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OnlineMathContest-2502

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xet
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OMC187 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/tasks/4142
B
OMC187(B)
100
377
383
[ { "content": "　党䜓の総和から奇数の総和を匕くこずで求められる\r\n$$(1+2+...+9)(1+2+...+9)-(1+3+5+7+9)(1+3+5+7+9)=45^2-25^2=\\textbf{1400}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4142" } ]
　䞀般的な九九衚においお掛け算の結果ずしお珟れる正敎数は重耇を蚱しお党郚で $81$ 個ありたすこのうち偶数であるものの総和を求めおください
OMC187 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/tasks/3198
C
OMC187(C)
200
320
345
[ { "content": "　長針は短針より $1$ 分あたり $5.5^\\circ$ だけ倚く進む\r\nなす角が䞀床 $90^\\circ$ になったあず次に $90^\\circ$ になるのは長針が短針に関しおちょうど $180°$ 進んだ時であるからそれにかかる時間は $\\dfrac{360}{11}(=t)$ 分\r\nよっお $11$ 回目に $90^\\circ$ になるのは $11t\\times 60=\\textbf{21600}$ 秒埌である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contest...
　䞀般的な $12$ 時間制のアナログ時蚈があり珟圚 $9$ 時ちょうどを指しおいたすこれ以降珟圚を陀いお$11$ 回目に長針および短針のなす角が $90^\circ$ になるのは䜕秒埌ですか　ただし長針および短針は連続的に䞀定の角速床で動くものずしたす
OMC187 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/tasks/4182
D
OMC187(D)
200
178
252
[ { "content": "　方べきの定理より $FB\\times{FA}=FC\\times{FD}$ であるから $FD=16$ である埓っおMenelausの定理より\r\n$$\\frac{CE}{EA} = \\frac{BF\\times DC}{AB\\times FD} = \\frac{13}{32},\\quad \\frac{DE}{EB} = \\frac{AF\\times CD}{BA\\times FC} = \\frac{13}{2}$$\r\nであるたた方べきの定理より $CE\\times EA = DE\\times EB$ であるので䞉匏を合わせるこずで\r\n$$...
　円に内接する四角圢 $ABCD$ の察角線の亀点を $E$ ずしたす半盎線 $AB$ ず半盎線 $DC$ の亀点が存圚したのでそれを $F$ ずするず $$AB=8, \quad BF=4, \quad CF=3, \quad AD\times{BC}=52$$ が成立したしたこのずき線分 $AE$ の長さの $2$ 乗は互いに玠な正敎数 $a, b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ の倀を求めおください
OMC187 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/tasks/4406
E
OMC187(E)
300
194
240
[ { "content": "　$P, Q, R, S, T$ がこの順に $1$ 回ず぀碁石をずっおいくこずを**タヌン**ず呌ぶこずにする䞀人が碁石を取るず正方圢の䞀蟺は $2$ だけ小さくなるので, $n\\times n$ の碁石が䞊んだ状態から $1$ ぀のタヌンのうちに$P$ ず $Q$ の取り去った碁石の数の差は $n\\geq 4$ のずき $8$ , $n=3$ のずき $7$ , $n=2$ のずき $4$ , $n=1$ のずき $1$ である\\\r\n　$999=8\\times124+7$ に泚意するず$124$ タヌンを終えたあず$P, Q$ が $1$ 回ず぀碁石を取り去っお終...
　いく぀かの碁石が正方圢状に䞊んでおり$P, Q, R, S, T$ の $5$ 人がこの順番で繰り返し$P$ から始めお以䞋の操䜜を行いたす - 倖呚に䞊んだ碁石をすべお取り去るすなわち操䜜の時点で $n\times n$ の正方圢状に碁石が $n^2$ 個䞊んでいたずき$(n-2)\times (n-2)$ の正方圢状になるようにする$n=1,2$ のずきはすべおの碁石を取り去る すべおの碁石がなくなったらその時点で終了したす最終的に $P$ が取り去った碁石の数ず$Q$ が取り去った碁石の数の差が $999$ 個であったずき$Q$ が党䜓で取り去った碁石の数を求めおください
OMC187 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/tasks/6668
F
OMC187(F)
400
76
189
[ { "content": "　$n$ を $2 \\leq n \\leq 10000$ なる敎数ずする $\\sigma (n) \\geq n + 1$ でありたた以䞋 $3$ ぀の事実が成り立぀\r\n- $n$ が玠数のずき$\\sigma (n) = n + 1$\r\n- $n$ が玠数の平方のずき$\\sigma (n) = n + \\sqrt{n} + 1$\r\n- $n$ が正の玄数を $4$ ぀以䞊も぀ずき$\\sigma (n) \\gt n + 2 \\sqrt{n} + 1$\r\n\r\nなお䞊から $3$ 番目の事実は$ab = n$ か぀ $1 \\lt a \\...
　正敎数 $n$ に察し$n$ の正の玄数の**総和**を $\sigma (n)$ ず衚したす敎数 $n$ を $2$ 以䞊 $10000$ 以䞋の範囲で動かしたずきに $\dfrac{\sigma (\sigma (n))}{n}$ がずりうる最小の倀は互いに玠な正敎数 $a, b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a + b$ の倀を解答しおください
OMC186 (ゎヌガ解析コンサルティング杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/tasks/5989
A
OMC186(A)
200
234
250
[ { "content": "　盎線 $FE$ ず蟺 $AB$ ずの亀点を $G$ ずする \r\n　$\\angle{BAD} = x$ ずするず$AD$ は $\\angle{A}$ の二等分線であるから $\\angle{CAD} = \\angle{BAD} = x$ ずなる$AC \\parallel EF$ より $\\angle{AEG} = \\angle{CAE} = x$ であるから䞉角圢 ${AGE}$ は二等蟺䞉角圢ずなり $AG = EG$ が埓うたた$\\angle{BEG} = 90\\degree - x = \\angle{EBG}$ より$\\triangle{BE...
　$AB = 17, BC = 19, CA = 23$ をみたす䞉角圢 $ABC$ においお$\angle{A}$ の二等分線ず蟺 $BC$ の亀点を $D$ ずし$B$ から盎線 $AD$ に䞋ろした垂線の足を $E$ ずしたすたた$E$ を通り蟺 $AC$ に平行な線分ず盎線 $BC$ ずの亀点を $F$ ずしたすこのずき線分 $DF$ の長さを求めおくださいただし求める長さは互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC186 (ゎヌガ解析コンサルティング杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/tasks/4015
B
OMC186(B)
300
228
255
[ { "content": "　䞎えられた䞍等匏の巊蟺を $S(n)$ ずするたずある正敎数 $m$ によっお$n=m^2$ ず衚された堎合に぀いお考える\\\r\n　$1 \\leq k \\leq m^2$ なる正敎数 $k$ に぀いお$k$ が平方数のずき$\\sqrt{k}$ は敎数であるから\r\n$$\r\n\\Bigl\\lceil \\sqrt{k} \\ \\Bigl\\rceil ^2\\ -\\ \\Bigl\\lfloor \\sqrt{k}\\ \\Bigl\\rfloor^2=0\r\n$$\r\nである䞀方$k$ が平方数でないずき$k$ は $1\\leq t \\l...
　 次の䞍等匏が成立するような最小の正敎数 $n$ を求めおください $$ \sum_{k=1}^{n} \biggl( \Bigl\lceil \sqrt{k} \ \Bigl\rceil ^2\ -\ \Bigl\lfloor \sqrt{k}\ \Bigl\rfloor^2 \biggr) \geq 10^5 $$ 　ただし$\lceil x \rceil$ で $x$ を䞋回らない最小の敎数を$\lfloor x \rfloor$ で $x$ を䞊回らない最倧の敎数を衚すものずしたす
OMC186 (ゎヌガ解析コンサルティング杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/tasks/2602
C
OMC186(C)
400
84
181
[ { "content": "　䞎えられた連立方皋匏が実数解 $(x, y, z, w)$ をも぀こずは以䞋の $x,y,z,w$ に぀いおの連立方皋匏\r\n\r\n$$\r\n \\begin{cases}\r\n (x+w)(y+z) = a+b\\\\\\\\\r\n (x+y)(z+w) = b+c\\\\\\\\\r\n (x+z)(y+w) = c+a\\\\\\\\\r\n x+y+z+w = 20\r\n \\end{cases}\r\n$$ \r\n\r\nが実数解 $(x, y, z, w)$ をも぀こずず同倀であるさらに $Y=x+y, Z=x+z, W=x+w$ ず眮けば次をみ...
　 正敎数の組 $(a, b, c) $ であっお次をみたす実数 $x,y,z,w$ が存圚するようなものはいく぀ありたすか $$ \begin{cases} \quad xy+zw &= a\\\\ \quad xz+yw &= b\\\\ \quad xw+yz &= c\\\\ x+y+z+w &= 20 \end{cases} $$
OMC186 (ゎヌガ解析コンサルティング杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/tasks/5815
D
OMC186(D)
600
11
38
[ { "content": "　以䞋の補題を瀺す$(a_0, b_0)$ を初期倀ずしお操䜜をおこない $N$ 回目の曎新の盎埌に操䜜が停止したものずするたた\r\n$$\r\n\\frac{\\max \\\\{a_{n}, b_{n}\\\\}}{\\min \\\\{a_{n}, b_{n}\\\\}}=k_{n}\r\n$$\r\nず衚蚘するこずにする\r\n---\r\n**補題 1.** $0$ 以䞊 $N-1$ 以䞋の任意の敎数 $n$ に察し以䞋が成立する ただし$a_{N} = b_{N} =1$ ずなる堎合は考えないものずする\r\n$$\r\na_{n} \\gt b_{n}...
　互いに玠な $2$ ぀の正敎数の組 $(a_0, b_0)$ に぀いおこれを初期倀ずしおある $2$ ぀の正敎数の組から別のある $2$ ぀の正敎数の組ぞ曎新するこずを繰り返したす$n$ 回目の曎新で埗られる正敎数の組 $(a_n, b_n)$ は以䞋で䞎えられるものずしたす - 方皋匏 $a_{n-1}x-b_{n-1}y=1$ の正敎数解 $(x, y)$ のうち$x$ が最小のもの この曎新を$2$ ぀の成分のうち少なくずも䞀方が $1$ に**初めお**なるたで䜕回か$0$ 回でもよい繰り返しおその時点で停止させるこずを考えたす --- 　いた$1$ 以䞊 $2^{25...
OMC186 (ゎヌガ解析コンサルティング杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/tasks/5984
E
OMC186(E)
600
11
38
[ { "content": "　たず\r\n$$ \\alpha \\coloneqq \\angle ABO = \\angle BAO,\\qquad \\beta \\coloneqq \\angle ACO = \\angle CAO $$\r\nずするず$DQ = DR$ より $\\angle AED = \\angle AFD$ ずなるこずを甚いお\r\n$$ \\angle ADE = \\frac{90^\\circ - \\alpha + \\beta}2 = \\angle BDE,\\qquad \\angle ADF = \\frac{90^\\circ + \\alpha - \\beta...
　呚の長さが $31$ の䞉角圢 $ABC$ に぀いおその倖心を $O$ ずしたすたた盎線 $AO$ ず蟺 $BC$ の亀点を $D$ ずし蟺 $AB, AC$ 䞊にそれぞれ点 $E, F$ をずるず$DE \perp DF$ ずなりたしたさらに蟺 $BC$盎線 $AB, AC$ が䞉角圢 $DEF$ の倖接円ずそれぞれ $D, E, F$ でない点 $P, Q, R$ で亀わり $$ BP = 5,\quad CP = 8,\quad DQ = DR $$ ずなりたした 　このずき線分 $DP$ の長さは互いに玠な正敎数 $p, q$ を甚いお $\dfrac pq$ ず衚せるので$p + q$ を解...
OMC186 (ゎヌガ解析コンサルティング杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/tasks/4335
F
OMC186(F)
700
18
61
[ { "content": "　䞀般に $N=1000$ ずおく条件をみたす道の匕き方においお郜垂を頂点郜垂 $i$ を頂点 $i$ ず同䞀芖する道を無向蟺ず芋なしたグラフ $G$ を考えるず䞀぀目の条件より $G$ は朚である$G$ を頂点 $3N$ を根ずする根付き朚ず芋お次の操䜜を $3N-2$ 回行うこずを考える\r\n- **操䜜** $G$ の葉である頂点のうち番号が最小であるものおよびそれに繋がる蟺を取り陀く\r\n\r\n$n$ 回目の操䜜で取り陀かれる蟺が結ぶ頂点のうち蟺ず共に取り陀かれる頂点の番号を $a_n$そうでない方の番号を $p_n$ ずするこのずき\r\n$$a_...
　ある囜には $3000$ 個の郜垂がありそれぞれの郜垂に郜垂 $1, \ldots, 3000$ ず番号が振られおいたすこれらの郜垂の間に盞異なる $2$ 郜垂間を結ぶ双方向に行き来可胜な道を䜕本か匕く方法であっお以䞋の条件を満たすものが $M$ 通りあるずしたす * 任意の郜垂から任意の別の郜垂ぞ必芁ならばいく぀かの郜垂を経由しお匕かれおいる道だけを䜿っお必ずたどり着くこずができたた同じ郜垂を $2$ 回以䞊通らない堎合その道順はちょうど $1$ ぀存圚する * 郜垂 $1,\ldots,1000$ を端点に持぀道はそれぞれ高々 $1$ 本である * 郜垂 $1001,\ldots,2000$ ...
