question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าของพจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิต $2,
5, 8, \ldots$ | ผลต่างร่วมคือ $5 - 2 = 3$ ดังนั้นพจน์ที่ 25 คือ $2 + 3 \cdot 24 = \boxed{74}$ | 2 + 3 \cdot 24 = \boxed{74} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแปลง $135_7$ เป็นจำนวนเต็มฐานสิบ | $135_7 = 1\cdot7^2 + 3\cdot7^1 + 5\cdot7^0 = 49 + 21 + 5 = \boxed{75}.$ | 75 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของนิพจน์ $x^2+y^2-6x+4y+18$ เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง | จัดรูปนิพจน์ใหม่ จะได้ \[x^2-6x+y^2+4y+18\]เติมกำลังสองสมบูรณ์ใน $x$ เราต้องบวกและลบ $(6/2)^2=9$ เติมกำลังสองสมบูรณ์ใน $y$ เราต้องบวกและลบ $(4/2)^2=4$ ดังนั้น จะได้ \[(x^2-6x+9)-9+(y^2+4y+4)-4+18 \Rightarrow (x-3)^2+(y+2)^2+5\]เนื่องจากค่าต่ำสุดของ $(x-3)^2$ และ $(y+2)^2$ คือ $0$ (กำลังสองที่สมบูรณ์ไม่สามารถเป็นลบได้)... | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่าจุด $(9,7)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ มีจุดหนึ่งที่ต้องอยู่บนกราฟของ $2y=\frac{f(2x)}2+2$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่ากับเท่าใด | เนื่องจาก $(9,7)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ เราทราบว่า \[7=f(9).\]ถ้าเราแทน $x=\frac92$ ลงใน $2y=\frac{f(2x)}2+2$ เราจะได้ \[2y=\frac{f(2\cdot9/2)}2+2=\frac72+2=\frac{11}2.\]ดังนั้น $(x,y)=\left(\frac92,\frac{11}4\right)$ อยู่บนกราฟของ \[2y=\frac{f(2x)}2+2.\]ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ \[\frac92+\frac{11}4=\boxed{\frac{2... | (x,y)=\left(\frac92,\frac{11}4\right) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คุณมีเสื้อ 3 ตัว และกางเกง 4 ตัว คุณสามารถทำชุดเสื้อผ้าได้กี่ชุด โดยชุดหนึ่งประกอบด้วยเสื้อ 1 ตัว และกางเกง 1 ตัว? | สำหรับเสื้อแต่ละตัวที่คุณเลือก คุณสามารถเลือกกางเกงได้ 1 ตัว จาก 4 ตัว ดังนั้น เนื่องจากคุณสามารถเลือกเสื้อได้ 1 ตัว จาก 3 ตัว จึงมี $3 \cdot 4 = \boxed{12}$ ชุดที่เป็นไปได้ | 3 \cdot 4 = \boxed{12} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ราคาโทรทัศน์ถูกหั่นลดลง $40\%$ และถูกตัดลดอีก $40\%$ ในระหว่างการ распродаja. ราคาเดิมลดลงไปกี่เปอร์เซ็นต์? | ให้ราคาเดิมของโทรทัศน์เป็น $T$ ดังนั้นราคาปัจจุบันคือ $0.6(0.6T)=0.36T$ ดังนั้นโดยรวมแล้วราคาลดลง $1-0.36=\boxed{64\%}$ | 1-0.36=\boxed{64\%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $19^2-17^2+15^2-13^2+11^2-9^2+7^2-5^2+3^2-1^2?$ | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการจับคู่พจน์ในนิพจน์นี้และแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\phantom{=} \,\,\, (19^2-17^2)+(15^2-13^2)+(11^2-9^2)+(7^2-5^2)+(3^2-1^2) \\
&= 2(19 + 17) + 2(15 + 13) + 2(11 + 9) + 2(7 + 5) + 2(3 + 1)\\
&= 2(19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1) \\
&= 2(100) \\
&= \boxed{200}.
... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
สมมติว่า $f$ และ $g$ เป็นพหุนาม และ $h(x)=f(g(x))+g(x)$ จงหาดีกรีของ $g(x)$ โดยที่ดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ 6 และดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ 2 | $f(g(x))$ ต้องมีดีกรีเท่ากับ 6 เพราะมันจะสร้างพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดของพหุนาม เพราะ $f(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 2 เราสามารถเขียนได้ว่า $f(x)=bx^2+cx+d$ พจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดใน $f(g(x))$ มาจากการนำ $bx^2$ หรือ $b(g(x))^2$ มาคูณกัน ให้ $g(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_0$ แล้ว พจน์ที่มีเลขช... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $a$ เป็นพหุคูณของ $456$ จงหาตัวหารร่วมมากที่สุดของ $3a^3+a^2+4a+57$ และ $a$ | เราใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด \begin{align*}
\text{gcd}\,(3a^3+a^2+4a+57,a)
&=\text{gcd}\,(3a^3+a^2+4a+57-(3a^2+a+4)a,a)\\
&=\text{gcd}\,(57,a).
\end{align*}เนื่องจาก $57$ เป็นตัวหารของ $456$ และ $a$ เป็นพหุคูณของ $456$ ตัวหารร่วมมากที่สุดคือ $\boxed{57}$ | \boxed{57} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะถูกเรียกว่า “เท่” ถ้าจำนวนหน่วยตารางในพื้นที่ของมันเท่ากับสองเท่าของจำนวนหน่วยในเส้นรอบรูปของมัน สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ต้องมีด้านที่มีความยาวเป็นจำนวนเต็มด้วย ผลรวมของพื้นที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่คือเท่าไร | ให้ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $a$ และ $b.$ จะได้ว่า $ab=4(a+b).$ ขยายและย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายมือ $ab-4a-4b=0.$ บวก 16 เข้าไปในทั้งสองข้างเพื่อให้สามารถแยกตัวประกอบได้:
\[a(b-4)-4(b-4)=(a-4)(b-4)=16. \]จากจุดนี้ คู่ $(a,b)$ ที่ให้พื้นที่ต่างกันคือ $(5,20),$ $(6,12),$ และ $(8,8),$ และผลรวมของพื้นที่ที่เป็น... | \boxed{236}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor{\pi}\rfloor$。 | เราต้องการหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $\pi$ เนื่องจาก $\pi$ ประมาณ $3.14$ คำตอบคือ $\boxed{3}$。 | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กระจายผลคูณต่อไปนี้: $\frac{2}{5}\left(\frac{5}{x} + 10x^2\right)$ | เราใช้สมบัติการ distributive เพื่อให้ได้: \begin{align*}
\frac{2}{5}\left(\frac{5}{x}+10x^2\right)&= \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{x}+\frac{2}{5}\cdot 10x^2\\
&= \boxed{\frac{2}{x} + 4x^2}.
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
กำหนดให้เส้นตรง $p$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $A = (24, 7)$ และ $B = (3, 4).$ โดยที่ $AB$ ตัด $p$ ที่ $C = (x, y),$ จงหาค่าของ $2x - 4y$? | เส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $AB$ ต้องตัด $AB$ ที่จุดกึ่งกลาง ดังนั้น $C$ คือจุดกึ่งกลางของ $AB$ เราใช้สูตรของจุดกึ่งกลางเพื่อหา $C = \left(\frac{24 + 3}{2}, \frac{7 + 4}{2} \right) = \left(\frac{27}{2}, \frac{11}{2} \right).$ ดังนั้น $2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}.$ | 2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในตาชั่ง, ลูกบอลสีเขียว 3 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 5 ลูก, และลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีขาว 4 ลูก. จำนวนลูกบอลสีน้ำเงินที่ต้องการเพื่อให้สมดุลกับลูกบอลสีเขียว 4 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลูก คือเท่าใด? | เราจะกำหนดตัวแปรให้กับน้ำหนักของลูกบอลแต่ละสีโดยใช้ตัวอักษรตัวแรกของสีนั้น. เราได้ $3G=6B\implies 1G=2B$, $2Y=5B\implies 1Y=2.5B$, และ $6B=4W\implies 1W=1.5B$. ดังนั้น $4G+2Y+2W=4(2B)+2(2.5B)+2(1.5B)=8B+5B+3B=16B$, และคำตอบของเราคือ $\boxed{16}$. | \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[ f(x) =
\begin{cases}
-x^2 & \text{if } x \geq 0,\\
x+8& \text{if } x <0.
