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p1atdev
/
OnlineMathContest-2502

Dataset card Data Studio Files
xet
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OMC215 (お茶れミ√+杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/tasks/10031
H
OMC215(H)
400
14
41
[ { "content": "　 $a_1=2,a_2=40$ である以䞋$n\\geq 3$ ずする\\\r\næ­£ $3n$ 角圢の頂点を時蚈回りに $A_1,...,A_n,B_1,...,B_n,C_1,...,C_n$ ずする以䞋問題文の条件を満たす写像 $f$ を**良い写像**ず呌ぶ良い写像は単射であるある $1\\leq i \\leq n$ が存圚しお $\\\\{f(A_i),f(B_i),f(C_i)\\\\}=\\\\{A_n,B_n,C_n\\\\}$ が成り立぀ので$i$ が $n$ ず等しいかによっお堎合分けをする\r\n\r\n- $i=n$ のずき\\\r\n $( f...
　正 $3n$ 角圢がありその頂点党䜓からなる集合を $S_n$ ずしたす次の条件をみたす写像 $f\colon S_n\to S_n$ の個数を $a_n$ ずしたす - 任意の $S_n$ の芁玠 $a$ に぀いお $f(a)\neq a$ - 任意の $S_n$ の盞異なる芁玠 $a,b$ に぀いお $f(a)\neq f(b)$ - $S_n$ の盞異なる芁玠 $a,b,c$ が正䞉角圢の頂点をなすならば $f(a),f(b),f(c)$ は正䞉角圢の頂点をなす このずき次の倀を玠数 $100003$ で割った䜙りを求めおください $$a_{100000}-\sum_{n=1}^{99999...
OMC214 (゚リゞオン杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/tasks/10457
A
OMC214(A)
100
419
437
[ { "content": "　$3$ ぀以䞊の楜しい点が同䞀盎線䞊に䞊ぶずきこの盎線はもずの正方圢の蟺のいずれかを延長したものず䞀臎するしたがっお楜しい点から $2$ 点を遞ぶ方法である ${}_{20} \\mathrm{C}_2 = 190$ 通りのうち正方圢の同じ蟺䞊にある $2$ 点を遞ぶ方法 $4 \\cdot {}_6 \\mathrm{C}_2 = 60$ 通りを陀いた $130$ 通りにはそれぞれちょうど $2$ 個の楜しい点を通る盞異なる盎線が察応するしたがっお求める倀は $\\mathbf{130}$ 本である", "text": "公匏解説", "url": "h...
　平面䞊に正方圢がありその各頂点ず各蟺を $5$ 等分する点を合わせた蚈 $20$ 個の点を**楜しい点**ずよびたすちょうど $2$ ぀の楜しい点を通る盎線はこの平面䞊にいく぀ありたすか ![figure 1](\/images\/rdOjkIyiMC2YBDj5VYegvhYLQc6f2aaYLDPvL8LP)
OMC214 (゚リゞオン杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/tasks/5001
B
OMC214(B)
200
322
397
[ { "content": "　この平面は $A(0,0,0), X(3, 0, 1), Y(0, 4, 1)$ を通る平面ずしおよいたた空間内の点 $Z$ を $xy$ 平面䞊に正射圱した点を $Z^\\prime$ ずする. \\\r\n　盎線 $XY$ 䞊の任意の点 $P$ に぀いお$PP^\\prime = 1$ に気を぀ければ $AP$ 方向の募配は $\\dfrac{1}{AP^\\prime}$ であるたた$P$ が盎線 $XY$ 䞊をくたなく動くずき $P^\\prime$ は盎線 $X^\\prime Y^\\prime$ 䞊をくたなく動くので求める答えは $A$ ず盎線 $X^\\pri...
　氎平面ずそれに察しお傟いた平面がありたすこの平面の西方向ぞの募配は $-\dfrac13$南方向ぞの募配は $-\dfrac14$ でしたこのずき任意の方向に぀いお募配が $s$ 以䞋であるような実数 $s$ ずしお考えられる最小倀が存圚したすこの最小倀は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください ---- 　ここで氎平面䞊のある方向に぀いおの募配ずはその方向に氎平方向 $1$ だけ進んだずきの高さの倉化のこずをいいたす
OMC214 (゚リゞオン杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/tasks/5288
C
OMC214(C)
300
309
379
[ { "content": "　$1$ から $9$ たでの敎数を以䞋のように分類する同じグルヌプに属するものはたずめお考えおよい\r\n$$A\\colon\\lbrace 1,5,7\\rbrace, \\quad B\\colon\\lbrace 2,4,8\\rbrace, \\quad C\\colon\\lbrace 3,9\\rbrace, \\quad D\\colon\\lbrace 6\\rbrace.$$\r\n\r\nこのように分類したずき隣り合っおはいけない数の組は $BB,CC,BD,CD,DD$ である特に$D$ の䞡端は $A$ である必芁がある$(A,D,A)$ を固定した...
　$1$ から $9$ たでの敎数を $1$ ぀ず぀円環状に䞊べる方法であっおどの隣り合う $2$ 数も互いに玠であるようなものはいく぀ありたすかただし回転しお䞀臎するような䞊べ方は同䞀芖し反転によっお䞀臎するものは区別したす
OMC214 (゚リゞオン杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/tasks/5004
D
OMC214(D)
400
62
141
[ { "content": "　$f(x)=x^4+a(x-1)^4+b(x+1)^4+c(x-2)^4+d(x+2)^4$ ずするず問題文の䞋4匏より\r\n$$f\\bigg(\\frac{1}{20}\\bigg)\r\n=f\\bigg(\\frac{1}{30}\\bigg)\r\n=f\\bigg(\\frac{1}{40}\\bigg)\r\n=f\\bigg(\\frac{1}{50}\\bigg)=0$$\r\nである$f(x)$ は $x$ の $4$ 次匏なのである実数 $r$ が存圚しお次が恒等的に成り立぀\r\n$$f(x)\r\n=r\\bigg(x-\\frac{1}{20}\\bi...
　実数 $a,b,c,d,e$ が次の匏を満たしたす$e$ を求めおください $$\begin{cases} 9^4a&+&11^4b&+&19^4c&+&21^4d&=&-1+e\\\\ 19^4a&+&21^4b&+&39^4c&+&41^4d&=&-1\\\\ 29^4a&+&31^4b&+&59^4c&+&61^4d&=&-1\\\\ 39^4a&+&41^4b&+&79^4c&+&81^4d&=&-1\\\\ 49^4a&+&51^4b&+&99^4c&+&101^4d&=&-1 \end{cases}$$ ただし$e$ は互いに玠な正の敎数 $p,q$ を甚いお $e=\dfrac{p}{q}$...
OMC214 (゚リゞオン杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/tasks/8073
E
OMC214(E)
400
184
258
[ { "content": "　$n$ を任意の正の敎数ずし$100$ を $2n$ に眮き換えお考える\\\r\n　䞊から $a$ 行目巊から $b$ 列目にあるマスを $(a,b)$ ず呌ぶたた\r\n$$(1,n+1),\\quad (2,n),\\quad (3,n+1),\\quad (4,n),\\quad \\cdots, \\quad (2n-1,n+1),\\quad (2n,n)$$\r\nを「䞭倮のマス」ず呌び䞭倮のマスより巊偎にあるマスを単に「巊偎のマス」䞭倮のマスより右偎にあるマスを単に「右偎のマス」ず呌ぶこずにするたた$a+b$ が偶数ならば $(a,b)$ を癜に塗り奇...
　$1$ 以䞊 $5000$ 以䞋の敎数のうち $1$ ぀が曞かれおいる $1\times2$ のタむルが $5000$ 枚ありどの $2$ 枚のタむルに぀いおも曞かれおいる数は盞異なりたすこれらのタむルを重なりも隙間もなく $100\times100$ のマス目に敷き詰めるず次の条件を満たしおいたした - $1$ 以䞊 $4999$ 以䞋の任意の敎数 $k$ に぀いお$k$ が曞かれたタむルず $k+1$ が曞かれたタむルは長さ $1$ 以䞊の線分を共有しお隣り合う たた䞊から $a$ 行目巊から $b$ 列目にあるマスを芆うタむルに曞かれた数を $N_{a,b}$ ずしたすこのずき $$N_{1,5...
OMC214 (゚リゞオン杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/tasks/5005
F
OMC214(F)
500
28
74
[ { "content": "　$F$ は四角圢 $BCED$ に察するミケル点であるから䞉角圢 $FBC$ ず $FDE$, 䞉角圢 $FBD$ ず $FCE$ ず $FMN$ はそれぞれ盞䌌である. $DF = EF$ であるから, 特に䞉角圢 $FBD$ ず $FCE$ は合同であり, 䞉角圢 $FBC$ は二等蟺䞉角圢である. 埓っお $BD=CE$ であり,この長さを $x$ ずすれば $BE\\perp CD$ より次が成り立぀\r\n$$2x^2 = BD^2 + CE^2 = BC^2 + DE^2$$\r\nたた, \r\n$$BD : MN = DF : FN = 13 : 12$$\r\nである...
　半埄 $169$ の円に内接する䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $AB,AC$ 䞊にそれぞれ点 $D,E$ があり䞉角圢 $ABC,ADE$ それぞれの倖接円の亀点が $A$ でない点で亀わったのでそれを $F$ ずするず次が成り立ちたした $$DF=EF=130,\quad DE=100.$$ さらに線分 $BE$ ず線分 $CD$ は点 $X$ で盎亀したした線分 $BC,DE$ の䞭点をそれぞれ $M,N$ ずしたずき互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\cos\angle MXN=-\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC213 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/tasks/4775
A
OMC213(A)
100
424
451
[ { "content": "　たず最高䜍は $1$ でなくおはならない残りの $8$ に察する桁はそれぞれ $0,1$ の $2$ 通りそれ以倖の $0$ に察する桁はそれぞれ $10$ 通り存圚するから求める堎合の数は\r\n$$1×2^5×10^6=\\textbf{32000000}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/editorial/4775" } ]
　ある村には村民が $9\times 10^{11}$ 人おりそれぞれに盞異なる $12$ 桁最高䜍は $0$ でないの**個人コヌド**が付䞎されおいたすこの村では以䞋の条件をみたす盞異なる二人の村民に぀いおのみ互いがもう䞀方の友人になるこずができたす - 二人の個人コヌドを $10$ 進法においお足し合わせたずきに繰り䞊がりが発生しない 　村民である $U$ 君の個人コヌドは $808080808080$ です$U$ 君ず友人になれる村民は䜕人いたすか
OMC213 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/tasks/6843
B
OMC213(B)
100
418
437
[ { "content": "　$3$ ぀の盎線が䞉角圢をなさないずき$3$ 盎線が䞀点で亀わっおいるか$2$ 盎線が平行であるかのいずれかである\r\n- 前者の堎合$ y=ax+2 $ が $ y=x-8 $ ず $ 3x-2y=6 $ の亀点 $(-10, -18)$ を通るので$a=2$ である\r\n- 埌者の堎合$ y=ax+2 $ が $ y=x-8 $ ず平行なら $ a=1 $$ 3x-2y=6 $ ず平行なら $ a=\\dfrac 32 $ である\r\n\r\n　以䞊より求める総和は $\\dfrac 92$ であり特に解答すべき倀は $\\bf{11}$ である", ...
　$a$ を実数ずしたす以䞋の $3$ ぀の盎線で $xy$ 平面を分割するず䞉角圢ができたせんでした $$y=x-8, \quad 3x-2y=6, \quad y=ax+2$$ このずき$a$ が取り埗る倀の総和は互いに玠な正敎数 $ p, q $ を甚いお $\dfrac pq $ ず衚せるので$ p+q $ を解答しおください
OMC213 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/tasks/6902
C
OMC213(C)
200
413
434
[ { "content": "　$n$ を玠因数分解したずきの指数が党お $1$ の堎合明らかに問題の条件は満たされる逆にそうでない堎合 $n$ は $2$ 以䞊の平方数である正の玄数 $m$ を持ちこのずき $\\dfrac{n}{m}×n=\\dfrac{n^2}{m}$ は平方数であるから問題の条件を満たさない. \\\r\n　よっお問題の条件を満たす $n$ は \r\n$$2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19,21,22,23$$\r\n でありこれらの総和は $\\mathbf{188}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "h...
　$2$ 以䞊 $25$ 以䞋の正の敎数 $n$ であっお次を満たすものの総和を解答しお䞋さい - $n-1$ 以䞋の党おの正敎数 $k$ に぀いお$kn$ は平方数でない
OMC213 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/tasks/3395
D
OMC213(D)
200
301
374
[ { "content": "　繰り䞊がりが発生**しない**組 $(a,b,c)$ の数を数える\\\r\n　$a$ の $1$ の䜍$10$ の䜍$100$ の䜍をそれぞれ $A_0,A_1,A_2$ ずし$b,c$ に぀いおも同様に $B_0,B_1,B_2,C_0,C_1,C_2$ を定矩する$a+b+c$ の筆算においお繰り䞊がりが発生しないこずは次ず同倀である\r\n$$A _i+B_i+C_i\\leq 9 \\quad (i=0,1,2)$$\r\n $i$ の倀にかかわらず䞊の匏を満たす $0$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数の組 $(A _i,B_i,C_i)$ は ${}\\_{12}\\m...
　$0$ 以䞊 $999$ 以䞋の敎数の組 $(a,b,c)$ のうち$a+b+c$ を十進法衚蚘の筆算で蚈算したずきに繰り䞊がりが発生するものはいく぀ありたすか
OMC213 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/tasks/4213
E
OMC213(E)
200
197
225
[ { "content": "　蟺 $AC$ 䞊に $AB = AQ$ を満たす点 $Q$ をずるこのずき䞉角圢 $ABQ$ は正䞉角圢なので\r\n$$QB = AB = PC,\\quad QC=AC-AB=AC-PC=PB$$\r\nがそれぞれ成立する埓っお䞉角圢 $PBC$ ず䞉角圢 $QCB$ は合同であるから\r\n$$\\triangle ABQ = \\triangle ABC - \\triangle QCB = \\triangle ABC - \\triangle PBC = 2028$$\r\nである䞀方\r\n$$\\triangle ABQ = \\frac{1}{2}BQ^2\\s...
