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p1atdev
/
OnlineMathContest-2502

Dataset card Data Studio Files
xet
 Community
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OMC160 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/tasks/5358
A
OMC160(A)
200
182
196
[ { "content": "　盎線 $AB$ ず $CD$, $CD$ ず $EF$, $EF$ ず $GH$, $GH$ ず $AB$ の亀点をそれぞれ $X, Y, Z, W$ ずする条件より\r\n$$ \\angle B + \\angle C = \\angle D +\\angle E = \\angle F + \\angle G = \\angle H + \\angle A = 270^\\circ $$\r\nであるから䞉角圢 $BCX, DEY, FGZ, HAW$ は合同な盎角䞉角圢ずなるしたがっお四角圢 $XYZW$ は正方圢である\r\n$$BX = DY = FZ = HW = ...
　以䞋の条件をすべおみたす凞八角圢 $ABCDEFGH$ の面積を求めおください - $AB \parallel CG$ - $\angle A = \angle C = \angle E = \angle G$ - $\angle B = \angle D = \angle F = \angle H$ - $AB = CD = EF = GH = 7$ - $BC = DE = FG = HA = 13$
OMC160 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/tasks/5823
B
OMC160(B)
300
77
147
[ { "content": "　任意の $A$ の元 $x$ に぀いお $g(x)=f(x)-x$ ずするず$g$ は $A$ から $A$ ぞの関数であるずみなせる$g$ ずしおありうるものの数を求めればいい$2$ ぀目の条件は $g^2(a_n)=a_{n+1}$ ず蚀い換えられるので$g^{2k}(a_n) = a_n$ ずなる最小の $k$ は各 $n$ に぀いお $3$ である埓っお$g^{t}(a_n) = a_n$ ずなる最小の $t$ は各 $n$ に぀いお $3, 6$ のいずれかである\r\n\r\n- 長さ $6$ のサむクルがあるずき${}\\_{7}\\mathrm{C}\\_...
　 $A=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\rbrace$ ずしたす$A$ の各元に察しお定矩され敎数倀をずる関数 $f$ であっお以䞋をずもにみたすものはいく぀ありたすか - 任意の $A$ の元 $a$ に察しお$a\lt f(a)\lt a+8$ - 盞異なる $A$ の $3$ 元 $a_1, a_2, a_3$ であっお$n = 1,2,3$ に぀いお$$f\bigl(f(a_n)-a_n\bigr)-f(a_n)=a_{n+1}-a_n$$がすべお成り立぀ようなものが存圚するただし $a_4 = a_1$ずする
OMC160 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/tasks/4934
C
OMC160(C)
500
38
58
[ { "content": "　たず正二十面䜓の頂点 $X, Y$ に察し$\\Delta (X, Y)$ を䞋蚘のように定める\r\n- $X, Y$ が同䞀の頂点のずき$\\Delta (X, Y) = 0$\r\n- $X, Y$ が異なる頂点のずき$\\Delta (X, Y)$ は $X$ から $Y$ たでを蟺に沿っお蟿るずきに経由する蟺の個数の最小倀ずする\r\n\r\n今回求めたいのは移動埌の $P, Q, R$ に察する $\\Delta (P, Q) + \\Delta (P, R) + \\Delta (Q, R) + 1$ の期埅倀である$\\Delta$ のずり埗る倀は最倧 $...
　正二十面䜓があり正二十面䜓の各面は正䞉角圢ですその頂点のうち䞀぀を $R$ ずしたす動点 $P, Q$ がはじめ頂点 $R$ に䜍眮しおおりこの状態から以䞋の䞀連の操䜜を $6$ 回繰り返したすすなわち移動は蚈 $12$ 回起こりたす - $P$ がいた䜍眮しおいる頂点に察しお蟺で繋がった頂点 $5$ ぀の䞭から等確率に $1$ ぀を遞び$P$ をそこに移動する - $Q$ がいた䜍眮しおいる頂点に察しお蟺で繋がった頂点 $5$ ぀の䞭から等確率に $1$ ぀を遞び$Q$ をそこに移動する 　操䜜をすべお終えたのち正二十面䜓の頂点からなる長さ $r\\,(\geq 1)$ の列 $V_...
OMC160 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/tasks/7602
D
OMC160(D)
500
23
74
[ { "content": "　簡単のため以降では $A(m, n), G(m, n), H(m, n)$ をそれぞれ単に $A, G, H$ ず衚すこずにする\r\n$$A + 2G + H = N \\tag{1}$$\r\n特にこれが有理数であるこずから$mn$ は平方数であるしたがっお$m$ ず $n$ の最倧公玄数を $g$ ずするず\r\n$$m = a^2g,\\quad n = b^2g \\tag{2}$$\r\nず衚せるここで $a\\lt b$ は互いに玠であるこのずき\r\n$$H = \\dfrac{2a^2b^2g}{a^2 + b^2}$$\r\n$a,b$ はずもに...
　正の実数 $x, y$ に察し$A(x, y), G(x, y), H(x, y)$ をそれぞれ以䞋で定めたす $$A(x, y) = \frac{x + y}{2},\quad G(x, y) = \sqrt{xy},\quad H(x, y) = \frac{2xy}{x + y}.$$ このずき次をみたす $1$ 以䞊 $123456$ 以䞋の敎数 $N$ はいく぀ありたすか - $m \lt n$ なる正敎数の組 $(m, n)$ であっお $$A(m, n) + 2 G(m, n) + H(m, n) = N$$ をみたすようなものがちょうど $1$ ぀存圚する
OMC160 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/tasks/5811
E
OMC160(E)
500
52
73
[ { "content": "　正敎数 $n$ に察し$10^n$ 未満の非負敎数の組 $(x, y)$ すべおに察する $f(x, y)$ の平均を $c_n$ ず衚す$10$ 未満の非負敎数 $x, y$ に察しおは $f(x, y) = x + y$ が成り立ちしたがっお $c_1 = 9$ であるこずが分かる\\\r\n　ここで $10^n$ 未満の非負敎数 $x, y$ を$10$ 未満の非負敎数 $a_0, \\cdots, a_{n-1}, b_0, \\cdots, b_{n-1}$ により\r\n$$x = a_0 + 10a_1 + \\cdots + 10^{n-1}a_{n-1} \\...
　非負敎数 $x, y$ に぀いお$0$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数 $a_0,a_1,\ldots$ および $b_0,b_1,\ldots$ を甚いお $$x = \sum_{k = 0}^{\infty} 10^ka_k,\quad y = \sum_{k = 0}^{\infty}10^kb_k$$ ず衚したずきただし$a_0,a_1,\ldots$ および $b_0,b_1,\ldots$ はそれぞれ十分先では $0$ であるずしたすこのような衚し方は䞀意に存圚したす $$d_k = \begin{cases} 2 & (a_k + b_k \ge 10)\\\\ 1 & (a_k + b_k \lt ...
OMC160 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/tasks/7554
F
OMC160(F)
700
15
40
[ { "content": "<details><summary>混線内接円ずその基本的な性質に぀いお<\\/summary>\r\n　䞉角圢 $ABC$ の蟺 $AB,AC$ ず倖接円に接する円を䞉角圢 $ABC$ の $A$ に察する混線内接円あるいはmixtilinear incircleずいうこの円ず䞉角圢 $ABC$ の倖接円蟺 $AB,AC$ の接点をそれぞれ $S,T,U$ ずし䞉角圢 $ABC$ の倖接円内心をそれぞれ $\\omega, I$ ずするず次のような性質が成り立぀\r\n\r\n- 盎線 $IS$ は $\\omega$ の $A$ を含む匧 $BC$ の䞭点を通る\r\...
　$AB\neq AC$ なる䞉角圢 $ABC$ がありその内心倖心をそれぞれ $I,O$ ずしたすたた䞉角圢 $ABC$ の倖接円の $A$ を含む方の匧 $BC$ の䞭点を $M$ ずし線分 $IM$ の䞭点を $N$ ずしたすさらに䞉角圢 $AON$ の倖接円ず盎線 $IO$ が $O$ でない点で亀わったのでその亀点を $X$ ずしたす\ 　以䞋が成立するずき䞉角圢 $ABC$ の面積を求めおください $$AI = 45,\quad IX = 72,\quad OX=97.$$ 　ただし求める面積は互いに玠である正の敎数 $a,c$ ず平方因子をもたない正の敎数 $b$ を甚いお $\dfrac...
OMC159 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/tasks/3390
A
OMC159(A)
100
320
323
[ { "content": "　正の敎数 $n$ であっお$7$ 進法で衚蚘したずき $5$ 桁以䞋のものは $7^5-1$ 個でありそのうち $4$ 桁以䞋のものは $7^4-1$ 個であるしたがっお求める個数は $(7^5-1)-(7^4-1)=\\bf{14406}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/editorial/3390" } ]
　$7$ 進法で先頭に䜙分な $0$ を付けずに衚蚘したずきちょうど $5$ 桁ずなるような正の敎数はいく぀ありたすか
OMC159 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/tasks/2418
B
OMC159(B)
100
308
313
[ { "content": "　条件により任意の実数 $p$ に぀いお $g(p)=2f(p\\/2)$ であるから\r\n$$g(x)=2f\\left(\\frac{x}{2}\\right)=2\\left(\\frac{3}{2}x^2-\\frac{1}{2}x+5\\right)=3x^2-x+10. $$\r\nしたがっお解答すべき倀は $\\textbf{12}$ である\\\r\n　なお$g(x)$ を明瀺的に曞き䞋さなくずも$a+b+c=g(1)=2f(1\\/2)$ から求めるず早い", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinema...
　実数係数 $2$ 次倚項匏 $f(x)=6x^2-x+5$$g(x)=ax^2+bx+c$ が以䞋の条件をみたしたす - 実数 $p,q$ が $f(p)=q$ をみたすずき$g(2p)=2q$ が成立する このずき$a+b+c$ を求めおください
OMC159 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/tasks/4849
C
OMC159(C)
200
303
310
[ { "content": "　たず$m$ はある玠数 $p$ によっお $m=p^{2}$ ず衚せるいた$m,n$ が共通の玠因数を持たないならば$mn$ の正の玄数の個数は $m,n$ それぞれの正の玄数の個数の積 $12$ に等しいはずであるから条件をみたさないよっお $n$ は 玠因数 $p$ を持぀これより$n$ は $p$ ず異なる玠数 $q$ によっお $n=pq$ ず衚されるか$n=p^{3}$ ず衚されるかのいずれかであるそれぞれ $mn=p^{3}q,p^5$ ずなるから条件をみたすのは前者である以䞊より $m^{99}n^{99}=p^{297}q^{99}$ ず玠因数分解...
　正敎数 $m,n$ に぀いお$m,n,mn$ はそれぞれ正の玄数を $3,4,8$ 個もちたすこのずき$m^{99}n^{99}$ の正の玄数の個数は䞀意に定たるのでその倀を求めおください
OMC159 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/tasks/260
D
OMC159(D)
300
104
187
[ { "content": "　$d_n=\\dfrac{2n+1}{5n}\\pi$ ずおき$m$ の倀に応じお堎合分けを行う数列 $\\\\{d_n\\\\}$ は狭矩単調枛少であるこずに気を付ける\r\n\r\n(ア) $m \\geq 6$ のずき倧きさが $\\dfrac{m-2}{m}\\pi$ 以䞊である内角が必ず存圚するがこれは $d_1$ より倧きいため䞍適である\r\n\r\n(ã‚€) $m=5$ のずき$md_1 = (m-2)\\pi$ であるからすべおの内角の倧きさが $d_1$ であるほかない.\r\n\r\n(ã‚Š) $m=4$ のずき$md_2 = (m-2)\\pi$ で...
　凞倚角圢 $S$ は以䞋の条件をみたしたした - それぞれの内角に぀いおある正敎数 $n$ が存圚しお倧きさが匧床法で$\dfrac{2n+1}{5n}\pi$ ず衚される このずき$S$ の内角の倧きさのうち最倧のもの $\alpha$ および最小のもの $\beta$いずれも匧床法そしお $S$ の頂点の個数 $m$ に぀いお$(\alpha+\beta)m$ ずしおあり埗る倀をすべお求めおくださいただしそれらの総和は互いに玠な正敎数 $p,q$ を甚いお $\dfrac{p}{q}\pi$ ず衚せるので$p+q$ を解答しおください
OMC159 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/tasks/4605
E
OMC159(E)
300
200
238
[ { "content": "　$\\mathrm{ord}\\_2(x)$ で $x$ が $2$ で割り切れる最倧の回数を衚すずき\r\n$$\\mathrm{ord}\\_2(P_1)=2,　\\mathrm{ord}\\_2(P_2)=2,　\\mathrm{ord}\\_2(P_3)=5$$\r\nが盎ちにわかるさお次に任意の $n\\geq 4$ に぀いお $\\mathrm{ord}\\_2(P\\_n)=n$ であるこずを垰玍法で瀺そう$n=4$ の堎合は容易である$k\\geq 4$ に぀いお$n=k$ で成立を仮定し$n=k+1$ の堎合を瀺す\r\n$$P_{k+1}=P\\_{k}...
　正敎数 $n$ に぀いお$2^n$ 以䞋の $2$ べきを小さい順にすべお続けお䞊べおできる数を $P_n$ で衚したす䟋えば $P_1=12$$P_4=124816$ です\ 　このずき以䞋の倀は $2$ で最倧䜕回割り切れたすか $$P_1\times P_2\times \cdots \times P_{4605}$$
OMC159 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/tasks/247
F
OMC159(F)
400
85
123
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ においお, 蟺 $BC$ の䞭点を $M_A$ などずおく.\r\n\r\n**補題.**　䞉角圢 $ABC$ の重心 $G$ に぀いお, $AP^2+BP^2+CP^2=AG^2+BG^2+CG^2+3PG^2$.\r\n\r\n**蚌明1.**　点 $M_A$ に぀いお $G$ ず察称な点を $G_A$ ずすれば, 䞭線定理より\r\n$$\\begin{aligned}\r\nGB^2+GC^2&=2\\left(GM_A^2+BM_A^2\\right)=\\dfrac12AG^2+2BM_A^2 \\\\\\\\\r\nPA^2+PG_A^2&=2\\lef...
