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contest stringclasses 315 values	contest_url stringclasses 1 value	url stringlengths 53 65	alphabet stringclasses 20 values	name stringlengths 9 17	score stringclasses 10 values	correct int64 0 467	total int64 0 485	editorials listlengths 1 6	task_content stringlengths 28 1.49k
OMC200	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/tasks/7339	F	OMC200(F)	600	14	33	[ { "content": "　三角形 $ABC$ の重心を $G$ とし，直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $X$ とする．\\\r\n　直線 $AM$ と $HO$ は $G$ で直交するので，$AO = OX$ と併せて直線 $HO$ は線分 $AX$ の垂直二等分線なので，$AG = GX$ である．また，$AG : GM = 2:1$ であるから，$AM = 3MX$ である．\\\r\n　ここで，$BM = CM = x$ と置くと，方べきの定理より $x^2 = \\dfrac13AM^2$ であるから，$AM = \\sqrt3x$ である．従って，$\\s...	鋭角三角形 $ABC$ の垂心，外心をそれぞれ $H, O$ とします．さらに，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $HO$ と辺 $AB$ が交わったのでその交点を $P$ とすると，直線 $AM$ と直線 $HO$ は直交し，さらに以下が成立しました： $$AP=17,\quad PB=7.$$ このとき，辺 $AC$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて ${\dfrac{a}{b}}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください.
OMC199 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/tasks/3312	A	OMC199(A)	100	328	338	[ { "content": "　$1$ 回目の解答が正解である確率は $1\\/3312$，$2$ 回目の解答が正解である確率は\r\n$$\\dfrac{3311}{3312}\\times \\dfrac{1}{3311}=\\dfrac{1}{3312}$$\r\nであり，同様にして $n$ 回目の解答が正解である確率は常に $1\\/3312$ である．よって，全体で求める確率は $5\\/1656$ であり，解答すべき値は $\\mathbf{1661}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests...	OMCのあるコンテストでわからない問題に出会ったtkg君は，正答が $1$ 以上 $3312$ 以下の整数値であることだけはわかったので，その範囲でランダムな数を提出することにしました．具体的には以下の操作を繰り返し，正解を提出するか，計 $10$ 回提出を行ったら，その時点でやめます． - $1$ 以上 $3312$ 以下の整数のうち，まだ提出していないもののうち一つを等確率に選んで提出する．このとき，tkg君が正解を提出する確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
OMC199 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/tasks/4289	B	OMC199(B)	100	296	314	[ { "content": "　 $p \\neq 2,3$ のとき $p \\equiv \\pm 1 \\pmod 6$ なので正整数 $k$ を用いて $p=6k \\pm 1$ と表せば次が成り立つ．$$p^2=36k^2\\pm 12k+1\\equiv 12k^2+12k+1\\equiv 12k(k+1)+1\\equiv 1\\pmod {24}$$\r\nしたがって $p^2$ を $24$ で割ったあまりは $p=2,3,5,7,\\ldots$ と動かせば $4,9$ の後は $1$ が続く．\\\r\n　また，$m\\geq 4$ のとき $m!$ は $4!=24$ で割り切れるので，$m!$...	$p^2+m!-10$ が $24$ で割り切れるような素数 $p$ と正の整数 $m$ の組 $(p,m)$ すべてについて， $pm$ の総和を求めてください．
OMC199 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/tasks/3238	C	OMC199(C)	100	307	321	[ { "content": "　与えられた $6$ 次方程式は次のように（実数係数の範囲で）因数分解できる．\r\n$$(x^2+2)(x+2)(x-2)(x+\\sqrt{5})(x-\\sqrt{5})=0$$\r\nこれより求める実数解は $x=\\pm{2},\\pm{\\sqrt{5}}$ なので，求める積は $\\textbf{20}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/3238" } ]	$x$ についての $6$ 次方程式 $$x^6-7x^4+2x^2+40=0$$ のすべての実数解の積を求めてください．なお，この方程式に重解は存在しません．
OMC199 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/tasks/6949	D	OMC199(D)	200	157	279	[ { "content": "　$n$ 個の点が与えられたとき，それらを用いてできる四面体は最大で ${}_{n}\\mathrm{C}_4$ 個ある．従って，${}_n \\mathrm{C}_4 \\geq 999$ を満たす最小の $n$ を求めればよく，これは $\\mathbf{14}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/6949" } ]	同じ空間内に $999$ 個の非退化な（＝正の体積をもつ）四面体があります．これらは共通部分を持ってもよいですが，$4$ つの頂点がすべて一致するものは $2$ つ以上ありません．これらの四面体の頂点にあたる点は，空間内に少なくともいくつ存在しますか？
OMC199 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/tasks/4162	E	OMC199(E)	200	151	207	[ { "content": "　直線 $\\ell$ の方程式を $y=g(x)$ とすると，条件より\r\n$$g(1) = 1, \\quad f(x)-g(x)=(x-3)^2(x-7)^2$$\r\nが成立する．従って, 以下より求める答えは $\\bf{145}$ である：\r\n$$f(1)=(1-3)^2(1-7)^2 + g(1) = 145.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/4162" } ]	$xy$ 平面上において，最高次の係数が $1$ である $4$ 次関数 $y=f(x)$ と，$(1,1)$ を通る直線 $\ell$ が $2$ 点 $(3,f(3)),~(7,f(7))$ で接するとき，$f(1)$ の値を求めてください．
OMC199 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/tasks/3476	F	OMC199(F)	300	268	287	[ { "content": "　$AD\\parallel BC$ から $\\angle PBC =\\angle PCB$ が分かり，従って $BP = CP$ である．また二角相等から三角形 $ PAB$ と三角形 $PCD$ は相似であり，その相似比は $3:4$ である．よって\r\n$$AP : CP = BP : DP = 3 : 4$$\r\nであるから，$BP = CP$ に気をつけることで $AP : DP = 9 : 16$ が分かる. 以上より\r\n$$AP = 10\\times\\frac{9}{25} = \\frac{18}{5}$$\r\nを得る. 特に解答すべきは $\\bf{23...	辺 $AD$ と辺 $BC$ が平行であるような台形 $ABCD$ が $$ AB=3,\hspace{2mm} CD=4,\hspace{2mm} DA=10 $$ をみたしており，その辺 $AD$ 上に点 $P$ をとると， $$ \angle ABP=\angle ADC, \hspace{2mm} \angle APB= \angle CPD $$ が成り立ちました．このとき，線分 $AP$ の長さは互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ の値を解答してください．
OMC199 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/tasks/2529	G	OMC199(G)	300	278	282	[ { "content": "　$274428=28 \\times 99^2$ である．$x$ の $100,10,1$ の位の数字をそれぞれ $a,b,c$ とすると $x-X=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$ より $x \\equiv X \\pmod {99}$ が成り立つ．これと $99^2\\mid xX$ より，$x \\equiv X\\equiv 0 \\pmod {99}$ である．よって，整数 $a,A$ を用いて $x=99a,X=99A$ とおけ，次の式が成り立つ．\r\n$$aA=28, ~ 2\\leq a \\leq 10, ~ 2\\leq A \...	ある $3$ 桁の正整数 $x$ について，その百の位と一の位を入れ替えて得られる正整数を $X$ とします．$x$ と $X$ の積が $274428$ であったとき，$x$ としてあり得る値の総和を求めてください．
OMC199 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/tasks/1685	H	OMC199(H)	300	50	107	[ { "content": "　一般性を失わず $AB=3$ としてよく，座標平面上で $A(0,0),B(3,0)$ と設定すれば，$\\tan\\angle ABC=2\\sqrt{3}$ および $\\tan\\angle BAD=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ に留意することで $C(2,2\\sqrt{3}),D(-2,\\sqrt{3})$ として埋め込めることがわかる．このとき $\\tan\\angle ACD=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{7}$ と計算でき，その平方は $\\dfrac{27}{49}$ である．特に解答すべきは $\\bf76.$ \\\r\n　余談だが，...	凸四角形 $ABCD$ が $$\begin{aligned} \tan\angle BAC&=\sqrt{3}, & \tan \angle CAD&=3\sqrt{3},\\\\ \tan\angle ABD&=\dfrac{\sqrt{3}}{5}, & \tan\angle CBD&=\dfrac{9\sqrt{3}}{11} \end{aligned}$$ をみたすとき，$\tan\angle ACD$ の $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので $a+b$ の値を求めてください．
SOMC008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/tasks/6043	A	SOMC008(A)	200	129	144	[ { "content": "　求めるべき値は，$(1,2,\\ldots,24)$ の並び替え $(a_1,a_2,\\ldots,a_{24}), (b_1,b_2,\\ldots,b_{24})$ すべてについての\r\n$$ a_1 b_1 + a_2 b_2 + \\cdots + a_{24} b_{24} $$\r\nの相加平均であることに注意する．\\\r\n　並び替え $(a_1,a_2,\\ldots,a_{24})$ に対して，別の並び替え $(25-a_1, 25-a_2,\\ldots,25-a_{24})$ を対応させることで，並び替えのペアを作ることができる．ペアの関係にある $2$ つの...	OMC君はTKGさんからお年玉をもらいます．その額は次のゲームで決まります： - OMC君とTKGさんは，$(1,2,\ldots,24)$ の並び替え $$(a_1,a_2,\ldots,a_{24}), \quad (b_1,b_2,\ldots,b_{24})$$ をそれぞれ独立に選ぶ．$2$ 人は各自の並び替えを同時に発表し，OMC君は $$ a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_{24} b_{24} $$ 円をお年玉として受け取る．　OMC君とTKGさんがともに並び替えを $24!$ 通りから無作為に選ぶとき，OMC君が受け取るお年玉の額の期待値を求めてください．
SOMC008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/tasks/9609	B	SOMC008(B)	200	121	139	[ { "content": "　商品 $X, Y, Z$ が入った福袋の個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると，$x+y+z \\leq n$ が成り立つ．$2023$ 個の福袋を買えば必ず商品 $X$ を $1$ つ以上手に入れられるため，商品 $X$ が入っていない福袋は $2022$ 個以下である，すなわち $n - x \\leq 2022$ が成り立つ．同様に，\r\n$$ n - y \\leq 2023, \\quad n - z \\leq 2024 $$\r\nが成り立つので，これらを足し合わせて\r\n$$ 2022 + 2023 + 2024 \\geq 3n - x - y - z \\...	OMC君は福袋を買いに行きます．ある店では $n$ 個の福袋が売っており，それぞれの福袋の中身は以下のいずれかです： - 何も入っていない． - 商品 $X$ のみがちょうど $1$ つ入っている． - 商品 $Y$ のみがちょうど $1$ つ入っている． - 商品 $Z$ のみがちょうど $1$ つ入っている．いま，次がすべて成り立つとき，正整数 $n$ としてありうる最大の値を求めてください： - $2023$ 個の福袋をどのように買っても，必ず商品 $X$ が $1$ つ以上手に入る． - $2024$ 個の福袋をどのように買っても，必ず商品 $Y$ が $1$ つ以上手に入る． - $202...
SOMC008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/tasks/10720	C	SOMC008(C)	200	43	89	[ { "content": "　非負整数 $x, y, z$ が\r\n$$7x + 10y + 16z = 2024$$\r\nを満たしているとき，$n = x+y+z$ としてありうる値の総和を求めればよい．いま，\r\n$$ x+y+z \\equiv 7x+10y+16z \\equiv 2024 \\equiv 2 \\pmod{3} $$\r\nであり，また\r\n$$ \\frac{2024}{16} = \\frac{7x+10y+16z}{16} \\leq x+y+z \\leq \\frac{7x+10y+16z}{7} = \\frac{2024}{7} $$\r\nより $127 \\leq ...	OMC君は書き初めをしています．OMC君が漢字の「辰」と「竜」と「龍」を合計 $n$ 文字書いたところ，画数の合計が $2024$ となりました．このとき $n$ としてありうる値の総和を求めてください．ただし，「辰」「竜」「龍」の画数はそれぞれ $7, 10, 16$ です．また，使わない漢字があってもよいです．
SOMC008	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/tasks/10565	D	SOMC008(D)	200	40	61	[ { "content": "　まずは小円（鼻）を無視して考える．下図のように接点や円の中心にラベルづけする．$A$ は中円どうしの接点，$O$ は大円の中心，$M$ は半円の中心，$P$ は右側の中円の中心，$Q$ は大円と右側の中円の接点である．\\\r\n　中円の半径を $r$ とする．四角形 $AMRP$ が正方形となることに注意すると，$AP = r$ および\r\n$$ OP = OQ - PQ = 24 - r $$\r\n$$ OA = AM - OM = r - (24 - 20) = r-4 $$\r\nを得る．三平方の定理から $OP^2 = OA^2 + AP^2$，すなわち\r\n$$ (24...	OMC君は福笑いをしています．大円 $1$ つ，半径が同じである中円 $2$ つ，小円 $1$ つ，半円 $1$ つを用いて顔を作ったところ，下図のようになりました．ここで，大円・中円・半円はどの $2$ つも接しており，小円は $2$ つの中円と半円に外接しているものとします．\ 　半円の半径が $20$，大円の半径が $24$ のとき，小円の半径は正の整数 $a, b$ を用いて $-a+\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください． ![figure 1](\/images\/JzQBkvSkMx7LetiCXxEf76G3DwqRHYQJWxuc3qpi)
OMC198 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/tasks/8713	A	OMC198(A)	400	116	143	[ { "content": "　$P,Q$ それぞれの中心の $x$ 座標を $p,q$，半径を $u,v$ とおく．このとき，$P,Q$ の双方と互いに外接し，半径が $k$ である円の中心 $(x,y)$ がみたすべき方程式は，\r\n$$(x-p)^2+y^2=(k+u)^2, \\quad (x-q)^2+y^2=(k+v)^2$$\r\nである．これを解けば，$x$ として $k$ の $1$ 次式が得られる．つまり，求める値を $t$ とおくと，$(k, x) = (4,8),(16,11),(2023,t)$ は同一直線上に並ぶから，$t=\\dfrac{2051}4$ である．特に，解答すべき値は $\...	$xy$ 平面において，中心がともに $x$ 軸上にあり，互いに外接している $2$ 個の円 $P,Q$ があります．いま，$P,Q$ の双方と互いに外接する $4$ 個の円 $A,B,C,D$ であって，次をみたすものをとることができました： - $A$ の中心の $x$ 座標は $8$ であり，半径は $4$ である． - $B$ の中心の $y$ 座標は $15$ であり，半径は $12$ である． - $C$ の中心の $x$ 座標は $11$ であり，半径は $16$ である． - $D$ の半径は $2023$ である．　このとき，円 $D$ の中心の $x$ 座標は一意に定まるので，これを求めてく...