　$ \angle{A}=60^{\circ}$ を満たす䞉角圢 $ABC$ の内郚に $P$ をずったずころ$$BP+CP=AC,\quad AB=CP$$ が成り立ちたした䞉角圢 $ABC$ の面積が $4017$䞉角圢 $PBC$ の面積が $1989$ のずき $CP$ の長さの $4$ 乗を求めおください
OMC213 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/tasks/7166
F
OMC213(F)
300
187
249
[ { "content": "　$a_{n+1} = 3{a_n}^2 - 4a_n + 2$ を倉圢するず$3a_{n+1} - 2 = (3a_n - 2)^2$ が埗られるので次が成り立぀\r\n$$3a_{3334}-2=(3a_1-2)^{2^{3333}}=10000^{2^{3333}}=10^{2^{3335}}$$\r\nよっお\r\n$$a_{3334} = \\cfrac{10^{2^{3335}} + 2}{3}$$\r\nが埗られこれは最高䜍から $2^{3335} - 1$ 個だけ $3$ が䞊び䞀の䜍のみ $4$ ずなるような正敎数であるよっお\r\n$$M = 3 \\ti...
　$a_1 = 3334, ~ a_{n+1} = 3{a_n}^2 - 4a_n + 2$ $(n \geq 1)$ で定たる数列 $\lbrace a_n \rbrace$ に぀いお$a_{3334}$ は正の敎数ずなるので$a_{3334}$ の各桁の和を $M$ ずしたすこのずき$M$ を玠数 $3331$ で割った䜙りを解答しお䞋さい
OMC213 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/tasks/5557
G
OMC213(G)
300
80
102
[ { "content": "　盎線 $XY$ ず $\\Gamma_2$ の亀点を $R$ ずする\r\n\r\n---\r\n**補題.** 盎線 $XY$ は $∠PXQ$ の二等分線である\r\n\r\n**蚌明.** $\\Gamma_1,\\Gamma_2$ の䞭心をそれぞれ $O_1,O_2$ ずするこのずき$X$\r\nを䞭心ずする $\\Gamma_1$ を $\\Gamma_2$ に移す拡倧によっお $Y$ は $R$ に$O_1$ は $O_2$ にそれぞれ移る特に盎線 $YO_1$ ず $RO_2$ は平行でありたた $YO_1$ は $PQ$ に垂盎であるから$RO_2$ は ...
　二぀の円 $\Gamma_1,\Gamma_2$ があり$\Gamma_1$ は $\Gamma_2$ に点 $X$ で内接しおいたすたた$\Gamma_1$ 䞊に $X$ でない点 $Y$ を取るず$\Gamma_1$ の点 $Y$ における接線ず $\Gamma_2$ が盞異なる $2$ 点 $P,Q$ で亀わりたした $$XP=20,\quad XQ=23$$ が成り立ち$\Gamma_1$ の半埄ず $\Gamma_2$ の半埄の比が $4:9$ であるずき線分 $XY$ の長さの二乗を求めお䞋さい \ 　ただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお ${\dfrac{a}{b}}$ ...
OMC213 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/tasks/8567
H
OMC213(H)
400
46
90
[ { "content": "　䞀般に正 $N$ 角圢$N$ は $3$ 以䞊の敎数に察しお考える æ­£ $N$ 角圢の頂点を順に $A_1,A_2, \\ldots ,A_N$ ずし頂点の添字は $N$ を法ずしお考えるたた頂点 $A_i$ に塗られた色を $C_i$ ずする \\\r\n　以䞋スコアの $2$ 乗の総和を求めるここで\r\n$$\\begin{aligned}\r\n(スコアの二乗) &= (C_i=C_{i+1}ずなる\\\\, i\\\\, の個数)^2 \\\\\\\\\r\n&= (C_i=C_{i+1}ずなる\\\\, i\\\\, の個数) \\times (C_j=C...
　向きを固定した正 $333$ 角圢の各頂点を赀・青・緑の䞉色から䞀぀ず぀遞んで塗りそれぞれの塗り方に察しおその**スコア**を以䞋で定めたす - æ­£ $333$ 角圢の蟺のうち䞡端の頂点の色が等しいものの数 　回転によっお䞀臎する色の塗り方を区別した堎合の $3^{333}$ 通りすべおに぀いおそれぞれのスコアの $2$ 乗の盞加平均を求めおください
OMC212
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc212/tasks/8775
A
OMC212(A)
200
323
336
[ { "content": "　$N=1$ の堎合は条件を満たさない以䞋では$N\\ge2$ の堎合を考える\\\r\n　$x$ が $N$ の玄数であるずき $N\\/x$ も $N$ の玄数であるこずから$N$ の持぀玄数の個数を $d(N)$ ずするず $$m(N)\r\n=\\prod_{x\\mid N}x\r\n=\\Bigg(\\prod_{x\\mid N}x\\cdot \\frac Nx\\Bigg)^{1\\/2}\r\n=N^{d(N)\\/2}$$\r\nが成り立぀よっお以䞋が分かる\r\n$$\\begin{aligned}\r\n&N^{4} \\lt m(N) \\lt N...
　正敎数 $N$ に察しおその正の玄数の**総積**を $m(N)$ で衚すこずずしたすこのずき$1$ 以䞊 $100$ 以䞋の敎数 $N$ のうち$\ N^{4} \lt m(N) \lt N^{5}$ を満たすものの総和を解答しお䞋さい
OMC212
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc212/tasks/7165
B
OMC212(B)
300
75
121
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ が鋭角䞉角圢であるこずより$∠BHC = ∠BOC = ∠BIC = 120^\\circ$ であるこず及び$3$ 点 $H$, $O$, $I$ が蟺 $BC$ に関しお同じ偎にあるこずが分かるよっお $5$ 点 $B, H, O, I, C$ は同䞀円呚䞊にあり䞉角圢 $BOC$ の倖接円の半埄が $\\cfrac{14}{\\sqrt{3}}\\$ ずなるこずが分かる$∠BOC= 120^\\circ$ より$BC = 14$ が分かり$AB = a, AC = b$ ずおくこずで䜙匊定理より\r\n$$a^2 + b^2 - ab =...
　$∠A = 60^\circ$ であり党おの蟺の長さが敎数であるような鋭角䞉角圢 $ABC$ の垂心倖心内心をそれぞれ $H,O,I$ ずしたす$3$ 点 $H,O,I$ が䞉角圢を成しその倖接円の面積が $\cfrac{196}{3}\pi$ であるずき䞉角圢 $ABC$ の面積の $2$ 乗ずしおありうる倀の総和を解答しお䞋さい.
OMC212
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C
OMC212(C)
300
103
237
[ { "content": "　$2\\times n$ のマス目の各マスを癜ず黒で塗る方法であっお巊䞊のマスを黒で塗りさらに問題の条件の「右䞋のマス」を「右端の $2$ マスのいずれか」に倉えた条件をみたす方法の数を考えるこのような方法のうち$n$ 列目を䞊から順に黒ず黒で塗る方法の数を $a_n$黒ず癜で塗る方法の数を $b_n$癜ず黒で塗る方法の数を $c_n$ ずする癜ず癜で塗る堎合は黒のマスのみをたどっお右端に到達できないため考えなくおよいこのずき$ a_n , b_n , c_n $ の間に次の挞化匏が成り立぀\r\n$$ a_{n+1} = b_n + c_n,\\quad b_...
　$2$ 行 $2024$ 列の長方圢状のマス目がありたすこのずき$ 4048 $ 個のマスをそれぞれ癜か黒で塗る方法のうち以䞋の条件を満たすものの数を玠数 $2017$ で割った䜙りを解答しお䞋さい - 最も巊䞊のマスから始め隣接するマスのうち今いるマスず同じ色のマスぞ移動するこずを繰り返しお最も右䞋のマスたで到達するこずができるここで同じマスの䞊を耇数回通るこずができないずしたずきそのような移動の方法はちょうど $1$ 通り存圚する
OMC212
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D
OMC212(D)
400
56
88
[ { "content": "$a,b$ の最倧公玄数を$g$ ずし, 互いに玠な正敎数 $a^\\prime, b^\\prime$ によっお $a = ga^\\prime, b = gb^\\prime$ ず衚されたずする. このずき, \r\n$$\\gcd(b^2-a^2, b^2+a^2) = g^2\\gcd({b^\\prime}^2-{a^\\prime}^2, {b^\\prime}^2+{a^\\prime}^2) = g^2\\gcd(2{b^\\prime}^2, {b^\\prime}^2+{a^\\prime}^2)$$\r\nずなる. ここで, \r\n$\\gcd(2{b^\\prim...
　OMC君は黒板に最倧公玄数が $1$ であるような盞異なる $2024$ 個の正敎数を曞いた埌次の操䜜を $2023$ 回行うこずにしたした - 黒板に曞かれた数の䞭から $2$ ぀の敎数 $a,b$ を遞んで黒板から消し代わりに $\gcd(b^2-a^2, b^2+a^2)$ を黒板に曞くただし同じ敎数が $2$ ぀以䞊曞かれおいる堎合はそれらの䞭から $2$ ぀遞んでも良い 　このずき黒板にはちょうど $1$ ぀の敎数が曞かれた状態になりたすOMC君が最初に曞いた数や行う操䜜によらずこの敎数が必ず $n$ 以䞋ずなるような敎数 $n$ のうち最小のものが存圚するのでそれを $N$ ずしたす$...
OMC212
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E
OMC212(E)
500
9
41
[ { "content": "　初期状態においお同じ数列に含たれおいる $2$ ぀の敎数぀たり $ 1 \\leq n \\leq 256 $ を甚いお $ 2n-1 , 2n $ ず衚される $2$ 敎数を合わせお**ペア**ず呌ぶこずにする任意のペアに぀いおそのペアを含む数列を察象ずしお操䜜を行うたびにペアの $2$ 数の間にある数の個数が $1, 3, 7, \\dots $ 個ず増えおいくたた数列の長さに着目すればそのペアを含む数列は合蚈で $8$ 回操䜜の察象になるずわかるこれより最終的な数列 $T$ ではペアの関係にある $2$ 数の間には $255$ 個の数があるから$T$ の $1$ ...
　はじめ黒板に $256$ 個の長さ $2$ の数列 $(2n-1, 2n) ~ (n=1,2,\dots,256)$ が曞かれおいたすこれらの数列に察しお次の操䜜を考えたす - **操䜜**長さが等しい $2$ ぀の盞異なる数列 $(a_1, \ldots, a_m)$ および $(b_1, \ldots, b_m)$ であっお任意の $1 \le k \le m$ に぀いお $a_k \le b_k$ をみたすものを黒板から遞びそれらを消すそしお黒板に長さが $2$ 倍の数列 $(a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_m, b_m)$ を新たに曞き足す この操䜜を䜕床か行った結...
OMC212
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F
OMC212(F)
500
18
31
[ { "content": "　点 $Y$ を含たない方の匧 $AB$ の䞭点を $P$点 $Y$ を含む方の匧 $AB$ の䞭点を $Q$ ずするこのずき$3$ 点 $Y, X, P$ 及び $ZXQ$ がこの順に同䞀盎線䞊に䞊ぶこずをたず瀺す\\\r\n　以䞋円 $Ω$ の䞭心を $O$円 $Ω_1$ の䞭心を $O_1$円 $Ω_2$ の䞭心を $O_2$ ずするこのずき$P$ が匧 $AB$ の䞭点であるこずから $PO \\perp AB$ が埓いたた明らかに $O_1X \\perp AB$ であるため$PO \\parallel O_1X$ が埓い $Y, O_1, O$ が...
　円 $Ω$ の呚䞊に異なる $2$ 点 $A,B$ があり線分 $AB$ 䞊に点 $X$ がありたすたた, 円 $Ω$ の呚䞊に $2$ 点 $Y,Z$ がありこれらは盎線 $AB$ に関しお反察偎にありか぀ $AY = 8, BY = 4$ を満たしたすこのずき円 $Ω_1$ は点 $X$ で線分 $AB$ に接し点 $Y$ で円 $Ω$ に内接したしたたた円 $Ω_2$ は点 $X$ で線分 $AB$ に接し点 $Z$ で円 $Ω$ に内接したしたそしお線分 $AB$ の䞭点を $M$ ずしたずき$YM : ZM = 3:5$ が成立したした線分 $AB$ の垂盎二等分線ず盎線 $YZ$ の亀点を ...
OMC211 (for beginners)
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A
OMC211(A)
100
355
365
[ { "content": "　条件は $ab-(a+b)+1=(a-1)(b-1)$ が $10$ で割っお $1$ 䜙るこずず同倀である$10$ で割っお $1$ 䜙る正敎数であっお$8$ 以䞋の正敎数 $2$ ぀の積に衚せるものは $1=1\\times 1$ ず $21=3\\times 7$ のみであるから求める組は $(2,2),(4,8),(8,4)$ である特に求める総和は $\\textbf{28}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/51...
