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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rcases continuous_to_harmonic_real (fs.cont.mono Metric.sphere_subset_closedBall) with ⟨g, gh, fg⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | generalize hd : (fun z ↦ f z - g z) = d | case intro.intro
S : Type
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inst✝¹³ : RCLike T
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g : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | have ds : SubharmonicOn d (closedBall c r) := by rw [← hd]; apply fs.add gh.neg.subharmonicOn | case intro.intro
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
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⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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c : ℂ
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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c : ℂ
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
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⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | have dz : ∀ z, z ∈ sphere c r → d z = 0 := by intro z zs; rw [← hd]; simp only [fg z zs, sub_self] | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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g : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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g : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | have dz' : ∀ᵐ t, t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0 := by
apply ae_of_all; intro t _; apply dz
simp only [mem_sphere_iff_norm, circleMap_sub_center, Complex.norm_eq_abs, abs_circleMap_zero,
abs_eq_self]
linarith | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rcases ds.maximum_principle (isCompact_closedBall _ _) ⟨c, Metric.mem_closedBall_self rp.le⟩
with ⟨w, wf, wm⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [frontier_closedBall _ rp.ne'] at wf | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ frontier (closedBall c r)
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | have fd : f = fun z ↦ d z + g z := by funext z; rw [← hd]; simp only [sub_add_cancel] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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g : ℂ → ℝ
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ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
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dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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g : ℂ → ℝ
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp_rw [fd, Average.add (ds.cont.integrableOn_sphere rp) (gh.cont.integrableOn_sphere rp)] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
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dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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⊢ d c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c r z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
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dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [← gh.mean c r rp (subset_refl _), add_le_add_iff_right] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
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dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c r z) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ ⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
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⊢ d c + g c ≤ (⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z)) + ⨍ (z : ℝ) in itau, g (circleMap c r z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [average_congr_on NiceVolume.itau dz', average_zero] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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H : Type
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
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⊢ d c ≤ ⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
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⊢ d c ≤ 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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w : ℂ
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wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
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⊢ d c ≤ ⨍ (z : ℝ) in itau, d (circleMap c r z)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [← dz w wf] | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ 0 | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ d w | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | apply wm (Metric.mem_closedBall_self rp.le) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ d w | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
fd : f = fun z => d z + g z
⊢ d c ≤ d w
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [← hd] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ SubharmonicOn d (closedBall c r) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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g : ℂ → ℝ
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fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
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⊢ SubharmonicOn (fun z => f z - g z) (closedBall c r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
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H : Type
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ SubharmonicOn d (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | apply fs.add gh.neg.subharmonicOn | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
⊢ SubharmonicOn (fun z => f z - g z) (closedBall c r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
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⊢ SubharmonicOn (fun z => f z - g z) (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | intro z zs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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rp : r > 0
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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rp : r > 0
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gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
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hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
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⊢ d z = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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H : Type
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⊢ ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [← hd] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
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zs : z ∈ sphere c r
⊢ d z = 0 | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ (fun z => f z - g z) z = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ d z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [fg z zs, sub_self] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ (fun z => f z - g z) z = 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ (fun z => f z - g z) z = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | apply ae_of_all | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0 | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ a ∈ itau, d (circleMap c r a) = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | intro t _ | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ a ∈ itau, d (circleMap c r a) = 0 | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ d (circleMap c r t) = 0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
⊢ ∀ a ∈ itau, d (circleMap c r a) = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | apply dz | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ d (circleMap c r t) = 0 | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ circleMap c r t ∈ sphere c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ d (circleMap c r t) = 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [mem_sphere_iff_norm, circleMap_sub_center, Complex.norm_eq_abs, abs_circleMap_zero,
abs_eq_self] | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ circleMap c r t ∈ sphere c r | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ 0 ≤ r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ circleMap c r t ∈ sphere c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | linarith | case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ 0 ≤ r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
t : ℝ
a✝ : t ∈ itau
⊢ 0 ≤ r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | funext z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f = fun z => d z + g z | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = d z + g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
⊢ f = fun z => d z + g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | rw [← hd] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = d z + g z | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = (fun z => f z - g z) z + g z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = d z + g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean | [694, 1] | [712, 62] | simp only [sub_add_cancel] | case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = (fun z => f z - g z) z + g z | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
g : ℂ → ℝ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
fg : ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
d : ℂ → ℝ
hd : (fun z => f z - g z) = d
ds : SubharmonicOn d (closedBall c r)
dz : ∀ z ∈ sphere c r, d z = 0
dz' : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ itau → d (circleMap c r t) = 0
w : ℂ
wf : w ∈ sphere c r
wm : IsMaxOn d (closedBall c r) w
z : ℂ
⊢ f z = (fun z => f z - g z) z + g z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | constructor | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s ↔ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s → ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) → SubharmonicOn f s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s ↔ ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | intro fs c r rp cs | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s → ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
fs : SubharmonicOn f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ SubharmonicOn f s → ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | exact (fs.mono cs).submean rp | case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
fs : SubharmonicOn f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
fs : SubharmonicOn f s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | intro sm | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) → SubharmonicOn f s | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ SubharmonicOn f s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)) → SubharmonicOn f s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | exact
{ cont := fc
submean' := by
intro c ci
rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c ci with ⟨r, rp, rs⟩
use r, rp; intro t tp tr; apply sm c t tp
exact _root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball tr) (_root_.trans rs interior_subset) } | case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ SubharmonicOn f s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ SubharmonicOn f s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | intro c ci | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
⊢ ∀ c ∈ interior s, ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | rcases Metric.isOpen_iff.mp isOpen_interior c ci with ⟨r, rp, rs⟩ | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | use r, rp | case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | intro t tp tr | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
⊢ ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < r → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | apply sm c t tp | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap c t t_1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | subharmonicOn_iff_submean | [717, 1] | [728, 100] | exact _root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball tr) (_root_.trans rs interior_subset) | case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fc : ContinuousOn f s
sm : ∀ (c : ℂ), ∀ r > 0, closedBall c r ⊆ s → f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c r t)
c : ℂ
ci : c ∈ interior s
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball c r ⊆ interior s
t : ℝ
tp : 0 < t
tr : t < r
⊢ closedBall c t ⊆ s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter, smul_eq_mul] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ ⨍ (z : ℂ) in closedBall c r, f z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (↑volume (closedBall c r)).toReal⁻¹ * ∫ (z : ℂ) in closedBall c r, f z | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ ⨍ (z : ℂ) in closedBall c r, f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [Complex.volume_closedBall' rp.le, fubini_ball fs.cont] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (↑volume (closedBall c r)).toReal⁻¹ * ∫ (z : ℂ) in closedBall c r, f z | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (↑volume (closedBall c r)).toReal⁻¹ * ∫ (z : ℂ) in closedBall c r, f z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | have m : (fun s ↦ (2 * π * s) • f c) ≤ᵐ[volume.restrict (Ioc 0 r)] fun s ↦
s • ∫ t : ℝ in Set.Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) := by
rw [Filter.EventuallyLE]; rw [ae_restrict_iff' measurableSet_Ioc]; apply ae_of_all; intro s sr
simp only [Set.mem_Ioc] at sr
have e := (fs.mono (Metric.closedBall_subset_closedBall sr.2)).submean sr.1
rw [smul_eq_mul, ← itau]
simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter,
itau_real_volume, smul_eq_mul] at e
generalize hi : ∫ t in itau, f (circleMap c s t) = i
rw [hi] at e
calc 2 * π * s * f c
_ ≤ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) := by bound
_ = s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i := by ring_nf
_ ≤ s * i := by field_simp [Real.two_pi_pos.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | have im := integral_mono_ae ?_ ?_ m | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Integrable (fun s => (2 * π * s) • f c) (volume.restrict (Ioc 0 r))
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Integrable (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (volume.restrict (Ioc 0 r)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [Filter.EventuallyLE] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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rp : r > 0
⊢ (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
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⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc 0 r), (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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rp : r > 0
⊢ (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [ae_restrict_iff' measurableSet_Ioc] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 r → (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc 0 r), (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | apply ae_of_all | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 r → (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ a ∈ Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 r → (2 * π * x) • f c ≤ x • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | intro s sr | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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r : ℝ
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⊢ ∀ a ∈ Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : s ∈ Ioc 0 r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
⊢ ∀ a ∈ Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [Set.mem_Ioc] at sr | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : s ∈ Ioc 0 r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | have e := (fs.mono (Metric.closedBall_subset_closedBall sr.2)).submean sr.1 | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : ℝ
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⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [smul_eq_mul, ← itau] | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ (2 * π * s) • f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [average_eq, MeasurableSet.univ, Measure.restrict_apply, Set.univ_inter,
itau_real_volume, smul_eq_mul] at e | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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H : Type
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rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | generalize hi : ∫ t in itau, f (circleMap c s t) = i | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
i : ℝ
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [hi] at e | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
i : ℝ
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t)
i : ℝ
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | calc 2 * π * s * f c
_ ≤ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) := by bound
_ = s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i := by ring_nf
_ ≤ s * i := by field_simp [Real.two_pi_pos.ne'] | case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ s • i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | bound | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * f c ≤ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | ring_nf | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) = s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ 2 * π * s * ((2 * π)⁻¹ * i) = s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | field_simp [Real.two_pi_pos.ne'] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i ≤ s * i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
s : ℝ
sr : 0 < s ∧ s ≤ r
i : ℝ
e : f c ≤ (2 * π)⁻¹ * i
hi : ∫ (t : ℝ) in itau, f (circleMap c s t) = i
⊢ s * (2 * π * (2 * π)⁻¹) * i ≤ s * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | generalize hi : ∫ s in Ioc 0 r, s • ∫ t in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
i : ℝ
hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [hi] at im | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
i : ℝ
hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
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⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
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im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, a • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c a t)
i : ℝ
hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | clear hi m | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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i : ℝ
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hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
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T : Type
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i : ℝ
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⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
i : ℝ
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
hi : ∫ (s : ℝ) in Ioc 0 r, s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t) = i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [← intervalIntegral.integral_of_le rp.le, Algebra.id.smul_eq_mul,
intervalIntegral.integral_mul_const, intervalIntegral.integral_const_mul, integral_id,
zero_pow, Ne, bit0_eq_zero, Nat.one_ne_zero, not_false_iff, tsub_zero] at im | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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i : ℝ
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⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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i : ℝ
im : (∫ (x : ℝ) in 0 ..r, 2 * π * x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | rw [intervalIntegral.integral_const_mul] at im | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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i : ℝ
im : (∫ (x : ℝ) in 0 ..r, 2 * π * x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [integral_id, ne_eq, zero_pow, sub_zero] at im | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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im : 2 * π * ((r ^ 2 - 0 ^ 2) / 2) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
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T : Type
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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i : ℝ
im : (2 * π * ∫ (x : ℝ) in 0 ..r, x) * f c ≤ i
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | ring_nf at im ⊢ | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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i : ℝ
im : 2 * π * ((r ^ 2 - 0 ^ 2) / 2) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
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i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : 2 * π * ((r ^ 2 - 0 ^ 2) / 2) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | calc f c
_ = π⁻¹ * r⁻¹^2 * (π * r^2 * f c) := by ring_nf; field_simp [rp.ne', Real.pi_pos.ne']
_ ≤ π⁻¹ * r⁻¹^2 * i := by bound | case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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f : ℂ → ℝ
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im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_3
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T : Type
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F : Type
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H : Type
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r : ℝ
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i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | ring_nf | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | field_simp [rp.ne', Real.pi_pos.ne'] | S : Type
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | bound | S : Type
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | apply Continuous.integrableOn_Ioc | case refine_1
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case refine_1
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|
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⊢ Continuous fun s => (2 * π * s) • f c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.hf
S : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | refine IntegrableOn.mono_set ?_ Set.Ioc_subset_Icc_self | case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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⊢ Integrable (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (volume.restrict (Ioc 0 r)) | case refine_2
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STATE:
case refine_2
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | apply ContinuousOn.integrableOn_Icc | case refine_2
S : Type
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STATE:
case refine_2
S : Type
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T : Type
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E : Type
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H : Type
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s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ IntegrableOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) volume
TACTIC:
|
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S : Type
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E : Type
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H : Type
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⊢ ContinuousOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)) (Icc 0 r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp_rw [← intervalIntegral.integral_of_le Real.two_pi_pos.le] | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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c : ℂ
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rp : r > 0
m :
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s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)) (Icc 0 r) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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m :
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s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c x t)) (Icc 0 r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
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r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
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s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)) (Icc 0 r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | refine ContinuousOn.intervalIntegral ?_ isCompact_Icc Real.two_pi_pos.le | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c x t)) (Icc 0 r) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc 0 r ×ˢ Icc 0 (2 * π)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c x t)) (Icc 0 r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [uncurry, Set.Icc_prod_Icc] | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc 0 r ×ˢ Icc 0 (2 * π)) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc 0 r ×ˢ Icc 0 (2 * π))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | refine fs.cont.comp (Continuous.continuousOn (by continuity)) ?_ | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Set.MapsTo (fun a => circleMap c a.1 a.2) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) (closedBall c r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc (0, 0) (r, 2 * π))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | intro (a,b) ts | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Set.MapsTo (fun a => circleMap c a.1 a.2) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) (closedBall c r) | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (a, b) ∈ Icc (0, 0) (r, 2 * π)
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Set.MapsTo (fun a => circleMap c a.1 a.2) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [ge_iff_le, Prod.mk_le_mk, gt_iff_lt, zero_lt_two, mul_nonneg_iff_of_pos_left,
not_and, not_le, Prod.mk_lt_mk, Set.mem_Icc] at ts | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (a, b) ∈ Icc (0, 0) (r, 2 * π)
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b) ∧ a ≤ r ∧ b ≤ 2 * π
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (a, b) ∈ Icc (0, 0) (r, 2 * π)
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | simp only [Metric.mem_closedBall, Complex.dist_eq, circleMap_sub_center, abs_circleMap_zero,
abs_of_nonneg ts.1.1, ts.2.1] | case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b) ∧ a ≤ r ∧ b ≤ 2 * π
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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c : ℂ
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rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
a b : ℝ
ts : (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b) ∧ a ≤ r ∧ b ≤ 2 * π
⊢ (fun a => circleMap c a.1 a.2) (a, b) ∈ closedBall c r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.submean_disk | [733, 1] | [774, 36] | continuity | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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F : Type
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inst✝⁷ : CompleteSpace F
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rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun a => circleMap c a.1 a.2 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
(volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun a => circleMap c a.1 a.2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have pc : ContinuousOn (fun z ↦ (f z, g z)) s := fs.cont.prod gs.cont | S : Type
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STATE:
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⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have mc : ContinuousOn (fun z ↦ Max.max (f z) (g z)) s := continuous_max.comp_continuousOn pc | S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
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⊢ SubharmonicOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [subharmonicOn_iff_submean mc] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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∀ r > 0,
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STATE:
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gs : SubharmonicOn g s
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | intro c r rp cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
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⊢ ∀ (c : ℂ),
∀ r > 0,
closedBall c r ⊆ s → Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | S : Type
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T : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
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cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
⊢ ∀ (c : ℂ),
∀ r > 0,
closedBall c r ⊆ s → Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have pi : IntegrableOn (fun t ↦ (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau := by
refine ContinuousOn.integrableOn_sphere (f := fun z ↦ (f z, g z)) ?_ rp
exact pc.mono cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
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r : ℝ
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⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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F : Type
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H : Type
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⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
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F : Type
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H : Type
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pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
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⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | refine _root_.trans ?_ (ConvexOn.map_set_average_le convexOn_max continuous_max.continuousOn
isClosed_univ ?_ ?_ ?_ pi ?_) | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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s : Set ℂ
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r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t)) | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤
Max.max (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
(⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ 0
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ↑volume itau ≠ ⊤
case refine_4
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∈ univ
case refine_5
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ IntegrableOn ((fun p => Max.max p.1 p.2) ∘ fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, Max.max (f (circleMap c r t)) (g (circleMap c r t))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | refine ContinuousOn.integrableOn_sphere (f := fun z ↦ (f z, g z)) ?_ rp | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) (closedBall c r) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact pc.mono cs | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) (closedBall c r) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) (closedBall c r)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | apply max_le_max | case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤
Max.max (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
(⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ Max.max (f c) (g c) ≤
Max.max (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
(⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have e : ∀ p : ℝ × ℝ, p.fst = ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ p := fun p ↦ by
simp only [ContinuousLinearMap.fst, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.fst_apply] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [e] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [← average_linear_comm pi] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume) | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [ContinuousLinearMap.fst, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.fst_apply] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact (fs.mono cs).submean rp | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, f (circleMap c r x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [ContinuousLinearMap.fst, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.fst_apply] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
p : ℝ × ℝ
⊢ p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
p : ℝ × ℝ
⊢ p.1 = (ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ) p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | have e : ∀ p : ℝ × ℝ, p.snd = ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ p := fun p ↦ by
simp only [ContinuousLinearMap.snd, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.snd_apply] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [e] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2 | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume).2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | rw [← average_linear_comm pi] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume) | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
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c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (⨍ (x : ℝ) in itau, (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) ∂volume)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [ContinuousLinearMap.snd, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.snd_apply] | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x)) | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c r x) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f (circleMap c r x), g (circleMap c r x))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | exact (gs.mono cs).submean rp | case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c r x) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case refine_1.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
e : ∀ (p : ℝ × ℝ), p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
⊢ g c ≤ ⨍ (x : ℝ) in itau, g (circleMap c r x)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Subharmonic.lean | SubharmonicOn.max | [777, 1] | [802, 46] | simp only [ContinuousLinearMap.snd, ContinuousLinearMap.coe_mk', LinearMap.snd_apply] | S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
p : ℝ × ℝ
⊢ p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f g : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
gs : SubharmonicOn g s
pc : ContinuousOn (fun z => (f z, g z)) s
mc : ContinuousOn (fun z => Max.max (f z) (g z)) s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
pi : IntegrableOn (fun t => (f (circleMap c r t), g (circleMap c r t))) itau volume
p : ℝ × ℝ
⊢ p.2 = (ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
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