OMC198 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/tasks/7030	B	OMC198(B)	400	169	246	[ { "content": "![figure 1](\\/images\\/FLtYYsRF8Z6tGDu1Bn4adxMgtJ2SpZBNrevwvjS8)\r\n\r\n　$1$ つの $2\\times 2$ のタイルは上の図の黒マスの部分をちょうど $1$ つ含むので $6$ つの黒マスと $6$ つの $2\\times 2$ のタイルが一対一対応する．従って，数えるべきものは，$6$ つの黒マスを含むような $6$ つの $2\\times 2$ のタイルの置き方であって，$2\\times 2$ のタイル同士が重ならないものと言い換えられる．\\\r\n　黒マスとそれを含む $2\\times 2$ の...	$5\times 7$ のマス目を $2\times 2$ の正方形のタイル $6$ 枚と $1 \times 1$ の正方形のタイル $11$ 枚で（重ねることなく，また隙間なく）敷き詰める方法は何通りありますか？\ 　ただし，同じ大きさのタイルは区別せず，回転したり裏返したりして同じになる敷き詰め方は違うものとして数えます．
OMC198 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/tasks/9321	C	OMC198(C)	400	47	76	[ { "content": "$$\\angle CQP = \\angle DAP = \\angle RAP$$\r\nであり，同様に $\\angle ARP = \\angle QCP$ が成り立つので，三角形 $APR$ と三角形 $QPC$ は相似である．また，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle BAC &= \\angle BDC = \\angle PDC = \\angle PRC,\\\\\\\\\r\n\\angle ABC &= 180^\\circ - \\angle ADC = 180^\\circ - \\angle RDC = \\angle RPC\r\...	四角形 $ABCD$ は円に内接し，$AB = 5, BC = 7$ を満たしています．線分 $BD$ 上に $BP=2$ を満たすように点 $P$ をとると，三角形 $ADP$ の外接円と辺 $CD$ が $D$ でない点 $Q$ で交わり，三角形 $CDP$ の外接円と辺 $AD$ が $D$ でない点 $R$ で交わりました． $$CQ:DQ=2:3,\quad DR:AR=4:5$$ が成り立つとき，$AD^2$ の値を求めてください．ただし，求める答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．
OMC198 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/tasks/8686	D	OMC198(D)	400	48	78	[ { "content": "　まず，$f(n,m)$ について考察する．$m^n$ 個の数列のうち，特に各項が $k$ の倍数であるものは $\\lfloor m\\/k \\rfloor ^ n$ 個存在するが，その中には最大公約数が $2k$ や $3k$ などといったものも含まれているため，愚直には足し合わせられない．そこで，整数列 $p=(p_1,p_2,\\dots)$ であって，以下の条件をみたすものがあったとしよう：\r\n\r\n- 任意の正整数 $n$ に対して，$\\displaystyle\\sum_{d\\mid n}^{} p_d = n$ をみたす．\r\n\r\nすると，各項が $k$ ...	長さ $n$ かつ各項が $1$ 以上 $m$ 以下であるような正整数列 $m^n$ 個すべてに対して，$n$ 数の最大公約数の総和を $f(n,m)$ とおきます．このとき，正整数 $m$ それぞれに対して，以下をみたす正整数 $g(m)$ および広義単調増加な正整数列 $(a_1,a_2,\dots,a_{g(m)})$ が一意に定まります： - 任意の正整数 $n$ に対して，$a_1^n + a_2^n +\cdots+ a_{g(m)}^n = f(n,m)$ が成り立つ．　このとき，$g(1001) - g(999)$ の値を求めてください．
OMC198 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/tasks/7033	E	OMC198(E)	800	18	76	[ { "content": "　結論から述べれば，ある状態から始めて後手が勝つことは以下と同値である：\r\n\r\n- 各山の石の数を二進法で表したとき，どの位についてもそれが $1$ であるものが $3$ の倍数個存在する．\r\n\r\nこの状態を以下では良い状態とよび，そうでない状態を良くない状態とよぶ．\\\r\n　最後が良い状態であることに注意すれば，以下の二つを示せばよい：\r\n\r\n- どの良い状態からどのように $1$ 回操作しても良くない状態の盤面になること．\r\n- どの良くない状態からも，適当に $1$ 回操作することで良い状態の盤面にできること．\r\n\r\n以下，特に...	$0$ 個以上の石からなる山 $N$ 個が左右一列に並んでいます．$k = 1,2,\ldots,N$ について，左から $k$ 番目の山ははじめ $k$ 個の石からなります．これら $N$ 個の山を使って，サンタとトナカイが次のゲームをします： - サンタを先手として，次の操作を可能な限り交互に行う： - $1$ つまたは $2$ つの山を選択し，それぞれから石を $1$ 個以上ずつ取る（$2$ つの山を選んだとき，それぞれから異なる個数の石を取ってもよい）．ここで，石が $1$ 個もない山を選択することはできないが，操作の結果としてある山に含まれる石が $0$ 個になってもよい． - 先に操作が出来なくなった方が負...
OMC198 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/tasks/9322	F	OMC198(F)	800	1	17	[ { "content": "　$(x+a, y+b, z+c) \\in B$ をみたす正の整数 $x, y, z, a, b, c$ について，\r\n\r\n$$ \\begin{aligned} \r\ng(x, y, z, a, b, c) = ~&f(x,y,z)+f(x,y+b,z+c)+f(x+a,y,z+c)+f(x+a,y+b,z)\\\\\\\\\r\n&-f(x+a,y,z)-f(x,y+b,z)-f(x,y,z+c)-f(x+a,y+b,z+c)\r\n\\end{aligned} $$\r\n\r\nにより関数 $g(x, y, z, a, b, c)$ を定める．良い関数であるための条件式...	正の整数 $3$ つの組からなる集合 $B$ を $$ B = \\{ (x, y, z) \mid 1\leq x \leq 5, ~ 1\leq y \leq 6, ~ 1\leq z \leq 7 \\} $$ で定めます．$B$ の元に対して定義され整数値をとる関数 $f$ が良い関数であるとは，$(x+a, y+a, z+a) \in B$ をみたす任意の正の整数 $x,y,z,a$ について， $$ \begin{aligned} &f(x,y,z)+f(x,y+a,z+a)+f(x+a,y,z+a)+f(x+a,y+a,z) \\\\ &\gt f(x+a,y,z)+f(x,y+a,z)+f(...
SOMC007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/tasks/2737	A	SOMC007(A)	100	100	100	[ { "content": "　$1224569$ の倍数が $1,2,2,4,5,6,8$ の並び替えになるかどうかを順に確認していけば良い．\\\r\n　具体的には $\\mathbf{6122845}$ が条件を満たす．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/editorial/2737" } ]	各桁が $1,2,2,4,5,6,8$ を並び替えてできる $7$ 桁の正整数であって，$1224569$ で割り切れる唯一のものを求めてください．
SOMC007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/tasks/4229	B	SOMC007(B)	200	38	54	[ { "content": "$$A(AB+C)=\\displaystyle{ \\sum_{k=C}^{AB}k}=\\dfrac{1}{2}(AB+C)(AB-C+1)$$\r\nを整理することで $A(B-2)=C-1$ であり，特に $B\\geq 2$ である．ここで $A\\geq C$ より\r\n$$A(B-2)\\leq A-1 \\implies A(3-B)\\geq 1.$$\r\nすなわち $B=2$ であり，$C=1$ となる．このとき，\r\n$$\\displaystyle \\frac{1}{6}A(A+1)(2A+1)= \\sum_{k=1}^{A} k^2 = A(2A+1)$...	$A\geq C$ なる正整数の組 $(A, B, C)$ が以下の等式をみたします： $$ \sum_{k=C}^{A \times B} k = \sum_{k=C}^{A} k^B = A\left(A\times B+C\right). $$ このとき，式の値 $A\left(A\times B+C\right)$ としてありうるものの総和を求めて下さい．
SOMC007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/tasks/2660	C	SOMC007(C)	200	29	43	[ { "content": "　$n$ の素因数分解を $n=p_1^{a_1}\\times p_2^{a_2}\\times \\cdots$ と表せば，\r\n$$n^2f(n)=p_1^{2a_1+1}\\times p_2^{2a_2+1}\\times \\cdots$$\r\nである．ここで，\r\n$$1+p+\\cdots+p^{2n+1}=\\left(1+p^{n+1}\\right)\\left(1+p+p^2+\\cdots +p^n\\right)$$\r\nであるから，与式について\r\n$$\\dfrac{S\\big(n^2f(n)\\big)}{S(n)}=\\left(1+p_1^...	正整数 $n$ に対し，$S(n)$ を $n$ の正の約数の総和，$f(n)$ を $n$ に含まれる素因数の総積とします．例えば， $$S(6)=1+2+3+6=12,\quad f(72)=2\times 3=6$$ です．ただし，$f(1)=1$ とします．このとき，以下の商 $$\dfrac{S\big(n^2f(n)\big)}{S(n)}$$ が整数であり，さらに奇数であるような正整数 $n$ のうち，$i$ 番目に小さいものを $n_i$ とし，そのときの商を $k_i$ とします．$k_{4000}$ を素数 $3989$ で割った余りを求めてください．
SOMC007	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/tasks/4198	D	SOMC007(D)	300	15	21	[ { "content": "　well-known factとして $I$ は $J_AJ_BJ_C$ の垂心であり，かつ点 $A, B, C$ はそれぞれ三角形 $J_AJ_BJ_C$ の各頂点から対辺に下ろした垂線の足である．また，簡単な角度計算によって\r\n$$\\angle AJ_BC = \\angle CIJ_A = \\angle AIJ_C = 60^\\circ$$\r\nが分かるので，\r\n$$AJ_A = AI + IJ_A = AI + \\frac{CI}{\\cos60^\\circ} = 43, \\quad J_AJ_B = \\frac{AJ_A}{\\sin60^\\circ}...	$\angle{B}=60^\circ$ なる三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$，角 $A,B,C$ 内の傍心をそれぞれ $J_A, J_B, J_C$ とします．$AI=13, ~ CI=15$ であるとき，三角形 $J_AJ_BJ_C$ の面積を求めてください．ただし，答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
OMC197 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/tasks/4884	A	OMC197(A)	100	466	476	[ { "content": "　条件に適する正整数は，$61$ 以上の素因数しかもたない．合成数であるとすると，適するものは最小で $61^2=3721$ であることに注意すれば，素数である $\\textbf{3607}$ が最小であることがわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4884" } ]	$1$ 以上 $60$ 以下のどの整数とも互いに素であるような $3600$ 以上の正整数のうち，最小のものを求めてください．
OMC197 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/tasks/4879	B	OMC197(B)	100	365	428	[ { "content": "$N$ から線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $H_1$，$D$ から $NC$ におろした垂線の足を $H_2$ とする．このとき，\r\n$$NH_1 : H_1C : CN = 2 : 3 : \\sqrt{13}$$\r\nである．また，三角形 $NH_1C$ と $CH_2D$ は相似であるので，\r\n$$CD=12 \\cdot \\frac{\\sqrt{13}}{3} = 4\\sqrt{13}$$\r\nがわかり，求める面積は $\\bf{208}$ と計算できる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinema...	正方形 $ABCD$ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AM$ の中点を $N$ とします．$D$ と直線 $NC$ の距離が $12$ であるとき，正方形 $ABCD$ の面積を求めてください．
OMC197 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/tasks/5227	C	OMC197(C)	200	434	457	[ { "content": "　$i$ 行 $j$ 列目のマスを $(i,j)$ と表す．OMC君は $(2,2)$ と $(8,8)$ を必ず通る．$(1,1)$ から $(2,2)$ まで移動する方法は $2$ 通り，$(2,2)$ から $(8,8)$ まで移動する方法は ${}_6 \\mathrm{ C }_3=20$ 通り，$(8,8)$ から $(9,9)$ まで移動する方法は $2$ 通りであるから，移動方法は $2\\times20\\times2=\\textbf{80}$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcont...	OMC君は九九の表の $1$ が書かれているマスにいます．OMC君は隣り合うマスに以下の条件を満たすように移動し，最短距離で $81$ が書かれたマスに移動したいです．このとき，移動方法は何通りありますか． - $1$ または $81$ または偶数が書かれているマスのみを移動する　ただし，九九の表とは $9 \times 9$ のマス目であって， $i$ 行 $j$ 列目のマスには $i \times j$ が書かれているもののことを指すものとします．
OMC197 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/tasks/4960	D	OMC197(D)	200	247	333	[ { "content": "$$x+y+z+w=100, \\quad x,y,z,w\\leq 30$$\r\nをみたす正整数の組 $(x,y,z,w)$ を数えればよい．ここで\r\n$$x^\\prime=30-x, \\quad y^\\prime=30-y, \\quad z^\\prime=30-z, \\quad w^\\prime=30-w$$\r\nとすれば，$x^\\prime+y^\\prime+z^\\prime+w^\\prime=20$ なる非負整数の組 $(x^\\prime,y^\\prime,z^\\prime,w^\\prime)$ を数えればよく（大小関係より今回は負になることは...	区別のない $100$ 本のボールペンを，OMA君・OMB君・OMC君・OMD君の $4$ 人に分けます．どの人も所有数が $0$ 本以上 $30$ 本以下になるように分ける方法は何通りありますか？
OMC197 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/tasks/4548	E	OMC197(E)	200	288	388	[ { "content": "　実際のOMC 君の体重を $x$ kg，おもり一つの重さを $y$ kg とすると，条件より\r\n$$55\\leq x+2y\\leq 65, \\quad 85\\leq x+5y\\leq 95.$$\r\nこれを満たす領域を図示すれば $\\dfrac{85}{3}\\leq x \\leq \\dfrac{155}{3}$ がわかり，求める総和は $29+30+\\cdots+51=\\bf{920}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/ed...	実際の重さと表示される重さの誤差が最大 $5$ kgであるこわれた体重計があります．例えば，実際の重さが $20$ kgのものをこの体重計に置くと，$15$ kg以上 $25$ kg以下の重さが表示される可能性があります．なお，この誤差は置くものを変えるたびに変動し，一定ではありません．\ 　この体重計にまずOMC君が乗った状態で，さらに重さが等しいおもりを一つずつ載せていくと，以下のようになりました： - おもりを $2$ 個載せた時点で表示された重さはちょうど $60$ kgであった. - おもりを $5$ 個載せた時点で表示された重さはちょうど $90$ kgであった. このとき，kgを単位としてOMC君...
OMC197 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/tasks/8209	F	OMC197(F)	300	317	348	[ { "content": "　非負整数 $n$ に対して $n$ の各位の和を $S(n)$ と表す．$S(n)\\equiv n\\mod 9$ に留意すれば条件 $C,D$ が同時に満たされることはない．よって $N$ が条件 $A,B,C$ を満たす場合と条件 $A,B,D$ を満たす場合に分けて考えれば良い．\\\r\n　$N$ が条件 $A,B,C$ を満たすとする．条件 $C$ から $N\\equiv 2 \\mod 9$ が導かれるので，条件 $A,B$ と合わせて，\r\n$$\\begin{cases}\r\n1 \\leq N \\leq 1000\\\\\\\\\r\nN\\equiv 0 \...	次の条件 $A,B,C,D$ のうちちょうど $3$ つをみたす（＝ちょうど $1$ つだけみたさない）ような正整数 $N$ の総和を求めてください． - 条件 $A$ ：$N$ は $1000$ 以下である． - 条件 $B$ ：$N$ は $11$ の倍数である． - 条件 $C$ ：$N$ を十進表記したときの各位の和は $11$ である． - 条件 $D$ ：$N$ は $3$ の倍数である．
OMC197 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/tasks/5661	G	OMC197(G)	300	86	153	[ { "content": "　$4$ 点 $P,B,C,Q$ は同一円周上にあることと，$AB=PB$ が成り立つことにより．\r\n　$$\\angle{BCQ}=\\angle{BPA}=\\angle{BAP}$$\r\nであるから，$Q$ は線分 $BD$ 上にあり，特に $\\angle{CBQ}=45^{ \\circ }$ である．よって，中線定理と余弦定理より以下がそれぞれ成り立つ．\r\n$$AB^2+BQ^2=2(BP^2+AP^2)$$$$CQ^2=4AP^2=BQ^2+BC^2-2BQ \\times BC \\times \\cos \\angle{CBQ}$$\r\nこれらを連立させて解く...	一辺の長さが $6$ である正方形 $ABCD$ について，その内部（外周を除く）の点 $P$ が $AB=PB$ をみたします．$P$ を中心に $A$ を対称移動した点を $Q$ とすると，$4$ 点 $P,B,C,Q$ は同一円周上にありました．このとき，線分 $BQ$ の長さは，正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
OMC197 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/tasks/6009	H	OMC197(H)	300	96	159	[ { "content": "$$x^{200} + x^{199} + 3x^2 - 3 = (x+1)(x^{199} + 3x - 3)$$\r\nであるから，$-1$ は解の一つである．また，$x^{199} + 3x - 3 = 0$ の解を $a_1,a_2,\\ldots,a_{199}$ とする．\\\r\n　　まず，$A_{199}$ を求める．解と係数の関係より $\\displaystyle \\sum_{k=1}^{199}a_k= 0$ である．よって，\r\n$$\\sum_{k=1}^{199}a_k^{199} = \\sum_{k=1}^{199}(3-3a_k) = \\sum_{k...	$x$ に関する方程式 $$x^{200}+x^{199}+3x^2-3=0$$ は相異なる $200$ 個の複素数解を持つので，それぞれの $k$ 乗の総和を $A_k$ とします．\ 　$1000A_{199}+A_{200}$ の値を求めてください．
OMC196 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/tasks/9815	A	OMC196(A)	100	436	446	[ { "content": "　$S$ のすべての元の和を $s$ とおく．$S$ から $2$ つの要素を選んでその和が $m$ であったとき，選ばれなかった $2$ つの要素の和は $s-m$ となる．いま，$S$ から $2$ つの要素を選ぶ方法 $6$ 通りのうち $3$ 通りについて，選ばれた要素の和が $1,4,9$ であるので，残りの $3$ 通りの選び方について，選ばれた要素の和は $s-1, s-4, s-9$ となる．ここで\r\n$$ s-9 \\lt s-4 \\lt s-1 $$\r\nであるから，$s-9= x, \\ s-4 = y, \\ s-1 = 36$ を得る．これにより，\r\n...	相異なる $4$ つの実数からなる集合 $S$ があります．$S$ から相異なる要素を $2$ つ選ぶとき，その和としてありうる値は小さい順に $$ 1, \ 4, \ 9, \ x, \ y, \ 36$$ となりました．このとき，$xy$ の値を求めてください．
OMC196 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/tasks/2450	B	OMC196(B)	200	148	254	[ { "content": "　正二十面体の各面は正三角形で，辺は全部で $30$ 本あることから，全ての辺の塗り方は ${}\\_{30}\\mathrm{C}\\_{22}$ 通り，ある面に対してその面の辺が全て赤で塗られているような辺の塗り方は ${}\\_{27}\\mathrm{C}\\_{22}$ 通りある．\r\nよって求める期待値は次のように求められる．\r\n$$\\frac{{}\\_{27}\\mathrm{C}\\_{22}\\times 20}{{}\\_{30}\\mathrm{C}\\_{22}}=\\frac{8}{29}$$ \r\n特に，解答すべき値は $\\bf37$ である．",...	すべての辺が赤く塗られた正二十面体があります．この正二十面体の辺から無作為に $22$ 本選び青く塗るとき，塗り終わった後で全ての辺が赤く塗られている面の数の期待値は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せます．$a+b$ の値を求めてください．\ 　なお，正二十面体の各面は正三角形であり，辺の本数は $22$ 本以上です．
OMC196 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/tasks/2251	C	OMC196(C)	200	332	402	[ { "content": "　四角形 $ABCD$ の外接円の中心を $O$ とすると，$\\angle AOB,\\angle BOC,\\angle COD,\\angle DOA$ がすべて $360^\\circ\\/N$ の整数倍になるような整数 $N\\geq 4$ の最小値を求めればよい．\\\r\n　$\\angle ABC+\\angle CDA=180^{\\circ}$ であるから，$d=180^{\\circ}\\/44$ とすると与式より次が分かる．\r\n$$\\angle CAB=20d,\\quad \\angle ABC=21d,\\quad \\angle BCD=22d,\\qu...	円に内接する四角形 $ABCD$ があり，以下の条件をみたします． $$\angle CAB:\angle ABC:\angle BCD:\angle CDA=20:21:22:23$$ このとき，$4$ 点 $A,B,C,D$ をすべて頂点に含む正 $N$ 角形が存在するような，$4$ 以上の整数 $N$ としてありうる最小の値を求めてください．
OMC196 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/tasks/8081	D	OMC196(D)	400	36	107	[ { "content": "　$F,G\\colon S\\to S$ を以下のように定める．\r\n$$F(x) = \\begin{cases}\r\nf(x) & (xは奇数)\\\\\\\\\r\ng(x) & (xは偶数)\r\n\\end{cases},\\quad \r\nG(x) = \\begin{cases}\r\ng(x) & (xは奇数)\\\\\\\\\r\nf(x) & (xは偶数)\r\n\\end{cases}$$\r\n　また，任意の $S$ の元 $x$ について $xy$ 平面上の点 $P_x$ を $P_x = \\big(F(x), G(x)\\big)$ で定める．さらに，...	$S = \\{0,1,\ldots,7\\}$ とします．$S$ の各元に対して定義され $S$ 上に値をとる関数の組 $(f,g)$ であって，以下の条件が成り立つものはいくつありますか？ - ある広義単調増加な整数列 $a_0, a_1, \ldots, a_7$ が存在して，任意の $S$ の元 $x,y$ について，$x$ と $y$ の偶奇が異なるならば以下が成り立つ： $$\|f(x) - g(y)\| + \|g(x) - f(y)\| = \|a_x - a_y\|$$
OMC196 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/tasks/10426	E	OMC196(E)	500	98	253	[ { "content": "　対称性より $p\\le q\\le r$ として考えてよい．\\\r\n　$p$ を法とする $4$ の位数を $a$ とする．フェルマーの小定理と仮定より\r\n$$4^{p-1}\\equiv4^{2qr}\\equiv 1\\pmod p$$\r\nであるから，$a\\mid\\gcd(p-1, 2qr)$ である．ここで，$q,r$ はいずれも $p-1$ より大きい素数であることより $p-1$ と互いに素であるので，$\\gcd(p-1,2qr) = \\gcd(p-1,2) = 2$ である．よって，$4^{2} - 1 = 15$ は $p$ で割り切れるから $p$ ...	$150$ 以下の素数 $p,q,r$ について， $$\quad\frac{4^{qr} + 1}{p}, \quad\frac{4^{rp} + 1}{q}, \quad\frac{4^{pq} + 1}{r}$$ がすべて整数であるとき，$pqr$ としてありうる値の総和を解答してください．
OMC196 (エリジオン杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/tasks/4655	F	OMC196(F)	600	21	41	[ { "content": "　三角形 $QXY$ の外接円を $\\Omega$ とする．また，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，直線 $AH$ と $\\omega$ の交点のうち $A$ でない方を $K$ とする．\r\n$$\\angle AXB = \\angle APB + \\angle PBQ = \\angle ACB + \\angle PBQ = 180^\\circ - \\angle ACB = \\angle AHB$$\r\nより $4$ 点 $A, B, H, X$ は同一円周上にあり，同様にして$A, C, H, Y$ も同一円周上にある．さらに，\r\n$$\\begin...	$AB=67, ~ AC=78$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\omega$ とすると，$\omega$ の半径は $45$ でした．$\omega$ の弧 $BC$（$A$ を含まない方）上の点 $P$ と，三角形 $ABC$ の内部（周上を除く）の点 $Q$ について，$Q$ は直線 $AP$ 上にはなく，さらに $$\angle PBQ + 2\angle ACB = \angle PCQ + 2\angle ABC = 180^\circ$$ が成り立ちました．ここで，直線 $BQ, CQ$ と直線 $AP$ の交点をそれぞれ $X, Y$ とします．三角形 $QXY$の外接円の半径が $10$...
OMC195 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/tasks/4886	A	OMC195(A)	100	346	358	[ { "content": "　$BI_A,CI_A$ はそれぞれ $\\angle B,\\angle C$ の外角を二等分することに注意すると，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle B I_A C &= 180^\\{\\circ} - \\angle BCI_A - \\angle CBI_A \\\\\\\\\r\n&=180^\\{\\circ} - \\dfrac{1}{2}(180^\\{\\circ} -\\angle BCA) - \\dfrac{1}{2}(180^\\{\\circ} -\\angle CBA) \\\\\\\\\r\n&=\\dfrac{1}{2}(...	三角形 $ABC$ において，$A$ に対する傍心を $I_A$ とします．$$\angle BAC = 6 ^\circ$$ のとき，$\angle BI_AC $ の大きさを度数法で求めて下さい．
OMC195 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/tasks/4909	B	OMC195(B)	100	337	344	[ { "content": "$$\\log_2 \\biggl(1+\\dfrac{1}{k}\\biggl)=\\log_2 \\dfrac{k+1}{k}=\\log_2 (k+1) -\\log_2 k$$\r\nより，\r\n$$5=\\displaystyle \\sum_{k=1}^{n} \\log_2 \\biggl(1+\\dfrac{1}{k}\\biggr)=\\log_2 (n+1)$$\r\nが成り立つ．よって，$n=2^{5}-1=\\mathbf{31}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.c...	$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \log_2 \biggl(1+\dfrac{1}{k}\biggr)=5$$ をみたす正の整数 $n$ を求めてください．
OMC195 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/tasks/4357	C	OMC195(C)	200	210	301	[ { "content": "　選ばれた $i=1,2,3,4,5$ が問題の数列内で $a_i$ 番目に現れた $i$ であったとすると，この選び方が問題の条件を満たすことは次が成り立つことと同値である．\r\n$$1 \\leq a_1 \\leq a_2 \\leq a_3 \\leq a_4 \\leq a_5 \\leq 100$$\r\nこのような数列 $\\lbrace a_i \\rbrace$ はボール $99$ 個と仕切り $5$ 個を一列に並べる方法に対応するから，求める選び方は ${}\\_{104}\\mathrm{C}\\_5=\\textbf{91962520}$ 通りである．", ...	$1,2,3,4,5$ の並びを $100$ 回繰り返して得られる計 $500$ 項からなる数列において，相異なる $5$ 項を選ぶ方法であって，数列に現れる順に $1,2,3,4,5$ であるようなものは何通りありますか？
OMC195 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/tasks/4751	D	OMC195(D)	200	131	273	[ { "content": "　まず，互いに素な正整数 $s,t$ であって\r\n$$\\dfrac{1}{8}\\lt \\dfrac{s}{t}\\lt \\dfrac{1}{7} \\quad \\Bigl(\\iff 7s\\lt t\\lt 8s \\Bigr)$$\r\nをみたすものを考える．$s$ が小さい方から（等しい場合は $t$ が小さい方から）列挙すれば，\r\n$$\\frac{2}{15},\\frac{3}{22},\\frac{3}{23},\\frac{4}{29},\\frac{4}{31},\\frac{5}{36},\\frac{5}{37},\\frac{5}{38},\\fr...	互いに素な正整数 $p,q$ が $$\dfrac{25}{8}\lt \dfrac{p}{q} \lt \dfrac{22}{7}$$ をみたすとき，$p+q$ のとり得る値のうち $10$ 番目に小さいものを求めてください．
OMC195 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/tasks/3989	E	OMC195(E)	300	84	165	[ { "content": "　辺 $AC$ の中点を $M$ とする．中点連結定理より三角形 $ABC$ と三角形 $APM$ は相似である．よって，\r\n$$\\angle RMP = \\angle AMP = \\angle ACB = \\angle RQP$$\r\nより $4$ 点 $P,Q,R,M$ は同一円周上にある．よって，\r\n$$\\angle AMQ = \\angle RMQ = 180^\\circ - \\angle QPR = 90^\\circ = \\angle ABQ$$\r\nより $4$ 点 $A,B,Q,M$ は同一円周上にある．よって，方べきの定理より\r\n$$CB...	三角形 $ABC$ は以下をみたします． $$ \angle B = 90^\circ,\quad AB = 1,\quad BC = \sqrt{7} $$ 辺 $AB$ の中点を $P$ とし，辺 $BC, CA$ 上にそれぞれ $ Q, R$ を，三角形 $BCA$ と三角形 $PQR$ が（向きも含めて）相似となるように取ります．三角形 $PQR$ の面積は互いに素な正の整数 $a, c$ および平方因子を持たない正の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
OMC195 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/tasks/4748	F	OMC195(F)	400	52	82	[ { "content": "　$113$ は $10$ と互いに素であるから，小数第 $1$ 位よりただちに循環節に入る．いま，循環節の長さが $112$ であることから，筆算の要領で割り算を行う過程を考えることで，循環節の中には\r\n$$10÷113,\\quad 20÷113,\\quad \\ldots, \\quad ,1120÷113$$\r\nの商がそれぞれ一度ずつ現れることがわかる．すなわち循環節の中には $0,1,2,4,5,7,8,9$ が $11$ 回ずつ，$3,6$ は $12$ 回ずつ出現する．したがって循環節の $0$ を除く数字の総積は $(9!)^{11}\\cdot 3\\cdot...	$\dfrac{355}{113}$ を十進法表記で表すとき，小数第 $1$ 位から小数第 $227$ 位までに現れる各位の数について $0$ を除いたものの総積を $P$ とします．$P$ の正の約数の個数を求めてください．ただし，$\dfrac{355}{113}$ の循環節の長さは $112$ であることが保証されます． --- 　ここで循環節とは，小数点以下のある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数において，繰り返される数字の列の中で最も長さが短いものを指します．例えば，$\dfrac{1}{6}=0.166\cdots$ の循環節は $6$（長さ $1$），$\dfrac{1}{7}=0...
OMC194	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/tasks/2351	A	OMC194(A)	100	249	286	[ { "content": "　$b_i=a_i+1$ とおけば，$b_1+b_2+\\cdots +b_{6}=20$ を満たす非負整数の組 $(b_1,b_2,\\ldots ,b_{6})$ の数を求めることに帰着される．これは，${}\\_{6}\\mathrm{H}\\_{20} = \\bf53130$ 通り存在する．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/2351" } ]	総和が $14$ であるような $-1$ 以上の整数の組 $(a_1,a_2,\ldots ,a_{6})$ は何通りありますか．
OMC194	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/tasks/2002	B	OMC194(B)	300	180	223	[ { "content": "　条件より $5n$ がもつ素因数の集合は $\\\\{2,5,7\\\\}$ であるから，$n=2^a5^b7^c$ と表せる．このとき，\r\n$$\\frac{f(5n)}{f(n)}=\\frac{(5n)^{(a+1)(b+2)(c+1)\\/2}}{n^{(a+1)(b+1)(c+1)\\/2}}=5^{(a+1)(b+2)(c+1)\\/2}n^{(a+1)(c+1)\\/2}$$\r\nである．これが $140^{90}=2^{180}5^{90}7^{90}$ に等しいことから，各素因数の指数を比較して\r\n$$a(a+1)(c+1)=360,\\quad (a+1)(...	正の整数 $x$ に対し，その正の約数の総積を $f(x)$ で表します．このとき， $$\frac{f(5n)}{f(n)}=140^{90}$$ をみたす正の整数 $n$ の総和を解答してください．
OMC194	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/tasks/8117	C	OMC194(C)	400	125	165	[ { "content": "　$K=\\dfrac{k}{10^5}$ とする．漸化式から\r\n$$a_{n+2}-a_{n+1}=K(\\lceil a_{n+1} \\rceil -\\lceil a_n \\rceil )$$\r\nである．右辺について，\r\n$$\\lceil a_{n+1} \\rceil -\\lceil a_n \\rceil =\\lceil K \\lceil a_n \\rceil +1 \\rceil -\\lceil a_n \\rceil = \\lceil K \\lceil a_n \\rceil \\rceil -\\lceil a_n \\rceil +1$$\...	$k$ を $1$ 以上 $10^5$ 未満の整数とし，数列 $\\{ a_n \\}$ を以下の漸化式で定めます： $$a_1=500, \quad a_{n+1}=\frac{k}{10^5} \lceil a_n \rceil +1 \quad (n=1,2,\ldots)$$ このとき，$a_1,a_2,\ldots ,a_{1000}$ が相異なるような $k$ の総和を解答してください．ただし，$\lceil x \rceil$ で $x$ 以上の最小の整数を表します．
OMC194	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/tasks/1839	D	OMC194(D)	400	32	71	[ { "content": "　三角形の各辺の長さを $a,b,c$ とし，面積，周長，内接円の半径を $S,2s,r$，傍接円の各半径を $r_a,r_b,r_c$ とおく．このとき，\r\n$$S=sr=(s-a)r_a=(s-b)r_b=(s-c)r_c$$\r\nが成り立つので，$a+b+c=2s$ に留意することで以下の成立がわかる (L'Huilierの定理)：\r\n$$\\displaystyle \\frac{1}{r_a}+\\frac{1}{r_b}+\\frac{1}{r_c}=\\frac{1}{r}$$\r\n一方で，Heronの公式より以下が成立する：\r\n$$S^2=s(s-a)(s-...	以下の条件をともにみたす三角形すべてについて，その周長の平方和を求めてください： - 面積が $20$ 以下である． - 内接円および $3$ つの傍接円の半径がすべて整数値である．ただし，回転や対称移動によって一致するものは同一視します．
OMC194	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/tasks/6880	E	OMC194(E)	500	4	24	[ { "content": "　$N = 10^5$ とする．\\\r\n　$b_n = 3n + 2 - a_n$ とすると，問題の条件は以下のように書き換えられる．\r\n$$0\\leq b_n\\leq n+1,\\quad b_n\\leq b_{n+1}$$\r\nただし，例外として $b_1 = 3$ となり得ることに注意せよ．\r\n- $b_1\\lt 3$ の場合\\\r\n　座標平面上で，$(1,0)$ から $(N+1,N+2)$ へ隣り合う格子点を通って行く最短経路のうち，領域 $y \\le x+1$ 内の点のみを通るものを一つ選び，$i = 1,2,\\ldots,N$ について，その経路...	正の整数の組 $(a_1, a_2, \ldots, a_{10^5})$ であって，任意の $1$ 以上 $10^5 - 1$ 以下の整数 $n$ について以下が成立するものの個数を $X$ とします． $$2n\le a\_{n+1}-3\le a_n\le 3n+2$$ $X$ を割り切る十進法で $11$ 桁の素数がただ一つ存在するので，それを解答してください．
OMC194	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/tasks/6667	F	OMC194(F)	500	22	68	[ { "content": "　$P = 2752752752753$ とおき，$1001^{11011011011011} = (7 \\cdot 11 \\cdot 13)^{4P-1}$ の正の約数 $d$ のうち $f(d)$ が $4$ で割って $0, 1, 2, 3$ 余るものの総和をそれぞれ $A, B, C, D$ とおく．ここで複素数 $z$ を\r\n$$z = (1 + 7i + \\cdots + (7i)^{4P - 1})(1 + 11i + \\cdots + (11i)^{4P - 1})(1 + 13i + \\cdots + (13i)^{4P - 1})$$\r\n\r\nと定め...	正整数 $n$ に対し，$n$ を素数で割り切る最大の回数を $f(n)$ と書くことにします．たとえば，$f(1) = 0$，$f(18000) = f(2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 ^3) = 4 + 2 + 3 = 9$ などが成り立ちます．\ 　$1001^{11011011011011}$ の正の約数 $d$ であって，$f(d)$ を $4$ で割った余りが $1$ または $2$ となるものの総和を $S$ とします．$S$ を素数 $2752752752753$ で割った余りを解答してください．
OMC193 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/tasks/4217	A	OMC193(A)	100	210	309	[ { "content": "　以下の場合分けより求める答えは $\\bf{17390}$ である．\r\n\r\n- $m\\le 4$ の場合\\\r\n順に確かめることで $m =1,3$ の $2$ 個が条件を満たすことが分かる．\r\n\r\n- $m \\ge 5$ の場合\\\r\n$T(m)$ は $10$ の倍数であるから，$2S(m)=m(m+1)$ が $20$ の倍数になるような $m$ の数を求めれば良く，これは $m\\equiv 0,4,15,19\\mod{20}$ と同値．したがって $5 \\leq m\\leq 86939(=4347\\cdot 20-1)$ の範囲には $434...	正の整数 $n$ に対し, $$S(n)=1+2+\cdots+n,\quad T(n)=1\times2\times\cdots\times n$$ とします. $86952$ 以下の正の整数 $m$ であって $S(m)-T(m)$ が $10$ で割り切れるものはいくつありますか.
OMC193 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/tasks/3521	B	OMC193(B)	100	258	317	[ { "content": "　$ \\log_{a}{b}+\\log_{a}{c}=\\log_{a}{bc} $ に留意すると，条件は $bc$ が $a$ の正の整数乗であることと同値であり，これを満たす組 $(a,b,c)$ は次の $23$ 個である． \r\n$$\\begin{aligned}\r\n&(2,1,2),(2,2,1),(2,1,4),(2,2,2),(2,4,1),(2,2,4),(2,4,2),(2,4,4),\\\\\\\\\r\n&(3,1,3),(3,3,1),(3,3,3),\\\\\\\\\r\n&(4,1,4),(4,2,2),(4,4,1),(4,4,4),\\\\\\\...	一般的な六面体のサイコロを $3$ 回振り，出た目を順に $a,b,c$ としたとき，$a\geq 2$ であり，かつ $$ \log_{a}b+\log_{a}c $$ が正の整数値となるような確率を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $ X,Y $ を用いて $ \dfrac{X}{Y} $ と表されるので，$ X+Y $ を解答してください.
OMC193 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/tasks/2861	C	OMC193(C)	200	193	240	[ { "content": "　一辺の長さが $28$ の正三角形 $DEF$ において，それぞれ辺 $DE,EF,FD$ 上にある点 $X,Y,Z$ が\r\n$$DX=14,\\quad EY=16,\\quad FZ=16$$\r\nをみたすとき，三角形 $PQR$ は三角形 $XYZ$ と合同である．よって，その面積は\r\n$$\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}\\times\\lbrace28\\times28-(12\\times14+14\\times16+12\\times16) \\rbrace =50\\sqrt{3}=\\sqrt{\\textbf{7500}}$$", "tex...	一辺の長さが $20$ の正四面体 $O-ABC$ において，それぞれ辺 $OA,OB,OC$ 上にある点 $P,Q,R$ が $$OP=14,\quad OQ=16,\quad OR=12$$ をみたしました．このとき，三角形 $PQR$ の面積の $2$ 乗を求めてください．
OMC193 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/tasks/6525	D	OMC193(D)	300	121	185	[ { "content": "　左から $i$ 個目の石が良い石となるような並べ方の個数を $f(i)$ とする．このとき，求める値は $f(1)+f(2)+\\cdots+f(12)$ に等しい．\\\r\n　$i$ が奇数のときは明らかに $f(i)=0$，$i$ が偶数のときは $f(i)={}\\_{i}\\mathrm{C}\\_{i\\/2}\\times\\_{12-i}\\mathrm{C}\\_{6-i\\/2}$ となる．よって，求める答えは\r\n$$\\sum_{k=1}^6 {}\\_{2k} \\mathrm{C}\\_k×\\_{12-2k}\\mathrm{C}\\_{6-k}=\\ma...	黒石と白石がそれぞれ $6$ 個ずつあり，これらを横一列に並べます．このとき，次を満たす石を良い石とよびます： - その石およびその石より左にある石全てについて，黒石の個数と白石の個数が等しい． ${}_{12} \mathrm{C}_6$ 通りの並べ方全てについて，良い石の個数の総和を求めて下さい．
OMC193 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/tasks/4752	E	OMC193(E)	400	54	112	[ { "content": "　$\\displaystyle a_n = \\frac{180(n-2)}{n}$ であるので次が成り立つ．\r\n$$\\displaystyle P_n = \\sqrt{\\frac{180\\cdot 1}{3}\\cdot\\frac{180\\cdot 2}{4}\\cdots\\frac{180\\cdot (n-3)}{n-1}\\cdot\\frac{180\\cdot (n-2)}{n}}=\\sqrt{\\frac{2\\cdot 180^{n-2}}{n(n-1)}}$$\r\n\r\n　まずは $n$ は偶数であるとする．$2 \\leq k \\leq 25...	$3$ 以上の整数 $n$ に対し，正 $n$ 角形の一つの内角の大きさを度数法で表した値を $a_n$ とします．たとえば $a_3, a_4, a_5$ はそれぞれ $60, 90, 108$ となります．また，$3$ 以上の整数 $n$ に対し $P_n$ を次のように定義します． $$P_n = \sqrt{a_3 a_4 \cdots a_n}$$ 　$P_n$ が有理数となるような $3$ 以上 $500$ 以下の正の整数 $n$ の総和を解答してください．
OMC193 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/tasks/6328	F	OMC193(F)	400	25	45	[ { "content": "　$0, 2 ,3, 5, 7, 11$ の目が出る確率をそれぞれ $\\dfrac{n_0}{5555}, \\dfrac{n_2}{5555}, \\dfrac{n_3}{5555}, \\dfrac{n_5}{5555}, \\dfrac{n_7}{5555}, \\dfrac{n_{11}}{5555}$ と表す．\\\r\n$i,j\\in\\\\{2,3,5,7,11\\\\}$ として，\r\n$$S=\\sum_{i}\\Big(\\frac{i n_i}{5555}\\Big)^2,　T=\\sum_{i\\neq j}\\frac{i n_i}{5555}\\cdot\...	六面体のサイコロがあり，各面には $0, 2, 3, 5, 7, 11$ の数字が書かれています．OMC君はサイコロを振ったときのそれぞれの目が出る確率を以下のように調整することができます． - $n_0 + n_2 + n_3 + n_5 + n_7 + n_{11} = 5555$ であるような正整数の組 $(n_0, n_2, n_3, n_5, n_7, n_{11})$ を選び，$0, 2 ,3, 5, 7, 11$ の目が出る確率をそれぞれ $\dfrac{n_0}{5555}, \dfrac{n_2}{5555}, \dfrac{n_3}{5555}, \dfrac{n_5}{5555}, \dfrac{n_7}{...
OMC192 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/tasks/7141	A	OMC192(A)	200	200	220	[ { "content": "　対称性から $x^2+2yz,y^2+2zx,z^2+2xy$ それぞれの総和は等しいので，条件を満たすように $x,y,z$ が動くときの\r\n$$(x^2+2yz)+(y^2+2zx)+(z^2+2xy) = (x+y+z)^2=40000$$\r\nの総和を $3$ で割った値が求める答えとなる．条件を満たす $x,y,z$ の組の数は ${}\\_{202}\\mathrm{C}\\_{2}=20301$ であるので，求める答えは\r\n$$\\frac{20301×40000}3=\\mathbf{270680000}$$\r\nである．", "text": "公式解...	$x+y+z=200$ をみたす非負整数の組 $(x,y,z)$ すべてに対して，$x^2+2yz$ の総和を求めてください．
OMC192 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/tasks/6978	B	OMC192(B)	500	165	188	[ { "content": "　$16$ 数 $a_0, a_1, …, a_7, b_0, b_1, …, b_7$ のうち $4$ つにまず $6, 7$ を割り当てる方法は $4$ 通りあるが，その中で唯一 $\r\na_7 \\leq 5$ を満たすものは以下の場合である．\r\n$$a_0 = b_7 = 7，a_6 = b_0 = 6$$\r\n\r\n$A$ が最小の状況を調べる上では，この場合を仮定し条件を満たす数の割り当てが見つけられれば十分であるので，まずはこれを仮定しよう．\\\r\n　ここで，以下 $2$ つの事実が得られる．\r\n- $a_n b_n = 0$ なる $n$ はちょうど $1...	$8$ 数 $a_0, a_1, …, a_7$ および $8$ 数 $b_0, b_1, …, b_7$ はいずれも $0, 1, …, 7$ の置換であり，以下の $2$ 条件をともにみたしています． - $a_i = b_j$ ならば $a_i = \|i - j\|$ が成り立つ． - $0 \leq n_1 \lt n_2 \leq 7$ なる整数 $n_1, n_2$ であって，$a_{n_1} b_{n_1} = a_{n_2} b_{n_2}$ をみたすものが存在する．このとき，次のように定まる $A$ のとりうる最小の値を求めてください． $$A = \sum_{n=0}^7 10^n a_n$$
OMC192 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/tasks/6235	C	OMC192(C)	500	131	147	[ { "content": "　$S = p + q + r + s + t + u + v + w$ とおく．与えられた等式を変形することで，\r\n$$\\frac{p^2 - 145}{t} = \\frac{q^2 - 145}{u} = \\frac{r^2 - 145}{v} = \\frac{s^2 - 145}{w}$$\r\nが得られる．$p \\leq 11$ のときは $\\dfrac{p^2 - 145}{t} \\lt \\dfrac{q^2 - 145}{u}$ となるので $p \\geq 13$ が必要である．つまり与えられた $8$ つの素数はすべて $13$ 以上である．\\\r\n...	$8$ つの素数の組 $(p, q, r, s, t, u, v, w)$ が以下の条件 $$\begin{cases} p \lt q \lt r \lt s \lt t \lt u \lt v \lt w\\\\ p^2 u - q^2 t = 145 (u - t)\\\\ p^2 v - r^2 t = 145 (v - t)\\\\ p^2 w - s^2 t = 145 (w - t) \end{cases}$$ をすべてみたすとき， $$p + q + r + s + t + u + v + w$$ のとりうる最小の値を解答してください．
OMC192 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/tasks/7188	D	OMC192(D)	600	55	92	[ { "content": "　$BO_1 = CO_1 = DO_1$ と直線 $O_1O_2$ が面 $BCD$ と垂直であることより，$BO_2 = CO_2 = DO_2$ が分かる．これを $d$ とすれば，$B,C,D$ から四面体 $APQR$ の外接球への方べきを考えると\r\n$$d^2 - AO_2^2 = BP\\times AB = CQ\\times AC = DR\\times AD$$\r\nが分かる．これらの値は全て $BP\\times AB = 60$ に等しいので，$CQ = \\dfrac{15}{4},DR = \\dfrac{20}{7}$ を得る．よって，常に\r\n$$\...	四面体 $ABCD$ および線分 $AB$ 上の点 $P$ は $$AB=15,\quad AC=16,\quad AD=21,\quad AP=11$$ をみたします．線分 $AC,AD$ 上（端点を除く）にそれぞれ点 $Q,R$ をとり，四面体 $ABCD, APQR$ の外心をそれぞれ $O_1, O_2$ としたところ，直線 $O_1O_2$ は面 $BCD$ に垂直でした．四面体 $ABCD$ の体積を $V_1$，四面体 $APQR$ の体積を $V_2$ としたとき，$\dfrac {V_2} {V_1}$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せるので，$a+b$ を解答し...
OMC192 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/tasks/7146	E	OMC192(E)	700	8	31	[ { "content": "　$2$ つの複素数 $s, t$ であって\r\n$$s + t = 2b，s^2 + t^2 = 2a$$\r\nを満たすものを考えると，\r\n$$st = \\frac{(s + t)^2 - (s^2 + t^2)}{2} = 2b^2 - a$$\r\nが成り立つので，問題にある方程式は\r\n$$x^4 + (s + t)x^3 + (s + t + st)x^2 + (s^2 + t^2)x + st = 0$$\r\nと表すことができ，これを因数分解すると\r\n$$(x^2 + sx + t)(x^2 + tx + s) = 0 \\tag{1}$$\r\nとなる．ここ...	$a$ を正の実数とします．いま，次の条件をみたす実数 $b$ がちょうど $3$ つ存在しました． - 以下が成り立つ実数 $x$ がちょうど $3$ つ存在する： $$x^4 + 2bx^3 + (2b^2 + 2b - a)x^2 + 2ax + 2b^2 - a = 0$$ さらにこのような $b$ の値 $3$ つの積は $-1200$ になりました．このとき，$a$ の値を求めてください．
OMC192 (for experts)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/tasks/6935	F	OMC192(F)	700	11	28	[ { "content": "　$\\omega_2$ と辺 $AB, AC$ の交点のうち $A$ でない方ををそれぞれ $P,Q$ とし，$\\angle BAC$ の二等分線を $\\alpha$ とする．中心を点 $A$，半径を $\\sqrt{AB\\times AQ} = \\sqrt{AC\\times AP}$ とする反転を行った後に直線 $\\alpha$ に関して対称移動させる操作を行うと，直線 $BC$ と $\\omega_2$，直線 $PQ$ と $\\Omega$ がそれぞれ移り合う．従って，$\\omega_1$ に上記操作を行なって得られる円は四角形 $BCQP$ に内接する．よって，$...	鋭角三角形 $ABC$ の外接円 $\Omega$ に内接し，辺 $AB$ に点 $D$ で，辺 $AC$ に点 $E$ で接する円を $\omega_1$ とします．また，点 $A$ で $\Omega$ に内接し，円 $\omega_1$ と外接する円を $\omega_2$ とします．さらに，$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $F$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．いま，$\Omega$ の半径が $12345$，$\omega_2$ の半径が $6789$，線分 $BD$ と線分 $CE$ の長さの差（の絶対値）が $100$ のとき，線分 $FM$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を...
