url stringclasses 147 values | commit stringclasses 147 values | file_path stringlengths 7 101 | full_name stringlengths 1 94 | start stringlengths 6 10 | end stringlengths 6 11 | tactic stringlengths 1 11.2k | state_before stringlengths 3 2.09M | state_after stringlengths 6 2.09M | input stringlengths 73 2.09M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | refine le_trans (Floating.add_le z2n) (add_le_add ?_ ?_) | case pos.intro
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
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k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
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w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2 | case pos.intro.refine_1
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
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rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
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⊢ z.re.sqr.lo.val ≤ z'.re ^ 2
case pos.intro.refine_2
c : Box
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c' : ℂ
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rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
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∀ {z : Box} {z' : ℂ},
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∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
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k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
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z' : ℂ
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hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
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w' : ℂ
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nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z.im.sqr.lo.val ≤ z'.im ^ 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
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n : ℕ
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∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
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w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ (z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false).val ≤ z'.re ^ 2 + z'.im ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | apply Interval.lo_le nr | case pos.intro.refine_1
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
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w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
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ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z.re.sqr.lo.val ≤ z'.re ^ 2 | case pos.intro.refine_1
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
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hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z'.re ^ 2 ∈ approx z.re.sqr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.refine_1
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z.re.sqr.lo.val ≤ z'.re ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | mono | case pos.intro.refine_1
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z'.re ^ 2 ∈ approx z.re.sqr | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.refine_1
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z'.re ^ 2 ∈ approx z.re.sqr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | apply Interval.lo_le ni | case pos.intro.refine_2
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z.im.sqr.lo.val ≤ z'.im ^ 2 | case pos.intro.refine_2
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z'.im ^ 2 ∈ approx z.im.sqr | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.refine_2
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z.im.sqr.lo.val ≤ z'.im ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | mono | case pos.intro.refine_2
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z'.im ^ 2 ∈ approx z.im.sqr | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos.intro.refine_2
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
rz : rs.val < z2.val
z2n : ¬z.re.sqr.lo.add z.im.sqr.lo false = nan
nr : ¬z.re.sqr = nan
ni : ¬z.im.sqr = nan
⊢ z'.im ^ 2 ∈ approx z.im.sqr
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | simp only [rz, ite_false, z2n] | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2) | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
⊢ k ≤ (iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2 c')^[(iterate' c w rs (k + 1) n).n - k] z' ∈ approx (iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((iterate' c w rs (k + 1) n).exit = Exit.large →
rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[(iterate' c w rs (k + 1) n).n - k] z') ^ 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
⊢ k ≤
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z' ∈
approx
(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large } else iterate' c w rs (k + 1) n).exit =
Exit.large →
rs' <
Complex.abs
((f' 2
c')^[(if z2 = nan then { z := z, n := k, exit := Exit.nan }
else
if rs.val < z2.val then { z := z, n := k, exit := Exit.large }
else iterate' c w rs (k + 1) n).n -
k]
z') ^
2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | generalize hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
⊢ k ≤ (iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2 c')^[(iterate' c w rs (k + 1) n).n - k] z' ∈ approx (iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((iterate' c w rs (k + 1) n).exit = Exit.large →
rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[(iterate' c w rs (k + 1) n).n - k] z') ^ 2) | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
⊢ k ≤ (iterate' c w rs (k + 1) n).n ∧
(f' 2 c')^[(iterate' c w rs (k + 1) n).n - k] z' ∈ approx (iterate' c w rs (k + 1) n).z ∧
((iterate' c w rs (k + 1) n).exit = Exit.large →
rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[(iterate' c w rs (k + 1) n).n - k] z') ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | specialize h wa (k+1) | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
let i := iterate' c w rs (k + 1) n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w';
k + 1 ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
h :
∀ {z : Box} {z' : ℂ},
z' ∈ approx z →
∀ (k : ℕ),
let i := iterate' c z rs k n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - k] z';
k ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | simp only [hi] at h | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
let i := iterate' c w rs (k + 1) n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w';
k + 1 ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
let i := iterate' c w rs (k + 1) n;
let w' := (f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w';
k + 1 ≤ i.n ∧ w' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs w' ^ 2)
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | refine ⟨by omega, ?_⟩ | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ k ≤ i.n ∧ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | have ie : i.n - k = (i.n - (k + 1)) + 1 := by omega | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
ie : i.n - k = i.n - (k + 1) + 1
⊢ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | rw [ie, Function.iterate_succ_apply, hw'] | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
ie : i.n - k = i.n - (k + 1) + 1
⊢ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2) | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
