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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [← hs, ← hy, Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff] at us | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
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s0 : 0 ∈ s
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⊢ f c = f g | case neg
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s0 : 0 ∈ s
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⊢ f c = f g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have unz : (u : ℂ) ≠ 0 := by
simp only [u0.ne', Ne, Complex.ofReal_eq_zero, not_false_iff] | case neg
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⊢ f c = f g | case neg
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⊢ f c = f g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | field_simp [unz] at us | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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y1 : Complex.abs y = 1
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hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
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⊢ f c = f g | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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ur : u ≤ r
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⊢ f c = f g | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | exact us.symm | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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ur : u ≤ r
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s0 : 0 ∈ s
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us : f g = f c
⊢ f c = f g
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [gc] | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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⊢ f c = f g | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [← hu, gt_iff_lt, AbsoluteValue.pos_iff, Ne] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ u > 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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⊢ ¬g - c = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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⊢ u > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | contrapose gc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ ¬g - c = 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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g : ℂ
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gc : ¬¬g - c = 0
⊢ ¬¬g = c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
⊢ ¬g - c = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [not_not, sub_eq_zero] at gc ⊢ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : ¬¬g - c = 0
⊢ ¬¬g = c | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : g = c
⊢ g = c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : ¬¬g - c = 0
⊢ ¬¬g = c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | exact gc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : g = c
⊢ g = c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
gc : g = c
⊢ g = c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall] at gs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
⊢ u ≤ r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
gs : Complex.abs (g - c) ≤ r
⊢ u ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
⊢ u ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [←hu, gs] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
gs : Complex.abs (g - c) ≤ r
⊢ u ≤ r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
gs : Complex.abs (g - c) ≤ r
⊢ u ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [← hy, ← hu, map_div₀, Complex.abs_ofReal, Complex.abs_abs, ne_eq,
Complex.abs.map_sub_eq_zero_iff, div_self (Complex.abs.ne_zero_iff.mpr (sub_ne_zero.mpr gc))] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
⊢ Complex.abs y = 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
⊢ Complex.abs y = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [← hs, Set.mem_preimage, Complex.ofReal_zero, MulZeroClass.zero_mul, add_zero,
Set.mem_singleton] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
⊢ 0 ∈ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
⊢ 0 ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | refine IsClosed.mem_of_ge_of_forall_exists_gt ?_ s0 u0.le ?_ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ u ∈ s | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (s ∩ Icc 0 u)
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico 0 u, (s ∩ Ioc x u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ u ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [← hs] | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (s ∩ Icc 0 u) | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed ((fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} ∩ Icc 0 u) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (s ∩ Icc 0 u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [Set.inter_comm] | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed ((fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} ∩ Icc 0 u) | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (Icc 0 u ∩ (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c}) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed ((fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} ∩ Icc 0 u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | refine ContinuousOn.preimage_isClosed_of_isClosed ?_ isClosed_Icc isClosed_singleton | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (Icc 0 u ∩ (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c}) | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f (c + ↑t * y)) (Icc 0 u) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ IsClosed (Icc 0 u ∩ (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c})
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | apply fs.cont.comp (Continuous.continuousOn _) _ | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f (c + ↑t * y)) (Icc 0 u) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Continuous fun t => c + ↑t * y
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => c + ↑t * y) (Icc 0 u) (closedBall c r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ContinuousOn (fun t => f (c + ↑t * y)) (Icc 0 u)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | exact continuous_const.add (Continuous.mul Complex.continuous_ofReal continuous_const) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Continuous fun t => c + ↑t * y | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Continuous fun t => c + ↑t * y
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | intro t ts | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => c + ↑t * y) (Icc 0 u) (closedBall c r) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Icc 0 u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ Set.MapsTo (fun t => c + ↑t * y) (Icc 0 u) (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [Set.mem_Icc] at ts | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Icc 0 u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : 0 ≤ t ∧ t ≤ u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ Icc 0 u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [y1, abs_of_nonneg ts.1, _root_.trans ts.2 ur, Metric.mem_closedBall,
dist_self_add_left, Complex.norm_eq_abs, AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal,
mul_one] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
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gs : g ∈ closedBall c r
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : 0 ≤ t ∧ t ≤ u
⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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hu : Complex.abs (g - c) = u
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ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
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⊢ (fun t => c + ↑t * y) t ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | intro t ts | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico 0 u, (s ∩ Ioc x u).Nonempty | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ s ∩ Set.Ico 0 u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
