solution stringlengths 1 23 | prompt_tr stringlengths 0 3.2k |
|---|---|
12 | İki düzenli çokgen $P$ ve $Q$'dan her biri bir doğruyla iki parçaya bölündü. $P$'nin bir parçası bölme doğrusu boyunca $Q$'nun bir parçasına eklenerek ortaya çıkan çokgen düzenli oldu ve $P$ veya $Q$ ile kongruent değildi. Kaç kenarlı olabilir? |
1024 | Bir öğrenci $1$'den $1024$'e kadar numaralandırılmış kapalı dolapların sıralandığı bir koridorda yürür. No. $1$ dolabını açar, bir sonrakini atlar, bir sonrakini açar ve bu deseni sürdürür. Sıralamanın sonuna ulaştığında, geri döner ve karşılaştığı ilk kapalı dolabı açar, bir sonraki kapalı dolabı atlar ve koridorun ba... |
28 | Gerçek sayılar $x$, $y$ ve $z$ aşağıdaki eşitliği sağlar:
\[4(x+y+z) = x^2 + y^2 + z^2\]
$M$, $xy + yz + zx$ ifadesinin maksimumu olsun ve $m$, $xy + yz + zx$ ifadesinin minimumu olsun. $M + 10m$ değerini bulun. |
2 | Denklem $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ üç farklı köke sahiptir. Aşağıdaki denklemin kaç farklı kökü vardır:
$4(ax^3 + bx^2 + cx + d)(3ax + b) = (3ax^2 + 2bx + c)^2$? |
9 | Round-robin masa tenisi turnuvasında $n$ oyuncu vardır; bu, her iki oyuncunun birbirleriyle tam olarak bir maç yapacağı anlamına gelir. Bazı maçlar oynandıktan sonra, herhangi bir $n-2$ kişilik grubun arasında oynanan maçların toplam sayısının $3^k$ olduğu bilinmektedir, burada $k$ sabit bir tamsayıdır. Olası tüm $n$ d... |
16 | $0 \le n \le 720$ ve $n^2 \equiv 1 \pmod{720}$ olacak şekilde kaç tamsayı $n$ vardır? |
8 | 12. Bir dikdörtgen $ABCD$'de $AB = 8$ ve $BC = 20$ olsun, $P$ noktası $AD$ üzerinde öyle bir nokta olsun ki $\angle BPC = 90^\circ$. Eğer $r_1, r_2, r_3$ sırasıyla $\triangle APB$, $\triangle BPC$ ve $\triangle CPD$ üçgenlerinin iç çember yarıçapları ise, $r_1 + r_2 + r_3$ değeri nedir? |
2037 | Joey tahtaya bir denklem sistemi yazdı; her bir denklem bazı değişkenler veya tamsayılar $a, b, c$ için $a + b = c$ veya $a \cdot b = c$ biçimindeydi. Sonra Sean tahtaya gelip tüm toplama ve çarpma işaretlerini sildi, böylece tahta şöyle görünüyordu:
$x\,\,\,\, z = 15$
$x\,\,\,\, y = 12$
$x\,\,\,\, x = 36$
Eğer $x,... |
769 | Bir dörtgen $ABCD$'de $\angle ABC$ dik açıdır ve $AB = 12$, $BC = 9$, $CD = 20$ ve $DA = 25$'tir. $BD^2$ değerini bulun. |
109 | Bir sayıya *mor* denir eğer pozitif tam sayılar $a>b$ için $\frac{1}{2^a 5^b}$ şeklinde ifade edilebiliyorsa. Tüm mor sayıların toplamı, aralarında asal pozitif tam sayılar $a,b$ için $\frac{a}{b}$ şeklinde ifade edilebilir. $100a + b$ değerini hesaplayın. |
1 | $n$ pozitif bir tamsayı olsun. $1 - n + n^2 - n^3 + \dots + n^{1000}$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri belirleyin. |
511 | $x_1, x_2, \dots, x_n$ tam sayılardan oluşan bir dizi olsun ve $i = 1, 2, \dots, n$ için $-1 \leq x_i \leq 2$ olsun. Veriliyor ki:
\[ x_1 + x_2 + \dots + x_n = 7 \]
ve
\[ x_1^8 + x_2^8 + \dots + x_n^8 = 2009. \]
$m$ ve $M$, sırasıyla $x_1^9 + x_2^9 + \dots + x_n^9$ ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük değerler o... |
50 | Her biri bir jeton içeren $100$ hücrelik bir sıra vardır. $1$ dolar karşılığında komşu iki jetonun yerleri değiştirilebilir. Ayrıca, aralarında tam olarak $3$ jeton bulunan herhangi iki jeton ücretsiz olarak yerleri değiştirilebilir. Tüm jetonları ters sırada dizmek için gereken minimum ücret nedir? |
1027 | Şu diziyi düşünün: $1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, \ldots$ İlk $n$ teriminin toplamı $2010$ olan $n$'i bulun. |
280 | a, b iki gerçek sayı olsun öyle ki \(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = 10\) ve \(ab = \left( \frac{8 - a - b}{6}\right)^3\). \(a - b\) farkını bulun. |
249001 | Bir şehrin başlangıçtaki nüfusu, 150'den büyük olmak üzere, bir tam karedir. Nüfus 1000 kişi arttığında, bir tam kare artı bir olur. Bir başka 1000 kişi artışından sonra tekrar bir tam kare olur. Şehrin başlangıçtaki nüfusunu belirleyin. |
1991 | Arka arkaya yazılmış $2018$ adet 1 verilsin: $$\underbrace{1\,\,\,1\,\,\,1\,\,\,1 \,\,\, ... \,\,\,1 \,\,\,1 \,\,\,1 \,\,\,1}_{2018 \,\,\, ones}$$ bunların arasına artı işaretleri $(+)$ konulabilir. Ortaya çıkan toplamın $8102$ olması için yerleştirilmesi gereken artı işareti $(+)$ sayısının maksimumu kaçtır? |
6 | Kaç tane $12$'nin katı olan, $12!$'i bölen ve tam olarak $12$ böleni olan sayı vardır? |
23 | Flavortext kralı Freddy'nin sonsuz bir madeni para sandığı vardır. \([0, 1]\) aralığındaki her \( p \) sayısı için Freddy'nin yazı gelme olasılığı \( p \) olan bir parası vardır. Neşeli Jenny sandıktan rastgele bir parayı çıkarır ve onu 10 kez atar; her seferinde yazı gelir. Ardından parayı bir kez daha atar. Eğer bu 1... |
1344 | Bay Schwartz, 7 evlik bir sırayı boyamak üzere işe alındı. Her ev kırmızı, mavi veya yeşil olarak boyanmalıdır. Ancak estetik açıdan üç ardışık evin aynı renkte olmasını istemiyor. Bu görevi yerine getirmenin kaç farklı yolu olduğunu bulun. |
3240 | İki basamaklı bir sayının başka bir iki basamaklı sayıya eklenmesiyle iki basamaklı bir sonuç veren toplama işlemlerinin sayısını bulun; örneğin şu üç örnekte olduğu gibi: \[\begin{tabular}{@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}}23\\42\\\hline 65\end{tabular}\,, \begin{tabular}{@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}}36\\36\\\hline 7... |
1967 | Aşağıdaki eşitliği sağlayan tam sayı $n$'yi bulun:
\[
n + \lfloor \sqrt{n} \rfloor + \lfloor \sqrt{\sqrt{n}} \rfloor = 2017.\]
Burada $\lfloor \cdot \rfloor$ aşağı yuvarlama (floor) fonksiyonunu gösterir. |
1814 | Dik üçgen $ABC$'nin hipotenüsü $AB = 26$ ve $\triangle ABC$'ye içten çizilen çemberin yarıçapı $5$'tir. $BC$'nin alabileceği en büyük değer $m + \sqrt{n}$ şeklinde ifade edilebilir; burada $m$ ve $n$ pozitif tam sayılardır. $100m + n$ değerini bulun. |
1136 | Üç adil altı yüzlü zar sırasıyla $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\},$ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\},$ ve $\{1, 2, 3, 7, 8, 9\},$ etiketlenmiştir. Üç zar atılır. En az iki zarın aynı değere sahip olma olasılığı $\frac{m}{n},$ burada $m, n$ aralarında asal pozitif tam sayılardır. $100m + n$ değerini bulun. |
14 | $a, b, c, d$ doğal sayılar olmak üzere $a + b + c + d = 2018$. Aşağıdaki ifadenin minimum değerini bulun:
$$E = (a-b)^2 + 2(a-c)^2 + 3(a-d)^2 + 4(b-c)^2 + 5(b-d)^2 + 6(c-d)^2.$$ |
1186 | $ABC$ üçgeninin iç merkezi $I$ olmak üzere $AB = 1400$, $AC = 1800$, $BC = 2014$. $I$ merkezli ve $A$'dan geçen çember $BC$ doğrusunu iki noktada $X$ ve $Y$ olarak keser. $XY$ uzunluğunu hesaplayın. |
29 | Mutfakta birkaç fincan var, bazıları kulplu, bazıları kulpsuz. Kulpsuz iki fincan ve kulplu üç fincan seçme yollarının sayısı tam olarak $1200$'dür. Mutfaktaki fincanların maksimum olası sayısı kaçtır? |
6 | Denklemi sağlayan tam sayı çözüm çiftleri \((x,y)\) sayısını bulun:
\[
(x-y+2)(x-y-2) = -(x-2)(y-2)
\] |
8128 | En küçük $n \ge 4$ tamsayısını hesaplayın ki $\binom{n}{4}$ dört veya daha fazla sıfırla bitsin (yani $\binom{n}{4}$'ün sağdan dört basamağı $0000$ olsun). |
3 | Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ olacak şekilde aşağıdaki denklemi sağlayan tüm pozitif tam sayılar $k$'yı bulun:
\[
a^2 + 4 = (k^2 - 4)b^2.
\] |
24 | $p$ bir asal sayı olsun. Benzersiz sabit olmayan bir fonksiyon $\chi:\{1,2,\ldots, p-1\}\to\{-1,1\}$ olduğu verilsin; bu fonksiyon için $\chi(1) = 1$ ve tüm $m, n \not\equiv 0 \pmod{p}$ için $\chi(mn) = \chi(m)\chi(n)$ olur (burada çarpım $mn$ mod $p$ alınır). 100'den küçük kaç pozitif asal $p$ için \[\sum_{a=1}^{p-1}a... |
361 | $n>1$ olan ve tüm tamsayılar $2 \leq p \leq 10$ için $p \mid \left(n^{p-1}-1\right)$ koşulunu sağlayan en küçük tam sayı nedir? |
-2 | $(x^2 + 2x + 3)^{(x^2+2x+3)^{(x^2+2x+3)}} = 2012$ denkleminin x için tüm gerçek çözümlerinin toplamını bulun. |
5 | Gerçek bir sayı $\alpha$'yı $(0,500)$ aralığından eşit olasılıkla rastgele seçiyoruz. Tanımlayalım
\[ S = \frac{1}{\alpha} \sum_{m=1}^{1000} \sum_{n=m}^{1000} \left\lfloor \frac{m+\alpha}{n} \right\rfloor. \]
p, $S \ge 1200$ olma olasılığı olsun. $1000p$'yi hesaplayın. |
90 | Farklı paritelere sahip tamsayılar $x,y$ için $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2520}$ koşulunu sağlayan $(x,y)$ çiftlerinin sayısını bulun. |
12 | Çemberlerin $C_1$, $C_2$, $C_3$ yarıçapı $1$ ve merkezleri sırasıyla $O$, $P$, $Q$'dur. $C_1$ ile $C_2$ $A$'da, $C_2$ ile $C_3$ $B$'de, $C_3$ ile $C_1$ $C$'de kesişir; öyle ki $\angle APB = 60^\circ$, $\angle BQC = 36^\circ$ ve $\angle COA = 72^\circ$. Açı $\angle ABC$'yi (derece cinsinden) bulun. |
67 | Hangi pozitif tam sayı $k$ için $\binom{100}{k} \binom{200}{k}$ maksimumdur? |
414 | Kenar uzunlukları $3, 6, 9, 12, \ldots, 33$ olan on bir kare düşünün. Her birinin alanı $A$ olan tek bir karenin on bir kopyasının toplam alanı, dizideki on bir karenin toplam alanına eşittir. $A$'yı bulun. |
12 | Bir paralelkenarın üç köşesi \((2, -4), (-2, 8),\) ve \((12, 7)\) noktalarıdır. Dördüncü köşenin üç olası x-koordinatının toplamını belirleyin. |
896 | $\odot$'ı doğal sayılar üzerinde tanımlı bir ikili işlem olsun; tüm $a,b,c$ için $(a + b) \odot c = (a \odot c) + (b \odot c)$ ve $a \odot (b + c) = (a \odot b) \odot c$ özelliklerini sağlasın. $5 \odot 5 = 160$ verildiğine göre $7 \odot 7$ değerini bulun. |
62208 | v ve w gerçek sayılar olsun; her gerçek sayı a ve b için şu eşitsizlik sağlansın:
\[(2^{a+b}+8)(3^a+3^b) \leq v(12^{a-1}+12^{b-1}-2^{a+b-1})+w\]
128v^2+w^2 ifadesinin alabileceği en küçük değeri hesaplayın. |
4471 | $\lfloor \sqrt{19992000} \rfloor$ değerini bulunuz; burada $\lfloor x \rfloor$ ifadesi x'ten küçük veya ona eşit olan en büyük tam sayıyı gösterir. |
60 | A noktası yarıçapı $78$ olan bir $\Omega$ çemberinin çevresi üzerinde yer alır. B noktası, $AB$ çembere teğet olacak şekilde yerleştirilmiş olup $AB=65$; C noktası ise $\Omega$ üzerinde yer alır ve $BC=25$. $\overline{AC}$ uzunluğunu hesaplayınız. |
280 | 2a + 3b + 5c = 200 ve a + b + c = N olacak şekilde negatif olmayan tamsayılardan oluşan tek bir sıralı üçlü $(a, b, c)$'nin var olduğu tüm pozitif tamsayı $N$'lerin toplamını bulun. |
10053 | Düzlemde bir *büyüyen sarmal*ı, koordinatları tam sayı olan $P_0=(0,0), P_1, \dots, P_n$ noktalarından oluşan bir dizi olarak tanımlayın; burada $n \ge 2$ ve:
- Yönlü doğru parçaları $P_0P_1, P_1P_2, \dots, P_{n-1}P_n$ ardışık koordinat yönlerini izler: doğu ($P_0P_1$ için), kuzey, batı, güney, doğu, vb.
- Bu doğru pa... |
11221 | $\sqrt{\frac{11^4 + 100^4 + 111^4}{2}}$ değerini hesaplayın ve sonucu bir tamsayı olarak verin. |
420 | n'in, \sqrt[3]{n}'den küçük tüm pozitif tamsayılara tam bölündüğü en büyük tam sayıyı bulun. |
84 | Üçgen $ABC$'de $AB = AC$. Nokta $D$, $\overline{BC}$ kenarı üzerinde olup $AD = CD$ ve $\angle BAD = 36^\circ$ olacak şekilde yer alır. $\angle BAC$'ın derece ölçüsünü bulun. |
2015 | Varsayalım ki $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılardır ve $A = \frac{m}{n}$, burada
\[ A = \frac{2+4+6+\dots+2014}{1+3+5+\dots+2013} - \frac{1+3+5+\dots+2013}{2+4+6+\dots+2014}. \]
$m$'yi bulun. Başka bir deyişle, $A$ sadeleştirilmiş halde bir kesir olarak yazıldığında payını bulun. |
505 | Eğer $U, S, M, C, A$ farklı (pozitif olmak zorunda olmayan) tam sayılar ve $U \cdot S \cdot M \cdot C \cdot A = 2020$ ise, $U + S + M + C + A$'nın alabileceği en büyük değer nedir? |
14 | Bir $10 \times 11$ tahtaya çakışmadan en fazla kaç haç sığdırılabilir? |
1 | 1'den büyük bir gerçek sayı $a$ için $\frac{20a}{a^2+1} = \sqrt{2}$ olsun. $\frac{14a}{a^2 - 1}$ değerini bulun. |
42 | Size \(17! = 355687ab8096000\) olduğu verildi; burada \(a\) ve \(b\) bazı rakamlardır. Yukarıda eksik olan iki basamaklı \(\overline{ab}\) sayısını bulun. |
257889 | Rakamlarının çarpımı $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ olan en küçük pozitif tam sayıyı bulun. |
80 | $ABC$ eşkenar bir üçgen olsun. $D$, $\overline{BC}$'nin orta noktası olsun ve çapı $\overline{AD}$ olan çember $\Omega$ olsun. Eğer $\Omega$'nın içindeki ve $\triangle ABC$'nin dışında kalan bölgenin alanı $800\pi-600\sqrt{3}$ ise, $AB$ uzunluğunu bulun. |
