solution stringlengths 1 23 | prompt_tr stringlengths 0 3.2k |
|---|---|
72 | $a, b, c$ gerçek sayıları olmak üzere $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 3$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ için $(a+5)^2 + (b-2)^2 + (c-9)^2$ ifadesinin en küçük değerini bulun. |
5898 | $u_n$ dizinin $n^{\text{th}}$ terimi olsun:
\[
1, \quad 2, \quad 5, \quad 6, \quad 9, \quad 12, \quad 13, \quad 16, \quad 19, \quad 22, \quad 23, \ldots,
\]
burada ilk terim, $3$'ün bir katından $1$ fazla olan en küçük pozitif tam sayıdır, sonraki iki terim ise her biri $3$'ün bir katından iki fazla olan sonraki iki en... |
1 | Pozitif tam sayılardan oluşan sıralı çiftler \((a, b)\) arasından aşağıdaki denklemi sağlayanların sayısını bulun:
\[a^2 + b^2 = ab(a+b).\] |
849 | f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu, tüm gerçek $x, y$ için $f(x + f(y)) = 2x + 4y + 2547$ eşitliğini sağlasın. $f(0)$'ı hesaplayın. |
7 | Jim'in iki adil 6 yüzlü zarı var: bir zarın yüzleri 1'den 6'ya etiketlenmiş, ikinci zarın yüzleri 3'ten 8'e etiketlenmiş. İki kez, rastgele bir zar seçiyor (her iki zar da eşit olasılıkla) ve onu atıyor. Ortaya çıkan iki atışın toplamının 9 olduğu bilindiğine göre, eğer \( \frac{m}{n} \) onun aynı zarı iki kez attığı o... |
69 | N, $p>\sqrt{n}$ ve $p<20$ olan bir asal $p$ tarafından bölünen tüm doğal sayılar $n$'in sayısını göstersin. N'nin değeri nedir? |
125 | Gerçel sayılar $x$, $y$, $z$ ve $t$ aşağıdaki denklemi sağlarlar:
\[ 2x^2 + 4xy + 3y^2 - 2xz - 2yz + z^2 + 1 = t + \sqrt{y + z - t} \]
$t$ için mümkün olan en büyük değerin 100 katını bulun. |
16 | f : \{1, 2, \ldots, 16\} \to \{1, 2, \ldots, 16\} fonksiyonlarından kaçı, tüm tamsayılar 1 \le x \le 16 için f(f(x)) - 4x ifadesinin 17'ye bölünebilir olması özelliğine sahiptir? |
67 | Daniel'in elindeki ip, alanı $98$ olan bir karenin çevresini oluşturuyordu. Daniel ipi iki parçaya kesti. Bunlardan biriyle eni ve boyu $2 : 3$ oranında olan bir dikdörtgenin çevresini oluşturdu. Diğer parçayla eni ve boyu $3 : 8$ oranında olan bir dikdörtgenin çevresini oluşturdu. Daniel'in oluşturduğu iki dikdörtgeni... |
3 | Aşağıdaki şekilde, $AB = 1$. Merkezi $C$ olan çemberin yarıçapı $\frac{p}{q}$ şeklinde ifade edilebilir. $p+q$'yi bulun. |
5 | $26!^{26} + 27!^{27}$ ifadesinin 29 ile bölümünden kalan nedir? |
52 | Kenar uzunlukları \( a - 1 \), \( a \) ve \( a + 1 \) olan bir üçgenin alanı tam sayı olan, 14'ten büyük en küçük tam sayı \( a \) nedir? |
5 | Kenar uzunluğu $1$ olan bir eşkenar dörtgenin içine yarıçapı $\frac{1}{3}$ olan bir çember çizilmiştir. Eğer eşkenar dörtgenin alanı, aralarında asal, pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için $\frac{a}{b}$ şeklinde ifade edilebiliyorsa, $a+b$ değerini bulun. |
987654301 | Aynı rakamı tekrar etmeyen ve 6 ile aralarında asal olan en büyük tam sayı $n$ kaçtır? İki sayının aralarında asal olduğu, $1$ dışında ortak bölenlerinin olmadığı anlamına gelir. |
720 | $\triangle ABC$'de $AB=36$, $BC=48$ ve $CA=60$. $\triangle ABC$'nin iç çemberi merkezi $I$ olup $AB$, $AC$ ve $BC$'ye sırasıyla $M$, $N$ ve $D$ noktalarında teğettir. $AI$ ışını $BC$ ile $K$ noktasında kesişir. $\triangle MAN$ ve $\triangle KID$'in çevrel çemberlerinin radikal ekseni $AB$ ve $AC$ doğrularını sırasıyla ... |
8 | ABCD bir paralelkenar olsun. $E$, $AB$'nin orta noktası ve $F$, $CD$'nin orta noktası olsun. Noktalar $P$ ve $Q$, sırasıyla $EF$ ve $CF$ doğru parçaları üzerinde olup, $A$, $P$ ve $Q$ aynı doğru üzerindedir. Verildi ki $EP = 5$, $PF = 3$ ve $QF = 12$. $CQ$'yu bulun. |
16 | Köşeleri sırayla $M$, $M$, $A$, $T$, $H$, $S$ olarak etiketlenmiş bir altıgen düşünün. Clayton, $M$ ile $A$'ya komşu olan $M$'de başlar ve o harfi yazar. Her saniye, Clayton komşu bir köşeye, her birinin olasılığı $\frac{1}{2}$ olacak şekilde, hareket eder ve karşılık gelen harfi yazar. Clayton, yazdığı dizinin $M, A, ... |
109 | O, A, B ve C uzayda öyle noktalar olsun ki $\angle AOB = 60^{\circ}$, $\angle BOC = 90^{\circ}$ ve $\angle COA = 120^{\circ}$. $\theta$, AOB ve AOC düzlemleri arasındaki akut açı olsun. $\cos^2 \theta = \frac{m}{n}$ olduğu ve $m,n$ aralarında asal pozitif tam sayılar olduğuna göre, $100m + n$ değerini hesaplayın. |
30 | Biçimi $1a1$ olan sayıları düşünün; burada $a$ bir rakamdır. Toplamları da palindrom olan kaç tane böyle sayı çifti vardır?
Not: Bir palindrom, soldan sağa ve sağdan sola aynı okunan sayıdır. Örnekler: $353$, $91719$. |
49 | $n$'yi, rakamları toplamı $5$'e bölünebilen ve $(n+1)$'in rakamları toplamı da $5$'e bölünebilen en küçük tamsayı olarak alalım. $n$'nin ilk iki rakamı aynı sırayla nelerdir? |
76 | 4'e bölünebilen ve tüm tam kuvvetleri $N$ ile biten en büyük iki basamaklı $N$ sayısını bulun. |
7 | Aidan, adil altı yüzlü iki zar atar. İki zarın üstündeki sayıların çarpımının asal olma olasılığına $n$ diyelim. $n$, $a$ ve $b$ birbirleriyle aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabiliyorsa, $a + b$'yi bulun. |
11 | Öyle bir sabit $k$ olsun ki $$x - |x^2 - 4x + 3| = k.$$ denklemini tam olarak üç gerçek $x$ değeri sağlasın. $k$'nın tüm olası değerlerinin toplamı $\frac{m}{n}$ biçiminde ifade edilebilir; burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tamsayılardır. $m+n$ değerini bulun. |
10 | $x, y \in \mathbb{R}$ olacak şekilde $x > 2, y > 3$. \( \frac{(x+y)^2}{\sqrt{x^2-4} + \sqrt{y^2-9}} \) ifadesinin minimum değerini bulun. |
67 | $p, q, r$ gerçek sayılardır ve aşağıdaki denklemleri sağlarlar:
\[ \frac{(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr} = 24 \]
\[ \frac{(p-2q)(q-2r)(r-2p)}{pqr} = 10. \]
Verilsin ki \( \frac{p}{q} + \frac{q}{r} + \frac{r}{p} \) ifadesi \( \frac{m}{n} \) şeklinde yazılabilmektedir; burada \( m, n \) aralarında asal pozitif tamsayılardır.... |
126 | Pozitif bir tamsayı $n$ olsun. Standart onluk (base 10) gösterimde $n$'in en sol basamağı sağa (birler basamağına) kaydırıldığında sonuç $\frac{n}{3}$ olur. $n$'in basamaklar toplamının alabileceği en küçük değeri bulun. |
25 | Bu denklemleri sağlayan iki gerçek sayı $a$ ve $b$ verilsin:
\[
a^4 + a^2b^2 + b^4 = 900,
\]
\[
a^2 + ab + b^2 = 45.