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gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s ∩ Set.Ico 0 u, (s ∩ Ioc x u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [← hs, Set.mem_inter_iff, Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff,
Set.mem_Ico] at ts | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ s ∩ Set.Ico 0 u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ s ∩ Set.Ico 0 u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | generalize hz : c + t * y = z | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rcases ts with ⟨fz, tp, tu⟩ | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have tz : abs (z - c) = t := by
simp only [y1, abs_of_nonneg tp, add_sub_cancel_left, AbsoluteValue.map_mul,
Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz] | case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have zs : z ∈ ball c r := by
simp only [y1, abs_of_nonneg tp, Metric.mem_ball, dist_self_add_left, Complex.norm_eq_abs,
AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz]
exact lt_of_lt_of_le tu ur | case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ ball c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [← interior_closedBall _ rp.ne'] at zs | case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ ball c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ ball c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rcases fs.submean' z zs with ⟨e, ep, lo⟩ | case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
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fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | generalize he' : min (e / 2) (u - t) = e' | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
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s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have e'p : e' > 0 := by rw [←he']; exact lt_min (half_pos ep) (by linarith) | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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ur : u ≤ r
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tz : Complex.abs (z - c) = t
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e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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u : ℝ
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e'p : e' > 0
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have e's : e' < e := by rw [← he']; exact lt_of_le_of_lt (min_le_left _ _) (half_lt_self ep) | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tu : t < u
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e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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gs : g ∈ closedBall c r
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hu : Complex.abs (g - c) = u
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ur : u ≤ r
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hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
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ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
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⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | specialize lo e' e'p e's | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
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ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
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hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [← hz, fz] at lo | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
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⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
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gs : g ∈ closedBall c r
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
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hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
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ep : 0 < e
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lo : f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r := by
apply Metric.closedBall_subset_closedBall'; rw [Complex.dist_eq, tz]; linarith | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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teu : t + e' ≤ u
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lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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ur : u ≤ r
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⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have hi : ∀ x, x ∈ itau → f (circleMap z e' x) ≤ f c := by
intro x _; apply isMaxOn_iff.mp cm; apply ss
simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos e'p, le_refl] | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
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hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
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tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
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ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
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tz : Complex.abs (z - c) = t
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e : ℝ
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he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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gs : g ∈ closedBall c r
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teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have fcc : ContinuousOn (fun a ↦ f (circleMap z e' a)) itau := by
apply (fs.cont.mono ss).comp (continuous_circleMap _ _).continuousOn; intro a _
simp only [Complex.dist_eq, abs_of_pos e'p, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center,
abs_circleMap_zero, le_refl] | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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gs : g ∈ closedBall c r
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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gs : g ∈ closedBall c r
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
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e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [hz] at lo | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have fw := mean_squeeze NiceVolume.itau LocalVolume.itau fcc
((fs.cont.mono ss).integrableOn_sphere e'p) lo hi | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
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s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | have eys : z + e' * y ∈ sphere z e' := by
simp only [abs_of_pos e'p, y1, mem_sphere_iff_norm, add_sub_cancel_left,
Complex.norm_eq_abs, AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, mul_one] | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
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e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
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lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
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ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
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t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
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e'p : e' > 0
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lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rcases circleMap_Ioc eys with ⟨a, as, aey⟩ | case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
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ur : u ≤ r
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s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | specialize fw a as | case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
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y1 : Complex.abs y = 1
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tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (circleMap z e' a) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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rp : r > 0
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