OMC191 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/tasks/4771	A	OMC191(A)	100	368	372	[ { "content": "　各位の値が互いに異なるような $4$ 桁の正整数において，各位の和は高々 $30$ である．したがって，条件をみたす数において，一の位と千の位の和は最大で $9$（$15$ 以下で最大の平方数）である．千の位から大きい数を入れることで，最大値は $\\mathbf{9810}$ であるとわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/4771" } ]	以下の条件をみたす（十進法表記で）$4$ 桁の正整数のうち，最大のものを求めてください． - 一の位，十の位，百の位，千の位の数は互いに異なる． - 一の位と千の位の数の和と十の位と百の位の数の和は等しい． - 一の位と千の位の数の和は平方数である．
OMC191 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/tasks/3534	B	OMC191(B)	100	343	361	[ { "content": "$$a^3-b^3-c^3+d^3=a^3-(a+1)^3-(a+2)^3+(a+3)^3=6(2a+3)$$\r\nに注意すれば，求める個数は $6\\times 5,6\\times 7,\\ldots,6\\times 1665$ の $\\textbf{831}$ 個である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3534" } ]	$$3534=293^3-294^3-295^3+296^3$$ です．このように，連続する $4$ つの正整数 $a\lt b\lt c\lt d$ を用いて $$a^3-b^3-c^3+d^3$$ と表せる数のうち，$10000$ 以下であるものは $3534$ を含めていくつありますか？
OMC191 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/tasks/3947	C	OMC191(C)	200	261	300	[ { "content": "　条件より $\\displaystyle\\lim_{x \\to -1} f(x) = 0$ および $\\displaystyle\\lim_{x \\to 4}f(x)=0$ が必要であるから，\r\n$$f(x)=\\alpha(x+1)(x-4)(x-\\beta)$$\r\nと表せ，このとき二つの条件は\r\n$$\\displaystyle\\lim_{x \\to -1}\\alpha(x-4)(x-\\beta)=\\frac{1}{2}, \\qquad \\displaystyle\\lim_{x \\to 4}\\alpha(x+1)(x-\\beta)=-3$$...	実数係数 $3$ 次多項式 $f(x)$ について， $$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x+1} = \frac{1}{2}, \qquad \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-4} = -3 $$ が成り立つとき，$f(x)$ の各次数の係数の総和を求めてください（定数項も係数に含めます）．ただし，解答すべき値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．
OMC191 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/tasks/3086	D	OMC191(D)	300	162	241	[ { "content": "　$p, q, r$ の大小関係を無視すれば，$p+q+r+89=pq$ および $p+q+r+89=pqr$ について考えればよい．\\\r\n　前者の場合，$(p-1)(q-1)=r+90$ と変形でき，$p, q, r$ の偶奇を考えれば $r=2$ がわかる．したがって\r\n$$(p-1)(q-1)=92$$\r\nを満たす $p, q$ を探索すれば，元の大小関係で $(p, q, r)=(2, 3, 47)$を得る．\\\r\n　後者の場合，$p, q, r$ のうちいずれか二つは偶数とわかるから，元の大小関係で $(p, q, r)=(2, 2, 31)$ を得る．\\\r...	$p\leq q\leq r$ なる素数の組 $(p, q, r)$ であって，以下の値 $$\dfrac{pqr}{p+q+r+89}$$ が整数となるものすべてについて，$p+q+r$ の総積を求めてください．
OMC191 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/tasks/7421	E	OMC191(E)	400	41	122	[ { "content": "　任意の隣り合う $2$ マスについて，$A$ 君はその間の辺をちょうど $1$ 方向にしか横切れず，全ての辺は一方通行である．逆に $28$ 本の辺のどのような一方通行のパターンに対してもそれに対応する\"開\"・\"閉\"の初期状態が存在するため，$A$ 君が移動するごとに全ての辺の\"開\"・\"閉\"状態が入れ替わることは全ての辺が一方通行であることと同値である．したがって，$A$ 君が成功する経路が存在する一方通行のパターンを求めれば良い．\\\r\n　一番左の列の上下 $2$ マスについては，上から下へ移動，下から上へ移動のどちらか $2$ 通りであり，左から $2$ 列目〜右...	上下に $2$ マス，左右に $10$ マス並んだ計 $20$ 個のマスがあり，隣り合うマスが共有する $28$ 本の全ての辺について"開"または"閉"のどちらかの状態が与えられています．\ 　いま、一番左下のマスに $A$ 君がおり，次の手順を繰り返して移動していきます． - $A$ 君がいるマスの辺の中で"開"状態の辺を共有する隣のマスを一つ選び，そこに移動する． - $A$ 君が $1$ マス移動するごとに全ての辺の"開"状態と"閉"状態が入れ替わる．　この手順をうまく繰り返し，$A$ 君が一番左下のマスから一番右上のマスを通って一番左下のマスに戻ることが出来れば成功，どのように手順を繰り返しても ...
OMC191 (for beginners)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/tasks/3176	F	OMC191(F)	400	17	46	[ { "content": "$$(AB+BC+CA) : BC = \\triangle ABC:\\triangle IBC = 2AR : PR = 14 : 5$$\r\nである．また，辺 $AB$ と $\\omega$ の接点を $E$ とすると，方べきの定理などから次が従う．\r\n$$AE:DR=\\sqrt{AP\\cdot AQ}:\\sqrt{PR\\cdot QR}=\\sqrt{254 \\times 875} : \\sqrt{14 \\times 635} = 5 : 1$$\r\nここで，有名事実として $BD=CR$ が成り立つので，\r\n$$AB=AE+BD,\\quad BC=2...	$AB \lt AC$ である三角形 $ABC$ の内心および内接円を $I,\omega$ とし，$\omega$ と辺 $BC$ の接点を $D$ とします．さらに直線 $DI$ と $\omega$ の交点のうち $D$ でない方を $P$，直線 $AP$ と $\omega$ の交点のうち $P$ でない方を $Q$，直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $R$ とします．次が成り立つとき $AB:AC=a:b$ をみたす互いに素な正整数 $a , b$ が一意に存在するので，$a + b$ を求めてください． $$AP : PQ : QR = 254 : 621 : 14 $$
OMC190	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/tasks/2318	A	OMC190(A)	200	249	300	[ { "content": "　$0$ 以上 $999$ 以下の整数 $N$ によって $0.abc=N\\/1000$ と表せる．このとき，以下が成り立つ：\r\n\r\n- $N\\/1000$ が二進法で有限小数である $\\iff$ $N$ が $125$ で割り切れる\r\n- $N\\/1000$ が五進法で有限小数である $\\iff$ $N$ が $8$ で割り切れる\r\n\r\nしたがって，求める総和は $\\displaystyle\\sum_{N=0}^{999} \\frac{N}{1000}-\\sum_{N=0}^{8-1}\\frac{125N}{1000}-\\sum_{N=0}^{1...	$0$ 以上 $9$ 以下の整数 $a,b,c$ を用いて十進法で $0.abc$ の形で表される有限小数のうち，二進法で表しても五進法で表してもいずれも有限小数になりえないものの総和を，十進法表記で解答してください．ただし，表記 $0.abc$ において，$0.100$ などのように末尾に $0$ が続いてもよいものとします．
OMC190	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/tasks/4774	B	OMC190(B)	200	139	175	[ { "content": "$$f\\left(\\dfrac{1}x\\right)=\\left(\\dfrac{1}x\\right)^8+a_1\\left(\\dfrac{1}x\\right)^7+a_2\\left(\\dfrac{1}x\\right)^6+\\cdots +a_7\\left(\\dfrac{1}x\\right)+a_8=\\dfrac{1}{x^8}g(x)$$\r\nが成り立つため，$g(6)=6^8×f\\left(\\dfrac{1}{6}\\right)=0$ より $f\\left(\\dfrac{1}6\\right)=0$ である．同様にして $$f(2)=f(3)...	実数 $a_1,a_2,\ldots,a_8$ に対して定まる実数係数多項式 $$\begin{aligned} f(x)&=x^8+a_1x^7+a_2x^6+\cdots +a_7x+a_8,\\\\ g(x)&=a_8x^8+a_7x^7+ \cdots +a_2x^2+a_1x+1 \end{aligned}$$ について，次が成り立ちました： $$\begin{aligned} &f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0, \\\\ &g(6)=g(7)=g(8)=g(9)=0 \end{aligned}$$ 　このとき，$a_1+a_2+\cdots +a_8$ の値は互いに素な正整数 $a,b$...
OMC190	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/tasks/2404	C	OMC190(C)	300	214	268	[ { "content": "　$a$ と $a+1$ は互いに素であるから，$\\gcd(a+1,b)$ と $\\gcd(a,b+1)$ は互いに素である．したがって，条件は\r\n$$\\gcd(a+1,b)\\times\\gcd(a,b+1)=36$$\r\nで，両数の組み合わせとしてあり得るものは $(1,36),(4,9),(9,4),(36,1)$ である．\\\r\n　$(1,36)$ となる $(a,b)$ は以下の $3$ つであり，対称性より $(36,1)$ も同様である．\r\n$$(36,35),(36,71),(72,35)$$\r\n　$(4,9)$ となる $(a,b)$ は以下の ...	以下の式をみたす $1$ 以上 $100$ 以下の整数の組 $(a,b)$ はいくつありますか？ $$\mathrm{lcm}\bigl(\gcd(a+1,b),\gcd(a,b+1)\bigr)=36$$ 　ただし，$\textrm{lcm},\gcd$ でそれぞれ最小公倍数，最大公約数を表します.
OMC190	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/tasks/8459	D	OMC190(D)	400	94	132	[ { "content": "　頂点を $8$ つ持ち，$i=1,2,\\ldots,8$ について頂点 $i$ から頂点 $p_i$ に辺を張ったグラフを考える．また，それぞれの頂点を何種類かの色で塗る．ただしこのとき，対応するひよこが同じ箱に入っているなら同じ色で塗り，異なる箱に入っているなら異なる色で塗る．このように塗り分けることで，元の問題はグラフを最適彩色する問題に帰着された．次の補題を示そう．\r\n\r\n---\r\n\r\n補題.　$n$ を $2$ 以上の整数とし，$G_n$ を $n$ 頂点 $v_1,v_2,\\ldots,v_n$ からなり $v_1→v_2→ \\cdots →v_n...	OMC君はひよこを箱に入れて分ける仕事をしています．ひよこは全部で $8$ 匹おり，それぞれひよこ $1,2,\ldots,8$ と呼ばれています．いま，OMC君は社長から $(1,2,\ldots,8)$ の並び替え $(p_1,p_2,\ldots,p_8)$ であって，任意の $1\le i \le 8$ について $i\neq p_i$ なるものを伝えられ，さらに次の指示を受けました： - $i=1,2,\ldots,8$ について，ひよこ $i$ とひよこ $p_i$ は別の箱に入れること．ただし，OMC君は箱を十分にたくさん持っているものとします．\ 　並べ替え $(p_1,p_2,\ldots,p_8...
OMC190	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/tasks/4054	E	OMC190(E)	400	22	52	[ { "content": "　直線 $BC$ と直線 $DE, DF$ との交点をそれぞれ $Q, R$ とする．このとき，$\\angle ADE = \\angle ABF \\lt \\angle ABC$ より $Q$ は辺 $BC$ の $B$ 側の延長線上にあり，$P$ は $C$ を含まない弧 $AB$ 上にある．したがって，\r\n$$\\angle AFD = \\angle PAD = \\angle PCB \\lt \\angle ACB$$\r\nより，$R$ は辺$BC$ の $C$ 側の延長線上にあるので，\r\n$\\angle APB=\\angle FCR$ である．また，接弦定理...	$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ があります．辺 $AB$ 上（端点を除く）に点 $D$ が，辺 $AC$ 上（端点を除く）に点 $E, F$ があり， $$AD=10, \quad BD=11, \quad DE\parallel BF$$ をみたしています．いま，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $ADE$ の外接円が $A$ でない点 $P$ で交わっており，三角形 $ADF$ の外接円は直線 $AP$ と接していました．このとき，線分 $CF$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．
OMC190	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/tasks/6631	F	OMC190(F)	500	53	120	[ { "content": "　$\\varphi = \\dfrac{1 + \\sqrt5}{2}$ とし，$a_n = \\lfloor\\varphi n\\rfloor + 1$ であることを示す．\\\r\n　$n = 1$ のとき，明らかに成立する．また，$n = 1,2,\\ldots,k$ で成立しているとき，\r\n$$\\begin{aligned}\r\na_{k+1} &= k+2 + \\\\#\\big(\\\\{1,2,\\ldots,k+1\\\\}\\cap\\\\{a_1,a_2,\\ldots,a_k\\\\}\\big)\\\\\\\\\r\n&= k+2 + \\\\#\\b...	数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$ が以下を満たすとき，$a_{10^{5}}$ の値を求めてください． - $a_1 = 2.$ - 任意の $2$ 以上の整数 $n$ について，$n\in \\{a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\\}$ ならば $a_n = a_{n-1} + 2$ であり，そうでないならば $a_n = a_{n-1} + 1$ である．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9840	A	NF杯2023(A)	100	99	141	[ { "content": "$$D(0,1,0), \\quad E(1,0,0), \\quad F(1,0,1), \\quad G(1,1,0)$$\r\nとすると，四面体 $OABC$，$OAFC$，$OEFC$，$OEGC$，$ODGC$，$ODBC$ は全て合同で，立方体 $OABD-EFCG$ を重複なく埋め尽くす．点 $O$ にはこれら $6$ つの四面体の対応する頂点が集まっているので，$O$ を中心とする半径 $1$ の球 $O$ との共通部分の体積はどれも等しい．一方，球 $O$ と立方体 $OABD-EFCG$ の共通部分の体積は，半径 $1$ の球 $O$ の体積の $8$ 分の $1$ な...	座標空間上の $4$ 点 $O(0,0,0), ~ A(0,0,1), ~ B(0,1,1), ~ C(1,1,1)$ を頂点とする四面体と，$O$ を中心とする半径 $1$ の球の共通部分の体積を求めてください．ただし，答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}\pi$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9838	B	NF杯2023(B)	100	128	173	[ { "content": "　$x$ についての多項式 $(x+1)^{2024}$ を $x^2+1$ で割った余りは $2^{1012}$ である．これは $x$ に虚数単位 $i$ を代入すれば分かる．よって $2^{130}+1$ を法として $(2^{65}+1)^{2024}\\equiv 2^{1012}$ が成り立つ．\r\n$1012=130\\times 7+102$ なので $2^{1012}\\equiv -2^{102}$となり，$n$ として条件を満たす最小のものは $ \\mathbf{102}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https:...	$(2^{65}+1)^{2024}+2^n$ が $2^{130}+1$ の倍数となる最小の正整数 $n$ を求めてください.
