question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
มีวิธีการเลือกไพ่ 5 ใบที่แตกต่างกันได้กี่วิธี จากสำรับไพ่ 52 ใบ โดยที่ลำดับของการแจกไพ่ไม่สำคัญ | เราเลือกไพ่ 5 ใบ จาก 52 ใบ ซึ่งแสดงโดย ${{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960}$ | {{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีกี่วันในปีที่มีเลข 3 อยู่ในหลักสิบของวันที่ | มี 12 เดือนในปี เดือนมกราคม มีนาคม พฤษภาคม กรกฎาคม สิงหาคม ตุลาคม และธันวาคม มี 31 วัน ดังนั้นมี 7 เดือนที่มี 2 วันที่มีเลข 3 อยู่ในหลักสิบ เดือนเมษายน มิถุนายน กันยายน และพฤศจิกายน แต่ละเดือนมี 1 วันที่มีเลข 3 อยู่ในหลักสิบ และเดือนกุมภาพันธ์ไม่มี ดังนั้นมี $7\times2+4=\boxed{18}$ วันที่มีเลข 3 อยู่ในหลักสิบ
หรือสามา... | 365-(11\times29)-28=\boxed{18} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่าจำนวนทั้งสี่จำนวน \[1-\sqrt{2}, \;3+\sqrt{7},\;1+\sqrt{2},\; 5\]เป็นรากของพหุนามเดียวกันที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ และพหุนามนี้ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนามนี้ | เนื่องจากพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุคของแต่ละรากที่กำหนดมาก็ต้องเป็นรากของพหุนามเช่นกัน อย่างไรก็ตาม $5$ เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นข้อโต้แย้งนี้จึงไม่ใช้กับมัน นอกจากนี้ $1-\sqrt{2}$ และ $1+\sqrt{2}$ เป็นรากสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนั้นรากอื่น ๆ ที่พหุนามต้องมีคือ $3-\sqrt{7}$ นี่ทำให้มีอย่างน้อย $1+4=5$ รา... | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งถูกวาดในรูปสิบเหลี่ยมปกติ สร้างรูปแปดเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมขึ้นมา มุม $x$ มีขนาดเท่าไร?
[asy]
import markers;
for(int i=0; i <=10; ++i) {
draw(dir(360*i/10+90)--dir(360*(i+1)/10+90));
}
pair A = dir(360*0/10+90);
pair F = dir(360*7/10+90);
pair G = dir(360*8/10+90);
pair H = dir(360*9/10+90);
dr... | มุมของรูป $n$ เหลี่ยมปกติ มีขนาด $\left(\frac{180(n-2)}n\right)^\circ$ . ดังนั้น มุมในรูปสิบเหลี่ยมปกติ มีขนาด \[y=\frac{180\cdot8}{10}=144\]องศา.
เราสังเกตว่า เนื่องจากมุมที่ใหญ่กว่าของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน และด้านที่สอดคล้องกันทั้งสามด้านเท่ากัน รูปนี้จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหน้าจั่ว ดังนั้นเราได้ม... | x=\boxed{36} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มสองหลักหารด้วย $n$ ลงตัว และหลักสุดท้ายของจำนวนเต็มนั้นคือ $n$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ | เราต้องการหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของหลัก $n$ ดังนั้นมาดูกันว่า $n=9$ เป็นไปได้หรือไม่ 99 หารด้วย 9 ลงตัว ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ คือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{R}$ เป็นเมทริกซ์การสะท้อนผ่านเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}.$ จงหา $\det \mathbf{R}.$ | เมทริกซ์การสะท้อนมีรูปแบบดังนี้
\[\begin{pmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{pmatrix},\]โดยเวกเตอร์ที่สะท้อนผ่านมีเวกเตอร์ทิศทาง $\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}.$ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ
\[(\cos 2 \theta)(-\cos 2 \theta) - \sin^2 2 \theta = -\c... | \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
10 คนมางานเลี้ยง ในงานเลี้ยงนี้ทุกคนจับมือกับทุกคน มีการจับมือกันกี่ครั้งในงานเลี้ยง? | เราสามารถเลือก 2 คนจากกลุ่ม 10 คนเพื่อจับมือกันได้โดยไม่คำนึงถึงลำดับใน $\binom{10}{2} = \boxed{45}$ วิธี | \binom{10}{2} = \boxed{45} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของคำว่า ``Hawaii`` ที่มี 6 ตัวอักษร | ถ้าตัวอักษรทุกตัวใน ``Hawaii`` ต่างกัน จะมี $6! = 6\cdot 5 \cdots 2 \cdot 1$ วิธีเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกัน เพราะว่าสำหรับตัวอักษรตัวแรกของการเรียงสับเปลี่ยน จะมีตัวอักษร 6 ตัวให้เลือก สำหรับตัวที่สองจะมี 5 ตัว เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ``Hawaii" มี 2 ตัวอักษร $a$ และ 2 ตัวอักษร $i$ ดังนั้นเราต้องหารด้วย $2$ เพื่อกำจัดการ... | 6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \cdot 6 = \boxed{180} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ โดยที่ \[\sqrt{x+7} - \sqrt{x} = \sqrt{3}.\] | บวก $\sqrt{x}$ เข้ากับทั้งสองข้าง จะได้ \[\sqrt{x+7} = \sqrt{x} + \sqrt{3}.\]จากนั้น ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ \[x + 7 = x + 3 + 2\sqrt{3x},\]หรือ \[4 = 2\sqrt{3x}.\]ดังนั้น $2 = \sqrt{3x}$ ดังนั้น $4 = 3x$ และ $x = \boxed{\frac{4}{3}}.$ | x = \boxed{\frac{4}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่เรียงกัน, จงหาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงาในสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านล่าง: [asy]
size(1.75inch);
pair A, B, C, D, W, X, Y, Z;
A = (0,0); B = (7,0); C = (7,7); D = (0,7);
W = (3,0); X = (7,3); Y = (4,7); Z = (0,4);
draw(A--B--C--D--cycle); draw(W--X--Y--Z--cycle);
fill(A--W--Z--cycle, gray)... | โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $a^2 + b^2 = c^2$. เนื่องจาก $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่เรียงกัน เราสามารถเขียน $a = b-1$ และ $c = b + 1$ แทนค่านี้ลงในทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะได้ $(b-1)^2 + b^2 = (b+1)^2$. ซึ่งจะกลายเป็น $b^2 - 2b + 1 + b^2 = b^2 + 2b + 1$ หรือ $b^2 - 4b = 0$ หาค่า $b$ ได้ $b(b-4) = 0$ ดังนั้น $b=0$ หรือ $b=4... | 4(6) = \boxed{24} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าจุด $(3,4)$ สะท้อนในแกน $x$ จุดภาพจะมีพิกัดเท่าใด?