\]
$2ab$ değerini bulun. |
173 | Denklemi sağlayan kaç tane tam sayı çözüm vardır?
$$x + 4y - 343\sqrt{x} - 686\sqrt{y} + 4\sqrt{xy} + 2022 = 0$$ |
103 | İki negatif olmayan tam sayı $m > n$ verilsin; diyelim ki $m$ $n$ ile biter eğer $m$'nin onluk gösteriminde bazı basamakları (soldan sağa) silerek $n$ elde edilebiliyorsa. Örneğin, 329 29 ile biter ve ayrıca 9 ile de biter.
Basamaklarının çarpımı ile biten kaç tane üç basamaklı sayı vardır? |
833 | Pozitif tamsayılardan oluşan kaç \((a, b, c)\) üçlüsü \(a > b > c > 0\) ve \(a + b + c = 103\) şartlarını sağlar? |
96 | Üçgen $ABC$'de $AB=23$, $AC=27$, ve $BC=20$ iken, $D$ $A$ yüksekliğinin ayağı olsun. Odak noktası $A$ olan ve $B$ ile $C$'den geçen parabol $\mathcal{P}$ olsun; $T$, $AD$'nin $\mathcal{P}$'nin direktrisi ile kesişim noktası olsun. $DT^2 - DA^2$ değerini bulun.
(Hatırlatma: Bir parabol $\mathcal{P}$, bir noktadan, $\ma... |
113 | $ABCD$ bir paralelkenar olsun; $AB = 35$ ve $BC = 28$. $BD \perp BC$ olduğunu varsayın. $\ell_1$, $\angle BAD$'ın açıortusu boyunca $AC$'nin yansıması olsun ve $\ell_2$, $B$'den geçen ve $CD$'ye dik olan doğru olsun. $\ell_1$ ve $\ell_2$ $P$ noktasında kesişsin. Eğer $PD$ en sade hâliyle $\frac{m}{n}$ şeklinde ifade ed... |
74 | Rakamlarının çarpımı onların toplamından $17$ fazla olan en büyük iki basamaklı tamsayı hangisidir? |
7 | Birim küp $ABCDEFGH$'de (yüzleri $ABCD$, $EFGH$ olan ve köşeleri öyle etiketlenmiştir ki $\overline{AE}$, $\overline{BF}$, $\overline{CG}$, $\overline{DH}$ küpün kenarlarıdır), $L$ $GH$'nin orta noktasıdır. $\triangle CAL$'ın alanı $\frac{m}{n}$ biçiminde yazılabilir; burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayıl... |
843 | Sekiz kırmızı kutu ve sekiz mavi kutu, her biri dörder kutudan oluşan dört yığına rastgele yerleştirilir. Tam olarak bir yığının iki kırmızı kutu ve iki mavi kutudan oluşma olasılığı $\frac{m}{n}$ olup, burada $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılardır. $m + n$ değerini bulun. |
72 | **FLUFFY** kelimesinde bulunan harflerin yeniden düzenlenmesiyle kaç farklı dört harfli düzenleme oluşturulabilir? Örneğin, FLYF ve ULFY iki olası düzenlemedir. |
24 | Bir duvarcıda boyutları $2 \times 5 \times 8$ olan tuğlalar ve boyutları $2 \times 3 \times 7$ olan diğer tuğlalar vardır. Ayrıca boyutları $10 \times 11 \times 14$ olan bir kutu vardır. Tuğlalar ve kutu tümü dikdörtgen prizmalardır. Duvarcı, kutunun tüm hacmini dolduracak ve hiçbir tuğla dışarı taşmayacak şekilde tuğl... |