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9843	C	NF杯2023(C)	100	156	182	[ { "content": "　$g(x)$ を，条件 $\\rm(i),\\rm(ii)$ を満たす $11$ 次以下の多項式とする．因数定理より $\\rm(ii)$ は $g(-1)=0$ と同値である．\r\n\r\n$$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\\cdots+a_{11}x^{11}$$\r\n\r\nとおく（$a_0,a_1,\\cdots,a_{11}$ は $0$ または $1$)．\r\n\r\n$$g(-1)=(a_0+a_2+\\cdots+a_{10})-(a_1+a_3+\\cdots+a_{11})$$\r\n\r\nであるので，$a_i=0,1~(i=1,2,\\cdot...	次の条件をともにみたす実数係数 $11$ 次多項式 $f(x)$ の個数を求めてください： - $f(x)$ の係数はそれぞれ $0$ または $1$． - $ f(x)$ は $x+1$ で割り切れる．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9837	D	NF杯2023(D)	100	45	52	[ { "content": "　チェバの定理，および相加・相乗平均の不等式より\r\n$$\r\n\\dfrac{AR}{RB} + 2d\\cdot \\dfrac{BP}{PC} + 4d^2\\cdot \\dfrac{CQ}{QA} \\geq 6d\r\n$$\r\nであり，等号が成立するのはある正の数 $k$ によって\r\n$$\r\n\\dfrac{AR}{RB} = 4d^2k,\\quad \\dfrac{BP}{PC} = 2dk ,\\quad \\dfrac{CQ}{QA} = k \r\n$$\r\nと表せるときである．このとき，再びチェバの定理より $4d^2k \\cdot 2dk \\...	正の整数の組 $(a,b,c,d)$ であって，次の $2$ つの条件をともにみたすものの個数を求めてください． - $a+b+c= 30!$ である． - $AB=c, ~ BC=a, ~ CA = b$ なる（非退化な）三角形 $ABC$ が存在し，かつその三角形の内部（周上を除く）を任意に動く点 $X$ に対し，$A, B, C$ のそれぞれと $X$ とを結んだ直線と各対辺との交点をそれぞれ $P, Q, R$ とするとき，次の実数は $X$ が三角形 $ABC$ の内心であるとき，またそのときに限り最小値をとる： $$ \dfrac{AR}{RB} + 2d\cdot \dfrac{BP}{PC} + 4d^2...
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/10083	E	NF杯2023(E)	100	76	92	[ { "content": "　まず一般の $n$ に対し，黒を向いた石が $1$ つあり，その右側に白を向いた石が $n$ 個ある場合の方法の数 $a_n$ について考える．$a_1=1, ~ a_2=2$ である．\\\r\n　$n\\geq3$ の場合について，次のように場合分けして考える：\r\n\r\n(i)　最初に左から2番目にある石を裏返す場合：\\\r\n　残りの石の状態は $n-1$ での初期状態と同じとみなせるので，この場合は $a_{n-1}$ 通り.\r\n\r\n(ii)最初に左から3番目にある石を裏返す場合：\\\r\n　左から3番目以降にある石の状態は $n-2$ での初期状態と同じとみな...	オセロの石が左右一列に $11$ 個並んでおり，左端の $1$ 個のみが黒を，残りの $10$ 個が白を向いています．ここから，次の規則に従って白を向いた石を $1$ 枚ずつ順に裏返していきます： - 「黒を向いた石に隣接する」または「黒を向いた石の $2$ つ隣にある」とき，裏返すことができる． $10$ 回繰り返すことですべての石を黒にする方法は何通りありますか？
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9836	F	NF杯2023(F)	100	61	75	[ { "content": "　$x=ab+bc+ca$ とおき，$p=2017$ とする．$a=p$ のとき，$x$ が $p$ で割り切れるとすると，$b=c=p$ となるから不適．よって問題は，$1$ 以上 $p-1$ 以下の相異なる整数の組 $(a,b,c)$ であって，$x$ が $p$ の倍数になるようなものを求めることに帰着する．まず，相異なるという条件を考慮せずに組を求める．\\\r\n　以下, 合同式の法は $p$ とする．また，\r\n\r\n- $S_1$ を $1\\leq a,b,c\\leq p-1,a\\neq b$ を満たす整数の組 $(a,b,c)$ の集合とする．\r\n- $S_2...	一つの箱の中に，$1$ から $2017$ までの番号がそれぞれ書かれた $2017$ 枚のカードがあります．ここで，同じ番号のカードはないものとします．この箱からカードを $3$ 枚，一度取り出したカードを戻すことなく $1$ 枚ずつ順に取り出し，それらに書かれていた数を順に $a,b,c$とします．このとき，$ab+bc+ca$ が $2017$ の倍数となる確率は，互いに素な正の整数 $x,y$ を用いて $\dfrac{x}{y}$ と表せるので，$x+y$ を求めてください．ただし，$2017$ は素数です．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9864	G	NF杯2023(G)	100	38	43	[ { "content": "　$F_N$ が $2$ で割り切れる回数と $3$ で割り切れる回数を求めればよい．結論から述べれば，一般に\r\n$${\\rm ord}\\_2(F_{6m})={\\rm ord}\\_2(m)+3, \\quad {\\rm ord}\\_3(F_{4m})={\\rm ord}\\_3(m)+1$$\r\nが成立する．このことを示す．まず，$\\alpha=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2},~\\beta=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}$ とすると，\r\n$$F_n=\\dfrac{\\beta^n-\\alpha^n}{\\beta-\\alp...	$N=100!$ とします．実数列 $\\{F_n\\}_{n=0,1,\ldots}$ は $F_0=0, ~ F_1=1$ および $$F\_{n+2}=F\_{n+1}+F\_n \quad (n=0,1,\ldots)$$ を満たします．このとき，$F_N$ と $6^N$ の最大公約数について，その正の約数の個数を求めてください．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9844	H	NF杯2023(H)	100	50	61	[ { "content": "　まず，次を示す． \r\n\r\n---\r\n\r\n補題．$m$，$k$ を自然数で $1\\leq k\\leq m$ を満たすとする．このとき\r\n$$\r\nf^{2}(m^2 + k) = (m+1)^2 + k.\r\n$$\r\n\r\n(証明)　$m \\lt \\sqrt{m^2 + k} \\leq \\sqrt{m^2 + m} \\lt m+\\frac{1}{2}$ なので, \r\n$$\\begin{aligned}\r\n f(m^2 + k) & = m^2 + k + \\lfloor\\sqrt{m^2 + k} + \\fr...	正の実数 $x$ に対し， $$f(x) = \left\lfloor x + \sqrt{x} +\frac{1}{2} \right\rfloor$$ と定義します．このとき，次の和を計算してください： $$\sum_{n=1}^{100} f^{100}(n)$$ 　ただし，$f^{1}=f, ~ f^{k}(x)=f\bigl(f^{k-1}(x)\bigr)$ とします．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9847	I	NF杯2023(I)	100	28	42	[ { "content": "条件を満たす$x$の集合を$S(n)$で表す. \r\n\r\n補題.\r\n$x\\in S(n)$ならば $x^{22} = 1$または$x^{24} = 1$である．\r\n\r\n(証明) $x\\in S(n)$のとき$x^{2024} = 1$なので，とくに$\|x\| = 1$．よって$x^{n}(x-1) = x^{23} - 1$ から $\|x-1\| = \|x^{23}-1\|$ を得る．この式を複素数平面上で考えれば，$x,x^{23}$ は単位円周 $\|z\| = 1$ 上にあり，かつ $1$ から等距離であるので，$x = \\overline{x^{23...	非負整数 $n$ に対し，次の連立方程式 $$\begin{cases} x^{2023} + x^{2022} + \dots + x + 1 = 0\\\\ x^{n}(x-1) = x^{23} - 1 \end{cases}$$ を満たす複素数の個数を $f(n)$ とするとき， $$f(0) + f(1) + \dots + f(2023)$$ を求めてください．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/10037	J	NF杯2023(J)	100	39	46	[ { "content": "${P}$から${BC}$に下ろした垂線の足を${H}$とする. $4$点${A,B,P,C}$は同一円周上にあるので,\r\n$$\r\n\\angle{ ABP}+\\angle{ ACP}=180^\\circ. \\tag{1}\r\n$$\r\nまた, 円周角の定理の逆より, $4$点${M,B,P,H}$は同一円周上にあり,\r\n$$\r\n\\angle{ ABP}=\\angle{ MBP}=180^\\circ-\\angle{ PHM}.\r\n$$\r\n$4$点${N,C,H,P}$は同一円周上にあり,\r\n$$\r\n\\angle{ ACP}=180^\\c...	外接円を $\Gamma$ とする三角形 $ABC$ があり，$\Gamma$ の弧 $BC$ 上（$A$ を含まない方）に点 $P$ をとります．$P$ から直線 $AB,AC$ におろした垂線の足をそれぞれ $M,N$ とすると，$M$ は辺 $AB$ 上にあり，直線 $BC$ と直線 $MN$ が点 $Q$ で交わりました． $$AP=25, \quad AM=20, \quad AN=24, \quad PQ=5$$ が成り立つとき，$\Gamma$ の半径を求めてください．ただし，答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9845	K	NF杯2023(K)	100	45	56	[ { "content": "　条件より$f$は全射，ゆえに全単射である．\r\n\r\n　$n$に対し, $f^{d_n}(n) = n$を満たす最小の正の整数 $d_n$ がある．これを $n$ の周期と呼ぶことにする．条件より周期 $d_n$ は $n$ の約数である．ここで非負整数 $i,j$ に対し，単射性から\r\n　$$f^{j}(f^{i}(n)) = f^{i}(n) \\iff f^{j}(n) = n \\iff d_n \\mid j$$ \r\nなので，$n,f(n),\\dots, f^{d_n -1}(n)$の周期もまた $d_n$ となる．$0\\leq i \\lt d_n$...	$1$ 以上 $13$ 以下の整数に対して定義され，$1$ 以上 $13$ 以下の整数値をとる関数 $f$ であって，すべての $n=1,2,\dots, 13$ に対して $$ f^n(n) = n $$ を満たすものの個数を解答してください．\ 　ただし，$f^{1}=f, ~ f^{k}(x)=f\bigl(f^{k-1}(x)\bigr)$ とします．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/10050	L	NF杯2023(L)	100	26	33	[ { "content": "$AC$ と $PQ$ の交点を $E$ とすると, $AE:CE=3:2$ より, $CE=6$ である. $PQ \\parallel BC$ であるから, $4$ 点 $A, P, Q, D$ は同一円周上にある. よって, $\\angle{ABD}=\\angle{QCE}$, $\\angle{BAD}=\\angle{CQE}$ が成り立つから, $\\triangle{BAD}\\sim \\triangle{CQE}$ である. $BA:BD=CQ:CE$ であるから, $CQ=\\dfrac{90}{13}$, $DQ=\\dfrac{60}{13}$ である. $A...	$AB=AC=15$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円の弧 $AC$ 上（$B$ を含まない方）の点 $D$ が $BD=13$ をみたします．さらに，それぞれ辺 $AB$, $CD$ 上にある点 $P,Q$ が $$AP:BP=CQ:DQ=3:2, \quad PQ\parallel BC$$ をみたしました．このとき，線分 $PQ$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください.
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9846	M	NF杯2023(M)	100	31	41	[ { "content": "$2^{n! + 1} - 1$ が $2n+3$ で割り切れるような $n$ の必要十分条件を求める．$n=1$は不適であるので，以降 $n\\geq 2$とする．\r\n\r\nまず，$2^{n! + 1} - 1$ が $2n+3$ で割り切れると仮定する． \r\n\r\n　$2n+3$ の素因数 $p$ を任意にとり，$p\\lt 2n+3$ であると仮定する．$2n+3$ は奇数なので $p$ も奇数である．$2n+3=pk$ ($k\\geq 2$)と書けたとすると，$p \\leq \\frac{2n+3}{2} $ より $p\\leq n+1$．よって $n!+1$ ...	$1$ 以上 $200$ 以下の整数 $n$ で， $$2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n!- 2} + 2^{n! - 1} + 2^{n!}$$ が $2n+3$ で割り切れるようなものをすべて求め，その総積を解答してください．
NF杯2023	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/tasks/9862	N	NF杯2023(N)	100	3	12	[ { "content": "　特性方程式は\r\n$$t^2-xt-y=0$$\r\nである．$x,y$ を固定したとき，これの解を $\\alpha,\\beta$ とすると，以下が成り立つ：\r\n$$a_n=\\begin{cases}\r\n\\dfrac{\\beta^n-\\alpha^n}{\\beta-\\alpha} & (\\alpha\\neq \\beta) \\\\\\\\\r\nn\\alpha^{n-1} & (\\alpha=\\beta)\r\n\\end{cases}$$\r\n　以下，特性方程式を $\\mathbb{F}_p$ 係数として考え，以下の三つのパターンに場合分けして...	$p=2017$ とします（これは素数です）．\ 　整数 $x,y$ について，数列 $\\{a_n\\}\_{n=0,1,\ldots}$ を以下の漸化式で定義します： $$a_0=0, \quad a_1=1, \quad a_{n+2}=xa_{n+1}+ya_n \quad (n=0,1,\ldots)$$ このとき，$\mathrm{mod}~p$ における $a_n$ の周期を $f(x,y)$ として，総和 $$\sum_{x=0}^{p-1}\sum_{y=1}^{p-1}f(x,y)$$ を求めてください. <details><summary>$f(x,y)$ の定義<\/summary> ...