　$1$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数の組 $(a,b)$ であっお$a+b$ ず $ab$ それぞれの䞀の䜍が等しいものすべおに぀いお$a+b$ の総和を求めおください
OMC211 (for beginners)
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B
OMC211(B)
200
306
354
[ { "content": "$$f(n)=\\dfrac{1}{n}+\\dfrac{20}{n^2}=\\frac{n+20}{n^2}$$\r\nずおく$f(n)=0$ のずき$n=-20$ を埗るそれ以倖のずき$\\lvert f(n) \\rvert\\geq 1$ すなわち\r\n$$\\lvert n+20 \\rvert \\geq n^2$$\r\nが必芁でありこれは $-4\\leq n\\leq 5$ ず同倀であるこの範囲で調べれば $n=-4, -1, 1, 5$ が適する\\\r\n　以䞊より解答は $20+4+1+1+5=\\bf{31}$ である", "text"...
$$\dfrac{1}{n}+\dfrac{20}{n^2}$$ が敎数ずなるような $0$ でない敎数 $n$ に぀いおその**絶察倀の総和**を解答しおください\ 　䟋えば求めるものが $n=-3,3,4$ であれば $$\lvert-3\rvert+\lvert3\rvert+\lvert4\rvert=10$$ を解答しおください
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C
OMC211(C)
200
227
279
[ { "content": "　 $AB=7x,AC=16y$ ずおくず方べきの定理より\r\n$$AD_1^2=AD_2 \\times AD_3,\\quad BD_1^2=BD_4^2,\\quad CD_3 \\times CD_2=CD_4^2$$\r\nずなるよっお\r\n$$x^2 : y^2 = 63 : 8, \\quad BD_1^2 = 9x^2, \\quad CD_4^2 = 14y^2$$\r\nであるから\r\n$$BD_4^2:CD_4^2=81:16$$\r\nより $BD_4:CD_4=9:4$ を埗る特に解答すべきは $\\bf13$ ", "text": "公...
　䞉角圢 $ABC$ の蟺 $AB, BC$ にそれぞれ点 $D_1, D_4$ で接する円 $\omega$ があり$\omega$ は盞異なる点 $D_2,D_3$ で蟺 $AC$ ず亀わっおいたすただし$4$ 点 $A,D_2,D_3,C$ はこの順に䞊んでいたす $$AD_1:D_1B=4:3,\quad AD_2:D_2D_3:D_3C=9:5:2$$ であるずき互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $BD_4:D_4C=a:b$ ず衚されたす$a+b$ を求めおください
OMC211 (for beginners)
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D
OMC211(D)
300
82
132
[ { "content": "　盎線 $I_CA$ ず $\\triangle ABC$ の倖接円の亀点のうち $A$ でない方を $M$ ずする䞀般に\r\n$$\\angle{CAB}+2\\angle{I_CAB}=180\\degree$$\r\nであるこずから次が成り立぀\r\n$$\\angle MAC=\\angle I_CAB=\\angle CAB=60\\degree$$\r\nこれより $MBC$ は正䞉角圢ずなるさらに簡単な角床蚈算から $\\angle MI_CB=\\angle MBI_C$ が分かるので\r\n$$MI_C=MB=MC=BC$$\r\nであるこれらのこずから\r\...
　$AC-BC=1$ を満たす $\triangle ABC$ に぀いおその $\angle C$ 内の傍心を $I_C$ ずするず以䞋が成立したした $$\angle I_CAB=\angle CAB,\quad BI_C=6$$ 　このずき蟺 $AB$ の長さは 互いに玠な正敎数 $a,c$ ず平方因子を持たない正敎数 $b$ によっお $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ ず衚せるので$a+b+c$ を解答しおください
OMC211 (for beginners)
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E
OMC211(E)
400
53
86
[ { "content": "　$3×20$ のマス目を考え䞊から $a_i$ 行目巊から $b_i$ 行目のマスを $X_i$ ずするこのずき$X_1,X_2,\\ldots,X_{60}$ はマス目の党おのマスを通り巊䞊のマスから右䞊のマスたで蟺を共有したマスを蟿る道になっおいるからこのような道の個数を数えれば良い以䞋では䞊から $c$ 行目巊から $d$ 行目のマスを $[c,d]$ で衚す\\\r\n　$[1,1]$ から $0$ 回以䞊右に進み初めお䞋に進んだマスを $[2,k]$ ずするず道はそこから\r\n$$[2,k]→ \\cdots →[2,1]→[3,1]→ \\cdot...
　$1$ 以䞊 $3$ 以䞋の敎数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_{60})$ ず $1$ 以䞊 $20$ 以䞋の敎数の組 $(b_1,b_2,\ldots,b_{60})$ のペアであっお以䞋の条件をすべおみたすものはいく぀ありたすか - $a_1=a_{60}=b_1=1, ~ b_{60}=20$ - $i=1,2,\ldots,59$ それぞれに぀いお以䞋の䞀方が成り立぀ - $|a_{i}-a_{i+1}|=1$ か぀ $b_i=b_{i+1}$ - $a_i=a_{i+1}$ か぀ $|b_{i}-b_{i+1}|=1$ - 組 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\...
OMC211 (for beginners)
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F
OMC211(F)
400
50
62
[ { "content": "　たず任意の耇玠数係数倚項匏 $P$ に぀いお$P(x)-x$ が重根を持たないならば $P(P(x)) - x$ は $P(x) - x$ で割り切れる\r\n<details><summary>理由<\\/summary>\r\n　$P(x)-x=0$ の任意の解 $\\alpha$ に぀いお$P(P(\\alpha))-\\alpha=0$ ずなるため\r\n<\\/details>\r\n\r\nよっお$2000=m$ ずすれば\r\n$$\\begin{aligned}\r\n-p &= f(f(n))-n \\\\\\\\\r\n&= (n^2+3n-m^2)^2+...
　$f(x)=x^2+3x-4000000$ ず定めたす. 以䞋の等匏を満たす敎数 $n$ ず 玠数 $p$ の組 $(n,p)$ 党おに぀いお$np$ の総和を求めおください. $$n=f(f(n))+p$$
OMC210 (゚リゞオン杯)
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A
OMC210(A)
300
175
243
[ { "content": "　たず䞀぀目の条件より $f$ は玠数での倀を決めれば䞀意に定たるこずに泚意し$n=m=1$ より $f(1)=1$ であるさらに $f, \\sigma, d$ はいずれも乗法的関数であるこずから二぀目の条件は $n$ が玠べきのずきでの成立が必芁十分である\\\r\n　$p$ を玠数$m$ を正敎数ずするず二぀目の条件は\r\n$$1\\le\\frac{d(p^m)\\sigma(p^m)}{f(p^m)}=\\frac{(m+1)(p^m+p^{m-1}+\\cdots+1)}{f(p)^m}=\\frac{(m+1)(p^{m+1}-1)}{(p-1)f(p)^m...
　正の敎数に察しお定矩され正の敎数倀をずる関数 $f$ が以䞋の条件をずもにみたしたす - 任意の正の敎数 $n, m$ に察しお $f(nm)=f(n)f(m)$ - 任意の正の敎数 $n$ に察しお $f(n)\le \sigma(n)d(n)$ 　このずき$f(2\times3^{10}\times5^{100}\times7^{1000})$ ずしおありうる倀はいく぀ありたすかここで$\sigma(n)$ は $n$ の正の玄数の総和を衚し$d(n)$ は $n$ の正の玄数の個数を衚したす
OMC210 (゚リゞオン杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc210/tasks/5093
B
OMC210(B)
500
129
193
[ { "content": "　正の敎数からなる空でない有限集合 $S$ の元を小さいほうから $a_1, a_2, \\ldots, a_m$ ずおくたた郚分集合の元の総和ずしお衚せるこずを**衚珟可胜**ず呌ぶこのずき$S$ がフレキシブルであるこずは以䞋ず同倀である\r\n\r\n- すべおの $k=1, 2, \\ldots, m$ に察しお $\\displaystyle a_k\\le1+\\sum_{i=1}^{k-1}a_i$ を満たすただし $\\displaystyle\\sum_{i=1}^{0}a_i=0$ ずする$\\quad\\cdots(\\star)$\r\n\r\n<de...
　正の敎数からなる空でない有限集合 $S$ が**フレキシブル**であるずは以䞋の条件を満たすこずをいいたす - $S$ の元の総和を $N$ ずするこのずき$1$ 以䞊 $N$ 以䞋の任意の敎数 $n$ に぀いおある $S$ の空でない郚分集合 $T$ が存圚しお$T$ の元の総和が $n$ になる 集合 $\\{1, 2, \ldots , 16\\}$ の空でない郚分集合であっおフレキシブルであるものはいく぀存圚したすか
OMC210 (゚リゞオン杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc210/tasks/5869
C
OMC210(C)
600
28
71
[ { "content": "　求める期埅倀を $E$ ずするボヌルを $n$ 回以䞊 $m$ 回以䞋取り出す確率を $p(n, m)$ ずすれば期埅倀に぀いお\r\n$$E=\\sum_{n=2}^{257}(n-1)^{3}p(n, n)=\\sum_{n=2}^{257}((n-1)^{3}-(n-2)^{3})p(n, 257)$$\r\nが成立するここで, $p(n, 257)$ は最初から $n-1$ 個の数が狭矩単調増加になる確率なので$\\dfrac{{}\\_{256}\\text{C} {}\\_{n-1}}{256^{n-1}}$ に等しいよっお\r\n$$\\begin{aligne...
　$1$ から $256$ たでの敎数のうちちょうど䞀぀が曞かれたボヌルがそれぞれ $1$ 個ず぀蚈 $256$ 個ありすべおが $1$ ぀の袋に入っおいたすここから $1$ 個ず぀取り出しお戻すこずを繰り返し盎前に取り出したボヌル以䞋の数が出たずころで取り出すこずをやめたすすべおのボヌルが等確率で珟れるずき最終的にボヌルを取り出した回数 $n$ に぀いお$(n-1)^{3}$ の期埅倀は互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を $256\times 257\times 258$ で割った䜙りを求めおください
OMC210 (゚リゞオン杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc210/tasks/3837
D
OMC210(D)
700
36
61
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖心垂心をそれぞれ $O, H$ ずする盎線 $AH$ ず蟺 $BC$ の亀点を $F$, $A$ から盎線 $DE$ に䞋ろした垂線の足を $G$, 盎線 $AH$ ず䞉角圢 $ABC$ の倖接円の亀点を $K$, $O$ に関しお $A$ ず察称な点を $L$ ずする簡単な角床蚈算から $KL\\parallel BC (= FP)$ であるこず$G$ ず $P$ がずもに盎線 $AO$ 䞊にあるこずが分かる埓っお\r\n$$\\frac{AO}{AG} = \\frac{AL}{AP} = \\frac{AK}{AF}$$\r\nであるたた䞉角圢...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ においお$B,C$ から察蟺に䞋ろした垂線の足をそれぞれ $D, E$ ずおき盎線 $DE$ に関しお $A$ ず察称な点を $P$ ずおいたずころ$P$ は蟺 $BC$ 䞊にありたしたさらに $$BP=2, \quad PC=4$$ が成立するずき䞉角圢 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めおくださいただし答えは正の敎数 $a, b$ を甚いお $a+\sqrt{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC210 (゚リゞオン杯)
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E
OMC210(E)
700
14
24
[ { "content": "　偶奇を考えれば $2$ 個入りパックを偶数パック賌入するこずず $2$ 個以䞋入りパックを奇数パック賌入するこずは同倀である$2$ 個以䞋入りパックず $4$ 個以䞊入りパックをそれぞれ (偶数, 偶数)(偶数, 奇数)(奇数, 偶数)(奇数, 奇数) 個ず぀賌入する堎合の数をそれぞれ $a, b, c, d$ ずおけば求めるべきは $|c-d|$ である\\\r\n　䞀般に $11111$ を $N$ に眮きかえ圢匏的冪玚数を甚いお求めるたず$|a-b+c-d|$すなわちリンゎが $4$ 個以䞊入っおいるパックが偶数パックの堎合の数ず奇数パックの堎合の数の差を考えよ...
　OMC君はリンゎを賌入するため八癟屋に来たした八癟屋には**ふじ****箅玉****王林****シナノスむヌト**の $4$ ぀のリンゎの各品皮ず各 $j=0,1,2,
,13$ に぀いお 「**\[品皮名\]** $2^j$ 個入りパック」がそれぞれ十分たくさんありたしたOMC君はこれらのパックを組み合わせおリンゎをちょうど $11111$ 個賌入したいです買わない品皮があっおも構いたせんこのずきさらに$2$ 個入りパックはすべおの品皮に぀いお合蚈しお偶数パック賌入するようにしたいです\ 　ここでそのような組み合わせに぀いおすべおの品皮・個数に぀いお合蚈しお党郚で偶数パック賌入したずき**良...
OMC210 (゚リゞオン杯)
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F
OMC210(F)
900
0
13
[ { "content": "　この問題は次の3ステップに分けお解説する\r\n- - -\r\n**ステップ1OMC君の問題を解く**\\\r\n　䞉角圢 $ABC$ の倖接円の半埄を $R$ ずおいたずき\r\n$$R^2=\\frac{p^2 q^2}{-p^2+2q^2+a^2}$$\r\nが成立するこずを瀺す\r\n<details><summary>蚌明<\\/summary>\r\n　たず$\\Gamma$ による反転で $P$ は盎線 $MC$ ず盎線 $AB$ の亀点に移るのでこの点を $Q$ ずおくさらに$\\angle A, B, C$ それぞれに぀いお察応する䞉角圢 $ABC$...
　OMC君はOMCに提出するために以䞋の問題を䜜成したしたが数倀蚭定に悩んでいたす - - - **問題**$CA\gt CB$ なる䞉角圢 $ABC$ においお内心倖心をそれぞれ $I, O$ ずし倖接円を $\Gamma$ ずしたす$\Gamma$ の匧 $ACB$ の䞭点を $M$ ずしさらに䞉角圢 $OMC$ の倖接円ず䞉角圢 $OAB$ の倖接円の亀点のうち $O$ ず異なるものを $P$ ずおいたずころ $$IO=p,\quad OP=q,\quad PI=a$$ が成立したしたこのずき$\Gamma$ の半埄を求めおください - - - 　OMC君には匷いこだわりがあり以䞋の条...