5 | $f(x) = x^4 - 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1$ olsun. $f(x)$'in gerçek köklerinin toplamını hesaplayın. |
220 | Darwin, $11 \times 11$ kafes noktasından oluşan bir ızgara alır ve aralarındaki uzaklık 1 birim olan her nokta çiftini birbirine bağlar; bu da birim karelerden oluşan $10 \times 10$ ızgarasını oluşturur. Hiçbir doğru parçasını tekrar çizmediğine göre, çizdiği tüm doğru parçalarının toplam uzunluğu nedir? |
45 | Kenar uzunlukları birbirleriyle asal tam sayılar olan bir dik üçgenin çevresi ve alanı sırasıyla $P$ ve $A$ ile gösterilsin. \(\frac{P^2}{A}\) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulun. |
257 | Size $13 \times 2$ olan bir dikdörtgen oyun alanı ve boyutları $2 \times 1$ ve $3 \times 1$ olan herhangi sayıda domino veriliyor. Oyun alanı bu dominolarla kusursuz şekilde, üst üste binme olmadan ve hiçbir dominonun oyun alanının dışına taşmaması koşuluyla kaplanmalıdır. Ayrıca tüm dominolar aynı şekilde hizalanmış o... |
203817 | Gerçek sayılar $x$ ve $y$ için
\[ \nabla(x,y)=x-\frac{1}{y}. \]
olarak tanımlansın. Eğer
\[ \underbrace{\nabla(2, \nabla(2, \nabla(2, \ldots \nabla(2,\nabla(2, 2)) \ldots)))}_{2016 \,\nabla\text{s}} = \frac{m}{n} \]
ve $m$, $n$ aralarında asal pozitif tam sayılar ise, $100m + n$ değerini hesaplayın. |
91 | Gerçek bir $a$ sayısı için, koordinat düzleminde denklemleri $x = y^2 + a$ ve $y = x^2 + a$ olan iki parabola tanımlansın. Her biri her iki parabolaya da teğet olan 3 doğrunun pozitif alana sahip bir eşkenar üçgen oluşturduğunu varsayalım; bu alanı $s$ olarak alalım. Eğer $s^2 = \frac{p}{q}$ ve $p$, $q$ aralarında asal... |
24 | Dört matematik yarışmacısı ve iki koç bir yuvarlak masa etrafında oturuyor. İki koç birbirlerinin karşısına oturuyorsa, bu altı kişinin kaç farklı düzenlemesi vardır? |
100 | Alice ve Bob bir takım olarak $100 \times 100$ tahta üzerinde oynarlar ve tüm birim kareler başlangıçta beyazdır. Alice oyunu başta tam olarak $k$ birim kareyi kırmızıya boyayarak kurar. Bundan sonra Bob için yasal bir hamle, içinde en az $10$ kırmızı kare bulunan bir satır veya sütun seçip o satır/sütundaki veya sütun... |
174 | İki nokta $A$ ve $B$ yarıçapı $100$ olan bir çember üzerinde rastgele seçiliyor. Pozitif bir tamsayı $x$ için $P(x)$, $AB$ uzunluğunun $x$'ten küçük olma olasılığı olarak tanımlansın. $P(x)>\frac{2}{3}$ olacak şekilde $x$'in alabileceği en küçük tamsayı değeri nedir? |
233 | Bir tam sayı $x$ gösteren ve iki düğmesi olan bir hesap makinemiz var. Birinci düğmeye basmak $x$'i $\lfloor \frac{x}{2} \rfloor$ ile, ikinci düğmeye basmak ise $x$'i $4x+1$ ile değiştirir. Başlangıçta hesap makinesi $0$ gösterir. Herhangi bir düğme basma dizisiyle elde edilebilecek, 2014'e eşit veya daha küçük kaç tam... |
4064 | Aşağıdaki denklemi sağlayan ve $x$'in $2017^\circ$'den büyük olduğu durumda $x^\circ$'in (derece cinsinden) mümkün olan en küçük iki değerinin toplamını bulun:
\[
\cos^5(9x) + \cos^5(x) = 32\cos^5(5x)\cos^5(4x) + 5\cos^2(9x)\cos^2(x)(\cos(9x) + \cos(x)).
\] |
38 | $k$, $\binom{10^9}{k}$ binom katsayısının $\binom{10^9 + 1}{k - 1}$ binom katsayısından daha küçük olduğu en küçük pozitif tamsayı olsun. $a$, $k$'nın (soldan) ilk basamağı ve $b$, $k$'nın (soldan) ikinci basamağı olsun. $10a + b$ değeri nedir? |
748 | Tanımlayalım $f(n)=\frac{n}{3}$ eğer $n$ 3'e bölünüyorsa, ve $f(n)=4n-10$ aksi takdirde. $f^5(c)=2$ olan tüm pozitif tamsayı $c$'lerin toplamını bulun. (Burada $f^5(x)$, $f(f(f(f(f(x)))))$ anlamına gelir.) |
425 | A ve B yaz okulunda arkadaşlardır. B, A'ya adresini sorduğunda A şöyle cevap verir: "Evim XYZ sokağında ve ev numaram farklı rakamlardan oluşan 3 basamaklı bir sayıdır. Basamaklarını yeniden sıralarsan 5 başka sayı elde edersin. İlginç bir şekilde, bu 5 sayının toplamı tam olarak 2017'dir. Hepsi bu." Bir süre sonra B, ... |
6423 | Kurbağa Freddy sonsuz uzunluktaki bir sayı doğrusunda 1 noktasında bulunmaktadır. $n \ge 1$ olmak üzere $n$-inci günde Freddy sağa 1 adım zıplayabilir, olduğu yerde kalabilir veya sola $k$ adım zıplayabilir; burada $k$ en fazla $n+1$ olan bir tam sayıdır. 5. günden sonra, Freddy'nin en az bir kez negatif bir sayıya ind... |
90 | ABC üçgeninde B açısı geniş açı olup a'ya eşittir. A ve C açıortayları, karşı kenarları sırasıyla P ve M noktalarında keser. AC kenarı üzerinde K ve L noktaları öyle seçilmiştir ki $\angle ABK = \angle CBL = 2a - 180^\circ$. KP ile LM doğruları arasındaki açı nedir? |
252 | Bir dörtyüzlünün dört eş yüzü vardır; her biri kenar uzunlukları $6$, $5$ ve $5$ olan bir üçgendir. Dörtyüzlünün hacmi $V$ ise, $V^2$'yi hesaplayın. |
999 | Pozitif rasyonel sayılar $x < y < z$ toplamı $1$ ve şu denklemi sağlıyor:
\[ (x^2 + y^2 + z^2 - 1)^3 + 8xyz = 0. \]
$\sqrt{z}$'in de rasyonel olduğu veriliyor; bu, aralarında asal pozitif tam sayılar $m$ ve $n$ için $\frac{m}{n}$ şeklinde ifade edilebilir. Eğer $m + n < 1000$ ise, $m + n$'nin alabileceği en büyük değer... |
19 | Yarıçapı $10$ olan bir disk ile yarıçapı $8$ olan bir disk, merkezleri arasındaki uzaklık $3$ olacak şekilde çizilmiştir. İki eş küçük çember, bu iki diskin kesişim bölgesinde, birbirlerine ve her iki büyük çembere teğet olacak şekilde yer alır. Küçük çemberlerin yarıçapları her ikisi de $\frac{m}{n}$ olup, $m$ ve $n$ ... |
2024 | Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığı ve en az $7$ pozitif böleni olan $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$, $k \geq 7$, şeklinde sıralanan bölenlere sahip en küçük pozitif tam sayı $n$'yi bulun:
$$d_7 = 2d_5 + 1 \text{ and } d_7 = 3d_4 - 1$$ |
808 | $\texttt{powSearch}$ adlı bir arama algoritması tanımlayın. A'nın 1'den başlayan indekslere sahip, farklı tamsayılardan oluşan sıralı bir dizi olduğunu varsayın. Bu dizide bir tamsayı $b$'yi aramak için, indisleri $2^0, 2^1, \ldots$ şeklinde ararız; ta ki ya dizinin sonuna ulaşana kadar ya da $A[2^k] > b$ olana kadar. ... |
1984 | Pozitif tamsayılar sırayla yazılarak elde edilen rakamlar dizisi \(1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 \dots\) elde edilir. Eğer dizideki \(10^n\)-inci basamak, \(m\)-basamaklı sayıların yazıldığı bölümde yer alıyorsa, \(f(n)=m\) olarak tanımlansın. Örneğin, \(f(2)=2\) çünkü dizideki 100. ... |
4807 | Bill iki çember çiziyor; bu çemberler $X,Y$ noktalarında kesişiyor. $P$, iki çemberin ortak teğetlerinin kesişimi olsun ve $Q$, iki çemberin merkezlerini birleştiren doğru parçası üzerinde öyle bir nokta olsun ki $PX$ ve $QX$ doğruları dik olsun. İki çemberin yarıçapları $3$ ve $4$ ve merkezleri arasındaki uzaklık $5$ ... |
120 | Pozitif tamsayılar $m$ ve $n$ için, $r(m, n)$, $m$'nin $n$ ile bölümünden kalan olsun. Aşağıdaki eşitliği sağlayan en küçük pozitif tamsayı $m$'yi bulun:
\[
r(m, 1) + r(m, 2) + r(m, 3) + \cdots + r(m, 10) = 4.
\] |
60 | $ABCD$ dörtgeni aşağıdaki koşulları sağlar:
- $AB = 8$,
- $BC = 5$,
- $CD = 17$,
- $DA = 10$.
Köşegenlerin $AC$ ve $BD$ kesişimi $E$ olsun. Verilmiştir ki $BE : ED = 1 : 2$.
Dörtgen $ABCD$'nin alanını bulun. |
500 | Derecesi 1000 olan bir polinom $p(x)$, $n\le 1000$ olan tüm negatif olmayan tam sayılar $n$ için $p(n)=(n+1)2^n$ olacak şekilde verilmiştir. Verilsin ki
\[p(1001)=a\cdot 2^b-c,\]
burada $a$ tek tam sayıdır ve $0<c<2007$ olduğuna göre, $c-(a+b)$'yı bulun. |
2005 | $f_1(x) = x^2 - 1$ olsun ve her pozitif tamsayı $n \ge 2$ için $f_n(x) = f_{n-1}(f_1(x))$ olarak tanımlansın. Polinom $f_{2004}$'ün kaç tane farklı gerçek kökü vardır? |
30 | Tahtaya uzunlukları $1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{9}, \ldots, \sqrt{59}$ olan 30 doğru parçası çizilmiştir. Her adımda iki parça silinir ve silinen iki parçanın uzunlukları dik kenarlar olan bir dik üçgenin hipotenüsü uzunluğunda yeni bir parça çizilir. 29 adımdan sonra yalnızca bir parça kalır. Bu son parça ... |
18 | Bir masaya çok sayıda taş yerleştirilmiştir. Her hamlede, aşağıdaki kurallara uyarak masadan bazı taşlar alınabilir: ilk hamlede yalnızca bir taş alınabilir ve sonraki her hamlede, önceki hamlede alınan taş sayısının ya iki katı ya da aynı sayıda taş alınabilir. Masadan tam olarak $2012$ taş almak için gereken en az ha... |
1875 | Bir sinema salonunda yetişkin biletleri çocuk biletlerinden $4 daha pahalıydı. Bir öğleden sonra sinema, yetişkin biletlerinden $100 daha fazla çocuk bileti sattı ve toplam satış geliri $1475 oldu. Aynı biletler satılmış olsaydı fakat çocuk ve yetişkin biletlerinin fiyatları yer değiştirilmiş olsaydı, sinema kaç dolar ... |
64 | Bir partide, her misafir tam olarak on dört diğer misafirin arkadaşıdır (kendileri dahil olmadan). Her iki arkadaşın tam olarak altı başka (partiye katılan) ortak arkadaşı varken, arkadaş olmayan her çiftin yalnızca iki ortak arkadaşı vardır. Partide kaç misafir vardır? Lütfen cevabınızı bir ispatla açıklayın. |
8 | $AB \parallel CD$ olan dik yamuk $ABCD$'de, $B$ köşesindeki açı $75^\circ$ ölçüsündedir. $H$ noktası, $A$ noktasından $BC$ doğrusu üzerine indirilen dikmenin ayak noktasıdır. Eğer $BH = DC$ ve $AD + AH = 8$ ise $ABCD$'nin alanını bulun. |
13500 | $1000$'den küçük tüm pozitif tam sayıların onluk gösterimlerindeki rakamların toplamını bulun. |
1247 | Düzlemde denklemi $y = x^2$ olan parabola $P$ verilsin. Düzlemdeki bir çember $C$'nin $P$ ile dört ayrı noktada kesiştiğini varsayın. Bu noktalardan üçü $(-28, 784)$, $(-2, 4)$ ve $(13, 169)$ ise, $P$'nin odağından bu dört kesişim noktasına olan uzaklıkların toplamını bulun. |
256 | Onluk tabanda 5 basamaklı kaç N sayısı vardır ki basamaklarının hiçbiri 3'ten büyük olmasın ve $\gcd(N,15)=\gcd(N,20)=1$ eşitliğini sağlasın? (N'nin en yüksek basamağı sıfır olamaz.) |
1024 | $a = \sqrt[401]{4} - 1$ olarak tanımlansın ve her $n \ge 2$ için $b_n = \binom{n}{1} + \binom{n}{2} a + \ldots + \binom{n}{n} a^{n-1}$ olsun. $b_{2006} - b_{2005}$ nedir? |
18 | Dilhan'ın 3 tür nesnesi var: $A$, $B$ ve $C$. Ayrıca 6 fonksiyonu var: $f_{A,B}$, $f_{A,C}$, $f_{B,A}$, $f_{B,C}$, $f_{C,A}$ ve $f_{C,B}$. Her fonksiyon $f_{X,Y}$ türü $X$ olan bir nesneyi alır ve türü $Y$ olan bir nesne üretir. Dilhan, bu 6 fonksiyonu tekrar etmeden öyle bir sırada bileştirmek istiyor ki ortaya çıkan ... |
1112 | Varsayalım $x$ $1$ ile $4$ arasında rastgele bir reel sayı ve $y$ $1$ ile $9$ arasında rastgele bir reel sayıdır. Eğer \[ \left\lceil \log_2 x \right\rceil - \left\lfloor \log_3 y \right\rfloor \] ifadesinin beklenen değeri $m$ ve $n$ birbirine göre asal pozitif tamsayılar olacak şekilde $\frac{m}{n}$ olarak ifade edil... |
0 | $\alpha,\beta$'nin $2x = \tan x$ denkleminin farklı pozitif kökleri olduğunu varsayın. Aşağıdaki integrali hesaplayın:
$$\int_0^1 \sin(\alpha x) \sin(\beta x)\, dx$$ |
6 | Her rengin sayısı aynı olmak üzere \(k\) farklı renkte toplam 5040 top veriliyor. Toplar 2520 torbaya konuyor; her torbada farklı renkte iki top bulunuyor. Torbalar nasıl dağıtılmış olursa olsun, torbaları bir daire etrafında öyle sıralayabileceğimiz en küçük \(k\) değerini bulun ki hiçbir iki komşu torbada aynı renkte... |
4068434225296 | $2008 \times 2009$ dikdörtgeni birim karelere bölünmüştür. Kalan bölge $1 \times 2$ dominolarla kaplanabilecek şekilde bir çift kareyi kaç farklı yolla çıkarabilirsiniz? |
30 | Dörtgen $ABCD$ ne bir uçurtma ne de bir dikdörtgendir. Kenar uzunluklarının tam sayı olduğu, $AB = 6$, $BC = 7$ ve $\angle B = \angle D = 90^\circ$ olduğu bilinmektedir. $ABCD$'nin alanını bulun. |
96 | Belirli bir dikdörtgen prizmanın hacmi $216\text{ cm}^3$, toplam yüzey alanı $288\text{ cm}^2$ ve üç boyutu geometrik dizi oluşturuyor. Bu prizmanın tüm kenarlarının uzunluklarının cm cinsinden toplamını bulun. |
450 | Pozitif bir tamsayı $n$ için, $[0, n+1]$ aralığında $f_n(x)$ fonksiyonunu şöyle tanımlayalım:
\[ f_n(x) = \left( \sum_{i=1}^{n} |x-i| \right)^2 - \sum_{i=1}^{n} (x-i)^2. \]
$a_n$, $f_n(x)$'in minimum değeri olsun. Aşağıdaki değeri bulun:
\[ \sum_{n=1}^{11} (-1)^{n+1} a_n. \] |
90011 | $ABCD$ bir yamuk olsun, $AB \parallel CD$, $AB = 5$, $BC = 9$, $CD = 10$, ve $DA = 7$. $BC$ ve $DA$ doğruları $E$ noktasında kesişir. $M$ $CD$'nin orta noktası olsun ve $N$, $\triangle BMC$ ve $\triangle DMA$'nın çevrel çemberlerinin $M$'den farklı diğer kesişim noktası olsun. Eğer $EN^2 = \frac{a}{b}$ ise, $a$ ve $b$ ... |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.