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e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
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lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
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hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
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as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [← aey] at fw | case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
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gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
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t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (circleMap z e' a) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (circleMap z e' a) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | use t + e' | case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ t + e' ∈ s ∩ Ioc t u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [Set.mem_inter_iff, Set.mem_Ioc, lt_add_iff_pos_right] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ t + e' ∈ s ∩ Ioc t u | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ t + e' ∈ s ∧ 0 < e' ∧ t + e' ≤ u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ t + e' ∈ s ∩ Ioc t u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | refine ⟨?_, e'p, teu⟩ | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ t + e' ∈ s ∧ 0 < e' ∧ t + e' ≤ u | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
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hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ t + e' ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ t + e' ∈ s ∧ 0 < e' ∧ t + e' ≤ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [← hs, right_distrib, Set.mem_preimage, Complex.ofReal_add, Set.mem_singleton_iff] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ t + e' ∈ s | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ f (c + (↑t * y + ↑e' * y)) = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
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⊢ t + e' ∈ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [← add_assoc, hz] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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gs : g ∈ closedBall c r
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ur : u ≤ r
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hy : (g - c) / ↑u = y
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s : Set ℝ
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t : ℝ
z : ℂ
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fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ f (c + (↑t * y + ↑e' * y)) = f c | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ f (z + ↑e' * y) = f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ f (c + (↑t * y + ↑e' * y)) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | exact fw | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ f (z + ↑e' * y) = f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
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g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
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y1 : Complex.abs y = 1
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hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ f (z + ↑e' * y) = f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [y1, abs_of_nonneg tp, add_sub_cancel_left, AbsoluteValue.map_mul,
Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ Complex.abs (z - c) = t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
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ur : u ≤ r
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hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
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hz : c + ↑t * y = z
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tu : t < u
⊢ Complex.abs (z - c) = t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [y1, abs_of_nonneg tp, Metric.mem_ball, dist_self_add_left, Complex.norm_eq_abs,
AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ z ∈ ball c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ t < r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
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t : ℝ
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ z ∈ ball c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | exact lt_of_lt_of_le tu ur | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ t < r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
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ur : u ≤ r
y : ℂ
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
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tu : t < u
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⊢ t < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [←he'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ e' > 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
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fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ min (e / 2) (u - t) > 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
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gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
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ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
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t : ℝ
z : ℂ
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tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ e' > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | exact lt_min (half_pos ep) (by linarith) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ min (e / 2) (u - t) > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tu : t < u
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e : ℝ
ep : 0 < e
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ min (e / 2) (u - t) > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | linarith | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
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ur : u ≤ r
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y1 : Complex.abs y = 1
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s0 : 0 ∈ s
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e : ℝ
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e' : ℝ
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⊢ 0 < u - t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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H : Type
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⊢ 0 < u - t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [← he'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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e'p : e' > 0
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STATE:
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tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + e' ≤ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | trans t + (u - t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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e : ℝ
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lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
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⊢ t + min (e / 2) (u - t) ≤ u | S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + (u - t) ≤ u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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ur : u ≤ r
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s : Set ℝ
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + min (e / 2) (u - t) ≤ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | exact add_le_add_left (min_le_right _ _) _ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + min (e / 2) (u - t) ≤ t + (u - t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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g : ℂ
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y : ℂ
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s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