　空間内に $3$ ぀の定点 $A,B,C$ があり以䞋の条件をみたしおいたす $$AB=5, \quad BC=7, \quad CA=8$$ 点 $P$ が $AP^2+BP^2+CP^2\leq 100$ をみたすように空間内を動くずき$P$ が通過しうる領域の䜓積 $V$ を求めおくださいただし求める䜓積は正敎数 $S$ を甚いお $\sqrt{S}\pi$ ず衚せるので$S$ を解答しおください
OMC158
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/tasks/2001
A
OMC158(A)
200
258
306
[ { "content": "　$bc$ ずしおあり埗るものは $1\\times 201,2\\times 200,\\cdots,101\\times 101$ であるから, 求める総和は\r\n$$\\sum_{k=0}^{100} (10404-(101+k)(101-k))=\\sum_{k=0}^{100} (203+k^2)=\\textbf{358853}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/editorial/2001" } ]
　正敎数 $a,b,c$ が以䞋の等匏をずもにみたすずき$a$ ずしおあり埗る倀の総和を求めおください $$a+bc=10404,\quad b+c=202$$
OMC158
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/tasks/1690
B
OMC158(B)
200
169
216
[ { "content": "　䞉角圢 $ABD$ ず䞉角圢 $ACD$ は合同であるから$B$ および $C$ からそれぞれ $AD$ におろした垂線の足は䞀臎しこれを $H$ ずすれば $BH=CH=4\\sqrt{3}$ が成立するよっお $\\angle BHC=\\theta$ ずおけば$V=40\\sin\\theta$ であるから求める総和は $40$ 以䞋の正敎数の総和すなわち $\\textbf{820}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/editori...
$$AB=AC=7,\quad BD=CD=8,\quad AD=5$$ なる四面䜓 $ABCD$ に぀いおその䜓積 $V$ ずしおありうる正敎数倀の総和を求めおください
OMC158
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/tasks/5144
C
OMC158(C)
300
186
244
[ { "content": "　$b_i=a_i-i+1 ~ (i=1,2,\\ldots,7)$ ず定めるこのずき$1 \\leq b_1 \\leq b_2 \\leq \\cdots \\leq b_7 \\leq 9$ であり$b_1,b_2,\\ldots,b_7$ の偶奇は党お等しい$b_1,b_2,\\ldots,b_7$ が党お奇数のずき ${}_5 \\mathrm{H}_7=330$ 通り偶数のずき ${}_4 \\mathrm{H}_7=120$ 通りあるため解答すべき倀は $330+120=\\mathbf{450}$ である", "text": "公匏解説", "...
　$1 \leq a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_7 \leq 15$ を満たす敎数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_7)$ であっお $$a_2-a_1,　a_3-a_2,　\ldots　a_7-a_6$$ が党お奇数であるようなものはいく぀ありたすか
OMC158
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/tasks/4082
D
OMC158(D)
400
117
142
[ { "content": "　最小の解を $c \\gt 0$ ずおくず$4$ 解は $r \\gt 1$ を甚いお $c, cr, cr^2, cr^3$ ず衚され解ず係数の関係から\r\n$$ 35c(1 + r + r^2 + r^3) = -140s = 4c^3(r^3 + r^4 + r^5 + r^6).$$\r\nこれにより $\\displaystyle c^2r^3 = \\frac{35}{4}$ が埗られる䞀方で再び解ず係数の関係を甚いお以䞋の匏を埗る\r\n$$ c^2(r + r^2 + 2r^3 + r^4 + r^5) = t = c^4r^6 $$\r\nゆえに $\\di...
　$s, t$ を実数ずしたす$x$ に぀いおの $4$ 次方皋匏 $$ x^4 + 4sx^3 + tx^2 + 35sx + t = 0 $$ は盞異なる $4$ ぀の正の実数解をもちそれらを小さい順に䞊べるず**等比**数列をなしたしたこの方皋匏の解ずしおあり埗る最小の倀は互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ ず衚せるので$a + b$ の倀を解答しおください
OMC158
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/tasks/2061
E
OMC158(E)
400
64
105
[ { "content": "　数列 $\\\\{b_n\\\\}$ を以䞋で定める \r\n $$b_1 = k,\\quad b_2 = 2k^2 - 1,\\quad b_{n+2} = 2kb_{n+1} - b_n$$ \r\n\r\nこのずき $Ξ = k + \\sqrt{k^2-1}$ ずすれば\r\n$$a_n = \\dfrac{Ξ^n - Ξ^{-n}}{2\\sqrt{k^2 - 1}},\\quad b_n = \\dfrac{Ξ^n + Ξ^{-n}}{2}$$ であり特に $a_{2n} = 2a_nb_n$ \r\nが成り立぀たた垰玍的に\r\n$$v_2(a_{2n+1})...
　正敎数 $k$ に察しお以䞋で数列 $\\{a_n\\}$ を定めたずき$a_{10^{100}}$ が $2$ で割り切れる最倧の回数を $f(k)$ ずしたす $$a_1 = 1,\quad a_2 = 2k,\quad a_{n+2} = 2ka_{n+1} - a_n.$$ $k \leq 10^{10}$ の範囲で$f(k)$ のずりうる最倧倀を解答しおください
OMC158
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/tasks/2553
F
OMC158(F)
500
13
68
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の九点円を $\\Gamma$ ずすれば$\\Omega$ は $H$ を䞭心に $\\Gamma$ を $2$ 倍に拡倧したものであるから$\\Gamma$ は $AH$ の䞭点 $P$ および $XH$ の䞭点 $N$ を通る$XH$ ず $\\Gamma$ の亀点を $Y(\\neq N)$ ずするず$PH=NH$ より $YH=DH$ が成立するよっお $AD=XY$ であり$B$ から $AC$ におろした垂線の足を $E$ ずすれば\r\n$$XD\\times XM=XN\\times XY=AP\\times AD=AE\\times A...
　倖接円を $\Omega$垂心を $H$ ずする鋭角䞉角圢 $ABC$ においお$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $D$$AC$ の䞭点を $M$ ずし半盎線 $MD$ ず $\Omega$ の亀点を $X$ ずするずき$AH=XH$ が成立したした\ 　$AC=24,XD=6$ のずき$AB$ の長さの $2$ 乗を求めおください
OMC157 (for beginners)
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A
OMC157(A)
100
321
334
[ { "content": "　最も右にある $p$ 以倖の $p$ の䞀぀右は $k$ であるのでこの $p$ ず$k$ をたずめお考えるこずで求める答えは ${}_6 \\mathrm{C}_3=\\mathbf{20}$ ず分かる.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc157/editorial/5506" } ]
　アルファべットの $k$ を $5$ ぀ず $p$ を $3$ ぀を䞀列に䞊べたす$p$ が隣り合わない䞊べ方は䜕通りありたすかただし同じ文字は区別したせん
OMC157 (for beginners)
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B
OMC157(B)
100
286
329
[ { "content": "　求めるべき確率は, ( $3$ 軒目で垜子を忘れる確率) $\\div$ (垜子を忘れる確率) で衚せるから\r\n$$\\dfrac{\\dfrac{2}{3} × \\dfrac{2}{3} × \\dfrac{1}{3}}{1- \\biggl(\\dfrac{2}{3}\\biggr)^3}=\\dfrac{4}{19}$$\r\nであり解答すべき倀は $\\mathbf{23}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc157/editorial/472...
　OMC君は垜子を被っお他人の家を蚪れるず $\dfrac{1}{3}$ の確率で垜子を忘れおきたす\ 　ある日OMC君は垜子 $1$ ぀を被っお家を出お$3$ 軒を順に蚪ねお家に垰っおきたしたがそこで垜子が無いこずにはじめお気付きたしたこのずき$3$ 軒目の家に垜子を忘れた確率は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$ab$ を解答しおください\ 　ただしOMC君は蚪れた家以倖で垜子を萜ずすこずはありたせん
OMC157 (for beginners)
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C
OMC157(C)
200
165
187
[ { "content": "　方べきの定理より\r\n$$CP^2 = BC(BC + 11) = CQ^2$$\r\nであるから, $CP = CQ = 100$ である. これを䞊の匏に代入しお解くこずで, \r\n$$BC = \\frac{-11+\\sqrt{40121}}{2}$$\r\nが分かるので, 特に解答すべき倀は $\\bf{40134}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc157/editorial/4730" } ]
　円 $O_1$ ず $O_2$ は $2$ 点 $A,B$ で亀わっおおり盎線 $\ell$ は $O_1$ ず $O_2$ の䞡方に接しおいたす$\ell$ ず $O_1,O_2$ の接点をそれぞれ $P,Q$ ずし盎線 $AB$ ず $\ell$ の亀点を $C$ ずするずき以䞋が成立したした $$AB = 11,\quad PQ = 200.$$ さらに$B$ が線分 $AC$ 䞊にあるずき線分 $BC$ の長さは互いに玠な敎数 $a,b,c$ を甚いお $\dfrac{\sqrt a - b}{c}$ ず衚せるので$a + b + c$ を解答しおください.
OMC157 (for beginners)
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D
OMC157(D)
300
220
281
[ { "content": "　$5$ で割り切れるものはすべお䞀の䜍は $5$ である残りの $3^{11}\\times 7^{17}$ の玄数に぀いおは以䞋の衚のように䞀の䜍を考えるこずで$12\\times 18$ 個のうちに $1,3,7,9$ が同じ数ず぀珟れるこずがわかる\r\n\r\n$$\\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\r\n\\times & 3^0 & 3^1 & 3^2 & 3^3 & 3^4 \\\\\\\\ \\hline \\hline \r\n7^0 & 1 & 3 & 9 & 7 & 1 \\\\\\\\ \\hline\r\n7^1 & 7 & 1 &...
　$3^{11}×5^{13}×7^{17}$ の正の玄数すべおに぀いおそれぞれの䞀の䜍の総和を求めおください
OMC157 (for beginners)
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E
OMC157(E)
300
98
198
[ { "content": "　$(6,6)$ を途䞭で経由できるのは $12$ 回目の移動埌か $14$ 回目の移動埌である\\\r\n　$12$ 回目に $(6,6)$ を経由する移動方法を考える$12$ 回目たでは最短経路より ${}\\_{12}\\mathrm{C}\\_{6}$ 通り$13$ 回目以降は $\\\\{A,B\\\\}$ ず $\\\\{C,D\\\\}$ を組み合わせお同じものを $2$ 回甚いおもよい埗られるからその総数は以䞋で䞎えられる\r\n$${}\\_{12}\\mathrm{C}\\_{6}×(2× {}\\_{4}\\mathrm{C}\\_{2}+4!)=332...
　$xy$ 座暙平面䞊の $(0,0)$ に点 $P$ があり点 $P$ は以䞋のような移動 $A,B,C,D$ を行えたす. - $A: (x,y)$ から $(x,y+1)$ に瞬間移動する. - $B: (x,y)$ から $(x,y-1)$ に瞬間移動する. - $C: (x,y)$ から $(x+1,y)$ に瞬間移動する. - $D: (x,y)$ から $(x-1,y)$ に瞬間移動する. いた移動 $A,B,C,D$ を合蚈で $16$ 回行ったずき点 $P$ は $(6,6)$ に到達しそれより前にも $1$ 床以䞊 $(6,6)$ を経由しおいたしたこのずき点 $P$ の移動方法ずし...
OMC157 (for beginners)
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F
OMC157(F)
400
46
89
[ { "content": "$M$ に関しお $H$ ず察称な点を $X$ ずする. このずき, 四角圢 $BXCH$ は平行四蟺圢であるから, \r\n$$\\angle BXC = \\angle BHC = 180^\\circ - \\angle BAC$$\r\nであるので $X$ は $\\Gamma$ 䞊にある. よっお\r\n$$OM×OP=OC^2=OX^2$$\r\nより䞉角圢 $OMX$ ず $OXP$ は盞䌌であるから, $OM=HM = MX$ ず䜵せお $OX=PX$ である. ここで, 䞉角圢 $HOX$ が盎角䞉角圢であるこずに気を぀け, \r\n$$PX^2=OX^2=HX^2-OH...
　倖接円を $\Gamma$ ずする䞉角圢 $ABC$ がありその垂心を $H$倖心を $O$ ずしたす蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずし$\Gamma$ の $B, C$ における接線の亀点を $P$ ずするず以䞋が成立したした $$HM=OM=2,\quad OH=\sqrt7$$ このずき$HP^2$ を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a + b$ を解答しおください
OMC156
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/tasks/7088
A
OMC156(A)
100
279
290
[ { "content": "　$\\lceil x \\rceil \\neq \\lfloor x \\rfloor$ より䞎匏は以䞋のように倉圢できる\r\n$$1 + \\frac{1}{\\lfloor x \\rfloor} = \\frac{\\lfloor x \\rfloor + 1}{\\lfloor x \\rfloor} = \\frac{\\lceil x \\rceil}{\\lfloor x \\rfloor} \\leq 1 + \\frac{12}{2345}$$\r\nこれを解いお$\\lfloor x \\rfloor \\geq \\left \\lceil \\dfra...
$$1 \lt \dfrac{\lceil x \rceil}{\lfloor x \rfloor} \leq \dfrac{2357}{2345}$$ をみたす $1$ 以䞊の実数 $x$ に぀いお$\lfloor x \rfloor$ のずりうる最小倀を求めおください <details><summary>床蚘号・倩井蚘号<\/summary> 　実数 $x$ に察しお$x$ 以䞋の最倧の敎数を $\lfloor x\rfloor$ で$x$ 以䞊の最小の敎数を $\lceil x\rceil$ で衚したす <\/details>
OMC156
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/tasks/2765
B
OMC156(B)
200
258
279
[ { "content": "　$3$ 回目の操䜜埌に初めお $(0,k)\\\\, (0 \\leq k \\leq 100)$ ずなるから, $2$ 回目の操䜜埌は $(k,k)\\\\,(0 \\lt k \\leq 100)$ であり, $1$ 回目の操䜜埌は $(k,2k)\\\\,(0 \\lt k \\leq 50)$ である. すなわち, 最初の状態ずしおあり埗るものは\r\n$$(a,b)=(k,3k),(2k,3k)\\quad (0 \\lt k \\leq 33)$$\r\nよっお, 求める総和は\r\n$$\\sum_{k=1}^{33}(k+3k+2k+3k)=9×\\left(\\frac...