\end{cases}
\] จงคำนวณ $f(f(f(f(f(1))))).$ | \begin{align*}
(f(f(f(f(1)))))
&=f(f(f(f(-1))))\\
&=f(f(f(7)))\\
&=f(f(-49))\\
&=f(-41)\\
&=\boxed{-33}.\\
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลูคต้องการรั้วที่ดินรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่อย่างน้อย 400 ตารางฟุต เขาควรทำด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเท่าใดหากเขาต้องการใช้รั้วน้อยที่สุด? | พื้นที่ของที่ดินจะเป็น $s^2$ โดยที่ $s$ คือความยาวของด้าน เนื่องจากต้องมีพื้นที่อย่างน้อย 400 ตารางฟุต เราได้ $s^2\geq 400$ ดังนั้นเราได้ $s \le -20 \text{ or } s \ge 20$ เนื่องจากขนาดไม่สามารถเป็นลบได้ ค่าที่น้อยที่สุดของ $s$ จะเป็น $\boxed{20}$ | \boxed{20} | [
"ประยุกต์"
] |
จำนวนกำลังของ 3 ที่ต่อเนื่องกันถูกนำมารวมกันเพื่อสร้างลำดับนี้: $3^0,3^0+ 3^1, 3^0+ 3^1+ 3^2$, และอื่นๆ ค่าของพจน์ที่สี่ของลำดับนี้เมื่อทำให้ง่ายที่สุดคือเท่าใด? | พจน์ที่สี่ในลำดับนี้คือ $3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40}$ | 3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วันหนึ่งสามารถแบ่งออกเป็นช่วงเวลา 86,400 ช่วงของ 1 วินาที; 43,200 ช่วงของ 2 วินาที; หรือในหลายๆ วิธี ในทั้งหมด มีวิธีการแบ่งวันออกเป็น $n$ ช่วงของ $m$ วินาที ได้กี่วิธี โดยที่ $n$ และ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก? | วันหนึ่งมี $86,\!400$ วินาที $86,\!400=2^7\cdot3^3\cdot5^2$ ดังนั้น 86,400 มี $ (7+1)(3+1)(2+1)=96$ หารของจำนวนเต็มบวก ดังนั้นจึงมี $96/2=48$ คู่ (ที่ไม่ได้เรียงลำดับ) ของตัวประกอบ โดยที่ผลคูณของแต่ละคู่คือ $86,\!400.$ เนื่องจาก ``$n$ ช่วงของ $m$ วินาที'' แตกต่างจาก ``$m$ ช่วงของ $n$ วินาที'' เราต้องคูณ 48 ด้วย 2 เพื่อ... | \boxed{96} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\log_5 (x+4)=3$ จงหา $\log_{11} x$ | เพื่อที่จะหา $\log_{11} x$ เราต้องหาค่าของ $x$ ก่อน เราเริ่มต้นด้วยการเขียน $\log_5 (x+4)=3$ ในรูปเลขชี้กำลัง ซึ่งจะได้ $5^3=x+4$ เมื่อแก้สมการหา $x$ เราจะได้ $x=5^3-4=125-4=121$ หลังจากแทนค่า $x$ นี้ลงในนิพจน์ที่สองแล้ว เราต้องหา $\log_{11} 121$ เนื่องจากเราทราบว่า $11^2=121$ ดังนั้น $\log_{11} 121=\boxed{2}$ | \log_{11} 121=\boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ $[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ]$ เมื่อ $a = 17$, $b=21$ และ $c=5$ | เราสามารถคำนวณโดยตรงได้: \begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [17 - (21-5)] - [(17-21)-5]\\
&= [17-16] - [-4-5]\\
&= 1 - (-9) = \boxed{10}.
\end{align*}
เราสามารถทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นก่อนได้: \begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [a-b+c] - [a-b-c]\\
&=a-b+c -a+b+c\\
&=2c.
\end{align*} จากนั้นเราได้ $2c = ... | 2c = 2(5) = 10 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
นาตาเลียมีต้นบลูเบอร์รีที่ให้ผลบลูเบอร์รีได้ 8 ถังต่อต้น ถ้าเธอสามารถแลกเปลี่ยนบลูเบอร์รี 5 ถังเพื่อแลกกับมะเขือเทศ 2 ผล เธอต้องเด็ดบลูเบอร์รีจากต้นกี่ต้นเพื่อให้ได้มะเขือเทศ 48 ผล? | เรารู้สมการสองสมการดังนี้: \begin{align*}
1\text{ ต้น} &= 8\text{ ถัง}\\
5\text{ ถัง} &= 2\text{ มะเขือเทศ}.
\end{align*} เพื่อหาค่า 48 มะเขือเทศในรูปของต้น เราคูณด้วยเศษส่วนที่เท่ากับ 1 โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนอยู่ในหน่วยที่ต่างกัน ยกเลิกหน่วยตามที่เราไป ดังนั้นเราตั้งสมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบ: $48\text{ มะเขือเทศ} = 48... | 48\text{ มะเขือเทศ} = 48\text{ มะเขือเทศ}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ มะเขือเทศ}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ ต้น} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เมื่อ $4(x - x^3) - 3(x^2 - x^3 + x^5) + 2(4x^2 - x^9)$ ถูกทำให้เรียบง่าย | สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ใน $4(x - x^3) - 3(x^2 - x^3 + x^5) + 2(4x^2 - x^9)$ คือ $-3 + 2 \cdot 4 = \boxed{5}$ | -3 + 2 \cdot 4 = \boxed{5} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดของ 99 | 99 = 3² × 11 ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดคือ 11 | 11 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนตัวหารของ 63 ที่เป็นตัวหารของ 72 ด้วยมีกี่ตัว (โปรดจำไว้ว่าตัวหารอาจเป็นบวกหรือลบ) | ก่อนอื่น จดรายการตัวประกอบของ 63 คือ -63, -21, -9, -7, -3, -1, 1, 3, 7, 9, 21 และ 63 จากนั้น จดรายการตัวประกอบของ 72 คือ -72, -36, -24, -18, -12, -9, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 และ 72 เมื่อเปรียบเทียบรายการทั้งสอง เราจะเห็นว่าตัวหารที่ 63 และ 72 공유กันคือ -9, -3, -1, 1, 3 และ 9 (สังเกตว่... | \boxed{6} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนในลำดับ $ -33, -28, -23, \ldots, 52, 57?$ | บวก 3 เข้ากับสมาชิกแต่ละตัวของลำดับเพื่อให้ได้ $-30,-25,-20,\ldots,55,60$ แล้วหารด้วย 5 จะได้ $-6$,$-5$,$-4$,$\ldots$, $11$,$12$ บวก 7 เข้ากับแต่ละจำนวนในลำดับจะได้ $1,2,3,\ldots,18,19$ ดังนั้นมีจำนวน $\boxed{19}$ จำนวนในลำดับ | \boxed{19} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เพื่อคำนวณ $41^2$ เดวิดคิดค่า $40^2$ ในใจ และบวก 81 เดวิดลบจำนวนหนึ่งจาก $40^2$ เพื่อคำนวณ $39^2$ เขา ลบจำนวนเท่าใด? | เราเห็นว่า $39^2 = (40 - 1)^2 = 40^2 - 2\cdot 40 \cdot 1 +1 = 40^2 - 79$ ดังนั้น เดวิดลบ $\boxed{79}$ | \boxed{79} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน 12 คะแนนคือ 82 เมื่อคะแนนที่สูงสุดและต่ำสุดถูกลบออก ค่าเฉลี่ยใหม่จะกลายเป็น 84 ถ้าคะแนนสูงสุดของ 12 คะแนนคือ 98 คะแนนต่ำสุดคือเท่าไร | ถ้าค่าเฉลี่ยของคะแนน $12$ คะแนนคือ $82$ แล้วผลรวมของคะแนน $12$ คะแนนคือ $82\times12$. หลังจากลบคะแนนสองคะแนนออก ผลรวมของคะแนนที่เหลือ 10 คะแนนคือ $84\times10=840$. ผลรวมของคะแนนสองคะแนนที่ถูกลบคือ $$82\times12-840=4(41\times6-210)=4(246-210)=4(36)=144.