question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาผลรวมของตัวประกอบเฉพาะของ 85,085 | $85085=85\cdot1001=(5\cdot17)\cdot(11\cdot91)=5\cdot17\cdot11\cdot(7\cdot13)$. ดังนั้น ผลรวมของตัวประกอบเฉพาะของมันคือ $5+17+11+7+13=\boxed{53}$ | 5+17+11+7+13=\boxed{53} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
มีวิธีการกี่วิธีในการจัดตั้งคณะกรรมาธิการระหว่างประเทศ หากเราต้องเลือกประเทศในยุโรป 1 ประเทศ จากประเทศในยุโรป 6 ประเทศ ประเทศในเอเชีย 1 ประเทศ จากประเทศในเอเชีย 4 ประเทศ ประเทศในอเมริกาเหนือ 1 ประเทศ จากประเทศในอเมริกาเหนือ 3 ประเทศ และประเทศในทวีปแอฟริกา 1 ประเทศ จากประเทศในทวีปแอฟริกา 7 ประเทศ | มีหกวิธีในการเลือกประเทศในยุโรปหนึ่งประเทศ สี่วิธีในการเลือกประเทศในเอเชียหนึ่งประเทศ สามวิธีในการเลือกประเทศในอเมริกาเหนือหนึ่งประเทศ และเจ็ดวิธีในการเลือกประเทศในทวีปแอฟริกาหนึ่งประเทศ ดังนั้น มี $6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7 = \boxed{504}$ วิธีในการจัดตั้งคณะกรรมาธิการระหว่างประเทศ | 6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7 = \boxed{504} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่น้อยกว่า $100\pi$? | จากความรู้เกี่ยวกับการ展开ทศนิยมของ $\pi$ เราสามารถประมาณได้ว่า $100 \pi \approx 314.15$ ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $100\pi$ คือ 314. ดังนั้นจำนวนเต็มบวกคือ 1, 2, 3, $\ldots$, 313, 314 รวมทั้งหมด $\boxed{314}$ จำนวน | \boxed{314} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
สามคู่ไปดูหนัง พวกเขาต้องการนั่งด้วยกันเพื่อความเพลิดเพลินสูงสุด แต่กลับเข้าแถวแบบสุ่มในแถวที่มีหกที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะนั่งในรูปแบบที่เหมาะสมทางสังคม คือ รูปแบบที่แต่ละคนนั่งอยู่ติดกับคู่ของตนเองคือเท่าไร? | มี $\binom{6}{2} = 15$ วิธีในการเลือกคนที่จะนั่งในสองที่นั่งแรก และมี 3 วิธีที่คนสองคนนั้นจะเป็นคู่ มีความน่าจะเป็น $3/15 = 1/5$ ที่สองที่นั่งแรกจะเป็นคู่ หากคู่หนึ่งนั่งสำเร็จแล้ว จะมี $\binom{4}{2} = 6$ วิธีในการนั่งคนในสองที่นั่งถัดไป และมี 2 วิธีที่คนสองคนนั้นจะเป็นคู่ (คุณสามารถเลือกคู่ใดคู่หนึ่งจากสองคู่ที่เหลือ)... | 1/5 \cdot 1/3 = \boxed{\frac{1}{15}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเฉพาะที่มากที่สุด (ในรูปทศนิยม) ที่หารผลบวก $$ 1_2 + 10_2 + 100_2 + \cdots + 100000000_2. $$ ลงตัว | เราสามารถเห็นได้ว่า \begin{align*}
1_2 + 10_2 + 100_2 + \cdots + 100000000_2 &= 111111111_2 \\
&= 1000000000_2 - 1\\
& = 2^9 - 1.
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $2^9 - 1 = 8^3 - 1$ เป็นผลต่างของกำลังสามเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น: $$ 8^3 - 1 = (8 - 1)(8^2 + 8 + 1) = 7 \cdot 73. $$เนื่องจาก $\boxed{73}$ เป็นจำนวนเฉพาะ จ... | \boxed{73} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก $r$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$\mathop{\text{lcm}}[r,700] = 7000~?$$ | สังเกตการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ $700=2^2\cdot 5^2\cdot 7$ และ $7000=2^3\cdot 5^3\cdot 7$.
ถ้า $\mathop{\text{lcm}}[r,700]=7000$ แล้วโดยเฉพาะ $r$ เป็นตัวหารของ $7000$ ดังนั้นเราสามารถเขียน $r=2^\alpha\cdot 5^\beta\cdot 7^\gamma$ โดยที่ $0\le\alpha\le 3$, $0\le\beta\le 3$, และ $0\le\gamma\le 1$.
ยิ่งกว่านั้น เราทราบ... | 1000+7000=\boxed{8000} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 2x-3$ และ $g(x) = x+1$ จงหาค่าของ $g(f(5)-1)$ | เรามี $f(5) = 2(5) -3 = 7$ ดังนั้น $g(f(5)-1) = g(7-1) = g(6) = 6+1 = \boxed{7}$ | g(f(5)-1) = g(7-1) = g(6) = 6+1 = \boxed{7} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $\csc 330^\circ.$ | เราทราบว่า
\[\csc 330^\circ = \frac{1}{\sin 330^\circ}.\]เนื่องจากฟังก์ชันไซน์มีคาบ $360^\circ,$
\[\sin 330^\circ = \sin (330^\circ - 360^\circ) = \sin (-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2},\]ดังนั้น
\[\frac{1}{\sin 330^\circ} = \boxed{-2}.\] | -2 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจุด $(a,b)$ บนระนาบพิกัด โดยที่ $a$ และ $b$ แต่ละตัวอาจเป็น $-1$, 0 หรือ 1 มีเส้นตรงที่แตกต่างกันกี่เส้นที่ผ่านจุดใน $S$ อย่างน้อย 2 จุด | มี $\binom{9}{2}=36$ คู่ของจุดใน $S$ และแต่ละคู่กำหนดเส้นตรง 1 เส้น อย่างไรก็ตาม มีเส้นตรงแนวนอน 3 เส้น เส้นตรงแนวตั้ง 3 เส้น และเส้นตรงทแยงมุม 2 เส้น ที่ผ่านจุดใน $S$ จำนวน 3 จุด และเส้นตรงเหล่านี้แต่ละเส้นถูกกำหนดโดย 3 คู่ของจุดที่แตกต่างกันใน $S$ ดังนั้น จำนวนเส้นตรงที่แตกต่างกันคือ $36 - 2 \cdot 8= \boxed{20}$ | 36 - 2 \cdot 8= \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 จำนวนใดบ้างที่มีตัวหารบวกที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว? | จากสูตรการหาจำนวนตัวหารบวกทั้งหมด จำนวนเต็มบวกในรูป $p^{2}$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ ใดๆ จะมีตัวหารบวกเพียง 3 ตัว ดังนั้นเราต้องนับจำนวนจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 ที่มีตัวหารบวกเพียง 3 ตัว) มีจำนวนเฉพาะ $\boxed{11}$ ตัวดังนี้: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... | \boxed{11} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จักรยานกำลังแล่นด้วยความเร็ว 20 ฟุตต่อนาที ความเร็วของจักรยานแสดงเป็นนิ้วต่อวินาทีเท่าใด | มี 12 นิ้วใน 1 ฟุต ดังนั้นจักรยานกำลังแล่นด้วยความเร็ว 12(20) = 240 นิ้วต่อนาที มี 60 วินาทีใน 1 นาที ดังนั้นจักรยานกำลังแล่นด้วยความเร็ว $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ นิ้วต่อวินาที | $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ $(2, 4)$ และ $(0, -2)$ และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ $(5, 1)$ และ $(1, 5)$ แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | เราทราบว่าจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right).$$จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงแรกคือ $$\left(\frac{2+0}{2}, \frac{4+(-2)}{2}\right) = (1,1),$$และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่สองคือ $$\left(\frac{5+1}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (3,... | \frac{3-1}{3-1} = \boxed{1}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนระหว่าง 1 ถึง 2005 ที่หารด้วย 3 หรือ 4 แต่ไม่หารด้วย 12 | เนื่องจาก $\frac{2005}{3} = 668\frac13$ มี 668 พหุคูณของ 3 ระหว่าง 1 ถึง 2005. เนื่องจาก $\frac{2005}{4} = 501\frac14$ มี 501 พหุคูณของ 4 ระหว่าง 1 ถึง 2005. เนื่องจาก $\frac{2005}{12} = 167\frac{1}{12}$ มี 167 พหุคูณของ 12 ระหว่าง 1 ถึง 2005.
พหุคูณของ 12 ทุกจำนวนเป็นพหุคูณของ 3 และ 4 ดังนั้นมี $668-167 = 501$ พหุคู... | 501+334 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทีมฟุตบอลของแอนนี่กำลังฝึกパス โดยที่สมาชิกทั้ง 11 คนต้องส่งบอลให้กันคนละ 3 ครั้ง จงหาว่าต้องส่งบอลทั้งหมดกี่ครั้ง ก่อนที่การฝึกจะเสร็จ | การส่งบอลในฟุตบอลแตกต่างจากการจับมือตรงที่ การที่บุคคล A ส่งบอลให้บุคคล B นั้นแตกต่างจากการที่บุคคล B ส่งบอลให้บุคคล A ดังนั้นมีสมาชิกในทีม $11$ คนที่สามารถส่งบอลให้สมาชิกคนอื่น ๆ ได้ $10$ คน ซึ่งหมายความว่ามีการส่งบอลระหว่างสมาชิกในทีม $11 \cdot 10 = 110$ ครั้ง เนื่องจากแต่ละคนต้องส่งบอลให้กันคนละ 3 ครั้ง เราคูณ $110... | \boxed{330}, | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
มีวิธีจัดที่นั่ง 8 คนที่แตกต่างกันรอบโต๊ะกลม 8 ที่นั่งได้กี่วิธี โดยที่การจัดที่นั่งสองแบบจะถือว่าเทียบเท่ากันหากสามารถหมุนโต๊ะเพื่อให้ได้รูปแบบเดียวกัน | มี $8!$ วิธีในการจัดที่นั่งของผู้คนรอบโต๊ะ แต่สิ่งนี้จะนับแต่ละรูปแบบที่ถูกต้อง 8 ครั้ง (ครั้งหนึ่งสำหรับการหมุนแต่ละครั้งของรูปแบบเดียวกัน) คำตอบคือ $\dfrac{8!}{8} = 7! = \boxed{5040}$ | \dfrac{8!}{8} = 7! = \boxed{5040} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดเวกเตอร์ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{q}$ เวกเตอร์ $3 \mathbf{p} + \mathbf{q}$ และ $5 \mathbf{p} - 3 \mathbf{q}$ ตั้งฉากกัน และเวกเตอร์ $2 \mathbf{p} + \mathbf{q}$ และ $4 \mathbf{p} - 2 \mathbf{q}$ ตั้งฉากกัน ถ้า $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{q}$ จงหา $\cos \theta.$ | เนื่องจาก $2 \mathbf{p} + \mathbf{q}$ และ $4 \mathbf{p} - 2 \mathbf{q}$ ตั้งฉากกัน ดังนั้น $(2 \mathbf{p} + \mathbf{q}) \cdot (4 \mathbf{p} - 2 \mathbf{q}) = 0.$ เมื่อขยายจะได้
\[8 \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - 2 \mathbf{q} \cdot \mathbf{q} = 0,\]ดังนั้น $\|\mathbf{q}\|^2 = 4 \|\mathbf{p}\|^2,$ และ $\|\mathbf{q}\| = 2... | \mathbf{q} \cdot \mathbf{q} = 4 \mathbf{p} \cdot \mathbf{p}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทิมต้องการสร้างกราฟวงกลมแสดงจำนวนแพทย์ผู้เชี่ยวชาญด้านการแพทย์อวกาศ เขา 알고 있는 정보는 다음과 같습니다.
$\bullet$ แพทย์ชายอายุต่ำกว่า 35 ปี จำนวน 53 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุต่ำกว่า 35 ปี จำนวน 8 คน
$\bullet$ แพทย์ชายอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี จำนวน 155 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี จำนวน 17 คน
$\bullet$ แพท... | โดยรวมแล้ว มีแพทย์ด้านการแพทย์อวกาศจำนวน $53+8+155+17+145+10+98+2=488$ คน ชายอายุ 45-54 ปี คิดเป็น $145/488$ ของประชากรนี้ ดังนั้นพวกเขาควรคิดเป็นเศษส่วนนั้นของมุมศูนย์กลางของกราฟวงกลมด้วย เนื่องจากมุมศูนย์กลางมี 360 องศาในการแบ่งส่วนระหว่างกลุ่ม กลุ่มชายอายุ 45-54 ปีควรได้รับ $\frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107}... | \frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ช่วงของฟังก์ชัน $f(x)$ คือ $[-3,5].$ ให้ $g(x) = [f(x)]^2.$ จงหาช่วงของฟังก์ชัน $g(x).$ | ให้ $y = f(x),$ ดังนั้น $y$ จะมีค่าตั้งแต่ $-3$ ถึง 5 รวม จากนั้น $y^2$ จะมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 25 รวม (ถ้าเราเลือกค่าใดๆ จาก $-3$ ถึง 0 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่าตั้งแต่ 0 ถึง 9 และถ้าเราเลือกค่าใดๆ จาก 0 ถึง 5 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่าตั้งแต่ 0 ถึง 25) ดังนั้น ช่วงของ $g(x)$ คือ $\boxed{[0,25]}.$ | \boxed{[0,25]}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ทีมวิ่งของนักเรียนหญิงต้องวิ่ง 3 ไมล์ในวันแรกของการฝึกซ้อม และ 6 ไมล์ทุกวันหลังจากนั้น ทีมวิ่งของนักเรียนชายต้องวิ่ง 5 ไมล์ทุกวันของการฝึกซ้อม โค้ชจะสั่งหอกใหม่ในตอนท้ายของวันเมื่อระยะทางวิ่งรวมของแต่ละคนในทีมวิ่งของนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชาย นักเรียนหญิงแต่ละคนจะวิ่งระยะทางรวมเท่าไรเมื่อโค้ชสั่งอุปกรณ์ใหม่? | ให้ $d$ แทนจำนวนวันของการฝึกซ้อม ระยะทางวิ่งของนักเรียนหญิงแต่ละคนสามารถแสดงได้เป็น $3+6(d-1)$ และระยะทางวิ่งของนักเรียนชายแต่ละคนคือ $5d$ นักเรียนหญิงจะวิ่งแซงหน้านักเรียนชายหลังจาก $d$ วันถ้า $3+6(d-1)>5d$ เราแก้สมการอสมการนี้ดังนี้: \begin{align*}
3+6(d-1) &> 5d \quad \implies \\
3+6d-6 &> 5d \quad \implies \\
6d-5d... | 3+6(4-1)=\boxed{21} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนสามหลัก $\underline{2d2}$ หารด้วย 7 ลงตัว ค่าของ $d$ คือเท่าไร | เราสามารถใช้กฎการหารด้วย 7: ลบหลักสุดท้ายออก, ลบสองเท่าของหลักสุดท้ายจากจำนวนที่เหลือ และตรวจสอบว่าผลลัพธ์หารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่ (กฎนี้ไม่ค่อยได้ใช้เนื่องจากไม่ง่ายเท่ากฎการหารด้วยจำนวนอื่นๆ แต่ก็ยังมีประโยชน์!) เพื่อดูว่ากฎนี้ใช้ได้กับจำนวน $\underline{2d2}$ หรือไม่ กฎบอกว่าให้ลบหลักสุดท้าย (2) ออก เหลือจำนวน $\underl... | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $\sin^3 18^\circ + \sin^2 18^\circ.$ | เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
\sin^3 18^\circ + \sin^2 18^\circ &= \sin^2 18^\circ (\sin 18^\circ + 1) \\
&= \sin^2 18^\circ (\sin 18^\circ + \sin 90^\circ).
\end{align*}โดยสูตรผลบวกเป็นผลคูณ,
\begin{align*}
\sin^2 18^\circ (\sin 18^\circ + \sin 90^\circ) &= \sin^2 18^\circ \cdot 2 \sin 54^\circ \cos 36^\circ \\
&= ... | $\frac{1}{8}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลา
\[\frac{x^2}{50} - \frac{y^2}{22} = 2.\] | ก่อนอื่น เราหารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อให้ได้
\[\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{44} = 1.\]จากนั้น $a^2 = 100$ และ $b^2 = 44,$ ดังนั้น $c^2 = 144,$ และ $c = 12.$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{24}.$ | 2c = \boxed{24}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าที่ง่ายที่สุดของ $\frac{10! + 11! + 12!}{10! + 11!}$ | เราทำการแยกตัวประกอบเล็กน้อย โดยใช้สมบัติของแฟกทอเรียล:
\[\frac{10! + 11! + 12!}{10! + 11!} = \frac{10!(1+11+11\cdot 12)}{10!(1+11)} = \frac{1+11+11\cdot 12}{12} = \frac{12 + 11 \cdot 12}{12} = \frac{12\cdot 12}{12} = \boxed{12}.\] | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาการฉายของเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ลงบนเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}$ | จากสูตรการฉายเวกเตอร์
\[\operatorname{proj}_{\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}}{\left\| \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} \right\|^2} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{6}{65} ... | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
จงหาค่าของผลรวม $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} +\cdots + \frac{1}{9900}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ก่อนอื่น ตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้บางครั้งเรียกว่า ``จำนวน oblong'' เนื่องจากสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างมากกว่าความยาว 1 หน่วย: $1 \times 2 = 2, 2 \times 3 = 6, 3 \times 4 = 12, 4 \times 5 = 20$ เป็นต้น ตัวส่วนตัวสุดท้ายในนิพจน์คือ $99 \times 100 = 9900$ มาลองหาผลรวมของเศษส่วนทีละไม่กี่ตัวดู และดูว่าเราสังเ... | \frac{99}{100} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $t,$ จุด
\[(x,y) = (\cos t, \cos 2t)\]ถูกพล็อตลงบนกราฟ จุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่บนเส้นโค้งประเภทใด?
(A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) พาราโบลา
(D) วงรี
(E) ไฮเปอร์โบลา
ใส่อักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | สังเกตว่า
\[y = \cos 2t = 2 \cos^2 t - 1 = 2x^2 - 1,\]ดังนั้นจุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่บนพาราโบลา คำตอบคือ $\boxed{\text{(C)}}.$ | \boxed{\text{(C)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $n$ ที่ $2 \le n \le 100$ มีกี่จำนวนที่ทำให้ $\binom{n}{2}$ เป็นเลขคี่? | $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ เพื่อให้เศษส่วนนี้เป็นเลขคี่ $n$ หรือ $n-1$ จะต้องไม่หารด้วย $4$ ได้ เพราะว่า $n$ และ $n-1$ จะมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เป็นเลขคู่ มีจำนวนเต็ม $25$ จำนวนที่ $n$ หารด้วย $4$ ได้ ซึ่งเป็นตัวเลขพหุคูณของ $4$ ตั้งแต่ $4$ ถึง $100$ มีจำนวนเต็ม $24$ จำนวนที่ $n-1$ หารด้วย $4$ ได้ เราสามารถหา... | 99 - 49 = \boxed{50} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\left(2^{\left(1\frac{1}{4}\right)}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(4^{\left(3\frac{1}{8}\right)}\right)^{\frac{2}{25}}$. | นอกจากความรู้เกี่ยวกับการใช้จำนวนผสมแล้ว การแก้ปัญหานี้ยังต้องอาศัยสมบัติของเลขยกกำลังสองประการ: \[a^b \cdot a^c = a^{b+c}\] และ \[\left(l^m\right)^n = l^{m \cdot n}.\] โดยคำนึงถึงสมบัติเหล่านี้ เราสามารถดำเนินการต่อไปเพื่อทำให้ 식 सरลง \begin{align*}
\left(2^{\left(1\frac{1}{4}\right)}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(... | 2 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $a@b=\dfrac{a^3-b^3}{a-b}$, สำหรับจำนวนจริง $a$ กี่ค่าที่ทำให้ $a@1=0$? | เราต้องการแก้สมการ $\frac{a^3 - 1}{a - 1} = 0.$ ดังนั้น
\[\frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a - 1} = 0,\]นั่นคือ $a^2 + a + 1 = 0.$ สมการกำลังสองนี้ไม่มีรากจริง ดังนั้นจำนวนของคำตอบจริงคือ $\boxed{0}.$ | \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $|(1-i)^8|$ | เราทราบว่าขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีคุณสมบัติการคูณ: ขนาดของ $|ab|$ คือผลคูณของ $|a|\cdot |b|$. ดังนั้น \[\left|\left(1-i\right)^8\right|=\left|1-i\right|^8\]ขนาดของ $1-i$ คือ $\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ ; ดังนั้น คำตอบของเราคือ $\left(\sqrt{2}\right) ^8=\boxed{16}$. Ringo ไม่ได้ให้การพักผ่อนมากนัก | $\left(\sqrt{2}\right) ^8=\boxed{16}$ | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนเฉพาะที่เป็นพาลินโดรมมี 3 หลัก มีค่าเท่าใด | จำนวนเฉพาะที่เป็นพาลินโดรม 3 หลัก คือ 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 | 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วงล้อหมุน I แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน และติดป้ายหมายเลข 2, 3, 4 และ 5 วงล้อหมุน II แบ่งออกเป็นห้าส่วนเท่า ๆ กัน และติดป้ายหมายเลข 1, 3, 5, 7 และ 9 ถ้าหมุนวงล้อทั้งสอง และนำตัวเลขที่ได้มาคูณกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณจะเป็นจำนวนคู่สองหลัก แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ให้ผลลัพธ์แสดงเป็นคู่ลำดับ โดยพิกัดตัวแรกสอดคล้องกับวงล้อหมุน I และพิกัดตัวที่สองสอดคล้องกับวงล้อหมุน II เนื่องจากตัวเลขในส่วนของวงล้อหมุน II เป็นเลขคี่ทั้งหมด วงล้อหมุน I ต้องให้เลขคู่เพื่อให้ผลคูณเป็นเลขคู่ ผลลัพธ์ $(2,5)$, $(2,7)$, $(2,9)$, $(4,3)$, $(4,5)$, $(4,7)$ และ $(4,9)$ เป็นผลลัพธ์ที่ผลคูณเป็นจำนวนคู่สองหลัก... | \boxed{\frac{7}{20}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซตของจำนวนเต็มบวกสามตัว {a, b, c} มีกี่เซต (ลำดับไม่สำคัญ) ที่ทำให้ $a\times b\times c=2310$ (จำนวนเต็มบวก a, b และ c ต้องต่างกัน) | การแยกตัวประกอบของ 2310 คือ $2310 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11.$ ดังนั้น เราได้สมการ \[ abc = 2310 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11,\]โดยที่ $a, b, c$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกที่ต่างกัน และลำดับไม่สำคัญ มี $3$ วิธีในการกำหนดจำนวนเฉพาะแต่ละตัวทางด้านขวามือให้กับตัวแปร $a, b, c$ หนึ่งตัว ซึ่งให้ $3^5 = 243$ วิธีแ... | 40 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการเขียน $9$ เป็นผลบวกของ $1$ , $2$ และ $4$ ได้กี่วิธี โดยที่ลำดับของตัวตั้งสำคัญ? ตัวอย่างเช่น $4 + 4 + 1$ และ $1 + 4 + 4$ เป็นสองวิธีที่ต่างกัน | ก่อนอื่น เราหาจำนวนวิธีในการเขียน 9 เป็นผลบวกของ 1, 2 และ 4 โดยที่ลำดับของตัวตั้งไม่สำคัญ เราพบกรณีเหล่านี้: \begin{align*}
&4+4+1 \\
&4+2+2+1 \\
&4+2+1+1+1 \\
&4+1+1+1+1+1 \\
&2+2+2+2+1 \\
&2+2+2+1+1+1 \\
&2+2+1+1+1+1+1 \\
&2+1+1+1+1+1+1+1 \\
&1+1+1+1+1+1+1+1+1
\end{align*}มี $3!/2!=3$ วิธีที่แตกต่างกันสำหรับผลบวกแรก ... | 96 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $\arcsin(\sin 66^\circ-\sin 54^\circ)$ ในหน่วยองศา | จากสูตรผลต่างของไซน์
\[ \sin x- \sin z = 2\sin \frac{x-z}{2}\cos\frac{x+z}{2}.\]นำไปใช้กับ $x = 66^{\circ}$ และ $z = 54^{\circ}$ เราได้
\begin{align*}
\arcsin(\sin 66^\circ-\sin54^\circ)&=\arcsin \Big(2\sin\frac{66^\circ -54^\circ }{2}\cos\frac{66^\circ +54^\circ }{2} \Big)\\
&=\arcsin(2\sin6^\circ\cos 60^\circ)\\
&=\a... | 6^{\circ} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนเต็ม $x$ ตัวใดที่สอดคล้องกับสมการ: $2^{x + 2} = 32$ ? | สองยกกำลัง 5 เท่ากับ 32 และเนื่องจากฟังก์ชัน $f(x)=2^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างเดียวกัน 5 คือจำนวนจริง $r$ ตัวเดียวที่ทำให้ $2^r=32$ ดังนั้น $x+2=5\implies x=\boxed{3}$ | x+2=5\implies x=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมเกิดเป็นลำดับเลขคณิต ถ้าขนาดของมุมที่ใหญ่ที่สุดคือ $129^{\circ}$ มุมที่ใหญ่เป็นอันดับสองมีขนาดเท่าไรเป็นองศา | ให้ส่วนต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้เป็น $d$ ดังนั้นมุมที่ใหญ่เป็นอันดับสองมีขนาด $129-d$ องศา มุมที่ใหญ่เป็นอันดับสามมีขนาด $129-2d$ องศา และมุมที่เล็กที่สุดมีขนาด $129-3d$ องศา เราทราบว่าผลรวมของมุมภายในรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 360 องศา ดังนั้นเราได้สมการ $129 + (129-d) + (129-2d) + (129-3d) = 360$ จากสมการนี้เราจะได้ว่า $d... | 129-d=129-26=\boxed{103} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริงบวก $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\sum_{i = 1}^n a_i = 96, \quad \sum_{i = 1}^n a_i^2 = 144, \quad \sum_{i = 1}^n a_i^3 = 216.\]จงหาผลรวมของค่า $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a_1 + a_2 + \dots + a_n)(a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3) \ge (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)^2.\]เนื่องจาก $96 \cdot 216 = 144^2,$ เราได้ว่าสมการในอสมการ Cauchy-Schwarz มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า
\[\frac{a_1^3}{a_1} = \frac{a_2^3}{a_2} = \dots = \frac{a_n^3}{a_n}.\]ดังนั้น $a_1^2 = a_2^2 =... | n = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับ $0 \le x \le 40$ และ $0 \le y \le 50,$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{x^2 + y^2 - 80x - 100y + 4100}.\] | ทำการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ นิพจน์จะกลายเป็น
\[\sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{(x - 40)^2 + (y - 50)^2} = \sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{(40 - x)^2 + (50 - y)^2}.\]โดย QM-AM,
\begin{align*}
\sqrt{\frac{x^2 + 400}{2}} &\ge \frac{x + 20}{2}, \\
\sqrt{\frac{y^2 + 900}{2}} &\ge \frac{y + 30}{2... | \boxed{70 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก $r$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$\mathop{\text{lcm}}[r,700] = 7000~?$$ | สังเกตการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ $700=2^2\cdot 5^2\cdot 7$ และ $7000=2^3\cdot 5^3\cdot 7$.
ถ้า $\mathop{\text{lcm}}[r,700]=7000$ จะได้ว่า $r$ เป็นตัวหารของ $7000$ ดังนั้นเราสามารถเขียน $r=2^\alpha\cdot 5^\beta\cdot 7^\gamma$ โดยที่ $0\le\alpha\le 3$, $0\le\beta\le 3$, และ $0\le\gamma\le 1$.
ยิ่งไปกว่านั้น เรารู้ว่า... | 1000+7000=\boxed{8000} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว โดย \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
9 - 2x & \text{ถ้า } x \le 3, \\
ax + b & \text{ถ้า } x > 3.
\end{array}
\right.\]ฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ จงหาค่า $a + b$ | กำหนดให้ $x = 0$ เราได้ $f(0) = 9$ เนื่องจาก $9 > 3$ ดังนั้น $f(9) = 9a + b$ ดังนั้น $$f(f(0)) = f(9) = 9a + b.$$แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ ดังนั้น $9a + b = 0.$
กำหนดให้ $x = 1$ เราได้ $f(1) = 7$ เนื่องจาก $7 > 3$ ดังนั้น $f(7) = 7a + b$ ดังนั้น $$f(f(1)) = f(7) = 7a + b.$$แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ ด... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการกำลังสอง $3x^2-24x+72$ สามารถเขียนในรูป $a(x+b)^2+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นค่าคงตัว จงหาค่าของ $a+b+c$ | เราทำการเติมกำลังสอง
การแยกตัวประกอบ 3 ออกจากพจน์กำลังสองและพจน์เส้นตรงจะได้ $3x^2 - 24x = 3(x^2 - 8x)$.
เนื่องจาก $(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$ เราสามารถเขียนได้ $$3(x-4)^2 = 3x^2 - 24x + 48.$$สมการกำลังสองนี้ตรงกับสมการ $3x^2-24x+72$ ที่กำหนดไว้ในทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัว เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
3x^2 - 24x + 72 ... | a+b+c = 3-4+24 = \boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองวงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกันมีรัศมี 1 นิ้ว และ 10 นิ้ว ตามลำดับ พื้นที่ (เป็นตารางนิ้ว) ที่อยู่นอกวงกลมวงเล็กแต่ภายในวงกลมวงใหญ่มีค่าเท่าไร แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | พื้นที่ของวงกลมวงในคือ $\pi$ พื้นที่ของวงกลมวงนอกคือ $100\pi$ ดังนั้น การลบ $\pi$ ออกจาก $100\pi$ เราจะได้ $\boxed{99\pi \text{ square inches}}$ | \boxed{99\pi \text{ square inches}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $20!$ และ $200,000$ (หมายเหตุ: ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว $n!$ แทนผลคูณ $1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n$.) | การแยกตัวประกอบของ $200,000$ เป็น $2^6 \cdot 5^5$ จากนั้นนับจำนวนตัวประกอบของ $2$ และ $5$ ใน $20!$. เนื่องจากมีจำนวนคู่ $10$ จำนวน ดังนั้นมีตัวประกอบของ $2$ มากกว่า $6$ ตัว มี $4$ ตัวประกอบของ $5$ ดังนั้นตัวประกอบร่วมมากที่สุดคือ $2^6 \cdot 5^4=\boxed{40,\!000}$. | 2^6 \cdot 5^4=\boxed{40,\!000} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทิมต้องการสร้างกราฟวงกลมแสดงจำนวนแพทย์ผู้เชี่ยวชาญด้านการแพทย์อวกาศ เขา 알고 있는 다음 정보입니다.
$\bullet$ แพทย์ชายอายุต่ำกว่า 35 ปี 53 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุต่ำกว่า 35 ปี 8 คน
$\bullet$ แพทย์ชายอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี 155 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี 17 คน
$\bullet$ แพทย์ชายอายุระหว่าง 45 ถึง 54 ป... | โดยรวมแล้วมีแพทย์ด้านการแพทย์อวกาศ $53 + 8 + 155 + 17 + 145 + 10 + 98 + 2 = 488$ คน แพทย์ชายอายุ 45-54 ปีคิดเป็น $145/488$ ของประชากรนี้ ดังนั้นพวกเขาควรคิดเป็นเศษส่วนนั้นของมุมศูนย์กลางของกราฟวงกลมด้วย เนื่องจากมี 360 องศาในมุมศูนย์กลางที่จะแบ่งออกเป็นกลุ่ม กลุ่มชายอายุ 45-54 ปีควรได้รับ $\frac{145}{488}\cdot360\appro... | \frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลคูณของ $5$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมีค่ามากกว่า $-32$ | จากการหาร $-32$ ด้วย $5$ จะได้ $-6$ เหลือเศษ $-2$ หรือ $$-32 = -6 \cdot 5 - 2.$$ดังนั้น $-6 \cdot 5 = \boxed{-30}$ คือผลคูณของ $5$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมีค่ามากกว่า $-32$ | -30 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนรากจริงของสมการ
\[x^4 - 2x^2 - 7 = 0.\] | ให้ $y = x^2,$ ดังนั้น
\[y^2 - 2y - 7 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ $y = 1 \pm 2 \sqrt{2},$ ดังนั้น
\[x^2 = 1 \pm 2 \sqrt{2}.\]เนื่องจาก $1 - 2 \sqrt{2} < 0,$ เราจะต้องมี $x^2 = 1 + 2 \sqrt{2},$ ซึ่งมีรากจริง $\boxed{2}$ ราก | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $\triangle ABC$ ที่แสดงอยู่ $AB = 15$ หน่วย, $AC = 24$ หน่วย และจุด $D,$ $E,$ และ $F$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{AC}, \overline{AB}$ และ $\overline{BC}$ ตามลำดับ พื้นที่ของ $\triangle DEF$ มีค่าเท่าไร (หน่วยเป็นตารางหน่วย) ?
[asy]
size(150);
import olympiad;
pair A,B,C,D,E,F;
A = (0,0); B = (15, ... | เนื่องจาก $D, E,$ และ $F$ เป็นจุดกึ่งกลาง สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจึงเท่ากัน (ดูรูป): $\overline{DF} \cong \overline{AE} \cong \overline{EB}$, เพราะเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางในสามเหลี่ยมจะมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน ในทำนองเดียวกัน $\overline{DE} \cong \overline{CF} \cong \overline{FB}$ และ $\overline{EF} \cong \overl... | พื้นที่ของ $\triangle DEF$ เท่ากับ $\triangle AED = \frac{15}{2} \cdot \frac{24}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15 \cdot 24}{8} = 15 \cdot 3 = \boxed{45 \text{ units}^2}$ | [
"unknown"
] |
จัตุรัสถูกแบ่งตามที่แสดง สัดส่วนของพื้นที่ของจัตุรัสที่ถูกแรเงาคือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วน. [asy]
size(100);
fill((3,1)--(4,2)--(4,4)--(2,2)--cycle,gray);
draw((0,0)--(4,0)--(4,4)--(0,4)--cycle,linewidth(1));
draw((0,0)--(4,4),linewidth(1));
draw((4,0)--(0,4),linewidth(1));
draw((2,0)--(4,2),linewidth(1));
draw((3.... | เนื่องจากเราเกี่ยวข้องกับเศษส่วนของพื้นที่ทั้งหมด เราสามารถกำหนดด้านของจัตุรัสเป็นค่าใดก็ได้ที่สะดวก สมมติว่าความยาวด้านของจัตุรัสคือ $4.$ ดังนั้นพื้นที่ของจัตุรัสทั้งหมดคือ $4 \times 4 = 16.$
เส้นทแยงมุมทั้งสองของจัตุรัสแบ่งออกเป็นสี่ส่วนที่มีพื้นที่เท่ากัน ดังนั้นแต่ละส่วนมีพื้นที่ $16 \div 4 = 4.$
พื้นที่ที่ถูกแรเ... | \boxed{\frac{3}{16}} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $a\star b = 9a+2b-ab+5$ จงหาค่าของ $5\star1$ | จากนิยามของฟังก์ชันที่กำหนด $5\star 1 = 9(5)+2(1)-(5)(1)+5= 45+2-5+5=\boxed{47}$ | 47 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ตัวอักษร $A, B$ และ $C$ ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างคำสามตัวอักษรที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อคำเหล่านี้เรียงตามลำดับตัวอักษรและใส่หมายเลขไว้ โดยที่ $AAA$ คือคำที่ 1 และ $CCC$ คือคำที่ 27 คำไหนจะเป็นคำที่สอดคล้องกับตำแหน่งของคำ $BAB$ บนรายการ | มี 9 คำที่เป็นไปได้ที่เริ่มต้นด้วย A ในรายการ ดังนั้นคำแรกที่เริ่มต้นด้วย B, BAA คือคำที่ 10 BAB เป็นคำถัดไปหลังจาก BAA หรือคำที่หมายเลข $\boxed{11}$. | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกเต๋าแปดหน้าที่เป็นธรรมยุติธรรมที่มีหน้าหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 ถูกโยน 6 ครั้ง และบันทึกลำดับของตัวเลขที่ปรากฏขึ้น มีลำดับที่เป็นไปได้กี่ลำดับ?
[asy]
draw((0,0)--(10,10)--(-2,8)--cycle);
draw((-2,8)--(0,0)--(-11,10)--cycle);
draw((-2,8)--(0,23)--(10,10));
draw((0,23)--(-11,10));
draw((0,23)--(2.5,13)--(10,... | การโยนแต่ละครั้งใน 6 ครั้ง สามารถให้ผลลัพธ์ได้ 8 แบบ ดังนั้นคำตอบคือ $$8^6=\boxed{262144}$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
หนังสือคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนหน้าเป็นเลขสองหลักถูกแบ่งออกเป็นหัวข้อต่างๆ แต่ละหัวข้อมีหน้าอยู่ $12$ หน้า ยกเว้นตอนจบซึ่งมี $11$ หน้า ทุกหน้าเป็นของหัวข้อ และในส่วนท้ายของหน้าที่ $5$ จะมีข้อเท็จจริงเล็กๆ อยู่ที่ส่วนท้ายของหน้า เริ่มตั้งแต่หน้าที่ $5$ ถ้าข้อเท็จจริงเล็กๆ อยู่ที่ส่วนท้ายของหน้าที่สองจากหน้าสุดท้าย หนังสือเล... | สมมติว่าหนังสือเล่มนี้มี $p$ หน้า จะได้ว่า $p \equiv 11 \pmod{12}$ นอกจากนี้ เนื่องจากหน้าที่สองจากหน้าสุดท้ายมีข้อเท็จจริงเล็กๆ ดังนั้น $p-1$ หารด้วย $5$ ลงตัว ดังนั้น $p \equiv 1 \pmod{5}$ โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน เนื่องจาก $11 \equiv 1 \pmod{5}$ ดังนั้น $p \equiv 11 \pmod{60}$ ตอนนี้ $p$ เป็นจำนวนสองหลัก ดังนั้นมันต... | \boxed{71} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ:
\[
\sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{7\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12}.
\] | สังเกตว่าปัญหาประกอบด้วยสามคู่ที่มีรูปแบบ $\sin \theta + \sin(\pi - \theta).$ สูตรผลบวกเป็นผลคูณจะให้
\begin{align*}
\sin \frac{\pi}{12} + \sin \frac{11\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{5\pi}{12} \\
&= 2 \cos \frac{5\pi}{12}, \\
\sin \frac{3\pi}{12} + \sin \frac{9\pi}{12} &= 2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\... | \sin \theta + \sin(\pi - \theta). | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาความต่างของมุมระหว่างเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix},$ เป็นองศา | ถ้า $\theta$ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ แล้ว
\[\cos \theta = \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}}{\left\| \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \right\| \left\| \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right\|} = \frac{(4)(1) + (4)(4) + (7)(1)}{9 \cdot \sqrt... | \theta = \boxed{45^\circ}. | [
"ประยุกต์"
] |
ในกลุ่มนักเรียนมัธยมปลาย 30 คน มี 8 คนเรียนภาษาฝรั่งเศส 12 คนเรียนภาษาสเปน และ 3 คนเรียนทั้งสองภาษา มีนักเรียนกี่คนในกลุ่มนี้ที่เรียน neither ภาษาฝรั่งเศสหรือภาษาสเปน? | แผนภาพ Venn จะช่วยอธิบายวิธีแก้ปัญหา ให้วงรีแทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส และวงรีอีกวงแทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาสเปน ในแผนภาพ โปรดสังเกตว่า จุดตัด (ทับซ้อน) ของวงรีทั้งสองแทนเซตของนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและภาษาสเปน (ดูบริเวณ B) เราเริ่มต้นด้วยการวาง 3 x ในบริเวณ B ซึ่งแทนนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั... | 30-17=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
\[
\cos \Bigl( \frac{\pi}{n} \Bigr) \cos \Bigl( \frac{2\pi}{n} \Bigr)
\cos \Bigl( \frac{4\pi}{n} \Bigr) \cos \Bigl( \frac{8\pi}{n} \Bigr)
\cos \Bigl( \frac{16\pi}{n} \Bigr)
= \frac{1}{32}.
\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ก่อนอื่น ให้คูณทั้งสองข้างด้วย $\sin \frac{\pi}{n}$:
\[\sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n} \cos \frac{2 \pi}{n} \cos \frac{4 \pi}{n} \cos \frac{8 \pi}{n} \cos \frac{16 \pi}{n} = \frac{1}{32} \sin \frac{\pi}{n}.\]โดยสูตรมุมสองเท่า $\sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n} = \frac{1}{2} \sin \frac{2 \pi}{n},$ ดังนั้น
\[\f... | \boxed{3, 11, 33}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
ใส่ "คี่", "คู่", หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | เนื่องจาก $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่
\[f(-x)g(-x) = f(x)g(x),\]ดังนั้น $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จะมีคนมางานเลี้ยงกี่คน | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ ทุกคู่ของคนจะจับมือกันครั้งเดียว ดังนั้น 78 แทนจำนวนคู่ ซึ่งเราสามารถนับได้เป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนคนที่มาร่วมงานเลี้ยง ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะได้จำนวนคนที่มางานเลี้ยงเท่ากับ $\boxed{13}$ คน | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(-125)^{4/3}$ | เราได้ว่า \[(-125)^{4/3} = ((-5)^3)^{4/3} = (-5)^{3\cdot (4/3)} = (-5)^4 = \boxed{625}.\] | 625 | [
"ประยุกต์"
] |
พาราโบลาหนึ่งมีจุดยอดที่ $(4,-5)$ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ถ้าพาราโบลาเป็นกราฟของ $y = ax^2 + bx + c$ สัมประสิทธิ์ใดใน $a,$ $b,$ และ $c$ ที่ต้องเป็นบวก?
ใส่สัมประสิทธิ์ที่ต้องเป็นบวก แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณคิดว่า $a$ และ $c$ ต้องเป็นบวก ให้ใส่ "$a,$ $c$", โดยไม่มี... | พิกัด $y$ ของจุดยอดเป็นลบ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด ดังนั้นพาราโบลาต้องหงายขึ้น ซึ่งหมายความว่า $a$ ต้องเป็นบวก นอกจากนี้ จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ดังนั้น จุดตัดแกน $y$ $c$ ต้องเป็นลบ
พิกัด $x$ ของจุดยอดเป็นบวก ซึ่งก็คือ $-\frac{b}{2a}$ เนื่องจาก $a$ เป็นบวก $b$ จึงเป็นลบ
ดังนั้น สัมประสิทธิ์เดีย... | \boxed{a}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบาศก์ที่มีความยาวของด้าน $s > 0$ มีสมบัติที่พื้นที่ผิวของมันเท่ากับผลรวมของปริมาตรของมันและห้าเท่าของความยาวด้านของมัน จงคำนวณผลรวมของค่า $s$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
[asy]
size(5cm,5cm);
pair A,B,C,D,E,F,G,H;
A=(0,0);
B=(1,0);
C=(1,1);
D=(0,1);
E=(0.3,1.5);
F=C+(E-D);
G=B+(E-D);
H=A+(E-D);
draw(A--B--C--D--A--H--E)... | ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^3$ และพื้นที่ผิวของมันคือ $6s^2$ ดังนั้นเราได้ $6s^2=s^3+5s$ หรือ $0=s^3-6s^2+5s=s(s-1)(s-5)$ ดังนั้นค่า $s$ ที่เป็นไปได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งสองค่าคือ 1 และ 5 ผลรวมของค่าเหล่านี้คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งทำให้สมการ
\[x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0\]มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมด จงหาค่า $a$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | สังเกตว่า $x = -1$ เป็นรากของ $x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0$ เสมอ ดังนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบ $x + 1$ ได้เป็น
\[(x + 1) (x^2 + (a - 1) x + 1) = 0.\]ตัวประกอบกำลังสองจะมีรากเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ discriminant มีค่าไม่เป็นลบ:
\[(a - 1)^2 - 4 \ge 0.\]ซึ่งจะลดรูปเป็น $a^2 - 2a - 3 \ge 0$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(a + 1)(a - 3... | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนพจน์กี่พจน์ในลำดับ $\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\ldots$ ที่มีค่าไม่เกิน $20$? | $20^2 = 400$ ดังนั้นรากที่สองของจำนวนตั้งแต่ $1$ ถึง $400$ จะมีค่าไม่เกิน $20$ เนื่องจากลำดับนี้เริ่มต้นที่ $1$ จึงมี $\boxed{400}$ พจน์ | \boxed{400} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่าของ $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 8x + y^2 + 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 3 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เราได้ $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 20 - c$ เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 3 หน่วย ดังนั้นเราต้องมี $20 - c = 3^2$ เป็นผลให้ $c = \boxed{11}$ | c = \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เบนจามินกำลังพยายามไขกุญแจรหัสแบบผสม ตัวกุญแจประเภทนี้มี 5 หลักตั้งแต่ 0 ถึง 9 และเบนจามินรู้ว่ารหัสสำหรับประเภทของกุญแจนี้จะไม่มีหลักซ้ำกันเลย มีรหัสที่ถูกต้องกี่รหัส? | สำหรับหลักแรกของเขา เบนจามินมีตัวเลือก 10 ตัว สำหรับหลักที่สอง เขาจะมีตัวเลือก 9 ตัว เนื่องจากเขาไม่สามารถทำซ้ำหลักใด ๆ ได้ สำหรับหลักที่สาม, สี่ และห้า เขาจะมีตัวเลือก 8, 7 และ 6 ตัวตามลำดับ ดังนั้นจึงมี $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \boxed{30,\!240}$ รหัสที่เป็นไปได้ | 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \boxed{30,\!240} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อ $3y^3-13y^2+11y+23$ หารด้วย $3y+2$ แล้ว ผลหารคือ $y^2-5y+c$ และเศษเหลือเป็นค่าคงที่ จงหาเศษเหลือ | ให้เศษเหลือเป็น $r$ ซึ่งเป็นค่าคงที่ แล้วเราทราบว่า
$$3y^3-13y^2+11y+23 = (3y+2)(y^2-5y+c) + r.$$เมื่อขยายจะได้
$$3y^3-13y^2+11y+23 = 3y^3-15y^2+3cy+2y^2-10y+2c + r$$ซึ่งจะเรียบง่ายเป็น
$$11y+23 = 3cy-10y+2c + r.$$เนื่องจากเศษเหลือเป็นค่าคงที่ เราทราบว่า
$$11y = (3c-10)y$$เมื่อแก้หา $c$ จะได้ $c=7$.
แล้วเศษเหลือ $r = 2... | r = 23 - 2c =23-14 = \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปดาวหลายเหลี่ยมถูกวาดบนหน้าปัดนาฬิกาโดยการวาดคอร์ดจากแต่ละตัวเลขไปยังตัวเลขที่ห้าที่นับตามเข็มนาฬิกาจากตัวเลขนั้น นั่นคือ คอร์ดถูกวาดจาก 12 ถึง 5, จาก 5 ถึง 10, จาก 10 ถึง 3 และอื่นๆ จนสิ้นสุดที่ 12 ขนาดของมุมที่แต่ละจุดยอดในรูปดาวหลายเหลี่ยมมีค่าเท่าไร? | พิจารณาคอร์ดสองเส้นที่มีจุดปลายที่ 5 ส่วนโค้งที่ย่อยโดยมุมที่กำหนดโดยคอร์ดเหล่านี้ขยายจาก 10 ถึง 12 ดังนั้นขนาดของส่วนโค้งเป็น $(2/12)(360)=60$ โดยทฤษฎีบทมุมศูนย์กลาง ขนาดของมุมนี้เป็น $(1/2)(60)=30$ โดยสมมาตร ขนาดของมุมที่แต่ละจุดยอดคือ $\boxed{30}$ | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $L$ เป็นจุดตัดระหว่างระนาบ $x + y + z - 6 = 0$ และ $2x + 3y + 4z + 5 = 0.$ จงหาสมการของระนาบที่บรรจุเส้นตรง $L$ และจุด $(1,1,1).$ แสดงคำตอบในรูป
\[Ax + By + Cz + D = 0,\]โดยที่ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $A > 0$ และ $\gcd(|A|,|B|,|C|,|D|) = 1.$ | พิจารณาสมการ
\[a(x + y + z - 6) + b(2x + 3y + 4z + 5) = 0,\]โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัวบางค่า. เนื่องจาก $L$ อยู่ในระนาบทั้งสอง $L$ จึงสอดคล้องกับสมการ $x + y + z - 6 = 0$ และ $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ ดังนั้น $L$ จึงสอดคล้องกับสมการข้างต้น.
เราต้องการให้ $(1,1,1)$ สอดคล้องกับสมการด้วย ดังนั้นเราแทนค่าเหล่านี้ลงไป จะ... | \boxed{20x + 23y + 26z - 69 = 0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จานาอินาพยายามแก้สมการต่อไปนี้โดยการเติมกำลังสอง: $$x^2+18x-9 = 0.$$ เธอสามารถเขียนสมการข้างต้นใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้ได้: $$(x + b)^2 = c,$$โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $c$? | เราเขียนสมการใหม่ดังนี้ โดยพยายามสร้างกำลังสองของทวินามทางด้านซ้าย: \begin{align*}
x^2 + 18x - 9 &= 0\\
x^2 + 18x + 81 &= 90\\
(x + 9)^2 &= 90.
\end{align*}เราเห็นว่าสิ่งนี้ทำงานได้อย่างชัดเจน และ $c = \boxed{90}.$ | c = \boxed{90}. | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ในห้องเรียนที่มีนักเรียน 30 คน มีนักเรียนที่เคยไปเม็กซิโก 7 คน และนักเรียนที่เคยไปอังกฤษ 11 คน จากนักเรียน 30 คนนี้ มี 4 คนที่เคยไปทั้งเม็กซิโกและอังกฤษ มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้ไปเม็กซิโกหรืออังกฤษ | จากนักเรียน 7 คนที่เคยไปเม็กซิโก มี 4 คนที่เคยไปอังกฤษด้วย ดังนั้น $7-4=3$ คนที่เคยไปเม็กซิโกแต่ไม่เคยไปอังกฤษ
จากนักเรียน 11 คนที่เคยไปอังกฤษ มี 4 คนที่เคยไปเม็กซิโกด้วย ดังนั้น $11-4=7$ คนที่เคยไปอังกฤษแต่ไม่เคยไปเม็กซิโก
ดังนั้น มี 3 คนที่เคยไปเม็กซิโกเท่านั้น 7 คนที่เคยไปอังกฤษเท่านั้น และ 4 คนที่เคยไปทั้งสองประเ... | 30-3-7-4=\boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ห้าถูกบวกเข้ากับสี่เท่าของจำนวนเต็มตัวหนึ่งได้ผลลัพธ์ 277 จำนวนเต็มตัวนั้นคือจำนวนใด | ให้จำนวนเต็มตัวนั้นเป็น $n$ ดังนั้น ห้าบวกกับสี่เท่าของ $n$ เทียบเท่ากับนิพจน์: $$5+4n$$เราทราบว่าผลลัพธ์ของนิพจน์นี้คือ 277 ดังนั้นเราสามารถตั้งสมการได้: \begin{align*}
5+4n&=277 \\
4n&=272 \\
n&=68.
\end{align*}ดังนั้น จำนวนเต็มตัวนั้นคือ $\boxed{68}$. | \boxed{68} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดของสมการ $\tan{19x^{\circ}}=\dfrac{\cos{96^{\circ}}+\sin{96^{\circ}}}{\cos{96^{\circ}}-\sin{96^{\circ}}}$. | จากสูตรการบวกของฟังก์ชันแทนเจนต์
\begin{align*}
\frac{\cos 96^\circ + \sin 96^\circ}{\cos 96^\circ - \sin 96^\circ} &= \frac{1 + \tan 96^\circ}{1 - \tan 96^\circ} \\
&= \frac{\tan 45^\circ + \tan 96^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 96^\circ} \\
&= \tan (45^\circ + 96^\circ) \\
&= \tan 141^\circ.
\end{align*}ดังนั้น เราต้อ... | x \equiv \boxed{159} \pmod{180}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาหลักหน่วยของผลบวกของกำลังสามบวกที่ 21 ตัวแรก | สังเกตว่าสำหรับจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ ที่สอดคล้องกับ $1 \le n \le 19, n \neq 10$ โดยใช้การแยกตัวประกอบผลบวกของกำลังสาม $n^3 + (20 - n)^3 = (n + 20 - n)(n^2 + (20-n)n + (20-n)^2)$ $ = 20(n^2 + (20-n)n + (20-n)^2)$. ดังนั้นเราสามารถจับคู่จำนวนเต็มแต่ละตัวกับผลต่างระหว่าง $20$ และจำนวนเต็มนั้น และผลบวกของกำลังสามของมันหารด้วย ... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $L$ เป็นเส้นตรงในอวกาศที่ผ่านจุดกำเนิดและจุด $(2,1,-2).$ จงหาภาพสะท้อนของจุด $(3,6,15)$ ข้าม $L.$ | กำหนดให้ $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix}$ และ $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}.$
[asy]
import three;
size(180);
currentprojection = perspective(6,3,2);
triple I = (1,0,0), J = (0,1,0), K = (0,0,1), O = (0,0,0);
triple V = (3,2,2), W = (4,1,3), P = dot(V,W)/abs(W)^2*W,... | \boxed{(-11,-10,-7)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เฉลี่ยการตีของโจเป็น .323 (นั่นคือเขาตีเฉลี่ย 0.323 ครั้งต่อการตี) ความน่าจะเป็นที่เขาจะตีได้ 3 ครั้งใน 3 ครั้งที่ตีคือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษถึงร้อยละ | การตีของโจแต่ละครั้งเป็นอิสระจากครั้งอื่น ๆ นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะตีได้ในแต่ละครั้งจะไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับว่าเขาตีหรือพลาดลูกก่อนหน้าหรือไม่ ดังนั้นในการคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาจะตีได้ 3 ครั้งใน 3 ครั้งที่ตี เราเพียงแค่ยกกำลัง 3 ของ 0.323 เพื่อให้ได้ 0.033 ปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุดจะได้ $\boxed{0.03}$ | \boxed{0.03} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของทุกจุด $(x,y,z)$ ที่สอดคล้องกับ $x^2 + y^2 + z^2 \le 25$ และ $z \ge 0.$ คำนวณความยาวด้านของลูกบาศก์ที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ใน $S.$ | สังเกตว่า $S$ เป็นครึ่งบนของทรงกลมที่มีรัศมี 5.
ให้ $s$ เป็นความยาวด้านของลูกบาศก์ แล้วหน้าหนึ่งของลูกบาศก์จะอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ $xy$ ; จุดศูนย์กลางของหน้านี้คือ $O = (0,0,0).$
[asy]
unitsize(1.2 cm);
pair A, B, C, D, O, T, X, Y, Z;
pair x, y, z;
x = (2,-0.2);
y = (1.2,0.8);
z = (0,2);
X = (0,0);
Y = x;
T = y;
... | s = \boxed{\frac{5 \sqrt{6}}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ ที่สอดคล้องกับ $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ จากนั้น
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ. โดยทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.$... | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันมีกี่ตัวในการแยกตัวประกอบของ $117\cdot119$? | ทั้งสองจำนวนนี้ดูเหมือนจะเป็นจำนวนเฉพาะ แต่จริงๆแล้วไม่ใช่ $117=3^2\cdot13$ และ $119=7\cdot17$ นั่นทำให้มีจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน $\boxed{4}$ ตัว ในการแยกตัวประกอบ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$, $\tan \angle CAB = \frac{22}{7}$, และเส้นตั้งฉากจาก $A$ หาร $\overline{BC}$ ออกเป็นส่วนที่มีความยาว 3 และ 17. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$? | ให้ $h = AD.$
[asy]
unitsize(0.3 cm);
pair A, B, C, D;
A = (3,11);
B = (0,0);
D = (3,0);
C = (20,0);
draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);
label("$3$", (B + D)/2, S);
label("$17$", (C + D)/2, S);
label("$h$", (A + D)/2, E);
[/asy]
แล้ว ... | $\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 11 = \boxed{110}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามจุดยอดของลูกบาศก์คือ $P=(7,12,10)$, $Q=(8,8,1)$, และ $R=(11,3,9)$. ความยาวของด้านของลูกบาศก์คือเท่าไร? | เราคำนวณ \[\begin{aligned} PQ &= \sqrt{(7-8)^2 + (12-8)^2 + (10-1)^2} = 7\sqrt{2}, \\ QR &= \sqrt{(8-11)^2 + (8-3)^2 + (1-9)^2} = 7\sqrt{2}, \\ PR &= \sqrt{(7-11)^2 + (12-3)^2 + (10-9)^2} = 7\sqrt{2}. \end{aligned}\]ดังนั้น $PQR$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เกิดจากสามจุดยอดของลูกบาศก์. นั่นหมายความว่าด้านของ $PQR$ แต่ล... | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รถบัสจะมาถึงป้ายรถเมล์ของเจอร์รี่ทุกๆ 20 นาที เริ่มต้นเวลา 05:13 น. ถ้าเจอร์รี่มาถึงเวลา 08:35 น. เขาจะต้องรอนานเท่าไรถึงรถบัสคันต่อไป | เนื่องจาก 20 นาทีหาร 60 นาที (ซึ่งเท่ากับ 1 ชั่วโมง) ลงตัว จึงหมายความว่ารถบัสจะจอดทุกๆ 13 นาที, $13 + 20 = 33$ นาที และ $33 + 20 = 53$ นาทีหลังจากทุกๆ ชั่วโมง ดังนั้นหลังจากเวลา 08:35 น. ครั้งต่อไปที่รถบัสจะจอดคือ 08:53 น. ดังนั้นเจอร์รี่ต้องรอนาน $53 - 35 = \boxed{18}$ นาที | 53 - 35 = \boxed{18} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มที่เลือกมาแบบสุ่มจากเซต $$\{1,2,3,\ldots,100\}$$ จะหารด้วย 2 ลงตัวและไม่หารด้วย 3 ลงตัว แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจาก $100 = 50\cdot 2$ มีจำนวนเต็ม 50 จำนวนในเซตที่หารด้วย 2 ลงตัว จำนวนในจำนวนนี้ที่หารด้วย 3 ลงตัวด้วย คือ คูณของ 6 ในเซต การหาร 100 ด้วย 6 จะได้ $16\frac23$ ดังนั้นมี 16 คูณของ 6 ในเซต ซึ่งเหลือ $50-16 = 34$ คูณของ 2 ที่ไม่ใช่คูณของ 3 มีจำนวนเต็ม 100 จำนวนในเซต ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $\dfrac{34}{1... | \dfrac{34}{100} = \boxed{\dfrac{17}{50}} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำตอบของสมการ $(x+1)(x+2) = x+3$ สามารถเขียนได้ในรูป $m+\sqrt n$ และ $m-\sqrt n$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $m+n$? | ראשית, เราขยายด้านซ้ายของสมการของเราเพื่อให้ได้ $$x^2+3x+2 = x+3.$$จากนั้นเราลบ $x+3$ จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้สมการกำลังสองในรูปแบบมาตรฐาน: $$x^2+2x-1 = 0.$$สมการนี้ไม่แยกตัวประกอบในทางที่ชัดเจน ดังนั้นเราจึงใช้สูตรกำลังสอง ซึ่งให้คำตอบของ $$x = \frac{-(2) \pm\sqrt{(2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}.$$... | -1+2=\boxed{1} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $z = a + bi,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า
\[z^3 + |z|^2 + z = 0,\]จงหาคู่ลำดับ $(a,b)$ | เราสามารถเขียน $|z|^2 = z \overline{z},$ ดังนั้นสมการจะกลายเป็น
\[z^3 + z \overline{z} + z = 0.\]เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $z = a + bi$ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการข้างต้นด้วย $z$ ซึ่งจะได้
\[z^2 + \overline{z} + 1 = 0.\]จากนั้น $(a + bi)^2 + \overline{a + bi} + 1 = 0,$ หรือ
\[a^2... | (a,b) = \boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $n < 10{,}000$ จำนวน $n+2005$ มีตัวประกอบบวกที่แตกต่างกันちょうど 21 ตัว จงหาผลรวมของค่า $n$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | ให้ $k = n+2005$ เนื่องจาก $1 \le n \le 9999$ เราได้ $2006 \le k \le 12004$ เราทราบว่า $k$ มีตัวประกอบบวกที่แตกต่างกันちょうど 21 ตัว จำนวนตัวประกอบบวกของจำนวนเต็มบวกที่มีการแยกตัวประกอบเป็น अभाजน์ $p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$ คือ $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)$ เนื่องจาก $21 = 7 \cdot 3$ และ 7 และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ ... | n = k - 2005 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)$ เป็นผลรวมของตัวหารจำนวนเต็มบวกของ $n$ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $f(f(n))$ เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน เรียก $n$ ว่าจำนวนเฉพาะชนิดกระดอน จงหาจำนวนเฉพาะชนิดกระดอนที่น้อยที่สุด | เราทดสอบจำนวนเฉพาะขนาดเล็ก จำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดคือ $2$ แต่สังเกตว่า $f(2) = 3$ และ $f(3) = 4$ จากนั้นเราทดสอบ $3$ และสังเกตว่า $f(4) = 7$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $\boxed{3}$ คือจำนวนเฉพาะชนิดกระดอนที่น้อยที่สุด | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $4x^2+7x+k$ คือ $\frac{-7\pm i\sqrt{15}}{8}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | จากสูตรกำลังสอง เราพบว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(k)}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{49-16k}}{8}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้ต้องเท่ากับ $\frac{-7\pm\sqrt{15}i}{8}$ ดังนั้น \begin{align*} \sqrt{49-16k}&=\sqrt{15}i
\\\Rightarrow\qquad \sqrt{49-16k}&=\sqrt{-15}
\\\Rightarrow\qquad 49-16k&=-15
\\\Rightar... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คอร์ดมีความยาว 6 หน่วย แบ่งวงกลมออกเป็นสองบริเวณที่แตกต่างกัน ถ้าวงกลมมีรัศมี 6 หน่วย พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่าเป็นเท่าไรในหน่วยตาราง? แสดงคำตอบของคุณในรูปรากที่ง่ายที่สุดของ $\pi$ | วาดรัศมีไปยังจุดตัดของคอร์ดกับวงกลม สามเหลี่ยมด้านเท่าจะถูกสร้างขึ้นโดยมีพื้นที่ $\frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ อย่างไรก็ตาม ส่วนทั้งหมดมีพื้นที่ $\frac{36\pi}{6} = 6\pi$ ถ้าเราลบพื้นที่ของภาคออกจากพื้นที่ของวงกลมทั้งหมด และจากนั้นบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่ากลับเข้ามา เราจะได้พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่า พื้นที... | 36\pi - 6\pi + 9\sqrt{3} = \boxed{30\pi + 9\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า NINE | ก่อนอื่นเราจะนับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนถ้า N ทั้งสองตัวแตกต่างกัน ซึ่งก็คือ 4! จากนั้นเนื่องจาก N ทั้งสองตัวเหมือนกัน เราหารด้วย $2!$ เพื่อนับการเรียงสับเปลี่ยนของ N ดังนั้นคำตอบคือ $\dfrac{4!}{2!} = \boxed{12}$ | \dfrac{4!}{2!} = \boxed{12} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ความกว้าง ความยาว และความสูงของรูปปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละด้านเพิ่มขึ้น $10\%$. ปริมาณของรูปปริซึมเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์? แสดงคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | จงจำไว้ว่าการเพิ่มปริมาณขึ้น $p\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $1+p\%$. ถ้าความยาว ความกว้าง และความสูงเดิมคือ $l$, $w$ และ $h$ ตามลำดับ ดังนั้นความยาว ความกว้าง และความสูงใหม่คือ $1.1l$, $1.1w$ และ $1.1h$ ตามลำดับ. ดังนั้นปริมาตรใหม่คือ $(1.1l)(1.1w)(1.1h)=(1.1)^3(lwh)=1.331(lwh)$ ซึ่งมากกว่าปริมาตรเดิม $lwh$ อยู่ 1.331 เท... | 33% | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในถุงที่มีลูกแก้ว 20 ลูก มีลูกแก้วสีน้ำเงิน 5 ลูก ต้องเติมลูกแก้วสีน้ำเงินกี่ลูกลงในถุง เพื่อให้ความน่าจะเป็นในการหยิบลูกแก้วสีน้ำเงินแบบสุ่มเป็น $\frac{1}{2}$? | ถ้าเติมลูกแก้วสีน้ำเงิน $x$ ลูก ลำดับของลูกแก้วสีน้ำเงินในถุงจะเป็น $\frac{5 + x}{20 + x}$ เราต้องการให้ค่านี้เท่ากับ $1/2$ ดังนั้น $\frac{5 + x}{20 + x}= \frac{1}{2}$ เมื่อจัดรูปสมการจะได้ $10 + 2x = 20 + x$ แก้สมการหาค่า $x$ จะได้ $x = \boxed{10}$ | x = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูป heptagon ปกติอยู่ในระนาบเดียวกันและมีด้าน $\overline{AD}$ ร่วมกันดังแสดง มุม $BAC$ มีขนาดกี่องศา แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนธรรมดา
[asy]
for(int i=0; i <=7; ++i) {
draw(dir(360*i/7+90)--dir(360*(i+1)/7+90));
}
pair A = dir(360*3/7+90);
pair F = dir(360*4/7+90);
pair C = A+dir(90)*(F-A);
pair D =... | ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมในรูป $n$-gon ปกติคือ $180(n-2)/n$ องศา ดังนั้นขนาดของมุม $\angle BAD$ คือ $180(7-2)/7=\frac{900}7$ องศา และขนาดของมุม $CAD$ คือ 90 องศา ผลต่างของมันคือ $\angle BAC$ มีขนาดเท่ากับ \[\frac{900}7-\frac{630}7=\boxed{\frac{270}7\text{ องศา}}.\] | $\angle BAC$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\tan \theta = 7,$ จงหา $\tan 2 \theta.$ | จากสูตรมุมสองเท่า,
\[\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \boxed{-\frac{7}{24}}.\] | [
"นำไปใช้"
] | |
ประเมินค่าของ $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2$. | $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}.$ | \left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}. | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ
\[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6}\]เหนือจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | เห็นได้ชัดว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อ $x$ เป็นบวกและ $y$ เป็นลบ ให้ $z = -y$ ดังนั้น $z$ เป็นบวก และ $y = -z$ แล้ว
\[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6} = \frac{x + z}{x^4 + z^4 + 6}.\]โดย AM-GM,
\[x^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{x^4} = 4x,\]และ
\[z^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{z^4} = 4z.\]ดังนั้น $x^4 + z^4 + 6 \ge 4(x + z)$ ซึ่... | \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่าคงที่ $c,$ ในพิกัดกระบอก $(r,\theta,z),$ จงหารูปร่างที่อธิบายโดยสมการ
\[z = c.\](A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) ระนาบ
(D) ทรงกลม
(E) ทรงกระบอก
(F) กรวย
ใส่อักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | ในพิกัดกระบอก $z$ แสดงถึงพิกัด $z$ ของจุด ดังนั้น สำหรับพิกัด $z$ ที่คงที่ $c$ จุดทั้งหมดจะอยู่บนระนาบที่ขนานกับระนาบ $xy$ คำตอบคือ $\boxed{\text{(C)}}.$
[asy]
import three;
import solids;
size(200);
currentprojection = perspective(6,3,2);
currentlight = (1,0,1);
real theta = 120;
draw((-2,0,0)--(2,0,0));
draw((0,-2... | C | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเส้นกำลุ่งแนวตั้งในกราฟของ
\[y = \frac{(x + 8) (x + 5)^2 (x + 1)^3 x^5 (x - 3)^2}{(x + 7) (x + 5)^2 (x + 1) x (x - 3)^3 (x - 4)}.\] | มีตัวประกอบของ $x + 5,$ $x + 1,$ และ $x$ ทั้งในตัวเศษและตัวส่วน และตัวประกอบในตัวส่วนจะตัดกันกับตัวประกอบในตัวเศษ ดังนั้นกราฟจะมีรูที่ $x = -5,$ $x = -1,$ และ $x = 0.$
มีตัวประกอบของ $x + 7$ ในตัวส่วน ดังนั้นจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = -7.$ มีสามตัวประกอบของ $x - 3$ ในตัวส่วน และสองตัวประกอบของ $x - 3$ ในตัวเศษ ดังน... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สูตรทำข้าวป๊อปอัดกรอบจะได้ส่วนผสมที่เต็มพิมพ์ 9 นิ้ว x 13 นิ้ว สูง 1 นิ้ว ถ้าส่วนผสมข้าวป๊อปอัดกรอบที่ได้จากสูตร 1.5 เท่าของสูตรเดิมถูกเทลงในพิมพ์ขนาด 10 นิ้ว x 15 นิ้ว พิมพ์จะเต็มสูงเท่าไรเป็นนิ้ว? แสดงคำตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง | ปริมาตรของข้าวป๊อปอัดกรอบที่ได้จากสูตรเดิมคือ $9\cdot 13\cdot 1 = 117$ ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้นปริมาตรที่ได้จากการทำ 1.5 เท่าของสูตรเดิมคือ $1.5\cdot 117 =175.5$ ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้นความสูงที่พิมพ์เต็มคือ $\frac{175.5}{10\cdot 15} = \boxed{1.17}$ นิ้ว | \frac{175.5}{10\cdot 15} = \boxed{1.17} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปที่กำหนดให้ เส้นตั้งฉากถูกวาดจาก B ในสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ไปยังเส้นทแยงมุม AC ที่จุด X ด้าน AB ยาว 6 เซนติเมตร และเส้นทแยงมุม AC ยาว 10 เซนติเมตร จุด X ห่างจากจุดกึ่งกลาง M ของเส้นทแยงมุม AC กี่เซนติเมตร? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่สิบ
[asy]
draw((0,0)--(25,0)--(25,15)--(0,15)--cycle,linewidth(1));
... | เราเห็นว่า $\triangle ABX \sim \triangle ACB$ เนื่องจาก $\angle BXA = \angle ABC$ และ $\angle A$ เป็นมุมร่วมของทั้งสองรูปสามเหลี่ยม จากความคล้ายนี้ เราได้สมการ $\frac{AB}{AC}=\frac{AX}{AB}$ แทนค่าความยาวด้านที่ทราบและแก้สมการหา AX เราได้ $\frac{6}{10}=\frac{AX}{6}\Rightarrow AX=3.6$ เนื่องจาก $AM=10/2=5$ ดังนั้น $XM=... | XM=5-3.6=\boxed{1.4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.