OMC189 (SEG杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/tasks/4875	A	OMC189(A)	100	386	406	[ { "content": "　この三角錐の各面を平面上で適当に繋ぎ合わせると一辺 $3$ の正方形となるので，求める値は\r\n$$9 - 3 \\times 1 \\times \\frac{1}{2} - 3 \\times 2 \\times \\frac{1}{2} - 2 \\times 1 \\times \\frac{1}{2} = \\frac{7}{2}$$\r\nである．特に解答すべき値は $\\bf{9}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/...	三角錐 $ABCD$ は $$AC=3, \quad BC=2, \quad DC=1$$ をみたし，これら $3$ 辺は互いに直交しています．このとき，三角形 $ABD$ の面積を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．
OMC189 (SEG杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/tasks/3976	B	OMC189(B)	200	284	380	[ { "content": "　$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすれば，互いに素な整数の組 $(p,q)$ (ただし$p\\lt q$ ) によって $a=gp,b=gq$ と表せる．このとき $L=gpq$ であるから，条件は\r\n$$112=ab-L=g^2pq-gpq=g(g-1)pq$$\r\nと表せる．いま，$g(g-1)$ が $112$ の約数であることから，$g=2,8$ が必要である．\r\n $g=2$ のとき $(p,q)=(1,56),(7,8)$ が，$g=8$ のとき $(p,q)=(1,2)$ が適するから，それぞれを $(a,b)$ に直すことで求める値は $224+22...	$a\leq b$ なる正整数 $a,b$ について，それらの最小公倍数を $L$ とすると， $$ab-L=112$$ が成り立ちました．このとき，組 $(a,b)$ としてありうるものすべてについて，$ab$ の総和を求めてください．
OMC189 (SEG杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/tasks/2478	C	OMC189(C)	300	133	266	[ { "content": "　三辺の長さを $x\\geq y\\geq z$ としたとき，条件は $x\\lt y+z$ である．$x$ を固定したときこの条件を満たす組 $(y,z)$ の数を $f(x)$ とすると $y+z$ の値で場合分けすることで，\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(x)&=\r\n\\begin{cases}\r\n\\dfrac{x+1}{2}+\\dfrac{x-1}{2}+\\dfrac{x-1}{2}+\\cdots+1+1&=\\dfrac{(x+1)^2}{4} & (x~ が奇数) \\\\\\\\\r\n\\dfrac{x}{2}+\\dfrac{x}...	すべての辺の長さが $1$ 以上 $28$ 以下の整数値であるような（非退化な）三角形は何通りありますか？　ただし，回転や反転によって一致するものは同一視します．
OMC189 (SEG杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/tasks/5665	D	OMC189(D)	300	146	246	[ { "content": "　$x$ 軸方向に $-1$ 動く動作が $a$ 回あったとすると，以下のように計算できる：\r\n- $x$ 軸方向に $1$ 動く動作が $a+2$ 回．\r\n- $y$ 軸方向に $-1$ 動く動作が $6-a$ 回．\r\n- $y$ 軸方向に $1$ 動く動作が $7-a$ 回．\r\n\r\nこれにより，求める場合の数は以下のように計算できる：\r\n$$ \\sum_{a=0}^{6}\\frac{15!}{a!(a+2)!(6-a)!(7-a)!}=\\frac{15!}{6!9!}\\sum_{a=0}^{6}\\frac{6!}{a!(6-a)!}\\frac{9!}...	OMC君は $xy$ 平面上におり，初めは $(0,0)$ にいます．OMC君は， $1$ 回の動作で $x$ 軸方向または $y$ 軸方向に $1$ または $-1$ 動きます（すなわち，$1$ 回にありうる動作は $4$ 通りです）．$15$ 回の動作を行った時点で $(2,1)$ にいるような，動作の行い方は何通りありますか？
OMC189 (SEG杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/tasks/2210	E	OMC189(E)	300	56	117	[ { "content": "補題.　$n$ の二進法表記に $1$ が $k$ 回現れるとき，$n!$ が $2$ で割り切れる最大の回数 $f(n)$ は $n-k$ である．\r\n\r\n証明.　$n=1$ のとき明らかに成立するから，以下ある $m\\geq 2$ について $n\\lt m$ で成立を仮定し，$m=n$ で成立を示せばよい．$m$ が偶数のとき，帰納法の仮定より $f(m\\/2)=m\\/2-k$ であるから，Legendreの定理より\r\n$$f(m)=\\dfrac{m}{2}+f\\left(\\dfrac{m}{2}\\right)=m-k$$\r\nを得る．$m...	多項式 $(1+x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{1023})^{1023^2+1023}$ を展開したとき， $$(x_1)^1(x_2)^2(x_3)^3\cdots( x_{1023})^{1023}$$ の係数は $N$ となります．$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めて下さい．
OMC189 (SEG杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/tasks/5017	F	OMC189(F)	400	28	54	[ { "content": "　$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$, 三角形 $APQ$ の外心を $O^\\prime$ とする. \r\n$$\\angle APQ = 90^\\circ - \\angle BAO = \\frac{1}{2}\\angle AOB = \\angle ACB$$\r\nであり, $\\angle BAC = \\angle QAP$ は共通であるから, 三角形 $ABC$ と三角形 $AQP$ は相似であると分かる. この相似において $H$ と $O$, $O$ と $O^\\prime$ が対応する. 従って, $O^\\prime$ は直線 $AH$ 上...	三角形 $ABC$ の外心を $O$ とします．$O$ を通り直線 $AO$ に垂直な直線と辺 $AB,AC$ がそれぞれ点 $P,Q$ と交わり，三角形 $APQ$ の外接円は辺 $BC$ に接しました．さらに $$AB=8,\quad AO=5$$ であるとき，辺 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
OMC188	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/tasks/3254	A	OMC188(A)	100	427	435	[ { "content": "　「$X$ さん以外の平均年齢」の $4$ 倍は「$X$ さん以外の $4$ 人の年齢の合計」に一致するため，各平均年齢の $4$ 倍の総和は全員の合計年齢の $4$ 倍に一致する．その値を $4$ で割って「$E$ さん以外の $4$ 人の年齢の合計」を引けば $E$ さんの年齢がわかる．実際に計算すれば $(56+53+49+45+37)\\times 4\\/4-37\\times 4=\\textbf{92}$ 歳である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/...	ある部屋に $A,B,C,D,E$ の $5$ 人の人がいます．$A$ さん以外の平均年齢は $56$ 歳，$B$ さん以外の平均年齢は $53$ 歳，$C$ さん以外の平均年齢は $49$ 歳，$D$ さん以外の平均年齢は $45$ 歳，$E$ さん以外の平均年齢は $37$ 歳です．$E$ さんの年齢を求めてください．\ 　ただし，$5$ 人の年齢はすべて整数値であるものとして考え，平均年齢は丸められていないものとします．
OMC188	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/tasks/4905	B	OMC188(B)	200	407	419	[ { "content": "　与多項式の奇数次のみを取り出したものは\r\n$$x(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)$$\r\nで与えられ，与多項式の偶数次のみを取り出したものは\r\n$$-2(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)$$\r\nで与えられる．すなわち，偶数次の係数のみがすべて負であるから，\r\n$$(x+2)(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)$$\r\nによって与多項式の係数にすべて絶対値を施したものが得られる．\\\r\n　その総和は $x=1$ を代入することで得られるから，$3×2×3×4×5=\\mathbf{360}$ である．...	$$(x-2)(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)$$ を展開したとき，各次数の係数の絶対値の総和を求めてください．
OMC188	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/tasks/1707	C	OMC188(C)	300	84	178	[ { "content": "　$BC$ が $BA$ に重なるように，$B$ を中心に三角形 $QBC$ を回転させたものを $Q^\\prime BA$ とすると，$QBQ^\\prime$ は直角二等辺三角形であるから $QQ^\\prime=9\\sqrt{2}$ である．また $\\angle PAQ^\\prime=90^\\circ$ であるから，位置関係としてあり得るものに留意することで，$CQ=AQ^\\prime=8+\\sqrt{(9\\sqrt{2})^2-10^2}=8+\\sqrt{62}$ を得る. 特に解答すべき値は $\\textbf{70}$ である.", "text": "...	正方形 $ABCD$ において，三角形 $ADC$ の内部の点 $P$ と三角形 $ABC$の内部の点 $Q$ が $$\angle APQ=\angle PQC=90^\circ,\quad AP=10,\quad PQ=8,\quad BQ=9$$ をみたすとき，線分 $CQ$ の長さを求めてください．ただし，求める値は正整数 $a,b$ によって $a+\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．なお，条件を満たす図は一意に存在します．
OMC188	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/tasks/5686	D	OMC188(D)	400	81	146	[ { "content": "　正の整数 $m$ について，$m$ の正の約数の個数を $d(m)$ で表す．次のような問題を考える．\r\n\r\n- $\\dfrac{m}{x},\\dfrac{m}{y},\\dfrac{m}{z}$ が全て整数となるような $1$ 以上 $n$ 以下の整数の組 $(m,x,y,z)$ はいくつあるか．\r\n\r\n　$(x,y,z)$ を固定して考えると，問題の条件を満たす $m$ は $\\bigg \\lfloor \\dfrac{n}{\\mathrm{lcm}(x,y,z)} \\bigg \\rfloor$ 個あるため，問題の答えは $S_n$ である．一方，$m$...	$1$ 以上 $n$ 以下の整数の組 $(x,y,z)$ すべてについての $$\bigg \lfloor \dfrac{n}{\mathrm{lcm}(x,y,z)} \bigg \rfloor$$ の総和を $S_n$ とします．$S_n$ が奇数となるような $1$ 以上 $2^{20}$ 未満の整数 $n$ はいくつありますか．
OMC188	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/tasks/4425	E	OMC188(E)	400	37	66	[ { "content": "点 $F$ を直線 $AB$ を対称の軸として移動した点を $F_1$ ，直線 $AC$ を対称の軸として移動した点を $F_2$ とする．\r\n$$\\angle F_1 A F_2 =2 \\angle FAB +2 \\angle FAC =2 \\angle BAC,\\quad \r\n\\angle FBF_1 =2 \\angle FBA,\\quad \r\n\\angle FCF_2 =2 \\angle FCA$$\r\nであり，また条件から \r\n$\\angle FBA= \\angle BAC= \\angle FCA$ \r\nが分かるため，\r\n$$\\...	角 $A$ が最も小さい角である鋭角三角形 $ABC$ において，辺 $AC$ 上に $AD=BD$ なる点 $D$ を，辺 $AB$ 上に $AE=CE$ となる点 $E$ をとります．また，線分 $CE$ と線分 $BD$ の交点を $F$ とすると， $$AF=10,\quad BF=4,\quad CF=7$$ となりました．辺 $BC$ の長さの二乗を求めてください．ただし，答えは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
OMC188	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/tasks/4037	F	OMC188(F)	500	41	115	[ { "content": "　選んだ $3$ 点をすべて内部または周上に含むどの辺も $x$ 軸または $y$ 軸に平行な最小の長方形を $R$ とする．\r\n\r\n<details><summary>形式的な $R$ の定義<\\/summary>\r\n選んだ $3$ 点の $x$ 座標のうち最大のもの，最小のものをそれぞれ $M_x, m_x$ として，$y$ 座標についても同様に定めたとき，$4$ 直線 $x = m_x, x = M_x, y = m_y, y = M_y$ で囲まれる長方形を $R$ とする．\r\n<\\/details>\r\n\r\n　$R$ の $4$ 頂点のうちいくつに選ばれ...	$x$ 座標と $y$ 座標がともに $0$ 以上 $5$ 以下の整数であるような相異なる $3$ 点を選ぶ方法であって（選ぶ順序は考えない），どの $2$ つのマンハッタン距離も $5$ 以上であるようなものは何通りありますか？ <details><summary>マンハッタン距離とは<\/summary> 　$xy$ 平面上の $2$ 点 $A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$ のマンハッタン距離は $$\|x_1 - x_2\| + \|y_1 - y_2\|$$ です． <\/details>
OMC187 (SEG杯)	https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1	https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/tasks/4222	A	OMC187(A)	100	371	379	[ { "content": "　$AB = a, BC = b$ とすれば，\r\n$$a^2+b^2=85^2,\\quad ab=2772$$\r\nが分かるので $\|a-b\|=\\sqrt{a^2+b^2-2ab}=\\bf{41}$ ．\r\n\r\nなお， $\\\\{AB,BC\\\\}=\\\\{36,77\\\\}$ なる三角形が実際に条件を満たす．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4222" }, { "content": "　一辺の長さが...	$\angle{ABC}=90^\circ, ~ AC=85$をみたす三角形 $ABC$ について，その面積が $1386$ であるとき， $\|AB-BC\|$ を求めてください．

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