$$ เนื่องจากคะแนนที่ถูกลบออกคะแนนหนึ่งคือ $98$ คะแนนที่ถูกลบออกอีกคะ... | 144-98=\boxed{46} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x - y = 12$ และ $x + y = 6$ จงหาค่าของ $y$ | เราได้ $y=\frac{1}{2}\left((x+y)-(x-y)\right)=\frac{1}{2}(6-12)=\boxed{-3}$. | y=\frac{1}{2}\left((x+y)-(x-y)\right)=\frac{1}{2}(6-12)=\boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการ $x + 2y + 3 = 0$ ตั้งฉากกับกราฟของสมการ $ax + 2y + 3 = 0$ ค่าของ $a$ คือเท่าใด | เนื่องจากกราฟทั้งสองตั้งฉากกัน สัมประสิทธิ์ของเส้นตรงของกราฟทั้งสองต้องคูณกันได้ -1 กราฟเส้นแรกมีสัมประสิทธิ์ของเส้นตรง $-\frac12$ และกราฟเส้นที่สองมีสัมประสิทธิ์ของเส้นตรง $-\frac{a}{2}$ ดังนั้น $\frac{a}{4}=-1$ และ $a=\boxed{-4}$ | a=\boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\frac{x+4}{x^2+ax+b}$, และ $f(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=1$ และ $x=-2$ จงหาผลรวมของ $a$ และ $b$ | เราทราบว่าฟังก์ชันตรรกยะจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ค่าของ $x$ ซึ่ง $f(x)$ ไม่นิยาม นอกจากนี้เรายังทราบว่า $f(x)$ ไม่นิยามเมื่อส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=1$ และ $x=-2$ ฟังก์ชันต้องไม่นิยามที่ค่าสองค่านี้ ดังนั้น $(x-1)(x+2)=x^2+ax+b=0 \Rightarrow x^2+x-2=x^2+ax+b$ ดังนั้น $a=1$ และ $b=-2$... | a+b=1+(-2)=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $16(2x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 16 และ $2x$ กับผลคูณของ 16 และ 5:
\begin{align*}
16(2x+5) &= 16\cdot 2x+16\cdot 5\\
&= \boxed{32x+80}
\end{align*} | 32x+80 | [
"ความจำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 90 และผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนนั้นเท่ากับ 27 จงหาผลบวกของจำนวนเต็มสองจำนวนนั้น | กำหนดให้จำนวนเต็มสองจำนวนนั้นคือ $x$ และ $y$ เราทราบว่า $x^2 + y^2 = 90$ และ $xy = 27$ เราต้องการหา $x + y$ สังเกตว่า $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 90 + 2\cdot 27 = 144$ เมื่อนำรากที่สองของ 144 เราจะได้ $x + y = \boxed{12}$ | x + y = \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลถูกปล่อยจากความสูง 10 ฟุต และจะเด้งกลับขึ้นมาครึ่งหนึ่งของระยะทางที่ตกลงมาเสมอ หลังจากกระเด้งกี่ครั้ง ลูกบอลจะถึงความสูงสูงสุดน้อยกว่า 1 ฟุตเป็นครั้งแรก? | เรามีลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 10 และอัตราส่วนร่วม $1/2$ พจน์ใดๆ ในลำดับนี้สามารถแทนด้วย $10\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k$ โดยที่ $k$ คือจำนวนครั้งที่กระเด้ง (ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k=1$, $10\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k=5$ หรือความสูงของการกระเด้งครั้งที่ $k=1^\text{st}$ ) เราต้องหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $10\cdot... | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณที่มากที่สุดของ 9 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า -70 | เมื่อหาร -70 ด้วย 9 จะได้ -8 เศษ 2 หรือ $$-70 = -8 \cdot 9 + 2.$$ดังนั้น $-8 \cdot 9 = \boxed{-72}$ คือผลคูณที่มากที่สุดของ 9 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า -70. | -72 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $\frac{1}{x} + \frac{2}{x} \div \frac{4}{x} = 0.75$ | แปลงเครื่องหมายหารเป็นการคูณและทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
\frac{1}{x}+\frac{2}{x}\cdot\frac{x}{4}&=.75 \\
\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{2}&=.75\\
\Rightarrow \frac{1}{x}&=.25\\
\Rightarrow x&=\boxed{4}.
\end{align*} | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เริ่มต้นด้วยจำนวน 100, Shaffiq ซ้ำแล้วซ้ำเล่าหารจำนวนของเขาด้วยสองแล้วนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนนั้นมาใช้ เขาต้องทำเช่นนี้กี่ครั้งก่อนที่เขาจะถึงจำนวน 1? | หลังจากทำเช่นนี้สองครั้ง เขาจะได้ $25$ จากนั้นเขาหาร $25$ ด้วย $2$ เพื่อให้ได้ $12.5$ และจากนั้นนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดมาใช้เพื่อให้ได้ $12$ ตอนนี้เขาหารด้วย $2$ สองครั้งเพื่อให้ได้ $3$ สุดท้ายเขาหารด้วย $2$ เพื่อให้ได้ $1.5$ และนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดมาใช้เพื่อให้ได้ $1$ นี่คือทั้งหมด $\boxed{6}$ ครั้ง | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อัตราส่วนของแมวต่อสุนัขที่ร้านสัตว์เลี้ยงคือ 2:3 มีแมว 14 ตัว มีสุนัขกี่ตัวที่ร้านสัตว์เลี้ยง | มีสุนัข 3 ตัว สำหรับทุกๆ 2 ตัวของแมว และมี $14/2=7$ ชุดของ 2 ตัวของแมว ดังนั้นจึงมี $3(7)=\boxed{21\text{ สุนัข}}$ | 3(7)=\boxed{21\text{ สุนัข}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงเขียนนิพจน์ $6j^2 - 4j + 12$ ในรูป $c(j + p)^2 + q$ โดยที่ $c$, $p$ และ $q$ เป็นค่าคงตัว แล้ว $\frac{q}{p}$ มีค่าเท่าใด? | เราเติมกำลังสอง: \begin{align*}
6j^2 - 4j + 12 &= 6\left(j^2 - \frac{2}{3} j\right) + 12 \\
&= 6\left(j^2 - \frac{2}{3} j + \frac{1}{9}\right) + 12 - \frac{6}{9} \\
&= 6\left(j - \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{34}{3}
\end{align*}แล้ว $q = \frac{34}{3}$ และ $p = - \frac{1}{3}$ ข้อคำถามถามหา $\frac{q}{p}$ ซึ่งเท่ากับ $\b... | \boxed{-34} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โจแอนขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ย 12 ไมล์ต่อชั่วโมง เป็นเวลา 3 ชั่วโมงครึ่ง ถ้าเพื่อนของเธอ ฟราน ขี่จักรยานเป็นเวลา 3 ชั่วโมง เธอจะต้องขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ยเท่าไร ไมล์ต่อชั่วโมง เพื่อเดินทางเท่ากับโจแอน? | ในเวลา $3\frac{1}{2}$ ชั่วโมง โจแอนเดินทาง $\left(3\frac{1}{2}\text{ ชั่วโมง}\right)(12\text{ ไมล์ต่อชั่วโมง})=42$ ไมล์ ถ้าฟรานขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ย $s$ ไมล์ต่อชั่วโมง เธอจะเดินทาง $3s$ ไมล์ ในเวลา 3 ชั่วโมง การแก้สมการ $3s=42$ เราพบว่า $s=\boxed{14}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | s=\boxed{14} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor -4 -.5 \rfloor \cdot \lceil 4 +.5 \rceil \cdot \lfloor -3 -.5 \rfloor \cdot \lceil 3 +.5 \rceil \cdot \dots \cdot \lfloor -.5 \rfloor \cdot \lceil .5 \rceil$. | สังเกตว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติ $n$ เราได้ $\lfloor -n -.5 \rfloor \cdot \lceil n +.5 \rceil = -(n+1)^2$ ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดจะลดรูปเป็น $(-5^2)(-4^2) (-3^2) (-2^2) (-1^2) = - (5!)^2 = \boxed{-14400}$ | (-5^2)(-4^2) (-3^2) (-2^2) (-1^2) = - (5!)^2 = \boxed{-14400} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $145b^2 +29b$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $145b^2$ และ $29b$ คือ $29b$ เราแยกตัวประกอบ $29b$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้ดังนี้:\begin{align*}
145b^2 +29b &= 29b \cdot 5b+ 29b \cdot 1\\
&=\boxed{29b(5b+1)}.