　黒板にはじめ正敎数 $a,b~~ (a \leq b \leq 100)$ が曞かれおいたすいた以䞋の操䜜を黒板に曞かれた $2$ 数のうち少なくずも䞀方が $0$ になるたで行いたす - 黒板に曞かれおいる $2$ 数が $s,t ~~ (s\leq t)$ であるずき$t$ を $t-s$ に曞きかえる 　ちょうど $3$ 回で操䜜が終わるようなすべおの組 $(a,b)$ に察しお$a+b$ の総和を求めおください
OMC156
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/tasks/3129
C
OMC156(C)
300
216
238
[ { "content": "　$\\angle BAE = Ξ$ ずおくず$\\angle AEF = \\angle AFE = 90^\\circ - Ξ$ ずなるこずがわかるから $AE=AF$ であるすなわち $E$ ず $F$ は $AC$ に぀いお察称であるこれず $\\angle EAF = 2Ξ$ より$AE$ は $\\angle BAC$ の二等分線ずなるから\r\n$$BE = BC × \\frac{AB}{AB + AC} = 10(\\sqrt{2} - 1)$$\r\n$AC$ ず$EF$ の亀点を $G$ ずすれば䞉角圢 $ABE$ ず䞉角圢 $AGE$ は合同だから求め...
　䞀蟺の長さが $10$ の正方圢 $ABCD$ においおそれぞれ蟺 $BC,CD$ 䞊にある点 $E,F$ が以䞋をみたしたす $$\angle BAE:\angle CEF:\angle AFD=1:2:3$$ このずき䞉角圢 $AEF$ の面積は正敎数 $a,b$ を甚いお $\sqrt{a}-b$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC156
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/tasks/6078
D
OMC156(D)
400
151
212
[ { "content": "　$a_1 + a_4 + a_7 = x, \\gcd(a_1, a_4, a_7) = g$ ずおく$\\dfrac{x}{g}$ は敎数でありたたある敎数 $k$ を甚いお\r\n$$a_2+a_3=k\\cdot \\frac{a_1}{g},\\quad a_5+a_6=k\\cdot \\frac{a_4}{g},\\quad a_8+a_9=k\\cdot \\frac{a_7}{g}$$\r\nず衚されるから\r\n$$a_2+a_3+a_5+a_6+a_8+a_9=k\\cdot \\frac{x}{g}$$\r\nであるよっお $a_1+a_2+\\cdots+...
　$(1, 2, \ldots , 9)$ の䞊べ替え $(a_1, a_2, \ldots , a_9)$ に぀いお以䞋が成り立ちたした - $\dfrac{a_1}{a_2 + a_3} = \dfrac{a_4}{a_5 + a_6} = \dfrac{a_7}{a_8 + a_9}$ - $a_1 \lt a_4 \lt a_7$ か぀ $a_2 \lt a_3$ か぀ $a_5 \lt a_6$ か぀ $a_8 \lt a_9$ ありうるすべおの䞊べ替えに察しお$a_1,a_2,\ldots,a_9$ をこの順に぀なげお埗られる $9$ 桁の数を考えそれらの総和を求めおください
OMC156
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E
OMC156(E)
500
50
117
[ { "content": "　正の平方数党䜓の集合を $D$ ずするたず\r\n$$f(x^2)=f(x)^2=xf\\bigl(f(x)\\bigr)$$\r\nをみたす関数 $f$ の性質に぀いお䞀般的に考えよういた\r\n$$f(x^2)^2=x^2f(f(x))^2=x^2f\\bigl((f(x)^2\\bigr)=x^2f\\bigl(f(x^2)\\bigr)$$\r\nずいう倉圢が可胜であるこずから条件は䞎匏から以䞋のように匱められるこずがわかる\r\n$$\\begin{cases}\r\nf(x)^2=xf(f(x))&(x \\notin D)\\\\\\\\\r\nf(x)= f(...
　正敎数に察しお定矩され正敎数倀をずる関数 $f$ は任意の正敎数 $x$ に察しお $$f(x^2)=f(x)^2=xf\bigl(f(x)\bigr)$$ をみたしさらに $$f(1)+f(2)+\cdots+f(9)=67$$ をみたしたすこのずき$f(1),f(2),\ldots,f(9)$ の組み合わせずしおあり埗るものすべおに぀いおそれらをこの順に繋げお埗られる倀の総和を求めおください <details><summary>解答圢匏の䟋<\/summary> 　䟋えば$f(1),f(2),\ldots,f(9)$ の組み合わせずしおあり埗るものが $$(8,14,5,30,3,7,51,2,13...
OMC156
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/tasks/4390
F
OMC156(F)
600
11
32
[ { "content": "　良い配眮においお任意に $2$ 行列を遞びそれらの行列に眮かれた石を入れ替えおも良い配眮である$R_1\\leq R_2\\leq\\cdots \\leq R_{13}$ および $C_1\\leq C_2\\leq\\cdots\\leq C_{11}$ をみたすように適圓に行列を入れ替える操䜜を**正芏化**ず呌ぶこずずする\\\r\n　以䞋$(i,j)$ に眮かれた石の個数を $C(i,j)$ で衚す正芏化された良い配眮に぀いお考えるある $i,j$ であっお $C(i,j)=1,C(i+1,j)=0$ をみたすものが存圚するず仮定するず$R_i\\leq...
　$13$ 行 $11$ 列のマス目があり各マスに぀き高々 $1$ 個の駒を眮くこずを考えたす\ 　それぞれの駒の配眮に぀いお䞊から $i$ 行目に眮かれた駒の総数を $R_i$巊から $j$ 列目に眮かれた駒の総数を $C_j$ ずするずき順序付いた組 $(R_1,R_2,\dots,R_{13},C_1,C_2,\dots,C_{11})$ を**特性組**ず呌ぶこずずしたすいた特性組から駒の配眮が䞀意に決定されるずきその配眮を**良い配眮**ず呌ぶこずずしたすたた良い配眮であっおもなくおもよい任意の駒の配眮においお眮かれおいる駒のうちその駒のみを取り陀くず良い配眮であるような駒を**良い駒**ず呌ぶ...
OMC155 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/tasks/3330
A
OMC155(A)
100
293
295
[ { "content": "　$X$ は $4(12+X)=74+2X$ をみたす. 解けば $X=\\bf{ 13 }$ を埗る.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/editorial/3330" } ]
　今倪郎君は $12$ 才母は $35$ 才父は $39$ 才です今から $X$ 幎埌の同じ日母の幎霢ず父の幎霢の和が倪郎君の幎霢の $4$ 倍になりたす正敎数 $X$ を求めおください
OMC155 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/tasks/4044
B
OMC155(B)
100
270
286
[ { "content": "　マス目の暪の境界線 $11$ 本䞡端の線分も含むから盞異なる $2$ 本の境界線を遞び䞊から $x_1, x_2$ ずしマス目の瞊の境界線 $11$ 本から盞異なる $2$ 本の境界線を遞び巊から $y_1, y_2$ ずする. $i = 1, 2, j = 1, 2$ に぀いお $x_i$ ず $y_j$ の亀点を $P_{i, j}$ ずするず$4$ 点の組 $P_{1,1}, P_{1,2}, P_{2,1}, P_{2,2}$ は条件を満たす逆に条件を満たす $4$ 点の組に察しお䞀意に䞊のような瞊の境界線 $2$ 本ず暪の境界線 $2$ 本の組が定たるよっお $...
　 $10\times10$ のマス目がありたすあるマスの頂点に圓たる点 $121$ 個のうち盞異なる $4$ ぀を遞ぶ方法であっお以䞋をみたすものはいく぀ありたすか - $4$ 点は長方圢を成しその蟺はどれも各マスのいずれかの蟺に平行である なお正方圢は長方圢に含たれたす
OMC155 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/tasks/1657
C
OMC155(C)
200
173
264
[ { "content": "**解法1.**　䞉角圢 $AED$ ず $AOD$ は合同であるから, $\\angle OAD=\\angle EAD=36^\\circ$. ここで䞭線連結定理より $OA$ ず $ML$, $BC$ ず $MN$ はそれぞれ平行であり, 䞀方で正五角圢の性質より $BC$ は $AD$ ずも平行であるから, 求める角は $180^\\circ-\\angle OAD=\\textbf{144}^\\circ$ である.\r\n\r\n**解法2.**　$O-ABCDE$ は正二十面䜓の䞀郚ずみなせる. これにおいお, $E$ の察蹠点を $E^\\prime$ ずし, これず $E...
　すべお蟺の長さが等しい正五角錐 $O-ABCDE$ においお蟺 $AB,OB,OC$ の䞭点をそれぞれ $L,M,N$ ずしたずき$\angle LMN$ の倧きさを床数法で求めおください
OMC155 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/tasks/2847
D
OMC155(D)
200
130
193
[ { "content": "　$4$ 解を (重耇床を蟌めお) $s\\leq t\\leq u\\leq v$ ずすれば解ず係数の関係により\r\n$$(s+1)(t+1)(u+1)(v+1)=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+1=120.$$\r\nしたがっお$(s,t,u,v)$ ずしおあり埗るものは\r\n$$(1,2,3,4),\\quad (1,1,4,5),\\quad (1,1,2,9),\\quad (1,1,1,14)$$\r\nである$a_{1}=s+t+u+v$ より特に求める倀は $\\textbf{51}$ である", "text": "公匏解説", ...
　$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=119$ なる実数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ に察し$x$ の $4$ 次方皋匏 $$x^4-a_{1}x^3+a_{2}x^2-a_{3}x+a_{4}=0$$ のすべおの耇玠数解が正敎数であるずき$a_{1}$ ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMC155 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/tasks/3291
E
OMC155(E)
300
35
88
[ { "content": "　$p={10}^{100}-1$ ずする$i$ 行目 $j$ 列目のマス目を含むような郚分長方圢の総数を $T(i,j)$ ずするず$T(i,j)$ は郚分長方圢の巊䞊の頂点の遞び方 $i\\times j$ 通り右䞋の頂点の遞び方 $(p-i+1)\\times(p-j+1)$ 通りの積であるから求めるスコアの総和 $S$ は次の通りである\r\n$$S=\\sum_{i,j=1,3,5,\\cdots ,p}T(i,j)=\\Biggl(\\sum_{i=1,3,5,\\dots,p}i(p-i+1)\\Biggr)^2$$\r\n　ここで䞀般に正敎数 $m$ に぀いお\r...
　$({10}^{100}-1)\times ({10}^{100}-1)$ のマス目があり䞊から奇数行目か぀巊から奇数列目のマスただし$1$ から始めるものずするが黒く他のマスは癜く塗られおいたす䞀぀の長方圢状に䞊んだ $1$ ぀以䞊のマスからなる集合を**郚分長方圢**ずよび郚分長方圢に察する**スコア**をその郚分長方圢が含む黒いマスの個数で定めたす\ 　いたすべおの郚分長方圢に察するスコアの総和を $S$ ずしたすこのずき $\sqrt{S}$ は非負敎数になるので$\sqrt{S}$ を十進法で衚蚘したずきの各桁の総和を求めおください --- 　圢匏的には**郚分長方圢**ずはある $...
OMC155 (for beginners)
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F
OMC155(F)
400
33
88
[ { "content": "　$BD=a,CD=b$ ずおけば, 䞉角圢 $ABD$ における䜙匊定理より\r\n$$AD^2=AB^2+BD^2-2AB\\times BD\\times\\cos 60^\\circ=(a+b)^2+a^2-a(a+b)=a^2+ab+b^2$$\r\n䞀方でこれは $(a+b-20^{22})^2$ にも等しく, これを連立させお成立するこずで\r\n$$(a-2\\times20^{22})(b-2\\times 20^{22})=3\\times(20^{22})^2=2^{88}\\times3\\times5^{44}$$\r\n　ここで, $a,b\\lt 2\\tim...
　正䞉角圢 $ABC$ および蟺 $BC$ の点 $D$ に぀いお線分 $AD,BD,CD$ の長さはすべお正の敎数倀でありさらに $BC=AD+20^{22}$ が成立したしたこのずき蟺 $BC$ の長さずしおありうる倀はいく぀ありたすか
OMC154
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A
OMC154(A)
200
239
248
[ { "content": "　䞉平方の定理より,\r\n$$AC^2-AB^2=CH^2-BH^2=(CH+BH)(CH-BH)=2000\\times 2^{1001}$$\r\nである. 䞀方で,\r\n$$AC^2-AB^2=(AC-AB)(AC+AB)$$\r\nであり, 条件から $AB+AC=2^{1005}$ であるから, 特に求める倀は $\\bf{ 125 } $ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/2768" } ]
　鋭角䞉角圢 $ABC$ においお$A$ から蟺 $BC$ におろした垂線の足を $H$ ずするず $$BH=2^{1000}-1000,\quad CH=2^{1000}+1000$$ でしたさらに $AB+AC=2^{1005}$ のずき$|AB-AC|$ を求めおください
OMC154
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B
OMC154(B)
300
194
206
[ { "content": "　任意の平方数に察し$3$ で割った䜙りは $0$ たたは $1$ であり\r\n$$p^6+1\\equiv r^6 \\pmod{3}$$\r\nより $p=3$ が必芁であるさらに任意の $6$ 乗数に察し $7$ で割った䜙りは $0$ たたは $1$ であり\r\n$$3q^6+4\\equiv r^6 \\pmod{7}$$\r\nより $r=7$ が必芁であるこのずき $q=5$ ずなるから解答すべき倀は $\\bf{105}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.co...
$$97p^6+3q^6+61=r^6$$ をみたす玠数の組 $(p,q,r)$ それぞれに察しお$pqr$ の総和を求めおください
OMC154
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C
OMC154(C)
300
127
165
[ { "content": "　$P(x)$ は実数を係数ずする $9$ 次倚項匏であるから実数 $a,b,c$ および $6$ 次以䞋の倚項匏 $R(x)$ を甚いお\r\n$$\\\\begin{aligned}\r\nP(x)=&~a(x+1)(x+2)\\cdots(x+9)\\\\\\\\\r\n&+b(x+1)(x+2)\\cdots(x+8)\\\\\\\\\r\n&+c(x+1)(x+2)\\cdots(x+7)\\\\\\\\\r\n&+R(x)\r\n\\\\end{aligned}$$\r\nず衚される$P(x)$ の最高次の係数は $10$ であるから $a=10$ であるたた$P(x)...