OMC209 (for beginners)
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A
OMC209(A)
100
317
339
[ { "content": "　$\\angle AEI = \\angle AFI = 90^\\circ$ であるから $4$ 点 $A, E, F, I$ は同䞀円呚䞊にある埓っお,\r\n$$\\angle EIF = 180^\\circ - \\angle EAF = 180^\\circ - \\angle BAC = 123.06^\\circ$$\r\nであるたた䞉角圢 $DEF$ の倖心は $I$ であるから䞭心角の定理より\r\n$$\\angle EDF = \\frac{1}{2}\\angle EIF = 61.53^\\circ$$\r\nである特に解答すべき倀は $\\bf{6...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ の内心を $I$ ずし$I$ から 線分 $BC, CA, AB$ に䞋ろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ ずしたす$\angle BAC = 56.94^{\circ}$ であるずき$\angle EDF$ の倧きさを床数法で求めおくださいただし求める答えは互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{b}{a}$ ず衚されるので$a+b$ の倀を解答しおください.
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B
OMC209(B)
100
353
358
[ { "content": "$f(12)=f(34)$ より$f(x)$ の軞の方皋匏は $x=23$よっおある実数 $a$ を甚いお $f(x)=(x-23)^2+a$ ず衚せるここに $f(56)=78$ を代入しお $a=-1011$ が埗られるから$f(90)=\\textbf{3478}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc209/editorial/7129" } ]
　$x^2$ の係数が $1$ である二次関数 $f(x)$ に぀いお以䞋が成り立ちたす $$f(12)=f(34),\quad f(56)=78$$ このずき$f(90)$ の倀を解答しおください
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C
OMC209(C)
200
264
324
[ { "content": "　䟋えば $A$ の $1$ の䜍から $B$ の $1$ の䜍を匕いた倀は $-6,0,6$ のいずれかである$10,100,1000$ の䜍にに぀いおも同様であるからある $x_1,x_2,x_3,x_4\\in \\lbrace -6,0,6 \\rbrace$ が存圚しお次が成り立぀\r\n$$A-B=x_1+10x_2+100x_3+1000x_4$$\r\n逆に $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ を定めるず䞊匏を満たす $A,B$ が存圚するので$A-B$ ずしおあり埗る倀は $3^4=\\textbf{81}$ 通りである", "text": "公匏...
　おもち君はOMCのあるコンテストに参加しおいたしたが慌おん坊なので**コンテストペヌゞ内の電卓**の数字キヌの配眮を以䞋のように勘違いしおいたしたおもち君が入力しようずしたのが $4$ 桁の正敎数 $A$ であり実際に衚瀺された数が $B$ であったずしたずき$A-B$ ずしおあり埗る倀はいく぀ありたすか ![figure 1](\/images\/pEwoTGshxPWbLzADLnIRJLVAcEw8UcFNzbd2NTUs)
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D
OMC209(D)
200
307
337
[ { "content": "　$A$ 君の手を固定するず他の $6$ 人それぞれの手は $A$ 君ず同じ手たたは $A$ 君に負ける手の $2$ 通りあり埗るこのうち党員が $A$ 君ず同じ手を出す堎合は条件を満たさないこずに泚意するず求める確率は $\\dfrac{2^6-1}{3^6}=\\dfrac{7}{81}$ であり特に解答すべき倀は $\\mathbf{88}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc209/editorial/6057" } ]
　$A$ 君を含めた $7$ 人でじゃんけんを䞀床だけするずきあいこにならずに$A$ 君が勝぀確率 $A$ 君のみが勝぀確率でないこずに泚意しおくださいは互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ の倀を解答しおください ---- 　**远蚘 (21:22)**ただし$7$ 人はいずれもグヌ・チョキ・パヌを独立に等確率で出すものずしたす
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E
OMC209(E)
200
261
314
[ { "content": "　$100$ 以䞋の玠数 $p$ に぀いお集合の芁玠のうち $p$ の倍数であるものは高々 $1$ ぀である$100$ 以䞋の玠数は $25$ 個であるこずから条件をみたす倧きさ $26$ の集合は\r\n\r\n$$ \\lbrace 1, 2^{e_2}, 3^{e_3}, 5^{e_5}, \\ldots, 89^{e_{89}}, 97^{e_{97}}\\rbrace\\ (1\\leq e_2\\leq 6, 1\\leq e_3\\leq 4, 1\\leq e_5,e_7\\leq 2, e_{11},\\ldots,e_{97}=1)$$\r\n\r\nず衚される...
　$100$ 以䞋の正敎数からなる芁玠数が $26$ の集合であっおどの盞異なる $2$ ぀の芁玠も互いに玠ずなるようなものはいく぀ありたすかただし$100$ 以䞋の玠数は $25$ 個です
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F
OMC209(F)
300
173
197
[ { "content": "$$\\angle ADC = \\angle ABC - \\angle BCD = \\angle ACB - \\angle BCE = \\angle ACE$$\r\nであるから䞉角圢 $ACE$ ず䞉角圢 $ADC$ は盞䌌である埓っお$BE = x$ ずするず\r\n$$AC : AE = CD : CE = 61 : x$$\r\nであるから\r\n$AC = \\dfrac{26\\times61}{x}$\r\nず分かる䞀方$AC = AB = 26 + x$ ずも衚せるので比范するこずで $x = -13 + \\sqrt{1755}$ を埗るから$...
　$AB=AC$ である二等蟺䞉角圢 $ABC$ の盎線 $AB$ 䞊の $B$ に関しお $A$ ず反察偎に点 $D$ をずりたた線分 $AB$ 䞊に $\angle{BCD}=\angle{BCE}$ ずなるように点 $E$ をずったずき $$BC=75,\quad BD=61,\quad AE=26$$ が成立したしたこのずき線分 $AC$ の長さは正の敎数 $a, b$ を甚いお $a+\sqrt{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC209 (for beginners)
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G
OMC209(G)
300
106
168
[ { "content": "　䞎えられた匏を文字毎に分けお蚈算するず, \r\n$$ \\begin{aligned}\r\n\\displaystyle{ \\sum_{a=1}^A \\sum_{b=A+1}^B \\sum_{c=B+1}^C abc} &\r\n= \\displaystyle{ \\sum_{a=1}^A a\\sum_{b=A+1}^B b\\sum_{c=B+1}^C c}\\\\\\\\\r\n&=\\dfrac1{8}A(A+1)(B-A)(A+B+1)(C-B)(B+C+1) \\quad \\cdots(\\*)\r\n\\end{aligned}$$\r\nずなる. \\\r...
　$1 \leqq A \lt B \lt C \leqq 1000$を満たす敎数の組 $(A,B,C)$ のうち, $$ \displaystyle{ \sum_{a=1}^A \sum_{b=A+1}^B \sum_{c=B+1}^C abc}$$ が $3$ の倍数ずなるものは䜕通りありたすか.
OMC209 (for beginners)
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H
OMC209(H)
400
70
139
[ { "content": "$(i)$ $1000$ 以䞋の項をちょうど $1$ ぀含む堎合\\\r\n　明らかに $1000$ 以䞋の項の和が $1000$ を超えないので䞍適である\r\n\r\n----\r\n$(ii)$ $1000$ 以䞋の項をちょうど $2$ ぀含む堎合\\\r\n　この $2$ ぀の項を $a\\lt b$ ずする$a,b$ の次に倧きい項が $2b-a$ であるこずに泚意するず$a,b$ が満たすべき条件は次である\r\n$$1\\leq a\\lt b \\leq 1000\\lt 2b-a, \\quad a+b\\gt 1000$$\r\nこれより $1000-b\\l...
　初項ず公差がずもに正の敎数である無限等差数列であっお$1000$ 以䞋の項すべおの和が $1000$ より倧きいものは党郚でいく぀ありたすか
OMC208
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A
OMC208(A)
100
334
344
[ { "content": "　$2\\sqrt{10}-1=x$ ずおくず求める答えは次のように蚈算できる\r\n$$\\begin{aligned}\r\nx^4+4x^3+16x^2+24x+35\r\n&=(x+1)^4+10(x+1)^2+24\\\\\\\\\r\n&=40^2+10\\cdot40+24\\\\\\\\\r\n&=\\mathbf{2024}\r\n\\end{aligned}$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc208/editorial/7137" } ]
　次の匏を蚈算しおください $$\left\(2\sqrt{10}-1\right\)^4+4\left\(2\sqrt{10}-1\right\)^3+16\left\(2\sqrt{10}-1\right\)^2+24\left\(2\sqrt{10}-1\right\)+35$$
OMC208
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B
OMC208(B)
200
307
318
[ { "content": "　$p \\neq q$ より$p,q$ は互いに玠であるから$(p+1)^2 \\equiv 1\\equiv q^{p-1} \\pmod{p}$ が成り立぀よっお $p\\mid 345$ であるから$3,5,23$ が $p$ の候補である\r\n\r\n- $p=3$ のずき $4^2+345=q^2$ より $q=19$ が条件を満たす\r\n- $p=5$ のずき $6^2+345=q^4$これを満たす $q$ は存圚しない\r\n- $p=23$ のずき $24^2+345=q^{22}$これを満たす $q$ は存圚しない\r\n\r\n　したがっお...
　盞異なる玠数の組 $(p,q)$ であっお $$(p+1)^2+345=q^{p-1}$$ をみたすものすべおに぀いお$p+q$ の総和を求めおください
OMC208
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc208/tasks/6082
C
OMC208(C)
300
188
264
[ { "content": "　$P(x) = 0$ の解を重耇も蟌めお $x_1,x_2,\\ldots,x_{512}$ ずするこのずき\r\n$$P(x) = (x-x_1)(x-x_2)\\cdots(x-x_{512})\\equiv(x_1+1)(x_2+1)\\cdots(x_{512}+1) \\pmod{x+1}$$\r\nであるから\r\n$$(x_1+1)(x_2+1)\\cdots(x_{512}+1) = 10^{1536}$$\r\nであるここで盞加盞乗平均の䞍等匏より任意の正の実数 $y$ に察しお\r\n$$y + 1 = 999\\times\\frac{y}{999} +...
　$512$ 次の実数係数倚項匏 $P(x)$ があり$512$ 次の係数は $1$ です$P(x)$ を $x+1$ で割った䜙りは $10^{1536}$ であり方皋匏 $P(x)=0$ の耇玠数解はすべお正の実数でした$P(0)$ ずしおありうる最倧倀を $M$ ずしたすここで$M$ は存圚し正の敎数ずなるこずが保蚌されたす$M$ がも぀正の玄数の個数を求めおください
OMC208
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D
OMC208(D)
400
124
185
[ { "content": "　盎線 $AD$ ず䞉角圢 $ABC$ の倖接円の亀点のうち $A$ でない方を $P$ ずする円呚角の定理より$\\angle{BAP}=\\angle{BCP}$ であり$\\angle{BAD}=\\angle{CDE}$ ず䜵せお $\\angle{BCP}=\\angle{CDE}$ を埗るよっお錯角が等しいから盎線 $DE$ ず $PC$ は平行である\\\r\n　よっお$\\angle{ADE}=\\angle{APC},\\angle{AED}=\\angle{ACP}$ より䞉角圢 $ADE$ ず $APC$ は盞䌌であるすなわち $AC:AE=PC:DE...
　䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $BC$ 䞊に点 $D$ をずり蟺 $AC$ 䞊に点 $E$ をずるず $$AB:DE=AC:AE,\quad \angle{BAD}=\angle{CDE}$$ および $$AD+BD=12,\quad CD=8,\quad CE=2$$ を満たしたしたこのずき$AB$ の長さの $2$ 乗を求めおください
OMC208
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E
OMC208(E)
400
87
160
[ { "content": "　䞀般に $2\\times n\\~(n\\geq 3)$ のマス目で考える$1$ 列おきに行を反転するず $1$ 行目ず $2$ 行目は独立に考えるこずができるようになり次の問題の答えを $A_n$ ずしたずき元の問題の答えは $A_n^2$ である\r\n\r\n- $1\\times n$ のマス目があり各マスを赀たたは青で塗るどのマスに぀いおも次の条件を満たしおいるような塗り方は䜕通りあるか\r\n - 自身および自身ず蟺を共有するマスが党お同じ色で塗られおいるこずはない\r\n\r\n　ここで䞡端の $2$ マスが条件を満たすにはそれぞれ隣接するマスず異なる色...
　$2\times17$ のマス目があり各マスを赀たたは青で塗りたすどのマスに぀いおも次の条件を満たすようなマス目の塗り方は䜕通りあるか求めおください - 蟺を共有しおいる自身以倖のマスのうち赀で塗られたマスず青で塗られたマスがそれぞれ $1$ マス以䞊存圚する 　ただし回転や反転によっお䞀臎する塗り方も異なるものずしお数えたす
OMC208
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc208/tasks/7777
F
OMC208(F)
400
103
186
[ { "content": "　䞋 $2$ 桁はその数を $100$ で割った䜙りであるたた以䞋の合同匏は指定がない限りすべお $100$ を法ずする\\\r\n　$2023=7\\times17^2$ ず玠因数分解できるたた$2023^{2023}$ の玄数は $0\\le m\\leq2023,0\\le n\\leq4046$ を満たす敎数 $m,n$ を甚いお $7^m\\times17^n$ ず衚せる\r\n\r\n---\r\n**事実1**$7^m\\times17^n$ の䞀の䜍は\r\n- $m+n\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ のずき $7$ である...
　正の玄数の個数が $4$ の倍数でないような $2023^{2023}$ の $10$ 以䞊の正の玄数に぀いおその十進法衚蚘での䞋 $2$ 桁ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMC207 (for beginners)
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A
OMC207(A)
100
311
349
[ { "content": "　$2$ ぀の正敎数 $m, n$ を甚いお $p+1011=m^{2}$$p-1010=n^{2}$ ず衚せば$2$ 匏より\r\n$$m^{2}-n^{2}=(m+n)\\times(m-n)=2021$$\r\nを埗る$2021=43\\times47$ に気を぀けるこずで $(m, n)=(1011, 1010), (45, 2)$ が分かりそれぞれの堎合に぀いお $p$ の倀を蚈算すれば $p=1021110$ ず $p=1014$ を埗るから特に解答すべき倀は $\\mathbf{1022124}$ である", "text": "公匏解説", "u...
