id stringlengths 6 18 | src stringclasses 4
values | question_en stringlengths 20 8.58k | cot_en stringlengths 25 1.23k ⌀ | question_hy stringlengths 19 8.66k | cot_hy stringlengths 0 2.61k | gold stringlengths 1 11 | answer_type stringclasses 2
values | solver_limited bool 2
classes | translator stringclasses 2
values | attempts int64 1 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
acereason_1542 | acereason | The base of the quadrilateral pyramid \( S A B C D \) is a square \( A B C D \), and \( S A \) is the height of the pyramid. Let \( M \) and \( N \) be the midpoints of the edges \( S C \) and \( A D \), respectively. What is the maximum possible area of the triangle \( B S A \) if \( M N = 3 \)? | null | Քառանկյուն բուրգի հիմքը \( S A B C D \) քառակուսի է \( A B C D \), և \( S A \)-ը բուրգի բարձրությունն է։ Դիցուք \( M \)-ը և \( N \)-ը համապատասխանաբար \( S C \) և \( A D \) կողերի միջնակետերն են։ Ո՞րն է \( B S A \) եռանկյան հնարավոր առավելագույն մակերեսը, եթե \( M N = 3 \)։ | 9 | 9 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1518 | acereason | Let $c$ and $d$ be real numbers. Consider the following five statements:
$\frac{1}{c} > \frac{1}{d}$
$c^2 < d^2$
$c > d$
$c > 0$
$d > 0$
What is the maximum number of these statements that can be true for any values of $c$ and $d$? | null | Թող $c$-ը և $d$-ը լինեն իրական թվեր։ Դիտարկենք հետևյալ հինգ պնդումները․
$\frac{1}{c} > \frac{1}{d}$
$c^2 < d^2$
$c > d$
$c > 0$
$d > 0$
Ո՞րն է այն պնդումների առավելագույն քանակը, որոնք կարող են միաժամանակ ճշմարիտ լինել $c$-ի և $d$-ի ցանկացած արժեքների դեպքում։ | 4 | 4 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1551 | acereason | Bob now has an eight-sided die with sides numbered from 1 to 8. Every morning, he rolls the die to decide his breakfast:
- If he rolls a composite number, he chooses sweetened cereal.
- If he rolls a prime number, he goes for unsweetened cereal.
- If he rolls a 1, 7, or 8, he needs to roll the die again.
What is the ex... | null | Բոբն այժմ ունի ութանիստ զառ, որի նիստերը համարակալված են 1-ից մինչև 8: Ամեն առավոտ նա գցում է զառը՝ իր նախաճաշը որոշելու համար.
- Եթե նա ստանում է բաղադրյալ թիվ, նա ընտրում է քաղցր հացահատիկ։
- Եթե նա ստանում է պարզ թիվ, նա ընտրում է անշաքար հացահատիկ։
- Եթե նա ստանում է 1,, 7, կամ 8,, նա պետք է նորից գցի զառը։
Ո՞րն է ... | 584 | 584 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1541 | acereason | Given that $\left\{a_{n}\right\}$ is a geometric series and $a_{1} a_{2017}=1$. If $f(x)=\frac{2}{1+x^{2}}$, then find the value of $f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+f\left(a_{3}\right)+\cdots+f\left(a_{2017}\right)$. | null | Հաշվի առնելով, որ $\left\{a_{n}\right\}$-ը երկրաչափական պրոգրեսիա է և $a_{1} a_{2017}=1$։ Եթե $f(x)=\frac{2}{1+x^{2}}$, ապա գտեք $f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+f\left(a_{3}\right)+\cdots+f\left(a_{2017}\right)$-ի արժեքը։ | 2017 | 2017 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1547 | acereason | Find the range of the function
\[ f(x) = \frac{\cos^3 x + 6 \cos^2 x + \cos x + 2 \sin^2 x - 8}{\cos x - 1}, \]
as \( x \) ranges over all real numbers such that \( \cos x \neq 1 \). | null | Գտեք \[ f(x) = \frac{\cos^3 x + 6 \cos^2 x + \cos x + 2 \sin^2 x - 8}{\cos x - 1}, \] ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը, երբ \( x \)-ն ընդունում է բոլոր այն իրական արժեքները, որոնց դեպքում \( \cos x \neq 1 \)։ | [2,12) | [2,12) | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1554 | acereason | In triangle $ABC$, the altitude from vertex $A$ is the harmonic mean of the two segments into which it divides side $BC$. What is $\operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma$ (where $\beta$ and $\gamma$ are the angles of the triangle)? | null | $ABC$ եռանկյան մեջ $A$ գագաթից տարված բարձրությունը $BC$ կողմի վրա առաջացրած երկու հատվածների հարմոնիկ միջինն է։ Ի՞նչ է $\operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma$-ը (որտեղ $\beta$-ը և $\gamma$-ը եռանկյան անկյուններն են)։ | 2 | 2 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1552 | acereason | Circle $D$ has a radius of 10 cm. How many square centimeters are in the area of the largest possible inscribed equilateral triangle in circle $D$? | null | $D$ շրջանագիծն ունի 10 սմ շառավիղ: Քանի՞ քառակուսի սանտիմետր է $D$ շրջանագծին ներգծված հնարավոր ամենամեծ հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը: | 75\sqrt{3} | 75\sqrt{3} | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1553 | acereason | The area of the base of a hemisphere is $81\pi$. What is the total surface area of the sphere obtained by adding a top circular lid to the hemisphere? | null | Կիսագնդի հիմքի մակերեսը հավասար է 81\pi-ի։ Որքա՞ն է այն գնդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, որը ստացվում է կիսագնդին վերևից շրջանաձև կափարիչ ավելացնելիս։ | 324\pi | 324\pi | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1526 | acereason | If the product of a 4-digit number abSd and 9 is equal to another 4-digit number dSba, find the value of \( S \). | null | Եթե 4-անիշ թվի՝ abSd-ի և 9-ի արտադրյալը հավասար է մեկ այլ 4-անիշ թվի՝ dSba-ի, գտեք \( S \)-ի արժեքը։ | 8 | 8 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1537 | acereason | You need to find out a five-digit phone number by asking questions that can be answered with "yes" or "no". What is the minimum number of questions required to guarantee finding the number (assuming all answers are correct)? | null | Պետք է պարզել հնգանիշ հեռախոսահամարը՝ տալով հարցեր, որոնց կարելի է պատասխանել «այո» կամ «ոչ»։ Որքա՞ն է հարցերի նվազագույն քանակը, որն անհրաժեշտ է համարի հայտնաբերումը երաշխավորելու համար՝ ենթադրելով, որ բոլոր պատասխանները ճիշտ են։ | 17 | 17 | numeric | false | azure/openai/gpt-5.5 | 3 |
acereason_1500 | acereason | Omar made a list of all the arithmetic progressions of positive integer numbers such that the difference is equal to $2$ and the sum of its terms is $200$ . How many progressions does Omar's list have? | null | Օմարը կազմել է դրական ամբողջ թվերից կազմված բոլոր այն թվաբանական պրոգրեսիաների ցուցակը, որոնց տարբերությունը հավասար է 2-ի, իսկ անդամների գումարը՝ 200-ի։ Քանի՞ պրոգրեսիա կա Օմարի ցուցակում։ | 6 | 6 | numeric | true | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1506 | acereason | Maria is an interpreter fluent in 5 languages, and she assists in cross-cultural legal negotiations. One week, she has 3 negotiation sessions per language. Each session lasts 2 hours and she needs 30 minutes to prepare for each session. After every two sessions, Maria takes a 15-minute break. How many total hours does ... | null | Մարիան թարգմանիչ է, որը տիրապետում է 5 լեզուների, և նա օգնում է միջմշակութային իրավական բանակցությունների ժամանակ: Մեկ շաբաթվա ընթացքում նա յուրաքանչյուր լեզվով ունի 3 բանակցային նիստ: Յուրաքանչյուր նիստ տևում է 2 ժամ, և նա յուրաքանչյուր նիստին պատրաստվելու համար ծախսում է 30 րոպե: Ամեն երկու նիստից հետո Մարիան անում է... | 39.25 | 39.25 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 2 |
acereason_1545 | acereason | For how many non-negative real values of $x$ is $\sqrt{256-\sqrt[4]{x}}$ an integer? | null | Քանի՞ ոչ բացասական իրական $x$ արժեքների դեպքում է $\sqrt{256-\sqrt[4]{x}}$-ը ամբողջ թիվ: | 17 | 17 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1559 | acereason | Yesterday, Alex, Beth, and Carl raked their lawn. First, Alex and Beth raked half of the lawn together in $30$ minutes. While they took a break, Carl raked a third of the remaining lawn in $60$ minutes. Finally, Beth joined Carl and together they finished raking the lawn in $24$ minutes. If they each rake at a co... | null | Երեկ Ալեքսը, Բեթը և Կարլը հավաքեցին իրենց մարգագետնի տերևները։ Նախ, Ալեքսն ու Բեթը միասին հավաքեցին մարգագետնի կեսը 30 րոպեում։ Մինչ նրանք հանգստանում էին, Կարլը հավաքեց մնացած մարգագետնի մեկ երրորդը 60 րոպեում։ Վերջում Բեթը միացավ Կարլին, և նրանք միասին ավարտեցին մարգագետնի հավաքումը 24 րոպեում։ Եթե նրանցից յուրաքանչյ... | 3 | 3 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1563 | acereason | The school's boys basketball team has 16 players, including a set of twins, Bob and Bill, and a set of triplets, Chris, Craig, and Carl. In how many ways can we choose 7 starters if all three triplets must be in the starting lineup and both twins must either both be in the lineup or both not be in the lineup? | null | Դպրոցի տղաների բասկետբոլի թիմն ունի 16 խաղացող, այդ թվում՝ երկվորյակներ Բոբին ու Բիլին և եռյակներ Քրիսին, Քրեյգին ու Կարլին։ Քանի՞ եղանակով կարելի է ընտրել 7 հիմնական կազմի խաղացողներ, եթե բոլոր երեք եռյակները պետք է ընդգրկված լինեն հիմնական կազմում, իսկ երկվորյակները կամ երկուսն էլ պետք է լինեն կազմում, կամ երկուսն էլ... | 385 | 385 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1557 | acereason | Ella has two older twin sisters. The product of their three ages is 72. What is the sum of their three ages? | null | Էլլան ունի երկու ավագ երկվորյակ քույր: Նրանց երեքի տարիքների արտադրյալը 72 է: Որքա՞ն է նրանց երեքի տարիքների գումարը: | 14 | 14 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1549 | acereason | A circle centered at the origin is inscribed in the parabola \(y = x^2 - 25\). Its area can be expressed in the form \(\frac{a\pi}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime positive integers. Find \(a+b\). | null | Կոորդինատների սկզբնակետում կենտրոն ունեցող շրջանագիծը ներգծված է \(y = x^2 - 25\) պարաբոլի մեջ։ Նրա մակերեսը կարելի է արտահայտել \(\frac{a\pi}{b}\) տեսքով, որտեղ \(a\)-ը և \(b\)-ը փոխադարձաբար պարզ դրական ամբողջ թվեր են։ Գտեք \(a+b\)-ը։ | 103 | 103 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1548 | acereason | Find the sum of the $1004$ roots of $(x-1)^{1004} + 2(x-2)^{1003} + 3(x-3)^{1002} + ... + 1003(x-1003)^2 + 1004(x-1004).$ | null | Գտեք 1004 արմատների գումարը $(x-1)^{1004} + 2(x-2)^{1003} + 3(x-3)^{1002} + ... + 1003(x-1003)^2 + 1004(x-1004).$-ի համար | 1002 | 1002 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1556 | acereason | Determine how many integers satisfy the following inequalities:
\[
\begin{array}{cccc}
(1) & -4x & \geq & 2x + 13 \\
(2) & -3x & \leq & 15 \\
(3) & -5x & \geq & 3x + 23
\end{array}
\] | null | Որոշեք, թե քանի ամբողջ թիվ է բավարարում հետևյալ անհավասարումներին.
\[
\begin{array}{cccc}
(1) & -4x & \geq & 2x + 13 \\
(2) & -3x & \leq & 15 \\
(3) & -5x & \geq & 3x + 23
\end{array}
\] | 3 | 3 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1558 | acereason | Given that $720a$ is a square and $720b$ is a cube, where $a$ and $b$ are the two smallest positive integers, calculate the sum of $a$ and $b$. | null | Տրված է, որ $720a$-ն քառակուսի է, իսկ $720b$-ն՝ խորանարդ, որտեղ $a$-ը և $b$-ը երկու ամենափոքր դրական ամբողջ թվերն են, հաշվեք $a$-ի և $b$-ի գումարը։ | 305 | 305 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1539 | acereason | $p, q, r$ are distinct prime numbers which satisfy $$ 2pqr + 50pq = 7pqr + 55pr = 8pqr + 12qr = A $$ for natural number $A$ . Find all values of $A$ . | null | $p, q, r$-ը տարբեր պարզ թվեր են, որոնք բավարարում են $$ 2pqr + 50pq = 7pqr + 55pr = 8pqr + 12qr = A $$ պայմանին $A$ բնական թվի համար: Գտեք $A$-ի բոլոր արժեքները: | 1980 | 1980 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1560 | acereason | The set of all solutions of the system $$
\begin{cases}
x+y\leq 3 \\
2x+y\geq 2 \\
x\geq 0 \\
y\geq 0
\end{cases}
$$ is a quadrilateral region. Find the number of units in the length of the longest side. Express your answer in simplest radical form. | null | $$
\begin{cases}
x+y\leq 3 \\
2x+y\geq 2 \\
x\geq 0 \\
y\geq 0
\end{cases}
$$ համակարգի բոլոր լուծումների բազմությունը քառանկյուն տիրույթ է։ Գտեք ամենաերկար կողմի երկարության միավորների քանակը։ Պատասխանը արտահայտեք ամենապարզ արմատական տեսքով։ | 3\sqrt{2} | 3\sqrt{2} | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1565 | acereason | Tom's Hat Shoppe increased all original prices by $30\%$. Then, the shoppe is having a sale where all prices are $10\%$ off these increased prices. What is the sale price of an item relative to its original price? | null | «Թոմի գլխարկների խանութը» բոլոր սկզբնական գները բարձրացրել է 30\%-ով։ Այնուհետև խանութում հայտարարվել է զեղչ, որի ընթացքում բոլոր գները նվազեցվել են այս բարձրացված գներից 10\%-ով։ Ինչի՞ է հավասար ապրանքի վաճառքի գինը՝ սկզբնական գնի նկատմամբ։ | 1.17 | 1.17 | numeric | true | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1578 | acereason | What is $\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt{9}$ expressed as a positive integer? | null | Ի՞նչ է $\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt{9}$-ը՝ արտահայտված որպես դրական ամբողջ թիվ։ | 27 | 27 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1567 | acereason | What is the smallest positive value of $x$ such that $x + 1234$ results in a palindrome? | null | Ո՞րն է $x$-ի ամենափոքր դրական արժեքը, որի դեպքում $x + 1234$-ն արդյունքում տալիս է պալինդրոմ: | 97 | 97 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1572 | acereason | What is the ones digit of $8^{50}$ when expressed as an integer? | null | Ո՞րն է 8-ի 50 աստիճանի միավորների կարգի թվանշանը, երբ այն արտահայտված է որպես ամբողջ թիվ։ | 4 | 4 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1561 | acereason | The real number $x$ satisfies $x^2 - 5x + 4 < 0.$ Find all possible values of $x^2 + 4x + 5.$ | null | Իրական $x$ թիվը բավարարում է $x^2 - 5x + 4 < 0.$ պայմանին։ Գտեք $x^2 + 4x + 5.$-ի բոլոր հնարավոր արժեքները։ | (10, 37) | (10, 37) | numeric | true | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1568 | acereason | The Smith family has 4 sons and 3 daughters. In how many ways can they be seated in a row of 7 chairs such that at least 2 boys are next to each other? | null | Սմիթների ընտանիքն ունի 4 որդի և 3 դուստր։ Քանի՞ եղանակով կարելի է նրանց նստեցնել 7 աթոռից բաղկացած շարքում այնպես, որ առնվազն 2 տղա նստած լինեն իրար կողք։ | 4896 | 4896 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1575 | acereason | Let \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Find the number of distinct functions \( f: A \rightarrow A \) such that \( f(f(f(n))) = n \) for all \( n \in A \). | null | Դիցուք \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \): Գտեք այն \( f: A \rightarrow A \) տարբեր ֆունկցիաների քանակը, որոնց համար \( f(f(f(n))) = n \)՝ ցանկացած \( n \in A \)-ի դեպքում: | 81 | 81 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1580 | acereason | How can you find the lightest and heaviest stones among $2N$ stones, where any two stones have different weights, with $3N-2$ weighings? All weighings are done using a two-pan balance scale without any weights. | null | Ինչպե՞ս կարելի է գտնել ամենաթեթև և ամենածանր քարերը 2N քարերի միջից, որտեղ ցանկացած երկու քար ունեն տարբեր քաշեր, կատարելով 3N-2 կշռում։ Բոլոր կշռումները կատարվում են երկու նժար ունեցող կշեռքի միջոցով՝ առանց կշռաքարերի։ | 3N-2 | 3N-2 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1562 | acereason | Let \( N \) be the smallest positive integer such that \( \frac{N}{15} \) is a perfect square, \( \frac{N}{10} \) is a perfect cube, and \( \frac{N}{6} \) is a perfect fifth power. Find the number of positive divisors of \( \frac{N}{30} \). | null | Դիցուք \( N \)-ը ամենափոքր դրական ամբողջ թիվն է այնպիսին, որ \( \frac{N}{15} \)-ը կատարյալ քառակուսի է, \( \frac{N}{10} \)-ը՝ կատարյալ խորանարդ, իսկ \( \frac{N}{6} \)-ը՝ կատարյալ հինգերորդ աստիճան։ Գտեք \( \frac{N}{30} \)-ի դրական բաժանարարների քանակը։ | 8400 | 8400 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1570 | acereason | Given the set $\{-9, -7, -1, 2, 4, 6, 8\}$, find the minimum possible product of three different numbers. | null | Տրված է $\{-9, -7, -1, 2, 4, 6, 8\}$ բազմությունը, գտեք երեք տարբեր թվերի հնարավոր նվազագույն արտադրյալը։ | -432 | -432 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1573 | acereason | Cameron writes down the smallest positive multiple of 30 that is a perfect square, the smallest positive multiple of 30 that is a perfect cube, and all the multiples of 30 between them. How many integers are in Cameron's list? | null | Քեմերոնը գրում է 30-ի ամենափոքր դրական բազմապատիկը, որը հանդիսանում է լրիվ քառակուսի, 30-ի ամենափոքր դրական բազմապատիկը, որը հանդիսանում է լրիվ խորանարդ, և դրանց միջև ընկած 30-ի բոլոր բազմապատիկները։ Քանի՞ ամբողջ թիվ կա Քեմերոնի ցուցակում։ | 871 | 871 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1577 | acereason | How many integers between $100$ and $150$ have three different digits in increasing order? One such integer is $129$. | null | Քանի՞ ամբողջ թիվ կա 100-ի և 150-ի միջև, որոնք ունեն երեք տարբեր թվանշաններ աճման կարգով։ Այդպիսի թվերից մեկը 129-ն է։ | 18 | 18 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1579 | acereason | A sphere intersects the $xy$-plane in a circle centered at $(3,5,0)$ with radius 2. The sphere also intersects the $yz$-plane in a circle centered at $(0,5,-8),$ with radius $r.$ Find $r.$ | null | Գունդը հատում է $xy$-հարթությունը $(3,5,0)$ կենտրոնով և 2 շառավղով շրջանագծով: Գունդը նաև հատում է $yz$-հարթությունը $(0,5,-8),$ կենտրոնով և $r.$ շառավղով շրջանագծով: Գտե՛ք $r.$ | \sqrt{59} | \sqrt{59} | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1586 | acereason | Compute \( \sqrt{(43)(42)(41)(40) + 1} \). | null | Հաշվարկել \( \sqrt{(43)(42)(41)(40) + 1} \)։ | 1721 | 1721 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1571 | acereason | The parabola $\Pi_{1}$ with upward-facing branches passes through the points with coordinates $(10,0)$ and $(13,0)$. The parabola $\Pi_{2}$ with upward-facing branches also passes through the point with coordinates $(13,0)$. It is also known that the vertex of $\Pi_{1}$ bisects the segment connecting the origin and the... | null | $\Pi_{1}$ պարաբոլը, որի ճյուղերն ուղղված են վերև, անցնում է $(10,0)$ և $(13,0)$ կոորդինատներն ունեցող կետերով։ $\Pi_{2}$ պարաբոլը, որի ճյուղերը նույնպես ուղղված են վերև, անցնում է $(13,0)$ կոորդինատներն ունեցող կետով։ Հայտնի է նաև, որ $\Pi_{1}$-ի գագաթը կիսում է սկզբնակետը և $\Pi_{2}$-ի գագաթը միացնող հատվածը։ Ո՞ր աբսց... | 33 | 33 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1394 | acereason | Add $1_3 + 12_3 + 212_3 + 2121_3.$ Express your answer in base 3. | null | Գումարեք $1_3 + 12_3 + 212_3 + 2121_3.$ Պատասխանը արտահայտեք 3 հիմքով։ | 10200_3 | 10200_3 | numeric | true | azure/openai/gpt-5.5 | 3 |
acereason_1584 | acereason | Crestview's school is introducing a new color, green, in addition to purple and gold. The students are tasked with designing a new flag using four solid-colored horizontal stripes. How many different flags are possible if the first and the last stripes can only use either purple or gold, whereas the remaining stripes c... | null | Քրեսթվյուի դպրոցը մանուշակագույնին և ոսկեգույնին ավելացնում է նոր գույն՝ կանաչը: Աշակերտներին հանձնարարված է նախագծել նոր դրոշ՝ օգտագործելով չորս միագույն հորիզոնական շերտեր: Քանի՞ տարբեր դրոշ է հնարավոր, եթե առաջին և վերջին շերտերի համար կարելի է օգտագործել միայն մանուշակագույն կամ ոսկեգույն, մինչդեռ մնացած շերտերի հա... | 24 | 24 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1564 | acereason | The first term of a given sequence is 1, and each successive term is the sum of all the previous terms of the sequence. What is the value of the first term which exceeds 5000? | null | Տրված հաջորդականության առաջին անդամը 1, է, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ հավասար է հաջորդականության բոլոր նախորդ անդամների գումարին։ Ո՞րն է այն առաջին անդամի արժեքը, որը գերազանցում է 5000-ը։ | 8192 | 8192 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1574 | acereason | What is the largest possible median for the five-number set $\{x, 2x, 4, 1, 7\}$ if $x$ can be any negative integer? | null | Ո՞րն է $\{x, 2x, 4, 1, 7\}$ հինգ թվերից բաղկացած բազմության հնարավոր ամենամեծ միջնարժեքը, եթե $x$-ը կարող է լինել ցանկացած բացասական ամբողջ թիվ։ | 1 | 1 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1587 | acereason | An equilateral triangle $ABC$ with side length $4$ has a smaller equilateral triangle $DBE$ with side length $2$ cut from it, where $D,E$ lie on sides $AB$ and $BC$ respectively. Calculate the perimeter of the remaining quadrilateral $ACED$. | null | Հավասարակողմ եռանկյունուց $ABC$՝ 4 կողմի երկարությամբ, կտրված է ավելի փոքր՝ 2 կողմի երկարությամբ հավասարակողմ եռանկյունի $DBE$, որտեղ $D,E$-ի գագաթները գտնվում են համապատասխանաբար $AB$ և $BC$ կողմերի վրա։ Հաշվեք մնացած քառանկյան $ACED$ պարագիծը։ | 10 | 10 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1592 | acereason | In a new diagram, the grid is made up of squares with different dimensions. What is the area of the shaded region? The grid has the following structure:
- The bottom rectangle is 3 units high and 5 units wide.
- The middle rectangle is 4 units high and 7 units wide.
- The top rectangle is 5 units high and 12 units wide... | null | Նոր գծագրում ցանցը կազմված է տարբեր չափերի քառակուսիներից։ Որքա՞ն է ստվերագծված տարածքի մակերեսը։ Ցանցն ունի հետևյալ կառուցվածքը.
- Ներքևի ուղղանկյան բարձրությունը 3 միավոր է, իսկ լայնությունը՝ 5 միավոր։
- Միջին ուղղանկյան բարձրությունը 4 միավոր է, իսկ լայնությունը՝ 7 միավոր։
- Վերևի ուղղանկյան բարձրությունը 5 միավոր է... | 73 | 73 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1531 | acereason | Three students $A, B$ and $C$ are traveling from a location on the National Highway No. $5$ on direction to Hanoi for participating the HOMC $2018$ . At beginning, $A$ takes $B$ on the motocycle, and at the same time $C$ rides the bicycle. After one hour and a half, $B$ switches to a bicycle and immediate... | null | Երեք ուսանող՝ $A, B$-ը և $C$-ը, ճանապարհորդում են ազգային մայրուղու 5 կետից դեպի Հանոյ՝ մասնակցելու HOMC 2018-ին: Սկզբում $A$-ը նստեցնում է $B$-ին մոտոցիկլի վրա, և նույն ժամանակ $C$-ը հեծանիվ է վարում: Մեկ ու կես ժամ անց $B$-ը նստում է հեծանիվ և անմիջապես շարունակում ճանապարհը դեպի Հանոյ, մինչդեռ $A$-ը վերադառնում է՝ $... | 100 | 100 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1590 | acereason | Fifty slips are placed into a hat, each bearing a number from 1 to 10, with each number appearing on five slips. Four slips are drawn from the hat at random and without replacement. Let $p$ be the probability that all four slips bear the same number. Let $q$ be the probability that two of the slips bear a number $a$ an... | null | Հիսուն թղթիկներ դրված են գլխարկի մեջ, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա գրված է 1-ից մինչև 10, թվերից մեկը, ընդ որում՝ յուրաքանչյուր թիվ հանդիպում է հինգ թղթիկի վրա: Գլխարկից պատահականորեն և առանց վերադարձի հանվում է չորս թղթիկ: Դիցուք $p$-ը այն հավանականությունն է, որ չորս թղթիկներն էլ ունեն նույն թիվը: Դիցուք $q$-ը այն հավա... | 90 | 90 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1583 | acereason | Let \(P(x)\) be a quadratic satisfying \(P(-2)=10\), \(P(0)=5\), and \(P(3)=0\). Find the sum of the coefficients of the polynomial \(P(x)P(-x)\). | null | Դիցուք \(P(x)\)-ը քառակուսային բազմանդամ է, որը բավարարում է \(P(-2)=10\), \(P(0)=5\) և \(P(3)=0\) պայմաններին: Գտե՛ք \(P(x)P(-x)\) բազմանդամի գործակիցների գումարը: | 22 | 22 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1576 | acereason | What is the smallest possible number of whole 2-by-3 non-overlapping rectangles needed to cover a square region exactly, without extra over-hangs and without gaps? | null | Ո՞րն է 2 անգամ 3 չափսի այն ամենափոքր թվով ամբողջական, չհատվող ուղղանկյունների քանակը, որոնք անհրաժեշտ են քառակուսի տարածքը ճշգրիտ ծածկելու համար՝ առանց ավելորդ ելուստների և բացերի։ | 6 | 6 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1585 | acereason | How many integers from 1 through 9999, inclusive, do not contain any of the digits 1, 3, 5, 7, or 9? | null | Քանի՞ ամբողջ թիվ կա 1-ից մինչև 9999,-ը (ներառյալ), որոնք չեն պարունակում 1,, 3,, 5,, 7, կամ 9 թվանշաններից ոչ մեկը։ | 624 | 624 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1596 | acereason | A whole number is considered "11-heavy" if the remainder when the number is divided by 11 is greater than 7. What is the least four-digit "11-heavy" whole number? | null | Ամբողջ թիվը համարվում է «11-ծանր», եթե այդ թիվը 11-ի բաժանելիս ստացված մնացորդը մեծ է 7-ից։ Ո՞րն է ամենափոքր քառանիշ «11-ծանր» ամբողջ թիվը։ | 1000 | 1000 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1603 | acereason | The pattern of Pascal's triangle is illustrated in the diagram shown. What is the fourth element in Row 15 of Pascal's triangle? $$
\begin{array}{ccccccccccccc}\vspace{0.1in}
\textrm{Row 0}: & \qquad & & & & & 1 & & & & & & \\ \vspace{0.1in}
\textrm{Row 1}: & \qquad & & & & 1 & & 1 & & & & &\\ \vspace{0.1in}
\textrm{R... | null | Պասկալի եռանկյան օրինաչափությունը պատկերված է ներկայացված գծագրում։ Ո՞րն է Պասկալի եռանկյան 15 տողի չորրորդ տարրը։ $$
\begin{array}{ccccccccccccc}\vspace{0.1in}
\textrm{Row 0}: & \qquad & & & & & 1 & & & & & & \\ \vspace{0.1in}
\textrm{Row 1}: & \qquad & & & & 1 & & 1 & & & & &\\ \vspace{0.1in}
\textrm{Row 2}: & \qquad... | 455 | 455 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1595 | acereason | If $f(4)=3$ and $f(2x)=2f(x) + 1$ for all $x$, find $f^{-1}(127)$. | null | Եթե $f(4)=3$-ը և $f(2x)=2f(x) + 1$-ը ճիշտ են բոլոր $x$-ների համար, ապա գտե՛ք $f^{-1}(127)$-ը։ | 128 | 128 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1569 | acereason | Let $g(x) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be a function such that
\[\frac{g(x) g(y) - g(xy)}{4} = x + y + 3\] for all $x,$ $y \in \mathbb{R}.$ Find $g(x).$ | null | Դիցուք $g(x) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$-ը այնպիսի ֆունկցիա է, որ
\[\frac{g(x) g(y) - g(xy)}{4} = x + y + 3\] բոլոր $x,$-ների համար $y \in \mathbb{R}.$ Գտեք $g(x).$ | x + 4 | x + 4 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1555 | acereason | The segment connecting the centers of two intersecting circles is divided by their common chord into segments equal to 5 and 2. Find the common chord, given that the radius of one circle is twice the radius of the other. | null | Երկու հատվող շրջանագծերի կենտրոնները միացնող հատվածը նրանց ընդհանուր լարով բաժանվում է 5 և 2 հատվածների։ Գտեք ընդհանուր լարը, եթե հայտնի է, որ շրջանագծերից մեկի շառավիղը երկու անգամ մեծ է մյուսի շառավղից։ | 2 \sqrt{3} | 2 \sqrt{3} | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1582 | acereason | Let $\mathbf{B} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.$ Determine if there exist scalars $r$ and $s$ such that
\[
\mathbf{B}^4 = r \mathbf{B} + s \mathbf{I}.
\]
If so, find the ordered pair $(r,s)$. | null | Դիցուք $\mathbf{B} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.$ Պարզեք, թե գոյություն ունեն արդյոք $r$ և $s$ սկալյարներ այնպես, որ
\[
\mathbf{B}^4 = r \mathbf{B} + s \mathbf{I}.
\]
Եթե այո, գտեք $(r,s)$ կարգավորված զույգը։ | (165, 116) | (165, 116) | numeric | true | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1606 | acereason | On a modulo $17$ graph paper, graph the congruences $$y \equiv 6x + 3 \pmod{17}$$ and $$y \equiv 13x + 1 \pmod{17}.$$ Determine the sum of the $x$-coordinates of points that lie on both graphs. | null | Գծագրեք $$y \equiv 6x + 3 \pmod{17}$$ և $$y \equiv 13x + 1 \pmod{17}.$$ համեմատությունները 17 մոդուլով գրաֆիկական թղթի վրա։ Որոշեք այն կետերի $x$-կոորդինատների գումարը, որոնք գտնվում են երկու գրաֆիկների վրա էլ։ | 10 | 10 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1593 | acereason | Given three points \( A, B, C \) on a plane such that \( |\overrightarrow{AB}| = 3 \), \( |\overrightarrow{BC}| = 4 \), \( |\overrightarrow{CA}| = 5 \), find the value of \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} \). | null | Հարթության վրա տրված են երեք կետեր \( A, B, C \) այնպես, որ \( |\overrightarrow{AB}| = 3 \), \( |\overrightarrow{BC}| = 4 \), \( |\overrightarrow{CA}| = 5 \), գտեք \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} \)-ի արժեքը... | -25 | -25 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1609 | acereason | A positive number is called $5$-primable if it is divisible by $5$ and each of its digits is a one-digit prime number. How many $5$-primable positive integers are there that are less than 10,000? | null | Դրական թիվը կոչվում է 5-պարզունակ, եթե այն բաժանվում է 5-ի, և նրա յուրաքանչյուր թվանշանը միանիշ պարզ թիվ է։ Քանի՞ 5-պարզունակ դրական ամբողջ թիվ կա, որոնք փոքր են 10,000-ից։ | 85 | 85 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1602 | acereason | All positive integers whose digits add up to 12 are listed in increasing order. What is the eleventh number in that list? | null | Բոլոր այն դրական ամբողջ թվերը, որոնց թվանշանների գումարը հավասար է 12-ի, դասավորված են աճման կարգով։ Ո՞րն է այդ շարքի տասնմեկերորդ թիվը։ | 156 | 156 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1581 | acereason | Points M and N are the midpoints of sides PC and PD of triangle PCD. As P moves along a line that is parallel to side CD, determine the number of the four quantities listed that change: the length of the segment MN, the perimeter of triangle PCD, the area of triangle PCD, the area of trapezoid CDNM. | null | M և N կետերը PCD եռանկյան PC և PD կողմերի միջնակետերն են։ Երբ P-ն շարժվում է CD կողմին զուգահեռ ուղղով, որոշե՛ք թվարկված չորս մեծություններից քանիսն են փոխվում՝ MN հատվածի երկարությունը, PCD եռանկյան պարագիծը, PCD եռանկյան մակերեսը, CDNM սեղանի մակերեսը։ | 1 | 1 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1594 | acereason | Suppose $f(x) = ax - b$ and $g(x) = -4x + 6$. If $h(x) = f(g(x))$, and it is given that $h^{-1}(x) = x + 9$, find the value of $2a+b$. | null | Ենթադրենք $f(x) = ax - b$ և $g(x) = -4x + 6$։ Եթե $h(x) = f(g(x))$, և տրված է, որ $h^{-1}(x) = x + 9$, գտեք 2a+b-ի արժեքը։ | 7 | 7 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1597 | acereason | Calculate the area of the parallelogram formed by the vectors \(a\) and \(b\).
Given:
\[ a = 6p - q \]
\[ b = p + q \]
\[ |p| = 3 \]
\[ |q| = 4 \]
\[ (\widehat{p, q}) = \frac{\pi}{4} \] | null | Հաշվեք \(a\) և \(b\) վեկտորներով կազմված զուգահեռագծի մակերեսը։
Տրված է՝
\[ a = 6p - q \]
\[ b = p + q \]
\[ |p| = 3 \]
\[ |q| = 4 \]
\[ (\widehat{p, q}) = \frac{\pi}{4} \] | 42\sqrt{2} | 42\sqrt{2} | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1600 | acereason | Each person in Cambridge drinks a (possibly different) $12$ ounce mixture of water and apple juice,
where each drink has a positive amount of both liquids. Marc McGovern, the mayor of Cambridge, drinks $\frac{1}{6}$ of the total amount of water drunk and $\frac{1}{8}$ of the total amount of apple juice drunk. How... | null | Քեմբրիջի յուրաքանչյուր բնակիչ խմում է ջրի և խնձորի հյութի 12 ունցիա կազմող (հնարավոր է՝ տարբեր) խառնուրդ, որտեղ յուրաքանչյուր խմիչք պարունակում է երկու հեղուկներից էլ դրական քանակություն։ Քեմբրիջի քաղաքապետ Մարկ Մակգովերնը խմում է խմված ջրի ընդհանուր քանակի $\frac{1}{6}$-ը և խմված խնձորի հյութի ընդհանուր քանակի $\frac{... | 7 | 7 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1610 | acereason | What is the smallest integer $k$ such that $k > 1$ and $k$ has a remainder of 1 when divided by any of $19$, $14$, and $9$? | null | Ո՞րն է ամենափոքր $k$ ամբողջ թիվն այնպիսին, որ $k > 1$-ը և $k$-ը 19, 14 և 9 թվերից յուրաքանչյուրի վրա բաժանելիս տալիս են 1 մնացորդ: | 2395 | 2395 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1615 | acereason | In the given diagram, Alberto and Bjorn bike along straight paths with constant speeds. After 5 hours, considering that Alberto took a 30-minute break and Bjorn took a 15-minute break, how many more miles has Alberto biked than Bjorn? The graph shows Alberto's biking rate as 15 miles per hour and Bjorn's as 10.5 miles ... | null | Տրված գծապատկերում Ալբերտոն և Բյորնը հեծանիվով երթևեկում են ուղիղ ճանապարհներով՝ հաստատուն արագությամբ։ 5 ժամ անց, հաշվի առնելով, որ Ալբերտոն ընդմիջել է 30 րոպե, իսկ Բյորնը՝ 15 րոպե, քանի՞ մղոնով ավելի է անցել Ալբերտոն, քան Բյորնը։ Գրաֆիկը ցույց է տալիս Ալբերտոյի հեծանվավազքի արագությունը՝ 15 մղոն ժամում, իսկ Բյորնինը՝... | 17.625 | 17.625 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1614 | acereason | Let $a$, $b$, $c$ be the three sides of a triangle, and let $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ be the angles opposite them. If $a^2+b^2=1989c^2$, find the value of
\[\frac{\cot \gamma}{\cot \alpha+\cot \beta}.\] | null | Թող $a$-ը, $b$-ը և $c$-ը լինեն եռանկյան երեք կողմերը, իսկ $\alpha$-ը, $\beta$-ը և $\gamma$-ը՝ դրանց դիմացի անկյունները: Եթե $a^2+b^2=1989c^2$, գտեք \[\frac{\cot \gamma}{\cot \alpha+\cot \beta}.\]-ի արժեքը: | 994 | 994 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1612 | acereason | Find the product of all positive integral values of $n$ such that $n^2-31n+240= p$ for some prime number $p$. Note that there is at least one such $n$. | null | Գտեք $n$-ի բոլոր դրական ամբողջ արժեքների արտադրյալը այնպիսին, որ $n^2-31n+240= p$ ինչ-որ $p$ պարզ թվի համար: Նշենք, որ գոյություն ունի առնվազն մեկ այդպիսի $n$: | 238 | 238 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1601 | acereason | Find the remainder when the polynomial $x^{500}$ is divided by the polynomial $(x^2 + 1)(x^2 - 1).$ | null | Գտեք այն մնացորդը, որը ստացվում է $x^{500}$ բազմանդամը $(x^2 + 1)(x^2 - 1).$ բազմանդամի վրա բաժանելիս | 1 | 1 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1616 | acereason | Let $a_1, a_2, \ldots$ and $b_1, b_2, \ldots$ be arithmetic progressions such that $a_1 = 25, b_1 = 75$, and $a_{100} + b_{100} = 100$. Find the sum of the first hundred terms of the progression $a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots$ | null | Դիցուք $a_1, a_2, \ldots$-ը և $b_1, b_2, \ldots$-ը թվաբանական պրոգրեսիաներ են այնպես, որ $a_1 = 25, b_1 = 75$ և $a_{100} + b_{100} = 100$: Գտե՛ք $a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots$ պրոգրեսիայի առաջին հարյուր անդամների գումարը: | 10,000 | 10,000 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1620 | acereason | Optimus Prime is planning a reunion with the Autobots from the original '80s Transformers team. He sends out 15 invitations to his fellow Autobots. Each Autobot can bring one guest, and Bumblebee, being extra enthusiastic, decides to bring 3 friends instead. However, due to Decepticon interference, 5 Autobots cannot ma... | null | Օպտիմուս Փրայմը ծրագրում է հանդիպում 80-ականների «Տրանսֆորմերներ» թիմի ավտոբոտների հետ: Նա 15 հրավեր է ուղարկում իր ավտոբոտ ընկերներին: Յուրաքանչյուր ավտոբոտ կարող է իր հետ մեկ հյուր բերել, իսկ Բամբլբին, լինելով չափազանց ոգևորված, որոշում է իր հետ բերել 3 ընկեր: Սակայն դիսեպտիկոնների միջամտության պատճառով 5 ավտոբոտ չի ... | 22 | 22 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1618 | acereason | Let $\frac{27x - 19}{x^2 - 5x + 6} = \frac{M_1}{x - 2} + \frac{M_2}{x - 3}$ be an identity in $x$. Find the value of $M_1M_2$. | null | Թող $\frac{27x - 19}{x^2 - 5x + 6} = \frac{M_1}{x - 2} + \frac{M_2}{x - 3}$-ը լինի նույնություն $x$-ում։ Գտեք $M_1M_2$-ի արժեքը։ | -2170 | -2170 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1599 | acereason | In triangle \( A B C \) with side ratio \( A B: A C=7:2 \), the bisector of angle \( B A C \) intersects side \( B C \) at point \( L \). Find the length of segment \( A L \), given that the length of the vector \( 2 \cdot \overrightarrow{A B} + 7 \cdot \overrightarrow{A C} \) is equal to 2016. | null | Եռանկյուն \( A B C \)-ում, որի կողմերի հարաբերությունը \( A B: A C=7:2 \) է, \( B A C \) անկյան կիսորդը \( B C \) կողմը հատում է \( L \) կետում: Գտեք \( A L \) հատվածի երկարությունը, եթե հայտնի է, որ \( 2 \cdot \overrightarrow{A B} + 7 \cdot \overrightarrow{A C} \) վեկտորի երկարությունը հավասար է 2016-ի: | 224 | 224 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1625 | acereason | Construct a new sequence $\{a_n\}$ by extracting every 2nd, 4th, 8th, ..., $2^n$th, ... term from the sequence $\{3n+\log_2 n\}$ in the original order. Find the general term $a_n$ for the new sequence $\{a_n\}$ and calculate the sum of the first five terms, $S_5$. | null | Կառուցեք նոր հաջորդականություն $\{a_n\}$՝ $\{3n+\log_2 n\}$ հաջորդականությունից յուրաքանչյուր 2-րդ, 4-րդ, 8-րդ, ..., 2$^n$-րդ անդամն առանձնացնելով՝ սկզբնական հերթականությամբ։ Գտեք $\{a_n\}$ նոր հաջորդականության $a_n$ ընդհանուր անդամը և հաշվեք առաջին հինգ անդամների գումարը՝ $S_5$։ | 201 | 201 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1613 | acereason | Calculate the sum of the $2023$ roots of $(x-1)^{2023} + 2(x-2)^{2022} + 3(x-3)^{2021} + \cdots + 2022(x-2022)^2 + 2023(x-2023)$. | null | Հաշվեք $(x-1)^{2023} + 2(x-2)^{2022} + 3(x-3)^{2021} + \cdots + 2022(x-2022)^2 + 2023(x-2023)$-ի 2023 արմատների գումարը։ | 2021 | 2021 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1619 | acereason | A basketball championship has been played in a round-robin format, with each pair of teams playing twice and no ties (overtime is played until one team wins). The winner of a match receives 2 points, and the loser receives 1 point. At the end of the championship, the sum of the points obtained by all the teams except t... | null | Բասկետբոլի առաջնությունն անցկացվել է շրջանաձև մրցակարգով, որտեղ յուրաքանչյուր թիմ մյուսի հետ խաղացել է երկուական անգամ՝ առանց ոչ-ոքիների (լրացուցիչ ժամանակը խաղացվել է մինչև հաղթողի որոշվելը): Հանդիպման հաղթողը ստանում է 2 միավոր, իսկ պարտվողը՝ 1 միավոր: Առաջնության ավարտին չեմպիոնից բացի մնացած բոլոր թիմերի ստացած միա... | 39 | 39 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1598 | acereason | In the geometric sequence $\{a_n\}$ with a common ratio greater than $1$, $a_3a_7=72$, $a_2+a_8=27$, calculate $a_{12}$. | null | Երկրաչափական պրոգրեսիայում $\{a_n\}$, որի հայտարարը մեծ է 1-ից, $a_3a_7=72$, $a_2+a_8=27$, հաշվեք $a_{12}$։ | 96 | 96 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1608 | acereason | Given that
$\frac 1{2!17!}+\frac 1{3!16!}+\frac 1{4!15!}+\frac 1{5!14!}+\frac 1{6!13!}+\frac 1{7!12!}+\frac 1{8!11!}+\frac 1{9!10!}=\frac N{1!18!}$
find the greatest integer that is less than $\frac N{100}$. | null | Հաշվի առնելով, որ
$\frac 1{2!17!}+\frac 1{3!16!}+\frac 1{4!15!}+\frac 1{5!14!}+\frac 1{6!13!}+\frac 1{7!12!}+\frac 1{8!11!}+\frac 1{9!10!}=\frac N{1!18!}$
գտեք ամենամեծ ամբողջ թիվը, որը փոքր է $\frac N{100}$-ից։ | 137 | 137 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1611 | acereason | The arithmetic mean, geometric mean, and harmonic mean of $a$, $b$, $c$ are $8$, $5$, $3$ respectively. What is the value of $a^2+b^2+c^2$? | null | $a$, $b$, $c$ թվերի թվաբանական միջինը, երկրաչափական միջինը և ներդաշնակ միջինը համապատասխանաբար հավասար են 8, 5 և 3: Որքա՞ն է $a^2+b^2+c^2$-ի արժեքը: | 326 | 326 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1621 | acereason | In $\triangle ABC$, $a=5$, $b=8$, $C=60^{\circ}$, the value of $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$ is $\_\_\_\_\_\_$. | null | $\triangle ABC$, $a=5$, $b=8$, $C=60^{\circ}$-ում $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$-ի արժեքը $\_\_\_\_\_\_$ է։ | -20 | -20 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1607 | acereason | Given the equation \(\left|x^{2}-2ax+b\right|=8\) has exactly three real roots, and these roots are the side lengths of a right triangle. Find the value of \(a+b\). | null | Տրված է, որ \(\left|x^{2}-2ax+b\right|=8\) հավասարումն ունի ճիշտ երեք իրական արմատ, և այդ արմատները ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարություններն են։ Գտեք \(a+b\)-ի արժեքը։ | 264 | 264 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1617 | acereason | The quadratic $-3x^2 - 27x + 81$ can be rewritten in the form $a(x+b)^2+c$, where $a$, $b$, and $c$ are constants. What is the value of $a+b+c$? | null | Քառակուսային $-3x^2 - 27x + 81$ արտահայտությունը կարելի է վերագրել $a(x+b)^2+c$ տեսքով, որտեղ $a$, $b$ և $c$ հաստատուններ են: Ո՞րն է $a+b+c$-ի արժեքը: | 143.25 | 143.25 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1627 | acereason | To measure the distance of his cycling route, John cycled a total of $3618_9$ kilometers. How many kilometers (in base ten) did John cycle? | null | Որպեսզի չափի իր հեծանվային երթուղու հեռավորությունը, Ջոնը հեծանիվով անցել է ընդհանուր առմամբ $3618_9$ կիլոմետր։ Քանի՞ կիլոմետր (տասնորդական համակարգում) է անցել Ջոնը։ | 2690 | 2690 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1626 | acereason | The image of the point with coordinates $(-2,0)$ under the reflection across the line $y=mx+b$ is the point with coordinates $(6,4)$. Find $m+b$. | null | $(-2,0)$ կոորդինատներով կետի պատկերը $y=mx+b$ ուղղի նկատմամբ հայելային անդրադարձման դեպքում $(6,4)$ կոորդինատներով կետն է։ Գտեք $m+b$-ը։ | 4 | 4 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1544 | acereason | Calculate the amount of personal income tax (НДФЛ) paid by Sergey over the past year if he is a resident of the Russian Federation and had a stable income of 30,000 rubles per month and a one-time vacation bonus of 20,000 rubles during this period. Last year, Sergey sold his car, which he inherited two years ago, for 2... | null | Հաշվարկեք Սերգեյի կողմից անցյալ տարվա ընթացքում վճարված ֆիզիկական անձանց եկամտահարկի (НДФЛ) չափը, եթե նա Ռուսաստանի Դաշնության ռեզիդենտ է և այդ ժամանակահատվածում ունեցել է ամսական 30,000 ռուբլի կայուն եկամուտ և 20,000 ռուբլի միանվագ արձակուրդային պարգևավճար: Անցյալ տարի Սերգեյը վաճառել է իր մեքենան, որը ժառանգել էր երկ... | 10400 | 10400 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 2 |
acereason_1631 | acereason | In the coordinate plane, the line passing through points $(2023,0)$ and $(-2021,2024)$ also passes through $(1,c)$ for a constant $c$ . Find $c$ .
*Proposed by Andy Xu* | null | Կոորդինատային հարթության վրա $(2023,0)$ և $(-2021,2024)$ կետերով անցնող ուղիղը անցնում է նաև $(1,c)$ կետով՝ $c$ հաստատունի համար։ Գտեք $c$-ը։
*Առաջարկել է Էնդի Սյուն* | 1012 | 1012 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1628 | acereason | If
\[1 \cdot 1987 + 2 \cdot 1986 + 3 \cdot 1985 + \dots + 1986 \cdot 2 + 1987 \cdot 1 = 1987 \cdot 994 \cdot x,\]compute the integer $x.$ | null | Եթե
\[1 \cdot 1987 + 2 \cdot 1986 + 3 \cdot 1985 + \dots + 1986 \cdot 2 + 1987 \cdot 1 = 1987 \cdot 994 \cdot x,\]հաշվել ամբողջ թիվը $x.$ | 663 | 663 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1605 | acereason | Evaluate the expression \((c^c - c(c-1)^c)^c\) when \( c = 4 \). | null | Հաշվեք \((c^c - c(c-1)^c)^c\) արտահայտության արժեքը, երբ \( c = 4 \): | 21381376 | 21381376 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1624 | acereason | Three of the four vertices of a rectangle are at $(4, 10)$, $(15, 10)$, and $(15, -3)$. What is the area of the intersection of this rectangular region and the region inside the graph of the equation $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 16$? Express your answer in terms of $\pi$. | null | Ուղղանկյան չորս գագաթներից երեքը գտնվում են $(4, 10)$, $(15, 10)$ և $(15, -3)$ կետերում։ Որքա՞ն է այս ուղղանկյուն տիրույթի և $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 16$ հավասարման գրաֆիկի ներսում գտնվող տիրույթի հատման մակերեսը։ Պատասխանը արտահայտեք $\pi$-ի միջոցով։ | 4\pi | 4\pi | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1629 | acereason | Among all the roots of the polynomial equation
\[ z^6 - z^4 + z^2 - 1 = 0, \]
find the maximum real part of a root. | null | Բոլոր այն արմատներից, որոնք բավարարում են
\[ z^6 - z^4 + z^2 - 1 = 0, \]
բազմանդամային հավասարմանը, գտե՛ք արմատի առավելագույն իրական մասը։ | 1 | 1 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1622 | acereason | Compute and simplify the expression:
\[2(i^0 + i^1 + \cdots + i^{2012}).\] | null | Հաշվեք և պարզեցրեք արտահայտությունը.
\[2(i^0 + i^1 + \cdots + i^{2012}).\] | 2 | 2 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1591 | acereason | A circle of radius 7 is inscribed in a rectangle. The ratio of the length of the rectangle to its width is 3:1. Calculate the area of the rectangle. | null | Շրջանագիծը, որի շառավիղը 7 է, ներգծված է ուղղանկյան մեջ։ Ուղղանկյան երկարության հարաբերությունը լայնությանը 3:1 է։ Հաշվեք ուղղանկյան մակերեսը։ | 588 | 588 | numeric | true | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1635 | acereason | What is the remainder when $2001 \cdot 2002 \cdot 2003 \cdot 2004 \cdot 2005$ is divided by 19? | null | Ի՞նչ մնացորդ կստացվի 2001 \cdot 2002 \cdot 2003 \cdot 2004 \cdot 2005$ արտադրյալը 19-ի վրա բաժանելիս։ | 11 | 11 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1623 | acereason | If the random variable $X\sim B(3,p)$ and $Y\sim N(2,\delta ^{2})$, and $P(X\geqslant 1)=0.657$, $P(0 < Y < 2)=p$, then $P(Y > 4)$ is ____. | null | Եթե պատահական $X\sim B(3,p)$ և $Y\sim N(2,\delta ^{2})$ մեծությունները, և $P(X\geqslant 1)=0.657$, $P(0 < Y < 2)=p$, ապա $P(Y > 4)$ հավասար է ____-ի։ | 0.2 | 0.2 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1633 | acereason | Two pairs of real numbers $(x,y)$ satisfy the equation $x+y = 2xy = 6$. Given that the solutions $x$ are in the form $x = \frac{p \pm q\sqrt{r}}{s}$ where $p$, $q$, $r$, and $s$ are positive integers and the expression is completely simplified, what is the value of $p + q + r + s$? | null | Երկու զույգ իրական թվեր $(x,y)$ բավարարում են $x+y = 2xy = 6$ հավասարմանը: Հաշվի առնելով, որ $x$ լուծումները ունեն $x = \frac{p \pm q\sqrt{r}}{s}$ տեսքը, որտեղ $p$, $q$, $r$ և $s$ դրական ամբողջ թվեր են, իսկ արտահայտությունը լիովին պարզեցված է, ո՞րն է $p + q + r + s$-ի արժեքը: | 11 | 11 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1636 | acereason | The function \(g(x)\) satisfies \(g(1) = 2\) and
\[g(x + y) = 5^y g(x) + 3^x g(y)\] for all real numbers \(x\) and \(y.\) Find the function \(g(x).\) | null | \(g(x)\) ֆունկցիան բավարարում է \(g(1) = 2\) պայմանին և
\[g(x + y) = 5^y g(x) + 3^x g(y)\]՝ բոլոր \(x\) և \(y.\) իրական թվերի համար։ Գտե՛ք \(g(x).\) ֆունկցիան։ | 5^x - 3^x | 5^x - 3^x | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1632 | acereason | Two lines with slopes $\dfrac{1}{3}$ and $3$ intersect at $(1,1)$. What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 8$. | null | Երկու ուղիղներ, որոնց թեքությունները հավասար են $\dfrac{1}{3}$ և 3, հատվում են $(1,1)$ կետում: Որքա՞ն է այն եռանկյան մակերեսը, որը կազմված է այդ երկու ուղիղներից և $x + y = 8$ ուղղից: | 9 | 9 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1640 | acereason | There are more than 20 and fewer than 30 children in Miss Tree's class. They are all standing in a circle. Anna notices that there are six times as many children between her and Zara going round the circle clockwise, as there are going round anti-clockwise. How many children are there in the class? | null | Տիկին Ծառի դասարանում կա ավելի քան 20 և պակաս քան 30 երեխա։ Նրանք բոլորը կանգնած են շրջանաձև։ Աննան նկատում է, որ իր և Զարայի միջև երեխաների քանակը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շրջանագծով հաշվելիս վեց անգամ ավելի է, քան ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ հաշվելիս։ Քանի՞ երեխա կա դասարանում։ | 23 | 23 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1642 | acereason | Find the radius of the circle given by the equation $x^2 + 10x + y^2 - 4y + 29 = 0$. | null | Գտեք $x^2 + 10x + y^2 - 4y + 29 = 0$ հավասարումով տրված շրջանագծի շառավիղը։ | 0 | 0 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1634 | acereason | Calculate the value of $3^2 \times 5 \times 7^2 \times 11$. | null | Հաշվեք 3^2 \times 5 \times 7^2 \times 11 արտահայտության արժեքը։ | 24,\!255 | 24,\!255 | numeric | true | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1650 | acereason | **Two cross sections of a right octagonal pyramid are obtained by cutting the pyramid with planes parallel to the octagonal base. The areas of the cross sections are $256\sqrt{2}$ square feet and $576\sqrt{2}$ square feet. The two planes are $10$ feet apart. How far from the apex of the pyramid is the larger cross sect... | null | Ուղիղ ութանկյուն բուրգի երկու հատույթներ ստացվում են բուրգը ութանկյուն հիմքին զուգահեռ հարթություններով հատելու միջոցով։ Հատույթների մակերեսները հավասար են 256√2 քառակուսի ֆուտի և 576√2 քառակուսի ֆուտի։ Երկու հարթությունները իրարից գտնվում են 10 ֆուտ հեռավորության վրա։ Բուրգի գագաթից ի՞նչ հեռավորության վրա է գտնվում ավ... | 30 | 30 | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
acereason_1651 | acereason | If $f(x, y) = 3x^2 + 3xy + 1$ and $f(a, b) + 1 = f(b, a) = 42$ , then determine $|a + b|$ . | null | Եթե $f(x, y) = 3x^2 + 3xy + 1$ և $f(a, b) + 1 = f(b, a) = 42$ , ապա որոշեք $|a + b|$ : | 3 \sqrt{3} | 3 \sqrt{3} | numeric | false | gcp/google/gemini-3.1-flash-lite | 1 |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.