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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | intro c r rp cs | S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | have m := fun n ↦ (h n).mean c r rp cs | S : Type
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | simp_rw [average_eq] at m ⊢ | S : Type
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | have se : itau =ᵐ[volume] Icc 0 (2 * π) := Ioc_ae_eq_Icc | S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | generalize hv : (volume itau).toReal = v | S : Type
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v : ℝ
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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TACTIC:
|
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
m : ∀ (n : ℕ), f n c = (↑volume itau).toReal⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
v : ℝ
hv : (↑volume itau).toReal = v
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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g : ℂ → E
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h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
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m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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v : ℝ
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | clear hv | S : Type
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T : Type
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | have cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s := by
rw [Set.subset_def]; intro t _; simp only [Set.mem_preimage]; apply cs
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abs_circleMap_zero, le_refl] | S : Type
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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H : Type
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | have fu := (u.comp (circleMap c r)).mono cc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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STATE:
S : Type
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T : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | have fc : ∀ n, ContinuousOn (fun t ↦ f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π)) := by
intro n; apply Continuous.continuousOn
apply ((h n).cont.mono cs).comp_continuous (continuous_circleMap _ _); intro t
simp only [Complex.dist_eq, abs_of_pos rp, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center,
abs_circleMap_zero, le_refl] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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STATE:
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | have ti' := fu.integral_tendsto fc isCompact_Icc | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
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m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
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se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
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cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
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ti' :
Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f n ∘ circleMap c r) x) atTop
(𝓝 (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (g ∘ circleMap c r) x))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | have ti := ti'.const_smul v⁻¹ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
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ti' :
Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f n ∘ circleMap c r) x) atTop
(𝓝 (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (g ∘ circleMap c r) x))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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(𝓝 (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (g ∘ circleMap c r) x))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | clear ti' | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
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ti :
Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
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ti :
Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f n ∘ circleMap c r) x) atTop
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ti :
Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | have ci := u.tendsto_at (cs (Metric.mem_closedBall_self (by linarith))) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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ti :
Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
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ci : Tendsto (fun n => f n c) atTop (𝓝 (g c))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | simp only [←m, ge_iff_le, gt_iff_lt, zero_lt_two, mul_nonneg_iff_of_pos_left, not_le,
Function.comp_apply] at ti ⊢ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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ti :
Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
(𝓝 (v⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (g ∘ circleMap c r) x))
ci : Tendsto (fun n => f n c) atTop (𝓝 (g c))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | S : Type
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h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
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se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
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cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
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⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
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h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
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c : ℂ
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rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
ti :
Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
(𝓝 (v⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (g ∘ circleMap c r) x))
ci : Tendsto (fun n => f n c) atTop (𝓝 (g c))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | exact tendsto_nhds_unique ci ti | S : Type
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T : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
ci : Tendsto (fun n => f n c) atTop (𝓝 (g c))
ti : Tendsto (fun x => f x c) atTop (𝓝 (v⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r x)))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
ci : Tendsto (fun n => f n c) atTop (𝓝 (g c))
ti : Tendsto (fun x => f x c) atTop (𝓝 (v⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r x)))
⊢ g c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), g (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | rw [Set.subset_def] | S : Type
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⊢ ∀ x ∈ Icc 0 (2 * π), x ∈ circleMap c r ⁻¹' s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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rp : r > 0
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⊢ Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | intro t _ | S : Type
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⊢ ∀ x ∈ Icc 0 (2 * π), x ∈ circleMap c r ⁻¹' s | S : Type
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⊢ t ∈ circleMap c r ⁻¹' s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
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se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
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m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
⊢ ∀ x ∈ Icc 0 (2 * π), x ∈ circleMap c r ⁻¹' s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | simp only [Set.mem_preimage] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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⊢ circleMap c r t ∈ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | apply cs | S : Type
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S : Type
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H : Type
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STATE:
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
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r : ℝ
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t : ℝ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | simp only [Complex.dist_eq, abs_of_pos rp, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center,
abs_circleMap_zero, le_refl] | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
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h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
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r : ℝ
rp : r > 0
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v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
t : ℝ
a✝ : t ∈ Icc 0 (2 * π)
⊢ circleMap c r t ∈ closedBall c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
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v : ℝ
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t : ℝ
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⊢ circleMap c r t ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | intro n | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
⊢ ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
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h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
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h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
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rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
⊢ ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | apply Continuous.continuousOn | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
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se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
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m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π)) | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
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v : ℝ
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n : ℕ
⊢ Continuous fun t => f n (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
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rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | apply ((h n).cont.mono cs).comp_continuous (continuous_circleMap _ _) | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
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cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
⊢ Continuous fun t => f n (circleMap c r t) | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℝ), circleMap c r x ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
⊢ Continuous fun t => f n (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | intro t | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
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v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℝ), circleMap c r x ∈ closedBall c r | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
t : ℝ
⊢ circleMap c r t ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ℝ), circleMap c r x ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | simp only [Complex.dist_eq, abs_of_pos rp, Metric.mem_closedBall, circleMap_sub_center,
abs_circleMap_zero, le_refl] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
t : ℝ
⊢ circleMap c r t ∈ closedBall c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
n : ℕ
t : ℝ
⊢ circleMap c r t ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | uniform_harmonic_lim | [432, 1] | [459, 40] | linarith | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
ti :
Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
(𝓝 (v⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (g ∘ circleMap c r) x))
⊢ 0 ≤ r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → E
g : ℂ → E
s : Set ℂ
h : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (f n) s
u : TendstoUniformlyOn f g atTop s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
se : volume.ae.EventuallyEq itau (Icc 0 (2 * π))
v : ℝ
m : ∀ (n : ℕ), f n c = v⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Icc 0 (2 * π), f n (circleMap c r t)
cc : Icc 0 (2 * π) ⊆ circleMap c r ⁻¹' s
fu : TendstoUniformlyOn (fun n => f n ∘ circleMap c r) (g ∘ circleMap c r) atTop (Icc 0 (2 * π))
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun t => f n (circleMap c r t)) (Icc 0 (2 * π))
ti :
Tendsto (fun x => v⁻¹ • ∫ (x_1 : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (f x ∘ circleMap c r) x_1) atTop
(𝓝 (v⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (g ∘ circleMap c r) x))
⊢ 0 ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | rri | [474, 1] | [475, 31] | ring_nf | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : 0 < r
z : ℂ
⊢ c + ↑r * ((↑r)⁻¹ * (z - c)) = z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : 0 < r
z : ℂ
⊢ c - c * ↑r * (↑r)⁻¹ + ↑r * (↑r)⁻¹ * z = z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : 0 < r
z : ℂ
⊢ c + ↑r * ((↑r)⁻¹ * (z - c)) = z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | rri | [474, 1] | [475, 31] | field_simp [rp.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
r : ℝ
rp : 0 < r
z : ℂ
⊢ c - c * ↑r * (↑r)⁻¹ + ↑r * (↑r)⁻¹ * z = z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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H : Type
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : 0 < r
z : ℂ
⊢ c - c * ↑r * (↑r)⁻¹ + ↑r * (↑r)⁻¹ * z = z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | rir | [477, 1] | [478, 31] | ring_nf | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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z : ℂ
⊢ (↑r)⁻¹ * (c + ↑r * z - c) = z | S : Type
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T : Type
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z : ℂ
⊢ ↑r * (↑r)⁻¹ * z = z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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⊢ (↑r)⁻¹ * (c + ↑r * z - c) = z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | rir | [477, 1] | [478, 31] | field_simp [rp.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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r : ℝ
rp : r > 0
z : ℂ
⊢ ↑r * (↑r)⁻¹ * z = z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
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⊢ ↑r * (↑r)⁻¹ * z = z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | HasExtension.sub | [490, 1] | [494, 22] | simp only [e0.b, e1.b, ContinuousMap.coe_sub, Pi.sub_apply, eq_self_iff_true,
forall_const] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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r : ℝ
f0 f1 : C(Real.Angle, ℂ)
g0 g1 : ℂ → ℂ
e0 : HasExtension f0 g0 c r
e1 : HasExtension f1 g1 c r
⊢ ∀ (t : Real.Angle), (f0 - f1) t = (g0 - g1) (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f0 f1 : C(Real.Angle, ℂ)
g0 g1 : ℂ → ℂ
e0 : HasExtension f0 g0 c r
e1 : HasExtension f1 g1 c r
⊢ ∀ (t : Real.Angle), (f0 - f1) t = (g0 - g1) (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | constructor | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
⊢ Complex.abs z = 1 ↔ ∃ t, z = ↑t.toCircle | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
⊢ Complex.abs z = 1 → ∃ t, z = ↑t.toCircle
case mpr
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
⊢ (∃ t, z = ↑t.toCircle) → Complex.abs z = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
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⊢ Complex.abs z = 1 ↔ ∃ t, z = ↑t.toCircle
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | intro az | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
⊢ Complex.abs z = 1 → ∃ t, z = ↑t.toCircle | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
⊢ ∃ t, z = ↑t.toCircle | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
⊢ Complex.abs z = 1 → ∃ t, z = ↑t.toCircle
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | rcases(Complex.abs_eq_one_iff z).mp az with ⟨t, h⟩ | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
⊢ ∃ t, z = ↑t.toCircle | case mp.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ ∃ t, z = ↑t.toCircle | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
⊢ ∃ t, z = ↑t.toCircle
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | use t | case mp.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ ∃ t, z = ↑t.toCircle | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ z = ↑(AddCircle.toCircle ↑t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ ∃ t, z = ↑t.toCircle
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | simp only [← h, AddCircle.toCircle, Function.Periodic.lift_coe, expMapCircle_apply,
Complex.ofReal_mul, Complex.ofReal_div, Complex.ofReal_one] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ z = ↑(AddCircle.toCircle ↑t) | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ (↑t * I).exp = (↑2 * ↑π / (↑2 * ↑π) * ↑t * I).exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ z = ↑(AddCircle.toCircle ↑t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | field_simp [Real.pi_pos.ne'] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ (↑t * I).exp = (↑2 * ↑π / (↑2 * ↑π) * ↑t * I).exp | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
az : Complex.abs z = 1
t : ℝ
h : (↑t * I).exp = z
⊢ (↑t * I).exp = (↑2 * ↑π / (↑2 * ↑π) * ↑t * I).exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | intro h | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
⊢ (∃ t, z = ↑t.toCircle) → Complex.abs z = 1 | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
h : ∃ t, z = ↑t.toCircle
⊢ Complex.abs z = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
⊢ (∃ t, z = ↑t.toCircle) → Complex.abs z = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | rcases h with ⟨t, h⟩ | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
h : ∃ t, z = ↑t.toCircle
⊢ Complex.abs z = 1 | case mpr.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
t : AddCircle (2 * π)
h : z = ↑t.toCircle
⊢ Complex.abs z = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
h : ∃ t, z = ↑t.toCircle
⊢ Complex.abs z = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | mem_addCircle_iff_abs | [496, 1] | [502, 65] | simp only [h, abs_coe_circle] | case mpr.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
t : AddCircle (2 * π)
h : z = ↑t.toCircle
⊢ Complex.abs z = 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
z : ℂ
t : AddCircle (2 * π)
h : z = ↑t.toCircle
⊢ Complex.abs z = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | rcases e.gh.maximum_principle (isCompact_closedBall _ _) (Metric.nonempty_closedBall.mpr rp.le)
with ⟨w, wf, wh⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
⊢ ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wh : ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
⊢ ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | intro z zs | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wh : ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wh : ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ ‖g z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wh : ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | specialize wh z zs | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wh : ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ‖g z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wh : ∀ z ∈ closedBall c r, ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | rw [frontier_closedBall _ rp.ne'] at wf | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ‖g z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | simp at wf | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
⊢ ‖g z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
⊢ ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | generalize hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w' | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
⊢ ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
⊢ ‖g z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
⊢ ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | have wf' : abs w' = 1 := by
simp only [wf, abs_of_pos rp, AbsoluteValue.map_mul, map_inv₀, Complex.abs_ofReal, ← hw']
field_simp [rp.ne'] | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
⊢ ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
⊢ ‖g z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
⊢ ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | rcases mem_addCircle_iff_abs.mp wf' with ⟨t, tw⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
⊢ ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
⊢ ‖g z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
⊢ ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | have b := e.b t | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
⊢ ‖g z‖ ≤ b | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g (c + ↑r * ↑t.toCircle)
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
⊢ ‖g z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | simp only [← tw, rri rp, ← hw'] at b | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g (c + ↑r * ↑t.toCircle)
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝ | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g w
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g (c + ↑r * ↑t.toCircle)
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | rw [← b] at wh | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g w
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝ | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
wh : ‖g z‖ ≤ ‖f t‖
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g w
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g w
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | exact le_trans wh (fb _) | case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
wh : ‖g z‖ ≤ ‖f t‖
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g w
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b✝ : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b✝
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
wf' : Complex.abs w' = 1
t : AddCircle (2 * π)
wh : ‖g z‖ ≤ ‖f t‖
tw : w' = ↑t.toCircle
b : f t = g w
⊢ ‖g z‖ ≤ b✝
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | simp only [wf, abs_of_pos rp, AbsoluteValue.map_mul, map_inv₀, Complex.abs_ofReal, ← hw'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
⊢ Complex.abs w' = 1 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
⊢ r⁻¹ * r = 1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
⊢ Complex.abs w' = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | Extension.maximum_principle | [505, 1] | [519, 27] | field_simp [rp.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
⊢ r⁻¹ * r = 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
f : C(Real.Angle, ℂ)
g : ℂ → ℂ
e : HasExtension f g c r
b : ℝ
fb : ∀ (z : Real.Angle), ‖f z‖ ≤ b
rp : 0 < r
w z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
wh : ‖g z‖ ≤ ‖g w‖
wf : Complex.abs (w - c) = r
w' : ℂ
hw' : (↑r)⁻¹ * (w - c) = w'
⊢ r⁻¹ * r = 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | intro F Fe | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
⊢ ∀ f ∈ closure s, Extendable f c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ closure s
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
⊢ ∀ f ∈ closure s, Extendable f c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ) := by
apply @FirstCountableTopology.frechetUrysohnSpace | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ closure s
⊢ Extendable F c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ closure s
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ closure s
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | rw [← seqClosure_eq_closure] at Fe | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ closure s
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
⊢ Extendable F c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ seqClosure s
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ closure s
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | rcases Fe with ⟨f, fs, fF⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ seqClosure s
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
⊢ Extendable F c r | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : Tendsto f atTop (𝓝 F)
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ seqClosure s
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | simp only [ContinuousMap.tendsto_iff_tendstoLocallyUniformly,
tendstoLocallyUniformly_iff_tendstoUniformly_of_compactSpace] at fF | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : Tendsto f atTop (𝓝 F)
⊢ Extendable F c r | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
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F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
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e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : Tendsto f atTop (𝓝 F)
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | generalize hg : (fun n ↦ Classical.choose (e _ (fs n))) = g | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
⊢ Extendable F c r | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have gs : ∀ n, HasExtension (f n) (g n) c r := by
rw [← hg]; exact fun n ↦ Classical.choose_spec (e _ (fs n)) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
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c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
⊢ Extendable F c r | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
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fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r) := by
rw [Metric.uniformCauchySeqOn_iff]
simp_rw [Metric.tendstoUniformly_iff, Filter.eventually_atTop] at fF
intro t tp; rcases fF (t / 4) (by linarith) with ⟨N, H⟩; exists N
intro a aN b bN z zs
have eab := (gs a).sub (gs b)
have fab : ∀ u : Real.Angle, ‖f a u - f b u‖ ≤ t / 2 := by
intro u
have ta := H a aN u
have tb := H b bN u
rw [← dist_eq_norm]; rw [dist_comm] at ta
calc dist (f a u) (f b u)
_ ≤ dist (f a u) (F u) + dist (F u) (f b u) := dist_triangle _ _ _
_ ≤ t / 4 + t / 4 := by linarith
_ = t / 2 := by ring_nf
have m := Extension.maximum_principle eab fab rp z zs
simp only [Complex.dist_eq, Pi.sub_apply, Complex.norm_eq_abs] at m ⊢
exact lt_of_le_of_lt m (by linarith) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
⊢ Extendable F c r | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | set G := fun z ↦ limUnder atTop fun n ↦ g n z | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
⊢ Extendable F c r | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r) := by
apply UniformCauchySeqOn.tendstoUniformlyOn_of_tendsto cauchy
intro z zs; exact (cauchy.cauchySeq zs).tendsto_limUnder | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
⊢ Extendable F c r | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
⊢ Extendable F c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | exists G | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
⊢ Extendable F c r | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
⊢ HasExtension F G c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
⊢ Extendable F c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | exact
{ gh := uniform_harmonic_lim (fun n ↦ (gs n).gh) gG
b := by
intro z
refine (Filter.Tendsto.limUnder_eq ?_).symm
simp_rw [← (gs _).b]
exact fF.tendsto_at z } | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
⊢ HasExtension F G c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
⊢ HasExtension F G c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | apply @FirstCountableTopology.frechetUrysohnSpace | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ closure s
⊢ FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
Fe : F ∈ closure s
⊢ FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | rw [← hg] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) ((fun n => Classical.choose ⋯) n) c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | exact fun n ↦ Classical.choose_spec (e _ (fs n)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) ((fun n => Classical.choose ⋯) n) c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
⊢ ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) ((fun n => Classical.choose ⋯) n) c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | rw [Metric.uniformCauchySeqOn_iff] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
⊢ UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < ε | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
⊢ UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | simp_rw [Metric.tendstoUniformly_iff, Filter.eventually_atTop] at fF | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F✝ : Type
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < ε | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < ε | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < ε
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | intro t tp | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < ε | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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H : Type
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gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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H : Type
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c : ℂ
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < ε
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | rcases fF (t / 4) (by linarith) with ⟨N, H⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F✝ : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t | case intro
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F✝ : Type
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⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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tp : t > 0
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | exists N | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
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⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
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⊢ ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
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t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | intro a aN b bN z zs | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
⊢ ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
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z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ dist (g a z) (g b z) < t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
⊢ ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ closedBall c r, dist (g m x) (g n x) < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have eab := (gs a).sub (gs b) | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
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aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
⊢ dist (g a z) (g b z) < t | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
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bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
⊢ dist (g a z) (g b z) < t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
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g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
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⊢ dist (g a z) (g b z) < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have fab : ∀ u : Real.Angle, ‖f a u - f b u‖ ≤ t / 2 := by
intro u
have ta := H a aN u
have tb := H b bN u
rw [← dist_eq_norm]; rw [dist_comm] at ta
calc dist (f a u) (f b u)
_ ≤ dist (f a u) (F u) + dist (F u) (f b u) := dist_triangle _ _ _
_ ≤ t / 4 + t / 4 := by linarith
_ = t / 2 := by ring_nf | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
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gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
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zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
⊢ dist (g a z) (g b z) < t | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
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tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
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⊢ dist (g a z) (g b z) < t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
⊢ dist (g a z) (g b z) < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have m := Extension.maximum_principle eab fab rp z zs | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
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H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
fab : ∀ (u : Real.Angle), ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
⊢ dist (g a z) (g b z) < t | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
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gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
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t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
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eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
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⊢ dist (g a z) (g b z) < t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
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H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
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bN : b ≥ N
z : ℂ
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eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
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⊢ dist (g a z) (g b z) < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | simp only [Complex.dist_eq, Pi.sub_apply, Complex.norm_eq_abs] at m ⊢ | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
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g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
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H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
fab : ∀ (u : Real.Angle), ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
m : ‖(g a - g b) z‖ ≤ t / 2
⊢ dist (g a z) (g b z) < t | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
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N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
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m : Complex.abs (g a z - g b z) ≤ t / 2
⊢ Complex.abs (g a z - g b z) < t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
fab : ∀ (u : Real.Angle), ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
m : ‖(g a - g b) z‖ ≤ t / 2
⊢ dist (g a z) (g b z) < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | exact lt_of_le_of_lt m (by linarith) | case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
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gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
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t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
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zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
fab : ∀ (u : Real.Angle), ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
m : Complex.abs (g a z - g b z) ≤ t / 2
⊢ Complex.abs (g a z - g b z) < t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
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e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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t : ℝ
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zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
fab : ∀ (u : Real.Angle), ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
m : Complex.abs (g a z - g b z) ≤ t / 2
⊢ Complex.abs (g a z - g b z) < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | linarith | S : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
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⊢ t / 4 > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | intro u | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
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t : ℝ
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
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N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
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bN : b ≥ N
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zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
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⊢ ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
⊢ ∀ (u : Real.Angle), ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have ta := H a aN u | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
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inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
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H✝ : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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t : ℝ
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N : ℕ
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a : ℕ
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eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
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ta : dist (F u) ((f a) u) < t / 4
⊢ ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | have tb := H b bN u | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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⊢ ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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E : Type
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F✝ : Type
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
u : Real.Angle
ta : dist (F u) ((f a) u) < t / 4
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | rw [← dist_eq_norm] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
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s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
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F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
u : Real.Angle
ta : dist (F u) ((f a) u) < t / 4
tb : dist (F u) ((f b) u) < t / 4
⊢ ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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tb : dist (F u) ((f b) u) < t / 4
⊢ dist ((f a) u) ((f b) u) ≤ t / 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
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⊢ ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | rw [dist_comm] at ta | S : Type
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⊢ dist ((f a) u) ((f b) u) ≤ t / 2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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H✝ : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | calc dist (f a u) (f b u)
_ ≤ dist (f a u) (F u) + dist (F u) (f b u) := dist_triangle _ _ _
_ ≤ t / 4 + t / 4 := by linarith
_ = t / 2 := by ring_nf | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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STATE:
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inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
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H✝ : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | linarith | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H✝
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | ring_nf | S : Type
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STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
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gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
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N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | linarith | S : Type
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F✝ : Type
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f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
fab : ∀ (u : Real.Angle), ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
m : Complex.abs (g a z - g b z) ≤ t / 2
⊢ t / 2 < t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H✝ : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝⁴ : CompleteSpace H✝
inst✝³ : NormedSpace ℂ H✝
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H✝
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
fF : ∀ ε > 0, ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < ε
t : ℝ
tp : t > 0
N : ℕ
H : ∀ b ≥ N, ∀ (x : Real.Angle), dist (F x) ((f b) x) < t / 4
a : ℕ
aN : a ≥ N
b : ℕ
bN : b ≥ N
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c r
eab : HasExtension (f a - f b) (g a - g b) c r
fab : ∀ (u : Real.Angle), ‖(f a) u - (f b) u‖ ≤ t / 2
m : Complex.abs (g a z - g b z) ≤ t / 2
⊢ t / 2 < t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | apply UniformCauchySeqOn.tendstoUniformlyOn_of_tendsto cauchy | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
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rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
⊢ TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
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cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, Tendsto (fun n => g n x) atTop (𝓝 (G x)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
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G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
⊢ TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | intro z zs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, Tendsto (fun n => g n x) atTop (𝓝 (G x)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
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zs : z ∈ closedBall c r
⊢ Tendsto (fun n => g n z) atTop (𝓝 (G z)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
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gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
⊢ ∀ x ∈ closedBall c r, Tendsto (fun n => g n x) atTop (𝓝 (G x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | exact (cauchy.cauchySeq zs).tendsto_limUnder | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
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zs : z ∈ closedBall c r
⊢ Tendsto (fun n => g n z) atTop (𝓝 (G z)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
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G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
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zs : z ∈ closedBall c r
⊢ Tendsto (fun n => g n z) atTop (𝓝 (G z))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | intro z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
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F✝ : Type
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⊢ ∀ (t : Real.Angle), F t = G (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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STATE:
S : Type
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⊢ ∀ (t : Real.Angle), F t = G (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | refine (Filter.Tendsto.limUnder_eq ?_).symm | S : Type
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T : Type
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fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
z : Real.Angle
⊢ F z = G (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle z)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F✝ : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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F : C(Real.Angle, ℂ)
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fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
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gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
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G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
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⊢ Tendsto (fun n => g n (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle z))) atTop (𝓝 (F z)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F✝ : Type
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H : Type
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
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e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
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F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
z : Real.Angle
⊢ F z = G (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle z))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | simp_rw [← (gs _).b] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
z : Real.Angle
⊢ Tendsto (fun n => g n (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle z))) atTop (𝓝 (F z)) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
z : Real.Angle
⊢ Tendsto (fun n => (f n) z) atTop (𝓝 (F z)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
z : Real.Angle
⊢ Tendsto (fun n => g n (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle z))) atTop (𝓝 (F z))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | IsClosed.extendable | [526, 1] | [567, 32] | exact fF.tendsto_at z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
z : Real.Angle
⊢ Tendsto (fun n => (f n) z) atTop (𝓝 (F z)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F✝ : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁷ : CompleteSpace F✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F✝
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F✝
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
s : Set C(Real.Angle, ℂ)
e : ∀ f ∈ s, Extendable f c r
rp : r > 0
F : C(Real.Angle, ℂ)
fu : FrechetUrysohnSpace C(Real.Angle, ℂ)
f : ℕ → C(Real.Angle, ℂ)
fs : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
fF : TendstoUniformly (fun i a => (f i) a) (⇑F) atTop
g : ℕ → ℂ → ℂ
hg : (fun n => Classical.choose ⋯) = g
gs : ∀ (n : ℕ), HasExtension (f n) (g n) c r
cauchy : UniformCauchySeqOn g atTop (closedBall c r)
G : ℂ → ℂ := fun z => limUnder atTop fun n => g n z
gG : TendstoUniformlyOn g G atTop (closedBall c r)
z : Real.Angle
⊢ Tendsto (fun n => (f n) z) atTop (𝓝 (F z))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | toCircle_neg | [569, 1] | [573, 22] | induction x using QuotientAddGroup.induction_on' | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T✝ : Type
inst✝¹³ : RCLike T✝
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T✝ T✝
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r T : ℝ
x : AddCircle T
⊢ (-x).toCircle = x.toCircle⁻¹ | case H
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T✝ : Type
inst✝¹³ : RCLike T✝
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T✝ T✝
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r T z✝ : ℝ
⊢ (-↑z✝).toCircle = (AddCircle.toCircle ↑z✝)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T✝ : Type
inst✝¹³ : RCLike T✝
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T✝ T✝
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r T : ℝ
x : AddCircle T
⊢ (-x).toCircle = x.toCircle⁻¹
TACTIC:
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