\end{align*} | 29b(5b+1) | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ผู้รับเหมาสตีฟตกลงที่จะเสร็จสิ้นงานใน 30 วัน หลังจาก 6 วันเขาพบว่า 8 คนที่ได้รับมอบหมายให้ทำงานได้ทำเสร็จไปแล้ว $\frac{1}{3}$ ของงาน ถ้าทุกคนทำงานด้วยอัตราเดียวกัน จำนวนคนน้อยที่สุดที่เขาต้องเก็บไว้เพื่อให้แน่ใจว่างานจะเสร็จตามเวลาคือเท่าไร | เหลือ 24 วัน ซึ่งเป็น 4 เท่าของที่ผ่านมา ดังนั้น หากสตีฟเก็บคนงานไว้ 8 คน พวกเขาจะทำ $4\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ เขาต้องการให้ทำ $\frac{2}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ หรือครึ่งหนึ่งของ $\frac{4}{3}$ ดังนั้นเขาต้องเก็บคนงานไว้ให้ได้อย่างน้อยครึ่งหนึ่ง: $\boxed{4}$. | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ลูกบอลชนิดพิเศษถูกปล่อยจากหน้าต่างที่สูงจากพื้นดิน 16 เมตร ในแต่ละครั้งที่กระเด้งมันจะกระดอนขึ้น $\frac34$ ของระยะทางสูงสุดก่อนหน้า ลูกบอลถูกจับเมื่อมันถึงจุดสูงสุดหลังจากกระเด้งลงสู่พื้นเป็นครั้งที่สาม ถึงเมตรที่ใกล้เคียงที่สุด ลูกบอลเดินทางไปไกลเท่าใด | ลูกบอลเดินทาง $16+16\cdot\frac34+16\cdot\left(\frac34\right)^2 = 16+ 12+9 = 37$ เมตร ในสามครั้งที่ตกลงมา ลูกบอลยังเดินทาง $16\cdot\frac34+16\cdot\left(\frac34\right)^2+16\cdot\left(\frac34\right)^3 = 12+9+\frac{27}4 = 27.75$ เมตร ในสามครั้งที่กระเด้งขึ้น ดังนั้น ลูกบอลเดินทาง $37+27.75 = 64.75 \approx \boxed{65}$ เมตร ... | 37+27.75 = 64.75 \approx \boxed{65} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $525^2 - 475^2$ | $525^2 - 475^2$ สามารถเขียนในรูป $(525+475)(525-475)$ ได้ ซึ่งจะเท่ากับ $1000 \cdot 50$ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{50000}$ | \boxed{50000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 3x + 3$ และ $g(x) = 4x + 3.$ จงหาค่าของ $f(g(f(2)))$ | เราเริ่มต้นโดยหาค่า $f(2) = 9.$ ดังนั้น $g(f(2)) = g(9) = 39.$ สุดท้าย $f(g(f(2))) = f(39) = \boxed{120}.$ | f(g(f(2))) = f(39) = \boxed{120}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $19^2-17^2+15^2-13^2+11^2-9^2+7^2-5^2+3^2-1^2?$ | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการจับคู่พจน์ในนิพจน์นี้และแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\phantom{=} \,\,\, (19^2-17^2)+(15^2-13^2)+(11^2-9^2)+(7^2-5^2)+(3^2-1^2) \\
&= 2(19 + 17) + 2(15 + 13) + 2(11 + 9) + 2(7 + 5) + 2(3 + 1)\\
&= 2(19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1) \\
&= 2(100) \\
&= \boxed{200}.
... | 200 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าต่ำสุดของ $z$ คือเท่าใด ถ้า $z=x^2+2y^2+6x-4y+22?$ | ראשית, จบกำลังสองดังนี้: $$z=x^2+2y^2+6x-4y+22=\left(x^2+6x\right)+2\left(y^2-2y\right)+22.$$เพื่อจบกำลังสอง เราต้องบวก $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=9$ หลังจาก $6x$ และ $\left(\dfrac{2}{2}\right)^2=1$ หลังจาก $-2y.$ ดังนั้นเราจึงมี $$z+9+2(1)=\left(x^2+6x+9\right)+2\left(y^2-2y+1\right)+22.$$ซึ่งจะได้ $$z=\left(x+3\rig... | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
ขยาย $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ | เราเห็นว่า \begin{align*}
(x-2)(x+2)(x^2+4) &= (x^2-4)(x^2+4) \\
&= \boxed{x^4-16}
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
สมมติว่า $a$ มีค่าผกผันกับ $b$ ให้ $a_1,a_2$ เป็นค่าสองค่าที่ไม่เท่ากับศูนย์ของ $a$ ซึ่ง $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}$ ให้ $b_1,b_2$ เป็นค่า $b$ ที่สัมพันธ์กัน ถ้า $b_1,b_2$ ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาค่าของ $\frac{b_1}{b_2}$ | ถ้า $a$ มีค่าผกผันกับ $b$ ผลคูณ $ab$ จะเป็นค่าคงที่ สำหรับ $a_1$ และ $a_2$ นี้หมายความว่า: $$a_1\cdot b_1=a_2\cdot b_2$$เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย $b_1\cdot a_2$ เพื่อหา: \begin{align*}
\frac{a_1\cdot b_1}{b_1\cdot a_2}&=\frac{a_2\cdot b_2}{b_1\cdot a_2}\\
\Rightarrow\qquad \frac{2}{3}=\frac{a_1}{a_2}&=\fra... | b_1\cdot a_2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a+b=24$ จงหาค่าของ $ab$ เมื่อ $2ab + 10a = 3b + 222$ | เรารีเขียนสมการเป็น $2ab + 10a - 3b = 222$ จากนั้นใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิม่อน โดยลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $2ab + 10a - 3b - 15 = 207$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(2a - 3)(b + 5) = 207$$เราทราบว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะของ $207 = 3^2 \cdot 23$ และ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นคำตอบ... | ab = \boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เรามีสมการ $3 \cdot f(x) + 4 \cdot g(x) = h(x)$ โดยที่ $f(x),$ $g(x),$ และ $h(x)$ เป็นพหุนามใน $x$ ทั้งหมด ถ้าดีกรีของ $f(x)$ คือ $8$ และดีกรีของ $h(x)$ คือ $9$ แล้วดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $g(x)$ คือเท่าใด? | ถ้าดีกรีของ $h(x)$ คือ $9$ นั่นหมายความว่ามีพจน์ $x^9$ ใน $h(x)$ พจน์นั้นมาจาก $f(x)$ ไม่ได้ เพราะดีกรีของ $f(x)$ คือ $8$ ดังนั้นพจน์นั้นต้องมาจาก $g(x)$ นั่นหมายความว่าดีกรีของ $g(x)$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $\boxed{9}$ และจริง ๆ แล้วมันก็มีค่าได้เพียง $9$ เท่านั้น | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับกราฟของสมการกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$ จุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,7)$ และจุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดคือ $(-2,0)$ จุดตัดแกน $x$ อีกจุดมีพิกัด $x$ เท่าใด | เนื่องจากจุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,7)$ พาราโบลาสมมาตรรอบเส้น $x = 3$ นอกจากนี้ จุดตัดแกน $x$ ทั้งสองของพาราโบลาสมมาตรรอบเส้นนี้ด้วย จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดคือ $(-2,0)$ ซึ่งห่างจากเส้น $x = 3$ เป็น $3 - (-2) = 5$ ดังนั้น จุดตัดแกน $x$ อีกจุดอยู่ที่ $(3 + 5,0) = (8,0)$ พิกัด $x$ ของจุดตัดแกน $x$ นี้คือ $\boxed{8}$ | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor 3.2\rfloor$. | เนื่องจาก $3$ เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $3.2$ เราจึงได้ว่า $\lfloor 3.2\rfloor = \boxed{3}.$ | $\lfloor 3.2\rfloor = \boxed{3}.$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกห้าหลักที่น้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับ 5 (mod 15) | ใช้การหารยาว เราพบว่า 10,000 หารด้วย 15 ได้ผลหาร 666 เศษ 10 ดังนั้น 10,005 เป็นพหุคูณของ 15 และ 10,010 เป็นจำนวนเต็มห้าหลักที่น้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับ 5 (mod 15) เพื่อยืนยัน โปรดทราบว่า 10,010-15 = 9,995 เป็นจำนวนเต็มถัดไปที่สอดคล้องกับ 5 (mod 15) | 10,010 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ \[f(z) = \left\{
\begin{array}{cl}
z^{2}&\text{ ถ้า }z\text{ ไม่ใช่จำนวนจริง}, \\
-z^2 &\text{ ถ้า }z\text{ เป็นจำนวนจริง}.