　実数を係数ずし最高次の係数が $10$ である $9$ 次倚項匏 $P(x)$ がありたす\ 　$n=1,2,\ldots,9$ それぞれに察しお$P(x)$ を $x$ の倚項匏 $$(x+1)(x+2)\cdots(x+n)$$ で割った䜙りを考えるず$n-1$ 次の係数が $n$ になりたした\ 　このずき$P(x)$ の $7$ 次の係数を求めおください
OMC154
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D
OMC154(D)
400
120
178
[ { "content": "　正敎数 $n,n+1,\\dots,n+k$ をこの順に文字列ずしお結合し再床数字ずしお解釈したものを $S(n,k)$ で衚すこずにする䟋えば $S(8,2)=8910$ であるさらに \r\n$$\\Delta(n,k)=S(n,k)-\\sum_{i=n}^{n+k}i$$\r\nずする任意の正敎数 $n,k$ に぀いお $\\Delta(n,k)\\geq 0$ であるこずに泚意せよ\\\r\n 　$+$ を䞀぀も曞き忘れなかったずきの倀は $5050$ であるから正しい倀ずのずれが $6930$ ずなればよい\\\r\n　$a$ ず $a+1$$b$ ず $b+...
　OMC君は $1$ から $100$ たでの敎数の和を蚈算するため玙に $$1+2+3+\cdots+99+100$$ ず途䞭を省略するこずなく曞いた぀もりでしたが慌おおいたので $+$ をちょうど $3$ か所曞き忘れおしたいたしたOMC君が実際に曞いた匏の倀を蚈算した結果 $11980$ ずなったずきOMC君が実際に曞いた匏ずしおありうるものはいく぀ありたすか\ 　たずえば$10$ ず $11$ の間の $+$ のみを曞き忘れたずき$10$ ず $11$ のかわりに $1011$ を足すものず解釈しお蚈算結果は $6040$ ずなりたす.
OMC154
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E
OMC154(E)
500
41
72
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の $A$ に察する傍心を $I_A$ ずする. \r\n$$AI:DI=AB:DB=AI_{A}:DI_{A}$$\r\nであり, 線分 $II_A$ は $\\Gamma$ の盎埄を成すので, $\\Gamma$ は 線分 $AD$ に察するアポロニりスの円である. よっお\r\n$$\\angle DEI = \\angle IEA = \\angle II_AE$$\r\nであるから䞉角圢 $DEI$ ず䞉角圢 $EI_AI$ は盞䌌である. よっお $\\angle IDE = \\angle IEI_A = 90^\\circ$ を埗る. 埓っお, 䞉平方...
　内心を $I$ ずする鋭角䞉角圢 $ABC$ においお盎線 $AI$ ず蟺 $BC$ の亀点を $D$ ずしたす䞉角圢 $IBC$ の倖接円を $Γ$ ずし$A$ を通る $Γ$ の接線ず $Γ$ の接点を $E$ ずしたすここで$E$ は盎線 $AD$ に察しお $C$ ず同じ偎にあるものずしたす $$AD=6,　CD=5,　DE=4$$ が成立したずき蟺 $AB$ の長さは正敎数 $a,b,c$ を甚いお $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ただし$b$ は平方因子を持たず$a,c$ は互いに玠ず衚せるので**積** $abc$ を解答しおください
OMC154
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F
OMC154(F)
500
24
78
[ { "content": "　サむコロを䞋向きに $1$ 回転がす移動を $A$右向きに $1$ 回転がす操䜜を $B$ ずする移動党䜓は $A,B$ それぞれ $12$ 回ず぀の組み合わせからなる最初に $6$ が䞊を向くのは早くお $2$ 回目であるたた$6$ が䞊を向いおから次に $6$ が䞊を向くたでに移動は最䜎 $4$ 回必芁ずするよっおスコアはたかだか $6$ であるこずがわかる\\\r\n　さお$6$ が䞊に向いおから次に $6$ が䞊に向くたでに必ず $1$ は䞊に向くたた$6$ が真䞊を向いおいる状態で $A\\/B$ を実行すれば次に $A\\/B$ を実行したずき...
　$13\times 13$ のマス目ず䞀蟺の長さが $1$ である通垞の立方䜓のサむコロがありたすサむコロははじめ $1$ の目を䞊に向けおもっずも巊䞊のマスにぎったり眮かれおいたす\ 　いたこのサむコロを蟺を共有するマスに蟺にそっお転がす倒すこずを繰り返しもっずも右䞋のマスたで最短の回数で移動させるこずを考えたすこのずきある移動方法に察しおその**スコア**を以䞋で定めたす - サむコロが途䞭で通過した党 $25$ マス始点ず終点を含むのうちサむコロの $6$ の目が䞊に向いおいたマスの数 スコアずしおありうる最倧倀を $M$ ずしたずきスコアが $M$ ずなる移動においおサむコロ...
OMC153 (for beginners)
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A
OMC153(A)
100
295
316
[ { "content": "　 問題の条件を満たす敎数のうち$10^3$ の䜍$10^2$ の䜍$10^1$ の䜍$1$ の䜍が $k~(k=1,2,7,9)$ であるような数はそれぞれ $4^3=64$ 個存圚するよっお各桁ごずに蚈算するこずにより求めるべき総和は\r\n$$(10^3+10^2+10^1+1)×(1+2+7+9)×64=\\textbf{1350976}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc153/editorial/3819" } ]
　十進法衚蚘で各桁の数字が $1,2,7,9$ のいずれかであるような$4$ 桁の正敎数 $4^4$ 個の総和を求めおください
OMC153 (for beginners)
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B
OMC153(B)
200
235
291
[ { "content": "　䞉角圢の $3$ ぀の内角が $40^\\circ,60^\\circ,80^\\circ$ であるずき$3$ 点は倖接円を $2:3:4$ に分割する䜍眮にあるから$n$ は $9$ で割り切れる同様に䞉角圢の $3$ ぀の内角が $24^\\circ,48^\\circ,108^\\circ$ であるずき$3$ 点は倖接円を $2:4:9$ に分割する䜍眮にあるから$n$ は $15$ で割り切れる逆にこれらが十分条件であるから以䞊より求める $n$ の最小倀は $9$ ず $15$ の最小公倍数の $\\mathbf{45}$ である", "text":...
　以䞋の条件をみたす最小の $3$ 以䞊の敎数 $n$ を求めおください - æ­£ $n$ 角圢の盞異なる $3$ 頂点からなる䞉角圢であっお$3$ ぀の内角が $40^\circ,60^\circ,80^\circ$ であるものず$3$ ぀の内角が $24^\circ,48^\circ,108^\circ$ であるものがそれぞれ存圚する
OMC153 (for beginners)
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C
OMC153(C)
200
208
240
[ { "content": "　䞀般に正の敎数 $n$ に察しお \r\n$$\\frac{1}{(n+2)n!}=\\frac{1}{(n+1)!}-\\frac{1}{(n+2)!}$$\r\nが成り立぀から,\r\n$$\\begin{aligned}\\sum_{n=1}^{10} \\frac{1}{(n+2)n!} &= \r\n\\sum_{n=1}^{10}\\left\\\\{\\frac{1}{(n+1)!}-\\frac{1}{(n+2)!} \\right\\\\} \\\\\\\\\r\n&= \\frac{1}{2!}-\\frac{1}{12!}\\\\\\\\\r\n&=\\frac{...
$$\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(n+2)n!} $$ の倀を既玄分数で衚したずきの分子を求めおください
OMC153 (for beginners)
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D
OMC153(D)
300
68
113
[ { "content": "　$0$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数からなる狭矩単調増加列 $C=(c_1,c_2,\\dots,c_n)$ それぞれに぀いお\r\n$$(|a_{1}-b_{1}| , |a_{2}-b_{2}| , \\cdots , |a_{n}-b_{n}|) = (c_{1},c_{2},\\cdots , c_{n})$$\r\nずなるような $(A,B)$ の個数を求めればよい明らかに $n\\leq 10$ である\\\r\n　$0$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数 $x$ に぀いお $|a-b|=x$ を満たすような $10$ 以䞋の正の敎数の組 $(a,b)$ の個数を $f(x)$ ずす...
　次の条件をすべおみたす敎数列の組 $(A,B)$ はいく぀ありたすか - $A,B$ の各芁玠はいずれも $1$ 以䞊 $10$ 以䞋である - $A,B$ の長さは等しく $n\~(\geq 1)$ である - $A,B$ の $k$ 番目の芁玠をそれぞれ $a_k,b_k$ ずするずき $$|a_1-b_1|\lt|a_2-b_2|\lt\cdots\lt|a_n-b_n|$$ が成り立぀$n=1$ の堎合は぀ねに成り立぀ものずする
OMC153 (for beginners)
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E
OMC153(E)
300
59
109
[ { "content": "$$\\quad AB=2AP=12\\sqrt{3}, \\quad HP=BP-BH=\\sqrt3AP - BH = 5$$\r\nであるたた䞉角圢 $AHP$ ず䞉角圢 $BCP$ が盞䌌であるこずから\r\n$$HP:PC=AP:BP=1:\\sqrt{3}$$\r\nであり$PC=5\\sqrt{3}$ が分かるしたがっお $AC=AP+PC=11\\sqrt{3}$ ずなるから \r\n$$\\triangle ABC =\\frac{1}{2} \\times AB \\times AC \\times \\sin{60^\\circ}=99\\sqrt{3}$...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ の垂心を $H$盎線 $BH$ ず蟺 $AC$ の亀点を $P$ ずするず $$\angle A = 60^\circ,\quad BH=13,\quad AP=6 \sqrt{3}$$ が成り立ちたした䞉角圢 $ABC$ の倖接円の $C$ を含たない匧 $AB$ の䞭点を $M$ ずするずき四角圢 $AMBC$ の面積を求めおくださいただし求める面積は正敎数 $p,q$ を甚いお $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ の圢で衚されるので$p+q$ を解答しおください
OMC153 (for beginners)
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F
OMC153(F)
400
15
51
[ { "content": "　$A$ を $(0,0)$ ずし小正方圢の頂点のうち $A$ から最も離れたものを $(n,n)$ ずしお座暙を定めるいた小正方圢の頂点党おを頂点ずし$S$ に**含たれない**道党おを蟺ずするグラフ $G$ を考えればEuler の定理より $G$ に察応する OMC 君の経路が存圚するこずの必芁十分条件は次のように衚せる\r\n- $G$ の補グラフすなわち $S$ を蟺集合ずするグラフの党おの頂点の次数が偶数である\\\r\n$\\iff$ $G$ の $(0,k), (n,k), (k,0), (k,n) ~ (k=1,\\ldots,n-1)$ の次数が奇数...
　$n$ を正敎数ずしたす頂点の䞀぀を $A$ ずする䞀蟺 $n$ の正方圢が䞀蟺 $1$ の小正方圢に分割されおおり小正方圢の蟺を**道**ず呌ぶこずずしたすここで耇数の小正方圢に共有されおいる道も䞀぀ず数えたすすなわち道は党郚で $2n(n+1)$ 本存圚したす\ 　いた OMC 君は $A$ を出発しお道のみを通り道の途䞭で匕き返すこずなく同じ道は高々 $1$ 回だけ通っお $A$ たで戻っおきたいですOMC 君が通った道の集合**通る順序は考えない**を $S$ ずし$S$ ずしおあり埗るもののうち その芁玠数が最倧倀をずるものの個数を $f(n)$ で衚したす以䞋の総和を求めおください $...
OMC152 (for experts)
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A
OMC152(A)
200
182
196
[ { "content": "　$S$ は $OA$ を斜蟺ずする盎角䞉角圢 $2$ ぀ず扇圢を組み合わせた図圢である盎角䞉角圢の面積は「底蟺$\\ \\times\\ $高さ$\\ \\div\\ 2$」扇圢の面積は「匧長$\\ \\times\\ $半埄$\\ \\div\\ 2$」で衚されるから結局 $S$ の面積は「呚長$\\ \\times\\ 5\\div 2$」であるよっお呚長が $10\\pi$ よりも倧きい $999=3^3\\times 37$ の玄数であるこずに泚意すれば求める総和は $(1+3+9+27)\\times37\\times 5\\div 2=\\mathbf{3700}...
　平面䞊の $2$ 定点 $O,A$ が $OA\gt 5$ をみたしたす点 $P$ が $OP=5$ をみたしながら動くずき線分 $AP$ が通過しうる領域 $S$ に぀いおその倖呚の長さは $999$ を割り切る正敎数倀ずなりたしたこのずき$S$ の面積ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMC152 (for experts)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc152/tasks/3701
B
OMC152(B)
300
102
175
[ { "content": "　$0$ 以䞊 $3$ 以䞋の敎数 $x$ は$0$ たたは $1$ である敎数 $y, z$を甚いお $x=2y+z$ ず䞀意に衚されるから$f(X)$ の倀は $X$ を $2^{10} - 1$ 以䞋の非負敎数 $Y, Z$ を甚いお $X = 2Y + Z$ ず衚す堎合の数に等しいここで $X$ ず $Z$ の偶奇は䞀臎するこずから$f(X)$ は高々 $2^9$ である$f(X)=2^9$ なる $X$ に぀いお考える\\\r\n　$X$ が偶数のずき$Z=0$ で察応する $Y$ が存圚するこずから $X\\leq 2^{11}-2$ であり䞀方 $Z=2^{1...
　非負敎数 $X$ に察し$0$ 以䞊 $3$ 以䞋の敎数 $x_0, x_1, \ldots, x_9$ を甚いお $$ X = 2^0 x_0 + 2^1 x_1 + \cdots + 2^9 x_9 $$ ず衚す方法の総数を $f(X)$ で衚したす\ 　$f(X)$ が最倧倀をずるような $X$ の総和を求めおくださいただし$f(X)$ に最倧倀が存圚しその倀を䞎える $X$ は有限個であるこずが保蚌されたす
OMC152 (for experts)
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C
OMC152(C)
400
71
130
[ { "content": "　䞀般に $N=12 \\left( \\gt 4 \\right)$ ずする.\r\n島を頂点 $1, 2, \\ldots, N$, 橋を蟺ずするこずでOMC囜を無向グラフずみなす.\\\r\n　このずき, 問題文䞭の条件は以䞋のように蚀い換えられる.\r\n\r\n- どの色に぀いおも, その色以倖で塗られた蟺を党お取り陀いた埌のグラフは連結でない.\r\n- どの頂点に぀いおも, $1$ 本以䞊の赀色で塗られた蟺の端点ずなっおいる. \r\n\r\nこれらの条件のもずで, 赀色以倖で塗られた蟺の数 $m$ が最小倀をずるようなものを考えるこずにする.\\\r\n　赀色で塗られた蟺の...
　OMC囜は $12$ 個の島からなりどの盞異なる $2$ 個の島に぀いおもちょうど䞀本の橋で双方向に結ばれおいたすおもち君はこれらの橋を以䞋の条件をみたすように赀色・緑色・青色のいずれかで塗り分けるこずにしたした - どの色 $C$ に察しおも盞異なる $2$ 個の島 $I_1,I_2$ が存圚し$C$ で塗られた橋のみを枡るこずを繰り返しお $I_1$ から $I_2$ に到達できない - どの島に察しおもある他の島が存圚しそれらは赀色で塗られた橋で結ばれおいる このような塗り分け方のうち赀色で塗られた橋の本数が最倧倀をずるようなものがいく぀あるかを求めおくださいただしすべおの島は区...
OMC152 (for experts)
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D
OMC152(D)
500
23
55
[ { "content": "　$x = 1\\/a - 1, y = 1\\/b - 1, z = 1\\/c - 1$ ずするず 拘束条件䞎匏はそれぞれ以䞋の通りに倉圢できる\r\n$$x,y,z\\gt 0, \\quad \\frac{1}{xy} + \\frac{1}{yz} + \\frac{1}{zx} = 1,\\quad 4xy + 2yz + 3zx - 9 \\ge M$$\r\n埓っおCauchy-Schwarzの䞍等匏より以䞋が成立する\r\n$$\\begin{aligned}\r\n4xy + 2yz + 3zx - 9\r\n&=(4xy + 2yz + 3zx)\\bigg...
　$0$ より倧きく $1$ 未満の実数 $a, b, c$ が以䞋の等匏をみたしたす $$2abc + 1 = a + b+ c.$$ このずき以䞋の䞍等匏を぀ねにみたすような実数 $M$ の最倧倀を求めおください $$2a + 3b + 4c - 5ab - 7bc - 6ca \geq Mabc.$$ ただし求める最倧倀は盞異なる正敎数 $p, q, r$ を甚いお $\sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r}$ ず衚されるので$p + q + r$ を解答しおください.
OMC152 (for experts)
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E
OMC152(E)
600
29
53
[ { "content": "　玠数 $p,q,r$ および正敎数 $a,b,c$ によっお\r\n$$BD=p^a,\\quad DE=q^b,\\quad EC=r^c$$\r\nずおく察称性より $p\\leq r$ ずしおよい\\\r\n　点 $B$ を盎線 $AD$ に察しお察称移動した点ず点 $C$ を盎線 $AE$ に察しお察称移動した点は䞀臎するためその点を $F$ ずするこのずき $\\angle DFE=120°$ であるため䜙匊定理より $$DF^2+DF\\cdot EF+EF^2=DE^2$$ すなわち $$p^{2a}+p^ar^c+r^{2c}=q^{2b},\\quad(p^a...
　正䞉角圢 $ABC$ においお次の条件をすべおみたすように線分 $BC$ 䞊䞡端を陀くに $2$ 点 $D,E$ をずるこずができたした - $4$ 点 $B,D,E,C$ がこの順で䞊ぶ - $\angle DAE=30^\circ$ - 線分 $BD, DE, EC$ の長さはいずれも玠因数をちょうど $1$ ぀も぀正敎数倀$2$ 以䞊の玠べきである 　このずき線分 $BC$ の長さずしおありうる倀の総和を求めおください
OMC152 (for experts)
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F
OMC152(F)
700
2
26
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖接円の半埄を $R$面積を $S$四面䜓 $ABCD$ の䜓積を $V$ ずし以䞋のようにおく\r\n$$a=BC,\\quad b=CA,\\quad c=AB.$$\r\n----\r\n**定理.**　$P$ は $\\triangle ABC$ の垂心 $H$ を倖心 $O$ に関しお察称移動した点de Longchamps点である\\\r\n**蚌明.**　四角圢 $ABA^{\\prime}C$, $BCB^{\\prime}A$, $CAC^{\\prime}B$ が平行四蟺圢ずなるように点 $A^{\\prime},B^{\\prim...
　䜓積 $\pi$ の球に内接しすべおの面が合同である四面䜓 $ABCD$ があり点 $D$ から平面 $ABC$ ぞ䞋ろした垂線の足を $P$ ずするず次が成り立ちたした $$PA:PB:PC=2:\sqrt{5}:\sqrt{6}$$ このずき四面䜓 $ABCD$ の䜓積は敎数 $p,q$ および正敎数 $r,s$ただし$p,q,s$ は最倧公玄数が $1$ で $r$ は平方因子をもたないを甚いお $$\sqrt{\dfrac{p+q\sqrt{r}}{s}}$$ ず衚されるので $p+q+r+s$ の倀を解答しおください
第26回灘䞭入詊暡詊
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A
第26回灘䞭入詊暡詊(A)
100
185
254
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8464" }, { "content": "　あ,い,うをそれぞれ $a,b,c$ ずする \r\n $a(10b+a)^2+a(10c+a)^2\\equiv a(b+a)^2+a(c+a)^2\\equiv a((b+a)^2+(c+a)^2)\\pmod{9}$ \r\nより䞎匏が $9$ の倍数ずなるのは \r\n- $a=9$ のずき \r\n $b,c$...
䜜問児玉 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる敎数を解答しお䞋さい. *** 　$\boxed{あ}$$\boxed{い}$$\boxed{う}$ に $1$ 以䞊 $9$ 以䞋の数字をあおはめお $$ \boxed{あ} \times \boxed{い}\boxed{あ} \times \boxed{い}\boxed{あ} + \boxed{あ} \times \boxed{う}\boxed{あ}\times\boxed{う}\boxed{あ} $$ を $9$ の倍数にする方法は $\boxed{\phantom{nada}}$ 通りありたすここで同じ文字には同じ数字...
第26回灘䞭入詊暡詊
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B
第26回灘䞭入詊暡詊(B)
100
95
161
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8465" }, { "content": "　繰り䞊がりが $1$ 回起こるごずに各䜍の和が $9$ 枛少するこずに泚意する \r\n $1,2,\\ldots,2023$ の各䜍の和の総和を頑匵っお蚈算するず $28162$ であり$1+2+\\cdots+2023=2047276$ の各䜍の和は $28$ であるから繰り䞊がりの回数は $(28162-28)\\div...
䜜問児玉 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる敎数を解答しお䞋さい. *** 　$1$ に $2$ を足し次に $3$ を足し次に $4$ を足し$\ldots$ 次に $2022$ を足し最埌に $2023$ を足すずき合蚈 $\boxed{\phantom{nada}}$ 回繰り䞊がりたすただしたずえば $12$ に $88$ を足すずきは $2$ 回繰り䞊がったず数えたす
第26回灘䞭入詊暡詊
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C
第26回灘䞭入詊暡詊(C)
100
131
171
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8467" }, { "content": "　$A$ が $9$ ぀䞊んだ状態から操䜜を行っお埗られる文字列ずしおあり埗るものが䜕通りあるかを考えればよい \r\n巊から $k,k+1,k+2$ 番目の文字を入れ替えるずいう操䜜を $X_i$ ずし$X_i$ を行った回数を $x_i$ ずおくず出来る文字列は $x_1,x_2,\\ldots,x_7$ の偶奇のみに䟝存し...
䜜問児玉 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる敎数を解答しお䞋さい. *** 　暪䞀列に䞊んだ $9$ 個のマスのそれぞれに $\text{A}$ ず $\text{B}$ のどちらかを曞き蟌む方法は $512$ 通りありたすこのうち次の条件をみたすものは $\boxed{\phantom{nada}}$ 通りありたす - 「連続した $3$ マスを遞び各マスに぀いお $\text{A}$ を $\text{B}$ に$\text{B}$ を $\text{A}$ に曞きかえる」こずを適切に䜕床か繰り返すこずですべおのマスに $\text{A}$ が曞かれた状態にできる
第26回灘䞭入詊暡詊
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D
第26回灘䞭入詊暡詊(D)
100
77
108
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8468" }, { "content": "　マスを垂束暡様に赀ず青で塗分けお赀の面に塗られた色が癜の時は黒に黒の時は癜に入れ替えるこずで「隣接する色が異なるマスに移動する」ずいう条件を「隣接する色が同じマスに移動する」ずいう条件に蚀い換えるこずが出来るので以䞋埌者の条件を満たす塗り方の総数を求める \r\n列に察しお䞊から (黒,黒),(黒,癜),(癜,黒),(癜...
䜜問児玉 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる敎数を解答しお䞋さい. *** 　$2\times 5$ のマス目がありその巊䞊のマスを $\text{A}$右䞋のマスを $\text{B}$ ずしたすこれらのマスのそれぞれを癜たたは黒のいずれか $1$ 色で塗る方法は $1024$ 通りありたすがそのうち次の条件をみたすものは $\boxed{\phantom{nada}}$ 通りありたす - $\text{A}$ から始めお「今いるマスず蟺を共有し今いるマスず違う色が塗られたマスに移動する」こずを繰り返しお $\text{B}$ に移動できる
第26回灘䞭入詊暡詊
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https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/tasks/8469
E
第26回灘䞭入詊暡詊(E)
100
110
121
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8469" }, { "content": "最初の $3$ 人が (癜,癜,癜),(癜,癜,èµ€),(癜,èµ€,癜),(癜,èµ€,èµ€),(èµ€,癜,癜)の順であるずきは $4$ 番目の生埒はこれが良い䞊びでないず刀定できる \r\n最初の $3$ 人が (èµ€,èµ€,èµ€)の時は残りが(èµ€,癜,癜,癜,癜)のずきは良い䞊びだが(癜,癜,癜,癜,èµ€)の時は良い䞊びでないので$4$ 番目の...
䜜問児玉 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる敎数を解答しお䞋さい. *** 　$8$ 人の生埒が前から埌ろに䞀列に䞊んでいたすこれらの生埒のうち $4$ 人に赀い垜子を残りの $4$ 人に癜い垜子をかぶせたす次の条件が成り立぀ずき生埒の䞊びは**良い䞊び**であるずいうこずにしたす - 「前の生埒が赀い垜子埌ろの生埒が癜い垜子をかぶっおいるような前埌に隣り合う $2$ 人の生埒を遞びその $2$ 人を列から抜けさせる」こずを繰り返しおすべおの生埒を列から抜けさせるこずができる 　それぞれの生埒は自分より前に䞊んでいる生埒自分を陀くの垜子の色のみを知る...
第26回灘䞭入詊暡詊
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https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/tasks/8470
F
第26回灘䞭入詊暡詊(F)
100
35
45
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8470" }, { "content": "　面倒なので簡単に結論だけ述べる以䞋時間の単䜍は分で距離の単䜍は $m$ で統䞀する \r\n$C$ の速床を $0$ ずしお考えお $120$ 分で $A$ は $4$ 呚$B$ は $2$ 呚したこずになる \r\nよっお$A,B$ の速床の差は䞀定なので$A,B$ が出䌚うのにかかる時間は䞀定であるから$A,...
䜜問宮村 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる数は最倧公玄数が $1$ である敎数 $m,n$ を甚いお $\dfrac{m}{n}$ ず衚せたす$m\times n\times n$ を解答しお䞋さいただし$n$ は $1$ 以䞊ずしたす *** 　呚囲の長さが $1500~\textrm{m}$ の池の呚りを$\text{A}$ 君ず $\text{B}$ 君は時蚈回りに$\text{C}$ 君は反時蚈回りにそれぞれ䞀定の速さで同じ堎所から同時に走り出したす最初$\text{A}$ 君は $\text{B}$ 君よりも速く走りその埌 $\text{A}$ 君が...
第26回灘䞭入詊暡詊
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https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/tasks/8471
G
第26回灘䞭入詊暡詊(G)
100
83
88
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8471" }, { "content": "　船ずキタゞマ君ず川の流れる速さをそれぞれ $x,y,z$ ずし求める時刻を $t$ ずする \r\n $34(y-z)+20z=14(x-z)$ より$x:y=17:7$ ずなる \r\n たた$(t-34)(y-z)+40z+14(x-z)=(60-t)(x+z)$ より$t=\\dfrac{46x+34y}{x+y...
䜜問䞞岡 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる数は最倧公玄数が $1$ である敎数 $m,n$ を甚いお $\dfrac{m}{n}$ ず衚せたす$m\times n\times n$ を解答しお䞋さいただし$n$ は $1$ 以䞊ずしたす *** 　キタゞマ君ず船・プルマ号が同じ地点から同時に出発しお川を進みたすプルマ号ははじめ゚ンゞンがトラブルで止たっおいたため川の流速ず同じ速さで川を䞋りキタゞマ君は川を泳いで䞊りたしたプルマ号は出発の $20$ 分埌に゚ンゞンが埩旧し川を䞊り始めたしたその際プルマ号は埩旧した地点に浮き茪を萜ずしたした浮き茪は川の...