[asy]
draw((-5.5,0)--(5.5,0),linewidth(1));
draw((-5.5,0)--(5.5,0),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),linewidth(1));
draw((-5,-5)--(-5,5)--(5,5)--(5,-5)--cycle);
draw((-4,-5)--(-4,5));
draw((-3,-5)--(-3,5));
draw((-2,-5)--(-2,5));
... | หลังจากสะท้อนจุด $(3,4)$ ในแกน $x$ พิกัด $x$ ของจุดภาพจะเหมือนกับพิกัด $x$ ของจุดเดิม คือ $x=3$ จุดเดิมอยู่ห่างจากแกน $x$ เป็นระยะ $4$ หน่วย จุดภาพจะอยู่ห่างจากแกน $x$ เท่ากัน แต่จะอยู่ต่ำกว่าแกน $x$ ดังนั้น จุดภาพจะมีพิกัด $y$ เป็น $-4$ พิกัดของจุดภาพคือ $\boxed{(3,-4)}.$ [asy]
draw((-5.5,0)--(5.5,0),linewidth(1));
d... | (3,-4) | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการ $2k+5 = 13$ เพื่อหาค่า $k$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างจะได้ $2k = 8$ และหารด้วย 2 จะได้ $k = \boxed{4}$ | k = \boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
โจรสลัดค้นหาเกาะ 7 เกาะเพื่อค้นหาสมบัติที่ฝังไว้ ถ้าเกาะแต่ละเกาะมีโอกาส $\frac{1}{5}$ ที่จะมีสมบัติ โปรดคำนวณความน่าจะเป็นที่เกาะที่ฝังสมบัติจะมีจำนวนちょうど 4 เกาะ | มี $\binom{7}{4}=35$ วิธีในการเลือกเกาะ 4 เกาะ สำหรับแต่ละการเลือก มีความน่าจะเป็น $\left( \frac{1}{5} \right)^4 \left( \frac{4}{5} \right)^3$ ที่เกาะ 4 เกาะนั้นจะมีสมบัติ และเกาะอื่นๆ จะไม่มี ดังนั้น ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่เกาะที่ฝังสมบัติจะมีจำนวนちょうど 4 เกาะ คือ $35 \left( \frac{1}{5} \right)^4 \left( \frac{4}{5} \ri... | 35 \left( \frac{1}{5} \right)^4 \left( \frac{4}{5} \right)^3 = \boxed{\frac{448}{15625}} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
แปลง $222_{10}$ เป็นเลขฐาน 13 ใช้ตัวเลข A, B และ C หากจำเป็น | กำลังของ 13 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 222 คือ $13^2=169$. ผลคูณของ 169 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 222 คือ $1\cdot 169$ และ $222-1 \cdot 169 = 53$. กำลังของ 13 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 53 คือ 13 และผลคูณของ 13 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 53 คือ $4\cdot 13$. $53-4 \cdot 13= 1$. ดังนั้น $222=1 \cdot 13^2 + 4 \cdot 13^1 + 1 \cdot 1... | \boxed{141_{13}} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
50% ของ $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือเท่าไร | $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือ 12, และ 50% ของ 12 คือ $oxed{6}$ | $oxed{6}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่อยู่ในช่วง $-\frac{\pi}{2}$ ถึง $\frac{\pi}{2}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $1 - \sin^4 x - \cos^2 x = \frac{1}{16}.$ ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยจุลภาค | เนื่องจาก $1 - \cos^2 x = \sin^2 x,$ สมการจะกลายเป็น $\sin^2 x - \sin^4 x = \frac{1}{16},$ หรือ
\[\sin^4 x - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ในรูปสมการกำลังสองของ $\sin^2 x$:
\[(\sin^2 x)^2 - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]โดยใช้สูตรกำลังสอง,
\[\sin^2 x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}.\]ดังนั้น
\[\cos 2x ... | \boxed{-\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อเขียนอยู่ในรูปมาตรฐาน ผลคูณของ $(9.2 \times 10^2)(8 \times 10^6)$ จะมีเลขศูนย์กี่ตัว | ก่อนอื่น จงทำให้ง่ายขึ้น $(9.2\times 10^2)(8\times 10^6)=73.6\times 10^8$. ตัวประกอบของ $10^8$ บอกเราว่าให้เลื่อนจุดทศนิยมใน 73.6 ไปทางขวา 8 ตำแหน่ง ขั้นตอนแรกเลื่อนจุดทศนิยมผ่าน 6 และขั้นตอนต่อไปอีก $\boxed{7}$ ขั้นตอนแต่ละขั้นตอนจะใส่วิธีศูนย์ | \boxed{7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ ซึ่ง $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ แล้ว
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ ในทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.$
เนื่... | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมนูนที่มีจุดยอดอยู่ที่ $(-1, -1), (-3, 4), (1, 7), (6, 5)$ และ $(3, -1)$ [asy]
import graph; size(150); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.5,xmax=7.5,ymin=-2.5,ymax=8.5;
pen zzzzzz=rgb(0.6,0.6,0.6);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+z... | วาดสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดยอดอยู่ที่ $(-3,7),(-3,-1),(6,-1),(6,7)$ รอบรูปห้าเหลี่ยมดังแสดงด้านล่าง: [asy]
import graph; size(4.45cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.5,xmax=7.5,ymin=-2.5,ymax=8.5;
pen zzzzzz=rgb(0.6,0.6,0.6);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.... | 72 -5 - 6 -5 - 9 = \boxed{47} | [
"unknown"
] |
50% ของ $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือเท่าไร | $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือ 12 และ 50% ของ 12 คือ $oxed{6}$ | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีวิธีเรียงนั่ง 6 หญิงและ 2 ชายในแถวเดียวกันกี่วิธี ถ้า 2 ชายยืนยันที่จะนั่งติดกัน? | เราสามารถพิจารณา 2 ชายเป็น 1 คน จัดเรียง 7 คนก่อน จากนั้นจัดเรียง 2 ชาย ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงนั่งที่ชายนั่งติดกันคือ $7!\times 2!=\boxed{10,\!080}$ | 7!\times 2!=\boxed{10,\!080} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบของสมการ $(x - 3)^3 + (x -7)^3 = (2x - 10)^3.$ | กำหนดให้ $a = x - 3$ และ $b = x - 7.$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้ใหม่ได้เป็น
\[a^3 + b^3 = (a + b)^3.\]เมื่อขยายสมการจะได้ $a^3 + b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3,$ ดังนั้น $3a^2 b + 3ab^2 = 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[3ab(a + b) = 0.\]ดังนั้น $a = 0,$ $b = 0,$ หรือ $a + b = 0.$ จากนั้น $x - 3 = 0,$... | \boxed{3, 5, 7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง ขาของสามเหลี่ยมมีขนาด 40 นิ้ว และ 42 นิ้ว จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม | พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของขา ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ $$(1/2)(40)(42) = \boxed{840\text{ ตารางนิ้ว}}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
คิมเบอร์ลียืมเงินลูซี่ 1000 ดอลลาร์ โดยลูซี่คิดดอกเบี้ยร้อยละ 5 ต่อเดือน (คิดดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน) จงหาจำนวนเดือนที่น้อยที่สุดที่คิมเบอร์ลีจะต้องจ่ายหนี้มากกว่าสองเท่าของเงินที่ยืมมา | เนื่องจากจำนวนเงินที่คิมเบอร์ลีต้องจ่ายจะถูกคูณด้วย 1.05 ในแต่ละเดือน เราต้องการจำนวนเต็ม $t$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $1.05^t>2$ เมื่อลองแทนค่าจำนวนเต็ม $t$ เราจะพบว่า $\boxed{15}$ คือค่าที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันของ $5^5 - 5^3$ | กำลังที่มากที่สุดของ $5$ ที่หารทั้งสองพจน์ได้คือ $5^3$ เราแยกตัวประกอบ $5^3$ ออกดังนี้: \begin{align*}
5^5 - 5^3 &= 5^3 \cdot 5^2 - 5^3 \cdot 1 \\
&= 5^3(5^2 - 1)