OMC185 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/tasks/6469
A
OMC185(A)
100
364
364
[ { "content": "　$(x-14)=4(x-68)$ が成り立぀のでこれを解いお $x=\\textbf{86}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/6469" } ]
　OMC君ずOMC君のお母さんがスマホを充電しおいたすOMC君のスマホはお母さんのスマホの $4$ 倍の速床でバッテリヌが増加したすいたOMC君のスマホのバッテリヌは $14\\%$お母さんのスマホのバッテリヌは $68\\%$ ですしばらく経぀ず$2$ 人のスマホのバッテリヌはどちらも $x\\%$ になりたしたこのずき$x$ を解答しおください
OMC185 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/tasks/7127
B
OMC185(B)
100
293
334
[ { "content": "　$465\\equiv 52 \\pmod{59}$ でたたFermatの小定理より $52^{58}\\equiv1\\pmod{59}$ だから\r\n$$465^{465}\\equiv52^{465}\\equiv(52^{58})^{8}\\times52\\equiv\\mathbf{52}\\pmod{59}$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/7127" } ]
　$465^{465}$ を $59$ で割った䜙りを求めおください
OMC185 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/tasks/5831
C
OMC185(C)
200
300
343
[ { "content": "　たず$2$ の倍数どうしが隣り合わないためには\r\n\r\n- 偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数\r\n\r\nの順に䞊べればよく$5! \\times 6!$ 通りであるこのうち$5$ の倍数が隣り合うには奇数を䞊べた埌に $10$ を $5$ の巊右のどちらかに䞊べればよいよっお$5! \\times 2 \\times 5!$ 通りすなわち条件を満たす䞊べ方は$5! \\times 6! - 5! \\times 2 \\times 5! = \\mathbf{57600}$ 通りである", "text": "公匏解説...
　$2$ 以䞊 $12$ 以䞋の正敎数を $1$ ぀ず぀暪䞀列に䞊べるずき以䞋の $2$ ぀の条件をずもにみたす方法は䜕通りあるか求めおください - $2$ の倍数どうしは隣り合わない - $5$ の倍数どうしは隣り合わない 　ただし巊右を反転させるこずによっお䞀臎する䞊べ方も区別するずしたす
OMC185 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/tasks/6859
D
OMC185(D)
300
167
261
[ { "content": "　$b=a+n$ ずおくず䞎匏は以䞋のように倉圢できる\r\n$$(a+1)(n+1)=N+1$$\r\n$a\\ge1$ に気を぀ければ$N+1$ の $2$ 以䞊の任意の玄数 $p$ に察しお $(a,n)=(p-1,(N+1)\\/p-1)$ が䞊匏の解ずなりたた解はこれで尜くされおいる以䞊より問題の条件を満たす $N$ は $513$ 以䞋の玠数から $1$ を匕いたものであるから求める答えは $\\bf{97}$ 個である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contes...
　$1$ 以䞊 $512$ 以䞋の敎数 $N$ であっお$ab-a^2+b=N$ を満たす正の敎数の組 $(a,b)$ がちょうど $1$ ぀存圚するものはいく぀ありたすか
OMC185 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/tasks/5390
E
OMC185(E)
300
190
270
[ { "content": "　$n$ 個のグラフ $y=x,y=x^2,y=x^3,\\ldots,y=x^n$ によっお分割される個数を $a_n$ ずするず$a_1=2, a_2=5$ が分かるたた$n\\geq3$ のずき $a_n=a_{n-1}+4$ であるこずが以䞋のように確認できる\r\n\r\n- $n$ が偶数のずき\\\r\n$y=x^n$ のグラフは $(0,1)$ を含む領域を $3$ ぀に$(1,0)$ を含む領域を $2$ ぀に$(-1,0)$ を含む領域を $2$ ぀に分割する\r\n\r\n- $n$ が奇数のずき\\\r\n$y=x^n$ のグラフは $(0,1)$ を...
　$n$ 個のグラフ $y=x,y=x^2,y=x^3,\ldots,y=x^n$ によっお $xy$ 平面が $1293$ 個の領域に分割されるずき正敎数 $n$ の倀を求めおください
OMC185 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/tasks/5475
F
OMC185(F)
400
33
84
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の $\\angle{A}$ に察する傍心を $P$ ずするこのずき四角圢 $BPCI$ は $PI$ を盎埄ずする円に内接するたたこの円の䞭心すなわち線分 $PI$ の䞭点を $M$ ずする\\\r\n　円呚角の定理より $\\angle{BPI}=\\angle{BCI},\\ \\angle{BMI}=2\\angle{BPI}$ であり$I$ が䞉角圢 $ABC$ の内心であるこずから$2\\angle{BCI}=\\angle{ACB}$ が成り立぀よっお$\\angle{ACB}=2\\angle{BCI}=2\\angle{BPI}=...
　䞉角圢 $ABC$ の内心を $I$ ずし盎線 $AI$ ず蟺 $BC$ の亀点を $D$ ずするず $$AB = 5,\quad AI:CD=5:4,\quad AD\times BD=8$$ が成り立ちたしたこのずき䞉角圢 $ABC$ の面積を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a,c$ ず平方因子を持たない正敎数 $b$ によっお $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ ず衚されるので$a+b+c$ の倀を解答しおください
OMC184
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/tasks/1782
A
OMC184(A)
200
288
361
[ { "content": "　$8008=2^3\\times 7\\times 11\\times 13$ に泚意すれば, 各玠因数の分配を考えるこずで $ {}_5 \\mathrm{ C }_2\\times3^3=\\textbf{270}$ 個である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/1782" } ]
　$xyz=8008$ なる正敎数の順序付いた組 $(x,y,z)$ はいく぀ありたすか
OMC184
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/tasks/2773
B
OMC184(B)
200
301
334
[ { "content": "　$n$ 回操䜜を斜した埌の溶液の濃床を $a_n\\\\%$ ずする. $n-1$ 回目の操䜜終了埌, 溶液は $50n+50\\rm{mL}$ ある. ここぞ $n$ 回目の操䜜を斜すず, $n-1$ 回目の操䜜終了時の溶液 $50n\\rm{mL}$ ず真氎 $100\\rm{mL}$ を混ぜた溶液であるから,\r\n$$a_n=\\displaystyle \\frac{50na_{n-1}}{50n+100}=\\frac{n}{n+2}a_{n-1}$$\r\n$a_0=1$ に留意しお, この挞化匏を順次適甚するこずで, \r\n$$a_n=\\displaystyle \...
　濃床 $1\\%$ の食塩氎 $100\rm{mL}$ が入った容噚 $A$ がありここぞ以䞋の操䜜を $n$ 回繰り返し行いたす. - 容噚 $A$ から食塩氎を $50\rm{mL}$ 取り陀きかわりに $100\rm{mL}$ の真氎を入れる このずき食塩氎の濃床が $\displaystyle \frac{1}{2023}\\%$ 以䞋になりたした$n$ ずしおあり埗る最小の正敎数を求めおください\ 　ただしそれぞれの操䜜の埌で容噚 $A$ に入った食塩氎の濃床は䞀様であるずしたす
OMC184
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C
OMC184(C)
300
202
218
[ { "content": "　$1\\/7 = 0.\\dot{1}4285\\dot{7}$ に気を぀ければ, 以䞋が分かる. \r\n$$\\begin{aligned}\r\n142857142857142861 \\times 7\r\n&= 10^{18} + 27\\\\\\\\\r\n&= (10^6 + 3)(10^{12} - 3\\times10^6 + 9)\\\\\\\\\r\n&= (10^6 + 3)((10^6+3)^2 - 3000^2)\\\\\\\\\r\n&= 1000003\\times 1003003\\times 997003\r\n\\end{aligned}$$\r\n...
　$142857142857142861$ を玠因数分解しおくださいただしその結果は盞異なる $3$ ぀の $7$ でない玠数 $p,q,r$ を甚いお $7pqr$ ずなるので$p+q+r$ を解答しおください
OMC184
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D
OMC184(D)
400
104
156
[ { "content": "　簡単な角床蚈算により $AD$ は角 $CAE$ を二等分するから, $CE=x$ ずおけば\r\n$$DC=\\frac{7x}{10},\\quad DE=\\frac{3x}{10}$$\r\n䞀方で, $AD^2$ に぀いお有名事実ずしお (Stewartの定理の系)\r\n$$AD^{2}=AC\\times AE-CD\\times DE84-\\frac{21x^{2}}{100}$$\r\nたた $EAD$ ず $ECB$ の盞䌌より $AE:AD=CE:CB$ であるから, 䞊の諞倀を代入しお敎理するこずで\r\n$$x\\sqrt{84-\\frac{21x^{2}...
　円に内接する四角圢 $ABCD$ が以䞋の条件をみたしたす $$AC14,\quad BC=5\sqrt{7},\quad BD=CD.$$ さらに半盎線 $BA$ ず半盎線 $CD$ が亀わったのでその亀点を $E$ ずしたずころ$AE=6$ が成立したしたこのずき正敎数 $p,q$ によっお $AB+AD=p+\sqrt{q}$ ず衚せるので$p+q$ を解答しおください
OMC184
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E
OMC184(E)
400
55
144
[ { "content": "　$P(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ ずするこのずき条件を満たすこずは任意の実数の組 $(x,y)$ に察しお\r\n$$\\dfrac{P(2x)+P(2y)}{2} \\geq P(x+y)　...(1)$$\r\nが成り立぀ず蚀い換えるこずができる\r\n\r\n　$(1)$ ず $P^{\\prime \\prime}(x) \\geq 0$ が同倀であるこずを瀺そう今$n,m$ を $m\\leq 2^n$ なる非負敎数ずすれば\r\n$$\\frac{m}{2^n}P(x)+\\frac{2^n-m}{2^n}P(y) \\geq P \...
　次の条件をみたすような$-4$ 以䞊 $4$ 以䞋の $0$ でない敎数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ はいく぀ありたすか 　任意の実数の組 $(x,y)$ に぀いお $$\sum_{k=1}^{4} a_k\bigl(2^{k-1}(x^{k}+y^{k})-(x+y)^{k}\bigr) \geq 0$$ が成り立぀
OMC184
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F
OMC184(F)
600
28
72
[ { "content": "　$7$ 行 $7$ 列あるマス目の盀面の, $i$ 行 $j$ 列目にそれぞれ $7(i-1)+(j-1)$ を曞き蟌むこずを考える. するず問題は, 任意の黒く塗られた $4$ ぀のマス目の䞭心がマス目の各蟺に平行な長方圢の頂点ずならないように, 盀面のマス目を $N$ 個黒く塗る通り数に蚀い換えられる. これ以降, 䞊蚘の塗り方でマス目が $N$ 個黒く塗られた盀面を **良い塗り方** ず呌ぶ. \r\n\r\n　良い塗り方においお巊列から順に $a\\_1, a\\_2, a\\_3, a\\_4, a\\_5, a\\_6, a\\_7$ 個のマス目が黒く塗られおいたずするず,...
　集合 $\\{0,1,2,\ldots 48\\}$ の郚分集合 $S$ が次の条件をみたすずきこれを **良い集合** ずよぶこずにしたす - 集合 $S$ の $4$ 元からなる郚分集合 $T$ をどのようにずっおも$0$ 以䞊 $6$ 以䞋の敎数 $a,b,c,d ~ ( a \neq b, c \neq d )$ を甚いお $\\{7a+c, 7a+d, 7b+c, 7b+d\\}$ ず衚すこずができない 　良い集合の芁玠数ずしおあり埗る最倧倀を $N$ ずしたずき芁玠数が $N$ である良い集合はいく぀ありたすか
OMC183 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/tasks/4292
A
OMC183(A)
100
321
326
[ { "content": "　条件を満たす数に $1$ を足すず$9$ でも $6$ でも割り切れる数すなわち $18$ の倍数ずなるしたがっお条件をみたす数は正の敎数 $n$ を甚いお $18n-1$ ず衚すこずができるので答えは $\\bf{89}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4292" } ]
　 $2$ 桁の正の敎数 ($10$ 以䞊 $99$ 以䞋の敎数) であっお$9$ で割っお $8$ あたり$6$ で割っお $5$ あたるもののうち最倧のものを求めおください
OMC183 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/tasks/5220
B
OMC183(B)
200
289
307
[ { "content": "　䞎匏は以䞋のように倉圢できる\r\n$$(x-2)^2+(y-1)^2=50$$\r\nここで $x, y$ は正の敎数であるから$x-2\\geq -1, ~ y-1\\geq 0$ に泚意すれば\\\r\n$$(x-2, y-1)=(-1,7),(1, 7),(7, 1),(5, 5)$$\r\nが適する組であるすなわち\r\n$$(x, y)=(1, 8),(3, 8),(9, 2),(7, 6).$$\r\n特に解答すべき倀は $\\mathbf{92}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemath...
　以䞋をみたす正の敎数の組 $(x,y)$ すべおに぀いお$xy$ の総和を求めおください $$x^2+y^2=4x+2y+45.$$
OMC183 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/tasks/2162
C
OMC183(C)
200
243
289
[ { "content": "　$\\dfrac{1^2}{82}, \\dfrac{2^2}{82}, \\dfrac{3^2}{82},\\cdots, \\dfrac{41^2}{82}$ においおは隣り合う数の差は $1$ 未満であるからそれぞれの敎数郚分には $\\bigg\\lfloor\\dfrac{41^2}{81}\\bigg\\rfloor=20$ 以䞋の非負敎数がすべお含たれる䞀方で$\\dfrac{41^2}{82}, \\dfrac{42^2}{82}, \\dfrac{43^2}{82},\\ldots, \\dfrac{1000^2}{82}$ においおは隣り合う数の差は $1$ ...
$$\left\lfloor \frac{1^2}{82} \right\rfloor, ~ \left\lfloor \frac{2^2}{82} \right\rfloor, ~ \left\lfloor \frac{3^2}{82} \right\rfloor, ~ \ldots, ~ \left\lfloor \frac{1000^2}{82} \right\rfloor$$ に含たれる盞異なる敎数倀は䜕皮類ですか\ 　ただし$\lfloor x \rfloor$ で $x$ を超えない最倧の敎数を衚したす
OMC183 (SEG杯)
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D
OMC183(D)
300
166
224
[ { "content": "　䞀般に $2$ 行 $n$ 列のマス目に条件を満たすように塗る方法の総数を $a_{n}$ ずおく$n\\ge2$ のずき最巊の $2$ マスをずもに塗らない堎合の残りの塗り方は $a_{n-1}$ 通りであるから最巊の $2$ マスのうち䞊偎 $1$ マスを塗る方法は察称性より $(a_n-a_{n-1})\\/2$ 通りである䞀方で最巊の $2$ マスのうち䞊偎 $1$ マスを塗る堎合は$2$ 列目は $2$ マスをずもに塗らないか䞋偎 $1$ マスを塗るかいずれかであるから$n\\ge3$ のずき\r\n$$\\dfrac{1}{2}(a_n-a_{n-1}) =...
　 $2$ 行 $7$ 列のマス目がありそれらのマスのうちいく぀かを赀く塗りたす$0$ マスでもよいこのずき赀く塗られたマスが隣り合わないような塗り方は䜕通りありたすか　なお回転や反転によっお䞀臎するものも区別したす
OMC183 (SEG杯)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/tasks/4732
E
OMC183(E)
300
91
115
[ { "content": "　$n = 100$ ずする盞加盞乗平均の䞍等匏より\r\n$$\\begin{aligned}\r\nP(a,b,c)&=\\sqrt{ab}+\\sqrt{bc}+\\sqrt{ca}-(a+b+c^n)\\\\\\\\\r\n&\\leq\\dfrac{a+b}{2}+\\dfrac{b+c}{2}+\\dfrac{c+a}{2}-(a+b+c^n)\\\\\\\\\r\n&=c-c^n\r\n\\end{aligned}$$\r\nであり等号は $a=b=c$ のずきのみ成立する\r\nたた再床盞加盞乗平均の䞍等匏より\r\n$$\r\nc - c^n\r\n= \\big(...
　正の実数 $a, b, c$ に぀いお$P(a,b,c)$ を以䞋で定めたす $$P(a,b,c)=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}-(a+b+c^{100})$$ 　$a,b,c$ が正の実数党䜓を動くずきの $P(a,b,c)$ の最倧倀を $M$ ずし$P(a,b,c)=M$ なる組 $(a,b,c)$ すべおに぀いおの $a$ の総和を $A$ ずするずき$\dfrac{M}{A}$ を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $p,q$ によっお $\dfrac{p}{q}$ ず衚されるので$p+q$ を解答しおください
OMC183 (SEG杯)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/tasks/2192
F
OMC183(F)
400
26
48
[ { "content": "　$\\angle PAR=\\theta$ ずおくず䞉角圢 $ARS$ ず䞉角圢 $APQ$ が盞䌌であるこずず正匊定理から以䞋が分かる.\r\n$$RS=PQ\\cos \\theta,\\quad AB=\\frac{PQ}{\\sin \\theta}$$\r\nしたがっお$\\cos\\theta\\sin\\theta = \\dfrac{2}{5}$ であるから$\\tan\\theta = 2, \\dfrac{1}{2}$ を埗る\r\nたた\r\n$$\\angle PAB = \\angle PQB = 90^\\circ - \\angle AQP = ...
　$4$ 点 $A,B,P,Q$ は $\angle APB = \angle AQB = 90^\circ$ をみたし$P$ ず $Q$ は盎線 $AB$ に関しお反察偎にありたす点 $P$ から盎線 $AQ$ に䞋ろした垂線の足を $R$点 $Q$ から盎線 $AP$ に䞋ろした垂線の足を $S$ ずするず以䞋が成り立ちたした $$\angle PAQ \lt 90^\circ,\quad AB:RS=5:2,\quad BP = 7,\quad PQ=24$$ このずき四角圢 $RASB$ の面積ずしおあり埗る倀の総和を求めおください.
OMC182
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/tasks/7890
A
OMC182(A)
200
243
270
[ { "content": "　䞎匏に $y=x-f(x)$ を代入するず任意の実数 $x$ に察し $$f(f(x)+(x-f(x)))=f(x)+{2}\\cdot{x}+{2}\\cdot{(x-f(x))}+4$$ すなわち$$f(x)=2x+2$$ が成立し確かにこれは䞎匏を満たすから$f(2023)=\\mathbf{4048}$ ず分かる", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/7890" } ]
　実数に察しお定矩され実数倀をずる関数 $f$ が任意の実数 $x$ , $y$ に察しお $$f(f(x)+y)=f(x)+2x+2y+4$$ をみたすずき$f(2023)$ の倀は䞀意に定たるのでこれを求めおください.
OMC182
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B
OMC182(B)
200
268
281
[ { "content": "　$20$ 以䞋の玠数は $2,3,5,7,11,13,17,19$ の $8$ ぀である$3\\times17\\times19=969\\lt1000$ であるから$N$ は $2,3$ を玄数に持たないよっお $N$ は奇数である$13\\times17\\times19=4199\\lt5000$ ず合わせれば$N$ の䞀の䜍及び千の䜍は $1$ たたは $3$ である䞀般に偶数桁の回文数が $11$ の倍数であるこずにも泚意すれば$N$ の玠因数の組み合わせは $$(7,11,13),(7,11,19),(11,13,17),(11,17,19)$$\r\nのいずれ...
　$4$ 桁の正の敎数 $N$ は盞異なる $20$ 以䞋の玠数 $3$ ぀の積で衚せる**回文数**です$N$ ずしおありうる倀の総和を答えおください\ 　ただし正敎数が**回文数**であるずは䞀の䜍が $0$ でなく䞀の䜍から逆順に読んだ堎合でも元の数ず䞀臎するこずを指したす䟋えば $1221$ や $3883$ は回文数であり$2023$ や $1210$ は回文数ではありたせん
OMC182
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/tasks/6961
C
OMC182(C)
300
120
170
[ { "content": "　党䜓を頂点が正 $3n$ 角圢の頂点蟺有向が各頂点ずその頂点から操䜜を䞀回行った時のコむンの行き先の頂点を結ぶ有向グラフずみなすこのグラフが閉路を持぀のは明らかでありその閉路の倧きさの最小倀は $n$ であるから条件を満たす頂点はこのずきの閉路䞊のすべおの頂点のみである \\\r\n　埓っお条件を満たす頂点は $\\bmod\\ 3$ で等しい頂点 $n$ 個の組でなければならずこれらの頂点にはすべお $3$ が曞き蟌たれおいるこずがわかる \\\r\n　ここで䞊蚘のように頂点 $n$ 個の組からなる閉路を持ちか぀他にも閉路を持぀ずきその閉路は頂点をちょうど ...
　 $n$ を正敎数ずしたす正 $3n$ 角圢 $A_1A_2A_3 \cdots\ A_ {3n} $ の各頂点に $2$ たたは $3$ が䞀぀ず぀曞き蟌たれおいたすただし$A_1,A_2,A_3, \ldots\ ,A_ {3n} $ は反時蚈回りに䞊んでいるものずしたすいたある頂点に䞀぀コむンを眮いお以䞋の操䜜を繰り返したす - コむンの眮かれおいる頂点に $x$ が曞かれおいるずき反時蚈回りに $x$ 個隣の頂点にコむンを動かす 　以䞋の条件をみたす頂点がちょうど $n$ 個ずなるような頂点の数字の曞き蟌たれ方が $a_n$ 通りであるずしたす - 最初にその頂点にコむンを眮き操䜜...
OMC182
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/tasks/7040
D
OMC182(D)
300
121
153
[ { "content": "　$x^2f(x,y)$ は $y^2$ を因数に持ちさらに亀代匏であるから $y-x$ も因数に持぀これより $f(x,y)$ は倚項匏 $g(x,y)$ を甚いお $y^2(y-x)g(x,y)$ ず衚せるさらに $g(x,y)$ は $2$ 次の察称匏であるため実数 $a,b,c,d$ を甚いお\r\n$$g(x,y)=a(x^2+y^2)+bxy+c(x+y)+d$$\r\nず衚すこずができるこのずき $f(x,y)$ の $y^5,xy^4,y^4$ の係数はそれぞれ $a,b-a,c$ であるから問の条件ず合わせお $a=1,b=c=3$ を埗るたた $g(2,3...
　次の条件をすべおみたす$x,y$ に぀いおの $5$ 次倚項匏 $f(x,y)$ は䞀意に存圚したす - $x^2f(x,y)+y^2f(y,x)=0$ - $f(x,y)$ の $y^5,xy^4,y^4$ の係数はそれぞれ $1,2,3$ である - $f(2,3)=999$ 　このずき$f(5, 7)$ の倀を求めお䞋さい <details> <summary> $2$ 倉数倚項匏の次数に぀いお<\/summary> 　以䞋に$x,y$ に぀いおの倚項匏ずその次数の䟋を瀺したす - $6x^2+xy-3y+2$　$2$ 次 - $5xy^2-xy$　$3$ 次 - $x...
OMC182
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/tasks/2762
E
OMC182(E)
500
26
45
[ { "content": "　$∠BDC=∠BEC=90^\\circ$ より $4$ 点 $B,C,D,E$ は同䞀円呚䞊にあるから$∠DBE=∠DCE$ であるゆえに $∠DFB=∠CGE$ であるから$4$ 点 $D,E,F,G$ は同䞀円呚䞊にあり$P$ はこの円の䞭心であるよっお\r\n$$\\begin{aligned}∠BPC&=∠BAC+∠ABP+∠ACP\\\\\\\\\r\n&=∠BAC+\\frac{1}{2}∠ABD+\\frac{1}{2}∠ACE\\\\\\\\\r\n&=∠BAD+∠ABD\\\\\\\\\r\n&=90^\\circ \\end{aligned}$$\r\n...
　䞉角圢 $ABC$ においお点 $B$ を䞭心ずし線分 $AC$ (䞡端を陀く) に点 $D$ で接する円ず線分 $AB$ の亀点を $F$点 $C$ を䞭心ずし線分 $AB$ (䞡端を陀く) に点 $E$ で接する円ず線分 $AC$ の亀点を $G$ ずしたすさらに線分 $EF$ および線分 $DG$ それぞれの垂盎二等分線の亀点を $P$ ずし線分 $BC$ の䞭点を $Q$ ずするず $$DE = 9, \quad PQ=20, \quad AQ = 23$$ が成立したしたこのずき䞉角圢 $ABC$ の倖接円の面積は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b} \pi$ ず衚される...
OMC182
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F
OMC182(F)
600
16
52
[ { "content": "　 $d$ を $n$ の正の玄数ずする$\\gcd(k,n)=d$ ずなる必芁十分条件は $k$ が $d$ の倍数か぀ $\\gcd \\left( \\dfrac kd, \\dfrac nd \\right) = 1$ ずなるこずであるしたがっお$\\gcd(k,n)$ を固定しお数え䞊げるず\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(n) &= \\sum_{d \\mid n}d\\times\\phi\\bigg(\\frac{n}{d}\\bigg) \\\\\\\\\r\n&= \\sum_{d\\mid n}\\frac{n}{d}\\times\...
　正の敎数 $n$ に察し正の敎数 $f(n)$ を $$f(n)=\sum_{k=1}^{n}\gcd(k,n)$$ により定矩したすこのずき $$\mathrm{ord}_2(f(n))=2^{2023}+2056$$ を満たす正の敎数 $n$ のうち $10000$ 番目に小さいものを $M$ ずしたす$M$ は正の奇数 $a$ ず非負敎数 $b$ を甚いお $a\times2^b$ ず䞀意に衚せるので$a+b$ を玠数 $1009$ で割ったあたりを求めおください \ 　ただし正の敎数 $\ell, m$ に察し$\gcd(\ell, m)$ は $\ell$ ず $m$ の最倧公玄数を$\m...
OMC181 (数孊ゎヌルデン杯
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A
OMC181(A)
100
463
485
[ { "content": "　$1$ 以䞊 $9$ 以䞋の正の敎数 $x_1, \\ldots, x_n$ が $x_1 x_2 \\cdots x_n = 9!$ を満たしおいるずき\r\n$$ N = x_1 + 10 x_2 + \\cdots + 10^{n-1} x_n $$\r\nずしおありうる最小の倀を求めればよい$9! = 2^7 \\cdot 3^4 \\cdot 5 \\cdot 7$ であるので$5$ ず $7$ は $N$ の桁に含たれるここで $n \\le 6$ ず仮定するず\r\n$$9! = x_1 x_2 \\cdots x_n \\le 5 \\cdot 7 \\cdo...
　十進法衚蚘で各䜍の数の積が $9!$ ずなるような最小の正の敎数を求めおください
OMC181 (数孊ゎヌルデン杯
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B
OMC181(B)
200
338
452
[ { "content": "　$(a, b, c)$ が満たす条件は\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n0 &= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \\\\\\\\\r\n&= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \\\\\\\\\r\n&= \\frac{1}{2}(a + b + c)((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nず同倀よっお$a + b + c = 0$ たたは $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a...
　$-3$ 以䞊 $3$ 以䞋の敎数の順序付いた組 $(a, b, c)$ であっお $$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$ をみたすものはいく぀ありたすか
OMC181 (数孊ゎヌルデン杯
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C
OMC181(C)
300
171
286
[ { "content": "　二人が南北の道路を合蚈で $k$ 回通ったずするずき明らかに $k$ は偶数であるたたそのうち巊偎から $2i-1$ 本目ず $2i$ 本目の南北の道路を䜿った人は同じである南北の道路の䜿う堎所の決め方は ${}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{k}$ 通り巊偎から $1,3,\\ldots,k\\/2-1$ 本目の南北の道路を䜿う人の決め方はそれぞれ $2$ 通りあるから求める総数は\r\n$$ {}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{0}\\times 2^0 + {}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 2^1 + \\cdo...
　以䞋のような東西に $3$ 本南北に $10$ 本の道路が走っおいる町があり小野田ず芹沢の二人はこの町に䜏んでいたす小野田は地点 $A$ に䜏んでおり地点 $A^{\prime}$ にある孊校に通っおいたす芹沢は地点 $B$ に䜏んでおり地点 $B^{\prime}$ にある孊校に通っおいたす二人はい぀もそれぞれ同じ通孊路を䜿っおいたすその際 䞀床来た道を匕き返したり同じ道を二床通るこずはありたせん\ 　小野田は芹沢をラむバル芖しおおり通孊䞭に䌚いたくありたせん二人の通孊路の組み合わせであっお共有点が存圚しないものは䜕通りありたすか ![figure 1](\/images\/OANu7xqVf...
OMC181 (数孊ゎヌルデン杯
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D
OMC181(D)
300
94
137
[ { "content": "　線分 $BE$ の䞭点を $K$ ずし$N$ に関しお $K$ ず察称な点を $L$ ずする四角圢 $KBDL$ ず $KBCM$ は平行四蟺圢なので䞉角圢 $KML$ ず䞉角圢 $BCD$ は合同であり特に $\\angle KML = 90^\\circ$これず $N$ が線分 $KL$ の䞭点であるこずから$N$ は䞉角圢 $KLM$ の倖心であり特に $MN = NK$以䞊より\r\n$$MN^2 = NK^2 = \\bigg(\\frac{AD}{2}\\bigg)^2 + \\bigg(\\frac{AB}{2}\\bigg)^2 = \\textbf{6...
　四角圢 $ABCD$ が $\angle A = \angle C = 90^\circ$ をみたしおいたす蟺 $AB$ 䞊端点を陀くに点 $E$ があり四角圢 $EBCF$ が平行四蟺圢ずなるような点 $F$ をずりたす線分 $CF, DE$ の䞭点をそれぞれ $M, N$ ずしたずき $$AD = 314, \quad AE = 159, \quad BE = 265, \quad BC = 358$$ が成り立ちたした線分 $MN$ の長さの $2$ 乗を求めおください
OMC181 (数孊ゎヌルデン杯
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E
OMC181(E)
300
125
186
[ { "content": "　$(n_1, n_2, \\ldots, n_{11})$ が条件を満たす必芁十分条件はすべお $1110 = 2 \\times 3 \\times 5 \\times 37 $ の玄数でありその䞊で各 $p \\in \\\\{2, 3, 5, 37\\\\}$ に察し任意の $1 \\leq i \\leq 10$ なる敎数 $i$ に぀いお以䞋が成り立぀こずであるこずが確認できる\r\n- $n_i$ ず $n_{i+1}$ のうち少なくずも䞀方は $p$ で割り切れる\r\n\r\n　したがっお$n_1, n_2, \\ldots, n_k$ が $p$ で「割り切...
　正敎数 $11$ 個の組 $(n_1, n_2, \ldots, n_{11})$ であっお以䞋をみたすものは党郚で䜕通りありたすか - 任意の $1 \leq i \leq 10$ なる敎数 $i$ に぀いお$n_i$ ず $n_{i+1}$ の最小公倍数は $1110$ である
OMC181 (数孊ゎヌルデン杯
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F
OMC181(F)
400
52
81
[ { "content": "　$11$ 以䞋の正敎数 $n$ に察し $T_n$ を\r\n$$T_n = \\sum_{k = n}^{11} a_k$$\r\nず定めるず$\\displaystyle A = \\prod_{n=1}^{11} T_n$ ず衚すこずができる䞀方で\r\n$$\\sum_{n=1}^{11} n^2 a_n = \\sum_{n=1}^{11} (2n - 1)T_n$$\r\nが成り立぀ので\r\n$$N = \\prod_{n=1}^{11} (2n - 1) = 3^5 \\times 5^2 \\times 7^2 \\times 11 \\times 13 \\ti...
　$11$ 個の正の実数 $a_1, \ldots, a_{11}$ に察しお正の実数 $A$ を以䞋で定めたす - $i=1,2,\ldots,11$ それぞれで $i \leq n_i \leq 11$ をみたすような $11$ 個の敎数の組 $(n_1, \ldots , n_{11})$ は $11!$ 通りあるがそれらすべおに察する $a_{n_1}a_{n_2}\cdots a_{n_{11}}$ の総和を $A$ ずする 　いた$a_1, \ldots, a_{11}$ が $$\sum_{n=1}^{11} n^2 a_n = 1110$$ をみたすずき$A$ ずしおありうる最倧倀は互いに...
OMC180 (for experts)
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A
OMC180(A)
200
192
234
[ { "content": "　$y=a(x-a)$ ず $y=b(x-b)$ の亀点は $(a+b,ab)$ であるから$ab=n$ を満たすような組 $1\\leq a \\lt b\\leq 2023$ がちょうど $7$ 個存圚するような最小の正の敎数 $n$ を求めればよい$n\\leq 2023$ のずきこれは $n$ が正の玄数を $14$ 個たたは $15$ 個も぀こずず同倀でありこれを満たす最小の $n$ は $2^4×3^2=\\textbf{144}$ であるずわかる", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest....
　$xy$ 平面䞊に以䞋の各匏で衚される $2023$ 本の盎線がありたす $$y=x-1, \quad y=2(x-2), \quad y = 3(x-3), \quad \ldots, \quad y=2023(x-2023)$$ これらの盎線のうち $2$ 本以䞊が同時に通るような点が盎線 $y=n$ 䞊にちょうど $7$ 個存圚するような最小の正の敎数 $n$ を求めおください
OMC180 (for experts)
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B
OMC180(B)
400
104
131
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の垂心を $H$ ずする䞉平方の定理から $\\angle PQR = 90^\\circ$ であるので簡単な蚈算により \r\n$$\\angle ABC =\\angle BAP = \\angle BCR = 45^\\circ$$\r\nが分かる埓っお䞉角圢 $APB$ ず䞉角圢 $CPH$が盎角二等蟺䞉角圢であるから䞉角圢 $ACP$ ず䞉角圢 $BHP$ は合同である同様にしお䞉角圢 $ACR$ ず䞉角圢 $HBR$ も合同であるたた$D$ ず $H$ は線分 $AC$ に関しお察称であるこずず合わせお求めるものは次のように倉圢できる ...
　円に内接し$2$ 本の察角線が盎亀する四角圢 $ABCD$ がありたす$A$ から盎線 $BC$$B$ から盎線 $CA$$C$ から盎線 $AB$ に䞋ろした垂線の足をそれぞれ $P,Q,R$ ずしたす $$PQ=7, \quad QR=24, \quad RP=25, \quad \angle ABC \lt 90^\circ$$ であるずき四角圢 $ABCD$ の面積を求めおください
OMC180 (for experts)
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C
OMC180(C)
400
172
191
[ { "content": "　$1$ 以䞊 $22$ 以䞋の敎数からなる組 $(a,b)$ に぀いお$ab$ を $23$ で割った䜙りが $A$ に属するものず $B$ に属するものは同数存圚するたた$1$ 以䞊 $22$ 以䞋の敎数からなる組 $(a,b)$ に぀いお$a$ ず $b$ の属する集合が異なるものず同じものも同数存圚するゆえに$A$ の任意の元 $a$ ず $B$ の任意の元 $b$ に぀いお $ab$ を $23$ で割った䜙りが $A$ に属するこずず属する集合が同じである任意の敎数 $a,b$ に぀いお $ab$ を $23$ で割った䜙りが $B$ に属するこずは同倀である...
　$1$ 以䞊 $22$ 以䞋の敎数からなる芁玠数 $11$ の集合 $A$ ず $B$ であっお次の $2$ 条件をみたすものは䞀意に定たりたす - $A \cap B = \empty$ - 任意の $a \in A$ ず $b \in B$ に぀いお$ab$ を $23$ で割ったあたりは $A$ に属する 　この $A, B$ に぀いお$B$ の $10$ 以䞊の元の総積を求めおください
OMC180 (for experts)
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D
OMC180(D)
600
22
54
[ { "content": "　郚分分数分解するこずで求める倀は次のように倉圢できる\r\n$$\\sum_{i=1}^{10}\\frac{1}{a_i^6+a_i^5}=-\\sum_{i=1}^{10} \\frac{1}{a_i+1} + \\sum^{10}_{i=1} \\left( \\frac{1}{a_i}-\\frac{1}{a_i^2}+\\frac{1}{a_i^3}-\\frac{1}{a_i^4}+\\frac{1}{a_i^5} \\right)$$\r\n\r\nここで $f(x)=x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32$ ず...
　$x$ の $10$ 次方皋匏 $$x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32=0$$ は盞異なる $10$ 個の耇玠数解をもちたすそれらを $x=a_1,a_2,\ldots,a_{10}$ ずするずき $$\sum^{10}_{i=1}\frac{1}{a_i^6+a_i^5}$$ の倀を求めおください\ 　ただし答えは互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $ \displaystyle-\frac{a}{b}$ ず衚せるので$a \times b$ の倀を解答しおください
OMC180 (for experts)
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E
OMC180(E)
700
30
48
[ { "content": "　$36$ 個の実数 $(s_1,s_2, \\ldots,s_{36})$ を倉数ずする以䞋の連立方皋匏を $P$ ずよぶ\r\n$$ s_{b_1}+s_{c_1}=1, \\quad s_{b_2}+s_{c_2}=2 ,\\quad \\ldots,\\quad s_{b_{35}}+s_{c_{35}}=35 $$\r\n䞀般論ずしお連立 $n$ 元䞀次方皋匏の解が䞀意に定たるには少なくずも $n$ 本の匏が必芁であるしたがっお$P$ に匏を $1$ 本加えるこずで唯䞀解が生たれるこずから$P$ の䞭に過剰な匏あるいは矛盟した匏は存圚しおはならない\\\r\n　...
　 $1$ 以䞊 $36$ 以䞋の敎数からなる数列 $b_1, b_2, \ldots, b_{35}$ ず $c_1, c_2, \ldots, c_{35}$ は次の条件をみたしたす - $36$ 個の実数 $(a_1,a_2, \ldots,a_{36})$ を倉数ずする連立方皋匏 $$ a_{b_1}+a_{c_1}=1, \quad a_{b_2}+a_{c_2}=2 ,\quad \ldots,\quad a_{b_{35}}+a_{c_{35}}=35,\quad a_{x}-a_{y}=36 $$ が䞀意に解をも぀ような$1$ 以䞊 $36$ 以䞋の敎数の組 $(x,y)$ がちょうど $736$ 個存圚...
OMC180 (for experts)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/tasks/5512
F
OMC180(F)
800
3
23
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\\omega$ ずし半盎線 $FE,EF$ ず $\\omega$ の亀点をそれぞれ $Y,Z$ ずする\\\r\n　$A$ を䞭心ずする半埄 $\\sqrt{AD\\times AH}$ の円による反転によっお$\\omega$ ず盎線 $EF$ は互いに移り合うので$Y,Z$ は䞍倉であるたた$\\angle APH = \\angle ADP$ より $AP^2 = AD\\times AH$ であるので $P$ もこの反転によっお倉わらないしたがっお$AP = AY = AZ$ であるさらに䞉角圢 $BCH$ の倖接円は䞉角...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ の垂心を $H$ ずしたす$A, B, C$ から察蟺に䞋ろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ ずし盎線 $AD$ ず盎線 $EF$ の亀点を $G$ ずしたす䞉角圢 $EGH$ の倖接円ず䞉角圢 $BCH$ の倖接円は $H$ でない点 $P$ で亀わり半盎線 $HP$ ず䞉角圢 $ABC$ の倖接円は $X$ で亀わりたしたさらに $$PX=4,\quad PD=5,\quad \angle APH=\angle ADP$$ が成立するずき線分 $AP$ の長さの二乗は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a+b$ の倀を解答し...
OMC179 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/tasks/5392
A
OMC179(A)
100
363
363
[ { "content": "$$ad=\\frac{ab×cd}{bc}=\\frac{300}{20}=\\mathbf{15}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5392" } ]
　正の実数 $a,b,c,d$ が $$ab=10,\quad bc=20,\quad cd=30$$ をみたしおいるずき$ad$ の倀を求めおください
OMC179 (for beginners)
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B
OMC179(B)
100
300
324
[ { "content": "　$3$ 点 $A,B,D$ ず $3$ 点 $B,C,D$ に぀いおそれぞれ䞉角䞍等匏により以䞋を埗る\r\n\r\n$$5 \\leq BD \\leq 9, \\qquad 2 \\leq BD \\leq 8$$\r\n\r\nしたがっお $5 \\leq BD \\leq 8$ ずなる実際問題の条件を満たしながら $BD=5,BD=8$ ずなるようにできるので求める倀は $5+8= \\mathbf{13} $ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/...
　平面䞊に $4$ 点 $A,B,C,D$ があり以䞋をみたしおいたす $$AB=2, \quad BC=3, \quad CD=5, \quad DA=7.$$ このずき線分 $BD$ の長さずしおありうる最小の倀 $m$ および最倧の倀 $M$ が存圚するので$m+M$ を解答しおください
OMC179 (for beginners)
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C
OMC179(C)
200
329
353
[ { "content": "　$0.475$ 以䞊 $0.485$ 未満の有理数のうち分母が最小のものを求めればよい\\\r\n　分母が偶数 $2k$ のずき$0.5$ 未満で最倧のもの $(k-1)\\/2k$ が $0.475$ 以䞊である必芁があるこずから$k\\geq 20$ が必芁である同様に分母が奇数 $2k+1$ のずき$0.5$ 未満で最倧のもの $k\\/(2k+1)$ が $0.475$ 以䞊である必芁があるこずから$k\\geq 10$ が必芁である逆に $10\\/21\\approx0.4762$ は条件をみたすから求める倀は $\\textbf{21}$ である", ...
　$N$ 人の孊生にOMCを知っおいるかアンケヌトしたしたその結果「知っおいる」ず答えた人の割合を癟分率で小数第䞀䜍で四捚五入しお衚珟するず$48\\,\\%$ でしたこのずき$N$ ずしおあり埗る最小の正敎数倀を求めおください
OMC179 (for beginners)
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D
OMC179(D)
300
154
202
[ { "content": "　䞎匏を $f(x)$ ずするず倍角の公匏を甚いお\r\n$$f(x)\r\n= \\frac{1}{4}(1 + \\cos x)^2 + \\frac{1}{1 + \\cos x}\r\n= \\frac{1}{4}(1 + \\cos x)^2 + \\frac{1}{2(1 + \\cos x)} + \\frac{1}{2(1 + \\cos x)}$$\r\nず倉圢できる埓っお$1 + \\cos x \\gt 0$ であるから盞加盞乗平均の䞍等匏より\r\n$$f(x)\r\n\\ge 3\\bigg(\\frac{1}{4}(1 + \\cos x)^2\\ti...
　実数 $x$ が $0 \lt x \lt \pi$ の範囲を動くずき $$\frac{1}{8} (\cos 2x + 4 \cos x + 3) + \frac{2 - 2\cos x}{1 - \cos 2x}$$ のずりうる最小倀 $m$ ず$m$ の最小倚項匏 $P$ が存圚したす$P(100)$ は互いに玠な正の敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚せるので$a + b$ を解答しおください <details><summary>最小倚項匏ずは<\/summary> 　$m$ を根にも぀有理数係数倚項匏のうち次数が最小でありか぀最高次の係数が $1$ であるものをこの...
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E
OMC179(E)
400
57
155
[ { "content": "$$0\\leq a_{1,1} \\lt a_{2,1} \\lt \\cdots \\lt a_{i,1} \\lt a_{i,2} \\lt \\cdots \\lt a_{i,j}$$ \r\nより, $i+j-2 \\leq a_{i,j}$ であるたた\r\n$$13 \\ge a_{7,7} \\gt a_{6,7} \\gt \\cdots \\gt a_{i,7} \\gt a_{i,6} \\gt \\cdots \\gt a_{i,j}$$\r\nより$a_{i,j} \\leq i+j-1$ であるよっお$b_{i,j}=a_{i,j}-(i+j-2)$ ...
　$7\times7$ のマス目の各マスに敎数を䞀぀ず぀曞き蟌みたすただし曞き蟌む数は $0$ 以䞊 $13$ 以䞋であり曞き蟌たれない数があっおも耇数のマスに曞き蟌たれた数があっおも良いものずしたす䞊から $i$ 行目巊から $j$ 列目にあるマスに曞かれた数を $a_{i,j}$ で衚すずき以䞋をすべおみたす曞き蟌み方は䜕通りありたすか - $k=1,2,\ldots,7$ それぞれに぀いお以䞋がずもに成り立぀ $$a_{k,1} \lt a_{k,2} \lt \cdots \lt a_{k,7},\quad a_{1,k} \lt a_{2,k} \lt \cdots \lt a_{7,k}.$$...
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F
OMC179(F)
400
44
123
[ { "content": "　$x=q+r, y=r+p, z=p+q$ ずすれば条件匏は\r\n$$q^2+qr+r^2=\\frac{25}{4},\\quad r^2+rp+p^2=\\frac{49}{4},\\quad p^2+pq+q^2=16$$\r\nず眮き換えられるここで$X$ を䞭心ずする䞀蟺 $\\sqrt3$ の正䞉角圢 $ABC$ に察しお\r\n$$\\overrightarrow{XP} = p\\overrightarrow{XA},\\quad \r\n\\overrightarrow{XQ} = q\\overrightarrow{XB},\\quad \r\n\\over...
　正の実数 $x,y,z$ は $$ (y-z)^2+3x^2=25,\quad (z-x)^2+3y^2=49,\quad (x-y)^2+3z^2=64$$ をみたしおいたすこのずき$(x+y+z)^2$ の倀を解答しおください
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A
矢䞊杯2023(A)
100
180
210
[ { "content": "　$1$ 桁の正敎数の総和は $45$ でありたた$m$ 以䞊 $n$ 以䞋の敎数の総和は $4$ 以䞊の $2$ べきになりえないから$9,\\\\, 25,\\\\, 27,\\\\, 36$ になるものを考えればよい平均倀に泚目するこずで仮定を満たす組 $(m, n)$ は\r\n$$ (4, 5),\\quad (2, 4),\\quad (3, 7),\\quad (2, 7),\\quad (1, 8) $$\r\nであるこずが分かり求める総和は $\\bm{1041}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onli...
　$10$ 進法で $1$ 桁の正敎数の組 $(m, n)$ であっお$m \lt n$ をみたし$m$ 以䞊 $n$ 以䞋の敎数の総和が环乗数になるものすべおに぀いお$n^m$ の総和を求めおください <details><summary>环乗数ずは<\/summary> 　**环乗数**ずは「ある正敎数 $a$ ず $2$ 以䞊の敎数 $k$ が存圚しお$a^k$ ず衚せる数」をさしたす <\/details>
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B
矢䞊杯2023(B)
100
175
179
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\\Gamma$ ずし盎線 $AD$ ず $\\Gamma$ の亀点を $D^{\\prime}\\ (\\neq A)$盎線 $AE$ ず $\\Gamma$ の亀点を $E^{\\prime}\\ (\\neq A)$ ずする角床远跡により $D,\\ D^{\\prime},\\ E,\\ E^{\\prime}$ は同䞀円呚䞊にあるこずがわかるしたがっお\r\n$$\r\nAB=AC=a,\\quad AD=x,\\quad DD^{\\prime}=x^{\\prime},\\quad AE=y,\\quad EE^{\\prime}...
　$AB=AC$ なる䞉角圢 $ABC$ がありたす蟺 $BC$ 䞊に点 $D,E$ を$B,D,E,C$ がこの順で䞊ぶようにずったずころ以䞋が成立したした $$ BD=9,\quad DE = 23, \quad EC=24,\quad \angle DAE=90^\circ. $$ このずき蟺 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答しおください
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C
矢䞊杯2023(C)
100
100
144
[ { "content": "　合同匏の法は $9$ ずする\\\r\n　正敎数 $n$ に぀いおその桁和を $S(n)$ で衚すこずにするず$n \\equiv S(n)$ が成立する$A,\\ Y$ に入れた数字を $a,\\ y$䜿わない数字を $x_1\\lt x_2$ ずおくず$\\text{YAGAMIFES}$ に $1$ 桁の数字を入れお出来た数字が $9$ の倍数になるためには\r\n$$\r\n45+a-x_1-x_2\\equiv x_1+x_2-a \\equiv 0\r\n$$\r\nが必芁があるここでもし $x_1$ が $0$ たたは $9$ であったずするず$x_2 ...
　長さ $9$ の文字列 $\text{YAGAMIFES}$ は $8$ 皮類のアルファベットで構成されおいたす各アルファベットに $0$ から $9$ の数字を $1$ ぀ず぀入れお $9$ 桁の正敎数を぀くりたすただし$\text Y$ に $0$ を入れおはいけたせん同じアルファベットには同じ数字を異なるアルファベットには異なる数字を入れるずき埗られる正敎数が $9$ の倍数になるような方法は䜕通りありたすか
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D
矢䞊杯2023(D)
100
60
76
[ { "content": "　$\\triangle{ABC}$ の垂心を $H$倖接円を $\\Gamma$ ずする簡単な角床远跡から四角圢 $HBDC$ が平行四蟺圢であるこずがわかるので$D$ は $\\Gamma$ 䞊に存圚し$AD$ は $\\Gamma$ の盎埄である同様なこずが $E,F$ に぀いおもいえる\\\r\n　$\\triangle{ABC}$ の面積を $S$ ずおくず$R_1, R_2, R_3$ の面積はすべお $2S$ であるたた$\\triangle{ABF}\\equiv \\triangle{DEC}$ などがわかるから\r\n$$\r\nx+y+z+S= \...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ があり$3$ ぀の長方圢 $R_1,R_2,R_3$ が以䞋の条件をみたしたす - 長方圢 $R_1$ のある䞀蟺は線分 $CA$ でありその向かい合う蟺は点 $B$ を通る - 長方圢 $R_2$ のある䞀蟺は線分 $AB$ でありその向かい合う蟺は点 $C$ を通る - 長方圢 $R_3$ のある䞀蟺は線分 $BC$ でありその向かい合う蟺は点 $A$ を通る 　さらに$R_1, R_2$ 䞡方の蟺䞊にあっおいずれの長方圢の頂点でもない点がただ $1$ ぀存圚するのでそれを点 $D$ ずしたす同様に $R_2,R_3$ に察しお点 $E$ を$R_3,R_...
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E
矢䞊杯2023(E)
100
9
37
[ { "content": "　たずはじめに数列 $\\\\{F_n\\\\}$ に関しお成り立぀䞍等匏を瀺しおおく$F_0=0$ ずする\r\n\r\n---\r\n\r\n**補題.** $n\\geq 3$ に察し $F_1+F_2+\\cdots+F_n \\lt 2(F_n+F_{n-2})$\\\r\n**蚌明.** $F_1+F_2+\\cdots+F_{n-1} = F_{n+1}-1$ に留意するず瀺すべき䞍等匏は $F_{n+1}-1\\lt F_n+2F_{n-2}$ ず同倀さらに挞化匏を繰り返し甚いお敎理するこずにより瀺すべき䞍等匏は $F_{n-3}-1\\lt F_{n-2}...
【9\/24 22:50】問題文を修正したした登録されおいる解答の数倀は同じです ---- 　実数列 $\\{F_n\\}$ は以䞋の挞化匏をみたすものずしたす $$ F_1=F_2=1,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad (n\geq 1). $$ 　いた正敎数 $p \leq q$ に察し**倚重集合** $U_{q}$ を $U_q=\\{F_1,F_2,\ldots, F_q\\}$ で定め$U_{q}$ を空でない $p$ 個の倚重集合に分割する方法分割埌の倚重集合の順序は区別しないであっお以䞋の条件をみたすものの個数を $f(p,q)$ ずおきたす ...
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F
矢䞊杯2023(F)
100
79
104
[ { "content": "　たず補題ずしお以䞋の二぀が成り立぀こずを蚌明する\r\n\r\n 1. 　$k=1,2,3,4,5$ に察し$x_1+x_2+⋯+x_k=\\frac12a_k(a_k+1)$ を満たす非負敎数 $a_k$ が存圚する\r\n 2. 　$\\lbrace a_k\\rbrace$ に察し$a_1 \\in \\lbrace0,1 \\rbrace$ であり$k=1,2,3,4$ に察しお$a_{k+1}-a_k\\in\\lbrace-1,0,1\\rbrace$ が成立する\r\n\r\nこれらは数孊的垰玍法によっお次のように蚌明できる\r\n\r\n(i)　$k=...
　$k=1,2,3,4,5$ それぞれに察しお $$ (x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k})^2=x_{1}^3+x_{2}^3+\cdots+x_{k}^3 $$ をみたすような実数の組 $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})$ の個数を求めおください
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G
矢䞊杯2023(G)
100
50
64
[ { "content": "　$\\operatorname{ord}\\_{p}(N)$ で敎数 $N$ が玠数 $p$で割り切れる最倧の回数を$\\operatorname{s}\\_{p}(N)$ で敎数 $N$を $p$ 進数衚瀺したずきの桁和を衚すものずする\\\r\n　$n$ 以䞋の玠数 $p$ を任意にずる$n$より倧きい玠数に぀いおは分母・分子のいずれにも衚れないので考える必芁はない分子に぀いお$\\operatorname{ord}\\_{p}(\\operatorname{lcm}\\\\{1,2,\\cdots ,n\\\\})=\\lfloor \\log\\_{p}{n} \\r...
　$2$ 以䞊 $1000$ 以䞋の敎数 $n$ であっお $$ \dfrac{\mathrm{lcm}\\{1,2,\ldots,n\\}} {\mathrm{lcm}\\{ {}\_{n+1}\mathrm{C}\_{1},\\, {}\_{n+1}\mathrm{C}\_{2},\\, \ldots ,\\,{}\_{n+1}\mathrm{C}\_{n} \\}} $$ が敎数であるものはいく぀ありたすか　ただし$\mathrm{lcm}\\{x_1, x_2, \ldots, x_n\\}$ で$n$ 個の敎数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ の最小公倍数を衚すものずしたす
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H
矢䞊杯2023(H)
100
16
22
[ { "content": "　䞎匏を $S\\_n$ ずおくず $S\\_1 = -1$以䞋 $n\\ge 2$ ずする \r\n　$s = r + k$ ずしお\r\n$$ S\\_n = \\sum\\_{s=0}^ns^n\\\\, \\sum\\_{r=0}^s \\left(-1\\right)^r\\left(s - r + 1\\right) \\binom nr. $$\r\nたた\r\n$$ \\sum\\_{r=0}^s \\left(-1\\right)^r \\binom nr = \\sum\\_{r=0}^s \\left(\\left(-1\\right)^r \\binom{n ...
　次の倀が $2023$ の倍数に**ならない**ような正敎数 $n$ の総和を求めおください $$ \sum_{r=0}^n(-1)^r\mathinner{{}\_n\mathrm C\_r} \sum_{k=0}^{n-r} \left(k + 1\right) \left(k + r\right)^n\mathclose{}. $$
矢䞊杯2023
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I
矢䞊杯2023(I)
100
10
27
[ { "content": "　任意の正敎数 $x$ に察しお $(x + n)^{x+n} \\equiv x^x \\pmod m$ ずなる正敎数 $n$ を呚期ず呌び最小の呚期を基本呚期ず呌ぶこずにするたた以䞋では $m$ を法ずする \r\n　玠数 $p$敎数 $k \\ge p + 1$ に察し $m = p^k$ ずなるずき基本呚期が存圚するず仮定しおそれを $\\ell$ ずおくず$\\ell m$ は呚期になるはずであるが\r\n$$ (p + \\ell m)^{p+\\ell m} = p^{p+\\ell m} \\left(1 + \\ell p^{k-1}\\right)^{p...
　次の条件をみたす $2$ 以䞊 $390$ 以䞋の正敎数 $m$ の総和を求めおください - 正敎数 $n$ であっお任意の正敎数 $x$ に察しお $$(x + n)^{x+n} \equiv x^x \pmod m$$ が成り立぀ようなものが存圚しそのうち最小のものが $m$ である
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J
矢䞊杯2023(J)
100
9
14
[ { "content": "　$N = 2520$ ずする頂点 $1,\\\\, \\ldots,\\\\, N$ をそれぞれの人に察応させ頂点を蟺で結ぶこずを察応する $2$ 人が仲良しであるこずに察応させたグラフを $G$ ずするこのずき仲良し $n$ 人組はクリヌク $K\\_n$ に察応し$G$ の $K\\_n$ 党䜓の集合を $K\\_n(G)$ で衚すこずにするここで総和が $N$ である非負敎数の組 $\\bm x \\coloneqq (x\\_1, \\ldots, x\\_N)$ に察し$f\\_r(\\bm x)$ を\r\n$$ f\\_r(\\bm x) = \\sum\\_...
　あるパヌティヌに $2520$ 人が集たりたした任意の異なる $2$ 人の組に察しお仲良しであるか仲良しでないかのどちらかが決たっおいるものずしたすたた$k$ 人 $(k \ge 2)$ の組み合わせに぀いおその䞭の任意の盞異なる $2$ 人が仲良しであるずきその $k$ 人の組合せを**仲良し $k$ 人組**ず呌ぶこずにしたすさらに$2520$ 人の䞭に仲良し $k$ 人組が $a\_k$ 個あったずきパヌティヌの**芪密床**を $\displaystyle\sum\_{k=2}^{2520} ka\_k$ で定めたす\ 　いた$a_3=0$ であるようなパヌティヌに぀いおその芪密床ずしおありうる最...
矢䞊杯2023
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K
矢䞊杯2023(K)
100
8
9
[ { "content": "　良い点の䞀意存圚は保障されおいるから半盎線 $ZX,\\\\, ZY$ 䞊にそれぞれ点 $\\widetilde X,\\\\, \\widetilde Y$ を$X\\widetilde X,\\\\, Y\\widetilde Y$ が埮小でたた $XY = \\widetilde X\\widetilde Y$ ずなるようにずったずき$XY$ ず $\\widetilde X\\widetilde Y$ の亀点 $\\widetilde W$ に察しお$W\\widetilde W$ は埮小よっお簡単な長さ蚈算により$Z$ から $XY$ に䞋した垂線の足 $W^\\...
　任意の鋭角䞉角圢 $XYZ$ に察しお蟺 $XY$ 䞊端点を陀くの点 $W$ であっおそれぞれ半盎線 $ZX,\\, ZY$ 䞊$Z$ を陀くの任意の点 $X^\prime,\\, Y^\prime$ に察しお $$ X^\prime,\\, W,\\, Y^\prime\\ \text{は同䞀盎線䞊} \implies X^\prime\\, Y^\prime \ge XY $$ ずなるようなものがただ䞀぀存圚したすそのような $W$ を䞉角圢 $XYZ$ における蟺 $XY$ に関する**良い点**ず呌ぶこずにしたす --- 　呚長が $3939$ の鋭角䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $A...
OMC178
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A
OMC178(A)
200
349
361
[ { "content": "　たず$ 2023 = 7 × 17^2 $ ず玠因数分解できるここで$ n, n+1, n+2$ の䞭に $17$ の倍数が $2$ ぀以䞊含たれるこずはないためこの䞭に $289$ の倍数が含たれる必芁があるず分かるこれより$ 1 \\leq n \\leq 1000$ ず合わせお$n$ は\r\n$$287, 288, 289, \\quad 576, 577, 578, \\quad 865, 866, 867 $$\r\nのいずれかであるこのうち$ n(n+1)(n+2)$ が $7$ の倍数にもなる぀たり$ n, n+1, n+2$ の䞭に $7$ の倍数...
　$1$ 以䞊 $1000$ 以䞋の敎数 $n$ であっお$n(n+1)(n+2)$ が $2023$ の倍数になるものの総和を解答しお䞋さいただし$2023=7\times 17^2$ です
OMC178
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B
OMC178(B)
300
151
279
[ { "content": "　$ 1,2, \\cdots ,5 $ の番号を付けた $5$ 個の頂点に察しお点 $n$ から点 $f(n)$ ぞの有向蟺を加えたグラフを\r\n$G$ ずするこのずき$f$ が条件を満たすこずは次のように蚀い換えられる\r\n- ある $1$ 以䞊 $5$ 以䞋の敎数 $m$ が存圚し点 $m$ からは点 $m$ 自身に向かっお有向蟺が䌞びおいるたた点 $m$ 以倖の頂点からは 点 $m$ に向かう単玔有向パスが存圚する\r\n\r\n　これを満たすような $G$ ずしおあり埗るものの総数を求めればいい察称性より, $m = 1$ の堎合を数え䞊げおそれを $5$...
　$1$ 以䞊 $5$ 以䞋の敎数に察しお定矩され$1$ 以䞊 $5$ 以䞋の敎数倀を取る関数 $f$ であっお以䞋の条件を満たすものはいく぀ありたすか - ある正の敎数 $k$ が存圚しお$f^{k}(1) = f^{k}(2) = \cdots = f^{k}(5)$ が成立する ただし$f^{1}(x) = f(x)$ ずし任意の正の敎数 $k$ に぀いお $f^{k+1}(x) = f(f^{k}(x))$ が成り立぀ものずしたす
OMC178
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C
OMC178(C)
300
139
217
[ { "content": "　以䞋合同匏の法は $2017$ ずする$x \\neq y$ のずき䞎匏は\r\n$$ x^{2017} + x^{2016}y + x^{2015}y^2 + \\cdots + xy^{2016} + y^{2017} = \\frac{x^{2018} - y^{2018}}{x - y} $$\r\nず倉圢できるここで $x-y$ は $2017$ で割り切れないのでFermat の小定理より\r\n$$ \\frac{x^{2018} - y^{2018}}{x - y} \\equiv \\frac{x^2 - y^2}{x - y} \\equiv x+y $$...
　$0$ 以䞊 $1000$ 以䞋の敎数の組 $(x,y)$ すべおに察しお $$ x^{2017} + x^{2016}y + x^{2015}y^2 + \cdots + xy^{2016} + y^{2017} $$ を玠数 $2017$ で割った䜙りの総和を求めおください\ 　「総和を $2017$ で割った䜙り」ではないこずに泚意しおください
OMC178
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D
OMC178(D)
400
78
128
[ { "content": "　$AM = MB = x$ ずするず方べきの定理より $AD^2 = AM × AB = 2x^2$ から $AN = NC = \\sqrt{2}x $ ずわかるここで$MN = y$ ずするず方べきの定理より $NC^2 = DC × BC$ から $DC = \\dfrac{x^2}{y}$ ず分かるたた$MN \\parallel BD$ から円に内接する四角圢 $BMND$ は等脚台圢であるので$DN = x$ ずもわかるこれより䞉角圢 $ADC$ に䞭線定理を甚いお\r\n$$AD = x \\sqrt{6-\\left( \\frac{x}{y} \\r...
　䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $AB, AC$ の䞭点をそれぞれ $M, N$ ずするず䞉角圢 $BMN$ の倖接円が点 $N$ で盎線 $AC$ に接したしたさらに䞉角圢 $BMN$ の倖接円ず蟺 $BC$ が $B$ でない点で亀わったのでその亀点を $D$ ずするず $$AD = \sqrt{154}, \quad DC = \sqrt{14} $$ が成立したしたこのずき四角圢 $BMND$ の面積の $2$ 乗を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $ \dfrac{a}{b} $ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC178
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E
OMC178(E)
400
20
72
[ { "content": "　ある正敎数 $m$ に぀いお$a_m = 1$ ならば任意の $ n \\geq m $ を満たす正敎数 $n$ に぀いお$a_n = 1$ ずなるこずからある $1 \\leq n \\leq 2023$ を満たす正敎数 $n$ に察しお $a_n = 1$ ずなるような $a_1$ であっおか぀ $a_1 \\gt 3$ を満たすようなものの個数を求めるずよい\\\r\n　ここで$a_n \\gt 0$ ならば垞に $a_{n+1} \\gt 0$ であるこずが確認できるから$a_1 \\gt 3$ の堎合を考えるず$a_n$ は垞に正ず考えおよいこずが分かるこのず...
　実数列 $\lbrace a_n \rbrace\_{n=1,2,\ldots}$ は以䞋をみたしおいたす $$ a_{n+1} = \begin{cases} 1 & ( a_n = 1)\\\\ \dfrac{4a_n}{(a_n-1)^2} & ( a_n \neq 1) \end{cases} $$ さらに $a_{2023} = 1$ であるずき$a_1$ ずしおありうる倀のうち $3$ より倧きいものの個数を玠数 $2017$ で割った䜙りを解答しおください
OMC178
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F
OMC178(F)
500
26
57
[ { "content": "　盎線 $BE$ 䞊に点 $F$ を$DE = EF$ か぀ $3$ 点 $B, E, F$ がこの順に䞊ぶように取るするず $\\angle CEF = \\angle CED = 108^\\circ$ より䞉角圢 $CEF$ ず䞉角圢 $CED$ は合同なので$\\angle ECF = \\angle ECD = 30^\\circ$ ずなるたた $\\angle CBF = \\angle CBE = 30^\\circ$ より䞉角圢 $ECF$ ず䞉角圢 $CBF$ が盞䌌なので$FE \\times FB = FC^2$ ずなるさらに $CD = CF$ ず $...
　䞉角圢 $ABC$ の蟺 $AB, AC$ 䞊に端点を陀くそれぞれ点 $D, E$ をずったずころ $$ \angle{BED} = 36^\circ, \quad \angle{BEC} = 72^\circ $$ $$ \angle{DCA} = 30^\circ, \quad \angle{DCB} = 48^\circ, \quad AE = 5 $$ が成立したしたこのずき線分 $BD$ の長さの $2$ 乗を求めおくださいただし答えは最倧公玄数が $1$ である正敎数 $a, b, c$ によっお $ \dfrac{a+\sqrt{b}}{c} $ ず衚されるので$ a + b + c $ の倀を...
OMC177 (for beginners)
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A
OMC177(A)
100
354
381
[ { "content": "　$AB=AC=AD$ であるから$B,C,D$ はいずれも $A$ を䞭心ずする半埄 $AB$ の円䞊にあるたた$\\angle{BAC}=60^{\\circ}$ であるから$D$ が盎線 $BC$ に関しおどちらの偎にあるかによっお $\\angle BDC$ は $30^\\circ$ たたは $150^\\circ$ ずなるこずが分かるよっお求める倀は $\\bf{4500}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/41...
　正䞉角圢 $ABC$ および $AB=AD$ なる点 $D$ があり$3$ 点 $B,C,D$ はすべお盞異なりたすこのずき $\angle BDC$ の倧きさずしおありうる倀を床数法ですべお求めその**総積**を解答しおください
OMC177 (for beginners)
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B
OMC177(B)
100
315
348
[ { "content": "　題意により $n^2-7n+12=(n-3)(n-4)$ が $1822$ の倍数であるから$n=\\textbf{1825}$ は条件をみたしこれが $1818$ に最も近いものであるこずも確認される.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/1822" } ]
　$n^2-7n+8$ を $1822$ で割った䜙りが $1818$ ずなるような正の敎数 $n$ のうち$1818$ に最も近いものを求めおくださいただしそのような $n$ はただ䞀぀に定たりたす
OMC177 (for beginners)
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C
OMC177(C)
200
333
357
[ { "content": "　$\\angle ABC=2x$ ずおく䞉角圢 $ABP$ が正䞉角圢であるこずから $\\angle BAC=60^{\\circ}$ である䞀方で䞉角圢 $ABQ$ ず䞉角圢 $QAC$ が二等蟺䞉角圢であるこずから$\\angle BAC$ は\r\n$$\\angle{BAQ}+\\angle{QAC}=(180^\\circ-4x)+x=180^{\\circ}-3x$$\r\nず衚されるから$x=40^{\\circ}$ がわかり解答すべき倀は $\\textbf{80}$ ずわかる", "text": "公匏解説", "url": "https...
　䞉角圢 $ABC$ においおそれぞれ蟺 $AC,BC$ 䞊端点を陀くにそれぞれ点 $P,Q$ があり以䞋の条件をみたしたした $$AB=AP=AQ=BP=CQ.$$ このずき$\angle ABC$ の倧きさを床数法で解答しおください
OMC177 (for beginners)
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D
OMC177(D)
300
118
243
[ { "content": "　$f(a,b,c,d)$ が最小倀をずるずき$4$ 点\r\n$$(-1995, -2229) ,\\quad (c, d),\\quad (a, b), \\quad (1881,2103) $$\r\nがこの順に䞀盎線䞊にあるすなわち$(a, b), (c, d)$ は線分\r\n $$17y=19x+12 \\qquad (-1995\\leq x \\leq 1881)$$\r\n 䞊の栌子点\r\n$$(x,y)=(11+17m, 13+19m) \\qquad (m=-118, -117, \\ldots, 109, 110)$$\r\nに属するこれらの栌子点から...
　実数 $x,y,z,w$ に察しお定矩される関数 $$\begin{aligned} f(x,y,z,w)&=\sqrt{(x-1881)^2+(y-2103)^2}\\\\ &+\sqrt{(z-x)^2+(w-y)^2}\\\\ &+\sqrt{(z+1995)^2+(w+2229)^2} \end{aligned}$$ のずりうる最小倀を $m$ ずしたすこのずき$f(a,b,c,d)=m$ ずなるような敎数の組 $(a,b,c,d)$ はいく぀ありたすか
OMC177 (for beginners)
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E
OMC177(E)
300
90
207
[ { "content": "　各操䜜ずそれに䌎う移動は以䞋の3぀のいずれかに分類できる\r\n\r\n1. 　1番目の操䜜を遞ぶこずにより, 初めお蚪れるマスに到達する\r\n2. 　2番目の操䜜を遞ぶこずにより, マス $x$ からマス $x-1$ に戻る\r\n3. 　いずれかの操䜜を遞ぶこずにより, マス $x$ から既に蚪れたこずのあるマス $x+1$ に移る\r\n\r\nこのうち1.は24回たたは25回行われ3.は 2.の盎埌のみに行われる\\\r\n　1.が24回行われる時2.および 3.は3回ず぀行われる䜕回目の 1.の埌に 2. および 3.を行うかたた 3.においおどちらの操䜜を行...
　巊右䞀列に $31$ 個のマスが䞊んでおり巊から順に $0,1,2,\dots,30$ ず番号が付いおいたすはじめマス $0$ にコマが䞀぀ありこのコマに察しお操䜜をちょうど $30$ 回行いたす$i$ 回目の操䜜$i=1,\ldots,30$では以䞋の $2$ 皮類の行動のうちちょうど䞀方を行えたす 1. 　珟圚コマのあるマスを $x$ ずするずきコマをマス $x+1$ に動かす. 2. 　$i-1$ 回目の操䜜の盎前にコマがあったマスを $y$ ずするずきコマをマス $y$ に動かす. ただし$1$ 回目に2番目の操䜜を遞ぶこずはできないずしたす\ 　操䜜の遞び方は党䜓で ...
OMC177 (for beginners)
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F
OMC177(F)
400
5
55
[ { "content": "　䞎匏より $xz = xw + yz$ であるから$g = \\gcd(x,z), x = ga, z = gb$ ずすれば$y,w$ はそれぞれ $a, b$ の倍数である埓っお$y = as, w = bt$ ずすれば $s, t$ は正の敎数であり $s + t = g$ を満たすよっおこれらを䞎匏に代入し\r\n$$ab(s^2 + st + t^2) = 10!\\tag{1}$$\r\nを埗る以䞋では今たでの $a,b,s,t$ の意味を忘れ(1)を䞍定方皋匏ずしお芋るこずにする(1)を満たす $\\gcd(a,b)=1$ なる $(a,b,s,t)$ ...
　以䞋の等匏をみたす正敎数の組 $(x, y, z, w)$ の総数を求めおください $$xz - yw = xw + yz - yw = 10!$$
OMC176
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A
OMC176(A)
100
331
345
[ { "content": "　$\\angle BAD=90^\\circ$ であるから$BD=\\sqrt{1^2+7^2}=5\\sqrt{2}$ である円呚角の定理より $\\angle CBD=\\angle CDB=45^\\circ$ であるから$BC=CD=5$ であるよっお四角圢 $ABCD$ の面積は\r\n$$\\frac{1}{2}\\times1\\times7 + \\frac{1}{2} \\times 5\\times 5 = \\bf{16}$$\r\nである. \r\n![figure 1](\\/images\\/U7zXY3TeEZovuLThwQBTHqWSkbW4pb...
　円に内接する四角圢 $ABCD$ が $$\angle BAC=\angle CAD=45^{\circ},\quad AB=1,\quad AD=7$$ をみたすずきその面積を求めおください
OMC176
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B
OMC176(B)
200
246
298
[ { "content": "　$x=4, 6, 8$ に぀いお $f(x)=x-1$ であるから$3$ 次倚項匏 $f(x)$ は実数 $a$ を甚いお\r\n$$f(x)=a(x-4)(x-6)(x-8)+x-1$$\r\nず衚される仮定より $f(1)=-105a=2$ であるから$a=-\\dfrac{2}{105}$ であるしたがっお求める答えは\r\n$$|f(18)|=\\bigg|-\\frac{2}{105}\\cdot 14\\cdot 12\\cdot 10+17\\bigg|=\\bf{15}$$\r\nである.", "text": "公匏解説", "url": "ht...
$$f(1)=2, \quad f(4)=3, \quad f(6)=5, \quad f(8)=7$$ なる実数係数 $3$ 次倚項匏 $f(x)$ に぀いお$\lvert f(18)\rvert $ の倀を求めおください.
OMC176
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C
OMC176(C)
300
243
259
[ { "content": "　$\\lfloor x \\rfloor =X,\\lfloor y \\rfloor =Y$ ずするず$x,y$ は無理数であるこずから $\\lceil x \\rceil =X+1,\\lceil y \\rceil =Y+1$ でありこれに留意すれば䞎匏は以䞋のように蚀い換えられる\r\n- $X^3+Y^3-3XY=251$\r\n- $(X+Y)^2+2(X+Y)+1=144$\r\n\r\n埌者より $X+Y=11$ が導けこれを前者に代入するこずにより $(X,Y)=(6,5),(5,6)$ がわかる前者のずき $(m,n)$ は存圚せず, 埌者のずき $(m,...
　正の敎数 $m,n$ を甚いお $x=\sqrt 2m, \\, y=\sqrt 5n$ ず衚せる実数 $x,y$ が - $\lfloor x \rfloor^3+\lfloor y \rfloor^3-3\lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor=251$ - $\lfloor x \rfloor \lceil x \rceil + \lfloor y \rfloor \lceil y \rceil + \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor + \lceil x \rceil \lceil y \rceil =144$ をみたすずき$\lfloor xy...
OMC176
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D
OMC176(D)
400
166
230
[ { "content": "　$n_{(2)}$ で $n$ を $2$ 進法衚蚘したものずするず操䜜は次のように曞き換えられる. \r\n- $n_{(2)}$ の䞀の䜍が $1$ ならばそれを $0$ にする\r\n- $n_{(2)}$ の䞀の䜍が $0$ ならばそれを消去する\r\n\r\nこのように考えるこずで以䞋のように衚せるこずがわかる\r\n$$f(n)=\\big(n_{(2)}の桁数\\big)+\\big(n_{(2)}に含たれる 1 の数\\big)-1$$\r\n　ここで$S_N=f(2^{N-1})+\\cdots+f(2^N-1)$ を考えるず桁数の寄䞎は぀ねに $N$ ず...
　正敎数 $n$ に察し以䞋の操䜜を $n$ が $0$ になるたで繰り返したす - $n$ が奇数ならば$n$ から $1$ を匕く - $n$ が偶数ならば$n$ を $2$ で割る 䟋えば $14$ は以䞋のように操䜜されたす $$14\rightarrow7\rightarrow6\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1\rightarrow0.$$ 　このずき$n$ が $0$ になるたでに必芁な操䜜の回数を $f(n)$ ずしたすたずえば $f(14)=6$ です $$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2^{24}-2)+f(2^{24} - ...
OMC176
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E
OMC176(E)
500
44
89
[ { "content": "　盀面に察しお**スコア**を以䞋で定矩するずこれは操䜜を行っおも䞀定である\r\n- マス $(m,n)$ に $2^{101-m-n}$ を曞き蟌む\r\n- 衚を䞊にしおコむンが眮かれおいるマスに曞き蟌たれた数の総和ず裏を䞊にしおコむンが眮かれおいるマスに曞き蟌たれた数の逆数の総和の和を**スコア**ずする\r\n\r\n条件のようにコむンを眮いたずきスコアは $396_{(10)} = 110,001,100_{(2)}$ であるから最初に $2^{2}, 2^{3}, 2^7, 2^8$ が曞き蟌たれたマスに $1$ ぀ず぀コむンを眮いたずきたたそのずきに限り最...
　$100\times100$ のマス目がありたす䞊から $m$ 行目巊から $n$ 行目のマスを $(m, n)$ ず衚したす最初いく぀かのマスに**衚を䞊にしお**コむンが $1$ 枚ず぀眮かれおいたすそれ以倖のマスには眮かれおいたせんここからOMC君は以䞋の操䜜の䞭から䞀぀を遞んで行うこずを繰り返したすただしどのマスに眮かれおいるコむンも぀ねに高々 $1$ 枚でなければならないものずしたすすなわちすでにコむンが眮かれおいるマスに察しお「新たにコむンを眮く」必芁が生じるような操䜜は行えたせん - $(m, n) ~ (1\leq m, n\leq 99)$ に衚を䞊にしおコむンが眮かれおいるずき...
OMC176
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F
OMC176(F)
500
21
69
[ { "content": "　$MX = 12x$ ず眮く. このずき, $BM = 18x$ である. たた, \r\n$$\\angle XHC=\\angle XBC=\\angle XDM,\\quad \\angle XCH=\\angle XBH=\\angle XMD$$ より䞉角圢 $XDM$ ず $XHC$ は盞䌌であり, よっお䞉角圢 $XDH$ ず $XMC$ も盞䌌である.さらに, 盎線 $BH$ ず䞉角圢 $ABC$ の倖接円の亀点の内 $B$ でない方を $Y$ ずするず,\r\n$$HY=2HD,\\quad CB=2CM$$\r\nであるから, 䞉角圢 $XBC$ ず $XYH$ は盞...
　䞉角圢 $ABC$ の垂心を $H$ ずしたす盎線 $BH$ ず蟺 $AC$ の亀点を $D$蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずし䞉角圢 $HBC$ の倖接円ず䞉角圢 $BDM$ の倖接円の亀点のうち $B$ でない方を $X$ ずしたすこのずき, 以䞋が成立したした $$BC=3XM,\quad HX=3,\quad CX=4.$$ このずき蟺 $BC$ の長さは正敎数 $a, b$$b$ は平方因子をもたないを甚いお $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ ず衚せるので$a+b$ を求めおください
OMC175 (for beginners)
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A
OMC175(A)
100
361
373
[ { "content": "　 $D$ の発蚀が真だずするず $A \\sim D$ のうち二人以䞊の発蚀が真であるこずになり条件に反するよっお $D$ の発蚀は停であり $A$ ず $B$ の発蚀もずもに停であるしたがっお $C$ の発蚀は真である結局求める倀は $7$ の倍数でなく $16$ の倍数であり $100$ 以䞊 $200$ 以䞋の最小の敎数すなわち $\\mathbf{128}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5091"...
　ある正の敎数 $x$ に぀いお $A,B,C,D$ の四人がそれぞれ以䞋のように発蚀しおいたすここで四人のうち発蚀が真であるのは䞀人だけであり残りの䞉人の発蚀は停であるこずがわかっおいたす - $A$$x$ は $7$ の倍数です - $B$$x$ は $16$ の倍数ではありたせん - $C$$x$ は $100$ 以䞊 $200$ 以䞋です - $D$$A$ ず $B$ の発蚀に぀いおちょうど䞀方のみが真です このずき $x$ ずしおありうる最小の倀を解答しおください
OMC175 (for beginners)
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B
OMC175(B)
100
320
348
[ { "content": "　$Z$ の衚面のうち $X$ の衚面である郚分の面積は$X$ の衚面から半埄 $2$䞭心角 $90^\\circ$ の扇型を $3$ 枚取り陀いた面積に等しく, \r\n\r\n$$3^{2} \\times 6-2^{2} \\times \\pi \\times \\frac{1}{4} \\times 3=54-3 \\pi $$\r\n\r\nであるたた$Y$ のうち $X$ の内偎にある郚分は $Y$ の䜓積の $\\frac{1}{8}$ であるから$Z$ の衚面のうち $Y$ の衚面である郚分の面積は\r\n\r\n$$4 \\times 2^{2} \\tim...
　䞀蟺の長さが $3$ である立方䜓 $X$ の頂点の䞀぀を $P$ ずし$P$ を䞭心ずする半埄 $2$ の球を $Y$ ずしたす$X$ ず $Y$ の少なくずも䞀方の内郚たたは衚面からなる立䜓を $Z$ ずするずき$Z$ の衚面積は敎数 $p,q$ を甚いお$p+q \pi $ ず衚されたす$p+q$ を解答しおください
OMC175 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/tasks/5095
C
OMC175(C)
200
286
325
[ { "content": "　求める倀は以䞋の匏を蚈算するこずで埗られるこずが展開した圢を考えるこずでわかる\r\n$$(1^{2}+2^{2}+\\cdots+9^{2}) (0^2+1^{2}+\\cdots+9^{2}) (0^2+1^{2}+\\cdots+9^{2}) $$\r\nこれを実際に蚈算するず $\\mathbf{23149125}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5095" } ]
　$3$ 桁の正の敎数は党郚で $900$ 個ありたす\ 　それぞれに぀いお「各桁の積の $2$ 乗」の総和を求めおください
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D
OMC175(D)
200
226
312
[ { "content": "　 $x+y+z$ が $3$ で割っお $1$ 䜙り $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ が $3$ の倍数になるずき$x,y,z$ をそれぞれ $3$ で割ったずきの䜙りの組み合わせずしおありうるのは以䞋の $3$ 通りである\r\n\r\n$$(2,1,1), \\quad (1,2,1), \\quad (1,1,2)$$\r\n\r\n察称性より$(2,1,1)$ の堎合を求め \r\n$3$ 倍すればよいこのずき$0$ 以䞊の敎数 $a,b,c$ を甚いお\r\n\r\n$$x=3a+2, \\quad y=3b+1, \\quad z=3c+1$$\r\n\...
　 $x+y+z=1000$ をみたす正の敎数の組 $(x,y,z)$ であっお $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ が $3$ の倍数ずなるものはいく぀ありたすか
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E
OMC175(E)
400
23
73
[ { "content": "　 $ \\angle BAC=120^\\circ$ であるこずから次を埗る\r\n\r\n$$ \\angle BIC=150^\\circ , \\quad \\angle BOC=120^\\circ$$\r\n\r\n　ここで盎線 $OC$ に関しお $B$ ず反察偎に点 $D$ を䞉角圢 $BOI$ ず䞉角圢 $COD$ が合同ずなるようにずるこのずき$ \\angle DCI=90^\\circ, \\angle IOD=120^\\circ$ であるから\r\n\r\n$$IB^{2}+IC^{2}=CD^{2}+IC^{2}=DI^{2}= \\bigl (...
　 $ \angle BAC=120^\circ$ をみたす䞉角圢 $ABC$ がありその内心を $I$倖心を $O$ ずするず以䞋が成り立ちたした $$OI=20, \quad IB=29.$$ 　このずき蟺 $BC$ の長さの $2$ 乗は平方因子を持たない正敎数 $r$ および 正敎数 $p,q$ を甚いお $p+q \sqrt{r} $ ず衚されたす$p+q+r$ を解答しおください
OMC175 (for beginners)
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F
OMC175(F)
400
30
123
[ { "content": "　 $1$ ぀目の条件から $f(x)$ は以䞋のようにかける$c=f(0)$ は敎数である\r\n\r\n$$f(x)=ax^{2}+bx+c \\quad (a \\gt 0)$$\r\n\r\n　いた$f(x)$ が䞋に凞であるこずから$0 \\leq x \\leq 1$ の範囲での最倧倀は $x=0$ たたは $x=1$ でずるここで $x=0$ で最倧倀をずるずき$-1 \\leq x \\leq 0$ の範囲での最小倀も $x=0$ でずらねばならないがこれは矛盟であるしたがっお$3$ ぀目の条件は $f(1)=200$ ず蚀い換えられる\\\r\n　以...
　実数係数 $2$ 次倚項匏 $f(x)$ であっお以䞋の条件をすべおみたすものはいく぀ありたすか - $2$ 次の係数は正である - $-1 \leq x \leq 0$ の範囲での最小倀は $100$ である - $0 \leq x \leq 1$ の範囲での最倧倀は $200$ である - $f(-1),f(0),f(1)$ はいずれも $300$ 以䞋の敎数倀である
OMC174 (for experts)
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A
OMC174(A)
400
133
158
[ { "content": "　$x, y, z, w$ の敎数郚分をそれぞれ $A, B, C, D$ ずおき小数郚分をそれぞれ $a, b, c, d$ ずおく\r\nただし実数 $t$ に察し $t$ の**敎数郚分**ずは $\\lfloor t\\rfloor$**小数郚分**ずは $t-\\lfloor t\\rfloor$ のこずずする\\\r\n　$x=A+a$ などに泚意しお $1$ 番目の匏を敎理するず\r\n$$A^2 + B^2 = a^2 + 52.19$$\r\n\r\nが埗られるこの匏の巊蟺が敎数でありか぀ $0 \\leq a \\lt 1$ であるこずから\r\n$$A^...
　実数 $x, y, z, w$ が以䞋の $3$ ぀の等匏を満たすずき和 $x + y + z + w$ がずりうる敎数倀の䞭で $1, 2, 3, 4, 5$ 番目に倧きいものの**総積**を解答しおください $$ \left\\{ \begin{array}{l} 2 \lfloor x \rfloor x + \lfloor y \rfloor ^2 = x^2 + 52.19\\\\ 2 \lfloor y \rfloor y + \lfloor z \rfloor ^2 = y^2 + 84.51\\\\ 2 \lfloor z \rfloor z + \lfloor w \rfloor ^2 = z...
OMC174 (for experts)
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B
OMC174(B)
400
34
64
[ { "content": "　$\\mathcal{P}$ の軞が $y$ 軞ず平行であるような盎亀座暙を考えるずたずえば $A$ の $x$ 座暙は $S$ ず $U$ の $x$ 座暙の平均ずなるこずが知られおいる\\\r\n　今回の蚭定でこの事実からの垰結をたずめるこずで以䞋の成立が分かる\r\n$$ SB:BA=BT:TC=AC:CU=3:2. $$\r\nここで線分 $SU$ 䞊に $SX:XU=3:2$ なる点 $X$ をずるず四角圢 $ABXC$ は長方圢であるから$X$ は $ABC$ の倖接円䞊にありこれにより $A$ から $SU$ におろした垂線の足 $H$ も同じ円䞊にある蟺...
　攟物線 $\mathcal{P}$ 䞊に $3$ 点 $S,T,U$ をこの順に䞊ぶようにずり各点における $\mathcal{P}$ の接線を $l_S,l_T,l_U$ ずしたす$l_S$ ず $l_U$ の亀点を $A$ ずし$l_S$ ず $l_T$ の亀点を $B$ ずし$l_T$ ず $l_U$ の亀点を $C$ ずするず以䞋が成り立ちたした $$\angle BAC=90^\circ,\quad AB:AC=4:7,\quad BT:TC=3:2.$$ さらに䞉角圢 $ABC$ の倖接円は線分 $SU$ ず $2$ 点で亀わりたしたそれらの亀点を $S$ に近い方から $K,L$ ずしたずき$S...
OMC174 (for experts)
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C
OMC174(C)
500
34
89
[ { "content": "　$1, 2, \\ldots, 100$ の番号の぀いた頂点を甚意し番号の和が $101, 103, 105$ のいずれかである頂点の間に蟺を匵るこずで無向グラフ $G$ を構成するず$G$ は図1のようになるただし図1においお\r\n$$a_{2n-1}=4n-3,\\quad a_{2n}=104-4n,\\quad b_{2n-1}=4n-1,\\quad b_{2n}=102-4n\\quad (n=1, 2, \\ldots, 25)$$\r\nであるスコアが $7$ ずなるような $7$ 枚のカヌドの遞び方は頂点の個数が $7$蟺の本数が $7$ である $...
　$1, 2, \ldots, 100$ の番号のうちちょうど䞀぀が曞かれたカヌドがそれぞれ $1$ 枚ず぀蚈 $100$ 枚ありたすこの䞭から $7$ 枚のカヌドを同時に遞ぶずき遞んだカヌドのうち曞かれた番号の和が $101, 103, 105$ のいずれかずなるような $2$ 枚のペアの個数を**スコア**ず呌びたすスコアが $7$ ずなるようなカヌド $7$ 枚の遞び方は䜕通りありたすか
OMC174 (for experts)
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D
OMC174(D)
500
34
50
[ { "content": "　$y_n = x_{n+1} - x_n$ ずするず䞎えられた等匏は\r\n$$y_n^2 - 2c_{n+1} y_n + 2c_{n+1}c_n = 0$$\r\nず倉圢するこずができるこれを $y_n$ に぀いおの $2$ 次方皋匏ずみなしたずきの刀別匏の $4$ 分の $1$を\r\n$$D_n = c_{n+1} (c_{n+1} - 2c_n)$$\r\nずおくず条件より $D_1, D_2, ..., D_8$ のうち $1$ ぀のみが正で残りは $0$ でなければならない先ほどの $2$ 次方皋匏を実際に解くず$D_n \\gt 0$ ならば\r\n$$...
　$9$ ぀の**æ•Žæ•°**からなる列 $C = (c_1, c_2, \ldots, c_9)$ が䞎えられおおり$c_1, c_2, \ldots, c_9$ はいずれも $0$ でないずしたすするず以䞋をみたすような $9$ ぀の実数からなる列 $X = (x_1, x_2, \ldots, x_9)$ がちょうど $2$ ぀存圚したした - $x_1 = c_1$ をみたしなおか぀各 $n=1, 2, \ldots, 8$ に぀いお $$x_{n+1}^2 + x_n^2 = 2(x_{n+1}x_n + c_{n+1}x_{n+1} - c_{n+1}x_n - c_{n+1}c_n)$$ が成り立぀...
OMC174 (for experts)
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E
OMC174(E)
600
12
23
[ { "content": "　䞀般に $\\mathcal P$ を凞 $2n$ 角圢ずしお考える盞異なる $2$ 頂点を結ぶ線分の**長さ**を$2$ 点の間にある蟺の本数のうち倧きくない方ず定矩する\\\r\n　着色された線分の長さが奇数ならば必ず偶数本の着色された線分ず亀わり長さが偶数ならば必ず奇数本の着色された線分ず亀わるよっおこの問題では長さが偶数の着色された線分同士の亀点の個数の盞加平均を求めればよい\\\r\n　着色する $n$ 本の遞び方すべおに぀いお長さが偶数の着色された線分同士の亀点の個数の総和を $S_n$ ずおく着色の有無によらない長さが偶数の線分同士のある...
　凞 $200$ 角圢 $\mathcal P$ がありどの $3$ 本の察角線も頂点以倖の $1$ 点で亀わりたせん$\mathcal P$ の蟺たたは察角線にあたる線分のうち盞異なる $100$ 本をどの $2$ 本も端点を共有しないように遞び䞀床に赀色で塗りたすさらに赀い線分のうちちょうど奇数本の赀い線分ず亀わるものをすべお䞀床に青色で塗り替えたすこのずきはじめに赀色に塗る $100$ 本の線分の遞び方すべおに぀いお青い線分同士の亀点の個数の盞加平均を求めおください\ 　ただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しお...
OMC174 (for experts)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/tasks/6020
F
OMC174(F)
800
0
16
[ { "content": "　䞀぀目の条件から $f(x)$ は $x$ を $47$ で割った䜙りのみに䟝存する以䞋合同匏で $\\mathop{\\mathrm{mod}} 47$ を省略する\\\r\n　二぀目の条件を曞き䞋すず以䞋のようになる\r\n$$f(f(x)f(y)-1)f(z)\\equiv f(x)f(f(y)f(z)-1).$$\r\n$S=\\\\{f(x) \\mid x\\in\\mathbb Z\\\\}$ ずおけばこれは任意の $x,y,z\\in S$ に察しお\r\n$$ f(xy-1)z\\equiv xf(yz-1) \\tag{\\*}$$\r\nが成立するこずず...
　関数 $f\colon\mathbb{Z}\to\\{0,1,2,\ldots,46\\}$ であっお次の条件をすべおみたすものの個数を$46\times47\times 48$ で割った䜙りを求めおください. - 任意の敎数 $x$ に察しお $f(x+47)=f(x)$ - $F(x,y)=f(x)f(y)-1$ ずするず任意の敎数 $x,y,z$ に察しお $$F(F(x,y),z)\equiv F(x,F(y,z))\pmod{47}.$$ - 䞊ず同じ $F$ に぀いお$f(F(x,y))\neq0$ なる敎数 $x,y$ が存圚する ただし$\mathbb{Z}$ は敎数党䜓からなる集合...
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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A
浜束2023決勝 問1
100
0
0
[ { "content": "**解法1.**　$\\angle{PDC}=\\angle{ABC}=\\angle{PEC}$ により$C,P,D,E$ は同䞀円呚䞊にあるよっお$\\angle{CDE}=\\angle{EPC}$$\\angle{DBE}=\\angle{PAC}$ により䞉角圢 $PAC$ は二等蟺䞉角圢 $DBE$ ず盞䌌であり結論が埓う\r\n\r\n**解法2.**　䞉角圢 $ABC$ の倖心を $O$ ずし䞉角圢 $ABC$ の倖接円が単䜍円に盎線 $OD$ が実軞に盞圓する耇玠座暙を蚭定する点 $A$ の座暙を $a$ などず衚すこのずき$e=\\overlin...
　$AB\gt AC, ~ AB\gt BC$ なる䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $BC$ 䞊端点を陀くに点 $D$ があるたた䞉角圢 $ABC$ の倖接円においお$A$ を含たない方の匧 $BC$ 䞊端点を陀くに点 $E$ があり$BD=DE$ をみたしおいる$D$ を通り盎線 $AB$ に平行な盎線が線分 $AE$端点を陀くず点 $P$ で亀わるずき$AP = CP$ が成り立぀こずを瀺せ
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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B
浜束2023決勝 問2
100
0
0
[ { "content": "　正敎数 $n$ が $2$ で割り切れる最倧の回数を $v_2(n)$ で衚す\r\n\r\n**解法1.**　$a,b$ の偶奇によらず巊蟺は偶数であるから$p=2$ が必芁であるこのずき$a^3+ab^2+2b, ~ a^2b+b^3+2a$ はずもに $1$ より倧きいから偶数であり$a$ ず $b$ の偶奇は䞀臎するずわかる$a$ ず $b$ がずもに偶数であるずき$v_2(a)\\leq v_2(b)$ であるならば $v_2(a^2b+b^3+2a)=v_2(2a)$ ずなり$a^2+b^3+2a$ は $2$ べきになりえない$v_2(a)\\geq v_...
　正の敎数 $a,b,n$ ず玠数 $p$ の組 $(a,b,n,p)$ であっお $$(a^3+ab^2+2b)(a^2b+b^3+2a) = p^n$$ をみたすものをすべお求めよ
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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C
浜束2023決勝 問3
100
0
0
[ { "content": "**解法1.**　ここでは $\\mathcal{P}$ の**察角線**ずいったずき $\\mathcal{P}$ の蟺も含むものずし珟れる点はすべお $\\mathcal{P}$ の頂点であるずする\\\r\n　$\\mathcal{P}$ の察角線 $AB$ に察しお$f(AB)$ を\r\n$$ f(AB)=\r\n\\begin{cases}\r\n1 & (A\\\\,\\text{ず}\\\\,B\\\\,\\text{の色が異なるずき}) \\\\\\\\\r\n0 & (\\textrm{otherwise})\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nで定...
　正 $2023$ 角圢 $\mathcal{P}$ がありそれぞれの頂点が赀色たたは青色で塗られおいるここで$\mathcal{P}$ の盞異なる $3$ 頂点がなす䞉角圢が**良い䞉角圢**であるずはうたく $3$ 頂点に $A,B,C$ ず名前を付けるこずで以䞋の条件が成り立぀ようにできるこずをさす - 蟺 $AB$ ず蟺 $AC$ の長さは等しい - $B$ ず $C$ は同じ色で塗られおおり$A$ はそれずは違う色で塗られおいる このずき良い䞉角圢の個数ずしおありうる最倧の倀を求めよ
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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D
浜束2023決勝 問4
100
0
0
[ { "content": "　$S_k = \\alpha^k + \\beta^k + \\overline{\\alpha}^k + \\overline{\\beta}^k$ ずおくこれは実数であり$\\operatorname{Re}(\\alpha^k+\\beta^k)\\lt 0$ は $S_k\\lt 0$ ず同倀である\\\r\n　たず$(\\alpha, \\beta) = (e^{\\frac{2\\pi i}{5}}, e^{\\frac{4\\pi i}{5}})$ のずき $S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = -1$ が成り立぀\\\r\n　以䞋$S_1,S_2,\...
　以䞋の条件をみたす耇玠数 $\alpha,\beta$ が存圚するような最倧の正の敎数 $n$ を求めよ - 任意の $1$ 以䞊 $n$ 以䞋の敎数 $k$ に぀いお$\alpha^k+\beta^k$ の実郚が負ずなる
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023f/tasks/9372
E
浜束2023決勝 問5
100
0
0
[ { "content": "**解法1.**　たず各蟺の長さが $1$ の正䞉角圢の各頂点ずその䞭心を考え正䞉角圢の各頂点に $1$ を䞭心に $2\\/\\sqrt{3}$ を割りあおたものは $n=4$ での構成を䞎える以䞋$n\\geq 5$での構成が存圚するず仮定しお矛盟を導く\\\r\n　たず$n$ 点が同䞀盎線䞊にあるずする$P_1,P_2,\\ldots,P_n$ の順に䞊んでいるずしおよいこのずき\r\n$$a_1(a_3-a_2)=a_2a_3=a_4(a_2-a_3)$$\r\nだが䞡蟺はずもに正になりえないので䞍合理である\\\r\n　これにより$P_1,P_2,\\l...
　平面䞊に盞異なる $n$ 個の点 $P_1,P_2,\ldots,P_n$ があり以䞋の条件をみたしおいる - 盞異なるずは限らない$n$ 個の正の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ が存圚しお任意の $1\leq i\lt j\leq n$ なる敎数 $i,j$ に察しお$P_i$ ず $P_j$ の距離は $a_ia_j$ である このずき正の敎数 $n$ ずしおありうる最倧の倀を求めよ
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 決勝
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https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023f/tasks/9373
F
浜束2023決勝 問6
100
0
0
[ { "content": "**解法1.**　たず任意の正の敎数 $n$ に察しお第1匏から\r\n$$ f(x)=\\frac{x}{2}+f\\Bigl(\\frac{x}{2}\\Bigr)=\\frac{x}{2}+\\frac{x}{4}+\\Bigl(\\frac{x}{4}\\Bigr) =\\cdots=x\\Bigl(1-\\frac{1}{2^n}\\Bigr)+f\\Bigr(\\frac{x}{2^n}\\Bigr) $$\r\nが成り立぀ここで $n$ を十分倧きくすれば任意の正の実数 $x$ に察しお $f(x)\\geq x$ が埗られる\\\r\n　さお任意の正の実数 $a...
　正の実数に察しお定矩され正の実数倀をずる関数 $f$ であっお任意の正の実数 $x,y$ に察しお $$ f(2x)=f(x)+x, \quad f(x+y)^2 \leq f(x^2+y^2)+2xy+2023 $$ をずもにみたすものをすべお求めよ