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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.add
[191, 1]
[194, 30]
exact fh.sub gh.neg
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f g : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s gh : HarmonicOn g s e : f + g = f - -g ⊢ HarmonicOn (f - -g) s
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f g : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s gh : HarmonicOn g s e : f + g = f - -g ⊢ HarmonicOn (f - -g) s TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.add
[191, 1]
[194, 30]
ext
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f g : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s gh : HarmonicOn g s ⊢ f + g = f - -g
case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f g : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s gh : HarmonicOn g s x✝ : ℂ ⊢ (f + g) x✝ = (f - -g) x✝
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f g : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s gh : HarmonicOn g s ⊢ f + g = f - -g TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.add
[191, 1]
[194, 30]
simp
case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f g : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s gh : HarmonicOn g s x✝ : ℂ ⊢ (f + g) x✝ = (f - -g) x✝
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f g : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s gh : HarmonicOn g s x✝ : ℂ ⊢ (f + g) x✝ = (f - -g) x✝ TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.const_mul
[197, 1]
[202, 97]
intro c r rp cs
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → S s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s a : S ⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → S s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s a : S c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → S s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s a : S ⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.const_mul
[197, 1]
[202, 97]
rw [average_eq]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → S s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s a : S c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t)
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → S s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s a : S c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → S s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s a : S c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ a * f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.const_mul
[197, 1]
[202, 97]
simp_rw [← smul_eq_mul, integral_smul, smul_comm _ a, ← average_eq, ← fh.mean c r rp cs]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → S s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s a : S c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → S s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s a : S c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ a * f c = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a * f (circleMap c r x) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
intro c cs
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a ⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a ⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
rcases fs.submean' c cs with ⟨r, rp, rm⟩
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
case intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
use r, rp
case intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
intro s sp sr
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r ⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
specialize rm s sp sr
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r ⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r rm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r ⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, smul_eq_mul] at rm ⊢
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
calc a * f c _ ≤ a * ((volume itau).toReal⁻¹ * ∫ t in itau, f (circleMap c s t)) := by bound _ = (volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ t in itau, f (circleMap c s t)) := by ring _ = (volume itau).toReal⁻¹ * ∫ t in itau, a * f (circleMap c s t) := by rw [integral_mul_left]
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
bound
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * f c ≤ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * f c ≤ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
ring
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) = (↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ a * ((↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) = (↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.constMul
[205, 1]
[217, 35]
rw [integral_mul_left]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ (↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) = (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s✝ : Set ℂ a : ℝ fs : SubharmonicOn f s✝ ap : 0 ≤ a c : ℂ cs : c ∈ interior s✝ r : ℝ rp : 0 < r s : ℝ sp : 0 < s sr : s < r rm : f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) ⊢ (↑volume itau).toReal⁻¹ * (a * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)) = (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, a * f (circleMap c s t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
have h := Complex.circleIntegral_sub_inv_smul_of_differentiable_on_off_countable Set.countable_empty (Metric.mem_ball_self rp) fa.continuousOn ?_
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 ⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
simp_rw [circleIntegral, deriv_circleMap, circleMap_sub_center, smul_smul, mul_comm _ I] at h
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : (∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
field_simp [circleMap_ne_center rp.ne'] at h
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (I * circleMap 0 r θ * (circleMap 0 r θ)⁻¹) • f (circleMap c r θ) = (I * (2 * ↑π)) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
rw [← smul_smul, IsUnit.smul_left_cancel (Ne.isUnit Complex.I_ne_zero)] at h