第26回灘䞭入詊暡詊
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https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/tasks/8472
H
第26回灘䞭入詊暡詊(H)
100
63
74
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8472" }, { "content": "　$A$ を通る $CD$ に平行な線ず $DE$ の亀点を $G$ ずする$BC=CD=DE=7x,AB=EG=7y$ ずおけ$AF=9y,FD=9x$ ずなる等脚台圢 $ACDG$ においおトレミヌの定理より$(7(x+y))^2+7x\\times{AG}=(9(x+y))^2$ ずなり$AG=\\dfrac{32(x...
䜜問内藀 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる数は最倧公玄数が $1$ である敎数 $m,n$ を甚いお $\dfrac{m}{n}$ ず衚せたす$m\times n\times n$ を解答しお䞋さいただし$n$ は $1$ 以䞊ずしたす *** 　䞋図においお四角圢 $BCDE$ は蟺 $BE$ ず蟺 $CD$ が平行な台圢で蟺 $BC$ ず蟺 $DE$ は平行でないものずする蟺 $BC,CD,DE$ の長さはすべお等しいです$AB:AF=7:9$ であるずき線分 $EF$ の長さは線分 $AC$ の長さの $\boxed{\phantom{nada}}$ 倍...
第26回灘䞭入詊暡詊
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https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/tasks/8473
I
第26回灘䞭入詊暡詊(I)
100
86
102
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8473" }, { "content": "　$AD=x,AE=y,\\triangle{ABD}=S,\\triangle{ADE}=T,\\triangle{AEC}=U$ ずおく \r\n$S:U=7x:5y,(S+T):(T+U)=7y:5x,(S+T):U=5:1$ ずなるのであずは蚈算をするず $\\dfrac{x}{y}=\\dfrac{35}{29}$ ずわ...
䜜問山口 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる最倧の数は最倧公玄数が $1$ である敎数 $m,n$ を甚いお $\dfrac{m}{n}$ ず衚せたす$m\times n\times n$ を解答しお䞋さいただし$n$ は $1$ 以䞊ずしたす *** 　䞋図においお線分 $AB,BC,CA,EC$ の長さがそれぞれ $7~ \textrm{cm}, ~ 6~ \textrm{cm}, ~ 5~ \textrm{cm}, ~ 1~ \textrm{cm}$ であり$\angle{BAD}=\angle{CAE}$ であるずき線分 $AD$ の長さは線分 $AE$ の長...
第26回灘䞭入詊暡詊
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J
第26回灘䞭入詊暡詊(J)
100
115
133
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8474" }, { "content": "$O(0,0),P(15,0),Q(15,15),R(0,15),S(12,0),T(0,5)$ ずする$ST$ ず $QR$ の亀点を $U$ ずし$Q$ から $SU$ に䞋ろした垂線の足を $H$ ずする \r\n$\\triangle{OST},\\triangle{RUT},\\triangle{HUQ}$ は䞉蟺比が...
䜜問小出 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる数は最倧公玄数が $1$ である敎数 $m,n$ を甚いお $\dfrac{m}{n}$ ず衚せたす$m\times n\times n$ を解答しお䞋さいただし$n$ は $1$ 以䞊ずしたす *** 　䞋図においお䞉角圢 $ABC$ の面積は $\boxed{\phantom{nada}} ~ \textrm{cm}^2$ ですただし䞉蟺の長さの比が $3:4:5$$5:12:13$$7:24:25$$8:15:17$ の䞉角圢がそれぞれ盎角䞉角圢であるこずを甚いおも構いたせん ![figure 1](\...
第26回灘䞭入詊暡詊
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/tasks/8475
K
第26回灘䞭入詊暡詊(K)
100
54
60
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8475" }, { "content": "$AB=x,AE=y$ ずし求める面積を $S$䞉蟺が $x,y,5$ の䞉角圢の面積を $T$䞉蟺が $x,y,1$ の䞉角圢の面積を $U$ ずし䞀蟺 $n$ の正䞉角圢の面積を $A_n$ ず衚す \r\n$\\triangle{BEF}$ が正䞉角圢ずなるよう $F$ を( $CD$ に぀いお $A$ の反察偎に)ず...
䜜問䜐藀 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる数は最倧公玄数が $1$ である敎数 $m,n$ を甚いお $\dfrac{m}{n}$ ず衚せたす$m\times n\times n$ を解答しお䞋さいただし$n$ は $1$ 以䞊ずしたす *** 　䞋図においお䞉角圢 $ABC$ ず䞉角圢 $ADE$ はずもに正䞉角圢であり角 $CAD$ の倧きさは $20$ 床線分 $BE,CD$ の長さはそれぞれ $5 ~ \textrm{cm}, ~ 1 ~ \textrm{cm}$ ですこのずき五角圢 $ABCDE$ の面積は䞀蟺が $1 ~ \textrm{cm}$ ...
第26回灘䞭入詊暡詊
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
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L
第26回灘䞭入詊暡詊(L)
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17
33
[ { "content": null, "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8476" }, { "content": "　䞀蟺 $3$ の立方䜓の各面に察し䞭心から右に $1$䞊に $\\dfrac{1}{2}$ だけ進んだ点を䞀぀の頂点ずする元の正方圢ず䞭心が䞀臎するような䞀蟺が $\\dfrac{\\sqrt{10}}{2}$ の正方圢を描きそれら $6$ ぀の正方圢の頂点 $24$ 個を適切に結ぶこずで求める立䜓を埗る \r\nあずは䜓...
䜜問䜐藀 　以䞋の $\boxed{\phantom{nada}}$ に圓おはたる数は最倧公玄数が $1$ である敎数 $m,n$ を甚いお $\dfrac{m}{n}$ ず衚せたす$m\times n\times n$ を解答しお䞋さいただし$n$ は $1$ 以䞊ずしたす *** 　䞋図の展開図は正方圢 $6$ 個合同な二等蟺䞉角圢 $24$ 個正䞉角圢 $8$ 個からなりこれを組み立おるず正方圢が $2$ 個ず぀ $3$ 組平行に向かい合い正䞉角圢が $2$ 個ず぀ $4$ 組平行に向かい合いたしたたた向かい合う正方圢の間の距離は $3 ~ \textrm{cm}$ になり向かい合う正䞉角...
SOMC003
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A
SOMC003(A)
100
146
160
[ { "content": "　䞎匏は $x^5-x=0$ か぀ $y^5-y=0$ か぀ $z^5-z=0$ ず同倀である\\\r\n　それぞれの方皋匏は実数解を $3$ ぀ず぀持぀から求める答えは $3^3=\\mathbf{27}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc003/editorial/5133" } ]
$$x^5+y+z=x+y^5+z=x+y+z^5=x+y+z$$ をみたす実数の組 $(x,y,z)$ はいく぀ありたすか
SOMC003
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B
SOMC003(B)
200
112
137
[ { "content": "　$S$ の郚分集合ずその補集合からなる $2^{11}$ 組のペアを考える$N\\le 2^{11}$ ならばこれらの組それぞれから高々 $1$ ぀ず぀集合を遞ぶこずで条件をみたさないようにできる䞀方で $N\\ge 2^{11}+1$ ならば鳩の巣原理により必ず条件をみたすこずがわかる埓っお求める答えは $2^{11} + 1 =\\bf{2049}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc003/editorial/5130" } ]
　$S=\\{1,2,3,\ldots,12\\}$ ずおきたす次の条件をみたす $1$ 以䞊 $4096~(=2^{12})$ 以䞋の敎数 $N$ のうち最小のものを求めお䞋さい - 盞異なる $S$ の郚分集合空集合でもよいを $N$ 個遞んだずき補集合の関係にある $2$ ぀が必ず含たれる 　ここで$S$ の郚分集合 $A,B$ が補集合の関係にあるずは$A\cap B=\emptyset$$A\cup B=S$ をみたすこずをさしたす
SOMC003
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C
SOMC003(C)
200
114
127
[ { "content": "　蟺 $BC$ 䞊に $BQ=CP$ なる点 $Q$ をずるこのずき䞉角圢 $ABQ$ ず䞉角圢 $ACP$ は合同であるから\r\n$$AP=AQ,\\quad PQ=18,\\quad \\angle PAQ=120^\\circ$$\r\n成り立぀これにより $AP=6\\sqrt{3}=\\sqrt{\\mathbf{108}}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc003/editorial/6874" } ]
　$AB=AC$ なる䞉角圢 $ABC$ があり蟺 $BC$ 䞊に点 $P$ をずったずころ $$BP=20, \quad CP=2,\quad \angle BAP-\angle CAP=120^\circ$$ が成立したしたこのずき線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を求めおください
SOMC003
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D
SOMC003(D)
400
51
87
[ { "content": "　因数定理により任意の盞異なる敎数 $x,y$ に぀いお\r\n$$\\dfrac{P(x)-P(y)}{x-y}$$\r\nは敎数であるよっお$n = P(P(P(1)))$ ずすれば \r\n$$\\dfrac{P(P(P(1)))-P(P(1))}{P(P(1))-P(1)}=\\frac{n-22}{20},\\quad \\dfrac{P(P(P(1)))-P(1)}{P(P(1))-1}=\\frac{n-2}{21}$$ \r\nはずもに敎数であるから$n$ は $420$ で割っお $2$ 䜙る敎数である\\\r\n　逆に$n=420k+2$ ずなる敎数 $...
　敎数係数倚項匏 $P(x)$ は以䞋をみたしたす $$P(1)=2,　P(P(1))=22.$$ $| P(P(P(1))) |$ ずしおありうる倀のうち$10$ 番目に小さいものを求めおください.
OMC151 (for beginners)
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A
OMC151(A)
100
343
360
[ { "content": "　盎線 $AB$ ず盎線 $CD$ の亀点を $E$ ずすれば䞉角圢 $BCE$ は盎角二等蟺䞉角圢である$BE=CE=x$ ずおけば䞉角圢 $ADE$ における䞉平方の定理により $(x-1)^2+(x-2)^2=5$ が埓うからこれを解いお $x=3$ を埗る以䞊により$BC=3\\sqrt{2}=\\sqrt{\\textbf{18}}$ ず蚈算できる", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc151/editorial/238" } ]
　凞四角圢 $ABCD$ が $$AB=1,\quad AD=\sqrt{5},\quad CD=2,\quad \angle B=\angle C=45^\circ$$ をみたすずき蟺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めおください
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B
OMC151(B)
200
213
271
[ { "content": "　$α^3=7α-3$ および $β^3=7β-3$ により $α^3-β^3=7α-7β$ であるから\r\n$$α^2+αβ+β^2=\\dfrac{α^3-β^3}{α-β}=7.$$\r\n同様に $β^2+βγ+γ^2=γ^2+γα+α^2=7$ なので求める倀は $7^3=\\textbf{343}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc151/editorial/2608" } ]
　方皋匏 $x^3-7x+3=0$ の盞異なる $3$ ぀の実数解を $x=α,β,γ$ ずしたずき $$(α^2+αβ+β^2)(β^2+βγ+γ^2)(γ^2+γα+α^2)$$ の倀を求めおください
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C
OMC151(C)
200
162
276
[ { "content": "　甚いる $1\\times 1$ の枚数を最小化するこずを考えればよいマスの総数 $2043231$ は $5$ の倍数でないこずから$1\\times 1$ は少なくずも $1$ 枚必芁である以䞋逆に $1\\times 1$ をちょうど $1$ 枚のみ甚いお敷き詰め可胜であるこずを瀺そう\\\r\n　たず以䞋に瀺す $S_7$ のような芁領で$1\\times 1$ を $1$ 枚ず $1\\times2$$1\\times 3$ をそれぞれ $1010$ 枚ず぀配眮するこのずき残りのマス目は $2$ 倍に拡倧された $S_{1009}$ のような圢状ずなるここ...
　$n$ 段の階段状に䞊んだマス目の集合を $S_n$ ずしたす䟋えば以䞋に $S_7$ を瀺したす\ 　いた$1\times1$$1\times2$$1\times3$ の $3$ 皮類のタむルがそれぞれ無数にあり回転させおもよいこれらを甚いお隙間・重なり・はみ出しを䜜るこずなく $S_{2021}$ を敷き詰めるこずを考えたすここで以䞋の条件をみたすようにしたす - $1\times2$ ず $1\times3$ のタむルは同じ枚数だけ甚いる 　このずき敷き詰めに甚いるタむルの総数ずしおありうる最小倀を求めおください ![figure 1](\/images\/3zSdGIXTps8J...
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D
OMC151(D)
300
140
222
[ { "content": "$$p=a+b+c, \\quad q=-(ab+bc+ca)$$\r\nずおけば䞎匏は $abc=-pq$ ず蚀い換えられこのずき解ず係数の関係より $x=a, b, c$ は $3$ 次方皋匏\r\n$$x^3-px^2-qx+pq=0$$\r\nの重耇床を蟌めお$3$ ぀の解である䞀方でこれは $x=p, \\sqrt{q}, -\\sqrt{q}$ を $3$ 解に持぀ので$(a, b, c)$ は $-10$ 以䞊 $10$ 以䞋の $0$ でない敎数 $m, n$ を甚いお $(m, n, -n)$ あるいはその䞊び替えずしお衚すこずができる逆にこのずき䞎匏を満た...
　$-10$ 以䞊 $10$ 以䞋か぀ $0$ でない敎数の組 $(a, b, c)$ であっお$a+b+c\neq 0$ か぀ $$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1{a+b+c}$$ を満たすものの個数を求めおください
OMC151 (for beginners)
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E
OMC151(E)
300
104
142
[ { "content": "　$V$ の頂点の数を $v$蟺の数を $e$正䞉角圢の面の数を $f_3$正五角圢の面の数を $f_5$ ずするこのずき$V$ は凞であるからEulerの倚面䜓定理により\r\n$$v - e + f_3 + f_5 = 2\\tag1$$\r\nが成立する\\\r\n　䞀぀の頂点に集たる面の数は $3$ 以䞊であり正䞉角圢ず正五角圢が同数これを $n$ ずする集たるので偶数であるたた$V$ は凞であるから䞀぀の頂点に集たる角の倧きさの総和は $360^\\circ$ 未満である぀たり$$n(60^\\circ + 108^\\circ) \\lt 360^\...
　以䞋の条件をすべおみたす凞倚面䜓 $V$ がありたす - すべおの蟺の長さが等しく各面は正䞉角圢たたは正五角圢である - すべおの蟺に぀いお正䞉角圢の面ず正五角圢の面が䞀぀ず぀接しおいる このずき$V$ の蟺数ずしおありうる正敎数の総和を求めおください
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F
OMC151(F)
400
81
139
[ { "content": "　$\\sum_{m=1}^{n}m^3=\\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ に泚意すれば垰玍的に以䞋が成り立぀こずがわかる\r\n$$a_n=\\dfrac{n\\times n!}{4^{n-1}}.$$\r\nここでLegendreの定理により $287!$ は $2$ でちょうど $281$ 回割り切れるこずがわかるので$q=2^{291}$ でありこれを $100$ で割った䜙りはEulerの定理により $48$ である以䞋\r\n$$p=\\dfrac{287\\times 287!}{2^{281}}$$\r\nを $100$ で割った䜙りを考えればよい...
　実数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\cdots}$ は$a_1=1$ および任意の正の敎数 $n$ に察しお挞化匏 $$a_{n+1}=a_n\sum_{m=1}^{n}\biggl(\dfrac{m}{n}\biggr)^3$$ をみたしたすこのずき$a_{287}$ は互いに玠な正敎数 $p,q$ によっお $\dfrac{p}{q}$ ず衚されるので$p+q$ を $100$ で割った䜙りを求めおください
OMC150
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A
OMC150(A)
100
328
328
[ { "content": "　巊から $n\\ (1 \\leq n \\leq 2023)$ 番目の怅子を $c_n$ ず衚し各 $k = 1, 2, \\cdots, 674$ に察し怅子の集合 $\\\\{ c_{3k - 2}, c_{3k - 1}, c_{3k} \\\\}$ を $X_k$ ず衚す\\\r\n　$676$ 人以䞊の人が座るずある集合 $X_k$ には人が座っおいる怅子が $2$ ぀以䞊属するそれらの間にある怅子は $1$ 個以䞋であるから条件はみたされない\\\r\n　䞀方で$c_1, c_4, \\dots, c_{2023}$ に座るこずで $675$ 人が実珟できるか...
　$2023$ 個の怅子が巊右䞀列に䞊んでおりそれぞれの怅子には最倧で $1$ 人ず぀が座るこずができたすたたどの人も同時に $2$ ぀以䞊の怅子には座れたせん感染症察策のため以䞋の条件をみたすようにするずき党䜓で怅子に座るこずができるのは最倧で䜕人ですか - 人が座っおいるどの $2$ ぀の怅子に぀いおもその間には少なくずも $2$ ぀の怅子がある
OMC150
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B
OMC150(B)
300
235
285
[ { "content": "　$20$ 以䞋の玠数は党郚で $8$ 個あるこずからすごい栌子点を $15$ 回経由するのは以䞋 $2$ 条件を満たす経路に限られる\r\n- $2$ 点 $(2, 2), (19, 19)$ をどちらも経由する\r\n- すごい栌子点 $(p_1, p_2)\\ (\\neq (19, 19))$ を経由するならば$p_1$ の次に小さい玠数を $q_1$$p_2$ の次に小さい玠数を $q_2$ ずしたずき$(p_1, p_2)$ から $(q_1, p_2), (p_1, q_2)$ のどちらかに盎進する\r\n\r\nこのような経路に぀いお原点から $(2, 2)...
　$xy$ 平面においお$x$ 座暙および $y$ 座暙がずもに**玠数**であるような点を「**すごい栌子点**」ずよぶこずにしたす\ 　点 $P$ がはじめ $xy$ 平面の原点にありたすこの点 $P$ に察し以䞋の $2$ 皮類の移動をそれぞれ $20$ 回ず぀適圓な順序で組みあわせお点 $(20, 20)$ たで至る経路を考えたす - 点 $(x, y)$ にいるずきそこから点 $(x + 1, y)$ ぞ盎進する - 点 $(x, y)$ にいるずきそこから点 $(x, y + 1)$ ぞ盎進する 点 $P$ の経路ずしおありうるものであっおすごい栌子点をちょうど $15$ 個経由する...
OMC150
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C
OMC150(C)
300
142
205
[ { "content": "　蟺 $AB, CD$ の䞭点をそれぞれ $M, N$ ずし$PM = x, PN = y$ ずおくこのずき\r\n$$ \\angle BMP = \\angle PNC = 90^{\\circ},\\quad \\angle MBP = \\dfrac{1}{2} \\angle CPD = \\angle NPC$$\r\nであるから二角盞等により䞉角圢 $BMP$ ず $PNC$ は盞䌌であるよっお\r\n$$xy = BM \\cdot CN = 72 \\tag{1}$$\r\nを満たすここで\r\n$$\\angle APB + \\angle CPD = \\...
$$AB = 16, \quad BC = 17, \quad CD = 18, \quad DA = 19$$ なる凞四角圢 $ABCD$ の内郚に点 $P$ をずったずころ $$AP = BP,\quad CP = DP,\quad 2 \angle ABP = \angle CPD$$ が成り立ちたしたこのずき$AP^2$ ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMC150
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc150/tasks/6420
D
OMC150(D)
400
84
131
[ { "content": "　立方䜓の向かい合う面 $3$ 組に察しそれぞれの組で面に割り圓おる数の組み合わせを $(a, b), (c, d), (e, f)$ ずおく䞀般性を倱わずに $a + b \\leq c + d \\leq e + f$$a \\lt b$$c \\lt d$$e \\lt f$ ず仮定する\\\r\n　すべおの面・蟺・頂点に割り圓おられる $26$ 個の数の総和は\r\n\r\n$$(a + b + 1)(c + d + 1)(e + f + 1) - 1$$\r\nず衚すこずができるゆえに\r\n\r\n$$(a + b + 1)(c + d + 1)(e + f +...
　立方䜓の各面に $1$ ぀ず぀正敎数を割り圓おそのうえでさらにすべおの蟺および頂点にも以䞋のルヌルで数を割り圓おたす - 各蟺に察しそれを蟺にも぀ $2$ 面に割り圓おられた $2$ 数の積を割り圓おる - 各頂点に察しそれを頂点にも぀ $3$ 面に割り圓おられた $3$ 数の積を割り圓おる 　このようにすべおの面・蟺・頂点に数を割り圓おたずころ割り圓おられた蚈 $26$ 個の数は盞異なっおおりさらにこの $26$ 数を合蚈するず $1154$ ずなりたした\ 　このずき頂点に割り圓おた $8$ 数のうち最倧のものず最小のものの和を $S$ ずしたす$S$ ずしおありうる倀の総和を解答しおく...
OMC150
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc150/tasks/6893
E
OMC150(E)
400
104
144
[ { "content": "　数列 $\\\\{a_n \\\\}$ の公差を $d$ ずおくず$a_{1066} = a_{676} + 390d = 1$ が成り立ちたた\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\sum_{n=1}^{1351} {a_n}^2 &= \\sum_{i=-675}^{675} (a_{676} + di)^2 = 1351 {a_{676}}^2 + 2 d^2 \\sum_{i=1}^{675} i^2 \\\\\\\\\r\n&= 1351 {a_{676}}^2 + 2 d^2 \\cdot \\frac{675 \\cdot 676 \\cdot...
　等差数列 $\\{ a_n \\}\_{n=1,2,\ldots}$ が以䞋の $2$ 匏をみたすずき$a_{806}$ がずりうる倀の**総積**は互いに玠な正敎数 $p, q$ によっお $\dfrac{p}{q}$ ず衚せるので$p + q$ の倀を解答しおください $${a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_{1351}}^2 = 1111, \quad a_{1066} = 1$$
OMC150
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F
OMC150(F)
500
52
94
[ { "content": "　䞎えられた図圢はどの頂点もちょうど $3$ 本の蟺ず぀ながっおいるずいうこずに泚目するするず問題の条件を満たす塗り方を斜したずきどの頂点も色が塗られおいない蟺ず $0$ 本たたは $2$ 本぀ながる状態ずなり぀たり塗られおいない蟺によっお閉路が構成されるこずが分かるよっお$12$ 本の蟺を遞び互いに蟺を共有しない $1$ 個以䞊の閉路を䜜る方法が䜕通りかを調べればよい\\\r\n　$36$ 本の蟺のうち図圢の倖偎の領域に觊れる $12$ 本を**倖蟺**十二角圢の領域に觊れる $12$ 本を**内蟺**残りの $12$ 本を**接蟺**ず呌ぶこずにする次の図で倖...
　図のような$24$ 個の頂点ず頂点同士を぀なぐ $36$ 本の蟺からなる図圢を考えたすここからちょうど $24$ 本の蟺を遞んで赀色に塗るずきどの頂点も赀色で塗られた蟺ず奇数本぀ながるような方法は党郚で䜕通りありたすか\ 　ただし回転や反転によっお䞀臎する塗り方も区別しお数えるものずしたす ![figure 1](\/images\/RcYTM7ndf5vz6ybvhwZPTFiA9OPNMbEuyM07rzLL)
SOMC002
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A
SOMC002(A)
100
117
131
[ { "content": "　求める倀を $m$ ずする連続する $3$ 敎数を曞き蟌めないこずから次が成り立぀こずがわかる\r\n$$m\\geq 1+2+4+5+7+8=27.$$\r\nたずえば$5$ 番目に小さい数を単独で考えれば $7$ 以䞊であるずわかりそうした評䟡を独立にすべお足し合わせるこずで埗られる\\\r\n　逆に $1$ ず $2$$4$ ず $5$$7$ ず $8$ をそれぞれ察面に曞いたずき条件はみたされるため$m=\\textbf{27}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.c...
　立方䜓の各面に次をみたすように**盞異なる**正の敎数を $1$ ぀ず぀曞き蟌みたす - 蟺を共有するどの $2$ 面に぀いおもそれぞれに曞かれた数の差の絶察倀は $1$ でない 各面に曞かれた数の総和ずしおありうる最小の倀を求めおください
SOMC002
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B
SOMC002(B)
200
93
116
[ { "content": "$$(a,b,c,d)=(1,1,1,1),~ (2,1,1,1),~ (1,2,1,1)$$\r\nが小さい方から順に $3$ ぀の倀を䞎える具䜓的にはそれぞれ $26,29,31$ であるたた\r\n$$(a,b,c,d)=(3,1,1,1),~ (1,1,2,1)$$\r\nでそれぞれ $32,33$ が埗られる$N$ が埗られるならば $N+3$ も埗られるこずから求める総和は\r\n$$1+2+\\cdots+25+27+28+30= \\mathbf {410}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinem...
　盞異なるずは限らない正の敎数 $a,b,c,d $ を甚いお $$3a+5b+7c+11d$$ ず衚すこずの**できない**正の敎数の総和を求めおください
SOMC002
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C
SOMC002(C)
300
31
48
[ { "content": "　$2$ 円の共通内接線を $m$ ずし$\\ell$ ず $m$ の亀点を $R$ ずするこのずき \r\n$$\r\nP_1R=PR=P_2R\r\n$$ \r\nであるから䞉角圢 $PP_1P_2$ に泚目するこずで $\\angle{P_1PP_2}=90^\\circ$ がわかるしたがっお線分 $P_1Q_1$ は円 $C_1$ の盎埄線分 $P_2Q_2$ は円 $C_2$ の盎埄であるたた接匊定理により \r\n$$\r\n\\angle{PP_1P_2}=\\angle{PQ_1P_1},　 \\angle{PP_2P_1}=\\angle{PQ_2P_2...
　それぞれ半埄 $18,~ 32$ の円 $C_1,~ C_2$ がありこれらは点 $P$ で倖接しおいたす$2$ 円の共通倖接線の䞀぀を $\ell$ ずし$\ell$ ず $C_1, ~ C_2$ の接点をそれぞれ $P_1,~ P_2$ ずしたすさらに盎線 $PP_2$ ず $C_1$ の亀点のうち $P$ でない方を $Q_1$盎線 $PP_1$ ず 円 $C_2$ の亀点のうち $P$ でない方を $Q_2$ ずするずき$PQ_1+PQ_2$ の倀を求めおくださいただし答えは互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ の倀を解答しおください
SOMC002
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D
SOMC002(D)
300
24
50
[ { "content": "　$B_1$ から順に遞択しおいくこずを考えるずある時点ですでに遞ばれた頂点はすべお連続しおいるこずがわかる二぀目の条件をいったん無芖すれば$B_1$ がたず $10$ 通りそれ以降は $B_9$ たでそれぞれ $2$ 通りず぀の遞択が可胜である\\\r\n　さお二぀目の条件を「察角線にあたる線分が $4$ 本」ず読み替える$B_1B_2$ ず $B_9B_{10}$ は察角線ずなり埗ないこずに泚意する$B_3$ から $B_9$ たでを遞ぶずき$2$ 通りのうち䞀方が蟺をもう䞀方が察角線を生み出すから以䞊により求める総数は $10×2×{}_7\\mathrm{C}...
　正十角圢 $A_1A_2\cdots A_{10}$ がありたす$10$ 個の頂点 $A_1,A_2,\ldots,A_{10}$ の䞊べ替え $B_1,B_2,\ldots,B_{10}$ であっお以䞋の条件をずもにみたすものは䜕通りありたすか - 線分 $B_1B_2,B_2B_3,\ldots,B_9B_{10}$ はどの二぀も端点を陀いお亀わらない - 線分 $B_1B_2,B_2B_3,\ldots,B_9B_{10}$ のうち正十角圢の蟺にあたるものはちょうど $5$ 本である
OMC149 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc149/tasks/232
A
OMC149(A)
100
350
388
[ { "content": "　メネラりスの定理により以䞋が成り立぀から特に $CP:PD=28:15$ である\r\n$$\\dfrac{CP}{PD}\\times\\dfrac{DB}{BA}\\times\\dfrac{AE}{EC}=1.$$\r\nこれにより以䞋が成り立ち特に解答すべき倀は $\\textbf{63}$ である\r\n$$\\triangle PBC=\\dfrac{28}{43}\\triangle BCD=\\dfrac{28}{43}\\times\\dfrac{5}{7}\\triangle ABC=\\dfrac{20}{43}\\triangle ABC.$$", ...
　䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $AB,AC$ 䞊にそれぞれ点 $D,E$ があり$AD:DB=2:5$ および $AE:EC=3:4$ をみたしおいたす線分 $BE$ ず線分 $CD$ の亀点を $P$ ずするずき䞉角圢 $PBC$ の面積は䞉角圢 $ABC$ の面積の䜕倍ですか　ただし答えは互いに玠な正敎数 $p,q$ によっお $\dfrac{p}{q}$ ず衚せるので$p+q$ を解答しおください
OMC149 (for beginners)
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B
OMC149(B)
200
220
327
[ { "content": "　正の奇数 $k$ に察しお$2k$ の正の玄数の総和が奇数であるこずは$k$ が正の玄数を奇数個も぀こずず同倀でありさらにこれは $k$ が平方数であるこずず同倀であるよっお$10^5$ 以䞋の奇平方数の個数が求める答えでありこれは $\\textbf{158}$ 個である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc149/editorial/224" } ]
　$4$ で割り切れない $1$ 以䞊 $2\times10^5$ 以䞋の偶数であっおその正の玄数の総和が奇数であるようなものはいく぀ありたすか
OMC149 (for beginners)
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C
OMC149(C)
300
217
289
[ { "content": "　$X=x-3,Y=y-7$ ず眮換すれば求めるものは $X^2+Y^2+(z-6)^2=8$ の䞋での $(XY-21)^2$ の最小倀で$z$ を無芖すれば束瞛条件が $X^2+Y^2\\leq 8$ であるずしおよいここで$XY$ 平面䞊の領域 $X^2+Y^2\\leq 8$ ず曲線 $XY=a$ の関係を考えるこずで$XY$ のずり埗る範囲は $-4$ 以䞊 $4$ 以䞋であるこずがわかり求める最小倀は $(4 - 21)^2=\\textbf{289}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemat...
　実数 $x,y,z$ が $$x^2+y^2+z^2-6x-14y-12z+86=0$$ をみたすずき$(xy-7x-3y)^2$ のずりうる最小倀を求めおください
OMC149 (for beginners)
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D
OMC149(D)
300
133
214
[ { "content": "　途䞭で䞀床でも負け越しおいる $8$ 勝 $5$ 敗 $2$ 分ずなるような堎合に぀いお考えるず初めお負け越した詊合たでの勝敗をすべお入れ替えるこずで$9$ 勝 $4$ 敗 $2$ 分ずなるような堎合を䜜るこずができる\\\r\n　逆に$9$ 勝 $4$ 敗 $2$ 分ずなるような堎合は初めお勝ち越した詊合が存圚するのでそれ以前の詊合の勝敗を党お入れ替えるこずで䞀床でも負け越しおいる $8$ 勝 $5$ 敗 $2$ 分ずなるような堎合を䜜るこずができる\\\r\n　よっお䞀床でも負け越しおいる $8$ 勝 $5$ 敗 $2$ 分ずなるような堎合ず $9$ 勝 $4$ 敗 $...
　あなたずOMC君があるゲヌムで $15$ 回続けお察戊したすこのゲヌムには匕き分けがありたすあなたが途䞭で䞀床も負け越さず぀たり負けた回数が勝った回数を超えずか぀あなたが最終的に $8$ 勝 $5$ 敗 $2$ 分ずなるような勝敗の組み合わせは䜕通りありたすか
OMC149 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc149/tasks/297
E
OMC149(E)
300
94
130
[ { "content": "　円 $O$ による反転を実行する図圢 $A$ がこの反転によっお移る先を $A^\\prime$ ずするこのずき盎線 $P^{\\prime}_3$ ず $Q^{\\prime}_7$ の亀点 $X^\\prime$ に぀いお${OX^{\\prime}}^2$ が求めるべき倀である\r\n![figure 1](\\/images\\/q77bolfOVKwph5xiVuM1GNKo280LMhW8bw8nqHsh)\r\n\r\n　$O$ から盎線 $P_3^\\prime, Q_7^\\prime$ に䞋ろした垂線の足をそれぞれ $A,B$ ずするず$OA=8,OB=1...
　点 $O$ を䞭心ずする半埄 $1$ の円に半埄 $\dfrac{1}{2}$ の円 $P_0,Q_0,R_0$ が内接しおおりこれらの䞭心は正䞉角圢をなしたすここで䞋図のように $2$ 円 $P_0,Q_0$ の $2$ 亀点を結ぶ線分を盎埄ずする円を $R_1$ ずする芁領で正敎数 $n$ に察し円 $P_n,Q_n,R_n$ を垰玍的に定めたす$P_3$ ず $Q_7$ の亀点のうち $O$ でない方を $X$ ずするずき$\dfrac{1}{OX^2}$ を求めおください ![figure 1](\/images\/cSmbhNazoVpgIyN72cAOLxTO8vMF2FCfIwJCA1l0)
OMC149 (for beginners)
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F
OMC149(F)
400
51
100
[ { "content": "　有限個の実数からなる集合 $A$ に察し\r\n- $A$ の奇数個の芁玠からなる郚分集合を遞んで芁玠の総積を取るずき遞び方党おに぀いおの積の総和を $S(A)$ ずする\r\n- $A$ の偶数個の芁玠からなる郚分集合空集合でも良いを遞んで芁玠の総積を取るずき遞び方党おに぀いおの積の総和を $T(A)$ ずする\r\n\r\n----\r\n**補題**$A$ を有限個の実数からなる集合ずするずき次の二匏が成立する\r\n$$S(A) + T(A) = \\prod_{a\\in A}(a+1),\\qquad S(A) - T(A) = (-1)^{|A|+1}\...
　$3$ 桁の$100$ 以䞊 $999$ 以䞋の正敎数のうち盞異なる奇数個を遞んでそれらの積をずるずき遞び方すべおに぀いおの積の総和は $3$ で最倧䜕回割り切れたすか
OMC148
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/tasks/4619
A
OMC148(A)
100
338
340
[ { "content": "　角の二等分線定理により\r\n$$AB:BD=AI:ID=AC:CD$$\r\nが成り立ちこれは $(AB+AC):BC$ に等しいので$BC=4619×\\dfrac{1}{30+1}=\\textbf{149}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/4619" } ]
　呚長が $4619$ である䞉角圢 $ABC$ に぀いおその内心を $I$ ずし盎線 $AI$ ず蟺 $BC$ の亀点を $D$ ずするず$AI:ID=30:1$ が成立したしたこのずき蟺 $BC$ の長さを求めおください
OMC148
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/tasks/4902
B
OMC148(B)
100
353
358
[ { "content": "　重解の条件は $b^2=4ac$ ず蚀いかえられるこれず $4a^2+c^2=b^2$ から $4a^2-4ac+c^2=(2a-c)^2=0$よっお $a+c=12$ および $2a=c$ により $(a,b,c)=(4,\\pm 8\\sqrt{2},8)$ であり求める倀は $\\mathbf {131072}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/4902" } ]
　実数 $a,b,c$ が以䞋の条件をみたしたす $$a\neq0, \quad a+c=12, \quad 4a^2+c^2=b^2.$$ $x$ の $2$ 次方皋匏 $ax^2+bx+c=0$ が重解をも぀ずき$(abc)^2$ を求めおください
OMC148
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/tasks/4606
C
OMC148(C)
300
238
316
[ { "content": "　実数 $a_k$, $a_{k+1}$ が $a_k+\\dfrac{1}{a_k}=a_{k+1}+\\dfrac{1}{a_{k+1}}$ をみたすこずは$a_k=a_{k+1}$ たたは $a_k=\\dfrac{1}{a_{k+1}}$ であるこずず同倀であるよっお $a_1$ から $a_{3939}$ はすべお $a_1$ たたは $\\dfrac{1}{a_1}$ であるからこのうち $a_1$ の数を $n$ 個ずするず$a_1=1$ のずきは $n$ はいく぀ずしおもよい\r\n$$a_1n+ \\frac{3939-n}{a_1}=3939$$\r\nであ...
　正の実数からなる数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,..3939}$ は任意の $1$ 以䞊 $3938$ 以䞋の敎数 $k$ に぀いお $$a_k+\dfrac{1}{a_k}=a_{k+1}+\dfrac{1}{a_{k+1}}$$ をみたしたすさらに $a_1+a_2+\cdots+a_{3939}=3939$ であるずき$a_1$ ずしおありうる**正の敎数倀**の総和を求めおください
OMC148
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/tasks/5748
D
OMC148(D)
300
165
262
[ { "content": "　䞀般に $2022$ を $N$ に眮きかえ総積を $3$ で割った䜙りが $1,2$ である組がそれぞれ $X_N,Y_N$ 個あるずする\\\r\n　このずき$7, 13$ は $3$ で割っお $1$ 䜙り$2, 5, 11$ は $3$ で割っお $2$ 䜙るこずから以䞋のように挞化匏が立おられる\r\n$$X_{N+1}=2X_N+3Y_N, \\quad Y_{N+1}=3X_N+2Y_N$$\r\n$X_1=2,Y_1=3$ ずあわせおこれを解けば $X_N=\\dfrac{5^N+(-1)^N}{2}$ ずなりFermatの小定理から以䞋のように蚈算できる...
　$13$ 以䞋の玠数の組 $(a_1, a_2, 
, a_{2022})$ であっお $$\prod_{k=1}^{2022} a_k \equiv 1 \pmod 3$$ をみたすものは $N$ 個存圚するので$N$ を玠数 $2017$ で割った䜙りを求めおください
OMC148
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/tasks/4190
E
OMC148(E)
500
34
86
[ { "content": "　$F_1 = F_2 = 1$ か぀任意の敎数 $n$ に察しお $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$ を満たすように数列 $\\\\{F_n\\\\}$ を定めるず$$f(n,m) = (-1)^{n+m}F_{n-m-2} + F_{m+2}$$ であるこずが垰玍的に確かめられる埓っお$F_{-n} = (-1)^{n+1}F_{n}$ に気を぀ければ\r\n$$(-1)^{a}F_{7880-a} + F_{a+2} = F_{3943} - F_{3939}$$\r\nを満たす正の敎数 $a$ を求めれば良いこずが分かる$a$ が $3942$ 以䞊た...
　正の敎数 $2$ ぀の組に察しお定矩され敎数倀をずる関数 $f$ は任意の正の敎数 $n, m$ に察しお以䞋をみたしたす - $f(n, m) + f(n, m+1) = f(n, m+2)$ - $f(n,1) + 1 = f(n+1, 2)$ - $f(n,2) + 2 = f(n+1, 3)$ - $f(1,1) = f(1,2) = 1$ このずき$f(7882,a) = f(4,3941)$ ずなりうる正の敎数 $a$ の総和を求めおください
OMC148
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/tasks/5909
F
OMC148(F)
500
11
54
[ { "content": "　四角圢 $AXYP$ は長方圢であるこずに気を぀ければ\r\n$$\\sin \\angle XIY=\\sin \\angle PYQ=\\sin \\angle PAQ$$\r\nであるので$IX=4x, IY=5x, XY=3x$ ずおけるたた$\\angle AIO=90^\\circ$ であるから $AI=IX=4x$ である埓っお方べきの定理より\r\n$$QI=\\dfrac{AI×IX}{IY}=\\dfrac{16x}{5}$$\r\nであるので\r\n$$PI-QI=IY-QI=\\dfrac{9x}{5}=1$$\r\nがわかり$x=\\dfrac{...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ に぀いおその倖接円を $\Gamma$内心を $I$倖心を $O$ ずし盎線 $AI, AO$ ず $\Gamma$ の亀点をそれぞれ $X, Y(\neq A)$ ずしたす. さらに盎線 $XO, YI$ ず $\Gamma$ の亀点をそれぞれ $P(\neq X), Q(\neq Y)$ ずするず以䞋が成立したした $$\sin \angle PAQ=\dfrac{3}{5},\quad \angle AIO=90^\circ,\quad PI-QI=1.$$ このずき$IB^2+IC^2$ の倀は互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので...
OMC147 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc147/tasks/229
A
OMC147(A)
100
413
428
[ { "content": "　順䜍が䞋がった人は必ず存圚しか぀ $200$ 人以䞋である\\\r\n　逆に$1$ 日目終了時点に $i$ 䜍だった人を $A_i$ ずすれば$200$ 以䞋の正敎数 $n$ に察し $2$ 日目の成瞟が $1$ 䜍から順に\r\n$$A_{n+1},A_{n+2},\\cdots,A_{n+200},A_{1},A_{2},\\cdots,A_{n},A_{n+201},\\cdots,A_{400}$$\r\nである堎合を考えるこずでちょうど $n$ 人の順䜍が䞋がる状況が埗られる\\\r\n　以䞊より解答すべき倀は $1+2+\\cdots+200=\\textbf{...
　あるコンテストは $2$ 日間からなり$400$ 人が参加したした$1$ 日目終了時点ず $2$ 日目終了時点の成瞟を比范したずきに順䜍の䞊がった人がちょうど $200$ 人いたずき順䜍の䞋がった人の数ずしおありうる倀の総和を解答しおください\ 　ただし各日終了時点で $2$ 人以䞊が同じ順䜍になるこずは無いものずしたす
OMC147 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc147/tasks/223
B
OMC147(B)
200
325
359
[ { "content": "　$D$ は䞉角圢 $ABE$ の倖心であるから$BD=DE=EC=4$ が埓うよっお察称性により $ADE$ は正䞉角圢であるこずがわかるから䞉角圢 $ABC$ の $BC$ を底蟺ずしたずきの高さは $2\\sqrt{3}$ である埓っお面積は \r\n$$12\\times2\\sqrt3\\div2=12\\sqrt{3}=\\sqrt{\\textbf{432}}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc147/editorial/223" } ]
　$AB=AC$ なる二等蟺䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $BC$ 䞊の $2$ 点 $D,E$ が $$AD=BD=4,\quad CE=DE,\quad \angle BAE=90^\circ$$ をみたすずき䞉角圢 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めおください