\end{align*} $5^2 - 1 = 24$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $2^3 \cdot 3$ ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะคือ ${2^3 \cdot 3 \cdot 5^3}$ และผลรวมของตัวประกอบเฉพาะคือ $2+3+... | 2+3+5 = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้าเราแสดง $3x^2 - 6x - 2$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $a + h + k$ มีค่าเท่าใด | เราเติมกำลังสอง ก่อนอื่น เราแยก 3 ออกจากพจน์ $3x^2 - 6x$ เพื่อให้ได้ $3(x^2 - 2x)$ เราสามารถยกกำลังสองของ $x - 1$ เพื่อให้ได้ $x^2 - 2x + 1$ ดังนั้น $3(x^2 - 2x) = 3[(x - 1)^2 - 1] = 3(x - 1)^2 - 3$ และ \[3(x^2 - 2x) - 2 = 3(x - 1)^2 - 3 - 2 = 3(x - 1)^2 - 5.\]เราเห็นว่า $a = 3$, $h = 1$ และ $k = -5$ ดังนั้น $a + h + ... | a + h + k = 3 + 1 + (-5) = \boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่ง $f(6)-f(2)=12$ จงหาค่าของ $f(12)-f(2)$ | เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน (slope) จะคงที่ ดังนั้น
\[\frac{f(6) - f(2)}{6-2} = \frac{f(12) - f(2)}{12 - 2},\]ดังนั้น \[\frac{12}{4} =\frac{f(12) - f(2)}{10},\]และ $f(12) - f(2) = \boxed{30}$. | f(12) - f(2) = \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2|x| + 7 < 17$. | เริ่มจากแก้สมการอสมการเพื่อให้มีเพียงปริมาณค่าสัมบูรณ์ทางซ้ายมือและค่าคงที่ทางขวามือ
\begin{align*}
2|x| + 7&< 17\\
2|x|&<10\\
|x|&<5
\end{align*}เพื่อแก้สมการอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ เราต้องแปลงเป็นสมการอสมการสองสมการ หนึ่งสมการเป็นปกติ อีกสมการหนึ่งมีเครื่องหมายกลับด้านและค่าผลลัพธ์ตรงกันข้าม ทั้งสองสมการจะมีค่าสัมบูร... | \boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มใดเพียงจำนวนเดียวที่กำลังสองของมันน้อยกว่าสองเท่าของมัน? | จำนวนเต็มคือ $\boxed{1}$ เพราะว่า $1^2=1<2$ | 1^2=1<2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่า: $64^2-36^2$ | $64^2 - 36^2$ สามารถเขียนในรูป $(64+36)(64-36)$ ได้ ซึ่งจะเท่ากับ $100 \cdot 28$ หรือ $\boxed{2800}$ | \boxed{2800} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
จำนวนเฉพาะ Mersenne ถูกนิยามว่าเป็นจำนวนเฉพาะที่มีรูปแบบ $2^n - 1$ โดยที่ $n$ ต้องเป็นจำนวนเฉพาะด้วย ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก $2^3 - 1 = 7$ และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ 7 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ Mersenne จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 200 คือจำนวนเท่าใด | จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 200 คือ $2^7 - 1 = 128 - 1 = \boxed{127}$ จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่เป็นไปได้ถัดไป $2^{11} - 1 = 2047$ มีค่ามากเกินไป (และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) | 127 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\left\lfloor -\frac{5}{3}\right\rfloor$. | $-\frac{5}{3}$ อยู่ระหว่าง $-2$ และ $-1$ ดังนั้น $\left\lfloor -\frac{5}{3}\right\rfloor = \boxed{-2}$. | $\left\lfloor -\frac{5}{3}\right\rfloor = \boxed{-2}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จากรายการอนันต์ของจำนวนต่อไปนี้ มีจำนวนเต็มกี่จำนวน? $$\sqrt{4096},\sqrt[3]{4096},\sqrt[4]{4096},\sqrt[5]{4096},\sqrt[6]{4096},\ldots$$ | เนื่องจาก $4096=2^{12}$ จำนวนหนึ่งในรายการนี้จะเป็นจำนวนเต็ม ถ้าจำนวนในรากเป็นตัวประกอบของ 12 ดังนั้น จำนวนในรายการที่เป็นจำนวนเต็มมีเพียง $\sqrt{4096}=2^6=64$, $\sqrt[3]{4096}=2^4=16$, $\sqrt[4]{4096}=2^3=8$, $\sqrt[6]{4096}=2^2=4$ และ $\sqrt[12]{4096}=2$ นั่นคือมีจำนวนเต็มทั้งหมด $\boxed{5}$ จำนวน | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แซคคารีจ่ายเงิน $1 สำหรับ汉堡ด้วยเหรียญ 32 เหรียญ และไม่ได้รับเงินทอน เหรียญแต่ละเหรียญเป็นเหรียญเพนนีหรือเหรียญไนckel แซคคารีใช้เหรียญไนckel จำนวนเท่าใด | ถ้า $p$ คือจำนวนเพนนี และ $n$ คือจำนวนเหรียญไนckel ที่แซคคารีใช้ เราจะได้รับ \begin{align*}
p+n&=32\text{, และ} \\
p+5n&=100.
\end{align*} ลบสมการแรกจากสมการที่สอง เราพบว่า $4n=68$ ซึ่งหมายความว่า $n=\boxed{17}$ | n=\boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริงใดที่เท่ากับนิพจน์ $2 + \frac{4}{1 + \frac{4}{2 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$, โดยที่ $1$ และ $2$ สลับกัน? | ให้ $x$ เป็นจำนวนที่กำหนด ดังนั้น $x = 2 + \frac{4}{1 + \frac{4}{\left(2 + \frac{4}{1 + \cdots}\right)}}$. พจน์ในวงเล็บเป็นคำจำกัดความของ $x$ ดังนั้น $$x = 2+\frac{4x}{x + 4}.$$ คูณด้วย $(x+4)$ ทั้งสองข้างและทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $x(x+4) = 2(x+4) + 4x \Longrightarrow x^2 + 4x = 2x + 8 + 4x.$ ดังนั้น เราได้สมการกำลังสอง ... | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงแสดง $\frac{31}{2\cdot5^6}$ ในรูปทศนิยมสิ้นสุด | เนื่องจากทศนิยมสิ้นสุดสามารถเขียนในรูปของ $\frac{a}{10^b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม เราต้องการเขียนเศษส่วนใหม่ให้มีส่วนของ $10^b=2^b\cdot5^b$ \[ \frac{31}{2\cdot5^6}\cdot\frac{2^{5}}{2^{5}}=\frac{31\cdot2^{5}}{10^{6}}=\frac{992}{10^{6}}. \]เนื่องจากส่วนประกอบด้วย $10^6$ เท่านั้น ดังนั้นจะมีเลขโดดทั้งหมด 6 ตัวทา... | \boxed{0.000992} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว และ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax + b & \text{if } x < 2, \\
8 - 3x & \text{if } x \ge 2.
\end{array}
\right.\]ฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ จงหา $a + b$ | กำหนดให้ $x = 3$ เราได้ $f(3) = -1$ เนื่องจาก $-1 < 2$ ดังนั้น $f(-1) = -a + b$ ดังนั้น $f(f(3)) = f(-1) = -a + b$ แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ ดังนั้น $-a + b = 3$
กำหนดให้ $x = 4$ เราได้ $f(4) = -4$ เนื่องจาก $-4 < 2$ ดังนั้น $f(-4) = -4a + b$ ดังนั้น $f(f(4)) = f(-4) = -4a + b$ แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า... | 7/3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเศษส่วนน้อยกว่า 3 เท่าของส่วนของตัวส่วน 7 ถ้าเศษส่วนเทียบเท่ากับ $2/5$ ตัวเศษของเศษส่วนคืออะไร? | เราให้ตัวเศษเป็น $x$ ดังนั้นส่วนของตัวส่วนคือ $3x-7$ เนื่องจากเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ เราจึงมี $x/(3x-7) = 2/5$ คูณทั้งสองข้างด้วย $5(3x-7)$ (หรือคูณไขว้) จะได้ $5x = 2(3x-7)$ ขยายด้านขวาจะได้ $5x = 6x - 14$ ลบ $6x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $-x = -14$ ดังนั้นเราพบ $x = \boxed{14}$ | x = \boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^2+12n-2007$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $S$ หารด้วย $1000$. | ถ้า $n^2 + 12n - 2007 = m^2$ เราสามารถเติมกำลังสองในด้านซ้ายมือเพื่อให้ได้ $n^2 + 12n + 36 = m^2 + 2043$ ดังนั้น $(n+6)^2 = m^2 + 2043$ ลบ $m^2$ และแยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ เราจะได้ $(n + m + 6)(n - m + 6) = 2043$. $2043 = 3^2 \cdot 227$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบเป็น 2 ตัวประกอบได้ 3 วิธี $2043 \cdot 1 = 3 \cdot 681 = 227 ... | \boxed{464} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x, y, z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ \begin{align*}
y+z & = 13, \\
z+x & = 14, \\
x+y & = 15.