\end{array}
\right.\] จงหาค่าของ $f(f(f(f(1+i))))$. | เราคำนวณจากด้านในออกไป เนื่องจาก $1+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i$ ดังนั้น $f(f(f(f(1+i))))=f(f(f(2i)))$. เนื่องจาก $2i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(2i)=(2i)^2=-4$ ดังนั้น $f(f(f(2i)))=f(f(-4))$. เนื่องจาก $-4$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-4)=-(-4)^2=-16$ ดังนั้น $f(f(-4))=f(-16)$. เนื่องจาก $-16$ เป... | f(-16)=\boxed{-256} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ โดย $f(x)=x^{2}-x$ จงหาค่าของ $f(4)$ | $f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12}$. | f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12} | [
"นำไปใช้"
] |
นิพจน์ $\frac{x-3}{4x}$ มีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับค่าของ $x$ ใด? | เศษส่วนจะมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $x-3=0$ ดังนั้น $x=\boxed{3}$ (โปรดทราบว่าที่ค่า $x$ นี้ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์) | x | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $N$ ว่าเป็นเลขคู่ 7-10 ถ้าหลักของการแทนค่าฐาน-7 ของ $N$ สร้างเป็นจำนวนฐาน-10 ที่เป็นสองเท่าของ $N$ ตัวอย่างเช่น $51$ เป็นเลขคู่ 7-10 เพราะการแทนค่าฐาน-7 ของมันคือ $102$ จงหาเลขคู่ 7-10 ที่ใหญ่ที่สุด
| เราให้ $N_7 = \overline{a_na_{n-1}\cdots a_0}_7$ ; เราได้รับว่า
\[2(a_na_{n-1}\cdots a_0)_7 = (a_na_{n-1}\cdots a_0)_{10}\](เนื่องจากหลักในการแทนค่าฐาน 7 ของ $N$ สร้างเป็นจำนวนที่มีหลักเดียวกันในฐาน 10 เมื่อคูณด้วย 2)
ขยายแล้วเราจะได้ว่า
\[2 \cdot 7^n a_n + 2 \cdot 7^{n-1} a_{n-1} + \cdots + 2a_0 = 10^na_n + 10^{n-1}a_... | 630_7 = \boxed{315}_{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่หน่วยแต่ละหน่วยเท่ากับ 1 ฟุต สุนัขตัวหนึ่งถูกผูกติดกับเสาที่จุด $(4,3)$ ด้วยเชือกยาว 10 ฟุต จงหาความยาวระยะทางที่ไกลที่สุดที่สุนัขตัวนี้จะอยู่ห่างจากจุดกำเนิด | พื้นที่ที่สุนัขสามารถไปได้คือวงกลมที่มีรัศมี 10 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(4,3)$ จุดที่อยู่ห่างจาก $(0,0)$ ที่สุดในวงกลมจะเป็นจุดบนเส้นรอบวงของวงกลมซึ่งอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางเดียวกันกับ $(0,0)$ แต่ฝั่งตรงข้ามกับจุดศูนย์กลางของวงกลม
ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมโดยใช้สูตรระยะทางคือ $\sqrt{(4-0)... | \boxed{15} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $a \star b = a^2 + 2ab + b^2$ จงหาค่าของ $a \star b$ เมื่อ $a = 4$ และ $b = 6$? | สังเกตว่า $a \star b = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ ดังนั้น $4 \star 6 = (4 + 6)^2 = 10^2 = \boxed{100}$ | 4 \star 6 = (4 + 6)^2 = 10^2 = \boxed{100} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยาว 10 นิ้ว และ 24 นิ้ว จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นนิ้ว | เส้นทแยงมุมตั้งฉากและแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ดังนั้นความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถคำนวณได้จาก $\sqrt{5^2+12^2} = 13$ ดังนั้นความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ $4 \times 13 = \boxed{52}$ นิ้ว | 4 \times 13 = \boxed{52} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชันดังต่อไปนี้: $$\begin{array}{ccc}
f(x) & = & 5x^2 - \frac{1}{x}+ 3\\
g(x) & = & x^2-k
\end{array}$$ถ้า $f(2) - g(2) = 2$ แล้วค่าของ $k$ เท่ากับเท่าใด? | เราแทนค่า $f(2) = 5(2)^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{45}{2}$ และ $g(2) = (2)^2 - k = 4 - k$ ดังนั้น $f(2) - g(2) = 2$ จะได้ $\frac{45}{2} - 4 + k=2$ แก้สมการหา $k$ จะได้ $k = \frac{4}{2} - \frac{45}{2} + \frac{8}{2}$ ดังนั้น $\boxed{k = \frac{-33}{2}}$ | \boxed{k = \frac{-33}{2}} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อพหุนาม $-5x^3 - 5x^2 - 7x + 1$ คูณด้วย $-x^2 - 6x + 1$ แล้วรวบรวมพจน์เหมือนกัน สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ จะเท่ากับเท่าใด | แทนที่จะขยายผลคูณทั้งหมด เราสามารถดูเฉพาะพจน์ที่เมื่อคูณกันแล้วจะได้ $x^2$ เท่านั้น เราทราบว่า: $$x^2=x^2\cdot 1=x\cdot x=1\cdot x^2$$ดังนั้น พจน์ $x^2$ ในการขยายผลจะเท่ากับผลรวมของพจน์เหล่านี้: $$(-5x^2)(1)+(-7x)(-6x)+(1)(-x^2)$$เมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้: \begin{align*}
(-5x^2)(1)+(-7x)(-6x)+(1)(-x^2)&=-5x^2+42x^2-x^2\\... | \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บาวได้รับเงิน $\$1,\!000$ ในวันเกิดของเขา เขาตัดสินใจที่จะลงทุนเงินในบัญชีธนาคารที่ให้ผลตอบแทน $10\%$ ต่อปี คิดเป็นเงินดอลลาร์ว่าบาวจะได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดเท่าไรหลังจาก 3 ปี? | จำนวนเงินในบัญชีจะถูกคูณด้วย 1.1 ทุกปี ดังนั้นหลังจาก 3 ปี จำนวนเงินคือ $1000(1.1)^3=11^3=1331$ ดอลลาร์ ดอกเบี้ยที่ได้รับคือ $1331-1000=\boxed{331}$ ดอลลาร์ | 1331-1000=\boxed{331} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor-2.54\rfloor+\lceil25.4\rceil$. | จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $-2.54$ คือ $-3$ และจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $25.4$ คือ $26$ ดังนั้น $\lfloor -2.54 \rfloor + \lceil 25.4 \rceil = -3+26=\boxed{23}$ | $\lfloor -2.54 \rfloor + \lceil 25.4 \rceil = -3+26=\boxed{23}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่า $9^2 = 81$ ซึ่งไม่มีเลขศูนย์ $99^2 = 9801$ ซึ่งมีเลขศูนย์ 1 ตัว และ $999^2 = 998,\!001$ ซึ่งมีเลขศูนย์ 2 ตัว ถ้ารูปแบบนี้ยังคงดำเนินต่อไป $99,\!999,\!999^2$ จะมีเลขศูนย์กี่ตัว? | รูปแบบนี้บ่งชี้ว่าสำหรับจำนวนที่มีเลข 9 จำนวน $n$ ตัว จำนวนนั้นยกกำลังสองจะมีเลขศูนย์ $n-1$ ตัว ดังนั้น $99,\!999,\!999^2$ ควรมีเลขศูนย์ $8-1=7$ ตัว เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราสังเกตว่า $99,\!999,\!999=10^8-1$ ดังนั้น $99,\!999,\!999^2=(10^8-1)^2=10^{16}-2\cdot10^8+1$ พิจารณาการแสดงออกนี้ทีละเทอม เทอมแรก $10^{16}$ สร้างจำน... | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนเชิงซ้อน 3 จำนวน คือ $a+bi$, $c+di$, และ $e+fi$ ถ้า $b=3$, $e=-a-c$ และผลบวกของจำนวนเหล่านี้คือ $2i$ จงหา $d+f$ | เราทราบว่า $a+bi+c+di+e+fi=2i$ ดังนั้น ส่วนจริงบวกกันได้ 0 และส่วนจินตภาพบวกกันได้ 2 เราจึงมี \begin{align*}
a+c+e&=0\\
b+d+f&=2\\
\end{align*} เราทราบว่า $b=3$ ดังนั้น $d+f=\boxed{-1}$ | d+f=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Xanthia อ่านได้ 100 หน้าต่อชั่วโมง และ Molly อ่านได้ 50 หน้าต่อชั่วโมง ถ้าทั้งสองคนอ่านหนังสือเล่มเดียวกัน และหนังสือเล่มนั้นมี 225 หน้า Xanthia จะใช้เวลานานกว่า Molly กี่นาทีในการอ่านหนังสือเล่มนี้? | การอ่านหนังสือใช้เวลา Xanthia
$\frac{225}{100}=2.25$ ชั่วโมง.
Molly ใช้เวลา
$\frac{225}{50}=4.5$ ชั่วโมง.
ความแตกต่างคือ $2.25$ ชั่วโมง หรือ $2.25(60)=\boxed{135}$ นาที. | 2.25(60)=\boxed{135} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(j,k)$ ที่สอดคล้องกับสมการ $5j-42k=1$ และ $2k-j=3$. | เราสามารถคูณสมการที่สองด้วย 5 เพื่อให้สมการของเราเป็น \begin{align*}
5j -42k &=1\text{, และ} \\
-5j +10k &=15. \end{align*} การบวกสมการเหล่านี้จะได้ $-32k=16$ ดังนั้น $k=-16/32=-1/2$ เราแทนค่านี้ของ $k$ ลงในสมการใดสมการหนึ่งเพื่อแก้หา $j$: \begin{align*}
2\left(\frac{-1}{2}\right)-j&=3 \quad \Rightarrow \\ j &= -4.
\en... | \boxed{(-4,-\frac{1}{2})} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการกำลังสอง $3x^2+4x-9$ มีรากจริงสองราก จงหาผลรวมของกำลังสองของรากทั้งสองนี้ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | กำหนดให้ $x_1$ และ $x_2$ เป็นรากของสมการ $3x^2+4x-9$ เราต้องการหา $x_1^2+x_2^2$ สังเกตว่า $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ เราทราบว่า $x_1+x_2$ ผลบวกของราก เท่ากับ $\frac{-b}{a}$ ซึ่งสำหรับสมการนี้คือ $\frac{-4}{3}$ เช่นเดียวกัน เราทราบว่า $x_1x_2$ ผลคูณของราก เท่ากับ $\frac{c}{a}$ ซึ่งสำหรับสมการนี้คือ $\frac{-9}{3}... | x_1^2+x_2^2=\left(\frac{-4}{3}\right)^2-2\left(\frac{-9}{3}\right)=\frac{16}{9}+\frac{18}{3}=\boxed{\frac{70}{9}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าไฮดีสามารถทาสีผนังได้ใน 45 นาที เธอสามารถทาสีผนังได้กี่ส่วนใน 9 นาที | เนื่องจาก 9 นาทีเป็น 1/5 ของ 45 นาที เราสามารถหาส่วนของผนังที่ไฮดีสามารถทาสีได้ใน 9 นาทีได้โดยการหารปริมาณผนังที่ไฮดีสามารถทาสีได้ใน 45 นาทีด้วย 5 เนื่องจากไฮดีสามารถทาสีผนังทั้งหมดได้ใน 45 นาที ดังนั้นเธอสามารถทาสีได้ $\boxed{\frac{1}{5}}$ ของผนังใน 9 นาที | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในปี ค.ศ. 1960 มีรายงานผู้ป่วยโรคหัด 450,000 รายในสหรัฐอเมริกา ในปี ค.ศ. 1996 มีรายงานผู้ป่วย 500 ราย ถ้าจำนวนผู้ป่วยที่รายงานตั้งแต่ปี ค.ศ. 1960 ถึงปี ค.ศ. 1996 ลดลงตามเส้นตรง จะมีผู้ป่วยโรคหัดรายงานในปี ค.ศ. 1987 กี่ราย | ในช่วง $1996-1960=36$ ปี จำนวนผู้ป่วยโรคหัดลดลง $450,\!000-500=449,\!500$ ราย ดังนั้น ในช่วง $1987-1960=27$ ปี จำนวนผู้ป่วยจะลดลง $\frac{27}{36}\cdot(449,\!500)=337,\!125$ ราย ดังนั้น จำนวนผู้ป่วยในปี ค.ศ. 1987 จะเป็น $450,\!000-337,\!125=\boxed{112,\!875}$ ราย ถ้าจำนวนผู้ป่วยลดลงตามเส้นตรง | 450,\!000-337,\!125=\boxed{112,\!875} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายผลคูณ ${3(x+4)(x+5)}$ | ก่อนอื่น เราใช้สมบัติการ distributive เพื่อขยายตัวประกอบสองตัวแรก:
\begin{align*}
3(x+4)(x+5) &= (3\cdot x + 3 \cdot 4) (x+5)\\
&=(3x+12)(x+5)
\end{align*}เราใช้สมบัติการ distributive อีกครั้งโดยการบวกผลคูณของ $3x+12$ และ $x$ กับผลคูณของ $3x+12$ และ 5:
\begin{align*}
(3x+12)(x+5) &= (3x+12) \cdot x +(3x+12) \cdot 5\\... | 3x^2 + 27x + 60 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\star$ นิยามโดย $a \star b = a^2 \div b$ มีจำนวนเต็มกี่ค่าของ $x$ ที่ทำให้ค่าของ $10 \star x$ เป็นจำนวนเต็มบวก | ถ้า $10 \star x = n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว $10^2 = 100 = nx$ กล่าวคือ $x$ ต้องเป็นตัวหารบวกของ 100 เนื่องจาก 100 หารได้เป็น $100 = 2^2 \cdot 5^2$ เลขชี้กำลังบอกเราว่า 100 มีตัวหารบวก $oxed{9}$ ตัว | (2+1)(2+1) = \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $16(2x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 16 และ $2x$ กับผลคูณของ 16 และ 5:
\begin{align*}
16(2x+5) &= 16\cdot 2x+16\cdot 5\\
&= \boxed{32x+80}
\end{align*} | 32x+80 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $f(x)=3x-8$ ถ้า $f^{-1}$ คือผกผันของ $f$ จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)=f^{-1}(x)$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=3f^{-1}(x)-8.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=3f^{-1}(x)-8.\]หรือ \[f^{-1}(x)=\frac{x+8}3.\]เราต้องการแก้สมการ $f(x) = f^{-1}(x)$ ดังนั้น \[3x-8=\frac{x+8}3.\]หรือ \[9x-24=x+8.\]แก้สมการหา $x$ เราได้ $x = \boxed{4}$. | x = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีถุงหินอ่อนที่มีแต่สีแดง, สีน้ำเงิน, และสีเขียว อัตราส่วนของหินอ่อนสีแดงต่อหินอ่อนสีน้ำเงินต่อหินอ่อนสีเขียวคือ $1:5:3$ มีหินอ่อนสีเขียว 27 เม็ดในถุง มีหินอ่อนทั้งหมดกี่เม็ดในถุง? | เนื่องจากอัตราส่วนของหินอ่อนสีแดงต่อหินอ่อนสีน้ำเงินต่อหินอ่อนสีเขียวคือ $1:5:3$ อัตราส่วนของหินอ่อนสีเขียวต่อจำนวนหินอ่อนทั้งหมดคือ $3/(1+5+3) = 3/9=1/3$ เนื่องจากหินอ่อนสีเขียวเป็นหนึ่งในสามของจำนวนทั้งหมด และมีหินอ่อนสีเขียว 27 เม็ด ดังนั้นต้องมี $3\cdot 27 = \boxed{81}$ หินอ่อนทั้งหมด | 3\cdot 27 = \boxed{81} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน 3 จำนวน $a+bi$, $c+di$, และ $e+fi$ ถ้า $b=1$, $e=-a-c$ และผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสามเท่ากับ $-i$ จงหา $d+f$ | เราทราบว่า $a+bi+c+di+e+fi=-i$ ดังนั้น ส่วนจริงบวกกันแล้วเท่ากับ 0 และส่วนจินตภาพบวกกันแล้วเท่ากับ -1 เราจะได้ \begin{align*}
a+c+e&=0\\
b+d+f&=-1\\
\end{align*}เราทราบว่า $b=1$ ดังนั้น $d+f=\boxed{-2}$ | d+f=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อักษร T สร้างขึ้นจากการวางสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 รูป ขนาด $2\:\text{นิ้ว}\!\times\!4\:\text{นิ้ว}$ ne xt to each other, as shown. ความยาวรอบรูปของ T เท่ากับเท่าไร นิ้ว? [asy]
draw((1,0)--(3,0)--(3,4)--(4,4)--(4,6)--(0,6)--(0,4)--(1,4)--cycle);
[/asy] | [asy]
draw((1,0)--(3,0)--(3,4)--(4,4)--(4,6)--(0,6)--(0,4)--(1,4)--cycle);
label("2", (2, 0), S);
label("4", (3,2), E);
label("4", (1,2), W);
label("1", (.5, 4), S);
label("1", (3.5, 4), S);
label("2", (0, 5), W);
label("2", (4,5), E);
label("4", (2,6), N);
draw((1,4)--(3,4), linetype("8 8"));
[/asy] ความยาวรอบรูปเท่าก... | 2(12) - 2(2) = 24
- 4 = \boxed{20} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สูตรอาหารต้องการแป้ง $4 \frac{1}{2}$ ถ้วย ถ้าคุณทำครึ่งสูตร คุณต้องการแป้งกี่ถ้วย? แสดงคำตอบเป็นจำนวนผสม | เพื่อทำครึ่งสูตร คุณต้องการแป้งเพียงครึ่งหนึ่งของ $4 \frac{1}{2}$ ถ้วย เนื่องจากครึ่งหนึ่งของ $4$ คือ $2$ และครึ่งหนึ่งของ $\frac{1}{2}$ คือ $\frac{1}{4},$ เราพบว่าต้องการแป้ง $\boxed{2\frac{1}{4}}$ ถ้วย | \boxed{2\frac{1}{4}} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
ถ้า $(x + y)^2 = 1$ และ $xy = -4$ จงหาค่าของ $x^2 + y^2$ | เราทราบว่า $(x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 1$ เราต้องการหา $x^2 + y^2$ และกำหนดให้ $xy = -4$ ดังนั้น $x^2 + y^2 + 2xy = x^2 + y^2 + 2(-4) = 1$ จะได้ว่า $x^2 + y^2 = \boxed 9$ | x^2 + y^2 = \boxed 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บนระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน จุด $(2,1)$ และ $(3, 4)$ เป็นจุดที่อยู่ติดกันบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส | เราใช้สูตรระยะทางในการหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง ซึ่งเป็นความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
$\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $(\sqrt{10})^2 = \boxed{10}$ | (\sqrt{10})^2 = \boxed{10} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คำนวณ $2 \times 2^5 - 8^{58} \div 8^{56}$ | โดยใช้สมบัติการคูณเลขยกกำลังและสมบัติการหารเลขยกกำลัง เราได้ \[2 \times 2^5 - 8^{58} \div 8^{56} = 2^{1+5} - 8^{58-56} = 2^6 - 8^2 = 64 - 64 = \boxed{0}.\] | 0 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เศษส่วนธรรมดาใดที่อยู่ตรงกลางระหว่าง $\frac{2}{3}$ และ $\frac{4}{5}$? | ค่าเฉลี่ยของสองจำนวนอยู่ตรงกลางระหว่างจำนวนนั้นๆ ดังนั้น $\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{5}\right)=\boxed{\frac{11}{15}}$ อยู่ตรงกลางระหว่าง $\frac{2}{3}$ และ $\frac{4}{5}$. | \frac{11}{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า 5 lunks สามารถแลกได้ 3 kunks และ 2 kunks จะซื้อได้ 4 apples, จะต้องใช้ lunks กี่ตัวในการซื้อแอปเปิ้ล 1 โหล? | 1 โหลแอปเปิ้ลมี 12 แอปเปิ้ล ซึ่งมีราคา 6 kunks (เนื่องจาก 4 แอปเปิ้ลมีราคา 2 kunks) ซึ่งมีราคา 10 lunks (เนื่องจาก 3 kunks มีราคา 5 lunks). | 5\cdot2=\boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แจ็คเดินขึ้นเนินเขาด้วยความเร็ว $(x^2-11x-22)$ ไมล์ต่อชั่วโมง ในขณะเดียวกันจิลเดินไประยะทางทั้งหมด $(x^2-3x-54)$ ไมล์ ในเวลา $(x+6)$ ชั่วโมง ถ้าแจ็คและจิลเดินด้วยความเร็วเท่ากัน ความเร็วที่ว่านั้นคือเท่าไร เป็นไมล์ต่อชั่วโมง | ก่อนอื่นเราหาความเร็วของจิลเป็นไมล์ต่อชั่วโมงโดยการหารระยะทางทั้งหมดด้วยเวลา ซึ่งเราสามารถยกเลิกตัวประกอบร่วมได้: \begin{align*}
\text{ความเร็วของจิล}&=\frac{x^2-3x-54}{x+6}\quad\Rightarrow\\
&=\frac{(x-9)(x+6)}{x+6}\quad\Rightarrow\\
&=(x-9).
\end{align*}จากนั้นเรากำหนดความเร็วทั้งสองให้เท่ากันและแก้หา $x$: \begin{ali... | 13-9=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\displaystyle\frac{q}{r} = 9$, $\displaystyle\frac{s}{r} = 6$, และ $\displaystyle \frac{s}{t} = \frac{1}{2}$ แล้ว $\displaystyle\frac{t}{q}$ มีค่าเท่าใด | ถ้าเราคูณสมการที่สอง สมการที่หนึ่งที่กลับส่วน และสมการที่สามที่กลับส่วน เราจะได้ \[\frac{s}{r}\cdot\frac{r}{q}\cdot \frac{t}{s} = 6\cdot \frac{1}{9}\cdot2\Rightarrow \frac{t}{q}= \boxed{\frac{4}{3}}.\] | $\frac{4}{3}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x^{2}-2x+5$ และ $g(x) =x+3$ จงหาค่าของ $f(g(5)) -g(f(5))$ | เนื่องจาก $g(5) = 5+3=8$ และ $f(5) = 5^2 - 2(5) + 5 = 25-10+5 = 20$ เราได้ว่า $f(g(5)) -g(f(5)) = f(8) - g(20) = 8^2 - 2(8) + 5 - (20+3) = 64 - 16 + 5 - 23 = \boxed{30}$ | f(g(5)) -g(f(5)) = f(8) - g(20) = 8^2 - 2(8) + 5 - (20+3) = 64 - 16 + 5 - 23 = \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $88 \div 4 \div 2$ | เราทำการหารจากซ้ายไปขวาเพื่อหาคำตอบ: \[88 \div 4 \div 2 = 22 \div 2 = \boxed{11}.\] | 11 | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ"
] |
กำหนดสมการ $x(3x-7)=-3$ คำตอบของสมการนี้สามารถเขียนในรูป $\frac{m+\sqrt{n}}{p}$ และ $\frac{m-\sqrt{n}}{p}$ โดยที่ $m$, $n$, และ $p$ มีตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 จงหา $m+n+p$ | กระจายข้างซ้ายและบวก 3 ทั้งสองข้าง จะได้ $3x^2-7x+3=0$ เนื่องจากไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายๆ เราจึงใช้สูตรกำลังสอง: \[
\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{7\pm\sqrt{7^{2}-4 \cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3} = \frac{7 \pm\sqrt{13}}{6}.
\] เนื่องจาก $7$, $13$, และ $6$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน $m=7$, $n=13$, และ $p=6$ ด... | m+n+p=7+13+6=\boxed{26} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_2 (4^2)$. | $\log_24=\boxed{2}$, ดังนั้น $\log_2(4^2) = \log_2((2^2)^2) = \log_2 (2^4) = \boxed{4}$ | $\log_2(4^2) = \log_2((2^2)^2) = \log_2 (2^4) = \boxed{4}$ | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $A=4-3i$, $M=-4+i$, $S=i$, และ $P=2$ จงหา $A-M+S-P$. | บวกส่วนจริงและส่วนจินตภาพแยกกัน เราได้ $(4-(-4)+0-2)+(-3-1+1-0)i=\boxed{6-3i}$. | (4-(-4)+0-2)+(-3-1+1-0)i=\boxed{6-3i} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(2,2)$ และ $(-1,-1)$ | เราใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1) - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = \boxed{3\sqrt{2}}$.
- OR -
เราสังเกตว่าจุด $(2, 2)$, $(-1, -1)$, และ $(2, -1)$ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากด้านเท่า (สามเหลี่ยม 45-45-90) ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 ดังนั้น hypotenuse มีความยาว $\boxed{3\sqrt{2}}$ | \boxed{3\sqrt{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0.$ สมมติว่า $a+(1/b)$ และ $b+(1/a)$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0.$ จงหาค่าของ $q?$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - mx + 2 = 0,$ เราได้ \[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b)\quad \text{และ} \quad ab = 2.
\] ในทำนองเดียวกัน พจน์คงตัวของ $x^2 - px + q$ คือผลคูณของ $a + (1/b)$ และ $b + (1/a),$ ดังนั้น \[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\] | 9/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ตามตารางด้านล่างนี้ มีเงินดอลลาร์เท่าไรในค่ามัธยฐานของเงินเดือน 59 รายที่จ่ายให้พนักงานของบริษัทนี้?
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{ตำแหน่ง}&\textbf{\# ตำแหน่ง}&\textbf{เงินเดือน}\\\hline
ประธาน&1&$\$130{,}000$\\\hline
รองประธาน&5&$\$90{,}000$\\\hline
ผู้อำนวยการ&10&$\$75{,}000$\\\hline
ผู้ช่วยผู้อำนวยการ&6&$... | เนื่องจากพนักงานมากกว่าครึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญฝ่ายบริหาร เงินเดือนมัธยฐานจะเป็นของผู้เชี่ยวชาญฝ่ายบริหาร ดังนั้น $\boxed{\$23{,}000}$. | \boxed{\$23{,}000} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
โบสถ์แห่งหนึ่งมีการสั่นระฆังทุกๆ 15 นาที โรงเรียนแห่งหนึ่งมีการสั่นระฆังทุกๆ 20 นาที และศูนย์ดูแลเด็กแห่งหนึ่งมีการสั่นระฆังทุกๆ 25 นาที ถ้าพวกเขาทั้งหมดสั่นระฆังพร้อมกันเวลาเที่ยงในวันเดียวกัน เวลาใดที่พวกเขาจะสั่นระฆังพร้อมกันอีกครั้ง? (ตอบในรูปแบบ AB:CD โดยไม่มี am หรือ pm เช่น 08:00) | เราเพียงแค่ต้องหาผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ 15, 20 และ 25 พวกเขาสามารถแสดงเป็น $3 \times 5$, $4 \times 5$, $5 \times 5$ - เนื่องจาก 3, 4 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ LCM ของพวกเขาจะเป็น $5 \times 3 \times 4 \times 5 = 300$ ดังนั้นหลังจาก 300 นาที พวกเขาจะสั่นระฆังพร้อมกันอีกครั้ง 300 นาที เท่ากับ 5 ชั่วโมง ดังนั้น $\boxed{... | \boxed{05\!:\!00} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต $-1 + 2 - 4 + 8 - \cdots + 512$. | พจน์แรกคือ $-1$ อัตราส่วนร่วมคือ $-2$ และมี 10 พจน์ ดังนั้นผลรวมเท่ากับ \[\frac{(-1)((-2)^{10}-1)}{-2-1} = \frac{-1023}{-3} = \boxed{341}.\] | 341 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ประเมินค่าของ $\left\lfloor \left\lceil \left(\frac{13}{7}\right)^2\right\rceil+\frac{17}{4}\right\rfloor$. | เราทราบว่า $\left(\frac{13}{7}\right)^2=\frac{169}{49}$ . จากนั้น เนื่องจาก $3=\frac{147}{49}<\frac{169}{49}<\frac{196}{49}=4$ เราสรุปได้ว่า $\left\lceil\left(\frac{13}{7}\right)^2\right\rceil=4$ . เนื่องจาก $4+\frac{17}{4}=\frac{33}{4}$ ซึ่งเป็นจำนวนระหว่าง $8$ และ $9$ ดังนั้น $\left\lfloor \left\lceil \left(\frac{13}... | $\left\lfloor \left\lceil \left(\frac{13}{7}\right)^2\right\rceil+\frac{17}{4}\right\rfloor=\boxed{8}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าจำนวนเต็ม $b$ ที่มากที่สุด ที่ทำให้ $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $y=x^2+bx+12$ | เราจะเห็นว่า $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + bx + 12$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2 + bx + 12 = -4$ ไม่มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + bx + 16 = 0$ ดีเทอร์มิแนนต์ของสมการกำลังสองนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 16 = b^2 - 64$ สมการกำลังสองไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 64 < 0$ หรือ $b^2 < 64$ จ... | b = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.