42$ เราพบว่า $s=\boxed{14}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | s=\boxed{14} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $k$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ $2x^2-kx+8=0$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มต่างกันสองจำนวน | เราใช้ความจริงที่ว่าผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ กำหนดโดย $-b/a$ และ $c/a$ ตามลำดับ สมมติว่ารากทั้งสองของสมการคือ $p$ และ $q$ ดังนั้น $p+q=k/2$ อย่างไรก็ตามข้อจำกัดเดียวที่เหลือสำหรับ $p$ และ $q$ คือ $pq = 4$ และ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มที่ต่างกัน สำหรับแต่ละความเป็นไปได้ $(p,q)$ เราจะมีความเป็นไป... | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทำให้ง่ายขึ้น: $\frac{2^{n+4} - 2(2^n)}{2(2^{n+3})}$. เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ. | สังเกตว่า $\frac{2^{n+4} - 2(2^n)}{2(2^{n+3})} = \frac{2^n}{2^n}\cdot\frac{2^4 - 2}{2(2^3)} = \boxed{\frac{7}{8}}$. | \frac{7}{8} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(1,1)$ และ $(4,7)$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ระยะห่างในแนวนอนระหว่าง $(1,1)$ และ $(4,7)$ คือ $4-1=3$ หน่วย ระยะห่างในแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองคือ $7-1=6$ หน่วย ดังนั้น เส้นที่จุดปลายเป็น $(1,1)$ และ $(4,7)$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 หน่วย และ 6 หน่วย ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้คือ $\sqrt{3^2+6^2}=3\sq... | \sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการสำหรับ $x$: $(x-4)^3=\left(\frac18\right)^{-1}$ | ก่อนอื่น เราทราบว่า $\left(\frac18\right)^{-1} = 8$ ดังนั้นสมการคือ $(x-4)^3 = 8$ การหารากที่สามของทั้งสองข้างจะได้ $x-4 = 2$ ดังนั้น $x=\boxed{6}$ | x=\boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ให้ $p$ และ $q$ เป็นคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบของสมการ $$ \frac{4x-12}{x^2+2x-15}=x+2.$$ถ้า $p > q$ ค่าของ $p - q$ เท่ากับเท่าใด | ก่อนอื่นเราลองแยกตัวประกอบด้านซ้ายมือเพื่อทำให้มันง่ายขึ้น: $$ \frac{4x-12}{x^2+2x-15}=\frac{4(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{4}{x+5}.$$ตอนนี้เราสามารถคูณทั้งสองข้างด้วย $(x+5)$ และแก้หา $x$: \begin{align*}
\frac{4}{x+5}&=x+2\quad\Rightarrow\\
4&=(x+5)(x+2)\quad\Rightarrow\\
&=x^2+7x+10\quad\Rightarrow\\
0&=x^2+7x+6\quad\Righ... | p-q=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.