\end{align*} จงหาค่าของ $\sqrt{xyz(x+y+z)}$. | นำสมการทั้งสามมาบวกกัน แล้วหารด้วย 2 จะได้ $x+y+z = 21$ ดังนั้น $x = 8, y = 7, z = 6$ และ $\sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84}$ | \sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ครึ่งหนึ่งของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของกำลังสองของ 18 และ 16 คือเท่าไร | $$\frac{18^2-16^2}{2}=\frac{(18-16)(18+16)}{2}=\frac{(2)(34)}{2}=\boxed{34}$$ | 34 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่า $t$ ที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้ \[\frac{13t^2 - 34t + 12}{3t - 2 } + 5t = 6t - 1.\] | เราอาจจะลองแยกตัวประกอบพหุนาม แต่ก็ไม่ได้ช่วยอะไร เราเริ่มต้นด้วยการลบ $5t$ จากทั้งสองข้างเพื่อแยกตัวประกอบของเศษส่วน ซึ่งจะได้ \[\frac{13t^2 -34t + 12}{3t-2 } = t-1.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $3t-2$ จะได้ \[13t^ 2-34t + 12 = (t-1)(3t-2).\]ขยายข้างขวาจะได้ $13t^2 - 34t + 12 = 3t^2 -5t+2$, ดังนั้น $10t^2 -29t +10 = 0$. ... | \boxed{\frac{2}{5}} | [
"unknown"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{x-3}{x-4}$ แล้ว สำหรับค่าของ $x$ ใด $f^{-1}(x)$ ไม่นิยาม? | เราเริ่มต้นด้วยการหาฟังก์ชันผกผันของ $f$ โดยนิยาม เราทราบว่า $f(f^{-1}(x)) = x$ ดังนั้น $$\frac{f^{-1}(x)-3}{f^{-1}(x)-4} = x.$$เราสามารถแก้สมการนี้เพื่อหา $f^{-1}(x)$ ได้ เริ่มจากการคูณทั้งสองข้างด้วย $f^{-1}(x)-4$: $$f^{-1}(x)-3 = x\cdot(f^{-1}(x)-4).$$จากนั้นขยาย: $$f^{-1}(x)-3 = x\cdot f^{-1}(x)-4x.$$จากนั้นจัดเรีย... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นาตาลีมีต้นบลูเบอร์รีที่ให้ผลผลิตบลูเบอร์รีได้ 8 ถังต่อต้น ถ้าเธอสามารถแลกเปลี่ยนบลูเบอร์รี 5 ถังเพื่อแลกกับมะเขือเทศ 2 ผล เธอต้องเด็ดบลูเบอร์รีจากต้นกี่ต้นจึงจะมีมะเขือเทศได้ 48 ผล? | เรารู้สมการสองสมการดังนี้: \begin{align*}
1\text{ ต้น} &= 8\text{ ถัง}\\
5\text{ ถัง} &= 2\text{ มะเขือเทศ}.
\end{align*} เพื่อหาค่า 48 มะเขือเทศในรูปของต้น เราคูณด้วยเศษส่วนที่เท่ากับ 1 โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนอยู่ในหน่วยที่ต่างกัน ยกเลิกหน่วยตามที่เราไป ดังนั้น เราตั้งสมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบ: $48\text{ มะเขือเทศ} = 4... | 48\text{ มะเขือเทศ} = 48\text{ มะเขือเทศ}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ มะเขือเทศ}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ ต้น} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4)$ | เราสามารถคูณตรงๆ ได้ แต่จะยุ่งยาก เราจะคูณนิพจน์ทั้งหมดด้วย $\frac{2-1}{2-1}$ และใช้ผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\ \ \ \ \frac{1}{2-1}(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^2 - 1^2)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^4 - 1^4)(2^4 + 1^4) \\
&= 2^8 - 1^8 \\
&= \boxed{255}.
\end{align*} | 255 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\sqrt{2x^2+1}=\sqrt{19}$, จงหาค่าเฉลี่ยของค่า $x$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | เริ่มต้นด้วยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ \begin{align*} (\sqrt{2x^2+1})^2& =(\sqrt{19})^2
\\ 2x^2+1& =19
\\\Rightarrow 2x^2& =18
\\\Rightarrow x^2& =9
\end{align*}จากสมการนี้ จะเห็นได้ว่าค่า $x$ ที่เป็นไปได้มีเพียง 3 และ -3 ดังนั้นค่าเฉลี่ยคือ $\boxed{0}$ | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อายุของมิคกี้มีค่าน้อยกว่า 300% ของอายุเจอร์รี่ 4 ปี ถ้ามิคกี้มีอายุ 14 ปี เจอร์รี่มีอายุเท่าไร | ให้ $M$ และ $J$ เป็นอายุของมิคกี้และเจอร์รี่ตามลำดับ จากนั้น 300% ของอายุของเจอร์รี่คือ $3J$ เนื่องจากอายุของมิคกี้มีค่าน้อยกว่า 300% ของอายุของเจอร์รี่ 4 ปี เราได้ว่า $M=3J - 4$ กำหนดให้ $M = 14$ ดังนั้น $14 = 3J-4$ บวก 4 ทั้งสองข้างจะได้ $18 = 3J$ ดังนั้น $J=6$ และเจอร์รี่มีอายุ $\boxed{6}$ ปี | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
นิพจน์ $\frac{x-3}{4x}$ มีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับค่าของ $x$ ใด | เศษส่วนจะมีค่าเท่ากับศูนย์ ถ้าส่วนบนเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $x-3=0$ ดังนั้น $x=\boxed{3}$ (โปรดสังเกตว่าที่ค่า $x$ นี้ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์) | x | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าที่มากที่สุดของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $|x-5|=12$ | เราสามารถแยกนิพจน์ $|x-5|=12$ เป็นสองกรณีแยกต่างหาก: $x-5=12$ และ $x-5=-12$ สำหรับกรณีแรก การแก้หา $x$ จะให้ $x=12+5=17$ สำหรับกรณีที่สอง เราจะได้ $x=-12+5=-7$ ดังนั้น $x=17$ และ $x=-7$ ทั้งสองสอดคล้องกับสมการ เนื่องจากโจทย์ถามหาค่าที่มากที่สุดของ $x$ คำตอบของเราคือ $\boxed{17}$ | \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ปลายด้านหนึ่งของส่วนของเส้นตรงคือ $(4,3)$ และจุดกึ่งกลางของมันคือ $(2,9)$ ผลรวมของพิกัดของปลายด้านที่สองคือเท่าไร? | ให้ปลายด้านที่สองเป็น $(x, y)$ เราทราบว่า $\frac{4 + x}{2} + \frac{3 + y}{2} = 2 + 9 = 11$ ดังนั้น $7 + x + y = 22$ และ $x + y = \boxed{15}$ | x + y = \boxed{15} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\frac{5x+9y}{45xy}$, เมื่อกำหนด $x = \frac{3}{5}$ และ $y = \frac{7}{9}$ | แทนค่า $x$ และ $y$ ลงในนิพจน์จะได้ $$\frac{5\left(\frac35\right)+9\left(\frac79\right)}{45\left(\frac35\right)\left(\frac79\right)}=\frac{3+7}{3\cdot7}=\boxed{\frac{10}{21}}.$$ | [
"ประยุกต์ใช้"
] | |
แก้สมการหาค่า t: $3 \cdot 3^t + \sqrt{9 \cdot 9^t} = 18$. | เราสังเกตว่า $\sqrt{9 \cdot 9^t} = 3 \cdot 3^t$ สมการจะกลายเป็น: \begin{align*}
3 \cdot 3^t + 3 \cdot 3^t &= 18\\
\Rightarrow 6 \cdot 3^t &= 18 \\
\Rightarrow 3^t &= 3.
\end{align*}ดังนั้น $t = \boxed{1}$. | t = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โจและโจแอนน์ซื้อกาแฟ 12 ออนซ์ ในถ้วย 16 ออนซ์ โจดื่มกาแฟ 2 ออนซ์ แล้วเติมครีม 2 ออนซ์ โจแอนน์เติมครีม 2 ออนซ์ คนให้เข้ากันแล้วดื่ม 2 ออนซ์ อัตราส่วนของปริมาณครีมในกาแฟของโจต่อปริมาณครีมในกาแฟของโจแอนน์เป็นเท่าใด แสดงคำตอบเป็นเศษส่วน | โจมีครีม 2 ออนซ์ ในถ้วย โจแอนน์ดื่มกาแฟ 2 ออนซ์ จากส่วนผสมกาแฟ-ครีม 14 ออนซ์ ในถ้วยของเธอ ดังนั้นเธอจึงเหลือครีม $12/14 = 6/7$ ของครีม 2 ออนซ์ ของเธอ ดังนั้น อัตราส่วนของปริมาณครีมในกาแฟของโจต่อปริมาณครีมในกาแฟของโจแอนน์คือ \[
\frac{2}{\frac{6}{7}\cdot2} = \boxed{\frac{7}{6}}.
\] | 12/14 = 6/7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\left \lceil \frac{12}{7} \cdot \frac{-29}{3}\right\rceil - \left\lfloor \frac{12}{7} \cdot \left \lfloor \frac{-29}{3}\right \rfloor \right \rfloor$. | คำนวณเทอมแรก $\frac {12}7 \cdot \frac{-29}{3} = \frac{-116}{7}$ เนื่องจาก $$-17 = \frac{-119}{7} < \frac{-116}{7} < \frac{-112}{7} = -16,$$ จึงได้ว่าเพดานของ $\frac{-116}{7}$ คือ $-16$.
ในเทอมที่สอง เนื่องจาก $$-10 = \frac{-30}{3} < \frac{-29}{3} < \frac{-27}{3} = -9,$$ จึงได้ว่าพื้นของ $\frac{-29}3$ คือ $-10$ ผลคูณขอ... | -16 - (-18) = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีการ์ด 50 ใบ, หมายเลข 1 ถึง 50 วางอยู่ในกล่อง ใบหนึ่งถูกเลือกแบบสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนการ์ดเป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นผลคูณของ 7 แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | จำนวนเฉพาะที่เป็นผลคูณของ 7 เท่านั้นคือ 7 จำนวนอื่นๆ ที่เป็นผลคูณของ 7 จะมีตัวหารบวกอย่างน้อย 3 ตัว: 1, 7 และตัวมันเอง ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขที่เลือกเป็นจำนวนเฉพาะและเป็นผลคูณของ 7 คือ $\boxed{\frac{1}{50}}$ | \boxed{\frac{1}{50}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $\sqrt{x+ 7} = 9$. | เนื่องจาก $\sqrt{x+7} = 9$ เราทราบว่า 9 คือจำนวนที่กำลังสองเท่ากับ $x+7$ ดังนั้นเราได้ \[x+7 = 9^2.\] ซึ่งจะได้ $x + 7= 81$ ดังนั้น $x= \boxed{74}$. | x= \boxed{74} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของสามจำนวน $a, b$ และ $c$ เท่ากับ 60 ถ้าเราลด $a$ ลง 7 เราจะได้ค่า $N$ ถ้าเราเพิ่ม $b$ ขึ้น 7 เราจะได้ค่า $N$ ถ้าเราคูณ $c$ ด้วย 7 เราจะได้ค่า $N$ ค่าของ $N$ คือเท่าไร? | แปลงคำเป็นสมการ เราได้สมการ \begin{align*}
a+b+c&=60\\
a-7&=N\\
b+7&=N\\
7c&=N\\
\end{align*} เราจะแสดงค่าของ $a$, $b$ และ $c$ ในรูปของ $N$ แล้วแทนสมการเหล่านี้ลงในสมการที่กำหนดมาเพื่อแก้หา $N$ จากสมการที่สองเราได้ $a=N+7$ จากสมการที่สามเราได้ $b=N-7$ จากสมการที่สี่เราได้ $c=N/7$ แทนสมการเหล่านี้ลงในสมการที่กำหนดมาเพื่... | (N+7)+(N-7)+(N/7)=60\Rightarrow N=\boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมิน \begin{align*}
\left(c^c-c(c-1)^c\right)^c
\end{align*} เมื่อ $c=3$. | แทน $c=3$ ลงในนิพจน์ที่กำหนดให้ เราจะได้ $\left(3^3-3(3-1)^3\right)^3$ เราต้องเริ่มคำนวณจากวงเล็บก่อนเสมอ ดังนั้นเราคำนวณ $(3-1)^3=2^3=8$ ตอนนี้เราได้นิพจน์ $\left(3^3-3\cdot 8\right)^3$ คำนวณเลขชี้กำลังก่อน เราจะได้ $\left(27-3\cdot 8\right)^3$ จากนั้นทำการคูณเพื่อให้ได้ $\left(27-24\right)^3$ สุดท้ายทำการลบจากขวาไปซ้... | \boxed{27} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
จงแก้สมการหาค่าของ $c$: $$\sqrt{4+\sqrt{8+4c}}+ \sqrt{2+\sqrt{2+c}} = 2+2\sqrt{2}$$ | เราสามารถแยกตัวประกอบค่าคงที่ออกจากรากที่หนึ่งได้: \begin{align*}
\sqrt{4+\sqrt{8+4c}} &= \sqrt{4+\sqrt{4(2+c)}}\\
&= \sqrt{4+2\sqrt{2+c}}\\
&= \sqrt{2(2+\sqrt{2+c})}\\
&= \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2+c}}.
\end{align*}จากนั้นเราสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันและแก้สมการได้: \begin{align*}
\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2+c}}+ \sqrt{2+\sqr... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ $(-27)^{5/3}$ | เราได้ว่า \[(-27)^{5/3} = ((-3)^3)^{5/3} = (-3)^{3(5/3)} = (-3)^5 = \boxed{-243}.\] | -243 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $361+2(19)(6)+36=x$. | เราสังเกตว่า $361=19^2$ และ $36=6^2$ ดังนั้น $x=19^2+2(19)(6)+6^2$ ซึ่งเป็นการกระจายทวินามของ $(19+6)^2=25^2=\boxed{625}$ | (19+6)^2=25^2=\boxed{625} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คริสทอฟแก้สมการกำลังสอง $11x^2-44x-99=0$ โดยวิธีการเติมกำลังสอง ในกระบวนการนี้ เขาได้สมการที่เทียบเท่ากัน $$(x+r)^2 = s,$$โดยที่ $r$ และ $s$ เป็นค่าคงที่
จงหา $r+s$? | หารทั้งสองข้างของสมการ $11x^2-44x-99$ ด้วย $11$ เราได้ $$x^2-4x-9 = 0.$$กำลังสองที่สอดคล้องกับ $x^2-4x-9$ ยกเว้นพจน์คงที่คือ $(x-2)^2$ ซึ่งเท่ากับ $x^2-4x+4$ และดังนั้นเท่ากับ $(x^2-4x-9)+13$.