ie : i.n - k = i.n - (k + 1) + 1
⊢ (f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
ie : i.n - k = i.n - (k + 1) + 1
⊢ (f' 2 c')^[i.n - k] z' ∈ approx i.z ∧ (i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - k] z') ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | exact h.2 | case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
ie : i.n - k = i.n - (k + 1) + 1
⊢ (f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
ie : i.n - k = i.n - (k + 1) + 1
⊢ (f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | omega | c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ k ≤ i.n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ k ≤ i.n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate'_correct | [53, 1] | [91, 16] | omega | c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ i.n - k = i.n - (k + 1) + 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c : Box
rs : Floating
c' : ℂ
rs' : ℝ
cm : c' ∈ approx c
rsn : rs ≠ nan
rsm : rs' ≤ rs.val
n : ℕ
z : Box
z' : ℂ
zm : z' ∈ approx z
k : ℕ
zr2 : Interval
hzr2 : z.re.sqr = zr2
zi2 : Interval
hzi2 : z.im.sqr = zi2
z2 : Floating
hz2 : zr2.lo.add zi2.lo false = z2
w : Box
hw : { re := zr2 - zi2, im := (z.re * z.im).scaleB 1 } + c = w
we : w = z.sqr + c
w' : ℂ
hw' : f' 2 c' z' = w'
wa : w' ∈ approx w
z2n : ¬z2 = nan
rz : ¬rs.val < z2.val
i : Iter
hi : iterate' c w rs (k + 1) n = i
h :
k + 1 ≤ i.n ∧
(f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w' ∈ approx i.z ∧
(i.exit = Exit.large → rs' < Complex.abs ((f' 2 c')^[i.n - (k + 1)] w') ^ 2)
⊢ i.n - k = i.n - (k + 1) + 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | mem_approx_iterate | [93, 1] | [101, 59] | rw [iterate] | c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
⊢ (f' 2 c')^[(iterate c z rs n).n] z' ∈ approx (iterate c z rs n).z | c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
⊢ (f' 2 c')^[(iterate c z rs n).n] z' ∈ approx (iterate c z rs n).z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | mem_approx_iterate | [93, 1] | [101, 59] | by_cases rsn : rs = nan | c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z | case pos
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z
case neg
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : ¬rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | mem_approx_iterate | [93, 1] | [101, 59] | simpa only [rsn, ite_true, Function.iterate_zero, id_eq] | case pos
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | mem_approx_iterate | [93, 1] | [101, 59] | simp only [rsn, ite_false] | case neg
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : ¬rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z | case neg
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : ¬rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈ approx (iterate' c z rs 0 n).z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : ¬rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈
approx (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | mem_approx_iterate | [93, 1] | [101, 59] | exact (iterate'_correct cm zm rsn (le_refl _) 0 n).2.1 | case neg
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : ¬rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈ approx (iterate' c z rs 0 n).z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c z : Box
rs : Floating
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
n : ℕ
rsn : ¬rs = nan
⊢ (f' 2 c')^[(iterate' c z rs 0 n).n] z' ∈ approx (iterate' c z rs 0 n).z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate_large | [103, 1] | [111, 95] | rw [iterate] at l ⊢ | c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (iterate c z rs n).exit = Exit.large
⊢ rs.val < Complex.abs ((f' 2 c')^[(iterate c z rs n).n] z') ^ 2 | c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (iterate c z rs n).exit = Exit.large
⊢ rs.val < Complex.abs ((f' 2 c')^[(iterate c z rs n).n] z') ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate_large | [103, 1] | [111, 95] | by_cases rsn : rs = nan | c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2 | case pos
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
rsn : rs = nan
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2
case neg
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
rsn : ¬rs = nan
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate_large | [103, 1] | [111, 95] | simp only [rsn, ↓reduceIte] at l | case pos
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
rsn : rs = nan
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
rsn : rs = nan
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate_large | [103, 1] | [111, 95] | simp only [rsn, ite_false] at l ⊢ | case neg
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
rsn : ¬rs = nan
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2 | case neg
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
rsn : ¬rs = nan
l : (iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
⊢ rs.val < Complex.abs ((f' 2 c')^[(iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
l : (if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
rsn : ¬rs = nan
⊢ rs.val <
Complex.abs ((f' 2 c')^[(if rs = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate_large | [103, 1] | [111, 95] | simpa only [not_lt, Nat.sub_zero] using (iterate'_correct cm zm rsn (le_refl _) 0 n).2.2 l | case neg
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
rsn : ¬rs = nan
l : (iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
⊢ rs.val < Complex.abs ((f' 2 c')^[(iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
c' z' : ℂ
cm : c' ∈ approx c
zm : z' ∈ approx z
rsn : ¬rs = nan
l : (iterate' c z rs 0 n).exit = Exit.large
⊢ rs.val < Complex.abs ((f' 2 c')^[(iterate' c z rs 0 n).n] z') ^ 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate_nan | [113, 1] | [115, 60] | rw [iterate] | c z : Box
n : ℕ
⊢ (iterate c z nan n).exit = Exit.nan | c z : Box
n : ℕ
⊢ (if nan = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z nan 0 n).exit = Exit.nan | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
n : ℕ
⊢ (iterate c z nan n).exit = Exit.nan
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | iterate_nan | [113, 1] | [115, 60] | simp only [ite_true, Function.iterate_zero] | c z : Box
n : ℕ
⊢ (if nan = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z nan 0 n).exit = Exit.nan | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
n : ℕ
⊢ (if nan = nan then { z := z, n := 0, exit := Exit.nan } else iterate' c z nan 0 n).exit = Exit.nan
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | ne_nan_of_iterate | [117, 1] | [121, 74] | contrapose e | c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
e : (iterate c z rs n).exit ≠ Exit.nan
⊢ rs ≠ nan | c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
e : ¬rs ≠ nan
⊢ ¬(iterate c z rs n).exit ≠ Exit.nan | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
e : (iterate c z rs n).exit ≠ Exit.nan
⊢ rs ≠ nan
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | ne_nan_of_iterate | [117, 1] | [121, 74] | simp only [ne_eq, not_not] at e | c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
e : ¬rs ≠ nan
⊢ ¬(iterate c z rs n).exit ≠ Exit.nan | c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
e : rs = nan
⊢ ¬(iterate c z rs n).exit ≠ Exit.nan | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
e : ¬rs ≠ nan
⊢ ¬(iterate c z rs n).exit ≠ Exit.nan