7986 | $\{a_n\}$ tam sayılardan oluşan bir dizi olsun; $a_1=2016$ ve
\[\frac{a_{n-1}+a_n}{2}=n^2-n+1\]
tüm $n\geq 1$ için. $a_{100}$'ü hesaplayın. |
21 | Verilsin $a_1=1$, $a_2=2^{a_1}$, $a_3=3^{a_2}$, $a_4=4^{a_3}$, \dots, $a_9 = 9^{a_8}$. $a_9$'un son iki basamağını bulun. |
0 | İkinci dereceden üç terimli polinom $f(x)$ öyle ki polinom $f(x)^5 - f(x)$ tam olarak üç gerçek köke sahiptir. Bu üç terimli polinomun grafiğinin tepe noktasının ordinatını bulun. |
60 | Aşağıdaki sayı, $n$'in bölenlerinin çarpımıdır:
$$46,656,000,000$$
$n$ kaçtır? |
17 | Doğal sayılar kümesinden olmak üzere $\{p_n\}_{n=0}^\infty\subset\mathbb{N}$ ve $\{q_n\}_{n=0}^\infty\subset\mathbb{N}$ dizilerini şu şekilde tanımlayın:
- $p_0 = q_0 = 1$;
- Tüm $n \in \mathbb{N}$ için, $q_n$, $\gcd(p_n, q_n) = 1$ olan bir doğal sayı $p_n$'in var olduğu ve
\[
\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} < \frac{p_n}{q_n... |
31 | $N$, $f: \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \rightarrow \{1,2,3,4,5\}$ olan ve $1 \leq x \leq 5$ için $f(f(x)) = x$ özelliğini sağlayan fonksiyonların sayısı olsun. $N$'nin pozitif tamsayılar $a$ ve $b$ için $5^a \cdot b$ şeklinde yazılabildiği ve $b$'nin $5$ ile bölünmediği verilmişse, $a + b$'yi bulun. |
39 | $a$, $b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $a<b<c$ ve $c=8000$ koşullarını sağlayan kaç tane 3 terimli geometrik dizi $a$, $b$, $c$ vardır? |
7 | Verilen bir çember üzerine, oluşturdukları tüm üçgenlerde hiçbir açısı $25^\circ$'den küçük olmayan en fazla kaç nokta yerleştirilebilir? |
1 | Onluk gösterimde 1998 basamağı olan ve bu basamakların tümü 1 olan pozitif tamsayı $N$ olsun; yani, \[ N = 1111\cdots 11. \] $\sqrt{N}$'nin ondalık kısmının bininci basamağını bulun. |
203 | $BCDE$ bir yamuktur; $BE \parallel CD$, $BE = 20$, $BC = 2\sqrt{34}$, $CD = 8$, $DE = 2\sqrt{10}$ olsun. $E$'den $BD$'ye paralel bir doğru ve $B$'den $BE$'ye dik bir doğru çizin; bu iki doğrunun kesişimi $A$ olsun. $M$, köşegenler $BD$ ve $CE$'nin kesişimi, $X$ ise $AM$ ile $BE$'nin kesişimi olsun. Eğer $BX$ $\frac{a}{... |
21 | $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n + 1}{n^2(n + 2)^2}$ toplamını hesaplayın.
Cevabınızı en sade biçimde $a$ ve $b$ aralarında asal pozitif tamsayılar olmak üzere $\frac{a}{b}$ şeklinde ifade edin. $a + b$'yi bulun. |
9 | $M$, birbirinden farklı tam sayı köklerine sahip, katsayıları tamsayı olan ve katsayılarının tümünün mutlak değeri 2007'den küçük olan tüm polinomlar $P(x)$'lerden oluşan küme olsun. $M$ kümesindeki polinomların alabileceği en yüksek derece nedir? |
1987 | Dört farklı rakama sahip ve \( N \leq 2012 \) koşulunu sağlayan en büyük tam sayıyı bulun. |
18 | HOMC'nin bir yarışma salonunda $m \times n$ öğrenci vardır; burada $m, n$ ikiden büyük tam sayılardır. Koltukları $m$ sıra ve $n$ sütun halinde dizilmiştir. Sınav başlamadan önce her öğrenci aynı sıradaki veya aynı sütundaki komşu öğrencileriyle tokalaşır. Toplamda $27$ tokalaşma olduğu bilinmektedir. Salondaki öğrenci... |
47 | A ve B noktaları, merkezi C olan bir çemberin çapının uç noktalarıdır. D ve E noktaları aynı çap üzerinde yer alır ve C, \overline{DE} parçasını ortalar. F, çemberin içinde rastgele seçilmiş bir nokta olsun. \triangle DEF'in çevresinin çemberin çapının uzunluğundan daha az olma olasılığı \frac{17}{128}’dir. DE ile AB o... |
20 | Occidentalia'da, her biri $15$ yeni çalışan işe almak isteyen $20$ farklı şirket vardır. $300$ başvurandan oluşan bir grup her şirketle mülakata girer. Her şirket her adayı o şirkette çalışmaya uygun veya uygun değil olarak değerlendirir; her şirket tam olarak $p$ uygun aday bulur ve $p > 15$. Ayrıca her aday en az bir... |
21 | Her gerçek sayı $x$ için $\lfloor x \rfloor$ sayısının tam kısmını; $\{ x \}$ ise $x$'in kesirli kısmını gösterir ($\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$). Let $A$ denote the set of all real numbers $x$ satisfying:
\[\{x\} = \frac{x + \lfloor x \rfloor + \lfloor x + \frac{1}{2} \rfloor}{20}\]
Eğer $S$ A'daki tüm sayıların... |
21 | Kenar uzunluğu $1$ olan düzenli bir altıgen içine yazılabilen en büyük karenin alanı $a - b\sqrt{c}$ şeklinde ifade edilebilir; burada $c$ herhangi bir asalın karesiyle bölünmez. $a + b + c$ değerini bulun. |
490 | Aynı, sıfır olmayan ortak orana sahip iki geometrik diziyi düşünün: $16$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ ve $56$, $b_1$, $b_2$, $\ldots$. $a_{2023} = b_{2020}$ verildiğine göre, $b_6 - a_6$'yı hesaplayın. |
110 | Bu denklemin kaç tane pozitif tam sayı çözümü vardır:
\[ \left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{11} \right\rfloor + 1 \]
burada \( \lfloor x \rfloor \) ifadesi \( x \)'in tam sayı kısmını gösterir, örneğin, \( \lfloor 2 \rfloor = 2 \), \( \lfloor \pi \rfloor = 3 \), \( \lfloor \sqrt{2} \rfloor ... |
1234 | Farklı, sıfır olmayan rakamlardan oluşan dört basamaklı bir pozitif tam sayı var mı, öyle ki şu özelliğe sahiptir: aynı sayıyı ters sırada yazıp topladığımızda elde edilen sayı $101$'e bölünür? |
157 | Düzlemde $B = (20, 14)$ ve $C = (18, 0)$ iki nokta olsun. $B$'den geçen her doğru $\ell$ için, $C$'den $\ell$'ye indirilen dikmenin ayağını kırmızıya boyarız. Kırmızı noktalar sınırlı bir bölgeyi çevreler; bu bölgenin alanı $\mathcal{A}$ olsun. $\lfloor \mathcal{A} \rfloor$'u bulunuz; bu, $\mathcal{A}$'yı aşmayan en bü... |
20 | Bir hayvan buluşmasında $5$ köpek, $4$ kedi ve $7$ süt kasesi vardır. Köpekler ve kediler birbirinden ayırt edilebilir, fakat tüm süt kaseleri özdeştir. Her köpek ve her kedi, ya karşı türden bir bireyle ya da bir süt kasesiyle eşleştirilecek şekilde ve tüm süt kaselerinin kullanılmış olması koşuluyla kaç farklı eşleşt... |
-125 | \( f(x) \) monik bir kübik polinom olsun, \( f(0) = -64 \) ve \( f(x) \)'in tüm kökleri negatif olmayan gerçek sayılardır. \( f(-1) \)'in alabileceği en büyük değer nedir? |
-3 | Bu sorunun cevabının dört katından dokuz fazla olan sayı nedir? |
210 | Siz, yaptığınız Al adındaki bir Yapay Zekâ robotuyla yarışıyorsunuz. Yarış boyunca sabit olarak saniyede $10$ m hızla koşabilirsiniz. Bu arada Al sabit olarak saniyede $1$ m hızla başlar. Bundan sonra, Al son hız değişikliğinden tam $1$ saniye geçtiğinde, Al'ın hızı anında $1$ m/s artar; öyle ki Al yarışın $k$'inci san... |
693 | Bırakın $a_n$, $(n+1)^3$'ün $n^3$ ile bölümünden kalan olsun; özellikle $a_1=0$. $a_1+a_2+\dots+a_{2013}$ toplamının 1000 ile bölümünden kalanını hesaplayın. |
40200 | Harflerin $\{S, C, R, A, M, B, L, E\}$ permütasyonları kaç farklı şekilde yapılabilir, böyle ki permütasyonda $LAME$ alt dizesi bulunmasın? |
2015 | \( f \) tanım kümesi negatif olmayan tam sayılardan oluşan ve değer kümesi negatif olmayan tam sayılar kümesine dahil olan bir fonksiyondur. \( f \), her negatif olmayan tam sayı \( n \) için \( f(f(n)) + f(n) = 2n + 3 \) koşulunu sağlar. \( f(2014) \) değerini bulun. |
8 | Tüm pozitif tam sayılar n için, σ(n) ile n'in pozitif bölenlerinin toplamını ve ν_p(n) ile p'nin n'i bölen en büyük kuvvetini gösterelim. N=6^{1999} olmak üzere, \[ \sum_{d|N}\nu_3(d!)(-1)^{\sigma(d)}, \] ifadesini 5^k ile bölen en büyük pozitif tam sayı k'yı bulun. |
9 | $x_n = 2^{2^n} + 1$ olmak üzere, $m$, $x_2, x_3, \ldots, x_{1971}$ sayılarının en küçük ortak katı olsun. $m$'nin son basamağını bulun. |
17929 | Juan $2018$ sayıdan oluşan bir liste yapar. İlk sayı $1$'dir. Her bir sonraki sayı, bir önceki sayıya $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,$ veya $9$ sayılarından birini ekleyerek elde edilir. Listedeki hiçbir sayı $0$ ile bitmediğine göre, listedeki son sayının alabileceği en büyük değer nedir? |
171 | Aşağıdaki özellikleri sağlayan üç basamaklı sayıyı bulun:
- Yüzler basamağı ile birler basamağı aynıdır, ancak onlar basamağı farklıdır.
- Sayı $9$'a tam bölünür.
- Sayı $5$'e bölündüğünde kalan $1$'dir. |
14 | Aşağıdaki ızgarada her satırda altı nokta olacak şekilde beş satır vardır. Yatay veya dikey olarak komşu noktalar 1 birim uzaklıktadır. Gösterilen beşgenin alanını bulun.
\[\text{[asy]}\]
\text{size}(150);\text{defaultpen}(\text{linewidth}(0.9));
\text{for}(\text{int } i=0; i \leq 5; ++i){
\text{for}(\text{int } j=0... |
88 | Elemanları $\{1, -1\}$ olan $(\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_8)$ biçimindeki kaç adet $8$-tüple vardır ki $\epsilon_1 + 2\epsilon_2 + 3\epsilon_3 + \cdots + 8\epsilon_8$ ifadesi $3$'ün katı olsun? |
25 | Düzenli altıgen $ABCDEF$'de, $AD$ köşegeninde $\angle AEX = 65^\circ$ olacak şekilde $X$ noktası işaretlenmiştir. $\angle XCD$ açısının ölçüsü kaç derecedir? |
89 | İki araba, aynı noktadan başlayarak $n$ mil uzunluğunda bir dairesel parkurda ilerliyor. Bir araba parkur boyunca herhangi bir yönde $25$ mil gidiyor. Diğer araba parkur boyunca herhangi bir yönde $3$ mil gidiyor. Sonunda iki araba parkur üzerinde bir kez daha aynı noktada bulunur. Eğer $n$ pozitif bir tamsayı ise, müm... |
292 | $S$, $1$ ve $n$ de dahil olmak üzere $n$'in tüm bölenlerinin toplamı $120$ olan tüm pozitif tamsayıların kümesi olsun. $S$'deki tüm sayıların toplamını hesaplayın. |
12 | Akbar ile Birbal'ın birlikte $n$ adet bilyesi vardır, burada $n > 0$. Akbar Birbal'e der ki, "Sana bazı bilyeler verirsem senin sahip olacağın bilye sayısı benim sahip olacağımın iki katı olur." Birbal Akbar'a der ki, "Sana bazı bilyeler verirsem senin sahip olacağın bilye sayısı benim sahip olacağımın üç katı olur." Y... |
89 | Her pozitif tam sayı $n \ge 2$ için $k(n)$'i, $(n!)^m$'nin $2016!$'ı böldüğü en büyük tam sayı $m$ olarak tanımlayın. $n + k(n)$'in alabileceği en küçük değer nedir? |
217 | Bir sayı 3 farklı rakamdan oluşmaktadır. Bu rakamlarla oluşturulan diğer 5 sayının toplamı 2003'tür. Sayıyı bulun. |
28812 | Rthea, uzak bir gezegen, sabit yönlü ve birbirinden ayırt edilebilen iki baz ipliğine sahip canlılara ev sahipliği yapar. Her baz \(H, M, N, T\) harflerinden biridir ve her iplik beş bazdan oluşan bir dizidir; bu da beş çift oluşturur. Bazların kimyasal özellikleri nedeniyle her çift farklı bazlardan oluşmak zorundadır... |
3 | Aşağıdaki denklemlerin x, y_1, y_2, \ldots, y_n için tamsayı çözümleri olacak şekilde en büyük pozitif tamsayı n'i bulun:
\[
(x+1)^2 + y_1^2 = (x+2)^2 + y_2^2 = \ldots = (x+n)^2 + y_n^2.
\] |
0 | Hangi negatif olmayan tam sayılar $k$ için, $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ türünde bir $f$ fonksiyonu vardır ki
\[
f^n(n) = n + k
\]
eşitliği tüm $n \in \mathbb{N}$ için sağlansın? |
32 | $x \ge 3$ olan ve $201020112012_x$ (taban $x$ sayısı olarak yorumlandığında) $x-1$ ile tam bölünen tüm tamsayı $x$'lerin toplamını bulun. |
48 | $1 \leq a, b, c \leq 5$ koşulunu sağlayan pozitif tam sayı üçlüleri $(a, b, c)$'den kaç tanesinde $(a+b)(a+c)(b+c)$ ifadesi $4$'e bölünmez? |
5 | m, n, a ve k pozitif tam sayılar olsun; k > 1 ve denklem \(5^m + 63n + 49 = a^k\) sağlansın. k'nin en küçük değerini bulun. |
4025 | Fonksiyon $f(x) = ax^2 + bx + c$ aşağıdaki koşulları sağlar:
1. $f(\sqrt{2}) = 3$
2. $|f(x)| \le 1$ for all $x \in [-1, 1]$.
$f(\sqrt{2013})$ değerini bulun. |
2014 | Tam sayılar $1, 2, \ldots, n$ uzun bir kağıt şeride sırayla yazılır. Şerit daha sonra beş parçaya kesilir; her parça bazı (boş olmayan) ardışık tam sayılardan oluşur. Beş şeridin üzerindeki sayıların ortalamaları $1234$, $345$, $128$, $19$ ve $9.5$ şeklindedir (herhangi bir sırada). $n$'i bulun. |
4 | Merkezi $ (199, 0) $ ve yarıçapı $ 199 $ olan çember üzerindeki tam koordinatlı noktaların sayısı ________. |
160 | $x, y,$ ve $z$ negatif olmayan gerçek sayılar olsun ve $x+y+z=120$. Üç sayı olan $2x+y, 2y+z,$ ve $2z+x$'in medyanının alabileceği en büyük değeri bulun. |
33 | İlk terimi $a$ ve ikinci terimi $b$ olan geometrik dizide üçüncü terim bir tamsayı olacak şekilde, $1 \le a, b \le 10$ koşulunu sağlayan pozitif tamsayı çiftleri $(a, b)$'den kaç tane vardır? |
5300 | $\triangle AEF$ üçgeni olsun, $EF = 20$ ve $AE = AF = 21$. $B$ ve $D$ sırasıyla $AE$ ve $AF$ parçaları üzerinde seçilmiş noktalar olsun öyle ki $BD \parallel EF$. Nokta $C$, $\triangle AEF$ iç bölgesinde seçilsin ve $ABCD$ dörtgeni çevrel olsun. Eğer $BC = 3$ ve $CD = 4$ ise, alanların oranı $\frac{[ABCD]}{[AEF]}$ birb... |
8 | $125$ sayısı, $1$'den büyük, birbirinden farklı ve ikişer aralarında asal birkaç sayının toplamı olarak yazılmıştır. Bu toplamda en fazla kaç terim olabilir? |
2033 | Başlangıçta karatahta üzerine bir doğal sayı $n$ yazılıdır. Daha sonra, her dakika Neymar $n$'nin $d > 1$ bir bölenini seçer, $n$'yi siler ve $n + d$ yazar. Eğer tahtadaki ilk sayı $2022$ ise, Neymar'ın asla yazamayacağı en büyük bileşik sayı hangisidir? |
0 | Pozitif bir tamsayı $k$ 2014-belirsiz sayılır eğer kuadratikler $x^2 + kx + 2014$ ve $x^2 + kx - 2014$ her ikisi de iki tam sayı köküne sahipse. 2014-belirsiz olan tamsayıların sayısını bulun. |
4489 | Jay'e $99$ yığın blok verilir; öyle ki $i$'inci yığında $i^2$ blok vardır. Jay, her yığından ya $0$ blok ya da tam olarak $N$ blok almasına izin verecek şekilde pozitif bir tamsayı $N$ seçmelidir. Jay'in $99$ yığından alabileceği blok sayısını maksimuma çıkarmak için hangi $N$'i seçmesi gerektiğini hesaplayın. |
9091 | $10^{2021}$ sayısı $10101$ ile bölündüğünde kalan nedir? |
455 | Uzunluğu 27 olan ``OMOMO\cdots OMO'' dizisinden 24 harfin silinme yollarının sayısını, geride kalan üç harfin sırayla O, M ve O olacağı şekilde hesaplayın. Silme işlemlerinin sırası önemli değildir. |
1170 | x ve y pozitif gerçek sayılar olmak üzere $\frac{5}{x} = \frac{y}{13} = \frac{x}{y}$ olduğuna göre $x^3 + y^3$ değerini bulun. |
0 | 16 satranç oyuncusu arasında, her iki oyuncunun birbirleriyle tam olarak bir kez oynadığı bir turnuva düzenlendi. Puanlama sistemi şu şekildeydi: bir galibiyet için 1 puan, bir beraberlik için 0.5 puan ve bir mağlubiyet için 0 puan. Tam olarak 15 satranç oyuncusunun birinciliği paylaştığı tespit edildi. On altıncı satr... |
25 | $a$, $b$ ve $c$ gerçek sayılar olsun; $0 \le a, b, c \le 5$ ve $2a + b + c = 10$ sağlansın. Tüm olası $a$, $b$ ve $c$ değerleri göz önüne alındığında $a + 2b + 3c$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz. |
3454 | Aşağıdaki koşulları sağlayan tüm 4 basamaklı $\overline{abcd}$ sayılarını bulun:
1. Sayı $11$'in katıdır.
2. İki basamaklı $\overline{ac}$ sayısı $7$'nin katıdır.
3. Basamakların toplamı $a + b + c + d$, $d^2$'ye eşittir. |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.