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t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + min (e / 2) (u - t) ≤ t + (u - t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [add_sub_cancel, le_refl] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + (u - t) ≤ u | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + (u - t) ≤ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [← he'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ e' < e | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ min (e / 2) (u - t) < e | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ e' < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | exact lt_of_le_of_lt (min_le_left _ _) (half_lt_self ep) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ min (e / 2) (u - t) < e | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ min (e / 2) (u - t) < e
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | apply Metric.closedBall_subset_closedBall' | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ closedBall z e' ⊆ closedBall c r | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ e' + dist z c ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ closedBall z e' ⊆ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | rw [Complex.dist_eq, tz] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ e' + dist z c ≤ r | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ e' + t ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ e' + dist z c ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | linarith | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
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lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ e' + t ≤ r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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gs : g ∈ closedBall c r
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | intro x _ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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e'p : e' > 0
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e's : e' < e
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a✝ : x ∈ itau
⊢ f (circleMap z e' x) ≤ f c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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tz : Complex.abs (z - c) = t
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e : ℝ
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
⊢ ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | apply isMaxOn_iff.mp cm | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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ur : u ≤ r
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
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e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
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lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
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⊢ f (circleMap z e' x) ≤ f c | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
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a✝ : x ∈ itau
⊢ circleMap z e' x ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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⊢ f (circleMap z e' x) ≤ f c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | apply ss | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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STATE:
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S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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e's : e' < e
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ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
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a✝ : x ∈ itau
⊢ circleMap z e' x ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_pos e'p, le_refl] | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
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e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
x : ℝ
a✝ : x ∈ itau
⊢ circleMap z e' x ∈ closedBall z e' | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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y : ℂ
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y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
x : ℝ
a✝ : x ∈ itau
⊢ circleMap z e' x ∈ closedBall z e'
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | apply (fs.cont.mono ss).comp (continuous_circleMap _ _).continuousOn | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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hy : (g - c) / ↑u = y
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
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ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
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e' : ℝ
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e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ Set.MapsTo (circleMap z e') itau (closedBall z e') | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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z : ℂ
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tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | intro a _ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℝ
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s0 : 0 ∈ s
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z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ Set.MapsTo (circleMap z e') itau (closedBall z e') | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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gs : g ∈ closedBall c r
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u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
a : ℝ
a✝ : a ∈ itau
⊢ circleMap z e' a ∈ closedBall z e' | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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u0 : u > 0
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tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
⊢ Set.MapsTo (circleMap z e') itau (closedBall z e')
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [Complex.dist_eq, abs_of_pos e'p, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center,
abs_circleMap_zero, le_refl] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
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hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
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t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
a : ℝ
a✝ : a ∈ itau
⊢ circleMap z e' a ∈ closedBall z e' | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
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a✝ : a ∈ itau
⊢ circleMap z e' a ∈ closedBall z e'
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [abs_of_pos e'p, y1, mem_sphere_iff_norm, add_sub_cancel_left,
Complex.norm_eq_abs, AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, mul_one] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
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u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
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t : ℝ
z : ℂ
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tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
⊢ z + ↑e' * y ∈ sphere z e' | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
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hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
fw : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) = f c
⊢ z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle_ball | [325, 1] | [404, 16] | simp only [u0.ne', Ne, Complex.ofReal_eq_zero, not_false_iff] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
⊢ ↑u ≠ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
us : f (c + ↑u * ((g - c) / ↑u)) = f c
⊢ ↑u ≠ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | rcases sc.exists_isMaxOn sn fs.cont with ⟨x, xs, xm⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
⊢ ∃ w ∈ frontier s, IsMaxOn f s w | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
⊢ ∃ w ∈ frontier s, IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
⊢ ∃ w ∈ frontier s, IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | rcases exists_mem_frontier_infDist_compl_eq_dist xs sc.ne_univ with ⟨w, wb, h⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
⊢ ∃ w ∈ frontier s, IsMaxOn f s w | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
⊢ ∃ w ∈ frontier s, IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
⊢ ∃ w ∈ frontier s, IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | exists w, wb | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
⊢ ∃ w ∈ frontier s, IsMaxOn f s w | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
⊢ IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
⊢ ∃ w ∈ frontier s, IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | generalize hr : abs (w - x) = r | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
⊢ IsMaxOn f s w | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
⊢ IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | by_cases wx : w = x | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
⊢ IsMaxOn f s w | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : w = x
⊢ IsMaxOn f s w
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
⊢ IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | have rp : r > 0 := by
simp only [← hr, AbsoluteValue.pos_iff, Ne]; exact sub_ne_zero.mpr wx | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
⊢ IsMaxOn f s w | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | rw [dist_comm, Complex.dist_eq, hr] at h | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ IsMaxOn f s w | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | have rs : closedBall x r ⊆ s := by
rw [← closure_ball x rp.ne', ← sc.isClosed.closure_eq]; apply closure_mono
rw [← h]; apply Metric.ball_infDist_compl_subset | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ IsMaxOn f s w | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
⊢ IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | have rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x := by intro y ys; exact xm (rs ys) | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
⊢ IsMaxOn f s w | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
⊢ IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | have wx : f x = f w := by
apply SubharmonicOn.maximum_principle_ball (fs.mono rs) rp rm
simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall, hr, le_refl] | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
⊢ IsMaxOn f s w | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
⊢ IsMaxOn f s w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | intro y ys | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
⊢ IsMaxOn f s w | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
y : ℂ
ys : y ∈ s
⊢ y ∈ {x | (fun x => f x ≤ f w) x} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | rw [← wx] | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
y : ℂ
ys : y ∈ s
⊢ y ∈ {x | (fun x => f x ≤ f w) x} | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
y : ℂ
ys : y ∈ s
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x_2 ≤ f x) x_1} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
y : ℂ
ys : y ∈ s
⊢ y ∈ {x | (fun x => f x ≤ f w) x}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | exact xm ys | case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
y : ℂ
ys : y ∈ s
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x_2 ≤ f x) x_1} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx✝ : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
wx : f x = f w
y : ℂ
ys : y ∈ s
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x_2 ≤ f x) x_1}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | rwa [wx] | case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : w = x
⊢ IsMaxOn f s w | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : w = x
⊢ IsMaxOn f s w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | simp only [← hr, AbsoluteValue.pos_iff, Ne] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
⊢ r > 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
⊢ ¬w - x = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
⊢ r > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | exact sub_ne_zero.mpr wx | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
⊢ ¬w - x = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
h : Metric.infDist x sᶜ = dist x w
r : ℝ
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
⊢ ¬w - x = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | rw [← closure_ball x rp.ne', ← sc.isClosed.closure_eq] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ closedBall x r ⊆ s | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ closure (ball x r) ⊆ closure s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ closedBall x r ⊆ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | apply closure_mono | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ closure (ball x r) ⊆ closure s | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ ball x r ⊆ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ closure (ball x r) ⊆ closure s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | rw [← h] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ ball x r ⊆ s | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ ball x (Metric.infDist x sᶜ) ⊆ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ ball x r ⊆ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | apply Metric.ball_infDist_compl_subset | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ ball x (Metric.infDist x sᶜ) ⊆ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
⊢ ball x (Metric.infDist x sᶜ) ⊆ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | intro y ys | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
⊢ IsMaxOn f (closedBall x r) x | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
y : ℂ
ys : y ∈ closedBall x r
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x_2 ≤ f x) x_1} | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
⊢ IsMaxOn f (closedBall x r) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | exact xm (rs ys) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
y : ℂ
ys : y ∈ closedBall x r
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x_2 ≤ f x) x_1} | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
y : ℂ
ys : y ∈ closedBall x r
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x_2 ≤ f x) x_1}
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | apply SubharmonicOn.maximum_principle_ball (fs.mono rs) rp rm | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
⊢ f x = f w | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
⊢ w ∈ closedBall x r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
⊢ f x = f w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.maximum_principle | [407, 1] | [424, 37] | simp only [Complex.dist_eq, Metric.mem_closedBall, hr, le_refl] | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
⊢ w ∈ closedBall x r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
x : ℂ
xs : x ∈ s
xm : IsMaxOn f s x
w : ℂ
wb : w ∈ frontier s
r : ℝ
h : Metric.infDist x sᶜ = r
hr : Complex.abs (w - x) = r
wx : ¬w = x
rp : r > 0
rs : closedBall x r ⊆ s
rm : IsMaxOn f (closedBall x r) x
⊢ w ∈ closedBall x r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.maximum_principle | [427, 1] | [429, 72] | rcases fh.norm.maximum_principle sc sn with ⟨w, wf, wh⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
⊢ ∃ w ∈ frontier s, ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ ‖f w‖ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
w : ℂ
wf : w ∈ frontier s
wh : IsMaxOn (fun z => ‖f z‖) s w
⊢ ∃ w ∈ frontier s, ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ ‖f w‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
⊢ ∃ w ∈ frontier s, ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ ‖f w‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HarmonicOn.maximum_principle | [427, 1] | [429, 72] | exists w, wf | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
w : ℂ
wf : w ∈ frontier s
wh : IsMaxOn (fun z => ‖f z‖) s w
⊢ ∃ w ∈ frontier s, ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ ‖f w‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → E
s : Set ℂ
fh : HarmonicOn f s
sc : IsCompact s
sn : s.Nonempty
w : ℂ
wf : w ∈ frontier s
wh : IsMaxOn (fun z => ‖f z‖) s w
⊢ ∃ w ∈ frontier s, ∀ z ∈ s, ‖f z‖ ≤ ‖f w‖
TACTIC:
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