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : I • ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (I * (2 * ↑π)) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
rw [intervalIntegral.integral_of_le Real.two_pi_pos.le] at h
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c r x) = (2 * ↑π) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
rw [average_eq, itau, h]
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) = f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
simp only [gt_iff_lt, zero_lt_two, mul_pos_iff_of_pos_left, not_lt, ge_iff_le, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, Real.volume_Ioc, sub_zero, mul_nonneg_iff_of_pos_left]
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (↑(volume.restrict (Ioc 0 (2 * π))) univ).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
rw [ENNReal.toReal_ofReal Real.two_pi_pos.le]
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (ENNReal.ofReal (2 * π)).toReal⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
rw [← smul_assoc, Complex.real_smul]
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (2 * π)⁻¹ • (2 * ↑π) • f c = f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
field_simp [Real.pi_ne_zero]
case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_2 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 h : ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c r x) ∂volume = (2 * ↑π) • f c ⊢ (↑(2 * π)⁻¹ * (2 * ↑π)) • f c = f c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
intro z zs
case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 ⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x
case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 z : ℂ zs : z ∈ ball c r \ ∅ ⊢ DifferentiableAt ℂ f z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 ⊢ ∀ x ∈ ball c r \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
rw [Set.diff_empty] at zs
case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 z : ℂ zs : z ∈ ball c r \ ∅ ⊢ DifferentiableAt ℂ f z
case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ DifferentiableAt ℂ f z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 z : ℂ zs : z ∈ ball c r \ ∅ ⊢ DifferentiableAt ℂ f z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.circle_mean_eq
[220, 1]
[234, 69]
exact (fa z (Metric.ball_subset_closedBall zs)).differentiableAt
case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ DifferentiableAt ℂ f z
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case refine_1 S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H c : ℂ r : ℝ fa : AnalyticOn ℂ f (closedBall c r) rp : r > 0 z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ DifferentiableAt ℂ f z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.harmonicOn
[237, 1]
[239, 70]
intro c r rp cs
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s ⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s ⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.harmonicOn
[237, 1]
[239, 70]
rw [(fa.mono cs).circle_mean_eq rp]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → H s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ f c = ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.linear
[242, 1]
[248, 31]
intro c r rp cs
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s g : E →L[ℝ] F ⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s g : E →L[ℝ] F c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s g : E →L[ℝ] F ⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.linear
[242, 1]
[248, 31]
rw [average_linear_comm ((fh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s g : E →L[ℝ] F c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t))
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s g : E →L[ℝ] F c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s g : E →L[ℝ] F c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ g (f c) = ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c r t)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.linear
[242, 1]
[248, 31]
rw [fh.mean c r rp cs]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s g : E →L[ℝ] F c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → E s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s g : E →L[ℝ] F c : ℂ r : ℝ rp : r > 0 cs : closedBall c r ⊆ s ⊢ g (f c) = g (⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.re
[251, 1]
[252, 95]
simp only [← Complex.reCLM_apply]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => (f z).re) s
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => (f z).re) s TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.re
[251, 1]
[252, 95]
exact fh.linear _
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => Complex.reCLM (f z)) s TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.conj
[255, 1]
[256, 91]
simp only [← conjCLM_apply]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => (starRingEnd ℂ) (f z)) s
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => (starRingEnd ℂ) (f z)) s TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
HarmonicOn.conj
[255, 1]
[256, 91]
exact fh.linear _
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fh : HarmonicOn f s ⊢ HarmonicOn (fun z => conjCLM (f z)) s TACTIC:
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Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r, rp, rs⟩
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
case intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) TACTIC:
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Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
use r, rp
case intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s ⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) TACTIC:
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Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
intro t tp tr
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s ⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r ⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s ⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) TACTIC:
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Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
rw [average_eq]
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r ⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r ⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1) TACTIC:
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Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
have fg : ∀ (u) (_ : u ∈ itau), f c ≤ f (circleMap c t u) := fun _ _ ↦ fm _
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) TACTIC:
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Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
have ss : closedBall c t ⊆ s := _root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball tr) (_root_.trans rs interior_subset)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) TACTIC:
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Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
have n := NiceVolume.itau
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
have m := setIntegral_ge_of_const_le n.measurable n.ne_top fg ((fc.mono ss).integrableOn_sphere tp)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
simp only [MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, smul_eq_mul, ge_iff_le]
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) ⊢ f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) ⊢ f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) TACTIC:
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Minimum.submean
[264, 1]
[276, 65]
simpa only [mul_comm, ← div_eq_mul_inv, le_div_iff n.real_pos]
case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) ⊢ f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case right S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ s : Set ℂ c : ℂ fc : ContinuousOn f s cs : c ∈ interior s fm : ∀ (z : ℂ), f c ≤ f z r : ℝ rp : r > 0 rs : ball c r ⊆ interior s t : ℝ tp : 0 < t tr : t < r fg : ∀ u ∈ itau, f c ≤ f (circleMap c t u) ss : closedBall c t ⊆ s n : NiceVolume itau m : f c * (↑volume itau).toReal ≤ ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) ⊢ f c ≤ (↑volume itau).toReal⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
intro c cs
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ ⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ ⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
by_cases bf : b.exp ≥ abs (f c)
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : ¬b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
simp only [not_le] at bf
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : ¬b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : ¬b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
have anz : ‖f c‖ ≠ 0 := (lt_trans (Real.exp_pos _) bf).ne'
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
have fac : ContinuousAt f c := fa.continuousOn.continuousAt (mem_interior_iff_mem_nhds.mp cs)
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
generalize hh : (fun z ↦ Complex.log (Complex.abs (f c) / f c * f z)) = h
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
generalize hg : (fun z ↦ (h z).re) = g
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
have ha : AnalyticAt ℂ h c := by rw [← hh] apply (analyticAt_const.mul (fa c (interior_subset cs))).log field_simp [Complex.abs.ne_zero_iff.mp anz]
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
rcases Metric.isOpen_iff.mp (isOpen_analyticAt ℂ h) c ha with ⟨r0, r0p, r0a⟩
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
rcases Metric.continuousAt_iff.mp fac (abs (f c) - b.exp) (sub_pos.mpr bf) with ⟨r1, r1p, r1h⟩
case neg.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
set r := min r0 r1
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
have fg : Set.EqOn (fun z ↦ maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) := by intro z zs simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq] at zs r1h specialize r1h (lt_of_lt_of_le zs (by bound)) have zp : abs (f z) > b.exp := by calc abs (f z) _ = abs (f c + (f z - f c)) := by ring_nf _ ≥ abs (f c) - abs (f z - f c) := by bound _ > abs (f c) - (abs (f c) - b.exp) := by bound _ = b.exp := by abel simp only [maxLog_eq_log zp.le] rw [←hg, ←hh] simp only [Complex.norm_eq_abs] at anz simp only [Complex.log_re, AbsoluteValue.map_mul, map_div₀, Complex.abs_ofReal, Complex.abs_abs, div_self anz, one_mul]
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
have gs : SubharmonicOn g (ball c r) := by rw [← hg]; apply AnalyticOn.reSubharmonicOn; intro z zs exact r0a (Metric.ball_subset_ball (by bound) zs)
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn g (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
rw [subharmonicOn_congr fg.symm] at gs
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn g (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn g (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
refine gs.submean' c ?_
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ c ∈ interior (ball c r)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
rw [Metric.isOpen_ball.interior_eq]
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ c ∈ interior (ball c r)
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ c ∈ ball c r
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ c ∈ interior (ball c r) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
exact Metric.mem_ball_self (by bound)
case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ c ∈ ball c r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg.intro.intro.intro.intro S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ c ∈ ball c r TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
apply Minimum.submean (fa.continuousOn.maxLog_norm b) cs
case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t)))
case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∀ (z : ℂ), maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → maxLog b (Complex.abs (f c)) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, maxLog b (Complex.abs (f (circleMap c s t))) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
intro z
case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∀ (z : ℂ), maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) z : ℂ ⊢ maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) ⊢ ∀ (z : ℂ), maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖ TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
simp only [maxLog_eq_b bf, le_maxLog, Complex.norm_eq_abs]
case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) z : ℂ ⊢ maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp ≥ Complex.abs (f c) z : ℂ ⊢ maxLog b ‖f c‖ ≤ maxLog b ‖f z‖ TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
rw [← hh]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ AnalyticAt ℂ h c
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) c
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ AnalyticAt ℂ h c TACTIC:
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0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
apply (analyticAt_const.mul (fa c (interior_subset cs))).log
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) c
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ ↑(Complex.abs (f c)) / f c * f c ∈ Complex.slitPlane
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) c TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
field_simp [Complex.abs.ne_zero_iff.mp anz]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ ↑(Complex.abs (f c)) / f c * f c ∈ Complex.slitPlane
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ⊢ ↑(Complex.abs (f c)) / f c * f c ∈ Complex.slitPlane TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
intro z zs
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 ⊢ Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r)
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 ⊢ Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq] at zs r1h
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
specialize r1h (lt_of_lt_of_le zs (by bound))
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
have zp : abs (f z) > b.exp := by calc abs (f z) _ = abs (f c + (f z - f c)) := by ring_nf _ ≥ abs (f c) - abs (f z - f c) := by bound _ > abs (f c) - (abs (f c) - b.exp) := by bound _ = b.exp := by abel
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
simp only [maxLog_eq_log zp.le]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = g z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) z = g z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
rw [←hg, ←hh]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = g z
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = g z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
simp only [Complex.norm_eq_abs] at anz
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : Complex.abs (f c) ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
simp only [Complex.log_re, AbsoluteValue.map_mul, map_div₀, Complex.abs_ofReal, Complex.abs_abs, div_self anz, one_mul]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : Complex.abs (f c) ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : Complex.abs (f c) ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp zp : Complex.abs (f z) > b.exp ⊢ (Complex.abs (f z)).log = (fun z => ((fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) z).re) z TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
bound
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r ⊢ r ≤ r1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, Complex.abs (x - c) < r1 → Complex.abs (f x - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r ⊢ r ≤ r1 TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
calc abs (f z) _ = abs (f c + (f z - f c)) := by ring_nf _ ≥ abs (f c) - abs (f z - f c) := by bound _ > abs (f c) - (abs (f c) - b.exp) := by bound _ = b.exp := by abel
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f z) > b.exp
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f z) > b.exp TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
ring_nf
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f z) = Complex.abs (f c + (f z - f c))
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f z) = Complex.abs (f c + (f z - f c)) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
bound
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f c + (f z - f c)) ≥ Complex.abs (f c) - Complex.abs (f z - f c)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f c + (f z - f c)) ≥ Complex.abs (f c) - Complex.abs (f z - f c) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
bound
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f c) - Complex.abs (f z - f c) > Complex.abs (f c) - (Complex.abs (f c) - b.exp)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f c) - Complex.abs (f z - f c) > Complex.abs (f c) - (Complex.abs (f c) - b.exp) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
abel
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f c) - (Complex.abs (f c) - b.exp) = b.exp
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r : ℝ := min r0 r1 z : ℂ zs : Complex.abs (z - c) < r r1h : Complex.abs (f z - f c) < Complex.abs (f c) - b.exp ⊢ Complex.abs (f c) - (Complex.abs (f c) - b.exp) = b.exp TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
rw [← hg]
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ SubharmonicOn g (ball c r)
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ SubharmonicOn (fun z => (h z).re) (ball c r)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ SubharmonicOn g (ball c r) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
apply AnalyticOn.reSubharmonicOn
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ SubharmonicOn (fun z => (h z).re) (ball c r)
case fa S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => h z) (ball c r)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ SubharmonicOn (fun z => (h z).re) (ball c r) TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
intro z zs
case fa S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => h z) (ball c r)
case fa S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => h z) z
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case fa S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) ⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => h z) (ball c r) TACTIC:
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AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
exact r0a (Metric.ball_subset_ball (by bound) zs)
case fa S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => h z) z
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case fa S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ AnalyticAt ℂ (fun z => h z) z TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
bound
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ r ≤ r0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) z : ℂ zs : z ∈ ball c r ⊢ r ≤ r0 TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
AnalyticOn.maxLogAbsSubharmonicOn
[279, 1]
[322, 83]
bound
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ 0 < r
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℂ s : Set ℂ fa : AnalyticOn ℂ f s b : ℝ c : ℂ cs : c ∈ interior s bf : b.exp < Complex.abs (f c) anz : ‖f c‖ ≠ 0 fac : ContinuousAt f c h : ℂ → ℂ hh : (fun z => (↑(Complex.abs (f c)) / f c * f z).log) = h g : ℂ → ℝ hg : (fun z => (h z).re) = g ha : AnalyticAt ℂ h c r0 : ℝ r0p : r0 > 0 r0a : ball c r0 ⊆ {x | AnalyticAt ℂ h x} r1 : ℝ r1p : r1 > 0 r1h : ∀ {x : ℂ}, dist x c < r1 → dist (f x) (f c) < Complex.abs (f c) - b.exp r : ℝ := min r0 r1 fg : Set.EqOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) g (ball c r) gs : SubharmonicOn (fun z => maxLog b (Complex.abs (f z))) (ball c r) ⊢ 0 < r TACTIC:
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SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
intro cm g gs
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 ⊢ IsMaxOn f (closedBall c r) c → ∀ z ∈ closedBall c r, f c = f z
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 ⊢ IsMaxOn f (closedBall c r) c → ∀ z ∈ closedBall c r, f c = f z TACTIC:
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SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
by_cases gc : g = c
S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r ⊢ f c = f g
case pos S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : g = c ⊢ f c = f g case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r ⊢ f c = f g TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
generalize hu : Complex.abs (g - c) = u
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c ⊢ f c = f g
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c ⊢ f c = f g TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
have u0 : u > 0 := by simp only [← hu, gt_iff_lt, AbsoluteValue.pos_iff, Ne] contrapose gc; simp only [not_not, sub_eq_zero] at gc ⊢; exact gc
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u ⊢ f c = f g
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u ⊢ f c = f g TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
have ur : u ≤ r := by simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall] at gs; simp only [←hu, gs]
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ⊢ f c = f g
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ⊢ f c = f g TACTIC:
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Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
generalize hy : (g - c) / u = y
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r ⊢ f c = f g
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r ⊢ f c = f g TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
have y1 : abs y = 1 := by simp only [← hy, ← hu, map_div₀, Complex.abs_ofReal, Complex.abs_abs, ne_eq, Complex.abs.map_sub_eq_zero_iff, div_self (Complex.abs.ne_zero_iff.mpr (sub_ne_zero.mpr gc))]
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y ⊢ f c = f g
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y y1 : Complex.abs y = 1 ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y ⊢ f c = f g TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
generalize hs : (fun t : ℝ ↦ f (c + t * y)) ⁻¹' {f c} = s
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y y1 : Complex.abs y = 1 ⊢ f c = f g
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y y1 : Complex.abs y = 1 s : Set ℝ hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y y1 : Complex.abs y = 1 ⊢ f c = f g TACTIC:
https://github.com/girving/ray.git
0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9
Ray/Hartogs/Subharmonic.lean
SubharmonicOn.maximum_principle_ball
[325, 1]
[404, 16]
have s0 : (0 : ℝ) ∈ s := by simp only [← hs, Set.mem_preimage, Complex.ofReal_zero, MulZeroClass.zero_mul, add_zero, Set.mem_singleton]
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y y1 : Complex.abs y = 1 s : Set ℝ hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s ⊢ f c = f g
case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y y1 : Complex.abs y = 1 s : Set ℝ hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s s0 : 0 ∈ s ⊢ f c = f g
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case neg S : Type inst✝¹⁵ : RCLike S inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S T : Type inst✝¹³ : RCLike T inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T E : Type inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E inst✝¹⁰ : CompleteSpace E inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E F : Type inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F inst✝⁷ : CompleteSpace F inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F H : Type inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H inst✝⁴ : CompleteSpace H inst✝³ : NormedSpace ℂ H inst✝² : SecondCountableTopology E inst✝¹ : SecondCountableTopology F inst✝ : SecondCountableTopology H f : ℂ → ℝ c : ℂ r : ℝ fs : SubharmonicOn f (closedBall c r) rp : r > 0 cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c g : ℂ gs : g ∈ closedBall c r gc : ¬g = c u : ℝ hu : Complex.abs (g - c) = u u0 : u > 0 ur : u ≤ r y : ℂ hy : (g - c) / ↑u = y y1 : Complex.abs y = 1 s : Set ℝ hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s ⊢ f c = f g TACTIC: