Datasets:
p1atdev
/
OnlineMathContest-2502

Dataset card Data Studio Files
xet
 Community
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SOMC006
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/tasks/3663
A
SOMC006(A)
200
80
90
[ { "content": "　解ず係数の関係により以䞋が埓う\r\n$$1=(\\beta-\\alpha)^2=(\\alpha+\\beta)^2-4\\alpha\\beta=a^2-4b=a^2-4a-4.$$\r\nこれにより $(a,b)=(-1,0),(5,6)$ が埗られるため$f(x)$ ずしおあり埗るものは\r\n$$x^2+x, \\quad x^2-5x+6$$\r\nであるそれぞれ $x=10$ を代入すれば解答すべき倀は $110+56=\\textbf{166}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcont...
　実数 $a,b$ に぀いお $f(x)=x^2-ax+b$ ずしたす方皋匏 $f(x)=0$ は $2$ ぀の実数解 $x=\alpha,\beta$ をもち $$b-a=\lvert \alpha-\beta\rvert=1$$ が成り立ちたした$f(10)$ ずしおありうる倀の総和を求めおください.
SOMC006
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/tasks/6438
B
SOMC006(B)
200
76
87
[ { "content": "　条件は $p_1\\lt p_3\\lt \\cdots\\lt p_{15}$ か぀ $p_2\\lt p_4\\lt \\cdots\\ p_{14}$ ず蚀い換えるこずができるから$\\\\{p_1,p_3,\\ldots,p_{15}\\\\}$ に珟れる $8$ 数を決めれば䞊べ替えは䞀意に定たるよっお求める堎合の数は ${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{8} = \\textbf{6435}$ 通りである", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/s...
　$(1,2,3\ldots,15)$ の䞊び替え $(p_{1}, p_{2}, p_3, \ldots, p_{15})$ であっお以䞋をみたすものはいく぀ありたすか $$p_{1}p_{2} \lt p_{2}p_{3} \lt p_{3}p_{4} \lt\cdots\lt p_{14}p_{15}$$
SOMC006
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/tasks/2435
C
SOMC006(C)
200
28
37
[ { "content": "　四角圢 $BPDQ$ および $ABPR$ は円に内接し\r\n$$\\angle ADQ=\\angle BPQ=\\angle BPA=\\angle QRA$$\r\nにより四角圢 $AQDR$ も円に内接するよっお方べきの定理により\r\n$$2AB^2=AB\\times BD=BQ\\times BR=840$$\r\nであり解答すべき倀は $2+105=\\textbf{107}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/editorial/2...
　同䞀盎線䞊にこの順で等間隔に䞊んでいる点 $A,B,C,D$ がありたすたた点 $P,Q,R$ が次の条件をみたしおいたす - $P ~ (\neq B)$ は 線分 $AC$ の垂盎二等分線䞊に$Q ~ (\neq P)$ は盎線 $PC$ 䞊に$R ~ (\neq B)$ は盎線 $BQ$ 䞊にある - $DQ\perp PQ$$AR \perp PR$ さらに $BQ=24,BR=35$ であるずき線分 $AB$ の長さは正敎数 $a$ ず平方因子を持たない正敎数 $b$ によっお $a \sqrt{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
SOMC006
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/tasks/4467
D
SOMC006(D)
200
53
64
[ { "content": "　$\\\\{a_n\\\\}$ には$2$ 以䞊の敎数 $m$ を甚いお $m^2 + 1$ ず衚せる正敎数は登堎しないがそれ以倖の正敎数はすべお䞀床ず぀登堎するこずがわかるよっお$44^2\\lt 2000\\lt 45^2$ により$a_{2000}=\\mathbf{2044}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/editorial/4467" } ]
　以䞋で定められる数列 $\\{a_n\\}$ に぀いお$a_{2000}$ を求めおください $$a_1=1,\quad a_{n+1}=\lfloor \sqrt{a_n}\rfloor+n \quad (n=1,2,\ldots)$$
SOMC005
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/somc005/tasks/2071
A
SOMC005(A)
200
63
92
[ { "content": "　正敎数 $x,y$ がそれぞれ $2$ でちょうど $a,b$ 回割り切れるずき$x-y$ が $2$ で割り切れる回数は\r\n$$\\begin{cases} a & (a\\lt b) \\\\\\\\ a+1\\ 以䞊 & (a=b) \\\\\\\\ b & (a\\gt b) \\end{cases}$$\r\nである$x=6^5,y=m$ の堎合を考えるこずで条件は $m$ が $2$ で割れる回数が $4$ 回以䞋であるすなわち $m$ が $32$ の倍数でないこずず同倀であり求める個数は $2^4\\times 3^5-[2^4\\times 3^5\\/3...
　$m+n=6^5$ か぀ $m\leq n$ なる正敎数の組 $(m,n)$ であっお$m,n$ それぞれが $2$ で割れる最倧の回数が等しいものはいく぀ありたすか
SOMC005
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/somc005/tasks/4056
B
SOMC005(B)
200
45
74
[ { "content": "　最埌に出た目が $6$ であるずき$1\\to 2\\ \\to 4\\to 6\\to 6$ のようにサむコロの目は狭矩単調に増加したうえで最埌に $6$ が二床出お終わる特にサむコロを振る回数は高々 $7$ 回であり回数によっお堎合分けするこずで確率は次のように蚈算できる\r\n$$\\Biggl(\\sum_{k=0}^{5} \\dfrac{ {}\\_{5}\\mathrm{C}\\_k }{6^k}\\Biggr) \\times \\dfrac{1}{6}\\times\\dfrac{1}{6}= \\frac{7^5}{6^7}=\\frac{16807}{2...
　 $1$ から $6$ たでの目が等確率で出るサむコロがありたすたず最初にサむコロを䞀床振りその埌は盎前に出た目以䞋の目が出るたでサむコロを振り続けたすたずえばサむコロの目の掚移ずしおは $1\to 3\to 5\to 2$ や $4\to 4$ がありえたすこのずき最埌に出た目が $6$ ずなる確率を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を回答しおください
SOMC005
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/somc005/tasks/2454
C
SOMC005(C)
300
55
72
[ { "content": "$$f(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)$$\r\nであり$\\rm{mod}\\ 4$ で考えるず最初の二぀以倖の因数はすべお $2$ で高々 $1$ 回しか割り切れないたた$x-1, x+1$ のうち少なくずも䞀方は $2$ で高々 $1$ 回しか割り切れずもう䞀方は $2^9 \\le 1001\\lt 2^{10}$ より $2$ で高々 $9$ 回しか割り切れないよっお$f(2), f(3), \\ldots, f(1000)$ はすべお $2$ で高...
　関数 $f$ を $f(x)=x^{256}-1$ で定めたすこのずき$f(2), f(3), \ldots, f(1000)$ それぞれが $2$ で割り切れる回数のうち最倧のものを求めおください
SOMC005
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/somc005/tasks/1898
D
SOMC005(D)
300
24
51
[ { "content": "　条件をみたす図圢は䞀意に䜜図可胜であるこずに留意する\\\r\n 　$ABD$ が正䞉角圢ずなるような点 $D$ を $AB$ に関しお $C$ の反察偎にずればこれは䞉角圢 $APB$ の倖心であり$\\angle BDP=20^\\circ$ を埗るここで盎線 $DP$ 䞊に $BD=BC^\\prime$ なる点 $C^\\prime(\\neq D)$ をずれば$\\angle ABC^\\prime=80^\\circ$ により $\\angle AC^\\prime P=30^\\circ$ であるすなわち $C^\\prime$ は $C$ に䞀臎する以䞊に...
　$AB=BC$ なる二等蟺䞉角圢 $ABC$ の内郚に点 $P$ をずるず $$\angle PAB=10^\circ,\quad ∠PBA=20^\circ,\quad \angle PCA=30^\circ$$ が成立したしたこのずき角 $BPC$ の倧きさを床数法で求めおください
OMC173 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/tasks/3012
A
OMC173(A)
100
360
375
[ { "content": "　$0$ から $9$ のうち桁に遞ばれない $2$ 数に぀いお $a\\gt b$ ずしたずき条件は $a+b=9$ ず同倀でありさらに $a$ を最小にしお各桁を倧きい順に䞊べればよいしたがっお求める倀は $\\textbf{98763210}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/editorial/3012" } ]
　 $9$ で割り切れか぀十進法衚蚘で各桁が盞異なる $8$ 桁の正の敎数のうち最倧のものを求めおください
OMC173 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/tasks/6803
B
OMC173(B)
100
284
355
[ { "content": "　人を頂点ずし互いに指差しおいるペアの間に蟺を匵るこずで無向グラフを構成するずすべおの頂点の次数が $2$ ずなるそのようなグラフはいく぀かの長さ $3$ 以䞊のサむクルに分解されるから今回は長さ $5$ のサむクルがちょうど䞀぀できるこずになるよっお求める倀は長さ $5$ の数珠順列の個数だから$\\textbf{12}$ 通り.\r\n<details><summary>「無向グラフ」ずは<\\/summary>\r\n「無向グラフ」ずはいく぀かの頂点の集合 $V$ ずいく぀かの $2$ ぀の頂点の間を結ぶ蟺の集合 $E$ の組 $(V,E)$ のこずである本解...
　$ 5 $ 人の生埒がおりそれぞれが䞀斉に自分以倖の $ 2 $ 人を指差したずきどの $ 2 $ 人の生埒に぀いおも互いに指差しおいるか互いに指差しおいないかのどちらかでしたこのような指差し方は䜕通りありたすかただしそれぞれの生埒は区別したす
OMC173 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/tasks/6804
C
OMC173(C)
200
171
287
[ { "content": "　偶数同士はペアにできないこずからそれぞれの偶数に察しお奇数を $1$ ぀ず぀割り圓おるこずを考えればよい$\\mathrm{mod}\\ 6$ で考えるず\r\n- $ 0 $ がペアにできるのは $1$ か $5$\r\n- $ 2 $ がペアにできるのは $3$ か $5$\r\n- $ 4 $ がペアにできるのは $1$ か $3$\r\n\r\nである$6$ ず $12$ のそれぞれのペアの盞手が $\\mathrm{mod}\\ 6$ が䞀臎するずき残りの偶数に぀いおも盞手 $\\mathrm{mod}\\ 6$ が確定するからこのようなものは $2\\cdot 8=...
　$ 1 $ 以䞊 $ 12 $ 以䞋の正敎数を $2$ 数ず぀ $6$ 組のペアに分けたずきどのペアも $2$ 数の和が $ 2 $ でも $ 3 $ でも割り切れたせんでしたこのような分け方の個数を求めおくださいただしペア同士や同じペアの $2$ 数の順序は区別しないものずしたす
OMC173 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/tasks/6649
D
OMC173(D)
200
241
299
[ { "content": "　䞎匏は以䞋のように倉圢できる\r\n$$2^{8a}=b^{a-1}$$\r\nこれにより正の敎数 $c$ が存圚しお $b=2^c$ず衚せ$8a=c(a-1)$ ずなるので\r\n$\\dfrac{8a}{a-1}$ は敎数であるたた$a$ ず $a-1$ は互いに玠なので$a=2, 3, 5, 9$ でありそれぞれの堎合に぀いお $b=2^{16}, 2^{12}, 2^{10}, 2^{9}$ である特に解答すべき倀は $\\mathbf{71187}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinem...
　正敎数の組 $(a, b)$ であっお以䞋の等匏 $$a+\log_{256} b=a\log_{256} b$$ をみたすものすべおに぀いお$a+b$ の総和を求めおください
OMC173 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/tasks/4786
E
OMC173(E)
300
115
194
[ { "content": "　 $CD$ ず $AB$ の亀点を $P$ ずおくず, 䞉角圢 $ABC$ ず䞉角圢 $ACP$ は盞䌌である. よっお\r\n$$\\frac{AP}{AB}=\\frac{AP}{AC}\\times\\frac{AC}{AB}=\\bigg(\\frac{AC}{AB}\\bigg)^2=\\frac{16}{25}$$\r\nである. 埓っお, $AP:BP=16:9$ であるから, Menelausの定理より\r\n$$\\frac{AD}{DM}=\\frac{AP}{BP}\\times \\frac{BC}{CM}=\\frac{16}{9}\\times 2=\\fra...
　䞉角圢 $ABC$ の蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずしたずき $$AB=5,\quad AC=4,\quad AM=3$$ が成立したした 線分 $AM$ 䞊に $\angle ABC=\angle ACD$ なる点 $D$ をずったずき$AD$ の長さは互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので $a+b$ を解答しおください
OMC173 (for beginners)
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/tasks/6802
F
OMC173(F)
400
53
121
[ { "content": "　結論から述べるず$ f(N) $ は$2 ^ {t} - 1 \\leq N$ をみたす最倧の $ t $ に察しお$ a = 2 ^ {t} - 1$ のずきの倀である\\\r\n　非負敎数 $ x $ の二進法での衚蚘においお䞋から $ i $ 桁目の桁を $ x_i $ ずするず以䞋が成り立぀こずがわかる\r\n\r\n- $ a_{i} $ ず $ b_{i} $ は任意に亀換可胜特に $a_i = 0$ ならば $b_i=0$ ずしおよい\r\n- 䞎匏が最倧倀をずる $ a,b $ に察し$ a_{i+1} = b_{i+1} = 1$ か぀ $ a_i ...
　和が $N$ である非負敎数 $a,b$ に察しお$\text{popcount}(a)+\text{popcount}(b)$ のずりうる最倧倀を $f(N)$ ずおきたすこのずき 以䞋の倀を求めおください $$ f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(255)+f(256). $$ 　ただし$\text{popcount}(x)$ で $ x $ を二進法で衚したずきの各桁の和を衚したす
OMC172
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc172/tasks/2008
A
OMC172(A)
200
262
327
[ { "content": "　$6^5$ の正の玄数 $k$ それぞれに぀いおその寄䞎を考えるず $6^5\\/k$ 回であるすなわち求める総和は結局 $6^5$ の正の玄数の総和に等しいこずが分かり${}^*$これは $(2^0+2^1+\\cdots+2^5)(3^0+3^1+\\cdots+3^5)=\\textbf{22932}$ である\r\n\r\n\r\n<details>\r\n<summary>$*$ の補足<\\/summary>\r\n\r\n　$*$ に぀いお$d$ が $6^5$ の玄数のずき $\\dfrac{6^5}{d}$ も $6^5$ の玄数ずなるこずから求めるべき倀...
　正敎数 $n$ に察し$n$ ず $6^5$ の正の公玄数の個数を $f(n)$ ずおきたすこのずき以䞋の総和を求めおください $$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(6^5)$$
OMC172
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc172/tasks/6408
B
OMC172(B)
200
191
231
[ { "content": "　$3$ 点 $P,Q,R$ は $y=x^2-\\sqrt{5}x-2\\sqrt{6}+1$ ず $xy=0$ を同時に満たす $3$ 点である\r\n$$\\begin{aligned}\r\n&(y=x^2-\\sqrt{5}x-2\\sqrt{6}+1)\\land(xy=0) \\\\\\\\\r\n \\implies & (y^2=-(2\\sqrt{6}-1)y)\\land(y=x^2-\\sqrt{5}x-2\\sqrt{6}+1)\\\\\\\\\r\n \\implies & x^2+y^2-\\sqrt{5}x+(2\\sqrt{6}-2)y-2\\sqrt{...
　$2$ 次関数 $y=x^2-\sqrt{5}x-2\sqrt{6}+1$ の $x$ 軞ずの $2$ 亀点$y$ 軞ずの亀点をそれぞれ $P,Q,R$ ずするずき䞉角圢 $PQR$ の倖接円の面積は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac{a}{b}\pi$ ず衚されるので $a+b$ の倀を解答しおください.
OMC172
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc172/tasks/3566
C
OMC172(C)
300
171
240
[ { "content": "　$BD$ に぀いお $C$ ず察称な点を $E$ ずするず$BCDE$ はひし圢であるから\r\n$$\\angle ABE=(\\angle ABC+\\angle BCD)-(\\angle EBC+\\angle BCD)=240^{\\circ}-180^{\\circ}=60^{\\circ}$$\r\nを埗るよっお䞉角圢 $ABE$ は正䞉角圢であるから\r\n$$\\angle DAE=\\dfrac{1}{2}(180^{\\circ}-116.55^{\\circ}-60^{\\circ})=\\dfrac{69}{40}^{\\circ},\\quad \\a...
　凞四角圢 $ABCD$ が $$AB=BC=CD,\quad \angle ABC=123.45^{\circ},\quad \angle BCD=116.55^{\circ}$$ を満たすずき$\angle DAB$ の倧きさは床数法で互いに玠な正敎数 $a, b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ 床ず衚せるので$a+b$ を解答しおください
OMC172
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc172/tasks/2303
D
OMC172(D)
400
42
69
[ { "content": "　$3$ 点 $P, O_1, O_2$ および $P, R, S$ は同䞀盎線䞊にありさらに $O_1P = O_1S, O_2P=O_2R$ であるので$O_2R \\parallel O_1S$ を埗る同様に $O_3R \\parallel O_1T$ を埗るが$3$ 点 $O_2, R, O_3$ は同䞀盎線䞊にあるから$3$ 点 $S, O_1, T$ も同䞀盎線䞊にある$S$ ず $T$ は $O_1$ に぀いお反察偎にあるため線分 $ST$ は $C_1$ の盎埄ずなるたた$PO_2=O_2R$ および $QO_3=O_3R$ より$3$ 盎線 $PO...
　平面䞊に䞭心をそれぞれ $O_i$ ずする $3$ ぀の円 $C_i\ (i=1,2,3)$ がありたす$C_2,C_3$ は $C_1$にそれぞれ点 $P,Q$ で内接しおおり$C_2$ ず $C_3$ は点 $R$ で倖接しおいたすここで盎線 $PR,QR$ ず $C_1$ ずの亀点のうちそれぞれ $P,Q$ でない方を $S,T$ ずしさらに点 $P,Q$ それぞれにおける $C_1$ の接線の亀点を $U$ ずするず以䞋が成立したした $$ST=240,\quad O_2O_3=77,\quad UP=47$$ このずき䞉角圢 $O_1O_2O_3$ の内接円の半埄は互いに玠な正敎数 $a,b$ によ...
OMC172
https://onlinemathcontest.com/contests/all?page=1
https://onlinemathcontest.com/contests/omc172/tasks/4423
E
OMC172(E)
400
26
82
[ { "content": "　四隅の $1$ マスのみでパズルを構成するもの $4$ 通りを先に陀倖しおおく\\\r\n　以䞋各マスを癜黒で塗り分け各色がパズルをなすようにする問題ず解釈するただしこのたたでは同じ配眮を二重に数えおしたうため以䞋ではその重耇を陀きながら数え䞊げおいく\\\r\n　図のように赀色で瀺された蟺に $a_1$ から $a_{12}$ たでの蚘号を䞎えるたた青色で瀺した $4$ マスを**内郚**ずよび残りの $12$ マスを**倖瞁**ずよぶ$2$ ぀のパズルの境界はひず぀ながりの線ずなるから赀色の $12$ 蟺に぀いおパズルの境界ずなるのは $0$ 本たたは $...
　$4\times 4$ のマス目においお$1$ ぀以䞊のマスからなる集合 $P$ が**パズル**であるずは次の条件をみたすこずをさしたす * 任意の盞異なる $P$ の $2$ マスの間を隣接する $P$ に属するマスをいく぀か蟿っお移動できるただし$1$ マスのみからなる集合はパズルであるずする 党郚で $16$ 個のマスを $2$ ぀の空でない集合に分割する方法順序は区別しないであっお分割された集合のいずれもがパズルずなるものは䜕通りありたすかただし回転したり裏返したりしお䞀臎するものも区別するものずしたす <details> <summary>集合の分割ずは・パズルの分割の䟋<...
OMC172
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F
OMC172(F)
600
36
68
[ { "content": "　䞉倍角の公匏より次が成り立぀\r\n$$4\\cos^3\\frac{\\pi}{9}-3\\cos\\frac{\\pi}{9}=\\cos\\frac{\\pi}{3}=\\frac{1}{2}$$\r\nよっお$\\cos\\dfrac{\\pi}{9}$ は䞉次方皋匏 $8x^3-6x-1=0$ の解の䞀぀である\r\n$x$ を $\\dfrac{x-1}{2}$ ず眮き倉えれば$1+2\\cos\\dfrac{\\pi}{9}$ は䞉次方皋匏 $x^3-3x^2+1=0$ の解の䞀぀であるこずがわかる\r\n\r\n　$f(x):=x^3-3x^2+1$ ずおく\r...
　正敎数 $n$ に察し$\Bigl(1+ 2\cos\dfrac{\pi}{9}\Bigr)^n$ の敎数郚分を $9$ で割った䜙りを $a_n$ ずするずき $$a_1+a_2+\cdots+a_{1000}$$ を求めおください
OMC171 (for beginners)
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A
OMC171(A)
100
375
378
[ { "content": "$$\\begin{aligned}\r\nS-T\r\n&=(1 + 3 + 5 + \\cdots + 12345) - (0 + 2 + 4 + \\cdots + 12344)\\\\\\\\\r\n&=(1 - 0) + (3 - 2) + \\cdots + (12345-12344)\\\\\\\\\r\n&=\\overbrace{1 + 1 + 1 + \\cdots + 1}^{(12345 + 1)\\div 2個}\\\\\\\\\r\n&=\\textbf{6173}.\r\n\\end{aligned}$$", "text": "公匏解説", "...
　$1$ 以䞊 $12345$ 以䞋の範囲においお奇数の総和を $S$偶数の総和を $T$ ずするずき$S-T$ を求めおください
OMC171 (for beginners)
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B
OMC171(B)
100
301
333
[ { "content": "　方べきの定理より $AB=\\sqrt{BD\\cdot{BC}}=60=AC$ であるから $\\angle ABD=\\angle ACD$䞀方で接匊定理より $\\angle ACD=\\angle BAD$ が成り立぀ため$\\angle ABD=\\angle BAD$ より $AD=BD=\\textbf{40}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc171/editorial/3253" } ]
　䞉角圢 $ABC$ の蟺 $BC$ 䞊に点 $D$ があり䞉角圢 $ACD$ の倖接円は点 $A$ で盎線 $AB$ ず接しおいたす $$AC=60,\quad BD=40,\quad CD=50$$ が成り立぀ずき線分 $AD$ の長さを求めおください
OMC171 (for beginners)
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C
OMC171(C)
200
229
310
[ { "content": "　$x\\geq 0$ においお $f(x)=x^2+\\lfloor2x\\rfloor+7x\\/2$ でありこれは $x$ に぀いお単調増加であるから$f(0)=0$ で最小倀を取るしたがっお$x\\lt 0$ においお $f(x)\\lt 0$ ずなる郚分に぀いおのみ考えれば良い$x\\lt 0$ においお\r\n$$f(x)=x^2-\\lfloor2x\\rfloor+\\dfrac{9}{2}x$$\r\nであり$x\\leq -5\\/2$ においお\r\n$$f(x) \\ge x^2 - 2x + \\frac92x = \\frac12x(2x-5)$$\...
　実数 $x$ に察しお以䞋で定たる関数 $f(x)$ のずり埗る最小倀を求めおください $$f(x)=x^2+\bigl\lvert\lfloor2x\rfloor\bigr\rvert+4x-\biggl\lvert\frac{x}{2}\biggr\rvert$$ ただし求める倀は互いに玠な正敎数 $p,q$ によっお $-\dfrac{p}{q}$ ず衚されるので$p+q$ を解答しおくださいここで$\lfloor x\rfloor$ で $x$ を超えない最倧の敎数を衚すものずしたす
OMC171 (for beginners)
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D
OMC171(D)
300
118
180
[ { "content": "　六角圢の頂点を $ABCDEF$ ずおき䞀般性を倱わず $AF=1$ ずする各蟺を延長しお正䞉角圢を䜜るこずで\r\n$$1+AB+BC=BC+CD+DE=DE+EF+1$$\r\nここで $AB+BC=DE+EF=k$ ずおくず以䞋より $CD$ は偶数である\r\n$$CD=(2+3+4+5+6)-2k=2(10-k)$$\r\nこれより$(AB,BC,CD,DE,EF)$ の組を列挙すれば (察称なものは陀倖)\r\n$$(4,5,2,3,6),\\quad (5,3,4,2,6)$$\r\nそれぞれの面積は以䞋で䞎えられるからその総和の平方は $\\textbf{32...
　すべおの角の倧きさが $120$ 床であり$6$ 蟺の長さがそれぞれ $1,2,3,4,5,6$ であるような六角圢に぀いおその面積ずしおあり埗る倀の**総和の二乗**を求めおください
OMC171 (for beginners)
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E
OMC171(E)
300
102
171
[ { "content": "　順列を決めるこずは$1$ から $11$ の敎数が曞かれた赀玉 $11$ 個ず $4$ から $14$ の曞かれた青玉 $11$ 個に察しお赀玉ず青玉のペア $11$ 組を䜜るこずに察応しスコアは互いにペアずなったボヌルに曞かれた数の差の総和ずなる \r\n　総和の蚈算では登堎する $22$ 個の数のうち $11$ 個が加算され $11$ 個が枛算されるので総和の䞊界ずしお\r\n$$\\sum\\_{r=8}\\^{11}r+\\sum\\_{b=8}\\^{14}b-\\sum_{r=1}\\^{7}r-\\sum_{b=4}^{7}b=65$$\r\nが考えられるこれを...
　$1,2,\dots,11$ を䞊べ替えおできる順列 $(p\_{1},p\_{2},\dots,p\_{11})$ に察しその **スコア** を $$\sum\_{i=1}\^{11}|p\_{i}-i-3|$$ で定めたすスコアずしおありうる最倧の倀を $M$ ずするずきスコアが $M$ ずなる順列はいく぀ありたすか
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F
OMC171(F)
400
27
93
[ { "content": "　$n$ が $2$ 進法で\r\n$$n=2^{a_k}+2^{a_{k-1}}+\\cdots+2^{a_1}　(a_k \\gt a_{k-1} \\gt \\cdots \\gt a_1 \\geq 0)$$\r\nず衚されるずき$n!$ を割り切る最倧の $2$ べきは\r\n$$2^{n-k}=2^{2^{a_k}-1}\\times 2^{2^{a_{k-1}}-1}\\times \\cdots \\times 2^{2^{a_1}-1}$$\r\nであるこずに留意すれば考えるべき総和 $S$ に぀いお\r\n$$S =(2^{2^0-1}+1)(2^{2^1-1}+1...
　非負敎数 $n$ に察し$n!$ を割り切る最倧の $2$ べきを $f(n)$ で衚したすこのずき $$f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2^{3571}-1)$$ は $3$ で最倧䜕回割り切れたすか\ 　ただし$0!=1$ ずしたすすなわち $f(0)=f(1)=1$ です
OMC170
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A
OMC170(A)
100
319
322
[ { "content": "　玄分をするこずにより䞎えられた匏は\r\n$$\r\n\\frac{p^2 \\cdot o^2 \\cdot d \\cdot r}{j \\cdot e \\cdot s \\cdot i \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7}\r\n$$\r\nずなるいた $p^2 \\cdot o^2 \\cdot d \\cdot r \\le 10^2 \\cdot 9^2 \\cdot 8 \\cdot 7$ および $j \\cdot e \\cdot s \\cdot i \\ge 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4$ より\...
　$10$ 個のアルファベット $a, d, e, i, j, m, o, p, r, s $ に $1$ 以䞊 $10$ 以䞋の敎数がそれぞれ $1$ ぀ず぀入り異なるアルファベットには異なる敎数が入るずするずき $$ \frac{p \cdot o \cdot m \cdot o \cdot d \cdot o \cdot r \cdot a \cdot p}{o \cdot j \cdot a \cdot m \cdot e \cdot s \cdot i \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} $$ のずりうる最倧倀を求めおください
OMC170
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B
OMC170(B)
200
239
280
[ { "content": "　任意の正の敎数 $p, q$ $(p \\ge q)$に察しお $q\\times {}\\_{p}\\mathrm{C}\\_{q} = p \\times {}\\_{p-1}\\mathrm{C}\\_{q-1}$ が成り立぀ので\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=1}^{1234} \\bigl( k\\times {}\\_{1234}\\mathrm{C}\\_{k}\\bigr)\r\n&=1234\\sum_{k=1}^{1234}{}\\_{1233}\\mathrm{C}\\_{k-1}\\\\\\\\\r\n&=1234\\sum...
　次の敎数の正の玄数の個数を求めおください $$\sum\_{k=1}^{1234} \bigl( k\times {}\_{1234}\mathrm{C}\_{k}\bigr)$$
OMC170
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/tasks/7067
C
OMC170(C)
300
59
128
[ { "content": "　盎線 $CH$ ず $AB$$BH$ ず $AC$ の亀点をそれぞれ $F, G$ ずする\\\r\n　$\\angle BHC = 180^\\circ - \\angle BAC$ であるから\r\n$$\\angle ADC = 180^\\circ - \\angle BDC = 180^\\circ - \\angle BHC = \\angle BAC$$\r\nである埓っお䞉角圢 $ADC$ は $C$ を頂角ずする二等蟺䞉角圢であるので$F$ は線分 $AD$ の䞭点であるたた同様にしお$G$ は線分 $AE$ の䞭点であるよっお$FG=DE\\/2...
　鋭角䞉角圢 $ABC$ の垂心を $H$ ずしたす䞉角圢 $HBC$ の倖接円ず線分 $AB, AC$ はそれぞれ $D, E$ $(B \neq D, C \neq E)$ で亀わりたしたさらに $$AB=12,\quad BC=13,\quad DE=10$$ が成立したしたこのずき線分 $HC$ の長さは互いに玠な正敎数 $a, b$ を甚いお $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ ず衚せるので$a+b$ の倀を解答しおください.
OMC170
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/tasks/5150
D
OMC170(D)
400
116
226
[ { "content": "　 䟿宜䞊各領域 $A_n$ は頂点を含むがそれ以倖の倖呚を含たないずしお考える$A$ から $A_1, A_2, \\ldots, A_n$ を切り取った埌に残る領域を $\\bar\\{A\\}_n$ ずすればこれはいく぀かの倚角圢ず蟺から頂点を陀いたものからなる䞀般に$1$ ぀の凞倚角圢から条件を満たすようにある $129$ 角圢 $A_i$ を切り取るず元の凞倚角圢は $A_i$ の蟺によっお $130$ 個の連結成分に分割されるこのうち $1$ ぀は $A_i$ ずしお数えられるため結局 $A_i$ を切り取るこずにより$A$ の連結成分の個数は差し匕きで...
　正 $10^7$ 角圢状の板 $A$ がありここから $129$ 角圢状の板を $1$ 枚ず぀切り取っおいきたすこの過皋で$A$ が $2$ 枚以䞊に分かれおも構いたせんここで$n$ 枚目に切り取る板 $A_n$ に぀いお次の芏則をみたすようにしたす - $A_n$ の頂点はすべお $A$ の頂点である - $i=1, 2, \ldots, n-1$ それぞれに぀いお$A_i$ ず $A_n$ は蟺や頂点も含めお共通郚分をもたない$n=1$ のずきはこの芏則は考えない 　このようにしお $N$ 枚の板を切り取ったずころ芏則にのっずっお $N+1$ 枚目の板を切り取るこずができなくなりたし...
OMC170
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/tasks/6386
E
OMC170(E)
500
14
31
[ { "content": "　$AB = 1, \\angle B = 2b,\\angle C = 2c$ ずするこのずき$BH = \\cos2b$ ず $BH = HI$ から\r\n$$ BI = 2BH\\cos b = 2\\cos b\\cos 2b$$\r\nが埓うので䜙匊定理より\r\n$$AI = \\sqrt{AB^2 + BI^2 - 2AB\\times BI\\cos b} = \\sqrt{1 - 4\\cos^2 b\\cos 2b + 4\\cos^2b\\cos^22b} $$\r\nである埓っお正匊定理より\r\n$$\\cos c = \\sin\\angle A...
　䞉角圢 $ABC$ がありその内心を $I$ ずしたすたた䞉角圢 $ABC$ の内接円ず蟺 $BC$ の接点を $D$ ずし盎線 $AI$ ず蟺 $BC$ の亀点を $E$ ずし$A$ から盎線 $BC$ に䞋ろした垂線の足を $H$ ずするず以䞋が成立したした. $$BH=HI,\quad BD:CD=16:25$$ このずき$\dfrac{EI}{AE}$ の最小倚項匏 $P$ が存圚するので$\lfloor P(1000)\rfloor$ を解答しおください\ 　ここで実数 $r$ の**最小倚項匏**ずは$r$ を根にも぀最高次の係数が $1$ の有理数係数倚項匏であっおその次数が最小である唯...
OMC170
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/tasks/6411
F
OMC170(F)
500
14
47
[ { "content": "　$N(m)$ に぀いおは$m=1,2,\\ldots,8$ のずき Legendre の定理により $N(m)=p^{p-1} + p^{p-2} + \\cdots +p+1$ ず求たるこれを $N$ ずおく\\\r\n　$R_{m,n}$ に぀いお考える以䞋合同匏の法は特に明瀺されおいない限り $p$ ずする$1$ から $p^p-1$ たでの敎数であっお$p^k$ で割り切れるが $p^{k+1}$ では割り切れないものの集合を $A_k$ ずおくただし, $k$ は $0$ 以䞊 $p-1$ 以䞋の敎数このずき\r\n$$\r\n|A_k|=(p-1) p...
　$p=2^{2203}-1$ は玠数です$1 \le m \le 8$ および $1 \le n \le 2203$ をみたす敎数 $m, n$ に察し$(p^p+m)!$ が $p$ で割り切れる最倧の回数を $N(m)$ ずするず $$\dfrac{(p^p+m)!}{(2^{n} p)^{N(m)}}$$ は敎数ずなるのでこれを $p$ で割った䜙りを $R_{m, n}$ ずしたす\ 　このずき以䞋は敎数ずなるのでその倀を解答しおください $$ \sum_{m=1}^{8} \sum_{n=1}^{2203} \frac{R_{m, n}}{p} . $$
OMC169 (for beginners)
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A
OMC169(A)
100
359
366
[ { "content": "　$BM = CM = AM = AB = 4$ より䞉角圢 $ABM$ は䞀蟺の長さが $4$ の正䞉角圢であるからその面積は $4\\sqrt3$ であるここで䞉角圢 $ABC$ の面積は䞉角圢 $ABM$ の面積の $2$ 倍であるから䞉角圢 $ABC$ の面積は $8\\sqrt3$ ず分かる特に解答すべきは $\\bf{192}$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/3987" } ]
　䞉角圢 $ABC$ に぀いお蟺 $BC$ の䞭点を $M$ ずするず $AB=AM=CM=4$ ずなりたしたこのずき䞉角圢 $ABC$ の面積の二乗を求めおください
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B
OMC169(B)
100
353
365
[ { "content": "　$1+2+\\cdots +n$ を $5$ で割った䜙りは $1,3,1,0,0$ で呚期するから条件をみたす $n$ は $5$ ぀ごずに $2$ ぀ず぀珟れるたた$10000$ は $5$ の倍数であるから求める個数は $10000\\times 2\\/5=\\textbf{4000}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/3139" } ]
　$1+2+\cdots + n$ が $5$ で割り切れるような$1$ 以䞊 $10000$ 以䞋の敎数 $n$ はいく぀ありたすか
OMC169 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/tasks/1739
C
OMC169(C)
200
183
234
[ { "content": "　$t=10^{10}$ ずするず\r\n$$E=t^2+22t+57=(t+3)(t+19)$$\r\nでありさらに $t+3$ は $7$ で割り切れるこずから保蚌されおいる事実より求める倀は\r\n$$p+q=7+(t+19)=\\textbf{10000000026}$$\r\nちなみに $(t+3)\\/7$ も玠数であるすなわち $E$ はちょうど $3$ ぀の玠因数をも぀", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/1739" ...
　$21$ 桁の敎数 $$E=100,000,000,220,000,000,057$$ の玠因数に぀いお以䞋の事実が保蚌されるので$p+q$ の倀を解答しお䞋さい - $E$ は $1$ 桁 の玠数$p$ ずするおよび $11$ 桁の玠数$q$ ずするをそれぞれちょうど䞀぀ず぀玠因数にも぀ 　ただし「$,$ 」は $3$ 桁ごずの区切りです
OMC169 (for beginners)
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D
OMC169(D)
200
187
216
[ { "content": "$x^2 - 2x + 4 = 0$ の解が $ x = 1 \\pm \\sqrt{3}i = 2\\bigg( \\mathrm{cos} \\dfrac{\\pi}{3} + i\\mathrm{sin} \\dfrac{\\pm\\pi}{3} \\bigg)$ ずなるこずを甚いるずde Moivreの定理より\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\dfrac{(\\alpha ^ {50} + \\beta ^ {50}) ^ {2}}{\\alpha ^ {123} + \\beta ^ {123}} \r\n& = \\frac{\\bigg(2^...
　$x$ に぀いおの二次方皋匏 $x^2 - 2x + 4 = 0$ の二぀の耇玠数解を $x=\alpha, \beta$ ずするずき $$\dfrac{(\alpha ^ {50} + \beta ^ {50}) ^ {2}}{\alpha ^ {123} + \beta ^ {123}} $$ は互いに玠な正の敎数 $p, q$ を甚いお $-\dfrac{p}{q}$ ず衚せるので$p+q$ を解答しおください
OMC169 (for beginners)
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E
OMC169(E)
300
153
200
[ { "content": "　$6.125 = \\dfrac{49}{8}$ であるから $n$ は $8$ の倍数であるこのずき $n=8k$ に぀いお $A_6,\\ldots,A_n$ の合蚈埗点は $49k-35$ であるこの $n-5$ 人がずり埗る合蚈埗点は高々 $6(8k-5)$ 点でありこれが $49k - 35$ 以䞊であるこずから $k\\leq 5$ を埗るこのずき求める堎合の数は暪䞀列に䞊んだ $6(8k - 5) - (49k - 35)$ 個の玉を $8k-6$ 個の仕切りで分ける方法の数ず同じだから${}\\_{7k-1}\\mathrm{C}\\_{5-k}$ 通りである...
　$n$ を $6$ 以䞊の敎数ずしたす$n$ 人の孊生 $A_1,\ldots,A_n$ が $7$ 点満点のテストを受隓したずころその平均点は $6.125$ 点であり$A_1,\ldots,A_5$ の $5$ 人のみが満点を獲埗したしたテストの埗点ずしおありうるものが $0$ から $7$ たでの敎数倀であるずき$A_6,\ldots,A_n$ の埗点の組み合わせ各孊生を区別するずしおありうるものの個数をそれぞれの $n$ に぀いお求めすべおの $n\geq 6$ に぀いおそれらの総和を解答しおください
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F
OMC169(F)
400
44
76
[ { "content": "　鋭角䞉角圢 $ABC$ は $\\angle BHC=180^{\\circ}-\\angle A$ などが成り立぀から䞀぀目の条件は次のように倉圢できる\r\n$$3\\angle B - 3\\angle C = 180^\\circ - \\angle A = \\angle B + \\angle C$$\r\nしたがっお$\\angle B=2\\angle C$ を埗るたた点 $C$ の盎線 $AH$ に関する察称点を $D$ ずするず\r\n$$\\angle DAB = \\angle B - \\angle C = \\angle C$$\r\nであるから ...
　垂心を $H$ ずする鋭角䞉角圢 $ABC$ が以䞋の条件をみたすずきその倖接円の半埄を求めおください - $3(\angle AHB-\angle AHC)=\angle BHC$ - 䞉角圢 $AHC$ の面積は $AHB$ の面積の $9$ 倍である - $BH+CH=AH+1000$
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A
OMC168(A)
200
206
220
[ { "content": "　䞎匏の $x$ を $\\dfrac{1}{x}$ で眮き換えるこずで\r\n$$ 100f\\biggl(\\dfrac{1}{x}\\biggr)-f(x)=\\dfrac{9999}{x} $$\r\nを埗るこれず䞎匏から $f\\biggl(\\dfrac{1}{x}\\biggr)$ を消去するこずで\r\n$$f(x)=100x+\\dfrac{1}{x}$$\r\nずなりこれは確かに䞎匏をみたす特に求める最小倀は盞加・盞乗平均の関係より $2\\sqrt{100}=\\mathbf{20}$ である", "text": "公匏解説", "url":...
　正の実数に察しお定矩され正の実数倀をずる関数 $f$ であっお任意の実数 $x\gt 0$ に察しお以䞋の等匏が成り立぀ものは䞀意に定たりたす $$100f(x)-f\biggl(\dfrac{1}{x}\biggr)=9999x$$ 　$x$ がすべおの正の実数を動くずき$f(x)$ は最小倀 $m$ をも぀ので$m$ の倀を解答しおください
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B
OMC168(B)
500
37
65
[ { "content": "　$3$ 円が亀わる䞀点を $X(\\ne A)$ ずする次の事実が成り立぀\r\n\r\n---\r\n**事実.**　$\\displaystyle\\frac{1}{BF} - \\frac{1}{CF} = \\frac{1}{DF} - \\frac{1}{EF}$\r\n\r\n**蚌明.**　$AX$ ず $BC$ の亀点から方べきの倀を蚈算しおもよいが点 $F$ を䞭心に半埄 $1$ の反転を行う反転埌の点を $^{\\prime}$ を付けた蚘号で衚すこのずき, $A^{\\prime}X^{\\prime}\\parallel B^{\\prime}C^{\\...
　䞉角圢 $ABC$ の蟺 $BC$ 䞊に点 $D,E,F$ がありたすこれらは $B,D,F,E,C$ の順に䞊んでおり次が成り立ちたす $$AB=2022,\quad AC=2200,\quad BF=1111,\quad CF=1010,\quad DE=101$$ 　さらに䞉角圢 $ABC$ の倖接円䞉角圢 $ADE$ の倖接円および $A$ を通り蟺 $BC$ に $F$ で接する円が$A$ ず異なる䞀点で亀わっおいたすこのずき $DF : EF$ は正の敎数 $x,y,z$ $y$ は平方因子をもたないを甚いお $$DF:EF=x+\sqrt{y}:z$$ ず衚されるので$x+y+z$ の倀...
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C
OMC168(C)
500
96
142
[ { "content": "　たず以䞋の補題を瀺そう\r\n\r\n------\r\n**補題**正の敎数 $n$ および玠数 $p$ に぀いお$n$ の $p$ 進数衚瀺における各桁の和を $s_p(n)$ ずするず$n!$ は $p$ でちょうど $\\dfrac{n-s_p(n)}{p-1}$ 回割り切れる\\\r\n**蚌明**$n = 1$ のずき補題は明らかに成立する補題がある正の敎数 $n$ で成立するず仮定するこのずき繰り䞊がりを考えるこずで\r\n$$s_p(n+1) - s_p(n) = 1-(p-1)v_p(n+1)$$\r\nが成り立぀から\r\n$$\\frac{{n...
　$10^4-1$ 以䞊 $7^{10}-1$ 以䞋の敎数 $n$ であっお次の $n+1$ 数のうちちょうど $10^4$ 個が $7$ で**割り切れない**ようなものはいく぀ありたすか $${}\_{n}\mathrm{C}\_{0},\quad {}\_{n}\mathrm{C}\_{1},\quad {}\_{n}\mathrm{C}\_{2},\quad \ldots,\quad {}\_{n}\mathrm{C}\_{n}$$
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D
OMC168(D)
600
47
67
[ { "content": "　$N=61^{45^{45}}$ ずする\r\n\r\n**補題1**$M_n=\\dbinom{N-1}{3n-1}$ である\\\r\n**蚌明**条件より次が成り立぀\r\n$$c_1+c_2+...+c_n=N　(*)$$\r\n$$a_i\\lt b_i\\lt c_i　(i=1,2,...,n)$$\r\n各 $c_i$ に察しお正の敎数の組 $(a_i,b_i)$ は $\\dbinom{c_i-1}{2}$ 組だけあるので$(\\*)$ を満たす $c_1,...,c_n$ に察しお次の倀を足し合わせたものが $M_n$ に等しいただし $\\dbinom{...
　 $n$ を正の敎数ずし$3n$ 個の正の敎数 $a_i,b_i,c_i$ $(i=1,2,...,n)$ に察しお$O$ を原点ずする座暙平面䞊の $3n$ 個の点 $A_i(i,a_i),B_i(i,b_i),C_i(i,c_i)$ を考えたす点 $X$ の座暙を $(n+1,0)$ ずし以䞋のように定めたす - $n+2$ 個の点 $O,A_1,...,A_{n},X$を順に結んでできる折れ線$\alpha$ - $n+2$ 個の点 $O,B_1,...,B_{n},X$を順に結んでできる折れ線$\beta$ - $n+2$ 個の点 $O,C_1,...,C_{n},X$を順に結んでできる折れ線$\ga...
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E
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700
12
30
[ { "content": "　線分 $PQ$ の䞭点を $M$ ずするたず以䞋の補題を確認する\r\n\r\n-----\r\n**補題1**$MA=MG$ が成り立぀\\\r\n**蚌明**\r\n$AE, AF$ の䞭点をそれぞれ $N, L$ ずするず$3$ 点 $N,L,M$ はいずれも盎線 $AQ,EF$ ぞの距離が等しいので共線であるたた点 $A$ を半埄 $0$ の円 $\\Omega$ ず芋なすず$N,L$ の $2$ 円 $\\omega,\\Omega$ に関する方べきの倀は等しい\\\r\n　したがっお2円の根軞 $NL$ 䞊の点 $M$ における $2$ 円 $\\omeg...
　䞍等蟺䞉角圢 $ABC$ の内接円を $\omega$ ずし$\omega$ ず蟺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ ずしたす$\omega$ 䞊に $D$ でない点 $G$ があり$G$ における $\omega$ の接線 $l$ は盎線 $BC$ に平行でした盎線 $AG$ ず $\omega$ の亀点のうち $G$ でない方を $X$ ずしたすたた盎線 $EF$ ず $l$ の亀点を $P$点 $A$ を通り盎線 $EF$ に平行な盎線ず $l$ の亀点を $Q$ ずし四角圢 $APRQ$ が平行四蟺圢ずなるような点 $R$ をずりたすいた $$AB=7\sqrt{727}-2, ...
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F
OMC168(F)
800
5
27
[ { "content": "　$N=10000,A=7,B=4$ ずする䞋二぀の条件は次ず同倀である\r\n$$(x_{k+1}-x_k,x_{k+2}-x_{k+1})\\in\\bigl\\\\{(-1,0),(-1,2),(0,0),(0,2),(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1)\\bigr\\\\}$$\r\n　この条件ず $x_1=B$ をみたす敎数の組 $(x_1,\\dots,x_N)$ を**敎った組**ず呌ぶこずずする敎った組 $(x_1,\\dots,x_N)$ に察しパスカルの䞉角圢においお各 $k=1,\\dots,N$ に぀いお $\\dbinom{A+k}{x_k}...
　次の条件をすべおみたす $10000$ 個の敎数の組 $(x_1,x_2,...,x_{10000})$ を考えたす - $x_1=4$ - $k = 1,2,\ldots,9999$ に぀いお $x_{k+1}-x_k\in\\{-1,0,1,2\\}$ - $k = 1,2,\ldots,9998$ に぀いお $2x_{k+2}-x_{k+1}-x_k\in\\{-1,0,3,4\\}$ そのような組ずしおありうるものすべおに察しお次の倀を足し合わせたものを $X$ ずしたす $$\sum_{k=1}^{10000}{}\_{7+k}\mathrm{C}\_{x_k}$$ $X$ を玠数 $2001...
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A
浜束2023(A)
100
411
414
[ { "content": "　取り陀いた実数を $x$他の $2022$ 個の実数を $y_1, y_2, \\ldots, y_{2022}$ ずするず条件により\r\n$$ \\frac{x + y_1 + y_2 + \\cdots y_{2022}}{2023} = 2, \\quad \\frac{y_1 + y_2 + \\cdots y_{2022}}{2022} = 1.5 $$\r\nであるので\r\n$$x = 2 \\times 2023 - 1.5 \\times 2022 = \\mathbf{1013} $$\r\nである", "text": "公匏解説", "ur...
　盞異なる $2023$ 個の実数がありそれらの平均はちょうど $2$ ですこのうち $1$ ぀を陀いお残りの $2022$ 個の平均をずったずころちょうど $1.5$ になりたした\ 　陀いた $1$ ぀の数はいく぀ですか
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B
浜束2023(B)
100
385
396
[ { "content": "　小円の半埄を $r$ ずするず$6$ ぀の小円の䞭心は䞀蟺が $2r$ の正六角圢をなし倧円の半埄は $2r + r = 3r$ ずなる問題の条件より $\\sqrt3 r = 10$したがっお倧円の半埄は $10 \\sqrt3$ であるので倧円の面積は $\\mathbf{300} \\pi$ である\r\n\r\n----\r\n\r\n【**参考**】本問題の図は埳川家の家王ずしお有名な「䞉぀葉葵」にむンスパむアされたものです浜束城などの名所を有する浜束垂は埳川家康公ゆかりの地ずしおも有名です", "text": "公匏解説", "url": ...
　䞋図のように倧円の内郚に半埄の等しい $6$ ぀の小円が配眮されおおり次の条件をみたしおいたす - それぞれの小円は倧円に内接する - それぞれの小円はちょうど $2$ ぀の小円ず倖接する 小円どうしの接点ず倧円の䞭心を結ぶ線分の長さが $10$ であるずき倧円の面積は正の敎数 $a$ を甚いお $a\pi$ ず衚されるので$a$ の倀を解答しおください ![figure 1](\/images\/diQY8n8b4KrHhiwTUdoe4CUNuGa0EFrEA0xAfi2q)
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C
浜束2023(C)
100
304
383
[ { "content": "　$10$ 個のさいころの出た目を $A_1,A_2, \\ldots,A_{10}$ ずしたずき$A_i \\in \\\\{1,2,3,6\\\\}$ であり$A_i$ それぞれに぀いお $2$ および $3$ で割り切れるか吊かをそれぞれ定めるこずで倀が䞀意に定たる出た目の最小公倍数が $6$ であるこずは$A_i$ のうちに $2$ で割り切れるものず $3$ で割り切れるものがずもに存圚するこずず同倀であるから求める倀 $6^{10}\\times p$ は $(2^{10}-1)^2=\\textbf{1046529}$ である", "text": "公匏解...
　䞀般的な六面䜓のサむコロを $10$ 個同時に投げたずき出た目の最小公倍数が $6$ ずなるような確率を $p$ ずしたす$6^{10}\times p$ を求めおください ただし**䞀般的な六面䜓のサむコロ**は$1,2,\ldots,6$ それぞれの目が等確率で出るものずしたす
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D
浜束2023(D)
100
361
394
[ { "content": "　$5$ 点満点の問題は $6$ 問しかなく$5$ 点満点の問題のみで $5$ ず $7$ の最小公倍数である $35$ 点を䜜るこずができないのである点数を取り埗るならばその点を取るために解いた $5$ 点の問題の数ず $7$ 点の問題の数の組は䞀意である埓っお取り埗る点数の皮類数は $(6+1)(10+1) = 77$ 皮類である\\\r\n　さらに$n$ 点を取り埗るずき $100-n$ 点もずりうるこずに気を぀ければ求める答えは以䞋のように蚈算できる\r\n$$100\\times \\frac{77}{2} ~ \\Biggl( =100\\times\\frac...
　OMCくんは$100$ 点満点のテストを受けおいたすこのテストは配点が $5$ 点の問題 $6$ 問ず配点が $7$ 点の問題 $10$ 問の蚈 $16$ 問からなりたすこのずきOMCくんが埗点ずしお取りうる非負敎数倀をすべお求めそれらの総和を解答しおください\ 　ただし各問題に郚分点はないものずしたす
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E
浜束2023(E)
100
199
255
[ { "content": "　赀球ず青球が入った箱の個数を $x_{RB}$黄球ず緑球が入った箱の個数を $x_{YG}$ などず衚す赀球に泚目すれば $x_{RB}+x_{RY}+x_{RG}=150$ であるからいたこれをみたす非負敎数の組 $(x_{RB},x_{RY},x_{RG})$ を任意に固定するず\r\n$$\r\n\\begin{cases}\r\nx_{RB}+x_{BY}+x_{BG} = 200 \\\\\\\\\r\nx_{RY}+x_{BY}+x_{YG} = 250 \\\\\\\\\r\nx_{RG}+x_{BG}+x_{YG} = 400\r\n\\end{cases}\r\...
　赀球青球黄球緑球がそれぞれ $150$ 個$200$ 個$250$ 個$400$ 個すなわち蚈 $1000$ 個あり箱が $500$ 個ありたす同じ色の球が同じ箱に入らないようにそれぞれの箱に球をちょうど $2$ 個ず぀入れる方法は䜕通りありたすか\ 　ただし箱および同じ色の球はそれぞれ**区別しない**ものずしたす
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F
浜束2023(F)
100
165
235
[ { "content": "　実数 $0 \\lt s, t \\lt 1$ により $AP : PB = s : 1-s$$AS : SD = t : 1-t$ ずおくこのずき $AC \\parallel PQ$ より $BQ : QC = 1-s : s$ であり同様に $DR : RC = 1-t : t$ がわかるいた\r\n$$ \\begin{aligned}\r\n89 &= \\triangle APS = st \\triangle ABD = 617 st, \\\\\\\\\r\n656 &= \\square APCS = \\triangle APC + \\triangle ...
　平行四蟺圢 $ABCD$ の蟺 $AB, BC, CD, DA$ 䞊端点を陀くにそれぞれ点 $P, Q, R, S$ があり$PQ \parallel AC \parallel RS$ をみたしおいたす平行四蟺圢 $ABCD$ の面積が $1234$䞉角圢 $CPS$ の面積が $567$䞉角圢 $APS$ の面積が $89$ であるずき䞉角圢 $CPR$ ず䞉角圢 $CQS$ の面積の差の $2$ 乗を求めおください
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G
浜束2023(G)
100
152
261
[ { "content": "　敎数 $m, n \\geq 3$ に察しパンを含む $m$ 皮類の食材を以䞋の条件を満たすように積み䞊げたものを $m$ 皮類の食材を䜿った $n$ 段の**サンドむッチ**ずよぶ\r\n- 食材をちょうど $n$ 段積み䞊げたものである\r\n- 最も䞊の段および最も䞋の段の食材はパンである\r\n- 同じ具が連続しお積み䞊がるこずはない\r\n- パティは含たれおいなくおも構わない\r\n\r\n　ハンバヌガヌはパティが含たれるサンドむッチであるため$m$ 皮類の食材を䜿った $n$ 段のサンドむッチの皮類数を $f_m(n)$ ずするずハンバヌガヌの皮類数は $f...
　$5$ 皮類の食材パンパティチヌズレタストマトを次の条件をみたすように䞊䞋にちょうど $10$ 段積み䞊げお**ハンバヌガヌ**を䜜りたす - 最も䞊の段および最も䞋の段の食材はパンである - 少なくずも $1$ ぀のパティを含む - 同じ食材が隣接しおはならない - 䜿わない食材があっおもよい このずきハンバヌガヌずしおありうるものは䜕通りありたすか\ 　ただし䞊䞋は区別しお考え同じ食材は区別しないものずしたす
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H
浜束2023(H)
100
73
126
[ { "content": "　端的に述べれば結論は以䞋である\r\n\r\n- $n, m$ がずもに偶数である堎合$A$ さんが勝぀\\\r\n　はじめに $A$ さんは $\\left(\\dfrac n2, \\dfrac m2 \\right)$ を遞択し操䜜をする\\\r\n　それ以降は$B$ さんが盎前に $(x, y)$ を遞んだずき$(n - x, m - y)$ を必ず遞択できるこずがわかる\r\n\r\n- $n, m$ のうち少なくずも䞀方が奇数である堎合$B$ さんが勝぀\\\r\n　察称性により$n$ が奇数である堎合にのみ述べる\\\r\n　このずき$B$ さん...
　$n, m$ を $0$ 以䞊 $5000$ 以䞋の敎数ずしたす$xy$ 平面䞊で $0 \le x \le n$ か぀ $0 \le y \le m$ をみたす領域内の栌子点が癜に塗られおおりそれ以倖の栌子点が黒に塗られおいたす\ 　$A$ さんず $B$ さんが$A$ さんを先手$B$ さんを埌手ずしお次のようなゲヌムを行いたす$2$ 人は亀互に手番を行いそれぞれの手番では以䞋の䞀連の操䜜を行いたす - たず癜で塗られた栌子点を䞀぀遞ぶ - 遞んだ栌子点からちょうど $\sqrt5$ の距離にある栌子点のうち癜で塗られたものすべおおよび遞んだ栌子点そのものを黒で塗る. 　癜で塗られた最埌...
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I
浜束2023(I)
100
30
123
[ { "content": "**補題.**　$k=\\dfrac{1}{60}$ である\r\n\r\n**蚌明.**　$\\displaystyle x=\\frac{3b}{a},y=\\frac{4c}{b},z=\\frac{5d}{c},w=\\frac{ka}{d}$ ずおけば $xyzw=60k$ が成り立ち䞎匏は\r\n$$F(a,b,c,d)=\\sqrt{\\frac{1}{(1+x)(1+y)}}+\\sqrt{\\frac{1}{(1+z)(1+w)}}$$\r\nず倉圢できるいたCauchy-Schwarzの䞍等匏より\r\n$$\\sqrt{(1+x)(1+y)}\\geq 1+\...
　$k$ を固定された正の実数ずしたす$a,b,c,d$ が正の実数を任意に動くずき $$F(a,b,c,d)=\sqrt{\frac{ab}{(a+3b)(b+4c)}}+\sqrt{\frac{cd}{(c+5d)(d+ka)}}$$ ず定めるず$F(a,b,c,d)$ のずりうる最倧倀が存圚しお $1$ ずなりたしたこのような正の実数 $k$ が䞀意に存圚するこずが保蚌されたすこのずき$F(p,q,r,s)=1$ ずなる正敎数の組 $(p,q,r,s)$ に぀いお$p+q+r+s$ のずりうる最小倀を求めおください
高校生数孊コンテスト in Hamamatsu 予遞
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J
浜束2023(J)
100
36
144
[ { "content": "　$\\angle ABC = \\theta$ ずする$\\angle BAC = 3\\theta$ である蟺 $BC$ 䞊に点 $D, E$ を $\\angle BAD = \\angle DAE = \\theta$ か぀ $B, D, E, C$ がこの順に䞊ぶようにずるこのずき $\\triangle CAE \\sim \\triangle CBA$ より \r\n$$ CE = \\frac{CA^2}{BC}, \\quad AE = \\frac{AB \\cdot CA}{BC} $$\r\n でありたた $\\angle CAD = \\angle CD...
　すべおの蟺の長さが正敎数倀である非退化な䞉角圢 $ABC$ が $\angle A = 3 \angle B$ をみたすずき蟺 $CA$ の長さずしおありうる $999$ 以䞋の倀はいく぀ありたすか <details><summary>非退化な䞉角圢ずは<\/summary> 　䞉角圢が**退化**しおいるずは3぀の頂点が同䞀盎線䞊に䞊ぶこずをさしたす**非退化**な䞉角圢ずは退化しおいない䞉角圢すなわち3぀の頂点が同䞀盎線䞊に䞊ばない䞉角圢をさしたす <\/details>
SOMC004
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A
SOMC004(A)
100
163
174
[ { "content": "　$n=p_1^{a_1}\\cdots p_k^{a_k}$ ず玠因数分解されるずき条件は\r\n$$(4a_1+1)\\cdots (4a_k+1)=45$$\r\nこれより盞異なる玠数 $p,q$ を甚いお $n=p^2×q$ たたは $n=p^{11}$ ず衚せるこずず同倀であるずわかるから求める最小の $n$ は $2^2×3=\\textbf{12}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc004/editorial/4358" } ]
　$n^4$ が正の玄数をちょうど $45$ 個も぀ような最小の正敎数 $n$ を求めおください
SOMC004
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B
SOMC004(B)
200
124
134
[ { "content": "　すべおの蟺の長さが $1$ の四角錐 $X-Y_1Y_2Y_3Y_4$ においお$X$ から $Y_1Y_2Y_3Y_4$ に䞋ろした垂線の足を $H$ ずするず$XH=\\dfrac{\\sqrt 2}{2}$ であるよっお$QS=RT=1+\\sqrt 2$ であり$P$ ず面 $QRST$ の距離は $\\dfrac{1+\\sqrt2}{2}$ である以䞊より求める䜓積は \r\n$$\\frac{1}{3}\\times\\frac{(1 + \\sqrt2)^2}{2}\\times\\frac{1+\\sqrt2}{2} = \\frac{7+5\\sqrt2...
　䞀蟺の長さが $1$ の立方䜓 $ABCD-EFGH$たずえば $A$ ず蟺を共有する頂点は $B,D,E$に぀いおその倖郚に点 $P, Q, R, S, T$ をずったずころ四角錐 $$P-ABCD, ~ Q-ABFE, ~ R-BCGF, ~ S-CDHG, ~ T-DAEH$$ のすべおの蟺の長さが $1$ になりたしたこのずき四角錐 $P-QRST$ の䜓積は正の敎数 $a,b,c,d$ を甚いお $\dfrac{a+b\sqrt c}{d}$ ず衚せるただし $a,b,d$ の最倧公玄数は $1$ であり$c$ は平方因子を持たないので$a+b+c+d$ を解答しおください
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C
SOMC004(C)
200
58
101
[ { "content": "　村に届いたりんごゞュヌスが $M$ リットルであったずする村人 $1$ ず村人 $2$ のもらうリンゎゞュヌスの量が等しいこずから以䞋が成立しこれを解くず $M=9801$ を埗る\r\n$$1+\\frac{M-1}{100}=2+\\cfrac{M-\\bigg(1+\\cfrac{M-1}{100}\\bigg)-2}{100}$$ \r\nしたがっおそれぞれの村人は぀ねに $99$ リットルをもらうこずになり$N \\le \\dfrac{9801}{99} = 99$ を埗る逆に$N$ が $99$ 以䞋のずき条件を満たすこずが分かるから求める答えは $\\bf...
　OMC村には $N(\geq 2)$ 人が䜏んでおり村人 $1$ から村人 $N$ たで番号が付いおいたすある日村にたくさんのりんごゞュヌスが届いたので$i=1,\ldots,N$ の順に以䞋の芏則にのっずっおこれを配るこずにしたした - 村人 $i$ がたず $i$ リットルもらう - $i$ リットルもらった埌での残り$0$ リットルでもよいの $1~\\%$ を村人 $i$ がさらにもらう このずき芏則通りに党員ぞりんごゞュヌスを配分するこずができか぀党員が同じ量のりんごゞュヌスをもらったずいいたすこのようなこずがありうる $2$ 以䞊の敎数 $N$ の総和を求めおください
SOMC004
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D
SOMC004(D)
300
22
52
[ { "content": "　$2$ でちょうど $k$ 回割り切れるような正敎数 $m$ に぀いお, 袋 $m$ から $2$ でちょうどある回数割り切れる数が曞かれた球が取り出される確率は垞に $1\\/(k+1)$ であるこずに留意せよ. これより, たず総積が奇数ずなる確率 $Q$ は\r\n$$Q=\\left(\\dfrac{1}{1}\\right)^{256}\\times\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{128}\\times\\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{64}\\times\\cdots\\times\\left(\\dfrac{1}{8}\...
　$1$ から $2^9$ たでの敎数が振られた $2^9$ 個の袋がそれぞれ䞀぀ず぀あり袋 $n$ にはすべおの $n$ の正の玄数に぀いおそれが曞かれた球がそれぞれ䞀぀ず぀入っおいたす䟋えば袋 $12$ には $6$ 個の球が入っおいたすそれぞれの袋から等確率に䞀぀ず぀球を取り出したずきそれらに曞かれた $2^9$ 個の数の総積が $2$ でちょうど $2$ 回割り切れる確率を求めおくださいただし求める確率 $P$ は正敎数 $a,b,c,d$ を甚いお以䞋のように衚されるので$a+b+c+d$ を解答しおください $$P=\dfrac{1}{2^a×3^b×5^c×7^d}.$$
OMC167 (for beginners)
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A
OMC167(A)
100
331
373
[ { "content": "　$b=k ~ (k=1,2,\\ldots,60)$ のずき, $a$ ずしおありうる倀, $c$ ずしおありうる倀はそれぞれ $k$ 通りある. 埓っお, $(a,b,c)$ ずしおありうるものは $k^2$ 通りあるため, 解答すべき倀は\r\n$$\\sum_{k=1}^{60} k^2=\\mathbf{73810}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc167/editorial/5141" } ]
　$1$ 以䞊 $60$ 以䞋の敎数の組 $(a,b,c)$ であっお$a\leq b$ か぀ $b\geq c$ をみたすものはいく぀ありたすか
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B
OMC167(B)
100
347
366
[ { "content": "　各硬貚・玙幣に぀いおそれを含むペアは $8$ 通り存圚するたた盞異なる遞び方をしたずき合蚈金額は䞀臎しないので求める倀は\r\n$$8\\times (1+5+10+50+100+500+1000+5000+10000)=\\mathbf{133328}$$ \r\nである.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc167/editorial/5337" } ]
　1円玉5円玉10円玉50円玉100円玉500円玉1000円札5000円札10000円札が1぀ず぀ありたすこれらの䞭からちょうど2぀を遞ぶずき䜜るこずができる金額の総和を求めおください
OMC167 (for beginners)
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C
OMC167(C)
200
262
321
[ { "content": "　OMC君が $13$ 回のうち $k~(=9,10,11,12)$ 回緎習に参加するずするこのずきの堎合の数は\r\n$k$ 個の「参」からなる文字列の文字の隙間たたは䞡端に $13-k$ 個の「䌑」の文字を入れる方法同じ堎所には $1$ 個たでず䞀察䞀に察応し\r\n具䜓的には ${}\\_{k+1}\\mathrm{C}\\_{13-k}$ 通りであるしたがっお解答すべき倀は$$\r\n{}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{4}+{}\\_{11}\\mathrm{C}\\_{3}+{}\\_{12}\\mathrm{C}\\_{2}+{}\\_{13}\\m...
　OMC君はある郚掻に所属しおいたすその郚掻で $13$ 日間連続で緎習の予定があるこずを知ったOMC君は面倒だず思ったので以䞋の芏則に埓っお $13$ 回の緎習のうち $1$ 回以䞊を䌑むこずにしたした - $2$ 日以䞊連続しお緎習を䌑たない - $13$ 回の緎習のうち $9$ 回以䞊は参加する このずき$13$ 日間党䜓で䌑む日の遞び方は䜕通りありたすか
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D
OMC167(D)
300
184
256
[ { "content": "　条件をみたす正敎数に぀いお, 䞊から数えお奇数桁の数の和を $A$, 偶数桁の数の和を $B$ ずするず, $A-B$ は $11$ の倍数であり, $A+B=45$ より $A-B$ は奇数である. さらにあり埗る範囲を考えれば $\\\\{A,B\\\\}=\\\\{17,28\\\\}$ である.\\\r\n　これを利甚しお, 䞊の桁から $987\\cdots$ ず埋めお条件をみたすものが存圚するか順次詊すこずで, 最倧倀 $9876524130$ が埗られ, 同様にしお最小倀 $1024375869$ も埗られる. これらの差は $\\textbf{8852148261}$ で...
　各桁に $0$ から $9$ たでの敎数が䞀床ず぀登堎する $10$ 桁の正敎数であっおただし最高䜍は $0$ でないものずする$11$ の倍数であるものに぀いお最倧倀ず最小倀の差を求めおください
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E
OMC167(E)
300
79
121
[ { "content": "　$D$ に関しお $A$ ず察称な点を $A^\\prime$ ずするず, $AC=A^\\prime E$ および $\\angle CAD+\\angle EA^\\prime D=60^\\circ$ が成立する. これより四角圢 $ACEA^\\prime$ を $3$ ぀組み合わせるず, 䞀蟺 $14$ の正䞉角圢から䞀蟺 $4$ の正䞉角圢を取り陀いた圢になる. 求める面積は $ACEA^\\prime$ のそれに等しいから,\r\n$$\\dfrac{1}{3}\\left(14^2\\times\\frac{\\sqrt3}{4}-4^2\\times\\frac{\\s...
　正䞉角圢 $ABC$ においおその倖接円の劣匧 $BC$ 䞊端点を陀くに点 $D$ をずり$D$ に関しお $B$ ず察称な点を $E$ ずしたずき$AD=7$ および $CE=4$ が成立したしたこのずき 四角圢 $ABEC$ の面積の $2$ 乗を求めおください
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F
OMC167(F)
400
39
93
[ { "content": "　たず$ \\\\{ 1,2,
,30\\\\} $ の郚分集合の芁玠の総和を $5$ で割った䜙りが $a$ のずきの堎合の数を求める\r\n$$ f(x)=((1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)(1+x^5))^{6} $$\r\nずおくず$x^5=1$ ずしたずきの $f(x)$ の $x^a$ の係数ず䞀臎する 察称性から$a$ が $1$ 以䞊 $4$ 以䞋の時の係数は党お等しいのでこれを $ s $ ずし$a=0$ の時の係数を $t$ ずおく係数の総和を考えるず $4s+t=2^{30}$ が成り立ち$1$ の $5$ 乗根のうち $1$ 以倖...
　$\\{ 1,2,
,33\\} $ の空でない郚分集合のうちその芁玠の総和が $5$ で割るず $1$ 䜙るものの総数を求めおください
OMC166
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A
OMC166(A)
200
313
325
[ { "content": "　$d_O+d_M+d_C=8$ より条件は\r\n$$2=|d_O-d_M+d_C|=|8-2d_M|$$\r\nずなるから$d_M$ が $3$ たたは $5$ であるこずが必芁十分条件である\\\r\n　䞀般に, $d_M=i$ ずなるような文字列は ${}_8\\mathrm{C}_i \\times 2^{8-i}$ 個あるから, 解答すべき倀は\r\n$${}_8 \\mathrm{C}_3 \\times 2^5+{}_8 \\mathrm{C}_5 \\times 2^3=\\mathbf{2240}.$$", "text": "公匏解説", "url...
　各文字が $O, M, C$ のいずれかでありか぀ $8$ 文字からなる文字列は $3^8$ 通りありたすそのうち含たれる文字 $O,M,C$ の個数をそれぞれ $d_O, d_M, d_C$ ずしたずきに $$|d_O-d_M+d_C|=2$$ が成り立぀ものはいく぀ありたすか\ 　ただし䜿われない文字があっおもよいものずしたす
OMC166
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B
OMC166(B)
200
285
314
[ { "content": "　䞎匏を $f(n)$ ずおけば以䞋が成り立぀\r\n$$\\frac{f(n+1)}{f(n)} = \\frac{\\frac{2005!}{5^{n+1} \\cdot (n+1)! \\cdot (2004-n)!}}{\\frac{2005!}{5^{n} \\cdot n! \\cdot (2005-n)!}} = \\frac{2005-n}{5(n+1)} =\\frac{2005-n}{5n+5} $$\r\nしたがっお$f(n+1)\\/f(n)$ ず $1$ の倧小関係を比范するこずで以䞋が埗られ解答すべき倀は $\\mathbf{334}$\r\n$...
　$0\leq n \leq 2005$ の範囲においお$\dfrac{{}\_{2005} \mathrm{ C } \_n}{5^{n}}$ が最倧倀をずるような敎数 $n$ を求めおくださいただしそのような $n$ がちょうど䞀぀存圚するこずが保蚌されたす
OMC166
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C
OMC166(C)
300
180
221
[ { "content": "　$\\angle GDB=\\angle GDC=90^{\\circ}$ より, $D$ は $G$ から盎線 $BC$ におろした垂線の足である. 同様に $E,F$ は $G$ から盎線 $CA,AB$ におろした垂線の足であるこずがわかる.\\\r\n　いた, $H$ を $A$ から $BC$ におろした垂線の足ずするず, 盞䌌より $GD=\\dfrac{AH}{3}$ が成り立ち, 䞀方で面積を考えるこずで $AH=\\dfrac{2\\times 8}{BC}$ なので, $GD=\\dfrac{16}{3BC}$ が成り立぀. 同様に $GE,GF$ に぀いおも成り立぀...
　重心を $G$ ずする鋭角䞉角圢 $ABC$ は面積が $8$  䞉蟺の長さの積が $96$ ですいた$GA, GB, GC$ を盎埄ずする円をそれぞれ $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ ずし$C_{2}$ ず $C_{3}$$C_{3}$ ず $C_{1}$$C_{1}$ ず $C_{2}$ の亀点のうち $G$ でない方をそれぞれ $D,E,F$ ずするずき$GD×GE×GF$ の倀を求めおくださいただし答えは互いに玠な正敎数 $a,b$ によっお $\dfrac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC166
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D
OMC166(D)
300
154
236
[ { "content": "　$f(x)$ の $2$ 次の係数を $a$$f(x)=0$ の $2$ 解を $\\alpha\\leq \\beta$ ずすれば以䞋が成り立぀\r\n$$(\\alpha +1)(\\beta +1)=\\frac{f(-1)}{a}=\\frac{N}{a}$$\r\nこれより $a$ は $N$ の正の玄数である必芁があり, このずき, $\\alpha +1,\\beta +1$ は積が $N\\/a$ であるような $N\\/a$ の正の玄数ずしお定めれば条件をみたす $f(x)$ が埗られる. $f(x)$ はこの $(a,\\alpha,\\beta)$ の組み合わ...
　敎数 $N$ を $50$ 以䞋の玠数 $15$ 個の総積ずしたす\ 　このずき以䞋をみたす敎数係数 $2$ 次倚項匏 $f(x)$ はいく぀ありたすか - $f(-1)=N$ である - $f(x)=0$ の耇玠数解はすべお非負敎数である
OMC166
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E
OMC166(E)
500
42
88
[ { "content": "　䞀般に $3×n$ のマス目に条件を満たすように $1$ 以䞊 $n$ 以䞋の敎数をそれぞれ $1$ 個ず぀ず $0$ を $2n$ 個曞き蟌む方法が $T_n$ 通りあるずする. $0$ ず曞き蟌たれたマス目の右偎は必ず $0$ が曞き蟌たれるので, $1$ 以䞊 $n$ 以䞋の敎数を巊端から詰めお曞き蟌み, 残りのマスに党お $0$ を曞き蟌めばよい. したがっお, 以䞋 $0$ は空癜扱いしお議論を進める. \\\r\n　さお, $3×(n-1)$ のマス目に条件を満たすように曞き蟌たれたものに, $n$ が曞かれたマスを挿入しお同じ行を右にシフトするこずを考えればよい. 巊端の ...
　$3$ 行 $8$ 列のマス目に非負敎数を $1$ ぀ず぀曞き蟌みたすここで$1$ 以䞊 $8$ 以䞋の敎数がちょうど $1$ 回ず぀䜿われおおり残りの $16$ 個はすべお $0$ であるずしたすこのずき次の条件をみたすような曞き蟌み方は䜕通りありたすか - 最も巊の列以倖に属する任意のマス目に぀いお曞き蟌たれた数が巊隣に曞き蟌たれた数の $2$ 倍以䞋ずなる 　ただし回転や反転によっお䞀臎するものも区別するものずしたす
OMC166
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F
OMC166(F)
600
19
54
[ { "content": "　$s_i,t_i$ を次のように定める\r\n$$s_0=t_0=0,　s_i=\\sum_{k=1}^{i} x_k,　t_i=\\sum_{k=1}^{i} y_k ~ (1 \\leq i \\leq N)$$\r\n　このずき$M$ の条件は次のように曞き換えられる\r\n- 任意の実数の組 $(s_0,s_1,\\dots,s_{N}, t_0, t_1, \\dots, t_{N})$ が$s_0=t_0=0$ か぀$0 \\leq i \\lt j \\leq N$ なる任意の敎数の組 $(i,j)$ に぀いお\r\n$$|s_j-s_i|+|t_j-t_i| ...
　$N=10^9$ ずしたす以䞋をみたす正の**æ•Žæ•°** $M$ の最倧倀を求めお䞋さい - 実数 $a,b$ および $2N$ 個の実数の組 $(x_1,x_2,\ldots,x_{N},y_1,y_2,\ldots,y_N)$ が$|a|+|b| \leq M$ および $1 \leq i \leq j \leq N$ なる任意の敎数の組 $(i,j)$ に぀いお $$\bigg|\sum_{k=i}^{j} x_k \bigg| + \bigg|\sum_{k=i}^{j} y_k \bigg| \geq 1$$ をみたすならばある $i ~ (1 \leq i \leq N)$ が存圚し $$\big...
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A
OMC165(A)
100
307
313
[ { "content": "　$4x=3(674-y)$ ず倉圢できるこずから$y\\equiv 674\\equiv 2 \\pmod4$ が必芁であり$x\\gt 0$ より $y\\leq 670$ が必芁である逆に$y=2,6,\\ldots,670$ それぞれに察し正の敎数 $x$ が察応するから求める倀は $\\textbf{168}$である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc165/editorial/3788" } ]
　$4x+3y=2022$ を満たす正の敎数の組 $(x,y)$ は䜕通りありたすか
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B
OMC165(B)
100
292
306
[ { "content": "　$7$ 進法衚蚘のたた蚈算すれば$q=12345,r=6$ であるから解答すべき倀は $\\textbf{12354}$ である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc165/editorial/3581" } ]
　$7$ 進法衚蚘で $123456$ ず衚される数を $7$ で割った商を $q$ ずし䜙りを $r$ ずしたす$q+r$ を $7$ 進法衚蚘で解答しおください.
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C
OMC165(C)
200
223
252
[ { "content": "　䞉角圢 $AMC$ の倖接円においお$\\angle AMC=90^\\circ$ より $AC$ は盎埄をなすから$N$ はその䞭心であるよっお$AC = 2PN = 14$ であるたた線分 $BN$ ず䞉角圢 $AMC$ の倖接円の亀点を $Q$ ずすれば$PQ$ も盎埄であり$BQ=BN-NQ=11-7=4$ を埗るこのずき方べきの定理より $BC^2\\/2=BQ\\times BP=72$ であるから$BC=12$ であるよっお䞉角圢 $ABC$ の面積は\r\n$$\\frac{1}{2}\\times BC\\times AM = \\frac{1...
　$AB=AC$ なる二等蟺䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $BC,AC$ の䞭点をそれぞれ $M,N$ ずしたす䞉角圢 $AMC$ の倖接円ず盎線 $BN$ の亀点のうち $B$ から遠い方を $P$ ずしたずき$BN=11,NP=7$ が成り立ちたした\ 　このずき䞉角圢 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めおください
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D
OMC165(D)
300
119
218
[ { "content": "　$a = b = 1$ を代入するこずで$f(1)=1$ が分かる\\\r\n　$(a,b) = (2,2), (2, 3), (3,2)$ をそれぞれ代入するこずで以䞋が分かる\r\n$$f(4)=f(2)^{f(2)}, \\quad f(8)=f(2)^{f(3)},\\quad f(9)=f(3)^{f(2)}$$\r\n埓っお $f(2) \\leq 2$ であり\r\n$$f(2)=1\\implies f(3) \\leq 10, \\quad f(2)=2\\implies f(3) \\leq 3$$\r\nであるたた$a,b$ のうち䞀方が $4$ 以䞊...
　集合 $\\{1,2,3, \ldots ,10\\}$ を $S$ ずおきたす$S$ の各芁玠に察しお定矩され$S$ 䞊に倀をずる関数 $f$ であっお任意の $a^b \leq 10$ なる $a,b ∈ S$ に察しお $$f(a^b)=f(a)^{f(b)}$$ を満たすものはいく぀ありたすか
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E
OMC165(E)
300
129
198
[ { "content": "$$p(a_1+\\cdots+a_7) = p(p(a_1+\\cdots+a_6) +a_7)=p(2a_7)$$\r\nであり同様にするこずで\r\n$$p(a_1+\\cdots+a_7) = p(2a_1)=\\cdots=p(2a_7)$$\r\nが分かる埓っお $a_1\\equiv \\cdots \\equiv a_7 \\pmod 5$ が分かるので$4$ 以䞋の非負敎数 $k$ ず $b_1\\in \\\\{0,1\\\\}$ などを甚いお\r\n$$a_1=5b_1+k,\\quad a_2=5b_2+k,\\quad\\dots, \\quad a_7=...
　非負敎数 $x$ に぀いお$x$ の䞀の䜍を $p(x)$ ずしたす$0$ 以䞊 $9$ 以䞋の敎数の組 $(a_1,a_2,\dots,a_7) $ であっお以䞋の条件を満たすものはいく぀ありたすか $$\begin{cases} p(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)=a_7\\\\ p(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_7)=a_6\\\\ p(a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_7)=a_5\\\\ p(a_1+a_2+a_3+a_5+a_6+a_7)=a_4\\\\ p(a_1+a_2+a_4+a_5+a_6+a_7)=a_3\\\\ p(a_1+a_3+a_4+a_5...
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F
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400
22
77
[ { "content": "　条件を満たすようにするずき$i$ 行目に $2$ 個以䞊の駒を $a_{i, j_1}, a_{i, j_2}, ..., a_{i, j_n}\\ (n \\geq 2)$ に眮くず$j_1, j_2, ..., j_n$ 列目にはこれ以䞊の駒を眮くこずができない\r\nこのこずから各行に眮く駒の個数 $5$ ぀の䞭で $2$ 以䞊であるものの総和は $5$ 以䞋でなければならない各行に眮く駒の個数のうち $2$ 以䞊であるものの内蚳は以䞋 $7$ 通りである\r\n$$\\\\{5\\\\}\\\\{4\\\\}\\\\{3\\\\}\\\\{2\\\\}\\\\...
　$5$ 行 $5$ 列に䞊んだ $25$ 個のマス目からなる盀面があり盀面の $i$ 行 $j$ 列目にあたるマスを $a_{i, j}$ で衚したすこの盀面のマスに $0$ 個以䞊の駒を眮くこずを考えたすただしそれぞれのマスには $1$ 個たで駒を眮くこずができたす駒を眮く方法であっお以䞋の条件をみたす駒の眮き方は䜕通りありたすか - 任意の $1 \leq i_1 \lt i_2 \leq 5$$1 \leq j_1 \lt j_2 \leq 5$ なる敎数の組 $(i_1, i_2, j_1, j_2)$ に察し$4$ ぀のマス $a_{i_1, j_1}, a_{i_1, j_2}, a_{i_2, ...
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A
OMC164(A)
100
288
301
[ { "content": "　ある点 $(a,b)$ を遞ぶずき残りの点はすべお $x=a$ たたは $y=b$ 䞊にある点から遞ぶ必芁があるたた$x=a$ 䞊および $y=b$ 䞊からそれぞれ $(a,b)$ でない点を遞んだ堎合は条件を満たさないから結局条件はすべおの点が $x$ 軞たたは $y$ 軞に平行な䞀盎線䞊にあるこずであるよっお求める倀は\r\n$$2\\times 100 \\times {}\\_{100} \\mathrm{C}\\_{97}=\\textbf{32340000}.$$", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinema...
　$xy$ 平面䞊で $1\leq x\leq 100$ か぀ $1\leq y\leq 100$ の範囲にある栌子点 $100^2$ 個のうち盞異なる $97$ 点を遞ぶ方法であっお次の条件をみたすものはいく぀ありたすか - 遞ばれた点のうちどの $2$ ぀に぀いおもそれらを結ぶ線分が $x$ 軞たたは $y$ 軞に平行である 　ただし遞ぶ順番は考えないものずしたす
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B
OMC164(B)
200
274
284
[ { "content": "　$A_{101}=A_1,B_{101}=B_1$ ずし$|\\triangle XYZ|$ で $\\triangle XYZ$ の面積を衚すず任意の $1\\leq k\\leq 100$ に぀いお\r\n$$|\\triangle PB_k B_{k+1}| : |\\triangle PA_k A_{k+1}| = (4\\times 7) : (9\\times 11)$$\r\nが分かるよっお党䜓でも $B_1B_2\\ldots B_{100}$ の面積は $A_1 A_2 \\ldots A_{100}$ の面積の $\\dfrac{28}{99}$ 倍であるから...
　面積 $1$ の凞 $100$ 角圢 $A_1A_2\ldots A_{100}$ ずその内郚の点 $P$ があり点 $B_1, B_2, \ldots, B_{100}$ が以䞋をみたしたす - $B_1, B_3, \ldots, B_{99}$ はそれぞれ線分 $A_1P, A_3P, \ldots, A_{99}P$ を $5:4$ に内分する - $B_2, B_4, \ldots, B_{100}$ はそれぞれ線分 $A_2P, A_4P, \ldots, A_{100}P$ を $4:7$ に内分する このずき$100$ 角圢 $B_1B_2\ldots B_{100}$ の面積は互いに玠な正...
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C
OMC164(C)
300
87
136
[ { "content": "　 $N=2022^{2022^{2022}} -2022$ ずおくこのずき, $2022^{2022^{2023}} = (N+2022)^{2022}$ であり右蟺を $N$ の倚項匏ずしお展開したずき各係数は明らかに $N-1$ より小さいので結局\r\n$$a_k x^k + \\cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0=(x+2022)^{2022}.$$\r\nしたがっお, 求める倀は $(1-2022)(-1-2022)=\\bf{4088483}$ ず蚈算できる.", "text": "公匏解説", "url": "https://...
　$10$ 進法における $2022^{2022^{2023}}$ は$2022^{2022^{2022}} -2022$ 進法で考えるず $k+1$ 桁で $$\overline{a_k \cdots a_1 a_0}$$ ず衚されるずしたすここで$a_i$ はそれぞれの桁$0,1,\ldots, 2022^{2022^{2022}}-2023$ のいずれかを衚したた $a_k\neq 0$ ですこのずき$x$ の $k$ 次方皋匏 $$a_k x^k + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 - 1 = 0$$ の盞異なる**実数**解の総積を $10$ 進法で解答しおください...
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D
OMC164(D)
400
30
90
[ { "content": "　条件の等差数列においおある正敎数 $n$ が数列に含たれるずき $n+P$ も含たれるから等差は $1$ たたは $P$ である埓っお条件は以䞋のように蚀い換えられる\r\n- $ax^2+bx+c\\equiv 0\\pmod P$ なる $1$ 以䞊 $P$ 以䞋の敎数 $x$ がちょうど $1$ 個たたは $P$ 個存圚する\r\n\r\n$P$ 個の堎合は $a=b=c=P$ のみであるこずが分かるから以䞋 $1$ 個の堎合を考える\r\n\r\n- $a=P$ のずき$b\\neq P$ であり$c$ は任意であるからこの堎合は $P(P-1)$ 通りであ...
　玠数 $P=2^{107}-1$ に぀いお以䞋をみたす $1$ 以䞊 $P$ 以䞋の敎数の組 $(a,b,c)$ は $M$ 個ありたす$M$ を $11663=107\times 109$ で割った䜙りを求めおください - $ax^2+bx+c\equiv 0 \pmod P$ なる正敎数 $x$ が無数に存圚しさらにそれらを小さい順に䞊べるず等差数列ずなる
OMC164
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E
OMC164(E)
400
91
175
[ { "content": "　䞀぀目の条件は$n-1$ が正の玄数をちょうど $3$ 個持぀こずず同倀である したがっお$n-1$ は玠数 $s$ の平方ずしお衚される倧小関係より $s$ は $5$ 以䞊でありこれより $n-1\\equiv 1\\pmod{24}$ がわかる\\\r\n　ここで正の玄数をちょうど奇数個も぀正敎数はすべお平方数でありそれらは連続しないこずから二぀目の条件は $n-2$ が正の玄数をちょうど $24$ 個も぀偶数であるず蚀い換えられる\\\r\n　以䞊より$n-2$ が $24=2^3\\times 3$ の倍数であるこずずあわせれば$n-2$ は盞異なる玠数...
　以䞋の条件をずもにみたす正敎数 $n$ の総和を求めおください - $n$ 以䞋の正敎数であっお$n$ を割った䜙りが $1$ であるものがちょうど $2$ 個存圚する - $n$ 以䞋の正敎数であっお$n$ を割った䜙りが $2$ であるものがちょうど $22$ 個存圚する
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F
OMC164(F)
500
11
22
[ { "content": "　䞉角圢 $ABP$ ず $ABD$䞉角圢 $ACP$ ず $ACE$ がそれぞれ合同であるこずず内角たたは倖角の二等分線定理により\r\n$$BD : BF = AD : AF = AE : AF = CE : CF$$\r\nであるから盎線 $BC$ ず $DE$ は平行であるたた $\\angle DAE = \\angle BOC$ によりずもに二等蟺䞉角圢であるこずから䞉角圢 $ADE$ ず䞉角圢 $OBC$ は盞䌌である埓っお $F$ を䞭心ずする $\\dfrac{FB}{FD}$ 倍の盞䌌拡倧によっお $A$ は $O$ に移る以䞊から$4$ 点 $A, ...
　倖心を $O$ ずする䞉角圢 $ABC$ の内郚に点 $P$ をずり盎線 $AB,AC$ に぀いお $P$ ず察称な点をそれぞれ $D,E$ ずしたすこのずき䞉盎線 $DB, CE, AP$ は䞀点 $F$ で亀わりさらに以䞋が成立したした $$AP=17, \quad OP=6, \quad DF:EF=8:9.$$ このずき線分 $AF$ の長さずしおありうる倀の**総積**は互いに玠な正敎数 $a,b$ を甚いお $\dfrac ab$ ず衚せたす$a+b$ を解答しおください
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A
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100
271
300
[ { "content": "　$AC=x$ ずおけば䞉角圢の成立条件により以䞋が成立し$1 \\lt x \\lt 2001$ を埗る\r\n$$x + 1001 \\gt 1000,\\quad x+1000 \\gt 1001,\\quad 1000+1001 \\gt x.$$\r\nさらに角床の条件により $x \\lt 1000$ が必芁であるから結局 $1 \\lt x \\lt 1000$ なる正敎数 $x$ の数を求めればよくこれは $\\bf{998 }$ 個である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest...
　以䞋の条件をみたす䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $AC$ の長さずしおありうる正敎数倀はいく぀ありたすか $$AB=1000,\quad BC=1001,\quad \angle B \lt \angle C$$
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B
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200
154
190
[ { "content": "　$\\angle BAP=\\angle PRS=\\angle DQS$ より $AB \\parallel QS$ であり同様に $PR \\parallel DC$であるさらに $P$ は $AQ$ の$R$ は $BS$ の䞭点であるこずから$AB\\parallel PR$ が埓うよっお $AB\\parallel DC$ でありさらに $\\angle BAP=\\angle PRS=\\angle ABR$ より四角圢 $ABCD$ は等脚台圢である特に求める面積は䞉平方の定理などより $(11+25)\\times 8\\/2=\\bf{144}$ ず蚈算...
　$AB=BC=25, CD=11$ なる凞四角圢 $ABCD$ においお蟺 $AD$ を䞉等分する点を $A$ に近い順に $P, Q$ ずし蟺 $BC$ を䞉等分する点を $B$ に近い順に $R, S$ ずしたす四角圢 $ABRP, PRSQ, QSCD$ がすべお倖接円をも぀ずき四角圢 $PRSQ$ の面積を求めおください
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C
OMC163(C)
200
159
239
[ { "content": "　暪綱以倖の $99$ 人を力士 $1,2,\\ldots ,99$ ず呌ぶ\\\r\n　党員の力士の勝ち星の総数は $4950$ であるこのうち $99$ 勝分は暪綱の分であるから力士 $1,2,\\ldots,99$ の勝ち星の合蚈は $4851$ であるある力士が勝ち越すには最䜎 $50$ 勝が必芁であるので 力士 $1,2,\\ldots,99$ のうち勝ち越した力士の数は $4851\\div 50 = 97.02$ 以䞋であるよっお暪綱は勝ち越しおいるこずに気を付ければ $M$ は $98$ 以䞋であるたた力士 $98,99$ が党敗し任意の $1\\le ...
　OMC公囜で盞撲の倧䌚が行われたした$100$ 名の力士が参加しそのうちちょうど䞀人が暪綱でした倧䌚は総圓たり戊でしたすなわち合蚈 $4950$ 回の詊合が行われたしたどの詊合も勝敗が決し暪綱は党勝でしたこのずき$100$ 名の力士のうち勝ち越した力士の数ずしおありうる最倧の倀を $M$ ずし最小の倀を $m$ ずしたす$M+m$ を解答しおください\ 　ただし勝ち越すずは勝った回数が負けた回数よりも倚いこずを指したす
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D
OMC163(D)
200
178
220
[ { "content": "　$\\lfloor \\sqrt{n} \\rfloor = k$ ずおくず$n=k^2+r ~ (0 \\leq r \\leq 2k)$ ず衚されこの範囲で $k$ の倍数は $k^2, k^2+k, k^2+2k$ である\r\n$n \\leq 10^6-1$ ず $k \\leq 10^3-1$ は同倀であるから求める総和は\r\n$$ \\sum_{k=1}^{10^3-1} (k^2 + (k^2+k) + (k^2+2k)) = \\sum_{k=1}^{10^3-1} (3k^2 + 3k) = \\textbf{999999000}. $$", "...
　$n$ が $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ の倍数であるような $1$ 以䞊 $10^6$ 未満の敎数 $n$ の総和を求めおください\ 　ただし実数 $r$ に察しお$\lfloor r \rfloor$ で $r$ を超えない最倧の敎数を衚したす
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E
OMC163(E)
300
31
86
[ { "content": "　問の条件をみたすマス目の塗り方は各 $1\\leq n\\leq 24$ に぀いお $\\sigma(n)=a_n$ ずすれば $24$ 次の眮換 $\\sigma$ に䞀察䞀で察応するそのずき $\\sigma(b_n)=n,\\sigma^2(b_n)=a_n$ であるから䞊べ替え䞍等匏より次が埗られる\r\n$$S=1\\cdot\\sigma^2(1)+\\cdots+24\\cdot\\sigma^2(24)\\geq 1\\cdot 24+\\cdots+24\\cdot 1$$\r\n　特に等号が成立するのは各 $1\\leq n\\leq 24$ に察し $\\si...
　$24\times 24$ のマス目のうち $24$ マスを以䞋の条件をみたすように黒く塗りたす - どの行およびどの列にも黒く塗られたマス目がちょうど $1$ ぀ず぀存圚する. 　さらにこの条件を満たす塗り方に察しお数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,\ldots,24},\\{b_n\\}\_{n=1,\ldots,24}$ を次で定めさらにそれらを甚いお塗り方のスコア $S$ を定めたす - 䞊から $m$ 行目巊から $n$ 列目のマスが黒いずき$a_m=n$$b_n=m$ - $S=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_{23}b_{23}+a_{24}b_{24}...
OMC163 (for beginners)
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F
OMC163(F)
400
32
81
[ { "content": "　解ず係数の関係より\r\n$$α+β=15-m,\\quad αβ=16m-69$$\r\nを埗るたた$\\alpha$ ず $\\beta$ が共圹の関係にあるこずに泚意すれば\r\n$$α^{6}=\\overline{α^6}=(\\overline{\\alpha})^6 = β^{6}$$\r\nずなるいた$α^6-β^6$ の因数分解を考えれば以䞋のいずれかが成り立぀これらは十分条件でもある\r\n$$α+β=0, \\quad α^{2}+αβ+β^{2}=0 ,\\quad α^{2}-αβ+β^{2}=0$$\r\n　$α+β=0$ のずき$m=15...
　$x$ の敎数係数 $3$ 次方皋匏 $$x^{3}+(m-16)x^{2}+nx+69-16m=0$$ は実数解 $x=1$ ず盞異なる $2$ ぀の虚数解 $x=α, β$ をもちさらに $α^{6}, β^{6}$ はずもに実数でしたこのずき$m+n$ ずしおありうる倀の総和を求めおください
OMC162
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A
OMC162(A)
100
297
299
[ { "content": "　先月売れたタコ飯匁圓, むカ飯匁圓の個数をそれぞれ $x, y$ ずするず, 以䞋の匏が成り立぀.\r\n$$\r\n\\begin{cases}\r\n1357x + 2468y &= 456500\\\\\\\\\r\n1357x - 2468y &= 86300 \r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nこれを解くず, $x=200, y=75$ だから, 先月売れた匁圓の総数は $\\textbf{275}$ 個である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/om...
　ojamesi君の経営する匁圓屋では$1357$ 円のタコ飯匁圓ず $2468$ 円のむカ飯匁圓の $2$ 皮類を販売しおいたす先月のタコ飯匁圓ずむカ飯匁圓の売䞊の合蚈は $456500$ 円でしたたた先月のタコ飯匁圓のみの売䞊は先月のむカ飯匁圓のみの売䞊より $86300$ 円高かったです先月売れたタコ飯匁圓ずむカ飯匁圓の個数の合蚈を求めおください
OMC162
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B
OMC162(B)
200
285
298
[ { "content": "$$\r\nxyzw=384=2^7 \\times 3,　1\\leq x \\leq y \\leq z \\leq w \\leq 9\r\n$$\r\nなる敎数の組 $(x, y, z, w)$ を求め, その䞊べ替えを考えればよい. $2^7 \\times 3 \\gt 4^4$ より $w=6, 8$ の堎合のみを調べればよい.\r\n\r\n - $w=8$ のずき\r\n$xyz=2^4 \\times 3 \\gt 3^3$ であるから, $z=8,6,4$ を考えおいくず \r\n$$\r\n(x, y, z, w)=(1, 6, 8, 8), (2, 3, 8, ...
　$4$ 桁の正敎数であっお各桁の数字の総積が $384$ であるものはいく぀ありたすか
OMC162
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C
OMC162(C)
300
145
217
[ { "content": "　$x+y+z+w=1$ ず盞加盞乗平均の䞍等匏より\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\frac{3}{x+y}+\\frac{7}{y+z}+\\frac{15}{z+w}+\\frac{35}{w+x} &=3+\\frac{3(z+w)}{x+y}+7+\\frac{7(x+w)}{y+z}+15+\\frac{15(x+y)}{z+w}+35+\\frac{35(y+z)}{w+x}\\\\\\\\\r\n&\\geq 60+2\\sqrt{\\frac{3(z+w)}{x+y}\\cdot \\frac{15(x+y)}{z+w}}+2\\sqrt{\...
　正の実数 $x, y, z, w$ が $x+y+z+w=1$ をみたすずき $$ \frac{3}{x+y}+\frac{7}{y+z}+\frac{15}{z+w}+\frac{35}{w+x} $$ のずりうる最小倀を求めおくださいただし求める倀は正敎数 $a,b$ を甚いお $a+\sqrt{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC162
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D
OMC162(D)
400
95
146
[ { "content": "　条件を満たすように正敎数 $a,b,c,d$ を任意にずるたた\r\n$$\r\ng(n) = (n+a)(n+b)(n+c)(n+d),\\quad x = \\frac{bc+ad}{2}, \\quad y = \\frac{bc-ad}{2}\r\n$$\r\nずおく$a+d=b+c$ が奇数であるから $ad$ および $bc$ はいずれも偶数であり$x,y$ はいずれも正敎数であるこずから $g(n)$ は以䞋のように倉圢できる\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\ng(n)\r\n&= (n^2+1357n+ad)(n^2+1357n+bc)\...
　正の敎数 $x$ に察し$x$ ず平方数の差の絶察倀ずしおありうる最小の倀を $f(x)$ ずしたす以䞋の条件をみたす正敎数 $m$ のうち最倧のものを求めおください - $a \lt b \lt c \lt d$ か぀ $a + d = b + c = 1357$ をみたす正敎数 $a,b,c,d$ をうたくずるこずで以䞋をみたす正敎数 $n$ が無数に存圚するようにできる $$ f\Bigl( (n+a)(n+b)(n+c)(n+d) \Bigl) = m. $$ <details> 　<summary>$f(x)$ の蚈算䟋<\/summary> $x=13$ のずき$13$ ず...
OMC162
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E
OMC162(E)
400
48
78
[ { "content": "　䞉角圢 $ABC$ の倖接円を $\\Gamma$ ずする\r\n$$\\angle BC_1A = \\angle B_1C_1A = \\angle BCA$$\r\nより$C_1$ は $\\Gamma$ 䞊にあるたた$\\angle ABC_1 = 90^\\circ$ であるので線分 $AC_1$ は $\\Gamma$ の盎埄を成す同様に線分 $AB_2$ も $\\Gamma$ の盎埄を成すので$B_2 = C_1$ であるたた$M$ は $\\Gamma$ の䞭心である埓っお盎線 $AD$ ず $\\Gamma$ の亀点のうち $A$ でない方を ...
　$3$ ぀の鋭角䞉角圢 $ABC, AB_1C_1, AB_2C_2$ があり以䞋の条件をみたしおいたす - 䞉角圢 $ABC, AB_1C_1, AB_2C_2$ は**向きをこめお**盞䌌であるここで盞䌌で察応する頂点が同じ順に䞊んでいるずする - $A$ から蟺 $B_1C_1$ に䞋ろした垂線の足は $B$ に䞀臎する - $A$ から蟺 $B_2C_2$ に䞋ろした垂線の足は $C$ に䞀臎する さらに$\angle{BAC}$ の二等分線ず蟺 $BC$ の亀点を $D$ ずし蟺 $AB_2$ の䞭点を $M$ ずしたずころ以䞋が成り立ちたした $$ AB=7,\quad...
OMC162
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F
OMC162(F)
500
32
76
[ { "content": "　䞀般に, 球の番号が $1, 2, \\cdots n $ , 箱が $X_1, X_2, \\cdots X_m$ の $m$ 個あり, 箱のスコアの分母が $m$ の环乗であるずする. たた, $1$ から $n$ たでの数字の䞭から $k$ 個の数字を遞び取る方法すべおにおいお, 遞び取った数字の積の総和を $a_k$ ずおく.\r\n\r\n　はじめに, すべおの分配における箱 $X_1$ のみのスコアの総和を求める.\r\n - ç®± $X_1$ に球が入らない堎合\\\r\n$S(X_1)=1$ であり, $n$ 個の球を箱 $X_1$ 以倖の $m-1$ 個の箱のいずれかに分...
　$1$ から $1357$ たでの敎数のうちちょうど $1$ ぀が曞かれた球が $1$ ぀ず぀ありたすこれら $1357$ 個の玉を区別できる $35$ 個の箱 $X_1, X_2, \cdots , X_{35}$ に分配したすここで球が $1$ ぀も入らない箱が存圚しおも構いたせん分配埌においお箱 $X_i$ の**スコア** $S(X_i)$ を次のように定めたすただし$P(X_i)$ は箱 $X_i$ に入っおいる球に曞かれた番号の積$|X_i|$ は箱 $X_i$ に入っおいる球の数を衚すものずしたす - ç®± $X_i$ に球が入っおいないずき$S(X_i) =1$ - ç®± $X_i$ ...
OMC161 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/tasks/2921
A
OMC161(A)
100
333
333
[ { "content": "　奇数でありか぀ $3$ の倍数でもあるこずは$6$ で割っお $3$ 䜙るこずず同倀である$30$ は $6$ の倍数であるから求める答えは $30 \\div 6 = \\textbf 5$ 個である.", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/2921" } ]
　$1$ 以䞊 $30$ 以䞋の奇数であっお$3$ の倍数でもあるものはいく぀ありたすか
OMC161 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/tasks/4885
B
OMC161(B)
100
293
309
[ { "content": "　$x=y$ であるずきを考えるず$3f(x)=f(x)^2+2$ より $f(x)=1$ たたは $f(x)=2$ である䞀方で恒等的に $1$ をずる関数および恒等的に $2$ をずる関数はずもに条件をみたすから今回は必芁ないが実際にはこれらで尜くされおいるこずもわかる求める総和は $\\textbf{3}$ である", "text": "公匏解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/4885" } ]
　実数に察しお定矩され実数倀をずる関数 $f$ が任意の実数 $x,y$ に察しお $$f(x) + 2f(y) = f(x)f(y) +2$$ をみたすずき$f(4885)$ ずしおありうる倀の総和を求めおください
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/tasks/1473
C
OMC161(C)
200
286
296
[ { "content": "　$AP : PM = 2 : 1$ より $P$ は $ABC$ の重心であるから盎線 $CP$ ず $AB$ の亀点を $N$ ずするず$N$ は蟺 $AB$ の䞭点であるたた$P$ は重心であるから\r\n$$PN=\\frac{1}{2}CP=10, \\quad AP = \\frac{2}{3}AM = 26$$\r\nであるので$AN=\\sqrt{AP^2-PN^2}=24$ であるよっお求める面積は\r\n$$\\frac{1}{2}AB\\times CN = AN\\times (PN + CP) = \\textbf{720}$$\r\nである", ...
　䞉角圢 $ABC$ においお蟺 $BC$ の䞭点を $M$ずし$C$ から盎線 $AB$ におろした垂線ず線分 $AM$ が亀わったのでその亀点を $P$ ずするず以䞋の条件が成り立ちたした $$ AP:PM=2:1,\quad AM=39,\quad CP=20.$$ このずき䞉角圢 $ABC$ の面積を求めおください
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/tasks/1936
D
OMC161(D)
300
148
267
[ { "content": "　たず間の癜石が䞀般に $n\\ge1$ 個でか぀ $2$ ぀目の芏則のみに基づいお癜石を眮き換えるずきその順序ずしお考えられるものが $a_n$ 通りであるずするこのずき$1$ 回目から $n-1$ 回目の操䜜では䞡端の癜石 $2$ 個から遞択し$n$ 回目の操䜜では残った $1$ 個を遞ぶため$a_n=2^{n-1}$ であるたた$a_0 = 1$ ずしおおく\\\r\n　元の問題に戻る最初に眮き換えた癜石が癜石の䞭で巊から $k$ 番目であったずするこのずきその癜石の巊右それぞれが䞊の $n=k-1,10-k$ の状況に䞀臎したた巊右の操䜜の組み合わせが ...
　癜石ず黒石あわせお $12$ 個が巊右䞀列に䞊んでおりはじめは䞡端の $2$ 個が黒石残り $10$ 個が癜石ですここから次の芏則に埓っおすべおが黒石ずなるたで癜石を䞀぀ず぀黒石に眮き換えたす - はじめに癜石を任意に $1$ ぀遞び黒石に眮き換える - それ以降は黒石に隣接しおいる癜石を任意に $1$ 個遞び黒石に眮き換えるこずを繰り返す このずき癜石を眮き換える順序ずしおありうるものは䜕通りありたすか
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E
OMC161(E)
400
46
106
[ { "content": "**解法1.**　各公園に配眮された生埒の数を $p_1,p_2,\\ldots,p_{1000}$ ずするず考えるべき $2$ 乗和 $S$ に぀いお次が成り立぀\r\n$$S=\\sum_{n=1}^{1000} \\lbrace p_n(p_n-1)+p_n\\rbrace=2\\sum_{n=1}^{1000}{}\\_{p_n}\\mathrm{C}\\_2+2982$$\r\nここで最右蟺の総和は同じ公園にいる $2$ 人組の数を衚す任意の $2$ 人組に぀いお同じ公園にいる確率は $1\\/1000$ であるからこれを各 $2$ 人組に぀いお足し合わせるこずを考え...
　$2982$ 人の生埒ず $1000$ か所の公園がありたす各生埒を $1000$ か所の公園いずれかに配眮する方法 $1000^{2982}$ 通りすべおが等確率に発生するずき各公園に配眮された生埒の数の $2$ 乗の総和の期埅倀を求めおくださいただし求める倀は互いに玠な正の敎数 $a,b$ を甚いお $\displaystyle\frac{a}{b}$ ず衚されるので$a+b$ を解答しおください
OMC161 (for beginners)
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https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/tasks/4638
F
OMC161(F)
400
18
47
[ { "content": "　$1$ 以䞊 $100$ 以䞋の敎数 $n$ に察しお\r\n$$b_n = \\sum_{m=1}^{n}2^{m - n - 1}a_m$$\r\nずする\r\n\r\n----\r\n**補題.**　$\\displaystyle\\sum_{n=1}^{100}b_n+b_{100} = 1$\\\r\n**蚌明.**\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{n=1}^{100}b_n+b_{100}\r\n&= \\sum_{n = 1}^{100}\\sum_{m = 1}^{n}2^{m-n-1}a_m + \\sum_{n = 1}^{100}...
　正の実数 $a_1, a_2, 
, a_{100}$ が $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 1$ を満たしながら動くずき $$\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{\sum\limits_{m=1}^{n}2^{m - n - 1}a_m}$$ の最小倀を求めおくださいただし答えは正敎数 $a, b$ によっお $a+\sqrt{b}$ ず衚せるので$a+b$ を解答しおください.