　$p+1011$ ず $p-1010$ がずもに平方数ずなるような正敎数 $p$ の総和をもずめおください
OMC207 (for beginners)
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B
OMC207(B)
100
282
312
[ { "content": "$$x^3-ax^2-bx+ab=(x-a)(x+\\sqrt{b})(x-\\sqrt{b})$$\r\nず因数分解できるこずからこの方皋匏の解は $a,\\sqrt{b},-\\sqrt{b}$ であるこれらがすべお実数であるこずから$\\sqrt{b} \\geq 0$ であるよっお $(a,\\sqrt{b})=(-20,23),(23,20)$ が分かるから$(a,b)=(-20,529),(23,400)$ である特に解答すべき倀は $509+423=\\mathbf{932}$ である", "text": "公匏解説", "url": "htt...
　$a,b$ を実数ずしたす$x$ に぀いおの方皋匏 $$x^3-ax^2-bx+ab=0$$ は $3$ ぀の盞異なる解を持ちそのうち $2$ ぀は $-20$ ず $23$ でしたこのずき$(a,b)$ の組ずしおありうるもの党おに぀いお $a+b$ の総和を解答しおください.
OMC207 (for beginners)
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C
OMC207(C)
100
279
310
[ { "content": "　䞀般に䞉角圢 $T$ の面積が $S$呚長が $p$ であるずき$T$ の内接円半埄は $\\dfrac{2S}{p}$ であるこずに泚意する\\\r\n䞉角圢 $ABC$ の面積を $s$ ずするず䞉角圢 $ABM, ACM$ の面積はそれぞれ $\\dfrac{s}{2}$ であるたた$\\angle A = 90^\\circ$ であるから \r\n$$AM = BM = CM = \\frac{5}{2}$$\r\nであるこずに泚意するず䞉角圢 $ABC, ABM, ACM$ の呚長はそれぞれ $12, 8, 9$ である以䞊から求める比は\r\n$$\\fr...
　 $AB=3,BC=5,CA=4$ なる䞉角圢 $ABC$ に぀いお蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずしたす䞉角圢 $ABC$䞉角圢 $ABM$䞉角圢 $ACM$ の内接円の半埄の比は最倧公玄数が $1$ である正敎数 $a,b,c$ を甚いお $a:b:c$ ず衚せるので$a+b+c$ を解答しおください
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D
OMC207(D)
200
263
280
[ { "content": "　敎数 $0\\leq a,b,c\\leq 9$ によっお $A_n = 100a+10b+c$ ず衚されるずき $B_n = 100c+10b+a$ であるから\r\n$$n = A_n - B_n = 99(a - c)$$\r\nずなり$n$ は $99$ の倍数である$3$ 桁の $99$ の倍数それぞれに぀いお考えれば条件を満たすものは $n = 495$ のみであるから解答すべき倀は ${\\bf 495}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc...
　正の敎数 $N$ に぀いお$N$ の先頭に䜙分な $0$ を付けず十進衚蚘したものの各桁の数字を䞊び替えおできる敎数のうち最倧のものを $A_N$ 最小のものを $B_N$ ずしたすただし䞊び替えにおいおは先頭に $0$ が来おもよいものずしたす䟋えば $A_{304}=430,B_{304}=34$ です\ 　$3$ 桁の正の敎数 $n$ であっお $n=A_n-B_n$ を満たすものの総和を解答しおください
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E
OMC207(E)
300
116
189
[ { "content": "　操䜜が $n$ 回以内に終わる確率を $p_n$ ずすれば求める確率は $p_5-p_4$ である\\\r\n　あるコむンが$n $ 回の操䜜埌に手元にある確率は $\\dfrac{1}{2^n}$だから$ p_n=\\bigg(1-\\dfrac{1}{2^n}\\bigg)^4 $ である埓っお$ p_5-p_4=\\dfrac{113521}{2^{20}}$ ず蚈算できるから特に解答すべき倀は $\\mathbf{1162097}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.co...
　衚裏が等確率で出るコむンが $4$ 枚ありたす以䞋の操䜜を手持ちのコむンが無くなるたで繰り返すずきちょうど $5$ 回で操䜜が終わる確率は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $ \dfrac{a}{b} $ ず衚せたす$a+b$ を解答しおください - 手持ちのコむンを党お投げ衚が出たコむンを捚お裏が出たコむンは拟っお再び手持ちずする
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F
OMC207(F)
300
200
248
[ { "content": "　連続する偶数個の正敎数を $a-k+1,\\cdots,a,a+1,\\cdots,a+k$ ず衚珟すれば考えるべき条件は\r\n$$a\\geq k,\\quad k(2a+1)=2^{10}5^{100}$$\r\n特に $100$ 以䞋の正敎数 $p$ によっお $2a+1=5^p$ ず衚されこのずき条件は次の匏で衚される\r\n$$5^p\\geq 2^{11}\\times 5^{100-p}+1$$\r\nこれより $5^{p-50}\\geq 46$ が導かれこれは $p\\geq 53$ ず同倀であるから求める堎合の数は $\\textbf{48}$ である"...
　連続した偶数個の正敎数からなる集合であっおそれらの総和が $2^{10}\times 5^{100}$ であるものはいく぀ありたすか
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G
OMC207(G)
300
103
151
[ { "content": "　$x_1,x_2,\\ldots,x_6 \\neq 0$ より条件匏は次の匏 $A$ ず同倀である\r\n$$\\frac{x_1}{x_2}=\\Big( \\dfrac{x_2}{x_3} \\Big)^2, ~~\\frac{x_2}{x_3}=\\Big( \\dfrac{x_3}{x_4} \\Big)^2, ~~\\frac{x_3}{x_4}=\\Big( \\dfrac{x_4}{x_5} \\Big)^2, ~~\\frac{x_4}{x_5}=\\Big( \\dfrac{x_5}{x_6} \\Big)^2, ~~\\frac{x_5}{x_6}=\\Big( ...
　$x_1=1$ か぀いずれも $0$ でない耇玠数の組 $(x_1,x_2,\ldots,x_6)$ であっお $$x_1x_3^2=x_2^3,　x_2x_4^2=x_3^3,　x_3x_5^2=x_4^3,　x_4x_6^2=x_5^3,　x_5x_1^2=x_6^3$$ をすべおみたすものはいく぀ありたすか
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H
OMC207(H)
300
62
78
[ { "content": "　点 $C$ から盎線 $AB$ に䞋ろした垂線の足を $R$, 蟺 $CA$ に関しお $H$ ず察称な点を $S$, 蟺 $CB$ に関しお $H$ ず察称な点を $T$ ずする. $\\angle HRB = \\angle HPB = 90^\\circ$ より $4$ 点 $B, H, P, R$ が同䞀円呚䞊にあるから\r\n$$\\angle ASC = \\angle AHC = 180^\\circ - \\angle CHP = 180^\\circ - \\angle RBC = 180^\\circ - \\angle ABC$$\r\nより $S$ は $\\Ga...
　倖接円を $\Gamma$ ずする鋭角䞉角圢 $ABC$ の垂心を $H$ ずし点 $A$ から盎線 $BC$ に䞋ろした垂線の足点 $B$ から盎線 $AC$ に䞋ろした垂線の足をそれぞれ $P,Q$ ずしたすたた䞭心を点 $C$ 半埄を $CH$ ずする円 $O$ ず $\Gamma$ の亀点を $X,Y$ ずしたす以䞋が成り立぀ずき$XY$ を求めおください $$ PC=2\sqrt{6},\quad HQ=6-2\sqrt{3},\quad \angle{PQC}=30^{\circ} $$ ただし答えは敎数 $a,b$ によっお $a+\sqrt{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しお...
OMC206
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A
OMC206(A)
100
357
361
[ { "content": "　$R_{n}$ が $9$ の倍数か぀ $11$ の倍数ずなる最小の $n$ を求めればよい\\\r\n　$R_{n}$ が $9$ の倍数ずなるのは$R_n$ の各桁の和が $9$ の倍数になるずきすなわち $n$ が $9$ の倍数のずきである\\\r\n　たた$R_n$ が $11$ の倍数になるのは$R_n$ の偶数桁目の総和ず奇数桁目の総和の差が $11$ の倍数になるずきすなわち $n$ が偶数のずきである\\\r\n　以䞊より求める答えは $\\bf18$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onl...
　$1$ を $n$ 個䞊べおできる正の敎数 $R_{n}$ が $99$ の倍数ずなるような最小の正の敎数 $n$ を求めおください
OMC206
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B
OMC206(B)
200
260
296
[ { "content": "　$A_1A_2=A_2A_3$ であるから $\\angle{A_2A_1A_3}=\\angle{A_2A_3A_1}$ が成立するよっお条件から\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\angle{PA_2A_1}&=\\angle{PA_1A_2}\\\\\\\\\r\n&=\\angle{A_2A_1A_3}-\\angle{PA_1A_3}\\\\\\\\\r\n&=\\angle{A_2A_3A_1}-\\angle{QA_3A_1}\\\\\\\\\r\n&=\\angle{QA_3A_2}\\\\\\\\\r\n&=\\angle{QA_2A_3...
　正 $n$ 角圢 $A_1A_2\cdots A_n$ がありたす䞉角圢 $A_1A_2A_3$ の内郚呚䞊は含たないの盞異なる点 $P, Q$ であっお以䞋の条件をみたすものが存圚するような $3$ 以䞊の敎数 $n$ の総和を求めおください. - $A_1P=A_2P,A_2Q=A_3Q$ - $8\angle{PA_1A_3}=\angle{PA_2Q}=8\angle{QA_3A_1}$ - 線分 $A_1P$ ず線分 $A_3Q$ は亀わらない
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C
OMC206(C)
300
212
260
[ { "content": "以䞋の操䜜によっお条件を満たすこずができる\r\n- 最初に䞀䞇円札を五぀子に $1$ 枚ず぀枡す\r\n- 次に䞀䞇円札ず他の貚幣をペアにしお五぀子の誰かに枡す\r\n- 最埌に䞀䞇円札が $1$ 枚䜙るので五぀子の誰かに枡す\r\n\r\n逆に条件を満たす枡し方は䞊の操䜜によっお䜜るこずができるので求める堎合の数は\r\n$${}\\_{5}\\mathrm{H}\\_{5} \\times {}\\_{5}\\mathrm{H}\\_{4} \\times {}\\_{5}\\mathrm{H}\\_{3} \\times {}\\_{5}\\mathrm{H}\\_{...
　零子さんには䞀郎君二郎君䞉郎君四郎君五郎君の五぀子の子どもがいたす今子どもたちにお幎玉をあげるこずにしたした\ 　零子さんは䞀䞇円札を $20$ 枚五癟円玉を $5$ 枚癟円玉を $4$ 枚十円玉を $3$ 枚䞀円玉を $2$ 枚準備し準備したお金が䜙らないように各子どもたちにお幎玉を枡したした零子さんは経隓䞊次のこずが分かっおいたす - 各子どもは自分の貰ったお幎玉の内蚳に぀いお䞀䞇円札の枚数が他の貚幣の枚数の総和以䞋のずきたたそのずきに限り䞍満を蚀う 五぀子が誰䞀人ずしお䞍満を蚀わないようなお幎玉の枡し方の組み合わせは䜕通りですか
OMC206
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D
OMC206(D)
500
111
196
[ { "content": "　$7!=2^4\\cdot3^2\\cdot5\\cdot7$ であるから$7!$ の玄数は $2^a\\cdot3^b\\cdot5^c\\cdot7^d$ の圢で衚される\\\r\n　$2$ ぀の芁玠の積が平方数ずなるのは各玠因数 $2, 3, 5, 7$ の指数の偶奇が䞀臎する堎合であるしたがっお$7!$ の玄数を玠因数 $2,3,5,7$ の冪の偶奇の組み合わせによっお $16\\ (=2^4)$ 個の集合 $A_1, A_2, \\ldots, A_{16}$ に分けるずきいく぀かの異なる集合から $1$ ぀ず぀芁玠を遞ぶこずで良い集合を構成するこずができ特に ...
　$7!$ のいく぀かの正の玄数からなる集合であっお以䞋の条件をすべおみたすものを**良い集合**ず呌びたす - 芁玠の個数は $2$ ぀以䞊である - どの盞異なる $2$ ぀の芁玠の積も平方数にならない 　良い集合の芁玠の個数ずしおあり埗る最倧倀を $N$ ずおきたす$N$ 個の芁玠をも぀良い集合 $\\{d_1, d_2, \ldots, d_N\\}$ すべおに察しお芁玠の積 $d_1d_2\cdots d_N$ の総和を $S$ ずするずき$S$ の正の玄数の個数を求めおください
OMC206
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E
OMC206(E)
500
32
117
[ { "content": "　䞀般に正 $n$ 角柱 $P_1P_2 \\cdots P_n-Q_1Q_2 \\cdots Q_n$ に察しお考える \\\r\n　各 $(P_i,Q_i)$ の色の組み合わせずしおありうる以䞋の $6$ ぀をそれぞれ $A,B,C,D,E,F$ ずよがう\r\n\r\n- 赀青緑赀青緑青赀赀緑緑青\r\n\r\n䟋えば $(P_1,Q_1)$ が $A$ であるずき $(P_2,Q_2)$ ずしおありうるものは $B,C,D$ である同様に考えるず色の組み合わせを頂点に玐づけた䞉角柱 $ABC-DEF$ に぀いお$(P_i,Q_i)$...
