Datasets:
Vikhrmodels
/
programming_books_rus

Dataset card Data Studio Files
xet
 Community
1
text
stringlengths
0
1.95k
где
– оценка Надарайя-Уотсона в точке xi, основанная на всех наблюдениях, кроме
i–го. Оптимальная в смысле процедуры скользящего контроля ширина окна hCV
соответствует минимуму ошибки CV(h) на независимом внешнем дополнении данных.
На рис. 7.3 показаны кривые аппроксимации, построенные для набора значений: h
= 21.85, доставляющего минимум среднеквадратичной ошибке CV2(h); h = 7.28,
соответствующего минимуму абсолютных средних разностей CV1(h), и h = 2, как пример
недосглаженной кривой.
Другой вариант аппроксимации этого ряда кубическими сплайнами при
значении параметра сглаживания l, найденного кросс-проверкой,
оптимальном
представлен на рис. 7.4.
247
Рис. 7.4. Аппроксимация ряда СКОРОСТЬ сплайном с оптимальным параметром сглаживания;
пунктиром показана доверительная область регрессии, вертикалями – критические точки
Выполнив процедуру аппроксимации, недостаточно ограничиться созерцанием
полученной картинки со сглаженной кривой. Желательно провести статистический анализ
полученной модели с оценкой ее доверительных интервалов, что позволит формализовано
подойти к решению следующих важных задач исследования временных рядов:
1. Зависит ли математическое ожидание m(y|x) величины y от временной динамики x в
различных частях исследуемой области определения линии регрессии?
2. На каких временных участках можно пренебречь изменчивостью отклика y в
зависимости от фактора времени?
3. Какие особые периоды можно трактовать как неустойчивые (бифуркационные),
поскольку они сопровождаются наличием экстремумов, перегибов или разрывов первой
производной регрессионной кривой?
При использовании непараметрических методов сглаживания часто бывает
невозможно оценивать качество подстройки моделей под данные с использованием
традиционных статистических критериев (например, оценить значимость коэффициентов
по величине t-статистики). Однако доверительные интервалы модели сглаживания
несложно найти, если обратиться к процедуре бутстрепа, как это мы делали в разделе 3.4:
выделим совокупность (например, L = 100) опорных временных точек и рассчитаем
для них значения скорости ветра по модели сглаживания, построенной по исходным
данным (красная кривая на рис. 7.4 соединяет эти точки);
°
°
формируем набор (B = 1000) случайных выборок с возвращениями из строк
исходной таблицы; по каждой из них строим модель сплайна и рассчитываем 1000
прогнозируемых значений скорости ветра для 100 опорных точек;
°
используя распределение значений отклика в вертикальной плоскости каждой из
этих точек, находим квантили при p = 1 - a/2 и p = a/2, a = 0.5 и выводим на график
линии доверительных интервалов, соединяющие квантильные значения в опорных
сечениях (пунктирные линии на рис. 7.4).
248
Если провести вертикальные секущие плоскости в двух произвольных точках
временного ряда и в результате их сравнения доверительные интервалы будут
пересекаться, то можно сделать вывод о статистической незначимости различий скорости
ветра в этих точках (хотя, как утверждал Р.Фишер, «формально нулевая гипотеза никогда
не может быть принята»). Впрочем, если доверительные интервалы не пересекаются, то
Н0 также не может быть отвергнута, но по другой причине: мы рассчитали доверительные
интервалы огибающих регрессии, а не самой зависимой переменной (см. раздел 3.4).
Большой круг теоретических и практических проблем связан с решением задачи
нахождения критических точек, в которых изменяются характеристики ряда (change-point
analysis). Пусть временная последовательность в одной или нескольких точках перехода
t1, t2, … подвергается резким изменениям в характере распределения своих случайных
реализаций. Тогда можно сделать предположение, что весь ряд состоит из сегментов,
ограниченных парами ti-ti+1, на каждом из которых имеет место тождественное и
независимое распределение F0, F1, F2, … (в общем случае, неизвестное). Проявлением
такой нестабильности могут быть отчетливо выраженные скачки (ступени, разрывы)
значений среднего, дисперсии, либо какой-либо иной выборочной характеристики.
Г. Росс с соавторами (Ross at al., 2011) предложил следующий алгоритм
нахождения количества и локации критических точек ti по данным наблюдений. Пусть
промежуточный член ряда xi делит последовательность (x1, ..., xn) на две группы. Если у
нас нет предположений о законе распределения, то мы можем воспользоваться одним из
непараметрических критериев D
(Манна-Уитни, Лепажа, Колмогорова-Смирнова,
Крамера-Мизеса), чтобы проверить статистическую значимость гипотезы о сдвиге
положений или согласии распределений между двумя выборками. Тогда точка перехода t
соответствует индексу i, при котором D принимает максимальное значение при условии
отклонения нулевой гипотезы. Сканируя всю последовательность, начиная с x1 и переходя
от значения к значению, можно выделить весь возможный набор t1, t2, … Для ряда
СКОРОСТЬ (рис. 7.4) можно выделить четыре участка, мера положения которых
статистически значимо различается по критерию Манна-Уитни, с критическими точками
t1 = 111, t2 = 130, t3 = 191 – см. рис. 7.4.
Оценить наличие или отсутствие "горбов" (hump) тенденции временного ряда
можно еще одним оригинальным и универсальным способом (Crawley, 2007), который
непосредственно не выполняет проверку какой-либо нулевой гипотезы, а основан на
моделях иерархической регрессии. При построении деревьев CART (см. раздел 6.4)
рекурсивно ищутся такие значения зависимой переменной X, которые делят всю
последовательность на подмножества, являющиеся более или менее гомогенными
относительно анализируемого признака. Это дает возможность построить характерную
кусочно-постоянную линию тренда (см. рис. 7.5а), однородность которой внутри каждого