question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
ในรูปภาพ $DC$ มีความยาวเป็นสองเท่าของ $BD$ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากับเท่าไร? [asy]
draw((0,0)--(-3,0)--(0,4)--cycle);
draw((0,0)--(6,0)--(0,4)--cycle);
label("3",(-1.5,0),N);
label("4",(0,2),E);
label("$A$",(0,4),N);
label("$B$",(-3,0),S);
label("$C$",(6,0),S);
label("$D$",(0,0),S);
draw((0,0.4)--(0.4,0.4)-... | เนื่องจาก $BD=3$ และ $DC$ มีความยาวเป็นสองเท่าของ $BD$ ดังนั้น $DC=6.$ [asy]
draw((0,0)--(-3,0)--(0,4)--cycle);
draw((0,0)--(6,0)--(0,4)--cycle);
label("3",(-1.5,0),N);
label("4",(0,2),E);
label("$A$",(0,4),N);
label("$B$",(-3,0),S);
label("$C$",(6,0),S);
label("$D$",(0,0),S);
label("6",(3,0),N);
draw((0,0.4)--(0.4,0.4... | 18 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ให้ $0, a, b, c$ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทวนเข็มนาฬิกา จงคำนวณ
\[\frac{ac + b^2}{ab}.\]แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | นี่คือภาพของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเราที่มีจุดยอดเชื่อมต่อกับจุดกำเนิด:
[asy]
import TrigMacros;
size(180);
pair O, A, B, C;
rr_cartesian_axes(-2, 8, -5, 7, complexplane = true, usegrid = false);
O = (0,0);
A = (3, -1);
B = scale(sqrt(2))*rotate(45)*A;
C = rotate(90)*A;
draw(A--B--C--O--cycle);
draw(O--B);
... | \frac{c}{b} = \frac{1 + i}{2}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนจริง $x$ สอดคล้องกับ
\[3x + \frac{1}{2x} = 3.\]จงหา
\[64x^6 + \frac{1}{729x^6}.\] | คูณทั้งสองข้างของ $3x + \frac{1}{2x} = 3$ ด้วย $\frac{2}{3},$ เราได้
\[2x + \frac{1}{3x} = 2.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง, เราได้
\[4x^2 + \frac{4}{3} + \frac{1}{9x^2} = 4,\]ดังนั้น
\[4x^2 + \frac{1}{9x^2} = \frac{8}{3}.\]ยกกำลังสามทั้งสองข้าง, เราได้
\[64x^3 + 3 \cdot \frac{(4x^2)^2}{9x^2} + 3 \cdot \frac{4x^2}{(9x^2)^2} +... | \frac{416}{27} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของ $y = \frac{p(x)}{q(x)}$ ดังรูป โดยที่ $p(x)$ และ $q(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง (Assume that the grid lines are at integers.)
[asy]
unitsize(0.6 cm);
real func (real x) {
return (-(x + 5)*(x - 4)/(x - 2)^2);
}
int i;
for (i = -8; i <= 8; ++i) {
draw((i,-8)--(i,8),gray(0.7));
draw((-8,i)--(8,i),gray(0.... | เนื่องจากมีเส้นกำทายแนวตั้งเพียงเส้นเดียวที่ $x = 2,$ เราสามารถสมมติได้ว่า $q(x) = (x - 2)^2.$
เนื่องจากกราฟผ่านจุด $(4,0)$ และ $(-5,0),$ $p(x) = k(x - 4)(x + 5)$ สำหรับค่าคงที่ $k$ ใดๆ ดังนั้น
\[\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{k(x - 4)(x + 5)}{(x - 2)^2}.\]เนื่องจากเส้นกำทายแนวนอนคือ $y = -1,$ $k = -1,$ ดังนั้น
\[\frac{p(x... | k = -1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการหยิบไพ่ 5 ใบ จากสำรับไพ่ 52 ใบได้กี่วิธี โดยที่ลำดับของไพ่ที่หยิบขึ้นมาไม่สำคัญ? | เราเลือกไพ่ 5 ใบ จาก 52 ใบ ซึ่งแสดงได้ด้วย ${{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960}$ | {{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแก้สมการสำหรับ $w$ และแสดงในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ: $\frac{1\frac16}w=\frac{42}3$. | การทำให้สมการทางซ้ายมือง่ายขึ้นจะได้ \[\frac{1\frac16}{w} = \frac{\frac{7}{6}}{w} = \frac{7}{6}\cdot\frac1w = \frac{7}{6w},\] ดังนั้นสมการคือ \[\frac{7}{6w} = \frac{42}{3} = 14.\] คูณทั้งสองข้างด้วย $6w$ จะได้ $7=14(6w)$. หารทั้งสองข้างด้วย $7$ จะได้ $1=2(6w)$ และหารทั้งสองข้างด้วย $12$ จะได้ $w = \boxed{\frac{1}{12}}$... | w = \boxed{\frac{1}{12}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถุงใบหนึ่งมีลูกบอล 4 ลูก ลูกบอลแต่ละลูกมีสีเดียวกัน และมี 3 สีที่แตกต่างกันอยู่ในถุง จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ลูกแรกที่เลือกโดยไม่ใส่กลับ จะมีสีเดียวกัน แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | มีวิธีเลือกคู่ลูกบอลได้ทั้งหมด ${4 \choose 2} = 6$ วิธี เนื่องจากมีลูกบอลเพียง 4 ลูก และมี 3 สีที่แตกต่างกัน จึงมีคู่ลูกบอลที่มีสีเดียวกันเพียง 1 คู่ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้คู่ลูกบอลที่มีสีเดียวกันนี้คือ $\boxed{\frac{1}{6}}$ | \boxed{\frac{1}{6}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากกลุ่มคน 8 คน จะมีวิธีเลือกคณะกรรมการ 3 คนได้กี่วิธี? | มี $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!}=\boxed{56}$ วิธีในการเลือก 3 คนจากกลุ่ม 8 คน โดยไม่คำนึงถึงลำดับ | \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!}=\boxed{56} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลคูณของตัวประกอบบวกที่ไม่ใช่ตัวเลข $n$ เอง สามารถเขียนได้ในรูป $n^{(ax+b)/c}$ โดยที่ $x$ คือจำนวนตัวหารบวกของ $n$, $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก และตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสามตัว $a$, $b$ และ $c$ คือ $1$ จงหา $a+b+c$ | จงจำไว้ว่า โดยการจับคู่ตัวหารของ $n$ เราสามารถแสดงให้เห็นว่า ผลคูณของตัวประกอบบวกของ $n$ คือ $n^\frac{x}{2}$ เราหารสูตรนี้ด้วย $n$ เพื่อให้ได้ผลคูณของตัวประกอบบวกที่ไม่ใช่ตัวเลข $n$ เอง และเราได้ $\frac{n^\frac{x}{2}}{n} = n^{\frac{x}{2}-1} = n^\frac{x-2}{2}$ ดังนั้น $a = 1$, $b = -2$ และ $c = 2$ ดังนั้น $a+b+c = \boxe... | a+b+c = \boxed{1} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งถูกวาดในรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า สร้างรูปแปดเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมขึ้นมา จงหาค่าของ $x$?
[asy]
import markers;
for(int i=0; i <=10; ++i) {
draw(dir(360*i/10+90)--dir(360*(i+1)/10+90));
}
pair A = dir(360*0/10+90);
pair F = dir(360*7/10+90);
pair G = dir(360*8/10+90);
pair H = dir(360*9/10+90);
draw... | มุมของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า มีขนาด $\left(\frac{180(n-2)}n\right)^\circ$ ดังนั้น มุมในรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด \[y=\frac{180\cdot8}{10}=144\]องศา
เราสังเกตว่า เนื่องจากมุมที่ใหญ่กว่าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน และด้านที่สอดคล้องกันทั้งสามด้านเท่ากัน รูปนี้จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหน้าจั่ว ดังนั้นเราได้มุมดั... | x=\boxed{36} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
10 คนเข้าร่วมงานเลี้ยง ในงานเลี้ยงนี้ทุกคนจับมือกับทุกคน มีการจับมือกันกี่ครั้งในงานเลี้ยง? | เราสามารถเลือก 2 คนจากกลุ่ม 10 คนเพื่อจับมือกัน โดยไม่คำนึงถึงลำดับ ใน $\binom{10}{2} = \boxed{45}$ วิธี | \binom{10}{2} = \boxed{45} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ โดยที่ \[\sqrt{x+7} - \sqrt{x} = \sqrt{3}.\] | บวก $\sqrt{x}$ เข้าทั้งสองข้าง จะได้ \[\sqrt{x+7} = \sqrt{x} + \sqrt{3}.\]จากนั้น ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ \[x + 7 = x + 3 + 2\sqrt{3x},\]หรือ \[4 = 2\sqrt{3x}.\]ดังนั้น $2 = \sqrt{3x}$ ดังนั้น $4 = 3x$ และ $x = \boxed{\frac{4}{3}}.$ | x = \boxed{\frac{4}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $$\left(\left(\left(\left(\left(-345\right)^{4}\right)^{2}\right)^{0}\right)^{-2}\right)^{-4}.$$ | จงจำไว้ว่า $x^0 = 1$ สำหรับทุกจำนวน $x$ ดังนั้น \[\left(\left(\left(-345\right)^{4}\right)^{2}\right)^{0}=1,\]และนิพจน์ที่กำหนดจะลดความซับซ้อนเป็น $$\left(1^{-2}\right)^{-4}.$$เนื่องจาก 1 ยกกำลังจำนวนเต็มใดๆ เท่ากับ 1 เราได้ $$\left(1^{-2}\right)^{-4} = 1^{-4} = \boxed{1}.$$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] | |
จงหาค่าของ $\left\lceil \sqrt[3]{-25}\right\rceil$. | เราสังเกตว่า $-27 = (-3)^3 < -25 < -8 = (-2)^3$. ดังนั้น $-3 < \sqrt[3]{-25} < -2$. ค่าเพดานของค่านี้จะเป็นจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่มากกว่า $\sqrt[3]{-25}$ ซึ่งก็คือ $\boxed{-2}$. | \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\binom{15}{7}$ โดยที่ทราบว่า $\binom{14}{8} = 3003$ และ $\binom{14}{7} = 3432$ | โดยหลักของปาสกาล egin{align*}
\binom{15}{7} &= \binom{14}{6} + \binom{14}{7} \\
\binom{15}{7} &= \binom{14}{14-6} + \binom{14}{7} \\
\binom{15}{7} &= \binom{14}{8} + \binom{14}{7} \\
\binom{15}{7} &= 3003 + 3432 \\
\binom{15}{7} &= \boxed{6435}
\end{align*} | [
"ประยุกต์"
] | |
สามสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปมีด้านยาว 6 หน่วย และทับซ้อนกันดังแสดงในรูปด้านล่าง จุดที่ด้านตัดกันเป็นจุดกึ่งกลาง จงหาพื้นที่ของรูปสีเทาเป็นหน่วยตาราง
[asy]
size(3cm,3cm);
fill((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--cycle,lightgray);
fill((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--cycle,lightgray);
fill((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1... | แบ่งรูปโดยต่อด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส``ตรงกลาง''ดังแสดงทางด้านขวา สี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก $3 \times 3$ รูปที่ทับกัน รูปที่แรเงาประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก $3 \times 3$ จำนวน 10 รูป ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ $10 \times 9 = \boxed{90\text{ หน่วยตาราง}}$
[asy]
size(3cm,3cm);
fill((0,1)--(1,1)... | 10 \times 9 = \boxed{90\text{ หน่วยตาราง}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจุด $(3,4)$ สะท้อนในแกน $x$ พิกัดของภาพของมันคืออะไร?
[asy]
draw((-5.5,0)--(5.5,0),linewidth(1));
draw((-5.5,0)--(5.5,0),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),EndArrow);
draw((0,-5.5)--(0,5.5),linewidth(1));
draw((-5,-5)--(-5,5)--(5,5)--(5,-5)--cycle);
draw((-4,-5)--(-4,5));
draw((-3,-5)--(-3,5));
draw((-2,-5)--(-2,5... | หลังจากสะท้อนจุด $(3,4)$ ในแกน $x$ พิกัด $x$ ของภาพจะเหมือนกับพิกัด $x$ ของจุดเดิม $x=3$ จุดเดิมอยู่ห่างจากแกน $x$ เป็นระยะ $4$ ภาพจะอยู่ห่างจากแกน $x$ เท่ากัน แต่ต่ำกว่าแกน $x$ ดังนั้นภาพจะมีพิกัด $y$ เป็น $-4$ พิกัดของจุดภาพคือ $\boxed{(3,-4)}.$ [asy]
draw((-5.5,0)--(5.5,0),linewidth(1));
draw((-5.5,0)--(5.5,0),E... | (3,-4) | [
"จำ",
"ความเข้าใจ"
] |
50% ของ $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือเท่าใด | $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือ 12 และ 50% ของ 12 คือ $oxed{6}$ | $oxed{6}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อเขียนในรูปมาตรฐาน ผลคูณ $\left(9.2 \times 10^2\right)\left(8 \times 10^6\right)$ จะมีศูนย์กี่ตัว | ก่อนอื่น ให้ทำให้ง่ายขึ้น $(9.2\times 10^2)(8\times 10^6)=73.6\times 10^8$. ตัวประกอบ $10^8$ บอกเราว่าต้องเลื่อนจุดทศนิยมใน 73.6 ไปทางขวา 8 ตำแหน่ง ขั้นตอนแรกเลื่อนจุดทศนิยมผ่าน 6 และขั้นตอนถัดไปอีก $\boxed{7}$ ขั้นตอนแต่ละขั้นตอนจะนำตัวเลข 0 มา | \boxed{7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้ $k$ เป็นจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ ซึ่งเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ถ้า $2^n\equiv 3\pmod{13}$ แล้วเศษที่เหลือเมื่อ $k$ หารด้วย $13$ เท่ากับเท่าไร? | เนื่องจาก $2^n$ เป็นกำลังของ $2$ ตัวประกอบเฉพาะเพียงตัวเดียวคือ $2$ ดังนั้นจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ และจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ในจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ มีจำนวนเต็มคี่อยู่ $\frac{2^n}{2}=2^{n-1}$ จำนวน ดังนั้น \[k=2^{n-1}\equiv 2^{-1}2^n\equiv 7\cdot 3\equiv 21\... | \frac{2^n}{2}=2^{n-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่อยู่ในช่วง $-\frac{\pi}{2}$ ถึง $\frac{\pi}{2}$ ซึ่งทำให้ $1 - \sin^4 x - \cos^2 x = \frac{1}{16}$ จงแสดงคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เนื่องจาก $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ สมการจะกลายเป็น $\sin^2 x - \sin^4 x = \frac{1}{16}$ หรือ
\[\sin^4 x - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ในรูปสมการกำลังสองของ $\sin^2 x$:
\[(\sin^2 x)^2 - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]โดยใช้สูตรกำลังสอง
\[\sin^2 x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}.\]ดังนั้น
\[\cos 2x = 1... | \boxed{-\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ของ น.ส. แฮมิลตัน ต้องการเข้าร่วมการแข่งขันบาสเกตบอลแบบทีมละ 3 คนประจำปี Lance, Sally, Joy และ Fred ได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของทีม มีวิธีเลือกผู้เล่นตัวจริง 3 คนได้กี่วิธี? | เมื่อมีผู้เล่น 3 คนเป็นตัวจริง จะมีผู้เล่นสำรอง 1 คน เนื่องจากผู้เล่นทั้ง 4 คนสามารถเป็นผู้เล่นสำรองได้ จึงมี 4 วิธีในการเลือกทีมตัวจริง: Lance-Sally-Joy, Lance-Sally-Fred, Lance-Joy-Fred และ Sally-Joy-Fred หรือเราสามารถสังเกตได้ว่าเรามี $\boxed{4}$ ตัวเลือกสำหรับผู้เล่นที่จะไม่ลงสนาม! | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $g(x) = x^2 - 11x + 30,$ และให้ $f(x)$ เป็นพหุนามซึ่งทำให้
\[g(f(x)) = x^4 - 14x^3 + 62x^2 - 91x + 42.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10^{100}).$ | กำหนดให้ $d$ เป็นดีกรีของ $f(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $g(f(x))$ คือ $2d = 4,$ ดังนั้น $d = 2.$
ดังนั้น ให้ $f(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\begin{align*}
g(f(x)) &= g(ax^2 + bx + c) \\
&= (ax^2 + bx + c)^2 - 11(ax^2 + bx + c) + 30 \\
&= a^2 x^4 + 2abx^3 + (2ac + b^2 - 11a) x^2 + (2bc - 11b) x + c^2 - 11c + 30.
\end{align*... | \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมนูนคือ $(-1, -1), (-3, 4), (1, 7), (6, 5)$ และ $(3, -1)$ จงหาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมนี้ [asy]
import graph; size(150); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.5,xmax=7.5,ymin=-2.5,ymax=8.5;
pen zzzzzz=rgb(0.6,0.6,0.6);
/*grid*/ pen gs=linew... | วาดสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดยอด $(-3,7),(-3,-1),(6,-1),(6,7)$ รอบรูปห้าเหลี่ยมดังแสดงด้านล่าง: [asy]
import graph; size(4.45cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-4.5,xmax=7.5,ymin=-2.5,ymax=8.5;
pen zzzzzz=rgb(0.6,0.6,0.6);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+zzzz... | 72 -5 - 6 -5 - 9 = \boxed{47} | [
"จำ",
"ทำความเข้าใจ",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $t$ ที่ $\tan t$ และ $\sec t$ ถูกนิยาม จุด
\[(x,y) = (\tan t, \sec t)\]ถูกพล็อตลงบนกราฟ จุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่ในเส้นโค้งประเภทใด?
(A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) พาราโบลา
(D) 타원
(E) ไฮเปอร์โบลา
ใส่ตัวอักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | ให้ $x = \tan t$ และ $y = \sec t.$ แล้ว
\[y^2 - x^2 = \sec^2 t - \tan^2 t = 1,\]ดังนั้นจุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่ในไฮเปอร์โบลา คำตอบคือ $\boxed{\text{(E)}}.$ | \boxed{\text{(E)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบของสมการ $(x - 3)^3 + (x -7)^3 = (2x - 10)^3.$ | ให้ $a = x - 3$ และ $b = x - 7.$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้ใหม่ได้เป็น
\[a^3 + b^3 = (a + b)^3.\]เมื่อขยาย, เราได้ $a^3 + b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3,$ ดังนั้น $3a^2 b + 3ab^2 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
\[3ab(a + b) = 0.\]ดังนั้น $a = 0,$ $b = 0,$ หรือ $a + b = 0.$ จากนั้น $x - 3 = 0,$ $x - 7 = 0,$... | \boxed{3, 5, 7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อหารผลบวกของ $129^{34}+96^{38}$ ด้วย 11 แล้วจะเหลือเศษเท่าใด | เราใช้สมบัติที่ว่า $a \equiv b \pmod{m}$ หมายถึง $a^c \equiv b^c \pmod{m}$.
เนื่องจาก $129 \equiv -3 \pmod{11}$ และ $96 \equiv -3 \pmod{11}$ ดังนั้น $$129^{34}+96^{38} \equiv (-3)^{34}+(-3)^{38} \equiv 3^{34}+3^{38} \pmod{11}.$$เนื่องจาก $3^5 \equiv 1 \pmod{11},$ เราจะเห็นว่า $3^{34} = (3^5)^{6} \cdot 3^4$ และ $3^{38}... | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับ 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, $\ldots$ ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทั้งหมดจากน้อยไปหามากที่ไม่ใช่กำลังสองหรือกำลังสาม จงหาพจน์ที่ $400^{\mathrm{th}}$ ของลำดับ | ลองนับจำนวนกำลังสองและกำลังสามที่น้อยกว่า $441=21^2$ ดู มีกำลังสองที่น้อยกว่า 441 อยู่ยี่สิบตัว: $1^2, 2^2, \ldots, 20^2$ มีกำลังสามที่น้อยกว่า 441 อยู่เจ็ดตัว: $1^3, 2^3, \ldots, 7^3$ ดังนั้นดูเหมือนว่าจะมี $20+7=27$ จำนวนที่น้อยกว่า 441 ซึ่งเป็นกำลังสองหรือกำลังสาม
แต่รอก่อน! $1=1^2=1^3$ เป็นทั้งกำลังสองและกำลังสาม... | \boxed{425} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แองกี้ตัดสินใจใช้ห้องเรียนของเธอเป็นตัวอย่างเพื่อคาดการณ์จำนวนนักเรียนทั้งหมดในโรงเรียนของเธอที่สวมเสื้อสีแดงในวันวาเลนไทน์ เธอสังเกตว่ามีนักเรียน 11 คนสวมเสื้อสีแดงในห้องเรียนของเธอที่มีนักเรียน 24 คน โดยใช้สัดส่วนนี้ แองกี้จะประมาณว่ามีนักเรียนจำนวนเท่าใดในจำนวน 480 คนในโรงเรียนของเธอที่สวมเสื้อสีแดง? | เราสามารถใช้ข้อมูลที่กำหนดให้สร้างอัตราส่วนและแก้หาจำนวนเด็กในโรงเรียนที่สวมเสื้อสีแดง ให้ $x$ เท่ากับจำนวนนักเรียนทั้งหมดที่สวมเสื้อสีแดงในโรงเรียน จากข้อมูลที่กำหนดให้ เรามี $$ \frac{11}{24} = \frac{x}{480},$$ ดังนั้น $$ x = \frac{480 \cdot 11}{24},$$ ซึ่งหมายความว่า $$ x = 20 \cdot 11 = \boxed{220}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ในปีการศึกษา มีสมาชิกชมรมหมากรุก 10 คน เล่นหมากรุกทั้งหมด 900 게임 ในระหว่างการฝึกซ้อม แต่ละคนเล่นกับสมาชิกคนอื่น ๆ $N$ ครั้ง ค่าของ $N$ คือเท่าไร? | เนื่องจากมีสมาชิกชมรม 10 คน จึงมีการจับคู่สมาชิก $\binom{10}{2} = \frac{10\cdot 9}{2} = 45$ คู่ ดังนั้นแต่ละคู่ต้องเล่น $\frac{900}{45} = \boxed{20}$ เกม | $\frac{900}{45} = \boxed{20}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังน... | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\theta$ เป็นมุมแหลมซึ่งสอดคล้องกับ
\[\sin 5 \theta = \sin^5 \theta.\]จงคำนวณค่า $\tan 2 \theta.$ | โดยทั่วไป ตามทฤษฎีบทของ DeMoivre,
\begin{align*}
\operatorname{cis} n \theta &= (\operatorname{cis} \theta)^n \\
&= (\cos \theta + i \sin \theta)^n \\
&= \cos^n \theta + \binom{n}{1} i \cos^{n - 1} \theta \sin \theta - \binom{n}{2} \cos^{n - 2} \theta \sin^2 \theta - \binom{n}{3} i \cos^{n - 3} \theta \sin^3 \theta + \... | \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของสองจำนวนคือ 45 และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ 3 จงหาจำนวนที่น้อยกว่า | ให้ $x,y$ เป็นจำนวนที่มากกว่าและน้อยกว่าตามลำดับ เรามี $x+y=45$ และ $x-y=3$ ดังนั้น: $y=\frac{1}{2}((x+y)-(x-y))=\frac{1}{2}(45-3)=\boxed{21}$. | y=\frac{1}{2}((x+y)-(x-y))=\frac{1}{2}(45-3)=\boxed{21} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0.$ สมมติว่า $a+(1/b)$ และ $b+(1/a)$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0.$ จงหาค่าของ $q?$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - mx + 2 = 0,$ เราได้ \[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b)\quad \text{และ} \quad ab = 2.
\] ในทำนองเดียวกัน พจน์คงตัวของ $x^2 - px + q$ คือ ผลคูณของ $a + (1/b)$ และ $b + (1/a),$ ดังนั้น \[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\] | 9/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=-2x-10y-16$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$? | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2+2x+y^2+10y=-16$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(2/2)^2=1$ เข้าไปในทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(10/2)^2=25$ เข้าไปในทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2+2x+y^2+10y&=-16\\
\Rightarrow x^2+2x+1+y^2+10y+25&=10... | x+y=-1+(-5)=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น $(3-2i)^2$ (คำตอบของคุณควรอยู่ในรูป $a+bi$.) | $(3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i)= 3(3) + 3(-2i) -2i(3) - 2i(-2i) = 9-6i-6i -4 = \boxed{5-12i}$. | (3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i)= 3(3) + 3(-2i) -2i(3) - 2i(-2i) = 9-6i-6i -4 = \boxed{5-12i} | [
"นำไปใช้"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ \[ (a^2+b)^2 - (a^2-b)^2, \]ถ้า $a=4$ และ $b=1$. | วิธีที่รวดเร็วที่สุดอาจจะเป็นการใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
(a^2 + b)^2 - (a^2 - b)^2 &= \bigl[ (a^2 + b) + (a^2 - b) \bigr] \cdot
\bigl[ (a^2 + b) - (a^2 - b) \bigr] \\
&= ( a^2 + b + a^2 - b) \cdot (a^2 + b - a^2 +b ) \\
&= (2 a^2 ) \cdot (2 b) \\
&= 4 a^2 b. \end{align*}เนื่องจาก $a= 4$ และ $... | 64 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=3x^3+2$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f^{-1}(x)=4$ | สมการ $f^{-1}(x)=4$ เทียบเท่ากับ $x=f(4)$ ดังนั้นเราต้องการหาค่า $f(4)$ เราคำนวณ $f(4) = 3 \cdot 4^3 + 2 = \boxed{194}$ | f(4) = 3 \cdot 4^3 + 2 = \boxed{194} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ $2x(x-3) + 3(x-3)$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x-3$ ออกจากแต่ละพจน์ได้: \[2x(x-3) + 3(x-3) = 2x\cdot (x-3) + 3\cdot (x-3) = \boxed{(2x+3)(x-3)}.\] ถ้าคุณยังไม่เห็นว่ามันทำงานอย่างไร ลองแทน $A$ แทน $x-3$ ทุกที่ในนิพจน์เดิม แล้วเราจะเห็นการแยกตัวประกอบได้ชัดเจนขึ้น: \[2xA +3A = 2x\cdot A + 3\cdot A = (2x+3)A.\] แทน $x-3$ กลับเข้าไปใน $A$ เราจะไ... | (2x+3)(x-3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor{\pi}\rfloor$. | เราต้องหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $\pi$ เนื่องจาก $\pi$ ประมาณ $3.14$ คำตอบคือ $\boxed{3}$ | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่ากราฟของ $y=h(x)$ และ $y=j(x)$ ตัดกันที่ $(2,2),$ $(4,6),$ $(6,12),$ และ $(8,12)$ มีจุดหนึ่งที่กราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ต้องตัดกัน จงหาผลรวมของพิกัดของจุดนั้น | ข้อมูลที่กำหนดให้เราทราบว่า $$\begin{array}{c@{\qquad}c}
h(2)=j(2)=2, & h(4)=j(4)=6, \\
h(6)=j(6)=12, & h(8)=j(8)=12.
\end{array}$$ถ้ากราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ตัดกันที่ $(a,b),$ แล้ว $$h(2a)=2j(a)= b.$$ตรวจสอบความเป็นไปได้ในตารางข้างต้น เราจะเห็นว่า $h(8)=2j(4)=12.$ ดังนั้น กราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ตัดกัน... | \boxed{16}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(x - y)(x + y)$ เมื่อ $x = 10$ และ $y = 15$ | $(x-y)(x+y)=(10-15)(10+15) = (-5)(25) = \boxed{-125}$. | (x-y)(x+y)=(10-15)(10+15) = (-5)(25) = \boxed{-125} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหา $h(x)$ โดยให้พจน์เรียงตามกำลังของ $x$ ลดลง เมื่อ \[9x^3-3x+1+h(x)=3x^2-5x+3.\] | แก้สมการนี้ได้ดังนี้ \[h(x)=(3x^2-5x+3)-(9x^3-3x+1)=\boxed{-9x^3+3x^2-2x+2}\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ขยาย $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ | เราเห็นว่า \begin{align*}
(x-2)(x+2)(x^2+4) &= (x^2-4)(x^2+4) \\
&= \boxed{x^4-16}
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
คำนวณ: $55\times1212-15\times1212$ . | เราได้ $55 \times 1212 - 15 \times 1212 = 1212(55-15) = 1212(40) = 4848(10) = \boxed{48480}$. | 55 \times 1212 - 15 \times 1212 = 1212(55-15) = 1212(40) = 4848(10) = \boxed{48480} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหา czynนับเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ $9879$ | เราเห็นว่า
$$9879=10000-121=100^2-11^2$$ดังนั้น
$$9879=(100-11)(100+11)=89(111)=3*37*89$$ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{89}$ | \boxed{89} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x=2$ และ $y=3$ จงแสดงค่าของนิพจน์ต่อไปนี้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ: $$
\frac
{~\frac{1}{y}~}
{\frac{1}{x}}
$$ | เราได้ว่า \[\frac{\phantom{o}\frac1y\phantom{o}}{\frac1x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{1} = \frac{x}{y} = \boxed{\frac{2}{3}}.\] | [
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ $\lfloor\sqrt{17}\rfloor^2$. | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$ หรือ $4<\sqrt{17}<5$ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\sqrt{17}$ คือ $4$ ดังนั้น $4^2=\boxed{16}$ | 4^2=\boxed{16} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2$ ในการกระจายของผลคูณ $$(2x^2 +3x +4)(5x^2 +6x +7).$$ | การกระจายแสดงว่า \begin{align*}
&(2x^2 +3x +4)(5x^2 +6x +7) \\
&\qquad= 2x^2(5x^2+6x+7) + 3x(5x^2+6x+7) \\
&\qquad\qquad+4(5x^2+6x+7) \\
& \qquad= 10x^4 +27x^3 +52x^2 +42x+7.
\end{align*}สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองคือ 52. แทนที่จะกระจายผลคูณของพหุนามสองตัว เราสามารถสังเกตได้ว่าพจน์กำลังสองในผลคูณจะได้มาจากผลรวมของพจน์ท... | \boxed{52} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{2x-1}{x+5}$ ผกผันของ $f(x)$ อาจเขียนอยู่ในรูป $f^{-1}(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ โดยที่ $a$, $b$, $c$, และ $d$ เป็นจำนวนจริง จงหา $a/c$ | ถ้าเราแทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราจะได้ \[f(f^{-1}(x))=\frac{2f^{-1}(x)-1}{f^{-1}(x)+5}.\]เนื่องจาก $f^{-1}(f(x))=x$ เราจะได้ \begin{align*}
\frac{2f^{-1}(x)-1}{f^{-1}(x)+5}&=x \\
\Rightarrow \quad 2f^{-1}(x)-1&=x(f^{-1}(x)+5) \\
\Rightarrow \quad 2f^{-1}(x)-1&=x f^{-1}(x)+5x.
\end{align*}ย้ายพจน์ที่เกี่ยวข้อ... | (a,b,c,d)=(5b,b,-b,2b) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(\sqrt{5})^4$. | เราได้ว่า \[(\sqrt{5})^4 = (5^{\frac12})^4 = 5 ^{\frac12\cdot 4} = 5^2 = \boxed{25}.\] | 25 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 < 7x$ จริง? | ก่อนอื่น เราเห็นว่า $0$ ไม่สอดคล้องกับอสมการ ดังนั้นเราสามารถหารด้วย $x$ ได้ ถ้า $x$ เป็นบวก เราสามารถหารได้ $x<7$ และมีจำนวนเต็มบวก $6$ จำนวนที่สอดคล้องกับสิ่งนี้ ถ้า $x$ เป็นลบ เราหารได้ $x>7$ ซึ่งไม่มีจำนวนเต็มลบจำนวนใดสอดคล้อง ดังนั้นจำนวนของคำตอบจำนวนเต็มคือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษส่วนที่เท่ากับ $0.\overline{73}$ | เราสามารถเขียนได้ว่า \[0.\overline{73} = \frac{73}{100} + \frac{73}{10000} + \frac{73}{1000000} + \cdots.\]อนุกรมเรขาอนันต์นี้มีพจน์แรก $73/100$ และอัตราส่วนร่วม $1/100$ ดังนั้น \[0.\overline{73} = \frac{73/100}{1-1/100} = \boxed{\frac{73}{99}}.\] | 73/99 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\dagger$ นิยามโดย $\frac{m}{n}\dagger\frac{p}{q} = (m)(p)(\frac{q}{n}).$ จงหาค่าที่เรียบง่ายของ $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}$ | เราได้ว่า $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}=(7)(8)\left(\frac{3}{12}\right)=(7)(2)=\boxed{14}$. | $\frac{7}{12}\dagger\frac{8}{3}=(7)(8)\left(\frac{3}{12}\right)=(7)(2)=\boxed{14}$ | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(3,17)$ และ $(9,-4)$ เป็นพิกัดของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จงหาผลรวมของพิกัด $y$ ของอีก 2 จุดยอด | จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะตรงกัน ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ต่อจุด $(3,17)$ และ $(9,-4)$ ก็เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ต่ออีก 2 จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย พิกัด $y$ ของจุดกึ่งกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของจุดปลายทั้งสอง ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของ $(3,17)$ และ... | 17+(-4)=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบของสมการ $(3x+5)(2x-9) = 0$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ขยายข้างซ้ายของสมการที่กำหนดให้ เราได้ $6x^2-17x-45=0$ เนื่องจากสำหรับสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของคำตอบคือ $-b/a$ ผลรวมของคำตอบของสมการที่กำหนดคือ $-\frac{-17}{6}=\boxed{\frac{17}{6}}$ (เราอาจจะเพียงแค่สังเกตว่ารากคือ $-5/3$ และ $9/2$ และบวกค่าเหล่านี้เข้าด้วยกัน แต่ใครชอบบวกเศษส่วนล่ะ) | 17/6 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = 2x - 5$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(x)$ เท่ากับ $f^{-1}(x)$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=2f^{-1}(x)-5.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=2f^{-1}(x)-5.\]หรือ \[f^{-1}(x)=\frac{x+5}2.\]เราต้องการแก้สมการ $f(x) = f^{-1}(x)$ ดังนั้น \[2x-5=\frac{x+5}2.\]หรือ \[4x-10=x+5.\]แก้สมการหา $x$ เราได้ $x = \boxed{5}$. | x = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีค่าของ $a$ สองค่าที่ทำให้สมการ $4x^2+ax+8x+9=0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว ค่าของผลบวกของค่า $a$ ทั้งสองนั้นคือเท่าใด | จากสูตรกำลังสอง เราได้ \[x=\frac{-(a+8)\pm \sqrt{(a+8)^2-4\cdot 4\cdot 9}}{2\cdot 4}. \]สมการมีคำตอบเพียงคำตอบเดียวก็ต่อเมื่อค่าของตัวเลือก (discriminant), $(a+8)^2-144$, เป็น 0 นั่นหมายความว่า $a=-20$ หรือ $a=4$ และผลบวกคือ $\boxed{-16}$ | \boxed{-16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนใด ๆ $x$ เราได้รับแจ้งว่า $x\&=7-x$ และ $\&x = x -7$. จงหาค่าของ $\&(12\&)$ | เรามี $\&(12\&)=\&(7-12)=\&(-5)=(-5-7)=\boxed{-12}$. | \&(12\&)=\&(7-12)=\&(-5)=(-5-7)=\boxed{-12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+\frac{1}{x}=6$ แล้ว $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ มีค่าเท่าใด | ยกกำลังสองสมการที่กำหนดให้ เราจะได้ $x^2+2(x)\left(\frac{1}{x}\right) +\frac{1}{x^2}=36,$ ดังนั้น $x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{34}.$ | x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{34}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Xanthia อ่านได้ 100 หน้าต่อชั่วโมง และ Molly อ่านได้ 50 หน้าต่อชั่วโมง ถ้าทั้งสองคนอ่านหนังสือเล่มเดียวกัน และหนังสือเล่มนั้นมี 225 หน้า Xanthia จะใช้เวลานานกว่า Molly กี่นาทีในการอ่านหนังสือเล่มนี้? | การอ่านหนังสือใช้เวลา Xanthia
$\frac{225}{100}=2.25$ ชั่วโมง.
Molly ใช้เวลา
$\frac{225}{50}=4.5$ ชั่วโมง.
ความแตกต่างคือ $2.25$ ชั่วโมง หรือ $2.25(60)=\boxed{135}$ นาที. | 2.25(60)=\boxed{135} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลบวก: $1+2+3+4+\dots +48+49$ | สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 49 = 49 \cdot 50/2 = \boxed{1225}$ | 1 + 2 + \dots + 49 = 49 \cdot 50/2 = \boxed{1225} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบ $9y^2-30y+25$ | พจน์กำลังสองคือกำลังสองของ $3y$ , พจน์คงตัวคือกำลังสองของ $-5$ และพจน์เส้นตรงเท่ากับ $2(3y)(-5)$ ดังนั้น $9y^2 -30y + 25 = \boxed{(3y - 5)^2}$ | 9y^2 -30y + 25 = \boxed{(3y - 5)^2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $Q = 5+2i$, $E = i$, และ $D = 5-2i$, จงหา $Q\cdot E \cdot D$. | \begin{align*}
QED &= (5+2i)(i)(5-2i)\\
&=i(25-(2i)^2)\\
&=i(25+4)\\
&=\boxed{29i}.
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
จงคำนวณ $139+27+23+11$ | เนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เราสามารถจัดเรียงพจน์ใหม่ได้ดังนี้:
$139+27+23+11=(139+11)+(27+23)=150+50=\boxed{200}$ | 139+27+23+11=(139+11)+(27+23)=150+50=\boxed{200} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในลำดับเลขคณิต $17, a, b, c, 41$ จงหาค่าของ $b$ | ในลำดับเลขคณิต เฉลี่ยของสองพจน์เท่ากับค่าของพจน์ที่อยู่ตรงกลางระหว่างสองพจน์นั้น ดังนั้น $b = \frac{17 + 41}{2} = \boxed{29}$ | b = \frac{17 + 41}{2} = \boxed{29} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a\star b = \dfrac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$ ถ้า $ x \star 24 = 7$ จงหาค่าของ $x$ | เรารู้ว่า $x\star24=\dfrac{\sqrt{x+24}}{\sqrt{x-24}}=7$ เนื่องจากเราไม่สามารถหาค่ารากที่สองของจำนวนลบได้ และเนื่องจากส่วนของเศษส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เราจึงทราบว่า $x-24>0$ ดังนั้น ค่าประมาณของ $x$ ที่สมเหตุสมผลคือ $x=25$ $\dfrac{\sqrt{25+24}}{\sqrt{25-24}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{1}}=7$ ตามที่ต้องการ ดังนั้น คำตอบข... | x=\boxed{25} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด $(2,4)$ แกนสมมาตรเป็นแนวตั้ง และผ่านจุด $(1,1)$ แสดงคำตอบในรูป "$ax^2+bx+c$" | เนื่องจากแกนสมมาตรเป็นแนวตั้งและจุดยอดคือ $(2,4)$ พาราโบลาอาจเขียนได้ในรูป \[y=a(x-2)^2+4\] สำหรับค่า $a$ บางค่า แทนจุด $(1,1)$ ลงในนิพจน์นี้จะได้ \[1=a(1-2)^2+4=a+4.\] นี่บอกเราว่า $a=-3$.
สมการของเราคือ \[y=-3(x-2)^2+4.\] การแปลงเป็นรูป $y=ax^2+bx+c$ ต้องการขยายกำลังสอง ดังนั้นเราจะได้ \[y=-3(x^2-4x+4)+4=\boxed... | y=ax^2+bx+c | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในเมืองแห่งหนึ่ง อัตราภาษีเก็บเป็นดังนี้: ภาษี $x\%$ จะถูกเก็บจากรายได้ $x$ พันดอลลาร์ รายได้เท่าใด (เป็นดอลลาร์) ที่จะทำให้ได้เงินเดือนสุทธิมากที่สุด (เงินเดือนสุทธิคือรายได้ลบภาษีที่ต้องจ่าย) | จำนวนภาษีที่เก็บได้คือ $\frac{x}{100} \cdot 1000x = 10x^2,$ ดังนั้นเงินเดือนสุทธิคือ
\[1000x - 10x^2.\]เมื่อจัดรูปสมการโดยการเติมกำลังสอง เราได้
\begin{align*}
1000x - 10x^2 &= -10(x^2 - 100x) \\
&= -10(x^2 - 100x + 2500) + 25000 \\
&= -10(x - 50)^2 + 25000.
\end{align*}เงินเดือนสุทธิสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อ $x = 50,$ ซึ่... | \boxed{50000} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กระจายนิพจน์ต่อไปนี้: $3(8x^2-2x+1)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 3 และ $8x^2$, 3 และ $-2x$, และ 3 และ 1: \begin{align*}
3(8x^2-2x+1) &= 3\cdot 8x^2+3\cdot (-2x) + 3 \cdot 1\\
&= \boxed{24x^2-6x+3}
\end{align*} | 24x² - 6x + 3 | [
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $\log_6 (4x)=2$ จงหา $\log_x 27$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราเริ่มต้นด้วยการแก้หา $x$ จากสมการแรก $\log_6 (4x)=2$ เขียนในรูปเลขชี้กำลัง เราพบว่า $4x=6^2$ ซึ่งทำให้ $x=\frac{6^2}{4}=9$ หลังจากแทนค่า $x$ นี้ลงใน $\log_x 27$ เราจะได้นิพจน์ $\log_9 27$ เนื่องจาก $27=(9)(3)=(9^1)(9^{\frac12})=9^{\frac32}$ เราจึงเห็นว่า $\log_9 27=\boxed{\frac32}$ | \log_9 27=\boxed{\frac32} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการ \[\frac{5x+1}{2x^2+5x-3}=\frac{2x}{2x-1}\] สำหรับ $x$. | เราสังเกตว่าส่วนทางซ้ายสามารถแยกตัวประกอบได้ ซึ่งจะให้ \[\frac{5x+1}{(2x-1)(x+3)}=\frac{2x}{2x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq\frac12$ เราสามารถตัด $2x-1$ จากส่วนได้ ซึ่งจะให้ \[\frac{5x+1}{x+3}=2x.\]จากนั้นเราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[5x+1=2x(x+3)=2x^2+6x.\]เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นเป็น \[2x^2+x-1=0\]และแยกตัวประกอบเป็น \[(x+1... | x=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-10x +y^2-4y-7=0$ และ $x^2+14x +y^2+6y+49=0$ | เราเติมกำลังสองสำหรับสมการแรกโดยสังเกตว่าสมการแรกเทียบเท่ากับ \[
(x^2-10x +25) +(y^2-4y +4)=36,
\] ซึ่งเทียบเท่ากับ \[
(x-5)^2 +(y-2)^2 =6^2.
\] เช่นเดียวกัน สมการของวงกลมที่สองคือ \[
(x+7)^2 +(y+3)^2 =3^2.
\] ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(5,2)$ และ $(-7,-3)$ และรัศมีของวงกลมเท่ากับ 6 และ 3 ตามลำดับ ระยะทางระหว่างจ... | 13-3-6 = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลลัพธ์ของ $(2x^2 + 7x - 3) - (x^2 + 5x - 12)$ | เราได้ \begin{align*}
&(2x^2 + 7x - 3) - (x^2 + 5x - 12) \\
&\qquad = 2x^2 + 7x - 3 - x^2 - 5x + 12\\
&\qquad = (2x^2 - x^2) +(7x-5x) +(12-3)\\
&\qquad = \boxed{x^2+2x+9}.
\end{align*} | [
"ประยุกต์"
] | |
ถ้า $(x^2 - k)(x + k) = x^3 + k(x^2 - x - 5)$ และ $k\neq 0$ จงหาค่าของ $k$ | ถ้าเราคูณ $(x^2 - k)$ ด้วย $(x + k)$ เราจะได้ $x^3 + kx^2 - kx - k^2$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $k$ ออกจากพจน์สุดท้ายสามพจน์นี้ ซึ่งจะได้ $x^3 + k(x^2 - x - k)$ เมื่อเราตั้งค่านี้เท่ากับด้านขวาของสมการเดิม $x^3 + k(x^2 -x - 5)$ เราจะได้ $x^3 + k(x^2 - x - k) = x^3 + k(x^2 - x - 5)$ การเปรียบเทียบอย่างระมัดระวังระหว่างสองด้... | k = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลรวมของพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(6, 12)$ และ $(0, -6)$ | จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงคือ $\left(\frac{6+0}{2}, \frac{12+(-6)}{2}\right)$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $(3,3)$ ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ประเมินค่าของ $\left\lceil\left(-\frac{5}{3}\right)^2\right\rceil$. | ค่าของนิพจน์ภายในวงเล็บเพดานเท่ากับ $$\left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} = 3 - \frac{2}{9}$$เนื่องจากค่านี้เป็นจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนที่ไม่เป็นลบ น้อยกว่าหนึ่ง ดังนั้นเพดานของค่านี้เท่ากับจำนวนเต็ม $\boxed{3}$. | \boxed{3} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $y$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $3y^2 + 5y + 2 = 4$ | ทำดังนี้: \begin{align*}
3y^2 + 5y + 2 &= 4\\
3y^2 + 5y - 2 &= 0\\
(3y - 1)(y + 2) &= 0.
\end{align*}จะได้ $y = \frac{1}{3}$ หรือ $y = -2.$ จากค่าทั้งสอง $y = \boxed{-2}$ เป็นค่าที่น้อยกว่า ดังนั้นเป็นคำตอบของเรา | y = \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $3+a=4-b$ และ $4+b=7+a$ แล้ว $3-a$ มีค่าเท่าใด | เริ่มต้นด้วยการแก้ระบบสมการ egin{align*}
3+a&=4-b, \\
4+b&=7+a.
\end{align*}บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน เราได้ $3+a+4+b=4-b+7+a$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $7+a+b=11+a-b$ ยกเลิก $a$ จากทั้งสองข้าง เราได้ $7+b=11-b$ แก้สมการเพื่อหาค่า $b$ เราพบว่า $b=2$ แทนค่า $b$ ลงในสมการแรกข้างต้น เราได้ $3+a=4-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $3-a=\b... | 3-a=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลรวมของสามจำนวนคู่ต่อเนื่องคือเท่าใด ถ้าผลรวมของจำนวนคู่แรกและจำนวนคู่ที่สามเท่ากับ 128 | ผลรวมของลำดับเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคูณด้วยจำนวนพจน์ ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ $\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{128}{2}=64$ และจำนวนพจน์คือ 3 เราคูณกันได้ $64\cdot3=\boxed{192}$ | 64\cdot3=\boxed{192} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $54 \times 46$ ในใจ | เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ใหม่เป็น $(50 + 4)\times (50 - 4)$ ซึ่งเป็นผลต่างของกำลังสอง: $(50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484}$ | (50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=8x-6y-20$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2-8x+y^2+6y=-20$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(-8/2)^2=16$ เข้าทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(6/2)^2=9$ เข้าทั้งสองข้าง สมการกลายเป็น \begin{align*}
x^2-8x+y^2+6y&=-20\\
\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+6y+9&=5\\
\Rightarrow... | x+y=4+(-3)=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y=f(x)$ ซึ่งประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงห้าส่วน แสดงไว้ในสีแดงด้านล่าง (ระยะห่างระหว่างเส้นตารางคือ $1$)
ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดทั้งหมดที่ $f(x) = x+1$ คือเท่าใด? | เราซ้อนกราฟของ $y=x+1$ บนแกนเดียวกันกับกราฟเดิม:
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cart... | (-2)+1+4=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับเรขาคณิตเริ่มต้นด้วย $16$, $-24$, $36$, $-54$ อัตราส่วนร่วมของลำดับนี้คือเท่าใด | อัตราส่วนร่วมคือ $(-24)/16 = \boxed{-\frac{3}{2}}$. | (-24)/16 = \boxed{-\frac{3}{2}} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{5x+1}{x-1}$ จงหาค่าของ $f(7)$ | เราสามารถหาคำตอบนี้ได้โดยการแทนค่า 7 ลงในฟังก์ชัน: \begin{align*} f(7)& = \dfrac{5(7)+1}{7-1}
\\ & = \dfrac{35+1}{6}
\\ & = \dfrac{36}{6}
\\ & = \boxed{6}
\end{align*} | 6 | [
"นำไปใช้"
] |
หลังจากแซลลี่ยิง 20 ครั้ง เธอทำได้ 55% ของการยิงของเธอ หลังจากที่เธอทำการยิงอีก 5 ครั้ง เธอเพิ่มเปอร์เซ็นต์การยิงของเธอเป็น 56% เธอทำการยิงใน 5 ครั้งสุดท้ายได้กี่ครั้ง? | ถ้าแซลลี่ทำได้ 55% ของการยิง 20 ครั้ง เธอทำได้ $0.55 \times 20 = 11$ ครั้ง ถ้าแซลลี่ทำได้ 56% ของการยิง 25 ครั้ง เธอทำได้ $0.56 \times 25 = 14$ ครั้ง ดังนั้นเธอทำได้ $14-11=\boxed{3}$ ครั้งใน 5 ครั้งสุดท้าย | 14-11=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $k$ ใดจะทำให้ $x^2 - 16x + k$ เป็นกำลังสองของทวินาม? | เราทราบว่า $x^2 - 16x + k = (x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$ สำหรับบางค่าของ $b.$ เนื่องจาก $2bx = -16x$ เราจึงสามารถอนุมานได้ว่า $b = -8.$ ตอนนี้การขยาย $(x - 8)^2$ จะได้ $x^2 - 16x + 64$ ดังนั้น $k = \boxed{64}.$ | k = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พิจารณาเส้นตรงต่อไปนี้ \begin{align*}
y&=3x+5 \\ 2y&=4x+5 \\ 3y&=9x-2 \\ 2y&=x-3 \\ 4y&=x-5.
\end{align*}กำหนดให้คู่ของเส้นตรงเป็น $\emph{ดี}$ ถ้าเส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกันหรือตั้งฉากกัน ในบรรดาคู่ของเส้นตรงที่แสดงให้ดู มีกี่คู่ที่เป็นคู่ที่ดี? | เราหาความชันของแต่ละเส้นตรง ความชันคือ $\frac31=3$, $\frac42=2$, $\frac93=3$, $\frac12$, และ $\frac14$.
เส้นตรงที่ขนานกันจะมีความชันเท่ากัน ดังนั้นเส้น $a$ และ $c$ ขนานกัน เส้นตรงที่ตั้งฉากกันจะมีความชันเป็นส่วนกลับของกันและกันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ไม่มีเส้นตรงใดที่มีความชันเป็นส่วนกลับของกันและกันและมีเครื่องหมาย... | 1+0=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันของ $5^5 - 5^3$ | กำลังที่สูงที่สุดของ $5$ ที่หารทั้งสองพจน์ได้คือ $5^3$ เราแยกตัวประกอบ $5^3$ ออกดังนี้: \begin{align*}
5^5 - 5^3 &= 5^3 \cdot 5^2 - 5^3 \cdot 1 \\
&= 5^3(5^2 - 1)
\end{align*} $5^2 - 1 = 24$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $2^3 \cdot 3$ ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะคือ ${2^3 \cdot 3 \cdot 5^3}$ และผลรวมของตัวประกอบเฉพาะคือ $2+3+... | 2+3+5 = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองเส้นตรง $y = 4x - 19$ และ $2x+y = 95$ ตัดกัน จงหาค่าของ $x$ ที่จุดตัด | ที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น ค่า $x$ จะเท่ากัน และค่า $y$ จะเท่ากัน เราสามารถกำหนด $4x - 19 = 95 - 2x$ เพื่อหาค่า $x$ ที่ค่า $y$ เท่ากัน
\begin{align*}
4x - 19 &= 95 - 2x \\
6x &= 114 \\
x &= \boxed{19}.
\end{align*} | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แบคทีเรียในโหลเพิ่มขึ้นเป็นสามเท่าทุกๆ 20 วินาที หลังจากผ่านไปสามนาที มีแบคทีเรียในโหล 275,562 ตัว มีแบคทีเรียกี่ตัวในโหลที่เริ่มต้นการทดลอง? | หลังจากสามนาที จำนวนแบคทีเรีย $n$ เพิ่มขึ้นเป็นสามเท่า $9$ ครั้ง นี่ทำให้เราได้สมการ $n \cdot 3^9 = 275,\!562$ หรือ $19,\!683n=275,\!562$ ดังนั้น $n = \boxed{14}$ | n = \boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่าจริงของ $b$ ใดที่ทำให้ค่าของนิพจน์ $\frac{1}{2}b^2 + 5b - 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เราเติมกำลังสอง: \begin{align*}
\frac{1}{2}b^2 + 5b - 3 & = (\frac{1}{2}b^2 + 5b) - 3\\
&= \frac{1}{2}(b^2 + 10b + 25) - 3 -25 \cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{1}{2}(b + 5)^2 - \frac{31}{2}.
\end{align*} ค่าต่ำสุดของ $\frac{1}{2}(b + 5)^2$ คือ $0$ เพราะกำลังสองของจำนวนจริงไม่เป็นลบ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของนิพจน์เกิดขึ้นที่ $b ... | b = \boxed{-5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อัล เบ็ตตี้ และ แคลร์ แบ่งเงิน $\$1000$ เพื่อลงทุนในรูปแบบที่แตกต่างกัน แต่ละคนเริ่มต้นด้วยจำนวนเงินที่ต่างกัน หลังจากสิ้นสุดปีหนึ่ง พวกเขามีเงินรวมกัน $\$1500$ เบ็ตตี้และแคลร์เพิ่มเงินของพวกเขาเป็นสองเท่า ในขณะที่อัลสูญเสียเงินไป $\$100$ อัลมีเงินส่วนแบ่งเดิมเท่าไร? | กำหนดให้ส่วนแบ่งเดิมของอัล เบ็ตตี้ และ แคลร์ เป็น $a$, $b$, และ $c$ ตามลำดับ จากนั้น \[
a + b + c = 1000\quad\text{และ}\quad a-100 + 2(b+c) = 1500.
\] แทน $b+c=1000-a$ ในสมการที่สอง เราได้ \[
a -100 + 2(1000-a)=1500.
\] นี่จะให้ $a=\boxed{400}$ ซึ่งเป็นส่วนแบ่งเดิมของอัล
โปรดทราบว่าแม้ว่าเราจะทราบว่า $b+c = 600$ แต่เร... | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าใด | เราได้ว่า $x=\frac{1}{2}\left((x-y)+(x+y)\right)=\frac{1}{2}(6+12)=\boxed{9}$. | x=\frac{1}{2}\left((x-y)+(x+y)\right)=\frac{1}{2}(6+12)=\boxed{9} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แดเนียลทำงานที่ร้านขายเครื่องใช้ไฟฟ้า และเขาอ้างว่าความนิยมของเครื่องปิ้งขนมปัง (วัดจากจำนวนยอดขาย) เป็นสัดส่วนผกผันกับราคาของมัน หาก 12 ลูกค้าซื้อเครื่องปิ้งขนมปังที่ราคา $500 ตามทฤษฎีของแดเนียล จะมีลูกค้ากี่คนที่ซื้อเครื่องปิ้งขนมปังที่ราคา $750 | ให้ความนิยมของเครื่องปิ้งขนมปัง (หรือจำนวนลูกค้าที่ซื้อเครื่องใช้ไฟฟ้า) เท่ากับ $p$ และให้ราคาของเครื่องปิ้งขนมปังเท่ากับ $c$ ตามทฤษฎีของแดเนียล $p$ และ $c$ เป็นสัดส่วนผกผัน ดังนั้น $(p)(c)=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า หาก $p=12$ เมื่อ $c=500$ ดังนั้น $k=(12)(500)=6000$ ดังนั้นเมื่อ $c=750$ \begin{align*} (p)(c)&=k
\\\... | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$ เป็นปริมาณผกผันกับ $b$ ให้ $a_1,a_2$ เป็นค่าของ $a$ สองค่าที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}$ ให้ $b_1,b_2$ เป็นค่าของ $b$ ที่สัมพันธ์กัน ถ้า $b_1,b_2$ ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาค่าของ $\frac{b_1}{b_2}$ | ถ้า $a$ เป็นปริมาณผกผันกับ $b$ ผลคูณ $ab$ จะเป็นค่าคงที่ สำหรับ $a_1$ และ $a_2$ นี้บ่งบอกว่า: $$a_1\cdot b_1=a_2\cdot b_2$$เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย $b_1\cdot a_2$ เพื่อหา: \begin{align*}
\frac{a_1\cdot b_1}{b_1\cdot a_2}&=\frac{a_2\cdot b_2}{b_1\cdot a_2}\\
\Rightarrow\qquad \frac{2}{3}=\frac{a_1}{a_2}&=\... | b_1\cdot a_2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(2,2)$ และ $(-1,-1)$ | เราใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1) - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = \boxed{3\sqrt{2}}$.
- หรือ -
เราสังเกตว่าจุด $(2, 2)$, $(-1, -1)$, และ $(2, -1)$ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากด้านเท่า (สามเหลี่ยม 45-45-90) ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\boxed{3\sqrt{2}}$ | \boxed{3\sqrt{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $n$ จากสมการ $5^{2n + 1} = \frac{1}{25}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | $\frac{1}{25}$ เท่ากับ $5^{-2}$ ดังนั้นเราได้ $5^{2n+1}=5^{-2}$ ซึ่งจะได้ $2n+1=-2$ เมื่อแก้สมการหา $n$ จะได้ $n=\boxed{-\frac{3}{2}}$ | n=\boxed{-\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2|x| + 7 < 17$ | เริ่มจากแก้สมการอสมการเพื่อให้มีเพียงปริมาณค่าสัมบูรณ์ทางซ้ายมือและค่าคงที่ทางขวามือ
\begin{align*}
2|x| + 7&< 17\\
2|x|&<10\\
|x|&<5
\end{align*}เพื่อแก้สมการอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ เราต้องแปลงเป็นสมการอสมการสองสมการ หนึ่งสมการเป็นปกติ อีกสมการหนึ่งมีเครื่องหมายกลับด้านและค่าผลลัพธ์ตรงกันข้าม ทั้งสองสมการจะมีค่าสัมบูร... | \boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.