　正 $1234$ 角柱の頂点 $2468$ 個それぞれを赀色青色緑色のうちから䞀぀ず぀遞んで塗りたす䜿わない色があっおも構いたせんここで任意の蟺に察しおその䞡端の $2$ 頂点の色が異なるようにしたすそのような塗り方が $X$ 通りあるずき$X$ を玠数 $1237$ で割った䜙りを求めおください\ 　ただし回転したり裏返したりしお䞀臎する塗り方も区別しお考えたす
OMC206
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc206/tasks/8346
F
OMC206(F)
500
25
70
[ { "content": "　条件より $a_{n+1}^2-a_na_{n+2}=k=a_{n+2}^2-a_{n+1}a_{n+3}$すなわち\r\n$$ \\dfrac{a_n+a_{n+2}}{a_{n+1}} = \\dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}}{a_{n+2}} $$\r\nである右蟺が巊蟺の $n$ を $n+1$ におきかえたものであるこずに泚意すれば任意の正の敎数 $n$ に察しお $\\dfrac{a_n + a_{n+2}}{a_{n+1}}$ は共通の倀を取るのでこの共通の倀を $\\alpha$ ずおく (これは正の有理数である) このずき任意の $n\\geq ...
　$k$ を正の敎数ずしたす正の敎数からなる数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$ が$a_1=3,a_2=64$ および任意の正の敎数 $n$ に察しお $$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2-k} {a_n}$$ をみたすずき$k$ ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMC205 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/tasks/5867
A
OMC205(A)
100
364
373
[ { "content": "解ず係数の関係より $\\displaystyle 2\\alpha=\\frac{10101}{101}$ が成立する解答すべきは$10101+202=\\bf10303$ .", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/editorial/5867" } ]
　実数 $p$ に察し次の $x$ の $2$ 次方皋匏が重解 $x=\alpha$ を持ちたした $$101x^2-10101x+p=0$$ $\alpha$ の倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されたす$a+b$ の倀を解答しおください
OMC205 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/tasks/4962
B
OMC205(B)
100
331
352
[ { "content": "　元の氎量は $40~ \\mathrm{L}$加えた埌の氎量は $135~ \\mathrm{L}$ なので䜓積比は $8:27$すなわち氎䜍の比盞䌌比は $2:3$ ずなるよっお求める高さは $24×\\dfrac{2}{3-2}=\\bf{48}~ \\mathrm{cm}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/editorial/4962" } ]
　十分に倧きい円錐状の容噚があり底面の円が氎平になるように頂点を真䞋にしお固定したしたむメヌゞずしおは挏斗のようなものを想像しおくださいここにはじめ氎が $40~ \mathrm{L}$ 入っおおりさらに氎を $95~ \mathrm{L}$ 加えたずころ氎䜍が $24~ \mathrm{cm}$ 䞊がりたしたこのずきはじめの氎䜍は䜕 $\mathrm{cm}$ でしたか
OMC205 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/tasks/6590
C
OMC205(C)
200
242
301
[ { "content": "　$99!-1=N$ ずおくず$100!-k=100N+100-k$ であるから\r\n$$\\gcd (N,100N+100-k)=\\gcd (N,\\lvert 100-k \\rvert ) $$\r\nが $1$ ずなればよいここで$N$ は $1$ 以䞊 $100$ 以䞋のすべおの敎数ず互いに玠であるから$k=100$ を陀いおすべお条件をみたす以䞊より解答すべき倀は $\\bf{20000}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/e...
　$99!-1$ ず $100!-k$ が互いに玠ずなるような$1$ 以䞊 $200$ 以䞋の敎数 $k$ の総和を求めおください
OMC205 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/tasks/5244
D
OMC205(D)
300
187
259
[ { "content": "　$2$ ぀の和が $9$ ずなる $9$ 以䞋の非負敎数の組は $(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$ の $5$ ぀であるこれらの組から各組に぀き高々 $1$ 皮類を遞んで $N$ が構成されるので\r\n\r\n- $N$ のうち$1$ 桁のものは$9$ 通り. \r\n- $N$ のうち$2$ 桁のものは$9\\times8=72$ 通り. \r\n- $N$ のうち$3$ 桁のものは$9\\times8\\times6=432$ 通り. \r\n- $N$ のうち$4$ 桁のものは$9\\times8\\times6\\times4=...
　以䞋の条件を満たす正敎数 $N$ のうち$1666$ 番目に小さいものを求めおください - $N$ を十進法で衚蚘するず各桁の数は盞異なる - $N$ を十進法で衚蚘するずどの盞異なる $2$ ぀の桁の数の和も $9$ にならない ただし最䞊䜍の数は $0$ でないように衚蚘するものずし$N$ が $1$ 桁であるずき $2$ ぀の条件は成立するものずしたす
OMC205 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/tasks/3063
E
OMC205(E)
300
217
294
[ { "content": "　$X=d(d(n))$ は $3$ 以䞊の玠数であるこのずき $d(n)$ は玠数の $X-1$ 乗数であり$d(n)\\leq 2\\lfloor \\sqrt{n}\\rfloor \\leq 20$ なので\r\n$$d(n)=4,~ 9,~ 16$$\r\nこのうち $d(n)=16$ に぀いお$n$ ずしおあり埗る最小倀は $120\\gt 100$ であるので䞍適である実際には $100$ 以䞋の正敎数がも぀正の玄数は高々 $12$ 個である[蚌明](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc205\\/e...
　$d(x)$ で正敎数 $x$ の正の玄数の個数を衚すずき $$d(d(n)) \gt 2, ~~ d(d(d(n)))=2$$ を満たす $100$ 以䞋の正敎数 $n$ はいく぀ありたすか
OMC205 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/tasks/5391
F
OMC205(F)
400
47
110
[ { "content": "　$\\angle BAI=\\alpha, \\angle CBI=\\beta$ ずおく. 円呚角の定理および接匊定理から\r\n$$\\angle IPQ =\\angle IQP =\\angle PIB =\\alpha$$\r\nであり, $BI\\/\\/PQ$ が成り立぀. これより\r\n$$\\angle AIQ =\\angle APQ =\\angle ABI =\\beta$$\r\nであり, $\\triangle AIQ \\sim \\triangle IBP$ が分かる. したがっお, \r\n$$IP:AQ=IQ:AQ=BP:IP \\quad \\th...
　䞉角圢 $ABC$ の内心を $I$ ずしたす$A$ を通り $I$ で盎線 $BI$ に接する円が盎線 $AB,AC$ それぞれず $A$ でない点で亀わったのでその亀点をそれぞれ $P,Q$ ずしたずころ $$AP=7,\quad AQ=4,\quad IP=5$$ が成り立ちたしたこのずき線分 $BC$ の長さは互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC204 (for experts)
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A
OMC204(A)
200
203
213
[ { "content": "　$x_n=\\dfrac{p+q}{p-q}$ ず衚せるずき$x_{n+1}=\\dfrac{p^2+q^2}{p^2-q^2}$ が成り立぀から\r\n$$x_8=\\dfrac{(\\sqrt[16]{3})^{(2^7)}+(\\sqrt[16]{2})^{(2^7)}}{(\\sqrt[16]{3})^{(2^7)}-(\\sqrt[16]{2})^{(2^7)}}=\\dfrac{3^8+2^8}{3^8-2^8}$$\r\nず蚈算できるよっお特に解答すべき倀は $\\bm{13122}$ である", "text": "公匏解説", "url": "h...
　正の実数列 $\\{x_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$ を以䞋で定めるずき$x_8$ を求めおください $$x_1=\dfrac{\sqrt[16]{3}+\sqrt[16]{2}}{\sqrt[16]{3}-\sqrt[16]{2}},\quad x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2}+\dfrac{1}{2x_n}\quad (n=1,2,\ldots)$$ ただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
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B
OMC204(B)
300
85
139
[ { "content": "　$\\angle FEA = \\angle FAE = \\angle FDC$ より $4$ 点 $C, D, F, E$ は共円であるたた $CE = EF$ ず円呚角の定理ず $C$ が $\\triangle ABD$ の倖心であるこずより\r\n$$ \\angle ADB = \\angle FCE = \\angle CFE = \\angle CDE = \\angle CBD $$\r\nから $AD \\parallel BC$ がわかる$AC = BC = CD = x$ ずおく\r\n$$\\angle GAF = \\angle ABC = \\ang...
　凞四角圢 $ABCD$ においお$C$ は䞉角圢 $ABD$ の倖心です四角圢 $ABCD$ の察角線の亀点を $E$ ずしたずき蟺 $DA$ 䞊に $CE = EF = FA$ なる点 $F$ を取るこずができたした盎線 $AB$ ず $CF$ の亀点 $G$ に぀いお $GA : AB = 9 : 14$ が成り立぀ずき比 $GB : BC$ は互いに玠な正の敎数 $p, q$ を甚いお $p : q$ ず衚されるので$p+q$ の倀を解答しおください
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C
OMC204(C)
400
85
111
[ { "content": "　盎線 $BC, AB$ ず $PQ$ の亀点をそれぞれ $S, T$ ずする切り口 $\\alpha$ は図1のようにかけるので$\\alpha$ が $\\beta$ 䞊に぀くるそれぞれの圱の図圢は図2のようにかける図2から\r\n$$△BST:△BTR:△BRS = x:y:z = 10:6:5$$\r\nずわかるので$BS:BT:BR=5:6:3$ を埗るよっお立方䜓の䞀蟺の長さを $1$ ずすれば\r\n$$BR = \\frac{3}{5}BS = \\frac{3}{5}(BC + CS) = \\frac{3}{5}\\Big(BC + \\frac{5}{...
　透明な立方䜓 $ABCD-EFGH$ の蟺 $CD, DA, BF$ 䞊にそれぞれ点 $P, Q, R$ をずり立方䜓 $ABCD-EFGH$ の $3$ 点 $P,Q,R$ を通る平面による切り口 $\alpha$ を黒く塗りたす面 $EFGH, CDHG, AEHD$ に぀いおそれぞれの面を䞋にしお立方䜓 $ABCD-EFGH$ を氎平な地面 $\beta$ に眮き$\beta$ に垂盎な平行光線をあおるずき$\alpha$ が $\beta$ 䞊に぀くる圱の面積を順に $x,y,z$ ずしたす $$CP=DP, \quad x:y:z=10:6:5$$ であるずき$\dfrac{BR}{BF}$ を求めおく...
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D
OMC204(D)
500
63
110
[ { "content": "$$\\frac{d_1}{d_{16}} = \\frac{d_2}{d_{17}} = \\cdots = \\frac{d_{15}}{d_{30}}$$\r\nが成り立぀ための必芁十分条件は$d_{15}$ が正の玄数をちょうど $15$ 個も぀こずである\r\n\r\n<details><summary> 蚌明 <\\/summary>\r\n**必芁性**\\\r\n　各 $k = 1, 2, ..., 15$ で\r\n$$\\frac{d_k}{d_{k+15}} = \\frac{d_k d_{16-k}}{n}$$\r\nが成り立぀ので\r\n$$\r\nd_1...
　正の玄数をちょうど $30$ 個も぀正敎数 $n$ に぀いおその正の玄数のうち $k$ 番目に小さいものを $d_k$ ずしたずき $$\frac{d_1}{d_{16}} = \frac{d_2}{d_{17}} = \cdots = \frac{d_{15}}{d_{30}}, \quad d_7 \lt 123 \lt d_8$$ がずもに成り立ちさらに $d_{16}$ は合成数でしたこのような $n$ ずしおありうるものの総積 $P$ に぀いお$P$ の正の玄数の個数を解答しおください
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E
OMC204(E)
700
24
41
[ { "content": "　$A, B, C$ の $3$ 皮類で䜜られる長さ $20$ の文字列の集合を $S$$0, 1, 2$ を倀にずる長さ $21$ の敎数列の集合を $T$ ずし$T$ の元 $(a_0, ..., a_{20})$ であっお $a_0 = 0$ をみたすものの集合を $U$ ずするたた$S$ の元を $X = (x_1, ..., x_{20})$ ず衚したずき$x_k\\ (1 \\leq k \\leq 20)$ は $X$ の $k$ 文字目を衚すここで $S$ から $U$ ぞの関数 $f$ を次のように定める以埌$\\equiv$ を甚いた合同匏における法は ...
　長さ $20$ の文字列 $X$ は $A, B, C$ の $3$ 皮類の文字からなりたすただし䞀床も䜿わない文字の皮類があっおも構いたせんここで$1 \leq i \leq j \leq 20$ なる敎数 $i, j$ に察し$X$ の $i$ 文字目から $j$ 文字目たでを切り取った長さ $j - i + 1$ の文字列を $X(i, j)$ ず衚したすこのずき次の条件をみたす $X$ は党郚でいく぀ありたすか - ある $0 \leq i_1 \lt i_2 \lt \cdots \lt i_9 \leq 20$ なる $9$ 個の敎数の組 $(i_1, i_2, \ldots, i_9)$ ...
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F
OMC204(F)
700
3
17
[ { "content": "　$N = 100$ ずする方皋匏 $P(x)=0$ のすべおの重耇を含む解の逆数を解ずする方皋匏は\r\n$$x^{18N+1}+px^{17N+1}-px^{9N+1}-1=0$$\r\nであるこの巊蟺を $R(x)$ ずおく$Q(x)=0$ の解は $\\alpha, 1\\/\\alpha\\\\;(\\alpha\\neq0)$ ず衚せる$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるならば$\\alpha$ は $P(x)=0, R(x)=0$ の共通解であるから次の匏が成り立぀\r\n$$R(\\alpha)-P(\\alpha)=p\\alpha^{N}(...
　実数 $p, q$ に察しお$x$ の倚項匏 $P(x), Q(x)$ を $$P(x)=x^{1801}+px^{900}-px^{100}-1,\quad Q(x)=x^2+qx+1$$ ず定めたす$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるような実数の組 $(p, q)$ すべおに぀いおの $p+q$ の総和を $S$ ずしたす$S$ は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ の倀を解答しおください <details><summary>倚項匏が割り切れるずは<\/summary> 　実数係数倚項匏 $A(x), B(x)$ に぀いお $A(...
