question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
คำนวณ: $0.\overline{7}-0.\overline{4}+0.\overline{2}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | โดยทั่วไป เพื่อแสดงจำนวน $0.\overline{n}$ ในรูปเศษส่วน เราให้มันเป็น $x$ และลบออกจาก $10x$: $$\begin{array}{r r c r@{}l}
&10x &=& n&.nnnnn\ldots \\
- &x &=& 0&.nnnnn\ldots \\
\hline
&9x &=& n &
\end{array}$$ นี่แสดงว่า $0.\overline{n} = \frac{n}{9}$.
ดังนั้น ปัญหาเดิมของเราจะลดลงเหลือการคำนวณ $\frac 79 - \frac 49 + \f... | \frac 79 - \frac 49 + \frac 29 = \boxed{\frac 59} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แผ่นกระดาษขนาด 10 นิ้ว x 12 นิ้ว มีขอบกระดาษกว้าง 1.5 นิ้ว ที่ทุกด้าน จงหาว่าขอบกระดาษครอบคลุมพื้นที่ของแผ่นกระดาษเท่าใดเป็นเศษส่วน แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | แผ่นกระดาษขนาด 10 นิ้ว x 12 นิ้วจะมีพื้นที่ $10 \cdot 12 = 120$ ตารางนิ้ว ถ้าแผ่นกระดาษนั้นมีขอบกระดาษกว้าง 1.5 นิ้ว ที่ทุกด้าน ส่วนที่ไม่ถูกขอบกระดาษครอบคลุมจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว $12 - 2(1.5) = 9$ นิ้ว และความกว้าง $10 - 2(1.5) = 7$ นิ้ว ดังนั้น $9 \cdot 7 = 63$ ตารางนิ้วของแผ่นกระดาษจะไม่ถูกขอบกระดาษครอบ... | \dfrac{57}{120}=\boxed{\dfrac{19}{40}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางของพิซซ่าเพิ่มขึ้น 2 นิ้ว พื้นที่ของพิซซ่าจะเพิ่มขึ้น 44% พื้นที่ของพิซซ่าเดิมมีขนาดเท่าไร (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | ให้ $r$ เป็นรัศมีเดิมของพิซซ่า หากเส้นผ่านศูนย์กลางเพิ่มขึ้น 2 นิ้ว รัศมีก็จะเพิ่มขึ้น 1 นิ้ว เราสามารถคำนวณ $A_{original}=\pi r^2$ และ $A_{final}=\pi (r+1)^2$ โดยใช้ข้อมูลที่กำหนดในโจทย์ $A_{final}=A_{original} \cdot 1.44$ แทนค่าลงไปจะได้ \begin{align*}
1.44\pi r^2 &= \pi (r+1)^2 \\
&=\pi (r^2+2r+1) \\
1.44r^2&=r^2+2r... | \pi \cdot 5^2=\boxed{25\pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นายสมิทนำสัตว์เลี้ยงมา 7 ตัวสำหรับลูกของเขา 7 คน แต่ละคนจะรับเลี้ยงสัตว์เลี้ยงเป็นของตัวเอง มีแมว 4 ชนิด (สยาม, เปอร์เซีย, คัลลิโก้ และมิงค์), สุนัข 2 ชนิด (ปูเดิ้ลและรีทรีฟเวอร์สีทอง) และปลาทอง แอนนาและแบ็ตตี้ปฏิเสธที่จะดูแลปลาทอง และชาร์ลีและแดนนี่ยืนกรานที่จะมีแมว เด็กอีก 3 คนง่ายกว่า - พวกเขาจะรับอะไรก็ได้ ในกี่วิธ... | ชาร์ลีสามารถรับแมวได้ 1 ตัว จาก 4 ตัว และแดนนี่สามารถรับแมวได้ 1 ตัว จาก 3 ตัวที่เหลือ ดังนั้นมี $4\times 3=12$ วิธีในการให้แมวแก่เด็กทั้งสองคน เนื่องจากแอนนาและแบ็ตตี้ไม่สามารถรับปลาทองได้ พวกเขาจึงเลือกจากสัตว์ที่เหลือ 4 ตัว ดังนั้นมี $4\times 3=12$ วิธีในการให้สัตว์เลี้ยงแก่เด็กทั้งสองคน สำหรับเด็กอีก 3 คน มี $3\tim... | 12\times 12\times 6=\boxed{864}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนกำลังสองที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 225 ซึ่งเป็นพหุคูณของ 9 | เพื่อให้จำนวนใดเป็นพหุคูณของ 9 ผลรวมของหลักของจำนวนนั้นต้องหารด้วย 9 ลงตัว เนื่องจาก $225 = 15^2$ จำนวนกำลังสองที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 225 คือ $14^2 = 196$ อย่างไรก็ตาม $1 + 9 + 6 = 16$ ซึ่งไม่หารด้วย 9 ลงตัว จำนวนกำลังสองที่มากที่สุดถัดไปที่น้อยกว่า 225 คือ $13^2 = 169$ แต่ $1 + 6 + 9$ ก็ไม่หารด้วย 9 ลงตัว ต่อไป $12^2... | \boxed{144} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อาณานิคมของแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง ในเวลา 13:00 น. มีแบคทีเรีย 10 ตัวอยู่ในจานเพาะเชื้อ ในเวลา 21:00 น. ของวันเดียวกัน ประชากรแบคทีเรียมีจำนวนเท่าใด | ทุกชั่วโมง ประชากรแบคทีเรียจะถูกคูณด้วย 2 ในเวลา 14:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าครั้งเดียว และมีแบคทีเรีย $10\cdot2$ ตัว ในเวลา 15:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าสองครั้ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2\cdot2$ ตัว เป็นต้น ในเวลา 21:00 น. อาณานิคมแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า 8 ครั้ง ดังนั้นจึงมีแบคทีเ... | 2560 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ
\[r = \frac{6}{2 + 3 \sin \theta}.\](A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) พาราโบลา
(D) วงรี
(E) ไฮเปอร์โบลา
กรอกตัวอักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | จากสมการที่กำหนดให้
\[2r + 3r \sin \theta = 6.\]ดังนั้น $2r = 6 - 3r \sin \theta = 6 - 3y,$ ดังนั้น
\[4r^2 = (6 - 3y)^2 = 9y^2 - 36y + 36.\]นั่นคือ $4(x^2 + y^2) = 9y^2 - 36y + 36.$ ดังนั้น $4x^2 = 5y^2 - 36y + 36,$ นั่นคือ
\[4x^2 - 5y^2 + 36y - 36 = 0.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ในรูป
\[\frac{(y - \frac{18}{5})^2}{\fra... | \boxed{\text{(E)}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีเส้นทางกี่เส้นจาก $C$ ถึง $D$ บนตารางที่แสดง ถ้าทุกก้าวต้องเป็นการลงหรือไปทางขวา?[asy]size(4cm,4cm);int w=5;int h=7;int i;for (i=0; i<h; ++i){draw((0,i) -- (w-1,i));}for (i=0; i<w; ++i){draw((i, 0)--(i,h-1));}label("D", (w-1,0), SE);label("C", (0,h-1), NW);[/asy] | มี 4 ก้าวไปทางขวา และ 6 ก้าวลง ก้าวทั้ง 10 ก้าวนี้สามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นคำตอบคือ $\dbinom{10}{4} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{210}$ | \dbinom{10}{4} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{210} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แรนดี้กดปุ่ม RAND บนเครื่องคิดเลขของเขาสองครั้งเพื่อรับเลขสุ่มสองตัวระหว่าง 0 ถึง 1 ให้ $p$ เป็นความน่าจะเป็นที่เลขสุ่มสองตัวนี้และ 1 จะเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมป้าน จงหา $4p$ | ให้เลขสุ่มสองตัวเป็น $x$ และ $y$ เพื่อที่จะสร้างรูปสามเหลี่ยมป้าน เนื่องจาก 1 จะเป็นด้านที่ยาวที่สุด เราต้องสอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้พร้อมกัน: $$x+y>1\text{ and }x^2+y^2<1.$$ อสมการแรกคืออสมการสามเหลี่ยม และอสมการที่สองรับประกันว่ารูปสามเหลี่ยมเป็นป้าน การวาดกราฟในระนาบ $xy$ เราจะได้บริเวณที่ถูกแรเงาต่อไปนี้ [asy]
dra... | \boxed{\pi-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จะมีกี่คนในงานเลี้ยง | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ ทุกคู่ของคนจะจับมือกันครั้งเดียว ดังนั้น 78 แทนจำนวนคู่ ซึ่งเราสามารถนับเป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนคนในงานเลี้ยง ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะได้ $\boxed{13}$ คนในงานเลี้ยง | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อจำนวนทศนิยม $0.1\overline{23}$ เขียนในรูปเศษส่วน $\frac{a}{b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 แล้ว $a+b$ มีค่าเท่าใด | เราสามารถเขียน $0.1\overline{23}$ ใหม่เป็น $0.1$ + $0.0\overline{23}$ ทศนิยมตัวแรกคือ $\frac{1}{10}$ ให้ทศนิยมตัวที่สองเท่ากับ $x$ การคูณด้วย 100 เราได้ $100x = 2.3\overline{23}$ ซึ่งจะได้ $99x = 2.3 \implies x = \frac{23}{990}$ ดังนั้น $0.1\overline{23} = \frac{1}{10} + \frac{23}{990} = \frac{61}{495}$ ดังนั้น $a+... | a+b=61+495 = \boxed{556} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เจ้าของบ้านหลังหนึ่งที่มีมูลค่าประเมิน $\$120,\!000$ จ่ายภาษี $\$3,\!000$. ด้วยอัตราเดียวกัน ภาษีของบ้านหลังที่มีมูลค่าประเมิน $\$160,\!000$ เป็นเท่าไร (เป็นดอลลาร์) | มูลค่าของบ้าน $\$160,\!000$ เป็น $ rac{4}{3}$ ของมูลค่าบ้าน $\$120,\!000$ ดังนั้นภาษีจึงเป็น $ rac{4}{3}$ เท่าเช่นกัน: $\$3,\!000\cdot\frac{4}{3}=\boxed{\$4,\!000}$. | 4,\!000} | [
"ประยุกต์"
] |
ในรูปภาพด้านล่าง สามเหลี่ยม $ABC$ ถูกจารึกไว้ในวงกลม และ $AC = AB$ มุม $BAC$ มีขนาด 42 องศา และส่วน $ED$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $C$ มุม $ACD$ มีขนาดเท่าไร? [asy]
import olympiad; import geometry; size(150); defaultpen(linewidth(0.8));
draw(Circle((0,0),1));
draw((dir(-30).x -1,dir(-30).y-2)--(dir(-30).x+1,dir(-30).... | เนื่องจากมุม $BAC$ มีขนาด 42 องศา มุมอื่นๆ ของสามเหลี่ยม $ABC$ ที่เท่ากันอีกสองมุมต้องมีขนาด $(180 - 42)/2 = 138/2 = 69$ องศา เราจะนำจุด $F$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มาวาดส่วนเชื่อมต่อจากจุดยอดแต่ละจุดไปยัง $F$ เนื่องจากส่วน $ED$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $C$ จึงต้องตั้งฉากกับรัศมี $CF$ มุม $BAC$ ถูกแบ่งครึ่งโดยส่ว... | 69 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ร้านขายแซนด์วิชมีขนมปัง 1 ชนิด เนื้อ 1 ชนิด และซอส 1 ชนิด ร้านมีขนมปังโฮลวีท ขนมปังไร และขนมปังขาว; แฮม ไก่งวง เนื้อย่าง และทูน่า; ซอสแรนช์ และซอสสวาโธชิพotle Javier แพ้ขนมปังไร ทูน่า และซอสสวาโธชิพotle เขาบอกให้พนักงานประกอบแซนด์วิชแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ Javier จะแพ้? | เราหาความน่าจะเป็นที่ Javier จะไม่แพ้ และลบออกจาก 1 เพื่อให้ Javier ไม่แพ้ พนักงานต้องเลือกขนมปังโฮลวีท หรือขนมปังขาว; ไก่งวง เนื้อย่าง หรือแฮม; และซอสแรนช์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ Javier แพ้คือ $1-\frac{1}{4} = \boxed{\f... | 1-\frac{1}{4} = \boxed{\frac{3}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ $x^2 - 2x + 2 \le P(x) \le 2x^2 - 4x + 3$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $P(11) = 181$ จงหา $P(16)$ | เขียนพหุนามกำลังสองที่กำหนดให้ในรูปจุดยอด เราได้ \[1 + (x-1)^2 \le P(x) \le 1 + 2(x-1)^2.\]ทั้งสองพหุนามนี้มีจุดยอดที่ $(1, 1)$ ; เมื่อพิจารณาจากรูปร่างของกราฟของพหุนามกำลังสอง เราจะเห็นว่า $P$ ต้องมีจุดยอดที่ $(1,1)$ ด้วย ดังนั้น \[P(x) = 1 + k(x-1)^2\]สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า กำหนด $x = 11$ เราได้ $181 = 1 +100k$ ด... | 406 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซตของคำตอบทั้งหมดของระบบสมการ \[ \begin{cases}& 2x+y \le 4 \\& x+y \ge 1 \\& x \ge 0 \\& y \ge 0 \end{cases} \] เป็นรูปสี่เหลี่ยม ถ้าความยาวของด้านที่ยาวที่สุดเป็น $a\sqrt{b}$ หน่วย (อยู่ในรูปรากที่ง่ายที่สุด) จงหา $a+b$ | [asy]
Label f;
f.p=fontsize(6);
xaxis(0,3,Ticks(f, 1.0));
yaxis(0,5,Ticks(f, 1.0));
fill((0,1)--(0,4)--(2,0)--(1,0)--cycle, grey);
draw((-.5,5)--(2.5,-1), dashed, Arrows);
draw((-1,2)--(2,-1), dashed, Arrows);
[/asy]
เส้นทแยงมุมด้านบนเป็นกราฟของ $2x+y=4$. เส้นทแยงมุมด้านล่างเป็นกราฟของ $x+y=1$. แกน y เป็นกราฟของ $... | a+b=2+5=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงขยายและทำให้ 간단 $(x^2-5x+7)-(x-3)(x-2)$ | เราเห็นว่า $(x^2-5x+7)-(x-3)(x-2) = x^2-5x+7 -x^2 +5x - 6 = \boxed{1},$ ซึ่งเป็นคำตอบของเรา | (x^2-5x+7)-(x-3)(x-2) = x^2-5x+7 -x^2 +5x - 6 = \boxed{1}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 8}{x + 9} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 7}{x + 8}.\] | ลบ 1 จากแต่ละเศษส่วน เราได้
\[-\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 9} = -\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 8}.\]แล้ว
\[\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 8},\]ดังนั้น
\[\frac{2x + 11}{(x + 2)(x + 9)} = \frac{2x + 11}{(x + 3)(x + 8)}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $(x + 2)(x + 9)(x + 3)(x + 8),$ เราได้
\[(... | x = \boxed{-\frac{11}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนจริง $x^{}_{}$ กี่จำนวนที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{5}\log_2 x = \sin (5\pi x)$? | แสดงกราฟของ $y = \frac{1}{5} \log_2 x$ และ $y = \sin (5 \pi x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(2.5 cm);
real x;
real logfunction(real x) {
return(1/5*log(x)/log(2));
}
real sinefunction(real x) {
return(sin(5*pi*x));
}
path foo = (-0.1,sinefunction(-0.1));
for (x = -0.1; x <= 4; x = x + 0.01) {
foo = foo--(x,sinefun... | 5 + 2 \cdot (79 - 3 + 1) = \boxed{159} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการเลือกอักษร 3 ตัวที่แตกต่างกันจากตัวอักษรในภาษาอังกฤษได้กี่วิธี โดยไม่คำนึงถึงลำดับ หากเราต้องเลือกสระ 1 ตัว (A, E, I, O, หรือ U) และพยัญชนะ 2 ตัว? | เรามีตัวเลือก 5 ตัวสำหรับการเลือกสระ และเราต้องเลือก 2 ตัวจากตัวอักษรที่เหลืออีก 21 ตัว ซึ่งรวมเป็น $\binom{21}{2} = 210$ ตัวเลือกสำหรับพยัญชนะ นี่จะให้ผลรวมทั้งหมดเป็น $5 \times 210 = \boxed{1050}$ | 5 \times 210 = \boxed{1050} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $29^{13} - 5^{13}$ modulo 7 | ก่อนอื่น โปรดทราบว่า $29 \equiv 1$ modulo 7 ดังนั้น $29^{13} \equiv 1$ modulo 7. นอกจากนี้ $5 \equiv (-2)$ ดังนั้น $1 - 5^{13} \equiv 1 + 2^{13}$ modulo 7. สุดท้าย $2^3 \equiv 1$ modulo 7 ดังนั้น $2^{13} \equiv 2(2^3)^4 \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2$. ดังนั้น $29^{13} - 5^{13} \equiv 1+2 \equiv \boxed{3}$ modulo 7. | 29^{13} - 5^{13} \equiv 1+2 \equiv \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\left\lceil{\frac32}\right\rceil^2+\left\lceil{\left(\frac32\right)^2}\right\rceil$. | เพื่อที่จะหาค่าของครึ่งแรกของนิพจน์ เราต้องหา $\left\lceil{\frac32}\right\rceil$ ก่อน แล้วจึงยกกำลังสองของจำนวนเต็มนั้น เราทราบว่า $\left\lceil{\frac32}\right\rceil=2$ ดังนั้น $\left\lceil{\frac32}\right\rceil^2=4$ สำหรับครึ่งหลังของนิพจน์ เราต้องประเมิน $\left(\frac32\right)^2$ ก่อน แล้วจึงหาจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ม... | 4+3=\boxed{7} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
การหมุน $60^\circ$ รอบจุดกำเนิดในทิศทวนเข็มนาฬิกา ถูกนำไปใช้กับ $3 \sqrt{3} - 5i.$ จำนวนเชิงซ้อนที่ได้คืออะไร? | การหมุน $60^\circ$ รอบจุดกำเนิดในทิศทวนเข็มนาฬิกา สอดคล้องกับการคูณด้วย $\operatorname{cis} 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i.$
[asy]
unitsize(0.5 cm);
pair A = (3*sqrt(3),-5), B = rotate(60)*(A);
draw((-2,0)--(8,0));
draw((0,-6)--(0,3));
draw((0,0)--A,dashed);
draw((0,0)--B,dashed);
dot("$3 \sqrt{3} - ... | 4 \sqrt{3} + 2i | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีค่าความชัน $\frac{2}{5}.$ เวกเตอร์ใดต่อไปนี้เป็นเวกเตอร์ทิศทางที่เป็นไปได้สำหรับเส้นตรง?
[asy]
usepackage("amsmath");
unitsize(1 cm);
pair x = (3,0), y = (0,2);
label("(A) $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$", y);
label("(B) $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$", x + y);
label("(C) $\begin{p... | เนื่องจากความชันของเส้นตรงคือ $\frac{2}{5},$ เส้นตรงจะเพิ่มขึ้น 2 หน่วยในแนวตั้งสำหรับทุกๆ 5 หน่วยในแนวตั้ง. ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางที่เป็นไปได้คือ $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}.$
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, C;
A = (0,0);
B = (5,0);
C = (5,2);
draw(A--B--C);
draw(A--C,red,Arrow(6));
label("$5$", (A + B)... | \boxed{\text{B, E, G}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าล้อมรอบด้วยสนามกีฬาตามที่แสดงไว้ด้านล่าง สนามกีฬาประกอบด้วยสองด้านของสนาม และวงกลมครึ่งวงกลมสองวง ความยาวของสนามกีฬาเท่ากับ 400 เมตร พื้นที่ของสนามมากที่สุดเท่าใด (หน่วยเป็นตารางเมตร) ?
[asy]
unitsize(1 cm);
filldraw((0,0)--(3,0)--(3,2)--(0,2)--cycle,lightgreen);
draw((0,0)--(3,0),linewidth(2*b... | ให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ $w$ และให้รัศมีของวงกลมครึ่งวงกลมแต่ละวงเท่ากับ $r.$
[asy]
unitsize(1 cm);
filldraw((0,0)--(3,0)--(3,2)--(0,2)--cycle,lightgreen);
draw((0,0)--(3,0),linewidth(2*bp));
draw((0,2)--(3,2),linewidth(2*bp));
draw(arc((3,1),1,-90,90),linewidth(2*bp));
draw(arc((0,1),1,90,270),linewidt... | \boxed{\frac{20000}{\pi}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พีระมิดด้านขวาที่แสดงมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีด้านทั้ง 8 ด้านยาวเท่ากัน จงหาขนาดของมุม $ABD$ [asy]size(100);
import three; defaultpen(linewidth(0.7)); currentprojection = orthographic(0.8,-1,0.15);
pen sm = fontsize(8); triple A = (.5,.5,1), B = (0,0,0), C = (1,0,0), D = (1,1,0), E = (0,1,0); /* should be A =... | ให้ $x$ แทนความยาวของแต่ละด้าน ถ้าเราลากเส้นทแยงมุม $\overline{BD}$ เราจะได้สามเหลี่ยมมุมฉาก $BCD$ เนื่องจาก $\overline{BC}\cong\overline{DC}$ $\triangle BCD$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 45-45-90 ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีความยาวเท่ากับ $\sqrt{2}$ เท่าของความยาวของแต่ละด้าน ดังนั้น $BD=x\sqrt{2}$ เนื่องจาก $\triangl... | 45 | [
"จำ",
"ทำความเข้าใจ",
"ประยุกต์"
] |
รูปภาพนี้มีสามเหลี่ยมอยู่กี่รูป?
[asy]size(50);
draw((0,0)--(1,0)--(0,0)--(0,1));
draw((1,1)--(0,1)--(1,0)--(1,1)--(0,0));[/asy] | มีสามเหลี่ยมเล็ก 4 รูป และสามเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมเล็ก 2 รูป (ประกอบด้วยด้านสองด้านและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ดังนั้นมีสามเหลี่ยมทั้งหมด $\boxed{8}$ รูป | \boxed{8} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าเฉลี่ยของ $\frac{1}{2}$ และ $\frac{7}{8}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ผลบวกของสองเศษส่วนคือ $\frac{1}{2}+\frac{7}{8}=\frac{11}{8}$ ดังนั้นค่าเฉลี่ยของมันคือ $\frac{1}{2}\left(\frac{11}{8}\right)=\boxed{\frac{11}{16}}$ | $\frac{1}{2}\left(\frac{11}{8}\right)=\boxed{\frac{11}{16}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เบคก้ามีเลขโดดทองเหลืองสำหรับเลขที่บ้าน 3 ตัว คือ 2, 3 และ 5 เธอสามารถสร้างเลขที่แตกต่างกันได้กี่ตัวโดยใช้เลขโดดหนึ่งตัวขึ้นไป? | ถ้าเบคก้าใช้เลขโดดเพียงตัวเดียว เธอสามารถสร้างเลขได้ 3 ตัว ถ้าเธอใช้เลขโดดสองตัว เธอมีตัวเลือก 3 ตัวสำหรับหลักสิบ และ 2 ตัวสำหรับหลักหน่วย ดังนั้นเธอสามารถสร้างเลขได้ 6 ตัว สุดท้าย ถ้าเบคก้าใช้เลขโดดทั้งสามตัว เธอมีตัวเลือก 3 ตัวสำหรับหลักร้อย 2 ตัวสำหรับหลักสิบ และ 1 ตัวสำหรับหลักหน่วย ดังนั้นเธอสามารถสร้างเลขได้ 6 ตั... | 3 + 6 + 6 = \boxed{15} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $\triangle ABC$ เราได้ว่า $AB=7$, $AC=8$, และ $BC=9$. จุด $D$ อยู่บนวงกลมแนบรูปของรูปสามเหลี่ยมซึ่งทำให้ $\overline{AD}$ แบ่งครึ่ง $\angle BAC$. จงหาค่าของ $AD/CD$? | สมมติว่า $AD$ และ $BC$ ตัดกันที่ $E$.
[asy]
pair A,B,C,D,I;
A=(-9,-4.36);
B=(-7,7.14);
C=(8,-6);
D=(7.5,6.61);
I=(2.7,3);
draw(Circle((0,0),10));
draw(A--B--C--cycle,linewidth(0.7));
draw(B--D--C);
draw(A--D);
label("$E$",I,S);
label("$B$",B,N);
label("$D$",D,NE);
label("$C$",C,E);
label("$A$",A,SW);
[/asy]
เนื่องจาก... | \triangle ADC | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูป 176 ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากัน 5 รูปดังแสดงในแผนภาพ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
[/asy] | ให้ $x$ และ $y$ เป็นความกว้างและความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปตามลำดับ
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
label("$x$", (1,5), N);
label("$x$", (3,5), N);
label("$x$", (5,5), N);
label("$y$", (6,7/2... | 2x + 2y = \boxed{80} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{v}$ และ $\mathbf{w}$ เป็นเวกเตอร์ โดยที่ $\|\mathbf{v}\| = 3$ และ $\|\mathbf{w}\| = 4.$ จงหาค่าต่ำสุดของ $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}.$ | ถ้า $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\mathbf{v}$ และ $\mathbf{w},$ แล้ว
\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cos \theta = 12 \cos \theta.\]ค่านี้จะน้อยที่สุดเมื่อ $\cos \theta = -1,$ ซึ่งจะได้ค่าต่ำสุดเท่ากับ $\boxed{-12}.$ | \boxed{-12}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าฉันมีหนังสือคณิตศาสตร์ หนังสือประวัติศาสตร์ และหนังสือฟิสิกส์ จำนวนไม่จำกัด ซึ่งมีขนาดเท่ากัน และฉันมีพื้นที่บนชั้นวางหนังสือสำหรับหนังสือ 8 เล่ม ในวิธีการใดฉันสามารถจัดเรียงหนังสือ 8 เล่มบนชั้นวางหนังสือได้โดยที่ไม่มีหนังสือประเภทเดียวกันอยู่ติดกัน? | เราสามารถเลือกหนังสือเล่มใดก็ได้สำหรับตำแหน่งแรกบนชั้นวางหนังสือ ซึ่งมี $3$ ความเป็นไปได้ หลังจากวางหนังสือเล่มนี้แล้ว เราสามารถเลือกหนังสือประเภทอื่นใดก็ได้จากสองประเภทที่เหลือมาวางไว้ติดกันได้ ในทำนองเดียวกัน จะมีสองทางเลือกสำหรับเล่มที่สามหลังจากเล่มที่สองถูกเลือกแล้ว จะมีสองทางเลือกสำหรับเล่มหนังสือแต่ละเล่มหลังจ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7,\]จงหาค่าของ
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + 5h & 2f + 5i \\ -g & -h & -i \end{vmatrix}.\] | เราทราบว่า
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -7.\]ถ้าเราคูณแถวที่สองด้วย 2 เราจะได้
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d & 2e & 2f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -14.\]การบวกห้าเท่าของแถวที่สามเข้ากับแถวที่สองจะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มิแนนต์:
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2d + 5g & 2e + ... | 14 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีกล้องถ่ายภาพ 2 ตัวที่ถ่ายภาพทางแยกถนน กล้อง A เริ่มถ่ายภาพเวลา 6:00 น. และถ่ายภาพทุกๆ 11 นาที กล้อง B เริ่มถ่ายภาพเวลา 7:00 น. และถ่ายภาพทุกๆ 7 นาที กล้อง A และกล้อง B ถ่ายภาพพร้อมกันที่เวลาเดียวกัน 4 ครั้ง ก่อนเที่ยง เมื่อกล้อง A และกล้อง B ถ่ายภาพพร้อมกันเป็นครั้งสุดท้าย ก่อนเที่ยงกี่นาที? | ถ้ากล้อง A และกล้อง B ถ่ายภาพพร้อมกัน พวกเขาจะถ่ายภาพอีกครั้งหลังจากผ่านไป 77 นาที ดังนั้น ถ้าเราสามารถหาครั้งแรกที่พวกเขาถ่ายภาพพร้อมกันได้ เราก็สามารถบวก 77 นาที ต่อไปเพื่อหาว่าภาพที่สี่ถูกถ่ายเมื่อไหร่ ภาพแรกของกล้อง A หลังจาก 7:00 น. คือ 7:06 ตามด้วย 7:17 และ 7:28 กล้อง B จะถ่ายภาพเวลา 7:28 จากที่นี่ เราบวก 77 นาที... | 41 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \dotsm \times \frac{8}{9}$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ส่วนของเศษส่วนแต่ละตัวจะตัดกันกับเศษของเศษส่วนถัดไป เหลือเพียงเศษตัวแรกและส่วนตัวสุดท้าย ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{\frac{2}{9}}$ | \boxed{\frac{2}{9}} | [
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
ถุงใบหนึ่งมีบล็อกที่เท่ากัน 16 ก้อน โดยมี 4 ก้อนเป็นสีน้ำเงิน และ 12 ก้อนเป็นสีแดง จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อหยิบบล็อก 2 ก้อนจากถุงพร้อมกัน จะได้บล็อกสีน้ำเงินทั้ง 2 ก้อน | พิจารณา 16 ก้อนบล็อกเป็นบล็อกที่แตกต่างกัน เราสามารถเลือกคู่ของบล็อกได้ ${16 \choose 2} = 120$ คู่ จากจำนวนนี้ เนื่องจากมีบล็อกสีน้ำเงิน 4 ก้อน ${4 \choose 2} = 6$ คู่เป็นคู่ของบล็อกสีน้ำเงิน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้คู่ของบล็อกสีน้ำเงินคือ $\frac{6}{120} =\boxed{ \frac{1}{20}}$. | \frac{6}{120} =\boxed{ \frac{1}{20}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
หนังสือเล่มหนึ่งมี 50 หน้าที่ถูกหมายเลขจาก 1 ถึง 50 ถูกปรับหมายเลขใหม่จาก 50 ถึง 1 มีกี่หน้าที่เลขหน้าทั้งสองชุดมีหลักหน่วยเหมือนกัน? | สำหรับหน้าใดๆ ผลรวมของหมายเลขหน้าเดิมและหมายเลขหน้าใหม่คือ 51 ซึ่งเป็นเลขคี่ ดังนั้นไม่มีหน้าใดที่เลขหน้าทั้งสองชุดมีหลักหน่วยเหมือนกัน และคำตอบคือ $\boxed{0}$. | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ \[ x = \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} ?\] | สังเกตว่า \[ \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} = 2 - x, \] เราเพียงแค่แก้สมการกำลังสอง $x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = 0$ ดังนั้นเราจะได้ $x = \boxed{1}$ | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\frac{a}{b}$ คือความน่าจะเป็นที่ส่วนกลับของจำนวนเต็มบวกคี่ที่เลือกแบบสุ่มน้อยกว่า 2010 จะให้ทศนิยมสิ้นสุด โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน จงหา $a+b$ | มีจำนวนเต็มบวก 2009 ตัวน้อยกว่า 2010 ซึ่งมี 1005 ตัวที่เป็นจำนวนคี่ ถ้า $\frac{1}{n}$ เท่ากับทศนิยมสิ้นสุด $n$ จะหารด้วย 2 และ 5 เท่านั้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเรามีข้อจำกัดเพิ่มเติมที่ $n$ เป็นจำนวนคี่ $n$ ต้องเป็นกำลังของ 5 มีห้ากำลังของ 5 น้อยกว่า 2010 \begin{align*}
5^0 &= 1 \\
5^1 &= 5 \\
5^2 &= 25 \\
5^3 &= 125 \... | 1+201 = \boxed{202} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมีจำนวนหลักเป็นสองเท่าของจำนวนหลักที่ได้เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 3 แสดงคำตอบในระบบเลขฐาน 10 | เราพิจารณาจำนวนเต็มที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมี 2 หลัก และเมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 3 จะมี 1 หลัก จำนวนเต็มดังกล่าวต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ $10_2 = 2$ แต่มีค่าน้อยกว่า $10_3 = 3$ จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขนี้คือ 2
ต่อมาพิจารณาจำนวนเต็มที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมี 4 หลัก และเมื่อเขียนในระบบเลขฐา... | \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด
\[\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} \quad \text{และ} \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -11 \\ 1 \\ 28 \end{pmatrix}.\]มีเวกเตอร์ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{d}$ ที่ทำให้เส้นตรงที่ผ่าน $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ สามารถเขียนได้ในรูป
\[\mathbf{v} = \mathbf{p} + \mathbf{d} t.\]นอกจากนี้ สำหรั... | จากสมบัติที่กำหนด ระยะห่างระหว่าง $\bold{v}$ และ $\bold{a}$ เป็น 0 เมื่อ $t = 0$ ดังนั้น $\bold{v} = \bold{a}$ แต่สมการ $\bold{v} = \bold{p} + \bold{d} t$ จะกลายเป็น
\[\bold{v} = \bold{p}\]เมื่อ $t = 0$ ดังนั้น $\bold{p} = \bold{a}$ ดังนั้นสมการของเส้นตรงคือ
\[\bold{v} = \bold{a} + \bold{d} t.\]นอกจากนี้ เวกเตอร์ $\bol... | \bold{d} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พรมมีราคา $\$21.95$ ต่อตารางหลา และวัสดุรองพรมมีราคา $\$2.55$ ต่อตารางหลา เฟลิกซ์วางแผนที่จะติดตั้งวัสดุรองพรมและพรมในบริเวณที่แสดงในแผนภาพ ค่าใช้จ่ายในการติดตั้งพรมและวัสดุรองพรมที่ต้องการเพื่อครอบคลุมห้องพอดีคือเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.2 inch);
//import geometry;
draw((0,0)--(9,0)--(9,2)--(4,2)--(4,5)--(0,5)--(0,0)... | ห้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 5 หลา x 9 หลา โดยมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 3 หลา x 5 หลา ถูกตัดออกจากมุมหนึ่ง พื้นที่ของห้องคือ $(5\text{ yd.})(9\text{ yd.})-(3\text{ yd.})(5\text{ yd.})=30$ ตารางหลา ค่าใช้จ่ายรวมต่อตารางหลาสำหรับพรมและวัสดุรองพรมคือ $\$21.95+\$2.55=\$24.50$. ค่าใช้จ่ายรวมคือ 30 ตารางหลา คูณ $\$24.50... | \boxed{735} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
35 นักเรียนเข้าร่วมการประชุมชมรมคณิตศาสตร์ จำนวนนักเรียนหญิงที่เข้าร่วมประชุมเป็นทวีคูณของ 13 และมีนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม มีกี่คนนักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม | เราสมมติว่าจำนวนนักเรียนหญิงเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและไม่เกิน 35 ทวีคูณของ 13 ที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า 35 คือ 0, 13 และ 26 เนื่องจากจำนวนนักเรียนหญิงมากกว่าจำนวนนักเรียนชาย ตัวเลือกที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือมี 26 นักเรียนหญิง นั่นหมายความว่ามี $35-26 = \boxed{9}$ นักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม | 35-26 = \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\displaystyle{(2^3)}^{\frac{4}{3}}$ | เราได้ว่า $(2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3\cdot \frac{4}{3}} = 2^4 = \boxed{16}$ | 16 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ส่วนของเส้นตรง $AB$ มีความยาว 4 เซนติเมตร และเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $P$ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ จุด $C$ อยู่บนวงกลม $P$ และ $BC = 2$ เซนติเมตร พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาคือเท่าไร?
[asy]
import graph;
fill(Circle((0,0),20),gray(0.7));
draw(Circle((0,0),20));
draw((-16,12)--(16,-12)--(0,-20)--cycle);
fill((-16,12)--... | พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาเท่ากับพื้นที่ของวงกลมลบด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของวงกลมคือ $2^2\pi=4\pi$ เพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เราจะมองหาข้อมูลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากมุม $ACB$ ตัด $180^\circ$ ของวงกลม เราทราบว่า $m\angle ACB=\frac{180^\circ}2=90^\circ$ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม $ACB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม... | \boxed{4\pi - 2\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มฐานสิบกี่จำนวนที่อยู่ในรูป 4หลักในฐานสาม และ 2หลักในฐานหก | จำนวนเต็มฐานสิบที่อยู่ในรูป 4 หลักในฐานสามมีค่าตั้งแต่ $1000_3=3^3=27$ ถึงน้อยกว่า $10000_3=3^4=81$ จำนวนเต็มฐานสิบที่อยู่ในรูป 2 หลักในฐานหกมีค่าตั้งแต่ $10_6=6^1=6$ ถึงน้อยกว่า $100_6=6^2=36$ ดังนั้น สำหรับจำนวน $n$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข จะต้องเป็น $27\le n <36$ $n$ อาจเป็นจำนวนตั้งแต่ 27 ถึง 35 รวมทั้งหมด $\boxed{9... | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $c$ เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งทำให้ $x^2+cx+9c$ เท่ากับกำลังสองของทวินาม แล้ว $c$ มีค่าเท่าใด? | ถ้า $x^2+cx+9c$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้วเนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เท่ากับ 1 ทวินามต้องอยู่ในรูป $x+a$ สำหรับค่า $a$ ใดๆ ดังนั้นเราจึงมี $$(x+a)^2 = x^2+cx+9c.$$เมื่อขยายด้านซ้ายมือ เราจะได้ $$x^2 + 2ax + a^2 = x^2 + cx + 9c.$$สัมประสิทธิ์ของ $x$ ต้องเท่ากัน ดังนั้น $2a=c$. นอกจากนี้ พจน์คงตัวต้องเท่ากัน ดังนั้น ... | 36 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวกสองหลักทั้งหมด ซึ่งหลักหนึ่งเป็นสามเท่าของอีกหลักหนึ่ง | เรามีสองกรณี:
$\bullet$ กรณีที่ 1: หลักสิบเป็นสามเท่าของหลักหน่วย ในกรณีนี้เราได้ $31,$ $62,$ และ $93.$
$\bullet$ กรณีที่ 2: หลักหน่วยเป็นสามเท่าของหลักสิบ ในกรณีนี้เราได้ $13,$ $26,$ และ $39.$
นำผลรวมของทั้งสองกรณี: เราได้ $31+62+93+13+26+39 = \boxed{264}.$ | 31+62+93+13+26+39 = \boxed{264}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เงินฝาก 10,000 ดอลลาร์ที่อัตราดอกเบี้ย 4.5% ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นประจำทุกปี จะได้ดอกเบี้ยเป็นเงินเท่าไรในระยะเวลา 2 ปี? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | หลังจาก 2 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ย 4.5% ต่อปี การลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot (1.045)^2 = 10920.25$ ดอลลาร์ ดังนั้นดอกเบี้ยที่ได้รับคือ $10920.25 - 10000 = \boxed{920.25}$ ดอลลาร์ | 920.25 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $$1+12+123+1234+12345+123456+1234567+12345678$$สอดคล้องกับ $n$ โมดูโล 9 โดยที่ $0\le n<9$ ค่าของ $n$ คือเท่าใด | จำนวนใดๆ สอดคล้องกับผลรวมของหลักของมัน $\pmod 9$ ดังนั้น \begin{align*}
&1+12+123+1234+12345+123456\\
&\qquad+1234567+12345678\\
&\quad\equiv 1+3+6+10+15+21+28+36\pmod 9 \\
&\quad\equiv 1+3+6+1+6+3+1+9\pmod 9 \\
&\quad\equiv 30\pmod 9 \\
&\quad\equiv \boxed{3}\pmod 9.
\end{align*} | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อาณานิคมของแบคทีเรียจะเพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง ในเวลา 1:00 น. มีแบคทีเรีย 10 ตัวอยู่ในจานเพาะเชื้อ ในเวลา 21:00 น. ในวันเดียวกัน ประชากรแบคทีเรียมีจำนวนเท่าไร | ทุกชั่วโมง ประชากรแบคทีเรียจะคูณด้วย 2 ในเวลา 14:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่าครั้งเดียว และมีแบคทีเรีย $10\cdot2$ ตัว ในเวลา 15:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่าสองครั้ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2\cdot2$ ตัว เป็นต้น ในเวลา 21:00 น. อาณานิคมแบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่า 8 ครั้ง ดังนั้นจึงมีแบคทีเรีย $10\cdot2\c... | 2560 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ โดยที่ $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ แล้ว
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ ในทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.$
เนื่... | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เจ็ดใบมีตัวอักษร C, B, T, A, E, M และ H ใบละตัวถูกใส่ในหมวก ตัวอักษรแต่ละตัวใช้เพียงครั้งเดียว สจ๊วร์ตจะหยิบสี่ใบออกแบบสุ่มและไม่ใส่กลับ จงหาความน่าจะเป็นที่สจ๊วร์ตจะหยิบ M, A, T, H ในลำดับนี้ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | ความน่าจะเป็นที่สจ๊วร์ตจะหยิบ M ออกก่อนคือ 1/7 ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ A ออกถัดไปคือ 1/6 เพราะตอนนี้เหลือตัวอักษร 6 ตัว ต่อไป ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ T ออกถัดไปคือ 1/5 และความน่าจะเป็นที่ H จะตามมาคือ 1/4 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ M, A, T, H ในลำดับนี้คือ $1/7 \times 1/6 \times 1/5 \times 1/4 = \boxed{\frac... | 1/7 \times 1/6 \times 1/5 \times 1/4 = \boxed{\frac{1}{840}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีจัดที่นั่ง 8 คน รอบโต๊ะกลมกี่วิธี ถ้าปิแอร์และโทมัสต้องการนั่งติดกัน แต่โรซ่าไม่ต้องการนั่งติดกับทั้งคู่ (ไม่นับการหมุน แต่แยกการสะท้อน) | วิธีที่ 1: เราเลือกที่นั่งใดๆ สำหรับปิแอร์ จากนั้นจัดที่นั่งให้คนอื่นๆ สัมพันธ์กับปิแอร์ มี 2 ทางเลือกสำหรับโทมัส; ขวาหรือซ้ายของปิแอร์ จากนั้น มี 4 ที่นั่งที่เป็นไปได้สำหรับโรซ่าที่ไม่ติดกับปิแอร์หรือโทมัส 5 คนที่เหลือสามารถจัดเรียงได้ใน $5!$ วิธี ดังนั้นมีวิธีจัดเรียงคนรอบโต๊ะทั้งหมด $2\cdot 4\cdot 5!=960$ วิธี
วิธี... | 1440 - 480 = \boxed{960} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนลบหนึ่งคูณด้วย 6 ผลลัพธ์จะเท่ากับ 20 น้อยกว่าจำนวนเดิม จำนวนเดิมมีค่าเท่าใด | ให้จำนวนนั้นเป็น $x$ เราทราบว่า $6x=x-20$ ลบ $x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $5x=-20$ จากนั้นหารทั้งสองข้างด้วย 5 จะได้ $x= \boxed{-4}$ | x= \boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $WXYZ$ ถูกวาดบนรูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่จุด $W$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $AB$ จุด $X$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $AC$ และจุด $Y$ และ $Z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $BC$ ดังแสดง ถ้า $m\angle BWZ=26^{\circ}$ และ $m\angle CXY=64^{\circ}$ แล้ว $m\angle BAC$ มีค่าเท่าใดเป็นองศา? [asy]
unitsize(0.3cm);
draw((0,0)--(4.5,6)-... | เนื่องจาก $WXYZ$ เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า มุม $XYC$ และ $WZB$ เป็นมุมฉาก เนื่องจากมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมกันได้ $90^\circ$ ดังนั้น $m\angle WBZ=90-m\angle BWZ=90-26=64^\circ$ และ $m\angle XCY=90-m\angle CXY=90-64=26^\circ$ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ มุมภายในต้องรวมกันได้ $180^\circ$ ดังนั้น $m\angle BAC=180-m\angle WBZ-m\... | m\angle BAC=180-m\angle WBZ-m\angle XCY=180-64-26=\boxed{90^\circ} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\dbinom{22}{19}$ | \begin{align*}
\dbinom{22}{19} &= \dbinom{22}{3} \\
&= \dfrac{22!}{19!3!} \\
&= \dfrac{22\times 21\times 20}{3\times 2\times 1} \\
&= 22 \times \dfrac{21}{3} \times \dfrac{20}{2} \\
&= 22 \times 7 \times 10 \\
&= \boxed{1540}.
\end{align*} | [
"นำไปใช้"
] | |
แปลงจำนวนฐาน-$64$ $100_{64}$ เป็นฐาน $62$ | จำนวน $100_{64}$ ตามนิยามคือ $64^2$ เราสามารถเขียนใหม่เป็น $(62+2)^2$ จากนั้นใช้พีชคณิตขยายเป็น $62^2 + 4\cdot 62 + 4$ เขียนในฐาน $62$ เราได้ $\boxed{144}$ (นั่นคือ $144_{62}$) | 144_{62} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $re^{i \theta}$ เป็นรากของสมการ
\[z^8 - z^7 + z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0,\]โดยที่ $r > 0$ และ $0 \le \theta < 2 \pi,$ จงหาผลรวมของค่า $ heta$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | สมการที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
\[\frac{z^9 + 1}{z + 1} = 0.\]ดังนั้น $z^9 + 1 = 0,$ หรือ $z^9 = -1.$ เนื่องจาก $z = e^{i \theta},$
\[e^{9i \theta} = -1.\]นั่นหมายความว่า $9 \theta = \pi + 2 \pi k$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ ใดๆ เนื่องจาก $0 \le \theta < 2 \pi,$ ค่า $k$ ที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7 และ 8. (เรา... | 8π | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $a+b+c+d+e+f$ สำหรับการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{4}{37}+\frac{3}{11}+\frac{23}{9}=2.abcdef\ldots$? | เราสามารถใช้การหารยาวเพื่อหาการแทนค่าทศนิยมของเศษส่วนทั้งสามได้ แต่มีวิธีที่ฉลาดกว่า
เราเริ่มต้นด้วยการหาเศษส่วนที่เทียบเท่ากันที่มีตัวส่วนน้อยกว่ากำลังของ 10 หนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น สำหรับ $\frac{3}{11}$ เราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 9 เพื่อเขียนตัวเลขนี้ใหม่เป็น $\frac{27}{99}$ ตอนนี้เราสามารถเขียนเศษส่วนนี้ใหม่เป็... | 9+3+6+3+9+0=\boxed{30} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อจำนวนเต็มฐานสิบ 269 ถูกแปลงเป็นฐานห้า ผลรวมของหลักจะเท่ากับเท่าใด | กำลังของ 5 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 269 คือ $5^3=125$ ผลคูณของ 125 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 269 คือ $2\cdot125=250$ ดังนั้นหลักในหลักของ $5^3$ คือ 2 หลังจากลบ 250 จาก 269 เราได้ $269-250=19$ เราสามารถแสดง 19 เป็น $3\cdot5^1+4\cdot5^0$ นั่นหมายความว่าเรามี 3 ในหลักของ $5^1$ และ 4 ในหลักของ $5^0$ การแทนค่าฐานห้าของ 269 คื... | 2+0+3+4=\boxed{9} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้สมการกราฟดังต่อไปนี้เป็นพาราโบลา วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา จุด เส้น สองเส้น หรือว่างเปล่า
$y^2 - x +5y - 25 = 0$ | เราสามารถจัดเรียงสมการนี้ใหม่เป็น $x = y^2 + 5y - 25$ ซึ่งเป็นพาราโบลาที่เปิดออกด้านข้าง $\boxed{\text{parabola}}$. | \boxed{\text{parabola}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลรวมของสี่จำนวนคู่บวกต่อเนื่องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลรวมที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | กำหนดให้ $2n-2$, $2n$, $2n+2$ และ $2n+4$ เป็นสี่จำนวนคู่บวกต่อเนื่อง ถ้า $(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4)=8n+4=2^2(2n+1)=m^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ บางจำนวน แล้ว $2n+1$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์คี่ $2n+1=1^2$ ให้ $n=0$ ซึ่งเราปฏิเสธเพราะจำนวนเต็มของเราเป็นบวก $2n+1=3^2$ ให้ $n=4$ ซึ่งให้ผลรวมเป็น $8\times4+4=36$ ดังนั้นผลรวมท... | \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฟิลิปโยนเหรียญที่ไม่เป็นธรรม 8 ครั้ง เหรียญนี้มีโอกาสออกหัวเป็นสองเท่าของก้อย ฟิลิปมีโอกาสได้หัวちょうど 3 ครั้ง มากกว่าได้หัวちょうど 2 ครั้ง เท่าใด? | ความน่าจะเป็นที่ฟิลิปโยนเหรียญได้ $k$ หัวคือ $$\binom8k\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}=\frac1{3^8}\binom8k2^k,$$ เนื่องจากมี $\binom{8}{k}$ วิธีที่ $k$ จาก $8$ เหรียญจะออกหัว และแต่ละวิธีการจัดเรียง $k$ หัวจาก $8$ เหรียญนี้จะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น $\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}$.... | [
"ประยุกต์"
] | |
ประเมินค่าของ $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2$. | $\left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}.$ | \left(\dfrac{-2i}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{(-2i)^2}{5^2}\right) = \left(\dfrac{(-2)^2i^2}{25}\right) = \boxed{-\dfrac{4}{25}}. | [
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $\left(\sqrt{97969}\right)^2$。 | สำหรับจำนวนไม่เป็นลบ $n$ ใดๆ ค่าของ $\sqrt{n}$ คือจำนวนซึ่งกำลังสองเท่ากับ $n$ ดังนั้น เมื่อเรา squaring $\sqrt{n}$ เราจะได้ $n$ ดังนั้น $\left(\sqrt{97969}\right)^2 = \boxed{97969}$。 | $\left(\sqrt{97969}\right)^2 = \boxed{97969}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ
\[\begin{pmatrix} 3a^2 - 3 & 3a \\ 2a^2 - a - 2 & 2a - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -3a - 2 \\ a & 3a^2 + 2a - 3 \end{pmatrix}.\] | เราคำนวณ
\begin{align*}
&\begin{pmatrix} 3a^2 - 3 & 3a \\ 2a^2 - a - 2 & 2a - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -3a - 2 \\ a & 3a^2 + 2a - 3 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} (3a^2 - 1)(-1) + (3a)(a) & (3a^2 - 3)(-3a - 2) + (3a)(3a^2 + 2a - 3) \\ (2a^2 - a - 2)(-1) + (2a - 1)(a) & (2a^2 - a - 2)(-3a - 2) + (2a - 1... | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
สำหรับ $n \ge 0$ , ให้ $F_n$ แทนจำนวน Fibonacci ตัวที่ $n$ (นั่นคือ $F_0 = 0, F_1 = 1$ และ $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ สำหรับทุก $n \ge 2$) ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของตัวหารร่วมมากของจำนวน Fibonacci สองจำนวนที่ต่อเนื่องกันคือเท่าใด? | เราต้องการหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $\text{gcd}\,(F_{n}, F_{n-1})$. เนื่องจาก $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2},$ โดยอัลกอริทึมของยุคลิด นี่เทียบเท่ากับการหา \begin{align*}
\text{gcd}\,(F_{n-1} + F_{n-2}, F_{n-1}) &= \text{gcd}\,(F_{n-1} + F_{n-2} - F_{n-1}, F_{n-1}) \\
&= \text{gcd}\,(F_{n-1}, F_{n-2}).
\end{align*}ดังนั้น... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $\dbinom{30}{27}$ | $\dbinom{30}{27}=\dbinom{30}{3}=\dfrac{30 \times 29 \times 28}{3!} = \boxed{4060}$ | $\dbinom{30}{27}=\dbinom{30}{3}=\dfrac{30 \times 29 \times 28}{3!} = \boxed{4060}$ | [
"นำไปใช้"
] |
เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม $\triangle ABC$ เท่ากับ $32.$ ถ้า $\angle ABC=\angle ACB$ และ $BC=12,$ ความยาวของ $AB$ เท่ากับเท่าใด
[asy]
draw((0,0)--(12,0)--(6,10)--cycle,black+linewidth(1));
MarkAngle((12,0),(0,0),(6,10),1,black+linewidth(1));
MarkAngle((6,10),(12,0),(0,0),1,black+linewidth(1));
label("$A$",(6,10),N);
labe... | เนื่องจาก $\angle ABC=\angle ACB,$ ดังนั้น $\triangle ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วและ $AB=AC.$ กำหนดให้ $\triangle ABC$ มีเส้นรอบรูปเท่ากับ $32,$ ดังนั้น $AB+AC+12=32$ หรือ $AB+AC=20.$ แต่ $AB=AC$ ดังนั้น $2AB=20$ หรือ $AB=\boxed{10}.$ | AB=\boxed{10}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$ หารด้วย 7 | เพื่อหาผลบวก เราพิจารณาเลขยกกำลังของ 2 ตัวแรก modulo 7: \begin{align*}
2^0 &\equiv 1, \\
2^1 &\equiv 2, \\
2^2 &\equiv 4, \\
2^3 &\equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}
\end{align*}เนื่องจาก $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ เลขยกกำลังของ 2 modulo 7 จะซ้ำในรอบทุกๆ 3 ตัว ดังนั้น \begin{align*}
&1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100} \\
&\quad\e... | 2^3 \equiv 1 \pmod{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน 9 ด้าน มีเส้นทแยงมุมภายในกี่เส้น (เส้นทแยงมุมภายใน คือ เส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่มีด้านเชื่อมต่อระหว่างจุดยอดเหล่านั้น) | รูปรูปหลายเหลี่ยมมีจุดยอด 9 จุด ดังนั้นจากจุดยอดแต่ละจุดอาจมีจุดยอดอื่นอีก 8 จุดที่เราสามารถลากเส้นทแยงมุมไปได้ อย่างไรก็ตาม 2 จุดใน 8 จุดนี้เชื่อมต่อกับจุดยอดเดิมด้วยด้าน ดังนั้นจึงไม่เชื่อมต่อด้วยเส้นทแยงมุมภายใน ดังนั้นจุดยอดแต่ละจุดเชื่อมต่อกับจุดอื่นๆ อีก 6 จุดด้วยเส้นทแยงมุมภายใน นี่ให้จำนวนเบื้องต้นของ $9 \times... | \dfrac{9\times 6}{2} = \boxed{27} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เครื่องบินสีน้ำเงิน, เครื่องบินสีแดง และเครื่องบินสีขาว กำลังรอที่จะ décoller จากท่าอากาศยานที่มีรันเวย์สองรันเวย์ เครื่องบินต้อง décoller จากท่าอากาศยานทีละลำ แต่สามารถ décoller จากรันเวย์ใดก็ได้ มีวิธีการจัดตารางการ décoller ทั้งหมดกี่วิธี (วิธีหนึ่งคือ เครื่องบินสีน้ำเงินบนรันเวย์ A ตามด้วยเครื่องบินสีแดงบนรันเวย์ B... | มี 3 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำแรก และ 2 วิธีในการเลือกที่ที่จะ décoller ในทำนองเดียวกัน มี 2 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำที่สองหลังจากเครื่องบินลำแรก décoller แล้ว และ 2 วิธีในการเลือกที่ที่จะ décoller เช่นเดียวกับ 1 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำสุดท้าย และ 2 วิธีในการเลือกรันเวย์ของมัน คูณกันได้ทั้งหมด $3\cdot2\cdot2\cdo... | 3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot2=3\cdot2^4=\boxed{48} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากัน 5 นิ้ว และฐาน 6 นิ้ว ถูกจารึกไว้ในวงกลม จงหาความยาวรัศมีของวงกลมเป็นนิ้ว | เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของฐานของมันจึงเป็นแกนสมมาตร ซึ่งผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่รูปสามเหลี่ยมถูกจารึกไว้: [asy]
unitsize(20);
draw(Circle((0,0),25/8));
draw(((-3,-7/8)--(3,-7/8)--(0,25/8)--cycle));
dot((0,0));
draw(((0,25/8)--(0,-7/8)),dotted);
draw(((0,-5/8)--(-1/4,-5/8)--(-1/4,-7/8)... | r=\frac{25}{8}=\boxed{3\frac18} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวน Fibonacci ถูกกำหนดแบบเรียกซ้ำโดยสมการ
\[ F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}\]สำหรับจำนวนเต็ม $ n \ge 2$ ทุกจำนวน โดยมีค่าเริ่มต้น $ F_0 = 0$ และ $ F_1 = 1$. ให้ $ G_n = F_{3n}$ เป็นจำนวน Fibonacci ทุกๆ สามตัว มีค่าคงที่ $ a$ และ $ b$ ซึ่งจำนวนเต็ม $ n \ge 2$ ทุกจำนวน สอดคล้องกับ
\[ G_n = a G_{n - 1} + b G_{n - 2}.\]จงห... | เราต้องการเขียน $G_n$ ในรูปของ $G_{n-1}$ และ $G_{n-2}$ เนื่องจาก $G_n = F_{3n}$ นี้ก็เหมือนกับการเขียน $F_{3n}$ ในรูปของ $F_{3(n-1)}$ และ $F_{3(n-2)}$ เพื่อทำเช่นนี้ เราใช้ความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำที่กำหนดให้ซ้ำๆ
$$ \begin{aligned} G_n &= F_{3n} \\
&=F_{3n-1} + F_{3n-2} \\
&=2F_{3n-2} + F_{3n-3} \\
&=3F_{3n-3} + 2F_{3n-... | (a,b) = \boxed{(4,1)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่แตกต่างกัน ซึ่งน้อยกว่า 100 ที่เลือกมาแบบสุ่ม จะเป็นพหุคูณของ 3 | เราสามารถเลือกจำนวนสองจำนวนได้ใน $\binom{99}{2}=4851$ วิธี สองจำนวนจะมีผลคูณเป็นพหุคูณของ 3 หากอย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นพหุคูณของ 3 เราสามารถนับจำนวนวิธีที่ผลคูณจะไม่เป็นพหุคูณของ 3 ได้ง่ายกว่า: เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นเมื่อไม่มีจำนวนใดเป็นพหุคูณของ 3 มี $\frac{99}{3}=33$ พหุคูณของ 3 น้อยกว่า 100 และ $99-33=66$ จำนวนที่ไม... | \frac{2706}{4851}=\boxed{\frac{82}{147}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า 4 daps เท่ากับ 7 yaps และ 5 yaps เท่ากับ 3 baps แล้ว 42 baps เท่ากับ daps กี่ตัว | คูณ $5\text{ yaps}=3\text{ baps}$ ด้วย 14 เพื่อหาว่า 70 yaps เท่ากับ 42 baps. จากนั้นคูณ $4\text{ daps}=7\text{ yaps}$ ด้วย 10 เพื่อหาว่า $\boxed{40}$ daps เท่ากับ 70 yaps. | \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระบบเลขฐานสาม $a = 2012_3$ และ $b = 201_3$ ผลคูณ $ab$ เขียนในระบบเลขฐานสามเป็นเท่าใด | เราสามารถคูณในระบบเลขฐาน 3 ได้เหมือนกับในระบบเลขฐาน 10: ทุกครั้งที่เราได้จำนวนมากกว่า 3 เราจะบันทึกเศษที่ได้เมื่อหารจำนวนนั้นด้วย 3 และนำผลหารไปบวกต่อ \[
\begin{array}{r}
2012 \\
\times 201 \\ \hline
2012 \\
11101\hphantom{00} \\ \hline
1112112
\end{array}
\] ดังนั้น ผลคูณคือ $\boxed{1112112_3}.$ | \boxed{1112112_3}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $P(x)$ เป็นพหุนาม ซึ่งเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-13$ แล้วเหลือเศษ 19 และเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x+17$ แล้วเหลือเศษ $-11$ จงหาเศษที่ได้เมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x+17)$ | เนื่องจากเราหารด้วยพหุนามกำลังสอง เศษจะมีดีกรีน้อยกว่า 2 ดังนั้นเศษ $r(x)=ax+b$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ บางค่า เราได้
$$P(x) = (x-13)(x+17)Q(x) +ax+b$$โดยที่ $Q(x)$ คือผลหารของการหาร
จากนั้นโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
$$\begin{aligned} P(13) &= 13a+b = 19 \\
P(-17) &= -17a+b = -11 \end{aligned}$$.
การแก้ระบบสมการนี้จะได้... | \boxed{x+6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ เป็นเวกเตอร์ โดยที่ $\|\mathbf{a}\| = 3$ และ $\|\mathbf{b}\| = 14$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|$. | เรามีว่า
\begin{align*}
\|\bold{a} + \bold{b}\|^2 &= (\bold{a} + \bold{b}) \cdot (\bold{a} + \bold{b}) \\
&= \bold{a} \cdot \bold{a} + 2 \bold{a} \cdot \bold{b} + \bold{b} \cdot \bold{b} \\
&= \|\bold{a}\|^2 + 2 \bold{a} \cdot \bold{b} + \|\bold{b}\|^2.
\end{align*}เราทราบว่า $\|\bold{a}\| = 3$ และ $\|\bold{b}\| = 14$... | \sqrt{121} = \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $PAB$ และสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ อยู่ในระนาบตั้งฉากกัน โดยที่ $PA=3$, $PB=4$, และ $AB=5$ จงหาค่าของ $PD$ [asy]
size(100); defaultpen(linewidth(0.8)); dotfactor=4;
draw((0,-0.5)--(0,3)--(5,3)--(5,-0.5)--cycle);
filldraw((0,0)--(-2,-2)--(3,-2)--(5,0)--cycle,white,defaultpen);
draw((1.5,0)--(3.5,0)--(3.5,2)--(... | เนื่องจากส่วนของเส้นตรง $AD$ ตั้งฉากกับระนาบของ $PAB$ มุม $PAD$ จึงเป็นมุมฉาก ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $PAD, PA=3$ และ $AD=AB=5$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $PD = \sqrt{3^2+5^2}=\boxed{\sqrt{34}}$ ข้อเท็จจริงที่ว่า $PB=4$ ไม่จำเป็นต้องใช้ | PB=4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พีระมิดด้านขวาที่แสดงมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีด้านทั้ง 8 ด้านยาวเท่ากัน จงหาขนาดของมุม $ABD$ [asy]size(100);
import three; defaultpen(linewidth(0.7)); currentprojection = orthographic(0.8,-1,0.15);
pen sm = fontsize(8); triple A = (.5,.5,1), B = (0,0,0), C = (1,0,0), D = (1,1,0), E = (0,1,0); /* should be A =... | ให้ $x$ แทนความยาวของแต่ละด้าน ถ้าเราลากเส้นทแยงมุม $\overline{BD}$ เราจะได้สามเหลี่ยมมุมฉาก $BCD$ เนื่องจาก $\overline{BC}\cong\overline{DC}$ $\triangle BCD$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 45-45-90 ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีความยาวเท่ากับ $\sqrt{2}$ เท่าของความยาวของแต่ละด้าน ดังนั้น $BD=x\sqrt{2}$ เนื่องจาก $\triangl... | 45 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าพจน์แรกของลำดับเลขคณิตเท่ากับพจน์ที่สามลบพจน์ที่สอง และพจน์ที่สี่เท่ากับ 8 แล้ว พจน์แรกคือเท่าไร | ให้ $d$ เป็นผลต่างร่วม เราทราบว่าพจน์แรกเท่ากับพจน์ที่สามลบพจน์ที่สอง ดังนั้นพจน์แรกเท่ากับ $d$ แล้ว พจน์ที่สองเท่ากับ $2d$ พจน์ที่สามเท่ากับ $3d$ และพจน์ที่สี่เท่ากับ $4d = 8$ ดังนั้นพจน์แรกคือ $d = \boxed{2}$ | d = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สเตซี่กำลังยืนอยู่ในทุ่งหญ้า เธอเดินไปทางทิศตะวันตก 11 เมตร, ทางทิศเหนือ 30 เมตร, ทางทิศตะวันตก 4 เมตร และสุดท้ายทางทิศใต้ 22 เมตร เธออยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นกี่เมตร? | สเตซี่เดินไปทางทิศตะวันตกทั้งหมด $11+4=15$ เมตร และเธอเดินไปทางทิศเหนือสุทธิ $30-22=8$ เมตร ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เธออยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น $\sqrt{8^2+15^2}=\boxed{17\text{ meters}}$ | \sqrt{8^2+15^2}=\boxed{17\text{ meters}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีเด็กชาย 8 คน และเด็กหญิง 6 คน ซึ่งเป็นสมาชิกของวงทรัมเป็ตในวงโยธวาทิต จากสมาชิกของวงทรัมเป็ต กำลังจะจัดตั้งวงดนตรีขนาด 5 คน หากวงดนตรีขนาด 5 คนนี้ต้องประกอบด้วยเด็กชาย 3 คน และเด็กหญิง 2 คน จะมีวงดนตรีขนาด 5 คนที่เป็นไปได้กี่วง | ก่อนอื่นเราพิจารณาว่ามีวิธีการเลือกเด็กชาย 3 คน จาก 8 คน ได้กี่วิธี มี $8$ ทางเลือกสำหรับเด็กชายคนแรก, $7$ ทางเลือกสำหรับเด็กชายคนที่สอง และ $6$ ทางเลือกสำหรับเด็กชายคนที่สาม อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเด็กชายแต่ละคนไม่แตกต่างกัน เราจึงนับซ้ำ และต้องหารด้วย $3 \cdot 2$ ในทำนองเดียวกัน มี $6 \cdot 5$ วิธีในการเลือกเด็กหญิง 2... | \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \boxed{840} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $\triangle{ABC}$ ที่แสดง $\cos{B}=\frac{3}{5}$ ค่าของ $\cos{C}$ คือเท่าใด?
[asy]
draw((0,0)--(4,0)--(0,3)--cycle,black+linewidth(1));
draw(rightanglemark((4,0),(0,0),(0,3),10),black+linewidth(1));
label("$A$",(0,0),W);
label("$B$",(0,3),W);
label("$C$",(4,0),E);
label("9",(0,0)--(0,3),W);
[/asy] | เนื่องจาก $\cos{B}=\frac{3}{5}$ เราได้ว่า $\cos{B}=\frac{AB}{BC}=\frac{9}{BC}=\frac{3}{5}$ ดังนั้นเราจะเห็นว่า $9=BC\cdot\frac{3}{5}$ ดังนั้น $BC=9\cdot\frac{5}{3}=15$ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้ว่า $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$ สุดท้ายเราสามารถหา $\cos{C}$ ได้: $\cos{C}=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15... | $\cos{C}=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15}=\boxed{\frac{4}{5}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนเต็ม $x$ โดยที่ $10 \leq x \leq 99$ จะถูกเลือก ถ้าทุกการเลือกมีความน่าจะเป็นเท่ากัน จงหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งหลักของ $x$ เป็น 7 | มี 90 ตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับ $x$ มี 10 ตัวเลือกที่มีหลักสิบเป็น 7 และ 9 ตัวเลือกที่มีหลักหน่วยเป็น 7 เนื่องจาก 77 ได้รับการนับซ้ำ 2 ครั้ง จึงมี $10 + 9 - 1 = 18$ ตัวเลือกของ $x$ ที่อย่างน้อยหนึ่งหลักเป็น 7 ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ $\frac{18}{90} = \boxed{\frac{1}{5}}$. | \frac{18}{90} = \boxed{\frac{1}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลบวกของเวกเตอร์ $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ | เราได้ว่า
\[\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}}.\] | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
ในรูปภาพ $y$ มีค่าเท่าใด? [asy]
draw((5,0)--(0,0)--(0,5));
draw((.5,0)--(.5,.5)--(0,.5));
draw(Arc((0,0),1,90,360),Arrows);
label("$y^\circ$",(-1,-1),SW);
[/asy] | เมื่อมุมที่ไม่ทราบค่า $y^{\circ}$ บวกกับมุม $90^{\circ}$ ผลลัพธ์จะเป็นการหมุนรอบเต็มวง หรือ $360^{\circ}$ ดังนั้น $y^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ}$ หรือ $y=360-90=\boxed{270}$ | y=360-90=\boxed{270} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\sin 90^\circ$. | การหมุนจุด $(1,0)$ รอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ จะได้จุด $(0,1)$ ดังนั้น $\sin 90^\circ = \boxed{1}$ | $\sin 90^\circ = \boxed{1}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในสวนสนุกแห่งหนึ่งมีส่วนลดสำหรับการซื้อตั๋วจำนวนมาก ถ้าซื้อตั๋วไม่เกิน 60 ใบในหนึ่งครั้ง ราคาของแต่ละใบจะเท่ากับ 70 เหรียญ แต่ถ้าซื้อตั๋วมากกว่า 60 ใบในครั้งเดียว ราคาของแต่ละใบจะลดลง 1 เหรียญสำหรับตั๋วที่ซื้อเพิ่มขึ้นทุกใบ ถ้า $t$ คือจำนวนตั๋วที่ซื้อในครั้งเดียว จำนวน $t$ ที่มากที่สุดที่ทำให้สวนสนุกมีกำไรมากกว่า 4200 ... | ให้ $t$ แทนจำนวนตั๋วที่ขายในครั้งเดียว เราจะได้อสมการต่อไปนี้: \begin{align*} 4200&<(70-(t-60))(t)
\\4200&<(130-t)(t)
\\4200&<130t-t^2
\\\Rightarrow\qquad t^2-130t+4200&<0
\\\Rightarrow\qquad (t-60)(t-70)&<0
\end{align*}เนื่องจากรากของสมการด้านซ้ายมือคือ 60 และ 70 อสมการจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดทั้งสองนี้ สำหรับ $... | t=\boxed{69} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาสมการของเส้นตรงที่สัมผัสกับพาราโบลาทั้งสอง $y^2 = 4x$ และ $x^2 = -32y.$ แสดงคำตอบในรูป "$y = mx + b$". | กำหนด $x = \frac{y^2}{4},$ เราได้
\[y = \frac{my^2}{4} + b,\]หรือ $my^2 - 4y + 4b = 0.$ เนื่องจากเส้นตรงสัมผัส พาราโบลา ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากคู่ ซึ่งหมายความว่าตัวจำแนกเท่ากับ 0. ดังนั้น,
\[16 - 4(m)(4b) = 0,\]หรือ $bm = 1.$
กำหนด $y = -\frac{x^2}{32},$ เราได้
\[-\frac{x^2}{32} = mx + b,\]หรือ $x^2 + 32mx + 3... | \boxed{y = \frac{1}{2} x + 2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันกำลังจะซื้อผลไม้แปลก ๆ. มังคุดราคา $x-4$ ดอลลาร์. Starfruit ราคาถูกกว่า rambutan ห้าดอลลาร์. Rambutan ราคาแพงกว่ามังคุด $2x$ ดอลลาร์. ต้องเสียเงินเท่าไหร่ในการซื้อ rambutan หนึ่งผล, starfruit สองผล และมังคุดสามผล? คำตอบของคุณจะเป็นนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับ $x$. | เรารู้ว่ามังคุดหนึ่งผลราคา $x-4$ ดอลลาร์. นั่นหมายความว่า rambutan หนึ่งผลราคา $(x-4) + 2x = 3x-4$ ดอลลาร์. จากนั้น starfruit หนึ่งผลราคา $(3x-4) -5 = 3x-9$ ดอลลาร์. เราต้องการหา $1 \cdot (3x-4) + 2 \cdot (3x-9) + 3 \cdot (x-4)$. การกระจายนิพจน์สามนิพจน์นี้ให้เราได้ $(3x-4) + (6x-18) + (3x-12)$. สุดท้าย เราบวกพจน์... | \boxed{-34 + 12x} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามลูกบาศก์ $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ซึ่งมีรากที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองราก มีสมบัติดังต่อไปนี้:
(i) ผลรวมของรากทั้งหมดเท่ากับสองเท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(ii) ผลรวมของกำลังสองของรากทั้งหมดเท่ากับ 3 เท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(iii) $f(1) = 1.$
จงหาค่า $c.$ | ให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของพหุนามลูกบาศก์ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= -a, \\
rs + rt + st &= b, \\
rst &= -c.
\end{align*}จากเงื่อนไข (i), $-a = -2c,$ ดังนั้น $a = 2c.$
กำลังสองสมการ $r + s + t = -a,$ เราได้
\[r^2 + s^2 + t^2 + 2(rs + rt + st) = a^2.\]ดังนั้น
\[r^2 + s^2 + t^2 = a^2 - 2(r... | c = \boxed{-\frac{9}{4}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ห้าถูกบวกเข้ากับสี่เท่าของจำนวนเต็มตัวหนึ่งได้ผลลัพธ์เป็น 277 จำนวนเต็มตัวนั้นคือจำนวนใด | ให้จำนวนเต็มตัวนั้นเป็น $n$ ดังนั้น ห้าบวกกับสี่เท่าของ $n$ เทียบเท่ากับนิพจน์: $$5+4n$$เราทราบว่าผลลัพธ์ของนิพจน์นี้คือ 277 ดังนั้นเราสามารถตั้งสมการได้: \begin{align*}
5+4n&=277 \\
4n&=272 \\
n&=68.
\end{align*}ดังนั้น จำนวนเต็มตัวนั้นคือ $\boxed{68}$. | \boxed{68} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามเหลี่ยม $AXY$ มีความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยม $ZBC$ ถ้า $AX = 6$ เซนติเมตร, $ZB = 18$ เซนติเมตร และ $ZC = 63$ เซนติเมตร จงหาความยาวของส่วน $AY$ เป็นเซนติเมตร | เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกัน $\frac{AX}{ZB} = \frac{AY}{ZC}$ ดังนั้น $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนพหุคูณบวกของ 9 ที่น้อยกว่า 1000 | ก่อนอื่น เราจะหาพหุคูณของ 9 ที่มากที่สุดและน้อยกว่า 1000 เนื่องจาก $1000 \div 9 = 111$ เศษ 1 พหุคูณของ 9 ที่มากที่สุดและน้อยกว่า 1000 คือ $111 \cdot 9$ หรือ 999
ดังนั้น ทุกจำนวนในรูป $n \cdot 9$ จะใช้ได้ หาก $n$ เป็นบวกและมากที่สุด 111 มีค่า $n$ ทั้งหมด 111 ค่า ดังนั้นมีพหุคูณของ 9 ที่น้อยกว่า 1000 ทั้งหมด $\boxed{111... | 111 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\det \mathbf{A} = 4$ และ $\det \mathbf{B} = -5,$ แล้วจงหา $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}).$ | เรามีว่า $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})(\det \mathbf{B}) = (4)(-5) = \boxed{-20}.$ | \det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})(\det \mathbf{B}) = (4)(-5) = \boxed{-20}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งส่วนจริงของ $ rac{1}{z}$ เท่ากับ $ rac{1}{6}$ เซตนี้จะสร้างเป็นเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ของบริเวณภายในเส้นโค้ง | โดยทั่วไป ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน $z$ กำหนดโดย
\[\frac{z + \overline{z}}{2}.\]ดังนั้น ส่วนจริงของ $1/z$ เท่ากับ 1/6 ก็ต่อเมื่อ
\[\frac{\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}}}{2} = \frac{1}{6},\]หรือ
\[\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{3}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $3z \overline{z}$ เราได้
\[3z + 3 \overline{z} =... | \boxed{9 \pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.