en string | translation string | target_lang string | domain string | complexity string |
|---|---|---|---|---|
You observe that the axes (plural of the word ‘axis’) divide the plane into four parts. | تلاحظ أن المحاور (جمع كلمة 'محور') تقسم المستوى إلى أربعة أجزاء. | ar | technical | moderate |
These four parts are called the quadrants (one fourth part), numbered I, II, III and IV anticlockwise from OX. | تسمى هذه الأجزاء الأربعة الأرباع (جزء واحد من أربعة أجزاء)، مرقمة I و II و III و IV عكس اتجاه عقارب الساعة من OX. | ar | technical | moderate |
So, the plane consists of the axes and these quadrants. | إذن، يتكون المستوى من المحاور وهذه الأرباع. | ar | technical | simple |
We call the plane, the Cartesian plane, or the coordinate plane, or the xy-plane. | نسمي المستوى، المستوى الديكارتي، أو المستوى الإحداثي، أو المستوى xy. | ar | technical | simple |
The axes are called the coordinate axes. | تسمى المحاور محاور الإحداثيات. | ar | technical | simple |
Now, let us see why this system is so basic to mathematics, and how it is useful. | الآن، دعنا نرى لماذا هذا النظام أساسي جدًا للرياضيات، وكيف يكون مفيدًا. | ar | technical | moderate |
Consider the following diagram where the axes are drawn on graph paper. | ضع في اعتبارك الرسم التخطيطي التالي حيث يتم رسم المحاور على ورق الرسم البياني. | ar | technical | moderate |
Let us see the distances of the points P and Q from the axes. | دعنا نرى مسافات النقاط P و Q من المحاور. | ar | technical | simple |
For this, we draw perpendiculars PM on the x - axis and PN on the y - axis. | لهذا، نرسم أعمدة PM على المحور السيني و PN على المحور الصادي. | ar | technical | moderate |
Similarly, we draw perpendiculars QR and QS as shown in Fig. 3.10. | وبالمثل، نرسم أعمدة QR و QS كما هو موضح في الشكل 3.10. | ar | technical | moderate |
You find that (i)The perpendicular distance of the point P from the y - axis measured along the positive direction of the x - axis is PN = OM = 4 units. | تجد أن (i) المسافة العمودية للنقطة P من المحور الصادي مقاسة على طول الاتجاه الموجب للمحور السيني هي PN = OM = 4 وحدات. | ar | technical | complex |
The x - coordinate of a point is its perpendicular distance from the y - axis measured along the x -axis. | الإحداثي السيني لنقطة ما هو المسافة العمودية لها من المحور الصادي مقاسة على طول المحور السيني. | ar | technical | moderate |
The y - coordinate is also called the ordinate. | يسمى الإحداثي الصادي أيضًا الترتيب. | ar | technical | simple |
In stating the coordinates of a point in the coordinate plane, the x - coordinate comes first, and then the y - coordinate. | عند تحديد إحداثيات نقطة في المستوى الإحداثي، يأتي الإحداثي السيني أولاً، ثم الإحداثي الصادي. | ar | technical | moderate |
Hence, the coordinates of P are (4, 3) and the coordinates of Q are (– 6, – 2). | وبالتالي، فإن إحداثيات P هي (4، 3) وإحداثيات Q هي (– 6، – 2). | ar | technical | simple |
Note that the coordinates describe a point in the plane uniquely. | لاحظ أن الإحداثيات تصف نقطة في المستوى بشكل فريد. | ar | technical | simple |
In ancient India, the Sulbasutras were manuals of geometrical constructions. | في الهند القديمة، كانت السولباسوترا عبارة عن كتيبات للإنشاءات الهندسية. | ar | technical | moderate |
The cities were highly developed and very well planned. | كانت المدن متطورة للغاية ومخططة بشكل جيد للغاية. | ar | general | simple |
For example, the roads were parallel to each other and there was an underground drainage system. | على سبيل المثال، كانت الطرق متوازية مع بعضها البعض وكان هناك نظام صرف صحي تحت الأرض. | ar | technical | moderate |
The houses had many rooms of different types. | كانت المنازل تحتوي على العديد من الغرف من أنواع مختلفة. | ar | general | simple |
This shows that the town dwellers were skilled in mensuration and practical arithmetic. | هذا يدل على أن سكان المدينة كانوا ماهرين في القياس والحساب العملي. | ar | technical | moderate |
The bricks used for constructions were kiln fired and the ratio length : breadth : thickness, of the bricks was found to be 4 : 2 : 1. | كانت الطوب المستخدمة في الإنشاءات مشوية في الأفران، وتبين أن نسبة الطول: العرض: السُمك للطوب هي 4: 2: 1. | ar | technical | complex |
In ancient India, the Sulbasutras (800 BCE to 500 BCE) were the manuals of geometrical constructions. | في الهند القديمة، كانت السولباسوترا (من 800 قبل الميلاد إلى 500 قبل الميلاد) هي كتيبات الإنشاءات الهندسية. | ar | technical | moderate |
The geometry of the Vedic period originated with the construction of altars and fireplaces for performing Vedic rites. | نشأت هندسة الفترة الفيدية مع بناء المذابح والمواقد لأداء الطقوس الفيدية. | ar | technical | moderate |
Square and circular altars were used for household rituals, while altars whose shapes were combinations of rectangles, triangles and trapeziums were required for public worship. | استُخدمت المذابح المربعة والدائرية في الطقوس المنزلية، في حين كانت المذابح التي كانت أشكالها عبارة عن مجموعات من المستطيلات والمثلثات وأشباه المنحرفات مطلوبة للعبادة العامة. | ar | technical | complex |
The sriyantra consists of nine interwoven isosceles triangles. | يتكون سريانترا من تسعة مثلثات متساوية الساقين متشابكة. | ar | technical | moderate |
These triangles are arranged in such a way that they produce 43 subsidiary triangles. | يتم ترتيب هذه المثلثات بطريقة تنتج 43 مثلثًا فرعيًا. | ar | technical | moderate |
Though accurate geometric methods were used for the constructions of altars, the principles behind them were not discussed. | على الرغم من استخدام طرق هندسية دقيقة لبناء المذابح، إلا أنه لم تتم مناقشة المبادئ الكامنة وراءها. | ar | technical | complex |
What is interesting about these developments of geometry in the ancient world is that they were passed on from one generation to the next, either orally or through palm leaf messages, or by other ways. | الأمر المثير للاهتمام في هذه التطورات في الهندسة في العالم القديم هو أنها انتقلت من جيل إلى جيل، إما شفهيًا أو من خلال رسائل أوراق النخيل، أو بطرق أخرى. | ar | general | complex |
Also, we find that in some civilisations like Babylonia, geometry remained a very practical oriented discipline, as was the case in India and Rome. | نجد أيضًا أنه في بعض الحضارات مثل بابل، ظلت الهندسة تخصصًا عمليًا للغاية، كما كان الحال في الهند وروما. | ar | general | moderate |
The geometry developed by Egyptians mainly consisted of the statements of results. | تألفت الهندسة التي طورها المصريون بشكل أساسي من بيانات النتائج. | ar | technical | moderate |
There were no general rules of the procedure. | لم تكن هناك قواعد عامة للإجراء. | ar | technical | simple |
In fact, Babylonians and Egyptians used geometry mostly for practical purposes and did very little to develop it as a systematic science. | في الواقع، استخدم البابليون والمصريون الهندسة في الغالب لأغراض عملية وفعلوا القليل جدًا لتطويرها كعلم منهجي. | ar | general | moderate |
But in civilisations like Greece, the emphasis was on the reasoning behind why certain constructions work. | لكن في حضارات مثل اليونان، كان التركيز على التفكير وراء سبب عمل بعض الإنشاءات. | ar | general | moderate |
The Greeks were interested in establishing the truth of the statements they discovered using deductive reasoning. | كان الإغريق مهتمين بتأسيس حقيقة البيانات التي اكتشفوها باستخدام التفكير الاستنتاجي. | ar | general | moderate |
A Greek mathematician, Thales is credited with giving the first known proof. | يُنسب إلى عالم الرياضيات اليوناني، طاليس، الفضل في تقديم أول دليل معروف. | ar | technical | moderate |
Therefore, 10 x =3 + x Solving for x, we get 9x =3, i.e., x = 1 3 | لذلك، 10 س = 3 + س بحل المعادلة بالنسبة إلى س، نحصل على 9س = 3، أي س = 1 3 | ar | technical | moderate |
Example 8 : Show that 1.272727... = 1 27. can be expressed in the form p q , where p and q are integers and q ≠ 0. | المثال 8: أظهر أن 1.272727... = 1 27. يمكن التعبير عنها بالشكل p q ، حيث p و q عددان صحيحان و q ≠ 0. | ar | technical | moderate |
Solution : Let x = 1.272727... Since two digits are repeating, we multiply x by 100 to get 100 x =127.2727... | الحل: دع س = 1.272727... بما أن رقمين يتكرران، نضرب س في 100 للحصول على 100 س = 127.2727... | ar | technical | moderate |
So,100 x =126 + 1.272727... = 126 + x Therefore,100 x – x =126,i.e.,99 x = 126 | إذن، 100 س = 126 + 1.272727... = 126 + س لذلك، 100 س – س = 126، أي 99 س = 126 | ar | technical | moderate |
i.e.,x = 12614 9911 = You can check the reverse that 14 11 = 1 27. . | أي س = 12614 9911 = يمكنك التحقق من العكس أن 14 11 = 1 27. . | ar | technical | moderate |
Example 9 : Show that 0.2353535... = 0 2 35. can be expressed in the form p q , where p and q are integers and q ≠ 0. | المثال 9: أظهر أن 0.2353535... = 0 2 35. يمكن التعبير عنها بالشكل p q ، حيث p و q عددان صحيحان و q ≠ 0. | ar | technical | moderate |
Solution : Let x = 0 235. . Over here, note that 2 does not repeat, but the block 35 repeats. | الحل: دع س = 0 235. . هنا، لاحظ أن 2 لا يتكرر، لكن الكتلة 35 تتكرر. | ar | technical | moderate |
Since two digits are repeating, we multiply x by 100 to get 100 x =23.53535... | بما أن رقمين يتكرران، نضرب س في 100 للحصول على 100 س = 23.53535... | ar | technical | moderate |
So,100 x =23.3 + 0.23535... = 23.3 + x Therefore,99 x =23.3 i.e.,99 x = 233 10 , which gives x = 233 990 | إذن، 100 س = 23.3 + 0.23535... = 23.3 + س لذلك، 99 س = 23.3 أي 99 س = 233 10 ، مما يعطي س = 233 990 | ar | technical | moderate |
You can also check the reverse that 233 990 = 0 235. . | يمكنك أيضًا التحقق من العكس أن 233 990 = 0 235. . | ar | technical | moderate |
So, every number with a non-terminating recurring decimal expansion can be expressed in the form p q (q ≠ 0), where p and q are integers. | لذلك، يمكن التعبير عن كل رقم بتوسيع عشري متكرر غير منته بالشكل p q (q ≠ 0)، حيث p و q عددان صحيحان. | ar | technical | moderate |
Let us summarise our results in the following form : The decimal expansion of a rational number is either terminating or non- terminating recurring. | دعنا نلخص نتائجنا بالشكل التالي: التوسيع العشري للرقم النسبي إما منته أو متكرر غير منته. | ar | technical | moderate |
Moreover, a number whose decimal expansion is terminating or non-terminating recurring is rational. | علاوة على ذلك، فإن الرقم الذي يكون توسيعه العشري منتهيًا أو متكررًا غير منته هو رقم نسبي. | ar | technical | moderate |
So, now we know what the decimal expansion of a rational number can be. What about the decimal expansion of irrational numbers? | لذا، نعلم الآن ما يمكن أن يكون عليه التوسيع العشري للرقم النسبي. ماذا عن التوسيع العشري للأرقام غير النسبية؟ | ar | technical | moderate |
Because of the property above, we can conclude that their decimal expansions are non-terminating non-recurring. | بسبب الخاصية المذكورة أعلاه، يمكننا أن نستنتج أن توسيعها العشري غير منته وغير متكرر. | ar | technical | moderate |
So, the property for irrational numbers, similar to the property stated above for rational numbers, is The decimal expansion of an irrational number is non-terminating non-recurring. | لذا، فإن الخاصية الخاصة بالأرقام غير النسبية، على غرار الخاصية المذكورة أعلاه للأرقام النسبية، هي أن التوسيع العشري للرقم غير النسبي غير منته وغير متكرر. | ar | technical | moderate |
Moreover, a number whose decimal expansion is non-terminating non-recurring is irrational. | علاوة على ذلك، فإن الرقم الذي يكون توسيعه العشري غير منته وغير متكرر هو رقم غير نسبي. | ar | technical | moderate |
Recall s = 0.10110111011 110... from the previous section. Notice that it is non- terminating and non-recurring. | تذكر س = 0.10110111011 110... من القسم السابق. لاحظ أنه غير منته وغير متكرر. | ar | technical | moderate |
Therefore, from the property above, it is irrational. Moreover, notice that you can generate infinitely many irrationals similar to s. | لذلك، من الخاصية المذكورة أعلاه، فهو غير نسبي. علاوة على ذلك، لاحظ أنه يمكنك إنشاء عدد لا نهائي من الأرقام غير النسبية المشابهة لـ س. | ar | technical | moderate |
What about the famous irrationals 2 and π? | ماذا عن الأرقام غير النسبية الشهيرة 2 و π؟ | ar | technical | simple |
In Fig. 6.5 (i) are intersecting lines and in Fig. 6.5 (ii) are parallel lines. | في الشكل 6.5 (ط) توجد خطوط متقاطعة وفي الشكل 6.5 (ث) توجد خطوط متوازية. | ar | technical | simple |
Note that the lengths of the common perpendiculars at different points on these parallel lines is the same. | لاحظ أن أطوال الأعمدة المشتركة في نقاط مختلفة على هذه الخطوط المتوازية هي نفسها. | ar | technical | moderate |
This equal length is called the distance between two parallel lines. | يُطلق على هذا الطول المتساوي اسم المسافة بين خطين متوازيين. | ar | technical | simple |
In Section 6.2, you have learnt the definitions of some of the pairs of angles such as complementary angles, supplementary angles, adjacent angles, linear pair of angles, etc. | في القسم 6.2، تعلمت تعريفات بعض أزواج الزوايا مثل الزوايا المتتامة، والزوايا المتكاملة، والزوايا المتجاورة، والزوج الخطي من الزوايا، وما إلى ذلك. | ar | technical | complex |
Can you think of some relations between these angles? | هل يمكنك التفكير في بعض العلاقات بين هذه الزوايا؟ | ar | technical | simple |
Now, let us find out the relation between the angles formed when a ray stands on a line. | الآن، دعنا نكتشف العلاقة بين الزوايا المتكونة عندما يقف شعاع على خط. | ar | technical | moderate |
Draw a figure in which a ray stands on a line as shown in Fig. 6.6. | ارسم شكلًا يقف فيه شعاع على خط كما هو موضح في الشكل 6.6. | ar | technical | simple |
Name the line as AB and the ray as OC. | سم الخط AB والشعاع OC. | ar | technical | simple |
What are the angles formed at the point O? | ما هي الزوايا المتكونة عند النقطة O؟ | ar | technical | simple |
They are ∠ AOC, ∠ BOC and ∠ AOB. | إنها ∠ AOC و ∠ BOC و ∠ AOB. | ar | technical | simple |
Can we write ∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB?(1) Yes! | هل يمكننا كتابة ∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB؟ (1) نعم! | ar | technical | moderate |
(Why? Refer to adjacent angles in Section 6.2) | (لماذا؟ ارجع إلى الزوايا المتجاورة في القسم 6.2) | ar | technical | simple |
What is the measure of ∠ AOB? It is 180°.(Why?)(2) | ما هو قياس ∠ AOB؟ إنه 180 درجة. (لماذا؟) (2) | ar | technical | moderate |
From (1) and (2), can you say that ∠ AOC + ∠ BOC = 180°?Yes! | من (1) و (2)، هل يمكنك القول أن ∠ AOC + ∠ BOC = 180 درجة؟ نعم! | ar | technical | moderate |
(Why?) From the above discussion, we can state the following Axiom: | (لماذا؟) من المناقشة أعلاه، يمكننا أن نذكر البديهية التالية: | ar | technical | moderate |
If a ray stands on a line, then the sum of two adjacent angles so formed is 180°. | إذا وقف شعاع على خط، فإن مجموع زاويتين متجاورتين متكونتين بهذه الطريقة هو 180 درجة. | ar | technical | moderate |
Recall that when the sum of two adjacent angles is 180°, then they are called a linear pair of angles. | تذكر أنه عندما يكون مجموع زاويتين متجاورتين 180 درجة، فإنها تسمى زوجًا خطيًا من الزوايا. | ar | technical | moderate |
In Axiom 6.1, it is given that ‘a ray stands on a line’. | في البديهية 6.1، يُعطى أن 'شعاع يقف على خط'. | ar | technical | moderate |
From this ‘given’, we have concluded that ‘the sum of two adjacent angles so formed is 180°’. | من هذا 'المعطى'، استنتجنا أن 'مجموع زاويتين متجاورتين متكونتين بهذه الطريقة هو 180 درجة'. | ar | technical | complex |
Can we write Axiom 6.1 the other way? | هل يمكننا كتابة البديهية 6.1 بطريقة أخرى؟ | ar | technical | moderate |
Now in two triangles two pairs of angles and one pair of corresponding sides are equal but the side is not included between the corresponding equal pairs of angles. Are the triangles still congruent? | الآن في مثلثين، زاويتان وزوج واحد من الأضلاع المتناظرة متساويان، لكن الضلع ليس مضمنًا بين أزواج الزوايا المتساوية المتناظرة. هل المثلثات لا تزال متطابقة؟ | ar | technical | moderate |
You will observe that they are congruent. Can you reason out why? | ستلاحظ أنها متطابقة. هل يمكنك أن تبرر السبب؟ | ar | technical | simple |
You know that the sum of the three angles of a triangle is 180°. | أنت تعلم أن مجموع الزوايا الثلاث للمثلث هو 180 درجة. | ar | technical | simple |
So if two pairs of angles are equal, the third pair is also equal (180° – sum of equal angles). | لذا، إذا كان زوجان من الزوايا متساويين، فإن الزوج الثالث متساوٍ أيضًا (180 درجة – مجموع الزوايا المتساوية). | ar | technical | moderate |
So, two triangles are congruent if any two pairs of angles and one pair of corresponding sides are equal. | لذا، يتطابق مثلثان إذا كان أي زوجين من الزوايا وزوج واحد من الأضلاع المتناظرة متساويين. | ar | technical | moderate |
We may call it as the AAS Congruence Rule. | قد نسميها قاعدة تطابق زاويتين وضلع (AAS). | ar | technical | simple |
Now let us perform the following activity : Draw triangles with angles 40°, 50° and 90°. | الآن دعنا ننفذ النشاط التالي: ارسم مثلثات بزوايا 40 درجة و 50 درجة و 90 درجة. | ar | technical | moderate |
How many such triangles can you draw? | كم عدد هذه المثلثات التي يمكنك رسمها؟ | ar | technical | simple |
In fact, you can draw as many triangles as you want with different lengths of sides. | في الواقع، يمكنك رسم أكبر عدد ممكن من المثلثات كما تريد بأطوال أضلاع مختلفة. | ar | technical | moderate |
Observe that the triangles may or may not be congruent to each other. | لاحظ أن المثلثات قد تكون أو لا تكون متطابقة مع بعضها البعض. | ar | technical | moderate |
So, equality of three angles is not sufficient for congruence of triangles. | لذا، فإن تساوي الزوايا الثلاث غير كافٍ لتطابق المثلثات. | ar | technical | moderate |
Therefore, for congruence of triangles out of three equal parts, one has to be a side. | لذلك، لتطابق المثلثات من بين ثلاثة أجزاء متساوية، يجب أن يكون أحدها ضلعًا. | ar | technical | complex |
Let us now take some more examples. | دعنا الآن نأخذ بعض الأمثلة الأخرى. | ar | technical | simple |
Example 3 : Line-segment AB is parallel to another line-segment CD. | المثال 3: القطعة المستقيمة AB موازية لقطعة مستقيمة أخرى CD. | ar | technical | moderate |
O is the mid-point of AD. | O هي نقطة المنتصف لـ AD. | ar | technical | simple |
Show that (i) ∆AOB ≅ ∆DOC (ii) O is also the mid-point of BC. | أثبت أن (i) ∆AOB ≅ ∆DOC (ii) O هي أيضًا نقطة المنتصف لـ BC. | ar | technical | moderate |
Consider ∆ AOB and ∆ DOC. | ضع في اعتبارك المثلث AOB و المثلث DOC. | ar | technical | simple |
∠ ABO =∠ DCO (Alternate angles as AB || CD and BC is the transversal) | ∠ ABO =∠ DCO (زوايا متبادلة حيث AB || CD و BC هو القاطع) | ar | technical | complex |
∠ AOB =∠ DOC (Vertically opposite angles) | ∠ AOB =∠ DOC (زوايا متقابلة بالرأس) | ar | technical | simple |
OA =OD(Given) | OA = OD (معطى) | ar | technical | simple |
The exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two interior opposite angles. | الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين المتقابلتين. | ar | technical | moderate |
In triangle OAQ, OA and OQ are radii of a circle. | في المثلث OAQ، OA و OQ هما نصفا قطر في الدائرة. | ar | technical | simple |
Therefore, angle OAQ equals angle OQA. | لذلك، الزاوية OAQ تساوي الزاوية OQA. | ar | technical | simple |
This gives angle BOQ equals 2 times angle OAQ. | هذا يعطي أن الزاوية BOQ تساوي ضعف الزاوية OAQ. | ar | technical | moderate |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.