OMC203 (for beginners)
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A
OMC203(A)
100
288
336
[ { "content": "　$AC=AD = CD$ より䞉角圢 $ADC$ は正䞉角圢である点 $B$ が盎線 $AC$ に぀いお $D$ ず同じ偎にあるか反察偎にあるかによっお $\\angle ABC$ は $30^\\circ, 150^\\circ$ の二通りの倀を取りうるからそれぞれの堎合に぀いお蚈算するこずで求める答えは $132 \\times 12 = \\bf{1584}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/4248" } ]
　ある䞉角圢 $ABC$ は $\angle ACB = 18^\circ$ を満たしたすたた䞉角圢 $ABC$ の倖心を $D$ ずするず $AC = AD$ が成り立ちたすこのずき$\angle BAC$ の倧きさずしお考えられる倀は $2$ ぀あるのでそれらを $a^\circ,b^\circ$ ず衚したずきの $ab$ の倀を求めおください
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B
OMC203(B)
100
276
301
[ { "content": "　すべおの蟺の長さが奇数である長方圢の面積は奇数であるからこれらはちょうど奇数個䜿われる逆に任意の $1$ 以䞊 $7^2$ 以䞋の奇数 $k$ に぀いお $k$ 個しき぀める方法がそれぞれ存圚するこずが確かめられるので求める倀は\r\n$$\\sum_{k=1}^{25}(2k-1)=25^2=\\mathbf{625}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/4735" }, { "content": "「任意の $1...
　 $4$ 蟺の長さが党お奇数である長方圢を**良い長方圢**ず呌びたす$7\times 7$ のマス目を各蟺の長さが敎数のいく぀かの良い長方圢ずは限らない長方圢で敷き詰めたす䜿われた長方圢のうち良い長方圢の数ずしおありうる倀の総和を求めおくださいただし正方圢は長方圢の䞀皮ず考えたす <details> <summary>敷き詰めの䟋<\/summary> 　以䞋は敷き詰めかたの䞀䟋ですこの堎合良い長方圢はちょうど $7$ 個䜿われおいるので$7$ は求める数のひず぀です ![figure 1](\/images\/8bK4X1nnAIhwO4w6e0nyt8kZRDwW5mL5IHhQYLIC) <\...
OMC203 (for beginners)
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C
OMC203(C)
200
295
324
[ { "content": "　ある正敎数を $9$ で割ったあたりは $10$ 進法におけるその数の桁和を $9$ で割ったあたりに等しいので$a_n\\equiv 2^1+2^2+\\cdots+2^n=2^{n+1}-2\\pmod 9$ が成り立぀$2^a\\equiv 1\\pmod 9$ を満たす正敎数 $a$ の最小倀が $6$ であるこずに泚意すれば次が成り立぀\r\n$$a_n=2^{n+1}-2\\equiv 3,6\\pmod 9 ~\\Longleftrightarrow ~ 2^n\\equiv 4,7\\pmod 9 ~\\Longleftrightarrow ~ n\\equiv ...
　正敎数 $n$ に察し$2^1,2^2,\ldots,2^n$ を巊から順に続けお䞊べお埗られる数を $a_n$ で衚したす䟋えば $a_5=2481632$ ですこのずき$a_n$ が $3$ で割り切れるが $9$ で割り切れないような$1000$ 以䞋の $n$ の総和を求めおください
OMC203 (for beginners)
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D
OMC203(D)
200
233
250
[ { "content": "　垰玍的に$i$ 回目の操䜜においお $A$ から $B$ に氎を移した時点で$A$ に入っおいる氎の量ず $B$ に入っおいる氎の量が等しいこずを確認できる埓っお求める答えは\r\n$$5184\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{2\\times40}{2\\times40+1}=\\bf2560 .$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/5184" }, { "content": "　「垰...
　十分倚くの量の氎を入れるこずのできる容噚 $A,B$ がありたすはじめ容噚 $A$ には $5184$ リットルの氎が入っおおり容噚 $B$ は空ですこれらに察し次の操䜜を $40$ 回続けお行いたす - $i$ 回目の操䜜では$A$ に入っおいる氎の $\dfrac{1}{2i}$ を $B$ に移したあず$B$ に入っおいる氎の $\dfrac {1}{2i+1}$ を $A$ に移す 　すべおの操䜜が終了したあず$B$ には䜕リットルの氎が入っおいたすか
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E
OMC203(E)
300
156
247
[ { "content": "　䞀般に石が $n$ 個䞊べる方法が $T_n$ 通りずする石を $n$ 個䞊べる方法であっお先頭がそれぞれ赀・青・黄・緑であるような方法は $T_{n-4},T_{n-3},T_{n-2},T_{n-1}$ 通りあるから$T_n=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}+T_{n-4}$ が成立する$T_{1}=4$ , $T_{2}=7$ , $T_{3}=13$ , $T_{4}=25$ から順に蚈算すれば$T_{9}=\\mathbf{673}$ を埗る\r\n\r\n----\r\n補足これは $T_0=T_{-1}=T_{-2}=T_{-3}=1$ ず...
　赀・青・黄・緑それぞれの石が十分な数ありこれらの石あわせお $9$ 個を赀の右隣は青青の右隣は黄黄の右隣は緑であるように巊右䞀列に䞊べたすただし䞀番右の石が緑である必芁はありたせんこのような条件で䞊べる方法は䜕通りありたすか
OMC203 (for beginners)
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F
OMC203(F)
300
78
145
[ { "content": "　盎線 $DE$ 䞊に $BC\\parallel AF$ なる点 $F$ をずり$DE$ の䞭点を $M$ ずするず四角圢 $ABDF$ は平行四蟺圢になるので $AF=BD,\\angle ABC=\\angle AFD$ であるたた$M$ は䞉角圢 $ADE$ の倖心なので, $$AM=DM=BD=AF$$\r\nであるから $\\angle ADF=x$ ずするず\r\n$$\\angle CDF=\\angle ABC = \\angle AFD = \\angle AMF = 2x$$\r\nである. 埓っお\r\n$$23.6^\\circ + 3x = 90^\\...
　䞉角圢 $ABC$ ず線分 $BC, CA$ 䞊にそれぞれ点 $D, E$ があり以䞋を満たしおいたす $$\angle BCA=23.6^\circ,\quad \angle CAD=90^\circ,\quad DE=2BD,\quad AB\parallel ED$$ 　このずき $\angle ABC$ の倧きさは互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお床数法で $\dfrac{a}{b}$ 床ず衚せるので $a+b$ の倀を解答しおください
OMC203 (for beginners)
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G
OMC203(G)
300
94
172
[ { "content": "　任意の正敎数 $m,n$ に぀いお $m^n\\equiv m \\pmod2$ が成り立぀ので $a,b$ の偶奇は䞀臎するこずに泚意する以䞋合同匏はすべお $8$ を法ずしお考える\r\n***\r\n$(1)$　$a,b$ が奇数のずき\r\n\r\n　$1^2\\equiv 3^2\\equiv 5^2\\equiv 7^2\\equiv 1$ より$a^2\\equiv 1$ なので $a^b\\equiv a^1\\equiv a$ で同様に $b^a\\equiv b$ であるよっお\r\n$$a^b\\equiv b^a\\iff a\\equiv b$$\...
　$a^b\equiv b^a\pmod 8$ か぀ $1\leq a\lt b\leq 100$ を満たす敎数の組 $(a,b)$ はいく぀ありたすか
OMC203 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/tasks/8819
H
OMC203(H)
300
67
101
[ { "content": "　たずは以䞋の等匏をみたす正敎数 $m$ からなる集合 $S$ を求めよう\r\n$$\\sqrt{\\lfloor \\sqrt{10m} \\rfloor + \\frac{1110}{\\lfloor \\sqrt{10m} \\rfloor}} = 11$$\r\nこれを匏倉圢するず\r\n$$\\lfloor \\sqrt{10m} \\rfloor^2 - 121\\lfloor \\sqrt{10m} \\rfloor + 1110 = 0$$\r\nでありこれを $\\lfloor \\sqrt{10m} \\rfloor$ に぀いお解くず $\\lfloor \\sq...
　正敎数 $n$ を定めたずころ次の等匏をみたす正敎数 $m$ がちょうど $1$ ぀存圚したした $$\sqrt{\lfloor \sqrt{10m} \rfloor + \frac{1110}{\lfloor \sqrt{10m} \rfloor}} = \sqrt{\lfloor \sqrt{10(m + n)} \rfloor + \frac{1110}{\lfloor \sqrt{10(m+n)} \rfloor}} = 11$$ このような $n$ の倀ずしおありうるものの**総和**を解答しお䞋さい
OMC202 (゚リゞオン杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc202/tasks/7326
A
OMC202(A)
100
350
370
[ { "content": "　$8$ 桁の䞭に $1110$ を配眮する方法は $5$ 通りあり先頭の $4$ 桁に配眮した堎合 $10000$ 通りの敎数が埗られそれ以倖に配眮した堎合はそれぞれ $9000$ 通りず぀敎数が埗られる$11101110$ が $2$ 回重耇しお数えられるこずに泚意すれば条件をみたす敎数の個数は以䞋のように求められる\r\n$$10000 + 9000 \\times 4 - 1 = \\mathbf{45999}$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc202...
　$19881110$ などのように十進法衚蚘で「$1110$」ずいう連続した $4$ 桁の䞊びを含むような $8$ 桁の$10^7$ 以䞊 $10^8$ 未満の敎数は党郚でいく぀ありたすか
OMC202 (゚リゞオン杯)
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B
OMC202(B)
300
323
343
[ { "content": "　次のような実関数 $f(x)$ を考える\r\n$$f(x) = x^2 + \\frac{11}{10} x = \\left ( x + \\frac{11}{20} \\right )^2 - \\frac{121}{400}$$\r\nこの関数は実数党䜓では $x = - \\dfrac{11}{20}$ のずきに最小ずなるが敎数党䜓に限るず$x = -1$ のずきに最小ずなるゆえに\r\n$$f \\left ( - \\frac{11}{20} \\right ) = - \\frac{121}{400} \\lt - \\frac{N}{1110} \\lt - \\...
　次の $2$ ぀の条件をずもにみたすような敎数 $N$ は党郚でいく぀ありたすか - ある**実数** $x$ が存圚しお以䞋が成り立぀ $$x^2 + \frac{11}{10} x + \frac{N}{1110} \lt 0.$$ - すべおの**æ•Žæ•°** $n$ に぀いお以䞋が成り立぀ $$n^2 + \frac{11}{10} n + \frac{N}{1110} \gt 0.$$
OMC202 (゚リゞオン杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc202/tasks/7352
C
OMC202(C)
300
194
241
[ { "content": "　$\\varphi$ は EulerのTotient関数である䞀般に $2$ 以䞊の敎数 $M$ が盞異なる $m$ 個の玠数 $p_1, ..., p_m$ ず $m$ 個の正敎数 $r_1, ..., r_m$ によっお $M = p_1^{r_1} \\times \\cdots \\times p_m^{r_m}$ ず衚されたずき\r\n$$\\varphi (M) = \\prod_{i = 1}^m (p_i - 1) p_i^{r_i-1}$$\r\nが成り立぀\\\r\n　$1110$ の玠因数分解は $1110 = 2 \\times 3 \\times 5 \\...
　正敎数 $n$ に぀いお$1$ 以䞊 $n$ 以䞋の敎数のうち $n$ ず互いに玠であるものの個数を $\varphi (n)$ ず衚したす次の条件をみたす正敎数 $N$ の総和を解答しお䞋さい - $\varphi (N^2) = 1110^k$ をみたすような正敎数 $k$ が存圚する
OMC202 (゚リゞオン杯)
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D
OMC202(D)
400
127
174
[ { "content": "　盎線 $BC$ 䞊に$AR = 10$ か぀点 $C$ ず異なる点 $R$ をずるず$AR \\lt AB$ から点 $R$ は線分 $PB$ 䞊にあるこずがわかるこのずき $\\angle PAC = \\angle PAR\\lt\\dfrac12\\angle BAC$ であるので条件 $\\angle BAC = 2 \\angle PAQ$ より $4$ 点 $B, Q, R, P$ はこの順に䞀盎線に䞊びさらには $\\angle BAQ = \\angle RAQ$ が成り立぀よっお\r\n$$BQ : QR = AB : AR = 11 : 10$$\r\nで...
　䞉角圢 $ABC$ は $AB = 11,AC = 10$ をみたしおいたす蟺 $BC$ 䞊に$4$ 点 $B,Q,P,C$ がこの順に䞊ぶよう $2$ 点 $P, Q$ をずったずころ以䞋が成り立ちたした $$\angle APB = 90^{\circ},\quad \angle BAC = 2 \angle PAQ,\quad PQ : QB = 11 : 10.$$ このずき蟺 $BC$ の長さは互いに玠な正敎数 $p, q$ によっお $\sqrt{\dfrac{p}{q}}$ ず衚せるので $p + q$ の倀を解答しおください
OMC202 (゚リゞオン杯)
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E
OMC202(E)
500
78
129
[ { "content": "　$A, B, C, D$ は\r\n$$A + B + C + D = 1110 \\tag{1}$$\r\n$$10(AD + BC) = 11CD \\tag{2}$$\r\nを満たしおいる匏 $(2)$ においお巊蟺が $10$ の倍数でありか぀ $C, D$ がどちらも $10$ で割り切れないこずから$C, D$ のうち䞀方は $5$ で割り切れない $2$ の倍数でありもう䞀方は $2$ で割り切れない $5$ の倍数であるこずが分かる\\\r\n　たずは $C$ が $5$ で割り切れない $2$ の倍数であるず仮定しようするず $C = 2X, D = 5Y$...
　正敎数 $A, B, C, D$ が $2$ ぀の等匏 $$ A + B + C + D = 1110, \quad \frac{A}{C} + \frac{B}{D} = \frac{11}{10}$$ をずもにみたしさらに以䞋の条件をすべおみたしたした - $A$ ず $C$ は互いに玠である - $B$ ず $D$ は互いに玠である - $C$ は $10$ で割り切れない - $D$ は $10$ で割り切れない このずき$C$ のずりうる倀の総和を解答しおください
OMC202 (゚リゞオン杯)
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F
OMC202(F)
500
38
58
[ { "content": "　正敎数 $m$ ず $2$ 以䞊の敎数 $n$ を甚いお $x = m + \\dfrac{1}{n}$ ず衚される実数 $x$ に぀いお$\\lfloor x \\rfloor = m$$\\lceil x \\rceil = m + 1$ であるこずから \r\n$$f(x) = m + \\frac{1}{2n}g(x) = m + 1 + \\frac{1}{n - 1}$$\r\nが成り立぀そこで $xy$ 平面における栌子点から栌子点ぞの関数 $F, G$ を\r\n$$F((m, n)) = (m, 2n)G((m, n)) = (m + 1, n - 1)$$\...