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Render/Iterate.lean | ne_nan_of_iterate | [117, 1] | [121, 74] | simp only [e, iterate_nan, ne_eq, not_true_eq_false, not_false_eq_true] | c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
e : rs = nan
⊢ ¬(iterate c z rs n).exit ≠ Exit.nan | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
c z : Box
rs : Floating
n : ℕ
e : rs = nan
⊢ ¬(iterate c z rs n).exit ≠ Exit.nan
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | intro z zs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c s t)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap c s t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior z zs with ⟨r, rp, rh⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t)) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | exists r, rp | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t)) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | intro t tp tr | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t)) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ g (f z) ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (f (circleMap z t t_1)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g (f z) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (f (circleMap z s t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | have cs : closedBall z t ⊆ s :=
_root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball tr) (_root_.trans rh interior_subset) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ g (f z) ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (f (circleMap z t t_1)) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
cs : closedBall z t ⊆ s
⊢ g (f z) ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (f (circleMap z t t_1)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
g : E → ℝ
fh : HarmonicOn f s
c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
z : ℂ
zs : z ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rh : ball z r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ g (f z) ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (f (circleMap z t t_1))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | simp only [fh.mean z t tp cs] | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : Continuous g
gc : ConvexOn ℝ univ g
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rp : r > 0
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t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
cs : closedBall z t ⊆ s
⊢ g (f z) ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (f (circleMap z t t_1)) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
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tp : 0 < t
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⊢ g (⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap z t t_1)) ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (f (circleMap z t t_1)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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⊢ g (f z) ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (f (circleMap z t t_1))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | have n := NiceVolume.itau | case intro.intro
S : Type
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STATE:
case intro.intro
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | apply ConvexOn.map_set_average_le gc c.continuousOn isClosed_univ n.ne_zero n.ne_top | case intro.intro
S : Type
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⊢ g (⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap z t t_1)) ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (f (circleMap z t t_1)) | case intro.intro.hfs
S : Type
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T : Type
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STATE:
case intro.intro
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | simp only [Set.mem_univ, Filter.eventually_true] | case intro.intro.hfs
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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case intro.intro.hfi
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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case intro.intro.hgi
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STATE:
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S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | exact (fh.cont.mono cs).integrableOn_sphere tp | case intro.intro.hfi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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n : NiceVolume itau
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case intro.intro.hgi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
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H : Type
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S : Type
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F : Type
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H : Type
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STATE:
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S : Type
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case intro.intro.hgi
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.convex | [88, 1] | [102, 77] | exact ((c.comp_continuousOn fh.cont).mono cs).integrableOn_sphere tp | case intro.intro.hgi
S : Type
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cs : closedBall z t ⊆ s
n : NiceVolume itau
⊢ IntegrableOn (g ∘ fun x => f (circleMap z t x)) itau volume | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.hgi
S : Type
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⊢ IntegrableOn (g ∘ fun x => f (circleMap z t x)) itau volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subharmonicOn | [105, 1] | [108, 65] | have e : (fun z ↦ f z) = fun z ↦ (fun x ↦ x) (f z) := rfl | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subharmonicOn | [105, 1] | [108, 65] | rw [e] | S : Type
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STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.subharmonicOn | [105, 1] | [108, 65] | exact h.convex continuous_id (convexOn_id convex_univ) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | intro c cs | S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r0, r0p, r0s⟩ | S : Type
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S : Type
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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s : Set ℂ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rcases fs.submean' c cs with ⟨r1, r1p, sm⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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s : Set ℂ
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h : Set.EqOn g f s
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | have r01p : min r0 r1 > 0 := by bound | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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s : Set ℂ
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h : Set.EqOn g f s
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r1p : 0 < r1
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | exists min r0 r1, r01p | case intro.intro.intro.intro
S : Type
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
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STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | intro t tp tr | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < min r0 r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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r01p : min r0 r1 > 0
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tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < min r0 r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | specialize sm t tp (lt_of_lt_of_le tr (by bound)) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℂ
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sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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r01p : min r0 r1 > 0
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tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | have hs : (fun u ↦ f (circleMap c t u)) =ᵐ[volume.restrict itau]
fun u ↦ g (circleMap c t u) := by
rw [Filter.EventuallyEq]; rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau]
apply Filter.eventually_of_forall
intro u _; apply h.symm
apply _root_.trans r0s interior_subset
simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos tp]
exact lt_of_lt_of_le tr (by bound) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
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r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
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sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rw [average_eq] at sm ⊢ | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
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sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, g (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rwa [← h.symm (interior_subset cs), ← integral_congr_ae hs] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c t x)
hs : (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
⊢ g c ≤ (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ min r0 r1 > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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s : Set ℂ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ min r0 r1 ≤ r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
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sm : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
⊢ min r0 r1 ≤ r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rw [Filter.EventuallyEq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
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t : ℝ
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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t : ℝ
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ (volume.restrict itau).ae.EventuallyEq (fun u => f (circleMap c t u)) fun u => g (circleMap c t u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_itau] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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r1p : 0 < r1
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tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
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r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | apply Filter.eventually_of_forall | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume, x ∈ itau → f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | intro u _ | case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x) | case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ f (circleMap c t u) = g (circleMap c t u) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap c t x) = g (circleMap c t x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | apply h.symm | case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ f (circleMap c t u) = g (circleMap c t u) | case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ f (circleMap c t u) = g (circleMap c t u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | apply _root_.trans r0s interior_subset | case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ s | case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | simp only [Metric.mem_ball, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos tp] | case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0 | case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ t < r0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ circleMap c t u ∈ ball c r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | exact lt_of_lt_of_le tr (by bound) | case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ t < r0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case hp.a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ t < r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.congr | [116, 1] | [137, 68] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ min r0 r1 ≤ r0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
h : Set.EqOn g f s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : r0 > 0
r0s : ball c r0 ⊆ interior s
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r01p : min r0 r1 > 0
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < min r0 r1
sm : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
u : ℝ
a✝ : u ∈ itau
⊢ min r0 r1 ≤ r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const | [145, 1] | [150, 50] | intro c r _ _ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
⊢ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const | [145, 1] | [150, 50] | rw [average_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
a : E
s : Set ℂ
c : ℂ
r : ℝ
a✝¹ : r > 0
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⊢ a = ⨍ (t : ℝ) in itau, a | S : Type
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T : Type
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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s : Set ℂ
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r : ℝ
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a✝ : closedBall c r ⊆ s
⊢ a = (↑(volume.restrict itau) univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in itau, a | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const | [145, 1] | [150, 50] | simp [← smul_assoc, smul_eq_mul] | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.const | [145, 1] | [150, 50] | field_simp [NiceVolume.itau.real_pos.ne'] | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.sub | [153, 1] | [159, 54] | intro c r rp cs | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.sub | [153, 1] | [159, 54] | simp [fh.mean c r rp cs, gh.mean c r rp cs] | S : Type
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⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) - g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.sub | [153, 1] | [159, 54] | rw [Average.sub ((fh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)
((gh.cont.mono cs).integrableOn_sphere rp)] | S : Type
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⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) - g (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | intro c cs | S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | rcases fs.submean' c cs with ⟨r0, r0p, r0m⟩ | S : Type
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fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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cs : c ∈ interior s
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r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | rcases gs.submean' c cs with ⟨r1, r1p, r1m⟩ | case intro.intro
S : Type
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T : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c cs with ⟨r2, r2p, r2s⟩ | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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r1 : ℝ
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | set r := min r0 (min r1 r2) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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r0 : ℝ
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r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
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r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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r0 : ℝ
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r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have rr1 : r ≤ r1 := le_trans (min_le_right _ _) (by bound) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have rr2 : r ≤ r2 := le_trans (min_le_right _ _) (by bound) | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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S : Type
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T : Type
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E : Type
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H : Type
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s : Set ℂ
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STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
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r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | use r | case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | use by bound | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | intro u up ur | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) + g (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have us : closedBall c u ⊆ s :=
_root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball (lt_of_lt_of_le ur (by bound)))
(_root_.trans r2s interior_subset) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | rw [Average.add ((fs.cont.mono us).integrableOn_sphere up)
((gs.cont.mono us).integrableOn_sphere up)] | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t) + g (circleMap c u t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have m0 := r0m u up (lt_of_lt_of_le ur (by bound)) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | have m1 := r1m u up (lt_of_lt_of_le ur (by bound)) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
m1 : g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | exact add_le_add m0 m1 | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
m1 : g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
m1 : g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c u t)
⊢ f c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, f (circleMap c u z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c u z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ min r1 r2 ≤ r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
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r1 : ℝ
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r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
⊢ min r1 r2 ≤ r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
⊢ min r1 r2 ≤ r2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
⊢ min r1 r2 ≤ r2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
c : ℂ
cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
⊢ 0 < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
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cs : c ∈ interior s
r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
r1m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r1 → g c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, g (circleMap c s t)
r2 : ℝ
r2p : r2 > 0
r2s : ball c r2 ⊆ interior s
r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ r ≤ r2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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F : Type
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H : Type
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rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
up : 0 < u
ur : u < r
⊢ r ≤ r2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
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rr1 : r ≤ r1
rr2 : r ≤ r2
u : ℝ
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ur : u < r
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⊢ r ≤ r0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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up : 0 < u
ur : u < r
us : closedBall c u ⊆ s
⊢ r ≤ r0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.add | [162, 1] | [182, 31] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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ur : u < r
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m0 : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c u t)
⊢ r ≤ r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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s : Set ℂ
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gs : SubharmonicOn g s
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r0 : ℝ
r0p : 0 < r0
r0m : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r0 → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
r1 : ℝ
r1p : 0 < r1
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r2 : ℝ
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r : ℝ := min r0 (min r1 r2)
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us : closedBall c u ⊆ s
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | have nh := HarmonicOn.sub (HarmonicOn.const 0) fh | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | have e : (fun _ : ℂ ↦ (0 : E)) - f = -f := by ext; simp | S : Type
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | rwa [← e] | S : Type
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⊢ HarmonicOn (-f) s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | ext | S : Type
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⊢ (fun x => 0) - f = -f
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.neg | [185, 1] | [188, 12] | simp | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
nh : HarmonicOn ((fun x => 0) - f) s
x✝ : ℂ
⊢ ((fun x => 0) - f) x✝ = (-f) x✝ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
nh : HarmonicOn ((fun x => 0) - f) s
x✝ : ℂ
⊢ ((fun x => 0) - f) x✝ = (-f) x✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.add | [191, 1] | [194, 30] | have e : f + g = f - -g := by ext; simp | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f g : ℂ → E
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⊢ HarmonicOn (f + g) s | S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
e : f + g = f - -g
⊢ HarmonicOn (f + g) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
⊢ HarmonicOn (f + g) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.add | [191, 1] | [194, 30] | rw [e] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
e : f + g = f - -g
⊢ HarmonicOn (f + g) s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
e : f + g = f - -g
⊢ HarmonicOn (f - -g) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
gh : HarmonicOn g s
e : f + g = f - -g
⊢ HarmonicOn (f + g) s
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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