ดังนั้น โดยการบวก $13$ ลงในแต่ละข้าง คริสทอฟจึงเขียนสมการ $x^2-4x-9 = 0$ ใหม่เป็น $$(x-2)^2 = 13$$เราได้ $r=-2$, $s=13$ และดัง... | r+s=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การปีนบันไดชั้นแรกใช้เวลาของจิมมี่ 20 วินาที และแต่ละชั้นที่ตามมาใช้เวลามากกว่าชั้นก่อนหน้า 5 วินาที ใช้เวลาทั้งหมดกี่วินาทีในการปีนบันได 5 ชั้นแรก? | จำนวนวินาทีที่จิมมี่ใช้ในการปีนบันได 5 ชั้นแรกคือ 20, 25, 30, 35 และ 40
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $(20 + 40)/2 \cdot 5 = \boxed{150}$ | (20 + 40)/2 \cdot 5 = \boxed{150} | [
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ $12$ และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ $20$ จำนวนที่น้อยกว่าคือเท่าไร? | ให้ $x$ เป็นจำนวนที่มากขึ้น และ $y$ เป็นจำนวนที่น้อยกว่า แล้วเราจะมี $x+y=12$ และ $x-y=20$ ถ้าเราลบสมการที่สองจากสมการแรก เราจะได้ $$x+y-(x-y)=12-20\qquad\Rightarrow 2y=-8\qquad\Rightarrow y=-4.$$ จำนวนที่น้อยกว่าคือ $\boxed{-4}$. | \boxed{-4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $16\left (\frac{125}{2}+\frac{25}{4}+\frac{9}{16}+1\right)$. | โดยสมบัติการ distributive เราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น: $$16\left (\frac{125}{2}+\frac{25}{4}+\frac{9}{16}+1\right) =16\left (\frac{125}{2}\right)+16\left (\frac{25}{4}\right )+16\left (\frac{9}{16} \right) +16$$$$=8\cdot 125+4\cdot 25+9+16=1000+100+9+16=\boxed{1125}.$$ | 1125 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในระนาบデカร์ต จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด $A(a,b)$ และ $B(c,d)$ คือ $M(m,n)$ ถ้า $A$ ถูกเลื่อนขึ้นไปทางแนวตั้ง 8 หน่วย และเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย และ $B$ ถูกเลื่อนลงไปทางแนวตั้ง 2 หน่วย และเลื่อนไปทางซ้าย 10 หน่วย จุดกึ่งกลางใหม่ระหว่าง $A$ และ $B$ คือ $M'$. ระยะห่างระหว่าง $M$ และ $M'$ คือเท่าไร | ก่อนที่จะเคลื่อนย้าย จุดกึ่งกลาง (ในรูปของ $a$, $b$, $c$, และ $d$) คือ $M(m,n)=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)$. $A$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(a+2,b+8)$. $B$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(c-10,d-2)$. เราพบว่าจุดกึ่งกลางใหม่ $M'$ คือ \begin{align*}
\left(\frac{a+2+c-10}{2},\frac{b+8+d-2}{2}\right)&=\left(\frac{a+c}{2}-4,\frac{... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จุด $P$ อยู่บนเส้นตรง $x= -3$ และห่างจากจุด $(5,2)$ เป็นระยะ 10 หน่วย จงหาผลคูณของค่า $y$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด | ทุกจุดบนเส้นตรง $x=-3$ จะอยู่ในรูป $(-3,y)$ โดยที่ $y$ เป็นจำนวนจริง ระยะห่างจาก $(5,2)$ ถึง $(-3,y)$ คือ $$\sqrt{(5-(-3))^2+(2-y)^2}$$ หน่วย กำหนดให้ค่าของนิพจน์นี้เท่ากับ 10 เราจะได้ \begin{align*}
\sqrt{(5-(-3))^2+(2-y)^2}&= 10 \\
64+(2-y)^2&= 100 \\
(2-y)^2&= 36 \\
2-y&=\pm 6 \\
y=2\pm6.
\end{align*} ผลคูณของ $2+6... | -32 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วิศวกรคนหนึ่งลงทุนเงิน $\$10,\!000$ ในใบรับฝากเงินออมระยะสั้น 6 เดือน ซึ่งจ่ายอัตราดอกเบี้ยแบบธรรมดาเป็นรายปี $12\%$. หลังจาก 6 เดือน เธอลงทุนมูลค่าทั้งหมดของการลงทุนในใบรับฝากเงินออมระยะสั้นอีก 6 เดือน หลังจาก 6 เดือน มูลค่าการลงทุนอยู่ที่ $\$11,\!130$. ถ้าอัตราดอกเบี้ยรายปีของใบรับฝากเงินออมระยะสั้นใบที่สองคือ $r\%$,... | สำหรับ 6 เดือนแรก อัตราดอกเบี้ย (แบบง่าย) คือ $12/2 = 6$ เปอร์เซ็นต์ ดังนั้น การลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot 1.06 = 10600$.
ให้อัตราดอกเบี้ยรายปีของใบรับฝากเงินออมระยะสั้นใบที่สองเป็น $r$ เปอร์เซ็นต์ จากนั้น อัตราดอกเบี้ยสำหรับ 6 เดือนคือ $r/2$ ดังนั้นการลงทุนจะเติบโตเป็น $10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \rig... | r = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(\sqrt[6]{4})^9$. | เราได้ว่า $$(\sqrt[6]{4})^9 = (4^{1/6})^9 = 4^{\frac{1}{6}\cdot 9} = 4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = \boxed{8}.$$ | 8 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ เมื่อฟังก์ชันแบบทีละส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบทีละส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ ในทำนองเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไปจะได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดัง... | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของเลขฐานห้า $121_5$ และ $11_5$ คืออะไร? | สังเกตว่า $121_5 \times 11_5 = 121_5 \times (10_5 + 1_5) = 1210_5 + 121_5 = \boxed{1331}_5$. | 121_5 \times 11_5 = 121_5 \times (10_5 + 1_5) = 1210_5 + 121_5 = \boxed{1331}_5 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $16\left (\frac{125}{2}+\frac{25}{4}+\frac{9}{16}+1\right)$. | โดยสมบัติการ distributive เราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น: $$16\left (\frac{125}{2}+\frac{25}{4}+\frac{9}{16}+1\right) =16\left (\frac{125}{2}\right)+16\left (\frac{25}{4}\right )+16\left (\frac{9}{16} \right) +16$$$$=8\cdot 125+4\cdot 25+9+16=1000+100+9+16=\boxed{1125}.$$ | 1125 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
หลักของ $\Theta$ คือหลักใด ถ้า $252/\Theta=\underline{3\Theta}+\Theta$ โดยที่ $\underline{3\Theta}$ แทนจำนวนเลขสองหลักที่มี $3$ อยู่หลักสิบ และ $\Theta$ อยู่หลักหน่วย | เขียน $\underline{3\Theta}+\Theta$ ใหม่เป็น $30+\Theta+\Theta=30+2\Theta$ ดังนั้นเราจึงมีนิพจน์พีชคณิตที่เราสามารถจัดการได้ คูณด้วย $\Theta$ เพื่อให้ได้: \begin{align*}
252/\Theta&=30+2\Theta\quad\Rightarrow\\
252&=30\Theta+2\Theta^2\quad\Rightarrow\\
0&=2\Theta^2+30\Theta-252\quad\Rightarrow\\
0&=\Theta^2+15\Theta-126... | \Theta=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $d$ และ $e$ เป็นคำตอบของสมการ $3x^2+10x-25=0$ จงหาค่าของ $(d-e)^2$ | การแยกตัวประกอบสมการเดิม: \[3x^2+10x-25=(3x-5)(x+5)=0\]ดังนั้น คำตอบสองคำตอบคือ $3x-5=0$ และ $x+5=0$. \begin{align*}
3x-5&=0\\
3x&=5\\
x&=\frac{5}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
x+5&=0\\
x&=-5
\end{align*}ดังนั้น $d$ หรือ $e$ อาจเท่ากับ $\frac{5}{3}$ หรือ $-5$ อย่างไรก็ตาม $(d-e)^2=(e-d)^2$ ดังที่แสดงด้านล่าง. \begin{... | -5=e | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่สามารถแทนได้ด้วยผลต่างของสมาชิกสองตัวที่แตกต่างกันของเซต $\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$? | เห็นได้ชัดว่าผลต่างบวกที่มากที่สุดคือ $6 - 1 = 5$ นอกจากนี้ เราสามารถใช้ 6 เพื่อให้แน่ใจว่าเราสามารถรับผลต่างจำนวนเต็มบวกทั้งหมดได้ถึง 5: $6 - 5 = 1$, $6 - 4 = 2$, $6 - 3 = 3$, $6 - 2 = 4$, $6 - 1 = 5$ ดังนั้นมี $\boxed{5}$ ผลต่างที่เป็นไปได้ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สี่ปีที่แล้ว คุณลงทุนเงินจำนวนหนึ่งที่อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 10 คุณมีเงิน $439.23 ในบัญชีตอนนี้ หากดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายปี คุณลงทุนไปเท่าไรเมื่อสี่ปีก่อน? | ให้ $x$ เป็นจำนวนเงินเริ่มต้น หลังจากสี่ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปีร้อยละ 10 การลงทุนจะเติบโตเป็น $x \cdot 1.1^4$ ดังนั้น $x \cdot 1.1^4 = 439.23$ ดังนั้น $x = 439.23/1.1^4 = \boxed{300}$ | x = 439.23/1.1^4 = \boxed{300} | [
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $54 \times 46$ ในใจ | เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ใหม่เป็น $(50 + 4)\times (50 - 4)$ ซึ่งเป็นผลต่างของกำลังสอง: $(50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484}$ | (50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
9x+4 &\text{ถ้า }x\text{ เป็นจำนวนเต็ม}, \\
\lfloor{x}\rfloor+5 &\text{ถ้า }x\text{ ไม่เป็นจำนวนเต็ม}.
\end{cases}
\]จงหา $f(\sqrt{29})$. | เนื่องจาก 29 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เราทราบว่า $\sqrt{29}$ ไม่สามารถเท่ากับจำนวนเต็มได้ ดังนั้น $f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10}$. | f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10} | [
"ประยุกต์"
] |
เมื่อ Joyce นับเหรียญเพนนีในธนาคารของเธอทีละ 5 เหรียญ เธอจะมีเหรียญเหลือ 1 เหรียญ เมื่อนับทีละ 3 เหรียญ เธอจะมีเหรียญเหลือ 2 เหรียญ จำนวนเหรียญเพนนีที่น้อยที่สุดที่อยู่ในธนาคารคือเท่าไร | ให้ $a$ เป็นจำนวนเหรียญเพนนีที่น้อยที่สุดที่ Joyce อาจมีในธนาคาร จากนั้น \begin{align*}
a & \equiv 1\pmod 5\\
a & \equiv 2\pmod 3
\end{align*} วิธีแก้ปัญหาบวกจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดสำหรับ $a\equiv 1\pmod 5$ คือ $1,6,11$ โชคดีที่ $\boxed{11}$ เป็นไปตามเงื่อนไข $a\equiv 2\pmod 3$ | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $a+b=24$ จงหาค่าของ $ab$ เมื่อ $2ab + 10a = 3b + 222$ | เราเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการใหม่เป็น $2ab + 10a - 3b = 222$ จากนั้นเราสามารถใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอนโดยการลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $2ab + 10a - 3b - 15 = 207$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(2a - 3)(b + 5) = 207$$เราทราบว่าการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ $207 = 3^2 \cdot 23$ และ $a$ แล... | ab = \boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $h(x)$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมน $[-8,8]$ และ $g(x)=h\left(\frac x2\right)$ แล้ว โดเมนของ $g(x)$ เป็นช่วงของความกว้างเท่าใด | เนื่องจากเราได้นิยาม $g(x) = h\left(\frac{x}{2}\right)$ จึงเป็นจำนวนจริง $x$ อยู่ในโดเมนของ $g$ ก็ต่อเมื่อ $\frac{x}{2}$ อยู่ในโดเมนของ $h$ ดังนั้น โดเมนของ $g$ ประกอบด้วย $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$-8\le \frac x2\le 8.$$คำตอบของอสมการนี้ถูกกำหนดโดย $-16\le x\le 16$ ดังนั้น โดเมนของ $g$ เป็นช่วงของความกว้าง $16 - (-16) = \b... | 16 - (-16) = \boxed{32} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของจำนวนสองจำนวนคือ 30 และผลต่างของจำนวนทั้งสองคือ 4 จงหาจำนวนที่ใหญ่กว่า | กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่าตามลำดับ เราได้ว่า $x+y=30$ และ $x-y=4$ ดังนั้น: $x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17}$ | x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เลขโดดตัวใดอยู่ในตำแหน่งทศนิยมตำแหน่งที่ 100 ของการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{6}{7}$? | การแทนค่าทศนิยมของ $\frac{6}{7}$ คือ $0.\overline{857142}$ ซึ่งซ้ำทุกๆ 6 หลัก เนื่องจาก 100 หารด้วย 6 มีเศษ 4 ดังนั้นหลักที่ 100 จะเหมือนกับหลักที่ 4 หลังจุดทศนิยม ซึ่งก็คือ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยาย $(x^{22}-3x^{5} + x^{-2} - 7)\cdot(5x^4)$ | โดยใช้สมบัติการ distributive เราสามารถขยายได้ดังนี้ \begin{align*}
(x^{22}&-3x^{5} + x^{-2} - 7)\cdot(5x^4)\\
&=(x^{22})(5x^4)+(-3x^5)(5x^4)+(x^{-2})(5x^4)-7(5x^4)\\
&=5x^{26}-15x^9+5x^2-35x^4\\
&=\boxed{5x^{26}-15x^9-35x^4+5x^2}.
\end{align*} | [
"นำไปใช้"
] | |
ถ้า $f(x)=\frac{16}{5+3x}$, จงหาค่าของ $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\]เมื่อ $x=2$ จะได้ \[2=\frac{16}{5+3f^{-1}(2)}.\]แก้สมการหา $f^{-1}(2)$ เราพบว่า $f^{-1}(2) = 1$ ดังนั้น $[f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{... | [f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $x+y$, $x-y$, $xy$, และ $x/y$ ตามลำดับ พจน์ที่ห้าคืออะไร จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เนื่องจากผลต่างของพจน์สองพจน์แรกคือ $-2y$ พจน์ที่สามและสี่ของลำดับต้องเป็น $x-3y$ และ $x-5y$ ดังนั้น \[
x-3y = xy \quad\text{และ}\quad x-5y = \frac{x}{y},
\]ดังนั้น $xy - 5y^{2} = x.$ เมื่อรวมสมการเหล่านี้ เราจะได้ \[
(x - 3y) - 5y^{2}= x\quad\text{และ, 따라서 }\quad -3y - 5y^{2} = 0.
\]เนื่องจาก $y$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ เ... | x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของห้าพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต $\frac13,\frac19,\frac1{27},\dots$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | นี่คืออนุกรมเรขาคณิตจำกัดที่มีพจน์แรก $\frac13$ และอัตราส่วนร่วม $\frac13$ มีห้าพจน์ ดังนั้นผลบวกของอนุกรมนี้คือ $\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13} = \boxed{\frac{121}{243}}$ | $\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13} = \boxed{\frac{121}{243}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $x+y = 10$ และ $2x+y = 13$ จงหาค่าของ $x^2-y^2$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง เราจะได้ $2x+y-(x+y)=13-10 \Rightarrow x=3$ แทนค่า $x$ ลงในสมการแรกเพื่อหาค่า $y$ เราจะได้ $y=10-x=7$ ดังนั้น $x^2-y^2=3^2-7^2=\boxed{-40}$ | x^2-y^2=3^2-7^2=\boxed{-40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มระหว่าง $500$ ถึง $1000$ ที่มีเลขโดด $3$ และ $4$ อยู่ด้วยกัน | เราสังเกตว่าหลักร้อยของจำนวนเต็มระหว่าง $500$ ถึง $1000$ ไม่สามารถเป็น $3$ หรือ $4$ ได้ ดังนั้น $3$ และ $4$ ต้องเป็นหลักสิบและหลักหน่วย (อยู่ในลำดับ $34$ หรือ $43$) เนื่องจากจำนวนเต็มต้องอยู่ระหว่าง $500$ ถึง $1000$ จะมี $5$ ตัวเลือกสำหรับหลักร้อยของจำนวนเต็มนี้ ($5$, $6$, $7$, $8$ หรือ $9$) ดังนั้นจะมี $2 \times 5 = \... | 2 \times 5 = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt{9}$ ในรูปของจำนวนเต็มบวก | ปัจจัยทั้งสามมีค่าเท่ากับ 3 ดังนั้นผลคูณคือ $3\cdot3\cdot3=\boxed{27}$ | 3\cdot3\cdot3=\boxed{27} | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนดการดำเนินการ $*$ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ดังนี้: $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ถ้า $a+b = 9$ และ $ a \times b = 20$ จงหาค่าของ $a*b$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สังเกตว่า $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ กำหนดให้ $a + b = 9$ และ $ab = 20$ ถ้าเราแทนค่าเหล่านี้ลงใน $\frac{a + b}{ab}$ เราจะเห็นว่า $a * b = \boxed{\frac{9}{20}}$ | a * b = \boxed{\frac{9}{20}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $r$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\lfloor r \rfloor + r = 12.2$ | เราสังเกตว่า $r$ ต้องเป็นจำนวนบวก เพราะว่าถ้าไม่เช่นนั้น $\lfloor r \rfloor + r$ จะเป็นจำนวนไม่เป็นบวก ต่อไป เนื่องจาก $\lfloor r \rfloor$ เป็นจำนวนเต็ม และ $\lfloor r \rfloor + r=12.2$ ดังนั้นส่วน thập phânของ $r$ ต้องเป็น $0.2$ ดังนั้น $r=n+0.2$ สำหรับจำนวนเต็ม $n$ บางจำนวน เพื่อให้ $\lfloor r\rfloor =n$ และ $\lfloor... | \boxed{r=6.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแปลง $10101_3$ เป็นจำนวนเต็มฐานสิบ | $10101_3 = 1 \cdot 3^4 + 0 \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 81 + 9 + 1 = \boxed{91}$. | 91 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนเต็มบวก $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 + 6x + 9$ มีค่าอยู่ระหว่าง 20 ถึง 40 | เราเห็นว่า $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ ถ้า $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก เราจะเห็นว่านิพจน์นี้สามารถมีค่าเท่ากับกำลังสองสมบูรณ์ใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 16 ดังนั้น ปัญหาจึงถามว่ามีกำลังสองสมบูรณ์กี่จำนวนที่อยู่ระหว่าง 20 ถึง 40 มีเพียง $\boxed{2}$ จำนวน คือ 25 และ 36 | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $x^2 + 15x + 54$ สามารถเขียนได้ในรูป $(x + a)(x + b)$ และนิพจน์ $x^2 - 17x + 72$ เขียนได้ในรูป $(x - b)(x - c)$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $a + b + c$ | การแยกตัวประกอบ เราพบว่า $x^2 + 15x + 54 = (x + 9)(x + 6)$ และ $x^2 - 17x + 72 = (x - 9)(x - 8)$ เราจะเห็นว่า $b = 9$ ดังนั้น $a = 6$ และ $c = 8$ และ $a + b + c = \boxed{23}.$ | a + b + c = \boxed{23}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มที่ผกผันได้ modulo $n$ โดยที่ $a\equiv b^{-1}\pmod n$ เศษที่เหลือเมื่อ $ab$ หารด้วย $n$ คือเท่าใด? | เนื่องจาก $a\equiv b^{-1}\pmod n$, \[ab\equiv b^{-1}b\equiv \boxed{1}\pmod n.\] | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
2x + 9 &\text{if }x<-2, \\
5-2x&\text{if }x\ge -2.
\end{cases}
\]จงหาค่าของ $f(3).$ | เนื่องจาก $3\ge -2,$ เราใช้กรณีที่สองเพื่อกำหนดค่า $f(3) = 5-2(3) = \boxed{-1}.$ | f(3) = 5-2(3) = \boxed{-1}. | [
"ประยุกต์"
] |
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด (7, -24) มีค่าเท่าไร | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(7-0)^2 + ((-24)-0)^2} = \sqrt{49+ 576} = \sqrt{625} = \boxed{25}.$$- OR -
สังเกตว่าจุดกำเนิด จุด (7, -24) และจุด (7, 0) ประกอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 7 และ 24 ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้น ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $\boxed{25}$. | \boxed{25} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $P(n)$ และ $S(n)$ แทนผลคูณและผลบวกตามลำดับ ของหลักของจำนวนเต็ม $n$ ตัวอย่างเช่น $P(23) = 6$ และ $S(23) = 5$ สมมติว่า $N$ เป็นจำนวนสองหลัก ซึ่ง $N = P(N) + S(N)$ หลักหน่วยของ $N$ คือเท่าใด? | สมมติว่า $N=10a+b$ แล้ว $10a+b=ab+(a+b)$ จะได้ว่า $9a=ab$ ซึ่งหมายความว่า $b=9$ เนื่องจาก $a \neq 0$ ดังนั้นหลักหน่วยของ $N$ คือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อกำลังสองของสามเท่าของจำนวนเต็มบวก ลดลงด้วยจำนวนเต็มนั้น ผลลัพธ์คือ $2010$ จำนวนเต็มนั้นคือจำนวนใด | ให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก ข้อความในโจทย์บ่งบอกว่า $(3x)^2 - x = 2010$ หรือจัดเรียงใหม่ว่า $9x^2 - x - 2010 = 0$ สมมติว่าสิ่งนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $9x^2 - x - 2010 = (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (bc + ad)x + bd$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$ ถ้า $a$ และ $c$ ทั้งคู่หารด้วย $3$ ลงตัว $bc + ad$ ก็หารด... | x = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.