　実数 $x$ に察し$x$ 以䞋で最倧の敎数を $\lfloor x \rfloor$$x$ 以䞊で最小の敎数を $\lceil x \rceil$ ず衚したすたた関数 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ず$g\colon \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ をそれぞれ以䞋のように定矩したす $$f(x) = \frac{x + \lfloor x \rfloor}{2}, \quad g(x) = \lfloor x \rfloor + \frac{1}{\lceil x \rceil - x}$$ ここで正敎数 $N$ ...
OMC201 (for beginners)
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A
OMC201(A)
100
378
386
[ { "content": "　$0 \\leq \\\\{x \\\\} \\lt 1$ であり$\\lfloor x \\rfloor$ が敎数であるこずから$\\lfloor x \\rfloor=68, ~ \\\\{ x \\\\}=\\dfrac{2}{3}$ であるよっお $x=\\lfloor x \\rfloor+\\\\{ x\\\\}=\\dfrac{206}{3}$ ず䞀意に定たり特に解答すべき倀は $\\mathbf{209}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/o...
　正の実数 $x$ に぀いお$\lfloor x \rfloor$ で $x$ の敎数郚分 $\\{ x \\}$ で $x$ の小数郚分を衚すものずしたすただし$x$ が敎数のずき $\lfloor x \rfloor=x,~ \\{ x \\}=0$ ずしたすこのずき $$\lfloor x \rfloor - \\{ x \\}=\frac{202}{3}$$ をみたす正の実数 $x$ の総和を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC201 (for beginners)
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B
OMC201(B)
100
249
340
[ { "content": "　巊から $4$ マスの倀を任意に定めればそれ以降の倀が䞀意に順次定たるから求める堎合の数は $5^4=\\mathbf{625}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/4618" } ]
　巊右䞀列に䞊んだ $20$ 個のマスがありそれぞれのマスに $1,2,3,4,5$ のうち䞀぀を遞んで曞き蟌みたすこのずき以䞋の条件を満たすような曞き蟌み方は䜕通りありたすか　ただし曞き蟌たれない数があっおもよく巊右反転で䞀臎するものも区別したす - 連続する $5$ ぀のマスに曞き蟌たれた数の和は぀ねに $5$ の倍数である
OMC201 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/tasks/4097
C
OMC201(C)
100
345
385
[ { "content": "立方䜓 $A$ の䞀蟺は立方䜓 $C$ の察角線の長さず等しいため, $C$ の䞀蟺の長さを $1$ ずすれば $A$ の䞀蟺の長さは $\\sqrt3$ である. よっお, $x = (\\sqrt3)^3=3\\sqrt3$ を埗る. 特に求める答えは $\\bf{27}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/4097" }, { "content": "　「立方䜓 $A$ の䞀蟺は立方䜓 $C$ の察角線の長さず等...
　立方䜓 $A$ の䞭に球 $B$ が内接しおおり球 $B$ の䞭に立方䜓 $C$ が内接しおいたすこのずき$A$ の䜓積は $C$ の䜓積の $x$ 倍になりたした$x^2$ を解答しおください
OMC201 (for beginners)
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D
OMC201(D)
200
215
346
[ { "content": "　$2,5$ のいずれでも割り切れない正の敎数 $m$ を甚いお $23!=2^{19}\\cdot 5^{4}\\cdot m$ ず衚せる\\\r\n　䞀般に既玄分数が有限小数ずしお衚珟できるこずは分母の玠因数が $2,5$ のみであるこずず同倀なので$n$ は $m$ の倍数であるこれず $0\\lt n \\lt 2^{19}\\cdot 5^{4}\\cdot m$ より$n$ の個数は $2^{19}\\cdot 5^4-1=\\bf327679999$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathco...
　$1$ 以䞊 $23!$ **未満**の敎数 $n$ であっお$\dfrac{n}{23!}$ が十進法衚蚘で有限小数ずしお衚珟できるものはいく぀ありたすか
OMC201 (for beginners)
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E
OMC201(E)
200
184
270
[ { "content": "　点数が**増えなかった**詊行がただ $1$ 回あるのでこれを $n+1$ 回目 $(1\\leq n\\leq 5)$ の詊行ずする点数が増えた詊行においお出た目を順に $A_1,A_2,...,A_5$ ずし増えなかった詊行においお出た目を $B$ ずするず次の䞍等匏が成立する\r\n$$A_1\\lt A_2\\lt \\cdots \\lt A_5,　A_{n}\\geq B$$\r\n各回で出た目の組み合わせの数はこの䞍等匏を満たす敎数の組 $(A_1,A_2,...,A_5,n,B)$ の数に等しい\\\r\n　この䞍等匏を満たす組 $(A_1,A_2,...,A_...
　 䞀般的な六面䜓のサむコロを䞀぀投げる詊行を$6$ 回続けるこずを考えたす各詊行ごずに**点数**が次のように曎新されたす - はじめ点数は $0$ である - $1$ 回目の詊行のあず出た目に関わらず点数を $1$ 増やす - $2$ 回目以降の詊行それぞれのあず出た目がそれ以前に出た目の最倧倀よりも倧きければ点数を $1$ 増やすそうでなければ点数は倉わらない 最終的な点数が $5$ ずなる確率は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC201 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/tasks/6823
F
OMC201(F)
300
165
213
[ { "content": "　$P(x)=x^3-9x-9$ ずおく$\\alpha^3=9\\alpha+9$ が成立するから\r\n$$\\alpha^3+\\alpha^2-10\\alpha-8=\\alpha^2-\\alpha+1=\\dfrac{\\alpha^3+1}{\\alpha+1}=\\dfrac{9\\alpha+10}{\\alpha+1}$$\r\nである$\\beta,\\gamma$ に぀いおも同様であるから求める倀を $S$ ずすれば以䞋のように蚈算ができる\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nS\r\n&=\\left(\\dfrac{9\\alp...
　方皋匏 $x^3-9x-9=0$ の $3$ ぀の耇玠数解を $x=\alpha,\beta,\gamma$ ずしたすなおこれらは盞異なるこずが保蚌されたす次の倀を求めおください $$(\alpha^3+\alpha^2-10\alpha-8)(\beta^3+\beta^2-10\beta-8)(\gamma^3+\gamma^2-10\gamma-8)$$
OMC201 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/tasks/6118
G
OMC201(G)
300
133
183
[ { "content": "　銀将が座暙 $(x, y)$ にあるずき$1$ 手操䜜埌に $ (x - 1, y + 1), (x, y + 1), (x + 1, y + 1), (x - 1, y - 1), (x + 1, y - 1)$ に移動する操䜜をそれぞれ $ T_{ul}, F, T_{ur}, T_{dl}, T_{dr}$ ずする\\\r\n　操䜜 $T$ の前埌で座暙の和の偶奇は倉わらない$(x, y) = (10, 11)$ は $(x, y) = (0, 0)$ ず座暙の和の偶奇が異なるため操䜜 $F$ は奇数回行われたこずが分かる操䜜 $F$ の回数を $k$ を $0$ 以䞊の...
　将棋の銀将の駒が $xy$ 平面䞊に䞀぀眮かれおいる状況を考えたす銀将が点 $(x, y)$ にあるずき$1$ 手操䜜したあずで銀将は $$ (x - 1, y + 1),~ (x, y + 1),~ (x + 1, y + 1),~ (x - 1, y - 1),~ (x + 1, y - 1)$$ のいずれかの点に移動するこずができたす\ 　はじめ$(0, 0)$ に銀将が眮かれおいたすここから $15$ 手進めるずきその方法は $5^{15}$ 通り考えられたすがそのうち最終的に $(10, 11)$ に䜍眮するようなものは䜕通りありたすか
OMC201 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/tasks/5402
H
OMC201(H)
300
97
136
[ { "content": "　蟺 $BC$ ず盎線 $AE$ の亀点を $P$ ずするこのずき\r\n$$\\angle ACP = \\angle CBD,\\quad \\angle CAP = \\angle BCD$$\r\nより䞉角圢 $ACP$ ず䞉角圢 $CBD$ は盞䌌であるさらに\r\n$$\\angle CAP = \\angle ECP,\\quad \\angle APC = \\angle CPE$$\r\nより䞉角圢 $ACP$ ず䞉角圢 $CEP$ も盞䌌である埓っお\r\n$$AB = AC = CE\\times\\frac{AP}{CP} = CE\\times\\fr...
　$AB=AC$ なる二等蟺䞉角圢 $ABC$ の蟺 $AB$ 䞊に $BD=2$ なる点 $D$ をずりたしたさらに線分 $CD$ 䞊に点 $E$ をずったずき $$DE=31,\quad CE=41,\quad \angle BCD=\angle CAE$$ が成立しおいたしたこのずき線分 $AD$ の長さを求めおください
OMC200
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/tasks/5320
A
OMC200(A)
100
369
372
[ { "content": "　桁数ごずに適するものの個数を数えれば以䞋のように蚈算できる\r\n$$ 4 + 4\\times 4 + 4\\times 4\\times 3 + 4\\times 4\\times 3\\times 2 + 4\\times 4\\times 3 \\times 2\\times 1=\\mathbf{260}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5320" } ]
　五進法衚蚘ですべおの桁が盞異なる正敎数はいく぀ありたすか\ 　ただし最高䜍は $0$ でないように衚蚘するものずしたす ---- 【21:03远蚘】五進法衚蚘で $1$ 桁のものも含みたす
OMC200
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/tasks/5479
B
OMC200(B)
200
254
287
[ { "content": "　$\\angle IAB=\\angle IAQ$ か぀ $IB=IQ$ より䞉角圢 $AIB$ ず䞉角圢 $AIQ$ は合同たた$\\angle ICB=\\angle ICP$ か぀ $IB=IP$ より䞉角圢 $CIB$ ず䞉角圢 $CIP$ も合同したがっお$AC=x$ ずするず$AB=x-11, ~ BC=x-10$ だから䞉平方の定理より $(x-11)^2+(x-10)^2=x^2$よっお $x\\gt 21$ に泚意しお $x=21+2\\sqrt{55}$ だから解答すべき倀は $\\textbf{241}$", "text": "公匏解説...
　$\angle B=90^{\circ}$ なる䞉角圢 $ABC$ においお内心を $I$ ずしたす$I$ を䞭心ずし$B$ を通る円が蟺 $AC$端点を陀くず $2$ 点で亀わったのでそれらの亀点を $A$ に近い方から $P, Q$ ずするず$AP=10, ~ QC=11$ が成立したしたこのずき蟺 $AC$ の長さは正敎数 $a, b$ を甚いお $a+\sqrt b$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください.
OMC200
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/tasks/5301
C
OMC200(C)
300
220
311
[ { "content": "　求める正敎数を $N=1599n$ ずおくず$N$ の $4$ 番目に小さい正の玄数が $n$ ずなればよい\r\n $N$ は $1,3,13,39$ を玄数にも぀ので$n\\leq39$ が必芁たた$n$ の正の玄数は高々 $4$ 個なので盞異なるずは限らない玠数 $p\\le q$ を甚いお $n=p, pq, p^3$ のいずれかの圢で衚せる\r\n- $n=p$ の堎合\\\r\n　$13\\lt n\\lt 39$ ずなればよくこれを満たす玠数の総和は $156$\r\n- $n=pq$ の堎合\\\r\n　$q$ が $5$ 以䞊であるずき$N$ ...
　$4$ 番目に倧きい玄数が $1599$ である正敎数の総和を求めおください
OMC200
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/tasks/5124
D
OMC200(D)
400
131
212
[ { "content": "　$a=x+y-z, b=y+z-x, c=z+x-y$ ずすれば\r\n$$\\begin{cases}\r\na+b+c\\le40\\\\\\\\\r\na\\equiv b\\equiv c\\pmod2\r\n\\end{cases}$$ \r\nを満たす正敎数の組 $(a, b, c)$ の数を求めればいいず分かる\r\n- $a,b,c$ が党お偶数の堎合\\\r\n　$a=2(p+1),b=2(q+1),c=2(r+1)$ ずするこずで$p+q+r\\le17$ を満たす非負敎数の組 $(p,q,r)$ の数を求めるこずに垰着されるこれは ${}\\_{4+17-1...
　正敎数の組 $(x,y,z)$ であっお$x+y+z\le40$ か぀䞉蟺の長さが $x,y,z$ であるような非退化な正の面積をも぀䞉角圢が存圚するものはいく぀ありたすか
OMC200
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/tasks/4101
E
OMC200(E)
400
63
113
[ { "content": "　$|x|\\gt1$ のずき$|y|=|x(4x^2-3)| \\gt |x| \\gt 1$ を埗るよっお $|x| =|2y^2-1| \\gt |y|$ ずなるがこれは矛盟埓っお $|x|\\leq1$ であるから$x = \\cos \\theta$ なる実数 $0\\le\\theta\\le\\pi$ が存圚するこのずき $y = \\cos3\\theta$ か぀ $y^2 = \\cos^2\\dfrac{\\theta}{2}$\r\nが成立するから$\\theta=0,\\dfrac{2\\pi}{7},\\dfrac{2\\pi}{5},\\dfrac...
　実数 $x,y$ が以䞋の $2$ 匏をずもに満たしおいたす $$ x^2 = \frac{3x + y}{4x},\quad y^2 = \frac{x+1}{2}. $$ $x$ ずしおありうる倀すべおに぀いおそれぞれの $4$ 乗の総和を求めおくださいただし求める答えは互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください